Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten [Reprint 2020 ed.] 9783112313336, 9783112302064

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H.DÖLP

UND E.

NETTO

GRUNDZÜGE UND AUFGABEN DER DIFFERENTIALUND INTEGRALRECHNUNG N E B S T DEN R E S U L T A T E N

22., verbesserte Auflage

VERLAG ALFRED TÖPELMANN, BERLIN W35 1955

INHALT Differentialrechnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Funktionen einer unabhängigen Variablen Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Punktionen Punktion eines reellen veränderlichen Differentialquotienten . . Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen Differentialquotienten der trigonometrischen und zyklometrischen Punktionen Exponential- und logarithmische Punktionen Unentwickelte Punktionen Punktionen von der F o r m : x — (t) Differentialquotienten höherer Ordnung Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittlung von Grenzwerten Maxima und Minima von Punktionen Die Reihen von Taylor und Maclaurin

Selte

3 4 20 25 32 39 44 47 54 61 85

Funktionen von zwei unabhängigen Variablen 12. Entwicklung der Differentialquotienten 94 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen 96 14. Homogene Funktionen 99 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Punktionen mit zwei unabhängigen Variablen 100

Integralrechnung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Unbestimmte Integrale Die einfachen Integralformen Integration rationaler Funktionen Reduktionsformeln Algebraische Funktionen Exponential- und logarithmische Funktionen Trigonometrische und zyklometrische Funktionen Bestimmte Integrale

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie Tangente und Normale ebener Kurven Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, konjugierte (isolierte) Punkte Krümmungskreis und Evolute Die Wende- oder Inflexionspunkte Der Flächeninhalt begrenzter Figuren Rektifikation ebener Kurven Die Oberfläche von Rotationskörpern Der Kubikinhalt von Rotationskörpern

103 110 131 133 149 152 161 169 175 179 186 189 195 198 200

Differentialrechnung Funktionen e i n e r unabhängigen Variablen § 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen y =

dy

axn

a y = - = a x -

y

"

= a

n

] / x = a x " •

—

dy _ =

nax _

na = =

_

_

~

n f f l a r

i-i

^ dx

=

n

'

n v

'

a

y =

y

dx dy

VX

= e

y = a

y = y = *

x

lg

sin

2 y^

dy Tx =

e

jt =

ax

=

dx

a

x x

dx

dy

y = cos x

~ = —sin x dx

dy

y = cotg x = arc sin

x

= arc cos

x

l*

n

l_

— = cos

"

y

lg

dy

x

y

'

1

ix

dy

x

nn =

g

dy

1

=

_

dx d y ^ dx

,

_ _ ± _ 1

(/i _

=

X2

,

,

_ i _

„

c o t

g

2 a ;

4 y — arc tg x

dy _ 1 dx 1 + xa

y — arc cotg x

äy dx

=

y — sinh x

f

= cosh a; (vgl. S. 92)

y = cosh x y = arsinh x y = arcosh a;

dx

= sinh x

dy dx da;

i 1 + x*'

1 =

1

_ l

§ 2. Reelle Funktionen reeller Veränderlicher. Differentialquotient A. F u n k t i o n s b e g r i f f I. E i n d e u t i g e F u n k t i o n e n e i n e r V e r ä n d e r l i c h e n . Unter einer e i n d e u t i g e n (reellen) F u n k t i o n f(x) der (reellen) unabhängigen V e r ä n d e r l i c h e n oder V a r i a b l e n x verstehen wir eine Vorschrift, derzufolge jeder Zahl x aus einer gewissen Menge D reeller Zahlen eine reelle Zahl f(x), der sogenannte W e r t der Funktion, zugeordnet wird; D heißt der D e f i n i t i o n s b e r e i c h der Funktion. B e i s p i e l e : (1) Die K o n s t a n t e n . Das sind diejenigen Funktionen, bei denen allen x der gleiche Wert, etwa c, zugeordnet ist, also f(x) = c für jedes x aus D. (2) Die P o l y n o m e . Als Polynome 0-ten Grades bezeichnet man die Konstanten. Für k ^ 1 bezeichnet man als Polynome fc-ten G r a d e s die Funktionen a0 + a1x + • • • + akxk, wobei a0, . . ,,ak (reelle) Zahlen (Konstanten) und ak =)= 0 ist. Der Definitionsbereich eines Polynoms kann als die Gesamtheit aller reellen Zahlen angenommen werden. Spezialfälle: Für k = 1 hat man die l i n e a r e n Funktionen a0 + axx, für k = 2 die q u a d r a t i s c h e n . (3) Als r a t i o n a l e Funktionen bezeichnet man die Quotienten Z(x): N(x) aus je zwei Polynomen Z(x) und N(x). Weil m i t N u l l n i e m a l s d i v i d i e r t w e r d e n d a r f , enthält hier der Definitionsbereich D nur solche x, für die N(x) 4= 0 ist; insbesondere kann nicht N(x) = Konst. = 0 sein. Beispiel: Z(x) = 3 + 2x,

5 2V (a;) = 1 — 2x2 + x4; hier gehören 3; = ¿ 1 nicht zum Definitionsbereich D. (4) Sinus und Kosinus. f(x) = sin x ist für alle x erklärt. Da aber der Sinus p e r i o d i s c h , d. h. da sin x = sin (x + 2kn) ist für i = 0 , ¿ 1 , ¿ 2 so braucht man sin x nur für alle x mit 0 ^ x < 27t zu kennen. Das gleiche gilt für cos x. (5) Tangens und K o t a n g e n s . Es ist tg x = sin x : cos x nur für x =\= ±-^-71, : t • • •» zb - ^ ... definiert, weil der 2k 4- 17 1 Kosinus für ^ — s — Null ist, 1c = 0, 1, 2, . . . . Für welche x ¿t ist ctg x = cos x : sin x definiert ? II. Mehrdeutige F u n k t i o n e n einer Veränderlichen. Neben den eindeutigen (Ziff. I.) begegnet man auch mehrdeutigen (mehrwertigen) Funktionen f(x); bei diesen sind also einzelnen oder allen x mehrere Werte zugeordnet. Beispiel: f (x) = [/a;. Hier muß zunächst x 0 sein (denn für x < 0 wird die Wurzel imaginär, während wir es nur mit reellen Funktionen zu tun haben); für x > 0 kann \/x sowohl positiv als negativ genommen werden, während für x = 0 Null der einzige Wert ist. — Andere Beispiele mehrdeutiger Funktionen treten bei den impliziten Funktionen auf (vgl. Ziff. IV.). III. F u n k t i o n e n von mehreren Veränderlichen. Entsprechend wie die (reellen) Funktionen von einer (reellen) Veränderlichen werden die Funktionen von n ^ . 2 (reellen) Veränderlichen erklärt. Es genügt, den Fall n — 2 zu besprechen. Der ganze Unterschied gegenüber dem Fall einer Veränderlichen (n = 1) besteht darin, daß für n = 2 der Definitionsbereich D der Funktion nicht mehr eine Menge von Zahlen x, sondern von P a a r e n (x, y) von Zahlen x, y ist. Man bezeichnet demgemäß die x und y als die (unabhängigen) Veränderlichen und die Funktion selbst mit f(x, y), g(x, y) usw. Im Fall n — 1 veranschaulicht man sich die x als P u n k t e auf der (Zahl-)Geraden, im Fall n = 2 die Paare (x, y) als Punkte auf der x, y-Ebene. B e i s p i e l e : (1) f(x, y)=~2+

, wobei a + 0, b 4= 0. Der

Definitionsbereich ist hier die ganze Ebene. — (2) g(x, y) =x\y. Hier ist der Definitionsbereich die Ebene mit Ausnahme der Geraden y = 0 . — (3) Während die Beispiele (1) und (2) ein-

6 deutige

Funktionen

liefern,

ist

h(x,y)

= \"x: y

zweiwertig

IV. U n e n t w i c k e l t e F u n k t i o n e n . Bei gegebener Funktion f(x, y) kann man nach allen Paaren (x, y) des Definitionsbereiches D fragen, für die f(x, y) = 0 ist. Vermöge dieser Gleichung f(x,y) = 0 werden jedem (in Betracht kommenden) x eine oder mehrere y zugeordnet, nämlich alle y, für die f(x, y) = 0 ist. Dadurch wird y als Funktion von x erklärt, in Z e i c h e n : y =F(x). Die Bestimmung von F(x) entspricht der „Auflösung" der Gleichung f(x,y) =0 nach y. Man sagt auch, durch / (x, y) = 0 sei y implizite als Funktion von x erklärt oder y sei i m p l i z i t e oder u n e n t w i c k e l t e F u n k t i o n von x. Ist speziell f(x,y) =y—g{x), also y =g(x), so heißt y e x p l i z i t e oder e n t w i c k e l t e Funktion von x. B e i s p i e l e : (1) Für f{x,y) = ( 1 +x2)y—c eindeutig für alle x. (2) Für j(x, y) = g + = —

— ca —x 2

+

c

,

istF(x) = c : ( l

a =# 0, b #= 0, ist

nur für c fS 0 erklärt (nämlich reell),

1

+x2) F(x) für

c = 0 muß x = 0 sein, für c < 0 muß x2 ^ — c a 2 sein. B. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t I. D i f f e r e n z e n q u o t i e n t . Bei gegebenem f(x) kann man für beliebige x, xx mit x 4= x1 den D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n (1)

Vi-V

=

f(x 1) ~ /(*)

bilden, wobei =f(x1) und y =f(x) ist. Übrigens gilt bei Vertauschung von xt bzw. y1 mit x bzw. y stets y — y1 _ Vi - y CC ~

»CJ

«CJ

¡C

Die im Zähler und Nenner auftretenden Differenzen kürzt man auch so ab: Af = Ay = yl — y und Ax — x1 — x. Der Differenzenquotient schreibt sich dann (la)

ä. ZIX

ZAJC

=

/(» + ^

¿\J0

- /W , wobei Ax +

0.

