Analysis der Ebenen Bewegung [Reprint 2021 ed.] 9783112455500, 9783112455494

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ANALYSIS DER

EBENEN BEWEGUNG Von

Professor Dr. Martin Krause in

Dresden

Unter Mitwirkung

von

Dr. phil. et rer. techn. Alexander Carl in

BERLIN

Leisnig

UND

LEIPZIG

V E R E I N I G U N G WISSENSCHAFTLICHER WALTER

DE

GRUYTER

&

VERLEGER

Co.

VORMALS G. J. G Ö S C H EN'SCHE V E R L A G S H A N D L U N G — J. G U T T E N T A G , VERLAGSBUCHHANDLUNG

—

G E O R G REIMER

—

1920

KARL J. TRÜBNER

— VEIT & C O M P .

Vorwort.

D

as vorliegende Buch ist aus den Arbeiten des mathematischen Seminars an der hiesigen Technischen Hochschule über Bewegungslehre entstanden, die ich eine längere Reihe von Jahren hindurch geleitet habe. Sein Zweck ist es, einen großen Teil der Lehren von der Bewegung ebener starrer und ähnlich veränderlicher Systeme in einheitlicher Weise aus den Formeln der Koordinatentransformation heraus zu entwickeln. In bezug auf die Literatur verweise ich vor allem auf den Enzyklopädie-Artikel von S c h ö n f l i e s und G r ü b l e r über Kinematik. Für die nachfolgenden Betrachtungen kommen in erster Linie neben den aus dem hiesigen Seminar entstandenen Arbeiten solche von B u r m e s t e r , R e i n h o l d M ü l l e r , S c h ö n f l i e s und G r ü b l e r in Betracht. Herrn Dr. C a r l fühle ich mich für seine Mitwirkung zu großem Danke verpflichtet. Von ihm rühren alle Betrachtungen her, die sich auf die Anwendung von Linienkoordinaten beziehen, sowie die sämtlichen Figuren. Daneben hat er mein Manuskript vollkommen durchgearbeitet, mit einzelnen Bemerkungen versehen und endlich sämtliche Korrekturen gelesen. D r e s d e n , im Februar 1920.

Martin Krause.

Inhalt.

Erster

Abschnitt.

Die wichtigsten Bestimmungsarten der B e w e g u n g starrer ebener Systeme. Seite

§ § §

i. 2. 3.

§ §

4. 5.

§

6.

§

7.

Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines starren ebenen Systems Einfachste Bestimmungsarten der Bewegung eines starren Systems Definition des Pols und der Polkurven. Einfachste Eigenschaften der letzteren Bestimmung der Bewegungsgleichungen bei gegebenen Polkurven Uber die Einhüllenden von Kurven der beweglichen Ebene, insbesondere von geraden Linien Bestimmung der Bewegungsgleichungen, wenn die Einhüllenden «Weier Kurven der beweglichen Ebene gegeben sind Fortsetzung. Lösung desselben Problems mit Hilfe polarer Linienkoordinaten Zweiter

i 2 5 10 12 iS 16

Abschnitt.

Die Krümmungstheorie der ebenen Bewegung. § 8. § 9. § 10. §11.

§12. §13. §14.

Die Krümmungstheorie der Bahnkurven Fortsetzung. Fall des unendlich fernen Pols Der Wende- und Rückkehrkreis, sowie andere mit ihnen in Verbindung stehende Kreise Die geometrische Verwandtschaft zwischen den Kurvenpunkten und den entsprechenden Krümmungsmittelpunkten. Einfachste Zuordnungen entsprechender Punkte. Konstruktionen und metrische Relationen Fortsetzung. Zuordnung einiger entsprechender Kurven Die Krümmungstheorie der beiden Polkurven Die Krümmungstheorie der Htillbahnkurven Dritter

21 24 28

33 42 45 49

Abschnitt.

Ballscher P u n k t und Kreispunktkurve. §15., § 16. §17. §18. § 19. § 20.

Uber Berührungen höherer Ordnung zwischen Tangente und Bahnkurve. Der Ballsche Punkt Ober die vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Bahnkurve. Die Kreispunktkurve Fortsetzung. Konstruktionen und metrische Beziehungen Definition und Haupteigenschaften der Mittelpunktkurve Beispiele -Ebene entsprechen Die Evoluten der Polkurven Die Evoluten einer beliebigen Hüllbahnkurve ' Siebenter

in 1x6 • 119 121 122 126

Abschnitt.

Die wichtigsten Bestimmungsarten der Bewegung ähnlich veränderlicher Systeme. § 37. § 38. § 39. §40. §41.

Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines ebenen ähnlich veränderlichen Systems Einfachste Bestimmungsarten der Bewegung eines ähnlich veränderlichen Systems Definition der Polkurven. Ihre einfachsten Eigenschaften Über die Einhüllenden von Kurven, insbesondere von geraden L i n i e n . . . Fortsetzung. Anwendung von polaren Linienkoordinaten Achter

132 133 135 138 141

Abschnitt.

Die Krümmungstheorie der ebenen ähnlich, veränderlichen Bewegung. §42. § 43. § 44.

Die Krümmungstheorie der Bahnkurven 143 Der Wende- und der Rückkehrkreis, sowie andere mit ihnen in Verbindung stehende Kreise 147 Die geometrische Verwandtschaft zwischen den Kurvenpunkten und den entsprechenden Krümmungsmittelpunkten. Einfachste Punktzuordnungen 1 5 1

VII

Inhalt.

•§45. § 46. § 47. § 48.

Seite Fortsetzung. Konstruktionen und metrische Relationen 156 Fortsetzung. Untersuchung der Kurven in der Ebene 2 , die den geraden Linien in der Ebene S entsprechen 159 Fortsetzung. Untersuchung der Kurven in der Ebene S', die den geraden Linien in der Ebene 2 entsprechen 164 Die Krümmung der Polkurven 167 Neunter Abschnitt. Die Kreispunktkurve.

§ 49. § 50.

Über die vierpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Bahnkurve. Definition der Kreispunktkurve 169 Uber das Zerfallen der Kreispunktkurve 175 Zehnter

Abschnitt.

Über die Evoluten der Einhüllenden v o n § 51. §52.

§ 53. § 54. §55.

Systemkurven.

Über die Evoluten der Einhüllenden gerader Linien Die Einhüllenden beliebiger Systemkurven, die augenblicklich in den Berührungspunkten mit ihren Einhüllenden m + 2-punktig berührende Tangenten besitzen Über die Verwandtschaft, die zwischen den Bahnpunkten und den » t e » ihnen zugeordneten Punkten besteht Über zugeordnete ähnlich veränderliche Systeme Besondere Lagen der zugeordneten Punkte

179

184 188 192 194

Elfter Abschnitt. Spezielle ebene ähnlich veränderliche Bewegungen.

Zusammen-

hänge zwischen den Bahnkurven starrer und ähnlich veränderlicher Systeme. •§ 56. §57. •§58. § 59.

Die einförmige Bewegung ähnlich veränderlicher Systeme Die affine Bewegung ähnlich veränderlicher Systeme Skizzierung einiger weiterer spezieller ähnlich veränderlicher S y s t e m e . . . . Beziehungen zwischen den Bahnkurven starrer und ähnlich veränderlicher Systeme

197 205 210 211

Erster Abschnitt.

Die wichtigsten Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

§ l. Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines starren ebenen Systems. Wir denken uns zwei Ebenen vorgelegt, mit einer jeden ein rechtwinkliges Koordinatensystem fest verbunden. Die eine dieser beiden Ebenen, die Ebene S, sei fest, der Koordinatenanfangspunkt der Punkt 0, die beiden Achsen seien die x- und die y-Achse, die Koordinaten eines allgemeinen Punktes x und y. Die andere Ebene, die Ebene sei beweglich, der Koordinatenanfangspunkt ¿2, die beiden Achsen seien die und die ^-Achse, die Koordinaten eines allgemeinen Punktes £ und rj. Die Bewegung sei eine komplane, d. h. die sämtlichen Lagen der bewegliche Ebene befinden sich in der festen Ebene. Die bewegliche Ebene können wir als ein System starr oder unveränderlich miteinander verbundener Punkte auffassen und sie kurz als ein starres oder unveränderliches ebenes System bezeichnen. D i e A u f g a b e des e r s t e n T e i l e s dieses W e r k e s i s t es, die V o r g ä n g e , die sich bei der B e w e g u n g eines s o l c h e n S y s t e m s e r g e b e n , n ä h e r zu u n t e r s u c h e n , und zwar u n a b h ä n g i g vom B e g r i f f e der K r a f t und j e d e r s o n s t i g e n d y n a m i s c h e n V o r s t e l l u n g . Wir nennen die Koordinaten des Punktes ß in bezug auf das feste System a und b, den Winkel, den die positive ¿-Achse mit der positiven «-Achse bildet, so bestehen zwischen den Koordinaten eines und desselben Punktes in bezug auf die beiden Koordinatensysteme die Gleichungen: x = a + | cos & — rj sin ' ' y = & + |sini9'-|-^ cos a und b sind bei einer jeden in Betracht kommenden Bewegung Funktionen von und umgekehrt definieren die Gleichungen (1) eine bestimmte Bewegung, wenn a und b als Funktionen von 9- gegeben sind. W i r sehen sie als die G r u n d g l e i c h u n g e n der B e w e g u n g K r a u s e , Analysis der ebeneo Bewegung.

2

2

Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

e i n e s starren S y s t e m s an, auf w e l c h e n die- f o l g e n d e n B e t r a c h t u n g e n im w e s e n t l i c h e n beruhen werden. Sind a und b als Funktionen von & gegeben und bedeuten £ und T) die Koordinaten eines Punktes der beweglichen Ebene, so stellen die Gleichungen (1) die Bahnkurve dieses Punktes analytisch dar. Zu einer jeden Bewegung der angegebenen Art gehört eine umgekehrte, die durch Vertauschung der Ebenen S und 2 entsteht. Ihre Gleichungen lauten: | = a + x cos — y sin & v y = ß + x sin ^9•1 + y cos & v wobei gesetzt ist: a = — a cos + b sin 9V (3) ß = — a sin ^ — b cos & v =

-

Hierbei ist Z als feste, S als bewegliche Ebene anzusehen. In den Bewegungsgleichungen sind zwei willkürliche Funktionen von & enthalten,, die Funktionen a und b. Daraus folgt, daß die Bewegung im allgemeinen bestimmt ist, wenn zwei Bedingungen gegeben sind. In der Wahl dieser Bedingungen1 herrscht eine ziemliche Mannigfaltigkeit. Wir wollen im nächsten Paragraphen die einfachsten und besonders naheliegenden in Untersuchung ziehen. § 2.

Einfachste Bestimmungsarten der Bewegung eines starren Systems. Erstens: E i n e starre ebene B e w e g u n g ist b e s t i m m t , wenn die B a h n k u r v e n gegeben sind, die zwei P u n k t e | l F rj^, der b e w e g l i c h e n E b e n e beschreiben. In der Tat, die Bahnkurven werden einerseits durch die Gleichungen dargestellt: . . x = a cos & — Tje sin 1 ' y = b + h sin 9 + rjt cos e : 1, 2 andererseits sollen sie gegeben sein etwa durch die Gleichungen:

(2)

U

(*. y) = o.

Unter solchen Umständen ergeben sich die beiden Gleichungen: (3)

Je (« + h cos & — rje sin

b + | e sin 9 + rje cos 9) = 0..

aus denen a und b als Funktionen von 9 zu berechnen sind. ist die Bewegung bestimmt. Als Beispiel wählen wir das folgende: Ein starres System bewegt sich in seiner Ebene so, daß zwei seiner Punkte A und B auf zwei aufeinander senkrecht stehenden geraden Linien fortrücken. Die Grundgleichungen der Bewegung sollen aufgestellt werden. Wir wählen in der x, y-Ebene ein rechtwinkliges Koordinatensystem, dessen Fig. 2.

Damit

Einfachste Bestimmungsarten der Bewegung eines starren Systems.

3

Achsen die beiden gegebenen Linien sind, wobei deren positive Richtungen durch die Pfeile angedeutet sind. In der beweglichen Ebene wählen wir den Mittelpunkt der Linie ^iB, deren Länge durch l bezeichnet werden möge, als Anfangspunkt des »/-Systems, die »/-Achse falle in die Linie AB resp. deren Verlängerung, die |-Achse stehe senkrecht darauf. Die positiven Richtungen sind durch Pfeile angedeutet. TT Der Winkel OAB ist dann gleich — — und demgemäß nehmen die a Bewegungsgleichungen die Form an: l x = — sin # + I cos & — »7 sin 9, (4) ; y = — cos # + £ sin 9 + rj cos 9-. Wie man sich aus diesen Gleichungen leicht überzeugt, sind die Bahnkurven im allgemeinen Ellipsen, die in speziellen Fällen in Kreise oder gerade Linien übergehen können. Zweitens: Eine Bewegung ist b e s t i m m t , wenn zwei gegebene Kurven der »/-Ebene während des ganzen Laufes der Bewegung durch je einen festen gegebenen Punkt der x, y-Ebene hindurchgehen. In der Tat, die Gleichungen der beweglichen Kurven können einerseits geschrieben werden: g == a + xe cos — y, sin & v ,,, * ' i] = ß + xt sin 5-j + ye cos 9lt andererseits sollen sie gegeben sein etwa durch die Gleichungen: (6) 7 cos &.

X

Die Elimination von # ergibt als Gleichung der Bahnkurve eines Punktes -q in rechtwinkligen Koordinaten die Gleichung: (14) [$xy + rf)Y = [rjy - f{x + /)]»(£» + jj« Die Bahnkurve ist also eine Kurve vierter Ordnung. Liegt der beschreibende Punkt auf der g-Achse, so nimmt die Gleichung die Form an: xY

= (x + Z)2(?2 _ XZ)

und stellt eine Konchoide des Nikomedes dar. § 3. Definition des Pols und der Polkurven. letzteren.

Einfachste Eigenschaften der

Wir fragen nun: Gibt es Punkte bei der Bewegung eines starren Systems, die momentan in Ruhe sind ? Bezeichnen wir die Zeit durch t, so müßten für solche Punkte die Gleichungen bestehen: dx „ dy n W rf* ' Tt = Hierbei muß der Drehungswinkel # als Funktion der Zeit gegeben sein. An Stelle der beiden Gleichungen (1) können wir auch die Gleichungen wählen: dy d& dx ddd9dt = ' dd-Tt = oder auch:

da von den Phasen, in welchen: d» dt=° ist, füglich abgesehen werden kann. Nun ist: dx da y

d

db

, t

«.

n

• «

dct dh

.

_

, ,

Unter solchen Umständen sind die in Frage kommenden Punkte entweder durch die Gleichungen: . du § sin & + r> cos # — j iL = 0, dir . „ db S cos # — rj sin 5" + - - = 0 dir oder durch die Gleichungen:

6

Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

da db bestimmt. Hieraus folgt, daß in jedem Augenblick im allgemeinen ein einziger bestimmter Punkt der genannten Art existiert. Seine Koordinaten im rj System lauten: da . db W

da

riv = _ cos 0 +

sm

im x, y-System: db (5) (ö)

=

" ~ t

da

Wir nennen diesen Punkt das m o m e n t a n e Drehungszentrum, oder auch den momentanen Drehungspol, den Momentanpol oder auch Pol schlechthin und wollen ihn durch P bezeichnen. Wir finden also den Lehrsatz: In j e d e r P h a s e der Bewegung gibt es im allgemeinen einen einzigen b e s t i m m t e n P u n k t , den Pol, der sich in R u h e befindet. Um die Natur des Poles etwas tiefer zu erkennen, gehen wir zu den Bewegungsgleichungen zurück. Halten wir einen Punkt rj fest, so definieren sie, wie schon bemerkt, die Bahnkurve des Punktes rj. Die Gleichung der Normale für die Phase it lautet:

oder auch: (X - x) («' - (y - b)) + (Y - y) (b' + (x - «)) = 0, wobei a' und b' die Differentialquotienten von a und b nach & bedeuten. Man überzeugt sich leicht, daß dieser Gleichung genügt wird, wenn X und Y resp. die Werte xp und yp annehmen, so daß die Normale durch den Pol hindurchgeht. Wir finden demnach den Lehrsatz: Die N o r m a l e n in einem beliebigen P u n k t e einer jeden B a h n k u r v e gehen in jedem Augenblicke durch den Pol. Die Bewegung eines jeden s t a r r e n ebenen S y s t e m s b e s t e h t in einer F o l g e von Drehungen um den jeweiligen Pol. Die in dem Lehrsatz ausgesprochene Eigenschaft kann dazu benutzt werden, um an Bahnkurven Normalen resp. Tangenten zu legen. Gehen wir dazu zu dem ersten im vorigen Paragraphen behandelten Bewegungsproblem zurück und betrachten eine bestimmte Lage der beweglichen Geraden A B. Da die festen Achsen auch zu den Bahnkurven gehören, so ist der momentane Drehungspol P der Schnittpunkt der beiden Parallelen zu der x- und der y-Achse, die durch die Punkte B und A gelegt

7

Definition und Eigenschaften des Poles.

