Differential- und Integralrechnung: Teil 1 Grenzwertbegriff, Differentialrechnung [2., durchges. Aufl. Reprint 2014] 9783111369785, 9783111012773

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S A M M L U N G

G Ö S C H E N

B A N D

86

DIFFERENTIALUND

INTEGRALRECHNUNG von

DR. M A R T I N

BARNER

o. P r o f . a n d e r U n i v e r s i t ä t F r e i b u r g i. B r .

ι GRENZWERTBEGRIFF, DIFFERENTIALRECHNUNG

Zweite, durchgesehene Auflage

W A L T E R D E G R U Y T E R & CO. v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g · J . G u t t c n t a g , Verlagsbuchhandlung · Georg R e i m e r · K a r l J . T r ü b n e r · Veit & Comp.

BERLIN

1963

© Copyright 1961 by Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten.— Archiv-Nr. 77146 36. — Satz und Druck: Walter de Gruyter & Co., Berlin 30 Printed in Germany

Inhalt Literatur

Seite 4

I. E i g e n s c h a f t e n d e r r e e l l e n Z a h l e n 1. Körpereigenschaften 2. Anordnungseigenschaften 3. Eigenschaft der Vollständigkeit 4. Bemerkungen 5. Vollständige Induktion 6. Archimedische Eigenschaft II. Mengen reeller Zahlen 1. Definition und Beispiele 2. Aus der allgemeinen Mengenlehre 3. Aus der Punktmengenlehre

5 6 8 10 11 17 20 21 21 23 26

III. Funktionen reeller Zahlen 1. Definition und Beispiele 2. Zusammengesetzte Funktionen, umkehrbar eindeutige Funktionen, monotone Funktionen

37 38

IV. F o l g e n r e e l l e r Z a h l e n

53

1. 2. 3. 4. 5.

Konvergenz von Folgen Rechnen mit konvergenten Folgen Konvergenzkriterien Reihen als Folgen Limes superior. Limes inferior

V. S t e t i g e F u n k t i o n e n 1. Grenzwertbegriff bei Funktionen 2. Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit 3. Abbildungseigenschaften der stetigen Funktionen

49 54 63 68 77 81 83 84 95 103

VI. L o g a r i t h m u s f u n k t i o n u n d E x p o n e n t i a l f u n k t i o n . . . . 112 1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus, Eindeutigkeit und Existenz 114 2. Eigenschaften der Funktionen I n « und ex 120 VII. D i f f e r e n z i e r b a r e F u n k t i o n e n 1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln 2. Satz von R o l l e und Mittelwertsatz 3. T a y l o r s c h e Formel und Reihe

125 126 140 149

VIII. W i n k e l f u n k t i o n e n 159 1. Definierende Eigenschaften der Funktionen c o s « und sinz, Folgerungen 161 2. Existenz der Funktionen cos« und sin« 166 3. Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen 169 Symbole

174

Sachverzeichnis

175

Literatur (Auswahl deutschsprachiger Lehrbücher) A l e x a n d r o f f , P. S., Einführung in die Mengenlehre und die Theorie der reellen Funktionen, Berlin 1956. A u m a n n , G., Reelle Funktionen, Berlin 1954. C o u r a n t , R., Vorlesungen über Differential- und rechnung, Bd. I, 3. Aufl., Berlin 1955.

Integral-

D u s c h e k , Α., Vorlesungen über Höhere Mathematik, Bd. 1,3. Aufl., Wien 1956. E r w e , F., Differential- und Integralrechnung I, Mannheim 1962. H a u p t , 0. — G. A u m a n n — 0. P a u c , Differential- und Integralrechnung, Bd. I bis III, 2. Aufl., Berlin 1948, 1950 und 1955. L a n d a u , E., Einführung in die Differential- und rechnung, Groningen-Batavia 1934.

Integral-

Maak, W., Differential-und Integralrechnung, 2. Aufl., Göttingen 1960. v. M a n g o l d t , H. — K . K n o p p , Einführung in die Höhere Mathematik, Bd. I und II, 11. Aufl., Stuttgart 1958. O s t r o w s k i , Α., Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Bd. I und II, Basel 1945 und 1951. R o t h e , R., Höhere Mathematik, Teil I, 15. Aufl., Stuttgart 1958. S mir now, W. I., Lehrgang der Höheren Mathematik, Teil I, 2. Aufl., Berlin 1956. S t r u b e c k e r , K., Einführung in die Höhere Mathematik, Bd. I, München 1956. T o e p l i t z , 0. — G. K ö t h e , Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung, Bd. I, Berlin 1949. V i e t o r i s , L . — G . L o c h s , Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Innsbruck 1951.

I. Eigenschaften der reellen Zahlen Die Differential- und Integralrechnung beruht auf der Theorie der reellen Zahlen. — Mit den reellen Zahlen in Gestalt der Dezimalzahlen hat man in der Schule und im täglichen Leben umgehen gelernt. Daran wird hier erinnert. Um aber eine sichere Grundlage zu haben, werden in diesem Kapitel solche Eigenschaften der reellen Zahlen zusammengestellt und kurz erläutert, die das System der reellen Zahlen kennzeichnen. E s sind dies: die Körpereigenschaften, die Anordnungseigenschaften, die Eigenschaft der Vollständigkeit. Auf diese Eigenschaften lassen sich die weiteren Bcgriffsbildungen gründen und alle zu beweisenden Aussagen zurückführen. Die Körpcreigcnschaften bestimmen das Rechnen mit den Zeichen + , ·, die Anordnungseigenschaften die Regeln für die Größer- und Kleinerbeziehungen > , < . Zur Erläuterung der Eigenschaf t der Vollständigkeit gehen wir von einem für die Fragestellung charakteristischen Beispiel aus. Der Flächeninhalt des Einheitskreises, π, wird etwa so gewonnen, daß man alle möglichen, dem Einheitskreis einbeschriebenen η-Ecke und die Flächeninhalte dieser η-Ecke betrachtet. Unter all diesen Flächeninhalten gibt es natürlich keinen größten, denn zu einem η-Eck kann man durch Hinzunahme eines weiteren Eckpunktes ein (n + 1)-Eck mit größerem Inhalt angeben. Andererseits ist klar, daß die Inhalte all dieser n-Ecke nicht beliebig groß werden können, ihre Größe ist etwa durch den Inhalt des umbeschriebenen Quadrats, also durch die Zahl 4, nach oben beschränkt. Aber es wird auch kein Flächeninhalt eines einbeschriebenen ra-Ecks die Zahl π erreichen, π ist also ebenfalls eine obere Schranke für die Inhalte der einbeschriebenen η-Ecke, und zwar die kleinste obere Schranke. Man wird die Zahl π als kleinste obere Schranke der Flächeninhalte aller dem Einheitskreis einbeschriebenen Vielecke definieren. Daß es unter allen oberen Schranken stets eine kleinste gibt, bezeichnet man als die Eigenschaft der Vollständigkeit der reellen Zahlen. Der Leser mag diese Zusammenstellung der fundamentalen (und wie gesagt kennzeichnenden) Eigenschaften der reellen Zahlen als eine Zusammenfassung der Schul- und Lebenserfahrung oder als eine „axiomatische Festlegung" des Systems der reellen Zahlen betrachten (vgl. I. 4. Bern. 1 und 3). — Die Übersicht über die Eigenschaften der reellen Zahlen wird hier noch durch Hinweis auf die natürlichen Zahlen in Verbindung mit der Beweismethode der vollständigen Induktion ergänzt.

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

6

1. Körpereigenscliaftcn J e zwei reellen Zahlen a, b ist eindeutig eine reelle Zahl α + b, ihre Summe, zugeordnet. Ebenso gehört zu α, l eindeutig die reelle Zahl a · b, das Produkt von α und b. Diese Zuordnungen nennt man Addition bzw. Multiplikation. Es gelten: Die (l.a)

a + b = b + a

(l.b)

(2.b) (2.c)

Kommutativgesetz + c Assoziativgesetz

= (a+b)

Es gibt eine Zahl 0, so daß Existenz der 0 für alle α gilt: a + 0 = a Zu jedem α gibt es ein x, Lösbarkeit der so daß gilt: α + χ = 0 Gleichung α + χ = 0 Kommutativgesetz

s

(2.a)

tion

a + (b+c)

II

(1. (1)

Addi-

a

(l.c)

Körpereigenschaften

a · (b · c) = (a • b) · c

Assoziativgesetz

Multipli- Es gibt eine von 0 ver- Existenz der 1 kation schiedene Zahl 1, so daß für alle α gilt: a • 1 = a

(2. d)

Zu jedem α Φ 0 gibt es ein Lösbarkeit der x, so daß gilt: α · χ — 1 Gleichung α · χ = 1

(3)

a -(b + c) = a-b

+ a- c

Distributivgesetz

Die folgenden Bemerkungen geben Ergänzungen zu den Körpereigenschaften und dienen zugleich als Beispiele dafür,

1. Körpereigenschaften

7

wie sich rein formal aus den Körpereigenschaften weitere Aussagen ableiten lassen 1 ). Bemerkung 1: Es gibt genau eine Zahl 0 mit der Eigenschaft ( 1 . c); denn aus rt + 0 — α und α + 0 — α f ü r alle α folgt speziell 0 + 0 = 0 und 0 + 0 = 0 und daraus wegen des K o m m u t a t i v gesetzes (1. a) 0 = Ö. Bemerkung 2 : Die Gleichung a + x = 0 in (1. d ) h a t genau eine Lösung. Gilt nämlich auch a + y = 0, so folgt (a+ y) + χ = x, u n d wegen (a+y)+x = (a+x)+y = Q+ y = y also y = x. Dabei wurde das K o m m u t a t i v - u n d das Assoziativgesetz benutzt. Die durch die Gleichung α + χ = 0 ζιι jedem α eindeutig bestimmte Zahl χ wird mit — α bezeichnet. S t a t t b + (— a) schreibt m a n auch b — a. Die Gleichung α + χ = b mit gegebenem α u n d b besitzt die eindeutig bestimmte Lösung χ = b — a. Das Auflösen der Gleichung α + χ = b bezeichnet man als Subtraktion u n d das Ergebnis als Differenz b — a. Bemerkung 3 : Entsprechend zu Bern. 1 u n d 2 zeigt m a n : Die Zahl 1 in (2. c) ist eindeutig bestimmt. Die Gleichung α · χ = 1 mit a φ 0 in (2. d) besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung x, die mit χ = — oder mit χ = α - 1 a 1 b bezeichnet wird; s t a t t b · — schreibt m a n auch — . a a Die Gleichung a-x

= b mit gegebenem α u n d b, wobei α φ 0

ist, besitzt die eindeutig bestimmte Lösung χ =

. Das Auflösen

der Gleichung α · χ = b bezeichnet man als Division

und das Er-

gebnis — als Quotient. Bemerkung 4 : F ü r jedes α gilt a · 0 = 0 · a — 0. Das folgt aus dem Distributivgesetz (3), wenn m a n dort b = 0 setzt. Umgekehrt k a n n a • b = 0 nur dann gelten, wenn mindestens ein F a k t o r 0 ist. Wenn nämlich etwa α Φ 0 ist, folgt ~ •(a-b) =

·α|· b = b =0.

Die Gleichung ( — a ) -b = — a · b ergibt sich so: 0 = 0 · b = (α + (—ο)) · b = a · b + (—α) · b, d. h. (—α) · b ist Lösung der Gleichung α · ί ι | ι = 0, also wegen der Eindeutigkeit der Lösung (—a) · b = —a • b. ] ) Eine ausführliche Diskussion findet man zum Beispiel bei H. H a s s e , Höhere Algebra I, Sammlung Göschen Band 931 (1957).

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I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Durch nochmalige Anwendung dieses Schlusses folgt (—o).(b) = a-b. Bemerkung 5 : Zur Abkürzung setzt man a • a = a2, a • a • a = a 3 . Entsprechend bezeichnet man ein Produkt mit η Faktoren a mit α". Statt - i - (m eine natürliche Zahl) schreibt man auch a~m. Man legt fest a° = 1. Statt a •l·schreibt man einfach ab. Wir verwenden weiterhin die Körpereigenschaften und die daraus folgenden Regeln, ohne darauf besonders zu verweisen. 2. Anordnungseigenschaften Zwischen je zwei reellen Zahlen a, δ besteht eine und nur eine der Relationen α < δ, a = b, δ < α. Es gelten: Die A n o r d n u n g s e i g e n s c h a f t e n (a) Aus α < δ, δ < c folgt a < c

Transitivgesetz

(b) Aus α < δ folgt a + c < δ + c

Monotoniegesetz der Addition

(c) Aus α < δ, 0 < c folgt ac < hc Monotoniegesetz der Multiplikation

Bemerkung 1 : Statt a < b (lies: α kleiner b) schreibt man auch b > a (lies: & größer a). Es würde genügen, das Zeichen < zu verwenden. Doch läßt sich die Bedeutung einer Aussage oft durch das eine der Zeichen besser hervorheben als durch das andere, da wir gewohnt sind, von links nach rechts zu lesen. a iS 6 (lies: α kleiner gleich b) drückt aus, daß entweder a< b oder α = 6 gilt. Wenn a ^ b nicht gilt, so ist α > 6 und wenn a> b nicht gilt, ist af^b. — Sinngemäß verwendet man die Schreibweise a ^ b (lies: α größer gleich b). Durch die Körpereigenschaften (1) ist die Zahl Null ausgezeichnet (vgl. 1.1, Bern. 1). Ist a > 0, so heißt die reelle Zahl α -positiv, ist dagegen a < 0, so heißt die Zahl negativ. Eine Beziehung der Art a < b oder α 5ΞΙ b nennt man Ungleichung, in gewissen Zusammenhängen auch Abschätzung. Statt Ungleichnng angeben sagt man auch abschätzen. Ist α ίΞ Ϊ, so ist b durch α nach unten und α durch b nach oben abgeschätzt.

9

2. Anordnungseigenschaften

Auf Grund der Anordnungseigenschaften lassen sich die reellen Zahlen den Punkten einer Geraden, der sogenannten Zahlengeraden, zuordnen. Die Zahlengerade ist einem Maßstab vergleichbar, bei dem vom Nullpunkt ausgehend nach rechts die positiven Zahlen und nach links die negativen Zahlen in entsprechenden Abständen angetragen sind (siehe Fig. 1). a < b bedeutet im Bild der Zahlengeraden, daß a links von δ liegt; a < b ist gleichwertig mit 6 > a, und dies bedeutet auf der Zahlengeraden: b liegt rechts von a. Ist α < 0 < b, so sagt man, ζ liegt zwischen α und b.

- 3 - 2 - 1

0

7

Ζ

3

Fig. 1

In ihrer anschaulichen Deutung auf der Zahlengeraden verstehen sich die Gesetze (a) und (b) von selbst. Das Transitivgesetz (a) sagt aus: Wenn b rechts von α und c rechts von b liegt, so liegt auch c rechts von a (Fig. 2). Figur 2 veranschaulicht auch das Monotoniegesetz der Addition (b). /

a

b

t α

0

c

A \b

0

a+c

ψ+c

/ Fig. 2

Nach (b) ist α 0 und ac 0 . Somit können wir die Eigenschaft (c) auch wie folgt formulieren: Aus b — a> 0 und c> Ο folgt (l — a) c = bc — ac> 0. In dieser Formulierung sagt also das Monotoniegesetz der Multiplikation (c) aus, daß das Produkt zweier positiver Zahlen wieder positiv ist.

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I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Wir weisen bei dieser Gelegenheit auf die prinzipielle Bedeutung anschaulicher Hilfsmittel, wie sie die Zahlengerade darstellt, hin. Die Größen und Begriffe, mit denen wir es zu tun haben, sind unabhängig von der Anschauung definiert; wir sind verpflichtet, alle Beweise unabhängig von der Anschauung zu führen. Trotzdem empfehlen wir die Verwendung von Figuren und anschaulichen Hilfsmitteln zur Orientierung; läßt doch eine solche Figur oft schon das Wesen des betrachteten Sachverhaltes erkennen. Wir geben noch einige Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen an; die Zuriickführung dieser Regeln auf die Anordnungseigenschaften ist angedeutet. Bemerkung 2: Aus a < b folgt — b < — a. Man verwende das Monotoniegesetz der Addition (b) und setze dort c = — a — b. Bemerkung 3: Aus a < b und e < 0 folgt be < ae. Nach Bern. 2 folgt aus c < 0 die Ungleichung — c > 0. Nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation ist dann a · (— c) < b · (— c) und daraus nach Bern. 2 bc < ac. Bemerkung 4: Es ist 1 > 0. Aus den Körpereigenschaften folgt I =1= 0. Wäre 1 < 0, so würde aus a < b wegen 1 < 0 folgen: b · 1 < a • 1 also b < a\ dies widerspricht der Voraussetzung a < b. Also ist 1 < 0 nicht richtig. Bemerkung 5: Aus a > 0 folgt — > 0. Aus a < b folgt a I I 1 1 < — bei ab > 0 und — < — bei ab < 0. b α a b Aufgabe 1: Man zeige: Liegt χ zwischen α und b, a + b, dann gibt es zwei positive Zahlen a, /Jmita + β = 1, so daßx = aa + ßb gilt. Läßt sich diese Aussage umkehren ? Aufgabe 2: Man beweise, daß für jede reelle Zahl α φ 0 die Zahl a 2 positiv ist. Aufgabe 3: Man zeige: a) Ist a{ + a\ + · • • + a% = 0 für η reelle Zahlen alt a 2 , . . . , an, so ist o, = 0, a 2 = 0,..an — 0. b) 1st a\ + a\ + · · · + a% = mit a0 > 0, so ist — a0 ^ a ^ a0 für i = 1, 2, . . ., n. 3. Eigenschaft der Vollständigkeit Während in den Körper- und Anordnungseigenschaften Beziehungen zwischen zwei oder drei reellen Zahlen hergestellt werden, betrifft die Eigenschaft der Vollständigkeit Mengen reeller Zahlen (vgl. das folgende Kapitel). Dabei treten die folgenden Begriffsbildungen auf:

3. Eigenschaft der Vollständigkeit — 4. Bemerkungen

H

Nicht leer heißt eine Menge reeller Zahlen, wenn mindestens eine reelle Zahl der Menge angehört. Nach oben beschränkt nennt man eine Menge reeller Zahlen, wenn es eine Zahl Κ gibt, so daß für alle reellen Zahlen x, die der Menge angehören, Κ ist; Ii heißt dann obere Schranke. Die Zahl ξ heißt kleinste obere Schranke, wenn für jede obere Schranke Κ der Menge ξ ^ Κ ist. Für die reellen Zahlen gilt: Die E i g e n s c h a f t der V o l l s t ä n d i g k e i t Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt eine kleinste obere Schranke. Aufgabe 1: Man zeige, daß die kleinste obere Schranke eindeutig bestimmt ist.

Als Grundlage für die weiteren Untersuchungen verwenden wir nur die genannten Eigenschaften der reellen Zahlen, die Körpereigenschaften, die Anordnungseigenschaften und die Eigenschaft der Vollständigkeit. Da das Rechnen mit reellen Zahlen geläufig ist, benützen wir Folgerungen aus den Körpereigenschaften ohne besonderen Hinweis. Auch an das Umgehen mit Ungleichungen werden wir uns bald so gewöhnt haben, daß Hinweise auf die Anordnungseigenschaften nicht mehr notwendig sind. Die Verwendung der Eigenschaft der Vollständigkeit wird jedoch ausdrücklich genannt werden. 4. Bemerkungen 1. Beim Rechnen mit reellen Zahlen spielen hauptsächlich die Körpereigenschaften eine Rolle; aber auch in anderen Bereichen der Mathematik treten dieselben Rechengesetze als charakteristische Eigenschaften einer gewissen Gesamtheit mathematischer Dinge auf. Diese Gleichartigkeit unter einem übergeordneten Gesichtspunkt zusammenzufassen, hat sich als wichtiges Prinzip in der modernen Mathematik erwiesen. Man spricht von einer mathematischen Struktur, die einer zugrundeliegenden, ursprünglich strukturlosen Menge aufgeprägt ist. In diesem Sinne versteht man unter einem Körper eine Menge von Dingen mit den folgenden

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I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Eigenschaften: Es gibt in der Menge zwei Verknüpfungen; jede dieser Verknüpfungen ordnet je zwei Elementen der Menge eindeutig ein drittes Element der Menge zu. Man bezeichnet das den Elementen a, b in der einen Verknüpfung zugeordnete Element mit a + b, das in der anderen Verknüpfung zugeordnete Element mit a • b. Es gelten dann für diese Verknüpfungen die Körpereigenschaften (siehe die Tabelle S. 6). Die reellen Zahlen bilden einen Körper. Außer diesem gibt es natürlich noch andere Körper, beispielsweise den der rationalen Zahlen (vgl. folgende Bern. 3). Gibt es in einem Körper eine Beziehung, beschrieben durch das Zeichen < , der Art, daß für je zwei Elemente α, δ des Körpers entweder a < b oder a = b oder b < α gilt, und genügt diese Beziehung den Anordnungseigenschaften (siehe die Tabelle S. 8), so heißt der Körper angeordnet. Die reellen Zahlen bilden einen angeordneten Körper. Es gibt aber außer diesem noch andere angeordnete Körper, beispielsweise den der rationalen Zahlen. Ohne Beweis1) geben wir das für die Kennzeichnung des Körpers der reellen Zahlen wichtige Ergebnis an: Jeder beschränkt vollständige2), angeordnete Körper ist dem Körper der reellen Zahlen isomorph. Das heißt, daß man die Elemente eines solchen Körpers den reellen Zahlen so eindeutig und umkehrbar eindeutig zuordnen kann, daß in dieser Zuordnung auch die Verknüpfungsoperationen und Anordnungsgesetze erhalten bleiben. (Sind also den Elementen a, b, c, d die reellen Zahlen a, b, e, d zugeordnet, so gilt mit a + b = c auch a + b = e und mit ä-b = d auch a· b = d und mit a < b auch a < b.) Das bedeutet praktisch, daß das System der reellen Zahlen durch die angegebenen Eigenschaften voll gekennzeichnet wird. 2. Ist in einer Menge mathematischer Dinge eine Verknüpfung erklärt, die je zwei Elementen a, b der Menge wieder ein Element a + b zuordnet, und erfüllt diese Verknüpfungsoperation die Gesetze (1) der Tabelle S. 6, so nennt man die Menge eine Gruppe und zwar genauer, wegen (1. a), eine kommutative Gruppe. Die ganzen Zahlen, auch die rationalen und auch die reellen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine kommutative Gruppe; die positiven rationalen Zahlen und auch die positiven reellen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. l ) Man vgl. e t w a : G. A u m a n n , Tieelle Funktionen, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1954. -) ,,Beschränkt vollständig" soll darauf hinweisen, daß die Existenz der kleinsten oberen Schranke für nach oben beschränkte Mengen gefordert wird.

