Elemente der analytischen Geometrie der Ebene [Reprint 2018 ed.] 9783111494395, 9783111128115

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Elemente

der analytischen Geometrie der Ebene.

Elemente der

analytischen Geometr » der

Ebene von

F . J o a c h i m s th.al.

Dritte Anflöge, v e r b e s s e r t und d u r c h e i n e n A n h a n g und deren Lösungen

von

vermehrt

von

0. Hermes.

Mit acht

Figurentafeln.

B e r l i n . Druck und Verlag von G. 188:5.

Reimer.

Aufgaben

Das L'bersetzungsrecht wird vorbehalten.

Yorrede des Herausgebers, F e r d i n a n d J o a c h i m s t h a l , Professor an der Universität Breslau, wurde am 5. April 1861 durch einen frühzeitigen Tod mitten aus den Erfolgen seiner mathematischen Untersuchungen und seiner

segens-

reichen Lehrthätigkeit, fortgerissen.

Auch war es ihm

nicht vergönnt,

des

die Ausarbeitung

vorliegenden

Lehrbuchs, welchem er die Mufsestunden vieler Jahre mit Vorliebe gewidmet hatte, vollständig zu Ende zu führen. einem

Doch fanden sich glücklicherweise

aufser

vom Verstorbenen selbst als druckfertig be-

zeichneten Manuscript in den hinterlassenen Papieren noch

weitere Ausführungen

und Andeutungen

vor,

auf Grund deren ich es unternehmen konnte, dieses Lieblingswerk meines hochverehrten Lehrers herauszugeben, ein Werk, welches durch die Klarheit der Darstellung und durch die sorgfältige Berücksichti-

V|

Vorrede.

gimg der dem Anfänger entgegentretenden Schwierigkeiten seiner Bestimmung als Leitfaden zur Einführung iti die analytische Geometrie zu dienen, in vorzüglichem Mafse entspricht., und welches zugleich durch die Eigentümlichkeit der Methode auch auf den mit dem Gegenstande völlig vertrauten Leser in hohem Grade anregend wirkt.

In dieser Beziehung möchte

namentlich die fast durchgängige Anwendung schiefwinkliger Koordinaten hervorzuheben sein, bei welcher die Verbindung von Allgemeinheit

der

Einfachheit der Rechnung und

Schlüsse

in

seltener

Weise

er-

reicht ist. Es

kann als sicher angenommen werden,

dafs

schon zu der Zeit, als J a c o b i noch lebte, also bereits vor dem Jahre 1851, der erste Gedanke, die Elemente der Geometrie zu bearbeiten, in Joachimsthal entstanden war.

Eine bezügliche Aufforderung Jacobis hat

diesen Gedanken

wol nicht erst hervorgerufen,

son-

dern nur von neuem angeregt und der Ausführung näher gebracht.

Jacobi nämlich hatte schon seit län-

gerer Zeit ab und zu an einem Lehrbuch geschrieben, welches zu einer elementaren analytischen Darstellung der von ihm in Vorlesungen an der Königsberger Universität oft behandelten Geometrie des Raumes bestimmt war; er forderte nun Joachimsthal auf, ein Lehrbuch der Geometrie der Ebene zu schreiben, damit beide

Vorrede.

VII

Werke zusammen das ganze Gebiet der Geometrie in ihren Elementen umfafsten. Der hierdurch von neuem in Joachimsthal angeregte Gedanke hat dann freilich in ihm eine viel weitere Entwickelung genominen.

Im Jahre 1855, als

Joachimsthal die mathematische Professur an der Universität Halle bekleidete, hatte er bereits einen ersten Entwurf der Geometrie der Ebene nahezu vollendet, und er zeigte mir denselben bei Gelegenheit eines Besuches, den ich ihm damals machte.

Aber dieser erste

Entwurf genügte ihm später nicht; er ordnete den zu behandelnden Stoff nach einem neuen Plane an, änderte demgemäfs die Reihenfolge der Kapitel — von denen z. ß. das die Transversalentheorie enthaltende ursprünglich den Kegelschnitten vorausging — und unternahm auf diese Weise eine durchgreifende Umgestaltung des Werkes, welche leider vor der gänzlichen Vollendung durch seinen Tod unterbrochen wurde. Von dieser neuen Bearbeitung fand ich die ersten sieben Kapitel druckfertig vor; ich hatte daher nur den Schlufs des Werkes im Sinne des Dahingeschiedenen zu ergänzen und hierfür folgende im Nachlafs vorgefundene Papiere als Anhaltspunkte zu benutzen. Erstens ergab ein kurzes Inhalts-Verzeichnis die vollständige Reihenfolge der Kapitel, wie sie Joachimsthal für die zweite Bearbeitung festgestellt hatte.

Die-

VIII

Vorrede.

ses Verzeichnis

führt nicht nur die Geometrie

der

Ebene bis zu Ende, sondern geht auch zur Geometrie des Raumes über und zeigt also, dafs Joachimsthals Plan

sich

im Laufe der J a h r e bedeutend

erweitert

hatte. Zweitens lag mir der bereits erwähnte erste Entwurf des Werkes vor, welcher mit §. 94 abschliefst, und aus welchem der T e x t vom Anfange des achten bis gegen Ende des zehnten Kapitels wörtlich nommen ist.

ent-

Die in den sieben ersten Kapiteln durch-

geführte neue Anordnung erforderte zwar einige Modifikationen des Textes: jedoch habe ich es vorgezogen, denselben

unverändert zu lassen und die Modifika-

tionen in Anmerkungen zu verweisen*).

Aus diesem

ersten Entwürfe habe ich überdies die drei auf den Seiten 13, 20 und 26 stehenden Anmerkungen genommen,

deren Inhalt

in der

zweiten

Bearbeitung

fehlte. Drittens fand sich ein Blatt, auf welchem J o a chimsthal den im letzten Kapitel einzuhaltenden Gang in kurzen Umrissen angedeutet hat.

Darauf hin habe

ich den Versuch gemacht, dieses Kapitel auszuführen und

damit das vorliegende Werk Joachimsthals zu

*) Diese A n m e r k u n g e n

sind

in

den

beiden

e r s t e n A u f l a g e n mit

d e m B u c h s t a b e n H. u n t e r z e i c h n e t , in d e r d r i t t e n A u f l a g e jedocli g r o ß e n teils in den T e x t g e z o g e n

worden.

ix

Vorrede.

demjenigen Abschluß zu bringen, welcher von ihm selbst beabsichtigt und bei der Veröffentlichung nicht füglich zu entbehren war.

Ich habe mich bei dieser

Arbeit bemüht, so viel als möglich im Sinne Joachimsthals zu verfahren, und namentlich im Sinne der eben erwähnten Andeutungen, welche mir die einzigen speziellen Anhaltspunkte gewährten, und welche ich deshalb hier wörtlich folgen lasse: „Pole von Geraden, die durch einen P u n k t gehen, „Tangentenmethode.

Die Polare bewegt sich an

„einem Kegelschnitt; Anwendung auf zwei Kreise. „—

Durchschnitt

schaftliche

zweier

Sehnen,

„Durchschnitt

Kegelschnitte,

reelle,

imaginärer

gemein-

imaginäre.

Reeller

konjugierter

Geraden.

„Bedeutung der Punkte, welche als gemeinschaftliche

Durchschnittspunkte

frachtung ^U+lpq

von

= 0,

anzusehen

f/+XK=0,

U+/ipr = 0. —

„V-\-,uq2 — 0. — pq-\-lrs = 0.

sind.

Involution.

BeU = 0,

7

U= 0, U+lp

Pascalscher Satz mit

„seinen Folgerungen: Brianchonscher Satz." B e r l i n , im M ä r z

= 0,

1863.

Oswald

Hermes.

Vorrede.

X

Zur dritten Auflage. Die gegenwärtige Auflage hat einige

Verände-

rungen erfahren, welche zur Vereinfachung der Darstellung wünschenswert schienen, besonders in dein Abschnitt

über

Kegelschnitte.

die

konjugierten

Durchmesser

der

Ferner ist eine Reihe von Übungsauf-

gaben nebst den zugehörigen Lösungen beigefügt worden, welche sich an die Entwickelurigen in den Elementen anschliefsen, und auf die an den betreffenden Stellen des Lehrbuches verwiesen worden ist. Steglitz, im Januar 1883. Dr. O s w . I'mfcssxr

am

Hermes.

K-'Unisi hcn zu Berlin.

Ci\ i m u t i n m

Inhalts - Verzeichnis. Erstes Kapitel. Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene. der analytischen

Prinzipien

Geometrie.

Seite

§. 1.

Bestimmung der L a g e von Punkten einer Geraden

.

. . .

.

§. 2.

V e r l e g u n g des Anfangspunktes

1

§. 3.

Folgerungen.

2

§. 4.

Bestimmung der Lage von l'unkten einer Ebene durch l'arallel-

§. 5.

Projektionen

3

§. 6.

