Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 55 [Reprint 2020 ed.] 9783112336489, 9783112336472

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Journal für

die

reine und a n g e w a n d t e In

Mathematik.

z w a n g l o s e n

Als

H e f t e n .

Fortsetzung

A.

L.

des

von

C r e l l e

gegründeten Journals herausgegeben unter

Mitwirkung

der

Herren

Steiner, Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von

C. W .

Borchardt.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preufsischer Behörden.

F ü n f and f ü n f z i g s t e r Band. In v i e r

Heften.

Berlin, 1858. Druck und Verlag von Georg Reimer.

Inhalts-Verzeichnis s des fünf und fünfzigsten Bandes.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

und über die Réduction der Abelschen Integrale erster Ordnung in die Normalform. (Aus den hinterlassenen Papieren von C. G. J. Jacobi.) . . . Seite 1 Sur quelques formules pour la transformation des intégrales elliptiques. Par M. A. Cayley — 15 Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. Von Herrn H. Helmholtz — 25 Stir l'intégration des équations ultra-elliptiques. Par M . Brioscki à Pavie. — 56 Über die Gaufsische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben Von Herrn E. B. Christoffel zu Montjoie — 61 Zu den Doppeltangenten der Curven 4ter Ordnung. Von Herrn 0. Hesse. — 83 Demonstration géométrique de cette proposition, que toute fonction elliptique de première espèce peut être remplacée par deux fonctions elliptiques de seconde espèce, et Développement d'une formule relative à la rectification de l'hyperbole. Par M. C. Küpper à Trêves — 89 Die Krümmungslinien der Wellenfläche zweiaxiger Krystalle, Zusatz zu dem Aufsatz im Band LIV dieses Journals. Von Herrn P. Zech in Stuttgart. — 94 Zur Theorie der parallelen Curven. Von Herrn R. Hoppe — 95 Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veränderlichen. Von Herrn S. Aronhold. . . . . — 93 Note sur la composition du nombre 4 par rapport aux vingt-troisièmes racines de l'unité. Par M. Cayley — 192 Ueber eine zahlentheoretische Function. Von Herrn Stern zu Güttingen. — 193 Ueber die graphische Darstellung imaginärer Functionen. Von Herrn Siebeck zu Liegnitz — 221 Ueber die Réduction der zweiten Variation auf ihre einfachste Form. Von Herrn A. Clebsch — 254 Eine Bemerkung über Integration linearer Differentialgleichungen. Von Herrn A. Weiler zu Mannheim — 274

IV

Inhaltsverzeichnifs

des

fünf

und

fünfzigsten

Bandes.

16. Théorème sur les déterminants gauches. Par M. A. Cayley Seite 17. Ueber die binomische Reihe. Von Herrn E. Heine zu Halle — 18. Ueber die lineare Abhängigkeit von Functionen einer einzigen Veränderlichen. Von Herrn E. B. Christoffel eu Montjoie — 19. Ueber die Transformationen, welche in der Variationsrechnung zur Nachweisung gröfster oder kleinster Werthe dienen, Von Herrn Minding zu Dorpat — 20.. Sur une certaine classe de courbes de troisième degré, rapportées à lignes droites, qui dépendent de paramètres donnés. Par M. C. A. Bjerknes à Christiania 21. Ueber diejenigen Probleme der Variationsrechnung, welche nur eine unabhängige Variable enthalten. Von Herrn A. Clebsch 22. Vermischte Sätze und Aufgaben. Von Herrn J. Steiner

277 279 281

30

— 310 — 335 — 356

1

1.

Über die Substitution (,ax2 - f

+

4- 2 (u'a?

2Ä'a? -f c') y -j- a"x3 - f 2 b " x -j- c" =

0

und über die Reduction der .AMschen Integrale erster Ordnung in die Normalform (Ans den hinterlassenen Papieren von C. G. J. Jacobi mitgetheilt durch Herrn F.

Die

Richelot.)

allgemeinste Relation zwischen z w e i Variabein, in w e l c h e r keine

den zweiten Grad übersteigt, ist

(1.) =

(ax* -j- 2bx -\-c)y2-\-2

(a'x2 -f- 2b'x -f d)y -f- ( a ' V -f 2b"x -f c")

{af-\-2

= < P - a t ) f t f + r f ) J ( r + f y * )

dieselbe Funktion von t' w i e T

von t ist.

/ . C. G. J. Jacobi,

eine Substitution

u. ihre Anwend. auf Abelsche

Integrale.

9

Dieselbe Substitution ergab (6-)

/

=

fc^

*

woraus T

= t f b ^ i g c - f a ^ - g t ^ t f ' P + i g ' c - f ' a ^ - g ' n .

