Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 43 [Reprint 2020 ed.] 9783112336601, 9783112336595

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J o u r n a l für

reine

und In

die

angewandte z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben \ o n

A.

L.

C r e l 1 e.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preulsischer Behörden.

Drei und vierzigster Band. In

vier

Heften.

Mit n e u n l i t l i u g r a p h i r t e n

Berlin, B e i

G.

Tafeln

1852. R e i m e r.

lit se trouve à P A K I S chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de M m e V e C o u r t i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

Inhaltsverzeichnifs des drei und vierzigsten Bandes, nach den Gegenständen.

I.

Reine

Nr. der Abhandlung,

Sur

. 1.

Mathematik.

. i A II a 1 y S I S.

Heft. Seite.

les coefficients du développement du produit

suivant les puissances ascendantes de x. à l'université de Bern

Par Mr. Schlaeffli,

professeur I.

1

2. Über das Minimum des Integrals J^{dx\-\-dx\ . . . - f dx„), wenn die Variabeln x t , x.t, . . . . x„ durch eine Gleichung zweiten Grades gegenseitig von e i n ander abhängig sind. Von Herrn Dr. Schlaeffli, Privatdocent an der Universität zu Bern

I.

23

3. Eine e i g e n t ü m l i c h e Eliminations-Rechnung.

I.

37

Vom Herausgeber

4. Über die R e s t e , welche bei der A n w e n d u n g des Siwrmschen Satzes v o r kommen. Von dem Herrn Dr. Heilermann zu Cöln 5. Mémoire sur les fonctions arbitraires exprimées par des intégrales doubles, et de séries de quantités périodiques. Par Mr. A. Meyer, prof, de math. à Liège

I.

43

I.

60

6. Summirung einiger R e i h e n , vermittelt durch die Entwicklung der Potenz (1 — ax — c-r') - " 1 . Von dem Herrn Dr. Dienger zu Sinsheim bei Heidelberg.

I.

88

12. Über die Factorielle

/m\ m ( m — l ) ( m — 2 ) . . . . ( m — k -f 1 ) m 2 . 3 .... le VT/ " T in welcher die Basis m eine complexe Zahl von der Form p \ - < ] i und i die imaginäre Einheit ist, p und q aber reelle Zahlen bezeichnen; desgleichen über einige bestimmte Integrale, die mit derselben im Zusammenhang stehen. Von Herrn Prof. Dr. Raabe zu Zürich. (Aus einer Jubelschrift der dortigen naturforschenden Gesellschaft.) IV. 2 8 3 2.

G e o m e t r i e .

7. De curva quarti ordinis sphaerica, de Circulari scalena. Auetore Dr. G udermann, math. prof. ord. Monast. Guestph 11. Beitrag zur Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Dr. phil. Swellengrebel zu Utrecht

Chr. II.

93

Von dem Herrn II- 245

13. Fundamenta Trigonometriae sphaeroi'dicae exacta; imprimís de lineis brevissimis, vulgo dictis geodaeticis, in superficie sphaeroïdica. Auetore Dr. Chr. Gudermann, math. prof. ord. Monast. Guestph IV. 2 9 4

iv

Inhaltsverzeichnifs

Nr. der

Abhandlung.

des 3.

^

drei

und

vier zig si en

M e c h a n i k .

Bandes. U e l (

8. Uber die drehende Bewegung der festen Körper um ihre Schwerpuncte. Von dem Herrn Prof. Dr. Gudermann zu Münster II. 114 9. Mémoire de mécanique, relatif au mouvement de rotation et au mouvement naissant des corps solides. Par Mr. Strichen, professeur à l'école militaire de Bruxelles II. 161 10. Suite de No. 9 III. 185 II.

Angewandte

Mathematik.

14. Über Torsionswiderstand und Torsionsfestigkeit. Von Herrn Dr. E. Segnitz zu Eldena IV. 340 15. Über das Gesetz der Symmetrie der Krystalle und die Anwendung dieses Gesetzes auf die Eintheilung der Krystalle in Systeme. Von dem Herrn Prof. Dr. Möbius zu Leipzig. (Aus den Berichten über die Verhandlungen der k. s. Gesellschaft der Wiss. zu Leipzig von 1850.) . . . . . . . IV. 365 Fac-simile der Handschrift von C. G. J. Jacobi - €. Gudermann

Anm.

