Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten [Reprint 2012 ed.] 9783110299533, 9783110299281

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Grundzüge und Aufgaben der Differentialund Integralrechnung nebst den Resultaten von

Dr. H .

D ö l p

neu bearbeitet von

Dr. Eugen Netto

20. Auflage

1942

Verlag von A l f r e d Töpelmann in B e r l i n W 35

INHALT Differentialrechnung Funktionen e i n e r

unabhängigen Variabelen Seite

1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen 2. Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwickelung des Differentialquotienten 3 . Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen 4 . Differentialquotienten der trigonometr. und cyklometr. Funktionen . . . 6. Exponential- und logarithmische Funktionen 6. Unentwickelte Funktionen 7. Funktionen τοη der Form: x = (t) 8. Differentialquotienten höherer Ordnung 9 . Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittelung der Werte unbestimmter Formen 10. Maxima und Minima der Funktionen 11. Die Reihen von Taylor und Maclaurin

1 2 18 22 29 39 44 47 66 64 91

Funktionen von z w e i unabhängigen Variabelen 12. 13. 14. 16.

Entwickelung der Differentialquotienten Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen Homogene Funktionen Die Reihen von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variabelen

100 102 105 107

Integralrechnung Unbestimmte Integrale 1. 2. 3. 4. 6. 6.

Die einfachen Integralformen Integration rationaler algebraischer Brüche Reduktionsformeln Irrationale algebraische Funktionen Exponential- und logarithmische Funktionen Trigonometrische und cyklometrische Funktionen

109 116 139 141 167 160

Bestimmte Integrale

170

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie 1. 2. 3. 4. 6. 6. 7. 8·

Tangente und Normale ebener Kurven Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, konjugierte (isolierte) Punkte Krümmungskreis und Evolute Die Wende- oder Inflexionspunkte Der Flächeninhalt begrenzter Figuren Rekti6kation ebener Kurven Die Oberfläche von Rotationskörpern Der Kubikinhalt von Rotationskörpern

178 184 189 198 203 209 211 213

Differentialrechnung, Funktionen einer unabhängigen Variabelen.

υ= *

§ 1. Zusammenstellung der DifFerentialquotienten der einfachen Funktionen. M lì , dy axn ~ · = n a xn~l dx dx

a

y= ^ =

ax

n

na

~n

» = — ¿ m = -««α-»-1 1

« η

1

r

"

y = α f/>

ρ = αζ»

„ = ~

w ' 1

"

2 ¡/χ =ex

y = ex

„

y--=ax

,, =«x

,

lg«

1 "

y = sin χ

η aj/^-»

χ

y = tg 6 a; "

„ = cos λ „ = — sin χ 1 „ = —s— " cos2 a;

y* = cotga; °

„»

y = arc sin χ

„

j/ = cos a;

Dölp, Aufgaben.

A— sin-a: 1

. J/1 — ar

η

ρ_j

«

2 y — are eos® y = aro tg χ y = arc o o t g s

§ 2.

dy____

n

1

1 1+a;2

,, = — j ^ p ^ r ·

Erklärung der Funktion einer unabhängigen Variabelen. Erklärung und Entwicklung des Differentialquotienten.