Der Differenzenquotient liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen. Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der

7 analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y =f(x) durch eine Kurve in der »«/-Ebene. Die Abszisse OQ eines Kurvenpunktes P gibt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f(x) an. J e nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abszisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abszisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P = (x, y). Ebenso sei P1 — (xv yt) = (x + Ax, y + Ay). Dann ist PR = QQ1 = xx — x = Ax und P^R — yx — y = Ay (vgl. Fig. 1), und wir erhalten

Ay

f(x + Ax) - f(x) Ä~x -

t g

o P'

Wir können tg ß in einfacher und verständlicher Art das Steigungsmaß der Geraden SPP1 nennen. Dann sieht man:

Der D i f f e r e n z e n q u o t i e n t (1) oder (la) gibt das Steigungsmaß der S e k a n t e PP1 an, welche zu den K u r v e n p u n k t e n P — (x, y) und P1 = (x + Ax, y + Ay) gehört. 1. B e i s p i e l : y =ax2, y1=ax\\

Ay —— V\ — y= a —x? — =a(x x2 ~r + x). l v 1 Ax xx — x xt — x ' 2. B e i s p i e l : y =Yx, yi=]/x1\ Ay _vixt- — Xy _Vxixx-x— Vx __^x1 + i ]/x' Ax

8 II. G r e n z w e r t e . Wir wollen nun in der Figur den Punkt Pt auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sich nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozeß zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen. Sieht man bei einer reellen Größe a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem a b s o l u t e n B e t r a g e ; beispielsweise haben + 1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch | a \ bezeichnet. G e n a u e r : Es ist \a\ = a, falls a j ä 0, und | a | = —a, falls a < 0. Demzufolge gilt: | a | = 0 nur f ü r a = 0, sonst \a\ > 0 ; ferner \a\ = | —a| und | a ö | = |o| • \ b\ sowie die wichtige („Dreiecks"-)Ungleichung [ a + & | iS \a \ + 161. Aus dieser Ungleichung folgt noch | | a | — 161 | a — b | ^ \a\ + |6|.

Man sagt nun, die Funktion f(x) besitze „bei Annäherung von x an x0", kürzer „bei x x0", oder „an der Stelle x0" den G r e n z w e r t a, in Zeichen: a = lim/(a;), wenn folgendes gilt: Unterscheidet sich x von x0 hinreichend wenig, wobei aber « =}= x0 sein soll, so unterscheidet sich f(x) von a beliebig wenig. Oder etwas anschaulicher formuliert: E s liegt f(x) beliebig n a h e bei a, wenn x h i n r e i c h e n d n a h e bei x0 liegt. (Dabei soll natürlich x stets zum Definitionsbereich gehören.) G e n a u e r : Zu beliebigem e > 0 gibt es ein S(e) > 0 derart, daß \f{x) — a \ < s, wenn 0 < | Ax\ = \x — x0 \ < ö(e).

Beispiel: f(x) =x2.

Hier gilt lim f(x)

Denn es ist

\x2 — xl | = |x + x0 \ • |x — x0\ beliebig klein, wenn \ x — x0 \ hinreichend klein ist. G e n a u e r : |a;2 — < e, wenn ¡x + x0\ • \x — x 0 | < e; ist aber \x \ < 1 + \x0\, so ist \x + x0 \ g \x\ + |;c0j < 1 + 2\x0] und folglich \x -{- x0 \ • \x — x0] < (l 2 \ Xf,\) • \ x — x0\, also \x + xa \ • \x — x0 \ sicher < e, wenn (1 + 2 ]x 0 |) • \x — x0 \ < E, d. h. wenn \x — x0 \ < e: (1 + 2 |z 0 |) = ä(e).

Die Formel lim f(x) = a kann man so lesen: „Es s t r e b t f ( x )

für

gegen x -*

a,

wenn

x

gegen

x0

s t r e b t " , in Zeichen:

f ( x ) ^ a

x0.

Enthält der Definitionsbereich von / (x) absolut beliebig große positive (bzw. negative) Zahlen x, so sagt man, f(x) besitze für x + oo (bzw. für x - > — oo) den Grenzwert a, oder es strebe f(x) gegen a, wenn x gegen + oo (bzw. gegen —oo) strebt, in Zeichen lim f(x) = a (bzw. lim f(x) —a), wenn sich f(x) beliebig X—> -f- co

X—>•—00

9 wenig von a unterscheidet, falls nur x > 0 hinreichend groß (bzw. wenn x < 0, falls nur \x\ hinreichend groß) ist. Genauer, lim f(x) = a, wenn zu beliebigem e > 0 ein N(e) existiert X —>• + oo derart, daß | f (x) — a | < e für alle x des Definitionsbereiches, für die x > N(e) ist. Entsprechend für x->- — oo.

B e i s p i e l e f ü r solche Grenzwerte liefern die ( k o n v e r g e n t e n ) unendlichen F o l g e n von Zahlen a±, a2, . . .. Hier besteht der Definitionsbereich aus den natürlichen Zahlen 1 , 2 , . . . und die Funktionswerte sind f(n) — an, n = 1, 2, . . .. Beispielsweise ist lim TO-1 = 0, ferner ist lim qn = 0, wenn q konstant und \q\ < 1 n—> + co

ist, schließlich gilt

n —>--{- x —> Xq D i v i s i o n lim ( j ( x ) : h(xj) = (lim /(x)): (lim h(x)). Dabei ist vorausgesetzt, daß lim f(x) und lim h(x) existieren, ferner im Falle der Division, daß hm h (x) 4= 0 ist. Die Regeln gelten auch für Grenzwerte mit x -* ^ oo. Z u s a t z . Schließlich schreibt man lim f(x) = + oo bzw. x-*x0 = —oo oder auch f(x) -»• ^ oo für x x0, wenn f(x) beliebig große Werte besitzt, falls x hinreichend nahe bei x0 liegt (genauer: wenn zu beliebigem M > 0 bzw. < 0 ein M bzw. f(x) < M, falls nur 0 < \x — < d(M)). Für F u n k t i o n e n f{x,y) v o n z w e i V e r ä n d e r l i c h e n x, y erklärt man entsprechend a als Grenzwert von f(x, y) an der Stelle (x0, y0) und sagt, daß / (x, y) gegen a strebt, falls (x, y) gegen (x 0 , y0) strebt, wenn / (x, y) beliebig nahe bei a liegt, falls \ x — x 0 \ + | y — y 0 \ hinreichend klein ist. In Zeichen: a = Hm j(x, y). y-+yo

10 I I I . S t e t i g k e i t . Die Funktion f(x) heiße a n d e r zu i h r e m D e f i n i t i o n s b e r e i c h g e h ö r i g e n S t e l l e x0 s t e t i g , wenn lim f(x) existiert u n d gleich f(x0) ist, also g l e i c h d e m W e r t der X —> x0

Funktion a n d e r S t e l l e x0. Aus den obigen Rechenregeln für Grenzwerte folgt: S u m m e n , D i f f e r e n z e n , P r o d u k t e u n d Q u o t i e n t e n v o n an der Stelle x0 s t e t i g e n F u n k t i o n e n s i n d w i e d e r Funktionen, die an der Stelle x0 s t e t i g sind. (Evtl. auftretende Nenner sind als von Null verschieden vorauszusetzen.) Entsprechend heißt die Funktion f(x, y) der zwei V e r ä n d e r l i c h e n x, y s t e t i g an der Stelle (x0, y0), wenn f(x0, y0) = lim f(x, y). x-*x„ y^Vo

B e i s p i e l e werden geliefert durch alle bisher betrachteten Funktionen; sie sind stetig an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches. Insbesondere sind die P o l y n o m e stetig; dies folgt nach den obigen Regeln, weil die Polynome durch Addition und Multiplikation der stetigen Funktionen f(x) = x und / (x) = konst. gewonnen werden. Anmerkung. Es kann lim f(x) existieren, aber von f(x0) verschieden sein. Beispiel: f(x) = x für 0 < x < 1 und für 1 < x ^ 2, aber /(l) = 0.