werden können. Ist daher D ein fest mit AB verbundener Punkt, so ist die Normale an die Ellipse, die dieser Punkt beschreibt, die Linie DP. Im allgemeinen wird der Pol im Endlichen gelegen sein, es gibt aber auch Fälle, in denen er in die Unendlichkeit rückt. Nehmen wir z. B . an, daß ein starres System sich so bewegt, daß zwei seiner Punkte auf zwei Kreisen mit den Mittel. r lg. 9. punkten Mi und Mz gleiten. Dann kann unter Umständen der Fall eintreten, daß die Linien Mt A und M2B einander parallel sind, sich also erst im Unendlichen schneiden. In diesem Falle liegt auch der Pol im Unendlichen. Ferner wird der Pol bei den in Betracht kommenden Bewegungen im allgemeinen ein eindeutig bestimmter Punkt sein, es gibt aber auch Fälle, in denen es nicht der Fall ist. Wir nehmen dazu die Bewegung, bei welcher ein Systempunkt auf einem Kreise, ein anderer auf einer Tangente an letzteren sich zu bewegen gezwungen ist. Dabei soll die Entfernung der beiden Punkte gleich dem Durchmesser des Kreises gleich 2r sein. Wählt man das Koordinatensystem im festen und beFis-*• weglichen System, wie in der Figur angedeutet, so erkennt man leicht die Richtigkeit,der Beziehungen: a = r cos = 2 sin # — 1,

cos tp = 2 Ksin & — sin 2

Wir erhalten demnach: a = 2r Vsin & — sin2

b = r (2 sin

— 1),

wobei das Zeichen der Wurzel gleich dem Zeichen von a ist. Für den Wert & = — wird der Differenzenquotient von a ¿1 2r V cos h — cos 2 h h ' und zwar ist sowohl für positive, wie für negative Werte von h das positive und das negative Zeichen der Wurzel zu gebrauchen, da beiden positive und : negative Werte von a entsprechen. Für h = 0 ergeben sich demnach zwei Grenzwerte, die Werte i r |¡2, und wir erhalten zwei Pole, deren Koordinaten resp. lauten: * P = 0, yp = r (1 ± V2). Von dem Falle des unbestimmten Poles sehen wir in der Folge ganz ab und verweisen dieserhalb auf eine Arbeit von M ü l l e r im 54. Bande der Zeitschrift für Mathematik und Physik. Der Fall des unendlich fernen

8

Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

Poles wird später mehrfach betrachtet werden, einstweilen nehmen wir den Pol als endlichen Punkt an. Die Gleichungen (4) und (5), die die Koordinaten des Poles für die Phase # in den beiden Koordinatensystemen definieren, können noch anders gedeutet .werden. Nehmen wir an, daß & alle möglichen Werte durchläuft, so bestimmen sie zwei Kurven, deren eine mit der rt-, deren andere mit der x, y-Ebene fest verbunden ist. Die erstere nimmt im Laufe der Bewegung in bezug auf das feste System immer andere und andere Lagen an, die zweite dagegen bleibt unveränderlich. Wir nennen diese beiden Kurven die Polkurven des Systems, die erste die bewegliche, die zweite die feste. Erstere wird wohl auch Polkurve schlechthin, letztere Polbahn oder Basis oder Basiskurve genannt. Wir wollen die erste kurz durch r, die letzte durch C bezeichnen. In den Gleichungssystemen (4) und (5) befindet sich derselbe Parameter St. Dieser Parameter kann in einem und dem anderen Systeme alle möglichen Werte annehmen und hat nur für die Schnittpunkte der beiden Kurven denselben Wert. Um das auch äußerlich anzudeuten, wollen wir in dem Gleichungssysteme (5) als Parameter die Größe d einführen, die Gleichungen der festen Polkurve also schreiben:

db m Im beweglichen Systeme nehmen die Gleichungen derselben Kurve für die Phase it die Form an: S = « + (« ( + * ) cos*.

Als Gleichungen der beweglichen Polkurve in demselben System hatten wir gefunden:

da . „ db da

=

C S

•

«

° ¿ö1 S m Die Vergleichung der beiden letzten Darstellungen ergibt mit Hilfe weniger Schlüsse, daß die Tangenten im gemeinsamen Punkte bei beiden Kurven dieselben sind und ebenso die Differentiale der Bogenlängen, die wir bei der festen resp. beweglichen Polkurve durch dsp resp. dap bezeichnen wollen. Unter solchen Umständen ergibt sich der für die Theorie der starren ebenen Bewegung fundamentale Lehrsatz: Die B e w e g u n g eines jeden starren ebenen Systems kann ersetzt werden durch das Abrollen der beweglichen Polkurve auf der festen. Bei der umgekehrten Bewegung vertauschen die beiden Polkurven ihre Rolle, die feste geht in die bewegliche, die bewegliche in die feste über.

Beispiele von Polkurven.

9

Als Beispiele für die Bestimmung der Polkurven wählen wir die beiden ersten Bewegungsaufgaben von § 2. Die Gleichungen der ersten lauteten: x = ^ sin & + § cos & — JJ sin Li

y = ^'cos # + £ sin # + rj cos u

Aus ihnen folgt: xp = l sin yp = l cos Die feste Polkurve ist also ein Kreis, der mit dem Radius l um den Nullpunkt beschrieben ist. Ferner wird: l l £p = - sin 2 ilP = 2 cos 2 Die bewegliche Polkurve ist demnach auch ein Kreis, der um den Anfangsl punkt des '1 -Systems mit dem Radius — beschrieben ist und durch den ¿k Anfangspunkt des festen Systems hindurchgeht. Der zweite Kreis liegt ganz innerhalb des ersten. Die untersuchte Bewegung kann also auch dadurch erzeugt werden, daß ein Kreis innerhalb eines anderen festen abrollt, dessen Radius doppelt so groß wie der des rollenden ist. Ähnlich einfach gestaltet sich die Untersuchung im zweiten Falle. Die Bewegungsgleichungen lauteten: x = l cos2 # + £ cos # — t] sin y = l cos & sin d- + £ sin £ + rj cos Aus ihnen folgt: xp = l sin2 yp = — l sin £ cos # oder auch: - {)*

+ Vi =

Die feste Polkurve ist ein Kreis, der um den Pilnkt:

mit dem Radius -- beschrieben ist. ¿1 Für die bewegliche Polkurve ergeben sich die Gleichungen: = — l cos Tjp = — / sin Die bewegliche Polkurve ist also ein Kreis, der um den Nullpunkt des beweglichen Koordinatensystems mit dem Radius l beschrieben ist. Dieser Kreis enthält den vorigen ganz in sich. Die Bewegung des Systems entsteht also durch das Rollen eines beweglichen Kreises mit seiner Innenseite auf der äußeren Seite eines festen Kreises, dessen Radius halb so groß ist wie der des rollenden Kreises.

10

Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

§ 4. Bestimmung der Bewegungsgleichungen bei gegebenen Polkurven. Im vorigen Paragraphen sind wir von den Bewegungsgleichungen ausgegangen und haben gezeigt, wie dann die Polkurven zu bestimmen sind. Jetzt wollen wir umgekehrt die Polkurven uns gegeben denken und fragen, wie dann die Bewegungsgleichungen aufzustellen sind. Die Gleichungen der beiden Polkurven bei vorgelegten Koordinatensystemen mögen lauten: (1)

/ (xP, yP)

=0,

qp (?„, n v ) = 0.

Nun ist aber: xp = a — b', yp = b + a', |p = a' sin ^ — b' cos &, fjp = cos # + b' sin Es bestehen also für alle Werte von ft die Gleichungen zusammen: / (a -b', b + a') = 0, K '

b e s t i m m t werden. Greifen wir einen Punkt der Einhüllenden heraus, so ist er zu gleicher Zeit ein Punkt der 5, ^-Kurve in der entsprechenden Lage und der Bahnkurve, die zu ihm gehört. Die Theorie der Einhüllenden lehrt, daß diese drei Kurven in dem gemeinsamen Punkte sich berühren. Besonders einfach gestalten sich die Betrachtungen, wenn die Kurve in der j^-Ebene eine gerade Linie ist. Wir wollen ihre Gleichungen schreiben: (5) % = u cos e + m, J] = u sin s + f*t1. Die Bewegungsgleichungen nehmen dann die Form an: x = a + m cos 9 — m1 sin 9 + u cos (9 + e) , ^ * y — b + m sin 9 + m1 cos 9 + u sin + «)» während die Bedingungsgleichung sich schreiben läßt: (7) u = a' sin (9 + e) — b' cos (9 + «) — m cos e —

sin «.

Unter solchen Umständen nehmen die Gleichungen der Einhüllenden die Form an: «n • * = /0(S)+cos(S+e)i//0(#), y = y0(&)+sm(9 + s)ip0{9), wobei gesetzt ist: x = m sin s — tn1 cos c, /0 (9) = a + x sin (9 + e), {9) = b — x cos (9 + c), Vo W = fö (») sin (9 + «) - (p'0 {9) cos (9 + e). Wir werden auf diese Gleichungen später ausführlicher zurückkommen. Sogleich an dieser Stelle möge aber auf eine bemerkenswerte Eigenschaft der Spitzen der ihnen entsprechenden Kurven hingewiesen werden.

14

Bestimmungsarten der Bewegung starrer ebener Systeme.

x und y hängen vermöge der Gleichungen (6) von 3- und u ab, u vermöge der Gleichung (7) von Demgemäß ergeben sich die Gleichungen: dx

dx

dx du düd»' dy du

+

dy

dy

Für die Spitzen werden die linken Seiten dieser Gleichungen der Null gleich, oder also es bestehen die Beziehungen: dx du Öy

{ }

Erwägen wir die Beziehungen: dx

.

,

du

d'v

so können die Gleichungen (9) geschrieben werden: du cos (& + e) -rjr = y — b — a', sin {& + e) jy = — % + a — b', oder also es wird: fdu\2

l d»)

~ a + h']2 + {y ~ Andererseits ergibt sich aus Gleichung (7): ~ = a' cos dir

=

{ x

b

~

' -

a )2

+ e) + V sin {» + «) + a" sin (fr + «) - b" cos (9 + e).

du Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit - - und berückdfr (duy . sichtigen die Gleichungen (10), so erhalten wir für ^ — j Darstellung. (11)

eine zweite

Die Vergleichung beider ergibt die Beziehung: *\ + y\ + (b' + «") % -

(«' -b")

Vl

= 0,

wobei gesetzt ist: x1 — x — a + b', y-y = y — b — a'. In dieser Gleichung fehlen die Größen a, m, mv so daß sich der Lehrsatz ergibt: I n j e d e m A u g e n b l i c k der B e w e g u n g liegen die S p i t z e n der E i n h ü l l e n d e n a l l e r geraden L i n i e n auf einem K r e i s e . Dieselbe Eigenschaft gilt für die umgekehrte Bewegung.

Bewegungsgleichungen bei gegebenen Einhüllenden zweier Kurven.

15

§ 6.

Bestimmung der Bewegungsgleichungen, wenn die Einhüllenden zweier Kurven der beweglichen Ebene gegeben sind. Wir haben im vorigen Paragraphen gezeigt, wie die Einhüllende •einer Kurve der §, >;-Ebene gefunden werden kann, wenn die Bewegungsgleichungen gegeben sind. Wir wollen nun umgekehrt annehmen, daß die Einhüllende einer Kurve der rj -Ebene gegeben sei, und fragen, welche Schlüsse hieraus auf die Bewegungsgleichungen gemacht werden können. Wir nehmen dazu an, daß die Gleichungen der Kurve in der q-Ebene in der Form gegeben seien: (1) ? = tp^u), n = 1 (u) cos ,9- — y 2 («) sin ^' y = b + . Istrf = J-(v,) die Gleichung einer Kurve in polaren Linienkoordinaten, so lautet die Gleichung ihrer Evolventenschar: d=/F {ip) dif> + k, wobei die Integrationskonstante k als veränderlicher Parameter anzusehen ist. Bei unserer Bewegung umhüllen also alle Systemgeraden Evolventen von kongruenten logarithmischen Spiralen, die für alle Geraden durch den Anfangspunkt i i selbst logarithmische Spiralen sind, die untereinander und den soeben genannten kongrueht sind. Die Einhüllenden aller Geraden, die einen Systemkreis mit Si als Mittelpunkt umhüllen, sind kongruent, diejenigen einer Parallelenschar sind die Evolventenschar ein und derselben Kurve.

Krümmungstheorie der Bahpkurvec.

21

Zweiter Abschnitt.

Die Krümmungstheorie der ebenen Bewegung. § 8. Die Krümmungstheorie der Bahnkurven. Die Gleichungen der Kurve, welche ein Punkt tj beschreibt, haben wir in der Form dargestellt: > x = a + ? cos & — j] sin { ' y = b + i sin & +1] cos Wir wollen im folgenden die Krümmungstheorie dieser Kurven entwickeln. Wir nennen u und v die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes, welcher zu dem Punkte x, y gehört, dann finden die Beziehungen s t a t t : e2 dy u = x " = yy H— t—. ^ w d» wenn unter e und w die Größen verstanden werden:

1

-VIW

'

_dxd*y _ dy dH ~~ d&dd* Erwägen wir die Beziehungen: xp = a — b', yp = b +a' und führen die Bezeichnungen ein: (3) a2 = a" + b', bt = b" - a', so lassen sich die beiden ersten Differentialquotienten von x und y nach & in die Form bringen: W

dx

dv

dH x+x'+a* d*y ¿&=-¿a., = und wir erhalten für e und w die Werte:

-y+y>+b*

« = V(x - xp)* + (y - y,j\ w={xxP)a + (y - yp)* - a2(x - xp) - b, (y - yp). Es ist e demnach die Entfernung des vorgelegten Punktes x, y vom Pol.

22

Kiümmungstheorie der ebenen Bewegung.

Um einfachere Darstellungen zu erhalten, verschieben wir das x, y-System parallel mit sich selbst in den Pol als Anfangspunkt. Die neuen Koordinaten bezeichnen wir durch xv yr resp. uv vlt dann folgt: (4) x1 = x-xp, yx = y-yv, und analoge Beziehungen ergeben sich zwischen u, v und uv vv In diesem neuen Koordinatensystem lauten die Koordinaten des augenblicklichen Krümmungsmittelpunktes: /m u1 = —x1 ( a ^ + b2yj : w, = — Vi (a2xi + bsVi) w> wobei w geschrieben werden kann: w = x\ + y\ — «2^1 — Wir führen noch ein drittes Koordinatensystem ein. Die Gleichung der Tangente an die feste Polkurve im augenblicklichen Berührungspunkt hat die Form: «2% + biVi = die der Normalen: b2xx — - 0. In diese beiden Linien wollen wir die neuen Koordinatenachsen hineinlegen und die entsprechenden Koordinaten durch x2 und y 2 bezeichnen, dann können wir setzen: x2 = b2xx — aM : N, (6) y2 = afr + b2yx : N, N=+Va\+bl Die %2-Achse fällt also mit der Tangente, die y 2 -Achse mit der Normalen zusammen. Setzen wir analog: u2 = b2u1 — a2vx : N, v2 = a2Uy + b2vx : N, so folgen die einfachen Beziehungen: wu2 = — Nx^y2, (7) wv2=-Ny'i, W = x\ +y\ - Nyt. Wir wenden uns nunmehr zu der umgekehrten Bewegung. Gleichungen lauten: , £ = a + x cos — y sin i8 * ' T) = ß + x sin + y cos wobei gesetzt war: a = — a cos + b sin ß = — a sin — b cos 1 ' = -

Ihre

Diese Formeln haben dieselbe Gestalt, wie die der ursprünglichen B e wegung, nur daß andere Bezeichnungen eingeführt sind. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes, der zu einem Punkte rj einer Bahnkurve der umgekehrten Bewegung gehört, haben die Werte: .

e\ dij

e\ d%

v + * ~ ^ d»,' ^ wobei unter ex und w x die Größen zu verstehen sind: (

a)

Krümmungstheorie der Bahnkurven.

23

_ d2rj än d*g Wl ~ dd-\ ~ d»\' Um eine Vergleichung mit den früheren Resultaten zu ermöglichen, empfiehlt es sich, an Stelle der Koordinaten t] die vorhin gebrauchten x, y resp. xv yx und x2, y2 einzuführen und neben ihnen den Winkel Es ergeben sich dann die Beziehungen: d% , dn , . —— = xx sin 9 — y1 cos ~~ = x, cos & + yx sin dit1 d u>i = x\ + y\ + + b&v Wir nehmen wieder eine Parallelverschiebung des vorgelegten Systems in den Pol als Koordinatenanfangspunkt vor, d. h. wir setzen an Stelle von | und TJ die Größen und TJv die mit ihnen durch die Gleichungen verbunden sind: Si = I - ?p, = '4p und rjp bedeuten hierbei die früher angegebenen Koordinaten des Poles in bezug auf das »7-System. Dann nehmen die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes in bezug auf dieses System die Form an: — ?i («2^1 + ßi%) • Wj, ft + ßih) • wv Schließlich drehen wir das Koordinatensystem so, daß die neue Achse mit der Tangente, die neue tj-Achse mit der Normalen an die Polkurven zusammenfällt, und zwar nach dem Früheren gemäß den Formeln: -

[ > %= + ß-Sh : N. Eine leichte Rechnung zeigt, daß dann die Beziehungen bestehen:

h = ~ x*. % = — ViWir wollen die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes in bezug auf das x2, y2-System durch /uä und v2 bezeichnen, so folgen die Darstellungen : (IIa) wlfx2 = Nx^2, wxv2 = Nyl, wobei ze>j den Wert hat: (IIb) Wl = x\ + y\ + Ny2. Damit sind wir einstweilen am Ziel. Wir haben die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes eines jeden Punktes der Bahnkurve im ur-

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

24

sprünglichen und im umgekehrten System in ein und demselben Koordinatensystem dargestellt. Für den Krümmungsradius selbst ergeben sich bei der direkten Bewegung im xv y1 resp. x2, y,,-System die resp. Ausdrücke: (12)

, =

, w+y»* und f = w + YTF cf + y\ - «2*1 - b&t x\+y\Ny2 ' Analog gestalten sich die Ausdrücke für die umgekehrte Bewegung. Diese Darstellungen ergeben zu gleicher Zeit eine wichtige weitere Beziehung. Wir wollen annehmen, daß der Bahnpunkt der umgekehrten Bewegung, dessen Krümmungsmittelpunkt bestimmt werden soll, der Punkt u2, vt sei, den wir bei der ursprünglichen Bewegung gefunden haben. Dann folgt: Nu«v~ Nvl wx W1 Andererseits können wir die Gleichungen für u2, v2, wie wir sie bei der direkten Bewegung gefunden haben, auch schreiben: — ¥ i = 0, «2*2 + y-i K + N) = NV2. Aus ihnen folgen die Beziehungen: Nu,v., Nv?, *,= — y 2 = —-. Es fallen also die Punkte (t2, v2 und x2, y2 zusammen, und wir erhalten den Lehrsatz: I s t w2, v2 der K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t des P u n k t e s x2, y2 der d i r e k t e n B e w e g u n g , so ist x2, yt der K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t des P u n k t e s w2, v2 der u m g e k e h r t e n Bewegung. § ».

