Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 61 [Reprint 2021 ed.] 9783112601563, 9783112601556

Citation preview

Journal t'ü r

reine

die

und a n g e w a n d t e In

z w a n g l o s e n

Als

A.

Fortsetzung

L.

Mathematik. H e f t e n .

des

von

C r e 1 1 e

gegründeten Journals herausgegeben

unter M i t w i r k u n g der

Herren

Steiner, Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von

C. W.

Borchardt.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Ein und sechzigster Band. In vier

Heften.

B e r l i n , 1863. Druck und Verlag von Georg Reimer.

Inhaltsverzeichnis» des ein und sechzigsten Bandes.

Untersuchungen Ober die Anwendung eines Abbildungsprincips auf die Theorie der Verkeilung der Electricität. Von Herrn R. Lipichitz zu Bonn Seite 1 Untersuchungen über die Anwendung eines Abbildungsprincips auf die Theorie der Gravitation. Von Demselben 22 Ueber eine der Theilung der Zahlen ähnliche Untersuchung und deren Anwendung auf die Theorie der quadratischen Beste. Von Herrn Stern zu . Göttingen 66 Ueber eine neue algebraische Behandlungsweise der Integrale irrationaler Differentiale von der Form H(x, y)dx, in welcher JI(x, y) eine beliebige rationale Function ist, und zwischen x und y eine allgemeine Gleichung zweiter Ordnung besteht Von Herrn S. Aronkold — 95 Ueber das PfafftBche Problem. Zweite Abhandlung. Von Herrn A. Clebtck zu Carlsruhe. — 146 Das Potential eines homogenen rechtwinkligen Cylinders. Von Herrn 0. Rothig. - 180 Bemerkung zu der vorstehenden Abhandlung. Von Herrn A. Clebtch zu Carlsruhe — 187 Ueber die' Reflexion an einer Eugelflfiche. Von Herrn A. Clebsch zu Carlsruhe - 195 Ueber atmosphärische Strahlenbrechung. Von Herrn Kummer. (Aus dem Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin.) . — 263 Der ii&efoche Satz. Von Herrn E. Heine zu Halle — 276 Anwendung der Potentialausdrücke auf die Theorie der molekular-physikalischen Fernewirkungen und der Bewegung der Elektricität in Leitern. Von Herrn G. Roch. — 283

faiaUieerMiehiiii

IV

des «in und sechtigsten

Bandes.

Ueber die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung Rr+Si+Tt+UÇs'-rf)

= F.

Von Herrn George Boole ni Cork in Irland. Seite 309 Zur Theorie der quadratischen Beste. Von Herrn Stern en Göttingen. . . — 334 Ueber Determinanten ans Unterdeterminanten. Von Herrn E. Franke zu Bernburg. — 350 Ueber einige bestimmte Integrale. Von Herrn E. Heine zu Halle a. S. . . — 356 Note sur la réalité des racines d'one équation quadratique. Par M. A. Cayley à Londres. — 367 Geometrisches. Von Herrn Jok. Nie. Bischof zu Mtlnchen — 369 Ueber die Perioden, welche aus den Wnrzeln der Gleichung «• = 1 gebildet sind, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist. Von Herrn Fuchs. . . — 374

Druckfehlerverzeichniss. Band 59, pag. 59, - 59, - 59, - 59, -

243, 244, 247, 251, 259,

Zeile 6 v. o. statt d i e s e l b e lese man dieselben. Formel (7.) im Index, statt R==r lese man r = R. Z. 4 v. u. statt e r f ü l l t lese man gefüllt. Z. 1 v. u. statt 2ßb lese man 2ßb*. Z. 20 v. o. statt c, = c, = lese man c = & = oo.

59, - 259, Z. 21 v. o. statt '

ein'nifi

h - ^ r — lese man - r 4 —

1

ain'mf*

h i h ' m a

sin* mc*

59,

- 270, Z. 13 v. o. stattfc'= o ' ^ r ^ lese man

61,

- 278, Z. 11 v. u. ist f als Factor zu x in den Nenner zu setzen.

O+P

a' =

b'^tÊ^D+P

faiaUieerMiehiiii

IV

des «in und sechtigsten

Bandes.

Ueber die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung Rr+Si+Tt+UÇs'-rf)

= F.

Von Herrn George Boole ni Cork in Irland. Seite 309 Zur Theorie der quadratischen Beste. Von Herrn Stern en Göttingen. . . — 334 Ueber Determinanten ans Unterdeterminanten. Von Herrn E. Franke zu Bernburg. — 350 Ueber einige bestimmte Integrale. Von Herrn E. Heine zu Halle a. S. . . — 356 Note sur la réalité des racines d'one équation quadratique. Par M. A. Cayley à Londres. — 367 Geometrisches. Von Herrn Jok. Nie. Bischof zu Mtlnchen — 369 Ueber die Perioden, welche aus den Wnrzeln der Gleichung «• = 1 gebildet sind, wenn n eine zusammengesetzte Zahl ist. Von Herrn Fuchs. . . — 374

Druckfehlerverzeichniss. Band 59, pag. 59, - 59, - 59, - 59, -

243, 244, 247, 251, 259,

Zeile 6 v. o. statt d i e s e l b e lese man dieselben. Formel (7.) im Index, statt R==r lese man r = R. Z. 4 v. u. statt e r f ü l l t lese man gefüllt. Z. 1 v. u. statt 2ßb lese man 2ßb*. Z. 20 v. o. statt c, = c, = lese man c = & = oo.

59, - 259, Z. 21 v. o. statt '

ein'nifi

h - ^ r — lese man - r 4 —

1

ain'mf*

h i h ' m a

sin* mc*

59,

- 270, Z. 13 v. o. stattfc'= o ' ^ r ^ lese man

61,

- 278, Z. 11 v. u. ist f als Factor zu x in den Nenner zu setzen.

O+P

a' =

b'^tÊ^D+P

1

Untersuchungen über die Anwendung eines Abbildungsprincips auf die Theorie der Vertheilung der Glectricitftt. (Von Herrn R. Lipschita ssu Bonn.)

enn ein System von electrischen Leitern, deren jedem ein b e stimmtes Quantum Electricität mitgetheilt ist, sich unter dem Einflüsse von beliebigen erregenden Kräften befindet, so bildet die Frage nach dem electrischen Zustande des Systems die allgemeinste Aufgabe der electrischen Vertheilung, falls die Gestalt, die Anzahl und die gegenseitige Lage der Leiter vollkommen unbeschränkt ist. Es ist nun der Zweck dieser Mittheilung zu zeigen, dass die bei dieser Aufgabe zu überwindende Schwierigkeit nicht in der Anzahl oder der relativen Lage sondern allein in der Gestalt der Leiter liegt, und eine directe Auflösung der Aufgabe darauf zu gründen, dass für jeden einzelnen Leiter, ohne Rücksicht auf seine Stellung in dem System, zwei Fundamentalaufgaben gelöst werden. Die eine derselben bezieht sich auf die einer bestimmten Electricitätsmenge entsprechende Vertheilung*) in dem Leiter selbst, die zweite auf die einer bestimmten Electricitätsmenge entsprechende Vertheilung in einem anderen Leiter, dessen Gestalt aus der Gestalt des gegebenen Leiters nach einem einfachen Gesetze hergeleitet wird. Legt man der inneren und der äusseren Seite einer Kugelfläche die Eigenschaft eines Spiegels bei, so befindet sich das Bild von jedem Punkte des Raumes in einem zweiten Punkte, der mit dem ersten auf demselben vom Kugelmittelpunkte aus gezogenen radius vector und in solcher Entfernung von diesem liegt, dass das Product der Abstände beider Punkte gleich dem Quadrate des Kugelradius ist. Die Gestalt des zu construirenden Leiters ist nun das zu einer beliebigen Kugelfläche gehörende Spiegelbild des gegebenen Leiters, und die für dasselbe gestellte Aufgabe liefert unmittelbar die Bestimmung der Induction des gegebenen Leiters durch einen electrischen Massenpunkt, der im Centrum jener Kugelfläche anzunehmen ist. *) Dieser Ausdruck soll hier und im Folgenden die Bedeutung haben, dass dum Leiter eine bestimmte Electricitätsmenge mitgetheilt ist und dass keine äusseren Kräfte auf denselben vertheilend wirken. Journal für Mathematik Bd.LXI. Heft 1.

1

2

Lips chit%, *ur Theorie der Ekctrieitätnertheilung.

Das Princip der sphärischen Spiegelung, welches ich zn dem angegebenen Behafe verwendet habe, ist meines Wissens zuerst von Herrn William Thomson in einem an Herrn Lioucille gerichteten Briefe ausgesprochen (S. Liouvilles Journal Bd. X, p. 364 ff.). In zwei anderen Briefen (Bd. XU, p. 256 ff. dess. Journals) hat Herr W. Thomson die hier einschlagenden Relationen analytisch ausgedrückt und ihre wichtige Anwendung auf die Laplacesehe Differentialgleichung dargelegt*). In einer Note, welche dem letzten dieser Briefe unmittelbar folgt, behandelt dann Herr Liouville die betreffenden Fragen in der Weise, dass er von einem allgemeineren Gesichtspunkte ausgeht und in den Zusammenhang zwischen dem Prinzip der sphärischen Spiegelung und der Laplacesehen Differentialgleichung tiefer eindringt. Wiewohl nun die soeben genannten Arbeiten eine vollständige Darstellung dieses Princips enthalten, so habe ich mir doch erlaubt, dasselbe noch einmal in Kürze zu entwickeln, da ich glaubte, das Lesen des vorliegenden und des diesem folgenden Aufsatzes dadurch bequemer zu machen. Nach der hier geltend gemachten Auffassung scheinen diejenigen Formen von Leitern einer besonderen Beachtung Werth zu sein, deren sphärisches Spiegelbild eine Gestalt derselben Gattung wird; denn bei diesen fallen die erwähnten beiden Fundamentalaufgaben in eine zusammen. Zu dieser Classe gehören die Formen, deren Begrenzung allein aus Kugelflächen besteht, wenn man nämlich die Ebene unter diesem Namen mitbegreift. Die Vertheilung, die einer gegebenen Electricitätsmenge entspricht, ist für die ganze Kugelfläche und für das kreisförmig begrenzte Segment einer Kugelfläche bekannt; also sind bei einem System von Leitern, von denen ein Theil die eine, der andere Theil die andere Gestalt hat, die Voraussetzungen erfüllt, von denen die Bestimmung der electrischen Vertheilung abhängt. Bei dieser Veranlassung muss ich erwähnen, dass mir bei Abfassung der beiden Aufsätze, welche im 58"CI> Bande dieses Journals erschienen sind und welche die Vertheilung der Electricität in einer Kreisscheibe und einem Kugelflächensegment betreffen, die erwähnten Briefe des Herrn W. Thomson (und demnach auch das am Schlüsse des letzten derselben p. 264 gegebene Resultat) nicht bekannt waren, und dass ich auch in diesem Augenblick nur dieses eine Resultat, weitere über diesen Gegenstand von ihm gegebene Ausführungen aber nicht kenne. Wegen der auf das Kugelflächensegment bezüglichen Auf*) Vergl. auch Cambridge and Dublin mathematical Journal Vol. I l l , p. 141, p. 266; Vol. IV, p. 276; Vol. V, p. 1.

