Ausgewählte Resultate zur Arithmetik für Gymnasien: Heft 2 [Reprint 2022 ed.] 9783112667309, 9783112667293

Citation preview

Ausgewählte Resultate zur

Arithmetik für Gymnasien von

Prof. Dr. Herrn. Schubert UNd

Adolf Schumpelick

Zweites Heft

Leipzig

G. I. Eöschen'sche Verlagshandlung 1908

Spamersche Buchdruckerei in Leipzig.

Vorwort. Wie schon im Vorwort der „Arithmetik für Gymnasien" erwähnt ist, ent­

hält dieses Heft nur die Resultate von solchen Aufgaben,

„bei welchen eine

Beruhigung des Schülers über die Richtigkeit der gefundenen Lösung wünschens­ wert erscheint, bei welchen jedoch die Kenntnis des Resultats ihm die Denk­

arbeit nicht abnimmt". Da an vielen Schulen vierstellige Logarithmentafeln die fünfstelligen ver­ drängt haben, ist für jede Aufgabe der 88 36 und 37 (Logarithmen und Zinses­ zinsrechnung) neben dem Resultat für fünfstellige Rechnung in Klammern das Resultat für vierstellige Rechnung angegeben.

Hamburg, im August 1908.

Hermann Schubert.

Adolf Schumpelick.

Fünfter Abschnitt. § 25.

Das Quadrieren und seine Umkehrung. 78) 91) 92) 93) 94) 95) 96)

102) 107) 112) 115) 125) 133) 136) 139) 144) 145) 146) 147) 148) 149) 150) 151) 152) 153)

17'943696. 79) 1'054729. 80) 152'423 716. a4 — 6a3b + 19 a2b2 — 30 ab3 + 25 b4. a4 — 2 a3 — a2 2 a + 1. a6 + 6 a5 + 15 a4 + 20 a3 + 15 a2 + 6 a + 1. x6 — 4x5 + 2x4+2x34-5x2+2x+l. 5 x4 x5 x6 1 + x + "ÖT ~ 64 + 256 • X® . , 5 x4 , x 5 xX66 _ X + 64 + 64 + 256 ‘ 134. 1 04) 369. 105) 456. 106) 2367. 103) 156. 2714. 111) 29438 108) 7861 . 1109) 2365. 110) 9999. 675122. 113) 473252. 114) 69'538100. 50039. 116) 1003. 117) 300105. 127) 4,236. 33,7 . 126) 3,37. 134) 238ÄS-50f. 135) 8571-. 138) 7^5" • 137) • 2 07 . 15/lö — 27/2 — 4/15 + 5/3. 113) 24. 114)4/6 — 4/15. 60| /H — 11 /22 + 20 /33 — 11 /66 — y /3 + ->+ }^6 — 26 . 3 + 4/3+j+/iö + U/3Ö. 3/3 + 7/7. 119) 16. 118) 5/5 — 8. 3 + 2/2. 122) 0,3 — 0,2/2. 121) 24. 17+4/15. 124) II — 6/2. 125) 5 — 2/6. 4(3 - /Ö - /3 + /2) . 127) 6(11 - 6/2). 2(27 + 7/2 + 7 /3 +/Ö). 129) 2(5 + 3/3). 2(31/2 + 26/5). 130J 42(9/? — 5/21). /T-/5. 132) /14 )/H - 28 + 2 M - 11 /~2 .

