Mathematische Formelsammlung [7., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111683249, 9783111296326

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

51/51a

MATHEMATISCHE FORMELSAMMLUNG von

DR. H A B I L . F R I E D R I C H

RINGLEB

Mit 40 Figuren Siebente, erweiterte Auflage

WALTER DE GRUYTER & CO. vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung • J . Gattentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J . Trübner • Veit & Comp.

BERLIN

1960

© Copyright 1960 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. - Alle Rechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. - Archiv-Nr. 1 1 0 0 5 1 . - S a t z : Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35. Druck: Paul F u n k , Berlin W 35. Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis I. Abschnitt: Arithmetik und Kombinatorik § § § §

l. 2. 3.

§ 5. | 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

SeIt

Reelle Zahlen Proportionen Potenzen mit ganzen Exponenten Binomialkoefflzienten und Binome m i t positiven ganzzahligen Exponenten Wurzeln und Potenzen mit gebrochenen Exponenten Imaginäre und komplexe Zahlen.Logarithmen Kombinatorik Determinanten Wahrscheinlichkeitsrechnung

e 6 6 8

8 10 11 12 14 16 20

II. Abschnitt: Algebra § 11. § 12. § 13. § § § § §

14. 15. 16. 17. 18.

Begriff der algebraischen Gleichung Gleichungen ersten Grades. Matrizen Gleichungen zweiten Grades und Gleichungen, welche auf solche zurückführbar sind Binomische Gleichungen Kubische Gleichungen Biquadratische Gleichungen Allgemeine Sätze über Gleichungen n-ten Grades Höhere numerische Gleichungen und Näherungsmethoden . . .

23 24 31 33 34 36 37 42

III. Abschnitt: Zahlentheorie § § § § § §

19. 20. 21. 22. 23. 24.

Teilbarkeit der ganzen Zahlen Kongruenz der Zahlen Restsysteme und Eulersche Funktion Diopkantische Gleichungen ersten Grades Sätze von Fermat und Wilson. Indizes Quadratische Reste

46 47 48 49 61 52

IV. Abschnitt: Elementare Reihen § § § § §

25. 26. 27. 28. 29.

Arithmetische Reihen erster Ordnung Geometrische Reihen Zinseszins- und Rentenrechnung Arithmetische Reihen höherer Ordnung Interpolation bei arithmetischen Reihen

53 54 55 56 59

V. Abschnitt: Ebene Geometrie § § $ § § §

30. 31. 32. 33. 34. 35.

§ § § §

36. 37. 38. 39.

Sätze über den Kreis Proportionalität von Strecken. Ähnlichkeit Pythagoreische Sätze Längen- und FJächenberechnunpen Besondere Linien und Punkte a m Dreieck Gerichtete Strecken und Winkel. Verhältnis und verhältnis Harmonische Teilung Kreispolaren Sätze von Ceva, Menelaos, Pascal, Brianckon Ahnlichkeitspunkte und Potenzlinien (Chordalen)

Doppel-

59 60 6t 6A 70 71 74 77 78 79

VI. Abschnitt: Stereometrie § § § § 1*

40. 41. 42. 43.

Windschiefe Geraden Sätze über das Dreikant und das sphärische Dreieck Allgemeine Sätze über Polyeder Sätze und Formeln zur Berechnung v o n Körpern

80 81 83 84

4

Inhaltsverzeichnis Seite

VIT. Abschnitt: Ebene Trigonometrie I. G o n i o m e t r i e Die trigonometrischen Funktionen einfacher Winke] Funktionen zusammengesetzter Winkel II. D r e i e c k u n d V i e l e c k § 46. Formeln für das schiefwinklige Dreieck 5 47. Beispiele für Berechnungen § 48. Anwendungen § 44. § 45.

88 91 04 96 99

VIIL Abschnitt: Sphärische Trigonometrie § 49. § 50.

Das rechtwinklige sphärische Dreieck Das schiefwinklige sphärische Dreieck

100 102

IX. Abschnitt: Mathematische Geographie und Astronomie § 51. Die Erde § 52. Ausgezeichnet« Linien und Punkte der scheinbaren Himmelskugel S 53. Koordinatensysteme § 54. Umrechnung der verschiedenen Koordinatensysteme ineinander 5 55. Die Zeit § 56. Aufgang und Untergang der Gestirne § 57. Die Parallaxe § 58. Weltsysteme § 59. Planeten, Sonne und Mond § 60. Die Sternbilder des Tierkreises

107 109 110 112 113 115 115 116 116 117

X. Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene § § § § § §

61. 62. 63. 64. 65. 66.