IV. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t . Eine (an der Stelle x stetige) Funktion f(x) heißt d i f f e r e n z i e r b a r an der Stelle x, wenn ihr Differenzenquotient Af : Ax für x1- > x einen Grenzwert besitzt; dieser Grenzwert heißt der (erste) D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t oder die (erste) A b l e i t u n g von f(x) an der Stelle x und w i r d m i t f'(x) oder -J- oder ^f- oder y' b e z e i c h n e t . Es ist also definitions.. U/% CLOC gemäßn

Bei einer an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbaren Funktion ist also die A b l e i t u n g s e l b s t e i n e e i n d e u t i g e (reelle) F u n k t i o n v o n x. A n m e r k u n g . Ist f(x) an der Stelle x = a differenzierbar, so ist f(x) < e für

auch s t e t i g an der Stelle x = a. (Denn aus f(a) — — 0 < | x — a | < '(»o)=l:/'(®b)Zum Beweis hat man nur noch zu beachten, daß bei stetigen monotonen f(x) aus Ay -> 0 auch Ax -> 0 folgt (und umgekehrt). Auch die Figur 1 läßt die Richtigkeit von (5) leicht erkennen, da bei dem Umklappen die Winkel ß und « durch ßi = ^ n

und oc1 =—

ß

ix zu ersetzen sind; deshalb wird: dy dx

,

-

Mit Hilfe von (5) kann jetzt nachgewiesen werden, daß die Funktion: y = a ny x = axn

(n 4= 0 und ganz)

14 ebenfalls nach (4) differenziert werden kann. Der umgekehrten Funktion x =~nVn

entspricht nämlich der Differentialquotient 1 , „ , 1 dx -T- = n n = — nx a a dy

n

,

und daraus geht nach (5), übereinstimmend mit (4), hervor: dy l -f- =— ax n dy Ist speziell y =|/x, so wird dx

axn 2 ]/x '

V 3. D i f f e r e n t i a t i o n von v e r m i t t e l t e n P u n k t i o n e n . K e t t e n r e g e l : Wenn y eine Funktion von z ist, etwa und z selbst wieder eine Funktion von x, etwa z = g(x), y =f(z), so folgt aus y = f{g(x)) =h(x), daß y auch eine Funktion von x ist. Zu den Werten x, xx mögen die Werte y, y1 und z, gehören. Wir setzen: x1 — x = Ax, yx — y = Ay, zx — z = Az, und nehmen an, daß Zlz =f= 0 sei; dann ist identisch: Ay Ax

Ay Az Az Ax'

und nach dem Satze vom Grenzwert eines Produktes ergibt sich 1 ) die sogenannte K e t t e n r e g e l : dy_dydz^ * ' dx dz dx' I s t y eine F u n k t i o n von z, und z s e l b s t e i n e F u n k t i o n von x, so i s t der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t von y n a c h x g l e i c h dem P r o d u k t e aus dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n y n a c h z in den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von z n a c h x. B e i s p i e l : y = {ax)2 = z2, wenn z=ax

gesetzt wird;

2*' Tz= iU>*L>= a ' g=2z.«=2«2a, Uli U/Jy Aus y = a2x2 erhält man denselben Wert. 3)

Die Regel (6) bleibt auch richtig, wenn Az = 0 für beliebig kleine

Ax 4= 0 auftritt; es ist dann

dz

= 0.

15 Die Formel (6) erweitert sich dadurch, daß wir annehmen, es sei: V = F ( U ) , U = (x),v = rp(x) zur S u m m e oder D i f f e r e n z y = u ^ v verbunden, so ist Ay = Au ^ Av und daraus folgt durch Division mit Ax und Grenzübergang:

16 Zur Erweiterung setzen wir v ^w dy du . dv Tx=di±d7x±Tx

. dw

,

statt v und finden sofort:

. , . { u ± v ± w )

oder

, =u

. , . ± v ±w

. .

Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t einer Summe von F u n k t i o n e n der n ä m l i c h e n V a r i a b l e n ist gleich der Summe aus den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n der einzelnen F u n k t i o n e n . Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t aus einer Differenz zweier F u n k tionen der nämlichen V a r i a b l e n ist gleich der Differenz aus den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von Minuendus und Subtrahendus. Für das P r o d u k t y = u - v ergeben sich folgende Beziehungen : y + Ay = (u + Au) (v + Ay =uAv Ay =w Ax

lim ^

Ax

+ vAu

Av),

+

AuAv,

Av , Au , Au Av . -T- + v-r- + -r Ax, Ax Ax Ax Ax

= u lim

Ax

+ v lim

Ax

+ lim ~ lim Ax

Ax

lim Ax;

da das letzte Glied der letzten Gleichung verschwindet, so hat man dy dv Tx=uTx

, +

du dx

v

, oder

, , , , ( « • » ) = « » + « « •

E i n P r o d u k t a u s zwei F u n k t i o n e n d e r n ä m l i c h e n Variablen wird differenziert, indem man den Differ e n t i a l q u o t i e n t e n des e r s t e n F a k t o r s mit dem zweiten F a k t o r und den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n des zweiten F a k t o r s mit dem ersten F a k t o r multipliziert und beide Produkte addiert. y = x3 • x4, = u • v; u' — 3a;2, v' = 4a;3, y' = x • 3x + x • 4x =7xe, ein Wert, welcher auch aus der direkten Form y = x1 hervorgeht. 2. B e i s p i e l : y = (a + bx2) (c + ex3) = w v; u' = 2bx, 2 v' = 3ex2; y' = 2 b x ( c + ex3) + 3 e x 2 ( a + bx2) = 2 b c x + 3aea; + 5bex*. Das gleiche Resultat wird erhalten, wenn man zuerst die Multiplikation ausführt und dann differenziert. Geht v in vw über, dann verwandelt sich v' in v'w + iv'v und wir erhalten statt (8): 1. B e i s p i e l : 4

2

3

y' = (uvw)'

3

= vw • u' + uw • v' + uv • w'.

17 Tritt an die Stelle des veränderlichen Faktors v die Konstante a, so ist v' = 0 und daher wird für y — au jetzt y' = au' oder (au)' = au'. Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t eines P r o d u k t s aus einer K o n s t a n t e n mit einer P u n k t i o n von x ist gleich dem P r o d u k t aus dieser K o n s t a n t e n und dem Differentialq u o t i e n t e n der Funktion. Für den Q u o t i e n t e n y

folgt:

u + V

+

Ay

Ä y

Au

v +

Av

'

u +

Au

u

v Au

—

Av

v

v(v

+

Au

(9)

Av

Ay

Ax

Ax

v(v

-f-

..

Au —. Ax

. Ay

lim

v

Ax

Ax

v'u'

Av) _.

—

Av

lim —

u

Ax

+ lim

v (v

dy

uAv Av)

Av)

'

uv'

v2

dx

Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t eines Bruches ist gleich dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n des Z ä h l e r s m u l t i p l i z i e r t mit dem Nenner, weniger dem D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n des N e n n e r s m u l t i p l i z i e r t mit dem Zähler, das Ganze g e t e i l t durch das Q u a d r a t des Nenners. gr2 __ Q2

Beispiel:

r^

y =--—— ,

— a) — \ • (x2 — a?)

2x(x

V

> u' = 2x, v' = 1,

~

{x -

1 —

af

Aus der reduzierten Form y =x + a entsteht derselbe Wert. Einfacher kann der Differentialquotient eines Quotienten aus demjenigen eines Produkts hergeleitet werden. Ist nämlich y

y

2 Dölp-Netto

,

u

. ,

= — , so ist =

u

,

— yv —

,

u U

=

=

y v , u v

u V

,

= v y

,

, + yv

,

=

u v —

3

uv

.