134) 7. 135) /57/3. 133) 1/321. 137) /2(3 +/15). 136) /24 + 10/2 +/Ö— 7/3 138) /161/3 + 117/7 + 195/21 — 735. 140) /283 +II2/6. 139) 2/5 +/5. 141) 144) 147) 150) 153) 154) 157) 160) 163) 166) 169)

/2. 142) 7/1Ö/3. 143) y/1176 + 879/3. /5 + f2. 145) 1/22 + 1/42. 146) /1I - 3. 2 /ö — 1. 148) /lO +/?. 149) 4(/5 — 2). 4/3-/Ö. 151) 4]/iI+/Ö. 152) 4+^/6. /19 - 4/42. 2-/2. 155) /? — 1. 156) 2(/Tl +/?). 4(/13 + 3) . 158) 4(13 - 3/13). 159) 3 +/Ö. 5 + 2/6. 161) 97 - 56/3. 162) 21 + 7/2 + 12/3 + 4 ]/Ö. 4/3 + 1. 164) 2(4 ±^-{12: ->> 10)

11)

x_1±2)-I7-|_^“-

2) x -- +/35 = ±5,916. . 4) x = ±/3 = ±1,732. . 6) x = ±|/35 = ±1,183.. * -4 ± - {i:“L

8>

12 § 12) 13)

15)

' x

x _ 2 4- 3 Vg = J 1'742 14) x-ä±yR 1 —0,942

—_ jl _|_ L V7 _ J

2±ssP

lr264 | —2,264'

16)

-

17)

x = | ^, also rational.

18) 7,391 19) x = -lf ±i/4641 = {. -9,641* 45,263. 20) *=-a ± n yi?={_ 45,445. 21) 22)

22J

z—A±ya-{zJ^.. x = 4+/15={^73..

2,416 223) x = 1-z + ^ynös = {_ 0,083' 23) x = + 3 i. 24) X == +f i. 27) x == ±5i. 26) x = +4i. 29) x = 4-i-i]/2 = + 0,471. .i . 30) 32) 31) x = + /105 . 33) x = +i /ö . 34) 35) x = 2 + i. 36) 37) x = — 3 + i ]/ö . 38) 39) x = -1- ± 7 i f7 . 40) 41) x = —1- + -z i yi9. 42) 43) X = -41 + 7 s i. 43i) 432) x = 4 + 5ij/3. 43z) 44) x = -i/2±lif2. 45) 46) x = —1/3 + 1. 47) (2/5 —3/3 48) 49) 15/3 • 50) x — —4 + /15 + i.

25) x = +4i. 28) x = +i. x — +1 i /ö = +0,373 i. x = +1 i /3Ö. x = -l±lif3. x = 3 + 5 i. x = —z- + -zi/2. x = -i±-1’sifl7x = 37 + ^ri/37. x = 2-J + 1 i /23 . x = -5-1 + 3fi/7. x = -1-/2 + l i|4 / 2 x = +.1 (1 + /3) s+4 + 3i 1-4 + 31'

51) x = 4/2 + z + 1 )'22 + 12 /2 - 24/3. x_/l.l +5i/3 J 2i 52) x 53) s -30' 1 f-i/s •

§ 29. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten in arithmetischer Sprache.

54)

x = / VI + i/2 X

|j/2+i]/3-

54i)

j-l-i/ä

55)

l —2 — i /3 *

{ 8 4- 2 i i -

57) (a -|- b) i yTT.

56) x = a + b . 58) x = (a — b) ]/l 7 59)

X

13

x = (2 + f/2 +V/2

|2-1/2-11/2'

60) x = _a/2±|b/6±|ib/6. 1^2 y^r + + -|- i ^2 61) x = 62) x = }/3p + i /q. 64) x = yä + -^ ]/b +

— /27r.

63) x=2a + fb + ]/a2 — a ]/b + ? b . ^4 c — 3 a — 3b — 6 /ab .

65) X = l/p,+ q + 5+i/p+q—5+i/2p+2q+6/p2+2pq+q2—25 . 100) Xj = fr x2 = f. 99) XI = 4 r Xg = 4 102) xx — 2-|, x2 — 3^-. 101) X1 = — 2, X2 = f. 3ylg . 103) X1 = ---- 2 -^- , X2 = 105) xt= 3, x2 = J 104) Xj = 4 , x2 = —2. 106) xx=/2 + /3, x, = -i/2 + /3. X1) = —14 ± i/21, X3| = -l|±ii/7. 107) X2 J X4 J (X1 =1, 108) lX2 = ~4^} = _2|±Tv/889. ( xi = 1 109) )x2 = —6, X;} = -2i±|]/2l. 110) xi — x^ = 1, x;} = -i±/2.

