Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 73 [Reprint 2022 ed.] 9783112623725

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Inhaltsverzeichniss des dreiundsiebzigsten Bandes.

U e b e r die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten. Von Herrn G. Frobenius. . . . Seite 1 Ueber die pendelnde Bewegung einer Kugel unter dem Einflüsse der inneren Reibung des umgebenden Mediums. Von Herrn Oskar Emil Meyer in Breslau — 31 Ueber einfache singuläre Punkte linearer Differentialgleichungen. Von Herrn L. Pochhammer — . 69 Notiz Uber die Herleitung der hypergeometrischen Differentialgleichung. Von D e m s e l b e n — 85 Zusatz zu dem Aufsatze „Ueber einige Sätze von Steiner und ihren Zusammenhang mit der zwei und zweigliedrigen Verwandtschaft der Grundgebilde ersten Grades." Von Herrn Eduard Weyr in Prag. . . . — 87 Ueber den Ausdruck des Tetraeders durch die Coordinaten der Eckpunkte. Von Herrn R. Baltzer in Giesscn — 94 Auszug aus einem Schreiben an den Herausgeber. Von Herrn H. Schubert in Potsdam — 96 Ueber diejenigen rationalen Substitutionen, welche eine rationale Umkehrung zulassen. Von Herrn Rosanes in Breslau — 97 Ueber die Druckkräfte, welche auf Ringe wirksam sind, die in bewegte Flüssigkeit tauchen. Von Herrn Ludwig Boltzmann in Graz. . . . — 111 Ueber Relationen zwischen hypergeometrischen Integralen n ' " Ordnung. Von Herrn L. Pochhammer — 135 Vibrationen eines Ringes in seiner Ebene. Von Herrn R. Hoppe. . . . — 158 Bemerkungen zu dem Aufsatze des Herrn Bischoff über die Tangenten algebraischer Curven im 56 s , ' n Bde. dieses Journals S. 16ti. Von H e r r n S. Gundelßnger in Tübingen — 171 Verallgemeinerung einiger Theoreme des Herrn Aronhold. Von D e m s e l b e n . — 175 Geometrische Theoreme. Bruchstücke ,aus den hintcrlassenen Papieren von C. G. J. Jacobi, mitgetheilt durch Herrn 0. Hermes Notiz über die Normalen einer Fläche des zweiten Grades. Aus den liinterlasseuen Papieren von F. Joachimsthal mitgetheilt durch H e r r n O.Hermes.

—

179

—

2ü7

IV

Inhaltsverzeichniss

des dreiundsiebtigsten

Bandes.

Die Jacobwche Erzeugungsweise der Flächen zweiten Grades. Von Herrn 0. Hermes Ueber eine Darstellung des Kreisbogens, des Logarithmus und des elliptischen Integrales erster Art durch unendliche Producte. Von Herrn Ludwig Seidel in München Note sur la surface du quatrième ordre douée de seize points singuliers et de seize plans singuliers. Far M. A. Cayley à Cambridge. . . . . Notiz zu dem Aufsatze: Beweis, dass eine fllr jeden reellen Werth von x durch eine trigonometrische Reihe gegebene Function f(x) sich nur auf eine einzige Weise in dieser Form darstellen lässt. Bd. 72, Seite 139 dieses Journals. Von Herrn G. Cantor in Halle Ueber eine eigentümliche Form von Functionen einer complexen Variabein und über transcendente Gleichungen, die keine Wurzeln haben. Von Herrn Ludwig Seidel in München Ueber die Form der Argumente der Thetafunctionen und über die Bestimmung von & ( 0 , 0 , . . . 0) als Function der Klassenmoduln. Von Herrn L. Fuchs in Greifswald Ueber die linearen Differentialgleichungen, welchen die Periodicitätsmoduln der ¿be/schen Integrale genügen, .und Uber verschiedene Arten von Differentialgleichungen für # ( 0 , 0 , . . . 0). Von D e m s e l b e n . . . . S*u d*u Zur Integration der Differentialgleichung -f= 0. Von Herrn F. E. Prym in Würzburg Solutions de quelques problèmes relatifs aux surfaces du second degré. Par M. H. Picquet Note über die acht Schnittpunkte dreier Oberflächen zweiter Ordnung. Von Herrn 0. Hesse in München Ueber die Hypothese der Parallelentheorie. Von Herrn R. Baitier in Giessen. Einige Bemerkungen über eine Determinante. Von Herrn Stern in Göttingen

