Mathematik für Ingenieure mit Maple: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen [3., aktualisierte Aufl.] 978-3-540-43835-9, 978-3-662-08561-5

Citation preview

Springer-Lehrbuch

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

ONLINE LIBRARY

http://www.springer.de/engine-de/

Thomas Westermann

Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1:

Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 3., aktualisierteAuftage

Mit 167 Abbildungen, zahlreichen Skizzen und Aufgaben mit Lösungen

'Springer

Professor Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Hochschule fiir Technik Postfach 24 40 76012 Karlsruhe [email protected]

ISBN 978-3-540-43835-9

Die Deutsche Bibliothek- CIP-Einheitsaufnahme Mathematik für Ingenieure mit Maple I Thomas Westermann. (Springer-Lehrbuch) Bd. I. Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen, 3. Autl - 2002 ISBN 978-3-540-43835-9 ISBN 978-3-662-08561-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-08561-5 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com http://www.springer.de

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2001 und 2002 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2002 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Einband: design & production, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier

SPIN: 10876607

07/3020 ra - 5 4 3 2 1 0

Vorwort zur 3. Auflage Für die vorliegende 3. Auflage wurden im wesentlichen die MAPLE-Beschreibungen an MAPLE8 angepaßt. Um auch zukünftig mit neuen MAPLE-Versionen Schritt halten zu können, werden Updates der elektronischen Arbeitsblätter (Worksheets) unter http://www.jh-karlsruhe.derweth0002/buecher/bandl/start.htm unter der Angabe des Paßwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) abrufbar sein. Mein Dank gilt Herrn Richard von Scientific Computers und Waterloo Maple Inc., die mir MAPLE8 zur Verfügung gestellt haben sowie Frau Hestermann-Beyerle vom Springer-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Karlsruhe, im Juni 2002

Thomas Westermann

Vorwort zur 2. Auflage Die positiven und ermutigenden Zuschriften haben uns bewogen, das Konzept, die Darstellung sowie die Inhalte für diese Neuauflage nahezu unverändert zu belassen. Allerdings wurden zahlreiche MAPLE-Ausarbeitungen ergänzt, Visualisierungen neu erstellt und sämtliche MAPLE-Beschreibungen an MAPLE6 angepaßt. Textverbesserungen wurden vorgenommen, weitere Anwendungsbeispiele eingefügt und Druckfehler beseitigt. Der Grundidee folgend, mathematische Begriffe zu visualisieren, um sie greifbarer zu machen, und den interaktiven Gebrauch des Buches zu fördern, wurde die CD-ROM völlig neu und benutzerfreundlicher gestaltet. ... Mein Dank gilt M. Hainz, der die Worksheets neu gestaltet hat, sowie Scientific Computers, die mir MAPLE6 zur Verfügung gestellt haben. Karlsruhe, im Juni 2000 Thomas Westermann

Vorwort zur L Auflage Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Übungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure des Studienganges Sensorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und lngenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden. Die Themengebiete sind so aufbereitet, daß Studenten sie auch im Selbststudium leicht bearbeiten können. Im ersten Band sind mehr als 450 Beispiele ausführlich durchgerechnet und zusätzlich 260 Aufgaben mit Lösungen angegeben. Wichtige Formeln und Lehrsätze werden deutlich hervorgehoben, um die Lesbarkeit des Buches zu erhöhen. Mehr als 300 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehrbuchcharakter Rechnung.

vi

Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme haben den mathematischen Alltag eines Ingenieurs grundlegend erweitert und bereichert. Sie werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum Rechnen mit Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modeliierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System MAPLE in die Mathematikausbildung mit einbezogen. Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anband praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit MAPLE umgesetzt, was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben. Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlösungen zu berücksichtigen, wurden zwei Kapitel zur rechnerischen Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die numerischen Algorithmen sind als Pascal-Quellprogramme auf der beigelegten CD-ROM enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede andere höhere Sprache umgesetzt werden.

Das vorliegende Buch wurde vollständig in 15I'EX unter dem Textverarbeitungsprogramm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die engagierte Mithilfe und Mitarbeit vieler bereitwilliger Helfer wäre das Buch in seiner vorliegenden Form nicht möglich gewesen. Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol für die präzise und fehlerfreie Erstellung des 15I'EX-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler für die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat, und dem teilweise mühevollen Einbinden auch der MAPLEBilder in das mpc-System sowie Herrn A. Käpplein fUr die Bereitstellung des mpc-Styles. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag fUr die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle. Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkräftig unterstützt hat. Karlsruhe, im Juni 1996

Thomas Westermann

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Das gesamte Werk ist in zwei Bände und jeder Band in einzelne Kapitel aufgeteilt. Die Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen. Nicht immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muß sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten, einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden. Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System MAPLE unverzichtbar. Nur wenn eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum Tragen. Dieses Buch kann auch als eine themengebundene Einführung in die Anwendung von MAPLE in der Mathematik gesehen werden, da sämtliche Themengebiete des Buches mit MAPLE bearbeitet werden. Alle MAPLE-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und können direkt in MAPLE eingegeben werden. Die MAPLE-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Somit wurde versucht das MAPLE-Konzept auch optisch in das Lehrbuch zu integrieren, ihm aber dennoch ein MAPLE-spezifisches Aussehen zu geben, wie es unter der Windows-Oberfläche erscheint. Alle Übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten, sie sind aber auch gleichzeitig Aufgaben, die mit MAPLE gelöst werden können. Alle MAPLE-Ausarbeitungen sind auf der CD-ROM als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so daß der interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zusammenhänge aufzeigen.

Inhaltsverzeichnis Kapitel 1: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme 1 §1. Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 §2. Natürliche Zahlen ........................... ............... 4 2.1 Peanosche Axiome ........................... ........ 4 2.2 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Geometrische Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Permutationen ........................... ............ 9 2.5 Der binomische Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 §3. Mathematische Beweismethoden ........................... .. 11 §4. Reelle Zahlen ........................... ................. 13 4.1 Zahlenmengen und Operationen ........................ 13 4.2 Die Rechengesetze für reelle Zahlen .................... 14 4.3 Potenzrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.4 Logarithmen ........................... ............. 17 4.5 Anordnung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §5. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE .................. 20 5.1 Gleichungen ........................... ............. 20 5.2 Ungleichungen ........................... ........... 23 §6. Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.1 Ein Einführungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.2 Begriffsbildung und Notation .......................... 26 6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen ............. 27 §7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE ............ 33 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ....................... 36 Aufgaben zu Kapitel I ........................... .......... 38 Kapitel II: Vektorrechnung §1. Vektoren im R 2 ••••..••••.•••••••.•••..... ••••••..••••••. 1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ............ 1.2 Addition zweier Vektoren ........................... .. 1.3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors ................... 1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ..................... 1.5 Geometrische Anwendung ........................... . §2. Vektoren im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Rechenregeln für Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Projektion eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren. . . . . . . . 2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren ..................... §3. Vektorrechnung mit MAPLE ........................... ..... §4. Geraden und Ebenen im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden .................... 4.2 Lage zweier Geraden zueinander .......................

41 42 42 43 43 45 47 50 50 53 54 58 60 63 63 64

Inhaltsverzeichnis

X

§5.

§6.

Abstandsberechnung zu Geraden ....................... 66 4.3 Vektorielle Darstellung von Ebenen ..................... 69 4.4 Lage zweierEbenen zueinander ........................ 71 4.5 Abstandsberechnung zu Ebenen ........................ 73 4.6 Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene ... 75 4.7 Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE ..................... 77 Definition der geometrischen Objekte ................... 77 5.1 Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander ...... 79 5.2 Die MAPLE-Prozedur geomet ......................... 83 5.3 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Vektorrechnung im 1Rn ............................... 85 6.1 Vektorräume ........................................ 87 6.2 Linearkombination und Erzeugnis ...................... 90 6.3 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ............... 92 6.4 Basis und Dimension ................................ 95 6.5 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ....................... 99 Aufgaben zu Kapitel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Kapitel 111: Matrizen und Determinanten §1.

§2.

§3.

Kapitel IV: Elementare Funktionen § 1.

§2.

106

Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Einführung, spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.1 Rechenoperationen für Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.2 Inverse Matrix ..................................... 111 1.3 Das Matrizenrechnen mit MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.4 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 1.6 Determinanten ........................................... 122 Einführung ........................................ 122 2.1 Rechenregeln für zweireihige Determinanten ............ 123 2.2 n-reihige Determinanten ............................. 125 2.3 Anwendungen von Determinanten ..................... 129 2.4 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Lineare Gleichungssysteme, Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.1 Anwendungen ..................................... 136 3.2 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... 140 Aufgaben zu Kapiteliii ................................... , 142

Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Elementare Funktionen in MAPLE ..................... 1.2 Allgemeine Funktionseigenschaften .................... 1.3 Polynome .............................................. Festlegung von Polynomen durch Wertepaare . . . . . . . . . . . . 2.1

145 145 145 149 155 163 164

Inhaltsverzeichnis

§3.

§4. §5.

§6.

2.2 Koeffizientenvergleich .............................. 2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor ................... 2.4 Nullstellenproblem ................................. 2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus ..... 2.6 Polynome mit MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Rationale Funktionen ............................... 3.2 Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen....... 3.3 Rationale Funktionen mit MAPLE ..................... Potenz- und Wurzelfunktionen .............................. Exponential- und Logarithmusfunktion ....................... 5.1 Exponentialfunktion ................................ 5.2 Logarithmusfunktion ................................ Trigonometrische Funktionen ............................... 6.1 Grundbegriffe ..................................... 6.2 Sinus- und Kosinusfunktion .......................... 6.3 Tangens- und Kotangensfunktion ...................... 6.4 Arkusfunktionen ................................... Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE ...... Aufgaben zu Kapitel IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

165 166 167 170 173 177 177 181 182 185 187 187 189 192 192 192 197 199 205 206

Kapitel V: Die komplexen Zahlen

209

§1.

210 210 212 212 213 215 217 218 218 219 221 223 224 226 227 229 242 246 250 254 259

§2.

§3. §4. §5.

Darstellung komplexer Zahlen .............................. 1.1 Algebraische Normalform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Trigonometrische Normalform ........................ 1.3 Exponentielle Normalform ........................... 1.4 Umformungen der Normalformen ..................... 1.5 Komplexe Zahlen mit MAPLE ........................ Komplexe Rechenoperationen .............................. 2.1 Addition ........................................... 2.2 Subtraktion ......................................... 2.3 Multiplikation ..................................... 2.4 Division .......................................... 2.5 Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 7 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Komplexe Rechnung mit MAPLE ........................... Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen ............... 5.1 Übertragungsfunktion für lineare Ketten ................ 5.2 Beispiele ......................................... 5.3 Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen ............. Aufgaben zu Kapitel V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

Inhaltsverzeichnis

Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung §I. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Funktionsgrenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Stetigkeit einer Funktion ............................. 1.3 §2. Differentialrechnung ...................................... Einführung ........................................ 2.1 Rechenregeln bei der Differentiation ................... 2.2 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ........... 2.3 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik ... 2.5 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ............ 2.6 Sätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 7 Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers .......... 2.8 §3. Integralrechnung ......................................... Das Riemann-Integral ............................... 3.1 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ... 3.2 Grundregeln der Integralrechnung ..................... 3.3 Integrationsmethoden ............................... 3.4 Uneigentliche Integrale .............................. 3.5 Anwendungen der Integralrechnung .................... 3.6 Zusarnrnenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel VI ...................................

262 262 262 268 273 276 276 282 295 298 303 310 315 320 323 323 329 338 340 357 360 379 380

Kapitel VII: FUnktionenreihen §I. Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Konvergenzkriterien ................................ 1.2 §2. Potenzreihen ............................................ §3. Taylorreihen ............................................ §4. Taylorreihen mit MAPLE .................................. §5. Anwendungen ........................................... Näherungspolynome einer Funktion .................... 5.1 Integration durch Potenzreihenentwicklung .............. 5.2 §6. Komplexwertige Funktionen ............................... Komplexe Potenzreihen ............................. 6.1 Die Eulersche Formel ............................... 6.2 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion ........ 6.3 Komplexe Hyperbelfunktionen ........................ 6.4 Differentiation und Integration ........................ 6.5 Zusarnrnenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel VII ..................................

388 390 395 401 410 420 423 423 429 431 431 433 434 436 437 440 441

386

Inhaltsverzeichnis

xiii

Kapitel VIII: ｎｵｭ･ｲｩｳ｣ｨｾＺ＠ Lösen von Gleichungen §1. Intervallhalbierungs-Methode ............................... §2. Pegasus-Verfahren ........................................ §3. Banachsches Iterationsverfahren ............................ §4. Newton-Verfahren ........................................ §5. Regula falsi ............................................. §6. Bestimmung von Polynom-Nullstellen ....................... Aufgaben zu Kapitel VIII .................................

444 446 452 455 468 473 474 477

Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration §1. Numerische Differentiation ................................ 1.1 Differenzenfonnein für die erste Ableitung .............. 1.2 Differenzenfonnein für die zweite Ableitung ............ 1.3 Differenzenfonnein für die n-te Ableitung .............. §2. Numerische Integration ................................... 2.1 Die Rechteckregel .................................. 2.2 Die Trapezregel .................................... 2.3 Die Simpson-Regel ................................. Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel IX ...................................

478 478 478 485 486 487 488 490 491 493 494

Anhang A: Lösungen zu ､ｅｾｮ＠

495

Übungsaufgaben

Anhang B: Einführung in MAPLE

507

Anhang C: Die CD-ROM

517

Literaturverzeichnis

521

Index

523

Verzeichnis der MAPLE·Befehle

533

Inhalt von Band 2

Kapitel X:

Funktionen von mehreren Variablen Partielle Differentiation, Satz von Taylor, Gradient, Richtungsableitung, Lokale Extrema, Ausgleichsrechnung, Integration, Linien- und Kurvenintegrale.

Kapitel XI:

Gewöhnliche Differentialgleichungen DG 1. Ordnung, Lineare DG-Systeme, Eigenwerttheorie, Lineare DG n.-ter Ordnung, Numerisches Lösen von DG.

Kapitel Xß:

I..aplace-Transformation Laplace-Transformation, Sätze der LT, Lösen von DG mit der LT.

Kapitel Xßl:

Fourierreihen 211'- und p-periodische Funktionen, Komplexe Fourierreihen.

Kapitel XIV:

Fouriertransformation Fouriertransformation, Sätze der FT, Deltafunktion, LZK-Systeme, DFT, Anwendung der DFT in der Systemtheorie.

Kapitel XV:

Partielle Differentialgleichungen Wellengleichung, Wärrneleitungsgleichung, Laplacegleichung, Wellenleiter, Biegeschwingungsgleichung.

Kapitel XVI:

Vektoranalysis und Integralsätze Divergenz, Gaußscher Satz, Rotation, Stokeseher Satz, Differentialoperatoren.

Kapitel I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel werden die Grundlagen sowohl Uber Mengen als auch Uber die naturliehen und reellen Zahlen gelegt sowie die elementaren Rechengesetze angegeben. Die Grundgesetze zu den Potenzen und Logarithmen werden wiederholt. Zu den elementaren Aufgaben der Mathematik gehört das Lösen von Gleichungen. In diesem Kapitel werden auch einfache Gleichungen sowie die fur die Anwendungen wichtigen linearen Gleichungssysteme behandelt und der Gauß-Algorithmus eingeführt. Da nur wenige 'fYpen von Gleichungen explizit lösbar sind, werden wir nicht systematisch auf das Lösen von Gleichungen eingehen, sondern exemplarisch zeigen, wie sie mit MAPLE bearbeitbar sind.

§L Mengen "Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen"; diese Festlegung (=Definition) des Mengenbegriffs stammt von G. Cantor (1895). Diese Definition des Mengenbegriffs reicht fUr unsere Zwecke vollständig aus. Mengen bezeichnen wir im folgenden immer mit Großbuchstaben. Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A und werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. a E A heißt: a ist Element der Menge A. a binomial (49,6); 13 983 816

Bemerkung: Mit den Binomialkoeffizienten können wir die letzte Folgerung kurz formulieren: Es gibt (

ｾ＠

) Möglichkeiten aus n Objekten genau k auszuwählen.

Aus dieser Aussage erhalten wir die binomische Formel:

Satz: (Binomischer l..ehrsatz). Für beliebige Zahlen a, b E R und jede natürliche Zahl n 2: 0 gilt:

Beweis: Multipliziert man die rechte Seite aus, so kommt der Term bk so oft vor, wie man k Faktoren aus n Faktoren wählen kann, also ( Bemerkung). Die restlichen (n- k) Faktoren tragen zu

ｾ＠

an-k

) -mal (siehe obige bei.

D

§3. Mathematische Beweismethoden

8. Beispiele: (1) (x + y) 0 = (x + y) 1 = (x + y) 2 = (x + y) 3 = (x + y) 4 =

11

1

x +y

x 2 + 2xy + y 2 x3 x4

+ 3x2 y + 3xy2 + y 3 + 4x 3 y + 6x:!y2 + 4xy3 + y 4

(2) Wir berechnen den Wert der Potenz (104) 3 mit dem Binomischen Lehrsatz: (104) 3 = (100 + 4) 3 = 1003 + 3. 1002 • 4 + 3 ° 100. 4 2 + 4 3 = 1000000 + 120000 + 4800 + 64 = 1.124. 864.

(3) (4) Das Auswerten der binomischen Formeln erfolgt in MAPLE mit den expandBefehl

> (a+br4 =expand ((a+br4);

§3. Mathematische Beweismethoden Man kann die gesamte Mathematik als eine Menge von Aussagen betrachten, die aus Grundaussagen rein logisch abgeleitet (=bewiesen) werden. Diese Aussagen sind dann unter den getroffenen Voraussetzungen (Axiomen) allgemein gültig und nicht widerlegbar. Dies ist das Prinzip der Mathematik, das auf Buklid (ca. 300 v. Chr.) zurück geht. Buklid hat erstmals in seinen "Elementen" nicht beobachtete Naturgesetze aufgelistet, sondern mathematische Gesetze (=Satze) bewiesen. Diese Art der Vorgehensweise stellt seither einen prinzipiellen Unterschied zwischen der Mathematik und den Naturwissenschaften dar. Dort gilt ein Naturgesetz dann als gesichert, wenn mehrere, unabhängige Experimente immer wieder die gleiche Aussage bestätigen. Ein Naturgesetz hat solange Gültigkeit bis es durch ein anderes Experiment widerlegt wird. Obwohl wir in diesem Lehrbuch mehr auf die Anwendbarkeit der Mathematik als auf strenge mathematische Beweise unser Augenmerk legen, sollen die wichtigsten Beweismethoden doch klar aufgezeigt werden. 3.1 Vollständige Induktion. Die vollständige Induktion gehört zu den wichtigsten elementaren Beweismethoden in der Mathematik. Eine Aussage A(n) gilt für alle natUrliehen Zahlen als bewiesen, wenn sie für n = 1 explizit nachgeprüft wird und im Induktionsschluß die Aussage A(n + 1) unter der Voraussetzung A(n) gezeigt wird. Diese Methode wurde ausfUhrlieh in §2.2 diskutiert.

12

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

3.2 Direkter Beweis. Unter einem direkten Beweis versteht man die Methode, aufgrund von Voraussetzungen oder gültigen Formeln eine Aussage direkt herzuleiten. Als Beispiel hierfür dienen der Beweis des binomischen Lehrsatzes (§2.5) oder der folgende Beweis zur geometrischen Summenformel: Satz (Geometrische Summenfor:rm=e:::l:L-_ _ _ _-, 1- qn+l . n q• = --=-Für jede reelle Zahl q #1 gilt: 1- q i=O

L

(n E No)

Beweis: Wir definieren n

Sn :=

L qi = qo + ql + ... + qn

(1)

i=O

und multiplizieren diese Gleichung mit q q. Sn= ql

+ q2 + ... + qn+l.

(2)

Durch Subtraktion der GI. (2) von GI. (1) ist

Somit gilt

(1 - q ) · Sn -_ 1 - q n+l => Sn _-

n "" i _

q -

ｾ＠

i=O

1

n+l

q 1_

-

Damit ist die geometrische Summenformel direkt bewiesen.

q 0

3.3 Beweis durch Widerspruch. Eine ebenfalls häufig benutzte Beweismethode ist der Beweis durch Widerspruch. Um eine Aussage A zu beweisen nimmt man das Gegenteil an und führt dies zum Widerspruch. Der folgende euklidische Beweis für den Satz, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, soll diese Methode illustrieren. Definition: Eine natUrliehe Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur 1 und sich selbst teilbar ist. Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, nämlich p 1 , P2, ... , Pn > 1. Wir betrachten dann die natürliche Zahl m := P1 · P2 · · · · · Pn

+ 1.

Diese Zahl m ist größer 1, da die Primzahl 2 als Faktor vorkommt. Die Zahl m kann keine weitere Primzahl sein, da wir angenommen haben, daß Pl, P2, ... , Pn

4.1 Zahlenmengen und Operationen

13

alle Primzahlen darstellen. Dah€:r ist m durch mindestens ein Pi E {Pt, P2, ... , Pn} teilbar. Pi teilt somit sowohl Pt · P2 · ... · Pn als auch 1. Dies ist aber ein Widerspruch, da 1 keine Teiler größer als 1 besitzt. Wir haben also die Annahme (es gibt nur endlich viele Primzahlen) zum Widerspruch geführt. Wenn es nicht endlich viele Primzahlen gibt, dann müssen es unendlich viele sein. 0 3.4 Beweis durch Gegenbeispiel. Ein Gegenbeispiel zu einer Behauptung anzugeben ist ebenfalls eine mögliche Beweisform. • Alle Primzahlen sind ungerade. (Gegenbeispiel ist die Zahl 2.) • Durch die Formel n 2 - n+·H erhält man Primzahlen. (Gegenbeispiel n = 41; siehe Beispiel 6.)

§4. Reelle Zahlen Wir stellen uns auf den Standpunkt, daß uns die reellen Zahlen zur Verfügung stehen und gehen nicht auf den axiomatischen Autbau ein. Für physikalische Messungen würden die rationalen Zahlen ausreichen, für die höhere Analysis weisen die rationalen Zahlen "zu viele Löcher" auf. Erst ihre Erweiterung zu den reellen Zahlen macht die Differential- und Integralrechnung möglich.

4.1 Zahlenmengen und Operationen Auf den natürlichen Zahlen N gibt es als Grundrechenarten + und ·. Die Gleichung x + 1 = 0 ist innerhalb N fonnulierbar, aber nicht lösbar. Man erweitert daher den Zahlenbereich um all die Lösungen der Gleichungen

x+n=O, wenn n E N 0 . Die Lösungen sind 0, -1, -2, -3, · · · und der erweiterte Zahlenbereich nennt man Z, die ganzen Zahlen. In 7L. läßt sich für jedes n E Z die Gleichung x + n = 0 lösen. Niclht lösbar ist die Gleichung 2x = 1. Man erweitert nun Z um all die Lösungen von Gleichungen der Form

q·x=p mit p, q E Z und q f 0. Somit e:rhält man die Zahlenmenge der rationalen Zahlen CQ. In diesem Zahlenbereich sind alle Gleichungen obiger Form lösbar. Aber die Gleichung x 2 =2 besitzt in CQ keine Lösung. Also erweitert man die rationalen Zahlen um all die Lösungen von Gleichungen obiger Bauart und kommt so zu den reellen Zahlen R. In den reellen Zahlen sind noch die sog. transzendenten Zahlen, wie e und

14

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

enthalten, die wir im Kapitel über Folgen noch genauer untersuchen. In Tabelle 1 sind die Zahlenbereiche mit den zugehörigen Rechenoperationen nochmals aufgelistet.

1r

Mengen No natürliche Zahlen 7L ganze Zahlen 1Q rationale Zahlen R reelle Zahlen

Grundoperationen

+ + + +

-

\ \

-

nicht lösbar

x+l=O 2 ·X= 1 2 ｘｾ］＠ 1= 0 ｘｾＫ＠

Tabelle 1: Zahlenmengen und Grundrechenoperationen sowie Gleichungen, die im entsprechenden Zahlenbereich nicht lösbar sind.

Darstellung reeller Zahlen. Zur Veranschaulichung der reellen Zahlen dient die bekannte von - nach + gerichtete Zahlengerade. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau einer reellen Zahl.

-1. 2

I

I

-2

-1

i

I

0

f

I

ｾ＠

1

..

IR

1. 3

Reelle Zahlengerade

4.2 Die Rechengesetze für reelle Zahlen In R sind zwei Verknüpfungen gegeben, nämlich + und ·. Addition und Multiplikation zweier reeller Zahlen liefern wieder reelle Zahlen. Formal hat man hiermit zwei Abbildungen + und · definiert:

+:RxR--+R

mit

ffi.

mit

-: ffi.

X

--t

R

ＨｸＬｹＩｾＭＫ＠

(x, y)

ｾＭＫ＠

x · y.

Es gelten die Rechengesetze der Addition

(Al) (A2) (A3)

(A4)

x + (y + z) = (x + y) + z x+y=y+x x+O=x Zu jedem x gibt es ein ( -x) E R mit

x + (-x) = 0

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz der Null Inverses Element

15

4.2 Die Rechengesetze fUr reelle Zahlen

Es gelten die Rechengesetze der Multiplikation

(Ml) (M2) (M3) (M4)

x · (y · z) = (x · y) · z x·y=y·x Es gibt eine reelle Zahl 1 E R mit 1 =/= 0, so daß l·x=x Zu jedem x E 1R\ {0} gibt es ein x- 1 E 1R mit x · x- 1 = 1

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz der Eins Inverses Element

Es gilt das Distributivgesetz

(D)

X·

(y + z)

=X·

y

+X· Z

Alle weiteren Rechengesetze der reellen Zahlen lassen sich auf diese elementaren Gesetze zurückführen. Bemerkung: Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+:KxK--+K

mit

(x, y)

· :K xK

mit

(x, y)

Ｍｾ＠

K

ｾＭＫ＠

ｾＭＫ＠

x+ y

x · y,

die den Axiomen (Al) - (A4), (Ml) - (M4) und (D) genügen, nennt man Körper. 9. Beispiele: (1) (JR, +, ·) ist ein Körper. (2) ( CQ, +, ·) ist ein Körper. (3) (Z, +,·)ist kein Körper, da. (M4) verletzt ist: z.B. 2 E Z besitzt bezüglich der Multiplikation kein Inverses, so daß 2 · x = 1. (4) (N, +,·)ist kein Körper, da z.B. (A4) verletzt ist. (5) (F2, +,·)mit F2 = {0, 1} und den Verknüpfungen

0

0 0

1 1

1

1

0

+

ｾ＠

ist ein Körper. Man rechnet die Rechengesetze direkt nach. F2 ist der kleinstmögliche Körper; denn jeder Körper muß mindestens zwei Elemente enthalten: 0 und 1. (6) ( { a + b../2 mit a, b E CQ}, +, ·) ist ein Körper.

16

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

4.3 Potenzrechnen Wir definieren zu jeder reellen Zahl a E IR die Potenz von a durch la 0 := 1, a 1 := a,

｡ｮＺ］ｾ＠

(n E

N).l

n-mal

Definition: Die n-te Wurzel einer Zahl a ;_::: 0 b := y'a :=

a-!.

(n

E N)

ist definiert als diejenige positive reelle Zahl b mit der Eigenschaft bn

= a.

Es gelten die Potenzrechenregeln an (2) bn an (3) am

(5)

b = (a)n

für (b

:f 0)

= an-m für (a :f 0)

yram = amfn

für (a 2:: 0)

(n,m E N)

10. Beispiele: 5x-2y-4x-y 4x+y 5x-2y __ _ ax-3y 1 _a_ _ ._a__ =a

2

(2) (a b)

2

2aJ(ib

b5m+l ·

b6m-1-m+2

( ) b6m-1 · bm-2

= a4 b 2 l

2

a- 1 a-t b-t

= l d ｢ｾＮ＠ 2

Potenzrechnen mit MAPLE. Die Potenzrechenregeln sind MAPLE bekannt, zur Vereinfachung der Ausdrücke muß explizit mit dem simplify-Befehl gearbeitet werden. > aAO, aAn;

> aAn/aAm = simplify (aAn/aAm);

> aAn*aAm = simplifiy (aAn * aAm);

17

4.4 Logarithmen

4.4 Logarithmen Definition: Gegeben ist die ｭｾｩ｣ｨｵｮｧ＠ a = bx (a, b > 0). Gesucht ist bei gegebenem a und b der Exponent x. Wir nennen

Ix = logba I den l..ogarithmus von a zur Basis b. Für feste Basis b gelten die logarithmenrechenregeln (1) log(u · v) = log(u)

+ log(v) (v :;i=O)

(2) log(;)= log(u) -log(v)

(3) log(un) = n ·log(u)

Spezielle Logarithmen sind der Logarithmus zur Basis 10

loga := log10a (lOer Logarithmus), der Logarithmus zur Basis 2 (Logarithmus dualis)

ld a := log2 a (2er Logarithmus) und der Logarithmus zu Basis e

lna := logea (natürlicher Logarithmus).

Zwischen unterschiedlichen Logarithmen besteht der Zusammenhang

logcy b logby = - l

(b, c, y > 0).

09c

Dadurch ist es ausreichend einen Logarithmus (i.a. den natUrliehen Logarithmus) berechnen zu können. Die Logarithmen zu anderen Basen ergeben sich dann durch obige Formel. Beweis der Logarithmenformel: Aus bx = y folgt per Definition des Logarithmus zur Basis b, daß x = logb y. Andererseits gilt für den Logarithmus zur Basis c nach der Logarithmusregel (3): x

logc y = logc b = Hieraus folgt die behauptete Formel.

X •

logc b =>

X

logcy ogc

= -l b·

0

18

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1L Beispiele: (1) 2x

= ! x = log2 ! = - log2 8 = -3. =0.0001 x = logwl0- 4 = -4 logwlO = -4. =}

(2) 10x (3) ln ｾ＠

= ln Ja +lnb- 2 -lnci -lnd- 3 = ｾ＠

(4) logV ｜ｬ｡

Ｒ ｢ｾ＠

=}

=

i

= log((a2bat ｣ＡＩｴｾ＠

4

log a +

i log b +

lna- 2lnb- ｾ＠ lnc+ 3lnd.

= logahtancf:r

1 12 log c.

Logarithmen in MAPLE. In MAPLE wird der Logarithmus zur Basis b durch log [b] festgelegt. log als auch ln stehen für den natUrliehen Logarithmus und loglObezeichnet den IOer Logarithmus. Man kann auch direkt auf die Definition des Logarithmus zurückgreifen und die Gleichung bx = y mit dem solve-Befehl nach x auflösen. > solve (b"x = y,x); ln (y) ln (b)

4.5 Anordnung der reellen Zahlen Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmt Anordnung: Zwei reelle Zahlen a, b E 1R stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zueinander: R

ab

(a liegt rechts von b).

a=b

Unter dem Betrag einer reellen Zahl a wird der Abstand von a zum Nullpunkt verstanden. Er wird durch das Symbol Iai gekennzeichnet:

Iai := {

12. Beispiel: 131

ｾ＠ -a

für für für

a>0 a= 0 a 0 =}X+ y > 0. > 0 , y > 0 =} X · y > 0. (3) Sind x > 0, y > 0, dann gibt es immer eine natUrliehe (1)

X>

(2)

X

ln x> y I

Zahl n E N, so daß

(Archimedes Axiom).

Folgerung: (Bemoullische Ungleichung)

1(1+x)n2:1+nx

(x 2: -1 und n E N)

I

Beweis durch vollständige Induktion. Fur n = 1 gilt sogar die Gleichheit. Induktionsschluß von n auf n + 1: Wegen 1 + x > 0 folgt durch Multiplikation der Induktionsvoraussetzung (1 + x)n 2: 1 + n x mit (1 + x): (1 + x)n+l 2: (1 + nx)(1 + x) == 1 + (n + 1)x + nx 2 2: 1 + (n + 1)x. 0 Intervalle: Zur Beschreibung von Teilmengen von R fUhren wir folgende Notationen ein: (1) Endliche Intervalle (a < b) [a, b] .{ x : a ｾ＠ x ｾ＠

(2)

[a, b) (a, b]

·-

(a,b)

·-

b}

{ x : a ｾ＠ x < b} } {x: a < x ｾ＠ b} {x:a solve (eq1, x);

1 1 1 1 4q --p--Jr- 4q --p+-Jp2' 2 2 2 2 Setzt man D := p 2 - 4q (Diskriminante), so hat die Gleichung für D > 0 zwei verschiedene reelle Lösungen, für D = 0 eine doppelte reelle Lösung und für D < 0 keine reelle (aber zwei verschiedene komplexe) Lösungen.

5.1 Gleichungen

21

13. Beispiele: (1) Zwei reelle Lösungen

> eq2 := x A2+x-2=0:

> solve

(eq2, x);

-2, 1 (2) Eine doppelte reelle Lösung > eq3 := xA2+4*x+4=0: > solve (eq3 ,x);

-2,-2 (3) Keine reelle (aber zwei komplexe) Lösungen > eq4 := xA2-4*x+13=0: > solve (eq4, x); 2 + 3I, 2- 3I Hierbei bedeutet I die imaginän: Einheit (siehe Kap. V, Komplexe Zahlen). Gleichungen höheren Grades slind mathematisch nur zum Teil exakt lösbar, da in den seltensten Fällen eine geschlossene Lösung existiert. MAPLE ist daher dann prinzipiell nicht in der Lage, eine explizite Darstellung der Lösung anzugeben. 14. Beispiel: Gesucht sind Lösungen der Gleichung S.ten Grades x5

+ x2 -

2x - 1 = 0.