III. IV.

In dem Inhaltsverzeichnis des 37ten Bandes ist die Überschrift der Abhandlung No. 15. „Über die Gesetze der Biegung elastischer fester Körper. Von Herrn v. Heim, Major in der Königl. Würtembergischen Artillerie." aus Versehen zu benennen vergessen, und eben so in dem nach den Inhaltsverzeichnissen der einzelnen Bände aufgestellten, dem 40ten Bande beigegebenen Inhaltsverzeichnissen der vierten zehn Bände des Journals, unter dem Namen v. Heim. Die Abhandlung bekommt daselbst, S. 370, und dann S. 385 unter 3. Mechanik A. Statik und Dynamik, jetzt die Nummer 831 a. '

1.

Schlaeffli, sur les factorielles.

1

1. Sur les coefficients du développement du produit 1.

( H - a ; ) ( H - 2 : r ) . . . ( l + (w— 1 ) « )

suivant les puissances ascendantes de x. (Par Mr. S c h l a e f f l i , professeur à Université de Berne.)

1. J e commence par définir le produit l . ( l + : c ) ( l 4 - 2 a ; ) . . ( l + ( « — l ) ^ 1 ) avec la plus grande latitude possible. En le de'signant par n(x), qu'il est suffisamment caractérisé par les deux conditions, (1.)

A(-r) = ( 1 + ( n — 1 ) x)H(x)

je remarque

,

(2.) n(ct) — 1 , dont la première exprime la loi ge'ne'rale de la formation de la fonction II, et dont la seconde donne la valeur initiale pour le cas de n — 0. Bornons-nous d'abord à conside'rer le cas où n est un nombre entier, positif ou négatif. Si le nombre n est un entier positif, le de'voloppement du produit n finira par le terme niimt, affecte' de af'1 ; pour n — 1, il se re'duit au premier terme 1. Pour n = 0 , il y a de'jà interruption dans la suite de'croissante des nombres de termes. Car, alors, la valeur du produit 77 e'tant e'gale à l'unité', le nombre des termes est le même que pour n = 1. Quand le nombre n devient un entier ne'gatif, on conclut successivement des deux conditions ci-dessus: _i i _2 1 -3 1 ¿ K * ) = ï - h ' ^ O ) = ( 1 - 3 0 ( 1 - 2 * ) ' 1 1 W = (1—¡t)(l—2a0(l —3®) ' e t C ' Alors le développement du produit en question suivant les puissances ascendantes de x, contiendra un nombre infini de termes. A cette occasion on remarquera que l'on a ( n de'signant un entier positif): Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLHI Heft 3. /

1

2

1.

Schlaeffli, sur les factorielles.

Ti(x)

(3.)

— ^T, i7( — « )

où la condition de la convergence du de'veloppement exige que la quantité' x soit absolument moindre que la fraction - . 2, Après ces considerations préalables nous posons: (4.)

U(x)

=

1+Atx+Â2xz-¥-Â3^

••••

=

2-ÂiX1. i=0

n Pour î = 0 , dans tous les cas, le coefficient Ai devient e'gal à l'unité'.

Si n est

n

un nombre entier et positif, diffe'rent de ze'ro, tous les coefficients^; dont l'indice infe'rieur i surpasse le nombre n — 1, n

Pour n — 0, tous les

s'e'vanouissent.

coefficients A i dont l'indice infe'rieur surpasse ze'ro, disparaissent. En multipliant les deux membres de l'e'quation pre'ce'dente par 1 + n i , et en e'galant se'parément les termes affecte's de la même puissance de x, il en re'sulte les conditions suivantes :

, »+»

»

Ai — Ai-bn,

n+1

n

n

n-t-1 /I A A3n+n 3 =

(5.)

n+1 Ai =

n

n , A 2

n Ai+nAi_i,

On en tire successivement:

4= G).

