Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks [1 ed.]

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KLEINE ERGLNZUNGSREIHE zu den Hochachulbnchern flir Mathematik

Ecrauwenbcn can Prof. Dr. Hubert Karl, Potsdam I

in:

DIE MERKWURDIGEN PUNKTE UND LINIEN DES EBENEN DREIECKS Von

E. DONATE

Mit 102 Abbildungen

_

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\

VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1968 '

' dieser Reihe emhf’enenen Bindchen eignet. sieh ouch dieeee vorziiglich all Hillsmind he! do: hudemnterflohmehen mthemtlachen Beutlzung z. B. in Schulerzirkeln und

Arbeltegomeimchuun. Die Aft dot Dmtellung rest :11 diner vertietten Beschfltlgung mil; 3' Prgblonren und Methoden do: oiementuen Mathemtlk m and wird der Mathemtik neue fineunde’ gewlnnen, deren eie' mulchu lhror wachsenden Bodeutung bedart. Der Intuit Int 3’ chlildi’ixder _oberen M“minglich. woraut dle none. Aussiattung auedmokuch hin-

welsen soil.

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*

ES 19 SB 3 Copyright 1968 hy- VEZB Deuucher Verlag der Wieseneohalten. Berlin

Printed in the German Democratic Republio'

‘

,- 71,40; Luau-m». 200- 4135/78/68 , ‘

:Sntz' und Druck: Buchdrnckerel Paul Dunnluupt. Kitchen (At

a

'VORWORT

. Im voiliegenden Band werden zun'eLchst die Punkte und Linien_ .unfiersucht, die zum Stoffgebiet gehé'ren, das in allen allgemeinbildenden Schulen behandelt wird. Der kurzen Zusammenstel-

lung der bekannten Lehrsfitze mit ihren Beweisen folgt eine Er{gfinzung durch elementargeometrische Beweisffihrungen, die auf ' einheitlichen Beweisprinzipien beruhen. Ferner werden die Methoden der analytischen Geometfie, der Vektoralgebra und der bary‘zentrischen Koordinaten herangezogen, um Sitze érneut zu beweisen Damit soll gezeigt werden, Wie man mathem‘atische Probleme von verschiedenen Seiten betrachten und neue Wege in der Beweisffihrung besohreiten kann. Im elementargeometrischen Teil erfiihrt dieser Stoff e_i.ne‘ .wesentliche Ergiinzung durch ausgewfihlte Forschungsergebnisse' der modernen Mathematik des 19. und 20. Jahrhunderts. D8, die Arbeit keine erschépfende Darstellung ist, findet der .Leser Anregungen, selbst nach neuen Shtzen und Beweisen zu __forschen. Zum Vers'téindnis des elementargeometrischen Teiles sind die Kenntnisse der Absdlventen der polytechnischen Oberschule ausreichend. Das mathematische Bildungsgut der erweiterten OberL schule in der analytischen Geometrie und Vektorrechnung beffihigt zfir-selbstindjgen Erarbeitung des gesamten Inhalts des

Buches. Fiir die erforderlichen Erlfiuterungen zur Verwendung voh Determinanten vergleiche man die Literaturhinweise. So mag das Buch in erster Linie zum Selbststudium der mathematisch inter-

.essierten Lesertdienen, deren Vorbildung den genannten Anforderungen entspricht.

x 7. Vorwort ;

pi . Lbsung der eingestreuten Aufgaben dient der Selbstkon:der Wiederholung un'd Festigung des erarbeitetén Wissens. EMII, DONATE

INHALTSVERZEICHNIS Einleitung. Definitionen des Dreiecks ..........

1. Schnittpunkteétze .................

II. Ein einheitliches Beweisprinzip ............. 1. Der Satz des MENELAOS ............... > 2. Der Satz des CEVA und seine Umkehrung ....... 3. Die merkwfirdigen Linien des Dreiecks ........ III. Eine Relation fiir die Eoktransversalen durch einen beliebigen Punkt des Dreiecke .................. 1: Satz fur die Ecktransversalen durch einen beliebigen . Punkt .......... . ............ IV. Merkwiirdige Linien iii Dreieck ............. 1. Die EULERSQhe Ger‘ade ............... 2. Der FEUERBAOHBOhe Kreis ..............

