Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie: Band 1 Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Raume [Reprint 2022 ed.] 9783112631287

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ANWENDUNG DER

DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG AUF

GEOMETRIE VON

GEORG SCHEFFERS

ERSTER B'AND EINFÜHRUNG IN DIE THEORIE DER KURVEN IN DER EBENE UND IM RÄUME

BERLIN UND LEIPZIG 1921 VEREINIGUNG WISSENSCHAFTLICHER VERLEGER WALTER DE C R U Y T E R & CO. VORM. G. J. GÖSCHEN'SCHE V E R L A G S H A N D L U N G — J. G U T T E N T A G V E R L A G S B U C H H A N D L U N G — GEORG R E I M E R — K A R L J. T R Ü B N E R — V E I T & COMP.

EINFÜHRUNG IN

DIE

THEORIE DER KURVEN IN DER EBENE UND IM RÄUME VON

GEORG S C H E F F E R S

Z W E I T E VERBESSERTE U N D VERMEHRTE A U F L A G E U N V E R Ä N D E R T E R ANASTATISCHER NEUDRUCK MIT 107 FIGUREN IM TEXT

BERLIN UND LEIPZIG 1921 VEREINIGUNG WISSENSCHAFTLICHER VERLEGER W A L T E R DE Ü R U Y T E R & CO. VOli.M. (i. J. fiöSCHEN'SC'HE YERLAGSHANDLUNG — J. «,„ + 1 unterworfene

Funktion.

Allerdings

fehlen hierbei

diejenigen

Ab-

b i l d u n g e n , bei d e n e n x + x und y + y v o n e i n a n d e r a b h ä n g i g sind. D i e s e a b e r e r g e b e n sich ebenso, w e n n m a n d i e eine E b e n e z u n ä c h s t d u r c h eine B e w e g u n g in sich in e i n e a n d e r e L a g e g e g e n ü b e r i h r e m Achsenkreuze treue

bringt.

Siehe

Abbildungen

2. B d . 1918, S. 1 8 0 — 1 8 6 .

in

die der

Arbeit

des V e r f . :

Ebene",

„Flächen-

Mathem.

Zeitschrift

Berichtiaungen und Zusätze zum anastatischen Neudruck

xi

1 Seite 203, Zeile 14 von unten lies: à, Zelle 11 von unten lies: Methodus, Zeile 2 von unten lies: Mémoire, Über LANCRETS Untersuchungen findet man einen kurzen Berieht „ D e s c o u r b e s à d o u b l e c o u r b u r e " in der Correspondance sur l'École Polytechnique par Hachette, 1. Bd. Paris 1804—08 (2. Auflage 1813) S. 51. I Seite 228, zweite Anmerkung: Inzwischen ist SCHELLS Buch in völlig neubearbeitetor dritter Auflage von SALKOWSKI, Leipzig und Berlin 1914, herausgegeben worden. I Seite 288, Zeile 1 von unten fehlt der Nenner r . 1 Seite 264, Zeile 11 von unten lies: S. 202. 1 Seite 291, Zeile 10 von unten lies: (13) s t a t t (15). I Seite 296, Zeile 15 von unten lies zuletzt: — I I I I I I I

Seite Seite Seite Seite Seite Seite Seite

e

308, 827, 381, 882, 357, 383, 456,

Zeile 1 von unten lies: courbures. Zeile 4 und 5 von oben lies: Hauptnormalen s t a t t Haupttangenten. Zeile 9 von unten lies in der ersten Formel: a s t a t t l . Zeile 8 von unten setze vor cos-co das Pluszeichen. Zeile 11 von unten ist nach: beliebig einzuschalten: klein. Zeile 8 von oben lies: x, y, z s t a t t jr, p, j. Anmerkung füge hinzu : Siehe auch „ O e u v r e s d e L a g u e r r e " , 2. Bd. Paris 1905, S. 6—15, insbes. S. 9'. I Seite 470, Gleichungen (^4) lies: a — s s t a t t b — s und c — s, Zeile 7 von nnten lies: . I Seite 473 Zeile 2 von unten: Das Vorzeichen der Quadratwurzel muß so gewählt werden, daß der Ausdruck (B) positiv wird. I Seite 482, linke Spalte, Zeile 5' von oben schalte ein: 59, rechte Spalte nach dem Stichwort Zylinder lies: 189 s t a t t 188.

