Arithmetik für Gymnasien: Heft 1 Für mittlere Klassen [Reprint 2020 ed.] 9783112354001, 9783112353998

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Arithmetik für Gymnasien Bearbeitet von

Dr. Hermann Schubert Professor und

Hbolf Schumpelick Gberlehrer beide an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg

Zugleich fünfte Auflage von Schuberts Sammlung von Aufgaben usw.

(Erstes heft: Für mittlere Klaffen

Leipzig G. 3- Göschensche Verlagshandlung 1907

Aus dem Vorwort zur ersten Austage. Das vorliegende Buch enthält erstens einen systematischen Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik und Algebra, welcher wissen­ schaftlichen und didaktischen Prinzipien in gleicher Weise Rechnung trägt, zweitens ein reichhaltiges Übungsmaterial von Fragen und Aufgaben auf allen Gebieten des arithmetischen Gymnasial-Unterrichts. Obwohl den Aufgaben im ganzen viel mehr Raum gespendet ist, als den jedem Paragraphen vorangestellten theoretischen Erörterungen, so sollen die letzteren doch ein besonderes Lehrbuch entbehrlich machen. Im Hinblick auf den Zweck des arithmetischen Gymnasial-Unterrichts, zur allgemeinen Universitätsreife mitzuwirken, habe ich die nur durch Kunst­ griffe lösbaren Gleichungen weniger berücksichtigt, als andere Bücher es getan haben, dagegen durch eine ausführlichere Behandlung der Arithmetik im engeren Sinne die Mittel dazu geboten, daß dem Schüler ein tieferes Verständnis von dem Organismus der arithmetischen Operationen, von dem Wesen der negativen, gebrochenen, irrationalen und imaginären Zahlen eröffnet werden könne. In bezug hierauf möchte ich jedoch folgendes nicht unerwähnt laffen. Da eine naturgemäße Systematik der Arithmetik sich mit einer Einteilung des arith­ metischen Unterrichtsstoffs nach Klaffen-Pensen nicht genau vereinigen läßt, so enthalten der zweite und der dritte Abschnitt auch schon solche theoretischen Unterscheidungen und Fragen, welche man aus didaktischen Gründen lieber für eine höhere Unterrichtsstufe reserviert. Es muß daher dem Urteile und der Neigung des Lehrers überlassen bleiben, zu entscheiden, was er aus diesen Ab­ schnitten neben den Umformungen der Ausdrücke und ähnlichem den Schülern schon auf den ersten Unterrichtsstufen bieten, und was er einer Besprechung in höheren Klassen unterziehen will. Selbst diejenigen Fachmänner, welche sich der vom Verfasser gegebenen theoretischen Entwickelung nur teilweise oder gar nicht anschließen mögen, werden doch in dem umfangreichen, geordneten AufgabenMaterial genügenden Übungsstoff für ihre Schüler finden, und vielleicht auch die vorgerechneten Muster-Beispiele bei ihrem Unterricht verwenden können. Gelegentlich habe ich nicht allein geometrische und physikalische, sondern auch sprachliche und historische Notizen und Fragen herangezogen, nament­ lich, wenn dieselben geeignet sind, arithmetische Begriffe und Wahrheiten heller zu beleuchten. Ebenso habe ich geglaubt, dem Buche auch zwölf eingekleidete Gleichungen aus der griechischen Anthologie, einige Aufgaben aus dem antiken

IV

Borwort.

Leben, sowie eine Tabelle der griechischen und römischen Maße einverleibeu zu dürfen. Durch den ersten Abschnitt, welcher, an den Rechen-Unterricht an­ knüpfend, nichts von Begründungen enthält, soll erreicht werden, daß der Schüler mit dem Konventionellen in der Arithmetik (Termini, die im RechenUnterrichte weniger gebräuchlich sind, Bergleichungs- und Operationszeichen, Klammer-Konventionen, Bedeutung der Buchstaben usw.) vertraut ist, ehe er an die eigentliche Arithmetik herantritt. Zugleich bietet dieser Abschnitt dem Lehrer die Gelegenheit, seine Schüler bereits in den ersten Wochen des arithmetischen Unterrichts durch passende Berechnungs-Aufgaben auch schriftlich beschäftigen zu können. Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte nur an einer Stelle vorkommt, sind schon den Abschnitten II und III an gewissen Stellen eingereiht, da die Lösung solcher Gleichungen sich naturgemäß an die Subtraktion, bezw. die Division anschließt. Ferner sind die Gleichungen ersten Grades, bei denen die Unbekannte an mehreren Stellen vorkommt, derartig rubriziert, daß man mit Leichtigkeit diejenigen herausfinden wird, welche man den Schülern schon während der Durchnahme der arithmetischen Sätze geben kann, um ihnen die Erfolge der Buchstabenrechnung greifbar zu machen. Potenzen, deren Exponenten natürliche Zahlen sind, habe ich als abgekürzt geschriebene Produkte schon bei der Multiplikation eingeführt. Dem Abschnitt über die Operationen dritter Stufe habe ich aus praktischen Gründen einen Abschnitt vorangehen lassen, welcher das Quadrieren, die Quadratwurzeln, die quadratischen Gleichungen, das Irrationale und das Imaginäre für sich be­ handelt. Die Gründe für diese Einschaltung erkennt man, wenn man bedenkt, daß die Planimetrie und die Algebra den Schüler viel öfter auf die Quadrat­ wurzel, als auf die allgemeine Wurzel führen, und daß die Potenz- und Wurzel­ rechnung mit allgemeinen Exponenten erst wichtig wird, wenn das Verständnis der Logarithmen vorzubereiten ist. Der Begründung der im Rechen-Unterricht gelernten Algo­ rithmen ist besondere Aufmerksamkeit geschenkt. Denn der arithmetische Unter­ richt hat die Pflicht, das bei dem Schüler geweckte Kausalitätsbedürfnis auch hinsichtlich des elementaren Rechenunterrichts vollauf zu befriedigen. Aus dem­ selben Grunde ist auf die Begründung des Verfahrens der Quadratwurzel. Ausziehung nicht weniger Wert gelegt, als auf die Einübung dieses Verfahrens. Bei einem großen Teile der Fragen und kürzeren Aufgaben hat der Verfasser an eine mündliche Beantwortung in der Klasse gedacht. Um die Be­ nutzung des Buches zu erleichtern, hat jede noch so kurze Frage oder Aufgäbe eine besondere Nummer erhalten. Ebenso sind die wichtigsten arith­ metischen Gesetze mit besonderen Namen bezeichnet. Auf die Richtung, welche ich seit Jahren bei meinem arithmetischen Unterricht befolge, und auch bei der Ausarbeitung dieser Sammlung befolgt habe, sind namentlich die Arbeiten von Großmann (Lehrb. d. Arithm.), Hankel (Vorl. üb. komplexe Zahlen) und Ernst Schröder (Lehrb. d. Arithm.), sowie die Vorlesungen meines verehrten Lehrers Kronecker, nicht ohne Einfluß

Borwort.

V

geblieben. Möge es mir gelungen sein, die Resultate der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über das System der Arithmetik und über die Er­ weiterungen des Zahlengebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben, wie es didaktische Rücksichten zulassen!

Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert.

Vorwort M fünften Auflage. Während die zweite, dritte und vierte Auflage, abgesehen von einigen neu hinzugefügten Aufgaben, ein fast unveränderter Abdruck der ersten Auflage waren, ist die Schubertsche Aufgabensammlung für die vorliegende fünfte Auflage voll­ ständig neu bearbeitet worden, und zwar im wesentlichen von dem an zweiter Stelle unterzeichneten Herausgeber. Sie erscheint deshalb unter verändertem Titel und mit den Namen beider Herausgeber. Der im ersten Vorwort von dem Verfasser der ersten vier Auflagen aus­ gesprochene Grundgedanke des Buches ist bei der Neubearbeitung durchaus fest­ gehalten worden. Denn für den Schüler einer höheren Lehranstalt, insbesondere den Gymnasiasten, der in der Arithmetik eine exakte Wissenschaft kennen lernen soll, ist nach übereinstimmender Ansicht der Herausgeber ein strenger systematischer Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik unerläßlich. Die Veränderungen an den jedem Paragraphen vorausgeschickten theo­ retischen Erörterungen betreffen daher im wesentlichen die Form. Es ist an vielen Stellen versucht worden, die Ableitung dem Standpunkt des Schülers mehr anzupassen, die Regeln kürzer zu fassen und durch Überschriften und Her­ vorhebung im Druck die Übersichtlichkeit zu erhöhen.

Die früheren §§ 4) und 5) sind als gesonderte Paragraphen gestrichen; ihr Inhalt ist in den voraufgehenden und folgenden Paragraphen zum Teil verwendet worden. Die früheren §§ 17) bis 20) und 25) sind als §§ 20 bis 24 in einem Anhang vereinigt. Im übrigen ist die Reihenfolge der Paragraphen dieselbe geblieben, so daß nur die Nummern geändert werden mußten. In den §§ 9) und 10) (Division und Gesetze der Operationen zweiter Stufe, früher §§ 11 und 12) ist der „Divisionsstrich" sowohl in den theoretischen Erörterungen als auch in den Aufgaben vollständig vermieden worden. Der Zweck dieser Änderung ist ein doppelter. Erstens soll die Ana­

logie zwischen den Gesetzen der Operationen zweiter Stufe und denen der Operationen erster Stufe deutlicher hervortreten, zweitens soll die Gefahr ver­ mieden werden, daß der Divisionsstrich als Bruchstrich und der Quotient als Bruch bezeichnet und behandelt wird, eine Gefahr, die sehr nahe liegt, da die Schüler mit Bruch und Bruchstrich aus dem Rechenunterricht vertraut sind.

Borwort.

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geblieben. Möge es mir gelungen sein, die Resultate der wissenschaftlichen Studien dieser Männer über das System der Arithmetik und über die Er­ weiterungen des Zahlengebiets dem Schulunterrichte soweit zugänglich gemacht zu haben, wie es didaktische Rücksichten zulassen!

Hamburg, im Februar 1883.

Hermann Schubert.

Vorwort M fünften Auflage. Während die zweite, dritte und vierte Auflage, abgesehen von einigen neu hinzugefügten Aufgaben, ein fast unveränderter Abdruck der ersten Auflage waren, ist die Schubertsche Aufgabensammlung für die vorliegende fünfte Auflage voll­ ständig neu bearbeitet worden, und zwar im wesentlichen von dem an zweiter Stelle unterzeichneten Herausgeber. Sie erscheint deshalb unter verändertem Titel und mit den Namen beider Herausgeber. Der im ersten Vorwort von dem Verfasser der ersten vier Auflagen aus­ gesprochene Grundgedanke des Buches ist bei der Neubearbeitung durchaus fest­ gehalten worden. Denn für den Schüler einer höheren Lehranstalt, insbesondere den Gymnasiasten, der in der Arithmetik eine exakte Wissenschaft kennen lernen soll, ist nach übereinstimmender Ansicht der Herausgeber ein strenger systematischer Aufbau der Begriffe, Formeln und Lehrsätze der Arithmetik unerläßlich. Die Veränderungen an den jedem Paragraphen vorausgeschickten theo­ retischen Erörterungen betreffen daher im wesentlichen die Form. Es ist an vielen Stellen versucht worden, die Ableitung dem Standpunkt des Schülers mehr anzupassen, die Regeln kürzer zu fassen und durch Überschriften und Her­ vorhebung im Druck die Übersichtlichkeit zu erhöhen.

Die früheren §§ 4) und 5) sind als gesonderte Paragraphen gestrichen; ihr Inhalt ist in den voraufgehenden und folgenden Paragraphen zum Teil verwendet worden. Die früheren §§ 17) bis 20) und 25) sind als §§ 20 bis 24 in einem Anhang vereinigt. Im übrigen ist die Reihenfolge der Paragraphen dieselbe geblieben, so daß nur die Nummern geändert werden mußten. In den §§ 9) und 10) (Division und Gesetze der Operationen zweiter Stufe, früher §§ 11 und 12) ist der „Divisionsstrich" sowohl in den theoretischen Erörterungen als auch in den Aufgaben vollständig vermieden worden. Der Zweck dieser Änderung ist ein doppelter. Erstens soll die Ana­

logie zwischen den Gesetzen der Operationen zweiter Stufe und denen der Operationen erster Stufe deutlicher hervortreten, zweitens soll die Gefahr ver­ mieden werden, daß der Divisionsstrich als Bruchstrich und der Quotient als Bruch bezeichnet und behandelt wird, eine Gefahr, die sehr nahe liegt, da die Schüler mit Bruch und Bruchstrich aus dem Rechenunterricht vertraut sind.

Vorwort.

VI

In § 14 (Proportionen, früher § 16) ist dem Begriff der direkten und indirekten Proportionalität ein breiterer Raum gewidmet worden. Zu dieser Änderung hat die Erfahrung den Anlaß gegeben, daß Schülern auch höherer Klassen der Begriff der direkten und indirekten Proportionalität und ihr Aus­ druck in Formeln besonders in physikalischen Anwendungen oft große Schwierig­ keiten bereitet. Von größerem Umfang als die Änderungen im theoretischen Teil sind die Änderungen im Aufgabenmaterial. Viele Aufgaben, besonders im ersten, ein­

leitenden Abschnitt, sind gestrichen worden, andrerseits ist das Aufgabenmaterial fast sämtlicher Paragraphen bedeutend vermehrt worden. Die größte Zahl an neuen Aufgaben findet sich in den §§ 15 bis 18 (Gleichungen). Ein besonderes Heft enthält die Resultate aller derjenigen Aufgaben, bei welchen eine Beruhigung des Schülers über die Richtigkeit der gefundenen Lösung wünschenswert erscheint, bei denen jedoch die Kenntnis des Resultats ihm die Denkarbeit nicht abnimmt.*)

Hamburg, im Februar 1907.

Herman» Schubert.

Adolf Schumpelick.

*) Dieses Nesultatheft kann durch jede Buchhandlung bezogen werden. Die Verlagshandl ung.

Inhalts-Verzeichnis Erster Abschnitt: Einführung in die arithmetische Sprache. § 1. Die vier Spezies in arithmetischer Sprache............................................................ § 2. Reihenfolge der Rechengeschäfte................................................................................ § 3. Der Buchstabe in der Arithmetik............................................................................ Historisches zu Abschnitt I........................................................................................................

Seite 1 4 9 13

Zweiter Abschnitt: Operationen erster Stufe. § 4. Begriff der Addition...................................................................................................... § 5. Begriff der Subtraktion............................................................................................. § 6. Gesetze der ersten Stufe............................................................................................. § 7. Erste Erweiterung des Zahlengebiets (Null und negative Zahlen)................ Historisches zu Abschnitt II........................................................................................................

14 21 25 32 43

Dritter Abschnitt: Operationen zweiter Stufe. § 8. Begriff der Multiplikation.......................................................................................... § 9. Begriff der Division....................................................................................................... § 10 Gesetze der zweiten Stufe............................................................................................... § 11. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets (Gebrochene Zahlen).......................... Historisches zu Abschnitt III...................................................................................................