Liptckit»,

war Theorie der Electridtätavertheiiung.

3

gäbe beziehe ich mich deshalb auf die Formel (IV.) p. 166 im 58 s " n Bande dieses Journals. Da aber in diesem Aufsatze die Induction des Segments durch einen electrischen Massenpunkt der Aufgabe, auf die es hier ankommt, vorangeht, so schien es mir angemessen, dieselbe hier ohne jene Voraussetzung zu behandeln, und dafür genügt die Kenntniss der electrischen Vertheilung in einer Kreisscheibe, welcher eine gewisse Electricitätsmenge miigetheilt ist. Mittelst der sphärischen Spiegelung ergiebt sich dann aus der Lösung dieser Aufgabe die Theorie des inducirten Kugelflächensegments. § 1 Ich beginne mit einigen Betrachtungen über die Transformation einer beliebigen Function U von drei Veränderlichen x, y, z' durch Einführung von drei neuen Veränderlichen x , y , z , die zu den ursprünglichen in einer besonderen Beziehung stehen. Es sollen nämlich die Grössen x', y', z' solche Functionen der Grössen x, y, z sein, dass wenn man die vollständigen Differentiale derselben bildet 1 , ,

drf ,

dx

=

«

=

, ,

der Bruch ^ » ^ ¿ ^ ^ ¿ g «

dz' ,

dx'

,

.dz'

, dx

,

, dz'

,

gleich einer endlichen Function von x, y, z wird.

Da dieselbe wesentlich positiv sein muss, so kann sie als vierte Potenz einer reellen Grösse q aufgefasst werden, und man sieht leicht, dass die gestellte Forderung mit der Erfüllung von folgenden Gleichungen identisch ist:

(£)'+(£)'+(£)• = * )•+(£)' ri.i

dx' dx

di! dy

da? dy dx1 dz

dx' dz d* dx

11

dx

, dy' dy1 ' dy dz dy

1 dz^ dx

11

,

dy1 dy 11 dx 1

1

dz' = o, dy dz' dy dz = 0, dz' dz' . = 0. dz dx

1*

4

Liptckif»,

. „ dU dto Man multiplicire nun beide Seiten derselben mit dem Element q2 8x 8y dz, und integrire nach x, y, z innerhalb solcher Grenzen, dass die Functionen U und ui saramt ihren ersten Differentialquotienten überall endlich und stetig bleiben; ferner gelte für die Function w die Einschränkung, an jenen Grenzen selbst zu verschwinden. In dem zweiten Integral ist es zweckmässig statt x, y, z die Integrationsvariabein x', y', z einzuführen, dadurch wird das Element BxdyBz gleich dem Element Bx'dy'ds' dividirt durch die Functionalda? dt/ Sxf determinante

welche vermöge der Gleichungen (1.) den

Werth ± q 6 annimmt, und man' erhält die Gleichung (5.)

,

Durch theilweises Integriren hat man A und

, dU du A , dU du

r idU rdU

n 1

A A

a

tdU\ \ q dxJ (o.

, 3*U

*) S. den Aufsatz des Herrn LiouviUe in dessen Journal Bd. XII, p. 288 ff.

LiptcMt»,

«w> Theorie der Electridtätwerikeiiung.

5

ferner dieselben Gleichlingen mit y, * statt x, und mit y', a' statt x, folglich, weil to durch Substitution der Grenzen verschwindet, d( » d

U

j

(6.)

=

±

/ f ß

x

'

e y

'

e s

'

S

^

m

.

Ersetzt man nun wieder auf der rechten Seite das Element dx'dy'8»' den Werth + i f d x d y d & , so kommt (7.)

durch

= 0,

und es muss, weil at bis auf die Bedingung an den Grenzen des Integrals Null zu sein ganz beliebig gewählt werden kann, der Factor von a> unter dem Integralzeichen verschwinden, d. h. es ist

,8.) •

= 0.

Hier ist dxJ dx

dq 6U , , d%U 6x dx ~rv dx% '

n

-

befreit man daher die linke Seite der Gleichung (8.) von dem gemeinschaftliehen Theiler q und addirt zu derselben den Ausdruck so entsteht die zu beweisende Gleichung (2.)

Dieselbe wird nun auf ein specielles System von Functionen werden, bei denen

übergeht.

angewendet

= 0 ist, so dass sie in die einfachere Gestalt

Diese Functionen sind durch die folgenden Gleichungen bestimmt: = je + (10.)

y' =

9

= b

1

> r«

P) •i)

6

Liptchits,

swr Theorie der

EUetriätätseertheiiuHg.

bei denen k, r, 9, } beliebige Constanten bedeuten, und gesetzt ist*). y,

j',

dx + dy -f-dz

Da die Ausführung einer kleinen Rechnung für den Bruch den Werth

r*

liefert, so sind die für die Functionen x, 9u\3 a'

aufgestellten Bedingungen erfüllt, die Grösse q wird gleich — und daher nach r l

einer bekannten Eigenschaft dieser Function

=

Wenn man jetzt

den eingeführten Grössen die geometrische Bedeutung beilegt, dass in Bezug auf ein System rechtwinkliger Coordinaten x, y, 2 die Constanten x, 9, J einem Punkte A, die Variabein x, y, & einem Punkte B, die Variabein x', y, 2' einem Punkte B' entsprechen, und dass der Werth k eine bestimmte Länge bezeichnet, so drücken die Gleichungen (10.) offenbar die Beziehung zwischen den Punkten B und B' aus, dass beide mit dem Punkte A in derselben geraden Linie und auf derselben Seite von A liegen, und dass das Product der Abstände AB und AB' gleich dem Quadrate der Länge k ist. Denkt man sich also um den Punkt A als Centrum mit dem Radius k eine Kugelfläche beschrieben, die auf ihrer inneren und ihrer äusseren Seite die Wirkung eines .Spiegels ausübe, so ist der Punkt B' das zu dieser Kugelfläche gehörende Spiegelbild des Punktes B, und umgekehrt der Punkt B das Spiegelbild des Punktes B'. In Folge der Gleichungen (1.) hat dieses Abbiidungsprincip die Wirkung, dass, wenn man in unendlicher Nähe eines beliebigen Punktes B zwei andere Punkte Bt und B2 annimmt, und die Abbildungen .der drei Punkte respective mit B\ ß j , B'2 bezeichnet, das Dreieck BBIB2 und das Dreieck B'B[B'i einander ähnlich werden. Ausgenommen ist allein der Fall, dass der Punkt B mit dem Punkte A zusammenfällt, indem dann der Punkt B' sich von A unendlioh entfernt. (Vgl. auch den Aufsatz des Herrn Lioueille in dessen Journal Bd. XII, pag. 280ff.) Es sei jetzt S der Inbegriff einer beliebigen Anzahl von geschlossenen oder nicht geschlossenen Flächen, deren keine den Punkt A enthält, und es werde von jedem Punkte B in S auf die angegebene Weise das sphärische Spiegelbild B' entworfen, dann bilden diese Punkte B' im Allgemeinen**) *) S. den Brief des Herrn W. Thomson in Liouvillea Journal Bd. XII, pag. 259 ff. und pag. 275 ff. **) Eine Ausnahme tritt nur dann ein, wenn mehrere der in S enthaltenen Flächen Bich ins Unendliche erstrecken, und Flächen dieser Art sind von der folgenden Betrachtung auszuschliessen. Auch in S1 können keine solche Flächen vorkommen, weil der Punkt A niemals in eine Fläche S fallen darf.

Lipschtt»,

zur Theorie der

Elcctricitätnertkeilmng.

7

eine ebenso grosse Anzahl gesonderter Flächen, als in S enthalten sind, und der Inbegriff derselben an die Stelle von U,

und daher folgt aas (II 4 .) die Gleichung dp

~

dp

k r

in welcher für q sein Werth — einzufahren ist. *

1

>i dp

Die Grössen —,7 —ir— r

haben zu beiden Seiten von S denselben Werth, und so entsteht für die aufzusuchende Differenz der Ausdruck •Ì71Q,

welcher zu beweisen war. 3.

Die Function —u genügt im ganzen Räume ausserhalb der Flächen S

der Laplacesehen Differentialgleichung dx%

=

0;

denn wenn man in der Gleichung (9.) die Function u für U substituirt, so d'u

verschwindet ihre rechte Seite wegen der Gleichung ^-Q^T = 0 für jede Lage des Punktes ff mit Ausnahme der Flächen S', und die linke Seite geht durch die Relation q = — in die Form

'•

Kl») über.

ftJS"—^—

Daraus folgt aber

Kl«)

die Gültigkeit der Gleichung 2 — ^ — = 0 in dem angegebenen Umfange. 4.

Die Function — r u nähert sich der Null,' sobald der Punkt B in's Unendliche rückt, weil alsdann das Spiegelbild B' des Punktes B sich dem Journal für Mathematik Bd. LXI. H e f t l .