4. Bemerkungen

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Die Tabelle der Körpereigenschaften erlaubt dann die folgende Zergliederung: unter (1) sind die Gruppeneigenschaften bezüglich der Addition, unter (2) die Gruppeneigenschaften bezüglich der Multiplikation a u f g e f ü h r t ; das Distributivgesetz (3) betrifft beide Verknüpfungsoperationen gemeinsam. 3. Die Mathematik ist eine deduktive Wissenschaft. Man b e m ü h t sich, von gewissen Voraussetzungen, die nicht bewiesen werden, den sogenannten Axiomen, ausgehend durch logische Folgerungen zu den Sätzen einer Theorie zu gelangen. In diesem Sinne kann man die Körper- und Anordnungseigenschaften u n d die Eigenschaft der Vollständigkeit als Axiome der reellen Zahlen betrachten. Ein solcher axiomatischer Aufbau erfordert den Nachweis, daß es solche mathematischen Dinge, denen alle geforderten Eigenschaften zukommen, überhaupt gibt. Man kann diese Frage f ü r das System der reellen Zahlen nicht durch den Hinweis erledigen — so berechtigt dieser ist —, daß man ja schon seit Jahrhunderten mit den reellen Zahlen in Form von Dezimalzahlen arbeitet und dabei nie auf Widersprüche stieß. Vielmehr muß man ein Modell, das die Axiome erfüllt, konstruieren. Man geht von den natürlichen Zahlen 1 , 2 , 3 , . . . aus. Damit die Addition umkehrbar wird, erweitert man den Bereich der natürlichen Zahlen zu dem System der ganzen Zahlen . . . , — 2, — 1, 0, 1, 2 , . . . Damit die Multiplikation umkehrbar wird, geht man von den ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen (Brüche ganzer Zahlen) über. Es läßt sich leicht nachweisen, daß den rationalen Zahlen die Körper- u n d Anordnungseigenschaften zukommen. Die rationalen Zahlen besitzen jedoch nicht die Eigenschaft der Vollständigkeit. (Man mache sich dies an H a n d der Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen klar. Die rationalen Zahlen werden — woran wir erinnern — durch abbrechende oder periodische Dezimalbrüche dargestellt. Der nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalbruch 0,101001000100001... stellt eine reelle Zahl dar, die sicher keine rationale Zahl ist. Diese Zahl ist kleinste obere Schranke der Menge der rationalen Zahlen 0,1, 0,101, 0,101001, 0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 , . . . Man überlege sich, daß es unter den rationalen Zahlen zu jeder oberen Schranke dieser Menge eine noch kleinere obere Schranke der Menge gibt; daraus folgt, daß im Bereich der rationalen Zahlen eine kleinste obere Schranke dieser Menge nicht existiert.) U m die rationalen Zahlen konstruktiv zum System der reellen Zahlen zu erweitern, gebraucht man Begriffsbildungen und

14

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Methoden, die in den nächsten Kapiteln besprochen werden ( D e d e k i n d s c h e Schnitte (vgl. II. 3, Bern. 6), konzentrierte Folgen (vgl. IV. 3. 2) oder Intervallschachtelimgen (vgl. IV. 3. 2. Bern. 2)). Man k a n n zusammenfassend sagen, daß eine „reelle Zahl" durch ein Menge bzw. Folge rationaler Zahlen erklärt wird. Es ist nachzuweisen 1 ), daß die so erklärten „reellen Zahlen" die Körper- u n d Anordnungseigenschaften und auch die Eigenschaft der Vollständigkeit besitzen. Dieses Zahlsystem stellt dann also ein Modell f ü r das zugrunde gelegte Axiomensystem dar. Die Konstruktion eines Modells u n d die Herleitung der Sätze aus den Axiomen geschieht, wie wir schon sagten, durch logische Folgerungen. Diesen Begriff „logische Folgerung" haben wir nicht näher präzisiert, sondern nehmen an, daß er dem Leser geläufig ist. Von diesem S t a n d p u n k t aus ist der skizzierte Aufbau des Systems der reellen Zahlen befriedigend. Eine Präzisierung der logischen Hilfsmittel, die aus verschiedenen Gründen wünschenswert erscheint, wirft zahlreiche neue Probleme auf 2 ). 4. Die Methode des indirekten Beweises. Es seien f ü r diese Bemerkung α und b positive Zahlen. Aus a < b folgt nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation nach Multiplikation mit α bzw. b: a2 < ab, ab < b2 und daraus nach dem Transitivgesetz α 2 < b2. Wir haben also durch direkte Anwendung von Rechengesetzen aus a < b gefolgert a2 < b2. D a m i t ist ein direkter Beweis d a f ü r gegeben, daß aus a < b folgt a2 < b2. Wir wenden uns nun der Aufgabe zu, aus a2 < l·2 auf a < b zu schließen. Der oben durchgeführte Beweisgang läßt sich nicht einfach umkehren, da aus α 2 < b2 nicht unmittelbar a2 < ab und auch nicht ab < b2 gefolgert werden kann. Jedoch kann man durch die Methode des indirekten Beweises unter Verwendung derselben Beweisschritte wie oben zum Ziel gelangen. Hierbei schließt m a n so: Würde aus a2 < b2 nicht a< b, sondern α b folgen, so wäre α 2 2: ab, ab ig b2 u n d also α 2 La ft2; dies ist aber ein Wider2 2 spruch zur Voraussetzung a < b . Die Annahme, daß aus a2 < b2 die Aussage α b folgt, k a n n also nicht richtig sein, da wir zu einem Widerspruch gelangen. Also folgt aus a2 < ft2, wie behauptet, a< b. 1 ) Man vgl. etwa: E. L a n d a u , Grundlagen der Analysis, Leipzig 1930. — O . P e r r o n , Irrationalzahlen, Berlin 1960. — A . V o g e l , Klassische Grundlagen der Analysis, Leipzig 1952. ') Vgl. den Artikel „Grundlagen der Mathematik" v o n H. H e r m e s und W. M a r k w a l d in H. B e h n k e , K. F l a d t , W. S ü s s , Grundzüge der Mathematik, Bd. 1, Göttingen 1958.

4. Bemerkungen

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Logische Grundlage der indirekten Beweismethode ist der Satz vom ausgeschlossenen D r i t t e n : Von zwei Aussagen, von denen die eine die Verneinung der anderen ist (kontradiktorische Aussagen), ist die eine richtig u n d die andere falsch. Die indirekte Methode dient hauptsächlich zum Beweis begrifflicher Aussagen u n d ist dabei ein außerordentlich brauchbares Hilfsmittel (man vergleiche das folgende Kapitel). Rechnerische Aussagen lassen sich meist auch direkt beweisen; dies t r i f f t auch f ü r unser Beispiel, das wir zur Erläuterung verwendet haben, zu (vgl. die folgende Bern. 5). In I. 2, Bern. 4 wurde bereits ein indirekter Beweis angedeutet. 5. Die Begriffe: notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung. Wir betrachten hier verschiedene Aussagen u n d beschäftigen uns mit den logischen Beziehungen, die zwischen diesen Aussagen bestehen. Beispiel 1: Aussage (1): Es ist a > 0 u n d b > 0. Aussage (2): Es ist a + b > 0. Aus Aussage (1) folgt a + b > b > 0, d. h. es folgt die Aussage (2). Die Aussage (1) reicht also hin zum Beweis von (2). Man nennt deshalb (1) eine hinreichende Bedingung f ü r (2): Dann, wenn (1) gilt, gilt auch (2). Bisher h a t t e n wir die Aussage (1) als Voraussetzung, die Aussage (2) als Folgerung betrachtet. Wir wollen jetzt klären, welche Bedeutung (2) f ü r (1) h a t . (2) ist eine Folge von (1); (2) muß also immer dann gelten, wenn (1) gilt. Wenn (2) nicht richtig ist, so k a n n auch (1) nicht richtig sein; denn wäre (1) richtig, so müßte auch (2) richtig sein. Die Bedingung (2) ist also notwendig f ü r die Richtigkeit von (1). Man nennt deshalb (2) eine notwendige Bedingung f ü r (1): Nur dann, wenn (2) gilt, kann (1) gelten. Beispiel 2 : Es soll die Aussage: (A) a • b> 0 mit folgenden drei Aussagen (Bj) a > 0, b > 0, (B 2 ) α Φ 0, (B 3 ) a > 0, b > 0 oder a < 0, b < 0 in Verbindung gebracht werden. Aus (Bj) folgt (A) nach dem Monotoniegesetz der Multiplikation. Also ist (Bj) eine hinreichende Bedingung f ü r (A). (Bj) ist aber nicht notwendig f ü r (A), wie man durch ein Gegenbeispiel zeigt:

16

I. Eigenschaften der reellen Zahlen

Mit a = — 1 u n d b = — 1 ist (A) richtig ((— 1)· (— 1) > 0), während (Bj) nicht zutrifft. Aus (A) folgt (B 2 ); denn α = 0 würde a · b = 0 nach sich ziehen. (B 2 ) ist also notwendig erfüllt, wenn (A) gilt. (B 2 ) ist daher eine notwendige Bedingung f ü r die Richtigkeit der Aussage (A). (B 2 ) ist aber nicht hinreichend f ü r (A): Mit a = — 1 und b = 1 ist zwar(B 2 ) erfüllt, jedoch (A) nicht richtig (es gilt nicht: ( · — 1 ) · 1 > 0 ) . Während (Bj) zwar hinreichend, aber nicht notwendig u n d (B 2 ) zwar notwendig, aber nicht hinreichend f ü r die Richtigkeit von (A) ist, gilt jedoch: (B 3 ) ist notwendig und hinreichend f ü r die Richtigkeit der Aussage (A). Der Beweis zerfällt in zwei Teile: 1. Aus (B 3 ) folgt (A), d. h. (B 3 ) ist hinreichend f ü r (A). Bei α > 0, b > 0 ist a • b > 0 ; bei α < 0 , b < 0 ist — a > 0, — b > 0 und also (— ο)· (— V) > 0 und somit a · b > 0. 2. Aus (A) folgt (B 3 ), d. h. (B 3 ) ist notwendig f ü r (A). Zum Beweis machen wir die Fallunterscheidung a = 0, a > 0, α < 0. a — 0 erfüllt die Voraussetzung a • b > 0 nicht; bei a > 0 folgt — > 0 und also — . ab > 0, d. h. b > 0; bei a < 0 folgt — < 0 a a a und also — · ab < 0 und also b < 0. Aus der Aussage (A) folgt also entweder a > 0, b > 0 oder α < 0, b < 0, d. h. (B 3 ). Wir fassen zusammen: (A) und (B) seien zwei Aussagen. Es gelte: die Aussage (B) folgt aus (A). Dann sagt m a n : (A) ist hinreichend f ü r (B); (B) ist notwendig f ü r (A); (B) gilt dann, wenn (A) gilt; (A) gilt nur dann, wenn (B) gilt. Es gelte: Die Aussage (A) folgt aus (B) und die Aussage (B) folgt aus (A). Dann sagt m a n : (A) ist notwendig u n d hinreichend f ü r (B); (B) ist notwendig u n d hinreichend f ü r (Α); (B) gilt dann und nur dann, wenn (A) gilt; (A) gilt dann u n d nur dann, wenn (B) gilt; (A) gilt genau dann, wenn (B) gilt; die beiden Aussagen (A) u n d (B) sind gleichwertig; (A) und (B) sind äquivalente Aussagen; (A) heißt charakteristisch oder kennzeichnend f ü r (B); (B) kennzeichnet oder charakterisiert (A). Man beachte, daß der Beweis eines Satzes, der die Ausdrücke „notwendig und hinreichend" bzw. „ d a n n und nur d a n n " enthält, immer in zwei Teile zerfällt: Teil 1: aus (A) folgt (B), Teil 2: aus (B) folgt (A).

5. Vollständige, Induktion

17

5. Vollständige Induktion In der Menge aller reellen Zahlen ist die Menge 3 der natürlichen Zahlen enthalten. Die natürlichen Zahlen lassen sich durch fortgesetzte Addition aus der Zahl 1 erzeugen. Die Menge 3 ist die kleinste 1 ) Menge von reellen Zahlen mit den folgenden Eigenschaften: Die Zahl 1 gehört zu 3 · Gehört die Zahl η zu 3 ) s o gehört auch η + 1 zu 3 · Damit ist bereits der Gedankengang aufgezeigt, der der Beweismethode der vollständigen Induktion zugrunde liegt. Mit ihr zeigt man die Richtigkeit solcher Aussagen, die irgendwie von einer natürlichen Zahl η abhängen und für alle natürlichen Zahlen, von einer kleinsten n0 an, gültig sind. Der Beweis erfolgt in zwei Schritten: Schritt 1: Man beweist die Richtigkeit der Aussage für « = n0. Schritt 2: Man beweist, daß aus der Annahme, die Aussage sei richtig für die natürlichen Zahlen η mit w0 = w = 'ci daß die Aussage auch für k + 1 gilt. Nach dem Schritt 1 gilt die Aussage für η = n 0 ; nach dem Schritt 2 folgt dann die Gültigkeit für η = n 0 + 1 und bei nochmaliger Anwendung für η = (n 0 + 1) + 1 und nach m-facher Anwendung auch für η = n 0 + m. Man gelangt so nie zu einer letzten Zahl, denn aus der Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen η mit n 0 ^ , n f ^ , k folgt nach Schritt 2 auch die Gültigkeit für η = k + 1. Man schließt deshalb auf die Gültigkeit der Aussage für alle natürlichen Zahlen η ^ n0, indem man tatsächlich nur die beiden Schritte 1 und 2 durchführt. Man spricht deshalb auch von dem Schluß von η auf η + 1. Es folgen Beispiele für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Beispiel 1: Die Aussage laute 1 + 3 + 5 Η μ (2m — 1 ) = « 2 . Die Richtigkeit dieser Aussage ist für η 1 («„ = 1) zu erweisen

Schritt 1: Wir setzen η = 1; dann lautet die Aussage 1 = 1. 1

2

) d. h. j e d e Menge m i t den beiden g e n a n n t e n E i g e n s c h a f t e n enthält·

l l a r n e r , Differential-und Integralrechnung 1

18

I. Eigenschaften der reellen Zahlen Schritt 2: Aus der Aussage für η = k

1+3+5H b(2fc — 1 ) = fc2 folgt durch Addition von (2A; + 1) auf beiden Seiten der Gleichung: 1 + 3+ 5Η μ (2k — 1) + (2fc + 1) = k2 + 2k + 1 und also: 1 + 3 + 5 + (- (2(fc + 1) — 1) = (k + l) 2 , und dies ist unsere Aussage für η = k + 1. Beispiel 2: Die Aussage laute 2" > n 2 Diese Aussage ist für η = 1 (2 > 1) richtig, nicht aber für η = 2 (nicht 4 > 4), η = 3 (nicht 8 > 9), η = 4 (nicht 16 > 16). Die Richtigkeit der Aussage ist für w ^ 5 (n 0 = 5) zu erweisen. Schritt 1: Für η = 5 ist tatsächlich 2 5 > 52. Schritt 2: Aus 2* > k2 folgt zunächst 2*+* > 2k2 = k2 + fc2. Bei k Ϊ ϊ 3 ist k 3 > 2 + γ wegen 1 > — . Damit wird k2 + k2 > k2 + k (2 +

= k2 + 2k + 1 = (1c + l) 2 , also

2^+1 β Di e s j s t u n S e r e Aussage für η = k + 1. Anmerkung: Im Laufe der Rechnung zu Schritt 2 mußten wir die zusätzliche Voraussetzung k 3 machen. Wäre unsere Aussage für k = 3 richtig, so würde, wie unsere Überlegung zeigt, auch die Richtigkeit für η = 4, 5 , . . . folgen. Tatsächlich ist aber unsere Aussage erst für η = 5 und damit, wie bewiesen, auch für η > 5 richtig. — Daß unsere Aussage zufällig auch für η = 1 richtig ist, nützt uns gar nichts, da der Schluß von η auf η + 1 erst für η ^ 3 durchgeführt werden kann. Beispiel 3: Die BernoulliscÄe Ungleichung lautet (1 + h)n ^ 1 + nh

bei h > — 1

Diese Ungleichung gilt für alle η ^ 1. Schritt 1: Es ist (1 + h)1 > 1 + 1 · h. (Es gilt das Gleichheitszeichen.) Schritt 2: Aus der Aussage für η = k: (1 + h)" Jä 1 + kh folgt durch Multiplikation mit der positiven Zahl (1 + h) die Beziehung (1 + h)**1 ^ (1 + kh) (1 + h) = 1 + (k + l)7i + kh2 und wegen kh2 ^ 0 weiter 1 + (k + + W· ^ 1 + {k + 1 )h, also: (1 + h)k+1 Ξϊ 1 + (k + 1)7»; das ist unsere Aussage für η = k + 1.

5. Vollständige Induktion

1!)

Beispiel 4: Die Aussage laute: „Unter η (w 2ϊ 2) voneinander verschiedenen reellen Zahlen av a2,..., an gibt es stets eine größte." Schritt 1: Für η = 2 folgt aus ^ Φ a2 entweder % < a2 oder > a 2 ; es ist entweder αλ oder a2 die größte der beiden Zahlen. Schritt 2: Sei die Zahl die größte unter den reellen Zahlen av a2,..ak, d. h. es sei α,ι < at für l = 1, 2 , . . . , k, l φ i. Da ®jfc+i + ist, gilt entweder ak+1 < at oder ak+l > Im ersten Fall folgt α,ι < at für ί = 1, 2 , . . . , k + 1, l φ i, im zweiten Fall aber < α ί + 1 für l = 1, 2 , . . . , k. Also: Gibt es unter den k reellen Zahlen av a 2 , . . . , ak eine größte, so auch unter den k + 1 Zahlen ol> a2, . . ak, ak+v Aufgabe 1: Man beweise, daß es unter k nicht notwendig verschiedenen reellen Zahlen av a2,..., an stets eine Zahl a{ gibt, für die gilt: ig au a2 gi at an = aiAufgabe 2: Man beweise die anomische Formel (a+b)n=

an +

«"-^H

+

Hierin sind die Binomialkoeffizienten

j j al·"-1 + b«. durch

n

\ — ι l n ) — w · (« — 1) · — 2) 0/ ~ {mj ~ 1-2-3

(w — m + 1) m

für alle natürlichen η und für m = 1, 2 , . . . , η definiert. Beim Beweis verwende man, daß zwischen den Binomialkoeffizienten die Beziehungen bestehen:

(*i')-(.!.Mi)

·'

*·

Aufgabe 3: Durch vollständige Induktion beweise man für q φ 1 die Formel: l_«»+i ι + ? + ?2 + • · · + q n = · 1 j Aufgabe 4 : Es sei χ eine reelle Zahl mit 0 < χ < 1. Durch die Vorschrift x1 = x, x

n+1=""" (si +

x

l +

x

l Η

1" *»)>

n = 1, 2, 3 , . . .

tverden die Zahlen xltx2,x3,.. . bestimmt. Man zeige, d a ß 0 < zng[ x für alle natürlichen Zahlen η gilt.

20

I. Eigenschaften der reellen Zahlen 6. Archimedische Eigenschaft

Die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt. Den Beweis dieses Satzes führen wir indirekt (vgl. I. 4, Bern. 4). Wäre die Menge der natürlichen Zahlen nach oben beschränkt, so gäbe es auf Grund der Eigenschaft der Vollständigkeit eine kleinste obere Schranke ξ; für jede natürliche Zahl η wäre also η iS ξ. Wir zeigen die Unmöglichkeit dieser Annahme, indem wir folgern, daß es immer eine natürliche Zahl w1 > ξ gibt. Es gibt eine natürliche Zahl n0 mit ξ — 1 < w0; sonst wäre j a mit | auch ξ — 1 obere Schranke der Menge der natürlichen Zahlen; wir hatten jedoch angenommen, ξ sei die kleinste obere Schranke. Aus ξ — 1 < n0 folgt aber nun ξ < »o + 1) d. h. für die natürliche Zahl n0 + 1 = nx ist > ξ. Somit kommen wir zu einer natürlichen Zahl Wj > ξ und damit zu einem Widerspruch zu der Annahme, ξ sei obere Schranke der Menge der natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen ist also, wie behauptet, nicht nach oben beschränkt. Diese Aussage ist gleichwertig m i t : Zu den positiven reellen Zahlen a, b gibt es immer eine natürliche Zahl n,so daß η · a > b b ist. Andernfalls wäre j a — obere Schranke für die Menge der natürlichen Zahlen. Man bezeichnet diesen Sachverhalt als archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen. Ferner zieht unsere Aussage den folgenden, für die Grenzwerttheorie wichtigen Satz nach sich: Wenn die nicht negative Zahl α die Ungleichung « < — für alle natürlichen Zahlen w erfüllt, so ist α = 0. Wäre α Φ 0, also α > der Voraussetzung α < — folgen η < eine obere Schranke für die Menge der eine solche Schranke gibt es aber nicht. hat zum Widerspruch geführt; es muß

0, so würde aus

— für alle n; — wäre natürlichen Zahlen; Die Annahme α > 0 α = 0 sein.

Aufgabe 1 : Jede nach oben beschränkte Menge natürlicher Zahlen besteht aus endlich vielen natürlichen Zahlen (vgl. I. 5, Beisp. 4).

fi. Archimedische Eigenschaft — 1. Definition und Beispiele

21

Aufgabe 2 : Man zeige: Sind α und b reelle Zahlen mit a < b, so gibt es (mindestens) eine rationale Zahl r mit a < r < ft. Man suche r unter den rationalen Zahlen — (m ganze Zahl, » natürliche η ^

Zahl), wobei η so gewählt ist, daß 0
0 betrachten wir die Menge Wz der reellen Zahlen ξ mit ξ2 < χ. Für jedes χ ist W x nicht leer und nach oben beschränkt. Nach der Eigenschaft der Vollständigkeit gibt es für W x eine kleinste obere Schranke. Wir bezeichnen diese mit y und ordnen sie der Zahl χ zu, setzen also y = fin Wlx = fin {| | | 2 < χ}. Die hierdurch für χ > 0 definierte Funktion nennen wir Wurzelfunktion und verwenden für sie das Symbol Wir erweitern die Definitionsmenge durch die Zahl 0 und setzen J/0~= 0 (Fig. 6). Für χ > 0 ist y > 0, denn ίίΓί^ enthält ein Element ξ > 0 (bei χ < 1 wähle man ξ = x, bei χ ^ 1 wähle man ξ = - ί ).

Wir zeigen, daß für y = j/x gilt y2 = x, indem wir die Unmöglichkeit der Annahme y2 < χ und der Annahme y2 > χ beweisen.

1. Definition und Beispiele

43

Wäre y2 < x, so wäre y nicht obere Schranke der Menge ΌΆχ, denn wir könnten h > 0 so bestimmen, daß (y + h)2 < χ wäre. Denn bei Wahl von h mit 0 < h < 1 und h < (y + hf = y* + 2 hy + ¥ 0 nach der gemachten Annahme auch χ — y2 > 0 ist. (Die Ungleichungsfolge lehrt zugleich, warum wir h so wählen.) Wäre y2 > x, so wäre y nicht kleinste obere Schranke der Menge SJi^, denn wir könnten k > 0 so bestimmen, daß auch y — Je obere Schranke von fUlx wäre. y2 Wählen wir nämlich 0 < k < y, k < — , so wäre jedes ξ mit '•iy ξ > y — k sicher nicht Element von 2)l x ; denn es würde folgen ξ2 > (y — kf = y2 — 2 yk + k2 > y2 — 2 yk >y2 — (y2 — x) = x also ξ2 > χ. Damit ist sowohl die Annahme y2 < χ als auch die Annahme y2 > χ zu einem Widerspruch geführt. Also gilt, wie zu beweisen war, y2 = x. Eine andere Definition der Wurzelfunktion geben wir in V. 3, Beisp. 2. Aufgabe 1 : Jedem i t ® , ® = {x | χ > 0}, sei die kleinste obere Schranke der Menge Tlx = {(\ I" < x} zugeordnet; η sei eine festgewählte natürliche Zahl. Die so definierte Funktion bezeichnet man η durch y = ]fx. Man zeige: Es ist yn = x. 9. Es sei Φ = SR. Wir setzen (vgl. Fig. 7)

y =

y /

j to 0

0

3)'0t

χ

rig. 7

1 x, falls χ 4= 0 ist u n d — eine natürliche Zahl ist; χ 0, falls χ = 0 ist oder. falls — keine natürliche Zahl ist. χ

44

III. Funktionen reeller Zahlen Es ist as = 1 0 , 1 , 1

1

1

. . . } (Fig. 7).