3. Das Héhenfqunktsdreieck ............. 4. Der Inkreis und die drei Ankreise des Dreiecks .....

.' Punkte und Linien des Dreiecks m neuerer Forschung.

coco-095915021914

. Der MIQUELSOhe Satz . . . . ......... . . . . . Die Smsomche Gerade ..............

. Der Flicheninhalt. des MIQUELBchen Fqunktsdr‘eieoks . Der Limonm- GREBEEche Punkt ........... Der NAGELBche Punkt ............... Der SPIEKERsche Kreis ............... . Der Bnoomznsche Punkt .............. . Der BROCARDSOhe Winkel .............. . Zwei Dreiecke zum BBOOARDschen Punkt . . . . ’. . :

10. Die Bnoonmschen Fqunktsdreiecke ........ 11. Die LEMOINEschen Kreise .............. 12. Zwei Dreiecke im Bnoommschen Kreis ........ 13. Der Srnmnnsche Punkt- ...............'

Hmong

tar'geometrischer Betrachtung ...............

MN

. Die merkwijrdigen Punkte und Linien des Dreiecke in elemen-

1 'g‘ ‘ Inhaltsverzeichnis

1Ԥcks mit deqthodender analytischen Geometrie .....

75 75 1 1- Die vier bekannten-Punkte des Dreiecks . . . . . . . 22ieweisé‘mit3Hilfo der HEssnschen Normalform . '. ., . "-79 81 33-DioEULmoheGerade. . . . . . . . . . . . . . . 82 :DerFEUEnAonscheKrem . . . . . . . . . . .

algebré. ‘71. DidSeitenhalbierenden . . . . . . . . . . . . . . . 12.Die'H6hen.'.......

f3. DieMittelsenkrecn der Seiten . . . . . . . . . . . '-"4.DieWinke1halbierenden '. . . . ‘. . . . . . . . . . . __\5.,D16EULEnsoheGerade . . . . .. ..... ....

84 84 86 87 ‘ 87 88

VIII. Merkwiirdige Punkte des Dreiecks und ihro baryzentrischcn ‘Koord1naten..... ...... ..

1.:

‘ ) 1 _Addihion und Substraktion vo’n Punkten. ....... 2. Produkte von Punkten .......... . . . .

3. Der' Begriff det baryzentrischen Koordinaben ..... Teilflfichen dos Dreiecks als buryzentrische Koordinaten g eines beliebig'en Punktesdes Dreieckz .........

I 8.) Der Mittelpunkt des dem Dreiebk eingeschriebenen Kreises.;.v‘. ;. . . .

.

.

.

.

'b) Der Mittelpunkt des dem Dreieck umgesohnebenen _Kreises.

............. .

e) Der Mit};elpunkt des FEUEBBAciischen Kreises . . . . , " )DerNAGELschéPunkt. ._ . . . . .- . . . . . 101 3'3) Der Mittelpunkt des SPIEKEnschen Kreiaes . . . . . 102 ' 104 )Der Lfimommsche Punkt. . . . . . . ) Der Mittelpunkt des zweiten Lfimomnschen Kreises . 104 ) Die Dnoomnschen Punkte . . .‘ ........ 105 \

107 teratrhmwexse..’...........'.........

121

EINLEITUNG DEFINITIONEN DES DREIECKS Ein Dreieck ist ein aus drei Strecken gebildeter geschlossener

Linienzug. Zuweilen wird’ der Begriff des Dreiecks genetisch definiert: Ein Dreieck entsteht, wenn drei Geraden einander in drei Punkten schneiden. Eine andere Definition, in der das Dreieck

als Flfiche aufgefaBt wird, lautet: Das Dreieck ist ein Teil der

Ebene, der durch drei Strecken vollstfindig begrenzt ist. Alle diese Definitionen warden-in der mathematischen Literatur nebeneinander beriicksichtigt, ohne daB Mtersténdnisse zu befiirchten sind.

Unter den Vielecken nimmt das Dreieck insofern eine Sonderstellung ein, a-ls seine GréBe und Form durch die vorgegebene Lange der drei Seiten eindcutig bestimmt ist [das ist nicht bei allen n-Ecken (n > 3) der Fall]. Auch 0,110 Linien in und am Dreieck, _die nach beson'deren Vorschriften gezeichnet warden,

erhalten eine bestimmte GrbBe und Lage. Analytisch drfiekt sich dies dadurch aus, daB alle Linien durch algebraische Formeln

dargestellt werden kénnen, die nur die Seiten des Dreiecks enthalten. ‘ ‘ Es sollen bier nun Punkte und Linien behandelt werden, deren Lage und Eigenschaften fiir das Dreieck spezifisch sind.