,

,

18 Die abgeleiteten Theoreme über die Differentiation rational zusammengesetzter Funktionen sind besondere Fälle eines allgemeinen Satzes, zu dessen Herleitung wir nun übergehen wollen, nachdem noch eine neue Bezeichnung eingeführt worden ist. Bedeutet / (u, v) eine Funktion zweier Variablen u, v, so kann die Differentiation entweder nach u vor sich gehen, wobei v als konstant angesehen wird, oder umgekehrt nach v, wobei u als konstant gilt. Eine solche Differentiation nach einer der beiden Variablen heißt p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a t i o n , und ihr Resultat ist der p a r t i e l l e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t n a c h u oder n a c h v. Um darauf hinzudeuten, unterscheidet man diese Operation durch Benutzung eines runden d von dem t o t a l e n Differentiieren und schreibt Sf(u, v) _ j-m f(u + Au, v) — f(u, v) du Au ' 8f(u, v) dv

j.

f(u, v + Av) — f(u, v) Av

Wir gehen jetzt zu dem angekündigten Satze über. Es sei y = / (u, v) und hierbei u und v Funktionen von x, etwa u = (x).

Es soll

bestimmt werden.

Werten x und x1 möge u, v, y und Vi~y

Zu den

vv yx gehören. Dann ist

i,t>i) - f(u, v) _/(«!.

»l) - /(". vl) + /(«> X1 — X

- f(u, V)

_J K» vl) — f(u, V1) U1 — u , /(«. "l) — /(". v)y1 — V % —u xr — X V± — V xx — X '

Dabei ist % •— u =)= 0 , vx — v =)= 0 angenommen (vgl. aber Fußnote Seite 14). Läßt man xx gegen x und damit uv vv yx gegen u, v, y gehen, dann wird u, — u du v, — v = 3 - , lim — xx — x dx xx — x

lim—

lim

^ ~

v1 — v

dv dx

..

— y dy - =-f-, — x dx

lim—

^ —Bf(u> v) . 8v

'

dagegen ist der Grenzwert des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Aber in

19 allen für uns später in Betracht kommenden Fällen gilt (wie hier nicht bewiesen wird): Jim

/(%,

t>i) ~ ux

—

_

f(u,

j .

m

/ ( % , V) ~

u

ux —

f(u, V) _

8f(u,

u

V)

8u

Daher erhalten wir .

dy

df(u,v)

dx

dx

8f(u, v) du du

8f{u, v) dv

dx

dv

dx

dy du

dy

du dx

80

dv dx'

Diesen Ausdruck nennen wir d e n t o t a l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n y n a c h x. Wir sehen: S i n d u u n d v F u n k t i o n e n v o n x, u n d i s t y e i n e F u n k t i o n v o n u u n d v, so d i f f e r e n z i e r t man diese t o t a l nach der v o r s t e h e n d e n F o r m e l durch Verwendung der p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n d e r F u n k t i o n n a c h u u n d v. 1. B e i s p i e l : Sind u und v zu einer Summe oder Differenz verbunden, so ist y = / (u, v) = u ^ v,

nl

= 1,

ni

-J- = i

Ä-£±£-w—'•) 2. B e i s p i e l :

I s t y = / (u9 v) = u • v, so +

3. B e i s p i e l : 8f

u

8v

v2

die

dy ' dx

1 und

p.1

wird ~

= v9

W . * ™ * - 8 . ) Ist

y — / (u, v) = ^ , so wird — = ~ ,

1 du

u dv

v

v2 dx

dx

.y j j < o r m e j g \

vu' — uv' v2

*

®

4. B e i s p i e l : Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem andere Variable v ganz fehlt, dann fällt in (10) der

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist — gleichbedeutend mit ^ oder ^ .

Für

y = / (u), u =

=ax>*>.

33 Daraus folgt für den Logarithmus (I') «logl = 0 ; (III')

O

(II') "log y i y 2 = « l o g « l o g y 2 \ log(i/f') = y2 "log yx.

Der Z u s a m m e n h a n g z w i s c h e n E x p o n e n t i a l f u n k t i o n e n bzw. L o g a r i t h m e n v e r s c h i e d e n e r B a s e n ist — wie sogleich zu beweisen — folgender: (IV) ax = bx (IV') "log y = ("log b) • 4log y ;

® und (V') "log 6 = 1 : s log a.

Beweis. Aus ax = bz folgt s log (bz) —z= 4log ax =x J log a. Aus «log y = u "log b folgt "log y = alog bu, also u = s log y. Und (V') folgt aus (IV') für y =a. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t von E x p o n e n t i a l f u n k t i o n und L o g a r i t h m u s . Ohne Beweis benutzen wir im folgenden, daß ax an der Stelle x = 0 differenzierbar und daß die Ableitung in x=0 nicht Null ist. Aus (II) ergibt sich nun ax+äx— ax = (aAx-a°) ax. Dividiert man mit Ax, so liefert der Grenzübergang für Ax 0, daß

ax

=qaax,

Stelle x =0.

wobei qa = (—^—)

\ ax / x=0

die Ableitung von ax an der

Wegen (IV) ist andererseits

^ax

= (qj • s log a) • ax.

s

Somit qa = qt log a. Zu gegebenem b, also auch gegebenem qb gibt es nun genau ein a, für welches qa =1, also 1 = qb slog a; denn 'log a durchläuft alle reellen von Null verschiedenen Zahlen genau einmal, wenn a alle positiven von 1 verschiedenen Zahlen durchläuft. Wegen qa = qb 4log a = qc "log a ist dieses a (mit qa = 1) unabhängig von dem zugrunde gelegten b. Wir b e z e i c h n e n dasjenige a, für welches qa = 1 ist, m i t e und ex als die n a t ü r l i c h e E x p o n e n t i a l f u n k t i o n , entsprechend den Logarithmus zur Basis e als den n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m u s u n d m i t lga;, also lg x = "log x. Es gilt mithin (19)

(19a)

d

-£ =

(lga)ax.

Für den Logarithmus lg y als Umkehrfunktion von ex ist die Ableitung gleich 1: ex, wobei ex = y. Also d log v 1 1 ^y = L (20a) ° dy y dy y «log a y\ga' Wegen xT = erlgx für x > 0 und b e l i e b i g e s r e e l l e s r folgt aus (19) noch der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t d e r P o t e n z (20)

3

A

Dölp-Netto

34 (19a) v

dx

=

xr • r • — = x

rxr

A n m e r k u n g . Es ist ex

lim (1

—

1

' x 1 ' 1•2 '

x

1 • 2 •.,

e = 2,718 281 828 459 . . . = Hm (l + -J- + 1 (vgl. Aufgabe 423, S. 88). Aufgaben 1 2 9 ) y — eax

130)

y =

=

ez

^ = a e


[(ç?' (a;))8 + cp' 2(2a; 2 — 1) e~x'

262) y = X lg X

y dx2

2(1 - x 2 ) (1 + x 2 ) 2 1 x

263) y = X2 lg X

d2*/ dx2

3 + 2 lg x

261) y = lg (1 +

x2)

d2 2/ dx2 =

49 2

6

4

=

^x

f 2i = dx

265) y = sin (a — 2x) 266) y =

1 — cosa;

a; ~

2 1 S X 3a

3

= — 4 sin (a — 2x) d2y dx2

tS — 2 x 2 2 cos -y

267) y = arc cos x

d2y te*

268) y = xesiax

^ f = e 8ina: (2cosa;+xcos 2 a;-a;sinx)

270) y = arc sin

x

WT&

x ¡/(l - x2)3

d2y

2x

. 1 - x2 271) y = arc sin 1 + x2 a; 272) 2/ = a r c t g a

^ ~ (1 + £2)2 d2yy 4a; — dx2 (1 + x2)2 d2 y 2ax ^ _ ^ + a2)2

273) y = x 6

I/'" = 6 • 5 • 4x3

_

274)2/ = - ! 275) y =

j/x 97)3 — ^

276) „ = lg (« + 6 . )

2/'" =

277) y = sin (nx)

y'" = — n3 cos (nx).

