Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 44 [Reprint 2020 ed.] 9783112336427, 9783112336410

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J o u r n a l für

die

reine und angewandte I n

z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben

A.

L.

C r e l l e .

Mit thätiger B e f ö r d e r u n g hoher Königlich - P r e u ß i s c h e r Behörden.

Vier und vierzigster Band. In v i e r H e f t e n . Mit y i e r l i t h o g r a p h i r ten Tafeln.

Berlin, B «i

G.

1852. R e i m e r.

Et se trouve à PARIS chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de Mlne VE C o a r c i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

I n h a l t sv e r z e i c h n i f s des vier und vierzigsten Bandes, nach den Gegenständen.

I.

Reine

Abhandlung,

1-

A

Mathematik. n

8

1 y

S i

S. '

2. £Äweiter Nachtrag zu der Theorie der analytischen Facultäten (Bd. 35 und 38). Von Herrn Dr. ötiinger, Prof. ord. an der Universität zu Freiburg im Breisgau. i i . Schlufs dieser Abhandlung 3. Vereinfachung des Beweises von Cauchy, dafs jede Gleichung nten Grades wenigstens eine Wurzel hat. Von Herrn J. Sufsmunn, Assistent im Königlichen Gewerbe-Institut zu Berlin 8. Aufgabe, nebst Auflösung. Vom Herausgeber 10. Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen. Von Herrn Dr. E. K Kummer, Professor an der Universität zu B r e s l a u . . . . 14. Auszug eines Schreibens des Herrn Dr. Eisenstein in Berlin an den Herrn Prof. Rickelot in Königsberg, und eines Antwortschreibens des Herrn Prof. Richelot an den Herrn Dr. Eisenstein 17. Einige Bemerkungen zum ¿'«/ersehen Addifionslheorem der elliptischen Integrale. Von Herrn Dr. Richelot, Prof. ord. an der Univ. zu Königsberg in Pr. 19. Zwei Zahlen-Aufgaben; die erste mit der Auflösung, die zweite noch aufzulösen. Vom Herausgeber 21. Recherches sur les coefficients des facultés analytiques. Par Mr. le Dr. 0. Schlömilch, Prof. d'Analyse à l'école royale polytechnique de Dresde. 24. Aufgabe. 2.

Heil. Seile.

I. 26 II. 147

I. I.

57 88

II.

93

III. 261 IV. 277 IV. 317 IV. 344 IV. 376

G e o m e t r i e .

1. Erzeugung der Curven vierter Ordnung durch Bewegung gerader Linien. Von Herrn H. Grafsmann, Oberlehrer an der Friedrich-Wilhelms-Schule zu Stettin : I. 1 9. Die Brennlinie für den elliptischen Quadranten, wenn die einfallenden Strahlen vom Mittelpunct der Ellipse ausgehen und jeder zurückgeworfene Strahl denselben Winkel mit der zugehörigen Normale bildet, wie der entsprechende einfallende. Von Herrn Prof. Dr. Lchtnus zu Berlin I. 90 13. Über die Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und vom Hebel; so wie vom Parallelepipedum der Kräfte. Vom Herausgeber . III 220

x\r

Inhaltsverzeichnifs

des

vier

und

vierzigsi

en

Bandes.

Nr. der Abhandlung.

Heft

15. Kurze Ableitung des Legendrcschen Satzes über die Reduction der Berechnung eines sphärischen auf die eines ebenen Dreiecks. Von Herrn A. Winltler, Ingenieur-Practicanten zu Carlsruhe 16. Lehrsätze. Von Herrn Professor J. Steiner zu Berlin •. . 18. Über Kreiscoordinaten. Von Herrn Dr. W. Stammer aus Luxemburg, Candidaten des höhern Schulamts 20. Über symmetrische Figuren. Von dem Herrn Prof. Möbius zu Leipzig. (Aus den Berichten der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig von 1851.) 23. Geometrisches. Von Herrn W. Winkkaus, cand. malh. zu Halver bei Arnsberg. 3.

III. 273 III. 275 IV. 295

IV. 335 IV. 375

M e c h a n i k .

4. Eine neue Lösung des Problems der Rotation eines festen Körpers um einen PuncL Von Herrn Dr. F. J. Richeloi, ordentl. Profi der Math, an der Universität zu Königsberg. (Auszug einer in der Ferd. Diimmler'sehen Buchhandlung zu Berlin 1851 erschienenen Schrift.) . I. 60 12. Exposé de diverses remarques et reflexions sur les moments et d'autres sujets de statique. Par Mr. Steichen, professeur à l'école militaire de Bruxelles. III. 181 13. Über die Sätze vom Parallelogramm der Kräfte und vom Hebel; so wie vom Parallelepipedum der Kräfte. Vom Herausgeber III. 220 II.

Angewandte

Mathematik.

5. Über einige Grundformeln der Geodäsie. Von Herrn Ferd. Minding, Prof. der. Math, an der Universität zu Dorpat. (Nach dem „Bulletin phys. mathém." T. VIII. No. 6.) I. 66 6. Über den Umlauf des Springers auf dem Schachbrette (den sogenannten Rösselsprung). Von Demselben. (Aus dem „Bulletin de la classe phys. malh. de l'Académie des sciences de St. Pétersbourg." ) I. 73 7. Über die Wirkung des durch eine Dratbspirale gehenden elektrischen Stroms auf eine in der Spirale befindliche weiche Eisenmasse. Von Herrn Dr, Hädenkamp zu Hamm I. 83 22. An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism. By the late George Green, fellow of Gonvilleand Cains-Colleges at Cambridge. (Vide tome 39 p. 13 of this Journal.) IV. 356

Erzeugung der Curven vierter Ordnung durch Bewegung gerader Linien. (Voif Herrn H. Grafsmann,

Oberlehrer an der Friedrich-Wilhelms-Schule zu Stettin.)

U b e r die Erzeugung der Curven vierter Ordnung durch gerade Linien habe ich in diesem Journal (Band 42, S. 190) folgenden Satz aufgestellt. „Wenn der Punct a? Anfangspunct von vier offenen Figuren ist, von denen zwei und zwei ein gemeinschaftliches End-Element haben, während die beiden gemeinschaftlichen Elemente zugleich Grenz-Elemente einer fünften offenen Figur sind: so beschreibt x, wenn die sämmtlicben Ecken der offenen Figuren in festen Geraden und die sämmtlicheii Seiten derselben um feste Puñete sich bewegen, eine Curve vierter Ordnung Ich erinnere hier daran, dafs ich dasjenige Element (Punct oder Linie), mit welchem eine offene Figur beginnt, oder schliefst, ein Grenz-Element derselben nenne. Zur Erläuterung möge (Taf.I. Fig. 7) dienen, in welcher der Punct y End-Element zweier von x ausgehenden offenen Figuren und die Linie Z EndElement der beiden andern ist, während die von y zu Z fibergehende offene Figur eine Seite und eine Ecke enthält. Es kann auch insbesondere der Fall eintreten, dafs eine oder die andere offene Figur nur aus einem Punct und einer Linie besteht, also gar keine Seiten und- Ecken hat, sondern von dem Anfangs-Element sogleich in das End-Element übertritt. Dieser Fall tritt z. B. in Fig. 6 ein, wo von den vier von x ausgehenden offenen Figuren die beiden mittleren nur aus dem Puñete x und einer Geraden y oder Z besteben. Zu den verschiedenen Specialsätzen, in welche der angeführte Satz zerfällt, gelangt man leicht, wenn man bedenkt, dafs die beiden ÜbergangsElemente (so nenne ich die beiden Grenz-Elemente 'der vermittelnden offenen Figur, welche in dem Satze als die ffinfte offene Figur bezeichnet ist) entweder Puñete sein können, wie y und z in Fig. 1, oder Gerade, wie Y u n d Z in Fig. 2, oder das eine ein Punct, das andere eine Gerade, wie y und Z in Fig. 3, und dafs, wenn ein Übergangs-Element eine Gerade ist, von den beiden offenen Figuren, die von x aus nach diesem Übergangs-Element hingehen, die eine blofs aus dem Puñete x und diesem Übergang?-Elemente bestehen Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLIV. Heft 1.