10. Es sei Φ — 3? die Monge aller reellen Zahlen. Der Zahl χ ordnen wir die größte ganze Zahl zu, die kleiner oder gleich χ ist, und bezeichnen diese mit [x] (vgl. II. 3, Aufg. 1). Die Wertemenge der Funktion [x] besteht aus allen ganzen Zahlen (Fig. 8).

11. Es sei wieder ® = SR. Wir setzen

{

1 0

für rationales χ für irrationales χ

Die Wertemenge besteht aus den beiden Zahlen 0 und 1. 3. Wir besprechen jetzt einige Möglichkeiten, eine Funktion geometrisch zu veranschaulichen. Definitionsmenge wie auch Wertemenge können wir als Punktmengen auf je einer Zahlengerade aufzeichnen. Dabei müssen wir uns vor Augen halten, daß jedem P u n k t χ e 2) ein P u n k t y c $3 eindeutig zugeordnet ist. In der Figur 9 sollen die Pfeile die Zuordnung für einige Punkte andeuten.

1. Definition und Beispiele

45

Beide Geraden können wir zusammenfallen lassen. Wir notieren dann die Argumentwerte durch Zahlenangabe, und zwar an den Stellen, die auf der Zahlengerade zu den zugehörigen Funktionswerten gehören. So können wir die Größe eines Funktionswertes an der Figur durch Abmessen der Strecke 0.1 — Φ — 0

1

0,¥ 1—l

0,6 0.3 1,0 I II I lo 1

Fig. 10

finden, deren Endpunkt den herausgegriffenen Argumentwert als Zahlenangabe trägt. Es entsteht eine Funktionsleiter, die uns besonders dann einen guten Eindruck einer Funktion (in einer endlichen Definitionsmenge) vermittelt, wenn die Argumentwerte, wie in Beispiel 1 (vgl. Figur 10), äquidistant gewählt wurden. Auch Folgen lassen sich auf diese Weise manchmal gut geometrisch anschaulich erfassen. (Figur 11 zeigt Beispiel 3.) Ο 0

/ Η

ζ 3 t ^ ^

Ο 1

Fig. 11

Die bekannteste Anordnung ist jedoch die, daß man die beiden Zahlengeraden, die »-Gerade und die ^/-Gerade in der Anschauungsebene senkrecht zueinander wählt. Im allgemeinen wird man die Null beider Zahlengeraden in den Schnitt-

46

TIT. Funktionen reeller Zahlen

punkt der beiden Geraden legen und auf beiden Geraden denselben Maßstab verwenden. Zu χ e φ gehört dann der Punkt mit den Koordinaten (χ, j(x)) in der x, ?/-Ebene. Die Gesamtheit der Punkte, die so ausgehend von allen χ e ® durch f(x) y

Fig. 12

in der x, i/-Ebene bestimmt sind, nennt man den Graph der Funktion f(x). — Die Figuren 3, 4, 5, 6, 7, 8 beschreiben so die Funktionen der Beispiele 5 , 6 , 7 , 8 , 9 und 10. Beispiel 11 entzieht sich einer solchen Darstellung, da sich Punkte der Zahlengerade, die zu rationalen und irrationalen Zahlen gehören, im anschaulichen Bild nicht trennen lassen. 4. Eine Klasse von Funktionen, die sogenannten Polynome, wollen wir wegen ihrer großen Bedeutung herausstellen. Sie sind rechnerisch gut zu handhaben, und man bemüht sich deshalb in verschiedenen Zusammenhängen, gegebene allgemeine Funktionen mit geeignet gewählten Polynomen zu vergleichen. Es seien c0, cv . . c , : fest gewählte, reelle Zahlen mit c& Φ 0 und © = 9t. Die Funktion f(x) = c0 + cxx + c^t2 + h ckxk heißt ganze rationale Funktior·, oder Polynom vom Grade k. Fürfc = 1 gehören zu den Polynomen die linearen Funktionen: g(x) = c0 + cxx.

1. Definition und Beispiele

47

Sind I\(x) und P2(x) Polynome, so bezeichnet man Λ(®) als gebrochen rationale Funktion. Die DeR(x) = finitionsmenge von R(x) enthalte alle reellen Zahlen außer den Nullstellen von P%{x). — Sind P^x) und P2{x) lineare Funktionen, so nennt man R(x) linear gebrochene Funktion. Auf die algebraischen Eigenschaften der rationalen Funktionen gehen wir hier nicht ein. 5. Die Funktion | χ | wird für alle reellen χ durch χ für χ Ξϊ 0 — χ für χ 0 definiert (Fig. 13). Man nennt | χ | den (absoluten) Betrag von χ und liest: χ absolut, oder: Betrag x. Wir stellen die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktion, die man immer wieder benötigt, hier zusammen. 1. Die Wertemenge der Funktion y = \ χ | istSB = {«/|i/^0}. Für χ 0 ist y = x, so daß jedes y mit y^ 0 zur Wertemenge gehört. Ist χ < 0, so ist y = ] χ | = — χ > 0, so daß sich tatsächlich für alle χ immer | χ | Ξ2; 0 ergibt. — Es folgt insbesondere für alle χ die Ungleichung χ | χ |. 2. Auf der Zahlengerade mißt |a;[den Abstand des Punktes χ vom Nullpunkt der Gerade als nicht negative Zahl. | α — δ | gibt den (nicht negativen) Abstand der zugehörigen Punkte der Zahlengerade an (Fig. ]4).

-1*1-

X

\a-b\

H-

Fig. 14

3. Es ist | a • b \ = \ a | · j b |: Bei a ^ 0, b ^ 0 ist α · 6 ^ 0 und also \ a - b \ = | α | · | δ |. Bei a < 0, b 0 ist a • b 0 und also | a • b | = — a · b = (— a) · b = | a \ · \ b |. Bei

48

I I I . Funktionen reeller Zahlen

α < 0, δ < 0 ist. a • δ > =

0 und Ι a · δ | = a-b

=

(—a). (—6)

|α|·|δ|· 4. 1st α Φ 0, so folgt aus 3., wenn m a n α · δ = c s e t z t :

c

I I I ! c l = I«I • \ τ

c

und also τ ~ τ α

a

5. Die Ungleichung | a | < δ ist gleichwertig m i t — b < α < b; beide Ungleichungen sind nur für b > 0 sinnvoll. B e w e i s : a) Aus | α | < δ folgt a < b für a S ; 0 und — a < b für a < 0. Also ist in beiden F ä l l e n die Ungleichung — b< a 0, und die Voraussetzung — b < α führt auf — a < b, d. h. a b e r [ a \ < b. Man b e n ö t i g t die bewiesene Aussage meist in der F o r m : Die Ungleichungen \x — x0 | < δ und x0 —

ό < χ < £

0

+ < 5

sind gleichwertig. 6. E s gilt die sogenannte Ι

α

+ Η =

Dreiecksungleichung Ι Ι + 1 Η · α

Nach 1. ist a ^ | a \, b ^ | b \ und — — α| = | α |, — — b I = I δ I . D a r a u s folgt durch Addition sowohl (α + δ ) 5 ϊ |a\ + 1 δ| wie auch — ( a + b) = —α—δ^| a\ +1δ|. B e i d e Aussagen z u s a m m e n sind aber nach 5. m i t |α + δ | ^ | α | + |δ| gleichwertig. Aufgabe 2 : Es sei ein Polynom vom Grade k in der Form P(x) = c„ + ctx + c 2 x 2 + · · · + cic_1xk~l + eicXk gegeben. Man zeige, daß | x0 \ < \ ck I" 1 (| c0 | + | c, | Η 1- | ck |) für jede Nullstelle x0 des Polynoms gilt. Zum Beweis unterscheide man die Fälle | x 0 1 < 1 und | x 0 1 S: 1 und beachte, daß | c* | =4= 0 vorausgesetzt ist. Aufgabe 3 : Mit Hilfe der Dreiecksungleichung gewinnt man die weitere Ungleichung Ι|α| — | & | I gl | α + ϊ | .

2. Zusammengesetzte Funktionen usw.

49

2. Zusammengesetzte Funktionen, umkehrbar eindeutige Funktionen, monotone Funktionen 1. Sind uns zwei Funktionen oder Abbildungen fv /2: SÖl5 Φ 2 28 2 gegeben, so können wir unter Umständen die beiden Abbildungen hintereinander ausführen und damit eine dritte Abbildung —— 28 erhalten. Dies ist dann möglich, wenn SK^ Teilmenge der Menge 2) 2 ist, also S33j_ Ν die Ungleichung [ fn — f0 | < ε. Beispiel 9 : Mit 0 < | q [ < 1 und f„ = qn gilt fn 0. Um bei vorgegebenem ε > 0 ein Ν (ε) zu finden, müssen wir wissen, für welche η gilt | q» | < ε. Dies kann man an dieser Ungleichung nicht ohne weiteres erkennen. Man verwendet deshalb einen Trick und setzt -j-^-j- = 1 + h\ aus | q |
1, und also ist

h > 0. Dann wird nach der B e r n o u l l i s c h e n Ungleichung (vgl. I. 5, Beisp. 3) — ί - = (1 + K)n ^ 1 + nh und daraus folgt l?r __i 1 1 q

-

T+

nh


· /„ und gn ->• g0. Nach der Definition der Konvergenz gibt es zu j e d e m ε > 0 ein Ν ^ ε ) , so daß f ü r alle n > Ν τ gilt | /„ —/„ | < ε, und ein Ν 2 ( ε ) , so daß f ü r alle η > N2 gilt \gn — g0\< ε. 1. Mit fn -* f0 gilt c f „ ->· c f 0 (c ist eine von η u n a b h ä n g i g e Zahl, d. h. eine Konstante). Zuerst schätzen wir den Ausdruck | c f n — c f 0 | ab und finden | c f n — c f 0 \ = | c | | /„ — /„1 < | c \ ε. Zum Konvergenzbeweis der Folge c f n m i t dem Grenzwert c/0 unterscheiden wir zwei Fälle. Ist c = 0, so ist c f n = 0, c f 0 = 0 u n d also c f „ ->· c f 0 . Ist e Φ 0, so sei zu vorgegebenem έ > 0 die positive Größe ε a u s | c | ε = ε b e s t i m m t . Zu ε müssen wir ein Ν (ε) angeben, so daß für alle η > Ν (ε) gilt I cfn — c/o I < ε. W i r w ä h l e n Ν (ε) = Λ Γ 1 (ε) mit ε = γ ^ γ und finden für η > Ν (ε) die Ungleichung j c f n — c f 0 | < | c | ε = ε. Damit ist bewiesen, daß cfn-> c f 0 f ü r jedes feste c gilt. 2 . Mit /„->/„, schätzen a b :

gn->g0

\{fn + 9n) — ( f o + 9o)\^\fn

gilt

( f n + ?»)-> (/o + 9o)·

— fo \ +\9n

— g0 \ 0 die positive Größe ε = -g-; hierzu gibt es n a c h Voraussetzung

64

IV. Folgen reeller Zahlen

Ν^έ) und iV 2 (e), so daß für alle w > Α ^ ( ε ) gilt \ fn — /„ | < ε und für alle n > Ν2(ε) gilt | gn — g01 < ε. Ist also Ν ( έ ) die größere der beiden Zahlen Λ ^ ε ) , Λ 7 2 (ε), so folgt aus n > Ν (ε) die Ungleichung I iL Beispiel 1 : |q |
Ν u n d w > Ν2(ε): \ fn — /0 | < ε und < ε. Ist also Ν (ε) die größere der beiden Zahlen Ν 2 ( ε ) , so gilt für η > Ν die Beziehung

I fn9n

— f09o

I
f% schließen. Durch vollständige Induktion folgt dann die Konvergenz von / J für jede natürliche Zahl k. Bei mehrfacher Anwendung der Regeln 1 und 2 sieht man weiter, daß aus fn -* fo folgt (C0 +

«ifn

+

Hfl +

Cafn Η

1" Cfc/»)

-

- («0 + Ci/o + «2/0 + C3/0 Η l· Cft/5), wobei c 0 , C j , . . ., c^ festgewählte reelle Zahlen sind. Da man P ( x ) = c 0 + CjX + c2x2 + + · · · + C]cXk als Polynom be-

2. Rechnen mit konvergenten Folgen

65

zeichnet (vgl. III. 1.4), kann man das Ergebnis auch so aussprechen:

Ist P ( x ) ein Polynom,

so gilt mit x n -> x0 auch P ( x n ) -> P ( x 0 ) .

4. M i t f n ^ f 0 g i l t \ f n \ - + \ f 0 \ . Es ist 11 /„ | — | / 0 1 | ^ | f n — /„1 < ε für alle η > Ν ^ έ ) . Aus der Konvergenz der Folge | /„ ] folgt jedoch ohne zusätzliche Voraussetzung keine Aussage über die Folge /„ selbst. Dies zeigt das Beispiel der nichtkonvergenten Folge /„ = ( - ! ) " * ^ q r y , η = 1, 2 , 3 , . . . ; dagegen gilt | f n \ = Aber: M i t ->· 0 g i l t /„->- 0. Besteht für η > Ν die Ungleichung — 0 | < ε, so ist j a auch | /„ — 0 | < ε . 5. M i t f n ->· f 0 u n d / 0 φ 0 g i l t - j -

^

- j - . Hierbei ist /„ Φ 0 vor-

In lo

auszusetzen, damit -r- einen Sinn hat. Sollte die Ausgangs-

Jn

folge Elemente enthalten, die gleich Null sind — wegen /„ φ 0 kann es sich dabei nur um endlich viele handeln (vgl. IV. 1, Aufg. 8) —, so betrachten wir die Teilfolge, die aus ihr durch Weglassen dieser Elemente entsteht. E s ist

1 ίη

1 fo

fo — fn fo ' fn

1 fo fn 1•. Um in diesem ' IA.II/.I

Ausdruck . } , abzuschätzen, grenzt man eine Umgebung von I In I ' ' l/ol 0, etwa die ε-Umgebung mit ε = — < j > u n ( l w i r ( l w e i t e r nur die Elemente der Folge f l t f 2 , f 3 , . . . betrachten, die 1

Ο

+_

k Ζ

fo

Fig. 20

nicht in dieser Umgebung von 0 liegen. Ist nun ] /„ — /„ | ^ Λ , so liegt /„ nicht in dieser ε-Umgebung von 0, es ist 2 also 6

^

2

^ (man vgl. die Figur 20). Daraus folgt

B a r n e r , Differential- und Integralrechnung!

G6

IV. Folgen reeller Zahlen

__1 2 I /„-/, 1 dann η-τ-ρ ΤΓΤ weiter l'nl l/ol fn to i/ol2 Zum eigentlichen Konvergenzbeweis geben wir έ vor und setzen ε = min j ^ J ) — — ,

^ | . Nach Voraussetzung gibt

es zu diesem ε ein N, so daß für w > Ν gilt \f„ — f01 < ε. Daraus folgt bei η > Ν wegen | /„ — /„ \ < l/ol = l / o - / « + / » l ^ l / e - / » l + I / . I < - ψ - + Ι/,Ι und also | /»| >

und weiter i - _ _ . l i fn

2 ε

/ο I
- R(x0). /wr fast

alle

η folgt f

0

f^

g0.

Den Beweis führen wir indirekt. Wäre / 0 > g0, so könnten wir eine Umgebung 11 von /0 und eine Umgebung 33 von g0 angeben, so daß II und SS keinen Punkt gemein hätten. (Man verwende etwa jeweils die ε-Umgebung mit ε = -g-1 /0 — g0 |). Diese Umgebungen würden aber fast alle Elemente der Folge bzw. g v g2, g 3 , . . . enthalten und es wäre für fast alle η die Ungleichung /„ > gn erfüllt, die der Voraussetzung widerspricht. Unsere Annahme /0 > g0 ist also falsch; es gilt

f v f v f& · • ·

Der Beweis zeigt deutlich, daß aus /„ < gn auch nur auf fo = 9o geschlossen werden darf. Hierzu betrachte man etwa die Folgen /„ = 0, g„ = i , η = 1 , 2 , 3 , . . . Obwohl für jedes w gilt fn < g„, ist fo — 9o = 0. Bemerkung 3: Ist an g /re bn für fast alle η und gilt an ->• a„, ln bL mit a0 = b0, so gilt auch fn ->• fo und es ist a0 = f0 = b0. Zu jeder Umgebung von a0 gibt es ein N, so daß für alle n> Ν sowohl an wie auch bn in der Umgebung von a0 liegen. Wegen

2. Rechnen mit konvergenten Folgen

67

a n < f n < bn liegt dann auch fn in dieser Umgebung für alle η > Ν. Dies ist aber die Konvergenzaussage /„ -> /„ = a 0 . xn mit jn = — konvergiert für

Beispiel 2: Die Folge fv /2, f3,...

jede reelle Zahl χ gegen f0 = 0. Es sei w0 eine festgewählte natürliche Zahl n0 > 2 χ und w > w0. Wir schreiben . Xno Χ Χ X n0l

«,+ 1

tij + 2

und erhalten mit k > n0 wegen IC < 1 \n-«„ X"o

2", Für n>

< -Δί die Abschätzung fln Ό Xno 9no . 2η

n0 gilt also 0 ^ | f„ \ ^ C ·

von η unabhängig ist. Mit

η

, wobei C =

n0! -»• 0 folgt daraus | fn |-* 0, also

nach 4. auch /n ->· 0. Für die Folge fv /2, /3 , . . . mit fn = und α (α — 1 ) . . . (α — η + 1) 0 < I χ I < 1 gilt in 0. Darin ist ΓΊΓΤΤΤ7« mit einer beliebigen reellen Zahl α; für eine natürliche Zahl α ist das Symbol Q) in gleicher Weise schon früher (I. 5, Aufg. 2) definiert worden. — Setzen wir ρ = [ | α | ] (vgl. I I I . 1, Beisp. 10), so ist | α | < ρ + 1 mit einer natürlichen Zahl ρ und also | α — (η — 1) I I « I' I α — 1 I • 1 ·2 • 3 ·. . . ·κ Beispiel 3 :

Μ · ( | « Ι + ΐ ) · . . . · ( Μ + » . •1) < 1 · 2 · 3 ·. . . · η (;Ρ + 1) (Ρ + 2)_. • • (ρ + ») (η + 1) (η + 2 ) . . . (η + ρ) 1 · 2 · 3"•...• η 1 · 2 · 3 · • •ν


η durch Erweitern entstand. Der letzte Ausdruck ist ein Polynom Pp (n) von festem Grade p. Aus IV. 1, Aufg. 3 in Verbindung mit den Regeln 1. und 2. folgt Pp(n) \ χ |n->- 0 und daraus nach 6. | fn | -»· 0 und also nach 4. auch fn 0. Aulgabe 1: Man beweise: Für 0 < | χ | < 1 gilt lim (^)nx'· = 0. 5»

68

IV. Folgen reeller Zahlen 3. Konvergenzkriterien

1. Wir haben eingangs die Konvergenz einer Folge /ι> /21 /β» • · · mit dem Limes /„ definiert; dieser Grenzwert / 0 tritt mit in der Definition auf. Immer dann, wenn eine bestimmte Zahl /„ als Limes einer Folge nachgewiesen werden soll, muß man auf diese Definition zurückgehen. Oftmals hat man aber zu entscheiden, ob eine Folge konvergiert oder nicht, auch wenn man den Grenzwert / 0 selbst nicht kennt (ist die Existenz eines Grenzwertes gesichert, kann man diesen eventuell wenigstens näherungsweise bestimmen). — Tatsächlich kann man aus gewissen Eigenschaften einer Folge auf deren Konvergenz schließen, ohne den Grenzwert / 0 zu kennen. Solche für die Konvergenz einer Folge hinreichenden Bedingungen nennt man Konvergenzkriterien. Wir beschäftigen uns hier zunächst mit konvergenten Folgen, um Eigenschaften kennenzulernen, die jeder konvergenten Folge zukommen und also Bedingungen darstellen, die für die Konvergenz einer Folge notwendig sind. Wir untersuchen die Wertemenge einer konvergenten Folge. Es sei also eine konvergente Folge mit dem Limes /„. Wir wissen, daß in einer Umgebung von / 0 fast alle Elemente der Folge liegen. Außerhalb der Umgebung gibt es nur endlich viele Elemente. Da es unter endlich vielen Zahlen eine größte und eine kleinste gibt, so folgt: Eine konvergente Folge ist notwendig beschränkt. Die Wertemenge einer Folge ist nicht leer, sie kann endlich (siehe IV. 1 Beisp. 1), aber natürlich auch unendlich (siehe IV. 1 Beisp. 2) sein. Ist sie endlich, so wird mindestens einer dieser endlich vielen Werte unendlich oft angenommen. Nach dem sogenannten Schubfachprinzip müssen, wenn man unendlich viele Dinge (hier Elemente der Folge) in endlich viele Schubfächer (hier in endlich viele Werte, die angenommen werden) verteilt, auf mindestens ein Schubfach unendlich viele Dinge entfallen. Würden auf alle endlich vielen Schubfächer nur endlich viele Dinge entfallen, so wäre ja die Gesamtmenge endlich gewesen.

3. Konvergenzkriterien

69

Ist die Wertemenge unendlich, so kann trotzdem ein Wert unendlich oft angenommen werden (siehe IV. 1, Beisp. 5), es braucht dies jedoch nicht der Fall zu sein (siehe IV. 1, Beisp. 2). Bei konvergenten Folgen ist die Wertemenge notwendig beschränkt und besitzt also, wenn sie unendlich ist, nach dem Satz von B o l z a n o - W e i e r s t r a ß (vgl. I I . 3. 3) mindestens einen Häufungspunkt. Wir zeigen: Haben unendlich viele Elemente einer konvergenten Folge flt /2, /3,... denselben Wert f0, so ist dieser Wert /0 Limes der Folge. Hat die Wertemenge einer konvergenten Folge einen Häufungspunkt f0, so ist dieser Häufungspunkt Limes der Folge. Den Beweis beider Sätze führen wir gemeinsam, und zwar indirekt. Es gelte /„-> /„; wir nehmen aber an, es sei / 0 =j= / 0 . Dann gäbe es eine Umgebung von /„ und eine Umgebung von / 0 , so daß beide Umgebungen keinen Punkt gemeinsam haben. (Man wähle etwa jeweils eine ε-Umgebung mit ε = γ | /„ — /0|.) Da in der Umgebung von /„ fast alle Elemente der Folge liegen, gibt es in der Umgebung von / 0 höchstens endlich viele Elemente der Folge; dies kann nicht sein, wenn / 0 Häufungspunkt der Wertemenge ist, und auch nicht, wenn /„ von den Elementen der Folge unendlich oft angenommen wird. Unsere Annahme /„ = / 0 ist also nicht haltbar. Zusammenfassend erhalten wir über die Wertemenge einer konvergenten Folge die Aussagen: 1. Die Wertemenge ist

beschränkt.