. 1'. DIE MERKWURDIGEN PUNKTE 3: -, . - UND'LINIEN DES DREIECKS _; jIN.ELEMENTARGEOMETRISCHERBETRACHTUNG I. '-

3

.

\

, -.'Die aflgemein bekannten merkwiirdigén Punkte des Dreiecks sind die Schnittpunkte a) der drei Winkelhalbierenden, 'b) (161‘ Halbierendén ein'es Innenwinkels und der der beiden ihm nicht

anliegenden AuBenwinkel, c) der drei Mittelsenkrechten der Seiten, (1) der drei Seitenhalbierenden und 9) der drei Héhen des 'Dreiecks. \ 3 1. Schnittpunktsiitzo \ , a.) Die drei Halbierenden dér Innenwinkel des Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, dem Mittelpunkt des dem Dreieck cin-

'geschriebenen Kreises’. b) Die Halbierende eines Innenwinkels und die Halbierenden der beiden ihm nicht anliegenden Aufienwinkel des Dreiecks schneiden einander in einem Punkt, dem Mottelpunkt des Kreises, _der cine Dreiecksseite and die Verla‘ngemngen der beiden anderen

.’ Seiten ben‘ihrt.‘ 1 1, 0) Die drei Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden ein‘ander in einem Punkt, dem Mittelpunkt» des dem Dreieck umgehohriebenen Kreises. . x 9d) Die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks schneiden einander einem Punkt, dam Schwerpunkt des Dreiecks. Er teilt jade ‘Seitenhalbierende, van der Ecke aus geredmet, im Verhaltnis 2: 1. 6) Die drei Hb'hm eines Dreiecks schneiden einander in einem Dunkt. Der Ho'henschnittpunkt teilt die Ho'hen so, da/i die Recht-

lecke was den Abschnitten jeder Hoke eimmder gleich sind.

_

x Da. die vor'stehendeii Satze 1m Schulunterricht behandelt wer:den,_wird_ auf die fibh'chen Beweise yerzichtet.

1. Schnittpunktsatze

3

Aufgabe 1. Im Dreieck ABC)I (Abb. 1) sind die Halbierenden der Innen- und AuBenwinkel gezeiohnet. Man benutze diese Figur zum Beweis

des Satzes vom Héhensohnittpunkt.

0:

A

'

0b

A

~

5 15

F C‘

Abb. 1

'

Abb. 2

In Abb. 2 sind im Dreieck ABC die Héhen BE und 0' F gezeichnet, ihr Schnittpunkt H ist mit A ver'bunden. Man beweise mit Hilfo von Satzen aus der Kreislehre, da-B die fiber H hinaus verlfinger’te Gerade senkrecht

auf BC' steht. '

Man beweise auch den Zulatz zu Satz e).

"III-1 EiN EINHEITLI'CHES BEWEISPRINZIP ' .' If Meist Wei-den als Beweismittel Sdtze der Symmetric, der Kon."gruenz von Dreieeken, Sdtze von Parallelogremmen, Strahlensfltze und Sfitze aus der Kreislehre verwendet. Damit steht auch - die verschiedene Ge-

staltung der Beweise 1m ' Zusa-mmenhang. Hier soll ein einheitliches Beweisverfahren angewendet werden, das sich auf

den

Satz

des‘ CEVA

stiitzt. Als 'Hilfssetz wird zum’ichst der Satz des MENELAOS bewiesen, dem einige Defini-

tionen vorausgeschickt '

warden. Jede Gerade, die die Seiten des Dreiecks oder

ihre Verlfinger‘ungen schneidet (Abb. 3 11nd 4), heiBt Transversale die-ses Dreiecks. Die auf-

einanderfolgcnden Seitenabschnitte

leuten

mit den Bezeichnungen der Abbildungen

£3,11n E0, _C'_F, FA. 'FaBt mail den ersteri, dritten und iunften Abschnit-t zusemmen 'und ebenso den zweiten, vierten 11nd seehsten Abschnitt, so er-

.‘hilt man die beiden Gruppen nicht anei'nanderliegender Seiten» abschiiitte Man nennt_. sie auch altemierende Abschnitte der 5",‘Seiteni'h des DreieckiDes Verhfiltnis der MaBzahlen der Ab-

1. Der Satz des MENELAQS

v

.