E s sind aber die Gröfsen { g c - f d f \ \ f g V = {g /a, die Gleichungen

_

r

((l

(1 —

~~ \ |/(Z>.r,) _ T l (1 -Px,)dxt -

worin:

* i

•(ÄrJ

«•{q'-VHi-r)}-¿,/{(x'-

_ -

a _

m m

(x'-fi)

(X«—^{(X»—(1 — (»HM) W

-f

—

_

c'xjdx,)

j(Dxt) (1 -Vxjdx,

Í

r

V(Uxt)

r

fi'jd-x*)}

•{ (x—u*) (1 - x ' ) } /{(x»—^«) (1 —

~ / O (*—*')} + ( * ' + 1 * ) / { ( * ' - ^ > ( 1 - * ' ) }

'

1. C. G. J. Jacobij

eine Substitution

E s sei d a s

_ r { f \ ^ ) d x ~~ J V| j r ( i — x)(\— —A\r)(i

1 annimmt.

Setzt

\ 1

s« >

Ä>/

zwischen 0 und

so

auf Abcische

Integral T

vorgelegt,

u. ihre Anwend.

=

I

_2_ —

f-t' •/'

I j

y+i

¿y _ _ , ,

daher j

i r J

~

1( fr+9)y+(//*-. y 2 - i i (i - A 2 ) +n>y) ( i + » j

w o

-

und Jy z w i s c h e n

\ 1 und — y ist. 21 =

bleibt i m m e r r e e l l ,

Die

r

Substitution

-f 2by + c) + >'(«/

-

2by + c)

w e n n in d e n I n t e r v a l l e n , in w e l c h e n sich y w ä h r e n d

der

m )

=

2CV\(et-mt)(i-c/{(is-m8)(l

(l-|,)(l-x,r)(l-iT)(l-f*T), (1 —

c2.rl)(l

—

Px2)(\—mV)

gesetzt ist, und die beiden Argumente xl und x2 aus dem gegebenen Argument f v e r mittelst der Gleichungen: / ( / r + m N / i - c ^ M _ •{(*•-;*'S'K* W S ' n - p r t f l -¿T)} /(/P+mXZl-c^X)

_

(A'-fiT)} +

(1 - ¿ ' g ' ) )

abgeleitet sind. In dieser Form kann man sich auch durch Rechnung davort ü b e r z e u g e n , dafs die vorliegende Umformung von der oben bezeichneten reciproken Natur ist, und daher w e i ter angewendet auf das ursprünglich gegebene Integral zurückführt. So sind auch die drei Moduln c, l , m eben solche Functionen der drei Moduln x, X, fi, wie umgekehrt diese es von jenen sind. — Gelegentlich w e r d e ich diesen Gegenstand ausführlicher verfolgen. — 2*

12

C- G. 3 Jacobi,

eine Substitution «. ihre Anwend. auf Abclschc Integrale.

Integration befindet, nicht bloi's die Gröfse ay"1-\-2by-\-c, Gröfse

ay2

positiv i s t

— 2by-\-c

Für den hier betrachteten Fall ist

=

af-[2by-\-c I und v zwischen 1 und —

sondern auch die

(l + my)(l + n r )

E s sind aber die absoluten Werthe von m und

v

n kleiner als v, und daher die vier Gröfsen

1 ± — i m m e r positiv, so

dafs die Gröfsen ( l - [ • r n y ) ( \ A r n y ) und ( 1 — m y ) ( l — ny),

wenn y von 1 bis

—

Bedingung

wächst,

positiv

bleiben,

wodurch

der geforderten

Genüge

geschieht. Ich setze jetzt zufolge der angewandten Substitution == y { ( l +

±2t

(1 + wr)} — )/{(l — my) (1 —

2t' =

rty)},

y T —

u. ihre Anwend.

¡u, also die oberen Z e i c h e n

J

f(f'-Q'il)dt

•{ F(t)\

I

''r wo r

, _

=

Fit)

=

F(/')

=

=

gelten,

f(f'-9'ndt>

"V

wenn y.l

des intégrales

elliptiques.

sont

_L

ri=^V

r1+/9Y

f ' - ^ Y

¡3*''

M+

M—§) '

M +

c e qui s ' a c c o r d e a v e c un résultat obtenu par Abel

f i M Y

( v o i r les o e u v r e s d ' A b e l

1.1, p. 3 1 0 ) . J e fais o b s e r v e r à p r é s e n t qu'en écrivant 3m 2sj—3 '

# ==

on o b t i e n t p o u r w l'équation ( 2 7 — 4 z V ) c ô 3 - f 2TiV(ty — 1) = M =

0 , qui, en posant

, ou ce qui est la m ê m e chose 1 27—4iV'

P

devient a? — M(m — 1) =

0.

