Mathematik 2 für Nichtmathematiker: Funktionen - Folgen und Reihen - Differential- und Integralrechnung - Differentialgleichungen - Ordnung und Chaos [7., durchges. Aufl.] 9783486593358, 9783486577754

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0) bzw. nach links (für ß < 0) und um 7 Einheiten längs der y-Achse. -

=

—

=

Bisher wurde nur der Spezialfall a = 1 der quadratischen Funktion y = ax2 + 6x + c behandelt. Der Koeffizient a bestimmt im wesentlichen, wie weit und in welche Richtung, d.h. nach oben oder nach unten, die Parabel geöffnet ist. In Bild 6.12 sind die Graphen einiger Parabeln der Form y = ax2 eingetragen. Man sieht, daß die Parabeln für positive a nach oben, und für negative a nach

6.3

Quadratische Funktionen

unten

geöffnet ist.

Je

Parabel.

y

größer

oder Parabeln

der

Betrag

von a

= —_

y

=

19

ist, desto schmaler wird die

-2x2

Bild 6.12: Quadratische Funktionen y

=

ax2

Auf diese Weise läßt sich jede Parabel der Form y = ct(x ß)2 + 7 in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dabei ist die vertikale Gerade x = ß die Symmetrieachse, der Scheitelpunkt der Parabel, d.h. der Schnittpunkt der Parabel mit der Symmetrieachse, hat die y-Koordinate y = 7 und die Öffnung der Parabel wird durch den Wert von a festgelegt. —

Aus der allgemeinen Form einer quadratischen Funktion y = ax2 + 6x + c läßt sich die obige Schreibweise /(x) = a(x ß)2 + 7 durch die sog. quadratische

Ergänzung gewinnen: y

=

ax2 + bx + c =

—

•(-(4)) t,

Es

-,

,

gut also:

a

=

a,

x¿ +

a

a

+

^ 4ac-b2 +

\2a)

j

ü

+

\2a

c

(6.16)

-io-

&

a

ß=

-X

—

2a

—

und 7

4ac-62 =

4a

—-

Graph der Funktion y ax2 + bx + c ist demnach eine Parabel mit b 4ac-b2\ 6 fI —, und dem Scheitelpunkt S ), Symmetrieachse x Der

=

.

=

=

—

—

—-

—

der de-

20 ren

6

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Öffnung durch a festgelegt wird.

Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder auch gar keine Nullstelle be-

sitzen.

Beispiele: 1. Die folgende Tabelle zeigt die Erträge von Winterweizen bei verschieden hohen Stickstoffdüngergaben. Die ersten sechs Werte sind identisch mit denen im Beispiel auf Seite 16. Zusätzlich wurden noch die Erträge bei höheren

Stickstoffmengen gemessen. Stickstoff AT [kg/ha] | 20 Ertrag E [dt/ha]

[ 40

60

80

100

1120 I 140 1160 I 180 I 200

J42.2151.5 ¡72.9173.4189.9192.7186.5194.9192.7180.7

Das

Streudiagramm zeigt Bild 6.13. 100 H 90 H

BOH 70

pt

H

60 50 40

A U

i—i—i—i—i—i—i

20

AO

60

80 100 120 140 Stickstoff [kg/ha]

i—i

160

i

180 200

Bild 6.13: Quadratische Abhängigkeit des Ertrags von der Stickstoffdüngung Bei hohen Düngergaben resultiert eine typische Ertragsdepression. Innerhalb gewisser Grenzen kann die Abhängigkeit des Ertrags von der Stick-

stoffdüngung durch E

=

eine

quadratische Funktion

a-N2 + b-N + c=a-(N-ß)2 + y

modelliert werden, deren Parameter aus Bild 6.13 zu bestimmen sind. Der Scheitel der Parabel ist der Punkt (145, 93). Damit lautet die Parabelglei-

chung:

E

=

a-(N- 145)2 + 93

Den unbekannten Parameter a kann man berechnen, indem man einen weiteren Parabelpunkt in die Modellgleichung einsetzt, z.B. den Punkt (20,40): 40 = a (20 145)2 + 93 => 40 = 15625a + 93 => a = -0.0034 •

-

Quadratische Funktionen oder Parabeln

6.3

Das

21

quadratische Modell lautet also:

-0.0034 (JV 145)2 + 93 = -0.0034N2 + 0.99/V + 21.5 2. Betrachtet man die laminare Strömung einer Flüssigkeit in einem Zylinder, dann kann das Geschwindigkeitsprofil, d.h. die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit vom Abstand r von der Mittelachse, der Flüssigkeit durch das Poiseuülesche Gesetz beschrieben werden: E

=

v{r)

•

=

ifc

•

-

(R2 r2) -

Dabei ist k eine positive Konstante, die unter anderem von der Länge des Zylinders und der Druckdifferenz zwischen den beiden Enden abhängt, und R ist der Radius des Zylinders. In Bild 6.14 ist die Geschwindigkeit in Form von Vektoren dargestellt, die Spitzen dieser Geschwindigkeitsvektoren auf einer Scbnittebene durch die Zylinderachse beschreiben eine Parabel.

Bild 6.14: Laminare

Strömung im Zylinder

Funktionen einer reeJJen Veränderlichen

6

22

Die kubische Funktion

6.4

Die Funktionsgleichung einer kubischen Funktion lautet im Fall:

f(x) ax3 + 6x2 + ex + d a^x3 + 02X2 + aix + ao

(6.17)

=

=

allgemeinsten

Graphen einiger kubischer Funktionen sind im Bild 6.15 dargestellt. Diese Graphen werden auch als kubische Parabeln oder Parabeln dritten GraDie

des bezeichnet. y =-x

16

.

yj

a)

t—i—r

y

=

x

0.05xJ + O^Sx' 0.5x Bild 6.15: Kubische Funktionen y

=

-

-

J

Je nach Größe der Koeffizienten a, b, c und d ergeben sich recht unterschiedliche Kurven. Der Graph einer kubischen Funktion ist aber immer punktsymmetrisch.

Kubische Funktionen besitzen eine, zwei, oder drei Nullstellen. Der Koeffizient a bestimmt den Verlauf der Kurve für große bzw. kleine x-Werte, also für x > 0 und x => 3a + b

9a + 36 + =>

Die

a

=

c

5

=

2

l|>=> 5a + 6 J

0

17

.

6=— 4

—-

4

Bedeutung

der

c

=

bestimmen die

=

=

0.5 Ï >^-2a -2)

quadratische Funktion y

=

-2.5 =>

3 2

--

Polynome besteht darin, daß

sie die einfachsten und be-

quemsten Funktionen sind. Darüber hinaus kann nahezu jede Funktion,

ter bestimmten

=

un-

Voraussetzungen, in einem Intervall mit beliebiger Genauigkeit durch ein Polynom approximiert werden (vgl. Kap. 10). Die Polynome werden auch zur Interpolation verwendet. Unter Interpolation versteht man die näherungsweise Bestimmung der Werte einer Funktion, die nur für endlich viele Argumente gegeben ist, an Zwischenstellen. Bei der linearen Interpolation bestimmt man die Funktionswerte zwischen zwei gegebenen, benachbarten Punkten, indem man eine Gerade durch diese zwei Punkte legt und die Funktionswerte durch die Werte der Geraden annähert. Analog kann man durch drei benachbarte Punkte eine Parabel legen und damit die Funktionswerte durch die Werte der Parabel annähern. In diesem Fall spricht man von einer quadratischen

Interpolation.

Stetigkeit

6.6

25

Stetigkeit

6.6

Die in den vorhergehenden Abschnitten betrachteten

Polynome besitzen alle die

Eigenschaft, daß ihr Graph kontinuierlich verläuft. Man kann, einfach gesagt, ihre Graphen zeichnen, ohne die Bleistiftspitze vom Papier abzuheben. Neben den Polynomen gibt es noch viele andere Funktionen mit dieser Eigenschaft. Solche Funktionen nennt man stetig. Bei stetigen Funktionen ändert sich der Funktionswert nur wenig, wenn das Argument nur ein wenig variiert wird. Eine Funktion y f(x) ist an der Stelle x xo stetig, wenn man zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl e eine positive Zahl 6, die von xo und e abhängt (6 f5(x0,e)), angeben kann, so daß gilt: Alle Funktionswerte f(x) von xWerten aus der 5-Umgebung von xo (|x xo| < 6) genügen der Ungleichung =

=

=

|/(x) /(x0)|

< £

-

(vgl. Bild 6.16).

—

y

yo

xo

Bild 6.16:

X

Stetigkeit

in xo

Für jede e-Umgebung (yo £, yo + e) von yo kann man also eine hinreichend kleine Zahl 6 finden, sodaß das Bild dieser ¿-Umgebung 6,xo + enthalten ist. in der (xo S, xo + S) von xo ganz e-Umgebung von yo —

/((xo

-

6))

—

Als stetige Funktion bezeichnet ihres Definitionsbereichs stetig ist.

man

eine

Abbildung, die in jedem Punkt

graphischen Veranschaulichung wird deutlich, stetigen zusammenhängende Kurve ist. Insbesondere gilt: Aus der

Funktion eine

daß der

Graph

stetige Funktion besitzt keine Sprungstellen (vgl. Bild 6.17 a) Eine stetige Funktion besitzt keine Pole (Unendlichkeitsstellen) (vgl.

einer

1. Eine

2.

6.17 b und

Bild

c)

stetige Funktion "oszilliert" nicht, wie die in Bild 6.18 skizzierte Funktion y sin in der Umgebung des Nullpunkts.

3. Eine

=

—

6

26

Bild 6.17:

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Unstetige

Funktionen

Bild 6.18: Oszillierende Funktion Man beachte, daß die Funktionen von Bild 6.17 b) und c) stetig in allen Punkten ihres Definitionsbereich ID, jedoch unstetig an den Polen sind. Man muß also zwischen Stetigkeit in 2D und Stetigkeit in M unterscheiden. Dasselbe gilt für die Funktion y = sin von Bild 6.18. Die Funktion ist zwar stetig in M \ {0}, x aber nicht stetig in JR. Es liegt eine Unstetigkeitsstelle bei x = 0 vor. Im Gegensatz dazu sind Funktionen mit Sprungstellen, die zum Definitionsbereich gehören (Bild 6.17 a), nicht im gesamten Definitionsbereich ID stetig. -

überwiegend stetige Funktionen oder zumindest stückFunktionen vor, d.h. stetig in Teilbereichen des Definitionsbestetige in Bild 6.17. Funktionen z.B. die wie reichs, Die Treppenfunktionen sind Abbildungen, die für Teilintervalle der Definitionsmenge jeweils konstant sind. Diese Abbildungen, deren Graphen wie Treppen aussehen, sind in den Teilintervallen natürlich stetig, insgesamt jedoch unstetig. Treppenfunktionen kommen häufig in der Statistik vor.

In der Praxis kommen

weise

6.6

Stetigkeit

27

Beispiel: Eine Funktion, deren Funktionswert F(x) gleich der Summe der relativen Häufigkeiten aller Stichprobenwerte ist, die kleiner oder gleich x sind, bezeichnet man als Summenhäufigkeitsfunktion. Als konkretes Zahlenbeispiel wird folgende Häufigkeitstabelle aus dem Landwirtschaftssektor verwendet:

Anzahl der Ferkel pro Wurf f(x) = Relative Häufigkeit in % F(x) = Summenhäufigkeit in % Daraus

ergibt sich 100H

die in Bild 6.19

8 12

|

9

| 21 |

20 41

|

10 22 63

I

11

|

18 81

|

12 12 93

Fix) Wl[%]J

.-

,_i i

¡-'

—

i _

60-

H

20

Ar Bild 6.19:

|

100

dargestellte Summenhäufigkeitsfunktion.

80-

40

13

x

9

10

n

11

i

12

r

13

Summenhäufigkeitsfunktion

1— 14

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6

28

Rationale Funktionen

6.7

+ n-ten Grades: Pm(x) = ami™ + = das Bildet und man aix-f ao Summenpolynom Qn(x) bnxn + + 6ix + 6o. P-l-Q, indem man die beiden Polynome P und Q argumentweise addiert, dann erhält man für n > m:

Gegeben seien zwei Polynome m-ten bzw.

•

•

•

...

(P + Q)(x)

= =

P(x) + Q(x)

=

6m+1xm+1 + (am + 6m)xm +...+ + +(ai &i)x + (a0 + 60)

6nx" +

...

+

(6.20)

Ebenso können die beiden Polynome miteinander multipliziert werden, so daß ein Polynom, das sog. Produktpolynom P Q (n-1-m)-ten Grades erhält:

man

(P.Q)(x)

= =

Bildet

man

P(x).Q(x)

=

(6.21)

am6„xn+m -I-... + (a06i + ai60)x + a060

jedoch

den

Pm(x) Quotienten _m.

Qn(x)

,

dann erhält

man

i.a. kein

Polynom

.

m

zweier Polynome nennt man eine ratioQuotienten 72(x) Qn{x) nale Funktion, und man bezeichnet Pm(x) als Zählerpolynom und Qn(x) als Nennerpolynom. Ist das Nennerpolynom vom Grad 0, so ist der Quotient 22(x) ein Polynom. Daher werden Polynome oft auch als ganze rationale und die eigentlichen rationalen Funktionen als gebrochen rationale Funktionen bezeichnet. Imfolgenden werden nun die gebrochen rationalen Funktionen betrachtet. Dazu wird angenommen, daß Zähler und Nennerpolynom teilerfremd sind, d.h. P und Q haben keine gemeinsamen Nullstellen. Wird das Nennerpolynom Q einer solchen rationalen Funktion 22 für ein x /?,• gleich Null, dann ist 22 an dieser Stelle nicht mehr definiert, da der Funktionswert über alle Grenzen wächst, also gegen +oo bzw. —oo strebt. Diese Unmehr. Den

=

=

endlichkeitsstellen nennt man auch Pole. Eine rationale Funktion besitzt also genau an den Nullstellen /?,- des Nennerpolynoms (Qn(ßi) = 0) Pole. Die Nullstellen a¡ des Zählerpolynoms (Pm(a,) = 0) sind gleich den Nullstellen der rationalen Funktion 22.

Beispiele: 1. Die einfachste rationale Funktion ist die sog. hyperbolische Funktion f(x) = mit D = 272 \ {0}. Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel —

(vgl.

Bild

6.20).

6.7

29

nationale Funktionen

T-1-r

Bild 6.20:

T-1-r

Hyperbel

Diese Funktion hat für x = 0 einen Pol, und die y-Achse ist vertikale Asym-

ptote. Eine Asymptote ist eine Kurve, der sich der Funktionsgraph mehr und mehr nähert, ohne sie jemals zu erreichen. Die x-Achse ist im vorliegenden Fall horizontale Asymptote. In Anwendungen ist der Definitionsbereich oft auf positive Argumente beschränkt. Die Zustandsgieichung idealer Gase ist dafür ein Beispiel: n-RT mit V > 0 p-V = n-RT bzw. p = Dabei ist p der Gasdruck, n die Molzahl, R die allgemeine Gaskonstante, T die absolute Temperatur, und V das Volumen des Gases. Trägt man den Druck p einer festen Gasmenge in Abhängigkeit von V für konstante Temperaturen T auf, dann erhält man hyperbolische Kurven. Diese Hyperbeläste

bezeichnet

man

auch als Isothermen.

hat für x ±1 Unendlichfix) x2 1 (x + l)(x 1) keitsstellen (Pole) und ist symmetrisch zur y-Achse (vgl. Bild 6.21 a). x + 1 Die Funktion F(x) hat für x 1 einen Pol. Nähert man sich (x-1)2 von änks oder von rechts diesem Pol, so strebt f(x) in beiden Fällen gegen +oo. Für x -1 hat f(x) eine Nullsteile (vgl. Bild 6.21 b). Die Funktion

=

——-

3.

=

=

=-—-— -

=

=

6

30 y

=

Funktionen einer reellen Veränderlichen x

y

y

x2-l

=

+l

(x iy

yf

-

b)

»;

Bild 6.21: Rationale Funktionen x2 + x 2 Diese Funktion hat zwei 4. Bild 6.22 zeigt die Funktion / (x) = 2x-4 Nullstellen bei xi = —2 und X2 = 1, einen Pol bei x$ = 2 und eine Gerade 1 3 mit der Gleichung y = -x+ als Asymptote. -

,

À

y=

x2 + x

-

¿à

-

2

2x-4

Bild 6.22: Rationale Funktion

6.7

31

Rationale Funktionen

Nullstellen, dann besitzt die rationale x3-l wird für Funktion auch keine Pole. Der Nenner der Funktion fix) x¿ + 1 reelle x niemals Null, so daß f auf ganz IR definiert ist (vgl. Bild 6.23).

5. Hat das Nennerpolynom keine reellen

= —=—-

Bild 6.23: Rationale Funktion ohne Nennernullstelle

gebrochen rationalen Funktionen sind i.a. aufgrund ihrer Unendlichkeitsstellen nicht stetig in 272 (Ausnahme siehe Beispiel 5). Die einzelnen Äste dieser Funktionen sind jeweils stetig. Daher kann man auch sagen: Eine rationale Funktion ist bis auf endlich viele Stellen (Polstellen) stetig. Die

6

32

6.8

Funktionen einer reeiien Veränderlichen

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

In Band 1 wurden bereits die wesentlichen Grundregeln für das Potenzieren, Exponieren und Logarithmieren eingeführt. Im folgenden werden nun die auf diesen Rechenoperationen basierenden Funktionen kurz vorgestellt. Eine allgemeine und ausführliche Behandlung wird jedoch erst später möglich sein (vgl.

