Mathematik für Ingenieure mit Maple: Band 2: Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis 978-3-540-61248-3, 978-3-642-97945-3

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Springer-Lehrbuch

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Thomas Westermann

Mathematik fOr Ingenieure mit Maple Band

2:

Differential- und Integralrechnung fur Funktionen mehrerer Variablen, gewohnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis Mit 240 Abbildungen, 369 Aufgaben und Losungen

,

Springer

Professor Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Hochschule fUr Technik Fb. Naturwissenschaften Postfach 2440 76012 Karlsruhe E-mail:[email protected]

Die Deutsche Bibliothek -cIP-Einheitsaufnahme Mathematikfiir Jngenieure mit Mapie 1Thomas Westermann.- Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Tokyo: Springer. (Springer-Lehrbuch) Bd. 2.Differential- und Integralrechnung fUr Funktionen mehrerer Variablen, gewlihnliche und partielle Differentialgleichungen, Fourier-Analysis. Buch .. -1997 AddiIional maIrrialtD this book can be downloaded from http://exl:ra.spriDger.com. ISBN-13: 978-3-540-61248-3 e-ISBN- 13: 978-3-642-97945-3 DOl: 10.1007/978-3-642-97945-3 CD-ROM .. -1997 ISBN- 13: 978-3-540-61248-3 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder VervielfaItigungauf anderen Wegen und der Speicherungin Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielfaItigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. Septemben965 in derjeweils geltenden Fassungzuliissig. Sieistgrundsiitzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997

Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden diirften. SoUte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VOl, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der V eriag keine Gewiihr fUr die Richtigkeit, VoUstiindigkeit oder Aktualitiit iibernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fUr die eigenen Arbeiten die vollstiindigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Umschlaggestaltung: Design & Production, Heidelberg SPIN 10538615 62/3020 - 543 2 1 0 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier

Vorwort Dieses zweibandige Lehr- und Ubungsbuch wendet sich an aile Studenten der Natur- und technischen Ingenieurwissenschaften an Fachhochschulen. Auch Studenten der technischen Studiengangen an Universitaten konnen es wwend ihrer mathematischen Grundausbildung mit Erfolg verwenden. Autbauend auf den ersten Band, der die Grundlagen der Mathematik fur Ingenieure enthalt, behandelt dieser zweite Band fortgeschrittene Themengebiete wie die mehrdimensionale Analysis, die gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen sowie die Laplace- und Fourieranalyse. Diese Inhalte sowie deren rechnerische Umsetzung stellen heutzutage unverzichtbare Standardmethoden fur Ingenieure

dar. Die Themengebiete sind wieder so autbereitet, daB Studenten sie auch im Selbststudiurn leicht bearbeiten konnen. 1m zweiten Band sind mehr als 270 Beispiele ausfiihrlich durchgerechnet und zusatzlich 200 Aufgaben mit Losungen angegeben. Wichtige Formeln und Lehrsatze werden deutlich hervorgehoben, urn die Lesbarkeit des Buches zu erhOhen. Mehr als 360 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehrbuchcharakter Rechnung. Wieder wird das Computeralgebrasystem MAPLE benutzt, urn wichtige Begriffe und Zusammenhange zu visualisieren und komplizierte Beispiele zu vereinfachen. MAPLE wird aber nicht vorausgesetzt. Ein besonderes Anliegen des Autors war auch in diesem Band, durch anwendungsorientierte Beispiele den Bezug zu den Ingenieurwissenschaften herzustellen, urn so den Zugang zu den mathematischen Themen zu erleichtem sowie die Relevanz der Inhalte zu demonstrieren. Viele der Anwendungsbeispiele gehen aufVorschlage meines geschiitzten Kollegen Prof. Dr. R. KeBler zuriick, bei dem ich mich an dieser Stelle ausdriicklich bedanken mochte. Urn den standig wachsenden Gebrauch von Rechnem und numerischen Problemlosungen zu beriicksichtigen, wurden fUr alle Kapitel rechnerische Losungsmethoden und Algorithmen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Auf Beweise wurde fast ganzlich verzichtet. Obwohl die unterschiedlichen Stadien der Manuskripte oftmals Korrektur gelesen wurden, lassen sich Fehler bei der Abfassung eines umfangreichen Textes nicht vermeiden. Ober Hinweise aufnoch vorhandene Fehler ist der Autor dankbar. Aber auch Verbesserungsvorschliige, niitzliche Hinweise und erfrischende Anregungen besonders von studentischen Kreisen sind sehr erwiinscht und konnen dem Autor z.B. iiber [email protected] oder per Post zugesendet werden.

VI

Das vorliegende Bueh wurde vollstandig in ｾｔｅｘ＠ unter dem Textverarbeitungsprogramm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die zuverlassige Mithilfe und Mitarbeit vieler bereitwilliger Helfer ware dieser zweite Band in seiner vorliegenden Form nieht moglieh gewesen. Die zahlreiehen Obungsaufgaben entstanden unter Mithilfe von Dipl.-Math. C.P. Hugelmann. Besonders bedanken moehte ieh mieh bei Herro F. Wohlfarth und Frau Raviol fUr die prazise und fehlerfreie Erstellung des ｾｔｅｘＭｑｵ･ｬｴｸｳ＠ mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeftler fUr die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CorelDraw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat. Mein Dank gilt aueh dem Springer-Verlag fUr die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herro Dr. Merkle. Zuletzt moehte ieh mich bei meiner Familie bedanken, die noehmals die VernaehUissigung dureh die zeitintensive Arbeit an diesem Bueh mitgetragen hat.

Karlsruhe, im Februar 1997

Thomas Westermann

Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Vorkenntnisse: Der Leser soUte mit den Themen aus Band 1 vertraut sein, insbesondere mit der Differential- und Integralrechnung fUr Funktionen mit einer Variablen. Darstellung: Neu eingefiihrte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrslttze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Am Ende eines jeden Kapitels befmden sich Obungsaufgaben, deren Losungen im Anbang angegeben sind. Bei der Erarbeitung der Themengebiete wurde versucht, jeweils eine anwendungsorientierte Problemstellung voranzustellen und anschlieBend auf die allgemeine mathematische Struktur tiberzugehen. Die Thematik wird dann innerhalb der Mathematik behandelt und anhand von mathematischen Beispielen erlltutert. Neben der Behandlung der ProblemsteUungen mit MAPLE werden aussagekrltftige Anwendungsbeispiele diskutiert. Algorithmische Aspekte und die rechnerische Umsetzung erganzen in eigenstltndigen Abschnitten die Kapitei. Beispiele: Die zahlreichen Beispiele sind fUr den Zugang zu den Themengebieten unverzichtbar. Beim Selbststudium und zur Priifungsvorbereitung sollten moglichst die mathematischen Beispiele eigenstltndig bearbeitet werden. Wer dieses Werk ais Nachschiagewerk benutzt kann sich an den eingerahmten Definitionen, Slttzen und Zusammenfassungen orientieren. MAPLE: Dieses Buch ist ein Lehrbuch tiber Mathematik und kann obne Rechner zum Erlemen von mathematischem Grundwissen oder zur Priifungsvorbereitung herangezogen werden. Die MAPLE-Animationen stellen aber einen neuen didaktischen Ansatz dar, der zum besseren Verstltndnis der Inhalte beitrltgt. AIle MAPLE-Befehie sind im Text fett hervorgehoben; die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und konnen direkt in MAPLE eingegeben werden. Am Ende der Kapitel steht eine Zusammenfassung der benutzten Befehle. CD-ROM: Auf der CD-ROM befinden sich zwei Demoversionen von MAPLE: fUr ReI. 3.0 und ReI. 4.0. Sie sind vorinstalliert und konnen sofort aufgerufen werden. Es besteht aber auch die Moglichkeit, sie auf der Festplatte zu installiereno Die umfangreichen MAPLE-Worksheets sind auf der CD-ROM enthalten, so daB der interessierte Leser die im Text entwickeiten Methoden umsetzen bzw. an abgeltnderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen hingewiesen, die allerdings nicht aIle mit der mitgelieferten Demoversion aktiviert werden konnen (--+ vgI. Anbang B).

Inhaltsverzeichnis Kapitel X: Funktionen von mehreren Variablen 1 §1. Differentialrechnung fUr Funktionen von mehreren Variablen . . . . . .. 1 1.1 Einfiihrung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1.2 Stetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 1.3 Partielle Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 1.4 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Gradient und Richtungsableitung ....................... 24 1.6 Kettenregeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 l.7 Der Taylorsche Satz ................................. 36 §2. Anwendungen der Differentialrechnung ....................... 43 2.1 Das Differential als lineare Naherung ................... 43 2.2 Fehlerrechnung ..................................... 49 2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen . . . . 54 2.4 Ausgleichen von MeBfehlern; Regressionsgerade . . . . . . . . . . 65 §3. Integralrechnung fUr Funktionen von mehreren Variablen ......... 73 3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 Linien- oder Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100 3.4 Oberflachenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... 124 Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen .............. 129 Kapitel XI: Gew6hnliche Differentialgleichungen §1. Gewl>hnliche Differentialgleichungen erster Ordnung ........... 1.1 Einleitung und Beispiele ............................. 1.2 Lineare DG 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.3 Lineare DG l. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . .. 1.4 Nichtlineare DG l. Ordnung ......................... l.5 L6sen von DG l. Ordnung mit MAPLE ................ §2. Lineare Differentialgleichungssysteme ....................... 2.1 Einfiihrung ........................................ 2.2 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme ......... 2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren ........................ 2.4 Eigenwerte und Eigenvektoren mit MAPLE ............. 2.5 Ll>sen von homogenen LDGS ........................ 2.6 Berechnung spezieller Ll>sungen mit MAPLE. . . . . . . . . . .. §3. Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung ................ 3.1 Einleitende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2 Reduktion einer DG n-ter Ordnung auf ein System ....... 3.3 Homogene DG n-ter Ordnung ........................ 3.4 Inhomogene DG n-ter Ordnung ....................... 3.5 Ll>sen von DG n-ter Ordnung mit MAPLE ..............

135 135 135 138 147 151 158 162 162 164 169 173 175 187 198 198 200 205 215 228

x

Inhaltsverzeichnis

Numerische Losung von Anfangswertproblemen 1. Ordnung ..... 4.1 Streckenzugverfahren von Euler ....................... 4.2 Verfahren hoherer Ordnung .......................... 4.3 Quantitativer Vergleich der numerischen Verfahren ....... 4.4 Numerisches Losen von DG 1. Ordnung mit MAPLE ..... Numerisches Losen von DG fUr elektrische Filter .............. 5.1 Physikalische Gesetzmiil3igkeiten der Bauelemente. . . . . . . . 5.2 Aufstellen der DG fUr elektrische Schaltungen ........... 5.3 Aufstellen und Losen der DG fUr Filterschaltungen ....... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Differentialgleichungen ........................

233 233 236 242 246 253 254 254 255 266 268

Kapitel XII: Die laplace-Transformation §1. Die Laplace-Transformation ................................ §2. Inverse Laplace-Transformation ............................. §3. Berechnung der Laplace-Transformation und Inversen mit MAPLE ................................................ §4. Zwei grundlegende Eigenschaften der Laplace-Transformation .... 4.1 Linearitat ......................................... 4.2 Laplace-Transformierte der Ableitung .................. §5. Transformationssatze ..................................... 5.1 Verschiebungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dampfungssatz .................................... 5.3 .Ahnlichkeitssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Faltungssatz ....................................... 5.5 Grenzwertsatze .................................... §6. Methoden der Riicktransformation ........................... §7. Anwendungen der Laplace-Transformation mit MAPLE ......... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zur Laplace-Transformation .......................

273 275 280

Kapitel XIII: Fourierreihen §1. Einfiihrung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Bestimmung der Fourierkoeffizienten ........................ §3. Fourierreihen fUr 27r-periodische Funktionen ..... " ........... §4. Fourierreihen fUr p-periodische Funktionen ................... §5. Fourierreihen fUr komplexwertige Funktionen ................. §6. Zusammenstellung elementarer Fourierreihen .................. Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Fourierreihen .................................

316 316 318 321 329 340 347 349 349

Kapitel XIV: Fouriertransformation §l. Fouriertransformation und Beispiele ......................... 1.1 Ubergang von der Fourierreihe zur Fouriertransformation ... 1.2 Inverse Fouriertransformation .........................

351 351 351 355

§4.

§5.

282 285 285 287 290 290 293 294 295 298 299 301 312 313

Inhaltsverzeichnis

§2.

xi

Eigenschaften der Fouriertransformation ...................... 2.1 Linearitat ......................................... 2.2 Symmetrieeigenschaft ............................... 2.3 Skalierungseigenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Verschiebungseigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Modulationseigenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Fouriertransformation der Ableitung ................... 2.7 Faltungstheorem ................................... Fouriertransformation mit MAPLE .......................... Fouriertransformation der Deltafunktion ...................... 4.1 Deltafunktion und Darstellung der Deltafunktion ......... 4.2 Fouriertransformation der Deltafunktion ................ 4.3 Darstellung der Deltafunktion mit MAPLE .............. Beschreibung von linearen Systemen ........................ 5.1 LZK-Systeme ........ " ............................ 5.2 Impulsantwort ..................................... 5.3 Die Systemfunktion (Obertragungsfunktion) ............. 5.4 Obertragungsfunktion elektrischer Netzwerke ............ 5.5 Zusammenhang zwischen der Sprung- und Deltafunktion ... Anwendungsbeispiele mit MAPLE .......................... 6.1 Frequenzanalyse des Doppelpendelsystems . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Frequenzanalyse eines Hochpasses ..................... Diskrete Fouriertransformation ............................. 7.1 Herleitung der Formeln der DFT ...................... 7.2 Inverse diskrete Fouriertransformation .................. Diskrete Fouriertransformation mit MAPLE ................... AnwendungsbeispieJe zur DFT mit MAPLE ................... 9.1 Anwendung der DFT zur Signalanalyse ................ 9.2 Anwendung der DFT zur Systemanalyse ................ Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zur Fouriertransformation .........................

359 359 360 361 362 364 366 367 374 380 380 382 385 390 390 392 398 402 407 412 412 415 418 418 422 429 436 436 442 447 448

Kapitel XV: Partielle Differentialgleichungen §1. Einfiihrung ......................... , '" ................ §2. Die Wellengleichung ..................................... 2.1 Herleitung der Wellengleichung ....................... 2.2 Unendlich ausgedehnte Saite (Anfangswertproblem) ...... 2.3 Eingespannte Saite (Anfangsrandwertproblem) ........... 2.4 Visualisierung mit MAPLE ........................... §3. Die Warmeleitungsgleichung ............................... 3.1 Herleitung der Warmeleitungsgleichung ................ 3.2 Losung der Warmeleitungsgleichung bei Warmeisolation ... 3.3 Losung der Warmeleitungsgleichung bei Warmeisolation ... 3.4 Losung des stationaren Falls bei W1irmeiibergang ........

453 453 455 455 456 458 464 466 466 467 472 474

§3. §4.

§5.

§6.

§7.

§8. §9.

xii

Inhaltsverzeichnis

§4.

Die Laplace-Gleichung .................................... 4.1 Herleitungen der Laplace-Gleichung ................... 4.2 Losung der Laplace-Gleichung (Dirichlet-Problem) ....... 4.3 Losung der Laplace-Gleichung (Neumann-Problem) ...... 4.4 Die Laplace-Gleichung in Zylinderkoordinaten (r, cp) ..... Die zweidimensionale Wellengleichung ...................... Die Biegeschwingungsgleichung ............................ 6.1 Herleitung der Biegeschwingungsgleichung ............. 6.2 Losung der Biegeschwingungsgleichung ................ 6.3 Einspannbedingung: ge1enkiglgelenkig ................. 6.4 Einspannbedingung: fest/fest ......................... Aufgaben zu partiellen DG ................................

478 478 481 485 487 490 494 494 495 498 500 505

Kapitel XVI: Vektoranalysis und Integralslltze § I. Divergenz und Satz von GauB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 GauBscher Integralsatz ....................... . . . . . . . §2. Rotation und Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Rotation ...................................... 2.2 Stokescher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Rechnen mit Differentialoperatoren .......................... §4. Anwendung: Die Maxwellschen Gleichungen ................. Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zur Vektoranalysis ...............................

508 509 509 513 516 516 521 523 529 532 533

Anhang A: Ll)sungen zu den (rbungsaufgaben

535

Anhang B: Die CD-ROM

548

Literaturverzeichnis

553

Index

555

§5. §6.

InhaIt von Band 1 Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme §1. Mengen §2. Natiirliche Zahlen §3. Reelle Zahlen §4. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE §5. Lineare Gleichungssysteme §6. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE Kapitel II: Vektorrechnung §1. Vektoren im 1R2 §2. Vektoren im 1R3 §3. Vektoralgebra mit MAPLE §4. Geraden und Ebenen im 1R3 §5. Vektorraume Kapitel III: Matrizen und Determinanten §1. Matrizen §2. Determinanten §3. Losbarkeit von linearen Gleichungssystemen Kapitel IV: Elementare Funktionen §I. Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften §2. Polynome §3. Rationale Funktionen §4. Potenz- und Wurzelfunktionen §5. Exponential- und Logarithmusfunktion §6. Trigonometrische Funktionen Kapitel V: Komplexen Zahlen § I. Darstellung komplexer Zahlen §2. Komplexe Rechenoperationen §3. Komplexe Rechnung mit MAPLE §4. Anwendungen §5. Ubertragungsfunktionen von RCL-Filterschaltungen Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung §1. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion §2. Differentialrechnung §3. Integralrechnung

xiv

Inhalt von Band I

Kapitel VII: Funktionenreihen §1. Zahlenreihen §2. Potenzreihen §3. Taylorreihen §4. Anwendungen §5. Komplexwertige Funktionen Kapitel VIII: Numerisches Ltisen von Gleichungen §1. Intervallhalbierungs-Methode §2. Pegasus-Verfahren §3. Banachsches Iterationsverfahren §4. Newton-Verfahren §5. Regula falsi §6. Bestimmung von Polynom-Nullstellen Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration §1. Numerische Differentiation §2. Numerische Integration

Kapitel X Funktionen von mehreren Variablen

§1. Differentialrechnung fOr Funktionen von mehreren Variablen Ll Einfiihrung und Beispiele In Band 1 wurden Funktionen von nur einer Variablen behandelt. Einen Teil der dort eingefiihrten Begriffe ubertragen wir jetzt auf Funktionen mit zwei und mehr reellen Variablen. Eine Funktion f der reellen Variablen x besteht aus dem Definitions- und Zielbereich sowie der eindeutigen Funktionszuordnung:

f :D

IR

---+

mit

x

t--+

Y

= f {x} .

Die Zuordnung erfolgt ublicherweise mit Hilfe einer Vorschrift Y = f {x}; die Funktionen konnen dann in der Regel als Schaubild (= Graph der Funktion) dargestellt werden.

1. Beispiele fOr Funktionen einer Variablen:

(1) f: IR ---+ IR mit f {x} = ax + b (Geradengleichung). (2) f! lR>o ---+ IR mit f {x} = Inx . cos (x 2 -1).

(3) Potential in einem ebenen Plattenkondensator q> : [0,

d]

wenn d der Plattenabstand und

ｾｱ＾＠

---+

IR mit q> {x} = ｾｱ＾Ｌ＠

= q>2 -

q>l die Potentialdifferenz ist.

Viele in den Naturwissenschaften auftretenden Zusammenhange sind aber komplizierter und lassen sich nicht durch eine Funktion mit einer Variablen beschreiben. Die meisten physikalischen Gesetze stellen Beziehungen zwischen mehreren GroBen dar. T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997

2

X Funktionen von mehreren Variablen

2. Beispiele fUr Funktionen mit zwei Variablen: (I) FOr ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung

T p=R· V. Der Druck p hangt sowohl von der Temperatur T als auch von dem Gasvolumen V abo R ist die universelle Gaskonstante. Jedem Wertepaar (T, V) wird durch diese Formel ein Druckwert p (T, V) zugeordnet: (T, V)

1-+

T P (T, V) = R· V.

Neben der Angabe der Zuordnungsvorschrift gehOrt noch die des Definitionsbereichs. Physikalisch sinnvoll ist T > 0, V > O. (2) Die Wurfweite W beim schiefen Wurf bestimmt sich tiber die Beziehung

W =

v2

....Q.

sin (2 a),

9

wenn Vo die Anfangsgeschwindigkeit, a der Wurfwinkel und 9 die konstante Erdbeschleunigung ist. Die Wurfweite hangt also von Vo und a ab; jedem Zahlenpaar (vo, a) wird eindeutig eine Weite W (vo, a) zugeordnet

(vo, a) mit v > 0 und 0 < a Y

ｾ＠

P(X,Y)

1-+

W (vo, a)

=

.!. v5 sin (2 a) 9

90°. (3) Der Abstand d eines Punktes P (x, y) vom Ursprung betragt in der Ebene nach dem Satz von Pythagoras 2 +y2. d=

Jx

-I"----.,.,.----'---..x·

Jedem Zahlenpaar (x, y) wird genau ein Abstand d (x, y) zugeordnet

(x, y)

1-+

d (x, y) =

J x2 + y2.

3. Beispiele filr Funktionen mit mehr als zwei Variablen: (1) Der Abstand d zweier Punkte PI (Xl, YI, Zl) und P2 (X2' Y2, Z2) betragt im dreidimensionalen Raum

3

1.1 Einflihrung und Beispiele

Der Abstand d ist eine Funktion der 6 Variablen (Xl, X2, Yl, Y2, Zl, Z2)

I--->

d (x!, . .. ,

Z2)

Xl, X2, Yl, Y2, Zl, Z2:

= V(XI -

X2)2

+ ... + (Zl

-

Z2)2.

(2) Fur eine Reihenschaltung von n Ohmschen WidersUinden R I , . .. , Rn berechnet sich der Gesamtwiderstand uber

Der Gesamtwiderstand ist eine Funktion der n Einzelwiderstande

Definition: Eine reelle Funktion f von n reellen Variablen Xl, . .. , Xn ist eine Abbi/dung, die jedem (Xl, ... , Xn) E D genau einen Wert in IR zuordnet:

Der Definitionsbereich ist dabei eine Menge von n -Tupeln reefier Zahlen.

(Xl, ... , Xn) E

IRn

Die ausfiihrliche Bezeichnung sowie die Angabe des Definitionsbereichs ist in der Praxis recht schwerfallig, so daB man in den Anwendungen stattdessen etwas nachlassig einfach von der Funktion

spricht und auf die Angabe des genauen Definitionsbereichs verzichtet. Wir werden in diesem Abschnitt hauptsachlich Funktionen mit zwei Variablen behandeln. Viele Eigenschaften von Funktionen mehrerer Variablen konnen hier bereits verdeutlicht werden. Funktionen von zwei Variablen lassen sich auch noch graphisch darstellen; Funktionen mit mehr als zwei Variablen nicht mehr! 1m folgenden sei daher (X, y) E D z=f(x,y), eine reellwertige Funktion der zwei Variablen D C 1R2 definiert ist.

X

und y, die auf einem Gebiet

4. Beispiele ftlr D: Fall (l) (nicht zusammenhangendes Gebiet) ist fur die Praxis weniger wichtig; Fall (3) heiBt zusammenhangend; Faile (2) und (4) heiBen einfach zusammenhangend:

4

X Funktionen von mehreren Variablen

y

y

0

d

c

(1)

(2) a

Y

b

y

ｾ＠

+---+--t--.x (4)

x

(3)

Beispiele fUr zweidimensionale Gebiete

Darstellung von Funktionen mit zwei Variablen Zur Veranschaulichung von Funktionen mit zwei Variablen haben sich im wesentlichen drei Darstellungsarten bewahrt:

(1) Der Graph Unter dem Graphen von f versteht man die Menge der Punkte (x, y, f (x, y» fUr die (x, y) aus dem Definitionsbereich von f sind. La. ist ein Graph eine gekriimmte Flache im dreidimensionalen Raurn

{(x, y, z) E IR3 : z = f(x, y) und (x, y) E D}.

rj:=

z=f(x,Y) ｲ｡ｐｨｶｯｮｦ＠

ｾ .. --:-------- ...... ':'

,

f(x .y)

.:

,,

.

ＭｬｾＮｹ＠

ＰＮ［ｾＭＨＺｸ＠

.ＮＬｹＩｾＭ

: Definitionsbereich

x

Abb. 1: Der Graph einer zweidimensionalen Funktion

l.l Einftlhrung und Beispiele

5

In MAPLE lassen sich die Graphen von Funktionen mit zwei Variablen eindrucksvoU mit dem plot3d-Befehl darstellen. Dabei ist allerdings zu beachten, daB die Defmitionsmenge bzw. der Bereich, in dem die Funktion dargestellt wird, ein Rechteck ist (Fall (2) in Beispiel 4). 5. Beispiel: Mexikanischer Hut. Gegeben ist die Funktion

f (r) =

sin (r) . r

Ersetzt man r

=

v' x 2 + y2, erhalt man eine Funktion von zwei Variablen x und

y. Die Definition von Funktionen mehrerer Variablen erfolgt im MAPLE mit der

-> Operation > f := (x, y) -> sin(sqrt(x"2+y'2»/sqrt(x"2+y'2); > plot3d(f(x, y), x=-10 .. 10, y=-10 .. 10);

f

'=

.

sin (sqrt (x 2 + y2)) sqrt (x 2 + y2)

Die mannigfaitigen Optionen des plot-Befehls entnimmt man der Hilfe durch > ?plot3d[options] Liegt z.B. in dem zu zeichnenden Bereich eine Singu/ariUit der Funktion vor, muB der Wertebereich durch die vieW-Option eingeschrlinkt werden > phi := (x, y) -> 1/(x"2+y'2): > plot3d(phi(x, y), x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, view=[0 .. 10], axes=boxed);

6

X Funktionen von mehreren Variablen

(2) Hohenlinien Eine Funktion f kann auch durch ihre Hohenlinien (Niveaulinien) graphisch erfaBt werden. Die Hohenlinie von f zur Hohe c ist die Menge der Punkte (x, y) E D, welche die implizite Gleichung

f(x , y)=c erfiillen. Hohenlinien sind Schnitte des Graphen (x, y, raIlel zur (x, y)-Ebene mit Achsenabschnitt c. 6. Beispiel:

f (x, y)) mit Ebenen pa-

f (x , y) = x 2 + y2.

y

f(x. y) = x'+y' x

Hohenlinien

=

Schnitte des Graphen mit Ebenen parallel zur (x, y)-Ebene

Hohenlinien projiziert in die (x , y)-Ebene Zur graphischen Charakterisierung der Funktion wiihlt man mehrere Hohen und zeichnet die markierten Niveaulinien in der (x, y)-Ebene. Beispiele sind Kuryen gleichen Luftdrucks auf der Wetterkarte (Isobare), die Hohenlinien auf der Landkarte oder die Linien gleichen Potentials (Aquipotentiallinien) bei der Beschreibung elektrostatischer Felder:

7

1.1 Einfilhrung und Beispiele

y

x

Die Realisierung von Niveaulinien mit MAPLE erfolgt ebenfalls mit den plot3dBefehl und der Option contours= und style=contour. 7. Beispiel: Das elektrostatische Potential einer im Ursprung befindlichen elektrischen Ladung ist im Abstand r bestimmt durch 1 q (r) = -. 47r EO r

mit der Dielektrizitatskonstante

EO

= 8.8 . 10- 12 !f;.

(1) Gesucht ist eine dreidimensionale Darstellung des Potentialverlaufs in der (x, y)Ebene sowie 20 Aquipotentiallinien fur eine Punktladung q = e = 1.6 . 10- 19 C. Dazu setzt man r = x 2 + y2 in Formel (*) ein:

y

y

vi

(x, y)

=

(r)

_1_ _ ｾｱ］Ｚ［＠

47r EO

x

y'x2 + y2 Abb. 2: Ladung im Ursprung

Dann ist (x, y) eine Funktion der zwei Variablen x und y. Die graphische Darstellung erfolgt durch den plot3d-Befehl. Ffir (x, y) -> (0,0) wachst das Potential fiber aIle Grenzen hinweg; es wird singular. Damit der funktionale Verlauf dennoch aus dem Graphen erkenntlich wird, schrankt man den darzustellenden Wertebereich mit der view-Option ein

> >

Phi := 1/(4*Pi*epsilon) * q/sqrt(x"2+y"2); epsilon:=B.Be-12: q:=1.6e-19: '=

.

ｾ＠

4 7r E

q

vi x 2 + y2

> plot3d(Phi, x=-O.001 .. 0.001, y=-O.001 .. 0.001, view=O .. O.00001, > axes=boxed, title='el. Monopol');

8

X Funktionen von mehreren Variablen

el. Monopol

1e-05 Be·06 68-06 4e-06

0 x 0.0005

y 0 0.0005 0.001 0.001

Urn zusatzlich die Hohenlinien darzustellen, wahlt man entweder den entsprechenden Button der Menii-Leiste der Graphik oder die style-Option des plot3d-Befehls. Mit contours=20 werden 20 Hohenlinien berechnet. > plot3d(Phi, x=-0.001 .. 0.001, y=-0.001..0.001, view=0 .. 0.00001, axes= > boxed, contours=20, style=PATCHCONTOUR, title='el. Monopol'); el. Monopol

Zur Darstellung der Hohenlinien kann aItemativ der contourplot-Befehl aus dem plots-Paket verwendet werden. Mit der Option grid=[40, 40] erhOht man die Anzahl der Gitterpunkte zur Berechnung und Darstellung des Potentials > with(plots): > contourplot(Phi,x=-0.001 ..0.001 ,y=-0.001 .. 0.001 ,grid=[40,40],contours=20);

9

1.1 Einftlhrung und Beispiele

(2) Gesucht ist der Potentialverlauf sowie die Hohenliniendarstellung eines elektrischen Quadrupols, wenn die Ladungen in den Ecken eines Quadrats mit Kantenlange L = 0.4 mm angeordnet sind. Eine Ladung q, die bei ro= (xo, Yo) lokalisiert ist, induziert am Ort = (x, y) ein Potential gema/3

r

cI>(x, y)

q

1

= -47rco

J(x - xO)2 + (y - YO)2

FUr das Potential mehrerer Punktladungen q} , ... , qn gilt das Superpositionsprinzip

cI> (x, y) = cI>}

.

Y

(x , y) + . .. +cI>n (x, y).

Foiglich ist das Potential des elektrischen Quadrupols am Ort (x, y), wenn die Ladungen sich bei (L/2, L/2), (L/2, -L/2), (-L/2, L/2), (-L/2, -L/2) befmden

cI> (x, y)

= 4,1£0

L(x - ｾＯＫ＠ +

ｊＨｸＫｾＩＲｹ｟＠

(y -q

t)'

x

Abb.3

+j(x - ｴＩｾＺ＠

+

ｊＨｸＫｾＩＲｹ＠

(Y

q

+ｾＩＧ＠ }.