Zum z w e i t e n B a n d e in z w e i t e r A u f l a g e (1913). Außer den dort auf S. 582 gemachten Berichtigungen sind noch folgende zu nennen II Seite 96, Anmerkung: Nach CHASLES, „ A p e r ç u h i s t o r i q u e e t c . " , Brüssel 1837,

3. A u f l a g e P a r i s 1 8 8 9 ,

S. 516,

h a t JORDANUS NEMORARIUS

in einer Schrift über das Planisphärium, die 1507, 1536 und 1538 gedruckt worden ist, zum ersten Male bewiesen, daß sich jeder Kugelkreis vermöge der stereographischen Projektion als Kreis abbildet. Die Winkeltreue der stereographischen Projektion entdeckte GERHARD

KREMER

gen.

MERCATOR

auf

einer

1587. z u

Duisburg

herausgegebenen Landkarte, siehe BREUSING, „ G e r h a r d K r e m e r g e n . M e r c a t o r , d e r d e u t s c h e G e o g r a p h " , Duisburg 1869, 2. Auflage 1878, S. 47, sowie: „ D a s V e r e b n e n d e r K u g e l o b e r f l ä c h e f ü r G r a d n e t z e n t w ü r f e " , Leipzig 1892, S. 29. II Seite 125 Gleichung (2) : Die durch diese Gleichung ausgedrückte gesetzmäßige Beziehung zwischen k und R h a t SOBOTKA verwendet zu „ K o n s t r u k t i o n e n , die K r ü m m u n g einer F l ä c h e in einem P u n k t e b e t r e f f e n d " , Bulletin international de l'Acad. des sciences de Bohême 17. Bd. 1912, S. 1—29. II Seite 209, Zeile 17 von unten lies: (30).

xii

Berichtigungen

und Zusätze zum anastatischen

Neudruck

II Seit« 238, Satz 84 siehe bei ENNEPER, „ Ü b e r a s y m p t o t i s c h e L i n i e n " . . Göttinger Nachrichten 1870, S. 493—510, insbes. S. 502. II Seite 244, Anmerkung: Die Schiebungsflächen treten zuerst auf in,MONGES „ A p p l i c a t i o n d e l ' a n a l y s e à l a g é o m é t r i e " , §14. II Seite 255, erste Anmerkung: Wenn DARBOUX in seinen „ L e ÇO n S s u r l a t h é o r i e g é n é r a l e d e s s u r f a c e s " 1. partie, Paris 1887, S. 111, meint, daß der in B e d e stehende Satz 94 von KOENIGS. herrühre, irrt er sich, denn'der Satz kommt schon in der ersten Auflage von BÖKLEN'S „ A n a l y t i s c h e r G e o m e t r i e d e s R a u m e s " , Stuttgart. 1861, S. 6 9 vor. II 8eite 287, Zeile 12 von unten : Brieflich machte ENGEL darauf aufmerksam, d a ß sich auch im Falle R = konst. je zwei unendlich benachbarte Kugeln berühren. II Seite 310, Zeile 12 und 11 von unten lies: Hauptnormalen s t a t t H a u p t t a n genten. II Seite 338, Zeile 1 von oben ist das: und nach E, F, G, L, M, N zu setzen. II Seite 840, Zeile 4 von unten lies 1857 und schalte n a c h : nennt ein: sie. II Seite 410, 4 1 1 : In den Formeln (13) srtwie in den Formeln für x , y , z auf S. 411 oben muß im Nennen \'E statt E stehen. II Seite 427, Zeile 3 von oben schalte nach: Fläche ein: und auch durch andere Orientierung, unter (11) lies das zweite Mal: Vrr s t a t t ¿\ f f . II Seite 477, Zeile 11 von oben lies: u = 1. II Seite 486, Zeile 6 von unten lies: a 2 = 1 : c. I Seite 526, Anmerkung: MONGE b e t r a c h t e t zwar in § 22 seiner „ A p p l i c a t i o n " die von uns Kanalflächen genannten Flächen, bezeichnet aber nur die von uns Röhrenflächen genannten Flächen als Kanalflächen (in § 7). II Seite 549, Zeile 11 von oben muß es heißen: nur für GIIUG — 6 « = 0, also nach X V I I (B) nur bei den F l ä c h e n konstanter K r ü m m u n g konstant. II Seite 562, Tnfel XVII (0) lies:' Z) 2 statt V .