9.7).

6.8.1

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

Funktionen der Gestalt

f(x)

=

xplq

mit

(6.22)

p,q£Z

werden als Potenzfunktionen bezeichnet. Ihr Exponent kann eine beliebige rationale Zahl or = p/q G Q sein. Ist der Exponent eine positive ganze Zahl, dann handelt es sich bei f(x) um ein Polynom /(x) = xn. Ist dagegen der Exponent negativ und ganzzahlig, dann ist f(x) eine rationale Funktion f(x) = x~n =

X"' Anstelle der rationalen werden:

f(x) ar*/« =

=

Exponenten kann auch eine Wurzelschreibweise benutzt

VF (tfï)p

(6.23)

=

Für die folgenden Betrachtungen wird der Definitionsbereich beschränkt auf das Intervall [0, co) bzw. (0, co) für negative Exponenten. Der Verlauf des Graphen von /(x) = xa soll nun in diesem Bereich (x > 0) diskutiert und veranschaulicht werden. Wegen Ia = 1 Va G Q) gehen alle Kurven durch den Punkt (1,1). Betrachtet man zunächst Potenzfunktionen y = xn mit n G IN: Es gilt xn = x xn_1, d.h. xn < xn_1 für 0 < x < 1 und x" > x"-1 für x > 1. Also läuft die Kurve y = x" im Bereich 0 < x < 1 unterhalb und für x > 1 oberhalb der Kurve y = xn_1 (vgl. Bild 6.24 a). •

Die Funktion f(x) = x1'" = J^x ist die Umkehrfunktion von /(x) = xn. Daher erhält man den Graph von f(x) = x1/" durch Spiegelung der Kurve y = x" an der Geraden y = x. In Bild 6.24 a) sind einige Kurven y = \Jx eingezeichnet. Der Graph einer Funktion /(x) = xpll¡ mit p, q G IN verläuft zwischen den P P Kurven y = xm und y = xn mit m < < n, falls > 1 (vgl. 6.24 b), bzw. -

-

?

zwischen y

=

x1/n

und y

=

x1/"1 mit

n

-


p

_In 2

i

ryo L

^yo

=

=

¿

yo yo

•

•

ev'H 10"'H

=>

-ln2

=*

c-yo

=

\r yo eA'*c ^

c

=

yo lo**'*» =*•

•

yo

•

•

=

-lg2

AtH

=

(6.47)

^

=

A

=

——

tu

^l -

i -

In c = A xc => A

-

,

,

•

lg c

(6.48)

p-tH=>p = tu

=

=

p- xc => p

In c

=-

xc =

-Ige Xc

(6.49)

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6

42

Beispiel: Nach dem Reaktorunglück von Tschernobyl im Jahr 1986 wurden die Böden in weiten Teilen Europas mit dem radioaktiven Nuklid j^Cs kontaminiert, das eine Halbwertszeit von 30 Jahren hat. Nach 30 a existiert nur noch die Hälfte der radioaktive Kerne, die zu Beginn

vorhanden

^

N0-e-Xt»

=

-ln2

waren.

=

-AiH

^

= =>

,

A

=

e-v

,

0.023 a"1 „„„„

kann auch

-/i-tH

-A-t.H-lne

=> H

=

zu

^JU

einer =

a

beliebigen anderen

0.010 a"1

Auch das Minuszeichen im Exponenten ist muß im Ansatz nicht unmittelbar angegeben werden. Dieses folgt automatisch aus der Berechnung.

No-2vt»

=

-ln2

=

i/-tH-ln2

=>

v

--i30

=

a

=

-0.033 a"1

Demnach lautet das Zerfallsgesetz: N = No- e"0-023 a_lt = N0 ÎO"0010 a_It = N0 2"0033 »"l,t Die Koeffizienten X, u und v können durch Basistransformation überprüft werden. Damit kann jede beliebige Zeitspanne te, in der die Anzahl der Kerne um einen Faktor c abnimmt berechnet werden. Für die Zeit, nach der die Aktivitätt nur noch 1% der ursprünglichen Aktivität beträgt, gilt _L = e-o.o23 a-'to.oi ^ -In 100 =-0.023 a-^to.oi => •

In 100

ömi^ 20°a Je nach Fragestellung ist es angebracht,

i001

=

=

verschiedene Darstellungsformen von wählen. Man verwendet in der Differential- und InExponentialfunktionen die Basis bei e, empirischen Untersuchungen die Basis 10 oder tegralrechnung 2 und bei Problemen, die mit der Zinsrechnung zu behandeln sind (vgl. Abschnitt 7.5) die Basis q = 1 + r. Ist r positiv, dann ist q > 1 und r heißt Wachstumsrate, bei negativen r ist q < 1 und r heißt Zerfallsrate. Diese zu

sind nicht zu verwechseln mit der Wachstums- bzw. Zerfallskonstanten A, die von der Basis abhängt. Bei der Verwendung von q bzw. r steht keine Konstante im Exponenten, da die Wachstums- bzw. Zerfallsgeschwindigkeit durch den Wert der Basis ausgedrückt wird. Es gilt also: y

=

y0

•

aXx

=

yo-qx

=

yo-{l + r)x

(6.50)

6.8

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

Umrechnung von aXx

Die

aXx

=

qx

=

(1 + r)x

nach

=> q

=

(1 + r)x

43

lautet:

(1 + r) ax =

=>

r

=

aA

-

(6.51)

1

Beispiele: 1. Das Zerfallsgesetz von jl'Cs (vgl. vorheriges Beispiel) N = No-e0023*~lt kann überführt werden in die Form N

iSr0-e-0023a"lt Ar0.(l + r)'

=

=

No (1 + r)': e0023 »_1-* = (1 + r)' =

•

=»

l+ e-°023 1 =-0.0227 => Die jährliche Zerfallsrate beträgt also 0.0227 = 2.27%. 2. Ein KapitaJ Ao wird zu einem jährlichen Zinssatz von 7% Kapital ist nach n Jahren auf r

=

e-0023

r

=

-

angelegt.

Das

Kn = K0 (1 + r)n ATo (1 + 0.07)" tf0 1-07" gewachsen. Der Zinssatz r ist also die Wachstumsrate. Transformiert man diese Gleichung auf die Basis 2, dann kann man die Verdopplungszeit des Kapitals ¡eicht bestimmen. 1.07" 2Xn =* n-lnl.07 A-n-ln2 = A 0.098 = •

=

=

Kn

=

=

•

•

=

K0- 20098 a_1'

=»

tv =

=

t-^tt

a

=

10.2

î^I In 2

a «

10

=

a

Manchmal ist es hilfreich, die Exponentialfunktion y = ex durch eine lineare Funktion im Bereich kleiner x-Werte zu approximieren. Es gilt (vgl. Bild 6.27): er

«

1+x

für kleine

x

(6.52)

6

44

-1

Funktionen einer reeJJen Veränderlichen

0

x

1

Bild 6.27: ex-Funktion für kleine

x

Beispiel: Moderne physikalische Theorien der Materie behaupten, auch das Proton ist kein stabiles Teiichen, sondern zerfällt mit einer Halbwertszeit tu von mindestens

1033 Jahren nach dem Gesetz:

N = jVo-e-C"2/'»)'* 17m bei einer Halbwertszeit von 1033 a mindestens einen Protonenzerfaü pro Jahr nachzuweisen, muß man eine bestimmte Anzahl No von Protonen beobachten. Nach dem beobachteten Zerfalleines Teilchens sind noch No 1 Teiichen übrig. Einsetzen in das Zerfallsgesetz ergibt: —

No

-

1

No

=

„-0.69-10-

•1

a

Bei der Berechnung von e~0-69'10 wird man i.d.R. Opfer des Taschenrechners, denn dieser zeigt für das Ergebnis den Wert 1 an. Durch die Rundung würde das Zerfallsgesetz lauten:

N0-l

No

=

Dies ist mathematisch ein Widerspruch. Anschaulich würde man unendlich viele Protonen beobachten müssen. Das ist natürlich Unsinn. Im Exponenten steht jedoch eine äußerst kleine Zahl, so daß man die Approximation ex ss 1+x vornehmen darf: No-1kN0-(1- 0.69 10"33) = No-N0- 0.69 10"33 => •

No 0.69 IQ"33

•

-À:

1033 1.45 1033 N0 = 0.69 Es müssen also ungefähr 1033 Protonen beobachtet werden. Dies entspricht etwa einer Gesteinsmasse von 3500 t, wenn man unterstellt, daß Protonen und •

•

=

1 =>•

=

•

Neutronen etwa im Verhältnis 1 : 1 in Atomkernen vorkommen.

In den meisten Fällen ist Wachstum nur bis zu einer gewissen Grenze möglich. Die Größe von Tier- oder Pflanzenpopulationen ist durch das Angebot an Nähr-

6.8

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

45

stoffen oder Lebensraum nach oben beschränkt. Solche Vorgänge können durch eine sog. Sättigungsfunktion beschrieben werden:

/(*)

=

y

(ymax yo) (l -e~Xx) + yo ymax (ymax yo) *~

=

-

=

•

-

Dabei ist A > 0, yo der Wert für

x

=

V,6

*

'

~

=

0 und ymax der

'

53n'

Sättigungswert.

Beispiele: 1. Die Stromstärke I eines Gleichstromkreises mit der Spannung U, dem Widerstand R und der Induktivität L verläuft beim Einschalten nach der Funktion (vgl. Bild 6.28): U I(í) = R U Der Maximalstrom 7max = wird durch den induktiven Widerstand einer R erst nach einer gewissen Verzögerung erreicht. Rein mathematisch ist Spule allerdings nur eine beliebige Annäherung möglich. Die Anfangsstromstärke

^.(l-e-*/¿')

—

2"o ist in diesem Fall 0.

—

wird auch als Zeitkonstante des Stromkreises

bezeichnet.

Bild 6.28: Einschaltstrom eines Gleichstromkreises

Die Abhängigkeit des Getreideertrags E in dt/ha von der Kaliumdüngung K in kg/ha Jrann für Bild 6.29 durch folgende Sättigungsfunktion modelliert werden: E

(1 -e-004*)

+ 20 Dabei ist AE = 60 = 80 —20 = 2?max 2?o genau der Abstand zwischen den beiden gestrichhelten Linien in Bild 6.29. Im vorliegenden Fall drückt die Sättigungsfunktion genau das sog. Mitscherlich-Gesetz, bzw. das Gesetz vom abnehmenden Ertragszuwachs aus. Der Ertragszuwachs ist bei =

60

•

—

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6

46

kleinen Düngergaben pro zusätzlich bei höheren Gaben.

eingesetzter Düngereinheit größer

als

40

K [kg/ha]

Bild 6.29: Gesetz

vom

abnehmenden

Ertragszuwachs

Häufig liegt in natürlichen Systemen anfangs annähernd exponentielles Wachs-

tum, in einem anschließenden Bereich annähernd lineares Wachstum und darauffolgend abnehmendes Wachstum vor, so daß sich die Funktion einem Sätti-

gungswert nähert. Da das Wachstum nach oben begrenzt ist, gilt:

ymax > 0. Die Wachstumsrate sei sich dann:

y

=

(A

proportional zu

ymax

y und ymax

—

y < ymax,

y. Für y

ergibt

(6.54)

1 + A« S-Ay„

und p eine ebenfalls positive Konstante. 0) ist die Wachstumsrate y sich Als zu-. yo Graph erhält man S-förmige sog. sigmoide y(0) ergibt 1 "T P Funktion. Diese Funktion wird oft auch als logistische Funktion bezeichnet. Beispiele:

A

>

=

20 ist in Bild 6.30 dargestellt. i-0.5'i 1 + 40 eMan kann den Graphen der Funktion in Bild 6.30 unterteilen in einen exponentiell steigenden Bereich (A), in einen annähernd linearen Bereich (B) und einen Sättigungsbereich (C). Der Funktionswert bei x = 0 ist 20 20 = 0.488 « 0.5. Das asymptotische Maxiyo = y(0) = -———g- = fix J. "y~ Q\J C mum ist ymax = 20, denn für x — co verschwindet e-0-5'r im Nenner und 20 = 20. y-

1. Die Funktion y

=

•

•

—

y

Die Abhängigkeit des Getreideertrags E in dt/ha von der Phosphordüngung P in kg/ha kann für Bild 6.31 durch folgende Sättigungsfunktion modelliert werden:

47

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

6.8

A: exponentieller Bereich B: linearer Bereich

C:

Sättigungsbereich

15~ Bild 6.30: E

=

Logistische Funktion

80 1 + 7 e-o.os-p .

80 = 10 Dabei ist Emax = 80 dt/ha und Eo = dt/ha. Der Ertragszu1+7 wachs nimmt im Bereich kleiner Düngergaben bei Erhöhung des Düngereinsatzes zunächst zu, bleibt dann in einem gewissen Bereich annähernd konstant und nimmt bei weiterer Steigerung wieder ab. *

i-1-r

40

P

Bild 6.31: 6.8.3

Die

Die

[kg/ha]

60

Sigmoide Ertragsfunktion

Logarithmusfunktion

Exponentialfunktion /(x)

=

ax ist für

monotone Funktion. Deshalb existiert

zur

(^ 1) eine streng Exponentialfunktion eine Umkehrjedes positive

a

funktion, die nur für positive x definiert ist, da die Exponentialfunktion nur positive Werte annimmt. Genauso wie man Potenzen auch für irrationale Exponenten definieren kann, läßt sich der in Band 1 eingeführte Logarithmusbegriff ebenfalls auf ganz 272 ausdehnen, so daß für alle x G 272 gilt: y

=

ax

x

=

"logy

(6.55)

6

48

Folglich chung:

hat die Umkehrfunktion der

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Exponentialfunktion

die

Funktionsglei-

(6.56)

/(x) "logx (x>0) =

Diese Funktion wird als Logarithmusfunktion zur Basis 6.32 zeigt die Graphen einiger Logarithmusfunktionen.

Bild 6.32:

a

bezeichnet. Bild

Logarithmusfunktionen

Die Umkehrfunktion der e-Funktion f(x) = In x wird in der Praxis recht häufig verwendet. Auch die Logarithmusfunktion zur Basis 10, /(x) = lgx, kommt oft vor. Besonders in der Informatik verwendet man manchmal den Logarithmus zur Basis 2: /(x) = Idx.

Beispiel: Das Weber-Fechnersche Gesetz liefert Aussagen über den Zusammenhang zwischen subjektiv empfundener Lautstärke L und objektiv gemessener Schallintensität I. Die Empfindung ist dem Logarithmus der Schallstärke proportional: L

=

const

•

lg I

Die Lautstärke ändert sich also im Gehör viel langsamer als der physikalische Reiz. Aufgrund dieses Zusammenhangs wird das Lautstärkemaß definiert. Dazu läßt man einen Normalton von 1000 Hz so stark tönen, daß man ihn als so laut empfindet, wie den zu messenden Klang. Die Intensität I des Normaltons vergleicht man mit der gerade noch hörbaren Intensität 7o des Normaltons

(Hörschwelle Iq

=

10-12

—^) und definiert als Lautstärke des Klangs:

6.8 L

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen_49 10

=

•

lg

-£-

[Phon]

Ein Klang hat die Lautstärke 10 Phon, wenn seine Intensität gleich zehnmal dem Schwellenwert Iq des Normaltons ist. Eine Geräuschquelle mit I = 100 Io hat dann erst die Laustärke 20 Phon. Die Schmerzschwelle liegt bei etwa 130 Phon. Die Intensität dieses Schalls ist 1013 mai größer als die des Normaltons. •

Darstellung von

6.8.4

Exponentialfunktionen als

Potenz- und

raden

Häufig

großem praktischen Nutzen, für bestimmte Funktionen die y-Skala transformieren, daß bei der Auftragung der Funktion im eine Gerade entsteht. Koordinatensystem x-

ist

Ge-

es von

und

so zu

Einfach-logarithmische Auftragung Exponentialfunktion der Form y yo -ax'x läßt sich als Gerade darstellen, "log y gegen x aufträgt, da die Logarithmierung der obigen Gleichung

Eine

=

wenn man

folgenden Ausdruck liefert:

^logy ^logyo^+A-x =

Y

Setzt Y

man

=

+ A

Yq

=

Y

=

Yo + A

•

•

x

"logy und Yo

=

°logyo, dann erhält man eine lineare Funktion:

(6.58)

x

Trägt man die "log y-Werte gegen die x-Werte in einem Koordinatensystem auf, dann stellt sich die Funktion y yo aXx als Gerade V Vo + A x mit der Steigung A und dem Achsenabschnitt Yo "logyo dar. In der Praxis verwendet man aus bereits dargestellten Gründen den Logarithmus zur Basis 10, manchmal auch den natürlichen Logarithmus. Durch eine einfach-logarithmische Auftragung ist sehr leicht feststellbar, ob der funktionale Zusammenhang zweier Größen exponentiell ist. Kann man bei einer Auftragung mit logarithmischer Einteilung der Ordinate eine Ausgleichsgerade durch die Meßpunkte legen, so existiert eine exponentielle Abhängigkeit. =

=

•

•

=

Darüberhinaus können die Parameter yo als Achsenabschnitt und A als Steigung der Geraden bestimmt werden.