Seite 209

— 273 — 292

— 294

— 297

— 305

— 324 — 340 — 365 — 371 — 372 — 374

Veber die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten. (Von Herrn

G. Frobeniu».)

Y on den unendlichen Reihen, deren allgemeines Glied das Product einer beliebigen Constante c„ und einer bestimmten Function einer complexen Variabein Fnx ist, sind, so viel ich weiss, ausser den Potenzreihen nur die, welche nach Kreisfunctionen, Iiugelfunctionen oder Cylinderfanctionen fortschreiten, bisher ausführlich behandelt worden*). Zwei andere Systeme von Functionen, welche etwas allgemeiner und reicher an Eigentümlichkeiten sind als die eben erwähnten, will ich irn folgenden untersuchen. Im ersten Beispiele werde ich für F„x das Product der ersten n Factoren eines unendlichen Productes, im zweiten den « ten Näherungszähler oder den « ten Näherungsnenner eines unendlichen Kettenbruchs wählen. §1. Sind o,), 0i, . . . constante Grössen, die für endliche Werthe des Index ebenfalls endlich sind, und ist P»x = 1,

. . («-«„_,),

pux = (x—a,,) (x-at).

so gelten die Recursionsformeln: Pn+lx + anPnx = xPnx,

+

=

=

1,...)-

Werden vom Gebiete der Variabein y die Punkte 0, a„, a ( , ... ausgeschlossen, und wird gesetzt /J T s = • P.+KJ' *) In der Theorie der Facultiitenreihen ist es noch immer nicht gelungen, die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Entwickelbarkeit einer Function zu finden. Journal für Mathematik Bd. LXXIII. Heft 1.

1

2

Fr oben int,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

so ergiebt sich aas diesen Formeln:

woraus folgt: Weiter lässt sich die Untersuchung nicht fähren, ohne dass über die Grössen «u, a t , . . . noch weitere beschränkende Annahmen gemacht werden. Ich werde daher zunächst voraussetzen, dass die Reihe 2 a y unbedingt convergent ist. Fällt x mit keinem der Werthe 0, a„, . . . zusammen, und werden die absoluten Beträge von x , a», a , , . . . mit cr„, « , , . . . bezeichnet, so ist, weil der absolute Betrag einer Summe nicht grösser ist als die Summe der absoluten Beträge,*)

Weil aber die Summe 2 a r convergent ist, so convergirt auch das Product

gegen einen endlichen von Null verschiedenen Werth g , und mithin ist für alle Werthe von » (1.) Pnx < gx\ In dieser Ungleichheit hat g für alle Punkte x eines um den Nullpunkt b e schriebenen Kreises denselben Werth. Unter den Grössen a,,, a , , . . . kann es, weil ihre Summe convergent ist, nur eine endliche Anzahl geben, deren absolute Beträge gleich | sind, falls es überhaupt solche giebt. Sei ai eine beliebige, deren absoluter Werth gleich dp irgend eine, deren absoluter Werth von $ verschieden ist. Dann wird auf demselben W e g e wie eben nachgewiesen, dass, wenn der von Null verschiedene endliche absolute Betrag des Ausdrucks

" ( i - ^ M i - i ) *) Von zwei complexen Grössen nenne ich diejenige die grössere, welche den grösseren absoluten Werth hat.

Frob enius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

3

mit h bezeichnet wird, für alle Werthe von n (2.)

Pnx > hx"

ist. Falls | von au, a , , . . . verschieden, ist h in dieser Ungleichheit für alle dem absoluten Betrage nach gleichen Werthe von x dieselbe Grösse. In einem von 0, a M . . . verschiedenen Punkte x liegt also für jeden Werth von n der Quotient

P x zwischen zwei bestimmten Grenzen, 30

deren untere nicht Null, und deren obere nicht unendlich ist. ich die beiden Functionensysteme P,tx,

P,x,

...

und

x", xx,

Daher nenne

...

für diesen Werth von x äquivalent und drücke ihre Aequicalenz aus durch die Formel (3.) P.x ~ af, welche gältig ist, so lange Pn x und x" von Null verschieden sind. Die Aequivalenz (3.) ersetzt die beiden Ungleichheiten (1.) und (2.). Die Anzahl derjenigen unter den Grössen o,,, o,, . . . , welche nicht kleiner sind, als eine beliebig angenommene Grösse (J, ist endlich, etwa gleich m. Hat das Product dieser m Grössen den Werth p, so ist für n^>m PnO < -^o". Wenn die Reihe 2e,xr nicht absolut divergent ist, so sei a grösser als Null und kleiner als der Radius ihres Convergenzkreises. Da dann alle Glieder der convergenten Reihe 2 c r a * kleiner sein müssen als eine gewisse Grösse q, so ist c n < Z ~ - Wählt man also Q < O, SO ist die Reihe Cp-ST^r

und mithin convergent.

