Mathematik für Ingenieure mit Maple: Band 2: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis [2 ed.] 978-3-540-42040-8, 978-3-642-56737-7

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Springer-Lehrbuch

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Thomas Westermann

Mathematik fur Ingenieure mit Maple Band 2: Differential- und Integralrechnung fUr Funktionen mehrerer Variablen, gewohnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis 2., neu bearbeitete Auflage

Mit 167 Abbildungen, zahlreichen Skizzen und Aufgaben mit Losungen

Springer

Professor Dr. Thomas Westermann Fachbereich Naturwissenschaften Fachhochschule Karlsruhe - Hochschule fur Technik Postfach 24 40 76012 Karlsruhe E-mail: [email protected]

ISBN 978-3-540-42040-8 ISBN 978-3-642-56737-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-642-56737-7 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Mathematik flir Ingenieure mit Maple/Thomas Westermann. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer (Springer-Lehrbuch) Bd. 2. Differential- und Integralrechnung fur Funktionen mehrerer Variablen, gewohnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis. - 2. neu bearb. Aufl. - 2001

Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com. ISBN 3-540-42040-1 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der BundesrepubJik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. http://www.springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 200 1 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in dies em Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnungnicht zu der Annahme, daB so1che Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und dahervonjedermann benutzt werden durften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Einband: design & production, Heidelberg GedrucktaufsaurefreiemPapier

SPIN: 10833251

07/3020ra - 5 43 210

Vorwort zur 2. Auflage FUr diese 2. Auflage wurden mehrere MAPLE-Ausarbeitungen erganzt, Visualisierungen neu erstellt und samtliche MAPLE-Beschreibungen an MAPLE6 bzw. MAPLE7 angepaBt. Textverbesserungen wurden vorgenommen und Druckfehler beseitigt. Der Grundidee folgend, mathematische Begriffe zu visualisieren, urn sie greifbarer zu machen, und den interaktiven Gebrauch des Buches zu fOrdern, wurde die CD-ROM vollig neu und benutzerfreundlicher gestaltet. Urn zukUnftig mit neuen MAPLE-Versionen Schritt halten zu konnen, werden Updates der elektronischen Arbeitsblatter (Worksheets) unter http://www.fh-karlsruhe.derweth0002/buecherlband2/start.htm unter der Angabe des PaBwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) abrufbar sein. Ich bedanke mich fUr die positive Resonanz und Aufnahme auch des zweiten Bandes und freue mich weiterhin tiber jeden Verbesserungsvorschlag. Thomas Westermann

Karlsruhe, im Juni 2001

Vorwort Dieses zweibandige Lehr- und Dbungsbuch wendet sich an aIle Studenten der Natur- und technischen Ingenieurwissenschaften an Fachhochschulen. Auch Studenten der technischen Studiengangen an UniversiUuen k1)nnen es wahrend ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Aufbauend auf den ersten Band, der die Grundlagen der Mathematik fUr Ingenieure enthalt, behandelt dieser zweite Band fortgeschrittene Themengebiete wie die mehrdimensionale Analysis, die gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen sowie die Laplace- und Fourieranalyse. Diese Inhalte sowie deren rechnerische Umsetzung stellen heutzutage unverzichtbare Standardmethoden fUr Ingenieure dar. Die Themengebiete sind wieder so aufbereitet, daB Studenten sie auch im Selbststudium leicht bearbeiten konnen. 1m zweiten Band sind mehr als 270 Beispiele ausfiihrlich durchgerechnet und zusatzlich 200 Aufgaben mit Losungen angegeben. Wichtige Formeln und LehrslUze werden deutlich hervorgehoben, urn die Lesbarkeit des Buches zu erhohen. Mehr als 360 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehrbuchcharakter Rechnung. Wieder wird das Computeralgebrasystem MAPLE benutzt, urn wichtige Begriffe und Zusammenhange zu visualisieren und komplizierte Beispiele zu vereinfachen. MAPLE wird aber nicht vorausgesetzt.

vi

Ein besonderes Anliegen des Autors war auch in diesem Band, durch anwendungsorientierte Beispiele den Bezug zu den Ingenieurwissenschaften herzustellen, urn so den Zugang zu den mathematischen Themen zu erleichtern sowie die Relevanz der Inhalte zu demonstrieren. Viele der Anwendungsbeispiele gehen auf Vorschl!ige meines gesch!itzten Kollegen Prof. Dr. R. KeBler zurUck, bei dem ich mich an dieser Stelle ausdrucklich bedanken mochte. Urn den st!lndig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlosungen zu berUcksichtigen, wurden fUr alle Kapitel rechnerische Losungsmethoden und Algorithmen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Auf Beweise wurde fast g!inzlich verzichtet. Obwohl die unterschiedlichen Stadien der Manuskripte oftmals Korrektur gelesen wurden, lassen sich Fehler bei der Abfassung eines umfangreichen Textes nicht vermeiden. Dber Hinweise auf noch vorhandene Fehler ist der Autor dankbar. Aber auch Verbesserungsvorschliige, nUtzliche Hinweise und erfrischende Anregungen besonders von studentischen Kreisen sind sehr erwUnscht und konnen dem Autor z.B. Uber [email protected] oder per Post zugesendet werden. Das vorliegende Buch wurde vollst!lndig in Ib-Tpc unter dem Textverarbeitungsprograrnrn Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die zuverliissige Mithilfe und Mitarbeit vieler bereitwilliger Helfer ware dieser zweite Band in seiner vorliegenden Form nicht moglich gewesen. Die zahlreichen Dbungsaufgaben entstanden unter Mithilfe von Dipl.-Math. c.P. Hugelmann. Besonders bedanken mochte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol fUr die priizise und fehlerfreie Erstellung des Ib-Tpc-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler fUr die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag fUr die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle. Zuletzt mochte ich mich bei meiner Familie bedanken, die nochmals die Vernachliissigung durch die zeitintensive Arbeit an diesem Buch mitgetragen hat.

Karlsruhe, im Februar 1997

Thomas Westermann

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Vorkenntnisse: Der Leser sollte mit den Themen aus Band 1 vertraut sein, insbesondere mit der Differential- und Integralrechnung filr Funktionen mit einer Variablen. Darstellung: Neu eingeftihrte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zuwichtige Formeln und Zumeist in einer Definition fett spezifiziert. ｌ･ｨｲｳｾｴｺＬ＠ sammenfassungen sind durch Urnrahmungen besonders gekennzeichnet. Am Ende eines jeden Kapitels befinden sich Obungsaufgaben, deren Losungen im Anhang angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wurde versucht, jeweils eine anwendungsorientierte Problernstellung voranzustellen und anschlieBend auf die allgemeine mathematische Struktur tiberzugehen. Die Thematik wird dann innerhalb der Mathematik behandelt und anhand von mathematischen Beispielen erlliutert. Neben der Behandlung der Problemstellungen mit MAPLE werden ｡ｵｳｧ･ｫｲｾｦｴｩ＠ Anwendungsbeispiele diskutiert. Algorithmische Aspekte und die rechnerische Urnsetzung erglinzen in eigenstlindigen Abschnitten die Kapitel. Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind ftir den Zugang zu den Themengebieten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Priifungsvorbereitung sollten moglichst die mathematischen Beispiele eigenstlindig bearbeitet werden. Wer dieses Werk als Nachschlagewerk benutzt kann sich an den eingerahmten Definitionen, Slitzen und Zusammenfassungen orientieren. MAPLE: Dieses Buch ist ein Lehrbuch tiber Mathematik und kann ohne Rechner zum Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prtifungsvorbereitung herangezogen werden. Die MAPLE-Animationen stellen aber einen neuen didaktischen Ansatz dar, der zum besseren Verstlindnis der Inhalte beitrligt. AIle MAPLE-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und konnen direkt in MAPLE eingegeben werden. Am Ende der Kapitel steht eine Zusarnmenfassung der benutzten Befehle. CD·ROM: AIle MAPLE-Ausarbeitungen sind auf der CD-ROM als elektronische ａｲ｢･ｩｴｳｬｾ＠ (Worksheets) enthalten, so daB der interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgelinderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, we1che die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zusammenhlinge aufzeigen. Durch eine benutzerfreundliche Menueftihrung solI die interaktive Benutzung der CD-ROM sowohl zum Losen von mathematischen Problemen als auch zum experimentieren mit mathematischen Begriffen gefordert werden (--t vgl. Anhang B).

Inhaltsverzeichnis 1 Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen §1. Differentialrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen . . . . . .. I 1.1 Einfiihrung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 1.3 Partielle Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. l3 1.4 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Gradient und Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Kettenregeln ........................................ 31 l.7 Der Taylorsche Satz ................................. 36 §2. Anwendungen der Differentialrechnung ....................... 43 2.1 Das Differential als lineare Naherung ................... 43 2.2 Fehlerrechnung ..................................... 49 2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen .... 54 2.4 Ausgleichen von MeBfehlern; Regressionsgerade .......... 65 §3. Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen ......... 73 3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale) ...................... 73 3.2 Dreifachintegrale .................................... 86 3.3 Linien- oder Kurvenintegrale ......................... 100 3.4 Oberfiachenintegrale ..................... . .......... 117 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... 124 Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . 129 Kapitel XI: Gewohnliche Differentialgleichungen §l. Differentialgleichungen erster Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.1 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2 Lineare DG 1. Ordnung ............................. l.3 Lineare DG l. Ordnung mit konstanten Koeffizienten ..... 1.4 Nichtlineare DG 1. Ordnung ......................... 1.5 L()sen von DG l. Ordnung mit MAPLE ................ §2. Lineare Differentialgleichungssysteme ....................... 2.1 Einfiihrung ........................................ 2.2 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme ......... 2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren mit MAPLE ............. 2.5 Losen von homogenen LDGS ........................ 2.6 Berechnung spezieller Losungen mit MAPLE ............ §3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung ................ 3.1 Einleitende Beispiele ................................ 3.2 Reduktion einer DG n-terOrdnung auf ein System ....... 3.3 Homogene DG n-ter Ordnung ........................ 3.4 Inhomogene DG n-ter Ordnung ....................... 3.5 Losen von DG n-ter Ordnung mit MAPLE ..............

135 l36 l36 139 149 153 159 163 163 165 170 174 176 189 200 200 202 207 217 230

x

Inhaltsverzeichnis

§4.

Numerische Losung von Anfangswertproblemen 1. Ordnung ..... 4.1 Streckenzugverfahren von Euler ....................... 4.2 Verfahren hoherer Ordnung .................. . ....... 4.3 Quantitativer Vergleich der numerischen Verfahren ....... 4.4 Numerisches Losen von DG 1. Ordnung mit MAPLE ..... Numerisches Losen von DG fUr elektrische Filter ...... . ....... 5.1 Physikalische GesetzmaBigkeiten der Bauelemente ........ 5.2 Aufstellen der DG fUr elektrische Schaltungen ........... 5.3 Aufstellen und Losen der DG fUr Filterschaltungen ....... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Differentialgleichungen ........................

235 235 238 244 248 256 256 257 257 266 268

Kapitel XII: Die Laplace-Transformation §l. Die Laplace-Transformation ........................ . ....... §2. Inverse Laplace-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Die Laplace-Transformation mit MAPLE ............. . ....... §4. Zwei grundlegende Eigenschaften der Laplace-Transformation .... 4.1 Linearitat ................................. . ....... 4.2 Laplace-Transformierte der Ableitung .......... . ....... §5. Transformationssatze ...................... . ...... . ....... 5.1 Verschiebungssatz .......................... . ....... 5.2 Dampfungssatz ............................ . ....... 5.3 Ahnlichkeitssatz ...................... . ............. 5.4 Faltungssatz ....................................... 5.5 Grenzwertsatze .................................... §6. Methoden der RUcktransformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE ......... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zur Laplace-Transformation .......................

273 275 280 282 285 285 287 290 290 293 294 295 298 299 301 312 313

Kapitel XIII: Fourierreihen EinfUhrung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fourierreihen fUr 27r-periodische Funktionen .................. Fourierreihen fUr p-periodische Funktionen ................... Analyse T-periodischer Signale mit MAPLE .................. Fourierreihen fUr komplexwertige Funktionen ................. Zusammenstellung elementarer Fourierreihen .................. Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Fourierreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

316 316 318 321 329 333 341 348 350 350

§5.

§1. §2. §3. §4. §5. §6. §7.

Inhaltsverzeichnis

xi

Kapitel XIV: Fouriertransformation

352

§1.

352 352 357 360 360 361 363 363 365 367 368 375 381 381 383 386 391 391 393 399 403 407 411 411 414 416 416 420 427 433 433 439 444 445

§2.

§3. §4.

§5.

§6.

§7.

§8. §9.

Fouriertransfonnation und Beispiele . .. . . . ..... .. .... . .... ... 1.1 Dbergang von der Fourierreihe zur Fouriertransfonnation . . . 1.2 Inverse Fouriertransfonnation ..... . ................. . . Eigenschaften der Fouriertransfonnation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Syrnrnetrieeigenschaft ..... . ..... .... .. . ....... .. .... 2.3 Skalierungseigenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Verschiebungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Modulationseigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fouriertransfonnation der Ableitung .... . .............. 2.7 Faltungstheorem ..... .. ..... . ...................... Fouriertransformation mit MAPLE . . .. . .... . ..... .. . . .... ... Fouriertransfonnation der Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Deltafunktion und DarstelJung der Deltafunktion ....... . . 4.2 Fouriertransfonnation der Deltafunktion ........ . ..... . . 4.3 Darstellung der Deltafunktion mit MAPLE . ......... . .. . Beschreibung von linearen Systemen . . . . .. . . . . .. .... . .... .. . 5.1 LZK-Systeme . .. ..... . ... . ... .... .. . . . ... .. .. . .. . .. 5.2 Impulsantwort ............. . ......... . .. . .. . .... ... 5.3 Die Systemfunktion (Dbertragungsfunktion) .. . .......... 5.4 Dbertragungsfunktion elektrischer Netzwerke . . .. . ..... . . 5.5 Zusarnrnenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion ... Anwendungsbeispiele mit MAPLE ............... . .. .. ... . . . 6.1 Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems . . . . .... . ..... 6.2 Frequenzanalyse eines Hochpasses ....... . ... . .... .. .. . Diskrete Fouriertransfonnation ............... . ........ . .... 7.1 Herleitung der Formeln der DFT . . .................... 7.2 Inverse diskrete Fouriertransfonnation . . ..... . .. . ... . ... Diskrete Fouriertransfonnation mit MAPLE .. . .... . ... .. . . .. .. Anwendungsbeispiele zur DFT mit MAPLE ................... 9.1 Anwendung der DFf zur Signalanalyse .. . ............. 9.2 Anwendung der DFf zur Systemanalyse .. . ........ . .... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle . .. ...... . .... .. .. . ... Aufgaben zur Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapitel XV: Partielle Differentialgleichungen

450

§1. §2.

450 452 452 453 455 461

Einfuhrung ...... . .... . ... . ...... . .. . ........ . .. . .... .. . Die Wellengleichung ..... .... .. . .. .. .. ... . . . . .. . . . . .. . . .. 2.1 Herleitung der Wellengleichung .... . ....... . .......... 2.2 Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem) . . .... 2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem) ........... 2.4 Visualisierung mit MAPLE .. .........................

xii

InhaItsverzeichnis

§3.

Die Warmeleitungsgleichung ............................... 3.1 Herleitung der Warmeleitungsgleichung ................ 3.2 Losung der Warmeleitungsg1eichung bei Warmeisolation ... 3.3 Losung der Warmeleitungsgleichung bei Warmeisolation ... LOsung des stationaren Falls bei Warmei1bergang ........ 3.4 Die Laplace-Gleichung .................................... 4.1 Herleitungen der Laplace-Gleichung ................... 4.2 LOsung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem) ....... 4.3 Losung der Laplace-Gleichung (Neumann-Problem) ...... 4.4 Die Laplace-G1eichung in Zylinderkoordinaten (r, r.p) ..... Die zweidimensionale Wellengleichung ...................... Die Biegeschwingungsgleichung .................... . ....... 6.1 Herleitung der Biegeschwingungsgleichung ..... . ....... 6.2 Losung der Biegeschwingungsgleichung ........ . ....... 6.3 Einspannbedingung: gelenkig/gelenkig ......... . ....... 6.4 Einspannbedingung: fest/fest ................. . ....... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .............. . ....... Aufgaben zu partiellen DG ........................ . .......

463 463 464 469 471 475 475 478 482 484 487 491 491 492 495 497 501 501

Kapitel XVI: Vektoranalysis und Integralsatze §1. Divergenz und Satz von GauB ...................... . ....... §2. Rotation und Satz von Stokes .............. . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Rechnen mit Differentialoperatoren .................. . ....... §4. Anwendung: Die Maxwellschen Gleichungen ......... . ....... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle .............. . ....... Aufgaben zur Vektoranalysis ....................... . .......

505 506 513 520 526 529 530

Anhang A: Losungen zu den Ubungsaufgaben

533

Anhang B: Die CD-ROM

546

Literaturverzeichnis

551

Index

553

Verzeichnis der MAPLE-Befehle

560

§4.

§5. §6.

Inhalt von Band 1 Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme §1. Mengen §2. Naturliche Zahlen §3. Mathematische Beweismethoden §4. Reelle Zahlen §5. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE §6. Lineare Gleichungssysteme §7. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE Kapitei II: Vektorrechnung §1. Vektoren im ]R2 §2. Vektoren im ]R3 §3. Vektorrechnung mit MAPLE §4. Geraden und Ebenen im ]R3 §5. Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE §6. Vektorraume Kapitel III: Matrizen und Determinanten §1. Matrizen §2. Determinanten §3. Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen Kapitel IV: Elementare Funktionen §1. Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften §2. Polynome §3. Rationale Funktionen §4. Potenz- und Wurzelfunktionen §5. Exponential- und Logarithmusfunktion §6. Trigonometrische Funktionen Kapitei V: Komplexe Zahlen §I. Darstellung komplexer Zahlen §2. Komplexe Rechenoperationen §3. Komplexe Rechnung mit MAPLE §4. Anwendungen §5. Dbertragungsfunktion fUr RCL-Filterschaltungen Kapitel VI: Differential- und Integrairechnung §1. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion §2. Differentialrechnung §3. Integralrechnung

xiv

InhaIt von Band 1

Kapitel VII: Funktionenreihen §1. Zahlenreihen §2. Potenzreihen §3. Taylorreihen §4. Taylorreihen mit MAPLE §5. Anwendungen §6. Komplexwertige Funktionen Kapitel VIII: Numerisches Losen von Gleichungen §1. Intervallhalbierungs-Methode §2. Pegasus-Verfahren §3. Banachsches Iterationsverfahren §4. Newton-Verfahren §5. Regula falsi §6. Bestimmung von Polynom-Nullstellen Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration §1. Numerische Differentiation §2. Numerische Integration

Kapitel X FUnktionen von mehreren Variablen

§1. Differentialrechnung ffir FUnktionen von mehreren Variablen Das Kapitel tiber die Funktionen von mehreren Variablen besteht aus drei Paragraphen. In §1 wird die Differentialrechnung zur Charakterisierung und Beschreibung von Funktionen mit mehreren Variablen behandelt. Die Konstruktion der Ableitung wird dazu verallgemeinert und neue Begriffe wie die partielle Ableitung, die totale Differenzierbarkeit, der Gradient und die Richtungsableitung eingefUhrt. Der Taylorsche Satz liefert den Dbergang zu den Anwendungen in §2, bei denen die Diskussion der Fehlerrechnung, lokale Extremwertbestimmungen und die Ausgleichsrechnung im Vordergrund stehen. In §3 wird der Begriff des bestimmten Integrals auf Doppel-, Dreifach- und Kurvenintegrale sowie auf Oberflll.chenintegrale erweitert. Bei jedem dieser Begriffe wird die Bestimmung des Integralwertes auf die Berechnung eines bestimmten Integrals zuruckgespielt. Anwendungen zur Integration sind z.B. auch in Kap. XVI zu finden.

11 Einfiihrung und Beispiele In Band 1 wurden Funktionen von nur einer Variablen behandelt. Einen Teil der dort eingeftihrten Begriffe tibertragen wir jetzt auf Funktionen mit zwei und mehr reellen Variablen. Eine Funktion f der reellen Variablen x besteht aus dem Definitions- und Zielbereich sowie der eindeutigen Funktionszuordnung: J:ID-+1R

mit

Xf---'>y=J(x).

Die Zuordnung erfolgt Ublicherweise mit Hilfe einer Vorschrift y = f (x); die Funktionen k1)nnen dann in der Regel als Schaubild (= Graph der Funktion) dargestellt werden.

T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

2

X Funktionen von mehreren Variablen

1 Beispiele fOr F\lDktionen einer Variablen: (1) f: 1R - t 1R mit f (x) = ax + b (Geradengleichung). (2) f: 1R>o - t 1R mit f (x) = lnx . cos (x 2 - 1). (3) Potential in einern ebenen Plattenkondensator

cI>: [0, d]

-t

1R mit cI> (x) = ｾ｣ｉ＾Ｌ＠

= cI>2 -

wenn d der Plattenabstand und ｾ｣ｉ＾＠

cI>1 die Potentialdifferenz ist.

Viele in den Naturwissenschaften auftretenden Zusamrnenhiinge sind aber kornplizierter und lassen sich nicht durch eine Funktion mit einer Variablen beschreiben. Die rneisten physikalischen Gesetze stellen Beziehungen zwischen mehreren GraBen dar. 2. Beispiele fOr Funktionen mit zwei Variablen: (1) FUr ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung

T p=R· V. Der Druck p hiingt sowohl von der Ternperatur T als auch von dern Gasvolurnen V abo R ist die universelle Gaskonstante. Jedern Wertepaar (T, V) wird durch diese Formel ein Druckwert p (T, V) zugeordnet:

(T, V)

I-t

P (T, V)

= R·

T

V.

Neben der Angabe der Zuordnungsvorschrift gehort noch die des Definitionsbereichs. Physikalisch sinnvoll ist T > 0, V > O. (2) Die Wurfweite W beirn schiefen Wurf bestimrnt sich Uber die Beziehung

..

W

•

ｾ＠

W

v2

= -1!. sin (2 a) , 9

wenn va die Anfangsgeschwindigkeit, a der Wurfwinkel und 9 die konstante Erdbeschleunigung ist. Die Wurfweite hiingt also von va und a ab; jedem Zahlenpaar (va, a) wird eindeutig eine Weite W (va, a) zugeordnet

(va, a) mit v

> 0 und 0 < a ::; 90°.

I-t

W (va, a) =

ｾ＠ v5 sin (2 a) 9

3

1.1 Einfuhrung und Beispiele

(3) Der Abstand d eines Punktes P (x, y) vom Ursprung betrfigt in der Ebene nach dem Satz von Pythagoras

P(X,Y)

Y

Jedem Zahlenpaar (x, y) wird genau ein Abstand d (x, y) zugeordnet

(X, y)

I-t

d (x, y)

x

= J x2 + y2.

3. Beispiele fUr Funktionen mit mehr als zwei Variablen: (1) Der Abstand d zweier Punkte PI (Xl> Yl> Zl) und P2 (X2, Y2, Z2) betragt im dreidimensionalen Raum

Der Abstand d ist eine Funktion der 6 Variablen

Xl,

X2, YI, Y2,

Zl>

Z2:

(2) Ftir eine Reihenschaltung von n Ohmschen Widerstanden RI"'" R", berechnet sich der Gesamtwiderstand tiber

R

= RI + R2 + ... + R",.

Der Gesamtwiderstand ist eine Funktion der n Einzelwiderstande

Definition: Eine reelle Funktion f von n reellen Variablen Xl, ... , Xn ist eine Abbildung, die jedem (Xl, ... , Xn) E ID genau einen Wert in lR zuordnet:

Der Definitionsbereich ID ist dabei eine Menge von n -Tupeln (Xl, ... , Xn) E lRn reeller Znhlen, die in den Funktionsausdruck eingesetzt werden darfen. Die ausfUhrliche Bezeichnung sowie die Angabe des Definitionsbereichs ist in der Praxis recht schwerfallig, so daB man in den Anwendungen stattdessen etwas nachlassig einfach von der Funktion f (Xl> ... , xn) spricht und auf die Angabe des genauen Definitionsbereichs verzichtet.

4

X Funktionen von mehreren Variablen

Wir werden in diesem Abschnitt hauptsachlich Funktionen mit zwei Variablen behandeln. Viele Eigenschaften von Funktionen mehrerer Variablen ktinnen hier bereits verdeutlicht werden. Funktionen von zwei Variablen haben den Vorteil, daB sie sich graphisch darstellen lassen; Funktionen mit mehr als zwei Variablen nicht mehr! 1m folgenden sei daher

z = f(x, y),

(x, y)

E ID

eine reellwertige Funktion der zwei Variablen x und y, die auf einem Gebiet ID c ]R2 definiert ist. 4. Beispiele fUr ID: Fall (1) (nicht zusammenhttngendes Gebiet) ist fUr die Praxis weniger wichtig; Fall (3) heiBt zusammenhttngend; FaIle (2) und (4) heiBen einfach

zusammenhttngend: y

y

(]

d

c

(1 )

(2) •

b

x

y

Y

ｾ＠ (3)

x

+--+--+--"x (4)

Beispiele fUr zweidimensionale Gebiete Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen Zur Veranschaulichung von Funktionen mit zwei Variablen haben sich im wesentlichen drei Darstellungsarten bewahrt: (1) Der Graph. Unter dem Graphen von f versteht man die Menge der Punkte (x, y, f (x, y)) fUr die (x, y) aus dem Definitionsbereich von f sind. lao ist ein Graph eine gekrummte Flache im dreidimensionalen Raum

rf

:= {(x, y, z) E ]R3: z =

f (x, y)

und (x, y) E ID}.

1.1 Einfuhrung und Beispiele

5

z=f(x,Y)

Graph von f ｾ＠

f(x,Y)

.......

... Ｍｾ

ｾｦＭＬ＠

ＭｾＺＬｹ＠

ex ＨｘＧｙｾ＠

Definitionsbereich

x

Abb. 1: Der Graph einer zweidimensionalen Funktion

In MAPLE lassen sich die Graphen von Funktionen mit zwei Variablen eindrucksvoll mit dem plot3d-Befehl darstellen. Dabei ist allerdings zu beachten, daB die Definitionsmenge bzw. der Bereich, in dem die Funktion dargestellt wird, immer ein Rechteck ist (Fall (2) in Beispiel 4). 5. Beispiel: Mexikanischer Hut. Gegeben ist die Funktion

f(r) = sin(r). r

J

Ersetzt man r = x 2 + y2, erhl:1lt man eine Funktion von zwei Variablen x und y. Die Definition von Funktionen mehrerer Variablen erfolgt im MAPLE mit der -> Operation > f := (x, y) -> sin(sqrt(x"2+y"2))/sqrt(x"2+y"2): > plot3d(f(x, y), x=-10 .. 10, y=-10 .. 10);

Die mannigfaltigen Optionen des plot-Befehls entnimmt man der Hilfe durch > ?plot3d[options] Liegt z.B. in dem zu zeichnenden Bereich eine Singuiaritl1t der Funktion vor, muS der Wertebereich durch die view-Option eingeschrl:1nkt werden > phi := (x, y) -> 1/(x"2+y"2):

6

X Funktionen von mehreren Variablen

> plot3d(phi(x, y), x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, view=0 .. 10, axes=boxed);

(2) Hohenlinien. Eine Funktion f kann auch durch ihre HOhenlinien (Niveaulinien) graphisch erfaBt werden. Die Hohenlinie von f zur Hohe c ist die Menge der Punkte (x , y) E ID, welche die implizite Gleichung

f(x,y)=c erftillen. HOhenlinien sind Schnitte des Graphen (x, y, rallel zur (x, y)-Ebene mit Achsenabschnitt c.

6. Beispiel:

f (x, y)

f (x, y))

mit Ebenen pa-

= x2 + y2.

y

f(x,Y) = x'+'f x

HOhenlinien = Schnitte des Graphen mit Ebenen parallel zur (x, y)-Ebene

Hohenlinien projiziert in die (x, y)-Ebene

Zur graphischen Charakterisierung der Funktion wiihlt man mehrere Hohen und zeichnet die markierten Niveaulinien in der (x, y)-Ebene. Beispiele sind Kuryen gleichen Luftdrucks auf der Wetterkarte (lsobare), die Hohenlinien auf der Landkarte oder die Linien gleichen Potentials (Aquipotentiallinien) bei der Beschreibung elektrostatischer Felder. Die Realisierung von Niveaulinien mit MAPLE erfolgt ebenfalls mit den plot3d-Befehl und der Option contours= und style=contour.

7

1.1 Einfuhrung und Beispiele

7. Beispiel: Das elektrostatische Potential einer im Ursprung befindlichen elektrischen Ladung q ist im Abstand r bestimmt durch

2.

(r) = _1_

41f eo r

mit der Dielektrizitatskonstante eo

= 8.8 .10- 12 !;,.

(1) Gesucht ist einedreidimensionale Dar-

y

stellung des Potentialverlaufs in der (x, y)Ebene sowie 20 Aquipotentiallinien fur eine Punktladung q = e = 1.6 . 10- 19 C. Dazu setzt man r = x 2 + y2 in Formel ( *) ein:

y

J

(x,

y)

ｾＨｲＩ＠

= _1_

q 41f eo Jx2 + y2

x

Abb. 2: Ladung im Ursprung Dann ist (x, y) eine Funktion der zwei Variablen x und y. Die graphische Darstellung erfolgt durch den plot3d-Befehl. Fur (x, y) ---t (0,0) wachst das Potential uber alle Grenzen hinweg; es wird singular. Damit der funktionale Verlauf dennoch aus dem Graphen erkenntlich wird, schrankt man den darzustellenden Wertebereich mit der view-Option ein

> Phi := 1/(4*Pi*epsilon) * q/sqrt(XA2+yA2); > epsilon:=8.8e-12: q:=1.6e-19: :=

> plot3d(Phi, >

ｾ＠

q 4 1fE Jx 2 + y2

x=-O.001 .. 0.001, y=-O.001 .. 0.001, view=O .. O.00001, axes=boxed, title='el. Monopol'); el. Monopol

-0.

o

0 x 0.0005

0.0005 0.001 0.001

Urn zusatzlich die Ht>henlinien darzustellen, wahlt man entweder den entsprechenden Button der Menu-Leiste der Graphik oder die style-Option des plot3d-Befehls.

8

X Funktionen von mehreren Variablen

Mit contours=20 werden 20 Hohenlinien berechnet.

> plot3d(Phi, x=-O.001 .. 0.001, y=-O.001 .. 0.001, view=O .. O.00001, axes= > boxed, contours=20, style=PATCHCONTOUR, title='el. Monopol'}; a!. Monopol

o

0 x

0.0005

0.0005

0.001 0.001

Zur Darstellung der Hohenlinien kann alternativ der contourplot-Befehl aus dem plots-Paket verwendet werden. Mit der Option grid=[40, 40] erhOht man die Anzahl der Gitterpunkte zur Berechnung und Darstellung des Potentials.

> with(plots}: > contourplot(Phi,x=-O.001 .. 0.001 ,y=-O.001 ..0.001 ,grid=[40,40],contours=20}; y

(q/sqrt((x-U2)"2+(y-U2)"2) - q/sqrt((x-U2)"2+(y+U2)"2) > - q/sqrt((x+U2)"2+(y-U2)"2) + q/sqrt((x+U2)"2+(y+U2)"2)); > epsilon:=8.8e-12: q=1.6e-19: L:=0.0004: > plot3d(Phi, x=-0.001 .. 0.001. y=-0.001 .. 0.001, grid=[40, 40], > view=-0.00001..0.00001, contours=10); > plot3d(Phi, x=-0.001 ..0.001, y=-0.001-0.001 , grid=[40, 40], style=contour, > view=-0.00001 .. 0.00001, contours=20, orientation=[90,0]. > scaling=constrained);

10

X Funktionen von mehreren Variablen

Statt dem Darstellen von HCihenlinien bietet MAPLE den densityplot-Befehl, der die Funktion in GrautCinen zweidimensional darstellt

> with(plots): > densityplot(Phi, x=-0.001 .. 0.001, y=-0.001 .. 0.001, grid=[60, 60]); (3) Schnittkurvendiagramme. HCihenlinien sind die Schnitte des Graphen von

z = f (x, y) mit Ebenen parallel zur (x, y)-Ebene. Wlli1lt man stattdessen eine Ebene parallel zur (x, z)- oder (y, z)-Ebene, kommt man zu den sog. Schnittkurvendiagrammen

z = f (x = c, y) Schnittebene parallel zu (y, z), z = f (x, y = c) Schnittebene parallel zu (x, z). Anwendung findet diese Darstellung in den Kennlinienbildern. 8. Beispiel: Gegeben ist die Zustandsgleichung fUr ideale Gase

T p=R· V. Indem man fUr die Temperatur T konstante Werte einsetzt, Tl < T2 < T3 < T4 < T5, erhalt man den Druck als Funktion des Gasvolumens V. Man bezeichnet die Kurven gleicher Temperatur auch als Isotherme. p

v Hinweis: Auf der CD-ROM befindet sich die Prozedur Funktion2d. Diese Prozedur stellt eine Funktion von zwei Variablen graphisch als Animation unter unterschiedlichen Blickwinkeln dar. Zuntlchst erfolgt die Darstellung als dreidimensionales, farbiges Schaubild, anschlieBend werden die HCihenlinien eingeblendet und nur noch Grauschattierungen der Funktion dargestellt.

11

1.2 Stetigkeit

12 Stetigkeit Die Stetigkeit einer Funktion f (x) bedeutet unprlizise gesprochen, daB der Graph von f keine Spri1nge aufweist. In diesem Sinne bezeichnet man auch eine Funktion mit zwei Variablen als stetig. Die Prltzisierung des Stetigkeitsbegriffs im Punkte Xo ist, daB der linksseitige und rechtsseitige Funktionsgrenzwert mit dem Funktionswert f (xo) i1bereinstimmt. D.h. unabhangig ob man sich von links oder von rechts an Xo nlihert, es kommt immer der gleiche Funktionswert f (xo) heraus: Fi1r jede Folge Xn - t Xo konvergiert f (xn) - t f (xo). Obertragen auf Funktionen mit zwei Variablen liefert dies die Joigende Definition. Definition: (Stetigkeit) Die Funktion f heij3t im Punkte (xo, YO) E 1D stetig, wenn fur jede Folge von Punkten (x n , Yn) E 1D mit Xn - t Xo und Yn - t Yo gilt

Bemerkungen: (1) Statt f (xn, Yn) ｮｾ＠

f (xo, YO) schreibt man auch lim f (xn, Yn) = n-+O

I (xo + 6x) - I (x o). 6x

Aus geometrischer Sieht ist die Ableitung der Funktion I in Xo gleieh der Steigung der Kurventangente.

ｾＭｸ＠ Abb. 5: Ableitung = Steigung der Tangente in

Xo

Dieser Begriff wird auf Funktionen von zwei Variablen I (x, y) erweitert. Wenn wir eine Variable festhalten (z.B. y = Yo), dann ist z = I (x, y = Yo) eine Funktion in der Variablen x. 1st diese Funktion im Punkte Xo differenzierbar, so nennen wir ihre Ableitung die partielle Ableitung nach x. Analog wird die partielle Ablei tung von I nach y definiert. Definition: (Partielle Ableitung) Eine Funktion I heij3t im Punkt (xo, Yo) E ID partiell nach x differenzierbar, wenn der Grenzwert

81 (Xo, Yo ) .._ l'1m I (xo + 6x, Yo) - I (xo, Yo) uX 6x-->O uX

!l

1\

existiert. Man bezeichnet ihn als die partielle Ableitung von I nach x im Punkte (xo, yo). Entsprechend heij3t

81

! l (xo,

uy

Yo)

:= lim

6y-->O

I (xo, Yo + 6y) - I (xo, Yo) 6y

die partielle Ableitung von I naeh y im Punkte (xo, Yo), wenn dieser Grenzwert existiert.

Etwas lax formuliert HtBt sieh die Definition so zusarnmenfassen: Die partiellen Ableitungen sind niehts anderes als die gewohnlichen Ableitungen, bei denen aile Variablen bis auf eine festgehalten werden. Die wiehtige Konsequenz hier-

14

X Funktionen von mehreren Variablen

von ist, daB sich aIle Regeln fUr das Differenzieren von Funktionen einer Variablen auf die partieIle Differentiation Ubertragen. Bemerkungen: (1) Man beaehte, daB die partieIlen Ableitungen im Gegensatz zu den gewohnli-

ehen Ableitungen Dieht dureh Striche (oder Punkte) gekennzeichnet werden, sondern dureh Indizierung mit der Differentiationsvariablen. AIlgemein ubliehe Bezeichnungen sind

fx(x,y),

of 0 ox (x, y), ox f (x, y), oxf(x,y) ,

bzw. kurz

of 0 Ox f. ox' ox f, Urn anzudeuten, daB keine gewOhnliehen Ableitungen vorliegen, wird aueh ､ｾ＠ dureh ersetzt. Analoge Bezeiehnungen gel ten fUr die partieIlen Ableitungen naeh y. fx,

tx

(2) In Anlehnung an die gewOhnliehe Ableitung als partieIle Ableitungen 1. Ordnung.

f'

bezeichnet man fx und fy

(3) Alternative Sehreibweisen fUr die partieIlen Differentialquotienten sind

of ox (xo, Yo)

. f (x, Yo) - f (xo, Yo) 11m x->xo X - Xo . f (xo + h, Yo) - f (xo, Yo) 11m ｾＭ＠

h

h->O

und

of oy (xo, Yo)

lim f (xo, y) - f (xo, Yo)

y->yo =

y - Yo + h) - f (xo, Yo)

lim f (xo, Yo h->O

h

Zum EinUben des partieIlen Ableitens betraehten wir einfaehe Beispiele. Man beaehte, daB hierbei insbesondere die Kettenregel zur Anwendung kommt. 10. Beispiele: (1)

f (x, y) = x 2 . y3 + X + y2 : of ox (x, y) = 2 x . y3 + 1 ;

(2)

f (x , y)

= sin (x 2 -

of ox (x, y)

of oy (x, y) = x 2 . 3y2 + 2y.

Y):

= cos( x 2 -

y) . 2 x ;

of oy (x, y) = cos(x 2 - y) (-1).

15

1.3 Partielle Ableitung

(3)

1(x,y)=ln(2x+4t):

01

1

ax (x, y) = 2 x + 4 1 . 2 ;

01 () 1 ()-2 oy x,y =2x+4;·4 -1 y .

y

(4)

U = R· I:

(5)

W = ｾ＠

aU

oR =I;

aU

oI =R.

v5 sin (2a): ｾｗ＠

uvo

=

ｾ＠

2vo sin (2a) ;

oW oa

T (6) p=R· V:

1

2

= 9 Vo cos

()

2a . 2.

op R aT = v·

Bemerkung: Beispiel 10(6) zeigt die physikalisch-chemische Bedeutung der partiellen Ableitung: Der Druck p eines idealen Gases ist proportional zum Quotienten t;. p ist somit eine Funktion der beiden Variablen T und V. ｾ＠ bedeutet dann die Anderung des Druckes als Funktion des Volumens, wenn die Temperatur konstant gehalten wird. In der Chemie wird dies oftmals durch ＨｾＩ＠ symbolisiert. T=const

ｾ＠

bedeutet entsprechend die Anderung des Druckes bei Anderung der Temperatur aber konstantem Volumen. Geometrische Interpretation: Die anschauliche Bedeutung der partiellen Ableitungen erlautern wir mit Hilfe von Abb. 6 und Abb. 7. Die partielle Ableitung 1 (xo, YO) von 1 nach x im Punkte (xo, YO) gibt die Steigung der Tangente im Punkte (xo, Yo) parallel zur x-Achse an.

Ix

z Tangente parallel zur x-Achse mit Steigung ｾｦＯｸ＠ ( ,Yo)

z Steigung ｾｦＯ＠

Y

Abb. 6: Partielle Ableitung in x-Richtung

(Xc,Yo)

16

X Funktionen von mehreren Variablen

t

Die partielle Ableitung y f (xo, YO) von f nach y im Punkte (xo, YO) gibt die Steigung der Tangente im Punkte (xo, YO) parallel zur y-Achse an. z

z Steigung ofray (Xo,Yo)

y ｊＭＬｉｾ＠

Tangente parallel zur y-Achse mit Steigung of/Oy (Xo.Yo)

Abb. 7: Parlielle Ableitung in y-Richtung

Partielle Ableitung mit MAPLE. Die partiellen Ableitungen eines Ausdrucks werden mit MAPLE - wie die gewohnlichen Ableitungen - mit dem diff-Befehl gebildet. > z:=1/sqrt(x·2+{2): > Diff(z, x) = diff(z, x); > Diff(z, y) = diff(z, y);

a

x

1

ax Jx2 +y2 1

a

ay Jx2 +y2

Bei GroBschreibung des Diff-Befehls (inerte Form) erfolgt die symbolische Darstellung der partiellen Ableitung. Die partiellen Ableitungen einer Funktion bestimmt man mit dem D-Operator. D[l](f) bedeutet die partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen und D[2](f) nach der zweiten Variablen. > f:=(x, y) -> In(sqrt«x-a)"2+(y-b)"2»: > D[1](f);

(

> D[2](f)(x,

y);

1 x, y ) --t '2

1

'2 x 2 -

2x-2a

V(X - a)2 + (y -

2

b)2

2y - 2b 2 x a + a2 + y2 - 2 y b + b2

17

1.3 Partielle Ableitung

Partielles Differenzieren von Funktionen mit mehreren Variablen 1st f eine Funktion der Variablen (Xl, ... , x n ), so ist die partielle Ableitung von f nach der Variablen Xi in einem Punkt ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ definiert als der Grenzwert

af ( 0

-a Xi

0) _.

Xl,···,X n

-hm

... , x? + h, ... , ｸｾＩ＠

f ＨｸｾＬ＠

h

h->O

- f ＨｸｾＬ＠

... , x?, ... , ｸｾＩ＠

falls dieser existiert. Man nennt ihn die partielle Ableitung von ... , ｸｾＩ＠ und bezeichnet ihn rni t Punkte ＨｸｾＬ＠

I nach

Xi

' im

a

al

-a I , IXi' ax; f. Xi

aXi '

11 Beispiel: Gesucht sind alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion

= z· ex2 +y2 + VI + x2 + z4.

I (x, y, z)

Nach der Kettenregel berechnet man

Ix (x, y, z)

I y (x,

2

2

2

2yze X +y

y, z)

fz (x, y, z)

2

2 X z eX +y

=

e

x2+y2

X + ---;:;=::;;==:;:

VI +x2 +z4

2 z3

+ --;:;===;:==::::;: VI + x2 + z4

Wir bestimmen noch die partiellen Ableitungen an der Stelle (xo, Yo, zo) = (1, 2, 0) durch Einsetzen des Punktes in die obigen Formeln

Ix (1,2,0)

= ｾ＠ y'2;

I y (1,2,0)

= 0;

Iz (1,2,0)

= e5 .

Ableitungen hOherer Ordnung: Sind die partiellen Ableitungen Ix (x, y) und I y (x, y) ihrerseits wieder partiell differenzierbar, so bezeichnet man ihre partiellen Ableitungen tx Ix (x, y), t y Ix (x, y) und tx I y (x, y), t y I y (x, y) als partielle Ableitungen zweiter Ordnung von f. Die Schreibweise fUr die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung lauten

Ixx

ｾＺ［＠

:=

fyy :=

ｾＺ［＠

:=

:=

:x ＨｾＩ＠ :y ＨｾＩ＠

zweite partielle Ableitung

"

nach x.

nach y.

18

X Funktionen von mehreren Variablen

zweite partielle Ableitung

nach x und y.

nach y und x.

Deren Ableitungen wiederum, sofern sie existieren, sind die dritten partiellen Ableitungen von f:

Bemerkungen: (1) Die Reihenfolge, in der die Differentiation durchgefuhrt werden muB, ist von

innen nach auBen (von links nach rechts): Die Ableitung fxy wird gebildet, indem von der Funktion (Ix) die partielle Ableitung nach y gebildet wird:

(2) Man bezeichnet eine Ableitung als gemischte Ableitung, wenn nicht nur nach einer Variablen differenziert wird. (3) Die Ordnung der partiellen Ableitung entspricht der Gesamtzahl der zu bildenden Ableitungen, d.h. der Gesamtzahl der Indizes: fxyxx

ist z.B. eine Ableitung 4. Ordnung.

12. Beispiel: FUr die Funktion f (x, y) = x 3 Y + y sind die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 3 gegeben durch fx fxx fxxx

3x 2 y, 6xy, 6y,

fy fxy fxxy fxyy

3x2 = fyx, 6x = fxyx = fyxx, 0= fyxy = fyyx,

=

x 3 + 1;

fyy

o·,

fyyy

O.

In diesem Beispiel kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ableitungen an, fxy = fyx, fxxy = fxyx = fyxx usw. Diese Eigenschaft besUltigt sich fUr praktisch aIle in den Anwendungen vorkommenden Funktionen. Es gilt die folgende wichtige Aussage

19

1.3 Partielle Ableitung

Satz von Schwarz: Vertauschbarkeit von gemischten Ableitungen Sind fur eine Funktion f(x, y) in zwei Variablen die gemischten partiellen Ableitungen fxy und fyx stetig, dann kommt es nieht auf die Reihenfolge der zu bildenden Ableitungen an. D.h. es gilt dann fxy(x, y) = fyx(x, y).

Verallgemeinerung: Sind fUr eine Funktion f aIle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k Ｈｾ＠ 2) stetig, dann kommt es bei allen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k nicht auf die Reihenfolge der zu bildenden Ableitungen an. Analog zu den hoheren partiellen Ableitungen fUr Funktionen von zwei Variablen bildet man sie fUr Funktionen mit mehr als zwei Variablen. Auch hier ist der Satz von Schwarz gUltig. 13. Beispiel: Von der Funktion f(x, y, z) = eX - y cos (5z) sind aIle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 gesucht.

f

eX - y cos (5 z)

fx fy fz

e X - y cos (5 z) -e X - y cos (5 z) -5e x- y sin (5z)

fxy fxz fyz

_e x - y cos (5 z) -5e x- y sin (5 z) 5e x- y sin(5z)

14. Beispiele: cp (x, y) = Jx 2 + y2: f)cp x

fxx fyy fzz

=

=

e X - y cos (5 z) e X - y cos (5 z) -25e x- y cos(5z)

fyx fzx fz y.

(1)

f)x

Jx2

+ y2 '

f)cp y. 2 f)y = J x + y2 '

20

X Funktionen yon mehreren Variablen

(2) r (x, y, z) = Jx 2 + y2

or x = ox Jx2 +y2 +z2

+ z2:

-

x r

-,

r2 _ x 2 r-xiE.r = r2 r3

02r ox 2

of

-x

ox

(x2

or oy 02r oy2

-x

+ y2 + z2) t - -;=3 ;

y , r

or oz

z r

r2 _ z2 02r = r3 oz2

r2 _ y2 r3

of

-y

of

oy

-;=3 ;

oz

-z

= -;:J

r3 - x 22 2x

Partielle Ableitungen hOherer Ordnung mit MAPLE. Die hOheren partiellen Ableitungen eines Ausdrucks werden mit MAPLE ebenfalls durch den diff-Befehl gebildet: diff(z, x$n) ist die n-te partielle Ableitung des Ausdrucks z nach x.

> z := 1/sqrt(XA2+yA2): > Diff(z, x$2) =diff(z, x$2); > Diff(z, y$2) =diff(z, y$2); > Diff(z, x, y) =diff(z, x, y); 02

1

ox 2 Jx2 +y2

02 1 oy2 Jx2 +y2

02

1 oy8x Jx2 +y2

1

21

1.4 Totale Differenzierbarkeit

FUr die Mheren partiellen Ableitungen von Funktionen nirnrnt man den D-Operator > f := (x, y) -> In(sqrt((x-af2+(y-bf2»: # zweite partie lie Ableitung nach x > 0[1 $2](f); > 0[2$2](f); # zweite partielle Ableitung nach y # gemischte Ableitung nach x und y > 0[1, 2](f);

(x,y)-+

1

J(x - a)2 + (y - b)2

(x,y)-+

(2x-2a)2

1

2--

1

J(x - a)2 + (y - b)22

2 J(x - a)2

+ (y - b)2

4

_!

(2y-2b)2 4 2 J(x - a)2 + (y - b)2

(x,y)-+-! (2x-2a)(2 y -2b)4 2 J(x - a)2 + (y - b)2 Altemativ zu D[1$2] kann aueh (D[1]@@2) genornrnen werden. FUr die obige Funktion f gilt fxx + fyy = O. Man nennt solche Funktionen harmonische Funktionen: > simplify(O[1 $2](f)(x,y)+0[2$2](f)(x,y»;

o

14 Totale Differenzierbarkeit 15. Beispiel: FUr die Funktion

f (x, y)

=

2xy x

2

+ y 2'

(x, y)

-I- (0, 0)

berechnen sieh die partiellen Ableitungen mit der Quotientenregel fx (x, y)

2y (y 2 _ x 2) = (2 2)2 X +y

2x (x 2 _ y2)

und

fy (x, y)

= (2 2)2 x +y

1m Punkte (x, y) = (0, 0) existiert sowohl die partielle Ableitung von f naeh x, als aueh naeh y: fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0, obwohl die Funktion naeh Beispiel 9(4) dort nieht stetig ist! Wahrend differenzierbare Funktionen einer Variablen irnrner stetige Funktionen sind, kann man dies i.a. von partiell differenzierbaren Funktionen nieht behaupten. Daher fuhrt man den Begriff der tota/en Differenzierbarkeit ein, der vom Begriff der partie lien Differenzierbarkeit zu unterseheiden ist. Man nennt eine Funktion f von zwei Variablen im Punkte (xo, Yo) total differenzierbar, wenn sie nahe dieses Punktes dureh eine Ebene, der sog. Tangentialebene, angenahert werden kann:

22

X Funktionen von mehreren Variablen

Definition: (Totale Differenzierbarkeit) Die Funktion f heij3t im Punkte (xo, YO) E ID total differenzierbar, wenn es Zahlen A, B E 1R und Funktionen c! (x, y), C2 (x, y) gibt, so daj3 fur aile (x, y) nahe bei (xo, YO) gilt

f (x, y)

=

wenn die Funktionen

f (xo, Yo) + A . (x - xo) + B· (y - Yo)

c!

und

c!

(x, y) (x, y)

C2

C2

gegen Null gehenfUr (x, y) -+ (xo, yo):

-+ -+

0 fUr (x, y) 0 fUr (x, y)

-+ -+

(xo, Yo) (xo, yo).

Gleichung (*) besagt, daB in der Nahe des Punktes (xo, YO) die Funktionswerte f (x, y) niiherungsweise durch die Funktion

z = f (xo, Yo)

+ A (x -

xo) + B (y - YO)

beschrieben werden. Der Graph von z stellt eine Ebene im 1R3 dar, die durch den Punkt (xo, Yo, f (xo, Yo)) geht. Sie heiBt die Tangentialebene von f in (xo, Yo), da sie sich in der Umgebung dieses Punktes an den Graphen der Funktion f anschmiegt. z

y

x

Abb. 8: Funktion und Tangentialebene

Aus der totalen Differenzierbarkeit folgt sowohl die partielle Differenzierbarkeit, als auch die Stetigkeit von f:

23

1.4 Totale Differenzierbarkeit

Satz: 1st (1)

I in (xo,

YO) total differenzierbar, dann folgt

I ist in (xo , YO) stetig.

(2) Es existieren die partiellen Ableitungen

Ix (XO, YO),

Iy (XO, YO) .

(3) Die Zahlenwerte A und B in Gleichung (*) berechnen sich durch A = Ix (xo, YO) ,

(4) Der Graph der Funktion die Tangentiaiebene Zt

II (x, y) ｾ＠

Zt

=

I

I (xo, YO)

B

= Iy (xo,

YO) .

HtBt sich in der Nllhe des Punktes annliliern durch

+ Ix (xo, YO) (x - xo) + Iy (xo, YO) (y - Yo). I

Die Definition fUr die totale Differenzierbarkeit ist anschaulich zwar einprligsam, aber im konkreten Fall schwierig nachzuprUfen. Man kann aber anhand der partiellen Ableitungen entscheiden, ob eine Funktion I total differenzierbar ist: Satz: I ist in einer Umgebung von (xo, YO) E ID partiell nach x und Y differenzierbar und die partiellen Ableitungen Ix und Iy sind in (xo, YO) stetig. Dann ist I in (xo, YO) total differenzierbar. 16. Beispiel: Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion

I (x, y)

= e-(x2+y2)

im Punkte (xo, YO)

= (0.15, 0.15).

Die partiellen Ableitungen der Funktion sind stetig:

Ix (x , y) Iy (x, y) =

_2xe-(x 2+y2) -2 Y e-(x2+y2).

Daher ist die Funktion total differenzierbar und die Tangentialebene ist gegeben durch Z

I (xo, Yo) + Ix (xo, YO) (x - xo) + Iy (xo, YO) (y - YO) ･ＭＲｾｏ＠ - ?oe- 2go (x - 0.15) - ＱＳＰ･ＭｾＨｹ＠ - 0.15) .

Wir stellen sowohl die Funktion als auch die Tangentialebene mit MAPLE dar: > f := (x,Y) -> ･ｸｰＨＭｾＲＫｹＧＩＺ＠ #Funktion > p1 := plot3d(f(x,y), x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, axes=boxed): #Graph der Funktion > xO:=O.15: yO:=O.15: #Punkt

24

X Funktionen von mehreren Variablen

Definition und Darstellung der Tangentialebene:

> z := (x,y) -> f(xO,yO) + D[1](f)(xO,yO)*(x-xO) + D[2](f)(xO,YO)*(y-yO): > p2 := plot3d(z(x,Y), x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, view=O .. 1.5, > style=PATCHNOGRID, shading=Z): Die Option style=PATCHNOGRID bewirkt, daB bei der Tangentialebene kein Gitter dargestellt wird und shading=Z, daB die Farben als Funktion der Werte skaliert werden. Die Darstellung beider Graphen erfolgt durch den display-Befehl.

> with(plots): display([p1,p2], orientation=[-60,73]);

L5 Gradient und Richtungsableitung In diesem Abschnitt gehen wir von einer Funktion f (x, y) mit zwei Variablen x und y aus, die stetig partiell differenzierbar sowohl nach x als auch nach y ist. Der Gradient Bei Funktionen einer Variablen gibt die Ableitung der Funktion im Punkte xo die Steigung (= Steilheit) der Funktion an. An Stellen groBer Ableitung tindert sich die Funktion stark, an Stellen geringer Ableitung tindert sie sich schwach. Bei Funktionen zweier Variablen berUcksichtigt man als MaB sowohl die partielle Ableitung in x-Richtung, als auch in y-Richtung. Urn eine Funktion f bezuglich ihrer Steigung in einem Punkt (xo, YO) zu charakterisieren, wahlt man daher den

Vektor grad! (xo, YO) :=

aBf (xo, YO) ) ( B; , By (xo, YO)

des sen Komponenten aus der partiellen Ableitung nach x und y bestehen. Er beschreibt die Neigung der Tangentialebene im Punkte (xo, YO)! Da dieser Vektor den Grad der Steigung der Funktion angibt, nennt man ihn den Gradienten.

25

1.5 Gradient und Richtungsableitung

Definition: (Gradient) Der Vektor

(

grad 1 (xo, yo):=

01

)

ax (xo, Yo)

01

oy (xo, Yo)

heij3t der Gradient von 1 an der Stelle (xo, yo). FUr den Gradienten wird oft der sog. Nabla-Operator V verwendet:

V := (

ｾＺ＠

) =? grad 1 = VI = (

j ). ｾＺ＠

f'o = (xo, Yo, zo). Gesucht ist das Potential O h definiert. Dieser Grenzwert spiegelt die Ableitung entlang der Geraden

( ｾＡ＠

ｾ＠ ｾ＠

) = ( ｾ＠

) +h

(

ｾ＠

)

wider. Diese Gerade ist in der Punkt-Richtungs-Darstellung durch den Punkt (

ｾ＠

) und die Richtung

n = ( ｾ＠

) festgelegt.

31

1.6 Kettenregeln

Berechnung der Richtungsableitung mit MAPLE. Die Richtungsableitung wird in MAPLE Uber die Definitionsgleichung beschrieben. FUr die Ableitung der Funktion > f := In(xA2+1/y);

in Richtung des Vektors > a := vector([3, 4]);

a:= ([3, 4]) ergibt sich

> with(linalg): > DaJ := dotprod(grad(f,[x,y]), 1/norm(a,2)*a); 6

Da_f :=

> normal(%);

4

xy

1

5 x 2 y + 1 - 5 Y (x 2 Y + 1) 2 3xy2 - 2 5 Y (x 2 y + 1)

Man beachte, daB die Befehle grad als auch dotprod im IinaIg-Paket enthalten sind.

L6 Kettenregeln Die Kettenregel bei Funktionen einer Variablen erlaubt die Berechnung der Ableitung von verketteten Funktionen. Je nach Verkettung gibt es bei Funktionen von zwei Variablen entsprechende Differentiationsregeln. 1. Kettenregel Die Bewegung eines Massenpunktes in der (x, y)-Ebene laBt sich durch zwei Funktionen der Zeit t beschreiben

t ｾ＠

(t) ) ( YX (t) .

Zum Zeitpunkt to befinde sich der Massenpunkt an der Stelle mit den Koordinaten (x (to) , Y (to)). Da der bewegte Massenpunkt eine Kurve in der Ebene durchHluft, nennt man diese Zuordnung eine ebene Kurve, im dreidimensionalen Fall eine Raumkurve (--t §3.3). Ferner liege eine Funktion f (x, y) vor, deren Definitionsbereich aIle Kurvenpunkte enthl11t. Dann HiBt sich die Funktion F von einer Variablen bilden

F: t ｾ＠

F (t)

:=

f {x (t) , y (t)) .

32

X Funktionen von mehreren Variablen

Wie berechnet sich die Ableitung von F aus den Ableitungen von x' (t) und y' (t)? Die Antwort gibt die erste Kettenregel L Kettenregel: Sind x (t) und y (t) differenzierbare Funktionen einer Variablen und f (x, y) eine stetig partiell differenzierbare Funktion, welche (x (t) , Y (t) ) im Definitionsbereich entMlt. Dann ist die verkettete Funktion

F:

IR

--)

t

ｾ＠

IR

F(t)

:=f(x(t), y(t))

differenzierbar und es gilt

F' (t)

= fx (x (t), Y (t)) . x' (t) + fy (x (t), Y (t)) . y' (t). dF

kurz:

ｙｯｴＭＧＢｖｾＮ＠

af dx

af dy

dt = ax .di + By . di· 20. Beispiel: Beim waagrechten Wurf aus der Hohe Yo sind die Koordinaten des Massenpunktes ｾ＠

x (t)

= Vx t

Y (t) = Yo - ｾ＠ g t 2 .

Der Abstand d zum Ursprung betragt Abb. 11: Waagrechter Wurf

Gesucht ist der Zeitpunkt t, bei dem dieser Abstand minimal wird. Zur Bestimmung des Zeitpunktes gehen wir zur Funktion D (t) tiber

D: und bilden

ｴｾｄＨＩＺ］､ｸＬｹ＠

dD ad dx = - .dt ax dt

-

ad dy + -ay . -dt

Aus ｾ＠ = 0 folgt x Vx +y (-g t) und elJ, so gilt

x + -y (-gt). D x D

= - v

= O. Setzt man nun die Bewegungsgleichungen

o O. :::} t

= 0 oder

t =

33

1.6 Kettenregeln

21. Beispiel: f(t) kurve und

I (x, y)

= ( ｾ＠

m)

ist eine ebene Raum-

eine differenzierbare Funktion.

F (t) := I (x (t), y (t)) beschreibt den Funktionsverlauf von I entlang der Kurve und F' (t) = Ix + Iy iJ = f' (t) . grad I Abb. 12: Raumkurve

x

die Anderung der Funktion I entlang der Kurve r. 1st die Kurve f eine Niveaulinie von I (=Aquipotentiallinie, HOhenlinie), dann !1ndert sich der Funktionswert entlang dieser Niveaulinie nicht. Daher ist F (t) = canst =} F' (t) = O. =}

If' (t)..L grad 1·1

Hieraus ergibt sich folgende wichtige Folgerung: Der Tangentenvektor f' (t) steht senkrecht auf dem Gradienten grad I.

2. Kettenregel 22. Beispiel: Das elektrische Feld E einer Punktladung q in der Ebene ist eine Funktion des Abstandes f = x, y zur Punktladung. Der Betrag des elektrischen = El (x, y) + E2 (x, y). Wie !1ndert sich dieser Betrag, wenn Feldes ist man den Ort x variiert? Gesucht ist die partielle Ableitung von nach x. entspricht der Verkettung von I mit Funktionen von zwei Variablen.

iEi

iEi

iEi

2. Kettenregel: Seien u (x, y), v (x, y) partiell differenzierbare Funktionen in x und y, I (u, v) eine stetig partiell differenzierbare Funktion in u und v. Dann ist die verkettete Funktion

F:

]R2

---f

]R

(x, y)

f-t

F (x, y)

:=I(u(x,y), v(x,y))

nach x und y partiell differenzierbar und fUr die partiellen Ableitungen gilt

Fx (x, y) = lu (u, v) . U x (x, y)

+ Iv (u, v) . Vx (x,

y)

Fy (x, y) = lu (u, v) . uy (x, y) + Iv (u, v) . Vy (x, y). kurz:

8F 8x

81 8u

81 8v

= 8u . 8x + 8v . 8x

8F 81 8u 81 8v -=_._+_.8y

au ay

av 8y

34

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkung: Fuhrt man die sog. Funktionalmatrix x (Uu xy V Vy

J:=

)

=

Ｈｾ＠

8y

ｾＩ＠8y

ein, erMlt man in der Matrizenschreibweise eine besonders kurze Form von Gleichung (*) x v x ) ( fu ) . ) = ( Fx Fy u y Vy fv

(U

23. Beispiel: Wie andert sich der Betrag

lEI

=

JE? (x, y) + Ei (x, y),

wenn man x variiert?

Anwendung: Koordinatentransformation. Die zweite Kettenregel wendet man Mufig in der Situation an, daB die Punkte der Ebene durch zwei Koordinatensysteme (ein (x, y)-System und ein (u, v)-System) beschrieben werden. Ein Punkt mit Koordinaten x und y hat im (u, v)-System die Koordinaten u (x, y) und v (x, y). Eine auf die Ebene definierte Funktion f (u, v) besitzt auf (x, y) bezogen, die Form g (x, y) = f (u (x, y), v (x, y)).

24. Beispiel: Durch die Gleichungen

y

x=rcosrp y = r sinrp x

ist die Transformation zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten festgelegt. 1st f (x, y) differenzierbar, dann gilt fUr die Ableitung der Funktion im Polarkoordinatensystem

f (x (r, rp), y (r, rp))

g (r, rp)

9r (r,

rp) gep(r,rp)

= =

fxxr + fyyr = fx cosrp+ fy sinrp fx xep + fy Yep = - fx r sinrp + fy r cos rp.

35

1.6 Kettenregeln

(1)

Zusammenstellung der Kettenregeln Kettenregel fUr Funktionen mit einer Variablen JR x

-; ｾ＠

JR

-;

g (x)

d

dl

JR

1 (g(x)) ｾ＠

dg (g (x)) . dx (x).

dx 1 (g (x)) = dg

(2) Kettenregel 1 ffir Funktionen mit n Variablen

JR t

-;

JRn (xdt), ... , Xn (t))

ｾ＠

d -d 1 (Xdt) , ... , Xn (t)) t

-;

JR 1 (xdt) , ... , Xn (t))

ｾ＠

al dXI

al dX n

= -a -d + ... + -a -d' Xl t Xn t

(3) Kettenregel 2

of aXI al -｡ｸｾ＠

+

+ i:!1

=

a f au I aUI aXI

--

+ ...+ axau.,-ax"" au -

al aUI

...

aUn aUn aXI al aUn

wobei bei -/:!;; das Argument (UI (x!, ... , Xm), ... , Un (X!, ... , Xm)) und bei das Argument (Xl, ... , xm) zu setzen ist.

tx:

(4) Spezialfall der Kettenregel 2:

_a_1 _ dl au aXI - du aXI'

... ,

36

X Funktionen von mehreren Variablen

17 Der Taylorsche Satz Eine wesentliche Eigenschaft von differenzierbaren Funktionen einer Variablen besteht darin, daB sie in der Umgebung eines Punktes naherungsweise durch Polynome ersetzt werden ktlnnen. Dies ist auch im mehrdimensionalen Fall mtlglich. Wir werden den Taylorschen Satz nicht beweisen, stattdessen geben wir eine PlausibilitatsUberlegung fUr die Taylorsche Formel fUr Funktionen mit zwei Variablen an: FUr eine (m + I)-mal stetig differenzierbare Funktion f (x) gilt nach der Taylorschen Formel (Bd. 1, Kap. VII.3) am Entwicklungspunkt Xo E ID

f (x) = f (xo)

+ (x -

xo)

!' (xo) + ｾ＠

(x -

XO)2

!" (xo) + ... +

+ ,;,! (x - xo)m f(m) (xo) + Rm (x), wenn die Differenz zwischen dem Polynom und der Funktion durch das Restglied

Rm (x)

=

ＨｭｾｬＩＡ＠

f(m+1) ＨｾＩ＠

(x - xo)m+l

mit einem nicht naher bekannten Wert ｾＬ＠ der zwischen x und Xo liegt, bestimmt ist. In modifizierter Schreibweise lautet die Entwicklung

I:,n.1 [(x-xo) -dd]n f x m

n=

O

In dieser Formel ersetzen wir [(x - xo) ､ｾ＠ Ableitungen gemaB

+Rm(x). Xo

r

durch die entsprechenden partiellen

Nach der Binomischen Formel (Bd. 1, Kap. 1.2.5) ist

(a+bt

=

t ( ｾ＠ )

an-kb k,

k=O

37

1.7 Der Taylorsche Satz

so daB mit den Binominalkoeffizienten (

6

n (

--t

ｾ＠

= (n _n!)! k!

)

folgt

0 ) n-k ( 0)k ｾ＠ ) (x - xot- k ( ox (y - YO)k oy

0 )n-k ( 0 )k ｾ＠ n ( ｾ＠ ) ,(x - xot-: (y - YO)k, ( ox oy

k-O

"

Polynom vom Grad n

...

partielle Ableitung der Ordnung n In die Taylorsche Formel (*) eingesetzt, folgt Satz von Taylor fOr Funktionen mit zwei Variablen Sei I (x, y) eine (m + I)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion und (xo, YO) E )) der Entwicklungspunkt. FUr (x, y) E ID gilt

I (x, y)

=

=

0

m I [ Ln! (x-xo) ox+(y-yo) n=O

ｾ＠ ｾＡ＠ ｾ＠

ｾ＠

(

aO]n II y

+Rm(x,y)

(xo, Yo)

) (x - xot- k (y - YO)k

I ｾＨｸｯＬ＠

YO)

+ Rm (x,

y)

n-k-k-mal mit dem Restglied

Rm (x)

= ＨｭｾｬＩＡ＠

L

m+l (

k-O -

m:

I

)

(x - xo)m+l-k (y - YO)k

Ix ... x y .. . y ＨｾＬ＠ ｾ＠

1])

m+l-k k-mal

1]) ein nicht nailer bekannter Punkt auf der Verbindungsgeraden von (xo, YO) und (x, y), die ganz in ID liegen soIl.

wobei ＨｾＬ＠

Bemerkungen: (1) Wenn (x, y) hinreichend nahe bei (xo, YO) liegt, dann ist i.a. die Verbindungsgerade zwischen diesen Punkten ebenfalls in ID enthalten. (2)

Die Formel

[(x - xo)

ｾ＠ + (y oX

ist folgendermaBen zu interpretieren:

YO)

ｾ｝＠

oy

n

II

(xo, yo)

38

X Funktionen von mehreren Variablen

Man multipliziere entsprechend der Potenz n die Summe aus, wende aIle Ableitungen auf I an, werte diese Ableitungen an der Stelle (xo, YO) aus und multipliziere mit dem Polynom (x - xo/ (y - yo/, wenn i die Ordnung der Ableitung und j die Ordnung der Ableitung y reprtlsentiert (i + j = n).

tx

t

(3) Satz von Taylor fUr Fbnktionen mit k Variablen: Analog zu der Herleitung der Taylorschen Formel fUr eine Funktion mit zwei Variablen erh!Ut man fUr eine Funktion I mit k Variablen (Xl> ... , Xk) die Formel

I(Xb ...

ＧｘｫＩ］ｴＬｾＡ＠

｛ＨｘｉＭｾｏＩ＠

｡ｾｬ＠

+ ...

ＫＨｘｫＭｾｏＩ＠

｡ｾｊｮ＠

II HO) ..... ｸｾｏＩ＠

+ Rm (Xl, ... , Xk)

mit dem Entwicklungspunkt ＨｸｾｏＩＬ＠ ... , ｸｾｏＩ＠ und dem Restglied Rm (Xl, ... , Xk), das sich analog zum Restglied einer Funktion mit zwei Variablen berechnet. Zur Verdeutlichung der Taylorschen Formel fUr eine Funktion I(x,y) betrachten wir die SpeziaWl11e n = 0, 1, 2: n

=0: Mittelwertsatz I (x, y)

1 [ (x - xo) ax a Lo n! n=O

I (xo, YO)

+ Il{) (x,

+ (y - YO) aa]n I I Y

(xo. yo)

+ ｾ＠

(x, y)

y).

Dies ist der sog. Mittelwertsatz fUr F\mktionen mehrerer Variablen. n = 1: Linearisierung

I

a]n I 1 [ a I(X'Y)=L +Rdx,y) n ! (x-xo)ax+(Y-Yo)a I n=O Y (xo. YO)

II(x, y) = I (xo, YO) + (x - xo) Ix (xo, YO) + (y - YO) Iy (xo, YO) + RI (x, y) I Diese Formel wird zur Linearisierung von Fbnktionen verwendet, indem I (x, y) durch das Polynom auf der rechten Seite ersetzt wird. n = 2: Quadratische Naherung

I (x, y)

I

1 [ (x - xo) ax () + (y - YO) aa]n I L2 n! + R2 (x, y) n=O Y (xo. YO) I (xo, Yo) + (x - xo) Ix (xo, Yo) + (y - YO) Iy (xo, YO) +

39

1.7 Der Taylorsche Satz

1[(x - xo) 28-8x22 + 2 (x - xo) (y - Yo) -8x88-8y + R2 (X, y) + (y - YO)2 :22] II

+2!