44 58 65 73 92

Vierter Abschnitt: Anwendungen der Gesetze der Operationen erster und zweiter Stufe. § 12. Wichtige Verwandlungssormeln.................................................................................. 93 § 13. Die Hauptform der Ausdrücke...................................................................................... 98 § 14. Proportionen............................................................................................................................102 §15. Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten................................................... 114 § 16. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten ... 128 § 17. Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten......................................143 § 18. Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten. . . 155 § 19. Arithmetische Reihen erster Ordnung.............................................................................. 162 Historisches zu Abschnitt IV.........................................................................................................166

Anhang. § 20. Eigenschaften der natürlichenZahlen............................................................................... 167 § 21. Zahlsysteme und Zahlzeichen.......................................................................................... 175 § 22. Dezimalbrüche......................................................................................................................179 § 23. Maße........................................................................................................................................189 § 24. Zwölf Gleichungen aus der griechischen Anthologie.................................................. 195 Historisches zum Anhang..............................................................................................................198

Erster Abschnitt.

Einführung in die arithmetische Sprache. § i.

Die vier Species in arithmetischer Sprache.

Theorie. A) Das Zeichen:

=

liest man:

gleich

B) Namen der vier Species oder Operationen:

Beispiel:

Addition Subtraktion Multiplikation Division

12 4-4 = 16 12 — 4 = 8 12 4 = 48 12 : 4 = 3

■ .

+

—

plus

minus

durch

mal

Die zweite Die erste Zahl, Zahl, hier 4, hier 12, heißt: heißt:

Namen des Resultats:

Summand Subtrahend Faktor Divisor

Summe Differenz Produkt Quotient.

Summand Minuend Faktor Dividend

Summand plus Summand gleich Summe. Minuend minus Subtrahend gleich Differmz. Faktor mal Faktor gleich Produkt. Dividend durch Divisor gleich Quotient.

Addition und Subtraktion heißen Operationen erster Stufe. Multiplikation und Division heißen Operationen zweiter Stufe.

C. Ausdrücke. Bei jeder Operation findet man aus zwei Zahlen eine dritte. Diese dritte Zahl heißt je nach der Operation Summe, Differenz, Produkt, Quotient; sie kann auf doppelte Weise dargestellt werden: entweder ausgerechnet, wie in den obigen vier Beispielen: 16, 8, 48, 3; oder unausgerechnet, wie: 12 4- 4, 12—4, 12 - 4, 12 : 4. Schubert und Schumpelick, Arithmetik. Heft 1.

§ 1.

2

Die vier Species in arithmetischer Sprache.

Unausgerechnet dargestellte Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten nennt man Ausdrücke. Zwei Ausdrücke sind gleich, wenn sie dieselbe Zahl darstellen, z. B.: 15 —6 = 3 • 3, 204-8 = 56:2. D. Vergleichung und Vergleichungszeichen. Ist eine Zahl nicht gleich einer andern, so ist sie entweder größer oder kleiner. Auch für «größer als" und für „kleiner als" hat man zwei Zeichen, nämlich: > und 24 b) 29 < 4 • 13

c) 4 • 9 < 7 • 7 d) 16 + 9 < 26

e) 28 : 4 > 2 + 4 f) 5 : 5 < 20 — 18.

7) Wie liest man die in 6) angegebenen Ungleichungen rückwärts? 8) Es soll arithmetisch ausgedrückt werden, a) daß 28 kleiner ist als 30,

4

§ 2.

Reihenfolge der Rechengeschäfte.

b) daß 63 größer ist als 2 mal 31, c) daß man zu 94 noch etwas hinzufügen müßte, um auf 100 zu kommen, d) daß die Zahl 100 die Zahl 94 übertrifft, e) daß durch Summierung von 20 und 30 mehr herauskommt, als durch Summierung von 39 und 10, 9) Wie kann man mit Hilfe eines Größerzeichens schreiben: a) 14 < 70 : 2? b) 9 • 1 < 9 + 1? c) 4 • 500 < 3 • 667? § 2.

Reihenfolge der Rechengeschäfte.

Theorie. A. Klammerregeln.

1) Soll mit einem Ausdruck gerechnet werden, so muß derselbe in eine Klammer eingeschlosse« werden. Z. B.: (4 + 7) - 3 = 11 • 3 = 33, 4 + (7 ■ 3) = 4 + 21 = 25, (9 — 6) — 2 = 3 — 2 = 1, 9 — (6 — 2) = 9 — 4 = 5. 2) Diese Klammer darf jedoch fortgelasseu werden, wenn zwei gleichstufige Operationen aufeinander folgen und die voransteheude Operation zuerst ausgeführt werden soll. Z. B.r 9 — 6 — 2 = 3 — 2 = 1, 12 • 5 : 4 = 60 : 4 = 15, 100 + 10 — 10 = 110 — 10 = 100, 20 : 10 : 2 = 2 : 2 = 1. 3) Die Klammer darf ferner fortgelaffen werde», wenn zwei «ngleichstufige Operationen aufeinanderfolgen und die Operation höherer Stufe zuerst ausgeführt werden soll. Z. 83.: 4 + 7 ■ 3 = 4 + 21 = 25, 12 — 6 : 2 = 12 — 3 ---- 9, 7 • 3 + 4 = 21 + 4 = 25, 100 : 5 — 4 = 20 — 4 = 16. Überflüssig ist demnach eine Klammer nicht nur 1) um ein einfaches Zahlzeichen herum, z. B. (1883), 2) um einen Ausdruck, mit welchem nicht weitergerechnet werden soll, z. B. (7 + 8), sondern auch: 3) um einen Ausdruck, wenn derselbe erster Teil eines Ausdrucks gleicher Stufe ist, z. B. (7 + 8) - 5, 4) um ein Produkt oder einen Quotienten, wenn dieselben Teile einer Summe oder einer Differenz sind, z. B. 4 + (7 • 3).

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§ 2.

Reihenfolge der Rechengeschäfte.

b) daß 63 größer ist als 2 mal 31, c) daß man zu 94 noch etwas hinzufügen müßte, um auf 100 zu kommen, d) daß die Zahl 100 die Zahl 94 übertrifft, e) daß durch Summierung von 20 und 30 mehr herauskommt, als durch Summierung von 39 und 10, 9) Wie kann man mit Hilfe eines Größerzeichens schreiben: a) 14 < 70 : 2? b) 9 • 1 < 9 + 1? c) 4 • 500 < 3 • 667? § 2.

Reihenfolge der Rechengeschäfte.

Theorie. A. Klammerregeln.

1) Soll mit einem Ausdruck gerechnet werden, so muß derselbe in eine Klammer eingeschlosse« werden. Z. B.: (4 + 7) - 3 = 11 • 3 = 33, 4 + (7 ■ 3) = 4 + 21 = 25, (9 — 6) — 2 = 3 — 2 = 1, 9 — (6 — 2) = 9 — 4 = 5. 2) Diese Klammer darf jedoch fortgelasseu werden, wenn zwei gleichstufige Operationen aufeinander folgen und die voransteheude Operation zuerst ausgeführt werden soll. Z. B.r 9 — 6 — 2 = 3 — 2 = 1, 12 • 5 : 4 = 60 : 4 = 15, 100 + 10 — 10 = 110 — 10 = 100, 20 : 10 : 2 = 2 : 2 = 1. 3) Die Klammer darf ferner fortgelaffen werde», wenn zwei «ngleichstufige Operationen aufeinanderfolgen und die Operation höherer Stufe zuerst ausgeführt werden soll. Z. 83.: 4 + 7 ■ 3 = 4 + 21 = 25, 12 — 6 : 2 = 12 — 3 ---- 9, 7 • 3 + 4 = 21 + 4 = 25, 100 : 5 — 4 = 20 — 4 = 16. Überflüssig ist demnach eine Klammer nicht nur 1) um ein einfaches Zahlzeichen herum, z. B. (1883), 2) um einen Ausdruck, mit welchem nicht weitergerechnet werden soll, z. B. (7 + 8), sondern auch: 3) um einen Ausdruck, wenn derselbe erster Teil eines Ausdrucks gleicher Stufe ist, z. B. (7 + 8) - 5, 4) um ein Produkt oder einen Quotienten, wenn dieselben Teile einer Summe oder einer Differenz sind, z. B. 4 + (7 • 3).

§ 2. Reihenfolge der Rechengeschäfte.

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Eine überflüssige Klammer setzt man nur in Fällen, wo es zweckmäßig erscheint, den von der Klammer eingeschloflenen Ausdruck auf diese Weise hervorzuheben. Den ersten Teil einer Klammer „(* liest man „Klammer offen", den zweiten Teil „)" liest man „Klammer geschloffen". Wenn Mißverständnisse an und für sich ausgeschlossen sind oder durch ge­ eignete Pausen im Sprechen vermieden werden, sagt man kürzer vor oder hinter dem betreffenden Ausdruck: „in Klammer". Z. B.: (a 4- b) • c kann man lesen: a + b in Klammer mal c. a + (b 4- c) — (d — e) liest man: a plus in Klammer b 4~ e (Pause) minus in Klammer d — e. Vor und nach einer Klammer kann der als Multiplikationszeichen dienende Punkt fortgelaffen werden. B. Zusammengesetzte Ausdrücke. Zusammengesetzt heißt ein Ausdruck, wenn in einem seiner beiden Teile, oder auch, wenn in seinen beiden Teilen nicht einfache Zahlzeichen, sondern selbst wieder Ausdrücke stehen. Z. B.: 11 — (3 4-4), (9 4- 6) (4 4- 2), 5-|-2 — 24 : 8. Bei einem zusammengesetzten Ausdruck erscheinen also zwei, drei, vier oder noch mehr Operationen miteinander verknüpft. In welcher Reihenfolge man sich diese Operationen ausgeführt zu denken hat, das ent­ scheiden die drei Klammerregeln. Zur Unterscheidung benutzt man bei zu­ sammengesetzten Ausdrücken außer den runden Klammern (.. .) auch eckige Klammern [. ..], größere runde (...) und wohl auch geschweifte {. . .}. Z. B.

3 [10 —(3 4- 2)],

12 : {20 —[6 -f- 32 : (2 - 2)]}.

C. Wegweiser für die Berechnung zusammengesetzter Ausdrücke. 1) Die innerhalb einer Klammer angedeutete Rechnung wird immer vor den außerhalb vorgeschriebenen Rechnungen ansgeführt. 2) Zwei gleichstufige Operationen, die klammerlos aufeinanderfolgen, werden in der Reihenfolge, wie man liest (von links nach rechts), ausgeführt. 3) Von zwei ungleichstnfigen Operationen, die klammerlos auf­ einanderfolgen, wird immer die Operation höherer Stufe zuerst aus­ geführt, selbst wenu fie der Operation niederer Stufe uachfolgt.

v. Beispiele der Berechnung zusammengesetzter Ausdrücke. 1) 19 —4-(2 4-1) =19 —4-3 = 19 —12 = 7; 2) (11 4-9 • 5) : (3 -|-4) = (11 4- 45) : 7 = 56 : 7 = 8; 3) [100 — (8 • 4 4- 36 : 2)] : 10 = [100 — (32 + 18)] : 10 = [100 — 50] : 10= 50 : 10 = 5; 4) [(20 4- 7 4- 23) • 2 — 2 • 5 • 5] (5—3) = [(27 4- 23) • 2 — 10 • 5] • 2 = [50 • 2 — 50] • 2 = (100 — 50) • 2 = 50 • 2 = 100; 5) {[(2 • 5 • 6 4- 4) : 8 — 1] (4 4- 3) 4- 1 — (5 4- 5)} (4 + 3 : 3) = {[(10 • 6 4- 4) : 8 — 1] ■ 7 4- 1 — 10} • (4 4- 1) = {[(60 4- 4) : 8 — 1] • 7 4- 1 — 10} • 5

6

§ 2. Reihenfolge der Rechengefchäfte. = {[64 ; 8 — 1] • 7 + 1— 10} • 5= [(8 - 1) • 7 4- 1 —10)] - 5 = (7 • 7 + 1 — 10) • 5 = (49 + 1 — 10) • 5 = (50 — 10) ■ 5 = 40 • 5 = 200.

E. Wegweiser für die Analyse zusammengesetzter Ausdrücke. Frei heißt in einem Ausdruck ein Operationszeichen, wenn es nicht von einer Klammer eingeschlossen wird, die zu dem Ausdrucke selbst gehört. Z. B. in 7 + 4 + 3 (3 + 2) sind das Pluszeichen vor 4 und das Pluszeichen vor der Klammer frei, das Pluszeichen zwischen 3 und 2 aber nicht. In 11-5 — (3 4-5-6) ist kein freies Pluszeichen, ein freies Malzeichen und ein freies Minuszeichen. Um einen Ausdruck zu analysieren, suche man zunächst die freien Plusund Minuszeichen auf. Sind solche vorhanden, so ist der Ausdruck eine Summe oder Differenz, je nachdem das letzte der freien Zeichen „plus" oder „minus" bedeutet. Sind freie Plus- oder Minuszeichen nicht vorhanden, so ist der Ausdruck ein Produkt oder Quotient, je nachdem das letzte der freien Zeichen „mal" oder „durch" bedeutet. Nachdem man so den Ausdruck als Summe, Differenz, Produkt oder Quotient erkannt hat, behandle man seine beiden Teile in derselben Weise. F. Beispiele der Analyse zusammengesetzter Ausdrücke. 1) 2-44-3-9. Dieser Ausdruck ist eine Summe, bereit erster Summand 2 • 4 heißt, und deren zweiter Summand 3 - 9 heißt. Beide Summanden sind Produkte. Die Faktoren des ersten Produkts heißen 2 und 4, die des zweiten 3 und 9. 2) 3 4- 9 - 2 —16: (4 4- 4). Dieser Ausdruck ist eine Differenz, deren Minuendus 3 4-9-2 heißt, und deren Subtrahendus 16: (4 4- 4) heißt. Der Minuendus ist eine Summe, bereit erster Summand 3 heißt und bereit zweiter Summand 9 • 2 heißt. Letzterer ist ein Produkt mit bett Faktoren 9 und 2. Der Subtrahendus 16: (4 4- 4) ist ein Quotient, dessen Dividendus 16 und dessen Divisor 4 4-4 heißt. Dieser Divisor ist eine Summe mit den Summanden 4 und 4. 3) [100 — 6:3 — 8] : 9 : (2 - 5). Dieser Ausdruck ist ein Quotient, befielt Divisor ein Produkt mit den Faktoren 2 und 5 ist. Der Dividendus, welcher [100 — 6:3 — 8]: 9 heißt, ist ein Quotient mit dem Divisor 9 und mit einem Dividendus, welcher eine Differenz ist. Diese Differenz hat zum Subtrahendus 8 und zum Minuendus eine Differenz, deren Minuendus 100 heißt, und deren Subtrahendus ei« Quotient mit dem Dividendus 6 und dem Divisor 3 ist.