I § § § § § § § §

67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75.

I. P u n k t u n d G e r a d e Punktkoordinaten und deren Transformation Allgemeine Sätze über Gleichungen zwischen Punktkoordinaten Größenbeziehungen in Punktkoordinaten Die Gleichung der Geraden Linienkoordinaten und die Gleichung des Punktes Strahlenbüschel und Punktreihe II. K u r v e n z w e i t e r O r d n u n g ( K e g e l s c h n i t t e ) Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Der Kreis Formeln für die Parabel Formeln für Ellipse und Hyperbel Konfokale Kegelschnitte Allgemeine Sätze über Kegelschnitte Sätze über die Parabel Sätze über Ellipse und Hyperbel Konstruktion der Kegelschnitte

117 120 121 122 127 130 133 137 139 140 142 144 145 146 147

i L Abschnitt: Analytische Geometrie des Raumes und Vektorrechnung I. P u n k t , Ebene und 8 76. Punktkoordinaten und Vektoren $ 77. Allgemeine Sätze { 78. Größenbeziehungen

Gerade

149 153 154

Inhaltsverzeichnis § § § §

79. 80. 81. 82.

Koordinatentransformation Die Ebene Ebenenkoordinaten und die Gleichung des Punktes Die Gerade II. F l ä c h e n z w e i t e r O r d n u n g § 83. Die allgemeine Gleichung zweiten Grades § 84. Allgemeine Sätze j 85. Die einzelnen Flächen zweiter Ordnung . ,

5 Seit« 158 159 164 167 171 175 176

XII. Abschnitt: Differentialrechnung § 86. § 87. § 88. § 89. § 90. § 91. §92. I 93. § 94. § 95. i 96. § 97. § 98. § 99.

Funktionen Limesrechnung Stetigkeit Differentialquotient und Differentiation Spezielle Formeln Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen . . . Mittelwertsätze Konvergenz unendlicher Reihen Potenzreihen und lleihen von Funktionen Die Taylorsehe und die Mac Laurinsehe Reihe Spezielle Reihen Mittelwertsatz und Taylorsahe Reihe für Funktionen von zwei Veränderlichen Werte unbestimmter Ausdrücke Maxima und Minima

181 185 188 189 192 194 198 199 202 203 201 208 209 211

XIII. Abschnitt: Integralrechnung § § § § | §

100. Begriff des unbestimmten Integrals. Grundformeln 101. Allgemeine Formeln. Integrationsmethoden 102. Bestimmte Integrale 103. Mehrfache Integrale and Kurvenintegrale 104. Fourier-Reihen und Integrale 105. Elliptische Integrale

XIV. Abschnitt: Funktionentheorie und konforme Abbildung § 106. § § § § §

107. 108. 109. 110. 111.

213 214 222 232 240 246

Begriff der regulären Funktion einer komplexen Veränderlichen 247 Integralsätze 249 Potenzreihen 251 Singulare Stellen 255 Spezielle konforme Abbildungen 256 Allgemeine Abbildungssätze 263

XV. Abschnitt: Differentialgeometrie 5 112. S 113. 5 114.

Ebene Kurven Raumkurven (doppelt gekrümmte Kurven) Krumme Flächen

265 276 284

XVI. Abschnitt: Differentialgleichungen { 115. § 116. S 117.

Allgemeines 297 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 298 Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von simultanen Differentialgleichungen 303 § 118. Partielle Differentialgleichungen 312 Verzeichnis der wichtigsten Begriffe 318

§1

I. A b s c h n i t t

Arithmetik und Kombinatorik § 1. Reelle Zahlen 1.) Zu der Gesamtheit der r e e l l e n Z a h l e n rechnet man I . ) die r a t i o n a l e n Zahlen, d. s. die positiven und negativen ganzen Zahler, die Brüche, gebildet aus solchen Zahlen, und die Null, I I . ) alle Zahlen, welche sich auf die Form eines Dezimalbruchs mit unbegrenzter Stellenzahl bringen lassen und nicht zu den vorigen gehören. Das sind die i r r a t i o n a l e n Zahlen (3. § 11) Der a b s o l u t e B e t r a s : einer reellen Zahl x ist ihr (positiver) Wert ohne ßüeksicht auf das Vorzeichen. E r wird mit | z | bezeichnet. Der absolute Betrag der Nall ist 0. 2,) Für die absoluten Beträge von zwei reellen Zahlen x1 und «j gelten die Formeln: I

- «s I ^

1*1 I + 11 «i I -

§ 2.

