Grundzüge und Aufgaben der Differential- und Integralrechnung nebst den Resultaten [23. Aufl. Reprint 2020] 9783112313183, 9783112301913

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H.DÖLP

UND E.

NETTO

GRUNDZÜGE UND AUFGABEN DER DIFFERENTIALUND INTEGRALRECHNUNG N E B S T DEN R E S U L T A T E N

23., verbesserte Auflage

VERLAG ALFRED TÖPELMANN, B E R L I N W35 1960

INHALT Differentialrechnung 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Funktionen einer unabhängigen Variablen gelte Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen 3 Funktion eines reellen veränderlichen Differentialquotienten . . 4 Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen 20 Differentialquotienten der trigonometrischen und zyklometrischen Funktionen 25 Exponential- und logarithmische Funktionen 32 Unentwickelte Funktionen 39 Funktionen von der Form: x = (t) 44 Differentialquotienten höherer Ordnung 47 Anwendung der Differentialrechnung zur Ermittlung von Grenzwerten 54 Maxima und Minima von Funktionen 61 Die Reihen von Taylor und Maclaurin 85

Funktionen von z w e i unabhängigen Variablen 12. Entwicklung der Differentialquotienten 94 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen 96 14. Homogene Funktionen 99 15. Die Reihen von Taylor und Maclaurin f ü r Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen 100

Integralrechnung 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Unbestimmte Integrale Die einfachen Integralformen Integration rationaler Funktionen Reduktionsformeln Algebraische Funktionen Exponential- und logarithmische Funktionen Trigonometrische und zyklometrische Funktionen Bestimmte Integrale

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

103 110 131 133 149 152 161

Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geometrie Tangente und Normale ebener Kurven 169 Doppelpunkte, Rückkehrpunkte, konjugierte (isolierte) Punkte 175 Krümmungskreis und Evolute 179 Die Wende- oder Inflexionspunkte 186 Der Flächeninhalt begrenzter Figuren 189 Rektifikation ebener Kurven 195 Die Oberfläche von Rotationskörpern 198 Der Kubikinhalt von Rotationskörpern 200

Differentialrechnung Funktionen e i n e r unabhängigen Variablen § 1. Zusammenstellung der Differentialquotienten der einfachen Funktionen y = axn "

dy -f- = dx

a n y=~-=ax" xn

dy = dx

y =an]/x=ax» " •

dx

n

dx

n

y =an]/tf> * ' y

=

=j/ x

ax»

dy dx

y = ex y9 =ax y =

lgX

y3 = sin x ya = cos x

. naxn~l na jrrr = xn+1 ' '

^=ex ~ = ax lg a dx ° dy =J_ a;

dy ~ = cos x dx dy -/- = —sm x dx

y --- arc sin x

dy _ 1 dx |/i _

y = arc cos x

dy =

i*

n

2 j/i

da;

dx

„ , —nax~n~1

l_

-ax»~

n

4 y = arc tg x

y = arc cotg x

dy

=

1

da; 1 + z2 dy = l ¿a: 1 + X" '

y = sinh x

^ = cosh a; (vgl. S. 92)