Hieraus und aus der Aequi-

valenz (3.) folgt aber, dass für jeden von Oy, 0!, . . . verschiedenen Werth von x die beiden ¡leihen 2cyPyX

und

2cvxv

zugleich convergiren und divergiren. Sei am die letzte der Grössen o,„ a,, . . . , welche einen bestimmten Werth a hat. Dann ist 2*crPrx

=

c , P

r

x + P

m +

Aus dem eben bewiesenen folgt, dass die Reihe

, x 1 c

y

•

* M+1&

cy„vX

für jeden von

ö m + M o m + ! , . . . verschiedenen Werth von x zugleich mit 2LC,.XV convergent und divergent ist. Liegt also a innerhalb des Convergenzkreises der Reihe 1 *

4

Frobwius,

Entwickbmg in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

JEcrxr, so convergirt

P x

för x = am gegen einen endlichen Werth,

und das Prodoct von Pm+lx in diese Reihe ist gleich Null. Daher bricht 2crPvx für x = a ab nnd ist mithin convergent. Wenn aber a ausserhalb des Convergenzkreises der Reihe 2 c r x y liegt, so Ifisst sich aber das Verhalten von 2c„Pvx im Punkte a nichts allgemeines angeben*). Aus allen diesen Erörterungen ergiebt sich der Satz: Der Convergensbereich der Reihe SerPrx ist, wenn 2ar convergent ist, ein Kreis um den Nullpunkt, dessen Radius dem des Convergenzkreises der Reihe 2cyxr gleich ist. §.2. Seien c„, at, . . . , ... die absoluten Beträge von x, ai, . . . , cu, c,, . . u n d sei Q J = ( M - « „ ) ( f + « i ) . . . (!+«._,). Wenn für einen bestimmten Werth a von x, dessen absoluter Werth « ist, die Reihe 2crPrx convergirt, so gilt dasselbe von 2c,xv und also auch von 2yrQr£. Daher liegen alle Glieder der Reihe 2yvQra unterhalb einer bestimmten Grenze g, oder es ist Mithin ist Sind p, q, r drei positive Grössen und ist p > q, so ist auch P_ P+r q q+r Wenn also £ < a ist, so ist und daher

Oil < Qv a

(lY va/ 1

Ist nun o ' < « , so lässt sich eine bestimmte Zahl n von der Beschaffenheit angeben, dass dieser Ausdruck för alle Werthe von welche nicht grösser als a' sind, kleiner ist als eine beliebig angenommene Grösse e. Daraus iiiesst der Satz: Innerhalb eines um den Nullpunkt beschriebenen Kreises, dessen Radius *) Vergi. Gauss Werke, Band III, pag. 143.

Frobenius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

5

kleiner ist als der Contergensradhts der Reihe 2erPrx ist dieselbe in gleichem Grade convergent. Nach bekannten Sätzen' der Functionentheorie e r geben sich hieraus die wichtigen Folgerungen: 1) Die Reihe ScyPrx stellt innerhalb ihres Convergenzbezirkes eine stetige Function dar, welche sich, wenn a ein bestimmter Punkt im Innern dieses Bereiches ist, in eine nach ganzen positiven Potenzen von x—a fortschreitende convergente Reihe entwickeln lässt, also den Charakter einer ganzen Function hat. 2) Die Reihe kann differentiirt und integrirt werden, und zwar dadurch, dass die betreffenden Operationen an den einzelnen Gliedern ausgeführt werden. Wenn y einen von 0, a 0 , a,, . . . verschiedenen Werth hat, so folgt aus der Aequivalenz (3.) in § . 1 , dass die beiden Reihen 2-^rrr+l