C e t t e é q u a t i o n est précisément la m ê m e que celle à laquelle j e suis d a n s la n o t e s u r les covariants etc. c i - d e s s u s citée.

parvenu

La quantité fis est liée au

module k p a r la relation

On p e u t i n t r o d u i r e M au lieu d e N

dans l'équation en k,

et en combinant les

f o r m u l e s p r é c é d e m m e n t o b t e n u e s , on t r o u v e dy

__

j//i4+

¿r

ou 2 7 ( l + 14fc' + * T

m = 1 '

m

ou c e qui r e v i e n t à la m ê m e chose, k = D e l'équation e a t r e k

+ yro-f-3

^ „ i W ^ - l )

=

0.

et # on déduit facilement la relation /s 4 —34/i 2 -j-l

—

et en substituant dans cette équation pour # 1

1—34/c'-f fc _ — 3(l-fl4/i2+/c4) —

3 sa valeur on obtient J_ s '

ce qui est e n c o r e u n e f o r m e de la relation e n t r e k et a?.

2.

Cuyley,

réduction

des intégrales

elliptiques.

19

II. On peut obtenir les résultats qui viennent d'être déduits de la formule de Jacobi,

en prenant pour point de départ la transformation d'une

du quatrième ordre dans sa f o r m e

canonique.

J e suppose

d'abord

fonction que

l'on

a identiquement (a, b, c, d, é){x,

y)* == (Ix + ,ity) 4 -j- (l'x =

- f /n'y)* + 60 (ix - f ,uy)\l'x

-f

n'y?

xt+yi+Mxlyl

Cela étant j e pose la' — l'/x — A,

et j e f o r m e les covariants des d e u x

ex-

pressions, on obtient par la propriété fondamentale de c e s fonctions 1

=

A\

l-j-302),

J

=

A6 (6 —

U

=

H

=

03), +

sP(Ôx*+0yt-\-

i-S62xiy\),

posant

v

Tir. on aura pour déterminer 8, l'équation ï i ± m (O—ey et pour déterminer

=

4 M

y t les équations 17 = l 1 — Q 1 -J J T + f f î " =

x\+y\+Mx\y\, 4| ^i +

4| 1 XiT

36*

J e fais o b s e r v e r qu'en désignant p a r X un coefficient an c a r r é parfait, on obtient pour À l'équation =

E n effet le cubicovariant # tiquement (1 — 9XU—

égal

à

zéro,

54X J)^ 3

et

1 2 tel

que

U -f 6 l U

soit

o.

d'une fonction qui est un c a r r é parfait est i d e n le

cubicovariant

de

la

fonction

V-\-6XH

on a donc pour k l'équation qui vient d'être 3 *

est

proposée;

20

2.

Cayley,

réduction

des intégrales

elliptiques.

cela posé, en observant que Tï v-> v

1±H°1 J'i + W

o- o0~xOi-,

H _

on a u r a pour u n e des valeurs de l , l

=

'

6J

1 + 36/' '

et en effet c e l t e valeur d o n n e 1 _ 11i J c e qui est l'équation en 6.

_

(i-f-3ey'

o

'

Cela étant, j e pose i -

— L ± . GJ

'

alors a>3 s e r a u n e r a c i n e de l'équation ffi3 — M(Ja — 1) =

on obtient

0,

2

^

=

1 + 30 TTflS-'

et d e là m Soient

c52 les d e u x autres racines de l'équation en cvl -j- w, —

on a u r a

— û? 3 , ro

c e qui d o n n e ([w, u , ,— - « ,U);Y ,)2

^

3

'. - • =

—•

On p o u r r a d o n c é c r i r e 6

=

et au m o y e n d e s v a l e u r s de U, H on obtient, par une t r è s - s i m p l e

réduction,

les trois équations suivantes IH-œJU

=

( ^ - f f i O J ^ + v O

IH — œ2JU

=

—(a>2 — (û3)J(xl

I H - w

3

J U =

-

2

,

—ylf,

K~»,)("»,-»,)

dont d e u x quelconques donnent les v a l e u r s d e a ^ ,

J.W jv,

f ainsi on a obtenu la

2.

Cayley,

réduction

des intégrales

21

elliptiques.

solution complète du problème de la réduction de la fonction (a,b, c, d, e)(x,

yf

à la forme canonique. J e fais observer que ces équations montrent a posteriori pressions IH— V vï/0 '

TT

H (/)

formule dans laquelle j e suppose qu'on ait fait y —

1 , de manière que U,

soient des fonctions ralionelles et entières de la seule variable x, U = H —

(a, b, c, d, e) (x, l)4 (ac — b\ l(ad

— bc), | ( a e - f 2 b d - 3c 2 ) ,\{be-cd),

H

savoir ^

c e - d2f(x}

1 )4,

24

2.