Inhalt. Erster Abschnitt. Kurven in der Ebene.

Seite

§ § § § § §

1. Analytische Darstellung ebener Kurven 2. Die Bogenlänge einer ebenen Kurve 3. Die Bewegungen in der Ebene 4. Tangenten einer ebenen Kurve 5 Berührung zwischen Kurven in der Ebene 6. Merkmale für die Berührung bei besonderen Darstellungsformen der Kurven § 7. Berührung von Kurve und Kreis § 8. Krümmung ebener Kurven , . . . , . § 9. Einhüllende Kurven in der Ebene § 10. Evolute und Evolventen §11. Differentialinvarianten einer ebenen Kurve . . . §12. Die natürliche Gleichung einer ebenen Kurve § 13.1 Begleitende Kurven §14. Singulare Stellen ebener Kurven § 15. Funktionen des Ortes in der Ebene § ICK Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung in der Ebene § T7. Trajektorien einer Kurvenschar in der Ebene . §18. Parameterlinien in der Ebene § 19. Die Fundamentalgleichung der Ebene in krummlinigen Koordinaten § 20. Kurvennetze in der Ebene §21. Flächentreue Abbildung der Ebene § 22. Isothermen in der Ebene § 23. . Ebene Kurvennetze ohne Umwege

1 8 13 18 27 38 38 45 58 60 74 84 91 104 119 127 182 143 151 158 166 170 180

Zweiter Abschnitt. Kurven im Räume. § § § § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Einleitung, insbesondere Geraden im Baume . . . . Die Bewegungen im Räume Analytische Darstellung von Raumkurven Berührung zwischen Raumkurven Das begleitende Dreikant bei einer Raumkurve Formeln für die Richiungskosinus des Dreikants . Die ebenen Kurven als Raumkurven Die Krümmungskreise einer Raumkurve Oskulierende gemeine Schraubenlinien 1

Dieser Paragraph kann später gelesen werden.

. . . . . . .

. . . .

189 194 203 214 219 227 239 249 254

xiv

Inhalt.

§ 10. § 11. § 12. § 13. § 14. § 15. § 16. § 17. § 18. §19.

Schraubung des begleitenden Dreikants Differentialinvarianten einer Kurve im Räume Die natürlichen Gleichungen einer Raumkurve Bestimmung aller Kurven mit gegebenen natürlichen Gleichungen Beispiele zu den natürlichen Gleichungen einer Kurve . . . . Berührung zwischen Kurve und Fläche . Die Schmiegungskugel bei einer Kurve Sphärische Abbildung der Kurven . . . . Nachträge zur sphärischen Abbildung der Kurven Drei einem Kurvenpunkte zugeordnete Kegel

Seite

262 269 278 287 299 306 316 320 338 341

Dritter Abschnitt. Kurven und abwickelbare Flächen. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. §10. §11. § 12. § 13.

Die Tangentenfläche einer Kurve Einiges über geradlinige Flächen Einhüllende einer Ebenenschar Abwickelbare Flächen . . . . Filarevolventen Planevolventen und Planevoluten . • • • Die Polarfläche einer Kurve Die rektifizierende Fläche einer Kurve Verallgemeinerung des Begriffes der Schraubenlinien . Kurven mit denselben Hauptnormalen Das Doppelverhältnis Die Minimalgeraden Die Minimalkurven

. . . .