Verlegung des Anfangspunktes der Koordinaten. Die Bedingung, dafs drei P u n k t e in einer geraden Linie liegen

4

§. 7.

A u s den rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes seine Entfer-

D e r Mittelpunkt einer geradlinigen Strecke . . .

koordinaten

1

2

n u n g r vom Anfangspunkte und den Winkel v zu bestimmen, den die Abscissenaxe mit r bildet. §. 8.

Polarkoordinaten

. . .

Entfernung

ab

und

die Neigung

Abscissenaxe zu bestimmen.

dieser Geraden

gegen

die

Von der positiven und negativen

D r e h u n g einer Geraden

7

§. 0.

A u s den rechtwinkligen Koordinaten der "Ecken eines den I n h a l t desselben zu bestimmen

§. 10.

Aus den rechtwinkligen Koordinaten den Inhalt desselben zu bestimmen

§. 11.

A u f l ö s u n g der A u f g a b e n Koordinaten

§. 12.

S

Aus den rechtwinkligen Koordinaten zweier P u n k t e a und b die

Graphische

Darstellung

in

Dreiecks 7

der Ecken eines Vielecks 8

den §§. 7 — 1 0

für schiefwinklige !)

der

reellen

Lösungen

einer

Gleichung

zwischen zwei Unbekannten

12

§. 13.

Darstellung der Kurven durch Gleichungen.

§. 14.

Durchschnittspunkte

§. 15.

llomogeneitiit der Gleichungen

14

Einteilung der Kurven nach den Gleichungen

16

zweier Kurven.

Beispiele . . . .

Schnittpunkte zweier gegebenen K u r v e n gehen ltj.

13

K u r v e n , welche durch die 14

Iahalts - Verzeichnis.

XII

Zweites Kapitel. Uie Linien erster

Ordnung. ScitP

§. 17.

Dur geometrische Ort aller P u n k t e , deren Koordinaten einer Gleichung ersten Grades genügen, ist eine gerade Linie. Verschiedene Formen der Gleichung einer Geraden. Wenn drücken zwei Gleichungen dieselbe Gerade aus?

1R

§. 18.

Die Gleichung der Geraden, welche durch zwei gegebene Punkte geht

20

§. 19.

Uie Koordinaten des Durchschnittspunktes zweier gegebenen Geraden. Bedingung, dafs zwei Geraden parallel sind. dafs

§. 20.

Die Gleichung der Geraden, welche durch einen gegebenen Punkt geht und einer gegebenen Geraden parallel ist . . .

drei Geraden sich in einem Punkte schneiden

Aufgaben unter Voraussetzung §. 21.

Uie

Gleichung

der Geraden,

rechtwinkliger

welche

durch

21

einen

gegebenen

Punkt geht und mit der Abscissennxe einen gegebenen Winkel bildet §. 22.

Den Winkel zweier Geraden zu bestimmen. zwei Geraden aut' einander senkrecht stehen

22

Koordinaten:

Bedingung,

22

dafs 24

23.

Die Gleichung des von einem gegebenen Punkte auf eine gegebene Gerade gefällten Lotes. Bestimmung des Fufspunktes und der Lange dieses Lotes

26

24.

Entwickelung einiger Formeln für schiefwinklige Koordinaten

27

Drittes Kapitel. D e r

K r e i s .

§. 25.

Die Gleichung des Kreises

28

§. 26.

Der Ort aller Punkte, deren Entfernungen von zwei festen Punkten in einem konstanten Verhältnis stehen. Definition harmonischer Punkte

30

§. 27.

Bestimmung eines Kreises, welcher dingungen genügt. Beispiel

o2

§. 28.

Die Gleichung

§. 29.

Kombination einer Geraden und eines Kreises. Punktes in Beziehung auf einen Kreis

§. 30.

System von zwei und drei Kreisen. Die Linien gleicher Potenzen. Die drei Linien gleicher Potenzen von je zweien dreier Kreise schneiden sich in einem Punkte

Kreises.

der Tangente

drei

vorgeschriebenen

Be-

an einem gegebenen Punkte des

Zwei verschiedene Ableitungen dieser Gleichung .

.

32

Die Potenz eines 35

37

Inlmltä-Verzeichniä.

XIII

Viertes KaplteL D i e §.31. §. 32.

E l l i p s e .

Sejte

§. 36. §.37. §.38. §. 39. §. 40.

Die Gleichung der Ellipse 40 Konstruktion der Ellipse durch Punkte. Benutzung der Kreise Uber der grofsen und kleinen Axe. Erzeugung der Ellipse durch Bewegung einer Geraden von konstanter Länge . . . 42 Durchmesser der Ellipse 43 Konjugierte Durchmesser. Verschiedene Eigenschaften derselben 44 Bestimmung der Axen aus zwei konjugierten Durchmessern. Die Gleichung der Ellipse, auf ein System konjugierter Durchmesser bezogen 49 Die Gleichung der Tangente an einem Punkte der Ellipse . . 50 Eigenschaften der Tangente öl Konstruktionen konjugierter Durchmesser und der Tangenten. ö3 Die Berührungssehne. Pol und Polare 54 Die Eigenschaften der Brennpunkte 5C

§.41. §. 42.

Konstruktionen von Tangente und Normale Flächeninhalt der Ellipse

33. §. 34. §. 35.

59 60

Fünftes Kapitel. D i e §. 43. §. 44. §. 45. §.46. §. 47. §. 48. §. 49.

H y p e r b e l .

Die Gleichung der Hyperbel Unendliche Wurzeln einer quadratischen Gleichung, direkte stimmung der Asymptoten; Tangenten Eigenschaften der Asymptoten Durchmesser der Hyperbel; konjugierte Hyperbeln Konjugierte Durchmesser; Konstruktionen Brennpunkte Leitlinien der Ellipse und Hyperbel. Der Ort aller Punkte, welche die Entfernungen von einem gegebenen Punkte einer gegebenen Geraden ein konstantes Verhältnis haben

61 Be63 6ö 68 70 72 für und .

73

Sechstes Kapitel. Die Parabel.

Scheitel- und Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und

§. 50. §. 61. §. 52. §. §. §. §.

53. 54. 55. 56.

Parabel.

Die Gleichung der Parabel. Konstruktion ihrer Punkte . . . Sekante, Tangente und Normale, Durchmesser der Parabel . . Umformung der Parabelgleichung. Konstruktion der Tangenten von einem Punkte außerhalb der Parabel Die Berübrungssehne. Pol und Polare Flächeninhalt von ParabelstUcken Scheitelgleichungen der Ellipse und Hyperbel Polargleichungen der Ellipse, Hyperbel und Parabel

7C 77 79 81 82 82 84

Inhalts-Verzeichnis.

XIV

Siebentes Kapitel. Transformation der

Koordinaten.

Seite 85

§. 57.

Bestimmung der Aufgabe der Koordinatentransformation . . .

§. 68.

Transformation der Koordinaten mit demselben A n f a n g s p u n k t e .

86

§. 59.

Allgemeine Transformation der Koordinaten

89

§. 60.

Anwendungen auf die Lehre vom Punkte und der geraden Linie. Das Lot von einem Punkte auf eine gerade Linie

90

Achtes Kapitel. Diskussion und Transformation der allgemeinen zweiter

Gleichung

Ordnung.

§.61.

I)ie Gleichung ax2-\-2bxy Null verschieden ist

-j- cy'!-\-2dx-]-2ey

§. 62.

Untersuchung des besonderen Falles, wenn der Koeffizient « verschwindet. Zusammenhang aller Fälle. Die Bedingung J = afc — ae s — ctP—fb'+ibed = 0

§. G3.

Reduktion auf den Mittelpunkt, schieden ist

§. G4.

Die Möglichkeit

§. G5.

Ausfuhrung dieser Transformation

§. G6.

Untersuchung der Fälle ac — 6* > 0 und < 0

110

§.67.

Die Annahme ac — b1 = 0

113

§. 68.

Anwendung der allgemeinen Theorie auf zwei Beispiele

+ / = 0, wenn a von 95

wenn ac—

der Transformation

von Null

fly

verlO.'t

in rechtwinklige

Haupt-

nxen als Koordinatenaxen

105 107

.

115

Neuntes Kapitel. Fundamentalsätze aus der Theorie der

Transversalen.

§.69.

Bedeutung des Verhältnisses (na:, -f- fly, y)

§. 70.

Anwendung auf die Formel für die Länge des Perpendikels

§.71.

Relation zwischen den Stücken, welche eine Transversale den Seiten eines Dreiecks bestimmt.

+

Umkehrung.

}') •

•

117 118

auf

Verallge-

meinerung

119

§. 7*2.

Gleichung einer Geraden, welche durch den Durchschnitt zweier

§. 73.

Transversalen, welche durch einen gegebenen Punkt Ecken eines Dreiecks geben

§. 74.

Eigenschaften der harmonischen Punkte

123

§. 75.

Wenn die Gleichungen dreier durch einen Punkt gehenden Geraden gegeben sind, die Gleichung des vierten harmonischen Strahles zu finden

125

§. 76.