111) 112) 113) 115)

117)

119)

( xi = 2, lX2 = —1 S}=±2’

?J = l±iiV23. 114)

x;}=±2'

116) = ±2i.

2H3-

14 122)

§ 29. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten in arithnietischer Sprache.

x11 = ±1^9 + 2 ]/41,

} = +i /2/41 — 9 .

123)

±i(/F’+^2- /p2^ q2) -

124) £}= +i(Vp?+2q2 + |/p^2q2), 125) j}=±(ypr+p+Vs?-"!),

-±(Vpi+p-yäp^i)-

126) X11 = ±/-3 a2 +1 /32a4 + 2b,

-

X2 J 127) X1 = 1 r

X2 = 1 -

X3 = +4 ,

128) Xj = 2 ,

x2 =

x3 = 3 ,

,

\=±i /3a2 +1 /32a4 + 2b .

X4 J *4 = 1 •

x4 = 4 •

129) {5=1:

*}—

130) 131)

132) ^}=i(/5-1±i/lÖ+2/5)f 133)

^}=l(-/5-l+iFTÖ^75).

} =i (i 4-1'5+iyro“?^),

} =1 (1 - /s+i/10+2/5).

-:}-+*±+iyT®-

134) 136) xi = 3 ,

x2 = —I,

X3 = 2,

135) {5=1:

J.}--1-

X4 = -|.

xx l =£+iyi + |/75_3o/2 + |]/l18 + 2(5 + 3/2)/75-3O/2 , 137)

138) 141) 144) 147) 150) 151) 153) 155) 156)

157) 160) 163) 165)

x2 J

O

'

•

X3 l = — |/75—30/2±|^118-2(5 + 3/2)/75 —30/2 . x4 J 8 x = 4. 139) x1 = 25 f x2 = 9 . 140) x = 900 . x = 23. 143) x = 3 . 142) x = 4 . gar kein Wert, 145) x = 9 . 146) Xj = 9, x2 = 33 . x = 3. 149) x = 9. 148) xx = 3, x2 = x = a- b + 3c + 2]/c(2a —b + 2 c). xx = 9 , x2 = 5 . 152) x = 7 . xx = 20, x2 = 4 . 154) xx = 6 , x2 = 13^ . Xj = 8 , X2 = 2y2r . a + b + c + 2 /a2 + b2 + c2 — ab — ac — bc X a2 + b2 + c2 — 2 ab — 2ac — 2b c

x = 12 . x = 10.

158) x = 5 . 161) x = 8.

x = ±f x = [a 4" b +

164) xt= 9, (a — b) /2].

159) x = 5 . 162) x1 = +l, Xz -- 8 . 166) x = 10.

x2 = — 1.

167) x = 1.

In den Resultaten zu Nr. 168 bis 190 sind die Wurzelwerte, welche unmittelbar erkannt werden sollen, fortgelassen.

168) x1 = 7 , x2 = — 2 . X1|= 124 ± 4 f657 . 170)

169) xx = 10 , x2 = 9 . 171) ^} = -i±iif3-

172) x4 = 2, x. = — i y. s}-±‘ 174)

173) Xi — 9 ,

x2 =

.

176) Xj = 4,

X2 = — 5.

175) xx= 10, x2 = -5 177) x^--ö + zM.

178) Xi =2,

x2 = — i .

179) ^} = 2±iy5.

180) xt = 6 ,

x2 = — 6|.

181) ^} =- -g- ± i-i/967.

182) Xi = 5,

x2=—4?.

