Aufgaben – Systeme und Sammlungen aus der ebenen Geometrie zu einem selbstständigen Unterricht in der Analysis geordnet und durch Gesetze vorbereitet: Teil 1, Band 2 Geometrische Analysis, Band 2: Aufgaben [Reprint 2021 ed.] 9783112411407, 9783112411391

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AufgabenSysteme und Sammlungen aus der

ebenen Geometrie, zu einem

selbstständigen Unterricht in der Analysis geordnet und durch Gesetze vorbereitet von

H. v. Holleben und P. Gerwien, Lieutenants im Listen und 22stcn Infanterie-Regiment und Lehrer im Kbnigl. Preuß. Kadetten-Korps.

Erster Theil.

Geometrische Analysis.

Berlin, 1832. Gedruckt

und

verlegt

bei G. Reimer.

Geometrische Analysis.

Zweiter Band.

A u f g a b e n.

Mit zwei und vierzig Stcintafeln.

Berlin, 1832. Gedruckt und verlegt

bei G.

Reimer.

II. Hauptstück. Uebungen, welche entweder durch das erste Hauptstück vorbereitet, oder an sich leicht si nd.

II. A. Erster Abschnitt. Aufgaben, welche ohne die Lehre vom Kreise, und ohne Proportionen lösbar sind.

istes Kapitel. Dreiecks- und Parallelogramm-Aufgaben.

609. Aufgabe. A aus b, h'. Auslösung. Siehe 75. Zusatz. Man erhält 2 Resultate, ein spitzt, und ein stumpft. A. 609. a. Ausgaben. A aus a, b, h". A aus b, h. Auflösung. Siehe 75. Zusatz. Es ergeben sich jwei verschiedene Resultate. 610. Aufgaben. A aus a, b, (b-s-c). A aus a, b, (b — c). rc. Auflösung. Siehe loo. Hollebcn u, Terwicn Analysis. II.

2

611. Aufgabe. A mi« a, /9, t". Zusatz. ES sind zwei verschiedene Resultate möglich. 612. Aufgaben. A au« «, ß, h. A auS «, A h'. A aus «, /S, h". AnalysiS. Diese «giebt sich durch 114. 613. Ausgabe. A aus a, h', ß. AnalysiS. Mittelst 114 ergiebt sich die Aufgabe: A au- a, ß, y. Zusatz. ES sind 2 verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Warum ist A auS a, h", ß unmöglich? 614. Aufgabe. A aus «, h', h. AnalysiS. a und h* geben c nach 114. Hiedurch ist die Aufgabe auf die vorhergehende reduzirt. 61$. Fig. X. Aufgabe, o aus «, c', b.

AnalysiS. —, «, b bestimmen ein A, aus welchem

sich daS ö ableiten laßt. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 616. Aufgabe. A aus a, «, h'. AnalysiS. Siehe 114. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 617. Aufgabe. A au- «, h', t". AnalysiS. Durch 114 ergiebt sich c und die Lage von b. Zusatz. ES sind 2 verschiedene Resultate möglich. 618. Aufgabe. auS x, q in c. Auflösung. Fotzt auS 75. 619. Aufgaben. A aus «. (l>-j-c), h'. A auS a, (b — c, h'. A au« a, (b-h-c), h". A auS a, (b —c>, h". AnalysiS. Durch 114 und loo erhalt man A auS b, c, «.

3 620. Au fgaben. A au- a, h', (ß—y). A au- a, h", (ß— y). A aus b, h, (ß — y). A au- c, h, (ß—y). Analysis. Folgt au- 114 und loo. 621. Aufgaben. A au- b, h, (p— q). A an« c, h, (p—q). Analyst-. Nach 114 folgt au- b ö. h nicht allein y, sondern auch p, weshalb sich durch loo da- A ableiten läßt. 622. Aufgab en. A au- b, h", (ß— y). A au« c, h', (ß—y). Analysis. Ergicbt sich au- 114 und 103. 623. Au fgabe. A «u< a, h', h". Auflösung. Schiebe h' und h" nach 81 zwischen die Schenkel von «. 624. Aufgabe. A au- ß, y, a um A NOQ (d. h. a soll durch Q, b durch N, c durch 0 gehen.) Analysis. Durch Q und a ist a der Lage nach gegeben, durch ß und y bestimmen sich nach 64 mittelst O und N sowohl B und C al- A. 625. Aufgabe. A aus a, b, a in A NOQ (d. h. A soll in NO, B in OQ, C in NQ fallen). Analysis. $)a a und a gegeben ist, bestimmen sich die Punkte B und C nach 94, weshalb au- B nur b abzuschneiden ist, um A (zuweilen doppelt) festzustellen. 626. Aufgabe. A au- a, h, -> a in A NOQ. Analysis, -»-a und a bestimmen B und C nach 94. A ergiebt sich schließlich durch den Ort 79. 627. Aufgabe. A aua, zwei Pu nkten P und P', die von b und h getroffen werden soll len, in A NOQ zu beschreiben. Analysis. a und P' für h bestimmen Lage h, und damit A; P und A ferner C, und C Mit a schließ, lich B.

628. Ausgabe. Gegeben L, L', und A da­ zwischen ; man soll ein A auS t und t zeich­ nen, dessen Winkelspitzen A in A, B in L, C in L' fallen. Analysis. Durch A, t und t bestimmt sich der zweite Endpunkt dieser Lange, weshalb man in Beziehung auf denselben nur 127 anzuwenden hat, um B und C festzustellen. 629. Aufga be. Gegeben L, V und A dazwi, schen; man soll ein A au- b und t zeichnen, dessen Winkclspitzcn A in A, B in L, C in L' fallen. Analysis. Durch A und t ergiebt sich die Lage von t, b und A bestimmen B, folglich hat man au- B eine Linie nach L' zu ziehen, welche durch die Lage von l halbiri wird; siehe 129. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 630. Aufgaben. A aus a, I>, t'. □ aus a, li, c'. Analysis. Verlängert man nach 123 V nm sich selbst, so bestimmt sich ein A aus a, c, h so, daß c — 2t' ist; siehe 86. Zusatz. Man erhält 2 verschiedene Resultate. 631. Aufgabe. A aus a, A (i"a), h. Analnsis. Nach 123 reduzirt sich die Aufgabe auf A aus a, y, h, so daß 7 — A (l"a) ist; siche 82. 632. Fig. X. Aufgabe. A auS a, l", A (l"b). An alysis. Konstruirt man nach 123 da- zugehörige □, so zeigt sich in demselben c' = 2t", A (b c') = A (t"b) und a gegeben, also ein A aus a, a, b bestimmt. 633. Aufgabe. A aus a, ß, t'. Analysis. Konstruirt man nach 123 das zugehörige O. so bestimmt sich ein A aus a, c, y, in welchem c —2t' unt> y = 2R — dem gegebenen A ß ist. 634. Aufgaben. A aus a, h', t".

5 Analysid., Durch a, h* erhalt man y nach 114, und hat folglich die Aufgabe 633 zu lösen. 635.

Aufgabe.

A and a, h*, t.

Analysis, a und h' bestimmen c nach 114; man hat also A auS c, «, t, flehe 633, zu lösen. 636.

Aufgabe.

A auS h,

Ort L für A und

einer festliegenden Linie (p — g).

Analysis.

Durch h und die Lage von (p — g) be
«, ß* Analysis, a und ß bestimmen /, (h 4- h') und y nach 149 (a -|- b), womit die Aufgabe auf 644 reduzirt ist. Auflösung. Zeichne daDAE mit AE = (h-|-h') und A ADE = /, halbire Z. ADE durch DB, setze A DAB = « ab, und ziehe durch den Schneidung-punkt B, CB 4= ED, so ist ABC da- verlangte A. Beweis. DGB ist nach der Konstruktion ein A, folg« lich CBF « CDG, und deshalb BF = CG = HE, also AH + BF oder die Summe der Höhen — AE — (h+h'), A a und y aber sind = A und C gezeichnet. 653. Fig. 138. Aufgabe. A aus (h — h'), a, ß. Analysis, a und ß bestimmen /, (h — h') und y nach 152 (b — a), womit die Aufgabe auf 645 reduzirt ist. AuflLsung. Zeichne das DAE mit AE = (h—h') und A ADE = y, halbire den Neben A EDC von y durch DB, setze A DAB = a ab, und ziehe durch den Schneidungs« punkt B, CB 4= ED, so ist ABC das verlangte A. Beweis. Der Beweis von 652 paßt, wenn man statt (h + h'), (h —h'), und statt BF 4> AH, AH — BF k. setzt, wörtlich für diesen Fall auf die Fig. 138. 654. Aufgabe. A aus (ba 4-ca), a, ß. Analysis. (ba 4- ca) und a bestimmen t nach 219 und 220, man hat also A aus a, ß, t, (69) zu konstruiren. 655. Aufgabe. A aus (ba — ca), a, ß. Analysis. (ba —ca) und a bestimmen nach 210 und 211 p und q nebst der Lage von weshalb sich das verlangte A ABC fcststellt, sobald schließlich A ß gezeichnet wird.

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2tes Kapitel. Viereck- * Aufgaben aller Art. 656. Fig. XIV. Aufgabe. aui a, c, Z. A, Z. B, Z. C. Analysis, a, Z. A, Z. B geben die Lagen von b und d, zwischen welche c mit der Neigung Z. C nach 94 zu schieben ist. 657. Fig. XIV. Aufgabe. aus a, c, Z. (a e), Z. (ae'), Z. (es). Analysis. Die Aufgabe bildet nach g. Detr. H. 29. eine Analogie zu 656; «S bestimmen sich hier die Lagen von e und e', zwischen welche c mit der Neigung Z. (ce) nach 94 zu schieben ist. 658. Fig. XIV. Aufgaben. aus a, d, s, e', Z. (e e'). 0 u 6 a, b, e, r, Z. (e e'). cA auS a, b, s, Z. (d e), Z. (ee*). Analyfi-. Durch a, b, ebestimmt sich ein A, wes, halb mittelst des Z. (ee') die Lage von e' nach 64, und durch das fünfte Stück schließlich D fcstgestellt werden kann. 659. Fig. XIV. Aufgaben. a. b, e. c. £ D. «u< a, b, e, e', Z. A. BE, folglich hat man auch BX' 4 X'A unt> BX" + X"A u. s. w. x* BX4- XA, w. z. b w. 774. Fig. 94. Lehrsatz. Wenn aus zwei, auf verschiedenen Seiten einer Linie L liegenden Punk ten P und P', in L zusammentreffende Li­ nien gezogen werden, so erhält man an der Dif­ ferenz derjenigen beiden Linien, welche mit L2 = ^2 bilden, deren gemeinschaftlicher Schenkel dieselbe Linie ist, ein Maximum. Voraussetzung.Z. PXC — Z. P'XC. Behauptung. P'X — PX ist ein Maximum. Beweis. Verlängert man PX bis zum Schnitt Emit einem aus P' auf L gefällten JL, und zieht nach X', X" rc. andere Paare von Linien, so muß, da sich P'D = DE bestimmt, P X ss XE, P'X' — X'E, P'X" — X"E u. s. w. sein. Nun ist aber EX' - PX' sowohl, als PX"—EX" u.s.w. die Seiten AC und AB, w. j. b. w. Zusatz. E« sind 4 Resultate möglich, insofern D so, wohl auf der einen al« der anderen Seite von BC bestimmt werden kann, und die O N den um D beschriebenen Q zweimal schneidet. Je zwei dieser Resultate, welche durch die -fr entstehen, sind aber £i.

2tes Kapitel. Vierecks • Aufgaben aller Art. 825. Fig. 164. Aufgabe. c23 an« a, b, e, Z. (ce/), Z. (d e'). Analysi« 1.) a, b und e bestimmen ein A; der vierte Punkt D «giebt sich, da a und Z. (de') den einen, b und Z. (ce') aber den zweiten Ort für D nach 320 bestimmen. Analysi« 2.) e und Z- (ce') Z. (de') bestim, men nach 320 den © um« A ADC, also einen Ort für D. A AHC ist aber durch AC = e, Z. ACH — Z. (d e')t u. ACAH =□ Z-(ce') konstruirbar, folglich crgiebt sich mittelst de« Punkte« H die Lage von BH als zweiter Ort für D, und damit auch da« ABCD. An merkung 1.) Die Aufgabe wird unbestimmt, wenn H in B fällt, d. h. Z. (de') — Z. (eb), und Z. (ce') = Z. (ae) wird, da in diesem Fall die Aufgabe in: £3 im 0 au« a, b, e übergeht.

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Anmerkung 2.) Auf die zur Analysis 2) gehörende Auflösung gründet sich eine Art des Nückwärlseinschncideiis beim Aufnehmen. 826. Fig. X1V. Aufga be. aus a, b, e, e', L D. Analysis, a, b und e bestimmen ein A, der 4 te Punkt D crgicbt sich mittelst des Orts um B mit e', und des nach 320 durch e und A D gegebenen Orts. Zusatz. ES sind 2 verschiedene Resultate möglich.

827. Fig. XIV. Aufgabe. Al a u $ a, b, e', L B, L D. Analy sis. Ergiebt sich wie in 826. 828. Fig. XIV. Aufgabe. Al aus a, b, e', (A A + A C), A D. Analy sis. Da (A A -s- A 0) -j- A v den A B giebt, hat man 827 zu verzeichnen. 829. Fig. XIV. Aufgabe. Al au i a, c, e, L B, L D. Analysis. Durch a, e, A B lassen sich die Punkte A, B, C fcststellen; der Ort um C mit c, und der nach 320 durch e und A D gegebene Ort bestimmen schließlich D. Z u satz. Es sind 4 verschiedene Resultate möglich, da A ABC zwiefach festgestellt werden kann, und die beiden Oerter sich doppelt schneiden. 830. Fig. XIV. Aufgabe. Al auS a, b, e, A (de), A (ce'). Analysis. a, b und e bestimmen die Punkte A, B, C; den vierten Punkt D bestimmt der nach 320 durch b und / (c e') gegebene Ort mit der Lage des unbestimmten Schen­ kels vom A (de). Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 831. Fig. XIV. Aufgabe. Al aus a, b, e, A (ee'), A (c e'). Analysis. Durch a, b, e bestimmen sich die Punkte A, B, C. b und A (ce') geben nach 320 einen Ort für D; man hat also nur zur Feststellung dieses Punkts von B auS eine um A (ee') gegen e geneigte Linie zu ziehen.

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832. Fig. XIV. Aufgabe. au8 a, c, Z.(ne), Z. (ce), Z. (de'). Analysis. Legt man a und Z. (ae) fest, so bestimmt sich durch a und Z. (de') ein Ort für D; man hat also nur zwischen denselben und die Lage von e die Lange c, unter dem Z. (ce) gegen e geneigt, nach 94 zu schieben. Z usatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 833. Fig. XIV. Aufgabe. ^A auS a, c, Z. B, Z. C, Z. (de'). Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie in 832. 834. Fig. XIV. Aufgaben. aus c, d, (a 4-b), Z. D, Z.B. cA a us c, d, (a — d), ■£_ D, Z.B. Analysis, c, d, Z. D bestimmen ein A, und da, durch e. Benutzt man (a-j-b) otct (a — b) nach 130 oder

133, so bestimmt sich ein Z. des entstehenden A — y ß oder = R + ——, weshalb man durch Hilfe von e nach

320 einen Ort für den Scheitel desselben erhält; den zweiten giebt die Kreislinie um A mit (a + b); man hat also nach der Feststellung diese- Scheitelpunkts nur ein A abzuschnei, den, um den fehlenden Punkt B de- cA ABCD zu erhalten. 835. Fig. 52. Aufgabe. cA aus a, e, e', Z_ (ee'), Z. C. Analysis, e, e', Z. (ee') bestimmen das 162 an, geführte DF, in welchem sich FC — a ergiebt; man hat also nur den nach 320 mittelst e' und Z_ C gegebenen Ort für C durch die um F mit a beschriebene Kreislinie zu schnei, den, um C festzustellen. Das verlangte e), £- (de'). Analysis, a, b und Z. (he) bestiniincn Z\ ABC, und die Lage von c, iniihin einen Ort für D; den zweiten giebt aber a und Z. (d e') nach 320, u. f. w. Zusatz. Es sind 4 verschiedene Resultate möglich, wenn a b. 842. Fig. XIX. Aufgabe, CD aUS a, c, Z. (be), ZL (ae'). Analysis. Legt man a mit L (a e') fest, und beschreibt über a den mittelst Z. (be) nach 320 bestimmten Ort, so hat man nur nach 94 c mit der Neigung Z. (a e') — Z. (e'c) zwischen diesen Ort und die Lage e' zu schieben, um die feh, lenden Punkte G und D des verlangten cd sestzustellen. Zusatz. Es stnd 2 verschiedene Resultate möglich. 843. Fig. XIX. Aufga be. CD aus a, c, Z. (be), Z. A. Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie in 842, da mittelst Z. A die Neigung von c gegen d gegeben ist. 844. Fig. 34. Aufgabe, cd aus a, b, c, Z. (de'). Analysis. Zieht man BH ch d, so ergiebt sich DH = a und Z. DBH — Z_ (de'), also über DH nach 320 ein Ort für B, welchen man nur, da HC = c — a gegeben ist, von C aus mit b zu schneiden hat, um B festzustellen, und zuletzt den vierten Punkt A des verlangten cd abzuleiten. Zusa tz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 845. Fig. 34. Aufgabe, cd an* a, b, c, Z. (de). Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie 844, nur muß hier durch A eine -j- zu b gezogen werden. 845. a. Fig. 34. Aufgabe, cd ans a, b, c, Z. (e e'). Analy sis. Zieht man BE ch e, so bestimmt sich DF = a + c und Z. DBF — Z (e e'), also nach 320 über

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DF ein Ort für B, welchen man nur von 0 auS mit b zur Feststellung von B zu schneiden hat. Zieht man hierauf durch C und B 4= 4= FB und CD, so ergiebt sich schließlich mittelst A daS verlangte a ABCD. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 846. Fig. XXL Aufgaben. 01 im 0 aus a, b, c, r. £3 i m 0 auS a, b, r, A (de). 01 im 0 au« a, b, r, A A. 01 im 0 au« a, c, e, r. 01 im 0 aus a, c, r, A A. rc. 847. Fig. XXL Aufgaben. 01 im Q «u« a, b, c, A (eb). L'. Analysis, s in K giebt den in 316 erwähnten 0; in Beziehung auf denselben reduzirt sich die Aufgabe auf 0 aus L 4= L', K; siehe 900. 920. Aufgabe. 0 aus L, -st L's, P. A nalysis. Wegen des gleichen Abstandes von s muß die Mitte zwischen beiden -st und L' diesen Abstand selbst bestimmen. Hiedurch' hat man aber, ba 5 s bekannt ist,

72 die Hypotenuse des entstehenden Lx als 9, und es folgt dar, aus die Lage von in der Mittellinie zwischen L und 1/ nach 274. 921. Aufgaben. 0 auS P, P', 1^3 (L^ heißt, 0 aus P, P', K/J der Mittel, punkt p soll in L fallen.) Aufl ösun g. Folgt au- 72. Zusatz. Bei der letzten Aufgabe sind 2 verschiedene Re, sultate möglich. 922. Aufgaben. 0 auS L, LL"M. 0 auS L, L', K^. Auflösung. Folgt au- 276. Zufatz. Bei der letzten Aufgabe sind 2 verschiedene Re, sultate möglich. 923. Aufgabe. 0 aus L, P in V. Analysis. Errichtet man in P auf L' einen J_, so ergiebt sich ein zweiter Ort durch 276. 924. Aufgabe. 0 p.i (Bezeich, 0 auS L„, K^, pj nung 928).

Beide Aufgaben

und 928 auf 916. 934. Aufgaben.

reduziren sich nach 927

0 a u 6 K, L„, p. 0 aus Ky, Lß j g» 0 aus K-s, Lß, p.

Analysis.

Diese Aufgaben reduziren sich nach der Ana,

—

74

—

Infi# 927, durch welche sich s mittelst a, L und q ergab, auf 9lo, 925 und 916. 935.

0 aus K, K'», q. i (Bezeich«

Aufgaben.

O aus Ku, K'u, p.) nung 928).

Nach 928 reduziren sich diese Aufgaben auf

Analysis. 913 und 926. 936.

(DezeichF

O aus Ka, K'^, p.i

Aufgaben.

O au 6 Ks, K/ti, (-./ nung 928).

Nach 928

Analysis.

auf 915. 937.

Aufgabe.

nung 928.) Analysis.

reduziren

diese Aufgaben

sich

0 au - Lu =£ L', Ka.

(Bezeich­

Da L=^ L* ist, bildet ihre Entfernung den

gesuchten Radius (>, folglich hat man 932 zu lösen.

938.

Aufgabe.

0 aus P, K(IjU.

(KttjU heißt: K

soll den gesuchten 0 in 2 Abschnitte theilen, von denen einer

a faßt, und p soll in K fallen.)

Analysis.

Durch « ergießt sich der SentriZ. bei fi,

welcher Peripherie^, für K ist,

lichen Sehne stehenden

und die auf der gemeinschaft­

A A bestinunt.

Von

diesen

giebt

eines das gesuchte p; man hat also 274 in Bezug auf 1* an­ zuwenden, nm p. zu bestimmen. 939.

Aufgabe. 0 aus L, KOjU. (Bezeichnung938.)

Analysis.

Auf demselben Wege wie in 938 ergießt

sich q, und dies bestimmt mit L nach 79 p. Zusatz.

Es sind 4 = Resultate möglich.

Anmerkung.

0

aus L', Lau

ist eine unmögliche

Aufgabe: denn Lu setzt a = R voraus. 940.

Aufgabe. 0 aus K, K'au. (Bezeichnung938.)

Analysis.

Wie in 938 ergießt sich q, und dies be­

stimmt mit K nach 307 fi.

Zusatz.

Es sind 4 Resultate möglich, 2 für die Der.

v. A., und 2 für die Ber. v. I. 941.

Aufgabe.

0 aus P, P'i>, q.

(P'b heißt:

die aus P' nach dem gesuchten 0 gezogene Berührungslinie

75 soll die Länge b erhalten,

oder der gesuchte Q. soll den um

P' mit b beschriebenen Q rechts, schneiden; siche 359.) Analysis, b und p bestimmen ein dessen Hypo, tenuse einen Ort für ft um P' bildet, der Kreis mit @ um P giebt den zweiten. Zusatz. ES sind zwei Resultate möglich. 942.

Ausgaben.

Analysis.

Q «ut L, Pb, p. 1 . O aus LM Pb, p. ) ^d59)*

Ein Ort für ft ergiebt sich wie in 941,

der andere folgt aus L und p nach 79, oder ist gegeben.

Zusatz. ES sind 4 und 2 Resultate möglich. 943. Aufgaben. 0 aus Pb, Ls, p. \ , 0 aul Pb, L„, p. f

Analysis. P

.

Ein Ort für ft ergiebt sich wie in 941 aus

und p; den anderen erhält man durch s und p nach 908,

oder durch « und p nach 927.

944.

Aufgaben.

Analysis.

0 auS Pb, K, p. i 0 aus Pb, K„, p. f Vd59)*

Ein Ort für ft ergiebt sich durch Pb und p

wie in 941, der andere durch K und p nach 307, oder für geradezu durch K. Zusatz. E« sind für zwei Resultate möglich, für K aber 4 (B. v. A. und B. v. I.).

945.

Aufgaben.

0 auS Pb, Ks, p. » 0 aus Pb, K„, p. i (359)1

AnalyfiS. Ein Ort für ft ergiebt sich wie in 941 durch Pb und p, den anderen erhält man auS K, und p nach 911,

oder aus Ko und p nach 928. Zusatz. ES sind 4 Resultate möglich.

946. Aufgabe. 0 aus Pb, Kd, p. (359). AnalyfiS. P und b bestimmen nach 941 einen, Kd und p nach 904 den anderen Ort für ft. Zusatz. ES sind 2 Resultate möglich. 947. Aufgab e. ©au# Pb, P'i,/, p. (359)

76 Analysis.

rb und p bestimmen nach 941 einen Ort

für p, P'b- und q in derselben Art den anderen.

Es sind 2 Resultate möglich.

Zusatz. 948.

Fig. 168. u. Fig. 168. a.

Aufgabe.

© au*

(Kb bedeutet, daß der gesuchte © und

P, Kb, 4>.

der ge,

gebene eine gemeinschaftliche Berührungslinie von der Lange b

erhalten sollen, welche die Centrale selbst oder ihre Vcrlänge, rung zu schneiden hat, je nachdem dies verlangt ist.

Kb giebt

aber auch einen Q, dessen Radius die Hypotenuse eines durch

r und b bestimmten

ist, und es kann in dieser Rücksicht

Kb ferner bedeuten, daß die gesuchte Kreislinie nach 360 eine gebene unter einem vorgeschricbenen Z_ schneiden soll.)

Analysis 1).

Verbindet man M und p mit den Be«

rührungspunkten von b, und zieht aus M eine ch zu b, so Das letztere ist durch beide

und ein

ergicbt sich ein

Katheten b und r — q oder q

— r, Fig. 168., oder durch b

und r-f-e, Fig. 168. a., bestimmt, weshalb man die Cen­

trale als Hypotenuse,

also einen Ort für p um M zeichnen

P und q bestimmen schließlich nach 274 den zwei,

kann.

ten Ort.

Analysis 2).

Aus dem mittelst b und g bestimmten

,(\ B B'p crgiebt sich

Bp

und Z. p B B',

MBjtt = R 4- oder — Z_ B'Bp. falls A M B

,

also auch Z.

Hiernach ist aber eben«

folglich auch die Centrale M/t, und durch

die letztere ein Ort für p bestimmt, während der zweite Ort

durch P und q nach 274 gezeichnet werden kann. Zusatz.

Es sind 4 Resultate möglich.

Bei 2 schneidet

b M/tt, bei den anderen nicht. 949.

Aufgaben.

Analysis.

O aus L, Kb, Q. i O aus L/z, Kb, (>. ) v

»

Kb und q geben wie in 948 einen Ort

für p, L und q den anderen nach 79, oder es ist derselbe

schon durch L bestimmt. Zu satz.

geben.

Die erste Ausgabe kann 8, die 2te 4 Resultate

77 950.

Aufgaben.

O aus Kb, Ls, p. i z3C0\

Q auS Kb $ K«, p. * Analysis. Kb und p geben wie in 948 einen Ort für (tf L, und q nach 908, oder La und p nach 927 den am deren. Zusatz.

951.

ES sind 8 Resultate möglich. Q auS Kb, K', p. » z3G0\ O Kb, K'/,, p. ) V '*

Aufgaben.

Analysis.

Kb und p bestimmen nach 948 einen Ort

für n, der andere ist gegeben, oder folgt aus K' und p

nach 307. Zusatz. Bei der ersten Aufgabe sind 8 Resultate mög« lich, (4 f. d. B. v. A., 4 f. d. B. v. I.), bei der zweiten in derselben Art 4 Resultate. 952. Aufgaben. 0 auS Kb, K's, p. » (Bezeichn O a u S Kb, K'„, p.) nung 360) nnd 928.) Analysis.

Kb und p bestimmen nach 948 den einen,

K's und p nach 911, oder K'a und p nach 928 den zweiten Ort für p-. Zusatz. Wie in 950. Siche 926. 953. Aufgabe. O a«S Pb, KV, p. (359 u. 360.) Analysis. Pb und p bestimmen nach 941 den einen, Kb< und p nach 948 den anderen Ort für

Zusatz. Wie in 948. 954. Au fgabe. O auS Kb, Kd, p. (360).

Analysis. Kb und p bestimmen nach 948 den einen, K PI 4- PI, also ferner > PB + PB, und de«, halb PB + P'B auch in Beziehung auf K ein Minimum.

88 Das

Anmerkung.

Maximum

der

Summe

zweier aus P und P' nach einem Punkte inKfüh, renden

Linien ergiebt

mittelst

sich

durch folgende Analysis.

Wäre

Ellipse

der

Maximum

das

die«

scr Eumme bekannt, so müßte auch eine Ellipse gegeben sein,

welche P

und P' als Brennpunkte und das Maximum zur

Summe der Leitstrahlcn hätte.

Es kömmt also zur Bcstim«

mutig des in K gesuchten Punktes nur darauf an: eine K

begegnende Ellipse für die Brennpunkte P

und P' mit der

zu

möglich größten Summe zweier Leitstrahlen

konstruiren.

Die Ellipse, welche diese Bedingungen erfüllt, wird aber K

es ergiebt sich also die Feststellung des

von Innen berühren,

gesuchten Maximums und des entsprechenden Punktes in K

durch Konstruktion einer vollständig bestimmten Ellipse.

gens zeigt sich analog

Uebri«

dem Minimum, daß die Linien des

Maximums gleichfalls mit dem Radius r,

welcher aber hier

zwischen dieselben fällt, gleiche ^2 bilden, da sich das Mini«

mum auch durch eine K (aber von Außen) berührende Ellipse feststellt, und beidemal die beiden

krummen Linien

gemein,

schaftliche Tangente mit den Leitstrahlen gleiche ^2 bilden muß.

Durch eine ähnliche Analysis bestimmt sich das Minimum und Maximum der Differenz zweier au« P und P' nach einem

Punkte in K führenden Linien mittelst der Konstruktion einer

K von Außen oder von Innen berührenden Hyperbel, deren Brennpunkte P und P' sind.

991. Fig. 148. Aufgabe. In einem festliegend gegebenen A einen Punkt X so zu bestimmen, baß die Summe der Abstände desselben von ^spitzen,

also

AX

BX -{• CX

ein

den

Mini«

mum ist. Analysis.

Denkt man sich einen Abstand AX unver«

änderlich, so müßte nach 990 Z. AXB = Z. AXC sein, damit BX

CX ein Minimum wäre.

ner BX unveränderlich an,

Nimmt man fer«

so ergäbe sich AX + CX als

Minimum, wenn auch Z. AXB = Z. BXC wäre.

Ile#

89

Z.

AXB = Z. BXC = Z. CXA

sein, damit sich

AX -j- BX -j- 6X als Minimum

muß also

berhaupt =

Hiedurch sind aber durch 2 Seiten des A und H li

«giebt.

zwei Oerter für X nach 320 konstruirbar,

und es bestimmt

sich X selbst mittelst dieser Oerter.

Aufgabe.

992.

Gegeben P, P', K; man

soll

eine Berühr»ngsl»nie XY an K legen, deren J_ Abstande von P und P' einander — werden. Analysis.

XY schneidet die Vcrbindungs,

Lage 1).

link von P und P'.

Die entstandenen A A sind

es

bestimmt also die

Mitte von P'P einen Punkt der gesuchten Linie, welcher mit-

telst 272 die Lage von XY ergiebt.

XY schneidet nicht die Verbindungslinie von

Lage 2). P und P'.

Aus der Bedingung der gleichen Entfernung folgt,

daß

PP' fallen muß, also 282 anzuwenden ist.

XY

Zusatz.

In jeder Lage sind 2 Resultate möglich.

Anmerkung. pitels

Die nachfolgenden Aufgaben

dieses Ka­

bilden sämmtlich Analogicen zu den von 748 bis 758

hingestcllten

Aufgaben,

da

in

jenen

nur

Kreise statt der in den letzteren gegebenen

ein

oder

mehrere

Punkte unter die

Bedingungen ausgenommen sind. 993.

Fig. 177.

Aufgabe.

Gegeben P, P', K;

man soll eine Linie XY so durch P legen, daß der _j,Abstand derselben von P' mit der _L XY an K

gezogenen Berührungslinie gleich wird. Analysis.

Zieht man durch M eine H zu der Derüh-

rungslinie, so ergiebt sich in beiden Lagen 748 zu lösen.

994.

Aufgabe.

Gegeben P, K,

K';

man soll

eine Bcrührun gs li nie XY an K legen, deren J_ Abstand von P mit der J_

XY an IV gezogenen

Berührungslin ie gleich wird. Analysis.

995.

Führt ähnlich wie in 993 zu 992.

Aufgabe.

Gegeben P, K, IV;

man soll

90

eine Linie XV so durch I' legen, daß zwei _L XV an K und K' gezogene Berührnngslinien einan, der gleich werden. Analysis. Ergicbt sich ähnlich wie in 993. 996. Fig. 178. Aufgabe. Gegeben X, X/, X"; man soll eine Berührungslinie XV so an X le­ gen, daß zwei J_ XV an X' und X" gezogene Tan­ genten einander gleich werden. Analysis. Zieht man durch M' und LI" 4- -s- zu den _L XV stehenden Berührung-linien, so erhält man 992 zu konstruiren. 997. Aufgabe. Gegeben P, P', X ; man soll eine PP' treffende Derührungslinie XV so an X legen, daß sich die Summe der aus P und P' auf XV gefällten J__L = s ergiebt. An alysiS. Verfährt man ganz wie in 749, so ergiebt sich die von XV, und damit auch die Lage nach 282. 998. Aufgabe. Gegeben P, P', X; man soll durch P eine P'M treffende Linie XV so legen, daß sich die Summe der J_ XV an X gezogenen Berührung-linie mit dem aus P' auf XV gefällten 1 = s ergiebt. Analysis. Zieht man durch M eine 4= j» der Sex rührungslinie, so reduzirt sich die Aufgabe auf 749. 999. Aufgabe. Gegeben P, X, X/; man soll eine PM' treffende Derührungslinie XV so an X legen, daß sich die Summe der J_ XV an X' gezogenen Tangente mit dem aus P auf XV ge­ fällten _L = » ergiebt. Analysis. Zieht man durch LP eine 4? j» der J.XY stehenden Tangente, so erhält man 997 zu konstruiren. 1000. Aufgabe. Gegeben P, X, X'; man soll eine MM' treffende Linie XV so durch P leg en, daß sich die Summe der _L XV an X und X' ge­ zogenen Berührungslinien — s ergiebt.

91 Analysis.

Zieht man durch M und M* ch zu den j_

XY stehenden Tangenten, so reduzirt sich die Aufgabe auf 749. 1001.

Fig. 179.

Aufgabe.

@egc6en K, K', K";

man soll eine M'M" treffende Berührungslinie

XY so an K legen, daß sich die Summe der J.XY an K' und K" gezogenen Berührung-linien = s

ergiebt. Analysis. 1002.

Führt wie in 1000 zu 998.

Ausgabe.

Uebereinstimmend

mit

997,

nur soll XY PP' selbst nicht treffen. Analysis.

Zieht man durch M eine ch- zu XY,

so

ergiebt sich die Summe der auf dieselbe aus P und P' gefäll, ten J__L — s + 2r, und die Aufgabe reduzirt sich hiedurch auf 750. 1003.

Aufgabe.

Uebereinstimmend

mit

698,

nur soll XY MP' selbst nicht treffen.

Analysis.

Zieht man durch M eine -fr zu der Tan,

gente, so reduzirt sich die Aufgabe auf 750. 1004.

Aufgabe.

Uebereinstimmend

mit

999,

nur soll XY M'P selbst nicht treffen. Analysis.

Zieht man durch M eine 4= j» der J_XY

stehenden Derührungslinie, so erhält man 1002 zu verzeichnen. 1005.

Aufgabe.

Uebereinstimmend mit looo,

nur soll XY MM' selbst nicht treffen.

Analysis.

Zieht man durch M und M' -p-f- zu den

1 XY stehenden Berührung-linien,

so erhält man 750 zu

konstruiren. 1006.

Aufgabe.

Uebereinstimmend mit looi,

nur soll XY M'M" selbst nicht treffen. Analysis.

Zieht man durch M' und M" ^4^ zu den

1 XY stehenden Tangenten,

so

reduzirt sich die Aufgabe

auf 1002. 1007.

Aufgabe.

eine PP' selbst nicht

Gegeben P, P', K; man soll

treffende Berührung-linie

92 XY so an K legen, daß sich die Differenz der aus P und P' auf XY gefällten _L_L — d ergiebt. Analysis. Verfährt man ganz wie in 751, so ergiebt sich die von XY, und damit auch die Lage nach 282. 1008. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll durch P eine P'BI selbst nicht treffende Linie XY so legen, daß sich die Differenz zwischen der J_ XY an k gezogenen Berührungslinie und dem aus P' auf XY gefällten JL = d ergiebt. AnalysiS. Zieht man durch BI eine ch zu der Be­ rührungslinie, so ergiebt sich 751 zu konstruircn.

1009. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine PBP selbst nicht treffende BerührungSlinie XY so an K legen, daß sich die Differenz zwi, schcn der j_ XY an IS? gezogenen Tangente und dem aus P auf XY gefällten J_ = d ergiebt. Analysis. Zieht man durch BP eine -j- zu der J_ XY stehenden Tangente, so erhält man 1007 zu konstruircn.

1010. Aufgabe. Gege ben P, K, K/; man soll eine Bl BI' selbst nicht treffende Linie XY so durch P legen, daß sich die Differenz zwischen ben J_ XY an K uud K' gezogenen Berührungslinien = d ergiebt. Ana lysis. Zieht man durch BI und BP -s-H zu den J_ XY stehenden Tangenten, so reduzirt sich die Aufgabe auf 751. 1011. Aufgabe. Gegeben K, K/, K"; man soll eine BPBI" selb st nicht treffende Berührungs­ linie XY so an K legen, daß sich die Differenz zwischen den J_ XY an K' und X" gezogenen Be, rührungslinien — d ergiebt. Analysis. Führt wie in 1010 zu 1007. 1012. Ausgabe. Ucbcrcinstimm end mit 1 oo7, nur soll XY PP' durchschneiden.

93

Analy sis. X Y bildet mit den beiden J_ J_ ein C3, dessen Diagonale PF' ist; man kennt also nach 172. b. den Radius eines um die Mille von PF' beschriebenen Beruh, rungskreises zu XY, welcher =

sein muß.

Hiedurch

reduzirt sich die Aufgabe auf 318. 1013. Aufgabe. Uebercinstimmend mit 1008, nur soll XY MF' durchschneiden. Analysis. Zieht man durch M eine 4= ju der Beruh, rungslinie, so ergießt sich 752 zu konstruiren. 1014. Ausgabe. Uebereinstimmend mit 1009, nur soll XY PM' durch schneiden. Analysi s. Zieht man durch M' eine 4= i» der J_XY stehenden Tangente, so erhält man 1012 zu konstruiren. 1015. Aufga be. Uebereinstiinmend mit loio, nur soll XY MM' durchschneiden. AnalysiS. Zieht man durch M und M' 4=4:: iw ben I XY stehenden Tangenten, so ergiebt sich 752 zu ver, zeichnen. 1016. Aufgabe. Uebereinstiinmend mit 1011, nur soll XY M'M" durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1015 zu 1012. 1017. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß die Summe der JL Abstände des Berührungspunkt« von den auf XY aus P und P' gefällten J_J_, als eine einzige gerade Linie genommen, die Länge s erhält. Analysis. Zieht man durch P oder P' eine 41 iu XY, so bestimmen s und PP' mittelst eines die von XY; 282 giebt schließlich die geforderte Lage. 1018. Aufgabe. Geg eben P, P', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die Sum­ me der _1_Abstände deS auf XY auS P' gefällten | und der J. XY an K gezogenen Berührung«-

—

94

—

linie, als eine einzige gerade Linie genommen, = s ergiebt. AnalysiS. Zieht man durch M eine zu der Be, rührungSlinie, so erhält man 753 für die Länge s + r $u konstruiren. 1019. Aufgabe. Gege ben P, K, K/; man soll eine Berührungslinie XY so an K legen, daß fich die Summe der _l_Abstände des Berührung-, punktS von dem auS P auf XY gefällten J_, und der J. XY an K' gezogenen Tangente, als eine einzige gerade Linie genommen, --- s ergiebt. Analysis. Zieht man durch DP eine -j- zu der _L XY stehenden Tangente, so reduzirt sich die Aufgabe für die Länge s + r' auf 1017.

1020. Aufg abe. Gegeben P, K, K/; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die Summe der _s.Abstände dieses Punkts von den J_ XY an K und K' gezogenen Tangenten, als eine einzige gerade Linie genommen, — s ergiebt. AnalysiS. Zieht man durch M und M' zu den Tangenten, so reduzirt sich die Aufgabe nach den verschiedenen denkbaren Lagen derselben für die Längen s + (r + r') auf 753. 1021. Aufgabe. Gegeben K, IV, K"; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß sich die Summe der J_ Abstände deS Berührung-, punktS von den _L XY an IV und IV' gezogenen Tangenten, als eine einzige gerade Linie genom, men, — s bestimmt. AnalysiS. Zieht man durch DP und M" =£=£ zu den l XY stehenden Tangenten, so ergiebt sich die Entfernung der, selben, nach den verschiedenen denkbaren Lagen, — s+(r' + r"), und et reduzirt sich die Aufgabe hiemit auf 1017. (16 Re, sultate.)

95

1022. Aufgabe. Uebereinstimmcnd mit 1017, nur soll der Berührungspunkt nicht zwischen die J__L fallen. Analysis. Zieht man durch M eine ch- zu X Y, so erhalt man 754 zu lösen. 1023. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1018, nur soll P nicht zwischen den J_ und die Tan, gente fallen. Analysis. Zieht man durch M eine 41 j» der Tan­ gente, so bestimmt sich die Summe der Entfernungen des Punktes P von der -j- und dem aus P' gefällten _L — 3 + r, und es ist danach 754 zu konstruiern. 1024. Aufgabe. Uebereinstimmend m'it 1019, nur soll der Berührungspunkt nicht zwischen den I und die Tangente fallen. Analysis. Führt in derselben Art wie 1023 zu 1022.

1025. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1020, nur soll P nicht zwischen die beiden Tangenten fallen. Analysis. Zieht man durch M und M' zu den J_ XY stehenden Tangenten, so ergicbt sich die Summe der Entfernungen deS Punktes P von den beiden ch rj-, nach den verschiedenen denkbaren Lagen der Tangenten, = s + (r + r'), und es reduzirt sich die Aufgabe hiemit auf 754. 1026. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1021, nur soll der Berührungspunkt nicht zwischen die beiden _L XY stehenden Tang enten fallen. Analysis. Führt ganz wie in 1025 zu 1022. 1027. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Berührungslinie XY so an K legen, daß die Differenz der Abstände des Berührungspunkts von den auf XY aus P' und P" gefällten jll, zwischen welche der Berührungspunkt nicht fal, len soll, sich — d crgiebt.

96

Ana lysis. Zieht man durch M eine 41 i» XY, so re, duzirt sich die Aufgabe auf 755, und es ist schließlich 282 bei der Konstruktion anjuwenden. 1028. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die Diffe« renz der _L Abstände des Punktes P von dem auf XY aus P' gefällten J_ und der JL XY an K ge, zogenen Derührungslinie, zwischen welche bei, den l I P nicht fallen soll, sich = d bestimmt. Ana lysis. Zieht man durch M eine -f- zu der Tangente, so erhält man die Differenz der Entfernungen des Punktes k von dem j_ und ber = d + r, und hat daher nur 755 zu lösen. 1029. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß die Diffe, renz der _l_Abstände des B.,Punktes B von dem auf XY auS P gefällten, und der J_ XY an IV ge, zogenen Berührungslinie, zwischen welche beiden l l B nicht fallen soll, sich — d bestimmt. Analysis. Führt in derselben Art wie in 1028 zu 1027. 1030. Aufga be. Gegeben P, K, IV; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die Differenz der _L Abstände des Punktes P von den _L XY an K und IV gezogenen Tangenten, zwischen welche P nicht fallen soll, sich = d bestimmt. Analysis. Zieht man durch M und M' zu den beiden Tangenten, so ergiebt sich die Differenz der Entfernun, gen des Punktes P von den beiden -j- ch, nach den verschiede, nen Lagen der Tangenten, = d + (r + r'), und es reduzirt sich die Aufgabe hiemit auf 755.

1031. Aufgabe. Gegeben X, K, IV'; man soll eine Tangente XY so au K legen, daß die Diffe, renz der Entfernungen des BcrührungSpunkts von den J_ XY an IV und IV' gezog enen Tangen,

97

«en, zwischen welche derselbe nicht fallen soll, sich = d bestimmt. Analysis. Führt in derselben Art wie 1030 zn 1027.

1032. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1027, nur soll der Berührungspunkt zwischen beide .1 I fallen. Analysis. Zieht man durch M eine ch, so reduzirt sich die Aufgabe auf 756, und eS ist bei der Konstruktion schließlich 282 anzuwenden. 1033. Aufga be. Uebereinstimmend mit 1028, nur soll P zwischen den JL und die Tangente fallen. Analysis. Zieht man durch M eine =£ zu der Tan, gente, so bestimmt sich die Differenz der Abstände des Punkte« P von dem JL und der 4== d + r, und es reduzirt sich die Aufgabe hiemit auf 756. 1034. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1029, nur soll der Berührungspunkt zwischen den j_ und die Tangente fallen. Analysis. Führt in derselben Art wie 1033 zu 1032. 1035. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1030, nur soll P zwischen beide Tangenten fallen. Analysis. Zieht man durch M und M' -f- -j- zu den beiden Tangenten, so ergiebt sich die Differenz der J_ Abstande des Punktes P von den beiden =£ ch-, nach den verschiedenen möglichen Lagen der Tangenten, — d + (r + r'), und eS re­ duzirt sich die Aufgabe hiemit auf 756. 1036. Aufgabe. Uebereinstimmend mit 1031, nur soll derBerührungspunkt zwischen beide Tan, genten fallen. Analysis. Führt in derselben Art wie 1035 zu 1032. 1037. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Derührungslinie XY so an K legen, daß sich die j_ Abstände des Berührungspunkts von den Holleben u. Gerwien Lnalyps. 11.

7

—

98

—

ausP und P' aus XY gefällten _LJ_ in derselben Größe bestimmen. Analysis. Zieht man durch M eine -f- zu XY, so re, duzirt sich die Aufgabe auf 757, und es ist schließlich 282 an, zuwenden. 1038. Aufgabe. Gegeben P, P', L; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß dieser Punkt die Entfernung zwischen dem aus P' auf XY ge, fällten _L und der _L XY an K gezogenen Tan, gentc halbirt. Analysis 1). Zieht man durch M eine -f- zu der Tangente, so bestimmt sich die Differenz zwischen den Abständen des Punktes P von dem _L und der = r; man hat also 756 zu verzeichnen. Analysis 2). Fig. 180. Verlängert man BX und P'P bis zu ihrem Durchschnittspunkl G, so wäre PX = PY, wenn man A XPG Q A YP'P hätte. Dazu müßte aber P'P — PG sein. Bestimmt man folglich G nebst der von G nach K führenden Tangente GB, so muß sich die Lage von XY j_ GB ergeben. 1039. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß der ent, stehende Berührungspunkt die Entfernung zwi, schen dem aus P auf XY gefäl lten J_ und der J_ XY an K' gezogenen Tangente ha lbirt. Analysis. Zieht yian durch M eine -f- zu XY, so re, duzirt sich die Aufgabe auf 1038, u. s. w. 1040. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß dieser Punkt die Entfernung zweier J_ XY an K und K' gezo, gen en Tangenten halbi rt. Analysis. 1). Zieht man durch M und M' ch zu den Tangenten, so bestimmt sich die Differenz der _L Abstände des Punktes P von den beiden H ch = r + r', weshalb die Aufgabe sich auf 756 reduzirt.

99

AnalysiS 2). Fig. 181. In Rücksicht auf die zu der Aufgabe 1038 angeführte zweite Analysis, wird man durch Analogie darauf geleitet, so wie dort, Fig. 180., P' nach G verlegt wurde, hier, Fig. 181., die Kreislinie K in die Der, längerung von PM, in gleichem Abstande von P um O, zu verzeichnen, und dann zu den QQ um O und M' eine ge, meinschastliche Tangente, statt der in jener Aufgabe von G nach K führenden Berührungslinie, zu ziehen. Die nähere Untersuchung dieser Konstruktion zeigt, daß sich wirklich hiedurch die Lage von XY «giebt. Auflösung zu Analysis 2). Verlängere PM um sich selbst bi- O, beschreibe K um O, ziehe zu den 00 utn O und M' nach 318 eine gemeinschaftliche Tangente, fälle PX l B'T, und ziehe die Tangente BY Figuren wie die Quadrate der

gleichliegenden Seiten verhalten, ist fa : P — aa : aa, also auch f : f = a : a, und hiedurch eine Seite a des ge­ suchten Vielecks bestimmbar. Da aber die Gestalt desselben außer-

128 dem gegeben ist, kann man diese Seite a wie in 1131 zur Vollendung der Zeichnung benutzen.

116 3. Auf gab en ZI au# f2, Z C, Z D, z (de), Z (be'). c3 au # f2, Z (de), Z (be), Z (ee*), Z (ee*). ZI au# f*. Z c, Z D, Z (ae'), Z (de). ZI au# f2, z B, Z D, Z (ee'), Z (de'). c3 au# f2, Z A, Z C, Z (ae'), Z (be). Z3 au# f2, Z A, Z (ae'), Z (be), Z (ee). ZI au# f2, (a:b), (c; d), (e * e'), (e * c). An alys i#. Nach 1132, 1133, 1134, 1143 C man die Gestalt der verlangten (ZIZl, und kann ihnen de#x halb nach 1162 die bestimmte Fläche geben. 1164. Au fgaben. CD au# f®, Z (be), Z (deO, Z (ae). CD au# f®, Z (ae), Z (ae'), Z (de). D «ni P, Z B, (a;b), (c:d). Analysis. Folgt au# 1144, 1145, 1147 durch 1162 wie in 1163.

1165. Aufgaben. im 0 au# f1, Z A, Z (be), Z (ee'). im 0 au# f®, Z A, Z B, Z (ee'). L". Analysis. Durch a bestimmt sich der halbe ücnlriZA/tB — 2R—«, also die von ^8. Da nun CD = |s gegeben ist, also vorläufig festgelegt werden kann, hat man die Hilfsaufgabe 552 zu lösen, um oder q nebst fi A und |tiC zu erhalten. Hiedurch ergiebt sich aber ein Ort für und die Aufgabe ist auf 0 aus L^, q, L"

rednzirt.

1234.

Aufgabe.

0 «u6

La

L'„

K.

Analysis. Die Aufgabe reduzirt sich in derselben Art wie in 1233 auf 0 aus L/o p, K, siehe 383. Aufgabe. 0 «u6 La L's, L'V. Analysis. Führt in derselben Art wie in 1233 0 aus L«, (>, L's, siehe 925.

1235.

zu

1236. Ausgabe. 0 aus I,« ^L's, K5z. Analysis. Führt in derselben Art wie in 1233 auf 0 aus Lit, 4>, Ksz, siehe 926. 1237.

Aufgaben.

0 au< L 4= L/s, L"^. aus L.t H/z.

141 In derselben Art wie in 1233 erhalt man

Analysis.

einen zweiten Ort für p, und p; hierdurch ergiebt sich aber p und der gesuchte 0. 1238. Aufgabe.

Analysis.

0 aui Lc

L'1( L"ß.

Führt ganz wie in 1 233 zu

auS Ljuf

p, L'a, siehe 929.

1239.

0 # u 6 La 4 14, K ferner die Aehnlichkeit der gebildeten Figuren mit der ge, gebenen. Die Richtigkeit der Theilung in Hinsicht der Größe rrgiebt sich aber, da nach der Auslösung 3:2:1 — PBC PB'C';PB"C" also auch — B C1: B'C'2: B"C"2, und wegen der Aehnlichkeit schließlich = ABCDE : A'B'C'D'E' ; A" B"C"D"E" sein muß. 1279. Fig. 202. Aufgabe. Einen O durch lauter Kreislinien, welche sich unter einander

151

und die Peripherie des gegebenen © in d e in sel­ ben Punkte B berühren, in n gleiche Theile zu theilen. Analysis. Da sich die Flächen der © © wie die Quadrate der Durchmesser verhalten, bestimmen sich die Pro­ portionen n ; 1 = d* : x1, D : 2 =

AA, weshalb man nur P'P" nach dem Verhältniß m : n zu theilen hat, um einen zweiten Punkt für die gesuchte Lage XY zu erhalten. Lage 2) XY schneidet nicht die Verbindungslinie von P' und P". Verlängert man P'P" bis zur Lage XY, und nennt die Verlängerung x, so muß P'P" + x: x = in :n, also (d. Sublr.) P'P" : in — n = x : n sein, weshalb x, und hiedurch ein zweiter Punkt für die Lage XY bestimmt werden kann.

155

1291. Fig. 156 u. 156. a. Aufgabe. Gegeben P,P',P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die _L Astände dieses Punkts vondenaus

P' und P" aus XY gefällten I I wie m:n verhal, ten (PX:PY — m:n). Analysis. 1) Verlängert man P'X und P"P bis zu ihrem Durchschnittspunkt G, so wäre PX : PY — m: n,

wenn man A XPG hätte.

A YPP", und P"P: PG = m: n

Bestimmt man folglich G nebst P 6 durch die letzte

Proportion, so muß sich auch die Lage von XY als J_ auf GP' ergeben.

Analysis 2). Legt man durch P eine =£ PH zu den _L_L, so crgiebt sich nach 435 P'H : P"H = PX: PY = m : n, weshalb H gegeben ist, und die Lage von XY _L PH bestimmt werden kann. 1292. Ausgabe. Gegeben P,P',K; man soll eine Berühr»ngslinie XY an K legen, deren j_ Abstände von P und P' sich wie m : n verhalten.

Analysis. Ergicbt sich ganz wie in 1290, nur daß man von dem erhaltenen Punkt eine Tangente an X zu legen

hat.

Anmerkung. Diese und die folgenden 4 Aufgaben bilden Analogieen zu 1290, indem nur statt der Punkte ©0 einge,

führt sind.

1293. Aufga be. Gege ben P,P',K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß der _L Ab« stand derselben von P' sich zu der J_ XY an K ge, zogen en Berühr»ngslinie wie m : n verhält.

Analysis. Zieht man durch M eine zu der Be« rührungslinie, so ergiebt sich in beiden Lagen 1290 zu lösen, und es ist schließlich 282 anzuwenden. 1294. Ausgabe. Gegeben P,K, K'; man soll eine Berührungslinie XY an K legen, deren J_ Abstand von P sich zu der j_ XY an K' gezogenen Bcrührungslinie wie m : n verhalt.

156 Analysis. Verfährt man wie in 1293, so crgiebt sich 1292 zn konstruiern. 1295. Aufgabe. Gegeben P, K, KZ; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß zwei J_ XY an K und K' gezogene Berü hrungslinien das Verhältniß in : n erhalten. AnalysiS. Ergiebt sich ähnlich wie in 1293.