D

schnitte einer Seite nennt man ihr Teilungsverhdlmis. Dieses soll

ein positives oder negatives Vorzeichen'erhalten, je nachdem, ob es sich um eine innere oder um eine iiuBere Teiluug der Seite . ‘ handelt. 1. Der Satz des Menelaos

Der Satz des MENELAOS lautet:

.

Schneidet eine Transversale eines Dreiecks, die nicht durch cine Ecke geht, die Dreiecksseiten oder ihre Verldngerungen, so hat der

Quotient, der aus den Produkten der Ldngen der alterm'erenden Abschm'tte gebildet wird, den Wert 51:

AD . BEvC'F __‘ _ DB - E0 - F A _

A

Abb. 6 I

Beweis 1. Von A, B and 0 warden Lots 1, m und n auf die

Transversale‘gefillt. Die Strahlensatze liefern dann‘

AD DB

m .T’

111g_ E0

1

‘7?

CF-

n

FA='nT

Multiphzfert man die drei Gleichungen miteinander, so erhilt man

"‘"IffAD-BE-C'T ' m-l-n , ."»'DB-EC'-FA,.—.'r l-n-m_ 1. (Abb'5)' . “VA . ,

-'.

——

\

.

,

/

——

Abb.\8‘

,

AufgaBe 2. Man fiihre den Beweis fiir' den Fall, daB die Transversale nur die Verlfingerungen der Dreiecksseiten schneidet (Abb. 6).

Aufgabe 3. Man beweise den Satz des MENELAOS trigonometrisoh und .verwende dubei die in Abb. 7 und 8 angegebenen Winkel.

.

2. Der Satz def; Ceva und seine Umkehrung

, DerhSatz des CEVA lautet: "Die drei Ecktramversalen eines Dreiecks, die éimmder in einem

Punk; innerhalb Oder aufierhalb des Dreiecks achneiden, teilen die preiecksseiten so, da/3 die,Produlcte aus den Ldngen der altemie. 'renden Absch'nitte gleich' sind.

2. Der Satz. dea CEVA und seine Umkehrung

7

Beweis 1. Die alternierenden Abschnitte sind durch den gleichen Index gekennzeichnet. Es ist also zu beweisen, daB a1 - bl - cl _

“a ' b2 ' 02 _ 1

ist (Abb. 9). Wendet man den Satz dos MENELAOS zweimal an, zuerst auf das Dreieck A BD mit der Transversalen F0, dann auf das Dreieck ACD mit der Transversalen EB, so erhilt man ' 0 WV?»

1—-—-= ——1

aa-ag-n

und

Darausfolgt cl-a'm__ eras-n-

Division der Gleichungen durch ¥ ergibt c1

=

b:

‘

al'hl'fi = 1, w. z. b. w.

“z'ba'ca

Aufgabe 4. Man beweise den Satz, wenn der Schnittpunkt der' Transversalen uuBerhalb des Dreiecks liegt (Abb. 10).

' |11.111111 einheitliches Beweisprinzip f_'\!'

1

‘Beweis 2 (Abb; 11) A15 Hilfslinien warden durch den P1111kt :D die Parallelen Z11 den Seiten A B und A 0' bis zu den Transver-

1

’.1

§|§ :x|.:.SI

.‘i

S‘INé’lw

. .”_lk

fils‘fla.

und PD seien mit 11 und m bezeichnet. Die Strahlensatze liefem dann folgende Proportionen:

Multipliziert man diese Gleichungen, so fOIgt ‘

bl k cpl ”(I'm-11%;B

lc (2,11:I

al-n-m-a‘

“1' b___1' c__i___1.1

“3' ba' 6,

H

Aufgabeb Man iiihre den Beweis bei fiuBerer Luge dea Schnittpimktes der Transversalen (man benutze Abb. 10). Aufgabe 6. Man verwende zu einem woiteren Bewei: des Sutzes von

— a1: a, usw. (Abb. 12). = hl: 11,—.{CEVA die Proportion AAPB: A APC— Aufgabe 7. Man gebe dem Lehrsatz des CEVA eine trigonometrische 'Fassung:

ii '.