183) xx = 3 , x2 = — 23 185) xj = ^, x2 = K

184)

186) xi = 2 , x2 = |, x3 = +i, x4 = —i. 187) xi = x2 = 1, Xg = 2 , x4 = 4188) X1 = 2, *2=1, Xg = —X4 = - 1|. 189) x1==+l, X, = — 1, Xg = +2, x4 = — [xi| = —+ lsq2 — 2q — 4 r + 5 X2 J ± ||/2q2_4r- 10 + 2(q+l) Vq^ - 2 q -1?+5 , 190) M = l+2_|yq2_2g_4r + 5 ___________________

XJ

xi = 1, 191)

Xg } =

S} = xt = —1,

192)

+ y V2q2 — 4r — 10 — 2(q + 1) ]/q2 — 2q — 4r + 5.

— i) + 1 i /iO + 2 /5 ,

+ !) ± ^i/10-2/5.

Jj } = -i (V5 — 1) ± i i flO + 2 /5 ,

*54} = i (/5 +1) ± li/To - 2 yö.

193) Die zehn in Nr. 191 und 192 angegebenen Werte. 194) 195) +1 f l + 197) xx = a, x2 = —a — 2 . = a, x21 = — a 5 ± i /25 — lÖa —3 a2. 198)

1

i•

16

199) X1 — a r 200) Xj = a,

x2 = (17 a - 8): (10 a - 17). x, 1 1—a -i/a3 — 8 a2 + 5a — 10 x3 J 2 - Y a+ 2

1 - 4a 202) für a = —1. 2a+ 4 ’ = 7 — 5/2. 203) +_2 V2 h4 + 2 g, X2 — >1 J X3 Z^ = -n2 - l-f2 h4 + 2g + |ih/3h2 + 2 /21Z-Z2 g.

132)

133)

134)

135)

136) 137)

X1 = 72 1 _ X2 = 71 J

d + ]/d2 — 4 2/1 + d

J X1 =1 71 = 1 lx2 = 2b 72 = ~ 3 > 5 - *■} " 5 * ± *

138) Xj = x2 = 1, 139)

.25

zi = 2,

i•

Z2 = ' *' + Z'"‘ +

71 = y2 = 1, 7i = 2,

xi = 1

'

Zi = Zg = 1.

zi — 3,

2 =i ä f ’ ■■ y‘} - < °y± Z2+=»]/■* 'tÄ"+ •

■

x2= 15 Z — tVi '

71

140)

72

i±i

'5 = y3 } = -

xi = 20 , 141) ' yj I x3 } x2 = 17,

+ J2-/-< + a2 + ]/|Ta2,

71 = 18 , Zj = —2, =7"i _a24 2 =+ 15i, Vi+ z2 = . i/Zi

•XÖ = 7« =+la)/2,

+ a2 + yrFZ2,

X6 =y5 = —J2a/2.

142)

xs 1 — 9 XJ

z3 = 3, z4 = 4.

y3 = 4 74 = 3 -

143)

144)

145)

146)

147)

xi = 51 yi x2 = -1, SH»: xi = 7, X2 = 4, x3 = 8, H = —1,

SH ’ z3 1 =_ 2 zJ

IS}’8’ y2y»l= IS}’-8’ yj yil [SH1’ yy«)2 / SH1’ yj SH1’ 1?}=+*’ SH1’ SH*’

7i 72

150)

J;}=5h

71 72

151)

x X2 1 }=+2-

148) 149)

152)

xd x2 J

Zi = 2, z2 = 5,

;H3 sR8’ ;}-±s-

H2’

7i | = +5, 72 f ~

M=+3. Z8 J Z1 }-±B. Z2 Z1

}- + 6.

Z2

} = m + "21!r yiÖ959,

^|=

7i }=±5, Z1 }-±8. Z2 72 +1 y, 1 +1 zi l = +1 c — a ' z2 J a —b* b - C ' y2 J

-±2’ 153)

zi

£}-±3’

= ±2|.y3,

S}-±4'

^} = + l/3,

^} = +3|f3.

+ ,1- l'TÖfjßO .

154) •

X1

.X2 X1

155)