Cayley,

réduction

des intégrales

elliptiques.

alors on aura

V— J4

zl

- 4?

et

,

dz = E n vertu de la théorie de

= — V /(«J b, c, d, e)\T,\f Ddti—HdU

Jacobi, VdH—HdU

est un f a c t e u r c o n s t a n t ; on trouve en effet t r è s - f a c i l e m e n t d ^ ù l'on déduit la

Mdx, où M UdH—HdU=2 (i>dx)

est de la forme

formule (iz

2dx

et j e fais o b s e r v e r que l'intégrale du premier m e m b r e s e r a m è n e

immédiate-

P ment à une forme qui ne contient que la seule L o n d r e s 9 avril

1856.

constante

M. —

- ^ -

25

3.

Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. ( V o n Herrn

Es

H. Helmholtz.)

sind bisher Integrale der hydrodynamischen Gleichungen fast nur

unter der Voraussetzung gesucht worden, dafs die rechtwinkligen Componenten der Geschwindigkeit jedes Wassertheilchens gleich gesetzt werden können den nach den entsprechenden Richtungen genommenen Differentialquotienten einer bestimmten Function, welche wir das Geschwindigkeitspotential wollen.

Allerdings hat schon Lagrange

nennen

* ) nachgewiesen, dafs diese" V o r -

aussetzung zulässig ist, so oft die Bewegung der Wassermasse unter Einflüsse von Kräften entstanden ist und fortgesetzt w i r d , Differentialquotienten eines Kräflepotentials

dem

welche selbst als

dargestellt werden können, und

dafs auch der Einflufs bewegter fester Körper, welche mit der Flüssigkeit in Berührung kommen,

die Gültigkeit jener Voraussetzung nicht abändert.

Da

nun die meisten mathematisch gut definirbaren Nalurkräfte als die Differentialquotienten eines Kräftepotentials dargestellt werden k ö n n e n , so fallen auch bei weitem die meisten mathematisch zu behandelnden Fälle von Flüssigkeitsbewegung in die Zahl derer, bei denen ein Geschwindigkeitspotential exislirt. Indessen hat schon Euler **) darauf aufmerksam gemacht, dafs es doch auch Fälle von Flüssigkeitsbewegung giebt, in denen kein Geschwindigkeitspotential existirt, z. B. die Drehung einer Flüssigkeit um eine A x e mit gleicher Winkelgeschwindigkeit aller Theilchen.

Zu den Kräften, welche solche Arten

von Bewegungen hervorbringen können, gehören magnetische Kräfte, welche auf eine von eleclrischen Strömen

durchlaufene Flüssigkeit w i r k e n , und n a -

mentlich die Reibung der Flüssigkeitstheilchen an einander und Körpern.

an

festen

Der Einflufs der Reibung auf Flüssigkeiten konnte bisher noch nicht

mathematisch definirt w e r d e n , und doch ist derselbe in allen Fällen, w o

es

sich nicht um unendlich kleine Schwingungen handelt, sehr g r o f s , und bringt *) **)

Mécanique analytique.

Paris 1 8 1 5 .

T. II, p. 3 0 4 .

Histoire d e l'Acad. d e s S c i e n c e s d e Berlin.

Journal für Mathematik Bd. LV. Heft 1.

A n . 1 7 5 5 , p. 2 9 2 . 4

26

3.

Helmholtz,

über Integrale

der hydrodynamischen

Gleichungen.

die bedeutendsten Abweichungen zwischen der Theorie und der Wirklichkeit hervor.

Die Schwierigkeit

diesen

Einflufs zu definiren, und Melhoden zu

seiner Messung zu finden, beruhte zum grofsen Theile wohl auch darin, dafs man keine

Anschauung von den Formen

Reibung in der Flüssigkeit hervorbringt.

der Bewegung

hatte, welche

die

In dieser Beziehung schien mir d a -

her eine Untersuchung der B e w e g u n g s f o r m e n , bei denen kein Geschwindigkeitspolential existir!, von Wichtigkeit zu sein. Die folgende Untersuchung wird nun lehren, ein

Geschwindigkeitspotential

existirt,

die

kleinsten

dafs in den Fällen, wo Wassertheilchen

keine

Rotationsbewegungen haben, wohl aber ist wenigstens ein Theil der W a s s e r theilchen in Rotation begriffen in solchen Fällen, wo kein