2. Die Wertemenge hat nicht mehr als einen

Häufungspunkt.

3. Die Wertemenge besitzt nicht mehr als einen Wert, der unendlich oft angenommen wird. 4. Besitzt die Wertemenge einen Häufungspunkt /„ und einen Wert /0, der von den Elementen der Folge unendlich oft angenommen wird, so ist /„ = ;0.

70

IV. Folgen reeller Zahlen

E i n e k o n v e r g e n t e Folge besitzt, wie wir sahen, die E i g e n s c h a f t e n 1. 2. 3. 4.; j e d e dieser E i g e n s c h a f t e n stellt also eine n o t w e n d i g e B e d i n g u n g a n die AVertemenge einer Folge dar, d a m i t diese k o n v e r g i e r t . Z u s a m m e n g e n o m m e n sind die Eigens c h a f t e n 1. 2. 3. 4. a b e r a u c h hinreichend f ü r die K o n v e r g e n z der Folge. Also g i l t : Eine Folge konvergiert genau dann, wenn ihre Wertemenge die Eigenschaften 1.2. 3. 4. hat. W i r h a b e n noch zu beweisen, d a ß eine Folge m i t den E i g e n s c h a f t e n 1. 2. 3. 4. t a t s ä c h l i c h k o n v e r g i e r t . I s t die W e r t e m e n g e endlich, so g i b t es n a c h 3. n u r den einen W e r t / 0 , der u n e n d l i c h o f t a n g e n o m m e n wird, u n d es gilt /οι weü fast aHe fn gleich /„ sind. I s t die W e r t e m e n g e u n e n d l i c h , so besitzt diese n a c h 1. u n d dem S a t z v o n B o l z a n o - W e i e r s t r a ß m i n d e s t e n s u n d n a c h 2. höchstens, also g e n a u einen H ä u f u n g s p u n k t / „ . N a c h 4. k ö n n e n die E l e m e n t e der F o l g e h ö c h s t e n s diesen W e r t /„ u n e n d l i c h o f t a n n e h m e n . E s liegen d a n n in j e d e r U m g e b u n g v o n /„ f a s t alle E l e m e n t e der Folge. in

Bemerkung 1: Ist die Folge flt /2, f3,... beschränkt, so gibt es entweder unendlich viele Elemente der Folge, die einander gleich sind, oder die Wertemenge h a t mindestens einen Häufungspunkt f0 oder beides ist der Fall. In jedem Fall kann man eine konvergente Teilfolge konstruieren. In dem ersten Fall seien fn , fn , fn ,. . . die in ihrer natürlichen Reihenfolge genannten Elemente der Ausgangsfolge, die miteinander übereinstimmen. Im zweiten Fall gehen wir so vor: /„ sei ein Element mit | / 0 — t n - i \ < 1; ist dann /„,/„,..., fn schon bestimmt, so wählen wir fn unter den 1 2 Κ κ +1 ^ Elementen f„t+1, /Mjfc+2, / „ 4 + 3 , . . . so aus, daß | /„ — / n j f c + i ] < ist. Eine solche Wahl ist möglich, da in jeder Umgebung von / 0 unendlich viele Elemente der Wertemenge der Ausgangsfolge liegen (vgl. II. 3, Aufg. 8). Man verwendet diese Aussage meist in folgendem Zusammenhang : Ist die Folge flt /2, /3,... beschränkt, so existiert (mindestens) eine konvergente, Teilfolge fn 1 , fn2 , 3fn , · • • mit lim fn. = f0. Über / 0 kann i —*• oo man natürlich nicht viel aussagen; man benötigt bei der Anwen-

3. Konvergenzkriterien

71

dung dieses Satzes lediglich die Existenz einer konvergenten Teilfolge, nicht aber die Kenntnis ihres Grenzwertes / 0 . 2. Die Folge f„ heißt konvergent mit dem Grenzwert /„, wenn zu jedem ε > 0 ein Ν (ε) so existiert, daß für alle η > Ν gilt | fn — /o | < ε. Für eine konvergente Folge ist also bei η > Ν, m > Ν weiter auch \fn-tm\

=|(/.-/o)-(/»-/o)|^l/.-/ol

+\fm-fo\
0 ein N, so daß für alle η > Ν, m> Ν gilt \ f n — fm \ < 2 ε . Wir wollen Folgen mit dieser Eigenschaft konzentriert nennen ( C a u c h y - F o l g e n , Fundamentalfolgen): Eine Folge heißt konzentriert, wenn es zu jedem ε > 0 ein Ν gibt, so daß für alle n>N,m>N gilt [ fn — fm\ < ε. Wir haben eben bewiesen : Eine konvergente Folge ist konzentriert. Wir werden zeigen — und in dieser Umkehrung liegt die Bedeutung dieser Überlegungen —, daß die konzentrierten Folgen konvergent sind. Dies führt auf die Charakterisierung der konvergenten Folgen durch das sogenannte Cauchysc7ie Konvergenzkriterium: Eine Folge flt /2, /3,... ist dann und nur dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein Ν (ε) gibt, so daß für alle w > Ν und alle m > Ν gilt | fn — fm \ < ε . Wir haben zu beweisen, daß eine konzentrierte Folge tatsächlich konvergiert. Voraussetzung ist, daß zu jedem ε > 0 ein Ν (ε) so existiert, daß für alle w > N, m > Ν gilt I fn — fm | < ε. Hieraus ist die Konvergenz mit einem Grenzwert /„ zu erweisen, und die erste Schwierigkeit beruht darin, daß wir / 0 noch nicht kennen. Zuerst ist also / 0 zu konstruieren. Hierzu wählen wir für ε einen speziellen Wert, etwa ε = 1, und wählen für η eine feste Zahl n 0 > Ν (1). Dann sagt die Voraussetzung | f„a — fm \ < ε = 1 aus, daß fast alle Elemente der Folge in dieser Umgebung des festgewählten Elementes /„„ liegen. Da es unter den anderen endlich vielen Elementen ein größtes und ein kleinstes Element gibt, so folgt, daß die Wertemenge unserer Folge beschränkt ist.

72

IV. Folgen reeller Zahlen

Nach Bemerkung 1 gibt es zu einer beschränkten Folge (mindestens) eine konvergente Teilfolge /„ , /„ 2 , /„ 3 , . . . ; ihr Grenzwert sei f0. Wir werden zeigen, daß /„ auch Limes der Ausgangsfolge ist. Nach Voraussetzung können wir zu vorgegebenem ε > ü iVj so wählen, daß f ü r k > iV15 m> Ν1 gilt | fk — fm | < ε. Ferner können wir wegen der Konvergenz der Teilfolge Ν 2 (ε) so wählen, daß f ü r k > N2 gilt | fnk— / 0 | < ε. Setzen wir Ν = m a x {Nv iV2}, so ist mit k> Ν auch k > Nv k> N2, und wegen k auch nk> N1. Damit folgt \fk — fo \ = \fk — fnk + fnk — fo 1 ^ I tk — /»* | + | f»k — fo I
0 gibt es also N , so daß sich aus k> Ν die Ungleichung | fk — /„ | < 2 ε ergibt. D a m i t ist bewiesen, daß fv /2, f3,... konvergent ist mit dem Grenzwert / 0 . Das C a u c h y s c h e Konvergenzkriterium ist also nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend f ü r die Konvergenz einer Folge. 3. Unter den Folgen mit speziellen Eigenschaften haben die monotonen Folgen große Bedeutung. F ü r sie gilt: Eine monoton wachsende Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn sie nach oben beschränkt ist. Limes einer nach oben beschränkten, monoton wachsenden Folge ist die kleinste obere Schranke der Wertemenge. Eine konvergente Folge ist notwendig beschränkt. Es bleibt noch zu zeigen, daß eine monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist, konvergiert. Die Wertemenge einer solchen nach oben beschränkten Folge fv f2, / 3 , . . . besitzt nach der Eigenschaft der Vollständigkeit eine kleinste obere Schranke ξ. Wir zeigen: E s gilt fn^iJedenfalls gibt es in jeder Umgebung von ξ (mindestens) ein Element der Folge. Wir betrachten eine Umgebung II von ξ und es sei fN das in der Umgebung U gelegene Element der Folge. Dann ist wegen der Monotonie fn ^ jM f ü r η > Ν, und dies bedeutet, daß f ü r η > Ν gilt f N ^ f n t ^ £·

3. Konvergenzkriterien Also gibt es zu alle w > Ν die Dies ist genau /D /21 ·' ·

73

jeder Umgebung II von ξ ein N, so daß für Elemente fn in der Umgebung von ξ liegen. die Definition der Konvergenz der Folge dem L i m e s £·

Beispiel 1 : Die Folge fn =

+ -^-j ist monoton wachsend und

durch die Zahl 3 nach oben beschränkt. fn ist somit konvergent; man bezeichnet den Limes dieser Folge mit e: 1 \n 1+ -β. η j Die Monotonie: Bei η 3: 2 ist

und nach der Bernoullischen Ungleichung ' η — 1 \n / (1 \

/n2 —1\«

η—1

1 \n 1 2 / — 1 + — η5η

—

n

1 η22 — l +

1 η =0;

somit folgt fn ^ fn-1Die Beschränktheit erweist man mit Hilfe der binomischen Formel; zur Abschätzung vergrößert man kann jeden einzelnen Summanden: Μ

^ ^ < ι

'

-

1 I 1+ τ

+ ι +

'

+

Ώ

Ή

W(H'~1)

1

)

·

^

JL^ ( ! ) • » + · · • - ηη

·''(» , 2·3•η• η • η

+

2•η·η |

!

+

^ ,

,

3

}_ ηη ,!:

1

, ... ,

1

74

IV. Folgen reeller Zahlen

Beispiel 2 : Die Folge /,, /2, / 3 , . . . in IV. 1, Beisp. 7 /, = 4-, 4

fn+i — fn + ~ζ ι n — 1> 2, 3 , . . . ist mit dem Grenzwert /„ = - ί konvergent. Die Folge ist monoton wachsend und nach oben beschränkt (vgl. IV. 1, Aufg. 1), also konvergent. Mit /„ -*• /„ folgt aus den Definitionsgleichungen nach den Regeln für das Rechnen mit konvergenten Folgen /„ = /jj + - i - . Diese Gleichung hat nur 4 1 die eine Lösung /„ = — . Eine solche Überlegung vor dem eigentlichen Konvergenzbeweis erleichtert gegebenenfalls dessen Durchführung. Man überzeuge sich (vgl. IV. 1, Aufg. 1), daß der Nachweis der Beschränktheit der Folge flt /2, f3, . . . durch vollständige Induktion nur für die Schianke - ί glatt verläuft. Ct Aufgabe 1: Man beweise die Konvergenz der Folge /„ = 2 η = 1, 2, 3

1

" 1

,

Ist fv fv f3,... eine monoton wachsende Folge und Κ eine obere Schranke, so gilt /„ -* /„ und es ist /„ fS / 0 ΐ ί K . Damit haben wir eine Abschätzung für den Limes /„. Zu einer besseren Abschätzung für /„ gelangt man oftmals, indem man zu jedem /„ eine eigene Schranke gn angibt. Wenn dann diese oberen Schranken eine monoton fallende Folge bilden, so treten die beiden Folgen fv f2, /3, . . . und gv gt, gs, . . . völlig gleichberechtigt auf. Ist die Folge fv /2, /3,... monoton wachsend und die Folge 9v 02> 9a< · • · monoton fallend und ist /„ ^ gn für fast alle n, so konvergieren leide Folgen fn /„, gn ->• g0. Gilt ferner (ιgn — fn) -* 0, so konvergieren leide Folgen gegen denselben Grenzwert /0 = g0. Beweis: / , , / 2 , f3,... ist monoton wachsend und wegen f n ^ g n ^ gx nach oben beschränkt und also konvergent; es gilt fn^f0 und ebenso folgt gn -* g0. Aus (gn — / » ) - * 0 ergibt sich fa = g0. Aufgabe 2 : Man zeige (vgl. obiges Beisp. 1): Die Folgen / 1 \n I i /„ = j 1 -| I und gn — 1 -) erfüllen alle Voraussetzungen

3. Konvergenzkriterien

75

des Satzes und es ist (g„ — fn) 0. Also ist fn -* e, gn -h>- e und fn = e = 9n- Für η = 10 gewinnt man so für e die Abschätzung 2,59 ϊΞ e 2,86, die besser als e < 3, aber immer noch grob ist. (vgl. VII. 4, Beisp. 3). Bemerkung 2 : Der ausgesprochene Satz bildet die Grundlage für den Satz von der Intervallschachtelung: Bilden ^ = 6j], g2 = [α2, J2], = [o3, J3],... eine Folge ineinandergeschachtelter Intervalle, d. h. gilt c für jedes n, und sireben die Intervalllängen \bn — an | 0, so gibt es eine und nur eine reelle Zahl ξ, die allen Intervallen angehört. ·£, an -»ξ. Es ist an ^ | und ξ gehört also allen Intervallen an. Daß eine zweite solche Zahl f nicht existieren kann, erweist man indirekt. Wäre ϊ < I, so würde für fast alle an gelten an Ϊϊ und wäre ξ > I, so würde für fast alle bn gelten bn Μ schon definiert ist, sei = [ a n + l , 6 n + 1 ] eines der beiden Intervalle

•y

K

+

y

oder ~ (an + bn), bn , das unendlich viele Elemente aus äJl ent1 hält. Es ist ] bn — an | = t (Κ — k). Diese Aussage ist für » 4 = 1 richtig. Ist sie für η richtig, so auch für η + 1, denn es ist | bn+1 — an+11 = -ί | bn — an | = i

(K — k).

Der Punkt, der durch die Intervallschachtelung bestimmt wird, sei Wir zeigen, daß ξ Häufungspunkt der Menge SDi ist, daß es also in jeder Umgebung von | außer ξ mindestens ein Element aus SOI gibt. Die Umgebung U e (|) enthält das Intervall Q n + X sicher dann, wenn η so gewählt ist, daß η > — ( Κ — k ) gilt; denn wegen ε —

ist dann | bn+1-an^

\=

(K-k)

f0, wenn Ν

es zu jedem

ε >

heißt

0 ein

kon-

Ν (ε)

gibt,

folgt

Σ c k — f 0 < ε. 4=1 Das Cauchysche Kriterium nimmt die Form an: Die

I /» — /o I < «

d

•

h

-

CO

Reihe

Σ

Cit konvergiert

dann

4=1

ε >

0 ein

gilt

Ν (ε)

existiert,

\ fn — f m \


wenn Ν

zu

und

E,d.h.\

jedem

m~>
0 und

4=1

lcl

k

-

'1 a

Wir werden später sehen, daß /« ->· e — 1 gilt (e wurde in IV. 3, ßeisp. 1 definiert).

80

IV. Folgen reeller Zahlen co 1 Beispiel 4 : Die sogenannte harmonische Reihe Σ ~r ist nicht k=i "

konvergent. Da die Folge /„ = 1 + -g- +

\- —, μ = 1 , 2 , 3 , . . . ,

monoton wächst, genügt es zu zeigen, daß es keine Schranke für die Folge flt /2, f3,... gibt. Man findet

+ / - J _ + = 1 + h1+h+h3+---

+

+ + ··· +

1

±

hk,

λ ' = ( ^ + Τ + - 2 T ^ + Y + ' - ' + i r ) ^ ^ 1 ^ * · hi ist Summe von 2 ! _ 1 Summanden, deren letzter, — , der kleinste

unter

ihnen ist.

Also

gilt

ht Ξ> 2 ί _ 1 · - i - = - ί und somit i1 ζ

Uk = 1 + κ + κ + · · · + hk ^ 1 + k • y

.

Deshalb wird / g r ö ß e r als jede Zahl. Bemerkung 2: Von den Regeln für das Rechnen mit konvergenten Folgen lassen sich die Regeln 1. und 2. ohne weiteres auf Reihen CO

übertragen. Ist Σ bk i =i 1.

CD

lind

Σ ck konvergent, so gilt k--1

Σ h + Σ Ck = Σ (h i-l t-X i'-X CD

2.

+

CD

c Σ Ck = Σ c · Ck . k= 1 k 1

Die Regel 6. zieht nach sich: 3.

Ans lk ^ ek, k = 1, 2, 3, . . . folgt Σ h g Σ ck k -- I i ^I Die Theorie der unendlichen Reihen, deren Grundzüge wir später behandeln werden, beschäftigt sich damit, aus gewissen Eigenschaften der c< in /„ = c t + e 2 + · · · + c„ auf Konvergenz bzw. Nicht-Konvergenz der Folge fv /2, / 3 , . . . zu schließen.

5. Limes superior, limes inferior

81

5 . L i m e s superior, limes inferior

Die konvergenten Folgen bilden eine außerordentlich wichtige Klasse in der Gesamtheit aller Folgen; dies zeigte sich besonders an den einfachen ßechengesetzen, die wir für konvergente Folgen ableiten konnten. Diesen Vorzügen des eingeführten Konvergenzbegriffes steht der Nachteil gegenüber, daß die „meisten" Folgen nicht konvergent sind. Um über diese Folgen auch noch Aussagen machen zu können, muß man allgemeinere Begriffsbildungen verwenden. Hierzu betrachten wir neben der nach oben beschränkten Folge fv / „ /3 , . . . die Folge 9n

=

fin {/ra> fn + Ii fn+2' · · ·}>

wobei fin {/ n , / n + 1 , / n + 2 , . . . } die kleinste obere Schranke der Wertemenge der Folge /„, fn+1, fn+2,... bedeutet 1 ). Die neue Folge gv g2, gs,... ist sicher monoton fallend; denn gehen wir von der Menge {/„, fn + 1 , . . . } zu der Menge {fn +i, fn +2> · · •} über, die bei sonst gleichen Elementen höchstens die Zahl /„ nicht enthält, so kann die kleinste obere Schranke allenfalls kleiner geworden sein (vgl. I I . 3, Bern. 1). Ist die Folge g±, g2, g3,... nach unten beschränkt, so konvergiert sie und es gilt gng0. Wir nennen dann g0 den limes superior der Folge fv / 2 , / 3 , . . . und schreiben lim /„ = g0. oo Also ist lim fn = lim gn = lim (fin{/„, fn+1, ...}). τι —> co η —> co η co Entsprechend betrachten wir neben der nach unten beschränkten Folge f v / 2 , / 3 , . . . die Folge kn

=

fn+v /n+2' · · •}»

die monoton wächst. Ist sie nach oben beschränkt, so konW i r v e r s t e h e n an dieser S t e l l e u n t e r d e m S y m b o l {fn, 1n+1» / n + 2 . · · Λ die W e r t e m e n g e der F o l g e fn, fn+1» fn+2, · · · »' sind j e zwei E l e m e n t e der Folge verschieden v o n e i n a n d e r , so ist das M e n g e n s y m b o l { . . . } m i t l t e c h t anwendbar. G

Barner,

Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g J

82

IV. Folgen reeller Zahlen

vergiert sie u n d es gilt hn -»• h0. h0 heißt limes inferior Folge fn u n d wir schreiben lim /„ = h0. Also ist n~> oo lim /„ = lim hn = lim (fin{/„, „->-00 »->-00 «->co

der

fn+1,...}).

Die Zahlen j 0 u n d A 0 sind somit f ü r jede Folge mit beschränkter Wertemenge definiert u n d eindeutig b e s t i m m t . Aufgabe 1: Man beweise den Satz der Bemerkung 1 aus IV. 3 von Neuem, indem man zeigt: Ist die Folge flt f2, f3,... beschränkt, so gibt es (mindestens) eine mit dem Grenzwert h0 und eine mit dem Grenzwert g0 konvergente Teilfolge. Die Folge fv f2, /3,. .. ist dann und nur dann konvergent, wenn der limes superior und der limes inferior existieren und lim fn = lim f„ gilt. Dann ist fn -* /„ mit /„ = lim fn = lim /„. n »-»•«> n^Too ->m »T® Der Beweis zerfällt in zwei Teile: 1) Aus lim fn = lim /„ folgt /„ - /„ m i t / 0 = lim /„ = Hm fn. 2) Aus /„ ->- f0 folgt, daß gilt lim fn = lim /„ = n-> oo

f0.

Zu 1): Wir zeigen, daß aus der Voraussetzung lim fn — lim /„ = /„ die Konvergenz der Folge /„ gegen /„ folgt. I s t ε > 0 vorgegeben, so können wir f ü r die monoton fallende, gegen / 0 konvergierende Folge gn eine Zahl Νλ(ε) so bestimmen, daß gn < /0 + ε f ü r η > Nt (ε) gilt. Ebenso existiert f ü r die m o n o t o n wachsende, gegen / 0 konvergierende Folge hn eine Zahl Ν2(ε), so daß f ü r η > Ν2(ε) gilt hn> f0—ε. Nach Definition der Folgen gn u n d h„ bestehen die Ungleichungen fmf£gn f ü r m^n u n d fm^hn für m S i n . Deshalb gilt f ü r m > m a x { ^ ( ε ) , Ν 2 (ε)} = Ν (ε) sowohl im < /ο + ε als auch fm > /„ — ε . Beide Ungleichungen zusammen besagen, daß \ f m — / 0 | < ε f ü r m > Ν (ε) ist, womit die Konvergenz der Folge fm gegen den Limes /„ bewiesen ist.

Γι. L i m e s superior, limes interior

83

Z u 2 ) : G i l t n u n f n -»• /„, so g i b t es z u j e d e m ε > 0 e i n Ν (ε) d e r A r t , d a ß f ü r alle n > Ν g i l t / 0 — ε < / „ < / „ + ε . N a c h D e f i n i t i o n v o n gn b z w . hn a l s d e r o b e r e n b z w . u n t e r e n G r e n z e d e r W e r t e m e n g e d e r F o l g e /„, / n + 1 , / n + 2 , . . . i s t d a n n /„ — ε < gn ^ / 0 - f ε b z w . /„ — ε Ν. S o m i t f o l g e n a u s η > Ν d i e U n g l e i c h u n g e n | / 0 — gn | ε u n d | / 0 — hn | ^ ε ; d i e s s a g t a b e r a u s , d a ß gn-> /„ u n d /„ gilt, also limes s u p e r i o r u n d limes inferior der F o l g e fv /2> h< • • • e x i s t i e r e n u n d l i m f n = l i m f n = / 0 i s t .

Beispiel 1 : I s t

/„ = Cj + c 2 +

1- cn

und

ck =

(— l ) f c + 1 ,

k = 1, 2 , . . . , so i s t lim f n = 0, lim /„ = 1. Die Folge f1, f 2 , f 3 , . . · 00 u n d d a m i t a u c h die R e i h e J ; (— i ) * + i 4=1 ist also n i c h t k o n v e r g e n t . A u t g a b e 2 : M a n b e s t i m m e f ü r die Folge /„ = (— l ) " ( l + \

— u

den limes inferior lim f n u n d den limes superior lim /„.

Aufgabe 3 : f l t f2, f 3 , . . . u n d gL, g2, g3,... F o l g e n . M a n beweise die U n g l e i c h u n g e n

seien b e s c h r ä n k t e

h m ( / „ + gn) ^ lim f n + lim g„ ^ l i m (/„ +

gn).

