Mathematische Formelsammlung [6., erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111588582, 9783111214962

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SAMMLUNG

GÖSCHEN

BAND

51/51a

MATHEMATISCHE FORMELSAMMLUNG von

D R . H A B I L . F. R I N G L E B Vollständig umgearbeitete Neuausgabe des Werkes von O. Th. Bürklen Mit 37 Figuren Sechste, e r w e i t e r t e Auflage

WALTER DE GRUYTER

& CO.

v o r m a l s G. J Göschen T sche V e r l a g s h a n d l i m g . J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h handlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

B E R L I N 1956

Alle Rechte, einschl. der Reohte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten

© Copyright 1956 by WALTER DE GRUYTER & CO. Berlin W 35, Centhiner Str. 13

Archiv-Nr. 110051 Druck von Paul Funk, Berlin W 35 Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis I. Abschnitt: Arithmetik und Kombinatorik § l. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

Seite

Reelle Zahlen Proportionen Potenzen mit ganzen Exponenten Binomialkoefflzienten und Binome mit positiven ganzzahligen Exponenten Wurzeln und Potenzen mit gebrochenen Exponenten Imaginäre und komplexe Zahlen Logarithmen Kombinatorik Determinanten Wahrscheinlichkeitsrechnung

6 6 8 8 10 11 12 14 16 20

II. Abschnitt: Algebra ? 11. § 12. § 13. § § § § §

14. 15. 16. 17. 18.

Begriff der algebraischen Gleichung Gleichungen ersten Grades Gleichungen zweiten Grades und Gleichungen, welche auf solche zurückführbar sind Binomische Gleichungen Kubische Gleichungen Biquadratische Gleichungen Aligemeine Sätze über Gleichungen n-ten Grades Höhere numerische Gleichungen und Näherungsmethoden . . .

23 24 26 27 28 30 31 36

III. Abschnitt: Zahlentheorie § § § § § §

19. 20. 21. 22. 23. 24.

Teilbarkeit der ganzen Zahlen Kongruenz der Zahlen Restsysteme und Eulerache Funktion Diophantische Gleichungen ersten Grades Sätze von Fermat und Wilson. Indizes Quadratische Reste

40 41 42 43 45 46

IV. Abschnitt: Elementare Reihen § § § § §

25. 26. 27. 28. 29.

Arithmetische Reihen erster Ordnung Geometrische Reiheil Zinseszins- und Rentenrechnung Arithmetische Reihen höherer Ordnung Interpolation bei arithmetischen Reihen

47 48 49 50 53

V. Abschnitt: Ebene Geometrie § § § § § §

30. Sätze über den Kreis 31. Proportionalität von Strecken. Ähnlichkeit 32* Pythagoreische Sätze * 33. Längen- und Flächenberechnungen 34. Besondere Linien und Punkte a m Breieck 35. Gerichtete Strecken und Winkel. Verhältnis und Doppel» Verhältnis 1*

53 54 58 58 64 65

4

Inhaltsverzeichnis § § § §

36. 37. 38. 39.

Harmonische Teilung Kreispolaren Sätze von Ceva, Menelaos, Pascal, Brianchon Ähnlichkeitspunkte und Potenzlinien (Chordalen)

Seite 68 71 72 73

VI. Abschnitt: Stereometrie § § § §

40. 41. 42. 43.

Windschiefe Geraden Sätze über das Dreikant und das sphärische Dreieck Allgemeine Sätze über Polyeder Sätze und Formeln zur Berechnung von Körpern

74 75 77 78

VII. Abschnitt: Ebene Trigonometrie I. G o n i o m e t r i e Die trigonometrischen Funktionen einlacher Winkel Funktionen zusammengesetzter Winkel II. D r e i e c k u n d V i e l e c k § 46. Formeln für dag schiefwinklige Dreieck { 47. Beispiele für Berechnungen § 48. Anwendungen § 44. § 45.

82 85 87 89 92

VIII. Abschnitt: Sphärische Trigonometrie § 49. § 50.

Das rechtwinklige sphärische Dreieck Das schiefwinklige sphärische Dreieck

93 95

IX. Abschnitt: Mathematische Geographie und Astronomie § 51. § 52. § 53. § 54. § § § § § §

55. 56. 57. 58. 59. 60.

Die Erde Ausgezeichnete Linien und Punkte der scheinbaren Himmelskugel Koordinatensysteme Umrechnung der verschiedenen Koordinatensysteme ineinander Die Zeit Aufgang und Untergang der Gestirne Die Parallaxe Weltsysteme Planeten, Sonne und Mond Die Sternbilder des Tierkreises

100 102 103 105 108 108 108 109 109 110

X. Abschnitt: Analytische Geometrie der Ebene § § § § § §

61. 62. 63. 64. 65. 66.