Aufgabe«. 1) Inwiefern unterscheiden sich die beiden Ausdrücke: a) 10 -10 4- 1 und 10 - (10 + 1)? b) 14 —(7 — 5) und 14 — 7 — 5?

§ 2. c) d) e) f) g)

2)

Reihenfolge der Rechengefchäste.

7

24 :8 —2 und 24: (8 —2)? 72 — 2 • 3 und (72 — 2) . 3? 625 : 25 + 100 und 625 : (25 + 100)? 190 4- 90:10 und 190 4- (90 :10)? 4000 — 400 — 40 und 4000 — (400 — 40)?

Hinzuschreiben und auszurechnen: a) b) c) d) e) f) g)

86 vermehrt um die Summe von 10 und 4. Die Summe von 86 und 10 vermehrt um 4. 86 vermindert um die um 10 verminderte Zahl 86. Das Produkt von 125 und 8 vermindert um 999. Das Zehnfache des Unterschieds zwischen 33 und 23. Die Hälfte der Summe von 33 und 23. Die Differenz zwischen 4 und dem Quotienten, deffen Dividendus 111 und dessen Divisor 37 ist.

3) Hinzuschreiben und auszurechnen:

a) Die Summe von 999 und 666 dividiert durch die Summe von 30 und 7. b) Das Produkt von 10 und 90 vermehrt um den Quotienten von 1000 und 10. c) Die um 10 — 4 vermehrte Zahl 4 multipliziert mit der durch 3 dividierten Zahl 30. d) Das Produkt von 8 und 13 4- 7 subtrahiert von 161. e) 100 vermindert um die Summe von 30 und einer Differenz, deren Minuendus 30 und deren Subtrahendus 10 ist. 4) Streiche in den folgenden Ausdrücken die dritten Klammerregel überflüssigen Klammern:

wegen

der zweiten

und

a) 4 4- (9.2) d) [9 4- (7 • 13)] : 2 - 5 b) [(1 - 2) - 3] : 6 e) [27 . (9 — 3)] - 5 c) (9 • 2) 4- 4 f) 85 - [(2 4- 3): (4 — 3)] g) {27 — [2 • (4 4- 9)]} . (1883 + 7) h) 100 — {100 — [100 — (8 : 8)]}. 5) Berechne die folgenden Ausdrücke:

a) b) c) d)

70 4- 2 5 — 1 70 4- (2 • 5 — 1) (70 4- 2) -5 — 1 (70 4- 2) (5 - 1)

e) f) g) h)

70-2-5 — 1 70 — (2 • 5 — 1) (70 —2)-5-1 (70 — 2) (5 — 1)

i) k) l) m)

6) Berechne: a) 144 — 4 • 5 + 92 : (2 • 2 -f- 19)

b) 289 : (4 4- 9 4- 8 : 2) — 16 c) (144 — 4) [5 4- 92 : (2 • 2 4- 19)]

'

d) (44- 6:2 3 — 4 3). 1883 e) 84 : 7 • 26: (2 • 2 4- 3 • 3) f) [(84—4-6): 10-4-4]: 10.

70 — 2 5 4- 1 70 — (2 5 4- 1) (70 — 2) 5 4- 1 (70—2) (5+ 1).

§ 2. Reihenfolge der Rechengeschäfte.

8

7) Berechne:

a) b) c) d)

(142857 - 7 -f- 1): 1000 4- 4 • (3 • 3 4- 4 • 4) • 10 — 1 461538 • 13 : {[(24 4- 6) • 5 — 4 • 37] [28 — 5 • 5]} (50 — 2) [{5 + (15 — 5)} • 40 — 5 ■ 5 • (2 • 5 + 1) • 2] 2 4 - 6 - 8 - 10: (12 - 16): (40:2) - 1000 :1000.

8) Berechne: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) n) o)

304 — 4 • 5 + 16 — 6 - 5 — 2 304 —4-(5 4- 16 — 6) (5 — 2) (304 — 4) (5 + 16 — 6 • (5 — 2) (304 — 4) (5 + 16 - 6) (5 — 2) [(304 — 4) • 5 + 16 —6] (5 — 2) [(304 — 4) • 5 + 16 — 6] 5 — 2 (304 — 4) [5 4-16—6(5- 2)] (304 — 4) [5 4- (16 — 6) 5 — 2] 304 — 4 [5 + (16 — 6) (5 — 2)] 304 — [4 • (5 4- 16) — 6 (5 — 2)] [304 — (4 • 5 4- 16 — 6)] (5 — 2) [304 — 4] 5 4~ (16 — 6) - 5 — 2 304 — [4 {5 -|- (16 — 6) • 5} — 2] (304 — 4) {[5 4-(16 —6)] 5 — 2).

9) Wie schreibt man den Ausdruck, der entsteht, wenn man: a) zum Produkt von 10 und 9 den Quotienten von 125 und 25 hinzugefügt und die erhaltene Summe mit der Differenz zwischen 24 und 2 - 7 multipliziert? b) die Summe von 9 • 9 und 3 mal 3 mit der Summe von 16:8 und 8 :1 multipliziert und das erhaltene Produkt von 10 - 10 - 10 subtrahiert? c) 10897 durch 17 dividiert, den erhaltenen Quotienten um 1 ver­ mindert, die dadurch erhaltene Differenz durch 64 dividiert und endlich zum erhaltenen Quotienten 3 mal 3629 hinzufügt? 10) Berechne jeden der drei in 9) gebildeten Ausdrücke.

11) Berechne die folgenden Ausdrücke: a) 2449 : (354-34-f-2 • 5) 4- 95 : 5 4- 37 • (1 4-2) — (5 4- 2 • 2) b) (33333 — 10): (94 : 2) + 403 - 10 : (10 4- 3) c) [77 • 31 — (5 4- 6 4- 4 • 5) • 76] : 31 • (2 • 2 • 14.9 : 7 : 72) d) (10 • 10 • 10 4- 1) • (2 - .2 • 2 • 2 — 2 • 2) : (2 - 2 - 2 - 2 - 2 4- 100): (100 — 9).

12) Analysiere jeden der in 4) aufgestellten acht Ausdrücke. 13) Berechne

a) b) c) d)

[2 (3 4- 4) — 3 • 3 4- 5 : (2 4- 3)] • (4 4- 12 : 2) {4 4-[9 (8— 2)] [20 — (8 — 4)] 4- 11 • 12} : 1000 [2867 : (4 4- 3 - 5 4- 6 -7)] - 2 - 5 : 47 — 3 3 [1 4- (3 4- 5) 4- (7 4- 9)] • 2 4- 40 — 2 • 6 : 4 4- 56 : (2 • 2 • 2).

§ 3.

Der Buchstabe in der Arithmetik.

9

§ 3.

Der Buchstabe in -er Arithmetik. Theorie. A. Buchstaben zur Bezeichnung von Zahlen. Um irgend welche Zahlen zu bezeichnen, gebraucht man in der Arithmetik nicht bloß die gewöhnlichen Zahlzeichen, wie 6, 83, 1883 sondern auch Buch­ staben, wie a, b, A, x, 3t usw. und zwar meist die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets. Dabei kann jeder Buchstabe jede beliebige Zahl vertreten. Kommt jedoch in einem Ausdruck, in einer Gleichung oder im Laufe einer Rechnung ein und derselbe Buchstabe mehrere Male vor, so hat man sich jedesmal dieselbe Zahl darunter vorzustellen. B. Buchstaben'Ausdrücke.

Auch die Buchstaben werden wie die gewöhnlichen Zahlzeichen durch die Rechen-Operationen zu Ausdrücken verknüpft. So entstehen BuchstabenAusdrücke, wie z. B. a • b 4- a 4- b oder 6 (a-s-b): 3 — a. Dabei kann der als Multiplikationszeichen dienende Punkt sowohl zwischen zwei Buchstaben, wie auch zwischen einer Zahl und einem Buch­ staben fortgelassen werden. 0. Substitution.

Man kann verlangen, daß für die Buchstaben Zahlen substituiert, d. h. eingesetzt, werden. Substituiert man in einem Ausdruck für jeden Buchstaben eine Zahl, so kann man weiter verlangen, die entstandenen ZahlenAusdrücke auszurechnen. Z. B. der Ausdruck a (b 4- a) — b gibt für a = 4 und b = 3 die Zahl 25, nämlich: a (b 4- a) — b = 4 (3 + 4) - 3 = 4- 7 — 3 = 28 — 3 = 25, ferner für a = 10, b = 10 die Zahl 190, nämlich: a(b + a) —b= 10 (10 4-10) — 10 = 10 • 20 — 10 = 200 — 10= 190. Statt Zahlen an die Stelle von Buchstaben zu setzen, kann man dafür auch Zahlen-Ausdrücke oder neue Buchstaben oder Buchstaben-Ausdrücke substituieren. Soll z. B. in a — b für a der Ausdruck 4 4-7, für b der Ausdruck 9 — 1 gesetzt werden, so entsteht a — b = (4 4- 7) — (9 — 1). Soll A statt a, B statt b substituiert werden, so entsteht a — b = A — B. Soll c + d für a, o k für b substituiert werden, so entsteht a — b = c -|- ü — 6 . s. Wenn man an die Stelle eines Buchstabens einen Ausdruck setzt, so achte man darauf, ob dieser Ausdruck nicht vielleicht nach Vorschrift der Klammer­ regeln (§ 2) eingeklammert werden muß. Soll z. B. in a • b für a der Aus­ druck c 4- d eingesetzt werden, so kommt (c 4- d) • b. D. Indices. Als allgemeine Zahlzeichen wendet man oft auch Buchstaben an, denen unten kleiner geschriebene Zahlen, die man dann Indices nennt, oder oben kleine Striche angefügt werden. Z. B.:

§ 3.

10

Der Buchstabe in der Arithmetik.

at (gelesen: a-eins), a3 (gelesen: a-drei) a' (gelesen: a-strich), a" (gelesen: a-dreistrich).

E. Buchstaben-Gleichungen. Identische Gleichungen und Bestimmungsgleichungen.

Zwei Buchstaben-Ausdrücke können ebenso wie zwei Zahlen-Ausdrücke (§ 1 und § 2) zu einer Gleichung verbunden werden. Gleichungen, welche sich immer als richtig erweisen, welche Zahlen man auch für die in ihnen vorkommenden Buchstaben setzen mag, heißen identische Gleichungen. Die identischen Gleichungen heißen Formeln, wenn sie dazu dienen, allgemeine arithmetische Gesetze anszusprechen. Formeln drücken also in arithmetischer Sprache Wahrheiten aus, die sich auf alle Zahlen beziehen. Gleichungen, welche nur dadurch richtig werden, daß man für Buchstaben, die in ihnen auftreten, gewisse Zahlen einsetzt, heißen BestimmungsGleichnngen, oder auch schlechthin Gleichungen. Tritt in einer Be­ stimmungsgleichung nur ein einziger Buchstabe auf, so entsteht die Aufgabe, die Zahl oder die Zahlen zu bestimmen, welche man für den Buchstaben setzen muß, damit eine richtige Zahlen-Gleichung entsteht. Z. B.: 4x4-3 = 11 ist eine Bestimmungs-Gleichung, welche nur dadurch richtig wird, daß man für x die Zahl 2 setzt; 3 (x — 1) = 9 — x ist eine Gleichung, welche nur durch die Substitution x = 3 richtig wird; xx 4- 5 = 6 x wird für x = 1 und auch für x = 5 richtig. Der Buchstabe, für welchen man bei einer Bestimmungsgleichung eine Zahl setzen soll, damit dieselbe richtig wird, heißt die „Unbekannte," und die Zahl selbst heißt ihr „Wert". Die Unbekannte pflegt man mit x, y, z und auch wohl mit u, v, w zu bezeichnen. Die in den folgenden Abschnitten entwickelten Gesetze der Arithmetik er­ möglichen es, die Unbekannten der Gleichungen methodisch zu berechnen. Die methodische Bestimmung der Unbekannten und überhaupt die Lehre von den Bestimmungsgleichungen bezeichnet man mit dem Namen Algebra.

A«fKaI»e«. 1) Was erhält man, wenn man

a) b) c) d)

e e e e

und f von f mit f durch

addiert, subtrahiert, multipliziert, f dividiert,

e) f) g) h)

2 c und 3 d addiert, 3 x tion 4 y subtrahiert, 4 m mit p multipliziert, 6n durch a dividiert.

2) Wie schreibt man den Unterschied zwischen a und b, wenn a größer als b ist, und wie, wenn a kleiner als b ist?

3) Welche Zahl ist a) um 6 größer als n? b) um n größer als 5? c) um c größer als b? d) um 4 kleiner als x? e) um a kleiner als p? f) um 4 p kleiner als 5 x? g) um 1 kleiner als 2x? h) um 10a größer als 5b? 4) Bilde a) das Produkt, dessen Faktoren 5 und 2 p sind, b) das Produkt, dessen Faktoren n 4- 1 unb n — 1 sind, c) die Summe, deren Sum-

§ 3. Der Buchstabe in der Arithmetik.

11

manden 4 a und pq find, d) das Produkt, dessen Faktoren 9 a -|- b und a sind, e) das Produkt, dessen Faktoren a + b 4- c und a 4- b 4- c sind. 5) Welche Zahl ist a) zehnmal so groß wie a? b) das Dreifache von b 4- c? o) der vierte Teil von nx? d) der vierte Teil von n-f-i? e) hundertmal so groß tote a — b? f) die Hälfte von »4-b-j-c?

g) a mal so groß tote 10? h) a 4- b mal so groß wie 10?

6) Wie drückt man arithmetisch aus: a) daß die Summe von a und b mit c multipliziert und das erhaltene Produkt, um den zehnten Teil von d vermehrt werden soll? b) daß das Produkt von a und b um c vermehrt und die erhaltene Summe mit der um 10 verminderten Zahl d multipliziert werden soll?

c) daß die um b verminderte Zahl a durch c dividiert und der erhaltene Quotient um das Produkt aus d und 10 vermindert werden soll? d) daß die durch b dividierte Zahl a um c vermindert und die er­ haltene Differenz durch die Summe aus d und 10 dividiert werden soll?

7) Analysiere:

a) b) c) d) 8)

x 4- 4y — (z — 1) (x — 4y):(z — 1) x — (4y : z — 1) (x — 4) y : (z — 1)

e) f) g) h)

x — 4 [y — (z — 1)] (x — 4) : (y — z 4- 1) (x 4- 4) (y — z) 4- 1 x 4- 4y — (z 4- 1).

Analysiere:

a) b) c) d)

[10x — y 4" 5z — (3 4-4z)] (9 4-x — pq) [5 (x — y 4- 5z) 4- 3 — (z — 1)] : (x — 9 4- pq) (5x — y — 5 z 4” 18 — 73a 4* b) — (a 4— b 4~ c): 4 10 {[10 — (10 — a)] 10 4- 10} — 5 (10 4- a).