V. Stetige Funktionen Mit dem Wort „stetig" verbinden wir ursprünglich die Vorstellung einer stetigen Bewegung. Alle Bewegungsvorgänge des täglichen Lebens spielen sich stetig ab, und dies trifft auch für den Bereich der klassischen Physik zu. Man gelangt jedoch von dieser Vorstellung aus nicht zu einer mathematischen Präzisierung des Begriffs „stetige Funktion". Dies ist wohl der Grund dafür, daß die Herausarbeitung dieser Begriffsbildung erhebliche Schwierigkeiten bereitete und erst im 19. Jahrhundert gelang. 6*

84

V. Stetige F u n k t i o n e n

Wir knüpfen an den eingeführten Funktionsbegriff an. Definitionsmenge ® und Wertemenge 28 stellen wir uns auf zwei verschiedenen Zahlengeraden vor; durch f(x) wird ® auf SB abgebildet. Diese Abbildung wollen wir jedoch zunächst nur in der Umgebung eines fcstgewählten Punktes xlt € ® betrachten. Die Definition der Stetigkeit der Funktion f{x) in x0 soll dann ungefähr den Sachverhalt „wenn sich χ dem Punkt x0 nähert, so nähert sich auch das Bild von χ dem Bild von x0" wiedergeben. Man muß dann das „Sich-Nähern" mathematisch fassen; dies kann auf zwei Weisen geschehen. Entweder man betrachtet Folgen mit dem Grenzwert x0; um eine willkürliche Annäherung zu erhalten, muß man dann alle möglichen Folgen x n - + x 0 mit dem Grenzwert x0 untersuchen; bei einer stetigen Funktion konvergieren auch die Bildfolgen gegen ein und denselben Grenzwert f(x0). Oder man betrachtet Umgebungen von x0, die sich auf einen Punkt zusammenziehen. Bei einer stetigen Funktion ziehen sich die Bilder der Umgebungen auf den Bildpunkt f(x0) zusammen. Wir werden beide Gedankengänge durchführen und die Äquivalenz der beiden Stetigkeitsdefinitionen, zu denen man so gelangt, zeigen. Wir beginnen dabei mit der Definition des Grenzwertbegriffes bei Funktionen, die dann unmittelbar zur Definition der Stetigkeit führt. Die so definierte Stetigkeit bezieht sich auf einen bestimmten herausgegriffenen Punkt x0 aus ® und ist deshalb, wie man sagt, eine Punkteigenschaft der Funktion j{x). Ist j(x) in jedem Punkt von ® stetig, so nennt man f(x) in ® stetig. Dagegen bezieht sich der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit einer Funktion von vornherein auf eine bestimmte zugrunde gelegte Menge. Eine etwa in einem Intervall stetige Funktion erfüllt dann in mancher Hinsicht die Erwartungen, die wir von der Anschauung her an sie stellen; zum Beispiel läßt eine stetige Funktion nach dem Zwischenwertsatz keinen Wert, der zwischen zwei anderen Funktionswerten liegt, aus.

1. Grenzwertbegriff bei Punktionen 1. Es sei ® die Definitionsmenge der Funktion f(x); 2) kann eine beliebige Menge sein; wer will, kann sich 2) als Intervall vorstellen. Wir beschäftigen uns mit den Werten der Funktion f(x) in der Umgebung eines bestimmten Punktes x0, der zu 2) gehören kann oder auch nicht. Es sei jedoch CCQ stüts Häufungspunkt der Menge 2). Wir betonen ausdrücklich, daß bei der Frage nach dem Grenzwert einer Funktion in x0 der Wert f(x0), falls er überhaupt definiert ist, nicht in die Betrachtung eingeht.

1. Grenzwertbegriff bei F u n k t i o n e n

85

Wir fassen die Definition des Grenzwertes mit Hilfe des Umgebungsbegriffs wie folgt: Die Funktion f(x) besitzt in x0 den Grenzwert /0, ιοεηη es zu jeder ε-Umgebung U£ von f0 eine Umgebung SS4 von x0 no gibt, daß aus χ e a: e 3) und χ Φ ,r„ folgt f(x) e U£. Gehen wir auf die Definition der Umgebung zurück, wonach ll e = {y | | y — f0 \ < ε} und SSä = {χ | | χ — x0 j < 0 ein 0 so gibt, daß für jedes χ e χ φ x0 mit | χ — x01 < δ gilt | f(x) — /„ | < ε. Besitzt f(x) in x0 den Grenzwert / 0 , so schreiben wir lim fix) = f0 X^ x0 Der Grenzwert /0 ist eindeutig bestimmt. Dies folgt daraus, daß man zu zwei verschiedenen Punkten /„ und / 0 je eine ε-Umgebung 11ε(/0) und tt e (/ 0 ) angeben kann, die keinen Punkt gemeinsam haben; man wähle etwa ε = γ | /„ — / 0 j. Für eine gewisse ^-Umgebung S 3 < 5 d a n n : Für alle χ e SSa^o) ^M^o} /(ic) e lXe(/0). Also gibt es in jeder (5-Umgebung von x0 Punkte, deren Bilder sicher nicht in UE(/o) liegen; also ist / 0 sicher nicht auch Grenzwert von f(x) in xa. Wir machen uns die Bedeutung dieser Definition an der anschaulichen Darstellung einer Funktion klar (vgl. Fig. 21). — In der Grenzwertdefinition heißt es: „Zu jedem ε > 0 gibt es ein 0 , . . .". Also ist in der Figur zunächst ein zur z-Achse paralleler Streifen der willkürlichen Höhe 2ε um /„ abzugrenzen. Zu ihm soll es einen zur

V. Stetige Funktionen «/-Achse parallelen Streifen der Breite 2 0 die Zahl /.

, also /(x 0 ) von dem Grenzwert

f0 verschieden. Aufgabe 1: Man zeige, daß /(x) in Beispiel 1 für jedes x 0 den Grenzwert 0 hat. Beispiel 2: /(x) = |/x besitzt für jedes i , e ® , ® = einen Grenzwert und zwar ]fx0.

{χ | χ > 0},

Wir verwenden die folgenden

Eigenschaften der Funktion / x (vgl. I I I . 1, Beisp. 8): (|/x) 2 = x, \!x > 0. Damit finden wir die Abschätzung: f x - l/x 0 [

{ f x + |/jp) { f x - I^Q) )/x + γχ 0


0 können wir δ = \/x0 · ε wählen und erreichen damit, daß für | χ — x 0 \ < δ gilt (man vergleiche die Abschätzung) | f{x) — /(x 0 ) | < ε. Aufgabe 2 : Man zeige, daß lim ]/x = 0 ist. Beispiel 3 : Die Funktion / (x) -= — besitzt in x0 4= 0 den Grenz-

88

V. Stetige Funktionen

wert /o = — · Zu vorgegebenem ε > 0 wählen wir x0 χo = mm 0 gibt, so daß für alle χ € Φ, χ < x0 und | χ — x0 | < K. Man sagt auch, f(x) werde links von x0 beliebig groß. f(x) besitzt dann natürlich in x0 keinen (linksseitigen) Grenzwert. Bemerkung 5 : Es sei Φ nicht nach oben beschränkt. Man schreibt lim /(x) = f0 und sagt, der Limes von f(x) für χ gegen £->•00 unendlich existiere und sei gleich /0, wenn es zu jedem ε > 0 einX(e) so gibt, daß für alle xe Φ mit χ > Κ gilt | j(x) — /„ | < ε. Diese Definition verallgemeinert die Definition der Konvergenz einer Folge; die Definition der Konvergenz einer Folge ist darin als Sonderfall enthalten, wenn Φ die Menge der natürlichen Zahlen ist. Wir wollen diese neue Begriffsbildung auf den gewöhnlichen Grenzwertbegriff zurückführen: Es ist lim f(x) = /„ dann und nur

1. Grenzwertbegriff bei Funktionen

91

dann, wenn lim f = /„ gilt. Beweis: ε > 0 sei vorgegeben. Gibt ΐ\ο es hierzu einX,so daß a u s x > Χ, χ e 3) folgt | f(x) — / 0 | < ε,so zieht - 0 I < - ί = δ die Ungleichung

/

— /„ < ε nach sich.

XL

Gibt es umgekehrt zu ε > 0 ein 0, so daß aus 0 < χ < Κ mit Κ =

die

Unglei-

chung | f(x) — fo < ε nach sich. Damit ist der Beweis in beiden Richtungen erbracht. Entsprechend schreibt man lim f(x) — / 0 , wenn es zu jedem — 00

ε > 0 ein fc(e) so gibt, daß für alle χ € φ (Φ sei nicht nach unten beschränkt) mit χ < fc(e) gilt | f(x) — /01 < e. Aufgabe 10: Wie in voranstehender Bemerkung beweise man: Es ist lim f(x) = / 0 dann und nur dann, wenn lim /( —I = U X->—ao X, / St \ X / gilt. Aufgabe 11: Man übertrage die Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten auf den Grenzwertbegriff lim f(x). » f 1. 12: ια Aufgabe

Ü sei· R(x) Π! \ = · a 0 + »l® + aJ2X2 + · • · + dnXn 1 Es h + hx + i 2 x 2 + · · · + t m x m

eine gebrochen rationale Funktion mit an 4= 0, hm φ 0. Man berechne die Limites lim /(x) und lim f(x), falls diese existieren χ• (vgl. III. 1, Aufg. 2). 3. Man kann den Grenzwertbegriff bei Funktionen auch über den Grenzwertbegriff bei konvergenten Folgen fassen. Es gilt der Satz: Die Funktion f(x) besitzt in x0 dann und nur dann den Grenzwert /„, wenn für jede mit dem Grenzwert x0 konvergente Folge xn -> x0, xn ε φ , χ , φ x0 gilt f(xn) -> /„. Der Beweis zerfällt in zwei Teile. Besitzt f(x) in x0 den Grenzwert /„, so folgt tlUS Xn —> XQ die Konvergenz der Folge f(xn) / 0 . Die Durchführung dieses Beweises zeigt, wie außerordentlich zweckmäßig die Grenzwertdefinition ist.

92

V. Stetige Funktionen

Wir müssen zeigen: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N, so daß für alle η > Ν gilt | f(xn) — /„ | < ε. Wir wissen: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so daß aus | χ — x0\ 0 gibt es ein N, so daß für alle η > JV gilt | xn — x01 < δ. Zum Beweis bestimmen wir zu vorgegebenem ε > 0 zunächst nach der Grenzwertdefinition das zugehörige δ > 0, und dann zu diesem δ nach der Konvergenzdefinition von xn x0 das N. Dann gilt mit Ν = Ν für n > Ν zunächst | xn — x01 < δ und daraus folgt | f(xn) — / 0 1 < ε. Im zweiten Teil müssen wir beweisen, daß f(x) in x0 dann den Grenzwert f0 hat, wenn mit jeder Folge xn ->· x0 auch /(x n ) gegen / 0 konvergiert. Diese Aussage beweisen wir indirekt. Wir nehmen also an, f(x) besitze in xg nicht den Grenzwert / 0 . Aus dieser Annahme heraus werden wir eine konvergente Folge ^ CCQ SO konstruieren, daß nicht /(£«)->•/ 0 gilt. Dies widerspricht dann der Voraussetzung, daß für jede mögliche Folge mit xn ->- x0 auch f(xn) /„ gilt. Die Beweisskizze zeigt uns bereits, daß es für diesen Teil des Beweises wesentlich ist vorauszusetzen, daß für jede Folge mit xn ->· x0 auch f(x„) -* / 0 gilt. Die Hauptschwierigkeit in der Durchführung des angekündigten Beweises liegt darin, daß wir ausdrücken müssen, f(x) h a t in x0 nicht den Grenzwert /„. Wir müssen also das kontradiktorische Gegenteil der Aussage formulieren, die mit der Grenzwertdefinition gemacht wird. Vorbereitend geben wir einige Beispiele aus der Umgangssprache für zueinander kontradiktorische Aussagen an. Der Aussage, „Alle Schafe sind schwarz" steht gegenüber, „Es gibt ein Schaf, das nicht schwarz ist". Der Aussage „Zu jeder Tanne gibt es eine Buche, die größer ist als die T a n n e " steht gegenüber „ E s gibt eine Tanne, so daß jede Buche nicht größer ist als diese Tanne". Der Aussage „Auf allen Bergen, die höher als 3000 in sind, liegt Schnee" steht gegenüber „ E s gibt einen Berg, der zwar höher als 3000 m ist, auf dem aber kein Schnee liegt". Die beiden letzten Aussagen sind ihrem Typ nach Beispiele f ü r die Verneinung der in der Grenzwertdefinition enthaltenen Formulierungen.

1. Grenzwertbegriff bei Funktionen

93

Die Grenzwertdefinition spalten wir in die beiden Aussagen auf: Zu jedem ε > 0 gibt es ein ό > 0, so daß die Eigenschaft Ε gilt. Die Eigenschaft Ε l a u t e t : F ü r alle χ e © mit ι φ ι , u n d mit | χ — x 0 1 < δ gilt [ f(x) — / 0 1 < ε. Die kontradiktorisch entgegengesetzten Aussagen hierzu sind: Es gibt ein ε > 0, so daß zu jedem S > 0 die Eigenschaft Ε nicht gilt. Die Verneinung der Eigenschaft Ε l a u t e t : Es gibt ein χ e 2) mit χ φ x 0 , so daß zwar ]x — x„ | < 0 gibt, so daß zu jedem, d > 0 ein χ e ® mit i = j = i ( existiert, so daß zwar | χ — xa \ < δ, aber \ f(x) — /„ | Jg ε gilt. W i r k ö n n e n in u n s e r e m Beweis f o r t f a h r e n u n d a u s d e r A n n a h m e h e r a u s , /„ sei n i c h t G r e n z w e r t in x0, eine F o l g e xn ->• x0 k o n s t r u i e r e n , so d a ß f(xn)

n i c h t gegen /„ k o n v e r g i e r t . I n der

A u s s a g e , d a ß /„ n i c h t G r e n z w e r t in x0 ist, ist j e d e s δ > 0 zugelassen. W i r setzen d e r R e i h e n a c h Z), so gibt es eine Umgebung 11 von x 0 , so daß für alle χ € 11 gilt f(x) < Ζ (bzw. /(χ) > Z). Zum Beweis verwende man für U die (3-Umgebung, die nach der Definition der Stetigkeit von f(x) in x 0 zu ε = - ί | Ζ — /(χ 0 ) | gehört. Aus den Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten (vgl. V. 1. 2) folgt, daß Summe und Produkt stetiger Funktionen wieder stetig sind. Da die Funktionen f(x) = c, c = const., und j(x) = χ für jedes s e 5R stetig sind, folgt daraus die Stetigkeit jedes Polynoms P(x) für beliebiges x0 e 9Ϊ. Ist f(x)

2. Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit

97

in x0 stetig und f(x0) 4= 0, so ist auch —^γ eine in x0 stetige Funktion. Also ist auch jede rationale Funktion R(x) in jedem Punkt x0, in dem der Nenner nicht verschwindet, stetig. Ist f^x) in x0 e φ χ stetig und ist die Wertemenge Sßj Teilmenge der Definitionsmenge φ 2 der Funktion f2(y) und ist f2{y) in ya = f1 (x0) stetig, so ist auch die zusammengesetzte Funktion F(x) = f2(ji(x)) in x0e φ mit φ = Φ ι stetig. Wir müssen zeigen, daß es zu jeder ε-Umgebung U e von F(x0) eine (5-Umgebung S3 0 ein δ (ε) > 0 gibt, so daß für alle x,xc^) mit [ χ — χ \ < δ gilt | f(x) — f(x) | < ε. Aus dieser Aussage folgt, wenn wir f ü r das Element χ e 3) das feste Element χ = x 0 wählen, die gewöhnliche Stetigkeitsaussage für f(x) in x0. Also gilt: Ist f{x) in % gleichmäßig stetig, so ist f(x) in jedem x0 e ® stetig, kurz gesagt, f(x) ist dann in ® stetig. Es gibt aber, wie wir gleich zeigen werden (in Beispiel 2 und 3) Funktionen, die zwar in jedem x0 e 2) stetig, in ® aber nicht gleichmäßig stetig sind. Bemerkung 7: Die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit läßt sich ausgehend von der Definition der Stetigkeit auch so formulieren, daß man verlangt, daß in der Stetigkeitsdefinition zu vorgegebenem ε das δ zwar wie immer von ε abhängen darf, daß sich aber 0} stetig; das zu fest vorgegebenem ε > 0 gehörende 2 wäre hier nicht brauchbar). Zu vorgegebenem δ > 0 wählen wir etwa χ =

üfl

,χ —

———- mit ώϊΐ "I- X

einer natürlichen Zahl η > — ί - . Dann sind χ und χ Elemente aus ύΟ 2); es ist Ι1 χ — χ 1I = -ττ—>„-"- — r ν < 0 gibt und folgere daraus, daß Pn(x) in φ = 9Ϊ mindestens eine Nullstelle x0 hat. Beispiel 2: Die Funktion y = f(x) — xn (n sei eine natürliche festgewählte Zahl) ist in φ = {χ \ χ 0} stetig und streng monoton. Wir wollen zeigen, daß die Wertemenge S53 = {y | y 2ϊ 0} ist. Hierzu beweisen wir, daß 0 und jede Zahl c > 1 zur Wertemenge gehört. Nach dem Zwischenwertsatz folgt dann, daß 2S alle y mit 0 < ;/ ίΞ c enthält; da dies für jedes c > 1 zutrifft, ist also Süß = {y \ y Ξϊ 0}. 0 gehört zu SB, denn es ist /(0) = 0. Ferner

3. Abbildungseigenschaften der stetigen Funktionen

111

gehört cn zu SB; für c > 1 ist Ο < c < cn, und somit enthält die Wertemenge 2B nach dem Zwischenwertsatz auch c. f(x)

besitzt

also

Definitionsmenge bezeichnet

man

eine

© = mit

Umkehrfunktion

{y \ y ^

f(y) = yn

0}.

Diese

(oder

mit

I

χ = f(y)

mit

der

Umkehrfunktion |/JT). Jeder

Zahl

/ i\» so daß \y" I = y ist. Ebenso ι

y Ξϊ 0 ist so eine Zahl ynzugeordnet,

wie zum Beispiel die Bezeichnung | χ | verwenden wir auch xn feststehendes Funktionssymbol. ι

als

Nachdem xm und χ71 für χ > 0 und für natürliche Zahlen η und m wohlbestimmte Funktionen sind, wollen wir dem Symbol xr 171

für rationales r = — , r > 0, einen Sinn beilegen. Zur Definition n — / —W — — bieten sich die beiden Möglichkeiten xn = \xn j odera m = (xm) n an. Tatsächlich sind beide Definitionen gleichwertig.

Dies zu beweisen, verwenden wir die Beziehung (Xn)m

=

χη-m

=

(xm)n

_

( λ)'1

die für natürliche Zahlen η und m besteht. Ferner gilt \xn j = x. Also folgt x m = ( (x ™ ) )

=((x

n

)

) und daraus ( x m ) " = ( x n ) .

Es bleibt nur noch die Frage, ob χ n = χ n ist, falls r = — ~ —η auf zwei verschiedene Weisen als Bruch natürlicherη Zahlen dargestellt wird. Dies ist der Fall, denn es ist xm = χ m 1_ m_ ^ {xm)" ^ x » , also « " - χ " folgt.

-

·

n

η

woraus

Für η = 2 hatten wir die Funktion )/;/ in I I I . 1, Beisp. 8 • 1. 1 i Bei 0 < χ < 1 setzt man χ = — 1 q ; dann ist q > 1 und aus β » 1 ι 1 1 / 1 \« — — folgt —1—>• 1 und wegen—— = — = xn also xn qn

qn

1

1.

®

Aufgabe 9 : Man zeige, daß lim η " — 1 gilt.

VI. Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion Die Logarithmusfunktion log χ ist vom Rechnen mit der Logarithmentafel und mit dem Rechenschieber her bekannt. Sie erlaubt, die Multiplikation von Zahlen auf die Addition der Logarithmen zurückzuführen. So kann man mit dem Rechenschieber durch Addition von Strecken das Produkt der zugehörigen Zahlen erhalten. Analytisch wird dies durch die „Funktionalgleichung" der Logarithmusfunktion log (ZjZä) = log x1 + log x2 ausgedrückt. Logarithmen gibt es zu verschiedenen Grundzahlen. Für das praktische Rcchncn werden die Zehner-Logarithmen (des Dezimalsystems wegen)

VI. Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

IIB

bevorzugt, in der Mathematik dagegen die natürlichen Logarithmen. Jede dieser verschiedenen Funktionen erfüllt die Funktionalgleichung. Auch gilt immer log 1 = 0. In der üblichen Darstellung in einer ij/-Ebene (vgl. Figur 26) lassen sich die verschiedenen Logarithmen beispielsweise durch die Tangente in dem gemeinsamen Punkt χ — 1, y = 0 unterscheiden; die Kurve des natürlichen Logarithmus In χ besitzt dort die Tangente y = χ — 1; für alle χ > 0 gilt In χ s χ — 1. Wir definieren hier die Funktion in χ (natürlicher Logarithmus) durch die beiden Eigenschaften: In χ erfüllt die Funktionalgleichung l n f z ^ ) = l n X j + In xz und die Ungleichung Ina; S i — 1.

Wir wählen damit zur Einführung dieser Funktion einen Weg, der sich in der neueren Mathematik vielfach bewährt hat: Man definiert gewisse mathematische Dinge nicht durch eine explizite Angabe, d. h. durch eine Konstruktionsvorschrift, sondern vielmehr durch solche ihrer Eigenschaften, die sie kennzeichnen. Tatsächlich braucht man j a in den theoretischen und praktischen Anwendungen in erster Linie die Eigenschaften. Aus ihnen heraus lassen sich oft verschiedene Konstruktionsvorschriften gewinnen, so daß man diese den jeweiligen Bedürfnissen anpassen kann. Eindeutigkeit und Existenz der Funktion In χ wird auch hier über eine explizite Konstruktion bewiesen; ein solcher Beweis muß j a einmal geführt werden; er bildet die Grundlage, die erlaubt, sich im folgenden mit Recht allein auf die Eigenschaften zu stützen. Die Konstruktion für den Existenzbeweis wird auf das Ziel abgestimmt, das Erfülltsein der definierenden Eigenschaften zu beweisen. 8

Burner,

Differential- und I n t e g r a l r e c h n u n g I

114

VI. Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

Die Funktion ex ist die Umkehrfunktion der Funktion In x. Alle weiteren Eigenschaften der Logarithmusfunktionen und der Exponentialfunktionen lassen sich leicht aus den beiden angegebenen Grundeigenschaften ableiten.

