Grundzüge und Aufgaben der Differential und Integralrechnung nebst den Resultaten [21. Aufl., Reprint 2022] 9783112678961, 9783112678954

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Dölp-Netto

DIFFERENTIALUND

INTEGRALRECHNUNG

21. AUFLAGE

Alfred Töpelmann Verlag in Berlin W 35

Grundzüge und Aufgaben der Differentialund Integralrechnung nebst den Resultaten von

Dr. H. Dölp n e u bearbeitet von

Dr. Eugen Netto

21. Auflage

1949

Verlag von Alfred Töpelmann in Berlin W 35

INHALT Differentialrechnung Funktionen e i n e r

unabhängigen Variabelen

1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwickelung des Differentialquotienten y. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen 4. Differentialquotienten der trigonometr. und cyklometr. Funktionen . . . 5. Exponential- und logarithmische Funktionen 6. Unentwickelte Funktionen 7. Funktionen von der F o r m : x = (t) 8. Differentialquotienten höherer Ordnung 9 . Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der Werte unbestimmter Formen 10. Maxima und Minima der Funktionen 11. Die Reihen von Taylor und Maclaurin

Seite

1 2 18 22 29 39 44 47 56 64 91

Funktionen von z w e i unabhängigen Variabelen 12. 13. 14. 15.

Entwickelung der Differentialquotienten Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen Homogene Funktionen Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen

100 102 105 107

Integralrechnung Unbestimmte Integrale 1. 2. 3. 4. 5. 6.

D i e einfachen Integralformen Integration rationaler algebraischer Brüche Reduktionsformeln Irrationale algebraische Funktionen Exponential- und logarithmische Funktionen Trigonometrische und cyklometrische Funktionen

109 116 139 141 157 160

Bestimmte Integrale

170

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Tangente und Normale ebener Kurven Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, konjugierte (isolierte) Punkte Krümmungskreis und Evolute Die Wende- oder Inflexionspunkte Der Flächeninhalt begrenzter Figuren Rektifikation ebener Kurven Die Oberfläche von Rotationskörpern Der Kubikinhalt von Rotationskörpern

178 184 189 198 203 209 211 213

Differentialrechnung. Funktionen einer unabhängigen Variabelen. § 1.

y =

dy

axn

y = y = 3

Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen. dx

a nn —n n= = ax~ ax~ x n a\ix

na —rrn l = x+

„ =

11

axn

=

= nr

n

y x P

n

p axn

n

y =

a

y =

V *

y=

cx

„

y =

ax

„ =

y =

, \gx

=

M

"

»

=

y

"

= sin x = cos x

y =

i 7 7 = x

=ex axlga

1

x

„ = cos x „ = — sin

= arc sin

x

1

tgx

y = cotg x y

p _ - a x M

'

2y

y

sin'j x

Dölp, Aufgaben.

—naor

V i

n

'

2 y = arc cos x y = arc tg x y = arc cotg x

dy_ dx _

1 | / l — x2 1

8

"

___JL — T+x2'

§ 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwicklung des Differentialquotienten. Eine Gleichung, in welcher eine e i n z i g e u n b e s t i m m t e Grösse x mit einer beliebigen Anzahl von gegebenen und unverändert beibehaltenen ( k o n s t a n t e n ) Grössen a, b, c, . . . durch irgend welche ßechnungsoperationen verbunden auftritt, ist entweder eine i d e n t i s c h e G l e i c h u n g oder eine B e s t i m m u n g s - G l e i c h u n g . Eine identische Gleichung ist eine solche, die für jeden Wert der Grösse x gilt, wie z. B. (x -f- a)2 = x2 + 2 a x -f- a\ Eine Bestimmungs-Gleichung ist eine solche, die nicht für jeden Wert von x gültig bleibt; ein Beispiel hierfür bietet x2 — 2ax-\-b = 0. Bei einer Bestimmungs-Gleichung entsteht daher die Aufgabe, denjenigen Wert, oder diejenigen Werte von x zu finden, Kelche die Gleichung erfüllen. Die Grösse x heisst deshalb die U n b e k a n n t e . Ihre Bestimmung ist Aufgabe der Theorie der Gleichungen. Eine Gleichung, in welcher ausser den gegebenen Konstanten z w e i u n b e s t i m m t e Grössen x und y auftreten, kann ebenfalls eine i d e n t i s c h e Gleichung sein, wie z. B. (x -f y) {x — y) = x2 — if. Ist jedoch die Gleichung keine identische, dann kann sie zu einer Bestimmungs-Gleichung für die eine der beiden Grössen y (oder x) dadurch gemacht werden, dass man der anderen x (oder y) irgend einen bestimmten Wert beilegt. Dieser Wert kann beliebig gewählt werden; von ihm ist die andere Grösse

3 abhängig. Die beliebig gewählte Grösse x (oder y) heisst deshalb die u n a b h ä n g i g e V a r i a b e l e ; die andere durch sie bestimmte y (oder x) heisst die a b h ä n g i g e V a r i a b e l e ; sie wird auch als F u n k t i o n der unabhängigen Variabelen bezeichnet. 1. B e i s p i e l :

(a) Ax-j-By~\C = 0, Ax + C folglich (b) ="±*-

, (?)