y = cosh x

^ = sinh x

y = arsinh x

ax dy

y = arcosh x

=

1

+(/l + a;2 1 ±J/xa - 1

§ 2. Beeile Funktionen reeller Veränderlicher. Differentialquotient A. F u n k t i o n s b e g r i f f I. E i n d e u t i g e F u n k t i o n e n e i n e r V e r ä n d e r l i c h e n . Unter einer e i n d e u t i g e n (reellen) F u n k t i o n f(x) der (reellen) unabhängigen V e r ä n d e r l i c h e n oder V a r i a b l e n x verstehen wir eine Vorschrift, derzufolge jeder Zahl x aus einer gewissen Menge D reeller Zahlen eine reelle Zahl f(x), der sogenannte W e r t der Funktion, zugeordnet wird; D heißt der D e f i n i t i o n s b e r e i c h der Funktion. B e i s p i e l e : (1) Die K o n s t a n t e n . Das sind diejenigen Funktionen, bei denen allen x der gleiche Wert, etwa c, zugeordnet ist, also f(x) —c für jedes x aus D. (2) Die P o l y n o m e . Als Polynome 0-ten Grades bezeichnet man die Konstanten. Für k ^ 1 bezeichnet man als Polynome fc-ten G r a d e s die Funktionen a0 + atx + • • • + «t«*, wobei a 0 , . . ., «t (reelle) Zahlen (Konstanten) und a* =j= 0 ist. Der Definitionsbereich eines Polynoms kann als die Gesamtheit aller reellen Zahlen angenommen werden. Spezialfälle: Für k = 1 hat man die l i n e a r e n Funktionen a0 + a^x, für k —2 die q u a d r a t i s c h e n . (3) Als r a t i o n a l e Funktionen bezeichnet man die Quotienten Z(x): N(x) aus je zwei Polynomen Z(x) und N(x). Weil m i t N u l l n i e m a l s d i v i d i e r t w e r d e n d a r f , enthält hier der Definitionsbereich D nur solche x, für die N(x) =)= 0 ist; insbesondere kann nicht N(x) = Konst. = 0 sein. Beispiel: Z(x) = 3 + 2x,

5 2V (a;) = 1 — 2x 2 + x*; hier gehören s; = ¿ 1 nicht zum Definitionsbereich D. (4) S i n u s und K o s i n u s . f{x) = sin x ist für alle x erklärt. Da aber der Sinus p e r i o d i s c h , d. h. da sin x = sin (x + 2kn) ist für i = 0 , ¿ 1 , ^ 2 so braucht man sin x nur für alle x mit 0 ^ x < 27T zu kennen. Das gleiche gilt für cos x. (5) T a n g e n s und K o t a n g e n s . Es ist tg x = sin x : cos x nur für x 4= ± y

> =b

• •

zh —

•

• • definiert, weil der

Kosinus für ^ — - — n Null ist, k = 0, 1,2, . . . . Für welche x ¿t ist ctg x = cos x : sin x definiert ? II. Mehrdeutige F u n k t i o n e n einer Veränderlichen. Neben den eindeutigen (Ziff. I.) begegnet man auch m e h r d e u t i g e n (mehrwertigen) Funktionen f(x); bei diesen sind also einzelnen oder allen x m e h r e r e Werte zugeordnet. Beispiel: f (x) — ]jx. Hier muß zunächst x ^ 0 sein (denn für x < 0 wird die Wurzel imaginär, während wir es nur mit reellen Funktionen zu tun haben); für x > 0 kann JIx sowohl positiv als negativ genommen werden, während für x = 0 Null der einzige Wert ist. — Andere Beispiele mehrdeutiger Funktionen treten bei den impliziten Funktionen auf (vgl. Ziff. IV.). I I I . F u n k t i o n e n von m e h r e r e n V e r ä n d e r l i c h e n . Entsprechend wie die (reellen) Funktionen von e i n e r (reellen) Veränderlichen werden die Funktionen von n S: 2 (reellen) Veränderlichen erklärt. Es genügt, den Fall n — 2 zu besprechen. Der ganze Unterschied gegenüber dem Fall einer Veränderlichen (n = 1) besteht darin, daß für n — 2 der Definitionsbereich D der Funktion nicht mehr eine Menge von Zahlen x, sondern von P a a r e n (x, y) von Zahlen x, y ist. Man bezeichnet demgemäß die x und y als die (unabhängigen) Veränderlichen und die Funktion selbst mit f(x, y), g(x, y) usw. Im Fall n = 1 veranschaulicht man sich die x als P u n k t e auf der (Zahl-)Geraden, im Fall n = 2 die Paare (x, y) als Punkte auf der x, y-Ebene. B e i s p i e l e : (1) f(x, y)

+ ^ > wobei a 4= 0, b =j= 0. Der

Definitionsbereich ist hier die ganze Ebene. — (2) g(x, y) = x: y. Hier ist der Definitionsbereich die Ebene mit Ausnahme der Geraden y = 0. — (3) Während die Beispiele (1) und (2) ein-