Fortsetzung. Fall des unendlich fernen Poles. Bei den letzten Betrachtungen war vorausgesetzt, daß der Pol im Endlichen gelegen sei. Diese Annahme lassen wir jetzt fallen, nehmen vielmehr an, daß der Pol im Unendlichen gelegen sei. Dann werden die Normalen in allen Punkten der Ebene an die entsprechenden Bahnkurven alle einander parallel nach dem unendlich fernen Pol gerichtet sein, die Bewegung besteht also in einer momentanen Parallelverschiebung. Der Krümmungsradius hat allgemein den Wert: ((* - hY + (y - y?) 2 ) 1 (X- xp)» + (y - yp)2 -«,(*xp) - b Im Grenzfalle wird also sein: ,,

U

Q

a — = - lim * ^ ~ Xv) m e (*J + y})*

oder auch:

2

( y - yp) '

25

Unendlich ferner Pol.

— = — lim —

N

,im

)+My-y»)

Nun ist + ¿¿y : N die y-Koordinate des vorgelegten Kurvenpunktes in bezug auf ein Koordinatensystem, das mit dem ursprünglichen den Anfangspunkt gemeinsam hat und dessen «-Achse parallel der Polkurventangente ist. Im Grenzfall ist also die «-Achse nach dem unendlich fernen Punkt gerichtet. Wir wollen das entsprechende Koordinatensystem mit Hilfe des Index 3 von den bisherigen unterscheiden. a2xp + b^yp : N ist infolgedessen die y-Koordinate des Poles in bezug auf das zuletzt definierte System. Wir wollen sie durch bezeichnen. Setzen wir schließlich: ' = y8Als Beispiel wählen wir kurz den Fall des speziellen Schubkurbelgetriebes, bei welchem eine gerade Linie von gegebener Länge / sich so bewegt, daß ein Endpunkt U sich auf einem Kreise mit dem Mittelpunkt 0 und dem Radius r, der andere A sich auf einer durch 0 hindurchgehenden Geraden bewegt. Zu untersuchen ist die Bewegung der Ebene, die mit der beweglichen Geraden fest verbunden Fig. 10. ist. ii und 0 haben die frühere Bedeutung, die |-Achse fällt in die bewegliche, die «-Achse in die feste Gerade, die Richtungen sind aus der Figur ersichtlich. Den Winkel S10A bezeichnen wir durch q>, dann folgen für a und b die Werte: (4)

v3

(5)

a — r cos y,

b =

r sin g>,

und es besteht zwischen g> und # die Beziehung: (6)

r sin (f =

l sin

Demgemäß lassen sich a und b in der Form darstellen:

26

(7)

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

a = r j / l — ^ sin

b = l sin

Wir betrachten nun die Lage, bei welcher 012 senkrecht auf 0A steht: TT Es wird dann y> gleich —, während 9 aus den Gleichungen bestimmt ist: u •y l Y2 sin = —, cos # = — 1/ 1 l ' l2 Wir wollen diesen Wert durch S 0 bezeichnen, dann können die in Betracht kommenden Größen nach Potenzen von — entwickelt werden, und zwar wird zunächst: a = V^r VW^f (fr - $„)* + •. . . , 2 2 b=r — Vl -r (9- + Für xp und yp ergeben sich Darstellungen von der Form: /8j

(9)

xp = fl2^72

+ VIr Vi2 - r* (» IT*

+

=

so daß wir für a2 und b2 Reihenentwickelungen von der Form erhalten:: «2 = - ~9 /y (10)

2

VW^ri _

(9 -

+...

,

($-»0)-t+ Um den Krümmungsradius und die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes zu erhalten, haben wir zunächst den Grenzwert des Ausdruckes :

zu bilden.

N Mit Hilfe der Reihenentwickelungen ergibt er sich gleich:.

(11) x = r Vi2 Für ys ergibt sich der Wert: (12)

y3 = lim

r2.

——- =

-

während y f ) gleich — Vi2 — r 2 wird. Die ursprüngliche y-Achse ist demnach der Polkurventangente parallel. Unter solchen Umständen nimmt der Krümmungsradius die Form an: (13)

g= r

x -

Vl*-r2

und damit sind auch die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes unmittelbar gegeben. Wir wollen das soeben behandelte Beispiel verallgemeinern und dazu die allgemeine Theorie etwas anders darstellen.

Unendlich femer Pol.

27

Lassen wir den Pol auf der festen Polkurve in die Unendlichkeit rücken, so geht die Tangente in ihm in die entsprechende Asymptote an die Polkurve über. Wir wollen nun die *-Achse des festen Systems in die Asymptote legen, den Anfangspunkt in einen beliebigen im Endlichen gelegenen Punkt von ihr. Von dem Fall, daß die Tangente im unendlich fernen Punkt ganz im Unendlichen gelegen ist, können wir füglich absehen. Dann wird im Grenzfalle xv unendlich groß, yp dagegen gleich Null. Nehmen wir zunächst an, daß der Pol im Endlichen gelegen sei, so lautet der Ausdruck für den Krümmungsradius im x2, y 2 -System: (*f+yg)* i + y'i — N y 2 ' Wir wollen nun eine Verschiebung des Koordinatensystems vornehmen, indem wir: == X 2 setzen, dagegen y2 ungeändert lassen. Dann nimmt der Krümmungsradius immer, vom Zeichen abgesehen, den Wert an: il4

x

x

{{x\ + ( x '

t

+ x

xp) p

2

+ yl)i

) * + y l - N y ;

Lassen wir xv in die Unendlichkeit rücken und nehmen die Bedingung hinzu, daß die Bahnkurven im allgemeinen endliche, von Null verschiedene Krümmungsradien besitzen sollen, so muß: x3

lim ^ eine endliche, von Null verschiedene Größe sein, die wir durch x bezeichnen wollen. Dann folgt:


=

y

-

und analog erhalten wir die schon früher gefundenen Darstellungen: (16)

u =

xy + x J - i - ,

v

= y.

Wir wollen nun eine Kategorie von Bewegungen betrachten, die sich eng an das behandelte Beispiel anschließt, wenn auch die Achsen anders gewählt sind. Vermöge der Wahl des festen Koordinatensystems ist der Winkel welcher dem unendlich fernen Pol entspricht, gleich Null. Wir nehmen nun an, daß um ihn herum die Entwickelungen gelten*): n7x «= + + * b = + + wobei m und n rationale Zahlen bedeuten, die nicht negativ sind. Der Fall negativer m und n ist auszuschließen, da sonst für & = 0 die Punkte *) Von Reihenentwicklungen ähnlicher Art macht M e h m k e 35. Bande der Zeitschrift fttr Mathematik und Physik Gebrauch.

in zwei Arbeiten im

-28

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

x, y, die beliebigen Werten von £ und tj entsprechen, sämtlich im Unendlichen gelegen sein würden. a 0 und ß0 sind von Null verschiedene Konstanten. Die niedrigsten Exponenten m und n in den vorliegenden Entwidmungen wollen wir ihre Ordnungszahlen nennen. Durch Differentiation ergeben sich die Beziehungen: . . a' = m a + (m + 1) + . . .. W V = n ß i + (n + 1) A3» + . . . . so daß m — 1 und n — 1 als Ordnungszahlen der Entwickelungen von a' und b' oder kurz von a und b' zu bezeichnen sind. Ferner erhalten wir die Darstellungen: ,xp = a-b'=nß0.9"-1 - (n +1) ß^n... +a0»m+a1»m+l + .... \lv> yp = b + «' = ßQd* + +.... +ma0^m-1 + (w + 1) a^™ +... • Nehmen wir an, daß für & = 0 xp unendlich groß, yp dagegen der Null gleich werden soll, so folgt, daß n größer als Null, dagegen kleiner als 1, m größer als 1 sein muß. Es besitzen dann xp resp. yp als Ordnungszahlen die Zahl n — 1 resp. die kleinere der beiden Zahlen n und m — 1. Die Ordnungszahlen der Größen: «2 = y'v = — x'p sind gleich der kleineren der beiden Zahlen n — 1 und m — 2 resp. gleich m — 2, die Ordnungszahl von N: N = Va* + 6« ist gleich n — 2, und zwar ist der Koeffizient der niedrigsten Potenz von eine positive Größe gleich ^ n . n — 1 ß0, je nachdem ß0 positiv oder negativ ist. Wenn nun: Xp N «inen endlichen, von Null verschiedenen Grenzwert x besitzen soll, so muß die Gleichung bestehen: Sn — 3 = n — 2 oder also n = \ sein. Wir finden den Lehrsatz: L a s s e n s i c h a u n d b um ^ = 0 h e r u m in u n e n d l i c h e R e i h e n der a n g e g e b e n e n A r t e n t w i c k e l n , so m u ß der n i e d r i g s t e E x p o n e n t i n der E n t w i c k e l u n g v o n a g r ö ß e r a l s 1, von b g l e i c h i s e i n , d a m i t i m b e t r a c h t e t e n G r e n z f a l l e d i e B a h n k u r v e n im a l l g e m e i n e n v o n N u l l u n d U n e n d l i c h v e r schiedene Krümmungsradien besitzen. § 10. Oer Wende- und Rückkehrkreis, sowie andere mit ihnen in Verbindung stehende Kreise. Wir wollen jetzt den speziellen Fall nehmen, daß bei der ursprünglichen Bewegung der Krümmungsradius eines Bahnpunktes unendlich groß werde, der Bahnpunkt selbst also ein Wendepunkt ist, dann müssen seine Koordinaten der Gleichung:

Wende- und Rückkehrkreis. (1)

w =

29

0

Genüge leisten. Im xv yx- resp. x2, y2-System können wir sie schreiben: x\ + y2 - a¿Vi = 0 resp. m *S + y l = Wie wir uns überzeugen, liegen alle Bahnpunkte auf einem Kreise, der mit dem Namen des W e n d e k r e i s e s bezeichnet wird. Wir erhalten unter solchen Umständen den Lehrsatz: Der Ort aller P u n k t e der u r s p r ü n g l i c h e n B e w e g u n g , welche in e i n e m A u g e n b l i c k e W e n d e p u n k t e i h r e r B a h n b e s c h r e i b e n , ist ein K r e i s . Das Analoge gilt für die umgekehrte Bewegung. Bei ihr liegen alle augenblicklichen Wendepunkte auf der Kurve (3) i»! = 0, deren Gleichung wir im xlt y2- resp. x2, y2-System schreiben können: ,AS x\ + y\ + a2xx + b^ = 0 resp. [ )

* i + y l + N y

=0.

t

Auch hier ergibt sich ein Kreis, der mit dem Namen des R ü c k k e h r k r e i s e s bezeichnet wird. Wir finden den Lehrsatz: Der Ort aller P u n k t e der u m g e k e h r t e n B e w e g u n g , welche in einem A u g e n b l i c k e W e n d e p u n k t e i h r e r B a h n b e s c h r e i b e n , ist ein Kreis. Die Lage der beiden Kreise ist am besten aus ihren Gleichungen im x2, y2-System zu ersehen. Die Mittelpunkte beider liegen auf der y2-Achse, der Normalen an die Polkurve, und zwar der des Wendekreises auf der positiven, des Rückkehrkreises auf dem negativen Teile dieser N

Achse, beide in der Entfernung — vom Pol. Außer im Pole schneiden sie die Normale noch in je einem Punkte in der Entfernung N vom Pole. Diese beiden Punkte bezeichnen wir mit dem Namen des W e n d e - resp. R ü c k k e h r p o l e s . Ihre beiden Koordinaten im x2, y2-System lauten 0, N resp. 0, — N, im xv System also «2, b2 resp. — a2, — bs. Um eine wichtige Eigenschaft dieser Punkte abzuleiten, legen wir bei der ursprünglichen Bewegung eine Tangente im Punkte x, y an die Bahnkurve. Ihre Gleichung im xv yj-System lautet: (5)

* i X

1

+ y

1

Y

1

- x l - y l = 0 .

Wir wollen nun annehmen, daß der Punkt xv yi auf dem Wendekreis gelegen sei, also seine Koordinaten der Gleichung Genüge leisten : x

l

+ y\

— «2*i —

=

Für alle diese Punkte kann die Gleichung der Tangente geschrieben werden: (6) x x { X x - a ^ + y 1 ( Y i - i , ) = 0. Wie also auch der Punkt xlt yx auf dem Wendekreis gewählt sein möge, stets geht seine Tangente an die Bahnkurve durch den Wendepol, den wir durch W bezeichnen wollen.' Unter solchen Umständen finden wilden Lehrsatz:

30

Krtimmungstheorie der ebenen Bewegung.

Die Tangenten, die man in den P u n k t e n des Wendekreises an die B a h n k u r v e n legen kann, gehen alle durch den Wendepol. Das Analoge gilt für die umgekehrte Bewegung. An Stelle des Wendekreises tritt der Rückkehrkreis, an Stelle des Wendepoles der Rückkehrpol, den wir durch W bezeichnen wollen. Eine weitere Eigenschaft des Wende- resp. Rückkehrpoles ist im Paragraphen 5 gefunden worden, freilich ohne die jetzt eingeführte Bezeichnung zu gebrauchen. Wir können den folgenden Lehrsatz aussprechen : Der Wendekreis ist der geometrische Ort der Spitzen der Einhüllenden von geraden Linien für die umgekehrte Bewegung. Der analoge Satz gilt für den Rückkehrkreis. Als Beispiel wählen wir den Fall, daß die beiden Polkurven Kreise sind. Die Bewegungsgleichungen können geschrieben werden: x = (rx + r 2 ) cos xd + ? cos d — rj sin d, (7) y — (r1 + r2) sin xd + § sin d + iq cos d, x = r2: t\ + r2. r1 ist der Radius des festen Kreises und positiv anzunehmen, r2 ist auch positiv, wenn die beiden Kreise beim Rollen sich von außen berühren, negativ in den anderen Fällen. Der Pol ist der jeweilige Berührungspunkt P der beiden Kreise und hat die Koordinaten: (8) xp = r1 cos xd, yv = r1 sin xd, Fig. 11. also haben a 2 und &2 die Werte: b2 — xrx sin xd. a2 = xrx cos xd, (9) Die Gleichungen des Wende- und des Rückkehrkreises ergeben sich im x, y-System resp. gleich: (x — rx cos xd)2 + (y — rx sin xd)2 xrx cos xd {x — rx cos xd) (10 a) =F xrx sin xd- (y — rx sin xd) = 0, im xv yj-System resp. gleich: (10 b) x\ + y\ xrx cos xdxx ^ xrx sin xdyx = 0 und endlich im x2, y2-System gleich: (10 c) x\ + y\ =F xrjy, = 0. Die Koordinaten ihrer zweiten Schnittpunkte mit der Polbahnnormale, d. h. die Koordinaten des Wende- resp. Rückkehrpoles, ergeben sich im x, y-System resp. gleich: >•1 fa + rl + r2

cos xd-,

+

'i

+ 2r t ) sin xd und: »i + '«

cos xd-,

ri + r,

**

im xv yx-System resp. gleich: i xrx cos xd,

i

sin xd,

sin xd

Wende- und Rttckkehrkreis.

31

und endlich im x2, y 2 -System resp. gleich: 0, ±

xrv

Man erkennt ohne weiteres, daß die Wende- resp. Rückkehrpole im Laufe der Bewegung einen zur festen Polkurve konzentrischen Kreis beschreiben. Aus den Formeln folgt eine einfache Konstruktion des Wende- resp. Rückkehrpoles und damit des Wende- resp. Rückkehrkreises. Für den Fall der epizykloidischen Bewegung gestaltet sie sich folgendermaßen: Vom Mittelpunkte 0 des festen Kreises trage man auf einer beliebigen •durch ihn hindurchgehenden geraden Linie die Strecken OyL — ri und OB = r± + r2 ab, verbinde B mit dem Pole P und ziehe durch ¿L eine Parallele zu PB. Ihr Schnittpunkt mit OP ist dann der Rückkehrpol f»". Analog ist die Konstruktion des Wendepoles. Der Rückkehrpol liegt auf der Linie OP, der Wendepol auf der Linie P£2. Wir werden auf dieses Beispiel später noch einmal zurückkommen. Fig. 12. Zu den angegebenen allgemeinen Eigenschaften des Wende- und des Rückkehrkreises können wir noch eine mechanische hinzufügen, die bei ihrer Verallgemeinerung zu einer unendlichen Kette weiterer Kreise führt. In der Tat, die Geschwindigkeit eines Punktes x, y zur Zeit t ist gleich;

ihr Richtungskoeffizient gleich: dy dx lt' dt' Die Beschleunigung desselben Punktes zur Zeit t ist:

ihr Richtungskoeffizient gleich: d*y d2x Ifi'dß' Wir fragen nun: Wo hegen alle Punkte, für welche die Richtung der Geschwindigkeit mit der Richtung der Beschleunigung zusammenfällt? Für diese Punkte muß die Gleichung bestehen: (11)

Nun ist aber:

dx d2y dt dt«

dy d2x dt dtä

=

KrUmmungsthcorie der ebenen Bewegung.