§ § § § § §

67. 68. 69. 70. 71. 72.

I. P u n k t u n d G e r a d e Punktkoordinaten und deren Transformation Allgemeine Sätze über Gleichungen zwischen Punktkoordinaten Größenbeziehungen in Punktkoordinaten Die Gleichung der Geraden Linienkoordinaten und die Gleichung des Punktes Strahlenbüschel und Punktreihe IL Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Der Kreis Formeln für die Parabel Formeln für Ellipse und Hyperbel Konfokale Kegelschnitte Allgemeine Sätze über Kegelschnitte

110 113 114 115 120 123 126 130 132 133 135 137

Inhaltsverzeichnis § 73. § 74. § 75.

Sätze über die Parabel Sätze über Ellipse und Hyperbel Konstruktion der Kegelschnitte

5 Seite 138 139 140

XI. Abschnitt: Analytische Geometrie des Baumes und Vektorrechnung § 76. § 77. Ü 78. § 79. S 80. § 81. § 82. § 83. 5 84. 8 85.

I. P u n k t , E b e n e und Gerade Punktkoordinaten und Vektoren Allgemeine Sätze Größenbeziehungen Koordinatentransformation Die Ebene t Ebenenkoordinaten'und die Gleichung des Punktes Die Gerade II. F l ä c h e n z w e i t e r O r d n u n g Die allgemeine Gleichung zweiten Grades Allgemeine Sätze Die einzelnen Flächen zweiter Ordnung

142 146 147 151 152 157 160 164 168 169

XII. Abschnitt: Differentialrechnung § 86. § 87. § 88. §,89. § 90. § 91. l 92. § 93. § 94. § 95. § 96. § 97. § 98. § 99.

Funktionen Limesrechnung Stetigkeit Differentialquotient und Differentiation Spezielle Formeln Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen . . . Mittelwertsätze Konvergenz unendlicher Reihen Potenzreilien und Iteihen von Funktionen Die Taylorsche und die Mac Laurinsciie Reihe Spezielle Reihen Mittelwertsatz und Taylorstshe Keihe für Funktionen von zwei Veränderlichen Werte unbestimmter Ausdrücke Maxima und Minima

174 178 180 181 184 185 190 190 193 194 195 199 200 202

XIII. Abschnitt: Integralrechnung S § § |

100. Begriff des 101. Allgemeine 102. Bestimmte 103. Komplexes

unbestimmten Integrals. Grundformeln Formeln. Integrationsmethoden Integrale Integral. Funktionentheorie

204 205 211 221

XIV. Abschnitt: Differentialgeometrie § 104. § 105. § 106.

Ebene Kurven Raumkurven (doppelt gekrümmte Kurven) Krumme Flächen

227 238 246

XV. Abschnitt: Differentialgleichungen § 107. § 108 § 109.

Allgemeines 259 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung 260 Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von simultanen Differentialgleichungen 265 § 110. Partielle Differentialgleichungen 270 Verzeichnis der wichtigsten Begriffe 273

I. A b s c h n i t t

Arithmetik und Kombinatorik § 1. Reelle Zahlen 1.) Zu der Gesamtheit der reellen Zahlen rechnet man I.) die rationalen-Zahlen, d. s. die positiven und negativen ganzen Zahlen, die Brüche, gebildet aus solchen Zahlen, und die Null, II.) alle Zahlen, welche sich auf die Form eines Dezimalbruchs mit unbegrenzter Stellenzahl bringen lassen und nicht zu den vorigen gehören. Das sind die i r r a t i o n a l e n Zahlen (s. § 11). Der absolute B e t r a g einer reellen Zahl x ist ihr (positiver) Wert ohne Rücksicht auf das Vorzeichen. Er wird mit | x | bezeichnet. Der absolute Betrag der Null ist 0. 2.) Für die absoluten Beträge von zwei reellen Zahlen x1 und x2 gelten die Formeln: K I

+ -

I ^ K I + I I ^ | | | -

I. I + X2 | | | X1 | - | X2 | |, | X2 \ |, | Xx - X2 | fS | Xx | + | X2 |,

§ 2. Proportionen 1.) Es besteht die Proportion a: b = e: d (in "Worten: a c a verhält sich zu b, wie e zu d), wenn die Gleichung — = — erfüllt ist. a und d heißen Außenglieder, b und c Innenglieder der Proportion. 2.) Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. 3.) In einer Proportion darf man die Innenglieder unter L)

Division durch Null wild s t e t s ausgeschlossen.