> Phi := 1/(4*Pi*epsilon)* > (q/sqrt«x-U2r2+(y-U2r2) - q/sqrt{(x-Ll2r2+(y+U2r2) > - q/sqrt«x+U2)"2+(y-U2)"2) + q/sqrt«x+U2)"2+(y+U2)"2»; > epsilon:=8.8e-12: q=1 .6e-19: L:=0.0004: > with(plots): > plot3d(Phi, x=-0.001 ..0 0. 01, y=-0.001 ..0.001, grid=[40, 40], > view=-0.00001 ..0.00001, contours=10); > plot3d(Phi, x=-0.001 .. 0.001, y=-0.001 ..0 0. 01, grid=[40, 40], style=contour, > view=-0.00001 .. 0.00001, contours=20, orientation=[90,O], > scaling=constrained);

10

X Funktionen von mehreren Variablen

Statt dem Darstellen von Hohenlinien bietet MAPLE den densityplot-Befehl, der die Ftmktion in Grautonen zweidimensional darstellt > densityplot(Phi, x=-0.001 ..0.001, y=-0.001 .. 0.001, grid=[60, 60]); (3) Schnittkurvendiagramme Hohenlinien sind die Schnitte des Graphen von z = f (x, y) mit Ebenen parallel zur (x, y)-Ebene. Wahlt man stattdessen eine Ebene parallel zur (x, z)- oder (y, z)-Ebene, kommt man zu den sog. Schnittkurvendiagrammen

z = f (x = c, y) Schnittebene parallel zu (y, z), z = f (x, y = c) Schnittebene parallel zu (x, z) . Anwendung findet diese Darstellung in den Kennlinienbildem. 8. Beispiel: Gegeben ist die Zustandsgleichung fUr idea Ie Gase

T p=R· V. Indem man fur die Temperatur T konstante Werte einsetzt, Tl

< T2 < T3 < T4
oo

---+

f (xo, Yo).

f (xo, Yo) sehreibt man aueh n->oo lim f (x n , Yn)

=

(2) 1m folgenden sehreiben wir fUr Xn ---+ x und Yn ---+ Y kurz (x n , Yn) ---+ (x, y). (3) Fur die Stetigkeit der Funktion f im Punkte (xo, Yo) E I) genugt es nieht, daB fUr eine spezielle Folge von Punkten (xn, Yn) ---+ (xo, Yo) die Funktionsfolge f (xn, Yn) konvergiert, sondem die Betonung liegt auf jeder Folge. (4) 1st f stetig fUr aIle Punkte des Definitionsbereichs, so heillt f stetig in D. (5) Geometrische Interpretation: fist im Punkte (xo, Yo) stetig, wenn fUr jede Folge aus dem Definitionsbereieh, die gegen (xo, Yo) konvergiert, die Funktionsfolgen immer gegen den Wert f (xo, Yo) streben (siehe Abb. 4).

9. Beispiele: (1) Stetig sind z.B. alle Polynome in mehreren Variablen, etwa

f (x, y) g (x,

Y, z)

x3 - 6 x z - 3 Y z + 4 x2 y3 Z4.

(2) Folgende Funktionen sind fUr alle (x, y) E JR2 stetig

e2x - 3y , In(l+x4+x2y2), sin(x2+y4), Jx2+y2. (3) Aueh rationale Funktionen, die als Quotient von Polynomen definiert sind, stellen stetige Funktionen in allen Punkten dar, in denen das Nennerpolynom nieht

12

X Funktionen von mehreren Variablen

z

""!.-:._O _____ _

y

Definitionsbereich

x

Abb. 4: Zur Stetigkeit einer Funktion

verschwindet:

F(

3

x, Y

32 y )=x-y+x X

2

-y

2

G (X, y, z)

'

=

2xy2 + 4y2 Z 2 2 2 . X +y +z

Die Funktion Fist fur aile Punkte aus JR2 stetig, die nicht auf der Geraden y = X oder y = -x liegen. Gist fur aile (x, y, z) E JR3 mit Ausnahme des Nullpunktes stetig. (4) Die Funktion

2xy (x, y) =I (0, 0) I(x,y)= x 2+ y 2; ist auBerhalb (0, 0) stetig. list aber nicht nach (0, 0) stetig jortsetzbar, denn ｾＩ＠ ----> (0, 0) gilt fur wahlen wir als F olge im Definitionsbereich (x n , Yn) = ＨｾＬ＠ die Funktionsfolge

:2 - 1 + a 2'

2.!Q.

I (xn, Yn) =

1

n

2a

712+712

Der Funktionsgrenzwert im Punkte (0, 0) ist abhlingig von der gewahlten Folge (x n , Yn) ----> (0, 0) und somit ist I dort nicht stetig fortsetzbar. Bemerkung: Die Stetigkeit einer Funktion I von zwei Variablen in einem festen Punkt (xo, Yo) bedeutet anschaulich gesprochen, daB der Funktionswert I (x, y) beliebig nabe beim Funktionswert I (xo, Yo) liegt, wenn nur der Punkt (x, y) geniigend nahe beim Punkt (xo, Yo) liegt. Diese anschauliche Vorstellung liiBt sich durch die folgende Definition prazisieren: D-c:-Stetigkeit einer Funktion: Die Funktion I heif3t im Punkte (xo, Yo) E D stetig, wenn es zu 'eder beliebi kleinen Zahl c: > 0 eine Zahl {; > 0 gibt mit der Eigenschaft: II (x, y) - I (xo, yo)1 < c: for aile Punkte (x, y) E ][} for die Ix - xol < {; und y - Yo < .

13

1.3 Partielle Ableitung

L3 Partielle Ableitung Bei Funktionen einer Variablen spielt der Ableitungsbegriff eine zentrale Rolle: Wir erinnem uns, daB die Ableitung der Funktion I(x) im Punkte Xo definiert ist als Grenzwert

- I (xo) • I ' (Xo ) -- I'1m I (xo + L\x) A Ll.x-+o

uX

Aus geometrischer Sicht ist die Ableitung der Funktion Kurventangente.

ｾＭｘ＠

f

in Xo die Steigung der

Xo

Abb. 5: Ableitung

= Steigung der Tangente in

Xo

Dieser Begriff wird auf Funktionen von zwei Variablen f (x, y) erweitert. Wenn wir eine Variable festhalten (z.B. y = Yo), dann ist z = f (x, y = Yo) eine Funktion in der Variablen x. 1st diese Funktion im Punkte Xo differenzierbar, so nennen wir ihre Ableitung die partielle Ableitung nach x. Analog wird die partielle Ableitung von I nach y definiert. Definition: (Partielle Ableitung) Eine Funktion I heif3t im Punkt (xo, Yo) E D partiell nach x differenzierbar, wenn der Grenzwert

01 (xo, Yo ) .._ II uX

l'

1m

Ll.x-+o

I (xo + 6x, Yo) - I (xo, Yo) A uX

existiert. Man bezeichnet ihn als die partielle Ableitung von (xo, Yo). Entsprechend heif3t

of ( II

uy

) ._ I'

xo, Yo .-

die partielle Ableitung von existiert.

I

1m

Ll.y-+o

f

nach x im Punkte

f (xo, Yo + L\y) - f (xo, Yo) A

uy

naeh y im Punkte (xo, Yo), wenn dieser Grenzwert

Etwas lax lii.l3t sich die Definition so zusammenfassen: Die partiellen Ableitungen sind niehts anderes als die gewOhnliehen Ableitungen, bei den en aile Variabien bis auf eine festgehalten werden. Die wichtige Konsequenz hiervon ist, daB

14

X Funktionen von mehreren Variablen

sich aIle Regeln fUr das Differenzieren von Funktionen einer Variablen auf die partielle Differentiation Obertragen. Bemerkungen: (I) Man beachte, daB die partiellen Ableitungen im Gegensatz zu den gewOhnlichen Ableitungen nicht durch Striche (oder Punkte) gekennzeichnet werden, sondern durch Indizierung mit der Differentiationsvariablen. Allgemein Obliche Bezeichnungen sind

af a fx (x, y), ax (x, y), ax f (x, y), ax f (x, y) , bzw. kurz

af a ax f. ax' ax f, Analoge Bezeichnungen gelten fur die partiellen Ableitungen nach y. Urn anzudeuten, daB keine gewOhnlichen Ableitungen vorliegen, wird also auch ､ｾ＠ durch ersetzt. fx,

tx

(2) In Anlehnung an die gewOhnliche Ableitung als partie lIe Ableitungen 1. Ordnung.

l'

bezeichnet man fx und fy

(3) Alternative Schreibweisen fUr die partiellen Differentialquotienten sind

af ax (xo, Yo)

lim f (x, Yo) - f (xo, Yo) x -

X-+Xo

. f (xo 11m ｾＭ＠ h-+O

und

Xo

+ h, Yo) - f (xo, Yo) h

lim f (xo, y) - f (xo, Yo) y - Yo . Yo + h) - f (xo, Yo) f (xo, 11m ｾＭ＠ h-+O h

y-+Yo

Zum EinOben des partiellen Ableitens betrachten wir einfache Beispiele. Man beachte, daB hierbei insbesondere die Kettenregel zur Anwendung kommt. 10. ･ｩｳｰｬｾＺ＠ｂ (I) f (x, y) = x 2 . y3

+ X + y2:

af ax (x, y) = 2x· y3 + 1; (2)

f (x, y)

=

sin (x 2

-

af ) 2 2 ay (x, y = x ·3y + 2y.

Y):

af ax (x, y) = cos( x 2 - y) . 2 x ;

af ay (x, y)

= cos(x 2 -

y) (-1).

15

1.3 Partielle Ableitung

(3)

f (x, y)

= In (2 x + 4

of

ox (x, y) = 2 x

t) :

1

+41

.2

y

(4)

U

=

R· I :

of ( ) 1 ()-2 ; oy x ,y =2x+4 1 · 4 -1 y . y

oU

oU

oR =I; (5)

W

=

ｾ＠

oI =R.

v5sin (2n) ｾｗ＠

= uVo

12vo sin (2n) ; 9

-oW = -1 Vo2

on

9

op 8T

cos (2n) . 2.

R V"

Geometrische Interpretation: Die anschauliche Bedeutung der partiellen Ableitungen eriautem wir mit Hilfe von Abb. 6 und Abb. 7. Die partielle Ableitung von f nach x im Punkte (xo , Yo), f (xo , Yo), gibt die Steigung der Tangente im Punkte (xo, Yo) an, welche parallel zur x-Achse liegt.

tx

z

z Tangente parallel zur x-Achse mit Steigung of/ox (x., Y.)

Y

Abb. 6: Partielle Ableitung in x-Richtung

t

Die partie lie Ableitung von f nach y im Punkte (xo , Yo) , y f (xo, Yo), gibt die Steigung der Tangente im Punkte (xo, Yo) an, welche parallel zur y-Achse liegt.

16

X Funktionen von mehreren Variablen

z

z Steigung Sf/Sy (x..Yo)

y Tangente parallel zur y-Achse mit Steigung ofloy (x.. Yo)

Abb. 7: Partielle Ableitung in y-Richtung

Partielle Ableitung mit MAPLE. Die partie lIen Ableitungen eines Ausdrucks werden mit MAPLE - wie die gewohnlichen Ableitungen - mit dem diff-Befehl gebildet. > z:=1/sqrt(x'2+y"2): > Oiff(z. x) = diff(z, x); > Oiff(z, y) = diff(z, y);

a

1

ax Jx2

a

ay Jx2

x

+ y2 1

+ y2

Bei GroBschreibung des Diff-Befehls (inerte Form) erfolgt die symbolische Darstellung der partiellen Ableitung. Die partiellen Ableitungen einer Funktion bestimmt man mit dem D-Operator. D[l)(t) bedeutet die partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen und D(2)(t) nach der zweiten Variablen. > f:=(x, y) -> In(sqrt«x-a)"2+(y-b)"2)): > 0[1 ](f); 1 2x-2a ( xy-t----;======= ) , 2 V(x-a)2+(y-b)2

>

D[2](f)(x, y);

2y-2b "2 J x 2 - 2 x a + a2 + y2 - 2 y b + b2 1

17

1.3 Partielle Ableitung

Partielles Differenzieren von FUnktionen mit mehreren Varia bien 1st f eine Funktion der Variablen (Xl"'" X n ), so ist die partielle Ableitung von f nach der Variablen Xi in einem Punkt (xy, ... , ｸｾＩ＠ definiert als der Grenzwert of ( J:l

UXi

0

0) _.

XI,···,X n

-hm h->O

f

(xY , ... , x? + h, ... , ｸｾＩ＠

h

- f (xY, ... , x?, ... , ｸｾＩ＠

falls dieser existiert. Man nennt ibn die partielle Ableitung von Punkte (xy, ... , ｸｾＩ＠ und bezeicbnet ibn mit

f nach

Xi

'

im

of OXi '

11. Beispiel: Gesucht sind aIle partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion

Nach der Kettenregel berecbnet man 2

fx (x, y, z)

2 x z eX

fy (x, y, z)

2y ze x +y

fz (x, y, z)

2

=

e

x2+y2

+y

2

X

+ -;::==;;==::;: VI + x2 + Z4

2

3

2z + -;::=:::::;;r=:::;:: VI +x2 + z4

Wir bestimmen noch die partiellen Ableitungen an der Stelle (xo, Yo, zo) (1, 2, 0) durch Einsetzen des Punktes in die obigen Formeln fx (1, 2, 0) = ｾ＠

V2;

fy (1, 2, 0) = 0;

fz (1, 2, 0) = e5 .

Ableitungen Mherer Ordnung: Sind die partiellen Ableitungen fx (x, y) und fy (x, y) ihrerseits wieder partiell differenzierbar, so bezeicbnet man ihre partiellen Ableitungen tx fx (x, y), t y fx (x, y) und tx fy (x, y), t y fy (x, y) als partielle Ableitungen zweiter Ordnung von f. Die Schreibweise fUr die partiellen

18

X Funktionen von mehreren Variablen

Ableitungen zweiter Ordnung lauten

fxx :=

ｾＺ［＠

:= :x

ＨｾＩ＠

zweite partielle Ableitung

2 a f := ay a (aafx) fxy := ayax

nach x.

"

nach y.

"

nach x und y.

"

nach y und x.

Deren Ableitungen wiederum, sofem sie existieren, sind die dritten partiellen Ableitungen von f:

Bemerkungen:

(I) Die Reihenfolge, in der die Differentiation durchgefuhrt werden muB, ist von innen nach auBen (von links nach rechts): Die Ableitung fxy wird gebildet, indem von der Funktion (fx) die partielle Ableitung nach y gebildet wird:

(2) Man bezeichnet eine Ableitung als gemischte Ableitung, wenn nicht nur nach einer Variablen differenziert wird. (3) Die Ordnung der partiellen Ableitung entspricht der Gesamtzahl der zu bildenden Ableitungen, d.h. der Gesamtzahl der Indizes:

fxyxx

ist z.B. eine Ableitung 4. Ordnung.

12. Beispiel: FUr die Funktion f (x, y) = x3 Y + Y sind die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 3 gegeben durch

fx fxx fxxx

3x 2 y, 6xy, 6y,

fxy fxxy fxyy

3x 2 = fyx 1 6x = fxyx = fYXXl o = fyxy = fyyx 1

fy fyy

O·

fyyy

O.

x3 1

+ 1;

19

1.3 Partielle Ableitung

In diesem Beispiel kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ableitungen an, Ixy = Iyx , Ixxy = Ixyx = Iyxx usw. Diese Eigenschaft besUitigt sich fUr praktisch aIle in den Anwendungen vorkommenden Funktionen. Es gilt die folgende wichtige Aussage Satz von Schwarz: Vertauschbarkeit von gemischten Ableitungen Sind fUr eine Funktion I aIle partie lien Ableitungen bis zur Ordnung k ＨｾＲＩ＠ stetig, dann kommt es bei allen partie lien Ableitungen bis zur Ordnung k nicht auf die Reihenfolge der zu bildenden Ableitungen an. Analog zu den hOheren partiellen Ableitungen fUr Funktionen von zwei Variablen bildet man sie fUr Funktionen mit mehr als zwei Variablen. Auch hier ist der Satz von Schwarz giiltig.

13. Beispiel: Von der Funktion

I (x,

y, z) = eX - y cos (5 z)

sind aile partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 gesucht.

I

e X - y cos (5 z)

Ix Iy Iz

e X - y cos (5z) _e x- y cos (5 z) -5 e X - y sin (5 z)

Ixy Ixz Iyz

_e X - y cos (5 z) -5 e X - y sin (5 z) 5 eX - y sin (5 z)

14. Beispiele: 'P (x, y) = ";X2

(1)

8'P 8x

Iyx Izx Izy.

+ y2:

x ";x2 +y2'

8'P = Y . 8y ";x2 +y2'

Jx2 +y2 _ x

8 2 'P 8x 2

e X - y cos (5 z) e X - y cos (5 z) -25 e X - y cos (5 z)

Ixx Iyy Izz

x2 +y2

x vx2+y2

x 2 + y2 _ x2 3

(x 2 + y2)2

y2 (x2

x2

8 2 'P 8y2 ｾ＠

(x2 'Pxx

3 •

+ y2)2

+ 'Pyy =

x2 +y2 3

(x 2 + y2)2

1 1 2 (x + y2)2

3 ,

+ y2)2

1 'P(x,y) .

20

X Funktionen von mehreren Variablen

(2) r (x, y, z) = Jx 2 + y2

8r 8x

Jx2 +y2

82 r 8x 2

r-x!!!.r r2

x

+ z2

+ z2:

-

x r

y 8r = - , 8y r

,

r2 _ x 2

-x

81 8x

(x2

r2 _ y2

82r 8y2

r3

-x r3

3

+ y2 + Z2)2

r3

81 8y

'

z r

82 r 8z 2

-y r3'

r2 - Z2 r3

81

-z

8z

r3

r2 - 3x 2 r5

8x 2

r3 - x l2 2x r6

82 1

r2 _ 3y2

82 1

8y2

r5

8z 2

82 1

8r 8z

Partielle Ableitungen Mherer Ordnung mit MAPLE Die hoheren partiellen Ableitungen eines Ausdrucks werden mit MAPLE ebenfalls durch den diff-Befehl gebildet: diff(z, x$n) ist die n-te partielle Ableitung des Ausdrucks z nach x. > z := 1/sqrt(x"2+y"2): > Diff(z, x$2) diff(z, x$2); > Diff(z, y$2) = diff(z, y$2); > Diff(z, x, y) = diff(z, x, y);

=

82 8x 2 Jx2

1

+ y2

82

1 8y2 y'x2 + y2

82

1 8x 8y2 J x 2 + y2

3 3

3

x2 (x2

1 5

+ y2)2

3

(X2+y2)2

y2

1 5

(x 2 + y2)2 xy (x2

5

+ y2) 2

(x2

3

+ y2) 2

21

1.4 Totale Differenzierbarkeit

Fiir die hOheren partiellen Ableitungen von Funktionen nimmt man den O-Operator > f := (x, y) -> In(sqrt((x-af2+(y-bf2)}: > 0[1 $2](f); # zweite partielle Ableitung nach x > 0[2$2](f); # zweite partielle Ableitung nach y > 0[1, 2](f); # gemischte Ableitung nach x und y ｾ＠

( x,y ) ｾ＠

1

(x,y)

sqrt ((x - a)2

+ (y -

b)2)

-

2 -

-

1

sqrt ((x - a)2

(2x-2a)2 2 2 sqrt ((x - a)2 + (y - b)2) 1

2 -

(2y-2b)2 2 2 sqrt ((x - a)2 + (y - b)2) 1

+ (y -

ＨｸＬｹＩｾＭ＠

b)2)

(2x-2a)(2y-2b) 4 2 sqrt ((x - a)2 + (y - b)2)

Altemativ zu 0[1$2] kann aueh (0[1 ]@@2) genommen werden. Fiir die Funktion I gilt Ixx + Iyy = O. Man nennt soIche Funktionen harmonische Funktionen: > simplify(0[1 $2](f)+0[2$2](f));

o

1.4 Totale Differenzierbarkeit 15. Beispiel: Fiir die Funktion

2xy I(x, y) = x 2 +y2 '

(x, y)

=f

(0, 0)

bereehnen sieh die partiellen Ableitungen mit der Quotientenregel

Ix (x, y) =

2y (y2 _ x 2) (2 X

+y2)2

1m Punkte (x, y) = (0, 0) existiert sowohl die partielle Ableitung von I nach x, aIs auch nach y: Ix (0, 0) = Iy (0, 0) = 0, obwohl die Funktion naeh Beispiel 9(4) dort nieht stetig ist! Wahrend differenzierbare Funktionen einer Variablen immer stetige Funktionen sind, kann man dies i.a. von partiell differenzierbaren Funktionen nieht behaupten. Daher fiihrt man den Begriff der totalen Differenzierbarkeit ein, der vom Begriff der partiellen Differenzierbarkeit zu unterscheiden ist. Man nennt eine Funktion I von zwei Variablen im Punkte (xo, Yo) total differenzierbar, wenn sie nahe dieses Punktes durch eine Ebene, der sog. Tangentialebene, angenahert werden kann:

22

X F unktionen von mehreren Variablen

Definition: (Totale Differenzierbarkeit) Die Funktion f heifJt im Punkte (xo, Yo) E D total differenzierbar, wenn es Zahlen A, B E lR und Funktionen Cl (x, y) , C2 (x, y) gibt, so daft for aile (x, y) nahe bei (xo, Yo) gilt

f (xo, Yo) + A . (x - xo) + B· (y - Yo)

f (x , y)

+Cl

wenn die Funktionen

(x, y) (x - xo)

+ C2

(x , y) (y - Yo),

Cl

und C2 gegen Null gehenfur (x, y)

Cl

(x, y) (x, y)

C2

---+ ---+

0 fur (x, y) 0 fur (x, y)

---+ ---+

---+

(xo, yo):

(xo, Yo) (xo, yo).

Gleichung (*) besagt, daB in der Nahe des Punktes (xo, Yo) die Funktionswerte f (x, y) nliherungsweise durch die Funktion

z = f (xo, Yo)

+ A (x - xo) + B (y - Yo)

beschrieben werden. Der Graph von z stellt eine Ebene im 1R3 dar, die durch den Punkt (xo, Yo, f (xo, Yo)) geht. Sie heiBt die Tangentialebene von fin (xo, Yo), da sie sich in der Umgebung dieses Punktes an den Graphen der Funktion f anschmiegt. z

x

Abb. 8: Funktion und Tangentialebene

Aus der totalen Differenzierbarkeit folgt sowohl die partielle Differenzierbarkeit, als auch die Stetigkeit von f:

1.4 Totale Differenzierbarkeit

23

Satz: 1st I in (xo, Yo) total differenzierbar, dann folgt (I) I ist in (xo, Yo) stetig. (2) Es existieren die partiellen Ableitungen

Ix (Xo, YO),

Iy (XO, Yo) .

(3) Die Zahlenwerte A und B in Gleichung (*) berechnen sich durch

A = Ix (xo, Yo) , (4) Der Graph der Funktion die Tangentialebene Zt

II (x, y) ,::::

Zt

I

B

=

Iy (xo, Yo) .

UiBt sich in der Niihe des Punktes anniihem durch

= I (xo, Yo) + Ix (xo, Yo) (x - xo) + Iy (xo, Yo) (y - yo). I

Die Definition fUr die totale Differenzierbarkeit ist anschaulich zwar einpragsam, aber im konkreten Fall schwierig nachzupriifen. Man kann aber anhand der partiellen Ableitungen entscheiden, ob eine Funktion I total differenzierbar ist:

Satz: I ist in einer Umgebung von (xo, Yo) E D partiell nach x und y differenzierbar und die partiellen Ableitnngen Ix nnd Iy sind in (xo, Yo) stetig. Dann ist I in (xo, Yo) total differenzierbar. 16. Beispiel: Gesucht ist die Tangentialebene der Funktion

I (x, y) = e-(x 2+y2 ) im Punkte (xo, Yo) = (0.15, 0.15). Die partiellen Ableitungen der Funktion sind stetig:

Ix (x, y)

=

_2xe-(x2+y2)

Iy (x, y)

=

_2ye-(x 2 +y2 ).

Daher ist die Funktion total differenzierbar und die Tangentialebene ist gegeben durch Z

= I (xo, Yo) + Ix (xo, Yo) (x - xo) + Iy (xo, Yo) (y - Yo) .

Wir stell en sowohl die Funktion als auch die Tangentialebene graphisch mit MAPLE dar: #Funktion > f := (x,Y) -> exp(-(x"2+y"2)): > p1 := plot3d(f(x,Y), x=-2 .. 2, axes=boxed): #Graph der Funktion > xO:=O.15: yO:=O.15: #Punkt, an dem die Tangentialebene berechnet wird

24

X Funktionen von mehreren Variablen

Definition und Darstellung der Tangentialebene: > z := (x,Y) -> f(xO,YO) + D[1](f)(xO,yO)*(x-xO) + D[2](f)(xO,YO)*(y-yO): > p2 := plot3d(z(x,Y), x=-2 .. 2, y=-2 .. 2, vieW=O .. 1.5, > style=PATCHNOGRID, shading=Z): Die Option style=PATCHNOGRlD gewirkt, daB bei der Tangentialebene kein Gitter dargestellt wird und shading=Z, daB die Farben als Funktion der Werte skaliert werden. Die Darstellung beider Graphen erfolgt durch den display-Befehl. > with(plots): display([p1,p2], orientation=[-60,73]);

1.5 Gradient und Richtungsableitung In diesem Abschnitt gehen wir von einer Funktion 1 (x, y) mit zwei Variablen x und y aus, die stetig sowohl nach x als auch nach y partiell differenzierbar ist. Der Gradient Bei Funktionen einer Variablen gibt die Ableitung der Funktion im Punkte Xo die Steigung (= Steilheit) der Funktion an. An Stellen groBer Ableitung andert sich die Funktion stark, an Stellen geringer Ableitung andert sie sich schwach. Bei Funktionen zweier Variablen beJiicksichtigt man als MaB sowohl die partielle Ableitung in x-Richtung, als auch in y-Richtung. Urn eine Funktion 1 beziiglich ihrer Steigung in einem Punkt (xo, Yo) zu charakterisieren, wahlt man daher den Vektor grad 1 (xo, Yo) :=

(

a01 (xo, Yo) ｯｾ＠

oy

)

,

(xo , Yo)

dessen Komponenten aus der partie lIen Ableitung nach x und y bestehen. Er beschreibt die Neigung der Tangentialebene im Punkte (xo, Yo)! Da dieser Vektor den Grad des GefiilIes der Funktion angibt, neont man ihn den Gradienten.

25

1.5 Gradient und Richtungsableitung

(

Definition: (Gradient) Der Vektor grad I (xo, Yo) :=

aI

)

ax (xo, YO)

al

ay (xo, Yo)

heiftt der Gradient von I an der Stelle (xo, yo). Fur den Gradienten wird oft der sog. Nabla-Operator V verwendet:

17. Beispiel: Gegeben ist eine Punktladung q an der Stelle f'o = (xo, Yo, zo). Gesucht ist das Potential 4>(r') und das elektrische Feld E (r') in einem beliebigen Punkt des Raumes r = (x, y, z). Das dUTCh die Punkdadung induzierte Potential ist 1 4> (r') = -4-

q

,- - , 1I"co r - ro

q

__ 1_

4

1I" c o

---r==========

v(x _ xO)2

+ (y _ YO)2 + (z _

zo)2

und das zugehOrige elektrische Feld ist definiert dUTCh

E(r'):= -grad4>(r')

= -

ax 4>(x, y, z) ) ( ay 4>(x,y,z) . az 4>(x, y, z)

Urn MiBverstiindnisse mit den partiellen Ableitungen von E auszuschlieBen, wird im folgenden die x-Komponente des elektrischen Feldes statt Ex mit El. die yKomponente statt Ey mit E2 und die z-Komponente statt E z mit E3 bezeichnet:

El (x, y, z)

-Ox 4> (x, y, z) q

1

411" co . /

2

2

23

2

23

V (x - xo) + (y - Yo) + (z - zo)

1 411" co

E2 (x, y, z)

(x - xo)

q

If _ f'o,3 (x - xo)

-Oy 4> (x, y, z) q

1

411" co . /

2

V(x - xo) + (y - Yo) + (z - zo)

1 q -4 ,c 1I" o r-ro

_,3

(y - Yo)

(y -Yo)

26

X Funktionen von mehreren Variablen

E3 (x, y, z)

=

1 q y, z) = -4- __ Ｍ｡ｺｾＨｸＬ＠

7I"

'*

1 E(f') = - 471" cO

Man nennt

q

cO Ir - rol

3

(Z- Zo)

Xo ) 1 q y-yo = -4- __

X -

If' - rol

3

(

Z-Zo

7I"

co Ir-rol

3

(f'-ro).

E (f') auch ein Vektorfeld (---+ §3.).

Berechnung des Gradienten mit MAPLE Der Gradient einer Funktion / von n Variablen Xl, ... , Xn wird in MAPLE mit dem grad-Befehl berechnet, der im Paket linalg enthalten ist. Die Syntax von grad ist > grad(funct, [x1 ,... , xn], coords=< ... > ) wenn - funct: - [xl, . .. , xn]: - coords =

der Funktionsausdruck der Vektor der Variablen

ein optionaler Parameter, durch den ein Zylinder- oder Kugelkoordinaten-System im FaIle von 3 Variablen spezifiziert werden kann. Mit dem Befehl grad plot bzw. gradplot3d aus dem plots-Paket konnen die Gradienten einer Funktion mit zwei bzw. drei Variablen als Vektorgraphik dargestellt werden. 18. Beispiele: (1) Gesucht ist der Gradient der Funktion > f1 Ｚ］ＨｸｾＲＫｹＱ＠ n1/2);

/1 :=

> with(linalg): > grad (f1, [x,Y));

Jx 2 + y2 + 1

27

I. 5 Gradient und Richtungsableitung

> with(plots): > gradplot(f1, x=-2 ,,2,

y=-2 .. 2, arrows=SLlM, color=x"2+{2+1);

;,. r ! ,

" " " \. ,\ """ '" ' ....... , ' ............ , ".y ,

.......

-... . .

"

.- ..... .-/ .-,., .. /..",

ＮｉＧｴ＾Ｏ

//

...