X

=

-

126«C;

3

)

+

945(704)

J,=-©+iMCîi)-i»MC,î2)+M —

^

(i+2u-p-y\

y=o(/-t-l)(y

+ 2)V

p -

r

/» + 2 « - /? - y -*-l\

_St?

- 3

)

p-y-2

) /

L J==r

J'

et comme on a V

cette expression se change en fi-,

i" - -y y

—

_

(i+2a-p-s\

fi-1

S r y ( y + l)V ¡ 3 - 0 - 2 ) ~ Ainsi on a , en permutant les indices, U

^

=

+ A + \1 • 2 2•3

^

\A' + 2 a — ( ? \

¿5\riy(y+lA

r=!

(a)

\ i - S ) >

+

3 •4" *

fi-1

/S-5-2

1)/V

P - y - 2

On a de p l u s , en vertu de ( 1 2 ) : ^

w

-jS>(r

+ iHr

+ V\

fi-r-*

et pareillement O(o>

-

r

t "

à,

a

4

( i +2a

2)v

— ¡3—

—j'—3

y — l \

'''

7'

1,

Schlaeffli, sur les factorielles.

o W ç r , = T t f i -y-*>

c

et en remplaçant dans ]a dernière somme y par

o

y—1, U

(c)

DJ

~ ^

>)

A l'aide des expressions (a, h, c), que nous venons d'obtenir, l'e'quation ( 1 1 ) se changera en celle-ci:

Comme cette e'quation doite être satisfaite quelle que soit la valeur du nombre entier et positif i, les polynomes entiers en i e'tant tous de degre's différents , il faut qu'on ait se'pare'ment: Â = 1 , u u A = 0

D,

u

(13)

+

A

£

i»

n

. e

/

î>i

^

/ A>

Dz \

Di

Dî

Dr-2

\

1. Schlaeffli, sur les factorieïïes. Voici les premières valeurs successives de la fonction D qui en suivent: ii 2>o = 1 ,

a J>ii3 u

u

Pjl. _

1 , , 2 = 1+3«»

Dj _ 3 1 1 2 2 • 3 '3-4 — 4"+"8u' U U Da 4 1 A. 1•2

, 25

1+1fU, 1 _a.

95

_

l • 2 22- 3• 3 — 3

,

5

a

,

u

A u

A u

A u

763 21 , l • 2" 5•6 6 72u 48u ' 60"+8~" —, 245 371 6 1 a u' "48 u" 1 + T Ô m H ' 36 6 • 7 ~ 7" 10 u • "Ï2 ' 12=, U Ii 2521 2 13 3557 7 197 59 „ J ^ 1 + l 4 0 " - " 180 " 16 u + +288""+384l/a' "7^8 = 8 1 6 d " 1 2 " ' = 85 9319 7225 H 280 etc. 2S8 u + 3 2 " 3 + 1 2 8 " 4 ' et ainse de suite. 5. u

Il s'agit maintenant d'exprimer Z) r comme polynome entier en u. but je pose

A ce

(14.) JDr = JE0+E1 u + jè2 u2+É3u3...-hEs u3 où la dernière valeur de â sera \y ou —1), selon que le nombre1}/ est pair ou impair. Cette formule, substitue'e dans l'e'quation ge'ne'rale ( 1 3 ) , donne (puisque le coefficient de chaque puissance de u doit s'e'vanouir se'pare'ment,) l'e'quation suivante, où l'on a change' y en y+1 : (15.) Dabord on a JE0 — 1«

=

+

+

De là on tire par des integrations successives:

où les symboles y * de'signent des sommes des se'ries qui finissent par les termes mêmes qui y sont écrits dessous. Comme ce calcul (continue' de la même manière, à cause des integrations nombreuses et compliquées qu'il entraîne) devient assez pe'nible, je me dispense de l'exposer ici.