50_6

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Anstelle mit den Logarithmen zu operieren, kann man sog. einfach-logarithmisches Koordinatenpapier verwenden, bei dem die Ordinate bereits dekadisch logarithmisch unterteilt ist. Man spart sich in diesem Fall das Logarithmieren und kann mit Original werten arbeiten. Bild 6.33 zeigt die Konstruktionsweise eines solchen Papiers. Die Abszisse hat eine lineare Einteilung. Die linke Ordinate ist logarithmisch geteilt, es werden also Zehnerpotenzen aufgetragen. Die Teilstriche zwischen 10-1 und 10° bedeuten 0.1,0.2,0.3,..., 1.0. Entsprechend laufen die Linien zwischen 101 und 102 von 10,20,30,..., 100. Auf der rechten Ordinate sind zum Vergleich die dekadischen Logarithmen der Ordinatenwerte dargestellt. Die Lage von Werten, die nicht exakt auf einer Linie liegen, muß man ungefähr an die richtige Stelle zwischen die Linien setzen. Das in Schreibwarengeschäften erhältliche Logarithmenpapier hat eine genauere

Achseneinteilung. y

lg y

10n+2

10n+1

n

+1

10

10n-l

i

« _

Bild 6.33: Bei vielen

größen

zu

Einfach-logarithmisches Papier

praktischen Fragestellungen ist berücksichtigen.

es

sinnvoll, die Einheiten der Meß-

Beispiel: Organismus wurde mit einem Gift kontaminiert. Die Giftkonzentration in c(t) fig/kg Körpermasse wurde zu verschiedenen Zeitpunkten t in Tagen d gemessen. Die folgende Tabelle enthält die Meßwerte c(t) zur Zeit t und die natürlichen Logarithmen der Konzentrationen. Ein

6.8

Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

[d] Ç [^g/kg]


durch Quotientenbildung einer dimensionslosen Größe mit einer Zeit die Dimension einer reziproken Zeiteinheit hat. Durch die Produktbildung mit einer Zeit t kürzen sich die Einheiten bei u t heraus. Dies ist auch notwendig, da das Argument der Sinusfunktion keine Einheiten besitzen darf.

Neben der Kreisfrequenz w gibt man häufig auch die Frequenz / einer Schwingung an. / ist die Anzahl der Schwingungen in einem Zeitintervall. Innerhalb einer Schwingungsdauer T wird genau ein Umlauf des Punkts P in Bild 6.52 und damit genau eine Schwingung vollzogen. Die Frequenz / ist deshalb: .

_

Anzahl der Schwingungen Zeitintervall

Frequenz / und Kreisfrequenz "

Die

=

y

2*-i

=

=

2,r./

u

1

Schwingungsdauer unterscheiden sich

bzw.

/

=

nur

1 T

durch den Faktor 2tt:

|-

(6.87)

Phasenverschiebung y0 ist der Winkel in Bild 6.52, den der umlaufende

Punkt P

Zeit t = 0 bereits mit der Horizontalen einschließt. Aus einem '(*>=x^TÏ Substanz

C)/(*)

=

Ï^2Ï

11. Bei der Dissoziation einer beträgt die Halbwertszeit 1R b) 1 x2 > O -O- x2 < 1 O x < 1 V c) E> 1R\{0} d) x2 + 2>0VxG2R =>• ID IR e) (x-2)(x + l) 0 «.x 2Vx f) 1. Bedingung: 2-x^0 «• x¿2 =

-

>

x

-1, also 2D

=

{x|

-

1
2D

> 0 A 2

x

>

2R\ {-1,2}

=

0, d.h. 0


0 und 1000 x > 0, also: iD {x|0 < x < 1000}. 2x-3 = 2y + 3 2x => x =/"x(y) = 2y a) y x

y3

=> y

•

=

=

=

-2x =

(x 1)

=

x

x

=

^y^

/"1(y) -y =

+ 1 => y-x-x

=

l + y =>

-

—

4.

d) a)

x

=

/-1(y)

y

=

4x2 + 2

y-i => 4x2

=

y-2

=»

x

=/~x(y) =-y^T1^

Es kommen ausschließlich gerade Potenzen von x vor, also folgt Achsensymmetrie zur x-Achse. Anders: f(x) = 10"2x4 + 1.5x2-3 => f(-x) = 10"2(-x)4 + 1.5(-x)2-3 = 10_2x4 + 1.5x2 —3 = /(x), also ist / eine gerade Funktion (symmetrisch zur

b)

=

y-Achse)

Es kommen ausschließlich metrie zum Ursprung.

ungerade Potenzen von x vor, also Punktsym-

Anders:

L^_^_

__+_ _,(*), also y-- =» /(-*) ist / eine ungerade Funktion (symmetrisch zum Nullpunkt). c) Im Nenner kommen sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x vor. Es existiert also keine Symmetrie zur x-Achse oder zum Ursprung.

/(x)

=

=

=

=

82

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6 Anders:

/(*)

0.2x

0.2x

-0.2x

'v ~; /(-*) -x3 + 2x-r-3 x3-2x-3 Es gilt: f(—x) £ /(x) und /(-x) ^ -/(x). Also ist / weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.

5.

a) b) c)

=

x3-2x + 3

xi < x2 =>• xi

xi•

—

=»

=

~"

1 < x2

—

/ist streng monoton steigend /ist streng monoton fallend 1 =>

> ^ Xl x2 xi < x2 => —xi > —x2 => —

—

/ ist streng

6. Der funktionale

monoton

cm

T. Zusammenhang lautet: / 49.6 cm + 0.02 der AusgleichsgeGeringe Abweichungen der Parameter sind je nach Lage cm raden zulässig. Der Ausdehnungskoeffizient a 0.02 sagt aus, daß sich der Stab um 0.02 cm pro Temperaturerhöhung um 1 °C ausdehnt. a) Das Streudiagramm zeigt Bild 6.56. h [cm] =

•

—= \j

=

7.

fallend.

—

.

Bild 6.56: Sonnenblumenhöhe in

b)

h

=

ho

Zeit

ho + m-t

—20 cm Ah hi hQ 200 cm (-20 cm) = =-=-=-^At 50 d 0 d ii —to =

-

m

Abhängigkeit der

-

-

cm

Also:

220 cm 50 d

=-=

4.4 .

cm

.

——

h(t) -20 cm + 4.4 d t c) Die Abschätzung der Pflanzenhöhe bei t 39 d kann entweder direkt aus dem Diagramm zu ca. 150 cm abgelesen werden oder durch Berechnung mit Hilfe des Modells erfolgen: cm h(39 d) -20 cm + 4.4 d 39 d 152 cm =

•

—

=

=

•

—

=

83

Aufgaben

d) ä(0 d) A(80 d)

=

-20

=

cm

-20

+ 4.4

cm

cm —

80 d

•

d

=

332

cm

Die Höhe beim Saattermin í = 0 ist unrealistisch, da Sonnenblumen niemals 20 cm tief ausgesät werden. Die Höhe bei t = 80 d ist ebenfalls unrealistisch, da Sonnenblumen nicht so hoch werden. Das Modell ist also nur in bestimmten Grenzen brauchbar. Insbesondere darf nicht

beliebig extrapoliert werden. e) Die Wachstumsgeschwindigkeit ist die Höhenzunahme pro Zeiteinheit. Da ein linearer Zusammenhang unterstellt wird, ist die mittlere Wachscm tumsgeschwindigkeit die Steigung der Ausgleichsgeraden, also 4.4 d f ) Der Aufgangstermin ist der Schnittpunkt der Ausgleichsgeraden mit der Abszisse. Durch direktes Ablesen im Diagramm liegt dieser ungefähr zwischen 4. und 5. Tag. Durch Berechnung mit Hilfe des Modells folgt: ——.

= 0 =>• t hla

/(x)

=

20

=

cm

.

—-7T sa

4.4

cm/d

.

03X3 a2x2 + aix + ao +

Die unbekannten Koeffizienten a,/ 1 00 0\/a0\ 1111 ai 1-11-1 a2 -2 4 -8 °3

y V

V1

(i 0,1,2,3) sind Lösungen des / 1\ =

LGS:

2

3

j

V-5/

Lösung dieses Gleichungssystems erhält man:

Als 03

,

4.5 d

=

13

-g-,

o.2

=

3 -,

ai

8 =

--,

a0

=

1

8 13 3 + -x2 -x + 1. Polynom dritten Grades lautet: /(x) —x3 2 3 6 Teilfunktionen einzelnen untersuchen sind die da die Zu "Nahtstellen", a) sind. x ohnehin x2 und stetig /i(x) |x|, /2(x) fz{x) Das

=

=

=

-

=

0: Zu jedem t > 0 kann ein 6 > 0 gefunden werden, so daß /(0 ± 6) < e, z.B. S = -, denn es ist /(±ñ = < e. Also ist / an der Stelle x = 0 x

=

stetig.

À

Â

—

2: Hier besitzt / eine Sprungstelle, da /2(x) für x gegen 2 gegen den Wert 2 geht, aber /3(2) = 4 ist. /i(x) = Vl + x2 ist an der Stelle x = 0 gleich 1, /2(x) = VÎT? geht für x gegen 0 jedoch gegen 0. Also hat / für x = 0 eine Sprungstelle, ist also unstetig. x

b)

¿t

=

10.

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6

84

a) / ist nicht definiert für x ±2. Eine Nullstelle liegt vor bei x 0. /(-x) 4 v (—xy ---? -f(x), d.h. / ist eine ungerade 4 i' =

=

,

—

=

=

=

—

Funktion. Da im

Zählerpolynom nur ungerade und im Nennerpolynom gerade Potenzen vorkommen, folgt die Punktsymmetrie auch ohne Berechnung von /(—x). Läßt man x von links gegen 2 laufen, so steht im Nenner eine sehr kleine positive Zahl. Der Quotient aus Zähler, der annähernd 2 ist, und Nenner ist demnach sehr groß. Die Funktion geht also gegen +co. Läuft x von rechts gegen 2, dann steht im Nenner eine sehr kleine negative Zahl

nur

und die Funktion läuft somit gegen —co. Das Verhalten für x — 2 ist genauso, da durch das Quadrieren das Vorzeichen positiv wird, x = ±2 sind also Pole oder senkrechte Asymptoten. / geht gegen 0 für x — ±co, da die quadratische Funktion im Nenner schneller wächst als der lineare Term im Zähler, d.h. die x-Achse ist horizontale Asymptote. / hat keine Definitionslücken und damit auch keine Pole. Nullstelle bei x = 0. Sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen nur gerade Potenzen von x, d.h. f(x) = /(—x). Die Funktion ist also achsensymmetrisch zur yAchse. 2 Nach Umformung erhält man: /(x) = 2--—-. Für betragsmäßig x¿ + 1 große x verschwindet also der Bruch und f(x) geht gegen den Wert 2. y = 2 ist also waagrechte Asymptote. Definitionslücke bei x = 2. / hat keine Nullstellen. Da im Nenner ungerade (x1) und gerade Potenzen (x° = 1) vorkommen, ist die Funktion weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Sie ist jedoch achsensymmetrisch zu x = 2, —

b)

c)

Bei Näherung an den Pol x = 2 von links und rechts wird der Nenner sehr klein, bleibt aber aufgrund des Betrags positiv. Die Funktion geht also in beiden Fällen gegen +co. Für x — ±oo wird der Nenner sehr groß und die Funktion geht gegen 0. 11. Mit

Wo werde die bei

0 vorhandene ungelöste Stoffmenge bezeichnet. Zeitpunkt t noch nicht gelöste Menge. t

=

N(t) JV(i) JVVe-Vt 2vo-10-"-1 sei die

=

zum

=

85

Aufgaben

Nach der Halbwertszeit ist die Hälfte der Substanz in Lösung dissoziiert, die andere Hälfte ist noch nicht gelöst: Bei tu ist also die Menge der undissoziierten Substanz noch:

AT(tH)

i

e-^'H

=

2 e*

^

=

10*'*

=

N0e-Xt»

=> lnO.5

=* A

-A-ÍH

=

-!üM

=

=

ÍH

_-^L 40

=

mm

x-lge k-x => fc lge => u k\ \ge\ 0.434 0.0173 min-1 0.0075 min-1 Für die Zerfallsrate pro Minute folgt: e"A (1 rmin) =» rmin 1 e"A 1 e"00173 0.017 Die Zerfallsrate beträgt also 1.7% pro Minute. =

=>

=

=

=

=

=

0.0173min-1

=

=

•

=

-

=

=

=

-

1.7%

-

Bezieht

die Zerfallsfunktion auf die Einheit

man

min-1

= N0 e-00173^1/60 h)_1 N = No e-00173 Die stündliche Zerfallsrate beträgt dann: •

1 e"1038 = 1 Wenn die Ergebnisse rh

=

-

•

Stunden, =

so

gilt:

No e-1038 h_1 •

0.65 = 65% richtig sind, muß nach zwei Stunden der Anteil der 0.35

-

=

dissoziierten Substanz noch = 12.5% der ursprünglichen Menge o da dann drei Halbwertszeiten verstrichen sind. N(2 h = No e"00173 min_1 12° n¿a = N0-e"1038 = 0.125 2V0 —

un-

betragen,

•

•

min_1 120

No lo-09 0.126 /V~o N(2 h No l0-°-0075 7V(2 h JVb (1 0.017)120 No 0.983120 0.128 N0 N(2 h No (1 0.65)2 N0 0.352 0.123 N0 Die Unterschiede resultieren aus Rundungsfehlern. 12. a) n(t) e°-«- 300 =*• In 300 0.6 (t + 1.15) => = =

=

-

=

•

™n

=

-

=

=

•

,

,.

n

•

•

=

•

=

1*300

=

=

=

•

.

8.4 -^--1.15 neunten wird also die Zahl 300 überschritten. Monat Im

t

b)

=

=

Neue Wachstumsfunktion:

ñ(t)

ñ(t)

=

0.5

•

e°-6'(t+115).

^^-

300 «> n(t) = 600 = t = 1.15 = 9.5 In diesem Fall wird im zehnten Monat die Zahl 300 überschritten.

c)

=

Es sei ni n,

21 ni

-

=

n(t) und n2

e0.6(t+0.5+1.15) 1_ e0.6(t+1.15)

=

n(t + 0.5).

pO.60.5 e -

-

1 -

oc

10°

_

-

Innerhalb eines halben Monats nimmt also die Individuenzahl zu. Dieser Prozentsatz muß vernichtet werden.

um

35%

13.

Funktionen einer reellen Veränderlichen

6

86

a)

Bild 6.57 zeigt die Auftragung des natürlichen Logarithmus der Umläufe in Abhängigkeit der Entfernung der Nektarquelle. Man kann eine Ausgleichsgerade durch die Punkte legen. Infolgedessen ist die Annahme eines exponentiellen Zusammenhangs gerechtfertigt.