Ist y = f(z) und z = '(x) = + lg a), /(0) = lg a. E s kommt vor, daß auch 90 (a) = 0 und y>' (a) = 0 ist. Das angezeigte Verfahren der Grenzwertermittlung muß dann bei der neuen Form wiederholt werden. =ax

(ax

xax

7? — ax2 — a?x + a3 _ 2_ weil ~~ 3 2a;3 — 3 ax* + a3 ' 2 2 3a; — 2ax — a 6a; - 2a und so existiert lim g(x): h(x) = f(a) x—>a

und ist gleich lim g' (x): ti (x), wenn der letztere Limes existiert. x—>a Unter den eben gemachten Voraussetzungen findet man a l s o d e n lim g(x): h(x), i n d e m m a n Z ä h l e r u n d N e n n e r f ü r sich d i f f e r e n z i e r t u n d m i t dem Q u o t i e n t e n dieser Ableitungen den Grenzübergang ausführt. D a b e i h a n d e l t es s i c h u m d i e T yJ pr e n u n d —. 0 oo Diese Regel gilt auch für Grenzübergänge mit x i oo (statt mit x -»• a). Aufgaben 2

287) /

288) /

6a; -5x + l ' 8 a;2 - 2x - 1

3

289) / 290) / 291) /

f ( i ) = i

xn — 1 X- 1

f(l) = n 2

X — 2x

• x + 2

/(2)=i

a;3 - 7x + 6

x3 + 4x2 — 2x — 8

x* — 8x2 + 12

x — (n + \)xn+1

+ nxn+*

(1 - xy

292) /

2 - ix - 3 a;2 - 49

293) /

)/3x — )/l2 - a 2a; — 3 / l 9 - 5a;

+ 1)

/(l)

"56

/(3) = 69

5

294) /

a — fax5 — a5

/(«) = o

|/x3 - a3 295) / 296) /

j/2a3

4 T j/2

/(±|/2)=

o |/a2

^ ^ =— f(a)

m = i r

1 6

a

58 297) / w = 298) f(x)

3

_ : i

1

=

l g e

; ; _

/(0)=

x )

" 1 — sina; — cosa;

0

0

/

(

/(O) = — e

0

)

= lg a

301 ) f ( x ) = - ^ =

/(l) = 0

302) ¡ ( x ) ^ ^ —

/(l) =

>»)/(-) = 304) /(*) =

/( ^ ~

lg(a +

l g a

2

l g a - l

)=y

/(0) =

ì

a; + /a;2 - a2 305) / ( * ) = —

7 = ^ = — l/x2 - a2

306)

/(a)=4a /(0) =

»

/co)=-è311) H x ) = * 312) / ( » ) = t

/(0) = 0 ^

-

t

:

/(0) = 0

QT\ ^ _2tg2a;-cotga;-l H * ) - 2 sin2 a ; - e o s 2 a ; - i

/si\ 10 ' \Ä) = T

314>

/(arc tg 3) = 2

=

B9 ,, . arc sin (2 — x) 315 f(x)=-—:K 2

/(2) = '

l/x - 3x + 2

316

/ /

'

v

/( ) =

n

. |/a2 - x2 arc sm ö ^

1

-

/(»)="

! COS

317

W»ia:

0

/(0) = 1

— x*

318

/(o)=o

319 320

'v '

IgU+e*) a + 6a;

'

/(oo)=i;

b

321 322 / ( ® ) = 5

/(oo) = 0

323

/' ß ) = 3

324 325)

tg * cotg X

/(0) '

cotg2

N

/(0)

cotg^ Der Typus

= 1 2

oo — o o . Wenn in f(x) =

—

n

u

r

y> (a) und g (a) gleich Null werden, so schreibt man die Differenz als Quotient [q> (x) Q (X) — n (x) ip (x)]: y> (x) Q (x), welcher für x

a vom Typus — ist.

326) f ( x ) = \ x"

sin x

= 3 i n x

x3

,-*

3

sin x

/ ( 0 ) = oo

' S ) " 328)/(a!) = _ L

T

_ji-

1

f W = ~ i

60 329)/(*>

= ii^ +

3 3 0 ) f(x)

=

t g x — p r

/(0)

^

1

/ ©

= + T =

- •

D e r T y p u s 0 • oo liegt vor, wenn in f(x) = 0 oder < 0 . ( l a ) Von (1) gilt auch eine Umkehrung: N i m m t f(x) z u b z w . a b i n D, so i s t f (x) ^ 0 bzw. fix) ^ 0 i n D. Es nehme f(x) zu und gleichzeitig sei f (xj) < 0 für ein x1 aus D. Für alle von x1 hinreichend wenig verschiedene x unterscheidet sich ( f ( x ) — f ( % i ) ) • — Xj) beliebig wenig von f'{Xj), ist also negativ. Ist also z.B. x1 < x, so ist f(x) < f{xx), im Widerspruch zur Annahme, daß f(x) zunimmt. (2) E s i s t f (x) = 0 f ü r a l l e x g e n a u d a n n , w e n n f(x) = k o n s t . Denn aus f (x) = 0 folgt f (x0) = 0, also (nach den Formeln im Beweise von Folgerung (1)) f(x") = f(x') = f(a). Umgekehrt folgt aus f(x) = konst. auch /' (x) = 0 für alle x, wie schon früher (§ 3, Beispiel 1), S. 20) bewiesen wurde. Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten der Kurve y = f(x) deutet. Dann ist ~ = /' (x) die trigonometrische Tangente des Winkels, den die im Punkte (x, y) angelegte Berührungslinie 1 ) der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschließt (§ 2, S. 11), und zwar soll die Berührungslinie immer in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x + dx, V + dy) genommen werden. Dabei ist gesetzt dx — x —x >0, dy—(x' — x) f (x), und es soll dx hinreichend klein sein. Wenn eine Kurve zwischen A und B stetig verläuft und das Steigungsmaß ihrer Tangente zwischen A und B stetig sich ändert, dann gibt es zwischen A und B mindestens eine Tangente A1B1, welche Fig. 4 der S e h n e t B parallel läuft. Ist ferner die Das heißt die Tangente (vgl. Seite 11).

63

M J " / M^y/ Y

A

a

^

/a A

a

Pig. 7 a

Fig. 7 b

\ Fig. 8 a

Fig. 8 b

64 Funktion y = f(x) für wachsende x im Z u n e h m e n begriffen 1 ), so s t e i g t die Kurve 2 ), wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der Stelle M„ Fig. 6a an der Stelle M„, Fig. 7 a an den Stellen M, und M„.) Die Berührungslinie schließt mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv sind, nämlich der Kosinus =

,

dx

= und der Sinus =

fax* + dy*

du

— 3 ).

I/dx* + dy2

E ist dies

der positive spitze Winkel oc, in Fig. 5 a, der positive spitze Winkel « „ in Fig. 6 a, und in Fig. 7 a sind es resp. die positiven spitzen Winkel«, und «,,.) Ist dagegen die Funktion y — f(x) für wachsende x im A b n e h m e n begriffen, so f ä l l t die Kurve, wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Hier ist dx positiv und dy negativ. (Fig. 5 a an der Stelle M,,, Fig. 6 a an der Stelle M,, Fig. 8 a an den Stellen M, und Mn.) Die Berührungslinie in der oben angegebenen Richtung schließt mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus positiv, dessen Sinus negativ ist. (Es ist dies der negative spitze Nebenwinkel von oc„ in Fig. 5a, von oc, in Fig. 6a, von oc, und von oc,, in Fig. 8a.) Diese Winkel liegen unterhalb der Abszissenachse und werden hergestellt, indem man die Berührungslinie über ihren Schnittpunkt mit der Abszissenachse hinaus verlängert. Hiernach kann man die oben entwickelten Sätze auch so aussprechen: Wenn die Kurve s t e i g t , so schließt ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x + dx, y + dy) mit der Richtung der wachsenden x einen p o s i t i v e n s p i t z e n Winkel ein, und umgekehrt. Wenn die Kurve f ä l l t , so schließt ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x + dx, V + dy) mit der Richtung der wachsenden x einen n e g a t i v e n s p i t z e n Winkel ein, und umgekehrt. Nach dieser Vorbereitung betrachten wir eine Funktion y = f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten stetig ist für alle x mit a—ö •¿Lx'SLa + d. Wir setzen voraus, daß /' (a) = 0 sei. Dann ist an der Stelle x = a die Funktion f(x) weder im Zu1 ) Das soll heißen: Es nimmt j(x) zu (mit wachsendem x) und es ist f'(x) 4= 0 für alle x. 2 ) Das soll heißen: Es ist f'(x) > 0 für alle x. 3 ) Die Q u a d r a t w u r z e l im Nenner soll dabei p o s i t i v genommen werden.

65 noch im Abnehmen begriffen. Im Falle der graphischen Darstellung kann man sagen: die Funktionskurve ist an der Stelle x = a weder im Steigen noch im Fallen begriffen. Man darf diese Stelle bildlich als ein m o m e n t a n e s N i v e a u bezeichnen. Hier sind vier Fälle zu unterscheiden (im Folgenden ist stets d > 0): E r s t e n s . Der Differentialquotient f'(x) geht von p o s i t i v e n Werten durch Null zu n e g a t i v e n Werten über, wenn die unabhängige Variable x stetig wachsend die Stelle x = a überschreitet. Dann ist die Funktion y = f(x) bis an die Stelle x = a im Zun e h m e n und nach Überschreitung derselben im A b n e h m e n begriffen. Der Funktionswert f(a) ist demnach g r ö ß e r als f(a— 1 1g a

359)

(x) = xex

360)

(x) =

e2x

361) 362)

(x) = xx L (x) = x %

Max für x — e,

363)

(a;) =

Min für x = e

364)

(x) = a;1"1«1

Max für x = ]/ e

365)

(x) = 2 sin x + sin 2a;

Max für x =

366)

{x) = sin 2a;+ 2 sin («—x)

Max für x =

367)

(x)

368)

(x) = cos x + cos (oc — x) ; oc < n

369)

a

Min für a; = 1 —

Min für x = lg |

ex

Min für x = — 6

lg a;

cos2 jj

-- —^

Min für x = 0

sin2 x

1—p- , a > b

(a;) = sin x • sin (oc + x)

Max für x =

^

Min für x= —oc 7z

, Min für x = 0

Max für x = —

Max für x =

2

71 — C X

Min für x — ti —

72 Max für

x =

370) / (x) = sin £ • cos ( 0 0 und wobei auch /' (a + ó) i °° usw. für 2; a; = — macht y = y

=

\

a

a + -i- j/a 2 + 4 zu einem Max und

[/« 2 + 4 zu einem Min.