> eq5 := x A5+xA2-2*x-1 =0: > sol := solve (eq5, x); sol := RootOf(_zs + _Z 2 - 2_Z -1, index = 1), ... , RootO J(_Z 5 + _Z 2 - 2_Z- 1, index = 4), RootO f(_Z 5 + _Z 2 - 2_Z- 1, index = 5) RootOf( expr, index=i) ist ein Platzhalter für alle Nullstellen der Ausdrucks expr=O. Mit der Option index=i wird die i.-te Nullstelle der Gleichung symbolisch repräsentiert. Wendet man den f:valf-Befehl an, der den Ausdruck zahlenmäßig (numerisch) als Floating-Point-Zahl auswertet, erhält man > evalf(sol); 1.146231447, 0.2619583768 + 1.263413015 I, -0.4187590298, -1.251389171, 0.26Hl583768- 1.263413015 I, Alternativ zum solve-Befehl steht der fsolve-Befehl zur Verfügung, der direkt numerische Methoden zum Lösen der Gleichungen verwendet. Der fsolve-Befehl findet die drei reellen Nullstellen > fsolve (eq5, x); -1.251389171, -0.4187590298, 1.146231447

22

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

FUhrt man den fsolve-Befehl mit der Option complex aus, dann werden alle 5 Lösungen berechnet (siehe auch Kap. V, Komplexe Zahlen). > fsolve (eq5, x, complex); -1.251389171,-0.4187590298,0.2619583768-1.263413015 I, 0.2619583768 + 1.263413015 I, 1.146231447 Ist man nur an Lösungen in einem speziellen Bereich interessiert, kann zusätzlich das Lösungsintervall spezifiziert werden. > fsolve (eq5, x, 1..2); 1.146231447

Mit dem solve-Befehl können auch Wurzelgleichungen gelöst werden. Z.B. die Gleichung v'2x - 3 + 5 - 3x = 0 wird durch > eq6 := sqrt(2*x-3)+5-3*x=O: > solve (eq6, x); 2 gelöst. Ab Rel. 3.0 prüft MAPLE explizit nach, ob die möglichen Lösungen auch die ursprUngliehe Gleichung erfüllen. Dies ist notwendig, da Wurzelgleichungen durch geschicktes Umformen und Quadrieren gelöst werden und das Quadrieren der Gleichungen keine Äquivalenzumformung darstellt. (Bei einer Äquivalenzumformung bleibt die Lösungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung unverändert!) Betragsgleichungen werden ebenfalls mit dem solve-Befehl gelöst. 15. Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung > eq7 := abs(4*x-1) = -2*x+4;

eq7:= l4x-11 =-2x+4 Um sich einen Überblick über die beiden Funktionen zu verschaffen, zeichnet man die linke und die rechte Seite der Gleichung mit dem plot-Befehl: plot( {yl,y2, ... ,yn}, x=xl..x2). Dabei sind in den Mengenklammern die zu zeichnenden AusdrUcke angegeben, und der x-Achsen-Bereich wird durch x=xl..x2 angegeben. Die linke Seite der Gleichung wird mit dem lhs- (left band side) und die rechte Seite der Gleichung mit dem rhs- (right band side) Befehl spezifiziert. > plot ( { lhs (eq7) , rhs (eq7)} , x = -5 .. 5);

23

5.2 Ungleichungen

Die Lösungen erhält man wieder durch > solve (eq7, x);

5 -3

6' 2

Hinweis: Durch den verbreiteten Einsatz von Computern zur Lösung von mathedem Lösen von Gleichungen, kommen matischen Fragestellungen, ｩｮｳ｢＼ｾｯ､･ｲ＠ numerischen Methoden immer mt!hr Bedeutung zu. Deshalb wurde in diesem Lehrbuch eigens ein Kapitel "Numerisches Lösen von Gleichungen" (siehe Kap. VIII) gewidmet. Dort werden numerische Verfahren und Algorithmen unter Anwendung von Ergebnissen der Differentialrechnung detailliert besprochen.

5.2 Ungleichungen Äquivalente Umformungen einer Ungleichung sind: •

Addition (bzw. Subtraktion) eines beliebigen Termes auf beiden Seiten der Ungleichung.

•

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer positiven Zahl K>O.

•

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer negativen Zahl K ), (:S zu ｾＩ Ｎ＠ (> zu solve (abs (2*X+2)

(1)

RealRange

Ｈｏｰ･ｮｾＩＬ＠

> 3, x); oo) , RealRange( - oo, Open( ｾ Ｕ

Ｉ＠

Dabei bedeutet RealRange die Angabe eines Intervalls und ｰ･ｮＨｾＩＬ＠ｏ daß ｾ＠ nicht zur Menge gehört, d.h. es sich um ein linksseitig offenes Inter-

24

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

vall handelt. Die Lösungsmenge besteht damit aus zwei Teilintervallen, dem offenen Intervall ( -oo, - ｾＩ＠ vereinigt mit dem offenen Intervall ( ｾ Ｌ＠ oo) : U ＨｾＬ＠ oo). L = ( -oo, ＭｾＩ＠ (2)

> solve

((x-1

r2 < =abs (x), x); RealRange

Ｈｾ＠

2

-

ｾ＠ 2 J5 ) ｾ＠2 + ｾ＠2

J5)

Die Lösungsmenge besteht aus dem beidseitig abgeschlossenen Intervall

§6. Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme (LGS) spielen in Theorie und Anwendungen eine sehr wichtige Rolle. In diesem Abschnitt fUhren wir eine Methode ein, mit der beliebige LGS gelöst werden können: den Gauß-Algorithmus. Da das Lösen von LGS für große Systeme sehr rechenaufwendig wird, geben wir zwei Pascal-Programme an, mit denen LGS numerisch durch den Gauß-Algorithmus gelöst werden. Auf allgemeine Zusammenhänge und Aussagen über LGS sei auf das Kap. III, Matrizen und Determinanten, verwiesen.

6.1 Ein Einführungsbeispiel Ic=?

Gegeben sei das nebenstehende elektrische Netzwerk mit den gegebenen Widerständen R1 = H1 , R2 = 5!1 , R3 = 3!1. Diesem Netzwerk werden zwei Gleichströme JA= lA und lB = 2A zugeführt. Gesucht sind die Einzelströme h, I 2, h.

I. Zum Aufstellen der Modellgleichungen verwenden wir die Kirchhoffschen Gesetze: Der Knotensatz besagt, daß die Summe der in einem Knoten zu- und abfließenden Ströme gleich Null ist. Der Maschensatz besagt, daß in einer Masche die Summe aller Spannungen Null ergibt. Bei unserem Beispiel gilt für die Knoten K A und K B (KA) : /3 =JA+ h (KB): IB = h + l2 und für die Masche mit angegebenen Stromrichtungen (M) : R1h + R3/3- R2l2 = 0.

25

6.1 Ein Einführungsbeispiel

Dies ergibt ein System von 3 Gleichungen: C1 C2 C3

1h -1!1 1h

512 +

+ +

3h 1h

h 1 -1 1

0 1 2

=

1!2

12 -5 0 1

13 3 1 0

r.S. 0 1 2

Dieses System wird gelöst, indem die Variable h aus Gleichungen C2 und C 3 eliminiert wird. Dazu bildet man die Summe aus Gleichung C 1 und C2 bzw. die Differenz aus Gleichung C1 und C 3: 12 13 r.S. h -5 1 0 3 0 313 512 lll = C1 ｃｾ＠ + 1 4 -5 1 0 4h 5h + C2 = C1 +C2 -2 -2 -6 3 0 313 612 C3 = C1- C3 + und eliminieren die Variable Anschließend verarbeiten wir Gleichung c; und ｃｾ＠ zum ( -5)-fachen Dazu addieren wir das 6-fache von Gleichung h aus ｃｾＮ＠ : von Gleichung ｃｾ＠

c;

-3012 3012

2413 1513 913

+

= = =

6 10

16

Damit erhalten wir schließlich

ｃｾ＠

=C1 c"-c' 2- 2 = 6C;- Ｕｃｾ＠ ｃｾ＠ Aus Gleichung ｃｾ＠

512 512

1h

+ +

3h 413 9h

folgt

=

h

1 0 0

0 1 16

16

91J = 16 => 13 = 9. Eingesetzt in Gleichung ｃｾ＠

folgt -5h

11 16 = 1 => 12 = - . 9 9

+4. -

Beide Ergebnisse in Gleichung ｇｾ＠ 11 9

eingesetzt liefert 16 9

7 9

h- 5.- + 3.- = 0 => h = -. Damit sind die Teilströme h, 12,13 berechnet.

12 -5 -5 0

h

3 4 9

r.S. 0 1 16

26

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

In der letzten Spalte wurde jeweils auf die Angabe der Variablen verzichtet und nur der Koeffizient der Variablen bzw. die Konstanten auf der rechten Seite der Gleichung· aufgelistet. Hierbei steht an erster Stelle immer der Koeffizient von h, an zweiter Stelle der Koeffizient von I 2 und an dritter Stelle der Koeffizient von h. Im Prinzip reicht diese Kurzversion des Gleichungssystems aus, um es zu lösen (-> Matrixbegriff). Die Vorgehensweise, die wir zur Lösung dieses speziellen Gleichungssystems gewählt haben, ist verallgemeinerbar (->Gauß-Algorithmus), wenn die gesuchten Größen nur linear ( -.LGS) vorkommen.

6.2 Begriffsbildung und Notation Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y liegt dann vor, wenn x proportional zu y ( x "' y) ist, d.h. a x + b y = const. Allgemeiner bezeichnet man eine Gleichung der Form axi

+ bx2 + cx3 = d

als lineare Gleichung in x1o x2, x3, da jede der Variablen XI, x2 und x3 nur in linearer Form, also zur Potenz I auftritt. Jedes 3-Tupel von reellen Zahlen (x1ox2,x3) E 1R3 = 1R x 1R x 1R, das die Gleichung erfüllt, heißt Lösung. 16. Beispiele: (1) xi - x 2 + x 3 = 0 ist eine lineare Gleichung und hat z.B. (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1) als Lösungen. (2) Die Gleichung x 2 + 2x - y = 0 ist keine lineare Gleichung, da die Variable x quadratisch vorkommt. Definition: Ein System von m linearen Gleichungen m den n Unbekannten XI,x2, ... ,Xn

a2Ixi

+ +

amiXI

+

anxi

a22x2

+ +

+ +

ainXn a2nXn

b2

am2X2

+

+

amnXn

bm

ai2X2

bi

nennt man ein lineares Gleichungssystem (LGS). Die reellen Zahlen aij heißen die KoeffiZienten und bi die Konstanten der rechten Seite des LGS. Abkurzend jur das LGS schreiben wir die Koeffizienten und die rechte Seite in das folgende Schema

6.3 Das Losen von linearen Gleichungssystemen

27

Man nennt dieses Schema die erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. kurz Matrix. Die durchgezogene Iinie soll daran erinnern, daß die Koeffizienten links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen. Ein LGS, bei dem alle Konstanten bi der rechten Seite gleich Null sind, heißt homogenes LGS. Ist mindestens eine Konstante bi ungleich Null, so heißt es ein inhomogenes LGS. Jede Zeile der Matrix steht für eine Gleichung; jede Spalte ist der entsprechenden Unbekannten zugeordnet. Die Lösung besteht aus allen n-Tupeln (xb x2, ... , xn). die sämtliche m Gleichungen erfüllen. Wie wir beim einleitenden Beispiel gesehen haben, werden beim sukzessiven Lösen des LGS nur jeweils die Koeffizienten und die Konstanten verändert, nicht aber die Variablen. Daher verzichtet man beim Lösen von LGS ganz auf die Variablen und führt alle Rechenschritte in der Matrizenschreibweise durch.

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Umformungen, welche die Lösungsmenge eines Systems nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen eines linearen Gleichungssystems: ( 1) Die Reihenfolge der Gleichungen kann vertauscht werden.

(2) Eine Gleichung kann mit einer reellen Zahl .X

=I 0 multipliziert werden.

(3) Zu einer Gleichung kann eine andere Gleichung des Systems addiert werden.

Wendet man diese 3 Regeln systematisch - wie im folgenden beschrieben wird - an, ist die Lösungsmenge jedes LGS bestimmbar. Wie im Einleitungsbeispiel gezeigt, wird in jedem Rechenschritt eine Variable aus dem System eliminiert und dadurch um eine Gleichung reduziert, bis zum Schluß nur noch eine Gleichung für eine Variable übrig bleibt. Das auf Gauß (1777-1855) zurückgehende Verfahren heißt das Gaußsehe Eliminationsverfahren oder der Gauß-Algorithmus. Wir beschränken uns bei der Beschreibung der Einfachheit halber auf quadratische Systeme mit n Gleichungen für n Unbekannte. Der Gauß-Algorithmus ist aber auf beliebige (n x m )-Systeme übertragbar.

28

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Gauß-Algorithmus (1) Man wählt sich eine Gleichung mit einem Koeffizienten von x 1 ungleich

Null als erste Gleichung. (2) Man eliminiert die Variable x 1 aus den restlichen (n - 1) Gleichungen. Dazu wird die I. Zeile mit - !!ll multipliziert und zur zweiten Gleichung au addiert. Ebenso verfährt man mit den übrigen Zeilen: Man addiert das Ｍｾｦ｡｣ｨ･＠ der I. Zeile zur j-ten Zeile. Man erhält so (n- 1) Gleichungen mit den (n- 1) Unbekannten x2, x3, ... , Xn· (3) Schritt (2) wird auf das reduzierte System angewendet, indem die Unbekannte x 2 aus Zeilen 3 bis n eliminiert wird. Nach insgesamt (n - 1) Schritten bleibt nur noch eine einzige Gleichung mit der Unbekannten Xn übrig. (4) Die eliminierten Gleichungen bilden ein gestaffeltes System von Zeilen, aus denen sich die Unbekannten in der Reihenfolge Xn, Xn-b ... , x2, x1 berechnen lassen.

Im obigen Algorithmus wird angenommen, daß keiner der Koeffizienten aii gleich Null ist; ansonsten müssen die Zeilen vertauscht werden. Sind alle verbleibenden Koeffizienten von der zu eliminierenden Variablen Xi gleich Null, so kann dieser Schritt übergangen werden, da das LGS schon die gewünschte Form hat. Bei der numerischen Ausführung des Algorithmus entstehen Rechenungenauigkeiten jedoch bereits dann, wenn diese Koeffizienten sehr klein sind. Um solche Fehler möglichst klein zu halten, ist es günstig, die Zeilen in jedem Schritt so zu vertauschen, daß die Zeile mit dem betragsgrößten Koeffizienten als oberste Gleichung gewählt wird. Man nennt dies Pivotisierung.

a:i

In den Programmen gaussl.pas und gauss2 .pas ist das Eliminationsverfahren in Pascal programmiert. Die Einschränkung für beide Programme ist, daß das LGS eindeutig lösbar sein muß. gauss2 . pas enthält eine Pivotisierung der Matrix. Die Rechengenauigkeit kann mit dem Programm genau. pas bestimmt werden. 17. Beispiele: (1) Ein System mit genau einer Lösung: Gesucht ist die Lösungsmenge des LGS

=

3 1 2

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

29

In Matrizenschreibweise lautet dieses LGS

ｧｾ＠ ｾ＠

G3:

( ; -3! =! ｾ＠ ) 4

2

2

Zur Lösung wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Dazu schreiben wir die erste Zeile ab; multiplizieren G 1 mit (-3) und addieren das Ergebnis zur 2-fachen zweiten Zeile hinzu. Außerdem multiplizieren wir die erste Zeile mit (-2) und addieren das Ergebnis zur dritten Zeile:

ｇｾ＠

ｧｾ＠ :ｾ＠

( ｾ＠ ｾ＠ =! ＭｾＩ＠ 0

-5

4

ｾ［＠(G3--3GI) 2GI)

--4

Jetzt lassen wir die beiden ersten Gleichungen unverändert und formen die letzte Gleichung so um, daß der Koeffizient von x2 gleich Null wird.

G". 1 . G"2 .. G". 3 .

2 ( 0

3)

1 -1 7 -5

0 0

3

-·7 -{)3

ＨＷｇｾ＠

ＨｇｾＩ＠

ＨｇｾＩ＠

+ ＵｇｾＩ＠

Aus dem äquivalenten System (") lassen sich nun die Lösungen leicht berechnen. Die letzte Gleichung liefert 3x3 ==

-63 =>

X3

= -21.

Eingesetzt in ｇｾＺ＠ 7x2 - 5 · ( --21) = -7 => x2 = -16. Beides eingesetzt in 2xl -+- (-16) - (- 21) = 3 => X! = -1. Somit hat das System genau eine Lösung ( -1; -16; -21) und die Lösungsmenge lautet

c;:

Man nennt das System (") ein System mit oberer Dreiecksmatrix, da die Eintragungen unterhalb der Hauptdiagonalen (a; 1 , ｡ｾ Ｒ Ｌ＠ ｡ｾ Ｓ Ｉ＠ gleich Null sind. Hat das System obere Dreiecksform ist das Eliminationsverfahren beendet. Durch RuckwtirtsaujltJsen lassen sich dann die Unbekannten x 1 , x2, X3 bestimmen. (2) Die Lösung enthält eine Va1iable: Um das System x1

-2x1 2xl

+

3x2 x2

16x2

+ + +

2x3

4

= 2 18x3 = 28 3x3

zu lösen, formen wir die Koeffizientenmatrix in zwei Schritten so um, daß sie Dreiecksform erhält

30 G1 G2 G3 c'1

c; ｇｾ＠

c; c; c"3

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

( ( (

1 -2 2 1 0 0 1 0 0

-3 1 -16 -3 -5 -15 -3 -5 0

j)

2 3 18 2 7

21 2 7

0

Ｑｾ＠

(G2 + 2GI) (G3 + G2)

)

ln 30

ＨｇｾＭ

3G;)

Aus der letzten Zeile folgt I0 · X3 = 0 I, welches fUr beliebiges eingesetzt, folgt setzen wir X3 = A (beliebig). In ｇｾ＠

Beides in

x3

erfüllt ist. Daher

c; eingesetzt, liefert 7

XI=

4 + 3( -2 + SA)- 2A

11

= -2 + 5A.

Um eine einfachere Schreibweise zu erhalten, setzen wir A = 5k, so daß insgesamt die Lösungsmenge lautet

(3) Das System hat keine Lösung: Wir betrachten das System aus (2), indem wir die letzte Gleichung abändern: Die Konstante 28 wird durch 27 ersetzt. Durch elementare Umformungen erhält man

1 -3 2 ( 0 -5 7 0 0 0

I

ＱｾＩＮ＠

-1

-11.

Diese Gleichung ist nicht erfullbar, weil Aus der letzten Zeile folgt 0 · x 3 = die linke Seite immer Null ergibt. Daher ist L = {} . (4) Homogenes LGS: Nach Beispiel (2) können wir sofort die Lösungsmenge des homogenen LGS

3x2 x2 16x2

+

+ +

2x3 3x3 18x3

0 0 0

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

31

angeben, denn die elementaren Zeilenumformungen liefern

1 -3 2 ( 0 -5 7

0

0 0

Durch Rückwärtsauflösen erhall:en wir aus Zeile 3:

IO·xa =

o.l

= 5 k. In Zeile 2 eingesetzt, folgt -5X2 -t 7 · 5k = 0 => X2 = 7k

Daher ist x 3 beliebig. Wir setzen x 3

und beides in Zeile I eingesetzt:

= +3 · 7k -

Xt

2 · 5k

= llk.

Daher ist

Das Lösungsverhalten von LGS werden wir systematisch im Kap. III, Matrizen und Determinanten, untersuchen. Beispiel (1)- (4) legen aber folgende allgemeingültige Schlußfolgerung nahe: Lösungsverhalten von linearen Gleichungssystemen (1)

(2)

Ein inhomogenes LGS besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.

ＺＬｾ］＠

e)n:ＮＺｾｩ･ｬｭｦ｣｢＠ ｾＱ＠

We

\ 0 (3) Falls das inhomogene LGS lösbar ist, setzt sich die Lösung zusammen aus allen homogenen Lösungen plus einer Lösung des inhomogenen Systems:

wenn Li = Losungsmenge des inhomogenen LGS, Lh = Losungsmenge des zugehlJrigen homogenen LGS und X 8 eine spezielle Losung des inhomogenen Systems ist.

32

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

18. Anwendungsbeispiel: Chemische Reaktion. Aus Quarz (Si Oz) und Natronlauge (NaOH) entsteht Natriumsilikat (Naz Si03) und Wasser (HzO): XI

SiOz +xzNaOH------+ x3 Naz Si03 +x4Hz0.

Gesucht sind die Anteile der Stoffe x1. xz, x3, X4, für welche die Reaktion ablauft. Da nur ganzzahlige Vielfache in Frage kommen, sind natürliche Zahlen XI, x 2 , x3 , X4 zu bestimmen, so daß jedes der chemischen Elemente Si, 0, Na, H auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung gleich oft auftritt. Dies führt zu dem folgenden homogenen linearen Gleichungssystem: Si:

X3 xz = 2x3 2xi + xz = 3x3 + x4 0 : Xz = 2x4. H: In Matrizenform lautet das LGS XI=

Na:

1 0 -1 1 -2 0 ( 2 0

1 1

-3 0

0 0 -1 -1

ｾＩ＠ ｾ＠

0 0

(ｾ＠ ｾ＠

0 0 0 0

］ｾ＠

0 0

1 -1 0 0

Daher ist x 4 beliebig. Wir wählen x 4 = k. In Zeile 3 eingesetzt, folgt x3 = k. Beide Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1 eingesetzt liefert xz = 2k und XI = k. Die Lösung mit den kleinsten Anteilen der Substanzen lautet daher

19. Anwendungsbeispiel: Mischen von Legierungen. Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. Beispielsweise besteht V2A-Stahl aus 74% Eisen, 18% Chrom und 8% Nickel. In untenstehender Tabelle sind vorhandene Legierungen (I - IV) angegeben, mit denen 1000 kg V2A-Stahl gemischt werden soll. Eisen Chrom Nickel

I 70% 22% 8%

II 72% 20% 8%

III 80% 10% 10%

IV 85% 12% 3%

Sind XI, x 2 , x 3 , x 4 die Anteile der Legierungen I - IV in Einheiten kg, so gilt für die Summe aller Mischungsanteile in kg

33

§7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE

Für die Einzelelbestandteile Eisen, Chrom und Nickel gelten die Erhaltungsgleichungen

= = =

0.7xl + 0.72x2 + 0.8x3 + 0.85x4 0.22 X1 + 0.2 X2 + 0.1 X3 + 0.12 X4 0.08 X1 + 0.08 X2 + 0.1 X3 + 0.03 X4

740 180 80

Man beachte, daß bei 1000 kg Legierung mit 74% Eisen das Eisengewicht 740 kg beträgt, entsprechendes gilt für Chrom und Nickel. Diese vier Gleichungen liefern ein inhomogenes lineares Gleichungssystem

d5 ) Hｾ＠

1 1 1 1 ( 70 72 80 85 22 20 10 12 8 8 10 3

eq1 := 11 - 5*12 + 3*13 = 0;

> eq2:= - 11 + 13 = 1; > eq3:= 11 + 12 = 2;

eq1 := I1 - 5 12 + 3 13 = 0

+ 13 = 1 I1 + 12 = 2

:= - I1 ･ｱｾ＠

eq3 := Die Lösung berechnet sich durch

> solve( { eq1 ,eq2,eq3}, {11,12,13} ); { I1

'7

= g'

13 =

16

9'

12 =

11}

9

34

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Die Variablen 11, 12, 13 bleiben aber nach wie vor undefiniert, d.h. der solve-Befehl weist die Lösungswerte den Variablen nicht explizit zu. > 11,12,13; Il, !2, 13 Damit die Variablen 11, 12, 13 die Lösungswerte annehmen, müssen diese Werte mit dem assign-Befehl den Variablen zugewiesen werden. Erst nach der Ausführung des assign-Befehls besitzen die Variablen den Wert der rechten Seite. > Sol:=solve( { eq1 ,eq2,eq3}, {11 ,12,13} ); > assign(Sol); > 11,12,13;

Sol := { I1 = -7 13 = -16 /2 = -11} 9 9' 9'

7 11

16

9' g' 9

Stellen wir das gleiche LGS nun jedoch mit einer Floating-Point-Zahl als Koeffizienten (z.B. bei Gleichung eq1 a 11 = 1.) auf, so erhalten wir als Ergebnis nicht mehr die exakte Lösung fUr 11, 12, 13, sondern eine reelle Näherung. Da die Variablen von der vorherigen Zuweisung aber nun schon einen Wert besitzen, müssen sie zuerst durch > 11 :='11': 12:='12': 13:='13': zurtickgesetzt werden. solve liefert fUr die Gleichung > eq1f:= 1.*11 - 5*12 + 3*13 = 0: zusammen mit eq2 und eq3 die Lösung > solve( { eq1f,eq2,eq3}, {11 ,12,13} );

{ 13 = 1.777777778, I2 = 1.222222222, I1 = 0.777777778} Solange die Koeffizienten des LGS rationale Zahlen sind, stellt MAPLE die exakte Lösung innerhalb der rationalen Zahlen dar. Dies spiegelt die Tatsache wider, daß die rationalen Zahlen einen Körper bilden und MAPLE die arithmetischen Operationen innerhalb dieses Körpers ausfUhrt. Ist einer der Koeffizienten eine reelle Zahl, wird die Rechnung innerhalb der reellen Zahlen durchgeführt und die Lösung standardmäßig bis auf I 0 Dezimalstellen näherungsweise bestimmt. Die Genauigkeit kann mit Digits=n auf n Stellen gesetzt werden. Durch den Begriff der Matrix können LGS auch so formuliert werden, daß nur die Zeilen des LGS als Matrix A angegeben werden und die rechte Seite als Vektor b definiert wird. Dem solve-Befehl fUr Gleichungssysteme (auch nichtlinearen) entspricht der linsolve-Befehl bei der Formulierung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen. Das Ergebnis wird durch einen Lösungsvektor angegeben. Dieser Lösungsvektor enthält Parameter, wenn das LGS nicht eindeutig lösbar ist.

§7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit

MAPLE

35

Die Formulierung von LGS Uber Matrizen ist allgemeiner, da mehr Operationen fUr Matrizen zur VerfUgung stehen und damit mehr Manipulationen mit Matrizen durchgeführt werden können. Um die MAPLE-Befehle zur Linearen Algebra zur VerfUgung zu haben, muß das Programmpaket linalg aktiviert werden. Die Warnung kann ignoriert werden; sie besagt lediglich, daß die MAPLE-Befehle nonn und trace neu definiert wurden! > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Die Definition der Matrizen erfolgt mit dem matrix-Befehl, indem man die Zeilen der Matrix spezifiziert: > A 1 :=matrix([ [2, 1 ,-1] , [3,5,-4] , [4,-3,2] ]);

2 1 -1 Al:= [ 3 5 -4 4 -3 2

l

Die Definition der rechten Seite des LGS erfolgt durch den vector-Befehl: > b1 :=vector([3, 1,2]);

bl := [3, 1, 2] und mit linsolve(A,b) wird das LGS gelöst: > linsolve(A1 ,b1 ); r -1 -16 -21] I,

'

'

Analog verfährt man mit Beispid (2) > A2:=matrix([ [1,-3,2], [-2,1,3], [2,-16,18] ]): > b2:=vector([4,2,28]): > linsolve(A2,b2);

[-2 + 1; -2 + ｾ＠ ..tt '

..tt,

_tl]

Besitzt die Lösung des LGS wie in diesem Falle einen frei wählbaren Parameter, kennzeichnet MAPLE diesen mit dem Symbol -· Der Unterstrich zu Beginn des Variablennamens weist also darauf hin, daß das System diese Größe eingeführt hat. Ist das LGS wie im Falle (3) nicht lösbar, so liefert MAPLE keine Antwort > b3:=vector([4,2,27]): > linsolve(A2,b3); LGS können auch explizit mit d1:::m Gauß-Algorithmus gelöst werden. Dazu verwendet man den gaussjord-Befehl: Zunächst geht man von der MatrixAzur der

36

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

um den Vektor b erweiterten Matrix über, augment(A, b), und führt anschließend den Gauß-Algorithmus mit gaussjord aus. Um die Lösung des LGS zu erhalten, wählt man den Befehl backsub zum Rückwärtsauflösen. > B := augment(A 1,b1 ); > gaussjord(%); > backsub(%);

[

B·-

[

1 2 ｾｉ＠ 3] 5 -4 1 3 4 -3 2 2

I 0 0 ｾｉ＠ 0 1 0 -16 0 0 1 -21

l

[-1, -16, -21] Ist das LGS nicht lösbar, erhält man durch den backsub-Befehl die Fehlermeldung Error, (in backsub) inconsistent system

Die elementaren Zeilenumformungen beim Gauß-Verfahren können durch die folgenden Befehle auch im einzelnen nachvollzogen werden (siehe Worksheet zu den LGS): addrow(A,n,m,c): addiert zur m-ten Zeile der Matrix das c-fache der n-ten Zeile swaprow(A,n,m): vertauscht die n-te mit der m-ten Zeile mulrow(A,n,c): multipliziert die n-te Zeile mit c

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Grundlegende Befehle zum Arbeiten mit Zahlen

+ - * I ! binomial ln, log log[b] expand simplify assume A

Zuweisung Grundrechenoperationen Potenz, Fakultät Binomialkoeffizient Natürlicher Logarithmus Logarithmus zur Basis b Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken Vereinfachen von Ausdrücken Einschränkung von Variablen

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

37

Grundlegende Befehle für Mengen A:={ ... } A union B A intersect B A minus B cartprod( .. , .. ) member( element,menge)

Definition einer Menge A Vereinigung der Mengen A und B Durchschnitt der Mengen A und B Differenzmenge von A und B Kartesisches Produkt von zwei Mengen Element einer Menge?

Grundlegende Befehle von Summen und Produkten Sum (i*(i+l), i=l..n) sum (i*(i+l), i=l .. n) Product(l*(l+l), l=l .. n) product(l*(l+l), l=l .. n)

Inerte (träge) Form des Summen-Befehls Auswertung einer Summe Inerte (träge) Form des Produkt-Befehls Auswertung eines Produkts

Befehle zum Lösen von Gleichungen solve( eq, var)

Auflösen der Gleichung eq nach der Unbekannten var

solve( {eq( l..n)},

Auflösen der Gleichungen eq.l, ... , eq.n nach den Variablen var.l, ... , var.n

{var(l .. n)})

Grundlegende Befehle zum Lösen von linearen Gleichungssystemen with(linalg) matrix([[zeilel ],[zeile2], .. , [zeile.n] ]) vector( [spalte]) linsolve(A, b) augment( A, v) gaussjord(Ab) backsub

Linear-Algebra-Paket Definition einer Matrix (zeilenweise) Definition eines Vektors (spaltenweise) Lösen des linearen Gleichungssystems Ax = b HinzufUgen des Vektors v zur Matrix A FUhrt Gauß-Algorithmus an der erweiterten Koeffizientenmatrix Ab durch Ruckwärtsauflösen eines linearen Gleichungssystems

38

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Aufgaben zu Kapitel I 1.1

Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar: a) { x : x ist Primzahl und x < 20} b) {x: x ist reell und x2 + 1 = 0}

1.2 Gegeben sind die Mengen A = {x E R: 0 < x 3}. Bestimmen Sie graphisch sowie rechnerisch (i) An B, (ii) AU B, (iii) A x B, (iv) A\B. 1.3

< 2}

und B

= {x E

R: 1 ｾ＠

x ｾ＠

Bilden Sie die Vereinigung, Durchschnitt und beide Differenzmengen aus den folgenden Mengen a) MI= {2,4, 6, ... }, M2 = {3,6, 9, ... } b) MI= {x: x2 + x- 2 = 0}, M2 = {x: x2 - 3x + 2 = 0}

1.4

Zeigen Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen, daß für drei Mengen MI. M2 und M 3 gilt a) MI n (M2 U Ma) = (MI n M2) U (MI n Ma) b) MI U (M2 n Ma) = (MI U M2) n (MI U Ma}

1.5

Man zeige durch vollständige Induktion, daß für alle n E N gilt 22 + 32 + ... + n2 = E:=I k2 = n ｮＫＱｾＨＲｉ＾＠ b) 20 + 2I + 22 + ... + 2n = E:=O 2k = 2n+l- 1 a) 12 +

I +2.3 I+I + +I _n ) TI '3.4 ' · ' n (n+I) - n+I

C

1.6 Man zeige durch vollständige Induktion a) 2n ｾ＠ n! für jedes n :2: 4 b) 2 n + 1 ｾ＠ 2n für jedes n :2: 3 c) n 2 ｾ＠ 2n für jedes n :f. 3 1.7

1.8 Man zeige durch Nachrechnen:

"'n wk=I

ak-I

1.9 Man zeige (

"'n-I wk=O ak

=

ｾ＠

)

i

"'n-I wk=O ak+I

"'n

= wk=I ak

·

ｾ＠ ｾ＠ fi für jedes n E N. (Nachrechnen!)