Geschwindigkeits-

potential existirt. Wirbellinien g e z o g e n sind,

nenne ich Linien, welche durch die Flüssigkeilsmasse so

dafs ihre Richtung überall mit der Richtung der

augenblick-

liche« Rotationsaxe der in ihnen liegenden Wassertheilchen zusammentrifft. Wirbelfäden

nenne ich Theile der Wassermasse, welche man dadurch

aus ihr herausschneidet, dafs man durch alle Puñete des Umfangs eines u n endlich kleinen Flächenelements die entsprechenden Wirbellinien construirt. Die Untersuchung ergiebt nun, dafs wenn für alle Kräfte, welche auf die Flüssigkeit wirken, ein Kräftepotenlial existirt 1)

kein Wassertheilchen in Rotation kommt, welches nicht von A n f a n g an in Rotation begriffen ist.

2)

Die Wassertheilchen,

welche zu irgend einer Zeit derselben

Wirbel-

linie angehören, auch indem sie sich f o r t b e w e g e n , immer zu derselben Wirbellinie gehörig bleiben. 3)

Dafs das Product aus dem Querschnitte und der Rotationsgeschwindigkeit eines unendlich dünnen Wirbeifadons längs der ganzen Länge des F a d e n s constant ist, und auch bei der Fortbewegung des Fadens d e n selben W e r t h behält.

Die Wirbelfäden müssen

deshalb innerhalb

Flüssigkeit in sich zurücklaufen, oder können nur

der

an ihren Grenzen

endigen. Dieser letztere Satz macht es möglich die Rotationsgeschwindigkeiten zu bestimmen, wenn die Form der betreffenden Wirbelfäden zu verschiedenen Zeiten g e g e b e n ist.

F e r n e r wird die Aufgabe gelöst, die Geschwindigkeiten

der Wassertheilchen für einen gewissen Zeilpunkt zu bestimmen, wenn

für

diesen Zeitpunkt die Rotationsgeschwindigkeiten gegeben s i n d ; nur bleibt d a -

3.

Helmholtz,

über

Integrale

der hydrodynamischen

Gleichungen.

27

bei eine willkührliche Function unbestimmt, w e l c h e zur Erfüllung der G r e n z bedingungen v e r w e n d e t werden Diese

letztere

Aufgabe

mufs. führt

zu

einer

merkwürdigen

Analogie

der

W i r b e l b e w e g u n g e n des W a s s e r s mit den electromagnetischen W i r k u n g e n e l e c t r i scher Ströme. bewegter

W^enn nämlich in einem

Flüssigkeit

gefüllten

sind die Geschwindigkeiten

Räume

einfach ein

zusammenhängenden*),

Geschwindigkeitspotential

der W a s s e r t h e i l c h e n

mit

existirt,

gleich und gleichgerichtet den

K r ä f t e n , w e l c h e eine g e w i s s e Verlheilung magnetischer Massen an der O b e r fläche

des Raums auf ein magnetisches Tbeilchen

Wenn

dagegen in einem solchen R ä u m e W'irbelfäden

Geschwindigkeiten

der W a s s e r t h e i l c h e n

im I n n e r n

ausüben

existiren,

würde.

so sind

gleich zu setzen den auf ein

magne-

tisches Theilchen ausgeübten Kräften g e s c h l o s s e n e r electrischer S t r ö m e , theils durch die W i r b e l f ä d e n im Innern der M a s s e , theils in ihrer fliefsen,

die

welche

Oberfläche

und deren Intensität dem Product aus dem Querschnitt der

Wirbel-

fäden und ihrer Rotationsgeschwindigkeit proportional ist. Ich w e r d e mir deshalb im Folgenden öfter erlauben, die A n w e s e n h e i t von magnetischen Massen oder electrischen Strömen zu durch für die Natur von Functionen druck zu g e w i n n e n ,

die

die Polentialfunclionen,

fingiren,

blos um d a -

einen kürzeren und anschaulicheren A u s -

eben solche Functionen der Coordinaten s i n d , oder

Anziehungskräfte,

Strömen für ein magnetisches Theilchen Durch diese S ä t z e wird

welche jenen

Massen

wie oder

zukommen.

die R e i h e der B e w e g u n g s f o r m e n ,

w e l c h e in

der nicht behandelten K l a s s e der Integrale der hydrodynamischen Gleichungen verborgen

sind,

wenigstens

vollständige Ausführung

für die Vorstellung z u g ä n g l i c h ,

der Integration

nur in w e n i g e n

wenn auch

einfachsten

die

Fällen

möglich ist, wo nur ein oder zwei geradlinige oder kreisförmige W i r b e l f ä d e n vorhanden

sind in unbegrenzten oder durch eine unendliche E b e n e

begrenzten

Wassermassen.