In/v" In NQ 3.2

4

x

0

12

Bild 6.57:

b) ln/V0 der

,

c)

d) e)

k .

f)

ex

Bienenstock ein Rundtanz aufgeführt Nektarquelle AlniV lniVo-lnATj 3.22-2.00 Alnx 1.22 5.3 km

a)

=

-0.23

25 e-023 km_1-600

=

•

m

Ar0-e-°-23km"lrH

Ö23km

=

=

25 e"023 km~'0-6 •

=> ln2

=

km

21.7

=

0.23km-1-xH

«

22

=

30km

10ex = x-lge = c-x => c = Ige = 0.434 N 25 lo-0'434'0,23 km_lr 25 lO-001 km~'x c(x) = et (x 18)2 + 3 Um et zu berechnen wird ein weiterer Punkt benötigt, man den Punkt (0,85): 85-3 82 85 = a-(0-18)2 + 3 =* et = —=— =-= 0.253 182 324 Damit folgt für c: c(x) = 0.253 (x 18)2 + 3 = 0.253x2 9.11x + 85.0 Das Gauß-Verfahren liefert: =

—

•

-

•

-

-

b)

km-1

25-e-°-23km"1-x

=

0 km-5.3 km

Xo -Xi

=

=

14.

xi

lnA^(x)-Diagramm

No =25. In Wirklichkeit wird bei unmittelbarer Nähe

=

^ XH

3.22

[kml

zum

=

/vr N

=

4

3

am

besten nimmt

87

Aufgaben

/ 36 6 1 36 6 1 40 \ a2 = 0.245 0 -36 -8 3 324 18 1 ai = -8.97 0 1 85 / 0 a0 = 85.0 \ 0 0 1 Damit lautet das Modell: c(x) = 0.245x2 8.97x + 85.0 Die unterschiedlichen Koeffizienten im Vergleich zu a) beruhen auf Run-

dungsfehlern, c) Die logarithmische Auftragung der Meßwerte zeigt Bild 6.58. c

[mg/kg]

,100.= co-

Alg¿

10

A^

Cl

1

8

12

10

14

16

xo

Bild 6.58:

c(x) c0

jfc

=

=

c0

90

=

•

10*

18

20 x

¿i

[m]

c(x) im Logarithmuspapier

x

mg/kg lgci-lgco

lg 4 lg 90

Alge

—

20 m 0 m Ax xo xi 0.602-1.954 = -0.0676 m"1 sa -0.068 m"1 20 m c(x) = 90 mg/kg ÎO"0068 m~lx Die Halbwertsentfernung kann man direkt aus der Geraden ableiten. Innerhalb von 4 Halb Wertsentfernungen muß die Konzentration um den 90 = 5.625 Faktor 24 = 16 abnehmen. Der Wert mg/kg sa 16 mg/kg 6 mg/kg wird bei x sa 17 m erreicht. Die Halbwertsentfernung ist also 17 m = 4.25 m. Dies folgt auch aus der Berechnung: XH sa —

-

—

—

d)

lg 2 = 4.42 m 0.068 Das quadratische Modell prognostiziert eine Zunahme der Bleikonzentration bei Abständen über 18 m. Bis zu diesem Abstand ist es relativ gut geeignet. Eine Extrapolation ist jedoch nicht möglich, da der Funktionswert für größere Entfernungen wieder zunähme. Das exponentielle

y

=

Co

•

IQ-0'068 m"

=*

xh

=

x-^tt m

88

6

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Modell ist vorzuziehen, da es auch eine weitere Abnahme der Konzentration mit zunehmendem Abstand voraussagt. 15. Bild 6.59 zeigt die Auftragung der logarithmierten Werte, durch die eine Gerade gelegt wurde. Es wird ein Zusammenhang der Form T ra unterstellt, a ist die Steigung der Ausgleichsgeraden. ~

lgT

lgTi-t

;

7

lgri Bild 6.59:

lgT(lg r)-Diagramm 28 (-10) 3_8

AlgT IgT, IgTi 10.0-7.5 Algr lgr2-lgri Bild 6.60 zeigt die Auftragung der Werte pier. -

a

=

T

=

[a] IQ3

-

=

=

im

2.5

= _

doppelt-logarithmischen

i

¡1010r [km]

r2

Bild 6.60:

T(r) im doppelt-logarithmischen Papier

Pa-

Aufgaben

89

Algr Algr

°

lgT2 lgTi lgrj-lgn

lg400 lg0.2

-

-

lg(8 109) lg(5 107) •

•

-

2.6 (-0.7) 3.3 9.9-7.7 2.2 Die Beziehung zwischen Umlaufzeit T und Bahnradius r ist also T r15 und nach Quadrieren auf beiden Seiten T2 r3. Das Keplersche Gesetz ist damit auch empirisch nachgewiesen. -

_

~

~

_

_

'

ß = 90o-a = 90° -4.48° = 85.52° = 85° 31' 12" Die Seitenlänge s des Turms kann über den Satz von Phythagoras bestimmt werden: s2 = u2 + h2 = s = Vu2 + h2 = \/4.272 m2 + 54.522 m2 = 54.69 m Der Turm ist an der Nordseite um Ah höher als an der Südseite. Der Sinus des Winkels or ist das Verhältnis aus Gegenkathete Ah und Hypotenuse d. Daraus folgt: Ah sina = =>• Ah = d-sino = 15.48 m-sin4.48° = 15.48 m-0.0781 = 1.21m Wenn der Schwerpunkt S genau über dem Drehpunkt steht ist et' = ct. Dann gilt: —

e)

tan a'

19.

=

-

—^——

0.283

=

54.69 m t, = 12 mon = 1 a 2tt 2tt , = = 2tt a-1 u = la t,

a) b) c) Tv d) Ta e) t0 i \

=

s

—-

_

et'

=

, 6.28 a-1 =>• „

«

—

=>

„

arctan 0.283

,1 =

/

t,

-

15.8°

=

1 =

1

.

=

a

1 a-1

-—

12.5°C = 12.5°C = -3 mon = -0.25 a Da im allgemeinen Ansatz der Sinusfunktion der Term u (t + to) verwendet wird, muß der Wert des Sinus bei t = 0 ein negatives Ergebnis haben. tpo = u t0 = 2jt a-1 (-0.25) a = =

•

f) g)

T

=

T

=

Da

12.5°C

•

sin(27T a"1 (t •

-

0.25

|-

a)) + 12.5°C oder

a"1 + 12.5°C (2tt -|) der Temperaturverlauf periodisch mit einer Periode 12.5°C sin •

•

t

-

von

ist, kann man die geschätzte Temperatur im Mai direkt gramm zu ca. 19°C ablesen. Berechnung liefert:

T(4 mon)

=

12.5°C sin •

(W a"1 ^ | J •

a

-

+ 12.5°C

=

einem Jahr dem Dia-

aus

18.75°C

Kapitel 7 Folgen, Reihen

und Grenzwerte

Begriffe, die in der Mathematik häufig auftauchen grundsätzlicher Bedeutung sind. Das Wichtigste hierüber ist in diesem Kapitel kurz zusammengestellt. Als praktische Anwendung werden einige Aspekte der Zins- und Tilgungsrechnung betrachtet.

Folge und Grenzwert und

sind

von

Zahlenfolgen

7.1

In Intelligenztests findet man häufig Aufgaben folgender Art: Geben Sie die Zahl an, die als nächste in der Folge 3,7,15,31,... auftritt! Man hat es also mit einer Serie von Zahlen zu tun, die beliebig erweitert werden kann. Eine Folge ist eine Abbildung / : IN —* M, f(v) = av (v natürlichen Zahl wird ein Element aus M zugeordnet.

=

1,2,...), d.h. jeder

Meist ist M = 1R, und man spricht von reellen Zahlenfolgen. Für eine Folge ist die Schreibweise (av)v^pr üblich. Eine Folge kann man dadurch angeben, daß man die Funktionswerte f(v) a„ der Reihe nach für v = 1,2,... aufzählt und in der Form (a\, ai,...) anschreibt. Dabei kann man immer nur endlich viele der a„ explizit anführen und muß durch Punkte andeuten, daß es in der Art weitergehen soll. Somit muß aus den angegebenen Folgengliedern, wie die a„ genannt werden, erkenntlich sein, wie das nächste Folgenelement lauten muß. Bei der Darstellung einer Folge durch Aufzählung der Glieder ist deren Reihenfolge wesentlich, denn damit wird die funktionale Zuordnung wiedergegeben. Neben dieser anschaulichen Beschreibung einer Zahlenfolge, gibt es auch die Möglichkeit, die Funktionsvorschrift v — av formelmäßig anzugeben. —

Beispiele: 1o 2-

(av)„sN (1,2,3,...) &av =

,

X

(av)V£i*

=

x

=

(1,-,-,...)& av ! 2

3 4

v

! = -

x

/ v

"

ix»

o 3-

/

4.

(av)vçn (c, c, c,...) & av c (konstante FolgeJ (a„)„€íyr (a,ag,ag2,...) O a„ a-g"-1 1 .1111 / x (a,)v6IV (-, 5,-,-...) O a, K),€JV (3,7,15,31,...) O a„ 2"+1 1

5. * 6.

7-

x

,1

1 1

/

-, --, -,...)' O a„ (a„)„ejv = (--, 2'3' 4'5' "

=

(-1)'

=

=

=

=

.

=

=

=

=

-

-

i/

+l

94

7

Folgen, Reihen

und Grenzwerte

Folgen können auch durch eine induktive Definition beschrieben werden, d.h. man gibt das Anfangsglied (oder die ersten zwei, drei Glieder) der Folge an und erklärt, wie das allgemeine Folgenglied a„+i aus a„ (und weiteren früheren Werten a„_i, a„_2,

...)

Beispiel: Es ergibt a\

a2

(av)i/eJV

=

0,

zu

berechnen ist.

1,

a„+i = a„ + a„_i die sog. (0,1,1,2,3,5,8,...), die beispielsweise bei der =

=

Pflanzen eine bedeutende Rolle

spielt.

Fibonacci-Folge Blattstellung von

Man spricht hier auch von einer rekursiven Definition und bezeichnet eine Vorschrift wie etwa: a„+i = a„ + a„_i als Rekursionsformel.

folgenden werden die wesentlichen Eigenschaften von Folgen erläutert. Eine Zahlenfolge (al/)I/€jv heißt beschrankt, wenn W € J7V gilt: |a„| < k für

Im

ein Jfc G 2R.

Beispiel: Im Beispiel auf Seite 93 sind die Folgen 2, 3, 4 und 6 beschränkt, 1 und dagegen nicht. Die Folge 5 ist für 0 < q < 1 durch a beschränkt, aber für g >

7 1

unbeschränkt.

Folge (a„)„ejyr heißt (streng) monoton, wenn Vv E IN eine der folgenden Beziehungen gilt: Eine

a) b) c) d)

a„+i > a„

«1/+1 > civ a„+i < a„ °v+i < av

(streng monoton zunehmend) (monoton nicht abnehmend) (streng monoton abnehmend) (monoton nicht zunehmend)

Beispiel: Streng monoton zunehmende Folgen im Beispiel auf Seite 93 sind die Folgen 1, 5 für q > 1 und 7. Streng monoton abnehmend sind 2, 5 für 0 < g < 1 und 6. Die Folge 4 ist sowohl monoton nicht zunehmend als auch monoton nicht abnehmend. Die Folge 3 ist nicht monoton. Wegen des Vorzeichenwechsels von Folgenglied zu Folgenglied spricht man von einer alternierenden Folge. Die Fibonacci-Folge (0,1,1,2,3,5,...), die oben induktiv deßniert wurde, ist monoton nicht abnehmend. Es gibt auch Folgen, die weder monoton noch alternierend

sind,

etwa

(a„)

=

(0,1,0,1,0, ...)

=

-•

(1 + (—1)").

95

Zahlenfolgen

7.1

Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zweier ist, heißt arithmetische Folge:

aufeinanderfolgender Glieder kon-

stant

av+i

av

=

d = const.

arithmetischen

allgemeine Glied einer

Das a„

=

(7-1)

VvgW

—

ai

+

(v 1) -

•

d

Folge berechnet

a„

Das av

=

q

-

(7.2) aufeinanderfolgender Glieder

(7.3)

We IN

const.

allgemeine Glied einer geometrischen Folge berechnet =

a1-q"-1

zu:

velN

Eine Zahlenfolge, bei der das Verhältnis zweier konstant ist, heißt geometrische Folge:

^±i

sich

v

sich

zu:

(7.4)

G IN

Beispiel: Im Beispiel 1 auf Seite 93 liegt geometrische Folgen vor.

eine arithmetische

Folge,

in 5 und 6

liegen

Folgen, Reiben und Grenzwerte

7

96

7.2

Grenzwert und

Konvergenz

Folge (a„) besteht aus unendlich vielen Gliedern. Es interessiert insbesondere, wie sich eine Folge für immer größere v verhält. Zunächst werden Situationen betrachtet, in denen die Folgenglieder gegen einen bestimmten Wert Eine

streben. Eine Zahl a heißt Grenzwert der Folge (ai, 02,..., a„,...), wenn der Abstand von av und a, also \av a\ kleiner wird als jede beliebige positive Zahl e, sobald v hinreichend groß wird. Man schreibt1 dafür lim a„ = a bzw. einfach i/-»oo av — a. Man sagt auch, die Folge (a„) konvergiert gegen a, bzw. die Folge ist konvergent. Als Nullfolge bezeichnet man Folgen mit dem Grenzwert 0. Folgen, die keinen Grenzwert besitzen, heißen divergent. —

Beispiele:

Folge (av)

1. Die Es

gilt

lim a„

v

>

-

£

£

hat den Grenzwert 0.

—

lim

=

1/-.00

-0 < v

=

v—»oo

v

bei vorgegebenen

V

|a„ —1|

Es ist

man

die

stets erfüllen

£

Bedingung \a„ kann,

a\

—

wenn man

—

v

"

den Grenzwert 1: lim av f-»oo -1

-1

=

1+

l+

t/

Folge (a„) gibt sicher eine

4. Die

=

.

m

+1

< e bzw.

l+

i/

i/

< £,

V

=

lim-= 1

i/-«oo

falls v >

1+

—

£

wird. 3. Die Folgen 5 und 6 der Beispiele auf Seite 93 sind für 0 < q < 1 Es

< £ bzw.

wählt.

Folge (a„) =-hat 1 + 1/

2. Die

0, weil

=

—

mit

—-

a

> 0 ist

a- a

n!

1-2-3-...m

a

...-

a

a

(m

+

•

a

•...

l)-(m +

1

gewählt

Nullfolgen.

Nullfolge.

eine

natürliche Zahl m, < 1 für alle i G IN. Es ist

a"

v

so

daß

m


lim av < lim 6„ V—»OO 1/—»oo

Aussagen wird hier verzichtet, es sei jedoch auf einige Folgerungen hingewiesen. Aus (7.7) folgt, daß ein konstanter Faktor Jfc vor das Limes-Zeichen geschrieben Auf einen Beweis dieser

werden kann:

hm (Jfc ay) •

V—»OO

=

Jfc

•

(710)

hm av,

V—»oo

denn Jfc ist trivialerweise der Grenzwert der

Folge (k, k,k,...).

98

Foigen, Reihen

7

und Grenzwerte

Folgen (a„), (b„), (c„) mit av „ a. Speziell gilt für eine Folge (bv) und eine Nullfolge (c„), daß aus 0 < bv < cv folgt: lim bv 0. Ist beim Produkt zweier Folgen eine der beiden eine Nullfolge und die andere beschränkt, so ist auch das Produkt eine Nullfolge. Aus lim av 0 und |6„| < k Vi/ G IN folgt also: lim (a„ bv) 0. Es genügen hier etwas schwächere «/- oo Voraussetzungen ((&„) muß nicht konvergent sein!) als bei Regel (7.7). Betrachtet man die drei lim c„ = a, so ist nach

=

V—»oo

=

V—»OO

J/-.00

=

=

V—»00

=

Beispiel: Ein Test von einer bestimmten Zeitdauer habe die Zuverlässigkeit r mit (0 < r < 1). Ist die Dauer des Tests n-mal so lange, so sei die Zuverlässigkeit R„ = n

r

•

(n-l)-r"

l+

Für ein festes

lim Rn

ergibt sich der Grenzwert

lim-—— = lim 1 + (n 1) r «-.oo lim r

=

n—oo

r

n-»oo

—

der

Folge (An)

1/n + (1

•

—

1/n)

•

wie

folgt:

r

n-»oo

lim n—.oo

Das an 1

Im die

1/n +

lim 1

( n—»oo

_

-

lim n-»oo

1/n)

•

r

_

0+

(1 0) -

bedeutet, daß durch eine Verlängerung der Testdauer liegende Zuverlässigkeit erreicht werden kann.

•

i

r

eine

beliebig nahe

folgenden werden nun Folgen, die nach oben nicht beschränkt sind, etwa Folge der natürlichen Zahlen (n) (1,2,3,...) oder die Folge (2n 1) =

=

(1,3,5,7,...) (n!) (1,2,6,24,120,...) u.a. betrachtet. Für all diese divergenten Folgen gilt, daß ihre Glieder ab einem bestimmten Index größer sind als eine beliebig vorgegebene positive reelle Zahl ife. Diese Folgen wachsen sozusagen über alle Grenzen. Eine Folge (a„) mit der Eigenschaft, daß VJb > 0 gilt: a„ > k für fast alle v, heißt bestimmt divergent mit dem uneigentlichen Grenzwert oo, i.Z.: lim a„ = oo bzw. a„ —* oo. oder

—

=

V—»oo

es auch nach unten unbeschränkt divergente Folgen, d.h. Vfc > 0 Jfc für fast alle v, die man als bestimmt divergent mit dem uneigentlichen Grenzwert —oo bezeichnet, i.Z.: lim a„ = —oo bzw. a„ —* oo.

Ebenso

gilt: a„

gibt


k falls v > \/T. = s/v wächst über alle Grenzen, denn: y/v> k, falls v > k2. =

Grenzwert und

7.2

99

Konvergenz

3. Es sei a > 1. Dann ist lim a" = oo, d.h. die Folge wächst über alle Grenzen. V—»oo Es sei a = 1 + 6 mit b > 0. Aufgrund des binomischen Lehrsatzes giJt dann: a"

(i+&)"

=

=

i+i/-&+Q-62+---+Q-0,/ gilt:

AJJe Glieder auf der rechten Seite sind positiv. Also Jfc-1

sofern

4. Die

>

v

Folge

a" > 1 + vb >

k,

—r—.

6

a„

15

=

—

4i/ hat den uneigenth'chen Grenzwert k + 15

—oo.