1.10 Man entwickle die folgenden Binome a) (x+4} 5 b) (1-5y) 4 c) (a 2

-2bt

1.11

Bestimmen Sie mit MAPLE den Summenwert von ｌＺｾ

ＷＱ＠

( k2

+ 1).

39

Aufgaben zu Kapitel I

1.12 Bestimmen Sie mit MAPLE eine Formel fUr die Summenwerte von a) 13 + 23 + 33 + ... + n 3 b) 14 + 24 + 34 + ... + n 4 "\""n

L.....i=O

.

x' ·

1.13 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke soweit möglich 18xa+4 4x7-3a a) _ _ _ : _ _ _ b) (a"+lbo:-1 + anbx + an-lbx+l) : (an-2bx-l) 2 y5a+7 g y8+5a 1.14 Vereinfachen Sie formal die Wurzelterme soweit möglich a) x(2r2- 4x2) - 8xv0""= x2 b) 2,j(x- k)2 + x2(2x- k)2 .Jr 2 - x 2 ../2x2 - 2kx + k 2 c) ../6x2-

6J3x-

3 2x+2

1.15 Berechnen Sie a) e)

J-?/a6bl2 ｾ＠

.

\la2W.

Ja3{/df -=--==-

VaVa

1.16 Berechnen Sie a) ld 2\ log .Jiö, ln e 3 c) log

n+{/an yli;=T

1.17 Zeigen Sie, daß die beiden Mengen zusammen mit den Rechenoperationen + und · die Körperaxiome erfüllen. a) ({ a + b..j2 mit a, b E ｾｽＬ＠ +, ·) bzg. den Rechenoperationen der reellen Zahlen. b) (H, +, ·) bzg. den in Beispiel 9(5) angegebenen VerknUpfungstabellen.

1.18 Geben Sie die reellen Lösungf:n der folgenden quadratischen Gleichungen an: Ｒ ＭＴｸＫＱＳ］Ｐ＠ a)4x 2 +8x-60=0 ｢Ｉｾ c)-1=-9(x-2) 2 2 d) 5 x + 20 X + 20 = 0 e) (X - 1)(X + 3) = -4 1.19 Man bestimme den Parameter c so, daß die Gleichung 2 x 2

+4x =

reelle Lösung besitzt.

1.20 Welche reellen Lösungen besitzen die Gleichungen? a) -2 x 3 + 8 x 2 = 8 x b) t 4 - 13 t 2 + 36 = 0 c) ! (3x 2 - 6) (x 2 - 25) (x + 3) = 0 1.21

Lösen Sie mit MAPLE die folgenden Wurzelgleichungen: .JX2+4 = x- 2 c) ..;x=-f = d) J2 x 2 - 1 + x = 0

a) .J-3 + 2x = 2 b)

v'x+T

1.22 Welche reellen Lösungen besitzen die Betragsgleichungen? a) lx 2 - xi = 24 b) 12 x + 41 =- (x 2 - x- 6)

c genau eine

40

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.23

Bestimmen Sie mit MAPLE die reellen Losungsmengen der folgenden Ungleichungen: a) 2 x - 8 > lxl b) x 2 + x + 1 ＠ｾ 0 c) lxl ::; x- 2 d) lx- 41 > x 2

1.24

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: a) 4xl 10 + 2x2 + 4xa 3 X1 + X2 + X3 3xa 8 2 Xl 3x2 + + b)

c)

1.25

c)

X2 2x2

2x1 2 X1 3xl

+ +

X2 X2

+ + + + + +

X3

7 10

xa

5

X3

7 0

xa xa xa

5

+ + + + + +

X1 Xl 2x1 X1 Xl 2 Xl

X2 2x2 X2 X2 2x2 X2

+ + + + + +

6 7 11

X3 X3

2xa X3

xa 2xa

=

7 7 11

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der linearen Gleichungssysteme: 4 + 3 X2 + 4 X3 2 X1 a) b)

c)

1.27 1.28

+ +

Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme: -3 a) 3x2 Xl + xa 5 -3xl + X2 + X3 b)

1.26

2x1 2x1 3xl

X1 -3Xl 5xl X1 -3Xl 5xl

+

X2 3x2 5X2

+

X2 3x2 5x2

+ + + +

xa 3xa 5xa X3

3xa 5xa

1 -3 5

1 -1 5

Welche Aussagen gelten fur die entsprechenden homogenen Systeme? Die Variablen x 1, x2, ... in den folgenden chemischen Reaktionen sollen fur möglichst kleine naturliehe Zahlen stehen: a)

b) c) d) e) f) g)

x1 x1 Xl Xl x1 Xl x1

Fe + x2 02 ---+ xa Fe20a FeS2 + x2 02 ---+ xa FeaOa + X4 S04 CsH1206 + X2 02 ---+ Xa co2 + X4 H20 CaHsNa09 ---+ X2 co2 + X3 H20 + X4 N2 + Xs 02 N Ha + x2 Cu02 ---+ xa N2 + X4 Cu + xs H20 Al+ X2 H2S04 ---+ X3 Al2(S04)a + X4 H2 Caa(P04) + x2 HCl---+ xa Cacl2 + X4 Ha(P04)

Kapitel II Velttorrechnung Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel in der Physik und Technik, wo viele Größen sich nicht nur durch die Angabe einer Zahl, zusammen mit einer Einheit versehen, beschreiben lassen. Wahrend die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsehe Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl (zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden physikalischen Größen nicht möglich: Die Geschwindigkeit eines Massepunktes im Raum ist festgelegt durch die Größe der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massepunkt angreift, wird beschrieben durch die Länge der Kraft und der Richtung, unter welcher die Kraft angreift. Elektrische Feldstärke, Drehmoment usw. sind andere physikalische Größen, die durch Maßzahl (Länge) und Richtung festgelegt werden. Wir definieren verallgemeinernd: Definition: Ein Vektor 0: ist dne Klasse von gerichteten Strecken (Pfeilen), die in Richtung und Ltlnge Ubereinstimmen. --+

Zwei gerichtete Strecken AB (Anfangspunkt A, Endpunkt ---+ B) und CD (Anfangspunkt C, Endpunkt D) stellen genau dann denselben Vektor dar, we:nn sie gleichgerichtet und gleichlang sind. Man spricht daher oftmals von Richtungsvektoren. Durch Parallelverschie:bung entstehende Vektoren sind also gleich. Ein Vektor ist eindeutig durch seinen Anfangspunkt und Endpunkt festgelegt. Historisch gesehen ist die Vektorrechnung eine recht junge Disziplin verglichen z.B. mit der Differentialrechnung. Die BegrUndung der modernen Vektorrechnung geht auf Hermann Großmann (11809 - 1877; 1844) zurück. Der Formalismus der Vektoren und der Vektorrechnung entstand also wesentlich später als die komplexen Zahlen. Im folgenden werden wir zur Beschreibung der Vektoren und der Rechenoperationen mit Vektoren von einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem ausgehen.

42

II Vektorrechnung

§1. Vektoren im IR2 Der zweidimensionale Raum R 2 wird durch zwei senkrecht aufeinanderstehenden Koordinatenachsen (kartesisches Koordinatensystem) festgelegt. In einem solchen Koordinatensystem ist ein Vektor 0: vom Punkt P1 = ( x1, y 1 ) zum Punkt P2 = (x 2 , y 2 ) durch seine Komponenten festgelegt, den Projektionen auf die Koordinatenachsen:

p

y

ｾ Ｎ＠ ＺｺＯｻｾ＠

y

I I I

I I ｾ＠

P=(x,y)

ｾ＠

Richtungsvektoren

X

0

X

Ortsvektor

Dabei kommt es nicht auf die spezielle Lage im R 2 an. 0: und ai repräsentieren den gleichen Vektor. Wir sprechen von einem Richtungsvektor, wenn der Angriffspunkt keine Rolle spielt. Im Gegensatz zu Richtungsvektoren spricht man von Ortsvektoren, wenn der Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P fUhrt:

Ll Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Das Produkt eines Skalars >. E R mit einem Vektor 0: ist wieder ein Vektor. Die Multiplikation geschieht komponentenweise. Geometrisch entspricht dies der Streckung des Vektors 0: um den Faktor .>.. FUr >. = - 1 hat -0: die gleiche Länge aber umgekehrte Richtung wie 0:. Manchmal ist es bequemer den Zahlenfaktor rechts vom Vektor zu schreiben. Wir setzen daher 0: >. := >. 0:.

43

1.3 Die Lange (der Betrag) eines Vektors

12 Addition zweier Vektoren

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor. Die Addition erfolgt komponentenweise. Entsprechend ist die Subtraktion erklärt. Geometrisch entspricht die Addition zweier Vektoren der Krafte-Addition über das Krafte-Parallelogramm.

Abb. 2: Addition und Subtraktion uber das Kräfte-Parallelogramm

13 Die Länge (der Betrag) eines Vektors Die Lange(= Betrag) eines Vektors 7! ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras:

Für den Betrag eines Vektors schreibt man auch kurz

L Beispiele: (1) Gegeben sind die Vektoren

7!

Dann ist

d

= - (/

+ 3b + 27! =

(

］ｾ＠

=

( ｾ＠ ) , b

)

+(

= (

i ) + ( ］ｾ＠

1

ｾ＠

) ,

c!

)

= (

(2) An einem Massepunkt wirken die Kräfte ---+

F1 =

(

( -lN ) ---+ 2N ) - • ' F3 = 5N lN ' F':2 =

(

= (

-4N ) . 2N

］ｾ＠

).

-! ).

44

II Vektorrechnung

Gesucht ist der Betrag der resultierenden Kraft FR : ___.

FR

2N )

-----t -----t -----t = Fl + F2 + F3 =(

y

IN

-IN ) 5N

+(

-4N )

2N

=(

-3N ) 8N

(3) Ein Vektor der Länge I heißt Einheitsvektor. Spezielle Einheitsvektoren sind die Koordinaten-Einheitsvektoren

...... e,

€t := ...... e,

x

Abb. 3: Einheitsvektoren

(linearkombination von

Richtung

(

ｾ＠

)

und

ｾ＠

:= (

ｾ＠

) .

Diese Vektoren haben die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen und die Länge I. Mit den Einheitsvektoren läßt sich jeder Vektor lt schreiben als

€t und

(4) Gegeben ist ein Vektor

Wegen

+(

ｾＩ

Ｎ＠

lt = (

ｾＺ＠

).

Gesucht ist der Einheitsvektor in

lt .

1«1 = Jai + ｡ｾ＠

ist

der gesuchte Einheitsvektor, denn stimmen überein. (5) Der Nullvektor

0 = ( ｾ＠ )

Ie;: I =

I und die Richtung von

e+ a

hat die Länge 0 und keine Richtung.

und

lt

45

1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

14 Das Skalarprodukt zweier Vektoren Unter dem Skalarprodukt Vektoren

(Punktprodukt) zweier

Ｍｾ＠ (b ( a) a: und b = b: )

0: =

versteht

man die reelle Zahl ....lo.

a

(1)

Winkel zw.

0:

und

b

wenn a der zwischen 0° und 360° gelegene Winkel --t zwischen den Vektoren 0: und b ist. Obliche Bezeichnungen jur das Skalarprodukt sind auch ( 0:,

b)

oder

(a:, t:). Für das Skalarprodukt gelten die Rechenregeln --t

b·O:

--t

a·b --t --t .A·(a·b) --t --t --t a·(b+c)

= =

--t

--t

--t

--t

,\ · a ) · b = a · (,\ · b ) --t --t (--t a ·--t) b +(a ·c) (

Symmetriegesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz

(81 ) und (82) sind offensichtlich, (83) ist nicht ganz evident. Auf Beweise sei jedoch verzichtet. Wir verwende:n stattdessen die Regeln, um eine sehr einfache Darstellung des Skalarproduktes zu erhalten: Aufgrund der Definition des Skalarproduktes ist -e-+1.-e-+1=1, -e-+1.-e-+2=0, -e-+2.-e-+2=1.

Daher gilt für zwei Vektoren --t

a =

0: · b

(

ax --t --t --tb = ( bx ay ) =axe1+aye2und by (ax ""t1 + ay ""t2) · (bx ""t1 + by ""t2) ax bx --t e 1 · --t e 1 + ax --t e 1 · by --t e 2 + ay --t e 2 · bx --t e 1 + ay by --t e 2 · --t e2

I

=> 0: · b

= ax bx + ay by.l

(2)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren läßt sich also einfach angeben ohne den Winkel a zwischen den Vektoren 0: und b berechnen zu müssen, indem die Summe der Produkte der ersten Komponenten und der zweiten Komponenten gebildet wird.

46

II Vektorrechnung

Kraft in Richtung 0:

IFai·IO:I

W =

= =

I"PI ·cosa ·10:1 -p .a:.

Anwendung: Berechnung des von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels. Aus Gleichung ( 1) und (2) folgt

Aus dem Kosinus erhält man den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel a zwischen 0 und 180°. Spezialfall: Stehen 0: und b senkrecht aufeinander, so ist a = 90° und cos a = 0. Daher gilt

Ia: . -r =0

{:}

a: j_ -r.l

Man beachte also: Im Gegensatz zum Produkt von zwei reellen Zahlen ist das Skalarprodukt nicht nur dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren der Nullvektor ist, sondern auch dann, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen. ｾ＠

a

2. Beispiele: (1) Man bestimme das Skalarprodukt von

---t a

(2) Die Vektoren

· ---t b

0: (

=

(

ｾ＠

42 ) · ( -1 ) 3 )und

b

= (

0: = (

ｾ＠

) und

b

= (

Ｍｾ＠

).

= 4 · (-1) + 2 · 3 = 2.

-i )

sind orthogonal, d.h. sie stehen

senkrecht aufeinander:

b a · ---t

---t

=

(

21 ) · ( -21 )

= 1 · (-2) + 2 · 1 = 0.

(3) Der Betrag eines Vektors kann aus dem Skalarprodukt berechnet werden:

47

1.5 Geometrische Anwendung

FUr

0:

= ( :: ) gilt

0: · 0:

ｾ＠ (4) Gegeben ist der Vektor

= ( :: ) · ( :: ) =

a; + ｡ｾ＠

=

10:1 2

ｉｏＺ］｡ｾＭ＠ 0:

i ).

= (

Gesucht sind die Winkel a und ß,

die 0: mit den Koordinatenachsen einschließt. Die Winkel erhalten wir aus dem Skalarprodukt von 0: mit et 1 bzw. mit et 2 : 'J ._... ._... a . e 1 a" 2 o cosa= IO:I·Ietd = IO:I ］Ｗｳｾ｡ＲＶＬＮ＠ ...... e,

e, (5) Man bestimme zum Vektor

0:

X

= ( :: ) einen senkrecht dazu stehenden

Vektor Tt mit Länge I :

N

= ( -:: ) steht senkrecht auf

0:,

da

0: · N =

( :: ) · ( -:: ) = 0.

Der zugehörige Normalen-Einheitsvektorist

Tt·=et =J..N= ·

n

N

ｊ｡ｾＫ＠

1

(

-ay) a.,

·

LS Geometrische Anwendung Durch den Ortsvektor entspricht jeder Punkt P Vektor 7 ( P) = (

ｾ＠

= (x, y)

im R 2 genau einem

). Eine Gerade g durch zwei Punkte P1 = (x1, Y1) und

P2 = (x2, Y2) läßt sich demnach darstellen als Menge aller Punkte P, fur die gilt g :

7{P) = 7(PI)

+ ,\ {7(P2)- 7{Pl)) = 7{PI) + ,\ · 0:. y

X

Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden

48

II Vektorrechnung

Dies ist die Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden, definiert durch den Ortsvektor r+(Pt) und dem Richtungsvektor 0: := r+(P2)- r+(Pt)· Eine andere Darstellung der Geradengleichung folgt, wenn wir die Punkt-RichtungsDarstellung mit dem zu g senkrecht stehenden Normalen-Einheitsvektor rt (siehe Beispiel 2( 5)) skalarmultiplizieren.

( Xy ) . --tn __ ( ( XYtt )

+ >. · --t) a ·

--t

(

n =

Xt ) --t Yt n + ｾ＠

--t

--t

=0

Dies ist die Hesse-Normalform einer Geraden im IR2 .

ist der kürzeste Abstand der Geraden vom Nullpunkt. 3. Beispiel: Gegeben sind zwei Punkte Pt = (1, 1) und P2 = (4, 2). Gesucht ist die Punkt-Richtungs-Darstellung sowie die Hesse-Normalfarm der Geraden g durch die Punkte Pt und P2. Wie groß ist der kleinste Abstand vom Ursprung? (i) Punkt-Richtungs-Darstellung:

g: r+ ( : )

= r+ (Pt)+>. (r+(P2)- r+(Pt)) = ( ｾ＠ ) :- >. ( ｾ＠

) .

(ii) Hesse-Normalform:

Der Vektor

N

= ( -

ｾ＠

v'f+9 = vTö ist n+ := -/:iN g. ==? d

= ( : )

0:

) steht senkrecht zu

ｾ＠

( -

=

ｾ＠

ｾ＠ )

( -

ｾ＠

= (

ｾ＠

) . Wegen

IN I =

) der Normalen-Einheitsvektor zu

ist die Hesse-Normalform.

(iii) Der Minimalabstand der Geraden zum Ursprung erhält man, indem man den Punkt Pt = (1, 1) in die Hesse-Normalfarm einsetzt: d == (

ｾ＠

)

Jw ( Ｍｾ＠ )

=

ｾ＠

=

ｾｶｬｯＮ＠

(iv) Berechnen wir noch das Skalarprodukt auf der linken Seite der Hesse-Normalform 1 2 -(-x+3y)=-

v'fö

vTö

1.5 Geometrische Anwendung

49

und lösen nach y auf, erhalten wir die übliche Darstellung der Geradengleichung in der Ebene

Hinweis: Auf der CD-ROM befinden sich MAPLE-Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im R 2 ermöglichen als auch die Visualisierung der in 1.1 bis 1.4 beschriebenen Vektoroperationen. Der zweidimensionale Vektor 0: wird mit Hilfe der Prozedur Linkom2d durch die Linearkombination der zwei Einheitsvektoren 0: = a., e+ 1 + ay e+ 2 dargestellt, während Darst2d zwei Ortsvektoren im R 2 zeichnet. Die Pmzedur Add2d addiert zwei Vektoren geometrisch und die Darstellung der Subtraktion erfolgt durch Subld. Die Prozedur Projekld zeigt die Projektion des Vektors b auf den Vektor 0:. ｾ＠

50

II Vektorrechnung

§2. Vektoren im IR.3 Analog zum Vorgehen im zweidimensionalen Raum R 2 fUhrt man Vektoren im R 3 ein, indem ein Vektor 0: in einem rechtwinkligen Koordinatensystem vom Punkt P1 = (x1. Y1. zi) zum Punkt P2 = (x2, Y2, z2) festgelegt ist:

z

y

0:

X

X2- X1 )

:= (

Y2- Y1

·

Z2- Zl

Abb. 4: Richtungsvektor im IR 3

0:

heißt dann wieder Richtungsvektor. Ein Ortsvektor --;;:' ( P) stellt einen Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P = (x, y, z) dar:

.. (P) = (

n

2.1 Rechenregeln für Vektoren Die Multiplikation eines Vektors 0: mit einem Skalar A und die Addition zweier Vektoren erfolgen komponentenweise: (Skalare Multiplikation)

(Addition)

Die Lange (bzw. der Betrag) eines Vektors

Ia

:=

10:1 ］ｊ｡ｾＫ＠

｡ｾ＠

0:

ist gegeben durch

+ ｡ｾ＠

(Betrag)

I

und entspricht der Diagonalen eines Quaders mit Kantenlängen ax , ay, az . Jeder Vektor lauten nun

e! mit Ie! I=1 heißt Einheitsvektor. Die Koordinaten -Einheitsvektoren

e:, =

(

ｾ＠

)

'e:, =

(!) 'e:,

= (

ｾ＠

) '

2.1 Rechenregeln fur Vektoren

Jeder Vektor

l(t = a., e+

51

lt läßt sich schreiben als linearkombination der Einheitsvektoren z p

1

+ ay e+ 2 + az e+

J X

4. Beispiele: (1) Der Ortsvektor zum Punkt P = (5, 1, -3) lautet

ｾＨｐＩ］＠

= .../52+ 12 + (- 3)2 = J35.

und hat die Länge ｉｾＨｐＩ＠

(2) Der Richtungsvektor von P1

ｾ＠

=

P,p; =

cn

ｾＨｐＬＩ＠

ｾ＠ ｾＨｐＬＩ＠

= (3, 4, 7) nach P2 = (7, 3, 1) ist = (

f) ｾ＠ (ｾＩ＠

= (

=!).

(3) Gesucht sind die Koordinaten des Punktes Q, welcher die Strecke von P 1 = (:l, 4, 7) zum Punkt P2 = (7, 3, 1) im Verhältnis 1:2 schneidet.

Das Skalarprodukt ist im R 3 definiert durch

l(t ·b

:=

lltl·lbl· cosa,

b

wenn a der von den Vektoren lt und eingeschlossene Winkel ist. Fur die Darstellung des Skalarproduktes berechnet man mit den gleichen Regeln wie im

52

II Vektorrechnung

I

"Ct ·

b

= ax bx

+ ay by + az bz.l

Folglich gilt wieder für den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel o::

Zwei Vektoren verschwindet:

lt

--t

und b stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt

5. Beispiele: (1) Orthonormalsystem: e+ 11 e+ 2, e+ 3 bilden ein Orthonormalsystem von JR3 , d.h. sie stehen paarweise aufeinander senkrecht und haben die Lange 1:

(2) Ine

v.-en

0\

ｾ＠

f, ( : ) ' 0:2 ｾ＠

ｾ＠

(

ｾ＠

i)• ｾ＠ 7. ( =ｾ＠ ) 0:a

bilden ebenfalls ein Orthonorrilalsystem. (3) Richtungskosinus: Durch das Skalarprodukt lassen sich auf einfache Weise

cosa=ax a

--t I ay a · --t e2=ay; 1--t e2 =1=>cosß=--t a · --t e3=

az;

1--t e 3I =

a

1 => cos-y = az.

a

Die Winkel o:, ß, -y heißen Richtungskosinus von "Ct. Es gilt cos 2 o: + cos 2 ß + cos2 -y =

a2 a

ｾ＠

a2

a2

+ a ｾ＠ + -1 = a

a2 2 = 1 a

und ax = I"Ctlcoso:, ay = I"Cticosß, az = I"Ctlcos-y.

(4)

53

2.2 Projektion eines Vektors

Durch Gleichung (4) sind für ein Vektor 0: die 3 Winkel zu den Koordinatenachsen nicht beliebig wählbar. Nur 2 Winkel sind frei; der dritte bestimmt sich aus (4). (4) Zahlenbeispiel: Gegeben sind die Vektoren

Gesucht ist der Winkel a zwischen

0:

und

0: =

b:

= -4 + 6 - 6

=- 4

}

-4

2.2 Projektion eines Vektors Wir betrachten die folgende physikalische Problemstellung: Ein Massepunkt ist in eine Schiene eingespannt werden. und kann nur entlang der Richtung 7 ｢･ｷｾｴ＠ Auf diesen Massepunkt wirkt eine Kraft F. Gesucht ist die Kraft F 8 in Richtung 7 : Der Betrag von F s ist mit Gleichung (3) gegeben durch

-

und die Richtung durch ｾ＠

-

Man nennt F

s

-F

s

8

= ｾ

Ｎ＠ Also ist

-;::t1'" • s s s F .I- F s . es= 171 . 171 = 1712 s. = ,-

-

die Projektion von F in Richtung

7.

0:

und

Daher gilt verallgemeinernd für zwei Vektoren Die Projektion von ---. ｢ ｡］ ｾﾷ＠

-a · b

___. a

b

in Richtung

0:

b:

ist gegeben durch

ＴＭｾ＠

.

54

II Vektorrechnung

--t

...,... ......

Man beachte, daß 0: · b das Skalarprodukt bedeutet und daher ｡ｾｬ＠ eine reelle Zahl darstellt. Das zweite Produktzeichen ist die Multiplikation des Vektors 0: mit dieser reellen Zahl. Beide "·"-Zeichen durfen nicht vertauscht werden!

6. llelspiel• Gegeben ist die K>-aft

F=

sich nur entlang der Richtung 8' = (

( _

ｾ＠

=: )

) , die auf eine Masse wirkt, die bewegen kann. Gesucht sind die

Beschleunigungskraft und deren Betrag:

: .. ｾ＠

ｾ］Ｍ［＠ (::H: )( ｾ［ﾷＩ＠ Ｚｾ

I

Die verrichtete Arbeit W ergibt sich direkt durch W :=

Ｓ ］＠

v3

F · st = 3.1

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Im R.3 definiert man fUr zwei Vektoren das sog. Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt), dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist:

b

Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) C: = 0: x --t zweier Vektoren 0: und b versteht man den Vektor C: mit den folgenden Eigenschaften: (1)

--t

--t

--t

c ist sowohl zu a als auch zu b senkrecht: --t --t --t c · a = 0, c · b = 0.

--t

(2) Der Betrag von C: ist gleich dem Produkt aus den Betragen der Vektoren --t 0: und b und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels a:

iC:I = iO:i·lbl· sina, wenn a der Winkel, den die Vektoren 0: und miteinander einschließen.

(3) Die Vektoren

--t

0:, b , C: bilden ein Rechtssystem.

b

55

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Bemerkungen: (1) Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Vekto1rodukt eine vektorielle Größe.

(2) Statt --t a x --t b wird auch oftmals das Symbol (3) Das Vektorprodukt ist nur in R 3 definiert!

--t --t]

a, b

Geometrische Deutung: Da (! _1_ 0: und (! _1_ --t b steht, kommt als Richtung des Vektors (! nur die in nebenstehendem Bild gestrichelte Linie in --t Frage. Da 0:, b , f! in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, bleibt nur der nach oben weisende Teil. Der Flächeninhalt des von 0: und --t b aufgespannten Parallelogramms ist Grundseite * Höhe, also A

=I --t a I· h =I --t a I· 1--t b I · sina = 1--t a x

--t bI

verwendet.

a

.

Der Betrag des Vektorproduktes entspricht also dem Flächeninhalt des von den --t --t Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. 7. Beispiele: (1) Die Vektorprodukte der Einheitsvektoren lassen sich aufgrund der Definition sofort berechnen: el X el = 0, e2 X e2 = 0, eJ X eJ = 0;

el X e2 = eJ, e2 X eJ = el, eJ X el = e;. (2) Kriterium fur kollineare Vektoren: Verschwindet das Kreuzprodukt von 0: --t

a

--t --t

--t

# 0 und

TT b ( a parallel zu b ) oder

--t

a

--t

b

# 0, so ist entweder

--t --t

--t

T! b ( a antiparallel zu b ) .

8. Beispiele fUr das Auftreten des Kreuzproduktes in der Physik: (1) Drehmoment: Ein Körper sei um einen festen Punkt 0 drehbar und im Punkte P dieses Körpers greift eine --t Kraft--tF an. Dann ist die Größe M das Drehmoment von F bezUglieh 0

M =

lr+I·IFI· sincp

(Kraft mal Hebelarm). Der Drehmomentvektor steht senkrecht zu der durch r+ --t und F gebildeten Ebene und kann als Richtung der Drehachse aufgefaßt werden:

IM= r+ 'F.I X

56

II Vektorrechnung

(2) Drehimpuls: Sei 0 ein fester Bezugspunkt. Eine Masse m befinde sich in einem bestimmten Augenblick in P und besitze die Geschwindigkeit 1!. Dann ..... lautet der momentane Drehimpuls L des Massenpunktes bzgl. 0

lT =mr+x1!,1 .....

-------t

.....

wenn r = 0 P = r (P) der Ortsvektor zum Punkt P. (3) l.orentz-Kraft: Bewegt sich ein geladenes Teilchen (Ladung _. q) mit der Geschwindigkeit 1! durch ein Magnetfeld, so erfährt es eine zu B und 1! senkrechte Inrentz-Kraft:

Wir geben für das Vektorprodukt die wesentlichen Rechenregeln an: (V!) (V2) (V3)

.................... a x b + a x c ..... O:xct+ b xct

0: X (b + ct) (0: + b) X ct

.......... a x b ..... ..... .X·(axb)

=

-b

=

(.X0:) X b 0: X (.X b)

X

Distributivgesetze AntiSymmetriegesetz Multiplikation mit Skalar .X

0:

.....

Man beachte: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Mit Hilfe der Rechengesetze erhalten wir eine für die Praxis brauchbare Darstellung des Vektorproduktes über die Komponenten der Vektoren, denn es gilt

.....

O:xb

+ ay ｾＲ＠

(ax ｾＱ＠

+ az ｾＳＩ＠

....__..,

axbx ＨｾＱ＠

Xe\)

X

+ by ｾＲ＠

(bx ｾＱ＠

....__..,

+axby (et1

X

ｾＲＩ＠

e*'3

=0

+ bz ｾＳＩ＠

et3) + ..._,..._.,

+axbz (et1

X

- e*2

ｾＱＩ＠ +ayby ....__.., ＨｾＲ＠ et2) +aybz ....__.., ＨｾＲ＠ ｾＳＩ＠ + ....__..,

aybx (et2

X

ｾＲ＠

(aybz- az by)et1 Somit ist

X

=0 e't -e+a X etl) +azby (et3 X et2) +azbz (et3 X et3)

....__..,

azbx ＨｾＳ＠

X

....__.., ＭｾＱ＠

+ (azbx- ax ｢ｺＩｾＲ＠

....__.., =0

+ (axby- aybx)et3.

57

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Formal läßt sich das Vektorprodukt in der Form einer dreireihigen Determinante (ｾ＠ Kap. III, §2) darstellen, wenn man nach der ersten Spalte entwickelt:

O:x b

=

Der Wert einer zweireihigen Determinante ist definiert durch die Differenz von Haupt- und Nebendiagonal-Produkten.

ｾ＠ ｾ＠ == a . d _ b . c. 1

1

9. Beispiel für die Berechnung einer dreireihigen Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte: 0 3 4

i Ｍｾ＠ Ｍｾ＠

= 4 (( -1)( -5) -

1- ·1 ｾ＠ Ｍｾ＠

］ Ｔ ﾷＱＭｾ＠

2. 2) - 2(3. (-5)- 2. 0)

Beachtet man die Vorzeichemegel (

ｾｉ＠

Ｍｾ＠ ｬＫﾷＭｾ＠

2

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

+ - +

+ (3. 2- ( -1) . 0) = 40. ) , kann die Determinante nach

jeder beliebigen Spalte bzw. auch Zeile entwickelt werden (siehe Kap. III, §2).

0:

10. Bcispöel: Gegeben •ind die Vektoren -t

-t

(i) a x b =

Ｑ＠

ｾ -i

-t

ｾ＠

ｾ＠

1 2 ｾ＠

= ＭＸｾ＠

1 -

(ii) Der Flächeninhalt des von

A

ｾ＠ Ia: bl ｾ＠ X

I

=

Ｐｾ＠

-4 0 1 2

2

+ Ｘｾ＠

cn 0: und

b

ｾ＠

Ｍｾ＠

(

)

und

b

ｾ＠

I I1 2 I I 1 2

-t

e

3

1-

=

(

-t

e

2+

_

ｾ＠

).

1 2 4 0

I

(ＭＸｾＩＮ＠

ｾ＠

aufgespannten Parallelogramms ist

v'64+64

ｾ＠

ｾ＠

vTI8 sv'2

-t

e

3

58

II Vektorrechnung

2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren In der Mechanik kommt das Produkt (a+ x b) · c> vor. Der Klammerausdruck ist ein Vektor, der skalarmultipliziert mit c> wird. Das Ergebnis ist also eine reelle Zahl. c von drei Vektoren versteht man [--+a , --+b , -] c := (--+ a x --+) b · --+ c. [--+a , --+b , -]

Definition: Unter dem Spatprodukt die reelle Zahl

Ｎｾ＠

axb

--+ --+

--+

Spatprodukt der Vektoren a , b und c . Fur das Spatprodukt gelten die Rechenregeln (1)

[.>. --+a , --+b , --+] c

(2)

[--+a+b,b,c --+ --+ --+]

(3)

[--+e1 , --+e2,e3 --+ l

[--+a , --+b , --+] c

.>.

Bilden die Vektoren a+, produkt positiv (negativ).

[--+a , --+b, --+] c

usw. usw.

1

=

b, c> ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spat-

Geometrische Interpretation: Das Volumen des von den Vektoren a+, und c> aufgespannten Spates (Parallelotops) ist gegeben durch Grundfläche G mal Höhe h. Die Grundfläche ist nach Definition des Kreuzproduktes G = a+ x und

b

die Höhe h

I

= Iet Icos 4'· => V

= Ia x

bl · I c

- I · cos 4' = I(-a x -b ) · -c I.

bI

59

2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren

Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag des Spatproduktes. Der Wert des Spatproduktes erhält man durch Ausrechnen

Die Rechnung kann man aber auch als das Ergebnis der Entwicklung der Determinante ax bx Cx a, b, c = ay by cy az bz Cz

-- -]

[

-- -

auffassen.

Aus der Interpretation des Spatproduktes als das Volumen des von a , b und c aufgespannten Spates ergibt sich folgende wichtige Folgerung

Folgerung: Das Spatprodukt ist Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen:

·---

a , b , c = 0 {:::} a , b , c [---]

liegen in einer Ebene.

