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German Pages 8 [12] Year 1924
Sitzungsberichte der H e i d e l b e r g e r A k a d e m i e der W i s s e n s c h a f t e n Stiftung Heinrich. L a n z Mathematisch. -naturwissenschaftliche
Klasse
A b t e i l u n g A. • =
J a h r g a n g 1924.
2. A b h a n d l u n g .
i
(Mehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. Von
Heinrich Liebmann in Heidelberg.
Hingegangen am 10. J a n u a r 1924.
Berlin
und
Leipzig
1924
W a l t e r d e G r u y t e r & Co. v o r m a l s G. .). G i i s c b e n ' s c b e V e r l a g s h a n d l u n g I J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b n c l i h a n d l u n g / G e o r g K e i m e r / K a r l .1. T r ü b n e r I V e i t & C o m p .
=
Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affingeometrie. 1. Die Extremalen des affin-invarianten Variationsproblems 6J ( ^ f f dx = ö J (x'y" - y'x"Y dt = 0 sind bekanntlich die Parabeln. das heißt also: nimmt man
Nimmt man für t die „Afiinlänge",
x'y" — y'x" — 1, so erhält man die Darstellung At2,
x = x0-\- at At+^
(axb2-bxa2= y^yo+^At
+
1)
^At*.
Sind xo> y») a i> W gegeben, so sind damit alle von dem Krütnmuugselement
ausgehenden Parabeln dargestellt, und die Elimination von At ergibt . \ , (y - y«) «i - (* -
\i
At2
*b) h=~2
At2
(«A - M«) - ~2 •
Man sieht, daß der Ort der Endpunkte gleicher „Affinstrecken" At auf den von einem Krümmungselement ausgehenden Extremalen eine Gerade ist. Diese Beziehung bleibt bei Kollineation selbstverständlich erhalten. Um auf diese Tatsache näher einzugehen, transformieren wir zunächst das Integral J(x'y"-
dt
vermöge x:y:l = (anx + und erhalten:
+ «13) =
+ «22y + «as): (aaix + a^y + «3»)
4
HEINRICH
a
n
a
u13
l 2
.
a 2 i «22 rt23 a
31
LIEBMANN:
a
r
n
32
a31x
J
+
a
3 i
y +
am
dt "
33
Die Kxtrenialen werden dann die Kegelschnitte, die die Gerade