", ./ ｾ＠

/

/

ｾ＠

. .......... ...... ...... ...... \\. "- -..... ...... ...... \-. \, \." ...... Ｎｾ

M" M" •• ' , / ,/ Ｏ

.' / / / //

/ / /" /

. . "./.;' f := In(x"2+1/y);

in Richtung des Vektors > a := vector([3, 4]); a:= ([3, 4])

ergibt sich > with(linalg): > Oa_f := dotprod(grad(f,[x,y]), 1/norm(a,2)*a);

6

Da-f:= -5

xy

x

> normal(,,);

2

y+

1

4 1 2 5 Y (x Y + 1)

2 3xy2 - 2

5 Y (x 2 Y + 1) Man beachte, daB die Befehie grad ais auch dotprod im Iinalg-Paket enthalten sind.

L6 Kettenregeln Die Kettenregel bei Funktionen einer Variablen erlaubt die Berechnung der Ableitung von verketteten Funktionen. Je nach Verkettung gibt es bei Funktionen von zwei Variablen entsprechende Differentiationsregeln. 1. Kettenregel

Die Bewegung eines Massenpunktes in der (x, y)-Ebene laBt sich durch zwei Funktionen der Zeit t beschreiben

t ｾ＠

(t) ) ( Xy (t) .

Zum Zeitpunkt to befindet sich der Massenpunkt an der Stelle mit den Koordinaten (x (to) , Y (to». Da der bewegte Massenpunkt eine Kurve in der Ebene durchiauft, nennt man diese Zuordnung eine ebene Kurve, im dreidimensionalen Fall eine Raumkurve (---+ §3.). Ferner liege eine Funktion f (x, y) vur, deren Definitionsbereich aIle Kurvenpunkte enthait. Dann IaBt sich die Funktion F von einer Variablen bilden F: t ｾ＠ F (t) := f (x (t), Y (t».

32

X Funktionen von mehreren Variablen

Wie berechnet sich die Ableitung von F aus den Ableitungen von x' (t) und y' (t)? Die Antwort gibt die erste Kettenregel 1. Kettenregel: Sind x (t) und Y (t) differenzierbare Funktionen einer Variablen und I (x, y) eine stetig partiell differenzierbare Funktion, welche (x (t) , y (t)) im Definitionsbereich enthiilt. Dann ist die verkettete Funktion

F:

ｾ＠

IR t

IR

I-t

F(t)

:=

I(x(t), y(t))

differenzierbar und es gilt

F' (t) = Ix (x (t), Y (t)) . x' (t) dF

kurz:

di

al dx

=

+ Iy

(x (t), Y (t)) . y' (t)

al dy

ax· di + By. di· 20. Beispiel: Beim waagrechten Wurf aus Hohe Yo sind die Koordinaten des Massenpunktes

y

v,

x(t)=vxt y (t) = Yo -

! gt2.

Der Abstand d zum Ursprung betriigt

d(x, y) =

v

x2

+ y2.

Abb. 11: Waagrechter Wurf Gesucht ist der Zeitpunkt t, bei dem dieser Abstand minimal wird. Zur Bestimmung des Zeitpunktes gehen wir zur Funktion D (t) tiber

D: t und bilden

Aus

dD

di

I-t

D (t) := d (x (t) , Y (t))

dD ad dx ad dy x y - = - · - + _ · _ = - v +- (-gt). dt ax dt ay dt D x D

= 0 folgt

=*t=O oder t=

2yo

Ｒｶｾ＠

-g--g2.

33

1.6 Kettenregeln

21. Beispiel: i(t) kurve und

I (x, y)

= (

ｾ＠

m) ist eine ebene Raum-

eine differenzierbare Funktion.

F(t):= I(x(t), y(t)) beschreibt den Funktionsverlaufvon I entlang der Kurve und ' fyy-r ' - -I ( t ) ·grad I Abb. 12: Raumkurve F ' (t ) -- fxX+ die Anderung der Funktion I entlang der Kurve. 1st die Kurve i eine Niveaulinie von I (=Aquipotentiallinie, Hohenlinie), dann ist F (t) = const => F' (t) = 0

I

=> i ' (t) -1 grad 1·1 Der Tangentenvektor i' (t) steht senkrecht auf dem Gradienten grad f.

2. Kettenregel 22. Beispiel: Das elektrische Feld E einer Punktladung q in der Ebene ist eine Funktion des Abstandes i = (x, y) zur Punktladung. Der Betrag des elektrischen Feldes ist = JE'f (x, y) + ｅｾ＠ (x, y). Wie andert sich dieser Betrag, wenn

lEI

lEI

nach x. man den Ort x variiert? Gesucht ist die partielle Ableitung von entspricht der Verkettung von I mit Funktionen von zwei Variab en.

lEI

2. Kettenregel: Seien u (x, y) , v (x, y) partiell differenzierbare Funktionen in x und y, I (u, v) eine stetig partiell differenzierbare Funktion in u und v. Dann ist die verkettete Funktion

F:

1R2 (x, y)

-+

IR

f--+

F (x, y)

:= I(u(x, y), v(x, y))

nach x und y partie II differenzierbar und fOr die partiellen Ableitungen gilt

Fx (x, y) = lu (u, v) . U x (x, y) Fy (x, y) kurz:

+ Iv (u,

v) . Vx (x, y)

= lu (u, v) . u y (x, y) + Iv (u, v) . vy (x, y). aF al au ax = au . ax

al

+ av

av . ax

aF al au al av =.-+_ .ay

au

ay

av

ay

34

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkung: Fiihrt man die sog. Funktionalmatrix J :=

(u y x

Vx )

Vy

U

=

Ｈｓｾ＠

8y

ｓｾＩ＠8y

ein, erhiilt man in der Matrizenschreibweise eine besonders kurze Form von Gleichung (*) ) = (u x Vx) ( lu ) . ( Fx Fy uy Vy Iv 23. Beispiel: Wie iindert sich der Betrag

lEI =

J

E? (x, y)

+ ｅｾ＠

(x, y),

wenn man x variiert?

Anwendung: Die zweite Kettenregel wendet man haufig in der Situation an, daB die Punkte der Ebene durch zwei Koordinatensysteme (ein (x, y)-System und ein (u, v)-System) beschrieben werden. Ein Punkt mit Koordinaten x und y hat im (u, v)-System die Koordinaten u (x, y) und v (x, y). Eine auf die Ebene definierte Funktion I (u, v) besitzt auf(x, y) bezogen, die Form

g(x, y)

=

I(u(x, y), v(x, y)).

24. Beispiel: Durch die Gleichungen

y

x=rcoscp y = r sincp x

ist die Transformation zwischen Polar- und kartesischen Koordinaten festgelegt. 1st I (x, y) differenzierbar, dann gilt fUr die Ableitung der Funktion im Polarkoordinatensystem

g(r, cp) gr (r, cp) gep(r,cp)

I (x (r, cp) , y (r, cp)) Ixxr + IyYr = Ix coscp+ I y sincp Ix Xep + I y Yep = -Ix r sin cp + I y r cos cpo

35

1.6 Kettenregeln

Zusammenstellung der Kettenregeln (1) Kettenregel fUr Funktionen mit einer Variablen

lR x

-+ 1-+

lR g(x)

dl

d

dx 1 (g (x)) = dg

-+

lR

1-+

1 (g (x))

dg (g (x)) . dx (x).

(2) Kettenregel 1 fUr Funktionen mit n Variablen

lR

-+

lRn

-+

t

1-+

(xt{t), ... , Xn (t))

1-+

lR 1 (xdt), ... , Xn (t))

81 dXI d -d 1 (xdt) , ... , Xn (t)) = ｾ＠ -d t UXI t

81 dXn -d .

+ ... + ｾ＠UXn

t

(3) Kettenregel2

81

=

It

das Argument (UI (Xl"'" xm), ... , Un (Xl"'" Xm)) und wobei bei Ou bei aXk' das Argument (Xl, ... , xm) zu setzen ist.

(4) Spezialfall der Kettenregel 2:

lR

-+

81

81 8u

-+

lR

81 81 8u ... , - - - - - 8x m

8u 8xm

36

X Funktionen von mehreren Variablen

1. 7 Der Taylorsche Satz Eine wesentliche Eigenschaft von differenzierbaren Funktionen einer Variablen besteht darin, daB sie in der Umgebung eines Punktes naherungsweise durch Polynome ersetzt werden konnen. Dies ist auch im mehrdimensionalen Fall moglich. Wir werden den Taylorschen Satz nicht beweisen, stattdessen geben wir eine Plausibilitatsiiberlegung fUr die Taylorsche Formel fUr Funktionen mit zwei Variablen an: FUr eine (m + I)-mal stetig differenzierbare Funktion j (x) gilt nach der Taylorschen Formel (Bd. 1, Kap. VII.3) am Entwicklungspunkt Xo E ID

j (x)

=

+ (x - xo) !' (xo) + ｾ＠ (x - xO)2 !" (xo) + ... + + ;., (x - xo)m j(m) (xo) + Rm (x),

j (xo)

wenn die Differenz zwischen dem Polynom und der Funktion durch das Restglied

Rm (x) = ＨｭｾｬＩＧ＠

j(m+l) ＨｾＩ＠

(x - xo)m+l

mit einem nicht naher bekannten Wert ｾＬ＠ der zwischen x und Xo liegt, bestimmt ist. In modifizierter Schreibweise lautet die Entwicklung

1 (x)

1 (xo) + (x -

IO)

,;!, 11,0 + ｾ＠

(x - xO)2

+ ;., (x - xo)m

ｾ＠ ｾＡ＠

[(x - xo)

,;!,

r{o r

In dieser Formel ersetzen wir [( x - xo) ､ｾ＠ Ableitungen gemiill

Ｈ､ｾＩ＠

d

(x - xo) dx

Nach der Binomischen Formel (Bd. 1, Kap. 1.2.5) ist

ｾ＠

(

ｾ＠

fl

xo

+ Rm (x)

durch die entsprechenden partiellen

d

=

m

+ R", (x).

dx

(a+bt

(,;!,)' {o + ...

)

an-kbk,

37

1.7 Der Taylorsche Satz

ｾ＠

so daB mit den Binominalkoeffizienten (

t; ---->

ｾ＠

) = (n

｟ｮｾＩＡ＠

k! folgt

n ( ｾ＠

a )k ) (x - xo)n-k ( ax a ) n-k (y - yo)k ( ay

n (

)

ｾ＠

,(x - xot-: (y - Yo)k,

k-O

( a ) n-k ( a ) k ax ay

Polynom vom Grad n '

v

'

partielle Ableitung der Ordnung n In die Taylorsche Formel eingesetzt, folgt

Satz von Taylor ftlr Funktionen mit zwei Variablen Sei I (x, y) eine (m + 1)-mal stetig partiell differenzierbare Funktion und (xo, Yo) E D der Entwicklungspunkt. FOr (x, y) E D gilt 1 n! L n=O

I (x, y)

m

[

a (x - xo) ax

+ (y -

a

Yo) a]n y

II

+ Rm (x,

y)

+ Rm (x,

y)

(xo, yo)

t ｾ＠ t (

n ) (x - xot- k (y - YO)k

n=O n! k=O

k

I x···x y ... y (xo, ｾ＠

Yo)

n-k-k-mal

mit dem Restglied

Rm (x)

=

(m!l)!

L

m+l ( k-O -

m:

1

)

(x - xo)m+l-k (y - YO)k

Ix ... x

y ... y

m+l-k

k-mal

ｾ＠

ＨｾＬ＠

7])

ＨｾＬ＠ 7]) ein nicht niiher bekannter Punkt auf der Verbindungsgeraden von (xo, Yo) und (x, y), die ganz in D liegen soil.

wobei

Bemerkungen: (1) Wenn (x, y) hinreichend nahe bei (xo, Yo) liegt, dann ist i.a. die Verbindungsgerade zwischen diesen Punkten ebenfalls in D enthalten. (2) Die Formel

[(x - xo) :x

+ (y -

ist folgendermaBen zu interpretieren:

Yo) : ] n y

II

(xo, YO)

38

X Funktionen von mehreren Variablen

Man multipliziere entsprechend der Potenz n die Summe aus, wende aIle Ableitungen auf I an, werte diese Ableitungen an der Stelle (xo, Yo) aus und multipliziere mit dem Polynom (x - xO)i (y - yo/, wenn i die Ordnung der Ableitung und j die Ordnung der Ableitung y repriisentiert (i + j = n). Zur Verdeutlichung der Taylorschen Formel betrachten wir die Spezialfalle

tx

t

n = 0,1,2: n = 0: Mittelwertsatz

a I

L

o n! 1 [ (x - xo) 8x 8 + (y - Yo) 8]n I + Ro (x, y) n=O y (xo, yo)

I (x, y)

I (xo, Yo)

+ Ro (x, y).

Dies ist der sog. Mittelwertsatz fOr Funktionen mehrerer Variablen. n = 1: Linearisierung

I(x, y)

II(x, y) =

=

L 1

n=O

1 [(x - xo) 8x 8 n!

I (xo, Yo)

+ (x -

8]n I I + (y - Yo) a y

xo) Ix (xo, Yo)

+ (y -

+ Rdx, y)

(Xo, YO)

Yo) Iy (xo, Yo)

+ Rl (x,

Diese Formel wird zur Linearisierung von Funktionen verwendet, indem durch das Polynom auf der rechten Seite ersetzt wird.

y)

I (x,

I

y)

n = 2: Quadratische Niherung

I (x,

y)

L2

+ (y I (x, y)

I

a

1 [(x - xo) 8x 8 + (y - Yo) 8]n I n! + R2 (x, y) n=O y (xo, yo) I (xo, Yo) + (x - xo) Ix (xo, Yo) + (y - Yo) Iy (xo, Yo) 2 1[(x - xo) 28 +- 2 + 2 (x - xo) (y - Yo) -88 2! 8x 8x 8y YO)2

:22] II y

+ R2 (x, y) (XO,Yo)

I (xo, Yo) + (x - xo) Ix (xo, Yo) + (y - Yo) Iy (xo, Yo)

+21

( (x - xo) 2 Ixx (xo, Yo)

+ (y -

+ 2 (x -

xo) (y - Yo) Ixy (xo, Yo)

YO)2 Iyy (xo, YO»)

+ R2 (x,

y)

Bemerkung: Filhren wir den Richtungsvektor ii = ( x - Xo ) ein und definieren y -Yo

39

1.7 Der Taylorsche Satz

die Hessesche Matrix

H '= ( fxx (xo, Yo) . fxy (xo, Yo)

fxy (xo, Yo) ) fyy (xo, Yo)

kann man Fall n = 2 schreiben in der Form

...

f (x, y) - f (xo, yo) = n . grad f

I (xo,yo)

+ -2l

...... t

n

......

H n

+R2 (x, y) .

25. Beispiel: (1) Man berechne die Taylorreihe der Funktion

f (x, y)

i)

an der Stelle (xo, yo) = (0, zur Ordnung 2 lauten

f (x, y)

=

+ 2 y)

sin (x 2

bis zur Ordnung 2. Die partiellen Ableitungen bis

= sin (x 2 + 2 y)

f (0,

f x ( x, y) = 2 x cos (x 2 + 2 y) fy (x, y) = 2 cos (x 2 + 2y) f xx (x, y) fyy (x, y) fxy (x, y)

i)

fx ｾｯＬ＠ ｪｾ＠ fy 0, "4

= -4 x 2 sin (x 2 + 2 y) + 2 cos (x 2 + 2 y) = -4 sin (x 2 + 2y) = -4x sin (x 2 + 2y)

t jj

f"" fyy 0,

fxy 0,

"4

i

1

0 0 0 -4

o.

In die Formel rur die Taylorreihe bis zur Ordnung 2 eingesetzt folgt 1

2

1 + 2" (y - Yo) . (-4) + R2(x, y)

f (x, y)

1 - 2 (y -

ｾＩ＠

2

+ R2 (x, y) .

(2) Berechnung des Restgliedes R2 (x, y) rur die Funktion

f (x, y) = sin (x 2 + 2 y) am Entwicklungspunkt (xo, Yo) = (0, i). Das Restglied lautet mit einem nicht ry) auf der Verbindungsgeraden von (x, y) und (0, i) naher bekannten Punkt ＨｾＬ＠

R2 (x, y)

ｾ＠ {fxxx ＨｾＬ＠

ry) (x - xO)3

+ 3 fxxy ＨｾＬ＠

+3 fxyy (Cry) (x - xo) (y - YO)2

ry) (x - XO)2 (y - Yo)

+ fyyy ＨｾＬ＠

ry) (y - YO)3}.

40

X Funktionen von mehreren Variablen

Zur Abschiitzung von R2 (x, y) bestimmen wir die partiellen Ableitungen 3. Ordnung fxxx (x, y) = -12 x sin (x 2 + 2 y) - 8 x 3 cos (x 2 + 2 y) fxxy (x, y) -8x2 cos (x 2 + 2y) - 4 sin (x 2 + 2y) fxyy (x, y) = -8x cos (x 2 + 2y)

fyyy (x, y) Sei ｾ＠ E [0,

xl

-8 cos (x 2 + 2 y)

=

Y]

und'T} E ｛ｾＬ＠

Ifxxx ＨｾＬ＠ Ifxxy ＨｾＬ＠ Ifxyy ＨｾＬ＠ Ifyyy ＨｾＬ＠

'T})I 'T})I 'T})I 'T})I

.

beliebig, dann gelten die Abschiitzungen ＱＲｾ＠

< < <
Iprint('Oer relative Fehler in linearer Naherung ist', > evalf((tquer/abs(funct(VarO))*100)), '%'); > end: 33. Beispiele: (1) Die Schwingungsdauer eines Pendels der Lange L betragt

ｔｾＲＱｦ＠ Gesucht ist der Fehler in der Schwingungsdauer T, wenn L 0.001 m und 9 = 9.81 ｾ＠ bis auf 0.005 ｾ＠ genau gegeben ist.

= 1 m nur bis auf

> fehler(2*Pi*sqrt(Ug), L=1..1.001, g=9.81..9.815); Der Funktionswert an der Stelle PO ist 2.006066681 Der absolute Fehler in linearer Naherung ist .1514263382 e-2 Der relative Fehler in linearer Nliherung ist .7548419980e-l %

(2) Der absolute sowie relative Fehler aus Beispiel 32 bestimmt sich mit der Prozedur fehler durch a) Reihenschaltung > fehler(R1 +R2, R1 =RO .. RO+O. hRO, R2=5*RO .. 5*RO+0. hRO); Der Funktionswert an der Stelle PO ist 6. * RO Der absolute Fehler in linearer Nliherung ist .2 * abs(RO) Der relative Fehler in linearer Naherung ist 3.333333334 % b) Parallelschaltung > fehler(RhR2/(R1+R2), R1=RO .. RO+0. hRO, R2=5*RO .. 5*RO+0. hRO); Der Funktionswert an der Stelle PO ist .8333333333 * RO Der absolute Fehler in linearer Naherung ist .7222222222e-l * abs(RO) Der relative Fehler in linearer Naherung ist 8.666666666 %

54

X Funktionen von mehreren Variablen

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen 1m folgenden betrachten wir eine Funktion z = f (x, y) von zwei Variablen x und y, deren partiellen Ableitungen bis zweiter Ordnung stetig sind. Wie bei Funktionen einer Variablen suchen wir zur Charakterisierung der Funktion nach solchen Punkten, in denen der Funktionswert von f am groJ3ten bzw. kleinsten wird. Bei der Diskussion schriinken wir uns auf die lokalen Maxima und Minima ein: Definition: (Lokales Extremum) Eine Funktion z = f (x, y) besitzt an der Stelle (xo, Yo) E [) ein relatives Maximum (bzw. relatives Minimum), wenn in einer Umgebung des Punktes (xo , Yo) for aile (x, y) =I (xo, Yo) stets gilt

f (xo, Yo) > f (x , y)

(bzw.

f (xo , Yo) < f (x , y)).

Die relativen Maxima und Minima faJ3t man unter den Begriff "relative Extremwerle " zusammen. Relative Extremwerte werden manchrnal auch als lokale Extremwerte bezeichnet, da die extreme Lage nur in unrnittelbarer Umgebung von (xo , Yo), nicht aber global zutriffi.

34. Beispiele: (1) Die Funktion

f (x , y)

= x2

+ y2 + 4

besitzt im Punkt (xo, Yo) = (0, 0) ein lokales (sogar globales) Minimum. Mit

> f := (x,Y) -> x"2+y"2+4: > t := (x,Y) -> f(O,O)+D[1](f)(O,O)*x + D[2](f)(O,O)*y: > plot3d( {f(x,Y), t(x,Y)}, x=-2 ..2, y=-2 ..2, axes=boxed, > style=PATCHNOGRID,orientation=[45,81]);

wird neben der Funktion

f

noch die Tangentialebene im Punkte (0, 0) gezeichnet.

55

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

(2) Die Funktion

f (x, y) = e-(x2+y2) besitzt im Punkte (xo , Yo)

=

(0, 0) ein lokales (sogar globales) Maximum:

> f := (x,Y) -> exp(-(x'2+{2)): > t := (x,Y) -> f(O,O)+D[1](f)(O,O)*x+D[2](f)(O,O)*y: > plot3d( {f(x,Y), t(x,Y)}, x=-2 .. 2, y=-2 ..2 ,axes=boxed, > style=PATCHNOGRID, orientation=[71 ,83]);

-2

Fur eine stetig differenzierbare Funktion f (x) einer Variablen x besagt die notwendige Bedingung fur ein lokales Extremum Xo E D, daB dann die Tangente im Punkt (xo, f (xo)) parallel zur x-Achse verlauft: f' (xo) = O. Hat eine Funktion f (x , y) von zwei Variablen in (xo , Yo) ein lokales Extremum, dann ist die Tangentialebene parallel zur (x, y)-Ebene. Die Tangentialebene Zt von f lautet nach § 1.4 Zt

(x, y) = f (xo, Yo)

of

+ ax

(xo,Yo) (x - xo)

of

+ oy

(xo, Yo) (y - Yo).

Sie liegt parallel zur (x , y)-Ebene, wenn sowohl die partielle Ableitung nach x als auch nach y im Punkt (xo, Yo) Null ist. Satz: Notwendige Bedingung fUr ein relatives Extremum In einem relativen Extremum (xo, Yo) E D besitzt die Funktion Tangentialebene parallel zur (x, y)-Ebene:

(xo, Yo) relatives Extremum ｾ＠

of ax (xo, Yo) = 0

&

of

f (x, y)

eine

By (xo, Yo) = O.

56

X Funktionen von mehreren Variablen

1st (xo, Yo) ein relatives Extremum, dann verschwindet also der Gradient von in (xo, yo):

f

Igrad f (xo, Yo) = 0·1

Man beachte, daB dieser Satz nicht umkehrbar ist!: 35. Beispiel: Die Funktion

f (x, y)

= x· y

hat im Punkte (xo, Yo) = (0, 0) eine waagrechte Tangentialebene:

of

ｾ＠

ｾ＠

ox (x, y) = y

of

oy (x, y) = x

ｾ＠

ｾ＠

(0, 0)

=0

} ｾ＠

grad f (0, 0)

= O.

(0,0) = 0

Aber in einer Umgebung des Punktes (0, 0) existieren positive und negative Funktionswerte, wie man dem Funktionsgraphen entnimmt > plot3d(x*y, x=-1 .. 1, y=-1 .. 1, axes=boxed, > style=PATCHNOGRID, orientation=[156,81));

Folglich hat Sattelpunkt.

f

bei (0,0) kein lokales Extremum. Man nennt den Punkt einen

Definition: (Stationiirer Punkt) Der Punkt (xo, Yo) heif3t stationiirer Punkt von f, wenn

grad f (xo, Yo) = O.

Relative Extrema sind demnach stationare Punkte, aber nicht aile stationare Punkte sind nach Beispiel 35 relative Extrema. Ein stationarer Punkt P ist dadurch charakterisiert, daB die Tangentialebene von f in P parallel zur (x, y)-Ebene verlauft.

57

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

Urn zu entscheiden, ob in einem stationiiren Punkt (xo, YO) ein lokales Extremum vorliegt, entwickeln wir I nach dem Satz von Taylor in der Umgebung von

(xo, Yo)

I (x,

y)

=

I (xo, Yo) + Ix (xo, Yo) (x - xo) + Iy (xo, Yo) (y - Yo) Ｋｾ＠ (Ixx (xo, Yo) (x - xO)2 + 2/xy (xo, Yo) (x - xo) (y - Yo) + Iyy (xo, YO) (y - YO)2)

+ R2 (x,

y)

Da Ix (xo, Yo) = Iy (xo, Yo) = 0, entfallen die Ableitungen erster Ordnung; fOr die Ableitungen zweiter Ordnung schreiben wir

I (x,

y) =

I (xo, Yo) + ! Ixx (xo, Yo) {(X - xo) + ｾｘｹ＠

+! f xx (1Xo, Yo )

to,

ｙｏｾ＠

xx Xo, Yo

{lxx (xo, Yo) Iyy (xo, Yo) - {;y (xo, Yo)}

(y _ YO)}2

(y - YO)2 +R2 (x, y)

Es gilt: i) 1st

Ixx (xo, Yo) > 0 und Ixx (xo, Yo) Iyy (xo, Yo) - I;y (xo, Yo) > 0 ｾ＠ I (x, y) > I (xo, Yo) + R2 (x, y),

ii) 1st

Ixx (xo, Yo) < 0 und Jxx (xo, Yo) Jyy (xo, Yo) - J;y (xo, Yo) > 0 ｾ＠ I (x, y) < I (xo, Yo) + R2 (x, y).

Foiglich entscheidet der Ausdruck

Ixx (xo, Yo) Iyy (xo, Yo) - I;y (xo, Yo) > 0 ob in einem stationiiren Punkt ein Extremum vorliegt: Satz: Hinreichende Bedingung fOr ein lokales Extremum I (x, y) sei zweimal stetig partiell differenzierbar in (xo, Yo) E D. 1m Punkt (xo, Yo) liegt ein lokales Extremum vor, falls

Ix (xo, Yo) = 0, Iy (xo, Yo) = o. (2) l:::.:= Jxx (xo, Yo) . Iyy (xo, Yo) - J;y (xo, Yo) > o. Fiir Ixx (xo, Yo) < 0 liegt ein relatives Maximum vor. Fiir Ixx (xo, Yo) > 0 liegt ein relatives Minimum vor.

(1)

1st hingegen in einem stationiiren Punkt (xo, Yo)

Ixx (xo, Yo) Iyy (xo, Yo) - {;y (xo, Yo) < 0, so liegt kein Extremum, sondem ein Sattelpunkt vor.

58

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkungen: (1) Wie bei Funktionen einer Variablen wird die zweite Ableitung herangezogen, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. (2) Definiert man die sog. Hessesche Matrix Hess I :=

(Ixx Ix y ), Iyx Iyy

entscheidet die Determinante der Hesseschen Matrix im Punkte (xo, Yo), ob ein Extremum vorliegt. (3) Es gilt: det(Hess f) < 0 det(Hess f) = 0

kein Extremwert, sondern Sattelpunkt. keine Entscheidung m6glich, ob an der Stelle (xo, Yo) ein Extremum vorliegt. ein Extremum liegt vor.

det(Hess f) > 0

36. Beispiele: (1) Die Funktion

I (x, y) = x 2 + y2 + c

hat im Punkte (xo, Yo) = (0, 0) ein lokales Minimum: (i) Aus grad I

Ix (x, Iy (x,

y) y)

= 0 folgen

die stationiiren Punkte

= 2 x ｾ＠ 0 =} x = 0 = 2y = 0 =} Y = 0

}

=}

(x, y)

= (0, 0)

ist stationiirer Punkt.

(ii) Einsetzen des stationiiren Punktes in D:,:

Ixx (0, 0) = 2 Iyy (0, 0) = 2 Ixy (0,0) = 0

} =}

6

= Ixx (0, 0) . Iyy (0, 0) - I;y (0, 0) = 4 > O.

=} (0, 0) ist relatives Extremum. Wegen mum vor.

Ixx (0, 0) > 0

liegt ein relatives Mini-

(2) Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

I (x, y)

= (x 2 + y2)2 - 2 (x 2 _ y2).

(i) Aus grad I = 0 folgen die stationiiren Punkte

Ix (x, Iy (x,

y) y)

=

4x (x 2 + y2) - 4x ｾ＠ 0 4y (x 2 + y2) + 4y ｾ＠ O.

59

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

Die reellen Losungen sind nach Beispiel 39 (0, 0); (1, 0) und (-1,0). Hochstens an diesen Stellen kann I ein Extremum annehmen. (ii) Einsetzen der stationiiren Punkte in 1::.:

Ixx (x, Iyy (x, Ixy (x,

+ 4y2 - 4 12y2 + 4x 2 + 4

12x2

y) y) y)

8xy.

=> I::. (0,0) = Ixx (0,0) . Iyy (0,0) - {;y (0,0) = -4·4 - 0 = -12 < 0 '---t

in (0, 0) liegt kein Extremum, sondem ein Sattelpunkt vor.

=> I::. (1, 0) = Ixx (1, 0) . Iyy (1, 0) - {;y (1, 0) = 8·8 - 0 = 64 > 0 '---t

in (1, 0) liegt ein lokales Minimum vor, da

Wegen der Symmetrie kales Minimum vor.

I (- x, y)

=

I (x, y)

Ixx (1, 0) = 8 > O.

liegt auch im Punkt (-1, 0) ein 10-

(3) Die Funktion I

I

hat in (0,0) einen Sattelpunkt : Aus Ix (x, y) = 2x ｾ＠ 0 und Iy (x, y) = 2y ｾ＠ 0 => (x, y) = (0,0) ist einziger stationiirer Punkt. Da Ixx (x, y) . Iyy (x, y) y (x, y) = -4 < 0 fUr aIle (x, y) ist (0,0) kein lokales Extremum, sondem ein Sattelpunkt.

I:

z

z

y

y

x

Funktion I(x, y) = c + x 2 + y2

x Funktion I(x, y) = c + x 2 _ y2

Die Prozeduren stationaer und extremum bestimmen die stationiiren Punkte einer Funktion und priifen nach, ob ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. Die Prozedur stationaer berechnet die stationiiren Punkte einer FUnktion I von n Variablen

60 Xl, ... , X n ,

X Funktionen von mehreren Variablen

indem aIle partiellen Ableitungen von ｾ＠

of

(Xl, ... ,

UXi

Xn)

f

(i=I, ... ,n)

= 0

auf Null gesetzt werden. Die Gleichungen werden in der Prozedur mit eq.i (i = 1, ... , n) bezeichnet und mit dem solve-Befehl nach den Variablen var.i (i = 1, ... , n) aufgel6st. Der Aufruf der Prozedur erfolgt durch die Angabe von - f: - varl, . .. , varn:

ｆｾｩｯｮｳ｡ｵ､ｲ｣ｫ＠

Variablen der Funktion

f.

