Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 21 [Reprint 2020 ed.] 9783112367780, 9783112367773

Citation preview

J o u r n a l f ü r «n«

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Heften.

Herausgegeben von

A.

Ii.

C r e i l e .

Mit thàtiger Beförderung hoher Königlich- Prenfsischer Behörden.

Ein lind zwanzigster Band. Iu r i e r Heften. Mit z w e i F i g u r e a t a f e l n .

Berlin, 1840. Bei Et

W

G.

R e i m e r .

trouve à P A B I S chez Mr. Bachelier («occeswjr de M"* 7* C o u r c i e r ) , libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustin No. 65.

Inhaltsverzeichnifs des ein and zwanzigsten Bandes, nach den Gegenständen. I.

Reine

Mathematik.

Abbudtone. 1- A D a 1 y 8 i S. « Heft. Seite. 1. J&echerches sur diverses applications de l'Analyse infinitésimale h la Théorie des Nombres. Seeoade partie. Par Mr. G, Lejtune DirichUt. 1. 1 9. Saite de ce mémoire. . II. 134 2. Elementarer Beweis einer merkwürdigen analytischen Formel, nebst einigen aus ihr folgenden Zahlensätzen. Von Hrn. C. G. J. Jacobi, Prof. ord. un der Universität zu Königsberg in Pi. . L 13 5. Ueber die Transcendenten, welche aus wiederholten Integrationen rationaler Formeln entstehen. Vom Hrn. Prof. B. E. Kummer, Dr. phil. zu Liegnitz I. 74 18. Fortsetzung dieser Abhandlung III. 193 17. Schluß» derselben IV. 328 6. Beiträge zur Combinationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen. Vom Hm. Dr. Stern io Göttingen. Erste Abhandlung. . I. 91 11. Schlui's dieser Abhandlung. . II. 177 7. Auszug aus einer der Akademie der Wissenschaften zu Berlin am bten März 1840 vorgelesenen Abhandlung. Vom Hrn. Prof', G. Lejeune Dirichlet. I. 9S 13. Nota ad theoriam elirninationis pertineus. Auct. Riebetvt, prof. math. Regiom III. 226 15. Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale. Von Herrn Dr. Gudermann zu Münster. (Fortsetzung des Abhandlung No. 1. im lsten, No. 10. im îten, No. 15. im 3ten, No. 21. im 4ten Hefte des achtzehnten, No. 2. im lsten, No. 8. im 2ten, No. 12. im 3ten Hefte des neunzehnten, No. 9. im lsten Hefte und No. 12. im 2ten Hefte zwanzigsten Bandes.) III. 240 16. De iategralibus quibusdam definitis, quorum summa ad quadraturam divisionemque circuli revocatur. Auct. F. Richelot, prof. tnath. in univ. Regiom. IV. 293 18. Beweis eine» Lehrsatzes, die Beruoullischen Zahlen betreffend. Von Hrn. Prof. Staudt in Erlangen IV. 372 20. Remarques sur les intégrales Eulériennes. Par Mr. Stern, prof, à Gottingue. IV. 377

iv

Inhaltsverzeichnifs

Abhl^'ung.

des ein und zwanzigsten 2. G e o m e t r i e .

Bandes. n*ft. s«;ie,

3. Von dem Krümmung«-Schwerpnncte ebener Curven. Vom Hrn. Professor Steiner zn Berlin. (Auszog ans einer am 5. April 1638 in der hiesigen Akad. d. Wissenschaften gehaltenen Vorlesung.) I. 6. Fortsetzung dieser Abhandlang. O. 4. Anwendungen der Statik auf- die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Vom Hrn. Prof. A. F. Möbius zu Leipzig. I. 10. Fortsetzung diöser Abhandlung. . , II, 14. Den eben Kreis am innigsten osculirenden Kegelschnitt zu finden. Von Herrn Prot Lehmus zu Berliu. III. 19. Vier neue mondförmige Fläch«», deren Inhalt quadnrbar ist Von Herrn Th. Clausen in Altona. . . . IV. 3.

33 101 64 156 235 375

Mechanik.

4. Anwendungen der Statik auf die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften Vom Hm. Prof. A* F. Möbius zu Leipzig. . . . . . . I. 64 10. Fortsetzung dieser Abhandlung. (I. 156 Druckfehler -Veizeichüils.

IV. 360

1. Lejeune

Dirichlet,

applicnt. de l'analyse infmitJsim, à la théorie d. nombre».

J

1.

Recherches sur diverses applications de l'Analyse infinitésimale à la Théorie des Nombres. Seconde

partie®).

Par Mr. G. Lejeune

Dirichlet.

§• 7. N ous allons maintenant développer les conséquences qui dérivent des équations établies dans les 4 premiers numéros du §. précédent, en commençant par celles qui s'obtiennent indépendamment de la sommation des deux séries générales contenues dans les expressions de A. Nous passerons ensuite à celles qui résultent de cette sommation, que l'on peut effectuer soit par l'intégratiou d'une fraction rationnelle soit au moyen des séries connues de sinus ou de cosinus. Reprenons l'équation (17), dans laquelle les deux sommations relatives à n doivent s'étendre à tous les entiers positifs impairs et premiers au déterminant négatif D. Si dans la première de ces deux sommes l'on écrit n' à la place de », l'équation pourra prendre la forme 1—1 71*—1 .