theilweis

E s läfst sich n a c h w e i s e n , dafs geradlinige parallele W i r b e l f ä d e n in e i n e r W a s s e r m a s s e , die nur durch senkrecht g e g e n die F ä d e n gestellte E b e n e n be— * ) Ich nehme diesen Ausdruck in demselben S i n n e , in w e l c h e m Riemann (dieses Journal B d . L I V , S. 1 0 8 ) von einfach und mehrfach zusammenhängenden Flächen spricht. Ein « f a c h zusammenhängender Raum ist danach ein solcher, durch den n — 1 , aber nicht mehrere Schnittflächen gelegt w e r d e n k ö n n e n , ohne den Raum in zwei vollständig g e trennte Theile zu trennen. E i n Ring ist also in diesem Sinne ein zweifach z u s a m m e n hängender Raum. Die Schnittflächen müssen ringsum durch die L i n i e , in der sie die Oberfläche des Raums schneiden, vollständig begrenzt sein.

4*

28

3.

Hclmholtz,

über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen.

grenzt ist, um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt rotiren, wenn man zur Bestimmung dieses Punktes, die Rotationsgeschwindigkeit gleich der Dichtigkeit einer Masse betrachtet. Die Lage des Schwerpunkts bleibt unverändert. Bei kreisförmigen Wirbelfäden dagegen, die alle auf einer gemeinsamen Axe senkrecht stehen, bewegt sich der Schwerpunkt ihres Querschnitts parallel der Axe fort. §. 1. Es sei innerhalb einer tropfbaren Flüssigkeit in dem Punkte, der durch die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z bestimmt ist, zur Zeit t der Druck gleich p, die den drei Coordinataxen parallelen Componenten der Geschwindigkeit u , V, w , die Componenten der auf die Einheit der flössigen Masse wirkenden äufseren Kräfte X, Y und Z, und die Dichtigkeit, deren A e n derungen als verschwindend klein angesehen w e r d e n , gleich h , so sind die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Flüssigkeit: i dp _ du du 1 du du X -j- w ~df h dx dx ^Vdy Hz 1 dp _ dv do 1 do do Y + u -J- tv h dy dt äy dx ~dz (1) 1 dp dw dw dw Z -}- w h 'dz ~dt dx ~dz

+ «• +«

0

' du . do . dio finr riv 1' dz dx '1 dy

Man hat bisher fast ausschliefslich nur solche Fälle behandelt, wo nicht nur die Kräfte X, Y und Z ein Potential V haben, also auf die Form e e ©

bracht werden können

sondern auch aufserdem kann, so dafs Ob.)

«

ein Geschwindigkeitspotei$al dq> = dx'

.

dcp "äy"'

w

y

gefunden

werden

dq>

Dadurch vereinfacht sich die Aufgabe aufserordentjich, indem die drei ersten der Gleichungen (1.) eine gemeinsame Integralgleichung geben, aus der p zu finden ist, nachdem man cp der vierten Gleichung gemäfs bestimmt hat, welche in diesem Falle die Gestalt annimmt: dx8

r

dy% "r" dz1

~

'

ö.

Helmhollz,

also mit der

über Integrale

bekannten

der hydrodynamischen

Gleichungen.

Differentialgleichung für das Potential

29

magnetischer

Massen übereinstimmt,

w e l c h e aufserhalb des Raumes l i e g e n ,

Gleichung gelten soll.

Auch ist b e k a n n t , dafs j e d e Function >

du ~dz

dw dx

dw Hz

dv dx

__ du du dy

—

c

>

* ) In mehrfach z u s a m m e n h ä n g e n d e n Räumen kann cp mehrdeutig w e r d e n , und für mehrdeutige Functionen, die der obigen Differentialgleichung G e n ü g e thun, gilt der F u n damentälsatz von Green's Theorie der Electricilät (dieses J o u r n a l Bd. XLIV, S. 3 6 0 ) nicht, und demgemäfs auch ein g r o f s e r Theif der aus ihm herfliefsenden Sätze nicht, welche Gauß upd Green für die magnetischen Potentialfunctionen aufgestellt h a b e n , die ihrer Natur nach immer eindeutig sind.

30

3-

Helmholtz}

über Integrale

und e r h a l t e n dann f ü r P u n k t e , von x-, 9, j v e r s c h i e d e n

d e r e n C o o r d i n a t e n x,

Gleichungen.

y,

sr unendlich

wenig

sind:

« =

A-\- a(x

V =

B-\-y(x

— r)-f

C - f ß(x

— y ) - f a(y

w = oder wenn wir

der hydrodynamischen

/ ( y -

-l ß(z

-

b{y — .

wo links die Integration über den ganzen Raum S, Oberfläche von S, werden mufs.