> stationaer:=procO > # Prozedur zur Bestimmung der stationaren Punkte > # einer Funktion von n Variablen: gradf(x1, x2, .. , xn) = O. > > local funct, n, i, df;

> funct:=args[1]: > n:=nops([args])-1: > > > > >

for i from 1 to n do var.i:=args[1+i]: od: for i from 1 to n do eq.i:=diff(funct, var.i)=O: od: > solve( {seq(eq.i,i=1 .. n)}, {seq(var.i,i=1 .. n)}); > end:

37. Beispiel: Gesucht sind die stationaren Punkte der Funktion

f (X, y)

= e- X

2

2 -y .

> f := exp(-x"2-y"2): > stat := stationaer(f, x, y); stat:= {X = 0, y = O} Der einzige stationare Punkt ist (x, y) = (0, 0). Urn zu prilfen, ob dieser stationare ｐｾ＠ ein lokales Extremum darsteIlt, verwendet man die Prozedur extremum-.2d. Sie priift nach, ob fUr einen vorgegebenen Punkt das Kriterium

l:::. = fxx (xo, Yo) fyy (xo, Yo) - f:y (xo, Yo) > 0 erfiillt ist. Der Zusatz _2d besagt, daB nur Funktionen von zwei Variablen zugelassen sind. Der Aufruf von extremum-.2d erfolgt durch die Angabe des Funktionsausdrucks, den beiden Variablen sowie dem stationaren Punkt in der Form {varl = xO, var2 = yO}.

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

61

> extremum_2d:=procO > # Prozedur zur Entscheidung, ob in einem stationaren Punkt > # der Funktion z=f(x, y) auch ein lokales Extremum vorliegt. > > > > > >

local funct, var1, var2, delta, deltaO, f...xxO; funct:=args[1]: var1 :=args[2]: var2:=args[3]: delta:=diff(funct, var1 $2)*diff(funct, var2$2)-diff{funct, var1, var2f2: deltaO:=evalf(subs(args[41, delta»: LxxO:=subs(args[41, diff{funct, var1 $2»:

> if deltaO > 0 then Iprint('ln', args[41, 'liegt ein lokaler Extremwert vor:'): > if evalf(f...xxO) > 0 then Iprint('Oa f...xx > 0 ist dies ein lokales Minimum'): > else Iprint('Oa f...xx < 0 ist dies ein lokales Maximum'): >

fi;

> elif deltaO = 0 then Iprint('Oa die Hessesche Matrix die Oeterminante > > >

0 hat, kann nicht '): Iprint('entschieden werden, ob im Punkt ',args[41,'ein lokaler Extremwert vorliegt.'): > else Iprint ('1m Punkt', args[41, 'liegt ein Sattelpunkt vor'): > fi; > end: 38. Beispiel: 1st der stationare Punkt (x, y) = (0,0) ein lokales Extremum der Funktion f (x, y) = e-(",2+ y2)?

> extremum2d(f, x, y, stat); 1m Punkt {x = 0 , y = O} liegt ein lokaler Extremwert vor: Da f --xx < 0 ist dies ein lokales Maximum

39. Beispiel: Gesucht sind die Extremwerte der Funktion

f (x, y)

=

(x 2 + y2)2 _ 2 (x 2 _ y2) .

> f := (x"2+y"2f2-2*(x"2-y"2): > stat := stationaer(f, x, y); stat:={x=O,y=O}, {x=0,y=RootOf(_Z2+1)} , {x = 1, Y = O} , {x = -1, Y = O} Die reellen stationaren Punkte sind (0, 0), (1,0) und (-1,0). Mit extremum-2d prafen wir fUr jeden Punkt nach, ob ein Extremum vorliegt:

> extremum_2d(f, x, y, stat[1]); 1m Punkt {x

= 0, y = O}

liegt ein Sattelpunkt vor

> extremum_2d{f, x, y, stat[3]); 1m Punkt {x = 1, y = O} liegt ein lokaler Extremwert vor: Da f --xx > 0 ist dies ein lokales Minimum

62

X Funktionen von mehreren Variablen

> extremum_2d(f, X, Y, stat[4]); 1m Punkt {x = -1, Y = O} liegt ein lokaler Extremwert vor: Da ! -xx > 0 ist dies ein lokales Minimum

Relative Extrema fOr Funktionen mit mehreren Variablen Der Begriff des relativen Extremum liillt sich auch auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen y = ! (Xl, ... , Xn) tibertragen: Eine notwendige Bedingung fUr ein Extremum im Punkte ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ ist, daB der Gradient von ! in diesem Punkt verschwindet: Die Funktion y = ! (Xl"'" Xn) besitzt im Punkte ＨｸｾＬ＠ Extremum, dann gilt grad! ＨｸｾＬ＠ ... , ｾＩ＠ｸ = O. Dies bedeutet, daB im Punkte ＨｸｾＬ＠ den axJ ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠

... , ｸｾＩ＠ =

... , ｸｾＩ＠

ein lokales

aIle partiellen Ableitungen verschwin-

0, ... , ax..! ＨｸｾＬ＠

... , ｸｾＩ＠

=

O.

Urn eine hinreichende Bedingung zu erhalten, geht man zu der entsprechenden Hesseschen Matrix

IXI Hess!:=

fX2 Xl :

ex'"'

fXnXI

X2

fX2 X2

!x

n X2

ix, x. ) fX2 Xra.

!Xn X ".

aller partiellen Ableitungen der Ordnung 2 tiber. Man beachte, daB die Matrix symmetrisch ist, da nach dem Satz von Schwarz

fUr zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen ist. Zur Charakterisierung der Extremwerte filhren wir fUr symmetrische Matrizen folgenden Sprachgebrauch ein: Definition: Eine symmetrische (n x n )-Matrix A heiftt positiv definit, wenn fUr aile k = 1, ... , n die Unterdeterminanten 6k grofJer Null sind

A=

2.3 Lokale Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen

63

Eine symmetrische Matrix heifit negativ definit, wenn die Matrix (-A) positiv definit ist. FOr definite Matrizen gilt der folgende Satz: A ist genau dann positiv (negativ) definit, falls aile Eigenwerte (Kap. XI.2.3) von A positiv (negativ) sind.

Satz: Hinreichende Bedingung fOr lokale Extrema Sei y = I (Xl, ... , Xn) eine Funktion mit n Variablen. In einem stationiiren Punkt ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ liegt ein lokales Maximum vor, wenn die Hessesche Matrix Hess I im Punkte ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ negativ definit ist; es Iiegt ein lokales Minimum vor, wenn sie positiv definit ist. FOr Funktionen I mit n Variablen (Xl, ... , Xn) priift die Prozedur extremum_nd nach, ob in einem stationiiren Punkt ein lokales Extremum vorliegt. Ais Entscheidungskriterium wird die Definitheit der Hesseschen Matrix IXI XI

Hess (1)

=

(

: fXn

Xl

iiberpriift. Die Hessesche Matrix wird mit dem Befehl > hessian(function, [x_1, ... , x_n]); aufgestellt. Der hessian-Befehl ist im Iinalg-Paket enthalten. Uber das Vorzeichen der Determinante aller Untermatrizen

wird die positive oder negative Definitheit der Matrix bestimmt. Mit dem submatrix-Befehl > submatrix(H, 1.. i, 1.. i); werden die Untermatrizen gebildet. 1st die Matrix weder positiv noch negativ definit, dann nennt man sie indefinit und im stationiiren Punkt liegt kein lokales Extremum vor. Der Aufruf der Prozedur extremum_nd erfolgt analog extremum2d.

> extremum_nd:=proc{} > # Prozedur zur Entscheidung, ob in einem stationaren Punkt der Funktion > # z=f(x1, x2, ... , xn) auch ein lokales Extremum vorliegt. > > local funct, n, i, var, H, H1, definit; > funct=args[1]: > n:=nops([args])-2: > with(linalg): > for i from 1 to n > do var[i]:=args[1+i]: od: >

64

X Funktionen von mehreren Variablen

> # Hessesche Matrix > H:=hessian(funct, [seq(var[iJ, i=1 .. n)]); > H1 :=subs(args[n+2J, eval(H»; > print(,Oie Hessesche Matrix', eval(H»;

> print(,lautet im Punkt',args[n+21,':', eval(H1»: > > # Bestimmung der Oefinitheit > definit:= true: > if evalf(H1 [1, 1]) = 0 then definit:=false: fi: > if evalf(H1[1,1]) < 0 then H1:=evalm(-1*H1}: fi: > > for i from 1 to n > do d.i:=evalf(det(submatrix(H1, 1.. i, 1.. i}}}: > if signum(d.i} 1 then definit:=false: fi: > od: > > if definit then Iprint(,lm Punkt',args[n+21,'liegt ein lokaler Extremwert vor:'}: > if evalf(H1 [1,1]) > 0 then Iprint('Oa Lxx > 0 ist dies ein lokales Minimum'} > else Iprint('Oa Lxx < 0 ist dies ein lokales Maximum'} > fi; > else Iprint('Oa die Hessesche Matrix indefinit ist, liegt im Punkt '}: > Iprint(args[n+21,'kein lokaler Extremwert vor'} > fi; > end: 40. Beispiel: Gesucht sind die lokalen Extrema der Funktion

f (x,

y, z) = e- ( x 2+ Y 2+ z 2) .

Stationire Punkte: > f:=exp(-x"2-y"2-z"2}: > stat:=stationaer(f, x, y, z); stat := {z = 0, x = 0, y = O}

Extremum: > extremum_nd(f, x, y, z, stat}; 4zx%1 -2%1+4x 2 %1 4yx%1 4yx%1 -2%1+4 y2%1 Die Hessesche Matrix 4zy%1 4zx%1 4zy%1 -2%1+4z 2 %1 %1 := e( _x2_y2_z2) -2eo o o lautet im Punkt, {z = 0, x = 0, y = O},:, o o -2e o o 1m Punkt {z = 0, x = 0, y = O} liegt ein lokaler Extremwert vor: Da Lxx

>

0 ist dies ein lokales Minimum

2.4 Ausgleichen von Me6fehlem; Regressionsgerade

65

Zur Berechnung der lokalen Extrema kann auch der MAPLE-Befehl extrema herangezogen werden. > readlib(extrema): > extrema(x"2+y"2+c, {}, {x,Y}, extr);

{c} Der extrema-Befehl bestimmt von der Funktion f(x, y) = x 2 + y2 + c die Extremwerte beziiglich den Variablen {x, y} und liefert als Ergebnis die Menge der extremen Funktionswerte. 1m Namen extr werden die Extremalpunkte abgespeichert > extr;

{{x=O,y=O}} 1m zweiten Argument des Aufrufs konnen in {} noch Nebenbedingungen angegeben werden, unter welchen die Extremwerte bestimmt werden sollen. > f:=(x"2+y"2r2-2*(x"2-y"2): > extrema(f, {}, {x,Y}, extr): > extr;

{ { x = 0, y = RootO f (- Z2 + I)} , {x = 0, y = O}, {y = 0, x = I} , {y = 0, x = -I}}

2.4 Ausgleichen von Me8fehlern; Regressionsgerade Eine sehr wichtige Anwendung der Theorie der Extremwerte ist das Ausgleichen von Me13fehlem: Durch Messungen, welche die Abhangigkeit einer Gro13e y von einer anderen Gro13e x ermitteit, seien n Wertepaare (Xl, YI), ... , (xn, Yn) erfaJ3t worden. Die Aufgabe der Ausgleichsrechnung besteht darin, eine Funktion f (x) zu finden, die sich einerseits den vorliegenden Me13punkten moglichst gut anschmiegt und die andererseits einen moglichst glatten Verlauf besitzt. 41. Beispiel: Gemessen wird die Temperaturabhangigkeit eines Ohmschen Widerstandes. Gesucht ist eine Gerade, welche die Me13punkte "geeignet" reprasentiert. R

T

Abb. 14: Temperaturabhlingigkeit eines Ohmschen Widerstandes

66

X Funktionen von mehreren Variablen

Prinzip der kleinsten Quadrate Die gesuchte Funktion f (x) soIl die.Eigenschaft besitzen, daB die Abstandsquadrate der MeBpunkte zur Ausgleichsfunktion minimal werden:

d3

(X3'Y3) d2 (X2,Y2)

x, Abb. 15: Abstande d i zur Ausgleichsfunktion

Der Abstand vom MeBpunkt Yi zur Ausgleichsfunktion di = Yi -

f (xd

am Punkte Xi ist

f (Xi) .

Die Summe uber aIle Abstandsquadrate ist daher n

2: ､ｾ＠

n

=

i=1

2: (Yi -

f (Xi))2

i=1

Je nach vermutetem funktionalen Zusammenhang wiihlt man sich fUr die gesuchte Funktion einen Losungsansatz.

Tabelle: Ausgleichsfunktionen

I Ausgleichsfunktion

lineare Funktion quadratische Funktion ganzrat. Funktion Potenzfunktion Exponentialfunktion

I

I Parameter

f (x) = ax + b f(x) =ax2 +bx+c f (x) = an xn + ... + a1 f (x) = ax b f (x) = ae b'"

X

+ ao

a, b a, b, c an, an-I, ... , ao a, b a,b

In jeder Ansatzfunktion f (x) sind Parameter enthalten, die so bestimmt werden mussen, daB die Summe der Abstandsquadrate minimal wird ("Prinzip der kleinsten Quadrate"): n

F (a, b, c, ... ) :=

2: (Yi -

f (Xi))2

-+

minimal.

i=l

Diese Summe ist wiederum eine Funktion der Parameter F (a, b, c, .. . ). Gesucht ist ein Minimum dieser Funktion. Aus der Theorie der Extrema §2.3 kennen wir

2.4 Ausgleichen von Me6fehlern; Regressionsgerade

67

eine notwendige Bedingung fUr ein lokales Extremum: AIle partiellen Ableitungen miissen im stationaren Punkt verschwinden

DF => Da

DF Db

= 0,

= 0,

DF Dc

= 0, ...

Dies liefert genauso viele (La. nichtlineare) Gleichungen wie Parameter im Ansatz enthalten sind.

Methode der kleinsten Quadrate: Zu n vorgegebenen MeBpunkten (Xi, Yi)i=l, ... , n laBt sich eine Ausgleichskurve wie folgt bestimmen: (1) Auswahl einer Ansatzfunktion (Gerade, Parabel, ... ). Dieser Ansatz enthalt zuniichst unbestimmte Parameter a, b, c, . ... (2) Man bildet die Summe der Abstandsquadrate n

F (a, b, c, ... ) =

L

(Yi -

f (Xi))2

i=l

Diese Summe ist eine Funktion der freien Parameter. (3) Die Parameter werden dann so bestimmt, daB die Funktion F (a, b, c, ... ) minimal wird, d.h.

DF Db =0,

DF =0 Da '

DF Dc =0, ....

Regressionsgerade. Wir werden nur den fUr die Anwendungen wichtigsten Spezialfall der Regressionsgeraden diskutieren. Wir nehmen an, daB zu n verschiedenen x- Werten Xl, ... , Xn die zugehorigen y- Werte YI, ... , Yn vorliegen, so daB n MeBpunkte (Xl, yd; (X2' Y2); ... ; (xn, Yn) gegeben sind. Gesucht sind die Parameter a und b in der Regressionsgeraden

f (x)

= ax + b,

so daB die Summe der Abstandsquadrate minimal wird. Der Abstand di der MeBpunkten zur Ausgleichsgeraden lautet

Die Summe der Abstandsquadrate n

F (a, b) =

L i=l

n

､ｾ＠

=

L i=l

(Yi - aXi - b)2

68

X Funktionen von mehreren Variablen

ist dann eine Funktion der beiden Parameter a und b. Von der Funktion F (a, b) suchen wir ein globales Minimum. Urn die stationaren Punkte zu bestimmen, setzen wir die partiellen Ableitungen von F nach a und b gleich Null: n

8F 8a

i=l

n

n

n

i=l

i=l

i=l

-2 LYixi+2a Lx:+2b ｌｘｩｾｏＮ＠ n

8F 8b

i=l

n

n

n

i=l

i=l

i=l

-2 L Yi + 2 aLXi + 2 L bｾ＠

O.

Diese notwendigen Bedingungen bilden ein lineares Gleichungssystem fur a und b:

Ｈｾｘ［Ｉ＠

a

(tXi) b

+

,=1

(t

a

x ,)

+

b

n

n

LXiYi i=l

n

LYi. i=l

Da fur die Koeffizientenmatrix

6. =

I

2:>T LXi

LXi n

n Xi - (n)2 L Xi

I = nL

2

,=1

,=1

erhalten wir z.B. mit der Cramerschen Regel die eindeutige Losung des linearen Gleichungssystems

Urn zu iiberpriifen, daB F im Punkte (ii, b) ein lokales Minimum annimmt, berechnen wir noch Faa(ii, b) . Fbb(ii, b) - F:b(ii, b): n

n

Faa = 2

LX:; i=l

Fbb

=

2n;

Fab = 2

LXi i=l

69

2.4 Ausgleichen von MeBfehlern; Regressionsgerade

=>F••.

ｆＬＭＺ｢ｾＴｮ＠

ｾｸｬＭＴ＠

Ｈｾｸ［ｲ＠

ｾＴＢＧ＾ｏＮ＠

Durch die Methode der kleinsten Quadrate wird also die Gerade

als lineare GUtttungsfunktion fur die MeBpunkte bestimmt. Diese Gerade heiBt auch Regressionsgerade oder Ausgleichsgerade. 42. Beispiel: Wir betrachten ein einfaches Beispiel aus 6 MeBwerten:

ｾ＠ II ＠ｾ

1

5

2 3 7 8

4

10

5 10

Dann ist

6. = 6· (1 + 22 + 32 + 42 + 52) - (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2 = 105

a = _1_ 105

[6. (1 . 5 + 2 . 7 + 3 . 8 + 4 . 10 + 5 . 10) (1

51

+ 2 + 3 + 4 + 5) (3 + 5 + 7 + 8 + 10 + 10)] = 35'

Analog berechnet sich

b=

ｾｦＮ＠

Die Regressionsgerade hat somit die Form

FOr eine groBere Anzahl von MeBpunkten muB selbst die Bestimmung der Regressionsgeraden auf einem Rechner durchgefiihrt werden. Die Prozedur Regressionsgerade bestimmt zu einer Liste aus vorgegebenen MeBwerten [[Xl, YI]"'" [x n, Yn]] die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden und zeichnet sowohl die MeBwerte als auch die Ausgleichsgerade in ein Schaubild. Der Aufruf erfolgt wie der plot-Befehl fur eine Liste von Punkten.

> Regressionsgerade: =procO > # Prozedur zur Bestimmung der Regressionsgeraden > > local n, i, A11, A12, b1, b2, delta, a, b, p1, p2; > > n:=nops(args[1)): > for i from 1 to n > do x.i:=op(1, args[1][i)): > y.i:=op(2, args[1][i)): > od: >

70

X Funktionen von mehreren Variablen

> A11:=sum('x.i"2','i'=1 .. n): > A12:=sum('x.i','i'=1 .. n): > b1 :=sum('x.i*y.i' ,'i'=1 .. n): > b2:=sum('y.i','i'=1 .. n): > > delta:=A1hn-A12"2: > a:=1/delta*(n*b1-A 12*b2); > b:=1/delta*(A1hb2-A12*b1); > > print(,Oie Regressionsgerade lautet " a*x+b); > p1 :=plot(args, style=point, symbol=circle, color-red): > p2:=plot(a*x+b, x=x.1 .. x.n, thickness=2): > with(plots): display( {p1, p2}); > end: 43. Beispiel: > Regressionsgerade([[O,3],[1 ,5],[2,7],[3,8],[4,10],[5,10)));

•

10

•

•

o

D·Ie RegresslOnsgera . de Iautet, 35 51 x

+ 74 21

Wir haben den Fall der Ausgleichsgeraden ausruhrlich behandelt, da er durch Modifikation der MeBwerte auch die logarithmische, die exponentielle sowie die Potenzanpassung beinhaltet: Bemerkungen: (1) 1st eine logarithmische Anpassung

If(x)=alnx+bl an die MeBwerte gesucht, ruhrt man die Hilfsvariable z = In x ein. Aus den x- Werten der Messung wird der Logarithmus gebildet und von den MeBwerten (Xi, Yi), i = 1, ... , n zu den Wertepaaren (In (Xi), Yi), i = 1, ... , n ubergegangen. Mit diesen Daten bestimmt man die Ausgleichsgerade.

2.4 Ausgleichen von MeBfehlern; Regressionsgerade

71

(2) 1st eine exponentielle Anpassung

an die MeBwerte gesucht, bildet man von der Gleichung

den Logarithmus lny

= Ina + b· x = Ax + B.

Aus den (Xi, Yi)-MeBwerten geht man zu den Wertepaaren (Xi, In (Yi)) tiber und bestimmt die Parameter A und B der Ausgleichsgeraden. Dann ist b = A und a=e B . (3) 1st eine Potenzanpassung

f (x)

=

axb

an die MeBwerte gesucht, bildet man von der Gleichung

den Logarithmus lny

= Ina + b lnx.

Aus den (Xi, Yi)-MeBwerten geht man zu den Wertepaaren (In (Xi), In (Yi)) tiber und bestimmt die Ausgleichsgerade

y=Ax+B. Dann ist b = A

und

a

=

eB .

In Verallgemeinerung der Vorgehensweise bei der Berechnung der Parameter der Ausgleichsgeraden bestimmt die Prozedur ausgleich die freien Parameter einer vorgegebenen Polynomfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate. Der Aufruf von ausgleich erfolgt durch die Angabe des Ausgleichspolynoms, aller Parameter, die angepaBt werden sollen, sowie der Liste aus MeBwerten.

> ausgleich:=procO > # Prozedur zur Bestimmung des Ausgleichspolynoms > > local n, i, n_para, n_werte, funct, F, p1, p2, sol; > > n:=nops([args]): > n_para:=n-2:

72

X Funktionen von mehreren Variablen

> n_werte:=nops(args[n]): > funct:=args[1]: > > for i from 1 to n_para > do var.i:=args[i+1]: od: > > for i from 1 to n_werte > do x.i:=op(1, args[n][i]): >

y.i:=op(2, args[n][i]): od:

>

> # Abstandsquadrate

> F:=sum('(subs(x=x.i, funct)-y.if2','i'=1 .. n_werte): > for i from 1 to n_para > do eq.i:=diff(F, var.i)=O: od:

> > sol:=solve{seq(eq.i,

i=1 .. n_para)},{seq(var.i, i=1 .. n_para)});

> > print('Die Ausgleichsfunktion lautet',subs(sol, funct));

> print('Das Abstandsquadrat ist' ,evalf(subs(sol, F))); > p1 :=plot(args[n], style=point, symbol=circle, color-red): > p2:=plot(subs(sol, funct), x=x.1 .. x.n_werte, thickness=2): > with(plots): display( {p1, p2}); > end: 44. Beispiel: Zu den MeBwerten aus Beispiel 43 soli eine Ausgleichsparabel bestimmt werden. > ausgleich(a*x 2+b*x+c, a, b, c, [[0,3],[1,5],[2,7],[3,8],[4,10],[5,10]); A

10

. Ausg I· h funkt·Ion Iautet, - 28 5 2 x elc s

Ole

41 + 47 20 x + 14

Das Abstandsquadrat ist, .4857142857 Die Parabel paBt sich besser als die Regressionsgerade den MeBwerten an (vgl. Beispiel 43).

73

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

§3. Integralrechnung ffir Fnnktionen von mehreren Variablen Wir beschafiigen uns in diesem Abschnitt mit mehrdimensionalen Integralen. Die Obertragung vom eindimensionalen auf den mehrdimensionalen Fall bereitet im Prinzip keine Schwierigkeiten, wird aber von seiner Konstruktion her sehr viel aufwendiger. Zunachst fiihren wir in §3.I Doppelintegrale zur Bestimmung von Volumina, Schwerpunkten von ebenen Flachen und Flachenmomenten ein. AnschlieBend in §3.2 tibertragen wir die Vorgehensweise auf Dreifachintegrale, urn Schwerpunkte und Massentragheitsmomente von Korpem zu berechnen. Eine weitere Moglichkeit, den Integralbegriff auf Funktionen mit mehreren Variablen zu erweitem, besteht in der Integration entlang einer Linie. Dies fiihrt auf den Begriff der Linienintegrale (§3.3), die in der Elektrodynamik und Thermodynamik zur Berechnung der Energie herangezogen werden. In §3.4 werden Oberflachenintegrale zur FluBberechnung diskutiert.

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale) 3.1.1 Definition Das bestimmte Integral einer positiven Funktion f (x) im Intervall [a, bJ reprasentiert die Flache, welche die Kurve f (x) mit der x-Achse im Bereich [a, bJ einf (x) dx schlieBt. Definiert wird das bestimmte Integral als Grenzwert tiber die Summe aller Rechteckflachen (Xk - Xk-l) f ＨｾｫＩＧ＠ wenn die Intervallbreite 6Xk = (Xk - xk-d der Unterteilung des Intervalls

I(x)

f:

a

fur n

--> 00

=

Xo

< Xl < ... < Xn-l
"

n

I: Iy ＨｾｩＩ＠

Ax.

i=l

Lassen wir nun auch noch 6x ---7 00 gehen (n verbleibende Summe gegen das Integral n lim'"""' Iy ＨｾｩＩ＠

n---+oo

Ax

L-t

=

i

Jf (G)

f(x, y) dxdy=

00), dann konvergiert die

Iy (x) dx.

a,

i=l

Dieses Ergebnis ist der doppelte Grenzwert n Doppelintegral von f uber dem Gebiet G. =}

a2

---7

f

a2

x=a,

---7

00, m

(fh(X) y=h(x)

---7

00, also genau das

f(x,y)dy

) dx.

77

3.1 Doppelintegraie (Gebietsintegrale)

Berechnung von Doppelintegralen: Die Berechnung des Doppelintegrals JJ f (x, y) dG erfolgt durch zwei nachein(e)

ander auszufiihrenden, gewohnlichen Integrationen:

/f f

(x , y) dG

=

ｬ｡ｾ＠

(e)

CZ>X,

x-a\

Y) dY )

,

dx.

(Dl)

J

V

x=const, und y variiert von

h (x) und hex)

(1) Das innere Integral wird fur festes x nach y integriert. Die Grenzen sind y = II (x) und y = h (x). Das Ergebnis der ersten Integration ist eine Funktion, in der nur noch x als Variable vorkommt. (2) Das auBere Integral wird durch Integration tiber x bestimmt. Bemerkungen: (1) Es wird bei dieser Darstellung davon ausgegangen, daB der Rand sich durch zwei Funktionen II (x) und h (x) beschreiben laBt. Fiir komplizierte Gebiete muB G in entsprechende Teilbereiche unterteilt werden (siehe untere linke Abb.). y

b,

G

:·"9,,, )

b,

x

(2)

Vertauscht man die Rolle von x und y und stellt den linken Rand durch die Funktion g1 (y) und den rechten Rand durch g2 (y) dar, erhalt man fur das Doppelintegral

II (e)

f (x,

y) dG

=

ｉＺｾ｢Ｇ＠

('J' ,

f (x , y)

x=g, (y) v

dX)

dy.

(D2)

"

y=cons t , integriert wird Ober x

Das innere Integral wird fur festes y von g1 (y) bis g2 (y) nach x integriert. Das Ergebnis enthalt nur noch die Variable y. Das auBere Integfal wird durch Integration tiber y bestimmt (vgl. obere rechte Abb.).

78

X Funktionen von mehreren Variablen

(3) Die Reihenfolge der Integration ist durch die Reihenfolge der Differentiale dx und dy festgelegt. (4) Das eigentliche Problem bei der Berechnung von Doppelintegralen besteht in der Definition der Funktionen II (x) und h (x) bzw. gl (y) und g2 (y). Sind diese, den Rand beschreibenden Funktionen gefunden, reduziert sich alles auf gewohnliche Integrale.

47. Beispiele: (1) Die Bestimmung des Doppelintegrals 1=

1:01:-2

xy dx dy

erfolgt, indem zunachst das innere Integral [x2] Y =y _ xydx=y 1Y_ xdx=y'"2 1x--2 x--2 -2 y

nach der Variablen x integriert und anschlieBend die auBere Integration iiber y durchgefiihrt wird I

=

t Ｈｾ＠

ly=o

y3 _ 2 y) dy

2

=

｛ｾｹＴ＠

8

_ y2] 1 0

(2) Zur Bestimmung des Doppelintegrals 1=

1:01:0

x 2 sin (y) dy dx

berechnen wir zunachst das innere Integral (x fest, y variiert von y (" x 2 sin(y) dy = x 2 (" sin(y) dy = x 2 ly=o ly=o dann das auBere I

=

｛Ｍ｣ｯｳＨｹＩｬｾ＠

=

0 bis 7r)

= 2x 2,

1

3 2 x 2 dx = -2 x 3 1 = 18. x=O 3 0 3

48. Beispiele: Reduktion von Doppelintegralen auf einfache Integrationen. (1) Gegeben ist eine Funktion z = f (x, y), die auf dem Gebiet G (siehe Abb. 18) definiert ist. Gesucht ist f (x, y) dG.

II

(G)

79

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

Urn das Doppelintegral in zwei einfache Integrale zu zerlegen, wahlen wir die Integralformel (D2) und setzen als innere Integrationsvariable x. D.h. wir halten y = canst, dann variiert x zwischen den Werten gl (y) = y und g2 (y) = y + 4 (siehe gestrichelte Linie). AnschlieBend geht im iiuBeren Integral y von -1 bis 1.

ｾ＠

11

f (x, y) dG =

1:-1 (1::

4

y

ｾＭｸ＠

(2) Gesucht ist das Doppelintegral

II

-----------

\-

G

Abb. 18: Gebiet G

f (x, y) dX) dy.

'... y=const

(G)

y=const.

'

f (x, y) dG, wenn das Gebiet G einen

(G)

Kreis in der (x, y)-Ebene mit Radius R darstellt.

(i) Fiihren wir die Integration mit Formel (D2) aus, erfolgt die innere Integration fUr konstantes y aber die Variable x. ＭＬｾ｟ＫＢ＠

Y=COflst

ｾ＠

y = canst

x variiert zwischen _y'R2 - y2 und y'R2 _ y2.

FOr festes y variieren die zugehorigen x- Werte zwischen gl (y) = - v'R2 - y2 und g2 (y) = v'R2 - y2. Zur Bestimmung des iiuBeren Integrals muB y dann zwischen b1 = - R und b2 = R variieren.