---------

Es gilt bei der Berechnung des Spatproduktes die folgende Regel

(a x b)· c =(b x c)· a =(c x a)· b. Das Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich, wenn man von der zyklischen Reihenfolge a b c, b c a oder c ab abweicht.

Hinweis: Auf der CD-ROM befinden sich MAPLE-Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im R 3 ermöglichen als auch die Visualisierung der in 2.1 bis 2.4 beschriebenen Vektoroperationen. Der dreidimensionale Vektor 0: wird mit Hilfe der Prozedur Linkom3d durch die Linearkombination der drei Einheitsvektoren 0: = ax ｾ＠ 1 + ay ｾ＠ 2 + az ｾ＠ 3 dargestellt, wahrend Darst3d zwei Ortsvektoren im JR3 zeichnet. Die Prozedur Add3d addiert zwei Vektoren geometrisch und die Darstellung der Subtraktion erfolgt durch Sub3d. Die Prozedur Projek3d zeigt die Projektion des Vektors b auf den Vektor 0:. Die Darstellung des Vektorproduktes 0: x b erfolgt durch Vecprod.

- -

60

II Vektorrechnung

§3. Vektorrechnung mit MAPLE Die Befehle zur Vektorrechnung befinden sich im linalg-Paket, welches durch with Oinalg) aktiviert wird. Dieses Paket zur Linearen Algebra ist weit umfangreicher als es in diesem Abschnitt benötigt wird. Alle Befehle aus dem Paket erhält man durch >with(linalg); aufgelistet. Ab MAPLE6 gibt es neben dem linalg-Paket, mit dem sich die symbolische Vektorrechnung einfach durchfUhren läßt, zusätzlich das LinearAigebra-Paket, auf das wir im Anhang B gesondert eingehen werden. Vektoren werden in MAPLE durch vector(n,[xl, ... ,xn]) definiert, wobei n die Länge des Vektors angibt und x 1 , ... , Xn die einzelnen Komponenten. Per Definition ist also ein Vektor im MAPLE-System in der Komponentendarstellung erklärt und sämtliche Vektoroperationen erfolgen in dieser Darstellung. Die Angabe von n ist optional, d.h. es genügt nur die Komponenten zu definieren. Werden nur die Komponenten x 1 , ... , Xn in eckigen Klammem angegeben, so wird eine dem Vektor verwandte Struktur, nämlich eine Liste erzeugt. Auch mit den Listen können die folgenden Operationen durchgeführt werden. > with(linalg): Warning, the protected narnes norm and trace have been redefined and unprotected

> a:=vector(3,[a..x,a_y,a..z]); > b:=vector([b..x,b_y,b..z]): > c:=vector(3); > v1 :=vector(3,[-2,3,4]); #Vektor > v2:=[-2,2/3,6]: #Liste > whattype(v2), type(v1 ,vector); a := [ a..x, a_y, a_z]

c := array( 1..3, [ ] )

vl

:= [ -2,

3, 4]

list, true Die einzelnen Komponenten der Vektoren können durch Angabe des Index in eckigen Klammem, z.B. a[j], angesprochen werden: > a[2], c[3], v2[2];

Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors ist durch den norm-Befehl berechenbar: > norm(a,2), norm(v1 ,2);

Jl a_xl2 + I a_yl2 + I a_zl2' J29

61

§3. Vektorrechnung mit MAPLE

Die Ausführung der Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar erfolgt durch den evalm-Befehl:

> evalm(a+b), evalm(lambda*a); > evalm(2*v1-3*v2);

[ a...x + b_x, a_y + b_y, a..z + b..z], [ .X a...x, .X a_y, .X a..z J

[2, 4, -10] Das Skalarprodukt wird durch den dotprod-Befehl (Punktprodukt) realisiert.

> sk:=dotprod(a,b);

sk := a...x b...x + a_y b_y + a_z b..z --t

Man beachte, daß der Querstrich bei den Komponenten des Vektors b darauf hinweist, daß das Skalarprodukt auch für komplexe Vektoren definiert ist. FUr den --t

-=;

Fall von reellen Vektoren gilt b = b (siehe auch Kap. V, Komplexe Zahlen). Diese Bemerkung gilt auch für die weiteren Konstruktionen mit dem Skalarprodukt. Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, kann die Formel

> psi:= arccos( dotprod(a,b) I (norm(a,2)*norm(b,2)) ); (

1/J := arccos

a...x

b:X +

a_y 1J.:Y + a_z

b:Z

Jl a...xl2 + I a_yl2 + I a_zl2 Jl b...xl2 + I b_yl2 + I b_zl2

)

verwendet werden oder man benutzt den angle-Befehl:

> angle(a,b); arccos (

J

a...x b...x + a_y b_y + a..z b_z a...x2 + a_y2 + a_z2 b...x2 + b_y2 +

J

wobei der Winkel dann mit evalf als float-Zahl im Bogenmaß berechnet wird. 1L Beispiel: Berechnung des Winkels zwischen den beiden Vektoren al=(3,-1,2) und a2=(1,2,4):

> a1 :=[3,-1 ,2]: a2:=[1 ,2,4]: > psi:= arccos( dotprod(a1 ,a2) I (norm(a1 ,2)*norm(a2,2)) ); > evalf(psi*1801Pi); 1/J := arccos ( 938

JMJ21)

62

II Vektorrechnung

58.33911721 oder > angle(a1 ,a2): %=evalf( convert(%,degrees) );

arccos ( : 8

/14

J2l)

= 58.33911721 degrees

Die Projektion des Vektors b auf den Vektor a wird bestimmt durch > b_a:= evalm( dotprod(a,b) I norm(a,2r2 * a );

[( a...xb:X + a_yb:y + a_zfU) a...x b_a ·.2 2 2 '

la...xl + la-YI + la-zl ( a...x"'b.:i + a_y b:y + a..z b.:Z) a_y la...xl 2 + la-YI 2 + la-zl 2

( a...x b:X + a_y b:y + a..z""b.:Z) a..z ] la...xl 2 + la-YI 2 + la..zl 2 FUr das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) steht der crossprod-Befehl zur Verfügung: > cp:=crossprod(a,b); > cp[2];

cp := [ a_y b_z - a_z b_y, a..z b...x - a...x b_z, a...x b_y - a_y b...x ] a..z b...x - a...x b..z 12. Beispiel: Berechnung des Flächeninhaltes des von den Vektoren al=(l, -5, 2) und a2=(2, 0, 3) aufgespannten Parallelogramms: > a1 :=[1, -5, 2]: a2:=[2, 0, 3]: > cp:=crossprod(a1 ,a2); > flaeche:=evalf( norm(cp,2) );

cp:=[-15, 1, 10) flaeche := 18.05547009 Nachdem Skalarprodukt und Kreuzprodukt bekannt sind, läßt sich das Spatprodukt als Kombination von den elementaren Produkten darstellen und das Volumen eines Spates berechnen: > a:=vector(3): b:=vector(3): c:=vector(3): > V := abs( dotprod(a, crossprod(b,c)) );

V:=

lal Ｈｾ＠

c3- b3 c2)

+ a2 (b3 c1- b1 c3) + a3

(b1 c2- b2 c1)1

63

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden

§4. Geraden und Ebenen im IR3 In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen der Vektoroperationen und der Vektordarstellung gegeben: Die Beschreibung von Geraden und Ebenen im :Ra.

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden

-

Eine Gerade g ist eindeutig durch die Angabe zweier verschiedener Punkte P 1 = ｾ＠ P2 ist der (x1, ｹｾＬ＠ zi) und P2 = (x2, Y2, z2) festgelegt. Denn durch a := P1 Richtungsvektor der Geraden festgelegt und jeder Punkt P = (x, y, z) der Geraden läßt sich darstellen als

-XE R, (Punkt-Richtungsform einer Geraden)

Darstellung ｾｩｮ･ｲ＠

Geraden

-XE R, (Zweipunkteform einer Geraden.)

Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden g , falls die entsprechende Vektorgleichung

eine Lösung ,X besitzt. 13. Beispiel: Gegeben sind die Punkte P1 = (2, 0, 4) und P2 = (2 , 2, 2). Liegt der Punkt Q = (2, - 2, 6) auf der Geraden g durch die Punkte P1 und P2? Die Geradengleichung für g lautet mit dem Richtungsvektor

= M = r'(P,)- r'(P,) = ( g'

r'(P)

ｾＩＭ

(

ｾＩ＠

= r'(P,) + A. 0: eine Lösung

Ｍｾ＠

J)ｾ＠ (Ｍｾ＠ ).

ｾ＠

)

Für A

(

ｾ＠

ｾ＠

)

+A (

lösb" ist

-I ist diese Gleichung erfüllt und der

liegt daher auf 9·

4.2 Lage zweier Geraden zueinander Zwei Geraden

können im R 3 4 verschiedene Lagen zueinander besitzen: 9 1 und 92 schneiden sich in genau einem Punkt S (Abb. Sa). (2) 91 und 92 fallen zusammen. Dies ist dann der Fall, wenn 0:

(1)

'-------+

--+

II

--+

b und

P1P2 II a. (3) 9 1 und 92 sind parallel, fallen aber nicht zusammen (Abb. Sb). Dies ist ----+ --+ --+ --+ dann der Fall, wenn a II b und P1 P2 A1 a . (4) 91 und 92 sind windschief: sie verlaufen weder parallel noch schneiden sie sich in einem Punkt (Abb. Sc).

(b)

(c)

Abb. 5: Lage zweier Geraden 91 und 92

Um die ｌ｡ｾ･＠ ｺｾｲ＠ Geraden rechnerisch zu bestimmen, genügt es die Vektorgleichung X 91 = X 92 zu lösen:

65

4.2 Lage zweier Geraden zueinander

Dies ist ein LGS für die Unbekannten .\ und

« ｾ＠ ( ｾ＠ ) ,b ｾ＠ ( :: ) , r"(P,) ｾ＠

J..L,

denn für

(

ｾＺ＠

) , r"(P2 )

ｾ＠ ｾ＠ (

)

lautet das LGS komponentenweise

A ax -

J..L

bx

.\ ay -

J..L

by

Y2 - Y1

A az -

J..L

bz

Z2 -

=

X2 -

X1

Z1

bzw. in Matrizenschreibweise (

a:

a

-bx -by

az

- bz

Es gilt dann (1) Besitzt das lineare Gleichungssystem für .\ und JL genau eine Lösung, dann schneiden sich 91 und 92 genau in einem Punkt. (2) Besitzt das lineare Gleichungssystem für ,\ und J..L unendlich viele Lösungen, dann fallen 91 und 92 zusammen. (3) Besitzt das lineare Gleichungssystem für .\ und J..L keine Lösung, dann sind 91 und 92 windschief oder sie sind parallel aber nicht zusammenfallend. 14. Beispiel: Gegeben ist die Gerade 9 1 definiert durch den Richtungsvektor

( _

ｾ＠

) und den Punkt P,

P2 = (4, 0, -1), P3 zueinander. Es ist

ｾ＠

0: =

(3, 2, I) sowie die Gerade !/2 durch We Punkte

= (- 2, -1, -1). Man bestimme die Lage der beiden Geraden

Da die Richtungsvektoren von 91 und 92 nicht parallel sind, können beide Geraden nur schneiden oder sie sind windschief. Wir setzen die Vektorgleisich entweder ----+ ｾ＠ chung X 91 = X 92 an:

66

II Vektorrechnung

In Matrizenschreibweise lautet dieses Gleichungssystem

-21 ) -2

-!).

( 01

-116 0 6

ｾ＠

-1

t,

Aus der letzten Zeile folgt 6J.L = -1 ::::} J.L = und aus der vorletzten Zeile Dies ist ein Widerspruch! Also läßt sich die folgt -llJ.L = -4 ::::} J.L = Ｑ ｾＮ＠ Vektorgleichung nicht lösen und es gibt keinen Schnittpunkt von 9 1 mit 92. ::::} 9 1 und 92 sind windschief.

4.3 Abstandsberechnung zu Geraden Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden 9:

7

=

--r+ (Pt) + Alt

ist gegeben durch die Höhe d des Parallelogramms, welches durch die Vektoren lt und aufgespannt wird (siehe Abb. 6). Die Parallelogrammfläche A ist nach Definition des Kreuzproduktes A = lt x = Ilt I·d. Nach d aufgelöst folgt:

M

I MI

Q _______ .,.

" ""

" g

Abb. 6: Abstand des Punktes Q zur Geraden g

Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden 9 : gegeben durch

7

=

--r+ (P 1 ) + Alt ist

Für d = 0 liegt der Punkt Q auf der Geraden ! Der Abstand zweier paralleler Geraden 91:

7 = --r+(P1) +Alt und

92:

7 = --r+(P2) + J.L b

67

4.3 Abstandsberechnung zu Geraden

ergibt sich direkt aus obiger Formel, indem man einen beliebigen Punkt auf der Geraden 92 wählt, z.B. den Punkt P2, und den Abstand dieses Punktes zur Geraden 91 bestimmt:

_ictxMI 1-ctl .

d-

Für d = 0 sind die Geraden zusammenfallend ! Um den Abstandzweier windschiefer Geraden 91:

""xt = "7(Pt) + Act und 92: 7 ---+

= "7(P2) + 11- b

---+

---+

zu berechnen, bestimmen wir den Vektor L = a x b . senkrecht auf ct und auf b. Für L = 0 L steht ---+ ---+ ---+ sind a und b parallel, für L =I= 0 gehen wir zum Einheitsvektor

Ober. Der Abstand von 91 und 92=-.ist gegeben durch ---+ die Projektion von P1 P2 auf l , also d = l · ---+ PtP2: ｾ＠

d=

Windschiefe Geraden

Abstand zweier windschiefer Geraden 91: 7 = "7(Pt) + Ac1 und ---+ ---+ ---+ 92 : x = r (P2) + 11- b .

Ist der Abstand d = 0, so schneiden sich die Geraden und der Schnittwinkel ergibt sich durch den Winkel, den die beiden Richtungsvektoren c1 und b miteinander einschließen: Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden.

15. Beispiele: (1) Gesucht ist der Abstand der beiden parallelen Geraden

68

Wegen distance(E1 ,E3);

Sind die Ebenen nicht parallel, dann schneiden sie sich in einer Geraden (Beispiel 18): > point(P1, [1 ,0,0]): line(g1, [P, [-1 ,2,0]]): line(g2, [P, [-1 ,0, 1]]): > plane(E1, [P1, g1 ,g2]): > point(P2, [0, 1,0]): line(g3, [P, [1 ,2, 1]]): line(g4, [P, [0,4,0]]): > plane(E2, [P2, g3,g4]): > AreParallei(E1 ,E2); false

> draw( { E1 ,E2},

style=patchnogrid, axes=boxed, shading=zgreyscale, orientation=[-66,51 ], scaling=unconstrained);

Die Schnittgerade erhält man mit intersection und die Geradengleichung mit

Equation

> intersection(g, E1 ,E2);

>

Equation(g, t); g

[4t, 2- 16t, 4t]

o;e Darstellung der Schn;ugeraden lautet also (

ｾ＠

)

+t

(

Ｍｉｾ＠

}

83

5.3 Die MAPLE-Prozedur geomet

5.3 Die MAPLE-Prozedur geomet Hinweis: Auf der CD-ROM befindet sich die Prozedur geomet. Sie bestimmt die Lage zweier Objekte zueinander, wenn als Objekte Punkte, Geraden und Ebenen aus dem geom3d-Paket erlaubt sind. Dabei werden obige Überlegungen in einer eigenständigen Prozedur zusammengefaßt. Beim erstmaligen Bearbeiten der Lektüre sollten die Details dieser Routine übergangen werden, da sie erst in späteren Kapiteln ausführlicher erklärt werden. Für den Gebrauch der Prozedur muß man nur den Aufruf wissen, der durch die anschließenden Beispiele verdeutlicht wird. Der Aufruf erfolgt durch> geomet(objl, obj2), wenn objl und obj2 Punkte, Geraden oder Ebenen darstellen. 2L Beispiele: (1) Welche Lage besitzen die Geradenpaare 91. 92 zueinander, wenn 91 durch P1

ｾ＠

(1, 2, 0) mit Richtungsvektor

b ｾ＠ (

mit Richtungsvektor

Ｍｾ＠

)

ＰＺｾ＠

ｾ＠

(

)

und !/2 durch P 2

ｾ＠

(6, 0, 13)

festgelegt wird?

> with(geomet):

> point(P1, [1 ,2, 0]): a:= [2,0,5]: line(g1 1[P1 18]):

> point(P2, [6,0113]): b:= [1 ,-213]: line(g2 1[P2,b]): > > geomet(g1 ｾＹＲＩ［＠ g I und g2 schneiden sich im Punkt

[5,2,10] unter dem Schnittwinkel 32.47°

(2) Gesucht ist die Lage der Geraden 9 zur Ebene E, wenn 9 durch P1 = {5, 1, 2) mit Richtungsvektor

tor

n'

ｾ＠

( -

i)

0:

ｾ＠

(

ｾ＠

)

und E durch

gegeben ist.

ｾ｛ｐＱ＠

> point(P\ I [5 11,2]): a:= [3, 112]: line(g1 > plane(E, [ ｰｯｩｮｴＨｐＰｾ｛Ｒ＠ 118])1 [-1 131 1]]): > > geomet(g1 I E);

Po

ｾ＠

(2, I, 8) mit Nonnalenvek-

Ia]):

g I und E schneiden sich im Punkt [ 37

!l

2' 2 '

11]

unter dem Schnittwinkel 9.27°

84

II Vektorrechnung

(3) Gesucht sind die Schnittgerade und der Schnittwinkel der beiden Ebenen

E,

ｾ＠

ＢＧＨ＿ＭｾｐｉＩ＠

(

• " ' (7-

ｾＨｐＬＩ＠

ｾ＠ ( ＠ｾ

ｾ＠

) ·( ) · (

> point(P1, [2,5,6]): v1 :=[3, 1,2]: > point(P2,[1,5,-1 ]): v2:=[2,0,3]: > > geomet(E1,E2);

ｾ＠ =ｾ＠ ) ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ) ｾ＠

0 0.

plane(E1, [ P1, v1 ]): plane(E2, [P2,v2]):

Die beiden Ebenen schneiden sich unter dem Winkel von 27.19° Die Schnittgerade lautet [_l2 + 3 >. , 49 2 - 5 >. , -2 >.]

85

6.1 Vektorrechnung im Rn

§6. Vektorräume 6.1 Vektorrechnung im lRn Zur sachgerechten Behandlung z.B. von linearen Gleichungssystemen oder der linearen Differentialgleichungen und -systemen benötigt man den Begriff des ndimensionalen Vektorraums. Dazu Obertragen wir den Begriff des Vektors von R 3 in den m.n:

Definition: Die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen heißt m.n:

R"

'= { (

ｾ＠

) ' x, E R, x2 E R,

· , x 0 E R} .

Analog dem Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum wird das Koordinatensystem im m_n durch n aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren

gebildet. Jeder Vektor beschreiben:

0: E m_n läßt sich durch die Angabe seiner Komponenten

Es Obertragen sich dann die Begriffe des Betrags, der Gleichheit von Vektoren, der Multiplikation mit einem Skalar, die Addition, das Skalarprodukt, der Orthogonalität usw. auf den Rn.

86

II Vektorrechnung

Addition und S-Multiplikation

Für zwei Vektoren 0:

>.

E 1R setzt man --t

a

--t

+ b

:=

(S-Multiplikation)

(Addition)

Sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation werden komponentenweise ausgeführt. Durch die Addition und S-Multiplikation hat man zwei Operationen

+:

]Rn X ]Rn--> ]Rn

. : 1R

X ]Rn --> ]Rn

b)

mit

( 0:,

mit

(>., 0:)

I-->

I--> ). •

0: + b 0:

festgelegt. Formal unterscheiden sich die Vektoraddition + und die S-Multiplikation · dadurch, daß zum einen zwei Vektoren und zum anderen eine skalare Zahl mit einem Vektor verknüpft werden. Man bezeichnet daher "+" als innere VerknUpfung und "·" als außere VerknUpfung. Da sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation komponentenweise erklärt sind, übertragen sich die folgenden Rechengesetze von den reellen Zahlen auf diese Vektoren. Es gelten die Rechengesetze der Addition --t

a

-:;> \

+ ｾＫ＠

( --t

ｾ＠

( --t

= ｾ＠

+_:

--t)

+

--t

c

a+b=b+a Der Nullvektor hat die Eigenschaft --t --t --t a + 0 = a Zu jedem Vektor 0: gibt es einen Vektor --t . ( - --t) 0 a = --t a + ( - --t) a nut

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz des Nullvektors Negativer Vektor

Es gelten die Rechengesetze der S-Multiplikation:

(81) (82) (83) (84)

k. (l. 0:) = (k. l)-:c! k·

(

(k

--t

--t)

a+b

--t

Assoziativgesetz --t

=ka+kb

+ l)-:c! = kO: + lO: 1-0:=0:

Distributivgesetz 1 Distributivgesetz 2 Gesetz der Eins

87

6.2 Vektorräume

6.2 Vektorräume Die Gesetzmäßigkeilen bezUglieh der Addition und S-Multiplikation gelten nicht nur fUr n-Thpel, sondern auch fUr andere Objekte, die keine Veranschaulichung durch Pfeile zulassen (z.B. Funktionen). Um auch solche Objekte zu erfassen, führt man den Begriff des Vektorraums formal fUr alle Objekte ein, die zwei Verknüpfungen + und · mit den angegebenen Rechengesetzen besitzen.

Dermition: Eine Menge V bildet einen Vektorraum aber Axiome gelten:

R. wenn folgende

(1) In V ist eine innere VerknUpfung "+" erklart,

+ :V x

V -+ V

mit

--ta + --tb (--ta , --t) b ｾ＠

(Addition),

so daß (V,+) die Gesetze der Addition (AI)- (A4) erfallt. (2) In V ist eine außere VerknUpfung "·" erklart,

. : JR

V-+ V

X

daß (V,·)

so

mit(>., 0:) ｾ＠

). . 0:

(S-Multiplikation),

die Gesetze der S-Multiplikation (81)- (84) erfallt.

Die Elemente eines Vektorraums bezeichnet man als Vektoren, auch wenn der Vektorraum nicht dem Anschauungsraum JR3 entspricht. Hat man als Zahlenmenge nicht JR, sondern einen anderen Körper K, so spricht man von einem Vektorraum aber K.

22. Beispiele: (1) JR3 ist ein Vektorraum bestehend aus allen 3-dimensionalen Pfeilen (den 3Thpeln von reellen Zahlen).

(2) R"

ｾ＠

{ (

ｾＺ＠

) ox; E R

(i

ｾ＠

1, ... ,

n)}

ist ein Vektomwm, dessen Ele-

mente die n-Thpel sind. Man nennt JR.n auch den arithmetischen Vektorraum. (3) Die Menge der auf dem Intervall [a, bJ definierten, reellwertigen Funktionen

F[a,bJ

:=

{!: [a,b]-+ R}

bildet einen Vektorraum, wenn wir für die Addition und S-Multiplikation definieren:

88

li Vektorrechnung

+ : F [a, b] x F [a, b]

F [a, b] mit (!, g)

-+

(! + g) (x) := f (x) · : 1R x F [a, b]

F [a, b] mit (.X, f)

-+

t--t

t--t

f

+ g und

+ g (x).

.X· f und

(.Xf)(x):=.A·f(x). Die Rechengesetze übertragen sich aus dem Reellen. Die konstante Nullfunktion 0 mit 0 (x) = 0 für alle x E [a, b] bildet den Nullvektor. (4) Die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich n n

f (x)

P [n] := {!: 1R-+ 1R mit

=

"L>ixi , ai E 1R} i=O

bildet einen Vektorraum, wenn "+" und "·" wie unter (3) erklärt sind. (5) Die Lösungsmenge eines homogenen, linearen Gleichungssystems bildet einen Vektorraum, wenn "+" und "." wie unter (2) definiert sind. Als Zahlenbeispiel betrachten wir das LGS

-3xi - 5x2 + 2x3 4xi - x2 + 3x3

0

0

Die Lösung erhalten wir mit der Matrizenschreibweise und dem Gauß-Algorithmus

(

0) ( -3 -5 2

-3 -5 2 4 -1 3 0 0 0 2, --e.> 3 darstellen. Man definiert verallgemeinernd Definition:

Die Menge M aller Linearkombinationen der Vektoren 0:1, 0:2, ... , 0: n heißt Erzeugnis von 0:1, ... , 0: n· Man schreibt hierjur M

{ Menge aller linearkombinationen von 0:1. · · ·, 0: n} an l ... , --+ --+ (Ai E R ) } . an a 2 + · · · + An --+ b = Al a 1 + A2 --+ b : --+ {--+ [ --+ a2, al, --+

91

6.3 Linearkombination und Erzeugnis

-

26. Beispiel: Ist b

D?

A3 = t (beliebig) Setzt man z.B. t

-

0) (1 2 4 1 1

0 1 1 0 0 0

ｾ＠

= 1- t => Al = -2- 2t. = 1, so folgt A3 = 1, A2 = 0, A1 = -4 und =>

A2

- - - b = -4 · a

D.h. b ist im Erzeugnis von

1

+0 ·

a2

+1·

a 3·

[a\, lt 2, lt 3] .

- -

D

Es gilt allgemein

Satz: Die Vektorgleichung b = Al lt 1 + A2 lt 2 + ... lösbar, wenn b E [a1. a 2, ... , a] n .

+ An lt n ist genau dann

Da M = [lt 1 , lt 2, ... , lt n] die Menge aller Linearkombinationen ist, stellt M c V selbst wieder einen Vektorraum dar, was man mit dem UntervektorraumKriterium sofort nachprüfen kann. Satz: M

= [lt 1, lt 2, ... , lt n] ist ein Vektorraum.

92

II Vektorrechnung

Im Fall, daß M schon den ganzen Vektorraum V aufspannt, nennt man M ein Erzeugendensystem:

Definition: Eine Teilmenge von Vektoren { 0: 1 , 0:2 , . . . , 0: n} C V heißt Erzeugendensystem von V, wenn das Erzeugnis von 0: 1 , 0:2, . . . , 0: n mit V zusammenftillt: [0: 1, 0:2, . .. , 0: n] = V . 27. Beispiele:

(1) {et 1, et 2, et 3} ist ein Erzeugendensystem von R 3 , dennjeder Vektor sich als Linearkombination von et 1, et 2, et 3 darstellen:

X: läßt

X: = X ! et 1+ X2 et 2 + X3 et 3· (2) { e',, e' 2, e' 3, d

'= ( X:

R 3 , denn jeder Vektor darstellen: --> X

=

t )}

ist ebenfalls ein Erzeugendensystem von

läßt sich als Linearkombination dieser 4 Vektoren

X!

-->

e

1

e 3 + 0 · -->d e 2 + X3 --> + X 2 -->

oder

X: = (x1 -1) et1 + (x 2- 1) et2 + (x 3 - 1) et3 + 1 · d .

d}

bilden ein ErzeugendenSowohl { et 1. et2, et3} als auch { et 1, et2, et 3, system von R 3 . Gesucht ist ein Kriterium, um ein kleinstmögliches Erzeugendensystem zu charakterisieren. Dazu benötigt man den Begriff der linearen Unabhtingigkeit.

6.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit _ __ __ __ _ __

( 4) , 2 + e> 3.

97

6.5 Basis und Dimension

(6) Die Vektoren a', = (

ｾ＠

) , a'2

ｾ＠

(

bilden keine B.sis von R 3 .

)

--+

U: I> U: 2 sind zwar linear unabhängig, aber nicht jeder Vektor b ｄｾｮＩ｡ｵｳ＠ als Linearkombination ｶＨｯｾ Ｑ ＰＺＩｉ＾＠ U: 2 ､Ｈ｡ｲｳｾ･ｬｮＮ＠

>. U: 1 + J-L U: 2 =

b

=

b2 b3

1 1 2

0

folgt

E

R 3 läßt sich

b2 b3

0

-4 1

Aus der letzten Zeile des Gleichungssystems folgt 1 · J-L = b2 aus der zweitletzten Zeile J-L = (b 1 - 2b3). Damit das LGS lösbar ist, muß für den Vektor b gelten:

i

b2

1

= 4 (b1 -

2b3).

--+

Dies ist aber nicht für alle Vektoren b E R 3 erfüllt und damit ist ( U: 1, U: 2) D kein Erzeugendensystem von R 3 . (B2 ) ist also nicht erfüllt.

In einem Vektorraum kann es beliebig viele Basen geben. Hat man jedoch eine endliche Basis U: 1, · · · , U: n gefunden, so besteht jede andere Basis ebenfalls aus genau n Vektoren. Die maximale Anzahllinear unabhängiger Vektoren ist charakteristisch für einen Vektorraum:

Definition: Sei V ein Vektorraum. Besteht eine Basis aus n Vektoren, so heißt die Zahl n die Dimension des Vektorraums V. Bezeichnung: dim V

= n.

Man beachte, daß zwar jeder Vektorraum eine Basis besitzt; diese muß jedoch nicht notgedrungen aus endlich vielen Vektoren bestehen. In der Regel betrachten wir hier nur endlich-dimensionale Vektorräume. Für diese endlich-dimensionalen Vektorräume gilt

Satz: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt für n Vektoren 0:1, · · ·, 0: n E V die Aussage: an ... , --+ sind linear unabhängig. --+ a 1,

{::}

(U: 1, · · ·, U: n) ist eine Basis von V.

98

II Vektorrechnung

31. Beispiele: (1) 0:1

= (

ｾ＠ )

und

= (

0:2

i)

bilden eine Basis von 1R2 , denn

0: 1 , 0: 2

sind linear unabb'ängig:

(2)

ｾ＠ i )'«, ｾ＠

ｾ＠

«, (

ｾ＠ ｾ＠

( ; ) '«F ( ) '«, ( )

bilden eine

Basis von 1R4 , denn 0:1> 0:2,0:3,0:4 sind linear unabhängig: k1 a; 1

'----+

ｾｵ＠

+ k2 a; 2 + k3 a; 3 + k4 a; 4 = 0

Cl

1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0

1 0 -1 1 :::::}

0 1 0 1 0 1 1 1 k1

ｮｾｵ＠

ｮｾｵ＠

1 1 1 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 0 -1 0

0 1 0 1 1 1 1 2

D

n

= k2 = k3 = k4 = 0. f(x) = ao + a1x + · · · + asx 5 }

(3) P[5] := {! : 1R ---+ 1R : ist ein 6dimensionaler Vektorraum: ( x 0 , x 1 , x 2 , · · · , x 5 ) sind linear unabhängige Funktionen und jedes f E P [5] laßt sich als Linearkombination dieser Funktionen darstellen :::::} ( x 0 , x 1 , · · · , x 5 ) ist eine Basis von P [5] :::::} dim P [5] = 6.

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

99

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Grundlegende Befehle zur Vektorrechnung with(linalg) Linear-Algebra-Paket. vector (n, [xl, x2, ••, xn]) Definition eines Vektors. v[i] i-te Komponente des Vektors v. [xl, x2, ••. , xn] Definition einer Liste. convert(winkel, degrees) Rechnet Winkel ins Gradmaß um. convert(liste, v) Wandelt Liste in Vektor v um. Auswertung von Vektorausdrucken mit evalm den Operationen +, -, >. * . angle (vl, v2) Berechnet Winkel zwischen den Vektoren VI. und v2 crossprod (vl, v2) Berechnet das Kreuzprodukt (vi x v2). von 3-elementigen Vektoren VI und v2 dotprod (vl, v2) Berechnet das Skalarprodukt der Vektoren. VI und V2 norm (v, 2) Berechnet den Betrag des Vektors v. Grundlegende Befehle zu Geraden und Ebenen with(geom3d) point( P, [x1 ,x2,x3]) line(g, [P1,P2]) line(g, [P1,v]) plane(E, [P1,P2,P3]) plane(E, [P1, g1,g2]) plane(E, [P1, n]) draw( {obj1,obj2, .. }) detail(obj)

Equation(E, {x,y,z]) Equation(g, t) AreParallel(obj1, obj2) intersection(S, obj1, obj2) FindAngle(obj1,obj2)

3D Geometrie-Paket. Definition des Punkte P über seine Koordinaten x1o x2, x3. Definition der Geraden 9 über zwei Punkte PI und P2. Definition der Geraden 9 über einen Punkt PI und Richtungsvektor 11. Definition der Ebene E über 3 Punkte P1o P2, P3. Definition der Ebene E über den Punkt PI und zwei Geraden 9I und 92· Definition der Ebene E über den Punkt PI und Normalenvektor rt. Graphische Darstellung von geometrischen Objekten. Spezifikation des Objektes obj. Ebenengleichung. Geradengleichung. Prüft die Parallelität von objl und obj2. Berechnet den Schnitt von obj1 mit obj2. Berechnet den Schnittwinkel von obj1 und obj2.

II Vektorrechnung

100

Bemerkung: Der draw-Befehl zum Darstellen der geometrischen Objekte hat die gleichen Optionen wie der Standard-plot3d-Befehl. Sie können unter >?plot3d[options] aufgelistet werden. Häufig benutzte Optionen lauten: Optionen des draw-Befehls Dimension des Berechnungsgitters: n x m. Titel des Schaubildes. Spezifiziert die Achsenbeschriftung. Anzahl der Markierungen auf den Achsen.

grid=[n,m] title=t labels=[x,y,z] tickmarks=[l,m,n] scaling=

view=zmin.. zmax axes=boxed thickness= orientation={phi, theta] style=patchnogrid shading=zgreyscale

Maßstabsgetreue Skalierung der Achsen. Der darzustellende z-Bereich des Objektes. Schaubild mit Achsen. Steuerung der Liniendicke. Blickrichtung der 3d Graphik. Das Gitter wird unterdrUckt Die Parbunterlegung der Objekte ist grau.