Was findet sich für x = — ~ ? M a x i m a u n d M i n i m a m i t N e b e n b e d i n g u n g e n . Gegeben ist die Funktion z = f(x, y) und weiter zwischen x und y die Gleichung

) . 8*(f+X(b) = 0 wird, wenn p positiv ist. Nach dem Rolleschen Satz gibt es daher ein f zwischen a und b für das y'{x} = - i - 2 ~ X - i )

f n ) { x )

+

{h

verschwindet; d. h. es gibt einen Mittelwert 1 • 2 . . . (n-

1)'

~x)p~1K für den

Kq>

wird. Setzt man dies in y)(a) ein, so wird, da y>(a) = 0 , Hb) = M

+ b-=^f(a)

+

^ 1• 2...(»-!)'

(«) + ••• w

+

p • 1- 2 . . . (» - 1)'

86 Statt a und b schreiben wir x und x + h, statt f wieder a + (b — a) d = x hd, wobei 0 < 6 < 1; dann entsteht für p > 0 (28)

/ (x + h) = / (x) + A /' ( s )

1

; 1 • 2 . ." . {n - 1)'

( *w)

+

+

1

f"

{x)

+

...

(n) p • 1 • 2 . . . (n - f1)' ( * + 0 A) •

Das letzte Glied nennt man den Rest der Formel und schreibt dafür B. Setzt man in ihm p = 1, dann hat man die C a u c h y s c h e Restform

und für p = n entsteht die L a g r a n g e sehe Restform

(28) ist die T a y l o r s c h e Formel. Sie ist abgeleitet unter der Voraussetzung, d a ß d i e F u n k t i o n f(x + h) u n d i h r e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n der ersten bis zur » - t e n O r d n u n g s t e t i g sind in e i n e m I n t e r v a l l , w e l c h e s die S t e l l e h = 0 enthält. M a c l a u r i n s c h e F o r m e l . W i r d in (28) statt x geschrieben 0 und x statt h, so folgt (29)

f(x)

= /(0) + y / ' (0) + J ^ / » (0) + • • • /(«-!)(()) + R( 0) 1 • 2. . . (n - 1)

und insbesondere

Sie ist gültig, w e n n d i e F u n k t i o n f(x) u n d i h r e D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n der ersten bis zur w-ten O r d n u n g stetig sind in e i n e m I n t e r v a l l , w e l c h e s die S t e l l e x = 0 e n t h ä l t . Natürlich fordert die Berechnung von /'(0), /"(0) . . ., daß zuerst /' (x), f" (x) . . . gebildet und darin x = 0 gesetzt wird. Ist in (28) lim R = 0 für n -^oo und die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt für die Funktion und ihre s ä m t l i c h e n Diffe-

87 rentialquotienten, so erhält man, wenn a bzw. x für x bzw. b gesetzt wird, als Darstellung für f(a + x) rechterhand eine konvergente 1 ) unendliche Reihe: (30) / (o + x) = f(a) + y /' (o) + ~

/" (a) +

/"' («) +

•••.

Ebenso darf man in (29) die unendliche Reihe nehmen, wenn lim i?(0) = 0 für n~* co und wenn die oben ausgesprochene Bedingung für die Funktion und ihre s ä m t l i c h e n Differential quotienten erfüllt ist. Dann hat man: (31)

f(x) = /(0)

(0) +~f"(0)

+ p f - 3 /"'(0) + • • • .

Die Bedingung: lim R = 0, resp. lim R(°) = 0 für n co fordert mehr als die bloße Konvergenz der entstehenden unendlichen Reihen; denn bei bloßer Konvergenz kann R sich auch einer von 0 verschiedenen Grenze nähern. Aufgaben In den folgenden Aufgaben sind jedesmal nur die ersten Glieder der Taylorschen bzw. Maclaurinschen Formel angegeben; dem Leser bleibt die Angabe der Restglieder überlassen. — Hinsichtlich der Untersuchung, ob und für welche x der Rest gegen Null konvergiert, also f ( a - { - x ) durch die unendliche Reihe dargestellt wird, muß auf ausführliche Lehrbücher verwiesen werden. 417) D a s B i n o m i u m . Zu f(x) = xn gehören die Werte f(a) = an, f(a)=na»-1, /"(«) = n(n — 1) an~2, f"'(a) = n(n — 1) n 3 (n —2) a ~ , usw. Nach der Formel von Taylor erhält man f ( x - \ - a ) oder: (a + x)n = an + »s»"1 y + n(n — 1) o""2 — + n(n — i)(«_2)o»-»r^rä+ n

•••. n

418) Die Reihe für (1 + x)~ zu finden. f(x) = x~ , /(1) = 1, /'(1) = — », /"(1) = n(n + 1), /"'(1) = —(n + 1) (n + 2) usw. (l + * ) - = l — » £ + « ( » + 1 ) ^ — n(n + l)(n +

2)1x^+-

*) Eine „unendliche Reihe" % + a2 + • • • heißt konvergent, wenn im (al + • • • + an) existiert. n—* co

419) Man entwickle den Ausdruck f(x) =

+ x in eine Reihe.

f"(x) = — u s w . ;

, f'(x) =

/(1) = 1, /'(1) = 1, / " ( l ) i r-\—i—

i

i

x

daher

i , USW. 1

7-2

i

1'3

420) Man leite die Reihe her: _ L _ _ 1 lfr+i~

i Ii? 2 2 * + 2-4*

1-3-5 3 2• 4 • 6^

1

'

' ' '

421) Wenn f(x) = x? — + 4x — 5 ist, soll f(x + 2) entwickelt werden. E s ist /(2) = — 1, /'(2) = 4, /"(2) = 6 . /"'(2) = 6; f(x + 2) = — 1 + 4x + 3x 2 + x3. 3x2

422) Nach der Formel von Maclaurin soll abgeleitet werden: a + x a r+~x = T

+

b—a ~b*^x

+

a — b % ,b — a „ ~vr~x +

423) D i e R e i h e f ü r ax. f(x) = ax, /(0) = 1, /"(0) = (lg a) 2 , /'"(0) = (lg «) 3 , usw. a« = 1 + y lg a +

f(0)=]g«,

(!g «) 2 + r i r g flg «) 3 + • " • -

Daraus geht die Reihe für ex hervor, wenn man e statt a setzt, wodurch lg a zu lg e = 1 wird. 424) D i e R e i h e f ü r lg (1 + x). j(x) = \gx, /(1) = 0, /'(l) = 1, /"(1) = - 1 , / " ' ( 1 ) = 2, / " " ( I ) 1 - 2 - 3 , /(l) = l - 2 - 3 - 4 , usw. l 8 ( l + «) = « - T + T - T

+ T—•••

'

Wird darin — x statt x gesetzt, so entsteht: I

/ f

%

'e(!-») =

a«2 »V

-V3 «4/

A*4 »4/

- » — s - y - T — s

• < r ^ - « ( f + T + T 1+ - ) Durch Substitution von x = 2z . + -1 geht die vorstehende in ° folgende für die Berechnung bequeme Formel über: 1 l g ( z + l ) = lgz + 2 22 1+ 1, ' 13 (2z + l) 3

1

, 1 1 5 (2z + l)1

89 Aus ax = y folgt Lg y = x (für die Basis a); andrerseits ergibt ex,ea = y die Beziehung ]gy — x\ga, und daraus L g 2 / = ^ l g i / , Lg (1 +x)

=^lg(l +

x).

Will man also Lg (1 + x) in eine Reihe entwickeln, so kommt man auf die für lg (1 + x) zurück, nur dividiert durch lg a. Die einfachste und natürlichste Entwicklung wird also für a = c stattfinden. Deshalb heißen die zur Basis e gehörigen Logarithmen die natürlichen. 425) Nachzuweisen, daß: (1

+

e *)3

=

8

+ 1 2 ^ + 2 4 ^ + 54 p * ™ + • • •

426) D i e R e i h e f ü r sin (x + a). f(x) = smx, /' (a) = cos a, f" (a) = — sin a, usw. sin (x + a) = sin a

cos a -j

sin a

/(a) = s i n a ,

— cos a

2

g + • • •.