Y

f (x, y)

I (XO, YO)

+ (X -

XO) Ix (XO, YO)

(xo, yo)

+ (y -

YO) Iy (XO, YO)

+"21 ( (X - XO) 2 Ixx (XO, YO) + 2 (x - XO) (y - YO) Ixy (XO, YO) + (y - YO)2 Iyy (XO, YO))

+ R2 (x,

y)

Bemerkung: FUhren wir den Richtungsvektor n = ( x - Xo ) ein und definieren Y -yo

die Hessesche Matrix H .- ( Ixx (xo, YO)

kann man den Fall n

Ixy (xo, YO) ) Iyy (xo, YO)

Ixy (xo, YO)

.-

= 2 schreiben in der Fonn

...

I (x, y) - I (xo, YO) = n . gradl

I

(xo, yo)

+ -21

..... t' ..... n H n +R2 (x, y).

25. Beispiel: Man berechne die Taylorreihe der Funktion

= sin (x 2 + 2y)

I (x, y) an der Stelle (xo, Yo)

= (0, 1) bis zur Ordnung 2.

(1) Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 lauten

I (x, y)

= sin (x 2 + 2 Y)

1(0, 1)

Ix(x, y) = 2x cos (x 2 + 2y) Iy (x, y) = 2 cos (x 2 + 2y) Ixx (x, y) = -4x2 sin (x 2 + 2y) Iyy (x, y) = -4 sin (x 2 + 2y) Ixy (x, y) = -4x sin (x 2 + 2y)

+ 2 cos (x 2 + 2y)

ij

Ixx ｾｯＬ＠ Iyy 0, '4 Ixy 0, ｾ＠

In die Formel fur die Taylorreihe bis zur Ordnung 2 eingesetzt folgt

1

I (x, y)

2

1+"2 (y-yo) ·(-4)+R2(X,y)

=

1 - 2 (y -

ｾ＠

f + R2 (x,

y) .

1

=

0 0

=

-4

0

O.

40

X Funktionen von mehreren Variablen

(2) Berechnung des Restgliedes R2 (x, V): Das Restglied lautet mit einem nicht naher bekannten Punkt ＨｾＬ＠ "1) auf der Verbindungsgeraden von (x, y) und (0, ｾＩ＠

ｾ＠ {fxxx ＨｾＬ＠

R2 (x, y)

"1) (x - xO)3 + 3 fxxy ＨｾＬ＠

+3 fxyy ＨｾＬ＠

"1) (x - xo) (y - YO)2

"1) (x - xO)2 (y - Yo)

+ fyyy ＨｾＬ＠

"1) (y - YO)3}.

Zur Abschiitzung von R2 (x, y) bestimmen wir die partiellen Ableitungen 3. Ordnung

f xxx (x, y)

=

fxxy (x, y)

=

fxyy (x, y)

=

fyyy (x, y)

=

-12 x sin (x 2 + 2 Y) - 8 x3 cos (x 2 + 2 Y) -8x 2 cos (x 2 + 2y) - 4 sin (x 2 + 2y) -8x cos (x 2 + 2y) -8 cos (x 2 + 2y) .

Y] beliebig, dann gelten die Abschiitzungen (wenn Sei ｾ＠ E [0, xl und "1 E ｾＬ＠｛ man von x > 0 und y > ｾ＠ ausgeht) Ifxxx Ifxxy Ifxyy Ifyyy

ＨｾＬ＠

"1)1 "1) 1 "1) 1 "1)1 ＨｾＬ＠

ＨｾＬ＠ ＨｾＬ＠

< ＱＲｾ＠ +8e < 8e+4 < Ｘｾ＠ < 8.

< 12x + 8x3 < 8x 2 +4 < 8x

Daher erhalten wir eine Oberschranke fUr R2 (x, V):

:::} IR2 (x, y)1

(3) Zahlenbeispiel:




I6..RI

ｾ＠ 17 dul + 1- ｾ＠

d11

= R.

Zahlenbeispiel: U = (110 ± 2) V, 1 = (20 ± 0.5) A ergibt

R = (210 ·2+ Ａｾｧ＠

.0.5) n

= 0.2375n => R = (5.5 ± 0.24)

n.

Der relative Fehler betragt

R_

0.24 -0044-44 fJ1 - . /0.

R - 5.5 - .

32. Beispiel: Ein Widerstand der GrtJBe Ro mit 10 % Toleranz wird mit einem 5 mal grOBeren, zweiten Widerstand von 2 % Toleranz a) seriell b) parallel geschaltet. Man bestimme fUr beide FaIle den Gesamtwiderstand Rges sowie den relativen Fehler.

｡Ｉｾ＠

Damit ergibt sich der relative Fehler zu

R = 20%Ro ｾ＠

Rges

6 Ro

33fJ1 . 10.

51

2.2 Fehlerrechnung

1

1

1

= -RI+R2 Rges

(Rl

m +

R2)2

I/:,R I + I

(RI

25 1 361O%Ro + 361O%Ro Der relative Gesamtfehler betragt hierbei

ｒｾ＠

+ R2)2 =

I6.R I 2

260 36 %Ro

= 7.2%Ro.

ｾ＠ = 7·1 'lRo = 8.66 %.

o

Fehlerformel fUr Potenzgesetze. Viele funktionale ZusammenMnge in den Naturwissenschaften haben eine einfache Beschreibung der Form

Iy = I

(Xl, X2)

= 0: xt .ｘｾＲ＠ ·1

FUr solche Funktionen ist

aId dY = -a Xl Xl

aId c,-lc2d c,c2-ld + -a X2 = 0: CI Xl X2 Xl + 0: C2 Xl X 2 X2· X2

Damit folgt fUr den maximal en relativen Fehler

Der maximale relative Fehler der Grt>Be y = 0: ｸｾＧ＠ . ｘｾＲ＠ setzt sich linear aus den relativen Fehlern der Einzelgrt>Ben Xi zusammen. Als Koeffizienten treten die Betrage der Exponenten auf. Folgerung: Beim Rechnen mit Dezimalzahlen bedeutet die Angabe der Zahl a = 1.23in der Regel: Der genaue Wert von a weicht urn ht>chstens eine halbe Einheit der letzten angegebenen Stelle ab; liegt also zwischen 1.225 und 1.235. Man erkennt dabei, daB die Dezimalzahlen 123; 12.3; 1.23; ... ; 1.23· 10k (k E Z) alle den gleichen relativen Fehler 10001 . 0.005· 10k 10 1.23. 10 k

ｾ＠

0.41 01 10

besitzen. Der relative Fehler einer Dezimalzahl ist umso kleiner, je grt>Ber die Anzahl der geltenden Stellen ist.

52

X Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenfassung: (Fehlerfortpflanzung nach Gau8) Die GrOBe y ｨｾｮｧ･＠ von gemessenen GrOBen Xl, ... , Xn ab

Die GrOBen xl, ... ,

Xn

liegen in der Form

x?

vor. Dabei ist der Mittelwert der GrOBen Xi, 6Xi die Fehlertoleranzen. Dann bestimmt man den Fehler in y aufgrund der MeBungenauigkeiten von Xi ｮｾｨ･ﾭ rungsweise durch

wenn die partiellen Ableitungen

(it)

0

an den Stellen

ＨｸｾＬ＠

... , ｸｾＩ＠

ausgewertet

werden. Die GrOBe y hat den Wert

ｹ］ｦＨｸｾＬ＠

... ＬｸｾＩﾱｪＮ＠

jj heiBt absoluter maximaler Fehler in Ii nearer

f ＨｸｾＬ＠

ｎｾｨ･ｲｵｮｧ＠

und

jj ... , ｸｾＩ＠

relativer maximaler Fehler. Realisierung mit MAPLE. Die MAPLE-Prozedur fehler berechnet den absoluten tiber das vollstlindige maxirnalen sowie den relativen Fehler in linearer ｎｾ･ｲｵｮｧ＠ Differential. Der Aufruf der Prozedur fehler erfolgt durch die Angabe - der Funktionsvorschrift - aller Variablen in der Form x = xO .. xO + dx, wenn xO der MeBwert und dx die Toleranz des MeBwertes ist.

> fehler:=procO > # Prozedur zur Berechnung des maximalen sowie des relativen Fehlers > # eines Ausdrucks in mehreren Variablen >

> local funct, n, i, Var, VarO, var,varO,dvar, Lquer; > funct:=args[1]: > n:=nops([args])-1:

> for i from 1 to n > do varlli:=op(1, args[1 +i])):

53

2.2 Fehlerrechnung

> varOlli:=op(1, op(2, args[1+i))): > dvarlli:=op(2, op(2, args[1 +i)))-varOlli: > od: > > Var:=seq(varlli, i=1 .. n):

> VarO:=seq(varOlli, i=1..n): > funct:=unapply(funct, Var); > Lquer:=sum('abs(D[i](funct)(VarO)*dvarlli)', 'i'=1 .. n); > > Iprint('Der Funktionswert ist', evalf(funct(VarO)));

> Iprint('Der absolute Fehler in linearer Naherung ist', evalf(Lquer)); > Iprint('Der relative Fehler in linearer Naherung ist', > evalf((Lquer/abs(funct(VarO))*100)), "%"); > end: 33. Beispiele: (1) Die Schwingungsdauer eines Pendels der Lilnge L betrligt

T=2W/f Gesucht ist der Fehler in der Schwingungsdauer T, wenn L = 1 m nur bis auf 0.001 m und die Erdbeschleunigung 9 = 9.81 ｾ＠ bis auf 0.005 ｾ＠ genau gegeben ist.

> fehler(2*Pi*sqrt(Ug), L=1 .. 1.001, g=9.81 .. 9.815); Der Funktionswert ist 2.006066681 Der absolute Fehler in linearer Nliherung ist .1514263382 e-2 Der relative Fehler in linearer Nliherung ist .7548419980e-1 "%"

(2) Der absolute sowie relative Fehler aus Beispiel 32 bestimmt sich mit der Prozedur fehler durch a) Reihenschaltung

> fehler(R1 +R2, R1 =RO.. RO+0.1 *RO, R2=5*RO .. 5*RO+0.1 *RO); Der Funktionswert ist 6. * RO Der absolute Fehler in linearer Nliherung ist .2 * abs(RO) Der relative Fehler in linearer Nliherung ist 3.333333334

"%"

b) Parallelschaltung

> fehler(R1 * R2/(R 1+R2), R1 =RO .. RO+0.1 *RO, R2=5*RO .. 5*RO+0.1 *RO); Der Funktionswert ist .8333333333 * RO Der absolute Fehler in linearer Nliherung ist .7222222222e-1 * abs(RO) Der relative Fehler in Ii nearer Nltherung ist 8.666666666 "%"

54

X Funktionen von mehreren Variablen

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen 1m folgenden betrachten wir eine Funktion z = f (x, y) von zwei Variablen x und y, deren partiellen Ableitungen bis zweiter Ordnung stetig sind. Wie bei Funktionen einer Variablen suchen wir zur Charakterisierung der Funktion nach solchen Punkten, in denen der Funktionswert von f am grOBten bzw. kleinsten wird. Bei der Diskussion schriinken wir uns auf die lokalen Maxima und Minima ein:

Definition: (Lokales Extremum) Eine Funktion z = f (x, y) besitzt an der Stelle (xo, YO) E D ein relatives Maximum (bzw. relatives Minimum), wenn in einer Umgebung des Punktes (xo, YO) fur aile (x, y) =1= (xo, YO) stets gilt

f (xo, YO) > f (x, y)

(bzw.

f (xo, YO) < f (x, y»).

Die relativen Maxima und Minima faBt man unter den Begriff "relative Extremwerte" zusarnmen. Relative Extremwerte werden manchmal auch als lokale Extremwerte bezeichnet, da die extreme Lage nur in unmittelbarer Umgebung von (xo, YO), nicht aber global zutrifft. 34. Beispiele: (1) Die Funktion

f (x, besitzt im Punkt (xo, Yo)

y) = x2 + y2

+4

= (0, 0) ein lokales (sogar globales) Minimum. Mit

> f := (x,y) -> xA2+t2+4: > t := (x,y) -> f(O,O)+D[1](f)(O,O)*x + D[2](f)(O,O}*y: > plot3d({f(x,y}, t(x,y}}, x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, axes=boxed,

>

style=PATCHNOGRID,orientation=[45,81]};

wird neben der Funktion

f noch die Tangentialebene im Punkte (0, 0) gezeichnet.

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

(2) Die Funktion

55

! (x, y) = e-(x2+y2)

besitzt im Punkte (xo, Yo)

= (0, 0) ein lokales (sogar globales) Maximum:

> f := (x,y) -> exp(-(x"2+f2»: > t := (x,y) -> f(O,O)+D[1](f)(O,O)*x+D[2](f)(O,O)*y: > plot3d({f(x,y), t(x,y)}, x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, axes=boxed, > style=PATCHNOGRID, orientation=[71 ,83]);

0.8 0.6 0.4 0.2

FUr eine stetig differenzierbare Funktion ! einer Variablen x besagt die notwendige Bedingung fUr ein lokales Extremum Xo E D, daB die Tangente im Punkt (xo, ! (xo)) parallel zur x-Achse verltluft: f' (xo) = O. Hat eine Funktion ! von zwei Variablen in (xo, Yo) ein lokales Extremum, dann ist die Tangentialebene parallel zur (x, y)-Ebene. Die Tangentialebene Zt von! lautet nach §1.4 Zt

(x, y)

a! = ! (xo, Yo) + a! ax (xo, Yo) (x - xo) + ay (xo, Yo) (y - yo).

Sie liegt parallel zur (x, y)-Ebene, wenn sowohl die partielle Ableitung nach x als auch nach y im Punkt (xo, Yo) verschwindet.

Satz: Notwendige Bedingung fUr ein relatives Extremum In einem relativen Extremum (xo, Yo) E D besitzt die Funktion ! (x, y) eine Tangentialebene parallel zur (x, y)-Ebene:

(xo, Yo) relatives Extremum

=?

a! ax (xo, Yo) = 0

&

8! (xo, Yo) = O. ay

1st (xo, Yo) ein relatives Extremum, dann verschwindet also der Gradient von! in (xo, yo):

Igrad! (xo, Yo) = 0·1

56

X Funktionen von mehreren Variablen

Man beachte, daB dieser Satz nicht umkehrbar ist!:

35. Beispiel: Die Funktion

I (x, y) = x· y hat im Punkte (xo, Yo) = (0, 0) eine waagrechte Tangentialebene:

ｾ＠

(x, y) =y

al

=>

ay (x, y) = x =>

ｾ＠

(0,0) =0 }

al

=> grad I (0,0) =

o.

ay (0,0) = 0

Aber in einer Umgebung des Punktes (0, 0) existieren positive und negative Funktionswerte, wie man dem Funktionsgraphen entnimmt

> plot3d(x*y, x=-1..1 , y=-1..1 , axes=boxed, > style=PATCHNOGRID, orientation=[156,81]);

Foiglich hat

I

bei (0, 0) kein lokales Extremum. Man nennt den Punkt einen

Sattelpunkt. Definition: (Stationarer Punkt) Der Punkt (xo, Yo) heiftt stationarer Punkt von I, wenn grad I (xo, Yo) = o.

Relative Extrema sind demnach station:1re Punkte, aber nieht alle station:1ren Punkte sind nach Beispiel 35 relative Extrema. Ein station:1rer Punkt P ist dadurch charakterisiert, daB die Tangentialebene von I in P parallel zur (x, y)-Ebene verlauft. Urn zu entscheiden, ob in einem station:1ren Punkt (xo, Yo) ein lokales Extremum vorliegt, entwickeln wir I nach dem Satz von Taylor in der Umgebung von (xo, Yo) bis zur Ordnung 2

57

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

I (x, y) = I (xo, YO) + Ix (xo, YO) (x - xo) + Iy(xo, YO) (y - YO) Ｋｾ＠ (Ixx (xo, Yo) (x - xO)2 + 2Ixy (xo, Yo) (x - xo) (y - YO) + Iyy (xo, YO) (y - YO)2)

+ R2 (x, y)

Da Ix (xo, YO) = Iy(xo, YO) = 0, entfallen die Ableitungen erster Ordnung; fUr die Ableitungen zweiter Ordnung schreiben wir

I (x, y) = I (xo, YO) + ｾ＠ Ixx (xo, YO) {(x - xo) + ｾｘｹ＠

Ｋｾ＠

f (1

xx

Xo, Yo

)

xx

to, ｙｏｾ＠

Xo, Yo

(y _ yo)}2

{!xx (xo, YO) Iyy (xo, YO) -/;y (xo, YO)} (y - YO)2 +R2 (x, y)

Es gilt: i) 1st

Ixx (xo, YO) > 0 und Ixx (xo, YO) Iyy (xo, YO) - /;y (xo, YO) > 0 => I (x, y) > I (xo, YO) + R2 (x, y).

ii) 1st

Ixx (xo, YO) < 0 und Ixx (xo, YO) Iyy (xo, YO) - /;y (xo, YO) > 0 => I (x, y) < I (xo, YO) + R2 (x, y).

Foiglich entscheidet der Ausdruck

Ixx (xo,

Yo)

Iyy (xo, YO) -/;y (xo,

Yo) > 0

ob in einem stationiiren Punkt ein Extremum vorliegt: Satz: Hinreichende Bedingung fUr ein lokales Extremum I (x, y) sei zweimal stetig partiell differenzierbar in (xo, Yo) E ID. 1m Punkt (xo, Yo) liegt ein lokales Extremum vor, falls (1) Ix (xo, Yo) = 0, Iy (xo, Yo) = O. (2) l:::,,:= Ixx (xo, YO) . Iyy (xo, Yo) -/;y (xo, Yo) > O.

FUr FUr

Ixx (xo, I xx (xo,

Yo) < 0 liegt ein relatives Maximum vor. YO) > 0 liegt ein relatives Minimum vor.

1st hingegen in einem stationiiren Punkt (xo, YO)

Ixx (xo, YO) Iyy (xo, YO) -/;y (xo, YO) < 0, so liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

58

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkungen: (1) Wie bei Funktionen einer Variablen wird die zweite Ableitung herangezogen, urn zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. (2) Definiert man die sog. Hessesche Matrix Hess I :=

(Ixx Ix y ), Iyx Iyy

entscheidet die Determinante der Hesseschen Matrix im Punkte (xo, YO), ob ein Extremum vorliegt. Es gilt:

0

kein Extremwert, sondern Sattelpunkt. keine Entscheidung mtiglich, ob an der Stelle (xo, YO) ein Extremum vorliegt. ein Extremum liegt vor.

36. Beispiele: (1) Die Funktion

I (x,

y) = x2 + y2

+c

hat im Punkte (xo, Yo) = (0, 0) ein lokales Minimum: (i) Aus grad I = 0 folgen die statioMren Punkte:

Ix (x' y) =! 2x ｾ＠ o::::} x = o} Iy (x, y) = 2y = o::::} Y = 0

::::}

(x, y ) = (0, 0) ist stationtlrer Punkt.

(ii) Einsetzen des stationtlren Punktes in die Formel 6:

Ixx (0, 0) = 2 Iyy (0, 0) = 2 Ixy (0,0) = 0

} ::::} 6

= Ixx (0, 0) . Iyy (0, 0) -/;y (0, 0) = 4> O.

::::} (0, 0) ist relatives Extremum. Wegen

Ixx (0, 0) > 0 liegt ein relatives Mini-

mum vor. (2) Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

I (x, y) (i) Aus grad I

= (x 2 + y2)2 - 2 (x 2 _ y2) .

= 0 folgen die stationtlren Punkte:

Ix (x, Iy (x,

y)

4 x (x 2 + y2) - 4 x ｾ＠ 0

y)

4y

(x 2 + y2) + 4 y ｾ＠ O.

Die reellen Ltisungen sind nach Beispiel 39 (0, 0); (1, 0) und (-1, 0). Htichstens an diesen Stellen kann I ein Extremum annehmen.

59

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

(ii) Einsetzen der stationllren Punkte in die Formel b.:

=}

b. (0, 0) '---t

=}

b. (1, 0) '---t

fxx (x, y) fyy (x, y)

=

12x2 +4y2-4 12y2 + 4x 2 + 4

fxy (x, y)

=

8xy.

= fxx (0, 0) . fyy (0, 0) -

/;y (0, 0)

= -4· 4 - 0 = -12 < 0

in (0, 0) liegt kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt vor.

= fxx (1, 0) . fyy (1, 0) -

/;y (1, 0)

= 8 .8 -

0 = 64 > 0

= 8 > O.

in (1, 0) liegt ein lokales Minimum vor, da f xx (1, 0)

Wegen der Symrnetrie f(-x , y) kales Minimum vor. (3) Die Funktion

f (x,

= f(x,y)

liegt auch im Punkt (-1,0) ein 10-

y) = c + x 2 _ y2

,

,

hat in (0,0) einen Sattelpunkt: Aus fx (x, y) = 2x == 0 und fy (x , y) = 2y == 0 =} (x, y) = (0,0) ist einziger stationllrer Punkt. Da fxx (x, y) . fyy (x, y) /;y (x, y) = -4 < 0 fUr aIle (x, y) ist (0,0) kein lokales Extremum, sondern ein Sattelpunkt.

z

z

y

y

x

Funktion f(x, y)

= c + x 2 + y2

x

Funktion f(x, y)

= c + x2 _

y2

Bestimmung der stationaren Punkte und Extremwerte mit MAPLE. Die Prozeduren stationaer und extremum bestimrnen die stationl1ren Punkte einer Funktion und prufen nach, ob ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. Die Prozedur stationaer berechnet die stationllren Punkte einer Funktion f von n Variablen Xl, ... , x n , indem aIle partiellen Ableitungen von f auf Null gesetzt werden.

8f

-8 (Xl, ... ,xn)=O Xi

(i=l, ... ,n)

60

X Funktionen von mehreren Variablen

Die Gleichungen werden in der Prozedur mit eq[i] (i = 1, ... , n) bezeichnet und mit dem solve-Befehl nach den Variablen var[i] (i = 1, ... , n) aufgel/jst. Der Aufruf der Prozedur erfolgt durch die Angabe von

- I: - [varl, . .. , varn]:

Funktionsausdruck Liste der Variablen der Funktion

> stationaer:=procO > # Prozedur zur Bestimmung der stationaren > # einer Funktion von n Variablen > > local funct, n, i, var, eq, df; > funct:=args[1]: > n:=nops(args[2]): > > for i from 1 to n > do var[i]:=args[2][i]: od: > for i from 1 to n > do eq[i]:=diff(funct, var[i])=O: od: > solve( {seq(eq[i],i=1..n)}, {seq(var[i],i=1..n)}); > end:

f.

Punkte

37. Beispiel: Gesucht sind die station1lren Punkte der Funktion 2

2

I(x, y) = e- x -y .

> f := exp(-x"2-t2): > stat := stationaer(f,

[x, y]);

stat:={x=O,y=O} Der einzige station1lre Punkt ist (x, y) = (0, 0). Urn zu prUfen, ob dieser station1lre Punkt ein lokales Extremum darstellt, verwendet man die Prozedur extremum..2d. Die Prozedur extremum..2d: Diese Prozedur prUft nach, ob fUr einen vorgegebenen Punkt das Kriterium

6. =

Ixx (xo, YO) Iyy (xo, YO) - /;y (xo, YO) > 0

erfUllt ist. Der Zusatz ..2d besagt, daB nur Funktionen von zwei Variablen zugelassen sind. Der Aufruf von extremum..2d erfolgt durch die Angabe des Funktionsausdrucks sowie dem stationiiren Punkt in der Form von {varl =xO, var2 = yO}.

> extremum-2d:=procO > # Prozedur zur Entscheidung, ob in einem stationaren Punkt > # der Funktion z=f(x, y) auch ein lokales Extremum vorliegt.

61

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

> local funct, var1, var2, delta, deltaO, f..xxO; > > funct:=args[1]: var1 :=op(1 ,args[2][1]): var2:=op(1,args[2][2]): > > delta:=diff(funct, var1 $2}*diff(funct, var2$2}-diff(funct, var1, var2f2: > deltaO:=evalf(subs(args[2], delta)): > f..xxO:=subs(args[2], diff(funct, var1$2)): > > if deltaO > 0 then > if evalf(f..xxO} > 0 > then print('lm Punkt', args[2], 'Iiegt ein lokales Minimum vor.'}: > else print('lm Punkt', args[2], 'liegt ein lokales Maximum vor.'}: > fi; > elif deltaO = 0 then > print(,Delta=O. Es kann nicht entschieden werden, }: > print('ob im Punkt ',args[2],'ein lokaler Extremwert vorliegt.'}: > else print ('1m Punkt', args[2], 'liegt ein Sattelpunkt vor.'): > fi; > end: 38. Beispiel: 1st der stationare Punkt x = 0, y Extremum der Funktion f (x, y) = e-(x2+y2)? > extremum_2d(f, {x=O,y=O}};

= 0 aus Beispiel

37 ein lokales

1m Punkt {x = 0, y = O} liegt ein lokales Maximum vor. 39. Beispiel: Gesucht sind die Extremwerte der Funktion

f (x, y)

=

(x 2 + y2)2 _

2

(x 2 _

y2).

> f := (x 2+{2f2-2*(x 2-{2): > stat := stationaer(f, [x, y]}; A

A

stat:= {x

= 0, y = O} , {x = 0, y = RootOf (_Z2 + I)} {x = 1, y = O} , {x = -1, y = O}

,

Die reellen stationaren Punkte sind (0, 0), (1, 0) und (-1, 0). Mit extremum-2d prUfen wir fUr jeden Punkt einzeln nach, ob ein Extremum vorliegt: > extremum.2d(f, stat[1]); 1m Punkt {x = 0, y = O} liegt ein Sattelpunkt vor.

> extremum.2d(f, stat[3]); 1m Punkt {x = 1, y = O} liegt ein lokales Minimum vor.

> extremum_2d(f, stat[4]); 1m Punkt {x

= -1, Y = O} liegt ein lokales Mirnimum vor.

62

X Funktionen von mehreren Variablen

Relative Extrema fUr Funktionen mit mehreren Variablen Der Begriff des relativen Extremum laBt sich auch auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen y = I (Xl, ... , Xn) Ubertragen: Eine notwendige Bedingung fUr ein Extremum im Punkte ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ ist, daB der Gradient von I in diesem Punkt verschwindet: Satz: Die Funktion y = I (Xl, ... , Xn) besitzt im Punkte ＨｘｾＬ＠ kales Extremum, dann gilt grad I ＨｸｾＬ＠

... , ｸｾＩ＠

... , ｸｾＩ＠

Dies bedeutet, daB im Punkte ＨｸｾＬ＠ den ... , ｸｾＩ＠ 8x J ＨｸｾＬ＠

. . . , ｘｾＩ＠

ein 10-

= O.

aIle partiellen Ableitungen verschwin-

= 0, ... , 8xn l ＨｸｾＬ＠

... , ｸｾＩ＠

= O.

Urn eine hinreichende Bedingung zu erhalten, geht man zu der entsprechenden Hesseschen Matrix

Hessi :=

ｦＮｾＬ＠

(

Ix!

Xl

fXnXl

iXI X2 iX2 X2

ffX2 ...Xn" )

/XnX2

fxnx n

aller partiellen Ableitungen der Ordnung 2 uber. Man beachte, daB die Matrix symmetrisch ist, da nach dem Satz von Schwarz

fUr zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen ist. Zur Charakterisierung der Extremwerte fuhren wir fUr symmetrische Matrizen folgenden Sprachgebrauch ein: Definition: Eine symmetrische (n x n )-Matrix A heijJt positiv definit, wenn jur alle k = 1, ... , n die Unterdeterminanten 6k gr(Jj3er Null sind.

A=

al n

:

ann

)

:::} 6

k

= det

(

an

...

a lk

:

:

akl

akk

)

>0.

Eine symmetrische Matrix heijJt negativ definit, wenn die Matrix (-A) positiv definit ist. FUr definite Matrizen gilt der folgende Satz: A ist genau dann positiv (negativ) definit, falls aIle Eigenwerte (Kap. XI.2.3) von A positiv (negativ) sind.

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

63

Satz: Hinreichende Bedingung fur lokaIe Extrema Sei Y = f (Xl , ... , Xn) eine Funktion mit n Variablen. In einem stationliren ... , ｘｾＩ＠ liegt ein lokales Maximum vor, wenn die Hessesche Matrix Punkt ＨｘｾＬ＠ Hess f im Punkte ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ negativ definit ist; es liegt ein lokales Minimum vor, wenn sie positiv definit ist. FUr Funktionen f mit n Variablen (Xl, ... , Xn) pruft die Prozedur extremumJld nach, ob in einem stationllren Punkt ein lokales Extremum vorliegt. Als Entscheidungskriterium wird die Definitheit der Hesseschen Matrix

Uberprtift. Die Hessesche Matrix wird mit dem Befehl

> hessian(function, [x_1, ... , x_n]); aufgestellt. Der hessian-Befehl ist im linalg-Paket enthalten. Ober das Vorzeichen der Determinante aller Untermatrizen

wird die positive oder negative Definitheit der Matrix bestimmt. Mit dem submatrix-Befehl

> submatrix(H, 1.. i, 1.. i); werden die Untermatrizen gebildet. 1st die Matrix weder positiv noch negativ definit, dann nennt man sie indefinit und im stationllren Punkt liegt kein lokales Extremum vor. Der Aufruf der Prozedur extremumJld erfolgt analog extremum-2d.

> extremum_nd:=procO > # Prozedur zur Entscheidung, ob in einem stationaren Punkt der Funktion > # z=f(x1, x2, ... , xn) auch ein lokales Extremum vorliegt. > > local funct, n, i, var, H, H1, definit, d; > funct:=args[1]: > n:=nops(args[2]): > with(linalg): > for i from 1 to n > do var[i]:=op(1,args[2][i]): od: > > # Hessesche Matrix > H:=hessian(funct, [seq(var[i], i=1 .. n)]); > H1 :=subs(args[2], eval(H)); > print('Oie Hessesche Matrix', eval(H»;

64

X Funktionen von mehreren Variablen

> print('lautet im Punkt',args[2),':', eval(H1)): > > # Bestimmung der Definitheit > definit:= true: > if evalf(H1 [1,1]) = 0 then definit:=false: fi: > if evalf(H1[1,1]) < 0 then H1:=evalm(-1*H1): fi: > > for i from 1 to n > do d[i):=evalf(det(submatrix(H1, 1.. i, 1.. i))): > if signum(d[i]) 1 then definit:=false: fi: > od: > > if definit > then if evalf(H 1[1 ,1]) > 0 > then print('lm Punkt',args[2),'liegt ein lokales Minimum vor.'):

>

else print('lm Punkt',args[2),'liegt ein lokales Maximum vor.'): > fi; > else print('Da die Hessesche Matrix indefinit ist, liegt im Punkt '): > print(args[2),'kein lokaler Extremwert vor.'): > fi; > end: 40. Beispiel: Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

f (x,

y, z)

= e- (x 2+Y 2+ z 2) .

Stationiire Punkte: > f:=exp(-xA2_yA2_zA2): > stat:=stationaer(f, [x, y, z]); stat := { z = 0, x = 0, y = O} Extremum:

> extremum.nd(f, stat); Die Hessesche Matrix

-2%1+4x 2 %1 4yx%1 4 y x %1 -2 %1 +4 y2 %1 4zx%1 4zy%1 %1 := e( _x2_y2_z2)

lautet im Punkt, {z = 0, x = 0, y = O},:,

4zx%1 4zy%1 -2%1+4z 2 %1

-2eo

0

0

-2e o

o

0

1m Punkt {z = 0, x = 0, y = O} liegt ein lokales Maximum vor.

2.4 Ausgleichen von MeBfehlem; Regressionsgerade

65

Zur Berechnung der lokalen Extrema kann auch der MAPLE-Befehl extrema herangezogen werden. > readlib(extrema): {x,y}, extr); > ･ｋｴｲｭ｡ＨｸｾＲＫｻ｣Ｌ＠

n,

{c} Der extrema-Befehl bestimmt von der Funktion f(x, y) = x 2 + y2 + c die Extremwerte bezQglich den Variablen {x, y} und liefert als Ergebnis die Menge der extremen Funktionswerte. 1m Namen extr werden die Extremalpunkte abgespeichert > extr;

{{x=o,y=O}}

n

1m zweiten Argument des Aufrufs kt>nnen in noch Nebenbedingungen angegeben werden, unter welchen die Extremwerte bestimmt werden sollen.

> ｦＺ］ＨｸｾＲＫｻｲＭＪＩ＠ > extrema(f, > extr;

n, {x,y}, extr):

{{x=0,y=RootOf(-Z2+1)} , {x=O,y=O}, {y = 0, x = I} , {y = 0, x = -I}}

2.4 Ausgleichen von Me8fehlern; Regressionsgerade Eine wichtige Anwendung der Theorie der Extremwerte ist das Ausgleichen von MeBfehlern: Durch Messungen, welche die Abhttngigkeit einer GroBe y von einer anderen GrOBe x ermittelt, seien n Wertepaare (Xl, Yl), ... , (xn' Yn) erfaBt worden. Die Aufgabe der Ausgleichsrechnung besteht darin, eine Funktion f zu finden, die sich einerseits den vorliegenden MeBpunkten mt>glichst gut anschrniegt und die andererseits einen mOglichst glatten Verlauf besitzt. 41. Beispiel: Gemessen wird die Temperaturabhttngigkeit eines Ohmschen Widerstandes. Gesucht ist eine Gerade, welche die MeBpunkte "geeignet" reprlisentiert.

T Abb. 14: Temperaturabhllngigkeit eines Ohmschen Widerstandes

66

X Funktionen von mehreren Variablen

Prinzip der kIeinsten Quadrate. Die gesuchte Funktion f soIl die Eigenschaft besitzen, daB die Abstandsquadrate der MeBpunkte zur Ausgleichsfunktion minimal werden:

f(x)

d2 (X2,Y2)

d3 (X3,Y3)

Abb. 15: Abstande di zur Ausgleichsfunktion

Der Abstand vom MeBpunkt Yi zur Ausgleichsfunktion di

= Yi - f

f am Punkte Xi ist

(Xi) .

Die Summe Uber aIle Abstandsquadrate ist daher n

ｌ､ｾ＠

n

=L(Yi-f(Xi))2 i=l

i=l

Je nach vermutetem funktionalen Zusammenhang w!l.hlt man sich einen Funktionsansatz. TabeIle: Ausgleichsfunktionen

I Ausgleichsfunktion I lineare Funktion quadratische Funktion ganzrat. Funktion Potenzfunktion Exponentialfunktion

I Parameter

f(x)=ax+b f (x) = a x 2 + b X + c f (x) = an xn + ... + al x + ao f(x)=ax b f (x) = ae bx

a, b a, b, c an, an-I,···, aO a, b a, b

In jeder Ansatzfunktion f (x) sind Parameter enthalten, die so bestimmt werden mUssen, daB die Summe der Abstandsquadrate minimal wird (Prinzip der kleinsten Quadrate): n

F (a, b, c, ... ) :=

L

(Yi - f (Xi))2

-f

minimal.

i=l

Diese Summe ist wiederum eine Funktion der Parameter F(a, b, c, .. .). Gesucht ist ein Minimum dieser Funktion. Aus der Theorie der Extrema §2.3 kennen wir

2.4 Ausgleichen von MeBfehlem; Regressionsgerade

67

eine notwendige Bedingung fUr ein lokales Extremum: Aile partiellen Ableitungen mUssen im stationiiren Punkt verschwinden 8F 8F 8F => 8a = 0, 8b = 0, 8e = 0, ... Dies liefert genau so viele (La. nichtlineare) Gleichungen wie Parameter im Ansatz enthalten sind. Methode der kleinsten Quadrate: Zu n vorgegebenen MeBpunkten (Xi, Yi)i=l •...• n lllBt sich eine Ausgleichskurve wie folgt bestimmen: (1) Auswahl einer Ansatzfunktion (Gerade, Parabel, ... ). Dieser Ansatz enthlllt zunllchst unbestimmte Parameter a, b, e, .. . .

(2) Man bildet die Summe der Abstandsquadrate n

F(a, b, e, ... ) =

L (Yi -

f(Xi))2.

i=l

Diese Summe ist eine Funktion der freien Parameter. (3) Die Parameter werden dann so bestimmt, daB die Funktion F (a, b, e, .. .) minimal wird, d.h.

8F 8b =0,

8F =0 8a '

8F 8e =0, ....

Regressionsgerade. Wir werden nur den fUr die Anwendungen wichtigsten Spezialfall der Regressionsgeraden diskutieren. Wir nehmen an, daB zu n verschiedenen x-Werten Xl, ... , Xn die zugeht>rigen Y- Werte YI, . .. , Yn vorliegen, so daB n MeBpunkte

(Xl. Yd, (X2' Y2) , ... , (xn' Yn) gegeben sind. Gesucht sind die Parameter a und b in der Regressionsgeraden f (x)

= ax + b,

so daB die Summe der Abstandsquadrate minimal wird. Der Abstand di der MeBpunkten zur Ausgleichsgeraden lautet

Die Summe der Abstandsquadrate n

F (a, b)

=L i=l

､ｾ＠

n

=L i=l

(Yi - aXi - b)2

68

X Funktionen von mehreren Variablen

ist daher eine Funktion der beiden Parameter a und b. Von der Funktion F (a, b) suchen wir ein globales Minimum. Urn die stationttren Punkte zu bestimmen, setzen wir die partiellen Ableitungen von F nach a und b gleich Null: n

8F 8a

i=l n

n

n

-2 LYixi+2a LXT+2b LXi 4:0.

8F 8b

i=l

i=l

i=l n

(Yi -axi -b) (-1)

2L i=l n

n

n

-2 LYi+2a LXi+2 Lb4:0. i=l

i=l

i=l

Diese notwendigen Bedingungen bilden ein lineares Gleichungssystem fOr a, b:

(t. x1 )

a

(tXi)

a

+

(t. Xi)

b

n

b

n

LXiYi i=l n

+

t=l

LYi. i=l

Da fOr die Koeffizientenmatrix gilt

erhalten wir z.B. mit der Cramerschen Regel die eindeutige L6sung des linearen Gleichungssystems

Urn zu Oberprilfen, ?aB F im ｵｮｫｴ･＠ｾ (a, b) ein lokales Minimum annimmt, berechnen wir Faa(a, b) . Fbb(a, b) - F;b(a, b): n

Faa =2 ｌｘｾ［＠

n

Fbb i=l

= 2n;

Fab = 2 LXi i=l

69

2.4 Ausg\eichen von Me6fehlem; Regressionsgerade

'* F=· Fbb -

F;;.

ｾ＠

4n t, xl-4 (t,x.)' ｾ＠

4£» O.

Durch die Methode der kleinsten Quadrate wird also die Gerade

als Iineare Glattungsfunktion fUr die MeBpunkte bestirnrnt. Diese Gerade heiBt auch Regressionsgerade oder Ausgleichsgerade. 42. Beispiel: Wir betrachten ein einfaches Beispiel aus 6 MeBwerten:

1 5

2 3 7 8

4

10

5 10

Dann ist

= 6 . (1+ 22 + 32 + 42 + 52) - (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 105 a = _1_ [6. (1 . 5 + 2 . 7 + 3 . 8 + 4· 10 + 5 . 10) 6.

105

51 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) (3 + 5 + 7 + 8 + 10 + 10)] = 35.

Analog berechnet sich

b= ｾｩＮ＠

Die Regressionsgerade hat Smnit die Form

FUr eine gr{)Bere Anzahl von MeBpunkten muB selbst die Bestirnrnung der Regressionsgeraden auf einem Rechner durchgefUhrt werden. 0 Bestimmung der Ausgleichsgeraden mit MAPLE. Die Prozedur Regressionsgerade bestirnrnt zu einer Liste aus vorgegebenen MeBwerten [[Xl, Yl] , ... , [Xn' Yn]] die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden und zeichnet sowohl die MeBwerte als auch die Ausgleichsgerade in ein Schaubild. Der Aufruf erfolgt wie der plotBefehl fUr eine Liste von Punkten.

> Regressionsgerade:=proc(} > # Prozedur zur Bestimmung der Regressionsgeraden > local n, i, x,y, A11, A12, b1, b2, delta, a, b, p1, p2; > > n:=nops(args[1)): > for i from 1 to n > do x[i]:=op(1, args[1 ][i)): > y[i]:=op(2, args[1 ][i)): > od: >

70

X Funktionen von mehreren Variablen

> A11:=sum('x[r2','i'=1 .. n): > A12:=sum('x[i]' ,'i'=1 .. n): > b1 :=sum('x[i]*y[i]' ,'i'=1 .. n): > b2:=sum('y[i]' ,'i'=1 .. n): > > delta:=A 11 *n-A 12A2: > a:=1/delta*(n*b1-A12*b2); > b:=1 Idelta*(A11 *b2-A 12*b1); > > print('Oie Regressionsgerade lautet " a*x+b); > p1 :=plot(args, style=point, symbol=circle, color=red): > p2:=plot(a*X+b, x=x[1 ] .. x[n], thickness=2): > with(plots): display( {p1, p2}); > end: 43. Beispiel:

> Regressionsgerade([[0,3],[1 ,5],[2,7],[3,8],[4,10],[5,10]]);

o 51 74 · R . d I DIe egresslOnsgera e autet, 35 x + 21

Wir haben den Fall der Ausgleichsgeraden ausfUhrlich behandelt, da er durch Modifikation der MeBwerte auch die logarithrnische, die exponentielle sowie die Potenzanpassung beinhaltet: Bemerkungen: (1) 1st eine logarithmische Anpassung

If(x)=alnx+bl an die MeBwerte gesucht, filhrt man die Hilfsvariable z = In x ein. Aus den x-Werten der Messung wird der Logarithmus gebildet und von den MeBwerten (Xi, Yi), i = 1, ... , n zu den Wertepaaren (In (Xi), Yi), i = 1, ... , n ilbergegangen. Mit diesen Daten bestimmt man die Ausgleichsgerade.

2.4 Ausgleichen von MeBfehlem; Regressionsgerade

71

(2) 1st eine exponentielle Anpassung

an die MeBwerte gesucht, bildet man von der Gleichung

den Logarithmus lny = Ina + b· x = Ax + B. Aus den (Xi, Yi)-MeBwerten geht man zu den Wertepaaren (Xi, In (Yi)) Uber und bestimmt die Parameter A und B der Ausgleichsgeraden. Dann ist b = A und a = e B . (3) 1st eine Potenzanpassung

an die MeBwerte gesucht, bildet man von der Gleichung

den Logarithmus

Iny

= Ina + b lnx.

Aus den (Xi, Yi)-MeBwerten geht man zu den Wertepaaren (In (Xi) , In (Yi)) i1ber und bestimmt die Ausgleichsgerade

y=Ax+B. Dann ist b = A

und

a

= eB •

(4) Die logarithmische und exponentielle Anpassung bzw. die Potenzanpassung entsprechen der Darstellung der MeBwerte in einer logarithmischen bzw. doppel-Iogarithmischen Auftragung (siehe Bd. 1, Kap. IV.1.2). Die logarithmischen Darstellungen von Funktionen bzw. MeBwerten erfolgen durch die Befehle logplot, loglogplot und semilogplot.

Bestimmung eines Ausgleicbspolynoms mit MAPLE. In Verallgemeinerung der Vorgehensweise bei der Berechnung der Parameter der Ausgleichsgeraden bestimmt die Prozedur ausgleicb die freien Parameter einer vorgegebenen Polynornfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate. Der Aufruf von ausgleicb erfolgt durch die Angabe des Ausgleichspolynoms, aller Parameter, die angepaBt werden soIlen, sowie der Liste aus MeBwerten.

72

X Funktionen von mehreren Variablen

> ausgleich:=proc() > local n, i, n_para, n_werte, funct, var, eq, xd,yd, F, p1, p2, sol; > > n:=nops([args]): > n_para:=n-2: > n_werte:=nops(args[n]): > funct:=args[1]: > > for i from 1 to n_para > do var[i]:=args[i+ 1]: od: > > for i from 1 to n_werte > do xd[i]:=op(1, args[n][i]): yd[iJ:=op(2, args[n][i]): od: > > > # Abstandsquadrate

> F:=sum('(subs(x=xd[i], funct)-yd[i]f2' ,'i'=1 .. n_werte): > for i from 1 to n_para > do eq[i]:=diff(F, var[i])=O: od: > sol:=solve{ seq(eq[i], i=1 .. n_para)},{seq(var[i], i=1..n_para)}); > > print('Die Ausgleichsfunktion lautet' ,subs(sol, funct)); > print('Das Abstandsquadrat ist',evalf(subs(sol, F))); > p1 :=plot(args[n], style=point, symbol=circle, color=red): > p2:=plot(subs(sol, funct), x=xd[1] .. xd[n_werte], thickness=2): > with(plots): display( {p1, p2}); > end: 44. Beispiel: Zu den MeBwerten aus Beispiel 43 solI eine Ausgleichsparabel bestirnmt werden, die sich besser als die Regressionsgerade an die MeBwerte anpaBt. > ausgleich(a*x"2+b*x+c, a, b, c, [[0,3],[1,5],[2,7],[3,8],[4,10],[5,10]]);

Die Ausgleichsfunktion lautet, -:8 x 2 + ｾ＠ Das Abstandsquadrat ist, .4857142857

X

+ ｾＡ＠

73

3.1 Doppelintegraie (Gebietsintegraie)

§3. Integralrechnung fur Funktionen von mehreren Variablen Wir beschfiftigen uns in diesem Abschnitt mit mehrdimensionalen Integralen. Die Obertragung vom eindimensionalen auf den mehrdimensionalen Fall bereitet im Prinzip keine Schwierigkeiten, wird aber von seiner Konstruktion her sehr viel aufwendiger. Zunlichst fuhren wir in §3.1 Doppelintegrale zur Bestimmung von Volumina, Schwerpunkten von ebenen Fllichen und Fllichenmomenten ein. AnschlieBend in §3.2 Ubertragen wir die Vorgehensweise auf Dreifachintegrale, urn Schwerpunkte und Massentrligheitsmomente von Kt>rpern zu berechnen. Eine weitere Mt>glichkeit, den Integralbegriff auf Funktionen mit mehreren Variablen zu erweitern, besteht in der Integration entlang einer Linie. Dies fuhrt auf den Begriff der Linienintegrale (§3.3), die in der Elektrodynamik und Thermodynamik zur Berechnung der Energie herangezogen werden. In §3.4 werden Oberfllichenintegrale diskutiert.

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale) 3.11 Definition Das bestimmte Integral einer positiven Funktion f (x) im Intervall [a, b] reprlisentiert die Flliche, welche die Kurve f (x) mit der x-Achse im Bereich [a, b] einschlieBt. Definiert wird das bestimmte Integral f (x) dx als Grenzwert Uber die Summe aller Rechteckfllichen (Xk - Xk-l) f ＨｾｫＩＧ＠ wenn die Intervallbreite 6Xk = (Xk - Xk-l) der Unterteilung des Intervalls

J:

a

fUr n ｾ＠

00

•

b

x

= Xo < Xl < ... < Xn-l < Xn = b

gegen Null strebt. ｹｾｦＨｸＩ＠

Urn diesen Integralbegriff auf zweidimensionale Gebiete zu Ubertragen, reicht es fUr unsere Zwecke vollkommen aus, nur einen beschrlinkten, einfach zusammenhfingenden Bereich G C R2 in der (x, y)-Ebene zu betrachten, der einen "glatten" Rand besitzt. Diesen Bereich nennen wir im folgenden ein Gebiet. Es

74

X Funktionen von mehreren Variablen

sei z = f (x, y) eine auf dem Gebiet G stetige, positive Funktion. Gesucht ist das Volumen zwischen den Funktionsgraphen und G: ___--_z=f(x,y)

z

VolumenV

ＭｦｾＫｔＮｹ＠

G

x

Zur Bestimmung des Volumens V zerlegen wir das Gebiet G in Rechteckflachen der Lange !:J.Xi und Breite!:J.Yj. Die Anzahl der Unterteilungen in x-Richtung sei n, die Anzahl der Unterteilungen in y-Richtung m . FUr jedes Rechteck (i, j) wahlen wir einen beliebigen Punkt P ＨｾｩＧ＠ 'fJj) und bestimmen den zugehorigen 'fJj). Das Zylindervolumen Uber dem Rechteck betragt GrundFunktionswert f ＨｾｩＧ＠ flache x HOhe:

z z=f(x,y)

y

Abb. 16: Zum Begriff des Doppelintegrals AnschlieBend bildet man die Summe aller Zylindervolumen Uber dem Gebiet G. (FUr Rechtecke auBerhalb von G setze man das Volumen auf Null.) Die Zwischensumme aller Zylindervolumen bildet eine Naherung fUr das zu berechnende Volumen m n

V ｾ＠

L L f ＨｾｩＬ＠

j=1 i=1

'fJj) tl.xJj.Yj·

75

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

Je feiner die Unterteilung des Gebietes G ausfallt, umso genauer ist diese Naherung. Wir lassen daher die Anzahl der Unterteilungen in x- und y-Richtung anwachsen. Strebt beim GrenzUbergang n --t 00, m --t 00 die Zwischensumme gegen einen Grenzwert, so bezeiehnet man ihn als Doppelintegral bzw. als Gebietsintegral.

Definition: (Doppelintegral, Gebietsintegral) Der Grenzwert

wird (falls er existiert) als Doppelintegral (Gebietsintegral) von faber G bezeichnet. Man nennt dann faber G integrierbar.

Bemerkungen: (1) Oftmals wird die symbolische Schreibweise

Jf

(x, y) dG nur mit einem

(G)

Integralzeiehen benutzt. (2) Man nennt (x, y) f (x, y) dG

(G)

die Integrationsvariablen den Integrand das Flachenelement den Integrationsbereieh.

(3) FUr stetige Funktionen ist das Doppelintegral immer definiert. (4) Existiert der Grenzwert, dann ist er unabh!lngig von der speziellen Gebietszerlegung. (5) FUr die algebraische Definition des Doppelintegrals ist f (x, y) ｾ＠ 0 nieht erforderlich, sondern nur fUr die geometrische Interpretation als Volumen zwischen dem Graphen von fund G. 3.L2. Berechnung von Doppelintegralen Urn Doppelintegrale zu berechnen, zerlegen wir

II f (x, y) dG in zwei nachein(G)

ander auszufUhrende einfache Integrale. Dazu Uberdecken wir das Gebiet G mit einem achsenparallelen Rechteckgitter mit Maschenweiten 6x und 6y und bilden die Summe Uber aIle Zylinder, deren Grundflache in G liegt:

76

X Funktionen von mehreren Variablen

b)

a) y

y I,(x) ｾ＠ ＬＮｾ＠

I-'

"

,

" I'

'.

-)

/

1/

-

....

toy

K

-r--.

I,(x

x

.,

loX

e,

x

... conat

I,

Abb. 17: Berechnung eines Doppelintegrais Uber eine Zerlegung der Grundflache Stellen wir den unteren und oberen Rand durch Funktionen II (x) und h (x) dar, dann konvergiert die innere Surnrne fUr f:.,.y ----> 0 (m ----> 00) fUr festes ｾｩ＠ E [Xi-I, Xi] gegen das Integral

=

Iy ＨｾｩＩ＠

j,

h(f;i)

f

h(f;i)

ＨｾｩＧ＠

y) dy.

Dies ist ein gewohnliches Integral mit der Integrationsvariablen y. FUr festes wird entlang der y-Achse von h ＨｾｩＩ＠ bis h ＨｾｩＩ＠ integriert.

", V

(t, f«" ｾｪＩ＠

ｾ＠ ｭｾｯｴＬ＠

ｾｹＩ＠

ｾｩ＠

ｾｸ＠

n

L Iy ＨｾｩＩ＠ ｾｸＮ＠

i=l

Lassen wir nun auch noch f:.,.x ----> 00 gehen (n verbleibende Surnrne gegen das Integral

---->

Dieses Ergebnis ist der doppelte Grenzwert n Doppelintegral von f Uber dem Gebiet G.

00, m

=}

fY f (G)

(x, y) dxdy =

l (1

---->

a2

12 (x)

x=a]

y=h(x)

00), dann konvergiert die

f

---->

00, also genau das

(x, y) dy ) dx.

77

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

Berechnung von Doppelintegralen: Die Berechnung des Doppelintegrals JJ f (x, y) dG erfolgt durch zwei nachein(G)

ander auszufUhrenden, gewohnlichen Integrationen:

II f

(X, y) dG =

I::al

(G)

,

eLf

(x, y) dY)

dx.

(01)

,

v

x=const, und y variiert von II (x) und h(x)

(1) Das innere Integral wird fUr festes x nach y integriert. Die Grenzen sind

y = It (x) und y = h (x). Das Ergebnis der ersten Integration ist eine Funktion, in der nur noch x als Variable vorkommt. (2) Das l1uBere Integral wird durch Integration Uber x bestimmt.

Bemerkungen: Die Integrationsformel (Dl) entspricht der Zedegung des Gebietes in Streifen parallel zur y-Achse und anschlieBender Aufsumrnierung aller Streifen in xRichtung (siehe Abb. 17b). Die einzelnen, zur y-Achse parallelen Streifen besitzen Anfangs- und Endwerte, Yl und Y2, die wiederum von der Lage des Streifens, d.h. von der x-Koordinate abhl1ngen: Yl = It(x) und Y2 = h(x). Das Aufsumrnieren erfolgt Uber aIle Streifen zwischen Xmin = al und X max = a2· (2) Es wird bei dieser Darstellung davon ausgegangen, daB der Rand sich durch zwei Funktionen It (x) und h (x) beschreiben Hillt. FUr komplizierte Gebiete muB G in entsprechende Teilbereiche unterteilt werden (siehe untere linke Abb.).

(1)

y b,

G

ＭＺＧｾＦｍ＠

b, x

(3) Vertauscht man die Rolle von x und Y und stellt den linken Rand durch die Funktion gl (y) und den rechten Rand durch g2 (y) dar, erhllit man fUr das

78

X Funktionen von mehreren Variablen

Doppelintegral

Jr r } (G)

f (x, y)

dG =

Jb

2

y=b j

,

C!:./

(x, y)

dx)

(D2)

dy. ,

v

y=const, integriert wird tiber x

Das innere Integral wird ftir festes y von gl (y) bis g2 (y) nach x integriert. Das Ergebnis enthalt nur noch die Variable y. Das auBere Integral wird durch Integration tiber y bestirnrnt (vgl. obere rechte Abb.). (4) Graphisch entspricht die Integrationsforrnel (D2) einer Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur x-Achse und anschlieBender Aufsurnrnierung aller Streifen in y-Richtung. Anfangs- und Endpunkte der Streifen hangen hier von y ab: gl (y) und g2 (y). Durch Aufsurnrnieren werden aIle Streifen von Ymin = b1 bis Ymax = b2 berucksichtigt. (5) Die Reihenfolge der Integration ist durch die Reihenfolge der Differentiale dx und dy von innen nach auBen festgelegt. (6) Das eigentliche Problem bei der Berechnung von Doppelintegralen besteht in der Definition der Funktionen h (x) und h (x) bzw. gl (y) und g2 (y). Sind diese, den Rand beschreibenden Funktionen gefunden, reduziert sich alles auf gewt>hnliche Integrale. 47. Beispiele: (1) Die Bestirnrnung des Doppelintegrals

1=

1:01:-2

erfolgt, indem zunachst das innere Integral

1

y

xydx=y

x=-2

1Y x=-2

xy dx dy

(y

fest, x variiert von x

xdx=y· [x2] 2

= - 2 bis y)

Y =y [y2] --2 -2

2

nach der Variablen x integriert und anschlieBend die auBere Integration tiber y durchgeftihrt wird

(2) Zur Bestirnrnung des Doppelintegrals 1=

1:01:0

x 2 sin (y) dydx

79

3.1 DoppelintegraIe (Gebietsintegrale)

berechnen wir zunl1chst das innere Integral (x fest, y variiert von y = 0 bis

(" x 2 sin(y) dy }y=o

= x2

dann das l1uBere

I

=

(" sin(y) dy }y=o

1

2 x 2 dx

3

= x 2 ｛Ｍ｣ｯｳＨｹＩｬｾ＠

7r)

= 2x2,

3

= -2 x 3 1 = 18. 3

x=O

0

48. Beispiele: Reduktion von Doppelintegralen auf einfache Integrationen. (1) Gegeben ist eine Funktion z = f (x, y), die auf dem Gebiet G (siehe Abb. f (x, y) dG. 18) definiert ist. Gesucht ist

II

(G)

Urn das Doppelintegral auf zwei einfache Integratio-

y

y=const.

r-----,\_.

nen zu reduzieren, zerlegen wir das Gebiet Gin Streifen parallel zur x-Achse. Die Streifen beginnen bei x = y und enden bei x = y+4. AnschlieBend mUssen ｾＭｸ＠ G alle Streifen von y = -1 bis y = 1 berUcksichtigt werden. Dies bedeutet, daB wir Integralformel (D2) wllhlen und als innere Integrationsvariable x setzen. Abb. 18: Gebiet G D.h. wir halten y = const, dann variiert x zwischen den Werten gl (y) = y und g2 (y) = Y + 4 (siehe gestrichelte Linie). AnschlieBend geht im l1uBeren Integral y von -1 bis 1.

=>

11

f (x, y) dG =

(G)

1:-1 (1:: ,

(2) Gesucht ist das Doppelintegral

II

4

f (x, y) dX) dy. . v

y=const

f (x, y) dG,

'

wenn das Gebiet G einen

(G)

Kreis in der (x, y)-Ebene mit Radius R darstellt. (i) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur x-Achse: Fuhren wir die Integration mit Formel (D2) aus, erfolgt die innere Integration fUr konstantes y Uber die Variable x. Ｍ［ｾＫ｟＠

y =conal

y x

= const => x

variiert zwischen

_JR2 - y2 und JR2 _ y2.

FUr festes y variieren die zugehOrigen x-Werte zwischen gl (y) = - J R2 - y2 und g2 (y) = J R2 - y2. Zur Bestimmung des l1uBeren Integrals muB y dann

80

X Funktionen von mehreren Variablen

zwischen b1 = - R und b2 = R variieren.

=>

lR

Jrr

)

} f (x, y) dG = y=-R Ｈｾ＠ 1=-v'R2- y2f (x, y) dx dy.

(G)

(ii) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur y-Achse: FUhren wir die Integration gemllB Formel (Dl) aus, erfolgt die innere Integration fUr konstantes x Uber die Variable y. y

x ＭｲＫｾｒｘ＠

= canst => y variiert zwischen -v'R2 - x 2 und v'R2 - x 2

FUr festes x variieren die y-Werte zwischen h (x) = -v'R2 - x 2 und h (x) = v'R2 - x 2. Zur Bestimrnung des lluBeren Integrals muB anschlieBend x zwischen - R und R variieren

=>

II

f(x, y) dG =

(G)

l:-R ＨｌｾｊＺＧ｟Ｌｴｘ＠

Y) dY) f:=XA2+f2: > 11 :=Int(f, X= y .. y+4): > 12:=lnt(11, y=-1 .. 1): > 12=value(12);

j

1

-1

1

Y 4

+ x 2 + y2 dx dy = 48

Y

81

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

3.1.4. Anwendungen (1) FUichenberechnungen. Setzt man die Funktion z = f (x, y) = 1, entspricht das Doppelintegral Uber G dem Volumen des K(}rpers mit der Grundfl!iche G und der konstanten H(}he 1. Dies ist zahlenm!iBig gerade der Flltcheninhalt von G: Der FUicheninhalt A eines ebenen Gebietes G C A=

II

]R2

ist

dG.

(G)

50. Beispiele: (1) Gesucht ist die Flache, die durch die Gerade h (x) = x + 2 und die Parabel h (x) = 4 - x 2 begrenzt wird.

y

Zur Berechnung des Doppelintegrals zerlegen wir das Gebiet in Streifen parallel zur y-Achse; wir wahlen also Formel (Dl): FUr festes x variiert y von h (x) = x+2 bis h (x) = 4 - x2 ; das verbleibende auBere Integral tiber dx wird gebildet mit den Grenzen a1 = -2 und a2 = +1: A

=

JrJrdG = 11

x=-2

(G)

1 1

(1

4

-

X2

dY) dx=

y=x+2 '-v---' x fest

11

x=-2

｛ｙｬＡＫｾＲ＠

dx

[1 21 ]

(-x 2 -x+2)dx= --x3

x 2 +2x

_

3

x=-2

1

=4.5.

-2

(2) Gesucht ist der Flacheninhalt des Gebietes G, welches durch nebenstehende Abbildung definiert ist. (i) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur yAchse: Mit Formel (Dl) gilt (x = canst => y variiert von - y'X bis y'X) A

=

JrJrdG = 11

(l 11 2X2

Vx

x=o

(G)

=

11 o

2y'Xdx =

dY) dx

y=-Vx

'--' x=const 1

0

4 dx = -

3

3

[Xi]

1

4 =-,

0

3

y

82

X Funktionen von mehreren Variablen

(ii) Zerlegung des Gebietes in Streifen parallel zur x-Achse: Mit Formel (D2) folgtebenfalls (y = const ::::} x varriert von y2 bis 1)

4

3' (3) Gesucht ist der FHtcheninhalt des Kreises mit Radius R. Nach Beispiel 48(2) gilt

A=

Ji l dG =

R

y=-R

(G)

ＨＱｾ＠

1 dx x=-VR2-y2

)

dy.

Mit MAPLE erhalten wir

> 11 :=lnt(1, x=-sqrt(RA2-yA2) .. sqrt(R"2-{2)): > 12:=lnt(11, y=-R .. R): > 12:=value(12): simplify(%, symbolic);

ｬ

ｒｬｾ＠

1 dxdy

-R

= R 2 7r.

-VR2_y2

(2) Schwerpunktsberechnung ebener FUichen. In Bd. 1, Kap. VI.3.6.4 wurden die Schwerpunktskoordinaten einer Flache unter einem Graphen fund der xAchse hergeleitet. FUr ebene Gebiete gilt allgemein: Schwerpunkt einer homogenen ebenen FUiche. Die Koordinaten des Schwerpunktes S = (xs, Ys) eines ebenen Gebietes G bestimmen sich Uber

Iｸﾷｾｩ＠

a X

dO,

I ｙＧｾＱ＠

a

ydG,

I

wenn A der Flacheninhalt von Gist. 5L Beispiele: (1) Gesucht ist der Schwerpunkt fUr die Flache aus Beispiel 50(2): FUr die x-

Koordinate von S gilt

x=const

83

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

Das innere Integral Ober dy ist fOr festes x

l Vx

xdy

=x

y=-Vx

lVx

dy

y=-Vx

y

= 2xxt = Ｒｸｾ＠ x

und das iiuBere Integral

1 Ｒｸｾ､］＠ ｾｸｴｬＱ＠

1

x=o

5

0

］ｾＺｽｸｳＧ＠

A 5

5

Aufgrund der Symmetrie ist Ys

--I

5

= O. :::} S = ＨｾＬ＠

0).

(2) Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten fOr das Gebiet aus Beispiel 50(1): Mit Beispiel 50(1) gilt fOr

die x-Koordinaten des Schwerpunktes mit xs

1 = A1 JrJ[ xdG = 4.5

11 (1 x=-2

4

-

y

MAPLE

X2

y=x+2 xdy

)

dx.

(G)

x ＫＭｴＮｯｾ＠

> 11 :=Int(x, y=x+2 .. 4-XA2): > 12:=1/4.5*lnt(11, x=-2 .. 1): > x.s:=value(12); x.s:= -0.5 und entsprechend fOr die y-Komponente > 11 :=Int(y, y=x+2 .. 4-XA2): > 12:=1/4.5*lnt(11, x=-2 .. 1): > y.s:=value(12}; y.s := 2.4

(3) Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten des Viertelkreises. Wir wiihlen zur Berechnung des Doppelintegrals Formel (D2): Dabei erfolgt die innere Integration bei konstantem y ober die Variable x von gl (y) = 0 bis g2 (y) = R2 - y2. Zur Bestimmung des iiuBeren Integrals ober y variiert dann die Variable y von 0 :S y :S R:

J

Xs

1

= A

JrJ[ xdG= A1 JRy=O Ｈｊｾ＠

x=O

xdx

x=O

ydx

)

dy;

(G)

1 Ys = A

Jr[J ydG = A1 JRy=O Ｈｊｾ＠ (G)

)

dy.

y

84

X Funktionen von mehreren Variablen

Mit MAPLE folgt fUr die Koordinaten mit A > 11 :=Int(x, x=O .. ｳｱｲｴＨｒｾＲＭＩＺ＠ > 12:=lnt(11, y=O .. R):

=

11"

f

> ｸ｟ｳ］ＴＯＨｐｩＪｒｾＲＩｶ｡ｬｵ･Ｑ［＠ > 11 :=Int(y, x=O .. ｳｱｲｴＨｒｾＲＭｹＩＺ＠ > 12:=lnt(11, y=O .. R): > ｹ｟ｳ］ＴＯＨｐｩＪｒｾＲＩｶ｡ｬｵ･［＠

> simplify(rhs(%), symbolic);

4R

3

1f

(3) FUichenmomente. In der Festigkeitslehre bent>tigt man zur Beschreibung von Biegungen FUichenmomente von Querschnittsflachen. Sie sind jeweils bezogen auf bestimmte Achsen. Es wird unterschieden zwischen sog. axialen Momenten, bei denen die Bezugsachse in der Flllchenebene liegt und polaren Momenten, bei denen die Achse senkrecht zur Flllchenebene orientiert ist. Es gelten die Formeln Axiales Flllchenmoment bzg. der y-Achse

Iy

if x =if =if (x

2 dG

=

(G)

Axiales Flachenmoment bzg. der x-Achse

Ix

y 2 dG

(G)

Polares Flllchenmoment

Ip

2 +y2) dG

(G)

52. Beispiel: Gesucht sind die axialen Flachenmomente des Gebietes G aus Beispiel 50(2). GemllB der Zerlegung aus Beispiel 50(2) berechnen wir

1 [1]..fi 1

o

ｾ＠ ｾ＠

35

- y3

-..fi

3

[xt]l =.! 15' 0

21

dx = -

3

0

1

X23

dx

85

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

I,

IL x' dG ｾ＠ l' (L: x' dY) ｾ＠ l' x' (L: dY) ｾ＠

dx

=

2 f1x2X!dx=2

10

ｦｬｘｾ､ｸ］Ｒ＠

10

7

｛ｘｾ｝ｬ＠

0

dx

=i. 7

Weitere Berechnungen von Fll1chenmomenten fUr Gebiete aus Beispiel 50 mit MAPLE uberlassen wir dem Leser als Obung. (4) Volumenberechnung. Aufgrund seiner Definition dient das Doppelintegral zur

Berechnung von Volumeninhalten, die ein Funktionsgraph einer positiven Funktion z = f (x, y) > 0 mit der (x, y)-Ebene Uber einem Gebiet G einschlieBt v

=11

f(x, y) dG.

(G)

53. Beispiel: Gesucht ist das Volumen V, das durch den Graphen von z

=f

(x, y)

= 1-

x 2 _ y2

und der (x, y)-Ebene eingeschlossen wird. Das zugehorige Gebiet G solI der Einheitskreis in der (x, y)-Ebene darstellen. FUr konstantes x wird y begrenzt durch II (x) = - VI - x 2 und h (x) = VI - x 2 mit al = -1 und a2 = 1. Nach der Integrationsformel (Dl) fUr Doppelintegrale ist V

=

II

ｾＱＭＫＮｴ

f (x, y)

dG

(G)

=

y

Ll ((::_)1-

x' - y')

> f:=1-XA2-{2: > 11 :=Int(f, y=-sqrt(1-xA2) ..sqrt(1-xA2)): > 12:=lnt(11, x=-1..1): > V=value(12);

1

V=-7l' 2

dY)

dx.

....

x

86

X Funktionen von mehreren Variablen

3.2 Dreifachintegrale Der Begriff des Dreifachintegrals fUr Funktionen f (x, y, z) Uber einem dreidimensionalen Gebiet G C 1R3 wird auf ahnliche Weise eingeftihrt und berechnet wie das Doppelintegral. Da sich eine Funktion von drei Variablen nicht mehr graphisch darstellen laBt, besitzt das Dreifachintegral tiber eine Funktion f (x, y, z) zunachst keine geometrische Bedeutung. Nur fUr den Fall f (x, y, z) = 1 entspricht das Dreifachintegral dem Volumen des Gebietes G. Auch Dreifachintegrale reduziert man auf jetzt 3 aufeinanderfolgende, gewt}hnliche Integrationen, wobei nun 3! = 6 verschiedene Integrationsreihenfolgen mt}glich sind! 3.2.1 Definition und Berechnung von Dreifachintegralen

z

y

Abb. 19: Zur Definition von Dreifachintegralen

Zur Definition des Dreifachintegrals zerlegen wir den KOrper in kleine Teilvolumen dVi (i = 1, ... , n) und wahlen in jedem Volumen einen Punkt P (Xi, Yi, Zi) aus, auf dem wir die Funktion f auswerten. SchlieBlich bilden wir das Produkt von Funktionswert und Volumenelement

f

(Xi, Yi, Zi) dVi

und summieren tiber alle Volumina auf n

Zn =

L f (Xi, Yi, Zi) dVi.

(Zwischensumme)

i=l

Wir lassen nun die Anzahl der Teilvolumina anwachsen (dies bedeutet gleichzei-

87

3.2 DreifachintegraJe

tig, daB dVi - t 0 geht). Strebt die Zwischensumme Zn fUr n - t 00 gegen einen Grenzwert, dann bezeiehnen wir diesen als Dreifachintegral oder als dreidimen-

sionales Gebietsintegral. Definition: (Dreifachintegral; dreidimensionales Gebietsintegral) Sei G C R3 und f: G - t R stetig. Der Grenzwert

bezeichnet man als Dreifachintegral bzw. dreidimensionales Gebietsintegral. Die Berechnung von Dreifachintegralen wird auf einfache Integrationen zuruckgefUhrt, wobei naturlich die Beschreibung der Integrationsgrenzen komplizierter wird als fUr Doppelintegrale. Die Vorgehensweise bei der Berechnung werden wir an dem folgenden Beispiel verdeutlichen.

54. Beispiel:

1=

111 f

1

10 10

(x, y, z) dG =

x

x2

[y2 (1 + x) dzdydx.

(G)

Die Integrationsreihenfolge wird durch die Reihenfolge der Differentiale dz, dy, dx festgelegt und zwar von innen nach auBen. Das innerste Integral wird integriert Uber die Variable z. Die anderen Variablen x und y sind dabei konstant.

z=x2 It = 1=_y2 (1 + x) dz = [(1 + x)

ｚｬ［ｾＲｹ＠

= (1 + x)

x 2 - (1 + x) (_y2).