2

10

Lipschitz,

Punkte A

zur

unendlich nähert

Theorie

und

der

Electricilcilscertheilung.

die F u n c t i o n

convergirt, während r über jede Grenze Aus diesen genden

Satz

u gegen

allgemeineren Betrachtungen

ableiten,

der

einen

zur Reduction

k a n n man sogleich den f o l -

des

allgemeinsten

e l e c t r i s c h e n Y e r t h e i l u n g auf e i n f a c h e r e P r o b l e m e f ü h r e n I. System

Es sei S der Inbegriff

von

electrischen

Massenpunktes, der

durch k2 (j = —und

(welches

der

diesen

inducirten

A werden

um das

der

begrenzt

v dieser

mittelst

der Gleichung

mit

dem Radius

bild B' des Punktes

B,

das Spiegelbild

bezeichnet, aber

das

B' bezogene

in jedem

die Dichtigkeit

S'

von S'

Massenschicht

den

electrischen

der

Gleichung

Punktes man

Kugelfläche

der Einheit

vom die

Spiegelund mit u

Belegung

B' von

von

hat,

Da

es f ü r m a n c h e Z w e c k e

v o r t e i l h a f t ist,

S'

mit

l

S'.

B e i diesem /Satze ist d a r a n zu e r i n n e r n , dass ein P o t e n t i a l u v o n g e f o r d e r t e n E i g e n s c h a f t stets existirt, und z w a r n u r ein

B

für

das

S entwirft,

electrischen

o

auf den Punkt

des betreffenden 1 v — —u, wenn

Werth

gegebenes

Ort eines

in Bezug

im Punkte

der

man die Dichtigkeit

der Flächen einer

ein

B mittelst

k beschriebene

Potential

Punkte

dieser

im Punkte

Entfernung

welche

A der

so erhält

Problems

soll:

durch

Massenschicht

A

das auf den Punkt

wird,

in S befindet,

reciproken

muss)

Centrum

der Oberflächen,

Massenschicht

das Potential in S gleich

Punkte

Leitern

sich nicht

festen W e r t h

hinauswächst.

der

solches.

f ü r die S u m m e d e r

b e s t i m m t e n Dichtigkeit y einen übersichtlichen A u s d r u c k

zu h a b e n ,

eben

so f ü h r e

ich f o l g e n d e n Satz an * ) : II. S kennt, so

Wenn welche

liefert

der

in jedem Werth

entsprechende ein,

electrische

Punkte

ihres

Belegung

des

Oberflächencomplexes

von S den Potentialwerth

Potentials

Q im Punkte

A

Eins die

hervorbringt,

dem Potentiale

v

Electricitätsmenge.

Vermöge sogleich

man diejenige

eines v o n

Gauss

bewiesenen

dass f ü r j e d e n P u n k t A,

T h e o r e m s **) sieht

der ganz

ausserhalb

man

nun

d e r mit S

be-

z e i c h n e t e n Oberfläche liegt, d e r W e r t h v o n Q ein p o s i t i v e r e c h t e r B r u c h , u n d dass f ü r j e d e n P u n k t A , umschlossen ist,

der von

einer

o d e r von

mehreren

d e r W e r t h v o n Q gleich d e r Einheit

ist.

dieser

Dasselbe

B e z u g auf das Potential u und den mit S' b e z e i c h n e t e n C o m p l e x v o n *) Der Beweis lässt sich genau demjenigen nachbilden, p. 154 für einen speciellen Fall dieses Satzes gegeben habe. **) Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 26.

Flächen gilt

in

Ober-

den ich Bd. LVIII,

Lipschitz,

zur

Theorie

der

Electricitätsvertheilung.

11

flächen, und daraus folgt weiter, dass die Dichtigkeit l auf denjenigen Flächen, welche von anderen umschlossen werden, den Werth Null, auf solchen, die von keiner Fläche umschlossen werden, stets einen positiven Werth hat. Mithin hat die Dichtigkeit p auf den Spiegelbildern dieser Flächen beziehungsweise ebenfalls den Werth Null oder einen positiven Werth.

§• 2.

Wenn ein gegebenes System von n electrischen Leitern unter der Einwirkung von beliebigen Nichtleitern steht, so muss das Potential der Belegungen des Systems und das Potential der erregenden Nichtleiter zusammengenommen auf der Oberfläche eines jeden Leiters einen vorgeschriebenen constanten Werth annehmen: das ist die nothwendige und zureichende Bedingung, um das electrische Gleichgewicht des Systems zu bestimmen. Statt der n constanten Potentialwerthe können die den einzelnen Leitern mitgetheilten Electricitätsmengen gegeben sein; wegen des bequemeren Ausdrucks habe ich indessen das erstere vorausgesetzt. Wenn man den Inbegrilf der Oberflächen der n Leiter, wie vorhin, mit S bezeichnet, für den mit der electrischen Masse versehenen Punkt A eines jeden Nichtleiters nach Angabe des Satzes I. die Function © bestimmt, und über alle Elemente der Nichtleiter die Summe

ausdehnt, so stellt diese Summe offenbar dasjenige Potential einer Belegung von S dar, dessen Werth mit dem WTerthe des Potentials der Nichtleiter addirt in S die Summe Null hervorbringt. Diese Belegung entspricht dem Vorgange, dass alle Leiter des Systems nach ausgeführter Induction mit der Erde leitend verbunden werden. Die allgemeine Behandlung der Aufgabe verlangt nun zu dieser Belegung eine andere hinzuzufügen, die für sich allein in jedem Leiter den vorgeschriebenen constanten Potentialwerth hervorruft. Da aber die Auffindung einer solchen Belegung des mit S bezeichneten Complexes von Oberflächen, wenn man von der Gestalt der Leiter absieht, eine allgemeinere Aufgabe ist als die Bestimmung des Potentials u für das Spiegelbild -i- r + * 2 - c 2 +

Setzt

man

der

Gleichungen

x' + f + i ' — C2

"

wird.

hier

die W e r t h e von x,

der Gleichungen ( 1 0 . ) ¿"r

y,

=

z e i n , w e l c h e sich durch

0.

Auflösung

ergeben,

r2

r

i

y — V I

7T2

Í

5+

f

i

r

WO gesetzt

ist,

der Abstand ^rr> 0 ist. j e nachdem der Punkt B

oder ausserhalb S liegt. des

1 =

Man überzeugt sich nun leicht, dass eine Fortsetzung

ausserhalb

für Punkte

der Gleichung ( 1 3 . )

innerhalb

S

herrschenden W e r t h e s

des Innern

statt der Null

als untere Grenze

von

33„ erhalten

ebenfalls diejenige

des Integrals anwendet,

wird, Wurzel

welche

angegebenen Bedingung genügt und dadurch unzweifelhaft bestimmt ist.

der Für

die Punkte der xy- E b e n e , die der Ungleichheit U —y-

genügen,

nimmt

1 < 0

diese W u r z e l ihren kleinsten W e r t h — y- a n ,

bleibt stetig, der nach ds Seiten

y (j- — y-

'

der xy-Ebene

die Function

genommene Differentialquotient hat aber zu beiden

verschiedene

Werthe,

und es erhellt,

dass

das durch

die Ellipse f 14.) begrenzte

Stück

der

die Function $$„ ist: vollständig Fläche

erfüllt.

denn

-

Fläche

0. das bezeichnete

Integral

die im vorigen § . gestellten Anforderungen die Dichtigkeit

v der Massenschicht,

welche

sind der

beizulegen ist. findet sich darauf der W e r t h

und es bleibt nur ü b r i g , construiren.

ß'-y-

die

xy-Ebene

Für

„-1

a —y

Das

das sphärische Spiegelbild i > l 5 der F l ä c h e «i»,, zu

sphärische

Spiegelbild

der E b e n e 3 = 0 ,

von der +(f

nachdem aber der Werth des bestimmten Integrals

. , 1 \i r) ?

_ i) IL + i f * ' durch bekannte Methoden

ausgemittelt ist, kommt das Resultat:

(56.)

AO)

^

'

M *

i

)

2

.

lim-

Um dasselbe anzuwenden, hat man 1 co + -p- = 0 zu bilden; es ist lim.

(570

— B

—

•

f

zunächst

mehrere Grenzausdrücke

z

""r'Cs-J)'

A

(

r' lim.4 A

-

(ra-jaO*

° '

, (9z-S«/) 2 " ( a — s)2

ß

Demnach tritt an die Stelle der Bedingung — t > W

- p c — ^ O ,

^

0 die folgende

für

Lip»«kii*y am> Theorie der GrmvUmtivit.

46

d. h. das Integral (49.) hat für w + p - = 0 nur dam einen von Noll verschiedenen Werth, wenn 2 zwischen den Grenzen s = 0 und 2 = j liegt. Wir schliessen deshalb den Werth ¿ = 0 von der Betrachtung ans ond setzen, um unnütze Unterscheidungen zu vermeiden, fest, dass j positiv sei, mithin die Differenz $—2 nur positive Werthe erhalte. Der in der Formel (56.) mit f{0) bezeichnete Ausdruck entsteht in dem vorliegenden Fall ans dem folgenden:

1 B indem t' = —7- und dann a ) + - r = 0 gesetzt wird; also kommt - r ~ „ — r\i-i) f für

för

7X\-*)

(59.)

m

für

'

= «(.-!)»

und

dahor

( v ^ A v ^ r

Setzt man nun die Conatante ^ V ^ M t ) rört so entsteht endlich die Gleichung (m)

[lim.-Ä = \ dx* (61-) { /

aßr' («•-/W-r1)4

w ^ s r V ( a - » y vci—»y (f-t)i(p-D I / J \i(P-0

1

~

'

— /

p-t)Kr-'> \ J \KP~» 1'

durch welche nach (47.) der Werth der Dichtigkeit v w vollständig bestimmt wird, und die ebenso zu verstehen ist wie die Gleichung (49.). Wegen der Ungleichheit (58.) gilt aber der gefundene Ausdruck nur für diejenigen Punkte (x, y, ¿5), die zwischen den Ebenen 2 = 0 und 2 = j liegen, während für den übrigen Raum vlf, = 0 ist. §• 7. Es handelt sich jetzt um die Beantwortung der Frage, in welchen Werth der reelle Theil der rechten Seite von (61.) oder die Grösse —4nvHr übergehe, sobald e gegen die Null abnimmt. Man erkennt nun sogleich, dass der Ausdruck r' , ( w - j a p 1 , (?»-&)• »?»(»-0

Liptckil», war Théorie der GrotUstion.