1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus Satz: Es gibt eine und nur eine Funktion L(x) in der Definitionsmenge φ = {χ I χ > 0 } , die die leiden Eigenschaften (I) und (II)

L{x1x 2 ) = L(x1) + L(X2) für alle xv L(x) 0 in % = {x | α 5Ξ χ] gleichmäßig stetig. Den Beweis dieses Satzes werden wir führen, indem wir für jedes χ e © eine Zahl L(x) als Limes einer konvergenten Folge angeben und dann zeigen, daß die so festgelegte Funktion L(x) den Bedingungen (I) und ( I I ) genügt. Um zu dieser Konstruktion der Funktion L(x) zu gelangen, werden wir zunächst Folgerungen aus (I) und ( I I ) ziehen und so weitere Eigenschaften der Funktion L(x) gewinnen. Folgerungen aus (I) und ( I I ) zu ziehen, ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn es eine Funktion mit den Eigenschaften (I) und ( I I ) überhaupt gibt. Wir machen also zunächst die Annahme, es existiere eine Funktion L(x) mit (I) und (II), und rechtfertigen diese Annahme später durch den Existenzbeweis. 1. Durch die Funktionalgleichung (I) erhält man weitere Aussagen über L(x), indem man für x1, x2 spezielle bzw. aneinander gebundene Werte einsetzt. Dieses Vorgehen bestimmt die nächsten Schritte,. Wir setzen in (1) x 1 - 1 und finden Also ist (1)

••-• L( 1) + /j(.r2)·

L ( 1) = 0 .

Um dieses Ergebnis auszunutzen, setzen wir χχ·

1.

1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus also etwa χλ = χ, x2=

1.15

-- und finden mit (1) Τ,(1χ)=-1(ζ).

(2)

Wir setzen x1 = x2 = χ und finden aus (I) L(x2) ^ 2 L ( x ) . Dies legt es nahe, durch vollständige Induktion zu beweisen: (3)

L(xn) = η · L(x) f ü r alle natürlichen Zahlen n.

Beweis: F ü r η = 1 ist (3) richtig. Nun gelte Ώ{χι) = k- L(x); dann setzen wir in (I) u n d finden L(x* + 1 ) = k • L(x) + L{x) = (k + 1) · L(x). D a m i t ist (3) durch vollständige Induktion bewiesen. Wir werden zunächst Folgerungen aus (3) ziehen mit der Absicht, (3) nicht nur f ü r natürliche Zahlen n, sondern f ü r beliebige positive rationale Zahlen r in der Form (4)

L(xr)

= r • L{x) ι

zu beweisen. Wenden wir (3) auf die Zahl χ = x m mit n a t ü r 1 lichem m an (mit χ > 0 ist auch x m definiert (vgl. V, 3, Beisp. 2) u n d xm > 0), so folgt

) = η · L (xm)

und

ebenso L(x) = L((x"1) ) = » ι · ί ( ϊ * ) . Daraus ergibt sich ( m 1) η η L\x j = — • L(z), also die Gleichung (4) mit r = — > 0. D a wir bisher nur Folgerungen aus (I) gezogen haben, können wir zusammenfassend hervorheben: Gibt es eine Funktion L(x), die für alle xv x 2 e SD der Funktionalgleichung (I) genügt, so erfüllt L(x) auch die Gleichung (4) für jedes i e ® und alle positiven rationalen Zahlen r. 2. Wir verwenden jetzt die Ungleichung (II). Wegen (2) gibt sie uns nicht nur eine Abschätzung f ü r die F u n k t i o n L(x) nach oben, sondern auch nach unten. Denn setzen wir in (II) χ — vr so wird Li — ) ^ — — 1 und hieraus folgt nach (2): JC \ ι 8

116

VI. Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

— L{x) -^L -L·— 1. Zusammen mit (II) ergibt sich also (5)

—

Die Figur 27 veranschaulicht diese Ungleichungsfolge; L(x) muß in dem in der Figur schraffierten Bereich verlaufen. Die Ungleichungsfolge zieht, wie wir jetzt zeigen werden,

für jedes a > 0 die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion L(x) in φ = {x\ ar^, x\ nach sich. (Daß die angegebene Menge % nicht nach oben beschränkt ist, stört hier nicht.) χ 1 1 \ dann i s t — ^ 1 und — ^ — . »Cj Xj & Nach der Funktionalgleichung (I) zusammen mit (2) ist Es sei α > 0 und α ^ χ x

2

L(X2) — L(x1) = L (—) . Setzen wir in (5) χ = — , so erhalten wir 0 ^ 1 -

L(x2) - L f o ) ^

- 1 =

1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus

11.7

Zu ε > 0 wählen wir δ = a • ε; dann gilt für alle xv xz c 2) = {χ \ a < a;} mit 0 fg 0 in ® = {χ \ a x\ gleichmäßig stetig. Aufgabe 1: Man zeige, daß L(x) in ® selbst nicht gleichmäßig stetig sein kann.

3. Die Ungleichungen (5) zusammen mit der Funktionalbeziehung (4) führen uns dazu, für jedes i e ® eine monoton wachsende Folge an und eine monoton fallende Folge bn zu konstruieren, die beide gegen L(x) konvergieren. Mit dieser expliziten Darstellung für L(x) werden wir dann in den Existenzbeweis eintreten. ι In den Ungleichungen (δ) ersetzen wir χ durch χ 2 ", verwenden (4) in der Form L{X2™) =

L(x)

und multi-

plizieren die Ungleichungen mit 2"; wir erhalten

2»/1 — ^ L(x) ^ 2"(x2" — l) · \ X2"J

(C)

4. Wir betrachten nun die beiden Folgen: a„ = 2 » / l - - A \

χ

2

n

bn = 2n{x

2

" — l).

/

x ist hierin eine beliebige, aber fest gewählte Zahl aus 2 . Wir zeigen, daß beide Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Hierzu beweisen wir: 1)

an

in,

2) «n-i a„, 3) (&„ — « , ) - 0 .

bn.

118

VI. Logarithmusfunkt.ion und Exponentialfunktion

Nach den Sätzen über monotone Folgen (vgl. IV. 3. 3) ergibt sich aus 1) und 2) die Konvergenz von an a0, bn b0 und aus 3) folgt a0 = b0. Daraus und aus (6) schließen wir: Gibt es eine Funktion L(x), die (I) und (II) e r f ü l l t , so ist für jedes ιε® (7)

L(x) = lim 2n( 1

y - = lim 2» χ

v

2

χ

Daraus folgt die Eindeutigkeit: Es gibt nicht mehr als eine Funktion L(x) mit (I) und (II). Daß es überhaupt eine solche Funktion gibt, bleibt noch zu zeigen. Der Nachweis von 1), 2), 3) ist eine reine Rechenaufgabe, die wir schnell erledigen. Zur Abkürzung setzen wir 1 1 χ2" = 2 , woraus χ2™ = 22 folgt. Damit wird an = 2 ^ 1 - z " 1 ) , bn = 2 » ( i - l ) , Zu 1): bn — an=

= 2"-i(l-z-2), =2"-i(22-1).

2*(z — 1 — 1 + z~l) = 2«z~l{z — l)2 ^ 0

Zu 2): «„ — « „ _ ! = 2 " _ 1 ( 2 — 2z-1 — (1 — z~2)) = = 2''~1(1 —

0,

&„_!-&„ = 2 « " 1 ( z 2 - l - 2 ( z - l ) ) = = 2 r a _ 1 (z — l ) 2 3 : 0 . Zu 3): Es ist (b„ — an) = (ζ — 1 )an und wegen an ->• a0 und ι ι wegens = x ^ m i t x 2 ' 1

1 (vgl. V. 3, Bern.7) f o l g t e n — a J — 0 .

5. Wir haben unter der Annahme, es gäbe eine Funktion L(x) mit (I) und (II), Folgerungen gezogen und gelangten so zu dem expliziten Ausdruck (7) für L(x). Wir führen den Existenzbeweis für die Funktion L(x) mit (I) und (II), indem wir zeigen, daß die durch (7) definierte Funktion L(x) tatsächlich (I) und (II) erfüllt. Wir verstehen also jetzt unter L(x) den durch (7) festgelegten Grenzwert.

1. Definierende Eigenschaften des Logarithmus

119

Zu (I): Nach V. 3, Bern. 6 ist

(8)

ι

— 2»[(x1-x2)2n

1

1

Die Limites der hier auftretenden Summanden existieren und sind nach (7) und nach Y. 3, Bern. 7 b e k a n n t ; es ist lim2 n \(a; 1 · a;2) 2™— 1/ = L(x1 · x2): lim x 2 2n = 1; Nach den Gesetzen über das Rechnen mit konvergenten Folgen (vgl. IV. 2) folgt also aus (8) tatsächlich (I):

L{xl • x2) = Lfo) +

L(xi).

Zu (II): Die Folge bv b2, δ 3 ,. . . fällt monoton und konvergiert gegen L(x). Also ist 1(χ)^1η^1

1

= 2\χ2 — l j

— 1—

0} streng monoton wachsend; d e n n aus χx < x2 folgt n a c h (5): "Ί .

2. Eigenschaften der Funktionen In χ und ex

121

Weiter folgt ans 1 < 2 die Ungleichung L ( l ) < 1 ( 2 ) ; wegen L ( l ) = 0 heißt dies, daß L(2) > 0 ist. Nach (3) ist L(2n) = n· L(2) für jede natürliche Zahl n. Also gibt es (Archimedische Eigenschaft) zu jedem Κ > 0 ein χ = 2", so daß L(x) > Κ und Lfö-1) < — Κ wird; man wähle η > j , 0 . . L ( s ) ist stetig in φ und also folgt aus dem ZwischenM4) wertsatz, daß L(x) jeden Wert zwischen L(x) und L(x~1) und also auch jeden Wert zwischen Κ und — Κ annimmt. Da dies für jedes Κ gilt, finden wir: Die Wertemenge SB der Funktion L(x) in © hesteht aus allen reellen Zahlen. Also besitzt L{x) eine Umkehrfunktion χ = E(y) in der Definitionsmenge SD = 3?. Wertemenge S3 von E(y) ist die Definitionsmenge der Funktion L(x), also 30 = { φ > 0 } , (vgl. V. 3. 1). E{y) ist streng monoton wachsend und in jedem abgeschlosseFig. 28 nen Intervall gleichmäßig stetig. Wir stellen die beiden Funktionen, ihre Definitions- und Wertemengen nebeneinander: y = L(x) x_= E(y) % = SR, Μ = {x | X > 0}. ® = { a | ® > 0 } , a S B = St 2. Zu jeder Aussage über L(x) gehört eine damit äquivalente Aussage über die Umkehrfunktion E(y). Ist yt = L(xi), ciUS ÜCQ — 3/j * L(xs)

i = 1, 2, 3, und also xt = E(yt), so folgt nach der Funktionalgleichung (I) = L{x1-

x2) = £ ( % ) +

und somit y3 = y1 + y2. Dann ist

L(X2)

122

VI. Logarithmusfunktion und Exponentialfunktion

EiVi) · E{y2) =x1-x2 = x3 = E(y3) = E(y1 + y2) und also gelten die Funktionalgleichungen Hxi · ^2) = L(xi)

L X

+

+ y2) = E(yi)LE(y2) für alle yv y2 e 3).

( i)

f ü r alle xv x2 e SD

Aus (1) folgt L( 1) = 0

I

E{ 0) = 1

Verwenden wir dies und setzen in der Funktionalgleichung y1 = y und y2 = —y, so folgt

Nach (4) gilt für positive rationale r die Beziehung L(xr) = r • L(x). Aus ihr folgt mit y = L(x), χ = E(y) und y = L(xr), af = E(y) zunächst y = r · y und daraus E(y) = E(r · y). Da E(y) = xr = (E(y))r ist, ergibt sich weiter (E(y))r = E{r • y). Somit stehen nebeneinander (r positiv rational): L(ar) = r-L(x) I E(r-y) = (E(y))r. "Wir setzen E(l) = e, also L(e) = 1 und zeigen, daß e mit der gleichbenannten Zahl in IV. 3, Beisp. 1 übereinstimmt. Aus (5) folgt, wenn man dort χ = 1 + — setzt und mit η multipliziert: 1

und also nach (3)

•< η · l(I + — 1 < 1 1 \ «, Ή .. 1 + 4 K l . i + l ^ » / ' η

Da lim 1n = 0 ist, so folgt auf Grund der Stetigkeit der n-voo Funktion L(x): 1 = lim L

((^rHfc^rH«

2. Eigenschaften der Funktionen Ins und ex

η -*co

v

'

123

= e. Wir heben hervor E( 1) = e

L(e) = 1

Für positives rationales r folgt daraus er = (E(l))r = E(r · 1) = E(r). Also gilt für positives rationales r: L{e) = r E(r) = er Der Ausdruck er hat für positives rationales r einen wohlbestimmten Sinn; wir haben gerade gezeigt, daß der Wert er mit E(r) für positives rationales r übereinstimmt. Somit ist es sinnvoll, die Funktion E(y) auch für beliebiges reelles y mit eυ zu bezeichnen. Wir führen statt L(x) und E(y) die neuen feststehenden Symbole L(x) = In χ

E(y) = ev

ein. Die Funktion In χ heißt natürlicher Logarithmus, Exponentialfunktion oder e-Funktion.

ey

Bemerkung 1: Die Ungleichungen (5) für die Funktion L(x) übersetzen sich in entsprechende Ungleichungen für ex. In (5) ersetzen wir χ durch χ + 1 und erhalten L(x + 1) gl χ für χ + 1 > 0 und daraus i + l ä e ® , da die Exponentialfunktion monoton wächst. Da ex > 0 ist für alle χ e SR, so gilt die Ungleichung selbstverständlich auch für χ + 1 ^ 0 und also für alle xe 5R. Setzen wir jetzt χ = — y, so folgt 1 — y ^ e~y und daraus =

eV

1 — 2/ > 0· Zusammenfassend ergibt sich mit (5):

1— — 0 und für jede reelle Zahl y wir das Symbol av durch ay

_

erklären

eylna

Aus der Definition folgen die Rechenregeln αν ι · α»· = av> + ν·,

(av)z = a'·«,

av • bv = (a • b)v.

E s sei α eine fest g e w ä h l t e Zahl α > 0, α φ 1. Die F u n k t i o n f ( y ) = av ist in S = 9Ϊ definiert u n d f ü r 0 < a< 1 streng m o n o t o n fallend, f ü r a > 1 s t r e n g m o n o t o n w a c h s e n d . D e n n f ü r 0 < a < 1 ist In a < 0 u n d f ü r a > 1 ist In a > 0. Aus y1 < y2 folgt yx · In a > y2 • In α f ü r 0 < a < 1 u n d also e»i · l n α > ev> ·ln a, d. h. αν* > α«' u n d f ü r a > 1 entsprechend av• < «f». Die W e r t e m e n g e 28 der F u n k t i o n a« s t i m m t überein mit der W e r t e m e n g e der F u n k t i o n ex in % = 9ϊ; also ist 2B = {x | χ > 0}. Die F u n k t i o n ay besitzt eine ebenfalls streng m o n o t o n e U m k e h r f u n k t i o n , die wir m i t y = a log χ bezeichnen. W i r stellen z u s a m m e n : y = "log χ

χ = aP

% = { χ \ χ > 0 } , 3δ = 9ϊ

φ = 9 1 , ffi =

{χ|χ>0}.

Aufgabe 1: Man beweise die Beziehungen: "log χ = ~

;

"log χ = "log b · 6 log χ, "log h · 6 log a = 1.

Aufgabe 2: Es sei α eine festgewählte reelle Zahl. Man zeige, daß die Funktion f(x) = xx in Φ = {χ \ χ > 0} für α > 0 streng monoton wächst, für a < 0 streng monoton fällt. Man verwende hierzu die Definition x01 = Bemerkung 2: Für jedes α > 0, β > 0 ist ,· Ο" y)a n hm - — — — 0. ι/-> «» yP Man sagt e$ x wächst für jedes (noch so kleine) positive β stärker als xa für jedes (noch so große) positive α; andererseits wächst stärker als (ln y)a. lim co ef>x

0

2. Eigenschaften der F u n k t i o n e n Ina; u n d ex

125

Z u m Beweis g e h t m a n v o n der Ungleichung y I g e » aus; d a r a u s folgt y < &> u n d wegen (e2/) v+1 = e(*+ !)!/ u n d der Monotonie der F u n k t i o n xx (VI. 2, Aufg. 2) weiter y«+1 < e 0 u n d e^* > 0 ist. Aus dieser Ungleichung folgt a b e r der erste Teil der B e h a u p t u n g u n m i t t e l b a r ; der zweite Teil ist — m a n setze χ = In y — m i t dem ersten gleichbedeutend. Aufgabe 3 : Man zeige: F ü r jede n a t ü r l i c h e Zahl m ist ι e~

lim 2—>• 0

= 0.

m

z

Man k n ü p f e an die v o r a n s t e h e n d e B e m e r k u n g an, setze χ - - - -

und

verwende dabei V. 1, Bern. 5 u n d setze schließlich χ = ζ 2 , β = 1 u n d 2 α = m. Aufgabe 4 : Man b e s t i m m e die Grenzwerte Xa

lim (— In z) x zP, lim — - , lim x^coaP* y^to 2ν»0

("log

S)a

yP

bei a > 1, 0, β > 0.

Aufgabe δ: Man b e s t i m m e die folgenden Grenzwerte

ι

lim x x , lim χ x , lim xL t \ o i \ 0 ..

--

lim xx, lim xx λ:->oo x->

μι x

J

,

,. (x · In x)2 , lim - - - - - — . ' - - , 3;)' v as->co t/'(In

falls diese existieren.

VII. Differenzierbare Funktionen Die Differentialrechnung erwuchs aus der Aufgabe, die Gleichung der Tangente an eine analytisch gegebene Kurve zu finden. Es ist dazu die Steigung der Tangente als Grenzwert der Steigungen der Sehnen zu bestimmen. Dieser Zusammenhang ist hinreichend bekannt; wir erinnern

12G

VII. Differenzierbare Funktionen

daran durch die Figur. Ist die Kurve in der a;,y-Ebene durch y = /(.τ) gegeben, so wird man durch diese Überlegung zur Definition des Differentialquotienten geführt. — Wir können uns hier auf die bereits ent-

r |

wickelte Grenzwerttheorie berufen, so daß die Herleitung der Rechenregeln und die Bestimmung der Ableitungen spezieller Funktionen keine Schwierigkeiten macht. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und ebenso die T a y l o r sche Formel lassen sich aus einem Spezialfall des Mittelwertsatzes, dem Satz von R o l l e , herleiten. Der eigentliche Inhalt dieser Sätze zeigt sich am deutlichsten in dem Satz von R o l l e selbst. Dieser ist zwar anschaulich einleuchtend (vgl. VII. 2, Figur 32), tatsächlich beruht er jedoch auf tieferliegenden, punktmengentheoretischen Sätzen und erweist sich als Folge der Existenz eines Maximums und eines Minimums einer in einem abgeschlossenen Intervall stetigen Funktion. In dem Mittelwertsatz und der T a y l o r s c h e n Formel mit ihrem weitreichenden Einfluß auf alle Teilgebiete der Analysis haben wir ein Beispiel dafür, wie eine aus einer geometrischen Betrachtung fließende Erkenntnis in geeigneter Formulierung zum entscheidenden analytischen Beweishilfsmittel wird. Das formale Differenzieren wird schon in der Schule geübt; wir beschränken uns deshalb auf wenige Beispiele für Differontiationsaufgaben.

1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln 1. Es sei S die Definitionsmenge der Funktion f(x) und x0 Häufungspunkt von 2). Existiert in x0e% der Grenzwert

1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln lim x->x0

Μ

χ

—

-

127

™

χ

ο

so heißt f(x) in x0 differenzierbar. Den Grenzwert bezeichnet man mit f'(x0) und nennt ihn die Ableitung oder den Differentialquotienten der Funktion f(x) in x0. Existiert in den Punkten x0 e © einer gewissen Teilmenge ® c Φ die Ableitung f'(x0) der Funktion f(x), so heißt /(x) in ® differenzierbar. f'(x) stellt eine in SD definierte neue Funktion dar. Den Übergang von der Funktion f(x) zu der Funktion f'(x) bezeichnet man auch als Bilden der Ableitung von f(x) und kürzer als Ableiten oder Differenzieren der Funktion f(x). Bemerkung 1: Für die Ableitung der Funktion y=f(x) an der Stelle x0 sind verschiedene Bezeichnungsweisen üblich, ζ. B.: =

Df{x0

Diese verschiedenen Bezeichnungsweisen sind historisch bedingt; jede hat ihre Vorzüge. Bemerkung 2: - i - ^

^

ist der Quotient zweier Differenzen

und heißt deshalb Differeneenquoiient. Man beachte, daß der Differenzenquotient für χ = x 0 keinen Sinn hat, da dann der Nenner verschwindet. Beim Grenzübergang zum Differentialquotienten ist der Limes für χ gegen xa zu bilden; in der Definition dieses Grenzwertes wird ausdrücklich ι φ ι , vorausgesetzt. Bemerkung 3:

(vgl. Υ. 1, Bern. 2) lim 1 /I,

bzw.lim l ^ i χ \ x„

x

= /I_(ac0) x

xo

' - ^ L = f + (X 0 )bezeichnet man, falls sie existieren,

,χ

ο

als links- bzw. rechtsseitige x0. f(x) ist in einem inneren f(x) in x0 eine rechts- und f'_(xo) = /i) ist. Dann gilt

Ableitung der Funktion f(x) in Punkt i , t ® differenzierbar, falls linksseitige Ableitung besitzt und f'(xB) = f'Jx0) = f'+(xo)·

Setzt man χ — x0 = Ii, wobei wegen l e ® jetzt x0 + h e Φ sein muß, so wird

128

VII. Differenzierbare Funktionen

f'(x0) = lim '(*» + »> Λ

Ο

.

Λ

Diese Schreibweise hat praktische Vorteile, da h im Nenner kürzer ist als (χ — x 0 ). Wir verwenden sie aus diesem Grunde beim Herleiten der Differentiationsregeln. Beispiel 1 : f(x) = c, c = const in © = 5R. Es ist für h =f= 0

Hxo±h)_-f(xo!_c-c h

h

x0e

o=0_ h

=

A ] s o r w

=

{ür,edes

0

Beispiel 2 : f(x) = χ in © = 9t. Es ist für li + O /(χ + Λ) — /(χ) χ + /ι — χ _ h

h

h

h

Also f'(x0) = 1 für jedes x 0 e ©. Aufgabe 1: Man zeige mit Hilfe der binomischen Formel (I. 5, Aufg. 2), daß für f(x) = xn in ® = «R gilt /'(x 0 ) = η · x f - 1 für jedes x 0 e Beispiel 3 : x 2 , falls χ Φ Ο und — natürliche Zahl ist, χ

/(x) =

0, falls χ = 0 oder falls—keine natürlicheZahlist.

χ

Die Ableitung von /(x) in x 0 = 0 ist /'(0) = 0. Denn es gilt /(»)-/(««)

/(*)-0 j. η

—

x, falls—natürliche Zahl ist, χ 1 0, falls — keine natürliche Zahl ist. χ

Also ist 0 < I Q - < | x | und daher /'(Ο) = lim I Q - = 0. χ χ Beispiel 4 : /(x) = In χ in Φ = {χ | χ > 0 } . Man hat den Grenz, .. ln(x + h) — In χ wert l i m — —- zu berechnen und geht hierzu von den ,^Λ - -

h->-o

Ungleichungen (5) des Kapitels VI aus; in (5) ersetzt man χ , χ+ h x x + h , x+h , durch — — und erhalt 1 —r- g In — — < — ! 1.