Mais heureusement la forme ge'ne'rale

8

1. ScUœffU, sur les factorieUes. r

de l'expression de Eg, à deviner par induction, des premiers re'sultats cidessus, est telle qu'elle permet de mettre en dehors, dans l'expression u de Dr, ^ ^

un facteur qui, à lui seul, donne naissance à ces fonctions transcendantes

,

, etc., qui sont les causes principales des difficulte's du calcul

e'prouve'es jusqu ici. (16)

En effet, en imaginant le de'veloppement

(l + O ( l + l ) ( l + 3 ) - (

í +

i

? ) = l +

+

a

on voit sans peine que les coefficients «Sy, Sr, etc. sont pre'cisement ces fonctions transcendantes^^ ' i f r ^ ï

'

Y

t

f

*

-

^

S

e

t

a

^onc' 'a^orme

vraisemblable de l'expression de Es peut être e'crite de la manière suivante : (17.) = l'e'quation (14) (si l'on a e'gard à'l'équation (16)), la change en Celle-ci, reporte'e dans (18.)

br = ( l - ï ) (l - D

( 1 - ^ . ( 1 - ^ . ( 1 + ^

„+/,«»+....).

où je ferai, pour abre'ger:

Or, en de'signant par A une diffe'rence qui se rapporte à un accroissement de y, e'gal à l'unité', l'e'quation ge'ne'rale ( 1 3 ) peut être mise sous la forme u « A • Dr Dr A - 7 T 2 - = B ( y + (MO i ) ( y + 2)

ou bien, en vertu de l'e'quation (18.),

Mais on a

Puis, si, pour abre'ger, on pose

A.fimO-?) H K ^ I K - ^ H 1 ^ )

on a de même :

1. Schlaeffli, sur les factorieUes.

,

\

9

et de là, en vertu de l'équation (19) u

Wr

(1 - Ç ï ï ) A 4y —« y ^ j = u -

( y + 1 ) ( y + 2 )

u Retranchant cette équation de celle (20), et chassant le facteur 1 — p + j , il viendra l'expression

A r[)

u

"

«

En la comparant avec le'quation (20), on obtiendra sans difficulté':

parsuite /-OO \ A a

r

à.Fs

y+2

_

• 7 + 2 ~~ ( y 4 - a ) ( y + 3 ) ' ou bien encore, si, dans les sommations à faire, on met .le dernier terme de chaque somme sous le signe (23.) i ^y !f o + D f - g f c . où chaque somme commence par y = 1. Or nous avons déjà trouve: r

J / y + e - h

Il est donc à pre'sumer q u e , ge'ne'ralement, Fd sp-a de la forme 2 ae \

s

)t

où £ de'signe le nombre entier variable, auquel la somme indique'e par S se rapporte, et où, en même temps, a e représente un coefficient numérique rationnel qui ne dépend que de ses deux indices â et e. Maintenant, pour que les calculs successifs, fondés sur la formule (23), réussissent, sans amener de nouveau des r . fonctions transcendantes, il faut que, à partir de § = 1, le polynome Fâ soit divisible par y ( y + 1 ) ; ce qui exige que dans la somme précédente la plus petite valeur de e soit 2. Cette supposition qui sera vérifiée tout-à-l'heure, admise, nous avons r r

1

_

,

0 ]

T„— T n _! =

je mets d'abord l'équation générale sous la forme m m—X m 2n

Tn+1

Tn— I

7/(w) II (n-f-T) — TRn) » forme qui, par le changement de /TJ en m — n, entre dans celle ci: Tn—n

m—n—1

772—n

/ A£\\

Tn— 1

r

^

1

On aura une suite d'équations pareilles, en y remplaçant successivement n par +

+ o

n+3, 0

m — 2 , m — 1.

Si on les ajoute ensemble, après avoir

1 r T T —\ , change j f m^ en j jm ^ , ce qui est permis, on trouvera tu—n

m—k

T

Tl

,

ce qui rentre dans la formule (26). En y mettant pour » successivement les valeurs 1 , 2 , 3 m—1 , m, et prennant la somme, on aura après une légère réduction: n m — k — X n=y171 m —*p TV x ' n fc=m—1 y * ^

n ( k ) -

¿0

n (k) »

où le premier terme de la somme à droite est zéro, toutes les fois que m — 1 est plus grand que zéro ; et dans le cas de m — 1, ce premier terme, auquel la somme se réduit alors, sera égal à l'uuité. D'ailleurs, des deux membres de l'équation précédente, le premier se transformant dans le second par le simple changement de m en m — 1 , il en suit que sa valeur est indépendante du nombre m. On a donc, d'après ce qu'on vient de remarquer pour le cas de m = l , la formule générale m—k

(420

=

comme on devait s'y attendre, vu que la formule (24) donoe, pour le cas d e y = l , 1 Fd =

s s «¿+i+as+ai-i

S

s

s +a3+a2,

et qu'en même temps on a Fâ = 1. On aurait pu se servir plus haut de cette formule pôur démontrer qu'il existe des valeurs de u assez petites pour que la m

série 2 Tn um soit convergente. sequent que 2 Tnum r .