(ii) Fiihren wir die Integration gemiiB Formel (D1) aus, erfolgt die innere Integration fUr konstantes x aber die Variable y.

x

= canst ｾ＠

y variiert zwischen -JR2 - x 2 und JR2 - x 2

80

X Funktionen von mehreren Variablen

FOr festes x variieren die y- Werte zwischen II (x) = -"jR2 - x 2 und h (x) = J R2 - x 2. Zur Bestimmung des aufieren Integrals muB anschlieBend x zwischen - R und R variieren =?

Jf

Ｈｾ＠

rR

f (x, y) dG = }x=-R 1=-vR2- x2 f (x, y) dy

) dx.

(G)

3.1.3 Doppelintegrale mit MAPLE Doppelintegrale konnen mit MAPLE mit dem int-Befehl berechnet werden; allerdings erst nachdem eine Zerlegung des Doppelintegrals in zwei einfache Integrale mit den entsprechenden Integrationsgrenzen erfolgte. Man beachte, daB mit der tragen (inerten) Form Int die Integrale nur symbolisch dargestellt und mit value ausgewertet werden. 49. Beispiele: Man bestimme fur die Gebiete aus Beispiel 48 das Doppelintegral

II

(x 2 +y2) dG.

(G)

> f:=x"2+y"2:

> 11 :=Int(f, x= y .. y+4): > 12:=lnt(11, y=-1 .. 1): > 12=value(12);

'j11Y+4 x 2 + y2 dx dy = 48 -1

> > > >

Y

f:=x"2+y"2: 11 :=Int(f, x= -sqrt(R"2-y"2) .. sqrt(R"2-y"2)): 12:=lnt(11, y=-R..R): 12=value(12); 1 j-RR jJR2_Y2 x 2 + y2 dx dy = - R4 _"jR2_y2 2

7r

3.1.4. Anwendungen (1) Flachenberechnungen. Setzt man die Funktion z = f (x, y) = 1, entspricht das Doppelintegral tiber G dem Volumen des Korpers mit der GrundfHiche G und der konstanten Hohe 1. Dies ist zahlenmaBig gerade der Flacheninhalt von G: Der Flacheninhalt A eines ebenen Gebietes G

A=

II (G)

dG.

C

JR2 ist

81

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

50. Beispiele: (1) Gesucht ist die Flache, die durch die Gerade II (x) = x + 2 und die Parabel h (x) = 4 - x 2 begrenzt wird. Zur Berechnung des Doppelintegrals wahlen wir Formel (D1) :

t,

FOr festes x variiert y von II (x) = x + 2 bis h (x) = 4 - x 2; das verbleibende auBere Integral tiber dx wird gebildet mit den Grenzen al = -2 und a2 = +1:

A

(1

=Jr r dG =t }

}x=-2

(G)

X2

4

dY) dx .

-

y=x+2

ｾ＠

x fest

1

4_X2

y=x+2

dy

=

2

4_x2

= -x - x + 2.

[Ylx+2

=?A=jl (-x2-x+2) dx= -2

｛｟ｾｸＳＲＫｘ｝Ｑ＠

3

=4.5

2

-2

(2) Gesucht ist der Flacheninhalt des Gebietes G, welches definiert ist durch nebenstehende Abbildung.

y

(i) Mit Formel (D1) gilt (x = canst =? y variiert von -y'X bis y'X)

G

y=const

-{X

·1 x=const

11 o

2y'Xdx=

11 0

x= const

2X21

= -4 [3]1 X2 3

(ii) Mit Formel (D2) folgt ebenfalls (y

0

4

=-.

3

= canst =? x

varriert von y2 bis

4 3'

1)

82

X Funktionen von mehreren Variablen

(3) Gesucht ist der Flacheninhalt des Kreises mit Radius R. Nach Beispiel 48(2) gilt A

lR

j

= rr } dG = y=-R

ＨＱｾ＠

X=_JR2_ y2 1 dx

)

dy.

(G)

Mit MAPLE erhalten wir

> 11 :=lnt(1, x=-sqrt(RA2-{2) ..sqrt(RA2-{2)): > 12:=lnt(11, y=-R. .R): > 12:=value(12);

ｬ -Rｒｬｾ＠

_JR2_ y2

1 dx dy

= R2 7r.

(2) Schwerpunktsberechnung ebener Fllichen. In Bd. I, Kap. VI.3 .6.4 wurden die Schwerpunktskoordinaten einer Flache unter einem Graphen fund der xAchse hergeleitet. Ftir ebene Gebiete gilt allgemein: Schwerpunkt einer homogenen ebenen Flliche. Die Koordinaten des SchwerpUnktes S = (x s, Ys) eines ebenen Gebietes G bestimmen sich tiber

I x, ｾ＠ ｾ＠

fl

I Ys = ｾ＠

x dG,

If

y dG, I

(G)

.

wenn A der FlacheninhaIt von Gist. 51. Beispiele: (1) Gesucht ist der Schwerpunkt fUr die Flache aus Beispiel 50(2): Ftir die x-Koordinate von S gilt

y

=

Xs

II ｾ＠

xdG

=

(G)

ｾ＠ ｬｾｯ＠

Ｈｬｾｖｸ＠

Xd Y ) dx

' v

x=const x=const

Das innere Integral tiber dy ist fUr festes x

l Vx

y=-Vx

X dy

=x

lVx y=-Vx

dy

I

3

= 2 X X 2 = 2 X2

und das auBere Integral

1 Ｒｸｾ＠ 1

x=o

dx

=

Aufgrund der Symmetrie ist Ys

ｾ＠ ｸｾ＠ 11 = ｾ＠ '* Xs = ｾ＠ 5

= O.

0

5

'* S = G, 0).

A

. ｾ＠ = 5

ｾＮ＠

5

J

83

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

(2) Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten fUr das Gebiet aus Beispiel 50(1): Mit Beispiel 50(1) gilt fUr die x-Koordinaten des Schwerpunktes mit MAPLE

1

xs = A

Jr1rxdG = 4.51 lx=-2 r ly=x+2 r xdy 1

4

(

-

y

x2

)

dx.

(G)

+---+--,;,,-;.-+-

> 11 :=Int(x, y=x+2..4-x"2): > 12:=1/4.5*lnt(11, x=-2 .. 1): > x_s:=value(12); und entsprechend fUr die y-Komponente > 11 :=Int(y, y=x+2 ..4-x"2): > 12:=1/4.5*lnt(11, x=-2 .. 1): > y_s:=value(12);

y_s := 2.4

(3) Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten des Viertelkreises. Wir wahlen zur Berechnung des Doppelintegrals Formel (D2): Dabei erfolgt die innere Integration bei konstantem y uber die Variable x von gl (y) = 0 bis g2 (y) = R2 - y2. Zur Bestimmung des auBeren Integrals tiber y variiert dann die Variable y von 0 5 y S R:

J

1 xs = A

Je1rx dG =

1 A

JR

1

JR

Ｈｊｾ＠

y=O

x=O

x dx

x=O

ydx

)

dy;

(G)

Ys = A1

Jr1rydG

= A

y=O

Ｈｊｾ＠

)

(G)

Mit MAPLE folgt fUr die Koordinaten mit A = > 11 :=Int(x, x=O .. sqrt(R"2-y"2»: > 12:=lnt(11, y=O .. R): > x_s=4/(Pi*R"2)*value(12); 4R x s=--

-

> 11 :=Int(y, x=O .. sqrt(R"2-y"2»: > 12:=lnt(11, y=O .. R):

3

7r

11"

t

dy.

y

x

84

X Funktionen von mehreren Variablen

> Y_s=4/(Pi*R"2)walue(12);

> simplify{rhs("), symbolic);

4R

3

7r

(3) FUichenmomente. In der Festigkeitslehre ben6tigt man zur Beschreibung von Biegungen FUichenmomente von Querschnittsflachen. Sie sind jeweils bezogen auf bestimmte Achsen. Es wird unterschieden zwischen sog. axialen Momenten, bei denen die Bezugsachse in der Flachenebene liegt und polaren Momenten, bei denen die Achse senkrecht zur Flachenebene orientiert ist. Es gelten die Formeln Axiales Flachenmoment bzg. der y-Achse

Iy

i/ =i/

=

x2 dG

(G)

Axiales Flachenmoment bzg. der x-Achse

Ix

y 2 dG

(G)

Polares Flachenmoment

Ip

if (x

=

2 +y2) dG

(G)

y 1 ------ ---

52. Beispiel: Gesucht sind die axialen Flachenmomente des Gebietes G aus Beispiel 50(2). Gemiill der Zerlegung aus Beispiel 50(2) berechnen wir

(X

G 1

·1

x

3.1 Doppelintegrale (Gebietsintegrale)

85

Weitere Berechnungen von Fllichenmomenten flir Gebiete aus Beispiel 50 mit MAPLE tiberlassen wir dem Leser als Ubung. (4) Volumenberechnung. Aufgrund seiner Definition dient das Doppelintegral zur

Berechnung von Volumeninhalten, die ein Funktionsgraph einer positiven Funktion z = f (x, y) > 0 mit der (x, y)-Ebene tiber einem Gebiet G einschlieBt

v = JJ f (x, y) dG. (G)

53. Beispiel: Gesucht ist das Volumen V, das durch den Graphen von z = f (x, y) = 1 - x 2 _ y2 und der (x, y)-Ebene eingeschlossen wird. Das zugehOrige Gebiet G solI der Einheitskreis in der (x, y)-Ebene darstelIen. Fiir konstantes x wird y begrenzt durch II (x) = - vII - x 2 und h (x) = VI - x 2 mit al = -1 und a2 = 1. Nach der Integrationsformel (Dl) flir Doppelintegrale ist V

JJ f (x, y) dG

=

(G)

ＱｾＭ＠ > > > >

ＨＱｾＺＲ｟ｸ＠

(1 -

x 2 - y2) dY) dx.

f:=1-x·2-y·2: 11:=lnt(f, y=-sqrt(1-x·2) .. sqrt(1-x·2)): 12:=lnt(11, x=-1..1): V=value(12);

ｖ］ｾ＠

2

86

X Funktionen von mehreren Variablen

3.2 Dreifachintegrale Der Begriff des Dreifachintegrals flir Funktionen f (x, y, z) iiber einem dreidimensionalen Gebiet G C lR3 wird auf ahnliche Weise eingefiihrt und berechnet wie das Doppelintegral. Da sich eine Funktion von drei Variablen nicht mehr graphisch darstellen laBt, besitzt das Dreifachintegral iiber eine Funktion f (x, y, z) zunachst keine geometrische Bedeutung. Nur flir den FaU f (x, y, z) = 1 entspricht das Dreifachintegral dem Volumen des Gebietes G. Auch Dreifachintegrale reduziert man aufjetzt 3 aufeinanderfolgende, gewohnliche lntegrationen, wobei nun 3! = 6 verschiedene Integrationsreihenfolgen moglich sind!

3.2.1 Definition und Berechnung von Dreifachintegralen z

y

Abb. 19: Zur Definition von Dreifachintegralen

Zur Definition des Dreifachintegrals zerlegen wir den Korper in kleine Teilvolumen dV;· (i = 1, ... , n) und wahlen injedem Volumen einen Punkt P (Xi, Yi, Zi) aus, auf dem wir die Funktion f auswerten. SchlieBlich bilden wir das Produkt von Funktionswert und Volumenelement

f (Xi, Yi, Zi)

dV;

und summieren iiber aIle Volumina auf n

Zn

= L f (Xi,

Yi, Zi) dV;.

(Zwischensumme)

i=l

Wir lassen nun die Anzahl der Teilvolumina anwachsen (dies bedeutet gleichzei-

87

3.2 Dreifachintegrale

tig, daB dVi ---+ 0 geht). Strebt die Zwischensumme Zn fUr n ---+ 00 gegen einen Grenzwert, dann bezeichnen wir diesen als Dreifachintegral oder als dreidimensionales Gebietsintegral.

Definition: (Dreifachintegral; dreidimensionales Gebietsintegral) Sei G C R3 und f: G ---+ R stetig. Der Grenzwert

bezeichnet man als Dreifachintegral bzw. dreidimensionales Gebietsintegral. Die Berechnung von Dreifachintegralen wird auf einfache Integrationen zurUckgefiihrt, wobei natilrlich die Beschreibung der Integrationsgrenzen komplizierter wird als fUr Doppelintegrale. Die Vorgehensweise bei der Berechnung werden wir an dem folgenden Beispiel verdeutlichen.

54. Beispiel:

11 1

I=JJJ f(x,y,z)dG=

"

,,2

[y2(1+X)dZd y dX.

(G)

Die Integrationsreihenfolge wird durch die Reihenfolge der Differentiale dz, dy, dx festgelegt und zwar von innen nach auBen. Das innerste Integral wird integriert tiber die Variable z. Die anderen Variablen x und y sind dabei konstant. z=,,2

h

= 1=-y2 (1

+ x)

dz = [(1

+ x) ｚｬＺｾＲ＠

= (1

+ x)

x 2 - (1

+ x)

(_y2) .

It

enthalt als Ergebnis nicht mehr die Variable z, sondem nur noch x und y. Das verbleibende Doppelintegral

1= 1

1

1"[(1+x)x2 +(1+X)y2] dydx

wird berechnet, indem zunachst wieder das innerste Integral tiber y ausgefiihrt wird

88

X Funktionen von mehreren Variablen

Wir iiberpriifen die Rechnung mit MAPLE, indem entsprechend den Doppelintegralen auch die Dreifachintegrale mit dem int-Befehl sukzessive berechnet werden: > 11 := Int(1+x, z=-{2 ..x"2): > 12 := Int(11, y=O .. x): > 13 := Int(12, x=O .. 1): > 13 := value(13);

Jor Jor 1 _y2 1 + x dz dy dz = ｾ＠5 1

x2

X

3.2.2 Substitutionsregeln, Koordinatentransformationen Wie bei einfachen Integralen werden auch bei mehrdimensionalen oftmals Substitutionen durchgefuhrt, urn die Berechnung zu vereinfachen. Diese Substitutionen bedeuten jetzt in der Regel, daB vom kartesischen (x , y, z)-Koordinatensystem auf ein anderes Koordinatensystem (z.B. Polarkoordinaten in IR2, Zylinderkoordinaten in IR3 , Kugelkoordinaten in IR3 ) ilbergegangen wird, das in der Regel physikalische Symmetrien widerspiegelt. Wir werden uns zu den Koordinatentransformationen ein paar grundsatzliche Gedanken machen; diese sind allerdings eher Plausibilitatsargumente denn exakte Beweise. y

ｾＭ

Ｍｾ

ｾ］ＭＮ

ｸ＠

Abb. 20: Beschreibung des Gebietes im (u, v)-Koordinatensystem

Sei z = f (x, y) eine zweidimensionale Funktion, die im kartesischen (x, y)Koordinatensystem gegeben ist. (u, v) sei ein anderes Koordinatensystem. Gesucht ist die Darstellung des Doppelintegrals

11

f(x,y)dxdy

(G)

im neuen Koordinatensystem (u, v) . Zur Transformation werden sowohl die Grenzen x und y als auch die Differentiale dx und dy durch entsprechende Terme in u und v bzw. du und dv ausgedriickt.

90

X Funktionen von mehreren Variablen

Ifi X f21

Ixu ｾｵ＠

. Yv ｾｶ＠ - Yu ｾｵ＠ Ixu . Yv - Yu . Xv Iｾｵ＠

. Xv ｾｶｬ＠ ｾｶＮ＠

Fiihren wir die Jakobi-Determinante J:= det (xu xv) ein, ist das FlachenYu Yv element 6.G ｾ＠ IT! X f21 ｾ＠ III ｾｵｶＮ＠ Durch Grenziibergang zu infinitesimalen Flachen folgt:

Substitutionsregel fOr Doppelintegrale: 1st f (x, y) eine stetige Funktion in kartesischen Koordinaten und (u, v) ein anderes Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen

x=x(u,v)

und

y=y(u,v).

Dann ist

II

f(x, y) dxdy =

(G)

II

f(x(u, v), y(u, v))

IJI

dudv,

(G*)

wenn G* die Beschreibung des Gebietes G im (u, v)-Koordinatensystem und

J := det (Xu Yu

Xv) Yv

die Jakobi-Determinante ist.

Substitutionsregel fOr Dreifachintegrale: 1st f (x, y, z) eine stetige Funktion im kartesischen Koordinatensystem und (u, v, w) ein anderes dreidimensionales Koordinatensystem mit den Transformationsgleichungen

x=x(u,v,w), Dann ist

III III

y=y(u,v,w),

z = z (u, v, w).

f (x, y, z) dx dy dz =

(G)

f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

IJI

dudvdw,

(G*)

wenn G* die Beschreibung des Gebietes G im (u, v, w)-Koordinatensystem und

Xu J:= det ( Yu

Xv Yv

Xw) Yw

Zu

Zv

Zw

die Jakobi-Determinante ist.

89

3.2 DreifachintegraJe

1st (U, V) ein zweites Koordinatensystem, dann lassen sich fur jeden Punkt (uo, vo) die zugehorigen (x, y)-Koordinaten angeben.

x=x(u,v)

und

y=y(u,v)

bezeichnet man als die sog. Transformationsgleichungen. Insbesondere sind x und y jeweils Funktionen der Variablen u und v. Wir drticken das Flachenelement dx dy durch ein entsprechendes Flachenelement in du dv aus. y

v

u (u+du.v)

r,

x

Abb. 21: Berechnung des Flachenelementes im (u, v)-Koordinatensystem

Wir nahem zunachst die Flache des schraffierten Gebietes mit Maschenweite (,6, u, ,6, v) im kartesischen System durch eine Parallelogrammflache an, die durch die Vektoren 1"1 und 1'2 aufgespannt wird. Nach Bd. 1, Kap. II.2.3 ist diese Parallelogrammflache

Aus der Skizze entnimmt man

x(u+,6,u, v)-x(u, 1"1= ( ＨｵＫｌＮＬｾＩＭｹｶ＠

V))

(u, v + ,6,v) - x (u, v) y(u,v+,6,v)-y(u,v)

X

1'2=

;

(

o

Wir linearisieren fUr kleine ,6,u und L.v sowohl ｾ＠

ax ax -(u

x(u, v+L.v)-x(u, v)

ｾ＠

-(u v) . L.u AU '

x(u+L.u,v)-x(u,v)

OV

'

v) . ,6,v

als auch die entsprechenden Terme von y. Damit ist

= xu =

. L.u

x . L.v v

)

91

3.2 Dreifachintegrale

Die folgenden Beispiele geben die physikalisch wichtigsten Koordinatensysteme sowie die zugehOrigen lakobi-Determinanten an. 55. Beispiel: Polarkoordinaten im 1R2 Bei Polarkoordinaten wird ein Punkt in der (x, y)-Ebene eindeutig durch die Angabe des Winkel cp, 0:::; cp < 211", und des Radius r 2: 0 angegeben. Die Transformationsgleichungen lauten

x=rcoscp,

y=rsincp.

reol

Daher ist die lakobi-Determinante -r sincp

r coscp

I= r

DreUnt(x"2+y"3+z"4, x=-z*y.. z*y, y=1 .. z"2, z=O .. 1); Das Dreifach-Integral ist, J

l

JZ2 JZY

o

1

-zy

x 2 + y3

+ z4 dx dy dz =

-47

--

180

1= -.2611111111

(2) Gesucht ist das Dreifachintegral

l

R lR2 1271"

r=O

>

z=r 2

rd

> local xarg, yarg, zarg, function,x_s, y_s, z_s,

>

Lx, Ly, l..z, valv, dfactor, fall, 11, 12, 13;

> > function:=args[1];

> fall:=args[5]: >

> # Festlegung des Koordinatensystems > if fall=kugel > then dfactor:=f2*cos(theta): > xarg:=r*cos(phi)*cos(theta): > > > > > > > > > > > > > > > > >

yarg:=r*sin(phi)*cos(theta): zarg:=r*sin(theta): elif fall=zylinder then dfactor:=r: xarg:=r*cos(phi): yarg:=r*sin(phi): zarg:=z: else dfactor:=1: xarg:=x: yarg:=y: zarg:=z: fi:

# Berechnung des Volumens des Integrationsbereichs

># >

> > > > > > >

11 :=lnt(dfactor,args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): 13:=lnt(12,args[4]): valv:=simplify(value(13),symbolic): print('Oas Volumen V des Gebietes ist ',13=valv); print(V=evalf(valv»; Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes 11 :=lnt(dfactor*xarg,args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): 13:=1/valwlnt(12,args[4]): x_s:=value(13): print('Oer Schwerpunkt des Gebietes ist x_s =',13=x_s); 11 := Int(dfactor*yarg ,args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): 13:=1Ivalv*lnt(12,args[4]): y _s:=value(13): print('Oer Schwerpunkt des Gebietes ist y_s =',13=y_s); 11 :=lnt(dfactor*zarg,args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): 13:= 1/valwlnt(12,args[4]): z_s:=value(13):

3.2 Dreifachintegrale

99

> print('Der Schwerpunkt des Gebietes ist ｺ｟ｾ＠ =',13=z_s); > > # Berechnung des Tragheitsmomentes 11 :=lnt(dfactor*(yarg A2+zarg A2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > > 13:=M/valwlnt(12,args[4]): Lx:=value(13): > print('Das Tragheitsmoment I-x ist I-x =',13=Lx); > 11 :=lnt(dfactor*(xarg A2+zarg A2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=M/valwlnt(12,args[4]): Ly:=value(13): > print('Das Tragheitsmoment Ly ist Ly =',13=Ly); > 11 :=lnt(dfactor*(xargA2+yargA2),args[2]): 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=M/valv*lnt(12,args[4]): L.z:=value(13): > print(,Das Tragheitsmoment l....z ist l....z =',13=1....z); > > # Berechnung des Dreifachintegrals > 11 :=lnt(function*dfactor,args[2]): > 12:=lnt(11,args[3]): > 13:=lnt(12,args[4]): > valv:=simplify(value(13),symbolic): > print('Das Dreifach-Integral ist ',13=valv); > print (I=evalf(valv)); > end: 62. Beispieie fur Aufrufe der Prozedur starr: (i) Korper, der durch Rotation der Funktion y = x 2 an der y-Achse im Intervall [0, R] entsteht.

> starr(1, phi=O .. 2*Pi, z=(2 .. RA2, r=O .. R, zylinder);

altemativ

> starr(1, phi=O .. 2*Pi, r=O .. sqrt(z), Z=O .. RA2, zylinder); (ii)

t einer Kugel mit Radius R (1 Oktant des kartesischen Koordinatensystems)

> starr( 1, phi=O .. Pi/2, theta=O .. Pi/2, r=O .. R, kugel); (iii) Halbkugel in Zylinderkoordinaten

> starr(1, z=O .. sqrt(RA2-(2), phi=O .. 2*Pi, r=O .. R, zylinder); (iv) Wiirfel in kartesischen Koordinaten

> starr(1, z=O .. I, x=O .. I, y=O .. I, kart); (v) Zylinder mit Radius R und Hohe H

> starr(1, z=O .. H, r=O .. R, phi=O .. 2*Pi, zylinder);

100

X Funktionen von mehreren Variablen

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale Die Bestimmung der Arbeit in einem Kraftfeld oder die der elektrischen Spannung in einem elektrischen Feld erfordert oftmals die Berechnung eines Integrals entlang einer ebenen oder raumlichen Kurve. Dies fiihrt auf einen neuen Integralbegriff, dem sog. Linienintegrai, den wir mit Beispielen aus der Mechanik und Elektrostatik eriautem werden. 3.3.1 Vektordarstellung einer Kurve Gegeben sei die Beschreibung einer Kurve C im Raum durch die Parameterdar-

stellung C : r(t)

= x (t)

el + Y (t) e2 + z (t) e3 =

(t) ) y (t) , z (t)

X (

wenn x (t), y (t), z (t) Funktionen einer Variablen t sind. Beim Durchlaufen der t-Werte bewegt sich der Punkt P (Abb. 27) entlang der Linie C: y

x Abb. 27: Raumkurve

63. Beispiel: Ein Elektron bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld B = Bo ez auf einer Schraubenlinie mit Radius R. Die Koordinaten des Elektrons sind zu jedem Zeitpunkt festgelegt durch x (t) y (t) z (t)

R

cos

(wt)

R sin (wt)

w = ｾ＠ Bo ist die Kreisfrequenz und V z die konstante Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung. Mit spacecurve wird diese Kurve mit MAPLE graphisch dargestellt. Hierbei kann s ein dreidimensionaler Vektor oder eine Liste sein.

> with(linalg): > s:=vector([R*cos(w*t), R*sin(w*t), vz*t)): > R:=1: w:=1: vz:=1: > with(plots): > spacecurve(s, t=O .. 20, numpoints=200, axes=framed):

101

3.3 Linien- oder Kurvenintegraie

3.3.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 1st f (t) = x (t) el + y (t) e2 + z (t) €a die Parameterdarstellung einer Kurve C, so ist die Ableitung des Vektors f(t) definiert als Grenzwert

fl (t) = lim ; (f(t + 6t) - f(t)) 6t-+O u.t des Differenzenquotienten fUr 6t --+ o. Geometrisch entspricht dies dem Grenziibergang des Differenzvektors (= Sehnenvektor) in den Tangentenvektor im Punkt f(t) = (x (t), y (t), z (t)).

e Sekantenvektor 6.f

Tangentenvektor f' (t)

Aufgrund der Vektorrechenregeln gilt Ｍｾｲ＠

1

A

ｾｴ＠ ｾ＠

6t =

(f(t + 6.t) - f(t)) -x(t)) ( ItL (x(t+6t) (y (t + 6t) - Y (t))

L

'*

)

(z (t + 6t) - z (t))

Ｖｾｏ＠

( x(t) ) iJ (t) Z (t)

X (t) ) fl (t) = ( iJ (t) . z(t)

Die Differentiation eines Vektors f(t) nach einem Parameter t erfolgt komponentenweise. Anwendung: 1st f(t) der zeitabhlingige Ortsvektor der Bahnkurve eines Massepunktes, dann ist

iJ(t) = f' (t) a(t) = iJ' (t)

= f" (t)

der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor.

102

X Funktionen von mehreren Variablen

64. Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor bzw. Beschleunigungsvektor eines Elektrons im homogenen Magnetfeld B = Bo z lautet mit Beispiel 63

e

iJ(t) = f" (t) = (

a(t)=iJ'(t) =

ＨｴｾＩ＠

ｾ＠

(VIV2 (t)(t)

X(t)) (-RW sin (wt) ) (t) = Rw cos (wt) = z (t) Vz

=

z (t)

Ｈ］ｾＺＩＮ＠

V3

)

(t)

0

Insbesondere gilt x (t) + w2 x (t) = 0 und jj(t) + w2 Y (t) = O. Man rechnet die Ableitungen mit MAPLE nach, indem auf den Vektor s aus Beispiel 63 der diffBefehl komponentenweise angewendet wird; eine kompakte Schreibweise erhiiit man durch den map-Operator > v:=map(diff, 5, t); > a:=map(diff, v, t); 65. Beispiel: Beschleunigungskriifte einer eben en Kreisbewegung Fur eine ebene Kreisbewegung sind fUr konstanten Radius p die Koordinaten x (t) und Y (t) gegeben durch

y

x (t) = P . cos cp (t) y (t) = P . sin cp (t).

x

(Polarkoordinaten)

In dieser Parameterdarstellung lautet die Bewegung

f' (t)

= x (t)

ex + y(t) ey = p cos cp (t) ex + p sin cp (t) ey = p ( ｾ＠ ｾ＠

gj )

und der Geschwindigkeitsvektor ist

iJ (t) = f" (t) =

p

( - sin cp(t) ｾＨｴＩ＠

coscp(t)cp(t)

) =

. (t) ( -

pcp

sin cp(t) ). coscp(t)

Der Betrag der Geschwindigkeit ist: liJ(t)1

= pI.{; (t)

JSin 2 cp + cos 2 cp

= pI.{; (t)

und die Richtung der Geschwindigkeit:

iJ(t) . f'(t)

.. t

p cp ( )

(-sincp(t) ).

coscp(t)

p

(coscp(t)) sincp(t)

p2 I.{; (t) . [- sin cp cos cp + sin cp cos CPJ

=

O.

Bei einer Kreisbewegung hat die Geschwindigkeit den Betrag pI.{; (t) und steht senkrecht zum Ortsvektor (d.h. tangential zur Bewegung)!

103

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

Der Beschleunigungsvektor ist die Ableitung von if(t) nach t:

a(t)

= ｾｉＨｴＩ＠

=

v _

·2 (t)

PcP

(-COS'P(t)0 2(t) -sin'P(t)0(t) ) -sin'P(t) 0 2(t) + cos'P(t) 0(t)

p (

ｃｾｳ＠

'P( t) ) SlD'P(t)

+ .. (t) PCP

( - sin 'P( t) ). cos'P(t)

Der Betrag der Beschleunigung lautet:

P (cos 2 'P 04 + 2 cos'p sin'P 02 0 + sin2 'P 02 1 + sin2 'P 04 - 2 sin 'P COS'P 02 0 + cos2 'P 0 2 ) 2

Die Beschleunigungskraft F = m a(t) besitzt eine Komponente in Richtung i (Zentrifugalkraft) und eine senkrecht hierzu: Kraft in Richtung i (Zentrifugalkraft)

Der Betrag der Kraft in Richtung i ist:

1

Fr = IFr I = m P02 1.

Fiir eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w canst, gilt dann

o(t)

Kraft in Richtung if: Ftj

[f·1

- - if = ｾ＠

Ivl 2

Ivl 2

m [{ .2 (p0)2 -PCP

[a . iJ1 if vJ (

cOS'P) .. ( - sin 'P )} { . ( - sin 'P )} ｾ＠ sin'P +P'P cos'P PcP cos'P v

. . . 1] ｾ＠ .. ( - sin 'P ) [ 0 + (pm 0)2 P 'P P 'P . v = m P'P cOS'P .

104

X Funktionen von mehreren Variablen

Fiir eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w = cp (t) = const, gilt r:p (t) = 0 ｾ＠ Fv = 0, d.h. es wirkt dann keine Kraft in Richtung der Geschwindigkeit.

3.3.3 Vektor- oder Kraftfelder Definition: Als Vektorfeld (= Kraftfeld) bezeichnen wir eine vektorwertige Funktion k : 1R3 -4 1R3 , kI (x, y, z) ) k(x,y,z)= ( k 2 (x,y,z) , k3 (x, y, z) mit Funktionen kI' k2, k 3 , die von drei Variablen (x, y, z) abhiingen. k weist jedem Punkt des Raumes (x, y, z) einen Vektor k (x, y, z) zu. 66. Beispiel: Die elektrische Kraft, welche eine Punktladung Q auf eine andere Ladung q ausiibt, ist nach dem Coulomb-Gesetz umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat der Ladungen

F=

_1_ q Q i

47r EO

r2

Irl

=

qQ 47r Eo

ｾ＠

i = r3

qQ 47r Eo

( x )

1

.Jx2 + y2 + z2

3

;

.