Ein harmonisches Strnhlenbiischcl wird von jeder Transversalen

anderen geht

121 und

die 122

XV

Inhalts-Verzeichnis.

Seite

in

vier

harmonischen

Punkten

geschnitten;

spezieller

Fall,

wenn dieselbe einem der S t r a h l e n p a r a l l e l ist 77.

Lehrsatz.

126

K o n s t r u k t i o n des vierten h a r m o n i s c h e n S t r a h l e s

127

§. 78.

D a s vollständige V i e r s e i t .

K o n s t r u k t i o n des vierten h a r m o n i s c h e n

§. 79.

Lehrsatz

§. 80.

U m k e h r u n g desselben

§.81.

D a r s t e l l u n g d e r G l e i c h u n g einer j e d e n G e r a d e n u n t e r der F o r m

Punktes

129 Uber zwei

Dreiecke,

deren S e i t e n p a a r e sich in

drei

P u n k t e n e i n e r g e r a d e n L i n i e schneiden

ap \ ßq tj. 8 2 .

Dreieck,

yr =

130 131

0.

Sätze, w e l c h e h i e r a u s folgen

welches d u r c h

zwei T r a n s v e r s a l e n

. . . .

durchschnitten

Satz Uber die D i a g o n a l e n eines vollständigen Vierseits . §. 83.

Unendlich e n t f e r n t e r P u n k t e i n e r G e r a d e n ; Gerade;

Gleichung

derselben.

ist. .

.

134

unendlich entfernte

D i e Mitten der drei

Diago-

nalen eines v o l l s t ä n d i g e n Vierseits l i e g e n in einer G e r a d e n §. 84.

132

.

A n d e r e r B e w e i s dieses Satzes

136 137

Zehntes Kapitel. Allgemeine Eigenschaften der Kegelschnitte. Kombination eines Kegelschnittes und geradliniger Transversalen. §. 85.

Ideale S e k a n t e e i n e s K e g e l s c h n i t t e s .

Reelle u n d i m a g i n ä r e D u r c h -

s c h n i t t s p u n k t e einer G e r a d e n m i t einem K e g e l s c h n i t t §. 8 6 .

W i n k e l mit p a a r w e i s e parallelen

Schenkeln

.

139

von einem K e g e l -

schnitt d u r c h s c h n i t t e n

141

§. 87.

Resondere F ä l l e : D e r K e g e l s c h n i t t g e h t d u r c h den S c h e i t e l p u n k t

§. 88.

D i e D u r c h s c h n i t t s p u n k t e liegen teilweise in u n e n d l i c h e r E n t f e r n u n g

§. 89.

D a r s t e l l u n g der S c h n i t t p u n k t e einer T r a n s v e r s a l e n u n d eines Kegelschnitts u n t e r der F o r m u , — 2 l v d 2 u 2 = 0. System

des einen W i n k e l s

142 144

der beiden von einem P u n k t e a n den K e g e l s c h n i t t g e z o g e n e n Tangenten. §. 90.

Berührungssehne

144

System der beiden A s y m p t o t e n der H y p e r b e l . schnitte.

Konfokale Kegel-

D i e W i n k e l der T a n g e n t e n p a a r e an k o n f o k a l e K e g e l -

schnitte h a b e n dieselben H a l b i e r u n g s l i n i e n .

B e r e c h n u n g dieses

W i n k e l s bei einer Kllipse §.91.

146

Relation zwischen den A b s c h n i t t e n , welche ein d u r c h ein D r e i eck gelegter K e g e l s c h n i t t a u f den S e i t e n desselben

bestimmt.

Verallgemeinerung §. 92.

149

D i e l ' o l a r e eines P u n k t e s Besonderer zweier Sehnen.

Fall,

geruden

in

in B e z i e h u n g a u f einen K e g e l s c h n i t t .

welchem

Linien

ist.

der

Kegelschnitt

D e r Ort

ein

der Mitten

System

paralleler

D u r c h m e s s e r , M i t t e l p u n k t eines Kegelschnitts .

Iii

Inhalts - Verzeichnis.

XVI

Seite

§. 93.

Der Pol einer Geraden in Beziehung auf einen Kegelschnitt. Bedingung, dafs eine gerade Linie Tangente eines Kegelschnitts ist

156

§. 94.

Sätze über Polaren verschiedener Punkte einer geraden Linie .

157

§. 95.

Pole verschiedener Geraden, welche durch einen Punkt gehen .

158

§.96.

Theorie der reziproken Polaren. Anwendung auf die Kegelschnitte

1C1

§. 97.

Besonderer Fall zweier Kreise

163

Elftes Kapitel.

'

Kombination zweier und mehrerer Kegelschnitte. 98.

Bestimmung des Kegelschnitts durch fünf Punkte

1G5

§. 99.

Kegelschnitte durch vier Punkte, Ort der Mittelpunkte derselben, Verallgemeinerung dieses Ortes. Die Polaren eines Punktes in Beziehung auf alle durch dieselben vier Punkte gehenden Kegelschnitte durchschneiden sich in demselben Punkte. Allgemeine Er/.eugungsweise der Kegelschnitte

107

§. 100.

Durchschneidung zweier Kegelschnitte in vier reellen oder imaginären Punkten. Scheinbare Ausnahmefalle

172

§. 101.

Konjugierte imaginäre Schnittpunkte, innere und äufsere Punkte eines Kegelschnitts

174

§.102.

Das System U-\-uU' = 0. Involution. KegelschnittbUschel. Das einem Kegelschnitt eingeschriebene Viereck und das umschriebene Vierseit. Konstruktion eines Involutionssystems von Punkten einer Geraden

177

§. 103.

Gemeinschaftliche Sehnen, reelle, ideale, imaginäre; reeller Durchschnitt der letzteren. Konzentrische, ähnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte

185

§. 104.

Doppelter reeller oder imaginärer Kontakt zweier Kegelschnitte.

§. 105.

Konstruktion eines Kegelschnitts aus gegebenen Elementen .

j . 106.

Der P a s c a l s c h e Satz mit seinen Folgerungen

Sich selbst konjugierte Dreiecke

189 .

192 194

Anhang. A. B.

Aufgaben Lösungen

Druckfehler. Seite 45 Zeile 1 von oben lies konstruierten statt konstruiertem. Seite 189 Zeile IC von unten lies p, statt rp\.

199 206

Erstes Kapitel. Bestimmung der Lage von Punkten in einer Ebene. Prinzipien der analytischen Geometrie. §. 1. raden.

Bestimmung

der

Lage von

Punkten

einer

Ge-

Nimmt man in einer unbegrenzten Geraden (Fig. 1) einen

P u n k t O a n , so ist die Lage eines jeden a n d e r e n Punktes a Geraden

bestimmt,

wenn

man

erstens weifs,

in welchem

der ihrer

beiden d u r c h O gebildeten Teile er sich b e f i n d e t , u n d wenn m a n zweitens seine Entfernung von kennt.

Um beide Angaben zu ver-

einigen, unterscheidet man die beiden Hlilftcn d e r Geraden, die eine als die positive und die andere als die negative, u n d setzt dem W e r t e der E n t f e r n u n g des Punktes a von (> das Zeichen -+- oder

-

vor,

d e r Seite entsprechend, in weither er liegt; diese mit i h r e m Z e i chen

versehene Entfernung

des Punktes a von 0

A b s c i s s e von a in bezug auf den A n f a n g s p u n k t

heifst die

0.

Rechnen wir in Fig. 1 die positiven Abscissen von 0 aus nach rechts, und bedeuten die angegebenen Teile etwa Centimeter, so ist die Abscisse von a =

+ 2 cm, von ß = + 6 cm, von y = —5

cm,

die Abscisse des Anfangspunktes O gleich Null. §.2.

Verlegung des Anfangspunktes.

Rechnet man die

Abscissen nicht mehr von 0 , sondern von a , u n d zählt dabei die positiven Abscissen u n s e r e r Figur

nach derselben Richtung wie f r ü h e r , also in

nach rechts, so werden die Abscissen aller P u n k t e

ß, y, . . um ()a kleiner, wenn a, wie in Fig. 1, rechts von 0 Nennt man also die Abscissen von a, ß, y, . . in bezug auf 0

liegt. be-

züglich .r, .(•', .!•", . . so werden die Abscissen von ß, y, . . in bezug auf a resp. gleich: (I) J .. . I C h i III S t Ii a I

Kl

nie.

.r'.1

Aull

ct. ,r"

a. . . 1

2

§§. 3, 4, 6.

wofür man auch, weil Oa =

(2)

Lrstea Kapitel.

x, schreiben kann:

a ! — x ,

x " — x ,

Liegt aber der neue Anfangspunkt a, so werden

die Abscissen

von ß,

. .

wie in Fig. 2 , links von

y, . . in bezug auf a

um

0, Oa

gröfser als in bezug auf 0 , also bezüglich gleich: (3) Die Abscisse x von a

. v ' +

O a ,

O a ,

. .

in bezug auf O ist aber jetzt gleich — Oa,

also Oa — — x , setzt man diesen Wert in die Reihe von ( 3 ) ein, so erhält man dieselben Gröfsen wie in ( 2 ) ;

wir haben demnach

den Satz: S i n d x,

x\

x",

einer Geraden sind

die Abscissen

in b e z u g

die A b s c i s s e n

bezüglich von

..