.

En combinant la formule ( 3 7 ) avec celle-ci, le calcul nous fournit pour les premiers valeurs de y les expressions suivantes de la fonction F (dans le cas où le nombre d1 y est regarde' comme variable principale) :

F $— 5

•

(2/

1961

.

277/iy-a^93/iy-3

11/1 f

1 / l f

En égalant à ces expressions celles empruntées à la formule (24), on pourra joindre à la formule ( 4 2 ) les expressions analogues: *s

mn/k+3\

./îy-1

f " r * ( k + 4 \ _ 31 _ . /i y - 1 . 1 ( l y - 2 ** n m 2 ) - " 2 ' W . 2 W '

Siï)ct6)=2-?-2Kr-iar-ur. 3*

20

1.

Schîaeffli,

sur les factorielles.

Nous ne nous arrêterons pas à de'montrer directement cette sorte de f o r m u les, ce qui, du reste, se ferait de la même manière q u e p o u r la formule (42). Ce n é t a i t que p o u r compléter celle-là par d'autres analogues que j'ai cru devoir en faire mention ici.

8. En terminant ceMe'moire, dont l'object principal ont e'te' les coefficients A ^ je dirai encore quelques mots sur u n e nouvelle signification qu'on peut y attacher dans le cas où n est un n o m b r e entier et négatif. Après avoir change' n en —n dans la formule (4), nous a u r o n s , en vertu de la formule (3): ( 4 6 ->

(1 — îe)(I — 2x)

(l-nx)

1

=

+

+

,

où, dans Je cas pre'sent," la série à droite se continue à l'infini. P o u r qu'elle soit convergente, il faudra qu'on

ait x


pour se convaincre de l'identité

—n (50,) çp (n, a) = A a _ n . Il y a pourtant à remarquer que ces deux fontions

= c , quare e formula in 11. inventa facili negotio invenís 4 — xy sitici/) + ctajl — x1 sin*?) t __ (1 + y*sin v) + («•+• a)(eosv C (a — « )sin v • ]/(l Ht- a-2 + y1 •+• coso») ' in qua v est longitudo linea cardinalis, sive axium angulus.

Si substituís valores

a = \—\ et a 4 — \——,, reductionibus absolutis curvae iam aequatio invenitur 3»

u

X

£

generalis ( x — a)(x — a') + ( ( y — b)(x

*

— a')+(y

— b') (x — a)) cosv + ( y — b ) ( y — b')

-4- ( a y — bx) ( a ' y — b'x) s i n V (2.)

= ± esilia. ((a' + - aI )xyy — b) x + ab' — ba'). y ( 1 -+- x 2 + c o(¿' s v— ) ..... quae facta rationalis habita variabilium x et y ratione ascendit ad gradum quart u m , nec ambiguitatem signo ± indicatam amplius continet, Quare curva circularis est linea quarti ordinìs sphaerica, quae eadem manet, si loco constantis anguli 2v — arc cot ( c ) sumitur angulus or — 1v — arc cot ( — c ) . (Conferatur §. 2 0 . ) . Casus vero specialis excipiendus est unicus, in quo angulus 2 v = §tt, ideoque ± c = 0 est, quia aequatio curvae rationalis tunc est (x — a) ( x — a') •+• ( ( / — b) ( x — a') - h ( y — b') (x — a)) cosv -+- ( a y — bx) ( a ' y —

¿'x)sinav

-f- ( y — h) ( y — ¿ 0

= 0.

Curvam vides nunc esse lineam secundi ordirtis, sive sectionem conicospbaericam.

