Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven (1691, 1694, 1695), (1744)

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QA935 OSTWALD'S

B4

KLASSIKER

ENG DER

EXAKTEN WISSENSCHAFTEN .

Nr. 175 .

ABHANDLUNGEN ÜBER

DAS GLEICHGEWICHT UND DIE SCHWINGUNGEN

DER EBENEN ELASTISCHEN KURVEN

VON

JAKOB BERNOULLI (1691, 1694, 1695)

und LEONH , EULER ( 1744)

WILHELM ENGELMANN IN LEIPZIG

5 L

Abhandlungen über

das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven Von

Jakob Bernoulli (1691, 1694 ,1695) und Leonh. Euler (1744)

Übersetzt und herausgegeben von

H. Linsenbarth

Mit 35 Textfiguren

Leipzig Verlag von Wilhelm Engelmann 1910

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Jakob Bernoulli. Auszug aus : Acta eruditorum , Leipzig , Juni 1691 . (Opera, Band 1. Genf 1744 ; Seite 451.) Bei Gelegenheit der Aufgabe über die Seilkurve sind wir

auf eine andere, ebenso hervorragende Aufgabe gestoßen . Sie betrifft die Biegungen oder Krümmungen der Balken, der ge spannten Bogen oder beliebiger elastischer Bänder, die durch die eigene Schwere, durch ein angehängtes Gewicht oder durch irgend eine andere zusammendrückende Kraft hervorgebracht werden.

Der sehr berühmte Leibniz hat mich brieflich auf

diese Aufgabe schon aufmerksam gemacht. Wegen der Un Fig. 1. B

C

AL

sicherheit der Hypothesen und wegen der großen Mannigfal tigkeit der einzelnen Fälle scheint sie aber schwieriger zu be handeln zu sein, obgleich es hierbei nicht einer weitschweiligen Rechnung , sondern nur des Fleißes bedarf. Ich habe aber durch die Lösung des einfachsten Falles (wenigstens unter der vorher erwähnten Annahme der Ausdehnung , d. h. daß die Ausdehnungen den spannenden Kräften proportional sind) in glücklicher Weise den Zugang zu dieser Aufgabe eröffnet. Wie jener sehr berühmte Herr (Leibniz) es getan , will ich anderen 1*

4

Jakob Bernouilli, Auszug aus Acta eruditorum .

Zeit lassen, seine Analysis daran zu versuchen 1). Daher werde ich vorläufig die Lösung zurückhalten und sie in einem Logo

griphen verbergen. Die Lösung mit dem Beweise will ich zur Herbstmesse mitteilen. Wenn ein elastisches Band AB, das keine Schwere besitzt und überall von derselben Dicke und

Breite ist, am unteren Ende A irgendwo befestigt wird, und ein Gewicht an das obere Ende B angehängt wird, das aus reicht, das Band so zu biegen, daß die Richtungslinie BC des Gewichtes in B zu dem gekrümmten Bande senkrecht ist,

so wird die Krümmung des Bandes von folgender Natur sein : Qrzumu bapt.. (Die Lösung lautet : Der Teil der Achse zwischen der Or

dinate und der Tangente verhält sich zur Länge der Tangente selbst wie das Quadrat der Ordinate zu einer gewissen kon stanten Fläche.] 2) .

WY

WWUN

wy

Jakob Bernoulli. Von der Krümmung des elastischen Bandes. Seine Über einstimmung mit der Krümmung eines Tuches, das von dem Gewicht einer eingeschlossenen Flüssigkeit gedehnt wird .

Die Radien der Krümmungskreise in den ein

fachsten Ausdrücken entwickelt und einige andere neue Lehrsätze .

Auszug aus der Abhandlung: Acta eruditorum , Leipzig , Juni 1694.

(Opera, Band 1, Genf 1744 ; Seite 576.]

Nach dreijährigem Schweigen löse ich endlich mein Wort ein , aber so, daß ich den Leser für den Verzug, den er sonst nur unwillig ertragen könnte, reichlich entschädige, indem ich nämlich die Konstruktion der elastischen Linie nicht nur unter

einer einzigen Hypothese, wie ich anfangs versprochen hatte, sondern allgemein unter einer beliebigen Hypothese über die

Ausdehnungen auseinandersetze.

Dies führe ich, wenn ich

nicht irre, zuerst aus, nachdem diese Aufgabe von vielen ver geblich versucht worden ist. Diese berühmte Aufgabe stammt

nämlich schon aus den Zeiten Galileis , der vermutet hatte, diese Kurve, wie auch die Seilkurve , sei eine Parabel.. Ich hatte in den Actis eruditorum , 1691, S. 289, gesagt,

dieses Problem sei schwieriger als das der Seilkurve, und nicht ohne Grund 3) . Ich will nur bemerken, daß zur Erforschung der Kettenlinie zwei Wege offen stehen, die zu zwei verschie denen Gleichungen führen . Der eine drückt die Natur der Kurve durch eine Beziehung zwischen den Koordinaten aus, der andere durch eine Beziehung zwischen dem Faden der Evolvente und diesen Koordinaten. Zur Erforschung der Natur der elastischen Kurve eröffnet nur der letztere Weg einen

6

Jakob Bernoulli.

Zugang. Daher folgt offenbar, daß es wohl möglich ist, daß jemand die Schwierigkeiten der ersten Aufgabe überwindet,

aber nicht bei der zweiten als Sieger hervorgeht. Er kann nämlich den zweiten Weg nicht betreten, der die besagte Be

ziehung des Fadens der Evolvente oder des Radius des Krüm mungskreises klarlegt, wobei dieser in den einfachsten und rein

differentialen Ausdrücken gegeben sein muß. Dieser Weg war

uns schon zu der Zeit bekannt, als wir uns mit den Über legungen über das Seil beschäftigten, und mein Bruder ( Johann Bernoulli] hat ihn auf seinen Reisen schon einigen mitgeteilt. Inzwischen ist mir der ungeheure Nutzen des Gefundenen bei der Lösung der Segelkurve und der elastischen Kurve , die

wir jetzt vorhaben, und bei einigen noch erhabeneren mehr und mehr klar geworden, und es ist jetzt so weit gekommen, daß ich der Öffentlichkeit den goldenen Lehrsatz nicht länger Weil er bisher den Geometern gefehlt hat, scheint es, daß sie bei dieser Aufgabe nicht gleich gute Fort

vorenthalten will.

schritte wie bei den früheren gemacht haben . Bevor ich daher weiter

Fig . 2.

gehe, seien in Figur 2 ab, bc unendlich

kleine

Teile

der

Kurve , zu denen die Krüm

h

mungsradien af, bf, die im Punkte fzusammenlaufen, senk recht stehen . mn

Sie bilden einen

Winkel afb, der dem Winkel gbc gleich ist , den der ver

längerte Teil ab mit dem an dern bc bildet. Es werde bh

be abgeschnitten .

Man ziehe

die Parallelen al, bn, co und

f auch bl, hom , gen.

Die er

steren bestimmen die Elemente der Abszissen , die letzteren die der Ordinaten oder dx , dy, der usw. ) . Ich behaupte : 1 ) Setzt man die Elemente der Kurve ab, bc, d. h. ds ein

ander gleich, so ist (Fig. 2) der Radius des Krümmungskreises dx ds

oder die Länge des Fadens der Evolvente af = % = day oder auch % =

dy ds

ho :

(wegen der

Denn ho : bc d2x

bc : hc

Von der Krümmung des elastischen Bandes.

7

Ähnlichkeit der Dreiecke bmh und hoc und auch hcb and abf] bm : bh

al : ab

al

da

bf : ab

af : ab

bf

x

Es ist aber ho = hm bl

dly ;

nC =

man

dly ds; also ist ds

bc

22C =

doc

Ebenso beweist x

dy .

d2x ds

i q. e. d . x

Zusatz : In jeder Kurve, bei der die Elemente einander gleich gesetzt werden, sind die zweiten Differentiale der Ko

ordinaten den ersten umgekehrt proportional. dc ds : dºg =

X =

d2x

dy

dly

dac

auch

Da nämlich

dy · dły oder Dies folgt auch unmittelbar aus der Ähnlich dy ds : d2x , so ist dx · d22c

keit der Dreiecke bmh und hoc, denn co (oder dur) verhält

sich zu oh (oder dạy) wie hm zu bm oder wie bl zu al, d. h. wie dy zu dx. 2 ) Setzt man die Elemente der Abszissen al, bn, d. h. die ds3 du einander gleich, so ist der Krümmungsradius af = x = dcdu gc : hc (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke Da gc : bc -

=

bc : hc

bng und chg und auch hcb und abf] bg : bn bf : ab Es ist gc = gn

dly

ds2

ds

zdoc'

ab : al

ds : da

ds2

bf : ab

% : ds

zda

пс

bl

пс

d2x und bc

ds, also

ds3

d. h.

=

i q. e. d .

dc dºg

Setzt man die dy einander gleich , so wird ähnlich gezeigt , ds3 daß % =

ist.

dy der

Nachdem dies alles vorausgeschickt ist, kehre ich zu der vorgelegten Aufgabe, die elastische Kurve zu konstruieren, zurück.

1. Allgemeine Lösung.

Es sei (Fig. 3) ABC ein beliebiges geradlinig oder krumm linig begrenztes Flächenstück, dessen Abszissen AE die span

nenden Kräfte, und dessen Ordinaten EF die Spannungen dar

Jakob Bernoulli.

8

stellen .

Das Quadrat AGDL sei dem Flächenstück ABC

gleich, und in das Quadrat sei über A der Kreisquadrant GKL beschrieben. Es werde dann ein Rechteck AGHI festgelegt, das dem beliebig angenommenen Flächenteil AEF gleich sei. IH schneide den Kreisquadranten in K , man ziehe AK und dazu die Parallele G M. Auf der Ordinate EF nehme man EN AM . Alsdann gehört der Punkt N einer Kurve AN an . Zu dem Flächenstück AEN dieser Kurve bestimme man

ein inhaltsgleiches Rechteck AGOP. Die Geraden O P und EF

schneiden sich in einem Punkt Q, und dieser liegt auf der ge Wenn also ein längerer Reifen , eine biegsame Rute oder Stange oder irgend ein elastisches Band suchten Kurve AQR.

ohne Schwere AQRSYVA , von überall gleicher Breite und

Dicke RS, AV, von der Länge RQA mit einem Ende bei RS vertikal befestigt wird, und wenn an dem andern Ende AV eine Kraft angreift, oder dort ein Gewicht Z angehängt wird, das ausreicht, das Band so zu krümmen, daß die Tan gente in A, nämlich AB, auf der Richtung des Gewichts AZ senk recht sei, so wird die konkave Seite des Bandes die Krüm

mung RQA annehmen, die wir konstruiert haben ; die konvexe

Seite Sy V ist ihr parallel , beide besitzen also dieselbe Evolute mn und können durch Abwicklung derselben Kurve mn bo schrieben werden .

(Diese Konstruktion gibt Jak . Bernoulli ohne Beweis. In der

mit Erläuterungen versehenen Ausgabe der Werke (Genf 1744,

Band 1 , Seite 581) findet sich folgende Begründung hinzuge fügt: Es sei (Fig . 3 ) Qy = c die Dicke des Bandes ; Qq eins ds, AP = y, EF = t, AE = x. Das am

seiner Elemente

Hebelarm AE wirkende Gewicht Z erteilt der elastischen Faser tds

wy eine Ausdehnung 2y, die gesetzt werden kann = wo b die Länge AR des ganzen Bandes bedeutet.

b Die ähn

lichen Dreiecke y 2 Q und qnQ liefern aber die Proportion 2y 9Q Qn ist hierin gleich dem Krümmungsradius z des y Q Qn dads

Punktes Q, also, wie gezeigt worden ist, 24

ds

с

x

dzy

Die Propor

Setzt man die beiden Werte

tion wird also

cds

tds

x

b

für

oder bc = t %,

Il y einander gleich, so erhält man

9

Von der Krümmung des elastischen Bandes.

d. h. bcdly

a?, dann ist a2dạy

t doc ds. Es sei bc

tdac ds.

Durch Integration entsteht ażdy = ds · Stdx4). Es sei ſtdx = S = der Fläche AEF.

Aus a2 dy = ds · S entsteht

durch

Quadrieren a'dy2 = (da2 + dy2) S2, daher : Sdx

dy

Va4 - s2 Fig. 3.

Kine

al

Ten

sio

Mм

num

la

1P

B

A

E

Elastica 3

P у

19 Cur v

a

H

D L *** 3

T S

m n

9 Hierin bedeutet a2 die Fläche ABC, denn für den Punkt Rist

dy doc

Oo , also muß a4 = S2 sein, d. h. AB

a2

dx = ABC.

= fidx =

S=

10

Jakob Bernoulli. Die Konstruktion ist jetzt leicht abzuleiten : Nach Konstruktion ist AG = a ; AGDL =

ABC ; AGHI

Fläche AEF

a4 — S2.

IK

AG

AI

AM

S;

daher

a ? = Fläche S und a

AI

so ist

Da A I. AG

as

IK

Va4 - S2

EN = AM Die Fläche AEN ist also

a Sdac Rechteck AGOP = a · AP = ay ; a4- S2 Svara daher ist

2 S da

Sda

oder dy

Y

Va4 .

S2

Vat - S2

Zusätze : 1. Wird das gebeugte Band RQA statt in R irgendwo in Q befestigt und der Teil RQ abgeschnitten, so behält der übrige Teil A Q seine Krümmung bei, wenn er von derselben Kraft gebeugt wird . 2. Rotiert die Kurve RQA um RZ als Achse, so entsteht ein anderer, kongruenter, umgekehrt gelegener Teil. Wird das Band statt in R in dem auf diesem Teil gelegenen Punkt a befestigt, so behält das verlängerte und von derselben Kraft gebeugte Band dieselbe Krümmung AQR7 bei. 3. Wenn ein beliebiges Segment AQ der Kurve um die Normale an rotiert, so entstehe das kongruente, auf der an dern Seite gelegene Segment a Q. Beide Segmente aQ A bil den den eigentlichen Bogen , der, wenn in Q ein Halter ange bracht ist , von zwei in jedem Endpunkt in Richtung der Normalen wirkenden Kräften gespannt wird. Jede einzelne Kraft ist der Kraft Z gleich . Dasselbe gilt von den Bögen, die durch Rotation der ganzen Kurve AQ R oder der um das Stück Rq vermehrten entstehen . Man hat so drei Arten des Bogens : den verminderten, den vollen , den vermehrten . Diese Bögen werden so unterschieden : Beim verminderten Bogen

Von der Krümmung des elastischen Bandes.

11

laufen die Tangenten in jedem der Endpunkte nach der kon vexen Seite hin zusammen, beim vermehrten nach der kon kaven Seite, beim vollen sind sie parallel. 4. Es ist klar, daß dieselbe Krümmung auch jene Reifen besitzen, aus denen die Fässer gemacht werden. Daraus folgt,

daß niemand den Rauminhalt der Fässer, die gewöhnlich als Rotationsellipsoide angesehen werden, richtig gemessen hat. 5. Ist die Richtung des Gewichts zum elastischen Bande

schief gerichtet , so entsteht eine Kurve , die von AQR ein wenig abweicht, die ich aber mit derselben Leichtigkeit be stimmen kann .

Doch ich will nicht zu sehr abschweifen .

6. Das Rechteck aus dem Krümmungsradius Qn und der entsprechenden Ordinate EF ist gleich dem konstanten Flächen inhalt ABC = AG2 [d. h. tz a>, wie in der Erläuterung

zur Konstruktion abgeleitet). Da die Krümmungsradien auch der Krümmung umgekehrt proportional sind, so sind die Krüm mungen des gebogenen Bandes AQR den Größen EF direkt proportional. In A, dem Angriffspunkt der Kraft, ist die Krüm mung Null und wächst von da mit dem Abstande jedes Punk tes der Kurve von der Richtungslinie der Kraft; am größten ist sie in R, von da nach 7 hin nimmt sie wieder ab. Wenig

stens ist das Verhalten so, wenn mit den spannenden Kräften A E zugleich die Spannungen EF wachsen , worüber sich aller dings nichts allgemeines aussagen läßt. 7. Wenn das Gesetz der Spannungen gegeben ist, und man soll die elastische Kurve finden, so heißt dies in der abstrak ten Geometrie nichts anderes , als aus der gegebenen Kurve AFC die Kurve AQR aufzusuchen.

Die umgekehrte Aufgabe

ist sehr leicht : Aus der zugleich mit ihren Krümmungsradien gegebenen elastischen Kurve das Gesetz der Spannungen zu finden. Die dritte Proportionale zum Radius Qn und zu einer gewissen konstanten Größe AG muß als Ordinate zur Achse AB gezeichnet werden, dann hat man dadurch EF.

Nachdem Jak. Bernoulli den Fall, daß die Kurve der Spannungen eine Parabel beliebiger Ordnung ist, also t = kx" , besonders behandelt hat, wendet er sich zu dem noch spe zielleren Fall, daß m = 1 ist. ]

Jakob Bernoulli.

12

2. Besondere Lösung.

Die gewöhnliche Annahme ist, daß die Ausdehnungen den spannenden Kräften proportional sind. Der sehr berühmte Leibniz hatte diese Annahme in seiner äußerst scharfsinnigen

Abhandlung: » Über den Widerstand der festen Körper «, ange wendet 5), und ich selbst auch , ehe ich die allgemeine Kon struktion der Aufgabe gefunden hatte. Deshalb halte ich es für der Mühe wert, die Natur und die Eigenschaften unserer Kurve unter dieser Annahme etwas eingehender auseinander

zusetzen, obgleich ich für die Wahrheit dieser Hypothese, wie für die irgend einer anderen, keine zu große Verantwortung

übernehmen möchte, da ich der Überzeugung bin, daß in der Natur kein konstantes Gesetz der Spannungen beobachtet wird, sondern dasselbe gemäß der verschiedenen Struktur der Körper verschieden ist.

Dies scheinen sowohl unsere Experimente als

auch die anderer genugsam zu bestätigen Konstruktion [Fig. 4] : Auf dem Radius AB des Kreises BiGL sei ein beliebiger Punkt E angenommen. Man ziehe Ei und senkrecht zum Radius EF .

Auf EF werde EN ab

geschnitten. EN sei so bestimmt, daß EN : AB= AE2 : FE : Ei. Man ziehe dazu Ff parallel AB und verbinde den auf Ei ge legenen Punkt f mit A.

Man mache Ea

E A und ziehe ac

parallel zu fa ; dann ist Ec = EN . Der Punkt N liegt dann auf einer Kurve AN, die das Flächenstück AEN begrenzt. Über dem Radius AG zeichne man das zu diesem Flächen

stück gleiche Rechteck AGOP.

Die Linien PO und EF

schneiden sich verlängert in einem Punkt Q der gesuchten Kurve AQR.

Diese Konstruktion gibt Jak. Bernoulli wieder ohne Be weis. In Anlehnung an die Erläuterung zur allgemeinen Lö sung ist die Gleichung der Kurve und der Beweis der Kon struktion leicht abzuleiten.

Sdx

Die Gleichung der Kurve lautete dort dy

; es

Va4

S2 X

war (siehe Fig. 3) a2 = dem Flächenstück ABC C

c- Stax ,

tdx , wo

AB = X gesetzt ist,und S = ſtdx. In unserem Falle ist 0

13

Von der Krümmung des elastischen Bandes.

Fig. 4.

ВІ

E

G

Q 인 P

R

Z

4 16

t = kx, also S = } kx2; a2 = ABC = }kX2 Die Gleichung wird also : dy

da · } kx2

x2 dx

V* k2 X4 - 4k2x4

V X4-24

6)

Es sei jetzt , um mit Bernoulli dieselbe Bezeichnung zu haben , x²dx

X = AB = a ; dann lautet die Gleichung : dy

-

Va4 AB

A E2

ax2

ax2

Va2 - x2. V a2 + x2

V a4 - 24

Nun war : EN FE . Ei

Jakob Bernoulli.

14

Es verhält sich Ec

EA

Ai

EA

V24 - 24 a

Ei . EF

EF

und

also Ef = Ei

Ef

Ef'

Ai x2a

EA2 Ec =

also

Vat

Ef Es ist also EN : = Ec.

X4

Außerdem ist ax2

ay = AG · AP = AEN :

also dy = fax

24

Va4

x²dx

i q . e. d. x4

Va4

Nach erfolglosen Versuchen, die elastische Kurve mit Hilfe der logarithmischen Kurve zu konstruieren, sagt Jak. Bernoulli:) Ich habe schwerwiegende Gründe, zu glauben , daß die Kon struktion unserer Kurve weder von der Quadratur, noch von der Rektifikation irgend eines Kegelschnittes abhängt ?) . Doch ich gehe zu ihren ausgezeichneten Eigenschaften über. 1. Zieht man die Tangente Qp , so ist die Subtangente Pp die vierte Proportionale zu AB, AE und EN . Es ist aber EN die vierte Proportionale zu AB, AE und der Tan gente Op ; daher ist 2. EN die mittlere Proportionale zur Tangente Qp und der Subtangente Pp. Also Pp : Qp = AE2 : A B2. [ Die Subtangente Pp ist nach der allgemeinen Formel 23

х

X

АЕ

ax2

EN . dx

a

X4

Vat

Va4

x+

AB

dy Die Tangente Qp ist X.

ds də

a2

a

ax2

AB

V a4 – 24

XC

Va4 -- XC4

АЕ

X

EN ;

daher also Qp · Pp

EN2

und

Pp Qp

A E27

A B2

Dies ist die charakterische Eigenschaft der Kurve , die ich im Monat Juni 1691 mit einer Umkleidung umgeben habe ,

Von der Krümmung des elastischen Bandes .

15

deren Sinn folgender ist: der Teil der Achse zwischen der Ordinate und der Tangente verhält sich zur Länge der Tan gente selbst wie das Quadrat der Ordinate zu einer gewissen konstanten Fläche 3. Das Flächenstück RQPZ ist gleich dem halben Recht eck aus FE und Ei ; das ganze Flächenstück AQRZA ist gleich der Hälfte des Quadrats über A B. [Denn a 23doc

RQP2 = Sxdy = Si C Vat

#Vote ]

4. Die Krümmungen des gebeugten Bandes in R und Q sind den Ordinaten RZ, QP proportional. (Die Krümmungen sind den Krümmungsradien umgekehrt proportional. Nach der allgemeinen Lösung war tx = a2, also hier kx • % = 4KX2; x % = 4X2, wo % den Krümmungsradius bedeutet. ] 5. Die Normale Qb ist die dritte Proportionale zu AE A B2 a2 und AB , [d . h . es ist qb = XC ; dies folgt aus der АЕ

Ähnlichkeit der Dreiecke QbP und QpP unter Berücksichti gung von Nr. 2.] 6. Der Radius Qn des Krümmungskreises ist die Hälfte von Qb (siehe Nr. 7 ]. 7. Die Strecke Rm von R bis zur Kurve mn gerechnet, durch deren Abwicklung die elastische Kurve beschrieben wird , ist gleich der Hälfte von RZ oder von AB. (Denn xx = a2 4X2 = { a2 und QB = X 2 also % = Qb, und als besonderer PZ = ja . Fall Rm = 8. Der Bogen der Evolute mn ist vierte Proportionale zu AE, EB und LAB. [arcus mn = Qn — Rm nach einer be kannten Eigenschaft der Evolute

A B2

- 1 AB

1 AE 16. Reihen , hier angewandt brauchbar sein dann kann die drückt werden :

1 AB . BE АЕ

die ich aufgefunden habe , können mit Nutzen werden , da andere , schon bekannte , kaum dürften. Es sei AB = 1 , also auch A B2 = 1 , Gerade AZ oder BR durch die Reihe ausge

Jakob Bernoulli.

