Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 25 [Reprint 2020 ed.] 9783112368183, 9783112368176

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J o u r n a l f ü r die

reine und angewandte Mathematik* In z w a n g l o s e n

Heften.

Herausgegeben TOB

A.

Ii.

C r e i l e .

Mit thitiger Beförderung hoher Königüoh - PreaÜMCfcer. Behörden.

Fünf und zwanzigster Band. In T i e r Heften. Mit sechs lithographirtea Tafela.

Berlin, 1843. B e i

G. R e i m e r.

Et se trouve à P a r i s chez Mr. B a c h e l i e r (socceasear de M"« Y* C o n r c i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Qui des Auguitias No. 58.

I n h a i t s v e r z e i c h n i f s

des fönf and zwanzigsten Bandes, nach den Gegenstanden I. R e i n e Nr. der Abhandlung.

j 1.

Fragmenta

Mathematik.

* « A 11 I I y I 1 I ,

Theoriae aeqaaiionam lineariter differentialiom. Aoctore C. J. D. Hill, math. prof. Landae. 2. De radieibus rationalibus aeqaationis Riceatianae dy-^-a-^-by-^ey* ssO,

Heft. Seit«,

I.

1

I.

tt

X

obi a, b, c funetiones sont rationales ipsius x. dy pro

seu dx=

( Scribimus vero dy vel

1 feeimus) Aactore C. J. D. Hill, math. prof.

Landae 3. Disquisitio, qnalis aeqoatio differentialis gaudeat integraü algebraico completo? qualisve priroarie transcendenti? quaenamque forma integrali competat. Aactore C. J. D. Hill, roath. prof. Landae. 5. Recherches sur les integrales définies. Par Mr. Balthasar Boneompagni à Rome. • 6. Einige neoe Integralgleichungen des Jacobischen Systems Differentialgleichungen. Von dem Hrn. Prof. Bichelot zu Königsberg in Pr. . . 9. Angenäherte Bestimmung der Factorenfolge 1.2.3.4.5 . . . . » = = T ( 1 + N) = J x * t r x d x , wenn » eine sehr grobe Zahl ist. Vom Hrn. Prof. Baabe in Zürich . . . 10. Ueber dio Summation der ohne Ende fortlaufenden harmonisch-periodischen Reihen und über die Réduction des Integrals^tp{täaax,tMbx)—. 0 Vom Hrn. Prof. Baabe in Zurich. (Fortsetzung der Abhandhing N r . i im SSsten Bande Heft*.) 11. Ableitung der Reihe fur arc sin x, mit Zuziehung der Grenzgleichungen Hm.sinx=0 und lim. cosx » 0, wo die Grenzzeichen auf das unbestimmte unendliche Wachsen von x Bezug haben. Vom Hrn. Prof. Baabe in Zürich. IS. De integratione aeqaationis differentialis partialis dx m dxt . ¿y. A A * ~ A * —A* " i

+A"

I. 38 I. 74 II. 97 II. 146

II. 160 II. 169

Í • I s t •+ x > I S •+•-"-+ - ) " designantibus A¡ 4t,.... An fhnetioncs qoaslibet variabiliuro xlt . . . . x„-i lineares Auetore Dr. 0. Hesse, Regiomonti II. 171 13. Ueber Abelsche Idtcgrale Vom Hrn. Dr. Haedenkamp zu Hamm. . . 11. 178 17. Einige Bemerkungen über die Principien der Cauehyschen Residuenrechnung. Von dem Hm. Professor Dr. Radike in Bonn. III. 216

iv

Inialttverzeicknif$

des fünf

und zw unzig »ten

Bandet.