Zur Erweiterung setzen wir v + w statt v und finden sofort: du du dv dw , . = —l—z—h t— oder (u + v + w) = m +v +w . dx dx~ dx~ dx y _ Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e i n e r Summe v o n F u n k t i o n e n der n ä m l i c h e n V a r i a b e l e n ist g l e i c h der Summe a u s d e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n der e i n z e l n e n F u n k t i o n e n . Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t aus e i n e r D i f f e r e n z z w e i e r F u n k tionen der n ä m l i c h e n V a r i a b e l e n ist g l e i c h der D i f f e renz aus den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von M i n u e n d u s und Subtrahendus. Für das P r o d u k t y = u.v ergeben sich folgende Beziehungen :

13 y -)- J y = (u -f- J u) (v -]- J n), Jy = uJv-\-vJu-\Ju Jv, Jy Jv , Ju , JuJv . J x . J x ' J x 1 J x J x Jy Jv . .. Ju . Ju,. Jv,. lim —- - = u hm — 1 h v lim— h lim —— hm —— lim Jx: Jx Jx Jx ' Jx Jx da das letzte Glied der letzten Gleichung verschwindet, so hat man dy dv , du , , . , = MT \-v-ir- oder (u.v) =uv -\-vu. (8) dx dx dx ' ' Ein P r o d u k t aus zwei F u n k t i o n e n der nämlichen V a r i a b e l e n wird d i f f e r e n t i i e r t , indem man den Differ e n t i a l q u o t i e n t e n des ersten F a k t o r s mit dem zweiten F a k t o r und den Differentialquotienten des zweiten F a k t o r s mit dem ersten F a k t o r multipliziert und beide P r o d u k t e addiert. 1. Beispiel: y — x 8 x 4 — u . v, u'= 3 x 2 , v' = 4x 3 , < / ' = x 4 . 3 x 2 - f - « : * - 4 x : i = 7 x 6 , ein Wert, welcher auch aus der direkten Form y = x1 hervorgeht. 2. Beispiel: y = (a bx") (c -f- ex 8 ) = u. v; u' = 2bx, v' = 3 e x 2 ; y' = 2 b x (c + e x 3 ) -j- 3 e x 2 {a - f b x 2 ) = 2 b cx -j- 3 ae x 2 -f- 5 b e x 4 . Das gleiche Resultat wird erhalten, wenn man zuerst die Multiplikation ausführt und dann differentiiert. Geht v in vw über, dann verwandelt sich v' in v'w-\-w'v und wir erhalten statt (8): y' — (uvw)' = l)M).M'-f uw .v' -\-uv. w'. Tritt an die Stelle des veränderlichen Faktors v die Konstante a, so ist v' = 0 und daher wird für y = au jetzt y'=au' oder {au)'=au. Der Differentialquotient eines P r o d u k t s aus einer K o n s t a n t e n mit einer Funktion von x ist gleich dem P r o d u k t aus dieser Konstanten und dem Differentialquotienten der Funktion.

14 Für den Q u o t i e n t e n

= ~ folgt:

, , m-[- Ju y + Jy — V -f' u-\-Ju u vJu—tiJv Jyv-\-Jv v v(y-{-Jv) ' Ju Jv Jy Jx Jx Jx v(y-\- 4 v) ' . Ju Jv v lim — u hm —— lim • Jx v (v -)- lim J v) ' dt/ v. u' — uv ... / = « • v(9) dx v* ' D e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e i n e s B r u c h e s ist g l e i c h dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n d e s Z ä h l e r s m u l t i p l i z i e r t mit dem N e n n e r , w e n i g e r dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n d e s N e n n e r s m u l t i p l i z i e r t mit dem Z ä h l e r , d a s G a n z e geteilt durch das Q u a d r a t des Nenners. ^ B e i s pr i e l : J« = = —: u' = 2x, v' = 1, x— a v' ' , 2x(x — a) — l.(x, — at) . y= - = !• Aus der reduzierten Form y = x-\-a entsteht derselbe Wert. Einfacher kann der Differentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich w ., , , y = —, so ist u = y. V) u =vy -j-yv , U r , u' — y v' u' — ^r •v u'v — uv' y == ^^ 9 * V V V* Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun übergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung eingeführt worden ist.