1

2

1.

Grafsmann,

über die Curven vierler

Ordnung.

kann ; wie z. B. in (Fig. 4 ) , wo das Übergangs-Element Z von x ausgeht. Hierdurch zerfällt der allgemeine Satz in sechs Specialsätze, welche ich hier kurz zusammenstellen will. 1. Wenn man in einem Polygon (Fig. 1) von einer Ecke x zwei Diagonalen zieht und sich das Polygon (dessen Seiten und Winkel hier überall als variabel angenommen werden) so bewegt, dafs alle Ecken, aufser den drei von der Diagonale getroffenen, in geraden Linien fortschreiten, und alle Seiten, wie auch die Diagonalen, um feste Puñete sich drehen, so beschreibt x eine Curve vierter Ordnung. 2. Dasselbe geschieht, wenn man (Fig. 2) statt der beiden Diagonalen, von x zwei Gerade nach zwei Seiten des Polygons zieht und das Polygon sich so bewegen läfst, dafs diese Geraden und alle Seiten, aufser jenen zweien, um feste Puñete sich drehen, und sowohl die Endpuncte jener beiden Geraden, als auch alle Ecken des Polygons, aufser x, in geraden Linien fortschreiten. 3. Ferner geschieht auch noch dasselbe, wenn man (Fig. 3) nur statt einer Diagonale eine Gerade nach einer Seite des Polygons zieht. 4. Wenn zwei Polygone (Fig. 4 ) eine gemeinschaftliche Ecke x haben, während die Polygonwinkel an dieser Ecke einen gemeinschaftlichen Schenkel haben, und man in einem dieser Polygone von x eine Diagonale zieht, so beschreibt x, wenn sich alle Ecken, aufser den von der Diagonale getroffenen, in geraden Linien bewegen, und alle Seiten beider Polygone, aufser den ineinander liegenden, um feste Puñete sich drehen, eine Curve vierter Ordnung. 5. Das Gleiche geschieht auch (Fig. 5 ) , wenn man von x, statt der Diagonale, die am einen festen Punct rotirt, eine Gerade zieht, deren Durchschnittspunct mit einer Seite des Polygons sich in einer festen Geraden bewegt. 6. Wenn drei Polygone (Fig. 6) eine gemeinschaftliche Ecke x haben und ihre an diesér Ecke befindlichen Polygonwinkel stetig an einander liegen, und sich dann die Polygone so bewegen, dafs alle Ecken, aufser x, in festen Geraden fortschreiten, und alle Seiten, aufser denjenigen, in welchen jene stetigen Winkel aneinander grenzen, um feste Puñete sich drehen, so beschreibt x eine Curve vierter Ordnung. 7. Alle vorstehenden Sätze gelten auch hoch, wenn man (Fig. 7) statt der von x gezogenen Geraden, gebrochene Linien setzt, deren Seiten um feste Puñete und deren Ecken in festen Geraden sich bewegen.

i.

Grafsmann,

über die, Curven vierter Ordnung.

3

Da der allgemeine, an die Spitze gestellte Satz seinerseits wieder nur ein besonderer Fall eines allgemeinen Satzes ist, den ich in meiner Ausdehnungslehre ( S . 2 4 4 ff.) und im 31. Bande dieses Journals ausführlich b e wiesen habe, so darf ich mich hier des Beweises entheben, zumal derselbe nicht die mindesten Schwierigkeilen hat. Ungleich schwieriger ist der Nachweis, dafs sich, umgekehrt, jede b e liebige Curve vierter Ordnung, auf jede der sechs Arten, welche in den v o r hergehenden Specialsätzen dargestellt sind, erzeugen läfst. Ich werde hier die einfachsten Erzeugungs-Arten, durch welche jede beliebige Curve vierter Ordnung hervorgebracht werden kann, in eine*n Satze zusammenstellen und dann die Beweise ihrer Allgemeinheit liefern: „Jede Curve vierter Ordnung läfst sich erzeugen, als Ort: 1) Einer Ecke ( x ) eines Sechsecks (Fig. 1 ) , in welchem von dieser Ecke ( x ) zwei Diagonalen nach zwei einander benachbarten Ecken g e zogen sind, und in welchem diese Diagonalen und alle Seiten durch feste Puñete gehen, während alle von den Diagonalen nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen. 2 ) Einer Ecke ( x ) eines Fünfecks (Fig. 2 ) , in welchem'von dieser Ecke ( x ) nach zwei Puncten (/>! und p2\ die in zwei aneinanderstebenden Seiten liegen, zwei Gerade gezogen sind, und in welchem alle übrigen Seilen, so wie diese beiden Geraden ( x p l und xp2), durch feste Puñete geben, während die Puñete (pi und p2) und alle Ecken aufser x, in festen Geraden liegen. 3 ) Der Spitze (x) eines Fünfecks (Fig. 3 ) , in welchem von der Spitze nach einem Puijcte ( p t ) der Grundseite und nach einer daran liegenden Ecke zwei Gerade gezogen sind, und in welchem diese Geraden und alle Seiten, aufser der Grundseite, durch feste Puñete gehen, während jener Punct ( p ^ und alle von der Diagonale nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen. 4 ) Der gemeinschaftlichen Ecke ( x ) eines Vierecks und eines stetig daran liegenden Dreiecks (Fig. 4 ) , wenn die von dieser E c k e gezogene Diagonale des Vierecks und alle Seiten beider Figuren, mit Ausnahme der aufeinander fallenden, durch feste Puñete gehen und alle von der Diagonale nicht getroffenen Ecken in festen Geraden liegen. 5 ) Der gemeinschaftlichen E c k e (x) eines Dreiecks und eines stetig daran liegenden Vierecks (Fig. 5 ) , in welchem von dieser Ecke x nach 1*

i.

4

Grafsmann,

einem Puñete ( )

über die Curven vierter

Ordnung.

der an die gemeinschaftliche Seite sich anschliefsenden

Seite eine G e r a d e gezogen wird, während diese Gerade und alle Seiten, aufser der gemeinschaftlichen, durch feste Puñete gehen und j e n e r Punct (/»,), so wie alle E c k e n aufser x, 6)

in festen Geraden liegen.