y

und

2-,

" iV+.y

zugleich convergiren und divergiren. Haben aber k von den Grössen o » , ^ , . . . den Werth a , der im Convergenzbereiche der Reihe liegt, so ergiebt c Cti gV sich, wie eben, dass 2 "j? in der Umgebung von a endlich und stetig ist. Daher kann die Reihe in denjenigen unter den Punkten 4,, o,, welche innerhalb ihres Convergenzbereiches liegen, falls sie nicht endlich bleibt, nur so unendlich werden, wie eine rationale Function, und muss, weil die durch sie dargestellte Function eine analytische ist, die keine hebbaren Unstetigkeiten bietet, gegen den wahren Werth dieser Function convergiren. §.3. Ich nehme an, dass die Function f y ausserhalb des mit dem Radius Q um den Nullpunkt beschriebenen Kreises, den ich mit CQ bezeichnen will, den Charakter einer rationalen Function habe, beständig endlich sei und im unendlichen verschwinde. Wenn dann y ausserhalb CQ liegt und von 4,, a^... verschieden ist, x den sich im positiven Sinne um den Nullpunkt windenden Kreis CQ' (Q r o

(g-a.)(g-g»+Q...(x-o«) (g4-«-)CI+"»+0•••(I + «»)' ^ / g + « y - » (y— a m ~ ) ( y — f o — « » X > ? - « » + 0 - • • ( « ? — « . ) Vr—«' ' welcher Ausdruck, weil | + c < C » ? —« ist, bei wachsendem n unendlich klein P x wird. Daher nähert sich der Quotient -p—, wie auch aus den Betrachtungen *y des §. 1 folgt, der Grenze Null, und zwar für alle Punkte x des Kreises Cq' in gleichem Maasse. Mithin sinkt auch der Rest 1 /'fxdx Pnx 2niJ y — x Pny bei wachsendem n unter jeden angebbaren Werth herab, und es ist QC Xu " Pr+iV Wenn sich eine Function auf zwei verschiedene Weisen durch eine derartige Reibe darstellen Hesse, so würde sich durch Subtraction der beiden =

£

Darstellungen eine Entwicklung der Null ergeben, — „ y = 0, welche ausserry+i y halb des grösseren der Convergenzkreise der beiden gleichwerthigen Reihen convergirte. Multiplicirt man mit y (oder y—o„), und lässt man, was die Convergenz der Reihe erlaubt, y über alle Grenzen wachsen, so sieht man, dass 4, kleiner als jede beliebige Grösse, also gleich Null ist. Ebenso zeigt man, dass c,, c 2 , . . . sämmtlich verschwinden. Daher lässt sich fy nur auf eine einzige Weise nach diesen Functionen entwickeln. Wenn ferner die Reibe 2

p

" ^ ausserhalb der Curvc Cq convergirl,

ausserhalb deren von den Punkten a,,, aL, ... gelegen sind aa, aß, . . . , so stellt sie eine Function dar, die den Charakter einer rationalen hat und ausserhalb C(t nur in den Punkten aa, afl, . . . von einer gewissen Ordnung unendlich gross werden kann. Verliert also fy auf der Curve C(t den Charakter

Frobeniui,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

einer rationalen Function, oder wird es in einem Punkte a, der unter aa, weniger als Ar mal vorkommt, von der k

ten

7 Oß,...

Ordnung unendlich, so kann die

£

Convergenz der Reihe 2

* nicht über CQ hinausreichen. Denn sonst wflrde "r+iy

die analytische Function 2

" ^ nicht innerhalb des ganzen

p

Convergenzbe-

reiches dieser Reihe, sondern nur ausserhalb CQ mit der analytischen Function fy übereinstimmen, während doch eine in einem Theile der Ebene analytisch definirte Function darüber hinaus nur auf eine einzige W e i s e stetig und e i n deutig fortgesetzt werden kann.

Findet sich aber a unter a,,,

. . . nicht

weniger als k mal, so muss die Reihe auch wirklich über CQ hinaus c o n v e r giren, vorausgesetzt,

dass auf dieser Curve keine andern Punkte liegen, die

eine weitere Convergenz verhindern.

Denn es lässt sich alsdann f y auf die

Form bringeri f., _

9t

i

ii

j

i 9*-i

, _,„

Da gy för y = a nicht mehr unendlich wird, so converglrt die Reihe für gy über CQ hinaus.

Die Reihe aber, in welche sich

= 1, 2 , . . . k) e n t -

wickeln lässt, besteht nur aus einer endlichen Gliederzahl.

