Lehrbuch der Mathematik für den höheren Schulunterricht: Band 2 Elfter bis achtzehnter Abschnitt der Geometrie mit zahlreichen Uebungsaufgaben [2., umgearb. Aufl. Reprint 2019] 9783111592800, 9783111218182

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Lehrbuch der Mathematik für

den höheren Schulunterricht bearbeitet von

Dr. E. F. August, Professor und Director deö Cölnischen Real - Gymnasium- zu Berlin.

Zweiter Cursus. Elfter bis achtzehnter Abschnitt der Geometrie mit zahlreichen UebungSaufgaben.

Zweite umgearbeitete Auflage mit 8 doppelt beigefügten Figurentafeln.

Berlin. Gedruckt und verlegt bei Georg Reimer. 1852.

Vorwort. diesem zweiten Cursus der Mathematik ist Alles abgeschlossen, waS der Elementargeometrie anheim fällt. Wer sich des Büchleins zum Lehren oder zum Ler­ nen bedient, wird in demselben außer den in allen Lehr­ büchern enthaltenen Sätzen der euklidischen Geometrie auch diejenigen Sätze aufgeführt finden, von denen die schönen geometrischen Forschungen neuerer Zeit ausgehen.

Diese sind bisher in den elementaren Lehrbüchern anhangsweise, gewissermaßen als Beiwerk, daher auch zer­ streut und ohne systematischen Zusammenhang unvollständig mitgetheilt worden.

Es ist hier vielleicht zuerst der Versuch gemacht, die wichtigsten Sätze der Theorie der Transversalen und der Doppelverhältnisse in Form von Elementen darzustellen, als welche sie zur weitern Begründung geometrischer For­ schungen dienen können.

Um dies zu erreichen, waren manche neue Benen­ nungen, neue Bezeichnungen nöthig, für die ich die ge­ neigten Benutzer dieses Buches um gütige Ausnahme bitte. Durch manche derselben, wie auch z. B. durch die Be-

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Vorwort.

zeichnung der Transversalbeziehung, scheint für die leich­ tere Uebersicht etwas gewonnen zu sein. Mich selbst, vielleicht auch manchen andern, hat die Einführung der Transversalen in die Geometrie anfäng­ lich deshalb nicht angesprochen., weil Produkte dreier Li­ nien in Betracht kommen, die eigentlich erst in der Ste­ reometrie eine Bedeutung erhalten; ja, weil oft bei den Beweisen Produkte von vier, fünf, sechs, und viel mshr Linien aufgestellt werden, denen man als solchen geome­ trisch keinen Sinn unterlegen kann. Diese stillschweigende Vermischung der Algebra mit der Geometrie hat allerdings für denjenigen etwas Stö­ rendes, der an euklideische Strenge gewöhnt ist.

Dem Theoretisch-Unbequemen bin ich, ohne, wie es oft geschieht, Praktisch-Unbequemes zu bieten, in der Durchführung des sechzehnten Abschnitts dadurch entgan­ gen, daß ich die Zusammensetzung der Verhältnisse an­ wendete, und die Gleichheit zweier Produkte aus mehreren Linien so hervortreten ließ, daß in der Zusammensetzung der Verhältnisse der einzelnen Linien daö Verhältniß der Gleichheit erkannt wurde (vergl. S. 176.). Wie die Einführung mehrgliedriger Produkte, so hat auch die Anwendung trigonometrischer Begriffe und Zei­ chen zur Begründung geometrischer Beziehungen etwas Unbequemes; dem es vielleicht zuzuschreiben ist, daß die schönen und weitgreifenden Untersuchungen über geome­ trische Gebilde, wie sie in dem größeren Werke des Herrn Professor Steiner niedergelegt sind, noch nicht Eingang in die Elemente der Geometrie gesunden haben.

Ich habe es versucht, auch diese Unbequemlichkeit Hin­ wegzuräumen, und deshalb im 17. Abschnitte theils durch rein geometrische Anschauungen die trigonometrischen Hülfs-

begriffe ersetzt, theils durch Anwendung der Doppelverhältttfffe, deren Zusammensetzungen proportional sind, eine ein­ fache Begründung aufgestellt für diejenigen Grundlehren auf diesem Gebiete, welche als Elemente zu betrachten sein dürften. In wie weit es mir gelungen, durch diese Behandlung den wichtigen Gestaltungsgesetzen Eingang in die Elementargeometrie zu verschaffen, erwarte ich aus dem Urtheile pädagogischer Benutzer des Merkchens zu ent­ nehmen. Daß ich nach euklideischer Klarheit und Einfachheit gestrebt, und nur um dieser zu genügen neue Erklärungen und Beweisarten eingeführt habe, wird Niemand leicht verkennen.