D e r gemeinschaftlichen Spitze x dreier stetig an einander liegender

Dreiecke

(Fig. 6 ) ,

deren übrige E c k e n in festen Geraden liegen

und

deren Grundseiten und äufsersten Schenkel durch feste Puñete gehen." E h e ich zu den Beweisen dieser Sätze übergehe, will ich der Ubersicht wegen

diejenigen Formeln voranstellen,

werde.

auf welche ich dabei

zurückgehen

Überall w e r d e ich unter den kleinen Buchstaben P u ñ e t e , unter den

grofsen gerade Linien verstehen.

W i e in den f r ü h e r n Aufsätzen soll: (1.)

ab

die durch a und b g e h e n d e G e r a d e , (2.)

AB

den Durchschnitt von A und B bezeichnen. (3.)

ab — 0 ,

F e r n e r soll

oder

a =

b

a u s d r ü c k e n , dafs a und b zusammenfallen-, (4.) dafs A und B

AB

=-- 0 ,

oder

A =

B,

bA =

0,

zusammenfallen, (5.)

Ab=

0

oder

dafs b in A fällt. Nun habe ich g e z e i g t , dafs die Gleichung (6.) wenn Axx

und bx

Producte

Axbx

—

in dem Sinne

0, d e r Formeln ( 6 . und 2 . )

sind,

welche den Punct x zusammen ,amal als F a c t o r enthalten, die Gleichung einer von x beschriebenen C u r v e ,uter Ordnung ist. weiterten Pascalscheri Sechseck

genannt.

Der Pascahche

läfst s i c h , w e n n xabede (7.)

ausdrücken,

Diesen Satz habe ich den e r Satz ü b e r das

(xa.cd)(ab.de)(bc.ex)=

0

da dieselbe nur aussagt, dafs die drei Durchschnittspuncte

gegenüberliegenden Seiten j e n e s Sechsecks in g e r a d e r Linie liegen. hier cd^B,

mystische

dieses Sechseck i s t , durch die Formel

ab.de

=

bc =

D,

der

Setzt man

so erhält man folgenden S a t z :

„Die Gleichung (8.)

xaBc¡Dex

=

0

ist die Gleichung eines Kegelschnitts, der durch die 5 Puñete a, e, aCiD,

ecxB

geht.'"'

BD,

/.

Grafsmann,

über die Curven vierter

Ordnung.

5

Noch füge ich folgende einfache Umgestaltungsformeln hinzn: Die Gleichung

i

axBcx

— 0

drückt aus, dafs entweder acx — 0 , oder Bx — 0 ist. Denn die Gleichung drückt aus, dafs der Funct axB mit c und x in gerader Linie liegt. Dies ist aber erstens der Fall, wenn x in B liegt, i n dem axB = x wird. Liegt hingegen x nicht in B, so ist axB von x v e r schieden, und die Gleichung sagt dann aus, dafs c in der durch die Puncte axB und x gelegten Geraden, d. h. in der Geraden ax liegen mufs. Es mufs also nothwendig entweder xB, oder acx, Null sein. Ferner die Gleichung

j

abC = 0

(10.)

(ist, wenn ab nicht Null ist, gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare I aC= 0 und bC = 0. Denn abC= 0 drückt dann aus, dafs die Gerade ab mit C zusammenfällt, d. h., dafs a und b in C fallen. Eben so ist die Gleichung i ABc = 0 , (Ii.) {wenn AB nicht Null ist, gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare ( Ac — 0 und Bc = 0. Endlich ergiebt sich leicht der Satz: Wenn ein fortschreitendes planimetrisches Product (d. h. ein Product im Sinne der Formeln ( 1 bis 5 . ) ) , welches mit zwei Punct- oder LinearFactoren beginnt und schliefst, während sonst überall Punct und Linie w e c h seln, Null ist: so bleibt es auch Null, wenn man, von einem beliebigen Factor a n , die ganze Factorenreibe umkehrt und in kleinere schliefst, z . B . wenn

j (12.)

abCdEfg

=

0

=

0.

( i s t , so ist auch

(

a(gfEdCb)

Denn die erste Gleichung drückt aus, dafs die drei Puncte abCdE, f , g in gerader Linie liegen. Dasselbe drückt die Gleichung abCdE(fg)—Q aus. Vermöge dieser Gleichung gehen wieder die drei Geraden abCd, E, fg durch einen und denselben Punct, und das Nemliche drückt die Gleichung abCd{fgE) aus, u. s. w. Obgleich sich noch manche Formel aufstellen liefse, die für den g e g e n wärtigen Zweck von Nutzen sein würde, wird man doch mit den vorstehenden Formeln ausreichen.

i.

6

Grafsmann,

über die Curven vierter

Ordnung.

Indem ich nun zum Beweise des oben aufgestellten sechsfachen Satzes übergehe, bemerke ich noch, blofs im Allgemeinen

dafs ich mich nicht damit begnügen

die Erzeugbarkeit

der Curven

werde,

vierter Ordnung

auf

die dort angegebenen 6 Arten nachzuweisen, sondern dafs ich überall bis zur geometrischen Construction derjenigen Puñete und geraden Linien fortschreiten werde, in welchen sich die Geraden und Puñete der veränderlichen Figur b e wegen müssen, damit der Punct x eine gegebene Curve vierter Ordnung «rzeuge. Ich zerlege zu dem Ende den Beweis in eine Reihe von Aufgaben, die ich in den folgenden Paragraphen lösen w e r d e und mit deren der Beweis des obigen Satzes, nebst der geometrischen

Lösung

Construction

aller

Constanten, vollendet ist. §• 1. Die sechs in dem Satze beschriebenen Arten der Bewegung in Formeln darzustellen.

Aus den Formeln ( 1 , 2 und 5.) ergiebt sich sogleich, dafs die in dem obigen Satze beschriebenen Bewegungen, wie sie in den Figuren ( 1 bis 6 ) bildlich ausgedrückt sind,

beziehlich durch folgende 6 Gleichungen

darge-

stellt werden: (1) (2.) (3.) (4.) (5.) (6.)

xaBbl(xb)dí(xe)fíGglFkx xaB{xbC)D{xeE)FglGkx xaBbl(xb)(xeE)FgiGkx xaBbt (xb) dtEx FgtGkx xaBblxD(xeE)FglGkx xaBbl

x D cxEx

Fgv Gkx

== o, = o, = 0, = 0, = 0, = 0.

§• 2. Die sämmtlichen Puñete zu finden, weiche, statt x gesetzt, ein Product, in welchem nur die durch die Formel (1. und 2.) dargestellten Multiplications - Arten vorkommen, gleich Null machen.

1. Wenn ein Product nur die durch die Formel (1. und 2 . ) dargestellten Moltiplications-Arten enthält, so wird es als Product, entweder zweier gerader Linien, oder zweier Puñete sich zeigen. Es wird nur nöthig sein, einen dieser Fälle, etwa den zweiten, zu betrachten, da der andere durch ßeciprocität aus ihm hervorgeht.

Man hat dann das Product zweier Puñete.

Der eine d e r -

selben, den wir als ersten Factor setzen wollen, sei wieder aus zwei Factoren

1.

Grafsmann,

über die Curven vierter

Ordnung.