32

dx dx dd dy dy dd dt = dd di' dt ^ dd- Ut — d*y_d„ in einfacher Weise zu konstruieren, wenn die Punkte A und A gegeben sind. In der Tat, die Beziehung zwischen % und können wir in der Form schreiben: K - *i) («s - x i) = • Aus ihr folgt die Gleichung: (6) AA . AWa = PA2. Die Konstruktion gestaltet sich demgemäß folgendermaßen: Wir ziehen durch A eine beliebige Gerade g und verbinden irgendeinen Punkt derselben Q mit P und mit A. Alsdann ziehen wir durch P eine Parallele zu QA und durch ihren Schnittpunkt Q1 mit QA eine Parallele zu QP. Diese Parallele trifft die Linie AA in dem zu ihr gehörenden Wendepunkt W„. Ist umgekehrt auf der %-Achse der entsprechende Wendepunkt gegeben, so kann zu jedem ihrer Punkte A der entsprechende Krümmungsmittelpunkt A in analoger Weise konstruiert werden, es braucht nur A und W„ miteinander vertauscht zu werden. Die %-Achse ist dadurch ausgezeichnet, daß sie durch den Pol hindurchgeht, im übrigen aber völlig willkürlich ist. Wir wollen eine Gerade, die durch den Pol hindurchgeht, einen Normalstrahl nennen, dann gelten die vorhin angegebenen Konstruktionen für einen jeden Noxmalstrahl. Unter solchen Umständen erhalten wir den folgenden Lehrsatz: Wenn auf einem Normalstrahl ein Paar entsprechender Punkte gegeben ist, so ist der dazugehörende Wendepunkt zu konstruieren, und ist umgekehrt auf einem Normalstrahl der dazugehörende Wendepunkt gegeben, so kann zu jedem ihrer Punkte der entsprechende Krümmungsmittelpunkt konstruiert werden. 3*

36

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

Hierbei ist der Pol als bekannt angenommen. Für die umgekehrte Bewegung gelten die entsprechenden Beziehungen. Nun seien zwei entsprechende Punktepaare A, A \ A', A' und damit der Pol gegeben. Ihnen entsprechen zwei Normalstrahlen. Auf jedem dieser beiden Normalstrahlen kann dann nach dem vorigen der entsprechende Wendepunkt konstruiert werden. Es sind also zwei Punkte des Wendekreises bestimmt, zu denen der Pol als dritter hinzukommt, so daß der Wendekreis selbst bestimmt ist. Damit ist aber das Problem gelöst, zu einem beliebigen Punkte A" den entsprechenden Krümmungsmittelpunkt zu konstruieren. In der Tat, man verbinde A" mit P, so schneidet diese Linie den Wendekreis in dem zum Normalstrahl A"P gehörenden Wendepunkt Wa. Dann aber kann nach dem vorigen der zu A" gehörende Punkt A" konstruiert werden. Diese Konstruktion, bei der der Wendekreis und der Pol als gegeben angesehen wird, rührt von Grübler her. Unter solchen Umständen kommt der Bestimmung des Poles und des Wendekreises für die Krümmungstheorie eine erhöhte Bedeutung zu, und wollen wir zu den bisherigen Bemerkungen darüber noch die folgenden hinzufügen. Bewegt ein Punkt der 5, rt -Ebene sich auf einer Geraden in der x, y-Ebene, so liegt er in jedem Augenblick auf dem entsprechenden Wendekreis, geht ferner eine Gerade der >j-Ebene durch einen Punkt der x, y-Ebene, so durchläuft der letztere bei der umgekehrten Bewegung eine Gerade und liegt also auf dem Rückkehr kreis. Die Normale in dem festen Punkt auf der beweglichen Geraden geht durch den Pol. Diese Bemerkungen gelten allgemein. Wir fügen die folgenden Beispiele hinzu. Erstens das Beispiel der Bewegung eines starren Systems, bei welchem zwei seiner Punkte A und B auf zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden fortrücken und das schon in § 2 behandelt worden ist. Wir fanden die Bewegungsgleichungen: l x = -¿rsin & + ? cos d- — n sin d-, l y = -¡rcos & + § sin # -f- jj cos u Nach dem vorhin Bemerkten folgt, daß die Punkte A und B auf dem Wendekreis gelegen sind. Der Pol ist der Schnittpunkt ,der Parallelen zu den festen Koordinatenachsen, die durch A und B gelegt werden können. Damit sind drei Punkte des Wendekreises bestimmt, er selbst also auch. Auch als zweites Beispiel nehmen wir ein schon in § 2 behandeltes, bei welchem ein unveränderliches System sich so bewegt, daß eine seiner Geraden fortwährend durch einen festen Punkt A hindurchgeht und einer ihrer Punkte, der Punkt Q, eine Gerade g beschreibt. Als Bewegungsgleichungen fanden wir: x = ? cos # — j? sin ( ' y = l tg & + $ sin ^ + r, cos Die Bahnkurven ergaben sich als Kurven vierter Ordnung. Errichten, wir in £2 ein Lot auf der Linie g und in A ein solches auf der §-Achse, W

Verwandtschaft zwischen Kurven- und Krümmungsmittelpunkten.

37

so ist ihr Schnittpunkt der Pol P. Wir kennen damit zwei Punkte des Wendekreises, die Punkte P und £2. Ein dritter wird gefunden, wenn •wir ¿4P über P hinaus um sich selbst verlängern bis zum Punkte Q. Damit sind wiederum der Pol und der Wendekreis bestimmt. Drittens nehmen wir an, daß die Bewegung der Ebene dadurch bestimmt ist, daß der eine Endpunkt £2 einer Strecke von der Länge l auf einem Kreise vom Radius r gleitet, während der andere Endpunkt sich auf einer Geraden g bewegt, die von dem Mittelpunkte des gegebenen Kreises den Abstand h besitzt. In den Mittelpunkt des Kreises legen wir den Anfangspunkt des festen Koordinatensystems, die tf-Achse parallel der Linie g. Den Anfangspunkt des beweglichen Koordinatensystems legen wir in den Punkt S2, die §-Achse in die Linie A£2. Den Winkel, der die Linie OSl mit der positiven «-Achse einschließt, bezeichnen wir durch (p, den Koordinatenwinkel durch S-, dann lauten die Bewegungsgleichungen: ,n\ x = r cos (f + 5 cos d- — t] sin ^ ' y = r sin

= 0 in der Form schreiben können: (15) mm'Nf — xx' (m — m') (X (m + m') — Y (1 — mm')) == 0. Für den Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien gilt also die Gleichung: (16) X (m + m') — Y (1 — mm') = 0, da wir von dem Fall absehen können, daß x oder x' der Null gleich ist. Die letzte Gleichung ist unabhängig von der Wahl der Punkte A und A' auf den entsprechenden Normalstrahlen. Die ihr entsprechende Linie geht durch den Pol. Unter solchen Umständen finden wir den Lehrsatz: S i n d zwei voneinander verschiedene N o r m a l s t r a h l e n gegeben und A, A ; A',A'- irgend zwei P a a r e n t s p r e c h e n d e r P u n k t e auf ihnen, so schneiden sich die V e r b i n d u n g s l i n i e n AA', AA' auf einer und derselben durch den Pol hindurchgehenden Geraden. Denken wir uns nun, daß die auf den beiden Normalstrahlen ineinander liegenden projektivischen Punktreihen die kollineare Beziehung zweier zusammenfallender ebener Felder vermitteln, so liegen dieselben in Kollineation, und zwar ist P das Zentrum und die gefundene Gerade die Achse der Kollineation. Wir nennen sie deshalb die zu den beiden Normalstrahlen gehörende K o l l i n e a t i o n s a c h s e . Ist diese Achse konstruiert, so kann auf jedem der beiden Normalstrahlen zu einem jeden ihrer Punkte der entsprechende Krümmungsmittelpunkt linear konstruiert werden, vorausgesetzt, daß auf einem von ihnen ein Paar zusammenFig. ib. gehörender Punkte gegeben ist. In der

(11)

Verwandtschaft zwischen Kurven- und Krümmungsmittelpunkten.

39

Tat, es mögen auf dem einen Normalstrahl die entsprechenden Punkte A, A gegeben sein. Auf dem zweiten Normalstrahl nehmen wir einen beliebigen Punkt A' und ziehen die Verbindungslinie AA', welche die Kollineationsachse im Punkte C treffen möge. Die Verbindungslinie der Punkte C und A schneidet dann den zweiten Normalstrahl in depi Krümmungsmittelpunkt A' des Punktes A'. Ferner kann auf dem ersten Normalstrahl zu jedem Punkte der entsprechende Krümmungsmittelpunkt konstruiert werden. Wir können diese Konstruktionen verallgemeinern. In der Tat, m ist die Tangente des Winkels, die der erste Normalstrahl mit der Polkurventangente bildet, d. h. der Winkel, um welchen man die Polkurventangente im positiven Sinne drehen muß, damit sie mit dem Normalstrahl zusammenfällt. Das Analoge gilt für m'. Wir wollen diese Winkel durch a und a' bezeichnen. Aus der Gleichung: X (m + m') -

Y

(1 - mm') = 0

ergibt sich, daß der Winkel ß, den die Kollineationsachse mit der Polkurventangente bildet, durch die Gleichung bestimmt ist:

(17)

1 — mm

Also folgt: (18) ß = a+a', und wir erhalten den Lehrsatz: Der W i n k e l , um welchen man die P o l k u r v e n t a n g e n t e im p o s i t i v e n Sinne drehen muß, damit sie mit dem ersten N o r m a l s t r a h l z u s a m m e n f ä l l t , ist- gleich dem W i n k e l , um welchen man den zweiten N o r m a l s t r a h l im p o s i t i v e n S i n n e drehen muß, damit er mit der K o l l i n e a t i o n s a c h s e zusammenfällt. Hieraus folgt, daß, wenn zwei Normalstrahlen und die dazu gehörende Kollineationsachse gegeben sind, die Polkurventangente in einfacher Weise konstruiert werden kann, und dasselbe gilt für die Kollineationsachse, wenn außer den beiden Normalstrahlen die Polkurventangente gegeben ist. Auf diesen Erwägungen beruht eine weitere Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes eines beliebigen Bahnpunktes, wenn die Polkurventangente und zwei zusammengehörende Punkte A und A gegeben sind. In der Tat sei A' ein beliebiger Bahnpunkt. Wir ziehen die Linie AA, welche die gegebene Polkurventangente im Pole P schneidet, und ziehen ferner die Linie A'P. Alsdann ist die Kollineationsachse diejenige Linie, die mit dem Normalstrahl A'P denselben Winkel bildet, wie die Linie AA mit der Polkurventangente. Wir ziehen jetzt die Linie AA', bis sie die Kollineationsachse im Punkte C schneidet. Die Verbindungslinie CA schneidet dann den NormalFig. 17.

40

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

strahl A'P im gesuchten Krümmungsmittelpunkt A'. Diese Konstruktion wird die Bobilliersche genannt. Als Beispiel kann die Epizykloidenbewegung in Betracht gezogen werden. Rollt ein beweglicher Kreis auf einem festen, so ist die Polkurventangente in jedem Augenblicke bestimmt. Ferner beschreibt der Mittelpunkt Si des rollenden Kreises wieder einen Kreis, dessen Mittelpunkt der Mittelpunkt 0 des festen Kreises ist. Dem Punkte Si entspricht also der Punkt 0, so daß die Bedingungen, die der letzten Konstruktion zugrunde liegen, tatsächüch erfüllt sind. Die Bobilliersche Konstruktion kann ohne weiteres auch dazu verwendet werden, zu einem Krümmungsmittelpunkt den zugehörigen Bahnpunkt zu finden, wenn uns die Polbahntangente und ein Paar entsprechender Punkte gegeben sind. Die zu den beiden Normalstrahlen gehörige Kollineationsachse kann konstruiert werden. Ist C der Schnittpunkt der Verbindungslinie der beiden gegebenen Krümmungsmittelpunkte A und A' mit der Kollineationsachse, so schneidet die Verbindungslinie des Punktes C und des gegebenen Bahnpunktes A den zweiten Normalstrahl im gesuchten Bahnpunkt A'. Vor der Bobillierschen Konstruktion hatten wir die Aufgabe gelöst, zu einem Bahnpunkt A den entsprechenden Krümmungsmittelpunkt A zu konstruieren, wenn der Pol und der Wendepunkt Wa des entsprechen-, den Normalstrahles gegeben sind. Die Ableitung dieser Konstruktion stützte sich auf die Beziehung: AA

. AWa

=

PA2.

Bedenken wir, daß die Punkte A und A bzw. Wa und Wa bei der Umkehrung der Bewegung ihre Rollen vertauschen, so finden wir die analoge Beziehung: AA.

A fffl ==

PA2.

Ist von den Punkten Wa und Wa auf einem Normalstrahl der eine be kannt, so läßt sich der andere ohne weiteres konstruieren, da WaWa durch P halbiert wird. Sind uns nun auf einem Normalstrahl die Punkte Wa und A bekannt und soll der Punkt A konstruiert werden, so bestimmen wir zunächst den Punkt l F a und verfahren dann ähnlich wie früher. Wir legen durch eine beliebige Gerade g und verbinden irgendeinen Punkt Q derselben Qf mit P. Dann ziehen wir durch P die Parallele zu WaQ und durch ihren Schnittpunkt mit ff AQ die Parallele zu QP. Diese Parallele trifft die Linie AP im gesuchten Bahnpunkt st. Wir nehmen nun an, daß der Pol unendlich fern sei. Wir gehen dabei von den Formeln (4) Fig. 18. des § 9 aus:

Verwandtschaft zwischen Kurven- und Krümmung-smitt elpunkten.

41

Die Gleichungen zeigen, daß auch in diesem Fall eine quadratische Verwandtschaft vorliegt. Die Verbindungslinien entsprechender Punkte sind der Polkurventangente parallel. Entsprechende Punkte auf Parallelen zur Polkurventangente bilden kongruente Punktreihen. Alle unendlich fernen Punkte entsprechen sich selbst, dem unendlich fernen Pol jedoch entspricht in beiden Punktsystemen die ganze Polkurventangente. Jedem Punkt der Polkurventangente entspricht in beiden Punktsystemen der unendlich ferne Pol. Kennt man ein Paar entsprechender Punkte A, A, so kennt man auch die Richtung der Polkurventangente. Wählen wir eine Parallele t zur Polkurventangente als *-Achse eines Koordinatensystems, so haben die Verwandtschaftsgleichungen der Bahnpunkte und der entsprechenden Krümmungsmittelpunkte die soeben angegebene Form. Zur Bestimmung . Die Figur liefert die Proportion: A"A"

: A'A' = y\ - y « : y » -

yW

aus der vermöge der Gleichung: A'A' = folgt: si"A"

—j X y, -

— —

X

vT '

y'l-y^ womit die Richtigkeit unserer Konstruktion bewiesen ist. Die angegebene Konstruktion findet sich auf andere Weise abgeleitet bei B u r m e s t e r . § 12.

Fortsetzung.

Zuordnung einiger entsprechender Kurven.

Nachdem wir die Zuordnung entsprechender Punkte in der yund u, u-Ebene untersucht haben, wollen wir jetzt die Zuordnung einiger entsprechenden Kurven in Betracht ziehen, wobei wir das x2, y2-System zugrunde legen, den Index 2 aber fortlassen. E s sei in der x, y-Ebene eine gerade Linie gegeben, die nicht durch den Nullpunkt hindurchgeht. Ihre Gleichung können wir schreiben: (1) ax + by + c = 0, wobei c von Null verschieden anzunehmen ist. Ihr entspricht in der u, u-Ebene die Kurve: (2)

CM2 + (bN + c) v2 + aNuv + cNv = 0,

also ein Kegelschnitt, der durch den Nullpunkt hindurchgeht und in ihm die «-Achse berührt. Der Kegelschnitt ist eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem eine der Beziehungen besteht: (3) 4c (bN + c) - « W 2 0. Wir können das noch anders deuten. Suchen wir dazu die Schnittpunkte der vorgelegten geraden Linie mit dem Wendekreis ! Ihre Koordinaten ergeben sich aus den Gleichungen: ax + by + c — 0, * 2 + y 2 — Ny = 0. Die y-Koordinaten der Schnittpunkte leisten also der Gleichung Genüge: y2 («2

¿2)

y (2bc _ a2N) + c 2 = 0,

deren Diskriminante den Wert besitzt: - « 2 (4c (bN + c) -

a2N2).

Zuordnung entsprechender Kurven.