Ueber den Plan des Ganzen habe ich jetzt noch Ei­ niges hinzuzufügen.

Der erste Cursus schließt die Geometrie, ohne An­ wendung der Proportionen, ab. Die ersten neun Ab­ schnitte sind in strengem Zusammenhänge. Der zehnte setzt algebraische Kenntnisse voraus, wie dieselben bei den­ jenigen, die so weit in der Geometrie vorgeschritten sind, auch gleichzeitig entwickelt sein müssen. Die einzige Ein­ mischung des Arithmetischen in die Geometrie ist hier die Darstellung der Fläche durch ein Produkt zweier Zahlen. Man hat diesen Abschnitt als einen praktischen Anhang zu den vorigen zu betrachten. Im zweiten Cursus tritt die Proportion in ihrer An­ wendung auf Geometrie hervor. Es mußte daher ein Abschnitt vorangeschickt werden, der die Proportionen als allgemeine Größenbezichungen hinstellte, und das Wesen deS Commensurablen und Inkommensurablen er­ klärte, auch den Begriff der Erhaustion feststellte, auf welcher so viele Beweise der Gleichheit beruhen. Dieser der allgemeinen Größenlehre angehörige eilfte Abschnitt ist für den Unterricht von großer Wichtigkeit. Er gewöhnt

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Vorwort.

an Schärfe des Denkens und die wenigen schwierigeren Sätze desselben üben den Lerner so; daß ihm die Anwen­ dung dieser Begriffe in den folgenden Abschnitten sehr leicht wird. In diesen wiederholen sich auch, nur in anderer Be­ trachtungsweise, die schwierigen Sätze deS ersten Cursus; so daß ein Lehrer, dem es um Abkürzung deö Unterrichts zu thun ist, jene Sätze des ersten Theiles, in welchen die Schlüsse auf Vergleichung der Rechtecke beruhen, dort ganz auslassen und das Ergebniß derselben in de»t spä­ teren Abschnitten, wo dieselben Sätze in den Anmerkungen oder als Zusätze erwähnt sind, lehren kann.

Für den Schüler, der vorher die etwas weitläuftigere Methode durch die Rechtecksvergleichung durchgemacht hat, wird aber die Entwicklung derselben durch Anwendung der Proportionen eine überraschende und nun ganz befrie­ digende Abkürzung sein, und sein Streben in der Mathe­ matik fortzuschreiten, anfeuern, indem er erkennt, wienere Auffassungen zu allgemeiner und durchgreifender Erkennt­ niß führen. AuS diesem rein pädagogischen Grunde habe ich auch am Schlüsse des XIV. Abschnitts (§. 10. 7) das Kreis­ sehnen-Sechseck in der Weitlauftigeren Weise vollständig behandelt, um später (XVI. 13.1.) bei der Transver­ salentheorie zu zeigen, wie diese neue Auffassung der Verhältnisse Licht und Einfachheit in jene verwickelten Be­ ziehungen bringt.

Damit der Lehrer, welcher Zeit ersparen soll, oder dem es mehr znsagt» seinen eigenen Weg zu gehen, als strenge einem Lehrbuche zu folgen, auch hiezu Gelegenheit finde, ist in den Anmerkungen der einzelnen Sätze und Schluß­ bemerkungen der Abschnitte Manches hinzugefügt, was

Norwor t.

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Stoff zu anderen Anordnungen, zu Abkürzungen, zu eigen­ thümlichen Darstellungen bietet. In dieser Hinsicht ist die Entwicklung der Ludolph'schen Zahl, die schon im ersten Cursus vorkam, durch zwei erweitert worden, die in die­ sem Cursus ihre Stelle fanden. Wenn Reichhaltigkeit, verbunden mir Kürze, ein Vorzug eineö Lehrbuches ist, so habe ich nach diesem Vorzüge für dieses Werkchcn gestrebt. Eö können gewiß nur wenige be­ deutendere Entwickelungen der neueren Geometrie aufgeführt werden, die nicht in diesem Büchlein elementare Begründung oder doch einen näheren Anknüpfungspunkt finden als die Mehrzahl anderer Elcmcntarbüchcr der Geometrie darbictet.