1296. Aufgabe. Gegeben K, K', K"; man soll eine Berührungslinie XY so an K legen, daß iroei _L XY an K" und K/ gezogene Tangenten daS Verhältniß m:n erhalten. AnalysiS. Zieht man durch M' und M" ch: -f: zu den . I XY stehenden Berührungslinien, so erhält man 1292 zu konstruiren. 1297. Aufgabe. Gegeben P, Pz, K; man soll eine Berührungslinie XY so an K legen, daß der entstehende Berührungspunkt die Entfernung zwischen den auS P und P' auf XY gefällten ,I I nach dem Verhältniß m:n theilt. AnalysiS. Zieht man durch M eine -f: zu XY, so re, duziri sich die Aufgabe auf 1291, und eS ist schließlich 282 anzuwenden. Anmerkung. Diese und die folgenden 4 Aufgaben bilden Analogieen zu 1291, indem nur statt der Punkte QQ eingeführt sind. 1298. Fig. 180. Ausgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die, ser Punkt die Entfernung zwischen dem aus P' auf XY gefäl lten _l_ und der J_ XY an K gezo, gcnen Tangente im Verhältniß in: n theilt. AnalysiS. Verlängert man LX und P'P bis zu ihrem Durchschnittspunkt G, so wäre PX: PY = m: n, wenn man A XPG A YPT, also PG: PT = m : n hätte. De, stimmt man folglich G nach dieser Proportion, nebst der von

-

157

—

G nach K führenden Tangente GB, so muß sich die Lage von XY j_ GB ergeben. 1299. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß der entste, hende Berührungspunkt die Entfernung zwischen dem aus P auf XY gefällten _L und der J_ XY an IV gezogenen Tangente nach dem Verhältniß m:n theil». An alysis. Zieht man durch M eine -jr zu XY, so re, duzirt sich die Aufgabe auf die vorhergehende. 1300. Fig. 180. u. 181. Aufgabe. Gegeben P, K,IV; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß dieser Punkt die Entfernung zweier J_ XY an K und IV gezogenen Tangenten nach dem Ver, hältniß m : n theilt. Analysis. In Rücksicht auf die 1298 angeführte Ana, lysis, wird man durch Analogie darauf geleitet, wie dort P' nach G verlegt wurde, hier eine Kreislinie, deren Radius sich zu r wie m: n verhält, in der Verlängerung von PM so um O zu verzeichnen, daß PO: PM = m: n wird, und dann zu den (7)0 um O und M' eine gemeinschaftliche Tangente, statt der in jener Aufgabe von G nach K führenden Bcrührungs, linie, zu legen. Die nähere Untersuchung dieser Konstruktion zeigt, daß sich wirklich hiedurch die Lage von XY ergicbt. Auflösun g. Verlängere PM so bis O, daß PO: PM = in: n wird, beschreibe um O einen Q, dessen Radins sich zu r wie m : n verhält, ziehe zu den QQ um O und M' nach 318 eine gemeinschaftliche Tangente, fälle PX j_ B'T, und ziehe die Berührungslinie BY an K 4= B'T nach 282, so ergiebt sich PX : PY = m : n. Beweis. Fällt man aus O und M die I I ON und MO auf XY, so ergicbt sich PN:PQ = PO:PM — in:n, wegen der Ähnlichkeit der AA PNO und PMQ. Nun ist aber nach der Konstruktion OT: MB, oder NX: QY = in: n; man hat also PN: PQ = NX: QY, und daraus d. A. d.

- 158 — h. Gl. PX : PY = NX : QY, also auch PX:PY = m;n w. z. 6. w. 1301. Aufgabe. Gegeben X, X', X"; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß der Derüh, rungspunkt die Entfernung zweier J_ XY an X" und X' gezogenen Tangenten nach dem Verhält, niß m : n theilt. Analysi s. Zieht man durch M eine ch zu XY, so re, duzirt sich die Aufgabe auf die vorhergehende, so daß man nur schließlich bei der Konstruktion 282 anzuwenden Hal. 1302. Aufgabe. Gegeben L =£ I/, P in L, und P' in L'; man soll von P und P' ans zwei sich un, ter Z. a schneidende Linien ziehen, die in L und L* endigen, und von einander in zwei das Der, hältniß m : n enthaltende Absch nitte getheilt werden. Auflösung. Theilt man PP' nach dem Verhältniß m; n, und wendet die beiden Oerter 514 und 320 an, so ergiebt sich der Schneidungspunkl der verlangten Linien. Zusatz. Es lassen sich zwei Paar solcher Linien ziehen. 1303. Fig. 204. Aufgabe. Gegeben L, L', P in L, und P' in L'; man soll von P nach L' eine, und von P' nach L eine andere Linie ziehen, von denen jede die andere in zwei sich wie m:n ver, haltende Abschnitte zerlegt. Analysis. Da PX:XZ = P,X:XY = m:n sein soll, ergiebt sich A PXP' A ZXY, und PP' =4= ZY, weshalb PP'; YZ = m; n sein muß, also YZ be, stimmbar ist, und nach 94 zwischen L und L' geschoben wer, den kann, wodurch sich die Endpunkte der geforderten Linien seststellen. 1304. Fig. 204. Aufgabe. Gegeben L, L', P in L, und P' in L'; man soll von P nach L' eine, und von P' nach!, eine andere Linie so ziehen, daß sich beide unter A a schneiden, und das

159 Rechteck aus den Abschnitten der einen (PXxXZ) dem Rechteck aus den beiden Abschnitten der an, deren (P'X x XY) gleich wird. Analysis. Da XP x XZ--XP'x XY werden soll, geht eine Kreislinie durch PYZP', und es ist Z. XP'Z = Z. XPY, weshalb Z. XP'P — Z. XPP' — z. ZP'P— Z. YPP' bekannt ist. Nun hat man aber auch Z. XP'P 4- Z. XPP' = 2ß — a, folglich läßt sich jeder dieser Z., deren Schenkel die geforderten Linien fest, stellen, nach 101 bestimmen. Zusatz. Auf der anderen Seite von PI" laßt sich ein zweites Paar solcher Linien zeichnen. 1305. Aufgabe. Gegeben L, L', L"; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich die _L Ab, stände desselben von L, L' und L" wie m : n : p verhalten. Analy sis. Die zweimalige Anwendung des Orts 546 für die Verhältnisse m : n, n : p, und die rechten ^2 be, stimmen den gesuchten Punkt. Zusatz. Es ergeben sich stets vier Punkte. Wenn in : n : p = 1 : 1 : 1 ist, bilden diese die Mittelpunkte der GO itn und am A. Anmerkung. Beim Rückwärtseinschneiden mit dem Meßtisch erfordert die Bestimmung des Standpunkts mittelst des sogenannten fehlcrzeigenden A die praktische Lösung dieser Aufgabe. 1306. Aufgabe. Gegeben L, L', L"; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich die aus demselben in vorgeschriebenen nach L, L', L" gezogenen 3 Linien wie m : n : p verhalten. Analysis. Ergicbt sich ganz wie in 1305. Anmerkung. 1305 ist ein einzelner Fall von 1306. 1307. Fig. 205. Aufgabe. Gegeben K und eine festliegende Sehne A B; man soll X in K so bestiinmen, daß sich die Entfernungen dieses

—

160

—

Punkts von A und B = m : n verhalten, oder A

aus a, «, (b:c). AnalysiS 1. Ergiebt sich mittelst 593. Analysis 2. Halbirt man Z. AXB, so bestimmt sich, bflAC : CB=sAX:BX = m : n sein muß, Punkt C; die Verlängerung von XC trifft aber die Mitte D deS Bogens ADB, es läßt sich also die Lage von DC, und hie« durch auch X zeichnen.

1308. Aufgabe.

Es sind 3 Punkte P, P', P" gegeben; man soll einen 4ten X so bestimmen, daß sich die Entfernungen desselben von den übrigen wie m : n : p verhalten. Analysis. Ergiebt sich durch zweimalige Anwendung

des Orts 593.

1309. Aufgabe. Gegeben P, L, K; man soll durch P eine Linie so legen, daß die von P, L und K gebildeten Stücke sich wie m : n verhalten. Analysis. Bei derselben sind in gleicher Art wie in 517 mehrere Fälle zu unterscheiden. Die Auflösung derselben

ergiebt sich mittelst derselben Oerter wie in 517. Anmerkung. Diese Aufgabe ist die Verallgemeinerung

von 517.

1310. Aufgabe. Gegeben P, K und eine fest, liegende Sehne in K; man soll aus P eine S e, kante nach K ziehen, deren von der Sehne gcbil, beten beiden Abschnitte sich wie m : n verhalten. Analysis. Die Aufgabe bildet einen Fall der vorher,

gehenden mit einer andern Einkleidung.

1311. Aufgabe. Gegeben P, X, X'; man soll durch P eine Linie so legen, daß die von P, K und K' gebildeten Stücke sich wie m : n verhalten. Analysis. Bei derselben sind gerade so viel Fälle wie in 530 zu unterscheiden, deren Auflösung sich mittelst der eben,

falls dort angeführten Oerter ergiebt.

161 B nm et Fung 1).

—

Z» dieser Aufgabe gehört auch al-

einjelner Fall die Verallgemeinerung von 338, daß sich näi»,

sich die beiden Sehnen wie m : u verhalten sollen. Die Aufgabe ist die iverallgemeine,

Anmerkung 2).

rung von 530.

1312.

Fig. 206. und 206. ft.

Aufgabe.

E« sind

3 Linien L, L', L" gegeben; man soll ein & bei

schreiben, welche« mit zwei Aspitzen in L und L', mit der dritten und vierten in L" fällt. Analysi«.

Die Lage de« geforderten 0- im A ist g. Es läßt sich aber stet- noch ein zweites

Detr. H. 6. erörtert.

& X'Y'Z'V' bestimmen, welche- mit seinen Aspitzen in die

Verlängerungen von b und c fällt.

Die Lage diese- & er/

giebt sich gleichfalls durch die Höhe AD;

denn zieht man

AE'^X'Y'ic., so ergiebt sich AE':X'Y' == AD:X'V',

da beide Verhältnisse = CA: CX' sind, also AE' = AD, hierauf mittelst C auch

wodurch sich Punkt E',

Y',

und

schließlich da- gesuchte & bestimmen läßt.

Fälle au- A auf a den J_ AD, be,

Konstruktion.

stimme AE' = AE = AD und -f- a.

Zieht man

nun

CY' durch E', ferner Y'X' =£ a, und fällt die J__L Y'Z' und

X'V', so erhält man da- eine da- andere ergiebt sich aber, wenn man E mit C verbinde», YX ch a legt, und die 11 XV unt TZ fällt. Sero ei#.

AE': X'Y' ss CA: CX' == AD: X'V', AE : XY ess CA: CX = AD: XV.

und

Da nun muß auch

1313.

AE' sss AD, und AE » AD ist, X'Y' = X'V', und XY = XV sein.

Fig. 206.

Aufgabe.

In ein festliegend

gegebenes A ein o so einzuschreiben, daß eine Seite desselben

a fällt,

und zwei Nebensei«

ten das Verhältniß m : n erhalten.

HoUeben u. Gerwien Analysis. H.

11

162

Analysis. Verfährt man wie in 1312, so ergiebt sich ter _L A D : A E (4= a) = in : n, weshalb sich die Punkte E und Y, also auch das gesuchte n bestimmen lassen. 21 ninertung. Diese und die folgenden Aufgaben kön, nen sämmilich wie 1312 allgemeiner aufgestellt werden, wo, durch sich 2 verschiedene Resultate ergeben können. 1314. Fig. 206. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A einen y mit einem gegebenen Z. so ein;uschreiben, daß eine Seite desselben ch- a fällt. Analysis. Zieht man au- A nach a eine Linie AD unter dem gegebenen Z., so paßt die Analysis 1312 vollstän­ dig für diese Aufgabe, und zwar in beiden Fällen. 1315. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A einen H so einzuschreiben, daß eine Seite des,

selben -f- a fällt, und das Verhältniß der Grund­ linie zur Höhe — in : n wird. Ana lysiS. Das Verhältniß der Grundlinie, oder über­ haupt einer Seite zur Höhe bestimmt nach 410 einen Z. des y; man hat also 1314 zu konstruiern. 1316. Fig. 206. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein o mit einem gegebenen Z. so einzuschreiben, daß eine Seite desselben a fällt, und zwei Nebenseiten das Verhältniß in:n erhalten. Analysis. Zieht man aus A nach a eine Linie AD unter dem gegebenen Z., so paßt die Analysis 1313 mit Hilfe von 1312 auch für diese Aufgabe.

1317. Fig. 207. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein q so einzuschreiben, daß eine Seite desselben -jx a fallt, und sich die Summe zweier Nebenseiten = s bestimmt.

163

Analysis. Verlängert man XV um XY bis V', so ergiebt sich V'V — s, also die Lage NO a. Die Figur XV'Z'Y bildet aber ein &, folglich hat man 1312 zwischen den Linien AC, AB, NO zu konstruiren, u. s. w. 1318. Fig. 207. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein a so einzuschreiben, daß eine Seite desselben ch- a fällt, und sich die Differenz zweier Nebenseiten — d bestimmt. AnalysiS. Verlängert man XV so bis V", daß XV" = XY wird, so ergiebt sich V V" --- d, also die Lage N'O' a. Die Figur XV" Z"Y bildet aber ein ö-, folglich hat man 1312 zu konstruiren u. s. w. 1319. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein mit einem bestimmten A so einznschrei, ben, daß eine Seite desselben a fällt, und sich die Summe zweier Nebenseitcn — s ergiebt. AnalysiS. Verfährt man ganz wie in 1317, so red», zirt sich die Aufgabe auf 1314. 1320. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein mit einem bestimmten Z. so einzuschrei, ben, daß eine Seite desselben -f- a fällt, und sich die Differenz zweier Nebenseiten = d ergiebt. AnalysiS. Verfährt man ganz wie in 131«, so rcdn, zirt sich die Aufgabe auf 1314. 1320. a. Fig. 207. Aufgabe. In «in festlie, gend gegebenes A ein a, dessen Fläche = P ist, so einzuschreiben, daß eine Seite desselben =£■ a fällt. AnalysiS. _L AU; AU-WU = a : XY. Aber f : XY = WU ; f gegeben,

also ist d. Zus. s. hf mannun vorher g in a

: h — XV =a . XV: f. Bestimmt : f = f : g, so erhält

man durch Zus.s. h : h - XV = XV : g. Mittelst dicser Proportion läßt sich X V »ach 45 / bestimmen, n. s. w. 11 *

164

1321. Aufga be. In ein festliegend gegebenes A ein □, dessen Fläche — f3 ist, mit einem bestimmten A so cinz uschreiben, desselben a fällt.

Analysis.

daß eine Seite

Verfährt man wie in der vorhergehenden

Aufgabe, so bestimmt sich die Höhe des o, die Höhe und der A bestimmen aber dessen Seite, weshalb nur schließlich

94 zur Feststellung des o an;«wenden ist.

1322. Fig. 208. Aufgabe. In ein einen H ein;uschreiben, dessen Seiten den Diagonalen des ch- fallen. (Stehen die Diagonalen j_ zu ein ein­ ander, so ergicbt sich ein ^.) Analysis. XY : e' = AX : a, XV ; e = BX : a, also ist

e

: e' = AX ; BX, und hiedurch

Punkt X gegeben, von dem au- der $ zu konstruiren ist. 1323.

Fig. 209.

Aufgabe.

In ein & ein

ej

so

einzuschreiben, daß zwei Nebenseiten desselben das Verhältniß n : m erhalten. Auflö sung. Theile eine Seile AB in V nach dem Verhältniß m : n, bestimme BV — BX, CX CY, DY = DZ, verbinde die Punkte V, X, Y und Z, so ist

das verlangte n konstruirt. Beweis.

ADZY^ABVX, AAZV^A

CXY, also ist ZX ein □. Mi die schenklig sind, müssen die 4 AA oo sein, folglich hat man ZY:YX

= n: in. Das ist aber auch ein q, da die an den Quadratseiten bei V, X, Y, Z liegenden beiden ^2. jeder JR betragen.

1324. Fig. 210. Aufgabe. In einem festl ir­ gend gegebenen A ABC soll eine ch- XY zu a so gezogen werden, daß sich BY + CX = a ergiebt.

165

Analysis. Es ist, roenn diese Abschnitte durch x und y bezeichnet werden, x: y — b : c, und x-j-y s= a bedingt, folglich lassen sich nach 390 x und y bestimmen. Auslösung. Halbirt man «, so ergeben sich 6 E und LE in a als die gesuchten beiden Abschnitte. 1325. Fig. 210. Aufgabe. Zwischen den Ver# hin gerungen der Seiten b und c eines festliegend geg ebenen A ABC soll eine 4= X'Y' z u a sogt# zogen werden, daß sich BY'-j-CX' = a ergiebt. Analysis 2C. Wie in 1324.

Zwischen den Ver­ längerungen der Seiten b und c eine- festliegend gegebenen A ABC soll eine 4= X'Y' so zu a gezo, gen werden, daß sich CX' — BY' --- a ergiebt. 1326. Fig. 210. Ausgabe.

Analysis. Da CX' : BY' o b : c, und CX' —BY' = a bedingt ist, läßt sich jeder dieser beiden Abschnitte nach 452 bestimmen. Auslösung. Halbirt man den SiebenA von a, so er# geben sich CE' und BE' als die gesuchten beiden Abschnitte,, welche — CX' und BY' zu verzeichnen sind.

Beweis. Zieht man B D 4^ AE', so bestimmt sich ein A ABD, also AB = AD. Da nun CE' : BE' ---CA : AD ist, muß deshalb auch CE' : BE' oder CX': BY' = C A : AB, also X'Y' 4= a sein, wahrend auch wirklich CX' —BY' — CE' —BE' --- a ist. Anmerkung. 1325.

Die Aufgabe bildet eine Analogie zu

1327. Fig. 210. Aufgabe. In einem festlie­ gend gegebenen A ABC soll eine XY so zu a gezogen werden, daß sich BY1 + ^X1 — a* be­ st i m m t.

166

Analysis. Da BY : CX = c : b, und BY3 + CX3 = a2 bedingt ist, lassen sich BX und CY nach 404 bestimmen. 1328. Fig. 210. Aufgabe. Zwischen den Der, längerungen der Seiten b und c eines festlie, gend gegebenen A ABC soll eine ch- X'Y' so zu a gezogen werden, daß sich CX'* — BY'1 = a3 be, stimmt. Analysis. Da CX' : BY' = b : c, und CX'1— BY'1 = a3 bedingt ist, lassen sich BX und CY nach 466 bestimmen.

1329. Fig. 211. Aufgabe. In einem festlie, gend gegebenen A ABC soll eine + XY so zu a gezogen werden, daß sich XY3 = BX3 + CY3 bestimmt. Analysis. Verlängert man BY bis zu einer durch A zu XY gezogenen 4= AD, und legt DE 4r YC, so er, hält man BX : XY = AB : AD XY : YC =: AD ; DE nach 545 , folglich BX : XY : YC = AB~: AD : DE, und BX3: XY3 : YC3 --- AB3: AD3 : DE3. Da nun XY3 — BX3 + YC3 sein soll, muß auch AD3 = AB3 + DE3 = c2 -f- b3 fein. Hiemit ist aber D, also auch DB mit Y bestimmt, durch wel, chen Punkt man XY 4- a zu legen hat.

1330. Fig. 211. Aufgabe. In einem festlie, gend gegebenen A ABC soll eine 41 XY so zu a gezogen werden, daß sich XY x a = BX x YC ergi ebt. Analysis. Verlängert man BY bis zu einer durch A zu XY gezogenen 41 AD, und legt DE 4t YC, so er, hält man

167

BX : XY — BA : AD, und CY : CB = DE : EB, folglich d. Zus. s. BXxCY : XYxCB -- BAxDE:ADxEB, oder BXxCY:XYxa — c.b :x(x|a), Da nun BXxCY — XYxa bedingt ist, muß auch c.b ss x (x + a) sein, weshalb x oder AD nach 459 bestimmt werden kann, u. s. w.

1331. Fig. 212. Aufgabe. Im verlängerten Durchmesser AB ist CD j_ AC; man soll von A eine Linie AXY so nach CD ziehen, daß sich XY --- d bestim mt. AnalysiS. Zieht man BX, so erhält man, da Z. X = R, Z\ ABX -x> A ACY; also ist AC : AX = AX «f* 6 : AB, durch welche Proportion sich AX nach 459 konstrukren läßt.

1332. Fig. 213. Aufgabe. Gegeben L ch L', P in L, P' in L', und P" außerhalb L und L'; man soll durch P" eine Linie P "X Y so legen, daß sich PX : P'Y = m : n bestimmt.

PX : P'Y = P G : P'G, also ist PG : P'G = m : n; aber P'G — PG — PP' gegeben, folglich läßt sich PG nach 452 bestimmen, u. s. ro. Analysis.

1333. Fig. 213. Aufgabe. Gegeben -f- I/, P in L, P' in L', und ein Punkt G in gerader Linie mit P und P'; man soll durch G eine Linie GXY so legen, daß sich PX x P'Y — f* bestimmt. AnalysiS 1). Da P'Y : PX — P'6:P6 ist, und P'Y x P X = f1 werden soll, er« geben sich P'Y und PX nach 462. AnalysiS 2). Oder man bestimme g so, daß P'G:PG = f;g, so ist

168

P'Y : PX = f : g. Dies mit P'Y : f = f : PX verglichen, giebt f : PX — PX : g, durch welche Proper« tlon PX gezeichnet werden kann, und sich dann die Lage der gesuchten Linie ergeben muß. Analysis 3). Denkt man sich, und L', f =x DE zwischen GY und GP' geschoben, so ergiebt sich, da P'Y : DE — P'G : GD, und DE :PX = DG : PG ist, P'Y ; DE = DE : PX aber bestimmt wurde, daß P'G : GD — GD :PG sein muß, durch welche Propor, tion sich GD, also auch Punkt E, und mittelst desselben end, lich die Lage von XY bestimmen laßt.

Anmerkung 1). AuS der Analysis der vorstehenden Aufgabe folgt der Satz: wenn man die mittlere Pro, portionale zwischen dem Abschnitt GP einer Li, nie und der Linie GP' selbst von dem gemein, schaftlichen Endpunkt G des Abschnitt- und der Linie auf der letzteren := GD absetzt, und durch die Punkte P, D, P' 4= Linien legt, so schneidet jede durch jenen Endpunkt G gezogene Linie die 3 ch ch in der Art, daß die mittlere DE mittlere Proportionale wird zwischen den beiden äußeren PX und P'Y. Anmerkung 2). Allgemein, für jede Lage des drit, ten Punkts, ist die vorstehende Aufgabe in 2202 behandelt.

1334. Fig. 214. Aufgabe. Gegeben X. und X/, welche sich in P durchschneiden; man soll eins Linie XY so durch diesen Punkt legen, daß sich PXx PY = F bestimmt. Analysis 1.) Zieht man den Durchmesser EMG, und fallt auf di« Verlängerung desselben den J. YD, so ergiebt sich A PDY • XX, also auch die Lage eines von P auf XX' gefällten J_, wel, cher in die Mitte von XX' treffen muß, da PX — PX' werden soll. Hiedurch ergiebt sich aber Z, und deshalb auch die Lage von XX'. Auflösung. Zeichne AB — a, errichte in der Mine C einen JL CD, ziehe durch C eine 4^ zu L und L', durch P eine 4r $u CD, durch Z eine 4*zu AB, so ergiebt sich XX' als die geforderte Linie. Zusatz< ES ergeben sich 2 Lagen von XX'. 1346. Fig. 224. Aufgabe. Gegeben L, L' und P; man soll X in L, und X in L' so bestimmen, daß PX — PX/, und der von L mit XX' gebildete ZL = a tvitbe

Analysis. Fällt man aus P auf XX' den _L PZ, so ergiebt sich XZ — X'Z, und wegen der gegebenen von XX' nach 538 ein Ort für Z. Nun ist aber mittelst der ->- XX die aller auf XX stehenden folglich auch die Lage von PZ gegeben, es läßt sich also Z selbst be­ stimmen, u. s. w.

176

—

Aufl ösung. Ziehe AB mit der Neigung a zu L, verbinde die Mitte C mit N, errichte in C auf AB den JL CD, lege durch P eine 4= ju DC, durch Z eine ch zu AB, so bildet diese die geforderte Linie.

1347. Fig. 225. Aufgabe. Gegeben L, K und die begrenzte Linie MB^L; man soll zwischen beiden -sreine Tangente XY so legen, daß sich BY = XY bestimmt. Analysis. Fällt man den J_ MG, und zieht GF -fXY, so ist A MGF oj A MCY, also GF : MY = GM : r, oder BY ; MY — GM : r, u. d. A. d. V. El. BM : MY = GM + r : r, weshalb Y, und folglich auch die Tangente YX bestimmt werden kann. Anmerkung. Die Aufgabe ist nur eine andere Ein« kleidung für : A aus b, h', (a 4- b), nämlich h = MG, h' — r, MB ss (a + b). 1348. Fig. 226. Aufgabe. Die festliegende Linie AB ist in C halbirt, in A, C, B sind _L_L er­ richtet, und zwar ist CD = b; (> AB) man soll durch D eine Linie XY legen, welche AB als mitt, lere Proportionale zwischen AX und BY bestimmt. Analysis. Nach 172. a ist 2b --- AX + BY; da nun AX : AB = AB : BY sein soll, find nach 457 AX und BY bestimmbar. Auflösung. Setze BF = 2b ab, und beschreibe über BF einen Halbkreis, so bestimmt der Durchschnitt mit dem _L in A den einen Punkt X. Beweis. XG 4= AB gezogen, ergiebt sich AX-f-BY = 2b = BF = BG 4- BY, also BY = GF. Nun ist über BG : GX — GX ; GF, folglich auch AX ; AB = AB : BY.

—

177

—

1349. Fig. 227. Aufgabe. Gegeben X und P außerhalb K; man soll von P nach K eine Se, f — f, durch welche

und damit auch die Lage der geforder,

Proportion fid) P X,

»en Sekante bestimmen läßt. Auflösung.

einen Halbkreis,

Beschreibe über der Derührungslinie PO

schneide von G aus f als Sehne ab,

binde P mit dem Endpunkt H derselben,

und

ver,

beschreibe um

P mit bcr erhaltenen Sehne eine Kreislinie, so ergiebt sich die verlangte Sekante PY. Determination.

k

Die Aufgabe ist nur möglich, wenn

ist als die Berührungslinie PO. Zusatz.

1351.

Es sind 2 Resultate möglich.

Aufgabe.

Gegeben P, P' und L;

man

f-oll von allen den ^2, deren Schenkel durch P und 1" laufen, mit ihren

Z.spitzen aber

in L faUen,

die Lage bes Scheitels X von demjenigen

dreser

bestimmen, welcher gegen die übrigen vergli,

chen ein Maximum bildet. Analysis. so müssen,

Soll Z. PXP' > Z. PYP' u. s. w. sein,

wenn man durch PXP' eine Kreislinie legt,

Punkte von L außerhalb derselben fallen,

alle

da jeder innerhalb

fallende Punkt einen größeren Z. als PXP* bestimmen würde. Wenn aber außer X alle Punkte von L außerhalb der P und

P' durchlaufenden Kreislinie fallen sollen,

X berühren. Auflösung.

Siehe 1201.

muß dieselbe L in

179

1352. Aufgabe. Gegeben P, P' «nb K; man soll von allen den £, deren Schenkel durch P und P' lauf< n, mlt ihren ^.spitzen aber in K. fallen, 1) die Lage der Scheitel« X von demjenigen die, ser ^2 bestimmen, welcher gegen die übeigen ver, glichen ein Maximum bildet, und 2) die Lage de« Scheitel« X' von demjenigen dieser ^2, welcher gegen die übrigen vergliche« sich al« Minimum ergiebt. Analysi« zu 1). Verfährt man wie in 1351, so er­ zieht sich, daß X der Berührungspunkt einer K von außen berührenden Kreislinie sein muß, welche P und P' durchläuft. Analysis z u 2). Soll Z_ PX'P' kleiner als jeder an, dere Z. sein, dessen Scheitel in K fällt, und mit seinen Scheu, kcln P und P' durchläuft, so müssen, wenn man durch P, X', 1" eine Kreislinie zieht, alle Punkte von K innerhalb dersel­ ben fallen, da jeder außerhalb fallende Punkt einen kleineren Z. al« PX'P' bestimmen würde. Wenn aber alle Punkte von K innerhalb der P und P' durchlaufenden Kreislinie fall len sollen, muß dieselbe K in X' v. I. berühren. Auflösung. Siehe (für da« Maximum und Mini, mum) 577. 1353. Fig.228. Lehrsatz. Legt man durch einen Punkt zwischen den Schenkeln eines festlicgen, den Z. eine gerade Linie, die in dem Punkte hal, birt wird, so bildet die abgeschnittene Fläche ein Minimum im Vergleich zu allen denjenigen A A, welche mittelst einer P durchla »senden Linie in diesem Z_ bestimmt werden können. Beweis. Es soll A ABC A AXY A AX'Y' 1C. sein, da PC = PB ist. Zieht man PG -p AC, so ergiebt sich GB = AG, also GX < AG, und auch XP < PY, GX' aber > GA. folglich auch X'P > PY'.

—

180 —

Nun ist ABXP : APCY = PXxPB : PCxPY, ober ABXP : APCY = PX : PY, und A BX'P : A PCY' — PX'x PB: PC x PY', ober A BX'P : A PCY' = PX' : PY', also muß A BXP < A PCY, und A PCY' < A BX'P; folglich auch A ABC < A AXY, unb A ABC < A AX Y' sein.

III. Hauptftück. Uebungen, welche nicht immer durch dar erste Hauptstück vorbereitet sind.

A. Erster Abschnitt. Aufgaben, welche ohne die Lehre von der Aehn« lichkeit lösbar sind.

istes Kapitel. Dreiecks« und Parallelogramm-Aufgaben. 1354. Fig. VI. Aufgabe. A -|— c — a) zwei

gegeben sind, das dritte bestimmt werden kann. 1355. F-ig. VI. Aufgabe. A au# a, p. (b—c). Analysis, (b—c) = CE — BF = CD — BD, t>a jedes von A oder B oder C an den Kreis mit p führende Tangentcn-Paar dieselbe Größe hat. Nun ist aber CD-f-BD=a gegeben, folglich läßt sich mittelst 105 durch Hilfe von p das verlangte A ABC verzeichnen. Auflösung. Theile nach 105 a oder BC so in D, daß sich CD — DB = (b — c) ergiebt, errichte DO — p JL auf a, und ziehe auS B und C an den mit p beschriebe, nen 0 Tangenten, so ergiebt sich das verlangte A ABC. Beweis. AC — AB = CE — BF = CD — DB

= (b — c), a und p sind aber nach der Konstruktion im A ABC vorhanden. Anmerkung. Aus der Analysis folgt das Gesetz, daß jeder Berührungspunkt des 0 mit p in einem A die z»gehörige Seite in 2 Abschnitte theilt, welche den Unterschied der beiden anlie, genden Seiten zur Differenz haben. 1355. a. Aufga be. A aus b, p, (a+b+c)« Analysis, (a-j-b-j-c) und p bestimmen fa nach 342,

h und f2 aber a nach 185, und (a-|~b-|rc) und a schließ, lich (b+c); man erhalt also A aus a, (b-j-e), p (1354) zu verzeichnen. 1356. Fig. VI.

Analysis.

Aufgabe.

A aus a, p , (b + c).

Schiebt man nach 306 den Q mit p in

ven Z- a, so bestimmen sich die Tangenten AF und AE, also auch BF + CE — BC — (b + c) — (FA + AE), weshalb man nur die Hilfsaufgabe 375 zur Feststellung von a anzuwenden hat. 1356. a. Aufgabe. A aus (a-j-b), p, «. Analy sis. Siehe 1634 Fall 2). 1356. b. Ausgabe. A aus (a — b), p, a.

Analvsis.

Siehe 1635 Fall 1).

183 1357. Aufgabe. A a «S «, (a-|-b + rin Ort für A. Einen zweiien Ort für denselben Punkt erhält man aber nach 320, da Z. G AE = (ß— 7) ist, wenn man CE — (p + q) absetzt.

1380.

Fig. 23. und 23. b.

Aufgabe.

A aus h',

(ß — 7), (b — =)• Analysis. Schneidet man AB = AD ab, so ergiebt sich nach 141 L. DBG = $, und DC = (b — c). Andiesen beiden Stücken und h' laßt sich A DBG nach 788

konstruiren.

1381.

Fig. 23. und 23. b.

Aufgabe.

A aui h",

(ß — /), (b — c). A ualysi s. Tragt man b — M)' ab, so beftitumt sich nach 141 Z_ D GB —

und D' B = (b — c).

Aus

—

187 —

diesen beiden Stücken und h" läßt sich A D'CB nach 783 konstruiren. 1382. Fig. 23. und 23. b. Aufgabe. A aus h', (ß—r), (b 4- c). Analysis. Bestimmt man CG =s (b-s-e), so ergiebt sich A CBG nach 143 = R + —7-^, weshalb sich durch

Hilfe von h' A CBG nach 788 konstruiren läßt. 1383. Fig. 23. und 23. b. Aufgabe. A au« K", (ß — /). ( b + c ). Analyst«. Bestimmt man BG' = (b -f- c), so er#

giebt sich nach 143 A BCG' = R —

weshalb sich

durch Hilfe von h" A BCG' nach 788 zeichnen läßt. 1384. Aufgabe. A au« h, a, fp + q). Analysi«. Durch h und (p—q) bestimmt sich t nach 351; man hat also A au« t, h, a, siehe 1360, zu kon« struiren. 1385. Aufgabe. A au« t, a, (p + q). An alysis. Führt ganz wie in 1384 zu 1360. 1386. Fig. 232. Aufgabe. A an « «, p, (b — c). Analysis. Verbindet man O mit C und B, so be,

stimmt sich A COB = R -}• 7 nach 326.

Nun ist aber

nach dem 1355 entwickelten Gesetz CH —- BH — (b — c), folglich läßt sich A COB durch Hilfe von p nach 1384 zeichnen. 1.387. Aufgabe. A au« p, (b — c), (ß—y). Analysi« 1). Fig. 232. Schneidet inan CH — (b — c) ab, so ergiebt sich A CHB — R 4- p

Nach

326 ist

aber A COB ebenfalls = R -f- 7, folglich liegen die 4

Punkte B, O, D, C in einer Kreislinie, und cs ist A HOC — A HBC = -

y nach >41. Hiciuit zeigt sich das AHOC

188

ans DC = (b — c), dem ScgciiA DOC — @ Q

und der

Höhe OG = () nach 788 konstruirbar, und es läßt sich dar, aus die Zeichnung des verlangten A ABC ableiten. Analysis 2). Fig. 232. Die Linien BO und CO

halbiren die ^2 ß und 7, ei ist also A OBC — A OCB — -

gegeben, während CH — BH — (b — c) nach 1355

sein muß; folglich läßt sich A COB durch Hilfe von p nach

1365 zeichnen. Anmerkung. Aus der Analysis 1) crgiebt sich: 1) daß, wenn inan in einem A nach 325 den über einer Seite mittelst des GegenA gegebe­ nen Kreisort für den Mittelpunkt des O im A

beschreibt, derselbe in jeder anliegenden Seite oder deren Verlängerung den Unterschied die,

ser beiden Seiten als Sehne abschneidet. 2) Fig. 232. 931ftiin in t man CD = (b — c) und verbindet O mit D und C, so ergieb l sich A DOC = Z. DBC = 1388.

Aufgabe.

Analysis.

A aus «, in, (a-f-b-f-c).

Zeichnet man «, so läßt sich m festlegen.

Nach 339 tangirt aber a einen nach derselben Nummer kon, struirbaren Kreisort, folglich hat man durch den Endpunkt von

in an diesen Ort eine Bcrührungslinie zu legen. Zusatz. Es sind 2 -2? Resultate möglich.

1389.

Fig, 233. Aufgabe. A aus a, b, (a -j-b-f-c).

Analy si s 1). Denkt man sich in Rücksicht auf 130 BC um CE = CA, und BD = BA verlängert, so bestimmt

sich DE = (a + b + c), und A DAE = A DAB + A CAE 4- A BAC =

j« = 21t~" + « =

R + —, weshalb durch Hilfe von h A AED nach 788 kon-

189

struirt werden kann, und nur 72 anzuwcnden ist, um B und C, und hiedurch A ABC festznstellen.

Analysis 2).

« und (a 4- b -f- c) bestimmen, wenn

man | (a + b + c) auf den Schenkeln von « absetzt, den O

von 339.

Beschreibt man nach der Konstruktion desselben um A

einen zweiten O mit h, so hat man daher nur für beide O O

eine gemeinschaftliche Berührungslinie nach 318 zu verzeichnen, um die Lage von a, und hicinit das verlangte A ABC fest/

zustellen. 1389. a.

A aus a, b, q.

Aufgabe.

Durch a und h ergiebt sich P nach 185,

Analysis.

durch P und q nach 342 (a + b + c), durch (a + b + c) und

a endlich (b 4- c); man hat also A aus a, (b + c), q, siehe 1354, zu verzeichnen.

1390.

Fig. X.

Aufgabe.

out a, h', Z. (cc').

a und h' geben nach 114 Z_ BCA. Zieht

Analysis,

man durch E eine -j- zu b, so halbirt dieselbe a, weshalb sich mittelst des vorhergenanntcn Z. ein Ort für E bestimmen läßt.

Der

zweite Ort ergiebt sich mittelst a und Z. (cc') nach

320 U. s. w.

1391.

Fig. 185.

Aufgabe.

A aus a, b, c um

A NOO. Analy sis. Durch a, b, c ist A ABC der Gestalt und Größe nach bestimmt, also auch jeder von den ß, und y gegeben.

Mittelst NO und «, und NQ und y bestim­

men sich aber nach 320 zwei N, O, A, und N, C, Q durch­

laufende Kreislinien, also hat man nur durch N nach 372 so die Seite b

zu

legen,

daß ihre beiden Endpunkte in jene

Kreislinien fallen, u. s. w. Anmerkung.

Mittelst dieser Aufgabe kann auch die

korrespondirende: A »u# a, b, c in A NOQ gelöst wer­ den,

indem man ein A aus a, b, c zeichnet, um dasselbe

ein A NOQ

A bestimmt, und die in den Seiten dessel­

ben erhaltenen Abschnitte in den Seiten des gegebenen A NOQ

190 nachbildet, u. f. w. zu finden. 1392.

Eine selbstständige Auflösung ist 1989

Fig. 234.

Ausgabe.

A au- c, ß so um

A NO Q, daß h durch P läuft. Analysis. A NAP ist = R — ß gegeben, weshalb

sich mittelst NP nach 320 eine N, P, A durchlaufende Kreis, linie zeichnen läßt. In derselben Art ergiebt sich aber durch N Q und ß eine andere N, B, Q durchlaufende Kreislinie, folglich hat man zur Feststellung von A und B mittelst c nur 372 anzuwenden, u. s. w.

1393. Aufgabe. A aus (a-j-b), (h'-j-li), g, Analysis. Durch (a + b) und (b* + h) erhält man 7 nach 149, und hat also A aus 7, g, (a + b) (1356) zu verzeichnen. Zusatz. möglich.

1394.

Nach

149

Aufgabe.

sind

zwei

verschiedene Resultate

A aus (a — b), (IV — h), g.

Analysis. Durch (a — b) und (h*—b) erhält man 7 nach 152, und hat daher A aus 7, g, (a— b) (1386) zu

verzeichnen. Zusatz. Nach 152 find zwei verschiedene Resultate möglich. 1395. Aufgabe. A aus (a + b), (h' + h), r. An alysis. Führt wie in 1393 zu 795. 1396. Aufgabe. A aus (a — b), (IV— b), r. Aualysis. Führt wie in 1394 zu 795. 1397. Aufgabe. A aus (iV—h), 7, r.

Analysis. siehe 795. 1398.

Führt durch 152 zu A aus (a—b) 7, r,

Aufgabe.

Analysis. siehe 1356.

A aus (h'^-h), 7, g.

Führt durch 149 zu A aus 7, g, (a + b),

1399. Fig. 50. und Fig. 50. a. (a + b + h+h'), 7, c.

Aufgabe.

A aus

191 Analysis.

Da«

DCE bc« Lehrsatzes 148 läßt sich

nach 644 mittelst (a + b + h + h') und y zeichnen, und be­ stimmt einzeln (a 4- b) oder CD, und (h' + h) oder DE, weshalb man die Aufgabe: A aus (a

b), /, c, siehe 642,

zu lösen hat.

1400. Aufgaben.

A aus (a + b + b-f-b'), r A aus (a-j-b-j-h-f-b'), 7, (>.

Analysis. Führt wie in 1399 zu 795 und 1356. 1401. Aufgabe. A aus (a-j-b-s-b-f-b'), r, c.

Analysis.

Durch c und r ergiebl sich nach 321 y\

timn hat also 1399 zu verzeichnen. 1402. Fig. 50. und. Fig. 50. a. Aufgabe. A aus [(a+b) — (h'4-b)], y, c. Analysis. Das DCE des Lehrsatzes 148 läßt sick nach 645 mittelst / und [(ab) — (h'-J-h)] zeichnen, also (a + b) oder CD bestimmen, weshalb sich die Aufgabe auf A ans (a + b), yt c (642) reduzirt. 1403. Aufgaben. aus [(a + b) - (h' + h)], y, r. A «u« [(a+b) — (h' + b)], y, Q. Analysis. Führt wie in 1402 zu 795 und 1356.

1404.

Aufgabe. A [(a + b) —(h'fh)], c, r. Analysis. Führt durch 321 zu 1402. 1405. Fig. 51. und Fig. 51. a. Aufgabe. A ans [(a-b) + (h'-h)], y, c. Ana lysis. Das DCE des Lehrsatzes 151 läßt sich nach 644 mittelst y und [(a — b) + (h' — h)] zeichnen, also (a — b) oder CD bestimmen, weshalb sich die Aufgabe auf A aus (a — b), y, c (643) reduzirt.

1406.

Ausgaben. A aus [(a-b) + (h'-h)], y, r. A au« [(a—b) + (h' — h)], y, p. Analysi«. Führt wie in 1405 zu 795 und 1386.

1407.

Aufgabe. A au« [(a —b) + (h'—b)], c,t. Analysi S. Führt durch 321 zu 1405.

192 1408. Fig. 51. und Fig. 51. a. Aufgabe. ((a —b) - (h'_ h)], 7, c.

A aus

Analysis. Das DCE des Lehrsatzes 151 läßt sich nach 645 mittelst 7 und [(a — b) — (h' — h)] zeichnen, also (a —b) oder CD bestimmen, weshalb sich die Aufgabe auf A aus (a —b), 7, c (643) reduzirt.

1409.

Aufgaben.

A aus [(a-b) — (h'-h)], 7, q. A aus [(a—b) - (h'—h)], /, r. Analysis.

Führt wie in 1408 zu 1386 und 795.

1410. Aufgabe. A au 6 [(a — b)~(h'_h)],c, r. Analysis. Führt durch 321 zu 1408. 1411.

Fig. 235.

(Dergl. 567). Analysis.

Aufgabe.

A aus (b-s°c), «, m.

Legt man in — AD in « fest, so ergeben

sich die gleichen J__L DF und DE, der zu denselben gehörende 0 um D, und CF + EB — (b-J-c) — (AF + AE). Zieht man die a ={= Tangente NQ, und legt ferner durch D zu b und c die 4= DG und DI, so entstehen, da ND und QD die bei N und Q halbircn, die $$ CG und BI. Hieraus

folgt NC = NG, und QB = QI. Nun ist aber auch NF = NH, und QE — QH, folglich muß d. S. CF = GH, und BE = IH, also CF + BE oder (b + c) — (AF + AE) — 61 sein. Ferner ist noch im A DGI Z_ GDI — « (H: Schenkel) und die Höhe DH gegeben, also läßt sich nach 788 zunächst A GDI, und hierauf schließ/ lich auch das gesuchte A ABC zeichnen.

Anmerkung 1). Aus der Analysis folgt das Gesetz, daß in jedeln A AQN drei durch den Mittel, punkt D des 0 im A den Seiten -j- gezo,

gene Linien Gl — CE -j- EB bestimmen. Anmerkung 2.) Durch ähnliche Hilfsmittel lassen sich die Aufgaben 1388 und 1389, die erstere auf die letztere, und umgekehrt, zurückführcn.

— 193 —

1412. Fig. 235. Aufgabe. A aus (b — c), «, m. (Sergi. 567). Analysis. Durch gleiche Schlüsse wie in 1411 ergiebt sich CF — BE = GH - HI. Da nun AF = AE, also CF — BE = (b — c) ist, muß deshalb GH — HI = (b — c) sein. ES ist aber noch im A DGI A GDI = a, und die Höhe H = DF bekannt, folglich läßt sich dieses A DGI nach 1384, und damit auch das verlangte A ABC zeichnen. Anmerkung. Oertlich genommen konnten die Aufga, bcn 1411 und 1412 auch eingekleidet werden: durch einen Punkt in der HalbieungSlinie eines A eine Linie zu legen, welche eine bestimmte Summe oder Differenz der Schenkel abschnei, bet. Diese Ausfassung führt zu einem bekannten Linien, Aufgabensystem, siehe 1940 u. s. w. 1412. a. Fig. 235. a. Aufgabe. A aus b, ß, (« + !•). Analysis. Sucht man (a-|-1>) als gerade Linie zu benutzen, und legt deshalb ADC so in die Verlängerung von BC, daß CE — AD = h, und daher CF — CA = b, A CFE aber = y wird, so ergiebt sich, da A CFE -f- A FCE — R ist, auch A ACD + A FCE = R, weshalb A ACF ebenfalls = R sein muß, folglich A, C, und F fest, liegen. Nun hat man aber ferner durch b und ß nach 320 ei, nen KreiSort für B, und durch FC und A FEC = R einen zweiten gleichfalls C durchlaufenden Kreisort für E, also kann, da BE = (a + h) gegeben ist, die Aufgabe durch 372 gelöst werden.

1412. b. Fig. 235. a.

Aufgabe.

A au« b, ß,

(a - h).

Analysis. Schließt man ähnlich wie in 1412. a, so reduzirt sich die Aufgabe auf 1608, da CB — CE = (a—h), und sowohl der A B, als der A E gegeben ist. Hollcben u. Gerwicn Analysis. H.

13

194

1413.

Fig.

A aus

Aufgabe.

2.3.

(?—' und p" fest, so daß die Auflösung mit der Kon, struktion der beiden gemeinschaftlichen Tangenten HS unb R'G nach 318 vollendet werden kann. Anmerkung. AuS der vorstehenden Analyst- ergicbt sich da- folgende Gesetz: jede gemeinschaftliche Berührung-linie zweier 0Q am A, welche die Centra le nicht durch,

schneidet, hat mit der Summe zweier Seiten de- A, ton denen keine in jene Berührung-, linie fällt, dieselbe Größe, z.B. QS ist — (afc\

1420.

Fig.236.

Aufg abe. A aus (a—b), p, p'".

Analysis. Sucht man die Linien a und b mit den 00 von p und p'" in Verbindung zu betrachten, so wird man wie in 1418 bemerken, daß IS' = AC — b ist. Nun kennt man aber ES' = BC = a (nach 373), folglich muß

IE = (a—b) sein. Da nun p und p'" gegeben sind, 6c, stimmen sich durch die Punkte W und O mit den zugehörigen 00 nach 318 die Tangenten FQ' und DQ, und hiedurch daS gesuchte A ABC. Anmerkung. AuS

der vorstehenden Analysis

ergiebt

sich folgendes Gesetz: die gemeinschaftliche Berührungslinie des Q im A und eines 0 am A, welche die Cen trale durchschneidet, hat mit dem Unterschiede zweier

Seiten des A, von denen keine in die genannte Tangente fällt, dieselbe Größe; z.' B. ist GF

— AC — AB = (b — c).

198

1421. Fig. 236. Aufgabe. A aus p", p'", (/?—;'). Analysis. Nach 145 ist A (mh) ober A UAG' = —-. Nun ist nach 1417 A UAY — R, folglich muß

- sein, weshalb man nur zwi-

A UYA ebenfalls — e

schen die Schenkel dieses A nach 79 O Q' und R' N, oder p"* und p" zu schieben hat, um die Mittelpunkte der Q0 um O und N, und mittelst der gcmeinsckaftlichen Tan, genten R'Q', RI und HQ nach 318 auch das verlangte A ABC festzustellen. Anmerkung. Aus der vorstehenden Analysis ergiebt sich das Gesetz: die HaIbirungslinie jedes AußenA eines A bildet mit der nicht den Scheitel desselben tref­ fenden Seite einen A, der mit dem halben Un, terschiede beider an dieser Seite liegenden in­ neren ^2 des A gleiche Größe hat.

1422. Fig. 237. Aufgaben. A aus a, r, p'". (Analogieen zu 824.) A aus a, r, p". Analysis. Verlängert man DA, so ergibt sich nach 1417, daß A DAF, welchen AD mit AK oder der Lage von m bildet, also auch A EAF = R i(l, folglich EF ein Durchmesser sein muß, weshalb sich EC — EB, und A ECB = R — -y bestimmt. Hieraus folgt, daß A ECD --- A

ECB — A DCB = R—

= 4 ist.

Nun

bildet aber A CEA das Supplement zu /?, ist daher 2R — ß, und deshalb A EDC als dritter A des A CED ebenfalls =

folglich muß EC s EB = ED

sein, womit sich der Halbmesser eines Kreisorts für D gege­ ben zeigt, da man den Mittelpunkt E nach der Feststellung

199 von a in Lein mit r beschriebenen Q al« Endpunkt eine« _L

a stehenden Durchmessers desselben, Radiu« Eß zeichnen kann.

und

hiedurch auch den

Die um q*u von derILage a ent«

fernte 4" bildet ferner einen zweiten Ort für D, also laßt sich

dieser Punkt, und schließlich durch ED auch A bestimmen,

womit A ACB festgestcllt ist.

Durch eine ähnliche Analysis

ergiebt sich derselbe O um E als Ort für den Mittelpunkt G

des zu q" gehörenden Q, weshalb der Punkt G, sobald q" gegeben ist, durch die um qu von der Lage a entfernte 4 fest«

gestellt,

und hiemit da« verlangte A ABC abgeleitet wer,

den kann. Au« der

Anmerkung.

vorstehenden Analysis er,

giebt sich,

daß mittelst a und r, oder a und « ein Kreisort für die Mittelpunkte der beiden Q O am A, welche b und c selbst berühren, gezeichnet wer,

den kann.

1423.

Aufgabe.

Analysis 1). von 1387.

s=

A au« (b-j-o), q“',

Fig. 237.

Analogie zu

(£—/). Analysis 1)

Verbindet man B mit H, so ergiebt sich A CHB

da der CentriA CEB = « ist.

Hieraus folgt aber

CH — (b + c), und A CBH (nach 143) = R + — weshalb nach 320

und

1422 ein Ort für D

bekannt ist.

Den zweiten Ort giebt die um q"* von CH entfernte -j-, folg« sich läßt sich D, also auch die an den 0 um D führende Tangente CN mit B, und die Lage der Berührungslinie B A feststellen, woraus die Zeichnung de« verlangten A ABC her,

vorgeht. Analysis 2).

Fig. 236.

Wie in 1419 findet sich

R'O' = (b + c), und wie in 1421 A R'YN — also das

NR'Y bestimmt,

S—y

weshalb man nach der Kon,

strultion desselben nur R'Q' — (b + c) abznschnciden, und in

200

Q' einen J_ zu errichten hat, um den zweiten Mittelpunkt O festzustellen. Mittelst dieser Punkte O und N, und den zuge, hörigen DD muß stch aber dnrch 318 das verlangte A ABC konstruircn lassen. Anmerkung. Aus der Analyst 1) ergiebt sich, daß eine nach 320 über der Summe zweier Sei, ten mittelst des Unterschiedes ihrer Gegen^ konstruirbare Kreislinie einen Ort für die Mit, telpunkte der beiden OO am A bildet, welche diese Seiten selbst berühren.

2tes Kapitel. Vierecks • Aufgaben aller Art. 1424. Fig. 238. A A, A C.

Aufgabe. ^3 aus c, d, (a + b),

Analysis. Bestimmt man AG = (a + b), AF = (d-j-c), so ergiebt stch FG mittelst A AFG. Nun ist aber AFCC = ^5 + A C + ^5 — 2R — A A—A C folglich hat man nach 320 einen Ort für C. Der zweite Ort ergiebt sich, wenn man um D eine Kreislinie mit c beschreibt, «. s. w. Zusatz. ES sind 2 verschiedene Resultate möglich. 1425. Aufgabe. ^3 aus o, d, (a — b), AA, AC. Analysis. Fall 1). Fig. 230. a i(l b, d c. Bestimmt man AG = (a — b), AF — (d — c), so ergiebt stch FG mittelst A AFG. Nun ist aber A FCG s= AC

- A DCF - A GCB = A C - R +

-R+

^77^ — ^—————1 folglich hat man nach 320 einen Ort

201 für C; ter zweite ergiebt sich, wenn man um D eine Kreis, linie mit c beschreibt u. s. w. Fall 2.) Fig. 239. a. b i(t a, c d. Bildet man die Analysis Fig. 239. a. von C aus, wie in Fall 1) von A, so ergiebt sich über FG ein Ort für A durch A FAG

=s

~

ct und ein zweiter Ort aus D durch d u. s. w.

Fall 3.) Fig. 239. b. a ist b, c d. Be, stimmt man AG = (a —b), AF = (c—d), so ergiebt sich FG mittelst A AFG. Nun ist aber A FCG — A FCD

— A GCD = R —

— A C 4- R — — —

2_ a A C ---------- --------- ; folglich hat man nach 320 einen Ort für C;

der zweite ergiebt sich, wenn man «m D eine Kreitlinie mit c beschreibt, u. s. w. Fall 4.) Fig. 239 c. b ist > a, d > c.

Die Ana,

lysis Fall 2) paßt, auf Fig. 239. c. angewandt, auch für diesen Fall. Zusatz.

Es sind in allen 4 Fällen 2 verschiedene Re,

sultate möglich.

1426.

Fig. 52.

Aufgabe.

Al aus e, e', (a-J-b),

A (e e'), A (ae). Analysis. Durch e, e', A (ee') ergiebt sich das 162 angeführte o DBFG. In diesem läßt sich A BCF

nach 637 konstruiern, da FC + CB = (a + b), FB = e, A CFB = A (ae) gegeben ist, u. s. w. 1427. Aufgabe. AI aus e, e', (a — b), A (ee'),

A (a e). Analysis.

Ergiebt sich ganz wie in 1426; nur ist

638 statt 637 zu benutzen. 1428. Fig. 52. Aufgabe.

Al auS e, e', (a + b),

A (ee'), A (ae'). Analy sis. Durch e, e', A (ee') ergiebt sich das 162 angeführte □ DBFG. In diesem läßt sich A BFC

—

202

nach 637 konstruiren, da FC BC = (a + b), FB s e, A CFB = Z. (e e') - Z. (a e') gegeben ist, u. s. w.

1429. A (a e').

Aufgabe.

c3 aus e, e', (a — b), A (ee'),

Analysis. Ergiebt sich ganz wie in 1428; 638 statt 637 zu benutzen.

nur ist

1430. Fig. 52. Aufgabe. aus a, c, A (ee'), (e + e'), (A B + Z. C). AnalysiS. Zieht man CFa, und BF -h e, so zeigt sich A DCF auS A DCF = (A B + A C), VC — c, CF = a bestimmt, also DF gegeben.

Mittelst DF, DB -}BF — (e + e'), und A DBF — A (ee') kann man aber ferner A DBF nach 642 zeichnen, folglich läßt sich auch das gesuchte

ABCD bestimmen.

1431.