Aufgaben zu Kapitel II 2.1 Gegeben sind die Vektoren

a+ =

(

j)b 1

= (

Ｍｾ＠

Man berechne die folgenden Vektoren und ihre Betrage a) 8\ = 3a+ -4b + c+ b) s+2 = -3 (sb + c)73=3 (u+-i"b)+sc+

F hebt die vier Einzelkräfte samtkraft auf? (Krafteinheit lN.)

ｩｾＩ［ｆＲ］ＨＭＳ＠

-50

ＡｾＩ［ｆＴ］ＭＨﾷ＠

-40

｢］ＳｾＱＭＵＲＫ＠

Ｍｾ＠

).

(b·c+)a+

F 11 F21 F31 F 4 in ihrer Ge120

2.3 Normieren Sie die folgenden Vektoren:

ｵＫ］ＨｾＩｬ＠

(

c>) +5 (- a+ +3b)

d)74=3 (u+·b)c+-5

2.2 Welche Gegenkraft F1=(

) 1 c+

｣Ｋ］Ｈｾｽ＠

40

101

Aufgaben zu Kapitel II

2.4

e+, der die zum Vektor ä! =

Wie lautet der Einheitsvektor

- (

i)

entgegenge-

setzte Richtung hat?

2.5 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P

=: )

a;""- .. =

(

= (

ä!

und

(2;)

=

(ä! + 'b) (ä!- c+)

b

-D ·• ｃｾｮ＠

ein?

b) . . = (

=

2. 9 Zeigen Sie, daß die folgenden Vektoren e+ 1, e+ 2, e+ a ein orthonormales System bilden; d.h. die Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und besitzen die Länge 1:

. . o). . . (j ). ... (-n ｾ＠ ｾ＠

2.10

ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠

Zeigen Sie: Die drei Vektoren

ä!

Ｍｾ＠

= (

) ,

b

= (

Ｍｾ＠

) ,

c+

= (

Ｍｾ＠

)

bilden ein rechtwinkliges

Dreieck. 2.11

Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel, die der Vektor achsen einschließt: a)

ä! =

(

ｾ＠

)

b)

ä! =

(

Ｍｾ＠

ä!

mit den Koordinaten-

)

2.12

Durch die drei Punkte A = ( -1, 2, 4), B = (5, 0, 0) und C = (3, 4, -2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Winkel im Dreieck, sowie den Flacheninhalt

2.13

Berechnen Sie die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors

(-D

--+

10. .) •

ｾ＠

(

D ｾ＠ CD b) •

ä!

=

102

II Vektorrechnung

2.14 Ein Vektor r1 ist durch den Betrag 1r11 = 10 und o = 30°, 180° festgelegt. Wie lauten die Vektorkoordinaten von r/? 2.15

CD

216 Man borechoe

b)

ru, .. ｾ＠

ß = 60°, 90°

ｾ＠

ｾ＠

(

) , . = 1, >. = 2, >. = -5?

p

2.23

= (4, 0, 3) j

a: = ( ｾ＠

) . = (1, 3, -2)

Man bestimme die Gleichung der Geraden 9 durch die Punkte H p2 = (6, 5, 8) .

= (3, 0,

2.24 Liegen die drei Punkte H

4), P 2

=

(1, 1, 1) und Pa

= (-1,

und

2, -2) auf

einer Geraden?

!).

2.25 Man berechne den Abstand des Punktes Q = (4, 1, 1) von der Geraden 9. die be•timmt '" du. b = (

durch H

92 durch P2

= (1, =

!) -! ) !) =i ) + >. (

+ >. (

2, 0) mit Richtungsvektor

0:= (

(6, 0, 13) mit Richtungsvektor

b= (

ｾ＠

Ｍｾ＠

)

)

2.28 Zeigen Sie, daß die beiden Geraden 9 1 und 92 windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand:

a = r 1 + "',____, = ---->

(

----> ----> ----> 92:x=r2+>.b=

(

x 91 : ---->

2.29 Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P1

= (3, 5, 1)

enthält

104

II Vektorrechnung

ond p=llol ru don Rkhtun"'"ktoren U: Man bestimme den Normalenvektor Parameterwertepaar >. = 1, J.L = 3?

ｾ＠

( : ) nnd

b ｾ＠ (

l)

>Orlänfi?

Ti! der Ebene. Welcher Punkt gehört zu dem

2.30

Man bestimme die Gleichung der Ebene E durch die Punkte P1 = (3, 1, 0); P2 = ( -4, 1, 1); p3 = (5, 9, 3).

2.31

Liegen die vier Punkte P1 = (1, 1, 1); P2 = (3, 2, 0); P3 = (4, -1, 5) und P4 = (12, -4, 12) in einer Ebene?

2.32

Eine Ebene verläuft senkrecht zum Vektor A

2.33

= (5, 8,

ｾ＠

Ti! = (

)

und enthält den Punkt

10). Man bestimme die Vektorgleichung dieser Ebene.

Welche Lage haben die Gerade g und Ebene E zueinander? Man bestimme gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und SchnittwinkeL a) g durch

PI= (5,

E durch Po= (2, 1, 8) mit Normalenvektor

ｾ＠

b) g :

=

9

E: Ti!

ｾＨｐｉＩＫ＾Ｎ＠

ＨｾｐＩＭ

(

ｾ＠

=(

)

ｾＨｐｯＩ］＠

!)

a>= (

1, 2) mit Richtungsvektor

i)

Ti!= (

Ｍｾ＠

ｾ＠

)

+ >. (

-i ) ( ｾ＠ =ｾ＠ )

(

-1

z -1

)

= 0

c) g durch P1 = (2, 0, 3) und P 2 = (5, 6, 18) E durch P3 = (1, -2, -2), P4 = (0, -1, -1) und Ps = (-1, 0, -1) 2.34

Man zeige die Parallelität der beiden Ebenen und berechne ihren Abstand

E 1 durch P1

= (3,

5, 6) mit Normalenvektor

Ti! 1 = (

_i )

E 2 durch P2 = (1, 5,-2) mit Normalenvektor n2 = ( 2.35

=i).

Man bestimme Schnittgerade und Schnittwinkel der beiden Ebenen

E1: E2:

(!) ·( ｾ］Ｉ＠

ｮｩＨｾｅＭｐｉＩ］＠ ｮＲＨｾｅＭｐＩ］＠

(

ｾＩ＠

· (

ｾ］Ｉ＠

=0 =0.

105

Aufgaben zu Kapitel II

2.36 Sprum,2

ｾ＠

2.

Spezielle Matrizen Die Matrix A heißt quadratisch, wenn n = m. Falls n = m ist, nennt man die Matrixelemente a 11 , a22, ... , ann die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der Matrix

A=

Diagonale Spezielle quadratische Matrizen Eine Matrix D heißt Diagonalmatrix, wenn alle Nichtdiagonal-Elemente Null sind. Die Einheitsmatrix In ist eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen 1.

Eine Matrix 0 heißt obere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente unterhalb der Diagonalen Null sind; eine Matrix U heißt untere Dreiecksmatrix, wenn alle Elemente oberhalb der Diagonalen Null sind.

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn für alle i, j = 1 ... n.

108

III Matrizen und Determinanten

Eine symmetrische Matrix S besteht aus Elementen, die spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet sind. Die Nullmatrix N hat als Elemente nur Nullen.

( 13 42 63) 2 5 4

S=

, N=

12 Rechenoperationen für Matrizen 12.1 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Definition: Ist a E R, A = (aii)mn eine (m x n)-Matrix, dann ist 0: ·

A = a(aij)mn := (aaij)mn.

Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit der Zahl multipliziert wird.

12.2 Additionzweier (m x n)-Matrizen Definition: Sind A = (aii)mn und B = (bii)mn zwei (m x n)-Matrizen, dann ist die Summe (bzw. Differenz) der Matrizen

A±B=(a··) •J mn •J •J mn :=(a··±b··). •J mn ±(b··)

Zwei (m x n )-Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem die jeweiligen Matrixelemente addiert bzw. subtrahiert werden. Man beachte, daß sowohl fur die Addition als auch Subtraktion beide Matrizen (m x n)-Matrizen sein mUssen.

2. Beispiel: A = (

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

2A+4B=(lOO

4 6

4A-2B=(208

Ｑｾ＠

);B=(i )

+(

0 4) 12 28

-;

ｾ＠ ＭＱｾ＠ (4 2

ｾＩ［＠

Ｍｾ＠

12 ) = ( 18 -16 14 ) 14 26 8 12

ｾ＠

) = (

Ｑｾ＠

ｾ＠ ｾ［＠

) .

109

1.2 Rechenoperationen für Matrizen

L2.3 Transponieren einer Matrix Definition: Vertauscht man Zeilen und Spalten einer (m x n)-Matrix A (ai;)mn, so entsteht die zu A transponierte Matrix At

At := (a;i)nm.

ＳＮｾａｵ＠

D·

ｾ＠ ｾＩ］＾ａﾷｯ＠ Bemerkungen:

(1) Ist A eine (m x n)-Matrix, dann ist At eine (n x m)-Matrix. (2) Die transponierte Matrix erhält man, indem man die Matrixelemente an der Hauptdiagonalen spiegelt. (3) (At)t = A. (4) Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, falls At = A.

L2.4 Multiplikation von Matrizen Das inhomogene LGS

ｾ＠ Ｚｾ＠ ｾ＠ 4Ｚｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ :: : : }

4xl

-

2x2

-

2xa =

ｾ＠ - i Ｍｾ＠

(

1

:1 )

4 -2 -2

wird mit der Matrizenschreibweise abgekürzt. Schreiben wir es in der Form

3 4 -32 ) ( X1 X2 ( 5 -1 4 -2 -2 xa ist A ?t =

A=

b

)

=

46 ) 1

(

eine Vektorgleichung mit der Matrix

( 4ｾ＠ -i-2 -2Ｍｾ＠ )

und den Vektoren

?t =

(

Ｚｾ＠

) ,

b

=

X3

Die Ausgangsgleichungen erhält man aus der Matrizenschreibweise zurück, indem der Spaltenvektor ?t jeweils über jede Zeile von A gelegt wird und das Skalarprodukt des Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor ?t gebildet wird. Somit haben wir die Multiplikation einer Matrix A mit einem Spaltenvektor ?t erklärt. Auf analoge Weise wird das Produkt zweier Matrizen definiert:

110

111 Matrizen und Determinanten

Definition: (Matrizenprodukt) Sei A = ( aij )mn eine (m x n )-Matrix (m Zeilen und n Spalten) und B = (bjk)nl eine (n x l)-Matrix (n Zeilen und l Spalten). Dann ist das Produkt C = A · B = (cik)ml eine (m x l)-Matrix definiert durch

i = l. .. m k = 1. . . l

Um das Produkt von zwei Matrizen bilden zu können, muß die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmen. Das Element Cik von C ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B. D.h. die Zeilenlänge der Matrix A muß mit der Spaltenlänge der Matrix B übereinstimmen.

4. Beispiel: i = 1

i=2

1 I) ( 12 lo 41

([]CJ[IJ) j=1

= ( 2·3+1·0 0·3+4·0

2. ( -2) 0. ( -2)

+ 1. 4 + 4. 4

j=2

j=3

2·0+1·2)=(6 0 2) 0.0+ 4.2 0 16 8 .

Die Multiplikation wird so ausgeführt, daß die Spalten von B über die Zeilen von A gelegt werden und anschließend das Skalarprodukt berechnet wird.

Bemerkungen: (1)

Aus der Definition des Produktes ist ersichtlich, daß für das Produkt zweier Matrizen A · B die Zeilenlänge von A mit der Spaltenlänge von B übereinstimmen muß. Ist also A · B definiert, so muß nicht notwendigerweise B · A definiert sein. Falls beide Produkte definiert sind (z.B. bei quadratischen Matrizen), ist i.a. A · B =!= B · A.

(2) Zur Berechnung des Matrizenproduktes trägt man zweckmäßigerweise die Matrizen in ein Schema (dem sog. Falk-Schema) ein:

A=

1210121 4 3 1

0 1 3 6 6

1

ry ｾ＠

llO

14

=B =A·B=C

111

1.3 Inverse Matrix

tD

2 4

0

B=

1

1 1 I 2 I 3 4

4 10 22

2 1

=A

1 4 10

3

[I] 12

=B·A=D

Das Element c12 der Produktmatrix C = A · B ergibt sich durch einfache Rechnung c12 = 2 · 1 + 0 · 2 + 2 · 4 = 10; das Element d22 des Produktes D = B · A durch d 2 2 = 1 · 0 + 2 · 3 = 6. Anband dieser beiden Beispiele erkennt man, daß A · B =1- B · Al (3) Das Produkt einer (m x n)-Matrix A mit einer (n x k)-Matrix B kann man auch folgendermaßen interpretieren: B besteht aus k Spaltenvektoren b 1 , ... , b => B = ( b 1 , ... , b Dann sind die Spalten des Produktes C = A · B gegeben durch

k

(j

k).

= 1, ... 'k)

und

Rechenregeln für Matrizenprodukte Für Produkte von Matrizen A, B, C gelten die folgenden Regeln (die jeweiligen Produkte seien definiert):

(A · B) · C = A · (B · C)

A · (B + C) = A · B

Assoziativgesetz

+A ·C

Distributivgesetz

(A + B) · C = A · C + B · C

Distributivgesetz

13 Inverse Matrix Aus der Algebra wissen wir, daß die Gleichung

a·x= 1 für a =1- 0 genau eine Lösung besitzt, nämlich das zu a inverse Element

x

= a- 1 = .!a E 1R:

a · a- 1

= a- 1 · a = 1.

112

III Matrizen und Determinanten

Diese Konstruktion wird für quadratische Matrizen verallgemeinert:

c :),

Definition: Gibt es zu einer quadratischen (n x n)-Matrix A eine (n x n)-Matrix X mit

A X

ｾｘ＠

A

ｾｉｮ＠ ｾ＠

so heißt X die zu A inverse Matrix. Sie wird durch das Symbol A - 1 gekennzeichnet. Bemerkungen: Besitzt A eine inverse Matrix A - 1 , so heißt A in vertierbar bzw. regulllr. A - 1 heißt Umkehrmatrix oder Inverse. (2) Eine quadratische Matrix besitzt -wenn überhaupt- genau eine Inverse. (3) Aufgrund der Definition gilt

(1)

A · A- 1 = A- 1 · A =In, d.h. A und A - 1 sind kommutativ. (4)

Nicht jede quadratische Matrix ist umkehrbar: z.B. (

ｾ＠ ｾ＠

) ist nicht um-

kehrbar! Im folgenden werden wir ein Schema vorstellen, mit dem man entscheiden kann, ob eine (n x n)-Matrix A invertierbar ist und wie die Inverse A- 1 sich berechnet. Dazu gehen wir zunächst davon aus, daß die zu A inverse Matrix A - 1 existiert. A- 1 sei gegeben durch Spaltenvektoren 8\, ... , ｾ＠ n =}

A -1

= ( S- 1, - S

2, ... ' - Sn ) .

Aufgrund der Eigenschaft der inversen Matrix

ist die k-te Spalte des Produktes der Einheitsvektor e+ k· Nach Bemerkung (3) aus 1.2.4 erhält man die k-te Spalte des Produktes, indem man die Matrix A auf den k-ten Spaltenvektor von A - 1 anwendet: 0

ö

1 0

ö

t---k

k = 1,2, ... ,n.

113

1.3 Inverse Matrix

Folglich sind die Spalten der inversen Matrix die Lösung der linearen Gleichungssysteme A 7 k = e! k· Diese n LGS löst man mit dem Gauß-Algorithmus. Da die LGS immer dieselbe Matrix A besitzen, können sie simultan gelöst werden

(Gauß-Jordan-Algorithmus): Berechnung der inversen Matrix nach dem Gauß-Jordan-Verfahren (1)

Man erstellt das aus A und allen rechten Seiten kombinierte Matrizenschema:

. . . . . . aln

1

( au

0

ｾ＠

(Al In)=

an1

...

0

... . . .

0

ann

0

ｾＩ＠

(2) Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird die linke Seite des Schemas so umgeformt, daß die Einheitsmatrix In den Platz von A einnimmt. Die inverse Matrix A- 1 steht dann auf dem Platz von In:

u 0

0

bu

: )

0 0

1

... . . . b1n

bnl

... . . . bnn

ｾＨｉｮ｛＠

A- 1 )

(3) Enthält zum Schluß die linke Seite eine Nullzeile, dann ist die Matrix A nicht invertierbar.

5. Beispiele:

(

1 0

_2 )

1 2 . 0 4 -1 Wir führen den Gauß-Jordan-Algorithmus durch und schreiben die jeweiligen Operationen an die rechte Seite der Matrix:

(1) Gesucht ist die inverse Matrix zu A =

(Al Ia)

-1

=

0

-4Z2 -2Za

1 1 -4 -4

(-1)

1

114

111 Matrizen und Determinanten

98-2)

1 0 0 ( 0 1 0

1 1 0 4 4 -1

0 0 1

! ｾ＠

Die zu A inverse Matrix lautet A-' = (

4

(2) Gesucht ist die Inverse von A = (

(j

(Al Ia)

=> =>

0 0

ＭｾＩＮ＠

-1

ｾ＠

-3 1 2 1 -2

-2

0 2

1 -1 -6 1 6 1 2 -1 -6

0

0

=(I3 IA- 1 )

1 0 0 1 0 0 1 0 -2 1

3 0 1 0 -2 1 1 1

n n n

-2Z1 3Zl

+Z2

Die linke Seite enthält eine Nullzeile. Damit sind die linearen Gleichungssysteme nicht lösbar. A ist nicht invertierbar. 0

Rechenregeln bei der Inversion von Matrizen Seien A und B in vertierbare (n x n )-Matrizen. Dann gilt (1) Die Inverse einer in vertierbaren Matrix ist in vertierbar mit

(2)

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist invertierbar:

(3)

Die Transponierte einer invertierbaren Matrix ist invertierbar:

Die Bedeutung von invertierbaren Matrizen werden wir noch ausführlicher im Kapitel Uber die Lösbarkeit von LGS ( --t §3) diskutieren.

1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE

14 Das Matrizenrechnen mit

115

MAPLE

Zur Darstellung und Ausführung der Rechenoperationen mit Matrizen wird das Paket Iinalg benötigt. Alternativ kann ab MAPLE6 das LinearAlgebra-Paket verwendet werden, auf das wir im Anhang B gesondert eingehen. Im folgenden gehen wir immer davon aus, daß das linalg-Package mit dem Befehl > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected geladen ist. Die Warnung kann ignoriert werden. Durch > A:=matrix(3,2,[1 ,2,3,4,5,6]);

Hl

A-- [

wird eine (3x2)-Matrix definiert. Wenn man den Matrix-Kurzbefehl > matrix([ [1 ,2], [3,4], [5,6] ]): verwendet, ist die Angabe der Dimension nicht notwendig, da die Zeilen der Matrix einzeln spezifiziert werden. Addition und Subtraktion von Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalaren werden mit +, -, * gekennzeichnet; die Matrizenmultiplikation wird durch den Operator&* dargestellt, da"*" für kommutative Multiplikationen reserviert ist. Durch evalm werden die Rechenoperationen ausgeführt. > B:=matrix([ [3,5,2], [-1 ,-1 ,0] ]): > C:=evalm(A&*B);

c :=

1 3 [ 5 11 9 19

> F:=matrix([ [1 ,0,-2], [-1, 1,2], [1 ,2,-1] ]); > 4*C- 3*F = evalm(4*C-3*F); F := [

4C - 3F

Ｍｾ＠

ｾ＠

1 2

=[

Ｒｾ＠ Ａｾ＠

Ｑｾ＠

l Ｍｾ＠ l

-1

ｾＺ＠

33 70 43

l

(Die Matrix darf nicht mit dem Buchstaben D abgekürzt werden, da D vordefiniert ist und den Differentialoperator darstellt; ebenso darf I nicht als Name verwendet werden, da I für die imaginäre Einheit steht!)

116

III Matrizen und Determinanten

Potenzen von Matrizen können mit

> evalm(F4);

[ -! -4

Ｍ［ｾ＠

ｾ＠

8

9

l

gebildet werden. Die Berechnung der transponierten Matrix erfolgt durch

> transpose(%);

[ 1-4 -4] -16 -8

25 16

8 9

und die Inverse einer Matrix erhält man mit dem inverse-Befehl

> G:=matrix([ [1 ,0,-2], [-1, 1,2], [1 ,2,-1] ]):

> Ginv:=inverse(G);

Ginv := [

-i ｾ＠Ｑ

Ｍｾ＠

-3

]

-2

Dann prüft man noch nach, daß

> evai(Ginv)*op(G)=evalm(Ginv &* G),evalm(Ginv &* G);

[ Ｍｾ＠ -i ｾ＠ -3

-2

1

l [Ｍｾ＠ ｾ＠ -; l 1 2 -1

= [

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

0 0 1

l,[

1 0 0 1

0 0

Einige spezielle Matrizen werden definiert durch

> array(1 .. 3, 1.. 3,identity), > diag(1 ,2,35,6), > > randmatrix(5,3), > > band([1 ,2,-1 ], 4);

[ｾ＠ l [ｾ＠ 01 00 0 1

[

2

-1

1 0 0

2

1 0

,

0 -1 2

1

ｾ＠

#Einheitsmatrix 13 #Diagonalmatrix mit Diagonalelementen # 1, 2, 35, 6 #(5x3)-Matrix mit zufällig zwischen # -99 .. 99 gewählten Elementen #Bandmatrix mit Haupt- und Nebendiagonalen

0

0 0 0 35 0 0 0 6 2

l

l '

ｾＸＵ＠

[ -35 79 63 45

ｾＳＷＱ＠

-55 97 50 56 49 57 -59 -8 -93

,

1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE

117

Zur Auswertung von Matrizen (allgemeiner des Datentyps array) mit MAPLE ist zu bemerken, daß sie anders als die sog. volle Auswertung sonstiger Rechenoperationen nur einstufig ausgeführt wird. Schon um eine Matrix > A:= matrix( [[cos(alpha), -sin(alpha)], [sin(alpha),cos(alpha)]]);

A ·- [ cos( a) .-

sin( a)

-sin( a) ] cos( a)

darzustellen, genügt nach der Definition von A nicht die Eingabe >A;

A denn dann wird nur der Name A zurückgegeben. Um die Matrix A zu erhalten, muß entweder mit evai(A) oder op(A) gearbeitet werden > evai(A); cos( a ) -sin( a) ] [ cos( a) sin( a) Setzt man alpha=1, so werden die Matrixelemente von A nicht direkt ausgewertet, > alpha:=1: > evai(A); cos( a) -sin( a) ] [ cos( a) sin( a ) Erst mit dem Abbildungsoperator map, der eine Funktion/Befehl auf jeden Operanden des Ausdrucks abbildet, zwingt man MAPLE zur Auswertung von A: > map(evai,A): %=evalf(%); [

cos( 1) sin( 1)

-sin( 1) ] _ [ 0.5403023059 0.8414709848 cos( 1) -

-0.8414709848 ] 0.5403023059

Zusammenstellung der Matrix-Befehle with (linalg) matrix (2, 3, [1, 2, 3, 4, 5, 6]) &* evalm transpose inverse eval, op map array( 1.. n, 1.. n,identity) diag(all, a22, ... , ann), randmatrix(m,n) band([1,2,-1], 4)

Linear-Algebra-Paket Definition einer 2 x 3-Matrix Multiplikationsoperator bei Matrizen Ausführung der Matrizenoperationen Transponieren einer Matrix Inverse einer Matrix Darstellung einer Matrix Anwenden eines Operators auf die Elemente Einheitsmatrix In Diagonalmatrix mit den Elementen an, ... , an. (mxn)-Matrix mit Zufallselementen Bandmatrix

118

III Matrizen und Determinanten

L5 Lineare Abbildungen

Ｚｾ＠ Ｚｲｯｾ＠ ｾＺ＠ Ｚｭｾ｣Ｈ＠

rr:::Ｚｾ｡ｮﾷｩ＠ ［ｾ＠ n

2::

amj Xj

j=I

y

CJ

ein Vektor E JR.m. A legt also eine Abbildung cp: JR.n--> JR.m fest, die jedem Vektor X' E JR.n genau einen Vektor E JR.m zuordnet. Es gilt folgender Satz:

y

Satz: Die Gesamtheit aller (m x n )-Matrizen entspricht in umkehrbar eindeutiger Weise der Gesamtheit der linearen Abbildungen cp: JR.n --> JR.m. Begründung: Die Matrix A = ( aij) mn definiert eine lineare Abbildung von 1R n nach JR.m, denn man rechnet sofort nach, daß

( 1)

(2)

Ist cp: JR.n --> JR.m eine lineare Abbildung. Dann wird diese lineare Abbildung eindeutig festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren e!1:

j = 1, ... ,n.

Mit diesen Vektoren bilden wir die Matrix

Man rechnet unmittelbar nach, daß A e!1 = 0: 1 . Die Spalten von A sind genau die Bildvektoren der Einheitsvektoren.

6. Beispiel: Die Abbildung

f : (

ｾ＠

) X3

t----t (

XI X2

++ x 2

- x3 ) X3- XI

ist eine lineare

119

1.6 Anwendungsbeispiele

Abbildung von JR3 nach JR2 . Die Bilder der Basisvektoren sind

Damit wird die lineare Abbildung dargestellt durch die Matrix

A

=

( -11

1 1

-1 ) 1 '

denn die Spalte der Matrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren.

L6 Anwendungsbeispiele 7. Rohstotl'kette: In einem Betrieb werden aus 4 Rohstoffen mit Einheiten r 1 , r 2 ,

r3, r4 3 Zwischenprodukte mit Einheiten z1. z 2 , z 3 hergestellt. Aus den Zwischen-

produkten entstehen 3 Endprodukte mit den Einheiten Pl>P2,P3· Der Materialverbrauch sei gegeben durch die linearen Gleichungen r1

Z1

r2 r3 r4

2z1

+

Z2

Zl

+

Z2

=

+ + + +

Z2

Z3 Z3 Z3 2z3

Zl

bzw.

Z2

Pl 2pl

Z3

4pl

+ + +

2p2 3p2 2p2

+ + +

P3 P3 2p3

In Matrizenschreibweise gilt

7=A7

Wenn A -- (

ＰｾＱ＠ ｾ＠ ＲｾＱ＠

)

ｵｮ､ｂｾｯ＠

7=Bp

ｾ＠

D

Gesucht ist der Rohstoftbedarf, wenn I 00 Einheiten von p 1 , 80 Einheiten von und 60 Einheiten von P3 hergestellt werden sollen. Es ist

7

= A7 = A(Bp) = (A· B) p.

Zur Berechnung der Menge der Rohstoffe führt man ｺｷ･｣ｫｭ￤￟ｩｧｲｳＨ､ｾＩ｡ﾭ trizenprodukt A · B aus und wendet das Produkt auf den Vektor

p

=

ｾ＠

P2

120

III Matrizen und Determinanten

an:

r+=

(

85 6 11

( 1000 94 35 ) ( 100 ) 1820 ) 80 5 3 = 1180 . 60 9 6 2180

Es werden also 1000 Einheiten des ersten, 1820 Einheiten des zweiten, 1180 Einheiten des dritten und 2180 Einheiten des vierten Rohstoffes benötigt.

8. Beschreibung eines Vierpols: Für einen linearen, elektrischen Vierpol (siehe Schaltung) gilt die folgende Beziehung zwischen den Eingangsgrößen io, u 0 und den Ausgangsgrößen i 1 , u 1 :

mit der Verknüpfungsmatrix M.

t

io ,. . --------- Ｍｾ＠

Ua Verknüpfungsmatrix

+

R3 R1

R2

j1

:

t

I

u1

+

Elektrischer Vierpol

9. Kettenschaltung von Vierpolen: Schaltet man einen zweiten Vierpol mit gleichen Widerständen hinzu, gilt

d.h. zwischen den Eingangsgrößen u 0 , i 0 und den Ausgangsgrößen u 2 , i 2 besteht die Beziehung

Für eine lineare Kette von n identischen Vierpolen (siehe Abb. 11) gilt folglich

10. Zahlenbeispiele: Der in Beispiel 8 diskutierte Vierpol habe die Widerstände R 1 = R 2 = 100!1, R3 = 500!1. Das Übertragungsverhalten des Vierpols ist dann gegeben durch die Übertragungsmatrix

121

1.6 Anwendungsbeispiele

1

0

t'

v1

Uo

ｾ＠

2

t

v2

u1 ｾ＠

t

u ｾ＠

Abb. 11: Lineare Kette von Vierpolen

> M := matrix ([ [6., 500]

, [0.07, 6] ]);

ＵｾＰ＠ ＰｾＷ＠

M := [

]

(i) Wie groß sind u 1 und it. wenn uo = 2V und io = 0.1A? Wegen

(

UQ )

io

= M

(

Ut

it

)

folgt

(

= M -1

)

Ut

it

(

UQ )

io

:

> Minv := inverse(M); [

6

-0.07

-500 ] 6

> evalm (Minv &* [2,0.1 ]); [-38, 0.46] D.h. u 1 beträgt -38 V und i 1 = 0.46A. (ii) Für die Reihenschaltung von 3 Vierpolen erhalten wir die Transfermatrix T=M 3 .

> T := evalm(M A3); T

·= [ .

846.00 10.01

71500 ] 846.00

122

III Matrizen und Determinanten

§2. Determinanten 2.1 Einführung In diesem Kapitel diskutieren wir, unter welchen Bedingungen ein lineares, quadratisches Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Bei der expliziten Lösung eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus kann zum Schluß der Rechnung festgestellt werden, ob das Gleichungssystem lösbar ist oder nicht. Im Falle einer numerischen Lösung des LGS muß aber im Voraus bekannt sein, ob das LGS eindeutig lösbar ist. Im folgenden wird ein Formalismus entwickelt (DeterminantenBerechnung), mit dem entschieden werden kann, ob quadratische LGS eindeutig lösbar sind. Alle in diesem Paragraphen auftretenden Matrizen sind quadratisch. (1) Wir betrachten zunächst das Problem: Unter welchen Voraussetzungen ist die

Gleichung

an

X1

= Cl

(I)

mit einer Unbekannten x 1 für beliebige c 1 eindeutig lösbar. Die Antwort lautet: x1 = ｾﾷ＠ System (I) ist genau dann eindeutig lösbar, falls an i- 0: (2) Nun betrachten wir das LGS

an

X1

a21 x1

+ a12 X2 = CI + a22 x2 = c2

(II)

mit zwei Unbekannten x 1 und x 2 . Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten an, a 12, a21. a22 erfüllen, damit das System (II) für beliebige c1. c2 eindeutig lösbar ist? Die Lösung des Systems erhalten wir, indem wir GI. 11.1 mit a22 i- 0 und GI. 11.2 mit ( -a 12 ) i- 0 multiplizieren und beide Gleichungen addieren:

an a22 x1 -a12 a21 x1

=> (an

a22 -

+

a12 a22 x2 a12 a22 x2

a12 a21) x1

= c1 a22

-

c2 a12·

Indem wir GI. 11.1 mit -a2 1 i- 0 und GI. 11.2 mit an i- 0 multiplizieren und beide resultierenden Gleichungen addieren, erhalten wir analog

Folglich ist das LGS (II) eindeutig für beliebige

1an a22 -

a12 a21

c1

und

c2

lösbar, falls

-1- o.l

Diese Bedingung beinhaltet auch die hier nicht aufgeführten Sonderfälle an 0, a12 = 0, a21 = 0 oder a22 = 0.

2.2 Rechenregeln fUr zweireihige Detenninanten

Definition: Die aus der Koeffizientenmatrix A

Gr(Jße D :=

I a21 an

a 12 a22

= (

au a21

123

a12 ) berechnete a22

I

= au a22 - a12 a21

heißt zweireihige Determinante oder kurz Determinante. Fur Determinanten sind die Symbole D,det(A), lAI, det(aij) gebrtluchlich. 1L Beispiele: (1) det

(2) det

ｾ＠

5 2)

= 5 · 1 - 3 · 2 = -1. 3 1 -2 -2 1 1 ) = -2 · 1 - 1 · ( -2) = 0.

Eine zweireihige Determinante wird also berechnet, indem die Differenz des Produktes der Hauptdiagonalelemente an a22 mit dem Produkt der Nebendiagonalelemente a 12 a2 1 gebildet wird. Die Determinante einer Matrix ist damit eine reelle Zahl! Für zweireihige Determinanten rechnet man unmittelbar die folgenden Regeln nach:

2.2 Rechenregeln für zweireihige Determinanten Regel 1: Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: detA = detAt.

Beispiel: det ( _

i ｾ＠ )

= 8 + 3 = 11 = det ( ;

-! ).

Regel 2: Der Wert der Determinante wechselt das Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) miteinander vertauscht. Beispiel: det (

ｾ＠ ＭｾＩ＠

= -21-32 =-53; det (

ｾ＠ ＭｾＩ＠

= 32+21 =53.