It enthalt als Ergebnis nieht mehr die Variable z, sondern nur noch x und y. Das verbleibende Doppelintegral

I

=

11 1 x

[(1 + x) x 2 + (1 + x) y2] dy dx

wird berechnet, indem zunachst wieder das innerste Integral Uber y ausgefUhrt wird

l::

=

h

[ (1

x

[(1 + x) x 2 + (1 + x) y2] dy 1

+ x) x 2Y + '3

(1

+ x)

] y=x y3 y=o

4

4

= '3 x 3 + '3 x4.

enthiilt als Variable nur noch x, Uber die zuletzt integriert wird I

=

l

x=1

x=o

(43 x 3+ 34 x 4) d x = [13 x 4+ 154 X 5] 10 = -5' 3

88

X Funktionen von mehreren Variablen

Wir UberprUfen die Rechnung mit MAPLE, indem entsprechend den Doppelintegralen auch die Dreifachintegrale mit dem int-Befehl sukzessive berechnet werden: > 11 := Int(1 +x, z=-t2 .. x"2}: > 12 := Int(11, y=O .. x}: > 13 := Int(12, x=O .. 1}: > 13 := value(13);

10 10 1 1

f f

x2

X

_y2

1 + x dz dy dx

= -53

3.2.2 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen Wie bei einfachen Integralen werden auch bei mehrdimensionalen oftmals Substitutionen durchgefuhrt, urn die Berechnung zu vereinfachen. Diese Substitutionen bedeuten in der Regel, daB vom kartesischen (x, y, z)-Koordinatensystem auf ein anderes Koordinatensystem (z.B. Polarkoordinaten in 1R2, Zylinderkoordinaten in ]R3, Kugelkoordinaten in ]R3) Ubergegangen wird, das in der Regel physikalische Symmetrien widerspiegelt. Wir werden uns zu den KoordinatentransJormationen ein paar grundsatzliche Gedanken machen; diese sind allerdings eher Plausibilitatsargumente denn exakte Beweise.

Abb. 20: Beschreibung des Gebietes im( u, v)-Koordinatensystem

Sei z = f (x, y) eine zweidimensionale Funktion, die im kartesischen (x, y)Koordinatensystem gegeben ist. (u, v) sei ein anderes Koordinatensystem. Gesucht ist die Darstellung des Doppelintegrals

11

f

(x, y) dxdy

(G)

im neuen Koordinatensystem (u, v). Zur Transformation werden sowohl die Grenzen x und y als auch die Differentiale dx und dy durch entsprechende Terme in u und v bzw. du und dv ausgedruckt.

89

3.2 DreifachintegraJe

1st (U, V) ein zweites Koordinatensystem, dann lassen sich fUr jeden Punkt (u, v) die zugehOrigen (x, y)-Koordinaten angeben.

x = x (u, v)

und y

= y (u, v)

bezeichnet man als die sog. Transformationsgleichungen. Insbesondere sind x und y jeweils Funktionen der Variablen u und v. Wir drucken das Flachenelement dx dy durch ein entsprechendes Flachenelement in du dv aus.

x

Abb. 21: Berechnung des Flllchenelementes im (u, v)-Koordinatensystem

Wir nahern zunachst die Flache des schraffierten Gebietes mit Maschenweite (6u, 6v) im kartesischen System durch eine Parallelogramrnflache an, die durch die Vektoren rl und is aufgespannt wird. Nach Bd. 1, Kap. 11.2.3 ist diese Parallelogramrnflache Aus Abb. 21 entnimmt man

rl=

X (u + 6u, v) - x (u, v) ) ( ＨｕＫＶＬｾＩＭｹｵｶ＠ｙ ;

X (u, v + 6v) - x (u, v) ) ( . f2= ＨｕＧｖＫＶｾＩＭｙＬｶ＠

Wir Iinearisieren fUr kleine 6u und 6v sowohl

x(u+6u, v) -x(u, v) ｾ＠

ax au(U,V).6u=Xu · 6u

x(u, v+6v) -x(u, v)

ｾ＠

ax av (u, v) . 6v

= Xv . 6v

als auch die entsprechenden Terme von y. Damit ist

Xv' 6v )

is ｾ＠ ( yv ｾＶｖ＠

Ifl x f21 ｾ＠

ｾ＠

.

Ixu .6.u· yv.6.v - Yu.6.u . Xv .6.vl Ixu ' Yv - Yu . Xv l.6.u .6.v.

90

X Funktionen von mehreren Variablen

FUhren wir die Jakobi-Determinante J:= det (xu xv) ein, ist das FlachenYu Yv element !'::"G ｾ＠ ITI x Til ｾ＠ IJI t1u t1v. Durch GrenzUbergang zu infinitesimalen Flachen foIgt: SubstitutionsregeJ ffir DoppelintegraJe: 1st f (x, y) eine stetige Funktion in kartesischen Koordinaten und (u, v) ein anderes Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen

x=x(u,v)

und y=y(u,v).

Dann gilt

II

f(x, y) dxdy=

(G)

II

f(x(u, v), y(u, v))

IJI dudv,

(GO)

wenn G* die Beschreibung des Gebietes G im (u, v)-Koordinatensystem und J := det (Xu Yu

Xv) Yv

die Jakobi-Determinante ist. Substitutionsregel ffir Dreifachintegrale: 1st f (x, y, z) eine stetige Funktion im kartesischen Koordinatensystem und (u, v, w) ein anderes dreidimensionales Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen

x=x(u,v,w),

y=y(u,v,w),

z=z(u,v,w).

Dann gilt

III III

f (x, y, z) dx dy dz =

(G)

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

IJI dudvdw,

(GO)

wenn G* die Beschreibung des Gebietes G im (u, v, w)-Koordinatensystem und Xu J:= det ( Yu

Xv Yv

Xw) Yw

Zu

Zv

Zw

die Jakobi-Determinante ist.

91

3.2 Dreifachintegrale

Die folgenden Beispiele geben die physikalisch wichtigsten Koordinatensysteme sowie die zugeMrigen Jakobi-Detenninanten an.

55. Beispiel: Polarkoordinaten im ]R2 Bei Polarkoordinaten wird ein Punkt in der (x, y)-Ebene eindeutig durch die Angabe des Winkel c.p, 0 ｾ＠ c.p < 211", und des Radius r ｾ＠ 0 angegeben. Die Transformationsgleichungen lauten

rcos # Prozedur zum Berechnen des Volumens, des Schwerpunktes, > # der Tragheitsmomente sowie des Oreifachintegrals einer Funktion. >

> local xarg, yarg, zarg, function,x_s, y_s, z_s, > Lx, Ly, l..z, valv, dfactor, fall, 11, 12, 13;

> > function:=args[1]; > fall:=args[5]: > > # Festlegung des Koordinatensystems > if fall=kugel then > dfactor:=f2*cos(theta}: > xarg:=r*cos(phi}*cos(theta}: > yarg:=r*sin(phi}*cos(theta}: > zarg:=r*sin(theta}: > elif fall=zylinder then > dfactor:=r: > xarg:=r*cos(phi}: > yarg:=r*sin(phi}: > zarg:=z: > else dfactor:=1: > xarg:=x: yarg:=y: zarg:=z: > fi: > > # Berechnung des Volumens des Integrationsbereichs > 11 :=lnt(dfactor,args[2]}: 12:=lnt(11,args[3]}: 13:=lnt(12,args[4]}: > valv:=simplify(value(13},symbolic}: > print('Oas Volumen V des Gebietes ist ',13=valv}; > print(V=evalf(valv»; > > # Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes > 11 :=lnt(dfactor*xarg,args[2]}: 12:=lnt(11,args[3]}: > 13:=1/valwlnt(12,args[4]}: x_s:=value(13}: >

> > > > > > >

print('Oer Schwerpunkt des Gebietes ist x_s =',13=x_s}; 11 :=lnt(dfactor*yarg,args[2]}: 12:=lnt(11,args[3]}: 13:=1/valwlnt(12,args[4]}: y_s:=value(13}: print('Oer Schwerpunkt des Gebietes ist y_s =',13=y_s}; 11 :=lnt(dfactor*zarg,args[2]}: 12:=lnt(11,args[3]}: 13:= 1/valwlnt(12,args[4]}: z_s:=value(13}: print('Oer Schwerpunkt des Gebietes ist z_s =',13=z_s};

3.2 Dreifachintegrale

99

> # Berechnung des Tragheitsmomentes > 11 :=lnt(dfactor*(yarg 2+zarg 2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=M/valwlnt(12,args[4]): 1..x:=value(13): > print('Oas Tragheitsmoment Lx ist Lx =',13=1..x); > 11 :=lnt(dfactor*(xarg 2+zarg 2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=M/valwlnt(12,args[4]): Ly:=value(13): > print('Oas Tragheitsmoment Ly ist Ly =',13=Ly); > 11 :=lnt(dfactor*(xarg 2+yarg 2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=M/valwlnt(12,args[4]): 1..z:=value(13): > print('Oas Tragheitsmoment l..z ist l..z =',13=1..z); > > # Berechnung des Oreifachintegrals > 11 :=lnt(function*dfactor,args[2]): > 12:=lnt(11,args[3]): >

A

A

A

A

A

A

13:=lnt(12,args[4]):

> valv:=simplify(value(13),symbolic): > print('Oas Oreifach-Integral ist ',13=valv); > print (I=evalf(valv)); > end: 62. Beispiele fOr Aufrufe der Prozedur starr: (i) K{)rper, der durch Rotation der Funktion y = x 2 an der y-Achse im Intervall [0, R] entsteht.

> starr(1, phi=0.. 2*Pi, z=(2 .. R 2, r=O .. R, zylinder); A

alternativ

> starr(1, phi=0.. 2*Pi, r=O .. sqrt(z), z=0 .. R 2, zylinder); A

(ii)

i

einer Kugel mit Radius R (1 Oktant des kartesischen Koordinatensystems)

> starr(1, phi=0.. Pi/2, theta=0 .. Pi/2, r=O .. R, kugel); (iii) Halbkugel in Zylinderkoordinaten

> starr(1, z=0 .. sqrt(R 2-(2), phi=0 .. 2*Pi, r=O .. R, zylinder); A

(iv) Worfei in kartesischen Koordinaten

> starr(1, z=O .. I, x=O .. I, y=O .. I, kart); (v) Zylinder mit Radius R und H{)he H

> starr(1, z=O.. H, r=O .. R, phi=0.. 2*Pi, zylinder);

toO

X Funktionen von mehreren Variablen

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale Die Bestimmung der Arbeit in einem Kraftfeld oder die der elektrischen Spannung in einem elektrischen Feld erfordert oftmals die Berechnung eines Integrals entlang einer ebenen oder rtlumlichen Kurve. Dies fUhrt auf einen neuen Integralbegriff, dem sog. linienintegral, den wir mit Beispielen aus der Mechanik und Elektrostatik erltlutern werden. 3.3.1 Vektordarstellung einer Kurve Gegeben sei die Beschreibung einer Kurve C im Raum durch die Parameterdar-

stellung

C : f (t) =

x

(t)

el + Y (t) e2 + z (t) e3 =

X (

(t) )

y (t)

,

z (t) wenn x (t), y (t), z (t) Funktionen einer Variablen t sind. Beim Durchlaufen der t-Werte bewegt sich der Punkt P (Abb. 25) entlang der Linie C: y

x Abb. 25: Raumkurve

63. Beispiel: Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld jj = Bo z auf einer Schraubenlinie mit Radius R. Die Koordinaten des Elektrons sind zu jedem Zeitpunkt festgelegt durch

e

x (t) Y (t) z(t)

R cos (wt) R sin (wt)

vzt.

= -;; Bo ist die Kreisfrequenz und V z die konstante Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung. Mit spacecurve wird diese Kurve mit MAPLE graphisch dargestellt. Hierbei kann S ein dreidimensionaler Vektor oder eine Liste sein. w

> with(linalg): > s:=vector([R*cos(w*t), R*sin(w*t), vz*t]): > R:=1: w:=1: vz:=1: > with(plots): > spacecurve(s, t=0 ..20, numpoints=200, axes=framed):

101

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

3.3.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 1st r(t) = x (t) el + y (t) e2 + z (t) e3 die Parameterdarstellung einer Kurve C, so ist die Ableitung des Vektors r (t) definiert als Grenzwert

r' (t) = lim :

'c"t-+O u.t

(T(t + 6t) - r(t))

des Differenzenquotienten fUr 6t --t O. Geometrisch entspricht dies dem GrenzUbergang des Differenzvektors (= Sekantenvektor) in den Tangentenvektor im Punkt r(t) = (x (t), Y (t), z (t)).

.!l..

r (t)

e

Tangentenvektor r' (t)

Sekantenvektor b.r Aufgrund der Vektorrechenregeln gilt 1

11.-+

-I...l.T

6t

ｾｴ＠

(T(t + 6t) - T(t)) - x (t)) ( Itit (x(y (t(t ++ 6t) 6t) - Y (t)) it (z (t + 6t) - z (t))

=}

r' (t)

=

) ･ＺＬｾｯ＠

( ± (t) ) Y(t)

z (t)

± (t) ) ( y (t) . z(t)

Die Differentiation eines Vektors r(t) nach einem Parameter t erfolgt komponentenweise. Anwendung: 1st r(t} der zeitabhangige Ortsvektor der Bahnkurve eines Massepunktes, dann ist

iJ(t) a(t)

= P' (t) = iJ' (t) = r" (t)

der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor.

102

X Funktionen von mehreren Variablen

64. Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor bzw. Beschleunigungsvektor eines Elektrons im homogenen Magnetfeld B = Bo ez lautet mit Beispiel 63

v(t)

X(t))

= f' (t) = ( if (t)

z(t)

a(t) =v'(t) =

Ｈｾｧ＠

z(t)

=

(-RW sin (wt) ) Rw cos (wt)

=

Vz

)

= (

］ｾＺ＠

ｾＺＡｪ＠

0

(

VI

(t) )

(t) V3 (t)

V2

).

Insbesondere gilt x(t) + w2 x (t) = 0 und jj(t) + w2 Y (t) = O. Man rechnet die Ableitungen mit MAPLE nach, indem auf den Vektor s aus Beispiel 63 der diffBefehl komponentenweise angewendet wird; eine kompakte Schreibweise erhlilt man mit dem map-Operator > v:=map{diff, s, t); > a:=map{diff, v, t); 65. Beispiel: Beschleunigungskrafte einer ebenen Kreisbewegung. FUr eine ebene Kreisbewegung sind fUr konstanten Radius p die Koordinaten x (t) und y (t) gegeben durch x

x(t)=p·cos phi1;

x2 + y X

+ y2 Z + z2

> potential([z+y, x+z, x+y], [x, y, z], phi2): > phi2; xz+yz+xy

114

X Funktionen von mehreren Variablen

Liegt kein Gradientenfeld wie in Beispiel 69(3) vor, liefert der potential-Befehl das Ergebnis > potential([x*{2, x*y], [x, y], phi3); false

3.3.5 Anwendungsbeispiele Das Kurvenintegral wurde in §3.3.4 zur Berechnung der Arbeit eingefUhrt, die eine Masse m benotigt, urn in einem Kraftfeld k (x, y, z) entlang der Kurve C von einem Anfangspunkt PA zum Endpunkt PE gebracht zu werden. Entsprechend der Definition des Linienintegrals gilt fUr die Arbeit eines Kraftfeldes

w=

( kdf=

lc

ltE k (f(t)) . f' (t) dt, tA

wenn f(t) die Parameterdarstellung der Kurve C, f(tA) den Anfangs- und f(tE) den Endpunkt beschreibt. Wist positiv, wenn yom Kraftfeld Arbeit an der Masse geleistet wird, andernfalls negativ. 7L Beispiel: Radialsymmetrische Kraftfelder. Ein Kraftfeld k heiBt radialsymmetrisch, wenn der Betrag von k nur yom Abstand r abMngt und der Vektor k in

jedem Punkt radial nach auGen zeigt. Ein radialsymmetrisches Feld hat stets die Form

f (r) x ) k(r') = f(r) f= ( f(r) y , f (r) z

J

wenn f eine eindimensionale Funktion und r = 1T1 = x 2 + y2 + z2 ist. Physikalische Beispiele fUr radialsymmetrische Kraftfelder sind (Newtonsche Gravitationskraft)

Fr

__ 1_ qQ ｾ＠

(r') - 471" eO r2 r

(Coulomb-Kraft).

AIle rotationssymmetrischen, homogenen Kraftgesetze sind konservativ: Das Arbeitsintegral hlingt nur yom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber yom gewlihlten Weg ab!

115

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

Wir zeigen, daB die erste IntegrabiliUltsbedingung erfUIlt ist. D(az'j ＨｾｩＩ､Ｚｮｗｲ＠ Hilfe der Kettenregel die partiellen Ableitungen von

a kl (f') ay

k (f') =

mit

I (r) y I (r) z

:

a a - (f (r) x) = x I' (r) - Jx 2 + y2 + z2 ay ay xl'(r) y =f'(r) x y , Jx 2 +y2 +z2 r

-

ｾ＠ax =

(f (r) y) = y I' (r)

y f' (r)

x Jx 2 +y2 + z2

a

ｾ＠ ax J x2 + y2 + z2 = I' (r) x y . r

a

=> ay kdf') = ax k2 (f') . Analog zeigt man die beiden anderen IntegrabiliUltsbedingungen. 72. Beispiel: Coulomb-Kraft. Das Potential zur CoulombKraft k r _ _1_ qQ ｾ＠ (r') - 471' co r2 r ist das elektrostatische Potential 1 qQ 1 qQ (x, y, z) = - - - - = - - --;::::;;::::=::::;;::=:;;: 2 471' co r 471' co J x + y2 + z2 Man rechnet direkt nach, daB 1k = -grad I. Es gilt folglich nach dem Hauptsatz aber Kurvenmtegrale

i

Abb. 29: CoulombPotential

kdr=O

fOr aIle geschlossenen Kurven, die den Ursprung nicht enthalten. Denn dort wird k singullir! Wir berechnen nun noch das Kurvenintegral entIang des Kreises mit Radius R

r(t)

=R (

cost) ｓｩｾｴ＠

,

°: ;

t ::; 271',

der im Zentrum die SingulariUlt von k enthlilt: Wegen x (t) = R cos t ('--t x (t) = -R sint), y(t) = R sint ('--t y (t) = R cost) und z (t) fUr

= 0, foIgt

116

X Funktionen von mehreren Variablen

_1_ q Q

411" eo

/211" { 0

1

3

X

(t) . x (t)

3

Y (t) . iJ (t)} dt

(x 2 (t)+y2(t)+z2(t))2

+

(x 2 (t)

1

+ y2 (t) + z2 (t))2

1 1 .-4- qQ - 3 11" eo R"i

/211" (x (t) X (t) + y (t) iJ (t)) dt

1 1 - - q Q -3 411" eO R"i

/211"

73. Beispiel: Spannung. 1st

0

( -

R2

0

E(r') =

COS

t sin t + R2 sin t cos t) dt

= O.

El (x, y, z) ) ( E2 (x, y, z) das elektrostatisches E3 (x, y, z)

Feld, so gibt das Kurvenintegral

U=

fc Edf' fc (El dx + E2 dy + E3 dz) =

die Potentialdifferenz, d.h. die Spannung zwischen Anfangs- und Endpunkt der Kurve C, an.

74. Beispiel: Magnetfeld eines geraden Leiters. Ein

x

homogener in z-Richtung liegender, stromdurchflossener Draht erzeugt in der (x, y)-Ebene ein Magnetfeld proportional zu :' dessen Richtung tangential zu den Kreisringen ist:

B=

_JLo_I ( -y ) ｾＱＭＺ 211" x x 2 + y2·

Abb. 30: Stromdurch-

flossener Leiter

(x, y) =f- (0, 0) .

Daher ist B ein konservatives Kraftfeld und aIle geschlossenen Kurvenintegrale, die den Ursprung nicht enthalten, sind stets Null, was man auch direkt nachrechnen kann. Wir berechnen nun noch das Kurvenintegral entlang des Kreises mit Radius R, das die Singulariutt (0, 0) umschlieBt:

117

3.4 Oberflllchenintegrale

Eine Parametrisierung des Kreises ist

r(t) = R (

｣ｾｳ＠SIll tt

ki.

e: __ _

)

Ｎｾ＠ 0::

I I

R cos(t)

x(t)=Rcost ('-t x (t) = -R sint) Y (t) = R sint ('-t y(t) = R cost).

x

Damit ergibt sich das Kurvenintegral entIang C p20 I 1r

=

ｾＰＱｲ＠

J211" 0

I 1

R2

x

2( )

J211" 0

1

t +y

2( )

t

(-y (t) x (t)

+ x (t) Y(t))

dt

(R2 sin2 t + R2 cos2 t) dt = Po I.

Dieses Integral gibt den durch die Kurve C eingeschlossenen Strom I an.

3.4 Oberflachenintegrale In vielen Anwendungen muB der Flacheninhalt von gekrUmmten Oberflachen bestimmt werden. Auch bei der Vektoranalysis (-t Kap. XVI) werden sog. Oberjlt1chenintegrale benOtigt, urn den elektrischen, magnetischen oder MassefluB durch eine Oberflache zu berechnen. Wir werden im folgenden gekrUmmten Flachen einen Flacheninhalt zuweisen. Dartlberhinaus wird der Integralbegriff erweitert, indem auch Integrale von Funktionen entIang eines FlachenstUckes im 1R3 behandelt werden. Dies fuhrt auf den Begriff des Oberfil1chenintegrals.

v

u Abb. 31: Parametrisierung einer gekrummten

Hache

118

X Funktionen von mehreren Variablen

In Anlehnung an die Beschreibung einer Kurve C Uber die Parameterdarstellung f (t) = x (t) el +Y (t) e2 + z (t) ej mit einem Parameter definieren wir gekrUmmte Flachen Uber eine Parameterdarstellung mit zwei Parametern (u, v): Definition: (FUiche) Sei S C IR2 ein Bereich in der Ebene (z.B. ein Rechteck) mit den Parameter-

variablen (u, v) E S (z.B. Ul (v) ::; U ::; U2 (v), Vl ::; Fe IR3 wird definiert durch die Parameterdarstellung F: f(u, v) = x (u, v)

V ::; V2).

Eine Flache

el + Y (u, v) e2 + z (u, v) ej,

wenn x, y, z Funktionen der beiden Variablen (u, v) sind. Beim Durchlaufen aller (u, v)-Werte bewegt sich der Punkt P (Abb. 31) auf der Flache F. Die Flache F besteht aus der Menge aller Ortsvektoren f(u, v). Man faBt (u, v) auch als die Koordinaten des Punktes P auf. Wir setzen voraus, daB die Komponenten der Abbildung f: IR2 ---t IR3 , (u, v) f-t f( u, v), stetige partiell differenzierbare Funktionen sind. Die Tangentialebene im Punkte P wird durch die Richtungsvektoren ｾＺ＠ und ｾＺ＠ aufgespannt. Wir schreiben fUr die Richtungsvektoren auch kurz

_ Tu

af

_

aux(u,v) )

= - = ( au y(u, v)

au

au z(u, v)

und

Tv

af

avx(u,v) )

= - = ( ovy(u,v)

ov

.

ovz(u,v)

75. Beispiele: P,

P ｾＭｉＫＧ＠

, ,,

, ,,

P,

(1) Eine Parallelogrammflache, die durch die 3 Punk-

te Po, Pl , P2 festgelegt wird, hat nach der PunktRichtungsdarstellung einer Ebene die Parameterdarstellung

f(P) = f(Po) o

----t

----t

+ u Po Pl + V Po P2

mit 0 ::; u ::; 1 , 0 ::; v ::; 1.

(2) Eine Kugelflache mit Radius R und Mittelpunkt 0 hat mit den Kugelkoordinaten u = menden Mediums

ｩｦＨｾ］＠

(

ｾ＠

)

Jx2 +y2

das durch eine Halbkugelflache x 2 +y2 + z2 = R (z > 0) flieBt. WeIche Masse ist in 2 Zeiteinheiten durch die Oberflache geflossen (p = I)? Eine Parametrisierung der Kugeloberflache ist nach Beispiel 75(2):

f'(u, v) = R

cos v ) sm u cos v sin v

C?SU (

O:S u :S 271" ｏＺｓｶｾ＠

mit dem Normalenvektor

fu x f'v

=>

ｩｦＨｾ＠

. (fu x Tv)

=

= R2 COSV

ＨｾＺ＠

ｾＺ＠

(

ｾＺ＠

ｾＺ＠

)

•

smv

) . R2 cos v . ( R cos v R cos v (cos 2 V + cos v sin v) . ｾ＠

ｾＺ＠

ｾＺ＠

smv

)

3.4 OberfllichenintegraIe

Der FluB

123

I I vdF ergibt sich daher zu (F)

ff vdF 1

211" 111"/2

u=o v=o v(i(u, v)) . (f'u x Tv) dvdu

(F)

Die Masse M. die in zwei Zeiteinheiten durch die Oberflllche flieBt. ist demnach

78. Beispiel: Ma20etischer FluG Der magnetische FluB ｾ＠ durch

des Magnetfeldes

B durch eine Flache A ist gegeben

Gegeben ist das Magnetfeld eines stromdurchflossenen. geraden Leiters

B

=

JLoI ( -y ) 1 271" ｾ＠ x 2 + y2 .

Gesucht ist der magnetische FluB durch die Kreisflllche A. Das Magnetfeld liegt in der (x, y)-Ebene. der Flachenvektor dA = f'u x Tv du dv steht senkrecht zur Flllche A. also in z-Richtung. Daher ist B . dA = 0 und der magnetische FluB durch die Flllche A gleich Null.

124

X Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle DifTerentiations·Befehle von MAPLE Partielle Ableitung des Ausdrucks f nach x. Symbolische Darstellung der Ableitung. Partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen. Partielle Ableitung von f nach x, dann nach z. note partielle Ableitung von f nach x. note partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen. Gemischte partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten, dann zweiten Variablen.

difT(f, x) DItT(f,x) D[I](f) diff(f, x, z) difT(f, x$n) D[l$n] (f) D[l, 2] (f) with(linalg) grad(f, [xl, ... , xn])

Gradient des Ausdrucks f mit den Variablen x!, ... , x n . dotprod(grad(f, [x, y, z]), lInorm(a,2) * a) Richtungsableitung von f in Richtung des Vektors ii.

Integrations·Befehle von MAPLE int(y, x Int(y, x

= a .. b) = a .. b)

b» b»

value(lnt(y, x = a .. evalf(lnt(y, x = a ..

J:

Berechnung des bestimmten Integrals y dx. Inerte Form des int-Befehls: Das Integral wird symbolisch dargestellt. Auswertung der inerten Form eines Integrals. Numerische Berechnung des bestimmten Integrals.

11:=lnt(f, x = gl(y) .. g2(y» 12:=lnt(l1, y = bl..b2) value(12) Berechnung des Doppelintegrals

11:=lnt(f, z = gl(x, y) .. g2(x, y)) 12:=lnt(l1, y = hl(x) .. h2(x» I3:=lnt(12, x = al..a2) value(I3) Berechnung des Dreifachintegrals

125

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

Differentiation und Integration einer Vektorfunktion Ableitung von v nach t. Unbestimmtes Integral von

a:=map(diff, v, t) s:=map(int, v, t)

v(t) v tiber t.

Plot-Befehle plot3d(f(x, y), x

= a . b,. y = c.. d) Befehl zur Erstellung einer dreidimensionalen Graphik.

plot3d(f(x,y),x

= a .. b,y = c ..d, contours =20, style =contour) Darstellung von 20 HOhenlinien der Funktion

f.

Mit

> ?plot3d[options] erhltlt man eine Liste der Optionen des plot3d-Befehls. Wichtige davon sind: grid=[n, m] Dimension des Berechnungsgitters: n x m. title= 't ' Titel des Schaubildes. Spezifiziert die Achsenbeschriftung. labels=[x, y, z] tickmarks=[l, m, n] Anzahl der Markierungen auf den Achsen. contours=n Spezifiziert die Anzahl der HOhenlinien. style=contour Nur HOhenlinien werden gezeichnet. scaling= MaBstabsgetreue Skalierung der Achsen. view=zmin ..zmax Der darzustellende z-Bereich einer Funktion z = f (x, y) wird eingeschrl1nkt. axes=boxed Achsen werden in das Schaubild aufgenommen. thickness = Steuerung die Liniendicke. orientation=[phi, theta] Blickwinkel der 3d Graphik. Das Gitter wird unterdrUckt. style=PATCHNOGRID

Weitere Plot-Befehle densityplot(f (x, y), x = a .. b, y = c..d) Darstellung einer Funktion tiber Grauschattierungen in einem zweidimensionalen Schaubild. contourplot(f(x, y) , x = a . b, . y = c. d, . contours=20) Darstellung von 20 HOhenlinien in einem zweidimensionalen Schaubild.

126

X Funktionen von mehreren Variablen

gradplot(f(x,y),x = a .. b,y = c.. d, arrows=SLIM) zweidimensionale Darstellung des Gradienten von grad I, als Pfeil-Graphik. gradplot3d(f(x, y, z), x

= a .. b, y = c.. d, Z = e.. f) dreidimensionale Darstellung des Gradienten von grad I, als Pfeil-Graphik.

fieldplot([/l(x,y), /2(x,y)],x = a .. b,y = c.. d) zweidimensionale Darstellung [11, 12] als Pfeil-Graphik.

des

I,

I.

Vektorfeldes

fieldplot3d([/l(x, y, z), 12(x, y, z), 13(x, y, z)], x = a.. b, y = c.. d, z = e.. f) dreidimensionale Darstellung des Vektorfeldes [11, 12, 13] als Pfeil-Graphik. spacecurve([cos(t), sin(t), t], t = O.. 2*Pi) dreidimensionale Darstellung einer Raurnkurve mit Parametrisierung r(t) = [cos (t) , sin (t) , t]. Bis auf den plot3d-Befehl mUssen aIle weiteren Befehle mit with(plots) gel aden werden. AIle Graphik-Befehle erhalt man durch

> with(plots); [animate. animate3d. animatecurve. changecoords. complexplot. complexplot3d. conformal, contourplot. contourplot3d, coordplot. coordplot3d. cylinderplot. densityplot, display, display3d, fieldplot. fieldplot3d. gradplot. gradplot3d. implicitplot. implicitplot3d. inequal, listcontplot, listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot. logplot, matrixplot. odeplot, pareto. pointplot, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot. surfdata, textplot, textplot3d, tubeplot]

MAPLE-eigene Prozeduren readlib(mtaylor) mtaylor(f, [xl = xlO, ... , xn = xnO], k) Taylorentwicklung der Funktion I von n Variablen Xl, ... , Xn am Entwicklungspunkt (XlO,"" xno) bis zur Ordnung k. with(Iinalg) hessian(f, [xl, ... , xn]) Hessesche Matrix der Funktion I (Matrix aller partiellen Ableitungen der Ordnung 2). readlib(mtaylor) mtaylor(f, [xl = xlO, ... , xn = xnO] , 1) Linearisierung der Funktion I am Entwicklungspunkt (XlO' ... , xno).

Zusammenstellung dec MAPLE-Befehle

127

readlib( extrema) {xl, ... ,xn},extr) extrema(j, Bestimmung der Extrema der Funktion f in den Variablen xl, ... , x n . Ausgegeben werden der minimaIe und maximale Wert der Funktion. 1m Namen extr werden die Koordinaten der Extrema abgespeichert.

n,

Neu erstellte Prozeduren differentia1(j, [xl, ... , xnj) Totales Differential der Funktion f nach den VariabIen XI, ... , x n . fehler(j, xl = xlO .. xlO + dxl, ... , xn = xnO .. xnO + dxn) Berechnung des absoluten und relativen Fehlers von f in linearer Nl1herung, wenn Xl = ｘｾﾱ､ｉＢＧ Ｂ＠ xn = ｸｾ＠ ±dxn. stationaer(j, [xl, ... , xnj) Berechnet die stationl1ren Punkte der Funktion f bezUglich den Variablen Xl. ... , x n . extremum.2d(j, {x = xO, y = yO}) PrUft, ob der stationl1re Punkt (xo, Yo) ein lokales Extremum darstellt. extremum..nd(j, {xl = xlO, ... , xn = xnO}) Prnft, ob der stationl1re Punkt ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ ein lokales Extremum der Funktion f (Xl, ... , x n ) darstellt. Regressionsgerade([[xl, yl], [x2, y2], ... , [xn, yn]D Berechnet die Ausgleichsgerade durch die MeBpunkte (Xl, YI) , ... , (xn' Yn). ausgieich(j,parl, ... ,pam, [Listeder MeBwertej) Bestimmt die Parameter parI,"" parn in dem Funktionsausdruck f so, daB die Abstandsquadrate von MeBpunkten zur Ausgleichsfunktion f minimal werden. Die Parameter mUssen linear in f auftreten. Drei.lnt(j, varl

= a .. b, var2 = c.. d, var3 = e .. J) Berechnung des Dreifachintegrals

If (Jed (J: f dvarl)

dvar2) dvar3.

128

starr(f, varl

X Funktionen von mehreren Variablen

= a .. b, var2 = c..d, var3 = e .. !,

O

+ dt) dt

n (t) = _)... n (t)

Dies ist eine geWlJhnliche, lineare DG 1. Ordnung mit der Anfangsbedingung n (0) = N. Diese DG hat als Losung

In (t)

= N e->'t,

(Zerfallsgesetz)

N

I

die in Bd. I, Kap. IV.5.1 diskutiert wurde. Abb. 36: Radioaktiver Zerfall

3. Beispiel: Barometrische Hohenformel. Der Luftdruck p (h) in der H()he h Ober dem Meeresspiegel wird verursacht durch das Gewicht der Ober der Flache A lastenden Luftsaule. Der Druckunterschied p (h) - p (h + dh) ist gleich dem Gewicht G der vertikalen Luftsaule mit Querschnitt A, die sich zwischen h und h + dh befindet. FOr kleine dh nehmen wir an, daB die Dichte p (h) in dieser Luftsaule konstant ist: A (p (h) - p (h

+ dh)) = G = dm 9 = P (h)

h

A . dh g.

Division durch dh und anschlieBender GrenzObergang dh ---+ 0 liefert '(h)=l' p(h+dh)-p(h)=_ (h) 1m dh gp. p dh->O

Win! die Luft aIs ideales Gas bejhtet. so schen p, p und der Temperatur T:

p

= a ｾ＠

j"

folgender Zusammenhang zwi-

mit einer Konstanten a.

138

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

i) Betrachtet man die Temperatur T (h) als konstant und unabhlingig von der Ht>he, so erhlilt man mit {3 = die DG

g¥

p-,(-hＩＭ］｡ｧｌｾ＠

-=---{3-p(-h--")·I

"'-1

Die LOsung dieser DG lautet

IP(h) = P(ho) e-

i3 (h-ho)

I

(Barometrische Hohenformel)

ii) Die obige DG ist wegen der Annahme T = const nur in einem kleinen Bereich gUItig. In Realitlit flillt die Temperatur mit zunehmender Ht>he. Die einfachste Modellannahme ist, daB T einen linearen Temperaturabfall besitzt:

T (h) = To - b (h - ho) . Dies fuhrt auf die DG p' (h)

= To _ ｾＺ＠

_ ho) p (h)

mit p (h o)

*

= PO·

Wie man wieder durch Nachrechnen bestlitigt, ist

P(h) =

Po (1 -

(h _ ho))

.2Jl. b

die Usung der DG. Weitere Anwendungsbeispiele findet man z.B. in §1.5.

0

Richtungsfelder. Charakteristisch fUr die diskutierten DG ist, daB die Ableitung der Funktion

y'(x)

= f(x,y(x))

fUr jeden Punkt (x, y) der Ebene durch die rechte Seite der DG f(x, y(x)) gegeben ist. Dies fuhrt auf die Darstellung der DG in Form eines Richtungsfeldes, in der in jedem Punkt der Ebene die Steigung der Funktion y(x) (also f(x, y(x») als Vektor aufgetragen wird. Wlihlen wir beispielsweise die DG

y'(x) = -y(x) + 1 so ist das Richtungsfeld gegeben durch

y(x) 1

139

1.2 Lineare DG 1. Ordnung

Hat man zur DG noch einen Startwert (Anfangswert) y(xo) gegeben, dann kennt man den Punkt der Ebene (xo, y(xo)), in dem die Ulsung der DG beginnt. Durch diese zusatzliche Information kann man nun die LOsung konstruieren, indem man ausgehend vom Startpunkt (xo, y(xo)) Uber die Steigung der Funktion in diesem Punkt f(xo, y(xo)) zum nachsten Punkt an der Stelle Xo + dx kommt und damit y an der Stelle Xo + dx erMIt. Dann ist sowohl y(xo + dx) als auch die Steigung y'(xo + dx) = f(xo + dx, y(xo + dx)) bekannt und man konstruiert hieraus y(xo+2dx) usw. Dieses Vorgehen fuhrt auf ein numerisches Verfahren zum LOsen von DG erster Ordnung, auf das wir in §4. eingehen werden. 1m unteren Bild ist das Richtungsfeld der DG zusammen mit der LOsung zum Anfangswert y(4) = 0 eingezeichnet. 2

＼Ｚｾ＠

\\\\.

\.

1.5

"

o

ｾ＠

\,

'\

....

-,,

'"

•• - . . . - _ ..........

y(xll

ＧＬＺｾ｜Ｎ＠

' \\\\.\\\.\ ',\\\ .. '"'" '...... "" \ '. '" '. , ' .. ". '. ., . \.'. ..',". ... ,. ". \.. . , '- : ｾ＠ ｾ＠ : ｾ＠ ,,- > Ｌｾ＠ :'. '- ｾ＠ , . : '. ..... ................. ......... ................ '- ...... "".... . .... - .-- .........

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ｾ＠

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' ...

'.

... ' , ...

'w

...

.......... -

. .. .... ...

ＭＮｾ

assign(%}: > x(t) := subs( {a=5,b=2,k=O.5}, x(t)): > plot(x(t), t=O .. 5, title= 'Chemische Reaktion'); Chemlsche Reaktion

o Abb. 43: Chemische Reaktion

Die Reaktion kommt zum Stillstand, wenn alle MolekUle yom Typ B reagiert haben.

163

2.1 EinfUhrung

§2. Lineare Differentialgleichungssysteme 2.1 Einfiihrung Wir behandeln in diesem Abschnitt lineare Differentialgleichungssysteme (LDGS) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. In vielen Anwendungen sind zeitlich verlinderliche GrOBen Xl (t), X2 (t), ... , Xn (t) gekoppelt, so daB die Anderung einer GrOBe Xi (t) nicht nur von t und Xi (t), sondern auch von den restlichen GrOBen und deren Ableitungen abhlingt. Einfachste Beispiele sind Koppelschwingungen, bei denen mehrere Feder-Masse-Systeme gekoppelt werden. Die Aussagen Uber die u:>sungen von LDGS gleichen in mancher Hinsicht denen aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme. So bilden die LOsungen eines homogenen LDGS einen Vektorraum und die allgemeine LOsung eines inhomogenen LDGS ist die Summe einer speziellen u:>sung des inhomogenen LDGS und der allgemeinen Losung des homogenen LDGS. Zur EinfUhrung betrachten wir ein gekoppeltes System aus Pendeln. 19. Beispiel: Gekoppelte PendeI. Zwei Fadenpendel der Llinge l, an deren Ende jeweils eine Masse m hangt, werden durch eine Feder mit Federkonstanten D gekoppelt (siehe nebenstehende Abb.). Werden die beiden Massen urn den Winkel 'PI bzw. 'P2 ausgelenkt, so lauten die Bewegungsgleichungen fUr kleine Auslenkungen 'PI und 'P2

ml0dt) = -mg'Pdt) +Dl ('P2(t) -'Pdt)) l 02 (t) = -mg'P2 (t) + D l ('Pdt) - 'P2 (t)),

m

wenn 'PI (t) und 'P2 (t) die Auslenkungen der Massen (1) und (2) zum Zeitpunkt t sind.

Abb. 44: Gekoppelte Pendel

Berilcksichtigt man noch, daB wlihrend der Bewegung auf die Massen eine Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit wirkt,

FR

= -"( l CPi (t)

mit Reibungskoeffizient ,,(,

so erhl1lt man schlieBlich

01 (t)

= -f!..l 'PI (t) - ｾ＠

m

02 (t)

= -f!..l 'P2 (t) - ｾ＠

m

CPl (t)

+m D

('P2 (t) - 'PI (t))

CP2 (t) + D ('PI (t) - 'P2 (t)). m

Dies ist ein LDGS zweiter Ordnung fUr die Winkelauslenkungen CPl (t) und CP2 (t). Wir reduzieren dieses System von zwei DG 2. Ordnung auf ein System von vier

164

XI Gewi.lhnliche Differentialgleichungen

DG 1. Ordnung. Dazu ftihren wir die zu CPI (t) und CP2 (t) gehOrenden Winkelgeschwindigkeiten sung von homogenen LDGS reduziert sich vollsUtndig auf die Analyse der Matrix A. Grundlage hierfur bildet der folgende Satz: Satz 4: (Losungen von homogenen LDGS) Sei A eine (n x n)-Matrix und

ｾ＠ ｾＺ＠

x (

)

E R n ein Vektor, zu dem es ein

A E C gibt, so daB 1A x = A x I. Dann ist die Funktion

eine Lt>sung des homogenen LDGS

y' (t)

=

AY(t).

Begrilndung: Sei x E 1Rn ein Vektor, zu dem es ein A E C gibt mit A x Dann gilt fUr die Ableitung der Vektorfunktion

Phi1 :=t -> c1 *cos(wht} + c2*sin(wht} + c3*cos(w2*t} + c4*sin(w2*t}; > Phi2:=t -> chcos(wht} + c2*sin(wht} - c3*cos(w2*t} - c4*sin(w2*t};

+ c2 sin( wIt) + c3 cos( w2 t ) + c4 sin( w2 t )

Phi2s:=D(Phi2};

Phils:= t

'PI (t), 'P2(t)

ｾ＠

-c1 sin( wI t) wI + c2cos( wI t) wl- c3sin( w2t) w2 + c4cos( w2t) w2

Phi2s:= t ｾ＠

-c1 sin( wI t) wI + c2cos( wI t) wI + c3sin( w2t) w2 - c4cos( w2t) w2

Die Koeffizienten CI, C2, C3, C4 werden durch die Anfangsbedingungen > Phi10:=-0.1: Phi20:=0.: Omega10:=0.: Omega20:=0: festgelegt. Man ･ｲｨｾｬｴ＠ 4 lineare Gleichungen fUr die 4 unbekannten Koeffizienten > eq1 := Phi1 (O) = Phi10; > eq2 := Phi2(0} = Phi20; > eq3 := Phi1s(0} = Omega10; > eq4 := Phi2s(0) = Omega20; eql := c1

+ c3 = -.1

eq2 := c1 - c3 = 0 eq3:= c2wl + c4w2

=0 eq4:= c2wl- c4w2 = 0 die mit dem solve-Befehl aufgelOst werden > sol:=solve( {eq1,eq2,eq3,eq4}, {c1,c2,c3,c4}}; > assign(sol}; sol := {c1 = -.05000000000, c2 = 0, c4 = 0, c3 = -.05000000000}

AnschlieBend werden die Parameter l, ld, d und m spezifiziert, die Winkelfrequenzen festgelegt und die LOsung fUr den Winkel 'PI (t) gezeichnet > 1:=2: Id:=0.75: d:=0.2: m:=1: > w1:= sqrt(10.l1): w2 := sqrt(10.1I+2*d/m}: > plot(Phi1 (t), t=0 .. 150, title='Schwebung', numpoints=300};

2.5 L(jsen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

185

Schwebung

Abb. 46: Schwebung beim DoppeJpendeJ ohne Reibung

Die Animation der Bewegung der Massepunkte erfolgt durch den display-Befehl: Momentaufnahmen der Pendell age werden in 200 Bilder p[i] (i = 1..200) abgespeichert und die Sequenz der Bilder dann durch den display-Befehl mit der Option insequence=true abgespielt > Tmax:=2*Pi/(w2-w1): imax:=200: > dt:=Tmaxlimax: > for i from 1 to imax > do t:=(i-1 )*dt: > 11 :=[ [0,1], [Phi1 (t), 0], [ld+Phi2(t), 0], [ld,l] ]: > p[i]:=plot(11, x=-1 .. 2, scaling=constrained, thickness=2): > od: > with(plots):

> display([seq(p[i], i=1 ..imax)], axes=none, insequence=true);

0

Zusammenfassung: Durch die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren ist man in der Lage, ein Fundamentalsystem des LDGS fi" (t)

= Afi(t)

zu bestimmen: 1st Xk ein Eigenvektor zum Eigenwert Ak, dann sind zwei Losungen gegeben durch

Die Eigenwerte repriisentieren die Eigenfrequenzen des Systems und die Eigenvektoren die zu den Eigenfrequenzen gehIJrenden Schwingungsformen (Auslenkungen). Die allgemeine Schwingung ist eine Uberlagerung dieser Grundschwingungen. 0

186

XI GewOhnliche Differentiaigieichungen

27. Anwendungsbeispiel mit MAPLE: Pendelsystem mit Reibung. Gegeben sei das zum Pendelsystem mit Reibung gehOrende LDGS (vgl. Beispiel 19)

iJ' (t) = AiJ(t)

mit A =

( ｟ｾ＠

I

_ｾ＠'0 _1a ｾ＠

0

ｾ＠'0 -7 -

ｾ＠ Ｍｾ＠

ｾ＠

)

und

iJ(t)

=

'PI (t) ) ( e3 := eigenvects(A); e3 := [-.02506 + 2.327 1,1, {[ -.3145 + .002891, .00116 - .7301, .3063 - .00281 I, - .00113 + .7125 I]}], [-.02506 - 2.327 1,1, {[ -.3145 - .002891, .00116 + .7301, .3063 + .00281 I, - .00113 - .7125 I]}], [-.0250 + 2.237 1,1, {[ .3116 - .01164 I, .01823 + .6985 I, .3082 - .01152 I, .01803 + .6902 I]}], [-.0250 - 2.237 1,1, {[ .3116 + .01164 I, .01823 - .6985 I, .3082 + .01152 I, .01803 - .6902 I]}]

Da die Eigenwerte jeweils paarweise komplex konjugiert auftreten, erhalten wir aus dem zunl1chst komplexen Fundamentalsystem ein reelles, indem wir zu den Linearkombinationen ubergehen: ---

y 1 (t)

= '1 2 (-X-1- )e. , t + I

-+).,t X2 e 2 )

und

-+

Y2

(t)

= 2i1 ( x 1 -+

e

).,t I

-+ -

X2

e

).,t

> y1 := t -> evalm( 1/2 * (e3[1][3][1] * exp(e3[1][1]*t) > + e3[2][3][1] * exp(e3[2][1]*t)) ):

> y2 := t -> evalm( 1/(2*1) * (e3[1][3][1] * exp(e3[1][1]*t) > - e3[2][3][1] * exp(e3[2][1]*t)) ): > evalc(y1 (t)[1]); -.3146e{ -.02506t) cos( 2.327t) - .002892 e{ -.02506t) sin( 2.327t)

2

)

188

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

Y

Y4 (t) aus X3 ･ＧｾＳ＠

Analog wird 3 (t) und reelle Uisung lautet dann

t

und

X4 eA4 t gebildet. Die allgemeine

bzw. in den einzelnen Komponenten > Phi1 := evalc( chy1 (t)[1] + c2*y2(t)[1] + c3*y3(t)[1] + c4*y4(t)[1)):

> Phi1 := unapply(Phi1,t): > Phi2 := evalc( c1 *y1 (t)[3] + c2*y2(t)[3] + c3*y3(t)[3] + c4*y4(t)[3)): > Phi2 := unapply(Phi2,t): Entsprechend bildet man Phi1s aus der zweiten Komponente von iJ(t) und Phi2s aus der vierten Komponente. Urn das Anfangswertproblem zu IOsen, geht man wie in Beispiel 26 vor. Die Anfangsbedingungen

>

Phi10:=-0.1: Phi20:=0.: Omega10:=0.: Omega20:=0:

legen ein lineares Gleichungssystem fUr die 4 Konstanten mit dem solve-Befehl gelOst wird:

> eq1 := Phi1 (0) = Phi10: > eq3 := Phi1s(0) = Omega10: > sol:=solve( {eq1 ,eq2,eq3,eq4}. > assign(sol);

CI, C2. C3, C4

fest, das

eq2 := Phi2(0) = Phi20: eq4 := Phi2s(0) = Omega20: {c1 ,c2,c3,c4});

sol := { c3 = -.1591, c1 = .1602, c4 = -.004156, c2 = .000258}

Mit dem plot-Befehl erh!llt man den zeitlichen Verlauf der Schwebung fUr die Winkelauslenkung plot(Phi1 (t), t=0 .. 150, numpoints=1500); 0.1

0.05

00 -0.05

-0.1 Abb. 47: Schwebung beim Doppelpendel mit Reibung

o

189

2.6 Berechnung spezieller L()sungen mit MAPLE

2.6 Berechnung spezieller Losungen mit MAPLE Die Berechnung spezieller LOsungen bzw. der LOsung eines inhomogenen LDGS

Iy' (t)

Ay(t) + /(t)

=

I

mit Anfangsbedingungen kann auf elegante Weise mit Hilfe der Fouriertransformation (--+ Kap. XIV) oder der Laplacetransformation (--+ Kap. XII) erfolgen. Wir werden in diesem Abschnitt eine spezielle Losung des inhomogenen Systems mit der Methode der Variation der Konstanten berechnen. Dazu gehen wir zu der folgenden Konstruktion tiber: Sei ('PI (t), (t)· ii(t)

flo.

Ais

(Variation der Konstanten),

mit einer noch unbekannten, gesuchten Vektorfunktion ii (t) = (Ul (t) , U2 (t) , ... , (t))t. Dann gilt fUr die Ableitung von iJ(t) nach der Produktregel

Un

cI>' (t) ii(t) + cI> (t) ii' (t) A cI> (t) ii (t) + cI> (t) ii' (t) AiJ(t) + cI> (t) ii' (t)

iJ' (t) =

== AiJ(t) + f(t). I

-

iJ (t) erfUIIt also das inhomogene LDGS genau dann, wenn cI> (t) ii' (t)

= /(t) .

Da cI> (t) eine invertierbare Matrix ist

:::}

ii' (t)

:::}

ii(t)

cI>-1 (t) /(t)

c+

It

cI>-1

to

ＨｾＩ＠ /(0 ､ｾＮ＠

Die LOsung des Problems ist somit nach dem Ansatz (*)

:::} iJ(t) =

cI> (t)

c +

'-.-"

cI> (t)

homogene Losung'

it to

cI>-1 (0

ＯＨｾＩ＠

v eine spezielle Losung

､ｾＮ＠ '

Der konstante Vektor c= (Cl, ... , Cn ) t muB nun noch so gewlihlt werden, daB die Vektorgleichung iJ( to) = cI> (to) C= Cl 'h (to) + ... + Cn-1 (t) cos (wt)

=(

C?S (wt) sin (wt) ) - sm (wt) cos (wt) .

Die Methode der Variation der Konstanten liefert die LOsung des inhomogenen Problems:

u(t)

vo +

__ +

Vo

I:

cI>-1

It ( It ( ＭｳｩｮＨｷｾＩ＠

0

v _.:.. o

m

vo _

ＨｾＩ＠ ､ｾ＠ｦＨＩ

0

.:...!. ( m w

cos ＨｷｾＩ＠

ＭｅｸｳｩｮＨｷｾＩＫｹ｣ｯ＠

｣ｯｳＨｷｾＩ＠

ｳｩｮＨｷｾＩ＠

Ex ｣ｯｳＨｷｾＩＫｅｹ＠

( -.£.. Ex )

ｳｩｮＨｷｾＩ＠

Ｍｾｅｹ＠

､ｾ＠

､ｾ＠

Ex sin (wt) - Ey cos (wt) + Ey ) Ex cos (wt) - Ex + Ey sin (wt) .

Die Losung des inhomogenen Problems, weIche auch gleichzeitig die Anfangsbedingung y(to) = vo erfUllt, lautet darnit

yet)

cI> (t)

｟ｾ＠

(

u(t) = cI> (t) Vo 2. cI> (t) ( Ex sin (wt) m w

Ey cos (wt) + Ey ) Ex cos (wt) - Ex + Ey sin (wt)

COS (wt) VOx - sin (wt) VOy ) sin (wt) VOx + cos (wt) VOy ｟ｾ＠ Ex sin (wt) + Ey (cos (wt) - 1) ) m w Ex (1- cos (wt)) + Ey sin(wt) .

2. (

2.6 Berechnung spezieller Ulsungen mit

193

MAPLE

Die Geschwindigkeitskomponenten sind

> vx(t) := vOx*cos(w*t)-vOy*sin(w*t)-1 IB*(Ex*sin(w*t)+Ey*(cos(w*t)-1)): > vy(t) := vOx*sin(w*t)+vOy*cos(w*t)-1/B*(Ex*(1-cos(w*t))+Ey*sin(w*t)): > vz(t) := vOz-w/B*Ez*t: Mit den Parametern

> w:=1: B:=0.1: Ex:=10: Ey=4: Ez:=1: > vOx:=1: vOy:=O: vOz:=O: wird die Bewegung durch eine Raurnkurve beschrieben, die mit dem spacecurveBefehl graphisch dargestellt werden kann.

> with(plots): > spacecurve([vx(t), vy(t), vz(t)], t=0 .. 30, numpoints=500, color='black');

-50 -100 -150 -200 -250

-30'0

29. Anwendungsbeispiel: Schwingung einer Karosserie nach [Brauch. Dreyer, Haacke: Mathematik fUr Ingenieure, Teubner Verlag, Stuttgart, 1990, S. 588ft]. i) Ein Kraftfahrzeug uberfahrt eine Schwelle der HOhe h. Es sind die Schwingungen Xl (t) der Karosserie zu untersuchen. Das System kann nliherungsweise durch Abb. 48 dargestellt werden.

Wegen der Relativbewegungen der beiden Massen entsteht ein inhomogenes, lineares Differentialgleichungssystem ml Xl m2

X2 (t)

(t) + 'Y

+ 'Y (X2 (t) -

(Xl Xl

(t) - X2 (t))

(t))

+ Dl

+ DI

(X2 (t) -

(Xl Xl

(t) - X2 (t)) = 0

(t))

+ D2

Die Anfangsbedingungen sind dabei

XdO) = X2 (0)

= 0, xdt) = X2 (t) = O.

(X2 (t) - h) = O.

194

XI GewOhnIiche Differentialgleichungen

Karosserie

I

m,

I

m,

I

l

x,(t)

Stolldiimpfer

0,

Reifen

I

ｲ］Ｍｾ＠

ｾ＠ Schwelle

0, Ih

Abb. 48: Schwingungen einer Karosserie

kurz:

y' (t) = Ay(t) + f(t). Die LOsung dieses Problems mit verschwindenden Anfangsbedingungen ist nach Satz 11 gegeben durch

wenn die Spalten der Matrix (t) = (CP1 (t), ... , CP4 (t)) aus einem Fundamentalsystem von y' (t) = Ay(t) bestehen und f = (0 0 0 ｾＮ＠ h)t.

2.6 Berechnung spezieller Ltlsungen mit

195

MAPLE

Da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Matrix A fUr allgemeine Parameter nicht berechnet werden kOnnen (Polynom vom Grade 4), > with(linalg): > A := matrix([ [0,1,0,0], [-01/m1 ,-Gamma/m1 ,01/m1 ,Gamma/m1], [0,0,0,1], > [01 Im2,Gamma/m2,-(01 +02)/m2,-Gamma/m2]]); > cp := charpoly(A,lambda): > cp := sort(cp);

ａＺｾ＠

1

0

0

Dl r - rnr - rnr

[

0 r m2

0 Dl

m2

Dl

rnr -

D1±

0 D2

m2

-

ｾＺ＠

m2

1

cp :=(.x4ml m2 + .x3rml + .x3 rm2 +.x2 Dl ml +.x2 Dl m2 +.x2 ml D2

+

.x

r

D2 + Dl D2) / ( ml m2)

werden wir fUr spezifizierte Parameter Db D 2 , mb m2 und 'Y mit MAPLE ein LOsungs-Fundamentalsystem berechnen und anschlieBend die Matrix (t) aufstellen, urn Forme! (*) anwenden zu kOnnen.

> m1 :=1 e3: m2:=50: 01 :=40e3: 02:=50e3: Gamma:=16e3: h:=0.01: > A := map(eval,A); .- [ -40.0goooooo A .0 800.0000000

1 -16.00000000

40.00000000 o

320.0000000

-1800.000000

o

o

16.00000000 0 1 -320.0000000

1

Man beachte, daB bei MAPLE Matrizen nur einstufig ausgewertet werden und daher der map-Operator verwendet wird, urn die Parameter an die Matrix zu ubergeben! Zur Ubersichtlicheren Gestaltung rechnen wir im folgenden die Eigenwerte und Eigenvektoren nur mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen aus.

> Oigits:=4: > e := eigenvects(A); e :=

[ - 2.993, 1, {[ .009493, - .02828, - .001683, .00504]}], [-1.226+6 .2621,1, {[-.004443- .0090361, .06181- .01657 I , -.0004444 - .008458 I, .05343 + .0076 I]}], [-1.226 - 6.2621, 1, {[-.004443 + .0090361, .06181 + .01657 I, -.0004444 + .0084581, .05343 - .0076 I]}], [-330.5, 1, {[ .0001435, -.04830, -.002896, .9576]}]

196

XI Gew(jhnliche Differentialgleichungen

Damit haben wir die vier Eigenwerte der Matrix -330.5, - 2.993, -1.226+6.262 i, -1.226 - 6.262 i mit der Vielfaehheit 1 gefunden. Der MAPLE-Befehl eigenvects bereehnet die vier Eigenwerte numeriseh, daher sind aueh die Eigenvektoren nur naherungsweise bekannt! Ein L1)sungs-Fundamentalsystem lautet dann

Aus diesem Fundamentalsystem bilden wir nun die Matrix (t). Da die Definition einer Matrix in MAPLE zeilenweise erfolgt, ( t) aber aus den SpaJten Xi e Ai t besteht, transponieren wir die Matrix > Phi := matrix([ evalm(e[1][3][1]*exp(e[1][1]*t» , > evalm(e[2][3][1 ]*exp(e[2][1 ]*t)) , evalm(e[3][3][1 ]*exp(e[3][1 ]*t», > > evalm(e[4][3][1 ]*exp(e[4][1]*t» ]): > Phi := transpose(Phi): Die Inverse bereehnet man mit dem inverse-Befehl > Philnv := inverse(Phi): Definieren wir nun die reehte Seite des LDGS > f := vector([O,O,O,h*02lm2]): > #f:=vector([O,O,O,02/m2*(O.005*sin(1/2*Pi*vO*t))]); k1)nnen wir die Matrix-Vektor-Multiplikation -l(t) ble t wird dureh ｾ＠ ersetzt > evalm(Philnv&*f): v1 :=subs(t=xi, %);

vI

:=

->

f (t) ausfilhren. Die Varia-

3.321 + 1.8461 -.5598 - .000074861 e(-2.993 0 'e((-1.226+6.262I)O' 10.09 - .0004177 I]

[

3.321-1.8461 e((-1.226-6.2621) 0

e( -330.5 e)

und tiber ｾ＠ integriert. Das Zwisehenergebnis ist der Vektor > yz := map (int, v1, xi=O .. t); yz:= [

- .1870 - .00002501 I e( -2.993t)

+ .1870 + .00002501 I,

( - .1839 + .5663 I ) e( (1.226-6.262 ( -.1839 - .56631) e( (1.226+6.262

ＮＰＳＵＺｾＡ

Ｎ ｾＺＰＭＵ＠

I) t) I) t)

+ .1839 - .5663 I, + .1839 + .5663 I,

I _ .03053 + .126410- 5 I]

,

2.6 Berechnung spezieller Ulsungen mit MAPLE

197

Man beachte, daB vektorwertige Funktionen nicht direkt mit dem int-Befehl integriert werden kOnnen. Daher muB entweder die Integration fUr jede einzelne Komponente des Vektors VI durchgefUhrt werden oder man verwendet den Abbildungsoperator map, urn den int-Befehl auf jede Komponente des Vektors anzuwenden. Der U)sungsvektor

Y (t) folgt durch Multiplikation von cI>(t) mit yz(t):

> Y:=evalm(Phi&*yz):

Von dem Losungsvektor ist fUr die Diskussion nur die erste Komponente von Interesse, da Xl (t) = Yi (t):

> evalc(Y[1]): > x1 :=simplify(%); x1:= .01010+ .001775e(-2.993t) - .01187e(-1.226t) cos(6.262t) - .001708 e( -1.226 t) sin( 6.262 t ) - .438110- 5 e( -330.5 t) - .237610- 6 I + .237410-6 Ie(-2.993t) + .181410- 9 Ie(-330.5t) Anhand der LOsungsdarstellung erkennt man, daB durch Rundungsfehler die LOsung auch komplexe Anteile enthlilt. FUhrt man die gesamte Rechnung mit 20 Stellen durch (d.h. > Digits:=20), so sind die komplexen Terme mit dem Faktor 10-21 vertreten. Daher setzen wir sie auf Null

> x1 :=subs(I=O, x1); xl := .01010 + .001775 e( -2.993t) - .01187 e( -1.226t) cos( 6.262 t) - .001708 e( -1.226 t) sin( 6.262 t ) _ .438110- 5 e( -330.5 t ) und stellen die LOsung graphisch dar

> plot(x1, t=O .. 5, numpoints=300); 0.Q15

0.01

0.005

o Abb. 49: Schwingungen einer Karosserie bei einer Stufe

198

XI Gewilhnliche Differentialgleichungen

ii) In Abanderung des Beispiels (i) stellen wir uns vor, daB statt der SchweIle

!

Bodenunebenheiten der Form x(z) = 0.05 sin(k z) mit k = 7l" vorliegen. Auf einen Meter kommen so 4 Maxima und Minima. Wenn das Auto mit konstanter Geschwindigkeit Vo auf dem Bodenbelag fahn, wie reagiert dann das Karosseriesystem? Wir betrachten die FaIle Vo = 5 ｫｾＬ＠ 10 ｫｾＬ＠ 20 ｫｾ＠ und 40 ｫｾＮ＠ Da v = f, ist z(t) = Vo . t, so daB

h(t)

= 0.05 sin(! 7l"' Vo . t).

Wir wiederholen mit MAPLE den selben Rechenvorgang, indem wir bei der Definition des Vektors f in der vierten Komponente h durch h( t) ersetzen. Das Endergebnis Xl (t) enthalt dann den noch unbestimmten Parameter vo, der im AnschluB auf 5 . ｾ＠ r; usw. gesetzt wird: > x1 := simplify(subs(I=O, Y[1])); xl := .001000( .640010 12 sin( 1.571 vO t ) - .262510 10 vO cos( 1.571 vO t ) +.5803108 v0 5 cos(1.571 vOt)+.132310 7 e(-330.5t) vO - .59131011 e( -2.993 t) vO _ 4908. e( -2.993 t) v07 _ .217109 e( -2.993 t) v0 5 + 1339. e( -330.5 t) v07 _ 36050. e( -330.5 t) v05 + 215900. e( -330.5 t) v03

+ .66351010 e( -2.993 t)

v0 3 + .175410 12 sin( 1.571 vO t) v02

- 5. v0 7 cos( 1.571 vO t ) - .12731011 sin( 1.571 vO t) v0 4 - 5750. sin( 1.571 vO t) v0 6 - .242310 11 v0 3 cos( 1.571 vO t ) + 3550. e( -1.226t) v0 7 + .61851011 e( -1.226t) vO + .1761011 e( -1.226t) v0 3 +.157510g e(-1.226t) v0 5 )/( .108710 12 + .157410 11 v02 Mit > xp2 > xp3 > xp4 > xp5

:= := := :=

-

.345310 10 v04

+ .1282109

v06 + 2899. v0 8 )

subs(vO=5*1 O/36,x1): p2:= plot(xp2,t=O .. 10,color='green'): subs(vO=10*10/36,x1): p3:= plot(xp3,t=O.. 10,color='blue'): subs(vO=20*10/36,x1): p4:= plot(xp4,t=O.. 10,color='red'): subs(vO=40*1 O/36,x1): p5:= plot(xp5,t=O.. 1O,color='black'):

folgt.die graphische Darstellung > with(plots): > display( {p2,p3,p4,p5});

2.6 Berechnung spezieller Ltlsungen mit

MAPLE

199

0.006 0.004 0.002

-0.002 -0.004 -0.006

Abb. 50: Schwingungen einer Karosserie bei Bodenunebenheiten

Hierbei erkennt man, daB je grOBer die Geschwindigkeit wird, desto hOher die SchUttelfrequenz ist. Mit hOherer Frequenz nimmt die Maximalamplitude abo Eine Ausnahme bildet Vo = 10 . ｾ＠ 7 = 2.77 7, Hier ist die zugehOrige Frequenz w = !7l'VO = 4.36 ｾ＠ nahe der Resonanzfrequenz von Ｖ Ｎ ＲＶＵｾＮ＠ ｗｾｬｴ＠ man Vo = 12 so ist w = 5.23 ｾ＠ und der Maximalwert der Amplitude sogar 0.04.

k;;,

200

XI Gew(jhnliche Differentialgleichungen

§3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 3.1 Einleitende Beispiele 30. FadenpendeI: An einem Faden der Lange list eine Masse m befestigt. Gesucht ist der Winkel 'P (t) als Funktion der Zeit, wenn die Masse urn kleine Winkel 'Po ausgelenkt wird. Die Krafte, die auf die Masse m wirken, sind die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zum Faden Ft

= -Fe sin'P = -m 9 sin 'P ｾ＠

-m 9 'P

(kleine Winkel)

und die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit

FR = Abb. 51: Fadenpendel

-,v

=

-,(l0).

Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleu-

nigungskraft, FB=mx(t)=mlrp(t),

gleich der Summe aller angreifenden Krafte: Imlrp(t)

= -mg'P(t) -,10(t) I (homogene, lineare DG 2. Ordnung).

3L FederpendeI: Am Ende einer senkrecht herabhangenden Feder mit der Federkonstanten D befindet sich eine Masse m. Es wirkt eine Reibungskraft proportional zur Momentangeschwindigkeit. Die Auslenkung der Masse m zur Zeit t wird mit x (t) bezeichnet. Gesucht ist das Weg-Zeit-Gesetz x (t), wenn die Masse m zum Zeitpunkt to = 0 urn Xo aus der Ruhelage ausgelenkt wird.

--I x(t) -

x=o Ruhelage

Auslenkung zum Zeitpunkt t

Abb. 52: Federpendel

201

3.1 Einieitende Beispieie

Die Krl:ifte, die auf die Masse m wirken, sind die FederrUckstellkraft FD = -D x (t) und die Reibungskraft FR = -{3 x(t). Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ist die Beschleunigungskraft FB = mx (t) gleich der Summe aller angreifenden Krl:ifte:

Imx(t)

= -{3x(t) - Dx(t)

mit x(O)

= Xo, x(O) = 01

(homogene, lineare DG 2. Ordnung). 32. RCL·Kreis: Der RCL-Wechselstromkreis ist das elektromagnetische Analogon zu den Pendelbeispielen. Ein Stromkreis ist aufgebaut mit einer Induktivitat L, einer Kapazitl:it C und einem Ohmschen Widerstand R. Zur Zeit t = 0 wird der Stromkreis durch Anlegen einer l:iuBeren Spannungsquelle UB (t) = Uo sin (wt) geschlossen. Gesucht ist der Strom I (t) als Funktion der Zeit.

R

r-J ｵＮＨｴｾ＠

Abb. 53: RCL-Kreis

Nach dem Maschensatz ist die Summe der Spannungsabfl:ille an R, C und L gleich der eingespeisten Spannung UB

UR (t) + UL (t) + Uc (t) = UB (t).

= R· I (t)), dem Induktionsgesetz (UL = L ､ｾｴＩ＠ und der Spannung am Kondensator (Uc = 15Q (t) = 15 J; I (r) dr) gilt

Mit dem Ohmschen Gesetz (UR

dI (t) 1 R.I(t)+L---;]t+ C

. 10t I(r)dr=Uosm(wt)

bzw. nach Differentiation

IL j (t) + Rj (t) + 15 I (t) = Uow

cos (wt)

I

(inhomogene, lineare DG 2. Ordnung). Ausgehend von den obigen Beispielen formulieren die allgemeine Problemstellung: Problemstellung: Seien ak(x) (k = 0, ... , n - 1) und f(x) gegebene, auf einem Intervall I stetige Funktionen. Gesucht ist eine n-mal stetig differenzierbare Funktion y(x) mit der Eigenschaft, daB sie fUr aIle x E I die linearen DG

y(n) (x)+an-l (x) y(n-l) (x)+ ... +al (x) y' (x)+ao (x) y (x) = f (x) (DG2) erfUllt.

202

XI Gewtlhnliche Differentialgleichungen

Bezeichnung: FUr

f (x) i= 0 heiBt (DG2) eine inhomogene DG n-ter Ordnung und fUr f (x) = 0 heiBt (DG2) eine homogene DG n-ter Ordnung.

Wir diskutieren im folgenden die Problemstellungen: Wieviele Ltisungen besitzt eine lineare DG n-ter Ordnung? Wie ltist man das homogene Problem, wie das inhomogene? Zur Beantwortung dieser Fragen Ubertragen wir zunachst die Ergebnisse aus dem Kapitel Uber LDGS 1. Ordnung auf LDG n-ter Ordnung:

3.2 Reduktion einer DG n-ter Ordnung auf ein System Ausgehend von der inhomogenen DG n-ter Ordnung konstruieren wir ein System 1. Ordnung, indem wir - verallgemeinernd zum Vorgehen in Beispiel 19 n Funktionen Yo (x), Yl (x), ... , Yn-l (x) einfUhren, die durch die Bestimrnungsgleichungen Yo (x) .- Y (x) Yl (x) .- Y' (x) Y2 (x) .- Y" (x) y(n-l) (x) Yn-l(X) festgelegt werden. Definieren wir die Vektorfunktion Yo (x) Yl (x)

9 (x) := Yn-2(X) Yn-l(X)

folgt fUr deren Ableitung

y'(x)

Yo (x)

yi (x)

Y" (x)

ｙｾＭＲ＠

y(n-l) (x) y(n) (x)

9' (x) (x) ｙｾＭｬ＠ (x) Yl (x) Y2 (x) Yn-l (x) -ao Y (x) -

al

Y' (x) - ... - an-l y(n-l) (x) + f (x)

203

3.2 Reduktion einer DG n-ter Ordnung auf ein System

Die Gleichheit der ersten (n - 1) Komponenten gilt nach Definition der Funktionen Yi (x) und die der letzten Komponente, da aufgrund der DG (DG2)

y(n} (x)

= -ao y (x) -

al y' (x) - ... - an-l y(n-l} (x)

+f

(x).

Ersetzen wir auch in der letzten Komponente die Ableitungen von y (x) durch die entsprechenden Funktionen Yi (x), ist Yl (x) Y2 (x)

y' (x)

=

Yn-l (x) -ao Yo (x) - al Yl (x) - ... - an-l Yn-dx) + f (x) o 1 0 0 0 o 0 1 0 0 y(x) + o 0 0 1 o f (x) Dies ist ein inhomogenes LDGS 1. Ordnung fUr

(DGS2)

Y (x).