χ

x+h

χ

χ

1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln

129

Indem man diese Ungleichungen mit - ί , h Φ 0, multipliziert und die Funktionalgleichung anwendet, ergibt sich 1

^Infc + y - l n s ^ h χ ι h ^ + y - h . « A χ+ h h χ

+

fflrfc>()>

h

f ü i f e < 0

_

Hieraus folgt (In x)' = lim '

n ( l

+ ' ' ' -

1

"

= 1

für jedes s t ® , Beispiel 5 : /(x) = ex in 2) = 91. Es ist nach der Funktional gleichung der Exponentialfunktion (vgl. VI. 2. 2). f(x +h)

— f(x) _ h

ex+h — ex _ h

ex · eh — ex _ h

(eft — 1) h

und aus den Ungleichungen (VI. 2, Bern. 1) für ex ergibt sich mit y = h, h < 1 der Reihe nach h + 1 g e" ^ . 1 , , '= = 1— A '

h ^ eh — 1 ^ = ~

h

1— h

und für h =j= 0 nach Multiplikation mit - ί gft.

h

ι

ι ph ι ι 0bzw.l> , —> — ^ r - f ü r / K O . 1—h ~ h 1—h

Es folgt lim -Λί 0 ist f(x) = x und deshalb w 9

χ — 0

B a r n e r , Differential- und Integralrechnung I

=1,

für χ < 0 ist

130

VII. Differenzierbare Funktionen

/(χ) = — χ und deshalb

= — 1. Da /1(0) φ f'+(0) ist,

ist /(x) = ] χ | in x 0 = 0 nicht differenzierbar. Aufgabe 3 : Es sei α > 0 und φ(χ) in φ = {χ | Ο χ α) beschränkt. α > 1 sei fest gewählt. Man zeige, daß /(χ) = χαφ(χ) in x 0 = 0 rechtsseitig differenzierbar ist und bestimme f'+ (0). Aufgabe 4 : /(x) und g(x) seien in x 0 e Φ differenzierbar; α und β seien fest vorgegebene reelle Zahlen. Man bestimme die Grenzwerte lim

χ—>χ0

f(xo) 9 (s) — f(x) 9(χo) _ I i m /(x 0 + cch) — f(x0 + ßh) ^ x xo h-+ Ο ^

Autgabe 5: Man zeige: Sind fix) und 3(2;) in x0 e φ differenzierbar und ist /(x 0 ) = 0, g(xB) = 0 und g'(x0) φ 0, so gilt i

M = Xg 9(x)

i m

M . 9'(®o)

2. Welche Beziehungen bestehen zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion f(x) in x0? Wir zeigen, daß aus der Differenzierbarkeit einer Funktion f(x) in x0 die Stetigkeit in diesem Punkte folgt: f( x \ jrx \ Die Differenzierbarkeit besagt, daß lim — x ~ x o x — x0 existiert; ferner ist lim (χ —- Xq ) = 0 . Nach den Regeln X->X0 über das Rechnen mit Grenzwerten existiert dann auch fΜ f(x \ lim —- · (x — x0) und ist gleich 0, d. h. aber, es ist χ — χο χ x„ lim ( f ( x ) — f(x„)) = 0 . Daraus folgt lim (f(x) —f(x0)) x-*xa

+ lim f(x0) = f(x0), x~*xt

also lim f(x) =

f(xc).

x-*x.

Somit gilt: Eine in x0 differenzierhare Umgekehrt folgt aus der nicht die Differenzierbarkeit mit x0 = 0 zeigt (vgl. V I I . 1,

FvmUion ist in x0 stetig. Stetigkeit einer F u n k t i o n in Xg in x0, wie das Beispiel f(x) = | χ ] Beisp. 6). Wesentlich schwieriger

1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln

131

ist es, eine Funktion anzugeben, die in einem Intervall stetig, aber trotzdem an keiner Stelle dieses Intervalls differenzierbar ist. Wir konstruieren eine solche Funktion in Beispiel 7: Zur Konstruktion einer Funktion f(x), die in ® = 9} stetig, aber für kein χ e 91 differenzierbar ist, machen wir Gebrauch von einer Funktion ~~ f(*> , w = l , 2, 3 , . . . konvergiert daher hn sicher nicht. Da xe SR beliebig gewählt war, ist also f(x) f ü r kein a: e 9t differenzierbar. Die Funktion f(x) ist aber f ü r jedes x0e 9t stetig. Geben wir

134

VII. Differenzierbare Funktionen

1 ε ε > 0 vor und wählen zuerst Ν > — und danach 0

vorausgesetzt war und da die Stetigkeit von g(x) aus der Differenzierbarkeit folgt, also lim g(x0 + h) = g(x0) gilt, so Ä - > 0

ergibt sich nach den Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten die Behauptung 2). Zum

Beweis F(xo

von 3) verwenden

+

h)-F(xt)

_

h =

f{x0

1 I

wir

die

1

h \ f(x0 + h) +

h) — f(x0) h

Umformung 1

_

f(x 0)

1 f(x0

+

h) • f(x0)

'

Hierin ist wegen f(x0) =(= 0 auf Grund der Stetigkeit von f(x) in x0 für alle genügend kleinen h (vgl. V. 2, Bern. 5) auch f(x0 + Ji) Φ 0 ; also sind die auftretenden Ausdrücke sinnvoll. Nach den Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten folgt die Behauptung 3). Aufgabe 6 : Man beweise 1) nach dem Vorbild der Beweise für 2) und 3). Aufgabe 7: Mit Hilfe von 2) und 3) beweise man: Sind g(x) und /(x) in xg differenzierbar und ist f(x0) φ 0, so ist F(x) =

9( ) ' // x

f(x)

in o differenzierbar und es gilt: x

vi,Λ -

/( χ ο)" β'(χο) — 1'(χο) ' 3( χ ο)

=

t \x)

VII. Differenzierbare Funktionen

136

4. Es sei F(x) als zusammengesetzte F u n k t i o n Fix) = g(j(x)) gegeben. Es sei y0 — /(x0); y = f(x) sei in x0 u n d g(y) sei in y0 differenzierbar. Dann folgt, wie wir zeigen werden, daß F(x) in x0 differenzierbar ist und daß F'(x0) = g'(y0) · /' (x0) gilt {Kettenregel). Zum Beweis betrachten wir den Differenzenquotienten F(x)-F(xt) Ύ* tO

=

g(f{x))-g(f(x0))

Λ· tVQ

Λ» Λ

=

g(y)-g(y,)

i/V. vy

Λ» «1/

_

Λ· tVQ

F ü r diejenigen x, f ü r die y — y0 Φ 0 ist, können wir weiter (!)

F(x) — F(x0) = g(y) — g(y0) _ y— y0 χ x0 y • y0 χ · x0 schreiben. F ü r y — ϊ/0 = 0, d. h. f ü r f(x) = f(x0) ist F(x) = ?(/(«)) = < / ( / W ) = F W und also F(x) -F(x0)

= 0.

F ü r diejenigen x, f ü r die y = y0 ist, besteht also die Beziehung \

/

Λ< W

, Λ· tL'Q

\l//

-V U/

/y U/Q

für jede Funktion G(y). Setzen wir speziell G(y)=
· y x, lim G (f(x)) = lim G(y) = g'(y0). Somit folgt, wie behauptet, X-+X, v-*v> F\xa)

= lim

= lim 0(y)

= g\y0) • /'(*„).

Bemerkung 4: Ist f(x) in © eineindeutig und in x0 e ® differenzierbar und ist ferner die Umkehrfunktion f(y) in y0 = f(x0) differenzierbar, so folgt aus f (f(x)) = χ die Aussage J'(y0) · f{%o) = 1·

1. Ableitung einer Funktion, Differentiationsregeln

137

5 . In Bemerkung 4 wurde vorausgesetzt, daß auch die Umkehrfunktion f(y) in y0 differenzierbar ist. Es ist jedoch erwünscht, die Aussage aus Bemerkung 4 unter solchen Voraussetzungen zu beweisen, die nur die Ausgangsfunktion f(x) und die Definitionsmenge ® betreffen. Es gilt der Satz: Ist φ ein Kompaktum, f(x) in ® eineindeutig und stetig und in x0 e 2) differenzierbar und /' (x0) 4= 0, so ist die Umkehrfunktion f{y) in y0 = f(x0) differenzierbar und es ist f'(y) =

j f ä -

Zu zeigen ist, daß lim — e x i s t i e r t und gleich ι y—y ,,, . ist. Wegen der Eineindeutigkeit ist mit y+y0 auch I x°' _ _ _ f(y)=\=l(yo) und wegen y = f(f(y)), y0 = f{f(y„)) gilt f(y)~f(yo)

=

=

y-y»

f(f(y))-f(f(y,))

m Setzen wir zur Abkürzung 1 m - H * )

ι /W-Zte.) x

m für χ 4= xu

und F^y)

=

fix») so ist F2(x)

in y0 stetig, da f(x) in dem

erhalten wir für y φ y0 die Dar-

stellung F2(F1(y)),

und es ist FI(F1{Y))

= F2(x).

Bern. 6 existiert der Grenzwert lim FT (F^YJ) EW

\

]{y),

stetig ist (V. 3. 2.). Für den Differenzen-

quotienten

1·

=

für χ = x0

in x0 und FX(y)

Kompaktum φ

'

~x°

1

v

Nach V . 2 ,

und ist gleich

~*y°

Der Beweisgang zeigt, daß die Kompaktheit von φ hier nur benutzt wurde, um die Stetigkeit von f(y) in y0 zu sichern.

138

VII. Differenzierbare Funktionen

Aufgabe 8: Man gebe eine in einer (nicht kompakten!) Definitionsmenge Φ umkehrbar eindeutige, stetige Funktion «/ = f(x) an, die in x0 e Φ differenzierbar ist, deren Umkehrfunktion f(y) jedoch in y0 = f(x0) nicht stetig ist. 6. f'(x) sei die Ableitung von f(x) und auch f'(x) sei in 2) differenzierbar. Dann hat die Funktion f'(x) eine Ableitung, die wir mit f"{x) bezeichnen. So fahren wir fort: Ist fk){x) in φ differenzierbar, so bezeichnen wir die Ableitung von p)(x) mit f^+^ix). Man schreibt f(x), f"(x), f"'(x) und weiter jW(x), p)(x),..., p)(x),...; p)(x) heißt k-te Ableitung der Funktion fix). Man sagt, f(x) ist in φ k-mal differenzierbar, wenn man auf diese Weise durch sukzessive Differentiation die Ableitungen f'(x), f"(x),..., pt{x) bilden kann. Ist außerdem pi(x) in Φ stetig, so heißt f(x) Ic-mal stetig differenzierbar. Die Gesamtheit der in einer Menge φ fc-mal stetig differenzierbaren Funktionen bildet, wie man sagt, die Klasse Ck bezüglich 3 j ; eine A-mal stetig differenzierbare Funktion wird daher auch Funktion der Klasse Ck genannt. (Meistens ist hierbei φ ein Intervall.) Mit C° bezeichnet man sinngemäß die Klasse der in φ stetigen Funktionen. Zur Klasse C°° rechnet man diejenigen Funktionen f(x), für die alle Ableitungen pXx), k = 1, 2, 3 , . . . existieren. Beispiel 8 : f(x) = ex in Φ = 31. Es ist p1{x) = ex für jede natürliche Zahl k. ex gehört zur Klasse C 0 0 bezüglich 9ϊ. Aufgabe 9 : Man bestimme die k-te Ableitung der Funktion ax, a > 0, in φ = SR. Beispiel 9 : f(x) = In χ in φ = {χ \ χ > 0}. Es ist f(x) = χ und daraus folgt /(*> (χ) = (— Ι ) * - 1 · (k — 1)! · a r k = 1, 2, 3, . . .; In χ gehört in ® zur Klasse C 0 0 . Beispiel 10: Für beliebiges a ist die Funktion f(x) = x" in ® = {x [ χ > 0} differenzierbar; es gilt f'(x) = ax!X"L. Denn es ist x« = e» · in χ U nd daraus folgt f'(x) =

. -ί = 0, f(x) = ~ χ für χ ^ 0, ® = JR.

Zu 2) (a) f(x) = x 2 , ® = 9t. (b) /(x) = x 3 , © = SR. Zu 3) (a) /(x) = χ , $ = {χ I χ ^ 0 } , (b) /(χ) = χ gr(x) für χ φ Ο, f(x) = Ο für χ = Ο, φ = {χ ι Ο ^ χ ^ 1 } ; dabei ist g(x) die in V. 2, Beisp. 3 definierte Funktion. Ob an einer Stelle x 0 tatsächlich ein Extremum vorliegt, entscheidet man durch Zurückgehen auf die Definition des lokalen Extremums (vgl. V. 3, Bern. 1). Oftmals erlaubt aber die Fragestellung selbst, auch auf Grund ihrer Herkunft aus einem geometrischen oder physikalischen Problem oder aus einem Problem eines anderen Anwendungsgebietes, zu entscheiden, welche der nach den notwendigen Bedingungen möglichen Stellen die gesuchten Extremstellen sind. Eine solche Überlegung ist meist aufschlußreicher als die formale Anwendung hinreichender Kriterien (vgl. V I I . 2, Bern. 5 und 6).

144

VII. Differenzierbare Funktionen

Aufgabe 3: Ein geradliniger Fluß derfestenBreiteb durchströme das Flußbett, das von zwei parallelen Wänden begrenzt ist, mit der an jeder Stelle gleichen Geschwindigkeit u. Ein hungriger Wanderer steht diesseits des Flusses, ihm genau gegenüber befindet sich jenseits des Flusses der Eingang eines Wirtshauses. Der Wanderer, dessen Schwimmgeschwindigkeit ν und dessen Gehgeschwindigkeit w beträgt, möchte in möglichst kurzer Zeit den Eingang des Wirtshauses erreichen. Wie muß er losschwimmen? — Man achte auf die verschiedenen Möglichkeiten je nach den Größenverhältnissen von u,v,tv; man achte ferner darauf, daß bei Berechnung der Gehzeit der absolute Betrag einer Größe in die Rechnung eingeht. Aus dem Satz von Rolle kann man in vielfacher Weise analytische Folgerungen ziehen, indem man mit einer oder mehreren Funktionen eine Hilfsfunktion F(x) so bildet, daß F(x) die Voraussetzungen des Satzes von R o l l e erfüllt. Man kann dieses Verfahren sogar „iterieren", indem man mit den neugewonnenen Aussagen das Verfahren wiederholt. Auch wir werden hier diese Methode benutzen und so zunächst den Mittelwertsatz und später die T a y l o r s c h e Formel gewinnen. Wählt man als Hilfsfunktion die Funktion F(x) = f(x) + ex, so ist F(x) in 2) = {χ \ α 0} an und bestimme in f(x + h) = f(x) + h • f'(x + &h) zu gegebenem i f ® , χ + Λ ε ® eine Größe — Im Falle a) gebe man eine geometrische Deutung an Hand des Graphen der Funktion.

Aufgabe 5: Ist /(s) in © = {χ \ α χ si b} zweimal differenzierbar, so gibt es ein & mit 0 < & < 1, der Art, daß f(x0 + 2h) — 2f(x0 + h) + 1(x0) = f"(x„ + 2 #h) h2 gilt. Zum Beweis verwende man als Hilfsfunktion F(x) = f(x) + c0 + c^ + c2x2 mit geeigneten Konstanten e0,c1,e2. 10

B a r n e r , Differential-und Integralrechnung I

146

V I I . Differenzierbare Funktionen

Aufgabe 6 : Man zeige: Ist f{x) in einer Umgebung U von x0 stetig, in 11 \ {x 0 } differenzierbar und ist lim f'(x) = a, so ist f(x) auch in x0 differenzierbar, und es ist f'(x0) = a. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist wohl das meistgebrauchte Hilfsmittel im weiteren Aufbau der Differential- und Integralrechnung. Hier ziehen wir aus ihm einige Folgerungen, auf die wir immer wieder zurückgreifen werden. 1. E s sei 3) = {χ \ α ^ χ ^ l·} und / ' (χ) = 0 für alle χ e Dann ist f(x) = c, c eine Konstante. Nach dem Mittelwertsatz ist f(x)=f(a) + (x— a) / ' ( £ ) für alle i c S mit α < ξ < χ b. D a aber / ' ( £ ) = 0 vorausgesetzt war, folgt, wie behauptet, f(x) = f(a) für alle l e S ; darin ist f(a) eine feste Zahl. In Verbindung mit V I I . 1, Beispiel 1 folgt hieraus: Eine in einem Intervall ® differenzieriare Funktion f(x) ist dann und nur dann eine Konstante, wenn in φ f'(x) = 0 ist. Bemerkung 4 : Die Funktion f(x) = ex genügt für alle i e ® , ® = SR, der Differentialgleichung f(x) — /(ζ) = 0 und der Anfangsbedingung /(0) = 1. Von einer Differentialgleichung spricht man, da f'(x) — fix) = 0 eine Beziehung zwischen einer Funktion y = f (x) und deren Ableitung darstellt. Unter Anfangsbedingung versteht man die Angabe des Funktionswertes /(x 0 ) für ein spezielles x0 e Wir zeigen: / (x) = ex ist die einzige in SR definierte Funktion mit f'(x) — f(x) = 0 für alle χ e 9ΐ und f(0) = 1. Ist g{x) eine zweite Funktion mit diesen Eigenschaften, gilt also g'(x) — g(x) = 0, g(0) = 1, so folgt

{jw)'=jfw{9{xynx]-f(x)-9'{x))=0 auf Grund der Differentialgleichungen für g(x) und f(x).

Also ist

l(x) = c,c = const. Daraus folgt insbesondere g(0) = c· /(0) und daraus nach der Anfangsbedingung c = 1. Also ergibt sich zwangsläufig g(x) = f(x). Es gibt also nur eine Funktion, die in 8i der Differentialgleichung f (x) — f{x) = Q mit der Anfangsbedingung /(0) = 1 genügt; dies ist, wie wir bereits wissen, die Funktion f(x) = ex. 2. f(x) sei in einem abgeschlossenen Intervall φ definiert. Gibt es in % eine Funktion F(x), so daß F'(x) = f(x) ist, so

2 . Satz von R o l l e und Mittelwertsatz

147

soll F ( x ) gilt: M i t

S t a m m f u n k t i o n zu der Funktion f ( x ) heißen. E s F ( x ) i s t a u c h F ( x ) + e , c = const, e i n e S t a m m f u n k t i o n z u f ( x ) ; ist F x ( x ) i r g e n d e i n e S t a m m f u n k t i o n z u f ( x ) , so ist m i t einer K o n s t a n t e n : F ^ x ) = F ( x ) + Der erste Teil der Aussage folgt aus ( F ( x ) + c ) ' = F ' ( x ) = f ( x ) . Weiter ist { F ^ x ) — F ( x ) ) ' = f ( x ) — f ( x ) = 0 und also nach 1., wie behauptet, F ^ x ) — F ( x ) = Cj mit Cj = const.

Über die Existenz einer Stammfunktion wird hier nichts ausgesagt. Wir werden später (Teil 2) zeigen, daß es zu einer in ® stetigen Funktion f ( x ) immer Stammfunktionen gibt. Aufgabe 7: Man gebe zu dem Polynom

t

P ( x ) = a 0 + a1 χ + · · · + a n x n

in φ = 3t eine Stammfunktion an. 3. Ist f ( x ) in ® = {x | α < χ < l·} differenzierbar und 0, so ist f ( x ) eine streng monoton wachsende Funktion. Nach dem Mittelwertsatz ist nämlich

f'(x)>

f(x2) = f(x1) + ( x 2 - x 1 )

m

mit α < x 1 < ξ < x 2 < l·. Darin ist x 2 — x 1 > 0 und nach Voraussetzung /'(£) > 0. Also folgt aus x 1 < x 2 die Ungleichung / f o ) < f ( x 2 ) . Aufgabe 8: Unter der schwächeren Voraussetzung f ' ( x ) Ig 0 zeige man die (nicht notwendig strenge) Monotonie der Funktion /(x). — Ist /'(χ) 0 und dabei in keinem Teilintervall /'(x) = 0, so ist /(x) sogar streng monoton wachsend. Aufgabe 9: Ist f ' ( x ) ^ 0 (bzw. f ' { x ) < 0) in®, so ist /(x)in® monoton (bzw. streng monoton) fallend. Bemerkung 5: Es sei f { x ) in der Definitionsmenge ® stetig. Gibt es ein abgeschlossenes Intervall % das Teilmenge von φ ist und den Punkt x 0 im Innern enthält, und ist /(x) in 3 \ { x 0 ) differenzierbar und ist ferner f ' ( x ) ^ 0 für alle x e 3 mit x < x 0 und /'(χ) 5Ξ 0 für χ > x 0 , so besitzt /(x) in x 0 ein lokales Maximum. Nach dem Mittelwertsatz ist nämlich f ( x ) = /(x 0 ) + ( x — x 0 )/'(f) und nach Voraussetzung ( x — x 0 ) / ' ( £ ) : £ 0 für alle x e 3 \ { x 0 } . Also folgt /(x) ^ f ( x 0 ) für alle x e 310*

148

VII. Differenzierbare Funktionen

Aufgabe 10: Entsprechend voranstehender Bemerkung formuliere man ein hinreichendes Kriterium dafür, daß die Funktion /(x) in x0 ein lokales Minimum hat. Bemerkung 6 : Es sei f(x) in 3) stetig und in einer Umgebung eines inneren Punktes x 0 differenzierbar mit f ' ( x ) = 0 ; ferner sei f ' ( x ) in x „ differenzierbar und f " ( x 0 ) Φ 0. D a n n besitzt /(x) i n x 0 0

e i n l o k a l e s E x t r e m u m , und

zwar

f " ( x

e i n M a x i m u m , wenn

0

)
0 für χ < x 0 und f (x) < 0 für χ > x„. Nach Bemerkung 5 reicht diese Aussage hin zum Beweis dafür, daß j(x) in x 0 ein lokales Maximum hat. 0

0

u

Aufgabe 11: Man zeige: Gilt in voranstehender Bemerkung Π » , ) > 0, so hat f(x) in x 0 ein lokales Minimum. Bemerkung 7: Aus dem Mittelwertsatz folgt, wenn j(x) und g(x) in © = {χ | a ^ χ s i b} stetig und in Φ = {χ | a < χ < b} differenzierbar sind und g(b) — g(a) 4= 0 ist, daß es ξν | 2 e © gibt, für die ^

~ ^

9 ( b ) — 9 ( a )

= - 4 1 4 - gilt; dabei läßt sich über die S ( f

2

)

Mittelwerte ξ2 nichts Näheres aussagen. Wir wollen hier beweisen, daß sogar ein ξ so existiert, daß diese Beziehung mit I = = | 2 besteht. Diese Aussage nennt man e r w e i t e r t e n oder z w e i t e n M i t t e l w e r t s a t z der D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g . Mit g ( x ) = χ enthält er den gewöhnlichen Mittelwertsatz als Sonderfall. Zum Beweis geht man wieder auf den Satz von R o l l e zurück und zeigt, daß F{x) = /(x) _ / ( « ) -

^

Ζ

' ^

g{a))

3. Τ a y l o r sehe Formel und Reihe

149

die Voraussetzungen des Satzes von R o l l e mit F(a) •• : F(b) = 0 erfüllt. Aus = 0 folgt dann die Behauptung: g(b) -g(a)

6

2

3x

F u n k t i o n e n stimmen in i x 0 = 1 paarweise in Fig. 35 zweiter Ordnung überein. A u l g a b e l : Man bestimme α , β , γ so, daß die Funktionen ßx f(x) — In (1 + x) und g(x) •• in ® = 1 + γχ 2 ' 2

}

150

VII. Differenzierbare Funktionen

definiert sind u n d in x0 = 0 in möglichst hoher Ordnung übereinstimmen.