Gleichungen.

rechts über die ganze

deren Flächenelement mit dio bezeichnet ist, ausgedehnt

Ist nun

an der ganzen Oberfläche gleich Null, so mufs

auch das Integral links gleich Null sein, was nur der Fall sein k a n n , wenn im ganzen Räume jS" J!*L — in.

=

dy

dx also gar keine Bewegung

— dz

o '

des Wassers stattfindet.

J e d e Bewegung

begrenzten Flflssigkeitsmasse in einem einfach zusammenhängenden

einer

Räume,

die ein Geschwindigkeitspotential hat, ist also nothwendig mit einer Bewegung der Oberfläche der Flüssigkeit verbunden. fläche, wegung

d. h. der

vollständig

gegeben,

eingeschlossenen

gäbe es zwei Funktionen

Ist diese Bewegung der

so ist dadurch auch die ganze

Flüssigkeitsmasse

(pt und

Ober-

eindeutig bestimmt.

BeDenn

welche gleichzeitig im Inneren

des

Raumes & der Gleichung dx*

T

dy* ' dz* ~

"

und an der Oberfläche die Bedingung dn

t

erfüllten, wo ip die durch die gegebene Bewegung der Oberfläche bedingten W e r t h e von

bezeichnet, so würde auch die Function ((p — (plt) die erstere

Bedingung im Innern von S erfüllen, an der Oberfläche aber dn

~

V

sein, woraus wie eben gezeigt ist, auch für das ganze Innere von S folgen würde d((pt—tpu) _ ¿(V—V») _ djcp, — ?,,) _ dx dy dz Beiden Functionen würden also genau dieselben Geschwindigkeiten ganzen Innern von $

auch im

entsprechen.

Also nur in dem Falle,

w o kein Geschwindigkeitspotential

existirt,

können Drehungen der Wasserlheilchen, und in sich zurücklaufende Bewegungen

Heimholt

z,, über Integrale

der hydrodynamischen

Gleichungen.

33

innerhalb einfach zusammenhängender ganz geschlossener Räume vorkommen. W i r können daher die Bewegungen, denen ein Geschwindigkeitspotenlial nicht zukommt, im Allgemeinen als Wirbelbewegungen

characterisiren.

§• 2. W i r wollen zunächst die Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeiten i,

rj und 'Q während

der Bewegung bestimmen, w e n n nur K r ä f t e

denen ein Kräftepolential zukommt.

Ich bemerke zunächst im Allgemeinen,

dafs wenn xp eine Function von x, y, die letzteren vier Gröfsen um 8x,

wirken,

dy,

z, t ist, und um 8y 8z

wächst, während

und dt wachsen, wir haben

Soll nun die A e n d e r u n g von ip während des Zeittheilchens dt f ü r ein

con-

stant bleibendes Wassertheilchen bestimmt w e r d e n , so müssen wir den G r ö fsen 8x,

8y

und 8z

dieselben W e r t h e g e b e n , welche sie für das bewegte

Wassertheilchen haben, nämlich

8x = u8t,

8y — v8t,

dz =

3V> _ dt ~

rfV i dtp | _ rfV» i ~df~tu~dl~r dy ^W

w8t

und erhalten

Das Zeichen

ch

dz

- w e r d e ich im Folgenden immer nur in dem Sinne g e b r a u -

chen, dafs ^ j j - d t die A e n d e r u n g

von yj während

der Zeit dt

für

dasselbe

Wassertheilchen bezeichnet, dessen Coordinaten zu A n f a n g der Zeit dt x, nnd z

y

waren. Indem wir aus den ersten der Gleichungen ( 1 . ) mit Hülfe von Diffe-

rentiationen die Gröfse p eliminiren, und dabei die Bezeichnungen der G l e i chungen ( 2 . ) einführen, und für die Kräfte X,

Y, Z

die Gleichungen

als erfüllbar betrachten, erhalten wir folgende drei Gleichungen:

(80

£ du öl dt ~ *~dx -H dt] (~dfS -~~- è dx -H dt dt

oder auch Journal für Mathematik Bd. LV. Heft 1.

p dw ~~ * dx

du dy

. und ihre Resultante q selbst gleich Null sind, oder wenigstens ( 2 b.)

£ c o s a -\-rjcosß~\-

'Qcos/

=

rf,

d p

-

1

, a u s g e d e h n t , und

P^fff^dadbdc,

r\,

£ in

3.