351 366 376 382 391 395 402 415 426 432 445 453 457

Anhang. Tafel „

I. II.

Änderung des Koordinatensystems Beziehungen zwischen den Richtungskosinus des begleitenden Dreikants einer Kurve ,, III. Richtungskosinus des begleitenden Dreikants einer Kurve und ihre Ableitungen nach der Bogenlänge „ I.V. Bestimmung einer Kurve aus der sphärischen Indikatrix ihrer Tangenten „ V. Bestimmung einer Kurv« aus der sphärischen Indikatrix ihrer Hauptnormalen „ VI. Bestimmung einer Kurve aus der sphärischen Indikatrix ihrer Binormalen „ VII. Elemente der Filarevolventen einer Kurve ,, . VIII. Elemente der Parallelkurven einer Kurve „ I X . Elemente der Gratlinie der Polarfläche einer Kurve . . . ,, X . Elemente der Gratlinie der rektifizierenden Fläche einer Kurve Sachregister •

435 466 466 468 468 469 470 471 472 473 474

Erster Abschnitt.

Kurven in der Ebene. § l.

Analytische Darstellung ebener Kurven.

Wir legen unseren Betrachtungen ein rechtwinkliges Koordinatensystem zügrunde, in der Ebene also rechtwinklige Punktkoordinaten x und y. Ein Punkt {x,y) beschreibt eine L i n i e oder K u r v e 1 , wenn sich seine Abszisse x ändert und dabei seine Ordinate y als eine Funktion von x gegeben und demnach ebenfalls veränderlich ist: y = m Diese am nächsten liegende Darstellung der Kurve durch eine Gleichung hat einen Nachteil, da die 'beiden Koordinaten x und y ungleiche Behandlung erfahren. Außerdem sind die Kurven ar=konst, nämlich die zur y-Achse parallelen Geraden, nicht in dieser Art darstellbar. Beide Nachteile werden nun zwar vermieden, wenn man die Gleichung der Kurve in einer nicht gerade nach y aufgelösten Form schreibt: (1)

(2)

F{x,y) = 0,

aber diese ist viel unbequemer als die Form (l).2 Will man weder x noch y bevorzugen und doch eine für die Rechnung bequeme analytische Ausdrucksweise für eine Kurve haben, so nehme man an, daß sich x und y etwa mit der Zeit t gesetzmäßig ändern, d. h. daß x und y Funktionen einer dritten Veränderlichen t seien: (3)

* = ?>(*), y = vM-

1 Das Wort L i n i e wird oft (z. B. in der sogenannten Liniengeometrie) nur für Geraden gebraucht. Wir ziehen deshalb den Namen K u r v e vor. 8 Der Erste, der systematisch die analytische Betrachtungsweise bei Karren einführte, war bekanntlich DESCARTES in seiner „ G é o m é t r i e " (Leyden 1637, Neudruck Paris 1886, deutsche Übersetzung von SCHLESINGER, Berlin 1894). SCHKFFKKS, Diff. I. 2. Aufl. 1

2

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene.

Ob man diese dritte Veränderliche t anschaulich als die Zeit auffassen will oder nicht ist übrigens für die Gestalt der Kurve einerlei; es genügt, u n t e r t eine u n a b h ä n g i g v e r ä n d e r l i c h e G r ö ß e zu v e r s t e h e n . Man nennt sie die H i l f s v e r ä n d e r l i c h e oder den P a r a m e t e r 1 der Kurve, und (3) heißt eine P a r a m e t e r d a r s t e l l u n g der Kurve. Uber die hier und später auftretenden F u n k t i o n e n von einer oder von mehreren Veränderlichen machen wir ein für allemal gewisse Voraussetzungen. Für solche Leser, denen die Theorie der analytischen Funktionen in ihren Grundzügen schon bekannt ist, lassen sich die Voraussetzungen kurz so formulieren: Es soll stets ein Wertebereich der unabhängigen Veränderlichen vorhanden sein, innerhalb dessen die Funktionen e i n w e r t i g a n a l y t i s c h (monogen) sind. Für solche Leser, denen die genannten Kenntnisse noch fehlen, sei dies kurz erläutert. Wenn z. B. eine Parameterdarstellung (3) einer Kurve vorliegt, setzen wir voraus, daß es einen Wertebereich von t von folgender Beschaffenheit gebe: Wird irgend ein Wert ¿¿- innerhalb des Bereiches bestimmt gewählt, so sollen sowie ihre sämtlichen Ableitungen für t «= t0 bestimmte endliche Werte habe» und die MACLAUEIN sehen Reihen * -