Aufgabc. aus a, c, (e—e'), A (ee'), (A B + A C). Analysis. Ergiebt sich ganz wie in 1430; nur ist

643 statt 642 zu benutzen. 1432. Fig. 52. Aufgabe.

aus e, e', (a-f-c),

Z. (ae), (Z. B + Z. C). Analysis. Zieht man CF a, BF 4= e, so zeigt sich £3 DBIC aus DB = e', BF = e, Z. CFB — Z. (ae), FC + CD = (a + c), und Z. DCF = (Z. B + Z. C)

bestimmt. Da nun die Konstruktion desselben mittelst ähnlicher Hilfsmittel wie in 672 vorgenommen werden kann, läßt sich auch das geforderte ABCD konstruiren. 1433. Aufgabe. aus e, e', (a — c), Z_ (a e),

(Z_ B + Z. C). Analysis. Ergiebt sich wie in 1432. 1434. Fig. 52. Aufgabe. aus s. e\ Z. A. Z. C und der Summe der aus BundDauf vge,

fällten Höhen. Analysis, e, e' und die Summe der Höhen bestim, men da? 162 angeführte o DBFG, da sich jene Summe als Höhe dieses ergiebt. Nun ist ferner Z, GCF = Z.

203

A, und Z. DCB = Z. C gegeben, also läßt sich der Punkt C mittelst doppelter Anwendung de« 320 angeführten Orts bestimmen, u. s. w.

Zusatz.

E« sind 2 verschiedene Resultate möglich.

Aus der vorstehenden Analysis geht her,

Anmerkung.

vor, daß nicht bloß e, e', Z. (e e'), sondern auch e, e' und

die Summe der beiden aus den Endpunkten der einen Diago, nale auf die andere gefällten Höhen das 162 angeführte o bestimmen.

1435.

Fig. 52.

cA

Aufgabe.

aus «, Z. (e e'),

Z. A, (A C + Z. D), ii nb der Summe der aus B

und D auf « gefällten Höhen. Analysis,

die Summe der Höhen

e, Z. (ee') und

bestimmen das 102 angeführte me als Höhe dieses o ergiebt.

DBFG, da sich jene Sum,

Nun ist ferner Z. GCF —

Z. A, und Z. GCB = (Z. C + Z. D) gegeben, also läßt sich der Punkt C mittelst doppelter Anwendung des 320 «nge, führten Orts bestimmen, u. s. w.

Aus der vorstehenden Analysis geht her,

Anmerkung.

vor, daß nicht bloß e, e', Z. (ee'), sondern auch e, Z. (ee') und die Summe der

1436.

auf e gefällten

aus B und D

Höhen

bestimmen.

das 102 angeführte Fig. 240.

r^\ au« e. e'. ts-t-d).

Aufgabe.

Z. B, und der Summe der au« C und D auf e ge,

fällten Höhen. Analysis,

e, e' und die Summe der Höhen bestim«

men das 162 angeführte o DBFG, da sich jene Summe als Höhe FI dieses o durch

ergiebt.

Nun ist ferner A BCF

FB = e, FC + CB = (a4-b), und Z_ BCF =

der Punkt C zeichnen,

Z. B konstruirbar, folglich

läßt sich

u. f. w. Auflösung.

BF = e,

Ziehe

Summe der Höhen FI entfernte

eine um di« gegebene

DG zu BF, schneide FG

= e' «b, und vollende o FD. Dann beschreibe ferner über

— 204

FB nach 320 einen 0, dessen Abschnitt BHF den —— faßt,

schneide FH = (a + b) ab, lege mittelst 72 die Spitze C des A HCB fest, und ziehe die 4? 4= BA und DA zu FC und GC, so ist das gesuchte c3 ABCD gezeichnet. Zusa tz. Es sind 4 verschiedene Resultate möglich. 1437. Aufgabe. aus e, e', (a — b), Z. B ttnb der Summe der aus B und D auf e gefällten Höhen. Analysis re. Ergiebt sich ähnlich wie in 1436. 1438. Fig. 240. Aufgabe. ^2 aus s, (a 4- b), Z. (ee'), Z. B und der Suinme der aus B und D auf e gefällten Höhen. Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie in 1436, nur daß sich hier das o DBFG mittelst FB = e, Z. FBD — Z. (ee'), und FI — der Summe der Höhen bestimmt. 1439. Aufgabe. cH «11 $ e, (a — b), Z. (ee'), Z. B und der Summe der aus B und D aus e ge­ fällten Höhen. Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie in 1438. 1440. Fig.241. Aufgabe. ^2 aus a, c,(Z.B-s-Z.C), Z. (be), Z. (de'). Analysis. Da (Z. B -s- Z. C) den Z. (ac) bestimmt, und a und c gegeben sind, man aber nach der in den g. Dctr. §. 29. bemerkten Analogie a und c als Diagonalen e und e', und Z- (ac) als den von denselben gebildeten Z. (ee') be, trachten kann, so läßt sich vermuthen, daß mittelst einer 162 analogen Konstruktion sich ein für die Analysis der Aufga­ ben vortheilhaftes zeichnen läßt. Zieht man deshalb, statt durch B und D, hier durch C und D =£4= mit a, bestimmt DG und CF — a, und verbindet B mit G und F, so bildet DGFC das analoge □, in welchem DG = a, DC = c, und Z. CDG ss Z. (ac) ist, während sich zugleich Z. GBD SS L. (de'), und Z. CBF e= Z_ (1> e) ergiebt. Diese Lage der gegebenen Stücke führt nun wirklich zur Konstruktion des

205 geforderten da sich mittelst a, c und Z_ (ac) = 2R — (Z. B + Z. C) das DGFC konstruircn laßt, und mittelst der Seiten DG, CF und ihren Gegen ^2 (de') und (be) Punkt B nach 320 fcstgcstellt werden kann, also schließlich nur durch C und D 4= 4= iu FB und GB zur Bestimmung des

vierten Punktes A von dem geforderten ABCD zu legen sind. Anmerkung 1). Eben so bildet c2i aus a, c, Z. (ac), e, e' eine Analogie zu aus e, e', Z. (ee'), a, c indem sich DF aus a, c, Z. (ac), und hierauf Punkt B mittelst e und e' bestimmen läßt. Doch kann die Aufgabe auch auf einem anderen Wege gelöst werden. Anmerkung 2). Aus der vorstehenden Analysis folgt der Hilfssatz:

daß sich durch a, c, Z. (ac) analog

mit 162 ein zur Analysis der theilhastes bestimmt. 1441. Fig. 241. Aufgabe.

Au fgaben vor,

aus a, c, (b-}-e),

Z. (c e), (Z. B + Z. C). (Analogie zu 1428.) Analysis. Schließt man wie in 1440, und zieht des, halb DG und CF = und ch a ic., so zeigt sich DF durch a, c und Z. GDC = 2 R — (A B + A C) bestimmt, wah, rend sich Z. CFB — z. CAB = A (a c) + A (ec), und CB 4- BF = (b 4- e) ergiebt, woher A CBF nach 637

konstruirt werden kann, u. s. w. 1442. Aufgabe. c3 auS a, c, (e—b), Z. (ce), (Z. B + Z. C). (Analogie zu 1429.) Analysis. Ergiebt sich ganz wie in 1441; nur ist

638 statt 637 zu benutzen. 1442. a. Fig. 255. Aufgabe.

c23 aus e, e', A

A, A B, A C. Analysis.

Nach 320 ergiebt sich durch e' und A A

der Q um A ADB. Verlängert man b und c bis zu der Peripherie desselben, so bestimmen sich mittelst der ^2 D und

B die Sehnen AI und AN.

Legt man diese Sehnen in dem

206 0 fest, so erhält man aber auch NI, folglich läßt sich a). Analysis. Ergiebt sich wie in 1443, wenn man durch C eine zu d legt. 1445. Fig. 34. Aufgabe, cd aus e, e', A (de'), A (e e'). Analysis. Durch e, e', A (ee') läßt sich das 171 angeführte A BDF zeichnen. In demselben ergiebt sich BH =f= d, da A DBH = A i(de') gegeben ist. Folglich läßt sich A bestimmen, wenn man durch B und D 4= £ ju DF und BH zieht, und es ist schließlich AC -p BF zu legen, um das verlangte o ABCD zu erhalten.

207

1446.

Fig. 34.

Aufgabe,

cd

au«

e,

e', A

(ee‘),

A (d e).

Durch e, e', A (ee') läßt sich das 171

Analysis.

angeführte A DBF zeichnen.

BH -j- 6, da Z. FBH —

läßt sich A feststellen,

In demselben bestimmt sich

A (de) gegeben

ist.

Folglich

wenn man durch B und D

zu

DF und BH zieht, und es ist schließlich AC -f- BF zu legen, um das verlangte cd ABCD zu erhalten.

1447.

Fig. 34.

Aufgabe.

cd

au< a, c, A (be),

Z. (de); (c ist > ->). Anal ysis.

Sucht man zugleich da« 171 und das 169

angeführte A zu benutzen, so findet sich DH = a, und des, halb FH — c, woher nach 320 durch Hilfe des A HBF = A (de) ein Ort für

B gezeichnet werden

kann.

Nun ist

aber auch FC — a, und A CBF = Z. (be) gegeben, folg, sich läßt sich nach 320 ein zweiter

Ort für

B bestimmen,

und nach Feststellung dieses Punktes mittelst a das verlangte CD ABCD konstruiren.

1447. a.

Fig.34.

Aufgabe. CD aus b, d, A(be),

A (de).

Analysis.

Sucht man zugleich das 171 und das 169

angeführte A zu benutzen, so findet sich A HBF = A (de),

A CBF = A (b e),

also

A HBC = A (d e) — A

(be), und zugleich BH = d, BC = b gegeben, weshalb A cd

ABCD abgeleitet werden kann,

indein man durch B eine ch: zu

CH legt, und A BCA =

BHC konstruirt, und hierauf A (be) bestimmt n. s. w.

1448.

Fig. 34.

Aufgabe.

CD aus a, c, A (be'),

A (de); (c ist > a).

Analysis.

Sucht man zugleich das 171 und das 169

angeführte A zu benutzen, so findet sich DH = a, und deshalb

FH = c, woher nach 320

durch Hilfe des A HBF — A

(de) ein. Ort für B gezeichnet werden kann.

Nun ist aber

durch DC = c, und A DBC — A (be*) ein zweiter On

208 für B nach 320 gegeben; folglich läßt sich nach Feststellung dieses Punktes mittelst a das geforderte C3 ABCD zeichnen. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Der Anfänger wird vielleicht die nach 320 mittelst Z. (be') und Z. (de) gegebenen Oerter über c beschreiben, und nun die Hilfsausgabe bilden: ch-der gemein, schaftlichen Sehne zweier ©Q zwischen die Peripherieen derselben eine Linie a zu schieben. Diese Aufgabe wäre jedoch auch nur gelöst, wenn man entweder die Sehne um a vcr, längcrte, und wie in der vorstehenden Analysis verführe, oder wenn man 1587 benutzte. 1449. Fig. 34. Aufgabe. □ au# a, c, Z. (be), Z. (de'); (c ist > a). Analysis. Sucht man zugleich das 171 und das 169 angeführte A zu benutzen, so findet sich DH = CF — a, Z. DBH — Z. (de'), Z. FBC --- Z_ (be), solglid) läßt sich durch wiederholte Konstruktion des Orts 320 über DH und CF Punkt B feststellen, und hierauf da- verlangte C3 ABCD ableiten. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 1449. a. Fig. XIX. Aufgabe. C3 aus b, d, Z. (be), Z. (be'). (Vergleiche 1808.) Analy sis. Durch b, Z. (be) und Z_ (be') ist A BCE bestimmt. Da nun diese- A = A AED sein »nutz, damit AB CD ist, zeigt sich aber auch A AED aus der Fläche, A (ee') und d nach 873 konstruirbar, folglich muß sich durch Zu, fammensetzung beider AA das verlangte a ABCD ergeben. 1450. Fig. 119. Aufgabe, o ail< e, e', Z- (be), Z. (de). Analogie zu 1449. a. (Vergleiche 1809.) Analysis. Verlängert man b und d bis zum Durch, schnkttSpunkt G, so zeigt sich A AGC durch e, Z. (be), Z. (de) konstruirbar. Nun ist A AGC = A GBD, folglich kennt man von dem letzteren e', Z. G und die Fläche, wes, halb sich durch die fernere Zeichnung dieses A nach 873 das verlangte o ABCD ergeben muß.

209

1451. Fig. 242. Aufgabe, o if 835 re!duzirt ist. 1489. Fig. 52. Aufgabe. cA aus P, a, e, e', A D. Analysis. Führt wie in 1488 zu 836. 1490. Fig. 52. Aufgabe. cA aus P, e, e', A c, A D. Analysis. Führt wie in 1488 zu 837. 1491. Fig. 52. Ausgabe. cA aus P, e, ez, A

A, A C. An alysis. 1492. Fig. (d e), A (be). Analysis. 1493. Fig.

Führt wie in 1488 zu 838. 52. Aufgabe. cA aus P, e, e', A Führt wie in 1488 zu 664. 52. Aufgabe. cA auS P, e, e', a, A

(be'). Analysis. Führt wie in 1488 zu 665. 1494. Fig. 52. Aufgabe. cA auS P, a, e, A

(ee'), A C. Analysis. Durch P, e und A (ee') läßt sich nach 695 daS 162 angeführte □ DGFB verzeichnen, also e' fat stimmen, womit die Aufgabe auf 835 reduzirt ist.

220 1495. Fig. 52. Aufgabe. aus f3, a, e, A (e e'), A D. AnalnsiS. Führt wie in 1494 zu 836.

1496. Fig. 52. (e e'), A C, A D.

Aufgabe.

aus f1,

e, A

Analysis. Führt wie in 1494 zu 837. 1497. Fig. 52. Aufgabe. cA aus f2, e, A (ee'),

A A, Z C. Analysis. Führt wie in 1494 zu 838. 1498. Fig. 52. Aufgabe. aus f3, e, A(ee'), A (d e), A (be).

AnalysiS.

Führt wie in 1494 zu 664.

1499. Fig. 52. Aufgabe. cA aus f3, e, A (ee'), a, A (b e'). Analysis. Führt wie in 1494 zu 665. 1500. Fig. 254. A, Z. B.

Aufgabe,

n ant f1. a. c, A

Analysis, a, A A und A B bestimmen A ABN, weshalb A DNC auS der Fläche = f3 + A ABN, c und A N nach 873 konstruirt werden kann, und schließlich die Punkte A und B des gesuchten cA mittelst a und A A nach 94 festzustellen sind. Ist A A -f- A B < 2R, so crgicbt sich der Schneidungspunkt von b und d auf der Seile von c, also die Fläche des zu bestimmenden A gleich der Fläche des gegebenen A — f3. A A | Z B = 2ß giebt endlich die en Aufgabe 714. 1501. Fig. 254. u. 254. a. a, (b + c+d), A A, A B.

Aufgabe, ^A aus f2,

Analysis. Fall 1) A A + A B i|t > 2R. a, A A und A B bestimmen A ABN, weshalb A DNC aus der Fläche = f3 + A ABN, A N und dem Umfange —

(b + c + d) -f- AN + NB nach 1482 konstruirt, und hierauf a durch A A nach 94 zwischen CN und DN, zur Vollendung des gesuchten cA ABCD, geschoben werden kann. Fall 2) Fig. 254. a. A A + A B i(t < 2 R.

a,

221 A A unb A B bestimmen A ABN, und hiedurch die Fläche des A DNC — A ABN — f1, nebst einem A N dessel­ ben A. Beschreibt man nun zur ferneren Bestimmung die, seS A NCD in dasselbe einen Kreis, so «giebt sich c — IC + OD, und deshalb 18 -f- OA — (b 4- c 4- d), also NI + NO — NB + NA — (b + c d) bekannt, woher der konstruirte Kreis gegeben ist, und A NCD nach 1483 festgestellt werden kann.

1502.

Fig. 52. Aufgabe. Al aus f3, e, e', (a4- b),

Z- (a e). Analysis. Führt wie in 1488 zu 1426. 1503. Fig. 52. Aufgabe. AlauSP, e, e', (a—b), Z- (ae). Anal yfiS.

Führt wie in 1488 zu 1427.

1504. Fig. 52. Aufgabe. Al aus f3, e, e', (a 4- b), Z- (ae') Analysis.

Führt wie in 1488 zu 1428.

1505.

Fig. 52. Aufgabe. A) auS (a-b), A (ae'). Analysis. Führt wie in 1488 zu 1429.

P, e, e',

1506. Fig. 52. Aufgabe. Al auS P, a, c, (e4-e'), (A 8-4-A C). Analyl iS. Zieht man CF ch a, und BF ch: e, so zeigt sich A DCF aus A DCF = (A B 4- A C), DC = c,CF — a bestimmt, also DF gegeben. Mittelst DF, DB -s- BF und der Fläche DBF — P, ($■ BFGD), kann man aber ferner A DBF nach 1485 zeichnen, folglich läßt sich auch das gesuchte Al ABCD bestimmen.

1507. Fig. 52. Aufgabe. A) auS P, e, (a 4- b), A (ee'), A (ae). Analysis. Führt wie in 1494 zu 1426.

1508. Fig. 52. Aufgabe. A (ee'), A (ae). Ana lysis.

A) aus P, e, (a — b)(

Führt wie in 1494 zu 1427.

222

1509.

Fig. 52.

Aufgabe.

cO aus f3, e, (a-f-b),

A (a e'), A (e e'). AnalysiS. Führt wie in 1494 zu 1428.

1510.

Fig. 52.

Ausgabe.

au - f3, e. (a —b),

Z. (a e'), A (es'). Anal ysis. Führt wie in 1494 zu 1429. 1511. Fig. 34. Aufgabe. cd a us f2, a, e, e'. Analysis, f3, v und e' bestimmen nach 194 das 171 angeführte A DBF, also auch den A (e e'), weshalb sich

die Konstruktion des cd wie in 682. a. vollenden laßt. 1512. Fig. 34. Aufgabe. CD aus f3, b, e, e'. Analysis. Führt wie in 1511 zu 682. b. 1513. Fig. 34. Aufgabe. CD aus f3, e, e', A A. Ana lysis. Führt wie in 1511 zu 682. e. 1514. Fig. 34. Aufgabe, cd au6 f3, e, e',

Z- (b e). Analysis. Führt wie in 1511 zu 682. f. 1515. Fig. 34. Aufgabe, cd au- f3, e, e', Z.

(be'). AnalysiS. Führt wie in 1511 zu 682. g. 1516. Fig. 34. Aufg abe. cd aus f3, a, e, A(ee').

Ana lysis. f3, e und A (e e') bestimmen nach 695 da- 171 angeführte A DBF, weshalb sich die Konstruktion wie in 682. a. vollenden läßt. 1517. Fig. 34. Aufgabe, cd au S f3, b, A (es').

deS

cd

e,

AnalysiS. Führt wie in 1516 zu 682. b. 1518. Fig. 34. Aufgabe. CD an« f3, e, A(be), A (be'). Analysis, f3, e und A (b e) + A (be') = A(ee*) bestimmen da- 171 angeführte A DBF,

weshalb sich die

Konstruktion deS cd wie in 682. f. vollenden laßt. 1519. Fig.34. Aufgabe, cd au« f3, a, c, A(ee'). Analysis, f3, (a-j-c) und A (e e') bestimmen nach 873 da- 171 angeführte A BDE, weshalb sich die

—

223

—

Konstruktion de- verlangten cd durch Hilfe von a beendi­ gen läßt. 1520. Fig. 34. Aufgaben. CD au- f®, (a4-b), e, e'. CD au- f®, (a — b), e, e', Anal ysi-. Führt wie in 1511 zu 690. 1521. Fig. 34. Aufgabe, CD au- k®, (a + b), e, A (e e'). Analysis. Führt wie in 1516 zu 690.

1522. Fig. 34. Aufgabe, CD au- f®, b, (a + c + e + e'), A (e'c). Analysis. Durch f®, (a + c -f- e + e') «nd A (e'c) laßt sich da- 171 angeführte A BFD nach 1482 konstrnircn, und hierauf mittelst b da- verlangte cd ableiten. 1523. Fig. 34. Aufgabe, cd au S f®, e, s', A (de'). Analysis. Führt wie in 1511 zu 1445. 1524. Fig. 34. Aufgabe, cd au - f2, e, e', A (de). Analysis. Führt wie in 1511 zu 1446. 1525. Fig.34. Aufgabe, cd au- f®, (a-f-c-J-e+e'), A (ee'), A (de). Analysis. Durch f®, (a + c+e + e') und A (ee') laßt sich da- 171 angeführte A BDE nach 1482 konstrui­ ern, und hierauf mittelst A (de) das geforderte cd ableitcn. 1526. Fig. 34. Aufgabe, cd au- f®, e, e', (A 0 + A D). Analysis. Führt wie in 1511 zu 1452. 1527.. Fig. XXL Aufgabe. im O au- s®, e, e', r. Analysis. Führt wie in 1488 zu 852. 1528. Fig. XXL Aufgabe, d ii» t®, e, e', A A. Analysis. Führt wie in 1488 zu 854.

— 224 — 1529. Fig. XXL Aufgabe. Al im © au« P, e, e', Z. (be). Analysis. Führt wie in 1488 zu 856. 1530. Fig. XXL Aufgabe. Al im © aus P, e, r, Z. (e e'). Ana lysis. Führt wie in 1494 zu 852. 1531. Aufgabe. Al im O auS P, s, Z.A, Z-(ee'). Analysis. Führt wie in 1494 zu 854. 1532. Fig. XXL Aufgabe. Al im O auS P, e, Z. (be), Z. (ee'). Analysis. Führt wie in 1494 zu 856.

1533. Fig. XXII. Aufgabe. Al um © aus P, (a + b+c + d), Z. A, Z_ B. Analysis. Verbindet man den Mittelpunkt O des in dem Al liegenden Kreises mit den ^spitzen desselben, so er­ geben sich 4 AA, welche die Seiten des Al zu Grundli, nien, und die gleiche Höhe q haben, weshalb die Summe ih,

rer Flächen oder P =

sein muß, und

nach 185 bestimmen läßt. Legt man nun um den zu gehörenden © die A und B nach 336, so ergiebt sich

sich q q

a, und hiedurch auch c s= a

a-s-c =s b-f-d =

c

— a, da nach 294

ftin muß, woher nur

schließlich zur Feststellung von c die Hilfsaufgabe 375 anzu­ wenden ist. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Aus der vorstehenden Analysis folgt das Datum: die Flache, der Umfang und der Halbmesser des Kreise« im Al stehen bei jedem Al um © in solcher Beziehung, daß sich mittelst zwei von den genannten Stücken da« dritte be, stimmt.

225

1534. Fig. XXII. Aufgabe. s= d, also hat man nur zwei ch Tan» Hvllcbrau. GerwicnAnalysis, ll. I»

226

genten an den Q mit g zu legen, und nach 95 und 282 b und d festzustellen. Zusatz. Es sind 4 Resultate möglich, von denen aber je zwei sind. 1539. Wie im vorhergehenden Kapitel sind nachstehend auch hier einige Aufgaben zur besonderen Uebung deS lers im Auffinden neuer Gesetze, Daten rc. zusammengestellt. Ausgabe. Fig. VI. A aus P, g*. Analysi 6. Durch a unb g* bestimmt sich (a 4-b4- c) nach 339 ; man hat also A aus «, (a + b + c), f3 nach 1482 zu konstruiren. 1540. Fig. VI. Au fgabe. A aus P, p, p'. Analysis. P und p bestimmen 0» + b + c) nach 342. Durch (a-^b-J-c) und p' bestimmt sich aber a nach 339; schiebt man also noch den O mit g in A a nach 306, und zieht eine gemeinschaftliche Tangente nach 318, so ergiebt sich das verlangte A.

1541. Fig. 236. Aufgabe. A au6 P, a, p'. Analysis. Die Fläche des A ABC ist = A MCA + A MBA — A MBC, welche AA dieselbe Höhe g* und die Grundlinien b, c und a haben, also einem A gleich sein müssen, dessen Grundlinie (b-s-c — a), und dessen Höhe p' ist. Verwandelt man also A A B C = P in ein anderes mit der Höhe p', so ergiebt sich die Grundlinie = (b + c—a) oder 2 AE. Nun ist aber ES' = a nach 373 gegeben, folglich AS', und mittelst p' auch a bekannt, so daß nach der, mittelst A E möglichen Feststellung des O um W, durch 318 die Zeichnung deS verlangten A ABC beendigt wer den kann. Anmerkung. AuS der Analysis der vorstehenden Auf­ gabe ergiebt sich daS Datum: wenn 2 von den 3 Stücken P, p', (b 4- c — a) gegeben sind, ist auch das dritte be­ stimmt.

227 1542.

Fig. 2Z6.

Aufgabe.

A au< f3, (b+c), q*.

Analysis. Durch f3 und q' bestimmt sich wie in 1541 EA -f- AD = (b + c — a). Zieht man diese Länge von b + c »b, so ergiebt sich C D + B E = a, womit die Aufgabe auf die vorhergehende zurückgeführt ist.

1543.

Fig. 236. Aufgabe. A an# f3, q', ß. Analysis. Durch q‘ und ß bestimmt sich nach 330 BG, und durch q* und f3 nach 1541 AD, welches Datum zu benutzen versucht werden muß. Da nun DQ — FQ' ist, so läßt sich vermuthen, daß DA — BQ', und AQ ss BF sein

wird. Dies findet sich aber auch bestätigt, da nach 373 DA + AQ = AI + IB ist, folglich, wenn man AQ=sAI

von beiden Summen fortnimmt, DA = BI = BQ' übrig bleibt. Es ist daher GQ', und damit auch der 0 um O mittelst der Lage von B1VI gegeben, so daß man, nach der

Zeichnung desselben, nur die gemeinschaftliche Tangente 8 Q nach 318 zu konstruiren hat, um das verlangte A ABC zu

erhalten. Anmerkung.

Aus

der

vorstehenden Analysis et»

giebt sich, 1) daß in jedem A die Entfernung des Bcrührungspunkts Q' eines O am A von dem End, punkt B derjenigen Aseitc, welche diesen 0 geradezu tangirt, eben so groß ist, als der Ab, stand des zweiten Endpunkts A derselben Ascit« von einem Berührungspunkt D

des Kreises

im A. 2) daß in jedem A der von einer Aspitze B

und dem Berührungspunkt I eines 0 am A begrenzte Abschnitt einer Seite Mit demjeni« gen Abschnitt derselben Seite gleiche Größe hat, welcher in dem zweiten Endpunkt A die­

ser Seite und in dem Berührungspunkt E des Q im A endigt. 1544. Fig. 236. Aufgabe. A au- f3, q‘, b.

228

Analysis. Der Versuch g' und b verbündt« zu bc trachten wird auf dem in 1418 dargcstelltcn Wege GQ' = A C = b ergeben. Durch s3 und g' ist AD nach 1541 be kannt. Diese Linie mit Q'G in Verbindung gesetzt zeigt wie in 1543 AD — BQ', also GB = GQ' — BQ' =3 b—AD gegeben. Durch GB und g* ist aber die Lage von AS', und mittelst dieser und BQ' der 0 um O bekannt, folglich bc, stimmt sich schließlich das verlangte A ABC, wenn man nach 318 die gemeinschaftliche Tangente S Q zeichnet. 1545. Fig. 249. Aufgabe. auS s3, e, (a-J-b), A D so zu konstruiren, daß sich ein 0 beschrei­ ben laßt, welcher b, c und die Verlängerungen von a und d berührt. Analysis. Nach 1471 ist a -f- b = d c, folglich laßt sich A CDA aus e, A D und (d -f- c) nach 642 zeich­ nen. Hiedurch crgicbt sich aber die Fläche des A ABC = f3 — A ACD, so daß auch dieses A durch Hilfe von e und (a + b) nach 1485 festgestellt werden kann, womit die Zeichnung des gesuchten cA ABCD vollendet ist. 1546. Fig. 249. Aufgabe. ans f3, a, c, A C so zu konstruiren, daß sich ein 0 beschreiben läßt, welcher b, c und die Verlängerungen von a und wie in 1 553 mit Hilfe von 948» 1562. Fig. 258. u. Fig. 258. a. Aufgabe. 0 aus 1 tii L« Analysis. Berühr, v. A. Ziebt man M^ und TD durch den Berührungspunkt B, so ergiebt sich (wegen — Wechsel MD 4? L, weshalb die Punkte D und B, und daher auch p, festgestellt werden können. Berühr, v. I. Es paßt dieselbe Analysis, wenn man statt Wechsels Gegen^. liest, aber für Fig. 258. a. Z u s a iz. Es sind zwei Resultate möglich. Determination. Liegt P im Durchschnittspunkt emer von den beiden J_ $u L an K gezogenen Tangenten, so ist die Aufgabe überhaupt unmöglich. Ist ? in L zwischen die­ sen beiden Durchschnittspunkten gegeben, so ist nur -eine dop­ pelte Berührung von Außen möglich. Befindet sich aber P in L, außerhalb der zwischen jenen Durchschnittspunkten bestimm, ten Linie, so ist sowohl eine Berührung v. A. als eine Be, rührung v. I. möglich. Anmerkung. Die vorstehende Aufgabe reduzirt sich eigentlich auf A MP^ auS a = MP, (b— c) = r, ß = A MP/*, oder A aus a, (b — c), weshalb sich für dieselbe leicht eine zweite Analysis bilden ließe. 1563. Fig. 259. nnd 259. a. Aufgabe. © auS Lai 1\, P in K. Analysis. Ber. v. A. Fällt man aus einen auf L, und verlängert denselben bis F, so ergiebt sich A

DF/t = -y, und deshalb A D^F — 2k — a.

Zieht man

nun DG durch P, so bestimmt sich MG 4= also auch, wenn man 1H _L L durch M zieht, A IMG = 2R — a (4r Schenkel), und A GMH = «. Folglich läßt sich der Punkt G, und schließlich auch bestimmen. Auflösung. Fälle auS M einen _L auf F,- zeichne A HMG = a, ziehe durch P aus G und M gerade Linien,

232 und lege durch D eine ch- zu MG, so ergiebt sich die gesuchte

Kreislinie, wenn man einen © um p mit P^t zeichnet.

Der. v. I.

Die

vorstehende

Analysis

und

Auflösung

paßt auch für diesen Fall, wenn inan statt Z. HMG = «,

Z. HMG = 2R — « liest, und die Fig. 259. a benutzt. 1564.

Aufgabe.

Analysis.

Daus La, K, P in L.

Ergiebt sich wie in 1563, nur daß hier

der Berührungspunkt zuletzt bestimmt werden muß.

1565.

in L.

Fig. 260.

© aus Pb,

Aufgabe.

L, P'

(359)

Analy si s 1).

Denkt man sich um P mit b einen ©

beschrieben, so wird derselbe von dem gesuchten recht Z. durch, schnitten, weshalb sich durch Pb und P' nach 363 ein Ort für

fi bestimmen laßt.

Den zweiten giebt der in P' auf L er,

richtete J_. Analysis 2)

Schneidet man jwD --- /uP ab, so be» A ^DP', also P O = b, wonach

stimmt sich A («BP

sich D, und folglich auch p-, wenn

man A DPjtt benutzt,

nach 72 in dem in P' auf L errichteten J_ seststellen läßt. 1566.

in K.

Fig. 260.

Aufgabe.

© aus Pb, K, P'

(359)

Analysis.

Zieht man in P' eine Tangente an K, so

ergiebt sich die Aufgabe 1565 zu lösen.

1567.

Aufgabe.

Analysis.

O aus P', P", Pb.

(359)

P' und P" bestimmen nach 72 einen Ort

für zr, P' oder P" und Pb nach 363 den zweiten. Anmerkung.

Eine bessere Analysis erhält man durch

den Tangentensatz.

1568.

Aufgabe.

An alysis.

O aus P, P'b,, P"b,,.

(359)

P und P'i,< bestimmen den einen, P und

P"b" den zweiten Ort für p nach 363. Anmerkung. 1569.

© aus Kj, L, P in L.

Kd und P bestimmen nach 366 einen Ort Den zweiten bildet der in P auf L errichtete J_.

Analysis.

für f*.

Wie in 1567.

Aufgabe.

233 Anmerkung. Eine bessere Analysis erhalt man durch den Sehncnsatz. 1570. Aufgabe. O aus Kd, K', P in IV. Analysis. Zieht man an IV in P eine Berührungs­ linie, so erhält man 1569 ju lösen.

Anmerkung. 1571.

Wie in 1569.

Aufgabe.

I», I", Kd. (Vergl. 1209).

Analysis. Kd und P bestimmen nach 366 einen Ort für f*. Der zweite ergiebt sich durch PP' nach 72. 1572. Aufgabe. P, Kd, KV. (Vergl. 1211.) Analysis. Kd und P bestimmen nach 366 den einen, und KV und P, gleichfalls nach 366, den zweiten Ort für 1572. a. Aufgabe. 0 aus 1", P, Kd. (Vergl. 1227). Analysis. Pb und P' bestimmen nach 363 den einen, F und Kd nach 366 den zweiten Ort für

1572. b.

Au fgabe.

nung 955. a.) Analysis.

0 aus P, P', Kd.

(Bezeich,

P und Kd bestimmen nach 369. a. den

einen, P und F nach 72 den zweiten Ort für /e.

Den Ra­

dius bildet juP. Zusatz. ES sind zwei Resultate möglich. 1572. c.

Aufgabe.

nung 955. a.) Analysis.

O aus P, Fb, Kd.

(Bezeich,

P und Kd bestimmen nach 369. a. den

einen, P und P'i, nach 363 den zweiten Ort für p. Radius bildet /eP.

Zusatz.

1572. d.

Wie in 1572. b. Aufgabe.

nung 955. a.) Analysis.

O aus P. Kd, K,d'. (Bezeich,

P und K'd' bestimmen nach 369. a. den

einen, und P und Kd nach 366 den zweiten Ort für fi. Radius bildet z»P. Z u sa ß.

Den

Wie in 1572. b.

Den

234

1573 Fig. 261. imb 261. a. Aufgabe. © aus Kb, L, P in Jj. (360) Ana lysis. Zieht man durch M eine zu BB' oder I), und beschreibt einen dieselbe berübrenden konzentrischen © um p, so ergiebt sich PP' L, und — B'B" — r, weshalb eine P' durchlaufende Linie L' 4= L gegeben ist, und sich die Aufgabe auf 1565 reduzirt. 1574. Fig. 262. Aufgabe. Gegeben K, L, P in L; man soll einen O zeichnen, welcher L in P berührt, und K so durchschneidet, daß zwei aus M und p nach einem D urchschnittspu nkt D gezo, gene Linien einen Z. a einschließen. A natysis 1). Sucht man den gegebenen Radius r, und a mit P verbunden zu betrachten, und zeichnet deshalb Z. I^PE = «, PE — r, so ergiebt sich ME, und, wenn man F, die Mitte dieser Linie, mit p verbindet, MD^F P/^FE, also Z. MF^ = Z. EF^, und es laßt sich des, halb ein Ort für p bestimmen. Den zweiten Ort giebt der in P auf L errichte J_. Analysis 2.) Errichtet man in D einen j_ auf D^, so ergiebt sich Z. MDB — a — R oder = R — «, also auch der aus M auf DB gefällte J_ und ßD, welche Linie sowohl den um M durch MB gegebenen O als den gesuch­ ten berührt. Hiedurch reduzirt sich aber die Aufgabe auf 1573. 1575. Aufgabe. Kb, IV, P in K'. (360) Analysis. Legt man in P an IV eine Berührungslinie, so ergiebt sich 1573 zu konstruiren. 1576. Fig. 262. Aufgabe. Gegeben K, K/ P in IV; man soll einen O zeichnen, welcher IV in P berührt, und K so durchschneidet, daß zwei aus M und nach einem Durchschnittspunkt D gezogen e Linien den Z a ein schließen. Analysis. Legt man an IV in P eine Berührungslinie, so erhält man 1574 zu lösen.

235 1577. Aufgabe. PV, Kd. (359.) A n sysi s. Kd und Pb bestimmen nad) 368 den einen, und Kd und P'b', gleichfalls nad) 368, den zweiten Ort für y,\ der Radius des gesuchten O ergiebt sich ober als Kathete des von (LtV und h bestimmten £\. Anmerkung. Nach 2087 lißt sich die Aufgabe auf 0 aus P, Pz, P" reduziren. Eine 3 te Auflösung ergiebt sich, wenn man mit b und b' ©0 um P und P' zeichnet, einen dritten die letzteren beiden 00 beliebig Ichneidenden 0 konstruirt, die entstandenen gemeinschaftlichen Sehnen verlängert, u. s. w., siehe die Anmerkung von 362, und 368.

- 1578. Aufgabe. O aus ?b, Kd, K'(P. (359). Analysis. Ergiebt sich ähnlich wie in 1577. Anmerkung. Wie in 1577. 1578. a. Aufgabe. 0 aus Pb, P'b', Kd. (Dezeich, nung 955. a.) Analysis. Pb und Kd bestimmen nach 369. b. den einen, und Pb und P'b' nach 362 den zweiten Ort für Den Radius bildet die Tangente, welche aus p nach dem um P mit b gezeichneten O führt. Zusatz. Es sind 2 Resultate möglich.

1578. b. Aufgabe. 0 aus Kd, K'd', K"d". (Be­ zeichnung 955. a.) Analysis. Kd und K'd' bestimmen nach 369. d den einen, und K'd* und K"d" nach 367 den zweiten Ort für Den Radius bildet der von p bis K reichende _L auf /tM. Zusatz. Wie in 1578. a.

1578. c. Aufgabe. 0 aus Pb, Kd, K'd#. (Be­ zeichnung 955. a.) Analysis. Pb und Kd bestimmen nach 369. b den einen, und Kd mit K'd/ nach 369. d. den zweiten Ort für Den Radius bildet die Tangente, welche aus p nach de»n um P mit b gezeichneten 0 führt. Zusatz. Wie in 1578. a.

236 1579. Aufga be. O ans P>, Pzi/, Pzzb" oder: g egeben K, Kz, K"; inan soll einen Punkt X so be/ stimmen, daß die aus demselben nach K, Kz, K" führenden G Berührn ngsli nien gleiche ß A n g e eu halten. (359.) Analysis. Pb und Pzi/ bestimmen nach 362 den ei/ neu, und Pb und P"b", gleichfalls nach 362, den zweiten Ort für der Radius des gesuchten O crgiebt sich aber als Kathete des von /d? und b bestimmten Anmerkung 1.) Nach 2083 läßt sich die Aufgabe auf O aus P, Pz, Pzz reduziren; am besten ist aber die fol/ gende Auflösung. Beschreibe um P, Pz, PZ ©Q mit b, bz, bzz, zeichne eine beliebige diese 3 ©0 schneidende Kreis­ linie, verlängere die enstandenen gemeinschaftlichen Sehnen, und fälle auS zwei von den 3 hiedurch bestimmten Durch, schnittSpunkten einen J_ auf diejenige Centrale, deren Kreis­ linien von den Sekanten diese- Durchschnittspunkts getroffen werden, so ist der Mittelpunkt p des gesuchten © be, stimmt. Der Halbmesser ergiebt sich endlich, wenn man aus dem zuletzt genannten Punkt p eine Tangente an einen von den um P, Pz, Pzz gezeichneten ©© legt. Beweis. Folgt aus der Anmerkung von 362. Anmerkung 2). Schneiden sich alle drei um P, Pz, Pzz mit b, bz, b,z gezeichneten OO, so schneiden sich auch die drei bestimmten gemeinschaftlichen Sehnen in einem Punkt. Derselbe müßte auch durch die Konstruktion von Anmerkung 1) hervorgehen, ersetzt also den Mittelpunkt In die Stelle eines von jenen drei ©© _L durchschnittenen O, läßt sich nur eine von jedem derselben halbirte Kreislinie zeich­ nen, siehe 1904. d. 1580. Aufgabe. © aus Kj, Analysis. Kd und K'd* bestimmen nach 367 den einen' und Kd und K"d", gleichfalls nach 367, den zweiten Ort für der Radius des gesuchten O ergiebt sich aber als Kathete des von 31^ und r bestimmten

237 Nach 2085 läßt sich die Ausgabe aus

Anmerkung.

Dan«?, ?', ?" rcduziren.

Am besten wird die Auflösung,

wenn man nach der Anmerkung von 367 einen K, K', K"

beliebig schneidenden 0 zeichnet, die entstandenen gemeinschaft­ lichen Sehnen verlängert u. s. w.

1581.

Um die drei Winkel­

Aufgabe.

Fig. 236.

spitzen eines festliegend gegebenen A 3 sich be-

rührende 00 so zu konstruiren, daß zwei die, ser

00

vom

dritten

umschlossen

werden.

(Vergl. 986.) Analysis.

den

Man denke sich

umschließenden

um A, und die umschlossenen um B und C beschrieben.

0

Nach

301. 1) müssen die Berührungspunkte in die Seiten fallen,

l

weshalb die in denselben errichteten

I

GM, SM und 8 Al

Verbindet man nun den

gemeinschaftliche Tangenten bilden.

Durchschnittspunkt M zweier von diesen

l

l

SM und S'M

mit einer Aspitzc A, so ist «, wie sich leicht ergiebt, halbirt. Dasselbe zeigt sich durch Wiederholung bei einer 2tcn Aspitzc

C, in Beziehung auf die J

|_ GM und SM, also treffen die

drei Berührungslinicn in einem dem

Mittelpunkte eines

sein lassen sich nun

O

gegebenen Punkte, nämlich

am

A, zusammen.

Aus die,

die Berührungspunkte in den Seiten,

und mittelst derselben die geforderten

00, mit den Radien

AS, CS, BS', ableiten.

Zusatz.

Es ergeben sich dreimal, drei der Aufgabe gc,

nügende 00, da sich 3 Mittelpunkte von 00 am A: M,

N und O seststellcn lassen.

Faßt man also die Aufgabe ganz

allgemein mit 986 zusammen, so zeigen sich 4mal drei

00,

welche die gegebenen Bedingungen erfüllen. 1582.

Fig. 264. II. 264. a.

Au fgabc.

Gegeben

L, L', L"; man soll drei sich gegenseitig

, ', "

berüh­

rende 00 mit den Radien q q q so verzeichnen, daß ein Mittelpunkt in L, der zweite /«' in der dritte

in L" fällt.

238 Analysis. Nach 301. 1) müssen bei der Berühr, v. A. die Seiten des A fifi'fi" p -|- p', p'-f-p", p" -f- p,

und, wenn ein O die beiden übrigen umschließt, p — p', p' + p" und p — p" sein, weshalb man nur das gegebene A jtt" in das von L, L', L" bestimmte Dreieck einzu, schreiben Hal, welche Aufgabe nach Anincrkung 1391 oder nach 1989, Fall 2., gelöst werden kann. 1583. Fig. 263. Aufgabe. In gleicher Ent«

fernung vom Scheitel M eines festliegenden A

sind 2 Punkte P und P' gegeben;

man soll zwei

O O mit einer vorgeschriebenen Summe der Ra« dien (p + p') beschreiben, welche die Schenkel, der eine in P, der zweite in P', und sich untereinan, der v. A. berühren.

Analysis. Da PM = P'M ist, und die O O sich in B berühren, läßt sich vermuthen, daß B M die gemein, schaftliche Berührungslinie bildet. Schneidet man, um dies zu untersuchen, P'E = P^, PF = P>' ab, wodurch man EM — und FM = fi' M erhalt, so findet sich A Mju.'E A A Mfi/i' A A MjtiF (drei — Seiten), woraus also auch A

— A P'^t'M,

und A B^M — AP^tM,

A A P>'M, und A B^M A A PM

(2 Seiten und die eingeschlossencn -^2 =s) hervorgcht, folg, sich A jttBM = («PM = R, und demnach BM wirklich

eine gemeinschaftliche Bcrührungslinie, und — PM und P'M

Hin muß. Hieraus «giebt sich ferner, wenn man um M mit MP einen O beschreibt, daß die — (p + p') gegebene Cen­ trale eine Bcrührungslinie zu demselben bildet, während sie in den der Lage nach gegebenen JLJ_ PG und P'G endigt, wes,

halb,

da auch der © um M bekannt ist,

nur die Aufgabe

375 gelöst werden darf, um die gesuchten Mittelpunkte p. und

zu erhalten. 1584. Fig. 264. und Fig. 264. a. Aufgabe. Es ist das festliegende A ABC gegeben; man soll in dasselbe drei

sich gegenseitig

berührende

QQ

239 q',

mit den Radien Q, Q mit p die b,

und

der

(?*'

so beschrei ben, daß der

Seite a,

der 0

mit

die

0

p"

Verbindet

Analysis.

man

Berührungspunkte« in a, b, c, j_j_

mit p' die Seite

Seite c tangirt.

die

Mittelpunkte mit den

so bestimmen die erhaltenen

p, p', p" nach 79 die Lage der Linien L, L', L",

weshalb jur Lösung dieser Ausgabe 1582 zu verzeichnen ist.

5tes Kapitel. Gemischte Aufgaben. Gegeben

und L'; man soll

eine Linie a mit bestimmter

zwischen K und

1585.

Ausgabe.

K' legen. I. MM' ifl > r+r'. Fig. 265. 1) a soll =£ MM' fallen. Siehe g. Betr. H. 20.

Analysis.

Erster Fall,

a ist < MM'.

Auslösung.

Bestimme M'G — a,

eine j^reislinie mit r',

zeichne um G

und lege durch A und B eine 4= zu

MM', so bildet AC oder BD die verlangte Linie a.

Determination.

Die Aufgabe wird unmöglich, wenn

MM' — a /> r 4~ r', oder

Zweiter Fall, Ist nur möglich,

als r — r' ist.

a ist = MM'. wenn r = r' ist.

Dann genügt aber

jede von K nach K' zu MM' H gezogene Linie, und cs wird

allein

die MM'

00

fallen.

=£

Berührungslinie

ganz außerhalb beider

(Die Aufgabe geht also in diesem Falle in

eine unbeschränkt unbestimmte über.). Dritter Fall,

a ist > MM'.

240

Auflösun g. Ergiebt sich wie im ersten Fall, und bil, det ebenfalls 2 Resultate, welche aber nicht ganz außerhalb beider ©O fallen. Determination. Die Aufgabe wird unmöglich, wenn a — + oder < r — r' ist. Anmerkung. Die vorstehenden 3 Fälle enthalten die Konstruktion eine- cn au- a, b, c, d. 1586. Fig. 266. 2) a soll nicht ch MM' fallen. Analysis. Zieht man AG -j- CM', und M'G =£ AC, so zeigt sich M'G der Lage und Länge nach gegeben, und AG — r', weshalb eine, um den vorher bestimmten Punkt G beschriebene Kreislinie mit r' den Punkt A feststcllt, durch welchen man schließlich eine -j- AC zu GM' zu legen hat. In der Auflösung lassen sich 3 Falle wie in 1) unter, scheiden, welche hier aber keine wesentliche Verschiedenheit er, geben. Zusatz. Es sind 2 Resultate möglich. Anmerkung. Die vorstehende Abtheilung 2) enthält die Konstruktion eines aus a = a, b = r', c=MM', d = r, (Z. A + Z. D) a gegen Lage MM'. 1587. II. MM' ist = r + r' (K und K' berühren sich v. A.). Stimmt mit I. in Rücksicht der Abtheilungen, Analy, si- re. überein. III. MM' ist < r-f-r' und > r — r'. (Es schnei, den sich also K und K'). Stimmt mit I. in Rücksicht der Abtheilungen re., Ana, lysis re. überein, z. D. Abtheilung 2) a soll nicht ch MM' fallen. Dritter Fall, a ist MM'. Auflösung. Fig. 267. Lege die bestimmte ->- durch M', bestimme M'G — a, beschreibe um G eine Kreislinie mit GA --- r', und lege durch A zu GM' die =4= AC, so ist die verlangte Linie gezeichnet.

241 Es sind 2 Resultate möglich.

Zusatz.

Anmerkung 1).

vorstehende Abtheilung enthält

Die

2 £3 Konstruktionen: MAM'C aus a — MA = r, c = M'C — r',

ersten- :

e oder d = JIM', e' oder b = AC = a, und Z_ (ee') oder AC gegen MM', siehe Anmerk. 1) 1440.

Z. (bd) =

AH CI aus e = AC = a, e' = HI, Z. A

zweitens:

= Z. HAI, Z. C = Z. HCl, Z. (e e') =s HI, siehe 838,

Nutzung des 162 angeführten Anmerkung 2).

gelöst werden können.

Eine andere Analysis ergiebt sich für

die vorstehende Aufgabe durch Analogie zu 1448. ferner durch C und H Hr

Zieht man

zu AI und AC, und

nämlich, Fig. 268., durch; C und I

sich, da

A C gegen

Aufgaben auch ohne Be-

weshalb diese

zu AH und AC, so bestimmen

a und a gegeben sind, die Punkte O

und N,

und Z. OCN = Z. HAI, weshalb mittelst des bekannten Z.

HAI (durch Sehne HI) nach 320 C festgestellt werden kann

ii. s. w.

Diese Analysis enthält eigentlich auf eine versteckte

Weise die Benutzung des 1440 angeführten Hllfs/n7, und es ergiebt sich auch durch nähere Betrachtung,

auS a = HI, c = AC,

daß 2 Punkte X" und X'" so in L, daß die gleichen ^2 L zum gemeinschaftlichen Schenkel erhalten, wenn man analog 1589 den auf L gefällten 1 PD um sich selbst bis E verlängert, und die beiden von E nach K führenden Tangenten bi- I, auszieht. 1591. Aufgabe. Gegeben P und X, und eine beliebige Menge von Linien L, L/, L", L'", LIV.....; man soll X in L, X' in L', X" in L" u. s. w. so bestimmen, daß die gebrochene, als Tangente an K endigende Linie PXX' X" X"' X1V mit L,L',L", gleiche bildet. Auslösung. Ergiebt sich, wenn man von P ausgeht, ganz wie in 770, 771, 772; nur muß aus dem letzten, durch

243

Verlängerung eines Perpendikels um sich selbst bestimmten Punkte, eine Tangente an K gezogen werden. 1592. Fig. 42. Aufgabe. K u nd K/ sind auf derselben Seite einer Linie L gegeben; man soll X in L so bestimmen, daß zwei von XnachX. und nach IV führende Tangenten XB und XB' mit L gl eiche ^2 bilden. Analysis. In Rücksicht auf die 1589 angeführte Ana, lysis wird man durch Analogie darauf "geleitet, so wie dort, Fig. 270,, P nach E verlegt wurde, hier, Fig. 42, die Kreis, linie K, in gleichem Abstande von L, um M dergestalt zu ver, zeichnen, daß NM J_ L steht, und dann zu den ©O um M und M' eine gemeinschaftliche Tangente, statt der in jener Aufgabe von E nach K führenden Berührungslinie, zu ziehen. Die nähere Untersuchung dieser Konstruktion zeigt, daß sich wirklich hiedurch X ergicbt. Auflösung. Fälle aus N einen J_ MD auf L, ver, längere MD um sich selbst bis M, beschreibe um M einen Q mit r, und ziehe an denselben und IV eine gemeinschaft, liche Tangente 23B' nach 318, so ergiebt sich X in L. Beweis. MBXD ist MDXB, also Z. BXD — Z. BXD — Z B'XX'. Zusatz. Es ergeben sich 4 Punkte in L, da man 4 gemeinschaftliche Tangenten an K und IV legen kann. 1593. Fig. 271. Aufgabe. X und IV sind auf verschiedenen Seiten einer Linie L gegeben; man soll X in L so bestimmen, daß zw ei von X nach K und IV führende Tangenten XB und XB' mit L gleiche ^2 bilden. Auflösung. Die 4 gemeinschaftlichen Tangenten, welche an K und IV nach 318 gezogen werden können, be­ stimmen 4 Punkte so in L, daß sich die gleichen ^2 als Schei, tel ^2 ergeben. Außerdem erhält man aber noch 4 Punkte so in L, daß die gleichen ^2 diese Linie zum gemeinschaftlichen Schenkel erhalten. Analysis, Auflösung und Beweis von 16 *

244 1592 passen wörtlich zur Bestimmung dieser Punkte, weny

man Fig. 271 benutzt, und 1590 statt 1589, Fig 270. a. statt Fig. 270 liest. 1594. Fig. 2/2.

Aufgabe.

Gegeben K unt* K'

zwischen D und I/; inan soll einen Punkt X in

D, und cinen Punkt X' in L' so bestimmen, daß sowohl XX' und die von X' nach K' führende Tangente X'B' mit L', als auch XX und die von X nach K führende Berührung slinie XB mit L gleiche bilden. Die Analogie dieser Aufgabe mit 767 führt zu der fol­

genden Auflösung.

Verlängere den auf L gefassten j_ MD

um sich selbst bi« M, beschreibe um M einen © K mit r, bestimme in derselben Art durch K' und L' K', und lege

nach 318 eine gemeinschaftliche Tangente DB' an K und K', so bestimmen sich in L und L' die gesuchten Punkte X und

X'. Beweis. Ergiebt sich ganz wie in 1592. Zusatz. Wegen der 4 möglichen gemeinschaftlichen Tan­ genten ergeben sich 4 die Bedingungen erfüllenden Punkte in

L, und eben so 4 in L'. 1595. Aufgabe. Gegeben K, K' und eine bc, liebige Menge von Linien, L,L',L",L'",L,V ; man soll X in L, X' in U, X" in L" u. s. w. so bestimmen, daß die gebrochene K und K' in den Berührungspunkten B und B' tangirende Linie BXX' X"X'"X1V B' mit L,L', L", L'", L,v....

gleiche bildet. Auflösung. Falle an« M einen j_ auf L, verlängere denselben um sich selbst bis M, beschreibe um M eine K gleiche Kreislinie K, bestimme in derselben Art in Bezug auf K und Lage L' K', in Bezug auf K' und L" K", in Be­ zug auf K" und L'" K'" u. so fort, bi« man die letzte Linie, z. B. LV1, benutzt hat. Hierauf ergiebt sich die übrige

245 Ziehe an K' und den zuletzt be-

Konstruktion folgcndcrgestalt.

stimmte» Q ÄVI eine gemeinschaftliche Tangente B'iBvl nach

318, so findet sich mittelst dieser Tangente Xv' in LVI, ziehe aus XVI eine Tangente an Sv, und bestimme hiedurch Xv in Lv, ziehe auS Xv eine Tangente au Älv, und bestimme hie,

durch XIV in L1V, stelle in derselben Art die Punkte X'",

X", X', X fest, und ziehe endlich XB an K, so bildet BXX' X"

aus X eine Tangente Xv X V1 B' die ver­

langte Linie.

Beweis. Z n sa tz.

Folgt aus 1592 und 1593. Es ergeben sich 4 die Aufgabe erfüllende ge­

brochene Linien, da in jeder Linie L, L' u. s. w. 4 Punkte X, X' k. bestimmt werden können. 1596. Fig. 273. Aufgabe. A aus a, ß so in den Ring zweier konzentrischen Kreislinien K und K' cinzuschreiben, daß eine Aspitze X in K', die zweite Y in K, und die dritte auf einen in K'

gegebenen Punkt P fällt.

Analysis.

A PXY = « ist die zugehörige

Durch

Da nun A PYS = a-ß ist, ergiebt

Sehne PS bekannt.

sich nach 320 ein Ort für Y; cs laßt sich also dieser Punkt

in K, und hiedurch das verlangte A PXY bestimmen.

Es

Zusatz.

sind 2

verschiedene Resultate PXY und

PX'Y' möglich.

1597. Fig. 274. Aufgabe. A aus a, ß so in den Ring zweier konzentrischen Kreislinien X und K' cinzuschreiben, daß eine Aspitze X in K,

die zweite Y in K't unb di« dritte

auf einen in

K gegebenen Punkt P fällt. Analysis.