Proportionen

7

sich, die Außenglieder unter sich und die Innenglieder mit den Außengliedern vertauschen. 4.) Multiplikation und Division zweier Glieder mit einer Zahl

am : Im = c : d, (a : m): (b : m) = e : d, am :b = cm : d, (a :m) :b= (c :m) :d.

m:

5.) Korrespondierende Addition und S u b t r a k tion: a : (a + b) = c : (c + d), b : (a + b) = d : (c + d), a : (a — b)= c : (e — d), b : (a — 6) = d : (c — d), (a + b):(a-b)=(c + d):(cd). 6.) ( m a 4- nb) : (mc + nd) — (pa + ?&): (Ve + 7.) a : = b : b± = c = {ma + nb + pc + • • ) : (ma1 + nb1 + pc1-\ ). 8.) Aus a :b= c :d und a1:b1= ci: d1 folgt: ( a a i ) : Q>\)= ( « i ) : (ßdi), (a : : (b : bx) = (c : cj : (d : dj. 9.) S t e t i g e Proportion: a :b=b :c. 10.) Harmonische Proportion: (a — b) : (c — d) = a : d. 11.) S t e t i g e harmonische Proportion: (a — b):(b— d) = a :d. 12.) Von fi positiven Größen x^ x2>..xn ist: a) das a r i t h m e t i s c h e Mittel x = -1 b) das g e o m e t r i s c h e Mittel x= c) das harmonischeMittel x= 13.) Satz von Cauchy: n

'

' ' "I~

^

l/x1 ' XQ , • , I Xfi ) 1: + -- -j )l X^ X2

h -)• JJJ

'

£_ _I Xii * 2Xtt > • • • Xn

n\x1 x2 jn / Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn xl = x2 = • • • = x„ ist.

8

Arithmetik und Kombinatorik § 8. Potenzen mit ganzen Exponenten 1.) Ist m eine positive ganze Zahl, so gilt

am = a • a...

a (m Faktoren), a~m =

a°= 1 (für a=f=0). ei a heißt Basis, m bzw. — m Exponent, am bzw.a~m Potenz. 2.) Für pos tive und negative m und r ist am-ar—am+\ am :aT= am~r, m m (a (a-b)m=a»>-bm, ^-J \ = a (am)'=a™.

g 4. Binomialkoefflzlenten und Binome mit positiven ganzzahligen Exponenten

1.) Unter r\ („r F a k u l t ä t " ) , wobei r eine ganze positive Zahl ist, versteht man das Produkt r! = 1 • 2 • 3 r. Ferner setzt man 0! = 1.

2.) Ist r eine positive ganze und n eine beliebige Zahl, so heißt der Bruch n(n - 1)(m - 2 ) . . . (w - r + 1) r1 (gelesen ,,n über r " ) B i n o m i n a l k o e f f i z i e n t . Man setzt o/

=

1

-

Für positive ganze n gelten die Formeln: 3.)

= 0, wenn r >n\

Vn ' i

-

nl

4.)

W) = 1 r /

n )= —-, wenn r*) in den Entwicklungen 9.) ergeben sich aus folgendem Schema, wobei jede Zahl im Inneren des Schemas gleich der Summe der beiden rechts und links über ihr stehenden Zahlen ist (Pascalsches Dreieck): 1 1

1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

Arithmetik und Kombinatorik

10

11.) Eine häufig gebrauchte I d e n t i t ä t ist: («A — a2hif + (Va — Vi)2 + ( \f « _ Tim VaT = vl'aJ , Var= |'a™ , if n!• / r _ — n_ n - 11»/w / f Vor = l a-- , \Va=Va=\Va, v " aVb = Vanb, wobei a > 0 sei, wenn n gerade ist. Rationalmachen der Nenner von ßrüchen:

_ z _ z Va

z

1 7 T — ' _ _ ztf/a ^F ) 8

_ al^g'

n s Va«—i

z =

z

— ' 3 3 _ g(|/q»T

— b)(a — Vb\

3 |/&8)

Imaginäre und komplexe Zahlen

J1

3.) n und r seien positive oder negative ganze Zahlen, und es sei a r positiv, wenn n gerade ist. D a n n setzt n_ * 1 man an= Var. a i s t die G r u n d z a h l ( B a s i s ) der P o t e n z an .

mit dem im

allgemeinen g e b r o c h e n e n

Exponenten

f

-

(vgl. § 6). 4.) F ü r positive und negative ganzzahlige r, n, p, q gelten die Formeln: r a"

p • ai

r =

d

a"1

r

i ,

a

p

n

r

p

an

: a i =

,

r

a" • J» ,

''

(a • 6)» =

( a \ -

J« = -

a»

,

n

b

-"W

an

§ 6.

=

an

V

t .