9) Substituiere in dem Ausdrucke

x — (100 — x) 4- 2 (x — 50) für X die Zahl a) 60, b) 64, c) 69, d) 83, e) 85, f) 90, g) 97, h) 98, i) 99 und berechne den so entstehenden Ausdruck. 10)

Setze in jedem der folgenden Ausdrücke: a) b) c) d)

6a —(a —4) 4-5.(100 4-a) e) (a 4-9) (a — 3) 4-(a 4-27) 6a — a — 4 4-5-100 4- a f) a4- 9a — 3 — a — 27. 6a 4-(a — 4) 4- 5 • (100 — a) g) a 4- 9 (a—3) — (a 4* 27) 6a —(a —4)4-5(100 —a) h) (a 4-9)a — 3 — a — 27

für a die Zahlen: a) 10 ß) 20

y) 33 Ö) 63 und berechne die so entstehmden Ausdrücke.

11) Berechne a) ab — c + d d) a(b —c + d) e) a[b — (c — d)] b) ab — (c 4* d) f) ab —(c —d) c) a(b — c) 4* d für die Substitutionen: b = 50, c= 20, d «) a = 100, c= 40, d b ---- 50, ß) a = 200, a-48, b = 25, c= 16, d y) ö) a ----- 1000, b ---- 100, c= 10, d

12) Berechne a) a:b 4- a • b — (a — b) b) (a — b 4- a : b) a c) a — (a — b) 4“ a: b • b d) [a4-a —(a —b)]:(a4-b) für die Substitutionen: a) a ----- 40, b ----- 20, /) a= 729, b = 9, 13)

14)

15)

16)

e) f) g) h)

g) ab — c — d h) a(b + c 4- d) i) a(b + c — d)

= ---= =

10, 20, 4, 1.

(a 4“ b) (a — b) 4~ a: b 4* b • b (a 4- a 4- a) : (b 4- b 4- b) a: (a: b) 4- a — (a — b) a 4- ab 4* ba — a(l 4- b)

ß) a = 72,

b = 9, d) a= 1728, b = 12. Berechne a-b-^c — d 4- a : c — (a — d) für die Substituüonen: a) a = 20, b ----- 40, 6 ----- 5, d= 4 b = 10, c = 67, d = 10 b) a = 201, c) a ----- 1024, b = 16, c = 32, d = 24 b = 20, c= 17, d ---- 16. d) a ----- 510, Berechne + % + as) (bx + b2 + b3) — bx — Sz bz — Szbz für die Substitutionen: a) &£ = 200, 8g = 20, a3 = 2, bx = 10, b2 = 5, b3 = 5 b) a, = 1728, 8j ---- 222, 8z --- 50, bx = 100, b2 = 10, b3 -----1 c) a1 444, a2 — • 333, a3 = 222, bx ~ 64, b2 — 30, b3 6» Berechne a) (2a + 3b) (3a + 4b) e) (10a—4b) (a — b) b) (4a —b) (2a + b) f) (4a — b) (2a — b) c) (5a+ b) (4a—3b) g) (7a+ b) (3a—2b) d) (7a-b) (a + b) h) (8a —7b) (7a — 6b) für die Substitutionen: «) a— 40, b — 39 ß) a= 72, b = 20 /) a = 49, b == 40 ö) a = 1000, b = 200. Berechne d) (4ab — ax — bx) c a) (3ab — 2ac + 9bc) x b) (9ab—7ac—bc) (x-f-1) e) [6ab — c(a — b)] (2x — 1) c) [8ab —(6ac—bc)](x + 2) f) [7 a (b — c) — b(a — c)J (3x—2) für die Substitutionen: a) a—3, b—2, c=l, x=l y) a= 10, b — 9, c = 8, x = 4 ß) a=15,b=3,c=2,x=l ö) a = 20, b = 13, c==2, x=3.

§ 3. Der Buchstabe in der Arithmetik.

17) Berechne a) (2ac 4~ bc) : c b) (2a+l>4-2ac4-bc): (c4~l) c) (3ac — bc -f- c) : c für die Substitutionen: «) a =10, b = 4, c = 1 y) a ---- 9, b = 6, c = 4

13

d) (6ac—3a—2bc + b): (2c—1) e) (aa—bb-|-2bc—cc):(a-|-b—c) f) (4 aa — 3 ac — cc): (a — c) ß) a== 12, b = 10, c = 3

ö) a = 20, b — 10, c= 9.

18) Substituiere in den folgenden Ausdrücken a + b für x:

a) b) c) d)

x — 3y + z 3y + z — x 3x — 5y + z 2y 4~ 4z — 5x

e) 2[y + z —x] f) 5y —(z —x) g) 4 (y + x) — z h) (j + z): x-

19) Substituiere a + b für x und a — b für y in:

a) 4x + 5y — z b) 9 (x + 4) + 7y — z c) 3y —x 4- 5z

d) 4y + z — (x — z) + 13 e) x : y + x : z f) 3 : x — 5 : 7 • y»

Hryorrfchr» j« Abschnitt I. Arithmetik trieben schon die Alten, namentlich die Inder und Ägypter. Die Griechen beschäftigten sich mehr mit Geometrie, im Anschluß daran auch mit Arithmetik. (Pythagoras um 500 vor Christi Geburt, Euklides um 300 vor Chr. G., Archimedes, der 212 bei der Belagerung von Syrakus erschlagen wird, Nikomachos um 100 nach Chr. G., Diophantos um 300 nach Chr. G.) Die vier Operationszeichen, ebenso wie das Gleichheitszeichen und die beiden Ungleichheitszeichen, kamen im 16. und 17. Jahrhundert in Gebrauch (Leibnitz um 1700). Klammern kommen zuerst im 17. Jahrhundert vor und wurden im 18. Jahrhundert gebräuchlich. Buchstaben für unbestimmte Zahlen gebraucht zwar schon Diophantos (Anfangs- und Schluß-Buchstaben der be­ treffenden Wörter); die eigentliche Buchstaben-Rechnung kam jedoch erst durch Vieta (um 1600) auf.

§ 3. Der Buchstabe in der Arithmetik.

17) Berechne a) (2ac 4~ bc) : c b) (2a+l>4-2ac4-bc): (c4~l) c) (3ac — bc -f- c) : c für die Substitutionen: «) a =10, b = 4, c = 1 y) a ---- 9, b = 6, c = 4

13

d) (6ac—3a—2bc + b): (2c—1) e) (aa—bb-|-2bc—cc):(a-|-b—c) f) (4 aa — 3 ac — cc): (a — c) ß) a== 12, b = 10, c = 3

ö) a = 20, b — 10, c= 9.

18) Substituiere in den folgenden Ausdrücken a + b für x:

a) b) c) d)

x — 3y + z 3y + z — x 3x — 5y + z 2y 4~ 4z — 5x

e) 2[y + z —x] f) 5y —(z —x) g) 4 (y + x) — z h) (j + z): x-

19) Substituiere a + b für x und a — b für y in:

a) 4x + 5y — z b) 9 (x + 4) + 7y — z c) 3y —x 4- 5z

d) 4y + z — (x — z) + 13 e) x : y + x : z f) 3 : x — 5 : 7 • y»

Hryorrfchr» j« Abschnitt I. Arithmetik trieben schon die Alten, namentlich die Inder und Ägypter. Die Griechen beschäftigten sich mehr mit Geometrie, im Anschluß daran auch mit Arithmetik. (Pythagoras um 500 vor Christi Geburt, Euklides um 300 vor Chr. G., Archimedes, der 212 bei der Belagerung von Syrakus erschlagen wird, Nikomachos um 100 nach Chr. G., Diophantos um 300 nach Chr. G.) Die vier Operationszeichen, ebenso wie das Gleichheitszeichen und die beiden Ungleichheitszeichen, kamen im 16. und 17. Jahrhundert in Gebrauch (Leibnitz um 1700). Klammern kommen zuerst im 17. Jahrhundert vor und wurden im 18. Jahrhundert gebräuchlich. Buchstaben für unbestimmte Zahlen gebraucht zwar schon Diophantos (Anfangs- und Schluß-Buchstaben der be­ treffenden Wörter); die eigentliche Buchstaben-Rechnung kam jedoch erst durch Vieta (um 1600) auf.

Zweiter Abschnitt.

Operationen erster Stufe. § 4.

Hegriff der Addition.

Theorie. 3+4 = 7. 3 b folgt b < a und umgekehrt. VII) Eine Ungleichung behält ihr Ungleichheitszeichen erstens, wenn man da, wo die größere Zahl steht, eine ihr gleiche oder eine noch größere Zahl einsetzt; zweitens, wenn man da, wo die kleinere Zahl steht, eine ihr gleiche oder eine noch kleinere einsetzt. Also in Formelsprache: a >> b a >» b a >> b a < b a a c= b c b

a> c

a> c

c< b

c a c< b c< a c> b c> b

a >> c

c< b

c >a.

16

§ 4.

Begriff der Addition.

D. Begriff der Addition. Eine Zahl b zu einer Zahl a addieren heißt zu den Einheiten von a die Einheiten von b hiuzuzählen. Die Zahl a nennt man wohl den Augendus, die Zahl b den Addendus (doch siehe E). Da man nur gleich­ benannte oder unbenannte Einheiten zählen kann, so hat auch nur die Addition von gleichbenannten oder unbenannten Zahlen einen Sinn.

E. Vertauschungsgesetz und Verbindungsgesetz. Aus dem Begriff der Addition folgt unmittelbar die Richtigkeit der oben mit I und II bezeichneten Gesetze, die in Worten so ausgesprochen werden können: I) Vertauschungsgesetz: Die beiden Summanden einer Summe dürfen vertauscht werden, ohne daß dadurch die durch die Summe dargestellte Zahl sich verändert, z. B.: 6-f- 4

4 4* 6

II) Verbindungsgesetz: Eine Summe wird zu einer Zahl addiert, indem man den ersten Summanden addiert und zur er­ haltenen Summe den andern Summanden addiert. Z. B.: 3 4~ (7 4* 8) = 3 4~ 7 4~ 8. Wegen des Vertauschungsgesetzes braucht man zwischen dem Aug end us und dem Addendus, wenn es nur auf das Ergebnis ankommt, nicht zu unter­ scheiden; man bezeichnet die beiden Zahlen daher zusammenfaffend als Sum­ manden oder auch wohl als Addenden, Posten, Terme, Glieder. Das Berbindungsgesetz kann noch auf mannigfache andere Weise aus­ gesprochen werden, namentlich auch so: Wenn man den einen Summanden einer Summe um eine gewisse Zahl vergrößert, so wird auch die Summe um dieselbe Zahl vergrößert. Aus dem Vertauschungsgesetz und dem Verbindungsgesetz ergibt sich noch eine Reihe von andern Formeln, die der Kürze wegen auch Verbindungsgesetze heißen sollen. Z. B.: a-|-b4-c = a4'(l,4~c) = a4-(c4"b) = a4-c 4~ b a -f- (b 4" c) = a 4* b 4- c = (a 4- b) 4* c = c + (a 4~ b) a4-(b4'c4-d) = a4-(b4-c)4~d = a-|-b4-c4- q a = a (subtr.)

109) a 4- b = c 4~ d b < c (subtr.)

110) 2a 4- 3b < 5c 3b = 2c (subtr.)

111) 3a 4~ b = x 4- y 3a > y (subtr.)

112) a > u 4- v b 7b (subtr.)

114) Sprich die sechs Schlüsse unter F in Worten aus.

Was kann man aus folgenden Ungleichungen für x schließen: (vergl. G)

115) 118) 121) 124)

x 4- 5 > 8 116) x — 3 < 7 14— x 8 25 4-x< 43 122) x 4- 99 < 120 5a —3b —x>2a—7b.

117) 8 4- x> 15 120) 10—x>2 123) x —5a>b

8 7. Erste Erweiterung -es Zahlengebiets. (Mull und negative Zahlen).

Theorie. I) Definitiv«: (a—b)4-b = a, auch wenn a nicht größer als b ist. II) Definition der Null: a — a = 0. III) Definition der negativen Zahlen: a— (a4-n)=0 — n = — n. IV) a + 0 = a, 0 4- a = a, a — 0 = a. V) a4-(—n)=a—n, a—(—n)=a4-n, (—n)—a=—(n4-a). A. Begriff der unausführbaren Differenzform.

Aus der Definition der Subtraktion als der Umkehrung der Addition ergibt sich, daß a — b, wenn a gleich b oder kleiner als b ist, eine bloße Bereinigung dreier Zeichen ist, welche zwar die Form einer Differenz hat, aber insofern noch sinnlos ist, als sie keine Zahl im Sinne des § 4 (kein Ergebnis des Zählens) darstellt. Hierin liegt aber noch kein Grund, solche

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

33

Differenzformen aus der Arithmetik zu verbannen; um so weniger, als die Zulassung derartiger Differenzformen die Sprache der Arithmetik wesentlich vereinfacht. Wir erklären deshalb, auch wenn a gleich b oder kleiner ist als b, a — b als eine Differenzsorm, welche, wenn sie auch keine Zahl darstellt, doch der Definitionsformel der Subtraktion (a — b) 4- b = a gehorchen soll.

B. Definition der Null und der negative« Zahlen. Für solche Differenzformen gelten dann ohne weiteres die Gesetze des § 6. Denn diese stützen sich einzig und allein auf die Definitionsformel (a — b) + b = a, deren Geltung wir auch für die neuen Differenzformen gefordert haben. Bon besonderer Bedeutung sind hier die Formeln V des § 6. Sie sprechen die Gleichheit aller Differenzformen aus, die man aus einer bestimmten Differenzform erhält, indem man Minuendus und Subtrahendus um dieselbe Zahl vermehrt oder vermindert. Daraus folgt zunächst die Gleichheit aller Differenzformen, bei denen der Minuendus gleich dem Subtrahendus ist. Es ist also a—a=b — b=c—c usw.

Kür a — a setzt man das Zeichen 0 (gelesen: „null"). Eine Differenzform, bei welcher der Minuendus kleiner ist als der Subtrahendus, kann man schreiben: a — (a 4- n). Sie ist nach dem oben ge­ nannten Gesetz (Formeln V des ß 6) gleich jeder andern Differenzform, die man erhält, wenn man den Minuendus und den Subtrahendus um dieselbe beliebige Zahl vermehrt oder vermindert, oder, was dasselbe ist, wenn man an Stelle von a eine beliebige andere Zahl einsetzt. So ist z. B.:

7 — 9 = (7 — 4) — (9 — 4) = 3 — 5 oder 7 —[(7 4- 2) = 3 — (3 4- 2) = 3 — 5 oder allgemein a — (a 4- n) = b — (b 4~ n). Das heißt: Es sind alle Differenzformen gleich, bei denen der Subtrahendus um dieselbe Zahl n größer ist als der Minuendus. Es ist daher zweckmäßig, von allen diesen untereinander gleichen Differenzformen eine als Vertreter der ganzen Gruppe auszuwählen. Dafür eignet fich am testen die Differenzform, in welcher der Minuendus gleich 0 ist, in der also der Subtrahendus die genannte Zahl n ist, welche die ganze Gruppe von Differenzformen auszeichnet. Nach der Formel V1 des § 6 ist nämlich:

a — (a 4~ n) = (a — a) — (a 4~ n — a) = 0 — n. Statt der Differenzform 0 — n setzt man endlich das abkürzende Zeichen — n, also:

a — (a 4- n) = 0 — n = — n (gelesen: „minus n"), z. B.: 7 —9=7 —(7 4-2)=(7 —7) —(7 4-2 —7) = 0 — 2= —2.