+h'm-ta)+^ Fxx> Ky, Pyy usw. hinsichtlich x und y für x = x0, y = y0 bestimmte endliche Werte haben und die MACLAUBmsche Reihe 1 Solche Parameter wurden z. B. schon von EULEB in seiner „ I n t r o d u c t i o in a n a l y s i n i n f i n i t o r u m " (Lausanne 1748), aber nur zur Untersuchung spezieller Kurven, benutzt. Die Erkenntnis, daß die Parameterdarstellung die naturgemäße ist, hat sich erst allmählich Bahn gebrochen. Die Parameterdarstellung dürfte zunächst bei den Raurakurven und erst später bei den ebenen Kurven allgemein gebräuchlich geworden sein.

§ 1. Analytische F{x, y) = F{x„

Darstellung

ebener

Kurven.

3

y0)

+ rr t

- *») +

F {

y u-

-Vo)]

in einer gewissen Umgebung des Wertepaares x 0 , y0, d. h. so lange gelten, als die absoluten Beträge von x — x0 und y — y0 unterhalb einer gewissen von Null verschiedenen Grenze bleiben. Der Index Null bei Fx°, Fy° usw. deutet natürlich an, daß die Ableitungen für x = x0, y = y0 zu bilden sind. Man kann auch hier die gliedweise Differenzierbarkeit der Reihe beweisen. Infolge der Bedingung (2) kommen übrigens im vorliegenden Falle nur solche Wertepaare x0, y0 und x, y des Bereiches in Betracht, für die die1 Funktion F den Wert Null annimmt. In (1), (2) und (3) liegen zunächst drei verschiedene analytische Definitionen einer Kurve vor. Aber es läßt sich zeigen, daß sie ineinander übergeführt werden können, wenn man sich dabei auf die Umgebung einer Stelle beschränkt. Dazu dient der S a t z über d a s Vorhandensein e i n e r unentwickelten (impliziten) F u n k t i o n , den wir aus der Funktionentheorie entnehmen. Er besagt: Wenn etwa co in einem gewissen Bereiche eine einwertige analytische Funktion von n Veränderlichen xv x2, . .. xn ist und wenn insbesondere x^, x2, . .. xn° ein solches Wertsystem innerhalb des Bereiches vorstellt, für das ©(V, V , . . . O = 0 wird, so gibt es unter der Voraussetzung, daß die partielle Ableitung von 0) nach x1 für x1 = x^, x2 = x2°,. . . xn = xnu n i c h t verschwindet, eine und nur eine einwertige analytische Funktion von x2, x3,...xn, die erstens für x2 = x2°, . . . xn = xB° gerade den Wert hat und zweitens der Gleichung ® [* v * xj = 0 in einer gewissen Umgebung des Wertsystems x2°, . . . xn° von xz,... xn genügt. Wir wenden diesen Sätz zunächst bei der Parameterdarstellung (3) an. Die Gleichungen (3) mögen etwa für t = t0 die Werte x0 und y0 von x und y liefern. Ist dann überdies f ' { x ) d x . feil

( 2 )

d s

=

y d x

2

d y *

+

=

] / l

f ' \ * ?