7

zusammengesetzt, so werden diese Factoren Linien sein und man erhält also die Form ABc. Man nehme an, daß A, B, c den Funct x beziehlich «mal, /?mal, ymal als Factor enthalte. Es seien bereits die Functe gefunden, welche, statt x gesetzt, ABc gleich Null machen. Dann sind nur noch die Functe zu suchen, welche ABc gleich Null machen, ohne AB gleich Null zu machen. Ist nun aber AB nicht Null, so ist nach Formel (11.) die Gleichung

ABc = 0 gleichbedeutend mit dem Gleichungspaare Ac — 0 und Bc = 0 , von welchen die erstere eine Curve (cc-(-y)ter Ordnung, die letztere eine Curve (ß-\-y)\er Ordnung darstellt. Ihre Durchschnittspuncte sind die gesuchten Functe. Also: „Wenn A, B, c Productfunctionen des Puñetes x sind (die ersteren beiden gerade Linien, die letzte ein Punct), so findet man diejenigen Puñete x, für welche («.) ABc = 0 und AB ungleich 0 ist, als die Durchschnitte der beiden Curven, deren Gleichungen (ft.) Ac = 0 und Bc = 0 sind, und von denen sich die erstere um alle Puñete schlingt, welche A gleich Null machen, die letztere um die, welche B gleich Null machen." Auf diese Weise findet man also, indem man schrittweise die Zusammensetzung des Products verfolgt, und bedenkt, dafs zuerst xa nur für x=a, Null ist, alle die Puñete, welche das Product gleich Null machen, und die Aufgabe ist gelöset (Vergl. Band 42. S. 201). Doch Iäfst die Methode in einigen Fällen eine Vereinfachung zu. Nämlich erstens, wenn c und B constant sind, so enthält die Gleichung Bc = 0 den Punct x gar nicht. Wird also diese Gleichung nicht erfüllt, d. h. liegt c nicht in B, so giebt es keinen Punct, welcher, statt x gesetzt, ABc gleich Null macht, ohne AB gleich Null zu machen. Liegt hingegen c. in B, so folgt, dafs jeder Punct x, welcher der Gleichung Ac — 0 genügt, d. h. jeder Punct der durch diese Gleichung dargestellten Curve, auch ABc gleich Null mache. Wir wollen in diesem Falle der Kürze wegen sagen, es sei dies Product ABc durch jene Curve theilbar. Also: Erstlich. „Wenn das Product zwei aufeinanderfolgende constante Factoren enthält, von denen der Punctfactor in dem Linienfactor liegt, so ist das Product durch eine Curve theilbar. Folgen hingegen zwei constante

8

i.

Grafsmann,

über die Curven vierter Ordnung.

Facloren auf einander, die nicht diese Lage haben, so bedingt das Hinzutreten des zweiten dieser Factoren keine neuen Functe, die, statt x gesetzt, das Product gleich Null machen." Ist zweitens c wieder ein Product = CD und sind B und D constant, so hat man, als diejenigen Puñete, für welche (c.) AB (CD) = 0 und AB ungleich 0 ist, die Durchschnittspuncte der Curven (rf.) ACD = 0 upd BCD = 0. Fallen nun zuerst die constanten Linien B und D zusammen, so wird die zweite der Gleichungen BCD schon allgemein befriedigt. Es ist also dann AB(CD) = 0 gleichbedeutend mit der Gleichung ACD = 0. Alle Puñete o? der durch die letztere Gleichung dargestellten Curve machen daher das Product AB {CD) gleich Null; d. h. dieselbe ist durch jene Curve theilbar. Fällt aber B nicht mit D zusammen, und ist auch CD ungleich Null, so drücken BD sowohl, als CD, einen Punct aus, und zwar, vermöge der zweiten Gleichung in (g)

— ef>\ b> c> f i -

lm letzten Falle endlich liegt * (nach §. 4.) in dem durch a, b, c, d, h g e *) Diese Gleichungen sollen ausdrücken, dafs die Gerade, die den letzten Factor bildet, willkürlich durch den Punct, mit dem sie multiplicirt ist, gelegt werden kann.

/.

Grafsmann,

über die Curven vierter Ordnung.

19

legten Kegelschnitt, und (nach §. 3.) zugleich in der Geraden F, die durch k geht, also ist (h, i) =

F.[a,

b, c, d,

h\.

Es ist leicht, nach den sechs Formelgruppen die Constructionen auf dem Papiere auszuführen, indem alle die Formeln nur Symbole für geometrische Constructionen sind. Auch leuchtet unmittelbar ein, dafs sie sich alle blofs mittels des Lineals machen lassen. Denn wo dort auf die Durchschnitte einer Geraden und eines Kegelschnitts zurückgegangen wird, ist der eine dieser Durchschnitte schon immer bekannt. Es werde z. B. der Punct x in (a,x)

=

a f . [a, b, c, d, «?],

gesucht, so hat mah, wenn man das mystische Sechseck axbcde nach dem Pa«c/z/schen Satze sogleich 0 =

beschreibt,

bc(ea) [cd, ax] (de) bx.

Hier kann man statt ax die Linie af setzen, da nach der Annahme x in af liegen soll. Dann drückt die gefundene Gleichung aus, dafs x auch in der Geraden bc(ea)[cd.af](de)b liegt, also hat man x —

bc(ea)[cd.af](de)b(af].

Die wirkliche Ausführung der Constructionen nach der obigen Formelntafel ist von wesentlichem Nutzen; doch habe ich nicht die zugehörigen Figuren beigefügt, weil es wesentlich ist, die allmälige Fortschreitung der Construction zu verfolgen, welche in einer gezeichnet vorliegenden Figur doch immer verschwindet. Vermöge der erlangten Resultate läfst sich nun die Erzeugung der Curven vierter Ordnung auf die einfache Aufgabe zurückführen: die Projectivität zwischen zwei Strahlenbüscheln, oder zwischen einem Strahlenbüschel und einer Geraden, durch ein planimetrisch.es Product darzustellen. §. 6. Die Projectivität zweier Strahlenbüschel durch ein planimetrisches Product darzustellen.

Es seien drei Strahlen P 2 , P3 (Fig. 8 ) , die durch einen Pnact fx gehen, und drei ihnen entsprechende Strahlen Z/4, Z/j, L 3 , die durch einen Punct k gehen, gegeben. Bekanntlich wird durch drei Paare entsprechender Strahlen die Projectivität zweier Strahlenbüschel bestimmt. Es seien /,, A, 4 die Durchschnittspuncte jener drei entsprechenden Strahlenpaare. Liegen nun i „ / 2 , /3 in einer Geraden G, so ist L ^ P f i k , für die Indices a = 1, 2, 3, und die beiden Strahlenbüschel sind perspectiviscb. Liegen aber / 2 , /3 nicht 3*

20

i.

Grafstnann,

in gerader Linie,

über die Curven vierter

so setze man

=

ltl

3

Ordnung.

^ H und

Dann

ist offenbar > La

=

PaGglHk,

für a = 1, 2, 3 ; wie es der blofse Anblick von ( F i g . 8 ) zeigt, und es ist unmittelbar klar, dafs, wenn man noch beliebig viele Strahlen L„ durch zugehörige Pa

durch die obige Gleichung bestimmt, Lt

zieht und das

und P „ entsprechende

Strahlen, z w e i e r projectivischer Strahlenbüschel werden.