Die Kraft Fist ein Vektor, der an verschiedenen Orten (x, y, z) unterschiedliche Werte und Richtungen besitzt. Mit dem Befehl field plot konnen zweidimensionale Kraftfelder mit MAPLE als Vektorgraphik dargestellt werden. 3.3.4 Linien- oder Kurvenintegrale Sei F (t) = x (t) el + y (t) e2 + z (t) e3 eine Raumkurve C und k ein gegebenes Kraftfeld. Po = i (to) sei der Anfangs- und PI = i (h) der Endpunkt der Kurve. Gesucht ist die Arbeit, die geleistet werden muB, urn einen Massepunkt der Masse m entlang C vom Anfangs- zum Endpunkt zu bringen (siehe Abb. 28).

s,

Bewegt sich der Massepunkt entlang der Strecke dann ist die Arbeit, die von einer konstanten Kraft F an dem Massepunkt geleistet wird, nach Bd. 1, Kap. II.2.2, bestimmt durch das Skalarprodukt

ｾＭｳ＠

F.

Urn die Aroeit zu bestimmen, die benotigt wird, den Massepunkt entlang einer Kurve C zu bewegen, unterteilen wir C in Punkte

ｾ＠

und ersetzen die Kurve durch Streckenziige Pi PHI

= ｾｩＬ［Ｎ＠

105

3.3 Linien- oder Kurvenintegraie

Abb. 28: Arbeit entlang der Kurve C

Fiir jede Teilstrecke bilden wir das Skalarprodukt des lokalen Kraftfeldes P (fi) mit dem Richtungsvektor ｾｦｩＺ＠ Wi =

Pi

=

P(fi) . ｾｦｩＮ＠

Wi ist die Arbeit, die geleistet werden moB, urn den Massepunkt von Pi nach PHI zu fiihren. Summiert man alle Anteile auf N

6W

= L P (fi) . ｾｦｩ＠ i=1

N

= L P (fi) ｾｴ＠

(f'(ti

+ 6t) -

r(ti)) . 6t

i=1

ist diese Summe eine Niiherung fur die tatsachlich aufzuwendende Arbeit. Diese Approximation wird umso besser, je feiner die Unterteilung der Kurve C gewiihlt wird. Den Grenzwert N --+ 00 (d.h. eine beliebig feine Unterteilung von C mit 6.fi --+ 0 bzw. 6.t --+ 0 im Falle der rechten Summe)

nennt man das Kurvenintegral entlang C:

Definition: (Kurven- oder Linienintegral) 1st k (x, y, z) ein Vektorfeld und C eine Kurve, die durch r(t) beschrieben wird. Dann heifit das Integral

(ti ｾ＠ t ｾ＠ t2)

das Linien- oder Kurvenintegral des Vektorfetdes k (x, y, z) tangs der Kurve C, wenn r(tt} den Anfangs- und r(t2) den Endpunkt der Kurve markiert.

106

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkungen: (1) Das Kurvenintegral ist unabhangig von der speziell gewiihlten Unterteilung. (2) Das Kurvenintegral lautet in ausfiihrlicher Schreibweise, wenn das Skalarprodukt ausgefiibrt und das Kraftfeld k an der Stelle i (t) ausgewertet wird

j

t2

kl (x (t), y (t), z (t)) x (t) dt t]

+ jt2 k2 (x (t), Y (t),

z

(t)) iJ (t) dt

t]

+

j

t2

k3 (x (t), y (t), z (t))

z(t) dt.

t\

Die drei Integrale hangen nur noch von einer Variablen t ab und konnen mit den Integrationsregeln aus Bd. I berechnet werden. (3) Der Wert des Kurvenintegrals hangt in der Regel nicht nur von Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges, sondem auch yom vorgegebenen Weg abo Ausnahmen bilden die sog. Gradientenfolder. (4) FOr ein Kurvenintegral entlang einer geschlossenen Kurve verwendet man das Symbol

i

(5)

kdi.

k (i(t» . if (t) ist die Kraft, die tangential auf der Kurve wirkt, da if (t) in jedem Punkt i(t) der Kurve C die Tangentensteigung reprasentiert.

I: ')dec Fonn

Vorgehensweise bei der Berechnung von Kurvenintegralen

(1) Ｚｾｧｌ･Ｎ＠

('

z

ｾ＠

f (x, y)

YO',

(2) Berechnung von if (t). (3) Die Kurve (x (t), y (t), z (t)) in die drei Kraftkomponenten kl' k2, k3 einsetzen, das Skalarprodukt k (i (t)) . if (t) berechnen und die Integrationen tiber t ausfiihren.

67. Beispiel: Gegeben ist das Kraftfeld

k=

xy2 ) ( Xoy . Gesucht ist das Kurven-

integral

je kdi= je (x(t)y2(t) x(t)+x(t)y(t)Y(t)) dt, wenn C eine der im nachsten Bild gezeichneten Kurven reprasentiert.

107

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

y

ｾ＠

x (i) Integrationsweg 1: Die Parameterdarstellung von Integrationsweg 1 ist

i(t) = ( :::}

x (t)

: :} 1

ｾ＠

o ::; t ::; 1.

),

= t, Y (t) = t :::} x (t) = 1, if (t) = 1.

kdi=

Cl

r (tot201+toto1) dt= ior (t io l

l

3

+t 2)

､ｴ］ｾｯ＠

12

(ii) Integrationsweg 2: Eine Parameterdarstellung von Integrationsweg 2 ist

o ::; t ::; 1. :::}

x (t)

: :} 1 C2

= t , Y (t) = t 2

k di =

t

io

:::}

x (t) = 1 , if (t) = 2 to

(t t 4 1 + t t 2 2t) dt = 0

0

0

0

t

io

(t 5 + 2 t 4 ) dt =

ｾ＠

0

(iii) Integrationsweg 3: Eine ParameterdarsteUung von Integrationsweg 3 ist

fur 0 ::; t fur

::;! :::} x (t) = 0,

! ::; t ::; 1

68. Beispiele: (1) Gegeben ist das Vektorfeld iJ

=

Parametrisierung i(t) = tel + t 2 e2 solI. (x (t) = t, Y (t) = t 2 , Z (t) = t 3 ):

:::} x (t)

( xY )

!.X

+ t 3 e3,

= t,

y

(t) = t

Y (t)

=

1.

,das entiang der Kurve emit

0


.' (')

ｾ＠

e,+ 2te, + 3,2 e,

=> v(f(')), "(')

ｾ＠

(

=>

ｾ＠

i:; ).

(

E,) (b )ｾ＠

1 11 vd1"=

v(f('))

"

+ 21' -

ｾ＠ ( E, )

3t"

ｾ＠

0.

Odt = O.

(2) Gesucht ist das Kurvenintegral der Vektorfunktion v = ( XXy ) entlang der Parabel y = x 2 , die yom Ursprung zum Punkte P(I, 1) geht:

1"(t)

= ( t; ), 0:::; t :::; 1, => x (t) = t, Y (t) = t 2

=>

1'" (t)

=>

v (1" (t)) . 1'" (t)

=(

2\ ),

= ( t; )

v(1"(t)) = ( XXy )

= ( t; ) (

2\ ) = t + 2t4.

(3) Gesucht ist das Kurvenintegral der Vektorfunktion v = ( XXy ) entlang der Kurve emit Parametrisierung 1" (t) = (

ｾＺ＠

) , 0 :::;

t :::; 1. C verbindet ebenfalls

den Ursprung mit dem Punkt (1, 1):

= ( ｾＺ＠ ),

1" (t)

=> x (t) = t 3 , y (t) = t 4

0:::; t :::; 1

),

v(1"(t))

=> v(1"(t))· 1'" (t) = (

ｾ＠ ) ( ＡｾＺ＠

=>

1'" (t)

=>

1° 1

=(

ＡｾＺ＠

[1

=(

) = 3t + 5

4t lO .

4] 19

(3t 5 +4t 10 )dt= _t6 +_t ll 2

= ( t::4 )

XXy )

11

1

=-.

°

22

109

3.3 Linien- oder Kurvenintegraie

In der Regel ist also das Kurvenintegral wegabhangig. Fiir spezielle Vektorfelder ist es jedoch wegunabhangig, d.h. der Wert des Kurvenintegrals ist unabhangig davon, welchen Weg man vom Anfangs- zurn Endpunkt legt. Zur Beschreibung dieser Vektorfelder benmigt man den folgenden Begriff: Definition: (Gradientenfeld) Ein Vektorfeld k (x, y, z) heiftt Gradientenfeld (Potentialfeld), wenn es eine stetig difJerenzierbare Funktion cI>(x, y, z): 1R3 ---+ IR gibt mit

Ik (x, y, z) = grad cI> (x, y, z) I dh. in Komponenten

kl (x, y, z) = Ox cI> (x, y, z), k2 (x, y, z)

= Oy cI> (x,

y, z),

k3 (x, y, z) = Oz cI> (x, y, z) .

Die Funktion cI> (x, y, z) heiftt eine zu

k gehOrende Potentialfunktion.

Bemerkungen: (1) Zwei zu k gehOrende Potentialfunktionen unterscheiden sich hOchstens urn eine Konstante. (2) In der Physik nennt man Kraftfelder, die eine zugehOrige Potentialfunktion besitzen, als konservative Kraftfelder. (3) In der Physik wird eine GroBe k oftmals durch den negativen Gradienten -grad cI> festgelegt. Dies ist aber in obiger Definition des Gradientenfeldes enthalten. (4) Die Gradientenfelder sind diejenigen Vektorfelder, fUr welche die Kurvenintegrale immer wegunabhangig sind. Es gilt (ohne Beweis) der wichtige Satz: Satz: Hauptsatz fiber Kurvenintegrale Sei G c IR3 ein achsenparalleler Quader und k : G ---+ IR3 ein Vektorfeld mit stetigen partiellen Ableitungen in G. Dann sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend (1 ) kist ein Gradientenfeld. (2) In G gelten die Integrabilitltsbedingungen

Ok2

Ok3

ok1

OZ

oy'

OZ

-=-'

Ie

=

Ok3

ox·

(3) Das Kurvenintegral k df' hangt fUr aIle in G verlaufenden Kurven C nur von Anfangs- und Endpunkt der Kurven abo (4) Das Kurvenintegral fe k df' ist fUr aIle in G verlaufenden, geschlossenen Kurven C stets Null.

110

X Funktionen von mehreren Variablen

Bemerkung: 1m Falle eines zweidimensionalen Vektorfeldes

lautet die Integrabilititsbedingung:

(

ｾ＠ ｾＺ＠ ｾ＠

)

Ok2 Okl = oy ox

1st k ein Gradientenfeld, dann kann man das Linienintegral die zugehOrige Potentialfunktion (x, y, z) bestimmen:

kl (x, y, z) ) k (x, y, z) = ( k2 (x, y, z) ｾ＠ k3 (x, y, z)

k=

grad (x, y, z) =

Ie k df' einfach tiber

( Ox (x, y, z) ) Oy (x, y, z) . Oz (x, y, z)

Das totale Differential von lautet

0 0 0 - dx + - dy + - dz ox oy oz kl dx + k2 dy + k3 dz kdf'.

d

Daher ist

rk df' 1Pr d =

1e

P2

= l p2 - l pl '

l

wenn P1 der Beginn und P2 das Ende der Kurve C darstellt. Zusatz zum Hauptsatz: (Integration eines Gradientenfeldes) 1st k ein Gradientenfeld mit Potential , d.h. k (x, y, z) = grad , dann ist

1 =1 k df'

d

=

IEndPunkt von

e-

IAnfangspunkt von C •

Insbesondere folgt aus dieser Darstellung, daB fur ein Gradientenfeld stets gilt

i

k df' = lpl - IPl

= O.

Der Hauptsatz gibt nicht nur dartiber Auskunft, wann ein Kurvenintegral wegunabhangig ist, sondem auch wie man tiber die Integrabilitatsbedingungen nachprtifen kann, ob ein Gradientenfeld vorliegt oder nicht. Liegt das Potential eines Gradientenfeldes vor, besagt der Zusatz zum Hauptsatz, wie das Kurvenintegral berechnet werden kann: Analog zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einer Variablen Bd. I, Kap. V1.3.2 ist das Kurvenintegral dann die Differenz von Potentialfunktion ausgewertet am Endpunkt und am Anfangspunkt.

111

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

69. Beispiele: (1) In der Physik gibt es viele Gradientenfelder. Beispiele sind das elektrostatische Potential, das Newtonsche Gravitationsfeld oder das von einem stromdurchflossenen Draht erzeugte Magnetfe1d (siehe Anwendungen).

(2) Das Vektorfeld

k (x,

y)

3 ｾ＠

= (

y ) ist ein Gradientenfeld, denn

1 ak a 3 x2 y = 3 x2 ay = ay ak2 ax

= ｾ＠

ax

}

ak 2

----,' a

= 3 x2

x3

ak 1

->..

ax' y

Daher gibt es eine Potentialfunktion (x, y) mit

ｾ＠ k = grad =

( ax a

) =?

y

2 aax == 33x. Y

(1 ) (2)

x

y

Integriert man Gleichung (1) nach x folgt (x,

y)

= x3 Y + K (y)

mit einer Integrationskonstanten, die von y abhangen kann. Mit (2) folgt nach partieller Differentiation nach y

a

3,

=?

3

I

ay(x,y)=x ＫｋＨｹＩｾｸ＠

=k1(x,y)

K' (y) = 0 =? K (y) = C = canst. =? 1

(x, y)

=

x 3 Y + C ·1

Das Kurvenintegral von k entlang einer Kurve emit Anfangspunkt (xo, Yo) und Endpunkt (Xl, Yl) ist nach dem Zusatz zum Hauptsatz gegeben durch

1 1 ......

c

(3) Das Vektorfeld

-+

kdr =

k=

(

c

ｾ＠ ｾＲ＠

(Xl,yJ)

d =

I

=

3 Xl

3

YI - Xo Yo·

(xo, Yo)

)

ist kein Gradientenfeld, da die Integrabilitats-

bedingung verletzt ist:

ak l = ｾ＠ x y2 = 2 x y ay ay a ak 2 = -xy=y ax ax

}

=?

akl -I- ak 2 ay r ax'

-

(Man vergleiche die Aussage mit dem Ergebnis von Beispiel 67!)

112

X Funktionen von mehreren Variablen

(4) Man priife, daB das Vektorfeld

k (x,

y, z)

=

2

12

x +y +z

2

(

ｾ＠z

)

ein Gradientenfeld darstellt mit der Potentialfunktion

Die IntegrabiliUitsbedingungen konnen explizit nachgepriift werden, urn zu entscheiden, ob ein Gradientenfeld vorliegt oder nieht. Falls k ein Gradientenfeld ist, stellt sich das Problem, wie man das zugehOrige Potential berechnet. AufschluB dariiber sollen die beiden folgenden Beispiele geben: 70. Beispiele: (I) Gegeben ist das Vektorfeld iJ(x, y, z)

=

ｾ＠

2x + y ) x + 2y z . FOr dieses Veky2 + 2z

torfeld priift man explizit nach, daB die Integra ilitatsbedingungen erfullt sind. Gesucht ist das zu iJ gehorende Potential mit

2x + y ) ( x + 2y z . y2 + 2z Die Integration der ersten Komponente

ax = 2 x + Y =>

ax naeh x

= x 2 + Y X + f (y, z) .

liefert eine Integrationskonstante f (y, z), welche noeh von y und z abhangen kann. Vergleieht man die zweite Komponente von iJ mit der partiellen Ableitung von naeh y, folgt fur fy (y, z):

ay =V2 =x+2yz &

(*)

ay = x+fy(y, z)

=> fy (y, z) = 2yz. Integration tiber y liefert

f(y, z)=y2z+g(z), wobei die Funktion 9 noeh von z nieht aber von x oder y abhangen kann.

=> (x, y, z) = x 2 + Y X + y2 Z + 9 (z) . Vergleicht man die dritte Komponente z, folgt fur g' (z):

V3

mit der partiellen Ableitung von nach

113

3.3 Linien- oder Kurvenintegraie

:::} g' (z) = 2 z :::} 9 (z) = Z2 + C. Die Integrationskonstante C hangt weder von x, y noch von z abo

:::} Iｾ＠

(x, y, z) = x 2 + y X + y2 Z + z2

(2) Gesucht ist das zum Gradientenfeld

k= (

ｾ＠

) = (

k3

Bx ｾ＠ = kl = Z + y

:::}

ｾ＠

= k2 = X + z

&

By ｾ＠

By ｾ＠

+

C.I

k gehOrende Potential ｾＬ＠

ｾＡ［＠x + y ) ｾ＠

grad

ｾ＠

= (

ｾＺ＠Bz ｾ＠

wenn

) :

= z x + y x + f (y, z) .IJ.

= x + fy (y, z)

=z

:::} fy (y, z)

:::} f (y, z)

= z· y + 9 (z).

Ｚｽｾ］ｺｸＫｹｧＨＩＮ＠

Bz ｾ＠ = k3 =

X

+y

&

:::} Iｾ＠

ｂｺｾ＠

= x + y + g' (z)

:::} g' (z)

= 0 :::} 9 (z) = C

(x, y, z)

=

zx

+ yx + zy +

C.I

Gradientenfelder mit MAPLE Der Befehl potential aus dem Iinalg-Paket iiberpriift, ob ein Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt. 1m Fall, daB ein Gradientenfeld vorliegt, wird die zugehOrige Potentialfunktion bestimmt. Die Syntax ist potential (vektorfeld, var, phi) mit den Argumenten - vektorfeld: - var: - phi:

Liste der Komponenten des Vektorfeldes Liste aller Variablen Name, in dem die Potentialfunktion iibergeben wird.

Die beiden Potentiale aus Beispiel 70 konnen somit bestimmt werden durch

. > with(linalg): > potential([2*x+y, x+2*y*z, y"2+2*z], [x, y, z], phi1): > phi1; x 2 + Y X + y2 Z + z2

> potential([z+y, x+z, x+y], [x, y, z], phi2): > phi2; xz+yz+xy

114

X Funktionen von mehreren Variablen

Liegt kein Gradientenfeld wie in Beispiel 69(3) vor, liefert der potential-Befehl das Ergebnis

> potential([x*y"2, x*y), [x, y], phi3); false

3.3.5 Anwendungsbeispiele Das Kurvenintegral wurde in §3.3.4 zur Berechnung der Arbeit eingefiihrt, die eine Masse m benotigt, urn in einem Kraftfeld F (x, y, z) entlang der Kurve C von einem Anfangspunkt Pt zum Endpunkt P2 gebracht zu werden. Entsprechend der Definition des Linienintegrals gilt fur die Arbeit eines Kraftfeldes W =

1F l

t2

dr =

C

F (r(t)) . r' (t)

dt,

h

wenn ret) die Parameterdarstellung der Kurve C, r(td den Anfangs- und r(t2) den Endpunkt beschreibt. Wist positiv, wenn vom Kraftfeld Arbeit an der Masse geleistet wird, andemfalls negativ.

71. Beispiel: Radialsymmetrische Kraftfelder. Ein Kraftfeld k heiBt radialsymk nur vom Abstand r abhiingt und der Vektor k in jedem Punkt radial nach auBen zeigt. Ein radialsymmetrisches Feld hat stets die Form metrisch, wenn der Betrag von

k(r') = fer)

r= (

f (r) x ) fer) y

f (r) z

,

J

x 2 + y2 wenn f eine eindimensionale Funktion und r = 1f1 = kalische Beispiele fur radialsymmetrische Kraftfelder sind ｾ＠

F (f') = ｾ＠

mM

r

f -r2- -r 1

qQ

+ z2

ist. Physi-

(Newtonsche Gravitationskraft)

r

F (f') = - - - - 41r £0 r2 r

(Coulomb-Kraft).

AIle rotationssymmetrischen, homogenen Kraftgesetze sind konservativ: Das Arbeitsintegral hangt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber vom gewahlten Weg ab!

115

3.3 Linien- oder Kurvenintegrale

: : : ::i: ［Ｚｉｏｾ＠

D(1ｾＺ･ｮＩｷｩｲ＠

mit Hilfe

I (r) z

ｾ＠ay kd f}

ｾ＠ay

(J (r) x) = x f' (r)

x I' (r)

ｾ＠ax

y = Jx 2 +y2 + z2

(J (r) y) = y I' (r)

:2

y f' (r) J x 2 +

=

ｾ＠ ay

a

::::} ay kl (f)

=

+ z2

ｾ＠ ax =

J x 2 + y2

f' (r)

xy. r

J x 2 + y2

f' (r)

+ z2

+ z2

y xr ·

a

ax k2 (f) .

Analog zeigt man die beiden anderen Integrabilitiitsbedingungen. 72. Beispiel: Coulomb-Kraft. Das Potential zur CoulombKraft k(f} = _1_ qQ 47r EO r2 r ist das elektrostatische Potential

f.

(x y z) "

=

_1_ qQ 47r Eo r

=

_1_ qQ 47r EO J x 2 + y2

+ z2

Man rechnet direkt nach, daB 1k = -grad I. Es gilt folglich nach dem Hauptsatz tiber Kurvenmtegrale

i kdr=O

Abb. 29: CoulombPotential

fUr aile geschlossenen Kurven, die den Ursprung nicht enthalten. Denn dort wird k singular! Wir berechnen das Kurvenintegral entlang des Kreises mit Radius R

T(t)

ｾ＠

R (

ｾＺ＠

der im Zentrum die Singularitat von Wegen x (t) = R cos t ( 0) flieBt. Welche Masse ist in 2 Zeiteinheiten durch die Oberflache geflossen (p = I)? Eine Parametrisierung der Kugeloberfliiche ist nach Beispiel 75(2):

f(u, v)

=R (

cosu cos v ) ｳｩｮｾ＠ cos v SIn v

05u5211" ＰＵｶｾ＠

123

3.4 Oberflachenintegrale

mit dem Normalenvektor

f'u x

=}

Tv = R2

v(rj . (Tu xi,,)

(

ｾ＠

ｾＺ＠

) .

smv

ｾ＠ ｾＺ＠

) . R2 cos v . (

R cos v R3 cos V (cos 2 V

=

Der FluB

cosv (

ｾ＠

ｾＺ＠

)

smv

+ cos v sin v) .

JJ vdF ergibt sich daher zu (F)

II vdF

(27r r/2 }u=o}v=o v(r(u, v))· (f'u x f'v) dvdu

(F)

{27r r/2

R3 }u=o }v=o cos v (cos 2 V + cos v sin v) dv du =

ｒＳＱｾｯ＠

1du = 271" R3.

Die Masse M, die in zwei Zeiteinheiten durch die Oberflache flieBt, ist demnach

= 2 ·1· 271" R3 = 471" R3.

M

78. Beispiel: Magnetischer FluB Der magnetische FluB if? des Magnetfeldes durch

if?

B durch eine Flache

A ist gegeben

=11 BdA. (Al

Gegeben ist das Magnetfeld eines stromdurchflossenen, geraden Leiters

iJ _ /-to I -

271"

(

Ｍｾ＠

0

)

1 x 2 +y2'

Gesucht ist der magnetische FluB durch die Kreisflache A. Das Magnetfeld liegt in der (x, y)-Ebene, der Flachenvektor dA = f'u x Tv du dv steht senkrecht zur Flache A, also in z-Richtung, Daher ist iJ ' dA = 0 und der magnetische FluB durch die Flache A gleich Null.

124

X Funktionen von mehreren Variablen

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Differentiations-Befehle von MAPLE diff(f, x) Diff(f, x) D[1](f) diff(f, x, z) diff(f, x$n) D[I$nJ(f) D[I,2J(f) with(linalg) grad(f, [xl, ... , xnJ)

Partielle Ableitung des Ausdrucks f nach x. Symbolische Darstellung der Ableitung. Partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen. Partielle Ableitung von f nach x, dann nach z. n-te partielle Ableitung von f nach x. n-te partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten Variablen. Gemischte partielle Ableitung der Funktion f nach der ersten, dann zweiten Variablen. Gradient des Ausdrucks

dotprod(grad(f, [x, y, zJ), lInorm(a,2)

f

mit den Variablen

* a)

Richtungsableitung von

f in Richtung des Vektors ii.

Integrations-Befehle von MAPLE int(y, x = a .. b) Int(y, x = a .. b) value(lnt(y, x = a .. b)) evalf(Int(y, x = a .. b))

f:

Berechnung des bestimmten Integrals y dx. Inerte Form des int-Befehls: Das Integral wird symbolisch dargestellt. Auswertung der inerten Form eines Integrals. Numerische Berechnung des bestimmten Integrals.

Il:=lnt(f, x = gl(y) .. g2(y)) 12:=lnt(l1, y = bl..b2) value(l2) Bestimmung des Doppelintegrals

II :=Int(f, z = gl(x, y) .. g2(x, y)) I2:=lnt(l1, y = hl(x) .. h2(x)) 13:=lnt(l2, x = al..a2) value(13) Bestimmung des Dreifachintegrals

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

125

Differentiation und Integration einer Vektorfunktion if (t) a:=map(diff, v, t) s:=map(int, v, t)

Ableitung von if. Unbestimmtes Integral von if.

Plot-Befehle plot3d(f(x, y), x

= a .. b, y = c.. d)

Einfachster Befehl zur Erstellung einer dreidimensionalen Graphik. plot3d(f(x, y), x = a .. b, y = c .. d, contours =20, style =contour) Darstellung von 20 Hohenlinien der Funktion f.

Mit

> ?plot3d[options] erhalt man eine Liste der Optionen des plot3d-Befehls. Einige wichtige davon sind: grid=[n, m] title=t labels=[x, y, z] tickmarks=[l, m, n] contours=n style=contour scaling= < constrained,unconstrained> view=zmin .. zmax axes=boxed thickness = orientation=[phi, theta] style=PATCHNOGRID

Dimension des Berechnungsgitters: n x m. Titel des Schaubildes. Spezifiziert die Achsenbeschriftung. Anzahl der Markierungen auf den Achsen. Spezifiziert die Anzahl der Hohenlinien. Nur Hohenlinien werden gezeichnet. MaBstabsgetreue Skalierung der Achsen. Der darzustellende z-Bereich einer Funktion z = f (x, y) wird eingeschriinkt. Achsen werden in das Schaubild aufgenommen. Steuerung die Liniendicke. Blickwinkel der 3d Graphik. Das Gitter wird unterdriickt.

Weitere Plot-Befehle densityplot(f(x, y), x

= a .. b, y = c.. d)

Darstellung einer Funktion iiber Grauschattierungen in einem zweidimensionalen Schaubild. contourplot(f(x, y), x = a .. b, y = c.. d, contours=20) Darstellung von 20 Hohenlinien in einem zweidimensionalen Schaubild.

126

X Funktionen von mehreren Variablen

gradplot(f(x, y), x = a .. b, y = c.. d, arrows=SLIM) zweidimensionale Darstellung des Gradienten von I, grad I, als Pfeil-Graphik. gradplot3d(f(x, y, z), x = a .. b, y = c.. d, z = e .. f) dreidimensionale Darstellung des Gradienten von I, grad I, als Pfeil-Graphik. tieldplot([/l(x,y),f2(x, y)],x = a .. b,y = c.. d) zweidimensionale Darstellung des Vektorfeldes [11, 12] als Pfeil-Graphik. tieldplot3d([/I(x, y, z), 12(x, y, z), 13(x, y, z)], x = a .. b, y = c.. d, z = e .. f) dreidimensionale Darstellung des Vektorfeldes [11, 12, 13] als Pfeil-Graphik. spacecurve([cos(t), sin(t), t], t = O.. 2*Pi) dreidimensionale Darstellung einer Raumkurve mit Parametrisierung ret) = [cos (t) , sin (t) , t].

Bis auf den plot3d-Befehl mOssen aIle weiteren Befehle mit with(plots) geladen werden. AIle Graphik-Befehle erhalt man durch > with(plots);

[animate, animate3d, conlormal, contourplot, cylinderplot, densityplot, display, display3d, lieldplot, lieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot, implicitplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot, pointplot, polarplot, polygonplot, polygonplot3d, polyhedraplot, replot, setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, sur Idata, textplot, textplot3d, tubeplot]

MAPLE-eigene Prozeduren readlib(mtaylor) mtaylor(f, [xl = xIO, ... , xn = xnO], k) Taylorentwicklung der Funktion I von n Variablen Xl,"" Xn am Entwicklungspunkt (XlO,···, xno) bis zur Ordnung k. with(linalg) Hessesche Matrix der Funktion I (Matrix aller partihessian(f, [xl, ... , xnJ) ellen Ableitungen der Ordnung 2). readlib(mtaylor) mtaylor(f, [xl = xlO, ... , xn = xnO], 1) Linearisierung der Funktion I am Entwicklungspunkt

(XlO, . .. , xno).

127

Zusammenstellung der MAPLE-Sefehle

readlib(extrema) extrema(f, {}, {xl, ... , xn}, extr) Bestimmung der Extrema der Funktion f in den Variablen Xl, ... , X n . Ausgegeben werden der minimaIe und maximale Wert der Funktion. 1m Namen extr werden die Koordinaten der Extrema abgespeichert.

Neu erstellte Prozeduren differential(f, xl, ... , xn)

Totales Differential der Funktion bien Xl, ... , X n .

f nach den Varia-

fehler(f, xl = xIO .. xlO + dxl, ... , xn = xnO .. xnO + dxn) Berechnung des absoluten und relativen Fehlers von f in linearer Niiherung, wenn Xl = ｸｾ＠ ± dXI , ... , Xn = ｸｾ＠ ±dxn .

stationaer(f, xl, ... , xn) extremum..2d(f, X, y, {X

Berechnet die stationfu"en Punkte der Funktion beziiglich den Variablen xl, ... , x n .

f

= xO, y = yO}) Priift, ob der stationfu"e Punkt (Xo, YO) ein lokales Extremum darstellt.

extremum_nd(f,xl, ... ,xn, {xl = xlO, ... ,xn = xnO}) Priift, ob der stationfu"e Punkt ＨｸｾＬ＠ ... , ｸｾＩ＠ ein lokales Extremum der Funktion f (Xl, ... , X n ) darstellt.

Regressionsgerade([[xl, yl], [x2, y2], ... , [xn, yn]]) Berechnet die Ausgleichsgerade durch die MeBpunkte (Xl,

yt) , ... , (xn, Yn).

ausgleich(f, parI, ... ,parn, [Listeder Me:6wertej) Bestimmt die Parameter parI, ... , parn in dem Funktionsausdruck f so, daB die Abstandsquadrate von MeBpunkten zur Ausgleichsfunktion f minimal werden. Die Parameter mOssen linear in f auftreten.