0

gleich

und

von

d e r P u n k t e ß, x'—x,

§. 3.

die

gezählt

Folgerungen.

Punkte

derselben Seite von a

y, . .

in b e z u g

positiven

auf

Abscissen

.. so a

dafs nach

werden.

Hieraus folgt weiter,

dafs die Diffe-

liegen, entgegengesetztes im anderen Falle.

die Längen der Strecken ßa, (1)

ya

^

und x"

,r

ausdrückt, so hat man:

" —

x

-

;

ß a

x

-

y a

wo das obere (untere) Vorzeichen gilt, wenn a

aufserhalb (inner-

liegt.

Ist z. B. a d i e M i t t e v o n ßy, genommen werden, und weil ßa x ' — x ti X — x

woraus:

x ' — - x ,

0

.

(2)

§.4.

y, 0,

vorausgesetzt,

Da aufserdem d e r Z a h l e n w e r t der Differenzen x'—x

oder:

ß,

gleiches Zeichen haben, wenn ß und y auf

x"—x

halb) der Strecke ßy

a,

Anfangspunkt

..

x"—x,

aus

a

derselben Richtung renzen x'—x,

der

auf den

Bestimmung

—

x =

=

so mufs das untere Vorzeichen ya

ist, so hat m a n :

—

— x " - h x , x ' + x "

- —

der L a g e von P u n k t e n e i n e r E b e n e .

Um die gegenseitige Lage der Punkte einer Ebene zu bestimmen, zieht man durch einen festen Punkt O derselben zwei unbegrenzte Gerade l'Ol, m ' O m (Fig. 3 ) , welche die Ebene in vier unendliche Teile zerlegen; Abscissenaxe,

man nennt die eine der Geraden,

z. B. l'Ol,

die andere w ' 0 » i die O r d i n a t e n a x e ,

die

und unter-

scheidet in jeder eine positive und negalive Hälfte; in unserer Figur

Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie.

3

sollen Ol und (hn die positiven Halbaxen bedeuten. Zieht man nun von irgend einem Punkte a der Ebene parallel mit den Axen die Linien a a und aa', so wird die Lage von a durch die G r ö f s e und das V o r z e i c h e n der Axenabschnitte Oa und Oa' vollständig bestimmt. Die mit i h r e m V o r z e i c h e n v e r s e h e n e n Axenabschnitte Oa und Oa' heifsen, der erste Oa die A b s c i s s e , der zweite Oa' die O r d i n a t e des Punktes a, beide zusammen die K o o r d i n a t e n von a. Der Punkt 0 , dessen Koordinaten = 0 sind, heifst der A n f a n g s p u n k t der Koordinaten. Da die Abscissen verschiedener Punkte häufig durch Xy SC y (C y • die zugehörigen Ordinaten durch y, y y " , . . bezeichnet werden, so sagt man statt „ A b s c i s s e u n d O r d i n a t e " auch „ d a s x u n d y e i n e s P u n k t e s " , und spricht demgemäß auch von einer x- u n d y-Axe. Ebenso wird ein Punkt, dessen Abscisse gleich x und dessen Ordinate gleich y ist, kurz „ d e r P u n k t ( x , y)u genannt. In den vier durch Zahlen bezeichneten Teilen von Fig. 3 sind filr einen Punkt a in 1 x und y positiv, für einen Punkt b in 2 y positiv, x negativ, für einen Punkt c in 3 sind x und y negativ, für einen Punkt d in 4 ist x positiv, y negativ. Es mag erinnert werden, dafs zur Bestimmung der Koordinaten eines Punktes, z. B. von c, nur eine der Parallelen cy und cy' gezogen zu werden braucht, weil Oy = cy', Oy' = cy ist; man kann deshalb auch die mit den richtigen Zeichen versehenen Werte von cy' und cy als Abscisse und Ordinate ansehen. Man sieht hiernach, dafs alle Punkte einer Geraden, die der Abscissenaxe parallel ist, dieselbe Ordinate haben; für die Punkte der Abscissenaxe selbst ist die Ordinate = 0. Ebenso haben die Punkte einer Parallelen zur Ordinatenaxe gleiche Abscisse, für die Punkte der Ordinatenaxe selbst ist die Abscissc = 0. So haben namentlich die Fufspunkte der Parallelen a, ß, y, S die Ordinate = 0, und dieselben Abscissen wie resp. o, fr, c, d; dagegen die Fufspunkte a', ß', y', ö' die Abscisse = 0, und dieselben Ordinaten wie resp. a, b, c, d. Ist der Winkel zwischen den Axen ein rechter, so nennt man die Koordinaten r e c h t w i n k l i g e , sonst s c h i e f w i n k l i g e , beide mit gemeinschaftlichem Namen P a r a l l e l - K o o r d i n a t e n . §. 5. P r o j e k t i o n e n . Zieht man von einer Anzahl von Punkten u, b, c, der oberen), mit dem — Zeichen auf der a n d e r e n . Es lassen sich noch unzählig viele andere Methoden

angeben,

um die Lage von P u n k t e n in einer Ebene 7.11 bestimmen; eine derselben wird weiter unten 6.

Verlegung

7, Zus.) angeführt werden. des

Die Resultate aus §. 2 und

Anfangspunktes;

Folgerungen.

3 lassen sich ohne Mühe auf P u n k t e

übertragen, die in einer Ebene beliebig liegen. Es seien .r, y die Koordinaten eines Punktes nicht, und die Abscisse von b ( o d e r von ß) wird = . r ' — . ? • (§. 2 ) ; verschiebt man nun auch die Abscissenaxe sich selbst parallel, bis sie durch « geht, so e r hält man in ähnlicher Weise die neue Ordinate Zieht man

ferner von

deren Koordinaten . — s i n « (>n —

Die Gröfsen a

;

180°-+-«" 0 « " , x

--• - ,

r

.'/

r

;

r ---. 3 6 0 4 -

a"' < >a

= a

o

(>a Zusatz.

=

r

.

Quadranten:

y =

also:

(Ja

ff/i ff Oa =

cosy — — c o s « sin ü =

C -= 180"-- a'Oix',

gegen

r

und v ,

a'"Oa"',

.r

r y •=•'..

r

welche ebenfalls

das Axensystem

bestimmen,

die

heifsen

Lage die

Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Kbene. Prinzip, d. anal. Geometrie.

Polarkoordinaten

von

und r d e r R a d i u s V e k t o r ;

7

r ist

i m m e r p o s i t i v , den Winkel c kann man, wenn er in umgekehrter Richtung,

als eben festgesetzt ist, gezählt wird, auch negativ a n -

n e h m e n ; so ist z. B. das r des Punktes « ' " =

3 0 0 ° oder

=—60";

weil ferner der Radius Vektor nach jeder Umdrehung von 3 6 0 ° in seine ursprüngliche Lage zurückkehrt, so kann man dem Winkel v beliebige Vielfache von 3 0 0 " hinzufügen. geben

die

rechtwinkligen

durch seine Polarkoordinaten, umgekehrte §. S. zweier

—

Die F o r m e l n

Koordinaten

eines

die F o r m e l n

('2) l ö s e n

Aufgabe.

Aus den r e c h t w i n k l i g e n b die E n t f e r n u n g

a,

Koordinaten

und

ab

d i e s e r G e r a d e n g e g e n die A b s c i s s e n a x e zu

die

Man denke sich (Fig. 7 ) durch

a

Neigung

bestimmen.

Die Koordinaten der Punkte n und b seien y'.

die

Aufgabe.

Punkte

und

(1)

Punktes

bezüglich x,

ein neues

winkliges Koordinatensystem, dessen positive Halbaxen aX,

y

recht-

aY

mit

denen des alten Systems O.u und Oy parallel und gleich gerichtet sind.

Setzt man die Koordinaten von b in bezug auf dieses neue

System =

X

zwischen

aX

und

Y,

die Entfernung ab — R,

und den Winkel

und ul>, der ebenso gezählt wird,

wie in §. 7 der

Winkel c, gleich ic, so hat man nach §. 7 : R nach

..(-j/X-'-H

cos"' -

X ß

,

sinw —

Y

^ ;

G sind:

X - x

Y = y'

-y,

also: (1)

R =

-+-]/(./.•'-

Erklärung.

(//'—//)-.

cos w =

, sin w =

— ß —•

Wenn eine Gerade ab um einen ihrer Endpunkte

a sich in derselben Richtung dreht, in welcher die positive ¿,-Axe um den Anfangspunkt O sich drehen mufs, Quadranten

überstreichend

nach

damit sie den ersten

der positiven //-Axe gelangt,

so

soll die Drehung von um « die p o s i t i v e heil'sen, im entgegengesetzten Falle die n e g a t i v e . der

9.