Denn ist a _ ,

die * t e der Grössen a,,, a ( , . . . ,

welche gleich a ist, so erhält man, indem

man die Gleichung (1.) x—lmal

nach x differentiirt und dann x = a setzt,

/Q \

^ (y—«)*

1 1.2...X —1

—

-1

*

a

Pr Pr+iy

Nach diesen Erörterungen lässt sich, wenn f y hinreichend bekannt ist, der wahre Convergenzbezirk

der Reihe 2

der Entwicklung angeben.

£

" leicht vor der Ausführung Fy+i y

§• 4. Wenn die Function fx

innerhalb des Kreises CQ und nicht darüber

hinaus den Charakter einer ganzen Function hat, x in diesem Bereiche liegt, y die sich im positiven Sinne um den Nullpunkt windende Linie

CQ'

(Q^>Q'^>X)

durchläuft, und keiner der Punkte a,), A^ . . . auf CQ' oder zwischen CQ und CQ' liegt, so folgt aus dem Cauchyschen f x

'

=

2 ntJ

Satze y—x

8

Frobcnius,

Entwicklung in Raken,

die nach gegebenen Functionen

fortschreiten.

und aus der Formel (1.) in §. 3 die Gleichung

wenn .

i ffydy

=

2nij

gesetzt wird, und daraus wie in § . 3 fx =

Py+ly

Z*cyPyx.

Diese Reihe convergirt innerhalb der Curve Cp und divergirt, was durch eine ähnliche Betrachtung wie in §. 3 gezeigt wird, ausserhalb derselben. Sei nicht nur p > a r , sondern auch p > p" > x , und seien, was bei hinreichend kleinen Werthen von x stels möglich ist, p' und p" SO gewählt, dass in dem ringförmigen, von den Kreisen Cp' und Cp" eingeschlossenen Tbeile der Ebene einige der Punkte «u, a n . . . liegen. Endlich habe das Integral * ffydy 2niJ P,+oj über Cp' ausgedehnt den Werth cy, über Cp" genommen den Werth c'y. Dann sind cv und cy im allgemeinen von einander verschieden, und es ergiebt sich aus den beiden Gleichungen f x = 2c'yPy x und f x = Pyx, wenn c'y—cy=cy

gesetzt wird, ^CyPyX

=

0.

Da aus dieser Formel ersichtlich ist, dass sich jede Function auf mehrere verschiedene Weisen entwickeln lässt, so entsteht die Aufgabe, die sämmtlichen Darstellungen einer und derselben Function zu finden, welche offenbar gelöst ist, wenn alle Entwicklungen der Null angegeben sind. Wenn mehrere Nullentwicklunge» gefunden sind, so ergiebt sich eine neue dadurch, dass jene mit willkürlichen Constanten multiplicirt und zu einander addirt werden. Die so erhaltene heisst abhängig von denen, aus welchen sie auf die angegebene Weise zusammengesetzt ist. Von einander unabhängig heissen dagegen die Nnllentwicklungen S, S', . . . , wenn die Constanten h, h', . . . nicht so bestimmt werden können, dass in der Reihe hS+h'S'+... alle Coefficienten verschwinden. Durch diese Bemerkung wird die vorgelegte Aufgabe in das elegantere Problem Iransformirt, ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen aufzustellen.

Frobenius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

9

Ich werde zeigen, dass die Anzahl der von einander unabhängigen Nullentwicklungen, auf welche sich die sämmtlichen innerhalb eines bestimmten endlichen Kreises und darüber hinaus convergirenden eine endliche ist.

zurückführen lassen,

Unter dieser Voraussetzung lässt sich dass eben genannte

Problem noch genauer fassen. Sind überhaupt S¡,

...

Sn mehrere inner-

halb der Bereiche C,, C 2 , . . . C, unbedingt convergirende Reihen, sind keine zwei dieser Bezirke einander gleich, und sind sie so beschaffen, dass jeder vorhergehende den folgenden vollständig einschliesst, so convergirt die Reihe S = hlSl+h2S2-\

1-haSm, falls h. von Null verschieden ist, innerhalb C,

und nicht weiter, weil sonst auch S—htS, convergiren würde.

h~iSm_t=hHSH über C, hinaus

Decken sich aber die Convergenzbezirke der Reihen St

und 5 2 , so kann der Convergenzbereich von A£

-}- Ä2 S2 weiter sein. — B e -

trachtet man also die sämmtlichen Kreise CQ, welche als Convergenzgrenzen von Nullentwicklungen erscheinen, und ordnet man jedem dieser Kreise eine der Nullentwicklungen zu, welche bis zu ihm und nicht über ihn hinaus convergiren, so sind diese sämmtlich von einander unabhängig.