4?

unter der hier obwaltenden Bedingung ——8 >> 0 stets positiv ist, und des•

halb gelten für die Grenzwerthe der Ausdrücke o - i)«"- 0 (62.) / J xio^-') ' /

c«— j

\Vr~n

dieselben Betrachtungen, deren Resultat in (33.), (34.), (35.) ausgesprochen ist; man hat nur statt T+iji' die Grösse

*

V.«—ZJ

, statt ip—1 den Exponenten

}(p—1) zu setzen. Mithin giebt der erste der Ausdrücke (62.) für seinen rein imaginären Theil immer den Grenzwerth Null, der zweite giebt den Grenzwerth Null, wenn ist, und einen von Null verschiedenen Werth, sobald \{p— 1) keine ganze Zahl und (i-*) — ist*). Wenn aber \{p— 1) eine ganze Zahl, also p eine die Einheit übertreffende ungerade Zahl ist, so verschwinden die rein imaginären Theile von beiden Ausdrücken (62.), folglich verschwindet auch die Dichtigkeit v w für alle Punkte (x, y, a), und nur diejenigen sind ausgenommen, die der Fläche («3.)

Q ^ -

1

"

0

sehr nahe liegen. Von hier ab betrachte ich nur die ungeraden Zahlen als Werthe von p, und setze in der Gleichung (63.) die Grösse rj = 0. Es sei S- die Normale der Fläche, in dem Punkte (x0, a0) errichtet und in einem bestimmten Sinne von der Fläche an gemessen, ein kleiner positiver Werth, so kann man bei einem endlichen e die Summe der Dichtigkeit v,v für die Punkte bilden, welche auf dieser Normale zwischen den Grenzen und &=&i liegen. Lässt man darauf e unendlich klein werden, so nähert sich das betreifende Integral einem festen Werthe, und man sieht leicht, dass derselbe *) Hierdurch wird die obige Bemerkung in Bezug auf die Functionen, bei denen |(p—1) keine ganze Zahl ist, erwiesen, wenn man die später zu entwickelnden Eigen« schaften der Function -7—^ . . — i zu Hülfe nimmt.

(J-*)

48

Lipschitz,

die Dichtigkeit v

derjenigen

zur Theorie der

Flächenbelegung

Massenvertheilung von der Dichtigkeit vw W e n n das Aggregat ^

f'x

Gravitation.

darstellt,

in welche sich die

verwandelt hat.

^ , — 1 durch f(x, Ci—*y

y, z) und nach

Lagrange

bezeichnet wird, wenn man ferner die Grösse L

=

setzt, so gelten bei Vernachlässigung der höheren Potenzen von & die Gleichungen

f(x,y,z)

=

L&.

Diese Ausdrücke werden in die rechte Seite von (61.) ^

substituirt, dann ist

= 14- L&, und es sei

Da nun der erste von

den Brüchen (62.) bei 6 = 0

zu dem Werthe

von v

nichts beiträgt, so gilt die Gleichung (65.)

hm.-4nj

v ^ o * = lim.-»*/

—

Der reelle Theil

^

A

J

_

.

—

der rechten Seite, d e r hier allein zn beachten ist, hat b e -

kanntlich für / p = 3 den Werth — 4n

,

und in ähnlicher Weise

findet

man allgemein (66.)

-\nv

=

*

f i

'7tO) L

w o v nach dem oben Bemerkten = lim. j

[

ist.

Da F(LS-)

)

~~

v,rd&,

und

du^-v

gleich einer Function von z, ohne x und y, ist, so kann man

die Differentiation nach & mittelst der Gleichung dx =

t ^ L d »

durch eine Differentiation nach z ersetzen, und nach Ausführung derselben für z schreiben.

Dadurch verwandelt sich die Gleichung (66.) in folgende:

Lipschits,

(67'.)

sur

Theorie

der

-„-1,3 - 7 r n r r ' 1 ^

r -

wo der Quotient

Ty'\

gerade Zahl bedeutet. (69.)

eingeführt,

!

J /îl—1 \ '

J

=

49

(gfa*-1 g - »)-K»+ 3 >)

die aber noch etwas zu vereinfachen ist. v

Gravitation.

(/%)K?-»J

Aus ( 6 0 . ) folgt

r q ) «ß?-v+i _ / n \ (et-— y ' ^ h ^ ß * "

- den W e r t h i • f • f • • • (hp —1) F e r n e r werde statt f(x,

J

^

ü

.

Das Potential dieser Massenschicht ist nach dem früher Bemerkten gleich der Function

also für den ausserhalb S befindlichen Raum gleich der Function

und der Satz I. kommt in Anwendung, da seine Praemissen gültig sind. Der

durch die Ungleichheiten = 0

(p(x,y,z)

stellt für jeden

z > 0 ,

z 0, a 0, * < 1 , und man kann beweisen, dass die der zweiten entgegengesetzte Annahme x > 1 mit der Gleichung 0 kann entweder so erfallt werden, dass diese Gleichung, nach x aufgelöst, eine positive und eine negative Wurzel hat, oder so, dass ihre beiden Wurzeln reell und positiv sind. Da die Grössen x und 9 hier so beschaffen sein r* n1 müssen, dass > 1, folglich gewiss A > 0 ist, so hat man nach den unterschiedenen Fällen entweder die Ungleichheit (74.) C()0, 0. Um die rechte Seite von (70.) umzuformen, bemerkt man, dass (p'x = il*p'»x, g anzuwenden wären. Bei der analytischen Darstellung der Fläche ist die Gleichung der Kegelfläche gebildet worden, die ihre Spitze im Punkte A hat, und durch die Ellipse (14.) hindurchgeht, nämlich (rg-jx)' , Qj-iy)J

Der Umstand, dass die Function

,

y

f= i _ 4 . J L . l - i

:

7r'

1

,

" V

j

1 7 '

1

*) der durch die Bedingung s < J von der Fläche ausgeschlossen ist.

Lipschitz,

56

zur Theorie der Gravitation.

Die Verbindungslinie dieses Punktes mit dem Punkte A ist ein Durchmesser der Fläche W {x, y, z') = 0 , und daher sind die Coordinaten ihres Mittelpunktes die folgenden: (86.)

=

¿7-,

=

2a'-f •>

z

5 "' =-8 h- 2y*f

2ß*f '

Es werde nun der Anfangspunkt der Coordinaten in diesen Mittelpunkt verlegt, während die Richtung der Coordinatenaxen ungeändert bleibt, und es sei

(87.)

x ' - x ( l - ^ f ) = xm,

=

=

so geht die Function ip in folgende Form über: m

)

v + 1^3m+ ^ mJ v = ¿ K " y' 1^ " ' + 1i " a'- —

(

1-

'ß5l — - - fi

s : j

' - . « - -4y¡ 4L fI .

Dieselbe ist gewählt worden, um die Hauptaxen der Fläche t/> = 0 aufzusuchen; die Auflösung dieser Aufgabe besteht aber bekanntlich darin, dass man statt der Veränderlichen xm, ym,

zm drei neue Veränderliche

¿ 2 , §3 einführt,

welche die Gleichung (89.) xZ + yZ + z'l = £ + 8 + g befriedigen, und die Function ip in einen Ausdruck verwandeln, der nur die A* 1 Quadrate der Grössen

s 2 , §3 und das constante Glied - ^ p - y

enthält.

Zu diesem Zwecke bemerke ich,2 dass der Ausdruck fön \ (?*'»-M'J /., -_ K ,a ~* K_ ,y )— +| ß'-f gleich Null gesetzt, eine Kegelfläche bedeutet, welche durch Verschiebung im Räume und ohne Drehung mit der Kegelfläche der Gleichung (78.) zur Coincidenz gebracht werden kann. Sind | 2 , | 3 drei neue Variable, welche die Gleichung (89.) erfüllen, so kann man bekanntlich mit Hülfe der drei Wurzeln oL, cr2, G3 der Gleichung (84.) eine Form der Function % aufstellen, bei der ^ , £> den Hauptaxen der Fläche % = 0 parallel genommene Coordinaten bedeuten, nämlich (90".) v ;

* =

,2

fc2

ff.+r

,2

^ ^ at+r

fcl

,2

L^., +r*

gg + y2

4ffo, '

4ffa

2

g3 + '

f

4ffa,

sind positiv, da wegen der angeführten Redingung +

ö

2

+ f < 0 ,

über die Wurzeln o a

2

Ö3+7 < 2

,

0 ist.

0, a x ^ - 0 ,

ferner

Auch schliesst man leicht aus den

o3 gemachten Remerkungen, dass die ^ - A x e die

grösste, die £ 2 - A x e die kleinste von den Axen ist. Wenn der Punkt Qc, 9, 5) der Oberfläche S

genähert wird, so nimmt

der Ausdruck f stets ab, die Wurzel at wird demselben proportional, und der Mittelpunkt der Fläche y = 0 rückt auf einer durch den Punkt A

gehenden,

der Axe

beinahe parallelen Linie so vorwärts, dass seine Entfernung vom 1 Punkte A der Grösse -j proportional zunimmt. Mithin geht die Fläche xp = 0

in ein Paraboloid über,

dessen unendliche grösste A x e ,

wenn man diesen

Ausdruck brauchen darf, die Richtung von ^ hat. Die Fläche

0 i»' durch die Curve

vierten Grades (97.) begrenzt wird und mit

identisch ist, dass dagegen

Q

unter der Bedingung -¡- -,)) = ausgehen.

(7.)

1 + C 1 ® + C 2 i C , + ---

Setzt man wieder af = 1 und unter dieser Voraussetzung

( l + a j ) ( l + a J i ) . . . ( l + x ^ - « ) = Qt+CLX+.-.+Ctxt+.-.