4a

Wir sehen also, die Art des Kegelschnittes hängt davon ab, ob die gerade Linie den Wendekreis in zwei reellen Punkten schneidet, ihn berührt oder keinen Punkt mit ihm gemeinsam hat. Dieses Resultat ist zunächst nur richtig, wenn a von Null verschieden ist. Es bleibt aber, wie man sich leicht überzeugt, bestehn, wenn a = 0 ist. Eine eigentümliche Eigenschaft besitzt der Krümmungskreis der Kegelschnitte im Nullpunkt. Durch zweimalige Differentiation, wobei wir u als unabhängige Veränderliche ansehen, ergeben sich die beiden Gleichungen: ,,,

(

2cudu + 2 (bN + c) vdv + aN (udv + vdu) + cNdv = 0, ' 2cdu* + 2 (bN + c) (dv2 + vd2v) + aN {Mudv + ud*v) + cNd2v = 0.

Im Punkte u = 0, v = 0 wird also erstens: dv du wie vorauszusehen, und zweitens: dh) _ 2 du* ~ ~ N' Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes im genannten Punkte lauten also:

der Punkt selbst fällt also mit dem Mittelpunkt des Rückkehrkreises zusammen. Der gesuchte Krümmungskreis aller der betrachteten Kegelschnitte ist demnach der Rückkehrkreis. Unter solchen Umständen haben alle Kegelschnitte im Nullpunkte drei Punkte gemeinsam. Fassen wir die letzten Betrachtungen zusammen, so ergibt sich der Lehrsatz: Für eine jede Gerade des x, y - S y s t e m s , welche n i c h t durch den Pol hindurchgeht, liegen die Krümmungsmittelpunkte der Bahnen ihrer P u n k t e auf einem K e g e l s c h n i t t , welcher durch den Pol hindurchgeht und in ihm den Rückkehrkreis zum Krümmungskreis hat. Der K e g e l s c h n i t t ist eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem die Gerade mit dem Wendekreis zwei reelle verschiedene, z u s a m m e n f a l l e n d e oder keinen reellen Punkt gemeinsam h a t . Wir nehmen jetzt an, daß die gerade Linie durch den Pol hindurchgeht. Ihre Gleichung hat die Form: (5)

ax + by = 0,

ihr entspricht die Kurve: (6)

bv2 + auv =

0.

In diesem Falle zerfällt also der Kegelschnitt in zwei gerade Linien,, von denen die eine die Tangente an die beiden Polkurven und die zweite die ursprüngliche Gerade ist. Auch hier ist noch ein Fall besonders hervorzuheben, wenn nämlich die gegebene Gerade die Polkurventangente y = 0 ist. Dieser Linie entspricht, wie schon bemerkt, lediglich ein Punkt, nämlich der Pol. —

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

44

Wir wollen noch den Fall betrachten, daß in der x, y-Ebene ein Kegelschnitt gegeben sei, der im Nullpunkt die Polkurventangente berührt, so kann seine Gleichung geschrieben werden: (7) anx2 + 2 a13xy + a22y2 + 2 a13y = 0. Diesem Kegelschnitt entspricht eine Kurve, deren Gleichung die Form hat: (8) v2 (anNu2 + 2anNuv + a2iNv2 + 2a23 (u2 + v2 + Nv)) = 0. Abgesehen von der doppelt zu zählenden Polkurventangente v = 0 ergibt sich also wieder ein Kegelschnitt, der durch den Nullpunkt hindurchgeht und in ihm die Polkurventangente berührt. Wir machen noch ein paar Bemerkungen zu dem Fall, daß der Pol unendlich fern liegt. Dabei erinnern wir an die Formeln (4) des § 9: V

= *3 - ya*yW'

»=

^

Sehen wir von dem Fall ab, daß y ^ unendlich groß ist, so nehmen wir eine Parallelverschiebung des x3, y3-Systems vermöge der Formeln vor: *4 = Vi = y 3 - y^Die Verwandtschaftsgleichungen lauten in dem neuen Koordinatensystem, wenn wir den Index 4 unterdrücken: u = x oder:

,

v= y

wo -f- x * = — ,

y = v.

Der Geraden: ax + by + c = 0 entspricht der Kegelschnitt: auv + bv2 + cv + ax = 0, der eine Hyperbel ist, welche die Polkurventangente und die vorgelegte Gerade zu Asymptoten hat. Für die Geraden x = c' geht der 'Kegelschnitt in eine gleichseitige Hyperbel über, während er für die Parallelen zur Polkurventangente in die Polkurventangente und die vorgelegte Gerade zerfällt. Dem Kegelschnitt: anx2 + 2 a12xy + «¡¡¿y2 + 2 a13x + 2 «23y + a33 = 0 entspricht die Kurve vierter Ordnung: a^uh)2 -(- 2anuv3 + a22f4 + 2alsuv2 + 2a2Sv8 + 2auxMi; + («33 + 2a12x)v2 + 2a13xv + a ux2 — 0. Die Richtungskoeffizienten ihrer Asymptoten sind: f*i, 2= 0,

(i 3 , 4 =

— ^12 ±

2 — «11«22 »22

Wie man leicht erkennt, besitzen die Kurven vierter Ordnung alle die Doppelasymptote v — 0. Die Gleichungen der beiden anderen Asymptoten findet man, indem man v = juS) 4 u + c in die Kurvengleichung

Krümmungstheorie der Polkurven.

45

einsetzt und c so bestimmt, daß der Koeffizient von uz gleich Null wird. Dieser Koeffizient hat die Form: A |c (2a u + 6a n A + 4a22A*) + 2a ia A + 2a 23 ^ 2 j, wobei ju3it durch A ersetzt worden ist. Durch Nullsetzung des Koeffizienten ergibt sich: c (2 (a u + 2a12A + a22A2) + 2A (a12 + a22A)) = — 2A (a13 + a^A) oder, da: «ii + 2«i2^4 + a22A2 = 0 ist: c = — g13 + a13A «12 + «22-4 ' Dabei hat A die Werte fj3 bzw. /u4. Die beiden letztgenannten Asymptoten, die reell oder imaginär sein können, fallen mit denjenigen des entsprechenden Kegelschnitts zusammen. Jedem Kreis entspricht daher eine zirkuläre Kurve vierter Ordnung. Außer der Doppelasymptote v = 0 sind ihre Asymptoten die Verbindungslinien des Mittelpunktes des Kreises mit den absoluten Punkten. Durch Zerfallen der Kurven vierter Ordnung können die Verhältnisse entsprechend vereinfacht werden. So entspricht z. B. der Hyperbel 2 a12xy + a22y2 + 2 a23y + «3S = 0 die Hyperbel: 2a12uv + a22v2 + 2a23v + ^ + 2a12x = 0 • und die doppelt zu zählende *-Achse. Beide Hyperbeln besitzen dieselben Asymptoten. § 13. Die Krümmungstheorie der beiden Polkurven. Es sollen jetzt die Krümmungsmittelpunkte der Punkte der beiden Polkurven berechnet werden. Die Koordinaten eines Punktes der festen. Polkurve im x, y-System lauten: (1) xp = a — V, yP = b + die Koordinaten des entsprechenden Krümmungsmittelpunktes: N2 dyp N2 dxp Xp y p + ~ M M wobei gesetzt ist: (2) M = («' - b") (b" + a'") - (b' + a") (a" - b'"). Verlegen wir den Anfangspunkt des Koordinatensystems in den Pol und lassen wie früher die «-Achse mit der Polkurventangente zusammenfallen, so wird die «-Koordinate des Krümmungsmittelpunktes, den wir durch VP bezeichnen wollen, der Null gleich, während die y-Koordinate der Länge und Richtimg nach gleich PVp ist und den Wert annimmt: N8 P V 3 = ( > » ~M-

46

Krlimmung-stheorie der ebenen Bewegung.

Damit ist der Krümmungsmittelpunkt der festen Polkurve im Pol analytisch bestimmt. In ähnlicher Weise kann der Krümmungsmittelpunkt der beweglichen Polkurve bestimmt werden, der zur Phase & gehört. Die Koordinaten dieses Punktes im rj-System haben die Werte: AT* dy ? "" M dd-' N* dl; ' + M d»' wobei gesetzt jst: y

dd- i/>2

'

dd-

Um den letzten Ausdruck zu bestimmen, erinnern wir an die Beziehungen: § = a' sin 0- — V cos ij = a' cos -9- + b' sin 9-, dann ergibt sich ,für M der Wert: {5) m == M -

N\

An Stelle des 17-Systems wollen wir das x, y-System einführen. Es geschieht das mit Hilfe der Gleichungen: x = a + £ cos & — rj sin 3-, y — b -j^g sin # + t] cos Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes der beweglichen Polkurve, der zu der Phase ib gehört, nehmen die Werte an: N2 M Wir verlegen nun wieder den Anfangspunkt des Koordinatensystems in. den Pol und lassen die Abszissenachse mit der Polkurventangente zusammenfallen. Dann wird die «-Koordinate des Krümmungsmittelpunktes, den wir durch Yp bezeichnen wollen, gleich Null, die y-Koordinate dagegen ist der Länge und dem Zeichen nach gleich: N3 (6) PYV = y +

und es besteht zwischen PYV und PVp die Beziehung: (7) -J L. = 1 = J _ . PYP PV„ N PW * ' Damit ist der Krümmungsmittelpunkt der beweglichen Polkurve im Pol bestimmt. Zu gleicher Zeit folgt aus der Theorie der quadratischen Verwandtschaft, die in § 11 näher entwickelt worden ist, daß dem Krümmungsmittelpunkt der beweglichen Polkurve der Krümmungsmittelpunkt der festen Polkurve zugeordnet ist. Wir sprechen dieses Resultat noch einmal in der Form eines Lehrsatzes aus:

47

Krümmungstheorie der Polkurven.

Dem K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t der b e w e g l i c h e n P o l k u r v e im P o l ist bei der f r ü h e r u n t e r s u c h t e n q u a d r a t i s c h e n V e r w a n d t s c h a f t der K r ü m m u n g s m i t t e l p u n k t der festen P o l k u r v e in demselben P u n k t e als e n t s p r e c h e n d e r P u n k t zugeordnet. Ist also die quadratische Verwandtschaft in einer der früher angegebenen Weisen geometrisch bestimmt, so kann der Krümmungsmittelpunkt der einen Polkurve im Pole konstruiert werden, wenn der der anderen bekannt ist. Wir können die gefundenen Resultate aber auch so deuten, daß, falls der Pol und die beiden Krümmungsmittelpunkte der Polkurven gegeben sind, die quadratische Verwandtschaft bestimmt ist, also jedem Punkte der Ebene der entsprechende Krümmungsmittelpunkt zugeordnet werden kann und umgekehrt. Wir wollen noch einige weitere Bemerkungen an diese Betrachtungen knüpfen und fragen dazu erstens: Welchem Punkte R3 entspricht der Punkt Yp bei der quadratischen Verwandtschaft? Es muß dann die Beziehung bestehen: PYV

=

-

N

- P R3

P R

3

- N

oder umgekehrt: P R ,3

=

N - P Y „v PYV p

+ N -

Setzen wir den früher gefundenen Wert von PYp

ein, so ergibt

sich die Ordinate - — wie wir sie bezeichnen wollen — des Punktes R3 3 gleich: /g\

_ N* = 3 M — N2' Wir werden diesen Punkt Rs später in der Kreispunkttheorie wiedertreffen und ihm dann eine andere geometrische Deutung geben können. Wir fragen zweitens, welcher Punkt R'3 dem Punkte Vp bei der quadratischen Verwandtschaft zuzuordnen sei. In diesem Falle muß die Beziehung bestehen: R

w

PÄ< = -

N

PVp

-^ -

N

.

Setzen wir den früher gefundenen Wert von PVv

ein, so ergibt sich

R'

die Ordinate — des Punktes R\ gleich: o ,(9)

R'

N3

fL = —— . 3 M + N* Auch diesen Punkt R'3 werden wir später wiederfinden und anders geometrisch deuten können. Jedenfalls sind die Punkte Rs und R'3 bestimmbar, wenn die quadratische Verwandtschaft bekannt und einer der beiden Punkte Vp oder Yp gegeben ist, und umgekehrt sind die Punkte Vp und Yp zu konstruieren, wenn einer der beiden Punkte R3 oder R'3 •gegeben ist. w

Krttmmungstheorie der ebenen Bewegung.

48

Dabei können wir zwischen den Punkten R3 und R\ noch eine einR Rr fächere Beziehung herstellen. Ihre Ordinaten waren durch -— und — o o bezeichnet worden. Wir wollen nun an Stelle der beiden Punkte Ra und R[ die unmittelbar aus ihnen abzuleitenden in Betracht ziehen, deren Ordinaten die Größen R und R' selbst sind und diese Punkte durch Rl undÄj bezeichnen. Wir fragen: Welcher Punkt entspricht dem PunkteR l bei der früher untersuchten quadratischen Verwandtschaft ? Die Ordinate von R t ist gleich: 32V» M-N*' also ergibt sich als Ordinate des entsprechenden Punktes die Größe: M +N*' das heißt, der entsprechende Punkt ist der Punkt R[. Wir finden also„ daß dem Punkte Rt bei der quadratischen Verwandtschaft der Punkt R[ als zugeordneter entspricht, so daß hiermit eine einfachere Beziehung zwischen den beiden Punkten hergestellt ist, als es bisher der Fall war. Ferner wollen wir noch die folgende Betrachtung anschließen. Aus den aufgestellten Beziehungen folgt: Setzen wir:

PÄj

PYp ^ PW 3

2

PRt PKi so ist hieraus der Punkt K1 unmittelbar bestimmt, wenn der Punkt R1 gegeben ist und umgekehrt. Dann aber folgt die Gleichung: 2 1 1 ~PK\ = PYp + PW' Es ist also Yp der vierte harmonische Punkt zu P, K1 und W und kann unmittelbar konstruiert werden, wenn diese drei Punkte gegeben sind. Schließlich sei noch folgendes bemerkt. Wir betrachteten soebendie Gleichung: 1 1 _ J _ PY~p ~PVp ~~ PW' Sie ist ein spezieller Fall einer allgemeineren Gleichung, die aus der Theorie der quadratischen Verwandtschaft unmittelbar abzuleiten ist. Nehmen wir dazu statt der Polkurvennormale einen beliebigen Normalstrahl, auf ihm einen Punkt Y und den ihm entsprechenden V, nennen ferner seinen Schnittpunkt mit dem Wendekreis Wn, so folgt die Beziehung: (ii) K '

J _ _ JPV l = _PW !_. PY n Nun besteht aber zwischen PW und PWn die Gleichung: PWn = PW cos y,

49

Krümmungstheorie der Hüllbahnkurven.

wenn y der Winkel ist, den die Linie PW„ mit der Linie PW bildet, und hieraus ergibt sich die Gleichung: (12)

=

die unter dem Namen der E u l e r - S a v a r y s c h e n bekannt ist. § 14. Die Krümmungstheorie der Hfillbahnkurven.

Wir wollen im folgenden die Krümmungstheorie der Einhüllenden der Systemkurven, der sogenannten Hüllbahnkurven, entwickeln. Dabei bedienen wir uns der polaren Linienkoordinaten. Es sei uns eine beliebige Systemkurve gegeben, etwa durch die Gleichung: Ö = / (co). Dann lauten die Gleichungen ihrer Einhüllenden: (1) d = a cos {& + tu) + b sin + ( 0 ) + / (w), xp = 3 + wobei die Beziehung besteht: dd dtp dd dxp oder:

da db . dt W d»™ * ^ d*™ * = da*> wobei der Kürze halber / an Stelle von / (OJ) geschrieben wurde. Durch Differentiation der Gleichung (1) nach xp erhalten wir mit Rücksicht auf (2): df dw = b cos xp — a sin xp + j rl

(db

\

,

(da

—, \ .

d*f da,

Mit Rücksicht auf § 7 finden wir als Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes der Einhüllenden unserer Systemkurve, der zum augenblicklichen Berührungspunkt der Einhüllenden mit der Systemkurve gehört: dco\ df . (da . db d*f d(o\ ue = a _ £ sin xp + ( ^ sm xp - - cos xp - _ _ j cos xp (3) df ida . db d*f dio\ . ve = b + ~ cos Yxp + I — smT tp — cosT xp — —— —- I sin ip. Y dta ^dxp dxp dta*dip) Diesen Werten kann eine zweite Deutung gegeben werden. Die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes unserer Systemkurve d = / ( , der zum augenblicklichen Berührungspunkt derselben mit ihrer Einhüllenden gehört, lauten im jj-System: df . d*f df d*f . sm ta =—cos ta, — cos oy — sm ta. dm dta2 ata dta* K r a u s e , Analycis der ebenen Bewegung.

4

50

Krümmungstheorie der ebenen Bewegung.

Im x, y-System haben die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes unserer Systemkurve die Form: df . u = a — -r- sin W dm

d*f r-— cos Ttb, dm2

df T v — b 4cos ib dm

d2f . — sinTxb. da2

Der Krümmungsmittelpunkt der Bahnkurve, die der Krümmungsmittelpunkt der betrachteten Systemkurve momentan beschreibt, hat die Koordinaten: e2 dv e2 du (4) ux = ü —, vx = v + - —. w dd w dd In diesen Gleichungen ist m als konstant anzusehen, im übrigen können die rechten Seiten nach den in § 8 angegebenen allgemeinen Regeln gebildet werden. In unserem Falle tritt noch die Bedingungsgleichung^ (2) hinzu, sowie die durch ihre Differentiation nach d sich ergebende: dy„ dxv . ( d2f da . db \ dm sin rxb = I —— + —- sinr xb — — cosv xb I —. cos Txb dd dd\ dm2 dddd) dd , Unter Berücksichtigung dieser Gleichungen nehmen die Größen e2 und w die Form an: (da db d2f\2 e*=(uxp)2 +(vyp)2 = sin xf> - - cos xp + -¿) , dy„,

.

dxv,

.