Durch A PXS = 2R — a ist die zu­

gehörige Sehne PS bekannt.

Da nun A PYS — 2R —

(« 4- ß) sein muß, ergiebt sich nach 320 ein Ort für Y u. s. w.

Z u sa tz. 1598.

den Ring

Es sind zwei verschiedene Resultate möglich.

Fig. 275. zweier

Aufgabe.

A au s «, ß so in

konzentrischen

Kreislinien K

246 und K' eltijuschreiben, daß zwei Aspitzen X und Y in IV, unb d i e dritte auf einen in K gegeben nen Pu nkt P fällt. Auflösung. Wähle einen beliebigen Punkt Q in K', konstruire nach 1596 A QNO mit den a und ß. bestimme PY — QN, PX = NO» so bildet PXY das verlangte A. Beweis. A QMN A A MPY, also ist A BINQ = A MPY, A MNO A B1PX, also ist A BINO — A MPX. Hieraus folgt A QNO — A YPX, und daher A QNO A A PYX, weshalb sich in dem letzteren A wirk, lich die a und ß befinden. Zusatz. ES sind 2 verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Durch Benutzung der Aehnlichkeit er, giebt sich mittelst der folgenden Analysis eine bessere Aus­ lösung ohne vorhergehende Hilfskonstruktion des A NQO. Durch a und ß ist die Gestalt des verlangten A PXY nach 402, also auch das Verhältniß PY : PX bekannt. Wenn aber A YPX = ß, PY: PX, und der festliegende Punkt P gegeben sind, so muß, da der Endpunkt X des einen Schen­ kels in einer festliegenden Kreislinie K' endigt, sich nach 586 ein Ort für den Endpunkt Y des anderen Schenkels bestimmen lassen. Hiedurch ergiebt sich nun die Lage von Y, und damit auch die Lage des gesuchten A PXY.

1599. Fig. 32. Aufgabe. Gegeben X, li.', man soll einen Punkt X so bestimmen, daß zwei aus demselben nach K und K/ führende Berührung s, linien XB und XB' den A a einschließen, und XB = b wird. Fall 1) Beide Tangenten treffen nicht die Centrale MM'. Analysis. 1) BX == b, und BBI bestimmen MX und A B'XBI = a — A BXB1; hiemit reduzirt sich aber die Aufgabe auf 659 a, da im Ai BIBI'B'X drei Linien, XM, BIBI', BI'B', und 2 ^2 BI'B'X, BIXB' gegeben sind. Fall 2) Beide Tangenten treffen die Centrale BIBI'.

247 Die Analysis des isten Falls paßt wörtlich, wenn «nan + statt —, und 660 statt 659 a. liest.

Fall 3)

Nur Tangente b trifft die Centrale MM'.

Die Analysis des

ersten Kalls paßt wörtlich

auch

für

diesen, wenn man + statt — liest.

Fall 4)

Nur die unbestimmte Tangente trifft die Cen­

trale MM'. Die Analysis des isten Falls paßt wirtlich, wenn man 660 statt 659. a. liest.

Analysis 2)‘

Siehe g. Detr. §. 14.

1600. Fig. 276., 276. a. und 276. b. Aufgabe. Gegeben K, K'; man soll einen Punkt X so be­ stimmen, daß sich die Summe beider aus demsel­

ben nach K und K' gezogenen Tangenten, d. h.

XB

XB' = s, und der

eingeschlossene

Z. bei

X =5 a e »giebt.

Analysis.

Zieht man durch M und M' ch -j- |u BX

und B X, und fällt aus

dem Schneidungspunkt N auf die

zuletzt genannten Linien die J__L NG und NF, so ergiebt sich

r^\ GXFN, durch GN — r, FN — r', Z. X — oe, und die rechten

bei G und F, weshalb man GX und XF er,

hält, und folglich MN 4- M'N — BG f B'F — s — GX

— XF Fig. 276., oder, Fig. 276. a., = s

GX + XF,

ober, Fig. 276. b., = s + GX — XF bestimmen

kann.

Nun ist aber im A MNM' auch A MNM' ass a, und MM' bekannt, also läßt sich dasselbe nach 642 konstruiern, und hier­

auf die Lage der gesuchten Tangenten ableiten.

1601. Fig. 276., 276. a. und 276. b. Aufgabe. Gegeben K, K'; man soll einen Punkt X so be­ stimmen, daß sich die Differenz beider aut dem, selben nach K und K' gezogenen Tangenten, d. h.

XB — XB' ass d,

und der eingtschlossene Z. bei

X — a ergiebt. Analysis.

Die Analysis zu 1600 paßt wörtlich auch

für diese Aufgabe, wenn man dort überall d statt s liest, M'N

—

248

—

und XF durchgängig entgegengesetzte Vorzeichen giebt, und 643 statt 642 benutzt. 1602. Fig. 277. und 277. a. Aufgabe. Gege, ben K, K'; man soll einen Q mit q so feststellen, daß die gemeinschaftlichen Berührungslinien XB und XB' den Z_ « einschließen, und sich BX = b ergiebt. Analysis. £3 XGj«F ist durch q und a bestimmt, also auch GX, und deshalb GB = b + GX gegeben. Zieht man daher ch-ch- durch p, zu XB und XB', so ergeben sich zwei diese berührende SO K und K' durch Addition oder Subtraktion zwischen r und r' mit q. Nun ist aber SBjt» = BG, und Z. S/tSß' = « bekannt, also hat man 1599 zu lösen, u. s. w. Anmerkung. Es mögen die Tangenten M/t und M'/t schneiden oder nicht, so können folgende 3 Lagen der Tangenten vorgeschrieben sein: 1) Beide Tangenten XB und XB' sollen die Centrale MM' durchschneiden. 2) Nur eine der beiden Tangenten soll die Centrale durch, schneiden. 3) Beide Tangenten XB und XB' sollen die Centrale MM' nicht durchschneiden. Die Analysis bleibt sich im Wesentlichen bei allen diesen La, gen gleich. 1603. Fig. 277. und 277.8. Aufgabe. Gegeben K, K'; man so ll einen O mit q so fe ststellen, daß die gemeinschaftlichen Berüh.rungslinien XB und XB' den Z. a einschließen, und sich XB + XB' = s erg iebt. Analysis. XG/*F ist durch q und a bestimmt, also auch GX +XF, und deshalb GB + FB' --- s + 2GX gegeben. Zieht man daher durch p zu XB und XB', so bestimmen sich 2 diese berührende QQ K und K' durch Addition oder Subtraktion zwischen r und t' mit p.

249

Nun ist aber D/t + V> == GB -J- FB', und Z. B^D' — a bekannt, also hat man IGOO zu verzeichnen, u. s. w. Anmerkung. Wie in 1GO2. 1604. Fig. 277. und 277.a. Aufgabe. Gegeben Ix, IV; man soll einen O mit q so feststellen, daß die gemeinschaftlichen Berührung-linie» XB und XB' den Z. a einschließen, und sich XB — XB' —d ergiebt. Analysi-. Zieht man 4=4$ durch p zu XB und XB', so bestimmen sich 2 diese =£4* berührende ©Q K und K' durch Addition oder Subtraktion zwischen r und r' mit (*. Nun ist aber B/t — — BG — B'F = d gegeben, da XG = XF ist, und ferner Z. D/rB' -- « bestimmt, folg, lich hat man 1601 zu verzeichnen, u. s. w. Anmerkung. Wie in 1602. 1605. Fig. 278. Aufgabe. Ge g eben F, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß die Summe der Abstände diese- Punkt-, al- eine einzige gerade Linie genommen, von den zu XY au- P' und P" unter Z. a und ß gen eigten Li, nien die Länge 8 erhält. (Z. P'XY = a, Z. P"YX = ß, XY = s). Analysi-. Durch Linie PP' und Z. « ist ein Ort für X, durch Linie PP" und Z. ß ein Ort für Y nach 320 gegeben; man hat also 372 zu lösen. Anmerkung. Diese und die folgenden Aufgaben bil, den Erweiterungen zu 748 und 753 bi- 758. 1606. Fig. 279. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß die Summe der Abstände diese- Punkt- von den gegen XY mit den Neigungen « und au-P' und P" gezogenen Linien, zw ischen welche P nicht fallen soll, die Länge s erhält. (Z. P'XY = a, Z. P"YX == ß, PY + PX = 5).

250 Analysis. Durch Linie PP' und 2R— a ist ein Ort für X, durch PP" und ß ein Ort für Y nach 320 gegeben, und es bestimmen sich hiedurch die Mittelpunkte O und O'. Fällt man aus denselben die H OD und O'D' auf XY, so ergiebt sich PD 4- PD' — y; man hat also in Beziehung auf y und die 3 Punkte P, O, O' 754 zu konstruiern.

1607. Fig. 279. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß sich der Unterschied der Abstände dieses Punktvon den gegen XY mit den Neigungen a und ß durch P' und P" gezogenen Linien, zwischen wel, che P nicht fallen soll, = d ergiebt. (Z. P'XY=a, Z. P"YX ss ß, XY = d). Analysis. Ergiebt sich wie in 1606; nur ist das zweite» d § mal — statt — statt und 755 statt 754 zu lesen.

1608. Fig. 278. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß sich der Unterschied der Abstände dieses Punkts von den gegen XY mit den Neigungen « und ß durch P' und P" gezogenen Linien, zwischen wel, che P fallen soll, — d ergiebt. (Z. P'XY = a, Z. P"YX — ß, PX —PY — d). Analysis. Durch Linie PP' und a ist ein Ort für X, durch PP" und ß ein Ort für Y nach 320 gegeben, und es bestimmen sich hiedurch die Mittelpunkte O und O'. Fällt man au« denselben die J. J_ OD und O'D' auf XY, so er,

giebt sich PD — PD' = y; man hat also in Beziehung ans y und die 3 Punkte O, O', P 756 zu konstruiren.

1609. Fig. 278. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß sich die Abstände dieses Punkts von den gegen

251

XY mit den Neigungen a und ß durch l" und P" gezog en en Linien gleich groß ergeben (PX = PY). Analysis. Durch Linie PP' und a ist ein Ort für X, durch PP" und ß ein Ort für Y nach 320 gegeben; man hat also 338 zu konstrniren.

1610.

Fig. 278.

Aufgabe.

Gegeben P, P', P";

man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß sich 2 au- P' uud P" unter den Neigungen a und

ß

gegen XY gezo gene Linien PX und P"Y gleich groß erg eben. Analysis. Durch PP' und a ist ein Ort für X, durch PP" und ß ein Ort für Y nach 320 gegeben. Zieht man durch P' und Y -ft-ft zu P"Y und P"P', so ergiebt sich P'N

— P"Y, und deshalb ein P'XN. Da nun P"Y gegen PX um 2R — (« + Ä geneigt ist, muß auch Z. NP'X = 2R — («+Ä, und daher Z. P'XQ —

die zugehörige

Sehne PQ

gegeben sein.

Zugleich kennt

also läßt sich

man aber noch Z. P'NQ = 2R — mittelst P'Q nach 320 ein

folglich

Ort für N bestimmen, und es ist

zur Feststellung dieses Punkts nur 1585 zu konstruiren, da NY — und -ft P'P" gegeben ist. Zieht man schließlich P"Y

P'N, so ergiebt sich Y, und hiemit XPY.

die verlangte

Linie

1611. Fig. 280. Aufgabe. Gegeben P,P',K; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß sich die Summe der Abstände des Berührungspunkts von den gegen XY durch P und P' mit den Neigungen a und gezogenen Linien, als eine ein, zige Linie genommen, — 8 ergiebt. (Z. PXY = «, Z. P'YX = ß, XY = s) Analysis. Verlängert man PX und P'Y, zieht durch M eine £ i» XY, und durch X und Y -ft-ft zu BM, so bestimmen sich mittelst der ^2 E nnd D, oder

a

und

ß,

und

252 -er JL_L auch ED auf diese schließlich

XF und YG, oder r, die Linien EF und CD, also =s s + EF + CD, weshalb man in Beziehung Lange, 21, P und IP nur 1605 zu konstruiren, und 282 anzuwendcn hat.

1612. Fig. 281. Aufgabe. Gegeben P, T', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die Summe der Abstände dieses Punkts (als eine einzige Linie genommen) von den gegen XY un* ter den Neigungen a und ß gezogenen Linien, von denen eine P' durchschneidet, die andere K berührt, die Lange s erhält. (Z. P XY = «, BYX = ß> XY = s). Analysis." Zieht man MH XY, so bestimmt sich GY = SIH durch MBH, welches mittelst r und ß gege­ ben ist. Man erhält also XG = s + GY, und hat deshalb 1605 zu konstruiren. 1613. Fig. 282. Aufgabe. Gegeben P, K, IX; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die Summe der Abstände dieses Punkt- von den gegen XY unter den Neigungen « und ß an K und IX gezogenen Tangenten, als eine einzige Linie genommen, = s ergiebt. (Z. BXY — «, Z. B'YX — ß, YX — s) Analysis. Zieht man SIH und M'H' H YX, so be­ stimmen sich die MBH und M'B'II' mittelst r und «, r' und ß, also auch GX und G'Y, wodurch sich GG' mittelst Addition oder Subtraktion dieser Linien mit s crgiebt, und die Aufgabe folglich durch 1605 gelost werden kann.

1614. Aufgabe. Gegeben 1^, IX, IX'; man soll eine Berühr»ngslinie XY so an K. legen, daß sich die Summe der Abstände des Berührungspunkts von den gegen XY unter den Neigungen «und ß an IX iind IX' gezogenen Tangenten, als eine einzige Linie gen ommcn, — s ergicbt.

253

—

Analysis. Legt man zu XY eine H durch M, und verlängert nach derselben die an K' und K" liegenden Tangen­ ten, so reduzirt sich die Aufgabe ganz wie in 1611 auf 1613. 1615. Fig. 283. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll ein e Tangente XY so an K legen, daß sich die Summe der Abstände des Berührungs­ punkts von den gegen XY mit den Neigungen a und ß durch P und P' gezogenen Linien, zwi­ schen welche der Berührungspunkt nicht fallen soll, — s ergiebt. (Z. PXY = a, Z. P'YX --- ß, BY + BX = s). Analysis. Verlängert man PX und P'Y, und zieht 4- 4= durch M, X, Y zu XY und BM, so bestimmen sich die /X/X XEF und YGD durch r, a und /?, weshalb MD -j- ME = s + GD — EF gegeben ist, und in Beziehung auf 31 P, P', a, ß, und MD + ME 1606 zur Lösung der Aufgabe konstruirt werden muß.

1616. Fig. 281. Aufgabe. Gegeben P, P', K. man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die Summe der Abstände dieses Punkts von den ge­ gen XY unter den Neigungen a und ß gezogencn Linien, von denen eine P' du rchschneidct, die an, dere K bcrührt, zwischen welche aber P nicht fal­ len soll, sich — s ergiebt. (Z. P'XY = «, Z. BYX = A g)X + g)Y = s). Analysis. Zieht man MH -p XY, so bestimmt sich GY — MH durch MBH, welches mittelst r und ß gege­ ben ist. Man erhält also PX -s- PG — s + GY, und hat deshalb 1606 zu konstruiren. 1617. Fig 282. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die Summe der Abstände dieses Punkts von den gegen XY unter den Neigungen « und ß an K und Kz gezogenen Tangenten, zw ischen welche P

254 nicht fallen soll, = s ergiebt.

(Z. BXY = a, Z.

B'YX == ß, PX -j- PY -- s). Analysis. Zieht man MH und M'H' =£ XY, so be­ stimmen sich die MBH und M'B'H' mittelst r und «, r' und ß, also auch GX und G'Y, wodurch sich PG + P(P durch Addition und Subtraktion jener Linien mit s ergiebt^ und die Aufgabe folglich durch 1006 gelöst werden kann. 1618. Aufgabe. Gegeben K, K', K"; man soll eine Berührungslinie XY so an K legen, daß sich die Summe der Abstande des Berührung-, Punkts von den gegen XY unter den Neigu ngen a unt> ß an K' und K" gezogenen Tangenten, zwi, schen welche der Berührungspunkt nicht fallen soll, — s ergiebt. Analysis. Legt man durch M eine ch zu XY, und verlängert nach derselben die an K' und K" liegenden Tan, genten, so reduzirt sich die Aufgabe ganz wie in 1615 auf 1617.

1619. Fig. 283. Aufgabe. Wie 1615, nur ist der Unterschied d statt der Summe der Abstände s gegeben. (Z. PXY Z. P'YX = ß, BY -

BX --- d). Analysis.

Ganz wie in

1615 ergiebt sich MD —

ME = d + GD + EF, weshalb man zur Lösung der Auf, gäbe 1607 zu konstruiren hat.

1620. Fig. 281. Aufgabe. Wie 1616, nut ist der Unterschied d statt der Summe der Abstande s gegeben. (Z. PXY --- «, BYX = ß, $X - PY = d). Analysis.

Wie in 1616 ergiebt sich PX — PG ---

d + GY, weshalb die Aufgabe durch 1607 gelöst werden kann.

1621. Fig. 282. Aufgabe. Wie 1617, nur ist der Unterschied d statt der Summe der Abstände

— 255

—

8 gegeben. (4 BXY = a, B'YX = ß, PX — PY — d) Analysi«. Die Analysis 1617 paßt wörtlich für diese Aufgabe, wenn man d statt s, — statt +, 1607 statt 1606 liest. 1622. Aufgabe. Wie 1618, nur ist der Unter, schied d statt der Summe der Abstände s gegeben. Analysis. Die Analysis 1618 paßt wörtlich für diese Aufgabe, wenn man 1619 statt 1615, und 1621 statt 1617 liest. 1623. Fig. 280. Aufgabe. Gegeben P, P, K; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß sich der Unterschied der Abstände des Bcrüh, rungspunkts von den gegen XY durch P und P mit den Neigungen « und ß gezogenen Lin ien, zwischen welche der Berührungspunkt fallen soll, = d ergiebt. (4 PXY -- «, 4 P'YX = ß, BX - BY = d). Analysis. Wie in 1611 ergeben sich die Linien GD und EF, also ME — MD — d -s- EP — GD, weshalb zur Auslösung der Aufgabe 1608 zu konstruiren ist. 1624. Fig. 281. Aufgabe. G eg eben P, P', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß der Unterschied der Abstände dieses Punkts von den gegen XY unter den Neigungen «und /S gez o, genen Linien, von denen eine P' durchläuft, die andere K berührt, und zwischen welche P fallen soll, sich — d ergiebt. (4 PXY — a, 4 BYX = ß, PX — PY = d). AnalysiS. Wie in 1612 bestimmt sich PX — PG = d + GY, weshalb man 1608 zu konstruiren hat. 1625. Fig. 282. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich der Unterschied der Abstände dieses Punkts von den gegen XY unter den Neigungen « und ß an

256 K und K* gezogenen Tangenten, zwischen welche P fallen so H, = d ergiebt. (Z. BXY = a, Z. B'YX ss ß, PX — PY = d). AnalysiS. Wie in 1613 ergiebt sich PG — PG' mittelst Addition oder Subtraktion zwischen ä und den mitge, gebenrn Stücken XG und YG', weshalb die Aufgabe durch 1608 gelbst werden kann.

1626. Aufgabe. Gegeben K, K', X"; man soll eine Berührung-linie XY so an K legen, daß sich der Unterschied der Ab stände des Berührung-, punkt- von den gegen XY unter den Neigungen « und ß an K/ und K" gezogenen Tangenten, zwischen welche der Berührun g-pu nkt fallen soll, = d ergiebt. AnalysiS. Legt man durch M eine ch zu XY, so reduzirt sich die Aufgabe wie in 1623 auf 1625. 1627. Fig. 280. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß sich die Abstände de- Berührung-punkt- von den gegen XY mit den Neig nngen a und ß durch P' und P" gezogenen Linien gleich groß ergeben. (Z. PXY = «, Z. P'YX — ß, BX = BY). AnalysiS. Wie in 1611 bestimmen sich die Linien EP und GD, also auch, da MF — MG ist, ME — MD = EF — GD. Hiemit ist aber die Aufgabe auf 1608 reduzirt. 1628. Fig. 281. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß si'ch die Abstände diese- Punkt- von den gegen XY mit den Neigungen « nnd ß gezogenen Linien, von denen eine P' durchläuft, die andere K be, rührt, gleich groß ergeben. (Z. P XY = a, Z. BYX = ß, PX = PY).

257

—

Analysis. Wie in 1612 ergiebt sich die Linie GY, also auch, da PX --- PY ist, PX — PG = GY. Hie,

durch ist die Aufgabe auf 1608 reduzirt. 1629. Fig. 282. Aufgabe. Gegeben P, X, K';

man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die Abstände dieses Punkts von den gegen

XY mit den Neigungen a und an K und K' ge, zogenen Tangenten gleich groß ergeben. (Z. BXY — Z. B'YX — ß, PX = PY). Analysis. Wie in 1613 ergeben sich die Linien GX und G'Y, also auch, da PX = PY ist, PG' — PG = GX — G'Y, weshalb die Aufgabe durch 1608 gelöst wer, den kann. 1630.

Aufgabe.

Gegeben K, K', K";

man

soll eine Berührungslinie XY fo an K legen, daß sich die Abstände des Berührungspunkts von

den gegen XY mit den Neigungen « und ß an K/ und K" gezogenen Tangenten gleich groß er­

geben. Analysis.

Legt man durch M eine ch zu XY, so re,

duzirt sich die Aufgabe ganz wie in 1627 auf 1629. 1630. a. Fig. 417. und 417. a. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P le, gen, daß sich der auS P' auf XYgefällte j_ gleich der in XY liegenden Entfernung deS Punktes

P von dem zweiten aus P" auf XY gefällte« j. bestimmt. (P'X = PY) Analysis. Legt man durch P und P' -tz -j- zu P'X und PX, so ergiebt sich PF — PY, also, wenn man PE j_ rP" errichtet, PEF E. PP"Y, da außerdem Z. EPF s= Z. P "PY (gleiche Reste) sein muß. ES ist daher der _L PE = PP" bekannt, und deshalb E und P'E, folglich auch

die P'E ch- Lage XY bestimmt. 1630. b. Fig. 418. Aufgabe. Gegeben P.P', P"; man soll eine P' P" nicht schneidcnde Linie XY so Hollebtn u. Eerwitn Aualysi«.

U.

17

258

durch P legen, daß sich die Summe des aus P' auf XY gefällten mit der in XY liegenden Ent­ fernung des Punktes P von dem zweiten aus P" a»f XY gefällten J_ = s bestimmt. (P'X-sPY—»). Analysis. Nach 1630. a. wird man darauf geleitet PP = und _L TP" zu errichten, und PE 4= P"Y, PE 4= XY zu legen. Hiedurch ergießt sich PPE PP"Y (Z. PPE = Z_ P"PY), also PE, und die PE gleiche 4 PY' = PY, weshalb P'X -f- PY' = s sein muß, folglich in Beziehung auf die Punkte P', P und P 750 zu lösen ist. 1630. c. Fig. 419. Ausgabe. Wie 1630. b., nur soll XY P'P " durchschneiden. Ana lysi s. Liest man in der Analysis von 1630. b. 749 statt 750, und benutzt die Fig. 419, so paßt dieselbe wörtlich auch für diese Aufgabe. 1630. d. Fig. 418. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine P'P" nicht schneidende Linie XY so durch P legen, daß sich der Unterschied zwi­ schen dem aiifP' auf XY gefällten J_ und der in XY liegenden Entfernn«g des Punktes P von dem zweiten aus P" auf XY gefällten J_ = d be­ st! mm t. (P'X - PY = d). AnalysiS. Liest man in der Analysis von 1630. b, — statt +, d statt s, 751 statt 750, so paßt dieselbe wört, sich auch für diese Aufgabe. 1630. e. Fig. 419. Aufgabe. Wie 1630. d, nur soll XY P'P" durchschneiden. Ana lysis. Liest man in der Analysis von 1630. h, — statt 4-, 6 statt s, 752 statt 750, so paßt dieselbe wörtlich auch für diese Aufgabe. 1630. f. Fig. 420. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die in XY liegende Entfernnng dieses Punkts von einer durch P" nach XY mit der Neigung ß gezogenen Linie, oder PY, gleich der Länge einer

259

von P' nach XY unter der Neigung a führenden Linie P'X bestimmt. (PY = P'X, Z. X=a, Z. Y = £) Analysis. Durch PP" und Z. ß läßt sich nach 320 eine die Punkte P, P" und Y durchlaufende Kreislinie zeich­ nen. Legt man durch P' und Y -ft -ft zu XY und XP', so bestimmt sich Z. PYE = 2R — «, also die Lage der Sehne PE, und ferner YD -- P'X --- PY, folglich Z. PDE --- ",

und Z. FDP ebenfalls =

weshalb sich mittelst PE, PP'

und diesen beiden ^2 nach 320 2 Oerter für D, also auch dieser Punkt und die P'D 4= Lage von XY bestimmen lassen. 1630. g. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll durchP eine Linie XY s0 legen, daß sich die I XY an K gezogene Tangente gleich der in XY liegenden Entfernung des Punktes P von dem auf XY aus P' gefällten j_ ergiebt. Analysis. Legt man durch M eine zu der Tangente, so reduzirt sich die Aufgabe für die Punkte, P, M, P' auf 1630. a. 1630. h. Fig« 421. Aüfgabe. G e g eb en P, P', K; man soll ein e Tan gente XY an K legen, deren j_ Abstand von P der in XY liegenden Entfernung des Berührungspunkts von dem aus P' auf XY gefüllt en j_ g le ist. (FX = BY). Analysis. Legt man durch M und P -ft tft zu XY, PX und XY, und verlängert P'Y, so ergiebt sich DB — BY also DM — r --- MF. Schneidet man daher DE — r ab, zieht durch E eine ch zu DP, und errichtet in M auf MP' ei, «en J_, so ergiebt sich, da EM — MF, Z. MME = Z. P'MF ist, MEM P'MF, also MM = MP'. Nun ist aber der auS M auf PD gefällte J_ MD = DE = r, folglich bestimmt sich die Lag« der gesuchten Linie, wenn man MM _L und — MP' absetzt, einen K gleichen 0 nm M 17 *

— 260 zeichnet, an denselben au- P eine Tangente PB zieht, und jr dieser nach 282 an K die ch: Berührung-linie XY legt. 1630. i. Fig. 422. Aufgabe. Gegeben P, P', K. man soll durch P eine Linie XY so legen, daß sieb der in XY liegende Abstand de- Punkte- P vor einer j_ XY an K gezogenen Tangente gleich deir au- P' auf XY gefällten J_ ergiebt. (PY = P'X). Analysi-. Durch die Analysis von 1630. a. wirb man darauf geleitet, den O K um BI mit feinem Cenlruin

in den J_ auf PBI nach M, in gleichem Abstande von P, zu verlegen, so wie dort, Fig. 417., Punkt P" gleichwcit von P in den auf PP" errichteten _L nach E verlegt wurde. Zieht man hierauf durch P' eine ju XY, und fällt auf dieselbe J__L aus P und M, so ergiebt sich PE = P'X = PY, Z. MPE = Z. MPY, MP =s BIP, Z. E = Z. Y, also c MPEB a BIPYB, weshalb MB = B1B, also P'L Tangente an K sein muß, und die von XY gefunden ist, folglich auch durch P die Lage dieser Linie bestimmt werden

kann.

1630. k. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine Berührung-linie XY so an K legen, daß sich die _L XY unK' gezogene Tangen te g 1 cich dem in XY liegenden Abstand dcS Berührung-' punkt- von dem au- P auf XY gefällten j_ er­ giebt. Analysis. Legt man durch BP eine =£ zu dem _L PX, so rcduzirt sich die Aufgabe auf 1630. h. 1630.1. Fig. 423. Aufgabe. Gegeben P,K,K'; man soll eine DerührungSlinic XY so en K legen, daß sich der au- P auf XY gefällte j_ gleich dem in XY liegenden Abstand de- Berührungspunkts von der j_ XY an K/ gezogene» Tangente be­ stimmt. (PX =s BY). Analysi-. Legt man durch P und BI ch -j- zu XY, durch BI und BP -j; ch zu PX, und verlängert B'Y, so er-

261

giebt sich BG — BY, also GM — (r + r') --- ME. Schnei, bet man daher GH = (r -f- r') ab, jieht durch H eine -fr zu PG, und errichtet in M auf MM' einen JL MM, so bestimmt sich ferner, da HM --- ME, Z_ MMH --- Z. M'ME ist, MHM 2Z MM'E, also MM = MM'. Nun ist aber der aus M auf PG gefällte J_ MB ss HG — r + r', folglich erhält man die Lage der gesuchten Linie, wenn man MM j_ und --- MM' absetzt, eine Kreislinie K mit r-j-r' um M zeichnet, an dieselbe aus P eine Tangente PS zieht, und nach 282 eine derselben 4= Berührungslinie XY an K legt. 1630. m. Aufgabe. Gegeben P, K, K';. man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich die _L XY an K gezogene Tangente gleich dem in X,Y liegenden Abstand des Punktes P von der JL XY anK' gelegten Berührung-linie ergiebt. AnalysiS. Legt man durch M «ine G Su der Tan, gente von K, so reduzirt sich die Aufgabe für M, K' und P auf 1630. i. 1630. n. Aufgabe. Gegeben K, K', K"; man soll eine Tangente XY so an K legen, daß sich die JL XY an K' gezogene Berührungssinie gleich dem in XY liegenden Abstand des Berührung-, Punkts (in K) von der _L XY an K" gezogenen Tangente bestimmt. Analysis. Legt man durch M' eine -f: zu der Tan, gente von K', so reduzirt sich die Aufgabe für M', K, K' auf 1630. 1. Anmerkung. Die Aufgaben von 1630. g. ab können doppelt gestellt werden, einmal, daß XY die Centrale schnei, den soll, 2) daß die- nicht statt findet. In beiden Fällen bleibt die Analysis dieselbe, weshalb der erste Fall hier nicht beachtet ist. 1630. o. Fig. 422. Aufgabe. Gegeben P, P',K; man soll durch P eine P'M nicht schneidende Linie XY so legen, daß sich .die Summe der j. XY an

262 K gezogenen Tangente und der in X Y liegenden Entfernung des Punktes P von dem auf XY aus P' gefällten _L = s ergiebt. (BY + PX. = s). Analysis. Legt man durch M eine -f- MF zu BY, so ergiebt sich MF + PX = s, und es ist deshalb 1630. b. zu lösen. 1630. p. Fig. 421. Aufgabe. Gegeben P,P',K; man soll eine PP' nicht schneidende Tangente XY so an K legen, daß sich die Summe des J_ Abstan, des derselben von P mit der in XY liegenden Entfernung des Berührungspunkts von dem aus P' auf XY gefällten _L gleich s ergiebt. (PX + BY --- s). Analysis. Verlängert man PX und P Y, und zieht durch M eine 4= ju XY, so ergiebt sich PG + MF = s + r (oder s — r, wenn XY auf der anderen Seite von GF lag), weshalb sich die Aufgabe auf 1630. b. reduzirt. 1630. q. Fig. 422. Aufgabe. Gegeben P,P',K; man soll durch P eine P'M nicht schneidende Li, nie XY so legen, daß sich die Summe aus dem in XY liegenden Abstande des Punktes P von einet I XY an X gezogenen Tangente und dem ou6 P' auf XY gefällten _L — s ergiebt. (PY + P'X =s). Analysis. Zieht man durch M eine MF ju BY, so ergiebt sich P'X-j-PF — s +r, weshalb die Aufgabe durch 1630« b. gelöst werden kann. 1630. r. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine EM' nicht schneidende Berührungslinie XY so an K legen, daß sich die Summe aus der _L XY an K' gezogenen Tangente und dem in XY liegenden Abstande des Berührungspunkt- von dem aus P auf XY gefällten _L gleich s ergiebt. Ana lysis. Führt wie in 1630. p. zu 1630. o. 1630. s. Aufgabe. Gegeben P, K., K'; man soll eine PMf nicht schneidende Berührungslinie

263 XY so an K legen, daß sich die Summe des aus P auf XY gefällten _L mit dem in XY liegenden Abstan de des Berührungspunkts von bet _L XY an K' gezogenen Tangente — s ergiebt. Analysis. Führt wie in 1630. p. zu 1630. q. 1630. t. Aufga be. Gegeben P,K,K'; man soll eine NM nicht schneidende Linie XY so durch P legen, daß sich die Summe aus der _L XY an K gezogenen Tangent« und dem in XY liegenden Ab stände des Punktes P von der J_ XY an K' ge, zogen« Berührungslinie = s ergiebt. Analyl is. Zieht man durch M eine 4= zu der an K liegenden Tangente, so reduzirt sich die Aufgabe auf 1630. q. 1630. u. Aufgabe. Gegeben X, K', K"; man soll eine MN" nicht schneidende Berührung», linie XY so an K legen, daß sich die Summe aus der _L XY an K' gezogenen Tangente und dem in XY liegenden Abstande des Berührungspunkt» von der J_ XY an K." gezogenen Tangente — s ergiebt. Ana lysis. Führt wie in 1630. p. zu 1630 t. 1630. v. Aufgabe. Wie 1630. o., nur soll XY P'M durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. o. zu 1630. c. 1630. w, Aufgabe. Wie 1630. p., nur soll XY PP* durchschneiden. Ana l ysis. Führt wie in 1630. p. zu 1630. c. 1630. x. Aufgabe. Wie 1630. q, nur soll XY P'M durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. q. zu 1630. c. 1630. y. Ausgabe. Wie 1630. r., nur soll XY PM' d urchschne iden. Analysis. Führt wie in 1630. p. zu 1630. -v. 1630. z. Aufgabe. Wie 1630. nur soll XY. PM durchschneiden.

264 Analysis. Führt wie in 1G30. p. ju 1630. x. 1630. A. Aiifga be. Wie 1630. t., nur f oll XY MM* durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. t. zu 1630. x. 1630. B. Aufgabe. Wie 1630. u., nur soll XY M'M" durchschneiden. AnalysiS. Führt wie in 1630. p. zu 1630. A. 1630. C. Aufga be. Gegeben P, P', K; man soll durch P eine P'M nicht schneidende Linie XY so legen, daß sich der Unterschied zwischen der J_ XY an K gezogenen Tangente und der in XY lie, genden Entfernung des Punktes P von dem auf XY aus P' g«füllten J_ = d ergiebt. AnalysiS. Führt wie in 1630. o. zu 1630. d. 1630. D. Fig. 421. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll eine PP' nicht schneidende Tangente XY so an K legen, daß sich der Unterschied zwischen dem _L Abstande derselben von P und der in XY lie, genden Entfernung de« Berührungspunkt« von dem an« P' auf XY gefällten 1 ad ergiebt. (PX — BY =• d). Analysi«. Legt man durch M eine -je zu XY, so bestimmt sich PG — MF = d + r, weshalb man 1630. d. zu läsen hat. 1630. E. Fig.422. Aufgabe. Gegeben P.P'.IL; Man soll eine P'M nicht schneidende Linie XY so durch P legen, daß sich der Unterschied zwischen dem in XY lieg enden Abstande de« Punkte« P von einer J_ XY an K gezogenen Tangente und dem au« P' auf XY gefällten J, gleich d ergiebt. (P'X - PY =3 d). Analysi«. Legt man durch M eine -st zu BY, so er, giebt sich P'X — PF ss d + r, weshalb die Aufgabe durch 1630. d. gelöst werden kann.

265

1630. F. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine PM' nicht schneidende Tangen te XY so an K legen, daß sich der Unterschied zwischen der _L XY an KZ gezogenen Tangente und dem in XY liegenden Abstande des Berührungspunkts von dem aus P auf XY gefällten J_ gleich d ergiebt. Analysis. Führt wie in 1630. D. zu 1630. C. 1630. G. Aufgabe. Gegeben P, K, KZ; man soll eine PM' nicht schneidende Tangente XY so an K legen, daß sich der Unterschied zwischen dem aus P auf XY gefällten _L und dem in XY liegen, den Abstande des Berührungspunkt- von der j_ XY an KZ gezogenen Tangente == d ergiebt. Analysis. Führt wie in 1630. D. zu 1630. E.

1630. H. Aufgabe. Gegeben P, K, K'; man soll eine MM' nicht schneidende Linie XY so durch P legen, daß sich der Unterschied zwischen der j_ XY an K gezogenen Tangente und dem in XY liegen den Abstande des Punkte- P von der _L XY an K' gelegten Derührungslinie = d ergiebt. AnalysiS. Führt wie in 1630. E. zu 1630. C. 1630. 1. Aufgabe. Gegeben K, K', K"; man soll eine M'M" nicht schneidende Tangente |XY so an Liegen, daß sich der Unterschied zwischen t>ct j_ XY an K' gezogenen Tangente und dem in XY liegenden Abstande de» Berührung-punkt- von der _L XY an K" gelegten Tangente s= d ergiebt. Analysis. Führt wie in 1630. D. zu 1630. H. 1630. K. Aufgabe. Wie 1630. C., nur soll XY P'M durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. C. zu 1630. e. 1630. L. Aufgabe. Wie 1630. 0, nur soll XY PP' durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. D. zu 1630. e.

206 1630. M. Aufgabe. Wie 1630. E., nur so ll XY P'M durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. E. ju 1630. e. 1630. N. Aufgabe. Wie 1630. F., nur soll XY PM' durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. D; zu 1630 K. 1630. O. Aufgabe. Wie 1630. G., nur soll XY PM' durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. D. zu 1630. M.

1630. P. Aufgabe. Wie 1630. H., nur soll XY MM' durchschneiden. Analysis» Führt wie in 1630. E. zu 1630. K. 1630. Q. Aufgabe. Wie 1630. I.» nur soll XY M'M" durchschneiden. Analysis. Führt wie in 1630. D., zu 1630. P. 1630. R. Fig. 424. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll 2 einen Z. « bildend« L i nie« PX und PY sovonPausziehen,daßsichdie_i,Abständediese» Punkts von den aus P' und P" auf PX und PY gefällten I I gleich groß ergeb en. (PX =s PY). Analysis. Da 757 einen einzelnen Fall dieser Aufgabe bildet, bei welchem nämlich Z. a s= 2ß ist, wird man da« rauf geleitet Z. P"PD = a zu bestimmen, und P'X zu verlängern. Hiedurch ergiebt sich A PXD 52. A P"PY, also. PD = PP", weshalb D und DP' gegeben ist- folglich der _L, PX bestimmt werden kann. 1630. S. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll 2 einen Z. a bildende Linien PX und PY so von P aus ziehen, daß sich deren _L Abstä nde von P' u nd P" gleich groß ergeben. Analysis. Legt man durch P ch zu den _L Abstän­ den, so ergiebt sich der von diesen eingeschlossene A = 2R — «. Zieht man ferner durch P' und P" zu PX und PY, so erhält man 1630. R. zu lösen.

267 1630. T. Fig. 425. Ausga be. Gegeben r, P', P"; man soll 2 einen A. a bil dende Linie PX und PY so von P aus ziehen, daß P' von PX eben so weit J_ absteht, als P von dem aus P " auf PY ge, sollten J_. (P'X = PY). A n aly-sis. Da 1630., a. einen einzelnen Füll dieser Aufgabe bildet, bei welchem nämlich A « = 2 R ist, wird «nan darauf geleitet Z. P'PP — a, und PP = PP' jit be, stimmen. Hiedurch ergiebt sich PP'X PPXk, wes, halb g)X' = P'X --- PY sein muß, und die Aufgabe 1630. a. (Fig. 417. a.) zu lösen bleibt. 1630. U. Fig. 426. Aufgabe. Gegeben P, P', P'; man soll zwei einen A « bilden de Linien PX und PY so non P ausjiehen, daß sich die in die, selben fallenden Abstande dieses Punkts von 2 unter den ß und y, von P' und P" gegen PX und PY. geneigten Linien P'X und P"Y gleich groß ergeben. (PX --- PY, Z. XPY A P'XP — ß, A P"YP = 7). Analysis. Bestimmt man A P'PD = « und PD --- PP', so erhält man A PDY A PP'X, folglich A PYD = Z. PXP' = ß. Durch PP", PD und die £ / und ß sind aber nach 320 2 Oerter für Y gegeben, also läßt sich dieser Punkt bestimmen, u. s. w. 1630. V. Fig. 426. Aufgabe. Wie 1630. U., nur soll P'X — P"Y. werben. Analysis. Führt wie in 1630. 8. z« 1630. U. 1630. W. Fig. 427. Aufgabe. Wie 1630. U.,,nut fall P'X --- PY werden. Analysis. Bestimmt man A P"PP — a, PP — PP" und Z. PY'P --- y, so ergiebt sich A PP"Y £ A PPY', weshalb sich PY' = PY = P'X ergiebt, und die Aufgabe nach 1630. f. gelöst werden kann. 1630. X. Fig. 428. Aufgabe. Gegeben K,K.', K"; man soll 2 einen A « bildende Tangenten,

268

DX und DY so an K legen, daß sich die _l_"Ab, stände desSchneidungspunkts derselben von zwei 1, auf DX und DY an K' und K" gezogenen Bc < rüh rnngSlinicn gleich groß ergeben. (DX — DY, Z. XDY s= «). Analysis. Da 1041 einen einzelnen Fall dieser Auf, gäbe bildet, bei welchem nämlich Z. « — 2R ist, wird man darauf geleitet Z. = «, MM" = MM, und eine K" gleiche Kreislinie K" um M zu konstruiren. Zieht man hierauf durch M =£ zu DY und DX, und legt an K' und K" eine gemeinschaftliche Tangente B' B", so crgiebl sich a MM"B"E a MMD"F, da Z. a = Z. FME = Z. 9)?MM" ist, also Z. M"ME — Z. FsilM sein muß, und man außerdem MM" — MM, M"B" — MB", Z. E = Z. F =s R hat. Hieraus folgt ME ss MF, also auch DY = DX. Da nun der j_ MF nach der vorhergehenden Kon, struktion gegeben ist, kennt man also die DX und DY, und kann diese Linien selbst nach 232 feststcllen. 1630. Y. Fig. 428. Aufgabe. Wie 1630. X., nur sollen hier die J_ DX und DY an K' und K" gelegten Tangenten B'X und B"Y einander gleich werden. (B'X = B"Y, Z. XDY = «) Analysis. Legt man =f= 4= durch M, M', M" zu DX, DY, B'X, B"Y, so reduzirt sich die Aufgabe, in Be, ziehung auf die Punkte M, M', M", auf 1630. S. 1630. Z. Fig. 429. Aufgabe. W i e 1630. X., nur soll hier die j_ DX an K' gezogene Tangente B'X = DY werden. (B'X — DY, Z. XDY =a «). AnalysiS. Legt man durch M und Y -j- zu DX, DY, DM, ferner durch H zu B"Y, und verlängert M"B", so erhält man B"E = GH = BD, also mittelst « und r gegeben, und MH — DY — B'X. Nimmt man daher gleiche Stücke FX oder r und HY' ab, so bleibt B'F, oder die 4= M'N s= MY'. Zieht man jetzt durch Y' eine 4= zu B"Y, so findet sich der Radius M"I der jene 4^ berührenden

269

Kreislinie um HI" bekannt, da 18" — Y'G ist, also M"I — r" — (r — BD) sein muß, weshalb sich die vorstehende Auf, gäbe auf eine einfachere, von diesem O und den Punkten Bl und M' bedingte, zurückführt. Bestimmt man zur Lösung dersel, ben Z. M'MQ = a = Z. NMY', und HIP, die Derlän. gerung von MQ, = MM', so reduzirt sich endlich auch diese Aufgabe auf eine andere: denn fallt man aus P den _L PX', so zeigt sich MX' 52 M'MN, da außer PHI — MM', Z. PMX' = Z. QMY' = Z. M'MN ist, hieraus aber _L PX' ss M'N — MY' folgt, also 1630. i. zu konstruiern ist. Anmerkung. So wie in 1630. X., Y., Z. die drei Elemente K, K', K" gewählt sind, konnten P, P', K und P, K, K' gleichfalls zur Bildung ähnlicher Aufgaben benutzt werden. Wendet man dieselben Hilfsmittel wie bei 1630. X., Y., Z. an, so ergicbt sich ohne Schwierigkeit auch für diese Aufgaben die Analysis. 1631. Fig. 284. Aufgabe. In einem sestlie, gend gegebenen A ABC soll eine -j- XY so zu n gelegt werden, daß sich XY 4- a = der Summe der oberen Abschnitte AX und AY ergiebt. AnalysiS. Da AX -f- AY — XY + a bedingt ist, muß AX 4- AY — XY ä a sein. Hiedurch ist aber die Summe der beiden Berührungslinien AE und AF eines in das A AXY beschriebenen Kreises, folglich auch dieser 0 selbst mittelst der feststellbaren Punkte E und F gegeben, so daß man nur schließlich 282 zur Verzeichnung von XY anzuwen, den hat. 1632. Fig.285. Aufgabe. Zwischen den Schen, keln eines festliegenden Z. a ist ein beide tangir render 0 gegeben; man soll an denselben eine Berührung-linie XY in n erhalb « ziehen, so daß sich AX + AY s= s ergiebt. Analysis. Fall 1). XY soll zwischen A und K fallen, ES ist AD 4- AE gegeben, und AX + AY s= s be, dingt, folglich hat man durch Subtraktion DX + EY, oder

— 270 — XY = AD + AE —s, weshalb die Aufgabe mittelst 375 gelist werden kann. Fall 2) X'Y' soll nicht zwischen A und L fallen. Es ist AD4-AE gegeben, und AX' + AY* — s be, dingt, folglich hat man durch Subtr. DX'-f EY' oder X'Y' = s — (AE + AD), weshalb die Aufgabe mittelst 375 ge, ldst werden kann. 1633. Fig. 236. Aufgabe. Zwischen den Scheu, kein eines festliegenden Z. a ist ein beide langt, render © um O gegeben; man soll an denselben eine die Schenkel des NebenZ. von a durchschnei, dende Berührungslinie CQ' zieh en, sodaß sich CA — BA = d ergiebt. Analysis 1). Nach 1418 ist CA=GQ', BA = GR', und deshalb, da gleichfalls nach 1418 BQ' = GR' ist, GB—GG — 6. Nun muß aber, ebenfalls nach 1418, OG der gegebenen Linie AI gleich sein, folglich hat man GB ss d 4* AI, und BC s= d + 2 AI, wodurch sich die Aufgabe auf die 375 analoge Hilfsaufgabe, welche 1477 ge, list wurde, reduzirt. Analysis 2). Nach 1418 ist BI --- CH, also AH — AI s= d, und deshalb AH = d + AI. Bestimmt man hienach H, errichtet in diesem Punkt einen J_ auf AH, verlängert OA, beschreibt mit NH einen V um N, und zieht nach 318 die gemeinschaftliche Tangente R' Q', so muß sich AO — AB = d ergeben. 1634. Fig.285. Aufgabe. Zwischen den Schen­ keln eines festliegenden Z. « ist ein beide tangi, render O gegeben; man soll an denselben eine DerührungSlinie XY innerhalb « ziehen, so daß sich AX 4- XY = s ergiebt. AnalyfiS. Fall 1). XY soll zwischen A und K falleo. Es ist AX + XB + BY + YA = AD + AE gegeben, und AX + XB + BY______ — s bestimmt, folglich hat man durch S. YA — AL) + AE — s, wo, durch sich Y, und deshalb XY feststellen läßt.

271

Fall 2). X'Y' soll nicht zwischen A und K fallen. Schneidet man AG = s »b, so ergiebt sich A X'Y'G — i AX'Y', (I/). Nun ist aber A MY'X' — j AY'X', (iA, folglich ergiebt sich A MY'G = R - y,

+

und et läßt sich deshalb, da MG gegeben ist, nach 320 Y' bestimmen, und hierauf X'Y' verzeichnen. Anmerkung 1). Als unörtliche Aufgabe genommen, fordert der erste Fall A aus «, (a -f- b), p', der zweite A auS a, (a4-b),,(>. Anmerkung 2). Der erste Fall läßt sich ebenfalls ganz analog mit dem zweiten lösen, nNd es ergiebt sich der dazu erforderliche PeripherieZ. = —. 1635. Fig.285. Aufgabe. Zwischen den Schen, kein eines festliegenden A « ist ein beide tangirender O gegeben; man soll an derseben eineBe, rührunglinie XY innerhalb a ziehen, so daß sich AX — XY — d ergiebt. Analysis. Fall 1). XY' soll nicht zwischen A and K fallen. Es ist AX'-X'B*4-AY'—Y'B' = AD-f-AE gegeben, uNd AX*—X'B' — Y'B' = d bestimmt,

also ergiebt sich durch S. AY' = AD-^-AE — d, wodurch sich Y', und deshalb auch X'Y' feststellcn läßt. Fall 2). XY soll zwischen A und K fallen. Schneidet man AG' = d ab, so ergiebt sich A XYG' = R — ^y-^> (R —-jy Nun ist aber A MYX — R —

(R—

folglich ergiebt sich A MYG*

= R + y, (2R — y — y) , und es läßt sich des­ halb, da MG' gegeben ist, nach 320 Y bestimmen, and hier, auf XY verzeichnen.

272 Anmerkung 1). Als unörtliche Aufgabe genommen, fordert der erste Fall A aus (b — a), q, «; der zweite Fall A aus (b—a), p', «. Anmerkung 2). Fall 1) dieser Aufgabe bildet eine Analogie zu Fall 1) 1634, und Fall 2) gleichfalls zu Fall 2) 1634. Anmerkung 3). Fall 1) laßt sich in derselben Art wie Fall 2) lösen, und eS ergiebt sich der dazu erforderliche

PeripherieA — -y.

1636. Fig.286. Aufgabe. Zwischen den Schen/ keln eines festliegenden A a (DAE) ist ein beide tangirender 0 gegeben; man soll an denselben eine die Schenkel des NebenA von a schneidende Berührungsl inie ziehen, so daß sich AX + XYsss ergiebt. Analysis 1). ES ist AX — XB + BY— AY = AD +AE gegeben, und AX — XB 4- BY = s bedingt,

also erhält man durch Subtr. AY = s — (AD-f-AE), wodurch sich Y, und deshalb auch die gesuchte Berührungsli, nie feststellen läßt. Analysis 2). Schneidet man AG = s ab, so er/ giebt sich A XYG --Nun ist aber A MYX / AYX -- — 2 , folglich bestimmt sich A MYG = R —

/ XAY a —-— — —, und es läßt sich deshalb, da MG gegeben

ist, nach 320 Y bestimmen, und hierauf XY verzeichnen. 1637. Fig.286. Aufgabe. Zwischen den Schen/ keln eines festliegenden A « (DAE) ist ein beide tangirender Q gegeben; man soll an denselben eine die Schenkel des NebenA von « schneidende

- 273 — Derührungslinie ziehen, so daß sich XY —AX=d ergiebk. Analysis. Schneidet man AG'= d ab, so ergiebt

sich Z. XYG' = R —

Nun ist aber Z. MYX

— —^YX> folglich bestimmt sich Z. MYG' = R —

2R — Z. XAY

Z. XAY

und es läßt 2 2 sich deshalb, da Al 6^ gegeben ist, nach 320 Y, und hierauf XY zeichnen. 1638. Aufgabe. Zwischen den Schenkeln eig­ nes festliegenden Z. « ist ein beide tangirender O gegeben; man soll an denselben eine die Schenkel des NebenZ. von a schneidende Berüh« rungslinie so ziehen, daß sich der zwischen diese Schenkel fallende Abschnitt derselben gleich a ergiebt. Analysis. Siche 1477. 1639. Fig. 236. Aufgabe. Zwischen den Schen, keln eines festliegend gegebenen Z. SAS' soll eine Linie CB, deren Theile CF und FB einzeln bestimmt sind, so gelegt werden, daß, wenn man einen O in das entstehende A ABC beschreibt, der gemeinschaftliche Endpunkt F beider v orge, schrieben«» Linien einen Berührungspunkt für diesen O bildet. Analysis. Da CF = CD, BF = BE ist, werden sich durch Abschneidung dieser Linien von den Z-spitzen B und C auS gleiche Reste AD und AR ergeben. Nach 1418 Anmerk. 2. findet eine ähnliche Relation wie hier für den Q im A für 2 (7)0 am A statt, bei welcher die gleichen Linien CH und BI von den Z. spitzen B und C auslaufen, und die Reste AH und AI in der Z. spitze A zusayimentreffcn. Da nun hienach sowohl CD — BE als AH — AI — AC — AB Hollrben u. Gerwirn Analysis. H. 18

274 sein muß, und die Benutzung des gegebenen A CAB ohnehin

nothwendig ist, so giebt dies genügenden Grund die 4 Linien CD, AH, BE und AI gegen einander zu vergleichen. Die Ausführung hievon führt zu dem Resultat, daß CD — AH, BE = AI ist, da nach 373 FR' = AC, FQ'=AB sein muß, also durch Subtraktion der von C und B nach den 0O um N und O führenden Tangenten,Paare gleiche Reste bleiben. Wenn aber AH — CF, AI — BF ist, so kann man

die Punkte I und H fcststcllen. Mittelst derselben lassen sich ferner die beiden Radien IO und HN der OO Gl, also auch GH + OG + 01 — IN > Gl — IF 4- DG, und dc-halb OH + ON > DF. Eben so ist, Fig. 287. a, IG >10— OG, d. h. IF — FG > IN — ON — OG, und IF 4- ON + OG > IN + FG, oder ON 4- OG > FG, also auch GH 4- OG 4- ON > FG 4- GD, und deshalb OH 4” ON > DF. 1642. Fig. 288. und 288. a. Gegeben K und L'; man soll einen Ort von der Eigenschaft be­ stimmen, daß sich der Unterschied jede-Paar« au1641.

276 einem beliebigen Punkte desselben an K und K'

gezogener Tangenten als Maximum ergiebt. Auf demselben Wege wie in 1641 gelangt man zu der Vermuthung, daß von den Verlängerungen der die Centrale nicht schneidenden gemeinschaftlichen Tangenten, also viermal,

ein solcher Ort gebildet wird. Art: Fall 1.)