I

+

I

I ® 8 11.

II^ I — I +

I I.

Proportionen

1.) Es besteht die P r o p o r t i o n a: b = c: d (in Worten: a verhält sich zu b, wie e zu d), wenn die Gleichung v = 0

4 (t

erfüllt ist. a und d heißen A u ß e n g l i e d e r , i und c I n n e n g I i 9 d e r der Proportion. 2.) Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. 3 ) In einer Proportion darf man die Innenglieder unter ') Division durch Null wird s t e t s Busgeschlossen.

§2

Proportionen

7

sich, die Außenglieder unter sich und die Innenglieder mit den Außengliedern vertauschen. 4.) Multiplikation und Division zweier Glieder mit einer am : im = c : d, (a : m): (b : m) = c : d, am : 6 = cm :d, (a :m): J = (c :m) :d. 5.) Korrespondierende Addition und Subtraktion: a : (a + 6) = c : (c + ä), b : (a + 6) = d : (e + d), a:(a — b)=e:(c — d),b:(a — b) = d:(e — d), (a + b):(a-b)=(c + d):(c-d). 6.) (ma + nb): (me + nd)= (pa + qb): (pc + qd). 7.) a : at = 6 : \ = e : e1 = • • • = (ma + nb + pe + • •) : (ma1 + nb1 + pc1-\ ). 8.) Aus a :b= c :d und :b1= c1: dt folgt: (a«i): (&M= ("i): {ddj, (,a:a1):(b:b1)=(c:c1):(d:dl). 9.) Stetige Proportion: a:b=b :c. 10.) Harmonische Proportion: (a — b):(c — d) = a:d. 11.) Stetige harmonische Proportion: ( a — b ) : ( b — d ) = a :d. 12.) Von n positiven Größen xlt x2,...,xn ist: Zahl

m:

a) das arithmetische Mittel x =

Xl

~^ X 2 ~^~

b) das geometrische Mittel x — Vx^* x2....

x„ ,

c) das harmonischeMittela; = l : - ( — + —-j 11 \x1 X2 13.) Satz von Cauchy: + y—x g—I

r jrt

* Juo

|- —V Xn'

4 • • • tfeft

S 1: - ( - + - + nyx-L x2 Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn x1 = xi— • • • = xn ist.

8

Arithmetik and Kombinatorik

§3

§ 8. Potenzen mit ganzen Exponenten 1.) Ist m eine positive ganze Zahl, so gilt am=a-a...a(mFaktoren),

a~m = i , a ° = 1 (füra#= 0). et aheißtBasis, m bzw. — m E x p o n e n t , am b z w . a ~ m P o t e n z . 2.) Für positive und negative m und r ist am • ar= am+r, am :ar= am~r, m m m m m a \ = a—, (a • b) = a -b , f^-J (am)r = amr.

§ 4. Binomialkoeiflzienten und Binome mit positiven ganzzahligen Exponenten 1.) Unter rl („r F a k u l t ä t " ) , wobei r eine ganze positive Zahl ist, versteht man das Produkt r ! = 1 - 2 - 3 • - -r. Ferner setzt man 0 1 = 1 . 2.) Ist r eine positive ganze und n eine beliebige Zahl, so heißt der Bruch n(n - l)(w - 2 ) . . . (w - r + 1 ) _ ^ (gelesen „n über r") B i n o m i a l k o e f f i z i e n t . Man setzt

CH-

Für positive ganze n gelten die Formeln: 3.) ( " j = 0, wenn r > n ; ( ^ j = 1. . . I(n\ 1 = 1( n \ = n\r —,, wenn 4.) ;(n — r)! T rl \rJ — rj

Allgemein gilt:

r 0 sei, wenn n gerade ist.

Rationalmachen der Nenner von Brüchen: _ n 2 _ 2 ]/a

Z

_ z(Vä-F

2 _

Vi)

t

v ä ± v i

' _ _ 2 _ Va + Vi"

=

2 ]/a"—i

z(Va* T Vab-j-

=

y a ± k ~ _ _ _ zj{a>

— b)(a— a

' ~

b

Vb)

a

±

h

Vi*)

Imaginäre und komplexe Zahlen

§6

11

3.) n und r seien positive oder negative ganze Zahlen, und es sei ar positiv, wenn n gerade ist. Dann setzt ü »_ L man o n = Var. a ist die G r u n d z a h l (Basis) der P o t e n z a" r

mit dem im allgemeinen g e b r o c h e n e n

Exponenten

-

(vgl. § 6). 4.) Für positive und negative ganzzahlige r, n, p, q gelten die Formeln: r r

p

(a • b)n

p

r ^

=

a,n - b n ,

r

V

V

an

a \ =

b"

\an) =a,n

i .