Also ist die Aufgabe

gelöset. § . 7. Die Projectivität eines Strahlenbüschels und einer Geraden durch ein planimetrisches Product darzustellen. Auch diese Projectivität wird bekanntlich durch drei Paare entsprechender Elemente bestimmt. Lt,

L2,

L3

Es seien /?!, p2,

p3 drei Puñete einer Geraden F,

drei Strahlen durch einen Punct k.

und

Man verbinde /»,, p2,

p3

mit einem beliebigen Puñete a, so erhält man drei Strahlen, die w i r P ! , P 2 ,

P3

nennen wollen. Punct c L„ ~

Dann lassen sich nach ( § . 6 . ) z w e i Linien B und D

von der Art

PaBcDk

finden,

dafs für die Indices a =

ist, also La —

l,

2, 3,

und ein jedesmal

paaBcDk.

Nimmt man überhaupt einen beliebigen Punct p in der Geraden F und

setzt L ~~ paBcDk.

punetirten Geraden F und sind.

p3

so sind p

und h

entsprechende

und des Strahlenbüschels k ,

der

und £ / ! ,

p?

und L3 entsprechende Elemenle derselben projectivischen Gebilde

Nun lassen sich in der Geraden F stets z w e i Puñete finden, w e l c h e in

den ihnen entsprechenden Geraden liegen. Punct p nur die Gleichung paBcDkp des Puncts p,

Man hat nämlich für einen solchen

— 0 zu erfüllen.

Diese g i e b t ,

einen Kegelschnitt; mithin sind die Puñete,

Puñete imaginär sein, aber da die Constructionen stets nach

als Ort

in w e l c h e n

Kegelschnitt die Gerade F schneidet, die gesuchten Puñete.

nen

Elemente

während pt

an

dieser

E s können

diese

mittels imaginärer Puñete

einem allgemeinen Verfahren ohne Schwierigkeit auf Constructio-

mittels

reeller Puñete

sich

zurückführen

lassen,

diesen Fall keine besondere Rücksicht zu nehmen. Puñete // 4 und ph. man durch ps

Dann sind L^^kp^

eine beliebige Gerade G

und Ls~kps

so braucht (Fig. 9 ) .

und setze GL3p3Lt

der blofse Anblick der Figur, dafs L t ^ ^ p ^ g ^ G k ist, für a = gilt .diese Gleichung auch für j e d e s Elementenpaar,

man

auf

E s seien nun j e n e beiden

welches

=

Nun ziehe so zeigt

3 , 4 , 5 ; also mit diesen drei

/. Grafsmann,

über Se Curven vierler Ordnung.

Paaren projectivisch ist, mithin auch" für die Elementenpaare L t und und

21 L2

d. h. es ist

== P*ffiGk, auch für die Indices a = l , 2 , 3 , und die Aufgabe ist gelöset. §. 8. Erzeugung der Curven vierter Ordnung durch die in ( § . 1.) dargestellten Bewegungen.

Ich erinnere hier an einen Satz, den ich in einer früheren Abhandlung (Band 42. S. 2 0 7 ) für Curven nter Ordnung bewiesen habe und welcher für Curven vierter Ordnung fölgendermafsen lautet: „Wenn man durch drei Durchschnittspuncte einer Curve vierter Ordnung und einer Geraden eine Curve dritter Ordnung legt, so schneidet sie die erstere aufserdem noch in neun solchen Puncten, durch welche sich eine bewegliche Curve dritter Ordnung legen lälst. Diese schneidet die Curve vierter Ordnung aufserdem in drei Puncten, welche in einer beweglichen, um einen festen Punct dieser Curve rotirenden Geraden liegt." Die Bedingungen, welche wir in ( § . 4 . ) für die neun Puñete « . . . i aufstellten, waren: erstens, dafs sich um sie eine bewegliche Curve dritter Ordnung schlingen lasse, und zweitens, dafs im sechsten Falle drei Puñete in gerader Linie liegen, in den öbrigen Fällen ein Puncl (e) mit zwei Punclenpaaren in geraden Linien liege. Der Symmetrie wegen kann man annehmen, dafs auch im sechsten Falle e, h und » in gerader Linie liegen, also e sowohl mit f und 2, L3 bezeichnet. Diese drei Geraden schneiden sich, nach demselben Satze, in einem festen Puncto der gegebenen Curve. Es sei x der feste Punct. Dann hat man drei Púnele pt, p2, p3 in der Geraden F und drei ihnen entsprechende Geraden L t , Z/ 2 , L3 durch den Punct k, und kann also nach (§. 7.) eine Gerade G und einen Punct gt von der Art finden, dafs L t ^ p t g x G k ist, für die Indices a = 1 , 2 , 3 . Nun ist die Gleichung ptgxGkx — 0, nach Formel (6.), die Gleichung einer von x beschriebenen Curve vierter Ordnung. Dieselbe bat mit 12 gemein: erstens die neun Puñete a... i, welche, statt x gesetzt, das Product p gleich Null machen; ferner der Punct k, und endlich die neun Puñete, in welchen die drei Geraden Lt die Curve 12 aufser e noch schneiden; denn für diese Puñete verwandeln sich nach dem Obigen p in pe, also wird dann Lt= pag¡Gk, und da x in L„ liegt, so wird p r f t G k x = 0;

i.

Graf*mannt

über die Curven vierter Ordnung.

23

d. h. es sind diese neun Puñete auch Puñete der durch die letzte Gléichung dargestellten Curve. Also hat diese Curve mit S2 schon .neunzehn Puñete gemein, und schon 4 ? - f 1 = 17 genügen allgemein zur Bestimmung einer Curve vierter Ordnung. Also ist die durch die obige Gleichung dargestellte Curve mit der gegebenen Curve S2 identisch. Wir haben somit die Erzeugharkeit aller Curven vierter Ordnung durch die in den Formeln (2. bis 6. §. 1.) dargestellten Bewegungen nachgewiesen. In der ersten jener Formeln ist das Product, bis zum Factor fc hin, eine variable, durch den Punct fx gehende Gerade, die wir mit- P bezeichneten. Soll P mit einer consienten Geraden Pt • zusammenfallen, und ist pt ein b e liebiger, von f t verschiedener, constanter Punct dieser Geraden, so hat mau die Gleichung

Ppx =

0,

welche eine Curve dritter Ordnung als Ort von x darstellt, und -welche ausdrückt, dafs die Gerade P durch den Punct pt geht, d. h., da P auch durch /¡ geht, mit der Geraden pifa = Pt zusammenfällt. Stellt man sich drei solche Geraden Pt, P2, P3 vor, welche durch fa gehen, so erhfilt man drei Curven dritter Ordnung, welche sich um diejenigen neun Puñete a... i schlingen, die P gleich Null machen, während die übrigen Puñete jener Curven, statt x in P eingeführt, diesem beziehlich die drei Werthe P n P2, P3 geben. Diese drei Curven schneiden wieder die Curve ¿2 in je drei Puncten, welche beziehlich in drei Geraden L „ L 2 , L s liegen, während diese drei Geraden sich in einem und demselben Puñete k der Curve 12 begegnen. Nun lassen sich nach (§. 6.) stets zwei Gerade 6 und H und ein Punct gy von der Art finden, dafs PtGgtHk==La wird, für a = 1 , 2 , 3. Sind G, g„ H auf diese Weise bestimmt, so ist die Gleichung

PGg.Hkx

= 0

die einer von x beschriebenen Curve vierter Ordnung« welche mit der Curve i2 erstens die neun Puñete a... i gemein hat, welche statt x gesetzt, das Product P verschwinden machen; ferner hat man den Punct k, und endlich die neun Puñete, in ^welchen die drei Geraden £ t die Curve S2, aufser dem Puñete e, noch schneiden. Das giebt neunzehn gemeinschaftliche Puñete: also fallen beide Curven zusammen, und es ist die Erzeugbarkeit der Curven vierter Ordnung durch die in ( § . 1 , 1.) bezeichnete Bewegung gleichfalls dargethan; folglich ist der Beweis des an die Spitze gestellten Satzes vollendet.