Aufgabe.

Ecken

eines

Aus d e n r e c h t w i n k l i g e n Dreiecks

den

Inhalt

Koordinaten

desselben

zu

be-

stimmen. 1. F a l l . punkt

Die e i n e E c k e d e s D r e i e c k s s e i d e r

Anfangs-

(> (Fig. S ) ; die rechtwinkligen Koordinaten von b — x',

y',

8

§§.9, 10. 11.

Erstes Kapitel.

von c = x", y"; die Polarkoordinaten beider Punkte bezüglich v' und /•", o", so dal's nach §. 7 : t

•

(1;

l

I 'C cos« = - - i

• I sin« =

'/

,

coso

II

=

'

C

ir

-_„•,

/, it

.

snu'

II

'/

=•'„-•

Mul's im positiven Sinne sich um 0 drehen, wenn es die Fläche des Dreiecks Übe beschreibt (wie in Fig. 8 , während in Fig. ( 8 * ) das Gegenteil stattfindet), so ist der Dreieckswinkel cOb= c"—v'; w ä r e etwa v" kleiner als »', was möglich ist, wenn b im 4ten und c im lsten Quadranten liegt, so kann man zu o" noch 3 6 0 ° addieren. Der I n h a l t J d e s D r e i e c k s ist also: J = ^Ob. Ocsia(v"—e') = / ' ( c o s v ' s i n v " — cosv"sinv'). oder durch Substitution der Werte ( 1 ) : (2)

J

=

1 W ' - / / ) .

Mufs aber Ob im negativen Sinne sich drehen, um das Dreieck zu überstreichen (wie in Fig. (8*)), so hat man A = ^ r V ' s i n ( u ' ~ - e " ) . also ist in ( 2 ) x', >/ mit x", y" zu vertauschen und man erhält: (3)

J =

K

=

- i W — ' Y >

11. F a l l . Die Formeln ( 2 ) und ( 3 ) führen auch zur Berechnung des allgemeinen Falles, w e n n d i e e r s t e D r c i e c k s e c k e a (Fig. 9 ) e i n b e l i e b i g e r P u n k t (x, y) i s t , und nicht der Anfangspunkt. Die Punkte b und c würden, wenn man a zum Anfangspunkte eines parallel und gleich gerichteten Systemcs wählte, die Koordinaten x'—x, y'—y und x"—^r, y"—y haben (vgl. ) Man erhält also den Inhalt von abc, indem man diese Werte statt x', y' u. s. w. in ( 2 ) und ( 3 ) substituiert; o d e r : d e r I n h a l t J d e s D r e i e c k s abc i s t : (4)

J =

± i \ ( x ' -

w o d a s o b e r e o d e r u n t e r e Z e i c h e n g i l t , j e n a c h d e i n ab im p o s i t i v e n o d e r n e g a t i v e n S i n n e u m a s i c h d r e h e n m u f s , u m d a s D r e i e c k abc zu b e s c h r e i b e n . Zusatz. Die Formel ( 4 ) gestattet m e h r e r e Umformungen durch Auflösung der Klammergröfsen; man b e k o m m t : (5)

J =

±

±{xy'-x'y+x der Winkel zwischen den positiven Halbaxen; dann ist, weil a im positiven Quadranten liegt: Oa = r,

aa = y,

()a = x,

Winkel a(>a — c,

/•

sin(qr>--/•)-( siiireosqp sitirp = COSü,

oder: (2)

ccos« = j ' + i / c o s y

und:

/-sin« = ¿/sin ,

Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie. 11 also w i r d : U

= (x'-\-y' cos q p ) y sin qp — (x"-\-y"

oder:

J =

cos , Xc, .. sein, wo X eine von dem Verhältnis der Einheiten abhängige Zahl ist. So lange die Gleichungen zwischen den Zahlenwertcn der Linien von der Wahl der Längeneinheit unabhängig sind, müssen sie also richtig bleiben, wenn überall Xn, Xb, Xc, . . fiir , r, . . gesetzt wird, unter X eine beliebige Gröfse verstanden. Sind z. B. H

h//) =

ü,

welche Gleichung für ein beliebiges i nur richtig sein kann, wenn D-1 \-H — 0 ist, d. h. die Gleichung (2) zerlallt in die beiden:

A - h B - t - < ' = 0 ,

Y-II =

0;

da aber nach der Voraussetzung zwischen den Monomen A , B , . . . H nur die eine Gleichung (1) stattfindet, so ist die Annahme, dafs zwei Gruppen von Gliedern in (1) vorkommen, von denen einige von der wten, die andern von der w'ten Dimension sind, unstatthaft. Ebenso beweist man, dal's in (1) auch nicht drei oder mehr Gruppen von Gliedern vorkommen können, die von verschiedener Dimension sind; die Gleichung ( ] ) milfs also homogen sein. Die eben auseinandergesetzte Bedingung der Iloniogentiität giebt ein Mittel zur Kontrolle der Kechnung; wenn aber die Zahlenwerte der Linien sich nicht mehr auf eine beliebige, sondern auf eine ganz bestimmte Einheit beziehen, so kann man auf Gleichungen kommen, welche nicht mehr homogen sind. Sind z. B. .T und y die Koordinaten eines Punktes der Kurve in Fig. 13, durch Oh als Längeneinheit gemessen, so findet zwischen ihnen die nicht homogene Gleichung statt (§. 12, h) 2i/n . ( ' - - 5 = 0, deren drei Glieder 2 y 3 , .r*, 5 bezüglich von der 3ten, 4ten und Oten Dimension sind; man kann die Homogeneität jedoch wieder herstellen. Nennt man die Länge von Oh und die der Koordinaten auf eine beliebige Einheit bezogen resp. a , X und Y , so sind die vorher mit x und y bezeichneten Grüfsen jetzt

^ .

^ ; die Gleichung

der Kurve verwandelt sich also in: a'

— - — — 5 = 0, a*

oder:

2« Y3

X'-.W =

0.

und man erhält in beiden Formen homogene Gleichungen. §. 16. E i n t e i l u n g d e r K u r v e n . Man teilt die Kurven in a l g e b r a i s c h e und t r n n s s c c n d c n l c ; eine algebraische Kurve ist eine solche, in deren Gleichung die Koordinaten ,c und y nur den Operationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Erhebung zu Potenzen mit rationalen Zahlenexponenten unter-

Bestimmung d. Lage v. Punkten in ein. Ebene. Prinzip, d. anal. Geometrie. ] 7

worfen sind; jede andere Kurve heifst eine transscendente.

Von

den beiden durch:

dargestellten Kurven ist die erste eine algebraische, die zweite eine transscendente. Die algebraischen Kurven teilt man in O r d n u n g e n ; bat man in der Gleichung einer algebraischen Kurve alle Nenner und Wurzelgröfsen fortgeschafft, welche x und y enthalten, so sagt man, die Gleichung und die durch sie dargestellte Kurve oder Linie sei von der raten O r d n u n g oder vom raten G r a d e , wenn das in bezug auf x und y höchste Glied von der raten Dimension ist So ist die Kurve xy1—ax-\-by = 0, wegen des Gliedes xy1, von der dritten Ordnung; die durch die Gleichungen x*-\-y3—«s = 0, xy—6 = 0 dargestellten Kurven sind von der zweiten Ordnung. Die Linien e r s t e r O r d n u n g sind sämtlich durch die Gleichung: ax-\-by-{-c — 0 dargestellt, wo a, b, c konstante, d. h. von x und y unabhängige Gröfsen sind. Die L i n i e n z w e i t e r O r d n u n g können in ihrer Gleichung aufserdem noch in x1, xy und y3 multiplizierte Glieder enthalten, so dafs ihre allgemeinste Gleichung ist: dx'i-\-exy-{-fy3-\-ax-\-by-\-c

= 0.

Die allgemeinste Gleichung der L i n i e n d r i t t e n G r a d e s ist: yxi->rhx>y -\-ia;y'i-Jr ky 3-(- dx"i-\-exy-\-fy''-\-ax-\-by-\-c

= 0.

In den folgenden Abschnitten werden wir uns mit den Linien der beiden ersten Grade beschäftigen. A n m e r k u n g . Eine Kurve wird zuweilen durch eine Gleichung zwischen Polarkoordinaten (§ 7, Zus.) definiert, d. h. durch eine Gleichung zwischen dem veränderlichen Radius Oa oder r (Fig. 16) und dem Winkel v, den r mit einer festen Geraden Ol bildet, durch welche Gleichung die Länge von r für jeden Wert des Winkels v sich berechnen läfst. (Vergl. §. 56.)

•loachi msthftl KktufMitf. :t. Aufl.

2

§. 17.

18

Zweite» Kapitel.

Zweites Kapitel. Die §.17. deren

Linien

Lehrsatz.

einer

n ü g e n , ist eine g e r a d e Jede

Ordnung.

