Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 72 [Reprint 2021 ed.] 9783112601402, 9783112601396

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Journal für

die

reine und a n g e w a n d t e Iii

z w a n g l o s e n

Als

Fortsetzung

A.

L.

C

Mathematik. H e f t e n .

des

r e

von

1 1 e

gegründeten Journals herausgegeben

unter

Mitwirkung

der

Herren

Schellbach, Kummer, Kronecker, Weierstrass von

C.

W.

Borchardt.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Zweiundsiebzigster Band. In vier Heften.

B e r l i n , 1870. Druck und Verlag von Georg Reimer.

Inhaltsverzeichnis» des zweiundsiebzigsten Bandes.

Jt' ortgesetzte Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen von n Differentialen. Von Herrn R. Lipschitz in Bonn Seite Ueber die Bewegungsgleichungen der Elektricität Körper. Von Herrn Heimholte in Heidelberg

1

für ruhende leitende —

57

—

130

Beweis, dass eine für jeden reellen Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt. Von Demselben

—

139

Ueber Flächenabbildung.

. . .

—

143

. . .

—

152

—

176

—

255

—

263

.

—

285

Trägheits- und höhere Momente eines Massensystemes in Bezug auf Ebenen. Von Herrn Th. Reye in Aachen

—

293

Ueber einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz. Herrn G. Cantor in Halle

Von Herrn F. Eisenlohr in Heidelberg.

Bemerkungen zur Determinanten-Theorie.

Von Herrn Kronecker.

Von

Algebraische Untersuchungen aus der Theorie der elliptischen Functionen. Von Herrn Koenigsberger in Heidelberg ter

Bemerkungen zu der Abhandlung: „über hypergeometrische Functionen n Ordnung" in diesem Journal Bd. 71, S. 316. Von Herrn L. Fuchs in Greifswald ÖtD Ueber die partielle Differentialgleichung

=

. Von Herrn L. Schläfli

zu Bern Ueber Involutionen höherer Grade.

Von Herrn Emil Weyr in Prag.

.

IT

Inhaltsverteichniss

des %teeiundsiebsigsten

Bandes.

Einige allgemeine Sätze über ebene Curven and über Flächen mit Anwendungen auf Curven and Flächen zweiter and dritter Ordnung. Von Herrn Joerres zu Ahrweiler Seite 327 Coarbure en an point multiple d'ane surface.

Par M. L. Painvin & Lyon.

Ueber Singularitäten der allgemeinen Fläche n Rudolf Sturm in Bromberg

,er

Ordnung.

— 340

Von Herrn — 350

Beweis der Hermitesehen Verwandlangstafeln für die elliptischen Modularfunetionen. Von Herrn L. Schläfii in Bern — 360 Ueber die Sfetnerschen Sätze von den Doppeltangenten der Curven vierten Grades. Von Herrn Geiter in Zürich

— 370

Fortgesetzte Untersuchungen in Betreff* der ganzen homogenen Functionen von it Differentialen. (Von Herrn R. Liptchiiz in Bonn.)

M i . einer jeden ganzen homogenen Function oder Form von n Differentialen correspondirt ein bestimmtes isoperimetrisches Problem, bei dem die in der Form vorkommenden Variabelen als abhängig von einer independenten Yariabelen aufgefasst werden. Daher correspondirt mit der Form anch das entsprechende System von isoperimetrischen Differentialgleichungen Die vollständige Integration desselben lehrt ein System von Functionen der in Rede stehenden abhängigen Variabelen kennen, welche, an die Stelle der ursprünglichen Variabelen als neue Variabele in die gegebene Form substituirt, eine Form von bemerkenswerther Beschaffenheit hervorbringen. Wegen der Aufstellung dieses Systems von neuen Variabelen und wegen der Begründung verschiedener Thatsachen, die bei der Entwicklung des Folgenden vorausgesetzt werden, erlaube ich mir auf einen früheren Aufsatz zu verweisen*). Da für zwei Formen, die durch eine beliebige Substitution in einander transformirt werden können, die bezeichneten, sich gegenseitig entsprechenden Systeme von neuen Variabelen durch homogene lineare Gleichungen mit constanten Coefficienten verbunden sind, so darf man bei jeder der beiden Formen diese neuen Variabelen als Normalvariabelen, und die durch Einführung derselben entstehende Form als Normallypus der betreffenden Klasse von Formen ansehen. Das Studium des Normaltypus bildet dann einen sachgemässen Ausgangspunkt für das Studium der Klasse von Formen. Zur Erforschung der Eigenschaften des Normaltypus liefern diejenigen Betrachtungen ein geeignetes Hülfsmittel, welche Hamilton und Jacobi über die isoperimetrischen Probleme angestellt haben. Denselben kann man nämlich *) Bd. LXX, pag. 71. Joorna] für Mathematik Bd. LXXII. Heft 1,