Zu einer gegebenen Funktion f(x) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom, dessen Grad höchstens η ist, das mit f(x) in x0 in w-ter Ordnung übereinstimmt. Setzt man Pn{x) =C0 + C1(x — X0) + c2(x — x0)2 + · · · + Cn(x — X0)n mit konstanten c0, cv . .., c„, so findet man nach fc-maligem Differenzieren (k ^ n): = Ck · k\ und also aus ; p)(x0) = Pnm(x0) weiter ck = . Das eindeutig bestimmte Polynom Pn{x), das mit f(x) in x0 in w-ter Ordnung übereinstimmt, lautet also

Pn(x) = f(x0) + f(x0) (x — x0) Η

x

gl

of + · • • +

ix

x

o) n

·

Insbesondere stimmt die lineare Funktion P^x)

=f(x0)

+ f'{x0) (x — x0)

mit f(x) in x0 in erster Ordnung überein. Im anschaulichen Bild stellt Ρλ{χ) die Tangente an das Bild von f(x) in x0 dar. Aufgabe 2: f(x) sei in einem Intervall 5) differenzierbar u n d es S θ 1 t^Qj tZ/J e ©. Man bestimme die lineare F u n k t i o n h(x) = a + hx, so daß h(x0) = f(x0) u n d h f a ) — f(x1) ist. Bei festgewähltem x 0 ergeben sich α und l· als Funktionen von : a (Xj), l· (x^. Man zeige: Es existieren die Limites Χιlim ) = a0, Χι limχ„δ ^ ) = b0; ferner: * Χa(x Λ t P1(x) = a0 -)- b0 χ s t i m m t mit f(x) in x0 in erster Ordnung überein. Aufgabe 3 : /(x) sei in einem Intervall S zweimal differenzierbar und es seien x 0 , xv x 2 P u n k t e aus Man bestimme das Polynom h(x) = a0 + a^x — x 0 ) + a2(x — x 0 ) 2 , so daß h(xt) = /(x,·) f ü r i = 0 , 1 , 2 ist. Bei festgewähltem x 0 , x1 bilde man lim at(x2) = ij,

xs-*x,

i = 0 , 1 , 2 u n d bei festgewähltem x 0 bilde man dann weiter lim 6{(χ χ ) = cj, i = 0, 1, 2. Es entsteht so ein Polynom

x^x,

P 2 ( x ) = c0 + Cj(x — x 0 ) + c 2 (x — x 0 ) 2 , das mit /(x) in x 0 in zweiter Ordnung übereinstimmt.

3. T a y l o r s c h e Formel und Reihe

151

Bemerkung 1: Man nennt Pn(x) auch oskulierendes Polynom der Funktion f(x) in x0, weil sich in der anschaulichen Darstellung die Bilder von f(x) und von Pn(x) in x0 gut aneinander anschmiegen und zwar um so besser, je größer η ist. Diese Bemerkung, die hier nur zur Erläuterung dienen soll, wird begründet für η = 1, η = 2 durch die voranstehenden Aufgaben. In vielen praktisch wichtigen Fällen unterscheiden sich die Funktionswerte Pn(x) von den Werten der Funktion f(x) in einer Umgebung von x0 nur wenig. Gelingt es uns, f ü r die Differenz Rn{x) Rn{x)

=f{x)

α>

— (f{x0) + f'{x0) {x — x0) +

eine Abschätzung anzugeben, so können wir die Funktionswerte von fix) mit der durch die Abschätzung f ü r Rn(x) angegebenen Genauigkeit dadurch berechnen, daß wir statt ihrer die Werte von Pn{x) bestimmen. D a Pn{x) einen gut zu handhabenden Rechenausdruck darstellt, dürfen wir durch ein solches Vorgehen praktische Vorteile erhoffen. Doch werden aus diesen Überlegungen auch theoretisch wichtige Ergebnisse folgen. W i r orientieren uns zunächst an zwei Beispielen: 1 Beispiel l : / ( s ) = — ^ — in® = {χ \ x < 1}. E s i s t / / ( x ) = χ ίε ι JL χ ι k\ und durch vollständige Induktion findet man /(*) (χ) = ^ — ^ ϊ + Ί "

Somit wird /(*) (0) = fc!, k = 0,1, 2, . . ., und also ergibt sich mit xa = 0 η rlc η λ Ύη +1 Ρη{χ)=Σ -fr-fc!= Σ a* = .. , Ί k = ο kk=ο 1 —a 1 1 χ»+1 χη+ 1 m - ρη{χ) = Τ - Ι r Wir orientieren uns über die Größe von Rn(x), indem wir für χ

*.(*) =

—

— =

einige spezielle Zahlen einsetzen. Für χ = — wird Rn =

.

; für

152

VII. Differenzierbare Funktionen

χ = — 1 wird Rn = (— 1 ) " + 1 · γ

; f ü r χ = — 2 wird

( _ \ ) n + i . A . . 2η f ü r w = 1, 2, 3 ο wachsendem

η

Rn

=

F ü r χ = - ί wird Ä„ mit Δ

kleiner, f ü r χ = — 1 wird

Rn

abwechselnd

+ 4-, —, f ü r χ = — 2 schwankt R„ zwischen größerwerdenL· ü den positiven u n d negativen Zahlen hin und her. Beispiel 2: f(x) = e f ü r ζ φ Ο , f(x) = 0 f ü r x = 0 in φ = 9}. Es ist (vgl. VII. 1, Beisp. 12) /(0) = /'(Ο) = f"(0) = . . . = / « : 0 < (1 + ξ ) « " " " 1 < 1. Damit wird \Rn\ ^

( n " j ) x " + 1 · D a f ü r 0 < χ < 1 gilt (^j xn-» 0 (vgl. IV.2,

Beisp. 3), folgt | Rn | -> 0. Also konvergiert für 0 < χ < 1 die 00 /a\ x]c binomische Reihe, und es ist (1 + χ) α = Σ } · k= ο Aufgabe 7: Mit dem Restglied aus Bemerkung 4, und zwar mit ρ = 1 dehne man das Ergebnis über die binomische Reihe aus auf die χ mit — 1 < χ ^ 0.

VIII. Winkelfunktionen Die von der Schule her bekannte Definition der Funktionen cos x, sin χ an der F i g u r des Einheitskreises bezieht sich auf das Bogenmaß. Selbst wenn wir uns auf die euklidische Geometrie stützen wollten, wäre die Berechnung der L ä n g e des Kreisbogens eine Aufgabe, die vor der Definition der Winkelfunktionen erledigt werden miißte.

160

VIII. Winkelfunktionen

Wir gehen daher einen anderen Weg und definieren die Winkelfunktionen cos x=C(x) und $aix = S{x) durch die folgenden Bedingungen: C(x), S(x) seien in ® = SR differenzierbar; es gelte für jedes χ e S : C'(x) = —S{x), S'(x) = C(ar); es sei C(0) = 1, S(0) = 0. Wir werden später zeigen, daß C(x), S(x) die auf die Bogenlänge bezogenen Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis sind. Die Bezeichnungen C(x), S(x) verwenden wir an Stelle von cos x, sin x, um uns leichter darauf konzentrieren zu können, daß für C(x) und S(x) nur die definierenden Eigenschaften und daraus abgeleitete Relationen Gültigkeit besitzen. Zur Motivierung der Definition geben wir eine kinematische Deutung an; natürlich machen wir in diesem Kapitel von dieser kinematischen Überlegung keinen Gebrauch. — Wir denken uns den Einheitskreis von einem P u n k t so durchlaufen, daß dieser in der Zeiteinheit die Längeneinheit zurücklegt. Die Geschwindigkeit des Massenpunktes wird dann von einem Vektor Β der Länge 1 beschrieben, der in der Tangente an den Einheitskreis liegt. Sind x1{t), x2{t) die Koordinaten des Punktes in Abhängigkeit von der Zeit f, so sind ii(f)> x'2(t) die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors. Aus der Kongruenz der beiden Dreiecke (vgl. Figur 37) folgt: x[ = — x 2 , x'z = Xy, wobei das negative Vorzeichen sich daraus ergibt, daß x j der Richtung von xx entgegengesetzt ist. Beginnen wir zur Zeit ί = 0 im Punkte (1, 0) der Zj-Achse, so ist weiter ^(O) = 1, x2(0) = 0. Mit t = x, = C(x), x2 = S(x) sind die genannten Beziehungen genau die, die wir zur Definition von C(x) und S{x) verwenden wollen. Methodisch gehen wir in diesem Abschnitt entsprechend vor wie bei der Einführung von In 3. Aus den definierenden Eigenschaften ziehen wir Folgerungen, die zuletzt über die T a y l o r - R e i h e n zu einer Konstruktion der Funktionen G(x) und S(x) führen. Den Existenzbeweis f ü h r t man dann, indem man nachprüft, daß die angegebenen Reihen-

1. Definierende Eigenschaften

161

entwicklungen Funktionen C(x),S(x) darstellen, die tatsächlich die definierenden Eigenschaften haben. Hierzu muß vorweg gezeigt werden, daß die Reihen konvergieren.

1. Definierende Eigenschaften der Funktionen cos χ und sin x, Folgerungen. Wir zeigen: Es gibt genau eine Funktion C(x) und genau eine Fmiction S (χ), die in % = 9ϊ definiert und differenzierbar sind und für alle χ e φ den Differentialgleichungen (I)

C'(x) =—

und in χ = 0 den (II)

S(x),

S'{x) =

C(x)

Anfangsbedingungen C(0) = 1 ,

5(0) = 0

genügen. Den Existenzbeweis für die Funktionen C(x) und S(x), die (I) und (II) genügen, stellen wir zunächst noch zurück. Alle Aussagen, die wir jetzt gewinnen werden, sind vorläufig mit dem Zusatz „falls es solche Funktionen überhaupt gibt" zu versehen. Wir beginnen damit, aus (I) und (II) weitere Eigenschaften der Funktionen C(x) und S(x) abzuleiten. 1. Es ist C(x)2 + S(x)2 = 1; denn differenzieren wir die Funktion f{x) = C(xf + S{xf, so folgt nach (I) f'(x) = — 2 C ( x ) · S(x) + 2 S ( x ) · C(x) = 0 und also C(x)2 + S (x)2 = const. Nach (II) wird C(0) 2 + ,S'(0)2 = 1, woraus sich für die Konstante der Wert 1 ergibt. Hieraus folgt weiter (vgl. I. 2, Aufg. 3): | C(χ) \ ^ 1 , | S(x) | ^ 1 . 2. Nach (I) ist — S(x) = C" (x); mit — S(x) ist also auch C'{x) differenzierbar und es gilt — S'(x) = C" (x). Entsprechend C'(x) = S"(x). Verwenden wir nochmals (I), so folgt: C"(x) + C(x) = 0, S"(a;) + S(x) = 0. Daraus ergibt sich, daß jede Funktion f(x) = a· C(x) + b- S(x) mit konstanten a, b der Differentialgleichung f"(x) + f(x) = 0 genügt. Es gilt auch die Umkehrung: Genügt eine Funktion f(x) in SR der Differentialgleichung f"(x) + f(x) = 0, so läßt sich f(x) mit geeigneten Konstanten a, b in der Form 11

B a r n e r , Differential· und Integralrechnung I

162

VIII. Winkelfunktionen j(x) = a · C(x) + b • S(x)

darstellen. Zum Beweis betrachte man die Hilfsfunktionen a(x) = f(x)-C(x)-f(x)-S(x), i(x)=f(x)-S(x)+r(x)-G(x), die sich wegen a'(x) = - S ( x ) - ( f ( x ) + f " ( x ) ) = 0, b'(x) = G(x) • (/(*) + rix)) = 0 als Konstante erweisen: a(x) = α = const, b(x) = b = const. Mittels der Hilfsfunktionen finden wir aC(x) + bS{x) = ( f ( x ) • C(x) — j'{x) • S(x)) + (f(x)-S(x) = f(x) · (C(xf

+

C{x) f'(x)-C(x))S(x)

+ S(xf)

und also nach 1. f(x) = aC(x) +

bS{x).

3. Die Eindeutigkeit von G{x) und S(x). Gäbe es neben C(x) und S(x) noch die Funktionen C(x) und S(x), die (I) und (II) genügen, so wäre für/(a;) = C(x)—C(x) und g(x) =S(x)—S(x) einmal f"(x) + f(x) = 0, f (x) = —g(x), zum anderen /(0) = g(0) = 0. Nach 2. wäre mit konstantem α, b: f{x) = aC(x) + bS(x), also f'(x) = — aS(x) + bC(x)\ da nach (II) /(0) = 0 und /'(0) = — g(0) = 0 ist, würde a = 0, b = 0 folgen. Also ist f(x) = 0 für jedes χ und also C(x) = C(x). Entsprechend beweist man S(x) = S(x). Damit ist gezeigt: Es gibt höchstens eine Funktion C(x) und eine Funktion ß(x), so daß (I) und (II) für C(x) und S(x) erfüllt sind. Aulgabe 1: Man führe den Beweis für S(x) = S(x) durch. 4. Die Additionstheoreme. Für die Funktion f(x) = C(oc + x) mit einer beliebigen Konstanten α ist nach (I) fix) =-S{a + x), f"(x) = - C{a + x) und also f"(x) + f(x) = 0. Damit folgt aus 2. mit Konstan-

1. Definierende Eigenschaften

163

ten «n \ : C(x + χ) = axG(x) + t^x). Ebenso findet man S(x + x) = a2C(x) + b2S(x) mit Konstanten a2, b2. Durch Differenzieren erhält man — S(x + x) = —a-^Six) + b1C{x) u n d C ( a + x) = — a2S(x) + b2C(x). F ü r s = 0 folgt hieraus % = C{x), a 2 = S(x), bl = — Six) und b2 = C(x). Verwendet man dies, so ergeben sich die Additionstheoreme für die Funktionen C(x), S(x): C(x + z) = C(x) · C{x) — S{x) • S(x), S{x + «) = S(x) · C(x) + 0 ( a ) · S(x). 5. In φ = {x | χ > 0} gibt es eine Nullstelle der Funktion C(x). Wir führen die Annahme C (χ) > 0 für alle χ e SD zu einem Widerspruch. Aus C(x) > 0 würde nach (I) S'(x) > 0 folgen und also wäre S(x) in φ streng monoton wachsend; wegen 0 folgen für alle a; e Sei dann ι 0 ε ® ein beliebiger, im folgenden festgewählter Punkt aus Für χ > x 0 wäre nach dem Mittelwertsatz und nach (I) C(x) - C(x0) = ( x - x0) • Ο'(ξ) = - (x-x0) • S(|) mit x0 < ξ < χ und wegen der Monotonie der Funktion S (x) also C(x) — C(x0) < — (x — x0) • S(x0). Wählen wir dann C(x ) x > q , ° + x0, so wird C (x) < 0. Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme C(x)> 0 für alle x e S ; also gibt es ein xe % mit C{x) ^ 0. Da C(0) = 1 und C{x) ^ 0 ist, folgt nach dem Zwischenwertsatz die Existenz einer positiven Nullstelle der Funktion C(x). Der Nachweis, den wir geführt haben, ist ein reiner Existenzbeweis für eine Nullstelle der Funktion (J(x) in 2). E r bietet keine Möglichkeit, eine solche Nullstelle zu konstruieren. 6 . Die Menge Μ der Nullstellen der Funktion C(x) in % ist nach unten durch 0 beschränkt, die Menge ist nicht leer. Also besitzt 3J? eine größte untere Schranke ξ = fin 2Ji. Wir zeigen: ξ ist selbst Nullstelle, d. h. es gilt C(£) = 0, | = min 2J{. Als größte untere Schranke ist ξ entweder Ele11

164

VIII. Winkelfunktionen

ment von 931 und also C(tj) = 0 oder Häufungspunkt von Elementen aus 2J2. Dann lehrt die Stetigkeit von C(x), daß mit C(x) = 0 für χ e auch C(|) = 0 gilt. Es ist | =j= 0, da C(0) = 1 ist. Es gibt also eine kleinste positive Nullstelle der Funktion TZ / 7t \ C(x). Wir bezeichnen sie mit ; es ist C I =0undC(a:)>0 7t 7t ~2~, Wir heben hervor: — i s t definiert als kleinste

für Ο

χ

positive

Nullstelle der Funktion

C(x).

7. I n O ^ χ < — ist C(x) > 0 und also nach (I) S'(x) >

0.

Also wächst hier S(x) streng monoton, und wegen 5 ( 0 ) = 0 ist S(x) > 0 in 0 < χ < ~ Daraus folgt S

. Nach 1. und 6. ist ( s ( y ) )

= 1 ' w e g e n der Stetigkeit von S (x).

8. Aus den Additionstheoremen folgt für χ = s(s

= 1.

+ -j)=C(s),

c(x

+

:

f ) — S ( x )

und daraus weiter S (χ + π) = G (χ +

= — S(x)

und

C(x + π) = —S {χ + y j = — C(x) und ferner S(x + 2π) = —8(x + π ) = S(x) und ebenso C(x + 2π) = C(x). Mithin gilt: Die Funktionen S(x) und G(x) sind -periodisch mit der Periode 2π. Genau dies besagen die Gleichungen S{x + 2π) = S{x), G(x + 2π) = C(x). Aufgabe 2: Aus den Additionstheoremen folgere man mit α = — χ unter Benutzung von 1.: C(x) = C(— x), S(x) = — S(— x). Bemerkung 1: Eine Funktion /(x) in φ = {χ | — a < χ < a) mit der Eigenschaft f(x) = / ( — x ) heißt gerade Funktion. Gilt /(x) = —/(—χ), so wird /(x) ungerade Funktion genannt. In der anschaulichen Darstellung ist der Graph einer geraden Funktion

165

1. Definierende Eigenschaften

spiegelbildlich bezüglich der y-Achse, der Graph einer ungeraden Funktion geht bei Spiegelung am Ursprung in sich über. — Nach voranstehender Aufgabe ist C(x) eine gerade, S(x) eine ungerade Funktion. 9. Aus (I) folgt direkt, daß alle Ableitungen der Funktionen C(x), S(x) existieren, und zwar wird C' = —S, S' =

C" = — C, V"

=

S, C

(2k + 1)!

Wenn es also überhaupt Funktionen gibt, die (I) und (II) genügen, so sind diese durch die genannten unendlichen Reihen eindeutig bestimmt, womit von neuem die Eindeutigkeit bewiesen ist. Allerdings gelten alle Aussagen nur, wenn es solche Funktionen C(x), S(x), die (I) und (II) genügen, überhaupt gibt. Da wir dies noch nicht wissen, ist tatsächlich nicht einmal die Konvergenz der unendlichen Reihen gesichert. Aufgabe 3: Die durchgeführten Überlegungen vollziehe man an einem anderen Beispiel nach. Man zeige: Es gibt genau eine Funktion γ(χ) und genau eine Funktion σ(χ), die in ® = 31 den Differentialgleichungen (Ϊ) γ'(χ) = σ(χ), σ'(χ) = γ(χ) und in x 0 = 0 den Anfangsbedingungen (II) y(0) = l , σ(0) = 0 genügen. Ohne Verwendung der Funktion ex folgere man: a) es ist (γ(χ))2 — (σ(χ))!! = 1; b) γ(χ) ist in = {x\x~^ 0}, a(x) in S>2 — 9i streng monoton wachsend; c) es ist γ(χ) > 1 für χ Φ 0;

166

VIII. Winkelfunktionen

d) die Funktionen σ(χ), γ (χ) sind durch (I) u n d (II) eindeutig bestimmt; e) es gelten die Additionstheoreme γ (χ

γ (χ) γ

+ α) =

(α) +

σ(χ) σ

(α),

σ(χ + α) = σ(χ)

γ

(α) +

γ(χ)

σ

(α).

f) Es ist γ(χ) eine gerade, σ(χ) eine ungerade Funktion; g) es gelten die Grenzwertbeziehungen: 1

γ(χ)

1

J z w i = Λ " φ ) = Λ ™ { γ ( χ ) ~σ(χ))=Vi™ h) die T a y l o r sehen Reihen lauten: oo x^k oo x^k +1 Y(x) =

i ? o

W

a(x) =

·

i^o Ρ

=

1:

+ ϊ)·

Dann beweise man die Existenz von γ(χ) und σ(χ) indem man bestätigt, daß ?(») =

\ (

e X

+

e

~x)>

o{x)

=

-7jr(ex

—

e~x)

die Eigenschaften (I) und (II) haben. Man bezeichnet die Funktionen γ(χ) und a(x) als verwendet die Funktionssymbole y(x)

funktionen und σ(χ) = Sin x.

=

HyperbelCos x,

2. Existenz der Funktionen cos χ und sin χ N u n beweisen wir die Existenz der Funktionen C(x) und S (χ), indem wir zeigen: Durch 00 ~2 k CO T2 k +1 C(x) =

^

i - i y

,

m

S(x)

=

(

- 1 ) .

l

s

r

n

i

r

sind zwei Funktionen C(x), S(x) für alle χ e 9Ϊ definiert, die die Bedingungen (I) und (II) erfüllen. 1. Zunächst ist zu beweisen, daß die angegebenen Reihen konvergieren. Wir verwenden das C a u c h y s c h e Konvergenzkriterium. Es ist m

jZk

» =

A

n

|x|tt

2

™

(2k)\ = , £ „

\x\*_

II

< £

'

wobei die letzte Ungleichung für vorgegebenes ε > 0 für alle 2w, 2 m > Ν auf Grund der Konvergenz der Reihe

2. Existenz der Funktionen cosa; und sin a

167

α> I x\l eIχI = Σ ,. folgt. — Genauso beweist man die Koni ο ·' vergenz der Reihe für S(x). 2. Es ist C(0) = 1 und S{0) = 0. Also erfüllen C(x) und S{x) die Anfangsbedingungen (II). 3. Es ist C'(x) = — S(x) für jedes χ e

Es ist zu zeigen,

daß lim (—S(x)) = 0 ist. Wir wissen, daß n h-* 0 die drei hier auftretenden Reihen für G(x + h), C(x) und S(x) konvergieren. In den folgenden Umformungen wenden wir die Gesetze über das Rechnen mit konvergenten Reihen an (vgl. IV. 4, Bern. 2). Wir finden 1 (C{x + h) -

C(x)) + S(x) =

00 -

ί

,-fo1

~2 k ,

Η

^

i

o

(-1)*

CO +

Ä(2fc)I

3·2ί+1

ί . ί - ^ ν + Ι ϊ A: = 1

ij

(2fc

1)!

Hierin ergibt sich nach der binomischen Formel (x + h f k —x2k = h· Σ

(

a^-W"1

= Ii2 Σ i 21 f ) x^-W'2 i=2\ '

+ h • 2k · z2*-1

und also -L (C(a; + h) -

00

C(x)) + 8{x)

T2fc-1

CO

~2k-1

168

VIII. Winkelfunktionen

da die Summe der beiden Reihen in der dritten Formelzeile Ο ist. Wenn wir beweisen können, daß der F a k t o r von h nicht größer als eine von h unabhängige Schranke Μ wird, so ist 1

(C(x + h) — C(x)) + 8(x)

^

|h\M,

woraus die Behauptung folgt. Tatsächlich ergibt sich bei Anwendung der binomischen Formel f ü r jedes η und | h | < 1

.. _

«

(i+|*lP

~kto