Die- bestätigt sich in folgender

Es ist OS — OR - als AP + AP' bestimmen. DieS ist aber nach 773 nur möglich, wenn A GAP == A FAP', also auch A APP' = A AP'P ist: folglich muß AP + AP' daS gesuchte A ein durch PP' und ------ --------- gegebenes gleichschenkliges A sein. 1656. Fig. 291. Lehrsatz. Bon allen nctf en mit denselben n — 1 Seiten bildet die Fläche des, jenigen, im Vergleich zu den übrigen, ein Maxi«

281

mutn, welches mit seinen Aspitzen in einer Kreis, linie liegt, und den Durchmesser derselben zur Seite hat. Analysis. Sei ABCDE da- gesuchte oeck mit den ge­ gebenen Seiten AB, BO, CD, DE. Denkt man sich zunächst daBODE und AB unveränderlich, so ergiebt sich das neck al- Maximum, wenn A ABC die größte Fläche hat. Dies findet aber nach 778 statt, wenn A ABE = R ist, also B in der Peripherie eine- Halbkreise- über AE liegt. Nimmt man ferner die A A ABC und CDE unveränderlich an, so ergiebt sich dasselbe in Beziehung auf 0. Durch Wie­ derholung dieser Untersuchung zeigt sich aber, daß auch alle übrigen Punkte in der Peripherie eine- Halbkreise- über AE liegen müßten, folglich läßt sich die Behauptung erweisen. 1657. Fig. 291. Lehrsatz. Von allen necken mit denselben Seiten bildet die Fläche desjeni­ gen, im Vergleich zu den übrigen, ein Maximum, welches mit seinen Aspitzen in der Peripherie eines Kreises liegt. Beweis. Sei ABCDFGH das n eck mit den gegebenen Seiten. Zieht man den Durchmesser AE, so ergiebt sich ein bestimmtes ADEF, und nach 1656 ABCDE -f- EFGHA, oder ABCDEFGH als Maximum. Denkt man sich nun daS zugegebene A DEF von allen möglichen Vielecken mit den Seiten AB, BC, CD, DE, EF, FG re. abgcnommen, so muß sich der größte Rest bestimmen, wenn man jenes A von dem größten Vieleck also ABCDEFGH abnimmt, in welchem Fall sich wirklich das neck ABCDFGH ergiebt. 1658. Lehrsatz. Die Fläche eines regulären neckS bildet im Vergleich zu allen übrigen necken mit denselben Seiten ein Maximum. Beweis. Folgt aus 1657. 1659. Fig. 236. Aufgabe. ES sind die Mittel­ punkte M, N, O der 3 QQ am A gegeben; man

— sott da- von jedem

282

—

dieser ©©

an

einer Seite

berührte A zeichnen. Sei ABC das verlangte A.

Analysis.

Berührung des © um O

muß

A

Wegen der

OAI = A

HAN

(— A OAQ), A OBE = A FBM (= A OBQ') sein. Nun ist aber A SAM — A 8'AM, A R'BN = A RBN,

wegen der Berührungen der ©Q um N und M, folglich m

Da nun ans ahn,

giebt sich A MAO — A NBO — R.

lichen Gründen sich A OCM ebenfalls — R zeigt, so besin, den sich die Spitzen des gesuchten A ABC in den Schneidungspunkten der aus den Aspitzen M, 0 und N auf die

Gegenseiten gefällten Höhen. Falle aus M,

Auflösung.

N,

O die JLJL M A,

NB, OC, so ergeben sich die ^spitzen A, L, C des ver,

taugten A.

Da die

Beweis.

AOBW und ANCW

Im © sind, hat man A BWO = A BAO, und ACWN

— A CAN.

Nun ist aber A BWO = A CWN, also

muß A BAO --- A CAN — A OAQ sein, d. h. NO halbirt den A IAQ.

Auf dieselbe Art ergiebt sich A ABO

— A CBM — A OBQ', d. h. MO halbirt den A ABQ', und ferner A BC3I = A ACN — A MGS, halbirt den A GCS.

die genannten

d. h. MN

Wenn aber die Linien NO, MN, MO

bei A, B, C halbiren,

müssen auch die

OO um O, M und N jeder drei Seiten des A ABC nach

276 berühren, was zu beweisen war. 1660. Fig. 236. Aufgabe. E s ist ein AM NO gegeben;

man soll

in

dasselbe

ein

A

mit dem

möglich kleinsten Umfange beschreiben. Analysis.

Sei ABC das verlangte A.

Denkt man

sich AB unveränderlich, so wäre nach 773 AC -f- CB ein Minimum, wenn sich A ACN — A BCM ergäbe.

man sich A C unveränderlich,

Denkt

so bildete CB -j- BA ein Mi­

nimum , wenn man A ABO = A CBM fände.

Vereinigt

man also beide Bedingungen, so zeigt sich, daß ABchBC-j-CA

283

ein Minimum ist, wenn die Seiten dieses A mit den Seiten des gegebenen gleiche ^2 bilden. Nach 1659 ergiebt sich aber ein solches A, wenn man die Höhen des gegebenen A zeich, net, und deren Schneidungspunkte mit den Seiten, A, B und C verbindet. 1661. Aufgabe. In ein gegebenes Quadrat soll ein Al mit dem kleinstmöglichen Umfange so eingeschrieben werden, daß eine Aspike dcssel, ben in einen bestimmten Punkt fällt. Analysis. Denkt man sich nach der Reihe jedes Paar aufeinanderfolgende Seilen des gesuchten Al unveränderlich, so ergiebt sich nach 773, daß jedes Paar Linien des A mit den Seiten des gleiche ^2 bilden muß. Dies wird er, reicht, wenn man zunächst von dem bestimmten Punkte aus 4:=r $u beiden Diagonalen des Q- zieht, und dasselbe hierauf in den entstehenden Durchschnittspunktcn wiederholt (wodurch sich ein q ergiebt). 1662. Fig. 292. Aufgabe. Es sind 4 in einer Kreislinie liegende Punkte F, G, H, I gegeben; man soll ein A um O so konstruiren, daß sich um jeden dieser Punkte ein 0 zeichnen läßt, welcher eine Seite und die Verlängerung der an, stoßenden beiden Seiten des gesuchten A be, rührt. Analysis. Sei A BCD da- verlangte Al um ©♦ Wegen der Berührung des 0 um I muß A CBI = A ABH (— A NBH), A BCI = ADCF (=AFCR) sein. Nun ist A MBA — A MBC, und A MCB = A MCD, da ABCD ein Al um O sein soll, folglich er, giebt sich A MBI = A MCF = R. Aus ähnlichen Grün, den zeigt sich aber ferner A MDG ebenfalls = A MAH — R, folglich befinden sich die Spitzen des gesuchten Al ABCD in den Schneidungspunkte» der aus M auf die Sei, Ult des Al IFGH gefällten J__L, und es kömmt nur noch auf die Bestimmung dieses Punktes an. Diese ergiebt sich

284 aber bald, wenn man bedenkt, daß 3 Kreise, nämlich um F,

M, H, dieselben beiden Lagen BC und AD berühren sollen,

also M nothwendig in der einen Diagonale HF de- gegebenen GHIF liegen muß,

und aus ähnlichen Gründen zugleich

allein seine Lage in der zweiten Diagonale Gl haben kann. Auslösung.

JL.L

auf die 4

Ziehe

übrigen

Gl und HF, und fälle aus M Verbindungslinien

der gegebenen

Punkte, so bilden die Durchschnittspunkle AB CD das gesuchte L2 um Q.

Beweis.

Da MBHA und MBIC

im © find,

ist Z. AHM =s Z. ABM, und Z. MIC = Z. MBC.

Nun muß Z. AHM — Z_ MIC sein, da H, I, F, G in einer Kreislinie liegen, MBC.

folglich crgiebt sich Z. MBA = Z.

Auf demselben Wege zeigt sich aber auch, daß die gc,

fällten _L_L die übrigen ^2 bei

AB CD halbiren,

läßt sich in dasselbe ein © beschreiben.

also

Da nun aus dem

Vorigen die Gleichheit der ^2 gefolgert werden kann,

welche

die Seiten des c2 AB CD mit den Seiten des ^2 FGHI in A, B, C, D bilden, z. B. Z. ABH = Z. CBI, so hal­

biren die Linien HI, IF, FG und

GH die Außens des r-2

ABCD, weshalb sich nach 276 um die 4 gegebenen Punkte ©© beschreiben lassen, von denen jeder eine Seite des c3

ABCD und die Verlängerungen der beiden anstoßenden Sei­ ten berührt.

1663.

Fig. 292.

Aufgabe.

Es ist ein l^2 im ©

6HIF gegeben; man soll in dasselbe ein £2 um

0 mit dem möglich kleinsten Umfange beschreiben.

Analysis.

Sei AB CD

das

verlangte

^2 um 0.

Denkt man sich AD und DC unveränderlich, so bildet nach

773 AB-4-BC ein Minimum, wenn AB und CB mit IH

gleiche ^2 machen.

Wird DA und AB unveränderlich ange­

nommen, so bildet BC 4* CD ein Minimum, wenn BC und

DC mit IF gleiche ^2 machen.

CD 4- DA giebt endlich gleich,

falls ein Minimum, wenn CD und DA mit GF gleiche ^2 bilden.

Vereinigt man also diese Bedingungen, so zeigt sich,

285

daß AB + BC + CD + DA ein Minimum sein wird, wenn die Seiten des gesuchten mit den Seiten des gegebenen in A, B, C, D gleiche bilden. Die Einschreibung eines solchen cA nm O kann nach der Auflösung von 1662 vorge, nommen werden. 1664. Fig. 293. Gegeben K, K/, K"; welches mit seinen spitzen in diese Kreislinie fallende A hat den kleinsten Umfang? Analysis. Sei ABC das erwähnte A. Denkt man sich AB unveränderlich, so wäre nach 990 AC-J-CB ein Minimum, wenn sich A ACM" = A BCM" so ergäbe, daß CM" nicht zwischen AC und CB läge. Denkt man sich AC unveränderlich, so bildet AB -s- BC gleichfalls nach 990 ein Minimum, wenn man A ABM' — A CBM' so fände, daß BM' nicht zwischen AB und CB fiele. Vereinigt man also beide Bedingungen, so zeigt sich, daß AB BC -s- CA ein Minimum ist, wenn die Seiten dieses A mit den nicht in dasselbe fallenden Halbmessern r, r' r" gleiche bilden. Anmerkung. Durch die Anmerkung zu 990 ergiebt sich auch, daß von allen AA, die mit ihren Aspitzen in 3 ge­ gebene Kreislinien fallend beschrieben werden können, dasje­ nige den größten Umfang hat, dessen Seiten mit den in das­ selbe fallenden Radien r,r',r" gleiche zi. bilden.

286

in. B. Zweiter Abschnitt. Aufgaben, welche durch die Lehre von der Aehnlichkeit lösbar sind.

istes Kapitel. Dreiecks- und Parallelogramm-Aufgaben.

1665. Fig. 294. Aufgabe. A aus h, hz, h". Analysis.

hhz Nach 481 ist a : b : c = IV:h, also

nach 412 die Gestalt deS verlangten A gegeben, aus welcher sich die Größe durch eins von den gegebenen Stücken ableitcn läßt. Auflösung. Bestimme 1 so, daß b": li — h': 1 ist, zeichne ein A ABC mit den Seiten AC — h, CB = h', BA — 1, ziehe 2lE = h und BC, und lege durch E eine -j- zu DC, so erhält man das verlangte A 2t BC. Beweis. Es ist zu zeigen, daß der J_ aus B auf b = h', und der J_ aus C auf c — h" ist. Nach 480 hat man AE: Bv — AC: BC — AC : BC — b : h'; nun ist AE = h, folglich muß BD — h' sein. In derselben Art hat man AE: CE = AB: BO --- AB:BC —1:bz. Nach der Konstruktion kann man aber statt 1: h', h: h" setzen, wo, durch sich AE : CE = h: h", also auch CF = h" ergiebt, da AE -- b gezeichnet ist.

1666. Aufgabe. A au- (h : h' : h") (der Ge­ stalt nach). Analysis. Folgt aus 481 und 412.

287

1667.

Fig. 295.

Analysis.

Aufgabe.

A au< b, t, (a-f-b).

Verlängert man a über C um

so er,

giebt sich A ADF durch DF — —DA=t, u. AE=b,

weshalb es nach der Konstruktion dieses A nut darauf an, käme, FC : CA — 1:2 festjustellen, welches erreicht wird, wenn man DH = (a + b) abschneidet, und AC -jr DH zieht, u. s. w. Z usatz. Es ergeben sich 2 verschiedene Resultate.

1668.

Aufgabe.

A aus h, (a + b), A (la).

Analysis. Führt durch 114 zu 1667. 1669. Aufgabe. A aus t, (a+b), A (ta).

Analyst s. Führt durch 114 zu 1667. 1670. Fig. 296. Aufgabe. A aus h, t, (a — b). Analysis.

Schneidet man CF = — ab, so «giebt

sich A ADF durch DF = ”■

\ DA = t und AE — h,

weshalb es nach der Konstruktion dieses A nur darauf an, käme, FC : CA = 1:2 festjustellen. Dies wird erreicht, wenn man DH = (a — b) bestimmt und AC + DH zieht,

u. s. w. Zusatz.

1671.

Es ergeben sich 2 verschiedene Resultate. Au fgabe.

A aus b, (a— b), A (ta).

Analysis. Führt durch 114 zu 1670. 1672. Aufgabe. A aus t, (a — b), A. (ta).

Analysis. Führt durch 114 zu 1670. 1673. Fig. 297. Aufgabe. A aui h, t', (a + b). AnalysiS. Bestimmt man BG = (a + b), und zieht durch E, den Endpunkt von t', eine + zu b, so ergiebt sich A BEG aus BG = (a + b), BE = V und EF =

wes,

halb es nach der Konstruktion dieses A nur darauf ankäme,

EC : CG = 1 : 2 festjustellen.

Die«

wird aber

erreicht,

288 wenn man BH =

a±b

abschneidet, unb EC 4= HB legt,

u. s. w. ES ergeben sich 2 verschiedene Resultate.

Zusatz.

1674. Fig.

298.

Analysis.

Aufgabe.

A au# b, V, (a—b).

Die Analysis 1673 paßt wörtlich für diese

Aufgabe, wenn man (a — b) statt (a -j- b) liest, und Fig.

298 benutzt. Es ergeben sich 2 verschiedene Resultate.

Zusatz.

1675. Fig. 299. Aufgabe. A «u« b, t", (ajb). Zieht man durch E, den Endpunkt von t",

Analysis.

eine 4= ju a, und schneidet HG = HC ab, so zeigt sich A

ECG durch EG =

EC----1", und ECbestimmt,

weshalb man nach der Konstruktion desselben nur 72 zur Fest,

stellung von H anzuwenden hat, u. s. w. Es ergeben sich 2 verschiedene Resultate.

Zusatz.

1676.

Fig. 300.

A aus b, t", (a—b).

Die Analysis von 1675 paßt wörtlich für

Analysis. diese Aufgabe,

Aufgabe.

wenn man (a —b) statt (a 4-b) liest, und

Fig. 300 benutzt. 1677. Aufgabe.

A aus b,

t', (a : h), z. B. a

soll — h werden. Analysis. Mittelst b und (a : h) läßt sich nach der

Festlegung von b durch 581 ein zweite crgiebt sich,

Ort für B bestimmen.

Der

wenn man um die Mitte von b mit V

einen Q beschreibt, u. s. w, Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 1678.

Aufgabe.

Analysis.

A aus b, ß, (a : h).

Durch b und (a : h) läßt sich nach der

Festlegung von b durch 581 ein Ort für B bestimmen.

Der

zweite ergiebt sich mittelst b und ß nach 320 u. s. w.

1679.

Aufgabe.

Analysis.

A aus b, h', (a : b).

Ergiebt sich entweder wie in 1678 mittelst

der Oerter 581 und 79, oder durch 480 und 462.

—

Es sind 2 verschiedene Resultate möglich.

Z u sa tz.

1680.

289

Aufgabe.

Anall)sis.

A a u# b, b", (a : h).

Durch b und (a : b) laßt sich nach der

Festlegung von b nach 581 ein Ort für B bestimmen.

Den

zweiten Ort giebt die Lage der aus A an den um C mit b" beschriebenen (•) führende Tangente, u. s. w.

Zusatz.

Es sind 2 verschiedene Resultate möglich.

Aufgabe.

1681.

Analysis.

A auS b, r, (a : b).

Trägt man b als Sehne in die mit r be,

schriebene Kreislinie, so bildet diese einen Ort für B; zweite läßt sich

mittelst b

men u. s. w. 1682. Aufgabe.

Analysis.

und (a : h) nach

581

der

bestim,

A aus b, r, (a:b).

Durch b

und (a:h) ergiebt

man b gezeichnet Hal, nach 581 ein Ort für B.

sich hierauf um A einen O

sich, wenn Denkt man

mit t beschrieben, so erhält man

durch 530 die Lage von a, u. s. w.

Zusatz. 1683.

Es sind 2 verschiedene Resultate möglich.

Aufgabe.

Analysis.

A aus b, 1", (a :h).

Durch b und (a: h) ergiebt sich, wenn

man b gezeichnet hat, nach 581 ein Ort für B.

Denkt man

sich hierauf nm C einen Q mit t" beschrieben, so ergiebt sich durch 530 die Lage von c u. s. w.

Zusatz.

1684.

Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. Aufgabe.

werden. Analysis.

A aus h', h", und a soll = h

Durch h':h" ergiebt sich nach 482 (c:b).

Dies Verhältniß und (a: b) = 1:1 bestimmen nach 595

die Gestalt des verlangten A, welcher die richtige Größe durch h' oder h." gegeben werden kann.

1685.

Aufgabe.

Analysis,

A aui a, V, (h':h").

(h':Ir") bestimmt (c:b) nach 482.

a und (c : b) ergiebt sich nach 593 ein Ort für A.

Durch

Beschreibt

man um den Endpunkt B der festgelegten Linie a einen © H,Heben u. Gerwien Analysis. II.

19

290 mit t', so läßt sich schließlich die Lage von b, und hiedurch

das verlangte A ABC nach 530 zeichnen. Aufgabe.

1686.

Analysis,

A au# t, t', (h : h').

(h : IV) bestimmt nach 480 (b : a).

telst dieses Verhältnisses und (t: V) laßt sich verlangten A

bestimmen,

Mit­

die Gestalt des

da über c zweimal der Ort 593

(für den Schwerpunkt und für die Spitze des A) gegeben ist, und nach 530 aus der Mitte von c eine Linie gezogen wer­

den kann, welche von beiden Oertern in zwei sich wie 1:2 verhaltende Abschnitte getheilt wird.

Aus der Gestalt folgt

die Größe durch die Denutzmig von t oder V.

giebt sich

die

Gestalt des verlangten

A

Einfacher er,

in folgender Art.

Theile eine Linie 21" in drei gleiche Theile, konstruire den Ort 593 über dem zweiten Drittel für das Verhältniß (t: V), und

denselben

Ort

über

(b: IV), verlängere

der ganzen

die von

Linie

dem

für

das

Verhältniß

Schneidungspunkt

beider

Oerter nach der Mitte von 2 t" führende Lime um sich selbst, und verbinde den Endpunkt der Verlängerung mit einem der

beiden Endpunkte von 2 t". 1687. Aufgabe. A aui V, t", (b :IV).

AnalysiS.

Durch (h : IV) hat man nach 482 (b : a);

wird daher t" um sich selbst verlängert, so bestimmt sich nach

123 über 2 t" durch (h : IV) der Ort 593.

Schneidet man

denselben aus dem Schwerpunkt mit H V, verlängert die von dem Schneidungspunkt nach der Mitte von 2 t" führende Li­ nie um sich selbst, und verbindet schließlich den Endpunkt der

Verlängerung mit einem der beiden Endpunkte von 2 t", so

«giebt sich da- verlangte A ABC.

Zusatz. 1688.

Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. A aus a, (IV:b"), (V : t").

Aufgabe.

Analysis,

(c: b) =(h':h") und (V: t")

men nach 593 zwei Oerter über a.

bestim­

Zieht man daher nach

530 aus der Mitte von a eine durch beide Oerter im Verhält­ niß 1:2 getheilte Linie, so bestimmen sich der Schwerpunkt

und die Spitze des verlangten A ABC u. s. w.

291

Anmerkung. Eine zweite Analysis und Auflösung ergiebt sich in derselben Art wie am Ende von 1686.

1689. Aufg abe. A «. [6. h. dieselbe Seite a soll von 2 (A durchlaufende) Transversalen so getheilt werden, daß sich einmal beide Ab, schnitte von a wie in: n, und daS anderemal wie p: q be, stimmend Analysis. Führt man daS Verhältniß t(in;n) : t(p;q) ein, so ergiebt sich die Gestalt des verlangten A, wenn man eine beliebige Linie D C so theilt, daß C D : D B — m; n, und CE: EB — p :q wird, über DE mittelst t(m;n): t(p;q)

—

294

—

den Ort 593, und über BC durch « den Ort 320 beschreibe, u. s. w.

Aufgabe. A aus a, t(in:n),

1709. Fig. 302. Analysis.

AD -j- a,

Zieht man

und verlängert t'

bis D, so zeigt sich cd ADFB bestimmt, da von demselben

AD, BF, BD durch die Proportionen

AD ; a = q : p, BF : a = m ; m

n,

ED : i' = q : p gegeben sind, und AF §. 26. zeichnen, struiren. 1709. a.

ss

t

Dies cd läßt sich aber nach g. Dctr.

außerdem bekannt ist.

und deshalb

auch daS

Aufgabe.

Fig. 302.

verlangte A ton# A aus a,

t*/u‘ q)* Analysis.

Verlängert man V und t" bis zu der durch

A zu a gezogenen ch: GD, so zeigt sich cd GDBC bestimmt, da von demselben BD, CG, GD durch die Proportionen

BD : t'

m -|- n ; n,

CG : t"

= p

{AD : a

ss m

AG : a

-s- q : q,

:

n i

q ; p)

=s

aegeben sind, und BC s a außerdem bekannt ist.

Dies cd

läßt sich aber nach g. Detr. §. 26. zeichnen, und deshalb auch

das verlangte A konstruiren. 1710.

Aufg abe.

Analysis.

A aus h, r, (b + c).

Durch h und r ergiebt sich (bc) nach 557,

durch (b + c) und (b c) aber b und c nach 458;

man hat

. Iso A auS b, c, h zu konstruiren.

1711.

Aufgabe.

Analysis.

A aus h, r, (b — c).

Ergiebt sich wie in 1710, wenn man 460

statt 458 benutzt.

1712. Fig. 23. Analysis.

Aufgabe.

A aus h', h", (/?—/).

Bestimmt man AE ss c, so ergiebt sich

die Gestalt des A AEC, da nach 139 Z. CAE ss (ß—/) e in muß, und CA : AE oder b : c s= h* : h' nach 480

295

gegeben ist. Aus der Gestalt des A AEC laßt sich aber fer« ncr die Gestalt des A ABC ableiten, folglich ist derselben nur schließlich durch h' oder h" die richtige Größe zu geben.

1713. Fig. 303. Aufgabe. A aus », m, r. Analysis. Die Verlängerung von m trifft die Mitte D des Bogens BC, weshalb Z. EBD — Z. DAB, also auch AEDB cv AADB, folglich m + ED:DB = DB :ED sein muß, durch welche Proportion sich ED bestimmen läßt, da BD gegeben ist. Auflösung. Trage BC = a als Sehne in den O mit r, ziehe aus B eine Linie nach der Mitte D des Bogens BC, errichte in B auf dieselbe ben J_ BF = in, zeichne über BF, als Durchmesser genommen, eine« 0, ziehe die durch den Mittelpunkt gehende Sekante DG, und beschreibe mit dieser Länge um D eine Kreislinie, so bestimmt der Schnitt mit dem 0 um M die Spitze des gesuchten A ABC. Beweis. Da CB in D halbirt ist, muß Z. EBD = Z. DAB, also A EBD cv> A ABD, und deshalb AD : DB = DB : ED sein. Nun ist aber DG : DB = DB : DH, folglich hat inan DH = ED, also auch HG oder FB oder m = EA, während a und r geradezu

verzeicknct sind. Zusatz. ES ergeben sich 2

AA.

1713. a. Aufgabe. A aus «, m, r. Analysis. Nach 321 bestimmen r unb a a; man hat also 1713 zu konstruiren. 1714. Aufgabe. A aus a, w, «. Analysis, a und a bestimmen nach 320 r; man er« hält also 1713 zu konstruiren. Auflösung. Nachdem über a mittelst 320 ein den Z. a fassender Abschnitt beschrieben ist, ergiebt sich die weitere e uflösung ganz wie in 1713.

296 Sollte bei der Konstruktion von « ausgegangen, und jiv, nächst (Fig. 304.) m = AI festgclegt werden, so «giebt sich die folgende Konstruktion. Verlängere AI oder m um AD

ss

errichte in D und A J_J_, schneide AE = AF ab,

verbinde F mit G, der Mitte von AI, bestimme GH ss GF,

und zeichne HB ss AF, so «giebt sich die I durchlaufende Linie BC = a. Beweis. AF2 oder HB2 ist — GF2 — GA2, oder GH2 — GA2, also auch nach 205 — (GH-f-GA) (GH—Gl) ss HA x HI, weshalb A HIB A HAB sein muß. Da nun hieraus folgt, daß A CBH = A HAB ss A CAH ss A EAD ist,

so «giebt sich ferner,

HN _L CB zieht, A HNB und daß sich um das

wenn man

AED, also NB =s -1,

ABHC ein 0 beschreiben läßt»

Aus dem Letzteren geht schließlich hervor, also wirklich BCs a gezeichnet ist.

daß BH ss HC,

Anmerkung. In der vorstehenden Konstruktion ist eigentlich die örtliche Aufgabe gelöst:

durch einen Punkt in der Halbirungslinie eines festliegend gegebenen A eine von de« Schenkeln desselben begrenzte Linie von be, stimmtet Länge zu legen. 1715.

Fig. 305.

Aufgabe.

A auS a, a und

der von A bis a reichenden Halbirungslinie AE oder g des Nebenwinkels von «. (Analogie zu 1714.) Analysis. Durch a und « bestimmt sich nach 320 r. Die Verlängerung von g trifft die Mitte D des BogenS BAC, da sich zeigen läßt, daß eine « und den Bogen CFB

halbirende Linie AF j_ g stehen muß. Hieraus folgt die Aehnlichkeit der AA EDB und ADB, da A DCB ss A DBG, also auch A DBE s= A DAB sein muß. Daraus geht schließlich ED — g : DB = DB : DE hervor, durch

297 welche Proportion ED bestimmt, folglich die Aufgabe gelöst

werden kann, da BD gegeben ist.

Ausl Lsung.

Obwohl cs

am nächsten liegt,

analog

1713 zu konstruiern, stellen wir analog 1714 eine Auflösung her, da letztere zugleich für den Fall paßt,

wenn man die

Aufgabe örtlich auffaßt.

Zeichne A BAC — «, die Halbirungsli,

(Fig. 306.)

nie AI des NebenA = g, verlängere g um AD =

errichte in D und A ,1.1, schneide AE --- AF ab, verbinde F mit G, der Mitte von AI, bestimme GH — GF,

und

HB — AF, so ergicbt sich die I durchlaufende Linie BC=a.

AF* oder HB3 ist — GF1 — GA3, oder

Beweis.

GH3—GA3, also auch nach 205 — (GH + Gl) (GH—GA)

= HA x HI, weshalb A HIB rv A HAB sein muß. Da nun hieraus folgt, daß A HAB — A HBI, also auch A HBC — A BAG = A CAH ist,

wenn man HN J_ CB zieht,

so ergiebt sich ferner,

A HNB ^2. A AED, also

und daß sich um das

NB =

schreiben läßt.

ABCH ein (7) be,

Aus dem letzteren geht schließlich hervor,

daß

BH = HC, also wirklich BC = a konstruirt ist.

1716.

Fig. 307.

Aufgabe.

A aus m, a und

dem Unterschied d der von m in a gebildeten Ab» schnitte.

Analysis.

Legt man « und m fest, errichtet in dem

Endpunkt E von m einen J_ EF auf m, und zieht durch F eine -f- zu

c, so ergiebt sich A

FHE

also EH --- EB, und deshalb CH = d.

FGA = A GFA —

A

EBG,

Da nun auch

A

EFH ist, bildet die gegebene Li»

nie EF die Halbirungslinie deS Neben A von dem bekann» ten A CFH = a,

weshalb man in Bezug auf A CFH

die Konstruktion von 1715 zur Feststellung von BC anzuwen,

den hat.

298

Anmerku ng. Hiemil ist eigentlich die örtliche Auf­ gabe gelöst: durch einen Punkt in der Halbirungslinie eines festliegend gegebenen A eine von den Scheu, kein desselben begrenzte Linie so zu legen, daß der Unterschied der beiden entstehenden Ab, schnitte eine gegebene Länge erhält.

1717. Aufgabe. A aus m', p, «. Analysis. Da man « um den O mit p nach 336 festlegcn kann, und m' den Mittelpunkt desselben treffen muß, kömmt es nur darauf an, die in der Anmerkung von 1714 angeführte Aufgabe zu lösen, welches in 1714 selbst geschehen ist, und hierauf aus dem einen Endpunkt von in' eine Tan, gente an den O mit p zu legen. Zusatz. Es sind 2 Resultate möglich. 1718. Aufgabe. A aus m', (b + c—a), p. Analysis. Durch (b-s-c —a) und p crgiebt sich nach 1354 a, woher man 1717 zu verzeichnen hat. 1719. Aufgabe. A auS m', (b-s-o — a), a. Analysis. Durch (b-f-c—a) und a ergicbl sich nach 1354 p, woher man 1717 zu verzeichnen hat. 1720. Fig. 308. Aufgabc. A A EDB, da A DEB — A AGB ss A ABD und A EDB = A ADB ist. Hieraus folgt aber a 4- DA : B D = B D ; DA, durch welche Proportion DA, folglich auch A ABC gezeich, uet werden kann, da BD gegeben ist. Auflö sung. Zeichne GB — a, A €BD = (/9—y), lege zu a eine um h entfernte ch ED, errichte in B auf BD

299

den J_ BF = a, beschreibe über demselben, als Durchmesser genommen, einen ©, ziehe aus D eine das Cemrum H durch, laufende Sekante DG, und bestimme DN — DA, so bildet ABC das verlangte A. Beweis. Es ist nur zu zeigen, daß A DBA = A ACB ist, da hieraus A ABC — A ACB = A CBD ----(ß—y) folgt, und a und h geradezu verzeichnet sind. Bc, stimmt man hiezu DG = DE, so ergiebt sich AE = NG = a, also A AEB = A ACB. Nun ist aber ED : DB = DB : AD, da GD : DB = DB : DN konstruirt wurde, folglich hat man A EDB A ADB, also ADEB = AABD, und wirklich A ABD --- A \CB. Anmerkung. Die Analysis 2) der vorstehenden Aufgabe ist von dem Kadetten v. Gleißenberg gefunden.

1721. Aufgabe. A aus a, (ß—y), m. Ana lysis. Nach 145 bestimmt sich durch m und (ß—/) h; man hat also 1720 zu verzeichnen.

1722. Aufgabe. A aus a, h, in. Analysis. Nach 145 bestimmt sich durch h und in, (/?—/); man hat also 1720 zu verzeichnen. 1722. a. Fig. 397. Aufgabe. A au< h', li", m. Analysis. Zieht man durch den Endpunkt D von in eine DF zu h', so zeigt sich diese bestimmt, denn h": h' ist ---- b : c = CD : DB, weshalb DF : h' (B E) = h" ; h' + h" sein muß. Es läßt sich also das ADF konstrui, ren, und die Figur durch Abtragung des A DAB ---- A DAF so weit vollenden, daß es nur darauf ankömmt: eine Linie CB durch D zu legen, deren Abschnitte CD und DB ein ge, gebenes Verhältniß, nämlich (b: c) oder h": h' erhalten, welche Hilfsaufgabe 516 gelöst ist. Anm erkung. Aus der vorstehenden Analysis folgt das Datum: wenn zwei von den 3 Stücken: h',h" und bet _L, welchen man au- dem in a liegen, den Endpunkt von m auf b oder c fä llen kann,

300 gegeben sind, ist stets das dritte mittelst der Proportion _L : h' = h" : h' + h" best!mint. 1723. Fig. 233. Aufgabe, A aus b, (a4-l>4-c),

(/b- /). AnalysiS.

Verlängert man a über B um c, über C

um b, so rrgiebt sich DE — (a -f- b 4- c) und Z. E =

Z. D = y, also Z. D — Z. E =

weshalb A

ADE nach 1720 konstruirt, und auS demselben mittelst 73 das verlangte A ABC abgeleitet werden kann.

1724.

Aufgabe. A aus Ir, (a-f-b-f-c), m. Analysis. Nach 145 bestimmt sich (/S—/) durch h

und m; man hat also 1723 ju verzeichnen. 1725. Aufgabe. A and in, (a-f-b-f-c), (/?—/)♦ Analysis. Nach 145 bestimmt sich h durch in und

(ß—y); man hat also 1723 zu verzeichnen.

1726. Fig. 232. Aufgabe. Analysis.

A a, e> (ß—y). Verbindet man den Mittelpunkt O deS Q

km A mit B und C, so bestimmt sich OBC =

OCB — •£-, also Z. OBC — Z. OCB =

und

man

kennt daher vom A OBC die Grundlinie BC = a, die Höhe

= q,

und den Unterschied der ^2 an der Grundlinie. Zeichnet man demnach A OBC nach 1720, so hat inan zur Vollendung des gesuchten A ABC nur mit der Höhe q eit

«en 0 zu beschreiben, und auS B und C an denselben Tanr genten zu legen. 1727. Fig. 236. Aufgabe.

AnalysiS.

A aus a,

(/?—/).

Verbindet man den Mittelpunkt M deS Q

von q* mit B und C, so ergiebt sich Z. BCM = R------ y, und Z. CBM = R - 4» 6|s°

BCM —

CBM =

301 ß 7>--, weshalb A MBC aus der Grundlinie CB = a, der

Höhe MG = g*, und dein Unterschiede der

an der Grund-

nach 1720 gezeichnet, und schließlich daS ver,

linie

langte A ABC sesigcstcllt werden kann , indem man an den mit g* beschriebenen O aus B und C Tangenten zieht, und dieselben rückwärts verlängert.

1728.

Aufgabe.

Fig. 309.

A aus a, d, (b + c).

Durch h ist eine nm h entfernte 4= L

Analysis 1).

zu a, durch (b + c) — CE ein um C beschriebener Q gegc, 6(ii.

Damit sich nun AE = AB bestimmt, kömmt es zur

Feststellung von A nur darauf an: eine Kreislinie zu konstru-

iren, deren Mittelpunkt in L fällt, die B durchläuft und den O um C von Innen berührt, welche Aufgabe 578 gelöst ist. Durch a und h

AnalysiS 2).

ergiebt sich P nach

185, durch a -f- (b-J-c) und P aber g nach 342; man hat

also A aus a, (b -s- c), g, siehe 1354, zu konstruiren.

1729.

Aufgabe.

in 1) 1728,

A au« a, Ii, (b— c).

Fig. 309.

Analysis 1).

Ergiebt sich wörtlich wie

nur muß — statt -j-. Außen statt Innen ge­

lesen werden. Analysis 2).

Fig. 236.

Durch a und h ergiebt sich

P nach 185, durch a -j- (b — c) und P aber g‘" nach 1541; man hat also A aus a, (b — c), g'" zu konstruiren, zu wel, cher Aufgabe die folgende AnalysiS gehört:

Durch a — (b — c), oder a-J-c— b erhält man BE = ? ~~

—-, also

auch die

nach 1543 gleiche

Länge

AI,

welche mit g*" den Neben A von « bestimmt, so daß man

zur Feststellung von a nur die 1477 gezeigte HilfSaufgabc zu lösen bat.

1730.

Fig. 309.

AnalysiS 1).

Aufgabe.

A auS p, q, (b4-c).

Setzt man p und q in einer geraden

Linie BC an einander, so ergiebt sich die Lage von b.

De-

302

schreibt man um C einen 0 mit (b -j- c), so bestimmt sich ferner AE = AB; man hat also zur Feststellung von A eine Kreislinie zu beschreiben, deren Mittelpunkt in L' fällt, die B durchläuft, und den O um C von Innen berührt, welche Aufgabe 578 gelöst ist. Analysis 2). Nach 209 ist p3 — q3 = b3 — c3, oder nach 205 (p + q) (p — q) — (b + c) (b — c), also (b-f-c) : p + q — P — q : (b—c). Aus dieser Propor, tion kann aber (b — c), und da zugleich (b + c) gegeben ist, sowohl b als c abgeleitet werden, weshalb sich die Aufgabe auf A auS (p+q), b, c oder A aus a, b, c reduzirt. 1731. Fig. 309. Aufgabe. A aus p, q, (b — c). Analysis 1). Ergiebt sich wörtlich wie 1730. 1), nur muß — statt +, Außen statt Innen gelesen werden. Analysis 2). Ergiebt sich wörtlich wie in 1713. 2), nur muß (b + c) statt (b — c), und umgekehrt, gelesen werden. 1732. Fig.309. Aufgabe. A auS der Lage und Größe von a, einem geraden Orte L" für A und (b + c). Analysis. Beschreibt man um 6 eintn © mit (b + c), so kömmt es, da AE = AB sein muß, zur Feststellung von A nur darauf an: eine jenen © von Innen berührende und B durchlaufende Kreislinie so zu konstruiren, daß der Mittel, punkt derselben in L" fällt, welche Aufgabe 578 gelöst ist. 1733. Fig. 309. Aufgabe. A aus der Lage und Größe von a, einem geraden Orte L" für A und (b — c). Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1732, nur hat man — statt +, Außen statt Innen zu lesen. 1734. Fig. 162. Aufgabe. A aus h, t, (b + c). Analysis. Verlängert man AE oder t um sich selbst, und vollendet daS 123 angeführte , so bestimmt sich im A ABD, AD — 2t, DB + AB =□ (b+c), und die Lage von a, also ein gerader Ort für die Spitze B, ta AEF

303 mittelst h und t bestimmt ist.

Da nun die Konstruktion die,

ses A ABD nach 1732 ausgeführt werden kann, ergirbt sich auch das verlangte A ABC. Aufga be.

1735.

A aus b, t, (b— c).

Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1734, nur muß — statt +, 1733 statt 1732 gelesen werden.

1736. Aufgabe. A aus h, p, (b + c). Analysis. Da nach 341 (a + b + c) p = ab, also a + b + c:a=sh:pi|l, ergiebt sich d. S. d. V. Gl. b-|-c:h — p = a:p, durch welche Proportion a bestimmt werden kann. Hiemit ist die Aufgabe auf A aus a,

p, (b + c), siehe 1354, reduzirt. 1736. a. Fig. 310. Aufgabe. A aus b, (pq), «. Analysis. Da (pq) — h .DE ist, kennt man DE, also auch, wenn man in B einen J_ errichtet, nach 348 BG — b — DE. Nun ist aber Z_ BGC = « gegeben,

folglich laßt sich der Durchmesser GC bestimmen, und das vcr, langte A ABC nach 789 zeichnen. 1737.

Fig. 311.

Aufgabe.

aus (a-|-b), (c-J-b).

Analysis. Bestimmt man BD—(a -f- b), CE = (b + r). so ergiebt sich Z_ CDA = §R, und hiedurch die Lage DA ge, gen(a-sib). Mittelst CE erhält man aber auch die Lage L 4=a,

folglich kömmt es, da AB — AE werden muß, nur darauf an: eine dnrch B gehende Kreislinie zu zeichnen, welche L berührt,

und mit ihrem Mittelpunkt in die Lage DA fällt.

Diese Aufgabe ist 1207 gelöst. 1738.

Fig.312.

Aufgabe.

au» (a4-b), (c—b).

Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1737, nur auf Fig. 312. angewandt, und (b — c) statt (b + c) gelesen. 1739. Fig. 313. Aufgabe. aus (a—b), (c-j-b).

Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1737, nur auf Fig. 313. angewandt, und (a — b) statt (a -f-b) gelesen. 1740. Fig.314. Aufgabe, ^aui (a—b), (c—b). Analysis.

Ergiebt sich wörtlich wie in 1737, nur auf

—

304

—

Fig. 314. angewandt, und (a — b) statt (a + b), (c — b) statt (c + b) gelesen. 1741. Aufgabe. aus (c — a), (a -s- b). AnalysiS. (c — a) (a + b) ist = (c + b); man erhält also 1737 zu verzeichnen. 1742. Ausgabe. aus (c — a), (c -j- b). Analysis. (c+ b) — (c — a) ist = (a + b); man erhält also 1737 zu verzeichnen.

1743. Aufgabe. au< (c 4- a)> (a + b). Analysis, (c + a) — (a-s-b) ist = (c—b); MSN erhält also 1738 zu verzeichnen. 1744. Aufgabe. aus (c + a), (c — b). Analysis, (c+a) — (c—b) ist — (a + b); man erhält also 1738 zu verzeichnen. 1745. Aufgabe. aus (c +- a), (a — b). Analysis, (c+a) — (a — b) ist =s (c + b); man erhält also 1739 zu verzeichnen.

1746. Aufgabe. aus (c 4- a), (c -+ b). Analysis, (c + a) — (c-s-b) ist =s (a — b); man erhält also 1739 zu verzeichnen. 1747. Aufgabe, aus (c — a), (a — b). Analysis, (c — a) -s- (a — b) ist — (c — b); man erhält also 1740 zu verzeichnen. 1748. Ausgabe. auS (c — a), (c — b). Analysi s. (c — b) — (c — a) i(t = (a — b) ; man erhält also 1740 zu verzeichnen. 1749. Fig. 315. Aufgabe. Zk aus «, (a 4- b), (b 4™ c). Analysis. Bestimmt man LD -- (b + c), AE = (a + b), so ergiebt sich Z. CDA =

und hiedurch die Lage

DC gegen DB. Mittelst AE und « erhält man aber auch die Lage Echo, folglich kömmt es, da CE —CB werden muß, nur darauf an: einen Punkt C in der Lage DC so festzustellen.

— 305

daß sich die unter 2R— a gegen L geneigte Linie CEssCB ergiebt, welche Hilfsaufgabe durch 548 lösbar ist. Auflösung. Zeichne A BDI = «, DB = (b+c), DI ss (a + b), halbire A BDI durch DH, lege IH -j-BD. jiehe eine beliebige Linie OF ch DI, beschreibe mit derselben um O einen O, und bestimme BC =£■ GO, CA =Js ID, so bildet ABC da- verlangte A, Beweis. Nach 545 hat man EC: CB ss FO: OG, also CE s= CB, da FO = OG ist, nnd deshalb EA oder ID oder (a+b) = BC + CA. Da nun ferner CA^DI,

also A CAD ss 2R —«, A CDB aber = -2. bestimmt

ist, ergiebt sich auch CA + AB = BD s= (b+c). Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 1750. Fig. 316. Aufgabe. A aus (a + b), (b •— c), a. Analysis, Auflösung, rc. Ergiebt sich wörtlich wie in 1749, nur auf Fig. 316. angewandt, und (b — c) statt (b+c), 2R—« statt «, und im Beweise CA — AB statt CA + AB gelesen. 1751. Fig. 317. Aufgabe. A aus «, (a — b), (b + c). Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1749, nur aus Fig. 317. angewandt, und (a — b) statt (a + b) gelesen. Auflösu ng. Zeichne A BDI = 2R — cc, DB ss (b+c), DI = (a—b), halbire den NcbenA von BDI durch DH, lege E-f-BD, ziehe eine beliebige Linie OF=|±DI, beschreibe mit derselben um O einen Q, und bestimme BC-j-GO, CAchID, so bildet ABC das verlangte A. Beweis re. Ergiebt sich für die Fig. 317. wörtlich wie in 1749, nur muß (a—b) statt (a + b), BC —CA statt BC+CA gelesen werden. 1752. Fig. 318. Aufgabe. A aus a, (a — b), (b - c). Hollebea «. Lerwien »nalysi«. H.

20

306 Analysis. Liest man, Fig. 318. benutzend, in der Analysis 1749 (a — b) statt (a-f-b), (b—c) statt (b + c), 2R—« statt «, so paßt dieselbe wirtlich für diese Aufgabe. Auflösung. Liest man, Fig. 318. benutzend, in der Auflösung 1751 (b — c) statt (b-j-c), 2R—a statt «, so paßt dieselbe wörtlich für diese Aufgabe. Beweis k. Ergiebt sich für Fig. 318. wörtlich wie in 1749, wenn man — statt 4-, bei den ober 2R — a statt a liest. 1753. Aufgabe. A auS «, (a —c), (a^-b). Analysis. Führt wie in 1741, aber durch Subtrak, tion, zu 1749. 1754. Aufgabe. A auS a, (a —c), (b-f-c). Analysis. Führt wie in 1742, aber durch Addition, zu 1749. 1755. Aufgabe. A ans «, (a -f-c), (a b). Analysis. Führt wie in 1743 zu 1750. 1756. Aufgabe. A aus «, (ac), (b—c). Analysis. Führt wie in 1744, aber durch Additionzn 1750. 1757. Aufgabe, A aus a, (a-j-c), (a— b). Analysis. Führt wie in 1745 zu 1751. 1758. Aufgabe. A aus «, (a-4-c), (b-j-«1). Analysis. Führt wie in 174p zu 1751. 1759. Aufgabe. A aus «, (a — c), (a — b). Analysis. Führt wie in 1747, aber durch Subtrak­ tion, zu 1752. 1760. Aufgabe. A aus a, (a — c), (b—c). Analysis. Führt wie in 1748 zu 1752.

1761. Aufgabe. Es sind die Punkte B und 6 und die Linie R gegeben; man soll ein A aus (/$ — y) so zeichnen, daß BC = a wird, und A in L fällt. Analysis rc.

Siehe g. Betr. §. 31.

— 307 — 1762. Aufgabe. Es sind die Punkte B und 6 und die Linie L gegeben; man soll ein A aus -> m so konstru iren, daß BC = a wirb, und A in L fällt. AnalysiS. a bestimmt li, m und h ge,

ben aber nach 145

; man hat also 1761 zu ver,

zeichnen.

1763. Fig. 319. Aufgabe. A ABC auS V, so daß A in A, B in L, C in V fällt. Analy siS. Ist BD — t', so ergiebt sich, da AD =s DC sein muß, wenn man •' durch A legt, mittelst Hal/ birung von AN in E, ein Ort EG für D L' (514), we-, halb man nur 94 zur Feststellung von t' anzuwcnden hat, u. s. w. 1764. Fig.319. Aufgabe. A ABC au# a, so daß A in A, B in L, C in L* fällt. AnalysiS. Ist BD = t', so ergiebt sich, da AD = DC sein muß, wenn man NH mit der t' durch A legt, mittelst Halbirung von AN in E, #= L' ein Ort EG für D (514), und die Lage von GA. Da HN -j- t' ist, treffen aber nach 547 die, b und c gezogenen Linien EQ und HQ in der Lage GA zusammen, folglich^ läßt sich, da Z. EQH = a gegeben ist, mittelst 320 Q feststellen, und hier, auf daS verlangte A ABC durch 2 auS A ch QE und QH gezogene Linien ableiten.

1765. Fig. 320. Aufgabe. A ABC oot t, ->- t', so daß A in A, B in L, C in 1/ fällt. Anal ysiS. Ist BD — V, so ergiebt sich, da AD s= DC sein muß, wenn man NH mit der t' durch A legtmittelst Halbirung von AN in E, L' ein Ort EG für D (514); man hat also nur, b« t und A die Lage t oder AQ bestimmen, eine Linie BD mit der t' so zwischen L und GE zu legen, daß AQ den Schwerpunkt I, oder BI : 20 *

308 Dies wird erreicht, wenn man HE

ID = 2 : 1 bestimmt.

in F nach 2 : 1 theilt, und F mit G verbindet, u. s. w.

1766.

Aufg a be.

Fig. 321.

A ABC auS

a,

->- t', so daß A in A, B in L, C in V fällt.

AnalysiS.

Ist BD xs V, so ergiebt sich, da AD —

QC sein muß, wenn man NH mit der

V durch A zieht,

mittelst der Halbirung von AN in E, ein Ort EG D (514).

L' für

Verlängert man hierauf, in Rücksicht auf 123, t'

um sich selbst bis I, so erhält man AI -j-a, weshalb die Lage

von AI gegeben ist. Hieraus folgt aber, daß eS nur darauf ankimmt: zwischen L und Lage Al eine Linie BI mit der V so zu legen,

daß dieselbe von EG halbirt wird.

nun in dem a ANIB

Da

AE — EN, BD ex DI ist, läßt

sich dieS nach 559 schließlich erreichen, wenn man durch O die Linie NB legt, und BI die V giebt u. s. w.

1767.

Aufgabe.

Fig. 322.

A ABC mi«

l',

t", so daß A in A, B in L, C in L* fällt. AnalysiS.

Ist BD --- t', CD' x- t", so ergeben sick>,

da AD = DC, AD' ex D'B sein muß, wenn man NH und N'H' mit den

t' und t" durch A zieht, mittelst Hal,

birung von AN in E, und von AN' in E', ={s L' für D, und E G'

für D' (514).

r und t" im Schwerpunkt I nach

die Oerter EG Da sich nun

dem Verhältniß 2 : i

durchschneiden, und die -»—*- dieser Linien gegeben sind, las­

sen sich 2 Oerter GF und G'F' für I, also auch dieser Punkt selbst bestimmen, indem man HE und H'E' in F und F' nach

dem Verhältniß 2:1 theilt.

Legt man hierauf schließlich durch'

den festgestellten Schwerpunkt I die

t und f, so er­

giebt sich da- verlangte A ABC. 1768.

Aufgabe.

Fig. 184.

A ABC aus «, ßt

so daß A in A, B in L, C in L' fallt. AnalysiS 1).

Zieht man AR, so ergeben sich außer

den gegebenen ^2 noch 2

tcs

ABRC.

Aus denselben

läßt sich aber die Gestalt dieses cf] bestimmen, wenn man ein

beliebiges A ABC mit den

« und ß zeichnet,

und nach

309 320 mittelst der ARC und ARB den Punkt R feststcllt; folglich laßt sich auch der Z_ ACR angeben, und hiedurch A ABC ableilcn. Analysis 2). Durch a und ß ist nach 402 die Ge, stalt des A ABC, also auch daS Verhältniß (b : c) gegeben. Liegt aber der Scheitel eines bestimmten Z. fest, und ist das Verhältniß beider Schenkel gegeben, so läßt sich, wenn der eine in L endigt, ein Ort für den Endpunkt C des zweiten nach 584 bestimmen, also C und damit A ABC feststellen.

1769. Aufgabe. A ABC auS a, ß, so daß A in A, B in L, C in K fällt. Analysis. Ergiebt sich wie in Analysis 2) 1768. 1770. Aufgabe. A ABC au» «, ß, so daß A in A, B in K, C in K' fällt. Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1768 Analy, sis 2), nur muß K' statt V, und 586 statt 584 gelesen werden. 1771. Anfgabe. A ABC aus «, ß, so daß A in A, B und C in K fallen. Analysis. Ergiebt sich wie in 1770. 1772. Aufgabe. A ABC aus a, (bc), so daß A in A, B in L, C in L' fällt. Analysis. Da Scheitel A von « festliegt, das Recht, eck der Schenkel — (bc) gegeben ist, und der eine in L en, digt, so läßt sich nach 588 ein Ort für den Endpnnkt C des zweiten Schenkels bestimmen, also dieser Punkt selbst,! und hiedurch da- verlangte A ABC feststellen. 1773. Aufgabe. A ABC aus «, (bc), so daß A in A, B in L, C in K fällt. Analysis. Ergiebt sich wie in 1772. 1774. Aufgabe. A ABC aus «, (bc), so daß A in A, B in K, C in K' fällt. Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1772, nur muß K statt L und 589. a. statt 588 gelesen werden.

310 1774. a. Aufgabe. A ABC au- a, (bc), so daß A in A, B und C in K fallen. Analysis. Ergicbt sich wie in 1774. 1775. Fig. 323. Au fgabe. A ABC aus h, t, t in A NOQ. Analysis. AuS h, t, t ergicbt sich damit h und t, also die ->- a, weshalb OS =£ a, und der Ort (538) für die Mitte von a durch die Mitte von SO bestimmt werden kann, und nur t mit der bestimmten und Länge zwischen diesen Ort und NO nach 94 zu schieben ist. 1776. Fig. 324. Aufgabe. A ABC auS a, — a -j- NO um A NOQ. Analysis. Durch a und a H NO hat man den Ort 1118 für A, also auch b und 2l', da dieser Ort ch a fällt, und t' gegeben ist. Fällt man nun aus D, der Mitte von b, den 1 DE, so zeigt sich daS BDE aus V und -y bestimmt, folglich EC = a — EB, und hiedurch ECD, also auch CD gegeben, weshalb man diese nur durch N zu legen hat, um das verlangte A ABC fest, zustellen. 1777. Aufgabe. A ABC ou< -> b, h', -> b" um oder in A NOQ. Analysis. Legt man sich die 3 Richtungen durch einen Punkt, errichtet in einem beliebigen Punkt der h einen j_, und fällt aus dem Durchschnittspunkt desselben mit den h' und b" J_J_ auf die b" und h', so be, stimmen die 3 gezeichneten J__L die Gestalt des verlangten A ABC. Zieht man hierauf zu den gefundenen -»—>- von a, b, c ch-f- durch Q, N, O, oder verfährt nach 1109, so bestimmt sich auch die Größe deS verlangten A ABC. 1778. Fig. 325. Aufgabe. A ABC aus t, V, t" um o6tt in A NOQ. Analysis. Mittelst der vorgeschriebenen Bedingungen ergiebt sich in folgender Art die Gestalt des A ABC:

311

Theile eine beliebige Lange bet t in 0 = 1 : 2, und lege zwischen die 0 durchlaufenden ->t' und t" eine von der t in E halbirte Linie DC, siehe 127, und ver, binde A mit B und C. Zieht man hierauf zu den gesunde, nen von g, d, o chch: durch tz, N, O, oder verfährt nach 1109, so bestimmt sich auch die Größe des verlangten A ABC. 1779. Fig. 325. Aufgabe. A ABC aus m, -*■ m', m" um oder in A NOQ. Analysis.

Nach 326 ist Z. (mm') = R -J-

Z. (m'm") = R -f-

also die Gestalt des ZX ABC

gegeben. In Vereinigung mit diesem Datum bestimmen schließlich, wie in 1777 oder nach 1109, di« Punkte N, O, Q auch die Größe des verlangten A ABCAuflösung. Lege bie 3 durch einen Punkt 0, errichte in demselben einen J_ OD auf m', beschreibe mit einem beliebigen Radius F O um F einen Q, ziehe C A, bestimme Z.OAB — Z.OAC, und lege zu den erhalte, nen von a, b, c durch Q, N, O, oder ver, fahre nach 1109, so ergiebt sich das verlangt« A ABC.

2tes Kapitel. Vierecks • Aufgaben aller Art.

1780. Fig. XIV. Aufgabe. auS a, b, e', Z. (d e), Z- (ce). Analysis. Zunächst läßt sich die Gestalt deS gesuchten bestimmen, da mittelst Z, (de) und Z, (ce) ein ACD cx) A ACD gezeichnet werden kann, und a : e' mit AD nach 593 den einen, und a: b mit AC in derselben Art den zwei, ten Ort für D ergeben. Der erhaltenen Gestalt des kann hierauf die Größe durch a, wie in 509, gegeben werden.