Daher ist die

Anzahl der Convergenzgrenzen aller Nullentwicklungen, welche innerhalb eines bestimmten Bereiches CQ und darüber hinaus convergiren, nicht grösser, als die Anzahl der von einander unabhängigen Nullentwicklungen, durch welche sich jene sämmtlich linear ausdrücken lassen; mithin ist die Anzahl der Convergenzkreise von Nullentwicklungen, welche grösser sind als ein bestimmter Kreis CQ, ebenfalls eine endliche.

Seien C,, C 2 , . . .

die Kreise, welche

überhaupt als Convergenzgrenzen von Nullentwicklungen auftreten, und sei Ci > Ci >

••••

Betrachtet man zuerst nur die Nullentwicklungen, die inner-

halb Ci convergiren, so lassen sie sich auf eine endliche Anzahl von einander unabhängiger C(? ist, innerhalb C(t und nicht weiter; ist aber C„..-(

l - i X l - i ) . . . ^ ) .

Weil unter der gemachten Annahme das Product p

*

=

Frobenius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

13

für endliche Werthe von x couvergirt, so folgt aus der Formel i ( x - y \

P'X\ P„yJ

i

=

PrX arPy+,y

"

die Gleichung 1 x-yV

/.

PX\ _ Py )

PyX ayPr+ix'

0

Es ist nicht ein Mangel dieser Methode, dass man nicht zn einer Entwicklung von —-— gelangt: dieser Ausdruck lässt sich gar nicht in eine nach solchen y

x

Functionen fortschreitende Reihe entwickeln. Denn falls x mit keinem der Punkte a„, a n . . . zusammenfällt, so ist bei Anwendung der Bezeichnungen des §. 1 für alle Werthe von n P . ® < f l T ( l + ¿ ) und >/7(l--|)(l-1), und mithin sind die beiden Reihen 2crPyx

und

2cr

zugleich convergent und divergent. Daher convergirt die Reihe 2cyPrx entweder gar nicht oder überall im Endlichen. Da ferner in allen Punkten x innerhalb eines mit dem Radius p um den Nullpunkt beschriebenen Kreises für alle Werthe von » P.« < . U . - ( 1+JL) ist, so überzeugt man sich leicht, dass, wenn -2c, convergirt, die Reihe 2 c v P v x innerhalb jedes endlichen Bereiches gleichmässig convergirt. Daher muss die durch sie dargestellte Function im Endlichen überall den Charakter einer ganzen Function haben, und mithin kann —-— nicht in eine derartige y— x Reihe entwickelt werden. Wenn x eine die Punkte Ou, a t , . . . an im positiven Sinne einfach umwindende geschlossene Curve durchläuft, so ist \

fPnxdx

.

t

fPyXdx

A

,

.

Ist also fx =

2.'qCyPyX

so muss, weil diese Reihe dadurch integrirt werden kann, dass die Integration an ihren einzelnen Gliedern ausgeführt wird, die Gleichung bestehen c

"

=

L

2ni J

f

fyty

ay Py+iy

14

Frobenivt,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

und und mithin

- -¿rJWti

Die Function fx, die im Endlichen überall den Charakter einer ganzen Function hat, kann also in eine Reihe von der Form 2cyPv x entwickelt werden oder nicht, je nachdem das Integral f

fydy

J C y -x)P„y ' in dem der Weg von y die Punkte a„, a,, ... a,_i einschliesst, bei wachsendem n gegen Null convergirt oder nicht. §• 7. In dem Falle, in welchem Oo,a,,... über alle Grenzen hinaus wachsen, ohne dass

Oy

convergirt, lässt sich oft folgendes Theorem mit Vortheil an-

wenden, dass ich einer Vorlesung des Herrn Weierstrass über elliptische Functionen entnehme: „Wenn positive Zahlen m existiren, für welche unter ihnen n die kleinste ist, und wenn g{x,a)

=

+- +

gesetzt wird, so convergirt das Product ay'

\

für alle endlichen Werthe von x." Um dies zu beweisen, muss man zeigen, dass, wenn \—(pvx = (l— ist, die Reihe 2(p,x convergirt.