Der g e o m e t r i s c h e Ort a l l e r

Koordinaten

Beweis.

erster

Gleichung

ersten

Punkte,

Grades

ge-

Linie.

Gleichung

ersten

Grades

(erster

Ordnung)

zwischen x und y läfst sich auf die Form bringen: (1)

ax-\-by+c

0,

=

wo a, b, c konstante Gröfsen sind, die positiv, negativ oder auch zum Teil gleich Null sein können. I.

Es sei a =

y —

Wir betrachten folgende Fälle:

0 ; also ( 1 ) von der Form by+c

— 0, woraus

— • Da b und c Konstanten sind, 4S0 enthält der geometri-

sche Ort alle Punkte mit gleicher Ordinate, d. h. er ist eine Parallele zur x-Axe; y =

ist überdies c = < ) ,

0, oder

0 , so stellt er die #-Axe selbst vor (§. -1). II.

Ebenso

ergiebt sich

Parallele zur y-Axe, III. drei

hat man also by =

für b =

so wie x =

0,

dafs < w + e =

0 die y-Axe

0

eine

selbst darstellt.

Es seien a und b von Null verschieden; man denke sich

verschiedene Lösungen

von ( 1 ) berechnet,

wie es z. B. in

§.12

für die Gleichung ( a ) geschehen ist; es seien dieselben x , y ;

x', y'

und x",

y".

Diese Lösungen müssen der Gleichung ( 1 ) ge-

nügen, also mufs sein: ax-\-by+c = 0, ax'+by'+c

=

0,

=

ax"-\-by"-\-c

0.

Zieht man die erste Gleichung von der zweiten und dritten ab, so erhält m a n : =

a^x'-x^bQ/'-y)

0,

/•'—cb'

=

(lb>_ba


d e r T a n g e n t e ( 7 ) läl'st sich y— q—(y'—q)

statt y —y'

noch und

transformieren; ./•—/>—(./—p)

— . r ' und schafft den Nenner fort, so kommt:

(y-?)Cy'-?)-Cy,-?),-+-(^-¡W--/O-(•

0, = 0 ,

Drittes Kapitel.

oder < 0

reelle und verschiedene,

ist.

Also haben ( 1 ) und ( 2 ) zwei

zwei reelle aber zusammenfallende,

gar keine reellen Durchschnittspunkte, (5)

{/.(..'-^-H/^'-^i'-cx-'+zof^-^^Cy'-?)

ist.

Nach §. 2 2 ,

Form. 6 kann

oder

jenachdem:

man ( 5 )

-'-')

2

g «

transformieren und hat

dafür:

(6) oder,

= 0.

weil man j e d e Ungleichheit mit einer positiven G r ö ß e wie dividieren

m

darf:

W-'q-m' =

auf e i n a n d e r senkrecht stehen.

0,

Berühren sich die beiden Kreise,

o d e r fallen die Schnittpunkte in einen zusammen, so genügen die Koordinaten desselben immer noch der Gleichung (3), und weil ( 3 ) auf der Centrale ( 4 ) senkrecht steht, so ist (3) die Gleichung der gemeinschaftlichen Tangente.

Es fragt sich n u n , welches die Be-

d e u t u n g von ( 3 ) ist, wenn die Kreise ( 1 ) und (2) sich nicht schneiden, d e n n offenbar ist ( 3 ) unter allen Umständen eine k o n s t r u i e r b a r e gerade Linie.

Nach §. 2 9 ist die Potenz irgend eines P u n k t e s ( r , y)

in bezug auf den Kreis ( 1 ) gleich (.«—}>)'+(.'/ — */)*—/,a> lich f ü r den Kreis ( 2 ) .

un(

J ähn-

Soll n u n ein P u n k t (./•, y ) in bezug auf

beide Kreise g l e i c h e P o t e n z haben, so mufs sein:

(x-py+Ü-qy-r'-^-vy+iy-qJ-n

= ü,

d. h. da diese Gleichung mit ( 3 ) übereinstimmt, der P u n k t (w,

y)

m u f s auf der Geraden ( 3 ) liegen und umgekehrt, jeder P u n k t dieser Geraden hat die verlangte Eigenschaft. 1.

Der Ort

aller Punkte,

Kreise gleiche Potenzen haben, der Centrale senkrecht steht; Kreise,

so

ist die Linie

Also:

welche

in b e z u g a u f

ist eine G e r a d e ,

die

s c h n e i d e n sich die

gleicher Potenzen

s i e sich, so ist sie die g e m e i n s c h a f t l i c h e

auf

beiden

(zuweilen

d i k a l a x e genannt) die g e m e i n s c h a f t l i c h e S e h n e ,

zwei

Ra-

berühren

Tangente.

S u c h t man die Koordinaten der Durchschnittspunkte von ( 1 ) und

( 2 ) , so werden dieselben f ü r den Fall, dal's die Kreise sich

nicht schneiden, i m a g i n ä r ; genügen aher natürlich noch der Gleic h u n g (3), weil sie ( 1 ) und ( 2 ) befriedigen; man sagt deshalb auch,

Der Kreis. die

Kreise schneiden

Punkten,

fllr

w e l c h e freilich eine geometrische Darstellung nicht möglich ist.

Die

Gerade

(3)

sich

heilst daher

in in

zwei

39

diesem

i d e a l e S e k a n t e beider Kreise.

imaginären

F a l l e eine i m a g i n ä r e

oder

Da die P o t e n z eines äufseren P u n k t e s

in bezug auf einen Kreis das Quadrat d e r von dem P u n k t e an

den

Kreis gelegten Tangente ist, so folgt d a r a u s , dafs d i e T a n g e n t e n , welche

von

einem

Punkte

der

an z w e i K r e i s e g e l e g t s i n d ,

Linie

gleich

E s sei die Gleichung eines dritten (5)

gleicher

sein

Potenzen

müssen.

Kreises:

( x - j > < y + Q , - 4 y - r » > =

0;

bezeichnen wir die linken Seiten der Gleichungen ( 1 ) , ( 2 ) , ( 5 ) U,

(6)

U',

U—U' = 0,

die Linien

mit

so s i n d :

U",

(7)

gleicher

U—U" = 0,

Potenzen

dem ersten und dritten,

zwischen

(8)

dem

ersten

0

U'—ü"= und

zweiten,

und dem zweiten und dritten K r e i s e ;

da

j e d e dieser Gleichungen ( z . B . 8 ) als eine F o l g e der beiden a n d e r e n ( v o n 6 und 7 ) angesehen werden kann, s o wird die g e m e i n s c h a f t l i c h e Lösung j e zweier auch die dritte befriedigen,

d. h. die drei

Geraden ( 6 ) , ( 7 ) , ( 8 ) gehen durch einen P u n k t ( § . 1 4 ) , II.

Die d r e i L i n i e n

gleicher

dreier Kreise schneiden

Potenzen

oder:

von j e

zweien

s i c h in e i n e m P u n k t e (§. 1 0 6 ,

II).

W i r übergehen die Diskussion einzelner F ä l l e , in w e l c h e n

die

S ä t z e dieses Paragraphen Ausnahmen e r l e i d e n ; so haben z. B . zwei koncentrische

Kreise keine Linie

gleicher

Potenzen,

drei

deren Mittelpunkte in einer Geraden liegen, keinen P u n k t

Kreise, gleicher

Potenzen. Sind

U und

U' zwei sich nicht s c h n e i d e n d e Kreise, so

kann

i h r e Linie gleicher Potenzen durch Satz II. leicht gefunden

werden.

Beschreibt

in

man einen Kreis

der sowohl

U",

U als

U'

Punkten schneidet, und treffen sich die gemeinschaftlichen von U und U",

U' und U"

Potenzen von U und U'

in a , so g e h t auch die Linie

durch a;

Berührt der Kreis schneidet

U"

den Kreis

U und

U'

U'

durch einen Punkt u.

o d e r von

U in einem P u n k t e a ,

in a und b,

g e h e n die Tangente von U im P u n k t e a cd

finden,

ein L o t fällen.

den Kreis

U'

gleicher

m a n k a n n nun e n t w e d e r einen

zweiten Punkt dieser Geraden a u f dieselbe W e i s e a a u f die Centrale von

zwei

Sehnen

und

U in c und d,

und so

und die Geraden ab

und

Dieser P u n k t bleibt derselbe, w e n n

statt

§.31.

40 des Kreises U" wird,

weil u

Viertes Kapitel.

ein a n d e r e r durch u und b gehender

schon

als Durchschnitt

beschrieben

der T a n g e n t e in a und

der

Geraden ab b e s t i m m t ist. Soll u m g e k e h r t ein Kreis beschrieben werden, der durch

zwei

g e g e b e n e P u n k t e a und b geht, und einen gegebenen Kreis U berührt, so lege man durch a und b irgend einen Kreis U", in c und d s c h n e i d e t , treffen.

und verlängere ab,

cd,

der

U

bis sie sich in

u

L e g t man alsdann von u eine T a n g e n t e ua

an den

gege-

b e n e n Kreis U, und ist a der B e r ü h r u n g s p u n k t , so wird der durch a, U'

b und a g e h e n d e Kreis U'

der verlangte sein.