,

- ' .

t: 1 (Abb. 13) Binags mpaflny3

2. Der Satz des CEYA und seine Umkehrung

9

Fit unsere Zwecké ist die Umkehrung des Satzes von CEVA erfOrderli‘ch, da. bewiesen werden soll, daB die im ersten Teil

behandelten speziellen Transversalen durch einen Punkt gehen. Die Umkehrung des Satzes von CEVA lautet: Werdendurch die drei Ecktmnsversalen im Dredeck alle drei

Seiten innen oder zwez' Seiten aufien and die dn'tte innen so geteilt, dot/3 die Produkte der alternierenden Abschm’tte der Seiten einander glez'ch find, so schneiden die drei Ecktmnsvemalen eimmder in einem Punkt.

Bemerkun g. Aus der Geometrie ist bekannt, daB jedem Teilpunkt einer innen oder auBen geteilten Strecke ein- und nur ein‘ Teflverhéltnis zugeordnet ist. Umgekehrt entspricht einem bestimmten Teilverhflltnis ein und nur ein Teilpunkt einer Strecke. Liegt eine Strecke AB auf einer Geraden, so k6nnen alle Punkte der Geraden Teilpunkte der Strecke sein. Die Teilverhfiltnisse

durchlaufen entsprechend die reellen Zahlen von — 00 bis + co. Beweis.. Er wird indirekt geffihrt. Die Voraussetzung lautet a1'b1'°1=1

arbfi-ea

'

Dann gilt die Behaupttmg: Die drei Transversalen Alf, BE und 0'F sohneiden einander in einem Punkt P. Zwei der Transversalen schneiden einander stets in einem Punkt. AD und BE seien diese Transversalen, P sei ihr Schnitt-

punkt. Angenommen, die dritte Transversale ginge nicht durch den Punkt P. Dann gibt es eine andere Transversale von 0 ans, die durch P geht, die Seite AB im Punkt F’ trifft und auf ihr die Abschnitte c; und 0% erzeugt. Nach dem Satz des CEVA ist somit , ' . a1 ' b1 ' 6; _ 1

a2 ' b, ' c; '—

'

Nach Voraussetzung ist abér

Alsoist

a1'bl'fl___ 1‘ “z'bz'cz .

., .

917b1'_‘_’_1_“1'b1'i; aa'ba'cs_“2'bn'°§’

‘10.

I

II. Ein einheitliches Beweisprinzip

,

_11n1i;;:nsjch Division (1111-0t1 :1 folgt :.

_

_,

2

2

'._1=.;

'-

(*)

d. h fiir die Teilpunkte F und F’ ergibt sich das gleiche Teilverhaltms. Das ist ein Widerspruch; denn jedem von F verschiedé'nen Teilpunkt ist ein anderes Teilverhfiltnis zugeordnet. Also ist die Annahme falseh, und die drei Transversalen schneiden ein911t im Punkt P. . A115 (*) ergibt sich dutch korrespondierende Addition 1

’-

‘

6

6

,=—;- gder 7:;-

‘

(01+02=ci+c§=c).

Aus der letzten Gleichung folgt c1 = cl, d h., die Teilpunkte F und F’ stimmen fiberein, und die Transversalen 0F und GF' sind identisch. Dies bedeutet abet, daB OF- durch den Punkt P

gehttz ~ Die Umkehrung des Satzes von CEVA in geometrischer und .trigonometrischer Fassung kann nun als Beweismittel fiir alle Satze 1‘i die 1:1e1‘kwurdigen Punkte im Dreieck dienen. A

,‘Abb.1‘4I" . '

,

Abb.15

" ‘Aufgabe 8. Man'heweise die Sitze a) bis 1;) auf Seite 2 unter Vervendung beider, Eassungen des Satzes von CEVA (Abb. 14 bis 18). Mit Hilfe dés Satzes von CEVA kénnen weitere acht merk-

wiirdige Punkte des Dreiecks gefunden werden.

3. Die merkwiirdigen Linien des Dreiecks

11

Aufgabe 9_. a.) Man beweiée unter Benutzung des Satzes von CEVA, (138 die Ecktransvezjsalen nach den Beriihrungspunkten des dem Dreieck

eingesohriebenen Kreisea eina-nder in einem Punkt schneiden.

'

A .