I m a g i n ä r e und komplexe Zahlen

1.) Die i m a g i n ä r e E i n h e i t i ist definiert durch die Gleichung t 2 = — 1. Sind a und b beliebige reelle Zahlen, s o heißt ib eine i m a g i n ä r e , z — a - \ - i b eine k o m p l e x e und z=a — ib die zu z k o n j u g i e r t k o m p l e x e Z a h l . a heißt reeller Teil von z, in Zeichen a = 9ft(s), und b imaginärer Teil von z, in Zeichen b = 2.)

¿4n+l

» = i, i« = — 1, t 3 = — t, i« = = ¿4n+2 = — 1, i'4"+3 = _

3.) I s t 2j = « j + ib1 und z 2 = a 2 + falls a x = a 2 und \ = b2 ist. Aus z= a= 0 , 6 = 0 . 4.)

z z

1 1

± z -z

2

2

=

=

(«! (aja

± 2

—

a2) + K h )

i { \ ± +

i(

a

+ 1,

+

+ 1.

so ist zy = 2.2, a-\- ib = 0 folgt

ib2,

b2), i \

=

a

A ) >

12

Arithmetik und Kombinatorik

Zj _ «i0-2 + hh

. a 2 i j — Äjia

5.) (a + ib) (a - ib) = a 2 + b\ 6.) Setzt man a=r cos !)• II. K o m b i n a t i o n e n 5.) Die K o m b i n a t i o n e n aus n Elementen zur r , e n Klasse sind die Anordnungen, die sich aus je r der n Elemente bilden lassen, wobei aber die Keihenfolge der Elemente außer Betracht bleibt. Die Kombinationen der vier Elemente ab cd zur 2. Klasse sind ohne Wiederholung: ab, ae, ad, be, bd, cd, mit Wiederholung: aa, ab, ac, ad, bb, b c, bd, cc, cd, dd.

6.) Die Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur r , c " Klasse ohne bzw. mit Wiederholung ist:

III. V a r i a t i o n e n 7.) Die V a r i a t i o n e n von n Elementen zur r t e n Klasse entstehen durch Permutation der Elemente aller Kombinationen von n Elementen zur r t e Klasse. Die Variationen der vier Elemente ohne Wiederholung mit aa ab ac ad ba b c bd ba c a cb cd ca da db de da

ab cd zur 2. Klasse sind: Wiederholung ab ac ad bb bc bd cb cc cd db de d
>

•>

x3= + 1 „

„

x

x

s

= f f l = cos ~

hat

2Ä + 1

— n,

n

+ ¿ sin ^

= ± 1.

2k i/~i +1 , • • n 2 = y — l = c o s — g — j t + t s m — - — j i = z |-t,

«i=l, x 2 = cos 120®+i sin 120» = — - i + - i ) / 3 = «, x3 = cos 120»— i sin 120° = — \ — - 1 j/3 = ß. u U

«® = — 1 ..

..

« i = cos 60»+¿sin 60»=

¿t

+

¿t

— ß,

«2 = — 1, x 3 = cos 60°— ¿sin 6 0 ° = i — ± |/3 = — a . u ¿i n n 5.) x = a liefert x=\Va • V+l, a > 0, n I xn = — a ,, x=\Va wobei die reelle positive wte Wurzel aus a bedeutet (s. § 1 und § 5). Insbesondere ist für die reine kubische Gleichung z3 = a: x1 = | Yä \ , zs = a | j / o | , I 3 I '• ß \ Va\'

= —

xx = — | )/ä |, x2 = — a|j/ffl!, I3 I x3 = — ß \ f a \ .

§ 15. Kubische Gleichungen 1.) Die allgemeine k u b i s c h e G l e i c h u n g z 3 + aa;2 + & a ; + c = 0

Kubische Gleichungen

29

a wird durch die Transformation x = y — - auf die reduzierte 3 Form y3 + 3py + 2q = 0 a2 2 a3 ab gebracht, wobei 3p = — + ö, 2q = o _ — Q + c ist. o ¿7 o 2.) C a r d a m ' s c h e F o r m e l n : werden unter

Ist ga + p 3 5 i 0 ,

und

«=1/— q + IV + P3. »= 1 —?—kV + P8 die reellen Wurzeln verstanden, so sind die Lösungen der reduzierten Gleichung: y1=u + v,

,

u

2/2=

+ " , *i/ö \ 2~ + 2 M.+ O i./r, — 2 ^s ( « - » ) .

3.) T r i g o n o m e t r i s c h e L ö s u n g e n : (p 4= 0, q =(= 0) I.) g2 + p 3 ^ 0 . a) p > 0. 3 / — I'

,

2/3= M

ct

n

g2v

t K3 sin

/'

Algebra

30 b) p < 0. siri 95 =

K— V3 + ,

71 - J « P