Ellipsis haec, quam dicimus circularem

legem, ut arcusAB

aequilateram,

eam sequitur

puncta data coniungens sit ipsius axis minor; semiaxis mai-or

vero est ea, ut ipsius sinus aequalis sit tangenti Irigonometr. semiaxis minoris. (Confer. §. 87, 88, 89). Contra curvam nostram appellamus circularem

scaìenam,

si angulus pe-

7,

Gudermann, de curva quarti ordtnis sphaerica, de Circulari scalena.

ripheriae constans

est.

Si cardines axium collocantur in punctis datis A

et U i p s i s , curvae aequatio, in qua nunc est v = AB, cosv — xysiri*» qua de re conferas

5.

95

fit simplicior

= ± csin vy(l + x2 + y3, + 2 x y c o s v ) ; Aequatio nunc ob productum aPy 1 ad quartum gra-

dum est referenda in forma rationali cos2i> — i^sin'v — ( C ^ s i n 2 ^ — 2(l-f-c 2 )cosi>sin 2 x' — c^y 1 sin2!; -+- cc 2 y 2 sinV = 0. Si in aequatione generali axium angulus v — ±Tt sumitur, circularis scalenae aequationem inter coordinatas rectangulares obtines: (a? — a) (x — a') + ( y — b)(y — b') -f- (ay — bx) (a'y — = ± c((a'

— a)y — (// — b)x + (ab'~

b'x)

bo*)) V(1 + x* + y*)

sive ( x - a ) ( x - a ' ) + ( y - ^ i y - b ^ + ^ay-bx^a'y-b'x) + ( y - b f + ( a y - b x f ) .Y ( ( x -

a

= db c o s 2 e j / ( ( x - a f

y + (y-b'f + (a'y-b'xf),

sive ((a'—a) y—(b' — b)x + (ab'-ba'))y(l-x2)+y2) + (ay-

= sin2 e\X(x-ay+

b x f ) . ]/((x - a') 1 + (y-b')

+ (a'y-b4

(y-bJ

x) s ) .

Aequationes ( 2 et 3 ) in eo consentiunt, ut ipsis satisfacias turn ponendo x — a

et y = b,

turn ponendo x — a'

et y — b';

quare circularis scalena

(idem valet de aequilatera) transit per puncta A et B ipsa; arcus circuli maximi igitur AB,

qui puncta coniungit data A et B,

dus; quam chordam appellemus chordam

inter curvae chordas est referen-

primariam.

2. Aequatio (3) formam induit simpiiciorem, si coordinatarum axes ita collocamus. ut chordae primariae AB

— 2¿u punctum medium C sit coordinatarum

initium, et chorda haec ipsa sit axis prima; altera axis erit circulus maximus chordam primariam in punclo medio C normaliter secans. ¿ = ¿>' = 0

,

a = tang^u

et

CO,

His positis est

a' = — tang^u,

et aequatio (3) nunc migrat in (1.)

¿r2 - tang V x + y 2 - t a n g

y2 =

± 2 c o t 2 e . tang^a. y Y ( l + x ' + y 3 ) ,

ita ut, si punctum M — ( x , y) (fig. 1 ) , sit x — tang C P et y =

tangCQ.

Si vero vis introducere abscissam CP = x et applicatam PM— 13*

y,

se-

96

7.

Qitdermann, de curva quarii ordinis tphaerica, de Circulan scalena.

cundum regulam in (§. 3 ) datam ponas tang x loco x et ^ ^ Vd+a^+y*) abit in

COSa ,\ OSy .

loco y,

quo

et aequatio (1) ipsa in hanc:

sin 2 y (eos5,« — sin2x) =fc cot2 v. sin "2/UL . sin y = sin^ 1 — sin2 a; Eandem aequationem simplicem et specialem facilius hoc modo invenis. In triangulo sphaerico ABM, quod lateri AB — 1{í oppositum contineat angulum datum AMB — 2v, demittas e puncto M perpendiculárem PM = y in latus AB\ si C est punctum huius lateris médium, sive CB = CA = /A et CP = x ponitur, erit PB — (a — x et PA = ¿u + ¿r. Quia ob triangula rectángula APM et BPM est

«-giMM-SS-5»^. e, 2v r= PMA

+ PMB,

Mecue c 0 t 2 „ =

_

^

2

tutionibus emergit aequatio sin / — cot2i». (tang {JLL -l-a:) •+• tang (¿u — se)), siny — t a n g e n - s¿) tang {JA — a;) = 0 , quae paullum mutata abit in (2.)