312

1781. Fig. XIV. Aufga be. cA auS a, b, A («e'), A (de), A (ce). Analysi-. Ergiebt sich wie in 1780, nur muß, außer dem Ort 593 für a : b, der Ort 320 für A (äs') ju Hilfe genommen werden. 1782. Fig. XIV. Aufgabe. tA « u 6 a, b, Z. (es'), A (ce), Z. (de). AnalyfiS. Ergiebt sich wie in 1780 durch 64. 1783. Fig. XIV. Aufgabe. Al aus e', (a:b), (c : d), z. (a s'), A (b e'). Analysis. A (äs') + z. (be*) und (a;b) bestim, men nach 406 die Gestalt das A ABC. Zeichnet man daher ein demselben -x, A ABC, so bildet die gegebene Lage e' einen Ort für D. Den zweiten, also auch die Gestalt des gesuchten (A, giebt AC mit dem Verhältniß (c: d) nach 593. Die Ableitung der Größe kann schließlich durch e', wie in 509, vorgenommen werden. 1784. Fig. 52. Aufgabe. Al auS s, (a : c), (A B + A C), Z. (be'), A (de). Analysis. Zieht man CF ch a, BF H e, so zeigt sich die Gestalt des A DCF durch A DCF --- (A B + A C), und CF: CD = (a: c) nach 406 bestimmt. Nach der Kon, struktion eines A CDF ergeben sich aber nach 320 mittelst DC und den (be') und (de) zwei Kreisörtcr für B und A, folglich kömmt es zur Bestimmung der Gestalt des verlang, ten cA nur darauf an : eine Linie AD — und -s- CF zwi, schen die erhaltenen G0 zu schieben, welches nach 1585 ge, schehen kann. Die Größe des cA endlich läßt sich wie in 509 durch e ableiten. 1785. Fig. 52. Aufgabe. DBFG, so läßt sich in diesem die ver, hältnißmäßige Lage von C bestimmen, da mittelst DF und CF : CD = (a: b) sich nach 593 ein Ort für C ergiebt, der andere aber durch DG und A DCG = A D nach 320 bestimmt werden kann. Zieht man zu den erhaltenen Linien FC und GC 4= 4= durch D und D, so ergiebt sich die Ge,

Aalt des c^3 ABCD, welcher schließlich die erforderliche Größe durch (a + c+e + e'), wie in 1134, gegeben werden kann. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich.

1791.

Fig. XIV. Aufgabe.

au» a, b, (c + d),

A (äs'), A (be'). Analysis. A (ae') A (be'), a und b besinn, men A ABC, also auch AC und die Lage von e', oder tu

nen Ort für D. Hiedurch reduzirt sich aber, da CD + DA =3 (c + d) gegeben ist, die Aufgabe auf 1732.

1792.

Fig. XIV. Aufgabe.

aus a, b, (c—d),

A (ae'), A (be'). Analysis. Führt wie in 1791 zu 1733. 1793. Fig. XIV. Aufgabe. cA aus a, e', (c+e), A B, A (be'). Analysi«.

1794.

Fig.

Führt ähnlich wie in 1791 zu 1732. XIV.

Aufgabe.

auS

a,

e'>

(c«— e), A B, A (b e'). Analysis. Führt ähnlich wie in 1791 zu 1733. 1795. Fig. XIV. Aufgabe. aus a, b, e,

(c + d), A (be').

315 Analysis. Führt ähnlich wie in 1791 ju 1732. 1796. Fig. XIV. Aufgabe, c3 auS a, b, e, (c — d), i_ (be'). Ana lysis. Führt ähnlich wie in 1791 zu 1733. 1797. Fig. XIV. Aufgabe. aus e, (afb+c+d), Z. (a e), Z. (b e), Z_ (e e'). Anal» sis. Z. (ae), Z. (be) und e bestimmen A ABC, also AB -s- BO, und daher auch AD 4- DC = (a 4 b + c 4* d) — (AB 4- BC). Durch Z. (e e') ist aber auch die Lage von e', als Ort für D, gegeben, folglich läßt sich dieser Punkt, und damit das gesuchte c3 ABCD durch Konstruktion von 1732 feststellen.

1798. Fig. 52. Aufgabe. c3 aus e, e', (a + b), Z. (ee'), Z. (de'). Analysis. Durch e, e' und Z. (e e') ergiebt sich das 162 angeführte DF. In demselben bestimmt Z. (de') k Z. FCC die Lage GC, also einen Ort für C. Nun ist aber BF festliegend, und CF 4- CB = (a 4- b) gegeben, folg, sich hat man 1732 zur Feststellung von C zu lösen, u. s. w.

1799. Fig. 52. Aufgabe. ^3 aus e, e', (a — b), Z. (ee'), Z. (de'). Analysis. Führt wie in 1798 zu 1733.

1800. Fig. 241. Aufgabe. e3 «u« a, c, (bfe), Z. (ac), Z. (ee'). (Analogie zu 1798.) Analysis. Durch a, c und Z. (a c) ergiebt sich das 1440 angeführte O DF. An demselben bestimmt Z. (ce') = Z. CDB die Lage DB, also einen Ort für B. Nun ist aber CF festliegend, und CB 4~ FB = (b-|- e) gegeben, folglich hat man 1732 zur Feststellung von C zu lösen, u. s. w. 1801. Fig. 241. Aufgabe. c3 au i a, c, (b — e), Z. (ac), Z. (ce'). (Analogie zu 1799.) Analysis. Führt wie in 1800 zu 1733.

1802. Fig. 34. Aufgabe. («d), (Z. A4-AB).

aus a, (b: d), Z.

316 Lnalysi-.

man zugleich da- 169 und da-

Benutzt

171 angeführte A, so bestimmt

sich die Gestalt deS ersteren

und (A A + A B), die

A BCH durch (b: d)

Gestalt de­

zweiten A DBF erzieht sich aber, wenn man A A (ed) bestimmt, und CF = DH absetzt.

HBF =

Zieht man hier,

auf ch 4= durch D und B zu BH und DH, so ergiebt sich

die Gestalt de- verlangten

cd

ABCD, welcher schließlich durch

a, wie in 509, die richtige Größe gegeben werden kann.

1803.

Aufgabe,

Fig. 242.

auS a,

cd

(b: d),

(A C4-AD), A (ee'),

Analyst-. stimmt

sich

die

Durch

Gestalt

(b : d)

de-

(A C + A D)

und

169

angeführten

A

be,

CBH.

Durch A (ee') ergiebt sich ferner die Gestalt de- 171 ange,

führten A DBF, wie in 1451, wenn man di« Transversale des A BHC zieht, da ND = NF sein

muß, und hienach

zwei ^2 del A DBF gegeben sind, u. s. w. lich nach der Zeichnung beider zu FD und HD, so cd

Zieht man end,

A A durch D und B

4=

erhält man die Gestalt deS verlangten

ABCD, welcher durch a, wie in 509, die richtige Größe

zu geben ist.

1804.

Aufgabe,

Fig. 242.

cd

au- a, (e:e'),

A (ee'), A (bd). Analyfi«.

Durch (e: e') und A (ee') ergiebt sich

die Gestalt de- 171 angeführten A DBF.

Durch A (bd)

bestimmt sich aber ferner die Gestalt deS 169 angeführten A

HBC, wenn man wie in 1452 verfährt.

Nach der Zeichnung

beider AA läßt sich durch Bestimmung zweier

4=

Ge­

stalt, und durch Benutzung von a endlich (509) die Größe de-

verlangtcn cd ABCD ableiten. 1805.

Fig. 326.

Aufgabe,

ee au - a,

A

(be),

A (de), A (de').

Analysis.

Legt man durch A (d e) und A (d e')

ein, A ADE cv A ADE fest, so käme es zur Bestimmung

der Gestalt des verlangten

cd

ABCD nur darauf an, BC so

festzustellen, daß sich A BCE — A (be), und AB =# CD

317

ergiebt. Diese Parallelität fände aber statt, wenn A AED — A BEC wäre, folglich hat man zwischen den Schenkeln de- Scheitel A von AED eine Fläche so zu bestimmen, daß die fehlende Seite BC eine durch A (be) vorgeschriebene ->erhält. Diese Aufgabe ist 553 gelöst. Aut der auf diese Art bestimmten Gestalt ergiebt sich mittelst a nach 509 die Größe des verlangten a ABCD. Konstruktion der Gestalt. Zeichne ein beliebiger A ADE mit den ^2 (d e) und (d e'), bestimme EG — EA, EI — ED, A GNE = A (be), setzt die mittlere Pro, portionale zwischen EN und EI von E aus = EC ab, lege CD -j- GN, und ziehe AD und DC, so ist die Gestalt des verlangten a konstruirt. 1806. Aufgabe, o auf a, £ (be), £ (de), A (e e'). Analysis. Ergiebt sich wie in 1805. 1807. Fig. XIX. Aufgabe, o auf a, £ (be'), A (de), (ZL D + Z. C). Analysis. (A D + A C) giebt A (bd), und dieser A bestimmt mit den (be') und (de) den A (ee'), wo, durch sich die Aufgabe auf 1806 reduzirt. 1808. Fig. 327. Aufgabe. □ «u5 b, d, A (be), A (be'). (Vergleiche 1449. a). Analysis. Da A BEC bestimmt ist, und --- A AED werden muß, damit AB -j- DC ist, so laßt sich, mittelst der aus E auf b gefällten Höhe g, auch die aus E auf d gefällte Höhe g', ans der Proportion b: d --- g': g, bestim, men, weshalb, sobald man um E mit g' einen Q beschreibt, und an denselben eine von den Schenkeln des A (ee') be, grenzte Tangente mit der Länge d zieht, siehe 1917, sich das verlangte C3 ergeben muß. Konstrukti on. Zeichne A EBC ans b und den an, liegenden ^2 (be) und (be'), lege durch B eine -f- zu EC, schneide CIsd ab, beschreibe mit der Höhe EN^ des er­ haltenen A EIC einen Q um E, und lege an^ denselben im

318

Scheitels, von BEC nach 1917 eine Tangente AD mit der Länge d, so ist das verlangte a ABCD forfflruirt. 1809. Fig. 328. Aufgabe, a aus e' e', A (be), A (de). (Vergleiche 1450). (Analogie zu 1808.) Analysis. Da A AsiC bestimmt ist, und A EBC — A EAD, also auch A AGC — A GBD werden muß, damit a c ist, so läßt sich, mittelst der aus G auf e gefällten Höhe g, auch die auf e' aus G gefällte Höhe g', durch die Proportion e':e = g: g', bestimmen, weshalb, sobald man um G einen O mit g' beschreibt, nur an diesen Q eine von den Schenkeln des A (b d) begrenzte Tangente mit der Län, ge e' nach 1917 zu legen ist, um das verlangte ABCD zu erhalten. Konstru ktion. Zeichne A AGC ans e, A (de), A (b e), lege durch C eine -j: zu AG, schneide AI = e' ab, beschreibe mit der Höhe GN des erhaltenen A AGI einen Q um G, und lege an denselben eine mit den Schenkeln des A AGC begrenzte Tangente DB — e' nach 1917, so bildet ABCD das verlangte a. 1810. Fig. 119. Aufgabe, n aus a, A A, A B, A (ee'). Analy sis. Durch a, und die Neben ^2 der A und B ist A ABG, also auch nach 560 ein Ort für E be­ stimmt. Der zweite Ort ergiebt sich aber durch A (ee') und a nach 320, folglich läßt sich E feststellen, und hierauf das verlangte ABCD ableiten. Auflösung. Zeichne A ABG aus a und den Neben von A und B, ziehe eine durch G und die Mitte S von a laufende Linie GN, beschreibe über AB mittelst A (ee') den 320 angeführten Ort, und lege aus B und A durch den Schneidungspunkt E des KreisortS mit GN, die Linien BD und AC, so bildet ABCD das verlangte a. Deweils. Es ist nur zu zeigen, daß AB -j- CD ist, welches durch 559 ausgeführt werden kann. 1811. Fig. 34. Au fgabe. C3 « u # a, c, (b + d), h.

319

—

Ana lysis. Durch a — c, (b + d), h läßt sich nach 1728 das 169 angeführte A BHC, also auch das verlangte cd

ABCD konstruiren. 1812. Fig. 34. Aufga b e. CD aus a, c, (b—d), b. Analysis. Führt wie in 1811 zu 1729.

1813. Fig. 34. Aufgabe. CD aus a, c, (e^-e'), h. Analysis. Durch (a-f-c;, (e-f-e'), h läßt sich nach 1728 das 171 angeführte A BFD, folglich auch das verlangte cd ABCD konstruiren. 1814. Fig. 34. Aufgabe, cd aus a, c, (e—e'), h. Analysis. Führt wie in 1813 zu 1729. 1815. Fig. 242. Aufgabe, cd aus (a-|-c), (e-j-e'), h, Z. (bd). Analysis. Durch (a 4- c), (e + e') und h läßt sich

Durch Z. (bd) kann man aber auch, wie in 1452, dqs 169 ange, führte A BCH mittelst der bekannten, beiden AA gemein, schaftlichen, Transversale BN bestimmen, folglich läßt sich das

nach 1728 das 171 angeführte A BDF konstruiren.

verlangte cd ABCD zeichnen. 1816. Fig. 242. Aufgabe, cd aus (a-f-c), (e—ez), h, Z (bd;. Analysis. Führt wie in 1815 zu 1729 und 1452. 1817. Fig. 242. Aufgabe, cd auS (a — c), (b + d)» 11, Z (ee‘). Analysis. Durch (a — c), (h -}- d), h läßt sich nach 1728 das 169 angeführte A BCH zeichnen. Durch Z (ee') kann man aber auch, wie in 1451, das 171 ange, führte A DBF mirtelst der bekannten, beiden A A gemein, schaftlichen, Transversale BN bestimmen, folglich läßt sich das verlangte cd ABCD konstruiren. 1818. Fig. 242. Aufgabe. CD aus (a — e), (b — d), h, Z (ee').

Analysis. Führt wie in 1817 zu 1729 und 1451. 1819.. Fig. 242. A ufga b e. l i aus (a h. Analysis. Führt wie in 1823 1825. Fig. 242. Aufgabe, - d), (e 4. ez), h. Analysis. Führt wie in 1823 1826. Fig. 242.] Aufgabe. — d), (e — ez), h. Analysis. Führt wie in 1823 1827. Fig. XXL Aufgabe. c, Z- (eez).

cd

au-

(a — c),

zu 1728 und 1735. cd aus (a ■— c), zu 1729 und 1734. cd au- (a — c), zu 1729 und 1735. im Q. au- a,

— 321

Analysis. Durch b, A (ee') und EB:EC = a:c •ft AECB bestimmt. Man hat also nach der Zeichnung die, se- A, welche in Beziehung auf 406, oder durch 593 ge, schehen kann, nur a und c aus B und C nach de» sestgestcll, ten Lagen e und e' zu ziehen, um daS gesuchte A (a c). AnalysiS. Ergiebt sich wörtlich wie in 1855, nur muß (e—e') statt (e + e'), 1846 statt 1844 gelesen werden.

(®

1857. Fig. XIX. Aufgabe. CD auS P, A (be), A (de'), A (de). Analysis. Der nach 1805 bestimmten Gestalt des cd kann man nach 1162 die Fläche P geben. 1858. Fig. XIX. Aufgabe, cd auS P, A A, A B, A (ee'). Ana lysiS. Nimmt man a beliebig an, so ergiebt sich wie in 1810 die Gestalt de- verlangten cd ABCD, welcher schließlich nach 1162 die Fläche P gegeben werden kann. 1859. Fig. XIX. Aufgabe, cd aus P, a, c, (b + d). Analysis. Führt durch 199 zu 1811. 1860. Fig. XIX. Aufgabe. CD aus P, a, c, (b—d). Analysis. Führt durch 199 zu 1812. 1861. Fig. XIX. Aufgabe. CD aus P, a, c, (•+•'). Analysis.

Führt durch 199 zu 1813.

327 1862. Fig. XIX. 2(iifg»6c, o au < fa, a, c, (e — e'). Analysi». Führt durch 199 ju 1814. 1863. Fig. XIX. Aufgabe, a aus f1, (a 4-t), (b + d), (»+«'). Analysis. Führt durch 199 zu 1819. 1864. Fig. XIX. Aufgabe. C3 au6 f1, (ä + c), (b+d), (e-e'). Analysis. Führt durch 199 zu 1820. 1865. Fig. XIX. Aufgabe. a aus fa, (a*f-c), (b —d), (e-f-e'). Analysis. Führt durch 199 zu 1821. 1866. Fig. XIX Aufgabe, cj au< fa, (a-f-c), (b — d), (e — e'). Analysis. Führt durch 199 zu 1822. 1867. Fig. XIX. Aufgabe. C3 au< fa, a, b, (b + c 4- d). Analysis. Durch fa und h ergiebt sich nach 199 (a-j-c), durch (a-j-c) und a aber c, und durch e und (b + c + d) endlich (b+d), so daß.man O aus fa, a, c, (b + d), siehe 1859, zu konstruirtn hat. 1868. Fig. 34. Aufgabe, a nu< fa, b, Z. (ee'), (a+b + c + d). Analysis. Durch fa und h ergiebt sich nach 199 («+ v); aus (a + c), h, Z. (ee') läßt sich Nach 788 daS 171 angeführte A BFD verzeichnen, es kömmt also nur da, rauf an, das 169 angeführte A BCH mittelst h und (b + d), welche Summe durch (a-f-b-f-c-f-d) und (a + c) gefunden werden kann, festzustellen. Dies läßt sich endlich wie in 1819 bewerkstelligen. 1869. Fig. XXI. Aufgabe. im Q aus fa, (a ; c), A A, Z. (ee'). Analysis. Nimmt man a beliebig an, so läßt sich wie in 1828 die Gestalt des cA bestimmen, der nach 1162 die Fläche fa gegeben werden kann.

328

1870. Fig. 329. Aufgabe. im © auS f3, (e : e'), A (bd), A (e e'). Analysis. Durch (e : e') und A (bd) bestimmt sich die Gestalt de- A ABN, da AN: AB = (e:e') ist.' Nach der Zeichnung eines, A ABN , und lege durch B, und darauf durch z» zu DM, MF, ME, so ergiebt sich FE = s, ^B = ^F und (iE, und der um (t mit B(i gezeichnete 0 berührt L und L'. Beweis. Es ist ^F:MF --- /uB:MB = ztE:ME, da nach der Konstruktion jedes dieser Verhältnisse = (t,D : MD ist. Hierau« folgt /*F = (iB = (iE. FE hat die Länge s oder IH, b« bie AA |wFE und SOHH außer der gleichen Lage, nach der Konstruktion und dem vorhergehenden Theil de« Beweise«, ein Paar gleiche Seiten (iF und MI ha, ben. Der 0 um z» berührt endlich L und V, da MD ist, und MO Z. (LV) halbirt.

332 1885.

Aufgabe.

© au« L„, L', L"s.

Die Li,

nie» treffen sich in einem Punkt.

Führt wie in 1880 zu 1834.

Analysis.

1886.

Aufga be.

L, K, L'„ (361).

O

Durch L und Lbestimmt sich wie in

Ana lysis.

1252 ein Ort für ft; man hat also 1876 zu verzeichnen.

1887.

Fig. 333.

Aufgabe.

Q

au« L/i,

L'a,

K. (361) Analyst«.

Fällt man au« ft einen J_

auf L',

so zeigt sich, nach 1223 durch a, ft D : ft F, oder ftD: ft B,

also auch,

wenn ME =£ BD gezogen, und ft D verlängert

wird, ftE : ft'M, und DE : BM oder r gegeben.

Da nun

mittelst de« zuletzt genannten Verhältnisse« die _L zu L' ste, also die Lage einer L' ch

hend« Linie DE bekannt ist,

Linie

NE sich bestimmen läßt, so kann ft durch Hilfe des Verhältnis,

fe« ftM : ft E, und de« Orte« L nach 549 fcstgcstellt, und hiemit die Aufgabe gelöst werden.

Kürzer al« vorher läßt sich

übrigen- nach dem Folgenden die Lage von EN bestimmen. ES ist nämlich

ftD : DE = ftB : r, und ftD : DE = /iF : FG, folglich muß

F G

=

r

sein, während zugleich Z. DF/*

= « — R oder R — « gegeben ist.

Daran« ergiebt sich

aber nach 94 die Lage der I? -j- Linie GEN. 1888. Fig. 334. Aufgabe. O au« P, LL'p. (361)

Analysi«.

Durch « und ß bestimmen sich wie in

1223, wenn man au- ft auf L und auf L' die JL_L /*E und /*D fällt, die Verhältnisse

Ast : Eft, angenommen = m : n, und

ftD : ftC,

,

= p : q.Hierau« folgt

d. Zus. s. D/t : E /* = in p : n q,weshalb nach 546 für

ftgegeben ist.

ein Ort

Nun Hal man aber auch Tft : Eft s=

m : n, also darf nur ein beliebiger j_ FG : GH = n : m

333

gezeichnet werden, um die von I>, und dadurch selbst zu erhalten. 1889. Fig. 334. Aufgabe. O aus La, L'p> L". (361) Analysi s. Durch « und ß ergiebt sich wie in 1888 ein Ort für p. Da aber auch pB : pE gegeben ist, laßt sich ein zweiter gleichnamiger Ort, und folglich der gesuchte Punkt p selbst bestimmen, u. s. w. 1890. Ausgabe. Q «m« L«, L'p, L"r (361) Analysis. Durch « und ß erhalt man wie in 1888 einen Ort für p, und durch ß und y in derselben Art einen zweiten Ort; es läßt sich also der gesuchte Mittelpunkt bestim, men, ii. s. w. 1891. Aufgabe. © an« Ls, Ks. Anal ysis. Da p von L und von s in K gleich weil entfernt sein muß, berührt ein mit dieser Entfernung beschrie­ bener O sowohl L als den nach 316 mittelst s gegebenen Ort. Folglich kann die Aufgabe nach 1876 gelöst werden. 1892. Aufgabe. O ans LKs, K's. Analysis. Führt durch 313 wie in 1891 zu 1881. 1893. Aufgabe. © aus L„, L'a, L"p. (361) Analysis. Man erhält wie in 1888 einen zweiten Ort für p, u. s. w. 1894. Ausgabe. © auS I-, L'„ L"o. (361). An alysis. L und L."a ergeben wie in 1252 einen Ort für p\ man erhält also © aus L, L"^, L's, siche 1885, zu verzeichnen. 1895. Fig.335. Aufgabe. © au« L, L', Pb. (359) Analysis. $)« PB x PB" = PC3 = b3 gegeben ist, und L einen Ort für B bildet, so ergiebt sich nach 590 durch L eine Kreislinie PB"A als Ort für B". Nun ist in Rücksicht auf die 590 angeführte Konstruktion dcS letzteren Orts PA ch FB, und Z. AB"P --- R, also trifft AB" den Endpunkt F deS Durchmessers BF, und eS durchschneidet deshalb ferner die AP halbircnde Linie MB" nach 537 den

334 Hieran- folgt endlich, daß sich beide QO be,

Mittelpunkt p.

berühren, und © aus L, L', K, siehe 1875, zur Lösung der Aufgabe zu konstruircn ist.

Falle aus P

Auflösung.

auf L den 1 PD, be,

stimme A so, daß PDxPA — b1 wird, beschreibe über PA,

al- Durchmesser genommen, einen O, und zeichne nach 1875

eine L und L' und den letztgenannten Q berührende Olinie. Da nach der Konstruktion L und 1/ von

Beweis.

dem um p gezeichneten © berührt werden,

zeigen, daß die aus P nach

so ist nur zu

demselben führende Berührungs,

linie PC die Länge b hat.

Da © nm p den © um M

berührt, gehe» die Linien Mp und PB nach 301. 1 und 2)

durch den Berührungspunkt B", weshalb Z. PB"A --- Z. PDB — R, also A PAB" -x> A PDB, und PB x PB", oder PC1

PD x PA ist.

Nach der Auflösung hat man

aber PD x PA = b3 konstruirt,

= b sein. Anmerkung.

folglich muß PC wirklich

Da durch Z_ (L L') ein Ort für p ge#

geben ist, rcduzirt sich die Aufgabe auf einem kürzeren Wege, nach dem in 2088 enthaltenen Gesetz auf © auS P, P', L. (1201.)

1896.

Aufgabe.

© au 6 L, L% Pb. (359)

Analysis. Führt wie in 1880 zu 1895. Anmerkung. Nach 2088 reduzirt sich die Aufgabe kürzer auf © aus P, P', L (1201).

1897.

Aufgabe.

361). Analysis.

1898.

1898. a.

( 359 und

©

L, K, Pb. (359).

Führt wie in 1895 zu 1879.

Aufgabe.

Analysis.

L, L'c, Pi>.

Führt wie in 1895 zu 1886.

Aufgabe.

Analysis.

© aus

O au« Pb. P'y, L. (359).

Durch Pb und L, und P'b» und L ergeben

sich wie in 1895 zwei den gesuchten O berührende O0# weS, halb die Aufgabe durch 1879 gelöst werden kann.

335 — AuS 2083 folgt eine bessere zu 0 aus

Anmerkung.

P, P', L (1201) führende Auflösung, als aus der vorstehen« den Analysis.

1899. Fig. 336. Aufgabe.

O aus L, V, Kd.

(329). (Analogie zu 1895.) Analysis. Betrachtet man P als den Mittelpunkt von

K, und liest, Fig. 336. benutzend, in der AnalysiS, der Auf, lösung und dem Beweise von 1895 — statt b, so paffen die,

selben wörtlich hieher. Anmerkung. Da durch Z. (LL‘) ein Ort für fi ge, geben ist, reduzirt sich die Aufgabe auf einem kürzeren Wege nach dem in 2089 enthaltenen Gesetz auf O auS P, P',

L (1201).

1900. Aufgabe. logie zu 1896.) Analysis.

© «u5 L, L'/(, Kd (329). (Ana,

Führt wie in 1880 zu 1899.

Anmerkung.

Nach 2089 reduzirt sich

die Aufgabe

kürzer auf © au« P, P', L (1201).

1901. Aufgabe. 0 aus I,, L'a, Kd (329 und 361). (Analogie zu 1897.) Analysis. Führt wie in 1899 zu 1886.

1902. Aufgabe. 0 aus P., L, K/d. (329) (Ana, logie zu 1898.) Analysis. Führt wie in 1899 zu 1879. 1903. Aufgabe. (Analogie zu 1899.)

O

aus L,

Kd,

K'd,. (329).

Analysis. Durch Kd und L, und K'd, und L erge, ben sich wie in 1899 zwei den gesuchten O berührende OG, weshalb die Aufgabe durch 1879 gelöst werden kann. Anmerkung. Nach 2085 reduzirt sich die Aufgabe kürzer auf 0 aus P, P', L (1201).

1904.

Aufgabe.

Q aus L, Pb, Kd (329 nnd

359).

Analyf »s.

Durch Pb und L, und Kd und L ergeben

336 sich, wie in 1895 und 1899, zwei den gesuchten © ungleich« artig berührende QQ, weshalb die Aufgabe durch 1879 gelöst werden kann.

Anmerkung.

sich

reduzirt

Nach 2087

die

Aufgabe

kürzer auf 0 auS P, P', L (1201).

1904. a.

Aufgabe.

O

aus P,

Kd

schneidend

( Bezeichnung 955. a.)

K,d'.

Die

Analysis.

gemeinschaftliche

Sehne

K' bildet nach 582. b. den einen Ort für p, giebt sich durch P und Kd nach 369. a.

von

K und

der zweite er«

Den Radius giebt

fiY

Es sind 2 Resultate möglich.

Zu satz.

1904. b.

K'd'.

Aufgabe.

Q aus Pb, Kd schneidend

(Bezeichnung 955. a.)

Analysis.

Die

gemeinschaftliche Sehne

von K und

K' bildet nach 582. b. den einen Ort für pt der zweite er, giebt sich durch Pb und Kd nach 369. b.

Den Radius giebt

der von p bis K reichende J_ auf /»M. Zusatz.

Et sind zwei Resultate möglich.

1904. c.

Aufgabe.

K"d".

0 aus Kd, K'd' schneidend

(Bezeichnung 955. a.)

Analysis.

Die gemeinschaftliche Sehne von K' und

K" bildet nach 582. b. den einen Ort für p;

der zweite er,

giebt sich

Den Radius

durch Kd

und K,d' nach 369. d.

giebt der von p bis K' reichende J_ auf ^M'.

Es sind 2 Resultate möglich.

Zusatz. 1904. d.

Aufgabe.

O aus 3 sich gegenseitig

schneidenden Kreislinien Kd, K,d', K"d".

(Bezeich­

nung 955. a.) Analysis.

Die gemeinschaftliche Sehne von K und

K' bildet nach 582. b. den einen,

und die gemeinschaftliche

Sehne von K' und K" gleichfalls nach 582. b. den zweiten Ort für p.

JL auf p M.

Den Radius giebt der von p bis K reichende

337 Anmerkung.

Aus der vorstehenden Analysis

«rgiebt

sich der nachstehende

Lehrsatz:

Die 3

gemeinschaftlichen Sehnen

dreier sich gegenseitig schneidenden

Kreise tres*

fen sich in einem Punkt. 1905.

Fig. 337. und Fig. 337. a.

Aufgabe.

0

aus P, L, Kb (360). Analysis.

Legt man durch M eine

zu b, und be,

schreibt einen dieselbe berührenden Q um p, so findet sich des,

fen Abstand von L und von P Berührungslinie aber = b. linie um P mit r,

r; die von M auslaufende

Zeichnet man ferner eine Kreis,

und zieht eine um r entfernte

zu L,

so erhält man © aus L', IV, Mb (1898) zu verzeichnen.

Anmerkung.

Alle Aufgaben mit Kb sind doppelt, da

b entweder Mfi oder die Verlängerung schneidet, und geben deshalb mindestens 2 Resultate. Um Figuren zu ersparen, soll die Andeutung der verschiedenen Fäll« in der Folge

unterbleiben. 1906. Aufgabe. Analysis.

0 aus I., 1/, Kb (360).

Führt durch gleiche Hilfsmittel wie in 1905

zu 1895.

1907.

Aufgabe.

Analysis.

1908.

Aufgabe.

Analysis.

© aus L, L/„, Kb (360).

Führt wie in 1905 zu 1896. © aus l., K, IVb (360).

Verfährt man wie in 1905, so ergiebt sich

zunächst eine um r' entfernte 4= von L, während der erfor, derliche Berührungskreis erhalten wird, indem man um M

mit r *4-r' oder r — r' einen © beschreibt. Hiemit ist die Aufgabe gleichfalls auf © aus L, K, Pb (1898) rcduzirt. 1909.

Aufgabe.

Analysis.

© a u S L, Kd, K'b (329 u. 360).

Durch L und Kd bestimmt sich, zvie in

1899, ein den gesuchten 0 berührender 0, weshalb die Auf,

gäbe durch 1908 gelüst werden kann.

1910.

Aufgabe.

0 auS L, V», Kb (360 u. 361).

Holleben u. Gerwien Analysis. II.

22

338 Analysis.

L und L'„ bestimmen nach 1252 einen Ort,

für ju; man erhall also 1907 zu verzeichnen.

1911.

O «u# L, Fb, Kb, (359 u. 360).

Aufgabe.

Durch Pb

Analysis.

und

L

bestimmt

sich

wie

in

1895 ein den gesuchten Q berührender Q, weshalb die Auf­ gabe durch 1908 gelöst werden kann.

1912. Fig.338. Aufgabe. O aus L, Kb, K'b. (360). Zieht man aus M eine

Analysis.

zu b, und be,

schreibt einen dieselbe berührenden O

um /i,

die Lange der von M auslaufenden

Derührungslinie = b,

und die um r entfernte -s-

welche den gesuchten Q

tangirt.

$u L,

so «giebt sich

Ferner bestimmt sich aber auch CB = r,

wenn

chem Grunde sich,

ans wel­

man durch C eine =£ zu b' legt,

und nm M' einen dieselbe berührenden © zeichnet, der Radius

desselben — r + r',

oder — r — rz, CD aber s b' bestimmt.

Hieraus folgt, daß die Aufgabe durch Q aus L', Mb, K"b,, siehe 1911, gelöst werden kann.

5tes Kapitel. Theilungen.

1913.

Fig. 339.

Aufgabe.

In einem a einen

Punkt X so zu bestimmen, daß sich A XAB — A XDC, und A XAD = A XBC ergießt.

Analysis.

Da sich die Höhen beider Paare = AA

umgekehrt wie die Grundlinien verhalten müssen,

sich ein Ort für X, wenn man eine

so bestimmt

zu a und c durch einen,

die Höhe des cn roie c ; a theilenden Punkt legt.

Den zwei­

ten Ort für X bildet die Verbindungslinie der Mitten von a

und c,

da nach 559 und 546 die ans b und d aus einem

Punkt derselben gefällten _L_L fid) wie d: b verhalten.

1914.

Fig. XIV. Aufgabe. In einem cf) einen

Punkt X so zu bestimmen,

daß sich A XAB = A

XCD, und A XBC — A XAD ergiebt.

339 Analysit. Wie in 1913 bestimmt sich durch zweima, lige Anwendung des Ortes 546 der gesuchte Punkt. Anmerkung. Sind die Verhältnisse m;o uni p :q statt 1:1 gegeben, so erhält man dieselben Oerter, da aus ah : ch" = m ; n $. B., h : h" = mc : na folgt. 1915. Fig. 340. Aufgabe. Ein A so in nglei, che Theile zu theilen, daß die Theilungslinien in einem Punkte zusammentreffen, drei Linien nach A, B, C gehen, und die übrigen eine Seite, z. D. a, durchschneiden. Analysis. Da A ABX : A ACX : A ABC = 1 : 1 ; n sein muß, ergeben sich -j- b und =£ c zwei Oerter für X, worauf XBC auf gewöhnliche Art in n — 2 Theile zu theilen ist. 1916. Fig. 341. Aufga be. Jeder von den 3 Punkten P, P', P" liegt in einer Seite des A ABC. Es soll ein Punkt X so bestimmt werden, daß die aus demselben nach P, P', P" gezogenen Linien das A in 3 gleiche AlcA theilen. Analysis. Durch Subtraktion der gegebenen Flächen AP'P", BPP", CPP' von f A ABC ergeben sich die Flä, chen, und deshalb auch die Verhältnisse der A A PXP', P'XP", P"X P, woher sich die Aufgabe nach 1266 16# sen läßt. Determination. PP', PP", P'P" müssen weniger als f A ABC abschneiden, damit die Ausgabe möglich ist. 1917. Aufgabe. Ein A so in n gleiche Theile zu theilen, daß alle Theilungslinien dieselbe Seitea schneiden, und jede eine bestimmteLänge 1, P, 1" :e. erhält.

Analysis. — f* unb 1 bestimmen nach 185 die aus

C auf 1 gefällte Höhe des von 1 abgeschnittenen A, — P u. P die gleichliegende Höhe de- zweiten A u. f. w. Beschreibt 22 *

340 man also um 6 und 8 00 mit diesen verschiedenen Höhen, so hat man die folgende Hilfsaufgabe zu lösen, deren Konstruktion auch selbstständig (ohne versteckte Benutzung der Aufgabe A

aus a, h, « nämlich), aber weitläuftiger, 1970 zu finden ist:

den

Zwischen

verlängerten

Schenkeln

eines

CentriZ. y soll eine der Länge nach bestimmte Tangente l gezogen werden. Auflösung. Fig. 342. Ziehe die CG =£ Tangente

HF, schneide GG --- 1 ab, konstruire durch 320 Z. CFG = Z. ECG = y,

und ziehe die FG -j- Tangente ED

nach 282, so muß ED ss 1 sein.

A CFG ifl rv A GIG,

Beweis.

also auch A

da sich in

GED; deshalb muß CH: CN =s CG: ED sein, AA tie Höhen wie die Grundlinien verhalten.

folglich hat man

aber CH — CN,

Nun ist

CG — ED s 1 ge,

zeichnet. Anmerkun g.

Ein großer Theil der hiehergestellten Auf,

gaben unterliegt bei der Auflösung mannichfaltigen Beschrän, kungen,

woher sich schwierige und wcitläuftige Determinativ, Die letztere Eigenschaft hat neben der größten,

nen ergeben.

theils algebraischen Form derselben

uns auch hier genöthigt,

diese Determinationen nicht zu beachten, obwohl dieselben an sich bei diesen Aufgaben am meisten zu fordern find.

1918. zn

Ein A so in n glei che Theile

Aufgabe.

theilen,

daß

alle Thcilungslinien dasselbe

Seitcnpaar schneiden, und derfolgenden,

mit

jede zwei

aufeinan,

Einschluß der undurchschnit,

tenen Aseite, eine bestimmte Summe erhalten. Analysis.

Da die Summe der Aseite und der nächsten so hat man diese selbst.

Theilungslinie gegeben ist,

In der,

selben Art bestimmt sich durch die gefundene Theilungslinie die

nächstfolgende u. s. w.; cs ist also 1917 z» verzeichnen.

1919.

Aufgabe.

» Wie in 1918, nur Differenz statt

Analnsis.

j

Summe gelesen.

34L

1920. Aufgabe.

» Wie in 1918, nur Verhältniß Analysis. I statt Summe gelesen. 1921. Aufg abe. | Wie in 1918, nut Rechteck statt Analysis, f Summe gelesen. 1921. a. Aufgabe. Ein A so in n’ gleiche Theile zu theilen, daß sämmtliche Theilung»linien dasselbe Seitenpaar (a u. b) schneiden, und die Summen der Seiten jede» Theils, welche in die Aseiten fallen, gleich groß werden. Analysis. Da alle Summen gleich sind, muß eine a 4-b jede sein. Hiedurch ist die Summe zweier Seiten für

jede- A gegeben, dessen Spitze in C fällt, und P ~~1 f*, 11 P

- f1 u. s. w. zur Fläche hat. Nach 486 läßt sich aber

aus der Fläche und dem (allen AA zugehörenden) Z. 7 da» Rechteck derselben Seiten ableiten, folglich kann man nach 457 jede einzeln bestimmen, und nach Abtragung derselben von C aus in a und b, die verlangten Theilungslinien zeichnen. 1922. Aufgabe. iWörtlich wie in 1921. a, nur Dif« Analysis, jferenz statt Summe, a — b statt a + b, 459 statt 457 gelesen. 1923. Die Aufgaben 1921. a. und 1922 können allgemeiner gefaßt werden, indem man die Sum, men oder Differenzen für jeden Theil, mit Aus­ nahme des letzten, bestimmt. 1924. Fig. 343. Aufga be. Ein A durch eine gerade Linie in zwei Theile von gleichem Um­ fang und gleicher Fläche zu theilen. A nal y sis. ES muß A ABC: A DEC, oder 2:1 nach ^lj 485 = ab : CE x CD sein, weshalb CE x CD --- — be»

kannt ist. Zugleich ergicbt sich aber CD-f-CE = DA -f- AB 4-BE, wenn man DE in beiden Umfängen wegläßt, folg-

342

a J. b + c lich hat man auch CE + CD = --■ -■ •, und kann deS, halb nach 457 die Linien CE und CD selbst bestimmen, also die verlangte Theilungslinie zeichnen. 1925. Aufgabe. Ein A so in n gleiche Theile zu theilen, daß alle Theilungslinien dieselben Seiten (a u. b) schneiden, und die Umfänge von n — 1 Theilen gegebene Längen u, u', rc. erhalten.

Analysis. Au- der Fläche —f1 und dem Umfange u n de- ersten ein A bildenden Theil- ergiebt sich nach 342 der Radius r eines in diesem Theil konstruirbaren 0. Legt man diesen 0 nach 306 im Z. y fest, so ist durch u, y, r, nach 1357. 1 die Länge 1 der ersten Theilungslinie gegeben. Sub, trahirt man I von u', und addirt den Rest zu den beiden übrigen Seiten de- vorhergehenden A, so erhält man den Umfang de- 2ten A, welche- ebenfalls den A y, aber die 2 Fläche — fa hat. Von diesem ergiebt sich ganz wie vorher der 0 im A und die Länge der zweiten Theilung-linie. Eben so lassen sich ferner die 00 für alle aufeinanderfol,

gende AA, deren Flächen — P, — f* rc. sind, und dar, n n auf die Längen der Theilung-linien bestimmen, welche diese 00 tangiren. Folglich hat man dieselben nur in Z. y nach 306 festzukegen, und schließlich nach 375 die verlangten Thei, lungslinien zu konstruiren. Anmerkung. Die vorstehende Aufgabe gehört eigent, lich in den Isten Abschnitt dieses Hauptstück-. 1926. Fig. 344. Aufgabe. Ein A durch gebro, chene Linien, deren Richtungen und Verhältnisse gegeben sind, in n gleiche Theile zu theilen. Analysis. Sei CDEFG der erste Theil. Zieht man die Diagonalen CE rc., verlängert dieselben beliebig, und zeichnet die 4^ Linien NH rc., so müssen die Figuren CDEFG und

343

CNHIQ fein, und sich deshalb rote CD2 : CN2 verhalten. Da sich nun die Figur CNH1Q der Gestalt nach zeichnen laßt, indem hiezu n — 1 und n — 3 Verhältnisse zweier Seiten (508) gegeben sind, also die Fläche dieser Figur und die Länge NC bekannt angenommen werden kann, und außer, dem die Fläche CDEFG = -i- f2 ist, so bestimmt sich nach dem Vorigen, durch das gegebene Verhältniß, CD nebst D. Ist dieser Punkt festgestellt, so erhält man den ersten Theil CDE FG durch Konstruktion 4= Linien zu NH rc., und durch Benutzung der Diagonalen CH re. In derselben Art lassen 2 sich auch die folgenden Flächen — f2 rc. bestimmen, und des,

halb durch successive Konstruktion derselben jeder der verlangten Theile zeichnen. 1927. Aufgabe. Ein c2 so in n gleiche Theile zu theilen, daß alle Theilungslinien dasselbe Seitenpaar (a n. c) schneiden, und jede eine be, stimmte Länge 1, 1', I"rc. erhält. Analysis. Verlängert man die geschnittenen Seiten a und c des so entsteht ein A dessen Fläche p2 sein mag. Der erste Theil bildet mit demselben ein A von der Fläche q» 4- — f2, weshalb durch 1 die vom Scheitel des Z. (ac)

auslaufende Höhe auf 1 nach 185 gegeben ist. Dasselbe fin, o det mit dem zweite« A statt, dessen Fläche p2 + — f2 sein

wird. Daher gelangt man durch ein gleiche- Verfahren wie in 1917 zur Konstruktion der verlangten Theile. 1928. Fig. 345. Aufgabe. Ein ABCD so in n gleiche Theile zu theilen, daß alle Theilung-, linien dasselbe Seitenpaar (a u. c) schneiden, und bei sämmtlichen Theilen die Summe der beiden Gegenseiten, welche in den Viereckssei ten liegen, dieselbe Größe erhalten.

344 sein. Addiw n man die Summe der Verlängerungen von a und c, SA + SD, ju der ersteren ein oder mehreremal genommenen Summe, so erhält man die Summe zweier A feiten, für den ersten Theil z. D. SG 4- SH, deren Rechteck SG x SH durch A SAD + 1 9 — oder rc. f2 und Z. (a c) nach 486 bekannt ist. Nach

Analysis.

Jede Summe muß

457 läßt sich aber jede dieser Seiten einzeln ableitcn, folglich ergeben sich die Punkte G, H u. s. w., und darauf schließlich die verlangten Theilungslinien. 1929. Aufgabe, r Uebereinstimmend mit 1928, nur Analysis, fDifferenz statt Summe, a—c statt • + e> 459 statt 457 gelesen. 1930. Fig. 345. Aufgabe. Ein £3 ABCD eine gerade Linie in 2 Theile von gleicher Fläche und gleichem Umfang zu theilen. Analysi«. Da A SBC: A SGH --- SBxSC:SG x SH nach 485 sein muß, und A SGH = A SAD + f f2 gegeben ist, so läßt sich SG x SH bestimmen. Nun ist aber AG 4-AD + HD = GB4-BC4-CH = -d±±-c_±i# folg,

sich hat man AG4-DH= a + b+c~d> unb SG -J-SH

= SA + SD + a~^

Aus dem Rechteck und

der Summe zweier Linien ergeben sich aber nach 457 diese Linien selbst, folglich lassen sich die Punkte G und H nebst der verlangten Theilungslinie feststellen.

1931. Fig. 346. Aufgabe. Ein Fünfeck ABCDE durch eine gerade Linie inzwei Theile von gleit cher Fläche und gleichem Umfang zu theilen. Analysis. Da A SGH : A SBN = SGxSH: SB x SN nach 485 sei» muß, und A SGH --- A SAE +

345

A SBN aber an sich gegeben ist, so läßt sich SGxSH bestimmen. Nun ist AG 4- AE -s- EH es GB -|- BC + CD DH = ? ~^~b £at man AG

+ EH =

b-|+d~e, und SG4-SH---SA4- SE

ft b 4* c a - © 4---------- 2--------- • Aus dem Rechteck und der Summe

jweier Linien ergeben sich aber nach 457 diese Linien selbst, folglich lassen sich die Punkte G und H nebst der verlangten TheilungSlinie feststellen.

6tes Kapitel. Gemischte Aufgaben. 1932. Aufgabe. In einem festliegend gege« denen A ABC eine Linie XY so zwischen b und c zu legen, daß sich dieselbe---BX und---CY ergiebt. Analysis. A AXY laßt sich nach 1755 konstruiren, da AX4-XY —AB, AY4-YX---AC, und Z. XAY gegeben ist. 1933. Aufgabe. Außerhalb eines festliegend gegebenen A ABC eine Linie XY so zwischen b und c zn legen, daß sich CX=XY = YB ergiebt. AnalysiS. A AXY läßt sich ähnlich 1759 konstruiren, da AX-XY----AC, AY — YX = AB, und A XAY gegeben ist. 1934. Fig. 347. Aufgabe ES sollen zwei Li« nien x und y so bestimmt werden, daß sich xy--f1, und (x4a) (y4a) — 9* ergiebt. AnalysiS. Ist OD — x, OE = y, DF — EG = a, OS es OH --- f, ON = 01 = q> so müssen nach den Bedin-

346 gütigen der Aufgabe

zwei

konzentrische Kreislinien, die eine

durch die Punkte E, D, S, H, die andere durch die Punkte G, N, F, I, lausen.

Zeichnet man also nach der Feststellung von

IN = 2q, und HS = 2f zwei beliebige, IN und HS als

Sehnen fassende, konzentrische Kreislinien, so hat man nur durch die Mitte O von IIS und IN eine Sehne FG so zu

legen, daß sich der von beiden Kreislinien begrenzte Abschnitt FD oder EG = a ergießt.

Anmerkung.

Diese Aufgabe ist 983 gelöst.

Eine bessere Auflösung ist in 2182 ent,

halten.

1935.

Fig. 125. ». 125. a.

Aufgabe.

Gegeben

K und K'; man soll einen Punkt P so bestimmen, daß jedes Paar einen

bestimmten Z_ a bildende

Linien PX und PX', welches durch P und von K

und K' (gleichartig) begrenzt wird, dasselbe Ver­ hältniß hat.

Analysis.

Bemerkt man, daß diese Aufgabe nur eine

Umstellung in Hinsicht der Bedingungen von dem 586 führten Orte ist,

ange­

so ergießt sich aus der Konstruktion dieses

Orts, daß sich MP : M'P = r : r' verhalten muß.

Hieraus

folgt, da MM' festliegt, daß nach 593 ein Ort für P gegeben

ist.

Nun hat man

aber auch durch MM' und Z. a nach

320 einen zweiten Ort für P, folglich läßt sich der gesuchte

Punkt mittelst der Zeichnung beider Oerter feststellen.

1936.

Fig. 126. a., 126. b. zc. Aufgabe. Gegeben

X und K'; man soll einen Punkt P so bestim men, daß sich aus jedem

Paar einen

bestimmten Z. a

einschließenden Linien PB' unt> PC', welches durch P und

von K

und

K'

(ungleichartig) begrenzt

wird, dasselbe Reckteck bilden läßt. Analysis.

Ergießt sich wörtlich

wie

in 1935;

nur

muß 589. a statt 586 gelesen werden. Anmerkung.

Die in

dieser

und der vorhergehenden

Nummer gegebenen llmstellungen der Oerter sind als Unter* ricktsmittel sehr zu empfehlen, da für den Schüler bei der lln-

— 347 — tcrsuchung derselben nothwendig eine reiflichere Durchdenkung der Oerter selbst hcrvorgcht. 1937. Aufgabe. Gegeben P, P', K; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich die Tan, gente XB : XP : XI" — m : n : p verhält. An alysis. Durch P, P' und n: p ergiebt sich nach 593 der eine, und durch P, K und n: m nach 599 der zweite Ort für X. Anmerkung. 1567 ist ein einzelner Fall dieser Auf, gäbe, indem dort m : n : p — 1:1:1 ist. 1938. Aufgabe. Gegeben P, K, IV; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich die aus demselben nach K und K' füh renden Tangenten XB und XB', und die Linie XP wie m:n:p ver, halten. Analysis. Durch P, K und p: m ergiebt sich nach 599 der eine, und durch P, IV und p: n in derselben Art der zweite Ort für X. Anmerkung. 1568 ist ein einzelner Fall dieser Auf, gäbe.

1939. Aufgabe. Gegeben X, X', IV'; man soll einenPunktXso bestimmen, daß sich die aus dem, selben nach K, X' und X" führenden Tang enten XB, XB', XB" wie m:n:p bestimmen. Analysis. Durch K, K' und m: n ergiebt sich nach 601 der eine, und durch K', K" und n :p in derselben Art der zweite Ort für X. Anmerkung. 1579 ist ein einzelner Fall dieser Auf, gäbe, indem dort m;n:q = 1:1:i ist. 1940. Aufgabe. Gegeben P", L, L'; man soll eine von L und L' begrenzte Linie XY so durch P" legen, daß sich die Summe der in L und L durch XY abgeschnittenen Linien (AX +AY) = s ergiebt.

348 Analysis. Fig. 348.

1. Fall.

P" liegt zwischen

L und V.

Zieht man P"B 4= AY, P"C 4- AX, so ergiebt sich nach 565 BX x CY = P"B x P''C.

Nun ist aber auch BX -s-

CY = s — (AB4-AC) = s — (P''B + P"C) gegeben, folglich läßt sich die Aufgabe durch 457 lösen.

2. Fall.

I/.

Fig. 348. a.

P" liegt nicht zwischen L und

Zunächst ergiebt sich, wenn man durch P" 4-4- ju L u.

L' legt, AP"BX^AP"CY, als» BXxCY = BP"xCP".

Nun ist aber auch CY—BX — CA4-AY4-AX—AB SS 8 — (AB —AC) = 8 — (CP"—BP") gegeben, folglich

laßt sich die Aufgabe durch 459 lösen.

Beide Fälle haben zwei Resultate.

Zusatz.

Dat an­

dere Resultat ergiebt sich beim 2ten Fall im Scheitels des Z.

(L L').

Im ersten Fall können beide Resultate zusammen­

fallen. 1941.

Aufgabe.

Gegeben P", L, L', P in L,

P' in I/; man soll eine in L und L' endigende Li, nie XY so durch P" legen, daß sich PX -f- P'Y = s

ergie b t. 1. Fall. 2. Fall.

L ist 4^ L'. Siehe 744 und 745. L ist nicht H L', «nd P und P' liegen in

den» Schncidungspunkt beider Linien. Siehe 1940.

3. Fa l l.

L ist nicht 4- P»' und P liegt im Schnei,

dungspunkt beider Linien, P' beliebig in P/. Analysis.

von L und L'.

Fig. 348.

Sei A der Schncidungspunkt

Da AP' gegeben ist, erhält man AX + AY

= s +AP', hat also Fall 2) oder 1940 zu lösen. 4. Fall.

L ist nicht ch L', und weder P noch P' lie,

gen im Schncidungspunkt beider Linien. Analysis.

Da AP und AP' gegeben sind, erhalt man

AX:_4~ AY = s + AP + AP', hat also Fall 2) oder 1940 lösen.

349

1942. Aufgabe. Gegeben P", L, I/; eine von L und Lz begrenzte Linie XY P" legen, daß sich der Unterschied der in durch XY bestimmten Abschnitte (AX —

man soll so durch L und V AY) = d

ergiebt. Analyst s. Fall 1). Fig. 348. P" liegt zwischen L und Lz. Zieht man durch P" zu L und Lz, so ergiebt sich nach

565 BXxCY = PzzBxP"C. Nun ist aber auch BX —CY = AX—AY—AB+AC= d — (AB—AC) — d— A BXB' sein, wes, halb das Verhältniß der auf A A' und B B' aus X gefällten Höhen — B B' : AA', also auch nach 546 ein Ort für X gegeben ist. Nun bestimmt aber die Bedingung, daß A ABX = A A'B'X werden soll, nach 551 einen zweiten Ort für X, folglich läßt sich der gesuchte Punkt feststellen. 1950. Fig.350. Aufgabe. Wie in 1945; nur ist A AXB — A A'XB' s= m : n bedingt. Analysis. Mögen h und h' die aus X auf AB und A'B' gefällten Höhen bezeichnen. Damit die Bedingung der Aufgabe statt fände, müßte AB . h : A'B'. h' = m : n, also auch h : h' = m. A'B' : n. AB sein. Mittelst dieses Verhältnisses der J_J_ ergiebt sich aber der zweite Ort für X nach 546.

—

352

1951. Aufgabe. Wie in 1946; nur ist AAXB : A A'XB' = m : n bedingt. Analysis. Ergiebt sich wie in 1950. 1952. Aufgabe. Wik in 1947; nur ist APXP* : A P'XP" = m : n bedingt. Analysis. Ergiebt sich wie in 1950, während der erste Ort durch 320 hervorgeht. 1953. Aufgabe. Wie in 1948; nur ist A AXB ; A A'XB' : A A"XB" = m : n : p bestimmt. Analysis. Wie in 1950 folgt aus der Bedingung: A AXB : A A'XB' = m : n der eine, und aus der zweiten Bedingung: A A'XB* : A A"XB" --- a : p der zweite Ort für X. 1954. Fig. 350. Aufgabe. Es sind zwei fest, liegende begrenzte Linien AB und A'B' g egeben; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich AAXB = A A'XB', und AX» 4 BX- = XA'1 4 XB'» ergiebt. AnalysiS. Sind C und C' die Mitten von AB und A'B', so ergiebt sich nach Zusatz 218 AX* + BX» = 2AC» 4- 2ex», und A'X» 4- B X» --- 2Ä'C'’ 4- 2C'X», also ■ Äc» 4- ex» --- A'C'1 4- e'X», folglich ex- — ex» --- A'C'1 — AC», wodurch man, da CC' festliegt, nach 211 einen Ort für X erhält. Run ist aber, mittelst der Bedingung A ABX = A A'B'X, nach 551 ein zweiter Ort für diesen Punkt gegeben, folglich läßt sich derselbe feststellen. Anmerkung. Aus der vorstehenden Analysis folgt der Ort: wenn 4 Punkte A, B, A', B' gegeben find, läßt sich stets ein Ort so bestimmen, daß sich für jeden Punkt X desselben: XA» 4* XB* S= XA'1 4- XB'2 ergiebt. 1955. Fig. 350. Aufgabe. Es sind 2 festlie, -ende begrenzte Linien AB und A'B' gegeben;

353

man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich A AXB — A A'XB', und AXa — BX1 = A'X* — B'Xa ergiebt. Ana lysis. Die zweite Bedingung der Aufgabe wäre erfüllt, wenn man AXa -s- B'Xa — BXa 4- A'Xa be, stimmen könnte. Dies laßt sich aber in Beziehung auf die beiden Linien AB' und BA' nach dem in 1954 entwickelten Ort ausführcn, also auch der gesuchte Punkt X durch 551 feststellen. Anmerkung. AuS der vorstehenden Analysis folgt der Ort: wenn 4 Punkte A, B, A', B' gegeben sind, läßt sich stets ein Ort so bestimmen, daß AXa - BX- = A'Xa — B'Xa wird. 1956. Aufgabe. Es sind 6 Punkte P, P', P", P'", P17, PT gegeben; man soll einen 7tcn X so bestimmen, daß PXa 4- P'X3 = P"Xa 4- P'"Xa = P,vXa 4- PvXa wird. Analysis. Ergiebt sich durch zweimalige Anwendung des 1954 entwickelten Orts. 1957. Aufgabe. Es sind 6 Punkte P, P', P", P'", P,v, Pv gegeben; man soll einen 7ten X so bestimmen, daß sich PXa - P'X3 = P"Xa — P'"X3 — pivxa — PTXa ergiebt. Analysis. Folgt dnrch eine zweimalige Anwendung des 1955 entwickelten Orts.