+

d x ,

/

1

• y ! und ipan kann vorschreiben, daß d s etwa M mit d x positiv sei, so daß die letzte Quadrat1 t t wurzel positiv anzunehmen ist Das Bogen- O \ y 1« i O l . " X differential ds heißt auch das B o g e n e l e m e n t . Die Fig. 2 soll die Formel (1) erläutern;, Fig. 2, darin müßten eigentlich statt dx, dy, ds die Bezeichnungen /ix, Ay, As für Differenzen statt Differentiale stehen. Es wird aber der Grenzübergang lim A x = 0 gemacht. Deshalb ziehen wir es in dieser Figur wie auch in späteren Figuren vor, direkt die Differentiale statt der Differenzen einzuschreiben. I n B e t r a c h t k o m m e n d a b e i a l s o i m m e r n u r die V e r h ä l t n i s s e der e i n g e t r a g e n e n G r ö ß e n f ü r den F a l l des G r e n z ü b e r ganges. Da s f ü r x = x0 verschwindet, folgt aus (2): 0

s

(3)

=

J

] / l

+

f ' { x f d x .

Wenn x.

(4)

=

< p { t ) ,

y

=

i p ( t )

eine reelle Darstellung einer reellen Kurve ist, d. h. wenn die reellen Punkte der Kurve zu den reellen Werten des Parameters t gehören, ist die Bogenlänge * der Kurve vom Punkte (t0) bis zu einem beliebigen Punkte (

wenn j , 15 ihre laufenden Koordinaten bedeuten. Diese Gleichung enthält noch eine willkürliche Konstante x , den R i c h t u n g s k o e f f i z i e n t e n der Geraden. Insbesondere wollen wir x so wählen, daß die Gerade auch durch einen zweiten Kurvenpunkt (xj, y j ) geht (siehe Fig. 6); wir setzen nämlich; X1

-

xo

Die Gerade ist dann eine S e k a n t e der Kurve. Rückt der Punkt (¿.j, y x ) dem Punkte (x0, yQ) auf der Kurve immer näher, Fig. 6. nähert sich also xx ohne Ende dem x0 und deshalb yl — f(xt) ohne Ende dem ;//0 = f(x0), so wird der Wert von * beim Grenzübergange zum Differentialquotienten y0', und die Gerade nimmt dann die Gleichung an: (3)

9 - y 0 = y' (s -

x o)

•

Sie heißt bekanntlich die T a n g e n t e d e r K u r v e im Punkte (x0, y 0 ). 1 1

Der allgemeine' Tangentenbegriff wurde, während das Altertun. nur die Tangenten des Kreises, der Kegelschnitte und der archimedischen Spirale kannte, im 17. Jahrhundert zugleich mit den Grundbegriffen der Differentialrechnung gewonnen. Zu nennen sind zunächst namentlich Febmat, Descaetes und

§ 4. Tangenten einer ebenen Kurve.

19

Sie i s t von a l l e n G-eraden d u r c h den P u n k t (x0, ^ d i e j e n i g e , die sich d o r t d e r K u r v e am m e i s t e n a n s c h m i e g t . Um diese Behauptung als richtig zu erkennen, gehen wir zunächst zu irgend einer Sekante 9 - I/o = x{£-zo) der Kurve zurück und betrachten diejenige I Punkte auf der Kurve und auf der Sekante, die zur selben Abszisse x gehören. Bei der Kurve ist die zugehörige Ordinate y durch (2), bei der Geraden ist die zugehörige Ordinate 9 durch: gegeben.

9 = y 0 + *fe - *0) Die Differenz beider Ordinaten ist folglich:

n = y - 9 = (y0'-*)(*

- *0) +

-

x

«)2 +

- *o)3 + •••

Mit x — ar0 verschwindet auch i\ beim Grenzübergange lim x — x0, und zwar im allgemeinen, nämlich wenn x ,'/0' ist, in derselben Ordnung wie x — x0, da die Reihe f ü r tj mit der ersten Potenz von x — x0 beginnt. Wenn aber x = y0' ist, die Sekante also zur Tangente wird, verbleibt von der Reihe für 17: v = - ¿ - y 0 " (* - ^o)2 + t t ^ o ' " (* - *o)3 + • • •. Dann verschwindet tj in mindestens zweiter Oidnung. Deshalb eben sagt man, daß die Tangente die Kurve im Punkte {x0, y0) b e r ü h r t ; daher heißt sie auch: b e r ü h r e n d e G e r a d e . Wir können weiter schließen: Wenn an der betrachteten Stelle (r 0 , y0) insbesondere y0" gleich Null ist, verschwindet rj mit x — x0 in mindestens dritter Ordnung. Allgemein: Wenn an der Stelle (x0, y0) alle Differentialquotienten votn zweiten an bis zum «ton gleich Null sind, verschwindet in gerade (n + l) ter Ordnung, sobald y0'"+1> 4= 0 ist. Es kommt nämlich: r,

— .