Bemerkung: 1st Y (x) eine Losung der inhomogenen, linearen DG n-ter Ordnung (DG 2), dann ist Y (x) = (y(x), Y' (x) , ... , y(n-l} (x))t eine Losung des entsprechenden inhomogenen LDGS 1. Ordnung (DGS2). Es ist aber auch die Urnkeh. .... t rung gUltlg: 1st Y(x) = (Yo(x),Ydx), ... ,Yn-dx)) LOsung von (DGS2), dann ist die erste Komponente des Vektors Y (x), Y (x) := Yo (x), eine Losung der DG n-ter Ordnung (DG 2). Begriindung: 1st Y (x) eine LOsung von (DGS2), so gilt fUr die erste Komponente Yo (x) nach (DGS2): Yb (x)

Ydx) yi (x) = Y2 (x) ｹｾ＠ (x) = Y3 (x)

yg (x) yg' (x) (n-l) ( )

ｙｾＭＲ＠

(x) ｙｾＭｬ＠

x

Yo ｹｾｮｽ＠

=

(x) = Yn-l (x) (x) -ao Yo (x) - al Yl (x) - ... - an-l Yn-l (x) + f (x) -ao Yo (x) - al Yb (x) - ... - an-l ｾｮＭｬｽ＠ｹ (x) + f (x).

Sornit ist yo(x) eine LOsung der DG n-ter Ordnung. Die Urnkehrung gilt aufgrund 0 obiger Uberlegungen und der Konstruktion des LDGS (DGS2).

204

XI Gewohniiche Differentiaigieichungen

33. Beispiel: Gesucht ist das zur DG 4. Ordnung XliII

(t)

+ 8 XIII (t) + 22 x" (t) + 24 x' (t) + 9 x (t) =

0

geMrende LDGS 1. Ordnung. Die DG ist von der Ordnung 4, also fUhren wir 4 Funktionen Yo (t) = x (t) Yl (t) = x' (t) Y2 (t) = x" (t) Y3 (t) = XIII (t) ein. Dann gilt fUr die Ableitung der Funktionen Yo (t) , Yl (t) , Y2 (t) und Y3 (t)

yb (t) ｹｾ＠

Y2

Y;

(t) (t) (t)

x' (t) x" (t)

=

x"' (t) x"" (t)

=

Yl (t) Y2 (t) Y3 (t) -9 x (t) - 24 x' (t) - 22 x" (t) - 8 XIII (t) -9yo (t) - 24Yl (t) - 22Y2 (t) - 8Y3 (t)

=

ｾＺ＠ III )

FUr den Vektor Y (t) := (

gilt dann

Y3 (t)

Y' (t) =

ＨｾＩ＠ (

ｾ＠

- ( -

ｾ＠

g

ｾＹｹｏ＠

ｾ＠

) - 24Yl - 22Y2 - 8Y3

ｾ＠ ｾＩ＠

Y (t) .

-9 -24 -22 -8

Dies ist das zur DG gehorende LDGS 1. Ordnung. Satz 12: Das LOsen einer Iinearen DG n-ter Ordnung (DG2) ist llquivalent zum LOsen des zugeMrigen LDGS l. Ordnung (DGS2). Daher ist es gleichgultig, ob die DG n-ter Ordnung gelost wird oder das zugehorige DG-System. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen fUr das numerische LOsen von DG n-ter Ordnung, da man i.a. besser Systeme 1. Ordnung IOsen kann, als DG n-ter Ordnung Ｈｾ＠ vgl. §4). Durch diese Aquivalenz Ubertragen sich auch die Aussagen Uber die LOsung von LDGS auf DG n-ter Ordnung. Entsprechend Satz 1 und Satz 10 gilt

205

3.2 Reduktion einer DO n-ter Ordnung auf ein System

Satz 13: (Losung Iinearer DG n-ter Ordnung) (1) Sei Lh die Menge aller Ltisungen der homogenen linearen DG n-ter Ord-

nung

y(n) (x)

+ an-l y(n-l) (x) + ... + al y' (x) + ao y (x)

= 0,

dann ist Lh ein n-dimensionaler Vektorraum. (2) Sei Li die Menge aller Ltisungen der inhomogenen linearen DG n-ter Ord-

nung

y(n) (x)

+ an-l y(n-l) (x) + ... + al y' (x) + ao y (x) = f (x),

dann ist

ILi =

(x) + Lh,

yp

I

wenn yp (x) eine beliebige partikullire (= spezielle) Ltisung der inhomogenen DG ist. (3) n verschiedene Ltisungen 'PI (x), 'P2 (x) , ... , 'Pn (x) der homogenen DG sind genau dann linear unabhangig, wenn fUr ein, und damit fUr aIle x E I, die sog. "Wronski-Determinante" W (x) ungleich Null ist:

(

Ｚｾ＠ Ｚｾ＠ W{x) = d e t . ＨｾＭＱＩ＠

'PI

'Pn (X) Ｇｐｾ＠

... . ()

X

(n-l) ( ) 'P2 X

(X)

:

)

#0.

'Pn(n-l) ( X)

Definition: Eine Basis 'PI (x), . .. , 'Pn (x) des Losungsraumes Lh der homogenen DG heij3t Losungs-F\mdamentalsystem. Foigerung: 'PI (x), ... , 'Pn (x) ist ein Losungs-Fundamentalsystem genau

I

dann, wenn W(xo)

#0

IfOr ein

34. Beispiel: Gegeben ist fUr x

Xo E

I.

> 0 die homogene DG 2.

y" (x) - 21x y' (x)

+ Ｒｾ＠

Ordnung

Y (x) = O.

Zwei Losungen sind

'Pdx) = x,

'P2 (x) = ..jX,

wie man durch Einsetzen in die DG leicht besUttigt. Die Wronski-Determinante zu 'PI, 'P2 lautet

W (x) = det (

ｾｴ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

) = I ｾ＠

ｾ＠

I= - ｾ＠

..jX.

206

XI Gewilhnliche DifferentiaIgleichungen

FUr x > 0 ist W (x) i= 0 und ('PI, 'P2) bilden smnit ein Fundamentalsystem. Die allgemeine ｌｾｳｵｮｧ＠ der DG ist daher

Die Konstanten

Cl

und

C2

bestimmen sich aus Anfangsbedingungen.

35. Beispiel: Bewegung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld. Nach Beispiel 20 lauten die nicht-relativistischen Bewegungsgleichungen eines Elektrons in einem homogenen Magnetfeld, welches senkrecht zur Bewegungsrichtung steht,

Vx (t) = -wvy (t)

Vy (t) = wvx (t)

und

*-

mit w = B i= O. Differenziert man die erste Gleichung, Vx (t) = -w Vy (t), und setzt die zweite ein, erhaIt man eine DG 2. Ordnung fUr die Geschwindigkeit Vx (t): Zwei Losungen dieser DG kann man direkt angeben:

= cos (wt)

'PI (t)

und 'P2 (t)

= sin (wt) ,

wie man durch Einsetzen in die DG bestluigt! Diese beiden Fundamentalsystem, da die Wronski-Determinante W(t)

det ( 'PI (t) Ｇｐｾ＠ (t) W

cos2 (wt)

Daher ist die allgemeine

ｌｾｳｵｮｧ＠

Vx (t) = Die Parameter Cl,

C2

'P2 (t) ) Ｇｐｾ＠

(t)

_I

-

+ w sin2 (wt)

cos (wt) -w sin (wt)

= w

ｌｾｳｵｮｧ･＠

bilden ein sin (wt) wcos (wt)

1

i= O.

fUr Vx (t) Cl

cos (wt)

+ C2 sin (wt) .

werden durch physikalische Anfangsbedingungen festgelegt.

o 1m folgenden werden wir uns mit der Frage beschl1ftigen, wie man aIle Losungen des homogenen Problems und eine spezielle Losung des inhomogenen Problems berechnet. FUr lineare DG mit konstanten Koeffizienten gibt es eine sehr befriedigende Antwort: Die LOsung des homogenen Problems ist l1quivalent zur Bestimmung von Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades (charakteristisches Polynom) (--+§3.3). Eine partikulllre ｌｾｳｵｮｧ＠ der inhomogenen DG kann man oftmals durch einen speziellen Ansatz gewinnen (--+§3.4).

207

3.3 Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten

3.3 Homogene DG n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten 36. Beispiel: Gegeben ist die DG 2. Ordnung

Ix(t)+W5 x (t)

=0·1

Die zugehOrige physikalische Problemstellung kann z.B. das Fadenpendel ohne Reibung 30, das Federpendel 31, ein LC-Kreis 32 oder die Bewegungsgleichung eines Elektrons im Magnetfeld 35 sein. Zur LOsung der DG w11hlen wir den Ansatz: Setzen wir diesen Ansatz in die DG ein, folgt

Man nennt das zur DG zugehOrige charakteristische Polynom. Wenn die im Ansatz auftretende GrOBe >. eine Nullstelle des charakteristischenｾｮｯｭｳ＠ ist, dann ist e A t eine LOsung der DG. Aus P (>.) = 0, folgt >. = ± v' -w5 = ± i Woo ::::} 'PI (t)

= eiwot

und 'P2 (t)

= e- iwot

sind Losungen der DG. Sie bilden gleichzeitig ein Fundamentalsystem, da die Wronski-Determinante _

W(t)-det

( 'PI (t) 'PI'(t)

'P2 (t) 'P2'(t)

)

_I

-

eiwot .zWo eiwot

e- iwot -z We -iwot .

1_ 2zw. o'#0. --

Da 'PI (t), 'P2 (t) komplexe Funktionen sind, nennt man ('PI (t) , 'P2 (t)) ein komplexes Fundamentalsystem. Obergang zu einem reellen Fundamentalsystem. Zu diesem komplexen Fundamental system konstruiert man ein reelles, indem man zu speziellen Linearkombinationen von 'PI (t) und .2 ist Z2

+ 8y" (x) + 16y (x) = O.

in die DG liefert das charakteristische Polynom

+ 8 Z + 16 =

0 ｾ＠

Zl/2 = -4 doppelt. Damit sind

±R =

>'1/2 =

±2i

doppelte NulIstelIen.

sung liefert daher der Ansatz

Jp (t) = Aeiwt . In die DG eingesetzt, folgt

= Uo iw eiwt

(iw)2 Aeiwt + 2,6 (iw) Aeiwt + w5 A eiwt

L

und

.Uow I-() p t = Z-L

2

Wo - w

1

2

+

2'

f.l ZiJW

iwt

e

.

Obergang zu einer reellen partikuUiren Losung: Ip (t) = 1m (Jp (t)). HierfOr stellen wir Jp (t) in zwei unterschiedliche Normalformen dar: Zum einen zerlegen wir A und ei w t in Real- und Imagintlrteil und fohren die Multiplikation in der algebraischen Normalform durch (i). Zum anderen stellen wir Jp (t) in der exponentiellen Normalform dar, indem wir A in die Exponentialform Oberfohren und die Multiplikation in dieser Normalform ausfuhren (ii). (i) Zerlegung in Real- und Imaginarteil:

Jp(t)

=

. Uow 1 2 2 [(w5- w2 )-2i,6w] L (W5-w2) +(2,6w) [cos (wt) + i sin (wt)]

z_ ·

Uow L

[

w2O - w2 ] 2 sin (wt) - 2,6w cos (wt) 2 (w5-W2) +(2,6w)

+i UoW [ w5;w2 2 COS(wt)+2,6wsin(wt)] (w5 - w2) + (2,6w) L Ow [ =>Ip(t)=Im(ip(t))=U,L

w5;w2 2COS(wt)+2,6wsin(wt)] (w5 - w2) + (2,6w)

(ii) Darstellung ober komplexe Amplitude: Wir stell en die komplexe Amplitude

A in der Exponentialform dar

A

= =

. w5 - w2 - i 2 ,6 w 2 L w5 - w + 2i ,6 w w5 - w2 - i 2 ,6 w Uo w f.l W +' -21 2 [2 fJ 'l (2 Wo - w2)] -.1... L (w5- w2 ) +(2,6w)

i Uo w I

IAI eicp

229

3.4 Inhomogene DO n-ter Ord. mit konstanten Koeffizienten

1m A

und tanr.p = Re A =

w5 -w 2 2{3w

..

komplexe Amplitude

Interpretation: Mit w5

= ｌｾ＠

=f

und 2 {3

gilt fUr Amplitude und Phase des

Stromes ｾｗ＠

L

1

V(2{3w)2

+ (w5 _w2)2

=

und tan r.p(w)

=

VR2

+ Ｈｾ｟ｷｌＩＲ＠

ｾ＠

=: 10

WL __ 1 we. R

Gleichung (*) ist das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik mit den Scheitelwerten Uo und 10 . Der reelle Scheinwiderstand betrl1gt

Der Strom 1p (t) ist urn r.p(w) phasenverschoben zur Spannung. Die allgemeine LOsung der Schwingungsgleichung ist

I (t) = h (t)

+ 1p (t) .

Da fOr R t= 0 nach der Diskussion aus Beispiel 41 h (t) ｴｾ＠ 0, gilt insgesamt fUr gro8e Zeiten I (t) rv 1p (t), d.h. nach einer bestimmten Einschwingphase ist der Gesamtstrom I (t) = 10 sin (wt + r.p) . Sowohl der Scheinwiderstand Z (w), der Scheitelwert 10(w) als auch die Phasenverschiebung r.p (w) sind frequenzabhl1ngig, siehe Abb. (a) und (b).

230

XI Gew{jhniiche Differentiaigieichungen

1ti2 ---------------------------------------------(b)

0)

ＮｾＭＫ＠

0)

-1ti2

b) Phasenverschiebung rp(w)

a) Scheitelwert des Stromes 10(w)

kc

FUr w = Wo = tritt Resonanz auf: Der Scheitelwert der Stromsttlrke 10 erreicht dann bei festem L, C, R, seinen groBten Wert 10 (wo) = 1m FaIle R - t 0 gilt 10 (wo) - t 00, d.h. bei fehlender Dtlmpfung erfolgt eine Resonanzkatastrophe! 0

Iff.

3.5 Losen von DG n-ter Ordnung mit

MAPLE

Das LOsen von DG hOherer Ordnung erfolgt mit MAPLE durch den dsolve-Befehl, der in §1.5 schon fUr DG 1. Ordnung verwendet wurde. FUr die note Ableitung einer Funktion y(n) (x) muB entsprechend der Syntax des diff-Befehls diff(y (x), x$n) gesetzt werden. 49. Beispiel: Gesucht sind aIle LOsungen der Differentialgleichung ylll (x) - 2y" (x)

+ y' (x)

= 1 + eX cos (2x).

> DG := diff{y{x}, x$3} - 2*diff(y{x}, x$2} + diff{y(x}, x} = 1 + exp(x}*cos{2*x}: > dsolve (DG, y{x»; y (x)

= Ｑｾ＠

eX -

110 ( cos (x) + 2 sin (x)) eX cos ( x) + x

+_Cl eX + _C2 (eX x

- eX)

+ _C3

An der Losungsdarstellung erkennt man, daB die LOsung der DG sich aus zwei Anteilen zusammensetzt: Der allgemeinen Losung des homogenen Problems

mit 3 freien Parametern _Cl, _C2, _C3 und einer partikultlren Losung yP (x)

= 130 eX -

110 (cos (x)

+ 2 sin (x)) eX cos (x) + x.

3.5 L/.)sen von DG n-ter Ordnung mit

231

MAPLE

Anfangsbedingungen kOnnen mit der erweiterten Form des dsolve-Befehls bei der LOsung berUcksichtigt werden.

> dsolve( {OG, anfangsbedingungen}, funktion(variable)); Zur Beschreibung der Anfangsbedingungen ist bei DG n-ter Ordnung der diffBefehl nicht mehr ausreichend. Denn urn z.B. die Anfangsbedingung y' (xo) = Yo in MAPLE festzusetzen, kann nieht die Syntax

> diff(y(xO), x) = yO; verwendet werden, da y (xo) ein konstanter Ausdruck und diff auf einen konstanten Ausdruck angewendet immer Null ergibt! Stattdessen benutzt man den D-Operator, der eine Funktiony differenziert:

> O(y); Das Ergebnis des D-Operators ist wieder eine Funktion, die an einer Stelle Xo auswertbar ist. Die n-te Ableitung einer Funktion bestimmt sich aus

> (O@ @n)(y); 50. Beispiel: Gesucht ist die LOsung der DG

y( 4) (x)

+ 2 y" (x) + y (x) =

mit den Anfangsbedingungen y (0)

= 0,

y' (0)

= 1,

25 e2x y" (0)

= 0,

y'" (0)

= 3.

> OG := diff(y(x), x$4)+2*diff(y(x), x$2)+y(x) = 25*exp(2*x): > AS := y(O)=O, O(y)(O)=1, (O@ @2)(y)(O)=O, (O@ @3)(y)(O)=3: > dsolve({OG, AS}, y(x)); y (x)

= e2x -

4 sin (x) - cos (x) -

ｾ＠

sin (x) x + 3 cos (x) x

5L Anwendungsbeispiel: Balkenbiegung. Ein homogener Balken (Utnge L, Querschnitt A, Flitchentritgheitsmoment I, Elastizitatsmodul E), ......ｾＮｬｌＭｉＧ＠ der auf der x-Achse auf verschiedene Arten unterstOtzt wird, biegt sich unter dem EinfluB von vertikalen Lasten. y (x) ist die Auslenkung des Balkens an der Stelle x.

p(x) ......

X

Abb. 58: Balken unter Last

FUr kleine Auslenkungen des Balkens ist das Biegemoment M (x) an der Stelle x mit a = E I gegeben durch:

M(x)

-E I

cPy (x)

dx 2 -ay"(x).

232

XI Gew!lhnliche Differentialgleichungen

Aufgrund der Beziehung M" (X)

= -p(X)

folgt

(a y" (x))" = p (x) .

1st der Balken auBerdem auf einen stutzenden Untergrund gelagert, so greift in jedem Punkt die stUtzende Kraft (3 y (x) an. Dies liefert die DG 4. Ordnung

Iay(4) (x) + (3y (x) Setzen wir w4

= ｾ＠

und q (x)

= ｾＬ＠

y(4) (x)

= p(x)·1

lautet die DG

+ w4 Y (x) = q (x).

Unter der Annahme, daB der Balken sich nur unter seinem Eigengewicht biegt, ist = const = q. > w:=2: > DG := diff(y(x), x$4)+w 4*y(x)=q: > dsolve(DG, y(x)): > y := unapply(rhs(%), x);

q (x)

A

y := x - t Iq6

+ _C1 e v'2 x

_C3e-v'2 x

sin ( J2 x)

sin (J2x)

+ _C2 ev'2 x

+_C4e-v'2 x

cos ( J2 x)

cos (J2x)

Die LOsung enthalt 4 freie Parameter, die aus den Randbedingungen bestimmt werden. Einige in den Anwendungen auftretenden Randbedingungen sind z.B. - gelenkig gelagertes Ende: y = y" = 0 y = y' = 0 - fest eingespanntes Ende: - freies Ende: y" = y'" = O. 4 Randbedingungen erhltlt man jeweils aus 2 dieser FaIle, wodurch sich die 4 Konstanten _Gl, _G2, _G3, _G4 ergeben. Wir fOhren nur den Fall durch, daB beide Enden gelenkig gelagert sind: y(O)=y"(O)=O

und y(L) =y"(L) =0.

(Andere FaIle behandelt man analog.)

> solve{{y{O)=O, {D@@2){y){O)=O, y{L)=O, {D@@2)(y){L)=O}, >

{_C1, _C2, _C3, _C4}):

3.5 Ulsen von DG n-ter Ordnung mit

MAPLE

233

> sol := simplify(%): > assign(sol): > y(X): Setzen wir > L:= 1: kann die LOsung y (x) in einer 3-dimensionalen Graphik in Abhangigkeit des Parameters q dargestellt werden: > plot3d(y(x), q=O ..4, x=O .. L, style=hidden, orientation=[-69, 33], > axes=BOXED, color=black);

FUr feste Wahl des Parameters q erkennt man den Parabelcharakter der LOsung > q:= 2: > plot(y(x), x=O .. L, title='Balkenbiegung'); Balkenblegung

0.007 0.006

0.005 0.004

0.003

0.2

0.4 x 0.6

0.8

Abb. 59: Balkenbiegung unter Last

Analog dem Vorgehen bei der Balkenbiegung unter Eigenlast werden auch andere Inhomogenitaten behandelt:

234

(i) FUr die DG

XI Gew OG := diff(y(x), x$4) + 4*y(x)=sin(xlL): > dsolve(OG, y(x)): > yi(x) := subs({_C1=O, _C2=O, _C3=O, _C4=O}, rhs(%)): . L 4 sin{L) yz(x}:= ＴｌＫｾ＠

(ii) FUr die DG

Iy(4) (x) + 4y (x)

= x (x - L)

I

erhaIt man nach obigem Vorgehen die partikulare Lasung

yi{x}

= ｾｸＲ＠

-

ｾｘｌＮ＠

4.1 Streckenzugverfahren von Euler

235

§4. Numerische Losung von Anfangswertproblemen 1.0rdnung Viele in technischen Anwendungen auftretende DG, insbesondere nichtlineare DG, sind nicht geschlossen lbsbar: Es existiert keine Lasung, die sich in Form einer expliziten Funktionsvorschrift angeben laBt. Selbst lineare DG mit haherer Ordnung als 4 sind i.a. nicht geschlossen lasbar, da die Nullstellen des charakteristischen Polynoms nicht exakt berechnet werden kannen. In manchen Fallen wiederum existiert eine geschlossene Lasung zwar, der Rechenaufwand zur Berechnung ist aber betrachtlich. In beiden Fallen ist man auf numerische Naherungsverfahren angewiesen.

4.1 Streckenzugverfahren von Euler Wir gehen von dem Anfangswertproblem (AWP)

y' (t)

= f (t, Y (t))

mit Y (to)

= Yo

(1)

aus und werden dieses AWP fUr Zeiten to ::; t ::; T numerisch lasen. Dazu zedegen wir das Intervall [to, T] in N Teilintervalle der Lange

h = dt

= T - to

N'

Die GrOBen h und dt werden als Schrittweite bzw. Zeitschritt bezeichnet. Wir erhalten als Zwischenzeiten tj

= to + j . dt

j =0, ... , N

und werden die Lasung nur zu diesen diskreten Zeiten to, t l , t 2 , . .. , tN berechnen: Ausgehend vom Startwert Yo bestimmen wir der Reihe nach Naherungen Yb Y2, . .. , YN fUr die Funktionswerte y (h), Y (t2)' . .. , Y (tN) def LOsung von (1). Man nennt dieses Vorgehen die Diskretisierung des AWP. FUr den Startwert (to, Yo) kennen wir nach Gl. (1) die exakte Steigung tan a der Lasungsfunktion y' (to) = tan a = f (to , Yo) . FUr eine kleine Schrittweite h wird die Funktion y im Intervall [to , to + h] durch ihre Tangente angenahert (Linearisierung) (siehe Abb. 60a). FUr den Funktionswert y (tl) gilt dann naherungsweise

Y (tt) = Y (to + h) Wir setzen

ｾ＠

y (to)

+ y' (to) . h.

236

XI Gew6hnliche DifferentiaIgleichungen

Damit hat man den Funktionswert Y (tl) zum Zeitpunkt tl durch Yl angenahert. Ausgehend von diesem, i.a. fehlerhaften Wert Yl berechnet man mit (1) die i.a. fehlerhafte Steigung yi = f (tl' Yl). Nun benutzt man Yl und yi fur die Berechnung eines Naherungswertes fur den nachsten Zeitpunkt t2 = tl + h: (Linearisierung) Wir setzen

IY2 = Yl + f (tl' Yl) h·1

Y2 ist eine Ni:iherung fur den exakten Wert der Lasung Y (t2) zum Zeitpunkt t2.

(a) y(t)

(b) y(t)

exakte

Losung

exakte

Losung

Abb. 60: a) 1. Schritt des Polygonzugverfahrens

b) Polygonzugverfahren nach Euler

Das beschriebene Verfahren wiederholt man fur den neuen Punkt P2 = (t2, Y2), der i.a. nieht auf der exakten Lasungskurve liegt. Allgemein kann man das Naherungsverfahren beschreiben durch: neuer Wert = alter Wert + Anderung der Lasung bzw.

IYneu

= Yalt

+f

(tneu, Yalt) . h·1

Man berechnet also, ausgehend yom Punkt Po i

= (to, Yo)

= 0,

sukzessiv die Werte

I, 2, ... , N - 1.

Die Lasungskurve setzt sich aus geradlinigen Strecken zusamrnen, so daB die Naherung in Form eines Streckenzugs vorliegt (siehe Abb. 60b). Dieses Verfahren heiBt gemaB seiner geometrischen Bedeutung, das Polygonzugverfahren bzw.

237

4.1 Streckenzugverfahren von Euler

nach seinem Erfinder auch das Euler-Verfahren. Wie wir dem nachsten Beispiel und der Diskussion in §4.2 entnehmen, liefert dieses einfache Verfahren fur genugend kleine Schrittweiten h ausreichend genaue Naherungswerte Yl, Y2, ... , YN fur die gesuchten Funktionswerte Y (tt), Y (t2), ... , Y (tN). 52. Beispiel: Das Anfangswertproblem

Y' (t) = Y (t)

+ et

mit Y (0)

=1

besitzt die Lasung Y (t) = (t + 1) et . Wir berechnen mit dem Euler-Verfahren Naherungslasungen dieser DG im Intervall 0 ::::; t ::::; 0.2 fur Schrittweiten h = 0.05 und h = 0.025 und vergleichen die Ergebnisse mit der exakten Losung. Wendet man das Euler-Verfahren auf die DG an, lautet die Iterationsvorschrift

Speziell fur die Schrittweite h

= 0.05 gilt mit dem Anfangswert

=1 = Yo + h Yo + eO.) = 1.1 Y2 = Yl + h Yl + eO. 65 ) = 1.207564 Y3 = Y2 + h Y2 + eO. l ) = 1.323201

Yo Yl

+ eO. l5 ) = 1.447453 3 sind diese Naherungswerte fur h = 0.05 und h = 0.025 zusammen mit Y4 = Y3

+h

Y3

In Tab. den exakten Werten angegeben. Der Vergleich zeigt, daB die Naherungswerte bei kleineren Schrittweiten (3. Spalte) sich verbessern. Tabelle 3:

t

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Y (h = 0.05) 1.000000 1.100000 1.207564 1.323201 1.447453

Y (h = 0.025) 1.000000 1.101883 1.211552 1.329535 1.456396

yexakt 1.000000 1.103835 1.215688 1.336109 1.465683

Realisierung in MAPLE. In MAPLE laBt sich das Euler-Verfahren sehr einfach realisieren. Fur die obige DG lautet die Iteration

> to := 0: T := 0.2: N := 4: dt := (T-tO)/N: > y[0]:=1: t=tO: > for i from 1 to N > do > y[i]:= evalf(y[i-1] + dt*(y[i-1 ]+exp(t)));

238

> t:= t+dt; > print(t, y[i]); > od:

XI Gewohnliche Differentialgleichungen

.0500000000, .1000000000, .1500000000, .2000000000, .2500000000,

1.100000000 1.207563555 1.323200279 1.447452005 1.580894743

Die Naherungswerte der Lasung Yl, ... , YN werden anschlieBend mit dem plotBefehl graphisch dargestellt. Hierfiir miissen sie als Liste von Wertepaaren in der

Form der plot-Routine iibergeben werden: > plot([seq([n*dt+tO, y[n]], n = O.. N)]);

4.2 Verfahren hoherer Ordnung y'(t)

Urn Verfahren graBerer Genauigkeit bei gleicher Schrittweite h herzuleiten, formulieren wir das AWP

Y' (t) = f (t, Y (t))

mit Y (to)

= Yo

(1)

als aquivalentes Integralproblem

Y (t) = Yo

+

it

f (7, Y (7)) d7.

(2)

to

Abb. 61: Numerische Integration

Es stellt sich somit die Notwendigkeit, bei gegebener Unterteilung des Zeitintervalls, das Integral numerisch auszuwerten. Von der numerischen Integration (Bd. 1, Kap. IX.2) wissen wir, daB unterschiedliche Verfahren (Trapez-Regel, SimpsonRegel) unterschiedliche Genauigkeiten besitzen. Also sind auch bei der numerischen Integration von (2) je nach Integrationsmethode, unterschiedliche Genauigkeiten zu erwarten. 1m folgenden ersetzen wir das Integral in (2) durch Naherungsformeln:

239

4.2 Verfahren hoherer Ordnung

4.2.1 Euler-Verfahren. Die einfachste, numerische Integrationsmethode ist, die zu integrierende Funktion in jedem Teilintervall durch eine Konstante, namlich dem Funktionswert an der linken Intervallgrenze zu ersetzen. Ftir den Zeitpunkt h gilt dann nach Gl. (2)

Y (to) +

Y (td

jtl f (7, Y (7)) d7 to

Y (to) + f (to, Y (to)) . (t 1 - to). ｾ＠

Wir setzen

Yl = Yo

+ f (to, YO) . h.

Ftir das zweite Zeitintervall gilt ebenfalls nach (2)

Y (t2)

Y (tl)

+

jt2 f (7, Y (7)) d7 tl

Wir setzen

Y2 = Yl + f (t 1, Y (h)) . h usw. Dies liefert genau das in §4.1 diskutierte Euler-Verfahren. Algorithmus

dt

:=

TJ/o;

Y [0]

t:= to;

:= yO;

for i from 1 to N do

Y til := Y [i - 1] + dt * f (t, Y [i - 1]); t:= t + dt; od:

4.2.2 Pradiktor-Korrektor-Verfahren. Eine besf(t,." YIo,)

sere Approximation an das Integral stellt die Trapez-Regel (Bd. 1, Kap. IX.2.2) dar: Wir ersetzen die Flache tiber jedem Zeitintervall durch die Trapezflli.che

1

2" h (J (ti' Yi) + f (ti+l ' Yi+l)) . h

Nach Gleichung (2) gilt dann

Y (ti+l)

Y (ti) + Y (ti)

j::+1 f (7, Y (7)) d7 1

+ 2" h (J (ti, Yi) + f

t,.,

Abb. 62: Trapezregel

(ti+l' Yi+l))'

240

XI Gewohnliche Differentialgleichungen

::::} Yi+l = Yi

1

+ '2 h (f (ti, Yi) + 1 (ti+l, Yi+I)).

Dies ist eine implizite Gleichung fUr die unbekannte GroBe Yi+ 1, denn bekannt ist zunachst imrner nur eine Naherung fUr den linken Funktionswert Yi. Also muB man sich einen Schatzwert Yi+l verschaffen und damit 1 (ti+l, Yi+I) auswerten. Dies ist entweder durch ein Iterationsverfahren moglich oder man berechnet Yi+l nach dem Euler-Verfahren (Pradiktor) Mit diesem Schatzwert Yi+l wertet man

1 (ti+1, Yi+d

aus und korrigiert gemaB (Korrektor)

Man bezeichnet dieses Verfahren als Priidiktor-Korrektor-Verfahren bzw. auch Veifahren von Heun.

Algorithmus dt := T"f}Q; Y [0]

:= yO; t:= to; for i from 1 to N do Kl := 1 (t, Y [i - 1]); K2 := 1 (t + dt, Y [i - 1] + dt K 1 ); Y [i] := Y [i - 1] + 0.5 h (Kl + K 2);

t:= t

+ dt;

od:

4.2.3 Runge-Kutta-Formeln. Eine wesentlich bessere Approximation an das Integral folgt, wenn die Integration mit der Simpson-Regel (Bd. 1, Kap. IX.2.3) durchgeftihrt wird. Dazu fuhren wir den Zwischenwert t 1 / 2 = ti + ｾ＠ h ein und integrieren gemaB

1::+ 1 (T,

Y (ti)

+

Y (ti)

+ "6 h (J (ti' Yi) + 41 (t 1/ 2, Yl/2) + 1 (ti+1 , Yi+l)).

::::} Yi+l = Yi

1

Y (T)) dT

1

1

+"6 h (J(ti, Yi) +41 (t 1/ 2 , Yl/2) + 1 (ti+l, Yi+ 1 )).

Auch bei dieser Formel mUssen fur Yl/2 und Yi+l Schatzungen vorgenomrnen werden. Eine Methode mit groBer Genauigkeit erhalt man durch gewichtete Mittelwerte

241

4.2 Verfahren h(jherer Ordnung

Man nennt dieses Verfahren das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung. Algorithmus

dt

:=

T-;/o;

Y [0]

Yo;

=

t

:=

to;

for i from 1 to N do Kl := f (t, Y [i -1]);

K2 := f (t + 0.5dt, y [i -1] + 0.5dtK1 ); K3 := f (t + 0.5dt, y [i -1] + 0.5dtK2); K4 := f (t + dt, y [i - 1] + dt K3); y til := y [i - 1] + dt (Kl + 2 K2 + 2 K3 t:= t + dt;

i

+ K4);

od:

(a) y(t)

/

/

/

Yi+1

/ / /

I

Abb. 63: a) Pradiktor-Korrektor-Verfahren

b) Runge- Kutta-Verfahren

Vermutung: Aufgrund der Diskretisierungsfehler bei der Integration ist zu erwarten, daB der Fehler beim Euler-Verfahren (a) am gr6Bten ist. Verwendet man das Pradiktor-Korrektor-Verfahren (b) oder die Runge-Kutta-Formein (c) soUte der Fehler kleiner werden. Verfahren (b) und (c) erfordern gegentiber (a) doppelten bzw. vierfachen Rechenaufwand, da zwei bzw. vier Auswertungen von f pro Iterationsschritt erforderlich sind. DaB sich der Mehraufwand dennoch lohnt, werden wir experimenteU am Beispiel des RC-Kreises demonstrieren. 4.2.4 Die MAPLE-Prozedur DGsolve. Das Euler-, das Pradiktor-Korrektor- sowie das Runge-Kutta-Verfahren wurden algorithrnisch in der unten beschriebenen MAPLE-Prozedur DGsolve umgesetzt. DGsolve lost beliebige DG 1. Ordnung der

242

XI Gewilhnliche Differentialgleichungen

Form

y' (t)

= f (t, Y (t)); y(tO) = Yo

im IntervalI to ::; t ::; T numerisch mit einem der 3 diskutierten Verfahren und stelIt die Lasung graphisch dar. Der Aufruf erfolgt durch die Angabe der Differentialgleichung, der gesuchten Funktion, des Bereichs in dem die Lasung berechnet werden solI, des Anfangswerts, der Anzahl der Rechenschritte sowie des Verfahrens: > DGsolve(DG, y(x), X = Xmin .. Xmax, Y(Xmin) = Yo, N = 60, veifahren); Fur die Verfahren kann man wahlen zwischen

euler: i mpeul er: ruku:

Euler-Verfahren Pradiktor-Korrektor-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung

> DGsolve := procO > # Prozedur zum numerischen L6sen von DG 1. Ordnung > # und der graphischen Darstellung der L6sung. > > local DG, func, var, var_min, var_max, rs, N, > dt, i, n, ti, y, K1, K2, K3, K4; > > DG := args[1]: > func := args[2]: > var := op(1, args[3]): > vaLmin := op(1, op(2, args[3])): > var_max := op(2, op(2, args[3])): > y[O] := op(2, args[4]): > N := op(2, args[5]); > > rs := solve(DG, diff(func, var)); > dt := (var_max - var_min)/N: > i:= 0: > > if args[6] = ruku > then > print('L6sen der DG mit dem Runge-Kutta-Verfahren'): > for ti from var_min by dt to var_max > do i:=i+1: > K1 :=subs( {func=y[i-1], var=ti}, rs): > K2:=subs( {func=y[i-1 ]+0.5*dhK1, var=ti+0.5*dt}, rs): > K3:=subs( {func=y[i-1 ]+0.5*dt*K2, var=ti+0.5*dt}, rs): > K4:=subs( {func=y[i-1 ]+dt*K3, var=ti+dt}, rs): > y[i]:=evalf(y[i-1] + 1/6*dt*(K1 +2*K2+2*K3+K4)): > od:

243

4.2 Verfahren hoherer Ordnung

> > elif args > then >

[6] = impeuler

print('Losen der DG mit dem Pradiktor-Korrektor-Verfahren'):

> for ti from var_min by dt to var_max > do i:=i+1: > K1:=subs({func=y[i-1], var=ti}, rs): > K2:=subs( {func=y[i-1]+dhK1, var=ti+dt}, rs): > y[i]:=evalf(y[i-1] + 0.5*dh(K1+K2)): > od: > > else > print('Losen der DG mit dem Euler-Verfahren'): > for ti from var_min by dt to var_max > do i:=i+1: > y[i]:=evalf(y[i-1]+dh(subs({func=y[i-1], var=ti}, rs))): > od: > fi: > > plot([seq([n*dt+var_min, y[n]], n=O .. N)]); > end: 53. Beispiel: Gesucht ist eine numerische Lasung der DG I

1

3

Y (x) + 30 Y (x)

l!.i!:l

= sin (x) e 1 0

;

Y (0)

=1

im Bereich 0 :S x :S 20. Fur die Unterteilung des Intervalls wllhle man N und nehme das Euler-Verfahren. > DG := diff(y(x), x)+1/30*(y(x))"3 = sin(x)*exp(y(x)/10): > DGsolve(DG, y(x), x = 0.. 20, y(O) = 1, N = 60, euler);

=

60

244

XI Gewohnliche Differentialgleichungen

Bemerkung: Bei der Prozedur DGsolve wird der args-Befehl verwendet, urn die aktuellen Argumente beim Aufruf zu erfassen. z.B. fUr

> DGsolve(DG, y(x), x=O .. 20, y(O)=1, N=60, ruku): ist dann args[l] die Differentialgleichung, args[2] der Name fUr die gesuchte Funktion. args[3] ist ein Ausdruck x = O.. 20, der aus zwei Operanden besteht: Der erste Operand ist die Variable x, op(1, args[3]), und der zweite ist der Bereich 0 .. 20, op(2, args[3]). Die untere Intervallgrenze, 0, wiederum ist der erste Operand, die obere Intervallgrenze, 20, der zweite. args[4] bis args[6] werden entsprechend verwendet. Definiert man y nicht als lokale, sondern als globale Variable > global y, so stehen die numerischen Werte y[i] auch auBerhalb der Prozedur zur VerfUgung.

4.3 Quantitativer Vergleich der numerischen Verfahren Gegeben ist ein RC -Kreis mit Wechselspannungsquelle Uo (t) = (;0 sin (wt). Aus Beispiel 8 entnehmen wir die DG

.

U (t) = Abb. 64: RC-Kreis mit Wechselspannung

U (t)

= 1 + Ｈｾ＠

1

1

-Rc U (t) + Rc Uo sin (wt) , A

die fur die Anfangsbedingung U(O) = 0 die folgende analytische Lasung besitzt

w) 2 [sin (wt) - RC w cos (wt) + RC w e - ic t] .

Fur die physikalischen GraBen C = 50 . 10- 9 F, R = 500 D, (;0 = 220V und w = 21l' . 1000 ｾ＠ lOsen wir das AWP mit dem Euler-, dem Pradiktor-Korrektorund dem Runge-Kutta-Verfahren fUr die Schrittweiten h = 5.10- 5 S, 10- 5 S, 5· 10- 6 S, 10- 6 s und 10- 7 s.

(a)

200

-

Runge Ku.

. .. Prado Korr. -

-200

Euler

245

4.3 Quantitativer Vergieich der numerischen Verfahren

(b)

40 Euler , , ,,

; ... Prado Korr. I.

i\'\ ...... ＰｾＭＮＲｴ＠

...•..................................................................

Runge Ku.

(c)

200 -

Runge Ku .

. .. Prado Korr. -

Euler

-200

(d) 3

2

Euler

0

u. t

In Bild (a) sind die numerischen Werte fUr h = 5.10- 5 s zusammen mit der exakten Lasung in ein Schaubild gezeichnet. Man erkennt, daB das Euler-Verfahren die grafiten Abweichungen zur Lasung hat. Bei dem Pradiktor-Korrektor- und Runge-

246

XI Gewohnliche Differentialgleichungen

Kutta-Verfahren sind die Abweichungen geringer. In Bild (b) ist der Fehler der Verfahren betragsmaBig aufgetragen. Fur h = 10- 5 s sind die entsprechenden Kurven in Bild (c) gezeichnet. Fur diese Schrittweite kann graphisch nicht mehr zwischen numerischer und exakter Ltisung unterschieden werden. Erst in der Fehlerdarstellung (d) erkennt man, daB das EulerVerfahren den grtiBten und das Runge-Kutta-Verfahren den kleinsten Fehler liefert. Qualitativ andert sich an diesem Verhalten auch fur kleinere Schrittweiten nichts mehr.

Urn die Fehler quantitativ zu vergleichen, wahlen wir zwei Zeitpunkte t1 = 2 . 10- 4 s und t2 = 9 . 10- 4 s und bestimmen an dies en Zeitpunkten die Fehler der numerischen Verfahren fUr die genannten Schrittweiten (siehe Tab. 4 und 5). Tabelle 4: Fehler bei t1

h h h h h

= 2 . 10- 4

= 2·10 -4 S = 5·10 -5 s = 10- 5 s = 5.10- 6 s = 10- 6 S = 10- 7 s

Tabelle 5: Fehler bei t2

t1

= 9·10

h= h= h= h= h=

t2 -4

S

[V]

FEuler

39 8.64.10- 1 4.26.10- 1 8.42.10- 2 8.39.10- 3

F pK

[V]

15 2.16.10- 1 4.84.10- 2 1.79.10- 3 1.76 . 10- 5

FRK

[V]

1.3 1.38. 10- 3 7.95.10- 5 1.18.10- 7 1.2· 10- 11

= 9 . 10- 4 S S

5·10 - 5 s 10- 5 s 5.10- 6 s 10- 6 s 10- 7 s

FEuler

[V]

30 8.48.10- 1 4.26.10- 2 8.55.10- 2 8.59 . 10- 3

F pK

[V]

24 2.08.10- 1 4.60.10- 2 1.68.10- 3 1.65.10- 5

FRK

[V]

2.3 1.35.10- 3 7.61.10- 5 1.11 . 10- 7 1.13. 10- 11

Vergleicht man die Verfahren zeilenweise, zeigt sich das gleiche Verhalten wie aus Bild (b) und (d). Das Runge-Kutta-Verfahren liefert den geringsten Fehler, verglichen mit Pradiktor-Korrektor- und Euler-Verfahren. Betrachtet man die Verfahren im einzelnen, erkennt man, daB der Fehler beirn Euler-Verfahren linear mit der Schrittweite abnimmt. D.h. wird die Schrittweite h urn den Faktor 10 von 10- 5 auf 10- 6 bzw. 10- 7 verkleinert, so ist auch der resultierende Fehler jeweils urn den Faktor 10 kleiner:

IFEul er '" h·1

4.3 Quantitativer Vergleich der numerischen Verfahren

247

Der Fehler beim Priidiktor-Korrektor-Verfahren reduziert sich urn den Faktor 100 bei Verkleinerung der Schrittweite urn 10:

Der Fehler beim Runge-Kutta-Verfahren reduziert sich sogar urn den Faktor 10000 bei Verkleinerung der Schrittweite urn 10:

Man nennt die Potenz beim Fehlerverhalten die Ordnung des Verfahrens. Tab. 6 faSt das oben erhaltene Fehlerverhalten zusarnmen. Tabelle 6: Ordnung der numerischen Verfahren Verfahren Ordnung

Euler 1

Pradiktor-Korrektor 2

Runge-Kutta

4

Fur aIle 3 Verfahren gilt offenbar, daB fur h ---7 0 der Fehler ebenfalls gegen Null geht: Die numerische Losung konvergiert gegen die exakte, falls man die Rundungsfehler vernachlassigt. Tatsachlich machen sich bei noch kleineren Schrittweiten die Rundungsfehler bemerkbar. Rundungsfehler sind unvermeidbar, da in der Zahlendarstellung von Digitalrechnern nur mit endlich vielen Dezimalstellen gerechnet wird. Der Gesamtfehler setzt sich zusarnmen aus dem Verfahrensfehler, den wir fur die 3 Verfahren diskutiert haben, und dem Rundungsfehler. Der Rundungsfehler fallt fur kleine h starker ins Gewicht als der Verfahrensfehler. Qualitativ sind die Rundungs- und Verfahrensfehler in Abb. 65 dargestellt.

h Abb. 65: Numerischer Fehler

248

XI Gew6hnliche Differentialgleichungen

Es lassen sich grundsatzlich folgende Folgerungen ziehen: (1) Der Gesarntfehler kann nicht beliebig klein gemacht werden. Es gibt aber eine optimale Schrittweite h opt mit minimalem Gesamtfehler. (2) Ein Verfahren mit hoherer Ordnung filhrt mit weniger Schritten (groBes h opt ) zu einem kleineren minimalen Gesamtfehler. (3) Fi.ir die ingenieursmaBige Anwendung ist das Euler-Verfahren in der Regel ausreichend. Insbesondere fUr Systeme von DG ist das Euler-Verfahren einfach zu prograrnmieren.

4.4 Numerisches Losen von DG 1 Ordnung mit

MAPLE

Anfangswertprobleme werden in MAPLE numerisch mit dem dsolve-Befehl gelOst, wenn die Option 'numeric' gesetzt wird. Zur Losung der DG wird dann standardmaBig ein spezielles Runge-Kutta-Verfahren, RKF45 [E. Fehlberg, Computing 6, 61-71, 1970], verwendet. Alle in diesem Abschnitt diskutierten Beispiele konnen bis auf das System in Beispiel 59 auch mit der in §4.2 bereitgestellten Prozedur DGsolve gelost werden.

54. Beispiel: Pendelgleichung. Wir wenden den dsolve-Befehl mit der Option numeric auf die Pendelgleichung /I

'I' (t)

9

+l

sin 0

F (s)

J(t - to)

to

S(t-ta)

o

to

• t

hat nach dern Verschiebungssatz die Laplace-Transformierte

F (s)

1 = £ (8 (t - to)) = e- sto £ (8 (t)) = e- sto _, 8

was mit der Rechnung in Beispiel 3(4) tibereinstimrnt. (2) Es solI die Laplace-Transformierte eines zur Zeit t = 0 einsetzenden Rechteckirnpulses der Irnpulsdauer T und der Irnpulshohe A bestimrnt werden.

a)

A S(t)

b)

A

ａｾＭ

t

-A S(t-t)

-A

-A

Abb. 78: a) Rechteckimpuls und b) Zerlegung in zwei Sprungfunktionen

Wegen

f (t)

= A8

(t) - A 8 (t - T) ist

£(f(t)) =A£(8(t)) -A£(8(t-T))

'* 1£ (f (t)) =

4

］ａｾ＠

(1 - e- ST )

_Ae- ST 8

I'

ｾ＠

8

0

292

XII Die Laplace-Transformation

laplace-Transformierle periodisch fortgesetzter Funktionen. Eine Zeitfunktion f (t) entstehe durch periodische Fortsetzung der Funktion

Ii (t) = o

{definiert 0

fi.ir 0 ｾ＠ sonst.

t ｾ＠ T

fi.ir t 2: O. Gesucht ist die Laplace-Transforrnierte F (8) dieser Funktion.

2T

T

3T

Abb. 79: Periodisch fortgesetzte Funktion

Fi.ir die fortgesetzte Zeitfunktion

f (t) = fo (t) S (t)

f (t)

gilt

+

fo (t - T) S (t - T)

+

fo(t-3T)S(t-3T)+ ...

Bei bekannter Korrespondenz fo (t) ｾ＠ bungssatz

F (8)

+ fo (t -

2 T) S (t - 2 T) +

Fo (8) erhlilt man mit dem Verschie-

Fo (8)

[1 + e- sT + e- s2T + e- s3T + ... J

Fo (8)

[1 + e-

sT

+ (e- sT )2 + (e- ST )3 + ...J.

Mit q = e- sT ist der Ausdruck in der Klammer die geometrische Reihe. Da q = e- sT < 1, konvergiert die Reihe gegen ｬｾｱ＠ und daher gilt fi.ir die LaplaceTransforrnierte der periodisch fortgesetzten Zeitfunktion f (t)

IF (

8)

= Fo (8 ) 1 _

ｾＭｓｔ＠

'1

11. Beispiel: Berechnung der Laplace-Transforrnierten der unten dargestellten Rechteckkurve.

fo (t) = {

1 -1

fi.ir

t

< t < T.

293

5.2 Dlimpfungssatz

[8 (t) - 8 (t -

t)] -

8 (t) - 2 8 (t -

t) + 8 (t - T).

fo (t)

Wegen der Korrespondenz 8 (t) ｾ＠

[8 (t -

t) - 8 (t - T)]

ｾ＠ und dem Verschiebungssatz gilt

1 - 2-:r.s1+_Ts1_1[1 e 2 e --- 2-:r. e 2 S +-T e S]

£(fo(t))

s

(1-

ｾ＠

s

e- fs

s

s

)2.

Damit folgt

£(f(t))

5.2 Dampfungssatz Der Dampfungssatz macht eine Aussage uber die Laplace-Transforrnierte einer gedampften Zeitfunktion f (t) e- at :

£ (e- at f (t))

=

1

00

e- st e- at f (t) dt

Dampfungssatz : 1st F (s) die Laplace-Transforrnierte von

=

1

f (t),

£(e-atf(t)) Korrespondenz:

f (t) ｾ＠

F (s)

00

e-(s+a)t f (t) dt

= F (s + a).

so gilt

F(s+a). =}

e- at f (t) ｾ＠

F (s

+ a).

Bemerkung: Die Konstante a kann reell oder komplex sein. Eine echte Dampfung der Zeitfunktion f (t) im physikalischen Sinne erhalt man jedoch nur fur a> 0 bzw. Re(a) > O. Fur a < 0 bzw. Re(a) < 0 bewirkt der Faktor e- at eine Verstarkung.

Die Laplace-Transforrnierte der Zeitfunktion e- at f (t) unterscheidet sich von der Laplace-Transforrnierten von f (t) nur dadurch, daB s durch s + a ersetzt wird. Also: Eine Verschiebung urn to im Zeitbereich bewirkt eine Dampfung e- sto im Bildbereich (Verschiebungssatz) und umgekehrt bewirkt ein Faktor e- at im Zeitbereich eine Verschiebung im Bildbereich (Dampfungssatz).

294

XII Die LapJace-Transformation

12. Beispiele: (1) Es soIl die Laplace-Transformierte der Zeitfunktion stimmt werden. Aus der Korrespondenz sin (2t) ｾ＠ folgt mit dem Dampfungssatz ftir 8 durch 8 + 3 ersetzt wird

f (t)

82

f (t).

sin (2 t) be-

2 +4

2

(2) Gegeben ist die Bildfunktion F (8)

3t

eine Verschiebung des Arguments, indem

e- 3t sin (2 t) ｾ＠

ge Zeitfunktion

f (t) = c

=

2

2 8 + 5 O. Gesucht ist die zugehClri8 +28+1

Dazu formen wir die Bildfunktion urn in

F8= 8+5 = 8+1 Ｋｾ＠ 3 () (8+1)2+9 (8+1)2+ 32 3 (8+1)2+ 32 ' Mit den Korrespondenzen w

sin (wt) ｾ＠

82

+w2

und

8

cos (wt) ｾ＠

folgt unter Verwendung des Dampfungssatzes 4

f (t) = e- t cos (3t) + '3 e- t sin (3t).

(3) Gesucht ist die Zeitfunktion zu F (8) dem Dampfungssatz

=

1

(8 + a)

2' Aus

ｾ＠

8

ｾ＠

t folgt mit

5.3 Ahnlichkeitssatz Der Ahnlichkeitssatz trifft eine Aussage tiber die Laplace-Transformierte von gestreckten bzw. gestauchten Funktionen f (a t). Die Funktion f (a t) entsteht aus der Funktion f (t) durch Streckung bzw. Stauchung entlang der Zeitachse (siehe Abb. 80). 1st 0 < a < 1, dann entspricht f (a t) einer Dehnung der Kurve f; ist a > 1, dann entspricht dies einer Stauchung der Kurve.

295

5.4 Faltungssatz

f(t)

t

Abb. 80: Funktion f(t) und gestauchte Funktion f(a t)

Ahnlichkeitssatz: 1st F (s) die Laplace-Transformierte von

f (t),

dann gilt

(a > 0)

.c(J(at)) f(t) ｾ＠

Korrespondenz:

Begrundung:

.c(J(at))

=

F(s)

11

1

f(at)e-stdt=-

00

o

a

wenn das Integral mit der Substitution r

f(at) ｾ＠

=}

00

ｾｆＨＡＩＮ＠

1

" s f(r)e-;;rdr=-F(-),

a

0

= a.t

(dt = ｾ＠

a

dr) berechnet wird. 0

5.4 Faltungssatz In naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen steHt sich hl1ufig das Problem der Rticktransformation einer Bildfunktion F (s), die als Produkt zweier Bildfunktionen Fl (s) und Fz (s) darsteHbar ist

F (s) = FI( s) . Fz (s) . Bekannt seien die Korrespondenzen

h (t) und Fz (s) Die gesuchte Originalfunktion f (t) ist dann eine funktionen h (t) und h (t) vom Typ Fds)

ｾ＠

f (t) =

ｾ＠

h (t).

Integralkombination der Zeit-

lot h (r) fz (t - r) dr,

296

XII Die LapJace-Transformation

dem sog. Faltungsintegral. Die Schreibweise hierftir ist

f (t)

=

(h

* h) (t) (Fal-

tungsprodukt). Faltungssatz: Sind FI (8) und F2 (8) die Laplace-Transforrnierten von h (t) und 12 (t), dann ist die Laplace-Transforrnierte des Faltungsproduktes (h * h) (t) gegeben durch FI (8) . F2 (8): I: ((h * h)) = FI (8) . F2 (8) . Korrespondenz:

h (t) 12 (t)

ｾ＠

FI (8) } F2 (8) ｾ＠

=>(h*h)(t)= J:h(r)h(t-r)dr

ｾ＠

FI(8)·F2(8).

In der Praxis geht man bei der Rticktransformation einer Bildfunktion htiufig wie folgt vor: Man zerlegt F (8) in ein Produkt F (8) = FI (8)· F2 (8) von Bildfunktionen FI (8) und F2 (s ), von denen die zugehOrigen Zeitfunktionen h (t) und h (t) bekannt sind. Die zu F (8) gehc;rende Zeitfunktion ist dann

f (t) = (h * h) (t).

Beweis des Faltungssatzes: Wir berechnen die Laplace-Transforrnierte des Faltungsintegrals

(II * h) (t) =

l::

t

II (r) h (t - r) dr:

ｊＺｾ＠

e- st

ｊＺｾ＠

(J::: e- st h (r) 12 (t - r) dr) dt

ｊＺｾ＠

ＨｊＺｾ＠

I:(h * h)

[J::: h (r) 12 (t - r) dr] dt

e- st

h (r) h (t - r) S (t - r) dr) dt.

Durch Hinzuftigen der Sprungfunktion S (t - r) kann das innere Integral formal von r = 0 bis r = 00 integriert werden, da S (t - r) = 0 fi.ir r > t. Vertauscht man die Reihenfolge der Integrationen, ist

I:(h*h)=

ＱｾＺＰ＠

h(r)

(1::00

e- st 12 (t-r)

S(t-r) dt)dr.

Wendet man den Verschiebungssatz auf das innere Integral an, ist

ＱｾＺＰ＠

e- st h (t - r) S (t - r) dt = eST F2 (8),

297

5.4 Faltungssatz

wenn F2 (s) die Laplace-Transformierte von insgesamt

£. (h

ｊＺｾ＠

* h)

12 (t) . Set) = 12 (t).

Hiermit folgt

h (T) e- sr F2 (8) dT

F2 (8) ｊＺｾ＠

h (T) e- sr dT = F2 (8) . F1 (s),

da das zweite Integral die Laplace-Transformierte von h. DaB die Integrationsvariable T statt t heiBt, ist fUr das bestimmte Integral ohne Bedeutung. 0

13. Beispiele: (1) Gesucht ist die Zeitfunktion zu

F(8)-

Es ist 1.s ｾ＠ Korrespondenz

1 und

_1_

s-a

8

ｾ＠

1 (s-a) eat.

ｾ｟Ｑ＠

88-a

Damit gilt nach dem Faltungssatz die

1 1 88-a

(2) Gegeben ist die Bildfunktion S2

F (s)

= -(8-2-+-w-2)"""2

Gesucht ist die zu F (s) gehorende Zeitfunktion und mit dem Faltungssatz

f (t). Es ist

cos (wt)

ｳＲｾｷ＠

_

cos (wt)

* cos (wt)

fat cos (w (t -

T)) cos (WT) dT.

Entweder durch Anwendung des Additionstheorems auf cos (wt - WT) und Verwendung der Forme! sin x cos x = ｾ＠ sin 2x oder durch Verwendung von MAPLE > int( cos(w*(t-tau))*cos(w*tau), tau=O .. t); erhlilt man f (t) = sin (wt) +2:t cos (wt) .

298

XII Die Laplace-Transformation

5.5 Grenzwertsatze In manchen Anwendungen interessiert nur das Verhalten der Zeitfunktion I zu Beginn (d.h. ftir t = 0) und ftir groBe Zeiten t (d.h. ftir t ----t (0). Der genaue Zeitverlauf wird oft nicht benOtigt. Es zeigt sieh, daB der Anfangs- und Endwert der Zeitfunktion direkt aus der Bildfunktion gewonnen werden kOnnen:

Grenzwertsatze: 1st F (s) die Bildfunktion von (1)

I (t).

Dann gilt:

I (t)

Berechnung des Anfangswertes: 1(0) =lim

t-+O

(2) Berechnung des Endwertes: 1(00) = lim

t-+oo

I (t)

= lim (s F (s)). 8-+00

=lim (s F (s)) . 8-+0

Begriindung: Ausgangspunkt ftir den Beweis beider Gleichungen ist der Ableitungssatz

[(j' (t))

= sF (s) - 1(0) =

1

00

f' (t) e- 8t dt.

(i) Es gilt mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung lim [(j'(t))

lim

8-+0

I' (t) e- 8t dt =

/00 0

ｊｾ＠

f' (t) dt = 1(00) - 1(0).

Wendet man den Grenzwert s

----t

/00 0

f' (t)

8-+0

lim e- 8t dt

8-+0

0 auf beiden Seiten der Gleiehung (*) an, so gilt

lim (s F (s)) - 1(0) = 1(00) - 1(0)

8-+0

1(00) =lim (8 F (8)).

=}

8-+0

(ii) Wegen lim [(j' (t)) = lim 8---+00

S-tOO

folgt mit (*)

Joroo f' (t) e-

8t

lim (s F (8)) -

8-+00

dt =

Joroo f' (t)

I (0)

lim e- 8t dt = 0 8---+00

= O.

14. Beispieie: s (1) F (s) = 2 2· Die zugehorige Zeitfunktion hat den Anfangswert 8

+w

2

1(0) = lim (8F(s)) = lim 8-+00

(vgl. Beispiel 5(2): cos (wt) ｾ＠

ＸＲｾｷＩＮ＠

8-+00

s

/

+ w2=1

o

299

§6. Methoden def RUcktransformation

(2) F

(8) =

1

8 (8-4) (8-5)

f (00)

= lim

t-HJO

f (t)

. Der Endwert der zugehorigen Zeitfunktion ist

= lim (8 F (8)) = lim 8--+0

8--+0

8

8 (8 - 4) (8 - 5)

1

20

§6. Methoden der Riicktransformation Die Rilcktransfonnation, d.h. die Ermittlung der Funktion f (t) im Zeitbereich zu einer gegebenen Bildfunktion F (8), ist der schwierigste und aufwendigste Schritt. Die komplexe Umkehrfonnel wird in den seltensten Fallen benutzt, da sie detaillierte Kenntnisse der Funktionentheorie voraussetzt. Die im folgenden angegebenen Verfahren filhren jedoch in den meisten Fallen zum Erfolg. 6.1 Der Gebrauch von Tabellen. Die gebrauchlichste Methode zur Gewinnung der Originalfunktion zu gegebener Bildfunktion ist die Verwendung von Tabellen. Der Vorteil von Tabellen besteht darin, daB fUr viele vorkommende Falle die Rechnung schon einmal durchgeftihrt wurde und in korrespondierenden Funktionenpaaren ihren Niederschlag gefunden hat. 6.2 Die Methode der Partialbruchzerlegung. Bei der Anwendung der LaplaceTransfonnation sind die auftretenden Bildfunktionen i.a. echt gebrochenrationale Funktionen

F()=Z(8) 8 N (8) der Variablen 8. Zahler Z (8) und Nenner N (8) sind Polynome mit grad Z (8) < grad N (8), und die Polynome Z (8) und N (8) besitzen reelle Koeffizienten. Je nach Art der auftretenden Polstellen von F (8) ergeben sich fUr die Partial bruchzerlegung die folgenden FaIle: (1) Bildfunktion mit nur einfachen reeIlen Polen, (2) Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen, (3) Bildfunktion mit einfachen komplexen Polen, (4) Bildfunktion mit mehrfachen komplexen Polen. (1) Bildfunktion mit nur einfachen reellen Polen: In diesem Fall stellt sich die Bildfunktion F (8) dar als

Mit der Korrespondenz

laBt sich jeder Summand zurticktransformieren.

300

XII Die Laplace-Transformation

(2) Bildfunktion mit mehrfachen reellen Polen: 1st So eine reelle Pol stelle der Vielfachheit k, so gilt fur sie die Zerlegung

1

------.k

(s-so)

ｾ＠

= -- + S-So

Mit dem Dampfungssatz und t i

ｾ＠

(s-so)

ｾ＠

2

ｳＺｾｬ＠

+ ... +

.,

ｾ＠

(s-so)

k'

gilt die Korrespondenz

Wieder laBt sich mit diesen Korrespondenzen die zugehorige Zeitfunktion ermitteln.

(3) Bildfunktion mit einfachen komplexen Polen: 1st So = a+i b eine komplexe Nullstelle von N (s), so ist mit So auch die komplex konjugierte Zahl So = a - i b eine Nullstelle (Fundamentalsatz der Algebra, Bd. 1, Kap. Y.2.7). Es gilt dann mit

(s - so)( s - so)

'* F (s) =

= s2 - S (so + so) + So So = s2 Cl S

2

s -

2

+ C2

2 a s + a2 + b2

2 b + p (s) = Fo (s) as+a + 2

+ P (s ) ,

wobei P (s) die Summe der restlichen Partialbriiche darstellt. Die zu Fo (s ) gehOrende Korrespondenz lautet mit dem Verschiebungssatz

fo (t)

= eat

[

Cl

cos (bt)

+

C2

+ba C lsm . (bt) ] .

(4) Bildfunktion mit k-fachen komplexen Polen: 1st So = a + i b eine k-fache komplexe Nullstelle von N (s), dann ist auch So eine k-fache Nullstelle und der Ansatz unter (3) ist folgendermaBen zu modifizieren

Wieder muB der Verschiebungssatz angewendet werden, urn jeden einzelnen Summanden analog (3) zuriickzufuhren. Die Partialbruchzerlegung kann in jedem der o.g. Fallen mit MAPLE durchgefUhrt werden mit dem Befehl > convert (F(s), parfrac, s)

6.3 Der Gebrauch von MAPLE. Die einfachste Methode zur Gewinnung der Originalfunktion aus gegebener Bildfunktion ist die Verwendung des MAPLEBefehls invlaplace aus dem Paket inttrans > with(inttrans): > invlaplace (F(s), s, t);

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit

301

MAPLE

ABe in unseren Beispielen vorkommenden Funktionen wurden durch diesen Befehl in die zugehOrige Zeitfunktion zurticktransforrniert! Mit MAPLE wurde auch die folgende Tabelle von Korrespondenzen erstellt.

I Zeitfunktion f (t) I Bildfunktion F (8) II 1

S (t)

1

8>0

82

n! 8n +1

tn

-8-a

eat

sin (wt) cos (wt)

t P, p> -1 eat

sin (wt)

eat

COS

(wt)

sinh (at) cosh (at)

sin (wt

8>0

1

f (t)

eat t n

8>0

8

t

Zeitfunktion

8>a

w 2 82 +w 8

cos (wt

+ b) + b)

e bt

sinh (at)

e bt

cosh (at)

-2 - -2 8 +w

t sin (wt)

r (p + 1)

8P+1 ,8>0

t cos (wt)

w

I

Bildfunktion F (8)

I

n!

(8-ar+

1

(sin b) 8 + w (cos b)

82 +w 2

(cosb) 8 - w (sinb)

82 +w 2 a (8 - b)2 - a2 8-b (8 - b)2 - a2 2W8 (8 2 +w2t 82 -w (82 + W2)2

(8 - a)2 +w2

8-a

(8 - a)2 +w2

a 82 - a 2 8 8 2 - a2

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE Lineare Differentialgleichungen und Differentialgleichungssysteme mit Anfangsbedingungen werden elegant mit der Laplace-Transformation gelOst. Nach der Diskussion eines Musterbeispiels werden die nachfolgenden Beispiele mit MAPLE behandelt. 15. Beispiel: Gegeben ist der dargestellte RL-Stromkreis. Zur Zeit t = 0 wird eine konstante Spannung Ua angelegt. Gesucht ist der Stromverlauf I (t) fur I (0) = Ia. Es gilt nach dem Maschensatz

I' (t)

+ If I (t) =

±Ua S (t) .

302

XII Die Laplace-Transformation

L Schritt: Man wende die Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung an. Wegen der Linearitatseigenschaft gilt:

ｾ＠ L 0------1

£:(I'(t)+fI(t))

£:(±UoS(t))

Us(t) = Uo8(t)

+ f £: (I (t))

±Uo£:(S(t)).

Abb. 81: RL-Kreis

£: (I' (t))

1(t)

2. Schritt: Man ersetze die Laplace-Transformierte der Ableitung unter Berucksichtigung der Anfangsbedingung und berechne die Laplace-Transformierte der Inhomogenitat.

s £: (I (t)) - 10 +

f £: (I (t)) = ｾ＠ !.s

3. Schritt: Man lOse nach der Laplace-Transformierten £: (I (t)) auf.

(s+f) £:(I(t)) £:(I(t))

u, 1

.!::.ll. -

L

ｔｳＫｅｾＧ＠

s

+10 1

u,

10

1 L

L

4. Schritt: Man suche die zugehorige Zeitfunktion. Mit Partialbruchzedegung folgt

£:(I(t))

[! __1_]

Uo R s

ｳＫｾ＠

ｳＫｾ＠

+/0_1_

I (t)

3't

t

Abb. 82: Stromverlauf fUr verschiedene Anfangsstrome 10 mit

T

= R/ L.

303

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE

16. Beispiel: RL-Kreis. Gegeben ist der in Beispiel 15 dargestellte Stromkreis. Zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Wechselspannung Uo sin (wt) ein- und zum Zeitpunkt t = T wieder abgeschaJtet. Es solI sowohl die Laplace-Transforrnierte des Stromes, I (s) = .c (I (t)), als auch der Stromverlauf I (t) berechnet werden. FUr den Strom I (t) gilt die Anfangsbedingung 1(0) = O. Der Maschensatz liefert die das System beschreibenden DG

I' (t)

+ ｾ＠

I (t) =

i

Uo sin (wt) . (8 (t) - 8 (t - T))

mit der unten dargestellten StOrfunktion.

Abb. 83: Swrfunktion: Uo sin(w t) (S(t) - S(t - T)).

U2. Schritt: Anwendung der Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung und Auswertung mit dem laplace-Befehl.

> U(t) := UO * sin(w * t) * (Heaviside(t) - Heaviside(t-T»: > deq := diff(i(t), t) + R/L * i(t) = 1/L * U(t): > assume(T > 0): > with(inttrans): > laplace(deq, t, s); laplace (i (t), t, s) s - i (0)

Uo ( L

w ｾＫ＠

_

e(-sT-)

+ ｾ＠

laplace (i (t), t, s)

(COS(WT-) W ｾＫ＠

=

+ sin(wT-) ｾＫ＠

s))

Es ist zu beachten, daB der Strom nicht mit I bezeichnet werden darf, da in MAPLE I = Desweiteren muB MAPLE mitgeteilt werden, daB T > 0, denn ansonsten kann die Laplace-Transforrnierte von 8 (t - T) nicht berechnen, daher die Verwendung des assume-Befehls.

A.

304

XII Die Laplace-Transformation

3. Schritt: Aufiosen nach der Laplace-Transformierten durch solve. > solve(%, laplace (i(t), t, s)): > i(s) := simplify(%);

i(s):=

(i(O) Ls2+i(0) Lw2 +UOw-sUOe- T - s ｩｮＨｔｾｷＩ＠ｳ

/ (s3L+s2R+w 2 sL+w2 R)

-UOwe- rs ｣ｯｳＨｔｾｷＩ＠

4. Schritt: Berechnung der zugehorigen Zeitfunktion durch den invlaplace-Befehl. > i(t) := invlaplace(i(s), s, t): i(t) := subs(i(O) = 0, i(t)): > i(t) := simplify(%); i (t) Heaviside (t -

- sin ＨｔｾｷＩ＠

(R cos (w (t - ｔｾＩ＠ - cos ＨｔｾｷＩ＠

+ L w sin (w

Heaviside (t -

(R sin (w (t - ｔｾＩ＠

ｔｾＩ＠

(t - ｔｾＩ＠

- Re-t

ｔｾＩ＠

+ Lwe-t (t-T-))]

- Lw cos (w (t - ｔｾＩ＠

Graphische Darstellung mit dem plot-Befehl. > parameter := { w = 20, UO = 3, T = 2, L = 1, R > plot( subs(parameter, i(t)), t = 0..4);

(t-T-))

=5

}:

0.2

0.1

4

-0.1

Abb. 84: Stromverlauf im RL-Kreis fUr eine Anregung aus Abb. 83

Interpretation: Nach einer Einschwingphase flieBt im RL-Kreis ein Wechselstrom mit gleicher Frequenz wie die eingespeiste Wechselspannung. Bei T = 2 wird die Spannungsquelle abgeschaltet, der Strom nimmt dann exponentiell abo

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit

MAPLE

305

17. Beispiel: RC-Kreis. Gesucht ist die Ladung q(t) am Kondensator, wenn an das RC-Glied die nebenstehend dargestellte Spannung U (t) angelegt wird. U(t)

Uo

T

U(t)

Abb. 85: RC-Kreis mit Dreiecksanregung

Nach dem Maschensatz gilt

U (t)

I=}

Rq' (t)

+

b

q (t)

U (t).1

1J2. Schritt: Anwenden der Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung und Auswertung. Man beachte, daB die Laplace-Transformierte von U (t) nur berechnet wird, wenn zuvor U(t) mit dem simplify-Befehl vereinfacht wird!