(eos V — sin2a?). sin 2 / — cot2v. sin 1(A. siny = sin ¿u? — s\o2x,

quae eadem est cum aequatione (2). Si abscissa x- sin2,u • cos2p (b.; sm y — sin 2 ® (cos 2 x+~coSSfyt) ' et quia altera radix est — sin y', est . , _ y(sin*2,M — sin*2i/ • sin»2x) — sin2¿* • cos2y n sin j — "sin2v(cos2ir + cos2,a) ' ita u t y ' = PM' sit quantitas positiva (sive if 0), si est x C/u. Quia turn y, turn y' immutatae m a n e n t , si —x permutatur cum + x , coordinatarum axis secunda, sive axis 2?Z),, curvam dividit in partes DMDX

Trigonum AMB

abit in trigonum AEB

q u o f i t y ' = 0 et y — BE. AEB

— AMB

et DM1Di

— 1v,

et angulus B A E = e.

in B rectangulum, si est x — (x,

Quia cathetus AB

sit alter cathetus BE

symmetrice aequales.

— 2/u et angulus oppositus

= 2y,

hypothenusa

AE=^2S

Quare valent formulae riotissimae decern:

sin 2 y =

sin 2 J . sin e,

sin 2 ( x =

sin 2d 1 . sin 2 v ,

cos 2(5* =

cote

cos 2 $ =

. cot2i>,

c o s c o s 2 y ,

tang 2 ¿x — tang 28 . cose,

(I)

tang 2{x = t a n g 2 v . s i n 2 i y , tang2y

= tang2S . cos2v,

tang2y

= tange

. $1^2^,

cose

=

c o s 2 y . sin2i> ,

cos2r

=

cos2fx . sine.

Vidimus esse pro x — fx applicatam y' = 0 , et applicatam y = 2 y .

Si

x~>fx sumitur, applicata —y' fit opposita; quare n u n c valent formulae: i f2)) ) f

• •

_ ~~ . __

' cos2r-+-t/(sina2M—sinI2i; • sin^a) _ sm2 ( wcot2i/+l/(sin l 2i-sin l 2a;) sin2v(cos2.r-+.cos2 i u) ~~ cos2^ + cos2® ' sinJtt 1 cos

V , ( s i n - 2 ^ - s i n 2 2 f - s i n 2 2 a ' ) __ sin2ucot2r—y(sin'2i?— sin»2a:) sin2j/(ci>s2j-t-cos2,u) ~~ COS2/j•+• cos2ar ''

quae turn y turn y4 faciunt posiiivum; ita u t , si x = Co sumitur, sit et

y4

= py,,

unde vides, applicalas y e t y ' aequales fieri, si radicale }/(sin 2 2 < u — s i n 2 2 v . s i n 2 2 : r ) =

0

y—vq

98

7. Qvdermam, de curva quarta ordinis sphaerica, de Ctrculari scalena.

fit, quod evenit, si sumitur sin 1x

— —

=

= t s i n 2 < i , sive x — ± < f .

In

(fig. 1 ) sit Co = 8 = C f , applicatae vq et cqx nunc co'incidunt in f g , ut fiat . , . f sin2,MCOs2y tang2«• cot2i> sin2y 1 + cos2y ~ r£~cos2/ siny — s m y — sinig — sin2v(cos25+cos2^) sive

sin fg

=

tangy.

Applicatas has extremas f g et f'g tangentes paullo post demonstrabitur.

AEB

SS AMB

simul esse lineas curvam in g et g 4

Esse angulum AgB

=e AqB

—

Aq'B

per se patet. 4.

Arcuutn ADB

et AD^B

catas maxima» in aperto est.

sagittas CD — a et C 7 ) , =

esse appli-

Formulae ( 3 et 4 art. 2 ) praebent

y —a

y' — ¡3

et

pro

x

= 0.