6

deutige Funktionen liefern, ist h(x,y)

=J/x:y

zweiwertig

IV. U n e n t w i c k e l t e F u n k t i o n e n . Bei gegebener Funktion f(x, y) kann man nach allen Paaren (x, y) des Definitionsbereiches D fragen, für die f(x, y) = 0 ist. Vermöge dieser Gleichung f(x,y) = 0 werden jedem (in Betracht kommenden) x eine oder mehrere y zugeordnet, nämlich alle y, für die f(x, y) = 0 ist. Dadurch wird y als Funktion von x erklärt, in Z e i c h e n: y = F (x). Die Bestimmung von F(x) entspricht der „Auflösung" der Gleichung f(x,y) = 0 nach y. Man sagt auch, durch f(x, y) = 0 sei y implizite als Funktion von x erklärt oder y sei i m p l i z i t e oder u n e n t w i c k e l t e F u n k t i o n von x. Ist speziell f(x,y) —y—g(x), also y =g(x), so heißt y e x p l i z i t e oder e n t w i c k e l t e Funktion von x. B e i s p i e l e : (1) Für f(x,y) =(1 + x2)y—c i s t F ( x ) = c : ( l +x 2 ) eindeutig für alle x. (2) Für f{x, y) = ^ + -g + c, a 4= 0, b 4= 0, ist F(x) 2 2 = —j/—ca —x nur für c ^ O erklärt (nämlich reell), für c = 0 muß x = 0 sein, für c < 0 muß x2 —ca 2 sein. B. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t I. D i f f e r e n z e n q u o t i e n t . Bei gegebenem f(x) kann man für beliebige x, xx mit x 4= den D i f f e r e n z e n q u o t i e n t e n ^ Vi — V _/(*1) — f(x) bilden, wobei y1 =f(x1) und y — f(x) ist. Übrigens gilt bei Vertauschung von x1 bzw. y1 mit x bzw. y stets y — y1 _ Vi — y X~ Xj ~~ X Die im Zähler und Nenner auftretenden Differenzen kürzt man auch so ab: Af = Ay = yx — y und Ax =x1 — x. Der Differenzenquotient schreibt sich dann (v l a )

# = 4 Ax

Ax

Ax

, ^obei Ax

+

0.

Der Differenzenquotient liefert das Verhältnis des Zuwachses der abhängigen zum Zuwachs der unabhängigen Veränderlichen. Wir wollen den Differenzenquotienten auch geometrisch repräsentieren. Zu diesem Zwecke erinnern wir an die aus der

7

analytischen Geometrie her bekannte Darstellung der Funktion y = f(x) durch eine Kurve in der zy-Ebene. Die Abszisse OQ eines Kurvenpunktes P gibt den Wert der Veränderlichen x und seine Ordinate QP den Wert der Funktion f(x) an. J e nachdem f(x) ein- oder mehrwertig ist, gehören zu der Abszisse x eine oder mehrere Ordinaten y. Der Punkt P der Kurve möge die Abszisse x und die Ordinate y besitzen. Wir schreiben dies kurz P = (x, y). Ebenso sei P1 = (xv yx) = (x + Ax, y + Ay). Dann ist PR — QQl — x1 — x — Ax und PXR =yx — y = Ay (vgl. Fig. 1), und wir erhalten Ay f(x + Ax) - /(x) S Wir können tg ß in einfacher und verständlicher Art das S t e i g u n g s m a ß der G e r a d e n SPPt nennen. Dann sieht man:

D e r D i f f e r e n z e n q u o t i e n t (1) oder (la) g i b t das S t e i g u n g s m a ß der S e k a n t e P P X a n , w e l c h e zu den K u r v e n p u n k t e n P = (x, y) und Pl = (x + Ax, y + Ay) g e h ö r t . 1. B e i s p i e l : y = ax2, yx = ax\\ Ax

2. B e i s p i e l :

x1 — x

y

xx — x

v 1

'