Helmholtz,

über Integrale

der hydrodynamischen

Gleichungen.

39

wo k eine willkührliche Funclion von a, b, c ist, und die Integration den äufseren, & umschüefsenden Raum auszudehnen ist.

über

Die willkührliche

Function k mufs so beslimmt werden, dafs die Grenzbedingungen erfüllt w e r den, eine A u f g a b e , deren Schwierigkeit ähnlich denen über electrische und magnetische Vertheilung ist. Dafs die in ( 4 . ) gegebenen W e r t h e von u,

v und w die Bedingung

( l . ) 4 erfüllen, ergiebt sich gleich durch Differentiation mit Berücksichtigung der vierten der Gleichungen (5.)Ferner findet man durch Differentiation der Gleichungen ( 4 . ) mit B e rücksichtigung der ersten drei von ( 5 . ) , dafs jh dz,

dw_ ___ 9-c s dy —

d fdL . dM dx L dx "> dy

dw _ dx

du_ dz

d__ rdL dy L dx

du _ dy

do_ dx

2

„'r

d dz

VdL L dx

. dN~l dz J

, dM_ , dN'1 dy ' dz J , dM * dy

, ^Vn * dz. J

Die Gleichungen ( 2 . ) sind also ebenfalls erfüllt, wenn nachgewiesen kann, dafs im ganzen Räume ( 5 b.) v

werden

Sl dx

1

dy

1

dz

0.

%

Dafs dies der Fall sei, ergiebt sich aus den Gleichungen ( 5 a.) = oder nach partieller Integration

f=•kf/^-kfm-^"-

£=

Uih^'UfJVi^

Addiren wir diese drei Gleichungen und nennen das Flächenelement der O b e r fläche von S wieder dco, so erhalten wir dL , dM , dN = i /\t , . y . 1 , 0 + +"ST W (S.co9«+i7acos/9 + i0cosy)T(x), celles a u x q u e l l e s Jacobi d'Abel.

avait

A2n. 2

cp (x)

été conduit p a r

E n éliminant y des v a l e u r s de ar,

sont, à un f a c t e u r p r è s ,

la considération

du t h é o r è m e

a, on a u n e i n t é g r a l e

algébrique

rationnelle du second d é g r é des équations ( l . ) : (E,.D-EsDr?

=

4

- 2Ju«,) ( / / - 2 ( D , E , - '

r

D

e

-DrEr{H-2A0as)-DsEs{H-2A,ar)

E

r

) ;

2

et en éliminant y , y , c o n s i d é r é e s c o m m e d e u x v a r i a b l e s , des valeurs de a,,

ar,

at on obtient l ' i n t é g r a l e l i n é a i r e :

3.

Soit fix)

1

H0

0

O

«r

Hr

Dr

Er

«s

Hs

De

E,

at

Ut

Dt

Et

=

0.

u n e f o n c t i o n e n t i è r e du d e g r é n-\-i—1,

en d é s i g n a n t p a r c u n e quantité c o n s t a n t e -

f ( X r ) d X r )

posons:

— dv,

où t'-

n;

et

4. on aura

Brioschi,

intégration

des équations

ultra-elliptiques.

59

évidemment: fh_

J-,

i/à

j

f(jCr) (C — Xr)

r

1p'{Xr)

ou bien en posant: f(x) l'équation

=

3*p(x)-\-q'x)

suivante: do __ dz

^

~~~

xlrp{xr)

,qlç)_m

! (C — Xr)V'(Xr)

V(C)'

r

Or, en faisant: T F ^ W r ) '

=

*

1

v'(*r)

on a : Us =

c B ^ - K . . , ,

donc : £ dz

=

-

ip(c)

+

ci

"2

+ • • ' -f

)•

j Mais V,

est le coefficient de

descendantes de x,

dans le développement suivant les puissances

de l ' e x p r e s s i o n : v ~

ou le coefficient de i -

\ x -

Xr)lp'(Xr)

p(x)

;

y{x)

'

dans le développement de

rf» et p a r c e

__ r

' ^

/(g)

=

;

p a r

c o n s é (

luent:

.

que: f

p(x)

1

_

o

LÎJC —

r '

—

c)rp(x)

1

—

o,

on aura : du dz

f(0 tfi(c)

f

f(.r) ] l{x—c)ip{x)Jx-^

et: du dy

fjç) yip(c)YA

L a valeur ( 4 . ) de 1 p ( x ) nous 1

ryj(x)VA

_

~

4RVA0

r

(Ry + Sf-ÏA.tp'ix)

L {x —

£(xl

I

c)yW(x)VAjx-1

donne: Ry + S—2