Hr. dar

AUi.iti—g H»ft Mit. 18. Ueber die Summirung der Reihen von der Font A(l)xß At(n) eine ganze rationale algebraische Function der positiven ganze* Zahl «i bezeichnet. Von. dein lim. Prot Grunert in Gimftwalde. . . HL 240 19. Bemerkung zu der Abhandlang No. 14. im löten Bande dieses Journals, 8.113. Von dem Hrn. Dr. Stern in Gdttingen. ID. 280 SOl Theorie der Modular-Functkmen und der Modular-Integrale. Von Hrn. Prof. Dr. Gudermann sn Münster. (BescUuA der Abhandlung No. 1. im lsten, No. 10. im ften, No. 15. im 3ten, No. 21. im 4ten Hefte des achtzehnten, No. t im lsten, No. 8. im Ken, No. 19. im 3ten Hefte des neunzehnten, No. 9. im lsten Hefte, No. IS. Im Sten Hefte zwanzigsten, No. 15. im 3ten Hefte des ein nnd zwanzigsten nnd No. 14. im 4ten Hefte des drei nnd zwanzigsten Bandes.) IV. 281 4. 7. 8. 14 IS.

S. G e o m e t r i e . 'Theorie der Centralen. Vom Herrn H. Graf »mann, Lehrer der Mathematik zu Stettin. (Schild* der Abhandlung No.Sl. im dritten und No. 84. im vierten Hefte Vorigen Bandes.) De eurvis aeqtridistantibns sphaeritis disquisitiones generale«. Auetore Dr. C. Gudermann, prof. math. ord. Monast Guestph. Ueber die Bestimmung des Inhaltes und. des Sehweipunotes einer gewissen Gattung von Körpern, die zwischen zwei parallelen Endflicnen enthalten Sind. Vom Hrn. Fabriken -Commissions- Rath Brix zu Berlin. Beweis, dab ein Vieleck mit gegebenen Seiten am gröbten ist, wenn seine Koken in einem Kreise Hegen. Vom Hrn. Prof. ümpfenbach zu Gieben. Beweis eines vom Hrn. Prof. Steiner aufgestellten Lehrsatzes, Bd. 15. Heft 4. No. 26,1. Vom Hrn. Conrector Fasbender zu Iserlohn. . . .

I. 57 II. 119 IL 1S9 IL 184 IL 186

3. M e c h a n i k . 8. Ueber die Bestimmung des Inhaltes und de« Schwerpunctes einer gewissen Gattung von Körpern, die zwischen zwei parallelen Endfl&chen enthalten sind. Vom Hrn. Fabriken - Commissions - Rath Brix zu Berlin. D. 129

II. A n w e n d u n g

der

Mathematik.

16. De orbitis eometarum ex observationibus determinandis commentatio. AucL Dr. A. T. Bergiut, ad Acad. Upsallens. Docens Astronomiae. . . . . in. 189 Aufgaben. 21. Angaben Fac-simile einer Handschrift - - - - - - - -

IV. 395 von -

Poüson Abel. TorricelH Ampère

j. n. m. IV.

/ . Hill,

Fragmenta tkeoriae aequationum linearlier differ entidtium.

1

1. Frammenta Theoriae aequationum

linearìfer

differentialium. (Anetore C. J. D. Hill, math. prof. Laadaa.)

C a m aliqaot calcali compendia, quae in hac elaboranda detexinu, in publicum praeire edenda credidimus, seqnentia jam praemonenda putamus. Olim jam seriem efx + cldfx + ctd*fx-f-....^-.... (tagmaticam jam nobis diclam ) accaratius pensitavimus, et ejus summandae repdas in hoc ipso diario Tom. V. pag. 319 sq. descripsimus; onde facile vidisti, ipsam compatatum iri, quoties coéfEcientes c, cl} c, etc. aliquatenus convergane idqne si vel fnnctiones derivatae dfx, &*fx etc. minus notae (at cam fx = Tx apud cel. hegtndre.), vel si hi coéfficientes variabiles essent Cum haec observaverimus, de functione quacunque X in similem seriem evolvenda cara nobis fait, et praecipae primam convergence obtinendae caasa posai* mas fx — a . 3 — + fl13"" x + o 2 3 u , - x + . . . . = f(a(iwx), exsistentibas '2T+ .... +

b"X =

(àd)X =

mlgrari in

ideoqne

n S((ad)X) e

n

significare, non modo in unoquoque ipsios ( a 3) e

termino ( 3 r + l u . t o ' " - 1 in

a . V X

existente

(at)X

e

X )

e s s e snmendnm

l o c o ipsius b ^ J T

ì>rX

explicati

X

( q u o facto

m i g r a t ) , sed etiam, si m a v i s , mutandam e s s e S f a iu S 1 * 1 « , =

0 (utut haudqnaquam p r a e s e n t e ) .