1.

24

Grafsmann,

über die Curven vierter

Ordnung.

§. 9. Vereinfachung der in ( § . 8 . ) angegebenen Construction. Die im vorigen Paragraphen gefundene Construction

der

Constanten

wurde durch drei Curven dritter Ordnung vermittelt, und zwar durch die Durchschnitte dieser Curven mit der gegebenen Curve vierter Ordnung. sich nun leicht diesen Curven dritter Ordnung

E s lassen

gerade Linien substituiren, i n -

dem man die Curven dritter Ordnung in drei gerade Linien zerfallen läfst, oder wenigstens in eine Gerade und einen Kegelschnitt. Ordnung,

Die erste Curve dritter

die wir anwandten, legten wir durch acht Puñete der

Curve vierter Ordnung £1,

gegebenen

von denen drei in einer geraden Linie Lv

und vier paarweise auf zwei

durch den achten Punct (e)

lagen

gelegten Geraden

vertheilt waren. Es lassen sich diese acht Puñete insbesondere so legen, dafs sich durch sie eine in drei gerade Linien zerfallende Curve dritter Ordnung legen läfst.

Man ziehe zu dem Ende von einem Punct e der Curve ¿2 zwei Gerade

M und N,

wähle von den S'brigen drei Durchschnittspunclen dieser Geraden

mit £2 auf jeder zwei Durchschnittspuncte aus, ziehe durch die so gewählten vier Puñete

zwei neue Geraden

Q und R,

deren jedq £1 noch in

zwei

Puncten schneidet; durch 2 dieser 4 Durchschnittspuncte lege man eine den

vorigen verschiedene Gerade

welche

in 2 Puncten schneidet; einer derselben sei k } eine zugleich durch e gehende Gefade S:

von

wiederum die Curve £2 noch durch den andern lege man

so ist der Verein der drei Geraden

Q, R, S eine Curve dritter Ordnung, die durch acht Puñete von der vorhin gegebenen Beschaffenheit geht.

Durch den Verein dieser drei Geraden werden

dann die 9 Puñete a . . . i als Durchschnitte derselben mit 12 bestimmt.

Dieser

Verein kann zugleich als eine der drei durch a . . . i geschlungenen Curven dritter Ordnung gesetzt Curven).

werden

(wir setzen sie statt der ersten jener drei

Ferner sei x ein beliebiger PHnct der Geraden M,

drei jener néun Puñete geht; doch werde x dieser drei Puñete fallt.

welche durch

so gewählt, dafs es in keinen

Dann zerfällt offenbar die Curve dritter Ordnung,

welche durch x und jene neun Puñete geht, in die Gerade M und in einen Kegelschnitt.

Wir setzen diese zerfallende Curve dritter Ordnung als die zweite

jener drei Curven. gegebene

Wenn man dann den vierten Punct,

Curve £2 schneidet,

mit k verbindet. 60 ist die

diejenige Linie, die oben mit L2 bezeichnet wurde. der Geraden N,

in welchem M

die

Verbindungslinie

Verfährt man eben so mit

und setzt die daraus hervorgehende Gurve dritter Ordnung

als die dritte jener drei Curven, so erhält man durch eine entsprechende C o n -

i. struction

Grafsmann,

die Gerade,

über die Curven vierter

die wir oben mit L2

Ordnung.

bezeichneten.

25

Zu diesen

drei

Geraden TLx, L 2 , Z>3 finden sich nun leicht die entsprechenden Puñete (oder Geraden) pt,

p2,

p3 (oder P P

einen beliebigen Punct

) ,

3

wenn man in das Product p (oder P)

einführt, welcher beziehlich in den Geraden Q, M,

liegt, ohne jedoch mit einem der neun Puñete a...

N

i zusammenzufallen.

S o ist also die beabsichtigte Vereinfachung vollendet, und man sieht, wie

alle

Constructionen,

selbst

wenn

die Curve £2

sondern nur 14 Puñete derselben gegeben sind, ausgeführt werden können,

nicht

gezeichnet

ist,

entweder mittels des Lineals

oder doch von der Art sind, dafs sie höchstens

auf die Lösung einer Gleichung zweiten Grades, also, geometrisch gesagt, auf den Durchschnitt einer Geraden und eines durch fünf Pañete gegebenen K e g e l schnitts

zurückgeführt

werden

können,

Die Durchschnittspuncte einer

raden und eines durch fünf Puñete gehenden Kegelschnitts lassen sich nach Steiner,

mittels des Lineals und eines in der Ebene

der

angenommenen

beliebigen

nicht

gerade Linien zerfallen

festen

Kegelschnitts

darf) ausführen.

(der

jedoch

Geaber,

Zeichnung in

zwei

Also kann man mit diesen Hfilfs-

mittein auch die festen Puñete und geraden Linien construiren, in denen sich in jedem der sechs Fälle

die Geraden

und die Puñete der

veränderlichen

Figur bewegen müssen, um eine durch vierzehn Puñete gegebene Curve vierter Ordnung zu erzeugen. Stettin im December

1851.

Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLIV. Heft 1.

4

26

2. Zweiter Nachtrag zu der Theorie der analytischen Facultäten (Bd. 3 5 und 3 8 ) . (Von Herrn Dr. Öltinger,

Prof. ord. an der Universität zu Freiburg im Breisgau.)

D i f f e r e n t i a l e und I n t e g r a l e h ö h e r e r O r d n u n g und mit

gebrochenen

Exponenten. § . 1. Ein

enderes Feld für die Anwendung der Facultäten eröffnet sich in

brochenen Exponenten.

der Darstellung der Differentiale und Integrale höherer Ordnung und mit der

3Tathematik

zeigt

sich

besonders

darin,

Die Bedeutung dafs

die

ge-

der Facultäten in diesem Z

Entwicklung

Differentiale und Integrale beinahe ausschliefslich nur auf Facultäten

dieser beruht;

wie es sich in Folgendem zeigen wird.

Leihnits QOpp. omti. gebrochenen Exponenten 8*y, Commerc. philos. ei math Leibnitz 8~"' —J m Hingedeutet auf diesen Gegenstand wurde schon von T. III. p. 1 0 5 ) ,

wo er von Differentialen höherer Ordnung und mit spricht und den Ausdruck

jedoch

Erörterung, anführt. An mehreren Orten des

kommt

auf diesen Gegenstand zurück, sagt p. 3 7 , dafs

sei und beschäftigt sich p. 9 9 und

j

(xy),

m

den Fall, wenn

worüber

rn

mit der Darstellung der Ausdrücke

Bernoulli

8m(xy)

p. 1 0 4 weitere Auskunft, namentlich für

Leibnitz 8 lx — xi-^f* Euler

eine gebrochene Zahl ist, verlangt, worauf

p. 1 0 7 ,

jedoch nicht ganz genügend, antwortet, indem er den Werth von 8 * x sucht. Für den Fall

dx—xfindet

8ix~^~(8z)

i

a

er

während schon

v a /

angiebt.