1;

,/ («+1 Ux _

x

V' +1 4-

Noch mehr: Wenn r e e l l ist, hat diese unendliche Reihe bei hinreichend kleinem absolutem Betrage von x — x0 bekanntlich dasHUYGENS. Jedoch eine klare, vollständige Lösung des Tangentenproblems mit Hilfe der Differentialrechnung gab erst LEIBNIZ in seinem 1 6 7 7 an OLDENBURG gerichteten Briefe für NEWTON (abgedruckt in GERHARDT, „ D e r B r i e f w e c h s e l von GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ mit M a t h e m a t i k e r n " , 1 . Bd., Berlin 1 8 9 9 , S. 240). Ferner ist noch besonders zu nennen LEIBNIZ „ N o v a Methodus pro m a x i m i s et m i n i m i s i t e m q u e t a n g e n t i b u s etc.' 1 , Acta eruditoram (Leipzig 1 6 8 4 ) .

2*

20 selbe Vorzeichen wie ihr erstes Glied. Wenn x — x0 das Vorzeichen wechselt, d. h. wenn einmal x < x0, das andere Mal x > z 0 gewählt wird, wechselt (a: — # 0 )" + 1 das Vorzeichen nur dann, w e n n « gerade ist. Falls also n gerade ist und eine r e e l l e Kurve vorliegt, muß sie im Punkte (x0, y0) ihre Tangente durchsetzen, wie in Fig. 7. Falls aber n ungerade ist, hat t] einerlei Vorzeichen, ob nun x > x0 oder < x0 ist, d. h. dann bleibt die Kurve in der Umgebung der Stelle (xü, y0) auf der einen Seite der Tangente. Satz 6: D i e T a n g e n t e d e r K u r v e y = f[x) im K u r v e n p u n k t e (x0, hat in d e n l a u f e n d e n K o o r d i n a t e n y, tj die G l e i c h u n g : Fig. 7. /"(*«)-/"(*o)fe-*o)I s t die K u r v e r e e l l und der e r s t e n i c h t v e r s c h w i n d e n d e Differentialquotient aus der Reihe R

W

,

R ' K ) • • •

von g e r a d e r O r d n u n g , so v e r l ä u f t d i e K u r v e i n d e r U m g e b u n g d e r B e r ü h r u n g s s t e l l e (x0, y0) a u f e i n e r S e i t e d e r T a n g e n t e ; a n d e r n f a l l s d a g e g e n d u r c h s e t z t sie d o r t d i e Tangente. Da die Differenz 77 der Ordinaten in um so höherer Ordnung mit x — verschwindet, je mehr Differentialquotienten von y0" an gleich Null sind, schmiegt sich die Kurve der Tangente um so mehr an, je mehr Differentialquotienten von y a n gleich Null sind, und zwar gilt dies auch dann, wenn die Kurve ihre Tangente durchsetzt. Im a l l g e m e i n e n wird in einem Kurvenpunkte y" =j= 0 sein, d. h. die Kurve die Tangente n i c h t durchsetzen. Kurvenpunkte, in denen der zweite Differentialquotient y" gleich Null ist, heißen W e n d e p u n k t e oder I n f l e x i o n s p u n k t e 1 , da in solchen Punkten, sobald dort nicht auch y'" = 0 ist, also im a l l g e m e i n e n , die reelle Kurve ihre Tangente durchsetzt und deshalb zuerst nach der einen, dann nach der anderen Seite gekrümmt ist. Die Tangente selbst heißt dann eine W e n d e t a n g e n t e oder I n f l e x i o n s t a n g e n t e . E s muß aber bemerkt werden, daß diese Diese Bezeichnung tritt zuerst bei F E B M A T 1 6 7 9 auf. Die Bedingung y" = 0 dagegen hat zuerst LEIBNIZ in seiner „ N o v a m e t h o d u s etc." 1 6 8 4 (siehe die Anm. zu S. 18) angegeben.