Der reiche Anhang von mannigfaltigen Aufgaben wird gewiß jedem willkommen sein, der sich oder andere in der Geometrie üben will. Da es der Raum nicht gestattete, Andeutungen zur Auflösung beizufügen; so wird die Benutzung ausführ­ licherer Werke oft aushelfend eintretcn müssen; so wie ich selbst in Bezug auf die gründlichere Verfolgung der hier gegebenen Elemente über Transversalen und Doppelver­ hältnisse auf die Werke von Adams, Steiner und an­ dere verweisen muß. Daß ich die besten Lehrbücher und Zeitschriften der Geometrie bei der Ausarbeitung dieses Merkchens zu Rathe gezogen, bedarf der Versicherung nicht. Ich nenne auch gern mit Anerkennung das reichhaltige Crelle'sche (Lehrbuch der Geometrie), das vielseitig anregende von Jacobi, das gediegen durchgeführte von Bretschneider, das besonders durch geschichtliche Anmerkungen anziehende von Kunze. Das Crelle'sche Journal und Grunert's Ar­ chiv (letzteres besonders für Erweiterung der Elementar-

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Vorwort.

Mathematik wirkend) sind dem Werke gleichfalls sehr for­ derlich gewesen. Möge denn auch dieses Büchlein für den mathemmatischen Unterricht nützlich und anregend wirken. Der nächste dritte CursuS wird die Stereometrie uumfaffen und im Oktober d. I. vollendet sein.

Es ist meine Absicht, diesen dann noch mehrere Cuurse gleichen Umfanges, über Arithmetik» Algebra, Trigonno­ metrie, analytische Geometrie und über die höher» The»eile der Mathematik folgen zu lassen, und daran praktiscsche Surfe anzuschließen, die besonders die Grundlehren dder Physik, so weit sie mathematisch sind, klar und einfssach darstellen sollen.

Die Ausführung dieser Entschlüsse, zu der es mir < an Vorarbeiten nicht fehlt, ist zunächst von dem abhänggig, was nur Gott zu geben vermag, dann aber auch vvon der Aufnahme dieser ersten Surfe, die den folgenden meehr oder minder zur Grundlage dienen. Berlin, im Juni 1852.

August.

Druckfehlerverbesserungen. 3m ersten CursuS. S. 33 in der ersten und zweiten Zeile deS Lehrsatzes §.22 ist Winkel : und Winkeln statt Seiten zu setzen. S. S34 die vierte Spalte enthält einige falsche Ziffern in der letzten TOecimalstelle. Sie ftnd aus der Spalte Pn ©.44 des zweiten CursuS leicht zuu be­ richtigen. Im zweiten CursuS. ©. 48 unten ist zweimal k2-f-c2 statt k-j- c* zü lesen.

Stifter Abschnitt. Fortsetzung der allgemeinen Größenlehre. Vergleichung der Größen durch ihre Theile, Verhältnisse und Proportionen.

§• 1. Lehrsatz. Wenn eine Größe in beliebig viele ungleiche Stücke zer­ legt, und zugleich auch in eben so viele gleiche Theile getheilt wird; so ist das kleinste oder eins der kleinsten ungleichen Stücke kleiner als einer der gleichen Theile. Beweis.

Die Linie (welche hier als Beispiel jeder anderen Größe gewählt wird) AB (Fig. 1.) sei in die ungleichen Stücke AC, CD, DE, EB zerlegt, zugleich auch in die gleichen Theile AF, FG, GH, HB. E-sei EB da- kleinste Stück, dann ist EB < DE, also 2 EB < DB (Abschn. I, $. 7.)/ ebenso ist EB < CD, also 3EBCCB; und endlich EB < AC, also 4EB < AB; daher EB < { AB, b. $. EB < AF. WaS zu beweisen war.

Wäre EB-^ED; so wäre zwar 2EB---DB; aberdaEB GH, GH > HK, HK> KL. Die Linie AB besteht also aus 6 ungleichen Stücken, und BL ist entweder da» kleinste-oder eine» der beiden kleinsten Stücke;

also ist BL