7

Euler (Comrnent. Acad. Petrop. od. an. kommt auf die Darstellung

des

oben genannten

es mit Hülfe bestimmter Integrale auf die Form —

~(&*)%

f ~

l

f x { ß x f f x d x , fx, S"~lfx (dx)"'1 '

...

Bnfx (dx)n'

Geht man, von der rechten zur linken, von den Differentialen auf die Integrale über, so erhält man: t

)

(dx)-" '

(&r)-"+1'""

(dx)-1 ' 'X>

dx

(Ö.r)2' "'

1

{dx)"-1'

(dx)* '

In umgekehrter Ordnung ist:

(3.)

fnfx(ßx)\

fn~lfx(dxT~\...

f~~fx{Bx)-\

ffxdx,

fx,

J"~"+lfx(8x)-n+l,

f~lfx{dxY\

f~nfx{dx)~\

Hieraus ergeben sich folgende gleichgeltende Formen: (4.1

/ > ( * *

=

(50

/ " ^ ( t o ) "

=

oder in Symbolen: (6.)

/ '

=

B'n

und

— 8".

D. h. ein Differential mit negativem, Exponenten deutet ein Integral mit demselben Exponenten, und ein Integral mit negativem Exponenten deutet ein Differential an. Hiedurch ist der Zusammenhang der Glieder der Ausdrücke ( 1 , 2, 3 . ) untereinander gegeben.

Man kann unmittelbar von dem nten Differential auf

das nte Integral und umgekehrt übergehen,

wenn man in der entwickelten

Darstellung für dasselbe ( — n ) statt (-}-») setzt. Die Gleichung ( 5 . ) stellt schon Leibnitz auf.

(Coitonerc.

epist.

T. I. p. 3 7 )

Der in ihr enthaltene Satz wurde auch als richtig angenommen und in

keiner Weise in Frage gestellt. Wenigstens gingen auch Laplace

und

Fourier

2.

Ott inger,

zweiter Nachtrag

zur Theorie

der Facultäfen.

29

bei der Entwicklung der von ihnen angegebenen Reductionsformeln von ihm als von einer unbezweifelten Basis aus; wie solches auch aus den vorstehenden Erörterungen hervorgehen wird; vorausgesetzt, dafs die gefundenen Ausdrücke es zulassen und dafs überhaupt nicht etwa beschränkende Bestimmungen in einzelnen besondern Fällen vorkommen. Hieran knüpft sich dann der weitere Schlufs, dafs, wenn das Gesetz des Überganges von einem positiven zu einem negativen Exponenten und umgekehrt gefunden ist, dafs dann dasselbe Gesagte auch für einen gebrochenen Exponenten und für diesen sogar dann gelte, wenn sich ein Gesetz in seiner Besonderheit nur für einen positiven oder negativen Exponenten nachweisen Ififst.

Denn die gebrochenen

Zahlen sind immer Zwischenglieder der gan-

zen, die als Hauptglieder einer Reihe zu betrachten sind.

Ein Gesetz aber,

welches von den Hauptgliedern gilt, mufs sich auch auf die Zwischenglieder ausdehnen lassen. Hiernach ist die Darstellung der Differentiale und Integrale mit g e brochenen Zeigern in nichts von der Darstellung der Differentiale und Integrale höherer Ordnungen verschieden, sondern fällt mit ihr zusammen. handelt sich hier nicht um einen neuen Zweig der Mathematik, wie

Es

Liouville

meint, sondern nur um die Ausbildung eines bestimmten und schon längst g e kannten Theils der Differential- und Integralrechnung,

nämlich um die Dar-

stellung der sogenannten höhern Differentiale und Integrale der Functionen, der auch schon in die Lehrbücher der Differentialrechnung übergegangen ist und hie und da auch schon, jedoch nicht auf die von Leibnitz,

Bernoulli

u. A.

angedeutete Weise, untersucht wurde, wovon die in der neuern Zeit raehrseits versuchte Darstellung der höhern Differentialquotienten Zeugnifs geben. Dafs die nähere Untersuchung des Gegenstandes nicht ohne Vortheil für die weitere Ausbildung der Differential- und Integralrechnung sein werde, ist leicht zu sehen.

Es knüpfen sich an das Eingehen auf die Einzelnheiten

Fragen, die sich zum Voraus nicht ahnen lassen, und deren Betrachtung nicht abgewiesen werden darf. Bezeichnet man das Differential und Integral mit gebrochenen Exponenten durch

(7.)

i^f

und f * f x { ß x f ,

t) wo — ein echter Bruch ist, so schliefst sich daran folgende Form:

80

O t t i n g e r ,

zvmter

(8.)

Nachtrag

"

zur

und

Theorie

f

der

Facultäten.

* f x ( 8 x )

und man siebt, däfs jedes Differential und Integral mit gebrochenem E x p o nenten zwischen das Intervall zweier ganzen Zahlen ( r und r - } - l ) , die Null nicht ausgenommen, fällt. Entwirft man hiernach ein Schema, so ergeben sich folgende Ausdrücke: i +-E

-2

,

Q

,

d f f x

f

(y-j

?x>

d f x

,

£

d x

8

,

(dx)i

(dx) 8

f x ,

f

q

f x { d x f ,

d * f x i ,

,

d

r+JL'

(8XY+1

J f x d x ,

f

r

+

r

f x

,

f f

( d x f , . .

+ l f x

r

f

l +

p

. . . J ' f x {hx)\

d

{dx)r

• • •

{ S x )

1

r+£ i f x

(8x)

(10.)

i f x i+£

'

* f x { d x )

+ q

,

X

p

i f x ( 8 x )

+

\

J '

r + l

f x ( 8 x y +

l

.

Um nun zu der entwickelten Darstellung von ( 8 . ) zu g e l a n g e n , es zwei W e g e . «.

oder

f

f x { d x )

r

r+-E gekommen ist, und dann auf —— 9 -~ {8x)

J

„

r+-£

i f x { B x )

b.

giebt

Man geht durch die Intervalle der ganzen Zahlen aufwärts bis

man zu s*r+ —

.

i

oder

i

aber.

Man geht unmittelbar auf — o d e r

f

q

f x { 8 x )

q

über, und dann

(Bxfi

durch die Intervalle der ganzen Zahlen fort, bis man zu — — o d e r [dx)'

+

7

/

q

f x ( b x )

v

gelangt.

J

Dies führt auf zwei Entwicklungs- oder Übergangs-Methoden veranlafst folgende F r a g e n :

und

Sind die beiden in ( a . und 6 . ) angedeuteten Methoden, die wir durch

2.

Ö t t i n g e r ,

(»o

z w e i t e r

N a c h t r a g

4 c i f )

T h e o r i e

der

F a e u l t ä t e n .