> a/ias(S=Heaviside):

* 2 * UOIT * t + (8( t - T/2) - 8(t - T) * (-2 * UOIT) U(t) := simplify(U(t»: deq := R * diff (q(t), t) + 1/C * q(t) = U(t): assume( T > 0): with(inttrans): laplace (deq, t, s): simplify(%);

> U(t) := (8(t) - 8(t - T/2»

> > > > >

R(laplace(q(t) , t , s) s - q(O))

1

* (t - T):

+ C laplace(q(t), t,

3. Schritt: Auflosen nach Q( s) = .c( q( t)). > O(s) := solve(%, laplace(q(t), t, s »: > O(s) := simplify(O(s»:

s) =

306

XII Die Lap\ace-Transformation

4. Schritt: Berechnung der zugeh6rigen Zeitfunktion. > q(t) := invlaplace (O(s), s, t);

q (t) ｔｾ＠

C

[q (0)C ｔｾＬ＠

( t ) e-'RC+2Uo -RC+t+RCe- RC

Interpretation: Die L6sung fur die Ladung kann man in 3 Zeitbereiche aufteilen: q2 (t) fur t ::; T und q3 (t) fur t 2 T. Es gilt ql (t) fur 0::; t ::;

t,

t ::;

O U(t) :== UO * sin(w * t): > deq1 :== 20 * (11 (t) + 12(t)) + 2 * diff(11 (t), t) + 10 * 11 (t) == U(t):

> deq2 :== -10

* 11 (t) + 20 * 12(t) - 2 * diff(11 (t), t) + 4 * diff(12(t), t) == 0:

> init :== 11 (0) == 0, 12(0) == 0: Darnit haben wir das Differentialgleichungssystem fUr und erhaIten mit

h (t) und 12 (t) aufgestellt

> with(inttrans): > laplace ({ deq1, deq2}, t, s ); {301aplace (II (t), t, s) + 20 laplace (12 (t), t, s) + 2 laplace (II (t), t, s) s -2II(0)= UOw 82 + w 2 '

-10 laplace (II (t) , t, s) - 2 laplace (II (t) , t, 8) S + 2 II (0) +4 laplace (12 (t), t, s) 8 - 412 (0) + 20 laplace (12 (t), t, s) = O}

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE

309

das lineare Gleichungssystem fUr die Bildfunktionen h (8) und h (8). Mit solve lasen wir das LGS und setzen mit dem subs-Befehl die Anfangsbedingungen init ein:

> solve (%, {laplace(l1 (t), t, s), laplace(12(t), t, s)}): > sol := subs(init,%): > 11 (s) := rhs(sol[1]); 12(s) := rhs(sol[2]); ｉＱＨＸＩＧ］ｾ＠ ＱＲＨＸＩＧ］ｾ＠

.

5UOW+UOW8 2 1008 2 + 258 3 + 100 w 2 + 258 w 2 + 84 + 8 2 W 2

.

5UOW+UOW8 4 (5 + 8) (8 3 + 208 2 + 8W 2

+ 20w2 )

Mit dem invlaplace-Befehl bestimmt man die Zeitfunktionen > 11 (t) := invlaplace (11 (s), s, t); > 12(t) := invlaplace (12(s), s, t);

I1(t)

:=

ｾ＠ UO 2

(e- 20t w - w cos (wt) + 20 sin (wt)) w 2 + 400

12(t)

:=

ｾ＠ UO 4

(e- 20t w - w cos (wt) + 20 sin (wt)) w 2 + 400

und w = Ｒｾ＠ = 1/20}, 11 (t»: W = 1I20} , 12(t»: plot ({pI1, p12, pl1 + pI2}, t 0.. 200);

Fur die speziellen Werte Uo > pl1 := subs({UO = 120, > pl2 := subs({UO = 120,

>

h (t) und h (t):

= 120 V

erhalten wir

W

=

Abb. 88: StrOme im elektrischen Netzwerk bei Wechselspannung

(ii) Last man die gleiche Aufgabe mit einer Rechteckspannung, so muS lediglich die erste Zeile in > U(t) := UO * (Heaviside(t) - Heaviside(t-T»: assume(T > 0):

310

XII Die Laplace-Transformation

umgeandert werden. Dann ergeben sich

J1(t)

= ｾ＠

I2(t) =

ｾ＠

40

80

h (t)

und 12 (t) zu

UO( _e- 20t + 1 + Heaviside (t - Heaviside (t ｔｾＩ＠

e-20t+2or

)

UO (_e- 20t + 1 + Heaviside (t - Heaviside (t -

ｔｾＩ＠ ｔｾＩ＠

e-20t+20r

ｔｾＩ＠

und die Graphik zu

Abb. 89: StrOme im elektrischen Netzwerk bei Rechteckspannung

20. Beispiel: Gekoppelte Stromkreise. Gegeben sind zwei durch eine Gegeninduktivitat M gekoppelte Schwingkreise. Der Kopplungsgrad sei k, d.h. M = k· L. Zur Zeit t = 0 wird die Gieichspannung Uo eingeschaitet und zur Zeit t = T wieder ausgeschaitet; U (t) = Uo (8 (t) - 8 (t - T)). Gesucht sind die Teilstrome h (t) und 12 (t) ftir die Anfangsbedingungen h (0) = h (0) = O.

R

R

U(tl[BMm Gekoppelte Schwingkreise

T

Eingangsspannung U (t)

Aus dem Maschensatz ergeben sich die Differentialgieichungen

> deq1 := L * diff(11 (t), t) + M * diff(12(t), t) + R * 11 (t) = U(t): > deq2 := L * diff(12(t), t) + M * diff(11 (t), t) + R * 12(t) = 0:

mit den Anfangsbedingungen

> init:= 11 (0) = 0, 12(0) = 0 : und der Eingangsspannung

> U(t) := UO

• t

* (Heaviside(t) - Heaviside(t - T»: assume(T>O):

311

§7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE

Wieder solI die Lasung unter Verwendung der Laplace-Transformation gewonnen werden. Entweder man wahlt das gleiche Vorgehen wie in Beispiel 19, indem man explizit mit dem laplace- und invlaplace-Befehl arbeitet oder man verwendet den erweiterten dsolve-Befehl mit der Option method = 'laplace'. In einigen Fallen wie in diesem Beispiel - fOhrt dieser kUrzere Weg bei Differentialgleichungen mit Anfangsbedingungen ebenfalls zum Erfolg. > M = k * L: > dsolve ({ deq1, deq2, init}, {11 (t), 12(t)} , method = 'laplace'): > sol := simplify(%): assign(sol): > 11(t); 12(t);

1 UO ( II (t) := 2 If -2 + e TR

UO -21 If

t

( 2 - e TR

1 If UO ( e TR 12 (t ) := 2

t

(t

ｔｾＩ＠

---L-

(t

1

R

+ e- TR

1

- Hk -

UO ( -e T +2"1 If

-Hk

-

ｔｾＩ＠

-

-Hk -

t

1

T+k

)

e- TR (t - ｔｾＩＮｌ＠

Hk

Heaviside (t ｔｾＩ＠

1 ) e- TR t T-Fk

1

::-r:tk

+ e- T

R

(t

-

ｔｾＩ＠

1

T-Fk

)

Heaviside (t ｔｾＩ＠

Mit den Werten > parameter:= {UO = 1, T = 1/10, R = 1, L = 1e - 2, k = 0.9}: > pl1 := subs (parameter, 11 (t)): > pl2 := subs (parameter, 12(t)): erhaIt man den Funktionsverlauf ftir die Teilstrame.

Ｍ

Ｍ

Ｍｾ

0.5

0.2

Abb. 90: StrOme h(t) und 12 (t) beim Kopplungsgrad k = 0.9.

Beim Einschaltvorgang wird nach einer gewissen Zeit der Primarstrom h (t) annahernd konstant der Sekundarstrom 12 (t) wird verschwindend klein. Beim Ausschaltvorgang nl1hern sich nach gewisser Zeit sowohi der Primllrstrom h (t) als auch der Sekundarstrom 12 (t) gieichermaBen dem Nullstrom an.

Iff,

312

XII Die Laplace-Transformation

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

with(inttrans)

laplace(f(t),t,s) invlaplace(F( s), s, t)

Paket der Integraltransformationen. Sowohl der laplace- als auch der invlaplace-Befehl sind in diesem Paket enthalten. Laplace-Transformierte der Zeitfunktion f (t). s ist die Variable der Bildfunktion. Inverse Laplace-Transformation: Bestimmung der zu F (s) gehOrenden Zeitfunktion mit der Variablen t.

Transformation der DG mit Variablen t in den Bildbereich mit der Variablen s. laplace( {DGl, . .. ,DGn}, t, s) Transformation des DG-Systems in den Bildbereich.

laplace(DG, t, s)

dsolve( {DGl, . .. ,DGn, init}, {yl(t), . .. ,yn(t)}, method = laplace) Ltlsen des DG-Systems DGl, ... , DGn fUr die Funktionen Yl (t) , ... , Yn (t) mit den Anfangsbedingungen init mit der Laplace-Transformation. convert(F( s), par frac, s) Partialbruchzerlegung der Bildfunktion F (s). diff(f(t), t) Ableitung des Ausdrucks f (t) nach t. diff(f(t), t$n) n-te Ableitung des Ausdrucks f (t) nach t. D(f) Ableitung der Funktion f. (D@ @n)(f) n-te Ableitung der Funktion f. Heaviside(t) Sprungfunktion S(t). aliaseS = H eaviside) Bezeichnung der Sprungfunktion mit S (t). Set) - Set - T) Rechteckfunktion mit Hohe 1 und Breite T. alias(Q(s) = laplace(q(t) , t, s)) Zuweisung des Namens Q (s) der LaplaceTransformierten von q (t). solve(eq, Q( s))

Auflosung der Gleichung eq nach der LaplaceTransformierten Q (s).

313

Aufgaben zur LapJace-Transformation

Aufgaben zur Laplace-Transformation 12.1

Man berechne jeweils die Laplace-Transformierte von a)3e- 4t b)2t 2 c) 4 cos (St) d) sin (7rt) ･Ｉｾ＠

12.2 Berechnen Sie die Laplace-Transformierten von a)3t 4 -2d+6

b)Ssin(2t)-3cos(2t) d)b

c)30-4e 2t

12.3 Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der Zeitfunktionen mit MAPLE

o ｾ＠

A a)f(t)={ Ae-2 (t-to) c) f (t)

={

to ｾ＠

b)

t > to

t ｦｵｲｏｾｴＳ＠

3

fUr t > 3

12.4 Berechnen Sie a) £-1 {_5 } s+2 d) £-1 (-L) sk k>O

t

f (t)

ｾ＠

0 { A

d)f(t)={

b) £-1 {4S-3}

c) £-1 e:;-5)

e) £-1 { Ｔｾｓ＠

t) £-1 {

s2+4

}

0

0).

Wenn x (0) = 0 und x (0) = 0, berechne man x als Funktion von t und die Periode der von auGen wirkenden Kraft, fUr welche Resonanz auftritt.

Aufgaben zur LapJace-Transformation

12.15

315

Man berechne die Strome I, h und h des Netzwerkes und die Ladung Q auf dem Kondensator, wenn a) E = 360 V und b) E = 600 e 5 t sin (3 t) V gilt. Man nehme an, daB die Strome und Ladungen zur Zeit t = 0 Null sind. Hl 0,1 Farad

ao

2 Henry

Kapitel XIII Fourierreihen

§1. Einftihrung In der Physik lassen sich einfache, zeitlich periodische Vorgange wie z.B. die Schwingung eines Federpendels oder Wechselspannungen durch Sinusgesetze der Form y (t) = A sin (wt + 'P) beschreiben. Man nennt diese DarsteHung harmonische Schwingung mit Frequenz w und Amplitude A. Sie treten vor aHem bei der Beschreibung von schwingenden Saiten, Membranen, Pendel, elektromagnetischen Schwingungen, SchaH- und Wellenausbreitung usw. auf. Htl.ufig kommen aber auch Vorgtl.nge vor, die zwar periodisch aber nicht mehr sinusforrnig sind. Beispiele hierftir sind Kippschwingungen (Kippspannung, Kreidequietschen) oder der Sinusimpuls eines Gleichrichters.

y(t)

y(t)

T

2T

Kippschwingung

t

T/2

T

Sinusimpuls eines Gleichrichters

Wenn man etwa an die Kippschwingung denkt, die zum Kreidequietschen fuhrt, ist man an den dominierenden Frequenzen und zugehorigen Amplituden interessiert. Wenn man bei einem Klavier die drei Tone c1, gl, e 2 gleichzeitig anschltl.gt und die Starke der Anschlage so wahlt, daB die in norrnierten Einheiten am Ohr erzeugten Dberdrlicke gleich 1.273, 0.424 und 0.255 sind, dann ist der Gesamtdruck p (t) am Ohr gegeben durch deren Dberlagerung: p (t)

mit VI

= 1.273 sin (211' VI t) + 0.424 sin (211' V3 t) + 0.255 sin (211' V5 t)

= 128Hz (c 1), V3 = 3V1 = 384Hz (gl)

T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

undv5

= 5V1 = 640Hz (e 2).

317

§1. EinfUhrung

ｏ ｦＭＴＫｾ＠

t[S]

T=1I128

-1

Abb. 91: Schalldruck am Ohr

Geilbte Ohren kOnnen aufgrund des am Ohr erzeugten Oberdrucks analysieren, welche Frequenzen (c l , gl, e2 ) in dem Ton enthalten sind. Das Ohr unterzieht im Zusammenwirken mit dem Gehirn eine Analyse des periodischen Signals: Es zerlegt das Signal in Einzelfrequenzen (= Signalanalyse). Von generellem Interesse bei der Signal analyse ist die Zerlegung eines periodischen Zeitsignals in Grundschwingung und Oberschwingungen mit den zugehOrigen Amplituden. Es stellt sich heraus, daB nahezu jede periodische Funktion y (t) sich darstellen ｉｾｂｴ＠ als Oberlagerung unendlich vieler harmonischer Schwingungen. Den mathematischen Zusammenhang zwischen periodischem Signal und dessen Zerlegung in Grund- und Oberschwingungen mit zugehOrigen Amplituden steUt die sog. Fourierreihe dar: 00

y (t)

= ao+ L n=l

wenn wo

=

00

an cos (nwot) +

L

bn sin (nwot) ,

n=l

2; und T die Periodendauer der Funktion y (t).

Die Entwicklung einer periodischen Funktion in eine Fourierreihe bezeichnet man als Fourieranalyse. wo ist die Grundschwingung und n wo sind die Oberschwingungen. Die Koeffizienten ao, aI, a2, ... ; b1 , b2, .. . heiBen Fourierkoejfizienten und geben die Amplituden der einzelnen Frequenzkomponenten an.

318

XIII Fourierreihen

§2. Bestimmung der Fourierkoeffizienten Zur Bestimmung der Amplituden in der Fourierzerlegung gehen wir von einer 27r-periodischen Funktion f aus (Abb. 92)

2n

x

6n

4n

Abb. 92: 27r-periodische Funktion

und wahlen den Ansatz: 00

00

f(x)=ao+ Lancos(nx)+ Lbnsin(nx). n=l

n=l

Zur formal en Bestimmung der Koeffizienten ao, aI, a2, ... ; wir die in Tab. 1 zusammengestellten Integrale.

h, b2, ... benOtigen

Tabelle 1: Zusammenstellung von elementaren Sinus- und Kosinusintegralen.

ｊｾｮ＠

(1)

(4) (5)

fUrn=1,2,3, ...

° cos(nx)dx=O

fUr n = 1, 2, 3, ...

J2n

(2)

(3)

o sin(nx) dx = 0

J: J: ｊｾＱｲ＠

1r

1r

cos (n x) cos (m x) dx = {

sin (n x) sin (m x) dx = {

° sin (nx) cos (mx) dx=O

0 7r 0 7r

fUrm=ln fUrm=n

=7ro(n-m)

fUr m =I n fUr m = n

=7ro(n-m)

fUr n, m = 1, 2, 3, ...

319

§2. Bestimmung der Fourierkoeffizienten

In Tab. 1 wird dasKronecker-Symbo18 (k) verwendet, das fUr aIle ganzen Zahlen k E 7L definiert ist durch

8 (k)

:= {

ｾ＠

fUr k = 0 fUr k E 7L \ {O}.

Bemerkung: Integral (1) und (2) rechnet man direkt nacho Mit der Formel cos a cos (3 = ｾ＠ (cos (a - (3) + cos (a + (3)) gilt im FaIle (3) fUr m "I n

1

2n

o

1

cos (n x) cos (m x) dx = -1 ( 2

2n

r

Jo und fUr n = mist

cos (( n - m) x) dx+

0

2n

cos ((n

+ m) x) dx)

Jor cos2 (nx) dx =

= 0

2n

7r.

Formel (4) berechnet man analog zu (3) mit der Beziehung sin a sin (3 =

ｾ＠

(cos (ex - (3) - cos (a + (3)) .

Zur Bestimmung von (5) verwende man die Formel sin a cos (3 =

ｾ＠

(sin (a - (3)

+ sin (ex + (3)) .

Bestimmung von ao: Wir integrieren (*) gliedweise im Periodenintervall [0, 27f]:

r

Jo

2n

f (x) dx =

f Ｚｯ､ｾ＠ f;, f +

ao·2n

+

oo,.(nx)

an

f 1

2n

bn

=0

sin (nx) dx

,0

n=l

I

V

=0

1

ao = 2;

J2n 0

f(x)dx.

ｾ＠

320

XIII Fourierreihen

Bestimmung von an: Wir multiplizieren (*) zunachst mit cos (m x) Bend tiber das Periodenintervall [0, 27r]:

27r J o f (x) cos (mx) dx =

(m

> 0) und integrieren anschlie-

27r J ao 0 cos (mx) dx 00

+ ｾ＠

+L 00

an

J27r0 cos (n x) cos (m x) dx

bn

J27r sin (nx) cos (mx) dx. 0

n=l

Nach Tab. 1 (5) verschwinden aIle Summanden der zweiten Summe. Von der ersten Summe tiber an ist nur der Summand ungleich Null, bei dem der Laufindex n mit cos (m x) dx = 0 ist, gilt m tibereinstimmt. Da auch ｊｾＷｲ＠

r

27r

}0

f (x)

cos (m x) dx

o =?

=

L an 7r 8 (n - m) = 7r . am 00

n=l

am

= .!. J27r f (x) cos (mx) dx 7r

m

0

= 1,2,3, ...

Bestimmung von bn : Analog dem Vorgehen zur Berechnung der Koeffizienten an multiplizieren wir (*) zunachst mit sine m x) (m > 0) und integrieren anschlieBend tiber das PeriodenintervaIl [0, 27r]:

27r J o f (x) sin (m x) dx =

ao

27r J 0 sin (m x) dx

+ ｾ＠

00

+ ｾ＠

00

an

J27r0 cos (nx) sin (mx) dx

bn

J27r0 sin (n x) sin (m x) dx.

AIle Integrale, welche als Integranden cos (n x) enthalten, verschwinden nach Tab. 1, ebenso ｊｾＷｲ＠ sin (m x) dx. Die Integrale ｊｾＷｲ＠ sin (n x) sin (m x) dx = 7r 8 (n - m)

321

§3. Fourierreihen fUr 27f-periodische Funktionen

sind alle Null bis auf dasjenige mit n

= m. Somit ist

r21r f (x) sin (m x) dx =L b 7r 8 (n - m) = b DO

o

::::}

m .

n

}0

7r

n=l

1 J21r bm = f (x) sin (m x) dx 7r

m

0

= 1,2,3, ...

§3. Fourierreihen ffir 27r-periodische Funktionen Nach diesen Voruberlegungen sind fUr eine 27r-periodische Funktion f die Fourierkoeffizienten formal bestirnrnt. Die dadurch definierte Fourierreihe konvergiert fUr die meisten Funktionen und stirnrnt mit f (x) Uberein. Hier muB jedoch gewarnt werden: Es gibt stetige, 27r-periodische Funktionen, deren Fourierreihe an unendlich vielen Stellen eines Periodenintervalls divergiert. Urn sicherzustellen, daB die Fourierreihe einer 27r-periodischen Funktion f Uberall konvergiert und daB der Grenzwert mit f (x) Ubereinstirnrnt, muB die Funktion f gewisse Forderungen erfullen. 1m folgenden geben wir ohne Beweis 2 Bedingungen an, die zusarnrnen sowohl die Konvergenz als auch die Dbereinstirnrnung der Fourierreihe mit der Funktion gewahrleisten. Beide Bedingungen sind leicht UberprUfbar und sind bei praktisch vorkornrnenden Funktionen so gut wie irnrner erfullt. Bedingung 1: Das Periodenintervall [0, 27r]laBt sich durch endlich viele Teilpunkte 0 = Xl < X2 < ... < X N = 27r so zerlegen, daB in den offenen Teilintervallen (Xk, Xk+l) 1 ｾ＠ k ｾ＠ N - 1 die Funktion f differenzierbar und l' beschrankt ist. Man nennt solche Funktionen stiickweise stetig differenzierbare Funktionen. Bedingung 2: In den Teilpunkten Xk existiert der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert

und fUr den Funktionswert gilt

Man nennt diese Eigenschaft die Mittelwerteigenschaft. Das Schaubild einer Funktion, die Bedingung (1) und (2) erfUllt, ist in Abb. 93 gezeigt.

322

XlII Fourierreihen

f(x)

ｦＬＨｾ＠ I I

I

-+ '/.(f,(x,)+f,(x,» I

I

x,=O

x.

I

f,(x,)

X,

x4=21t

x

Abb. 93: Stuckweise stetig differenzierbare Funktion

StUckweise stetig differenzierbare Funktionen durfen also endlich viele Sprungstellen aufweisen. In Stetigkeitspunkten ist die Mittelwerteigenschaft immer erfUIlt, in Unstetigkeitspunkten ist der Funktionswert der Mittelwert von links- und rechtsseitigem Grenzwert.

Satz von Fourier: Sei f : IR - t IR eine 27r-periodische Funktion, die stUckweise stetig differenzierbar ist und fUr aile x E IR die Mittelwerteigenschaft erfUlit. Dann konvergiert die Fourierreihe und es gilt fUr aIle x E IR

f (x)

=

00

2::

ao +

an

cos (n x) +

n=l

00

2::

bn sin (n x)

n=l

mit den Fourierkoeffizienten

1

ao

= 27r

an

1 = 7r 1 7r

bn = -

J.:tn f (x) dx 0

J27r f (x) cos (nx) dx 0

/27r f(x) sin (nx) dx

n = 1, 2, 3, ...

n = 1,2,3, .. .

0

Die Berechnung der Fourierkoeffizienten vereinfacht sich fUr symmetrische Funktionen:

323

§3. Fourierreihen fUr 27r -periodische Funktionen

Bemerkungen: (l) Fur eine 21T -periodische Funktion

r

Jo

27r

f (x) dx =

l

Q

f (x)

gilt stets

+ 27r f (x) dx fur beliebiges a E JR.

o

Diese Formel besagt, daB zur Berechnung der Fourierkoeffizienten ein beliebiges Periodenintervall der Lange 21T gewahlt werden darf. (2)

Symmetriebetrachtungen (a) Fur eine gerade 21T-periodische Funktion f (f (-x) = f (x) fur alle x) sind aIle Fourierkoeffizienten bk (k E N) gleich Null. (b)

Fur eine ungerade 21T -periodische Funktion f (f ( - x) = - f (x) fur aIle x) sind aIle Fourierkoeffizienten ak (k E No) gleich Null.

(b) f(-x)=-f(x) x

Gerade Funktion

Ungerade Funktion

Begrundung: (a) 1st f (x) gerade, so ist auch f (x) . cos (n x) eine gerade Funktion, f (x) . sin (n x) dagegen ist ungerade. Wahlt man als Integrationsintervall das Intervall [-1T, 1T], so erhalt man fur die ungerade Funktion f (x) . sin (nx) (vgl. Abb. b)

bn

1 j7r = -2 f (x)

1T

-7r

sin (n x) dx

=0

nE N

und fur die Koeffizienten an:

ao

= ｾ＠

J:

f (x) dx,

an

= ｾ＠

J:

f (x) cos (nx) dx,

nE N

(b) 1st f (x) ungerade, so ist auch f (x) . cos (n x) eine ungerade Funktion, wahrend f (x) . sin (n x) als Produkt zweier ungerader Funktionen gerade

324

XIII Fourierreihen

ist. Verwendet man wieder das Integrationsintervall [-7r, 7r] und berucksichtigt die Symmetrien, folgt (vgl. Abb. a) ao

=0

und

an

= 0,

nE N,

und fur die Koeffizienten bn die Formel

bn

= ｾ＠

J:

f(x)sin(nx)dx,

nE N

1. Beispiel: Gegeben ist die unten gezeichnete Rechteckskurve mit Periode 27r. f(x)

11-------.

o

11t

x I

L--

-1

Diese Funktion wird im Periodenintervall [0, 27r] beschrieben durch die Funktionsgleichung

O alia := 1/p * int(f(x), x = o.. p); aO

:=

1

3" 7r

> all n := 2/p * int(f(x) * cos(n*x), x = O.. p); ＲＭｾ＠

cos (7r n) ( - 2 sin (7rn)

+ 7r2 n 2 sin (7r n) 7r2 + 27rn cos (7r n) ) 7r 2 n 3

Da MAPLE sin (7r n) bzw. cos (7r n) nicht durch 0 bzw. (-l)n vereinfacht, muB dies explizit mit dem subs-Befehl durchgeftihrt werden: > alln := subs({sin(n*Pi) = 0, cos(n*Pi) = (-1)"n}, alln);

(( _1)n)2 an := 4 ...:...:...--,-::-,7rn 2 Somit ist

f(x) =

7r

4CXl

"3+;

L

n=l

1

n 2 cos(n x ).

XIII Fourierreihen

328

Die graphische Darstellung der Funktion f zusammen mit den ersten Partialsummen erfolgt mit dem plot-Befehl > plot( {f(x), aD + sum(an * cos (n*x), n = 1.. 5}}, x = D.. p, title = 'f(x) und Fourierreihe'); f(x) und Fourierreihe

Abb. 95: Die Partialsumme der Funktion f(x)

= ｾＨｸ＠

_11")2 fUr n

=5

Diskussion: 1m Gegensatz zu Beispiel I genugen 4 Summenglieder, urn die Funktion erkennbar durch die Fourierreihe anzunahern. Es bauen sich keine Os zillationen im Periodenintervall auf. Die Koeffizienten der Fourierreihe verhalten sich proportional zu :;& . Nebenergebnis. Mit den Fourierreihen ist man in der Lage fur einige in Bd. 1, Kap. VII diskutierte Reihen den Summenwert zu berechnen, indem in die Fourierreihe spezielle Werte eingesetzt werden. Man erhalt so die folgenden beiden Nebenergebnisse:

x=o:

f (0)

11"

=

11"

4

00

'" 3 + -11" L.J

= -

n=l

1 n2 00

x

= 11":

1

2

'L.J " (-It -n 2 = ｾＮ＠ 12

n=l

Hinweis: Auf der CD-ROM befinden sich Animationen, welche die Konvergenz der Partiaisummen der Fourierreihen an die Funktion aufzeigen.

329

§4. Fourierreihen fUr p-periodische Funktionen

§4. Fourierreihen fur p-periodische Funktionen Bisher wurde die Fourierreihendarstellung von 27r-periodischen Funktionen betrachtet. Urn die entsprechende Darstellung mit den zugehorigen Fourierkoeffizienten einer p-periodischen Funktion f zu bestimmen, gehen wir von f tiber zu der auf das Intervall [0, 27r] gestauchten bzw. gestreckten Funktion

F (x) :=

f

(:7r

x) .

x

x

Abb. 96: p-periodische Funktion fund zugeh()rige, skalierte 27r-periodische Funktion F

Wenn

f

F (x

p-periodisch, dann ist F 27r-periodisch, denn

+ 27r) = f

(:7r

(x

+ 27r)) = f

(:7r x

+ p) = f

(:7r x)

= F (x) .

Ftir die 27r -periodische Funktion F (x) gilt formal die Fourierreihendarstellung

F (x) = ao+

CXJ

CXJ

n=l

n=l

2: an cos (n x) + 2: bn sin (nx)

mit den Koeffizienten

ao

= Ｒｾ＠

ｊｾＷｲ＠

F (x) dx

an = ｾ＠ Jo27r F(x) cos (nx) dx; bn = ｾ＠ Jo27r F (x) sin (n x) dx.

Mit der Rticksubstitution

f(x) =

F(2p

7r

x)

rekonstruiert man aus der Funktion F die ursprUngliche Funktion f, indem man sie auf die ursprUngliche Peri ode streckt bzw. staucht. Die Formeln fUr die Fou-

330

XIII Fourierreihen

rierreihendarstellung fUr

f (x)

f

entnimmt man nun aus:

27r ｾ＠ = F(x) = ao+ ｾ＠

p

27r

an cos(n -

p

n=l

Mit der Integralsubstitution y

=

It F (x) cos (n x) dx ｾ＠ ｉｾＷｲ＠

ｾ＠

.

ｾ＠

27r

bn sm(n -

n=l

x).

p

-fi x erhtilt man die Fourierkoeffizienten fur f: Ｒｾ＠

ｾ＠

x)+

ｉｾＷｲ＠

ｾ＠ ｉｾＷｲ＠

f

(f; x) dx = ｾ＠

It f(y) dy,

f (f; x) cos (n x) dx

ｾ＠

It f(y) cos(n 2; y)dy, ｾ＠

It f(y) sin(n 2; y) dy.

F (x) sin (n x) dx

o

Zusammenfassend gilt:

Satz von Fourier ffir p-periodische Funktionen: Sei f : IR ----+ IR eine p-periodische Funktion, die stiickweise stetig differenzierbar ist und die fUr aIle x E IR die Mittelwerteigenschaft erfUllt. Dann konvergiert die Fourierreihe

fUr aIle x E IR und stimmt mit der Funktion

ao = -1 p

f

Uberein. Die Koeffizienten sind

Jrl' f (x) dx 0

n = 1,2,3, ...

n = 1, 2, 3,... .

Die Formeln fUr 27r-periodische Funktionen sind der Spezialfall p = 27r. Bemerkungen (1) und (2) Ubertragen sich sinngemtiB auf p-periodische Funktionen. Es ist zu beachten, daB sich sowohl die Formeln fur die Koeffizienten als auch die Reihendarstellung !eicht tindern.

331

§4. Fourierreihen fUr p-periodische Funktionen

Interpretation I Anwendung: Fourierzerlegung T -periodischer Signale. Sei f (t) eine periodische Schwingung mit Peri ode T (= Schwingungsdauer). Dann gilt zu jedem Zeitpunkt die Fourierzerlegung (Xl

f (t) = ao+ ｾ＠

(Xl

an cos (nwot) + ｾ＠

n=l

mit der Grundfrequenz Wo

=

ｾ＠

bn sin (nwot)

n=l

und den angegebenen Fourierkoeffizienten.

Die Entwicklung des Zeitsignals f (t) in unendlich viele Sinus- und Kosinusfunktionen bedeutet aus physikalischer Sieht eine Zerlegung des Signals in seine harmonischen Bestandteile. Sie bestehen aus der Grundschwingung mit Frequenz Wo und den harmonischen Oberschwingungen mit Frequenzen nwo. Die Fourierkoeffizienten bestimmen dabei die Amplituden dieser harmonischen Teilschwingungen und damit den Beitrag der Oberschwingungen zum Signal. Zu einer Frequenz n Wo erhalt man zunachst zwei Koeffizienten, narnlich an und bn , da die Summanden in der Fourierdarstellung (*) die Dberlagerung von jeweils zwei harmonischen Sinus- und Kosinusschwingungen gleieher Frequenz darstellen. 1st nach der Amplitude gefragt, mit welcher die Frequenz n Wo im Signal vorkommt, muB man tibergehen zu der Darstellung

an cos (nwot) mit

+ bn sin (nwot) =

An cos (nwot - 'Pn)

IAn = Ja; + b; lund

tan'Pn

= ｾＮ＠

An ist dann die gesuchte Amplitude und 'Pn die Nullphase. Begriindung: Denn nach dem Additionstheorem ftir den Kosinus gilt

An cos (nwot - 'Pn)

An cos (n wot) cos 'Pn + An sin (n wot) sin 'Pn an cos (nwot) + bn sin (nwot).

Vergleicht man die Koeffizienten, folgt

Quadriert man beide Gleichungen und addiert sie dann, gilt

a; +

b; = A; cos 2 'Pn + A; sin2 'Pn = A;

=>

An = Ja;

+ b;.

Dividiert man die zweite durch die erste Gleiehung gilt

bn

- = tan'Pn. an

o

332

XIII Fourierreihen

In den Anwendungen benutzt man dann in der Regel die Darstellung der Fourierreihe in der Form 00

f (t)

= ao+

L An cos (nwot - 'Pn) . n=l

An ist die Gesamtamplitude, mit der die Frequenz Wn = n Wo im Signal vorkommt. 'Pn ist die zugehorige Phase. Der Wert ao gibt den Koeffizienten ao = ｾ＠ JOT f (t) dt an. Er entspricht dem Mittelwert der Funktion wahrend einer Schwingungsdauer. Man bezeichnet ihn als Gleichspannungsanteil. Zur graphischen Darstellung der Koeffizienten wahlt man oftmals die folgenden Diagramme: CPR

o

1

2

3

4

5

n

1

2

3

4

5

n

In diesen Schaubildern werden die Amplituden An und Phasen 'Pn als Werte tiber den diskreten Frequenzen abgetragen (= diskretes Spektrum von f). Man bezeichnet die Darstellung der Amplituden als Amplitudenspektrum (links) und die der Phasen als Phasenspektrum (rechts). 4. Beispiel: Amplitudenspektrum der Kippschwingung aus Beispiel 2. Urn mit MAPLE das Amplitudenspektrum graphisch darzustellen, wird die Liste spek erstellt, die aus den Paaren von Punkten [[n, 0], [n, Anll besteht. Der plot-Befehl verbindet diese Punktepaare fUr die vorgegebenen n. > Alln := sqrt(allnA2 + bllnA2): > spek := [[0, 0], [0, aO]], seq([[n, 0], [n, An]], n = 1..10): > plot(spek, x = 0 .. 10, color = black, thickness=3);

1.5

0.5

o

10

Diese Darstellung beinhaltet dann als Information tiber das Signal sowohl die vorkommenden Frequenzen n Wo als auch die zugehorigen Amplituden An.

333

§S. Analyse T-periodischer Signale mit MAPLE

§5. Analyse T -periodischer Signale mit

MAPLE

5. Beispiel: Fourierzerlegung eines Sinusimpuls-Einweggleichrichters. Wir betrachten das in Abb. 97 gezeigte Signal des Sinusimpulses eines Einweggleichrichters mit Periode T:

Abb. 97: Sinusimpuis eines Einweggleichrichters

Der Impuls wird im Periodenintervall [0, T] durch die Funktionsgleichung

f (t) = { Uo ｓｩｾ＠

(wot)

O:St:sf f wO := 2 * Pi 1 T:

> f(t) := uO * sin(wO

* t):

Berechnung des Koeffizienten ao: > aiiO := 11T * int(f(t), t = 0 .. T/2); uO

aO:=7r Berechnung der Koeffizienten an: > alln := 21T * int(f(t) * cos(n*2*PilT*t), t = 0..T/2): > alln := simplify(%);

an=

uO (cos(n7r)

+ 1)

7r(I+n) (-I+n)

> alln := subs(cos(n*Pi) = (-1rn,

alln);

uO ((-It + 1) an := - -,..-;"";""",,,..-'----'-7r (l+n) (-I+n)

334

XIII Fourierreihen

Anhand des Ergebnisses fur an erkennt man, daB der Integralausdruck formal zwar berechnet wird, aber nur fur n -I 1 definiert ist. Der Koeffizient a1 muB separat bestimmt werden: > al11 := 2fT * int(f(t) * cos(2*PifT* t), t = 0 .. T/2);

a1:= 0 Insgesamt erhalt man also fUr die Koeffizienten an:

o

fur n ungerade

2uo

7T" (n2 _

1) fUr n gerade, n > 0

Berechnung der Koeffizienten bn : > blln := 2 1 T * int(f(t) * sin(n*2*PifT*t), t = 0.. T 1 2): > blln := simplify(%);

bn := _ 7T" (1

sin(n7T") uO + n) (-1 + n)

Auch hier muB der Koeffizient b1 separat berechnet werden, da der Ausdruck nur fUr n -I 1 definiert ist. Also > bl11 := 2fT * int(f(t) * sin(2*PifT *t), t = 0 .. T/2);

1

b1:= "2uO Ersetzen wir in der allgemeinen Formel fur bn noch sin( n 7T") = 0, gilt fUr n > blln := subs(sin(n*Pi) = 0, blln);

-I 1

bn :=0

Die Fourierreihe des Sinusimpulses hat demnach folgende Gestalt

f (t )

Uo -;:-

Uo. 2 + 2" sm (wot) - :; Uo

(1

2Ll

cos ( 2wot)

+ ＶＲｾＱ＠ Uo

Uo

-7T" + -2

2

sin(wot) - - Uo 7T"

00

L

n=2 n gerade

1 n -1

1 + 42-1

cos (4wot) +

cos (6wot)

-2-- cos(nwot).

+ ... )

§S. Analyse T-periodischer Signale mit

335

MAPLE

Die graphische Darstellung der Fourierreihe fiir n = 8 erfolgt durch > T := 3: uO:= 1: > p1 := aO + b1 * sin(wO * t) + sum(an * cos(n*2*PifT* t), n = 2 .. 8): > plot(p1, t = - T.. 2* T, Y = -0.2 .. 1.1, numpoints = 200);

6. Beispiel: Fourierzerlegung einer Kippspannung: Gegeben ist eine Kippspannung mit Periode T. Gesucht ist das Amplitudenspektrum dieser Funktion.

T

2T

3T

t

Abb. 98: Zeitlicher Verlauf einer Kippspannung

Die Kippspannung wird im Periodenintervall t E [0, T) durch die Gleichung = t beschrieben. Zur Abkiirzung setzen wir wieder Wo = Ｎ＠ｾ > wO := 2*Pirr: > u(t) := uO / T * t:

u( t)

¥f

Berechnung des Koeffizienten ao: > a[O] := 1 / T * int(u(t), t = 0 .. T);

1 ao'.- -uO 2 Berechnung der Koeffizienten an: > a[n] := 2 / T * int(u(t) * cos(n * wO * t), t = 0 .. T): > a[n] := simplify(%);

a n ..Ｍｾ＠

uO (cos (7fn)2 - 1 + 2 sin (7fn) cos (7fn) n7f ) 7f2 n2

336

XIII Fourierreihen

> a[n]

:= subs({cos(Pi*n) = (-1rn, sin(Pi*n) = O}, a[n]);

Berechnung der Koeffizienten bn : > b[n] := 2 / T * int(u(t) * sin (n * wO * t), t = O.. T);

uO (-sin (n 7r) cos (n 7r) + 2 cos (n 7r) 2 n 7r - n 7r ) bn := -

> b[n]

2

n 7r

2

:= subs( {cos(2 * Pi * n) = 1, sin(2 * Pi * n) = O}, b[n]);

uO bn .. __ -

n7r

Die Fourierreihe der Kippspannung besitzt somit die Gestalt

U(t)

Uo Uo -2

7r

Uo Uo -2

Die (1) (2) (3)

7r

L -n1 sin (nwot) 00

n=l

[sin (wot)

+ ｾ＠

sin (2wot)

+ ｾ＠

sin (3wot)

+.

0

oj

Kippspannung enthlilt die folgenden Komponenten: Den Gleichspannungsanteil Die Grundschwingung mit Frequenz Wo und der Amplitude ｾ＠ Sinusforrnige Oberschwingungen mit den Frequenzen 2 wo, 3 wo, 4 wo, 211" 311" 411" un d d en A mp l1Otuden .Y:il...Y:il...Y:il..

T

0

0

0

In Abbo 99 ist die Partialsumme der Fourierreihe fUr n = 30 gezeichnet > plot(a[O] + sum(b[n]*sin(n*2*PilT*t),n=1..30), t=0 .. 2* T);

Abb. 99: Partialsumme der Fourierreihe filr n = 30

0

0

0

§s. Analyse T-periodischer Signale mit MAPLE

337

und in Abb. 100 das Amplitudenspektrum. > Alln:=sqrt(a[nr2+b[nr2): > Spek:= [[0,0], [O,a[O]]], seq([ [n,O], [n, An] ] ,n=1 .. 30): > plot(Spek, x=0 .. 33, color=black, thickness=3); 0.5 0.4 0.3 0.2 0 .1 0

15

20

25

30

Abb. 100: Amplitudenspektrum his n = 30

Diskussion: Die Fourierkoeffizienten bei der Kippspannung sind '" ｾＮ＠ Dies bedeutet, daB der Anteil der Oberschwingungen am Gesarntsignal groB ist. Wie langsam die Abnahme der Amplituden ist, entnimmt man dem Amplitudenspektrum. Hohe Frequenzen besitzen noch relativ groBe Amplituden. 1m Bereich der Unstetigkeitsstelle fllhren diese Oberschwingungen zu Dberschwingungen, was man an der graphischen Darstellung der Fourierreihe sieht. Es werden insgesamt viele Oberschwingungen benotigt, urn das Signal durch eine endliche Fourierreihe re0 prasentieren zu konnen.

MAPLE-Prozedur zur numerischen Berechnung der Fourierkoeffizienten. Urn die Berechnung der Fourierreihen zu automatisieren und dabei die Probleme der Division durch Null bei der analytischen Rechnung zu umgehen, werden in der Prozedur fourier _reihen die Fourierkoeffizienten einer Funktion numerisch berechnet. Zusatzlich wird die Annaherung der Fourierreihe an die Funktion mit steigender Ordnung durch eine Animation visualisiert und das Amplitudenspektrum der Funktion graphisch dargestellt. Die Fourierkoeffizienten werden bestimmt, indem das Integral fUr die Koeffizienten in seiner tragen (inerten) Form verwendet und mit evalf numerisch berechnet wird. Die Fourierkoeffizienten werden mit aJ[k] und bf[k] bezeichnet und die Einzelbilder mit steigendem k in pl[k] abgespeichert. Mit numpoints=5k werden die Bilder glatter dargestellt, da mehr Zwischenpunkte zur graphischen Darstellung genommen werden. Der display-Befehl mit der Option insequence=true ergibt eine Animation, bei der die Funktion zusammen mit den Teilsummen der Fourierreihe mit wachsender Ordnung visualisiert werden.

338

XIII Fourierreihen

> fourierJeihen:=procO > #Numerische Bestimmung der Fourierkoeffizienten, Animation des > #Konvergenzvorgangs und Berechnung des Amplitudenspektrums. > > local funk, x, p, N, af, bf, fourieu, k, i , > plotfunk, plfunk, plfourier, pi, Amp'-spek ; > > funk:=args[1]: > x:=op(1,args[2]): > p:=op(2,op(2,args[2])) - op(1,op(2,args[2])): > N:=args[3]: > > #Funktionsplot uber 3 Periodenintervalle > funk:=unapply(funk,x): > plotfunk:=sum(funk(x-(k-2)*p)* > (Heaviside(x-(k-2)*p)-Heaviside(x-(k-1 )*p)),k=1 .. 3): > plfunk:=plot(plotfunk,x=-p .. 2*p,color=red); > > #Numerische Bestimmung der Fourierkoeffizienten > af:=array(O .. N): bf:=array(1 .. N): > af[0]:=evalf(1/p*lnt(funk(x),args[2])): > Iprint( 'k , a_k, b_k "); > Iprint(O,af[O]); > for k from 1 to N do

> af[k]:=evalf(2/p*lnt(cos(k*2*Pi/p*x)*funk(x),args[2])): > bf[k]:=evalf(2/p*lnt(sin(k*2*Pi/p*x)*funk(x),args[2])): > Iprint(k,af[k],bf[k]); > od: > > #Graphische Darstellung der Teilsummen fUr steigendes k > fourieu:=af[O]: > for k from 1to N do > fourier _r:=fourier_r+(af[k]*cos(k*2*Pi/p*x)) + (bf[k]*sin(k*2*Pi/p*x)); > plfourier:=plot(fourieu, x=-p .. 2*p, numpoints =30*k, thickness=2); > pl[k]:=display( {plfunk,plfourier}): > od: > > #Darstellung des Amplituden-Spektrums > Amp'-spek := [[0,0] ,[O,af[O]]], seq([ [k,O] , [k, sqrt(af[kr2+bf[kr2)]] ,k=1 .. N); > print(plot(AmpLspek, x=0 .. N+2,color=black,thickness=3, > title='Amplitudenspektrum')); > #Animation > with(plots): display([ seq(pl[k], k=1 .. N) ], insequence=true); > end:

§s. Analyse T-periodischer Signale mit

MAPLE

339

Der Aufruf von fourier_reihen erfolgt durch > fourieLreihen(ausdruck, var = a .. b, N); wobei - ausdruck: Funktionsausdruck in der Variablen var - var: Variable des Funktionsausdrucks Periodenintervall - a .. b: - N: Anzahl der Summenglieder der Reihe. 7. Beispiel: Gesucht sind die Fourierkoeffizienten der Fourierreihe sowie das Amplitudenspektrum der Funktion

f(t)

= Isin(t)l·

Da die Funktion f 7r-periodisch ist, erfolgt der Aufruf fUr die Berechnung der Fourierkoeffizienten bis zur Ordnung 10 durch > f(t):=abs(sin(t)): > fourieueihen(f(t),t=0 .. Pi,10);

k

aJ
local x, f, I, r: > x:=op(1,args[2]): > 1:=lhs(op(2,args[2])): r:=rhs(op(2,args[2])): > f:=unapply(args[1],x): > f(x-floor«x-I)/r)*r): > end: Urn beispielsweise eine Sagezahnkurve zu ersteIlen, gehen wir von der Funktion f(x) = x im Intervall [0,3] aus und stellen diese Funktion im Intervall von -4 bis 7 graphisch dar > f1 :=PE(x, x=O .. 3); > plot(f1, x=-4 .. 7);

Konvergenzbetrachtungen. Durch den Abbruch der Fourierreihe nach endlich vielen Gliedern, erhalt man eine Naherungsfunktion fur f in Form einer endlichen trigonometrischen Reihe. Ahnlich wie bei Potenzreihen gilt: Je mehr Glieder berucksichtigt werden, urn so besser ist die Approximation. Man stellt zunachst fur aIle behandelten Beispiele fest: fur n

----t 00.

341

§6. Fourierreihen fUr kompJexwertige Funktionen

Bei genauerer Betrachtung entdeckt man, daB die Naherungen fur stetige Funktionen schneller konvergieren bzw. man wenige Glieder in der endlichen trigonometrischen Reihe benotigt, urn die Funktion hinreichend gut zu approximieren. Unsere Beispiele zeigen, daB a

n

1 n2

rv-

und

wenn f keine Sprungstellen hat. Anschaulich kann man sagen: Die Fourierreihe einer p-periodischen Funktion konvergiert urn so schneller, je "glatter" die Funktion fist. Prllziser gilt der Satz

Satz: 1st f eine p-periodische, m + I-mal stetig differenzierbare Funktion, dann gilt fur die Fourierkoeffizienten von f

Beispiele fur m = 0 (stetige Funktionen) sind 3, 5 und Beispiele fur m (Funktionen mit Sprungstelle) sind 1, 2, 6.

=

-1

§6. Fourierreihen ffir komplexwertige Funktionen Eine besonders einfache Gestalt nimmt die Fourierdarstellung in komplexer Schreibweise an. Unter Benutzung der Eulerschen Formeln (vgl. Bd. 1, Kap. VII.6.3) cos (x)

="21

(e'X .

+ e-'x. )

und

1 (e'x . - e-'x .) sin (x) = 2i

ltiBt sich die reelle Fourierreihe einer p-periodischen Funktion f schreiben als:

f(x)=ao+ ｌ｡ｮｾ＠

00

00

(ein2;x+e-in2;x)+ Lbn;i (ein2;x_e-in2p"x).

n=l

n=l

Nach Umordnung der Summanden in eine Summe uber ei n 1,ff x und eine zweite . 2" Summe tiber e -, n p x ist

Betrachtet man die 3 Summanden der Fourierreihe von f, so enthalt die letzte . 2" Summe Terme mit Faktoren etn p x ftir n = -00, ... ,1, die mittlere Summe . . Terme etn p x fur n = 1, ... ,00 und der erste Summand den Term etn p x fur n = o. Setzt man Ｒｾ＠

Ｒｾ＠

Co

= aD

342

XIII Fourierreihen

und 1

.

2 (an +zbn )

Ln

ｾ＠ Ｈｾｬ＠

f(x) coo

1

(n 2; x) ､ｺＫｩｾ＠

f(x) sin

(n2; x) dX)

p

ｾ＠

J J

f(x)

(COS (n2; x)

+isin(n2;x))dx

o

p

ｾ＠

p

f (x) ei n

o

.

2; x dx,

so stellt sich die Fourierreihe von

n

f

n 2: 1, •

271'

dar als eine Summe mit Faktoren e' n p

= -00, ... ,00:

x

ftir

00

f (x) =

ｾ＠

6

cne

in

271'

p

x

n=-CX)

mit den einheitlichen Koeffizienten

fUr n E 7L.

Es gilt also folgende komplexe Forrnulienmg des Satzes von Fourier

o

343

§6. Fourierreihen fOr kompJexwertige Funktionen

Satz von Fourier: (Komplexe Formulierung) Sei f : 1R ｾ＠ {: eine kornplexwertige Funktion mit reeller Periode p. f sei sttickweise stetig differenzierbar und erfulle die Mittelwerteigenschaft. Dann konvergiert die komplexe Fourierreihe ftir aile x E 1R gegen f (x): (Xl

f (x) = L

n=-oo

Die komplexen FourierkoeJfizienten sind gegeben durch

l

P en = -1 f (x) e- in p21T p 0

x

dx

ftir n E 7L

Bemerkungen: Eigenschaften der komplexen Formulierung Es gibt nur eine Summenformel fUr die Fourierreihe und die Koeffizienten Cn werden tiber eine einheitIiche Formel bestimmt. (2) Da die Summation der kornplexen Fourierreihe von n = -00 ... 00 geht, kommen formal negative Frequenzen vot". Dies rUhrt nur von der kornplexen Formulierung her, denn eiwn t und e- iwn t werden benotigt, urn die reelJe Schwingung sin (wnt) bzw. cos (wnt) mit reeller Frequenz Wn > 0 zu beschreiben. (3) Die Fourierkoeffizienten en von reellen Signalen f (x) besitzen die folgenden Eigenschaften:

(1)

(a)

｣ｾ＠ = C- n : Die Koeffizienten zu negativen n sind das Kornplex-konjugierte der entsprechenden Koeffizienten zu positiven n.

(b) Foiglich sind die Betrage von en und

II Cn I = Iｾ＠

I ｾ＠ J ｡ｾ＠

(an - i bn ) =

C- n

+ ｢ｾ＠

gleich, namlich =

ｾ＠

An·1

Der Betrag der kornplexen Fourierkoeffizienten stimmt bis auf den Faktor ｾ＠ mit An tiberein. D.h. der Betrag reprasentiert das Amplitudenspektrnm jeweils zur Halfte von -00 bis -1 und von 1 bis 00. (c) Die Phase der kornplexen Fourierkoeffizienten ist bestimmt durch 1m Cn ｾ＠Ｍ bn bn tanCPn = - - - = - 1 - - = - - . Re en "2 an an

Bis auf das Vorzeichen ist dies das Phasenspektrum. (d)

Co

= ao stellt den Gleichstromanteil des Signals dar.

344

XIII Fourierreihen

Der groBe Vorteil der komplexen Formulierung liegt also darin, daB eine einheitliche Formel fUr die Koeffizienten existiert und diese Koeffizienten das Amplitudenspektrum (bis auf den Faktor ｾＩ＠ ond das Phasenspektrum (bis auf das Vorzeichen) beinhalten.

8. Beispiel: Gesucht ist die komplexe Fourierreihe der unten gezeichneten Funktion f, die T -periodisch auf 1R fortgesetzt wird:

f(t)

T/2

2;,

Setzen wir Wo gegeben durch

T

so sind die komplexen Fourierkoeffizienten fUr n -::j:. 0

JT

-1 f (t) e-inwot dt = -1 ToT

Jf

e-inwot

dt

0

1 1 T -inwo Mit Wo' T

= 21l" und Wo f = 1l" ist e- inwo f = Cn

=. Ｍｾ＠

1

n 21l"

[(-It-lJ=

e- in7r

{

i

0

ｾ＠

7r

= (-It n ungerade n gerade.

Da der Gleichstromanteil des Signals ｾ＠ =? Co = ｾＮ＠ 00

n=-CX) n

ungerade

Das Amplitudenspektrum dieser Funktion ist gegeben durch

ao

An

1

= Icol ="2

21",,1 ｾ＠ {

...1.. n7r

fUr n ungerade

0

fUr n gerade

345

§6. Fourierreihen fUr komplexwertige Funktionen

9. Beispiel: Der kommutierte Sinusstrom (Zweiweggleichrichter) i (t) = io Isin (wot) I hat die Fonn (wo = ｾＩＺ＠

Abb. 101: Zweiweggleichrichter

Gesucht ist die Fourierreihendarstellung des Stromes. Da die Berechnung des Integrals JOT Isin (wot) I e-inwot dt mit MAPLE nicht explizit durchgefuhrt wird, spalten wir das Integral von t = O.. T auf in ein Integral von t = O.. und ein zweites von t = T: > wO := 2*PifT: > i(t) := iO * sin(wO * t) : > integral := 1fT * (Int(i(t) * exp(-I*n*wO*t), t = O..T/2) + Int(-i(t) * exp(-I*n*wO* t), t = T/2 ..T)): > value(%): > ern] := normal(%);

t

t.

1 iO (2e- 1n '1l'

+ 1 + e- 2In '1l')

C . - - - --'----,.....-:--....,..----'n'2 7r(n2-1)

FUr n = ±1 mUssen die Koeffizienten Cl und C-l separat berechnet werden. > value(subs(n = +1, integral)): e[1] := normal(%);

> value(subs(n

= -1, integral)):

e[-1] := normal(%); C-l

:= 0

Zur Vereinfachung der allgemeinen Koeffizienten und e- 2'1l'in = 1:

Cn

setzen wir e- i n '1l' = (-1

> e[n]:= subs({exp(-I*n*Pi) = (-1)"n, exp(-2*I*n*Pi) = 1}, ern]); Cn

:=

1 iO (2 (_l)n + 2) 7r (n 2 - 1)

-'2

r

346

XIII Fourierreihen

Damit ist 2 1 . - ; n2-1 ｾｯ＠

fur n gerade

o

ｾＨｴＩ＠

.

fUr n ungerade

00

2io =--

_l_einwot

n 2 -1

7f

o

.

n=-oo

ngerade

Berechnung der reellen FourierkoetrlZienten aus den komplexen. Selbst wenn man die Rechnung im Komplexen durchgefuhrt hat, ist man gelegentlich an den reellen Fourierkoeffizienten an und bn interessiert. Aus den komplexen Fourierkoeffizienten Cn, n E 7L, lassen sich die reellen Fourierkoeffizienten aO, an und bn einfach zuruckgewinnen, so daB sie nicht neu uber die reellen Integralforrneln berechnet werden mussen. Es gilt nach der Definition der Cn:

ao ｾ＠

Aus (1) folgt direkt Addiert man (2) und (3) gilt Subtrahiert man (3) von (2) gilt

(1) (2) (3)

t (an - ｾ｢ｮＩ＠ (an Ｋｾ｢ｮＩ＠

ao = Co an = Cn + C- n bn = i (c n - c- n )

n = 1,2,3, . . . n = 1,2,3, ... 0

10. Beispiel: Aus den in Beispiel 9 berechneten komplexen Fourierkoeffizienten Cn bestimmt man die reellen durch 2 .

ao

Co

an

C

bn

i (cn-c- n )

;

{

n + C- n

ｾｯ＠

4 1 . - ; n2-1 20

fur n gerade fur n ungerade

0

fur n = 1, 2, 3, ...

0

Dies liefert die reelle Darstellung des Stromes als

::::} i (t) =

ｾ＠7f io - ｾ＠ 7f io [/3

cos ( 2wot)

+ 3\

cos (4wot)

+ 5\

cos (6wot)

+ ... J .

§6. Fourierreihen fUr komplexwertige Funktionen

347

Zusammenfassung: Fourierreihen Gegeben ist ein T-periodisches Signal f (t), das stuckweise stetig differenzierbar ist und die Mittelwerteigenschaft erfullt. (1)

t

Fur aIle

E IR gilt die reelle Fourierreihendarstellung

IT f (t) dt, (T t = T IT f (t) (T t b = T IT f (t)

mit

ao

= T1

0

an

2

0

cos n 21f ) dt

n = 1,2,3, ... ,

2

0

sin n 21f ) dt

n=1,2,3, ....

n

(2) Fur aIle t E IR gilt

f (t) = ao+ ｾ＠ mit An

An cos

(n ｾ＠

b fur an

= Ja; + b; und tan 0).

x

Der Wert des bestimmten Integrals Jooo ｳｩｾｸ＠ dx = ｾ＠ wird im Beispiel 7(3) berechnet. Unter Verwendung dieses Ergebnisses ist die Fouriertransfonnierte

F (w) = {

ＭｾＷｲ＠

Z7r

fUrw>O fUrw lt l) (w)

4F (reet 8

(+) + 3 e-e> It I: Nach

(+)) (w) + 3F (e-e>lt l) (w)

sin (wT) W

+

6

a a 2 +w 2'

2.2 Symmetrieeigenschaft

I (F2)

Symmetrie:

F(F(J))(t) = 27r f(-t).

I

Die Symmetrieeigenschaft besagt, daB die Fouriertransformation zweimal auf die Funktion f angewendet, wieder die Funktion f als Ergebnis liefert, allerdings mit dem Faktor 27r und negativem Argument. Denn aufgrund des Fourierintegrals (FI) gilt

F (F)(t)

(Xl -(Xl

= 1 F (w)

e- iwt dw

1(Xl F (w) eiw (-t) dw = 27r J( -t). 27r -(Xl

= 27r -

1

Die Symmetrie wird ausgenutzt, urn die Fouriertransformation von Funktionen zu berechnen, die selbst Fouriertransformierte sind:

7. Beispiele: (1) Wegen F (reet ＨｾＩ＠ Funktion reet:

(w) = 2

sint

a)

folgt ftir die achsensymmetrische Rechteck-

362

XIV Fouriertransformation

Darnit erhalt man nach dem Vertauschen der Variablen w und t T (Sin (a .r

t

t)) ( )=

(2) Aus Beispiel 3 erhalt man mit a

:F

W

7r

rect (W) - . a

=1

(e-1tl) (w) = _2_. 1 +w 2

Mit (F2) gilt dann

Nach Vertauschung der Variablen ist

(3) Wir berechnen das bestimrnte Integral

Joo ｳｩｾｸ＠

riertransformation. Nach Beispiel 7(1) ist Sint) (w) :F ( -t-

dx

=

ｾ＠

0

= 7rrect (w).

Nach Bemerkung 3i gilt aber auch fur die gerade Funktion ｳｩｾ＠

:F Folglich gilt fUr w

(Si:t) (w) =

21

00

Si:t COS (wt) dt.

= 0: 2

1

00

o

sint

-

t

dt

mit Hilfe der Fou-

= 7rrect (0) = 7r,

woraus der Wert fUr das bestimrnte Integral folgt.

t

363

2.4 Verschiebungseigenschaften

2.3 Skalierungseigenschaft Gesucht ist die Fouriertransformation (das Spektrum) der Funktion f (a t), die aus f (t) durch Stauchung (a> 1) bzw. Streckung (0 < a < 1) entsteht.

T

T/a T Gestauchte Funktion f (a t)

Funktion f(t) Die Fouriertransformierte von a> 0 durch

F (J (a t)) (w) =

1

f

f (a t) e- iwt dt =

00

-00

(F3)

Skalierung:

1

00

-00

Die Argumentation fUr a

ｾ＠

berechnet sich mit der Substitution

< 0 verlauft analog,

f (0 e- iw ｾ＠

､ｾ＠

a

=

ｾ＠

a

= a t fUr

F (:::) . a

daher gilt insgesamt

ｆＨｊ｡ｴＩｷ］ｾＬ＠

Die Skalierungseigenschaft besagt, daB in einem gestauchten Signal f (a t) (a die Frequenzen F ( ;;) vorkomrnen.

> 1)

2.4 Verschiebungseigenschaften 2.4.1 Zeitverschiebung: Der Verschiebungssatz macht eine Aussage Uber die Fouriertransformierte einer zeitlich verschobenen Funktion f (t - to).

Abb. 103: Funktion J(t) und zeitverschobene Funktion J(t - to)

364

XIV Fouriertransfonnation

I:

Es gilt mit der Substitution

F (f (t - to)) (w) =

ｾ＠

= t - to:

f (t - to) e- iwt dt =

I:

f

ＨｾＩ＠

e- iw (€+to)

､ｾＮ＠

Spalten wir den Exponentialterrn in zwei Faktoren auf und klammern e- iwto aus dem Integral aus (er ist unabhangig von der Integrationsvariablen), gilt weiter

F (f (t - to)) (w)

= e- iwto

I:

f

ＨｾＩ＠

e- iw €

､ｾ＠ = e- iwto F (w).

Foiglich gilt fUr die Fouriertransformierte einer zeitverschobenen Funktion:

I (F 4)

F (f (t - to)) (w)

Zeitverschiebung:

=e

< w to

F (w ) .

I

Setzt man F(w) = IF(w)1 eicp(w), so ergibt sich fUr das Spektrum der zeitverschobenen Funktion f (t - to)

F (f (t - to)) (w)

= e- iwto IF (w)1 eicp(w) = IF (w)1 e- i (cp(w) -wto).

Das Spektrum von f (t - to) besitzt dieselbe Amplitude wie f (t) nur die Phase ist urn w to verschoben. D.h. es kommen dieselben Frequenzen mit gleicher Amplitude aber phasenverschoben vor. 8. Beispiel: Gesucht ist das Spektrum des urn to = T verschobenen Rechtecksignals f (t) = rect ＨｾＩＺ＠

F(f (t - T))

= e- iwT F (rect

(f) )(w) = e-iwT

2 sin ｾｔＩＮ＠

2.4.2 Frequenzverschiebung: Eine fUr die Anwendungen wichtige Eigenschaft ist die Frequenzverschiebung. Diese Eigenschaft trifft eine Aussage Uber das Spektrum der Funktion eiwo t f (t):

F(e iwot f(t)) (w)

=

I: I:

eiwot f(t) e-iwtdt f (t) e- i (w-wo) t dt = F (w - wo) .

Foiglich gilt fUr das Spektrum einer mit eiwo t multiplizierten Funktion:

I (F5)

Frequenzverschiebung:

F(e d( = dt) folgt

((t) = t -

F(JI

* h)

I: It (I: 12 I: It (I: 12 (()

(t - 7) e- iwt dt) d7

(7)

=

(7)

l:

It (7)

e- iWT

d7

d() d7

e-iw(HT)

·l:

12 (()

･Ｍｩｷｾ＠

d(

F(Jt)· F(h)·

0

11. Beispiel: Gesucht ist nach Beispiel 10 die Zeitfunktion y (t), die zum Spektrum von

F(J(t) S(t)) · F(e-atS(t)) gehort. Nach dem Faltungstheorem ist die Zeitfunktion y(t) die Faltung der beiden Funktionen It (t) = f (t) S (t) und fz (t) = e- at S (t): y (t)

ｦｾｯ＠

(It * h) (t)

=

ｊｾｯ＠

S (7) e- (t-T) S (t - 7) d7.

f (7)

It (7) 12 (t - 7)

d7

a

Da S (7) = 0 fUr 7 < 0 ist die Integration erst ab der unteren Integrationsgrenze 7 = 0 durchzufuhren. FUr 7 > 0 ist S (7) = 1: y (t)

=

1

00

f (7)

e- at eaT

S(t - 7) d7.

Wir spalten das Integral auf in zwei Teilintegrale y (t) =

It

f (7)

e- at eaT S

(t - 7) d7 +

1

00

f (7)

e- at eaT S (t

Das zweite Integral verschwindet, da hier 7 > t und S (t - 7) ersten Integral ist 0 < 7 < t und damit S (t - 7) = 1:

ｾ＠

y

(t)

= e- at

J:

eaT

f (7) d7.

- 7) d7.

= 0 fur 7 > t. 1m o

370

XIV Fouriertransfonnation

Foigerung: y( t) ist nach Beispiel 10 die L6sung der Differentialgleichung y' (t)

+ ay (t) = f (t)

mit y (0)

= O.

Obige Formel hatten wir auch tiber die Variation der Konstanten ftir eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten erhalten (----t Kap. XI.l.2).

Bemerkungen: (1)

Das Faltungsintegral zweier Funktionen

II (t)

und

12 (t)

ist kommutativ:

III*h=h*h-1 Denn mit der Substitution ｾ＠ (7)

= (t - 7) ('-t ､ｾ＠ = -d7)

ｊｾｯ＠

II (7) 12 (t -

ｊｾｯ＠

II (t ＭｾＩ＠

(II * h) (t)

ist

7) d7

12 (0

､ｾ＠

= (12 * II) (t).

(2) Bei Integralen der Form

' - - - -......v..---.... =0

tritt an der oberen (unteren) Grenze des 1. (2.) Teilintegrals bei 7 = 0 der unstetige Ausdruck S (0) auf. Auf das Ergebnis der Integration hat dieser Funktionswert keinen EinfluB, da die Flache unter einer Funktion sich nicht andert, wenn die Funktion an endlich vielen Stellen abgeandert wird.

371

2.7 Faltungstheorem

Geometrische Interpretation: Das Faltungsintegral ist formal zwar einfach aufzustellen, aber zuniichst recht unanschaulich. 1m folgenden geben wir eine geometrische Interpretation am Beispiel der Funktionen 11 (t) = 8 (t) und 12 (t) = 8 (t) an:

(11 * h) (t) =

i:

8(7) 8(t - 7) d7.

Zur Bestimmung des Integrals betrachten wir die Bildfolge (a)-(d). In (a) ist die Funktion 8 (T) graphisch dargestellt. Die Sprungfunktion ist Null fUr T < 0 und Eins fUr T > O. Die Funktion 8 (-7) geht aus der Funktion 8 (7) durch Spiegelung (= Faltung) an der y-Achse hervor (b): 8 (-7) = 0 fUr 7 > 0 und 8 (-7) = 1 fUr T < O. 8 (t - 7) entsteht aus 8 (-T), indem der Graph von 8 (-7) urn t nach rechts verschoben wird (c). AnschlieBend ist das Produkt von 8 (7) und 8 (t - T) in (d) dargestellt: 8 (t - T) . 8 (T) = 0 fUr 7 < 0 und fUr 7 > t. FUr das Integral ｊｾ＠ 8 (T) 8 (t - 7) d7 mit der Integrationsvariablen 7 bleibt nur der Bereich zwischen 0 ::; T ::; t ungleich Null und hat den Integralwert t ==}

(Jl*12)(t) =

1 S("C)

S(-1:)

i:

8(7) 8(t-7) d7=t8(t).

i

(a)

:0

.. 't

'1

(b)

I·0

..

:1

"C

(c)

..

S(t-"C) _ _ _---=______...,!;;;;;====-.... "C :0

11 :0

Abb. 105: Zur geometrischen Interpretation des Faltungsintegrals

(d)

""C

XIV Fouriertransformation

372

12. Beispiel: Faltungsintegral. Gesucht ist das Faltungsintegral und h die angegebenen Funktionen darstellen.

f *h

, wenn

f

ｾＬ＠

11-----,

f(t)

..

Wir bestimmen die Faltung (f

* h) (t) =

'-L] ｾ＠

-T

I

ｊｾｯ＠

f (T) h (t - T) dT

-t

T

ｾ＠ toT

t

T

T

t

Ch

·t ·t

graphisch:

Funktion h(t}

Faltung h(-t}

Verschiebung h(t-t)

Multiplikation mit f(t) und Integration -

t

Abb. 106: Faltung def Rechteckfunktion mit der Dreiecksfunktion

Es treten bei der Bestimmung des Faltungsintegrals 4 Faile auf: t ｾ＠ 0: Dann hat die Funktion h(t-T) mit der Funktion f(T) keinen Dberlapp. (2) 0 ｾ＠ t ｾ＠ T: Die Funktion h( t - T) taucht mit der Spitze in den Graphen der Funktion f(T) ein. (3) T::::: t ::::: 2 T: Die Funktion h(t - T) tritt aus dem Graphen der Funktion f (T) heraus. (4) 2T ｾ＠ t: Die Funktion h(t - T) hat mit der Funktion f(T) keinen Dberlapp. (1)

373

2.7 Faltungstheorem

(1 )

(2)

ｾ＠

1

i

-, ｴｾｏ＠

I

T

r$: I

T ｾ＠ t ｾ＠ 2T

(4)

I I T

=

Trapezf1ache: t- "n t'

-t

T

1 .

DreiecksfHlche: ", 'IT t

.. t

1.

I ｾ＠

Flache: 0

=

Os t s T

T

(3)

=

ｾ＠

t> 2T

=

Flache: 0

.. t

o ｦｴｩｲｾｏ＠

_1 t2

ｦｴｩｲｏｾｔ＠

2T

t _..l t 2 2T

o

ｦｴｩｲｔｾＲ＠

ftirt>2T

(rh)(t)

T/2

T Abb. 107: Faltungsintegral (f

2T

* h)(t)

13. Beispiel: Losen von Differentialgleichungen mit der Fouriertransformation. Die Fouriertransformation wird nicht nur zum LOsen von Differentialgleichungen 1. Ordnung, sondern auch ftir lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung herangezogen: Gegeben ist die DifferentiaIgleichung 2. Ordnung

y" (t) - Y (t) = In (t + 1) S (t).

374

XIV Fouriertransformation

1. Schritt: Durch Anwenden der Fouriertransformation und Ausnutzung des Ableitungssatzes (FS)

F(y" (t))(w) = (iw)2 F(y (t))(w) erhalt man

(iW)2 F(y(t))-F(y(t))=F(ln(t+1) S(t)).

2. Schritt: Auflasen nach der Fouriertransformierten: Die algebraische Gleichung fUr die Fouriertransformierte F (y) wird nach F (y) aufgelast:

F(y (t)) ｾ＠

1

-l-w

2

F (In (t + 1) S (t))

1 2 --2 - - 2 F (In (t + 1) S (t)) l+w

ＭｾｆＨ･ｈｴｬＩ＠ da nach Beispiel 3: F (e- al tl)

·F(In(t+1) S(t)),

= a?;w

2 '

3. Schritt: Rucktransformation: Mit dem Faltungstheorem erhalten wir die Lasung der inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung

y (t)

1

-'2

(e- 1tl ) * (In(t+ 1) S(t))

1 --

Joo

2

-'21

e- 1T1 In(t-r+1)

S(t-r) dr

-00

jt

-00

e- 1T1 In (t - r

+ 1) dr.