§ 6. Imaginäre und komplexe Zahlen 1.) Die i m a g i n ä r e E i n h e i t i ist definiert durch die Gleichung i 8 = — 1. Sind a und b beliebige reelle Zahlen, so heißt ¿6 eine i m a g i n ä r e , z = a - \ - i b eine k o m p l e x e und z=a — ib die zu z k o n j u g i e r t k o m p l e x e Zahl. a heißt reeller Teil von z, in Zeichen a = 9i(z), und b imaginärer Teil von z, in Zeichen b = Q(z). 2.)

i = i, ¿2 = - 1 , i3 = - i, i 4 = + 1 , j4n+l _ ^ ¿4n+2 = — 1, i'4«+3 — _ f, iln+i = + 1.

3.) Ist z1 = + falls Oj = Og und bt « = 0,6=0. 4.)

i \ =

und z2 = «j + ib2, ist. Aus z = a

b2

Zi ± 22 = ifli ± 1). II. K o m b i n a t i o n e n 6.) Die K o m b i n a t i o n e n aus n Elementen zur r t e n Klasse sind die Anordnungen, die sich aus je r der n Elemente bilden lassen, wobei aber die Reihenfolge der Elemente außer Betracht bleibt. sind

Die Kombinationen der vier Elemente ab cd zur 2. Klasse

ohne Wiederholung:

ab,

ae,

mit Wiederholung:

aa,

ab, ac,

ad,

b c, b d, ad,

bb,

cd, bc,

bd, cc, cd,

dd.

6.) Die Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur ten ¿lasse ohne bzw. mit Wiederholung ist:

r

III. V a r i a t i o n e n 7.) Die V a r i a t i o n e n von n Elementen zur r t e n Klasse entstehen durch Permutation der Elemente aller Kombinationen von n Elementen zur r t e n Klasse. Die Variationen der vier Elemente ab cd zur 2. Klasse sind: ohne Wiederholung ab ac ad ba b c bd ca cb cd da db de

mit aa ba ca da

Wiederholung ab ac ad bb bc bd cb cc cd db de dd

8.) Die Anzahl der Variationen aus n Elementen zur r t e n Klasse ohne Wiederholung ist

Arithmetik und Kombinatorik

16

§9

speziell Vn(n) = n\ (Permutationen), mit Wiederholung V'r(n) = n'.

§ 9. Determinanten 1.) Unter der D e t e r m i n a n t e n-ten Grades Dn =

«11 «12 «13 • • «1« «21 «22 «23 . • «2 n

«ni «n2 «n3 • • • ß/m versteht man die Summe aller Produkte ± "la • a'2ß ' a3r • • • an,j ,

welche entstehen, wenn die Indizes a,ß,y,...Q sämtliche Permutationen der Zahlen 1 , 2 , 3 , . . . n durchlaufen. Jedes Glied ist positiv oder negativ zu setzen, je nachdem die Anzahl der Inversionen dieser Indizes gerade oder ungerade ist (vgl. § 8,1,4). Die Größen Ojj, a 1 2 ,..., a 21 , a 2 2 ,..., ann heißen E l e m e n t e . Nennt man die Horizontalreihen der Determinante Zeilen, die Vertikalreihen S p a l t e n , so ist dasjenige Element, welches in der i t e n Zeile und in der k teD Spalte steht. Jedes Glied der Summe enthält aus jeder Zeile und jeder Spalte genau ein Element. Die Determinante wird abgekürzt geschrieben: D„ = | aik |.

2.)

[ an an ßoi ßoQ

—

«22

«21 «12 *

3.) Kegel von Sarrus (nur für Determinanten 3. Grades gültig): Um eine Determinante 3. Grades auszuwerten, setzt man die beiden ersten Horizontalreihen unter die letzte. Alsdann bildet man die Summe der 6 Produkte aus je drei Elementen, welche auf den Diagonalen des Quadrates und auf Parallelen zu diesen liegen. Dabei ist den Produkten der Elemente, welche in der Richtung der Diagonale des An-

§9

Determinanten

17

fangselementes liegen, das positive, den anderen das negative Vorzeichen zu geben: ^