16 1

1

+ 3

+ 2.7

1.3 1.3.5.7 1 · 3 · 5 + + + 2.4.11 2.4.6 · 15 2.4.6.8.19 1 · 3 · 5.7.9 + 2.4.6 : 8 · 10 · 23

der Teil AQR der Kurve aber durch diese Reihe :

2.5

1.3.5

+ 2 · 4.9

1.3.5.7

+ 2 · 4 · 6 · 13

2.4.6.8.17

1.3.5.7.9

+

+

+

1.3

1 1+

2.4.6 · 8 · 10 · 21 Ich habe gefunden , daß die erstere größer als 0,598 und kleiner als 0,601 ist ; die letztere liegt zwischen 1,308 und 1,316 . Die drei Linien RZ , AZ und AQ R verhalten sich angenähert wie 10 : 6 : 13 8) . 18. Von den ausgezeichneten Eigenschaften unserer Kurve bleibt noch eine übrig , die ich früher nur leichthin erwähnt habe . Sie besteht darin , daß diese Kurve die Krümmung eines von einer Flüssigkeit gespannten Tuches darstellt. Es werde die Ebene ARP um RB so weit gedreht , bis sie vertikal steht, so daß also Ag horizontal zu liegen kommt. Jetzt werde das elastische Band AQR , das nach der anderen Seite bis fortgesetzt sei, allmählich schlaff und bleibe in allen seinen Teilen wie eine Haut oder ein Tuch , das in den Punkten A und a befestigt sei , biegsam . Es enthalte wie ein Schlauch irgendeine Flüssigkeit in sich , die die ganze Höhlung ARQ ausfüllt, so behaupte ich, daß das von dem Gewicht der Flüs sigkeit ausgedehnte Tuch dieselbe Krümmung AQ R beibehält , oder , wenn das Tuch diese Krümmung noch nicht hat, sie annimmt. Die Wahrheit dieser Behauptung kann ich leicht

beweisen , sogar ohne daß ich dabei die spezielle Natur der Kurve AQR zu betrachten brauche. Doch es wird genügen , folgendes zu erwähnen 9 : . 8) Die Kraft, die das Tuch hält, oder die Festigkeit , die vorhanden sein muß, damit es nicht reißt, ist in allen Punkten dieselbe und so groß , wie sie in A erforderlich ist , um das Tuch zu halten, daß es nicht herabgleitet ; sie ist gleich dem absoluten Gewicht der eingeschlossenen Flüssigkeit . Ein Tuch von gleichwertigem Gewebe widersteht daher der drückenden Flüssigkeit überall in gleicher Weise , anders als ein gebogenes

Von der Krümmung des elastischen Bandes.

17

Band , das in den Teilen , die R näher liegen , stärker bean sprucht wird als in den anderen .

a) Endlich fügen wir noch hinzu, daß unter allen Figuren

von demselben Umfange, die über derselben Geraden Ag stehen, die elastische Kurve ARp die ist , die den Schwerpunkt der Fläche ARp am weitesten entfernt von Ag hat, ebens wi die Kettenlinie diejenige Kurve ist , bei der der Schwerpunkt der Kurve von dieser Geraden am weitesten absteht 10). Es ist

wohl am Platze , auf jene wunderbare Verwandtschaft hinzu weisen , die auf der einen Seite bei der Seilkurve und der

Segelkurve, auf der andern bei der elastischen Kurve und der Kurve eines Tuches , das von einer eingeschlossenen Flüssig keit gedehnt wird, auftritt.

Es bliebe nun noch übrig , unter Beibehaltung der gewöhn lichen Hypothese der Spannungen unsere Spekulationen weiter

zu verfolgen, indem wir erforschten, welche Kurven entstehen, wenn das elastische Band durch sein eigenes Gewicht ohne eine angehängte Last gebeugt wird ; wenn es von beiden zu gleich gebeugt wird ; wenn es nicht in bezug auf Länge und Dicke gleichförmig ist , sondern z. B. dreieckige oder irgend eine andere Gestalt besitzt , und die beugende Kraft erstens an der Spitze, zweitens an der Basis angreift. Weiter, welche Krümmung das Band haben muß , damit es durch ein ange hängtes Gewicht oder durch sein eigenes Gewicht oder durch dies könnte von beides in eine Gerade ausgestreckt werde Nutzen sein bei der Anbringung der Arme aller Arten von Wagen , bei denen die Mittelpunkte der Bewegung und der Aufhängungen in einer vertikalen Geraden liegen sollen. Weiter, welche Gestalt man dem Bande geben muß , damit es

durch Biegung eine gegebene Krümmung erlange, und tausend derartige Fragen 11) . Die charakteristischen Eigenschaften aller dieser Kurven und die Konstruktionen einiger kann ich dar legen, von denen ich festgestellt habe, daß sie von der zweiten oder dritten Art transzendent sind .

Aber das Meiste ist mir

noch nicht ganz klar, und es kommt nicht einem zu, alles zu betreiben. Außerdem muß auch einiges dem Fleiße unserer Leser überlassen bleiben , denen hierdurch das , was wir ge funden haben , zu vervollkommnen reichlich Gelegenheit ge liefert wird 12).

Ostwalds Klassiker.

175.

2

Leonhard

Von

den

Euler .

elastischen

Kurven .

Additamentum I zum Methodus inveniendi lineas curvas maximi

minimive proprietate gaudentes. Lausanne und Genf 1744. 1. Schon längst haben einige hervorragende Mathematiker eingesehen, daß die in diesem Buch vorgetragene Methode nicht nur in der Analysis , sondern auch bei der Lösung physika lischer Probleme von Nutzen sei. Da nämlich der Plan des gesamten Universums der vollkommenste ist und von dem wei sesten Schöpfer festgelegt worden ist, so geschieht nichts auf der Welt, dem nicht irgendein Verhältnis des Maximums oder Minimums zugrunde liegt. Deshalb kann weiter kein Zweifel

bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt aus den Endur sachen mit Hilfe der Methode der Maxima und Minima gleich gut bestimmt werden können wie aus den bewirkenden Ur sachen. Dafür gibt es schon so ausgezeichnete Beispiele , daß zur Bestätigung dieser Wahrheit wir weiterer Beispiele nicht bedürfen ; vielmehr wird man danach streben müssen, daß in jeder Art naturwissenschaftlicher Fragen die Größe bestimmt werde , die einen größten oder kleinsten Wert annimmt. Diese Aufgabe scheint mehr zur Philosophie als zur Mathematik zu gehören . Da also ein doppelter Weg gegeben ist, die Wir kungen in der Natur zu erforschen, einmal aus den bewir kenden Ursachen , was man die direkte Methode zu nennen pflegt, zweitens aus den Endursachen , so wird sich der Mathe matiker beider mit gleichem Erfolge bedienen. Wenn nämlich die bewirkenden Ursachen zu verborgen liegen , die Endur sachen aber klarer liegen , so ist die Aufgabe durch die in

Von den elastischen Kurven.

19

direkte Methode zu lösen . Im Gegenteil wird die direkte Methode angewandt werden , jedesmal wenn aus den bewir kenden Ursachen die Wirkung definiert werden kann. Beson ders aber soll man darauf sehen , auf beiden Wegen die Lösung Dann wird nicht nur die eine zur zugänglich zu machen . Bestätigung der anderen dienen , sondern die Übereinstimmung beider erfüllt uns mit höchster Befriedigung. Die Krümmung eines Seiles oder einer aufgehängten Kette ist so auf doppel zuerst a priori aus den Wir tem Wege ermittelt worden , kungen der Schwere , dann durch die Methode der Maxima und Minima , weil klar ist , daß ein solches Seil eine derartige Krümmung annehmen muß , daß der Schwerpunkt möglichst tief liegt. In gleicher Weise ist die Krümmung der durch ein durchsichtiges Medium von verschiedener Dichte gehenden Strahlen sowohl a priori bestimmt worden , als auch dadurch, daß sie in der kürzesten Zeit nach einem gegebenen Orte ge langen müssen . Sehr viele ähnliche Beispiele sind von den berühmten Herren Bernoulli und anderen beigebracht worden , denen die Methode der Lösung a priori und die Kenntnis der bewirken den Ursachen bedeutende Vervollständigungen verdanken . Ob gleich also wegen so vieler und so hervorragender Beispiele kein Zweifel bleibt, daß bei allen Kurven , die bei der Lösung von Aufgaben der mathematischen Physik vorkommen , die Eigenschaft des Maximums oder Minimums auftritt, so ist doch oft dieses Maximum oder Minimum schwer zu erkennen , ob wohl man es aus der Lösung a priori hätte ermitteln können . So ist die Gestalt, die ein gekrümmtes elastisches Band an nimmt, schon längst bekannt, jedoch ist bis jetzt von niemand bemerkt worden, wie diese Kurve durch die Methode der Ma xima und Minima, d . h . also durch die Endursachen , erforscht werden könne . Nun hat mir der hochgeehrte und in dieser Art, die Natur zu erforschen, sehr scharfsinnige Herr Daniel Bernoulli mitgeteilt, daß die gesamte Kraft, die ein gekrümm tes elastisches Band enthält, in einer Formel , die er die der Potentialkraft nennt, zusammengefaßt werden könne, und daß dieser Ausdruck bei der elastischen Kurve ein Minimum wer den muß 13) . Da durch diese Entdeckung auf meine Methode der Maxima und Minima in wunderbarer Weise neues Licht fällt, und ihre sehr weitgehende Anwendung klar vor Augen tritt, so habe ich geglaubt, diese sehr erwünschte Gelegenheit nicht vorübergehen lassen zu dürfen, ohne daß ich zugleich 2*

Leonhard Euler.

20

mit der Veröffentlichung jener ausgezeichneten, von dem be rühmten Bernoulli entdeckten Eigenschaft der elastischen Kurve die Anwendung meiner Methode klar legte. Jene Eigenschaft schließt auch in sich Differentiale zweiter Ordnung, wie sie bei der Lösung der isoperimetrischen Aufgabe noch nicht vor gekommen sind .

Von der Krümmung des gleichförmigen elastischen Bandes . 2. Es sei A B ( Fig . 1 ) ein elastisches, beliebig gekrümmtes Band; der Bogen AM werde mit s bezeichnet und der Krüm mungsradius in M mit R ; dann wird nach Bernoulli die Po tentialkraft, die in dem Teil AM enthalten ist , durch die ausgedrückt, wenn das Band überall gleich dick,

Formel R2

Fig . 1 . m

B

M

A

R

breit und elastisch und im natür lichen Zustande in gerader Rich Daher tung ausgedehnt ist 14) . wird es eine Eigenschaft der Kurve AM sein , daß bei ihr dieser Aus druck ein Minimum ist. Weil aber in den Ausdruck des Krümmungs radius R Differentiale zweiten Grades eingehen , so braucht man vier Bedingungen zur Bestimmung einer mit dieser Eigenschaft be hafteten Kurve , und dies ent spricht gerade der Natur unserer Aufgabe. Da nämlich durch zwei gegebene Endpunkte A und B un endlich viele elastische Bänder von derselben Länge gelegt wer

den können, so wird die Lösung nur eindeutig, wenn außer zwei Punkten A und B zugleich zwei andere Punkte oder, was auf dasselbe hinauskommt , die Lage der Tangenten in den Endpunkten A und B gegeben sind . Das gegebene ela stische Band , das länger ist als die geradlinige Entfernung AB, kann nicht nur so gebogen werden , daß es zwischen die End punkte A und B zu liegen kommt, sondern daß die Tangenten in diesen Punkten gegebene Richtungen besitzen . Danach

Von den elastischen Kurven .

21

kann die Aufgabe, die Krümmung des elastischen Bandes zu finden, so gestellt werden : Unter allen Kurven derselben Länge , die durch die Punkte A und B gehen und in diesen Punkten von der Lage nach gegebenen Geraden berührt werden , die zu bestimmen , bei welcher rds ein Minimum sei « . der Wert des Ausdrucks Sims 3. Da die Lösung auf rechtwinklige Koordinaten bezogen werden soll, so werde eine beliebige Grade AD zur Achse In ihr sei AP = x, und die Ordinate PM sei genommen. gleich y ; es werde, wie es die gefundene Methode vor Fig. 2. schreibt , dy = pdx, dp = qdx B gesetzt. Das Kurvenelement Mm wird sein

Mm

=

мт

ds = da V1 + p2 .

Weil die Kurven , aus denen die gesuchte zu ermitteln ist, isoperimetrisch sein sollen, wird man erstens zu betrach ten haben den Ausdruck

A

P

D

Sdx V1 + p2; dieser, mit dem allgemeinen S Zdx verglichen , gibt differenziert: 1 р -d Zweitens , weil der Krümmungsradius gleich 11 + p2 do 을 da (1 + p ) = R ist, verwandelt sich die Formel dp a ds q2dx die ein Minimum werden soll, in R2 (1 + p2

Dies werde mit der allgemeinen Formel | Zdx verglichen ; es wird sein : 92 Z= ( 1 + p2)3

Da gesetzt ist dZ = Mdx + Ndy + Pdp + Qdq, so wird sein : 29 5 pq? Q M = 0, N = 0 , P = ( 1 + p2) (1 + p2)

22

Leonhard Euler.

q2 dx ( 1 + p2)

Der aus der Formel

abzuleitende Differentialaus

druck ist also :

d2 Q

dP +

dx2

dx

Für die gesuchte Kurve wird man daher folgende Gleichung haben : a

P

dP

d2 Q

dx

da2

d dx

11+ p

2

Multipliziert man mit dx und integriert, so erhält man : dQ

ap

+B

P

dx

V1 + p2

Diese Gleichung werde mit dic = dp multipliziert, so daß her vorgeht: a pdp

+ Bdp = Pdp — qd Q.

V1 + p2 Wegen M = 0, N = 0 ist aber dZ = Pdp + Qdy, also Pdp = dZ - Qdq. Setzt man diesen Wert ein, so entsteht : ap dp + pdp = dZ - Qdq - qdQ. V1 + p2

Aufs neue integriert , folgt:

a V1 + p2 + Bp + y = Z - Q9. Da aber 2 =

92 ( 1 + p2 )

und Q

29 (1 + p2jë , so wird sein :

q? a V1 + p2 + Pp + y =

(1 + p27

Man nehme die willkürlichen Konstanten negativ , so hält man :

dp +

Daraus folgt also :

V1

dx

er

Von den elastischen Kurven.

23

dp doc ( 1 + p2)* V a Vi + p2 + Bp + y Weil dy = pdx, hat man auch :

pdp dy = ( 1 + p2 )* V a V1 + pa + Bp + r Diese beiden Gleichungen genügen , die Kurve durch Qua draturen zu finden . 4. Von diesen ganz allgemein abgeleiteten Formeln ist keine integrierbar ; sie können aber so verbunden werden , daß die Verbindung eine Integration zuläßt. Da nämlich :

d

2 VaV1 + p2 + Bp + y 4 V1 + p2 dp (B — 70).

7 ( 1 + p2 * VaV 1 + p2 + Bp + y So wird sein

2 V aV1 + p2 + Bp + y = Bx - 7y +8 . ( 1 + p2 ) Da die Lage des Nullpunktes auf der Achse beliebig ist, so kann & fortgelassen werden . Dann kann die Achse so ge ändert werden , daß

X

Bx — YY und Y = yx + By : 15) V 82 + 72

Vp2 + y2

hierin kann sicher y gleich Null gesetzt werden , da nichts im Wege steht, die neue Abszisse wieder durch x auszudrücken . Dann erhalten wir für die elastische Kurve die Gleichung : 4 2 VaV1 + p2 + Bp = BxV1 + p2. Durch Quadrieren entsteht : 4 aV1 + p2 + 4Bp = 32x2 V1 + p2 .

Leonhard Euler.

24

Um homogen zu machen , sei a =

4m und B a2

4n

a2 :

so wird sein : na? p = (n202 — ma2) V1 + p2, daher

n2 x2

ma2

p Vn2a4 -- ( n2x2 — maa)2

dy də

Wenn man die Konstanten ändert und die Abszisse X um eine gegebene Konstante entweder vermehrt oder vermin dert 16) , hat man Gleichung

für die

allgemeine

elastische Kurve

die

(a + B x + y x2) də dy Vat - ( a + 3x + y2)2 daraus folgt: a2 dx ds Vat - la

+ px + y 2) 2

Aus diesen Gleichungen geht die Übereinstimmung der so gefundenen Kurve mit der schon früher ermittelten elastischen Kurve hervor. 5. Damit diese Übereinstimmung noch klarer vor Augen trete, werde ich die Natur der elastischen Kurve auch direkt untersuchen . Obgleich dies von dem hochgelehrten Herrn Jakob Bernoulli schon in ausgezeichneter Weise geschehen ist, werde ich doch bei dieser Gelegenheit über die Eigenschaften der elastischen Kurven, ihre verschiedenen Arten und Figuren einiges hinzufügen , was , wie ich sehe , von andern entweder übersehen oder nur leicht gestreift worden ist. Das elastische Band AB sei an einer Mauer oder festem Boden (Fig. 3 ) so befestigt, daß das Ende B nicht nur fest bleibt, sondern auch die Lage der Tangente in B bestimmt sei. In A sei das Band mit der starren Stange AC verbun den , an der senkrecht die Kraft CD = P angreift; dadurch befindet sich das Band in der gekrümmten Lage BMA. Es werde AC zur Achse genommen , AC sei gleich C , AP = x , MP y . Wenn nun das Band in M jede Elastizität plötz lich verlöre und vollkommen biegsam würde , so würde es von einer Kraft, deren Moment = P ( c + x) ist , gebogen werden.

25

Von den elastischen Kurven .

Damit durch diese Biegung keine Bewegung erfolgt, muß die Elastizität des Bandes in M im Gleichgewicht sein mit dem Moment der wirkenden Kraft P (c + x) .

Die Elastizität hängt

aber zuerst von dem Material des Bandes ab, das ich überall

als unveränderlich annehme, dann aber auch von der Krüm mung des Bandes in M , so daß sie umgekehrt proportional (ds) 3 dem Krümmungsradius in M ist. Es sei dieser R – dxdly' Ek2 hierin ist ds = Vdx2 + dy2 und dx ist konstant, es drücke R

Fig. 3.

B M

N

A

P

T C

die elastische Kraft des Bandes in M aus , die mit dem Mo

ment der angreifenden Kraft Pc + r) im Gleichgewicht stehe. Es besteht also die Gleichung : 1

EK2

E k2 do dży

R

(ds) 3

Pc + x) =

Diese Gleichung mit dx multipliziert wird integrierbar ; das Integral wird sein : Ekdy

P (4x2 + cx + f) =

V dx2 + dye? daher ist

dy

Pdx ( 1 x2 + cx + f) P2 (4 x2 + 2x + 5) 2

V E2k4

26

Leonhard Euler.

Diese Gleichung stimmt überein mit der, die ich durch die Methode der Maxima und Minima allein aus dem Bernoulli schen Prinzipe abgeleitet habe. 6. Aus dem Vergleiche dieser Gleichung mit der vorher gefundenen kann die Kraft hergeleitet werden, die erforderlich ist, die gegebene Krümmung des Bandes zu veranlassen. Es möge das elastische Band durch die Kurve AMB dargestellt sein , deren Gleichung ist :

x + y x2) da

(a + dy

V at — (a + Bx + y42)2 Ek2 möge die absolute Elastizität dieses Bandes ausdrücken , so daß Ek2 durch den Krümmungsradius an einer beliebigen Stelle dividiert, die wahre elastische Kraft ergeben möge. Um die Vergleichung durchzuführen , werde Zähler und Ek2 multipliziert, so daß man hat Nenner mit a2 Ek2dx ( a + B x + 7x2) : a2 dy E24 E2 k4

(a + Bx + y 22) 2

a4 Es wird also sein :

- 4P =

Ekzy . ; a2

- Pc =

Ek28 a2 ;

Ekla > a2

2 Ek2n ; die a2 a

also ist die angreifende Kraft CD

B AC==

--- Pf =

Länge

und die Konstante f = 27

2 y

7. Damit also das elastische Band AB, von dem das eine Ende B in der Mauer befestigt ist, in die Gestalt AMB ge bogen werde , muß dieses Band in der Richtung CD, senk 2 E ky ange recht zur Achse AP, von der Kraft CD a2 griffen werden , wo AC =

B gesetzt ist . 2n

es die Figur angibt. Ek2 eine positive Größe ist. Weil das Mo R

nach entgegengesetzter Richtung ,

wirken , wenn

Diese Kraft wird

wie

Von den elastischen Kurven.

ment

der treibenden Kraft darstellt ,

so wird

27

Ek2 gleichbe a.2

deutend sein mit einer reinen Kraft, und diese Kraft wird aus - F; dann ver der Elastizität des Bandes bestimmt. Sie sei hält sich die beugende Kraft CD zur Kraft F wie 2 y zu 1 , wo y eine reine Zahl ist. 8. Jetzt kann weiter die Kraft bestimmt werden , die nötig ist , den Teil BM des Bandes in seiner Lage zu erhalten, wenn der Teil AM abgeschnitten wird. Ist dieser Teil AM abgeschnitten , so endige das elastische Band in der starren Stange (Fig. 3 , S. 25 ) MT, die mit dem Bande so verknüpft ist, daß sie stets die Richtung der Tangente im Punkte M angibt, wie auch das Band gebogen werde. Nach diesen Fest setzungen ist aus dem Vorhergehenden klar, daß zur Erhaltung der Krümmung BM die Stange MT im Punkte N in der Rich tung ND von einer Kraft

- 2 Ekay gezogen a2

werden

muß.

Die Entfer

ND ist normal zur Achse AP und AC

2 y nung MN wird sein

dsB + 2 7

ds

P + 2 yo ds

СР .

dx

da

22

2 ydx

dabei ist ds

a2

dx

Vat - (a + 3x + y 2)2

Wenn die Kraft N D in zwei Komponenten zerlegt wird, NQ senkrecht zur Tangente MT und NT in Richtung der Tan gente , so hat man : 2 Eka , dx NQ a2 ds und NT

2 Ek2ny dy ds a2

9. Schneidet man den Teil B M ab , so wird AM in der 2 Eky Richtung CD wie vorher von der Kraft angegriffen . a2 Zur Erhaltung der Krümmung des Teils AM muß der End punkt M , der als festverbunden mit der starren Stange MN

Leonhard Euler.