Weitere Beispiele zur Anwendung der Fouriertransformation beim Losen von Differentialgleichungen findet man in §3 und §6.

375

§3. Fouriertransformation mit MAPLE

Zusammenfassung: Eigenschaften der Fouriertransformation

F (w ) bezeichne die Fouriertransformierte von f, Fl (w) und F2 (w) die Transformierten von 11 und 12. (FI) Linearitat:

(F2) Symmetrie:

F (F (f)) (t) = 21f f (-t)

(F3) Skalierung:

F(f(at))(w)

(F4) Zeitverschiebung:

F(f (t - to)) (w) = e- itow F (w)

= I!I ｆＨｾＩ＠

a E ｉｒｾｯ＠

(F5) Frequenzverschiebung: F (e iwot f (t)) (w) = F (w - wo)

(F6) Modulation:

F (f (t) cos (wo t) )( w) ］ｾ＠ (F(w+wo)+F(w-wo))

(F7) Ableitung:

F (f')(w) = i w F (w)

(FS) note Ableitung:

F (J(n)) (w) = (iwt F (w)

(F9) Faltungstheorem:

F(11 wenn

* h) (w) = Fl (w)· F2 (w), (11 * h) (t) = ｊｾｯ＠ 11 (T) 12 (t -

§3. Fouriertransformation mit

T) dT

MAPLE

3.1 Fouriertransformation und Beispiele. Die Berechnung der Fouriertransformierten einer Zeitfunktion f(t) durch MAPLE erfolgt mit der Prozedur fourier(ausdruck, t, w), wobei die Parameter die folgende Bedeutung besitzen

ausdruck: t: w:

zu transformierender Ausdruck, Variable des zu transformierenden Ausdrucks, Variable der Transformierten.

Vor dem Aufruf muB diese Prozedur durch das Package inttrans (Integral transformationen) mit with(inttrans) bereitgestellt werden. 1m folgenden gehen wir immer davon aus, daB der Befehl fourier geladen ist. Bei der Berechnung von Fouriertransformierten wird oftmals die Sprungfunktion S (t) benotigt, die in MAPLE mit H eaviside( t) bezeichnet wird. Z.B. der Recht-

376

XIV Fouriertransfonnation

eckimpuls rect(t/T) setzt sich aus zwei Heaviside-Funktionen zusammen:

rect(t/T)

:= Heaviside(t

+ T) -

Heaviside(t - T).

ｾ＠ Heaviside(t+T)

1

o

-T

Heaviside(t-T)

T

,. t

Abb. 108: Rechteckfunktion rect(t/T) = Heaviside(t + T) - Heaviside(t - T)

(1) Fouriertransfonnation der Rechteckfunktion > with(inttrans): > rect(tIT) := Heaviside(t+T) - Heaviside(t-T): > fourier(rect(tfT), t, w); e(I wT)

(1l' Dirac(w) - ｾＩ＠

-

e(-I wT)

(1l' Dirac(w) -

f)

> simplify(%);

2 sin( wT) w

1m Zwischenergebnis der Fouriertransformierten kommt die Dirac-Funktion (oder Delta-Funktion) erstmals vor. Auf diese Funktion werden wir ausftihrlich in §4 eingehen. (2) Gesucht ist die Fouriertransformierte der Funktion S(t) e- at : > fourier(Heaviside(t) * exp(-a*t), t, w); fourier( Heaviside( t ) e (-a t) , t, w ) MAPLE liefert kein Ergebnis, da der Parameter a nicht niiher spezifiziert ist. Denn fur a < 0 existiert die Fouriertransfonnation dieser Funktion nicht. Schranken wir jedoch mit dem assume-Befehl a:::: 0 ein, so folgt > assume(a>=O): > fourier(Heaviside(t)*exp(-a*t), t, w);

1 a- +Iw Der Ausdruck a - im Endergebnis erinnert daran, daB ftir den Parameter a Einschrankungen angenommen wurden.

§3. Fouriertransformation mit

MAPLE

377

(3) Mit dem fourier-Befehl werden im folgenden von den Funktionen S(t) e- gt cos(wo t) und S(t) e- gt sin(wo t) die Fouriertransformierten gebildet. > S(t):=Heaviside(t): > assume(g>=O, wO>=O): > fourier(S(t)*exp(-g*t)*cos(wO*t), t, w): > normal(%, expanded); g -2

+ 2 I g- w -

w2

+ wO- 2

> fourier(S(t)*exp( -g*t)*sin(wO*t), t, w): > normal(%, expanded);

g -2

+ 2 I g- w -

w 2 + wO -2

(4) Die wichtigsten Eigenschaften der Fouriertransformation kann man mit MAPLE direkt nachprtifen: Die Linearitat (Fl), die Symmetrieeigenschaft (F2), die Eigenschaft der Ableitung (F7) und das Faltungstheorem (F9) sind als Formeln verftigbar: > with(inttrans): > fourier(k1 *f1 (t)+k2*f2(t), t, w);

klfourier(fl( t), t, w)

+

k2fourier(f2( t), t, w)

> fourier(fourier(f(t), t, w), w, t);

271" f( -t) > fourier(diff(f(t}, t), t, w);

I wfourier( f( t), t, w) > fourier(int(f(t-tau)*g(tau), tau=-infinity.. infinity), t, w);

fourier( f( t), t, w) fourier( g( t), t, w)

378

XIV Fouriertransformation

3.2 Inverse Fouriertransformation mit MAPLE. Gesucht wird die zum Frequenzspektrum F(w) = gehOrende Zeitfunktion f(t). Diese Zeitfunktion bestimmt man durch die inverse Fouriertransformation. Mit MAPLE lautet der Befehl fUr die Invertierung: invfourier(ausdruck, w, t), wobei die Parameter die folgende Bedeutung besitzen

o";iw

ausdruck: w :

t:

zu transformierender Ausdruck, Variable des Ausdrucks, Variable der Inversen.

> with(inttrans): > assume(a>O): > invfourier(1/(a+l*w), w, t); e( -a- t) Heavisicle( t )

Entsprechend cler Definition cler inversen Fouriertransformation gilt nattirlich > invfourier(fourier(f(t), t, w), w, t);

f(t)

3.3 Losen von Differentialgleichungen mit der Fouriertransformation. Zum AbschluB seien in diesem Paragraphen noch zwei Beispiele angefiihrt, wie man partikuHire Uisungen von Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen mit der Fouriertransformation bestimmt. 14. Beispiel: Gesucht ist eine partikulare LOsung der Differentialgleichung

yl/(t) - y(t) = t * sin(t). 1. Schritt: Wir wenden auf die Differentialgleichung die Fouriertransformation an: > deq := diff(y(t),t$2) - y(t) = hsin(t): > with(inttrans): > fourier(deq, t, w);

_w 2 fourier( y( t), t, w) - fourier( y( t), t, w)

7r Dirac( -

1, w - 1 )

7r Dirac(1,

w + 1)

2. Schritt: Man lOst die algebraische Gleichung mit dem solve-Befehl nach der Fouriertransformierten F (w) auf. Diese Funktion ist das zur LOsung gehorende Spektrum:

§3. Fouriertransformation mit

> F(w) := solve(%,

379

MAPLE

fourier(y(t), t, W));

F(w):= -

7r

Dirac( 1, w - 1 ) - 7r Dirac( 1, w w 2 +1

+ 1)

3. Schritt: Die Rucktransfonnation liefert die Lt)sung der Differentialgleichung > invfourier(%, w, t): > simplify(evalc(%));

1

1

.

2cos(t) - 2 tsm (t) Bei der Rechnung geht als Zwischenergebnis die Funktion Dirac ein, die wir im nachsten Paragraphen behandeln werden. Man beachte, daB im Gegensatz zum dsolve-Befehl mittels der Fouriertransfonnation nur eine partikulare Losung der Differentialgleichung berechnet wird, und zwar genau die Losung mit verschwindenden Anfangsbedingungen. Zur Beri1cksichtigung anderer Anfangsbedingungen muG noch die homo gene Losung hinzuaddiert werden.

15. Beispiel: Die Bewegungsgleichungen eines geladenen Teilchens im homogeｾ＠ --> nen Magnetfeld B = B z e z lauten -.£..B Vy m Z

In Kap. XI.2.2 Beispiel 20 wurde fUr dieses Differentialgleichungssystem die homogene Losung bestimrnt:

vx(t)

CI

cos(wt) + C2 sin(wt)

vy(t)

CI

sin(wt) -

C2

cos(wt)

mit w = ｾｂｺＧ＠ Wir berechnen nun eine spezielle Lt)sung, wenn in y-Richtung zusatzlich ein zeitlich linear anwachsendes, elektrisches Feld

angelegt wird.

1. Schritt: Zur Losung wenden wir die Fouriertransfonnation auf das Differentialgleichungssystem an: > with(inttrans): > DG1 := diff(vx(t), t) = -wOwy(t): > DG2 := diff(vy(t), t) = wOwx(t) + EO/m*t:

380

> eq1 > eq2

XIV Fouriertransformation

:= fourier(DG1, t, W); := fourier(DG2, t, W);

eql

:=

eq2

I wfourier( vx(t), t, w)

:=

I w fourier( vy(t), t, w)

= - wOfourier( vy(t), t, w) =

wOfourier( vx(t), t, w)

+217r EO/mDirac(l,w)

2. Schritt: Fur die Fouriertransfonnierten der gesuchten Funktionen erhalt man ein lineares Gleichungssystem, welches mit solve nach den Fouriertransfonnierten F(vx)(w) und F(vy)(w) aufgelost wird: > sol:=solve( {eq1, eq2}, {fourier(vx(t), t, w), fourier(vy(t), t, w)}): > assign(sol);

w7rEODirac(l,w) . sol := {founer(vy(t), t, w) = -2 ( 2 0 )' m -w +w 2 1w07rEODirac(1, w)} fourier (vx(t), t, w) = _2 m(-w2 + w0 2) 3. Schritt: Die inverse Fouriertransformation liefert eine partikulare Losung des linearen Differentialgleichungssystems im Zeitbereich > vx(t) := invfourier(fourier(vx(t), t, w), w, t);

EOt mwO

vx(t):= - - -

> vy(t)

:= invfourier(fourier(vy(t), t, w), w, t);

EO

vy(t) := mw02

381

4.1 Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion

§4. Fouriertransformation der Deltafunktion Um Systeme zu analysieren, regt man sie mit einer Zeitfunktion an und bestimmt das Spektrum der Systemantwort. Da i.a. bei beliebigen Zeitsignalen die Frequenzen des Spektrums nieht mit gleicher Amplitude vorkommen, wird das System untersehiedlieh angeregt. Gesueht ist eine Funktion, die aIle Frequenzen mit gleieher Amplitude enthtilt:

F(J)(w) == 1. Diese Forderung ftihrt auf die Dirac- oder Deltafunktion.

4.1 Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion In der Systemtheorie und in vielen anderen Gebieten der Teehnik und Physik spielt die Impulsfunktion 8 (t) eine sehr wichtige Rolle. Man bezeichnet diese Funktion aueh oftmals naeh ihrem Erfinder, Dirae-Funktion oder aueh Deltafunktion. In der Physik werden dieser Funktion angeblieh die folgenden Eigensehaften zugewiesen

Eigenschaften der Deltafunktion: (1) 8(t)=0 (2) 8 (0)

ftir t

:f= 0

= 00

(3)

ｊｾ ｯ＠

8 (t) dt

(4)

ｊｾｯ＠

8 (t) f (t) dt

=1 =

f (0)

fUr jede stetige Funktion

f : 1R ----> 1R.

Freilich gibt es solche Funktionen im Ublichen Sinne nieht, und auf die Theorie der Distributionen (= VeraIlgemeinerten Funktionen) kannen wir uns hier nieht einlassen. Nur so viel: Die letzte Gleichung ist das Wesentliehe, (3) ist der Spezialfall f = 1, Gleichung (1) und (2) haben wenig zu bedeuten! Zur Erkltirung gehen wir von dem folgenden Experiment aus. Auf einen frei bewegliehen Karper wirke ein KraftstoB F (t) = mcvo mit konstanter Sttirke in der endliehen Zeitspanne c. Definieren wir die Funktion 1/E

o.(t)

ftirt e[O] := limit(e[n], n = 0);

Co:=

FUr gerades n ist

Cn

A

"2

= 0, so daB die Fourierreihe von

f (t)

00

f (t)

n- e'nwo 2:= -n7rA sin (7r)' 2

=

n=-(X)

t

mit Wo =

'2:;

lautet

A +-. 2

n ungerade

Mit dem Ergebnis von Beispiel 16(5) errnittelt sich die Fouriertransforrnierte von

f F(w)

=

27r-A7r

00

n=-QO

n ungerade

In Abb. 111 ist F (w) schematisch dargestellt. Die Symbole fUr die Deltafunktion werden proportional zur GroBe der Vorfaktoren gezeichnet.

389

4.3 Darstellung der Deltafunktion mit MAPLE

A1t 2A

2A

0)

-2A13

-2Al3

Abb. 111: Diskretes Spektrum F(w) der periodischen Funktion f(t)

FUr die n-te Ableitung der Deltafunktion wird der Funktionsaufruf erweitert durch > Dirac(n, t); Wegen der Ableitungseigenschaft (FS) ist

F (o(n) (t)) (w) = (iwt F(o) = (iwt und aufgrund der Symmetrieeigenschaft (F2) gilt daher

F (( -i tt) (w)

= 27r o(n) (w) = 27r Dirac (n, w).

Partielle Integration liefert die universelle Eigenschaft der n-ten Ableitung der Deltafunktion

390

XIV Fouriertransfonnation

4.4 Korrespondenzen der Fouriertransformation

I

If (t)

F(w) = F(f)(w)

8 (t)

1

1 cos (wo t)

27r 8 (w) 7r 8 (w - wo)

sin (wo t)

i

7r

8 (w - wo) -

7r

i

8(w + wo)

:l

sign (t)

iw

S (t)

1 7r8(w)+-:zw

S (t) cos (wo t)

2"8(w-wo)+2"8(w+wo)+

7r

ｾ＠

S(t) e- at

ｾ＠

Wo

(a> 0 bzw. Re a > 0)

ＨｩｷＫ｡ＩＲｾ＠

2 a (w 2 + ｷｾ＠

a>O

r£ ｾ･ＭＺｲ［＠

ｾ＠

1- ill T 0

fUr fUr

ItI < T ItI > T fUr fUr

+ a2) + a2 (2w 2 + Ｒｷｾ＠ + a2 )

(w 2 - ｷｾＩＲ＠

a>O

={

(a> 0 bzw. Re a > 0)

:ta 2 a +w2

e- a It I cos (wo t) ,

ＨｾＩ＠

Wo - w2

iw+a ＨｩｷＫ｡ＩＲｾ＠

e- a It I , a>O

reet

ｷｾ＠

1 n+l (a> 0 bzw. Re a > 0) (a + zw)

S (t) e- a t sin (wo t)

,

+ wo) +

.

S (t) e- at cos (wo t)

_at 2

iw 2 2 Wo -w

(a > Obzw. Rea>O)

a+zw

-at

e

7r

7r 7r 8 (w - wo) - ｾ＠ 8 (w 2z 2z

S (t) sin (wo t)

S(t) tn_e-, n.

ｦＱＨｾＩ］ｻ＠

+ 7r 8 (w + wo)

It I < T It I > T

w

2

2 sin (wT)

w 4sin2(wt)

Tw 2

391

5.1 LZK-Systeme

§5. Beschreibung von linearen Systemen Urn das Obertragungsverhalten von Systemen zu bestimmen, untersucht man in der Regelungs- und Systemtechnik den Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal f (t) und dem zugehorigen Ausgangssignal g (t).

Input f(t)

Obertragungs- Output System g(t)

1m folgenden werden wir die fUr die Anwendungen wichtigen linearen Systeme charakterisieren. Es zeigt sich, daB ein lineares System durch die sog. Impulsantwort (Reaktion des Systems auf die Impulsanregung) vollstandig beschrieben wird: Durch die Kenntnis der Impulsantwort ist man in der Lage, die Reaktion des Systems auf ein beliebiges Eingangssignal f (t) zu berechnen. In vielen Fallen laBt sich aber besser die Fouriertransformierte der Impulsantwort (= Systemfunktion) bestimmen. Ziel dieses Kapitels ist, den Zusammenhang zwischen Systemfunktion und Impulsantwort und deren Bedeutung aufzuzeigen.

5.1 LZK-Systeme Ein Analogsystem List eine Vorschrift, die jedem Eingangssignal f (t) ein Ausgangssignal g (t) zuweist. Ein Analogsystem ist also eine Transformation L, die jeder Eingangsfunktion f (Input) eine Ausgangsfunktion g (Output) zuordnet:

I g (t) = L [J (t)]·1 Da wir nur Analogsysteme betrachten, bezeichnen wir L im folgenden immer nur durch den Begriff System. Ein System L heiBt linear, wenn das Superpositionsprinzip giiltig ist:

I(L)

L [k 1 II (t) + k2 12 (t)] = kl L

[II (t)] + k2 L [12 (t)] I

fUr beliebige Eingangsfunktionen II (t) , 12 (t) und Konstanten kl' k2 E JR. Das Superpositionsgesetz besagt, daB die Antwort eines linearen Systems auf eine Oberlagerung von Eingangsfunktionen dieselbe Oberlagerung der Antwortfunktionen zur Folge hat. Wichtige Spezialfalle von linearen Systemen stellen solche Systeme dar, die sich durch lineare Differentialgleichungen beschreiben lassen. Dabei setzen wir im folgenden voraus, daB die Anfangsbedingungen verschwinden, d.h. fUr t < 0 ist keine Energie in dem System enthalten.

392

XIV Fouriertransfonnation

Ein System L heiBt zeitinvariant, wenn die FOnTI der Reaktion des Systems unabhangig davon ist, wann das Eingangssignal eintrifft:

I(Z)

9 (t)

*

= L [J (t)]

9 (t - to)

= L [J (t - to) ]·1

Z.B. sind aBe Netzwerke, die aus zeitlich konstanten Bauelementen (L, R, C) aufgebaut sind, zeitinvariante Systeme. Netzwerke mit zeitlich variablen GroBen von (L, R, C) sind zeitvariante Systeme. Ein System heiBt kausal, wenn die Reaktion des Systems 9 (t) erst dann einsetzt, wenn die Ursache f (t) wirksam ist:

I(K)

*

f (t) = 0 ftir t < to

9 (t) = L [J (t)] = 0 ftir t < to.

I

Bei nichtkausalen Systemen kann die Reaktion schon einsetzen, wenn die Ursache noch nicht vorliegt (-t idealer TiefpaB). Man beachte, daB nur kausale Systeme physikalisch sinnvoll sind. 1m folgenden beschranken wir uns auf die Beschreibung von linearen, zeitinvarianten, kausalen Systemen (LZK-Systemen). Dabei ist die Linearitatsvoraussetzung die scharfste Einschrankung. 19. Beispiel: Die Differentialgleichung

Ig'(t) +ag(t) = f(t)

mit

9 (0)

= 0I

ist stellvertretend z.B. fUr die Beschreibung eines RC-Kreises. Dieses System stellt ein LZK-System dar. f (t) ist die Ursache, 9 (t) ist die Systernreaktion auf f (t). Ftir diesen RC-Kreis geben wir fUr das Eingangssignal 8", (t) das Ausgangssignal h", (t) an:

c::J

0

t

1i.(I)

ｾ＠

R

II

c

I

0

T

0

t

h.(I)

ｾ＠ 0

\ 1i.(I)

0

E

Eingangssignal

I 1i.(I)

0

E

Ausgangssignal

I h.(I)

Abb. 112: Eingangs- und AusgangssignaJ eines RC-Kreises

393

5.2 Impu!santwort

1m Bereich 0 :S t :S [ wachst die Spannung am Kondensator gemaB

an (Einschaltvorgang) und im Bereich t

> [ klingt die Spannung wie

ab (Ausschaltvorgang), was man durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestatigt. Damit ist die Systemantwort auf 8e (t) = ｾ＠ (8 (t) - 8 (t - c)) gegeben durch

ｾ＠

he (t)

={

(1 - e- at )

ｾ＠

0:[

(e ae

-

1) e- at

0:[

Wir betrachten nun den Fall [ --) 0, d.h. die Anregung des Systems erfolgt durch den 8-lmpuls (8 (t) =lim 8e (t)). Da wir an dem Zeitverhalten der Funktion fUr e->O

>0

interessiert sind, nehmen wir die Funktionsvorschrift von he (t) fUr t 2 [ und bestimmen hiervon den Grenzwert [ --) O. FUr t > 0 gilt mit der Regel von I'Hospital

t

h (t) nennt man die Impu/santwort, da sie die Reaktion des Systems auf die Impulsfunktion 8 (t) darstellt.

5.2 Impulsantwort Die Vorgehensweise, die wir im obigen Beispiel gewahlt haben, fUhren wir fUr beliebige lineare Systeme durch: Sei L ein LZK-System und 8e (t) die Familie von Rechtecktfunktionen. FUr jedes 8e (t) berechnet man das Antwortsignal he (t) = L [8e (t)]. Da 8e (t) --) 8 (t) fUr [ --) 0 und L ein lineares System, folgt

h (t) =lim he (t) =lim L [8e (t)] = L [lim 8e (t)] = L [8 (t)]. e->O

e->O

e->O

h (t) ist die Antwort des Systems auf die Impulsfunktion (= Deltafunktion) 8 (t) und heiBt die Impulsantwort.

394

XIV Fouriertransfonnation

Die Bedeutung der Impulsantwort wird durch den folgenden Satz hervorgehoben, der besagt, daB man die Systemreaktion g (t) auf ein beliebiges Eingangssignal f (t) berechnen kann, wenn die Impulsantwort des Systems bekannt ist: Faltungssatz: Sei L ein lineares, kaus ales , zeitinvariantes System. h (t) sei die Impulsantwort und f (t) ein beliebiges Eingangssignal. Dann ist die Antwort des Systems gegeben durch

Die Systemreaktion g (t) = L [f (t) 1 auf ein beliebiges Eingangssignal f berechnet sich durch das Faltungsintegral der Impulsantwort h mit dem Eingangssignal f. Diesen zentralen Satz der Systemtheorie begrtinden wir:

6:(I

..

I

..

Durch die Ausblendeigenschaft der 8-Funkf (7) 8 (t - 7) d7 = f (t), und tion, ｊｾｯ＠ der Definition der 8-Funktion als Grenzwert der Funktionenfarnilie 8c (t), 8 (t) = lim 8c (t), gilt c->O

f(t)

=

i: lim

c->O

f (7)b(t-7)d7

1

00

f (7) DC (t - 7) d7.

-00

Nach der algebraischen Definition des Integrals ersetzen wir das Integral durch eine Sumrne tiber Rechtecke D.7j . f (7j ) Dc (t - 7j): N

f(t) =lim lim 2:f(7j) 8c (t-7j) D.7j. c->O N->oo j=O

Die Antwort des Systems auf das Eingangssignal

g (t)

f (t)

ist dann gegeben durch

=

Da L ein lineares System ist, darf man das Superpositionsgesetz anwenden: Die Reaktion des Systems auf eine Sumrne von Eingangssignalen ist gegeben durch

395

5.2 Impuisantwort

die Summe der Antwortfunktionen N

g(t) =lim lim "f(Tj) L [8e (t-Tj)] b.Tj. e-+ON-+oo

ｾ＠

j=O

Aufgrund der Zeitinvarianz, L [8e (t - Tj) 1 = he (t - Tj ), gilt weiter N

g (t)

= ･ＭＫｏｎｯｾ＠

f (Tj) he (t - Tj) b.Tj

lim lim "

,)i';'=

t,

j=O

f (Tj) h (t - Tj) ATj

ｾ＠

I:

f (T) h (t - T) dT.

0

20. Beispiel: Berechnung der Impulsantwort fur das lineare System

g'(t)+ag(t) =f(t): Die Impulsantwort h (t) ist die Reaktion des Systems auf das Eingangssignal

f(t) = 8(t): 1

h' (t)

+ a h (t)

= 8 (t) .1

Wir wenden auf diese Differentialgleichung die Fouriertransformation an und verwenden die Ableitungseigenschaft (F7) der Fouriertransformation F (h' (t)) =

iwF(h(t)): F (h' (t))

+ aF (h (t))

F(8(t))

iwF(h(t)) +aF(h(t))

I: :} Die zu

a;i

w

F (h (t)) (w)

1

= ｾﾷｉ＠

gehorende Zeitfunktion ist nach Beispiel 2

1h (t) = e-

at

S

(t)·1

21. Anwendungsbeispiel: Visen von Differentialgleichungen mit der Fouriertransformation. Ein Stromkreis ist gegeben durch eine InduktiviUit Lund einen Ohmschen Widerstand R. Zur Zeit t = 0 wird der Stromkreis durch Anlegen einer ｾｵｂ･ｲｮ＠ Spannungsquelle geschlossen. Gesucht ist der Strom I (t) als Funktion der Zeit fiir die

ｓｰ｡ｮｵｧｳｶ･ｲｬｾｦ＠

(l)U(t)=UoS(t),

(2) U

(t) = Uo sin (w t) S (t).

396

XIV Fouriertransfonnation

Nachdem Maschensatz gilt

Lj(t)+RI(t)=U(t) .

I (t) +

1

R

L I (t) = L U(t).

Wir bestimmen die Fouriertransformierte der Impulsantwort gemaB dem Vorgehen in Beispiel 20 (a = ¥). I

h (t)

R

+ L h (t)

I

R

U(t)

= 8 (t)

=> h (t) = e--f t S

I(t)

L

(t).1 Abb. 113: RL-Kreis

(1) FUr den Spannungsverlauf U (t) = Uo S (t) ist die rechte Seite der Differentialgleichung f (t) = iU (t) = ｾ＠ S (t). Durch Faltung von f mit der Impulsantwort h bestimmt sich die Systemreaktion auf f:

Zum besseren Verstandnis dieser Formel diskutieren wir zunachst die Funktion h (t - T) . Dabei ist t ein Parameter und T die Variable! Wir gehen wieder von der Funktion h(T) = e--fr S(T) in (a) zu der gespiegelten (=gefalteten) Funktion h (-T) tiber (b). h (t - T) erhalten wir anschlieBend, indem wir den Graphen von h (-T) urn t nach rechts verschieben (c). Das Produkt von h (t -7) mit ｾ＠ S (T) ist in (d) gezeichnet. Die hervorgehobene Flache entspricht dem Wert des Faltungsintegrals zum Zeitpunkt t. Durch die graphische Argumentation aus Abb. 114 kommen wir zu dem Ergebnis

I(t)

ｊｾｯ＠

ｾｓＨｔＩ＠

welches in Abb. 114(e) dargestellt ist.

e--f(t-r)S(t-T) dT

397

5.2 Impu!santwort

(a)

Ｑｾ＠

h(.) ｾＮ＠

(b)

(c)

--II

h( -'t) ｾｴ＠

tJ

Uc/L.,.

h(t-.)

ｾ＠

ｾ＠

(d)

t

h(t-'t) Uc/L S(.) ｾＮ＠

(e)

Abb. 114: Berechnung des Ausgangssignals tiber die Faltung der Impulsantwort h(t) mit dem EingangssignaJ f(t)

Bemerkung: FUr t < 0 ist S (t - r) . S (r) = 0 fUr aIle r E IR, so daB das Faltungsintegral den Wert 0 besitzt. Smnit mUBte man bei der Berechnung prliziser

schreiben.

(2) Berechnung der Systemreaktion mit MAPLE. Durch Faltung der Impulsantwort mit dem Eingangssignal

jet) =

7

sin (w t) S (t)

bestimrnt man die Systernreaktion auf jet). Zur Berechnung des Faltungsintegrals verwenden wir MAPLE, setzen mit dem alias-Befehl abkUrzend S = Heaviside und definieren die Eingangsfunktion U (t) sowie die Impulsantwort h (t) > alias(S = Heaviside):

398

XIV Fouriertransformation

> U := t ->

UO/L

* sin(w * t) * S(t): * S(t):

> h := t -> exp(-R/L * t)

Das Faltungsintegral ist dann > i(t) := int(U(tau) * h(t-tau), tau = -infinity..infinity);

(-w L cos (wt) + R sin (wt)) UO

.( )

z t .=

.

ｗＫｾｖ＠

ｗＫｾｖ＠

(

Setzt man fa

=

V ｒＲｾｓ＠

£2

wLe

_ il,

und tan tp

L

o

. ..

)

-wL cos (wt) +Rsin(wt) .

= wRL,

f(t)=fa{sin(wt+tp)+

_I ... ＺｉｄＮｾｩｮＡｰ＠

･Ｍｾｴ＠ w LUO + ----c::------c::--=_

so gilt

2 wL 2 e- ft }. R +w 2 L

........ ... .......... .. .. .. tatsachlicher Verlauf asymptotischer Verlauf

Abb. 115: Stromverlauf J(t) bei einem RL-Wechse1stromlqeis

Die Lasung zerfallt somit in einen asymptotischen Zustand

fa sin (wt + tp), und in einen zeitlich exponentiell abklingenden Anteil e-f t. fa erweist sich als Stromamplitude, welche das Verhaltnis von Spannungsamplitude Ua und Scheinwiderstand .JR2 + w2 V ist. Der Wechselstrom besitzt die gleiche Frequenz wie die Wechselspannung, ist allerdings urn den Phasenwinkel tp phasenverschoben.D

399

5.3 Die Systemfunktion (Obertragungsfunktion)

Durch die Kenntnis der Impulsantwort ist man also tiber den Faltungssatz in der Lage, die Reaktion eines LZK-Systems auf ein beliebiges Eingangssignal zu berechnen. Es stellt sich somit die wichtige Frage, wie man die Impulsantwort bestimmen kann. Dazu gibt es prinzipiell zwei unterschiedliche Vorgehensweisen: (1) Zum einen kann man in manchen Hillen zunachst die Fouriertransforrnierte der Impulsantwort bestimmen, wenn -wie in unserem Beispiel- das lineare System durch eine Differentialgleichung beschrieben wird. Durch die inverse Fouriertransformation berechnet sich dann die Impulsantwort. Es zeigt sich ftir elektrische Netzwerke, daB die Fouriertransforrnierte der Impulsantwort tiber die Anordnung der R-, C-, L-Bauelemente direkt bestimmbar ist. Dies ftihrt auf den Begriff der Ubertragungs- bzw. Systemfunktion (§5.3 und 5.4). (2) Wenn die Anordnung des linearen Systems nicht im Detail bekannt ist, das System also nur als "black-box"-System zur Verftigung steht, so kann man die Impulsantwort experimentell bestimmen, indem man das System mit der Impulsfunktion anregt. Die zugehorige Systernreaktion ist dann die Impulsantwort. Einfacher als die Impulsfunktion ist die Sprungfunktion (= Einschaltfunktion) experimentell realisierbar. Dber die Sprungantwort (= Reaktion des Systems auf die Sprungfunktion S (t)) ist die Impulsantwort ebenfalls berechenbar. Den Zusammenhang zwischen Sprung- und Impulsantwort stellen wir in §5.5 dar.

5.3 Die Systemfunktion (Ubertragungsfunktion) Das Konzept der Systemfunktion liefert ein Kalktil, die Fouriertransforrnierte der Impulsantwort zu bestimmen.

L Methode: Wir wahlen als spezielles Eingangssignal fUr ein LZK-System L die komplexe Exponentialfunktion x

(t) = e iwt .

1st h (t) die Impulsantwort des Systems, bestimmt sich die Systemantwort y (t) tiber das Faltungsintegral von x (t) mit h (t): y (t)

= (h * x) (t) =

I:

eiw (t-r) h (r) dr

= eiwt

I:

e- iwr h (r) dr.

Die Antwort des Systems ist wieder eine Exponentialfunktion multipliziert mit der komplexen Amplitude (1)

H (w) wird als Systemfunktion oder Ubertragungsfunktion bezeichnet. Die Systemfunktion ist die Fouriertransformierte der Impulsantwort! Die Reaktion

400

XIV Fouriertransfonnation

des LZK-Systems auf das Eingangssignal x (t) = eiwt ist eine Funktion mit dem Zeitverhalten eiwt und komplexer Amplitude H (w). Regt man also ein LZKSystem harmonisch mit der Frequenz w und Amplitude 1 an, so ist die Systemreaktion wieder eine harmonische Funktion mit gleicher Frequenz w aber mit anderer (in der Regel betragsmaBig kleinerer) Amplitude H (w). Da H (w) eine komplexe Amplitude darstellt, sind hierin sowohl die Information tiber den Betrag der Ausgangsamplitude IH (w) I als auch die Phasenbeziehung zwischen Eingangsenthalten. und Ausgangssignal tancp (w) = ｾ＠ ｚｴＺｾ＠ 2. Methode: Da y (t) x (t) = eiwt ist, gilt

=

H (w) eiwt die Systernreaktion auf das Eingangssignal

y (t) = L [x (t)], ::::} H (w)

eiwt = L [e iwt ] with(inttrans): > assume(bO > 0): > H1 (w) := (aO + a1 * I * w) / (bO + I * w): > invfourier(H1 (w), w, t): > h(t) := simplify(%);

h (t)

:=

aO e- bO - t H eaviside (t) - a1 bO- e- bO - t H eaviside (t)

+ a1 Dirac (t)

406

XIV Fouriertransformation

25. Beispiel: System mit zwei Energiespeicher. Gesucht ist die Dbertragungsfunktion und die Impulsantwort fUr die unten skizzierte Schaltung mit zwei Energiespeichern.

t

t

R

y(t) =U.(t)

x(t)= U.(t)

ｾ＠ o

ｾ＠ o

Abb. 118: System mit zwei Energiespeichern

Der Widerstand Ro fUr die an der Kapazitat abgegriffene Spannung ist Ro = i ｾ＠ o· Der Gesamtwiderstand fUr die in Reihe geschalteten Elemente ist Rges = R+i w L+ i ｾ＠ o. Damit ist die Dbertragungsfunktion gegeben durch das Verhaltnis von Ausgangssignal und Eingangssignal

RoI(t) Rges I (t) ｒＫｩｷｌｾｏ＠

ｾ＠

=

Ro Rges

_ ______ｾＭＱ -1+(iw)2LC+iwRC·

Bei Systemen mit zwei Energiespeichern hat die Dbertragungsfunktion folgende allgemeine Form

°

wobei alle Koeffizienten reell und bo > 0, bI > sind [Vielhauer]. Durch Partialbruchzerlegung stellt sich H2 (w) dar als Sumrne von Bruchen [Mildenberger, System- und Signaltheorie, Vieweg, 1987]

H2 (w) = a2 mit Al

=

Somit ist

CO+CI PI,

PI-P2

A2

=

CO+Cl P2

P2-PI

A2 + zw . Al- PI + -.-ZW - P2

und

Co

= ao -

a2 bo, CI

= al -

a2 bl ;

407

5.5 Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion

die Impulsantwort. Man kann dieses Ergebnis auf Beispiel 25 Ubertragen oder direkt fUr H2 (w) die inverse Fouriertransformation mit MAPLE berechnen. FUr R=L=C=1 gilt > with(inttrans): > H2(w) := 1/(1 + I*w + (l*wf2): > invfourier(H2(w), w, t): > h(t) := simplify(%);

h(t) =

ｾｶＧＳ･Ｍｴ＠

Heaviside(t) sin

ＨｾｶＧＳｴＩ＠

Abb. 119: Impulsantwort fUr ein System mit zwei Energiespeichern

5.5 Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion Als Sprungfunktion (Heavisidefunktion) bezeichnen wir die Funktion

1: S (t)

= {O

S(t)

Ii-----

0

fUr t < 1 fUrt>1.

Die Sprungfunktion nahert den Einschaltvorgang fUr Systeme an, die fUr t < 0 ausgeschaltet und fUr t > 0 eingeschaltet sind. Mit Hilfe von S (t) ist oft eine besonders einfache Bestimmung der Impulsantwort mOglich. Da S (t) in t = 0 nicht stetig ist, kann man diese Funktion im Punkte t = 0 nicht ohne wei teres differenzieren. Es zeigt sich aber, daB die Ableitung von S (t) trotzdem gebildet werden kann, wenn man die Deltafunktion als Ergebnis zulaBt: Zur Klarung betrachten wir die Bildfolge 120 (a) - (d). Zunachst ist in (a) eine Familie SE (t) abgebildet, die fUr c funktion S (t) Ubergeht (b):

S (t)

= E->O lim Se (t) .

--t

0 in die Sprung-

408

XIV Fouriertransformation

,

S,(t)

S(t)

l' £-0

)

(a)

(b)

0

£

0

1ｾｴ＠ O,(t)

1/£

o(t)

£ -0

)

(d)

(c)

0 £

0

Abb. 120: Von der Sprungfunktion zur DeItafunktion In (c) bilden wir die Ableitung ｓｾ＠ ist. Fiir c ---t 0 gilt:

(t) = 8E (t), die mit der Familie 8E (t) identisch lim 8E (t) E--->O

= 8 (t) .

Als Ergebnis gewinnen wir die Beziehung

d

dt S (t) = 8 (t). Mit dieser Beziehung lassen sich auch andere Funktionen differenzieren, die eine Sprungstelle aufweisen. 26. Beispiel: Man differenziere die Funktion x (t). X(t)

3

3S(t)

3+------

3S(t-2)

(b)

(a)

o

2

o

2

5.5 Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion

Aus der Darstellung der Funktion

X

409

(t) erkennt man, daB

x(t) =3S(t) -3S(t-2). Mit Hilfe der Formel 8 (t) = Differentiation die Ableitung X'

1t S (t) erhalten wir mit den Ublichen Regeln der

(t) = 38 (t) - 3 8 (t - 2) ,

welche im untenstehenden Bild dargestellt ist.

30(t) (c)

2 -30(t-2)

Also: Bei der Ableitung einer Funktion mit Sprungstelle bei to muB neben der tiblichen Ableitung noch die Deltafunktion 8 (t - to) mit dem Faktor der SprunghOhe hinzuaddiert werden. 0

Zusammenhang zwischen Impuls- und Sprungantwort. Wir definieren die Sprungantwort 9 (t) als die Reaktion eines LZK-Systems auf die Sprungfunktion S (t): 9 (t) = L [S (t)] (Sprungantwort). Aufgrund der Beziehung 8 (t) = antwort

-it S (t) gilt formal fUr die Ableitung der Sprung-

!g(t) = :tL [S(t)] =L [!S(t)] =L [8(t)]. L [8 (t)] ist die Reaktion des Systems auf die Impulsfunktion, also die Impulsantwort h (t). d :::} h (t) = dt 9 (t).

Die Ableitung der Sprungantwort ist die Impulsantwort.

27. Beispiel: Gegeben ist die Sprungantwort g(t) des RC-Kreis.

g(t)=S(t)

(1_e-

R1ct ) .

Gesucht ist die Impulsantwort. Durch die Beziehung h (t) = pulsantwort

-it 9 (t) ist die Im-

4lO

XIV Fouriertransformation

f (t) = 6 (t) f (0)

Wegen der Eigenschaft der 6-Funktion 6 (t)

gilt weiter

h(t)=6(t)·0+8(t) Iice-*t=8(t) R1Ce-*t.

Ｈ｡Ｉｾ＠

1t--

Ｈ｢Ｉｾ＠

S (t)

o

• ____ • ___ .____ t

1*'

ｾ x(l)

!

o

o(t)

i I

ｉ＠

R

I i

C

ＺＭｾ＠

yell 0

_ _ _ _- . . (c) _.+

o

0

I

t

t

1£

k RC

(d)

0

h(t)

o

t

Abb. 121: Zusammenhang zwischen Sprungantwort und Impulsantwort

Zusammenfassung: Ein lineares, zeltmvariantes, kausales System L (LZKSystem) wird durch die Impulsantwort h (t) vollsUlndig charakterisiert; denn nach dem Faltungssatz kann fUr ein beliebiges Eingangssignal f (t) das Ausgangs signal g (t) = L [I (t)] berechnet werden durch

g (t)

= (J * h)(t) =

i:

f (T) h (t - T) dT.

Es gibt 3 alternative MOglichkeiten, die Impulsantwort h (t) eines Systems zu bestimmen: (1) Die Impulsantwort ist die Reaktion des Systems auf das Eingangssignal 6 (t):

h (t) = L [6 (t)]. (2) Die Impulsantwort ist die Ableitung der Sprungantwort g (t)

=L

[8 (t)]:

(3) 1st H (w) die Systemfunktion (Dbertragungsfunktion), dann ist h (t) die inverse Fouriertransformierte von H (w): h (t)

= -1

27f

Joo H (w) e -00

iwt

dw.

411

6.1 Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems

§6. AnwendungsbeispieJe mit

MAPLE

6.1 Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems Wir wenden die Fourieranalyse an, urn die Eigenfrequenzen des Doppelpendelsystems aus Kap. XI.2.S, Beispiel 26, zu bestimmen. Dazu losen wir das Differentialgleichungssystem fUr die Winkelauslenkungen 'PI (t) und 'P2 (t), wenn auf das Pendel (l) einen ImpulsstoB 8 (t) wirkt. Damit lauten die Differentialgleichungen fUr das Pendelsystem ohne Reibung

CPI (t) CP2 (t)

-y = -y =

'PI (t)

'P2 (t)

! +! +

('P2 (t) - 'PI (t))

+ 8 (t)

('PI (t) - 'P2 (t)).

> deq1 := diff(phi1 (t), t$2) = -gil * phi1 (t) + dim * (phi2(t) - phi1 (t» + Dirac(t); > deq2 := diff(phi2(t), t$2) = -gil * phi2(t) + dim * (phi1 (t)-phi2(t»; deql '= ｾ＠ .

d ｾ＠

¢1 (t) = _ 9 ¢1 (t) I

Ｘｾ＠

Ｒ .Ｇ］ｾＢＲＨＩ｟ｧﾢｴ＠ Ｘｾ＠

t

+ d (¢2 (t) m

I

+

¢1 (t»

+ Dirac (t)

d(¢1(t)-¢2(t» m

Wir lOsen das Differentialgleichungssystem im Frequenzbereich, indem wir auf beide Differentialgleichungen die Fouriertransformation anwenden. Mit dem fourier-Befehl erhalt man zwei algebraische Gleichungen fUr eq2 := fourier(deq2,

t, w); t, w);

eql:= -w 2 fourier(¢1 (t), t, w) =

-

gfourier (¢1 (t), t, w) I

+

d (fourier (¢2 (t), t, w) - fourier (¢1 (t), t, w» m

eq2:= -w 2 fourier(¢2(t), t, w) = _gfourier (4)2 (t), t, w) I

+ ｟､ｾＨｯｵｲｩ･ﾢＺＮＱＭＬｴＩｷＲ ｴＩＢＧＺＮ［ＬｷＱＡﾻ＠

m

+

1

412

XIV Fouriertransformation

Zur Ubersichtlichen Darstellung kUrzen wir die Ausdrucke der Form fourier (¢ (t) , t, w) durch ｾ＠ (w) mit dem alias-Befehl abo > alias(Phi1 (w) = fourier(phi1 (t), t, w): > alias(Phi2(w) = fourier(phi2(t), t, w):

(w) und

Die beiden linearen Gleichungen fUr ｾＱ＠ > eq1; eq2; _w2 1 (w)

(w) lauten darnit ｾＲ＠

= _g1 (w) + d (2 (w) l

1 (w))

+1

m

_w2 2 (w) = _ g 2 (w)

+ d (1 (w)

l

- 2 (w))

m

Durch das Losen des LGS mit dem solve-Befehl erhalt man die Transforrnierten der Winkelauslenkungen. > sol := solve({ eq1, eq2}, {Phi1 (w), Phi2(w)}); > assign(sol); sol:= { 1 (w) =

l (-w2lm+gm+dl) + m w4 l2 + 2 g d 1 - 2 w2 12 d ,

- 2 m w 2 l g + m g2

2(w) _

- - 2 m w 2 [ 9 + m 92

12 d

+ m w4 [2 + 29 d [ -

2 w 2 [2 d

}

ｾｬ＠ (w) und ｾＲ＠ (w) sind die Dbertragungsfunktionen fUr Pendel (1) bzw. (2), wenn man Pendel (1) anregt. Wir stellen beide Dbertragungsfunktionen graphisch dar: > parameter:= {g=10, m=0.1, 1=1, d=1}: > plot(subs(parameter, Phi1 (w)), w = -10 .. 10); > plot(subs(parameter, Phi2(w)), w = -10 .. 10);

4 2 -10

5

0

w

10 ,

-2

y -4 -6 Abb. 122: Frequenzspektrum des Doppe1pendelsystems (pendel I)

6.1 Frequenzanalyse des Doppelpende)systerns

4

413

"

Y2

-to

5

a

w

5

10 ..

-2 -4 -6

Abb. 123: Frequenzspektrum des Doppelpendelsystems (pendel 2)

Aus beiden Graphen entnimmt man die gleichen Resonanzfrequenzen WI = 3.1 und W2 = 5.48; diese beiden Frequenzen stimmen genau mit den Eigenfrequenzen tiberein, die wir mittels der Eigenwerttheorie der Matrizen bestimmt haben. Da keine Reibungskrafte bei der Erstellung des Modells berticksichtigt wurden, entsprechen die Eigenfrequenzen genau den Poistellen der Ubertragungsfunktion: Wird das System mit dies en Frequenzen angeregt, kommt es zur Resonanzkatastrophe. Die Poistellen erhalten wir tiber die Nullstellen des Zahlers von sol := solve(denom(Phi1 (w)) = 0, w);

s l'= _ yIgl yIgl _ Jml (gm + 2dl) Jml (gm + 2dl) o . l' l ' ml ' ml Dies sind die Formeln fUr die Eigenfrequenzen

Zusammenfassung: Durch die Fourieranalyse der Impulsanregung eines linearen Systems lassen sich die charakteristischen Frequenzen des Systems bestimmen. Die Resonanzstellen sind die Eigenfrequenzen des Systems.

414

XIV Fouriertransformation

6.2 Frequenzanalyse eines Hochpasses Gegeben ist ein Hochpa8, der aus zwei T-Gliedern zusammengesetzt ist (siehe Kap. XI.5.3, Beispiel 61). Zur Bestimmung der Systemfunktion wenden wir die Fourieranalyse an, indem wir als Eingangssignal Ue (t) = 8 (t) die Impulsfunktion wahlen und das Differentialgleichungssystem im Frequenzbereich IOsen.

Abb. 124: HochpaB aus 2 T-Gliedern

Die Differentialgleichungen lauten nach Kap. XI.5.3, Beispiel 61 > deq1 := R*C1 *diff(U1 (t), t) + L1*diff(11 (t), t) = Dirac(t) - U1 (t): > deq2 := C1 *diff(U1 (t), t) - C2*diff(U2(t), t) = 11 (t): > deq3 := L1*diff(11 (t), t) - L2*diff(12(t), t) = U2(t): > deq4 := C2*diff(U2(t), t) - C3*diff(U3(t), t) = 12(t): > deq5 := L2*diff(12(t), t) - R*C3*diff(U3(t), t) = U3(t): Durch Anwenden des fourier-Befehls auf die Differentialgleichungen folgt ein lineares Gleichungssystem fUr die Fouriertransformierten der Variablen Ul (t),

U2 (t), U3 (t), h (t), 12 (t). > with (i nttrans): > eq1 := fourier(deq1, t, w): > eq2 := fourier(deq2, t, w): > eq3 := fourier(deq3, t, w): > eq4 := fourier(deq4, t, w): > eq5 := fourier(deq5, t, w);

eq5

:=

1 L2w fourier (12 (t), t, w) - 1 RC3 wfourier (U3 (t) , t, w) = fourier (U3 (t), t, w)

Zur AbkUrzung ersetzen wir mit dem alias-Befehl fourier (J (t) , t, w) durch

F(w)

> alias(U1 (w) = fourier(U1 (t), > alias(U2(w) = fourier(U2(t), > alias(U2(w) = fourier(U2(t), > alias(11 (w) == fourier(11 (t), t, > alias(12(w) = fourier(12(t), t,

t, w)): t, w)): t, w)): w)): w)):

und IOsen die linearen Gleichungen nach den Variablen U1 (w), U2 (w), U3 (w), h (w), 12 (w) mit dem solve-Befehl auf.

415

6.2 Frequenzana\yse eines Hochpasses

> sol:= solve({eq1,

eq2, eq3, eq4, eq5},

> {U1(w), U2(w), U3(w), 11(w), 12(w)}); > assign(sol); FUr das Dbertragungsverhalten sind aber nieht die oben berechneten GrtlBen von Interesse, sondern die am Ohmschen Widerstand abgegriffene Spannung

Ua (t) = R· G3 . ｾ＠ｕ

(t).

Ua (t) ist die Systernreaktion auf das Eingangssignal 8 (t), also die Impulsantwort. Die Systemfunktion (Dbertragungsfunktion) ist somit die Fouriertransformierte von Ua (t)

F (R. G3 . ｾ＠ｕ

H (w)

(t)) (w) = RG3 F Ｈｕｾ＠

(t)) (w)

Fiir die Parameter R = lOOOn, G1 = G3 = 5.28.10- 9 F, G2 = ｾ＠ G1 , L2 = 3.128 . 10- 3 H stellen wir die Dbertragungsfunktion graphisch dar. > R:=1000: C1 :=5.28e-9: C2:=C1/2: C3:=C1: L1:=3.128e-3: L2:=L 1: > H(w) := R*C3*I*w*U3(w): > plot(abs(H(w)), w = 0 .. 500000);

L1

=

0.5 0.4

0.3

0.2 0.1

o

w 300000

500

Abb. 125: Frequenzspektrum des Hochpasses

Man erkennt deutlich den HochpaBcharakter der Dbertragungsfunktion: Tiefe Frequenzen werden gesperrt (H (w) ｾ＠ 0) und hohe Frequenzen konnen passieren (H(w) ｾ＠ ｾＩＮ＠ Die Grenzfrequenz bei halber Amplitude liegt bei Wg = 175000i. H (w) stimmt genau mit der Dbertragungsfunktion iiberein, die wir in Bd. 1, Kap. Y.5 mit der komplexen Rechnung erhalten haben.

416

XIV Fouriertransformation

§7. Diskrete Fouriertransformation In den vorhergehenden Abschnitten behandelten wir Fourierreihen und die Fouriertransformation von kontinuierlichen Funktionen. In beiden Hillen mussen zur Analyse der Signale Integrale berechnet werden. Dies ist jedoch nur dann moglich, wenn die betrachteten Zeitfunktionen in analytischer Form gegeben sind. Bestimmt man z.B. die Impulsantwort eines Systems experimentell, so liegt das Ausgangssignal nicht als kontinuierliche, sondern in der Regel als diskrete, abgetastete Funktion vor. Mit dieser Folge von Funktionswerten lassen sich die Transformationsintegrale nicht berechnen. Wir gehen deshalb der Frage nach, wie man auf numerischem Weg die Fouriertransformation eines diskreten Signals berechnen kann und kommen so von der kontinuierlichen Fouriertransformation (FT) zur diskreten Fouriertransformation (DFT).

7.1 Herleitung der Formeln der DFf Bei der Herleitung der Formeln fur die diskrete Fouriertransformation (DFT) gehen wir von einem endlichen Zeitsignal f (t) im Zeitintervall [0, T] aus.

f(t)

o

t

T

Abb. 126: Zeitsignal J(t) und periodisch fortgesetztes Signal f(t)

Von der Funktion

f (t)

gehen wir zu der T-periodischen Erweiterung

! (t)

uber

00

! (t) =

L

f (t + n T) .

n=-oo

und stellen fur

! die Fourierreihe mit den komplexen Fourierkoeffizienten Cm

= -1

auf. Da die Funktion Integral ! durCh f :

T

!

loT f-(t) e-·.mwo

t

(wo

dt

0

im Intervall [0, T] mit

1

cm='T

f

=

2,;)

ubereinstimmt, ersetzt man im

io{T f(t)e-imwotdt.

417

7.1 Herleitung der Formeln der DFf

AuBerhalb des Intervalls [0, T] ist nach Voraussetzung die Funktion daB die Integration formal auf ganz 1R erweitert werden kann Cm

=

2..1 T

00

I

Cm

= ｾ＠

Null, so

f(t) e-imwotdt.

-00

Dieses Integral stellt bis auf den Vorfaktor tion f (t) fUr die Frequenzen mwo dar. =}

f

+

die Fouriertransforrnierte der Funk-

F (f) (mwo)

= ｾ＠

F (mwO)'1

Man erhalt also die Fouriertransforrnierte der Funktion durch die Fourierkoeffizienten Cm der Funktion f (t):

f (t)

an den Stellen mwo

D.h. bis auf den Faktor T stirnrnt die Fouriertransformation von f an der Stelle mwo mit dem Fourierkoeffizienten Cm der Fourierreihe von f Uberein! Gehen wir im weiteren davon aus, daB f (t) nicht als kontinuierliche Funktion, sondern als diskretes Signal vorliegt, kann das Integral IOT f (t) e- i m Wo t dt nicht symbolisch sondern nur numerisch ausgewertet werden. Sei f im Intervall [0, T] an N Stellen abgetastet, d.h. f wird reprasentiert durch die Werte

o=t" t, t.

t.. t..., At"

Abb. 127: Numerische Naherung des bestimmten Integrals

I:

f (t) e- i m Wo t dt an durch die Partialsurnrne der Dann nllhern wir die Flache Rechteckflachen f (t n ) e-imwotn ·6tn (n = 0, ... , N - 1):

r f(t) ･Ｍｩｭｷｯｴ､ｾｉＺ＠ T

io

N-l

f(t n ) e-imwotn 6t n . n=O

418

XIV Fouriertransformation

it

= 1f: sind die N Abtastpunkte tn Fur eine konstante Abtastfrequenz fa = n (n = 0, ... , N - 1) gleichmaBig im Intervall [0, T] verteilt. Somit ist

fi

f":,t

Fur die Naherung Frequenzen m Wo

T

= -N

F an

und Wo t

27r T n = -T -N n

=

27r

= nN· -

die Fouriertransforrnierte F von

f ergibt sich bei den

N-l

F(mwo)

ｾ＠

T ""' . 2.. N ｾ＠ f(tn)e- tmniV n=O

=:

F(mwo) A

F (mwo) heiBt die diskrete Fouriertransformierte (DFT) von f. Eigenschaften der DFT (1) Gleichung (*) laBt sich fUr beliebiges m E 7L, auswerten, so daB man formal das Spektrum fur aIle Frequenzen mwo erhalt. Da das Signal aber mit der Frequenz fa = 4j abgetastet ist, sollten Frequenzen groBer der Abtastfrequenz w > 27r fa = 27r 1f: = N Wo nicht mehr erfaBt werden. Tatsachlich ist dies auch nicht der Fall, denn fUr m 2 N wiederholen sich die Spektren der DFT:

(k E 7L,).

Begrfindung: Es ist N-l

L

ｾ＠

F((N + k) wo)

f (t n ) e- i (N+k) n ｾ＠

n=O N-l

T ""' f (t) ｎｾ＠ n n=O Da e- iNn ｾ＠

e-i k n 1Jr. N·e -i N n 1Jr. N.

= e- in27r = 1 folgt N-l

ｆＨｎＫｫＩｷｯ］ｾ＠

ｌｦＨｴｮＩ･Ｍｩｫｾ］ｆｷｯＮ＠

0

n=O

(2) Tatsachlich gewinnt man aber mit der DFT nur Information uber das Spektrum

von

f

fur Frequenzen

nwo

mit

n = 0, 1, 2, ... ,

N

2'

419

7.1 Herleitung der Forrneln der DFT

da die Frequenzen nwo mit n = zur mittleren Frequenz liegen:

.If + 1, ... , N komplex konjugiert, symmetrisch

I

Sah:

(k E 12:).

Begriindung: Es ist

fJ

F((N - k) wo)

N-l

L I (t

n)

e- i (N-k) n ｾ＠

n)

･Ｍｩｎｮｾ＠

n=O

fJ

N-l

L I (t

･ＫｩｫｮｾＮ＠

n=O

Wegen

e- iNn

ｾ＠

= e- in27r = 1 und eikn ｾ＠ = C

ikn

ｾ＠

gilt weiter

N-l

F((N - k) wo)

fJ L

I (t n )

e- i (N-k)n

2;

n=O

fJ

N-l

L I (t

n ) C ikn

ｾ＠

= F (kwo).

0

n=O

Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen fUr die Frequenzauflosung eines abgetasteten Signals: (3) Konsequenzen: (i) Die Amplituden der Frequenzen F (kwo) stimmen fUr k > nicht mehr mit dem Frequenzspektrum von I Uberein. (ii) Wird ein Signal I (t) , O:S t :S T, mit der Abtastfrequenz la = !;f abgetastet, so erhlilt man nur Information Uber das Spektrum von I fUr Signalfrequenzen I < = ｾＮ＠ Diese Aussage deckt sich mit einem fundamentalen Satz aus der Systemtheorie, dem sog. Abtasttheorem von Shannon:

1f

#

Abtasttheorem: 1st I (t) ein Signal mit hochster auftretender Frequenz Is. Dann ist das Signal durch seine Abtastwerte vollsUindig bestimmt, wenn die Abtastfrequenz la groBer als 2 Is. Man bezeichnet die Frequenz 2 Is auch als NyquistFrequenz.

420

XIV Fouriertransformation

7.2 Inverse diskrete Fouriertransformation 1m folgenden leiten wir die Umkehrformel zur DFf her: Eine Formel, die aus gegebenen diskreten Frequenzspektren F (mwo) , m = 0, ... , N - 1, wieder die ursprUnglichen Funktionswerte f (t n ) , n = 0, ... , N - 1, reproduziert. Urn diese Umkehrformel zu erhalten, stellen wir die DFf in Matrizenschreibweise auf. Dazu kurzen wir die erste N -te Einheitswurzel ab durch

Dann gilt fUr jedes kEN

wk = eo'

-

( . ....lL 2 ) N

k

=e

-2. -2" N

k

= (e.

2 -2" ) N

-k

= w- k

und die Formel (*) fur die DFf erhalt die Form A

F (mwo)

T

=N

N-l

__

L f (t n) wmn,

m

= 0, ... , N-1.

n=O

Urn zur Matrizenschreibweise zu gelangen, fassen wir die diskreten Spektren F (mwo), m = 0, ... , N -1, zu einern Vektor FN und die Abtastwerte f (t n ), n = 0, ... , N -1, zu einern Vektor ｦｾ＠ zusammen

und fuhren die N x N Fourier-Matrix MN ein

1 1 1

1 W W2

Mit dieser Vektornotation schreibt sich die DFf als

421

7.2 Inverse diskrete Fouriertransforrnation

30. Beispiel: FUr N

M3

M4

=

= 3 und N = 4 lautet die Fourier-Matrix

(

1 (-I+Y3i) (-I-Y3i) 1 1 1 -1 -i i -1 -1 1 -2 -1 i

1 1 1

!

! !

1 1 1 1

(

ｾ＠

1 (-I-Y3i) (-I+Y3i)

),

)

Gleichung (*2) liefert eine einfache Ausgangsbasis, urn die inverse DFf zu bilden, indem man von der Matrix M N die inverse Matrix bildet und nach dem Vektor aufltist:

!tv

Satz: Die inverse Matrix von M N ist durch ｾ＠

MN gegeben, da

wobei IN die Einheitsmatrix ist.

Beweis: Das Element in der (k + I)-ten Zeile und (l + I)-ten Spalte des Produktes M N · MN (0::; k, l::; N -1) lautet N-l

L

N-l

W kj Wj 1=

j=O

L

N-l

W kj W- j 1=

j=O

L

N-l

W(k-l)j =

j=O

"

L.J

.

(Wk-l)J

j=O

1

(Wk-l)j.

j=O

FUr k = list W k- l = 1 und ｌＷｾ＠ 1 = N. Da (Wk-1t gilt fUr k f. l mit der geometrischen Reihe N-l

L

(Wk-I)N

= -1- W k - 1 =

= ei (k-l) ｾ＠

° •

N

= 1, 0

Darnit kann man Gleichung (*3) schreiben als

N 1 IN = T· N MNFN . In Komponentenschreibweise erhalt man die inverse diskrete Fouriertransfor-

mation (iDFT) N-l

I (t n )

1 "L.J F (kwo) e'·k n = T A

k=O

;u N

fUr n = 0, . .. , N - 1.

422

XIV Fouriertransfonnation

°:s

Satz: Diskrete Fouriertransformation Sei f (t) ein endliches Zeitsignal fUr t T, welches durch die N Werte f (to), f (tl)' ... , f (tN-I) abgetastet ist. wo := 2.;, tj = j . h..t = j . ｾ＠ (j = 0, ... , N - 1).

:s

(1) Dann ist die diskrete Fouriertransformation (DIT) an den diskreten Stellen mwo (m = 0, ... , N -1) gegeben durch

(DFT) . (2) Die Umkehrung heiBt inverse diskrete Fouriertransformation (iDIT) und ist ftir k = 0, . . . , N - 1 gegeben durch 1

f(tk) = T

L

N-I

A

2"

•

F(mwo) e'mkN'

(iDFT) .

m=O

Da bis auf einen Faktor die DFT und die diskrete Berechnung der Fourierkoeffizienten tibereinstimmen, wird i.a. bei Programmroutinen ganz auf eine Skalierung verzichtet und nur die Summation ausgeftihrt. Dem Anwender wird es dann tiberlassen, die Skalierung zu wtlhlen. In der folgenden Tabelle stellen wir die kontinuierlichen Formeln den diskreten gegentiber:

Tabelle 1: Formeln der Fouriertransformation Transformation FT

F(w)

--

DFT

F(mwo)

--

inverse FT

f (t)

--

inverse DFT

f (tk)

--

ｊｾ＠

-00

T N

-.!.. 21l' 1

T

f (t) e- iwt dt

N-I

L

f (t n ) e- imn ｾ＠

m=O, ... ,N-l

n=O

/00 F(w) eiwtdJ..; -00 N-I

L

m=O

P (mwo) ･ｩｭｫｾ＠

k=O, . .. ,N-l

423

7.2 Inverse diskrete Fouriertransforrnation

Reihen Fourierkoeffizienten

--

Cm

diskret

=

Cm

-1 ｊｾ＠

.l.l!:. f(t) e-'r mtdt

T

1 N

-00

N-l

L

-

f (t n ) e- imn ｾ＠

m=O, . . .,N-l

n=O 00

f (t)

Fourierreihe

L

--

. 27
f := t->evalf(sin(2*Pi*t)): > m := 6: N:= 2Am: > T := 10.1: dt:= evalf(T/N): > fd := array([seq(f((i-1)*dt), i = 1.. N))): > imd := array([seq(O, i = 1.. N))):

ft

Mit der Prozedur FFT wird die diskrete Fouriertransformation berechnet. Die Vektoren fd und imd beinhalten dann den Real- und Imaginiirteil der DFf. > readlib(FFT): > FFT(m, fd, imd);

64 Die Aufbereitung der Daten erfolgt dadurch, daB wir von Real- und Imagintlrteil zum Betrag ubergehen und ihn anschlieBend als Funktion der Frequenzen f = o... ｾ＠ ｾ＠ darstellen. Mit dem map-Operator nehmen wir von jeder Komponente den Betrag; gleichzeitig skalieren wir die Transforrnierte mit dem Faktor > FT_d := map(abs, evalm(T/N*fd+I*T/N*imd)): > Ldata := array([seq( (i-1 )/T, i = 1.. N/2))):

ft.

f..data stellt den Vektor aller x-Werte und FI..d den Vektor aller y-Werte dar. Urn diskrete Punkte zeichnen zu k6nnen, mussen sie als Liste vorliegen, die jeweils die Paare [Xi, Yi] enthlilt. Urn aus den beiden Einzelvektoren einen Vektor aus den Paaren zu bilden, verwenden wir den zip-Befehl. Mit convert konvertieren wir anschlieBend den Ergebnisvektor in eine Liste der Form

[[Xl, YI], [X2, Y2], ... , [XN, YNll· > ploLdata := convert(zip((a, b)->[a, b], Ldata, FT _d), list): > plot(ploLdata, style = line);

Abb. 132: Spektrum der abgetasteten Sinusfunktion

435

9.1 Anwendung der DFT zur Signalanalyse

Durch die DFT bestimmt sich die Frequenz f = 1, die in dem Signal enthalten ist. Allerdings erhalten wir nicht eine Linie, sondern eine Verbreiterung, da nur ein endlicher Zeitbereich [0, T] abgetastet wurde. Variiert man die Abtastrate N Bilder (a), (b) und (c).

=

64, 256, 512, so erhfilt man als Ergebnis die N=256

N=512

(b)

(a)

(c)

3

0.5

4

6

8

10

10

12

15

20

25

VergroBern wir in Bild (c) den Bereich f = 0 .. 3, so ist dieser identisch mit Bild (a). Zusammenfassung: Durch Variation der Abtastrate N findert man bei festem T nur fmax; die Frequenzauflosung bleibt dabei erhalten; insbesondere wird die Linie f = 1 durch VergroBerung von N nieht schmaler. 36. Beispiel: Maximal erfa8bare Frequenz. Gegeben ist ein Signal, das sich aus mehreren Einzelfrequenzen zusammensetzt. Gesucht wird die Abtastung, bei der die groBte im Signal enthaltene Frequenz noch aufgelOst wird. Vorgegeben ist eine Dberlagerung von Sinusfunktionen mit den Frequenzen 1 Hz, 2 Hz, 3 Hz und 4Hz: 3

o

t

-2

-3

Abb. 133: Signal mit 4 Frequenzen: I, 2, 3, 4 Hz

f (t) an den Stellen t = i * dt mit dt = ｾＮ＠ f := t->evalf(sin(1 *2*Pi*t) + sin(2*2*Pi*t) + sin(3*2*Pi*t) + sin(4*2*Pi*t»: m := 8: N:= 2Am: T := 10.1: dt:= evalf(T/N): fd := array([seq(f«i-1)*dt), i = l..N)]): imd := array([seq(O, i = 1.. N)]):

(1) Abtastung der Funktion

> > > > >

436

XIV Fouriertransformation

(2) Berechnung der DFf mit der Prozedur FFT > readlib{FFT): > FFT(m, fd, imd): (3) Darstellung des Frequenzspektrums > FT_d := seq(T/N*sqrt(fd[r2+imd[r2), i=1..N/2): > Ldata := seq((i-1 )/T, i=1 .. N/2): > ploLdata := [seq([Ldata[i),FT_d[i)],i=1 .. N/2»): > plot(ploLdata, style = line, color = red):

4

3 2

o

2

4

6

8

10

12

Abb. 134: Spektrum des Signals mit 4 Frequenzen

Bei einer Abtastrate von N = 256 werden aIle 4 Frequenzen des Signals richtig bei f = 1, 2, 3, 4 Hz wiedergegeben. Variiert man bei konstantem T die Abtastrate von N = 64, 128, 256, erhtllt man die unten angegebenen Abb. als Ergebnis der DFT. N=64

(a)

N=128

5

N=256

(b)

(c)

4 3

3 2

\. 0

0.5

2

4

6

8

10

1Z"

Zusammenfassung: Man erkennt, daB, wie in Beispiel 35, bei Variation der Abtastrate N bei festem T die maximale Frequenz I max. getindert wird. 1st N zu klein gewtihlt (wie in (a)), werden nicht mehr aile Frequenzen des Signals richtig erfaBt. Nach den Abtasttheorem muB die Abtastfrequenz la > 2 Is = 2 . 4 Hz gewahlt werden, urn die groBte Frequenz 4 Hz noch zu erfasscn. Aus

Iia = ｾ＠ I folgt ftir eine Auflosung dieser Frequenz:

I a = !f > 2·4 Hz = 8 Hz=> N > 80.

9.1 Anwendung der OFT zur SignaIanalyse

437

37. Beispiel: Frequenzauflosung Gegeben ist wieder ein Signal, das sich aus mehreren Einzelfrequenzen zusammensetzt. Gesucht ist der Abtastparameter, bei dem aIle Frequenzen getrennt aufgelost werden. Diese Untersuchung sei am Beispiel der Dberlagerung von 4 Sinusfunktionen mit den Frequenzen 1.0 Hz, 1.2 Hz, 2.3Hz und 2.7 Hz durchgefiihrt:

Abb. 135: Zeitsignai mit 4 Frequenzen: 1.0, 1.2, 2.3 und 2.7 Hz

> f := t->evalf(sin(1.0 * 2*Pi*t) + sin(1.2 * 2*Pi*t) + sin(2.3 * 2*Pi*t) + sin(2.7 * 2*Pi*t)):

f (t) an den Stellen t = i . dt mit dt = ｾＮ＠ m := 8: N:= 2Am; T := 5: dt:= evalf(T/N): fd := array([seq(f((i-1 )*dt), i = l..N)]): imd := array([seq(O, i = 1.. N)]):

(1) Abtastung der Funktion

> > > >

N:= 256 (2) Berechnung der DFT mit der Prozedur FFf

> readlib(FFT): > FFT(m, fd, imd): (3) Graphische Darstellung der FFT im Frequenzbereich

> > > >

FT_d := seq(T/N*sqrt(fd[if2+imd[if2), i=1 .. N/2): Ldata := seq((i-1)/T, i=1..N/2): ploLdata := [seq([Ldata[i],FT_d[i]], i=1..N/2)]: plot(ploLdata, style = line, color = red);

f

438

XIV Fouriertransfonnation

m=8,T=5

1.5

10

15

20

2

Abb. 136: Spektrum der Funktion bei zu kleiner Abtastzeit T

Es werden nur 3 Frequenzen getrennt aufgelost: f = 1, 2.3 und 2.7. Durch Variation von N wiirde man zwar die maximal erfaBbare Frequenz erhOhen, aber nicht die FrequenzauflOsung. Die FrequenzauflOsung 6f wird nur durch eine VergrOBerung des MeBintervalls erhoht, da

1 6f=f' Darnit die Frequenzen 1 und 1.2 noch getrennt aufgelOst werden, muB 6f :s O;} gewahlt werden => T :::: 10. Wir setzen T = 10 und T = 20. Die zugehorigen Ergebnisse sind in (a) und (b) dargestellt:

(a)

(b)

m=8,T=10

10

m=8,T=20

12

Wie erwartet, sind ab T = 10 aIle 4 Frequenzen getrennt erfaBt. Fiir T = 20 verkleinert man zwar nochmals den Spektralbereich, erhalt aber eine bessere Auflosung der Linien. Zusammenfassung: Die FrequenzauflOsung 6f = ｾ＠ groBerung des MeBintervalls T erzielt werden.

kann nur durch eine Ver-

439

9.2 Anwendung der DFT zur SystemanaIyse

9.2 Anwendung der DIT zur Systemanalyse Die Systemanalyse mit der DFf ltiBt sich schematisch durch folgendes Diagramm darstellen: Signal

---7

I System I

---7

Systemreaktion

1

1

IDFfI

IDFfI

1

1

Spektrum des Eingangssignals

Spektrum des Ausgangssignals

Die Systemfunktion (= Dbertragungsfunktion) ist das Verhtiltnis vom Spektrum des Ausgangssignals zum Spektrum des Eingangssignals. Zur Verdeutlichung der Anwendung der DFf bei der Systemanalyse behandeln wir exemplarisch die Bestimmung der Dbertragungsfunktion eines Tiefpasses. 38. Beispiel: Frequenzanalyse eines Tiefpasses mit der DFf Gegeben ist ein TiefpaB, der aus zwei IT-Gliedern zusammengesetzt ist (siehe Kap. XI.S.3, Beispiel 60).