Es ist

ist. D.h. ab einem bestimmten Index 15—4z/ < —Jfc, (Jfc > 0), faJJs v > werden die Folgenglieder kleiner als jede beliebig vorgegebene negative Zahl -k. —-—

Die meisten der Gleichungen (7.5) (7.9) gelten auch für Folgen mit den uneigentlichen Grenzwerten oo und oo. Im folgenden werden diese Regeln kurz als Rechnungen mit dem Symbol oo angegeben, dabei sollte man jedoch immer bedenken, daß dies Aussagen über das Grenz wert verhalten von Folgen sind. -

—

oo±a

oo

=

-

a

=

—

oo

oo

•

oo,

=

{I

+

00

=

00,

oo

für für unbestimmt für

{

=

00

oo -

oo

—

oo

a

-oo

a

> 0 < 0

a

=

für für

a

a

oo

ist unbestimmt

0

> O < O

(7.12) (7-13) (7.14)

O

oo

(7-11)

=

oo,

ist unbestimmt oo

(7.15)

—

für für

a

-oo

a

> O < O

unbestimmt

für

a

=

oo

Diese Regeln können wendet werden.

zur

0

Bestimmung von Grenzwerten

(7.16) oft vorteilhaft ange-

100

Folgen, Reihen

7

und Grenzwerte

Beispiele: lim 1

1. Für

a

> 1 strebt die

Folge

-

—

a"

I/-»00

».

gegen 0: lim

v-»oo

a"

=

—

-r-p-= hm a"

—

oo

=

0

I/-»00

|a| < 1. Dann ist lim gilt: \a" -0| K| \a\"

2. Sei

v—oo

=

=

a" =

=

0. Es ist

1-0

\a\

=

T O

mit b > 1. Mit

Beispiel

1

7.3

Unendliche Reihen

7.3

Unendliche Reihen

101

Die im vorherigen Abschnitt eingeführten Zahlenfolgen stehen in enger Beziehung mit dem Begriff einer Reihe. Dazu sei zunächst eine Folge (an)ne jv0 (ao, ai, (¡i,...) gegeben, bei der die Indizierung bei 0 beginnt. Daraus wird eine neue Folge (sn)neiVo mif sn /Ja« gebildet. Man definiert: =

n

=

¿=o n

Eine

Folge (sn)ne/Vo

mif sn

=

oo

>J

/Ja. heißt unendliche Reihe und wird mit

•=o

n

a,-

bezeichnet. Die Folgenglieder s„

=

i'=0

«=o

oo

men.

Y^ a« beißen Partial- oder Teilsum-

Eine Reihe *-^ 7 a,- heißt

konvergent, falls

1=0

lim sn existiert und endlich

n-»oo

ist, andernfalls heißt

sie divergent. Eine unendliche Reihe ist sozusagen eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Man schreibt Reihen meist nicht in der üblichen Folgenschreibweise (a0, ao + aj, ao + ai + a2,...), sondern einfach als ao + ai + ai +..., wobei klar sein muß, wie die Summanden a,- allgemein zu bestimmen sind. Bei konver-

genten Reihen wird der Grenzwert der Teilsummenfolge meist auch mit 00

bezeichnet, und

man

spricht

vom

lim sn Summenwert, also n-*oo

=

Yj a< oo

•

-^^-r^ (7—11 g 1 _

=

q

0

•

—

lim

n~~

n—»oo

(g"+1 1) -

(7.23)

—

{0

für |g| < 1 für g = 1 unbestimmt für g = -1 und Also existiert lim sn für |g| < 1 und es ist: n—»oo 1

°°

lim sn "—°°

=

ao

•

Yja"

=

„_0

ao

1 •-

1_9

für

|g|

< 1

|g| >

1

(7-24)

Beispiel: oo

Die unendliche Reihe

/J(—0.5)' ist konvergent und hat den Summenwert:

2

=

=

1 + 0.03

=

1.03. Gesucht ist

1.03"

Logarithmiert man diese letzte Gleichung, dann erhält man: loS2 23.45 log2 n log 1.03 «- n log 1.03 Der Bestand hat sich also nach gut 23 Jahren verdoppelt. Aus der Rechnung geht hervor, daß man die Angabe zum Anfangsbestand gar nicht benötigt. Zur Berechnung der Verdopplungszeit ist nur die Zuwachsrate notwendig. Die Begriffe Verdopplungszeit und Wachstumsrate =

=

=

•

.

sind bereits im Abschnitt 6.8 erklärt.

Agrarbericht 1978 der Bundesregierung ñndet man folgende Übersicht über das Reineinkommen (Gewinn) je Familienarbeitskraft in den landwirtschaftlichen Vollerwerbsbetrieben.

Im

Wirtschaftsjahr DM/AK Veränderung gegenüber dem Vorjahr in %

1968/69 1969/70 1970/71 1971/72 1972/73 1973/74 1974/75 1975/76 1976/77

12151 13175 11907 16718 20031 19972 21221 25488 21969

+ 8.4 9.6 -

+40.4 +19.8 0.3 -

+ 6.3

+20.1 -13.8

Die Durchschnittliche jährliche Veränderung zwischen 1976/77 und 1968/69 ist mit +7.7% angegeben. Diese Zahl läßt sich mit der Zinseszinsformel berechnen: 21969 Ks Ko = 12151, #8 = 21969, g8 = -ü* = 12151 = 1.808 g = 1.077, also Ko .. ~

r

=

7.7%.

110

Folgen, Reihen

7

und Grenzwerte

Das Beispiel mit dem Wald zeigt, daß die Zinsrechnung nicht auf Geldbeträge beschränkt ist. Die Formel (7.27) ist in allen Fällen anwendbar, bei denen ein Anfangswert in konstanten Zeitabständen prozentual jeweils gleich vermehrt oder, falls g < 0, vermindert wird. Sie ist praktisch identisch mit der Gleichung einer Exponentialfunktion nach Gleichung (6.27) mit der Basis g = 1 + r und dem Exponenten n.

7.5.2

Tilgungsrechnung Es soll ein Kredit Ä getilgt werden, bei dem jährlich derselbe Betrag zurückgezahlt wird. Man spricht dann von gleichbleibenden Annuitäten. Der Zinssatz r p% bleibe über die gesamte Tilgungszeit gleich. Da jeweils nur die Restschuld zu verzinsen ist, werden die Zinsen immer niedriger, und die Tilgungsrate wächst dadurch um die ersparten Zinsen. Es sei Ti die Tilgungsrate im ersten Jahr, dann beträgt die Tilgungsrate Ti im zweiten Jahr Ti Ti (1 + r) Ti -g, usw. Insgesamt bilden die Tilgungsraten Tm eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied Ti und dem Quotienten g 1 + r, d.h. =

=

=

=

rm

=

Ti-(l + r)'n-1 Ti-gm-1

(7.29)

(m 1,2,.. .,n),

=

=

wobei Tm die Tilgungsrate am Ende des m-ten Jahres ist und der Kredit nach n Jahren getilgt sein soll. Also muß gelten:

Äo

=

Ti + Ti +

Dies ist die

Ä0

=

...

+

Tn

=

Ti.

+

Ti

•

g+

...

+ Ti

•

g""1

(7.30)

(n l)-te Partialsumme einer geometrischen Reihe, —

d.h.:

Ti-2-^ 3-1

(7.31)

Ebenso erhält man die Restschuld Km nach m Jahren als Differenz ditbetrag minus der Tilgungsraten der ersten m Jahre. m

Km

=

K0 -

m

£t¿

=

•=i

Äo

-

£Ti g''

m

=

_

(7.32)

•

?

-

i=i

Kre-

.

Ti ?-—-

Äo

aus

Es sei A die zunächst unbekannte Annuität. Die Restschuld nach einem Jahr ist Äi = Äo g A, und damit die Tilgung Ti = Ä0 Kx = Ä0 Ä0 g + A. Setzt g" 1 •

-

-

•

-

-

man

«•

dies in Gleichung (7.31) ein, dann erhält

Äo g" •

=

A

•

-1 g- 1

g" ±--

man:

Äo

=

(Äo—Äo-g+A)-—

7.5

Zinsrechnung

Somit

gilt:

111

Ko=¿.?_Z± gn g 1

bzw.

A

Ko.^A gn

=

-

Der Faktor

—

—-—-

g"

—

1

(7.33)

1

bei Kq heißt auch Annuitätenfaktor.

Ganz analog kann man aus Gleichung (7.32) den Faktor T\ man erhält dann für die Restschuld Km nach m Jahren:

Km

=

eliminieren, und

Ko-qm-A-?—=1 g- 1

(7.34)

Beispiele: 1. Ein Darlehen von 100000 DM soll innerhalb von 30 Jahren durch gleichbleibende Annuitäten getilgt werden. Der Zinssatz betrage 8%. Zunächst wird die hieraus resultierende Annuität A berechnet:

gn(g 1)

1-08j30 0.08 •

-

„-ins n = 30, g = 1.08, n-™

A

—-——

g"

Ko qn" 1 gn

}*

=

-

1

=

-—

1.0830

_

1

=

0.08883

-

105 0.08883 =! 8883 [DM]

=

•

—

Die

Tilgungsrate am Ende des ersten Jahres ist:

A-K0-r = 8883 105 0.08 = 8883 8000 883 [DM] Für die Restschuld Kih nach 25 Jahren und die Tilgungsrate T2s im 25.

T1

=

Jahr

K3S

=

-

ergibt sich:

=

=

Tm

•

-

101-888. 0.08 = Ko.Tl. JUT* g -1 105 883 73.106 100000 645553 35447 [DM] Tx g24 883 1.0824 5599 [DM]

^f6'1

-

=

•

=

-

=

=

=

•

Für die Zinsen im 30. Jahr ergibt sich: Z30 = A- T30 = 8883 883 1.0829 = 656 •

-

[DM]

Eine Schuld von 12000 DM soll wie folgt getilgt werden. Im ersten Jahr werden 2000 DM zurückgezahlt und in den folgenden zehn Jahren jeweils ein gleicher Betrag A. Wie groß muß dieser Betrag A sein, wenn ein Zinssatz von 5% angesetzt wird? Es ist also Ko = 12000 und q = 1.05. Die Restschuld nach einem Jahr beträgt K\ = Kq q 2000 = 10600. Dieses K\ ist anstelle von Ko in die Gleichung (7.33) einzusetzen (n = 10), und man erhält: 10600 1.629 0.05 A *i g10(g 1) 1373 [DM] •

—

•

-

•

•

,io _i-ÔT629-

_

_

und Grenzwerte

Folgen, Reihen

7

112

3. Der Bestand eines Walds beträgt 100000 m3, sein jährlicher Zuwachs 4%. Wieviel ist nach 20 Jahren vorhanden, wenn jährlich 1500 m3 abgeholzt werden? Auch diese Aufgabe kann mit obigen Gleichungen gelöst werden. Es ist Ko = 105 m3, g = 1.04 und A = 1500 m3. Gesucht ist K30. 1 'U* n20 1 0420 1 = = 105-1.042O-1500Ä20 = Äo -g20 A- 2--i 0.04 g 1 = 219112 44667 = 174445 [m3] Der Waldbestand ist also trotz einer jährlichen Holzentnahme in 20 Jahren -

—

-

-

-

um

gut 74% gewachsen.

Der Holzbestand bleibt konstant, wenn jedes Jahr soviel Holz geschlagen wird, wie nachwächst, d.h. A = Ä0 (g 1) = 105 0.04 = 4000 [m3]. Wird dagegen mehr als 4000 m3 Holz pro Jahr geschlagen, so verringert sich der Holzbestand kontinuierlich (Raubbau). Nach wieviel Jahren wäre der Wald abgeholzt, wenn jährlich 5000 m3 Holz entnommen werden? 1 o" 1 1 04" = 105 1.04" 5000 0 = Äo g" A nni 0.04 1 g •

•

-

—

—

•

•

•

--

-

-

—

105-0.04

1.04"-1 1.04" 5000 Logarithmiert man diese

log6 5

=

n-log6 1.04

o

•«

0.08 Ann

=

Beziehung, „=

,

1 so

J2ii_ 1.04 log

1 O 1.04" erhält man:

-

=

0.2 nn

t-^tt

=

1 1.04"

41.04

Der Wald wäre also nach etwa 41 Jahren vernichtet. 7.5.3

Effektivzinsen

Krediten, insbesondere bei Hypothekendarlehen, sind häufig Bedingungen folgender Art üblich: Zinssatz p%, Auszahlung a%. Beträgt z.B. die Auszahlung 96%, so erhält man bei einem Kredit von 100000 DM nur 96000 DM ausbezahlt. Getilgt werden muß aber die gesamte Kreditsumme zu dem vereinbarten Zinssatz. In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, ob etwa ein Kredit bei 6% Zinsen und 95% Auszahlung günstiger ist, als einer mit 7% Zinsen und 98% Auszahlung. Die Annuität A beträgt gemäß Gleichung (7.33) bei einer nominalen Kreditsumme Äo und einem vereinbarten Zinssatz von p% bei n Jahren Laufzeit: A Äo —-t-^. Da man aber nur a% Äo tatsächlich als Darlehen erhält, g" 1 ist es von Interesse, welcher Zinssatz p% zugrundezulegen ist, wenn man mit derselben Annuität und bei gleicher Laufzeit eben nur a% Äq zu tilgen hätte. Bei

=

•

—

•

Man bezeichnet gilt dann: A

113

Zinsrechnung

7.5

=

als effektiven Zinssatz. Mit g

p%

=

1+

——

und

™-? qn 1

aKo

a

=

-t—

(IM) v

-

Durch Gleichsetzen dieser

g"(g-l) a(g" 1)

=

Gleichung mit der obigen erhält man:

g"(g-l) gn

-

-

(7.36)

1

Hier stehen auf der linken Seite lauter bekannte Größen, während die rechte Seite das unbekannte g enthält. Leider kann diese Gleichung nicht auf einfache Weise nach q und damit nach dem effektiven Zinssatz p% aufgelöst werden. Es gilt aber folgende äquivalente Beziehung: >» ñ ñ 9i>g2

gT(g'l 1)

^

g2(g"2-l)

.

>

-

gT_!

(7-37) (7 „s

ql_1

Quotienten kann man nach Gleichung (7.36) berechnen und Bedingungskombinationen vergleichen. Die

damit zwei

Beispiel: Welcher Kredit ist

98% Auszahlung?

günstiger: 6% Zins bei 95% Auszahlung oder 7% Zins bei

Zunächst sei die Laufzeit qi

=

L06,

o,

=

0.95,

n

Ç?(9i

des Kredits 5 Jahre: 1.065 0.06 1)

^|_i g?(g2

•

-

1) a2(g? 1)

=

n q« °-98

-

_ -

-

=

1075-0-07

-

32 _,n7„ L°7' a2 n

095(1065_1}

-

0.98(1.07»-1)

0.2499 „,SQ °-2489 .

_

Hieraus ergibt sich q~\ > g2, d.h. bei einer Laufzeit von 5 Jahren ist der effektive Zinssatz p2% der zweiten Kombination (7%, 98%) kleiner, dies ist also der günstigere Fall. Bei einer Laufzeit

1.0610-0.06

0.95(1.0610-1)

=

von n

=

10 Jahren erhält

0.1430 und A,._.

.

man:

1.0710-0.07

—---t—-^—— =

0.98(1.0710-1)

Hieraus ergibt sich g2 > gi, d.h. bei einer Laufzeit Kombination (6%, 95%) die bessere.

0.1453. A,„a

von

10 Jahren ist die erste

114_7 Folgen, Reihen und Grenzwerte Prozentannuitäten

7.5.4

Bei der bisherigen Betrachtungsweise der Tilgung eines Kredits Äo wurde die Dauer der Rückzahlung festgelegt und daraus die Annuität berechnet. Man kann auch umgekehrt vorgehen, d.h. man gibt die Annuität vor, etwa als pro-

zentualen Anteil der Kreditsumme (Prozentannuität), und bestimmt daraus die Laufzeit. Ist die Annuität A gegeben, dann erhält man durch Gleichsetzen von Gleichung (7.31) und (7.33): —

=

3"

Ti

•»

9

=

7fr Ii

•«

n

(7.38)

=-—--

logg

Im allgemeinen ergibt sich hierbei kein ganzzahliges n. Dann nimmt man die nächstkleinere natürliche Zahl ñ als Tilgungsdauer, und es verbleibt ein Restbetrag AZ, die sog. Abschlußzahlung, die am Ende des ñ-ten Jahres zu leisten ist. Die Höhe der Abschlußzahlung ist nichts anderes als die Restschuld nach ñ Jahren, also: AZ

=

Ko

qñ

-

A

—^8-1

(7.39)

Beispiel: Die Kreditsumme betrage 100000 DM, der Zinssatz sei 8% und Prozentannuität von 9% vereinbart.

es

sei eine

Es ist also A = 9000, q = 1.08 und Ti = A- Zi = 9000 8000 = 1000. Hieraus ergibt sich die theoretische Laufzeit n zu: log 9000- log 1000 log 9 " log 1.08 log 1.08 Somit beträgt die Laufzeit 28 Jahre. Am Ende ist dann noch folgende Abschlußzahlung zu leisten: -

AZ

=

Äo

•

g28

o26 A 2-1

-

3-1

=

4661.20

[DM]

Im vorliegenden Abschnitt 7.5 konnten nur wenige grundlegende Aspekte der Zins- und Tilgungsrechnung behandelt werden. In diesem Zusammenhang gibt es noch viele weitere Probleme und Stichworte, wie Rentenberechnung, Rendite, vorschüssige und nachschüssige Verzinsung usw. Die Behandlung all dieser praktischen Anwendungen bezeichnet man als Finanzmathematik. Der interessierte Leser wird auf die Spezialliteratur über dieses Gebiet verwiesen.