1958. Fig. 350. Aufgabe. Es sind 2 festlie, gcnde Linien AB und A'B' gegeben; man soll einen Punkt X so bestimmen, daß sich A ABX = A A'B'X, und XA-4-XB- + XA'^XB'1 = sa ergiebt. Analysis. Sind C und C' die Mitten von AB und A'B', so ergiebt sich nach Zusatz 218.

und

AXa4-BXa = 2 A C2 4- 2 C X2, A'Xa -j-B'X3 = 2Ä'C'2 4- 2 C'Xa, also durch

Addition

?

= 2AC242A'C'a 4 2CXa 4 2C'X3, Holleftenu.TrrwienAnalysis. II. 23

354

und CXa+C'X3 s

— AC’ — A'C'3, weshalb nach

220 ein KreiSort für X gegeben ist. Nach 551 laßt sich außcrdem ein zweiter Ort für X bestimmen, folglich kann man den gesuchten Punkt verzeichnen. 1959. Fig.351. Aufgabe. A ABC au- a, (b:c) so daß A in A, B in L, C in eine L ch: Linie L' fällt. Analysis. Durch BC e a i(l, da diese Linie zwi­ schen 4= # fallen soll, die ->- derselben gegeben. Deshalb er­ hält man, wenn EF s= a, ED=|= CA, FD =£ BA ist, A ABC ADEF, also ED = AC, und daher ADchCE. Da nun DE; DF = (b : c) fein muß, so läßt sich mittelst 593 D feststrllen, worauf sich BC ergeben muß, wenn man durch A 4? 4= i“ DE und DF legt. 1960. Fig. 352. Aufgabe. A ABC au- (b : c), a, so daß A in A, B in L, C in L' fällt. Analysis. Legt man durch A, F, E =£4* zu a, b, c, so ergiebt sich A ABC e» A EGF, also EG : FG = CA : BA — (b:c), weshalb DAG nach 547 eine gerade Linie sein muß, also ein Ort für G gegeben ist. Durch A und a ist aber die Lage von EF bestimmt (könnte auch in Rücksicht auf a beliebig angenommen werden), folglich läßt sich mittelst deS OrtS 593 und EG: GF — (b: c) der Punkt G feststellcn. Man hat also zur Bestimmung deS A ABC nur schließlich durch A 4-^? zu GE und GF zu legen. 1961. Fig. 352. Aufgabe. A ABC aus P, «, so daß A in A, B in L, C in L' zu liegen kommt. Analysis. Durch P und a ergiebt sich nach 486 (bc); mittelst (bc) uud « aber, da A festliegt und sich B in einer geraden Linie L befindet, ein zweiter Ort für C nach 588, weshalb dieser Punkt, und hierauf A ABC festgestellt werden kann. 1962. Aufgabe. A ABC auS P, «, so daß A in A, B in L, C in K zu liegen kommt.

355 Analysis. Ergiebt sich wie in 1961. 1963. Aufgabe. A ABC aus P, a, so daß A in A, B in K, C in K' zu liegen kommt. AnalysiS. Durch fa und a ergiebt sich nach 486 (b c); mittelst (bc) und a erhält man aber, da A festliegt, und sich B in einer Kreislinie K befindet, nach 589. a. einen zweiten Ort für C, weshalb dieser Punkt in K', und hierauf A ABC festgcstcllt werden kann. 1964. Aufgabe. A ABC aus P, «, so daß A in A, B und C In K fallen. Analysis. Ergiebt sich wörtlich wie in 1963; nur muß K statt K' gelesen werden. 1964. a. Fig. 416. a. Ausgabe. Es soll in ein festliegend gegebenes ein Ö- eingeschrieben werden. Analysis. Aus der Kongruenj der AA YBZ und XDV (1 Seite und 2 ^2) ergiebt sich YB «= VD, also auch, wenn man die Mitte E von VY mit B und D ver, bindet, da außerdem A EYB — A EVD sein muß, A YEB ^2. A VED, weshalb DEB eine gerade Linie, und E die Mitte beider oo bildet, also gegeben ist. Nun hat man ferner A XEY — R, und EY : EX = 1 : 1, also läßt sich nach Analysis 2) 1768 EXY, und mittelst desselben auch das gesuchte 0- konstruiern. 1964. b. Fig. 416. a. Aufgabe. Es soll in ein festliegend gegebenes o ein H eingeschrieben werden, dessen Diagonalen sich wie m : n ver, halten. AnalysiS. Führt wie in 1964. a. zur Konstruktion eines £\, von dem E die Lage der Spitze bildet, A XEY = R ist, und sich EX : EY = m : n verhält. Dies kann nach 1768 AnalysiS 2) gezeichnet werden. 1964. c. Fig. 416. a. Aufgabe. ES soll in ein festliegend gegebenes o ein ed, in welchem A (cc*) = a ist, eingeschrieben werden.

356

Analysis. Führt wie in 1964. a. zur Konstruktiv eines A, von dein E die Lage der Spitze bildet, A XEY --- a ist, und sich EX : EY — 1:1 verhält. Dies A kann nach 1768 Analysis 2) gezeichnet werden. 1964. d. Fig. 416. a. Aufgabe. Es soll in ein festliegend gegebenes ein zweite, in wel­ chem A (cc') — «, und c : c' ss in : n ist, einge­ schrieben werden. Analysis. Führt wie in 1964.a. zur Konstruktion eines A, von dem E die Lage der Spitze bildet, A XEY — « ist, und sich EX : EY s= m : n verhält. Dies A kann nach 1768 Analysis 2) gezeichnet werden. 1965. Fig. 353. Aufgabe. In ein festliegend gegebene- A ein ö mit einer gegebenen Diago­ nale c so ein;uschreiben, daß eine Seite dessel­ ben chr einer Seite des A zu liegen kommt. Analysis. Durch A / i(l CV : XV, oder wenn CG 4? VY, also — c gezogen ist, GY : YZ gegeben. Hie­ durch erhält man aber nach 546 einen Ort sür G, folglich ist nur CG — d abzuschneiden, um G festzustellen, und hierauf mittelst einer durch G zu a gezogenen 4= XY daS verlangte KJ zu konstruiern. Auflösung. Fälle und errichte auS A und in C _LJ_ auf a, ziehe AN 4= a» verbinde B mit N, schneide CG ss c ab, lege durch G eine ch XY zu a, und fälle die _L_L YZ und XV auf a, so bildet YXVZ das verlangte q. Beweis. Da CV : VX — AN : h, und YG : YZ = AN : h ist, muß

YG — CV, also auch YV = CG = c sein. Zusatz. ES sind zwei verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Statt in der Aufgabe die Diagonale deS q als Bedingung zu nehmen, konnte auch die Summe der Quadrate zweier Nebenseiten — cs gegeben werden.

357

1966. Fig. 354. Aufgabe. In ein festliegend gegebenes A ein szi mit einer gegebenen Diffe, renz der Quadrate zweier Nebenseiten — d3 so cinzuschreiben, daß eine Seite desselben einer Seite des A zu liegen kömmt. Analysis. Fallt man aus A auf a die Höhe b, 6c# schreibt zur Benutzung von d mit dieser Länge nm D einen O, und zieht an denselben aus S eine Tangente, so ergiebt sich, da sowohl ZY3— XY3 als auch SD3 — SG3 = d3 ist, SG = XY. Man hat also in h einen Punkt S so zu be, stimmen, daß die aus demselben an den O um D gezogene Tangente sich eben so groß als eine denselben Punkt S durch, laufende ch- XY zu a ergiebt. Verlängert man zur Analysis dieser Aufgabe GS, und legt durch A eine ch zu a, so erhält man, da AS: XY := h : a ijl, AS : SG = h : a, und we, gen der Aehnlichkeit der AA NAS und SGD, AS:SG = AN: d, also h:a = AN:d. Folglich kann zunächst Punkt N, dann mittelst einer Tangente Punkt S, und hierauf XY nebst dem verlangten q bestimmt werden. Zusatz. Es ergeben sich zwei verschiedene Resultate. Von diesen fällt ein ö mit seinen Z_ spitzen in die Verlän« gerungen von b und c.

1967. Fig. 236. Au fgabe. Zwischen den Schenkeln eines festliegenden Z. ist ein dieselben berührender 0 gegeben; man soll an diesen Q eine Tangente BC so legen, daß sich die beiden, vom Berührungspunkte und den Schenkeln be« stimmten Abschnitte BF und CF, wie m:n ver« halten. Analysis. Wären die Abschnitte selbst und a, der O aber nicht gegeben, so ließe sich nach 1639 A ABC konstru, iren, folglich läßt sich, wenn man zwei beliebige, sich wie m:n verhaltende Abschnitte wählt, ein ABC A auf die angege« bene Art zeichnen. Da man nun innerhalb « mittelst dieses

358

rv A bie von BC erhält, hat man nur schließlich zur Feststellung der Lage dieser Linie 282 anzuwenden. 1968. Fig. 236. Ausgabe. Zwischen den Scheu, keln eine- festliegenden Z. ist ein dieselben 6e< rührender © gegeben; man soll an tiefen© eine Tangente BC so legen, daß sich der Unterschied der beiden vom Berührungspunkte und den Schenkeln bestimmten Abschnitte CF und BF --d ergiebt. Analysis. Da nach 1639 BF s CG, also GF, die gemeinschaftliche Tangente der ©© um W und M, = d ist, der © um W aber fcstliegt, und der 0 um M die bei­ den Schenkel des gegebenen Z. berührt, so reduzirt sich die Auf, gäbe auf die Konstruktion von 0 au- L, V, Kb, siehe 1906. 1969. Fig. 355. Aufgabe. Zwischen den Schen, keln eines festliegenden Z. ist ein dieselben 6ex rührender © gegeben; man soll an diesen © eine Tangente BC so legen, daß sich das Rechteck der beiden vom Berührungspunkte und den Scheu, keln bestimmten Abschnitte CE x BE = q* ergiebt. Analy si-. Beschreibt man zur Benutzung von qa in Verbindung mit q oder OE ©© um die AA OBC und ABC, so ergiebt sich, da CE x Eß oder qa = q x EF sein muß, der jl EF, und es fällt das Centrum der O, B, und C durchlaufenden ©linie nach 325 in die Mitte D deS Bogens CB, weshalb sich GF CB, also auch der aus G auf CB gefällte j_ GH gegeben zeigt. Nun ist Z. ADB = y, also

Z. DGB — Z. DBG — y, folglich muß Z. CBG =

und außerdem Z. EBD —

- sein, wo,

raus Z, CBG --- Z. GBN, und j_ GH = j_ GN hervor, gcht. Da sich ferner in derselben Art Z. BCG — Z. GCS, also _L GH — _L GS ergiebt, so zeigt sich, daß die gefun, dem Länge GH der Radius q' des © am A ABC ist, die

359 Aufgabe folglich sehr einfach gelöst werden kann, wenn man o' so bestimmt, daß q'q = qa wird, wenn man ferner den zum Radius q‘ gehörenden Q nach 306 zwischen die Schen, kel de< gegebenen Z. schiebt, und an beide QQ nach 318 ein« gemeinschaftliche Tangente zieht. Anmerkung 1) Aus der vorstehenden Analysis folgt das Datum. Daß durch 2 von den 3 Stücken oder CExEB, Fig. 355., f* und a das dritte abge« leitet werden kann:

denn es verhält sich qq* : q' (b~7~a) = Q: (^-7—). also auch nach 1541 qq’ : f®

oder CExEB : f* =0:

(—^-7——), ",

und das Verhältniß q : —oder OQ: AQ bestimmt den Z. OAQ, also auch den Z. a, und kann, wenn derselbe bekannt ist, gefunden werden.

Anmerkung 2). Die Bedingungen, welche zur Äon, struktion einer Tangente an einen die Schenkel eines festlie, genden Z. berührenden Q benutzt wurden, sind: 1) die der Tangente, siehe 282; 2) die Summe der vom Berührungspunkt und de« Schen, keln bestimmten beiden Abschnitte, stehe 375; 3) der Unterschied dieser Abschnitte, stehe 1968; 4) da- Verhältniß dieser Abschnitte, siehe 1967; 5) da» Rechteck dieser Abschnitte (vorher gelöst). Begnügt man sich mit solchen Konstruktionen, welche nicht an den festliegend gegebenen Stücken ansgeführt werden können, und freilich den örtlichen Aufgaben am wenigste« anpaffen, so gelangt man in folgender Art auf demselben Weg« bei den Auf« gaben 2), 3), 4), 5), kürzer als in den angegebenen Rum« mern, zum Ziel: (Fig. 355) Z. COB ist nach 326 = R +

360 ■y, und q ist die Höhe des A COB, folglich zeigen sich bei allen 4 Aufgaben 3 Stücke des A BOC gegeben, und man hat entweder A aus a, h, a, siehe 788, oder A aus (p — q), h, a, siehe 1384, oder A au- (p : q), h, «, siche 1043, oder A aus (pq), h, «, siche 1736. a. zu verzeichnen, und hierauf durch Abschneidung der erhaltenen Seite OC den Punkt C, und die verlangte Tangente CB fest/ zustellen. 1970. Fig. 356. Aufgabe. Eine Berührung-, linie XY --- a an den © um M zu legen, welche von den Schenkeln des festliegenden Centri Z_ XMY begrenzt wird, (ohne dabei die Auflösung für die AAufgabe a, h, a zu benutzen; vergleiche 1917 am Schluß.) Analysis. Denkt man sich die MY und MX -f- Tan, genten DN und DV gezogen, legt RS ch XY, und verlängert MY und MX bis F und E, so ergiebt sich VH = VU, IG ---- IU, und VR = VX, IS = IY, da RX und SY Rhomben bilden, also durch Subtraktion RH — XU, GS=UY, und deshalb RH + 68 — a, folglich auch RE + SE = a — 2 EG gegeben ist. Nun hat man aber auch RF x SE nach 565 = ME2 bekannt, demnach lassen sich die Linien RF und SE einzeln nach 457 bestimmen, wodurch RS, die von XY hervorgeht, und diese Linie selbst schließlich nach 282 festgelegt werden kann. Auflösung. Ziehe die Berührungslinien HI und DV nach 282 41 zu den Schenkeln des festliegenden A, verlängere die letzteren bis E und F, bestimme GO — EG, ON = a, beschreibe über EN einen Halbkreis, errichte in E den J_ ET — EM, ziehe TQ =£ DI, fälle aus Q den J_ QS auf DI, ziehe SR durch M, und lege an den gegebenen O nach 282 eine RS 4= Tangente XY, so ist diese — a. Beweis. ES ist ES x SN = SQ1 = ET» -- ME x MF, und nach 565 — ES x RF, weshalb RF = SN

— 361

sein muß. Hiedurch «giebt sich, da OG 4- GS 4- SN = a ist, auch HF -f* GS 4* FR, oder GS 4™ HR — a. RH ist aber = XU, und GS — YU: denn zieht man von VH und VU die gleichen Linien VR und VX (RX ist ein Rhom/ bus) ab, so muß RH = XU, und au- gleichen Gründen GS = YU bleiben, folglich ist XY wirklich =s a. Anmerkung. Wäre statt XU 4 UY = a, XU — ÜY = d bedingt, so ergäbe sich eine ähnliche Auflösung, da hiemit FR — ES = a — 2EG, und FRxES = ME2 bekannt wäre, folglich FR und ES selbst nach 459 konstruirt werden könnten. 1971. Fig. 357. Aufgabe. Gegeben I?, I", E"; man soll eine Linie XY so durch P ziehen, daß sich da- Rechteck (PX x PY) auS den Abständen die/ feS Punktes von den auf XY au- P' und P" ge, fällten I l f zwischen welche P zu liegen kommen soll, = q2 ergiebt. Analysis 1). Ergiebt sich durch 75 und 592. AnalysiS 2). Bestimmt man Z_ PDY — Z. PXP', so ergiebt sich, da A PXP' A PDY ist, PX x PY, oder q® = PP' x PD', weshalb die Lage von DY gegeben ist, und sich Y durch Konstruktion deS Orts 75 über PP" festste!/ len muß. 1972. Fig. 358. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß sich da« Rechteck (PX x PY) auS den Abständen diesePunkte- von den auf XY auS P' unbP" gefällten .1 I, zwischen welche P nicht fallen soll, --- q* er/ giebt. AnalysiS. 1) iErgeben sich auf Fig. 358 angewandt Analysis. 2) kwörtlich wie in 1971. 1973. Fig. 359. Aufgabe. Geg eben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die aus P' und P" unter den ^2 « und ß gegen XY gezogenen Linien, zwischen welche P zu liegen

— 362 — kommen soll, das Rechteck 1’XxPY — q* be« stimmen. Ana ly sis. 1) l Ergebe» sich auf Fig. 359. angewandt Analysis. 2) /wörtlich wie in 1971, nur muß 320 statt 75 gelesen werden. 1974. Fig. 360. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die aus P' und P" unter den « und /-gegen XY ge« zogenen Linien, zwischen welche P nicht zu liegen kommen soll, das Rechteck PX x PY — q* be­ stimmen. Analysis. 1) i Ergeben sich auf Fig. 360. angewandt Analysis. 2) -wirtlich wie in 1971, nur muß 320 statt 75 gelesen werden. 1975. Fig. 359. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die »uS P' und P" unter den ^2 a und ß gegen XY ge­ zogenen Linien, zwischen welche P zu liegen kom, men soll, das Verhältniß der beiden Abschnitt PX;PY ss m : n bestimmen. Analysis. Zieht man D'Y -j- P X, so ergiebt sich PT: PD' = PX : PY = m : n, weshalb Punkt D' gegeben ist. Durch PD' und Z. PYD' = Z. P'XP = a, und mittelst PP" und Z. PYP" = ß, sind aber nach 320 zwei Oerter für Y gegeben, folglich läßt sich dieser Punkt und die gesuchte Lage von XY feststellen. 1976. Fig. 360. Aufg abe. Gegeben P, P', P"; man soll eine Linie XY so durch P legen, daß die aus P' und P" unter den « und ß gegen XY ge» zogenen Linien, zwischen welche P nicht zu liegen kommen soll, das Verhältniß der beiden Ab, schnitte PX ; PY --- m:n bestimmen. Analysis. Ergiebt sich auf Fig. 360. bezogen wörtlich wie in 1975, nur muß 2 R — « statt « gelesen werden.

363

1977. Fig. 361. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine P'P" nicht schneidende Linie XY so rurchPlegen, daßsichdaSRechteckderauSP'undP" aufXY gefällten J__L P'X und P"Y = q* ergießt. AnalysiS 1). Bestimmt man EY --- P'X, so ergiebt sich mittelst de» Rechteck« P"Y x YE, da sowohl P" al« E in der zum Durchmesser P'P" gehörenden Kreislinie liegen, nach 592. b. ein Ort für Y. Nun ist aber Z. PYP" s= R, folglich ist durch einen Halbkreis über PP" ein zweiter Ort für Y gegeben, und eS kann durch Feststellung diese« Punkt« tie also auch mittelst P die Lage der verlangten Linie XY gefunden werden. AnalysiS 2). Fig. 361. a. Fällt man au« P" auf PP' den j_ P"D, und auf diese Linie aus Y den J_ YE, so ergiebt sich P"YE PP'X, also P"Y : P P' ss EY : P'X. Nun ist aber q : P"Y — P'X : q bedingt, folglich erhält man durch Zusammensetz, q : PP' = EY : q, mittelst welcher Proportion der J_ EY, also nach 79 ein Ort für Y gegeben ist, welchen man schließlich zur Feststellung diese- Punkt« und der gesuchten Linie mit einer über PP" beschriebenen Halb, krei-linie zu schneiden hat. 1978. Fig. 362. und Fig. 362. a.’ Aufgabe. Ge, geben P, P', P"; man soll eine P'P" durchschnei, dende Linie XY so durch P legen, daß sich da« Rechteck der au« P' und P" auf XY gefällten ( l P'X und P"Y = q1 ergiebt. AnalysiS 1). 1 Ergeben sich auf die Fig. 362. und AnalysiS 2). ) Fig. 362. a. bezogen wörtlich wie in 1977, nur muß 592. a. statt 592. b. gelesen werden.

1979. Fig. 363. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine P'P" nicht schneidende Linie XY so durch P legen, d aß die au« P' und P" auf

364 XY gefällten J__L das Verhältniß der Linien, PX IInd P"Y wie in : n bestimmen. Analy sis. Bestimmt man PE = PX, so ergiebt sich, da PP" festliegt, und im A PP"E das Verhältniß der Grundlinie PE zur Höhe P" Y = in: n gegeben ist, nach 581 ein Ort für E. Da aber, wenn man PP' um sich selbst bis D verlängert, die über PD beschriebene Halbkrcislinie einen zweiten Ort für E bildet, so laßt sich dieser Punkt und die verlangte Lage von XY fcststellcn.

1980. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine P' P" durchschneidende Linie XY so durch P legen, daß die aus P' und P" auf XY gefällten

I I

das Verhältniß der Linien PX und P"Y =

m: n bestimmen. Analysis. Ergiebt sich für eine, der Aufgabe cntspre,

chende, und Fig. 363 analog gezeichnete Figur, wörtlich wie in 1979. 1981. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll eine P' P" nicht durchschneidende Linie XY so durch P legen, daß die aus P' und P" auf XY gc, fällten _L_L das Rechteck aus den Abschnitten PX und P"Y = q3 bestimmen.

Analysis. 1) Fig. 361. a. Fällt man aus P" auf PP' den _L P"v. und auf diese Linie aus Y den J_ YE, so ergiebt sich P"YE PP'X, und daher P"Y: PP' = EP" : PX. Nun ist aber g : P"Y = PX ; q bedingt, also erhält man durch Zus. setz, q : PP' = EP": q, durch welche Proper, tion mittelst P"E die Lage des j_ EY gegeben ist, folglich dieser Ort nur durch eine über PP" beschriebene Halbkreis, linie zu schneiden ist, um Y und die verlangte Linie XY fest, stellen. Analysis. 2)

Fig. 363.

Bestimmt man PE = PX,

so ergiebt sich die Fläche des A PP"E — q1, also auch nach

365

185, da PI?" festliegt, ein Ort für E. Wenn man aber PP' um sich selbst bis D verlängert, bildet die über PD beschriebene Halbkreislinic einen zweiten Ort für E, folglich laßt sich dieser Punkt, und mittelst desselben die gesuchte Linie XY feststellen.

1981. a. Fig. 430. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll zwei einen ^.«bildende Linien PX und PY so von P aus ziehen, daß sich die J_ Abstände PX und PY dieses Punkts von den auf dieselben aus P' und P" gefällten j_j_ wie m: n verhalten. (Z. XPY = «, PX: PY — in ;n). AnalysiS. 1291 ist ein einzelner Fall dieser Aufgabe, in welchem nämlich Z. XPY = 21< ist. Hiedurch wird man darauf geleitet Z. P'PD = «= Z. XPY zu verzeichneu, und P"Y zu verlängern, wodurch sich Z. P'PX — Z. DPY, also auch P'PX oo DPY ergiebt. Daraus folgt aber, daß PX: PY oder in: n = PP: PD ist, wes­ halb Punkt D bestimmt werden kann, und nur zur Lösung der Aufgabe aus P ein J_ auf P"D zu fällen ist, u. s. w. 1981. b. Fig. 431. Aufgabe. Wie 1981. a, nur ist das Verhältniß 6cr J_J_, oder P'X: P"Y = m:n gegeben. Analysis. Konstruirt man Z.P'PP Z. XPY, und PP — PP', so ergiebt sich das PPX' £a PP'X, also PX' = P'X, und deshalb PX': P"Y = m :n, woher sich die Aufgabe, in Beziehung auf die Punkte P, P, P", auf 1290 reduzirt. 1981. c. Fig. 431. Aufgabe. Wie 1981. a, nur ist das Derhältniß des J_ P'X zu dem Abstande deS Punktes P von dem au« P" auf PY gefällten j_, oder P'X:PY — m:n gegeben. Ana lysis. Auf demselben Wege wie in 1981. b reduzirt sich die Aufgabe auf 1980.

366

1981. d. Fig. 431. Aufgabe. Wie 1981. a, nur ist statt des Verhältnisses PX : PY das Rechteck PX x PY = f1 gegeben. Analysis. Führt wie in 1981. b zu 1972. 1981. e. Fig. 431. Aufgabe. Wie 1981 a, nur ist P'X x P"Y --- P statt PX : PY bestimmt. Analysis. Führt wie in 1981. b. zu 1978.

1981. f. Fig. 431. Aufgabe. Wie 1981. a, nur ist P'XxPY statt PX:PY bestimmt. Analysis. Führt wie in 1981. b zu einer Analogie von 1981. 1981. g. Fig. 432. Aufgabe. Gegeben P, P', P"; man soll zwei in P zusammentreffende Linien PX und PY so bestimmen, daß Z. XPY = a, Z. PXP' ---AZ. TYP" = /, PX : PY = m:n wird. AnalysiS. PP' und ß bestimmen nach 320 einen Kreisort für X, PP" und y in derselben Art einen Ort für Y. Da nun ferner durch Z. XPY = a, und PX: PY --m:n, insofern sich X in einer Kreislinie befindet, nach 586 ein zweiter Ort für Y gegeben ist, so läßt sich dieser Punkt fest, stellen, und hiedurch die Aufgabe lösen.

1981. h. Fig. 432. Aufgabe. Gegeben P, P',P"; man soll zwei in P zusammentreffende Linien PX und PY so bestimmen, daß Z. XPY — Z. PXP' ---AZ. PYP" = y, unb PXxPY = P wird. Analysis. PP' und ß bestimmen nach 320 einen Kreisort für X, PP" und y in derselben Art einen Ort für Y. Da nun ferner durch Z. XPY — «, und PX x PY — P, insofern sich X in einer Kreislinie befindet, nach 589. a ein zweiter Ort für Y gegeben ist, so läßt sich dieser Punkt festste!, len, und hiedurch die Aufgabe lösen.

1982. Fig. 364. Aufgabe. Gegeben K, K', L; man soll einen Punkt X so in L bestimmen, daß zwei aus demselben an K gelegte Derührungs,

367

linien einen eben so großen Z., al- zwei gleich­ fall- au- X an K' gezogene Tangenten bilden. Analysi-. Nach den Bedingungen der Aufgabe müs­ se» die MXB und M'XB' einander gleich, also MXB cx2 M'XB' sein. Hieran- geht aber MX : M'X = r: r' hervor, folglich laßt sich, da MM' sestliegt, mittelst des Orts 593 der gesuchte Punkt X feststellen. Zusatz. E- sind 2 Resultate möglich. Anmerkung. Au- der vorstehenden Analysis «giebt sich der folgend« Ort: wenn zwei Kreislinien K und K' gege, ben sind, läßt sich stets eine dritte so bestimmen, daß jede zwei auS einem beliebigen Punkte der, selben an K gelegte Berührungtlienien einen eben so großen Z. bilden, als zwei aus demselben Punkte nach IV gezogene Tangenten. 1983. Aufgabe, Zusatz.

K" statt J

L $U kft«.

1984. Aufgabe. Gegeben K, K'; man soll ei, nen Punkt X so bestimmen, daß sich die Summe der Quadrate der 4 auS demselben nach Lund IV gezogenen Berührung-linien — s* ergiebt, und daS zu K gehörende Tangenten,Paar einen Z. von derselben Größe wie daS zu K' gehörende Tangenten,Paar einschließt. Analysit. Der eine Ort ergiebt sich wie in 1982; der andere läßt sich nach 353. konstruiren. Zusatz. ES ergeben sich 2 Resultate. 1985. Aufgabe. Gegeben L,IV, IV'; man soll einenPunktX so bestimmen, daß jede- der 3 aus demselben nach K, K' und K" gezogenen Tan­ genten,Paare den selben Z. einschließt.

— 368 — Analysis. Durch K und K' ergiebt sich wie in 1982 der eine, und durch K' und K." in derselben Art der andere Ort für X. Anmerkung. Auf dem in 1982 u. s. w. angegebenen Wege lassen sich durch Zeichnung mehrere Aufgaben aus der Optik, bei denen es nämlich auf die Bestimmung gleicher Sehwinkel ankömmt, lösen. Mittelst der eben beendigten Ana, lysis ist z. D. die folgende Aufgabe lösbar: es sind drei runde ungleich starke Säulen gegeben; man soll einen solchen Gesichtspunkt bestimmen, von dem au-, in einer dem Horizont Ebene gesehen, alle drei Säulen gleich stark erscheinen.

— 369

III. C. Dritter Abschnitt. Schwer lösbare Aufgaben.

istes Kapitel. Dreiecks - Aufgaben.

1986. Fig. 365. Aufgabe. A au8 r, p, (b—c). Analysis. Ist MD = p, so muß nach 1355 CD - DB — (b — c), also, wenn man EC= DB bestimmt, auch ED = (b — c) sein. Hieraus folgt, daß der in der Mitte F von ED errichtete j_ einen Ort für den Mittelpunkt M des O umS A bildet. Da nun MM' nach g. Betr. §. 12 die mittlere Proportionale zwischen r und r — 2p ist, so erhält man einen zweiten Ort für M, kann folglich diesen Punkt feststellcn, und hierauf durch r da« verlangte A ABC ableiten. Auflösung. Schneide auf den Schenkeln eines rechten Z. ED = (b — c), DM' — p ab, errichte in F, der Mitte von ED, einen _L, und beschreibe um M' mit der mittleren Proportionale zwischen r und r — 2 p eine Kreislinie, so be, stimmt sich M der Mittelpunkt des O für r. Zeichnet man hierauf mit dieser Länge um M einen 0, verlängert ED auf beiden Seiten bis B und C, MF bis G, GM' bis A, und verbindet diesen Punkt mit B und C, so ist das verlangte A ABC konstruirt. Holl und hiedurch das verlangte A ABC.

2007.

Fig. 378.

Analysis.

Aufgabe.

A aus Ii, t,

Sei AH — t, AG — h.

durch t und h gegeben.

AGH ist

Sucht man g jetzt mit h oder t in

Verbindung zu setzen, so liegt eS nicht fern, sich hiezu ähn, liche A A mittelst der Verlängerung von O A und der Er, richtung eines 1 in H auf HG zu schaffen.

der Peripherie des

Q ums A liegt,

Da nun F in

zeichne man diesen O,

und ziehe die nach 325 FO gleiche Linie FB.

Untersucht man

jetzt die gegenseitigen Beziehungen der gezeichneten Linien in Rücksicht auf 9 und b, so ergiebt sich Folgendes:

381 Es ist AABF cv ADBF, (AFAB ss ADBF) AB: BO = BF: DF, oder, ba A ABO = AOBD, II m, n. 325, AO.DO --- OF: DF. Aber AO:DO = AG —OE:OE, folglich muß

also

h—p:p = OF:DF, und deshalb d.S.d.D.Gl. h — 2p :p — OD:DF fein.

Da nun zugleich

EO:j_FH --- OD: DF ist (£\ OED cv

DFH), so

p : J.FH, aus welcher Proportion

erglebt sich k—2p :p ---

der J_ FH gefunden werden kann.

Durch Hilfe dieser Linie

und des von t und h bestimmten

AGH laßt sich endlich

da- gesuchte A ABC verzeichnen. Konstruire aus t und h das

Auflösung.

AGH,

errichte in Hauf HG einen j_HF so, daß h — 2p:p = p:HF

ist, bestimme durch AF und A AFH das A AFM, zeichne um M mit MF einen O,

und verlängere HG nach beiden

Seiten, so ergiebt sich daS verlangte A ABC.

Die Stücke h und t hat A ABC geradezu

Beweis.

während der Konstruktion erhalten.

Es ist also nur zu zeigen,

daß der Radius OE des eingeschriebenen O die Lange p hat. Der Mittelpunkt diese- Q muß, da MF J_ CB steht, in die Halbirungslinie AF des A BAC fallen,

folglich erhält man

ganz auf demselben Wege wie in der Analysis h —2OE : 2OE — OE : 2FH, während n. d. Konstr. h— 2p

:2p

—

p

: 2FH ist.

Durch A. d. V.

Gl. ergeben sich aus diesen Proportionen zwei andere

h : OE

= OE 4- 2FH : FH, und

h :

p

= p

4* 2FH : FH, aus denen

OE:

p

= p

+ 2FH : OE + 2FH, also

auch durch A. d. h. Gl.

OE + p + 2FH : OE + p + 2FH = OE : p

folgt. In dieser Proportion sind aber die Glieder des ersten Verhältnisses gleich, also muß OE — p fein, was zu zei­

gen war.

382 Anmerkung.

Aus der vorstehenden AnalyflS folgt da»

Datum: durch 2 von den drei Stücken h, p und dem _L HF, Fig. 378., ist stets das dritte, au< der Proportion h—2p : p = p : HF, bestimmt. 2008.

Fig. 379.

Aufgabe.

A au6 t, p, (b —c).

Analysis. Sucht man t oder AE in Verbindung mit (b—c) und p zu betrachten, so läßt sich, da von t daS A halbirt wird, nach 341 vermuthen, daß hiezu die Fläche des A behilflich sein wird. Dies bestätigt sich in folgender Art: A ABC, oder 2 A EAB, oder 2AEOB4-2AOAB4-2AOAE ist = A COB + A OAB 4- A OAC woraus 2 A OAB + 2 A OEA — AOAB A OAC, also auch 2AOEA — AOAC - AOAB,

oder

2AOEA = b y — c y.

und

2 A OEA — (b — c)

folgt.

Setzt man nun DB = FC ab, so bestimmt sich, da CD—DB nach 1355 — (b— c) ist, auch FD =2 (b — c), weshalb

2 A EOA = FD x

= FE x p — 2 A FOE, also

AF 4= OE sein muß. Hieraus ergiebt sich ferner, daß F A den Endpunkt H deS J_ FD stehenden Durchmessers DH durchläuft, da zugleich DE : EF = DO : OH — 1 : 1 ist. A HFD läßt sich aber durch 2 p und (b — c) zeichnen, folg, sich hat man nur auS der Mitte E von DF die Lage FH mit t zu schneiden, um A, und hiedurch auch mittelst p daS verlangte A ABC zu konstruiren.

Auflisung. Zeichne HDF aus DF = (b — c), und DH = 2p, schneide auS der Milte E von FD, EA = t ob, und lege aus A an den über HD als Durchmesser beschriebenen Q beide Tangenten, so bestimmt sich durch ent, -egengesetzte Verlängerung von F D das verlangte A ABC.

383

Beweis. Um zu erweisen, Laß EA oder t BC Hai­ birk, muß zunächst die Gleichheit von CF und DB gezeigt werden. Errichtet man hiesür den _L IF in F auf BC, ver, längere AO bis I, legt durch H, O und I =£ $u BC, und durch A eine -j- iu HD, so ergiebt sich FI : HO — AF : AH — AR; AT, oder RS : TU — AR : AT, ferner d. A. d. h. Gl. AS : RS — AU : UR (TU),

ll_ oder AI : IN — AO : ON. Legt man jetzt durch N ch-ch zu OB und IB, so erhält Mau durch Substitution = Derhältn. AB ; BV = AB : BW, also BV — BW. Nun ist aber auch BW s= BN, da OB Z. ABN halbirt, folglich muß Z_ VNW, also auch 2L OBI = R sein, und deshalb BI den A CBW halbiren. Hieraus geht ferner her. vor, da zugleich IA Z. BAC halbirt, daß IF Radius des 0 am A ABC für das Centrum I ist, also CF ss CY sein muß. Die Größe von CY ergiebt sich, da nach 339 AY — Ja + Jb+Jci|f, durch Subtraktion der Länge AC oder b — t a + f c — f b. Eben so groß ist aber nach 1354 BD, folglich hat sich mittelst der Auflösung wirklich CF = DB bestimmt. AC — AB endlich muß -- (b — e) jein, da man DF diese Größe gegeben hat, und DF = DC — FC s= DC — BD = CZ — BX = CA — BA ist. Es enthält also A ABC sämmtliche gegebenen Stücke. Anmerkung.

Aus der vorstehenden Analysis folgt,

da sich in derselben 2 A OEA = FD x

ergab,

daß in jedem A ABC, A EOA = A EOD ist. 2) Konstruirt man ein HDF, beschreibt über einer Kathete, als Durchmesser genommen, riuru 0. und zieht an denselben aus einem

1)

384 beliebigen Punktes der Verlängerung der Hypotenuse Tangenten AB und AC, so bei stimmt sich stets BD = CF. (Dergl. Anmerk. 2)

3)

2017 und 2018). In jedem A schneidet die Verbindungslinie

zwischen dem Berührungspunkt F eineO am A mit der gegenüberliegende» Z. spitze A den Endpunkt H des auf der Ge, genseite a _L stehenden Durchmessers DH des D im A.

4)

Durch (b —c) und p läßt sich stet- ein Ort für die Spitze A des zugehörigen A zeich, nen.

2009.

Fig. 378. Aufgabe. A aus b, p, (b — c). Ana lysis 1). Bestimmt man IC = EB, so «giebt

sich, da nach 1355 CE — EB = (b — c) ist, IE = (b — c), und durch Hilfe von p das IEO. Der in der Mitte H von BC oder IE errichtete, und von der Kreislinie ums A

begrenzte J_ HF ist aber nach 2007 durch h und p gegeben, also bestimmt sich nach dessen Feststellung mittelst der Lage FO ein Ort sür A, so daß man nur zwischen die Lage von IE und jenen Ort nach 79 h zu schieben hat, um den Punkt A,

und hierauf durch den O mit p das verlangte A ABC zu erhalten. Auflösung.

Zeichne

ein

IEO mit den Katheten

IE = (b — c), und OE = p, errichte in der Milte H von

IE einen J.HF so lang, daß li — 2p : p = p : FH wird, verlängere FO, schiebe nach 79 h oder AG j_ zwischen die Lagen IE und FO, beschreibe um O mit OE einen ©, und lege an denselben au- A Tangenten, so bildet ABC daS ver­

langte A. Beweis. Da dem A ABC die Stücke p und h geradezu gegeben sind, kömmt es nur darauf an: zu erweisen,

daß AC — AB = (b — c) ist, wozu wieder vorher die Gleich,

—

385

—

Helt von CH und HB gezeigt werden muß, waS in folgender Art geschehen kann.

Nach der Konstruktion ist: h — 2p : p

ss

h—2p : p

= OD: DF.

h— p : p

== OF: DF, und, wenn ON 4= EG,

p : HF, also auch, da

ODE O)

DHF ist,

Hieraus folgt d. A. d. V. Gl.

AN: NG = OF: DF, oder

AO: DO — OF : DF, ober, da OB Z_ ABD halbirt, AB: DB ss OF: DF. Denkt man sich jetzt um A ABC

einen O beschrieben, so wird die Peripherie desselben die Lage AD in irgend einem Punkte X (gedachter Punkt) durchschnei,

den, und A XAB cv A XDB bestimmen, weshalb AX :

BX ss BX : DX — AB: DB sein muß, und, wenn man statt BX die nach 325 gleiche Linie OX,

statt AB : DB

aber das gleich erwiesene Verhältniß OF : DF setzt. OX : DX ---- OF : DF, also auch (d. S. d. V. Gl.)

OD : DX = OD : DF ist.

Hieraus folgt DX --- DF,

woher der Endpunkt F von HF mit X zusammenfällt, also FB = CF,

und

deshalb

auch

HB = HC

sein muß.

Nun ist aber ferner IC — EB, da HI — HE gezeichnet ist, folglich ergiebt sich wirklich AC — AB oder (1355) CE —

EB = CE — IC ss IE = (b —c).

Analysis 2).

Fig. 379.

Nach Anmerkung 4) 2008

ergiebt sich stets durch (b— c) und p ein Ort sür A.

Nun

ist aber durch h nach 79 ein zweiter Ort für diesen Punkt ge­ geben, folglich laßt sich durch Hilfe von p das verlangte A ABC bestimmen. Auflösung.

Zeichne ein

HDF mit den Kathete«

DF s= (b—c), und HD = 2p, schiebe nach 79 zwischen die

Lagen FH und FD die Höhe AR ss h, beschreibe über HD, als Durchmesser genommen, einen Q, und lege an denselben aus A Tangenten, so ergiebt sich das verlangte A ABC. Beweis. Zunächst läßt sich ganz wie in 2008 die Gleichheit von CF und DB erweisen, woraus sich (b — e) =

DF = DC — CF s= DC — DB ss AC — AB (1355) Holleben u.Gerwken Analyst«. U«

-5

386

ergiebt, während mittelst der Zeichnung A ABC geradezu die Stücke li und p erhalten hat. 2010. Fig. 380. Aufgabe. A aus b", p, (b — c). Analysis. Da CD — DB nach 1355 — (b — c) ist, eraiebt sich, wenn man DB = FC bestimmt, auch DF — (b — c), und hiedurch mit Hilfe von p das ODF, alsö auch die FD halbirende Transversale OE, und die mit der, selben beschriebene Kreislinie um O als Ort für E (Mitte von r,). Denkt man sich aber die Lage von AB fest, und zu der, selben durch E eine gezogen, so wird diese CG oder h" Hal, biren, und deshalb einen zweiten Ort für E bilden. Man kann also diesen Punkt bestimmen, und hiedurch das verlangte A ABC konstruiren. Auflösung. Ziehe an den mit p um O beschriebenen 0 eine Tangente AB, und lege zu derselben zwei um h" h" und — entfernte ch- ch E und L/. Hierauf zeichne man in b—c beliebiger Lage eine Tangente ED — ——, beschreibe um O

mit OE eine Kreislinie, lege durch den Schneidungspunkt E mit L' eine Berührungslinie an den © mit 9, und ziehe endlich aus dem neugcbildcten Durchschnittspunkt C mit L eine zweite Tangente an denselben ©, so erhält man das ver­ langte A ABC. Beweis. Nach der Konstruktion hat A ABC geradezu die Stücke h" und q erhalten. Da nun die 4= !•' von L und AB gleich weit absteht, muß CE — EB, also auch, wenn man ED — EF absctzt, CF = DB sein. Hieraus ergiebt b —— f sich aber, da nach der Zeichnung ED = —-— ist, daß AC

— AB oder (1355) CD — DB = CD — CF = FD = (b —c) sein muß, A ABC folglich sämmtliche gegebene« Stücke enthält. 2011. Fig. 236. Aufgabe. A aus h", (/", (b 4- c). (Analogie zu 2010).

—

387

Analysis. Da nach 1419 die zu den DD von q" und q'1* gehörende gemeinschaftliche Tangente R'Q' = (b 4 c) ist, also das A OQ'R' nebst der R'Q' halbirenden Transver, sale ÖZ' durch Hilfe von q"* gezeichnet werden kann, so läßt sich ein Ort für Z' (Mitte von a) bestimmen. Denkt man sich aber die Lage von AB fest, und zu derselben durch Z' eine 4gezogen, so wird diese h" halbi'ren, und deshalb einen zweiten Ort für Z' bilden. Man kann also diesen Punkt feststellen, und hiedurch da« verlangte A ABC konstruiren. Auflösung. Ziehe an den mit (>'" um O beschriebe, nen D eine Tangente AB, und lege zu derselben zwei um h'z h" und — entfernte -jr ch. Hierauf zeichne man in beliebiger

Lage eine Tangente Q'Z' —

I, _i_ c

beschreibe um O mit

OZ* eine Kreislinie, lege durch den Schneidungspunkt Z' mit li" der um — von AB entfernten 4 eine Berührungslinie an

den S l|,*t Ql,S und ziehe endlich aus dem neu gebildeten Durchschnittspunkt C mit der um h" von AB entfernten 4= eine zweite Derührungslinie an denselben ©, so erhalt man da- verlangte A ABC. Beweis. Nach der Konstruktion hat A ABC geradezu die Stücke h" und p'" erhalten. Da nun die Z' durchlau, sende 4= ju AB von dieser Linie halb so weil absteht als die C durchschneidende 4- iu AB, so muß CZ' = BZ', also auch, wenn man Z'O' = Z'R' absetzt, I Q' — CR' sein. BQ' = CQ' — BC ist — 4 AC 4* F AB — j BC, da nach 339 CQ' J AC + i AB I BC sein muß. Die, selbe Länge haben aber auch nach 1354 die von dem O A bestimmten Tangenten AE und AD, also ist BQ' 4- CR' = AE 4- AD. Nun ist ferner CB = CD 4- BE, folglich hat sich durch die Konstruktion AB -j- AC = R'Q' =s (b 4- c) bestimmt, und cs enthalt A ABC wirklich alle ge, gebenen Stücke.

388 2012.

Fig. 379.

Aufg abe.

A aus h", g, (b -fr c).,

Analysis. Sucht man aus h" und g, oder waS das, selbe ist aus h und g, ein anderes Stück des A abzuleiten,

so wird man (durch den Beweis von 2008) darauf geleitet da- von (*' bedingte A IFN mit dem von h und g bedingten A ANR zu vergleichen. Hiedurch erhält man, wenn durch

O und 1 ch ch zu BC, durch N aber zu Iß gezogen werden,

zunächst h : — h-j-p' • g'— h-j-p' : g1 =

h-f-p' : g' — h+c' • g' — h-f-p' : p' —

AN : NI, oder d. A.

d. D. Gl.

AI : NI, oder AB : BV, also auch,

da VBN ein A ist,

AB : BN, oder, da BO A ABChalbirt, AO : ON, und AU : UR, d. h.

b-f-t?' : g* = h— g : g. Hieraus folgt aber d. S. d. V. Gl. h : e' = 11 — 24» : 4», weshalb mittelst dieser Propor, tion g* bestimmt werden kann. Dadurch reduzirt sich die Aus, gäbe, indem auf gleiche Weise h" : g‘" = h" — 2g : g sein wird, auf A au- h", g'", (b + c), welche in 2011 ge, löst ist. Anmerkung 1). AuS der vorstehenden Analysis folgt mittelst der Proportion h : g‘ = h — 2g : g 1) das Datum: wenn zwei von den 3 Stücken h, g und g' gegeben sind, läßt sich stets das dritte bestimmen. 2) »giebt sich, da AI : IN = AO : ON gefunden wurde A OBI aber = R ist, daß der O, B und I durchlaufende Ort für die beiden Centra O und I (siche 325), welcher mit seinem Mit­ telpunkt in die Kreislinie ums A ABC oder in die Mitte von 01 fällt, in Beziehung

auf die Punkte A und N den 593 angegcbe, nen Ort bildet. Anmerkung 2). Das in der vorstehenden Analysis entwickelte Datum läßt sich auch auf folgende Art herleiten:

389 Da nach 341 2 P = (a + b + c) p, und nach

1541 auch

= (b + c—a) p' ist, ergeben sich die beiden Proportionen a-|-b4-c : a =

h ; p, und

b+c —a : a =

K : p', aus denen zwei andere durch

S. u.A. d. Berh.Gl., nämlich

b+c : a — h—p : p, und b+c : a — h+p'; p'

hervorgehen, also wegen

__________ ___________________

=

Verh.

h —p : p = li+p' : p', oder d. S. d. V. Gl. h —2p : p =

h : p' sein muß.

Zugleich ergiebt sich ans der letzten Proportion durch S. d. h. Gl.

2p : p'—p = h : p'

2013.

Fig. 381.

Analysis. 1).

Aufgabe.

A

h, r, p..

Nimmt man A festliegend an, so zeigt

sich, da nach 563, 2hr = AE x AG sein muß, und E sich

in einer Kreislinie befindet nach 590 eine gerade Linie als Ort für G gegeben.

Sucht man jetzt h und p gemeinschaftlich zu

benutzen, so findet sich, da sich G in einer geraden Linie ber

findet, und

AG : GM' = h : p ist, ferner nach 514 ein

Die noch nicht gemeinschaftlich benutzten Stücke r und p aber bestimmen endlich nach 571 einen zweiten Ort Ort für M'.

für M', weshalb sich dieser Pnnkt feststellen, und hierauf A

ABC auf mehreren Wegen ableiten laßt. Auflösung.

Beschreibe um M zwei Kreislinien, von

denen die eine den Radius r, die andere aber einen Halbmeft

ser hat,

dessen Lange die mittlere Proportionale zwischen r

und r — 2 p ist, ziehe aus einem beliebigen Punkte A der zu v gehörenden Kreislinie einen Durchmesser AF, setze AI—1»,

IN = p »6, errichte in N auf AF einen J_ NM', verlan« gere die von dem Schneidungspunkte desselben mit der zweiten Kreislinie bestimmte Linie

AM' bis E,

und beschreibe tun

diesen Punkt mit EM' eine Kreislinie, so bilden die Schnei.-

dungspunktc B und C die beiden fehlenden Winkelspitzen der

verlangten A ABC.

390 Da CE = EB, ist EA Halbirungslinie für

Beweis. a.

Da CE — EM', und Z_ CEM' = ßt i(t A M CE ---

R — y, weshalb AM'CB — R—y— v= V f«n

muß,

also y durch CM' halbirl wird,

und folglich M' den

Mittelpunkt des Q im A ABC bildet.

Der Radius M'Q

ist aber auch — p: denn nach der Konstruktion hat man r — 2p : MM' = MM' :r, also d. A. d. h. Gl. r—2p + MM': MM' + r 2p

— MM' : r, ferner d. S. d. V. Gl.

:r—MM'= r+MM' ;r, oder

p

:

M'R

=

M'S

:2r.

AM'

:

M'R

=

M'S

: M'E, folglich muß

p

:

AM'

—

M'E

: 2r sein. Nun ist zugleich

ES ist aber

M'Q : AM' --- BE :EO, da AaM'Q ~ ______________________________________________ ^OBE, also ist wirklich

M'Q — p, da alle übrigen Glieder in bei«

Daß AD — h ist, ergiebt sich

den Proportionen gleich sind. endlich auS der,

wegen der Gleichheit des A MAE mit A

EAD, statt findenden Kongruenz der

ANM' un6 ATM',

da aus derselben AN = AT, oder AI—IN = DA — DT, d. h. nach der Konstruktion und dem vorangehenden Theil des

Beweises h — p — AD — p hervorgeht. gezeichnete A ABC

wirklich

Es besitzt also da­

sämmtliche gegebenen

Stücke

h, r und p.

Analysis 2).

Fig. 378.

Nach 2007 ist der von der

Kreislinie ums A und der Mitte von a begrenzte, auf dieser

Seite stehende J_ HF durch h und p gegeben.

Es läßt sich

also mittelst eines in H aus MF oder r errichteten _L die Lage

und Größe von CB oder a bestimmen.

Hieraus folgt aber,

daß man nur zwischen diese Seite und die Kreislinie um M nach 79 h zu schieben hat,

um den Punkt A,

und mittelst

desselben das verlangte A ABC zu erhalten. Aufli sung.

Schneide von MF oder r die mittelst der

Proportion li — 2p : p = p : HF bestimmte Länge FH ab,

lege durch H eine zu FM winkelrechte Linie, und beschreibe

391 um M mit 31F einen O, so ergeben sich die Punkte B und C. Schiebt man nun zwischen diese Kreislinie und C B nach 79 1), so bestimmt sich A, und hiedurch das verlangte A ABC. Beweis. Ergiebt sich wörtlich wie in 2007, nur ist r statt t zu lesen. Zusatz. Es sind 2 Resultate möglich.

2014. Fig. 382. Aufgabe. A f

lich h", gleichfalls nach 2027 ; folglich ist nur A aus b, I»', b", siche lub5, zu lösen.

406

2049. Aufgabe. A au< p, p', p". Analysis 1). Aus der in 2027 entwickelten Proportion: 2 p»' —h : h -- p"' : p" folgt d. A. d.V.El. p" p"' : p" g 2p'" : h. Nun ist nach dein Schluß d.Anin.v. 201'2 2p : p' — p = h : p', also hat man d. Zus. s.

?(?" + ?"') : e"(p' —p) — p'" : p', oder p" -f- p'" : p' — p = p"p'" : pp', aus welchen Pro, Portionen p'" entwickelt werden kann (p" ins 2te Glied ge, stellt und die h. Gl. subtrahirt). Hiemit ist aber die Ausgabe auf die vorhergehende: A aus p', p", p'", rcduzirt. Analysis 2). Fig. 236. Die Centralen der zu p', p", p'" gehörenden 0O stehen, wie in 1417 gezeigt wurde, J_ auf in, m', m", und durchlaufen die Punkte A, B und C; folglich bilden MA, NB, OC die Höhen des A NMO. Nun ist durch p" : p, oder NR' : WF, NB : BW, und durch p' : p, oder MS : WD, MA : AW gegeben, weshalb inan nur zu untersuchen hat: ob sich die Gestalt des A NOM durch die Verhältnisse der Höhen zu den von ihrem Durch, schnitt gebildeten Abschnitten bestimmen läßt. Dies findet aber statt: denn zieht man durch W, WT^MO, und WT'4=NO, so ergiebt sich NM : MT = NB : BW, MN : NT' — MA : AW, und A NWT --- A T'WM = R, weshalb, nach Feststellung der Linien NM, NT, NT', sich durch 2 über NT und MT' beschriebene Halbkreis« der Punkt W bestimmt, also durch Fällung zweier J__L aus N und M auf die Lagen von MW und NW A NMO der Gestalt nach ergeben muß. Au« A NMO erhält man ferner A ABC durch Verbindung der Punkte A, B und C; konstruirt man also ein demselben A mit einem Radius des Q im A — p, so bildet dies end, lich das eigentliche A ABC. Analysis 3). Durch p und p* ergiebt sich h, durch p und p" ferner h' nach 2012, durch p* und p" endlich h" nach 2027; man hat also A aus h, h', h", siehe 1665, zu verzeichnen.

407

Anmerkung. Aus der in Analysis 1) entwickelten Proportion p" 4- p'" : p' - p = p"p"' ; pp' gebt hervor, daß sich auS 3 von den 4 die 3 Seiten eines A berührenden 00 stets der vierte, ohne vor, hergehende Zeichnung de« A, ableiten läßt.

2tes Kapitel. Vierecks -- Aufgaben

aller Art.