Regel 3: Werden die Elemente einer (!) Zeile (oder Spalte) mit einem Skalar multipliziert, so wird der Determinantenwert mit >. multipliziert.

>.

124

111 Matrizen und Determinanten

Regel 4: Die Determinante hat den Wert 0, wenn eine Spalte (oder Zeile) der Nullvektor ist. Allgemeiner, wenn die Spalten (oder Zeilen) linear abhängig sind.

. . det ( 35 Beispiele:

( 5 0 ) 0 = 0; det 3

-10 au _ 6 ) = 0, det ( .>.au

Regel 5: Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) elementweise addiert. Beweis: det ( au

+ .>. a21 a21

au a22

- a21 a12+

.>. a21

a22 -

.>. a21

a22

=0

Regel 6: (Multiplikationstheorem für Determinanten) Für zwei Matrizen A, B gilt stets: det (A · B)

ｾ＠ ｾ＠Ｍ ＭｾＩ＠ det( ｾ＠

Beispiel: det ( (

) (

ｾ＠

= det (A)

· det (B).

; ) ) = det (

·det(

ｾ＠

Ｑ

ｾ＠ ｾ＠

) = 48-72 = -24,

; ) =(-12)·2=-24.

Regel 7: Die Determinante einer Dreiecksmatrix besitzt den Wert des Produktes der Hauptdiagonalelemente. Beispiel:det(

ｾ＠

; ) =4·2=8;

det(

ｾ＠ ＭｾＩ＠

=3(-1)=-3.

Bemerkung: Die aufgelisteten Regeln sind so formuliert, daß sie auch für allgemeine, n-reihige Determinanten gültig sind.

125

2.3 n-reihige Determinanten

2.3 n-reihige Determinanten

L (-1)i+i aii det ａｾｩ＠ n

detA =

jur einfestesiE {1, ... , n}.

j=l

Dabei ist ａｾｩ＠ die (n- 1) x (n- 1)-Untermatrix, die aus A entsteht, indem die i-te Zeile und j-te Spalte gestrichen wird:

ａｾｩ＠

=

au

lj

..

''J

anl

aln \

....

+--

i - teZeile

ann

nj

Man bezeichnet dieses Vorgehen als Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile. eine (n- 1) x (n- !)-Matrix ist, bezeichnet man det ＨａｾｩＩ＠ als UnDa ａｾｩ＠ terdeterminante. Durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsformel liißt sich eine n-reihige Determinante auf2-reihige Determinanten zurUckfUhren und damit berechnen. Bemerkungen: Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. (2) Das Vorzeichen ( -1) i+i kann man sich als Vorzeichen des folgenden Schachbrettmusters vorstellen. Z. B. ist das Vorzeichen von a 43 : ( -1)4+ 3 = -1.

( 1)

+ + +

+ +

+

+ +

EI +

+ +

+

+ + +

+ +

+

(3) Die Zeile i E { 1, ... , n}, nach der die Determinante entwickelt wird, ist beliebig; der Determinantenwert hängt nicht von der Wahl von i ab. (4) Die Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile kann man sich so vorstellen, daß die i-te Zeile gestrichen wird und nacheinander ein Fadenkreuz jeweils eine Spalte streicht:

126

III Matrizen und Determinanten

1-te Spalte: (-1)i+ 1 ail ･ｴａｾ､ 2-te Spalte: ( -1 )'+2 ai2 det ａｾ

Ｒ＠

Ｑ＠

n-te Spalte: ( -1) i+n ain det ａｾｮＮ＠ Aufsummieren aller Unterdetenninanten mit dem zugehörigen Faktor aij und dem Vorzeichen entsprechend dem Schachbrettmuster liefert den Detenninantenwert. (5) Die Detenninante laßt sich auch nach der k-ten Spalte entwickeln: n

det A

=

L (-1)

i+k aik

det ａｾｫ＠

für festes k E {1, 2, ... , n}.

i=l

(6)

Für n-reihige Detenninanten gelten die gleichen Rechenregeln, wie die in §2.2 angegebenen Rechenregeln für 2-reihige Detenninanten.

SpezialfaJ.Ie: n

=1:

det(au)

n

=2:

Entwicklung nach der ersten Spalte

n

= (3 :a 11 ｅｮｾＺ｣ｫ

det

= au.

Ｑ ｾｧ＠

)nach der ersten Spalte

a21

a22

a23

a31

a32

a33

= (+1) au

21 31

=

a22

a23

a32

a33

+ (-1)

a21

+ (+1) a31

ｾＺ＠ ｾＺ＠

= a 11

1

= au

(a22 a33-

-

a32

a21

1

ｾ＠ ｾ＠

1

+ a31 1

a23)- a21 (a12 a33-

a32

ｾ＠ ｾ＠

a13)

1

+ a31 (a12 a23- a22

a13).

12. Beispiele: (1) Wir berechnen die Detenninante durch Entwicklung nach der zweiten Zeile:

Ｍｾ＠ ＭｾＩ］Ｈ

Ｑ Ｉ Ｐ ＱＭｾ＠

ｾｈ＠

= 4. (-5) + 1· (-7) = -27.

ｾＱＫＨＭ

Ｑ ＩＨＭ Ｑ ＩＱ［＠

127

2.3 n-reihige Detenninanten

(2) Wir entwickeln die nachfolgende Detenninante nach der ersten Spalte, da sie zwei Nullen als Elemente aufweist (man hätte aber auch eine andere Zeile oder Spalte mit zwei Nullen wählen können):

ｾ＠ ｾＩ］Ｑﾷ＠

det(H

0

ｾ＠ ｾ＠

2

2 0

4

1 +3 0 1 2 0 1 1 0 1 1

1 1 0

(3) Die Einheitsmatrix In

=

1 (0

= 3+3·{-8) = -21.

01) hat als Detenninantenwert I:

(4) Eine Dreiecksmatrix D = ( ..\

1

* )

0

hat als Detenninantenwert

An

Berechnung einer 3-reihigen Determinante nach Sarrus (Sarrussche Regel). Für den Spezialfall n = 3 (und nur für diesen Spezialfall !) kann man den Determinantenwert durch die auf Sarrus zurückgehende Regel berechnen:

+,a" \.a,. \.a,. "- :; a" " a,. " ' X a.. "'""" -:-" "" a,, " a.. , : a., , a.. "" a.. X "" a.. X·" ".: a., ' " a.. a., , Die erste und zweite Spalte der Matrix A wird nochmals neben die Detenninante gesetzt. Den Wert der Detenninante erhält man dann, indem man die drei Hauptdiagonalprodukte addiert und die Antidiagonalprodukte davon subtrahiert: det A =

au a22 aaa + a12 a2a aa1 + a1a a21 aa2 -a1a a22 aa1 - au a2a aa2 - a12 a21 aaa

13. Beispiel: Wir berechnen die Detenninante von A =

1 2 -1 1 1 0 -1 -2 1

1 2 1 0 -1 -2

(

1 2 -1 1 1 ) nach Sarrus: 0 -1 -2 1

128

III Matrizen und Detenninanten

det A = 1 · 0 · 1 + 2 · 1 · (-1) + (-1) · 1(- 2) -( -1). 0. (-1)- 1. 1. (-2)- 2. 1. 1 = -2 + 2 + 2-2 = 0. Determinante der inversen Matrix. Sei A eine invertierbare Matrix. Dann gibt es zu dieser Matrix eine Inverse A- 1 mit der Eigenschaft

wenn In die Einheitsmatrix ist. Nach dem Multiplikationssatz für Determinanten (Regel 6) gilt dann

det(A · A- 1 )

= det(A) · det(A- 1 ) = detln = 1.

Damit folgt für den Determinantenwert der Inversen: Satz: (Determinante der Inversen) Ist A eine invertierbare Matrix, dann ist

detA # 0 und die Determinante der Inversen A - 1 ist gegeben durch

detA

-1

1

= detA"

Praktische Berechnung n-reihiger Determinanten. Bei der praktischen Berechnung n-reihiger Determinanten wächst der Rechenaufwand mit zunehmender Ordnung rasch an. Denn aus einer n-reihigen Determinante entstehen durch Entwick= 3 k = 3 · 4 · ... · n zweireihige Unterdeterminanten bzw. ｦｬｾ＠ =4 k = lung ｦｬｾ＠ 4 · 5 · ... · n 3-reihige Unterdeterminanten. Daher führt man gemäß der aufgelisteten Rechenregeln die Matrix auf eine einfachere Form über und berechnet dann erst den Determinantenwert. Da sich der Wert der Determinante nicht ändert, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzuaddiert, ist es zur Berechnung von det A (für n > 3) zweckmäßig, zuerst mit elementaren Umformungen möglichst viele Nullen in einer Spalte oder Zeile zu erzeugen. Nach dieser Spalte oder Zeile wird dann entwickelt. Die 3-reihigen Determinanten können dann nach der Sarrusschen Regel berechnet werden. 14. Beispiel: Wir addieren vor der Berechnung der Determinante die erste Zeile zur dritten und das zweifache der ersten Zeile zur vierten und entwickeln danach die 5-reihige Determinante nach der ersten Spalte. Bei der 4-reihige Determinante

129

2.4 Anwendungen von Determinanten

subtrahieren wir von der ersten Spalte die dritte und entwickeln anschließend nach der letzten Zeile:

-1 0 1 2 0

1 2 2 1 4

ｾ＠

0 -2 0 1 1 4 det 4 3 2 0 0 1 0 4 0 1 1 4 4 1 2 (-l)det ( 0 -4 1 4 0 4 0 1 4 4 2 (-1)(-4)det ( 0 1

-1 1 0 -2 0 = det

ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

(-l)det (

1 1 4 4 1 2 0 -4 1 4 0 0 1 1 4 4 1 2 0 -4 1 0 4 0

2 3 3 4

0 0 0 0

ｾ＠

= 4 ( -96) = -384.

Die Berechnung von Determinanten erfolgt bei MAPLE mit dem det-Befehl

> with (linalg): > A := matrix([ [-1, 1,0,-2,0], [0,2, 1,1 ,4], [1 ,2,4,3,2], [2, 1,0,0, 1], [0,4,0,4,0] ]): > Det( A ) = det( A ); Det(A) = -384

2.4 Anwendungen von Determinanten 2.4.1 Lösen von linearen Gleichungssystemen: Cramersche Regel. Cramersche Regel: Sei A = (ai1 ) eine (n x n)-Matrix mit den Spaltenvektoren (al, a 2 , ... , an). Dann ist die Lösung des linearen Gleichungssystems

A·

nllt

7

ｾ＠

(

J: ),b ｾ＠

(

---t

X=

---t

b

ｾ＠ ) ｧ･｢ｮ＠ｾ ､ｵｾｨ＠

n)

d et ( a1 , ... ,ai-1 , ---tb ,ai+1 , ... ,a Xi

falls det (A)

=

'

det (A)

# 0. ---t

Man ersetzt die i-te Spalte von A durch die rechte Seite b des LGS. Dann ist die i-te Komponente des Lösungsvektors :t der Quotient der Determinante der so entstandenen Matrix und der Determinante von A.

130

III Matrizen und Detenninanten

15. Beispiel: Gesucht ist die Lösung des LGS

qｾ･ｧｬ＠ ｾ＠ n 0) ｾ＠ 0 0ｾ＠ n 3 X1

=

& ist A

xa

= 1det

］ｾ､･ｴ＠

2 X2

und

b=

=

X3 X3

mit det A = 2

t

0 Nach der

ergeben sich die Komponenten des Lösungsvektors aus

Cramerschen Xt

+ +

X2

+

1 1 0

= -1 ;

x2

= ! det

(

! ｾ＠ ) =

3 0 1

2

a!=

=-1

Man sollte allerdings die Cramersche Regel nicht zur Auflösung von linearen Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten verwenden, da der Rechenaufwand erheblich wird. Die Formel ist aber nUtzlieh fUr die Berechnung einzelner Unbekannter bzw. wenn das Gleichungssystem einen Parameter enthält. ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

2.4.2 Vektorprodukt a x b zweier Vektoren a und b :

b

In Kap. ll, § 2.3 wurde eine Formel fUr das Vektorprodukt C: = (/ x

Vektoren with(linalg): > A := matrix([ [-3,0,6,0], [1, 1,-2,5], [1 ,0,-2,0], [-2,-2,4,-1 0] ]); -3 [ A ·.-

11

-2

ｾ＠ Ｍｾ＠

ｾ＠

0 0 -2 4 -10 -2

und dem Vektor > b := vector([-3,2, 1,-4]);

b := [-3, 2, 1, -4]

134

111 Matrizen und Determinanten

Wir vergleichen den Rang von A

> rank (A); 2 ｾ＠

mit dem Rang der um b erweiterten Matrix

> augment(A, b): > rank(%); 2 Beide Ränge stimmen überein und das LGS ist daher lösbar

> linsolve (A, b); Da Rang (A) = 2 < 4, ist das LGS nicht eindeutig lösbar, d.h. die Lösung besitzt freie Parameter _tl und _t2. (2) Für

> b := ｶ･｣ｴｯｲＨ｛ＭＳＬＲｾ｝ＩＺ＠

ist das LGS A 7

= b

nicht lösbar, da der Rang der erweiterten Matrix (Alb)

> Rank (A, b) =rank (augment (A, b) );

Rank (A, b)

=3

Wir fassen die Ergebnisse für quadratische, lineare Gleichungssysteme im folgenden Satz zusammen:

Satz: (Fundamentalsatz für quadratische LGS) Gegeben sei das LGS für die Unbekannten (x1, x2, ... , xn):

Definieren wir die Matrix A

(

anl

(

b·:nl ) b

und den Vektor

7

= (

ｾＺ＠

｡ Ｑ ｾ＠

an ...

)

,

die rechte Seite

ann

) , so lautet d"' LGS AX'

ｾ＠

b.

b

135

3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang

Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) Das LGS A :r!

=b

besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung.

(2) A ist invertierbar. (3) detA

# 0.

(4) Die Lösung des LGS ist gegeben durch

19. B(eisfiel ｾｬｩｴ

Ｐ＠ M)APLE:

:r! = A - 1 b.

Gegeben ist das inhomogene LGS A :r! =

A=

1 7 4 . Das LGS hat für jeden Vektor 3 13 4 Lösung, da die Determinante der Matrix A

b

b

mit

eine eindeutig bestimmte

> A := matrix([ [1 ,2,0], [1 ,7,4], [3, 13,4] ]); > Det (A) = det (A); Det (A) = -8 ungleich Null. Daher existiert die inverse Matrix A- 1 > Ainv := inverse (A);

Ｍｾ＠

Ainv := [

1

-t -! ] -8

8

und die eindeutige Lösung des LGS ist gegeben durch die InhomogeniUtten > b1 := vector( [ -4,3, 1] ): > x := evalm (Ainv &* b1 ); X:=

:r!

= A- 1

b. Es gilt für

[-10, 3, -2]

> b2 := vector ([1 ,8,8]): > x := evalm (Ainv &* b2); X:=

[3, -1, 3]

> b3:= vector([1 ,-4,0]): > x := evalm (Ainv &* b3); X:=

5

[-1, 1, -2]

Der Vorteil der Lösung des LGS Uber die Inverse gegenüber der Lösung mit dem Gauß-Algorithmus besteht darin, daß die Inverse nur einmal berechnet wird und die Lösung des LGS für verschiedene Inhomogenitäten dann nur noch eine Matrix-Vektor-Multiplikation darstellt.

136

III Matrizen und Determinanten

3.2 Anwendungen 3.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren. n Vektoren des n-dimensionalen Vektorraums 1Rn bilden nach Kap. II, §6.5 eine Basis von 1Rn genau dann, wenn sie linear unabhängig sind. Die n Vektoren 0: t , 0: 2, ... , 0: n E 1Rn bilden also eine Basis, wenn -+ -+ -+ --+ At a t + A2 a 2 + · · · + An a n = 0 nur durch At = A2 = ... = An = 0 eindeutig lösbar ist. Nach dem Fundamentalsatz über LGS ist dies aber gleichbedeutend, daß det(A) = det(O: t, 0:2, Satz: Für n Vektoren

.. . , 0: n) ::/:- 0.

0: t , 0:2, ... , 0: n E 1Rn gilt:

det A = det(O: t, 0:2,

... , 0: n) ::/:- 0 (0: t, ... , 0: n) ist eine Basis von 1Rn.

20. Beispiel: Man zeige, daß die Vektoren > v1: = vector ([4, 3, 2, 1]}: > v2: = vector ([0, 1, 5, 4]}: > v3: = vector ([-1, -1, 0, 1]}: > v4: vector ([3, 5, 0,1 ]}: eine Basis des 1R4 bilden und man stelle den Vektor > b: = vector ([0, 1, 0, 1]}: als Linearkombination von 11 1> 112. 113, 11 4 dar.

=

Zunächst prüfen wir, daß die 4 Vektoren linear unabhängig sind: > A: = augment (v1 ,v2,v3,v4): > Det (v1 ,v2,v3,v4) = det( A ); det( v1, v2, v3, v4) = 62 Da die Determinante ungleich Null, sind die Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis von JR4 . Man beachte, daß bevor die Determinante der Vektoren (11 1> 112. 113, 114) berechnet werden kann, sie mit dem augment-Befehl spaltenweise zu einer Matrix zusammengefügt werden müssen. -+

Der Vektor b läßt sich damit als Linearkombination der Vektoren (11 1 , 112. 113, 114) darstellen: > linsolve (A, b); [ -5 2 16 12]

31' 31' 31' 31

137

3.2 Anwendungen

3.2.2 Kreis durch 3 Punkte. In CAD-Systemen werden ebene Flächen zumeist durch Geraden- und KreisstUcke zusammengesetzt. Die Erfassung der Geometrie erfolgt i.a. interaktiv per Mouse-Klick, indem für die Geometrie charakteristische Punkte eingegeben und diese durch Geraden oder Kreissegmente verbunden werden. Ein GeradenstUck wird durch zwei Punkte festgelegt; ein Kreissegment durch die Angabe von drei Punkten, falls die Punkte nicht auf einer Geraden liegen. Wir behandeln im folgenden die Fragestellung, ob durch drei vorgegebene Punkte (x1. yt), (x2, Y2), (xa, Ya) ein Kreis gelegt werden kann, und wenn ja, welches die Mittelpunktskoordinaten und der Radius des zugehörigen Kreises sind. Die allgemeine Kreisgleichung lautet

(x- xo) 2 + (y- Yo) 2 = R2 bzw.

A (x 2 + y 2 )

+B x +Cy+D =

0.

Da der Kreis durch die o.g. Punkte gehen soll, muß noch gelten:

A Ａｘｾ＠ A ｾ＠ｘ A ｾＫｹ＠ｸ

+ ｹｾｬ＠ + ｹｾ＠

+ B Xt + c Yl + D = + B X2 + c Y2 + D =

0 0 +Bxa+Cya+D=O.

Dies ist ein homogenes LGS für die Größen (A, B, C, D) mit der Koeffizientenmatrix x2+y2 x y M - ( ｘｾ＠ + ｹｾ＠ Xt Yl 1 ｘｾ＠ + ｹｾ＠ X2 Y2 1 . ｘｾ＠ Ｋｹｾ＠ X3 Y3 1 Damit das homogene LGS nicht nur die Null-Lösung besitzt, muß det M = 0 sein. Entwickelt man die Determinante nach der ersten Zeile, erhält man

1)

Xt X2 xa

Yl Y2 Ya

1

1 1

(x 2 + y 2 ) -

+ ｹｾ＠ ｘｾ＠ ｘｾＫ＠

ｙｾ＠

ｸｾ＠ ｘｾ＠

ｘｾ＠

ｾＫ＠

+ ｹｾ＠ + ｹｾ＠ + ｙｾ＠

Yl Y2 Ya

ｾ＠

X1 X2

1

1 x+ 1 1 1 Y1

ｘｾ＠

ｘｾ＠

ｾＫ＠

+ ｙｾ＠ + ｙｾ＠

X1 X2

ｾ＠

Yl Y2

w

= 0.

Die 3-reihigen Unterdeterminanten sind also gerade die Koeffizienten in der Kreisgleichung. Insbesondere folgt aus dieser Darstellung, daß

K :=

Xt X2 xa

Yl Y2 Ya

1 1 1

=f 0

sein muß, damit der Term (x 2 + y2 ) in der Kreisgleichung vorkommt. Für K = 0 liegen die 3 Punkte also auf einer Geraden.

138

III Matrizen und Determinanten

2L Beispiel: Gesucht ist die Kreisgleichung

durch die Punkte (0,0), (1,3) und (2, -1):

A· k k

0 10 5

+ B·O + C· 0 + + B·1 + C· 3 + + B·2 + C · (-1) +

=

D

0 0

D

0.

D

Mit MAPLE erhalten wir > with (linalg): > M := matrix ( [ [x"2+y"2,x,y,-1], [0,0,0,-1], [10,1,3,-1], [5,2,-1,-1]] ): > det (M) = 0;

17 y 2 + 7x 2 -

25 x - 15 y = 0

I

Die Punkte liegen auf dem Kreis, dessen Scheitelgleichung gegeben ist durch 425

98 Der Kreis besitzt den Radius R =

jW. und hat den Kreismittelpunkt

(xo, Yo) = (4, -5).

3.2.3 Eigenfrequenzen eines gekoppelten Systems. Gegeben sind zwei Fadenpendel (Länge l) an deren Enden zwei Massen (m1 = mz = m) angebracht sind. Die Massen werden durch eine Feder (Federkonstante D) gekoppelt (vgl. nebenstehendes Bild).

m, D • Gekoppelte Pendel

m,

Ist

f1

:= x • > xA2;

/1 := x

-t

x2

ist /1 die Quadratfunktion, die an einer beliebigen Stelle x ausgewertet werden kann:

> f1{4); 16 Es ist bei MAPLE allerdings strengstens zu unterscheiden zwischen einer Funktion und einem Ausdruck. z. B. stellen > f2:=abs{x); > f3{X):=Xa3;

/2 := lxl

f3(x) :=x3 nur Ausdrücke aber keine Funktionen dar. D.h. /2 und f3(x) sind Platzhalter für lxl bzw. x 3 • Insbesondere können weder /2 noch /3 an Zwischenstellen ausgewertet werden:

> f2{x);

f3{x);

Wird zuvor der Variablen x einen Wert zugewiesen, dann beinhalten /2 und /3 das Ergebnis der Auswertung der entsprechenden Ausdrücke:

> x:=-1.5:

> f2; f3{x); x:='x': 1.5 /3( -1.5)

Nachwievor ist aber /2 nicht an einer anderen Stelle auswertbar

> f2{5);

lxl ( 5)

150

IV Elementare Funktionen

(2.) Der unapply-Befehl: Eine Möglichkeit aus einem Ausdruck (Anweisung) eine Funktion zu definieren ist durch den unapply-Befehl gegeben. Der Ausdruck

> expr:=1 + tan(t);

expr := 1 + tan( t)

ist zunächst keine Funktion und nicht an Zwischenstellen auswertbar. Durch

> f4:=unapply(expr,t);

f4 := t -+ 1 + tan( t)

wird der Ausdruck expr in eine Funktion umgewandelt. Es gilt dann

> f4(0), f4(Pi/4), f4(Pi/3);

1, 2, 1 + v'3

Die Unterscheidung von Funktionen und Ausdrücken ist wichtig, da die Befehle fur Funktionen und Ausdrücke teilweise unterschiedlich lauten bzw. die Befehle anders aufgerufen werden. (3.) Die Prozedur-Konstruktion: Eine dritte Möglichkeit Funktionen zu definieren erfolgt durch die Prozedur-Konstruktion. Die Prozedur

> h:=proc() local x; x:=args[1]; xA2+ 2*sin(x); end: definiert eine Funktion h( x) = x 2 + 2 sin( x), die mit Hilfe von evalf ausgewertet werden kann

> evalf(h(2)); 5.818594854

Zusammengesetzte Funktionen "programmiert" man am besten mit dieser MAPLEinternen Struktur. Die zusammengesetzte Funktion g: 1R-+1Rmitg(x):=

{ :

2

4+Jx-2 wird durch die Prozedur

> g:= proc( ) local x; x:=args[1 ]; > if x elif x eise 4 +sqrt(x-2) ; > fi >end: definiert und ausgewertet mit

> evalf(g(3)); 5.

für x < 1 für 1 ｾ＠ x < 2 sanst

1.2 Elementare Funktionen in

MAPLE

151

(4.) Der piecewise-Befehl: Durch den piecewise-Befehl besteht in neueren Releases von MAPLE eine einfachere Möglichkeit, zusammengesetzte Funktionen oder Ausdrücke zu definieren: piecewise(bed1 ,f1 , bed2,f2, ...,bedn,fn, fs sonst) > gp := x -> piecewise(x (f @ finv)(x) ; X

>

(finv @ f)(x): simplify(%, symbolic); X

D.h. die Umkehrfunktion nach der Funktion ausgeführt liefert auf dem zugehörigen Definitionsbereich die identische Abbildung. Die graphische Darstellung der Umkehrfunktion ist mit MAPLE sehr einfach zu realisieren, indem man von den Paaren (x,j(x)) zu (f(x) , x) übergeht. > plot( {[x, f(x),x=0 .. 3), [f(x),x,x=0 .. 3]} );

163

§2. Polynome

§2. Polynome Polynome (oder Polynomfunktionen) spielen in der Angewandten Mathematik eine wichtige Rolle. Sie sind nicht nur besonders einfach in ihrer Darstellung, sondern sie lassen sich auch auf einfache Weise auswerten, da nur Additionen und Multiplikationen ausgeführt werden müssen. Gerade deshalb sind sie für die Anwendung in der Numerik ideale Funktionen. Im Kapitel über Taylorreihen (-+ Kap. VII, §3) werden wir zeigen, daß man komplizierte Funktionen auf eine Darstellung über Polynome zurückspielt In diesem Kapitel lernen wir für die Anwendung wichtige Eigenschaft kennen, wie z.B. die Festlegung von Polynomen durch vorgegebene Punkte: das sog. Interpolationspolynom. Definition: Eine Funktion

f : lR -+

lR der Form

heißt Polynom (Polynomfunktion, ganzrationale FUnktion) vom Grad n. Die reellen Zahlen ao, a1. ... , an heißen Koetllzienten des Polynoms. 23. Beispiele: (1) pl(x) = 4 P2 (x) = 2x- 3 P3 (x) = 2x 2 - 3x + 5 P4 (x) = x 3 - x Ps (x) = 4x8 - x 5 - 10

Polynom Polynom Polynom Polynom Polynom

vom vom vom vom vom

Grad Grad Grad Grad Grad

0. 1. 2. 3. 8.

(konstante Funktion) (lineare Funktion) (quadratische Funktion) (kubische Funktion)

(2) Die Höhe H einer Quecksilbersäule hängt von der Temperatur T ab:

H(T) =Ho (1

+a

(T- To)).

Dabei ist Ho die Höhe bei der Temperatur To und a der Wärmeausdehnungskoeffizient (3) Ein strömendes Medium (Luft, Wasser), das mit einer mittleren Geschwindigkeit v auf einen Körper trifft, übt die Kraft 1 2 Fw=cwA2pv

auf ihn aus. Dabei ist cw der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche des Körpers und p die Dichte des strömenden Mediums. (4) Die Biegelinie eines einseitig eingespannten Trägers wird beschrieben durch F y(x)=6E·I (3lx2-x3)

E · I ist die Biegefestigkeit, F die Kraft am Balkenende und l die Balkenlänge.

164

IV Elementare Funktionen

(5) Darstellung von Polynomen mit MAPLE. Mit dem plot-Befehl lassen sich Polynome in MAPLE einfach graphisch darstellen. Z.B. werden durch

> plot([8*xA3+20, xA2+4*x], x=-10 .. 10, color=[blue,red]); + 20 und x 3 + 4 x in den Farben blau und rot in ein

die beiden Polynome 8 x 2 Schaubild gezeichnet.

2.1 Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare Eine der wichtigsten Eigenschaften von Polynomen ist die Festlegung durch gegebene Wertepaare. Im Falle des Thermometers braucht man 2 Werte, um eine lineare Skala festzulegen. Schwach durchhängende Seile haben in guter Näherung eine Parabelform. Zur Festlegung dieses funktionalen Zusammenhanges müssen 3 Wertepaare angegeben werden. Denn durch 3 Punkte wird genau ein Polynom 2-ten Grades festgelegt. Allgemein gilt der folgende Satz: Satz: Zu n + 1 verschiedenen Wertepaaren (x17 yl), (x2, Y2), ... , (xn+b Yn+I) gibt es genau eine Polynomfunktion f mit f (xi) = Yi· deren Grad nicht größer als n ist. Eine Möglichkeit das gesuchte Polynom anzugeben, ist gegeben durch die I.agrange Interpolationsformel:

f(x)

=

(x- x2) (x(x1 - x2) (x1 (x- x1) (xY2 · (x2- xl) (x2 ｾﾷ＠

X3) · ... · (x- Xn+I) x3) · ... · (x1 - Xn+l) x3) · ... · (x- Xn+l) X3) · ... · (x2- Xn+I)

+ +

(x- x1) (x- x2) · ... · (x- Xn) Yn+l . (xn+l -XI) (xn+l - x2) · ... · (xn+l - Xn). Bei der Funktionsauswertung an der Stelle Xi verschwinden alle Terme k =1- i, da (x- xi) als Faktor enthalten ist; nur der Term k = i bleibt erhalten, da bei diesem Summand der Faktor (x - xi) nicht auftritt:

f (x;) Außerdem erhält man höchstens ein Polynom vom Grade n, da alle Terme nur n 0 Faktoren (x- xi) enthalten.

2.2 Koeffizientenvergleich

165

2.2 Koeffizientenvergleich Oftmals führt man bei Polynomen einen Koeffizientenvergleich durch. Diese Methode beruht auf der Tatsache, daß Satz: (KoefTIZientenvergleich) Zwei Polynome f und g mit

und g (x)

= bm Xm + am-1 xm- 1 + ... + bo

sind genau dann gleich, wenn n = m und ai = bi für alle i. Dieser Satz besagt, daß Polynome nur dann gleich sind, wenn sie denselben Grad besitzen und die Koeffizienten identisch sind. Begründung: Wir nehmen an, daß m fürx=O

f (0)

= g (0)

ｾ＠

n. Da f (x) = g (x) für alle x E IR, gilt

=> ao = bo => X (an xn- 1 + ... + at) =X (bm xm- 1 + ... + b1)

Damit ist

für alle x E IR, also insbesondere für

Wieder kann man x ausklammern und die Vorgehensweise wiederholen:

bis man schließlich

erhält. Durch Einsetzen von x = 0 folgt an = bn, so daß für alle x E IR:

Ein Polynom kann aber nur dann das Nullpolynom sein, wenn alle Koeffizienten verschwinden, d.h. bm = bm_ 1 = ... = bn+ 1 = 0. Folglich ist der Grad von f gleich dem Grad von g und die Koeffizienten ai von f identisch mit den Koeffizienten bi von g. 0

166

IV Elementare Funktionen

2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Eine der elementaren Aufgaben von Polynomen besteht in der Auswertung eines Polynoms an einer Stelle x 0 . Ein sehr einfaches Schema erhält man durch den folgenden Ansatz:

Satz: Für jedes Polynom

f

und jeden Wert xo ist die folgende Umformung

möglich:

f (x)

an xn + an-1 xn- 1 + ... + a1 x + ao (x- xo) (bn xn- 1 + ... + b2 x + b1) + f (xo).

Um diese Gleichheit zu überprüfen, multiplizieren wir das Produkt aus und führen einen Koeffizientenvergleich durch.

(x- xo) (bn xn- 1 + ... + ｾ＠ x + b1) + r = = bn Xn + bn-1 xn- 1 + bn-2 xn- 2 + ... + b1 X -xobnxn- 1 - xobn-1 xn- 2 - ... - ｘｯｾｸＭ ! n n-1 = an x + an-1 x + an-2 x n-2 + ... + a1 x

xob1 + ao.

+r

Der Koeffizientenvergleich nach absteigenden Potenzen von x liefert n

n-1 n-2

an an-1

bn-1- Xo bn bn-2- Xo bn-1

=

an-2

+ xobn

+ Xo bn-1

==? b1 = a1 + xo b2 ao ==? r ao + xo b1 Mit diesem Vorgehen ist man in der Lage, systematisch bn, bn-b ... , b1 und r zu bestimmen. Außerdem ist f (xo) =

1

0

b1 - xo b2 - xo b1 + r

a1

I

r.l

D

Dieses Verfahren ist die Grundlage für die effektive Auswertung von Polynomen. Schon seit Anfang des vorigen Jahrhunderts (1819) ist bekannt, daß die Funktionswerte eines Polynoms an einer beliebigen Zwischenstelle x 0 so durch das Horner-Schema berechnet werden können: a2

a1

ao

ｾﾷｨ＠

ｾＭ＠

ｾＭ＠

167

2.4 Nullstellenproblem

Der Vorteil des Horner-Schemas besteht darin, daß fUr Polynome nicht jeweils die ... berechnet, sondern Zwischenwerte mit xo multipliziert und Potenzen x 0, ｸｾＭｉＬ＠ geeignet aufsummiert werden. 24. Beispiel: Man berechne den Funktionswert von an der Stelle xo = 4 : 2

-6 2-4

2

2

+

0 2·4 8

-35 8·4 -3

f (x)

= 2x 4 - 6x 3

-

35x + 10

10 -3·4

1-2=f(4) 1

Dieses Schema der Auswertung ist besonders effektiv, da es das Potenzieren vermeidet. Es zeigt sich auch, daß das Horner-Schema fur Rundungsfehler unanfällig ist und sich dadurch fUr den numerischen Einsatz eignet. Algorithmus: Deklariert man die Koeffizienten des Polynoms als Array a [0], a [1], ... , a [n], so lautet der Algorithmus wert:= a[n] FOR i := n-1 DOWNTO 0 DO wert := a[i] + wert · xO;

wert ist dann der Funktionswert an der Stelle x 0 .