Aufgaben

115

Aufgaben 1. In einem Fußballstadion befinden sich in der untersten Reihe 500 Sitzplätze und in jeder folgenden Reihe 50 Plätze mehr. Wie groß ist das Fassungsvermögen des Stadions, wenn 50 Reihen vorhanden sind? Wie viele Personen können in der obersten Reihe Platz nehmen? l2 + 22 + ...+ n2 2. Für welche Werte von n ist der Quotient qn = —:-„-eine ganze 1+¿+ +n ...

Zahl? 3. Bestimmen Sie den Summenwert der Reihe 1—22+32-42+52—.. .+(2n-l)2. 4. Einem Liter einer 6%-igen Salzlösung werden 0.5 Liter destilliertes Wasser zugesetzt. Von dieser Mischung wird 1 Liter abgefüllt. Mit der neu entstandenen Lösung wird in gleicher Weise verfahren. Wie oft muß der geschilderte MischungsVorgang wiederholt werden, damit eine Lösung mit weniger als 0.005% Salzgehalt entsteht? oo

5. Es sei

S(g)

=

^ g' eine geometrische Reihe mit |g| < 1. Zeigen Sie, daß bei S(g) durch die n-te Teilsumme Sn (g) Yj 3* der relative t=0

n

Ersetzung

von

=

«=o

Fehler

,3

>

S{q)

gleich gn+1

ist. Bestimmen Sie

n

so, daß für g

=

0.1

dieser relative Fehler kleiner als 10~4 ist. 6. In wieviel Jahren

a) b)

verdreifacht sich ein Kapital bei 4% Zinsen? wachsen 51000 DM bei 4.7% Zinsen auf denselben DM bei 5.5% in 20 Jahren?

7. Welche Verzinsung dreifacht? 8.

a) b) c)

liegt zugrunde,

wenn

sich ein

Betrag

Kapital in

an

wie 21000

15 Jahren

ver-

Ein Darlehen von 120000 DM soll bei 8.5% Zinsen in 30 Jahren zurückgezahlt werden. Wie hoch ist die Annuität? Wie hoch ist die Annuität, wenn die Rückzahlung erst ab dem sechsten Jahr beginnt, und das Darlehen auch nach 30 Jahren (ab Ausgabe) getilgt sein soll? Wie lange dauert die Tilgung des Kredits, wenn eine Prozentannuität von 10% gezahlt wird? Wie hoch ist die Abschlußzahlung?

Folgen, Reihen

und Grenzwerte

116

7

9. Welche der folgenden Konditionen für Jahren günstiger?

Baugeld ist bei einer Laufzeit von 15

a) b)

10.5%, Auszahlung: 95% 11.0%, Auszahlung: 97%

Zins: Zins:

10. Für einen Kredit in Höhe von 10000 DM, der in 5 Jahren soll, hat man die Angebote zweier Banken zur Auswahl: Bank A: Zinssatz 11% p.a., Bank B: Zinssatz 12% p.a.,

a) b)

getilgt

werden

Abrechnung am Ende jedes Jahres Abrechnung am Ende jedes Vierteljahrs

Berechnen Sie

zu a) die Annuität und zu b) die Quart alitât, d.h. den zurückzuzahlenden vierteljährlich Betrag. Bei welcher der beiden Banken würden Sie den Kredit nehmen und warum? 11. Ein Waldstück bestehe aus 106 Bäumen. Die jährliche Waldsterbensrate sei

11%.

a) b)

Wieviele Bäume müssen pro Jahr nachgepflanzt werden, um den Bestand konstant zu halten? Wieviel Prozent des ursprünglichen Bestands sind nach 10 Jahren noch vorhanden, wenn die Nachpflanzung 40000 Bäume pro Jahr beträgt?

Lösungen 1. a0 = 500, ax = 500 + 1-50, a2 = 500 + 2-50, d.h. in der obersten Reihe gibt es 2950 Plätze.

...

a49

=

500 + 49-50

=

2950,

Es liegt eine arithmetische Reihe vor, deren n-te Partialsumme sn sich ergibt -L 1 als s„ = (a0 + a„), also: s49 = 25 (500 + 2950) = 86250. Das Stadion faßt demnach 86250 Personen. «

•

——

22. F,i-t Es ist

"(" + !) y.2_n(n+l)(2n+l) V,-_ 2^« =-7¡-, ¿^ =-ëi=i

1=1

g„ Ç.Z •«• 2n + 1

Für

3.

n

=

=

3ife mit ifc £Z

1,4, 7,... ist also g„ eine

Sn=¿(2j-l)2-£(2¿)2 ;=1

=

o

;=1

=

n

-

-

3ifc

—

—3—

1

—-—

ganze Zahl.

+ (n-l) (2n-l)2-4]Tj j=l

(2n l)2 2(n l)n + (n 1) -

=

_2n+l

«»-

-

=

n(2n 1) -

=

117

Aufgaben

Die Konzentration nimmt mit jedem Verdünnungsschritt um den Faktor 2 ab, d.h. g = -. Die Konzentration nach der n-ten Verdünnung ist: cn

co

=

g"

•

o

(I)"

6%

=

2 -

Gesucht ist n, bei dem die Konzentration unter 0.005% fällt:

0.005% = 6% n

•

(|J

log 0.005-log 6 « —f—-—-—-5— log 2-log 3

=

Die Konzentration schritten.

log 0.005 log 6 + n(log 2 log 3)

=*

=

-

17.5 ,__

0.005% wird also nach der 18. Verdünnung

von

°°

5.

S(g)

ist konvergent für |g| < 1 => 5(g) yV •^o

=

0.1n+1


In 1.04 = n => n 21000 1.05520 = 61272.9 = 51000 1.047"

=

=

=

n

•

In 1.047 =>

n

=

4

7. #i5 = 3tf0 = Ko g15 => g15 = 3 => ein Zuwachs von 7.6% zugrunde. 8.

a) b)

A

=

Ko

,

g"

~,1

Ko

,

=

kg

120000,

g

=

=

-^ 15

1.085,

=> g w

n

=

1.076, d.h.

30 => A

=

es

liegt

11166 DM

—

In den ersten fünf Jahren wachsen die Schulden auf K$ = Ko g5 = 120000 1.0855 = 180439 [DM]. Die Rückzahlung erfolgt in den verblei•

•

benden 25 Jahren: A

c)

28

•

•

hi T7XZZ 51000

=

Die Prozentannuität

Tx n

=

=

A

-

Zx

=

lgA-lgT1 lg g

=

•

beträgt

12000 =

K5

-

g?„~^ 10%

120000

[DM]. 120000 12000 [DM]. 0.085 1800 [DM] =

=

•

•

=

lgl2000-lgl800= 1.085 lg

17631

3

118

7

AZ

=

•

qñ

o"

-

1 A -î--i

g

1.10515-0.105

—

•

[DM]

2903 .

Ko

—

1

Folgen, Reihen

120000 1.08523

=

und Grenzwerte

12000

•

1

OS1!23 °

l.ll15 -0.11

..

—

__.

0.085

-

1 =

.

a) 0.95-(1.105»-1) °-1424' b) 0.97- (LU» 1) °-1434 Es ist also die unter a) angeführte Bedingungskombination günstiger. 10. a) Bank A: A Äo-^9"^, Ä0 10000, g 1.11, n 5 => A 2705.7 g" 1

n

9-

=

.,.„.

=

.,._.

-

=

=

=

=

=

-

In den fünf Jahren sind also 5 2705.7 zu zahlen. •

b)

K0-^~}\

=

13528.50 DM für den Kredit

1+^

K0 10000, g B:Q 1.04, n 4-5 4 g" 1 20 => Q 672.16 In den fünf Jahren sind also 20 672.16 13443.2 DM Bank

=

=

=

—

=

=

=

=

=

•

für den Kredit zu zahlen. Der Kredit von Bank B ist also 11.

günstiger. a) Die Anzahl der zu pflanzenden Bäume entspricht

b)

der Sterberate: 0.11

•

106 = 110000 Das Waldsterben verursacht einen negativen Zinssatz von r = —0.11 ^~ g = 1 + r = 0.89. Auch die Annuität ist negativ, da zum Wald Bäume hinzugefügt werden: Äio

=

Äo g10 •

o10 1 i--± -

-

A

g

—

1

=

106 0.8910 •

-

(-40000)

0

8910

•

—0.11

311817 + 250248 = 562065 Nach 10 Jahren sind also noch ca. 56% der Bäume vorhanden. =

1 -

ni1

=

Kapitel

8

D ifferent ialr echnung Der im Kapitel 6 eingeführte Begriff der Stetigkeit ist besonders wichtig, denn die in der Praxis vorkommenden Funktionen sind i.a. zumindest stückweise stetig. Im folgenden sollen nun stetige Funktionen auf die Änderung der Funktionswerte, wenn das Argument einen bestimmten Bereich durchläuft, untersucht werden. Anders ausgedrückt heißt dies, es interessiert die Stärke der Abhängigkeit der Funktionswerte f(x) von den x-Werten in anschaulicher, graphischer Betrachtung die Steigung der Kurve. Zunächst soll die durchschnittliche Änderung betrachtet werden. Dazu nimmt man zwei Argumente im Abstand Ax, etwa x und x + Ax, und die zugehörigen Funktionswerte f(x) und f(x + Ax). Die durchschnittliche Änderung der Funktion / im Intervall [x, x + Ax] ist dann der Quotient: -

-

f(x + Ax) /(«) (x + Ax)-x -

Man

~ _

A/(x)

K

Ax

}

auch vom Differenzenquotienten von / an der Stelle x. Läßt Intervallänge Ax immer kleiner werden, also gegen Null gehen, so kann der Quotient —-^—- gegen einen Grenzwert streben. Der Grenzwert soll Ax bei Annäherung der Punkte x von rechts an xo (Ax > 0) und bei Annäherung der Punkte x von links an xo (Ax < 0) existieren und jeweils gleich sein. Diese Grenzwerte werden im folgenden Kapitel behandelt. man

8.1 8.1.1

spricht die

Die

Ableitung

Der

Falls für

/fifm (x0)Ï

x

-

=

einer Funktion

Differentialquotient xo

der Grenzwert

/(*Q+AX)-/(X0)

Ahmo-—Urr,

(8.2)

existiert,

so heißt f'(xo) die Ableitung der Funktion / an der Stelle x = xoMan sagt, / ist an der Stelle x = xo differenzierbar. Ist / an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar, so erhält man eine neue Funktion /', die Ableitung von /, deren Funktionswerte f'(x)

die Grenzwerte lim

Ax—»0

f(x + Ax) f(x) -

—-—-—-

Ax

sind. Neben

f'(x)

sind auch noch die

8

120

Differentialrechnung

und ¡/ gebräuchlich. Man bezeichnet die AbleiSchreibweisen —, -r-/(x), dx dx dx tung häufig auch als Differentialquotient. —

#

.

Die Ableitung /'(xo) kann man geometrisch veranschaulichen. Man betrachtet dazu (siehe Bild 8.1) den Graph einer Funktion fix). Die Argumente xo und xo +Ax haben den Abstand Ax. Den Abstand der zugehörigen Funktionswerte /(xo) und /(xo + Ax) bezeichnet man mit Ay.

*o

xo + Ax

Bild 8.1: Funktion und

Verbindet

Gerade, gung 66

Ableitung

die Punkte (x0,/(x0)) und (x0 + Ax,/(x0 + Ax)) durch eine ist diese Gerade eine Sekante der Kurve y = /(x) mit der Stei-

man

so

—-.-—-^-—(x + Ax)-x

=

-—

Ax

=

tana, wobei

a

der Winkel zwischen der

Sekante und der horizontalen Geraden y = /(xo) ist. Der Differenzenquotient stellt also die Steigung der Kurvensekante dar. Verkleinert man nun Ax, d.h. läßt man den Punkt (xo + Ax,/(xo + Ax)) auf dem Graphen von / gegen (xo,/(xo)) wandern, so fallen im Grenzfall Ax = 0 die beiden Punkte zusammen und die Gerade erreicht eine Grenzlage, sie wird zur Tangente an die Kurve im Punkt (xo,/(xo)). Da die Wanderung genau der Grenzwertbildung

4- Ax) f(x) hm fix entspricht, stellt die Ableitung f(xo) an der Stelle Ax—0 Ax x = xo gerade die Steigung der Kurventangente im Punkt (xo, /(xo)) dar, d.h. /'(x0) = tana0. —

—

Vorgehensweise wird bereits klar, daß die Stetigkeit eine notwendige Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist. Wenn also eine Funktion an der Stelle x xq unstetig ist, so ist sie dort auch nicht differenzierbar. Anhand dieser

=

8.1

Jede differenzierbare Funktion ist

/ Die

121

Die Ableitung einer Funktion

ist differenzierbar in xo

=>

stetig:

(8-3)

/ ist stetig in xo

Umkehrung gilt nicht.

Beweis:

fix

+ Ax) f(x) Damit ein eigentlicher Grenzwert lim —-r-^-—existiert, ist es notAr-0 Ax lim (f(x + Ax) f(x)) = 0 ist, d.h. daß der Zähler mit Ax — 0 wendig, daß Ar—0 auch gegen 0 strebt. Dies ist aber gleichbedeutend mit lim /(x + Ax) = f(x), Ar—0 und das ist genau die Bedingung für die Stetigkeit von / an der Stelle x = xo—

-

Um zu zeigen, daß die Stetigkeit keine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit ist, genügt es, ein Gegenbeispiel anzugeben, also eine stetige Funktion, die nicht überall differenzierbar ist. Dazu nimmt man z.B. die Betragsfunktion f(x) = |x|. An der Stelle x = 0 ist / stetig, aber nicht differen/(x + Ax) f(x) = lim Ax = 1, aber für lim —-r-^-—zierbar, denn für x > 0 ist Ar-0 Ar—0 Ax Ax —Ax + Ax) fix) fix Ihn =-1. x-*>-/(«) A
) =£/; Die

Produktregel für

(f-g-hy

=

= =

(8-2?) drei Faktoren

/(x), g(x) und h(x)

((f-g)-h)' (f.g)'.h + f.g.h> (f-9 + f-9')h + fg-h'= =

lautet:

=

f-9-h + fg'-h + f-gh'

(8.28)

Beispiele: 1.

= x4 + x2 2. In 8.1 wurde bereits gezeigt, daß (xn)' = n xn_1 gilt, und daß die Ableitung einer konstanten Funktion gleich Null ist. Damit gilt nach Regel (8.24): f(x) = 4x3 + 2x.

f(x)

-

g(x) c f(x), dann ergibt sich nach y'(x) 0-/(x) + c-/'(x) c-/'(x)

2. Ist

=

=

der

Produktregel:

=

D.h. eine multiplikative Konstante bleibt beim Differenzieren erhalten. Damit kann man die Ableitung eines Polynoms n-ten Grades

Differentialrechnung

8

132

P(x) a„xn + an_!Xn-1 + =

...

+

a2x2 + alX + a0

=

^a.i*' i=0

berechnen

zu: n

P'(x) 3.

/(x) ,,

n

=

3x

=

anx""1 (n 1) +

•

2

—

-5—-. x¿

+1

3

.

nX)~

•

_

Mit Hilfe der -

_

~

(x2 l)2

=-folgt nach cos2 x + sin2 x

tan x x

=

=

2a2x +

n.

3. Für die Sinusfunktion erhält man f0) s sinx, f1) = cosx, f2^ = sinx, f3) = -cosx, /W = sinx usw. Allgemein gilt: f2k^ = (-1)* sinx und —

/(2*+i) (_!)*. C08 x(ife g ¿Vo) =

4. Ein

Federpendel schwingt Schwingungsgleichung mit

um

der der Federkonstante D lautet:

x(t)

=

x

=

Ruhelage. Die Auslenkung ist x. Die Amplitude xa, der Schwingmasse m und die

xa sin •

Die Geschwindigkeit v der Schwingmasse x der Auslenkung x nach der Zeit t:

zur

Zeit t ist die erste

Ableitung

Die Beschleunigung a zur Zeit t ist die erste Ableitung i> der Geschwindigkeit v, also die zweite Ableitung x der Auslenkung x:

Die rücktreibende Kraft ist: F

=

ma

=

—m

Dt, x D

—

•

=

—

x

m

Dies ist genau das Hooksche Gesetz, das besagt: Die rücktreibende Kraft F ist proportional zur Auslenkung x und dieser entgegengerichtet. Besitzt eine Funktion / Ableitungen bis einschließlich der n-ten Ordnung, so sagt man, die Funktion ist n-mal differenzierbar. Ist überdies die n-te Ableitung /(") auch noch stetig, dann heißt / n-mal stetig differenzierbar. Die höheren Ableitungen werden im Kapitel 10 sowie im folgenden Abschnitt bei der Kurvendiskussion noch eine wichtige Rolle spielen.