§ 4. Tangenten einer ebenen Kurve.

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Bezeichnungen deshalb einen Mangel haben, weil im Falle y" = 0 auch y'" = 0 sein kann und dann die Tangente nicht mehr die Kurve zu durchsetzen braucht, die Kurve also vor und nach der betreffenden Stelle in einerlei Art gekrümmt sein kann, daher keinen e i g e n t l i c h e n Wendepunkt hat Da hiervon aber im Falle einer i m a g i n ä r e n K u r v e nicht die Rede sein kann, erscheint es trotzdem angebracht, unterschiedslos eine Kurvenstelle einen Wendepunkt zu nennen, sobald für sie y" verschwindet. 1. B e i s p i e l : Bei der Kurve y = x", die im Anfangspunkte die i-Achse berührt, sind im Anfangspunkte alle Differentialquotienten bis zum (n — l) ttn , dieser eingeschlossen, gleich Null, während der n " von Null verschieden iat. Der Anfangspunkt ist also, wenn n > 2 ist, ein Wendepunkt. Doch nur, wenn n ungerade ist, liegt hier ein e i g e n t l i c h e r Wendepunkt vor. 2. B e i s p i e l : Wenn eine Kurve durch S p i e g e l u n g an einem ihrer Punkte 0 in sieh übergeht, d. h. also wenn zu jedem Punkte P der Kurve ein zweiter, Q, vorhanden ist derart, daß 0 die Strecke P Q halbiert, wird der Punkt 0 im allgemeinen ein Wendepunkt sein. Denn nimmt man ihn zum Anfangspunkte, so muß die Gleichung der Kurve y = f(x) ungeändert bleiben) wenn tnan x durch — x und y durch — y ersetzt. Also: Hieraus folgt:

y = f(x) = - f(- x). y' «= f (x) = + / " ' ( -

x)

V" = f"\x) = - f" (- x). Für x = 0 aber ergibt dies y" = f" (0) = - f" (0), daher y" = 0.

Die Betrachtungen dieses Paragraphen sind in gewisser Hinsicht unvollständig. Da wir aber im nächsten Paragraphen eine allgemeinere Theorie entwickeln, die diese umfaßt, sehen wir hier von weiteren Auseinandersetzungen ab. Wir wollen aber noch die verschiedenen Darstellungsformen der Tangente angeben: Zunächst fanden wir die Tangente der Kurve y =f{x) im Kurvenpunkte in der Form: 9 - A * o ) =-/>,,) oder kjürzer: (3)

t) -

= y 0 '(f - *o)-

Liegt die Kurve in der Form vor: F(x,y) = 0, so finden wir, indem, wir y als die hierdurch definierte Funktion von x auffassen, durch vollständige Differentiation: daher:

F + Fyy' = 0,

Erster Abschnitt: Kurven in der Ebene. so daß die Tangentengleichung lautet: ^ 6 ( s - ' o ) + ^ ° ( 9 - y « ) = 0.

(4)

Hierbei bedeuten Fxa und Fy° die Werte von Fx und Fy für x = x¿ und y = y0. Liegt die Kurve in der Form vor: x = (p{t), y = y{t), so definiert diß erste Gleichung t als Funktion von x, so daß nach der zweiten auch y eine Funktion von x ist. Dabei wird: dy _ dx _ tf/ (t) , _ dy y ~~dx~~ 1t : ~dt ~ q>'(t) Setzen wir dies in (B) für die Stelle (¿0) der Kurve ein, so finden wir als Gleichung der Tangente in diesem Punkte: 5 ~ x — *> ~ y°