U t igitnr totam novi

tes derivatarum dy, b*y, . . . . b r y ipsios y iu serie tagmatica evoluta significant. Etiam ex hac notione ipsaium proprietà» fundamentals & y t9"" a = ita demonstnuri potest Suscipiamus scilicet evolutionem formulae dupliciter, faciendo modo X y Z = X.(yZ) et modo = (XZ).y.

n (ad)(XyZ)

(ad)(Xy)

a

idque Ilio casu erit, si

a — ( a d ) X valor aliquatenus evolutus hoc vero

=

a.yZ+&a.d(yZ)+&*a.d'-(yZ)

+ ....

+ &'a.dr(yZ)

c

=

(àd)(XZ).y+&(Hd)(XZ).dy+

+

....

4

....+&"

(âd)(XZ).d'y

Ut vero hi valores comparali possint, ulterius evolvendum

c est turn

-f.... dr(yZ)

tum

&*(Zd)(xz).

Est vero s i Ô"(ad)X=0

dr(yZ) c

=

ponitur,

Z.dry+dZ.dr-ly e

e

&'(âd)(XZ)

=

Erit itaque in ilio casu terminus generalis s

=

&ra

qui utrique necessario couveniant,

p.dfZ.d'y,' r

+ .... + dmZ.d'-my+.... c e

+ . . . . , alque

/3.Z+&/3.dZ+....+&ffidfZ-\-....+.... c ,dmZ.dr~my atque in hoc e sì m =

fi

atque v = r — m seu

e

r = » + m facitur. Inde igitur colligitur & m ( l = & r a = & r + m a . Est vero / 3 = & " a , ideoqne «). Q. E. D. Ex ipsa hac demonstratione vero patet, & ad derivata functionis X referri, secundum quae tum a tum (t ordinata sunt

8

/• Hi llt

Fragmenta Theoriae aequationum lineariter diffcrentiaiium.

nostri calcali Tim et indoles breviter teneas, ponamns X = f x atqae f(x+o) = f x + e f l x - t ' < ? f 2 X - \ - . . . . - \ - t r f r x + . . . . t a e n t > r X — f r x , uthabeamas fonctionem derivatanua seriem fx, f x , f x , .... f x , f x , qaaram prima tontun Dtcunqae snmi potest, reliqaae vero determinato modo, nempe notissimo derivandi, inde successive generantur ; adsamamusque praeterea aeqoalem » + 1 functionam omnino arbitrariarom numerum, quae tamen certo ordine sibi iavicem subseqauntar, ideoque, ut ipse hie ordo recte teneatur, per a, Sa, S2a, .... -&ra, .... indicantur; et functiones utriusque seriei ejasdem loci in se invicem dacamas productaque in nnam summam colligamns afx+

òa. f x +

f x + .... + 9ra.frx

+ .... + B*a.fnx ( = i x . Simile qoid in altioribus gradibas observare ücet. Exhinc igitnr seqaentia colligontar tkeoremata: a

Si atipia tuquationis (ad)y =s 0, radix y0 ejuemodi *it, ut tagma » n primum 9(ad)yt = 0 sit, àttera radix erit x.y9, at sipraeterea d*(ad)y0 — 0 fkerit, accedei radix «'y,, geturatimfu* lot adarunt radie** aequales, *eu forma* xmy0, putt acquattane*, nempe ip*a tagwatica atqu* kmju* derivata*. s Sic, si data fiierit aequatio tertii ordini« (ad)y =s 0 seu (A v=.)a^y + 3 « , d y + 3 a I 3 V + < r » 3 , r = 0, simalqae faerit atdly s 0, seu si tagma primoai evanuerit, erit torn (A =)a0y-^-3aldy + 3 at dxy + a, B'y — 0, tan differentiaado B &A e=0 d "i Y + («1 + By i + (2a1-Í-dai)d*y + aid y^0 ideoque B*y eliminando («b — 3 a,). y + 2 ( « , — B a j d y + (a, — d aJPy s 0. Est vero et aty + 2 + dy + miPy « 0 , ideoqae ipso d*y ejecto, 0 = ((