Da

(p'yx = ?-^-esix>a>') ist, so ist

Oy

und

(pr0 = 0

tprx = —n fX xu~l eß(x'"y) dx

convergirt, und

Frobenius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

15

a, Wenn also

ar Wird z. B.

convergili, so ist auch 2 < p r x convergent.

FT- - ( I - T X ' - T M 1 - * ) gesetzt, so ist

ft. = [ ( i - t M ' - Ì ^ - O - V ^ K * 0 ^ oder und weil 1+ Ì + - + T -

1

«"

för alle Wertbe von n zwischen 1 und i liegt P„x 1 ist, mit x+Jx*—1 =(px und die, welche < . 1 ist, mit x—i/x*—1 == („) Rv x.

Daher muss cy = ay(htQy «H

YKQyvn)

sein, und mithin stimmen die beiden Reihen S

und

h

lSl+-+hnSn

in ihren Coefficienten überein. Es ist also bewiesen, dass das System S , ,

S2...

vollständig ist. Wären nun diese Nullentwicklungen nicht von einander unabhängig,

24

Frobeniu»,

Entwicklung in Rahen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

könnten also die Constanten A,, lh•> • •• so bestimmt werden, dass alle C o efficienten des Aasdrocks h t S t ^

l-A.S. verschwinden, oder dass für alle

Werthe von v wäre, so mflsste auch

2ay(hlQvf>l+-+haQyf>K)Rvx

=

identisch verschwinden, was, wenn nicht ht, unmöglich ist.

Dass St,

-*!_+...+_*=A2, . . . h,

sämmtlich Null sind,

SM von einander unabhängig sind, folgt auch

S2,...

daraus, dass die Determinante •£"±(>„«10102-•• von Null verschieden ist.

e.

Denn sie ist gleich dem Producte aus den Coef-

ficienten der höchsten Potenzen der Functionen Q»x, Qtx, den Differenzen der Grössen e , , e 2 , . . . Daher bilden S j , S 2 , . . . abhängiger Nullentwicklungen,

. . . Qn_iX

und aus

e..

ein vollständiges System von einander unwelches, da zur Darstellung einer beliebigen

Nullentwicklung 5 nur die unter den Reihen

S2,

...

zur Verwendung

kommen, die in demselben Bereiche wie £> oder weiter convergiren, ein Fundamentalsystem ist. Sei S irgend eine Nullentwicklung, welche innerhalb der Ellipse CQ convergirt, ausserhalb divergirt.

Läge nun auf der Linie C(J keiner der Punkte

t>, so würde, wenn « , , « 2 , . . . e„ ausserhalb CQ lägen, und S i , S2, zu ihnen gehörten, S auf die Form A,S,H und mithin Aber CQ hinaus convergiren.

. . . SN

\-HHSN gebracht werden können Daraus folgt:

Nur solche

Ellipsen

begrenzen Convergenzbereiche von Nullentwicklungen, welche durch einen der Punkte «i, e2, ... e» hindurchgehen. Sei S' =

2Cy

QyX—CyRyX

eine zwischen den Curven CQ und CQ{, ( p > p « ) convergirende Nullentwicklung. Setzt man

Rx =

cy Qv x,

so ist auch Rx

— .21®

CyRyX.

Da mithin diese Function wegen der ersten Gleichung innerhalb CQ, wegen der zweiten ausserhalb CQ(, und daher wegen beider in der ganzen Ebene den Charakter einer rationalen hat, so muss sie eine rationale Function sein, die wegen der ersten Gleichung innerhalb CQ stets endlich ist, wegen

der

Frobenius,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

25

zweiten nur in den nicht innerhalb CQ liegenden Punkten «,, c a , . . . e„ von der ersten Ordnung unendlich werden kann und für x —

und diese Reihe convergirt im Innern der Ellipse, auf welcher v liegt. Dflher ist 2cyQyx

=

ay(h'lR'ivl

+

Zay(tilRlvl+---+h'nR>lex)Qyx

und mithin c„ =

~-+h'nK)yvH+hlQyvl+..-+h,,Qyvm).