+

C^xr-',

Sitrn,

70

über MM der Tktikmg 4er Zakten äknhtke UnUrs»ck*Mg.

so bezeichnet nun C, wie oft die Zahl t unter dm Oombinatioiien aas den Elementen 1, 2, . . . —1) vorkommt, and wenn man Co=i+Cp setzt, so bedeutet Cr, wie oft Null unter diesen Combinationen vorkommt. Behalten r und (o ihre frühere Bedeutung aus 2), so hat man 'mithin (8.)

( l + r ) ( l + r i ) . . . ( l + r « ^ 1 > ) = ¿t)+Clr+-+Cir1+-

+

Cp_lf-i.

Nun ist 1+r

= 1-f costo+sinai.i = 2cos|a>(cos£a>-{-sin|a>.t),

l-fr?

= 2cos»(cosü>-f sincö.i),

Setzt man *

_

l + 2 + ..- + j ( p - 1 ) 2 ,

so hat man mithin: (1 +r)(l4V)...(l+r K p - , ) ) =2«^'>cosio» cos«...cos

[cos fcu+sin kio. »]•

Ist 1 + 2 h — 1)'eine gerade Zahl, also Ar eine ganze Zahl, so ist cos&to+sinio.i die Wurzel r" der Gleichung af—1=0. Ist aber l+2-| 1) +ip i + ungerade, so ist k+\p eine ganze Zahl, mithin cosAto+sinAco.i=—f* und r l p wieder eine Wurzel der Gleichung af— 1 = 0. Nun ist 1 -f-2 H

h^¡r- —

gerade oder ungerade, je nachdem p — 8» + 1 oder p = 8» + 3. Bezeichnet daher h den kleinsten positiven Rest der Zahl k im ersten Falle oder der Zahl k+ \p im zweiten, nach dem Modul p, so dass jedenfalls so ist r* ein Werth aus der Reihe r, r 2 . . . r* -1 , und man hat jedenfalls cosfco4-sin fco.« = (—1)

8

r*,

also auch ( l + r ) ( l + r » ) . . . ( 1 + r * ^ ) = 2»-,) cos Jto cos tu . . . c o s ( - ^ Nun ist co s ^ tu cos o ) . . . c o s ( £ ^ -

= -^¡fjz!)-,

also (9.)

( 1 + r X l + r 1 ) . . . (l+r») = l + a ^ + a ^ - f — • wieder xp = 1, und alsdann (1-«) (1—«»)... (1—«K^-1») = l+ßlx+ß2x*+-~+fyx1+

-~+ßp,af,

so bedeutet ß\ die Differenz der Zahlen, welche angeben, wie oft die Zahl t unter den geraden und unter den ungeraden Combinationen aus den Elementen *) Beiläufig ergiebt sich aus diesen Formeln der Charakter der Zahl 2 als JtzL »'-1 quadratischer Best. Denn da Ct eine ganze Zahl ist, muss 2 2 = (—1) 8 sein.

72

Stern,

über eine der Tketimng dir Zahlen äknUcke Untersuchung.

1, 2, . . . l(p— 1) enthalten ist. (13.)

Ist ß„ = 1 +ßP,

so ist demnach

(t-^il-^.-Cl-X«'-15) = ß ^ ß ^ ß ^ + ' - ^ ß ^ X ^

und ebenso a-tf-'Xl-tf-V.il-*"10^

= ßo+ßi x'1+ß2x~1+--

+ ß^

x-0-l>.

Mithin (l-r)(l-r*)...(l-rK'-1>)

=ß0+ßir

+

( l - r " l ) ( l - r - 2 ) . . . ( l - r - ^ ) = ß t > + ß i r - > + ... + ß p _ i r -\ oder, da r " 1 ^ * " 1 , r~2 = r"'2,

. . . r-K'"'* = r«* + 1 \

also, mit Rücksicht auf ( l - r X l - r ^ . - . C l - r » - 1 ) =/» aus 3), oder, wenn man entwickelt, /35+/3S H

(ÄiÄ+AÄH

h/V.tÄ) r-h (ÄA+Ä/JsH -,)t*-1

+ (ß — 1) einschliesslich, verschiedene kleinste positive Reste nach dem Modul p. Denn hätte man 1 + 2 H \-k = a und zugleich 1 + 2 H h&H \-k+l = a, während k - A - 2 = 0 , u. s. w. Das Mittelglied ist also keinem anderen congruent. Endlich ist das letzte Glied

Stern,

über eine der Theihmg der Zahlen ähnliche Untersuchung.

75

Bezeichnet man durch a , , 02, . . . a Kj ,_t) die kleinsten positiven Reste der Zahlen 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 , . . . 1 + 2 + — + | ( j > - 1 ) ,

so ergiebt sich aus

dem Vorhergehenden, dass man statt der Reihe 1 + r'1+r~(l+2)

(Ä)

+ r_(,+2+1) H

|i r -o+i+...+p-u

auch schreiben kann (J.)

2+2r~"' +'2r~"'+ ••

•

+

+

Bezeichnet man nun aber diejenigen unter den Zahlen 1, 2 , . . . / > — 1, welche nicht einer der Zahlen Aj, a , , . . .

gleich sind, durch 6,, ¿2, . . . b i ( p _

so ist oder l+

r

-".

+ r

-,'

...+r-"KP-D

+

=

_r-6._r~6«

r~*»0>-1).

Man kann daher statt der Reihe (J.) auch schreiben: l + r-"'+r-"'+...+r-"iO-3)_r-ft._r-6' Hier fehlt das Glied mit dem Exponenten — a 1(/) _,), die übrigen Glieder sind positiv oder negativ, je nachdem ihre Exponenten aus der Reihe —a t u. s. w. oder aus der Reihe — b t u. s. w. genommen sind. Nun hat nach Gauss*)

die Reihe (H.) auch den Werth

also ist =

1+r

-«. + r-"»+...+r-«Kr-J)_r-6'_r-6'

r-

b

HP-i) }

so dass in dieser Entwickelung die Hälfte der Glieder positiv, die andere Hälfte negativ ist.

Man setze aber in diesem Ausdruck r - 1 statt r und schreibe

die Factoren in umgekehrter Ordnung, so erhält man (l-r-—i

=

(-1)

8

Dies giebt den Satz: Die Zahl p — h kommt einmal mehr unter den geraden oder unter den ungeraden Combinationen vor, j e nachdem p = 8 w + l

oder = 8 w + 3 ist.

Aus ( 2 4 . ) findet man ferner

ßüp-M) ß,

'S ßv-h+i*,

=

( - 1 ) ^ 4 , ,

=

P - ' - l

ßur>+3) =

1)

8

ß,,

^ Co—I) Addirt man nun auf der rechten Seite die vertical unter einander stehenden Glieder und berücksichtigt, dass r+r2+-"+ri,-1=r2+r4+--+r2(p-')=-=rP-1+r'('-1>H

|_ r tP-oo.-o =

so findet sich als Werth sämmtlicher Verticalreihen p—1— (/3,+ßH—\-ßp~i) — p nach (17.). Man hat mithin, da nach 3) (1—r)(l-r J )...(l—r*- 1 ) = P f die eigentümliche Formel X

~ £ \ \ - i * ) { \ - r x ) . . . (1—r i(J,-1)Jr ) = ( l - r ) ( l - r 2 ) . . . (1 - « * - ' ) . x—1

Es ergiebt sich aus dem Vorhergehenden nun auch leicht die Beantwortung der Frage, wie oft die Zahlen 0, 1, 2, . . . p— 1 unter den Combinationen aus den Elementen 1, 3, 5, . . . p— 2 vorkommen und wie sie sich unter den geraden und ungeraden Klassen vertheilen. Wollte man, dem Früheren entsprechend, direct verfahren, so müsste man von dem Producte (l+rXl+rV.tl+O ausgehen. Man kann aber die Untersuchung sofort auf die obige zurückführen, wenn man bemerkt, dass in den zwei Reihen l, p-2,

2, p-4,

. . . ...

i(p-9), 3,

UP-i), 1,

die unter einander stehenden Glieder die Beziehung haben, dass zu jedem Gliede k der oberen Reihe, das Glied p — 2k in der unteren gehört. Jeder Combination der Elemente der ersten Reihe, welche = k ist, wird also eine Combination aus Gliedern der zweiten Reihe entsprechen, die = p—2k ist. Bezeichnet also D, wie oft die Zahl t, Dp wie oft Null unter den Combinationen aus 1, 3, . . . p — 2 vorkommt, so hat man, sobald t nicht p—2h oder p ist, nach Formel (10.)

Journal für Mathematik Bd.LXI. Heft 1.

11

82

Stern,

über eine der Theilung der Zahlen ähnliche

ferner nach ( 1 1 . ) und ( 1 2 . ) ^

p—i

02

-

r

-n}

p—1 Dp

=

2

pi—i

s

+

Untersuchung.

P2—1

p2—l - Cp - J L 1 - - 1 .

2

Ferner kommen unter den geraden und ungeraden Combinationen 1, 3, . . . p—2 viel, die =

aus

gleichviel vor, die der Null congruent sind, und ebenso gleich-

p — 2h sind, während bei den übrigen Zahlen immer unter den

geraden oder ungeraden Combinationen eine mehr vorkommt * ) .

Die genauere

Entwickelung ergiebt sich unmittelbar aus 9 ) ; ich will dabei nicht länger v e r weilen, sondern nun zu einer Anwendung des Vorhergehenden auf die Theorie der quadratischen Reste übergehen. 13)

Multiplicirt man die einzelnen Glieder der Reihe l+2 + 3+ ...+Kjo-l)

(A.)

mit einer ganzen Zahl k, so dass man die Reihe k+2k+Sk^

p-\)k

erhält, so wird man aus der letzteren R e i h e , indem man die Vielfachen von p vernachlässigt, eine Reihe &+0H

(B.) erhalten, in welcher eine gerade

oder eine ungerade

9 — 1) ist, j e

kommt, die grösser als

Anzahl Glieder

nachdem k ein quadratischer

vorRest

oder Nichtrest ist. Bezeichnet man nämlich die Anzahl der Glieder, die grösser als sind, in der Reihe (B.) 9lg2...

also

gKp^

=

durch m, ki(p~1)

1.2...