•

-«»'•"•"©{S*. le signe 2 indiquant une double sommation relative à n et »'. II est facile de donnner à cette série la forme d'une série simple, en réunissant en un seul tous les termes pour lesquels le produit » » ' a la même valeur. On aura ainsi pour ternie général lorsque les exposants viy .... sont tous pairs, et se réduit au contraire à zéro, lorsque cette circonstance n'a pas lieu. Nous avons donc à prouver que l'excès or a la valeur (?s»1-|-l)(7ykJ-|-l).... ou la valeur zéro, selon que n se trouve dans le premier ou le second de ces deux cas. Pour y parvenir, faisons le produit des expressions dont les différents termes donnent tous les diviseurs de ». L'un quelconque de ces diviseurs étant désigné par k, on aura

= ±1, le signe supérieur ou inférieur ayant lieu, selon que le nombre des facteurs .... contenus dans k sera pair on impair. On conclut de là que le produit

1. Le jeune

Dirichlet,

applicat. de V analyse infinitesim. à la théorie d. nombres.

précédent se changera en y t T z . On a d'un autre côté, T 2 > D U 2 , et par suite en multipliant, ( a x + b y f > D y \ ou ce qui revient au même, le coefficient a étant positif, a x 2 - \ - 2 b x y - \ - c y l ^ > 0; ce qu'il s'agissait de prouver.

G

i. I-sjeune

appfical. de fanalyse infinite1sim à la théorie d. nombres.

Dirichlet,

En ayant égard à la réatarque qui vieut d'être faite, et désignant comme précédemment par w l'unité ou le nombre 2 , selon qu'il s'agira de formes de première ou de seconde espèce, on pourra réunir les résultats dont il s'agit dans l'énoncé suivant.*) étant un entier positif (non - quarré) et T et V désignant les plus petites valeurs positives de t et u (autres que w et G) qui satisfont à l'équation f—Du2

=

w \ supposons que as? -\-2bxy

-^ey1,

a'x1 -{-'ib'xy-^-c'

y7,

....

soient les formes différentes de première (seconde) espèce, ayant le nombre D pour déterminant, ces formes étant tellement choisies que les coefficients de x 1 soient tous positifs, et ceux de y* tous négatifs; supposons encore que les indéterminés x et y ne doiveut recevoir que des valeurs positives, et soient de plus assujéties daus la première de ces formes à la condition y

dans les autres à des conditions analogues.

Cela étant

et n désignant un entier positif, impair et premier à D, je dis que le nombre des représentations différentes dont wn est susceptible au moyen des formes données, est égal à l'excès du nombre des diviseurs k de n} pour lesquels l

brl 2

l'expression S

s

±±/ 6

k

\

y-p ) a la valeur 1, sur celui de ces diviseurs qui don-

nent à la même expression la valeur —1." Pour appliquer ce théorème à un cas particulier, soit D ~ 2„ On a alors oo= 1, T = 3, 1 7 = 2 , í = l , e =s—-1, P = Í , et le système complet des formes se réduit à un seul terme, pour lequel nous pouvons prendre la forme x 1 — 2 y 2 . Le résultat relatif à ce cas, est donc: „Si dans l'équation x1—2y7 = n, où » est impair et positif, les indéterminées a: et y ne sont susceptibles que de valeurs positives et en outre telles qu'on ait 3 y < 2 # , le nombre des solutions de cette équation sera exprimé par l'excès du nombre des diviseurs de n qui ont l'une des formes 8 v ± l , sur celui de ces diviseurs qui sont de l'une de celles-ci 8i>±5." Comme dans l'équation (1) établie ci-dessus de même que dans les trois équations analogues que pour abréger nous nous sommes dispensés d'écrire, les deux membres sont égaux par groupes de termes, en ce sens que le terme unique qui résulte de la réunion de tous les termes particuliers du *) Je saisirai cette occasion pour faire remarquer une faute d'impression qui s'est g l i s s é e dans les théorèmes I. et II. du §. 4. Au lieu de „ facteurs simples inégaux de D" il faut lire „facteurs simples inégaux de m."

1. Le jeune D ir ichlel, applicai. de tanalyse injinitésim. à la théorie J. nombret. 7 second membre, pour lesquels le produit nn' a une valeur déterminée, est identique à celui qui provient dans le premier de tous les termes particuliers pour lesquels les formes quadratiques ont cette même valeur déterminée, on voit que la vérité de ces équations est indépendante de la forme particulière de la fonction qui y entre, et que cette fonction qui dans ces équations telles qu'elles se sont présentées d'abord, est une puissance de l'exposant — s , peut être remplacée par une fonction entièrement arbitraire. II viendra ainsi, en n'écrivant toujours que l'équation qui se rapporte au premier des quatre cas généraux:

2.

Z'