Setzt man also Sl = 2ayQyvlQyx

und

Si = J ^ a , ^ ^

Qyx-QrvlRyx),

so ist klar, dass das System der Nullentwicklungen S n S 2 , S>i, S'2, ... vollständig ist. Werden aber die Constanten Ax, . . . A„, Ai, . . . AI so bestimmt, dass alle Coefficienten des Ausdrucks verschwinden, so ist der Coefficient von —ayRyx gleich Ai (),,«,H und mithin ist Al = 0, . . . A^ = 0 ; daher sind alle Coefficienten der Reihe AiS,H bAnSn gleich Null, und deshalb ist A , = 0 , . . . A„=0. Daher bilden Sx, S2, ... S[, Sj, . . . ein vollständiges System von einander unabhängiger Nullentwicklungen und zwar aus demselben Grunde wie oben ein Fundamentalsystem. Ferner gilt der Satz: Die Contergensbereiche von Nullentwicklungen werden v geht,

oder

begrenzt

entweder

von einer solchen

von einer Ellipse, Ellipse

die durch einen der

und der Strecke

Punkte

Cl.

Auf die Theorie der Reihen 2cyPtx

und

2cySyx,

welche nach denselben Methoden behandelt werden kann, wie die der Reihen 2cyQyx

und

2c,,Ryx,

gehe ich hier nicht ein. Journal für Mathematik Bd. LXX1II. Heft 1.

4

26

Frobeniut,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

f . 11. Nachdem ich die Theorie der Nullentwicklungen in den beiden d u r c h geführten Beispielen

auf besonderen W e g e n

abgeleitet habe,

will ich zum

Schluss noch eine Methode e r w ä h n e n , die in beiden Fällen zum Ziele fahrt. Zu dem Zwecke 9telle ich zunächst die Voraussetzungen, die ihrer Anwendung zu Grunde liegen, und die in den beiden behandelten Beispielen erfallt sind, kurz zusammen. 1)

Die Punkte, in welchen der absolute Betrag einer gewissen Function

so wird die Linie CY von CQ' voll-

ständig eingeschlossen; denn alle Punkte, in denen der Bedingung , x^k so sei die Reihe

(40

-

^

und

2Frl*Gvy

=

in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Minimalbereichs oder auch mit Einschluss desselben convergent. 4) Nach den Functionen Gnx, Gl x, . . . lasse sich eine gegebene Function nur auf eine einzige Weise entwickeln. Diese Annahmen genügen, um die Theorie der Nullentwicklungen von der Form der Reihe (1.) vollständig begründen zu können. Die Curve Cq gehe durch den Punkt x>, dessen Ordnungszahl k sei, x liege im Innern von Cq, q' werde so gewählt, dass qZ> q' > Fvx

=

0,

wenn Gy„o der Coefficient von (y—t>)~* in der Entwicklung von Gry nach Potenzen von y — © ist. Diese Reihe convergirt sicher, wenn x innerhalb Cq liegt. Ich will sie, wenn o = «i ist, mit Six bezeichnen und die x te zu vx gehörige Nullentwicklung nennen. Sei Cqu eine Linie, welche die Punkte t sämmtlich einschliesst, und seien « n « 2 , . . . e„ diejenigen unter diesen Punkten, welche nicht innerhalb einer bestimmten Curve Cq (q' und so gewählt, dass weder auf Cq', noch zwischen Cq und Cq' ein Punkt v liege. Die Variabein 4»

28

Frobenivs,

Entwicklung in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten.

Xt) und x mögen im positiven Sinne die Linien Cp0 und CQ', xt, x7, . . . xn aber Kreise durchlaufen, welche um e , , c 2 , . . . e . mit so kleinen Radien beschrieben sind, dass jeder nur einen einzigen der Punkte t> einschliesst. Dann folgt aus (3.) f - * gm

GMy =

dx

'\)

G

*y-

Da sich aber nach den Functionen Guy, Gty, . . . eine Function nur auf eineeinzige Weise entwickeln lässt, so ergiebt sich daraus die Gleichung x

"

G

"

~

e

>

in der e gleich 0 oder 1 ist, j e nachdem v von u verschieden ist, oder nicht. Nun ist aber FFV X>, Gm X„ dx{> = FFV xGf,xdx

+JF,

«, d x , + • • • +JF„ xn Gh x„ dx..

Sind also k t , k 2 , . . . kn die Ordnungszahlen von r , , c 2 , . . . t?„, so besteht die Gleichung —±r/FyxGhxdx

= F>1Gf;(|1c1+F>1