28

in Richtung der Tangente anzusehen ist, in N von einer Kraft 2 Eky angetrieben werden , aber in entgegengesetzter Rich a2 tung von der, die wir im vorigen Falle gefunden haben . Be ständig nämlich heben sich diese Kräfte, die an beiden End punkten des gekrümmten Bandes anzugreifen haben, auf : sie müssen also gleich sein und entgegengesetzte Richtungen haben . Es können demnach die Kräfte, die an einem Teil des zer schnittenen Bandes so anzubringen sind, daß die vorhandene Krümmung erhalten bleibt, sehr leicht bestimmt werden . 10. Es sei AM ein elastisches gekrümmtes Band, mit dem in A und M die starren festen Stangen AD, MN verbunden seien . An diesen Stangen mögen in entgegengesetzten Rich tungen die gleichen Kräfte DE und NR angreifen, die im Fig. 4 . Gleichgewicht die stehend M R Krümmung des Bandes AM

N

hervorrufen, für die die Glei chung aufgestellt werden soll. Die durch A gehende und zur Richtung der beiden vorigen Kräfte senkrechte Gerade AP с A P werden zur Achse genommen. Die absolute Elastizität des Bandes werde gleich El2 ge setzt. Es sei sin CAD = m , cos CAD En, wobei CAD der Winkel ist, den die Tan D gente in A mit der Achse bil det. Es ist also m2 + n2 = 1 . Ferner sei AC = C und die beugende Kraft DE = NR = Die Kurve wird dann P , endlich AP = 3 und PM = y . durch die Gleichung ausgedrückt: Pdc (1 x2 + x +

f)

dy

VE2 kt – P2 (3x2+ cx + f) 2 Weil

die Richtung der Tangente in A gegeben ist , muß für

= 0

dy dxc

т. n

29

Von den elastischen Kurven.

sein ; also

- Pf VE2 k4 – P2 f2

m n

m

;

m2

V1

daher ist

Pf. m =

Ek2

Hierdurch wird die Konstante f bestimmt, es ist m Ek2

f P

Demnach ist jetzt die ganze Kurve bestimmt. Fig. 5.

as

C A

P

B

F

b

d E

11. Um das Band AM in die Kurve zu biegen, die durch obige Gleichung ausgedrückt wird, muß an der Tangente AD C

im Punkte D, wobei AD n ist , die Kraft DE = P an greifen . Ihre Richtung sei der Ordinate PM parallel. Es werde diese Kraft DE in zwei Komponenten zerlegt Dd und Df, die aufeinander senkrecht stehen ; dann ist Dd

Pn und Df = Pm. Damit die Betrachtung der Geraden A D für die Rechnung unnötig werde, können an Stelle der Kraft Dd in den gegebenen Punkten A und B, wobei AB = h sei,

zwei Kräfte substituiert werden, nämlich Aa = p und Bb

-9 ,

Leonhard Euler.

30

die gleichfalls zur Stange AB senkrecht sind.

und daß

h

Pn

Pn · BD :

h

annehmen, daß p

Dazu muß man

: p + n P ist. Weil es aber nicht darauf ankommt, in 9 welchem Punkte der Stange AD die Tangentialkraft Df = Pm angebracht ist, so werde sie gerade im Punkte A angebracht, und man setze AT = m P. Es sei AF : r, so daß das Band AM unter dem Einfluß der drei Kräfte Aa = p , Bb = q und AF= r steht. Wir wollen untersuchen , welchen Einfluß diese drei auf die Krümmung habe . r 12. Es war m P = r, also P dies ergibt, in die früheren m Gleichungen eingesetzt , nn nhr und q = p + mт m 7

Cr ma

ph

also ist n

9

P

m

19

aus dieser Gleichung wird die Lage der Achse AB bekannt, es war ja r m tg CADE 12 a p' also

r

9 -P

und n =

m

V 22 + (a

V r2 + ( 9 - p )

Aus der Gleichung cr

nhr m

hup m

Cr m - hq + hp ,

folgt mhq oder c = 1

ng Vr2 + (9 - p2

und P =

V12 + (9 - p )

Da nun

m Ek2

EK2

f=

P

p2 + (9 - p 2 ''

p2

Von den elastischen Kurven .

31

so wird hqx

Ek27

V12 + ( - p )

92 + (9 - p)2

} x2 + cx + f = { x2 +

Für die gesuchte Kurve erhält man also die Gleichung : Ek2r dac - hqx - } x2 V^ 2 + (9 - p)2 V p2 + (a p) 2 dy Ek2r E2k4 hqx - 4x2 V12 + ( 9 -p) 2 Vr2 + (9 - p ) 2 V Diese Gleichung ist sehr bequem bei der Untersuchung der gewöhnlichsten Art, Bänder zu biegen , wenn man dieselben entweder mit der Zange oder mit zwei Fingern faßt. Der eine Finger drückt in Richtung Aa, der andere in Richtung Bb , außerdem kann das Band noch in der Richtung AF gezogen werden . 13. Verschwindet die Tangentialkraft AF = r, so fällt die Achse AP in die Richtung der Tangente AF. Man hat dann :

- dx (hqx + 1 (9 - p )x2] dy VE284 — [hqx + 1 (q − p ).22]2 Sind die Kräfte p und q unter sich gleich , so steht die Achse AP wegen n = 0 senkrecht zur Tangente AF ; als Gleichung der Kurve ergibt sich :

dx ( E k2 — hqx — } rx2] dy V2 E k2(hqx + 1 rx2) — (hqx + { rx2)2 Wenn hierin r

: 0 gesetzt wird , so daß das Band in A und B

von gleichen , aber entgegengesetzt gerichteten Kräften angegriffen wird , so ist der Ausdruck der zugehörigen Kurve

d.c (EK2 — hqx) dy V hp ( 2 Ek2 x — hqx2) Diese Gleichung gibt integriert :

y :

2 Ek2x - hg 2 126 ha

die Kurve ist daher ein Kreis .

Das Band ist also in diesem Ek2 Falle kreisförmig gebogen , der Radius des Kreises ist ha

Leonhard Euler.

32

Die neun Arten der elastischen Kurven . 14. Da wir gesehen haben , daß unter den elastischen Kurven nicht nur der Kreis, sondern eine unendliche Mannig faltigkeit von Kurven vertreten ist, so wird es wohl der Mühe wert sein , eine Aufzählung aller Arten von Kurven, die zu dieser Gattung gehören , vorzunehmen . Dadureh wird nicht nur die Natur dieser Kurven genauer erkannt, sondern in irgend welchem vorliegenden Falle wird man aus der Gestalt allein beurteilen können, zu welcher Art die Kurve gehört. Wir wollen die Unter schiede der Arten so festlegen, daß die Arten aufgezählt werden sollen , wie die Arten algebraischer Kurven, die in einer gegebe nen Ordnung enthalten sind , aufgezählt zu werden pflegen 17. ) 15. Die allgemeine Gleichung der elastischen Kurven

( a + b 2 + y22) da

dy Vat – ( a + 3x + y & 2 ) 2 nimmt eine einfachere Gestalt an, wenn der Koordinatenanfang a2 B verlegt wird und für geschrieben 27 g wird a ? ( oder wenn y = 1 gesetzt wird) . Die Gleichung wird nämlich ( a + x2) doc dy Va + - (a + x2) 2

in der Achse um

Nun ist a4 – (a + 2 ) 2 = (a ? — a — 2) ( a2 + a + x2) , es sei a = c2, also a = 22 a2 Die Gleichung geht über in (a2 - 02 + x2 ) dc dy

V (c2

x 2) ( 2a2 – c2 + x2)

Da = 0 (siehe Nr. 6 ) , so ist die Richtung der das Band biegenden Kraft in A senkrecht zur Achse ; AD stellt also die 2 E k2 ist , Richtung der wirkenden Kraft dar, deren Größe a2 wenn Ek2 die absolute Elastizität ausdrückt (siehe Fig. 6) . dy c2 a2 16. Es sei x = 0 , dann wird Dieser dic c2 cV2 a2

Ausdruck stellt die Tangente des Winkels dar, den die Kurve AM in A mit der Achse AP bildet , der Sinus dieses Winkels a2 c2 ist dann a2

33

Von den elastischen Kurven .

2 Ek2 Wenn daher a =

und also die krümmende Kraft a2

verschwindet, ist das Band in A senkrecht zur Achse AP und hat keine Krümmung. Für a := 0 ergibt sich als Gestalt des Bandes die gerade Linie. Die erste Art der elastischen Kurven wird also von der nach beiden Seiten ins Unendliche ver

längerten Geraden dargestellt. 17. Ehe wir die übrigen Arten aufzählen, wird es gut sein, über die Figur der elastischen Kurve einige allgemeine Fig. 6 .

2 n .

Id 19 m

P

A e

E

Pр MM

D

N

B

Bemerkungen vorauszuschicken .

Wenn a abnimmt, wird der

Winkel PAM (Fig. 6) , den die Kurve in A mit der Achse bildet, abnehmen , d. h . also je mehr die krümmende Kraft 2 EK2 zunimmt.

Wird a2

c2 , so berührt die Achse AP die

a2

Kurve in A.

Ist al
0 , aber c < a, d . h . c liegt zwischen den Grenzen 0 und a. Alsdann ist Winkel DAM kleiner als ein Rechter . Denn sin PAM = a2 -C2 cos DAM : In diesem Falle ist die Gestalt der a2 Kurve so , wie sie in Fig . 6 dargestellt ist. Weil ca, ist c2 1 πα c2 ; aber > 0 , also wird AC = f > > daher 2q2 2 2V2 ist al
7T2

demnach ist die Kraft ,

mit der die Enden A

und B des Bandes mit Hilfe des Fadens AB gegeneinander gezogen werden , größer als im vorhergehenden Falle , näm Ek2 912 lich > 4 27. Als dritte Art nehme ich den Fall c = a. Weil in diesem Falle die Achse AP die Kurve in A berührt , erhält diese Art den besondern Namen der rechtwinkligen elastischen Kurve. Bei ihr ist

a²dx

x²dx

und ds

dy = Va4 die Werte von AD und durch :

2c4

Vq4 .

X4

AC sind in diesem Falle gegeben

Von den elastischen Kurven . 1

AC =

a

12

1

22

2

+

= 2V

1 4

12

3

12. 32

22

1.2

22.42

1

-

12. 32.52 1 +

+

10 a

AD = b

12. 32 22.42

39

22.42.62

8

+ ...)

5 .

2V 2

3.4

12.32.52

7

22.42.62

5.8

-....) .

Obgleich weder b noch f durch a in geschlossener Form ausgedrückt werden können , habe ich anderwärts bewiesen,

daß eine bemerkenswerte Beziehung zwischen diesen Größen stattfindet. Ich habe nämlich gezeigt, daß 4bf= na2 ist 23), d. h. das Rechteck aus AD und AC ist gleich dem Inhalt

des Kreises , dessen Durchmesser AE ist. Bei Durchführung der Rechnung findet man annähernd f = 5α π oder a = 6 2 12f

daher ist die Kraft, mit der sich die Enden A und B

51

Ek2

des Bandes gegenseitig zusammenziehen

25 12. Genauer

1272

at a

findet man f =

1,180 3206 ; daher 2V2 πα2

a

4f

V2.1,803 206

b=

In bloßen Zahlen folgt also : f = 1,311 006 und a

24) .

= 0,598 96 a

28. Wenn c > a, entsteht die vierte Art, bei ihr soll je doch AD = b > 0 sein.

Daraus ergibt sich für c eine zweite

Grenze nämlich aus der Gleichung : 3

C2

1

2 a2

12.32 5

c4

+ 22.423 424

+

12

22

1 =

12. 32.527

22.42.625

C6

. 8a6 +

Bei dieser Art steigt die Kurve in A, da c > a, über die Achse AE empor ; sie bildet einen Winkel PAM, a2 c2 ; wir werden aber bald sehen , daß Sinus a2

dessen

dieser

40

Leonhard Euler.

Wenn er diesen Wert an

Winkel kleiner ist als 40 ° 41 ' .

nimmt, so verschwindet der Abstand AD ; diesen Fall behandle ich bei der fünften Art. Zur vierten Art gehören die Fälle, c2 zwischen den Grenzen 1 und 1,651868 ent bei denen a2

Die Form dieser Kurven wird aus der Figur er

halten ist.

sehen , wobei zu bemerken ist, daß, je näher

c2

an die Grenze a2

Fig. 7.

п.

с

d

9 M P

A

P

E

т

Q

C

D

R BВ

N 1,651868 heranrückt , desto kleiner der Abstand AD ist, und desto näher auch die Endpunkte A und B des Bandes sich gegenseitig kommen. Es kann daher vorkommen , daß die

Höcker m und R, ebenso M und r sich gegenseitig nicht nur berühren, sondern auch schneiden. Zuletzt kann es geschehen, daß alle Durchmesser DC, de unter sich und mit der Achse AE zusammenfallen .

29. Wenn dies geschieht, entsteht die fünfte Art, die durch die Gleichung

Von den elastischen Kurven .

41

(a2 -- c2 + x2) dx dy = x2) ( 2a2 — c2 + x2)

Vic2

ausgedrückt wird, wobei zwischen a und c die Beziehung be c2 Es werde = vgesetzt . Dann 2 a2 ist v aus folgender Gleichung zu bestimmen :

steht , daß AD = b = 0 ist.

1.3 1

1.1.3.5

1 · 1 · 3 · 3 · 5.7

v3 +

v2 +

v+

2 · 2

2.2.4.4

2 · 2

4

4 · 6 · 6

Wenn zuerst durch die jedem vertrauten Methoden oder durch bloßes Probieren die Grenzen gesucht werden , zwischen denen der wahre Wert von v liegt , gefunden v = 0,824 und v = 0,828 .

so werden als solche

Fig. 8. M

Cс

с A

P

m

Werden beide Werte in die Gleichung eingesetzt , so kann aus den Abweichungen , die beide Male entstehen , geschlossen c2 werden , daß v = 0,825 934 sein muß , daher a2 = 1,651868

c2

a2

und a2 kels PAM .

-

0,651 868 , dieser Wert ist der Sinus des Win Aus

der Tafel

ergibt sich dieser Winkel zu

40 ° 41', also ist Winkel MAN , der doppelt so groß ist, 81 ° 22 ' . Wenn daher die Endpunkte des elastischen Bandes so weit genähert werden , daß sie sich berühren , so werden sie die Kurve AMCNA (Fig. 8 ) bestimmen , und beide Enden werden unter 81 ° 22 ' zusammenstoßen 25) . 30. Wenn die beiden Enden A und B des Bandes zuerst so weit genähert werden , daß sie sich berühren , und dann mit

42

Leonhard Euler.

vermehrter Kraft in entgegengesetzten Richtungen weiter ge

bogen werden , so entsteht eine Kurve dieser Form (Fig . 9) AMCNB, welche die sechste Art bildet. Bei den Kurven c2 c2 dieser Art ist > 0,825 934 , aber < 1 . Für c2 = 2,2 2 a2

2 a2

entsteht die gleich zu erläuternde siebente Art. Fig. 9 . B

M

IR

C

D

N

A

р

ld

C

9 m

Bei diesen Kurven wird der Winkel PAM , den die Kurve

in A mit der Achse bildet , größer als 40° 41' , aber kleiner c2a2 als 90 ° sein . Denn sin PAM 7 und da c2 < 2 a?, a2 ist dieser Wert kleiner als 1 , er wird gleich 1 nur, wenn c2 = 2q2 ist.

31. Es sei c2 = 2 a2, so entsteht die siebente Art unserer Kurven. Die Gleichung lautet in diesem Falle

Von den elastischen Kurven.

43

(a2 - x2) doc dy x V 2 a2

22

Aus ihr erkennt man , daß die Äste A und B der Kurve sich in das Unendliche erstrecken , so daß AB eine Asymptote der Kurve wird . Also geht auch jeder Zweig AMC und BNC in das Unendliche , wie aus der Reihe , den Bogen AC gefunden war, erkannt wird .

die vorher für

πα

ACE

12 · 32.52 12 . 32 12 1+ + + + 22 22.42.62 22 . 42 2 V을2 (1

Die Summe dieser Reihe ist unendlich . Wenn also die Länge des Bandes AC = f endlich sein soll, so muß a = O sein , also auch CD = o = 0. Nach dem also das Band zu einem Knoten zusammen gebogen worden ist, dehnt es sich in diesem Falle wieder geradlinig aus . Um dies zu erreichen , braucht man eine unendlich große Kraft. Wenn aber das Band unendlich lang ist, so bildet es eine Kurve

:) .

Fig. 10 .

M

D

с

mit Knotenpunkt, die nach der Asymptote AB hin verläuft, und es ist CD = c . ( Fig. 10) . Die Gleichung A kann für diese Kurve mit Hilfe der Logarithmen in tegriert werden, man erhält:

C c + V 22 — x2 y = V02_2_log 2 X dabei ist die Abszisse x im Durchmesser DC angenommen ; es 0. y , denn für x = CD = C wird y ist DQ = = x und QM zu finden , Im Knotenpunkt ( wird y gleichfalls Null. Um werde gesetzt

Leonbard Euler.

44

2 V 02— x2

c + Vc2

22

- log с

V c2

C

Es sei cos 9

#2

dann ist sin I

-

und die Gleich с

C

ung wird : 2 sin I

- log tg

(45+ )

Der Logarithmus ist den natürlichen Logarithmen zu ent In Ermanglung einer Tafel derselben möge aus der gewöhnlichen Tafel der Logarithmus der Winkeltangente

nehmen.

ง

45 + 2

entnommen werden , von der Kennziffer werde die

10 weggenommen. Es bleibe dann w ; dann ist 2 sin = 6. 2,302 585 09 26). Nimmt man wieder gewöhnliche Loga rithmen, so ist log 2 + log sin = log w +0,362 215 6886 oder : log sin I log w +0,0611856930. Durch Anwendung

dieses Kunstgriffes wird bald ein angenäherter Wert für I ge funden und daraus weiter durch die regula falsi der wahre Wert von I, durch diesen wird DO bestimmt. Man findet so

J = 73 ° 14' 12", daraus folgt V c2

x2

0,288 4191 und C

= 0,9575042 с

90 56 ° 28 ' 24 ", daher wird Winkel Bei der fünften Art war der Winkel

Winkel QOM ist 29 MON = 112 ° 56 ' 48 ".

am Knotenpunkt 81° 22 ', also wird bei der sechsten Art der Winkel am Knotenpunkt zwischen 81° 22' und 112° 56'48"

liegen. Wenn bei der vierten Art ein Knoten auftritt, wird der Winkel kleiner als 81 ° 22 ' sein.

32. Es sei endlich c2 > 2 aạ, man setze c2 = 2 a2 + 92. Die Gleichung der Kurve lautet

dy

(22 – } c2 – 192)dx

V (c2 - x2) (w2 -- 9%) Diese Gleichung stellt die achte Art dar. Die Gerade dDd möge die Richtung der wirkenden Kraft sein, so ist x = DQ , y QM . Zuerst ist klar, nur wenn x > 9, kann y reell sein, dann aber kann X nicht über die Strecke DC =

gehen.

Wenn also DF

-

0 hinaus

-g gesetzt wird , so liegt die ganze

Von den elastischen Kurven .

45

Kurve zwischen zwei zu dd parallelen Geraden , die durch C und F gezogen sind , und die zugleich die Kurve berühren (Fig . 11). Es ist gleichgültig, welche der beiden Strecken oder g größer ist ; solange beide ungleich sind , wird die Gleichung nicht geändert, wenn c und g unter sich vertauscht werden . Weiter hat diese Kurve unendlich viele, unter sich parallele Durchmesser DC, de, dc usw. , und außerdem sind Fig . 11 . noch die durch G und H senk recht zu d Dd gezogenen Gera den Durchmesser 27) . Nirgends auf der ganzen Kurve findet sich ein Wendepunkt vor, da

TM d

с her geht die Krümmung gleich mäßig nach beiden Seiten in das Unendliche, wie es die Fi gur zeigt. Die Winkel MON in den Knotenpunkten sind größer als 112° 56 ' 48 ". 33. Weil in dieser (achten) Art nicht nur die Fälle ent halten sind, in denen g2 < c2, sondern auch in denen g2 > c2, bleibt als Fall noch C = g. In diesem verschwindet die ganze Kurve , weil CF = 0 wird. Wenn jetzt c und g beide als unendlich festgesetzt werden , so daß ihre Differenz aber end

9 n G

M

D

c Q

F

HΗ

m

d C lich bleibt, so wird die Kurve 9 eine bestimmte Gestalt besitzen . Um sie zu finden , werde gesetzt g = 0—2 h und x = c - h + t . Weil c sehr groß ist , h und t aber endlich, ist c2 + g = c2 2 ch ; x2 — 4c2 1 g2 2 ct. Dann ist aber c2 - 22 2 ch – t) und x2 – gº = 2c (h + t) . Aus allem diesen geht die Gleichung hervor tdt dy = Vh2 2 sie ergibt einen Kreis .

In diesem Falle wird das elastische

Leonhard Euler.

46

Band zu einem Kreise gekrümmt, wie schon vorher erwähnt. Der Kreis bildet die neunte und letzte Art.

34. Nach der Aufzählung dieser Kurven ist es leicht, in jedem vorliegenden Falle anzugeben , zu welcher Art die ent standene Kurve gehört. Das elastische Band sei in G (Fig. 12 ) an einer Mauer befestigt, am Ende A hänge ein Gewicht P , Man lege die wodurch das Band die Gestalt GA annehme. Tangente AT, dann wird allein durch den Winkel TAP die

Entscheidung möglich sein. Wenn dieser spitz ist, gehört die Kurve zur zweiten Art, wenn er ein rechter ist, zur dritten,

es wird dann die rechtwinklige elastische Kurve sein. Fig . 12

Ist dieser Winkel stumpf, aber kleiner als 130 °41', so gehört die Kurve zur vierten Art.

Zur fünf

T

ten gehört sie, wenn Winkel TAP == 130 ° 41'. Ist TAP größer, so gehört die Kurve zur sechsten

Art. Sie gehört zur siebenten, wenn jener Winkel zwei Rechten

G gleich ist, was sich aber nicht A

verwirklichen läßt. Diese Art zu sammen mit den beiden letzten

kann nicht dadurch hervorgebracht werden , daß man ein Gewicht unmittelbar an das Band hängt. 35. Damit erläutert werde , wie

P

die

letzteren

Arten

durch

Krümmung des Bandes hervor

gebracht

werden

können , sei

nicht unmittelbar an das in B feste Band, sondern an die

starre Stange AC, die mit dem Ende A des Bandes fest ver bunden ist, in C ein Gewicht angehängt, das in Richtung CD zieht (Fig . 3 bei Nr. 5 ) . Der Abstand AC sei h, die absolute Elastizität des Bandes Ek2 und der Sinus des Winkels MAP, den das Band in A mit der Horizontalen bildet , sei m . Weiter sei AP t und

PM = y, so wird als Gleichung jener Kurve gefunden : I.

dy

dt (m E12 – Pht – } Pt2) VE24- (m EK2 - Pht- Pt2 )2

Um die Gleichung auf die Form zu bringen , der wir uns bei

Von den elastischen Kurven .