=]/x,y1=]/x1\

dy _vx — y __ — V* __ i Ax x x - x x±-x ~ y^r + Yx '

8 II. Grenzwerte. Wir wollen nun in der Figur den Punkt P1 auf der Kurve unbegrenzt dem als fest angenommenen Punkte P sich nähern lassen. Um richtige analytische Einsicht in diesen Prozeß zu gewinnen, müssen wir einige neue Begriffe einführen. Sieht man bei einer reellen Größe a von dem Vorzeichen ab, so spricht man von ihrem absoluten B e t r a g e ; beispielsweise haben + 1 und — 1 den absoluten Betrag 1. Der absolute Betrag von a wird durch |a| bezeichnet. Genauer: Es ist |a| = a, falls a ^ 0, und |a| = — a, falls a < 0. Demzufolge gilt: \a\ — 0 nur für a = 0, sonst |o| > 0; fernerla| = | — a\ und \ab\ = |a| • |ft| sowie die wichtige („Dreiecks"-)UngIeichung \a + o| ^ |a| + |6|. Aus dieser Ungleichung folgt noch | |a| — |6|] Man sagt nun, die Funktion f(x) besitze „bei Annäherung von x an x0", kürzer „bei x - + x 0 " , oder „an der Stelle x0" den Grenzwert a, in Zeichen: a = lim f(x), wenn folgendes gilt: x-*xt

Unterscheidet sich x von xg hinreichend wenig, wobei aber x 4= xg sein soll, so unterscheidet sich f(x) von a beliebig wenig. Oder etwas anschaulicher formuliert: Es liegt f(x) beliebig nahe bei a, wenn x hinreichend nahe bei xg liegt. (Dabei soll natürlich x stets zum Definitionsbereich gehören.) Genauer: Zu beliebigem e > 0 gibt es ein ö(e) > 0 derart, daß |/(a;) — a\ < e, wenn 0 < \ Ax \ = \x — x0 \ < ö{e). Beispiel: f(x) =x2.

Hier gilt lim f(x) = x\.

Denn es ist

X-+X,

\x2 — x\ | = |x + x01 • \ x — x01 beliebig klein, wenn \x — x0\ hinreichend klein ist. Genauer: \x2 — < e, wenn \x + «b| • \x — a;0| < ist aber |x| < 1 + |«0|, so ist l^ + ^ol Si \x\ + |a;0| < 1 + 2|x0| und folglich \x + x0| • \x — x0| < (1 -f 2 |x0|) • \x — x0\, also \x + x0 \ • \x — x0\ sicher < e, wenn (1 + 2 |a;0|) • \x — x0| < e, d. h. wenn \x — x0 \ < e: (1 + 2 1) = «(«)• Die Formel lim f(x) =a kann man so lesen: „Es s t r e b t f(

x

)

für

gegen x -*

a,

wenn

x

gegen

x0

strebt", in Zeichen:

f ( x ) - + a

xQ.

Enthält der Definitionsbereich von / (x) absolut beliebig große positive (bzw. negative) Zahlen x, so sagt man, f(x) besitze für x ->• + 00 (bzw. für x -* — 00) den Grenzwert a, oder es strebe f(x) gegen a, wenn x gegen + 00 (bzw. gegen —00) strebt, in Zeichen lim f(x) =a (bzw. lim f(x) —a), wenn sich f(x) beliebig X~-*-+ 00

X—3 00

9 wenig von a unterscheidet, falls nur x > 0 hinreichend groß (bzw. wenn x < 0, falls nur | x | hinreichend groß) ist. Genauer, lim f(x) = a, wenn zu beliebigem e > 0 ein N(e) existiert £-»• + 00 derart, daß \f(x) — a\ < e für alle x des Definitionsbereiches, für die x > N(e) ist. Entsprechend für x-*- — oo.