2.4 Nullstellenproblem Für den Spezialfall, daß XI eine Nullstelle des Polynoms f (x) ist, liefert das Horner-Schema sofort die sog. Produktdarstellung des Polynoms in der Form (x- xi) · Restpolynom: Satz: Wenn

XI

eine Nullstelle des Polynoms n-ten Grades

f (x)

f,

dann gilt

= (x- xi) (bn xn-I + bn-I xn- 2 + ... + bi x).

Begründung: Denn wenn XI eine Nullstelle, ist das Restglied r und wir erhalten die obige Behauptung. 25. Beispiel:

XI

=f

(xi)

=0 D

= 1 ist eine Nullstelle des Polynoms f (x) = x 3 + 2x2 -13x+ 10 : +

2 1·1 3

-13 3·1

10 -10·1

-10

Das Horner-Schemaliefert dann nicht nur den Funktionswert f (1) = 0, sondern auch gleich die Koeffizienten bi des Restpolynoms und somit die Zerlegung des

168

IV Elementare Funktionen

Polynoms

f

in

x 3 + 2 x 2 - 13 x + 10 = (x - 1) (1 x2 + 3 x - 10) . Das gleiche Ergebnis folgt, wenn eine Polynomdivision durchgeführt wird:

(x3 -(x3

+2x 2 -x2) 3x -(3x 2

-13x -13x -3x) -10x -(-10x

1 x 2 + 3x -10

(x- 1)

+10)

+10 +10) 0

Ist also f ein Polynom n-ten Grades und XI eine Nullstelle von j, so läßt sich f (x) durch (x- XI) ohne Rest dividieren und das Resultat ist ein Polynom vom Grade n - 1. Das Abspalten eines Linearfaktors von einem Polynom vom Grade n kann man jedoch höchstens n-mal durchführen, solange bis das Restpolynom nur noch den Grad Null hat: Satz: Jedes Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

Eine schwierige Aufgabe ist die konkrete Bestimmung der Nullstellen von Polynomen. Für n = 2 hat man noch die quadratische Formel: 26. Beispiel: An eine Stromquelle mit Spannung U = 220V werden zwei Widerstände RI und R2 einmal in Reihe und einmal in Parallelschaltung angeschlossen. Im ersten Falle ist die Stromstärke /I = 0.9A im zweiten Falle / 2 = 6A. Wie groß sind R I und R2 ?

I,

Ut®l ｾｲｮ＠

I,

U

K

R,

R2

Für die Reihenschaltung gilt der Maschensatz: U = h RI + h R2 und für die Parallelschaltung der Knotensatz für den Knoten K : /2 = }{1 + ｾＮ＠ Löst man die erste Gleichung nach R2 auf und setzt dies in die zweite ein, folgt nach Umformungen

Gesucht sind also die Nullstellen des Polynoms Mit

f (x)

= x2

-

ｾ＠

x + ｾ Ｙ ｾ＠

.

169

2.4 Nullstellenproblem

erhält man als Nullstellen x1 = 44.9 und x 2 = 199.5. Wählt man R 1 = 44.9n, so ist R2 = 199.5f2. Aus Symmetriegründen können R 1 und R 2 auch vertauscht D werden. Für n = 3 und 4 sind die Lösungsformeln wesentlich komplizierter und für n ;:::: 5 gibt es keine geschlossenen Lösungsformeln mehr. Daher ist man bei der Suche nach Nullstellen bei Polynomen höheren Grades i.a. auf numerische Verfahren angewiesen (siehe Kap. VIII). Wenn man allerdings eine Nullstelle xo erraten kann, so liefert das Horner-Schema ein nützliches Verfahren zur Reduktion des Problems, da man durch Abspalten des Linearfaktors (x- x 0 ) ein Polynom vom Grad n- 1 erhält. 27. Beispiel: Gesucht sind die Nullstellen des Polynoms f (x) = 3x 3

+ 3x 2 -

3x- 3.

Durch Erraten findet man eine Nullstelle bei x 1 = -1 :

+

3

3

3 -3

-3

0

-3

0

-3 3 0=/(-1)

Hiernach gilt also 3x 3

+ 3x 2 -

3x - 3

= (x + 1) (3x 2 - 3) .

Durch Anwenden der quadratischen Formel berechnen sich die beiden weiteren Nullstellen x2 = 1 und x 3 = -1. Damit folgt die lineaifaktorenzerlegung des Polynoms: 3x 3 + 3x 2 - 3x - 3 = 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x - 1) .

Wir fassen das Ergebnis in folgendem allgemein gültigen Satz zusammen: Satz: Besitzt ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen XI, x2, ... , Xn, so läßt es sich in der Form eines Produktes aus n Linearfaktoren darstellen: f(x)

anxn+an-lXn-l+ ... +alx+ao an (x- xl) (x- x2) · ... · (x- Xn).

Bemerkungen: Man darf den Koeffizient an in der Produktdarstellung nicht vergessen! (2) Bei doppelten Nullstellen tritt der zugehörige Linearfaktor doppelt, bei dreifachen Nullstellen dreifach usw. auf!

(1)

170

IV Elementare Funktionen

2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus In naturwissenschaftlichen Anwendungen stellt sich oftmals das Problem: Von einem unbekannten funktionalen Zusammenhang sind (n + 1) Meßpunkte durch eine Messung bestimmt: P1 (x1, Yl); P2 (x2, Y2); ... ; Pn+l (xn+l, Yn+I) · Gesucht sind die Funktionsgrößen an Zwischenwerten. Wie bereits nach dem ersten Satz bekannt ist, gibt es genau ein Polynom vom Grad n, welches durch diese (n + 1) Meßwerte geht. Diese Näherungspolynome werden auch als Interpolationspolynome bezeichnet, da sich mit ihnen näherungsweise beliebige Zwischenwerte der unbekannten Funktion im Bereich [xl> Xn+I] berechnen (=interpolieren) lassen. ｐｾ Ｌ＠

y

I I I I

X, X,

I I I I

X, X.

X,

X.

x,.,

X

Abb. 16: Interpolationspolynom

Durch das Lagrange Interpolationspolynom erhält man das eindeutig bestimmte Polynom vom Grade höchstens n, welches diese Eigenschaft hat. Allerdings ist der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten erheblich. Ein einfacheres Rechenschema zur Bestimmung des Interpolationspolynoms geht auf einen Ansatz von Newton zurück:

f (x)

= ao + a1 (x- x1) + a2 (x- x i) (x- x2) + ... +an (x- xi) (x- x2) · .. . · (x- Xn) .

Die Koeffizienten ao , a 1 , .. werden: ｙＱ］ｦＨ

Y2

ｸ ＱＩ］｡ｯｾ＠

.,

an können durch diesen Ansatz iterativ bestimmt

lao=Yl·l

= f (x2) = ao + a1 (x2 - xl) ｾ＠

Y3- ao- a1 (x3- XI) (x3- x 1) (x3- x2)

1 { Y3 - Yl X3 - X1 X3 - X2

Y3- Yl- ｾ＠ (x3- XI) (x3- x1) (x3- x2)

Y2 - Yl XJ - X! } X2 - X1 X3 - X2

2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus

Setzt man

D2,1

=

Y2- Y1 X2- X1

, D3,2 =

Y3-

Y2

X3- X2

171

-- .la.=lllX2-Xl

'\. 3

X3

Ya

'\. D 3,2Ｍｾ＠

-->

'\. 4

X4

Y4

-->

n+l

Xn±l

Yn+l

-->

'\.

-->

X3-X2

'\.

D 4,3- .1U..=.lla. X4-X3

D

_

n+l,n-

-->

Yn±l-Yn Xn

Xn

-->

ｾ＠

D

_

D3,2-D2,1

-

X3-Xl

_D43-D32

4,3,2-

X4

...

X2

'\. -->

...

-->

...

Die Zahlen Y1 = ao, D2,1 = at, D3,2,1 = a2, D4,3,2,1 = a3, ... , Dn+1, ... ,1 =an sind dann die gesuchten Koeffizienten des Newtonsehen Interpolationspolyno ms. D Vorteile des Verfahrens Bei der Hinzunahme noch weiterer Meßpunkte müssen nur weitere Zeilen in die Tabelle aufgenommen werden. Die bereits berechneten Koeffizienten bleiben gültig. (2) Das Newton-Verfahren ist einfach zu programmieren (--> newipol. pas). (1)

172

IV Elementare Funktionen

28. Beispiel: (i) Das Ergebnis einer Meßreihe liefert die Tabelle

k

1

2

3

Xk

0

2

5

Yk

-12

16

28

Gesucht ist das Interpolationspolynom durch diese 3 Meßpunkte. Ansatz:

f (x) = ao + a1 (x- xi) + a2 (x-

x1) (x- x2).

Koetrazientenbestimmung: k

Xk

Yk

1

0

1-121

2

2

16

3

5

28

ＱｾＲ＠ ｾ］Ｔ＠

=

[ill 4-14 5-0

5-2

］ｾ＠

Damit erhält man das quadratische Polynom

-12+14x-2x (x-2) -2x2 + 18x -12.

f(x)

(ii) Durch die Hinzunahme eines weiteren Meßpunktes P4 (7, -54) kann man das bestehende Schema erweitern k

Xk

Yk

1

0

1-121

2

2

16

[ill

3

5

28

4

4

7

-54 ＭｾＴＲＸ＠

8J = -41

-:1;4

= -9

-QJ

-9±2 7 0 -

und man findet als Interpolationspolynom vom Grade 3

f (x)

ao

+ a1 (x- xi) + a2(x- xi) (x- x2)

+a3 (x- xi) (x- x2) (x- x3) -12 + 14 (x- 0)- 2 (x) (x- 2)- 1 (x) (x- 2) (x- 5) -x 3 + 5 x 2 + 8 x - 12.

173

2.6 Polynorne mit MAPLE

2.6 Polynome mit

MAPLE

MAPLE bietet eine ganze Reihe von Befehlen zur Manipulation von Polynomen. Zunächst ist ein Polynom definiert durch einen Ausdruck der Form

> p1 := -3*x + 7*xA2- 3*xA3 + 7*xA4; p1 := -3 x

+ 7 x2 - 3 x3 + 7 x4

bzw. in einer ungeordneten Form durch

> p2:= S*xAS + 3*x + xA2 + 3*xA2 -2*x -1 ; p2 := 5x 5 + x

+ 4x2 -1

wobei die Terme nicht automatisch nach Potenzen sortiert werden. Die Addition von zwei Polynomen wird sofort ausgeführt

> p1 + p2;

-2 x + 11 x 2

-

3 x 3 + 7 x 4 + 5 x5

-

1

nicht aber die Multiplikation.

> p1 * p2;

Mit dem expand-Befehl erzwingt man das Ausmultiplizieren

> expand(%); 13x6 -10x 2

-

2x3 + 3x + 35x7 + 18x4 -15x8

-

5x5

+ 35x9

Das Ergebnis ist dann wiederum i.a. nicht nach Potenzen geordnet. Dies kann aber mit dem sort-Befehl veranlaßt werden > sort(%);

35x 9

-

15x8

+ 35x7 + 13x6 -

5x5

+ 18x4 -

2x3 -10x2 + 3x

Alternativ zum sort-Befehl steht collect zur Verfügung.

> collect(p2, x);

5 x5 + x

+ 4 x2 - 1

> p3:=z*x + xA2 + 3*xA2 + 3*zA3 +1: > sort(%, z);

Mit den Befehlen degree und coetT werden der Grad des Polynoms und die Koeffizienten bestinunt. Beide Befehle werden nur ausgeführt, wenn das Polynom in geordneter Form vorliegt. Gegebenenfalls muß also zuvor mit dem sort-Befehl das Polynom nach Potenzen geordnet werden.

174

IV Elementare Funktionen

> degree(p2,

x);

5

> coeff(p2,

x"2);

4

Eines der elementaren Aufgaben bei Polynomen ist die Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren (Faktorisierung). Sofern die Koeffizienten des Polynoms gebrochenrationale Zahlen sind, liefert der Befehl factor eine solche Zerlegung. > p4:=p1 *p2: > factor(p4);

Analog dem solve-Befehl (vgl. Kap. I, §5.) gibt es den fsolve-Befehl, der Gleichungen numerisch löst. Ist die Gleichung ein Polynom-Ausdruck, so gibt fsolve alle reellen Nullstellen eines Polynoms näherungsweise an. Mit der Zusatz-Option complex, findet fsolve alle reellen und komplexen Nullstellen eines Polynoms. > fsolve(p4,x); 0, 0.3806094577, 0.4285714286

> fsolve(p4,x,complex); -0.6903047288- 0.2212518888 I, -0.6903047288 + 0.2212518888 I, -1. *I, 0., 1. I, 0.3806094577, 0.4285714286, 0.5000000000- 0.8660254038 I, 0.5000000000 + 0.8660254038 I

Polynome werden durch das Horner-Schema effizient ausgewertet. MAPLE bietet nicht nur die Möglichkeit ein gegebenes Polynom für das Horner-Schema anzuordnen; wir können auch gleich einen Effizienzvergleich zwischen dem normalen Auswerten eines Polynoms und dem mit dem Horner-Schema durchfuhren. cost aus dem Paket codegen zählt die Anzahl der Additionen und Multiplikationen bei der Auswertung eines Ausdrucks > codegen[cost](p1 ); 3 additions

+ 10

multiplications

> convert(p1, horner); ( -3 + ( 7 + ( 7 X

-

3) X) X) X

> codegen[cost](%); 3 additions + 4 multiplications

2.6 Polynome mit MAPLE

175

Im folgenden werden wir das Horner-Schemamit MAPLE programmieren und das Polynom p6 an der Stelle x 0 =5 auswerten. Zum Vergleich berechnen wir zuerst den Wert des Polynoms ohne auf das Horner-Schema zurückzugreifen. Da p6 ein Ausdruck und keine Funktion ist, liefert p6(5) nicht das gewünschte Ergebnis. Stattdessen ersetzen wir x im Ausdruck von p6 durch 5 mit dem subs-Befehl.

> p6:=4 + 3*x + > subs(x=5,p6);

ＶＪｸｾＲ＠ ＫＷＪｸｾＳ＠

+

ＫＸＪｸｾＴ＠

ｸｾｓＺ＠

9169 Die Prozedur poly liefert für ein beliebiges Polynom den Grad n und die Koeffizienten a[i], i = O.. n. Im Anschluß daran wird die Prozedurhorn aufgerufen, die das Hornerschema zum Auswerten des Polynoms p6 an der Stelle x 0 wählt.

> poly :=proc(p) > local i: global a,n: > sort(p): n:=degree(p}: > for i from n by -1 to 0 > do a[i] :=coeff(p,x,i): od: > print('Grad des Polynoms =', n): >end: > poly(p6); a[2]; Grad des Polynoms =, 5 6

> horn := proc(xO) > wert1 :=a[n]: > for i from n-1 by -1 to 0 > do wert1 := a[i] + wert1 * xO; od: > print('Der Wert des Polynoms bei xO ist ',wert1); >end: > x0:=5: horn(xO); Der Wert des Polynoms bei xO ist , 9169 Setzen wir x 0 zurück auf eine undefinierte Variable, so liefert die Prozedur horn genau die Darstellung des Horner-Polynoms

> xO:='xO': horn(xO); Der Wert des Polynoms bei xO ist , 4 + ( 3 + ( 6 + ( 7 + ( 8 + xO) xO } xO } xO ) xO

Die MAPLE-Prozedur interp(t, s, x) mit den Parametern - t: Liste der x-Werte - s: Liste der y-Werte - x: Variable des Interpolationspolynoms

176

IV Elementare Funktionen

liefert einen Ausdruck für das Interpolationspolynom durch die Punkte (t[i], s[i]) mit der Variablen x.

> t := [0, 2, 5, 7]: s:= [-12, 16, 28, -54]: > p(x) := interp( t, s, x); p(x)

:=

-x 3 +5x 2 +8x-12

Die folgende graphische Darstellung zeigt die Wertepaare (als Kreise) zusammen mit dem Interpolationspolynom. Um allerdings die Wertepaare mit dem plotBefehl zeichnen zu können, müssen sie als Liste der Form [[t[l ],s[l]], ... , [t[n],s[n]]] vorliegen. Dazu verwendet man entweder den zip- oder den seq-Befehl.

> Iiste := [ seq( [t[i],s[i]], i=1 .. nops(t) ) ]: > p1 := plot(p(x), x=-1 ..8): > p2 := plot(liste, style=point, symbol=circle): > with(plots): display( {p1 ,p2})

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle für Polynome: expand(p) sort(p) collect(p, x) degree(p, x) coeff(p, x, k) factor(p) fsolve(p, x) convert(p, horner) interp(t, s, x) subs

Ausmultiplizieren von Produktdarstellung Sortieren nach Potenzen Grad des Polynoms Koeffizient des Summanden xk Zerlegt in Linearfaktoren Bestimmung der Nullstellen Auswertung von p mit Horner-Schema Interpolationspolynom durch Wertepaare ( t[i], s[i]) Ersetzen eines Wertes in Polynomausdruck (p: Polynom, x: Variable)

177

3.1 Rationale Funktionen

§3. Rationale Funktionen 3.1 Rationale Funktionen In Physik und Technik werden viele Vorgänge von Funktionen beschrieben, die sich als Quotient zweier Polynome darstellen. So ergibt sich z.B. bei einer Sammellinse mit Brennweite f die Bildweite b als b (x) = wenn x die Gegenstandsweite ist.

L/,

Definition: Unter einer rationalen Funktion (gebrochenrationalen Funktion) versteht man eine Funktion f, die sich als Quotient zweier Polynomfunktionen g ( x) und h (x) darstellen laßt

f : IR\ {x E IR: h(x) = 0} ｾｉｒ＠ mit

Dabei unterscheidet man analog zu Brüchen zwischen ganzrationalen Funktionen (n = 0) (=Polynome), echt gebrochenrationalen Funktionen (m < n) und unecht gebrochenrationalen Funktionen (m 2: n). 29. Beispiele: (1)

(2)

h: IR\ {0} ｾ＠ IR f2 : IR\ { -2, 2} ｾ＠

mit

X !---+

ｾ Ｍ X

IR mit x ｾＭＫ＠

x2

X _

4. 10

y

5 2x

4

4 -5

-10

Graph von h(x) = ｾ＠

-10

Graph von f2( x) =

xl'__ 4

178

IV Elementare Funktionen

(3.) Darstellung von rationalen FUnktionen mit MAPLE. Mit dem plot-Befehl können gebrochenrationale Funktionen graphisch dargestellt werden. Es ist in der Regel allerdings zu beachten, daß bei diesem Funktionstyp neben dem x-Bereich auch der y-Bereich spezifiziert werden muß, damit man das Charakteristische an dem Funktionsgraphen erkennt. Bei automatischer Skalierung dominieren die Polstellen das Schaubild. Durch die beiden folgenden MAPLE-Zeilen können die Funktionsgraphen zu den rationalen Funktionen !I und h erzeugt werden: > plot( 1/x, x=-4 .. 4, -10 .. 10); > plot( x/(x"2-4), x=-5 .. 5, -10 .. 10);

Definitionslücken, Nullstellen, Pole Sei f (x) = ｾｴｬ＠ eine gebrochenrationale Funktion. x0 ist Nullstelle von j, wenn g (xo) = 0 und h (xo) -f:. 0. In den Nullstellen des Nenners ist die Funktion f nicht definiert. Man spricht daher von einer Definitionslücke, wenn h (x 0 ) = 0. Aber nicht in allen Definitionslücken strebt die Funktion gegen Unendlich. Man unterscheidet zwischen hebbaren Definitionslacken und Polen: xo ist eine Polstelle (Pol), wenn in der unmittelbaren Umgebung von x 0 die Funktionswerte betragsmäßig Uber alle Grenzen anwachsen. Der Funktionsgraph schmiegt sich dabei asymptotisch an die in der Polstelle errichtete Parallele zur y-Achse an. Falls Zähler und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle xo besitzen, so enthalten beide Polynome (x- x 0 ) als Linearfaktor. Gemeinsamen Faktoren werden gekürzt. Definitionslücken können so gegebenenfalls durch Kürzen behoben und der Definitionsbereich erweitert werden. Bestimmung der Null- und Polstellen (l) Man zerlege Zähler und Nennerpolynom soweit möglich in Linearfaktoren und kUrze gemeinsame Faktoren. (2)

Die im Zähler verbleibenden Linearfaktoren liefern die Nullstellen der Funktion, die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren liefern die Polstellen.

30. Beispiel: Gesucht sind die Definitionslticken, Nullstellen und Polstellen der . f (x ) = 2x3 + 2x2 - 32x + 40 . zur Bestlmmung . d'teser Ste llen zer1egen Funktlon 3 2 2 3 0 x+x-1x+1 wir sowohl das Nenner- als auch das Zählerpolynom in Linearfaktoren: 2x3 + 2x 2 - 32x + 40 x 3 + 2x 2 - 13x + 10

'---7

f (x) =

2x 3 + 2x 2 - 32x + 40 x3 + 2x2- 13x + 10

2 (x- 2) 2 (x + 5) (x- 1) (x- 2)(x + 5).

=

2 (x- 2) 2 (x + 5) (x- 1) (x- 2) (x + 5)

2 (x- 2) x- 1

179

3.1 Rationale Funktionen

Definitionslocken Nullstellen Polstellen Hebbare DefinitionsJUcken

1, 2, -5 (2) 1

2, -5

Graph von f(x)

Gerade fUr die Diskussion der Anwendungsbeispiele ist die Bestimmung des Verhaltens der Funktionen fur x ｾ＠ ±oo von Interesse. Wir mussen dabei 3 verschiedene Fälle betrachten, wie die folgenden Beispiele aufzeigen:

+ x3 + 4 x +x+ 2 5x4 + x3 + 4

5x4

(1.)

h (x)

= 2 5

(3.)

h (x)

=

h (X)

(2.)

+ x3 +4 x +x+ 2

5x4

= 2

4

2x3 +x+2

: . Die folgende Diskussion zeigt aber, daß man In allen 3 Fällen ist f (x) ｸｾ＠ jeweils unterschiedliche Ergebnisse erhält. Dazu erweitert man den entsprechenden Funktionsausdruck mit -}. , wenn k der höchste auftretende Exponent:

ｸＡＮｾ＠

r 1im X--+00

ｾ＠ +

5x4 + x3 + 4 ｾ＠ 2x5 + X + 2 . ｾ＠

- r - ＡＮｾ＠ｸ

/2 (X) = lim 5X4 + X 3 + 4 ｾ＠

l"

f ( )- r 1

X

-

ｸＡＮｾ＠

X-+00

. lim f 3 (x ) = 11m x--+oo

x--+oo

2 + ｾ＠

2X4 +X+ 2 • -:r ｘＮＺｾ＠］ 5X 4+ X 3+4 ｾ＠__L 1' · -"'F- = 1m 2x3 + x + 2 -:r x--+oo

-:r + ｾ＠ + ｾ＠

X

X

- 0- 0 - 2- .

5 + ｾ＠ + ｾ＠ 5 2 + ｾ＠ X + ｾ＠ X = 2· 4 5+1+ X X4 = 05 = oo. + t,r ｾ＠ +

ts

Diese Vorgehensweise läßt sich fur jede rationale Funktion f (x)

Verhalten von rationalen Funktionen (1) grad g




f (x)

(2) grad g

= grad h

==>

f (x)

(3) grad g > grad h

==>

f (x) ｾ＠

0 fUr x ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠

f (x)

ｾ＠

= *f:l

±oo.

fur x ｾ＠ ±oo fUr x ｾ＠

±oo. ±oo.

= ＪｾＺ､ｵｲ｣ｨｦｕ･ｮＮ＠

im Unendlichen

D

180

IV Elementare Funktionen

Im letzten Fall zerlegt man die unecht gebrochenrationale Funktion durch Polynomdivision in eine Polynomfunktion p (x) und eine echt gebrochenrationale Funktion r (x) : f (x) = p (x) + r (x) mit r (x) -+ 0 für x -+ oo. Die Funktion f (x) nähert sich für x -+ oo an die Funktion p (x) an, da der Rest r ( x) gegen 0 geht! Man nennt p ( x) Asymptote von f.

31 Beispiel:

f (x)

=

lx 3 - ;!x + 1 2 2 x 2 +3x+ 2

Wir zerlegen Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren: Die Nullstellen des Zählers sind I (doppelt) und -2. Die Nullstellen des Nenners sind -1 und -2.

:::} f (x) = ! (x- 1) 2 (x + 2) = ! (x -1) 2 (x+1) (x+2)

x+1

Im gekürzten Ausdruck lassen sich nun die Nullstellen und Polstellen der Funktion identifizieren:

x= 1 x = -1

Nullstelle Polstelle

(doppelt) (einfach).

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, zerlegen wir durch Polynomdivision die Funktion f in eine Polynomfunktion p ( x) und eine echt gebrochenrationale Funktion r (x): _;! + _2_ -1 x +!) (x + 1) = lx (!x2 2 2 x+l

-(lx2

+lx) ｾ＠

2

2

+ r (x)

f (x) = p (x) 2 X->00 ( ) r x =------+ 0 . Damit ist

mit der Asymptote p (x) = !x- ｾ＠ und dem Rest

x+1

ｾ＠

10

Ｍ ｾ Ｐ＠

. Grap hder F un ktton

1/2x 3 -3/2x+l x2+Jx+ 2

3.2 Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen.

181

3.2 Anwendung: Übertragungsfunktion bei LC-Kreisen. Die nebenstehende LC-Schaltung hat wie jede L c RCL-Schaltung die folgende Eigenschaft: Ist die ｾ＠ ..................-.----o Eingangsspannung UE ( t) eine Wechselspannung mit Frequenz w, so ist auch die Ausgangsspan- U, _ nung eine Wechselspannung mit Frequenz w, aber phasenverschoben und mit anderer Amplitude. Diese Amplitude hängt von der Frequenz der Eingangsspannung ab. Das Amplitudenverhältnis H (w) ist gegeben durch (vgl. Kap. V, §4):

j

j

LC IUU (t)t) I= IH (w)l mtt. H (w) = w4 L2C2-w- 3w2 LC + 1. 2

A ( E

H (w) ist eine echt gebrochenrationale Funktion in w. Es gilt: Nullstellen Polstellen

w=O

w4L 2C 2 - 3w2LC + 1 = 0 :

Z =w2

Z 2 (LC) 2 - 3 Z LC + 1 = 0 1 Z 1/ 2 -- 23 LC Z1

= 2,62

Z2

= 0, 76

ｌｾ＠

± Vfg4

ｌｾ＠

( 1 )2 LC

( 1 )2- (3 LC 2

=>

W1/2

= ±1,61[l;__

=>

W3j4

= ±0, 87

± ｾＩ＠

1 LC

2

jl;.

H (w) ist achsensymmetrisch zur y-Achse: H ( - w ) -_

- ( -w )2 LC 2 ( -w) L2C2- 3 ( -w) LC + 1 4

-w2 LC w4L2C2 - 3w 2LC + 1 = H (w).

H (w)--> 0 für w--> oo. H (w)--> 0 für w--> 0. Graphische Darstellung von

IH (w)l

für positive Frequenzen (L = C = 1):

4

3 y 2

0

1

Übertragungsfunktion IH (w) I

4

182

IV Elementare Funktionen

Diskussion: Für tiefe Frequenzen (w klein) ist das Amplitudenverhältnis von Allsgangsspannung zu Eingangsspannung klein: Tiefe Frequenzen werden nicht gut übertragen. Für hohe Frequenzen (w groß) ist !H (w)! ebenfalls klein: Hohe Frequenzen werden ebenfalls stark gedämpft. Frequenzen zwischen w1 und w2 werden etwa mit dem Faktor 1 übertragen. Dies ist das typische Verhalten eines Bandpasses, der tiefe und hohe Frequenzen dämpft und Frequenzen in einem Band zwischen w 1 und w2 überträgt. Bemerkung: Die Modeliierung von H (w) erfolgte unter der Voraussetzung, daß der Ohmsehe Widerstand R = 0 ist. Dadurch kommt es zu nichtphysikalischen Polstellen bei w = w1 und w = w3 bzw. zum Effekt, daß nahe den Polstellen die Amplitude des Ausgangssignals größer als die des Eingangssignals ist. Eine vollständige Diskussion (mit Ohmsehen Widerstand) zeigt, daß !H (w)! ::; 1 und die Polstellen entfallen (siehe Kap. V, §5).

3.3 Rationale Funktionen mit Sind g und h Polynomfunktionen, > g:= 2*x·3 + 2*x·2 -32*x + 40:

MAPLE

h:=x·3 + 2*x·2 - 13*x + 10:

so wird durch f(x) := g(x)/h(x) eine rationale Funktion definiert. > f:=g/h; f ·- 2 x 3 + 2 x 2 - 32 x + 40 .x3 + 2x 2 -13x + 10 Der Zähler (numerator) und Nenner (denominator) von f können mit dem Befehl numer und denom bestimmt werden. > numer(f), denom(f);

2 x3

+ 2 x2 -

32 x

+ 40, x 3 + 2 x 2 -

13 x

+ 10

MAPLE ist nur dann in der Lage, gemeinsame Faktoren zu kUrzen, wenn Zähler und Nenner bereits als Produkte vorliegen. Wenn dies wie in unserem Beispiel nicht der Fall ist, steht der normal-Befehl zur Verfügung, der zunächst Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegt und dann gemeinsame Faktoren kürzt. > normal(f);

x-2 2-x-1 Mit der Prozedur gcd (greatest common divisor) wird der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner ermittelt. > ggt:=gcd(numer(f) , denom(f)): ggt = factor(ggt); x2 + 3 X

-

10 = ( X

+5) (X

--

2)

Bei Polynomfunktionen wird der expand-Befehl eingesetzt, um die Multiplikation von Polynomen auszuführen. Dieser Befehl wirkt nur auf Polynome. Wenn wir

183

3.3 Rationale Funktionen mit MAPLE

ihn auf rationale Funktionen anwenden wollen, muß er getrennt für Zähler und Nenner eingesetzt werden. Andernfalls bewirkt er, daß der Term in eine Summe aufgespaltet wird. > g3:=(x + 1)"3/ (x- 1)"2: > expand(g3); ＮＬＭｾＫ＠

x3

(X - 1 )2

3 x2 3x 1 + + (X - 1 )2 (X - 1 )2 (X - 1 )2

> expand(numer(g3)) I expand(denom(g3)); x3 + 3 x 2 + 3 x + 1

x 2 - 2x + 1 Den gleichen Effekt hätte man erzielt, wenn man den nonnal-Befehl mit der Option expanded kombiniert hätte. > g3:=normal(g3, expanded); g3:=

x3 + 3 x2 + 3 x + 1 x 2 - 2x + 1

Um eine Diskussion für die Funktion g3 für große x durchzuführen, untersuchen wir mit dem asympt-Befehl das Verhalten im Unendlichen. Die Zahl I als Option besagt, daß die Entwicklung bis zur Ordnung 1, d.h. bis zu Termen 1/x, vorgenommen wird. > as:=asympt(g3,x, 1);

as

:=

x

+5+0 (

ｾＩ＠

Um aus dieser Darstellung ein Polynom zu erhalten, ersetzen wir 0(1/x) durch Null > as:=subs(0(1/x)=O,as); as := x + 5 und zeichnen sowohl die Funktion als auch die Asymptote > plot( { g3,as} ,x=-20.. 30, y=-50 .. 50);

10

X

20

-20 -40

Funktion und Asymptote

30

184

IV Elementare Funktionen

Diskussion der Funktion > g4 := (xA5-2*xA3-8*x-xA4+2*xA2+8) I (xA2-5*x+4); > den := denom(g4): num := numer(g4): x5 - 2 x3 - 8 x - x 4 + 2 x 2 + 8 g4 := - - - - - : : - - - - - - x2-5x+4 Nullstellen des Nenners:

> factor(den);

(x-l)(x-4) Nullstellen der Zählers:

> factor(num};

1) (X

( X -

-

2)(X

+ 2 ) ( x2 + 2 )

KUrzen gemeinsamer Faktoren

> g4:=normal(g4);

2x2 - 8 x-4 Damit sind die Polstellen x = 4 und die Nullstellen x = 2, x = -2. g4:=

x4

-

Im Anschluß daran bestimmen wir mit asympt das asymptotische Verhalten fUr x gegen Unendlich:

> gs:=asympt(g4,x, 1}; gs := x 3 + 4x 2 + 14x +56+ 0 (

ｾＩ＠

und konvertieren den obigen Ausdruck zu einem Polynom

> as:=subs(0(1/x}=O,gs}; as := x 3 + 4x2 + 14x +56 Mit dem plot-Befehl werden wieder Funktion und Asymptote graphisch dargestellt.