47

der Einteilung der Arten bedient haben, werde gesetzt CP = X = htt. Man erhält :

dx ( mEk2 + { Ph2 — 4Px2) II 28) .

dy VE2 k4 - (m Ek2 + 4 Ph2 — 4 Px2)2

Die Gleichung verglichen mit :

- dx (a² III.

c2 + x2)

dy Vat

(a2

c2 + x22 2 Ek

liefert { Pa = E k2 oder a? =

P

und { Pc2 — { Pa2

mEk2 + } Ph2, daher

c2 -

2 (1 + m) Ek2 + h2. Р

36. Die Kurve gehört daher zur zweiten Art, wenn man hat : 2 m Ek2 2m Ek2 Ist also der Winkel + h2 < 0 oder P < P h2

PAM nicht negativ , so muß die Kraft P negativ sein , und die Stange muß in C nach oben gezogen werden. Die Kurve 2m Ek2 ist. Die vierte gehört zur dritten Art, wenn P = h2

Art ergibt sich , wenn 2m Ek2 + Ph2 > 0 , zugleich aber 2m Ek2 + Ph2 < 2 a Ek2 ist, wobei a = 0,651868 . Ist aber m ) Ek2 2 (a P 7 so gehört die Kurve zur fünften Art. Hat h2 man Ph2 > 20 . — m ) Ek2 und zugleich Ph2 < 2 ( 1 — m) Ek2, so hat man es mit einer Kurve sechster Art zu tun. Die Man m ) Ek2. siebente Art ergibt sich , wenn Ph2 = 2 ( 1 m ) Ek2. Wenn erhält nun die achte Art , wenn Ph2 > 2 ( 1 m : 0 , und der Winkel PAM ein rechter wird , so ist 1

die Kurve gehört immer zur achten Art. Endlich entsteht die neunte Art, wenn h o ist, wie ich es schon vorher an gegeben habe .

Von der Tragkraft der Säulen . 37. Was vorher über die erste Art bemerkt worden ist , kann dazu dienen , die Tragfähigkeit der Säulen zu bestimmen . AB (Fig. 13 ) sei eine vertikal über der Basis A stehende Säule ;

Leonhard Euler.

48

Die Säule sei so beschaffen , daß sie trage das Gewicht P. sie nicht gleiten kann . Ist das Gewicht P nicht zu groß, so In ist höchstens eine Verbiegung der Säule zu befürchten . diesem Falle kann die Säule gleichsam als mit Elastizität be Es sei die absolute Elastizität der gabt angesehen werden . 2f = a = AB . Wir haben vorher in Säule = Ek2, ihre Höhe Nr. 25 gesehen , daß die Kraft, welche erforderlich ist, um diese Säule in noch so geringem Maße zu verbiegen at Ek2 7t2 Ek2 Fig . 13. a2 4f2 ist. Wenn daher das zu tragende Ge P wicht P nicht größer ist als B

E12 k2

>

a2 ist überhaupt keine Verbiegung zu be fürchten . Ist P jedoch größer, so kann die Säule der Verbiegung nicht wider stehen. Bleibt aber die Elastizität der Säule und also auch ihre Dicke ungeän dert, so wird die Last P , die sie ohne Gefahr zu tragen vermag, sich umgekehrt wie das Quadrat der Höhe verhalten. Eine doppelt so hohe Säule wird nur den vierten Teil der Last tragen können. Dies kann man sich besonders bei hölzer nen Säulen zu Nutze machen , die der Verbiegung sehr unter worfen sind.

Bestimmung der absoluten Elastizität durch Versuche . 38. Damit die Krümmung jedes elastischen Bandes a priori bestimmt werden könne, muß die absolute Elastizität, die wir durch Ek2 ausgedrückt haben, bekannt sein . Dies kann durch Das gleich ein einziges Experiment bequem erreicht werde förmig elastische Band FH, dessen absolute Elastizität ge funden werden soll ( Fig. 14) , sei mit dem einen Ende F an einer festen Wand GK befestigt, so daß es die horizontale Lage FH einnehme ; die natürliche Schwere kann man hierbei nämlich vernachlässigen . An das Ende H werde ein beliebig gewähltes Gewicht P angehängt, wodurch das Band in die

49

Von den elastischen Kurven .

Lage AF gekrümmt werde. Die Länge des Bandes sei AF HF = f, die horizontale Grade AG = g und die vertikale GF h. Alle diese Werte sind durch Messung bekannt. Es werde die Kurve AF mit der durch die allgemeine Gleichung :

(c2 - a2 - 32 da dy

V ( C2 — x2)) ( 2a2 – 02 + x2)

Fig. 14 . K

F

H

т

A

G

рp

P

ausgedrückten verglichen ; dabei sind a und e durch f, g, h zu bestimmen. Die biegende Kraft wird sein 2 Ek2 P -

> daher Ek2

Pa2 .

a2

39. Weil die Tangente in F horizontal ist, so ist hier

dy da

0 , daher x = V c2 - a?. AG

und a2 = c2 — g2.

g wird also V c2

Wenn also in

(92 - x2) dx

dy V (c2 — x2) (c2 – 2g2 + x2) Ostwalds Klassiker. 175.

4

a2

Leonhard Euler.

50

x = 9 gesetzt wird, so muß sich ergeben y S = AF = f. Es ist aber

GF = h und

(c2 — 92) dx

ds = V ( C2 — « 2) (c2 — 2g2 + x2 ) Das Gewicht P möge sehr klein gewählt werden, so daß das Band nur wenig verbogen werde, dann ist a und daher auch c sehr groß. Es ist daher annähernd

1

24 g²x2 . + CC 2 c6

g2 +

( C4 — 2 c2 g2 + 2g2 x2 — 204) --

Durch Integration ergibt sich also annähernd : S =

(c2 - 92 25 ( c2 – 9 ) g233 + > 3 c6 10 c6

(c2 — g2) (c2 - 92)922 + c2

und g4x

9423

+ c2

3 C6

XC3

g22c5 106

3 c2

g2x3 3c4

+

g2x Y

g2x5 5 c6

X7

14c6

Setzt man x = g, so wird f= g

37 g5 29 30c4

und

h

2 g5 293 + 3 c4 3 c2

Um c zu finden, benutze man den Wert von h und vernach lässige auch noch das zweite Glied. Man erhält

c2

293 3h '

also

q2 = g2 (29 – 3 h )> 3h also ist Ek2 = { Pa2

Pg2 (29 – 3h) 6h

Dieser Wert wird vom wahren Wert kaum merklich sich unter scheiden , wofern man die Krümmung des Bandes nicht zu groß hat werden lassen .

Von den elastischen Kurven.

51

40. Die absolute Elastizität Ek2 hängt zuerst von der Natur des Materials ab , aus dem das Band verfertigt ist. Zweitens hängt sie von der Breite des Bandes ab , so daß , wenn alles übrige ungeändert bleibt, der Ausdruck Ek2 der Breite des Bandes proportional ist. Drittens aber spielt die Dicke des Bandes bei der Bestimmung des Wertes von Ek2 eine große Rolle . Ek2 scheint dem Quadrate der Dicke proportional zu sein . Der Ausdruck Ekº wird ein auf das elastische Material bezügliches Glied, die Breite des Bandes in der ersten und die Dicke in der zweiten Potenz enthalten. Folglich können durch Versuche, bei denen Länge und Dicke zu messen sind , die Elastizitäten aller Materialien unter sich verglichen und bestimmt werden .

Von der Krümmung des ungleichförmig elastischen Bandes . 41. Bis jetzt habe ich die absolute Elastizität Ek2 des Bandes , dessen Krümmung ich bestimmt habe, für seine ganze Länge als konstant vorausgesetzt. Die Lösung kann jedoch durch dieselbe Methode erfolgen, wenn Ek2 beliebig veränder lich angenommen wird . Es sei nämlich die absolute Elastizität eine beliebige Funktion des Bogens AM = s ( Fig. 3 ) . Diese Funktion werde S genannt. R sei der Krümmungsradius in M. Die Kurve AM , die das Band annimmt, wird so beschaffen sein, daß bei ihr, unter allen anderen von derselben Länge , " Sds ein Minimum ist. Dieser Fall wird durch die zweite Susas R2 allgemeine Formel gelöst 30) .

Es sei dy = pdx , dp = qdx und

dS =

Tds.

Es wird

darauf ankommen , unter allen Kurven , in denen ſdx V 1 + p2 denselben Wert hat, die zu bestimmen, in der Sq2 dx ( 1 + p2 ) ; ein Minimum ist.

Die erste Formel ſdxV 1 + p2 gibt

Differentialausdruck : 1 р d dcV1 + p2

4*

als

Leonhard Euler.

52

Die zweite Formel : Sq2d3c

>

( 1 + p2) gibt, mit ſ zdx verglichen : Sq2 Z=

( 1 + p2); Nun ist gesetzt worden : II =

dz = LIII + Mdx + Ndy + Pdp + Qdq.

S [Zdz .

q ? Tās d [2 ] = [ M ]dx + [N ]dy + [ P ]łp.

LaĪT = ( 1 + p2) '

q2T L=

also

(1 + p2) dī

= ds = dx V1 + p2, daher ist [ 2 ] = V1 + p2. P [ M ] = 0, [ N ] = 0, [ P ] = V1 + p2 N = 0,

Weiter ist M = 0,

2 Sq

5 Sq2P

und Q =

P=

( 1 + p22

( 1 + p2) Es ist also

qed S dZ =

+ Pdp + Qdq.

( 1 + p23 42. Es werde gebildet 92 Tdx

220 S

dx ( 1 + p2)

)

Der Wert dieses Integrals sei H , wenn x = a gesetzt wird . Diese Konstante a wird aus der Rechnung bald wieder herausgehen . Es wird also sein :

V =

H

5

948 ( 1 + p23

Der Differentialausdruck wird also werden : dP dx

d2Q 1 d [ P ] .V + dx2 dx

53

Von den elastischen Kurven .

Aus den beiden Differentialausdrücken folgt als Gleichung der gesuchten Kurve : CC

dP

р

-d

dx

d2Q

1

+

-t

11+ p2

dx

.

dx

d [ P ]V– dx2

Durch Integration erhält man : dQ

ap

+ B = P + PV dx

V1 + p? oder :

ap

+B=

V1 + p2

Hр V1 + p2

dQ

92d S

р

+ P

Se

dx

Vi + p2J (1 + p2)3

Die Konstante H kann mit der Konstanten a zusammen

gefaßt werden , wodurch die Konstante a aus der Gleichung

herausgeht.

Man erhält so :

ap

da

р

dx

V1 + p2

+ B = P

V1 + p2

q2d S

S ( 1 + p2)

43. Diese Gleichung werde mit dp = qdx multipliziert. Alsdann kann für Pdp nach der letzten Gleichung der Nummer 41 :

dz- Qd9

eingesetzt werden , und

es

92d S

(1 + p23 entsteht folgende integrierbare

Gleichung : apdp + Bdp = dZ - 900- Qdq Vi + p2

q2d S

( 1 + p2) ; pdp Vi + p2

q2d S

)

( 1 + p2)3

Das Integral derselben ist : q2d S + p2 oder :

«V1 +p*+ 3p +y= 17* -V1 +P3/,***

Leonhard Euler.

54

Diese Gleichung werde durch V1 + p2 dividiert und von neuem differenziert: Вdp

ypdp

( 1 + p2)

( 1 + p2)

2q2d S 2 Sqda + ( 1+p2)3 + (1 + p2)3

+

6 Spq2d p 0.

( 1 + p2 Multipliziert man mit Вdp

v pdp

29

29

( 1 + p2) 29

so ergibt sich :

qdS + Sdq

3 Spodp

( 1 + p2)

( 1 + p2)

+

Weil aber dp = qdx und dy = pdx , so ist das Integral letzterer Gleichung : Sq = 0. a + 18x - 4yy + ( 1 + p23

( 1 + p2) also a entsteht, wenn man die Konstanten y und ß verdoppelt, diese Gleichung : S = a +pyy. R Nun ist aber der Krümmungsradius R =

Die Gleichung stimmt vorzüglich mit der der direkten Methode überein . Es drückt nämlich a + Bx — yy das Mo ment der biegenden Kraft aus , wenn eine beliebige Gerade als Achse angenommen wird 31) . Dieses Moment muß der abso luten Elastizität, durch den Krümmungsradius dividiert , gleich sein . So ist nicht nur die von dem sehr berühmten Herrn Bernoulli beobachtete Eigenschaft der elastischen Kurve voll ständig klargelegt, sondern es hat sich auch die Anwendung meiner schwierigeren Formeln bei diesem Beispiel in ausge zeichneter Weise bewährt. 44. Wenn daher die Kurve gegeben ist , die das ungleich elastische Band unter Einwirkung der Kraft P bildet ( Fig . 3 ) , so kann die absolute Elastizität des Bandes an einer belie bigen Stelle hieraus hergeleitet werden . Die Gerade CP , die zur Richtung der wirkenden Kraft senkrecht sei , werde als = S Achse genommen . Es sei CP = x, PM = y, der Bogen AM = und der Krümmungsradius in M gleich R , so wird , da das

Von den elastischen Kurven.

55

nach dem Punkt M übertragene Moment der Kraft P gleich S

Px ist ,

= Px , also S = PRx, folglich, da R in den ein R

zelnen Punkten der gegebenen Kurve als bekannt angenommen werden kann , die absolute Elastizität an jeder Stelle bekannt sein .

Wenn also die Substanz des Bandes und seine Dicke

überall gleich bleibt , die Breite aber sich ändert , so wird, weil die absolute Elastizität der Breite proportional ist , aus der entstandenen Kurve die Breite an den einzelnen Stellen gefunden.

45. Aus dem elastischen Bande sei die dreieckige Zunge fAf (Fig. 15) ausgeschnitten , die überall von gleicher Dicke sei. An jeder beliebigen Stelle M Fig. 15. ist die Breite mm proportional der S ๆ SO Länge AM . Setzt man AM ist die absolute Elastizität in M pro

portional zu s.

Sie sei

F

Das

Eks.

Ende ff des Bandes sei horizontal in einer Mauer befestigt, an die Spitze A werde das Gewicht P gehängt, wodurch M

die Mittellinie AF des Bandes in eine

mт

m

Kurve Fm A gekrümmt werde (Fig. 14 ), deren Natur untersucht werden soll. In der horizontalen Achse sei Ap = X , pm = y und arcus Am = s, so wird Eks Es ist :

sein .

Px = R

d 33 R=

A

dxday

Man multipliziere die Gleichung mit dx, so ergibt sich : -Eksdx2.day Pædx = ds3 oder :

+

Pxdx

sdc2 . day

Ek

=

0.

ds3

Nun ist aber

sdy

sday

sdy d2s

ds

ds

ds2

d

+ dy.

56

Leonhard Euler.

Setzt man dx als konstant voraus, so ist : dyday das ds

sdy

sdx2day + dy.

d

und daher :

ds

ds3

sdy

asdx2day

y.

ds

ds3

Daher ergibt die ursprüngliche Gleichung durch Integration : PX2

ta =

- sdy + y . ds

2 Ek

46. Es sei dy = pdx , so ist ds = dx V1 + p2. Man setze 2 EK

= C, so wird obige Gleichung : Р

x2

a+

sp =Y

с

oder :

aV1 + p2

V1 + p2

22V1 + p2

yV1 + p2

ср

р

+

S.

р

Diese liefert differenziert:

- adp + 2 xdx V1 + p2 ср p2 V1 + p2

x2 dp

dy V1 + p2

cp2V1 + p2

P

ydp da V1 + p2.

p2V1 + p2 Weil dy = pdx ist , reduziert sich die rechte Seite auf --ydp Daher wird :

p2 V1 + p2

2pxd . (1 + 22)

X2

cdp

с

a —Y

Es werde dp als konstant angesehen, so erhält man durch Differenzieren :

Von den elastischen Kurven .

-pdx =

57

2pxd2x (1 + p2) +, 2pdx2 1 + p2) + cdp

cdp

2 x dx (1 + 3p2

2cda

с

с

oder :

0 = cdxdp + 2 x d23 ( 1 + p2) + 2dxP (1 + p2) +- 6pxdx. Eine weitere Lösung dieser Gleichung ist nicht möglich. Die einfachste Kurvengleichung ist (nach Nr . 45 , Ende) : yds -- sdy

PX2

ds

2 Ek

Wenn x = 0 gesetzt wird, müssen nämlich auch y und s ver schwinden , also muß die Konstante a Null sein. Von der Krümmung der elastischen Bänder, die in natürlichem Zustande nicht geradlinig sind. 47. Auf diese Weise wird die Krümmung des gleichartig,

wie des ungleichartig elastischen Bandes bestimmt, wenn eine Kraft angreift und das Band , worauf Wert zu legen ist , in Fig . 16. a my

M

А С P P

B

natürlichem Zustande geradlinig ist. Wenn aber das Band im natürlichen Zustande schon gekrümmt ist , so wird es durch die wirkende Kraft eine andere Krümmung annehmen. Um letztere zu finden , muß man außer der wirkenden Kraft und

Leonhard Euler.

58

der Elastizität diese natürliche Figur des Bandes kennen. Es stelle daher die Kurve Bma die natürliche Gestalt des Bandes Ek2 sei . Diese dar (Fig. 16 ) , dessen Elastizität überall natürliche Kurve werde von der wirkenden Kraft P in die Gestalt BMA übergeführt. Durch A werde senkrecht zur Richtung der Kraft die Gerade CAP gelegt und diese zur Achse genommen . Es sei ACEC, AP = x, PM = y , dann ist für den Punkt M das Moment der wirkenden Kraft P (c + x) . 48. Ferner sei der Krümmungsradius der gesuchten Kurve in M = R und der Bogen am der natürlichen Kurve gleich s, also : arcus am = arcus AM = s ; r sei der Krümmungs radius in my der durch den Bogen s der bekannten Kurve am B gegeben wird . Da in M die Krümmung größer ist , so ist R < r. Der Überschuß des Elementarwinkels in M über ds ds den in m ist Dieser Überschuß ist aber die Wir 1 R

kung , die von der angreifenden Kraft ausgeübt wird. hat man : 1 1 Pc + 2) = EK2 R

Daher

Dies ist die Gleichung der gesuchten Kurve , da » durch s gegeben ist , d . h . eine Funktion von x und y ist. Diese Kurve kann aber so nicht auf die schon betrachteten Arten zurückgeführt werden. 49. Wir wollen annehmen , im natürlichen Zustande habe das Band am B die Gestalt eines Kreises, es sei dann r = a , 1 1 also : Plc + x) - E k2 Mit dx multipliziert und R

integriert (siehe Nr. 5 gegen Ende) , wird aus ihr : P - dy * x2 + 2x + f ds a Ek2 + Ek2 Für c schreibe man с Alsdann wird diese Glei Pa

P chung :

LK2 (122 + cx +

-dy ds

Es ist dies dieselbe Gleichung, die wir vorher ( Nr . 5 ) für das in natürlichem Zustande geradlinige Band gefunden haben .

Von den elastischen Kurven .

59

Die in natürlichem Zustande kreisförmigen Bänder werden also zu denselben Kurven gebogen, welche die natürlich geradlinigen

Bänder annehmen, allerdings muß dabei der Angriffspunkt der Kraft, also auch die Strecke AC = c , für jeden der beiden Dieselben neun Arten von Kurven,

Fälle verschieden sein.

die wir vorher aufgezählt haben , ergeben sich als Figuren, die die natürlich kreisförmigen Bänder annehmen können. Wenn AC unendlich angenommen wird , so kann das kreis förmige Band in eine gerade Linie ausgestreckt werden. Wenn dann eine beliebige Kraft noch außerdem angreift, so kommt dieselbe Wirkung heraus, wie wenn sie allein an einem natür lich geradlinigen Bande angriffe. 50. Wir wollen voraussetzen , der Punkt C sei unendlich

fern, ganz unabhängig von der natürlichen Gestalt des Bandes. Das Moment der wirkenden Kraft ist dann überall dasselbe, 1 es sei , durch Ek2 dividiert, gleich jetzt ist: b 1

1

R

r

1

1

R

b

und

(Sids

+

1 b

1 .

1

S

b

+ S4s

ds

R

werde bezeichnet als Amplitude des Bogens AM , eben ds

die Amplitude von arcus am.

So ist

Diesen Ausdruck

Amplitude pflegt der sehr berühmte Joh . Bernoulli in der aus

gezeichneten Abhandlung » de motu reptorio « anzuwenden 32) . ºds

Es sei

ein Bogen im Kreise mit dem Radius 1 .

+ b

Weil r durch s gegeben ist, ist der Kreisbogen auch in s be Hieraus werden die rechtwinkligen Koordinaten x und y eines Punktes von BMA gefunden, nämlich : kannt .

ds

ds x =

ds sin

y b

b

Die gesuchte Kurve kann also mit Hilfe von Quadraturen ge funden werden .

51. Hieraus kann die Gestalt am B bestimmt werden, die

das Band in natürlicher Lage haben muß , damit es von der

Leonhard Euler.

60

in Richtung AP wirkenden Kraft in die gerade Linie AMB ausgestreckt werde ( Fig. 17 ) . AM sei gleich s angenommen, so ist Ps das Moment der wirkenden Kraft für den Punkt M , der Radius des Krümmungskreises in M ist nach Annahme un 1

endlich , also

0.

r, der Krüm

Weiter ist arcus am = s,

R

mungsradius in m , muß hier negativ genommen werden ,

da

Ek2

die Kurve konvex zur Achse ist.

oder

Daher ist Ps r

rs = al. Diese Gleichung gibt das Wesen der Kurve am B an . Fig. 17 . al mт

A

B

MM

P

1

· ds

s2

Die Amplitude

ist , so ist

52. Da a2

re

2a2

des Bogens am verhält sich also wie das Quadrat des Bogens . Die rechtwinkligen Koordinaten dieser Kurve sind demnach gegeben durch : $2

$2

= Sas sin 2a2

X =

= fdsds

y =

cos

2 a2

Von einem Kreise vom Radius 1 muß daher der Bogen $2

abgeschnitten werden, dessen Sinus und Kosinus zur Be 2 a2

stimmung der Koordinaten dienen .

Nun folgt unmittelbar aus

der Gleichung, daß mit wechselndem s der Krümmungsradius

Von den elastischen Kurven .

61

beständig abnimmt, es ist daher offenbar, daß die Kurve sich in das Unendliche nicht erstrecken kann , selbst wenn s un endlich wird. Die Kurve wird also zur Art der Spiralen ge hören , so daß sie nach Ausführung unendlich vieler Windungen sich in einen gewissen Punkt, wie einen Mittelpunkt, zusammen zieht. Es scheint sehr schwierig , diesen Punkt aus jener Kon struktion zu finden . Es ist sicher, daß die Analysis wesentlich gefördert werden würde, wenn jemand eine Methode entdeckte , mittels derer , wenigstens annähernd , der Wert der Inte s2 82 ds cos un ds sin grale angegeben werden 2 a2 2 a2 könnte für den Fall s = 0 . Es scheint dieses Problem wert

zu sein, daß die Mathematiker ihre Kräfte daran üben 33) . 53. Es sei 2 a2 = b2, dann ist :

82

32

1 314

1 310

1 s6

sin

+ 62

3 ! 66

62

$2

34 1

COS

1 38

1 312

4 ! 58

6 ! 612

+ 2 ! 64

62

usw.

7 ! 614 +

5 ! 710

usw.

+

Die Koordinaten 2 und y der gesuchten Kurve können dann bequem durch unendliche Reihen ausgedrückt werden . Man erhält : 33

s7

1.362

3 ! 766

X=

s11

s 15

5 ! 11510

7 ! 15b 14

+

+

35

+

S9

$ 13

4 ! 9 68

6 ! 13112

+

y= 2 ! 5 64

us Ꮃ.

USW.

Aus diesen Reihen, die für nicht zu große Werte des Bogens s stark konvergieren , können die Werte der Koordinaten x und y hinreichend genau bestimmt werden . Was für Werte aber x und y annehmen , wenn der Bogen s unendlich groß gesetzt wird , kann aus diesen Reihen in keiner Weise er schlossen werden. 54. Da die Einsetzung von s = 00 sehr große Schwierig keiten bereitet , so kann diesem Nachteil auf folgende Art abgeholfen

werden .