Anwendung der Differentialrechnung

8.6

Anwendung

8.6

der

137

Differentialrechnung

Kapitels, in dem wesentliche Gesichtspunkte der Differentialrechnung zusammengefaßt sind, soll die praktische Bedeutung der Differentialrechnung behandeln, d.h. aufzeigen, wie Ableitungen zur Lösung

Der letzte Abschnitt dieses

von

Problemen unterschiedlichster Art verwendet werden können.

8.6.1

Kurvendiskussion

In Bild 8.5 sind einige Stellen x,- des Graphen einer Funktion / gekennzeichnet, an denen die Funktionswerte bzgl. einer bestimmten Umgebung minimal bzw. maximal sind.

Eine Funktion /(x) besitzt an der Stelle x = xo ein relatives Extremum, falls es eine Umgebung U = [xo h, xo + h] von xo gibt, so daß Vx G U gilt fix) > /(xo) bzw. fix) < /(xo). Im ersten Fall liegt ein relatives Minimum, im zweiten ein relatives Maximum vor. —

Die in Bild 8.5 graphisch dargestellte Funktion hat also bei xi, relative Minima, bei X2 und X4 relative Maxima.

x3

und

x5

-1—1-.—1-1-1—1_» a xi X2 X3 X4 X5 5 x

Bild 8.5: Funktion mit Extremwerten x,Es sei nochmals daraufhingewiesen, daß es sich bei relativen Extrema um lokale Begriffe handelt, d.h. man hat es mit kleinsten bzw. größten Funktionswerten bzgl. einer genügend kleinen Umgebung zu tun. So kann der Funktionswert eines relativen Minimums durchaus größer sein als der eines relativen Maximums, etwa /(x5) > /(x2) in Bild 8.5.

138

8

Differentialrechnung

Eine Funktion f(x) besitzt bei x = x0 ein absolutes Maximum oder Miniin einem Intervall I, falls für alle 16/ gilt:

mum

/(x) < /(x0)

(Maximum)

(8.34)

/(x) > /(x0)

(Minimum)

(8.35)

Insgesamt spricht man von absoluten Extrema. Ein relatives Extremum kann auch ein absolutes sein, muß es jedoch nicht. So besitzt die Funktion in Bild 8.5 an der Stelle x xi ein relatives Minimum, das zugleich ein absolutes Minimum im dargestellten Intervall [a,b] ist. Ein =

absolutes Maximum liegt für diese Funktion bei

x

=

b

vor.

Wenn man sich auf die Untersuchung von stetigen Funktionen in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, 6] beschränkt, dann gibt es für eine solche Funktion immer einen kleinsten und einen größten Wert. Man findet diese Extremalsteilen entweder unter den relativen Extrema oder an den Randpunkten a und 6 des Intervalls. Die Funktionswerte f(a) und /(&) erhält man durch einfache Berechnung, so daß im folgenden nur noch ein Weg zur Bestimmung der Extremwerte gefunden werden muß. Eine erste Aussage über die Bedingungen für das Vorliegen eines relativen Minimums oder Maximums im Innern eines Intervalls beinhaltet folgender Satz: Es sei

/ eine im Intervall I

(xo,/(xo))

differenzierbare Funktion.

ist relatives Extremum

=>

f(x)

=

0

(8.36)

Dieser Satz

besagt, daß der Graph von / bei einem relativen Extremum eine waagrechte Tangente besitzt (vgl. Bild 8.6 a). Jedoch handelt es sich hierbei nur um eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung, d.h. die Ableitung einer Funktion kann durchaus auch an einer Nicht-Extremalstelle gleich Null sein, ihr Graph also eine waagrechte Tangente besitzen, wie Bild 8.6 b) zeigt. Es gibt auch stetige Funktionen, deren Graph an einer Extremalstelle keine waagrechte Tangente besitzt. Dann ist aber die Voraussetzung, daß /in I differenzierbar sein soll, verletzt. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f(x) |x|, die bei x 0 ein Minimum hat. In Bild 8.7 sind die möglichen Situationen für =

=

solche Extremalsteilen skizziert. In diesen Punkten verläuft die entweder senkrecht, oder sie existiert überhaupt nicht.

Kurventangente

Insgesamt kann man festhalten, daß bei einer stetigen Funktion an den Extremalstellen die Ableitung entweder verschwindet oder überhaupt nicht definiert ist. Daß es sich hierbei keineswegs um eine hinreichende Bedingung handelt

8.6

Anwendung der Differentialrechnung

139

b) Bild 8.6:

Funktionsgraphen mit waagrechter Tangente

Bild 8.7: Extrema y ka)

Vib)

Bild 8.8: Keine Extrema

zeigt bereits Bild 8.6 b).

Daß dies auch bei nichtdifferenzierbaren Funktionen der Fall ist, demonstriert Bild 8.8. Wenn man sich nun auf differenzierbare Funktionen beschränkt, so können relative Maxima bzw. Minima nur an den Stellen auftreten, an denen die Ableitung gleich Null ist. Ob es sich aber wirklich um Extrema handelt, muß noch näher untersucht werden. Dazu bedient man sich der zweiten und eventuell noch höherer Ableitungen. Ist die Funktion / an der Stelle xo mit /'(xo) = 0 genügend oft differenzier= bar. Gilt /'(xo) = /"(x0) = /n-1(xo) = 0 und /(•») ¿ 0, so besitzt ...

140

/ bei mum,

8 x

=

Differentialrechnung

xo ein relatives Extremum, falls n gerade ist, und < 0 ist, und ein Minimum, wenn

wenn

/^n^(xo)

die erste, nichtverschwindende Extremum vor.

ein Maxi0 ist. Ist so liegt kein

zwar

/^n^(xo)

Ableitung von ungerader Ordnung,

>

gibt schon die zweite Ableitung /" darüber Auskunft, ob ein Extremum vorliegt oder nicht. Um relative Extrema zu finden, hat man also wie folgt vorzugehen: Man bestimmt alle x-Werte im Innern des interessierenden Intervalls, für die gilt: f(x) 0. Anschließend setzt man diese x-Werte als Argumente der zweiten Ableitung ein. Es liegt ein relatives Maximum vor, falls f"(x) < 0 und ein relatives Minimum, falls f"(x) > 0 ist. Nur wenn auch f"(x) 0 ist, muß man weitere Ableitungen heranziehen. Meist

—

=

Beispiele: 1. Die Funktion f(x) = x2 + 2x soll auf relative Extrema untersucht werden. Es ist f(x) = 2x + 2 und f"(x) = 2. f(x) = 0»2î + 2 = 0»i = -1. Da f"(x) > 0 Vx G 1R, besitzt f an der Stelle x = -1 ein relatives (und absolutes) Minimum. 2. Gesucht sind die relativen Extrema von f(x) = x4 2x2 + 1. Aus f(x) = 4x3 4x folgt: f(x) = 0 •«• 4x3 4x = 0 O x (x2 1) = 0 » x = 0 oder x2 1 = 0, d.h. x = ±1. Es können also höchstens bei den Stellen x = 0, x = —1 und x = 1 relative Extrema vorliegen. Setzt man die Argumente in f"(x) = 12x2 4 ein, so ergibt sich: /"(0) = -4 < 0. Bei x = 0 hat f also ein relatives Maximum. /"(±1) = 12 4 = 8 > 0. Bei x = -1 und x = +1 hat / ein relatives Minimum. —

-

•

-

-

—

-

-

3. Die Funktion f(x) = x4 kann wegen f(x) = 4x3 höchstens bei x = 0 ein relatives Extremum haben. Es ist jedoch auch /"(0) = 0, so daß man höhere Ableitungen heranziehen muß. Wegen f3\x) = 24x verschwindet erstmals die vierte Ableitung an der Stelle x = 0 nicht. Da diese Ableitung von gerader Ordnung ist, und weil gilt fA\0) > 0, hat / für x = 0 ein relatives Minimum. = 6. Bei x = 0 4. Für f(x) = x3 ist f'x) = 3x2, f"(x) = 6x und ist wegen f(0) = 0 höchstens ein Extremum zu finden. /^3^(0) ist erstmals verschieden von Null. Dies ist eine Ableitung ungerader Ordnung, d.h. f(x) = x3 besitzt kein relatives Extremum.

f3\x)

Neben den Extremalpunkten sind bei der Untersuchung von Funktionen auch jene Punkte von Interesse, an denen der Graph der Funktion die Krümmungsrichtung ändert. Dabei spricht man von Linkskrümmung, falls für xj < x2 gilt /'(xi) < /'(x2) und von Rechtskrümmung, falls für x\ < x2 gilt f(x\) > /'(x2). Bild 8.9 veranschaulicht diese Begriffe.

Anwendung der Differentialrechnung

8.6

-1-»

X\

X2

Bild 8.9: Links- und

X

141

I-1-:-mX X2 Xi

rechtsgekrümmte Funktion

Eine linksgekrümmte Kurve (Bild 8.9 a) heißt auch konvex, bei rechtsgekrümmten Kurven (Bild 8.9 b) spricht man auch von konkaven Funktionen.

Linkskrümmung nimmt die Steigung der Kurve monoton zu, d.h. es gilt fix) > 0. Umgekehrt nimmt die Steigung bei Rechtskrümmung monoton ab,

Bei

also

fix) < 0.

Mit Hilfe der Krümmung kann man anschaulich erklären, warum für /'(xo) = 0 und /"(xo) > 0 (bzw. /"(xo) < 0) ein relatives Minimum (Maximum) vorliegt (Bild 8.10). In der Umgebung eines relativen Minimums ist die Funktion linksgekrümmt (/"(x) > 0), in der Umgebung eines relativen Maximums rechtsgekrümmt (/"(x) < 0).

fix) und die ersten beiden Ableitungen /'(x) (gestrichelt) und /"(x) (gepunktet)

Bild 8.10:

an denen die Kurve von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümübergeht oder umgekehrt, sind gerade die relativen Extrema der ersten Ableitung. Diese Punkte bezeichnet man als Wendepunkte einer Funktion.

Stellen, mung

8

142

Differentialrechnung

Für einen Wendepunkt xo einer Funktion gilt dann notwendigerweise /"(xo) = 0. Eine hinreichende Bedingung ergibt sich, wie bei den Extrema, mit Hilfe von höheren Ableitungen. Eine Stelle xo mit /"(xo) = 0 ist genau dann ein Wendepunkt, wenn die Ableitung, die für xo erstmalig nicht verschwindet, von ungerader Ordnung ist.

Beispiele: -x3

der Stelle x = 0 einen Wendepunkt. x < 0 ist sie konkav, für 0 < x < oo konvex. 2. Für die Funktion fix) = x4 2x2 + 1, die früher bereits auf Extrema untersucht wurde, erhält man als zweite Ableitung fix) = 12x2 4. /"(x) = 0 ist für x = ±-y/Z erfüllt. Da / = 24x für x = ±-v/3 ungleich Null ist, 1. Die Funktion fix) Im Bereich —oo
/3 je einen Wendepunkt. O Die Funktion fix) x3 hat bei x 0 einen Wendepunkt,

hat 3.

/ für x

=

=

—

o

= wie man leicht erkennt. An dieser Stelle ist auch der Wert der ersten Ableitung gleich Null, d.h. die Kurve besitzt am Wendepunkt eine waagrechte Tangente. Solche Wendepunkte bezeichnet man auch als Terassenpunkte einer Funktion. =

Bei stetigen Funktionen liegt zwischen einem relativen Minimum und einem relativen Maximum stets ein Wendepunkt. Relative Maxima und Minima wechseln einander ab, d.h. zwischen zwei benachbarten Minima liegt immer ein Maximum und umgekehrt. Wendepunkte und relative Extrema sind neben Nullstellen und Polen wesentliche Punkte einer Funktionskurve. Die Bestimmung solcher charakteristischer Merkmale bezeichnet man als Kurvendiskussion. Sie dient dazu, sich schnell einen Überblick darüber zu verschaffen, wie der Graph einer Funktion in etwa verläuft. La. beinhaltet eine Kurvendiskussion die Untersuchung folgender Punkte: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Pole und Asymptoten, Extrema und Wendepunkte, Monotonie, Skizze, Wertebereich.

Beispiele: 1.

fix) xA 2x2 + 1 =

-

•

Defínitionsbereich IR.

•

Achsensymmetrie zur y-Achse, da ausschließlich gerade Potenzen vorkommen.

•

Nullstellen:

fix)

=

x4-2x2 + l

=

(x2)2-2x2 + l (x2-l)2 0=*x2 =

=

=

l«>x

=

±l

143

Anwendung der Differentialrechnung

8.6

Keine Pole, da keine Deßnitionslücken vorhanden sin. Keine Asymptoten, da f(x) ganz-rational ist. Extrema: f(x) = 4x3 4x = 0 «• x = 0 V 4x2 4 = 0 = x2 = 1 => x = ±1 f"(x) = 12x2 4 fifí) = -4 < 0 s> Max(0,1), /"(±1) = 8 > 0 => Min(±l,0)

• • •

-

-

-

Wendepunkte:

•

/"(x) 12x2 -4 0=^x2 /"'(x) 24x =

=

=

^x ±4= v3 =

«

0.58

o

=

•

• •

r(±^)=±^'i(,*Wp(±^4)

Nicht monoton im gesamten Definitionsbereich, da positive und erste Ableitungen vorkommen. Eine Skizze der Funktion f(x) zeigt Bild 8.11 a).

Wertebereich

2R+. y,.

a)

negative

b)

8-

2i -2 /-l

4H 24

-2

-1

Bild 8.11: Funktion

a) f(x)

=

x4

-

2x2 + 1 und b) g(x)

=

/(*)

2.

Differentialrechnung

8

144

x4

gix)

2x2 + 1

-

=-=

x

f(x) mit fix) x

——-

Beispiel

aus

2R\{0}.

•

Deñnitionsbereich

•

Punktsymmetrie zum Ursprung, da /(—x) Nullstellen x ±1 (vgl. Beispiel 1).

• •

=

Pol bei

x =

0, denn

lim x3- hm 2x+ lim (x3-2x+-)= x—±0 x—±0 X x—±0

Um

x)

\_

Asymptote y hm

x—±oo

=

x3 —

=

±oo.

-

~~0~~

~~0~"

±00

2x, denn

lim (x3-2x)+ lim + -)= x—±oo (x3-2x x—±00 ^ )

-

x

=

x

±oo.

~T~

±oo •

—fix)

=

x—±0

•

1.

Extrema:

(4x3-4x)-x-(x4-2x2 + l)-l 3x4-2x2-l 0 g'(x) =--2-=--j-= ,.

Z

=

x2

n

.

X*2 =*• Zi/2

=

=

2±v/4+~T2 2±4 -g- —g—

±1, x2 (12x3 -4x) x2

1 =>•

x

=

=

--

=

1,

,

Z2

1 =

-£

geht nicht

(3x4 2x2 1) 2x 6x5 + 2x 6x4 + 2 (x), =-?-= ~~Ï4-= —¿*~ •

...

9

=>• Zi

=

-

•

-

-

= ±8 => Min(l.O), Max (-1,0) Keine Wendepunkte, da y"(x) z£ 0 Vx G ID Nicht monoton, da positive und negative erste Die Skizze zeigt Bild 8.11 b). Wertebereich IR.

o"(±l) • • • •

3.

fix) • • • •

• •

=

ax

e-hx mit a, b > 0

Deñnitionsbereich IR. Keine Symmetrie. Nullstelle bei x = 0 Keine Pole. Keine Asymptoten. Extrema: f(x) = a e-hx + ax e"1* a

—

abx

/"(x)

=

Ableitungen vorkommen.

=

O =>

a

=

(-6)

aix => l

-a& e-4* + (a •

•

-

=

=

(a abx) e~hx

=

0

-

6x =>

x

abx) e~ix (-&)

= t-

o =

(a&2x 2ab) e~ix -

Anwendung der Differentialrechnung

8.6

f

•

(j\ Lb2l =

-

2ab\

•

e-»/»

=

145

-ab e"1 •

=

-j
ab2 e~2 f ¿ 0 => =

=

•

=

=

-

=

(J\

-

=

-

•

Nicht monoton.

•

Die

•

Bild 8.12. Wertebereich

ab3j\

=

•

=

-

^

Funktionsgraphen für ausgewählte Kombinationen von a —oo

< y < —

und b

zeigt

a 7—.

6

e

Bild8.12:y 8.6.2

=

•

•

=

ax-e-iä:

Extremwertaufgaben

Häufig treten in der Praxis Probleme auf, bei denen es darauf ankommt, einen optimalen Wert zu bestimmen, etwa den maximalen Gewinn, einen minimalen Materialaufwand, ein kleinstes oder größtes Volumen u.v.a. Meistens können solche Aufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden, indem man Extrema von Funktionen bestimmt.

146_8 Differentialrechnung Beispiele: 1. Gesucht ist das Rechteck, das bei gegebenen halt hat.