(da

.

db

d2f\2dxb

i Demnach gilt die Beziehimg:. e* _ dd w dxp' Die Gleichungen (4) nehmen somit die Gestalt an: df . d2f (db df . d2f \dd ux = a — -=- sm xp — —s cosr xp — I — — -¡- sin xp— 2 cos xp) —, 2 r / dxp dm dm \dd dm ^ dm df d2f . , (da df d2f . \ dd r V* = b + dm C°S ^~d^SmXp + \dd~d< C0SXp+dm2 SI° V dy a oder mit Rücksicht auf die Gleichung: dm dd dxp dxp und der Gleichungen (2) und (3): Ux = M„, Vm = Ve. Unter solchen Umständen folgt der Lehrsatz: Der Krümmungsmittelpunkt der Einhüllenden einer beliebigen Systemkurve, der zum momentanen Berührungspunkt der S y s t e m k u r v e mit der Einhüllenden gehört, fällt in jedem Augenblick mit dem Krümmungsmittelpunkt derjenigen Bahn zusammen, welche der Krümmungsmittelpunkt der Systemkurve beschreibt.

Krümmungstheorie der Hallbahnkurven.

51

Da bei der umgekehrten Bewegung eine Systemkurve und ihre Einhüllende ihre Rollen vertauschen, läßt sich der soeben ausgesprochene Satz leicht für die umgekehrte Bewegung umformen. Die in § 11 entwickelte Verwandtschaft zwischen den Bahnpunkten und den Krümmungsmittelpunkten besteht infolge des gefundenen Lehrsatzes auch zwischen den Krümmungsmittelpunkten der Systemkurven und denjenigen ihrer Einhüllenden, die zu den momentanen Berührungspunkten der Systemkurven mit ihren Einhüllenden gehören. Hieraus folgt unter anderem, daß die Normalen in den Berührungspunkten der Einhüllenden mit den entsprechenden Systemkurven in jedem Augenblick durch den Pol gehen. Da die beiden Polkurven im Verhältnis von Systemkurve und Einhüllender zueinander stehen, so sind, wie hier ohne weiteres folgt, die Krümmungsmittelpunkte der beiden Polkurven entsprechende Punkte der genannten quadratischen Verwandtschaft. Für den Fall einer geraden Linie ergibt sich ferner infolge der bestehenden quadratischen Verwandtschaft ohne weiteres der Satz, daß die Krümmungsmittelpunkte der Einhüllenden aller Systemgeraden in jedem Augenblick auf dem Rückkehrkreis liegen und Entsprechendes für die umgekehrte Bewegung gilt. Infolge der bestehenden quadratischen Verwandtschaft gilt ferner die Aussage: Sind Q und Q„ die Abstände der Krümmungsmittelpunkte einer Systemkurve und ihrer Einhüllenden vom Pol,

+

^ S cos , 3a! - 6b" - 4a'" + &(*), im xt, y 2 -System ergeben sich die Ausdrücke: 0,

Aq

0,

0, — N , 9. ~P - 4p

+q2+bN,

wobei gesetzt ist: p = b2as - a2b3 + 3iV2: q — «2«3 + b2b3 : p2 = b2ai — a2bi : q2 = «2a4 + : Die Koordinaten der Krümmungsmittelpunkte weiteres hinschreiben.

N, N, N, N. lassen sich hieraus ohne

§ 22.

Definition und Bestimmung der höheren Rückkehrpole und Rückkehr- ' kreise, sowie der höheren Wendepole und Wendekreise. Aus der Darstellung der Koordinaten der allgemeinen Evolute folgt, daß die Größen m und mx für deren Gestalt ohne Bedeutung sind, wohl aber hängt sie von dem Winkel c ab. Im folgenden sollen einige Sätze angegeben werden, die auch von dieser Größe e unabhängig sind. Wir nehmen hierbei an, daß n eine gerade Zahl sei, bemerken aber, daß die Resultate auch im Falle eines ungeraden n richtig bleiben. Aus den angegebenen Formeln folgt, daß die Koordinaten des «-ten -Krümmungsmittelpunktes der Gleichung Genüge leisten: (1 a) (u - /„)» + (v + (« - /„) , 0n(»)

= b + ( - 1)^ + 1 K").

Addieren wir zu den rechten Seiten der ersten Gleichung die Größen: b' - V, a" - a",... Un -1) der zweiten: a«»-1) d"-1), a• _ a', b" - b",... so ergeben sich bei geeigneter Zusammenfassung die Darstellungen (12): K r a u s e , Analysis der ebenen Bewegung.

6

82 Fn(»)

Höhere Rückkehr- und Wendepole.

=xp

+y'p-

xv -

y'v'...

( - 1)' * + ( - l)'y1*2 + qy2) (*t + y\) - 3Wx2y2 = 0. Auch hier werden wir durch Differentiation nach & die weitere Be•dingungsgleichung für die fünfpunktige Berührung des Krümmungskreises mit der Bahnkurve erhalten. Dabei ist aber zu berücksichtigen, daß die Koordinaten des Punktes (x2, y2) im x, y-System konstant sind, die Differentialquotienten von x2 und y2 nach -9- also andere werden, wie vorhin, und zwar sind sie gleich den früheren + y resp. — x. Erwägen wir noch die Beziehung: p[ = P* - § + 2?; so ergibt sich die gesuchte Gleichung unter Fortlassung des Index 2 in der Form: (15) {x2 + y2) {pzX + q2y - 3AT2) = Ny (4qx - (4p - 6N) y + 32V2). Auch diese Gleichung stellt eine zirkuläre Kurve dritter Ordnung dar, die die Mittelpunktskurve, abgesehen vom Anfangspunkte und den imaginären Kreispunkten, in vier Punkten, den Burmesterschen Punkten der umgekehrten Bewegung schneidet. Auch hier kann ein Kegelschnitt Kl angegeben werden, auf welchem diese Punkte zusammen mit dem Nullpunkte gelegen sind. Seine Gleichung lautet: (16) 3Nx {ptx + q^y - 32V2) = {pxx + qy) (4qx — (4p — 6 N ) y + 3AT2). Die quadratischen Glieder dieser Gleichung stimmen mit denen der

100

Burmestersche Punkte.

Gleichung des Kegelschnittes K überein. Auf dem Kegelschnitte Kt liegt der Schnittpunkt der Polbahnnormalen mit der Verbindungslinie der beiden Fokalzentren, überdies geht seine Tangente im Nullpunkt durch den Balischen Punkt der umgekehrten Bewegung. Die x-Achse schneidet er im Punkte (17) mit der Abszisse: 3N2p : 3Npt - 4piq, überdies liegt auf ihm der Schnittpunkt der beiden geraden Linien: (18) j>2x + q& — 3N 2 = 0, 4qx - (4p — 6 N ) y + 3N2 = 0. Kennen wir also außer dem Pol die drei ersten Wende- oder Rückkehrpole, so sind von jedem der beiden Kegelschnitte außer dem Pole und der Tangente in ihm je drei weitere Punkte bestimmt, die Kegelschnitte können also konstruiert werden. Dasselbe gilt von der Kreis- und der Mittelpunktskurve. Die B u r m e s t e r s c h e n Punkte sind dann als Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte mit der Kreis- resp. Mittelpunktskurve bestimmt. Auf eine nähere Ausführung der Konstruktion kann verzichtet werden. Wir können die zu der Gleichung der C8 hinzutretende Bedingung für die fünfpunktige Berührung des Krümmungskreises mit Hilfe von Polarkoordinaten noch in einer anderen Form darstellen. Die Gleichung der Kreispunktkurve in Polarkoordinaten lautete: dt)

ir = R sin (f

1

S cos ip

Nun bestehen die Beziehungen: r2 = x2 + y2, tg (f = - , also folgt: * dr dx dy 1 dtp xy' — yx' r dd-=:Xd» + yI»' c o s J 2 ' Die Differentialquotienten von x und y nach & stellen sich in der Form dar: p—N ,

p-N ^ N infolgedessen ergeben sich die Beziehungen: =

+

f).

Die gewünschte Bedingungsgleichung für die fünfpunktige Berührung des Krümmungskreises erhalten wir durch Differentiation aus der Gleichung (19), und zwar ergibt sie sich nach den soeben angegebenen Beziehungen in der Form (20):

v-sfx+Ü*'

+ ( I - 1 ) w» + (*«» - j t K +

iSr

0

'

Die Koeffizienten in dieser Gleichung drücken sich durch die Größen R, S, N und deren Differentialquotienten aus. Wir wollen an Stelle der

101

Definition und Eigenschaften der Burmesterschen Punkte.

Größen R und S die Größen p und q einführen, die nach den früheren Betrachtungen mit ihnen durch die Gleichungen verbunden sind: = JL 3W

£

R'

=

1

3N2

=

Ri

1

3N*

S'

Hieraus ergeben sich die Beziehungen: P*R'

=

6Npq

-

BN2p',

q2S'

=

Wq*

-

3N*q'

und nimmt die Gleichung mit der Unbekannten tg

+ GN) y2 +N (4p - 3N) y - SN3 = 0, so daß also auf der Polbahnnormalen zwei Burmestersche Punkte

Augenblickliches Zerfallen der Kreispunktkurve.

105

gelegen sind, die konstruiert werden können, wenn es mit den Größen N, p, q2 der Fall ist. Die beiden anderen Burmesterschen Punkte liegen auf dem Kreise: (11) p (* 2 + y2) - 3 N 2 y = 0. Die Richtungskoeffizienten, die zu ihren Verbindungslinien mit dem Pol gehören, leisten der quadratischen Gleichung Genüge: (12) 3 (Nqt + p1 (PL + N)) tg*q> + Wp21gtp - ppl = 0. • . Von Interesse ist es zu untersuchen, wann eine der Wurzeln dieser Gleichung unendlich groß wird, d. h. noch ein dritter Burmesterscher Punkt auf der y-Achse gelegen ist. Die hinreichende und notwendige Bedingung hierfür lautet: Nqz + p1 (P, +N)= 0, während der Koeffizient von tgy von Null verschieden ist. dann die entsprechende Ordinate den Wert an:

Es nimmt

•der Punkt fällt also in den zweiten Schnittpunkt des Kreises mit der Polbahnnormale. Andererseits hatten wir für die Ordinate der beiden ursprünglich auf der Polbahnnormale gelegenen B u r m e s t e r s c h e n Punkte die quadratische Gleichung (10) gefunden. Unter Berücksichtigung der soeben gefundenen Beziehung kann diese Gleichung geschrieben werden: p (p — N) y2 — (4p - SN) N2y + SN4 = 0. Eine ihrer Wurzeln ist gleich: SN2 Es fallen also in den Schnittpunkt des Kreises: p {x2 + y2) - 3N*y = 0 mit der Polbahnnormalen zwei Burmestersche Punkte. Auf der Polbahnnormalen liegt dann noch ein dritter B-Punkt mit der Ordinate: N2 p -^N und das ist der Krümmungsmittelpunkt der beweglichen Polkurve. Drittens zerfällt die C3, wenn N — 0 und p und q von Null verschieden sind, und zwar in die beiden Kurven mit den Gleichungen: (13) %2 + y2 = 0, px + qy = 0. Es bietet dieser Fall wenig Interesse und möge darum nicht weitergeführt werden. Ebenso sollen die Fälle nicht weiter untersucht werden, in denen zwei der Größen p,q, N zu gleicher Zeit der Null gleich werden. Weitere Fälle sind nicht möglich, wenn p, q und N als endliche Größen angenommen werden. In der Tat, für den Fall, daß C3 zerfällt, muß die identische Gleichung bestehen:

106

Burmestersche Punkte.

(px + qy) (x2 + y2) - 3N*xy = ( M + + 2«13* + 2«23y), so daß die Beziehungen folgen:

( a u x 2 + 2a12*y + 2 + 2a ag 6 1 = — 3 N2. Ist weder p noch q gleich Null, so folgt, daß b1 und b2 von Null verschieden und infolgedessen a 13 und a 2 3 der Null gleich sein müssen. Das ist aber nur möglich, wenn N gleich Null ist. Die Mittelpunktskurve kann in ähnlicher Weise behandelt werden. Wir beschränken uns auf die Betrachtung des Falles, daß p-l = 0 ist, der zweite Wendepol also auf der Polkurventangente gelegen ist. Die Gleichung der Mittelpunktskurve nimmt die Form an: (14) y (q (x2 + y2) - 3N*x) = 0, die Kurve zerfällt also in die Polbahntangente und den Kreis: q (x2 + y2) - 3 N H = 0, 3 2Va

der die Polbahnnormale berührt und den Durchmesser = S hat. , f Die Größen M und M nehmen die Gestalt — N2 resp. — 2JV2 an. Infolgedessen ist der Krümmungsradius der festen Polkurve doppelt so groß wie derjenige der beweglichen Polkurve und ist zu gleicher Zeit gleich dem Durchmesser des Rückkehrkreises. Die Gleichung der Cs nimmt die Form an: 3Nx (x2 + y2 — Ny) + qy (x2 + y2) = 0. Die Kurve zerfällt nicht und hat im Nullpunkt den Wendekreis zum Krümmungskreis.. Ein B-Punkt der umgekehrten Bewegung liegt, wie man leicht erkennt, auf der Polkurventangente und hat die Abszisse: 3 N2 Pi Im Nenner steht die negative Abszisse des dritten Wendepoles. Der eine B u r m e s t e r s c h e Punkt ist somit leicht zu konstruieren, wenn außer dem ersten der dritte Wendepol bekannt ist. Die Richtungskoeffizienten der Verbindungslinien des Poles mit den drei übrigen B-Punkten leisten einer kubischen Gleichung Genüge, die ohne Schwierigkeiten aufgestellt werden kann. § 30. Über das beständige Zerlallen der Kreispunktkurve. Wir haben im vorigen Paragraphen die wichtigsten Fälle untersucht, in denen bei einer beliebigen Bewegung in einem Augenblick die zerfallen kann. Wir fragen jetzt: Wann ist dieses Zerfallen ein dauerndes? Es ist das nur bei bestimmten Bewegungen der Fall, von denen die folgenden charakterisiert werden sollen. Wir nehmen erstens an, es sei beständig p = 0, dann ergibt sich die Differentialgleichung:

107

Beständiges Zerfallen der Kreispunktkurve.

(1) Aus ihr folgt:

HK +

v ; -

«2 = b2 tg 2

=

o.

-

wobei eine willkürliche Konstante bedeutet. Setzen wir für a2 und b2 ihre Werte ein, so kann diese Gleichung geschrieben werden: (2) a" + a' tg2 (¿ 0 = b" tg2 - V = f (#) ^ wobei unter / (•£) eine willkürliche Funktion von zu verstehen ist. Unter solchen Umständen ergeben sich durch Integration die Beziehungen: a' = (3)

b' =

f f {&) |/sin

1

j/cos 2 . j/sin 2

— 1

J

2

-

-._ f f {•») l/cös — &)J

Ad- + cv 2

+

Durch nochmalige Integration erhalten wir hieraus sämtliche möglichen Werte von a und b und damit alle möglichen Bewegungen, bei denen beständig p = 0 ist, die Kreispunktkurve also dauernd in die Kurven zerfällt: y = 0, q (x* -f y2) — 3N*x = 0. In den fertigen Formeln kommt eine willkürliche Funktion /(#) vor. Setzen wir z. B. (4) f {&)=c j/sin 2 - f>) cos 2 - -9) und sehen von den Integrationskonstanten ab, so ergeben sich als mögliche Werte: a'=icos2(#-&0), V = | s i n 2 (& und hieraus unter der nämlichen Annahme: S6 i n 2 ( ¿ - - ^ o ) ,

(«)

c

b = - — cos_2 (•& Q

Setzen wir an Stelle von - : c und nehmen den speziellen Wert:

so erhalten wir die Bewegungsgleichungen: «g\ x = c cos 2 $ -f ? cos d- — n sin 1 ; y — c sin 2 •&+ £ sin & + q cos Sie stellen bei entsprechender Deutung von c einen speziellen Fall der zyklischen Bewegung dar, bei welchem der Radius des festen Kreises halbmal so groß ist wie der Radius des beweglichen und letzterer den kleineren Kreis beständig einschließt. Es war das nach der allgemeinen Theorie der zyklischen Bewegung vorauszusehen. Zu gleicher Zeit folgt, daß dieses der einzige Fall der zyklischen Bewegung ist, bei welchem die

108

Burmestersche Punkte.

genannte Eigenschaft stattfindet. Zu gleicher Zeit wird in diesem besonderen Fall auch q der Null gleich. Die Kreispunktkurve zerfällt in die beiden geraden Linien: x = 0 und y — 0. Die Bedingungsgleichung für die B-Punkte nimmt die Form an: W (* 2 + y 2 ) + 3 (2ATy + N2) (x2 + y a - Ny) = 0 oder, da die Beziehung besteht:

(7)

x2-y*-Ny

=

0.