DreLint(f, varl = a .. b, var2 = c .. d, var3 = e .. !) Berechnung

Jf (Jed (J: f dvarl)

des

Dreifachintegrals

dvar2) dvar3.

128

X Funktionen von mehreren Variablen

starr(f, varl = a .. b, var2 = c.. d, var3 = e .. !, (Xl' ... ' X n ): gradcI> laplacian(phi, [xl, ... , xn]) Anwendung des Laplace-Operators auf das skalare Feld cI> (Xl' ... ' X n ): ｾ｣ｉ＾＠ potential(k, [xl, ... , xnj , phi) Priift, ob das Vektorfeld k(Xl. ... , x n ) ein Potential cI> besitzt mit k = gradcI>. Falls das Ergebnis true, wird im Namen phi das skalare Potential abgespeichert. vecpotent(k, [xl, x2, x3], A) Priift, ob das Vektorfeld tential A besitzt mit

k=

k (Xl,

X2, X3)

ein Vektorpo-

rotA.

Falls das Ergebnis true, wird im Namen A das Vektorpotential abgespeichert.

129

Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen

Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen Differentialrechn ung 10.1 Lassen Sie mit dem plot3d-Befehl die folgenden Funktionen in MAPLE graphisch darstellen a) z d) z

=

X·

Y

b) z

= x+y

=

x2

+ y2

e) z

= (x _ y)2

10.2 Fiigen Sie durch die Option style

c) z = x 2 _ y2 t) Z = e-(",2+ y2)

contour 20 HOhenlinien in die Schaubilder ein

=

und variieren Sie interaktiv den B1ickwinkel.

10.3 Berechnen Sie fUr die folgenden Funktionen aIle partiellen Ableitungen 1. Ordnung a) f (x, y) = x 3 + X· Y - y-2 c) f (u, v) = ｾｴ＠ e) f (Xl, X2, X3) = X2 10.4

b) f (a, t) = 3· a· x + y ·In (t 2) d) f (x, y, z) = arcsinh (x 2 + z2) t) f (a, b) = (ax + bx 2f l + y. e ab

Man berechne die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung der folgenden Funktionen

= 3x2 + 4 x y 4 y) = (3 x - 5 y) y) = 3x· e"'Y

a) f (x, y) c) f (x, e) f(x,

2 y2

b) f (x, y)

= 2 cos (3 x y) 22

d) f (x, y) = '" ＢＧｩＭ［ｊｌＮｾ t) f(x, y) = .jx2 - 2xy

= sin (x 2 + 2 y). Man bestlUige den Satz von Schwarz, daB fxy = fy",.

10.5 Gegeben ist die Funktion f (x, y)

10.6 Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 2. Ordnung fUr die Funktion

f

(Xl,

= Xl ·In Ｈｸｾ＠

X2, X3)

+ ｸｾＩ＠

.

10.7 Gesucht sind aile partiellen Ableitungen der Funktion a) f(x, y) = (3x - 5y)4

b) f (x, y, z) = e"'-Y. cos(5z)

10.8 Zeigen Sie, daB die Funktion f(x, y, z) LOsung der Laplace-Gleichung

=

f",,,,

a .jx2+y2+z2

+ fyy + fzz = 0

ist.

10.9 Zeigen Sie durch Einsetzen, daB z = x . eY /'" der partiellen DifferentiaIgleichung

x

g= + y g= = z

geniigt.

10.1 0 Zeigen Sie, daB die Funktion

f (x, y) die partielle Differentialgleichung 10.11

1 ·In (2 = "2 x f",,,,

+ y 2)

+ fyy = 0

erfullt.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Flache im Punkte P (1, 0).

z

10.12 Berechnen Sie an der Stelle P (1, 2, 0) das totale Differential von

f (x,

y, z)

= y . cos (z) +

In(l+x2) y

.

= (3 x + x . y)2

130

X Funktionen von mehreren Variablen

10.13 Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung ii = (

f (x, y)

fUr die Funktion

= (3x

ｾ＠

)

+ x. y)2.

Stellen Sie den Gradienten mit MAPLE graphisch dar.

10.14 Berechnen Sie den Gradienten und die Richtungsableitung in Richtung ii = ( -13 ) 2

fur die Funktion

f (x,

y, z) = y . cos (z)

+

In(1+x2) y

.

Stellen Sie den Gradienten mit MAPLE graphisch dar.

10 .15 Man bestimme mit MAPLE das totale Differential der Funktionen a) z (x, y) = 4 x 3 Y - 3 x . eY b) z (x, y) = ＢＬＺｾＲ＠ c) f (x, y, z) = In Jx 2 + y2 + z2. 10.16 Betrachten Sie die differenzierbaren Funktionen h, h : JR ..... JR und g: JR2 ..... JR und bilden die Verkettung h (Xl, X2) = 9 (h (x I) , h (X2». Berechnen Sie h und die ersten partiellen Ableitungen von h in folgenden FlIllen a) h (Xl) = ao + al Xl; h (X2) = bo + bl X2; 9 (UI, U2) = CO + CI UI + C2 U2. b) h (Xl) = sin Xl; h (X2) = COSX2j 9 (UI, U2) = ｕｾ＠ + UI U2.

10.17 Man berechne die Taylorreihe der Funktion f an der Stelle (xo, yo) bis zur Ordnung 2 in den folgenden HUlen a) f (x, y) = ｦＺｾｬＬ＠ (xo, yo) = (1, 1) b) f (x, y) = e",2+y2, (xo, yo) = (1, 0)

10.18 Man berechne das totale Differential von a) f (x, y) = sin (x 2 + 2y) b) f (x, y) = 3x2 + 4xy - 2y2 d) f (x, y, z) = x 2 Z - Y Z3 + X4 c) f (x, y) = y. cos (x - 2y) 10.19 Fur den Durchmesser eines geraden Kreiszylinders hat man (6.0±0.003) m gemessen, fur die Htihe (4.0 ± 0.02) m. Wie groB ist der grtiBte, absolute und relative Fehler des Zylindervolumens?

10.20 Zur Berechnung eines elektrischen Widerstandes R I = (15 ± 0.3) A und die Spannung U relative Maximalfehler von R.

=!f

= (110 ± 2) V

werden die Stromstllrke gemessen. Gesucht ist der

10.21 Der Elastizitlltsmodul eines zylindrischen Drahtes (r: Radius des Drahtquerschnitts, I: Lange des Drahtes) wird bestimmt, indem die Langenzunahme z des Drahtes unter dem EinfluB der Kraft k gemessen wird. Es gilt I· k (E-Modul). E = -11" r2 . z Wie groB und mit welcher Genauigkeit ist E bestimmt, wenn die MeBwerte I (2000 ± 3) mm, r = (0.2 ± 0.002) mm, k = (200 ± 0.05) N und z = (15 ± 0.1) mm betragen?

131

Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen

10.22

Zu bestimmen ist die Dichte p eines Messingstiicks nach der Auftriebsmethode: Sei m das Gewicht in Luft, m, das Gewicht in Wasser, dann gilt m Gewicht in Luft p = m - m, = Volumen Wie groB ist der relative Fehler von p, wenn m (88 ± 8,10- 3 ) g?

10.23

an der Stelle (xo, Yo, zo)

=

y, z)

In (1 + x 2 ) = y' cos (z) + -'----'y

= (1,

2, 0).

Bestimmen Sie flir die folgenden Funktionen zunachst die kritischen Stellen und entscheiden Sie danach, ob (und wenn ja urn weIche) es sich urn lokale Extremstellen handelt a) f (x, y) = x 2 + cos (y) b) f (x, y) = 3y2 + 3xy - 18y2

= (x -

+ 12 xy Welcher Punkt der FIache z = Jl + (x c)

10.25

(100 ± 5 ' 10- 3 ) 9 und in

Linearisieren Sie die Funktion

f (x,

10.24

=

f (x, y)

y)3

2y)2

hat den kleinsten Abstand vom

Punkt (1, -2, O)? 10.26

Zeigen Sie, daB die Funktion

f (x, y) = c - x 2 _ y2 im Punkte (0, 0) ein lokales Maximum besitzt. 10.27

Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion f (x, y) = x 3 + y3 - 3 x - 12 y

+ 20,

10.28

Bestimmen Sie mit MAPLE die relativen Extrema der Funktionen a) f (x, y) = 3 x y - x 3 - y3 b) f (x, y) = x 2 + y2 + X - y 2 c) f (x, y) = 1 - x + y - 2 x y + x - y2 d) f (x, y) = ex2 + y2 - 2 X4 _ 2 y2

10.29

Vereinfachen Sie die Prozedur extremum.nd, indem Sie den definit-Befehl aus dem linalg-Paket verwenden. definit iiberpriift die Definitheit einer Matrix.

10.30

Bestimmen Sie aile stationiiren Punkte der Funktion f (x, y, z) = e-(x 2+y2 +z 2) . (x 2

_ Z2)

mit der Prozedur stationaer und iiberpriifen Sie mit extremum.nd, ob lokale Extrema vorliegen. 10.31

Bestimmen Sie mit MAPLE zu den folgenden MeBreihenjeweils die Ausgleichsgerade a) b)

1 0.81

2 -0.5

y,

0 2.1

Xi

1.5

1.8

2.4

3.0

Yi

1.9

2.1

2.8

3.4

Xi

3 -2.1 3.5 4.0

4 -3.4 4,0 4.1

5 -4.3

6 -5,8

4.5

6.0

5.1

6.1

132

X Funktionen von mehreren Variablen

Tragen Sie die Punkte zusammen mit der Ausgleichsgeraden in ein Schaubild ein!

10.32 a) Bestimmen Sie die Exponentialfunktion vom Typ

y

= a eb x,

die sich an die 4

MeBwerte geeignet anpaBt.

1

2

3

1. 75

1.08

0.71

y = cxn, die sich den folgenden MeB-

b) Wie lautet die Potenzfunktion vom Typ punkten anpaBt?

2

3 5.6

3.1

4 9.1

5 12.9

Integralrechnung 10.33 Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale a) Ix1=o

ｉｾ］Ｑ＠

Xy2 dydx

c) Iy"'=o 1::::/2 sin (x

b)

+ y)

dx dy

L=o Iy1::ox (25 3

x 2 - y2) dydx

d) Iy'1l'=o 1:='11' x . cos (x

+ y)

dx dy

lk1

10.34 Bestimmen Sie das DoppeJintegral Uber das schraffierte Gebiet G flir die Funktion z = x - y, indem Sie sowohl Integralformel (D1) als auch (D2) anwenden: I =11 (x - y) dG G

G

i

1

x

10.35 Zeigen Sie, daB der Wert der beiden Gebietsintegrale gleich ist (2 (X2 (4 (1/4 (y+4) h=Jx=oJ y=o2xydydx h=Jy=oJx=.,fY 2xydxdy 10.36 Bestimmen Sie den Flacheninhalt des Halbkreises mit Radius R = 2 und Mittelpunkt (2, 0) in der oberen Halbebene, indem Sie in Polarkoordinaten das folgende Integral berechnen

II

1dxdy=

ｬＺｯｌｲ､ｾＮ＠

(G)

y = -x (x - 3) und y a) Welche Flache schlieBen sie ein? b) Wie lauten die Koordinaten des Flachenschwerpunktes?

10.37 Gegeben sind die Kurven von

= -2x.

10.38 Bestimmen Sie die axialen Flachenmomente Ix und Iy sowie das polare Flachenmoment Ip eines Viertelkreises mit Radius R. 10.39 Erstellen Sie eine MAPLE-Prozedur DoppeUnt zur Berechnung von Doppelintegralen, wahlweise in kartesischen (x, y) oder Polarkoordinaten (r, ｾＩＮ＠ 10.40 FUhren Sie die Integrationen aus den Aufgaben 10.33 - 10.38 mit DoppeUnt durch.

133

Aufgaben zu Funktionen von mehreren Variablen

10.41

Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Dreiecksflliche (Abb. a).

10.42

Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Halbkreises mit Radius R (Abb. b).

kl.

•

x

Abb. a

10.43

fl7'

y

Abb. b

Abb. c

Abb. d

Berechnen Sie die Dreifachintegrale

)J J c) 1:= 0ｉ［ｾＱｲ

a

l

z=o

(Z y =z-l

J+ Y

1

x=y X

Ｏ Ｒ＠ ｉｲｾｯ＠

2

d d d X Y z

r2

cos'!9 sin cp dr d'!9 dcp

10.44

Erstellen Sie eine MAPLE-Prozedur zur Berechnung von Dreifachintegralen und werten Sie diese Prozedur fur die Integrale aus 10.43 aus.

10.45

Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinate Zs sowie die Massentrligheitsmomente des Rotationskorpers, der durch Rotation von x 2 an der z-Achse entsteht. Fiihren Sie zur Beschreibung des Korpers Zylinderkoordinaten ein (vgl. Abb. c).

10.46

Bestimmen Sie die Massentrligheitsmomente einer Halbkugel (z

10.47

Gesucht ist das Integral

> 0).

1=111 x2ydxdydz wobei G = {(x, y, z) : x ;::: 0 , y ;::: 0 , x + y2 s: 1 ,OS: z s: 1 } . G

2

(Zur Berechnung fuhre man Zylinderkoordinaten ein; vgl. Abb. d.) 10.48

Gesucht ist der Schwerpunkt des Zylinderstiicks aus Aufgabe 10.47.

10.49

Bestimmen Sie fur die folgenden Bewegungen eines Massenpunktes den Geschwindigkeitsvektor v (t) sowie den Beschleunigungsvektor a(t). a) Kreisbahn b) ZykIoide

10.50

=R

r(t) = R (

(

ｾＺ＠

i::? )

ｾ＠ =ｾＺ＠

)

Bestimmen Sie zu den Vektorfeldern die zugehorige Potentialfunktion a)

10.51

r(t)

k= (

2x y + 4x ) x2 - 1

Gegeben ist das Kraftfeld

b)

k= (

eY

x eY

)

c)

k= (

3 x 2 Y + y3 x 3 + 3 X y2

)

F = ( ｾ＠ ).

a) Zeigen Sie, da/3 F konservativ ist. b) Bestimmen Sie die zugehorige Potentialfunktion. c) Berechnen Sie die Arbeit Fdr, urn einen Massepunkt von PI (1,0) nach P2 (3, 5) zu bringen.

Ie

134 10.52

X Funktionen von mehreren Variablen

DberprUfen Sie mit MAPLE, ob die foigenden Vektorfeider Gradientenfeider sind und berechnen Sie gegebenenfalls die zugehOrigen Potentiaie b)

ｦｾ＠

=( _

e) f5 =

10.53

ｾＺ＠

x+y

2x+y ) ( x+2yz y2 +2z ｣Ｉｦｾ］＠

)

(l+Y+YZ) X+XZ xy

Berechnen Sie das Linienintegrai

Ie (ydx + (x 2 + xY) dy)

entiang der nebenstehenden Linien zwischen den Punkten A (0, 0) und B (2, 4). 10.54

Bestimmen Sie den Wert des Oberflachenintegrais

v(x, y, z) = (

1vdA, wenn

ｾ＠

: ; : ) und die Oberflache :eschrieben wird durch die Para1 + x 2 y2

metrisierung F: r(u, v) = uex

+ vey + ｾ＠

ｾ＠

uvez = (

)

ｾｵｶ＠

mit -1 10.55

ｾ＠

u ｾ＠

1 und -1

Gesucht ist der FiuB von

ｾ＠

v ｾ＠

l.

v=( Ｚ［ｾ＠ )

durch die Oberflache von X2 +y2+Z2

= R2.

Kapitel XI Gewohnliche Differentialgleichungen

§1. Gewohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung In den folgenden Kapiteln wird das Wort "Difforentialgleichungen" stets mit DG abgekiirzt. DG sind fUr die Natur- und Ingenieurswissenschaften unentbehrlich, da durch sie viele Naturgesetze ausgedriickt werden. DG sind das Ergebnis einer mathematisch-physikalischen Modellierung, welche die auftretenden Phfulomene moglichst gut beschreibt. Aber nicht nur das Losen von DG innerhalb der Mathematik ist fUr den Ingenieur wichtig, sondem schon das Aufstellen von DG stellt eine schwierige Aufgabe dar. Es wird daher versucht, nicht nur das Losen von praxisrelevanten DG zu uben, sondem auch die Herleitung der DG wird in den Beispielen erklart.

1.1 Einleitung und Beispiele Begriffsbestimmung: Eine Differentialgleichung (DG) ist eine Gleichung, in der neben der gesuchten Funktion (oder mehreren Funktionen) auch Ableitungen dieser Funktion (bzw. Funktionen) vorkommen. Eine gew6hnliche DG ist eine Gleichung, in der nur Funktionen und deren gewohnliche Ableitungen auftreten, im Gegensatz zu partie lien DG, bei denen auch partielle Ableitungen in der Bestimmungsgleichung enthalten sind.

Wir werden in den nachfolgenden Abschnitten nur gewohnliche DG behandeln und daher den Zusatz gewohnlich unterdriicken. Beim Auftreten von nur einer unbekannten Funktion hat eine gewohnliche DG die allgemeine Form

F(x,y(x),Y'(x), ... ,y(n)(x)) =0. Die Ordnung der hochsten in einer DG auftretenden Ableitung hci/3t Ordnung der DG. Eine DG hei/3t linear, wenn sie von der Form

y(n) (x)

+ an-l (x)

y(n-l) (x)

+ ... + al (x)

T. Westermann, Mathematik für Ingenieure mit Maple © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997

y' (x)

+ ao (x)

y (x) = f (x)

136

Xl GewOhnliche DifferentiaIgleichungen

ist, wobei die Koeffizienten ai (x) und die rechte Seite f (x) bekannte, gegebene, stetige Funktionen sind. Lineare DG deshalb, weil die gesuchte Funktion y (x) und all ihre Ableitungen nur in linearer Fonn vorkommen. Ansonsten heiBt die DG nichtlinear. Wir beschaftigen uns im folgenden hauptsachlich mit linearen DG mit konstanten Koefjizienten, da diese eine fUr die Anwendungen wichtige Rolle spielen. Speziell in diesem Abschnitt wenden wir uns DG 1. Ordnung zu. Wie man zu DG 1. Ordnung kommt, sollen die folgenden Beispiele zeigen: Beispiele: R

U'L__

L...J

S

1 RL-Kreis. Ein Widerstand R, eine Spule mit Induktivitltt L und eine Batterie mit Spannung UB sind mit einem Schalter S in Reihe geschaltet. Der Schalter ist zunachst offen und wird zur Zeit t = 0 geschlossen. Der Strom zum Zeitpunkt t = 0 ist Null: 1(0) = O. Wie verhalt sich der Strom I (t) als Funktion der Zeit fur t > O?

Abb. 34: RL-Kreis

Zur Losung des Problems stellen wir zunachst die Bestimmungsgleichung fUr den Strom auf. Nach der KirchhojJschen Regel, Maschensatz fUr die Masche M, gilt daB der Spannungsabfall entlang R plus den Spannungsabfall entlang L gleich der angelegten Spannung UB ist:

Mit dem Ohmschen Gesetz (UR = R . I (t)) und dem Induktionsgesetz (UL = folgt weiter L ､ｾｴﾻＩ＠

:::}

ｾ＠

I (t)

1(1)

u. - - - ---:..;-:;,.;-..--R

+ ｾ＠

I (t) =

i

UB

mit 1(0) = O.

Dies ist eine gewohnliche, lineare DO erster Ordnung fur den Strom I (t). Gesucht ist eine Funktion I (t), welche die obige DG mit der Anfangsbedingung erfullt. Wie man durch nachrechnen bestatigen kann, ist die Ll>sung gegeben durch

1I (t) =

Abb.35: Stromverlauf I(t)

Denn setzen wir die Ableitung von I (t)

. UB I (t) = R

R

.L

R t

e-r;

ｾ＠ (1 - e-f t) ·1

137

1.1 Einleitung und Beispiele

und die Funktion in die DG ein, folgt

'* j (t) + f I (t) = ?

(1- e-f t) = ?

e- f t+ f ｾ＠

Die Funktion I (t) erfiillt also die DG und besitzt die geforderte Anfangsbedingung = ｾ＠ (1 - eO) = O.

1(0)

2. Radioaktiver Zerfall. Sei n (t) die Anzahl der zum Zeitpunkt t gegebenen Atome einer radioaktiven Substanz. Die Menge dieser Substanz, die in einer Zeitspanne dt zerflillt, ist proportional zur vorhandenen Substanz und zur Zeitspanne dt: n (t + dt) - n (t) rv -dt . n (t)

'* n (t + dt) -

n (t) = -).. dt n (t)

mit einer Proportionalitatskonstanten ).. > O. Da die Anzahl der radioaktiven Atome abnimmt, steht auf der rechten Seite die Gleichung ein Minus als Vorzeichen. Division durch dt und anschlieBender Grenziibergang dt -+ 0 liefert n' (t)

=

lim n (t ､ｴｾｏ＠

+ dt) -

n (t)

dt

= _).. n (t)

Dies ist eine gewohnliche, lineare DG I. Ordnung mit der Anfangsbedingung n (0) = N. Diese DG hat als Losung

(Zerfallsgesetz)

N

net)

In(t) = Ne-At,1 die in Bd. 1, Kap. V.5.1 diskutiert wurde. Abb. 36: Radioaktiver Zerfall

3. Barometrische Hlihenformel. Der Luftdruck p (h) in der Hohe h tiber dem Meeresspiegel wird verursacht durch das Gewicht der tiber der Flache A lastenden Luftsaule. Der Druckunterschied p (h) - p (h + dh) ist gleich dem Gewicht G der vertikalen Luftsaule mit Querschnitt A, die sich zwischen h und h + dh befindet. FUr kleine dh nehmen wir an, daB die Dichte p (h) in dieser Luftsaule konstant ist:

h

A (p (h) - p (h + dh)) = G = dm 9 = P (h) A . dh g. Division durch dh und anschlieBender Grenzilbergang dh -+ 0 liefert '(h)=l' p(h+dh) - p(h)=_ (h) p 1m dh gp. ､ｨｾｏ＠

betrr'et. yt

Wrrd die Luft ai, ideale, Gas schen p, p und der Temperatur T:

so

p=

Q

ｾ＠

folgender Zusammenhang zwi·

mit einer Konstanten

Q.

138

XI GewohnIiche Differentialgleichungen

i) Betrachtet man die Temperatur T (h) als konstant und unabhangig von der Hohe, so erhalt man mit f3 = g¥ die DG

Ipl(h) = -a

ｧｾ］＠

-f3P(h).1

Die Losung dieser DG lautet

Ip(h) =p(ho)e- f3 (h-h o )

I

(Barometrische HOhenformel)

ii) Die obige DG ist wegen der Annahme T = const nur in einem kleinen Bereich gtiltig. In Realitat flillt die Temperatur mit zunehmender Hohe. Die einfachste Modellannahme ist, daB T einen linearen Temperaturabfall besitzt: T (h) = To - b (h - ho) .

Dies fiihrt auf die DG

p' (h)

= To _ ｾＺ＠

_ ho) p (h)

mit p (ho) = Po·

Wie man wieder durch Nachrechnen bestatigt, ist

o

die Losung der DG.

1m folgenden werden wir klaren, wie man systematisch Losungen von linearen DG 1. Ordnung bestimmt und ob die angegebenen Losungen auch die einzigen Losungen sind.

L2 Lineare DG L Ordnung Wir betrachten in einem Intervall I die Iineare DG 1. Ordnung

Iy' (x) = h (x) y (x) + f (x), I wenn h (x) und

f (x)

f (x) f (x) 1m FaIle

f (x)

=1=

(Dl)

gegebene, auf dem Intervall I stetige Funktionen sind. Fiir

=1= 0 = 0

heiBt (Dl) eine inhomogene DG und fUr heiBt (Dl) eine homogene DG.

0 nennt man die Inhomogenitat

f (x)

oftmals die StOrfunktion.

139

1.2 Lineare DG I. Ordnung

1.2.1 Homogene Differentialgleichungen Wir behandeln zunachst das homogene Problem

Iy' (x) = h (x) y (x) I mit der Anfangsbedingung y (xo) = Yo. Die Uisung dieser DG erfolgt durch die und Methode der Trennung der Variablen. Dazu ersetzen wir y' (x) durch ｾ＠ trennen die Variablen, indem wir formal die Gleichung mit dx multiplizieren und durch y dividieren: dy

dx

dy

y

= h(x) y(x) =>

= h(x) dx.

Die anschlieBende Integration liefert

lYo ､ｾ＠ y

Y

=

r h(x) dx => ｬｮｹｾｯ＠

ixo

= In..! =

Yo

r h(x) dx.

ixo

Wendet man auf beiden Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an, erhalt man als Uisung

'"

= Yo eJ"'0

Y (x)

h(x)dx

(H)

•

Beispiele:

4. RL-Kreis. Der unter Beispiel 1 diskutierte RLKreis ist zunachst geschlossen. Zum Zeitpunkt to =

o wird die Batterie iiberbriickt. Dann gilt

!

I (t)

+ ｾ＠

I (t)

ｾＬ＠

j (t) =

=0

mit! (0)

Ｍｾ＠

= lo.

I (t).,

Abb.37: Strom verI auf J(t)

Die Losungsformel fUr homogene DG liefert

l(t)=loe

J. t ,

t (-

) d-r

=loe

0

-0.('-'0) L

=loe

-D., L

•

5. Barometrische H6henformel. Die unter 3 i) und ii) angegebenen DG werden ebenfalls mit dieser Losungsformel behandelt: p' (h) = -(3p(h): i)

J

ｾ＠

h

P (h) = p (h o ) e

ho

-f3dh = p (h o ) e-f3 (h-h o ).

140

XI Gewohnliche Differentialgleichungen

PI (h)

ii)

ｾ＠

=-

e.g

To-b (h-ho) P

" J () "0

P () h = p ho e

(h)·. u,

dh

Q_V

To-b ("-1.0)

(f'-ho))1

!!J/. In(To-/'

= p( hob )e

,.

"0

Durch Einsetzen der oberen und unteren Grenze folgt

bag

In ( To - b (-h - ho

))I

h ho

ag In (To - b (h - ho)) - b ag In (To) = b

In To - b (h - ho) = In (1- ｾ＠ (h _ ho )) To To b Wir erhalten damit insgesamt fUr die Funktion p( h )

!!J/.

= ag

(1 -;0

P (h) = p (ho)

b

!!J/.

(h - ho))

o

b

L2.2 Inhomogene Differentialgleichung Wir gehen nun zur inhomogenen DG

Iy' (x) = h (x) y (x) + f (x) I mit der Anfangsbedingung y (xo) = Yo tiber und berechnen die Losung der DG mit der Methode der Variation der Konstanten. Die Losung des zugehOrigen homogenen Problems y' (x) = h (x) y (x) ist

y ( x)

= ce

I

x

" assign("); > y(x); yO e( k (x-xO) )

Anwendungsbeispiele: 16. RL-Kreis mit Wechselspannung. Kommen wir auf den in Beispiel 1 diskutierten RL-Kreis mit anliegender Weehselspannung Ub(t) = Uo sin(wt) zurUek. Naeh- Iel)=? dem zum Zeitpunkt t = 0 der Sehalter S gesehlossen wird, gilt fOr den Stromverlauf 1(t) die Iineare DG l. Ordnung

R

U'L__

!1(t) MAPLE

+ ｾ＠

1(t) = iUo sin(wt) mit 1(0) = O.

L...J

S

Abb. 41: RL-Kreis

bestimmt die Losung dureh

> DG:= diff(lr(t),t) + R/L*Ir(t) = 1/L*UO*sin(omega*t): > dsolve({DG,lr(O)=O}, Ir(t»: > normal(,,); 1r(t) = -

UO (Lwcos(wt) -wLe(-¥) ＭｒｾｩｮＨｷｴﾻＩ＠ R2 +w 2 L2

Der zeitliehe Verlauf des Stromes setzt sieh zusammen aus einem exponentiell abklingenden Term und einem periodisehen Term. Der exponentiell abklingende Anteil spiegelt den Einsehwingvorgang wider und das Langzeitverhalten wird dureh den periodisehen Anteil bestimmt. Man beaehte, daB bei der Definition der DG mit MAPLE der Strom nieht mit I bezeiehnet werden darf, da die imaginare Einheit mit I = R als systemvordefinierte GroBe vorliegt (vgl. Bd. 1, Kap. Y.)! 17. Newtonsches AbkOhlungsgesetz. Ein Korper mit Temperatur To > 20° befmdet sieh in einer Umgebung mit Temperatur- Tu = 20°. Wie kohlt der Korper als Funktion der Zeit ab? 1st T(t) die Temperatur des Korpers als Funktion der Zeit, so gilt naeh dem Newtonsehen Gesetz der Abkiihlung, daB die zeitliehe Rate der Temperaturanderung proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Korper und Umgebung ist: d dt T(t) '" T(t) - T,.

160

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

Fiihren wir eine Proportionalitatskonstante k ein, erhalten wir fUr die Temperatur des Korpers

!

T(t)

=

-k (T(t) - Tu) mit T(O) = To.

Die Uisung fUr den Temperaturverlauf ist

> DG := diff(T(t),t) = -k*(T(t) -Tu):

> dsolve({DG,T(O)=TO}, T(t»; T(t)

=

Tu +e(-kt) (-Tu +TO)

Gemessen wird, daB der Korper sich in 20 Minuten von 800 auf 60 0 abkOhIt. Die Konstante k bestimmt sich damit zu

> assign("):

> T1

:= subs({Tu=20,TO=80,t=20},T(t»;

Tl := 20 + 60e( -20k)

> k := solve(T1=60,k);

1m folgenden zeichnen wir den Temperaturverlauf fUr verschiedene Anfangstemperaturen To = 800 , 600 , 400 in ein Diagramm:

> with(plots): > graph1 := subs({Tu=20,TO=80},T(t»: > graph2 := subs({Tu=20,TO=60},T(t»: > graph3 := subs({Tu=20,TO=40},T(t»: > t1 := textplot([[140,60,'TO=80'], [140,50,'TO=60'], [140,40,'TO=40']]): > p1 := plot( {graph1,graph2,graph3}, t=O .. 160, title='Temperaturverlauf'): > display({p1,t1}); Temperalurverlauf

TO=80 TO=60 TO=40

20 0

20

40

60

80 1 100

120

Abb. 42: AbkUhlkurven

1 0

1.5 LOsen von DG 1. Ordnung mit

18. Eine chemische Reaktion zweiter Ordnung A + B

DG

d

dt x(t)

=

161

MAPLE

---+

X liiBt sich durch die

k (a - x(t)) (b - x(t))

beschreiben, wenn die Anzahl der Molekiile vom Typ A bzw. B zu Beginn der Reaktion a bzw. b (a > b) und x(t) die Anzahl der Reak:tionsmolekiile X zum Zeitpunkt t sind (k: Reak:tionskonstante). Wir suchen den zeit lichen Verlauf der Konzentration x(t) fur die Anfangsbedingung x(O) = 0:

> DG:=diff(x(t),t)=k*(a-x(t))*(b-x(t));

a

DC := at x(t)

> dsolve({DG,x(O)=O}, > simplify(");

=

k (a - x(t) ) (b - x(t) )

x(t)):

b ( -1 + e( - t k ( a-b» ) a

x( t )

=

--'---a-+-be-:(c---t k-('-a-_b--:')7)-

Fiir die Werte a = 5, b = 2 und k = 0.5 folgt der Zeitverlauf

> assign("): > x(t) := subs( {a=5,b=2,k=O.5}, x(t)): > plot(x(t), t=O .. 5, title= 'Chemische Reaktion'); Chemische Reaktion

Abb. 43: Chemische Reaktion

Die Reak:tion kommt zum Stillstand, wenn aIle Molekiile vom Typ B reagiert haben.