1)

so ist, wie schon Gauss bewiesen h a t * ) , UP-1)

=

(-1

1 • '2 • • • i

(p-1),

(-l)m.

*) Da die geraden Combinationen (aus 1, 3, ö, . . . p — 2 ) gerade Zahlen, die ungeraden Combinationen ungerade Zahlen geben, so lässt sich der Satz, dass Null gleich oft unter den geraden und unter den ungeraden Combinationen enthalten ist, auch so ausdrücken: Die Summe der Zahlen, welche angeben, wie oft sich p, 3p, bp, ... aus den Zahlen 1, 3, 5, . . . p — 2 zusammensetzen lassen, ist ebenso gross als die Summe der Zahlen, welche angeben, wie oft sich 2p, 4p, 6p, . . . aus diesen Zahlen zusammensetzen lassen. **) Theorem, arithm. demonstr. nova in Comm. soc. Gotting. Vol. X V I .

Stern,

über eine der Theilung der Zahlen ähnliche

Untersuchung.

83

Nun ist & 1(p_1) = 1 oder 1, je nachdem k quadratischer Rest oder Nichtrest, also m im ersten Falle gerade, im zweiten ungerade. Nimmt man in der Reihe (B.) statt der Zahlen, die grösser als ^{p —1) sind, die ihnen nach dem Modul p congruenten negativen, welche kleiner als — 1) sind, so erhält man eine neue Reihe, in welcher die Glieder, abgesehen vom Zeichen, wieder die Werthe 1, 2, . . . \{p— 1) (wenn auch in anderer Ordnung) haben. Ordnet man in derselben die Zahlen nach ihrer wachsenden absoluten Grösse, so soll der so entstehende Ausdruck die dem Multiplicator k zugehörende reducirte Reihe heissen. Ist also z. B. p = 7 und man multiplicirt 1 + 2 + 3 mit 2 , so erhält man 2 + 4 + 6 , statt dessen nimmt man 2 — 3 — 1 , und die dem Multiplicator 2 zugehörende reducirte Reihe ist also hier - 1 + 2 - 3 . Dies vorausgesetzt kann der obige Satz auch, wie folgt, ausgesprochen werden: Wenn man alle Glieder der Reihe (A.) mit k multiplicirt, so wird in der diesem Multiplicator zugehörenden reducirten Reihe eine gerade oder ungerade Anzahl negativer Glieder vorkommen, je nachdem k ein quadratischer Rest oder Nichtrest ist. 14) Wenn man die einzelnen Zahlen 1, 2, . . . \ (p— 1) in beliebiger Weise mit dem positiven oder negativen Zeichen nimmt und daraus eine algebraische Summe bildet, so soll diese eine aus den Elementen 1, 2, . . . \{p— 1) gebildete F o r m , oder kürzer, da zunächst keine anderen Elemente als diese betrachtet werden, eine Form heissen, und zwar soll diese zu der geraden oder ungeraden Gattung gehören, je nachdem sie eine gerade oder ungerade Anzahl negativer Glieder enthält. Zu der geraden Gattung gehört also n a mentlich die Form 1 + 2 H 1- i (jo —1) mit nur positiven Gliedern, welche die positive Hauptform heissen soll. Zwei Formen sind verschieden, sobald nicht alle Elemente in beiden dasselbe Zeichen haben. Nach dem Vorhergehenden wird also, wenn man die einzelnen Glieder der Hauplform mit k multiplicirt, die diesem Multiplicator zugehörende reducirte Reihe eine Form sein, welche zur Gattung der Hauptform, oder zu der entgegengesetzten gehört, je nachdem k ein quadratischer Rest oder Nichtrest ist. Dieses Resultat lässt sich leicht verallgemeinern. Man betrachte nämlich nun eine Form, die s negative Glieder enthält, sie heisse f . Man multiplicire die einzelnen Glieder dieser Form mit k, so erhält man eine Reihe, deren Glieder, absolut genommen, k, 2k, . . . ^{p~\)k sind, unter welchen sich aber ebenfalls s Glieder mit negativem Zeichen befinden. Diese letztere

11 *

84

St er»,

über eine der Tkeihmg der Zahlen ähnliche Untersuchung.

Reihe verwandele man so, dass man statt der Zahlen, die, absolut genommen, grösser als 1) sind, die ihnen congruenten nimmt, die kleiner als l(p— 1) sind. Die so entstehende Reihe, welche wieder die dem MvlHplicator k zugehörende reducirte heissen soll, wird eine Form sein, die zu derselben Gattung, wie die Form f , oder zu der entgegengesetzten gehört, j e nachdem k ein quadratischer Rest oder Nichtrest ist. Seien nfimlich unter den Zahlen k, 2k, . . . 1)A (nach Abzug der Vielfachen von p) t negative, die kleiner als 1) sind, « negative, die grösser als *(/»— 1) sind und e positive, die grösser als {{p—1) sind. Die w Zahlen gehen in der reducirten Reihe in ebenso viel positive über, die kleiner als 1) sind, die e Zahlen in ebenso viel negative, die kleiner als ±(p—1) sind. Man hat daher (-l)"*»*'- 1 *. 1 . 2 . . . i 0 - 1 ) =

(-1)'+M .2...*(/>-l),

oder ¿K/—1)

=

Es muss also t+r> zugleich mit s gerade oder ungerade sein, wenn k ein quadratischer Rest ist; ist dagegen k ein Nichtrest, so muss t+t> gerade oder ungerade sein, je nachdem « ungerade oder gerade ist. Aber t+e ist die Anzahl der negativen Glieder in der zum Multiplicator k gehörenden r e ducirten Reihe. 15) Wenn eine Form einer Zahl (nach dem Modul p) congruent ist, so werde ich, der Kürze halber, je nachdem diese Zahl ein quadratischer Rest oder Nichtrest ist, auch die Form einen quadratischen Rest oder Nichtrest nennen. Sei nun 1 + 2 + 3H 1- ¿ (p—1) ~ »»*). Multiplicirt man diese Congruenz allmälich mit den Zahlen 1, 2, ... p— 1, so erhalt man auf der einen Seite, indem man die diesen Multiplicatoren zugehörenden reducirten Reihen nimmt, p—1 Formen, auf der anderen Seite, indem man »»mit 1, 2, . . . p—1 multiplicirt, und die Vielfachen von p vernachlässigt, die Zahlen 1, 2, . . . p — 1 in irgend einer Ordnung. Diejenigen dieser p—1 Formen, welche zur geraden Gattung gehören, werden quadratische Reste oder Nichtreste sein, und diejenigen, welche zur ungeraden Gattung gehören, quadratische Nichtreste oder Reste, j e nachdem p = 8 » + l , 8 » + 3 oder /> = 8 » + 5 , 8 » + 7 ist. *) Man übersehe nicht, dass m niemals Null sein kann.

Stern,

über eine der Theilung der Zahlen ähnliche Untersuchung.

Nach 14) werden nämlich die \{p — 1) Formen,

85

w e l c h e durch Mul-

tiplication mit den unter 1, 2, . . . p—1 enthaltenen quadratischen Resten entstehen. zur geraden Gattung gehören, dagegen die \{p—1)

F o r m e n , welche

durch die Multiplication mit den quadratischen Nichtresten entstehen, zur u n geraden Gattung.

J e nachdem m ein Rest oder Nichtrest ist, werden mithin

die Formen der geraden Gattung quadratische Reste oder Nichtreste und die der ungeraden Gattung quadratische Nichtreste oder Reste sein.

- 2 m ~ + 2+

Da nun

e= —(2+4+--+P — 3 + p - t )

so ist m ein quadratischer Rest oder Nichtrest, je nachdem —2 das eine oder das andere ist, d. h. j e nachdem /> = 8 « + l , 8 » + 3 oder p = 8 » + 5 ,

8»+7.

Ist z. 6 . p = 1 1 , so sind die quadratischen Reste 1, — —

so mit l

86

S t e n t , über ein* der TheUung der Zahlen ähnliche Untersuchung.

multipiicirt and redacirt, sobald l die Zahl bedeutet, die kleiner als p ist und der Congraenz kl~r (mod. p) Genüge leistet. 16) Im Allgemeinen wird es ausser der positiven Hauptform 1 +2H

hi(p—1)

noch andere Formen geben, welche ebenfalls = m sind; sie sollen ebenfalls Hauptformen heissen und zwar, da sie wenigstens ein negatives Glied enthalten müssen, negative Hauptformen. Ihre Anzahl ist leicht zu bestimmen. Es wird nämlich so viel negative Hauptformen geben, als es Combinationen aus den Elementen 1, 2, 1) giebt, die der Null congruent sind. Hat man z. B. ai+Oj+Oj+"

=

tp,

so dass Oi, a,, «h, . . . Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . . i(p—l) bedeuten, und zieht man 2a, + 2 o 2 + 2 a 3 H — v o n 1-j-2H 1) ab, so wird man eine Form erhalten, in welcher nun — at, — 02, — a 3 , . . . statt a,, a , , a 3 , . . . vorkommen, während alle anderen Elemente unverändert geblieben sind; zugleich ist diese Form = m. Aus jeder der Null congruenten Combination ergiebt sich also, auf diese Weise, eine negative Hauptform. Umgekehrt kann es keine negative Hauptform geben, die nicht auf diese Weise gebildet werden kann. Denn sind in einer solchen die Elemente Oj, . . . negativ, die übrigen positiv, und man zieht sie von 1+2H b4(/>—1) ab, so erhält man 2 ( a , + a 2 + - - - ) = 0, oder a , + a 5 H — = 0. Es giebt also so viel negative Hauptformen, die zur geraden Gattung gehören, als es gerade Combinationen giebt, die = 0 sind, und soviel negative Hauptformen, die zur ungeraden Gattung gehören, als es ungerade Combinationen giebt, die = 0 sind, d. h. p—' y'—1 2 1 c i") s \ mithin nach 8): Es giebt ^p 2~ n e £ a t ' v e Hauptformen gerader und ebenso viel ungerader Gattung. Diese Zahl soll im Folgenden durch l bezeichnet werden; die positive Hauptform mitgerechnet, hat man also im Ganzen l-f-2/ Hauptformen. 17) Aus jeder negativen Hauptform kann man nun wieder, indem man sie mit den Zahlen 1, 2, . . . p— 1 multipiicirt, p— 1 Formen ableiten, die den einzelnen Zahlen 1, 2, ... p—i congruent sind. Auch kann man wieder, wie oben in 15), beweisen, dass man dieselben Formen erhält, wenn man irgend eine dieser abgeleiteten Formen mit 1, 2. . . . p — i multipiicirt. Ist z. B. wieder p = 11, so sind hier zwei Combinationen, nämlich 2 + 4 + 5

Stern,

über eine der TkeiUtng der Zahlen ähnliche Untersuchung.