%

''

v

^*

ffjj^ a^7 a ^ c r ^

«a

V

*

I

a

1

22aa3~T~ a21 a32 ®13 I °S1

— a

8 1 ®22

fl

18

a

a

a

i l 32 23

®21 ®12

®23 •

%

Man kann auch die beiden ersten Vertikalreihen hinter die letzte setzen und dann ebenso verfahren. Für Determinanten von b e l i e b i g e m Grade gelten die Sätze: 4.) Die Anzahl der Glieder einer Determinante wten Grades ist n\. 5.) Der Wert einer Determinante wird nicht geändert, wenn die Zeilen als Spalten und die Spalten als Zeilen geschrieben werden, z. B.: I all

a

l2 |

I ®11

a

2l

\ 2 | I ^12 ®22 6.) Werden irgend zwei Parallelreihen miteinander vertauscht, so ändert die Determinante ihr Vorzeichen. 7.) Wenn entsprechende Elemente zweier Parallelreihen gleich oder proportional sind, ist der Wert der Determinante gleich Null. 8.) Unter der dem Elemente aik adjungierten Unterdeterminante Aik versteht man die mit dem Vorzeichen (— l ) i + i versehene Determinante (n — l) t e n Grades, welche entsteht, wenn man in der gegebenen Determinante die i4® Zeile und die fcte Spalte streicht. 9.) Dn = alkAlk + a2kA2k H f- ankAnk = «¿1 Aa + a»2 Ai2 + 1- ain Ain. 2

H i n g l e b , Mathematische Formelsammlung

18

§9

Arithmetik und Kombinatorik

Beispiel: «u a 12 a 13 a u «21 «22 «23 «24 = a,

«22 «23 «24

J

«12 «13 «14

«32 «33 «34

«31 «32 «33 «34

«21

«32 «33 «34

«da «da

«42 «43 «44 I

«41 «42 «43 «44

«12 «13 «14

«12 «13 «14 +

«22 «23 «24

«3:

—

«41

«22 «23 «24

«43 «44 i «32 «33 «34 10.) Wenn alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit demselben Faktor multipliziert werden, so wird die Determinante mit diesem Faktor multipliziert; z. B. «42

ka^ «12 • • «In ha- «22 . . «2n

=

fc

«11 «12 • . a\n «21 «22 • • «2n

«n 2 • • «nn «nl «n2 • • «nn ll.) Jedes Element einer Reihe sei eine Summe von zwei Größen. Dann ist die Determinante in die Summe zweier Determinanten zerlegbar; z. B. «11 «12 • • «11 + «11 «12 •• • «ln| « 2 1 + «21 «22 . . . «2n' _ «21 «22 • •

a.n a-ln

+

«11 «12 • • «1» «21 «22 • • «2n

«nl «n2 • • «n» «nl «n2 •. . «nn «nl + «nl «n2- • «nn 12.) Der Wert einer Determinante bleibt ungeändert, wenn man zu den Elementen einer Reihe die mit einer beliebigen Zahl multiplizierten entsprechenden Elemente einer parallelen Reihe addiert; z. B. «11 «12 • • «In «21 «22 • • «2n «nl «n2 • . «nn

=

«11 + ¿«In «12- • «In «21 + fc«2n «22 • . «2n «nl + & «nn «n2 • • «nn

13.) Das Produkt der beiden Determinanten n teD Grades A»=|«iil. ist gleich jeder der vier Determinanten n ten Grades

§9

19

Determinanten

^n — i ^ik I » wobei

I.) c i k = a u b a + a i 2

1- a m b k n

-]

der Zeilen von Dn m i t den Zeilen von ¿l n ), I I . ) ^ — a^lki + «21 ¿*2 + • — h a-mbim ( K o m p o s i t i o n der S p a l t e n von Z)„mit den Zeilen von /In),

(Komposition

III.) c i k = a a b , t + «¿2 ¿2* + • — ( - a i n l n k (Komposition

der Zeilen von D n m i t den von /Jn),

IV.) e i k = a x i l i t + «2i^2-fc H

b a>niKk

( K o m p o s i t i o n der S p a l t e n von Dn m i t den von z/„). Beispiel: a u a 12

6n vii

«21 «22

¿21 ¿22

v12

Spalten

a'11n "11 b u '+ «12 &12 «ii + «12 ¿:'22 >21 ¿21 + «'22 ¿22 «21 h l + «22 J 12 «11 ¿11 + «12 ¿ 1 1 + dll ll1 W VII + 11 "1" a„, „ •+ *21 ¿ ¿11 + lll ¿11 '