C;

51

b) Man zeige, daB dieSe Lagebéziehung auch flit die drei Ecktransversalen gilt, die nuoh den

Beriihrungspunkten der Ankreise mit den Dreiecksseiten gezogen warden. ' 0) Man beweise, daB die drei

'Transversalen von B nach dem Beriihrungspunkt des Ankreises um 00 auf der Verlfingerung von 0A fiber A hinaus, von 0' zu

den entsprechenden BeriihrungsAbb. 18 punkt auf der Verlfingarung von BA fiber A hinaus und von A . nach dem Beriihrungspunkt des Inkreises mit der Seite a dutch einen Punkt gehen (drei Falle !).

(1) Man beweise, daB die drei Ecktransversalen nuch den Beriihrungspunkten eines der Ankreise auf einer Dreiecksseite und auf den Verlingerungen der beiden anderen einander in einem Punkt schneiden (drei Fills !).

' 3. Die merkwiirdigen Linien des Dreieeks

_ Bekanntlich teilt der Schwerpunkt des Dreiecks, das ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, diese Strecken von jeder Ecke zur Gegenseite im Verhéltnis 2:1.

II. ~Ein eiiiheitliches Beweisprinzip

:12 . ’

'Der_.S.chnittpunkt' .der' drei Winke1halbierenden des Dreiecks hat .von den Dreiecksseiten gleiohe Abstinde, ist also Mittelpunkt 'des' Kreises, der die' Seiten des ‘Dreiecks beriihrt. Man nennt ihn ,

den dem Dreieck eingeschriebenen Kreis. .' -Der Schnittpunkt der Halbierenden eines Innenwinkels des Dreiecks und der beiden ihm nicht enliegenden AuBenwink'el ist Mittelpunkt eines Ankreises des Dreiecks. , N’ Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks ist von

den drei Ecken gleich weit. entfernt, also Mittelpunkt des dem Dreieck um-

' geschriebenen Kreises. Auch der Schnittpunkt der Héhen

des Dreiecks hat einelbesondere Eigenschaft, die nur nicht so augenffillig 131: 1

._ I

~./

;

wie die vorgenannten: Die Rechtecke

7 v Abb 19

\ ‘ _' » ‘

aus den Abschnitten jeder Hohe im Dreieck sind einender gleich.

Beweis 1‘- (Abb. 19). Die Dreiecke AEH und BDH sind alhn-

'lich (WW). Folglich ist— IID Hoder AH H D BH HE. Entsprecheild folgt aus der Ahnlichkeit der Dreiecke BHF und -0HE die Gleichung BH - HE = CH - HF. Daher ist AH ~ HD

-=BH-v HE = OH - HF. ' ' Beweis 2. Jeder der drei Kreise, deren Durchmesser die Seiten

dea Dreiecks sind, enthalt je zwei Fqunkte der Hohen (Satz des THAL‘ES). Die beiden Hohen sind Sehnen 1n einem Kreis, die 'durch ihren Schnittpunkt so geteilt warden, daB die Rechtecke [ans ihren Abschnitten einander gleic'h Bind Man beweise, daB -auch»die.Absch111tte- der dritten Hohe ein gleiches. Rechteck "bi1d '2 a , .1 ‘

III. EINE RELATION FUR DIE ECKTRANSVERSALEN DURCH EINEN BELIEBIGEN PUNKT DES DREIECKS

Es besteht auch eine'allgemeine Relation fiir alle Ecktransversalen, die durch einen Punkt gehen, der sowohl im Dreieck als

auch auBerhalb desselben liegen kann. 1. Satz Iiir (lie Ecktransversalon durch einen beliebigen Punkt Bildet man 1111' jede von drei Ecktmnsversalen eines Drez'eclcs. die durch einen Punkt gehen, den Quotienten ans ihrem oberen Abschm'tt und der ganzen Strecke, so hat die Summe der drez' Quotienten den konstanten We” 2: A :0

b0

‘2:

_+T 27+

(t. ist die ganze Trafnsversale, t‘; der

71a 7';

obere Abschnitt von der Ecke bis zum

Schnittpunkt der Transversalen, té‘ der

5

untere Abschnitt von diesem Schnitt-

punkt bis zum Schnitt mit der Drei-

\ 722 \

B

,4

A,

C

Abb. 20

ecksselte; z = a, b, c).

Beweis. Aus Abb. 20 folgt Viereék ABPO’ + Dréieck BPO' = A ABC = F. Nun ist El ABPC’ + ABPC' + E] BOPA +' A CPA + E] GAPB

+ A APB = 3F.

_

(1}

.Es ist' ABPC+AOPA +AAPB= F.