Solcher

Kreise

giebt es demnach zwei. (Aufg. 1 9 — 2 4 . )

Yiertes Kapitel. D i e §. 31."

Der

Ort aller

Summe

der Entfernungen

und F'

konstant

heifsen

E l l i p s e .

ist,

Punkte von

s t r a b len

(Fig. 2 1 ) ,

gegebenen

heifst eine E l l i p s e ,

die B r e n n p u n k t e ,

zwei Gerade, wie FG,

G

zwei

F'G,

ihre

für

welche

festen Punkten

die P u n k t e F

Entfernung

die

und

die F F'

Excentrizität;

heifsen R a d i e n - V e k t o r e n oder L e i t -

(Fokalstrahlen).

Aufgabe.

Die Gleichung

der Ellipse

ist « > < ? ,

FF = 2e, die k o n s t a n t e weil FG-\-F'G> FF'.

als .r-Axe,

0

E s sei

die Mitte von FF'

winkligen K o o r d i n a t e n ; naten von G seien x

von F

GF' = der

sei - \ - c ,

rechtKoordi-

Y£+ey+S;

Ellipse:

(i) Y^-^y^y^r+y2 Um neue Eigenschaften

die

dann hat m a n :

GF=V(x-ey+f, also ist die G l e i c h u n g

Die

als den Anfangspunkt der

die Abscisse und y;

aufzustellen.

FG-\-F'G — 1a, so Gerade FF' nehmen wir

Summe

= 2«.

der Ellipse zu finden, machen wir

rational und setzen x ^ - ^ - y ^ + e 1 =

m ' , so wird

(1):

(2) Ym'— 'Ixe +]/>« 2-f- 'Ixe = 2 a;

(1)

41

Die Ellipse.

und wenn man

quadriert: (3)

•hn!+lVmi~—'ix1? =

4 a2,

woraus: (4)

ml—U-e\

(«i-—2«-')-' =

Durch Auflösung der Klammern erhält m a n :

a4—a'm2 =—xV, also:

a*—«V—a'y1—oV

oder:

(5) a\a-- S) =

=

—cV,

(a2—e2)x2-hay.

Setzt m a n :

(0) a*—e' = b2, und

dividiert

(5)

durch

a2b'\

so

kommt

als G l e i c h u n g

der

Ellipse:

m Eine andere Ableitung von ( 5 ) ergiebt sich aus §. 4 0 , Form. 1 — 4 . Z u s a t z 1. man

Man darf Gleichung ( 7 ) statt ( 1 ) gebrauchen, weil

von ( 7 ) auf ( 1 ) zurückschliefsen

a ;> e ist.

kann,

vorausgesetzt,

dafs

Man folgert aus ( 7 ) ohne Schwierigkeit ( 4 ) ; aus Glei-

chung ( 4 ) durch Wurzelausziehen und Multiplikation mit 2 : 2«r'±2/»?—4¿-V = d. h.

für

jeden

(F'G-t-FG)3 =

4a-, oder:

Punkt

der

4 a - , oder

Kurve

= (7)

(F'G —FG)* =

oder

(5)

ist

4a';

entweder

4a\- die zweite Annahme

FG—FG FG—F'G (jenachdem F'G > FG) kleiner als FF', also (F'G—FG)'1 < 4e2, und wenn # < < « , kann (F'G—FG)2 nicht = 4 a J s e i n , es bleibt daher nur F'G-hFG = 1a oder Gleiist a b e r unzulässig; denn nach einem elementaren Satz ist oder

chung

(1).

Zusatz 2.

Da ( 7 ) nur die Quadrate

hält, so werden, wenn ein Punkt (x, die Punkte ( — x , y),

GG,G3G3

ent-

auf der Kurve liegt, auch

( x , — y ) , ( — x , — y ) sich auf ihr befinden;

diese bilden mit (.«, y) wie

y)

der Koordinaten

ein zu den Axen symmetrisches

(Fig. 2 1 ) .

Die Ellipse besteht

demnach

Rechteck, aus

kongruenten Quadranten; jede durch O gehende Sehne GG.,

vier wird

in O halbiert und heifst daher ein D u r c h m e s s e r , so wie O der M i t t e l p u n k t der Ellipse. Durchmesser

Zwei zu den Axen symmetrisch

sind einander gleich;

z. B.

GG.,, GtGy

gelegene Für

die

§ § . 3 1 , 32, 33.

42

Viertes Kapitel.

Durchschnitte der x - A x e mit der Ellipse ist y = und x = Distanz

+ a ;

0,

und B',

— - =

dies sind die Abscissen zweier P u n k t e A, A', also gleich der konstanten S u m m e

= 2 a ,

x =

Q, y = ± b ,

AA'

heifst

die

1,

deren ist;

FG-\-F'G

e b e n s o findet m a n fllr die Durchschnitte der y-Axe B

x

also

mit der Kurve,

groise,

k l e i n e A x e der K u r v e ; ihre E n d p u n k t e die S c h e i t e l . .r'

BB'

die

Da wegen u1

Gleichung ( 7 ) die S u m m e der positiven B r ü c h e

der

Ein-

heit gleich sein muls, so kann j e d e r von ihnen dieselbe n i c h t

über-

s c h r e i t e n ; a l s o ist d e r n u m e r i s c h e W e r t von x k l e i n e r oder gleich a,

und

von y

k l e i n e r oder

gleich

b,

und die Ellipse liegt ganz

i n n e r h a l b e i n e s R e c h t e c k s , für welches A Mitten der Gegenseiten §. 3 2 .

und A1,

B

und B'

die

sind.

Konstruktion

der

Ellipse

durch

Punkte.

Aus

der Gleichung der Ellipse folgt J

., bl ., ... » / * = --•«-(«"—•»*)

In Fig. 2 1 ist I. dinate wie

b7

, oder

J

A J — a

—

x,

der

zu

dem R e c h t e c k

zu

der

a

Kreis

a'

., •

das Quadrat

Segmente

der

der

Or-

grofsen

Axe

Wird

über

den

i/ a —

kleine

Axe zur

b7 a

Y1,

2

grofsen

so

und

'

und

t

b

Y

u

iy =

daher

bezeichnet

g e h ö r e n d e Kreisordinate .JD J

der

beschrieben, zu

beschreibt man

als Durchmesser einen K r e i s ,

'

naten .

sich

wird die Ellipse ein K r e i s ;

(Fig. 2 1 )

Y* — - d'—xworaus

IL

b1

- • =

also haben wir den S a t z :

a - { - x ;

verhält

die zu d e r s e l b e n A b s c i s s e OJ so ist

=

' . —

a3.

Für b = ü b e r AA!

Ellipse

A ' J

In

-

{ a - + - x ) ( a — x )

mit

- , d. h . :

Axe als Durchmesser

verhalten

entsprechenden

sich

die

Y,

ein

Ellipsenordi-

Kreisordinaten

wie

die

grofsen.

Ähnliche S ä t z e wie 1. und 11.

finden

in bezug auf die kleine

Axe statt. Beschreibt Durchmesser

man

demnach

zwei K r e i s e ,

über

AM

und

BB'

zieht vom Mittelpunkte

w e l c h e den ersten K r e i s in D,

den zweiten in D'

von D

und von D'

eine P a r a l l e l e zu BB'

so ist ihr Durchschnitt Axen b e s c h r i e b e n e n

G

DJ

eine

ferner

eine P a r a l l e l e zu =

und BB'

D' 0 : DO =

als

Gerade,

schneidet,

ein P u n k t der ü b e r AA'

Ellipse; denn GJ:

(Fig. 2 2 ) 0

AA', als

b : u.

D i e Ellipse.

43

Zieht man von G zum Radius DO

eine Parallele, welche AA'

in K, BB' in L trifft, so ist GK=D'0

= b, GL = DO = a.