Es kommt lediglich ein B-Punkt wirklich in Betracht, der Punkt: x =

0,

y =

— N,

d. h. der Rückkehrpol, der zweite Schnittpunkt des festen Kreises mit der Polbahnnormalen, ein Resultat, das vorauszusehen war. Auch im allgemeinen Falle vereinfacht sich das Problem, die B-Punkte -zu finden. In der Tat, es wird: P' = 0, pt = — bq. Infolgedessen wird die Abszisse des B-Punktes auf der «-Achse:

x —

SN2

der Null gleich. Der entsprechende Punkt liegt auf der x-Achse und fällt mit dem soeben betrachteten zusammen. Die beiden anderen B-Punkte liegen auf dem Kreise: q (x2 + y2) -

5N2x

=

0,

die Richtungskoeffizienten ihrer Verbindungslinie mit dem Pole leisten der quadratischen Gleichung Genüge: q2tg2g> + 3Nqtg

+ V ^ J ) fö ' d&dd* ~ i (dv Y\du

du

d2v

dv d2u d&d&2' Av

Ä

Nach einigen kleineren Rechnungen ergeben sich aus den Formeln (1) -die Beziehungen: du C3 dfr=~ dv

w*Xl' C3

"und weiterhin: d2u _ Jd* = ~ dh> _

d Ca Xid&w*~

d C yidÖw*

3 +

w* ( 2 ~ C 3 w* K ~

y%) ' Xlh

*) In bezug auf diesen Abschnitt werde vor allem verwiesen auf die Arbeit von R. M a l l e r , Über die Krümmung der Bahnevoluten im 36. Bande der Zeitschrift für Mathematik und Physik.

Verwandtschaft zwischen Kurven- und zweiten Krümmungsmittelpunkten.

H l

Sechster Abschnitt*).

Die zweiten Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven, die höheren Evoluten der Polkurven und Hüllbahnkurven. § 31. Die geometrische Verwandtschaft zwischen den Kurvenpunkten und den entsprechenden zweiten Krümmungsmittelpunkten. Zuordnung entsprechender Punkte bei gegebenen Kurvenpunkten. Die Koordinaten u, v des Krümmungsmittelpunktes eines Punktes x, y einer Bahnkurve hatten sich in der Form ergeben: e2 dy u — x /i \ w V ' e*dx v = y ^ , . Wir wenden uns jetzt zu der Untersuchung des zweiten KrümmungsTnittelpunktes, dessen Koordinaten wir durch u, »W bezeichnen wollen. Sie nehmen die Werte an; _ ^

U

' (/du\2

~u"~ (i) _

\\d&) i ((du\2

idv\*\dv

du dh>

+ V ^ J ) fö ' d&dd* ~ i (dv Y\du

du

d2v

dv d2u d&d&2' Av

Ä

Nach einigen kleineren Rechnungen ergeben sich aus den Formeln (1) -die Beziehungen: du C3 dfr=~ dv

w*Xl' C3

"und weiterhin: d2u _ Jd* = ~ dh> _

d Ca Xid&w*~

d C yidÖw*

3 +

w* ( 2 ~ C 3 w* K ~

y%) ' Xlh

*) In bezug auf diesen Abschnitt werde vor allem verwiesen auf die Arbeit von R. M a l l e r , Über die Krümmung der Bahnevoluten im 36. Bande der Zeitschrift für Mathematik und Physik.

112

Die zweiten Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven usw.

wobei unter C3 die linke Seite der Kreispunktgleichung zu verstehen ist.. Unter solchen Umständen ergeben sich für m(1), wW die Werte: C *e2 y (l) = M

(3)

u

+

w

CaV e2 w Wir wollen auch hier das x, y-System einführen, aber wie schon mehrfach vorher von dem Gebrauche der Indizes einstweilen absehen, dann können die Formeln in diesem Koordinatensystem geschrieben werden: ,,, w3uW = —y (Nw2x - C.de2), ( ' ®¥!> = - (NwY + Cae2x). Sie stellen eine geometrische Verwandtschaft zwischen den Punkten x. y und den Punkten w = 3 N bestehen, und wir erhalten den Lehrsatz:

Zuordnung zu Geraden der u, »-Ebene.

121

E i n e m j e d e n P u n k t e d e r u,v-Ebene e n t s p r e c h e n im a l l g e m e i n e n d r e i u n d n u r d r e i P u n k t e d e r x, y - E b e n e , w e n n p = SN u n d d e m g e m ä ß d e r K r ü m m u n g s r a d i u s d e r f e s t e n P o l k u r v e d o p p e l t so g r o ß ist w i e der der b e w e g l i c h e n . § 34. Fortsetzung. Untersuchung der Kurven in der sc, y-Ebene, welche den geraden Linien in der u, v-Ebene entsprechen. Die Untersuchung von Kurven in der x, y-Ebene, welche vorgelegten Kurven in der u, n-Ebene entsprechen, ist keine einfache. Wir beschränken uns auf den Fall der geraden Linie: (1) v = mu + n. Die Verwandtschaftsgleichungen schreiben wir in der Form: wzu = — y (Nw2x — Cse2), wh) = —> (Nw2y2 + C3e2x). Die Gleichung der entsprechenden Kurve nimmt dann die Form an: (2) w2 ( N y (y — mx) + nw) -f- Cse2 (x + my) = 0. Sie ist von der Ordnungszahl 6 und bizirkular, der Nullpunkt ist im allgemeinen ein zweifacher Punkt mit der dreifach zählenden Polkurventangente als Tangente. Falls n = 0 ist, wird die Singularität eine höhere Ferner geht die Kurve durch den Balischen Punkt, für welchen zu gleicher Zeit w und C 3 der Null gleich wird und hat in ihm dieselbe Tangente wie die Kreispunktkurve. Die beiden imaginären Kreispunkte sind Doppelpunkte der bizirkularen Kurve. Die Asymptoten in dem einen erhalten wir, wenn wir: y = ix + fi in die Kurvengleichung einsetzen und den Koeffizienten der höchsten Potenz von x der Null gleich machen. Dann ergibt sich die quadratische Gleichung: (3) 4 (N - p - qi) ix2 + 2 N*(i + N3 = 0, t,2 = — N gefunden'worden, so daß wir erhalten: fQ\ (9)

^ 2 ,„ fS'2— 2 „ ~~JÖT ?n, 2" ait- = 5P™ + 1' 2 — iP2- 2 P = Ms — «2&s + -L

= 1 = ^

^

M = («' - b") (b" + a'") -

aus denen die weitere folgt: 2 =

Qp Qn>l — ßre

(Qp~

:

Qn)3'

iP3.2 = Qp Qn (Qn — 2qp) : (qp —q„)2. Für die Koordinaten der höheren Rückkehrpole ergeben sich kompliziertere Ausdrücke. Aus den Formeln (14 a) und (14b) folgt umgekehrt: V

(15)

Qp =

tp\,t : 2q> 2 , 2 -

y 3 ) 2,

2,2 -

Q„ =

sp 3 , 2 .

Die Gleichungen (4) und (5), (9), (10), (11), (15) setzen uns in den Stand, die Krümmungsradien sämtlicher E v o l u t e n der beiden Polkurven durch die K o o r d i n a t e n der Rückkehrpole auszudrücken. Verstehen wir für den A u g e n b l i c k unter /„, 2 , die Koordinaten des (n — l)-tenWendepoles in bezug auf das ^2-System, so bleiben die Formeln (9) und (10) bestehen, wenn & durch ersetzt wird. Nennen wir die Koordinaten des (n — l)-ten Wendepoles in bezug auf das x2, y2-System Fn, 2, #>„,a, so erhalten wir, da x2 = — | 2 , y2 = — = — & t ist, die Beziehungen: «'2

_ — ~

dF

d-fr (16)

rf) Wn+Vt

, +

_ _ -—- - M ' l

d0n,, i »

fr . * 2>2 T

g

{ ,

0 »

rfi

a

- *

0

v t

f2,2 v a

2»

*17n> 2'

Nun waren in §§ 13, 22 die Gleichungen gefunden worden: 02,2 w

v

=

i

P

=

~

=

N, 0S,2

w>'M=(a'

~

= {b

n

- p

+

3N,

"+a"') ~

{b

'+a"]

{a

"

aus denen die weitere folgt: (17) V

= Qp

®2>2

Infolge der Gleichungen (11) und (17) und der Beziehung: 1 Q„

_ 1 - 1 Qp

N

~

Die zweiten Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven usw.

126

können die Formeln (16) geschrieben werden: (?7I — Qp) Fn+

!, 2 = Q„ Fn, 2+

Q„Qp

(18)

2, d F

(Qn — Qp)

*

2

2 ~ QnQp

1> i = Qn

2

— Qn Qr-

E s können demnach die K o o r d i n a t e n der Wendepole durch die Krümmungsradien der P o l k u r v e n und ihrer E v o l u t e n ausgedrückt werden und umgekehrt, wie nach den vorangegangenen Betrachtungen ohne weiteres ersichtlich ist. Die in diesem Paragraphen entwickelten Formeln finden sich, anders abgeleitet, im wesentlichen bei R. Müller,' Beiträge zur Theorie des ebenen Gelenkviereckes, Braunschweig 1897 (Festschrift), abgedruckt im 42. Bande der Zeitschr. f. Math. u. Physik. Es sollen an dieser Stelle noch einige Darstellungen der Größe S gegeben Werden. Dieselbe war eingeführt worden durch die Gleichung: i

q_

=

S

3N2

Wir erinnern an die in §§ 21, 22 gefundenen Beziehungen: F

aus denen folgt:

3,2 = fs'i =

1

/-. q\ '

(

— ®2 2 = ffv, 2

S~

1 Fs, 3

2

01,]'

wonach S sofort k o n s t r u i e r t werden kann, wenn /3,2, oder F3,2, fl>2,2 b e k a n n t sind. Infolge der Gleichungen (14 a) und (14 b) und der Beziehung: 1 1 _ 1 Qn

Qp

b f f e "

1

N

kann - geschrieben werdet: (20)

O \ Qn

- ^

1

) '

Qp /

eine Formel, die auf anderem Wege von Grübler (Zeitschrift für Math, und Physik, Band 37) abgeleitet worden ist.

Schließlich kann

auch

in die Form gebracht werden: /Ol \

1

=

1

(QpQn, 1

' S 3 (fy - Q„) \ Q*n Ql )• Auch die Formeln (20) und (21) gestatten elementare Konstruktionen der Größe S. {

§ 36. Die Evoluten einer beliebigen Hüllbahnkurve.

Im folgenden sollen Beziehungen zwischen der Krümmung einer Hüllbahnkurve und ihrer Evoluten und den Rückkehr- und Wendepolen angegeben werden.

Evoluten von Hüllbahnkurven.

127

Bedeuten (j, q„ die Abstände der Krümmungsmittelpunkte einer Systemkurve und der zugehörigen Einhüllenden vom Pol, cp' den Winkel, den der Normalstrahl, auf welchem sich die genannten beiden Kurven berühren, mit der positiven Richtung der -Achse bildet, so gilt nach § 14 die Beziehung:

¿ - eQ- sQe-')

COS bzw. Tt einer um 3 — gedrehten gerichteten Geraden gleich gerichtet sind oder Li

nicht, wobei über die Richtung der Krümmungsradien dasselbe gelten soll wie im § 35. Dann gelten die Gleichungen: (4a) (l + l"), Qo = - { * . + *.")) (4b) wobei wir wegen der Vorzeichen auf die Ausführungen der §§7, 35 verweisen. Ist B der momentane Berührungspunkt der Systemkurve mit ihrer Einhüllenden, so bestehen die Beziehungen:

128

zweiten Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven usw.

gt = PB+(>ei0,

oder:

q = PB + q0

e, = / - ( xv cos xp + yp sin xp) — (l + f ) , g = / — (xp cos xp 4- yp sin xp) — (X+ l"). Nun gelten die Gleichungen: xp = d cos e — d' sin e, yp = d sin e + d' cos e und somit die weitere: xp cos xp + yp sin xp = d cos rp — d' sin ist. Die Größen und g lassen sich daher auch folgendermaßen darstellen: (5 a) p e = d' sin

, e = xp +

Q

N eP

1.

Infolge der Gleichung (12) des § 35 und der Beziehung: 1 1 _ 1 Qn QP N besteht die weitere: 6p

a

so daß wir erhalten: (14a)

**

i

cos y .

Ersetzen wir noch in den Gleichungen (2), (10 a), (11 a), (12), (13 a), (14 a), soweit das noch nicht geschehen, N durch (f2,2 vermöge der Gleichung q>i>2=—N, so finden wir das Formelsystem: K r a u s e , Analjsis der ebenen Bewegung.

9

130

Die zweiten Krümmungsmittelpunkte der Bahnkurven usw.

Qc = d& dcp

tpy n = 1, 2 , . . .

rf^ 9 2 ,2 e B e r ü c k s i c h t i g t m a n d i e F o r m e l n (9) u n d (10) d e s § 35, so k a n n m a n d i e K r ü m m u n g s r a d i e n ge< l t 2 , . . . der E v o l u t e n der H ü l l b a h n k u r v e d u r c h d i e G r ö ß e q, die K r ü m m u n g s r a d i e n der E v o l u t e n d e r g e g e b e n e n S y s t e m k u r v e , den W i n k e l tp u n d d i e K o o r d i n a t e n der R ü c k k e h r p o l e ausdrücken. In dem angegebenen Formelsystem können die Koordinaten der Rückkehrpole durch diejenigen der Wendepole ersetzt werden. Wir haben nur zu bedenken, daß nach § 21, 22 die Gleichungen gelten: ®2- 2 = — 2 =

N _— x1 _= a2 _— 9 ) 3 , 2 = — —.

N>

®2. 2 SP2> 2 ßp W i r k ö n n e n d a n n ge u n d d i e K r ü m m u n g s r a d i e n ße>2... der H ü l l b a h n k u r v e d u r c h d i e G r ö ß e g, d i e K r ü m m u n g s radien der E v o l u t e n der gegebenen Systemkurve, den W i n k e l q> u n d d i e K o o r d i n a t e n der W e n d e p o l e a u s d r ü c k e n , w e n n w i r d i e G l e i c h u n g e n (16) des v o r i g e n P a r a g r a p h e n erwägen. Sind uns zwei Systemkurven nebst ihren Einhüllenden gegeben, so sind wir mit Hilfe unserer Formeln imstande, die Koordinaten der Rückkehr- und Wendepole zu berechnen. Die Gleichungen (15) können noch etwas anders geschrieben werden, wenn man bedenkt, daß die Gleichungen gelten: , , , , ... dN da*,« fs> 2 = 9 = «2«s + t>A • N = = -jj^• Man erhält dann : Qe =

2 Q cos 9

:

Q,

e

J

2

: e + * {Ql cos q> - f sin

2 = (_

cos y, /3>2

/». 2 v e

1, 2 , . . .

n =

P

2

'

131

Evoluten von Hüllbahnkurven.

Die Formeln (9) und (10) des § 35 können geschrieben werden: {17)

dfn.2, -TZ = f2'i

a (

1 ( „ , q>S> 2 — 2 \ -f \ 2 — 2k t2' 2 ^

^Tn, 2 _ 1 f i 9>S> 2 ffiä» 2 / \ 1 — 7 \ In + 1> 2 In, 2 /• X 9 2>2 /S>2 2>2 ' Die Gleichungen (16) und (17) können in ähnlicher Weise verwendet werden, wie die Gleichungen (15) in Verbindung mit den Formeln (9) und (10) des vorigen Paragraphen. Den Formeln (16) analoge lassen sich angeben, wenn in den Formeln (15) die Koordinaten der Wendepole eingeführt werden. Ebenso können die Gleichungen (16) des vorigen Paragraphen in eine Form gebracht werden, die derjenigen der Formeln (17) analog ist. Die Formeln (15), (16) lassen sich leicht für die Evoluten der Bahnkurve eines beliebigen Systempunktes umformen, wenn man nur bedenkt, daß dann ¡>0 = ^ = g2 = • • • = 0 ist, wobei vorausgesetzt ist, daß der Systempunkt nicht mit dem Pol zusammenfällt. In diesem ausgeschlossenen Falle sind besondere Untersuchungen notwendig. Das gilt auch für die Evoluten der Hüllbahnkurven derjenigen Systemkurven, für die q = 0 ist. Die in diesem Paragraphen aufgestellten Formeln, insbesondere diejenigen (16) und (17), finden sich in etwas anderer Fassung in der Im vorigen Paragraphen zitierten Arbeit von R. Müller. 0 W + sin [•» + e) (F'0 {») sin (9+e)~ Ö {») cos (» + e)).

wobei gesetzt ist: (10)

F0 (&) = a + p X sin + «),- j y S y s t e m nimmt sie die Form an: (X x2 + X'y2) X2 + (Xyt - X'x2) Y 2 - X {x\ + y\) = 0. Nehmen wir daher an, daß der Punkt x2, y 2 auf dem Wendekreis gelegen sei, so können wir sie schreiben: (4 a) (X * 2 + V y « ) (X2 - xw) + (X y 2 - X'x2) (Y 2 - ya) = 0, wobei gesetzt ist: (4 b)

Xw

=

¿'2 dw>

Vtc —

J2

¿'2

Hieraus folgt der Lehrsatz: D i e T a n g e n t e n , die m a n in den P u n k t e n des W e n d e k r e i s e s an die B a h n k u r v e n l e g e n k a n n , gehen a l l e d u r c h einen u n d d e n s e l b e n P u n k t des W e n d e k r e i s e s . Wir nennen diesen Punkt den W e n d e p o l . Das Analoge gilt für die umgekehrte Bewegung. Der betreffende Punkt — Rückkehrpol — hat die Koordinaten: (5)

=

XX'

y' =

A2 J*+Jir*d'-

Wende- und Rückkehrkreis.