Subtraktion ergibt.

DABPC+ DBO’PA + DOAPB=2F.

(2)

14 .' IIII. Die_ Ecktransversalen (lurch einen beliebigon Punkt des Dreiecks -Durch Division von (2) durch F erhallt man --

ABPO

'

BOPA

T+—— F +

OAPB

=2.

Wir' berechnen nun den ersten Summanden (Abb. 20): AABC' =—aka,

A BPC' =—ah2,

_h2) =—1—ah1, ,( UABPO=§-a“(ha

o

3 i'fl

,

‘

ah = %la = f-a (Strahlensatz !). 3— . A BFPO‘.= _ 2

Abb. 22

.,

I'A'bb. 21 "

En'tslprechend’ erhalt man fiir die anderen beiden Summanden

_

30PA_§_und 0APB__£

f‘. Damit folgt .

/.

I‘"

'

-

'

F

'F ‘ " tc'

7 t,

. ‘.

E

t,

E

t.

f;— = 2,

t,

,.

Alifgabe 9'. Man beweise den Satz fiir‘ den Fall, daB P a) an! einer Dreieckssoite (Abb. 21), b) auBerhalb des Dreiecks (Abb. 22) liegt.

IV. MERKWURDIGE LINIEN IM DREIECK 1. Die Eulersche Gerade Die Schnittpunkte der Seitenhalbierenden, Hfihen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden haben in jedem Dreieck

eine eindeutig bestimmte Lage. Damit steht im Zusammenhang, (183 die drei zuerst genannten Punkte auf einer Geraden liegen, die Eulersche Gerade genannt wird. Die durch den Héhenéchnittpunkt und den Mittelpunkt des Umkreises begrenzte Strecke .dieser' Geraden wird durch den Schnittpunkt der Seitenhalbie’ ’renden, den Schwerpunkt des Dreiecks, im Verhfiltnis 2 : 1 geteilt.

Beweis 1. Im Dreieck ABC (Abb. 23) sind die Héhen ha und ha: die Seitenhalbierenden sa und 3,, und die Mittelsenkrechten ma und mb gezeichnet. Die zugehérigen Schnittpunkte sind H, S und M. ES 5011 nun bewiesen werden, daB diese Punkte auf einer'

Geraden liegen.

.

.

Die Dreiecke ABH und EDM stimmen in ihren Winkeln

fiberein, weil die Schenkel der homolog‘en, Winkelpaare parallel und. entgegengesetzt gerichtet sind: AH H MD, als Senkrechteauf B0, BH H ME, als Senkrechte auf AC, AB M ED und AB = 2 ED; die Verbindungsstrecke der Mitten zweier Drei-

’

f'IV.Me1'kwii1-dige Linien im Dreieck

-,eoliss;o1ten ist. parallel zur dritten Seite und halb so groB wie diese. A130; 1311 A ABH ~ A DEM (WW). In dhnlichen Dreiecken 3111d die homologe11 Seiten proportional:

_ AH DM= AB DE=2: 1. Nun .wird H mit M verbunden. Diese Gerade schneidet AD 1m

P11111111 S’. Zu bew'eisen ist, daB die Punkte S und 8’ identisch ,3111d 1E3 ist A AHS’ ~ A DMS' (WW); denn es gilt 4 HAS’ u=-'. 4 MDS’,~ als Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. .1111d 4 H S'A

4 M S’D 313 Scheitelwinkel.

D:.a, sich AH: DM wie 2: 1 verhalt, \1st auch AS’: DS’ = 2:1, d. h., die Seitephalbierende AD wird durch S’ 1111 Verhfiltnis 2: 1 getei1t. Die gleiche Teilung erfolgt durch S. Also stimmen S und S’ 1"1berein, die Punkte H, S und M liegen in einer Geraden, und

e3 besteht die Proportion HS. SM = 2: 1. Beweis 23. Liegen zwei ahnliche Dreiecke so, daB homologe Seite’n einander parallel laufen und gleiche bzw. entgegengesetzte Richtung besitzen, so befinden sich die Dreiecke 1n Ahnlichkeitsl3ge. ‘

»

b)

Abb. '24

Verb1ndet man ehtsprechende Eckpunkte, so Schneiden die Verbindungsgeraden einander in einem Punkt, dem Ahnliohkeitspunkt der beiden Dreiecke. Die Geraden heiBen AhnlichIceitsstrahlen. Sie werden durch den Ahnlichkeitspunkt im Ve'rhaltm's zweier homologen Dreiecksseiten geteilt Sind dio entsprechenden Seiten der Dreiecke parallel und gleich geriohtet, so ist ein aluBerer Ahnlichkeitspunkt vorhanden (Abb. 24), 31nd

sie parallel und ontgegengesetzt gerichtet, so existiert ein innerer

1. Die EULERSOhe Gerade

17

Ahnliohk’eitspunkt (Abb. 25). Nach diesen kurzcn Erklflrungen folgt nun der Beweis.