Es

V , dann ist s

sei

62 b dv

also :

ds

21

b1v ;

Leonhard Euler .

62

• dv

X = bldo sin v und y = 2 V

COS V.

Vo

Jetzt aber behaupte ich , daß die gewünschten Werte für und y , wenn s = o0 gesetzt wird , durch folgende Integral formeln gefunden werden :

b X=

1

1

1

dv

Vito

vo

+

+v

V 31 +0

1

1

V21 + v

V 31 to

V2

1 y:

1

+

+

Savl

e

Vitto

sin v :)s

+

8 v 34) .

Nach der Integration ist v = n zu setzen , wo n den Bogen bezeichnet, der zum Winkel von zwei Rechten gehört. Auf diese Art wird zwar das Einsetzen des Unendlichen vermieden , aber dafür wird die unendliche Reihe

1

1

V

Vtv

1 + ...

+ V 21 + v

in die Rechnung eingeführt. Da deren Summe bisher nicht bekannt ist, so macht die Lösung dieser Frage bis jetzt noch die größten Schwierigkeiten .

Von der Krümmung eines elastischen Bandes , an dessen einzelnen Punkten beliebige Kräfte angreifen . 55. Nachdem so die Methode behandelt worden ist ,

die

Krümmung eines beliebigen elastischen Bandes , wenn es von einer Kraft an einer gegebenen Stelle angegriffen wird , zu finden , wird es weiter darauf ankommen , die Krümmung eines von mehreren , ja von unendlich vielen Kräften gespannten Ba: les zu erforschen . Da es aber bis jetzt noch nicht fest steht, welcher Art der Ausdruck ist, der in diesen Fällen ein Maximum oder Minimum ist , werde ich die direkte Methode anwenden , damit vielleicht aus deren Lösung die Eigenschaft ermittelt werden kann , die ein Maximum oder Minimum ist. Das in natürlichem Zustande geradlinige elastische Band sei in die Gestalt Am M übergeführt zuerst von den endlichen Kräften P und Q , die in den aufeinander senkrechten Richtungen CE

63

Von den elastischen Kurven .

und CF angreifen ( Fig. 18 ) , dann aber von unendlich kleinen Kräften, die an den einzelnen Elementen des Bandes mu an greifen in Richtungen mp und mq , die den Richtungen CF und CE parallel sind . Nach diesen Festsetzungen sucht man die Natur der Kurve Am M.

56. Die Gerade FCA werde zur Achse genommen , es sei AC = C , AP = x , PM = y , der Kurvenbogen AM = s und der Radius des Krümmungskreises in M = R. Die konstante absolute Elastizität des Bandes sei Eka , und die Summe der Momente , die durch alle wirkenden Kräfte in bezug auf M Ek2 sein . Zuerst entsteht von der in entstehen , muß gleich R

Fig. 18. M

e s T me

F

N

9

c A

P

P

EE

Richtung CE ziehenden endlichen Kraft P das Moment P (c + x) . Es wirkt in dem Sinne , daß der elastischen Kraft das Gleichgewicht gehalten wird . Das Moment , das durch die andere Kraft Q entsteht, nämlich Qy, spannt in entgegen gesetzter Richtung. Daher entsteht durch die beiden endlichen Kräfte P and Q das Moment P ( c + x) — Qy . Es werde nun ein beliebiges Zwischenelement des Bandes mu betrachtet, dessen Abszisse Ap gleich Ğ und dessen Ordinate gleich n gesetzt werde . Die Kraft, die das Element mư in Richtung mp treibt, sei dp , und die Kraft, die es in Richtung mq treibt,

Leonhard Euler.

64

da.

Das Moment , das aus diesen Kräften für den Punkt

M entsteht, ist (20 — 5) dp— (y - n) dq. 57. Um die Summe aller dieser Momente zu finden, müssen der Punkt M und daher auch x und y einstweilen als Kon stanten betrachtet werden , so daß nur die Koordinaten & und n mit den Kräften dp und dq als Variable gelten. Die Summe der Momente, die von den am Bogen Am angreifenden Kräften

entstehen , wird also sein : «p -rsdp - YP + fnda; hierin drückt p die Summe aller Kräfte aus , die am Bogen AM in Richtungen parallel pm angreifen , und q die Summe aller Kräfte, die am Bogen AM in der Achse parallelen Richtungen Ap angreifen .

Es ist aber :

S $dp = 5p - ſpds und Sndq = n9 - Sqdn. Obige Summe wird daher :

(x - 5 )p + Spds- (y - n ) 9 - Sqdn. Der Punkt m werde jetzt nach M verschoben , dann wird :dx ; dn : dy. Daher wird die Summe aller über den ganzen Bogen AM genommener Momente

& = x, n = y und d's

Spdx - ſady. Demnach erhält man für die gesuchte Kurve die Gleichung : EK2 R

= Pc + x) — Qy + [ pdx --Sqdy.

58. Wenn ſpdx und Sqdy nicht ausgeführt werden können, muß die gefundene Gleichung durch Differentiation von den Integralen befreit werden.

Man erhält dann :

Ek2dR

= Pdx - Qdy + pdx - qdy. R2

Wenn aber weder p noch q durch geschlossene Ausdrücke angegeben werden können, sondern die Summen von unendlich vielen, unendlich kleinen Kräften darstellen, so müssen durch weitere Differentiation die Werte

P

und

9

herausgeschafft

werden, so daß dann auftreten dp und dq mit den Differen tialen zweiter Ordnung dạp und d-q.

Nach einer ersten Differentiation erhält man (wenn die

vorige Gleichung durch dx dividiert worden ist) : dy da dR dy a: Ek2d = dp -- (Q + 9) .d dx dx R2dx

Von den elastischen Kurven.

65

dy = w , so entsteht durch nochmalige dx

Es sei

Differen

tiation (wenn die soeben erhaltene Gleichung durch dw diert worden ist) : dR d dp da R2doc d – 2dq- qud Ek2 d dω dw dw

divi

Diese Gleichung steigt bis zu Differentialen vierter Ordnung an. 59. An Stelle der Vertikal- und Horizontalkräfte p und q mögen an den einzelnen Punkten Mzwei Kräfte angreifen, die eine in Richtung der Normalen MN = dv und die andere in Richtung der Tangente MT = dt ( Fig. 18) . Dann ist : dxd v

dydt

dxdt ds

dq =

und

+

dp

ds

ds

dy dv ds

Weil dy = wdx und ds = dxV1 + 02, ist dv

w dt

U2

V1 +

V1 +02

dt

wdv

V1 +02

V1 + 02

und dq =

+

dp

Setzt man dies in die letzte Gleichung ein , so ergibt sich :

dR du

2 w dv

- dt

R2 da E k2d dv

+ V1 +

2

+ 11 + 02d dw

V1 + w2

Diese Gleichung mit V1 + w2 multipliziert wird integrierbar . dR Es ergibt sich durch Integration ; Der Kürze wegen sei z = R2 dx '

dv ( 1 + ( 2) A --t +

Ek2 dω

d % .V1 + 0 2 dw

00

1 +

2 R2

V1 +02

Ek2

dR 1 1 + 002 d + 2 R2 02 V1 R2dc + dw ]

Da nun Ostwalds Klassiker. 175 .

5

Leonhard Euler.

66

(1 + (02) dx , do

R=

so ist

- ( 1 + 02)

dω

dx.

R

Setzt man diesen Wert von dw ein, so hat man, weil noch dx V1 + 02 = ds ist : Rdv

1

R

2 R2

ds

EK2

A - t ds

dR d

R2ds

oder in anderer Anordnung : Rdv

tt

A = Ek2 ds

2 R2

dR R d ds “ R2ds

$):

60. Zunächst ist nun klar, daß das Band, wenn die ela stische Kraft Ek2 verschwindet, in einen vollkommen biegsamen Faden übergeht. In den vorigen Gleichungen sind also alle Kurven enthalten , die der vollkommen biegsame , beliebigen Kräften unterworfene Faden bilden kann. Wird der Faden vom eige

nen Gewicht nach unten gezogen , so ist q = 0, p gleich dem Gewicht des Fadens A M , P = 0, also nach der ersten Gleichung pdx von Nr. 58 erhält man :

=

Q = einer Konstanten .

Dies

dy

ist die allgemeine Gleichung für Kettenlinien jeder Art. Der vollkommen biegsame Faden werde in den einzelnen Punkten von Kräften angegriffen, deren Richtungen (Fig. 18 ) zur Kurve selbst normal sind, z. B. in M werde der Faden in Richtung M N von der Kraft dv angegriffen. Weil t = 0 ist , so hat Rdv

einer Kon man (nach Nr. 59 ) die Gleichung : ds = A stanten . Dies ist die allgemeine Eigenschaft der Muldenkurven

und aller ähnlichen , bei denen Einwirkungen dieser Art statt finden .

Von der durch das eigene Gewicht verursachten

Krümmung des elastischen Bandes .

61. Ich kehre zu den elastischen Kurven zurück , bei denen die Aufgabe besondere Beachtung verdient, welche Gestalt das

Von den elastischen Kurven.

67

elastische Band annimmt, wenn es durch sein eigenes Gewicht gekrümmt wird. Es sei Am M diese gesuchte Kurve ( Fig. 18) . Weil allein die von der Schwere herrührenden Vertikalkräfte in Frage kommen , ist P = 0 , Q = 0,9 = 0 , und p drückt das Gewicht des Bandes AM aus . Es sei F das Gewicht des Bandes von der Länge a, so ist, weil ein gleichförmiges Band vorausgesetzt Fs wird , p = Die Natur der Kurve wird also durch folgende Gleichung (nach Nr. 58 ) ausgedrückt: Ek2 dR Fs da

R2

a

ds

ds sei u , dann ist R : SA R du und da ds.sin u, daher, wenn das Element ds konstant an genommen wird, findet man die Gleichung :

Die Amplitude der Kurve d . h.

s ds sin u

Ea k2 1

d2u ds

0.

Wie der bloße Anblick aber lehrt, ist diese Gleichung nicht weiter reduzierbar.

Fig . 19. A

P

B

MY

m NA 62. Besonders hervorgehoben zu werden verdient die Kurve, die eine Flüssigkeit in Ruhe nach Art von unendlich ausge dehnten elastischen Bändern annimmt. Es sei A MB ( Fig . 19 ) die gesuchte Gestalt der Kurve und AP = x, PM = y , AM= s. Das Element Mm wird in normaler Richtung M N von einer Kraft gedrängt, die zu ds proportional ist. Also ist dv = nds, dt = 0. Daraus leitet sich die vertikale Kraft ab dp = n dc Es ist also p = nx und und die horizontale dq = - ndy. Die Gleichung . ny von Nr. 57 wird also : 9 Ek2 R = P (c + x) — Qy + 4x2 + Inya. 5*

Leonhard Euler.

68

Die Koordinaten x und y können so um konstante Größen ver mehrt oder vermindert werden , daß die Gleichung der Kurve die Gestalt annimmt B x2 + y2 = A + R Man multipliziere diese Gleichung , um sie integrierbar zu machen , mit x du + ydy; es ist nämlich ° x da + y dy Sedx + y dy R

x + y cu dw -S (1 + 023 do

wenn dy = wdx gesetzt wird ]

y dx

y - 002

x dy ds

V1 + 02 Die Integration ergibt also : (x2 + y2) 2 = A (x2 + y2 +

Bydx - xdy) + C. ds

Es sei

V x2 + y2 und y = uz , so ist x = 7V1 — u2, also z2 du

2g

dz2 + 22 du ? 1 - 42

ds

x dy Vī – iz

1 Setzt man also

du

· Bz2 dr = dr, so wird z4 – AX2 – C =

V1 - u2

7 Vdx2 + x2 dr2

also

dx ( 4 - 1 : 2 — C ) dr ZV Bºx2 — (24 — Ax2

C) 2

Wenn A und C gleich Null sind , ist die zugehörige Kurve algebraisch . Man hat dann die Gleichung du

22 dž

3 z2 dx

dr Vi

u2

Die Integration ergibt :

V B2

6

3 V a6

69

Von den elastischen Kurven . 23

23

arc sin u =

} arc sin a3

30

oder

3у

4y ?

4u3 %3

a3

Es folgt demnach die Gleichung z6 = 3 a3 yz2 – 4a3y3 oder endlich

(x2 + y2)3 = 3 a3x2y — a’y . Von der Schwingungsbewegung elastischer Bänder. 63. Aus dem Vorigen kann die schwingende Bewegung der

elastischen Bänder und solcher, die in beliebiger Weise zur Bewegung sich anschicken, abgeleitet werden. Dieses in Wahr heit interessante Thema hat zuerst der sehr berühmte Herr Daniel Bernoulli bearbeitet und hat mir schon vor mehreren

Jahren das Problem der Bestimmung der Schwingungen elasti scher, mit einem Ende in einer festen Wand befestigter Bänder vorgeschlagen . Die Lösung habe ich in den Comment. Petro pol. Band VII (1740) gegeben.

Seit dieser Zeit ist es mir

aber gelungen, dieses Problem einfacher zu behandeln , und durch den Verkehr mit dem hochgeehrten Herrn Bernoulli

sind mehrere Fragen und Gesichtspunkte hinzugekommen, deren Klarlegung ich wegen der Verwandtschaft des Stoffes hier anschließe . Wenn die schwingende Bewegung hinreichend schnell ist, wird von dem schwingenden Bande ein Ton her

vorgebracht, dessen Höhe und Beziehung zu andern Tönen mit Hilfe der Lehre von den Tönen aus diesen Prinzipien bestimmt werden kann. Da die Natur der Töne dem Experi

ment leicht zugänglich ist, so kann auf diese Weise die Über einstimmung der Rechnung mit der Wahrheit erforscht und so die Theorie bestätigt werden. Dadurch wird unsere Kenntnis von dem Wesen der elastischen Körper erheblich erweitert. 64. Es ist jedoch zuerst der Einwand zu erledigen , daß

hier das Problem nur für sehr kleine Schwingungen behandelt wird, so daß das Intervall, das das Band beim Schwingen durchläuft, gleichsam unendlich klein ist. Aber durch diese Beschränkung werden Nutzen und Anwendungen keineswegs herabgesetzt. Nicht allein nämlich würden die Schwingungen , wenn sie größere Wege zurücklegten , des Isochronismus ent behren , sondern es erfordert auch die Bildung von verschiede nen Tönen, auf die wir es hier hauptsächlich abgesehen haben, sehr kleine Schwingungen. Ich betrachte daher hier ein gleich

Leonhard Euler.

70

förmiges, in natürlichem Zustand geradliniges elastisches Band, dessen eines Ende an einer unbeweglichen Wand fest ange bracht ist, so daß das sich selbst überlassene Band die Ge

stalt der geraden Linie AB hat ( Fig. 20) . Seine Länge sei = a, seine absolute Elastizität an den einzelnen Stellen Ek2 ; sein Gewicht berücksichtigen wir nicht, sondern wir neh

AB

men die Befestigung so an, daß sein Zustand von der Schwer kraft nicht gestört werden kann.

Die Schwingungen des elastischen Bandes , von dem ein Ende an einer Wand befestigt ist .

65. Dieses Band, von einer beliebigen Kraft angetrieben , möge sehr kleine Schwingungen ausführen, indem es nach beiden Seiten vom natürlichen Zustande AB das sehr kleine Intervall Aa durchläuft.

Es sei B Ma ein beliebi

ger Zustand, den das Band beim Schwin

Fig. 20

gen

annimmt .

B

Weil

dieser unendlich

wenig vom natürlichen Zustand BPA entfernt ist , so werden die Geraden

MP, Aa zugleich die Wege darstellen , die die Punkte Mund a

m

Pop

des Bandes

durcheilen , oder genauer diese Wege werden zu den wahren Wegen ein Ver hältnis haben , das vom Verhältnis der TT

Gleichheit unendlich wenig verschieden ist. Zur Bestimmung der Schwingungs bewegung ist es durchaus notwendig, die Natur der Kurve B Ma, die die Seite beim

a

Schwingen annimmt, zu kennen, Es sei AP = X , PM = Y , arcus a M SS

M

A

und der Krümmungsradius in M = R und das sehr kleine Intervall Aa

= b. Auf Grund unserer Bedingung ist der Bogen s

sehr nahe gleich der Abszisse x, für ds kann also dx genommen

werden , es verschwindet nämlich dy gegen dx. Der Krümmungs radius ist, dx als konstant genommen ,

ds3

oder im vor

dx dº y dx2

liegenden Falle R

denn die Kurve B Ma wendet ihre

day ' Konvexität der Achse BA zu .

Weil das Band in B an einer

Von den elastischen Kurven.

71

festen Wand befestigt ist, so ist AB eine Tangente zur Kurve in B. 66. Nach diesen Festsetzungen sei noch zur Bestimmung der Kurve B Ma und der Schwingungsbewegung f die Länge Daß die sehr kleinen des einfachen, isochronen Pendels . aus der Natur der sich Schwingungen isochron sind , erklärt Sache, außerdem wird es die anzustellende Rechnung zeigen. Die Beschleunigung, die den Punkt M des Bandes nach P hin PM y sein . Setzt man die Masse des ganzen zieht , wird f f Bandes = M , welche durch ihr Gewicht ausgedrückt wird , so Mda zu . Die kommt dem Elemente Mm = ds = da die Masse a

das Element in der Richtung MP treibende Kraft ist also My da Daher sind die Kräfte, die die einzelnen Teile des af Bandes erregen, einerseits aus der Kurve B Ma, anderseits aus der Länge f des einfachen, isochronen Pendels bekannt. Da aber das Band in Wirklichkeit von der elastischen Kraft zur Bewegung angetrieben wird, so bestimmen sich aus der Kenntnis dieser Kraft die Natur der Kurve B Ma und die Länge des einfachen isochronen Pendels. 67. Weil also das Band sich so bewegt , als ob an den My dx einzelnen Elementen Mm in der Richtung MP Kräfte af wirkten, folgt, daß das Band im Zustande B Ma im Gleich gewicht ist, wenn an den einzelnen Elementen in der entgegen Mydx angebracht wären . gesetzten Richtung Mn gleiche Kräfte af

Folglich nimmt das Band beim Schwingen dieselbe Krümmung an , die es im Ruhezustande annähme, wenn es in den ein My dx in den Richtungen Mit zelnen Punkten M von Kräften

angegriffen würde . Nach der oben (Nr. 56 u . 57 ) gefundenen Regel werden alle diese längs des Bogens aMangreifenden M Kräfte zusammengefaßt, und es ergibt sich die Summe y dx, Da die die dort an Stelle von p eingesetzt werden muß . übrigen Kräfte , P , Q und 9 , die dort vorkamen verschwinden , wird die Kurve zur Gleichung haben :

Leonhard Euler.

72

EK2

Ek2

M

af fæcSy de

oder

=

R

R

d x2

Ek2 day

M

d.c2

af.

ist, so ist

Da R

dx

day

Ek2dly

Mdx

dx3

af

dx . Durch Diffe

Sydx .

renzieren entsteht

Durch abermaliges Differenzieren erhält man die Differential gleichung vierter Ordnung : Ek2d4y =

My dx4 af

68. Durch diese Gleichung wird die Natur der Kurve B Ma ausgedrückt, und aus ihr wird , wenn sie dem vorliegenden Falle angepaßt wird , die Länge f bestimmt. Ist f bekannt, so ist es damit auch die Schwingungsbewegung. Vor allem aber muß diese Gleichung integriert werden. Da sie zu jener Art der Differentialgleichungen höherer Grade gehört , deren allgemeine Integration ich in den Miscell. Berol. Band VII ge

zeigt habe , so gelangt man zu folgender Integralgleichung , Ek2af wenn der Kürze halber

c4 gesetzt wird : M

C

3 X

X

y = A

+ Be

+ C sin

+ D cos C

C

e bezeichnet die Zahl, deren hyperbolischer Logarithmus = 1 XC

XC

und cos

ist und sin

bezeichnen den Sinus und Kosinus с

с X

des Bogens

in einem Kreise vom Radius 1. A, B, C, D sind с

vier, durch die vierfache Integration eingeführte Konstante, die man dadurch bestimmen muß , daß man die Rechnung dem vorliegenden Fall anpaßt. 69. Die Bestimmung der Konstanten geschieht auf folgende Art : Zuerst werde x O gesetzt, dann muß y b werden , es ergibt sich also die erste Gleichung : b = A + B + D. Zweitens : Da man hat

c4d2 y da2

Von den elastischen Kurven .

73

day so muß für X = 0 ,

dx

O werden , denn dx2

Man erhält also die zweite Gleichung :

für x = 0.

A + B — D = 0.

ds y Drittens : Da c* d'y =– ſyde, so ist für x = 0 auch dxc3 d x3 d. h. es ergibt sich die dritte Gleichung : 0 =

А

0,

C.

B

Viertens : Für x = a, verschwindet y , daher folgt die vierte Gleichung : a a a a с C 0 = Ae + C sin + D cos + Be C C

dy für x = 0 Fünftens : Weil AB die Kurve in B berührt , muß da Null werden. Daher geht als fünfte Gleichung hervor : at 0

-

Aec

Be

a с

a D sin

+ Ccos с

Aus diesen fünf Gleichungen werden zuerst die vier Konstanten A , B , C , D bestimmt , dann aber , was die Hauptsache ist ,

wird der Wert von C =

Ek2 af gefunden. Daraus läßt sich M TE

die Länge f des einfachen isochronen Pendels ableiten, und dadurch ist dann auch die Dauer der Schwingungen bekannt. 70. Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt :

C = A -B

und

D= A

+ B.

Diese Werte , in die vierte und fünfte Gleichung eingesetzt, er geben : at с

a с

O = Ae

a

+ Be + (4 – B) sin + (4+ B) cos с

a с 0 = Ae

a с

Be

(A + B) sin с

Hieraus folgt:

a

a

+ A - B cos

с

Leonhard Euler.

74 CL

a

a

с

+ sin

A

a e

COS с

с

a

B

C

a

a

с

e

a

+ sin

+ cos

с

+ sin

a

a

a

с

+ cos C

sin

+ cos

e

c

C

c

Daraus erhält man die Gleichung :

+++ *). * =0 oder auch 2 a

a

α

с

е

a

+ 2e

COS

0.

+ cos C

C

Daher ist a

-1+ sin

a

C еe a COS C a

a

с

Weil

еe

stets negativ

eine positive Größe ist, so muß cos с a

sein ,2 d . h . der Winkel

ist größer als ein Rechter. C

71. Man sieht ein, daß die letzte Gleichung unendlich viele a liefert, die ihr genügen ; durch sie entstehen die с

Winkel

unendlich vielen verschiedenen Arten der Schwingungen des selben Bandes .

Die Kurve kann nämlich in einem oder in

mehreren Punkten die Achse AB schneiden, ehe sie in B die

Dadurch sind mehrere, ja unendlich viele Achse berührt. Arten des Schwingens gleich möglich. Wir wollen hier haupt sächlich den Fall betrachten , in dem B der erste Punkt ist, den die Seite mit der Achse gemeinsam hat. Diesem Falle

gentigt der kleinste Winkel , der als Lösung der gefunde nen Gleichung auftreten kann. Da er größer ist als 1 Rechter, MT so möge er gleich 2 + P gesetzt werden , wo p kleiner als

a 1 R. ist.