R

ｾｕＳ＠

Abb. 137: TiefpaB-Filter

Experimentell kann die Systernfunktion bestimmt werden, indem man das Netzwerk mit dem 8-Impuls anregt, die Reaktion des Systems U3 (= Impulsantwort) abtastet und mittels der DFT die Fouriertransformierte davon bestimmt. Diese reprtisentiert dann die Systernfunktion. Bestimmung der Impulsantwort: Urn die diskreten Werte der Impulsantwort zu erhalten, IOsen wir numerisch die das Netzwerk beschreibenden Differentialgleichungen. Die numerischen Werte der Impulsantwort entsprechen den diskreten, abgetasteten Werten von U3 . Nach dem Maschen- und Knotensatz lautet das Differentialgleichungssystem (siehe Kap. XI, Beispiel 60)

440

XIV Fouriertransfonnation

> eq1 := R*(ChdU1 + 11) = Ue - U1: > eq2:= U1 = Lhdl1 + U2: > eq3 := 11 = C2*dU2 + 12: > eq4 := U2 = L2*d12 + U3: > eq5 := 12 = C3*dU3 + U3/R: Diese Gleichungen werden nach den Ableitungen aufgelOst, urn auf jede Differentialgleichung das Euler-Verfahren anwenden zu kOnnen. > dfunct := {dU1, dU2, dU3, d11, dI2}: > sol := solve( {eq1, eq2, eq3, eq4, eq5}, dfunct); > assign(sol);

sol:= { d12 = -

-U2+U3 L2 ' dU2 =

-Il + 12 dU3 = _ -I2R+ U3 C2 ' C3R '

dIl=- -Ul+U2 dU =_RIl-ue+Ul} Ll ,1 RCI Die Parameter fUr die Bauelemente und die Anfangsbedingungen werden festgelegt > R:= 0.8: C1:= 1: C2:= Ch2: C3:= C1: L1:= 1: L2:= L1: > U1 := 0: U2:= 0: U3:= 0: 11:= 0: 12:= 0: FUr die Anregung des Netzwerkes Ue (t) wahlen wir eine Annllherung an den 8-Impuls durch eine Rechteckfunktion mit Breite to und Rohe > to := 0.5: Ue := (Heaviside(t)-Heaviside(t-to))/tO: > Heaviside(0):=1: Heaviside(0.):=1: #ab Maple7 notwendig

t

Die Differentialgleichungen werden mit dem Euler-Verfahren gelOst. Damit von den diskreten Werten im AnschluB die FFf gebildet werden kann, setzen wir die Anzahl der Zeitschritte als Potenz von 2: > m := 9: N:= 2"m: > T := 90: dt:= TIN: t:= 0: > data1[1] := U3: > data2[1] := subs(t = 0, Ue): > for i from 2 to N > do > U1:= U1 + dhdU1: > 11:= 11 + dhdl1: > U2:= U2 + dhdU2: > 12:= 12 + dhdl2: > U3 := U3 + dt*dU3: > t:= t + dt: > data1 [i) := U3: > data2[i]:= Ue: > ad:

9.2 Anwendung der DFf zur Systemanalyse

441

Die Impulsantwort wird mit dem plot-Befehl dargestellt. > plot([seq([(n-1 )*dt, data1 [n]], n = 1.. N)]);

0.2 0.15 0.1 0.05 0

20

40

60

80

-0.05

Abb. 138: Impulsantwort der Tiefpasses

Signalanalyse: Zur Analyse von h (t) mit der DFf konvertiert man mit dem convert-Befehl die Daten in einen Vektor fd, der den Realteil der Abtastwerte darstellt. Der Imaginarteil der Abtastwerte, imd, wird auf Null gesetzt, da die Impulsantwort ein reelles Signal darstellt. > fd := convert(data1, array): > imd := array([seq(O, i = 1.. N)]): Mit der schnellen Fouriertransformation wird die DFf berechnet > readlib(FFT): > evalhf(FFT(m, var(fd), var(imd))): Urn die DFf der Impulsantwort (= Systemfunktion) graphisch darzustellen, werden von den skalierten Werten die Betrage gebildet > FT _d := seq(T/N*sqrt(fd[i)"2+imd[i)"2), i=1 .. N/4): > w_data := seq((i-1 )*2*PilT, i=1 .. N/4):

FT_d enthalt diese Betrage der Systernfunktion und w_data stellt den Vektor der diskreten Frequenzen w dar. Zur graphischen Darstellung geht man wieder zu einer Liste von Wertepaaren uber. > ploLdata := [seq([w_data[i],FT_d[i]], i=1..N/4)]: > plot(ploLdata, style = line, color = red);

442

XIV Fouriertransformation

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Abb. 139: Diskretes Spektrum der Impulsantwort

Diskussion: Der Graph der diskreten Dbertragungsfunktion hat qualitativ den gleichen Verlauf wie der der analytisch berechneten (vgl. Bd. 1, Kap. V.5). Aus dem Graphen entnimmt man die gleiche Grenzfrequenz bei halber Maximalamplitude Wg

= 1.4.

Auffallend ist, daB die Maximalamplitude bei der diskreten Dbertragungsfunktion 0.52 betragt anstatt 0.5. FOhrt man Simulationen durch, bei der die Impulsbreite to variiert wird, erhalt man sogar wesentlich hahere Werte fOr diese Maximalamplitude. Der Grund fOr dieses "falsche" Verhalten liegt darin, daB wir fOr unsere numerische Bestimmung der Impulsantwort eine Naherung des 8-Impulses nehmen muBten. Dies erkennt man am besten am Spektrum des Eingangssignals: Ersetzen wir in der Frequenzanalyse datal durch data2, folgt das Spektrum des Eingangssignals.

Da das Eingangssignal nicht exakt die Impulsfunktion 8 (t) reprasentiert, ist das Spektrum nicht konstant 1. Folglich ist das Antwortsignal nicht exakt die Impulsantwort. Da die Impulsfunktion eine idealisierte Funktion darstellt, ist sie auch experimentell nicht realisierbar und das diskutierte Problem stellt sich auch bei der experimentellen Bestimmung der Impulsantwort.

9.2 Anwendung def DFf ZUf Systemanalyse

443

Urn das Spektrum des Eingangssignals zu berticksichtigen, nutzen wir die allgemeine Definition der Systemfunktion aus: Die Systemfunktion H (w) ist das Verhaltnis vom Spektrum des Ausgangssignal G (w) zum Spektrum des Eingangssignals F (w): H ( )

w

= G (w)

F(w)"

Dividieren wir daher in unserer Analyse die beiden Spektren durcheinander, erhalten wir die diskrete Dbertragungsfunktion. (1) Analyse des Eingangssignals

> fdJn := convert(data2, array): > imd := array([seq(O, i = 1.. N)]): > evalhf(FFT(m, var(fdJn), var(imd))): > FT_dJn := seq(T/N*sqrt(fdJn[i]"2+imd[i]"2), i=1 .. N/4): (2) Analyse des Ausgangssignals

> fd_out := convert(data1, array): > imd := array([seq(O, i = 1.. N)]): > evalhf(FFT(m, var(fd_out), var(imd))): > FT_d _out:= seq(T/N*sqrt(fd_out[i]"2+imd[ir2), i=1 .. N/4): (3) Dbertragungsfunktion: Verhaltnis von Ff_d_out I Ff_djn

> for i from 1 to N/4 do FT_transfer[i] := FT_d_out[i]/FT_dJn[i] od: > w_data := seq((i-1)*2*PiIT, i=1..N/4): > ploLdata := [seq([w_data[i],FTJransfer[i]], i=1 .. N/4)]: > plot(ploLdata, style = line, color = red); 0.5 0.4 0.3

0.2

Abb. 140: Diskrete Dbertragungsfunktion

Nun stimmt auch die Amplitude der Dbertragungsfunktion mit der aus Bd. 1, Kap. V.5 tiberein und ist unabhangig von der speziellen Wahl der Impulsbreite T.

444

XIV Fouriertransfonnation

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Spezielle Funktionen Heaviside(t) Sprungfunktion. alias(S(t) = Heaviside(t) Definition von S (t) als Sprungfunktion. liT (S(t) - S(t - T)) Impulsfunktion mit Breite T und H1)he ｾＮ＠ Deltafunktion, Diracfunktion, 8-Funktion. Dirac(t) n-te Ableitung von Dirac(t). Dirac(n, t)

Befehle zur Fouriertransformation Befehle zur Fouriertransfonnation. with(inttrans) fourier(f(t), t, w)

Fouriertransforrnation der Funktion f mit der Variablen t. wist die Variable der Transformierten

F (w) =

i:

f (t) e- iwt dt.

invfourier(F(w),w,t) Inverse Fouriertransfonnation der Funktion F(w). t ist die Variable der zugehorigen Zeitfunktion

f (t) = -1

27r

fourier(DG, t, w)

1=_=

F (w) eiwt dw.

Transfonnation einer DG in den Frequenzbereich.

Befehle zur diskreten Fouriertransformation readlib(FFT) Befehle zur diskreten Fouriertransfonnation (DFT). Berechnung der DFT mit dem FFT-Algorithmus. mist FFT(m, x, y) die Potenz der Anzahl der abgetasteten Werte, N = 2m ; ist der Vektor mit dem diskreten Realteil der Funktion; y ist der Vektor mit dem diskreten Imaginateil der Funktion. Berechnung der inversen DFT mit dem FFTAlgorithmus. m, x, y analog wie bei FFT, jetzt aber mit den diskreten Frequenzwerten. X

iFFT(m, x, y)

print(x)

Ausgabe der diskreten Werte des Vektors x.

FFT und iFFT uberspeichern die Vektoren x und y durch die nicht-normierten Ergebnisvektoren!

445

Aufgaben zur Fouriertransformation

Aufgaben zur Fouriertransformation 14.1

a) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von

ｾ＠

II (t) = {

- I2 < t sonst

fUr

b) Man diskutiere die Funktion F (II) (w) fUr A = c) Was ergibt sich fUr

h (t)

= {

ｾ＠

fUr to

< I2

t

< t < to + T ? sonst

14.2 Man bestimme das Spektrum des Dreiecksignals

f(t)={

ａＧＨｬｾｉＭｔＩ＠

It I It I

sT >T

14.3 a) Berechnen Sie die Fouriertransformierte der Funktion e- a It I sign (t) (vgl. Bild a). b) Man berechne die Fouriertransformierte des cos 2 -Impulses (vgl. Bild b).

14.4

-T -1 Bild a Bild b Man berechne mit MAPLE die Fouriertransformierten von 14.1-14.3.

T

14.5 Geben Sie die Fouriertransformierte der skizzierten Funktion f (t) an. f(t)

-T

T

14.6 Zeigen Sie, daB die Fouriertransformation eine lineare Transformation ist, d.h. das Superpositionsgesetz gUltig ist:

446

XIV Fouriertransfonnation

14.7 Beweisen Sie a) die Skalierungseigenschaft F(f(at)) (w) = ,;, F(f(t)) ＨｾＩ＠ b) den Verschiebungssatz F (f (t - to)) (w) = e- iwot F (f (t)) (w)

14.8 Zeigen Sie durch vollsttlndige Induktion, daB

tt f) = ｾｮ＠

F (( -i

F (f)(w)

= Fen) (w),

= F(f) (w).

wenn P(w)

14.9 Bestimmen Sie unter Benutzung der Eigenschaften der Fouriertransforrnation die Transformierten von a) 8 (t) b) 8 (t - to)

c) ｾ＠

(8 (t

+ to) -

8 (t - to))

d) sin (wot)

14.10 Man zeige, daB die foIgenden Gleichungen gUltig sind a) F (e iat ) (w) = 271"8 (w - a) b) 8 (t - to)

14.11

*f

(t)

= f (t - to)

Wie Iautet die Faltung des RechteckimpuIses

reet

ＨｾＩ＠

={

ｾ＠

mit sich seIbst? (Skizze!)

14.12 Berechnen Sie die Fouriertransformierten der unten gezeichneten Funktionen

a}

b} T

2 -1

c}

-T2

14.13

-T,

T,

T2

Bestimmen Sie mit Hilfe einer graphischen Skizze die Faltung fUr a) t ｾ＠ 0 b) 0 ｾ＠ t ｾ＠ T c) T ｾ＠ t.

f * h der Funktionen

h('I")

f('I")

1-e""

o

T

447

Aufgaben zur Fouriertransformation

14.14

Gegeben ist die Differentialgleichung y" (t) - 4y (t) =

f (t).

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von y (t) sowie y (t) in Form eines Faltungsintegrals. 14.15

Bestimmen Sie auf drei unterschiedlichen Wegen die Obertragungsfunktion des linearen Systems, welches durch die DG g" (t) - 2g' (t)

+ 9 (t)

=

f (t)

beschrieben wird, wenn 9 (t) = L [f (t)]. 14.16

Ein lineares Obertragungssystem 9 (t) = L [J (t)] wird durch die Differentialgleichung 9 (0) = 0, t ｾ＠ 0 f (t) = 9 (t) + 39 (t) + 2g (t) beschrieben. Geben Sie die Obertragungsfunktion (=Systemfunktion) an! Wie lauten die Impuls- und Sprungantwort des Systems?

14.17

Lasen Sie die Differentialgleichung

+ 3 y' (x) + 2 y (x) = T (x) X ｾ＠ 0 b) T (x) = 8 (x) c) T (x) = 6 mit Hilfe der Fouriertransforma-

y" (x)

ftir a) T (x) = x tion. Welchen Anfangsbedingungen genUgen die so gewonnenen Lasungen? 14.18

Ein lineares System reagiert auf das Eingangssignal f (t) = Teet (t) mit der Antwort 9 (t) = b. ＨｾＩＬ＠ wenn b. ＨｾＩ＠ die Dreiecksfunktion mit Amplitude 1. Bestimmen Sie die Obertagungsfunktion und die Impulsantwort.

14.19

a) Gesucht ist die Impulsantwort der Schaltung in Fig. a). b) Fig. b) zeigt die Sprungantwort eines Systems. Gesucht sind die Impulsantwort und die Systemfunktion. c) Fig. c) zeigt die Sprungantwort eines Systems: s (t) = U (t) ｾ＠ e-i. Gesucht sind Impulsantwort und Systemfunktion. S(I)

S(I)

R, X(I)

R2

Fig. a)

Y(I)

Fig. b)

2 Fig. c)

14.20 FUr die in Abb. a) und b) skizzierten Netzwerke solI die Impuls- und die Sprungantwort berechnet werden. R

X(t)

c

2R

y(t)

448

XIV Fouriertransfonnation

14.21 Das Eingangssignal fur das unten abgebildete Netzwerk lautet x (t) = U (t) e- 2t . Gesucht wird fUr R = 2, L = 1 die Impulsantwort. R L

X(I)

Y(I)

14.22 FUr die in den Figuren a) - c) skizzierten Netzwerke soli mit

MAPLE

die Obertra-

gungsfunktion berechnet werden: L

Y(t)=I R

b)

a)

14.23 FrequenzanaIyse mit

R X(I)

L

C

y(t)

c)

MAPLE

Gegeben ist der TiefpaB aus Kap. XI.5.3, Beispiel 60. Bestimmen Sie durch Anwendung der Fouriertransformation auf die DG die Obertragungsfunktion sowie die Grenzfrequenz w g • (Man verwende den fourier-Befehl, vgl. §6.)

14.24 Frequenzanalyse mit

MAPLE

Gegeben ist der BandpaB aus Kap. XI.5.3, Beispiel 62. Bestimmen Sie durch Anwendung der Fouriertransformation auf die DG die Obertragungsfunktion sowie die Grenzfrequenzen w" und Wo fUr die Parameter R = 100, C = 2.32 . 10- 7 , L = 3.62 . 10- 3 , Ck = C, Lk = L. (Man verwende den fourier-Befehl; vgl. §6.)

14.25 Bestimmen Sie von der Rechteckfunktion

f (t) =

-f (S (t) - S (t - T))

fUr T = 1 die diskrete Fourierreihe sowie die diskrete Fouriertransformation, wenn die Funktion im Intervall [0, 25] mit 256 Abtastwerten diskretisiert wird. (Man benutze die Prozedur DFf oder FFf.)

14.26 Bestimmen Sie mit der Prozedur FFf das diskrete Spektrum der Rechteckfunktion

f (t)

=

f (S

(t) - S (t - T))

fUr T --t 0, wenn Tmax = 25 und die Abtastung n = 512 betrtlgt. Was machen die Nullstellen des Spektrums?

14.27 Vergleichen Sie die Fouriertransformierte der Funktion

f (t)

= e- t S (t)

mit der DFT, wenn die Funktion im Interval! [0, 20] mit n = 64, 128, 256, 512, 1024 Abtastwerten diskretisiert wird. (Man benutze den fourier-Befehl sowie die MAPLEProzedur FFf.)

Aufgaben zur Fouriertransformation

449

14.28 Bestimmen Sie die DFf der Funktion

f (t)

=

e-(t-2.5)2,

wenn die Funktion im Intervall [0, 20] durch n

= 256 Abtastwerte diskretisiert wird.

14.29 Frequenzanalyse der Kosinusfunktion a) Stell en Sie eine Kosinusfunktion mit einer ganzen Anzahl von Schwingungen (z.B. 10 Schwingungen) dar. Tasten Sie die Funktion mit 512 Abtastpunkten abo Wie hangt die FrequenzauflOsung der DFf mit T max zusammen? Verdoppeln bzw. halbieren Sie Tmax (bei 512 Abtastpunkten); welches !1f ergibt sich nun? Halten Sie Tmax fest und variieren Sie die Abtastrate. Was zeigt sich? b) Stellen Sie 10.5 Schwingungen dar und berechnen Sie die DFf nochmals. Wie verfindern sich die Spektrallinien?

14.30 Frequenzanalyse eines Hochpasses Gegeben ist der Hochpa8, HP2TLCL, aus Kap. XI.5.3, Beispiel 61. Man bestimme fUr die Eingangsfunktion

Ue (t)

= e-(t-T)2

mit T

= 3 .10- 5

die Systemreaktion, indem das LDGS numerisch geIost wird. Gehen Sie vor wie in Beispiel 38 und bestimmen Sie von Eingangs- und Ausgangssignal die FFf und berechnen Sie damit die Obertragungsfunktion. Lesen Sie aus der Obertragungsfunktion die Grenzfrequenz abo

Kapitel XV Partielle Differentialgleichungen

§1. Einfiihrung Viele wichtige Probleme der angewandten Mathematik und Physik fuhren zu partie lien Differentialgleichungen (PDG): zu Gleichungen, die Beziehungen zwischen einer oder mehreren Funktionen mehrerer Variablen und ihren partiellen Ableitungen herstellen. Zwei willkurliche Beispiele fur PDG sind

EyJ ax 3 u (x, t)

0 + ( ata U (x, t) )2 = ax 2 U (x, t) 2

fur u (x, t),

fur u(x, y), v(x, y). Ais Ordnung einer PDG wird die Potenz der hochsten in der Gleichung vorkommenden partiellen Ableitung bezeichnet. Es gibt 3 klassische PDG zweiter Ordnung, denen man in vielen Anwendungen begegnet und welche die Theorie der PDG beherrschen. Es sind dies

1/;z

(1)

gt22 u (x, t) = c2 U(x, t) die Wellengleichung. u (x, t) entspricht der Auslenkung einer eingespannten Saite am Ort x zur Zeit t. Diese PDG kornmt auch bei der Untersuchung von akustischen, elektromagnetischen und Wasserwellen VOf.

(2)

gt u (x, t) = a 2 u (x, t) die Warmeleitungsgleichung. u (x, t) entspricht der Temperaturverteilung eines Stabes zur Zeit t. Diese PDG kornmt bei der Warmeleitung und anderen Diffusionsprozessen vor.

(3)

u (x, y) + u (x, y) = 0 die Ltplace-Gleichung. u (x, y) entspricht dem elektrostatischen Potential in einem ebenen Problem wie dem elektrolytischen Trog. Diese PDG tritt auch bei anderen station1tren Problemen wie z.B. einem station1tren W1trmestrom, dem Durchbiegen einer Membran, elektrischen und magnetischen Potentialen auf.

::2

::2

::2

T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

451

§1. Einfuhrung

Zusatzlich zu den PDG sind fOr die gesuchten Funktionen noch Anfangs- undloder Randbedingungen vorgegeben, die durch die jeweilige physikalische Problemstellung bestimmt sind. Wir werden in den folgenden Abschnitten nicht das systematische L6sen von PDG behandeln, sondern exemplarisch spezielle lineare PDG, wie die oben genannten, diskutieren.

Notation: Wir kOrzen die partiellen Ableitungen im folgenden haufig durch Ux

(x, t)

a

ｾ＠

= ax U (x, t) = ax u(x, t) bzw. U xx (x, t) = ax2 u (x, t) = a; u(x, t)

abo Analoges gilt naWrlich fOr die anderen Variablen. Wenn durch den Zusammenhang hervorgeht, welches die Variablen der Funktion u sind, werden diese der Obersichtlichkeit wegen unterdriickt. Die 3 klassischen PDG lauten mit dieser Konvention (3)

U xx

+ U yy = 0.

KlaSSlllZierung von Iinearen PDG 2. Ordnung. Lineare PDG 2. Ordnung haben die allgemeine Gestalt

A U xx + 2 B uxy + C U yy + Dux + E uy + F =

°

mit Funktion A , B, C, D, E und F, die i.a. von x und y abhangen. Ais Diskriminante der PDG (*) bezeichnet man die Funktion

d:=AC-B2. parabolisch hyperbolisch elliptisch

Die PDG (*) heiSt

:{:=:} :{:=:} :{:=:}

d = 0,

d < 0, d> 0.

Diese Bezeichnungen stammen aus der analytischen Geometrie, in der

a x2 + 2 b x y

+ C y2 + d x + e y + f

=

°

in der Regel eine Parabel, Hyperbel oder Ellipse darstellt; je nachdem ob a c- b2 0, < oder > ist.

°

°

1 Beispieie: (l) Die Wellengleichung

= c2 U xx ist hyperbolisch: A = c2 , B = 0, C = -1 ::::} d = _c2 < 0. Utt

(2) Die Warmeleitungsgleichung

Ut

= a 2 U xx ist parabolisch:

°: : }

d = 0. = a2 , B = C = (3) Die Laplace-Gleichung U xx + U yy = ist elliptisch: A = C = 1, B = 0 ::::} d = 1 > O. A

°

=

452

XV Partielle Differentialgleichungen

§2. Die Wellengleichung

Ｍｴｾ＠

k U

o

L

.....

x

Ais Modellfall fUr die Herleitung der Wellengleichung betrachten wir eine an den Enden fest eingespannte, elastische Saite der Lange L, die in der vertikalen Ebene in Schwingungen versetzt wird. Gesucht ist die yom Ort x und der Zeit t abhangige

vertikale Auslenkung u (x, t).

Abb. 141: Eingespannte Saite

2.1 Herleitung der Wellengleichung FUr die vertikale Auslenkung u (x, t) einer schwingenden Saite lei ten wir die PDG unter den folgenden Voraussetzungen ab:

= IF (x) list konstant.

(VI) Die Spannkraft der Saite Fo

(V2) Es werden nur kleine Auslenkungen fUr u betrachtet.

ｆＨｸＫｾＩ＠

u

/----

x

x ｸＫｾ＠

FUr die Querkraft (Kraft in Richtung u) gilt im Punkte x fUr kleine Auslenkungen

Fu (x)

=

-Fo sin a

::::::

-Fo a:::::: -Fo· tan a

Analog gilt fUr die Querkraft Fu an der Stelle x

Fu (x + 6x) :::::: Fo wenn man ＨｾＩ＠ risiert.

x+Ll.x

ＨｾｵＩ＠

x

x+Ll.x

: : Fo ｛ＨｾｵＩ＠

-Fo

(au) ax

x·

+ 6x x

x

+ 6x

ＨｾＲＩ＠

x

x

],

f (x + 6x) :::::: f (x) + f' (x) . 6x linea-

gemaB der Formel

Auf das zwischen x und x

=

+ 6x gelegene Saitenelement wirkt die Gesamtkraft ----+

ｾ＠

ｾ＠

/::"F = F (x) + F (x + 6x) und somit die resultierende Querkraft

02

6Fu = Fu (x + 6x) - Fu (x) :::::: Fo /::"x 8x 2 u.

2.2 Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem)

453

Diese Querkraft beschleunigt das Massenelement fj,m = p' 6x . A, wenn p die Dichte und A die Querschnittsflache der Saite ist. Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz ( die Beschleunigungskraft m a ist gleich der Summe aller angreifenden Krafte) gilt

fP '* 8t2

Po 8 PA 7fii u (x, t), 2

U

(x, t) =

(Wellengleichung)

wenn Po die Spannkraft der Saite, p die Dichte und A die Querschnittsflache der Saite ist. Wir lOsen die Wellengleichung fiir unterschiedliche, physikalische Problemstellungen:

2.2 Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem) Sei f eine beliebige 2-mal stetig differenzierbare Funktion einer Variablen. Dann erhalt man durch den Ansatz

u(x, t) = f(x+ct) eine Lasung der Wellengleichung. Denn mit der Kettenregel ist U xx

(x, t)

=

f" (x + ct)

und

(x, t)

Utt

= c2

f" (x + ct).

In die PDG eingesetzt, folgt c

2

ｾ＠ f" (x + ct) = pA f" (x + ct)

Setzt man 1c :=

'*

2

c

ｾ＠ = pA

'* c = ±y[Fa PA'

Ifi I, so ist f (x + ct) als auch f (x - ct) eine Losung der

PDG.

• f (x + ct)

beschreibt eine mit der Geschwindigkeit c in negative x-Richtung

laufende Welle;

• f (x - ct)

beschreibt eine mit der Geschwindigkeit c in positive x-Richtung

laufende Welle. Die allgemeine Lasung lautet smnit

I

U

(x, t)

= h (x + ct) + 12 (x - ct) I

mit zwei beliebigen Funktionen

h

und

h

454

XV Partielle Differentialgleichungen

Beriicksichtigung der Anfangsbedingungen. FUr U (x, t) seien die Anfangsauslenkung u (x, t = 0) = Uo (x) und die Anfangsgeschwindigkeit Ut (x, t = 0) = Vo (x) an jedem Ort x zur Zeit t = 0 vorgegeben. Setzt man die Anfangsbedingungen in die allgemeine Lasung ein, gilt

(x, t = 0)

Uo (x)

Ut (x, t = 0)

Vo (x)

U

=

Integriert man (2)

h(x)-12(x)=-1 c

l

x

h(x)+12(x)

(1)

c (I{ (x) - ｦｾ＠

(2)

ｶｯＨｾＩ､Ｋｋ＠

(x)).

(2')

Xo

und addiert bzw. subtrahiert von (2') Gleichung (1), folgt weiter 1

1

h (x) = 2Uo (x) + 2 c 12 (x) = -1 Uo (x) - -1 2

JX

Xo

JX

2c

Xo

K

Vo (0 ､ｾ＠

+ "2

Vo ＨｾＩ＠

- - .

K 2

､ｾ＠

Die Lasungsformel lautet mit der Anfangsauslenkung Uo (x) und Anfangsgeschwindigkeit Vo (x)

U(x , t) =

1

2 [uo (x + ct) + Uo (x -

ct)]

1 Jx+ct

+ -2

C

x-ct

Vo ＨｾＩ＠

､ｾ＠

(d'Alembertsche Formel). Betrachten wir den Spezialfall, daB die Saite keine Anfangsgeschwindigkeit besitzt,

Vo (x) = 0, vereinfacht sich die Lasung zu U(x, t) =

1

2 [uo (x + ct) + Uo (x -

ct)].

t=o

Abb. 142: Nach rechts und links laufende Welle Interpretation: Der erste Summand beschreibt die Ausbreitung der Anfangsauslenkung nach links und der zweite nach rechts, jeweils mit halber Amplitude.

455

2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem)

Anwendung: Peitschenknallen. Beim Peitschenknallen fuhrt man eine einseitig "unendlich" ausgedehnte Saite an einem Saitenrand. Lenkt man die Peitsche durch Anheben und Absenken z.B. des linken Saitenrandes aus, so daB die Saite zu Beginn eine Anfangsauslenkung der Gestalt f (x) hat (siehe Abb. 143), ist U

(x, t)

=f

x Abb. 143: Auslenkung

(x - ct)

def Peitsche

die Losung der Wellengleichung zu den Anfangsbedingungen

u (x, t = 0) = f (x) u (x = 0, t) = 0 Die ｌｯｾ＠

V-Ix

(und f (x) = 0 fUr x ｾ＠ 0) fUr aBe t.

stellt eine nach rechts laufende Welle dar. Die Geschwindigkeit betrtigt

c= ｾ＠ Verkleinert sich der Querschnitt A, erhoht sich die Geschwindigkeit c. 1st der Querschnitt A klein genug, wird c > VSchali und es kommt zum Peitschenknallen. Visualisierung mit MAPLE: Zur graphischen Darstellung wtihlen wir eine GauBFunktion als Anfangsauslenkung. frames=30 bedeutet, daB 30 Bilder zur Animation berechnet und dargestellt werden. > c:=5: > f := t -> ( exp(-10*(t-1r2) - exp(-10) ) / ( 1 - exp(-10) ): > with(plots): > animate(f(x-c*t), x=O .. 15, t=O .. 3, frames=30, numpoints=300);

2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem) Urn die Auslenkung einer eingespannten Saite u (x, t) zur Zeit t am Ort x bestimmen zu konnen, bentJtigen wir neben der PDG

IUtt(x, t) = c uxx(x, t) I 2

die Anfangsauslenkung Uo (x) und -Geschwindigkeit Vo (x)

u (x, t = 0) (x, t = 0)

Ut

=

Uo (x) }

= Vo (x)

Anfangsbedingungen

sowie die beiden Einspannbedingungen, daB an den Stellen x Auslenkung der Saite immer Null ist: U U

t) ==

(x = 0, (x = L, t)

t}

0 fUr aIle 0 fUr aIle t.

= 0 und x = L

Randwerte

die

456

XV Partielle Differentialgleichungen

Da sowohl Anfangsbedingungen als aueh Randwerte vorgegeben werden, nennt man diese Problemstellung ein Anfangsrandwertproblem. Betraehtet man die Bewegung einer eingespannten Saite, so vollfuhrt jeder Punkt der Saite Sehwingungen. Die Amplitude dieser Sehwingung ist aber abhangig von der x-Position des Punktes innerhalb . . der Saite. Bezeiehnen wir die Sehwingung mit T(t) Abb. 144: Emgespannte Smte und die Amplitude mit X(x), so suehen wir eine Lasung u(x, t), die sieh als Produkt einer Ortsfunktion X(x) und einer Zeitfunktion T(t) sehreiben laBt. Die Zeitfunktion T(t) besitzt dann eine ortsabhangige Amplitude X (x). Mit dem Produktansatz

= X (x) . T (t)

u (x, t)

kann man eine Separation der Variablen durehfuhren. Dabei ist

X (x) T(t)

eine rein ortsabhangige Funktion, eine rein zeitabhangige Funktion.

Einsetzen dieser Produktfunktion in die PDG liefert

X (x) . Til (t) bzw. nach der Separation

= c2 X" (x) . T (t)

2 X" (x) T(t) - c X(x)'

Til (t) _

Da die linke Seite der Gleichung nicht von x abhangt, ist sie bezUglich x konstant. Da die reehte Seite der Gleichung nicht von t abhangt, ist sie bezUglich t konstant. D.h. die Konstante hangt weder von t noeh von x ab:

Til (t) T (t)

=c

2

X" (x) X (x)

= canst = -w

2

.

Der Fall, daB die Konstante positiv ist, wurde zu einer nieht-physikalisehen Lasung fuhren und wird daher nicht weiter verfolgt. Dureh diesen Produktansatz reduziert man die partielle DG zu zwei gewohnlichen DG 2. Ordnung: (1)

Zeitabhangigkeit:

Til (t) (2)

+ w2 T (t) = 0

=}

T (t)

=}

X (x)

= A cos (wt) + B

sin (wt) .

Ortsabhangigkeit:

X" (x)

+ w: X (x) = 0 c

= D ｣ｯｳＨｾ＠

c

x) + E

ｳｩｮＨｾ＠

c

x).

457

2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem)

Man beachte, daB beide gewohnliche DG Schwingungsgleichungen sind und daher nach Kap. XI.3.3, Beispiel 36 die allgemeine Losung direkt angegeben werden kann. Die Losung der PDG laBt sich Smnit schreiben als

1u (x, t) = [D cos( ｾ＠ x) + E sin( ｾ＠ x) 1[A cos (wt) + B sin (wt) ].1

(* )

Beriicksichtigung der Randbedingungen Nicht alle Funktionen, die der Darstellung (*) genligen, sind auch Losungen des gestellten Problems, denn flir die eingespannte Saite gelten zusatzlich flir alle Zeiten t die Randbedingungen u (x = 0, t) = u (x = L, t) = O. Die Losung muB also berlicksichtigen, daB am Rand keine Auslenkung moglich ist.

x=O:

u(O,t) =0 fOralle t

x=L:

I

ｄ｣ｯｳＨｾﾷｏＩＫｅｩｮ］＠

=?

u(x=L,t)=Oflirallet

"--v--"

"-v--"

=1

=0

=?

D = O.

=?

ｅＮｳｩｮＨｾｌＩ］ｏ＠

Damit man fOr u (x, t) nicht nur die Null-Losung erhalt, muB E =I- 0 und sin Ｈｾ＠ sein. Der Sinusterm wird Null, wenn sein Argument ein Vielfaches von nimmt:

o

=?

L) = 7r

an-

w -·L=n7r.

c Es sind also nur gewisse diskrete Frequenzen moglich, nE N.

n=1

n=2

n=3

n=4

Abb. 145: Die ersten 4 Schwingungsformen einer eingespannten Saite

Flir jedes n E N ist damit

un (X, t) = sin ( n IX) [an cos ( n let) + bn sin ( n let) ] eine Losung der PDG und erflillt die Randbedingungen. Es sind nur Frequenzen Wn erlaubt, die zu stehenden Wellen fUhren, so daB die Funktionen 2L-periodisch sind. Die allgemeine Losung fUr eine schwingende Saite erhalt man durch Superposition

458

XV Partielle Differentialgleichungen

aller stehenden Wellen Un (x, t):

U(x, t)

00

00

n=l

n=l

=2:: Un (x, t) =2:: sin ( nix) [an cos ( n i

c t)

+ bn sin (n i

c t)] .

In dieser Darstellung sind die Koeffizienten (an)nEN und (bn)nEN noch unbestimmt. Sie ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Berficksichtigung der Anfangsbedingungen Fur die Anfangsauslenkung gilt

U(x, t

t,

=0) =Uo (x) =

an sin (n i x)

=ｾ＠

an sin (n

ｾ＠

x) .

Dies ist die Fourierreihendarstellung der ·2L-periodischen Funktion fio (x), die indem Uo (x) am Ursprung gespiegelt und anschlieBend man aus Uo (x) ･ｲｨｾｬｴＬ＠ 2L-periodisch auf ganz 1R fortgesetzt wird.

...uo(x) ... ... -L

...

.........

... ,,"

0

+L

...

......

X

Abb. 146: Anfangsauslenkung uo(x) der eingespannten Saite

Darnit ist

an

12L fio (x) sin (n ｾ＠ x) dx 2i 1L Uo (x) sin (n i x) dx. 22L

Fur die Anfangsgeschwindigkeit gilt 00

Ut(x,t=O) =vo(x)

=2:: (bn .ni c) sin(ni x ). n=l

Dies ist die Fourierreihendarstellung der 2L-periodischen Funktion Vo (x), die indem Vo (x) am Ursprung gespiegelt und anschlieBend man aus Vo (x) ･ｲｨｾｬｴＬ＠ 2L-periodisch auf ganz 1R fortgesetzt wird. Folglich gilt

r2L vo(x) sin (n 2L 27f x)

2 Jo 2L

2

i 1L

dx

Vo (x) sin (n i x) dx.

459

2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem)

Zusammenfassung: Die LCisung der Wellengleichung Utt

(x, t) = c2 U xx (x, t)

mit den Randwerten U (x = 0, t) = U (x = L, t) = 0 fUr alle t und den Anfangswerten U(x, t = 0) = Ua (x) und Ut (x, t = 0) = Va (x) fUr 0 :S x :S List gegeben durch 00

U

(x, t) =

L sin ( nix)

[an cos ( n

i

c t)

+ bn sin ( n

i

c

t)] .

n=l

Die Koeffizienten an und bn berechnen sich aus den Fourierkoeffizienten von

Ua (x) bzw. Va (x): an =

ｾ＠

J:

bn = _2_

nnc

Ua (x) . sin ( nix) dx

JL Va (x) a

sin (n!!.. x) dx L

n

= 1,2,3, ...

n

= 1,2,3, . ..

Physikalische Interpretation. Schreiben wir die LCisung in der Form 00

U

(x,

t) =

L

An sin

(n i x) sin (n i ct + a_n := subs(sin(n*Pi)=O, a_n): > a_n := normal(a_n); uOL 2 sin (n7rll) an '= 2 L -' n 2 11' 2 11 (L-ll)

Fur die Anfangsgeschwindigkeit Vo (x) = 0 treten die Koeffizienten bn auf, so daB die Losung gegeben ist durch U

(x t)

,

2 Uo L2

= it (L - it) 11'2 ｾ＠

ｾ＠

= 0 nicht

7r x) cos (n -L1I' n12 Sl'n (n -L1I' ll) sin (n -L

ct) ,

2.4 Visualisierung mit

461

MAPLE

2.4 Visualisierung mit MAPLE Zur Animation der schwingenden Saite mit MAPLE verwenden wir nur die ersten 20 Summanden in der L6sungsdarstellung: > u(x, t) := sum(a_n*sin(n*Pi/L*x)*cos(n*Pi/L*c*t), n=1 .. 20): Mit den Parametern > parameter:= {L=2, 11=0.2, uO=0.1, c=10}: erhalten wir die L6sung u(x, t) > u(x, t) := subs(parameter, u(x, t)): die sich mit dem animate-Befehl zeitdynamisch darstellen 11lBt > with(plots): > animate (u(x, t), x=O .. L, t=0 .. 2*c/L, frames=100): 0.2

(2)

(1 ) -0.2

0.2

-0.2

-0.2

0.2

0.2

0.2

y

-0.2

-0.2

Die Bildsequenz (1) - (6) zeigt den Zeitverlauf der stehenden Welle. Die Spitze der Saite bricht ein; die rechte Flanke bleibt zunachst noch in Ruhe. Die Spitze schwingt durch bis sie den maximalen, negativen Ausschlag erreicht. Dann wird sie reflektiert und kommt zur Anfangsauslenkung zuruck.

Zur Klangfarbe (1) Beim Zupfen der Gitarre ergibt sich ein unterschiedlicher Klang, je nachdem, ob die Saite in der Mitte (Abb. 148(i» oder am Rand (Abb. 148(ii» angezupft wird.

(a) Beim Anzupfen in der Mitte

(it = ｾ＠

in Beispiel

2)

sind die Amplitu-

462

XV Partielle Differentialgleichungen

(An) =

8uo ( 7r 2

1 1 1 ) 1,0, 9,0, 25,0, 49,0, ...

Die Obertone sind sehr schwach vertreten, da die Amplituden mit eingehen. Der Ton ist rein.

:;b-

(b) Beim Anzupfen am rechten Rand (it = L) (der AbfaH der Saite am rechten Rand wird vernachlassigt) ergeben sich die Amplituden nach Anwenden der Regel von l'Hospital zu

An

= 2uo

bzw.

7rn

2uo ( 1 1 1 ) (An) = -;- 1, 2' 3' 4'···

Die OberH'lne sind stark vertreten, da die Amplituden mit ｾ＠ Der Ton ist hart und unrein.

eingehen.

°

(2) Beim Anschlagen der Saite eines Klaviers erfolgt der Schlag auf einer eng begrenzten Strecke. Als einfaches Modell sei die Anfangsausienkung Uo (x) = und die Anfangsgeschwindigkeit die eines StoBes (vgl. Abb. 148(iii»;

= {:

vo(x)

sonst Die Amplituden ergeben sich zu

streben also mit Ton ist rein.

';2

gegen Null. Die Obertone werden schnell schwach; der

- -I

I

ｾＭﾷｘ＠

o

Abb. 148: i) Anzupfen der Saite in der Mitte iii) Schlag auf die Saite

L

ｾＭＮｸ＠

Xl

l T:=x-> Tu+A*exp(sqrt(k)*x)+B*exp(-sqrt(k)*x): > eq1 := T(O)= TI: > eq2 := T(L)=Tr: > sol:=solve( {eq1, eq2} , {A, B}); assign(sol); (v'kL)T (v'kL)T Tl - T u+e u-e r+ (v'kL) (-v'kL)

e

-e

Tue(-v'kL) -Tu+Tl-Tre (-v'kL)}

A=-----=----o-=-"c----(v'kL) (-v'kL) e

-e

Nachdem die Konstanten A und B aus dem zugehOrigen linearen Gleichungssystem bestimrnt sind, steBen wir die Lc;sung ftir eine Umgebungstemperatur von Tu = ooe, der Temperatur 1/ = 200 e am linken Ende und der Temperatur Tr = 15°e am rechten Ende graphisch dar. > > > > >

Tu:=O.: TI:=20: Tr:=15: b:=0.1: h:=0.01: L:=1: alpha:=10: lambda:=1000: k:=2*(1/h+ 1/b)*alphallambda; plot(T(x), x=O .. L); 20

Abb. 152: Temperaturprofil im Stab

i- O. Daher Aus der Lc;sungskurve entnimrnt man, daB an beiden Rtindern ｾ［＠ erfolgt tiber die Rander hinweg ein Warmetransport statt, der proportional zum Gradienten ist.

475

4.1 Herieitungen def Laplace-Gleichung

§4. Die lBplace-Gleichung Die Laplace-Gleichung ist eine der bekanntesten partiellen Differentialgleichungen. Sie tritt bei vielen stationaren Problemen, wie z.B. einem stationaren Warmestrom, der Auslenkung einer Membran sowie bei elektrostatischen Potential en auf. Letzteres ist auch der Grund, weshalb die Laplace-Gleichung oftmals als Potentialgleichung bezeichnet wird.

4.1 Herleitungen der laplace-Gleichung i) Elektrostatisches Potential ffir ebene Probleme. Die Grundgleichungen der Elektrostatik ftir ebene Probleme lauten

E(x, y)

.;t;.( ) _ (ax(x, y) ) -grad 'J! x, y - y (x, y)

(1)

div E(x, y)

1 - p(x, y). c

(2)

a

Dabei ist (x, y) das elektrostatische Potential,

E (x,

y) = (

ｾ＠ ｾＺ＠ ｾ＠

) das

elektrische Feld, p (x, y) die Ladungsdichte jeweils am Ort (x, y) und c die Dielektrizitatskonstante. Setzt man Gleichung (l) in (2) ein, folgt mit der Rechenvorschrift ftir die Divergenz (siehe Kap. XVI.1)

div E(x, y)

ax El (x, y)

+ ay E2 (x, y) 1

ax (-ax (x, y)) +ay (-Oy (x, y)) = -p(x,y) C

=}

｡ｾ＠

(x, y)

+ a; (x, y) = -!c p(x, y).

Ftir den ladungsfreien Raum ist p (x, y) =}

I｡ｾ＠

(x, y)

(Poisson-Gleichung)

=0

+ a; (x, y) = 0·1

(Laplace-Gleichung)

Zur Abktirzung der linken Seite der Laplace-Gleichung setzt man 1

6 (x, y) := ｡ｾ＠

und nennt 6 den Laplace-Operator.

(x, y)

+ a; (x,

y) I

476

XV Partielle Differentialgleichungen

ii) 2-dimensionale Warmeleitung. Beriicksichtigt man bei der Herleitung der Warrneleitungsgleichung neben dem Warmetransport in x-Richtung auch einen in y-Richtung und nimmt eine isotrope Warmeleitfahigkeit >. in beide Richtungen an, lautet die Energiebilanz auf ein Volumenelement dV = h . dx . dy (wenn der KOrper gegen seine Umgebung warrneisoliert ist):

,, ,

z

I

- - --

, ,'.......... "

!... - - - '- - - - - ,Ｍ［ＢＧＡｾＬｬ＠

y

x

x

x+dx

Abb. 153: W11rmetransport in x- und y-Richtung

Anderung der Energie pro Zeiteinheit !::'t im Massenelement dm

=

ZufluB der Warmemenge durch die Flache h . dy an der Stelle x

+ AbfluB der Warrnemenge durch die Flache h . dy an der Stelle x

+ dx

+ ZufluB der Warrnemenge durch die Flache h . dx an der Stelle y + AbfluB der Warmemenge durch die Flache h . dx an der Stelle y + dy. In Formeln ausgedriickt bedeutet obige Gleichung mit den Grundgesetzen der Thermodynarnik (vgl. §3.1) 8Q

8t = Mit dm

8T c dm 8t =

>.

8 2T (h dy) 8x 2 dx

+ >.

8 2T (h dx) 8y2 dy.

= p dV = p h dx dy folgt schlieBlich

FUr das stationare Temperaturprofil gilt ｾ＠ = 0, so daB die Temperatur nur noch ortsabhangig (T = T (x, y)) ist und sich bestimmt durch !::'T(x,y)

82

82

= [iiiT(x,y) + 8ij2T(x,y) = o.

4.1 Herleitungen der Laplace-Gleichung

477

Das 2-dimensionale Temperaturprofil T (x, y) eines Korpers ist bei Wlirmeisolation der Oberfliiche durch die Laplace-Gleichung bestimmt. iii) Auslenkung einer Membran. Analog zur schwingenden Saite modelliert man auch die Schwingungen einer Membran. 1m Gleichgewicht und unter VernachHlssigung der Schwerkraft sei die Membran waagrecht bei z = 0 eingespannt. Das Schwingen in z-Richtung wird dann durch eine Funktion z (x, y, t) beschrieben. Berechnet man unter den gleichen Annahmen wie bei der Herleitung der eindimensionalen Wellengleichung (vgl. §2.1) die Kraft, welche auf ein Fliichenelement dx dy der Membran wirkt,

so leistet die Membran dem Verbiegen infolge ihrer tangentialen Spannung Widergilt fUr die Querkraft stand. Unter der Annahme einer konstanten Spannung 'Y ｛ｾ｝＠ 6Fu (analog zu §2.1)

Diese Querkraft beschleunigt das Massenelement dm = pdV = phdxdy. Nach dem Newtonschen Bewegungsgesetz gilt daher fUr die Auslenkung z (x, y, t)

8 2

'Y 8t2 z(x, y, t) = p:h

(8[h2 2

z(x, y, t)

8 2

+ 8iJi z(x, y, t) )

der Dichte p ｛ｾ｝＠ und der Dicke h [m] der Membran. mit der Spannung 'Y ｛ｾ｝Ｌ＠ Dies ist die zweidimensionale Wellengleichung. FUr den Ruhezustand der Membran gilt %t z (x, y, t) == O. Dann ist z nur noch eine Funktion von x und y und der stationiire Zustand wird durch die Laplace-Gleichung beschrieben

478

XV Partielle Differentiaigieichungen

4.2 Losung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem) Ais Modellfall fUr die Losung der Laplaee-Gleichung betrachten wir eine Membran, die dureh einen reehteekigen Draht eingespannt ist. Eine der Reehteekseiten wird in z-Riehtung verbogen. Gesueht ist der Verlauf der Membran u (x, y) im Innern des Reehteeks (siehe Abb. 154). u=Q

/ ' Membran

/' u=f(y)

u=c

ｾＭ

Ｎｸ＠

x=a

u=Q

Abb. 154: Eingespannte Membran

u (x, y) bezeichne die Auslenkung der Membran am Orte (x, y) in z-Richtung. u (x, y) ist bestimmt dureh 82

82

7h2 u (x, y) + 8iJi u (x, y) = O.

(laplace-Gleichung)

Da diese PDG die Zeit t nicht enthalt, werden zur vollstandigen Losung der DG keine Anfangsbedingungen, sondern nur Randbedingungen benotigt. Wir betraehten den Fall, daB die reehte Reehteekseite (x = a) in z-Riehtung gemaB einer vorgegebenen Funktion z = f (y) verbogen wird:

u (x, 0)

O',

u (x, b)

o·,

u (0, y)

O',

u (a, y)

f (y)

(sog. Diriehlet-Randwerte).

Mit dem Separationsansatz

u (x, y) = X (x) . Y (y) erhalt man dureh Einsetzen in die PDG

Xl/ (x) . Y (y) + X (x) . yl/ (y) yl/(y)

XI/(x)

=0 2

=> Y (y) = - X (x) = canst = -k .

479

4.2 l1lsung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem)

Eine positive Konstante wurde in der weiteren Analysis nur zu k = 0 fuhren und sornit nur die triviaie Lasung U (x, y) == 0 ergeben. Wir setzen die Konstante man zwei gewahnliche DG 2. daher auf - k 2 . Aus diesem Produktansatz ･ｲｨｾｬｴ＠ Ordnung: (1)

ｏｲｴｳ｡｢ｨｾｮｧｩｫ･＠

bezUglich y: Y" (y)

* (2)

+ k2 Y (y)

y (y) = A cos (k y)

+B

= 0

sin (k y) .

OrtsabMngigkeit bezuglich x: X" (x) - k2 X (x) = o. Das charakteristische Polynom dieser DG lautet P (>.) = >.2 - k 2 und sornit

I

*

folgt aus P (>.) 4: 0: >'1/2 = ±k.1 ek x, e- kx bildet ein reelles Fundamentalsystem. Zur besseren Berucksichtigung der Randwerte wiihlen wir aber cosh (k x) sinh (k x) als Fundamentalsystem.

*

X (x) = C cosh (kx)

Die allgemeine Losung der PDG

I

U

(x , y) = [A cos (ky)

ｬｾｂｴ＠

+D

sinh (kx) .

sich damit schreiben als

+ B sin (ky)][C cosh (k x) + D

sinh (k x)].1

Berucksichtigung der Randbedingungen (Dirichlet-Problem): Bei dem DirichletProblem ist die Auslenkung der Membran an allen 4 Rechteckseiten vorgegeben. In unserem Fall gilt U

(x, 0) = 0 fUr aIle 0 :S x :S a

U(O, y) = 0 fUr aile 0 :S y :S b

U

(x , b)

=0

fUr aile 0 :S x :S a

* * *

A cos (0)

+B

sin (0) = 0

C cosh (0) +D sinh (0)= 0 "-v--"

'--v-'"

=1

=0

B sin (k b)

* *

A = O. C = O.

= O.

Damit man fUr u (x, y) nicht nur die Null-Lasung u (x, y) == 0 ･ｲｨｾｬｴＬ＠ muB B f- 0 k . b = n 7r Es sind also nur diskrete Wellenlangen und sin ( k b) = 0 sein. (2; = k * >. = 2 ｾＩ＠ maglich. FUr jedes n E N ist daher kn = n i eine erlaubte Konstante und Un (x, y) = en sinh(n ｾ＠ x) sin(n ｾ＠ y)

*1

I.

eine mogliche Losung der PDG. Diese Funktionen bilden stehende Wellen in y-Richtung mit Knoten bei y = 0 und y = b. Nach dem Superpositionsgesetz fUr

480

XV Partielle Differentialgleichungen

lineare DG ist die Losung fiir obige Randbedingungen dann gegeben durch

ｾＮ＠ 7r . 7r = ｾ＠L Un (x, y) = Len smh(n b x) sm(n bY).

U(x, y)

n=l

n=l

Die Koeffizienten en werden durch die vierte Randbedingung festgelegt:

u(a, y) = f(y) fiir aIle O:S y:S b 00

'* L

[en sinh( n

n=l

i a)] . n i y) = f (y) . sin(

Setzen wir die Funktion f (y) ungerade auf das Intervall [-b, 0] und 2b-periodisch auf ganz IR fort, stellt (*) die Fourierreihe der Funktion f (y) dar mit den Fourierkoeffizienten

en sinh(n

i a)

=

ｾ＠

fob f (y) sin(n

i y) dy

n = 1,2,3, ....

Zusammenfassung: Die Losung der Laplace-Gleichung U xx

(x, y)

+ U yy (x,

y) = 0

mit den Dirichlet-Randwerten

u (x

= 0,

y)

= u (x, y = 0) = u (x, y = b) = 0,

u (x = a, y) = f (y), ist fUr das Rechteck gegeben durch 00

u (x, y)

=

Len sinh(n

i x) sin(n i y)

n=l

mit den Koeffizienten

en

=

2

b ·nh( 7r) S1 nba

fob 0

7r

f (y) sin(n -b y) dy

n = 1, 2, 3, ...

Bemerkung: Der Separationsansatz fiihrt nur dann direkt zur Losung des DirichletProblems, wenn u auf drei Seiten des Rechtecks Null ist. Ein beliebiges DirichletProblem fOr ein Rechteck HtBt sich aber in vier Probleme aufteilen, bei denen jeweils drei Dirichlet-Werte verschwinden. Durch Superposition der vier Teillosungen erh1ilt man dann die gesuchte Gesamtlosung.

481

4.2 Ulsung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem)

5. Beispiel ffir eine Verbiegung bei x = a Eine Membran sei durch einen rechteckigen Draht eingespannt (siehe Abb. 155). Der Draht wird an der Stelle y = b in z-Richtung verbogen, wobei die Verbiegung

u=Q

ｧ･ｭｾｂ＠

f (y) = y (y - b) erfolgen soIl. Gesucht ist die Auslenkung der Membran in z-Richtung im Innern des Rechtecks. FUr die Rechnung mit MAPLE setzen wir a = 2 und b = 1.

Abb. 155: Drahtverbiegung

beix=a

1 Schritt: Fourierzerlegung der Funktion f (y) als punktsymmetrische 2b-periodische Funktion. bn sind die Fourierkoeffizienten von f.

> a:=2: b:=1: > f(y):=y*(y-b): > b_n:=2/b*int(f(y)*sin(n*Pi/b*y),

y=O .. b);

b n '= 2 n1r sin (n1r) -

.

+ 2 cos (n1r)

n 3 1r3

> b_n:=subs( {sin(n*Pi)=O,

_ 4 _1_ n 3 1r3

cos(n*Pi)=(-1)"n}, b_n);

b_n:=

n

34 3 1r

((-It -1)

> ff(y):=sum(b_n*sin(n*Pi/b*y),n=1 .. 3); > plot([ff(Y),f(y)], y=O .. b);

Abb. 156: Funktion fund Partialsumme der Fourierreihe mit 3 Summanden 3

Vergleicht man die Partialsumme

L n=l

bn sin(n i y) (nur 3 Summanden!) mit der

Funktion f (y), kann man graphisch keinen Unterschied feststellen (siehe Abb. 156).

482

XV Partielle Differentialgleichungen

2. Schritt: 3-dimensionale Darstellung der Lasung mit der analytischen Lasungsformel. Wir verwenden von der Lasungsformel nur 5 Summanden:

> c_n:=b_n/sinh(n*Pi/b*a): > plot3d(sum(c_n*sinh(n*Pi/b*x)*sin(n*Pi/b*y), n=1 .. 5), >

x=O .. a, y=O .. b, axes=boxed, style=patch);

Abb. 157: Verbiegung einer Membran, die an 3 Seiten bei u = 0 eingespannt ist

4.3 Losung der laplace-Gleichung (Neumann-Problem) In der Elektrostatik stellt sich oftmals das Problem, daB die Potentialwerte nieht an allen Randern bekannt sind. Z.B. an sog. offenen Randern weiB man nur, daB die Aquipotentiallinien senkrecht zum offenen Rand verlaufen. Mathematisch bedeutet dies, daB die Normalenableitung des Potentials, also das elektrische Feld senkrecht zum Rand, verschwindet. Dies fUhrt zu sog. Neumann-Randbedingungen. Wir betrachten fUr das Rechteck die folgende Problemstellung

82

82

""iJx2 U (x, y) + 8y2 U (x, y) U

y (x, 0)

Ux

= 0

(0, y) = 0

Laplace-Gleichung

= 0

uy (x, b) = 0 Ux

(a, y)

= f (y)

} (Neumann-Randwerte).

Mit einem Separationsansatz erhalt man nach §4.2 die allgemeine Lasung U

(x, y)

=

[A cos (ky)

+ B sin (ky)]

[0 cosh (k x)

+ D sinh (k x)].

Urn die gestellten Randbedingungen berUcksiehtigen zu kannen, berechnen wir die partiellen Ableitungen nach x und y Ux

(x, y) = [A cos (ky)

+ B sin (ky)]

u y (x, y) = [- A k sin (k y)

[0 k sinh (kx)

+ B k cos (k y)]

+ D k cosh (kx)]

[0 cosh (k x)

+ D sinh (k x)].

483

4.3 Ulsung der Laplace-Gleichung (Neumann-Problem)

Damit folgt: u y (x, 0) = 0 fOr aIle 0::; x ::; a: Ux

Uy

(0, y) = 0 fUr alle 0 ::; y ::; b:

(x, b) = 0 fUr aIle 0::; x::; a:

FUr jedes n

= 0,

+ B k cos (0) = 0

-Ak sin (0)

:::} B = O.

C k sinh (0) +D k cosh (0)= 0 :::} D = O. "-v--'

'-v-'"

=0

=1

sin (kb) = O:::} kb = n1l'

: :} Ik

n

= n

tin

= 0, 1, 2, 3, ...

1, 2, ... ist also

eine LOsung und durch Superposition folgt die allgemeine LOsung

Die Koeffizienten Ux

(a, y)

=! (y)

Cn

werden wieder aus der vierten Randbedingung gewonnen:

fOr aIle

0::; y ::; b

Setzen wir die Funktion f (y) gerade auf das Intervall [-b, 0] und dann 2bperiodisch auf 1R fort, ist (*) bis auf das konstante Glied Co die Fourierreihe von ! (y). Die LOsung dieses Randwertproblems ist also nur bis auf eine Konstante Co eindeutig. Wir fordern daher, daB z.B. Co

Die Ubrigen

Cn

= fob ! (y) dy = O.

berechnen sich ftir n Cn

=

. 2(

= 1, 2, 3, ... )

lb

n 11' smh n t a o

tiber die Formel 11'

!(y)cos(n-by)dy.

6. Beispiel ffir die Vorgabe der Ableitung bei x = a. Geben wir die Ableitung der Funktion u (x, y) an der Stelle x = a vor als ! (y) = y (y - b) + b: ' so erftillt diese Funktion die Eigenschaft ! (y) dy = O. Mit dem gleichen Vorgehen wie in Beispiel 5 wird zu dieser Funktion die Fourierreihe mit den Fourierkoeffizienten

J;

484

XV Partielle Differentialgleichungen

f

an = n 22Jr 2 ((-1 + 1) gebildet. Zur graphischen Darstellung der Funktion tiber die Fourierreihe benOtigt man etwa n = 14 Summenglieder, darnit Funktion und Fourierreihe graphisch tibereinstimmen. Mit dem plot3d-Befehl steUt man dann die Lasungsformel graphisch dar: > a:=2: b:= 1: > f(y):=y*(y-b)+b 2/6: > a_n:=2/b*int(f(y)*cos(n*Pi/b*y),y=O.. b): > c_n:=a_n*b/(n*Pi*cosh(n*Pi/b*a)): > plot3d(sum(c_n*cosh(n*Pi/b*x)*cos(n*Pi/b*y),n=1 .. 5), x=O .. a, y=O .. b); A

4.4 Die laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten (r, - P A X (x) = T (t) = canst = -w . Eine positive Konstante wlirde zu einer nicht-physikalischen Lasung flihren. Durch diesen Produktansatz reduziert man die PDG auf zwei gewahnliche DG: (1)

Zeitabhangigkeit: Til (t)+w 2 T(t) = 0

=> T(t)

=

A cos (wt)+B sin (wt).

(2) Ortsabhangigkeit: X(4) (x) - ｾ＠ w2 X (x) = O. Dies ist eine DG 4. Ordnung. Mit dem Ansatz X (x) = elf.. x erhalt man das charakteristische Polynom w2 mit den Nullstellen P (A) = A4 -

M

ａ､ｊﾱｾＮ［ｷ＠ Setzt man

K

=

ifi;J..jW, so sind

Al

= K, A2 = -K, A3 = i K, A4 = -i K

die Nullstellen von P (A) und e KX ,

e -KX ,

bildet ein komplexes Fundamentalsystem. Mit den Linearkombinationen sinh (K x) sin (KX)

= ｾ＠

(e KX

= 1i (e

-

iKX -

e- KX ),

e-

cosh (K x)

= ｾ＠

(e KX + e- KX ),

iKX ),

folgt ein reelles Fundamentalsystem cosh (KX) ,

sinh (KX) ,

COS(KX),

sin(Kx).

Die Lasung der gewahnlichen DG lautet

Die allgemeine Losung der PDG ist damit gegeben durch

u(X, t)

= [AI

cosh (KX)

+ A2 sinh (K x) + A3 cos (K x) + A4 sin (K x)] [A cos (wt) + B sin (wt)]

Die Konstanten AI, A 2, A 3, A4 bzw. A und B bestimmen sich aus den Randbedingungen bzw. aus der Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit.

494

XV PartielIe Differentialgleichungen

Beriicksichtigung von Randbedingungen Folgende Randbedingungen fUr den rechten Rand (und entsprechend fUr den linken Rand) konnen physikalisch auftreten.

fest eingespannt:

X(O) = 0 X'(O) = 0

gelenkig:

X(O) = 0 X"(O) = 0

(j

frei:

X"(O) X"'(O)

=0 =0

Wir behandeln irn folgenden aber nur zwei Kornbinationen: gelenkiglgelenkig (-+§6.3, dies ist der einzige Fall, der zu einer geschlossenen Losung fuhrt) und fest/fest (-+§6.4, in diesern Fall kann die zugehorige Eigenwertgleichung nur nurnerisch gelOst werden). Urn die Randbedingungen zu berticksichtigen, bilden wir die Ableitungen von X (x) bis zur Ordnung 3

Damit folgt X (0) = Al X (L) = Al cosh (KL)

+ A2

X' (0) = X' (L) = Al K sinh (KL)

+

X" (0) = Al K2 X" (L) = Al K2 cosh (KL)

+

A3 A3cos(KL)+A4sin(KL)

A2K A2 K cosh (K L) - A3 K sin (K L)

+ A2

(0) = XIII (L) = Al K3 sinh (KL)+

XiII

+ sinh (KL)

K2 sinh (KL)

A2 K3 A2 K3 cosh (KL)

-A3 K2 - A3 K2 cos (KL) - A4 K2 sin (KL)

+ A3 K3 sin (KL)

-A4 K3 - A4 K3 cos (K L)

6.3 Einspannbedingung: ge\enkiglgelenkig

495

6.3 Einspannbedingung: gelenkiglgelenkig

x (0) = 0: X" (0) = 0: X(L)=O: X"(L)=O:

Al + A3 = 0 Al - A3 = 0

A2 sinh (K L) + A4 sin (K L) = 0 A2 sinh (KL) - A4 sin (KL) = 0

Das lineare Gleichungssystem fur A2 und A4 darf nicht eindeutig los bar sein, darnit nicht nur die Null-Losung X (x) == 0 existiert. Ein homogenes LGS ist dann nichttrivial lOsbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich Null ist, d.h.

Daraus folgt

n

= 1,2,3, ...

d.h. nur diskrete Frequenzen bzw. WellenHingen sind moglich. Die Eigenwerte sind also n T (bzw. WellenHingen An = 2;). Fur die Eigenwerte Kn = n T ist sin( n r x = 0 und somit A4 beliebig. Das lineare Gleichungssystem fur A2 und A4 reduziert sich zu

I:n ') I

Die zu

Kn

gehOrende Schwingungs/orm lautet daher

Darnit gibt es zu jedem n E N einen Eigenwert Kn mit zugehoriger Eigenfunktion (=Schwingungsform) Xn (x) und die Losung y(x, t) der PDG fUr die Randbedingung gelenkig/gelenkig erhl1lt man durch Superposition aller Einzelmoden 00

y

(x, t) =L

(an cos (w n

t)

+ bn sin (wn t)) sin ( nix)

n=1

mit den Frequenzen Die Koeffizienten an und bn sind durch die Fourierkoeffizienten der Anfangsauslenkung Uo (x) und der Anfangsgeschwindigkeit Va (x) festgelegt. Analog den

496

XV Partielle Differentiaigieichungen

Fonneln der eingespannten Saite bestimmt man

an = 2 -1

L

bn

=

JL

Uo (x) sin(n

0

If1

1

EI

pA

n2

2 -1 11'2

V

L

JL 0

Tx) dx Vo (x) sin(n

n = 1,2,3, ...

Tx) dx

n = 1, 2, 3, . . .

Physikalische Interpretation: Wie bei der eingespannten Saite stellt die Lasung die Dbedagerung hannonischer Wellen dar: 00

y (x , t)

=I: An sin ( n EX) .sin (wn t + L:=1: uO(x):=x*(x-L)/2: > a_n:=2/L*int(uO(x)*sin(n*Pi/L*x), x=O .. L): > a_n:=subs( {cos(n*Pi)=(-1 fn, sin(n*Pi)=O}, a_n);

a_n

:=

(-It 1 2 3 3 - 2 """33 n7r

n7r

If1

Setzt man die Materialkonstante fac = = 0.1, erhalt man die Lasung > fac:=0.1: > y(x, t) := sum(a_n*cos(fac*(n*Pi/Lf2*t)*sin(n*Pi/L*x), n=1..1 0): und mit dem animate-Befehl die zeitdynamische Visualisierung > with(plots): > animate(y(x, t), x=O .. L, t=0 .. 10, color=black, thickness=3,

>

scaling=constrained, frames=100);

Die folgende Bildsequenz enthalt die Einzelbilder zu t = 0, 1, 2, 3, 4.

497

6.4 Einspannbedingung: fest/fest

O;;k

t=O

ｾ［ｫ＠

x

-0.1

ｾ＠

-0.1

t=1.2

0;1

ｾ［ｦＭ｣］＠

x

-0.1

t=1. x

-0.1

ｾ＠

ｾ＠

x

0;;1

x

-0.1

t=O.6

ｾＱＢＧＭ

1

x

-0.1

ｾ＠

t=3.0

,

Interpretation: Durch die Animation erkennt man, daB es nicht nur zum Durchschwingen, wie bei der eingespannten Saite kommt, sondern die Bewegung wird durch ein Flattern innerhalb des Balkens uberlagert.

6.4 Einspannbedingung: fest/fest

+ A3

ｾ＠ 0

x (0) = 0:

Ai

x' (0) = 0:

A2 + A4 Ai cosh (f\;L) + A2 sinh (f\;L) + A3 cos (f\;L) + A4 sin (f\;L) Ai sinh (f\;L) + A2 cosh (f\;L) - A3 sin (f\;L) + A4 cos (f\;L)

X (L)

x' (L)

= 0: = 0:

ｾ＠ 0 ｾ＠ 0 ｾ＠ 0

Damit das line are Gleichungssystem fUr A l , A 2 , A 3 , A4 nicht nur triviall6sbar ist und nur die Null-Losung y (x, t) == 0 fUr aIle (x, t) besitzt, muB die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden:

o 1 sinh(1\: L) cosh ( I\: L)

1 0 cos (I\: L) - sin (I\: L)

= 2 - 2 cosh (I\: L) cos (I\: L)

1

== O.

Somit erhalten wir die Eigenwertgleichung

1cosh (I\:L) cos (I\:L)

=

1.1

Es sind also nur diskrete I\:n (n E No) erlaubt. Die L6sungen der Eigenwertgleichung lassen sich nicht geschlossen angeben und mUssen daher naherungsweise berechnet werden. Dazu setzen wir L = 1 und lOsen die nichtlineare Gleichung

498

XV Partielle Differentialgleichungen

numerisch mit MAPLE. Da ftir groBe K die Kosinus-Hyperbolikusfunktion sehr stark anwachst, sind die Eigenwerte (d.h. die Losungen der Gleichung (*)) nahe den Nullstellen des Kosinus bei n 7f + I' Daher bekommen wir ftir groBere K- Werte Probleme, wenn wir die Genauigkeit der Rechnung nicht erhohen. Wir setzen die Rechengenauigkeit auf 20 Stell en. > Digits:=20: > eq := cosh(k)*cos(k)=1 : Es liegt kein Eigenwert zwischen 0 und ｾ＠ > fsolve(eq, k, k=O.01 .. 1.5*Pi);

7f,

denn

liefert kein Ergebnis. Urn einen besseren Dberblick tiber die Lage der Eigenwerte zu erhalten, berechnen wir neben den Losungen der Gleichung (*) noch das Verhaltnis dieser Losungen mit 7f: > for n from 1 to 15 > do ku:=(n+ 112)*Pi-O.2: kO:=(n+ 1/2)*Pi+O.2: > k[n]:=fsolve(eq, k, k=ku .. kO): > Iprint(k[n], k[n]/evalf(Pi)); > od: 4.7300407448627040260, 1.5056187311419397690 7.8532046240958375565, 2.4997526700739646572 10.995607838001670907, 3.5000106794359084827 14.137165491257464177, 4.4999995384835765581 17.278759657399481438, 5.5000000199439028337 20.420352245626061091, 6.4999999991381457567 23.561944902040455075, 7.5000000000372440985 26.703537555508186248, 8.4999999999983905363 29.845130209103254267, 9.5000000000000695511 32.986722862692819562, 10.499999999999996994 36.128315516282622650, 11.500000000000000130 39.269908169872415463, 12.499999999999999994 42.411500823462208720, 13.500000000000000000 45.553093477052001958, 14.500000000000000000 48.694686130641795196, 15.500000000000000000 An dem Ergebnis ist zu erkennen, daB ab n = 13 kein numerischer Unterschied zwischen der Losung der Gleichung (* ) und der Nullstelle des Kosinus besteht. Wir mtiBten Digits nochmals vergroBern, urn die numerische Genauigkeit zu erhOhen. Stattdessen benutzen wir nur die ersten n = 1 ... 12 die Eigenwerte Kn. Mit diesen Werten erhalten wir ftir jedes n E N die Koeffizienten A ａｾｮＩＬ＠ ａｾｮＩ＠ und ａｾｮＩ＠ gemaB dem LGS mit einem freien Parameter. Wahlen wir n ) als beliebig, folgt aus den ersten beiden Gleichungen

in) ,

Ai

499

6.4 Einspannbedingung: fest/fest

bzw. in die letzten beiden Gleichungen eingesetzt

ａｾｮＩ＠

(cosh (II: n ) - cos (II: n ))

+ ａｾｮＩ＠

(sinh (II: n ) - sin (II: n ))

0

Ain) (sinh (II: n ) + sin (II: n ))

+ ａｾｮＩ＠

(cosh (II: n ) - cos (II: n ))

O.