87

uud 1 + 2 + 3 + 5 , die — 0 sind. Ihnen entsprechen die zwei negativen Hauptformen 1-2+3-4-5, -1-2-3+4-5. Ans diesen ergiebt sich, wenn man wieder, wie oben, die quadratischen Reste und Nichtreste von einander sondert, 1-2+3-4-5

4

- 1 - 2 - 3 + 4 - 5

==

1

1+2-3-4+5

1+2+3+4-5

=

5

-1+2+3-4+5

1+2-3+4+5

==

9

1 - 2 - 3 - 4 - 5

3

-1+2+3+4-5

8

1-2-3-4+5

-1-2+3-4+5

-1-2-3+4+5

=

—

1+2+3-4-5 - 1 - 2 + 3 - 4 - 5

:

2

-1+2+3+4+5

-1-2-3-4+5

=

6

1-2-3+4-5

1+2-3+4-5

=

10

-1-2+3+4-5

-1+2-3+4+5

=

7

1+2+3-4+5

== : =

=

4 1 5 9

=

==

3 8 2

;—~

= ~ —

6 10 7.

18) Jede Form f , die einer Zahl t congruent ist, kann aus einer Hauptform abgeleitet werden, sobald t nicht Null ist. Ist nämlich, wie früher angenommen wurde, 1 + 2 + •• • + !(/>—1) = r o , so suche man die Zahlr, welche ) bedeutet, und man setzt ¿ ( 2 A ' + l + f ) = A, so dass 2A'+1 = 2h und mithin auch l + 2 + — + i ( / > - l ) = 2A, und man sucht wieder alle Combinationen aus 1, 2, . . . 1), die = A sind, so kann man wie im früheren Falle verfahren. Hierbei hat A dieselbe Bedeutung wie in 4). Nach dem Vorhergehenden erhält man also soviel Formen, die = 0 sind, als es Combinationen giebt, die = A sind. Umgekehrt kann es auch nicht mehr Formen dieser Art geben, vielmehr lässt sich jede aus einer entsprechenden Combination, die = h ist, ableiten. Denn ist 1+2-i öj—o 2 a*+a*+iH h = 0 eine solche Form, und man addirt 2 a 1 + 2 o , H f-2a k , so erhält man 1+2 H hai+OaH ba*+«*+i+-" = 2a,+2a2 + "-+2o». Journal für Mathematik Bd. LXI. Heft. 1.

12

Stern, über eine der Theilunq der Zahlen ähnliche Untersuchung.

90

Auf der linken Seite steht die positive Hauptform, mithin ist 2a 1 +2« I H

f-2o» = 2Ä

oder

o , + « 2 + - -+at = h.

Nun ist Ch nftch Gleichung (11.) allerdings = 0 , wenn p = 3 oder = 5 , in allen anderen Fällen aber hat Ch einen von Null verschiedenen Werth; fftr 3 und 5 giebt es also keine Formen, die = 0 sind, für alle anderen Primzahlen giebt es solche Formen, wie schon vorher gefunden wurde. Wir sind aber jetzt im Stande auch die Anzahl dieser Formen sowohl der geraden als der ungeraden Gattung anzugeben; nach 6) giebt es nämlich in jeder Gattung p—t p'—i p'—i 2 2 - C - l ) 8 , (-1) 8 Formen dieser Art. 2p

'

2

Fasst man diese Ergebnisse zusammen mit denen in 19), so erhält man schliesslich folgenden Satz: Wenn man aus den Zahlen 1, 2, . . . j(p~l) alle möglichen Formen bildet, indem man diese Zahlen auf alle möglichen Weisen mit dem + oder — Zeichen versieht, so werden die Formen mit gerader Anzahl negativer Glieder die quadratischen Reste oder Nichtreste und die Formen mit ungerader Anzahl negativer Glieder die quadratischen Nichtreste oder Reste einmal mehr enthalten, je nachdem p = 8 » + l , 8 » + 3 oder j» = 8 » + 5 , 8 » + 7 ist. Und zwar enthalten im ersten Falle die Formen mit gerader Anzahl negativer p-i Pi-i 2 S (— 1") 8 1 Glieder jeden quadratischen Rest 2p h y m a l , jeden Nichtrest p-i p>-t 2 i c i") s f ^— y mal, dagegen die Formen mit ungerader Anzahl negativer p-i p'-i 1 2 1 —C—1") 8 Glieder jeden quadratischen Rest ——y mal, jeden Nichtrest y-' p'-i 2 » c i") 8 | ^— f- -g-mal. Im zweiten Falle dagegen enthalten die Formen mit g e p-i p'-t 2 2 — (— 1") 8 1 rader Anzahl negativer Glieder jeden quadratischen Rest 2" mal, p-i p'-i 8 2a ( f jeden Nichtrest ^—h y m a l , dagegen die Formen mit ungerader p-i p'-i 2 3 —C—i) 8 1 Anzahl negativer Glieder jeden quadratischen Rest )ip l-yroa^ p-j p'-' 2 « r 8 | jeden Nichtrest ~2 Ausserdem giebt es in jedem Falle

Stern, p—i

O 2

f.»—i

( 1") 8 I^j—^-

über eine der TheUung der Zahlern ähnliche Untersuchung.

91

p*—i

( —^

8

Formen mit gerader Anzahl negativer Glieder

und ebenso viel mit ungerader Anzahl negativer Glieder, welche = 0 sind. Hiermit übereinstimmend wurde oben in 15) und 17) gefunden, dass für />= 11 unter den geraden Formen jeder quadratische Rest zweimal, jeder Nichtrest einmal vorkommt, dagegen unter den ungeraden Formen jeder quadratische Rest einmal, jeder Nichtrest zweimal. Ausserdem giebt es noch eine gerade Form lind eine ungerade Form, welche = 0 sind, nämlich —1+2—3—4—5, und 1 - 2 + 3 + 4 + 5 , sie entsprechen den zwei Combinationen 2 = 2 und 1 + 3 + 4 + 5 = 2 , da hier h = 2 ist. 22) Nimmt man statt der bisher betrachteten Zahlen 1 , 2 , 3, . . . i (/>—1) die Zahlen 2 , 4 , 6 , . . . p— 1 und bildet in ähnlicher Weise aus ihnen alle möglichen Formen, indem man nun die Zahlen 2, 4, . . . p—i auf alle möglichen Weisen mit dem + und — Zeichen versieht, so findet man das R e sultat unmittelbar aus dem Früheren, wenn man bedenkt, dass man nur alle aus den Elementen 1, 2, . . . £(p— 1) gebildeten Formen mit 2 zu multipliciren hat, um alle aus 2, 4, ... p—t gebildeten Formen zu erhalten. Je nachdem 2 ein quadratischer Rest oder Nichtrest ist, werden also die Formen aus 1, 2, . . . i(p—1), welche quadratische Reste oder Nichtreste sind, wieder solche geben, oder bezüglich in Nichtreste oder Reste übergehen. Bei den Zahlen von der Form 8 » + l , 8 » + 7 bleibt also das Verhältniss der Reste und Nichtreste dasselbe wie früher, während es bei den Zahlen von der Form 8 » + 3 und 8 » + 5 in das entgegengesetzte übergeht. Demnach ergiebt sich hier der Satz: Wenn man aus den Zahlen 2, 4 , . . . p — 1 alle möglichen Formen bildet, so werden die Formen mit gerader Anzahl negativer Glieder P—I

2 2

P*—I

( i")

8

1 2 h y mal die quadratischen Reste und

F—I

2

( 1") ^—-

P*—I

8

1 -g- mal

die Nichtreste, und die Formen mit ungerader Anzahl negativer Glieder P—I p»—i p—I p*-I 8 2 i r j-) » i 2 2 ( 1 y mal die quadratischen Reste und H y mal die Nichtreste enthalten, oder umgekehrt, je nachdem p = 4 » + l oder P—i

ist.

Ausserdem giebt es

2

i

(

P*—I

1")

^—

8

p=4»+3

p*—I

C

—

8

f - - — ^ — Formen mit gerader und

ebenso viel mit ungerader Anzahl negativer Glieder, welche = 0 sind.

92

Stern,

über eine der Tkeüvng der Zahlen ähnliche Untersuchung.

Hieraus kann man nnn ferner leicht das Resultat ableiten,

welches

man erhält, wenn man auf dieselbe Weise ans den Zahlen 1, 3 , 5 , . . . alle Formen bildet.

Da nämlich p—2 = —2, p—4 = — 4 , . . .

p—2

1=—(p—1)

ist, so hat man, um diese Formen zu finden, offenbar nnr die aus 2 , 4 , . . . p — 1 gebildeten Formen mit — 1 zu multipliciren und dann statt der so erhaltenen positiven geraden Zahlen die negativen ungeraden, statt der negativen geraden die positiven ungeraden zu nehmen, welche sie zu p ergänzen. man nimmt in jeder aus 2 , 4 , . . . p—1

Oder kürzer,

gebildeten F o r m , statt jeder Zahl

ihre Ergänzung zu p mit Beibehaltung des Zeichens und vertauscht auch die Zahl, die dieser

Form congruent

ist, mit ihrer

Ergänzung

zu p.

Für

p = 11 erhält man also z . B . aus der Form 2 — 4 + 6 + 8 — 1 0 = 2 die Form — 1 + 3 + 5 — 7 + 9 = 9.

Die Zahl der positiven und negativen Glieder bleibt

demnach in der aus 1, 3 , . . . p~2 aus 2 , 4 , . . . p— 1 gebildeten,

gebildeten Form dieselbe, wie in der

aus welcher sie abgeleitet ist.