Eine Gleichung, in welcher eine e i n z i g e u n b e s t i m m t e Grösse χ mit einer beliebigen Anzahl von gegebenen und unverändert beibehaltenen ( k o n s t a n t e n ) Grössen a, b, c, ... durch irgend welche Rechnungsoperationen verbunden auftritt, ist entweder eine i d e n t i s c h e G l e i c h u n g oder eine B e stimmungs-Gleichung. Eine identische Gleichung ist eine solche, die für jeden Wert der Grösse χ gilt, wie ζ. B. (χ + α ) ! = ί ; ! + 2 a x + a \ Eine Bestimmungs-Gleichung ist eine solche, die nicht fiir j e d e n Wert von χ gültig bleibt; ein Beispiel hierfür bietet x* — 2ax 4-6 = 0. Bei einer Bestimmungs-Gleichung entsteht daher die Aufgabe, denjenigen W e r t , oder diejenigen Werte von χ zu finden, weiche die Gleichung erfüllen. Die Grösse χ beisst deshalb die U n b e k a n n t e . Ihre Bestimmung ist Aufgabe der Theorie der Gleichungen. Eine Gleichung, in welcher ausser den gegebenen Konstanten z w e i u n b e s t i m m t e Grössen χ und y auftreten, kann ebenfalls eine i d e n t i s c h e Gleichung sein, wie ζ. B. [x 4- y) (x — y) = — y Ist jedoch die Gleichung keine identische, dann kann sie zu einer Bestimmungs-Gleichung für die eine der beiden Grössen y (oder x) dadurch gemacht werden, dass man der anderen χ (oder y) irgend einen bestimmten Wert beilegt Dieser Wert kann beliebig gewählt werden; von ihm ist die andere Grösse

3 abhängig. Die beliebig gewählte Grösse χ (oder y) heisst deshalb die u n a b h ä n g i g e V a r i a b e l e ; die andere durch sie bestimmte y (oder x) heisst die a b h ä n g i g e V a r i a b e l e ; sie wird auch als F u n k t i o n der unabhängigen Variabelen bezeichnet 1. Beispiel: folglich

(a) Ax-\-By-\-G (b)

= 0,

y= — —

oder auch (c) 2. Beispiel: folglich

x-= — ——Φ-—. A 2 'ì (a) -5 + 1 — 1 = 0 , Qi O (b) y = ±b-\Ta- — x% (X

oder auch (c) x = +

— y~.

In beiden Beispielen ist der Zusammenhang der Variabelen durch jede der Gleichungen (a), (b), (c) ausgedrückt In (b) ist die Variabele y als analytischer Ausdruck dargestellt, der ausser den konstanten Grössen nur die unabhängige Variabele χ enthält; man sagt hierbei: y ist e x p l i c i t e als Funktion von χ gegeben, oder, was dasselbe bedeutet: y ist eine entw i c k e l t e Funktion von x. Ebenso liefert (c) die Variabele χ als entwickelte Funktion von y. Die Darstellungen (a) geben dagegen die eine der beiden Variabelen durch die andere in i m p l i c i t e r oder u n e n t w i c k e l t e r Form. Symbole wie die folgenden: y=f(x), ν = φ{χ), y = F(x),... dienen zur allgemeinen Bezeichnung expliciter Funktionen von χ; die mit χ verbundenen Konstanten sind hier nicht besonders hervorgehoben. In gleicher Weise kann man f(x,i/) = 0, g(x,y) = 0, h(x,y) = 0, ... als Symbole für das implicite Abhängigkeitsverhältnis ansehen, welches zwischen den Variabelen χ und y besteht. 1*

4 Es ist eilte Eigentümlichkeit vieler Funktionen, dass jedem beliebigen Werte von χ auch nur ein einziger Wert von y entspricht, wie in y = χ"*, y = xs, y — sia χ; doch giebt es auch solche, die zu jedem Werte von χ mehr als e i n e n Wert von y liefern, wie y = {/â^ y = y — a r c s ' a x- Hiernach werden e i n - und m e h r w e r t i g e Funktionen unterschieden; die mehrwertigen können z w e i - , d r e i - , . . . w e r t i g e , j a auch wie y = arc sin χ u n e n d l i c h v i e l w e r t i g e sein. Substituiert man in einer entwickelten Funktion y = f{x) an Stelle der unabhängigen Variabelen χ die beiden verschiedenen Werte χ und xt, so ergeben sich die entsprechenden Funktionswerte y = f(x) und yl=f(xl)1 und man kann aus beiden Wertpaaren den folgenden D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n zusammensetzen: Vi — V_JM — φ HCj • OC ~X Wir bezeichnen die Differenzen x1—x=Jxiy1—y

= f f a ) — f{x)=Jy=

J f(x),

so dass (1) auch geschrieben werden kann: él Jx

=

éJM Jx

=

+

Jx

-/X*).