«21 ¿12 «22 ¿12 a,„ ¿„ "12 "21 «22 ¿21 ¿» (t2l 021

einer

«11 «12 • • «1 n «21 «22 ' " " «2il «nl «n2 ' ' «nn

«11 ¿21 + «21 ¿22 »22 ¿22 «12 ¿21 + «i «»11 U ¿12 + «12 ¿22 «21 ¿12 + «i «22 ¿22 «]

11

¿12 + «21 ¿22

¿12 "I" «22 ¿22 D e t e r m i n a n t e : Es ist

«12 ¿11 "f" «22 ¿21

14.) R ä n d e r n

Spalten

dn '12

«11 «12- • • «1» «1 «21 «22 ' ' • «2M «2 «nl «n2 ' «nn 0 0 •• •0 1

Durch gleichartige Hinzufügung weiterer Zeilen und Spalten kann eine Determinante w'en Grades in eine Determinante m ten Grades ( m >/i) verwandelt werden. 2*

20

Arithmetik und Kombinatorik

§10

15.) Wenn alle Elemente einer Determinante (n -f- r)ten Grades verschwinden, welche n Spalten mit r Zeilen gemeinsam haben, so läßt sie sich in das Produkt zweier Determinanten zerlegen, von denen die eine den Grad n, die andere den Grad r hat: a il ai2 • • «in „ soll eines eintreten, so daß w1 + w2 + • • • + wn = 1. Bringt der Eintritt des Ereignisses Ek (& = 1, 2 , . . . , n) den Gewinn ak, der auch Null oder negativ (Verlust) sein kann, so heißt e = a ^ + a2w2

h anwn

der m a t h e m a t i s c h e E r w a r t u n g s w e r t . Es ist e der Wert, dem der durchschnittliche Gewinn mit wachsender Zahl der Spiele bei gleichen Bedingungen zustrebt. 8.) E i n i g e B e g r i f f e der F e h l e r r e c h n u n g u n d m a thematischen Statistik: Die Größen x1 < as2 < • • • < xr mögen bzw. pv p2,..., pT mal als Messungsergebnisse gewonnen sein (Beobachtungsreihe, statistische Reihe, Kollektiv). Es sei px + p2 -f • • • + pT = «. Dann heißt w der Umfang der Reihe, xr — xl die Variationsbreite,

§ 11

Begriff der algebraischen Gleichung

23

1 ' 1 ' x = — ^ p i x i = x + — ^y7 p j ^ — 5) der Mittelwert, woi=l t=l bei x ein durch Schätzung gewonnener provisorischer Mittelwert ist, — (x— xf t=l der mittlere Fehler, die Streuung, mittlere quadratische Abweichung '

i=l

'

oder Standardabweichung, f = -yz der mittlere Fehler des Mitteler V» wertes, f = " 7 = der mittlere Fehler der Streuung. y ¿m Der wahrscheinliche Fehler wird in beiden Fällen gleich dem mit 0,674 multiplizierten mittleren Fehler gesetzt. Als normale Verteilung einer Varianten x bezeichnet man eine Verteilung, deren Häufigkeit durch

««-öb

gegeben ist, wobei x0 der Mittelwert von x ist und die Gesamthäufigkeit gleich 1 gewählt ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Beobachtungsfehler bis zum Betrage | v | auftritt, ist +M 0(hv) = -= f e-h'»'ds, fk J 1 - |81 wobei h = — — das Genauigkeitsmaß der Beobachtungsreihe bezeichnet (vgl. § 102,5). II. A b s c h n i t t

Algebra § 11. Begriff der algebraischen Gleichung 1.) Unter einer a l g e b r a i s c h e n Gleichung n-ten G r a d e s (wSi 1, ganz) mit der U n b e k a n n t e n x versteht man eine Gleichung von der Form A ^ + A ^ - i + Atxn~^ + • • • + An_lX+ A„ = 0.

Algebra

24

§12

Die bekannten Größen A^, A l t A n heißen die K o e f f i z i e n t e n der Gleichung ( ^ 4 = 0 ) . Eine solche Gleichung lösen, heißt alle x bestimmen, welche, in die Gleichung eingesetzt, dieselbe befriedigen. Diese Werte von x heißen W u r z e l n . Unter einer a l g e b r a i s c h e n Zahl versteht man eine reelle oder komplexe Zahl, welche einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten genügt. Genügt eine Zahl einer Gleichung mit algebraischen Koeffizienten, so genügt sie auch einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Genügt eine Zahl keiner derartigen Gleichung, so heißt sie t r a n s z e n d e n t . 2.) Unter einer a l g e b r a i s c h e n G l e i c h u n g mit den m Unbekannten a^,..., xm versteht man eine Gleichung G(x1, x2,..., xm) = 0, wo G(x1, x2 xm) eine Summe von Gliedern der Form ,r