162

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

§2. Lineare Differentiaigieichungssysteme 2.1 Einftihrung Wir behandeln in diesem Abschnitt lineare Differentialgleichungssystem (LDGS) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. In vielen Anwendungen sind zeitlich veranderliche GrOBen Xl (t), X2 (t), ... , Xn (t) gekoppelt, so daB die Anderung einer GrOBe Xi (t) nicht nur von t und Xi (t), sondem auch von den restlichen GroBen und deren Ableitungen abhangt. Einfachste Beispiele sind Koppelschwingungen, bei denen mehrere Feder-Masse-Systeme gekoppelt werden. Oie Aussagen fiber die LOsungen von LOGS gleichen in mancher Hinsicht denen aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme. So bilden die LOsungen eines homogenen LOGS einen Vektorraurn und die allgemeine LOsung eines inhomogenen LOGS ist die Surnme einer speziellen LOsung des inhomogenen LOGS und der allgemeinen LOsung des homogenen LOGS. Zur Einfiihrung betrachten wir ein gekoppeltes System aus Pendeln. 19. Beispiel: Gekoppelte Pendel. Zwei Fadenpendel der Lange l, an deren Ende jeweils eine Masse m hangt, werden durch eine Feder mit Federkonstanten D gekoppelt (siehe nebenstehende Abb.). Werden die beiden Massen urn den Winkel 3 nieht exakt bereehnet werden k6nnen, sind Systeme mit Parametem nur in den seltensten Fallen mit MAPLE gesehlossen 16sbar. Zur Bestimmung des Eigenwertproblems stehen die Befehle charpoly, eigenvals und eigenvects zur Verfiigung. Sie befinden sieh im Iinalg-Paket, das hierfur geladen werden moB. 24. Beispiel: Gesueht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

A:=

> with(linalg): > A:=matrix([[3,

( 3ｾ＠ 1ｾ＠ -!1)

1, 1] [1, 3, -1] [0, 0, 4]]):

Das eharakteristisehe Polynom wird bestimmt dureh den Befehl charpoly > P(lambda) := charpoly(A, lambda);

P (A)

:=

A3

-

10 A2

+ 32 A -

32

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des eharakteristisehen Polynoms. Mit dem solve-Befehl16sen wir P (A) = 0: > solve(P(lambda)=O, lambda);

2, 4, 4 und finden 2 als einfaehe und 4 als doppelte Nullstelle. Man beaehte: Sind die Nullstellen des eharakteristisehen Polynoms keine ganzen oder gebrochenrationalen Zahlen, verwendet man zur L6sung von P(A) = 0 besser den fsolve-Befehl mit der Option 'complex': > fsolve(P(lambda)=O, lambda, complex); Dann werden aile n Nullstellen des charakteristisehen Polynoms niiherungsweise bestimmt. Die zugeh6rigen Eigenvektoren bestimmt man dureh L6sen des homogenen linearen Gleichungssystems (A - A1) x = 0 mit dem linsolve-Befehl

174

>

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

linsolve(A-2, [0, 0, 0]);

Ein zum Eigenwert ). = 2 gehOrender Eigenvektor ist dann z.B.

> x1 :=subs(J[1]=1, "); xl :=

[-1 1 0]

Zum Eigenwert ). = 4 gehOrende Eigenvektoren sind die Losungen der Gleichung (A-4I) x=O:

> linsolve(A-4,

[0, 0, 0]);

[ -tl

+ -t2

-tl

-t2]

> x2:=subs({J[1]=1, J[2]=0}, ");

> x3:=subs( {_t[1 ]=0,

J[2]=1}, "");

x2 :=

x3 :=

[1 1 0] [1 0 1]

Altemativ konnen die eigenvals- und eigenvects-Befehle verwendet werden. Die Berechnung der Eigenwerte erfoIgt dann direkt mit eigenvals

> eigenvals(A);

2,4,4

und die der Eigenvektoren mit eigenvects

> e:=eigenvects(A);

e:=[2,1,{[1 -1 O]}], [4,2,{[1 10],[10 I]}] Das Ergebnis von eigenvects(A) besteht aus einer Sequenz von Listen. Jede Liste hat den Aufbau: Eigenwert, Vielfachheit, Basis des Eigenraumes. Der Eigenwert 2 hat die Vielfachheit 1 und der zugehOrige Eigenvektor ist

> x1 :=e[1] [3] [1]; xl :=

[1 -1 0]

e[I] [3] [1] wird von innen nach auBen gelesen: Wahle die 1. Komponente der Sequenz e, also [2, I, HI -1 OJ}]. Davon nehme die 3. Stelle, e[1] [3] = HI -1 OJ} und selektiere das erste Element [1 -1 0]. Analog erhiilt man zwei linear unabhangige Eigenvektoren zum Eigenwert 4 durch

> x2:=e[2]

[3] [1]; x3:=e[2] [3] [2];

x2 :=

x3 :=

[1 1 0] [1 0 1]

2.5 LOsen von homogenen LOGS mit konstanten Koeffizienten

175

2.5 Lasen von homogenen LDGS mit konstanten KoetTlZienten Kommen wir nun zu unserem urspriinglieh gestellten Problem, dem Losen von homogenen LDGS, zuriiek. Zusammenfassend konnen wir formuliereh: FolgerungiZusammenfassung: Besitzt die (n x n)-Matrix A eine Basis von Eigenvektoren Xl, X2, ... , Xn zu den Eigenwerten AI, ... , An E C, so bilden die Vektorfunktionen $k (t) = Xk e Ak t

I

I

ein Losungs-Fundamentalsystem des homogenen LDGS

y' (t) = AY(t). Die in §2.4 besehriebene Vorgehensweise zur Bestimmung der Eigenwerte und zugehOrigen Eigenvektoren ist ausreiehend, urn ein Fundamentalsystem des LDGS y' (t) = A fj(t) zu bereehnen, wenn man eine Basis aus Eigenvektoren findet. Dies ist aber nur unter gewissen Voraussetzungen der Fall, welehe der folgende Satz zusammenfaBt. Auf die weiterfiihrende Theorie werden wir nieht naher eingehen.

(l) (2) (3) (4)

Satz 8: Sei A eine (n x n)-Matrix. Dann gilt Besitzt das eharakteristisehe Polynom P (A) = det (A - AIn) n versehiedene Nullstellen. => Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. Existiert zu jedem Eigenwert der Vielfaehheit m, m linear unabhangige Eigenvektoren. => Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. 1st A eine reelle, symmetrisehe Matrix (d.h. A = At). => Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. 1st A eine komplexe, hermitisehe Matrix (d.h. A = At). => Es gibt eine Basis aus Eigenvektoren.

Bemerkung: Stimmt die Dimension des Eigenraurnes Eig(A, A) mit der Vielfaehheit des Eigenwerts iiberein, dann existiert eine Basis aus Eigenvektoren. Man kann allgemeiner sogar zeigen, daB diese Bedingung nieht nur notwendig, sondem aueh hinreiehend ist: Es existiert eine Basis aus Eigenvektoren genau dann, wenn fOr aile Eigenwerte die Vielfachheit mit der Dimension des Eigenraumes Obereinstimmt. Da solche Matrizen eine besondere Rolle spielen, bezeiehnet man sie als diagonalisierbare Matrizen.

176

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

25. Beispiel: Gesucht ist ein Losungs-Fundamentalsystem des LDGS

(i) Bestimmung der Eigenwerte von A:

det

P(A)

(1-

=

A[3) =

(A -

I-A

1

1 1

I-A

1 1

1

I-A

A) /1 ｾ＠ A I-A 1

A2 (A -

I-I ＠ｾ ｬｾａ＠

=

/+/

1

1

I-A 1

3).

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:

P (A) ｾ＠ 0

ｾ＠ &

Al

= 0

A2

= 3

Eigenwert mit Vielfachheit 2. Eigenwert mit Vielfachheit 1.

(ii) Bestimmung der Eigenvektoren von A:

t

Eigenvektoren zum Eigen(w (A - 0 . [3)

x=

0 ｾ＠

.

ｅｾＨａＬｏＩ＠

ｾ＠

X3

= rj

X2

= tj Xl

{XE ｒＳＬｸｾ＠

ｾｬ＠ ｾ＠

0: 0 )

1 1 1 0 ｾ＠ 1110 = -r - t. Damit folgt

(::)

ｾｲ＠ ＨＭｾＩ＠

(1

1 1

0)

0 0 0 0 0000

+t

(-i)

.

;r,tE

R}

Die Dimension des Eigenraums Eig(A, 0) ist 2 und gleich der Vielfachheit des Eigenwerts. Zwei linear unabhlingige Eigenvektoren sind z.B.

2.5 LOsen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

177

Die Dimension des Eigenraumes Eig(A, 3) ist 1 und gleich der Vielfachheit des Eigenwertes. Ein Eigenvektor ist z.B.

(iii) Ein Fundamentalsystem von iJ' (t) = A iJ (t) ist dam it

und die allgemeine Losung lautet

mit frei wahlbaren Konstanten

o

CI, C2, C3.

Die in diesem Abschnitt gewonnenen Methoden lassen sich direkt auf LDGS der Form iJ" (t) = AiJ(t) iibertragen. Dies ist deshalb von besonderem Interesse, da Schwingungsprobleme ohne Reibung sich durch soIche LDGS darstellen lassen. Satz 9: 1st A eine (n x n )-Matrix und

x ein Eigenvektor zum Eigenwert >.. Dann

sind die Funktionen

IiJI (t)

=

xe+ VXt

und fh (t) = xe- VXt

I

LHsungen des LDGS zweiter Ordnung

IiJ" (t) = Begrtlndung: 1st iJ (t) :=

A iJ(t)·1

xeVX t und x ein Eigenvektor zum Eigenwert >.. Dann

gilt:

=

AxeVXt=AiJ(t).

Analog zeigt man, daB

xe- VX t Losung des LDGS ist.

o

178

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

Bemerkung: Besitzt A eine Basis aus Eigenvektoren (Xl, . .. , xn) mit den zugehOrigen Eigenwerten Ai =1= 0 (i = 1, ... , n), dann ist ｘ ｾ＠

1

eFI t

ｸｾ＠

,1

e-FI t

'''.,

ｸｾ＠

n

eVA:: t ,ｸｾ＠ n e-VA:: t

ein Losungs-Fundamentalsystem zu iJ" (t) = AiJ(t).

26. Beispiel: Gekoppelte Pendel ohne Reibung. Kommen wir auf das Einfuhrungsbeispiel 19 der gekoppelten Pendel zuriick. VemachHissigen wir Reibungskrafte, ist das System von DG fur die Winkelauslenkungen 'PI (t) und 'P2 (t) gegeben durch g D CP1 (t) -T 'PI (t) + m ('P2 (t) - 'PI (t))

FOr 1 Al

=

=}

-If

1

und 1A2 =

(ii) Berechnung der Eigenvektoren:

Al =

-y:

(A - Al h)

x = 0 '----> ＨＭｾ＠

Eigenvektor zum Eigenwert Al

g D (A-A212)x=O'----> A2=---2-: l m

Eigenvektor zum Eigenwert A2

=

I·

1ｾＩ＠ (-1 11 ｾＩＺ＠ ｟ｾ＠

=

-If - 2 ＠ｾ

'---->

-If

ist Xl

= (

ｾ＠

) ("gleichphasig").

(Q'B QIO) (Q QIO) 'B

-If - 2 ＠ｾ

mm

ist X2

°

'---->

° ° °

m

m

= ( _ ｾ＠ ) ("gegenphasig").

:

2.5 LOsen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

179

(iii) Aufstellen des Fundamentalsystems: Mit den Eigenvektoren und zugehOrigen Eigenwerten stellen wir das komplexe Fundamentalsystem auf: ｘ ｾ＠ I ･ｾｴ＠

mit

ｾ＠

,Xl

e Ｍｾｴ＠

ｸｾ＠ ･ｾｴ＠ ,2

A = v'-f = i If = i WI

und

ｾ＠

,X2

e Ｍｾｴ＠

A = J-7 - 2 'i; = i J7 + 2 'i;

iW2'

(iv) Interpretation: ist die Eigenfrequenz des Pendels ohne Federkopplung. Zu dieser WI =

J7

Frequenz gehOrt der Eigenvektor (

ｾ＠

1, was einem gleichphasigen Auslenken der

Die Feder ist nicht bemerkbar und beide Pendel entspricht (siehe linke Abb. ＨＱｾＮ＠ Pendel schwingen mit der Eigenfrequenz eines Einzelpendels ohne Kopplung.

Ie7+ 2 'i;

ist die Eigenfrequenz des Pendels mit Federkopplung, wenn die bei en Massen gegenphasig ausgelenkt werden. Der zugehOrige Eigenvektor

W2 =

ist ( _ ｾ＠ ) (siehe rechte Abb. (2)). Durch die entgegengesetzte Auslenkung der

Pendel macht sich die Federauslenkung doppelt bemerkbar, was sich in dem Faktor 2'i; bei der Frequenz widerspiegelt.

(1) Gleichphasige Auslenkung

(2) Gegenphasige Auslenkung

Die zu WI und W2 gehOrenden Schwingungen nennt man Grundschwingungen. Regt man das System mit einem Eigenvektor an, so wird nur die zugehOrige Eigenfrequenz angeregt. AIle anderen Schwingungsformen sind Oberlagerungen dieser Grundschwingungen. Die allgemeine Losung ist gegeben durch

0(t) =

CI (

+C3 (

wenn

CI, C2, C3, C4

ｾ＠

｟ｾ＠

) e iw1 t

+ C2

(

ｾ＠

) e iw2t +C4 (

e-iw1 t

)

｟ｾ＠

beliebige, komplexe Konstanten sind.

)

e- iw2t ,

180

XI GewOhnIiche Differentialgleichungen

(v) Obergang zu einem reellen Fundamentalsystem: Aufgrund der Eulerschen Formel (Bd. 1, Kap. V) eit = cost + i sint

gilt fur beliebiges t cost sint Mit den L6sungen 1$1 (t) = Xl eiWl t und 1$2 (t) = Xl e- iWl t erfilllen auch die beiden Uberlagerungen

1 ....

1 ....

2i

2i

1/Jl (t) -

1/J2 (t)

das LOGS. Analog erhlilt man X2 cos (W2 t) , X2 sin (W2 t) als L6sungen. Insgesamt haben wir somit vier reelle Losungen durch Linearkombination von vier komplexen L6sungen erhalten: Xl cos (WI t),

Xl sin (WI t),

X2 cos (W2 t), X2 sin (W2 t) .

Die allgemeine reelle Losung lautet daher

ｾＨｴＩ＠

=

ＨＺｾｧ＠

)

=Cl (

+C3 (

｟ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

) COS(Wlt)+C2 (

) cos (W2 t) + C4 (

｟ｾ＠

) sin(wlt) ) sin (W2 t)

bzw. in Komponentendarstellung 'PI (t) = Cl cos (WI t) + C2 sin (WI t) + C3 cos (W2 t) + C4 sin (W2 t) 'P2 (t) = Cl cos (WI t) + C2 sin (WI t) - C3 cos (W2 t) - C4 sin (W2 t).

Die Konstanten Cl,

C2, C3,

C4 werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt.

(vi) LOsung fOr unterschiedliche Anfangsbedingungen 1.) Mit 'PI (0) = 'Po, 'P2 (0) = 'Po, CPl (0) = 0, CP2 (0) = 0 regt man die gleichphasige Grundschwingung an. Aus den Anfangsbedingungen folgt dann Cl 'Po, C2 = C3 = C4 = O. Somit lautet die Losung 'PI (t) = 'Po cos (WI t) 'P2 (t) = 'Po cos (WI t).

Die Pendel schwingen gleichphasig mit der Frequenz WI =

...ff.

181

2.5 LOsen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

2.) FUr 'PI (0) = -'PO, 'P2 (0) = 'PO, V:;I (0) = 0, V:;2 (0) = 0 regt man die gegenphasige Grundschwingung an. Aus den Anfangsbedingungen folgt dann C3 = -'Po, CI = C2 = C4 = 0 =}

(t) = -'PO COS (W2 t) 'P2 (t) = 'PO COS (W2 t).

'PI

Die Pendel schwingen gegenphasig mit der Frequenz W2

=

JIf +

2 ｾＮ＠

3.) Wird nur das erste Pendel ausgelenkt 'PI

(0)

= -'PO, 'P2 (0) = 0,

V:;I

(0)

= 0,

V:;2

(0)

=0

erhalt man eine Schwebung: 1m folgenden wird fur die Pendellange l = 2, Federkonstante D = 0.2 und Masse m = I die Losung fur 'PI (t) mit MAPLE graphisch dargestellt und die Bewegung der beiden Massepunkte als Animation gezeigt. Dabei gehen wir zunachst von allgemeinen Anfangsbedingungen aus. (Der Abstand der beiden Auiliangepunkte betrage ld = 0.75.) Gegeben sind die allgemeinen Losungen fur die Winkelauslenkungen

>

Phi1 :=t

->

'PI (t),

'P2(t)

chcos(wht) + c2*sin(wht) + c3*cos(w2*t) + c4*sin(w2*t);

> Phi2:=t -> chcos(wht) + c2*sin(wht) - c3*cos(w2*t) - c4*sin(w2*t); q?1 := t

ｾ＠

c1 cos( wI t)

+ c2sin( wI t) + c3cos( w2t) + c4sin( w2t)

q?2:= t

ｾ＠

c1 cos( wI t)

+ c2sin( wI t) -

und die Winkelgeschwindigkeiten Ｇｐｾ＠

(t),

c3cos( w2t) - c4sin( w2t)

ＧｐｾＨｴＩ＠

> Phi1s:=D(Phi1); > Phi2s:=D(Phi2); Phils:= t ｾ＠

-c1 sin( wI t) wI

Phi2s:= t

+ c2cos( wI t) wl- c3sin( w2t) w2 + c4cos( w2t) w2

ｾ＠

-c1 sin( wI t) wI

+ c2cos( wI t) wI + c3sin( w2t) w2 -

c4cos( w2t) w2

Die Koeffizienten CI, C2, C3, C4 werden durch die Anfangsbedingungen > Phi10:=-O.1: Phi20:=O.: Omega10:=O.: Omega20:=O: festgeiegt. Man erhait 4 iineare Gieichungen fur die 4 unbekannten Koeffizienten > eq1 := Phi1(O) = Phi10; > eq2 := Phi2(O) = Phi20; > eq3 := Phi1s(O) = Omega10; > eq4 := Phi2s(O) = Omega20; eq1 := c1

+ c3 =

-.1

182

XI Gew()hnIiche DifferentiaIgIeichungen

eq2 := cl - c3 = 0 eq3 := c2wl

+ c4w2 =

eq4:= c2wl - c4w2

0

=0

die mit dem solve-Befehl aufgelost werden

> sol:=solve( {eq1,eq2,eq3,eq4}, > assign(sol);

{c1,c2,c3,c4});

sol := { cl = -.05000000000, c2 = 0, c4 = 0, c3 = - .05000000000 }

Anschliel3end werden die Parameter l, ld, d und m spezifiziert, die Winkelfrequenzen festgelegt und die Losung fur den Winkel CPl (t) gezeichnet

> 1:=2: Id:=0.75: d:=0.2: m:=1 : > w1 := sqrt(10.l1): w2 := sqrt(10.l1+2*d/m): > plot(Phi1 (t), t=O .. 150, title='Schwebung', numpoints=300); Schwebung

0.1

-0 . 1

Abb. 46: Schwebung bei Doppe\pende\ ohne Reibung

Die Animation der Bewegung der Massepunkte erfolgt durch den display-Befehl: Momentaufuahmen der Pendellage werden in 200 Bilder p.i (i = 1..200) abgespeichert und die Sequenz der Bilder dann durch den display-Befehl mit der Option insequence=true abgespielt

> Tmax:=2*Pi/(w2-w1): imax:=200: > dt=Tmaxlimax: > for i from 1 to imax > do t=(i-1 )*dt > 11 :=[ [0,1], [Phi1 (t), 0], [ld+Phi2(t), 0], [ld,l] ]: > p.i:=plot(11, x=-1 ..2, axes=none, scaling=constrained, thickness=2): > od: D > with(plots): display([seq(p.i,i=1 .. imax)), insequence=true);

183

2.5 Losen von homogenen LDGS mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung: Durch die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren ist man in der Lage, ein Fundamentalsystem des LDGS

iJI! (t) = AiJ(t) zu bestimmen: 1st Xk ein Eigenvektor zum Eigenwert Ak, dann sind zwei Losungen gegeben durch Ih,1 (t)

= Xk eV;;;; t und 'Pk,2 (t) = Xk e-V;;;; t.

Die Eigenwerte reprasentieren die Eigenfrequenzen des Systems und die Eigenvektoren die zu den Eigenfrequenzen gehOrenden Schwingungsformen (Auslenkungen). Die allgemeine Losung ist eine Oberlagerung dieser Grundschwingungen.

o 27. Anwendungsbeispiel mit MAPLE: Pendelsystem mit Reibung. Gegeben sei das zum Pendelsystem mit Reibung gehOrende LDGS (vgl. Beispiel 19)

iJ' (t)

-7 -

ｾ＠ Ｍｾ＠ ｾ＠m

ｾ＠ ｟ｾ＠

ｾ＠

=

I

_

AiJ(t)

ｾ＠m ｟ｾｭｬ＠

ｾ＠

)

und

＠ｾ y

(t) =

471 (t) ) (t) ( 01 472 (t) ,

02 (t)

wenn 471 (t) und 01 (t) die Winkelauslenkung bzw. Winkelgeschwindigkeit der ersten Masse m. Analog sind 472 (t) und 02 (t) definiert. Man beaehte, daB bei der Definition der Matrix A in MAPLE die Federkonstante nieht mit D bezeiehnet werden darf, da D fur den Ableitungsoperator steht.

> with(linalg):

> A= matrix ([[0, 1, 0, 0], [-gil-dIm, -gamma/m, dIm, 0], > [0, 0, 0, 1], [dIm, 0, -gil-dIm, -gamma/m]]): Die Eigenwerte von A sind > lambda:=eigenvals(A);

ａＮ］ｾ＠

.

2

-i,+j'iJi,2-4m 2 g ＠ｾ -i,-j'iJl[2-4m2 g mi ' 2 mi

ｾ＠ -i, + j'i Jl[2 - 4m 2 9 - 8mdi ＠ｾ -i,- j'i Ji,2 - 4m 2 9 - 8mdi 2 mi ' 2 mi

Jf

J7

Anhand der DarsteUung erkennt man, daB fur, < 2 m bzw. , < 2 m + 2 ｾ＠ die Terme in den Wurzeln negativ werden und dadurch die Eigenwerte komplexe Zahlen sind. Fur, = 0 reduzieren sich obige Formeln genau auf die Eigenfrequenzen ±i WI und ±i W2 von Beispiel 26.

184

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

Wahrend der Befehl eigenvects(A) keine weiteren Infonnationen liefert, die Eigenvektoren also nieht berechnet werden, kannen wir durch explizites Lasen der linearen Gleichungssysteme (A - Ai 14) X = 0 dennoch die Eigenvektoren zu den Eigenwerten aligemein berechnen

> linsolve(A-lambda[1], [0, 0, 0, 0)); [ L[l]

1

"2

(-l, + Vl Vl,2 - 4m2g) L [1] ml

L[l]

ｾ＠ (-Z,+VlVl,2- 4m2g )L[1]] 2 Fiir L [1]

=

ml

1 lautet der Eigenvektor Xl zum Eigenwert Al

Analog erhalt man die Eigenvektoren X2, X3 und X4 zu den Eigenwerten A2, A3, A4:

X2 = (1 , A2, 1, ).2), X3 = (-1, -).3, 1, ).3), X4 = (-1, -).4,1, ).4). Vergleicht man die erste und dritte Komponente der jeweiligen Eigenvektoren (sie reprasentieren die Amplituden 'PI und '(2), erkennt man, daB fUr die Eigenvektoren Xl und X2 'PI und 'P2 gleichphasig und fUr die Eigenvektoren X3 und X4 'PI und 'P2 gegenphasig schwingen. Das komplexe Fundamentalsystem ist somit gegeben durch Zur graphischen Darsteliung des Schwingungsvorgangs wahlen wir die Parameter > Gamma:=0.05: 1:=2: d:=0.2: m:=1: g:=10: > A := matrix([ [0,1,0,0], [-g/l-d/m,-Gamma/m,d/m,O], [0,0,0,1],

>

[d/m,O, -g/l-d/m,-Gamma/m]]);

0

1

A .= [ -5.2 -.05 ·00 .2 0

o .2

o

-5.2

Zur iibersichtlicheren Zahlendarsteliung setzen wir > Digits:=4:

11

Die Eigenwerte und Eigenvektoren werden mit dem eigenvects-Befehl bestimmt

2.5 LOsen von homogenen LOGS mit konstanten Koeffizienten

185

> e3 := eigenvects(A); e3 := [-.02506 + 2.327 1,1, {[ -.3145 + .00289 I .00116 - .730 I [-.02506 - 2.327 1,1, {[ -.3145 - .00289 I .00116 + .730 I [-.0250 + 2.237 1,1, {[ .3116 - .01164 I .01823 + .6985 I [-.0250 - 2.237 1,1, {[ .3116 + .01164 I .01823 - .6985 I

.3063 - .00281 I - .00113 + .7125 I]}], .3063 + .00281 I - .00113 - .7125 I]}], .3082 - .01152 I .01803 + .6902 I]}], .3082 + .01152 I .01803 - .6902 I]} 1

Da die Eigenwerte jeweils paarweise komplex konjugiert aufireten, erhalten wir aus dem zunachst komplexen Fundamentalsystem ein reelles, indem wir zu den Linearkombinationen -+ 1 -+ , -+, -+ 1 -+ , -+, Yl (t) = '2(x 1 e"l t+ X2 e"2 t ) und Y2 (t) = 2i(x 1 e"l t_ X2 e"2 t ) iibergehen:

> y1 := t -> evalm( 1/2 * (e3[1][3][1] * exp(e3[1][1]*t) > + e3[2][3][1] * exp(e3[2][1]*t» ): > y2 := t -> evalm( 1/(2*1) * (e3[1][3][1] * exp(e3[1][1]*t) > - e3[2][3][1] * exp(e3[2][1]*t» ): > evalc(y1 (t)[1]); -.3146 e( -.02506t) cos( 2.327t) - .002892 e( -.02506t) sin( 2.327 t)

Y

Y

Analog wird 3 (t) und 4 (t) aus reelle Losung lautet dann

y (t) =

Cl

-;3

e A3 t und

-;4

e A4 t gebildet. Die allgemeine

Y1 (t) + C2 Y2 (t) + C3 Y3 (t) + C4 Y4 (t)

bzw. in den einzelnen Komponenten

> Phi 1 := evalc( chy1 (t)[1] + c2*y2(t)[1] + c3*y3(t)[1] + c4*y4(t)[1]): > Phi1 := unapply(Phi1,t); Phi2 := evalc( c1 *y1 (t)[3] + c2*y2(t)[3] + c3*y3(t)[3] + c4*y4(t)[3]): > Phi2 := unapply(Phi2,t):

186

XI GewOhnliche Differentialgleichungen

Entsprechend bildet man Phi1s aus der zweiten Komponente von y(t) und Phi2s aus der vierten Komponente. Urn das Anfangswertproblem zu 16sen, geht man wie in Beispiel 26 vor. Die Anfangsbedingungen > Phi10:=-0.1: Phi20:=0.: Omega10:=0.: Omega20:=0: legen ein lineares Gleichungssystem fUr die 4 Konstanten mit dem solve-Befehl gel6st wird: > eq1 := Phi1(0) = Phi10: > eq2 := Phi2(0) = Phi20: > eq3 := Phi1s(0) = Omega10: > eq4 := Phi2s(0) = Omega20: > sol:=solve( {eq1,eq2,eq3,eq4}, {c1,c2,c3,c4}); > assign(sol);

CI, C2, C3, C4

fest, das

sol := { c3 = -.1591, c1 = .1602, c4 = -.004156, c2 = .000258}

Mit dem plot-Befehl erhalt man den zeitlichen Verlauf der Schwebung fUr die Winkelauslenkung plot(Phi1 (t),

t=O .. 150, numpoints=1500);

Abb. 47: Schwebung bei Doppelpendel mit Reibung

187

2.6 Berechnung spezieller Losungen mit MAPLE

2.6 Berechnung spezieller Losungen mit MAPLE Die Berechnung von speziellen Losungen bzw. der Losung eines inhomogenen LDGS y' (t) = Ay(t) + !(t)

I

I

mit Anfangsbedingungen kann auf elegante Weise mit Hilfe der Fouriertransformation (--+ Kap. XIV) oder der Laplacetransformation Ｈｾ＠ Kap. XII) erfolgen. Wir werden in diesem Abschnitt eine spezielle Losung des inhomogenen Systems mit der Methode der Variation der Konstanten berechnen. Dazu gehen wir zu der folgenden Konstruktion iiber: Sei ((PI (t), (P2 (t), ... , $n (t)) ein Losungs-Fundamentalsystem des homogenen Problems, d.h. (i=l, ... ,n). $: (t) = A$i (t) Man beachte, daB die Losungsvektorfunktion $i (t) aus n Komponenten $i (t) = ('Ph (t) , 'P2i (t) , ... , 'Pni (t)) t besteht! Aus den n Basisfunktionen $1 (t) , ... , $n (t) bilden wir die Matrix

I