Ist nun zu-

gleich p = 4 « + l , mithin —1 quadratischer Rest, so ist die abgeleitete Form zugleich mit der, aus welcher sie abgeleitet ist, einem quadratischen Reste oder Nichtreste congruent, während, wenn p = 4 « + 3 ,

die abgeleitete Form

einem quadratischen Reste oder Nichtreste congruent ist, j e

nachdem

die

Form, aus welcher sie abgeleitet wird, einem Nichtreste oder Reste congruent ist.

Berücksichtigt man dieses, so ergiebt sich aus dem oben, in Beziehung

anf die aus 2 , 4 , . .. p—1

gebildeten Formen, gefundenen Satze, nun noch

folgender: Wenn

man aus den Zahlen 1, 3, . . . p—2

alle möglichen

Formen

bildet, indem man jede Zahl auf alle möglichen Weisen mit dem + und — Zeichen versieht, die

so werden die Formen mit gerader Anzahl negativer Glieder

quadratischen

gegen

die Formen

Reste

einmal

mehr

als

die

Nichtreste

enthalten,

da-

mit ungerader Anzahl negativer Glieder die Nichtreste

einmal mehr als die Reste * ) .

Und zwar enthalten die Formen mit gerader j>-i P'-I 2 * ( 1") « 1 Anzahl negativer Glieder die Reste h y mal, die Nichtreste 2

1

£ —

8

i -5- mal;

die

Formen

mit ungerader

Anzahl

negativer

*) Diesen Theil des Satzes hat, wie ich aus einer brieflichen Mittheilung weise, schon Eisenstein gekannt, doch weiss ich nicht wie, auch nicht ob er denselben bewiesen hat.

Siern,

über eine der Theihmg der Zahlen ähnliche Untersuchung.

Glieder dagegen die Reste P-I

2 2

(

^

p»-* H

1 \--~2 mal.

2 2

( 2p

8

j 2~

ma

''

93

Nichtreste

Ausserdem giebt es ebenso viel Formen mit

gerader als mit ungerader Anzahl negativer Glieder, die = 0 sind, and zwar P—i p»—i p*—I 2 H 3 -(-3

Iß, U>1 tt>3 in der Weise einführt, dass man (14.) setzt.

= « 2 iPj—c,tp 2 ,

& = e3tPi —©,ip3,

= r,ip, — r 2 ir,

Es wird alsdann nach dem Determinantensatz:

2±i;lx7dx3 = (e,®, -\-t>2Xi+t>Jxi)(iDldxl-\-iDidx1 + u)-idxi) — («j, xy+ip2 Xi + te3 x3)

dxt +1>2 dxt + «3 dx3),

und wenn man annimmt, dass c und w homogene Functionen respective der er""' und /?'" Ordnung sind, ferner

....

(15.)

«,=

1 dt)

—

=

i öw

setzt, und den Satz von den homogenen Functionen berücksichtigt, schliesslich:

(16.)

2±£lx1dx3 = ^jtdvD — ^vodv,

worin die angegebene Umformung enthalten ist.

/•¿;-f z x dx

Ich behandle nun zunächst das Fundamentalintegral fi> = J — ~ f Q x ) '

' / j

,

wor'n

a> u>

x dx u.IT^i-'n f(.Sx)

3

* ferner

® beliebige lineare Functionen sind, und gehe

dann zu allgemeinen Entwicklungen über. §• 3. Das Fundamentalintegral ra.

Man verfüge über die Grössen

£2, | 3 so, dass ^ ± ^ t x j d x 3 sieb

nach der Formel § . 2 (16.) als zweigliedrige Determinante der beiden linearen Functionen

u — ulxl-\-u2x2Jru3x3^ f{Ur) = *(*, f&) + xif&)+x3r&)) zusammensetzen lässt.

Hierzu ist aber erforderlich, die Grössen '£„ mit den

unter §. 2 (14.) analogen Grössen nur proportional zu setzen, nämlich, wenn

101

Aromhold, Integration irrationakr Differentiale. y eine noch zn bestimmende Constante ist,

zu setzen, damit aus diesen in Bezug auf

I,,

homogenen Gleichungen,

nach Elimination derselben, noch eine Unbekannte y zurückbleibt.

Es geht dann

aber die Gleichung §. 2 (16.) in yZ±$iXjdx3

=

u.df{$x)-f($x).du

Ober, und es wird in Folge dessen rudf(£x)-f(&)du

y.a

«•KS»)

welcher Ausdruck offenbar ein exactes Differential enthält.

In der That folgt

hieraus

= y

« = •y1 j f-ffTTf(sx)

(20' v

"

= r

v

a^+a^+^u,

/

Es bleibt noch die Bestimmung der Constanten y und der Verhältnisse welche hinreichen, weil durch Division mit einer der Grössen £ unter dem Logarithmus in (2.) nur die willkürliche Constante des Integrales geändert wird. man

Man kann nun die Gleichungen (1.) in eine zusammenfassen, wenn sie mit

den willkürlichen

Grössen

A,, ¿3 multiplicirt und

addirt,

wodurch (3.) entsteht.

=

Substituirt man hierin

= 4/"(£*) 1 8 0 folgt:

oder - (4.)

tm

=

0,

und substituirt man l k = u t , so erhält man (5.)

«i£I+MJ&+«3£J =

0.

Die Gleichungen (4.) und (5.) genügen, um die Verhältnisse l i : £ t : | 3 zu b e stimmen, sie geben zwei Werthpaare, welche beide in den Werth für cö (2.) substituirt werden können.

Hierdurch ist das Theorem ( § . 1) erwiesen, wenn

man dort noch die homogenen Variabein d. h. x = Tj = 4*- substituirt. »3

und £ =

y-,

Aronhold,

102

Integration irrationaler Differentiale.

Zur Bestimmung von y sei 171:17?:% das zweite' Wertbenpaar, welches (4.) und (5.) genügt und in (3.) = substituirt, dann entsteht: (6.)

=

Die Determinante rechts kann man aber auf eine bekannte Weise umformen. Man bemerke nämlich, dass die Grössen «k ausser (5.) auch der Gleichung «I^I + WJ'JJ+Wj^J = 0 genügen müssen, so dass man, wenn p willkürlich ist, setzen kann: (7.)

p.«, = £¡173—!J»7Î.

p • «2 =

—Ii Vii

(f-Uî = êiVt — ^Vi-

Die Determinante rechts in (6.) wird aber eine Function dieser Grössen, wie man durch eine bekannte Zusammenziehung der partiellen Determinanten ersehen kann, und zwar wird sie die zugehörige Form zu f(xx), so dass aus (6.) hervorgeht: (8.)

Y'fvSn) = e - / ' ( « « ) ,

wenn in expliciter Form geschrieben ]\un)

— (an a33 — «&) u\ + (a33 au — a;3) 4- 2 (ö,3 a12 — au (hu) «3 + 2 (o12

+ (an an - c?n) v^ —«13 «•») «i «3 + 2 (o,3 a.,3 — aiza13) », u2

gesetzt wird. Andererseits kann man auch in Gleichung (3.), welche immer die Gleichungen (1.) vertritt, statt der Grössen u„ ihre Werthe «, =

(§ii]3 — §37].i) u. s. w.

aus (7.) setzen, und erhält dadurch fj»?j-Îj *h

i/'($i)

was nach dem schon am Ende von §. 2 benutzten bekannten Determinantensatz in

übergeht, oder, weil /"(£$) wegen (4.) = 0 ist, in: (9-)

y = - y A W

Aus (8.) und (9.) folgt nun durch Elimination von (10.)

? =

-l\uu).

:

Aronhold,

Integration irrationaler Differentiale.

103

wodurch eine ebenso einfache wie gesetzmässige Bestimmung von y gewonnen ist. Hieraus ergiebt sich nun T h e o r e m I. Wenn man unter der Voraussetzung, dass f(x, y) = 0 ist, ffi =

/' ' dx J (u.x + uty + uj.trw

=

f2±l. bezeichne, zur Integration aller ganzen Functionen von x und y gelangt, in welchen zwischen x und y die Gleichung f(x, y) = 0 stattfindet. Ich werde allen zu behandelnden Integralen die im Vorigen entwickelte Transcendente SJ in der Weise zu Grunde legen, dass ich dieselbe, genommen mit einer passenden linearen Function, in das Differential einführe, also, wenn w diese lineare Function ist, dx = i f (y) • («1 ® + + » j ) d(3 setze. Es ist selbstverständlich in dem vorigen Falle dieselbe lineare Function zu nehmen, welche im Nenner von ffi, gegeben ist, und es wird daher

oder, wenn man die homogenen Variabein einführt und der Kürze halber a —

»2^2+03^3

setzt,

Um dieses Integral zu behandeln, will ich eine Operation d einführen, welche darin besteht, dass man eine Function der Grössen «!, »3 nach denselben differentiirt und statt der Incremente die entsprechenden a n o,, 03 substituirt; dann ist klar, dass ro)

+ aa,. m - / , °'o,g+a,y .a;+a.y + O,®+«,!/+«,)'

tedx irty)

dx

(M1ar + «1y + « 3 )irCy)

ist, ferner aus demselben Grunde: n 15*

-dm

106

Aronhold,

Integration irrationaler Differentiale.

folglich allgemein:

wofern S" die n malige Wiederholung der Variation andeutet. Es handelt sich nun darum diesen Prozess auf die einfachste Weise durchznfUhrui. und hierzu dient das folgende Theorem: T h e o r e m II. Man kann immer tö und da mit solchen constanten Factoren nultipliciren, das» die Summe der Producte eine algebraische Function istf und mar wird (4.) wenn /'(««)

r{uu).dm+r{ua).m

s±u a,Xs

=

^

die zugehörige Function zu f(xx)

ist und

i{alr\ul)-{-atr'{Mt)+air'(ui))

=

*=\r(«,),

&=\rc®2),

,

/'(««), =in*)

gesetzt wird. Beweis. Nach dem Theorem I. §. 3 ist y=r(M«)

«

'

also =

m . t «

t

, * y-ixuu)

+

,

1

i/-r(_uu)

«

aber weil