Da die meisten Gesetze der Arithmetik nicht bloß auf Zahlen, sondern auch auf die eben definierten Zeichen 0 und—n anwendbar sind, so nennt man, Schubert und Schnmpelick, Arithmetik. Heft 1.

3

34

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

der Kürze wegen, auch diese Zeichen 0 und —n „Zahlen". Wenn man die Zahlen — 1, — 2, — 8, — 4, — 5 usw. den eigentlichen Zahlen im Sinne des § 5, also 1, 2, 3, 4, 5 usw. gegenüberstellt, so nennt man erstere negative, letztere Positive Zahlen.

C. Graphische Darstellung. Bei der graphischen Abbildung (§ 4) der positiven Zahlen ist das Bild der Zahl a — 1 immer um einen Schritt links von dem Bilde der Zahl a. Will man also dieses Abbildungsverfahren nach links von 1 fortsetzen, so hat man den Punkt, welcher einen Schritt links von 1 liegt, mit 1—1, d. h. mit 0, den Punkt, welcher noch einen Schritt links von 0 liegt, mit 0 — 1, d. h. mit — 1 zu bezeichnen, und so fort. So entsteht die folgende Abbildung:

-----1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ 1------ !------ 1----—5—4—3—2—1 012345 Durch die Einführung der Null und der negativen Zahlen wird also das Zahlengebiet in dem Sinne erweitert, daß bei der graphischen Abbildung nun auch Punkte links von 1 Zahlen darstellen können.

D. Relative Zahlen, Vorzeichen, absoluter Betrag. Da 0 + a oder a 4* 0 = a 4~ (b — b) = a 4 b — b = a und auch a — 0 = a — (b — b) = a — b + b = a ist, so ergibt sich der Satz: Sitte Zahl bleibt ungeändert, wenn man sie um Null vermehrt oder vermindert. Da nun 0 — n = — n ist, und da ferner 0 4- n = n ist, so liegt es nahe, für n auch 4- n zu schreiben. Demgemäß sagt man statt „positiver und negativer Zahlen" auch „Zahlen mit dem Vorzeichen plus" und „Zahlen mit dem Vorzeichen minus." Von den beiden Vorzeichen 4- und — heißt das eine das „entgegengesetzte" oder das „umgekehrte" des andern. Mit Vorzeichen versehene Zahlen nennt man relative Zahlen. Streicht man von einer relativen Zahl das Vorzeichen fort, so entsteht eine Zahl, die man den absoluten Betrag der relativen Zahl nennt. 3 SB. 4- 7 ist eine positive Zahl, ihr absoluter Betrag ist 7, — 7 ist eine negative Zahl, ihr absoluter Betrag ist auch 7. Eine positive und eine negative Zahl heißen „einander entsprechend", wenn ihre absoluten Beträge gleich sind, z. B. + 7 und — 7. Setzt man in 0 4- n= 4- n und in 0 — n = — n die Zahl n gleich null, so gelangt man zu dem Begriff von 4~ 0 und — 0 und zu der Er­ kenntnis, daß sowohl 4- 0 als auch — 0 gleich 0 zu setzen ist. Man zählt deshalb auch die Zahl Null zu den relativen Zahlen.

E. Rechenregeln. Je nachdem eine negative Zahl als Summandus oder als Subtrahendus oder als Minuendus auftritt, hat man eine der drei folgenden Regeln an­ zuwenden.

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

35

1) Eine negative Zahl wird addiert, indem man ihren absoluten Betrag subtrahiert, denn: a 4- (—n)=a + [b — (b + n)] = a -|- b—(b-|-n)=a-|-b—b—n=a—n, oder: a -s- (— n) = a + (0 — n) = a -|- 0 — n = a — n. 2) Eine negativeZahl wird subtrahiert, indem man ihren absolute» Betrag addiert, denn: a — (—n) = a— [b—(b + n)] = a—b -|— (b -J- n)=a—b + b -)-n=a -|- n, oder: a — ( — n) == a — (0 — n) = a — 0 + n = a + n. 3) Bon einer negativen Zahl wird subtrahiert, indem man zu ihrem absoluten Betrage addiert und die entstandene Summe negativ setzt, denn: (— n) — a= [b — (b 4~ n)] — a = b — (b + n + a) = b — [b -|- (n + a)] — — (n + a)oder: ( — n) — a = (0 — n) — a = 0 — (n + a) = — (n 4~ a). Die Zahl a in den voranstehenden drei Nummern kann selbst positiv, null oder negativ sein. Z. B.: (+ 4) +(— 7) = (+ 4) - 7 = 4 — 7 = — 3 (— 4) +(- 7) — (— 4) — 7 = — (4 4- 7) ,----------11 (+ 4) —(— 7) = (4- 4) 4- 7 = 4 4- 7 = 4- H (— 4) -(— 7) =(— 4) 4- 7 = 7 - 4 = + 3 04-(— 7) = 0 — 7= — 7 0 — (— 7) 0 4~ 7 4- 7. Aus den obigen drei Regeln ergeben sich für das Rechnen mit relativen Zahlen die folgenden praktischen Regeln:

Regeln für das Rechnen mit relative« Zahlen.

I.

Man snbtrahiert eine relative Zahl, indem man die entsprechende mit dem Umgekehrten Vorzeichen versehene Zahl addiert. Z. B.: (- 4)-(4- 7) = (— 4) 4- (— 7) und (- 4) - (- 7) = (- 4) 4- (4- 7).

II. Man addiert zwei Zahlen mit gleichen Vorzeichen, indem «au der Summe ihrer absoluten Beträge das gemeinsame Vorzeichen gibt. Z. B.: (+ 4) 4- (+ 7) = 4- 11 und (- 4) 4- (- 7)--------- 11.

III. Man addiert zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen, indem mau der Differenz ihrer absoluten Beträge das Vorzeichen der größeren gibt. Z. B.: (— 4) 4" (4-7) = + 3 und (4- 4) 4" (— 7) — — 3 Da die Reihe der negativen Zahlen durch wiederholtes Hinzufügen von — 1 entsteht, nennt man — 1 die Einheit der negativen Zahlen. Dem An­ fänger im Rechnen mit relativen Zahlen bietet es oft eine Erleichterung, toemt er jede positive Zahl als Summe von positiven, jede negative Zahl als Summe von negativen Einheiten auffaßt und berücksichtigt, daß gleiche Anzahlen positiver und negativer Einheiten sich bei der Addition gegenseitig aufheben. In dem Ausdruck (— 17) 4- (4- 9) heben sich z. B. 9 von den 17 negativen Einheiten gegen die 9 positiven Einheiten von (4- 9) auf, es bleiben also 8 negative Einheiten übrig, d. h. es ergibt sich die Zahl — 8.

36

§ 7.

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

(Null und negative Zahlen.)

über die graphische Veranschaulichung des Rechnens mit relativen Zahlen siehe Aufgabe 18) bis 23).

F. Vorteile der Einführung -er Null und der negativen Zahlen.

1) Jedes Aggregat von p Gliedern kann man als Summe von p relativen Zahlen auf fassen. Man nennt eine solche Summe von relativen Zahlen eine algebraische Summe. Es ist z. B.: 9 + 4 — 3 — 2 + 18 — 1 + 5 = (+ 9) + (+ 4) + (— 3) + (— 2) + (+ 18) 4- (— 1) + (+ 5) eine algebraische Summe der sieben Summanden + 9, 4- 4, — 3, — 2, + 18, — 1, + 5. 2) Bei der Berechnung eines Aggregats kann man jetzt stets die Reihen­ folge der Glieder beibehalten. Z. B.: 5 — 18 — 3 4 5 — 64-30 kann man jetzt so berechnen: 5 —18---— 13, —13 — 3 ----- - 16, — 16 + 5 = — 11, — 11 — 6 = —17, —17 + 30= 4- 13. 3) Aus jeder richtigen Gleichung erhält man wieder eine richtige Gleichung, wenn man zugleich allen Gliedern der linken Seite und allen Gliedern der rechten Seite das entgegengesetzte Zeichen gibt. Um dies einzu­ sehen, subtrahiere man die Gleichung von 0 = 0. 4) Diese Regel kann man anwenden bei der Lösung von Bestimmungs­ gleichungen. Aus der Gleichung 7 — x ---- 5 kann man z. B. durch Transposition von 7 schließen — x = 5 — 7 = — 2 und erhält hier­ aus nach 3) die Lösung x = 2. 5) Gleichungen, die vor Einführung der Null und der negativen Zahlen als nicht lösbar erscheinen mußten, können jetzt als lösbar erkannt werden. Z. B. ergibt 4 — (x 4- 7) --- 2 die Lösung x = — 5. 6) Auch bei benannten Zahlen gewährt die Einführung negativer Zahlen oft eine Vereinfachung. So kann man z. B.: a Schritte rückwärts als — a Schritte vorwärts a d fallen zu lassen, zweitens diese Schlüffe ebensowohl wie die Schlüffe in § 40 und I auch auf den Fall auszu­ dehnen, daß die verglichenen Zahlen positiv, null oder negativ sind. Z. B.: + 7 > —2 — 4=—4 0< + 5 — 2 >— 3 4- 1> —1 (add.) —2> —3 (subtr.)

+ 7>—3

— 8> —5

2 < + 8.

Aufgabe«. 1) Gib Differenzformen an, welche der Differenzform a) 8 — 8, b) 9 — 11, c) 13 — 41, d) 1.28 — 400, e) 428 — 428, f) 7100 — 8100 gleich­ gesetzt werden dürfen. 2) Wie schreibt man kürzer für a) 20 — 20? b) 18 — 25? c) 700 — 920? 3) Inwiefern ist die Formel (§ 6, Nr. 6) b — e -s- a — h -j- a — o in § 6 noch sinnlos, wenn b < c ist, und inwiefern erhält sie durch diesen Paragraphen Sinn? 4) Was ist a — b — c, wenn a = b 4- c ist? 5) Was ist 5a —5a? 6) Was ist 5a—(5a 4- 1)? 7) Was ist a) 16 4- 0? b) 0 4-16? c) 16 — 0? d) 0 — 16? e) 0 4- 0? f) 0 — 0? 8) Wieviel Einer haben die Zahlen 40, 150, 7000? 9) Warum darf die Null bei 40 nicht fortgelassen werden, während doch bei 4 4- 0 das Zeichen 4- 0 fortgelassen werden darf? 10) Weshalb pflegt man vor eine Zahl nie eine 0 zu setzen und schreibt z. B. 713 und nicht etwa 0713? 11) Was ist (a — n) — a? 12) Was wird aus der Formel a — (b 4- c) = a — b — c, wenn — c statt c substituiert wird? 18) Wie heißt der absolute Betrag der Differenzen: a) 16 — 19, b) 19 — 16, c) 24—124, d) 124 — 24? 14) Was wird aus der Definitionsformel der negattven Zahlen a — (a 4- n) — — n, wenn n — 0 gesetzt wird? 15) Formuliere und beweise den Satz: „Die Summe zweier verschiedener relattver Zahlen von gleichem absolutem Betrage beträgt 0.* 16) Gilt der Satz, daß eine Summe größer ist als einer ihrer Summanden, auch dann, wenn der andere Summand negattv ist? 17) Wie ändert sich das Resultat der Subtraktion, wenn man Minuenims und Subtrahendus miteinander vertauscht? 18) Die durch a 4- b geforderte Addition kann man graphisch darstellen, indem man von dem Punkt, der die Zahl a darstellt, um b Schritte vorwärts, d. h. nach rechts geht. Um auch die durch a 4- (— b) ge-

88

§ 7.

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25)

26)

27)

28)

29) 30)

31)

32) 33)

Erste Erweiterung des Zahlengebiets.

7 — 4 = — 4 (subtr.)

146)

a 2> b — c -< — d (subtr.)

147)

a — d (subtr.)

148)

a 4~ x < 18 — a < — b (add.)

149) 2x — 4 (subtr.)

150) Was folgt, wenn man von der Gleichung 0 = 0 die Ungleichung 7 > 5 subtrahiert? 151) Beweise, daß aus a > b folgt: —a< — b 152) Wird eine negative Zahl kleiner oder größer, wenn ihr absoluter Betrag größer wird? 153) Drücke durch eine Ungleichung aus, a) daß x eine positive Zahl ist, b) daß x eine negative Zahl ist. 154) Was bedeutet: a)—7 b 2) a = b o > d (div.) c = d (div.) a:c > b: d a : c a:e

6) b > a d < o (div.)

b:d > a: c b: d < a:c Dabei ist vorausgesetzt, daß a, b, c, d positiv sind, sowie daß c ein Teiler von a und d ein Teiler von b sei. Um 1) zu beweisen, schließe man aus a >» b, a = b + p, too p eine positive Zahl bedeutet, und dividiere nun links durch c, rechts durch d. Dann findet man durch Anwendung der Formel VIII: a:c = b:d-|-p:d, also a: c > b : d. Um 2) in derselben Art zu beweisen, schließe man aus c > d, c = d + p, wo p eine positive Zahl bedeutet. Dann ergibt sich: a: c = b : (d + p). Durch Anwendung von Formel X erhält man b : (d + p) = b : d + (— bp): [d (d + p)J. Also ist b : (d + p) d. h. a: c, kleiner als b : d, nämlich um bp : [d (d -j- p)J. Analog ist 3) zu beweisen.

§ 10. Gesetze der zweiten Stufe.