15 Bedeutet f (w, v) eine Funktion zweier Variabelen u, v, so kann die Differentiation entweder nach u vor sieh gehen, wobei v als konstant angesehen wild, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Solche Differentiation nach einer der beiden Variabelen heisst p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a t i o n , und ihr Resultat ist der p a r t i e l l e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t n a c h u oder n a c h v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden 8 von dem t o t a l e n Differentiieren und schreibt ^ / M = v ) ~ f ( u , v) 8u Ju ' 8_f (tVü) = Um f(u,v + Jv)—f(u,v) ^ 8v Av Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y = f(u, v) und hierbei u und v Funktionen von x, etwa u =

i) — f f a vt)+f(ui

v

i) — /"(«>v)

u f{U11Vl)—f{U1Vi) i — U I f(U 1 Vl)~f(HlV) V, — V —u xt — x v1 — v • x1 — x' Lässt man xt zur Grenze x und damit y 1 JU den Grenzen w, v, y gehen, dann wird u,—u du .. v,—v dv .. y,—y dy lim - 1 = , lim 1 = -=—, lim ^ - = , OC d CC vCj • CC Ct OC iCj • 1 3C (X ii' =

lim f ( u i v i ) — f ( H ' v ) = s f t u i v ) . —v 8v ' dagegen ist die Grenze des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Nun erkennt man aber, dass fbhivl) — f(uivi) _ f(ui' v ) — f(lh v ) Mj — U U, - - U

16 mit dx sich gleichzeitig der Null nähert. Differenz ist also Null, und somit lim

f ( " l . « l ) - f ( M . Vl) Mj •— U

=

lim

Die Grenze dieser

Mj — U

v) =

v) _

du

Daher erhalten wir dy dx

df(u,v) dx

df(u,v) du du dx

,df(u,v)dv dv dx

dy du .dy duax'dvdx'

dv ^

Diesen Ausdruck nennen wir den totalen D i f f e r e n t i a l quotienten von y nach x. Wir sehen: Sind u und v F u n k t i o n e n von x, und ist y eine F u n k t i o n von u und v, so d i f f e r e n t i i e r t man diese total nach der vorstehenden F o r m e l durch Verwendung der p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n der F u n k t i o n nach u und v. 1. B e i s p i e l : Sind u und v zu einer Summe oder Differenz verbunden, so ist y = f(u,v) — u±v, dy

du

dv

Jx = Jx±Tx-

„T , _

w

2. Beispiel. df

dy

ü x

V

du

~ = + l und

.

Formel 7.)

Ist y = f(u,v) = u.v. x

t e +

3. Beispiel.

~ —

,

U

Ist

dv

Tx

W

. _

y = f(u,

df

u

dy

1 du

u dv

dv

v2'

dx

v dx

v2dx

so wird

(9 f du

.

=v,

Formel 8.) v) = —, so wird ~ vu'— uv' v2

du

=

v

„ j Formel 91 '

''

4. Beispiel. Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem die andere Variabele v ganz fehlt, dann fallt in (10) der S f

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist ~ mit ^ oder i y = p d / - . dx

du

dx

. Für y = f(u), (Vgl. Formel 6.) '

gleichbedeutend

u = y(x) finden wir dann'

17 Es erübrigt uns jetzt noch, zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aus den drei Funktionen von x, nämlich u =

+i+R)ni + R)R)r

2.3

1

M/\ n) •••^V V » / 1.2.3...» Wir haben die Absicht, n ins Unendliche wachsen zu lassen. Da aber der Satz, dass die Grenze einer Summe gleich der Summe der Grenzen der Summanden ist (S. 6, letzte Zeile), nur für eine endliche Gliederzahl gilt, während hier mit wachsendem n die Anzahl der Glieder ins Unendliche wächst, so können wir den Ubergang nicht direkt vornehmen. Es sei p eine positive ganze Zahl < », und der absolute Betrag \x\ kleiner als p. Wir brechen die Reihe hinter dem Gliede mit xp ab und bezeichnen den Rest mit R p n . Also

R)" ->+f+R)o+R)R)Ä+-

Der Rest R P i n liegt zwischen der Summe aller folgenden negativ genommenen und aller folgenden positiv genommenen Glieder. Für seinen absoluten Wert gilt demnach 17?

1

I^

K*+1

I

Np+2

I

I

M"

Aw|^1.2...(p+l)^1.2...(p+2)^""~r~1.2...»

K^H-frM

.

1.2...(p+l) Die Summe in der letzten Klammer kann beliebig weit fortgesetzt werden. Da \x\ < p ist, so folgt hieraus durch Summation der Reihe als Wert des letzten Ausdruckes

30 +

1

1

1.2...(p+l)

_

J«l_¿ + 1

Wir haben demnach 0