75

Von den elastischen Kurven. a cos q und cos с

Daher entsteht, da sin

с - sin q ist, die Doppelgleichung: a с 17 cos P. еe i sin 9

darans folgt e

a e = = tgg

a

oder

e

cot { P .

Der letztere Ausdruck liefert für p einen kleineren Wert; dieser entspricht also den gestellten Bedingungen . 72. Die weiteren möglichen Arten der Schwingungen werden a Winkel gesetzt werden größer als 2 R, gefunden , wenn für с a 9 , so ist sin aber kleiner als 3 R. Es sei C с a sin p . Es ergibt sich cospund cos с a 1 = cos P. ес . sin e

a Also ist ec =

a

Q tgoder 2 eč = cotthe Auf ähnliche Weise werden andere Arten der Schwingungen gefunden, wenn man 700 a a setzt P usw. 1 +9 ; с с = 2 Aus allen diesen Annahmen ergeben sich , wenn man natür liche Logarithmen benutzt, folgende Gleichungen : In + = log cotiq II 7T III log cotto IV P Vn + p = log cote VI VII VIII Ф - log cot P usw.

12 + 9 = log tg ! 1-9 = log tg 1P

$ a

+ 9 = log tg tg - p = log tg 19

Die dritte dieser Gleichungen stimmt überein mit der zweiten ; man setze nämlich $ P = n — 19, dann ist cot p = tg 1. 1 . log tg 19 ; Die dritte Gleichung geht dann über in { n + g

Leonhard Euler.

76

dies ist aber die zweite Gleichung .

In ähnlicher Art stimmt

die vierte überein mit der ersten , die fünfte mit der achten, die sechste mit der siebenten . Daher ergeben sich nur folgende verschiedene Gleichungen : I

41 +

= log cotp.

II

IV III n + 9 = log cot } p . V jn + q = log cotiq . VI usw.

+ g = log tg 19 . +9 log tg 49

9

+ 9 = log tg

.

73. Es sei u der natürliche Logarithmus der Tangente oder Kotangente des Winkels įg . Man entnehme den Tafeln den gemeinen Logarithmus derselben Tangente oder Kotangente, er sei v. Dann ist bekanntlich u = = 2,302 585092 994 x v, nimmt man wieder gewöhnliche Logarithmen , so ist log u = log v + 0,362 215 6886 . n n Nun ist u = a + 9 , also log u = log i+ P 2 2 (2

Um dies

auszuwerten, muß g in Teilen des Radius ausgedrückt werden , TT 2 ist 1,570 796 326 79. Man verwandle o in Sekunden und ziehe vom gemeinen Logarithmus der erhaltenen Zahl beständig 5,3144251332 ab 35) , dann erhält man log Q und durch Auf schlagen des Numerus den passenden Wert von q . Für jede a n = U beliebige Art Schwingungen ist immer : + p. с 2

74. Wenn man diese Vorbemerkungen über die Rechnung beachtet, wird der Wert des Winkels g durch Annäherung für jede Art Schwingungen nicht schwer ermittelt. Man erteile nach Belieben dem o Werte und bestimme dann durch Rechnung n und log tg P oder log cot P so wird man rasch zu einem T + 2 2 2 ziemlich genauen Wert von g gelangen . zuerst zwischen ziemlich weiten Grenzen bald engere finden und aus diesen den a So habe ich für die erste Gleichung с =

Wenn der Winkel P liegt, so wird man wahren Wert von p . P P = log cot 2 a + y

folgende Grenzen für den Winkel ermittelt : 17 ° 26 ' und 17° 27 ' . Aus diesen ergibt sich durch folgende Rechnung der wahre Wert von p .

77

Von den elastischen Kurven . 17 ° 26'0 " P in Sekunden 62760"

log = 4,7976829349 subtrahiert 5,3144251332 log ( p = 0,483 257801 7 – 1 p = 0,304 269 066 2 1,570 796 3268 1,875 065 3930

in + p =

IP

: 8 ° 43'0 "

17 ° 27'0 " P in Sekunden 62820 " 4,7980979321 5,314425 1332 0,483 672 7989 - 1 0,304 559 9545 1,570 796 3268

1,875 356 2813

g

= 8 °43' 30 "

P v = log cotQ2 = 0,8144034109 1 log v - 0,9108395839

0,9106147660

addendo 0,362 2156886

0,362 215 6886

log u = 0,273055 2725 U 1,875 2331540

0,272 830 4546 1,874 2626675

Differenz

0,8139819342

+ 1677610

109 361 38

Aus den Abweichungen beider Grenzwerte schließt man als dann, daß p = 17° 26 ' 7,98" ist, daber a 107° 26 ' 7,98 ". in +9 c

In Sekunden ist o

62 767,98 also log P

4,797 7381525

5,314 425 1332 0,483 3130193 im Bogenmaß also a 0,304 3077545 addendo įn = 1,570 796 3268 a 1,875 104081 3 . с

Nachdem dies gefunden worden ist, hat man

A B

tg 1936) = 0,153 339 906 24 .

Leonhard Euler.

78

Aus dem so bekannten Verhältnis der Konstanten A und B findet man dann das Verhältnis von C und D zu A und B. 75. Die erste Gleichung b = A + B + D bleibt noch übrig. Weil D = A + B ist , folgt aus ihr A + B = - 1b . Nun ist A = B tg , also : b B= 2 ( 1 + tg p ) Es ist aber tg p = 0,153 339 062 4 , also bestimmen sich die Konstanten , wie folgt:

b

tgp 21+ tg D)

B

A

0,153 339 062 4

2,306 678 1248

1

1,000 000 000 0

b

21+ tgp)

2,306 678 1248

C

-1+ tg !

-0,846 660 937 6

b

2 (1 + tg

D b

2 (1 + tg

)

1+ tgp )

2,306 678 1248 1,153 339 062 4 2,306 678 124 8

Nachdem die Konstanten so gefunden sind , wird die Natur der Kurve , welche das Band beim Schwingen annimmt, durch diese Gleichung ausgedrückt : 3 C. X B D Ae с y e COS sin + + + b b b b C b C 76. Was über die Schnelligkeit der Schwingungen wissens a wert ist, wird aus der Gleichung = 1,875 104 081 3 erkannt. с Der Kürze wegen sei n = 1,875 ..., so ist a = nc. Nun war M Ekaf C4 = > WO а die spezifische Schwere des Bandes (d . h . M die

a4

Masse

der

Längeneinheit)

ausdrückt. Dann ist also M 1 24 n4 Ek2 f , daher ist also f : d. h. die = nt Ek2 a M

Länge des einfachen isochronen Pendels ist proportional der vierten Potenz der Länge des Bandes, der spezifischen Schwere ,

Von den elastischen Kurven .

und umgekehrt der absoluten Elastizität.

79

Es sei g die Länge

des einfachen Sekundenpendels, also g = 3,166 25 rheinischen Fuß. Weil die Schwingungsdauer der Quadratwurzel aus der Pendellänge proportional ist , so ist die Dauer einer von

unserem elastischen Bande vollführten Schwingung

Vf

a2

1

n2

g

1

M

Sekunden

Vg

Ek2 a

Die Zahl der in einer Sekunde ausgeführten Schwingungen ist daher : n2

a2

a

V g,Ek2 . M

Diese Zahl drückt die Höhe des Tones aus , den das Band erregt .

Die Töne also, die von verschiedenen, mit einem Ende in einer Wand befestigten Bändern hervorgebracht werden , ver halten sich wie die Quadratwurzeln aus den absoluten Elasti

zitäten, umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus den spezifischen Schweren und umgekehrt wie die Quadrate der Längen. Wenn also zwei elastische Bänder nur in ihrer Länge verschieden sind , so verhalten sich die zugehörigen Töne umgekehrt wie

die Quadrate der Länge , d. h. also ein doppelt solanges Band gibt einen um zwei Oktaven tieferen Ton. Eine ge spannte Saite aber gibt einen Ton , der nur um eine Oktave tiefer ist. Daraus geht klar hervor, daß die Töne elastischer Bänder durchaus anders als die Töne gespannter Saiten sich verhalten 37).

77. Was das Verhalten der Kurve jenseits der Enden a und B anbelangt , so ist zuerst klar , daß die Kurve jenseits a so fortschreitet, daß sie sich beständig von der Achse AB entfernt.

Wird nämlich x negativ genommen , So wird : SC

C

C

y = Bec + A

с

Csin

X

+ D cos C

C

Hierin sind alle Glieder positiv, weil nur der Koeffizient C einen negativen Wert hatte ( Nr. 75) . Wenn x wächst, so wächst auch

y, weil B größer ist als A, und daher das Glied Bec über 2 nur einen mittleren Wert erlangt , so ist wiegt . Hat aber C

Leonhard Euler.

80 30

das Glied Bec schon so sehr gewachsen , daß die übrigen Glieder vor ihm gleichsam verschwinden.

Weil in B der

Krümmungsradius nicht unendlich ist , es ist nämlich : Ek2 dx

af .

R

hat die Kurve in B keinen Wendepunkt ; sie wird also auf derselben Seite der Achse weiter fortschreiten.

Wenn

die

Abszisse x über AB = a hinaus wächst , wird das erste Glied Fig . 21 .

Aec bald so groß , daß die anderen dagegen als sehr klein erscheinen .

IB

78. Bis jetzt ist die erste Art der Schwin

gungen unter den unendlich vielen, welchen sich dasselbe Band anpassen kann, behandelt worden . Die zweite, in der Figur (Fig. 21) dargestellte

Art , bei der das in B feste Band die Achse AB in einem Punkte 0 schneidet , wird aus der Gleichung a

1

с

2

1

IT + p = log tg

P 2

oder : 3

— p = log cot 2

P

М.

abgeleitet.

1 2 P

a с

Hier habe ich durch einige Ver

suche gefunden , daß der Winkel o innerhalb a

Α.

der Grenzen : 1 ° 2 ' 40 " und 1 ° 3'0 " enthalten ist.

Aus

ihnen wird

wie

vorher

der

wahre

Wert jenes q ermittelt. P -1 ° 2 ' 40" in Sekunden 3760 " 3,575 187 845 0 log

abgezogen 5,314 425 133 2 log P 0,260 762 711 8 P = 0,018 228 9944 3 M = 4,712 388 9804 2 3

3,577 491 799 8 2

5,314 425 133 2 0,263 066 666 6 0,018 325 957 1

4,712 388 980 4

a

TT -

2

p = 1 ° 3'0 " in Sekunden 3780 "

4,694 159 986 0

P с

4,694 063 023 3

-

2

Von den elastischen Kurven.

81

1

р

= 31 ' 20 "

= 31 ' 30"

2 1

log cot 2 Q = 2,040 255 257 7 log v = 0,309 684 505 5 addendo 0,362 215 688 6

0,309 193 7748 0,362 215 688 6

log u = 0,671 900 1941 U = 4,697 861 339 1

0,671 409 463 4 4,692 555 9924

2,037 951 174 5

a

4,694 063 0233

= 4,694 159 986 0 с

Abweichung :

370 135 31

150 703 09

Aus diesen Abweichungen wird der wahre Wert des Winkels a q ermittelt zu 1 ° 2 ' 54,213 " und с 268 ° 57'5,787 ". Dar -

a

4,694 091 079 5.

aus ergibt sich im Bogenmaß с

Der Ton des Bandes , das in früherer Art schwingt, ver hält sich zum Ton dieses Bandes wie das Quadrat der Zahl

1,875 104 081 3 zum Quadrat von 4,694 091 079 5 , d. h. wie 1 zu 6,266 891, oder in kleineren Zahlen wie 4 : 25 oder wie 1 : 6

4 15

.

Der letztere Ton wird vom ersten die doppelte

Oktave plus der Quinte plus dem nächstliegenden halben Ton sein 38).

79. Bei den folgenden Arten der Schwingungen desselben

elastischen Bandes , bei denen das Band beim Schwingen die Achse AB in zwei oder mehr Punkten schneidet , wird der Winkel g um vieles kleiner. So hat man für die dritte Art folgende Gleichung : 5

1

T + g = log cot 2

11

2 P =

a

1 also ist e登 n + p = cotp. 2

n +

läßt

sich wegen des sehr kleinen Winkels

wickeln zu Ostwalds Klassiker.

175.

6

ent

Leonhard Euler.

82

1 1 e** (1 + 9 + 2 92 + 6 p3 + 1 COS cot

2 9

1

1

P

92 + - ... 8

2

1

2

= 1 sin 2 P

1 2 Ф

1 p3 + 48

P

P 6

Es wird also annähernd sein :

2

TL

7 daher P - 2e - fr ; P

genauer : 1

39).

9=

1 + feta Demnach ist : a C

2 =

;

+ e

+ 2

das letzte Glied ist sehr klein. Auf ähnliche Art erhält man annähernd für die vierte Art der Schwingungen

a c

={

-- 2e - 3n , usw.

a Weil die zweiten Glieder immer kleiner werden , so nimmt с die Werte gnt , un usw. an , die von der Wahrheit um so weniger abweichen, je mehr man in dieser Reihe fortschreitet.

Die Schwingungen eines freien elastischen Bandes , 80. Betrachten wir jetzt ein nirgends festes elastisches Band , das frei auf einer sehr glatten Ebene liegt oder ge wichtslos im leeren Raume sich befindet. Es ist leicht ersicht lich , daß ein derartiges Band eine Schwingungsbewegung an nehmen kann , wenn nämlich das Band acb ( Fig. 22 ) durch abwechselnde Krümmung sich diesseits und jenseits seiner Rahelage AB bewegt. Jene Schwingungsbewegung kann auf ähnliche Art wie im vorhergehenden Falle bestimmt werden, wenn nur die Rechnung in gehöriger Weise diesem Falle an D

Von den elastischen Kurven .

83

gepaßt wird. Es sei also acb eine Gestalt des Bandes, wie sie beim Schwingen auftritt, und ACB sei die Lage desselben Bandes im Gleichgewichtszustande, durch den es bei jeder beliebigen Schwingung hindurchgeht. Es werde , wie vorher, die Länge des Bandes AB = a , seine absolute Elastizität = Ek2 und sein Gewicht oder Masse = M gesetzt. Ferner sei នS1 der mit der Abszisse X

AP = x , PM = y , arcus a M

übereinstimmt, so daß ds = dx gesetzt werden kann. Der d.2 Es sei Krümmungsradius in M ergibt sich dann R = day

Fig. 22. A

P

B

E

С

F

MM

ferner die erste Ordinate Aa = b. Nach diesen Festsetzungen

kann man eine Überlegung wie vorher (Nr. 66 und 67) an stellen und gelangt zu derselben Gleichung : Ek2

M

R

af

Ek2day

dw

dx2

Ek af 81. Man setze c4

worin f wie vorher die Länge M

des einfachen isochronen Pendels ausdrückt. Durch Integra tion erhält man für die Kurve folgende Gleichung :

y = fe + Be + C sin

+ D cos C

c

Diese Gleichung ist dem vorliegenden Falle so anzupassen : 0 gesetzt wird, muß y = b werden, daher ist :

Wenn x = =

b = A + B + D.

Zweitens, da dr

y cad?y dx2 = fax fyd¢, muß für x = 0 dx2 werden , daher ist :

0

0 = A + B -- D. 6*

1

Leonhard Euler.

84

Drittens, da c4 dBy

muß für x = =0

ds y 0

dx3

dx3

werden ; man hat also : 0 = A - B - C.

Viertens, wenn x = a gesetzt wird, muß ſydx verschwinden, weil ſydx die Summe aller Kräfte ausdrückt, die das Band in einer Richtung senkrecht zur Achse ziehen . Wenn diese Summe nicht Null wäre, würde das Band gegen die Annahme einer lokalen Bewegung unterworfen sein. Aus diesem Grunde d39 ist also gleich Null, d. h. d x3

0 = Aeč – Be- ;- Ccos

a

a

+ D sin с

с

Fünftens, weil das Band am Ende B frei ist , kann es dort keine Krümmung haben , es wird also für x = a auch day

= 0 sein , daher ist : dx2 a

0

==

a с

Aec + Be

a

-D cos

C sin

с

C

In Rücksicht auf diese fünf Bedingungen werden nicht allein die vier Konstanten A, B , C , D bestimmt, sondern es wird a

gefunden , durch den dann

auch der Wert des Bruches с

die Länge des einfachen isochronen Pendels bekannt wird. 82. Aus der zweiten und dritten Gleichung folgt:

D = A + B ; C = A - B. Man setze diese Werte in die folgenden ein und findet dann : a

a

a с

еe

a

А

e

a

+ cos с

с

a

a

a с

еe

sin

с

с

B

a с

sin

COS

с

ес с

a

a

a

+ sin

COS

sin

COS с

с

85

Von den elastischen Kurven .

Aus dieser Gleichheit entsteht die Gleichung : a a

1 + sin

a

a

0 = 2

cos

e

a e

C

oder ec

COS

с

C

a COS

Daraus aber leiten sich folgende Gleichungen ab : a

I

去元

Ф

log tg 19 ;

C

a

sie ergibt

0, d. h. das Band behält seine natürliche Lage C

bei 40) . a

II

a

-}

= log cotiq. III

-

C

a

a

IV

in + p = log cot* p. C

Ži -

= log cotto . V

In + p = log cotiq . с

C

a

a

= {n - y = log cot } 9.VII

VI с

= 4x + y = log cot} p . с

USW.

83. Diese Gleichungen ergeben wieder unendlich viele Arten von Schwingungen .

Bei der zweiten Gleichung schneidet das

Band AB nur einmal die Achse AB , bei der dritten zwei mal , bei der vierten dreimal, Fig. 23.

bei der fünften viermal usw. Da

durch ist klar ,> daß die zweite,

vierte, sechste Art für die vor liegende Aufgabe nicht paßt. Da nämlich

bei diesen Arten

b A

С

B

die Anzahl der Schnittpunkte ungerade ist, so hätte im zweiten

Falle das Band beim Schwingen eine Lage, wie sie Figur 23

darstellt, bei der , obgleich die Summe von den durch das ganze Band wirkenden Kräften verschwindet , dennoch durch sie das Band um den Mittelpunkt C herum eine Rotations

bewegung erlangte , weil die an den beiden Hälften aC und bC angreifenden Kräfte zur Hervorbringung derselben Rota

tionsbewegung des Bandes zusammenwirken würden. Aus diesem Grunde , weil die Rotationsbewegung überhaupt ausge

Leonhard Euler.

86

schlossen werden muß , wird die Gestalt des Bandes beim Schwingen so beschaffen sein müssen , daß nicht nur die Summe der am ganzen Bande angreifenden Kräfte Null sei , sondern daß auch die Summe ihrer Momente verschwinde.

Dazu

ist

erforderlich , daß die Kurve im Mittelpunkte einen Durch messer cС besitze (Fig. 22) . Dies tritt aber ein , wenn die Kurve die Achse AB entweder in zwei oder in vier oder

allgemeiner in einer geraden Anzahl von Punkten schneidet. Daher ergeben nur die dritte, fünfte, siebente usw. Gleichung geeignete Lösungen 41) .

84. Diese Beschränkung in den Lösungen ist in der Auf gabe selbst begründet, wenn wir nur solche Kurven zulassen, die die Gerade Ce zum Durchmesser haben, d. b. bei denen

derselbe Wert y hervorgeht, wenn statt x gesetzt wird a X. Setzen wir in der allgemeinen Gleichung a — x statt x, so er hält man : a

2

a

X

a

с

Ae e

y

+ Be

XC

e ' + C sin

a

+ D sin

COS

c

+ с

X

sin с

с

C

X

sin с

с

X

a

D cos

a

C cos

COS C

Diese Gleichung muß übereinstimmen mit : 3

X

с

y = =

A

+ Be

+ Csin + D cos

c

Es wird also sein : a a

Ae

B;

c ( 1++ cos )

a

)

D sin — ;

с

a

a

Csin

D1 с

COS C

Die beiden letzten Gleichungen kommen auf dasselbe heraus. Da also a

А e

B

ist, so erhält man durch Vergleich dieses Wertes mit den früheren (Nr. 82 ):

87

Von den elastischen Kurven . 810

e

a

a

COS

e

a

a

a

sin C

1

a

с

+

COS

e

sin

с

C

C

oder с

a

1+ sin

+ sin

1 + cos

a

a

a a

с

COS с

еe a

a

a

sin

1 + cos

с

C

sin

1

COS с

85. Es ist also a a

1 - sin с a COS с

früher (Nr. 82) hatte man die Gleichung gefunden a

1 + sin

ino

с

a COS

C

Es ergeben also nur die Hälfte der aus dieser Gleichung oben (Nr. 82, Ende) abgeleiteten Fälle Lösungen der Aufgabe und zwar die Fälle , die mit ungeraden Ziffern numeriert sind. Da die erste Gleichung den Ruhezustand des Bandes darstellt,

so werden alle Arten der Schwingungen durch die folgenden Gleichungen dargestellt : a

I

in + p = log cotiq . C a

II с

into = log cot } p .

a

III с

+ p = log cot } g usw.

Die erste dieser Gleichungen stellt die Hauptart der Schwin gungen dar, für die der Wert des Winkels q auf ähnliche Art wie vorher durch Annäherung gefunden wird.

Als Grenzen

für den Winkel y ergeben sich bald 1° 0' 40 " und 1° 1'0" . Aus diesen Werten kann der wahre Wert von o durch folgende gekürzte und der in Nr. 74 u. 78 analoge) Rechnung ermittelt werden :

Leonhard Euler.

88

1 ° 0 ' 40 " = 3640 "

P

1 ° 1'0" = 3660” .

0,2490559 522 – 2 0,0177441807

log p = 0,2466 762 504 - 2 Q = 0,0176 472 180 a

4,7301 331611 .

n = 4,7300 361984

= 9 + C

19 = 30'20"

30' 30 "

0,3 121 694510

log v = 0,3126 728 453 log u = 0,6 748 885339 U = 4,7302 983543 Abweichung

0,6743851396 4,7 248 186037

+ 53145574

+ 636 341

636 341

Unterschied : 52509 233 .

Daraus wird ersehen, daß der wahre Wert jenes p nicht innerhalb dieser Grenzen liegt , sondern etwas kleiner als

1° 0' 40" ist 42) . Trotzdem ergibt er sich aus den Abweichungen. Es sei g

-

1° 0 '40" — n ", so hat man die Proportion : 20 " : 52509 233 = enn " : 6363 41 . 2423

Man findet n =

daher ist 10000 '

p = 1° 0'39,7556 " = 36 39,7556 "

oder in Bogenmaß = 0,0176460428 , also ist a

3

с

2

n +

= 4,7300 350 232 (richtig 4,7 300408 ).

86. Die letzte Zahl sei m , so folgt wegen Ekaf c4 = >

daß al

m + Ek af und f

M

a4

1

m4 Ek2

M

M a

In gleicher Weise (wie in Nr. 76) ergibt sich als Anzahl der von diesem Bande in einer Sekunde hervorgebrachten Schwin gungen m2

a2

a

V

gE 12 M

wo g = 3,16625 rheinische Fuß ist. Wenn also dasselbe Band

Von den elastischen Kurven .