2050. Fig. 389. Lehrsätze. 1) Verbindet man die HalbirungSpunkte l und S, Q und O der Gegenseiten eineS cA so er, giebt sich 2(OQa —ISa) — (a14-ca) — (b* + da). Beweis. Halbirt man die Diagonalen in N und R,

so bildet 1NSR ein

, dessen Seiten

sind, wes,

und

halb nach 217 ISa + RN1 = |ba + |da ist. In dersel, ben Art ergicbt sich in dem ORQN, OQa -f- RN1 = Jaa + Jca, folglich erhält man durch Subtraktion OQa — IS* — (ja* 4- £c2) - Gb* 4- id1), oder 2 (OQ1—IS1) -- (aa4-c*) — (ba4-da). 2) Verbindet man in einem cA die Halbi, rungspunkte I und 8 zweier ©egen(eiten, und die HalbirungSpunkte R und N der beiden Diagona, len, so ergiebt sich 2 (iS1 — RN2) — (e1 4" e■' , CI : CF = q" :

AHO' AGS), und CIS -v CFR), also muß

: p,v — p" : p"', oder p'p'" — p"p,v sein, w. z. b. w. Aus diesem Gesetz folgt zugleich das Datum: wenn 3 von den 4 Radien p', p", p"', p,v der ©© am c^3 eines um © gegeben sind, so läßt sich stets der 4te bestimmen, und c3 um 0 aus p', p", p'", p'v ist eine unmögliche Aufgabe. q*

417

zteS Kapitel. Verwandlungen. 2067. Aufgabe. Gegeben P und ein festlie, gender Z. C; man soll eine, A ABC c= f3 bestim­ mende Linie durch P legen. Analysis. Istcr Fall. Fig. 396. P liegt außerhalb des Z. C. Legt man durch P eine H zu BC, und bestimmt cj CD = so ergeben sich die AA PAG, PED und EFB, also APED : APAG = PD1 : PG3, oder d. S. d. V. Gl. A PED—AP AG : APAG --- PD1 —PG2 : PG2, und __________ AFEB ; APAG — BF2 ; PG2. Hier, aus folgt______________ BF1 — PD1 — PG3, da sich in beiden Proportionen drei — Glieder finden. Nun sind PD, PG und Punkt F gegeben, folglich läßt sich BF, und mittelst dieser Länge die verlangte Linie PB bestimmen. 2 ter Fall. Fig. 396. a. P liegt innerhalb des Z_ C. Die Analysis des ersten Falls paßt wörtlich für den 2tcn, wenn man Fig. 396. a. benutzt. Auflösung für beide Fälle. Fig. 396 n. Fig. 396. a. Lege durch P eine dp PI zu einem Schenkel des A C, be, stimme o GF = f3, beschreibe über PD einen Halbkreis, schneide PH — PG, DI — DH ab, und ziehe IB dp CG, so bildet PB die verlangte Linie. Beweis für beide Fälle. A PAG A PED ex» A EFB, also ist A PED : A PAG --- PD1 : PG2, oder d. S. d. V. A PED—APAG: APAG — PD1 —PG1: PG1, und AFEB: APAG = BF1 : PG3. Hier­ aus folgt APED — APAG — A FEB, da BF3, oder DI3, oder DH3 --- PD3 — PH3, oder PD3 — PG3 ist, und außerdem noch 2 Glieder der letzten Proportionen gleich sind. Addirt man zu den gleich erhaltenen Werthen cd Hvllcbea u. Gerwien Analysis. II. 27

—

418

—

AEFC, so «giebt sich endlich o GF = A ABC, w. zu, beweisen war. Zusatz. Es sind 2 Resultate möglich. Don diesen bildet im ersten Fall A A'B'C (Fig. 396) das zweite Resultat, welches also in den Scheitel Z. des gegc, benen Z_ zu liegen kommt. Im Beweise für dasselbe muß A' statt A, B' statt B, E' statt E gelesen, und zuletzt cd A'E'FC nicht addirt, sondern subtrahirt werden. Im zweiten Fall bildet (Fig. 396. a.) A A'B'C das zweite Resultat. Im Beweise für dasselbe muß A' statt A, B' statt B, E' statt E gelesen, und die Addition des cd A'E'FC dadurch vorgenommen werden, daß man das eine Flächcnstück desselben, nämlich A A'B'C addirt, und das andere, A B'FE', subtrahirt. Anmerkung. Au- dem Zusab der vorstehenden Auf/ gäbe folgt: daß, in Rücksicht auf die g. Bctr. §. 26. und 29. angeführten, zusammengehörigen Vierecke, welche hier Fig. 396. durch A'E'FCA' und Fig. 396. a durch A'E'FCA' dargestellt werden, die Flache des gewöhnlichen Vierecks Fig. 396. A'CFE' = A B'FE' — A B'CA' in der Analogie Fig. 396. a. durch dieselbe Differenz A B'FE' — A B'CA' ersetzt wird. 2068. Aufgabe. Aon# f1, [a® -f. (b + (e'd). Analysis. Wie in 2076 ergicbt sich A INQ = A (e e'), und IN x NQ durch |P und A (ee'). Da sich

nun zugleich I in einer mittelst BI =

um B gezeichneten

Kreislinie befindet, und N festliegt, so läßt sich nach 589. a. ein Ort konstruiren, welcher in der, mittelst NA und A NQA = A (e'd), nach 320 bestimmten Kreislinie Punkt Q fest, stellt. Zieht man hierauf durch A und B | ju NI und NQ, so muß sich das gesuchte ABCD ergeben. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 2078. Fig. 399. Aufgabe. ^3 aut P, a, A (ee'), A (be), A (e'd). AnalysiS. Wie in 2076 ergiebt sich A INQ — A (ee'), und IN x NQ. Da sich nun zugleich I in einer, mit, leist NB und A (be) = A NIB, nach 320 gegebenen Kreislinie befindet, und N festliegt, so läßt sich nach 589. a. ein Ort konstruiren, welcher in der, mittelst NA und A NQAss (e'd), gleichfalls nach 320 bestimmten Kreislinie den Punkt Q feststellt. Zieht man hierauf durch A und B G ch zu NI und NO, so muß sich da« gesuchte ABCD ergeben. Zusatz. Es sind 2 verschiedene Resultate möglich. 2079. Aufgabe. c^3 »u« P, a, b, c, d, oder: eine gegebene Fläche durch 4 bestimmte gerade Linien einzuschließen. Analysis. Fig. 399. Verbindet man die Hatbirung«, punkte der Seiten, so ergiebt sich ein der Hälfte wn P glei.

424 cheS o NIOQ, in welchem nach 2050. 1) durch a, b, c, d IQ1 — NO1 gegeben ist. Aus der Fläche eines und dem Unterschied der Quadrate beider Diagonalen lassen sich aber nach 2051 die j. B. Z. IOQ, bestimmen, weshalb Z. (ee') (4^4? Schenkel) gefunden ist, und sich die Aufgabe auf aus P, a, b, d, Z. (ee'), siehe 2076, reduzirt.

Auflösung. Fig. 4oo. Zeichne ACB mit den Katheten AC = a, BC = c, beschreibe über AB einen Halbkreis, bestimme das ADE aus AD = b, DE = d, schneide AF = AE ab, mache FG = 2f, verlängere den auS F auf GB gefällten j_ um HI = BH, und konstruire nach 2076 ein c^3 auS P, a, b, d und Z. (ee') = Z. HIG, so ergiebt sich das verlangte ABCD.

Beweis. Fig. 399. und Fig. 400. Außer c hat ABCD sämmtliche gegebenen Stücke geradezu durch die Kon, struktion von 2076 erhalten, es ist also nur zu erweisen, daß (Fi. 399.) DC = c ist. Verbindet man hiezu die Mitten der Seiten, und fällt aus einer Z. spitze I des erhaltenen INQO einen _L IS auf Lage QO, so ergiebt sich, da Z. 108 = ZL (ee') (4- 4= Schenkel) ist, und z. (e e') = Z. GIH, Fig. 400, bestimmt wurde, 108 aus Fig. 399. oc GH], aus Fig. 400. also: 18:08 --- GH:HI = GH:HB, und IS:OS --- GHxGB : HBxGB, d. h. IS:OS = GF3 : FB3, oder IS:OS =3 4P : AB3—AF3, oder IS:OS --4f3 : AB3—AE3, d. h. IS:OS — 4P : (a34-c3) —(b34-d3), woher auch ISxOQ:OSxOQ --- 4P : (a3+c3)—(b3+d2), oder : 2OSxOQ = 2P : (a34-c3) — (b3 + d3) fein muß.

Nun hat man aber 4OSxOQ nach 2051 — QI3—NO3, also ist 2P : 2 (OI3 —NO3) = 2P : (a3 + c3) — (b3 + d2),

— 425

weshalb 2 (QI3—NO*) = (a3+c3)--(b3+d3) fein tmif?. Nach 2050.1) ist aber auch 2 (QI®-NOT) --- (a3+CD®)—(b3+d3), folg­ lich hat man (a34-CD3) — (b3+d2) --- (a®+c3)—(b3-|-d3), und deshalb wirklich CD3 = c®, und CD — c w. z. b. w. Zusatz. Da sich Z. (ee') entweder ss Z_ HIG oder --- Z. IGH, Fig. 400, bestimmen läßt, und 2076 selbst 2 Resultate hat, sind bei der vorstehenden Aufgabe 4 verschiedene Resultate möglich. Anmerkung. Nach der Anmerkung von 2067 bildet r"~\ aus a, e, c, e' und Zx CDE — Zx ABE = q® eine Analogie zu der vorstehenden Aufgabe. Die Analysis re. sin, bet sich auch ganz auf ähnliche Art.

4tes Kapitel. Kreis - Aufgaben. 2080. Fig. 401, 401. a., 401. b., 401. c.» 401. d., 401. e. Aufgabe. 0 aus P, K, K/. 1) Gleichartige Berühr. 2) Ungleichartige Berühr. Analysis. Durch 2 Punkte bestimmte sich In der Auf­ gabe Q au6P,P',K. ein fester Punkt, welcher eine DerühruugS, linie an den gesuchten O ergab, siehe 577. Dasselbe fand bei der Aufgabe Q aus P, L, K, also bei einem 0 und einer geraden Linie statt, siehe 1878, wo sich jener Punkt insbeson­ dere mittelst der Verlängerung der Verbindungslinie beider Be­ rührungspunkte, und zwar in dem j_ auS M auf L ergab. Folglich läßt sich bei 2 00 in der Art eine Analogie ver­ muthen, daß die Verlängerung der zwischen beiden Berührungs­ punkten liegenden Sehne in dem JL aus der Mitte eines 0

426 auf de» anderen, d. h. in der Centrale, gleichfalls einen festen

Punkt, und ferner die Größe

einer Berührungslinie für den

gesuchten Q bestimmen wird.

Die nähere Untersuchung bcstä,

tigt dies nun

in folgender Art für alle Falle der Aufgabe.

Da F3I 4= B'^t,

also auch 4:

M'B' ist

(2^ A)z

weshalb

AM' : AM — r' : r sein muß, findet sich Punkt A gege­

ben.

Versucht man jetzt die Größe des Rechtecks AB' x AB,

also die Derührungslinie an

den gesuchten Q bei Fig. 401,

Fig. 401. a, Fig. 401. c und Fig. 401. e, oder

die in A

auf dem Durchmesser _L stehende Sehne (siehe 365) Fig. 401. b. und Fig. 401. d. zu finden, so wird sich ganz analog der

Aufgabe: 0 auS P, L, K das Rechteck AB' x dem bekannten AD x AC ergeben.

AB

gleich

Da nämlich GF, wegen

der gleichen ^2 FMG und B'M'D, 4? B'D ist, so «giebt sich Z. ADB' s= Z. AGF ss Z. ABC,

woraus

hervorgeht,

daß sich die 4 Punkte B,C,D und B' in einer Kreislinie be, finden.

Hieraus folgt nun,

daß Punkt E gegeben ist,

da

AB' x AB --- AP x AE, und deshalb auch AP x AE = AD x AC sein muß, man also einen K berührenden 0 zu

konstruircn hat dessen Peripherie durch P und E geht, welche Aufgabe: O aus P, P', K, 577 gelöst ist.

Auflösung. zweier =£

Verlängert man die Verbindungslinie B'F

gezogenen Radien B'M' und FM, so «giebt sich

der Schneidungspunkt A

derselben mit

der Centrale.

Be­

stimmt man hierauf E dergestalt, daß AP x AE = AC x AD wird, welches durch Konstruktion einer durch P, C und D gc, henden Kreislinie geschehen kann, so erhält man schließlich den gesuchten O, wenn nach 577 eine Kreislinie gezeichnet wird, die K berührt, und durch P und E geht.

Beweis.

Nach der Konstruktion wird K von dem ge,

suchten O berührt, es bleibt also nur zu beweisen: daß das,

selbe bei K' statt findet.

Zieht man hiezu eine Linie aus A

durch den Berührungspunkt B, und aus M' die 4= M'B' zu

FM, so muß,

da nach der Konstruktion AM': AM — r': r

bestimmt ist, M'B' = r'

sein,

also B' sich in K' befinden^

427 Nun hat man fern« t- BIFB oder Z. MBF oder Z_ /»BB' = Z. BB'/e, also muß *tB — /»B' fein, und die B und B' durchlaufende Kreislinie uni /1 ist-

432

ES ist 01» — OF x OE, und ON» s= OGxOH, also hat man OI» = ON», oder nach der Konstruktion PO'—b'* — PO» —b», und PO»—P O» ss b» — b", also auch nach 211. !>'—P>» = b» — b", und P^» — b» --- P>» — b'\ Diesen Werthen können aber allein ^B und pW alS Käthe« ten genügen, da es unmöglich ist, daß irgend eine andere von p nach den Kreisen um P und P' führende Berührnngslinie sich -und pH ergeben kann, welches doch statt finden müßte, da nach der Analysis sämmtliche die Enden von b und b' berührenden Kreislinien dieselben Punkte T und U durch, laufen. Fall 2). Die um P und Pz mit b und b' beschriebe, nen OO begegnen sich. AnalysiS. Fig. 403. a. Da PHxPG = PB»=b» gegeben ist, P fcstliegt, und H sich in einer bekannten Kreis, linie K befindet, so läßt sich nach 592 ein Kreisort für G be, stimmen, dessen Mittelpunkt F in PM fallen wird. Die 592 angegebene Zeichnung dieses Orts bedingt aber PM : PF = MI: FG, also ist FG ch MI, folglich Z.FGP = Z.MIH = Z.MHI ss Z.GHp, und es berührt deshalb der G um p den D um F. Nun bildet ferner die verlängerte Sehne DE einen Ort für p, da sich die Quadrate jeder 2 aus einem beliebigen Punkte X derselben an die O 0 um P und P' ge, zogenen Berührungslinien, wegen der Gleichheit mit XE x XD, selbst gleich groß ergeben müssen, folglich hat man einen K «nd den Ort um F berührenden 0 zu zeichnen, dessen Mit, telpunkt in die verlängerte Sehne DE fällt, oder Q aus K, K', Lu, siehe 1881, zu lösen, um die Bedingungen der Aufgabe zu erfüllen. Auflösung. Bejchreibe um P und P' GO uiit b und b', ziehe die _L PP' stehende gemeinschaftliche Sehne

433 oder Berührung-linie, konstruire nach 592 für da- Quadrar

von b und für P und K den Krei-ort um F, und zeichne nach 1881 eine diesen Ort und K berührende Kreislinie, de, ren Centrum in die Lage DE fällt, so bildet diese den ver, langten 0. Beweis.

Da X nach der Zeichnung von dem 0 um ft berührt wird, so ist nur zu zeigen, daß zwei an denselben aus

P und P' gezogene Berührungslinien: PB und P'B' = b und b' sind. Wegen der Berührung bei G und H ergiebt sich M/t={±FS, also auch HN^TS.

Da nun außerdem PM:PF

— MH: FS nach der Konstruktion de- Ort- fein muß, so trifft die Verlängerung von HGS in P, und es ist

PN : PH = PT : PS, also auch PNxPQ : PHxPG = PTxPQ : PSxPG. Nun findet sich aber PT x PQ = PS x PG, also muß PGxPH, oder PB2 = POxPN, und »ach der Konstruk, tion des Orts = b2 sein, weshalb die auS P an den 0 um p führende Derührungslinie wirklich — b ist.

Dasselbe er,

giebt sich schließlich in Bezug auf P' und b': denn ftB' sei Tangente an den 0 um P', so muß juB'2 = /(D x pE = #iB2, also ft,B' = juB fein. Folglich liegt B' in der Kreis, linie um ft, und P'B' — b' ist eine Tangente.

Anmerkung. Au- der Analysis des i sten Falls geht hervor, daß sämmtliche Kreislinien, welche 2 aus, oder ineinander liegende 00 _L schneiden 2 in der Centrale liegende

bestimmbare

Punkte durch,

laufen müssen. Au- der Analysis deS 2ten Falls folgt in Verbindung mit 2082 20. daDatum: (Fig. 4oi. a. b. c. d. e.) wenn ein un, bestimmter 0 entweder 2 sich

durchschneidende

Kreislinien K und K' beliebig, oder 2 auseinan, derliegende Kreislinien K und IV gleichartig, oder 2 ineinandcrliegende Kreislinien K und IV ungleichartig berührt, so ist die Lage einer von

Holleben u. Srrwien Analysis. H.

28

434 dem unbestimmten

O

j_ durchschnittenen Kreis­

linie Pb gegeben, und wenn der unbestimmte ©

einen

K

©

schneidet,

berührt,

und

einen

anderen

Pb _L

läßt sich stets ein zweiter Berüh­

so

rn ngsk re iS K' ableiten. Durch 2 von den 3 Stük-

kcn K, IV, Pb ist also stet- daS dritte bestimmt.

Aufgabe.

2083. a.

An alysis.

0 aus Pb, K — IV.

Durch K = IV ergiebt sich ein Ort für

H, wenn man auf die Centrale in deren Mitte einen j_ er­ richtet ; man hat also O aus Pb, 1^, K, siehe 2088, zu

verzeichnen. 2084.

Aufgabe.

© aus Pb, K, IV. (359.)

1) Gleichartige Berührung. Analysis.

Durch K und K' ist nach 2082 Anmcrk.

1 und 3), wenn K und IV auScinanderliegen oder sich durch­ schneiden, P'b-,

und nach Anmcrk. 2), wenn beide Kreisli­

nien ineinanderfallen, Kd gegeben; man hat also Q auS Pb« P'b', K (2083),

oder 0 aus Pb, Kd, IV (2087)

zu ver,

zeichnen. 2) Ungleichartige Berührung. Ana lysiS. Dnrch K und K' ist nach 2082 Anmcrk.

1 und 3),

wenn K und K' ineinanderliegen oder sich durch­

schneiden, P'b-, und nach Anmcrk. 2), wenn beide Kreislinien

auseinanderfallen, Kd gegeben; man hat also 0 aus Pb, P'b-,

K' (2083), oder © ans Pb, Kd, IV (2087) zu konstruiren. 2085.

Fig. 404.

Aufgabe.

© auS Kd, K'd/, K".

(Analogie zu 2083.) Analysis.

In sofern diese Aufgabe eine Analogie zu

2083: © auS Pb, P'b-, K bildet, läßt sich vermuthen, daß

alle K und IV Haibiren de Kreislinien gleichfalls zwei feste Punkte

A und C durchlaufen werden. der Weise.

Dict bestätigt sich in folgen­

Nach 307 liegen die Mittelpunkte aller K und K'

halbirenden 00 in einer auf MM' _L stehenden bekannten Linie L.

Hieraus folgt, daß statt MC x MA = r1 auch

(DA4-DM) (DA —DM) oder DA1 — DM’ --- r* gesetzt

435

werden kann, also DA* — r3 4- DM3 gegeben ist, und in der Lage der Centrale zwei Punkte A und C bestimmbar sind, welche alle K und IV halbirende Kreislinie durchlaufen werden. Hiedurch reduzirt sich schließlich die Aufgabe auf 577 O au- P, P', K. Auflösung. Beschreibe einen K und IV beliebig schnei, denden O um einen willkührlichen Punkt T, fälle au- dein Schncidung-punkt F der entstandenen gemeinschaftlichen Seh­ nen einen _L FG auf MM', bestimme MG = M'D, errichte in D einen j_ ans MM', in M einen J_ ME auf einen beliebigen Durchmesser IH von K, beschreibe um E mit EH einen Q, und zeichne nach 577 eine, die in der Lage der Centrale ent­ standenen Durchschnittspunkte A und B durchlaufende Kreis, (inte, welche K" berührt, so ist die Aufgabe gelöst. (In Rücksicht auf 577 muß E so gewählt werden, daß der zuge, hörige 0 K" durchschneidet.) Beweis. Da nach der Auflösung IV' von dem © um fi berührt wird, so ist nur darzuthun, daß K und K' von demselben halbirt werden. Aus der Bestimmung von F er, giebt sich ganz wie in dem Beweise des isten Falls von 2083, daß MG3 — M'G*, also auch M'D3 — MD2 — r» — r" ist, woraus nach 209 ^M'1 + r'1 — -j- r* folgt. Die, fen Werthen können aber allein und fiti al« Hypotenu, sen genügen, da ei unmöglich ist, daß sich irgend zwei andere /l»M und r, und /»M' und r' als Hypotenusen entsprechende Linien = ^A und pC ergeben, welches doch statt finden müßte, da eine mit solcher Hypotenuse beschriebene Kreislinie offenbar K und IV halbiren wird, und deshalb nach den in der Analyst« gemachten Schlüssen die Punkte A und G durch, laufen würde. Da sich nun auf diese Art die juMN und fiM'I = R bestimmen, also r und r' halbe Sehnen für die Kreislinie um ft bilden, so halbirt dieselbe wirklich so, wohl K al« IV, und erfüllt deshalb sämmtliche Bedingungen der Aufgabe. *

436

Anmerkung. Aus der vorstehenden Analysis und Aus, lösnng geht hervor, daß sLmmtliche Kreislinien, welche 2 festlie, gende ©© halbiren, 2 in die Lage der Centrale fallende bestimmbare Punkte durchlaufen müs, scn, weshalb die Bedingungen Kd und IVa» eincr Kreis,Aufg abe stets auf die einfacheren P und P' ; urückgcführt werden können. 2085. a. Ausgabe. ©au« K" = K/, K,i. Analysis. Durch IV' = IV ergiebt sich al- Ort für p der auf die Centrale in deren Mitte errichtete J_; man hat also O aus K", L^,, Ka, siehe 2089, ju konstruiren. 2086. Aufgabe. O au« Kd, IV, K". 1) Gleichartige Berührung. Analysis. Durch IV und K" ist nach 2082 Anmerk. 1 und 3), wenn K' und IV' auseinanderliegen oder sich durchschneiden, Pb, und nach Anmerk. 2), wenn beide Kreis, linien ineinanderfallen, K'd. gegeben; man hat also Q aus Pb, Kd, K' (2087), oder © au« Kd, K'd Kb'. (359 und 360.) Analysis. P und P'b bestimmen mittelst des Sekan, tensahes einen zweiten Punkt der gesuchten Kreislinie; man erhält also 2096: O ans P, P', Kb, zu konstruiren. 2100. Aufgabe. © aus Pb, P'b-, Kb». (359 UNd 360.) Analysis. Nach 2083 ergeben sich durch Pb unb P'b/ zwei feste Punkte, welche die gesuchte Kreislinie durchlaufen muß; man erhält also O auS P, P', Kb (2096) zu ver­ zeichnen. 2101. Aufgabe. © au« P, Kd, K'b. (360.)

443 Analysis.

P und Kd bestimmen mittelst de- Sehnen,

sahe- einen zweiten Punkt der gesuchten Kreislinie in der Der,

längerung von PM;

man erhalt also 2096:

Q «u6 P, P',

Kb, zu konstruiren.

2102.

Aufgabe.

Analysis. zwei feste Punkte,

0 «nl

(360.)

welche die gesuchte Kreislinie durchlaufen P, P', Kb (2096) zu ver,

man erhält also Q

muß;

Kd, KV, K"b.

Nach 2085 ergeben stch durch Kd und KV

zeichnen.

2103.

Aufgabe.

Analysis. flehe 2096.

2104.

P, LM Kb.

(360).

Führt durch 315 zu Q au-

Aufgabe.

Pb, K,

0 au-

P, P', Kb, (359 und

KV.

360.) Analysis.

Da- Datum in

2083

ergiebt

durch

Pb

man erhält also Q

und K einen zweiten Berührung-kreis;

aus K, K', K"b (2098) zu verzeichnen.

2105.

Aufgabe. Q aui

Analysis.

Pb,Kd,

KV. (359 u. 360).

Nach 2087 ergeben fleh durch Pb und Kd

zwei feste Punkte, welche die gesuchte Kreislinie durchlaufen

Kb (2096) Pb, Lu, Kb..

muß; man erhält also 0 aus P, P',

2106.

Aufgabe.

Analysis.

(7) aus

zu verzeichnen. (359. u. 360).

Nach 2088 ergeben sich durch Pb und

zwei feste Punkte, welche

die gesuchte Kreislinie durchlaufen

muß; man erhält also Q aus P, P', Kb (2096) zu

ver,

zeichnen.

2107. Fig. K'V (360). Analysi-.

402. a.

Aufgabe.

Q aus

Nach Anmerk. 2) von 2082

K, K'j, ergiebt sich

stets Kd durch K und K', daher ist zu vermuthen, daß ein

zweiter Berührung-kreis kann.

aus

K und K'd abgeleitet werden

Sei die Kreislinie um P in N und T halbirt, also als

K' gegeben, und K in B von dem halbirenden 0 berührt.

Da PB x PB" — PN1 =

bestimmt ist,

P festlicgt.

444 tinb B sich in einer bekannten Kreislinie K befindet, so läßt

sich nach 592 ein Kreisort für B" bestimmen, dessen Mittel, punkt AI" in die Lage von PM fallen wird.

Die 592 an,

gegebene Zeichnung dieses Orts bedingt aber PM ; PM" —

MU : M"B", also ist MU ch- M"B", folglich Z. M"B"P

= Z. PUM es Z. UßM = Z. B"ß/e, deshalb der 0 um M" den Q um p.

und es

berührt

Da nun jener O

um M", wie oben bemerkt wurde, konstruirbar ist, so redujirt

sich die Ausgabe auf 0 ans K, K.', K"b, siehe 2098.

Auflösung.

von

Bestimme

nach 592 für das

Quadrat

und für P und K den Punkt M" nebst dem zuge,

hörigen 0, und löse nach 2098 für diesen Q und K die Ausgabe 0 aus K, K', K"b, so wird sich die gesuchte Kreis,

linie ergeben. Beweis.

Da nach der Auflösung die gemeinschaftliche

Berührnngslinie des gesuchten 0 um p und des einen gegebe,

neu © = b ist, und K. von jener Kreislinie in B berührt wird, so ist nur darzuthun, daß sich die Halbirnng der Kreislinie um P

ergeben hat.

Wegen der Berührung bei B und B" ergiebt Da nun außer,

sich MB =|= M"D, also auch BG -j- DE.

dem PM : PM" = MB : M"D nach der Konstruktion des

Orts fein muß, so geht BB" durch P, und es ist

PD

PB

:

—

:

PE

PG, also auch

Nun findet

PD x PB" : PBxPB" — PE x PF : PGxPF.

sich aber PD x PB" = PEx PF, also muß PG xPF, oder nach der Konstruktion des Orts

(PN J_ P/t) sein, punkte

eines

d

weshalb gleichen

die

)

=: PBxPB"PN*

Kreislinie

um p

Durchmessers NT

die End,

schneidet,

also

die Kreislinie um P wirklich halbirt. Anmerkung.

AuS

der vorstehenden

Analysis ergiebt

sich in Verbindung mit Anmerkung 2) 2082 das Datum:

Wenn ein unbestimmter

Q entwe«

der 2 aus einander liegende Kreislinien K und

445 — K' ungleichartig, oder zwei ineinanderliegende Kreislinien K und K' gleichartig berührt, so läßt sich die Lage einer von demselben halbirten Kreis, linie K"d ableiten, und wenn ein unbestimmter © einen © K berührt, und einen andern © K"a halbirt, so ist ein zweiter Berührungskreis K' mitgegeben. Durch 2 von den 3 Stücken K, K' und K"d ist also stets da- dritte bei einer Kreis, Aufgabe bestimmt.

2108. Aufgabe. © auS K, L^, K'b. (360.) Analysis. Durch Ly und K'b ergiebt sich K nach 2096; man hat also O aus K, K', (1881) zu ver­ zeichnen.

2109. Aufgabe. 0 «u« L/(, Kd, K'b. (360.) Analysis. Durch unt> Ka ergeben sich nach 2089 zwei Punkte P und P', welche die gesuchte Kreislinie durch, laufen muß; man hat also O aus P, P', Kb, siehe 2096, zu verzeichnen.

2110. Fig. 408. Aufgabe. © aus P, Kb, K'b-, (360.) AnalysiS. Legt man durch M' eine ch zu b', und be­ schreibt eine dieselbe berührende Kreislinie um ft, so ergiebt sich ein Berührungskreis um P mit dem RadiuS r', und die Lange der Berührungslinie M'H = b'. Verlängert man darauf bis G, zieht durch G eine 4= »u b, und zeichnet um M einen dieselbe berührenden O, so bestimmt sich GF — b, und der Radius DIE = r + r', jenachdem b die Centrale schneitet oder nicht. Hiemit ist die Aufgabe auf 0 aus Pb, K, K'b- (2104) reduzirt. 2111. Aufgabe. 0 «ui K, K'b, K"b stet- zwei Berührung-kreise für dengesuch, ten 0 abgeleitet werden können. Au- der Analysis und Auflösung von Fall 2) geht aber hervor: 2) wenn von 2 Krei-linien die eine_L und die andere unter einem bestimmten schiefen^. ge> fchnittenwird sokannstet- eine dritte unter demselben schiefen Z. geschnittene Kreis, linie abgeleitet werden, oder durch Pb und Kb' hat man stet- so K'b-, daß sich b' : b" = r: r' verhalt. 2183. Fig. 41Z. Aufgabe. 0 au- Kb) K'b-, K"d. Analyst-. Zieht man durch M' eine G zu b', be, schreibt um einen dieselbe berührenden 0, legt an diesen eine Tangente DE zu b, und zeichnet einen dieselbe tan, girenden 0 um M, so bestimmt sich der Unterschied der Ra, dien beider Paare konzentrischer Krei-linien = r', also die Berührung-linie M'F = b', und die gemeinschaftliche Tan, gente DE, welche zu demselben 0 gehört = b, während der Radiu- ME de- zweiten von DE tangirten 0 =s r—r' ge, geben ist. Man hat daher für den mit Efi um jtt konstruir, ten 0 die Bedingungen Pb und Kb-. Au- diesen lassen sich aber zwei denselben berührende 00 um C und O nach 2182 ableiten, folglich sind auch zwei den verlangten 0 tangirende Krei-linien um C und O mitgegeben, welche man durch Ver, längerung der Radien CG und OH der vorhergenannten Be, rührungS, Kreise um HN und Gl = r' erhält. Hiemit ist nun die Aufgabe auf 0 au- K, K', K" P; K, L, L'; K, L, P; K, P, P'; L, L', P; P, P', P", gegeben sein, wodurch 7 neue Aufgaben entstehen, die sich analog mit 986 und der vorstehenden Aufgabe bezüglich durch: 1879, 2080, 1875, 1878, 577, 1206, 269 lösen lassen, so daß nach der Reihe die 9 Berührungsaufgabcn hier als Hilfsaufgaben auftreten. 2218. Fig. 461. Aufgabe. Gegeben K, K', K"; man soll eine 4te K, K', K" so durchschneidende Kreislinie zeichnen, daß die verlängerten Seh, nen ein A ABC mit den vorgeschriebcnen Seiten a, b, c ergeben. Anal»>sis. Da AD x AE — AG x AF, BI x BH = BG x BF, und CD x CE = CI x CH sein muß, so hat man nach 362 drei gerade Linien L, L" als Ocrrer für A, B und C. Zeichnet man also nach 1089 Fall 1) ei« A so auS a, b, c, daß A in L, B in 8', C in L"

— 494 — fällt, so müssen sich die 6 Durchschnitt-punkte der gesuchten Kreis, link mit K, K', K", also auch die Kreislinie selbst ergeben. Auflösung. Zeichne einen beliebigen li, K', K" durch, schneidenden Q um Q, verlängere die entstehenden gemein, schaftlichen Sehnen G'F', HT, D'E', falle au- zwei Durch, schnittspunkten B' und C' J__L £' und L" auf die Centra, len M'M" und MM", ferner au- dem Schneidungspunkt O einen _L L auf die Centrale MM', und konstruire nach 1989 Fall 1) ein A ABC mit den Seiten a, b und c, so daß A in L, B in £', C in L" fällt, so erfüllt eine die Schnei, dungspunkte G, H unb I durchlaufende Kreislinie die Bedin, gungen der Aufgabe. Beweis. Da A ABC nach 1989 gezeichnet ist, so be­ sitzt dasselbe die vorgeschriebenen Seiten a, b und c, und man hat allein noch darzuthun, daß die um (i gezeichnete Kreislinie die 6 Durchschnittspunkte D, E, F, G, H, I durchlauft (vor, ausgesetzt, daß die Langen von a, b und c eine Durchschnei, düng aller 3 ©Q gestatten, da im Gegentheil die Aufgabe unmöglich wird), aus welchem Grunde die 2200 angegebenen Doraussetzungen abgeleitet werden müssen. Zieht man hiezu aus B' die Tangenten B'U und B'U', so ergiebt sich, da BT x B'H' = B'F' x B'G' ist B'U'* = B'U1, oder B'M"* — r"' = B'M'* — r'*, also auch 1) B'M'1—B'M"* s= r** — r"1, oder nach 209 M'S*—M"S» = r'* — r"$, und M'B* —M"B* = r'1 — r"*, also auch M'B* — r'* s- M"B* —r"*, oder wenn man die Tan, genten BW und BW'zieht, BW* — BW'*, weshalb 2) BF x BG = BI x BH sein muß, und sich in derselben Art 3) MT* — M"T* s= r* — r"*, und 4) CE x CD xs CH x CI ergiebt. Nun folgt nach 209 aus 1) und 3)

— 495 M'O* — M"Oa ss r" — r"’, MOa—M"Oa = ra — r"1, und durch Subtr.

MO* — M'O2 — ra — r'2, also auch MA* — M'A3 = ra — r'*, oder MAa — ra — M'Aa—r'1, und, wenn man die Tau, gcnten AV und AV'zieht, AVa = AV'1, weshalb sich 6) AD x AE = AG x AF ergiebt. 2), 4) und 5) bilden aber die Voraussetzungen des 2200 angegebenen Lehrsatzes, folglich durchläuft die Kreislinie um z» wirklich die 6 Punkte D, E, F, G, H und I.

Anmerkung. Aus der Auflösung der vorstehenden Auf, gäbe ergiebt sich das folgende Gesetz: wenn man 3 festliegende QQ durch eine belie, big« Menge Kreislinien schneidet, von denen jede allen 3 zuerst genannten QQ begegnet, und hierauf sämmtliche entstandenen gemein, schaftlichen Sehnen oder Tangenten verlin, gert werden, so fallen die gleichliegenden Win, kelspitzen aller hiedurch gebildeten AA stets in eine gerade Linie. 2219. Fig. 462. Lehrsatz. Theilt man in ei, nem A eine Seite a nach dem Verhältniß m : n, und zieht die vom Theilungspunkt (D) nach A füh, rende Transversale t(;n), so ergiebt sich stets

mba 4-nca — (m-t-n) ta(m:n) +

»*♦

Beweis. Ist AI j_ a, so hat man nach 216 mba =2 mta(in; n) + mCDa+ 2mCD x DI, und nca — nta(m: n) -j- nBD*—2 nDB x DI, also

mba + nca — (m+n)ta(m:B) + mCDa + nBDa, da nach der Voraussetzung mCD — nDB ist. Nu« findet sich ferner aus

496

BD a* BD* 11BD* nBD* 4-mDC* BD*

; : : : : :

DC BD* DC* mDC* m+n a*

nBD* + mDC* :

a*

nBD* + mDC*

mb’ + nc*

= =z

= — c= =

m (m+n)* in* m nBD* m*

mn

: : : : : :

n d. Add. u. O.uadr. in*, außerdem n*, also auch n, und durch Add. m. ES war aber (m+n)*, folglich et# hält man d. Zus. f.

; m+n, weshalb

ALA a* m+n

ist, also endlich

= (m + n)t*(m;n) +

a*

sein muß. Anmerkung. Der vorstehende Lehrsatz ist eine Erwei, terung von 218. 2220. Fig. 462. Ort. In jedem A ist durch s* (mb* + ne*) (in welchem Ausdruck m und n ge, geben« Zahlen bezeichnen) und durchaeine Kreis, linic als Ort für die Spitze A bestimmt. Analy siS. Nach dem Lehrsatz 2219 ergiebt sich t(m ;n) oder DA als der Radius, und D als der Mittelpunkt deS OrtS, weshalb nur die Zeichnung von DA zu bestimmen ist. Wenn für jeden Punkt des OrtS, z. B. A, mAC* + nAB* =: s* wäre, so müßte auch mHC* + nHB* = »*, oder HC*+>

—HB*=— s* sein, also auch, sobald man HG J_ HC so absetzt, daß HG* =

HB* ist, HC* -j- HG* =

s»

werden. Dies fände statt, wenn CG* = — s* wäre; folg­ lich ist nur für den Punkt G ein zweiter Ort zu finden, um GH und DH zu erhalten. Dieser ergiebt sich aber schließlich

mittelst deS

GHB, da von demselben durch GH* =

HB*, oder IIG* ; HB* = n : m die Gestalt, also auch

497

Z. HBG und die Lage BG gegeben ist» Demnach läßt sich eine Konstruktion deS Ort- formircn. Konstruktion. Theile a in D rote m : n, errichte in D einen J_, beschreibe über a einen Halbkreis, verlängere NB, zeichne CG so, daß CG’ =

s®, und fälle den J_ GH, so

bildet die um D mit DH gezogene Kreislinie den verlangten Ort. Beroeis. Es ist BD» : DN» — BD’ : BD x DC — BD : DC = m : n gemacht, also auch BH’:HG® = m:n, und deshalb HG® = ^-BH®. Hiedurch rrgicbt sich — s®, oder CG®, oder HC® 4- HG®

= HC® 4- — BH*, und daher m s® =s mHC® -s- nHB®, oder s® = in(HD-j-DC)* n(HD —DB)®, oder nach 216 s® = mHD® + 2mHD x DC + mDC® + nHD» — 2nHDxDB 4- nDB®. AuS DB:DC = m;n, oder HDxDB :HD xDC = m;n folgt aber 2mHDxDC = 2nHDxDB, demnach muß s® = mHD®4-mDC®4-nHD® 4-t-DB* sein, und da wie in 2219 ans DB:DC=m:n mDC® 4* nDB® =

a® m -f- n hervorgeht,

8® — (m+n)HD® 4a®. ' 1 mfn

Nun ist aber auch nach

2219 für jeden (beliebig in der Kreislinie um D angenomme, nen) Punkt A mAC®4-nAB® = (m4-D)DA® 4"

a“ j

folglich tu

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ giebt sich wirklich mAC®4-nAB*=s®.

Anmerkung. Der vorstehende Ort bilde« eine Erroeite, rung des Orts 220. Holltbrn u. Serwien Vnalvsi«. lt. .32

498 2221. Fig. 463. Lehrsatz. Bestimmt man in der Verlängerung einer Affitc a einen Punkt D, dessen E ntsernungen von den Endpunkten dieser Seite sich Wie m : n verhalten, (BD;CD = m: n) und zieht die von jenem Punkt nach A führende Transversale , so ergiebt sich stets mb2 — ne® — (w— n)r2(u»;n) —

a®.

(Analogie zu

2219.) Beweis. Ist AI j_ a, so hat man nach 216 mb® cs mT®(in:n) -f-rnCD*— 2mCDxDI, und nc* ss? nT®(in.n) + dBD® — 2nBD x DI, also mb2—nc® — (m—n) T2(lo;n)4-mCD® — nßD®, da nach der Voraussetzung mCD = nBD Ist. Nun findet sich ferner aus BD : DC = m : n durch Subt. u. Qnadrirung a® : BD® =□ (m—n)®: m®, und außerdem — m® : n®, also auch BD* : DC* nBD® : mDC* sb m : n, und durch Subtr. dBD®—mDC'rrn—n s= nBD*:m. Es war aber BD® : a® ss m® : (m—n)2, folglich erhalt man d. Zus. s. nBD® — mDC® : a® sss mn : in—n, weshalb

nBD® - mDC®

=

m—n

a®, oder ’

mDC® — nBD® cs------a® ist, also endlich in — n ,, _ , . , m ii 3 mb — nc® = (in—n)T\m;n)------------a“ k ’ in — n sein muß. 2222. Fig. 463. Ort. In jedem A ist durch d® s= (mb® — nc®), [in welchem Ausdruck m und n gegebene Zahlen bezeichnen! und durch a ein Ort für die Spitze A bestimmt. (Analogie zu 2220.) Analysis. Nach dem Lehrsatz 2221 ergiebt sich eine Linie DA oder r(lo:n), welche BD;DC — m:n bestimmt.

499 als der Radius,

und

D

als der Mittelpunkt des gesuchten

Orts, weshalb nur die Zeichnung von DA zu bestimmen ist.

Wenn für jeden Punkt des Orts, z. D. A, mAC1—nAB4

— d4 wäre,

so

müßte auch mHC! — nHB‘ = d1, oder

1

m

— HC4—HB4 = — d2 sein, und ferner, sobald man in B

auf a einen J_ errichtet, und HG so abschneidet, daß HG4 =

— HC4 i(t, HG4—HB4 = — d4

n

n

werden.

Die-

fände

statt, wenn BG4 = —d4 wäre; folglich ist nur H festzustel, n

len,

um DH zu erhalten.

Dieser Punkt ergiebt sich aber

schließlich mittelst des ACHG, da sich dasselbe durch HG4 = HC4, oder HG4: HC4 = m:n,

Z. GCH vollständig bestimmt zeigt.

und durch GC und Demnach läßt sich eine

Konstruktion des Orts formiren. Konstruktion. Bestimme D in der Verlängerung von a so, daß BD:DC = m;n, errichte in B auf a einen J_, setze auf demselben BG dergestalt ab, daß BG4 — •~d4, fälle

au- D auf die Verlängerung von GC einen JL DO, zeichne

BO = OD, beschreibe um O mit OD einen Q, und lege

GH 4= DN, so bildet die um D mit DH gezeichnete Kreis­ linie den in Rede stehenden Ort.

Beweis.

Nach 396 Anmerk. 2) ist DN4=BDxDC,

oder CD* :DN* = CD4; BD x DC es CD: BD ss n: m, also auch CH4:HG1 = n;m, und deshalb HG4 =

CH4.

Hiedurch ergiebt sich 1-d4, oder BG4, oder HG4-BH4=-^- CH1—BH4, und daher d4=mCH4—-dBH4, oder

d1=m (HD—CD)1 — n (BD—HD)4, oder nach 216 d4=mHD1— 2mHD x CD

mCD1 — nBD4+ 2nBDxHD — «HD4

— 500

Au- BD:CD = m:n, ober BDxHD: HDxCD = m:q folgt aber 2 mHD x CD — 2 nBD x HD, demnach muß d2 — mHD2-|-inCD2—nBD2 — nHD2 fein, und da wie in 2221 aus BD: CD = in: n niCD2 —nBDe= —

d2 = (m—n) HD2 —

a2 hervorgeht, a2 .

Nun ist aber auch nach 2221 für jeden (beliebig in der Kreislinie um D angenom. menen) Punkt A

mAC2—n AB2— (in—n)DA2—a2;

folglich ergiebt

sich wirklich mAC2—nAB2 — d2. Anmerkung 1). Nimmt man m und n = 1, so müßte BD — CD werden. Dies sagt unter den Vorhände, neu Umstanden aus, daß HD für diese Werthe oo ist, die Kreislinie mit dem unendlich weil von H entfernten Mittel, punkt sich also in einen auf BC in H stehenden _L verwan, delt, welches mit 211 übereinstimmt. Anmerkung 2). Die Zeichnung des vorstehenden Orts giebt für 211, einen wie eben angeführt wurde einzelnen Fall desselben, zugleich eine bessere als die in jener Nummer ge, zeigte Konstruktion. Bestimmt man nämlich BG =s d, und errichtet in der Mitte von GC auf dieser Linie einen J_, f» bildet der im Durchschnittspunkt H desselben mit BC auf bi;« fer Seite errichtete _L den Ort, von welchem jeder mit B und C verbundene Punkt X, CX2 — BX2 — d2 ergiebt.

2223. 5ig.4G4. Ort. Wenndie S u m me d e r Q u a» drate aller Entfernungen eines Punktes X von einer beliebigen Menge gegebener Punkte P, P', P" . . . . je., oder x24-x', + x"’+x"'I"l- . . . = s’ bestimmt ist, so befindet sich X in einer konstruir, baren Kreislinie.

501

A nal ysis.

Es Ist nach 218

2 O X* 4- £P P'1 = x2 4" x'1, wenn PO:OP — 1:1. Ferner hat man nach 2219 3O'X2 + fOP"1 = 2OX2 4- x"*, wenn 00': O'P" — 1:2; also muß 3O'X2 4-;PP''4-^OP"'--x24-x''4-x"' sein. Eben so erhält man 4 O''X2 4z O'P'7'* = 3O'X84-x'"*t wenn 0'0" : O'P"'--1:3; folg« lich ergiebt sich

4O''X244PP'*4- fOP"* 4- £0'P'" ’—x8+x'’+x''*+x'''’.

Ist demnach xa+x'*+x"a+x'"* -- s2 bestimmt, also 4 0"X2 -- S2 — (; PP'* 4- |OP"* 4- zO'P'"*), und daher 0"X bekannt, so bildet diese Länge den Radius des Kreis, orts, welcher um den konstruirbaren Punkt O" (Schwerpunkt für P, P', P ", P'") zu beschreiben ist. Konstruktion. Theile PP7 so in O, daß PO : OP' -- 1:1 ist, dann , OP" « » O', , OO' : O'P" = 1:2,, x,T,rc., Holleben u, Terwien Analysis. II.

33

514 nach einer Pnnktgruppe 6. d. Linien x», x«, x und j_ YZ — p"t da 2L OZN = R, also ZY — ÖD' sein muß: folglich ergiebt sich e'" : ^+a : 9". Nun hat man ferner b 4* c 3 P = p —-— nach 343, und

=

P — Q*

b~l~~ —

—- nach 1541, weshalb

: P = P : p* h- + ~a sein muß. Vorher ergab sich (/" : b ; p"t also erhalt man d. 2 2_____________ Zus. s. ei'" : P — P : 9'1", oder (398) P = — > • 2 2 ' oder die bekannte Formel: P = | 00 amA< X e'". X ( X X V. z.) VI. O. 0 um das von denFußpunkten der Höhen gebildete A nach 467.

2264 und 2262

X

X

X

537

VII. Q. Wenn das Grundd reitck spitz wink, lig ist: O >n dem von den Fußpunkten der HL, hen gebildeten A mit dem Radius r. oder, wenn da- Grunddreieck stumpfwinklig ist: D an dem von den Fußpunkten der Höhen gebil, deten A mit dem Radius t*, welcher die keine Seite des Grunddreieck- schneidende Seite des HLhendreieck- geradezu berührt. ©umQ5-ig.467.a. 1) (MU) Die Centrallinie der Mittelpunkte des O im und des O um- A ist die mittlere Pro, portionale zwischen r und r — 2§. Beweis. Siehe g. Betr. §. 12. 2) , 3), 4) (MV, MY, MZ). Die vom Mittel, punkt des O im A nach den Mittelpunkten der 3 OO am A führenden Centrallinien bilden mittlere Proportionalen zwischen r und r + 2q‘, oder r und r-f- 2^", oder r und r-s- 2q“‘. Beweis. Siehe 2028. 5) (UO) Die Centrallinie zwischen dem Mit, telpünkt des O im A und dem Mittelpunkt des O um das von den Fußpunkten der Höhen gebil,

dete A ist

----- (>.

Beweis. Siche 2208. 6) , 7), 8) (VO, YO, ZO). Die 3 Lentralli, nie« zwischen den Mittelpunkten der QQ am A, und dem Mittelpunkt des(D um das von den Fuß, punkten der Höhen gebildete A haben die Längen ? + «'• -5 +

f +

Beweis. Siehe 2269. 9) (QO) Fürs spitzwinklige A. Die Centrale der Mittelpunkte des Q in dem und des Q nm das Hclleben u. Gerwien Analysis, ll.

35

538

von den Fußpunkten der Höhen gebildete A ist die mittlere Proportionallinie zwischen

und

r - ~nrr. -

Beweis.

Siehe g. Betr.

(00)

9. a) Fig. 467. a.

12. Fürs stumpfwinklige A.

Die Centrale zwischen dem Mittelpunkt eines © an dem von den Fußpunkten der Höhen gebilde­ ten A und dem Mittelpunkt des © um dasselbe A ist die mittlere Proportionallinie zwischen dem Halbmesser des letzteren Q und der Summe aus

demselben Radius und dem Durchmesser des zu­ erst genannten ©. ^ : 0Q = 00 :

Beweis.

io) (OM)

+ 2t').

Siche 2028.

Fürs

spitzwinklige A.

Die von

dem

Mittelpunkte des 0 um das von den Fußpunk­ ten der Höhen gebildete A nach demMittelpunkt des © umS A führende Centrale ist die mittlere Proportionallinie zwischen-^- und

------ 2r.

Beweis. Betrachtet man das von den Fußpunkten der Höhen gebildete ANRH als daS ursprüngliche, und A ABC als das abgeleitete, so bildet nach 1417 der Mittelpunkt Q

des © im A NRH den Schneidungspunkt der Höhen für daS A ABC. Hieraus folgt nach 2264 und 2262, daß der Mittelpunkt O des 0 nm das ANRH mit dein Mittelpunkt

Q des © in demselben A, und dem Mittelpunkt M des Q nm das A ABC in dieselbe gerade Linie fällt, und QM halbirt, woher die in Rede sichende Centrallinie mit der Central­

linie 9) übereinstimmt. 10. a) Fig. 467. a.

(OM)

Für- stumpfwinklige A.

Die von dem Mittelpunkte des © uni daS von den Fnßpnnkten der Höhen gebildete A nach dem

— 539

—

Mittelpunkt des © umS A führende Centrale ist die mittlere Proportionallinie zwischen

und

"|* 2t'. Beweis. Ergiebt sich wörtlich wie in 10), wenn man am statt im, 9. a) statt 9) liest, und Fig. 467. a. benutzt. 11) (QM) Fürs spitzwinklige A. Die von dem Mittelpunkte des O in dem von den Fußpunkten der Höhen gebildeten A nach dem Mittelpunkt des © um- A führende Centrale ist die mittlere Proportionallinie zwischen r und r — 4t. Beweis. Folgt aus dem Beweise 10). 11. a) Fig. 467. a. (MQ) Fürs stumpfwinklige A. Die Centrale zwischen dem Mittelpunkt des © ums A und dem Mittelpunkt desjenigen © an dem von den Fußpunkten der Höhen gebildeten A, welcher rc. re., ist die mittlere Proportionallinie zwischen r und r -j- 4r'. Beweis. Folgt auS dem Beweise 10. a). 12) (QU) Fürs spitzwinklige A. Das halbe Qua­ drat der Centrallinie zwischen 6em. Mittelpunkt des Q in dem von den Fußpunkten der Höhen ge­ bildeten A und dem Mittelpunkt des © im A i(l = p* — rr. Beweis. Man hat nach 10) OM1 = OQ* — ----- 2r), ferner nach 1) UM3 = r (r — 2p), und

nach 5) die Transversale UO =

----- p.

Nun ist nach 218 Zusatz

Mk 4_

— UO1 = OQ3. Hieraus folgt

—

540

—

oder, wenn man die beiden Rechtecke mit

------ p) vereinigt,

derselben Höhe

und bei dem dritten Rechteck nmge,

kehrt verfährt,

+(i -»)[' -

(t ~f)] = (t)‘ d. h. es ist

yy- + (y - e) (y + e) = (y) —r r, oder nach 205

+ (y)’ -e'-- (y)‘ - rr, weshalb = p® — rr fein muß. 12. a) Fig. 467. a. (UQ) Für- stumpfwinklige A. Da- halbe Quadrat der Centrollinie zwischen dem Mittelpunkt deS Q im A und dem Mittel, punkt desjenigen Q an dem von den Fußpunkten der Höhen gebildeten A, welcher rc., ist —S'-t-rrA Beweis. Ergiebt sich wörtlich wie in 12), wenn man jede- Glied welche- r enthält nicht fubtrahirt, sondern addirt, t' statt r, 10) a. statt 10) liest, und Fig. 467. a. benutzt.

13), 14), 15) (OV, OY, OZ) Fürs spitzwinklige A. Das halbe Quadrat der Centrallin ie zwischen dem Mittelpunkte des O in dem von den Fußpunkten der Höhen gebildeten A und einem Mittelpunkt der 3 Q© am A ist entweder = p'2 — rr, oder p"1 — rr, oder p"'1 — rr. Beweis. Man hat nach 10) OBI’ — OQ® = y (-5------ 2 t), ferner nach 2), 3), 4) BIV’ = r (r-j.2(>'),

und nach 6), 7), 8) die Transversale VO

Nun ist nach 218 Zusatz VO3 VBP — VO* + OQ3, oder

y + p' «.

541 VO M* - VO1 = Oy'. ■y^1 + V -yy

Hieraus folgt

r (y + ß)- (y + Q*y = y(y~2r), oder,

wenn man die beiden Rechtecke mit derselben Höhe

+ p')

vereinigt, und bei dem dritten Rechteck umgekehrt verfährt,

-7- + ( 7 + ?') (-7 — "z. Anmerkung. Fig. 467 und 467. a. Da Q, der Mit­ telpunkt des in (oder an) dem von den Fußpunkten der Höhen gebildeten A, zugleich nach io) der Schneidungspunkt der Höhen des A ABC ist, und nach 2279 der Schwerpunkt T (Durchschnitlspunkt von t, V, t") die Entfernung jenes Punkts vom Mittelpunkt des O ums A ABC nach dem Ver­ hältniß 1:2= MT: TQ theilt, MQ* aber selbst, und die Qua, drate aller Entfernungen der Punkte M und Q von den Mit, telpunkten der Q0 im und am A nach dem Vorigen gegeben sind, so folgt hieraus mittelst 2219 und 2279, daß sich die Qua, drate sämmtlicher Abstände des Schwerpunkts von den im Vor, hergehenden betrachteten 7 Mittelpunkten durch lauter Quadrate oder Rechtecke aus den entsprechenden Radien bestimmen lassen.

0

Ende des ersten Theils, oder der geometrischen Analysis.

543 —

Verbesserungen für den ersten Band.

S.

iv

—

35

— —

48 54

—

95

— — — — —

116 128 128 132 138

— 190

— 253 — 264 — 265

5 v. o. lies nicht: Mathemathik, sondern: Mathematik. —- 1 v. o. , $ dritten Band, sondern: letzten Band. — 19 v. u. t hinter: beider: in tz. 22. Fig. 16. — 11 v. tu — nicht: Fig. 15. a., sondern: Fig. 17. a. — 4 v. o. — — A ABC, sondern: A ABD. — 9 v. u. — — findet, sondern: finden kann. — 15 v. u. — — PBA, sondern: PBN — 17 v. u. — — A BNC, sondern: A IUCN. — 7 v. u. —■ vor Aufgabe: Fig. 42. — 9 v. u. — nicht: GA und BA, sondern: BA und GA. — 17 V. o. — hinter b; durch Linien zwischen a und c. — 2 V. U. -- nicht: (xz), sondern: (xy). — 15 v. ii. -— Seiten, sondern: Linien. — 1 v, o. — Seiten, sondern: Linien.

3.

— 544

Verbesserungen für den zweiten Band.

ß 32 68 73 96 233 488

Z. 16 v. o. lies nicht: h", sondern: h'. — 3 u. 4. v. u. lasse: P in L, P' in I/, aus. — 7 v. 0. lies nicht: P, P, L, sondern: P, P', L. sondern: L,L'a,Q. — 12 v. o. lies nicht: — 4 v. u. lies nicht: K, K, K", sondern: K, K', K". — — P', P, K