M

-

fJ(frfa>{dxy){Sxf

(12.)

zur

und

A

)

3 1

>

/ ' ( / ^ ( ^ ( f e ) '

andeuten, gleich, oder nicht? Welche mufs gewählt werden, wenn sie nicht gleich sind? Der zunächst liegende Gedanke ist wohl, dafs beide W e g e werden.

g l e i c h

sein,

Die Untersuchung der einzelnen, Fälle wird aber z e i g e n , dafs Dies

nicht immer der Fall ist; wodurch die zweite Frage bedingt wird. Um hiebei eine weitere Stütze und Sicherheit gegen unrichtige R e sultate zu erlangen,

werden noch folgende Ubergänge

( 4 , 5 , 6.) rechtfertigen.

r

f

f

d e . )

f

r

x

x

(

d

i

=

x

d

==

j

x

( ¿ ^ ( y ^ V ^ * )

1

* " ) ,

y

Ist nun r ein echter Bruch

so ergiebt sich aus ( 1 5 . und 1 6 . ) P

( 1 7 . )

f


n

f { J. i L V. T w y v /f" v* V p _» /Jlj r

W i r d aber r >

und unter sich

gleiche

ist, in welcher Ordnung auch differentiirt

werden

n, so giebt eine verschiedene Ordnung im Differentiiren

verschiedene Resultate, denn es ist r

r+£\-l

»'

n'-l- 1 (n — r)i'

=

£1-1

=

0,

wenn r Ü> n wird, während r+'i-i -l-v »vi-1 ni =««' (n — JL) immer darstellbare W e r t h e giebt.

Dies führt zu dem folgenden S a t z e :

Steigt man bei der Entwicklung des Differentials rl 1 — ^ T T (dx) +i

(90

zuerst durch die ganzen Exponenten in dem Schema ( 9 . , § . 2 . ) auf und geht von r auf r - - t j - über, so führt das vorstehende Differential auf 0 , wenn r >

n ist.

Geht man aber zuerst auf ~

durch die ganzen Exponenten

über

in dem Schema ( 9 . )

und steigt

bis auf - - f r ,

erhält man immer darstellbare Werthe. Man hat daher: 1 0 .J) C L

€ l * L = r+£ i v_ r+2 8 ix» __

(dr) fU

i

£\ (dx)i 8r

(dxy

= 0 )—"•>

_ / __£ \ fdx«\

A-w

q

(3jc) « M&r)* / In dem vorliegenden Fall gilt die Gleichung d

1 x"

(dx)

9

3? (d.r)»

p \i-l-l y

x* +

X

n-r-£ ? •

dann so

2. nicht.

Öttinger,

zweiter Nachtrag zur Theorie der Facultäten.

37

Um daher darstellbare Werthe für das vorliegende Differential zu e r -

halten, mttfs zuerst

nach

und dann nach r differentiirt

werden.

Die

Ordnung im DifFerentiiren der Form (6.) ist also nur so lange gleichgültig, als n

r ist. Für ein negatives wß*- = V

*)

(

-

n hat man aus (§. 3.): l y n S > l

"

(£rx—

(-1),+rfl"l(»+«>"1* ln+1-fr-1|1 4— nll n—T .— r

J

j-n + s + r

V l/

Jn-lll^n+r+s

V

k

=

1

j_„_s_,H

1

S|1

Aus (12. und 13.) ergiebt sich

_£

(\& K

J

_

(dx)r+s x"

L (dx)s+r X" '

und die Ordnung im Differentiiren ist gleichgültig.

Zugleich zeigt sich, dafs

r, s und n untereinander keiner Beschränkung unterliegen und dafs sich immer gleiche und darstellbare Werthe auch bei verschiedener Ordnung im Differentiiren ergeben. Aus (12. oder 13.) erhält man folgende besondere Formen: eis-)

ri' 8r+sTfx t* 7id+r

m

s

=

,

+

(~n *

ra'"1"5'

n(n-f»».)(n-\-2m) . . . ( » - f ( r . » • ) m ) m

(dxj

+

i~

l"-i\lq"+rxn+ryx"

9.

38

2.

öttinger,

zweiter

Nachtrag

zur

Theorie

der

Facultäten

Auch hier sollen einige b e s o n d e r e Fälle zu b e q u e m e r e r Übersicht z u s a m Setzt man ~ = { u n d f ü r n und r allmälig die W e r t h c +ü üfl" _ £ (dx)'"'/

(25.) £

wenn

(_!)'

r-f-n

1 i V

I

1 /x' 1

=

f

statt r gesetzt w i r d : iY

-£_1|J r|n p 5\_Ü ? .... 9.

*

und r — n

39

W l . p ( p + q ) . . . ( p + {r-*i)g) _.£li -l-\-A^ar*-\.

fx =

•••

Atx +

n

... ^ W A l ! ^ iiji

A0.

Man erhält die nachstehenden Resultate (26.) • (27 )

=

(dx)r d q

fX

=

, ~

in 'i 1

r » !

(A„ijr-|-6)"+r

n

n

,

(8x)r

_

_ _ (-l) r (w+m)(n -f 2m)...(w-j-(r-1)m)a r

(-i)rnT\maT r+—

mr(ax-\-b)r

m

mr(ax-\-b)

r+—

m

'

2.

Ott inger,

(8 )

zweiter Nachtrag zur Theorie der Facultäten.

3? (aar+ 6)— _

( jf

iq

r'"V«p

in~^{ux-\-b)

(dx)i

11U ^

di(ax + b) "

1"' 9

=

41

i qn

(«x -j-

9"

ygP

Für alle diese Formeln bleiben die Bemerkungen ( § . 3.) in Kraft. Die weitern hiehergehörigen Entwicklungen, die sich auf die bisher gezeigte Weise rechtfertigen lassen, sind: d +r

' («X+b)n

C101

nr+s,-la,+r(ax

=

, 6y

Hiebei gilt r

unter den zu (3. § . 4 . ) angeführten Beschränkungen. fl2 L

J

'

dr+'(ax+b)m (dx)r+s

d

r+£ (dx)'ri

_ + r,

+

Es ist ferner:

nr+*\-ma*+r(ux-\-b)n mr+s(ax-\-b)r+s a +rn

— ( l f 13 1 J

1

ds+r{ax-\-b)" (dx)r+° '

+ (dx) +s

f i n

_

'

("»—") (Zw—») • • • ((>+ s—i)m—n) (ax+b)" mr+*(a>: A-b)r+s

? ~j> l"!1 q"—rgrygP(ax-f-b)n

_

ir(q—p)"-rii(ax-\-b)"r

l-n+z-U

D i e s e Gleichung liefert für ein ganzes n und r so lange darstellbare W e r t h e , als n~2>r

ist.

F ü r n — r wird sie unbrauchbar, denn sie geht dann in (6.)

f x -

r

\ o x y =

=

r_r|1

über und weiset auf Logarithmen hin. Die gleiche Bemerkung gilt auch, wenn r^>n

ist.

Die besondern Formen von ( 5 . ) sind:

fTx~m(dxy

(7.)

=

xrmr

nv xr

{m—n)rl^yx"

(rm—n)Vxn

(m—n)(2m—n)...

es.) / f ^ _ iZütacsite (—1)?

~

l q

X*

'1( r — (-1)— 1 1 i 1 qr-"+lxr-nVxP