69

H. Transpofitionsregel zweiter Stufe für Ungleichungen. Aus den Schlüssen 1) und 4) von H und den entsprechenden 2) und 5) von K in § 8 folgt, daß für Ungleichungen, unter Voraussetzung positiver Zahlen, dieselbe Transpositionsregel zweiter Stufe gilt wie für Gleichungen. Denn: 1) a • b > c 2) a • b < c 3) a : b >■ c 4) a : b c b = b (div.) b = b (bto.) b = b (mutt.) b = b (mutt.)

a

>c:b

a

< c: b

a

> c • b

a

< c • b

Airfgaberr. 1) Setze in die Formeln I bis IV rechts die überflüssigen Klammern. 2) Die Formeln I bis IV sollen vorwärts und rückwärts in Worte über­ setzt werden, a) so daß jeder Satz mit „anstatt" anfängt und bei dem Gleichheitszeichen „kann man auch" gesagt wird, b) so daß bet dem Gleichheitszeichen „indem man" gesagt wird. 3) In welcher von den Formeln I bis V ist das Gesetz ausgesprochen: „Statt ein Produkt durch c zu dividieren, kann man auch den einen Faktor durch c dividieren." 4) Beweise die Formeln I bis X nach dem Vorbild des in A. für die Formel III gegebenen Beweises. 5) Gib bei jeder der Formeln I bis V an, welche Formel aus § 6 ihr entspricht. 6) Übersetze die Formel b • a : c = b : c • a a) vorwärts, b) rückwärts. 7) Beweise die Formel in 6) dadurch, daß aus ihrer linken Seite die rechte Seite allmählich entwickelt wird, und zwar so, daß zuerst das Vertauschungsgesetz der Multiplikation, dann die umgekehrt gelesene Formel II und dann nochmals das Vertauschungsgesetz angewandt wird (vgl. § 6, Nr. 7). Beweise die folgenden Formeln a) nach dem Vorbilde von Aufg. 7) b) nach dem Vorbilde der Beweise in A (Aufg. 4) (vgl. §11, Formel IV):

8) a : b • c = a • c : b 10) a: (b : c) = a • (c : b) 12) (a : n) • (b • n) = a • b

9) a : b : c = a : (b • c) 11)a: (b • c • d) = a: b : c: d 13) (a • n) : (b • n) = a : b

14) Sprich in Worten aus: a) die Formel in Aufg. 12), b) die Formel in Aufg. 13), beide rückwärts gelesen. 15) Formuliere arithmetisch und beweise die Sätze: a) „Multipliziert man das Produkt zweier Zahlen mit ihrem Quotienten, so erhält man die als Dividendus genommene Zahl mit sich selbst multipliziert"; b)„Divi­ diert man das Produkt zweier Zahlen durch ihren Quotienten, so erhält man die als Divisor genommene Zahl mit sich selbst multipliziert." 16) Sprich aus und beweise (vgl. § 11, Formel V):

a) (a : b) • (e : d) = (ac) ; (bd) b) (a : b): (c : d) = (ad) : (bc)

70

§ 10. Gesetze der zweiten Stufe. 17) Gib die Formeln aus § 6 an, die den hier in 8) bis 13), 15), 16) aufgestellten Formeln entsprechen. 18) Beweise die Formel: (a -j- b — c):m = a:m-f-b:m — o : m. 19) Sprich aus und beweise die Formeln: a) a: b + c : d = (a • d + b • c): (b • d) (vgl. E) b) a : b — c : d = (a • d — b • c) : (b • d) 20) Mit welcher Zahl erweitert man den Quotienten a: b, wenn man ihn gleich (— a): (— b) setzt? 21) Ihn wieviel wächst ein Quotient, wenn sein Dividendus um das Dreifache des Divisors wächst?

Berechne jeden der folgenden Ausdrücke: a) vor Anwendung der Formeln I bis X, b) nach Anwendung dieser Formeln: 22) 30 • (32 : 16) 23) 32 ; (16 : 2) 24) 32 : (16 • 2) 25) (24 + 8): 4 26) (24 — 8) : 4 27) (9 • 11): (3 ■ 11) 28) (64 + 128 —16 —8 + 32): 8 29) 2048 : (512 : 4 : 2) 30) (64 4- 128 — 16 — 8 -1- 32) ; (— 8) 31) 3125 - 8: (5 - 2) 32) 576 • 52 : [100 : (12 ; 3)] 33) (4 • 32-1-81 — 6 ■ 6):9. Jeder der folgenden Ausdrücke soll a) so wie er dasteht, berechnet werden, b) in einen Quotienten verwandelt werden, dessen Dividendus und dessen Divisor ein Produkt ist (vgl. E), c) dadurch berechnet werden, daß man den so er­ haltenen Dividendus und Divisor ausrechnet und die erhaltenen Zahlen nach dem bekannten Divisions-Verfahren dividiert: 34) 3 • 4 • 5 • 6 : 10 : 9 35) 3 - 9 - 24 : 54 - (7 - 3) 36) (1001 : 11) : (26 : 2) : (21 : 3) 37) 323 9 - 999 : 51 : 57 : 37 38) 52 • 51 • 50 : (1 • 2 • 3 • 4 • 5) • [49 • 48 : (6 • 7)] 39) 23 • 53 • 72 : 20 ; (245 ; 7) • (81 : 3) : (135 : 5) 40) (- 1) (- 2) (- 3) (- 4) : [8 : (- 1)] - [- 100 : (25 : 5)]. Die folgenden Quotienten sollen so berechnet werden, daß man durch passend gewählte Faktoren hebt, bis schließlich der Divisor gleich 1 wird (vgl. D): 41) 3424 • 63 : (107 -48-7) 42) 1048576 • 9 : (9216 • 128). 43) 52 - 51 50 - 49 -48 : (1 - 2 - 3 - 4 5 - 6 - 7) 44) (— 32) - 31 - 30 - 29 : [24 • (— 116)] 45) 6 36 216 - 1296 • 153 - 333 • 16 : (4 • 8 • 16 • 81 • 34 • 148)

Die folgenden Ausdrücke sollen mit Anwendung der Gesetze zweiter Stufe möglichst vereinfacht werden: 46) 2a • [3b: (6a)] 47) 8a: [12a: (15b)] 48) 9x : 12x:(8b)] 49) 5x - [4y : (10x)] 50) 7a • 2x : (14a] 51) 15ac : [30ac : (2d)] 52) 128abcd:(4ab):(4cd) 53) 128a7b3 : (4a2b): (4a2b) 54) 25ab • [6bc : (30ab2)] 55) 18x2 y • [15xyz : (45x2y2)]

§10. Gesetze der zweiten Stufe.

56) 57) 58) 59)

71

14a2x : [63a2x2y2 : (27x2y3)] 36a2b3c4 : [84a3b2c : (35a4b3)] 24a5b : [30a3 : (5b3c)]: (ab2) 14a4b4c2: (13d3e3): [7a2b2 : (26d5e5)]

Die folgenden Quotienten sollen gehoben werden. Dabei ist zu beachten, daß der dem Dividendus und dem Divisor gemeinsame Faktor oft erst durch .Absondern" erkennbar wird.

60) 62) 64) 66) 68) 69) 70) 71) 72) 73)

61) 3a4bcd: (a4c) abcd : (abe) (60 a + 60b); [(a + b)c] 63) (7a—7bc):(a —bc) (5x — 5y—5 z): (x—y—z) 65) (24a3 — a2b) : (24 a — b) (x — y) • uv:(3ax 3ay) 67) (x — y)s : (3x — 3y) (27a5b2 — 18a4b3) : (21 a2 — 14ab) (llx5y — 77x3y3 -s- 121 xy5) : (3x5 — 21x3y2 -s- 33xy4) (ab — ac + db — dc) de) : (eb — ec -f- fb — fc) (9ab — 6ac— 15b + 10c): (3b —2c + 42ab — 28ac) (5m7—10m4p3); (5m4q3—10m4p3) (a«bcd —2a5b2cd) :(a—2b)2

Bei den folgenden Beispielen sollen die Divisionen nach den Formeln VIII und IX ausgeführt werden. Die entstehenden Ausdrücke sind dann mög­ lichst zu vereinfachen.

74) 76) 77) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85) 86)

(11a + 11b + 11c): 11 75) (34a — 34b + 34c — 51d): 17 [4(a + b) — c(a + b) + 3d(a + b)J : (a + b) (12ab — 16ac + 24bc) ; 4 + (18ab —27ac + 81 bc): 9 (3ab —4ac -J- ad):a —(4b2 -s- 9bc — 13bd) ;b [4 (p + q)a —3b(p + q) + 7c(p -s- q)] : (p + q) (7 a3 -s- 4 a2 b -s- 9 a2 c — a2d) : a2 — (4 b2 — 9 b c) : b (axy — 4axyp 4- 3axyq — 7axyr) ; (axy) m + (39pq + 52p2 — 117mp): 13p 57a—[(4x -s- y)p — (3x + a)p -s- (58a — x)p] : p 4a + 8b — c — (6ab + 4ac 4* a2) : a 3(2x — y) — [4x(2x — y) — 9y(2x — y)] : 2x — y) [(5a+ 4b)x —(3a —b)x]: x—[a(x + y) + 4b(x + y)J: (x-s-y).

Das unter F gezeigte ausführliche Verfahren, welches zur Verdeutlichung des abgekürzten Divisionsverfahrens dient, soll bei den folgenden Divisionen­ angewandt werden:

87) 294:7 90) 36301: 31

88) 14294 : 7 91) 45421:857

89) 14564 ; 11 92) 130321; 6859.

§ 10. Ersetze der zweiten Stufe.

72

Führe nach der in F angegebenen Vorschrift folgende Divisionen alge­ braischer Summen aus: 98) (15ae — 21ad + 20bc — 28bd): (5c — 7d) 94) (44abpq — llpqc -s- 12ab — 3c): (4ab — c) 95) (a2 4- 8a -s- 15):(a + 3) 96) (a2—8a + 15): (a — 3) 97) (a2 — b2): (a — b) 98) (a2 — b2): (a + b) 99) (49a2—121b2): (7a—11b) 100) (x2 + 2xy -|- y2 — z2) : (x 4* y — z) 101) (3a2 — 4b2 — 5c2 -s- ab 4~ 2ac — 9bc): (a — b — c) 102) (a2 + b2 + c2 + 2ab -s- 2ac + 2bc): (a + b + c) 103) (x3 — y3) : (x — y) 104) (x3 + y3) : (x + y) 105) (x3 4- 8y3) : (x 4- 2y) 106) (27x3 — 8y3): (3x — 2 y) 107) (x4 — y4): (x — y) 108) (x4 — y4) : (x 4- y) 109) (24m2 4~ 6inn — 4m — 3n2 — 2n) ; (2m 4~ n) 110) (15x4 — 7x3 4- 15x2— 7x 4- 4) : (3x2 — 2x 4- 1) 111) (—2a4 — 7a3 4- 82a2 — 145a 4- 72) : (9 — 8a — a2) 112) (1 — 18a3 4- 81a6 —49a10): (1 — 9a3 4- 7a5) 113) (y3— 18y5 4- 81y7):(l —6y 4- 9y2) 114) (7x4 4- 16x° — 2x2 — 1) : (4x3 — 3x2 4* 2x — 1) 115) (125a3 4- 343): (25a2 —35a 4-49) 116) (1 —3125a10) :(1 4- 5a2 4- 25a4 4- 125a6 4- 625a8) 117) (16a4b3 — 40a5b2 4- a6b 4- 15a7) : (3a2 — 4ab) 118) (10x7 -|- 8x5y2 — 11 x6y 4~ 17x4y3 — 12x3y4) : (2xy 4- 5x2 —3y2) 119) (9ab7 —a3b5 4- 7a2b6— 9b84- 10a4b4) : (2ab3—3b4 4- 5a2b2) 120) (—a7 4- 12a5b2 —48a3b44-64ab6):(12a2b24-6a3b4-a44-8ab3). Löse folgende Gleichungen: 121) 3 • (4 x) • 14 : 21 — 5 = 11 122) 72 : (3x) — 3 = 1 123) 12 —[72; (x: 3) —4] =8 124) 20 = 144 : (27 : x) 4- 4 125) 1000: [130 :(x 4-4)] = 100 126) (3x — 24): 8 4- 5 = 8 127) [70 — 5 (x — 3)]: 10 = 4 128) 18x ; 27 4- 6 = 12 129) (33ax4-77b):ll = 7b4-8a 130) a ; (b : x) = c : d 131) (a 4- b) x = a2 4- 2ab -j- b2 132) (3a 4-2b)x = 21a2 4-14ab — m3 133) (2a4-b)x=4a2—4ab — 3b2 134) (m 4~ n) x — n3 = 135) (p — q 4- r) x = p2 — q2 4- rp 4- rq 136) a2 — x (a — 3b) = 3ba — ca -f~ 3bc. Führe die folgenden Schlüsse aus: 138) 8a < 72 137) 4x< 8y 4=4 (div.) 8 = 8 (div.)

140) ab > cd a ■< c (div.)

139) 8a = 18b 8 < 9 (div.)

141) 15 a = (b + c) p 142) am < 5p m > p (div.) 5 > p (div.)

Was kann man aus folgenden Ungleichungen für x schließen (vgl. H)3

143) 7 x > 21 146) x : 5 > 7 149) 15 :x > 3

144) 5x 15 147) x : 8 < 3 150) 18 ; x < 6

145) ax < ab 148) x ; a > b 151) (a2—b2):x^>a-s-b.

§11.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

(Gebrochene Zahlen)

73

§ 11.

Zweite Erweiterung -es Zahlengebiets.

(Gebrochene Zahlen.)

Theorie. Definition:

I)

• b = a, auch wenn b kein Teiler von a ist.

c b’

A. Begriff der unausführbaren Quotienten.

Aus der Definition der Division als der Umkehrung der Multiplikation ergibt sich, daß a: b, wenn a kein Vielfaches von b ist, eine bloße Bereinigung dreier Zeichen ist, welche zwar die Form eines Quotienten hat, aber insofern noch sinnlos ist, als sie keine Zahl im Sinne des § 4 und auch keine Zahl im Sinne des § 7 darstellt. Hierin liegt aber noch kein Grund, solche Quo­ tientenformen aus der Arithmetik zu verbannen, um so weniger, als die Zu­ lassung derartiger Quotientenformen die Sprache der Arithmetik wesentlich ver­ einfacht. Wie erklären deshalb auch wenn a kein Vielfaches von b ist a: b als eine Quotientenform, welche der Definitionsformel der Division

a;b • b = a gehorchen soll. B. Definition der gebrochenen Zahlen.

Für solche Quotientenformen gelten dann ohne weiteres die Gesetze des § 10. Denn diese stützen sich einzig und allein auf die Definitionssormel der Division, deren Geltung wir auch für die neuen Quotientenformen gefordert haben. Wegen der Formel Vy des § 12 kann man bei jeder Quotientenform, deren Dividendus und Divisor noch einen gemeinsamen Teiler haben, durch diesen Teiler heben, d. h. Dividendus und Divisor durch diesen Teiler divi­ dieren, und die erhaltene Quotientenform gleich der ursprünglichen setzen. Z. B.: 14:6 — 7:3, 60 : 75 = 4 : 5, 12 :108 = 1 : 9 Da die meisten Gesetze der Arithmetik nicht bloß auf Zahlen, sondern auch auf die eben definierten Quotientenformen anwendbar sind, so nennt man diese, der Kürze wegen, auch „Zahlen", und zwar „eigentlich gebrochene

74

§11. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.)