149

Unter Hinzunahme der soeben eingeführten Größen können die Gleichungen des Wende- resp. Rückkehrkreises in der Form geschrieben •werden: x

(6)

\ + y\ —sec2 ® y* y«> = °> sec2

+ y\ +

« ya yr = o.

x\us den' Definitionsgleichungen der Koordinaten des Wende- resp. Rückkehrpoles folgen ferner die Beziehungen: xw

xr

Der Wende- resp. Rückkehrpol sind also die Schnittpunkte der geraden Linie, die durch den Pol geht und mit der Polbahnnormale den Winkel w -einschließt, mit dem Wende- resp. Rückkehrkreis. Wir hatten in § 40 das Resultat gefunden, daß der geometrische Ort der Spitzen der Einhüllenden aller Geraden ein Kreis ist, dessen Gleichung im x, y-System angegeben war. Führen wir das x2, y2-System •ein, so zeigt es sich, daß der gefundene Kreis der Rückkehrkreis ist. Das Analoge gilt für die umgekehrte Bewegung. Es ergibt sich der Lehrsatz: Der Rückkehr- resp. Wendekreis ist der g e o m e t r i s c h e Ort der S p i t z e n der E i n h ü l l e n d e n aller geraden Linien für die ursprüngliche resp. die u m g e k e h r t e Bewegung. Wie bei der starren Bewegung, so können wir auch für die ähnlich veränderliche Bewegung unter Hinzunahme der Geschwindigkeit und der beschleunigenden Kraft den Lehrsatz aussprechen: Der Wendekreis i s t der g e o m e t r i s c h e Ort der P u n k t e , für welche die R i c h t u n g der G e s c h w i n d i g k e i t mit der Richt u n g der b e s c h l e u n i g e n d e n K r a f t z u s a m m e n f ä l l t . Das Analoge gilt für den Rückkehrkreis bei der umgekehrten Bewegung. Wir haben ferner die Möglichkeit, auch hier unendlich viele weitere Kreise zu definieren, indem wir nach dem geometrischen Orte der Punkte fragen, für welche die Richtung der Geschwindigkeit mit der Richtung der beschleunigenden Kraft einen konstanten Winkel bildet. Alle diese geometrischen Örter sind Kreise. Nehmen wir insbesondere an, daß der Winkel ein rechter sei, so lautet die Gleichung des entsprechenden Kreises (7):

)'' y*

l cos2 co sin ( x + w ) '

Dann folgt aus den Transformationsgleichungen: U

= 0,

V =

—

l t

r,

2 sm (x + w)

so daß sich der Satz ergibt: Dem R ü c k k e h r p o l e n t s p r i c h t der M i t t e l p u n k t des R i i c k Kehrkreises oder auch der K r ü m m u n g s k r e i s des R ü c k k e h r poles i s t der R ü c k k e h r k r e i s . Der Rückkehrkreis geht durch den Pol, und es liegt die Frage nahe, wo alle Punkte x, y liegen, deren Krümmungskreise durch den Pol hindurchgehen. Die Mittelpunkte der Krümmungskreise haben die Koordinaten u, v. Die hinreichende und notwendige Bedingung dafür, daß ein Krümmungskreis durch den Nullpunkt hindurchgeht, lautet demnach: oder auch:

{u — x)2

+

(» — y)2 = m2 +

X2 + y2 — 2ux — 2 vy =

v2 0.

Nun folgt aber aus dem Gleichungssystem (2) w (ux + vy) =

— (x2 + y2) ((x2

-)- y2)

sin

co

cos

%

-f

ly),

so daß sich als Gleichung des gesuchten geometrischen Ortes die Gleichung ergibt: (.x2 + y2) sin (/ - f a) + ly = 0. Das ist die Gleichung des Rückkehrkreises, und es ergibt sich der Satz: Der g e o m e t r i s c h e Ort aller S y s t e m p u n k t e , deren K r ü m mungskreis durch den Pol h i n d u r c h g e h t , ist der R ü c k kehrkreis. Wir haben bisher angenommen, daß der Punkt x, y ein endlicher sei. Wir wollen nunmehr annehmen, daß er auf der Linie:

Verwandtschaft zwischen Kurven^ und KrUmmungsmittelpunkten.

y=

x

tg

a

153

+ »

in die Unendlichkeit rückt. Nun folgt aus den Transformationsgleichungen: lim ¿ = t g ( * + « ) , und wir erhalten den Satz: Einem unendlich fernen Kurvenpunkt, derFdem Richtungswinkel a entspricht, ist ein unendlich ferner Punkt zugeordnet, dessen Richtung mit der Richtung « den Winkel x im positiven Drehsinn einschließt. Wir wollen hier sofort einige Bemerkungen über den umgekehrten, Fall machen, indem wir annehmen, daß ein Punkt B der u, r-Ebene die wir durch JS' bezeichnen wollen, gegeben sei, und fragen, welche Punkte in der x, y-Ebene, die wir durch S' bezeichnen wollen, ihm entsprechen. Nach dem Früheren müssen die Koordinaten x, y der entsprechenden Punkte in der Ebene S' der Gleichung der geraden Linie G B : sin x — v cos / — l sin w) x + + l (u sin m — und des Kreises K s :

(u

(x2

+ y2) sin o> —

(u

(u cos x v cos w)

sin w — v cos w) x

+ v sin•/.+ = 0

— (u

cos m +

l cos « )

v sin — r Andererseits besitzt der Krümmungsradius des Punktes A eines starren Systems, welches momentan denselben Pol und denselben Wendekreis besitzt wie das ähnlich veränderliche den Wert: r> d„ sin (p — r Hieraus folgt: AA _ sin x A& sin (jr — «)'

Fortsetzung.

Konstruktionen und metrische Relationen.

157

Der Punkt 21 kann nach angegebenen Methoden konstruiert werden, der Punkt A also auch. In bezug auf alles Nähere möge auf die zitierte Arbeit von R. Müller verwiesen werden. Indessen empfiehlt es sich, vor allem mit Rücksicht auf die umgekehrte Bewegung, die Konstruktionen direkt an die Transformationsgleichungen anzuknüpfen. Sie lauteten (1) und (2): (x sin ta + y cos «) u + (— x cos w + y sin w) v — (x 2 + y2) sin to = 0, (x sin x + y cos x + l sin w) u + (— x cos % -f y sin •/ — l cos w) v — I {x sin oo — y cos w) = 0. Die geraden Linien, die diesen beiden Gleichungen entsprechen,* bezeichnen wir durch n 4 und g^. Die erste Linie ist nichts anderes als die Normale an die Bahnkurve im Punkte A, da sie durch den Punkt A hindurchgeht und den Richtungskoeffizienten tg (oi + a) besitzt, wenn a den Winkel bedeutet, den die Linie PA mit der ac-Achse einschließt. Schneidet daher PN den Wendekreis in N„, den Rückkehrkreis in N„ der Polstrahl AP den Wendekreis in Aw, den Rückkehrkreis in Ar, so ist die gesuchte Normale ndie Parallele durch A zu Nw Av oder auch Nr A,. F i g . 34. Etwas umständlicher gestaltet sich die Konstruktion der Geraden Es können zwei Punkte angegeben werden, durch die sie hindurchgeht. Erstens der Schnittpunkt A x der beiden geraden Linien mit den Gleichungen: (3 a) (3 b)

sin x + y cos jf) « -f (— x cos % + y sin %) v — 0, (u — x) sin a — (v — y) cos oo = 0.

Die erste dieser beiden Linien geht durch den Pol und schließt mit der *-Achse den Winkel % + y'p tg w.

xx und y1 sind hierbei die Koordinaten des betrachteten Kurvenpunktes in bezug auf ein Koordinatensystem, dessen Anfangspunkt der Pol ist und dessen Achsen parallel den Achsen des festen Koordinatensystems sind. xp und yp sind die Koordinaten des Poles in bezug auf das ursprüngliche System und besitzen die Werte: (db i.da\ = . „ ^ - t g . ^ j . {2) r ,

*

lda

, *

db

\

Für die dritten Differentialquotienten der Größen x und y nach & erhalten wir dann die Darstellungen: d3x ( W , A"'\ , (% 3*"\ , (1 n" , = + x + 1 y i + 1 + x dd* \ ü T) i { -^r) [ - - T T*) ' 21' . i' ..

170

Die Kreispunktkurve.

/

d'y

3A"\

¿9»=

1

+ T )

, /

X i

SA'

{ - T

+

,

W J r >

+

y i

- T

x

"

Nach einigen Zwischenrechnungen nimmt dann Gleichung Form an: (3 a) l (*§ + y|)» + (»l + y'l) (pXi + qyt) - mx2 y 2 = 0,

(1) die

wobei gesetzt ist (3 b ) :

, _ (i + $ • -

(

w

( » + £ ) ( -

( w

2

+ -

$

- i ( i >

( t + + $ + » i m

=

3

\

1 +

J*)

$

+

1

w »• - r i v ) .

+ £ )

W

+

* » ? >)•

N2-

Wir können die Koeffizienten p und q in eine einfachere Form bringen. Es war gesetzt worden: A'

=

-

t

g

Hieraus ergab sich die Beziehung:

Unter solchen Umständen nimmt der Ausdruck:

die Form an: \ /.a / \ sin % cos oo / oder, wenn wir die Beziehungen berücksichtigen: l = N sin x cos oo, l = dw sin {% — oo), die weitere:

und es wird p gleich: (4)

p = (i

(>+£)('+£)• +1)-^(Xpy;

Ganz analog ergibt sich für q der Ausdruck: (5>

M

1

+ x s ) K - ( -

1

+ * ) + - *

Wir finden demnach den Lehrsatz:

-

Vierpunktige Berührung des Kriimmungskreises mit der Bahnkurve.

171

Der g e o m e t r i s c h e Ort der P u n k t e , für w e l c h e m o m e n t a n eine v i e r p u n k t i g e Berührung zwischen dem Krümmungskreise und der B a h n k u r v e s t a t t f i n d e t , i s t eine K u r v e vierter Ordnung, deren Gleichung die Form b e s i t z t : I (*! + y%)2 + (*§ + y%) (fix2 + qy2) -

mx#t

= 0.

Wir bezeichnen diese Kurve analog wie in der Theorie der starren Systeme mit dem Namen der Kreispunktkurve. Sie ist bizirkular und besitzt im Pol einen Knotenpunkt, dessen Tangenten mit den beiden Koordinatenachsen zusammenfallen. Eine Ausnahme bildet der Fall m = 0, auf den später zurückgekommen werden wird. Den beiden Zweigen entsprechen zwei Krümmungsmittelpunkte im Pol, deren einer auf der z2-Achse, deren anderer auf der y2-Achse liegt. Die Koordinaten des ersten lauten: m

„

.

m 2p'

des zweiten:

Geben wir den Durchmessern der beiden Krümmungskreise im Pol das Vorzeichen der von Null verschiedenen entsprechenden Mittelpunktskoordinaten, so haben sie die resp. Werte: m

m

ä'

P'

Diese Größen sind dann zu gleicher Zeit die von Null verschiedenen Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Krümmungskreise mit den Achsen. Wir bezeichnen diese Punkte durch £ und S. Die Ct schneidet die x2-Achse noch im Punkte Xc mit der Abszisse: r

die y2-Achse im Punkte Yc mit der Ordinate: _ 1 r

Die Verbindungslinie beider hat den Richtungskoeffizienten: _ 1 P

und ist demgemäß parallel der Verbindungslinie der beiden Krümmungsmittelpunkte im Pol. Sind die letzteren und der zweite Schnittpunkt derC4 mit einer der beiden Koordinatenachsen als bekannt vorausgesetzt, so sind die Größen: 1 m'

p^ q m' m

bekannt und damit die Gleichung der Kreispunktkurve selbst bestimmt. Es möge das mit wenigen Worten etwas weitergeführt werden, wobei wir von dem Index 2 bis auf weiteres wieder absehen wollen.

172

Die Kreispunktkurve.

Jeder Kreis: (6) + y2 — Öy = 0 schneidet die C4 außer im Nullpunkt noch in einem Punkte, und zwar im Schnittpunkt mit der geraden Linie :

l d*y + ö {¿>x + qy) — mx =

0.

Das Analoge gilt für den Kreis (7) *» + y* - dxx = 0. Der betreffende Schnittpunkt liegt auf der geraden Linie:

l Jf * + di {px + qy) — my =

0.

Sollen die beiden Schnittpunkte zusammenfallen, so muß die Gleichung bestehen : (8)

l òdi

pò + q

+

-m

= 0.

Jedem Kreise d wird hierdurch ein bestimmter Kreis und umgekehrt. Es gilt das zunächst nur, wenn ò und von Null verschieden sind. Für den Fall d = 0 haben wir zu setzen: A -

zugeordnet endlich und

m

I' Der Kreis ist also der vorhin definierte Krümmungskreis der C4 im Nullpunkte, der durch den Punkt 2 hindurchgeht. Ist dx = 0, so haben wir zu setzen:

P

Der Kreis i ist also der Krümmungskreis der C4 im Nullpunkte, der durch den Punkt Ä hindurchgeht. Für d = oo ist zu setzen:

i

P

Der Kreis dx ist also über PXr als Durchmesser beschrieben und endlich ergibt sich für d t = oo:

A-

q

d. h. der Kreis, der über PYC als Durchmesser beschrieben ist. Hieraus folgt der Lehrsatz: Die C4 i s t d a s E r z e u g n i s der p r o j e k t i v e n K r e i s b ü s c h e l :

x* + y2 — ä y = 0, x2 +y* — Si.x = 0.

Diese Kreisbüschel bestimmen auf den beiden Koordinatenachsen zwei projektive Punktreihen: 21, 8 , + —n c* sin2 (-9- + ^ 0 ) ~ 0 (•») = b - -pl cos + e), f = m sin e — m 1 cos e. Es soll nun der Versuch gemacht werden, ähnlich wie bei den starren Systemen eine Theorie der höheren Evoluten dieser Kurven zu ent•wickeln. Die ersten Betrachtungen bleiben dieselben, wie in der Theorie der starren Systeme. Nennen wir u1,v1 die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes desjenigen Punktes der Einhüllenden, in dem sie die gerade Linie für die Phase 3- berührt, so stellen sie sich in der Form dar (3a): «i = W + cos (d + ex) (F[ (3) sin (•» + £ l ) (») cos + ej), ®i = ®i W + sin + 6 l ) (F[ {&) sin + e,) - ®\ {&) cos + ej), •wobei gesetzt ist: (3b)

F1(»)=FQ(»)-C>'(•»),

01(»)

i

= 0O

P)+F'0(-»),

71

Die Gestalt dieser Gleichungen ist dieselbe wie die der Ausgangsgleichungen. Infolgedessen kann die Schlußweise wiederholt werden." Nennt man u„, v„ die Koordinaten des M-ten Krümmungsmittelpunktes der Einhüllenden in dem vorhin definierten Punkte, so ergeben sich die Darstellungen (4a): m„ = Fn (•») + cos (S- + eK) (F; (S) sin ( » + s„) - ®'„ cos (S- + «„)), w. = ® n (») + sin (•» + «„) (Fi (&) sin (•» + e„) - ®'n (3) cos (» + «„)), wobei gesetzt ist: 12*

180

Evoluten der Einhüllenden von Systemkuiven.

(4b)

Fn

{»)

= F,,^

{»)

-

,

0'n_x

701

(tf) +

{&) =

n

F'n_1

{&),

Die Funktionen -Fn(^) und 0n(&) können durch die Funktionen F0 (0-) und 0O (&), sowie deren Differentialquotienten dargestellt werden, und zwar in der Form:

1

;

Fn

(&) = F0

(•&) -

®n

(V) = 0O

(&) + n, Fi, (#) -

%

(#) -

n2 F'0' ( * ) . . . ( - 1 n2 0V

{&)•••

( - 1 yntr

(,) 0 ^ )

(»)

+ ( - l) r «2r+l F0(2r+1> ($•) + • • •• Bis hierher sind die Betrachtungen dieselben wie bei den starren Systemen. Von jetzt an gestalten sie sich anders. In der Tat, bei den starren Systemen konnte in den beiden letzten Formeln für n gleich 1, 2, • • • an Stelle von F0 (•#) und 0O (-fr) resp. a und b gesetzt werden, so daß p heraus fieL Das wird hier anders. Wir müssen mit den durch die Formeln (2) definierten Funktionen F0 (&) und 0O (&) weiter rechnen. Es ergeben sich dann die Beziehungen: /ßal K

F»

'

W

W

0»

wobei gesetzt ist: ,aw

= /» W + P>- (n) sin {9 + = f » W - P'^ COS (•»

,

db

da

/» w = « 1 5 »

.

-

+

en), in) ,

d*a

d2b

"»«ü-•

Es sind in (&) und cos (fr + «„)), V ' vn = v n 0 + p ( - A W cos ( $ + « „ ) sin (fr +£„)), wobei un0 und vno die Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes bei dem entsprechenden starren System (¿ = 1) bedeuten, d. h. resp. gesetzt sind gleich (7b): = in ( f r ) + COS { f r + e„) ( f n ( f r ) Sin ( f r + f n ) , f n ( f r ) cos {fr + «„)), Vno = (Pn (#) + Sin (fr + £„) (/; ( f r ) Sin (fr + £„) - - « & . ) = 0,

/' = cos K - k{n+1> sin K . g' = /(») sin X + /("+1) cos S-i Die Koordinaten ihres Schnittpunktes, den wir durch bezeichnen wollen, nehmen nach einer kleinen Rechnung die Form an:

*n

182

E v o l u t e n der Einhollenden v o n

wobei gesetzt ist: (IIb)

Systemkurven.

l\ = (A)« + (x