Umfang den größten Flächenin-

der Umfang und x die Länge einer Seite. Die Länge der anderen Seite ist dann -u x. Als Fläche, die natürlich von x abhängt, erhält man dann: Es sei

u

—

F(x)

(

x

=

-u

Differenziert

F'(x)

-

man

xj

=

-ux

F(x), dann erhält man:

Die Extremwerte werden telt: =

-u

-

2x

=

0 =>

x

=

Ableitung ermit-

-u t:

Es existiert also

-2

=

durch Nullsetzen der ersten

nun

m

F"(x)

x2.

iu-2x

=

F'(x)

-

nur

ein Extremwert. Da

Vx,

tatsächlich ein Maximum vor. x = -u bedeutet, daß man einen 4 maximalen Flächeninhalt für ein Quadrat vom Umfang u erhält.

hegt auch

2. Bei Konservendosen ist es wünschenswert, daß für eine vorgegebene Inhaltsmenge der Blechverbrauch möglichst gering ist. Dies wird anhand einer zyhnderförmigen Dose untersucht. Es sei also das Volumen V der Dose fest gegeben, der Radius r des Grundkreises und die Höhe h der Dose sind nun so zu bestimmen, daß die Zylinderoberßäche F minimal wird. Die Formel für die Oberfläche lautet:

F(r, h)

2-trrh + 2?rr2

=

Aus V

=

irr2 h ergibt sich h

F(r)

=

—

r

+

itr

2irr2

Durch Differenzieren 2V

F'(r) =-±1-+ 4;rr Die

ergibt sich: und

4.V

F"(r) =-5-+ 4*

notwendige Bedingung für ein 2V

47rr-5r2

=

0

Nach Einsetzen dieser Beziehung erhält

= —r.

man:

=>•

4irr3

-

2V

Extremum ist

=

0

=.>

r3

=

F'(r) V 2ir

—

=

0, also:

Anwendung der Differentialrechnung_147

8.6

?/ kann ein Extremum vorliegen. Dieser Wert wird deshalb die zweite Ableitung eingesetzt.

D.h. fürr= in

—

-(^H

=

12t > 0

tatsächlich ein Minimum

liegt

Also

+ 4x

V_ Vi2*)2'3 "

Bei einer Literdose 7T am

_

(V

=

W—

=

demnach der

3/W V * cm3) wird _

-

1000

^159.15 « 5.42 [cm]

«

—

(4VV/3

~\*J

irV2'3

r

zugehörige h ist:

Blechverbrauch minimal. Das

Trr2

3/V~ ist .

Für

vor.

und h

der Blechverbrauch für

r

=

3/122°. « ^1273.24 ss 10.84 [cm] y

=

T

geringsten sein.

3. Eine Größe wird n-mal gemessen. Man erhält n Meßwerte 01,02,.. .,on, die sich wegen unvermeidlicher Meßfehler unterscheiden. Man sucht nun als "beste" Näherung für den tatsächlichen Wert üq der zu bestimmenden n

Größe einen Wert a, für den gilt: Q

>J(a,- a)2 ist minimal. Man hat also

=

—

tel n

ein Minimumder Funktion Q(a)

=

G'(a)

=

¿ ¿(a.-

-

a)2

=

tel

¿ ¿(a, t'=l

n

=

a)2

=

-

a) (-1)) •

=

tel

»=1

Q'(a) 0, so folgt:

man

=

n =

0 ^ 2na

=

«=1

2

Die zweite

YJa,- ^-

a

—

"

=

-

\

größer

Q(a)

>Ja¿

tel

Ableitung

¿ f-2¿(a, a)) -2¿ ¿(a,

=

n

.

=

i=l

ist stets

¿(2(a,-

-2^(o¡ -a) -2^2ai + 2na

—22_\a« + 2na

von

-

n

n

Q»

suchen. Dazu differenziert

=

tel

Setzt

zu

«=i

Q(a).

man

y2(a,-a)2

vor.

¿=1

/

als Null. Also

-

a)

tel

Hegt

für ein

a

mit

=

-2¿(-l)

=

2n

i=l

Q'(a)

=

0 ein Minimum

148

8 Für das arithmetische Mittel

a

1

=

—

Differentialrechnung

n

Y^a,-

wird die Summe der Abwei-

chungsquadrate also minimal. Untersucht wird das Problem der optimalen Nutzungsdauer einer MaschiDazu sei S der insgesamt abzuschreibende Betrag. Die Funktion B(t) beschreibe die Betriebskosten bei t Nutzungseinheiten. Je länger eine Maschine im Einsatz ist, desto höher sind i.a. die Reparaturkosten. Deshalb wird für B(t) folgende Funktion zugrundegelegt: ne.

B(t) at2 + bt + c

a,b,c> 0 Die Kostenfunktion, die die je Nutzungseinheit (z.B. ein Jahr) entstehenden =

mittleren Kosten S + BM Kit) () =

wiedergibt, lautet: S + at2-r-bt-rc

-

t

t

Die optimale Nutzungsdauer ist der Wert t, für den diese Kostenfunktion minimal wird. Differenzieren ergibt:

*»(«)

=

.-2+£

und

Jf( 0. Da K"(t) > 0 für alle t > 0 gut, hegt für t0 JMinimum der Kostenfunktion vor, d.h. to ist die optimale Nutzungsdauer. Dazu werde folgendes Zahlenbeispiel betrachtet: Es wird ein Schlepper für 50000. 50000 DM angeschafft, der vollständig abzuschreiben ist, also S Als Funktion für die Betriebskosten wird B(t) 400t2 + 2500t + 2000 zugrunde gelegt. Damit erhält man als optimale Nutzungsdauer:

Aus

K'(t)

=

0 erhält

man

=

-.

=

=

=

yj-

50000 + 2000 =vm„UA 400 Der Schlepper sollte demnach nach 11A Jahren durch einen werden, um die Kosten minimal zu halten.

t0

8.6.3

=

neuen

ersetzt

Das Newton-Verfahren

Will man die Lösungen einer Gleichung f(x) = 0 bestimmen, so treten oft schon bei relativ einfachen Funktionen Schwierigkeiten auf, denn es gibt kein allgemeines Lösungsverfahren für beliebige Gleichungen. Bei einer differenzierbaren Funktion / kann man mit dem Newtonschen Iterationsverfahren zumindest Näherungslösungen berechnen. Dazu geht man wie folgt vor: Man

Anwendung der Differentialrechnung

8.6

149

setzt voraus, daß man eine erste, grobe Näherung xo für die gesuchte Nullstelle x, d.h. fix) = 0, vorliegen hat. Eine i.a. bessere Näherung erhält man, indem man im Punkt (xo, /(xo)) die Tangente an die Kurve y = /(x) legt und als xi

deren

Schnittpunkt mit der x-Achse nimmt (vgl. Bild 8.13).

Bild 8.13: Das Newton-Verfahren Die y

Gleichung für diese Tangente lautet: =

fixo) + m(x xo)

(8.37)

-

Die Steigung m ist aber gerade der Wert der Ableitung Somit erhält man folgende Tangentengleichung: y

=

von

/ an der Stelle xo.

fixo) + fix0) ix x0)

(8.38)

-

Xi ist eine Nullstelle dieser

Funktion, d.h. eine Lösung von (8.38). Daraus erhält

man:

x\

=

xo

Nun kann

fixo) fixo)

—

wieder

(8.39)

vorgehen, also bei (xi,/(xi)) die Tangente an die Kurve legen und eine neue Näherung X2 als xj = *i \ errechnen. So fixi) läßt sich die gesuchte Nullstelle x beliebig genau annähern. Eine Nullstelle x einer differenzierbaren Funktion / (mit /'(x) ^ 0 und /"(x) j£ 0 für alle x aus einer Umgebung U von x) läßt sich also mit Hilfe des NewtonVerfahrens gemäß folgender Vorschrift iterativ beliebig annähern: Man wähle ein xo G U als Startwert und berechne iterativ bis zur gewünschten man

so

-

.,,

Genauigkeit: X,-+i

=

Xi

—

fJXi) fixt)

(8.40)

8

150

Beispiele: 1. Zu fix)

Differentialrechnung

= x3 3x 3 ist eine Näherung für die Nullstelle zu bestimmen. Dazu berechnet man fix) = 3x2-3. Wegen /(2) = -1 und /(3) = 15 muí zwischen x = 2 und x = 3 ein Wert x mit fix) = 0 liegen. Als Startwert kann man z.B. den Wert x0 = 2.2 nehmen. /(2.2) = 2.23-3-2.2-3 = 1.048 und /'(2.2) = 3 2.22 3 = 11.52. Damit erhält man: —

—

•

-"«-

-

a—-s—

Mit x = 2.104 erhält man also eine auf drei Stellen genaue die gesuchte Nullstelle.

Näherung für

2. Gesucht ist der Wert von ^30. Dazu setzt man x = ^30, dies ist äquivalent zu x3 = 30 oder /(x) = x3 30 = 0. Für diese Funktion kann man das Newton-Verfahren anwenden. Dazu sei xo = 3. —

«,

=

».UU-

,3

=

3.1072

-

ff,'"1» »3.1111 £Hg»8.1072 29.037 -

/'(3.1111)

ÄÄ /'(3.1072)

»

I*"** » 3.1072

3.1072 -

28.964

3.1072 ist somit ein auf vier Stellen genauer Wert für

Computer kann man mit derartige Berechnungen durchführen.

Auf einem

8.6.4

Die

y3/^).

Hilfe des Newton-Verfahrens sehr rasch

Regel von de l'Hospital

Bei einer rationalen Funktion

f(x)

=

u(x i -7-7

kann

es

vorkommen, daß

man

für

oo 0 erbestimmte Argumente als Funktionswerte Ausdrücke der Form oder oo 0. halten würde. Dies sind unbestimmte Ausdrücke, und / ist an einer solchen Stelle nicht definiert, die Funktion hat eine Lücke. Es ist jedoch möglich, daß für eine Definitionslücke x = x0 der Grenzwert lim f(x) existiert, und sich die X—>Xo Lücke beheben läßt. Mit dem im folgenden vorgestellten Verfahren kann dieser Grenzwert ermittelt werden. -

—

Anwendung der Differentialrechnung_151

8.6

f(x) -7-+ mit u(xn) v(xq) 0. Betrachtet man diese Funktion v(x) für das Argument xo + Ax, dann erhält man: Es sei also

=

=

f(x + Ax)

u(*° + Ax) v(x0 + Ax) (u(xq + Ax) (v(xo + Ax)

=

_

=

"(xo + Ax) u(xp) v(x0 + Ax) v(x0) u(x0))/Ax v(xo))/Ax -

-

_

"

-

-

-

(,R

..

*

}

Im letzten Ausdruck stehen im Zähler und im Nenner die Differenzenquotienten von u(x) und v(x) für x = xo- Unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit von u(x) und v(x) an der Stelle xo üefert der Grenzübergang Ax — 0: tt \ /(x0)

=

tt a \ + Ax) f(x Ar-VV U;(X0) v'(x0) v

hm

1

(u(x0 + Ax) u(x0))/Ax "'.. 7-7-——{-; Ar-0 (v(x0 + Ax) w(x0))/Ax -

=

hm v

=

-

*.g ^ "

Man erhält also den Grenzwert, indem man Zähler und Nenner differenziert und den Quotienten dieser Ableitungen für x = xo bildet. Sollte sich auch

hier wieder der unbestimmte Ausdruck werden.

-

ergeben,

so

muß erneut differenziert

Ganz

analog verfahrt man, falls Zähler und Nenner für x werden, also sich der Ausdruck 00 ergibt. Damit folgt die Regel von de l'Hospital:

=

xo

unendlich

groß

—

Es sei

f(x)

=

Grenzwert lim

IÍIX I -7—r

v(x)

X—*Xq

lim

f(x)

und

u(xo)

erhält

=

man

v(xo)

=

,

auch .

bringt.

.

=

00.

Den

(8.43) ,

.

Für andere unbestimmte

00

v(xo)

als:

u'(x) auch ein unbestimmter Ausdruck, t/(x) ti"(xo) und v"(xq) usw. 00

=

Äi ÖÖ v(x) V(x)

Ist

—

u(xo)

=

r—r0

Regel

0 bzw.

anwenden,

bilde

man

den

Quotienten

aus

wie z.B. 0 00, oo°, 0° u.a. läßt sich diese diese Ausdrücke zuerst auf die Form oder

Ausdrücke,

wenn man

so

•

-

152_8 Differentialrechnung Beispiele: 1.

f(x) v ' -.

0

x3

=

6x2 + llx

—

Zx2- 15x +18

Differenziert

..

,, /(x) ' x~3JK

hm

*

=

man

hm

x—oo

ergibt für

=

6x-15 xn von

—

3 den unbestimmten Ausdruck

so

erhält

man:

2 3

hm-—-=

x-3

x

Zähler und Nenner,

3x2-12x+ll

..

2. Auch das Verhalten

schen

6

—

-t-

-

(n £ IN) für x

—

oo

kann mit der

l'Rospital-

ermittelt werden.

Regel Í- = limx_oo ?-?e

=

hm

...=

?-±-L-^-= 0 e

x—oo

e

xn = lim Die l'Hospitalsche Regel muß hier mehrfach angewendet werden, x^oo e 0 heißt: Die Funktion y = ex wächst stärker als jede Potenzfunktion y = xn. 3. Gesucht ist lim(x -Inx). Es ergibt sich die Form 0 (-oo). Durch Umformen x—»0 erhält man: —

lim(x *—0K

•

In x)'

=

hm

x-0

—7-

1/x

=

lim

x-0

,„

{,

(1/x)' .

=

hm

x-0

/.

-1/x2 ,

=

-

lim x

x-0

=

0

Aufgaben

153

1. Man bestimme die 1.

\x2

Ableitung folgender Funktionen,

a) f(x) 2 + 2jï c) /(x) e-3*(*+2) e) /(x) (lnx)2 =

6) f(x) er + 1 d) /(x) ln(x2) /) /(x) 10-

v

/

=

=

10

/(x)=£(*x* + 2)

h)

i=l

0 flx)=

lnx-sinx ,^.

cos x

•

=

=

=

9)

*w

f(x)=*

1/x

J) /(*) 1g* =

e* ,x

2. Bestimmen Sie die relativen Extrema für die Funktionen: 2x~2 3x2 12x tt \ = v\ tt x = a)ï /(*) 6) /(x) 2x2-6x + 9 2x^+7 3. Gegeben ist die Funktionenschar -

Ä(.) a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

=

X2 +

^1-1 (
max(6,4) -

=

=

•

=

-

^=ä, (x 3)«

=

-

3.

a) b)

c)

2D = 2R\{1} Nicht symmetrisch zur y-Achse bzw. zum Ursprung, da sowohl im Zähler als auch im Nenner gerade und ungerade Hochzahlen vorkommen. -Jfc ± y/k2 + 4 Xi/2 =-. Jede Funktion hat Nullstellen, da die Diskriminante

d)

Jb2 + 4 > 0 für alle ¿fc

G IR.

Pol bei x = 1 wegen der Definitionslücke, außer für k nernullstelle auch Zählernullstelle. /o(x) ist also stetig (x + l)(x- !)__, , ,,_x_*2-l_ =-—-= = X + 1 /o(x) -—r X X 1 1 k /b(x) = x + (Jb + l) +1 x

=

0, da Nen-

ergänzbar

—

—

e)

—

/t(x) f) /o(x):x -l /i(x): xi,2 ~1:t Um

=

x—±oo

'

x

+

lim /o(x) *+l, r—±oo

=

x

+

hm /i(x) l, r—±oo

=

=

,

also 0.62 bzw. -1.62.

=

x

+2

zu

Differentialrechnung

8

156

g) foix) /i(*) fix)

=

=

+ 1 ist eine Gerade ohne Extrema und

x

fx£^

=

=

0o*

=

^Z^3> /"(O) < 0

0Vx

=>

=

Wendepunkte.

2

max(0> 1). /i'(2) > 0

=>

min(2,4).

Wendepunkte, da /{'(x) ^ 0 Vx G ID. h) /o(x) monoton steigend, da /¿(x) 1 > 0 Vx G ID Keine

=

/i(x) nicht monoton,

i)

Eine Skizze der Funktionen

/o

und

/i zeigt Bild 8.14.

Bild 8.14: /0(x) und fx{x) 4. Die Kantenlänge der Grundfläche des Quaders sei mit Quaders mit h bezeichnet. V

=

a2h=>h =

0

=

2-a2 + 4a/i

d0

5.

=

*-V

A

da

Der

-V a2 2a2 +

4.1/

„

«

3

l

a2

ist also ein Würfel. 2cx + 3dx2, K"(x) = -2c + 6dx

gesuchte Körper

K'(x)

=

K'(x)

=

6 -

0O

x

=

c±Vc2-3fcd 3d

o

und die Höhe des

157

Aufgaben c2

36d:

>

x

c2

mögliches

36d: Ein

=

K'"(x) c2 6.

c-y/c2- Zbd

Maximum fur

=-—-,

öd

6d > 0 für

=

x

...

Extremum für c —,

=

¿d

c+Vc2-Zbd

...

,

Minimum fur x

existiert für

=

x

=

x

=-^-¡od

Da aber

—.

3c

ein

—

Zd

K"(x)

=

0 und

Wendepunkt.

Zbd: Kein Extremum.


G(p) 7Pi+1 /9tP¿ ¿fryíp'-1 0 7(5 + l)p« ßjSp6-1 o 6 + 1 /36p-1 => po =

=

-

-

».

-