Zahlen" oder „eigentliche Brüche" im Gegensatz zu den Zahlen des § 5 und des § 9, welche „ganze Zahlen" heißen. Da aber ganze Zahlen auch in Quotientenform geschrieben werden können, z. B.: 5 = 5:1 = 15:3, so ist es zweckmäßig, für ganze und eigentlich gebrochene Zahlen, insofern sie beide in Quotientenform gedacht sind, einen gemeinsamen Namen zu haben. Wir nennen deshalb gebrochene Zahl oder Bruch jede in Quotientenform geschriebene Zahl, mag sie nun ganz oder eigentlich gebrochen sein. Wollen wir dagegen besonders ausdrücken, daß bei einer Quotientenform der Dividendus sicher kein Vielfaches des Divisors ist, so setzen wir das Adjektiv „eigentlich" vor die Wörter Bruch oder gebrochene Zahl. Beim Schreiben der gebrochenen Zahlen wendet man als Divisionszeichen statt des Doppelpunkts meist einen wagerechten Strich, den „Divisionsstrich" oder „Bruchstrich" an, über den man den Dividendus und unter den man den Divisor stellt. Statt Dividendus sagt man dann„Zähler", statt Divisor„Nenner". Statt „a dividiert durch b" sagt man meist a d-tel" („tel" entstanden aus „Teil"), z. B. fünf achtel, sieben drittel, drei halbe usw. Einen Bruch umkehren heißt, einen neuen Bruch bilden, dessen Zähler der Nenner des ursprünglichen Bruchs ist, und dessen Nenner der Zähler

3

4

12

des ursprünglichen Bruchs ist, z. B. y umgekehrt gibty, y umgekehrt gibt

Der Bruch,

welcher

reziproker Wert.

durch Umkehrung eines

4

andern entsteht,

g

7

heißt auch sein

Es ist z. B. y der reziproke Wert von y.

Die Brüche, deren Zähler 1 ist, nennt man Stammbrüche, z. B. y, y Die Stammbrüche sind also die reziproken Werte der ganzen Zahlen. Unter „Betrag" eines Bruches wollen wir, wenn derselbe eine ganze Zahl darstellt, diese ganze Zahl verstehen, und, wenn derselbe ein eigentlicher Bruch ist, denjenigen ihm gleichen Bruch, bei welchem Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Man findet den Betrag eines Bruches immer durch Heben. Z. B.: io

q

1

117

Q

Ter Betrag von y ist 3, von y ist y, von — ist y, von

n

ist 0.

Die Benutzung des Bruchstrichs, der natürlich bei allen gebrochenen Zahlen, nicht nur bei den eigentlich gebrochenen, zulässig ist, macht oft Klammern über­ flüssig, weil der Bruchstrich über die Reihenfolge der Operationen keinen Zweifel läßt. Z. B.: g (7 + 9):4 = l±^; 9 : (10 - 7) =^y,

[a + b(c + d)]:(a-b) = a+ab2c + d), (a + b): c • [e : (f: g)J = ?L— Schreibt man umgekehrt statt des Bruchstrichs einen Doppelpunkt, oder fällt aus irgend einem anderen Grunde der Bruchstrich ganz fort, so darf man natürlich nicht vergeffen, Zähler und Nenner, wenn die Klammerregeln es er­ fordern, in Klammern zu setzen, wie die obigen Beispiele, von rechts nach links gelesen, zeigen.

Zweite Erweiterung des Zahlengebiets.

§ 11.

(Gebrochene Zahlen.)

75

Um Undeutlichkeiten zu vermeiden, muß der Bruchstrich immer so gestellt werden, daß seine Verlängerung vorangehende oder nachfolgende Gleichheits­ und Operationszeichen in deren Mitte treffen würde. Man mache daher nach einem solchen Zeichen lieber zuerst den Bruchstrich und schreibe dann den Zähler darüber und den Nenner darunter. C. Graphische Abbildung.

Bei unserer graphischen Abbildung der Zahlen werden die eigentlich ge­ brochenen Zahlen durch Punkte dargestellt, die zwischen den Punkten liegen,

welche die ganzen Zahlen darstellen.

7

Um z. B. das Bild von y zu erhalten,

hat man einen Punkt aufzusuchen, der so beschaffen ist, daß man auf die Zahl 7 stößt, wenn man die Strecke zwischen 0 und dem gesuchten Punkte von 0 aus 3 mal nach rechts abträgt. So entsteht die folgende Abbildung:

—8 5 —4

—3

—2

—1

" 1 0

1

7 2

7 3

1 2

—3 4

1 1

2

3

5

4

D. Bruchregelu.

Da eigentliche Brüche nichts anderes sind als unausführbare Quotienten, so behalten die in § 10 abgeleiteten Formeln für ausführbare Quotienten auch für eigentliche Brüche ihre Geltung. Einige dieser Formeln, die für das Rechnen mit Brüchen besondere Bedeutung haben, sind daher, mit Bruchstrich geschrieben, diesem Paragraphen vorangestellt. Die Formeln II, III, VI sind identisch mit den Formeln V und VIII bis X aus § 10. Die Formeln IV stimmen mit den in den Aufgaben 8) bis 10) von § 10, die Formeln V mit den in Aufgabe 16) von § 10 aufgestellten Formeln überein. Die folgenden Bruchregeln sind mit Ausnahme der ersten und dritten nichts weiter als Übersetzungen der Formeln II bis V in Worte.

Bruchregelu. 1) Jede Zahl kanu als Bruch betrachtet werden, dessen Zähler sie selbst und deffen Nenner 1 ist.

2) Ein Bruch bleibt seinem Werte nach «»geändert, wenn man ihn erweitert oder hebt, d. h. wenn man Zähler und Nenner mit der­ selben Zahl multipliziert oder dividiert (Formel II.)

a

b"

a .n

a

a: n, 3

bTn' b"= bTn’ T

6 .

"8"'

15 "9

5

"5"’ ‘

7

T

21

T

3) Zwei Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie durch Erweitern ans gleichen Nenner bringt (gleichnamig macht), dann die Zähler der so erhaltenen Brüche addiert oder subtrahiert und die erhaltene Summe oder Differenz dnrch den gemeinsamen Nenner dividiert. (§ 10 F und § 10 Aufg. 19.)

76

§ 11. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.) a c ad . bc ad 4- bc . a c und b b + d bd + bd bd d 3 1 27 4 31 5 7 15 4 + 9 36 + 36 ~' 361 6 9" — 18 7 44 37. 4 7 4 7 4 11 1 11 11 11 1P 1,2.1 3 . 8 . 2 13 4" + IT + "6 — 12 + 12 + 12 ="12*

ad bc bd bd 14 1 18 — 18;

Der bei der Addition oder Subtraktion zu bestimmende gemeinsame Nenner heißt Generalnenner (Hauptnenner). Er ist das kleinste gemeinschaft­ liche Vielfache der Nenner, d. h. die kleinste Zahl, in der alle Nenner ent­ halten sind. Diese Zahl ist bei kleineren Nennern leicht zu finden; so ist 12 die kleinste Zahl, in der 4, 3 und 6 enthalten sind (letztes Beispiel). Bei größeren Zahlen gilt folgende Regel: Man läßt zunächst die Nenner, die in andern Nennern enthalten sind, fort und stellt die übrigen dar als Produkte von Potenzen von Primzahlen, d. h. von Zahlen die außer sich selbst und 1 keinen Teiler haben. Der Generalnenner muß dann jede überhaupt vorkommende Primzahl als Faktor ent­ halten und zwar in der höchsten vorkommenden Potenz. Sind z. B. 2, 3, 4, 5, 8, 9, 12, 20 die vorliegenden Nenner, so läßt man 2, 3, 4, 5 unberücksichtigt und zerlegt die andern. Es ist: 8 = 23, 9 = 32, 12 = 22 ■ 3, 20 = 22 • 5. Der Generalnenner ist dann 23 • 32 • 5 = 360 (vgl. § 20 D).

4) Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert und das erhaltene Produkt durch den Nenner dividiert. (Formel IV.)

a b

C

ac 3 b' 4

15 4‘

. 0

5) Ein Bruch wird dnrch eine Zahl dividiert, indem man de» Nenner mit der Zahl multipliziert und den Zähler durch das erhaltene Produkt dividiert. (Formel IV.)

3i EL 3 w r:c = bc' v:ö

3

= 2ö-

6) Eiue Zahl wird durch einen Bruch dividiert, indem man sie mit dem umgekehrten Bruch multipliziert. (Formel IV.)

b c

a

c b

ac 5 b '

3 4 „

4 3

5

20 3

7) Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler, Renner mit Nenner multipliziert und das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert. (Formel V.)

a c ac 3 5 b * d — bd' T ' Y

15 28*

8) Ein Bruch wird durch einen zweiten Brnch dividiert, indem man ihn mit dem umgekehrten zweiten Bruch multipliziert. (Formel V.)

a c a d ad 3 , 5 b : d = "b ' "c = bc' T ' T

3 7 T"T

21 20"

§11. Zweite Erweiterung des Zahlengebiets. (Gebrochene Zahlen.)

77

E. Relativ-gebrochene Zahlen. Der § 7 erteilte unausführbaren Differenzen einen Sinn, dieser Para­ graph erteilt unausführbaren Quotienten einen Sinn. Die Vereinigung der dadurch hervorgerufenen beiden Erweiterungen des Zahlengebiets führt auf zwei Arten von Zahlformen, nämlich erstens auf unausführbare Quotienten,

deren Dividendus und Divisor relative Zahlen sind, z. B. unausführbare Differenzen, deren Minuendus und

Zahlen sind, z. B.

——

_ 2

zweitens auf T o Subtrahendus gebrochene

Die erste Art von Zahlformen

ist durch

die

obigen Betrachtungen (A) mit definiert, weil die Erfindung der gebrochenen Zahlen der Erfindung der relativen Zahlen nachfolgte, also bei der Definition der gebrochenen Zahlen der Quotient auch von relativen Zahlen schon erklärt war. Dagegen ist die zweite Art von Zahlformen noch nicht definiert, weil in § 7 Minuendus und Subtrahendus noch nicht als gebrochen vorausgesetzt wer­ den konnten. Wiederholen wir nun die Erörterungen von § 7, indem wir nur immer Minuendus und Subtrahendus als ganz oder eigentlich gebrochen vor­

aussetzen, so gelangen wir dazu, unter — welche der Definitionsformel (—

eine Differenzform zu verstehen,

+ (e +

=e

immer gehorcht, auch wenn a kein Vielfaches von b ist. Indem wir nun eine solche Differenzform wieder eine Zahl nennen, erhalten wir die Definition der negativen gebrochenen Zahl. Auf dieselbe Weise wie im § 7 gelangen wir dann zum Begriff der positiven gebrochenen Zahl, zum Begriff der relativen gebrochenen Zahl, zum Begriff von ihrem absoluten Betrage und schließlich zu Regeln über das Rechnen mit relativen gebrochenen Zahlen, Regeln, welche mit den Rechenregeln über relative ganze Zahlen genau übereinstimmen. Z. B.:

(- D+(-■£)=-G+o, (- ) 111.)‘ 112!) 113) !) 114) !»;

118)

119) 120) 121) 122) 123) 124) 125) 126) 127) 128) 129) 130) 131 132 133 134 135) 136) 137) 138) 139)

(3x -s- 5) (2x —1) — (6x -|- l)x + 5) (21 (7x-2)(9x4- l) = (3x (3x-|(1 x — 1) (4 x 4- 5) (x 4- 7) = (2x . — 3) (2x + 3) " ............. (. (4x—ll)(9x-|- 2) = (3x4-11) (12‘ x — 1) X --- 3 ( x—10) ( x — 9) = ( x — 8) X --l>4-5- ( x 4- 3 = ( X --- 3) 1+1) c x 4- 3) = ( x + 5) ( X + 9) £2x 4- 4) c x 4- 4) = ( 2x4- 9) ( X + 7) :«x- 7) ( 3 x -|— 9) = ( 2x — 7) ( 2x4- 1) 9x —11) = ( 2x 4- 1) ( 6x — 8) (3x + 2) 6x — 4) 2x 4- 7) = ( 3 x -|— 1) ( x + 5) 7 x —18) = ( 4x 4- 2) 14x—28) (2x— 3) 9x 4- 2) 6x 4- 7) = ( 12x—19 (8x — 7) 4 x — 7) = ( 6x— 2 3x + 7) (8x — 5) 2x 4- 1) — ( 5x —34) 5x+8|) (2x — 3) 9x 4- 2) = ( 2x 4- |) 6x (3x 4- 2) 6x 4-3|) = (10x —24) (12x4- 1) (5x 4- i) 10x — 8) = ( 2x + f) ( 4x— (5x — 1) 2 ) — 4: 5 ( 8x2— 7x — 2) : (10x2 — 9x ( 9x2 4~ 5x — 2):(12x2— x 4- 5 ) = 3: 4 (10x2—77x 4- 6):(18x2 — llx 4- 6 )= 5 : 9 ? 8x2 4- 3x4-4): 3x 4- |) :(12x (12x22 — 3x 4- 44) = 2 : 3 x — 1) (72x 4-5) — 13x = (4x 4- 1) • 18x 4- 11 x 4-1) (x 4* 2) 4~ (3x — 4) X — 2x (2x 4- 7) x 4- 3)2 — x (x 4) = 16 (x 4- 5) — 3 (2 — x) 4x2 4-z(5x 4-1) (x—l) = (3x)2 4-10 -(9x4-1) (x—1)4-4 —3x= 16 — 3x (3x + 5) (4x 4- j) (2x — I) = 8x (x 4) — 1 (3x— 1)2 4-(4x — f)2 = (5x-|-|)2 (x 4- 1)2 4- (x -j- 2)2 4- (x 4- 3)2 = 3 • (x 4- 4)2

143)t + ?TT-3

§ 15. Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache. 123

144') (7x + 9) (4x-l) x k (4x + 5 - jx) x 4x (2x + 3) T | (x2 4- 1) 146) (x 4-1) (x 4- 2) (x 4- 3) = x (x 4- 7) (x — 1) 147) (x2 — l)2 — (x2 4- 3)2 4- 8x2 = 4 (x 4- 5) — 90 148) (2x — 5) (x -j- 1) + 4x2 = (x + l)3 — (x — l)3 2 1 3 1 3 150) 149) x X —3 — x + 8 x+6 X—2 x— 1 5 JU_ 2 3 4 7 152) 151) x —2 X x —9 — x + 24 x 4” 2 — x —3 2 3 1 3 4__1_ = _L_ 154) 153) X — 1 — x4-i x+3 ' x—5 x—3 x4-5 7 2 5 3 156) 155) x4-2 — X —2 x + 21 X —21 X —12 X —3 2x X X 3xa4-16 157) x4-2 x4-4 — (x + 2)fx + 3)(x + 4) +3 x2—10x4-25 . x2 — 49 X3 — 8 n xx © in » r \ 158) ----- z_5 + T+7 x2 -|~ 2x 4~4 = 0 beachte § 12, Formeln)

+ + +i

6x4-1 8 6 x2 — x -|-1 x3 -|~ 1 x 4~ 1 X2 X2 X . X 160) X2 — 1 X2 4* 1 X—1 x-l-1

159)

161) x2 — 4x 4- 4

x2—4

2xe— 2x3 — 2 X* — 1

x2 -|- 4x 4~ 4"

x4-0,3

x—1,7

x-|-4,3

171) -_________ -— = — > x —1,9 x 4* 2,1 x —2,9 172) (x 4- 0,l)2 — 3x (x -|- 0,2) =4 — (2x -f- 2,1) (x — 1) 173) 4x — (0,285714 — 2x) = 4 4- (3x — 6) : 25. Bestimme x auf 3 Dezimalstellen ans: 174) 0,5287 —3,12x— 5,9 4-x = ^=^4-0,8

175) (7x 4- 0,25) (3,4 — x) = 4 — 7x (x 4- 3,129) 176) (x 4- 0,478) : (3,12 — x) = 15,6374.