Für a = 0 wird: sin x

1-2-3

1

1•2•3•4 • 5

427) D i e R e i h e f ü r cos (x + a), f(x) = cosa;, f(a) = c o s a , f'(a) = — s i n a , /"(a) = — c o s a , f"'(a) = s i n a , usw. SC X

cos (a + x) = cosa—sina

CC^ cos a =—= + sin a + • • •. 1• Z 1• u • ö

Für a = 0 erhält man: cosa; = 1 —

X2 , X4 + 1-2 1•2•3 • 4

428) Auf ähnliche Weise entwickelt man: . . . . , . tg(a + a; ) = t g a +

1 c o 8

^

x T

+

2tga i8 ^ r ^

c o

2(1 + 3 +

cos2g

' a) z3 , 1T2T3 + - .

Das Gesetz der Koeffizienten ist hier nicht übersichtlich. 429) Nach der Formel von Maclaurin soll / (x) = cos2 x entwickelt werden.

90 430) Mittelst der Reihe von Maclaurin ist die Formel von Moivre abzuleiten 1 ). Gegeben ist f(x) = (cos x + i sin x)n. Man findet: /' (x) = n (cos x + i sin ( — sin x + i cos x) = = ni (cos x -f- i sin x)n — ni • f (x), und daraus folgt, daß j"(x) = ni • f{x) = (nifi{x) ist usw. Nun ist /(0) = 1, /'(0) = ni, /"(0) = — w2, /"'(0) = — n s i , usw., und (cos x + i sin x)n = 1 — +

J—2

+

t

. 2 . 3T4

, . tnx ,

lT-TT2T3

,

\

+•••)»

oder nach den für sin x und cos x entwickelten Reihen: (cos x + i sin x)n = cos (nx) + i sin (nx). 431) D i e F u n k t i o n / (x) = arc sin x soll in eine Reihe entwickelt werden. Weil die höheren Differentialquotienten wenig einfache Formen annehmen, benutzen wir die sogenannte Methode der unbestimmten Koeffizienten, die angewendet werden darf, sobald die Möglichkeit der Entwicklung feststeht. Wir setzen: arc sin x = A + Bx + Cx2 + Dx3 + Ex* H und finden A = 0 für x — 0 1 ) . Wird auf beiden Seiten differenziert, so entsteht 2 ): 1

J/l — x2

= B + 2Cx + 3Dx2 + 4Ex3 -\

.

Für die linke Seite liefert Aufgabe 420) die Reihe:

und so erhält man durch Vergleichung: B = l ,

(7 = 0,

3,

£ = 0, usw.,

x3

, 1 , 1 • 3 xs , 1 • 3 • 5 x7 , arc sm x = x + + =—¡--^ + ; 2 3 ' 2 - 4 5 1 2-4-67 Für x = 1 wird arc sin x = x)

¿1

.

Weil, wie auch in 432), der H a u p t w e r t in Betracht gezogen wird. Vorbehaltlich der nötigen Nachweise für die Existenz der auftretenden Grenzwerte, evtl. unter Berücksichtigung des Auftretens komplexer Werte. 2)

91 432) Die R e i h e f ü r arctga;.

Setzt man:

arc tg x = A + Bx + Cx2 + Da? + Ex* + • • so ist A = 0 für x — 0 1 ). Die Differentiation gibt 1

X2

+

= B + 2 C x + 3-Da;2 + 4Ev? -\

Da nun weiter, wie bekannt 1 1 — x2 + xi — x6 1 + z2 so findet man durch Yergleichung, daß: 5=1,

C = 0, D = —\,

arctgx^y— Für x = 1 ist arc tg x = 4

3

y

E = 0, usw.

+ - —

y

+ •••2).

, und man hat: 5

7

9

11 ^

Werden die Glieder paarweise vereinigt, so entsteht die zur Berechnung von JZ praktischere Form: 4

\1 • 3

5-7

9 -11

Setzt man tg oc = \ und tg ß = ^, so ist tg (2

1-2

I

/v4

? 1 • 2 • 3•4 1-2-3

1)

1

ty&

_ L... 1• 2...6 1-2-3-4-5

Vgl. Fußnote S. 90. Vgl. Fußnote 2 ) S. 90. 2 Vgl. Fußnote ) S. 90. Man beachte auch, daß ez für komplexes z und die Rechenregeln hierfür erst in der Funktionentheorie definiert bzw. gerechtfertigt werden. 2)

3)

92 oder es ist e.ix = cos x + i sin x, und allgemein: einx =

(32)

c o s (rix) +

i sin ( n x ) .

Da nun auch e = (cos x + i sin x)n ist, so erhalten wir leicht durch Vergleichung die Formel von Moivre wieder. Aus inx

eix

= cos

+

x

i

sin x und

e~ix

=

cos x

— i

^ £%

,

sin

x

folgt leicht: (33)

cos x

s

=

¿i

, sin

x =

worin auch nx statt x gesetzt werden darf. Tritt ebenso in Aufgabe Nr. 424) an die Stelle von x die imaginäre Variable ix, so erhält man: • 1+ w

„•/x

a? , ar>

\

woraus dann unter Berücksichtigung der Reihe für arc tg x folgt: (34)

a r c

t

g a ; = =

llgl±^.

Ersetzt man in den Formeln (33) für cos x und sin x die Variable i durch 1, so erhält man die sogenannten Hyperbelfunktionen cosh x = | (ex -f- e~x), sogen, h y p e r b o l i s c h e r K o s i n u s ; sinh x = \ (ex — e~x), sogen, h y p e r b o l i s c h e r S i n u s . A u f g a b e n : 1. Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Beziehungen: cosh 0 = 1 , sinh 0 = 0 , cosh x = cosh (— x), sinh x — — sinh (— x), d cosh x . , d sinh x , —: = sinh x, —5 = cosh x. dx

dx

2. A d d i t i o n s t h e o r e m e (Beweis!) cosh (x ^ y) — cosh x cosh y ^ sinh x sinh y, sinh (x ^ y) = sinh x cosh y i 2

2

cosh x sinh y,

(cosh x) — (sinh x) = 1, (cosh x)2 -f (sinh x)2 = cosh 2x, sinh 2x = 2 sinh x cosh x.

93 3. Man zeige: Es nimmt cosh x zu bzw. ab mit wachsendem x je nachdem x > 0 bzw. a ; < 0 . Hingegen nimmt sinh x mit wachsendem x zu für jedes x. Es besitzt cosh x bzw. sinh x in x = 0 ein Minimum bzw. einen Wendepunkt. 4. Wegen Aufgabe 3. ist die U m k e h r f u n k t i o n arsinh y von y= sinh x, sprich A r e a des hyperbolischen Sinus, eind e u t i g bestimmt. Und zwar ist arsinh y = lg (y -f- j/l -f- y"1), wobei y jede reelle Zahl sein kann und stets der p o s i t i v e Wert der Q u a d r a t w u r z e l zu nehmen ist. (Bew. Setzt man u=ex, so ist 2sinh x = 2y = u— w1. Auflösung nach u gibt u = y j/l + y 2 ). Dagegen ist die Umkehrfunktion arcosh y, A r e a vom hyperbolischen Kosinus, zweideutig. In der Tat ergibt eine analoge Rechnung wie beim sinh x arcosh y = lg ( j £ J/y1 — 1), wobei y 1 sein muß und die beiden Zweige den zwei verschiedenen Vorzeichen der Quadratwurzel entsprechen. _ d arsinh y 1 ¿[y —j^j=j=pmit positiver Quadratwurzel

5

¿arcosh« 5 = dy

1 _ , MI T j/^a— i > T V > 1•

Funktionen von z w e i unabhängigen Variablen § 12. Entwicklung der Difierentialquotienten Sind in der gegebenen Funktion z = f(x,y) die beiden Variablen x und y unabhängig voneinander, so können die Werte, welche z nacheinander annimmt, wenn man den Variablen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden: In der euklidischen Ebene benutzt man in bekannter Weise rechtwinklige Koordinaten x und y zur Festlegung eines Punktes D (Fig. 10), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Räume. Bei mehrwertigen Funktionen findet man mehr als e i n e n Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M vermöge der Gleichung z — f(x, y) annehmen kann, möge — wenigstens bei eindeutigem f(x, y) — eine Oberfläche heißen. Eine Änderung des Funktionswertes z — f(x, y) kann nun auf dreierlei Weise veranlaßt werden, und zwar: 1. dadurch, daß bei festem y nur x übergeht in x1, 2. dadurch, daß bei festem x nur y übergeht in yx, 3. dadurch, daß gleichzeitig x und y übergehen in und yv Demgemäß müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich: 1) /(*!,

y)—f{x,

y);

Daß man die Werte: of = l i m /(a„ y) - / ( s, y) Bx

3) f(x1,y1)-f(x,

2) f(x,yx)—t(x,yY,

xx — x

'

8[ = 8y

Hm

/(x,

Vl)

-

/(x, y)

y).