e^l X2X3 ' ' • Xm

ist. Es sind die A Xt ß Ti._ i e (die Koeffizienten) beliebige, die x,ß,y,...,Q dagegen positive ganze Zahlen, die auch teilweise oder sämtlich Null sein können. Der größte Wert, den « -[r ß + y + • • • + Q in der Gleichung annimmt, ist der G r a d der Gleichung. Den Ausdruck G(x1, x2,..., xm) nennt man auch ein P o l y n o m oder eine ganze rationale Funktion von xv x2,..., xm. Ein System von Gleichungen mit m Unbekannten lösen, heißt alle Wertesysteme x1,x2,...,xm be timmen, welche die Gleichungen gleichzeitig befriedigen. Im f o l g e n d e n werden die K o e f f i z i e n t e n s t e t s reell v o r a u s g e s e t z t . § 12. Gleichungen ersten Grades. Matrizen 1.) Die G l e i c h u n g e r s t e n G r a d e s mit einer Unbekannten x lautet ax -f- b = 0, a i- 0. T t Ihre Lösung ist x— . /I

§12

Gleichungen ersten Grades

25

2.) Das S y s t e m der w G l e i c h u n g e n e r s t e n G r a d e s "ll^l "f" ®12®2 ' ' ' ~f~ ®ln%n = a (g) 21 a l + a22 ^ H M2nZn= = — 1 d. Lösungen xx = cos 60° + i sin 60° =

+ ^ j/3 = — ß, ¿1

u

3>2 = — 1. x3 = cos 60°—i sin 60° = — in | n \ Va\ - V+l, I n_I n z = | Ka | • K— 1,

5.) z" = a liefert x= xn = — a „ n

wobei (8. § 5).

1- j/§ = — 0,

1

die reelle positive n*e Wurzel aus a bedeutet

Insbesondere ist für die reine kubische Gleichung x3 = a: Xj = | ya \ ,

x3 = — a: xt = — | ya |,

x2 = cx|)/a|, 13 1

x2 = — 0. i y + tg 9> = — n

. 71

- 2 « P < J >

3/ i'

= 71

31

- 4 < ¥ >
/' 2/3 = ^

^ctg

- sin 2y>

b) p < 0. J/_ sin 9p = +

'- ,

71 - T 8*

<
a. bn ist der größte gemeinsame Teiler. Die Zahlen a und b sind t e i l e r f r e m d ( r e l a t i v p r i m ) , falls sich bn — 1 ergibt. Eine von 1 verschiedene positive ganze Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, heißt P r i m z a h l . Es gibt unendlich viele Primzahlen. 2.) Dann und nur dann, wenn der größte gemeinsame Teiler von a2,..., an in k aufgeht, ist die Gleichung a1x

1

+

a2x2+

\-anx„ = k

in ganzen Zahlen xv . . x H lösbar. Speziell ist + Vi + Vi H \-ün = Sy, eine a r i t h m e t i s c h e Reihe r t e r Ordnung. 2.) Es gilt Vn = y0 + (") A y0 + Q Setzt man n =

A*y0 + ( j ) ^ .

^ X° (n = 1,2, ..., r), so werden durch diese

Formel den Werten xn = x 0 + n ä die Werte y„ zugeordnet. Für variable x und y anstelle von x„, yn ergibt sich dann die ganze rationale Funktion r-ter Ordnung, welche an den r Stellen xn die Werte yn annimmt und deren Koeffizienten sich somit aus den j/0-Differenzen berechnen lassen (vgl. Newton'sche Interpolationsformel § 86).

§ 28

Arithmetische Reihen höherer Ordnung

57

3.) Die S u m m e der Glieder v o n y0 bis zum Glied y„ (einschließlich) ist:

«.-CtVftWCiV»

4.) I 2 + 2 2 + 32 -\

[- n2 =

l 3 + 2 3 + 33 -\

(2 n + 1) (» + 1) • «,

1- n 3 = ^ (w + l ) 2

n2.

Bezeichnet man allgemein mit Sn 1 die Summe der fcten Potenzen der Zahlen von 1 bis n, also 1* + 2* + 3* H

+ »k =

S(nk),

für gerades k. Für ungerades k ist das Glied mit (^j streichen. Die Größen Bv B2, Bv... Zahlen*) und haben folgende Werte 1 1 1

heißen

zu

Bemoullische

CO* II

8h

1 B* 30' 42' 3617 691 7 Bs 7 66' B* = 2730' ~ 6' 510 ' Die Bernoullischen Zahlen genügen der Rekursionsformel: 6' 6

(

+

(-!)».1=0.