1

2

Lipachií*,

über gome homogene Functionen von n Differentialen.

unter den obwaltenden Umständen eine solche Wendung geben, dass ihr Resultat die Darstellung des vollständigen Differentials einer ganzen homogenen Function der Normalvariabelen wird, welche mit dem Normaltypus der betreffenden Form nahe zusammenhängt. Die Anwendung dieses Resultats führt zu der Auffindung allgemeiner Eigenschaften des Normaltypus, und demnächst zu einer sehr einfachen Umformung der zweiten Variation für das zugehörige isoperimetrische Problem. Bei jeder Form des zweiten Grades von n Differentialen giebt es eine zu derselben covariante quadrilineare Form, welche darüber entscheidet, ob die gegebene Form in eine Form mit conslanten Coefficienten transformirt werden kann oder nicht; die quadrilineare Forin verschwindet im ersteren Falle identisch, im zweiten Falle nicht. Ausser dieser quadrilinearen Form kann man eine zweite quadrilineare Form aufstellen, die ebenfalls die Beschaffenheit einer Covariante hat, und dann den Quotienten der ersten quadrilinearen Form durch die zweite quadrilineare Form bilden. Die bezeichneten allgemeinen Eigenschaften des Normaitypus gestatten nun, denjenigen Begriff, den Riemann als die E r weiterung des Begriffs des Gaussischen Krümmungsmasses in die Theorie der quadratischen Formen eingeführt hat. durch den Quotienten der beiden quadrilinearen Formen explicite analytisch darzustellen. Bei einer gewissen, von Riemann angegebenen, speciellen Form von n Differentialen wird jener Quotient gleich einer Conslante. Indem ich nun für diese specielle Form den Normaitypus wirklich bildete, und denselben mit dem allgemeinen Normaltypus einer quadratischen Form von zwei Differentialen verglich, bemerkte ich die Uebereinstimmung von gewissen Merkmalen, und dies bewog mich, alle Klassen von quadratischen Formen, welchen diese Merkmale gemeinsam sind, als ein Geschlecht von Formen zusammen zu fassen. Unter den Eigenschaften dieses Geschlechtes erwähne ich die eine, dass. wenn man den Quotienten der beiden quadrilinearen Formen durch eine gewisse Substitution so umwandelt, dass der Zähler und der Nenner Formen von nur zwei Systemen independenter Differentiale werden, der Quotient eine von der Wahl dieser Differentiale unabhängige Grösse werden muss. Und es gilt auch der umgekehrte Satz, dass, wenn der für eine gegebene Form gebildete Quotient der beiden quadrilinearen Formen durch die betreffende Substitution in eine von den Differentialen unabhängige Grösse abergeht, die gegebene Form nothwendig dem definirten Geschlecht von Formen angehört. Hieraus ergiebt sich die Folgerung, dass eine beliebig gegebene Form in die erwähnte Riemannsche Form transformirt werden kann oder nicht, je nachdem

Lip schilt,

3

über ganze homogene Functionen von n Differentialen.

der Quotient der beiden qoadrilinearen Formen ohne eine besondere Voraussetzung über die eingehenden Variabelen und Differentiale gleich einer Constante wird, oder nicht. Einer jeden gegebenen Form des zweiten Grades von n Differentialen ist immer eine lineare partielle Differentialgleichung der «weiten Ordnung zugehörig, die bei einer gewissen Form in die Laplacesehe gleichung übergeht.

partielle Differential-

Aus den angedeuteten allgemeinen Gesichtspunkten ergiebt

sich eine Eigenschaft dieser Differentialgleichung, und diese Eigenschaft liefert für gewisse Formen, zu denen auch die erwähnte

Riemannsebe Form gehört, ein

Integral der partiellen Differentialgleichung, das als eine Verallgemeinerung des Potentials betrachtet werden kann.