> plot( {g4,as },x=-20 .. 20,y=-1 000.. 1000}; Zusammenstellung der MAPLE-Befehle für rationale Funktionen numer(f) denom(f) gcd(g,h) expand(f) normal(f) asympt(f, x, 1)

Zähler Nenner größter gemeinsamer Teiler Aufspaltung in Summen Zerlegung von Zähler und Nenner in Linearfaktoren und Kurzen Asymptote von f

(f=g/h rationale Funktion) (x Variable)

185

§4. Potenz- und Wurzelfunktionen

§4. Potenz- und Wurzelfunktionen Definition: Polynomfunktionen der Form p : lR

---t

lR

mit

x

(n E N)

xn ｾＭＫ＠

nennt man auch Potenzfunktionen, da sie aber eine Potenz xn darstellbar sind.

Dabei lassen sich qualitativ zwei Fälle unterscheiden, nämlich n gerade und n ungerade. Für ungerades n ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend und punktsymmetrisch zum Ursprung (siehe linkes Bild). Für gerades n liegt keine Monotonie vor, die Potenzfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse (siehe rechtes Bild). 4 y

2 ·2

X

-2

2

nungerade

-4

Schränken wir den Definitionsbereich der Potenzfunktionen auf die positiven, reellen Zahlen einschließlich der Null ein, so ist P: ｬｒｾｯ＠

---t

ｬｒｾｯ＠

xn ｾＭＫ＠

X

für alle x E ｬｒｾｯ＠ eine streng monoton wachsende Funktion mit dem Wertebereich ｬｒｾｯ Ｍ Daher ist diese Funktion umkehrbar. Mit Hilfe der Umformung y = xn

---t

x=

1Y ---t y =

yX

erhalten wir die Umkehrfunktion p- 1 : ｬｒｾｯ＠

---t

ｬｒｾｯ＠

Definition: Die Funktion

heißt n-te Wurzelfunktion. (n E N)

mit

x ｾＭＫ＠

\!'X.

186

IV Elementare Funktionen

Spezialfall: Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent p ( x) = x 2 m+l, m E N, sind auf ganz R streng monoton wachsend und haben als Wertebereich ebenfalls R. Daher existiert die Umkehrfunktion auf ganz R W :

Beispiele: 34. h : ｒｾｯ＠

35.

h :R

--+ ｒｾｯ＠

--+ R mit x

R

mit x

r-->

-t

r-->

R mit

X f-->

2

"'+Vx•

x 2 hat als Umkehrfunktion

x 3 hat als Umkehrfunktion

w 2 : R--+ R mit

x r--> .ifi = xt.

2

y

1 X

Graph von x 2 und

ft

Graph von x 3 und

xt

36. Anwendung: Fallgeschwindigkeit. Ein Körper der Masse m fällt frei aus der Höhe ho mit der Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0. Zu jedem Zeitpunkt t gilt für die Bewegung, daß die Gesamtenergie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) konstant bleibt. Es gilt: E (t = 0) = m · g · ho + ｾｭｶＸ＠ = m · g · ho } E (t = O) = E (t > 0) . Ｒ＠ E (t > 0) = m · g · h + ｾｭｶ

1 2 =}m·g·ho=m · g·h+2mv . Die Geschwindigkeit v ergibt sich dann bei der Höhe h als Wurzelfunktion

I

v = J2g (ho-

h).l

187

5.1 Exponentialfunktion

Potenzfunktion mit rationalem Exponenten Definition: Eine Funktion

f:

1R>o -+ 1R mit

f (x) = :fX"i =

xr;t

mE Z,nE N

heißt Poten;funktion mit rationalem Exponent. Diesen Begriff der Potenzfunktion werden wir in §5 auf beliebige, reelle Exponenten mit Hilfe der Exponential- und Logarithmusfunktion erweitern. Als Spezialfall sind in der Klasse der Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten die Funktionen x- 1 , x- 2 usw. enthalten.

Potenz- und Wurzelfunktionen mit

MAPLE. Für Potenzen und Wurzeln steht alternativ zum ｾ｡ｮ､＠ der simplify-Befehl zur Verfügung, den man z.B. zur Auswertung von x 2 benötigt. Allerdings erst mit der Option symbolic wird zu x vereinfacht.

v

H

> sqrt(xA2) = simplify(sqrt(xA2));

..[;2 = csgn(x) x

> sqrt(xA2): %=simplify(%, symbolic); ..j;'i =X

§5. Exponential- und Logarithmusfunktion In diesem Abschnitt werden in Verallgemeinerung des Begriffs der Potenz an (a: Basis, n: Exponent) die allgemeine Potenzfunktion xn und die allgemeine Exponentialfunktion ax eingeführt.

5.1 Exponentialfunktion Die zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene wichtigste Funktion ist die Exponentialfunktion:

Definition: Die Funktion exp:1R.-+1R.

mit ｸｾＭｴ･＠

heißt Exponentialfunktion. e : : : : 2. 718281828 ist die Eu/ersehe Zahl.

188

IV Elementare Funktionen

Eigenschaften der Exponentialfunktion sind:

Definitionsbereich Wertebereich Monotonie Asymptote

5 4

ex 1R 1R>o streng monoton wachsend y = 0 für x -+ -oo ·3

Für die Exponentialfunktion gelten die Regeln: (1) (2) (3)

e0 = 1 ex+y = ex · eY e-x = (ex)-1,

·2

1

X

Graph der Exponentialfunktion

enx = (ex)n

37. Beispiele: (1) Die Funktionen fa(x) = eax verhalten sich für a > 0 qualitativ wie die Exponentialfunktion ex: Für x -+ oo gehen sie gegen Unendlich und für x -+ -oo gegen Null. (2) Die Funktionen fa(x) = e-ax verhalten sich für a > 0 qualitativ wie die Exponentialfunktion e-x : Für x -+ oo gehen sie gegen Null und für x -+ -oo gegen Unendlich.

e.n.

3

Graph der Exponentialfunktionen eax und e-x 38. Beispiele für das Auftreten der Exponentialfunktion: (1) Radioaktiver Zerfall: Beim Zerfall radioaktiver Atomkerne wird die Zahl n (t) der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne durch das Zerfallsgesetz

189

5.2 Logarithmusfunktion

beschrieben. Dabei ist n 0 die Anzahl der zu Beginn (t = 0) vorhandenen Atomkerne und .X > 0 die fUr den Zerfall typische Zerfallskonstante.

(2) Entladung eines Plattenkondensators: Beim Entladen eines Plattenkondensators ist die Spannung am Kondensator U (t) zum Zeitpunkt t gegeben durch

Dabei ist Uo die Kondensatorspannung zur Zeit t = 0 und C die Kapazität, R der Ohmsehe Widerstand der Schaltung.

u U(t)

n(t)

t

t

Spannung am Kondensator U (t).

Anzahl der Atomkerne n(t).

5.2 Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion exp: R-> R>o mit x ｾＭＫ＠ ex ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. Folglich existiert auf dem Wertebereich R>o die Umkehrfunktion.

Definition: Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion wird natürlicher Logarithmus genannt: In: R>o-> R mit x ｾＭＫ＠ lnx. Eigenschaften der Logarithmusfunktion sind:

Definitionsbereich Wertebereich Nullstellen

ln(x) R>o R x0 = 1

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

x=O

-2

ln(x)

-3

Graph der Logarithmusfunktion

190

IV Elementare Funktionen

Rechenregeln für die Logarithmusfunktion. Die Rechenregeln ergeben sich direkt aus den Regeln der Exponentialfunktion. (1) ln(1) = 0 (2) ln ( x · y) = ln x + ln y (3) ln(xn) = n lnx (4) ln(ex)=x bzw. elnx=x Beispiele: 39. Halbwertszeit T einer radioaktiven Substanz: Unter der Halbwertszeit T einer radioaktiven Substanz versteht man die Zeit, nach der die Hälfte der radioaktiven Kerne zerfallen ist: n (T) = ｾｮ Ｐ Ｎ＠ Nach Beispiel 37 ist n (t) = n 0 e-.H, also gilt für t = T :

21 no =

no e- .X 7"

ln 1 = ln (e- .X 7") = 2

o ---+ 1R mit x

t-t

g

(x) =

ｾ＠

(1n ｾｸ＠

+

1) .

Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion. Mit der Exponential- und Logarithmusfunktion ist man in der Lage, die allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion zu definieren. (Man beachte, daß bei der Programmierung in Pascal auf diese Definition zurückgegriffen werden muß!) (1)

Definition: Die Funktion

f: 1R>o---+ 1R

mit X t-t

f (x)

= xa := ealnx

heißt allgemeine Potenzfunktion. (2)

Die Funktion

f: 1R---+ 1R>o

mit x

t-t

f (x)

= ax := exlna

(a > 0)

heißt allgemeine Exponentialfunktion.

Exponential- und Logarithmusfunktion mit MAPLE. Um Terme der Form exp( x+ y), ln(x * y), ln(xn) in MAPLE zu entwickeln, steht der expand-Befehl zur Verfügung. Alternativ kann der simplify-Befehl benutzt werden. > exp(x+y): %=expand(%);

> ln(x*y): %=simplify(%, symbolic); > ln(x"m): %=simplify(%, symbolic); ln(x) + ln(y) m ln(x) Die Zusammenfassung mehrerer Exponential- bzw. Logarithmusausdrücken erfolgt durch den combine-Befehl mit der Option exp bzw. In > exp(x)*exp(y): %=combine(%, exp); > ln(x)+ln(y): %=combine(%, ln);

ln(x)

+ ln(y)

ln(xy)

192

IV Elementare Funktionen

§6. Trigonometrische Funktionen 6.1 Grundbegriffe In den Naturwissenschaften und in der Technik spielen periodische Vorgange eine wichtige Rolle. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß sich ein bestimmter Zustand regelmäßig wiederholt, z.B. bei akkustischen und elektromagnetischen Schwingungen; Schwingungen einer Saite oder Feder; Umlautbahnen von Satelliten. Periodische Funktionen von besonderer Bedeutung sind die trigonometrischen Funktionen bzw. Winkelfunktionen. Zur Winkelmessung werden verschiedene Einheiten zugrunde gelegt: - Gradmaß a (360° fUr den Vollkreis) -Bogenmaß x (211" fUr den Vollkreis) = Länge der Strecke auf dem Einheitskreis, die der Winkel herausschneidet. X

Die im Bogenmaß gemessene Winkelgröße bezeichnen wir mit x . x ist positiv, falls der Winkel im Gegenuhrzeigersinn gemessen, und negativ, wenn der Winkel im Uhrzeigersinn gemessen wird. Die Einheit des Bogenmaßes heißt Radiant (rad). Zwischen Winkelgröße a im Gradmaß und x im Bogenmaß besteht der Zusammenhang

Ｑｾ］Ｍ＠ Hinweis: Alle trigonometrischen Funktionen lassen sich mit dem plot-Befehl in MAPLE graphisch darstellen. Bei der Tangens- und der Kotangensfunktion ist zu beachten, daß der y-Bereich eingeschränkt werden muß, ansonsten dominieren die Polstellen den Graphen. Die Graphen zusammen mit den Animationen sind auf der CD-ROM unter dem jeweiligen Abschnitt enthalten.

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion Beschreibt man einen Winkel im Bogenmaß, so können der Größe x Funktionswerte gemäß folgender Festlegung zugeschrieben werden: Definition: Unter dem Sinus bzw. Kosinus eines Winkels x (sin x bzw. cos x) versteht man die Ordinate bzw. Abszisse des Schnittpunktes des freien Schenkels des Winkels x mit dem Einheitskreis.

193

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion

Sinus und Kosinus im Einheitskreis Damit erhalten wir die trigonometrischen Funktionen sin und cos: R-t R R -t R

sin: cos:

mit mit

xt-tsin(x) x t-t cos(x).

Sinus- und Kosinusfunktion

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion:

f(x) Definitionsbereich Wertebereich Periode Symmetrie Nullstellen relative Maxima relative Minima

= sinx

= cosx R [-1, 1] 27r

f (x)

R [-1, 1] 27r

gerade

ungerade

= n · 7r = .!L + k · 27r = f1r + k · 27r Xn

Xk Xk

Xn

=! + n1r = k · 27r = 7r + k27r

Xk Xk

n, kE Z

194

IV Elementare Funktionen

Die allgemeine Sinusfunktion. In den Anwendungen kommen die Sinus- und Kosinusfunktionen nicht nur mit dem Argument x, sondern in der allgemeineren Form

y(x)=asin(bx+c)+d

bzw.

y(x)=acos(bx+c)+d

vor. Im folgenden diskutieren wir die Bedeutung jedes der Parameter einzeln: (1) Bedeutung von a: Der Faktor a in y ( x) = a · sin x

gibt die maximale Amplitude der Funktion an. Der Wertebereich dieser Funktion ist W = [-a, a] . 42. Beispiel: y(x) = 2 · sin(x) *Amplitude 2.

Amplitude a (2) Bedeutung von b: Der Faktor b in

y (x) = sin (bx) bewirkt eine Veränderung der Periode gegenüber der reinen Sinusfunktion. Die Periode p von sin (b x) erhält man, wenn das Argument des Sinus die dritte Nullstelle liefert, also fUr

bp = 21r

* Ip = 2; IPeriode.

Damit verkleinert sich die Periode fur b > 1 und vergrößert sich fur b < 1. 43. Beispiel: y (x) = sin (2x) =} Periode: p = 2; = 1r.

Periode p

= 2;

195

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion

(3) Bedeutung der Konstanten c: Die Konstante c in

y (x) = sin (x

+ c)

bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der x-Achse. Man bezeichnet c auch als Phase oder Nullphase. Die erste Nullstelle von sin( x + c) findet man, wenn das Argument x + c Null wird: sin (x

+ c)

= 0

=>

xo

+c=

0

=>

xo = -c.

FUr c > 0 wird die Kurve um xo nach links verschoben. Fur c < 0 wird die Kurve um x 0 nach rechts verschoben. 44. Beispiel: y = sin(x + rr/2) =>Kurve um rr/2 nach links verschoben.

Verschiebung entlang der x-Achse

(4) Bedeutung der Konstanten d: Die Konstante d in y ( x) = sin ( x)

+d

bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der y-Achse um den Wert d. 45. Beispiel: y (x) = sin (x) + 2 =>Verschiebung um 2 in y-Richtung:

Verschiebung entlang der y-Achse

196

IV Elementare Funktionen

(5) Zusammenfassende Diskussion der allgemeinen Sinusfunktion:

I

y ( x) = a sin ( b x + c) = a sin( b ( x +

Periode: 1. Nullstelle: Wertebereich: (Null-)Phase: Verschiebung:

ｾＩ＠

I

p = "1," xo

= Ｍｾ＠

Ｍ｡ｾｹＨｸＩ＠ ｾ｡＠

c -;;c

X

-clb

y=a sin(b(x+clb))

-a

Allgemeine Sinusfunktion 46. Beispiel: u (t) = 2 sin Ｈｾｴ＠ + ｾＱｲＩＮ＠ Ausgehend von der reinen Sinusfunktion sin (t) gehen wir zur doppelten Amplitude über: 2 sin (t) . Anschließend modifizieren wir die Periode zu p = ｾ＠ = 47r 2 und erhalten 2 sin (tt). Danach berücksichtigen wir die Phasenverschiebung von -1r , ､｡ＲｳｩｮＨｾｴＫＱｲＩ＠ ］ＲｳｩｮｾＨｴＫＷｲＩＮ＠ ················...

4Tt /

//

-1

ＲｾｩｮＨＢ＠ ..··

-2

t)

2aln(1/2 t + 1/27t)

47. Anwendung: Harmonische Resonanzschwingungen. Luftsäulen können unter geeigneten Bedingungen zu harmonischen Schwingungen (Resonanzschwingungen) angeregt werden. Die Form der Schwingung ist dabei durch die Randbedingungen (offenes oder festes Ende) festgelegt. Im folgenden bestimmen wir für den Fall festes/festes Ende die Frequenzen der auftretenden Schwingungen J (x) = Asin(wx + x

>0

In MAPLE sind alle 4 Umkehrfunktionen vorhanden. Zu den Funktionen sin, cos, tan und cot gibt es unendlich viele Intervalle, in denen die betreffenden Funktionen streng monoton wachsend sind. Aus diesem Grund lassen sich beliebig viele Umkehrfunktionen angeben. Die oben genannten stellen jeweils den sog. Hauptwert dar. Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen werden auch zyklometrische Funktionen genannt, weil sie für die Kreisberechnung von Bedeutung sind. (6) Es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Areafunktionen:

(4) (5)

arcsin(x) arccos(x) arctan(x) arccot(x)

- arcsin( -x) 1r - arccos( -x) - arctan( -x) 1r- arccot(-x)

ｾＭ ｾＭ

ｾＭ ｾＭ

arccos(x) arcsin(x) arccot(x) arctan(x) ｡ｲ｣ｴｮｾ＠

vl-x•

arccot ｶＧｬｾｸ ｡ｲ｣ｳｭｾ＠

'

Ｒ＠ X

｡ｲ｣ｯｳｾ＠

Auswertung und graphische Darstellung der trigonometrischen und Arkusfunktionen mit MAPLE. Die trigonometrischen Funktionen werden in MAPLE mit sin, cos, tan und cot bezeichnet, die Arkusfunktionen mit arcsin, arccos, arctan und arccot. Die Auswertung der Funktionen lautet daher z.B. > sin(1 ), cos(Pi/4), tan(0.5), cot(Pi/4); sin(1),

'7,

0.5463024898, 1

> arcsin(0.5), arccos(1/2), arctan(10), arccot(-1); 7r

0.5235987756, '3' arctan(lO),

37r

4

Die graphische Darstellung der Funktionen erfolgt mit dem plot-Befehl.

204

IV Elementare Funktionen

Trigonometrische und Arkusfunktion mit MAPLE. Um mit MAPLE die trigonometrischen Umformungen durchzuführen, benutzt man die Befehle expand, combine und simplüy. Die Additionstheoreme werden mit expand realisiert > cos(X+y): %=expand(%);

cos(x + y) = cos(x) cos(y)- sin(x) sin(y) > cos(2*x): %=expand(%);

cos(2x) = 2 cos(x) 2 -1 Um Produkte von trigonometrischen Funktionen zu verarbeiten wählt man den combine-Befehl mit der Option trig > cos(x)*sin(y): %=combine{%, trig);

cos(x) sin(y)

=

ｾ＠

sin(x + y)

+ ｾ＠

sin( -x + y)

> sin(xr2: %=combine(%, trig);

sin(x) 2 =

ｾＭ

ｾ｣ｯｳＨＲｸＩ＠

AusdrUcke der Form sin2(x) + cos 2(x) werden durch den simplify-Befehl vereinfacht >sin(xr2+cos(xf2: %=simplify(%); sin(x) 2 + cos(x) 2 = 1 > tan(x)/(1 +tan(xf2}: %=convert(%, sincos}: simplify(%};

(1

tan(x)

+ tan(x)2)

.

= sm(x) cos(x)

Auch zur Vereinfachung von AusdrUcken der Form arcsin( sin( x)) benötigt man den simplüy-Befehl mit der Option symbolic > sin(arcsin(x)); X

> arcsin(sin(x}};

arcsin(sin(x)) > %=simplify(%, symbolic);

arcsin(sin(x)) = x

Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE

205

Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE

expand

Potenzfunktion

exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

combine

Potenzfunktion

exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

simplify

Potenzfunktion

exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

xn+m ___. xm xn (xy)n ___. xn yn (xj y)n ___. Xn jyn exp(x + y)-. exp(x) exp(y) ln(xy) -.ln(x) + ln(y) ln(x/ y) -. ln(x) -ln(y) cos(x + y) -. cos(x) cos(y)- sin(x) sin(y) cos(2x)-. 2 cos(x) 2 -1 cosh(3x)-. 4cosh(x) 3 - 3cosh(x) xm xn ___. xn+m (x m)n ___. Xmn

JX+T JX -. .Jx 2 + x exp(x) exp(y) -. exp(x + y) ln(x) + ln(y) -.ln(xy) ln(x) - 2 ln(y) -. ln!; cos(x) cos(y)- sin(x) sin(y)-. cos(x + y) 2 cos(x) 2 - 1-. cos(2x) 4cosh(x) 3 - 3cosh(x)-. cosh(3x)

!

xm xn ___. xn+m (x jy )n ___. X ny-n "j;!i ___.X exp(x) exp(y)-. exp(x + y) ln(x) + ln(y) -.ln(xy) ln(xn) -. nlnx sin(x):.: +cos(x):.: -.1 tan(x) -. sin(x)/ cos(x) arcsin(sin(x)) -. x

206

IV Elementare Funktionen

Aufgaben zu Kapitel IV 4.1

Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich sowie den Wertebereich der folgenden Funktionen a) f (x) = >/x 2 - 1 b) y =In lxl c) f (x) = ＴｸｾＱｳ＠ e) y = elxl d) f(x) = ｾＺ［＠ 0 f (x) = ＢＲｾ Ｑ＠

4.2

Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten und den maximalen Definitionsbereich a) f (x) = 4x 2 - 16 b) f (x) = c) f (x) = sinx · cosx 1 d) f (x) = lx 2

4.3

-

ｾＺｊ＠

e) f (x) =

161

Man untersuche auf Monotonie y = x4 b) y = y'X"=-1 für x ｾ＠

a)

"i:

0 f (x)

1

=

Ｂｾ Ｑ＠

+ 2x

c) y = x 3

4.4 Wie lautet die Umkehrfunktion von a) c)

f: R>o

-+

X

f-+

f: R

-+

X

f-+

? ｹ］ｾ＠

1

? y=2ex-!

b) d)

f: R;:::o

-+

X

f-+

f: R>-1

-+

X

f-+

? y = ..j3X ? x-1 y =';TI

4.5

Bestimmen Sie die Polynomfunktion kleinsten Grades, die durch die folgenden Punkte geht: (-3, 11); (-1, 7); (0, 5); (4, -3).

4.6

Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: a) f (x) = x 3 + 2 x 2 - 13 x + 10 b) f (x) = x 3 c) f (x) = x 4 - 2 x 3 - 25 x 2 +50 x

-

x2 + 2

4.7

Man berechne mit dem Horner-Schemaden Funktionswert der Funktion f (x) an der Stelle xo fur a) f (x) = x 3 - 2 x 2 - 3 x + 1 ; Xo = 2 b) f (x) = 0.1 x 4 + x 3 + 2 x 2 - 4 ; Xo = 3.

4.8

Gibt es Polynome, die keine Nullstellen besitzen?

4.9

Man berechne mit dem Newton-Schema die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion vom Grade::::; 3, welche durch die Wertepaare (0, 1); (1, 0); (2, 5); ( -1, 2) geht.

4.10 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion a) f (x) = 3 x 3 + 3 x 2 - 3 x - 3 b)

f (x) = x 4

-

4.11

Welches Polynom kleinsten Grades geht durch die Wertepaare ( -1, 0) j (0, 1) j (1, 2) j (2, 6)?

4.12

Faktorisieren Sie mit MAPLE das Polynom 2 x 6 + 3 x 5 - 63 x 4 -55 x 3 + 657 x 2 + 216 x- 2160

4.13

Bestimmen Sie mit MAPLE alle Nullstellen von a) 7x 4 - 59x3 + 19x 2 + 166x -1008 b) x 3 - x 2 - lOOx + 310

13 x 2 + 36

4.14 Werten Sie mit MAPLE die Polynome aus Aufgabe 4.13 an der Stelle xo = 4 aus, indem Sie entweder mit unapply den jeweiligen Ausdruck in eine Funktion konvertieren oder indem Sie mit dem subs-Befehl diese Stelle in das Polynom einsetzen.

207

Aufgaben zu Kapitel IV

4.15 Zeichnen Sie mit MAPLE die Funktion x 3 - x 2 - 100 x + 310 und lesen Sie aus dem Schaubild die Extremwerte ab. MAPLE das Polynom soweit möglich. Erstellen Sie das HomerSchema zu diesem Polynom. Bestimmen Sie den Grad des Polynoms. -17x 6 + llx 4 - 20x 3 + 13x2 - 3x + 56x 7 + 4x5 - 15x8 + 35x 9

4.16 Faktorisieren Sie mit

4.17 Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen, wo Pole? a) y = x2tx-2 x-2

c) y = x2-2x±1 x2-1

b) y = x3-5x 2-2xt24 x3tax2t2x

d)

(x-1) Y- (x-1)2 (xt1)

4.18 Bestimmen Sie fur die folgenden gebrochenrationalen Funktionen: Nullstellen, Pole, Asymptoten im Unendlichen. Zeichnen Sie mit MAPLE den Funktionsgraphen und die Asymptoten. (x-1) 2 a) y = x2-4 b) y = x3-6x 2t12x-8 d) y = (;+ii2" x2 4 x2t1

4.19 Bestimmen Sie mit

MAPLE

die Null- und Polstellen der Funktion

h(x) = x 3 -6x 2 -12x+49 (x- 2)(x- 7) ' indem Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Bestimmen Sie die Asymptoten und zeichnen Sie die Funktion zusammen mit ihren Asymptoten in ein Schaubild. Zeichnen Sie die Funktion in der Nähe der Null- und Polstellen.

4.20 Gegeben ist die rationale Funktion ｸｴｾ

x

Ｓ

Ｓ Ｔ ｸｾＭ

Ｔ

x -x -x

ｸＮ＠

Formen Sie diese Funktion mit

in die folgenden Ausdrucke um: b) x4 tx3-4x2-4x a) (xt2)(xt1)(x-2) x(x 1)(x±1)2 x3tx2-x-1 MAPLE

x2

1

d) (x-1)(x±1) - 4(x-1)(xt1)

4.21

Wird ein Kondensator mit Kapazität C Uber einen Ohmsehen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab:

Zu welchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter I 0 % ihres Anfangswertes Qo?

4.22 Stromkreis mit Induktivität L und Ohmsehen Widerstand R. Beim Einschalten einer Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmsehen Gesetz erwarteten Endwert io. Es gilt

Berechnen Sie fur io = 4 A, R = 50, L = 2.5 H den Zeitpunkt, bei dem die Stromstärke 95 % des Endzustandes erreicht hat. Skizzieren Sie die Strom-ZeitFunktion.

4.23

Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y A = (0, 10) und B = (5, 3) auf der Kurve liegen.

4.24 Man löse die folgenden Exponentialgleichungen a)ex 2 - 2 x=2

b)ex+2e-x=3

= a e-bx +2 so, daß die Punkte

208

IV Elementare Funktionen

4.25 Welche Lösung besitzt die logarithmische Gleichung In y'X + 1.5 ·In ( x) = ln(2x)? 4.26 Bei einer gedämpften Schwingung

x(t) = Ae-'l't ·sin(wt+cp)

kann durch Messung der Amplituden zweier aufeinanderfolgenden Schwingungen die Dämpfung 1 bestimmt werden. Ist T = ＱＰ ｾ＠ • die Periodendauer der gedämpften Schwingung, x (to) = 200 und x (to + T) = 100 die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen, so berechne man I·

4.27 Rechnen Sie vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogen- ins Gradmaß um: Grad 140, 36° Bogen

278, 19° -5.6213

1.4171

4.28 Man leite aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion die Formel

Isin

2

x

+ cos2 x =

11

ab.

4.29 Zeichnen Sie den Funktionsverlauf von f (x) = 2 · cos (2 x- rr). 4.30 Man bestimme fur die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p, Phasenverschiebung: a) y = 2 · sin (3x- ｾＩ＠ b) y = 5 · cos(2x + 4.2) c) y = 10 · sin(rrx- 3rr) d) y = 2.4 · cos (4x- ｾＩ＠ 4.31

Skizzieren Sie den Funktionsverlauf der harmonischen Schwingung: f(t)=2·sin(2t-4)

4.32 Berechnen Sie a) arcsin(1) e) arccos( t) i) arctan(1)

b) arcsin( h/2) f) arccos( t J3) k) arctan( -J3)

c) arcsin(-tJ3) g) arccos( -1) I) arccot( --ja)

d) arcsin(0.481) h) arccos(0.8531) m) arccot(iJ3)

4.33 Welchen Wert hat die Größe x? a) arcsinx = Tr/4 d) arccot x = 2.9208

b) arctanx = 0.7749 e) (arccos x ) 2 = 0.25

c) arccos x = 1.021

4.34 Man beweise sin(arccos(x)) = v'1- x2. (Anleitung: Man setze y = arccos(x) .) 4.35 Zeigen Sie, daß fur positive a innerhalb des Definitionsbereichs gilt a) arcsin(a) = arccos v'1- a2 c) arccot(a) = arctan( 1) a

4.36 Vereinfachen Sie a) sin(arcsin(x)) d) cos(arcsin(x))

b) arccos(a) = arcsin ｾ＠ d) arcsin(a) = arctan ＠ｾ b) cos(arccos(x)) e) sin(arctan(x))

yl-a2

c) sin(arccos(x)) f) tan(arccos(x))

4.37 Geben Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen an a) y = x + arccos(x) b) y = y'X + arcsin(x) c) y = ｾ＠ + arcsin(x- 1) Zeichnen Sie die Funktionen und bestimmen Sie den Wertebereich.

Kapitel V Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von RCL-Wechselstromschaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch Uber die Beschreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung in die komplexen Zahlen. Einer der Grunde liegt darin, daß einfache Regeln von Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man komplexe Widerstände einfUhrt. Dies werden wir ausfuhrlieh in §4 und §5 besprechen. Zuvor behandeln wir die Grundlagen der komplexen Zahlen innerhalb der Mathematik und beginnen mit einer mathematischen Problemstellung: Wie wir im Kapitel Uber Polynome (Kap. IV, §2) bereits festgestellt haben, besitzt jedes Polynom vom Grade n in R höchstens n verschiedene Nullstellen. Aber schon bei dem Polynom p (x) = x 2 + 1 zeigt sich, daß dieses Polynom in R keine Nullstellen besitzt. Denn wendet man auf x 2 + 1 = 0 die quadratische Formel an, so erhält man Es hat sich als außerordentlich erfolgreich erwiesen, den Zahlenbereich der reellen Zahlen zu erweitern, indem die Einheit (imaginäre Einheit)

eingeführt wird. Definition: Ausdrucke der Form

c := a + i b mit a, b E R nennt man komplexe Zahlen und

C := {c = a + ib; a,b ER} die Menge der komplexen Zahlen.

210

V Die komplexen Zahlen

Für b = 0 ist c = a E R. Die reellen Zahlen sind also in den komplexen enthalten. Die mathematische Bedeutung der komplexen Zahlen liegt darin, daß jedes Polynom vom Grade n genau n NullsteHen besitzt (Fundamentalsatz der Algebra). Diese Tatsache werden wir im Kapitel über Differentialgleichungen (Bd. 2) ausnutzen, um Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu berechnen, indem alle NullsteHen des zugehörigen charakteristischen Polynoms bestimmt werden.

§L Darstellung komplexer Zahlen Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden: 1

-2

Ｍｾﾷ

Ｍ ＭｾﾷＪ

-2

{2

Ｍ ＭｾﾷＪ

-1

0

1

2

ｾＩ ｒ＠

Durch die Definition der komplexen Zahlen als "Paar"

c=a+ib hat eine komplexe Zahl zwei "Komponenten": eine rein reelle Komponente a und eine imaginäre Komponente i b.

Ll Algebraische Normalform Die komplexe Zahl

c := a + i b mit a, b E R

läßt sich mit Hilfe von zwei Zahlengeraden veranschaulichen (Abb. 17): Wählt man ein Koordinatensystem mit Abszisse a (Vielfaches der Einheit 1) und Ordinate i b (Vielfaches der Einheit i), so ist jede komplexe Zahl als Punkt einer Ebene, der sog. Gaußsehen Zahlenebene, darstellbar.

Imag inärteil c=a+ l b

Rea lteil

Abb. 17: Darstellung der komplexen Zahl c

= a + i b.

211

1.1 Algebraische Nonnalfonn

Man bezeichnet a = Re (c) den Realteil von c

b =Im (c) den Imaginärteil von c. Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind reelle Zahlen. Man beachte daher: Der Imaginärteil einer komplexen Zahl c = a + i b ist nicht i b, sondern nur die reelle Größe Im (c) = b ! Man bezeichnet die Darstellung der komplexen Zahl

(Algebraische Normalform) durch Realteil und Imaginärteil als algebraische Normalform. Als den Betrag einer komplexen Zahl definieren wir den Abstand zum Nullpunkt

(Betrag von c).

L Beispiele: (1)

(3)

Cl= 4 + 3i c2 = v'2+2i 3 3. C3 = -2- 2

(4)

c4=1-3i

(2)

ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

lcd = 5. lc2l = v'ß. lc3l =-!§. lc41 = v'TO.

c2

Bemerkungen: (1) Zwei komplexe Zahlen c1 = a1 + i b1 und c2 = a2 + i ｾ＠ sind genau dann gleich, wenn a 1 = a 2 und b1 = ｾ Ｎ＠ Realteil und Imaginärteil sind also zwei eindeutig bestimmte Kenngrößen einer komplexen Zahl. (2) Eine komplexe Zahl ist also nichts anderes als ein Punkt in der komplexen Zahlenebene. (3) Es ist üblich, den vom Ursprung 0 zum Punkte c weisenden Zeiger (Ortsvektor) ebenfalls mit c zu bezeichnen.

212

V Die komplexen Zahlen

L2 Trigonometrische Normalform FUhrt man den Winkel