95 die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde S. 18 erörtert. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfährt, daß sich die beiden Variablen x und y gleichzeitig ändern. Wenn den Zahlen x, y und xx, y1 mit x 4= y, xx =j= yx die Funktionswerte z und zv zugehören, so ist

=

1

Setzt man

«i — z = /(«i> 2/i) — f(x, y), oder: /(*i,yi)-/(*,*) )+ nx,yi)-i(x,y) ( v 1 —x ' 2/1 — 2/

(35)

d z =

ä

d x +

*l

d y

,

so unterscheidet sich, falls dx = x1 —x, dy = yl — y ist, dz von zi —2 nur um r)dx + £dy, wo lim r) = 0, lim £ = 0 wenn r = | da; | + \dy\~, dabei sind

0

T-*

r>{

r->0

Ol

und ~ als stetig vorausgesetzt.

(Auf einen Beweis muß hier verzichtet werden.) Die rechte Seite in (35) bezeichnet man auch als t o t a l e s D i f f e r e n t i a l von f(x, y). oj

p,i

Wird (35) auf — und ~ angewendet und dabei berücksichtigt, daß dx und dy konstant sind, so entsteht, wenn d(dz) = d2z gesetzt wird: d>z =

afBLta+Wdy) y Ito % ) dx

d>z=^dx>

+

dx

+

1

algdx Ite

2-£Ldxdy

++

dy

gdy) 8y y)

* d

+

^dy>.

Aufgaben 2

dz = (6x + y*)dx + (2xy + 0 bzw. < 0 und a0 = g (0, 0). Entsprechend liefert die Betrachtung von 0 ist, g(x, y) > a0 bzw. < a0 je nachdem z. B. x = y 4= 0 bzw. x— — y =f= 0 . Ist aber z. B. an =(= 0 , so läßt sich g(x, y) so schreiben (A)

g(x, y) == a 0 +

an

Die eckige Klammer rechterhand ist niemals negativ und Null nur für x — y = 0 , wenn ana22 — a f 2 > 0 . In diesem Fall hat aber g(x,y) in ( 0 , 0 ) ein Maximum (bzw. Minimum), wenn a u < 0 (bzw. an > 0). Also: D a m i t g(x, y) in (A) a n d e r S t e l l e (0, 0) ein M a x i m u m bzw. M i n i m u m besitzt, ist notwendig, daß

a2 = 0, und hinreichend, daß ana22 — a \ 2 > ® unc^ a n < ® x = (bzw. an > 0). (Es ist dann von selbst a 2 2 < 0 bzw. a 22 > 0).

a

(B) Es sei jetzt f(x, y) nebst seinen partiellen Ableitungen 1. u n d 2. Ordnung stetig für x0 —c < x /ifii'^=

43

45

) ¡ 7 ^

46)

J

d

x

dx

=

Tfrhü'dx

1

S(eX +

a

=T

+

)

= lg sin x

4- b 6 ' J a + b—cos xdx = —j-16 s(a

47) f —

*

cos x).

'

110 § 2. Integration rationaler Funktionen f Ä d * .

J ax + b

wobei 9o (x) ein Polynom ist. Nachdem durch Division mit dem Nenner in den Zähler der Integrand in ein Polynom und einen Restbruch, dessen Zähler die Variable nicht mehr enthält, zerlegt ist, werden die einzelnen Teile integriert. Aufgaben

48, 0 .

r 10z - 17z - 24x + 16z - 14dx , 2 ^ 5

>J

1

3

2

= f(6x» + 4a? — 2x + 3 + ¿ - 5 ) dx K~4 4„3 1 = 5 f + T - - a ; 2 + 3a; f z4 - 6z3 + 13z2 - 10z + 3 , z1 49) J — ^ dx = T

_A, 50)

f2x3 + 7z2 + 4z + 2 , x3 , 2 J 2^+3 dx = Y + x*-x

51) Jl±?dx

52)ko.

= x+(a-b)lg(x

fl2 - 28z + 17z2 - 10z3 ,

4z3 5z2 . - + _ + 31g(a;—2)

5 , .. + Ylg(2x + 3)

+ b)

2z 3 3z2 , _ 7, _ . T ^ ~3 2 ^ 5 ^' Steht die Variable unter einem Wurzelzeichen, so ist der Ausdruck zuerst durch Substitution rational zu machen.

J

53) f — ^

J \ + }/lc

dx = 2 f z

J

+

1

=

wenn 2 =

y

= 2 ( ^ - j / x + l g ( l + J/*)) 54)

f — d a ; = 10 i/ä; — 20 lg (2 + \Tx)

J 2 + yx

+ X — 2 j/x + 2 lg (1 + ) / x ) .

r

J / s

l i x

|

s

fe = 3 lg (» - 5) - 2 lg (s + 1) x

d* = 6 ig (« + T ) ~ * lg (* + 1) «fa = 2 lg (s - 3) + 4 lg (» -

16 3z — 18dx = ^lg(x

+

i-)

Q ) - U g ( x - 3 )

112 00) f3x° 61) J

25

3

^

-

^

«fa = ¥

dx = g f 2 + 2 z + 21g ( a - 3 ) + lg ( a ! + 4) - T

+ *

3* f

+

+ 6a;4 — 6x' + 3 lg (x' — 1) + 9 lg (xi + i Man setze x" = z.

—

62

>

=

64)

— 2

— 2

J a; + o

l).

T»

d

a 2

:

= ^

J x — (ax)

2

lg ^

at x

. ).

2ai ° x + di '

f

E s ist aber auch bereits gefunden: = — J xt !2 — + a22 a arc tg° — a , und da wir wissen, daß zwei Integralwerte der nämlichen Funktion nur u m eine Konstante differieren können, so ist es gestattet zu setzen: ^ lg - — — arc tg8 — 4C. Wird diese Formel zur Ver2i °x + ai a 1 Wandlung von Integralwerten benutzt, so k a n n die Konstante C in die willkürliche Konstante des Integrals aufgenommen werden. Setzen wir nun noch x — p für x u n d q f ü r a, so entsteht die Formel: 1 , X ~ p — qi j. x — P , n (5) jp lg ——-; = arc tg + C, w ° x — p + qi 9 die bald Verwendung finden wird (vgl. S. 117). 2. D i e b e i d e n W u r z e l n tx u n d ß s i n d r e e l l u n d g l e i c h . Dann nimmt die Formel (4) die Form j>- a n ; m a n erhält ihren wahren Wert, wenn m a n Zähler und Nenner nach ß differenziert u n d dann ß = tx setzt. So wird gefunden: Beispiel 64) gehört eigentlich erst zu Ziff. 3., Seite 113. — Logarithmen sind von uns nur f ü r r e e l l e (nicht f ü r komplexe (imaginäre)) Numeri erklärt worden. Komplexe Numeri werden in der Funktionentheorie in Betracht gezogen; dort wird auch gezeigt, daß die Regeln, nach denen wir hier und im folgenden mit Logarithmen komplexer Numeri rechnen, zulässig sind (also nicht zu Widersprüchen führen).

113

/

mx + n dx = — (x - 2 , o < i n ~ . , o ——, dx = -s- lg (x + 2 a x + b) + J x* + 2ax + 6 2

am

x

i

+

arc tg 6 |/6. _ a2

a

0

a

.

Diese Formel stimmt bis auf die Integrations-Konstante mit (7) überein, weil dort 'p = —a, q = yb —a 2 gesetzt ist. Aufgaben

67

> fu> + 2~u + 10 du = l

g

69 > 70

f ^ M s ^ = 4 lg / ^ ^ T 1 ^ 2

72)

/«»

>

+ X3du

+

=

3 J

g

^ + 2u+

"

(w2

10) - 4 arc t g

^

+ 4« + 8) - arc tg 3 ^ 3 1 ^

+

4m

13)

+

4

~

arc

^

73) J V ! ^ +20 du = 5 lg (u* - 4 ^ + 20) - 6 arc tg

75)

/u>-U6ullOdu = 6

76)

r 27m

J W T 2

,

d u

5

9ii

= i r -

2

^

(M2

8

' +

x

^arctg«

1/3" |/

T

77) f — , d2 u = -}- arc tg6 u ]/— , wenn «6 > 0 ist. ' J a + bu

^

- 6« + 10) + 7 arc tg (« - 3 )

„ , , .

2 u

^

yo'

I n t e g r a t i o n eines Bruches von der F o r m : )

wenn j/ö — a2 z = x + a ist. Also erhält man

/^¿h

=