89

das eine Mal mit einem Ende an einer Wand befestigt, das andere Mal frei zur Hervorbringung eines Tones veranlaßt wird , so verhalten sich die Töne wie n2 : m2, d . h . wie 1,8751040 8132: 4,7300 4082, das ist wie 1 :6,36 324 oder annähernd wie 11 : 70. Das Inter vall dieser Töne wird also aus zwei Oktaven , einer Quinte und dem nächsten halben Ton gebildet. Wenn aber das letztere freie Band doppelt solang genommen wird als das erstere, feste Band, so ist das Intervall der Töne fast die kleine Sexte

8

72

5

45 '

70 statt

d. b .

44 a

87. Nachdem dieser Wert für den Bruch

aufgefunden

с worden ist, kann die Kurvengleichung näher bestimmt werden . Es ist nämlich : a (L sin 1 с еe a COS с a und Aec - B , also ist 1 - sin

с B

A. a COS с

a + sin 1 ) : cos cos с (cosa — 1 ) : so응

C=A – B =

A

D =

A ( cos 4 (cosmo

a A

+

B =

sin

с + 1 ) : cosa

Nun ist a b = A + B + D = 2D

24 (605 Man hat also

– nin

+1):cos

Leonhard Euler.

90

a b 01 + 1 + sin с

a

b cos c

COS 3)

A= a

a

a 4 sin

sin

2 cos с

с

+1

b (1

a 1+ sin - + cos 01-1 + sin 9) a 4 sin c

- sin 9)

В. a 2 ( cos с

sin" + 1

a + cos с

1 + bin C

С.

)

b11 (1

COS

C

a 2 sin 2 (cos

---

n

+1 )

a b sin

b

c

D

2

a 2 sin с

Setzt man diese Werte ein , so ergibt sich die Gleichung: / IC a с e cos te 1 sin с a) + a sin + cos 2 1

COS

(1

20 a COS sin " + sin C с a) si a 2 sin C

88. Weil aber die Gerade co ein Durchmesser der Kurve ist , so werde die vom mittleren Punkte C an gerechnete Abs K. Es wird zisse CP = % gesetzt, dann ist x = la

XC

sin 2c

e

—е

cosa с a COS C a sin 1

X und

e V

a с

91

Von den elastischen Kurven. daher wird : 30

lete- ) : (1– sin) 261 6)

Aec + Be

COS

b

a

+ cos

sin

C

+

e

e

2 *+ -) sin

(1 5 )): (26 - .) + sin ( + ) -COS

+ sin

с

C

2 sin

sin

in C

C

a COS

is she

a

X

sin

COS

+

Weiter ist 1

XC

a

XC

2c

Setzt man alles in die Gleichung der Kurve ein, so er hält man : COS

с

с

2y

te

e

с

+ b

2c

e

a

-

a

a 2c

COS

te

2c

Dies ist die einfachste Form für die Gleichung der Kurve

a Mch . Es ist augenscheinlich, daß, ob x positiv oder negativ genommen wird, sich derselbe Wert von y ergibt. a 43) a

a

2c

2c

e “ te

2 cos 2c

ist auch gleich a

Vc

COS

C

a

271° 0' 40,94 " ist.

und wir haben gefunden, daß der Winkel C

89. Setzt man in der erhaltenen Gleichung z = 0, so er gibt y den Wert von Cc, nämlich a

2V c

COS

2 Cc

1

с

+ b

a

a

2 cos

COS

2c

2c

Leonhard Euler.

92

oder a

1

Cc

-V.

ÇOS

Aa

c a

2 cos

2c a

a

= -sin 45 ° 30 '20,5 ".

sin 1°0' 40,94" und cos

Nun ist cos

2c

C

Cc

Daraus findet man

0,607 84 (Fig. 22) . Αα

Wenn y 0 gesetzt wird, so werden die Punkte E und F gefunden, in denen die Kurve die Achse schneidet. Es er

gibt sich : COS с

é

tota

a

a

с

2c

te

a

t+e

2 cos с

2c

a

COS

COS

2c

с

CE

AE

Durch Annäherung findet man

= 0,551685 und AC 0,448 315. Während das Band seine Schwingungen ausführt, bleiben diese Punkte E und F unbeweglich. Daher ist diese CA

Schwingungsbewegung, die durch einen direkten Anstoß schwer

hervorgerufen werden kann, leicht hervorzubringen . Wird das Band in den eben bestimmten Punkten E und F festgehalten, so wird es weiterschwingen , als ob es gänzlich frei wäre. 90. Wenn die zweite der oben gefundenen Gleichungen, nämlich a = 3T + p = log cot } , auf dieselbe Weise behandelt wird, с

so wird für diesen Fall annähernd g

O gefunden , und es geht weiter daraus die zweite Art hervor , in der das freie =

Band Schwingungen ausführen kann , indem es nämlich die Achse AB in vier Pankten schneidet.

Alsdann wird das Band

so weiter schwingen, als ob es in diesen vier Punkten fest wäre .

Wenn also das Band in diesen vier Punkten oder nur

in zwei derselben, festgehalten wird, schwingt es ebenso, als ob es frei wäre. Es gibt aber einen viel höheren Ton. Seine

Schwingungszahl verhält sich zu der des Tones, den die vorige Schwingungsart liefert, fast wie 72 zu 32.

Beide Töne haben

Von den elastischen Kurven .

93

ein Intervall von zwei Oktaven plus der Quarte und der Hälfte des nächsten Halbtones. Für die dritte Schwingungsart gilt a 11 die Gleichung ato = log cot cot i q 9 . Die Kurve acb с 2 Es entsteht ein hat sechs Schnittpunkte mit der Achse AB . Ton, der um eine Oktave und eine kleine Terz höher als der vorige ( 4 % angenähert = 2 . ) ist. Diesen Ton liefert das Band, wenn es in zwei jener Punkte festgehalten wird. Hieraus ist klar, wie verschiedene Töne von demselben Bande, je nachdem es in verschiedener Art in zwei Punkten festgehalten wird , erzeugt werden können . Wenn die beiden festgehaltenen Punkte nicht mit den Schnittpunkten der ersten , zweiten oder dritten Art übereinstimmen , gehen die Schwingungen nach irgendeiner der folgenden Arten bis zur unendlichsten vor sich. Es ent steht dann ein so hoher Ton , daß er überhaupt nicht mehr vernommen werden kann, oder, was auf dasselbe herauskommt, das Band wird überhaupt keine schwingende Bewegung an nehmen , oder aber es wird ein unbestimmter Ton hervorge bracht nach Art der schwingenden Saite, der ein Steg so untergeschoben ist, daß die Teile unter sich kein rationales Verhältnis besitzen ,

Die Schwingungen eines elastischen , an beiden Enden festen Bandes . 91. Das elastische Band sei jetzt an beiden Endpunkten A und B fest ( Fig. 24) , so jedoch , daß die Tangenten der Kurve in diesen Punkten nicht bestimmt seien. Um diesen

Fig. 24 . M

m M B

A

P

a Fall durch das Experiment zu verwirklichen, seien in beiden Enden zwei sehr feine Spitzen Ad , BB mit dem Bande fest verbunden, die in eine Wand eingelassen die Endpunkte A und

Leonhard Euler.

94

Zur Ermittlung der

B des Bandes unbeweglich machen .

Schwingungsbewegung dieses elastischen Bandes werde, wie vorher, gesetzt : Die absolute Elastizität = Ek , die Länge : M , die Länge des einfachen iso chronen Pendes = f. Es sei AMB die krummlinige Form, die das Band beim Schwingen annimmt ; ferner sei AP = AM = x ; PM = y und der Krümmungsradius in M = R . Man nenne

AB = a, sein Gewicht

P die Kraft, die die Spitze Aa in der Richtung Aa auszu halten hat. Weil die Kraft, durch welche das Element Mm in Richtung Mu getrieben werden muß, damit das Band in My do man nach seiner Lage erhalten bleibe, af ist, so erhält den oben gegebenen Regeln (Nr. 57 , 66, 67) folgende Gleichung der Kurve : EK2

M

doc

Pr R

af da2

R ist hier, weil die Kurve konkav zur Achse ist,

i da

-

dạy

her hat man :

Ek2day

M

– Pe.

dx dx2

Für x = 0, ergibt sich R

0, d. h. es ist auch dạy = 0. 92. Wird diese Gleichung zweimal differenziert, so folgt

dieselbe Gleichung, die wir schon für die vorigen Fälle ge funden haben : M

Ek2d4y

y dx4,

af

,

Ek2 af Setzt man noch

c4 , so erhält man als Integral die M

Gleichung : 20

x

y= A

+ Be

+ C sin ~ + Dcos с

с

Zur weiteren Bestimmung setze man x =-0 , dann ist auch

y = 0, also 0 = A + B + D. Zweitens werde x = a gesetzt, dann ist y wieder 0, also hat man : a

a

с

0= A

+ Be

+ C sin “ + D cos с

C

Von den elastischen Kurven.

Drittens muß für x = 0 und für x =

a

95

day verschwinden . Es da 2

ist also :

a с

a A + B - D=0

und

Ae + Be

a Dcos

-

0. с

Die Gleichungen A + B - D = 0 und A + B + D = 0 er geben A. D = 0 und B Setzt man diese Werte in die beiden andern Gleichungen ein, so erhält man : a a с O =A( 1 + с und

a a

O =A

- C sin .64 ) –c sin

Diesen Gleichungen kann nur genügt werden , wenn A = 0 a a с 040 ) verschwin kann nur für den Fall ist, denn e' - e с a = den. Dann aber muß noch C sin O sein. Hierin kann с picht C = 0 gesetzt werden , weil sonst , da alle Konstanten alsdann Null sind, keine Schwingungsbewegung mehr vorhanden a a wäre . Es muß also sin IT O sein, also ist entweder C C a 2n usw. Daher ergeben sich wieder unendlich viele oder C verschiedene Arten von Schwingungen, je nachdem die Kurve AMB die Achse nirgends außer in den Endpunkten A und B oder noch in einem oder in zwei oder in mehreren Punkten schneidet.

Dies folgt aus der Gleichung y = C sin с . Wie

viel Schnittpunkte aber auch entstehen, sie haben unter sich gleiche Abstände .

Leonhard Euler.

96

93. Für die erste und hauptsächlichste Schwingungsart it, daher

a

ist

C a

a4 = 114 C4 = 74. Ek2 .

M .f.

Also ist

a4

1

M

f = 714 Ek2 a

Es werden sich daher (Nr. 76) die Töne wiederum umgekehrt wie das Quadrat der Länge des Bandes verhalten . Der Ton a

dieses Bandes, der für

=

entsteht , wird sich zum Ton

с

desselben Bandes, wenn das Ende B in einer Wand befestigt ist, wie ar2 zum Quadrat von 1,875 1040813 verhalten, d. h. wie 2,807 041 : 1 oder in kleinsten Zahlen wie 160 zu 57 . Das Intervall ist eine Oktave plus fast dem dritten Halbton .

Vollziehen sich die Schwingungen nach der zweiten Art, für a

die

= 21 ist, so ist der Ton um die doppelte Oktave, and C a

wenn

-

31 ist , um drei Oktaven plus dem nächsten ganzen

с a

= īt usw.44) . Damit dies durch Ver

Ton höher als im Falle C

suche leicht erprobt werden könne, ist zu bemerken, daß die Schwingungen hier so klein als möglich gemacht werden müssen,

so daß keine wesentliche Verlängerung des Bandes eintritt. Da mit daher die Festigkeit des Bandes, die einer sehr kleinen Ausdehnung des Bandes sich entgegensetzt, ohne die aber jene Schwingungen nicht ausführbar sind, hier nicht schädlich wirkt, müssen jene Spitzen so beschaffen sein, daß eine so kleine

Ausdehnung möglich ist. Dies geschieht, wenn sie einer ganz glatten Ebene aufliegen. Es wird so das elastische Band AB,

das in A und B mit den Spitzen Aa und BB versehen ist, einen der Rechnung entsprechenden Ton liefern, wenn die Spitzen auf einen Spiegel gesetzt werden.

Von den elastischen Kurven.

97

Die Schwingungen eines elastischen Bandes , das an beiden Enden an einer Wand befestigt ist.

94. Nach Erledigung des vorigen Falles möge unsere Ab handlung über elastische Bänder jene Schwingungsbewegung eines elastischen Bandes beschließen, bei der es an jedem Ende A und B (Fig. 25) an einer Wand befestigt ist, so daß beim Schwingen nicht nur die Punkte A und B unbeweglich bleiben, sondern auch die Gerade AB beständig in A und B die Kurve

AMB berührt. Hier muß man aber wieder sich davor hüten,

daß die Riegel, welche die Endpunkte A und B festhalten, nicht zu fest sind , sondern eine kleine Ausdehnung, wie sie zur Krümmung nötig ist, gestatten. Welches daher auch die Kräfte sind , die man braucht, um das Band in den Endpunkten Fig. 25. M

A

B

Р

A und B festzuhalten , man gelangt zu folgender Differential

gleichung vierter Ordnung : M

ydet

Ekadły af Es sei

Elaf

= C4 M

Man erhält wie oben das Integral :

+ D cos

+ C sin

Ae + Be

X

XC

с

Y

с

с

95. Die Konstanten A, B, C und D müssen so ' bestimmt werden , daß für X - 0 nicht nur y, sondern auch dy ver

schwindet , weil in A die Kurve von der Achse AB berührt wird . Dasselbe muß stattfinden , wenn x = a gesetzt wird. Daher ergeben sich folgende vier Gleichungen : I.

II. Ostwalds Klassiker. 175.

0

A + B + D.

0 = A - B + C. 7

Leonhard Euler.

98

a III .

0= = Aeo A + Be

IV .

0= = Ae

a + Csin C с + D cos с a с

a

- Be

a

a D sin

+ C cos с

с

Aus der ersten und zweiten Gleichung folgt: C = _A + B, D = -A – B. Man setze diese Werte in die übrigen beiden Gleichungen ein . Es folgt: a a a с Al + Be 0 – ( 4 — B)sin – (A + B) cos с a a a с Be 0 - (A – B) cos C + (A + B ) sin с Man bilde die Summe beider Gleichungen und erhält daraus a sin с АA

B a

с

COS

с Aus der Differenz beider Gleichungen folgt a a e COS с A a B sin also ist 1 * sin

с 2 = 6* +

a

- )... oder die COS

с Diese Gleichung stimmt mit der in Nr . 82 gefundenen überein . Folgende Lösungen in unendlicher Anzahl genügen ihr : a a I = { n - p = log cot 19 II = {n + = log cotty . C a a IV III to = log cotiq . = log cot je Žr — с C

usw.

Von den elastischen Kurven .

99

96. Der ersten dieser Gleichungen kann nur genügt werden, a wenn P 90° ist, daher dann = 0 ( 40) . Die erste Schwin

a gungsart leitet sich aus der Gleichung

in + p = log cot1P

ab.

Diese ist schon vorher (Nr. 85) behandelt worden und a gibt 4,7300408 . Daher vollführt das elastische Band , с von dem beide Enden in einer festen Wand angebracht sind, seine Schwingungen ebenso , als ob es gänzlich frei wäre. Diese Übereinstimmung bezieht sich aber nur auf die erste Schwingungs ,

P

ip ist, und bei der das Band die Achse beim Schwingen in einem Punkte schneidet, hat ihres Gleichen nicht bei dem freien Bande . Die dritte Schwingungsart des beiderseits festen Bandes stimmt überein mit der zweiten des freien Bandes und so fort. 97. Die beiden letzten Gattungen von Schwingungen (Nr. 91 und Nr. 94) können aus dem angeführten Grunde nicht streng durch Versuche erprobt werden . Die erste Gattung ( Nr . 65 ) ist aber nicht nur sehr geeignet zur Anstellung von Versuchen , sondern kann auch dazu verwandt werden , die absolute Elastizi tät jedes Bandes, die wir durch Ek2 bezeichnet haben, zu er mitteln . Wenn nämlich der Ton, den das an einem Ende in einer Wand befestigte Band gibt, vernommen wird, .und man den gleichen Ton bei einer Saite hervorbringt , so ist die An zahl der Schwingungen in einer Sekunde bekannt. Wird diese a n2 gleich dem Ausdruck a2 M gesetzt , so findet man, wegen der bekannten Zahl n und aus den durch Messungen ermittelten Größen g, a und M , den Wert des Ausdrucks Ek2 ; Diese kann dann somit ist die absolute Elastizität bekannt. mit der aus der Krümmung gefundenen (Nr. 38 ) verglichen werden 46).

* 7

xxx

yv

Anmerkungen .

Für das sachliche Verständnis der älteren grundlegenden Arbeiten über die Elastica ist die Kenntnis des Zusammen hangs der in ihnen enthaltenen Ansätze mit den Methoden der Stereomechanik und der Mechanik der Continua erforderlich . Die folgenden einleitenden Bemerkungen sollen auch jenen Lesern , die sich nicht eingehender mit der allgemeinen Mechanik beschäftigt haben , eine kritische Beurteilung der wichtigsten Originalarbeiten über diesen Gegenstand ermöglichen. a) Man denke sich den ursprünglich geraden elastischen Draht (lamina) durch eine Kette (Aneinanderreihung) unend lich kleiner, starrer Körperelemente ersetzt, die durch Zapfen gelenke miteinander verbunden sind , deren Achsen alle auf einer festen Ebene senkrecht steben und bleiben . In den Ge lenkpunkten C und C'eines beliebigen Körperelementes werden die Kräfte ñ und von dem vorangehenden bzw. von dem folgenden Elemente übertragen . Neben diesen Einzel kräften werden in C und c' auch Momente í und Rüber tragen , wenn die Gelenkverbindungen Widerstand gegen Dre hung der Glieder um die Zapfenachsen leisten . Die Resultante der an fangreifenden eingeprägten und deren Moment in bezug auf den A sei dñ . Die Reaktionsmomente beliebigen Pol 0 der Ebene bezogen

( äußeren) Kräfte sei dk, Drehpunkt C des Gliedes und R können auf einen werden .

Setzt man OC = T, OC' = T', 1 - c = do, r = dr, R’ — R = dR , so geben die Grundregeln der elementaren Statik für das Gleichgewicht der Kräfte am Körperelement die Bedingungen : di + dā

= 0,

dí + dc.r + d

=

0 ( Pol

).

Mit Einführung des Bogenelementes ds der Gleichgewichts kurve Achse des gebogenen undehnbaren Drahtes , welche die

Anmerkungen.

101

Gelenkpunkte ( C ) verbindet, verwendet man statt der abso

luten Größen dk und d M die auf die Längeneinheit der Draht dk

achse bezogenen spezifischen Größen x = d

dM und m

ds

ds

-

Setzt man noch d = 0 , so nimmt der statische Ansatz die s Form an :

dr 1) ds

dR + 2 =-0 ,

+ or + m = 0.

2) ds

Diese Gleichungen treten in der neueren Literatur viel fach auf, während sie bei den älteren Autoren ( Jak . Bernoulli, Euler) in dieser expliziten Form fehlen. Für Ketten , deren

Glieder endliche Dimensionen haben, sind sie Euler (man ver gleiche die Angaben von Routh in seiner Dynamik deutsche Ausgabe , Bd. 2. S. 71 ) in der entsprechenden Form bekannt, er hat also nur den Grenzübergang nicht gemacht. Man ver gleiche auch Eulers Ansatz in Nr. 57 (S. 64) . Die Gleichungen 1) und 2) sind bei Clebsch , Elastizität fester Körper, Leipzig 1862 , S. 204-222 aufgestellt und zur Begründung der Kirchhoffschen Drahttheorie verwendet. Man

findet sie ferner bei Thomson und Tait, Natural Philosophy, Part 2. 1. ed. Oxford 1867 , 2. ed. Cambridge 1895 , S. 152

- 155 , bei Love, Theory of Elasticity , 2. ed. Cambridge 1906 , S. 370—372 , und in ihrer direkten Beziehung zur Theorie der Körperketten mit endlichen Gliedern bei K. Heun in der Ztschr. f. Math. und Phys. Bd. 56 , 1908, S. 68 u. fg.

Unter einem allgemeineren Gesichtspunkte sind diese Gleichungen von E. und F. Cosserat, Théorie des corps déformables, Paris 1909, S. 6—65 sehr eingehend behandelt.

b) Die Stellung des Achsenelementes de gegen die x-Achse eines festen Achsenkreuzes Oxy sei durch den Winkel 9 be stimmt. Der Kontingenzwinkel der Elastica sei nach Größe

und Richtung durch di bezeichnet. Nach diesen Festsetzungen dg ist ds

die spezifische Rotation des Achsenelementes dc. Neben

der Tangentenrichtung (7) führe man die Richtung der Kurven Dann ist n = ov die Lotstrecke (von der Länge Eins) auf der Kurvenebene , so daß

normale v ein.

Anmerkungen.

102

d

1 = W

12

ds

а1

wird, wo Qy der Krümmungsradius der Elastica ist.

Nach der Daniel Bernoullischen Hypothese hat man Ā = Pw, wenn P eine von den Dimensionen des Querschnittes und dem Elastizitätskoeffizienten abhängige Konstante bedeutet. Ferner sei

ди

ди

hinc

ди m =

ту

der

dey?

dg

Kräfte Die Funktion u kann als Potential der eingeprägten nge n

Aus den statischen Grundgleichu

bezeichnet werden .

und 2) folgt jetzt : ăr de

dᎡ d Ꮽ +

d s ds

de

du

ds

+ ds

tor

ds

ds

0

oder :

dr otorw + pm ds

du

dw ds

= 0.

+ ds

Setzt man noch -

v = r;7+ rov, So wird

di

droo

ds

ds

t

drdsv 5 + wriū + r. dv dana

und

- dr

dro

ds

ds

- dv ds

+1,0 Nun ist aber

di wo .

ds

Damit folgt

o ddsi

dro - wr, +

ds )

or == yyn

1)

103

Anmerkungen.

Hieraus erkennt man, daß die Gleichung dra + ds

dm

PM

du 0

+ ds

ds

integrabel ist, so daß

1Pw2 + rotu = ho

3)

Diese Gleichung zeigt eine gewisse Analogie mit dem

wird .

Prinzip der lebendigen Kraft in der Kinetik.

c) Für die Elastica ohne eingeprägte Kräfte kann u = 0 Die Gleichung 3) nimmt alsdann die verein

gesetzt werden . fachte Form

Pw2 + ro = hº

3 ') an .

Die virtuelle Biegungsarbeit ist R89.

(189 =

ds

dR ds

Hieraus bilde man

dog

87 + R ds

oder mit Benutzung der Gleichung 2) d

1,89 + Rd w .

dx (109)

Bezeichnet man die Endpunkte der Elastica mit A und B, so ergibt die Integration über die Achse des Drahtes : B

B

R 9 S Row R -- »,89) ds. A

Setzt man an den Grenzen A und B die virtuelle Verdrehung 89 gleich Null, so wird B

| (R0w — 1,09) ds= 0 oder wegen

r.89 = dr. B

of А

Pw -ro]d

LP

= 0.

104

Anmerkungen. Nach Gleichung 3 ' ) ist aber

-ro = { P W2 — hº.