Die Koeffizienten ａｾｮＩＬ＠

Ain) ergeben sich nun aus Ain) durch

A(n) 2

A(n) 3

A(n) . cosh (II:n) - cos (II:n) 1 sinh (II: n ) - sin (II: n ) .

A(n) 4

Zu jedem n E N geMrt eine Eigenschwingung der Form

Die Losung Yn(x, t) setzt sich zusamrnen aus dem Produkt Tn(t)· Xn(x) und die allgemeine Losung der PDG y(x, t) ist dann gegeben durch die Dberlagerung aller Eigenschwingungen: 00

y

(x, t) =

2:

[an cos (w n t)

+ bn sin (wn t)].

n=l

mit Wn

ｾ＠ ｋｾ＠

•

J:ｾ＠

und "" aus obiger Tabelle.

Die Koeffizienten an und bn ｨｾｮｧ･＠ in komplizierter Weise von der Anfangsauslenkung und der Anfangsgeschwindigkeit abo

Visualisierung mit MAPLE. 1m folgenden veranschaulichen wir nur eine konkret (ohne Anfangsgeschwindigkeit '--t bn = 0) obige vorgegebene ａｮｦ｡ｧｳｵｬ･ｾ＠ Losung. Dazu setzen wir

Vｾ＠

= 1 und

wililen die Anfangsauslenkung

500

XV Partielle Differentialgieichungen

ＫａｾｮＩ＠

cos (Kn x)

+ Ain) sin (Kn x)) ,

Ain) gemaB obigen Fonneln berechnet werwobei Ain) = 0.1 und ａｾｮＩＬ＠ den. Die Anfangsauslenkung ist in der Bildsequenz fUr t = 0 dargestellt. FUr die Koeffizienten gilt > for n from 1 to 7 > do A 1[n]:=0.1 : > A2[n]:=A 1[n]*(-1 )*(cosh(k[n])-cos(k[n]))/(sinh(k[n])-sin(k[n])): > A3[n]:=-A 1[n]: > A4[n]:=-A2[n]: >od: Die zur Anfangsauslenkung Yo (x) gehOrende Schwingung lautet > u(x, t):=sum('sin(n*Pi/2)/n 2*(A 1[n]*cosh(k[n]*x)+A2[n]*sinh(k[n]*x) > +A3[n]*cos(k[n]*x)+A4[n]*sin(k[n]*x)) *cos(k[nr2*t)', 'n'=1 .. 7): A

Animation: > with(plots): > animate(u(x, t), x=0 .. 1, t=0 .. 0.55, color=black, > scaling=constrained, frames=50); In der folgenden Bildsequenz werden die Zeitpunkte t und 0.125 dargestellt.

ｯ［Ｌｉｾｏ＠

o

x

-0.1

oy1\ ｯｬＭｾ［Ｚ｟］ｸ -0.1

0.025; 0.05; 0.075; 0.1

ｯｾｬ＠

1

-0.1

-0.1

ＰｾＱ＠

= 0;

ｾ＠

ｾ＠

1=0.05

x

ｾ＠

;t___ｾｯＺＭ｟］＠

x

ｾ＠

1=0.025

__t=_O_'O_7......5

-0.1

_-｟ＭｾＺ［ｏＧＱ＠

1=0.1

ｯｾＱ＠

'=0.125

ＰｾＱ＠

-0.1

Auch bei dieser Animation zeigt sich das Flattern des Balkens.

501

Aufgaben zu partieilen DO

Zusammenstellung der MAPLE- Befehle with(plots) animate(u(x, t), x = a .. b, t = O.. T, frames = N) Animation der Funktion u(x, t) im Bereich a ::; x ::; b fUr Zeiten t = O.. T mit N Zwischenschritten. animate3d(u(x, y, t), x

= a .. b, y = c .. d, t = O.. T,

frames = N) Dreidimensionale Animation der Funktion u(x, y, t) im Bereich a ::; x ::; b, c::; y ::; d fur Zeiten t = O.. T mit N Zwischenschritten.

Aufgaben zu partiellen DG 15.1

Dberprufen Sie, daB

u (x, t) = cos (wt) . sin (k x) L()sung der Wellengleichung Utt -

c2 U xx = 0

k = n fund w = c· kist und den Anfangsbedingungen (x = L, t) = 0 geniigt.

fUr U

15.2

Zeigen Sie, daB

15.3

15.4

w = D . k2

(x = 0, t) =

u(x, t) = e- wt sin (kx) L()sung der W!lrmeIeitungsgIeichung Ut -

fur

U

Du xx = 0

ist.

Zeigen Sie, daB die Funktionen a) f (x, y) = In (x 2 + y2) der LapIace-GIeichung fxx + fyy = 0 b) 9 (x, y, z) = (x 2 + y2 + z2) -1/2 der LapIace-GIeichung gxx + gyy geniigen.

!

+ gzz =

0

a) Dberprufen Sie, daB die durch

beschriebene Temperaturverteilung eines (unendlich ausgedehnten, nach auBen w!lrmeisolierten) Stabes der WarmeIeitungsgIeichung genUgt. T (x, t) stellt einen sogenannten Warmepol dar, bei we1chem die W!lrme von der ursprunglich sehr heiBen Stelle bei x = 0 nach beiden Seiten wegstr()mt. t= aus? b) Wie sieht die Temperaturverteilung zur Zeit t = 0, t = c) Wann erreicht die Temperatur an einer festen Stelle x = Xo ihren maximalen Wert? 2 (Rechnen Sie mit Xo = 5 em, D = 1.12

i'

c':c.)

15

xv

502

15.5

Partielle Differentialgleichungen

a) Beweisen Sie, daB mit zwei beliebigen, zweimal stetig differenzierbaren Funktionen ----> R die Funktion U (x, t) = h (x + ct) + 12 (x - ct) Lasung der Wellengleichung ist. b) Lasen Sie das Anfangswertproblem

h, 12 : R

Utt -

c2 U xx = 0,

= 0) = Uo,

U (x, t

Ut

fUr vorgegebene Funktionen uo, Vo mit dem Ansatz

12(x-ct). c) Was ergibt sich daraus fUr Uo (x) 15.6

U

(x, t) =

= sin (k x), k = n T und

Vo

Vo

h (x + c t) +

= O?

Der Halbraum x > 0 sei von einer isotropen Substanz mit der Temperaturleitzahl D x= 0 herrsche eine Temperatur, die periodisch nach ausgefUllt. An der ｇｲ･ｮｺｦｬｾ｣ｨ＠ dem Gesetz T (x = 0, t) = A + To . cos (wt) schwankt. Diese Temperatur setzt sich in dem Halbraum als ｧ･､ｾｭｰｦｴ＠ Welle fort. a) Berechnen Sie die Temperatur als Funktion von Ort und Zeit. (Ansatz: T (x, t) = Re (A + To. e i (kx-wt))) b) In welcher Tiefe ist die Amplitude der Temperaturschwankung auf den e-ten Teil abgesunken? Rechnen Sie (I.) das Eindringen der ｪｾｨｲｬｩ｣･ｮ＠ Temperaturschwankung in die Erde (D = 2.10- 8 m 2 , To = 30°C); (II.) das Eindringen in Eisen (Wand eines Explos

sionsmotors) (D 15.7

(x, t = 0) =

= 1.2 . 10- 5 ｾ＠

2

To

,

= 400

0

C ,w

= 27r . ｾＩＮ＠

Zeigen Sie, daB bei der Balkenbiegungsgleichung mit der Einspannbedingung festlfrei die Eigenwertgleichung cosh (II:L) cos (II:L) =-1 erfUllt werden muB.

15.8

Zeigen Sie, daB

ｯｾ＠ 15.9

R

=

V(x - a)2

1i + 0; 1i + ｯｾ＠ 1i = 0

Dberprufen Sie, daB

z (x, y)

202 X

ox 2

+ (y -

b)2

+ (z -

c)2

der partiellen DG

genUgt.

= x cp

(;:) +"p (;:)

02

Z

+ 2 x y ox oy z + y

die partielle DG

202

oy2 z = 0

erfullt, wobei cp und "p beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktionen sind. 15.10

Bestimmen Sie k so, daB U (x, t) = e-,d sin (nt x) Lasung der Warmeleitungsgleichung Ut = K, U xx ist. Wie lautet damit die allgemeine Lasung?

15.11

a) Man bestimme die allgemeine Lasung der partiellen Differentialgleichung U xx

(x, y) -

U

yy (x, y)

= O.

b) Man bestimme die allgemeine Lasung dieser PDG, welche die folgenden Randbedingungen erfUllt: fUr aile y U (x = 0, y) = 0 fUr aile x u(x, y = 0) = 0 fUr aile x u(x,y=L)=O

503

Aufgaben zu partie lien DO

15.12 Bestimmen Sie die allgemeine Losung der partiellen DG Ut (t, x) + U xx (t, x) = o. 15.13

a) Bestimmen Sie den Parameter k so, daB u(x,y,t)=sin(n 2; x) sin (m2; Y) ekt Losung von U xx (x, y, t) + U yy (x, y, t) = Utt (x, y, t) (*) ist. b) Man gebe ausgehend von a) zwei reelle Losungen von (*) an. Wie ist dieses Ergebnis zu interpretieren?

15.14 Man bestimme den Parameter k so, daB die Funktion U

(x,

y,

. (n L 21r x ) sm . ( m Lye 21r ) _ k t t ) = sm

Losung der partiellen DG

U xx

+ U yy =

15.l5 a) Zeigen Sie, daB die Funktion

ist.

Ut

(x, y) = sin (k x) (e k y + e- k y)

LOsung der partiellen DG U xx + U yy = 0 ist. b) Man bestimme den Parameter kin der Funktion U (x, y) = sin (k x) (e kY + e- ky ) so, daB die Funktion die Randbedingung U (x = L, y) = 0 fUr alle y erfullt. U

15.l6 Gesucht ist die Losung von Ut

mit

U

=

U xx

(x, 0) = 1 fUr 0 < x < 1r und

U

(0, t) = 1,

U

(1r, t) = 0 fUr t

> o.

15.17 Die Laplace-Gleichung lautet in Polarkoordinaten ｾｵ＠

=

1

U rr

1

+ -r U r + 2" r u"'''' = o.

a) Filhren Sie einen Produktansatz U (r, cp) = R (r) . (cp) durch und bestimmen Sie die gewohnlichen DG fUr R (r) und (cp). b) Zeigen Sie, daB fUr geeignetes w (cp) = A sin (w cp) + B cos (w cp) Losung der DG fUr (cp) ist. c) Zeigen Sie, daB fUr geeignetes n R(r) = ern eine Losung der DG fUr R(r) ist.

15.18 FUr die Wellengleichung losungen der Form

15.l9

ｗｾｲｭ･ｬｩｴｵｮｧ＠

Utt

U

= e2 (u xx

+ U yy + u zz )

bestimme man die Grund-

= e",x+,ay+·p-ct.

in der Ebene: Man J()se mitte1s einem Separationsansatz die Differentialgleichung Ut = U xx + U yy durch U (x, y, t) = T (t) . X (x) . Y (y) (vgl. Aufgabe 15.14).

15.20 Balken-Gleichung: Man bestimme eine Losung von

+ e2 U"'''''''''' = 0 , 0 ｾ＠ u(L, t) = 0, U"'''' (0, t) = u"'''' (L, Utt

mit u(O, t) = Ut (x, 0) = O.

x

ｾ＠ L

t)

= 0,

u(x, 0)

= ax

(L - x),

xv

504

15.21

Benutzen Sie einen Separationsansatz zur Losung der folgenden Randwertprobleme a) Ut b) Ut

= Uy ; = Uy;

c)Ut=Uy+u;

d) Ut = U y - U; 15.22

(0, y) = e Y + e- 2y U (t, 0) = e- 3t + e 2t

U

u(0,y)=2e- y - e 2y u(t, 0) = e- 5t 2e- 7t

+

_14e 13t

Entscheiden Sie, ob die folgenden partieJlen DG mit Hilfe eines Separationsansatzes durch jeweils zwei gewohnliche DG ersetzt werden konnen. Wenn ja, gebe man die Losung an. a) c)

15.23

Partielle Differentiaigieichungen

b) t U xx + x Ut = 0 d) U xx + 2 u xy + Ut = 0

t Utt + u'" = 0 u"'''' + (x - y) U yy = 0

Die dreidimensionale Laplace-Gleichung lautet u",x

+ U yy + U zz =

O.

Man gebe durch den Ansatz U (x, y, z) = X (x) . Y (y) . Z (z) DG fUr X (x) , Y (y) und Z (z) an.

drei gewohnliche

Kapitel XVI Vektoranalysis nnd Integralsiitze Die Vektoranalysis spielt bei der Beschreibung physikalischer GesetzmllBigkeiten in der Mechanik und der Elektrodynamik eine grundlegende Rolle. Betrachtet werden Vektorfelder im 1R3 if(x, y, z)

=

(

(x, Y, z) ) (x, y, z) : ID C 1R3 V3 (x, y, z) VI V2

----+

1R3

wie sie in Kap. X.3.3.3 eingefuhrt wurden. Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt P(x, y, z) des dreidimensionalen Raumes einen Vektor zu. Die elektrische Feldstarke E(x, y, z), die magnetische Induktion B (x, y, z) oder das Geschwindigkeitsprofil if (x, y, z) eines stromenden Mediums sind Beispiele fUr Vektorfelder. Physikalische Gesetze lassen sich durch Differentiation und Integration dieser Vektorfelder formulieren. Ein Vektorfeld if: ID C 1R3 ----+ 1R3 heiBt stetig bzw. (partie/I) differenzierbar, wenn diese Eigenschaften fUr jede Komponente von if zutreffen. 1m folgenden seien die Vektorfelder immer stetig partiell differenzierbar. Neben den Vektorfeldern spiel en auch skalare Funktionen (Skalarfelder)

f (x,

y,

z): ID

C

1R3

----+

1R

eine Rolle, weil sich die Gradientenfelder (vgl. X.3.3) als Gradient solcher skalaren GraBen darstellen lassen gradf (x, y, z) :=

ax f (x, y, z) ( ay f (x, y, z) az f (x, y, z)

)

.

FUr grad f findet man auch oft die Bezeichnung \7 f mit dem Nabla-Operator \7. Die Vektoranalysis behandelt Rechenoperationen mit Vektorfeldern: Fur die Differentiation werden neben dem Gradienten noch zwei weitere Operationen benatigt, die Divergenz und die Rotation. Fiir die Integration werden die sog. lntegralstltze von Gauj3 und Stokes bereitgestellt. Die physikalische Bedeutung der Differentialoperatoren wird durch die Interpretation ·der Integralsiitze ersichtlich. Daher

T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001

506

XVI Vektoranalysis und Integralsatze

diskutieren wir den Begriff der Divergenz zusammen mit dem Satz von GauB und die Rotation zusammen mit dem Satz von Stokes. Die Integralsatze bilden eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Differential- und Integralrechnung

lb

f'(x) dx=f(b)-f(a).

Das bestimmte Integral im Intervall [a, b] wird berechnet, indem nur Funktionswerte am Rand von [a, b] benotigt werden. Die Integralsatze ftihren gewisse Gebietsintegrale auf Randintegrale zurtick: Der GauBsche Satz ftihrt ein Volumenintegral auf ein Oberflachenintegral und der Stokesche Satz ein Flachenintegral auf ein Kurvenintegral zuruck.

§1. Divergenz Dnd Satz von GaDS 1.1 Die Divergenz Sei das Geschwindigkeitsfeld einer stromenden Fltissigkeit, das in einern Gebiet G c rna gegeben ist. 0 sei die Oberflache des Gebiets. Nach Kap. X.3.4 gibt dann das Oberflachenintegral

v

f

vdO

(0)

=

f

viidA

(0)

den NettofluB der FlUssigkeit durch die Oberflache 0 an. Statt dO schreibt man oftmals auch ii dA, wenn ii der nach auBen gerichtete Normaleneinheitsvektor und dA das Flachenelement darstellt. 1st das Integral positiv, dann sagt man, im Gebiet G befinden sich Quellen, ist es negativ, befinden sich irn Gebiet G Senken. 1m folgenden werden wir eine einfache Berechnungsmethode finden, wie durch geeignete Differentiation des Vektorfeldes die Quellen berechenbar sind, ohne dabei das Oberflachenintegral auswerten zu mtissen.

v

Das Oberflachenintegral

f

v dO laBt nur eine giobale Aussage irn Sinne einer

(0)

Gesamtbilanz tiber das ganze Gebiet G zu. Urn eine lokale Aussage tiber die Eigenschaften des Geschwindigkeitsfeldes v in einern Punkt P zu erhalten, wahlen wir urn P ein Volumen V mit Oberflache 0 und lassen das Volumen gegen Null gehen. Man nennt diesen Grenzwert die lokaIe Quellendichte oder Divergenz von v in P und schreibt:

· ｾｉ＠ dIVV

p

= 1·1m

1 "V

t,V-.o u

f

(0)

ｾ＠ ｾ＠ dA . vn

507

§1. Divergenz und Satz von GauB

Zur Berechnung des Oberflachenintegrals setzen wir zur Vereinfachung der Notation den Punkt P in den Ursprung und wahlen als Gebiet einen Quader mit Mittelpunkt P und den Kantenlangen 2.6.x, 2.6.y, 2.6.z.

z

y

x

n, Abb. 160: fluB durch Flache Ai und A2

Den GesamtfluB der Masse aus dem Quader bilanzieren wir, indem wir den FluB durch jeweils zwei gegenUberliegenden Flachen bestimmen. FUr den FluB durch die Flachen Al und A2 gilt:

=

z

JJ vih dAI + JJ vn2 dA2. (At)

Die FUtche Al bei z

(A2)

= -b.z hat die Nonna1e

( _

ｾ＠

)

="

uod ai, F1.X

z ｾ＠

j -f>.x

-£::,.y

bezuglich der Variablen z ｾｺ＠

ｾ＠

8 8z V3 (x, y, 0) . 2 ｾｺ＠

8 8z V3 (x, y, 0)· ＲｾｺＧ＠

dxdy.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (Bd. 1, Kap. VI.3.2) kann die Funktion V3 (x, y, 0) aus dem Integral gezogen werden, wenn sie an einer geeigneten ZwischensteIle ＨｾＱＧ＠ "'1) mit Ｍｾｸ＠ :S 6 :S ｾｸ＠ und Ｍｾｹ＠ :S "'1 :S ｾｹ＠ ausgewertet wird

:z

Entsprechende Ausdrticke erhalt man fUr die beiden anderen gegenUberliegenden Seitenpaare x und y. Der GesamtfluB aus dem Quader ist durch die Summe gilt somit der Beitrage von x, y und z gegeben. Mit ｾ＠ V = 8 ｾｸ＠ ｾｺ＠ ｾｹ＠ divvl Po lim

f>.V-tO

:S 6,6 :S

mit Ｍｾｸ＠ ｾｖ＠

Ｘｾ＠

x

ｾｸＬ＠

ＭｾｹＺｓ＠

0 (d.h. D.x --+ 0, D.y Po (insbesondere gilt 6, 6, --+

ｾ＠ y ｾ＠ Z Ｘｾｸｹｺ＠

--+

"'1,

"'1, TJ2 :S D.y, -D.z:S T2, T3 :S D.z. FUr 0, D.z --+ 0) streben aIle Punkte im Quader gegen TJ2, T2, T3 --+ 0).

Man kann aIlgemein zeigen, daB der Grenzwert fUr jeden Punkt P des Definitionsbereichs des Vektorfeldes existiert und unabhangig vom gewahlten Gebiet (bzw. Oberflache) ist:

v

. _ dlVV

(x, y, z)

8Vl

= ax (x,

y, z)

8V2

+ dy (x,

y, z)

8V3

+ 7); (x,

y, z)

ist die Divergenz des Vektorfeldes vim Punkte (x, y, z).

Die Divergenz div veines Vektorfeldes v gibt die lokale Quellendichte von vim Punkt P (x, y, z) an. 1st di v v = 0, dann hat das Vektorfeld keine lokalen QueIlen. Die Divergenz eines Vektorfeldes

vist kein Vektorfeld, sondern ein skalares Feld.

§l. Divergenz und Salz von GauB

1. Beispiele: ( x 2 - y Z y2 - Z x (1) FUr v = z2 - xy

509

)

ist die Divergenz

divv

im Punkte P (1, 3, 2):

divvlp = 2 + 6 + 4 = 12.

(2) Gesucht ist die IOka(le ｑｵ･ｬｾ､Ｚｴ＠ elektrische Feld

E=

(=L)adungSdiChte) p (x, y, z), welche das

Ｈｾ＠ + 1) y z2 (x - y) + 2z

erzeugt:

p(x, y, z)

Die Quellendichte ist im Ursprung ist p (0, 0, 0) = 3. (3) In MAPLE wird die Divergenz eines Vektorfeldes durch den Befehl diverge berechnet, dabei wird neben dem Vektorfeld auch der Vektor der Variablen Ubergeben. Der diverge-Befehl befindet sich im linalg-Paket. > Efield:=[1/3*x+y, (Z+ 1)*y, z"2*(x-y)+2*z]: > with(linalg): > diverge(Efield, [x, y, z]);

x 2 +z+3+2z (x-y)

510

XVI Vektoranalysis und Integralslltze

1.2 Gau6scher Integralsatz Sei G c 1R3 ein beschranktes Gebiet, das in Teilgebiete Gk mit Volumina ｾ＠ Vk aufgeteilt ist, die jeweils die Punkte Pk enthalten. Die zum Teilgebiet G k gehOrende OberfHlche sei ｾａｫＮ＠ Dann ist der FluB durch das Gebiet Gk

ｾｖｫ＠

div17lpk

>::;j

f

17ndA

(k = 1, ... , n).

(Ak)

Grenzen zwei Teilgebiete Gk und Gl aneinander, so heben sich die Fltisse an benachbarten Flachen auf, da die nach auBen gerichteten Normalen der gemeinsamen Flachen entgegengesetzt sind. Anschaulich bedeutet dies, daB der FluB durch das Gebiet Gk und Gl durch Bilanzierung der auBeren Flachen bestimmt werden kann!

Abb. 161: FluB durch zwei angrenzende Gebiete

Durch Summation tiber aIle Teilgebiete erhalt man

t

div17lpk .

ｾｖｫ＠

>::;j

k=l

und nach Grenztibergang n

- t 00

111

f

17dA

(A)

(d.h. beliebig feiner Unterteilung

div17dV =

(V)

f

ｾ＠

Vk

-t

0):

17ndA.

(A)

Diese Integralbeziehung bezeichnet man als den Gaufischen Satz: Der FluB eines Vektorfeldes durch eine geschlossene OberfHtche A nach auBen ist gleich dem Dreifachintegral tiber die Quellendichte div in dem eingeschlossenen Volumen.

v

v

Gau6scher Integralsatz: (Divergenzsatz) Sei G C 1R3 ein raumliches Gebiet mit Oberflache A = aV. n sei die auf der Oberflache A nach auBen zeigende Normale der Lange 1 und v (x, y, z) ein Vektorfeld. Dann gilt

111 (V)

div17(x, y, z) dV =

f

(8V)

17ndA.

511

§l. Divergenz und Satz von GauB

2. Beispiel: Gegeben ist das Geschwindigkeitsfeld

2

v = [x - z, x 3 + y z, -3 + y]. Gesucht ist der FluB durch die Kegeloberfll1che mit Hohe h = 2 und Radius R = 2:

=

f

viidA

= JJJ divvdV.

(8V)

Die Divergenz div divv=

Abb. 162: Kegel

(V)

v des Geschwindigkeitsfeldes ist

:x (x-z)+ :y (x 3 +yz)+ :z (-3+y)=1+z.

Fuhren wir Zylinderkoordinaten

x = r coscp y = r sincp Z=Z

ein, ist die Parametrisierung des Volumens (R = 2) cp-Integration z-Integration r-Integration

0 0 0

:S cp :S 21r :S Z :S R - r :S r :S R.

127f 12 1

2- r

,+,=0

21r

12

r=O

r=O

z=O

bei gegebenem r,

(1 + z) r dz dr dcp = 21r

(4r - 3r 2 + ｾ＠ r3) dr 2

12 [ + 21 r=O

Z

] 2-r z2 z=O

r dr

= 41r. ｾ＠

3. Beispiel: Gegeben ist das elektrische Feld E = (

+y] +1 . Man berechne x-y

3 lx3

z

den elektrischen FluB durch die Kugeloberfll1che mit Radius . Der elektrische FluB durch die Oberflache ist nach dem GauBschen Integralsatz =

f

EiidA =

(A)

JJJ div EdV. (V)

Flihren wir zur Beschreibung des Dreifachintegrals Kugelkoordinaten ein

= r coscp cos'!?, y = r sincp cos'!?, z = T sin '!?,

x

512

XVI VektoranaIysis und IntegraIsatze

ist mit das Volumenintegral

111

1=0 1:-:r } OreL! nt( (4*cos(phif2*cos(thetaf3, > phi=O .. 2*Pi, theta=-Pi/2 .. Pi/2, r=O .. R, kugel); =}

111

divEdV =

Ｑｾ＠

R5 7r .

(V)

4. Beispiele: (1) Die Gesamdadung Q in einem raumlichen Gebiet V mit Oberflache A ist bei einer Ladungsdichte p (x, y, z) gegeben durch

Q=

fff

p(x,y,z)dV.

(V)

Der elektrische FluB durch die Oberflache A entspricht bis auf die Konstante co der im Gebiet V eingeschlossenen Ladung

Q = co

f

EiidA =

(A)

fff

p(x, y, z) dV .

(1)

(V)

Nach dem GauBschen Integralsatz ist aber das Oberflachenintegral

Q = co

f

EiidA

= co

ff1

(A)

div EdV.

(2)

(V)

Durch die Gleichheit der Integrale (1) und (2) fUr jedes Volumen V folgt mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung die Gleichheit der Integranden

Ico divE = p·1 Die Quellen des elektrischen Feldes stellen die Ladungsdichten dar. (2) Da es keine magnetische Ladungen gibt, gilt fUr das Magnetfeld stets div jj =

o.

513

§2. Rotation und Satz von Stokes

Zum AbschluB dieses Abschnitts sei noch notiert, daB der GauBsche Integralsatz auch fUr ebene Gebiete sinngemaB gUltig ist:

Gau6scher Integralsatz in der Ebene Sei G C ]R2 ein ebenes Gebiet mit der Randkurve C und v(x, y) := ( vd(x, y)) ) ein ebenes Vektorfeld, V2

x, y

dann gilt

JJ divv dx dy =f v(f(t)) ii dt, (G) wenn f (t) Kurve C und ii (t)

( ｟ｾ＠ m)

=

(C)

(xy (t)(t) )

eine Parametrisierung der

der nach auBen gerichtete Normalenvektor

auf ff (t).

§2. Rotation und Satz von Stokes 2.1 Die Rotation Zur Bestimmung der lokalen Quellen eines Vektorfeldes wird der Divergenzbegriff eingeftihrt. Die Berechnung der Wirbel eines Vektorfeldes ftihrt auf den Begriff der Rotation. Grob gesprochen bestimmt man die Quellen in einem Volumen, indem der FluB durch seine Oberflache berechnet wird. Urn die Wirbel (Zirkulation) in einer Flache A zu beschreiben, wird das Vektorfeld entlang der Randkurve C integriert.

Divergenz = lokale Quellendichte

Rotation = lokale Wirbeldichte

514

XVI Vektoranalysis und IntegraIsl1tze

Sei V wieder ein Geschwindigkeitsfeld einer stromenden Fllissigkeit. C sei eine geschlossene Kurve urn einen Punkt P. Dann ist das Linienintegral

f

Vdf' =

(e)

fv

(f' (t )) . f" (t) dt

(e)

ein MaB flir die Zirkulation der Fllissigkeit in der Umgebung des Ponktes P. Man beachte, daB f" (t) tangential zur Kurve C steht und somit v(f'(t)) . f" (t) die Komponente von entlang der Kurve angibt.

v

Urn eine lokale Aussage am Ponkte P zu erhalten, wahlen wir eine Flache A durch den Punkt P mit Randkurve C und dem Flachen-Normalenvektor ii. (ii steht senkrecht zu A.) Die Orientierung von C und ii seien so gewahlt, daB sie eine Rechtsschraube bilden. ->.

n

p

Abb. 163: Flache A mit Randkurve C und Normale

n.

v

Die Rotation (Wirbeldichte, lokale Zirkulation) des Vektorfeldes in P ist ein Vektor rot v, des sen Komponente in Richtung ii festgelegt ist durch

ｾ＠ ｾ＠ l'1m A 1 nrotv:= A--+O

f

vｾ､＠ r.

(e)

Durch geeignete Wahl der Flache A erhalt man aIle Komponenten von rot V. Man kann unter gewissen Voraussetzungen zeigen, daB die Definition der Rotation unabhangig von der speziellen Wahl der Flache A ist. 1m fo(enden bestimmen wir in kartesischen Koordinaten rot v flir ein Vektorfeld

v=

Vx ) Vy

.

Dazu setzen wir voraus, daB die partiellen Ableitungen des Vek-

Vz

v

torfeldes stetig sind. Wir betrachten als Punkt P den Ursprung und als Flache A ein Rechteck mit Mittelpunkt P und Kantenlangen Ｒｾｸ＠ bzw. ＲｾｹＮ＠

515

§2. Rotation und Satz von Stokes

-"

n

p 2.1)(

(1

Abb. 164: Zirkulation in z-Richtung

Dann ist ii = ez und ii . rot v = (rot v) z die z- Komponente der Rotation. Das Linienintegral tiber die Randkurve C spaltet sich in 4 Teilintegrale auf:

(rot v)z

=

. 11m ｾＢｙＭ＾ｏ＠

ｪ ｾＧＢ＠

1 Ｔｾｸ＠

ｾｹ＠ ,

ＱＭｾＧＢ＠

(t, ＭｾｹＬ＠

0) dt I

v'" (t,

, ｾＧＢ＠

v'"

ＭｾＧＢ＠

ｾｹＬ＠

vy Ｍｾｹ＠

,

ＨｾｸＬ＠

t, 0) dt

V

v

(1)

(2)

0) dt + ｬＭｾｹ＠ ,

6)

+ ｪｾｙ＠

Vy

Ｌｾｹ＠

ＨＭｾｸＬ＠

I

t, 0) dt ,

ＨｾＩ＠

Man beachte, daB die beiden letzten Integrale von x = ｾｸ＠ bis Ｍｾｸ＠ bzw. von y = ｾｹ＠ bis Ｍｾｹ＠ gehen. Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen bekomrnen diese Integrale ein negatives Vorzeichen. Mit der Linearisierung von v'" beztiglich der zweiten und von Vy bezUglich der ersten Variablen v'"

ＭｾｹＬ＠

(t,

Vy ＨｾｸＬ＠

0) t, 0) -

v'"

(t,

Vy ＨＭｾｸＬ＠

ｾｹＬ＠

0)

t, 0)

°.

aV", (

)

- ay t, 0,

2 ｾｹ＠

avaxy ( 0, t, 0) . 2 ｾｸ＠

folgt filr die z-Komponente der Rotation

(rotv)z ｾ＠ Ｔｾ＠

1 x

ｾ＠

ｻｪｾＧＢ＠ y ｟ｾＧＢ＠

-

ava'" (t,O,O) Ｒｾｹ､ｴＫ＠ y

ｪｾｹ＠ ｟ｾｹ＠

ava

Y

x

(O,t,O) Ｒｾｸ､ｹ＠

}.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (Bd. 1, Kap. VI.3.2) kann die Funktion y v'" (t, 0, 0) aus dem Integral gezogen werden, wenn sie an einer geeigneten

t

516

XVI Vektoranalysis und IntegraIslitze

aber unbekannten Zwischenstelle -.6.x :S 6 :S .6.x ausgewertet wird. Analoges gilt fur tx Vy (0, t, 0) fur eine Zwischenstelle -.6.y :S T}1 :S .6.y. ::::} (rot vｾＩ＠ z ｾ＠＠ｾ Fur .6.x

(::::} 6

----t

----t

y x ) 2.6.x 2.6.y + oV ) 4.6.x1 .6.y { - oV oy ( 6,0,0 AX ( 0, T}1, 0 2.6.x 2.6.y } . 0 und .6.y

0, T}1

----t

----t

0 gehen aIle Punkte der Flache gegen den Ursprung

0), so daB

Ｈ rot vｾＩ＠

z

=

l'1m Llx,Lly-->O

i ｾ､＠ (C)

v r = - ｾ＠ oVx UY

I + ｾ＠ oVy I . p uX p

Analog erhalt man die erste und zweite Komponente der Rotation, indem man Flachen in der (y, z)- bzw. (x, z)-Ebene wahlt. Zusamrnenfassend gilt:

dvz _ dvy oz oy rot v =

oV oz

ist die Rotation des Vektorfeldes

vx(x, y, z) ) V = ( Vy(x, y, z) vz(x,y,z) im Punkte (x, y, z).

oV ax

-x- -z

v

v

Die Rotation rot des Vektorfeldes gibt die lokale Zirkulation (Wirbeldichte) von it im Punkte P (x, y, z) an. 1st rot it = 0, dann hat das Vektorfeld keine lokalen Wirbel und man nennt es wirbelfrei. Ersetzt man im Hauptsatz fur Linienintegrale bedingung durch die Rotation, gilt:

(----t

Kap. X.3.3) die Integrabilitats-

Satz: In einem einfach zusammenhl1ngenden Gebiet sind folgende drei Bedingungen gleichwertig:

(1)

J f

v df' ist wegunabhangig.

(C)

(2)

vdf'= O.

(3) rot v = O. Bemerkung: Zur Berechnung der Rotation in kartesischen Koordinaten hat sich die formale Determinantenschreibweise eingeburgert, die nach der ersten Spalte entwickelt wird:

rot it =

ex ax ey Oy ez Oz

Vx Vy Vz

517

§2. Rotation und Satz von Stokes

2y

5. Beispiel: Man berechne die Rotation des Vektorfeldes if = ex ax x2 y e a -2x z y y rot v ez az 2yz ex

(

(ay 2yz-az (-2xz))

+ ez

Ｒｚｾｘ＠

-ey

(ax

(

.

X -2xz 2yz

)

:

(ax 2yz-az x 2 y) (- 2 x z) - a y x 2 y)

).

-2z-x 6. Beispiele: (1) FUr radialsymmetrische Kraftfelder

k(f) = f (r) r sind nach Kap. X.3.3.5 Beispiel 71 die IntegrabiliUltsbedingungen erfullt. Daher gilt fUr diese Kraftfelder

Irotk (f) = 0·1 (2) FUr aIle Vektorfelder mit rot k = 0 sind die Integrabiliuttsbedingungen erfullt. Daher existiert dann immer eine Potentialfunktion (x , y , z) mit k = grad : I rotk

= 0 =? Es gibt mit

(3) Gegeben ist das Vektorfeld

k = grad .1

) . Man zeige, daB rot k = O.

k=

v

7. Beispiel: Die Geschwindigkeit eines rotierenden, starren Kijrpers ist = x wist der Vektor, dessen Richtung der Drehachse entspricht und des sen Betrag die Winkelgeschwindigkeit angibt.

w r.

v = wx r =

ex

ｾｹ＠

ez

x

Wx Wy

Y

Wz

z

( =

Wy z - W z Y W z x - Wx Z Wx

Y-

Wy

) .

x

Mit der Determinantenschreibweise der Rotation rot if =

Wy z - W z Y x - Wx z

ex

ax

ey

ay

Wz

ez

az

Wx

y-

Wy

x

folgt fUr die x-Komponente (rot v)",

= ay

(w x y -

Wy

x) -

az

(w z x -

Wx z)

= 2w x ,

usw.

518

XVI Vektoranalysis und Integralsl1tze

:::;.1 rot v = 2 w.1 Bringt man in das Geschwindigkeitsfeld veiner stromenden FlUssigkeit einen kleinen Probekorper, der sich frei rnitbewegen kann, so ist der Drehvektor wdieses Korpers ｾ＠ rot v. 8. Beispiel: In MAPLE wird die Rotation eines Vektorfeldes durch den Befehl curl realisiert. (Rotation heiBt auf Englisch curl!) Ahnlich wie der diverge-Befehl wird neben dem Vektorfeld auch der Vektor der Variahlen Ubergeben. Der curl-Befehl ist im Iinalg-Paket enthalten.

> with(linalg): > w:=[w1, w2, w3]: > r:=[x, y, z]: > v:=crossprod(w, r); v:= [w2z- w3y, w3x -wlz, wly - w2x]

> curl(v,

[x, y, z]);

[2wl

2w2

2w3]

2.2 Stokescher Integralsatz Zur Herleitung des Stokeschen Integralsatzes zerlegen wir eine gegebene Flliche A mit Randkurve C in Teilfliichen .6.Ai , i = 1, ... , n. Diese Teilfliichen enthalten die Punkte Pi und sind von den Kurven Ci berandet.

...

1... J

•

I1

.. i 1 Abb.

..

...

•

n" .1

•

f1

A

e

...

•

1

oJ

165: Zum Stokeschen Integralsatz

Dann gilt naherungsweise fUr die Zirkulation des Vektorfeldes vim Flachenelement .6.Ai rot vi Pi .6.Ai

ｾ＠

fv

dr'.

(C i )

Grenzen zwei Teilflachen Ak und Al aneinander,

519

§2. Rotation und Satz von Stokes

..

(

!--ｾ＠ ..

-

\

so heben sich die Beitrage an den Grenzlinien auf, da sie entgegengesetzt orientiert sind. Anschaulich bedeutet dies, daB die Zirkulation in der Flache Ak und Al durch die Bilanzierung der auBeren Randkurven bestimmt werden kann. Durch Summation i1ber aIle Teilflachen erhalt man

t

rotvlPk .

ｾａｫ＠

ｾ＠

k=l

f

vdf'.

(C) n

__

Fi1r n -) Integral

00

(d.h. ｾａｫ＠

k=l

JJrot v dA und man erhalt (A)

I:

-) 0) strebt die Summe

II

rot v dA

=

f

__

rot vl Pk ｾａｫ＠

gegen das

vdf'.

(C)

(A)

Diese Integralbeziehung bezeichnet man als den Stokeschen Satz. Stokescher Integralsatz: (Rotationssatz) Sei A eine Flache mit Randkurve C und v (x, y, z) ein Vektorfeld. Dann gilt:

JJrot v dA = f vdf'. (A)

A

c

(C)

Die Orientierung von C und die Flachennorrnale dA = fi dA bilden dabei eine Rechtsschraube; das Linienelement lautet df' = f" (t) dt mit dem Tangentenvektor f" (t) auf dem Rand C. 9. Beispiel: In einem zeitlich veranderlichen Magnetfeld setz

Ui = -

Jf oB

B gilt das Induktionsge-

--

&t:dA.

(A)

Da nach Kap. X.3.3, Beispiel 73, die Spannung zwischen zwei Punkten in einem elektrischen Feld E gegeben ist durch das Linienintegral entlang C U

=

r

i(c)

Edf',

520

XVI Vektoranalysis und IntegraIslitze

folgt mit dem Stokeschen Satz

If

- Jr roE

ｾ＠ rotEdA =-

(A)

} fjtdA-

(A)

fUr jede beliebige Hache A. Daher muS die Identitat schon fUr die Integranden GUltigkeit besitzen:

§3. Rechnen mit Differentialoperatoren In diesem Abschnitt werden wir fUr skalare Felder und Vektorfelder nochmals wichtige Begriffe zusammenstellen. Eine Funktion : 1R3 ----> 1R mit (x, y, z) heiSt skalares Feld oder Skalarfeld. Beispiele fUr Skalarfelder sind raumliche Temperaturprofile T (x, y, z) oder Ladungsdichten p (x, y, z). Eine Funktion k: 1R3 ----> 1R3 mit kl (x, y, z) )

k(x,y,z)= ( k2(X,y,Z) k3 (x, y, z)

heiSt Vektorfeld. Beispiele fur Vektorfelder sind das Magnetfeld E, das elektrische Feld if, Kraftfelder F oder Geschwindigkeitsfelder if. Ein Vektorfeld k heiBt Potentialfeld (Gradientenfeld), wenn eine Funktion existiert mit k = grad . heiBt dann das skalare Potential. Zusammenfassung: Gradient, Divergenz, Rotation

kl (x, y, z) ) Sei (x, y, z) ein skalares Feld und k (x, y, z) = ( k2 (x, y, z) ein k3 (x, y, z) Vektorfeld.

Ox (x, y, z) )

(1)

grad (x, y, z)

= ( Oy (x, y, z)

ist der Gradient von (x, y, z).

oz(x, y, z) Der Gradient ist ein Vektorfeld. (2)

div k (x, y, z) = Ox kl (x, y, z) + Oy k2 (x, y, z) + Oz k3 (x, y, z) ist die Divergenz des Vektorfeldes k. Die Divergenz ist ein skalares Feld.

(3)

rotk = ( Oz kl (x, y, z) - Ox k3 (x, y, z)

Oy k3 (x, y, z) - oz k2 (x, y, z) ) Ox k2 (x, y, z) - Oy kl (x, y, z)

feldes

k.

Die Rotation ist ein Vektorfeld.

ist die Rotation des Vektor-

521

§3. Rechnen mit Differentialoperatoren

10. Beispiel: Ableitungsoperatoren in MAPLE. In MAPLE werden die Ableitungsoperatoren durch den grad-, diverge- und curl-Befehl berechnet, die im linalgPaket enthalten sind.

> with(linalg): > phi:=1/sqrt(x"2+{2+z"2+ 1);

> k:=grad(phi, [x, y, z]); k

Ｌｾ＠

[- ("' + y' : z, + 1) 1 '

- ("' + y' : z, + 1)' ' - ("2 + y2 : z2 + 1) t 1

> diverge(k, [x, y, z]): > simplify(%); -3

1

(x 2 + y2

5

+ z2 + 1)2

> curl(k, [x, y, z]); [0,

0,

o

0]

In der Physik hat sich eine Operatorenschreibweise fUr grad, div und rot eingebiirgert, indem der Nabla-Operator \l eingefiihrt wird:

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, der immer links der zu differenzierenden Funktion steht. Dbertragt man die Multiplikationen aus der Vektoralgebra (skalare Multiplikation if· a, Skalarprodukt if . W, Kreuzprodukt if x w) auf den NablaOperator, gilt grad \l div k = \lk rot k \l x k. Die ZweckmaBigkeit des Nabla-Operators zeigt sich z.B. darin, daB man mit ihm wie mit einem normalen Vektor rechnen kann. Man priift direkt nach, daB \l (\l x = und \l x (\l f:=[xI(x"2+y"2+z"2), > potential(f, [x, y, z],

y/(x"2+y"2+z"2), z/(x"2+y"2+z"2)]: phi1);

true

>

phi1;

f = grad Cf:>1, aber f nicht quellenfrei ist:

Wir priifen nach, daB tatsachlich

> grad(phi1,

[x,

> vecpotent(f,

y,

z];

[x, y, z], A);

false

(2) Das Vektorfeld jj =

Ｈ

ＭｾＩ＠ ｘＲｾｙ＠

ist quellenfrei, daher gibt es ein zugehori-

ges Vektorpotential

> B:=[-y/(x"2+y"2), xI(x"2+y"2), 0]: > vecpotent(B, [x, y, z], A); true

> print(A); [

Wir prufen nach, daB jj > curl(A, [x, y, z]);

x2

yz

xz

+ y2'

x2

+ y2'

0]

= rot 1: [- x2

ｾ＠

X

y2'

x2

+ y2'

0]

12. Beispiel: Gegeben ist das skalare Potential Cf:>

(x, y, z)

= arctan '!!... x

(x 2: 0) .

524

XVI Vektoranalysis und Integralslltze

k lautet

Das zugehOrige Vektorfeld

ＭｾＩ＠ ｘＲｾｙ＠

Ｈ Da

•

k ein Potentialfeld ist, gilt rot k = O. Die Divergenz von k bestimmt sich aus div k

ax (- x 2+y Y 2) + a y

(

x

2+y2) + a (0) X

z

Das Vektorfeld kist sowohl divergenz- als auch rotationsfrei. Fur das skalare Potential gilt also div grad = div k = Mannennt

Iｾ＠

=

a; + ｡ｾ＠

+

a; I

den Uiplace-Operator, der in der Elektrostatik eine groBe Rolle spielt,- da aIle elektrostatischen Probleme durch

ｾ＼ｬ＾＠

=_L cO

modelliert werden, wenn p (x, y, z) die Ladungsdichteverteilung und cO die Dielektrizitatskonstante ist (---t Kap. XV.4.1).

13. Beispiel: Eine skalare Funktion (x, y, z) heiBt harmonische Funktion, wenn fur jeden Punkt des Definitionsbereichs gilt ｾ＼ｬ＾＠

= O.

Man ,pruft explizit nach, daB

x2 _ y2

(x, y) (x, y) (x, y)

cos x coshy In Jx 2 + y2

(x, y)

arctan (;)

harmonische Funktionen sind. Man verwende hierzu auch den MAPLE-Befehllaplacian aus dem Paket Iinalg.

525

§3. Rechnen mit Differentia!operatoren

(X Y

14. Beispiele: Kraftfelder.

F=

(1) G.egeben ist das Kraftfeld .

xz

ｾ＠

Da rot F -1= 0, ist

(2) Das Kraftfeld

=(

8y 8z

ez

. Es gilt

ｾｹ＠

ex 8x rotF =

)

x2 z2 - X ) -2 xyz2 . z-x

F kein Potentialfeld. ｾ＠

r

F(T)=c-3 =c 11'1

1

(x 2 + y2

(

ｸｾ＠

)

3

+ z2)2

ist ein zentrales Kraftfeld. Man rechnet nach, daB rot F = 0

div F = O.

und

Wegen rot F = 0 ist Fein Gradientenfeld, d.h. es gibt ein Potential mit

F=grad =

(h)

8x potential([c*xI(xA2+y"2+zA2)"(-3/2), C*y/(XA2+yA2+ZA2)"(-3/2), > C*zI(XA2+y"2+ZA2)"(-3/2)], [x,y,z], phi): =?

(x, y, z)

=

C

C

1

(x2+y2+z2)'2

+ konst = -1;;1 + konst. rl

Es gilt divF = div(gradI/-LOJ = rot B. I

fur aIle Fl1lchen A

(4) Da das Magnetfeld quellenfrei ist (es gibt keine magnetischen Monopole), folgt

o

Damit erh1llt man die Gleichungen p

divE

(1)

co _ /-Loj

rotB

(2)

a--B at

rotE

(3)

o.

div B

(4)

Diese 4 Gleichungen beinhalten allerdings noch einen Widerspruch: Bilden wir die Divergenz von Gleichung (2), gilt div (/-LO

1) = div (rot B) = 0:

Die Divergenz der Stromdichte ist Null. Dies widerspricht der sog. Kontinuit1ltsgleichung: (5) Die zeitliche Anderung der Gesamtladung in einem Volumen,

%t

III pdV, (V)

ist gleich dem StromfluB durch seine Oberfl1lche

- JJ JdA = - JJJ div JdV => JJJ :t p dV = JJJ -div J dV (A)

(V)

(V)

(V)

Da diese Identit1lt fur aIle Volumina V gultig ist, folgt sie auch fur die Integranden

=> 1 ft p =

-div).1

(Kontinuitatsgleichung)

Aus der Kontinuit1ltsgleichung folgt

a (1) a d·IV E- = d·IV at = --co at

·"7 dIVJ = --p

=> div

J

(-+ ata-) j

co

E

=

a E-) at

( -co-

o.

+ co %t Eden flI!.axwellschen Gesamtstro"!.. und co ｾ＠ Eden Verschiebungsstrom. Ersetzt man j in Gleichung (2) durch j + co %t E, so sind die

Man nennt

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

529

Gleichungen (1)-(4) widerspruchsfrei und man erhaIt die vollstandigen Maxwell-

gleichungen fur das Vakuum: innere Feldgleichungen

arotE- = --B at

divB

=0

Felderzeugung div E = £. eo

- = f-Lo j. . + eo f-Lo ata E. .

rot B

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle with(linalg)

f

curl(f, [xl, x2, x3])

Berechnung der Rotation des Vektorfeldes beziiglich den Variablen (Xl, X2, X3): rot (I)

diverge(f, [xl, ... , xn])

Berechnung der Divergenz des Vektorfeldes bezUglich den Variablen xl, ... , Xn: div(l)

grad(phi, [xl, ... , xnj)

Berechnung des Gradienten des skalaren Feldes q, (Xl, ... , x n ): gradq,

laplacian(phi, [xl, ... , xn])

Anwendung des Laplace-Operators auf das skalare Feld (Xl, ... , Xn): .6.

potential(k, [xl, ... , xn],phi)

PrUft, ob das Vektorfeld k (Xl, .. . , Xn) ein Potential q, besitzt mit k = grad q,. Falls das Ergebnis true, wird im Namen phi das skalare Potential abgespeichert.

vecpotent(k, [xl, x2, x3], A)

PrUft, ob das Vektorfeld k (XI, X2, X3) ein Vektorpotential A besitzt mit k = rot A. Falls das Ergebnis true, wird im Namen A das Vektorpotential abgespeichert.

f

530

XVI Vektoranalysis und Integralstltze

Aufgaben zur Vektoranalysis 16.1

v=

Bestimmen Sie die Divergenz des Vektorfeldes (2, -1, 3), (2,9,4) und (-1,1, -2).

16.2 Wie muB

f

(

(x, y) gewahlt werden, damit v = (

Ｚｾ＠z +xz Ｍｾ［＠ ) :

ｾ＠

)

in den Punkten

quellenfrei ist?

z·f(x,y)

16.3

16.4 Bestimmen Sie die Rotation von

v=

( _x22 -: z ).

2yz

16.5 a) Berechnen Sie die Rotation fur die Vektorfelder b) Sind v, 'Iii wirbelfrei? c) Sind v, 'Iii quellenfrei?

v und 'Iii.

x+y-Z) z-x+y y+z-x (a· f') . r

16.6 a) Berechnen Sie die Rotation von v = b) In welchen Punkten gilt rot v = O?

ＺＩ･ｾ｣Ｈｮ＠

ｓｩ･Ｚｾ＠

a=

( :a:z ).

ｾ＠

16.7 Berechnen Sie rot (rot ( 16.8

mit

x y ) ) . z _ x 2 _ y2

ｒＩｯｴ｡Ｚｩｏ［ｕ､Ｈ･ｹｾＲｚ＠

､Ｉ･ｲ｣ＺｯｾｮＨｶ＠

ｾｹ＿＠

＿ｸＫｾ＠

16.9 Sei vein Vektorfeld und

y2 )

0

ein skalares Feld. OberpIilfen Sie, daB die folgenden

Gleichungen gelten:

div rotv= 0

16.10 Zeigen Sie, daB 16.11

f=

(

l+ Y + Y x

ｾＺ＠

z

rot grad = O.

Z)

ein Gradientenfeld ist.

Bestimmen Sie von dem Vektorfeld aus 16.10 sowohl das zugehOrige skalare als auch Vektorpotential mit MAPLE.

531

Aufgaben zur Vektoranalysis

16.12 Priifen Sie durch Differenzieren, ob a)

J( ｾ＠ ｾＺ＠

ｾ＠ j ) dT'

wegunabhllngig ist?

ＺｩｾＨＩｓ＠

(y))

x2 +y2

b) iT = ( 2 x z

x sin2 (y) 16.13

ein Gradientenfeld ist?

Verifizieren Sie den GauBschen Integralsatz der Ebene fUr den Kreis urn den Ursprung mit Radius 2, falls

iT = ( x 2 6- 5 ｾ＠ y + 3 y ). xy -x

Ｚｾ＠

16.14 Berechnen Sie den fluB von if = ( -1 :::; y :::; 2 , 1 :::; z :::; 4. - (x 16.15

In z

ｾＺＲ＠

Berechnen Sie den fluB von iT = ( z y ) aus dern Zylinder 0 :::; z :::; H , y _ Zx2 x 2 + y2 :::; R2.

16.16 Berechnen Sie den fluB von iT = ( fll1che 16.17

) aus dern Quader 0:::; x :::; 1,

+ y)

+ y2 + Z2 =

x2

ｾｸＩ＠

+ y3 ) durch die Kugeloberz (sin2(x)-3y2) Y cos 2

4.

Verifizieren Sie den Stokeschen Integralsatz fUr

,) i1

ｾ＠

(

b) iT = (

ｾ＠

),

ｾＺ＠

V

x; z ), -3 xy 2

ｾ＠

{(x, y, x)

E

R' ,x' + y' + x' " 1, y

V = {(x, y, z) E IR3 : z = 2 -

ｾ＠

0, x

ｾ＠

O}

J x 2 + y2 , z :2: 0 }

Anhang A Losungen zu den Obungsaufgaben

Losungen zu Funktionen von mehreren Variablen 10.1 plot3d(z, x=a.. b, y=c .. d); 10.2 plot3d(z, x=a.. b, y=c ..d, style=contour, contours=20); 10.3 a) fx = 3 x 2 + y; fy = x + 2 y-3

b)fa=3x; c)

f u --

ft=2yt- 1

f v -- _ ｾ＠

(u+v)-(u+w). (u+v)2 ,

d)fx=

2x

;

u+w

fy=O;

fz=

Jl+(x2+z2? e) fX1 = JX3 = 0; fX2 = 1 f) fa = - (ax + bx 2 f2 x + ybe ab ;

2z

\.h+(x2+z2?

fb = - (ax

+ bx2f2

x 2 + yae ab

= 6 x + 4 y; fy = 4 x - 4 y; fxx = 6; Ixy = Iyx = 4; Iyy = -4 b) Ix = -6y sin (3xy) ; Iy = -6x sin(3xy) fxx = -ISy2 cos(3xy); fxy = fyx = -6 sin(3xy) -ISxy cos(3xy);

10.4 a) Ix

fyy = -ISx2 cos(3xy) = 12 (3x - 5y)3; fy = -20 (3x - 5y)3 Ixx = lOS (3x - 5y)2; fxy = fyx = -ISO (3x - 5y)2; fyy = 300 (3x - 5y)2 d) f (x, y) = x - y; fx = 1; fy = -1; fxx = 0; fxy = Iyx = 0; fyy = 0 e) Ix = 3e xy + 3xye xy ; fy = 3x 2 eXY fxx = 6ye xy +3xy2 exy ; fxy = fyx = 6xe xy +3x2 ye xy ; Iyy = 3x3 exy f) fx = ( 2 x2- U)1/2; fy = ( 2 ;x )1/2

c) Ix

x -

xy

x -

xy

Jxy = Jyx = (x 2- ; xy Y )3/2; Jyy = ( x 2- ;x2 )3/2 xy 2 2 10.5 tx f (x, y) = 2x cos (x + 2Y); t f(x, y) = 2 cos (x + 2y) t y tx f (x, y) = 2 x . [- sin (x 2 + 2 y) 1. {ty (x 2 + 2 y)} = -4 x sin (x 2 + 2 y) tx t f (x, y) = -2 sin (x 2 + 2 y) . {tx (x 2 + 2 y)} = -4 x sin (x 2 + 2 y) => :: tx f(x, y) = tx t y J(x, y) 10.7 fxx = lOS (3x - 5y)2; fxy = fyx = -ISO (3x - 5y)2; fyy = 300 (3x - 5y)2 10.8 fxx = (x 2 + y2 + z2f5/2 {3ax 2 _ a (x 2 +y2 + Z2)} 2 fyy = (x + y2 + z2f5/2 {3ay2 _ a (x 2 + y2 + z2)} Jxx = (x 2- ;y2 )3/2; xy

fzz = (x 2 + y2 + z2f5/2 => fxx + fyy + fzz = 0

{3az 2 _ a (x 2 + y2

+ Z2)}

534

Anhang A: Ulsungen zu den Dbungsaufgaben

_:c2+y2 f x 2_y2 10.10 f xx = (x2+y2)2 ; yy = (x2+y2)2 10.11 Zt = -9+18x+6y 10.12 df = 0.5 dx + 0.826 dy Y )(3+ Y») 10.13 grad f = ( 2(3X+X 2 x (3 x + x y) ;

'* f xx + f yy = 0

10.14

::':d:ot( .)

D,", .,

(x)

ｾ＠

(

j ),"

+ CP2 (x) + 2 CP3 (x)

!) ＨｾＩ＠

e2x , $2 (x)

,det(A->.I)=(2->.) (3->')

=(

Y(X)=Yl(x)=ae 2x +!3e3x

ｾ＠ )

AWP:

e3x , iJ(x)

= a$dx) + !3$2 (x) ,

y(x)=3e 2x -2e3x

538

Anhang A: Ulsungen zu den Obungsaufgaben

11.24 cp\(x) =

ｾ＠ ＭｾＩ＠

_()= 2)

fourier (f(t), t, w); 14.5 Die Funktion setzt sich zusammen aus der Funktion h, aus Aufgabe 14.1a) mit der Breite 2 T und der Dreiecksfunktion aus Aufgabe 14.2 . Mit der Skalierungseigenschaft und der LineariHlt der Fouriertransformation erh!llt man F (f)(w) = 2AT ｳｩｮｾ［ｔＩ＠ + AT ｳｩＨｾｦＩＱ＠ = 2AT si (wT) + AT si 2 (w

f).

14.9 a) F (8 (t)) = 1 b) F (8 (t - to)) = e- iwto c) F Ｈｾ＠ (8 (t + to) - 8 (t - to))) = - sin (w to) d) F (sin (wot)) = T (8 (w - wo) - 8 (w - wo)) 14.10 a)F(eiat)(w)=F(eiat.l)(w) F(I)(w-a) = 21l'8(w-a) T

b) 8 (t - a)

* J (t) = ｊｾｯ＠

Verschiebungssatz

8 (t - a - r) J (r) dr =

f (t - a)

ｾ＠

=0 'T=t-a

14.11

reet (11) * reet (11) = tri T

14.12 a) ｩｾ＠ c)

T

(1.) = T

= ＭＺｾ＠ sin (WT1)] (f * h)(t) = 0 05: t

(1-

eiWT )2

3 [sin (WT2) -

eiwT

{

1 - ItI It I 5: T

sin 2 (w2T)

0

It I > T

b) -2i

[-t

cos (wt)

+ ｳｩｮｾＲｔＩ｝＠

5: T: (f * h)(t) = t - 1 + e- t t T Te- r -e- 2T ) S(r) (t-r) dr,

=

F(h(w»

*r

( ) t :

(e- r - e- 2r ) S (r) (t - r) dr t>O

e- t - ｾ＠ e- 2t + ｾ＠ t - ｾ＠ , t> 0, ga (0) = 0, b) r (t) = 8 (t) : gb (t) = h (t) = (e- t - e- 2t ) . S (t) c) r (t) = 6 = 6 . S (t) : gc (t) = (-6 e- t + 3 e- t + 3) . S (t)

14.18

( )

som1t 1St 9 t

H(w)

gal (0)

=0

= G(w) = F(g(t» = ｆＨｾＩ＠

F(w) FU(t» F(rect(t» . 1 (1 ) 2si(w) =St(w)=2 2si (w)=F 2 rect (t)

2 si 2 (w)

=

;

14.19 a) Maschensatz: E: x (t) = I R, + I R2 :=} I = RｸｾＱ＠ R Rl 2 UR L : y (t) = R2 I = ｾ＠ x (t) '---+ h (t) = ｾ＠ 8 (t) b) h = ft S (t) :=} h (t) = 28 (t) + ｾ＠ (U (t) - U (t - 2» H (w) = F(h) (w) = 2 + ｾ＠ ｩｾ＠ (1- e- 2iw ) c) h (t) = S' (t) = ｾ＠ 8 (t) U (t) e- k H (w) = Joo h (t) e- iwt dt = 11 _ 1 1 -00 2 6 tttw 1 C = 't' ｾ＠ RRC 14.20 a) Widerstand bei y (t): Rc = I t 2R l.W w t) (R + 2R ) I _ 3 R±2 i wR2 C I ( x l±i2wRC - It2iwRC I yet) = ｬｴｩｾｒｃ＠ :=} H(w) = ｾｉ＠ = In?:iW => h(t) = U(t). RiC ･Ｍｾｴ＠

*

t

'

x=e1.wt

'2it7!

= f h(t) dt = U(t) ｾ＠

Set)

:=}

x(t)=2RI+ lti;;Rcl= ＳｾｴＺｒｃ＠ 'C RC = ItiwR R C = R + 1W '---+

b)E: ,

Rc

(1- e-2k

t)

let)

I

= 2'RT'tiw *±iW

ltiwRC x(t) =>H(w) = ItiwRC 3 Rttw 2 R2 C !tiw RC =>h(t)=8(t)-U(t) Ｒｾｃ･ｫｴ＠ :=}S(t)=U(t) ＨｾＫＭｫ･ＲｊｪｴＩ＠ 11 iw Ｇ＠ - - - - : ' 14.21 H (w) = Ｍ［ＺＮＬｾ｣ ｾｴＳ＠ f iw±(iw)2 U:

y(t)=2RI=2R

System mit 2 Energiespeicher: c = 0 :: :

a

I

ｾ＠

}:=}

= LR

PI = -3i vP ｾ＠

= a, = ｾ＠ ± V_/2,4 (B:.)2 _ (B:.)2 _ ｾ＠ PI/2 = _l2 B:. L L L = -0.764 P2 = -3;v'& ｾ＠ = -5.236

c:

2

B:.L

543

Uisungen zu partiellen DO

Al =}

14.22

= ｾ＠ Pl -P2 = -0.342; A2 = ｾ＠ Pl -P2 = 2.3416 h (t) = Al S (t) e Pl t + A2 S (t) eP2 t

a)

P2 Pl =.,...1.L+ 'W-Pl ｾ＠'W-P2 = :F ((AI e t+A2 e t) . S (t))

in. H (w) = -r3n+* .,w+(,w)2 mit:

PI,2

= ＭＲｾｃ＠

Ｒｾｃ＠

t,

4R2 Al = ｾＬ＠ A2 ;f:;iW -..!. 21- ｾ＠ + £+ ｾｷＫＨｩＩＲ＠ R . - R + iW-Pl + iW-P2 L P2 Pl + Al e t + A2 e t) . S (t)) mit:

±

Jl-

= ［Ｌｾ＠

-..!. b) H (w) - R

= :F (( Ji

= - 2 ｾ｣＠ c) H(w) =

PI,2

= F (( ｾｉ＠

A

14.23 14.24

(1 ± VI - 4R2 %),

= ｾｬＺ［Ｇ＠

A2

= ｐｬｾ［ｖ＠

.g.iW =.,...1.L '£+.iw+(iw)2 'W-Pl + ｾ＠ 'W-P2 e Pl t + A2 e P2 t) . S (t)) = F (h (t)) mit PI,2 wie oben,

-..E.. ａＲＭｾ＠ Pl -P2 '

1 Wg =

Al

-

PI -P2

1.3 Wu = 1.77.103 Wo = 6.67.104 und fUr die diskrete Fou14.25 FUr die diskrete Fourierreihe mUssen die Ergebnisse mit riertransformation mit multipliziert werden! 14.28 Diese Funktion ist fUr die Systemanalyse vorteilhaft, da keine Nullstellen im Spektrum enthalten sind. 14.30 fg = 28200 Hz=wg = ＱＷＰｾ＠ 14.31 ｦｵ］ＰＮＱＲＶｈｺｷＷＹｾ＠ ｦｯ］ＰＮＲｈｺｷＱＵｾ＠

*'

1J

Losungen zu partiellen DG U (x, t) = cos (wt) sin (k x) ; Uxx (x, t) = _k 2 cos (wt) sin (k x) ; Utt (x, t) = _w 2 cos (wt) sin (kx) Utt - c2 Uxx = (_w 2 + c 2 k 2) cos (wt) sin (k x) = 0 fUr w = c k U (x = 0, t) = cos (wt) sin (0) = 0; U (x = L, t) = cos (wt) sin (n f) L = 0 fUr k=nf 15.2 U (x, t) = e- wt sin (k x); Uxx (x, t) = _k2 e- wt sin (k x); Ut (x, t) = _we- wt sin(kx) Ut - D Uxx = (-w + D k 2) e - wt sin (k x) = 0 fUr w = D k 2 2_y2. J ( x2_y2 . 15.3 a) f ( x, y ) -- 12 I n (2 x + y 2) ., f xx (x, y) -- - (xX2+y2)2' yy x, Y ) -_ (x2+y2)2' Jxx + Jyy = 0 1 b) g (x, y, z) = (x 2 + y2 + z2f'2 gxx (x, y, z) = 3 (x 2 + y2 + z2ft x 2 - (x 2 + y2 + ｺＲｦｾ［＠ gyy, gzz analog

15.1

gxx+gyy+gzz = 3 (x 2 + y2 + z2ft [x 2 + y2 15.4

+ z2] -3

(x 2 + y2

(1

= 0

(-2\ + 4::t 2)

a) T(x, t) = (47r ｄｴＩＭｾ＠ e-nh; ftT = (47r Dt)-t e-nh 2 a T = ( 47r D t )- '2 e _L x2) ; Tt - D Txx = 0 a;;r 4 D , - 2I5t + 4l)'Tt2'

1

+ ｺＲｦｾ＠

544

Anhang A: Ulsungen zu den Obungsaufgaben

b)T(

(4 D)-t e-rih _{ 0 fUr 11" tnr- - 00 fUr

t-O)-r x, Ｍｴｾ＠

x#O x=O

. '

,,2 ",2 T T ; T ( x, t = i ) = (811")-21 e(x, t = i ) = (411")-21e2 c) 0 = aaTt I {? to = ..::.Jl.. ; D = 1.12 cm Xo = 5em =} to = 10 sec 2"'D2 15.5 a) U (t) = 11 (x + e t) + /2 (x - e t); Utt = c2 (ff' (x + c t) + 12' (x - c t)) ; Uxx = If' (x + ct) + 12' (x - ct) ; Utt - c2 U"'''' = ... = 0

T

X=XQ

S

1

1 1

(uo (x + et) + Uo (x - et)) + c ｊＺｾ｣ｴ＠ Vo «() d( b) U (x, t) = c) u(x, t) = (sin(k (x+ct))+sin(k (x-ct))) = sin (kx) . sin(ket) = sin(kx)· sin (wt) mit w = ek 15.6 a) l' (x, t) = A + To e i (k x-wt) eingesetzt in 1't - D 1'xx = 0 liefert: (-iw) Toei(kx-wt) -D (ik)2 Toei(kx-wt) =0 =}

k2

= ?;

=}

k

= ± ｾ＠

(1 + i)

1'1/2 = A + To e'fVw/(2 D) x e i (VW/(2 D) x-wt)

gedllmpfte Welle (also 1'2 entfll11t)

somit ist

= ｒｾｻＳ｜Ｉ＠ = A + To e- Vw /(2 D)x . cos Ｈｾ＠ b) Xl/ e = J'f!: 0.45m ; 1,13mm

T (x, t)

15.7 festlfrei

'--->

X (0) = 0 1

;

o

x - wt)

X' (0) = 0 & X" (L) = XIII (L) = 0 0 1 0 1 0 1 sinh (KL) -cos(KL) -sin(KL) cosh (KL) sin(KL) -cos(KL)

COSh(KL) sinh (KL) , = cosh (KL) cos (KL) + 1 == 0 . 8 2 .!. __ 1 + 3(x7)2 15.8 8" '.!.R-- _x-a """if'l' XRJr'f R , ... 15.10 k n = K (nL1l")2 ; U (x, t) = I::='=1 en sin (nt x) e-(¥)2 t 15.11 a) U (x, y) = X (x)· Y (y) =} xX" = yy" = -k 2 =} U (x, y) = [A cos (k x) + B sin (k x)] [0 cos (ky) + D sin (ky)] b) X (0) = 0 =} A = 0; Y (0) = 0 =} 0 = 0; Y (L) = 0 =} k n = n =}U(x, y) =I::=lCn sin (nyx) sin (nyy) 15.12 U (x, t) = T (t) . X (x) =} ｾ＠ = X;' = k 2 =} U (x, t) = A ek2 t (B sin (k x) + 0 cos (k x)) '--->

det A =

y

15.13 a)k=±ivn2 +m22;

2; x) sin (m 2; y) ｓｩｉｾＯ＠ vn + m2ｾ＠ t) 2; x) sin (m 2; y) cos ( n2 + m22; t)

b) U1 = sin (n U2 = sin (n

2

15.14 k= (n 2 +m2) ｾ＠ 15.15 a) Uxx = _k 2 sin(kx) (e kY +e- ky ) b) k =

ny

2

,,",00

(_1,,, + 1

Uyy = k 2 sin (kx) (e kY +e- ky ) 2 t

15.16 u(x, t) = 1-;: + -; L..n=l ｾ･Ｍｮ＠ sin (nx) 15.17 a) q>"(rp)+kq>(rp) =0 r 2 R"(r)+rR'(r)-kR(r) =0 b) w =

../k

c) n

=

../k

545

Lllsungen zur Vektoranalysis

Losungen zur Vektoranalysis 16.1 17 0 -11 16.2 f(x,y)=-(x+y) 16.3 a)2x+2 b)4x+e Z (1+x) 16.4

(

16.5

a) ,otil

2Z;2X2 ) -2z-x

ｾ＠

0 ,otUi

16.6 a)rotv=axr

16.7

ｾ＠

(

c)

j)

ar

b), c) nur v

b)furt·a

ＨＭｾＩ＠

16.8 a) div

ｦｾ＠

= y + 2 x 2 y z;

rot

ｦｾ＠

ｾＲｚ［＠

= (

;z; ) z-x

b)divf;=2x+2yex+2xz; rotf;=

c)

divf;

= -2y;

rotf;

=(

ｾ＠

ＨＲ［ｾｚＩ＠

y2 eX

)

-2x

16.10 rotf = 0 16.11 potential(f, [x,y,z], phi): phi; ｾ＠ vecpotent(f, [x,y,z], A): print(A);

x

+x zy+x y

ｾ＠ ｛ｸｺＫｾｚＲ｟ｹＬ＠ ＭｺｹＬ｟ｾＲ Ｌ＠ 0] 16.12 a) nein b) ja 16.13 vdr=j211" ( 4cos 2 (t)-20cos(t)sin(t)+6sin(t) ) . ( -2 sin (t) ) dt 2 cos (t) o 48 cos (t) sin 2 (t) - 2 cos (t)

f

(aK)

= 871",

wenn der Kreis durch

JJ Ｈｾ＠

- ｾＩ＠

(:)

dx dy =

=R

(

ｾＺ＠ ｧｾＩ＠

J;:o t=o (-4 + 6 r2 sin

(K)

871", wenn Polarkoordinaten verwendet werden. 16.14 31n4 16.15 i R4H 7I" 16.16 ｾＷＱＢ＠ 3 16.17 1271"

parametrisiert wird. 2

(