¡

Quare invenis formulas

tangp. = m~v sin/9 = tang-a. tang v. Quantitates constantes omnes nunc exprimamus formulis, quae tiontirieant sagittas has a et /?, Primo invenis sin/9 tang v = V - - - , s , n a

(2)

Uos2v- S~-— .

sw2v =

2]/(sin«sin/S)

Quia tang/i c= sin a tangv, est t a n g ^ = ]/(sin a sin 1 — sin a sin/9 cos2//- 1+sinftsin/j(3.)

, . /s i

0 n

V

cos/x

2]/(sina sin/?) l + sin«sfnl' sin a sin ,S KÌ r i ^ i t a ? ' i - j/(n.sinaSin/5)-

=

Quia sin 2 d = g j " ^ ' oritur formula

V

7. Gudermann, de curva quarta ordmis sphaerica, de Circtdari scalena . „

sina + siní# ! . •—z^zrò' i 1+sinasin/í _ * cosacos/? cos2o = lH-sinasin/9 sin a -+- sin /? tan 2(5 g cosacos/?cos¿(a-,?) . ! O = }/(i + cosu s j w a Sin^) •

sin L ó

(4.)

_

sin 5 —

sinèC«-*-^) J/(l -+• sin« sin /?) '

tang . s i n 2 . T , COs2tf

= cot cp . c o t o j j ,

cos 2 y - 2 y = 2(2to).

f6)

Quia vero Sa — Sy «= 2/? + 2 y ' articuli praecedentis

et

8/3 -t- By =* 2 a — %y' est,

formula (4.)

tango; a J/{Sang ( 2 a — 2 # ) . £ a t t g ( 2 / ? - l - 2 y ) j eadem est ac tango; - y' {Sang ( 2 a — 2 y ' ) . Sang ( 2 p + 2 / ) } > unde perspicis, ad applicatas y et y aliunde notum est.

pertinere eandem abscissam x;

Facillime invenis formulas C7) ^ '

|/(cos2y-cos2w) r~ c'os(y—iu) ' » , V(cos 2 y cos 2 fa)) cos ^ — cos(y-f-w) ' c o s

quod

7. Gudermann, de curva quarti ordinis sphaerica, de Cimdarì scalena. 103 _ . 2cos2rcos2w . . cos2w—cos2y om nis , Quia cos y cos y = c o s 2 / + o o s 2 ( 0 et s,n y sin y = < P°

cos(p+m =

cos2y+2cos2^cos2w—cos2w

, cos2w-f-2cos2j/cos2tu—cos2^ cos(y-y) = coi^+cos^T e quibus fluunt , cos 5 y + y ) = • 1/ L A sin*(y+y) =

,/cos 2^(1+cos 2 w) [/-coT27+7oi2"aT ' |/cos2w(l-cos2j0 y-^äf+^är '

-, ,COS2£t/(l-f-COS2y) COS, ( y - y ) = y - C O S 2 ^ o 7 2 j r '

(9.)

• IV • A sins (y —y ) =

1/cos27(1-lCOS2w)

cos2r-i-cos2a, » 4 sin Y cos w]/(cos 2y cos 2 co) sin (y-l~ir) = — cos 2/-i-cos 2 w

sin {y - y ' ) —

y

4 cos y sin wJ/(cos 2 y cos 2w)

cos^y+n^iw

7. Si JPest chordae M M

X

MMt — y — y' — 2S et P F

punctum medium, sive F M = -Fil/,, ponamus = ß, ita ut sit

S = i ( y - y ' ) et Z> = i(y+y'). sin j (y+y') \ ( siny cosKy-»') —cosysin |(y-y')) :cos|(y-y') = . .y cos (y

et quia insuper est

=

tan gy'

valent formulae

siny— tangS . cosy = tangy , siny' + tangÄ . cosy' = tangy ; et pariter sine ulla ambiguitate invenis siny •+• cotD . cosy = cot-y , siny' •+• cotD . cosy' = coty . , /cos2y(l-cos2«) /cos 1x—cos 2 S Quia insuper tang S = y ^ ^ (l-j-cos2j/) u ^ p j ~ Vy\cos2«-»-cos2