124

§ 15. Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache.

Bei den folgenden Gleichungen find die Bemerkungen unter E zu beachten.

1 nn\ 22 13 | 1 __ 15 13 q I Ku 177) -yX — —x — 2x + 521 — —x — -^-x — 3x 4- 514 17S) gx + “ + ”x+ 178 - 275 -|x-|-gx

17®)"’-T-5«“88T-V + S* 180) 9-1-x + 2114 — z o 7 1 an — 5

214-x = 239-^ 7

D

— + io j + x+5 — — 7x io

— 19-^x — ß4x 5 o

1

182) - 3| (x + 1) - £ = (4 - f) (4 4- 4) 183) 184) 185) 186) 187) 188) 189)

190) 191) 192) 193)

3x4-4 5x — 3 __ 2x — 5 4x—11 9 7 21 — 3 x4-2 1 1 + 5 7x — 6 7x + 5 i 2 5 10 “" 3x4-1 5x + 7 , 3x — 1 x-l-3 x 4-1 + 14 2 — 7 3x — 1 x4-7 x —2 x—1 2x — 3 + 15 3 ”2x4-1 5 5x4-4 x4-7 7x4-5 _ 4x’4-11x4-9 + 12 4 — (3x4-4) (2x4-3) 3 x -j- 3 x^8 x_+2 _ x + 10 x-2 x±_5 x + 8 tx + 6ti + 4 x + 8 ’ x4~6 ' x 4- 4 1 _1_ _ _1____ 1 x-3 x—2 x—8 x —7 1 1 __ 1 1 X—1 —"x —15 ’x—11 x—5 2 5 2 5 x —7 x—2 x—6 x—4 8 7 3 7 x—4 x—5 x—2 x—11 58 8 x —2 x —7 + x — 1 x—9 Buchstaben«Gleich«ugeu.

194) 196) 198) 200)

ax 4- c = b 3x — 7a = 2a —3b a = p —qx 5a(7 — x) =7x(5— a)

195) 3ax — bx = 3a — b 197) a — b -|- c = c -x — (a — b) 199) 3 (x — b) = 15 — (x 4- 2b) 201) (3a — xb) = 4a(b + 1)

§15. Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache.

125

202) (x — p) (p + q) = p q — p2 203) 1 : ^ = a -|- b — c

204) | — a = b+ c — |d

205) 1

206) 3ax — bx = 6a — 2b

207) x (a + b) = a2 — b2

208) ax — a = bx + b

209) 3x — (5x -j- -Ja) — — b

210) 7a — (5x — 3a) — (2b + 4a) + (3a — 5 b) + 7 (ax) — 0

211) 5 (x — 3a + b) — 2 (6a — b + llx) = 3a + 4b ~ * 2 212) (2x — 5) (a 4- b) — 4 ax — 7 x (b — a) 213)

a — 3b x

a -|- 6b x+5

215) T+i ~ 3x4-3a =

1 . 24x2 — ax 4- b 4 ’ 54x24-ax4-b— 9

219) £ + q = £+P

214)

7a —3b 4x — 1

a + 5b 2x -j- 9

216) *(i-11)-p(-s + 11) = °

218)

xfa x+b

x+c x+d

220) — 4_ 3l + n = 16 7a 14a 2x —p . q —2x = p _ q 222) q P q P

5 5_ 15 x—a a—x 2 x — a , x + 3b 4ax — 4a’ 223) 3b * 5a 15ab a — bx b — cx , 1^E = O 224) Tb 1 b^ h ca 221)

a + 4b x + 2a 2b x — 4b x—b x —1 227) 1T “ -x = r+b

225)

228) !l=^=»h + ^ = 2

x_+_3a + X-=^=2 23°) n + v*11-1)-11*’-11)-1 c + 3a c — 3a g2x a2 . kx T/ x . 231) _ _ _ _ cx 4_ _ ==.(a —c) x 4- c

229)

232) 4£ab 4~ 4ac — |-cx — 3 jac 4~ 10ab — 6cx

233) (8a 4- 3b) ; (2x — 5) = (4a + 5b) : (3x + 2)

oq4\ 3ac | ’ a 4~ 1

(2a4-1) ,____ a?__ a (a 4~ l)2 • x (a 4~ l)3

2S») 1 -P‘ + "-±S +

3c . x ax

+ 1+p! +

1=1 _ 0.

Lei den folgenden Eletchnngrn find die LemerKungen unter F ju brachten.

236) 4x4-5 = 3x4-5

237) — | 4-2^-= 0

238) 3,45x 4- 2,78 (3x + 1) —

= 2,58+4,53 ■ x

239) 4ab —3ax+ 7bx+ 3a2=(3a + b) (a + b)—b(4x + b) oja\ ?a 5b 5a—2b qi I a i a 4b 240J 3x 6x 4x — 3i+x + 12x

241) 3x—4 = 2(x4-5) — (14—x) 243)^-^ = x + ^

242) x(x+ 12) = (x +6)2—36

> 3x + 2 T 6x4-4

9x4-6

245) x2—1 = (x— 1)(x2 + x +1) 247) (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 248) x 4-3 = x -f-4 249) 4 (x + ab) + b2 = (2a + b)2 — 4 (a2 — x) 250) 3 (x — 4) = x — (5 — x) — (6 —x)

+13=22+32

251)

252) t+5-’L±2 = Ax

5

253) a (x — b) = x (a — b)-|-bx

255) Bilde selbst 4 unmögliche Gleichungen, deren linke Seite 7x + 23 ist. 256) Welches ist die Wurzel der Gleichung px + q = rx + s, a) wenn q = s, dagegen p^r ist, b) wenn p = r, dagegen q s ist,

o) wenn sowohl p = r als auch q = s ist? Irrlegung in Faktoren, so daß der gemeinsame Faktor unmittelbar ersichtlich isi.

257) 4 (x — 1) = 8x (x — 1) 259) 4x2 = 4x 261) x (x — 9) = 3x (x — 9)

258) 13 (x — a) — 9^x(x—a)=0 260) x2 + ax = bx 262) (x—3)(x—4)=(x-3)(2x—5)

+ 2r+2=^x

263) 265^ x+1

2(x+l)

2

266)

= (x + 3) (9x + a)

267) (x — 5) (7x — 2) (9x + 1) = (3x + 5) (x — 5) (21 x — 1) 263)^=i‘(l + 2)_fctii. = 3 (x + 2)

269) 270) 271) 272)

4,8 (x — a — b) — 4,8 (x — a — b) (x 4- 10) = 3,2 (x — a — b) (0,36 — n)(l—x)-1,1 = C»,4x • (1 — x) — 1,2 (1 — x) (3a — x) b (x + a — b) = 4ti(b + 1) (x + a — b) — (x + a — b) ab Bilde aus der Gleichung 4 (:k — 2) = x + 1 eine neue Gleichung, welche außer der Wurzel der ursprünglichen Gleichung auch noch die Wurzel x = 5 hat.

Zerlegung in Faktoren, so daß der gemeinsame Faktor nicht unmittelbar ersichtlich tsi.

273) (2x — 4) x = 2 (x — 2) (3x — 8) 274) (x2 — 1) (x + 3) = 2 (x + 1) (x — 1) x

275) ^3-- = (x-f)(4x-7) 276) (x a) a (bx — c) = (ax -|- a2) (b — c) 277) 5 (x2 — 2x -|- 1) = 3x— 3 278) x2 — 9 = 3 (x + 3)2 279) (9x2 —4) = 15x —10 280) a4-b4-x=a24-2ab4-b3—x2

281) (| — 3) (5x — 9) = x (7x 4- 2) — 6 (7x 4- 2) 282) ^ = |(12x-a-b)-2x + ^ 283) (x 4- a — 3b) (5x 4- 2) = x2 —x (3b — a) 284) (x — 9) (5x — 3a — b) = (9 — x) (a 4- b 4- 2x).

Nach mehreren Äuchstaden auflosen. 285) Es ist 3a 4- 4b — (2a — b) = 11a 4- (2b 4- a). a) a durch b, b) b durch a aus.

Drücke

Die folgenden Gleichungen sollen a) für p, b) für q aufgelöst werden: oacx 3P — 1 I 5 —q_ 3q4-20 OQ7A A p— q__ 3p 4-a 286) —z— + ~2~ =---- g 287) 4 ------- g— — —g— 288) 4(pq — q) — p

1

290) a2— 1 — (p 4- 3q) (a 4- 1)

289) 3ap 4* 4bq= 7ab — p — q 291) — p — qa2 — pb2 4* q.

Bei den folgenden Gleichungen soll y durch x ausgedrückt werden: 292) x =

294) 1 = °'ö

293) x =

Jede der folgenden Gleichungen soll für jeden in ihr auftretenden Buch­ staben gelöst werden: 295) ab — a 4~ b 296) 3ab—7(a4-b)4-ac —bc=0

297) x[y(z4-1)4-1]+ 1 = 0

_____ 2|

298)

299) abc 4* »b + ac + bc + a 4~ b + c = 1.

Mglrichnnsrn. Löse die folgenden Ungleichungen für x, d. h finde eine Ungleichung von der Form x > a oder x 3 (x — 1) 301) 7x —94-2(x —3)1±J 302) *=> < ?SI±>>

3M)t--K5+306) x -|- a -ja“

307)

309) 4x + 5 wenn man Zähler und Nenner um 7 vermehrt. Wie heißt der Bruch? Ein Bruch, dessen Zähler um 6 kleiner ist als der Nenner, erhält den Wert f, wenn man Zähler und Nenner um 5 vermindert. Wie heißt der Bruch? Die Summe des Zählers und des Nenners eines Bruches ist 10. Wie heißt der Bruch, wenn er dadurch, daß man Zähler und Nenner um 3 vermehrt, den Wert f erhält? Die Summe von Zähler und Nenner eines Bruches ist 38. Wie heißt der Bruch, wenn er dadurch, daß man Zähler und Nenner um 5 vermindert, den Wert f erhält? Der Wert eines Bruches ist f. Wenn man Zähler und Nenner um 2 vermindert, erhält er den Wert f. Wie heißt der Bruch? Der Wert eines Bruches ist f. Er wird doppelt so groß, wenn man Zähler und Nenner um 5 vermehrt. Wie heißt der Bruch?

§ 16.

Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.

133

Vermischte Aufgaben. 40) Mit „befriedigend" wurden bei einer Aufnahmeprüfung diejenigen Ar­ beiten zensiert, in denen höchstens 6 Fehler waren. — Einer der Examinanden sagte: Wären in meinem Extemporale nur halb soviel Fehler, und hätte der Lehrer dann einen Fehler übersehen, so hätte ich gerade noch befriedigend geschrieben." Wieviel Fehler waren in dem Extemporale? 41) Ein Kaufmann verkaufte von seinem vorrätigen Kaffee 5 kg und erhielt für den Rest, den er das kg für 2 abgegebenen Stimmen, auf B aber 11 Stimmen mehr als der siebente Teil der Stimmen, die A erhielt, gefallen seien. Warum kann diese Behauptung nicht richtig sein? 50) Ein Gymnasium hatte vor Ostern 14 mal soviel einheimische wie aus­ wärtige Schüler. Ostern aber gingen 8 einheimische und 2 auswärtige Schüler ab, während 3 einheimische und 7 auswärtige Schüler neu ausgenommen wurden. Dadurch war die Gesamtzahl zwar dieselbe ge­ blieben, doch war jetzt die Anzahl der einheimischen Schüler nur noch 11 mal so groß wie die Anzahl der Auswärtigen. Wieviel auswärtige Schüler besuchten dieses Gymnasium, und wieviel Schüler überhaupt?

51) Nach dem Gesetze des älteren Graccchus sollte jeder römische Patrizier 500 jugera Staatsland und für jeden erwachsenen Sohn 250 jugera in Besitz haben dürfen. Nun haben zwei Patrizier Gajus und Titus, von denen Gajus 4 erwachsene Söhne mehr als Titus hat, beide den gesetzlichen Maximalbefitz, und zwar zusammen 3500 jugera Staats­ land, inne. Wieviel erwachsene Söhne hatte Gajus und wieviel Titus? 52) Nachdem man den Leck eines Schiffes verstopft hatte, begann man das in den Schiffsraum gedrungene Waffer auszupumpen, wobei alle vier Schiffspumpen verwendet wurden, a) Zwei der Pumpen hätten, jede allein, das Waffer in 3, die beiden anderen, jede allein, dasselbe in 6 Stunden herausschaffen können. Wie lange dauerte es, da alle 4 Pumpen gleichzeitig wirkten, bis der Schiffsraum von Waffer frei war? b) Durch die erste, zweite, dritte, vierte Pumpe allein wäre der Schiffs­ raum bezüglich in a, b, c, d Stunden ausgepumpt. Wie lange dauerte das Pumpen, wenn alle vier Pumpen gleichzeitig wirkten? (Vgl. in § 24 „Brunnen-Aufgaben".) 53) Ein reicher Athener ließ zu einem Gastmahl 13 Ochsen und 41 Schafe int Gesamtwerte von 159 Drachmen schlachten. Ein Ochse kostete ihm 6 Drachmen mehr als ein Schaf. Wieviel Drachmen bezahlte er für ein Schaf? 54) Jemand bezahlt für 4 kg Kaffee und für 3 kg Zucker zusammen 12 Wieviel kostete 1 kg Zucker, wenn dasselbe dreimal so billig war wie 1 kg Kaffee?

55) Ein Diener sollte von seinem Herrn für das Jahr 200 Lohn und einen Anzug erhalten. Als er aber nach f Jahren den Dienst verließ, gab ihm sein Herr statt des vierteljährlichen Lohnes von 50 nur 34 Jtt, da er ihm den Anzug schon früher gegeben hatte. Wie teuer rechnete hiernach der Herr den Anzug?

56) An Droschken befindet sich bisweilen eine mechanische Vorrichtung, durch welche die Länge des zurückgelegten Weges aus der Zahl der Rad-Umdrehungen ersichtlich ist (Taxameter). Wieviel Meter beträgt die Tour, die eine solche Droschke gefahren ist, wenn dabei ihre Vorder­ räder mit einem Umfange von 2f m 400 Umdrehungen mehr gemacht haben als die Hinterräder mit einem Umfange von 2f m*>

§ 16.

Eingekleidete Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten.

135

57) Bilde selbst eine Einkleidung, welche auf die Gleichung: 2 (20 — x) + 3x = 48 führt, a) wo x eine gesuchte Zahl bezeichnet, b) wo x die Zahl der Flaschen Rheinwein ist, die jemand zusammen mit Moselwein kauft.

Aufgaben aus der Zinsrechnung. Wenn ein Kapital von k bei p Prozent Zinsen im t Jahren z Zinsen bringt, so muß sein (vgl. § 14 K): n k • p • t. 1r 100z. t 100z. 100z Z 100 ’ p •t’ k-p’ P k•f

58) Ein Kapital von 5000