Trägt man auf ^ L l ' die Länge JK' = JK ab, und zieht die Gerade K'G, welche BB' in L' trifft, so sind die Dreiecke GKK', GLL' gleichschenklig, also wiederum GK' = b, GL' = a. Stellt man sich diese Konstruktionen für alle Punkte der Ellipse wiederholt vor, so erhält man den Satz: III. B e w e g t sich e i n e G e r a d e v o n k o n s t a n t e r L ä n g e (A'L o d e r K'L') s o , d a f s i h r e E n d p u n k t e s t e t s a u f z w e i r e c h t w i n k l i g e n Axen b l e i b e n , s o b e s c h r e i b t e i n P u n k t G dieser Geraden eine Ellipse, d e r e n Axen den E n t f e r n u n g e n d e s P u n k t e s G von d e n E n d p u n k t e n d e r k o n s t a n t e n L ä n g e g l e i c h s i n d (GK und GL oder GK' und GL'). Der Punkt G kann ebensowohl auf der konstanten Länge selbst (wie auf K'L'), als auch auf deren Verlängerung liegen (wie auf KL). (Ellipsenzirkel.) §. 33. Durchmesser der Ellipse. Ist 2d der durch G gehende Durchmesser, also (Fig. 2 2 ) OG = d, und die positive Drehung von OA nach OG = q>, also die Koordinaten von G gleich (¿cosqp, dsinqr», so ist wegen der Gleichung der Ellipse:

il'cosqi1 7,

1

cPsinqp3 ,ö

1,

woraus: -,..- = d'

cosqp3 a-

sinqpa b'

oder:

a'b1 ,, , —- .r• ¿> cosqp - | - a sinqp"

,.. d =

Der Nenner, welcher = ¿ » 2 - f - ( a ' — i 2 ) 8 ' " ? 1 2 = ist am kleinsten für qp = ü und = 180°, am gröfsten für g> = 90° und = 2 7 0 ° ; also ist umgekehrt die grofse Axe der gröfste, die kleine Axe der kleinste Durchmesser der Ellipse. Steht der Durchmesser 2d' auf 2c/ senkrccht, so hat g> für ihn einen um 90° gröfseren Wert, und weil cos(90"-|-qp) = — s i n q p , sin(90 o -f-?>) = COS (p, so ist: sinqp 3

1 :

d'

~

cosq>-

a-

b'1

Addiert man (1) und (2), so kommt - 4 r - | -

d

d'

=

\ + •}-,-,

a

fr

d. h. f ü r j e z w e i r e c h t w i n k l i g e H a l b m e s s e r i s t d i e S u m m e der reziprokeil Quadrate k o n s t a n t =

\ -f- .V • bestimmt wird durch die Gleichung (3). nämlich: (4)

tangy.tangg), =

— — •

Also: I. Die M i t t e n d e r p a r a l l e l e n S e h n e n e i n e r E l l i p s e liegen auf einem Durchmesser. Da die Gleichung (4) zwischen tangqp und tangqp, symmetrisch ist, so mufs, wenn die parallelen Sehnen mit der -t-a;-Axe den Winkel q> bilden, der sie halbierende Durchmesser den Winkel +2m»sinw =

j/m'-f-ra 3 —2wi?icos(90°-t-tt>),

weil c o s ( 9 0 ° + w ) = — s i n w > . a—6=

ywi'M-«'—2wmsin w —

\ml-\-n*—2«incos(90°—vi).

Ist in Fig. 24 Winkel LOM=w, MO = n, LO = m, und IHllt man von M eine Senkrechte auf OL, trägt auf derselben MK= MK' — m ab und verbindet K und K' mit 0 , so ist W. OMK' = 90°—w, W. OMK= 9 0 ° + 1 0 , also OK=a-\-b, OK'— a—b, woraus sich a und b ergeben. Es sei jetzt ODA die Richtung der grolscn Halbaxe a der Ellipse, MM' und L1J senkrecht zu OA, so ist W. LOA = DMM' = q> und, der früheren Bezeichnung entsprechend, LL' OL' = ; MM'=y3, OM' = xr Demnach ergiebt sich:

MD=

ya , wo y , = ^ - x x cosy a ,1 0 a i' It i m s t h .11 Kli'mcntc. U. Aufl.

(§.34,5), 4

50

§§. 3 5 .

folglich

3C..

37.

Viertos

wird: „ ,„

DK

DK

m— W

Vi

~~ a+b (1. h. ODA Anm. sich

V.,

zeigen,

beziehende

dafs

a

1

.r,-1-

t>

(i

.r .r,

OK'

~

OK '

ist die H a l b i e r u n g s l i n i e Die vorhergehenden

h

.r—

- -cos q> m cos qr> — ?/., y„ wcosgi-H/., V i + — COS /t3-t-na, also rr' =

n>, oder:

Das P r o d u k t d e r b e i d e n n a c h e i n e m E l l i p s e n p u n k t e

gezogenen

Leitstrahlen

ist dem Q u a d r a t e

des

Halb-

m e s s e r s g l e i c h , d e r dem d u r c h G g e h e n d e n k o n j u g i e r t i s t Sind p und p' die von F und F1

auf die Tangente in G ge-

fällten Lote, H, H'

ihre Fufspunkte, (£, rf) und (£', »/) die Koor-

dinaten

so

derselben,

ifL^JgL—i

CL

O

=

o

ist,

,

weil

die

Gleichung

der

Tangente

(nach §. 2 3 , Form. 6 und 7 ) : exx

9

ex, —1 >/t a' b% y\ ~ b*

*•

f l ^ r , b*

{xl r :

p

'

' ' a*

y\ ' b*

'

Nun ist: b ^ a ' ^ b b>\ ' V und ( 4 ) :

ex, a a

« aV1}

a46a

aa6a

r a

1 —

Selzen wir diese Werte ein, so kommt:

^ 5

xx r a'b* € | Ä r~ a a it

C|

xxb3

i —

ar'e-\-xlb'1

ar

oder, wenn a1 für e'+b*

a*e-\-e''xl-\-xib1 / i ar

i

ar

gesetzt wird, und man in p den abso-

luten Wert nimmt:

(5) i

Um —e,

=

r f , p' zu erhalten, mufs man in ( 5 ) e, r, r' bezüglich mit r', r vertauschen; dies giebt: (6)

j ^ H L ,

r

'

r

P

' =

b ^ .

' r

r

Diese Formeln fuhren zu folgenden Sätzen: II.

Das P r o d u k t

der Lote

( p , p'),

welche

von

den

B r e n n p u n k t e n a u f e i n e T a n g e n t e g e f ä l l t w e r d e n , i s t dem' Q u a d r a t e (¿2) der h a l b e n k l e i n e n Axe

gleich.

§§. 40, 41. Viertes Kapitel.

58

b c P = — " L i -, >' = -- — u P. = Ferner isl J— , und, ebenso /• /• ' /•' yrr' r'

P

-" , yV

p'

also — = , also sind die rechtwinkligen Dreiecke FGI1 und r r F'GIi einander ähnlich, und W. FGH = W. F'GW, d. h.: III. Die T a n g e n t e b i l d e t mit den L e i t s t r a h l e n g l e i c h e W i n k e l , o d e r h a l b i e r t d e n W i n k e l z w i s c h e n einein L e i t s t r a h l und d e r V e r l ä n g e r u n g des a n d e r e n . Die Gerade, welche auf der Tangente einer Kurve in deren Berührungspunkte senkrecht steht, heirst die N o r m a l e der Kurve; es folgt demnach aus 111.: IV. Die N o r m a l e d e r E l l i p s e h a l b i e r t den Winkel z w i s c h e n den L c i t s t r a h l e n . Die G l e i c h u n g d e r N o r m a l e ist: C7)

=

•fu aJ Aus (5) ergiebt sich OIP =

y—Jx Vi b' = ^

.

K^+O'+Z/Il

= a'>

folglich: V. Die F u f s p u n k t e d e r Lote, w e l c h e man von den B r e n n p u n k t e n e i n e r Ellipse auf s ä m t l i c h e T a n g e n t e n f ä l l e n k a n n , liegen auf dem K r e i s e , der die g r o f s e Axe zum D u r c h m e s s e r hat. Anm. Der Satz V. beantwortet die Frage: w e l c h e s ist d e r Ort d e r F u f s p u n k t e d e r von e i n e m B r e n n p u n k t e auf a l l e T a n g e n t e n d e r E l l i p s e g e f ä l l t e n L o t e ? Da es wichtig ist, den Gedankengang zu kennen, welcher bei derartigen Aufgaben verfolgt wird, und weil die Rechnung im gegenwärtigen Falle eine eigentümliche Schwierigkeit darbietet, so wollen wir die gestellte Frage direkt beantworten. Die Gleichung der Tangente am Punkte (xt, y j ist:

ro die Gleichung des vom Brennpunkte F oder (e, 0) auf die Gerade (8) gefällten Lotes ist: (9)

^ y - f ; - ( * - 0 = \ oder:

(:{*)

a

y,

e* =

a^-b*,

62

§§. 43, 44.

so wird d i e

Fünftes Kapitel.

Hyperbelgleichung: («)

Da ( 4 ) n u r x1 und y3 enthält, so besteht die Kurve aus vier kongruenten Quadranten (§. 31, Zus. 2 ) , und es wird hinreichen, die Gestalt desjenigen, in welchem x und y positiv sind, zu untersuchen. (5)

Schreibt man statt ( 4 ) : , =

und:

(6)

£

=

so folgt aus ( 5 ) , dafs x wenigstens = a sein mufs, damit y reell werde, Uber a hinaus aber jeden beliebig grolsen Wert annehmen k a n n ; und dafs y = 0 , wenn x—a, mit x selbst aber ins Unbegrenzte wächst; der Kurvenquadrant erstreckt sich demnach ins y b Unendliche. Der Bruch — ist nach ( 6 ) stets kleiner als — , nähert x a sich aber diesem Werte immer m e h r , je gröfser x, also auch y wird; macht man daher OA =a, ^ 4 P = ä = |/