'

( 1 a)

^

Der Wert des Differenzenquotienten liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen. Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y = f{x) durch eine Kurve in der X F-Ebene. Die Abscisse OQ eines Kurvenpunktes Ρ giebt den Wert der Veränderlichen χ und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f(x) an. Je nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehörea zu der Abscisse χ eine oder mehrere Ordinateli y. Der Punkt Ρ der Kurve möge die Abscisse χ und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz Ρ = (χ, ν). Ebenso sei

5 Ρ, = ( « „ y,) = ( « 4 - à χ, .V + ^y). Dann ist P R = QQ l = x1—x = Jx und P1R = y1—y = Jy, und wir erhalten β = taug 5. ¿/a; Ja; Wir können tang β in einfacher und verständlicher Art das S t e i g u n g s m a s s der Geraden S P P , nennen. Dann sieht man: Fig. 1.

Der D i f f e r e n z e n q u o t i e n t (1) oder (1») giebt da« S t e i g u n g s m a s s der S e k a n t e Pl\ an, welche zu den Kurvenpunkten P=(ÍC, y) und P1 — (x-\-Jxi y-{-Jy) gehört. Da wir die Funktion f als gegeben voraussetzen, so kann in jedem einzelnen Falle dieser Quotient auch ausgerechnet werden. 1. B e i s p i e l : y = a x 2 , yl = ax\ J

Y — V I _ „χ]~χ2_

m^ OC

2. B e i s p i e l : J

JL

J x

=

íCj

X

«ïj

y = j/x,

Y< ~ X,

X

oc

=

;

Y=VXI—V* X,

η (x1

X

-{-

x).

6 Wir wollen nun in der Figur den Punkt P t auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte Ρ sich nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozess zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen. Sieht man bei einer reellen Grösse a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem a b s o l u t e n B e t r a g e ; beispielsweise haben - f - 1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von α wird durch |a| bezeichnet. Ändert sich eine Grösse derart, dass ihr absoluter Betrag kleiner wird und im weiteren Verlaufe der Änderung kleiner bleibt, als jede beliebig gegebene noch so kleine absolute Grösse, so nennt man die veränderliche Grösse u n e n d l i c h klein. Eine unendlich kleine Grösse hat also keinen konstanten Wert; es ist e i n e V a r i a b e l e , die sich unbegrenzt der Null nähert Ist die Differenz α — α zwischen einer veränderlichen Grösse a und einer festen Grösse a unendlich klein, d. h. nähern sich die Werte, welche die Differenz α — a durchläuft, unbegrenzt der Null, dann heisst a die G r e n z e der Variabelen a. Man schreibt dies lim (« — a) — 0 oder lim a — a wobei „lim" das Wort „limes", „Grenze" bezeichnet. läuft etwa a eine der Reihen

Durch-

I i . . ' ^

I _A_ * · ' η » - f 1' ' · ' 92 η 1 92 »4-1 I I .1 s β is Ζ ~ ϊ> ΐ ' 8> 1ϊ< · · · £2η ' 22λ + ' ' * " ' so ist im ersten Falle lima = 0, im zweiten lima = l . Das Zeichen „lim" wendet man in uneigentlichem Sinne auch für den Fall an, dass die Grösse a über alle Grenzen hinaus wächst; man schreibt dann lim a = oo, trotzdem j a von einer Grenze keine Rede sein kann. Ist lima = a und lim β = δ, so folgt daraus lim (« + /?) = « + b, lim (aß) = a b,

7 weil mit a — a und β— b zugleich auch (a±ß)

— (a±b)

und

(α — α ) ( £ 4 - δ ) + (α + α)0? — b) = 2(aß — ab) unendlich klein werden.