Folglich wird

4) o[' ów

do--ofa

B In der Auffassung Eulers wird also das Integral ( Pw2ds ein B Maximum-Minim , mit der isoperimetrischen Bedingung Sds = А

1

(konst. ) . Aus Gleichung 1 ) folgt r = r . 0 0 cos 9 + poy sin I und ry Po

Man hat also : psin I + rcos 1. 0 : 0 wird . Gewöhnlich wählt man die Achsen Oxı Oy so, daß »y d) In der Gleichung 3 ) kann man die Größe PW2 = e als eine Energie auffassen . Die Summe u trg = u läßt sich als eine modifizierte potentielle Energie betrachten. Wir setzen e- u' = f und bezeichnen f als die statische Lagrange sche Funktion ( in Analogie zur Stereokinetik ). Das statische Analogon zur Lagrangeschen kinetischen Gleichung hat die Form

ddf dr dw

df - 0 dg

und wird im vorliegenden Falle mit der Gleichung

dR +1, + m

=: 0

ds identisch . Hiermit ist die Kirchhoffsche Analogie nachgewiesen . Wei tere Ausführungen über diese Analogie findet man bei Love, Elasticity 2. ed. S. 382 , und W. Hess , Math . Ann. Bd . 25 . 1885 . e) Euler gibt die Anleitung zur Behandlung isoperimetri scher Probleme im 5. Kapitel der Methodus inveniendi , deren deutsche Bearbeitung von P. Stäckel im 46. Heft dieser Sammlung enthalten ist. ( K. Heun . )

105

Anmerkungen.

1 ) Zri S. 4. Der von Leibniz erst kürzlich erfundenen Infinitesimalrechnung traut Jak . Bernoulli wenig. Er selbst

wendet die Grundbegriffe nur geometrisch, im engen Anschluß an eine Figur, an. Den Anhängern der neuen Rechnung, die wohl bisweilen mit ihren Methoden prahlten, versetzt er manch scharfen Hieb .

2 ) Zu S. 4.

Die Auflösung des Logogriphen wird in der

folgenden Abhandlung unter Zusatz 2 der besonderen Lösung gegeben . Die charakteristische Eigenschaft der elastischen

Kurve, die Jak . Bernoulli ermittelt hat, unterscheidet sie scharf von der Parabel und der Kettenlinie .

Sie gilt jedoch nur von

derjenigen elastischen Kurve, bei der die Richtung der Kraft senkrecht zur Kurve ist , d. h. für die elastischen Kurven

dritter Art nach der Euler schen Einteilung ; siehe die folgende Abhandlung Eulers Nr. 27 . 3) Zu S. 5. Das Problem der Seilkurve oder Kettenlinie war den Mathematikern im Jahre 1690 von Jak. Bernoulli gestellt worden (Acta Erudit. Mai 1690). Schon im nächsten

Jahre erfolgte fast gleichzeitig eine Lösung von Huygens, Leibniz , Joh. Bernoulli. 4) Zu S. 9. Hier ist vergessen worden, eine Integrations

konstante hinzuzufügen . Setzt man nämlich diese , wie hier, gleich Null , so gelangt man zu den besonderen elastischen

Kurven, bei denen die Kraftrichtung in A senkrecht zur Kurve steht ; im andern Falle gelangt man zur Gleichung der belie bigen elastischen Kurve .

In der Abhandlung Jak. Bernoullis:

Acta Erudit, Dezember 1695 (Werke , Seite 645) setzt er diese Konstante = abds und gelangt zu der Kurvengleichung : (x2 + ab) dx dy

-

Vat --(x2 + abja? siehe die Anmerkung Nr. 12 am Schluß. 5 ) Zu S. 12.

Daß die Ausdehnungen den spannenden

Kräften proportional sind , gilt heute als ein Grundgesetz der Elastizitätslehre.

Es ist zuerst von Hooke ausgesprochen

worden mit den Worten : ut tensio sic vis [De Potentia resti tutiva, London 1678]. Experimentell ist es besonders von Wertheim bestätigt worden ( Poggendorfs Annalen , Ergänzungs band II ). Allerdings gilt es nur für vollkommen elastische Körper. Die Abhandlung von Leibniz : Demonstrationes novae de resistentia solidorum findet sich : Acta Erudit. Juli 1684 .

106

Anmerkungen.

6 ) Zu S. 13. Diese Gleichung stimmt überein mit Eulers Gleichung der sogenannten senkrechten elastischen Kurve oder der Kurve dritter Art. Siehe die folgende Abhandlung Nr. 27 . Das zuletzt eingeführte a ist von dem anfangs gebrauchten verschieden. 7 ) Zu S. 14. Die Versuche, seine elastische Kurve mit Hilfe algebraischer Kurven zu konstruieren und die Rektifi kation dieser Kurve zu finden , hat Jak. Bernoulli fortgesetzt und in den Actis Erudit. September 1694 die Lemniskate als eine solche algebraische Kurve vorgeschlagen . Die elastische Kurve hat so zur Entdeckung der Lemniskate geführt. Aus der Gleichung der Lemniskate ( 2 + y2)2 — a2 (22 - y2) = 0 1 a2dr folgt der Bogen s = wor = Vx2 + y2 der Ra Va4 94

diusvektor eines beliebigen Punktes ist. Der Bogen der elasti schen Kurve a2 dx Va4 - 24

ist also durch einen Lemniskatenbogen auszudrücken . Bei der elastischen Kurve ist

x2 dx

* (a2 + x2) dx

a2dx

y = SVa4 * – 24

Va4

24

Vat

2+

Va2 + x2d sva Va2. -22

a²dx

-Si

204

Das erste Glied stellt ein elliptisches Integral zweiter Gattung dar, das durch die Substitution x = a cos g auf die Legendre sche Normalform gebracht werden kann ; es repräsentiert geo metrisch einen Ellipsenbogen ; das zweite , wie vorher, einen Lemniskatenbogen . Diese Resultate finden sich ohne rechne rische Ausführung in obiger Abhandlung ( Werke, Bd . 1 , 8. 611 ) . Siehe auch Anmerk . 20 und 23 . 1 22 dx und 8 ) Zu S. 16. Ist AB 1 , so ist AZ = V1 -24

Anmerkungen .

dx der Bogen AQR = fi V1-24

107

Entwickelt man , wie es Leibniz

in seiner Abhandlung : Acta Erudit. August 1694 , angibt, -1 ( 1 — x4) nach dem binomischen Satze , so ergeben sich die Reihen leicht. Andere Reihenentwicklungen für dieselben Größen gibt Euler in der folgenden Abhandlung Nr. 27 . 9 ) Zu S. 16. Die fehlende Ableitung kann so ergänzt werden : Nach Euler ( siehe die folgende Abhandlung Nr. 60) Rdv ist die Gleichung der Muldenkurve A , WO R den ds ds da Krümmungsradius

2 wenn ds die unabhängige Variable day ist, und A eine Konstante bezeichnet . dv ist die auf ds in Richtung der Normale wirkende Kraft, welche hier proportional mit xds zu setzen ist. Es ergibt sich dann xdxds : Ada y Im Beweise der als Differentialgleichung der Muldenkurve. allgemeinen Lösung war gezeigt , daß die Gleichung der ela stischen Kurve lautet : tdxds aldạy , worin für unsern Fall 1k X2; man erhält dann xdxds = zu setzen ist : t = kx ; a2 4X2day . Beide Gleichungen stimmen bis auf die Bezeichnung der Konstanten überein . Von den folgenden Zusätzen , die von Bernoulli mit a bis ĉ bezeichnet werden , enthält ß einen Fehler, zu dem er sich in der Abhandlung : Acta Eruditorum Dez. 1695 ; Werke: Seite 656 , bekennt. Allgemeines Inter esse bieten nur d und e . 10) Zu S. 17. Euler geht auf die Muldenkurve ein in seiner » Methode, Kurven zu finden usw .; Lausanne und Genf 1744 ( siehe Nr. 46 dieser Sammlung , S. 129 ) ; er sagt : > Nach den allgemeinen Gesetzen der Hydrostatik und der Schwere muß der Schwerpunkt des Flächenstücks AR so tief als möglich liegen « . Aus dieser Annahme bestimmt er nach seiner Methode die Gestalt der Kurve und findet, wie es sein muß , die allgemeine elastische Kurve . 11 ) Zu S. 17. Die meisten dieser Fragen sind von Euler in der folgenden Abhandlung behandelt worden . Transzen dente (oder mechanische) Kurven zweiter Art sind solche , deren Konstruktion sich auf die der ersten Art , bei denen die ein fachen Transzendenten , Logarithmen , Kreisfunktionen usw. auf treten , zurückführen läßt. Transzendente Kurven dritter Art

108

Anmerkungen.

lassen sich mit Hilfe transzendenter Kurven zweiter Art kon struieren usw.

12 ) Zu S. 17. Zu der vorstehenden Abhandlung haben sich die Mathematiker der damaligen Zeit verschieden geäußert und dadurch Jak. Bernoulli zu einer umfangreichen Erwiderung

und mannigfaltigen Ergänzungen in den Actis Erudit , Dez. 1695) veranlaßt. Leibniz ist im allgemeinen einverstanden ; insbesondere findet er es richtig (Acta Erudit , August 1694), daß Bernoulli erst die Lösung des Problems der elastischen Kurve für den Fall eines beliebigen Gesetzes der Spannung

gibt , und dann erst den besonderen Fall, daß die Spannung

der spannenden Kraft proportional ist, behandelt. Anders äußert sich aberHuygens in einem Briefe an Leibniz, von dem ein Auszug in den Actis Erudit , September 1694 , s. 340, gegeben ist. Er sagt : Ich halte das Prinzip , daß die Krüm mungsradien im umgekehrten Verhältnis der das Band beu

genden Kräfte stehen , für richtig und gut angewendet. meine aber , daß nicht nur die äußere Seite des Bandes aus

gedehnt , sondern auch die innere zusammengezogen werde. Es ist eine sehr große Voraussetzung, die Quadraturen krumm linig begrenzter Figuren als gegeben anzunehmen .

Ich würde

glauben, nichts geleistet zu haben, wenn ich nur dadurch eine Aufgabe vereinfacht hätte ; ausgenommen aber durch die Qua dratur des Kreises und der Hyperbel.

Es ist besser ,

die

Rektifikationen der Kurven immer als möglich anzunehmen,

wie ich sehe , auch Eure Billigung findet. Übrigens scheint der sehr berühmte Bernoulli nur in dem Falle die Ge

stalt bestimmt zu haben , in dem die Tangenten in den End punkten parallel sind , wenn , wie in Figur 5 , die Endpunkte durch die

Sehne EF verbunden werden .

Wenn

aber

der

Bogen beschaffen ist wie in Figur 6 , 7 , 8 , oder wenn, wie in Fig. 9 , die Endpunkte nicht durch eine Sehne, sondern eine starre Gerade AC verbunden werden , so ist die Bestimmung der Gestalt noch zu erledigen . Sonst werde ich gezwungen ,

mit meinem Beifall zurückzuhalten , besonders auch , weil ich sehe , daß der Verfasser in bezug auf die Segelkurve seine Meinung geändert hat

Hierzu äußert sich Bernoulli in der genannten Abhandlung wie folgt: I. Das, was ich in den vergangenen Jahren als wohlüber

legt veröffentlicht habe , ist den beiden erlauchten Geometern Huygens und Leibniz einer besonderen Nachprüfung würdig

Anmerkungen. Fig. 5 .

109

Fig. 6.

a

D

BK F

Fig . 8.

Fig. 7.

D

NB

NB

Di

с

Fig . 9 . D

А

B

D

Anmerkungen .

110

erschienen. Einiges haben sie gebilligt, über anderes haben sie Vermutungen geäußert, an einigen Stellen hegen sie Zweifel, an andern bezeugen sie offen ihre abweichende Meinung. Ich

habe daher beschlossen, die Sachen mir zum zweiten Malo za überlegen und der Reihe nach ganz offen und ehrlich aus einanderzusetzen, wie sich die einzelnen Dinge zu verhalten scheinen

In dem gekrümmten Bande AQRSY V (Fig. 10) , dessen konstantes Element SQ sei, nehme ich einen Hebel mit dem Drehpunkt Q an.

Die Dicke des Bandes QY sei der kür

zere, der Teil der Kurve AQ der längere Hebelarm.

Da QY

und das angehängte Gewicht Z dasselbe bleiben , so ist klar, daß die die Faser S Y span Fig. 10. nenden Kräfte oder , was bei V А

der gewöhnlichen Hypothese dasselbe ist, die Spannung Yy

P

portional sind .

selbst der Strecke QP pro S

Da die Drei

ecke YyQ und RQn ähnlich sind, so ist Yy umgekehrt pro

R

portional zu On , dem Krüm

Iz n

mungsradius, also ist On oder

% umgekehrt proportional zu QP oder x , d. h. xx = a ?, wo a eine Konstante bedeutet.

Nach unserem Theorem über den Krümmungsradius % ergibt

dies fa2d2y = xdsdx. Nach Ausführung der Summation hat man a dy

x2ds. Man quadriere und setze ds2

=

dx2 + dy ?

so erhält man : x2dx

dy? (at — x1) = x4dx2 oder dy Va4-24

Aus dieser Gleichung ergibt sich meine Konstruktion und fast alles übrige .

Aus der eben gefundenen Gleichung wird erkannt, daß die Krümmungsradien im umgekehrten Verhältnis der spannenden Kräfte stehen .

Beide sehr berühmte Herren haben die Mei

nung, daß ich dies zum Ausgangspunkt genommen habe.

Es

ist aber mehr eine Folgerung als mein Ausgangspunkt, wes halb ich es auch absichtlich unter den Zusätzen aufgeführt

Anmerkungen .

111

habe, siehe Zusatz 6 der ersten Konstruktion und Zusatz 4

der besonderen Lösung. Das Prinzip aber, das ich angewendet habe, macht einen beliebigen Punkt der konkaven Seite des elastischen Bandes zum Drehpunkt eines Hebels.

Es ist das

selbe, welches der sehr scharfsinnige Herr Leibniz in seiner Schrift: » Über den Widerstand der festen Körper« , vom Juni 1684, schon angewendet hat. Wenn es also dem Herrn Huygens zweifelhaft vorgekommen ist, da er meint, daß nicht nur die äußere Seite ausgedehnt, sondern auch die innere zusammen

gezogen würde, so hätte dieser Einwurf dem Herrn Leibniz, nicht mir, der ich zehn Jahre später dies vom Urheber des Prinzips entlehnt habe, gemacht werden müssen. Ich gestehe aber, daß, als ich mir dieses Prinzip früher überlegte, derselbe Zweifel bei mir entstanden ist, weil sowohl Ausdehnung als Zusammenziehung im Spiele sein müßte. [Er gibt eine neue, ziemlich komplizierte Konstruktion, um der Ausdehnung und der Zusammenziehung der Fasern gerecht zu werden. Der Gegenstand ist aber für Jakob Bernoulli dadurch nicht zum Abschluß gekommen . In den Mémoires de Paris, 1705 ; Werke, Seite 976 , nimmt er ihn ausführlich wieder auf. Er sagt in der Einleitung zu dieser Arbeit : Vor ungefähr elf Jahren

unternahm ich es zuerst, diese Krümmung geometrisch zu be stimmen , aber auf eine ziemlich unvollkommene Weise .] . II. Was weiter über die von Huygens angegebenen Figuren der elastischen Bänder zu sagen ist, habe ich eigentlich im

Zusatz 5 meiner allgemeinen Konstruktion auseinandergesetzt. Da aber die sehr scharfsinnigen Herren darüber so viel Ver mutungen aufstellen, will ich die Sache ausführlicher behandeln. Ein beliebiges elastisches Band (siehe Figur 5—9) sei in der Mitte B befestigt oder werde dort von einem Halter getragen. An den Endpunkten A und C mögen zwei gleiche Kräfte in

den Richtungen AD und CD ziehen, und zwar senkrecht zu den Tangenten in diesen Punkten.

Das Band nimmt dann

eine Krümmung an, die aus Teilen der Linie besteht, welche wir bis jetzt betrachtet haben.

Es entsteht ein verminderter

Bogen, wie ich ihn genannt habe, in Figur 6, ein vermehrter in Figur 7 , 8, 9 . Jetzt möge das Band in den Richtungen AC, CA , die sich entgegengesetzt sind und zu den Tangenten in den Endpunkten schief stehen, gezogen werden. Dies kann

geschehen, wenn diese Endpunkte durch eine Sehne verbunden werden, wie in den Figuren 6, 7 , 8 oder durch eine starre Stange, wie in Figur 9 .

Das Band wird seine Gestalt ein

112

Anmerkungen.

wenig ändern , worauf ich im Zusatz 5 ausdrücklich aufmerk sam gemacht habe. Es ist selbstverständlich, daß in diesem Falle kein Halter in B nötig ist, um das Band im Zustande Es gilt jedoch die allgemeine starker Spannung zu erhalten. Man gelangt ebenfalls zu der Lösung für alle diese Fälle. oben gefundenen Gleichung a ? = 2 scz oder a d’y = 2x dads. Bei der Summation setze man aber

d2 y = a2 dy

ab ds für

den Fall der Figur 6 und Sa+d2y = ab ds = a ?dy für die tibrigen Fälle. Dadurch ergibt sich dann folgende Endgleichung : (x2 + ab ) dac

dy Va4 — (2c2 + ab) 2 [Diese Endgleichung stimmt mit der Eulerschen Gleichung der elastischen Kurven abgesehen von der Bestimmung der Kon stanten überein ; siehe die folgende Abhandlung Nr. 15. ] 13. Zu S. 19.

Daniel Bernoulli wies Euler auf die Po

tentialkraft in einem Briefe vom 20. Oktober 1742 hin (Brief 26 im 2. Bande v. Fuß : Correspondance mathémat. et physique, Petersburg, 1843) . Er sagt am Schluß des Briefes: » Da nie mand die isoperimetrische Methode ( d . h . die Variationsrech nung , die Euler als besonderen Zweig der Analysis begründet hat) , so vollkommen beherrscht wie Sie , werden Sie dieses ºds Problem , bei dem gefordert wird , daß ein Minimum Sms R2 werde , gar leicht solvieren « .

Dan. Bernoulli hat Eulers Me

thode, Kurven zu finden , mit dem Anhang über elastische Kurven schon vor dem Erscheinen gekannt , denn er spricht davon mit großem Interesse in seinen Briefen an Euler von 1743 . Siehe Nr . 63 und Anmerkung 41 . 14 ) Zu S. 20. Für die hier verwendeten speziellen For meln vergleiche man Kapitel II und V von Eulers : Methodus inveniendi lineas curvas etc. (Band 46 dieser Sammlung , her ausgegeben von P. Staeckel) . 15 ) Zu S. 23. Für diese Transformation der Koordinaten sei folgendes bemerkt : Die neuen Achsen sind wieder recht winklig . Die neue Achse der x bildet mit der alten einen

Anmerkungen.

113

y

Winkelp , bestimmt durch tgp

.

Es wird,

wenn

B

dY P=

ist dx P=

BP - 7 P + yP '

und daher :

1 + p2 = (82 + y2) (1 + P2)

(B + y P )2 Man setze diese Werte in die letzte Gleichung Eulers ein und erhält :

2 Va V1 + P2+ PVB2 + y2 XVB2 + y2 (1 + P2)

Es sei VB2 + y2 = B1. Man führe statt der großen Buch staben wieder kleine ein , so ergibt sich wie im Text :

2 Va V1 + p2 + Bry = Byx (1 + p2)1. Statt Pe schreibe man wieder ß.

16) Zu S. 24. NE=

Man setze

> x = x +

B 2y

1 m =

a2

le -ay).

Die hier eingeführten Größen a, B, y sind natürlich von den am Anfang dieser Nummer vorkommenden Größen a, P, 7 verschieden .

Dann wird :

n2x2 — ma ' = y (a + 3x + 7x2) ; also :

dy =

dx (a + Bxy + y 2) Vat (a + B + 7362)2

Läßt man den Index bei x fort, so hat man die vorletzte Gleichung der Nr. 4 des Textes. Ostwalds Klassiker.

175 .

8

Anmerkungen.

114

17) Zu S. 32.

Hier denkt Euler an Newtons berühmte

Aufzählung der Kurven dritter Ordnung. In der folgenden Diskussion ist AP (Fig. 6) stets die Richtung der positiven X-Achse und AB die der positiven y -Achse. AB ist auch

die Richtung der wirkenden Kraft. Diese Richtung der wir kenden Kraft ist in Nr. 5 parallel der negativen y - Achse .

18) Zu S. 35. C läßt sich aus

Die Gestalt der Kurve in der Nähe von

U = a

V

t

t

с

auch so ableiten , daß w2 = a2 с

eine Parabel darstellt ; die Kurve ist nahe C ungefähr eine Parabel. Setzt man in der ursprünglichen Gleichung x şehr (a2 — c2) dx V 2a2c2

klein voraus, so ist y =

a2_c2 also y

-X, d. h .

=

ac 2

die Kurve hat in der Nähe von A die Gestalt einer geraden

Linie. Dies folgt auch daraus , daß A ein Wendepunkt der Kurve ist ; denn day

a4

230

dr2

V (c2 — « 2)3 (2a2— (2 + x2)3

verschwindet für x =0.

Wendepunkte für andere Werte von

X besitzt die Kurve nicht .

19) Zu S. 35.

Die elastische Kurve ist, in dem Methodus

inveniendi lineas curvas von Euler an einigen Stellen , wenn auch nicht sehr ausführlich , behandelt worden (Bd , 46 dieser Sammlung, S. 110, 111 , 127, 131 ). Im Kapitel 5 , $ 46 be weist Euler die wichtige Eigenschaft, daß von allen Kurven

derselben Länge, die durch dieselben zwei Punkte gehen, die elastische Kurve diejenige ist , die , um eine Achse rotierend, den Körper von größtem Volumen erzeugt. Er erwähnt dort a2 auch die Beziehung R = > : der Krümmungsradius ist der 2. ' Abszisse umgekehrt proportional. C2

U und

20) Zu S. 36. Setzt man

k” , so c2

"С

wird : a2

V S

V 2 a2

du

elv(in 1 —-12) ( 1

-- 6242)

2a2

115

Anmerkungen .

d . h. s ist nach der Legendreschen Bezeichnung ein elliptisches Integral erster Gattung. Durch dieselbe Substitution wird y übergeführt in V1– 2 2 đu V2a2

du

a2

c2 V 2a2 - 023 V (1—

V1-42

) ( 1 - k2u2)

Das erste Glied ist ein elliptisches Integral zweiter Gattung, das zweite Glied wieder ein solches Integral erster Gattung . Die Integrationen für s und y sind also in geschlossener Form nicht auszuführen. 21 ) Zu S. 37. Die Bezeichnung der Grenzen der be stimmten Integrale ist der Kürze halber zugesetzt worden, sie findet sich bei Euler nicht , da sie erst von Fourier 1822 in dem Traité analytique de la chaleur eingeführt worden ist.

a

X are sin

22 ) Zu S. 38.y =

ergibt x = c sin

с

V2

YV2 ai

Nach dem heutigen Sprachgebrauch nennt man die durch diese Gleichung dargestellte Kurve eine Sinuslinie. Unter Trochoide versteht man jetzt eine verlängerte oder verkürzte Zykloide ; in der Tat läßt sich die Sinuslinie auch als Spezialfall einer verkürzten Zykloide auffassen . 23) Zų S. 39. Mit Hilfe der Legendreschen Beziehung

1 KE' + K'E - KK

2 läßt sich die Euler sche Beziehung 4bf= na2 leicht ableiten. ( Für die dazu nötigen Formeln über elliptische Integrale ver gleiche man z. B. E. Pascal: Repertorium der höheren Mathe matik , deutsche Ausgabe von A. Schepp, S. 156.) Es ist alsdann :

a2dx