In Abb. 23 befinden sich die Dreiecke AH B und DM E in Ahnlichkeitslage, da die homologen Seiten parallel und entgegengesetzt gerichtet sind. Die Ahnlichkeitsstrahlen AD, BE und

Abb. 25' HM schneiden einander im Punkt S. Die Strahlen werde'n im

Verhfiltnis der homologen Seiten der fihnlichen Dreiecke geteilt.

Es ist

AS:SD = 35:31: = 1119:5111 = ABzE'D = 2:1 (nach dem Strahlensatz '

A

und nach dem Satz von der Strecke, die die Mit-

ten zweier Dreiecksseiten

verbindet).

Also

liegen H, S und M auf einer

Geraden,

dem

Ahnliclikeitsstrat M, der durch S im Verhilt- ,

nis 2:1 geteilt wird. Bewe1s 2b(Abb 26).

.

D

Abb 25

Man zeichnet ein Drei-

eck ABC. halbiert die Seiten und verbindet die Mittelpunkte D, E and F. Das Dreieck DEF ist dem Dreieck ABO’ ahnlich

'

18 g

3-1,:- _ _

IV. Merkwiirdige Linien im Dreieck

_(Beweié!) (WW). Beidé_Dreiecke befinden sich in Ahnlichkeits-

lage. 'Die Seitenhalbierenden sind Ahnlichkeitsstrahlen, und ihr I'Schnittp‘unkt S ist Ahnlichkeitspunkt. Die \Mittelsenkrechten iin'Dreieck ABC" Bind zugleich Héhen im Dreieck DEF (Be-

..weis !)'.‘~ Demnaéh sind die Punkte H 11nd M entsprechende Héhen-

schnitt'pfinkte in fihnlich liegenden Dreiecken. Als solche liegen siq 'auf cinem Ahnlichkeitsstrahl, der durch den Ahnlichkeits-

punkt 8 im Verhfiltriislentsprechender Dreiecksseiten, also wie 2: 1_ geteilt} ,wirdr

.

_

_

‘

I_Damit ist bewiesen, daB H, S ugd M auf einer Geraden liegen

' hd daB..H M in Verhfiltnis 2:1 geteilt wird. :l

/"

fi' ' 2; :Der Feuerbachscho Kreis

' '3'- ‘Auf‘ gler EULEBscheh Gerade liegt noch ein merkwiirdiger Punkt gigs Dreieoks, namlich der Mittelpunkt des Kreises, auf dem neun _‘ausgezeichnete Punkte des‘ ~Dreiecks liegen. Es sind die drei Mittelpunkte der Seiten, die-drei Fqunkte der Héhen und die

drei Mittelpunkte de_r ob/eren Héhenabschnitte.

'

Abb. 27. Im folgenden soll ~nacheinander bewiesen werden, daB die genannten Punkte auf einem Kreis liegen und daB der M ittelpunkt dieses Kreises die EULERsche Strecke H M halpiert.

. Der Kreis um‘ AH als Durchmesser (Abb. 27) geht durch die Equnkte E 'ilnd F der Héhen BE und 0F (Satz des THALES). Daher ist é: FAH = g: FEH, als Peripheriewinkel fiber dem

'

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2. Der FEUERBACHsche Kreis

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Bogen FH. Ebenso kann mit Hilfe des Kreises um H 0 als Dutchmesser gezeigt werden, daB é: H CD = 4: H ED ist. Da. aber

g: FAD = 4; F OD ist (Beweis entweder mit Hilfe iihnlicher Dreiecke oder als Peripheriewinkel im Kreis mit A 0 als Durchmesser), ist é: FEH = g: DEH. Die Hohe BE im Dreieck ABC ist demnach zugleich Winkelhalbierende im Hohenfqunktsdreieck DEF. Es ist é: FED = 2 q FEH, und wegen