Ferner ist unter der Voraussetzung,

dass b von Null verschieden sei, ,. h m

a

a

ß - p

denn mit α — α und β — b wird dann zugleich auch (α — a)b — (ß — b)a Jb

ab — β a =

~ ß b ~

a =

a ß~b

unendlich klein. Wir wollen nun in ( I a ) die Differenz J x bei festem χ unendlich klein werden lassen. Wird dann auch J y unendlich klein, so heisst y für den betrachteten Wert von χ s t e t i g variabel. Ist y für alle Werte x, die zwischen x1 und xi liegen, stetig variabel, so sagt man, y sei für das Intervall von xx bis x„ eine s t e t i g e F u n k t i o n von x. Ob für unendlich kleine J χ der Quotient ( I a ) sich einer Grenze nähert, ist fraglich. Geschieht es, so nennen wir sie den D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n von y für χ und schreiben

wobei die Bezeichnungen

y\ f'(x)

für einander eintreten

können und vollkommen gleichbedeutend sind. Dass der Differentialquotient, der j a die Grenze des Quotienten zweier unendlich kleiner Grössen ist, doch einen bestimmten endlichen Wert haben kann, zeigen schon unsere obigen Beispiele. Für y —αχ*

wird

H )> ν, = +1 In (C) wollen wir nun auch, nachdem die rechte Seite von « frei gemacht ist, den Wert von ρ über alle Grenzen wachsen lassen. Hierbei geht für jedes endliche χ der letzte Bruch in (D) in den Wert 1 über, und den zurückbleibenden Teil der rechten Seite von (D) können wir, wenn k \x\ < Je - j - 1 ist, in der Form |af

( M W

H \

/

\x\ \

\x\k

( \x\ y - f c + 1

schreiben. Der erste Faktor rechts ist endlich; der zweite wird sich mit wachsendem ρ als Potenz eines echten Bruches dem Grenzwerte 0 nähern. Folglich ist lim Rp = 0, und p=ao wir haben die Entwickelung

31

(Ε Λ » ( 1 + » ) " = 1 + ϊ + Ο + Γ Ϊ Ι + · · · > für jedes reelle, positive öder negative χ in Form einer k o n v e r g e n t e n unendlichen Reihe. Den Zahlenwert dieser Reihe für χ = 1 bezeichnen wir mit e und setzen

' = . ! ™ ( 1 + ; ) " - 1 + 1 + 0 + ο γ 3 + · · · Weil nun die rechte Seite > 2 und < 1 + 1+ 1 + ^ + ^ - f . .. —

χ3

ό e®

„

1 6 8 )

1 6 9 ) y = \g\/2ax

χ

• - - Î T Ï · α—

χ2

χ

2 αχ — χ3 9 1 + χ 170) y = 1° π ο 1 — χ 1 — χ-

Vf-

1 7 1 ) 2/ = l g

, /

α

•χ

1 7 2 ) 2/ = 1 Î "i/i—«-

αÏ

—

—

«r,.^ 11 1 7 3 ) y = - \g χ Χ 11 77 44 ))

2 /

„ =

I

,

m.

. „

β,

\ a«)

dy ^

ÍC—α

— ç

1 8 0 ) y = \ζ(χ

3 : 2 + 1

— 1)

χ-

1

1

dy

h r ^

- 1

»

2 χ--)-

=

+

η .

.

178) y = M·'

χ2)

1 \ U - ^ v ï ;

,

_}-ig

/ 176) i , = l g ( a - f a : + l / 2 a s +

179Λ

χ(1—

_

,

177)

1

"

S - « ν *

ΐ7δ) y =

χ-

—

1

=

mo-f«

s1)

» - s f c í l + I ' are

3 l g (a; 4 " 1) + l g dy

α2 -}-1

d y

tea 1) +

5 are t g a;

Qxz -\-'d x2-\-2x— a;4 — 1

7

37 1 ¡

dx

dx

drx

dx 1 : - - geht dt "

=

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dy

dt* ' ( f t ~ d t- ' d t

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Aufgaben. 283) y — b sin t

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