Erste Abthelliuig. 1. Es bezeichne,

wie in der früheren Arbeit, f(dx)

Grades von den n Differentialen dx„, beliebig

abhängen,

und

identisch verschwindet. Zahlen von 1 bis n.

ptm

eine Form des

deren Coefficienten von den Variabelen xt

bei der die

d*f(dx) -g-j—— | = J ödxaodxt I

Determinante

nicht

Die Zeiger a, 6, c, . . . durchlaufen stets die Reihe der

Zu der Form f{dx)

gehört das isoperimetrische Problem,

die Variabelen x„ in der Weise als Functionen einer independenten Variabele t zu bestimmen, dass die erste Variation des zwischen festen Grenzen

ge-

nommenen Integrals

verschwindet.

Setzt man . w )

( 2 J

= x'a,

und bildet die vollständige Variation

-

i

/

=

I df(?Q_ f Vöü

dMiOA

dxa dT-/Jx'

, +

q

dg. dt

so entsteht das System der isoperimetrischen Differentialgleichungen

cq ^

W

dx«

—dt

d

fW - n dx~ ~ u

4

Lipichitz,

über gante homogene Functionen von n Differentialen.

Dasselbe sei in der Weise vollständig integrirt, dass die Variabelen x„ für den Werth t = U> die Bedingungen xa = xt (0], x„ = xt (0) erfüllen. Alsdann haben die Grössen xa die Eigenschaft, reine Functionen d e r » Elemente x b (0) und der » Elemente (t — t u ) = *» z u sein*). Indem man jetzt die n Elemente x b (0) als constant, die n Elemente «„ als veränderlich betrachtet, werde die Form f(dx) durch die Einfährung der neuen Variabelen ub transformirt, so dass die Gleichung (4.) f(dx) = h=nv)

= /;,(«),

und die Gleichung (11.) verwandelt sich in die Gestalt (12.)

=

Diese Gleichung, in welcher Elementen xt

und xt(0)

die Grössen wc und r c

als abhängig von

aufgefasst w e r d e n , ist- das W e r k z e u g ,

den

welches zum

Studium des Normaltypus (p[du) gebraucht werden wird.

3. Da die Gleichung (7.) aus der Gleichung (5.) entsteht, indem jedes du,, durch u» und gleichzeitig jedes dxt

durch r„ ersetzt wird, so erhält man

aus jeder Relation zwischen den Differentialen dxt indem man c 4 für x„ und

für dut substituirt.

und rf«b eine neue Relation, Das Ergebniss einer solchen

Substitution von ut statt dut in einem Ausdruck F(dtt) zeichnet werden.

Dann

möge mit [F(rf«)] b e -

folgt aus der Definilionsgleichung des

Normaltypus

(4.), und der Gleichung (10".) die Gleichung (13.)

A ® W o ( « 0 = [»(*•)]•

Dieselbe liefert einen Ausdruck für die Ableitung ^ Q ^ , wenn als

man

ip{du)

abhängig von den 2n Elementen ua und du,, betrachtet, und die letztern

durch die Gleichungen rfu, =

bestimmt denkt,

Zu einem anderen A u s d r u c k e führt die Gleichung (12.). selben die Elemente £„(0) als constant an, so wird =

und deshalb (15.)

*%(«) _ dut

t

d f ( t ) dxt da, dua

Nimmt man in d e r -

8

Lipschit%,

über gante homogene

Functionen

von n

Differentialen.

Nun folgt aas ( 4 . ) unmittelbar dq>(du) _ ^ df(dx) t ddx» ddu.

dxh du.

und vermöge der vorhin gemachten l

Bemerkung df(c) dxt 2 dua J b dvt

ddu. ddtf

E s ist daher ¿/•„oo du.

(16.)

r ^ w i L ddua J

=

und wegen ( 1 4 . ) ergiebt sich (17.) Indem man die so eben erhaltenen Gleichungen nach « b partiell differentiirt, und beachtet, dass die Indices a und 6 mit gleichen Rechten auftreten, so bekommt man die neuen Relationen

(18.)

r a V W ] , r f y W i IL du.dui. J Lduaddui,J i r a y w i L du. dut J

und

Wenn Elemente

man

ar a (0) als

dva nach

und """ xa

dut und

=

variabel ansieht, e

)

nach

(12.)

ar,(0) genommenen

=

0

' '

r o V W L öduaddui

sowohl

-1 J

die Elemente

so kommen für die ersten

x

Denselben

J

L duaditi

in der Gleichung

der Function /(du) I f"d>Wl , r f f j d u ) -I \-ddua dut I L ö dua d dut J 1

¿'Yo ( "1) = |