•) Ihre Definition ist hinsichtlich Numerierung und Vorzeichen in der Literatur nicht einheitlich.

58

Elementare Reihen

§ 28

5 . ) Figurierte Zahlen: a ) Polygonalzahlen: Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, 1 5 , . . . , ( " ) + 1 ( g ) > Viereckszahlen: 1, 4, 9, 16, 25

(l) +

2

(2) =

Fünfeckszahlen: 1 , 5 , 1 2 , 2 2 , 3 5 , . . . , ( " ) + 3 Q

r-eckszahlen:

n*

>

(Fig. 2),

U J + (r — 2 ) \Vj.

Fig. 2 b) Pyramidalzahlen: Dreiseitige: 1, 4 , 1 0 , 20, 35 vierseitige: 1, 5, 14, 30, 5 fünfseitige: 1, 6, 18, 40, 75

r-seitige:

(" +

:

+

+ 5

,

+ (" t

+

+ 1 ) ( F i g . 3),

+ 2 (W + ^ , *) +

(r--:2) (" + * ) .

3

(" t

^ '

§29

Sätze über den Kreis

59

§ 29. Interpolation bei arithmetischen Reihen Sollen bei einer arithmetischen Reihe r-ter Ordnung, deren allgemeines Glied durch die Formel y„ gegeben ist (s. § 28, 2), zwischen je zwei Glieder p weitere Glieder so eingeschaltet werden, daß die neue Reihe wieder eine Reihe r-ter Ordnung ist, so geschieht dies, indem man in dem Ausdruck für das allgemeine Glied für n der Reihe nach 1 p + i'

2 +1'

3 p + i'

p v + v P 2 1 n 1+ r-r> 2 +• p + 1' p + 1 setzt. Die Schlußdifferenz der neuen Reihe ist

1 p + i'

(p + l) Häufig ist es zweckmäßig, nur so viel Glieder der neuen Reihe zu berechnen, daß sich daraus die Anfänge der Differenzenreihen ergeben, und dann die Reihe von der Schlußdifferenz aus weiter zu berechnen. (Weiteres über Interpolation s. § 86, 4.) V. A b s c h n i t t

Ebene Geometrie § 30. Sätze über den Kreis 1.) Ein P e r i p h e r i e w i n k e l (Umfangswinkel) ist die Hälfte des Z e n t r i w i n k e l s (Mittelpunktswinkel) über demselben Bogen. Alle Peripheriewinkel über demselben Bogen sind einander gleich (Fig. 4). 2.) Jeder S e h n e n t a n g e n t e n w i n k e l ist gleich dem Peripheriewinkel auf dem vom Sehnentangentenwinkel nicht eingeschlossenen Bogen (Fig. 4): ß=ß'.

60

§30

Ebene Geometrie

Jeder UmfangswLnkel über einem Durchmesser ist gleich 90° (Satz des Thaies). Der geometrische Ort für die Spitzen aller Dreiecke auf derselben Seite der gemeinsamen Grundlinie c mit demselben Winkel y an der Spitze ist der Kreisbogen mit der Sehne c und dem auf der anderen Seite von c gelegenen Sehnentangentenwinkel y. 3.) Im S e h n e n v i e r e c k ist die Summe zweier gegenüberliegender Winkel gleich der Summe der zwei anderen, also gleich 2R und umgekehrt. Vgl. § 33,4. 4.) Im T a n g e n t e n v i e r e c k ist die Summe zweier gegenüberliegender Seiten gleich der Summe der zwei anderen und umgekehrt. § 81. Proportionalität von Strecken.

Ähnlichkeit

1.) Werden die Schenkel eines Winkels oder zweier Scheitelwinkel von zwei Parallelen geschnitten, so sind die Abschnitte auf dem einen Schenkel proportional den entsprechenden auf dem anderen und umgekehrt. Die Parallelen verhalten sich wie die zugehörigen Scheitelabschnitte desselben Schenkels. 2.) Die Halbierungslinie eines Winkels im Dreieck teilt

§ 31

Proportionalität von Strecken.

Ähnlichkeit

61

die Gegenseite innerlich im Verhältnis der Anseiten. Die Halbierungslinie des Außenwinkels teilt sie äußerlich in demselben Verhältnis und umgekehrt (Fig. 5):