B e i s p i e l e für solche Grenzwerte liefern die ( k o n v e r g e n t e n ) unendlichen F o l g e n von Zahlen av a 2 , . . .. Hier besteht der Definitionsbereich aus den natürlichen Zahlen 1, 2, . . . und die Funktionswerte sind f(n) = an, n = 1, 2, . . .. Beispielsweise ist lim = 0, ferner ist lim qn = 0, wenn q konstant und | q | < 1 n—> + oo n—-t- oo ist, schließlich gilt lim (1 + p + • • • + pn) = 1 : (1 —p), wenn \p\ < 1 n—• + co 1 pn+1\ denn es ist ^ (1 + p + • • • + p") =t~ • 1 —p

1

—p/

R e c h n e n m i t G r e n z w e r t e n . Es gelten die folgenden Regeln (auf deren Beweise wir hier verzichten müssen): A d d i t i o n lim ( ' f ( x ) ^ h(x)) = lim f(x) i lim h(x) X—X0

X — X — + Xq

M u l t i p l i k a t i o n lim ( f ( x ) • h(x)) = (lim f(x)) • (lim h(x)) X1 y XQ

D i v i s i o n lim ( f ( x ) : h(x)) X —• Xp

X'

• Xq

X— ^ XQ

= (hm /(a;)) : (lim X —>• Xq

h(x)). X —> XQ

Dabei ist vorausgesetzt, daß lim / (x) und lim h (x) existieren, ferner im Falle der Division, daß lim h(x) =)= 0 ist. Die Regeln gelten auch für Grenzwerte mit x oo. Z u s a t z . Schließlich schreibt man lim/(a;) = + ° ° bzw. = —oo oder auch f(x) ->• ^ oo für x ->• x0, wenn f(x) beliebig große Werte besitzt, falls x hinreichend nahe bei x0 liegt (genauer: wenn zu beliebigem M > 0 bzw. < 0 ein ö (M) existiert derart, daß f(x) > M bzw. f{x) < M, falls nur 0 < |x — z0| < ö(M)). Für F u n k t i o n e n f(x, y) von zwei V e r ä n d e r l i c h e n x, y erklärt man entsprechend a als Grenzwert von f(x, y) an der Stelle (x0, y0) und sagt, daß f(x, y) gegen a strebt, falls (x, y) gegen (x0,y0) strebt, wenn f(x,y) beliebig nahe bei a liegt, falls \x—x0\ + |y—y 0 \ hinreichend klein ist. In Zeichen: a = lim f(x, y). y^-Va

10 III. S t e t i g k e i t . Die Funktion f(x) heiße an der zu ihrem D e f i n i t i o n s b e r e i c h g e h ö r i g e n S t e l l e x0 s t e t i g , wenn lim f(x) existiert und gleich f(x0) ist, also g l e i c h dem Wert der Funktion an der S t e l l e a;0. Aus den obigen Rechenregeln für Grenzwerte folgt: S u m m e n , D i f f e r e n z e n , P r o d u k t e u n d Q u o t i e n t e n v o n an der Stelle x0 s t e t i g e n F u n k t i o n e n s i n d w i e d e r Funktionen, die an der Stelle x0 s t e t i g sind. (Evtl. auftretende Nenner sind als von Null verschieden vorauszusetzen.) Entsprechend heißt die Funktion f(x, y) der zwei Verä n d e r l i c h e n x, y s t e t i g an der Stelle (xQ, y0), wenn f(x0, y0) = lim f(x, y). X->-Xi V-+V«

B e i s p i e l e werden geliefert durch alle bisher betrachteten Funktionen; sie sind stetig an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches. Insbesondere sind die P o l y n o m e stetig; dies folgt nach den obigen Regeln, weil die Polynome durch Addition und Multiplikation der stetigen Funktionen f(x) = x und f(x) = konst. gewonnen werden. A n m e r k u n g . Es kann lim f(x) existieren, aber von f(x0) verschieden sein. Beispiel: f(x) = x für 0 Sí x < 1 und für 1 < x 2, aber /(1) = 0.

IV. D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t . Eine (an der Stelle x stetige) Funktion f(x) heißt d i f f e r e n z i e r b a r an der Stelle x, wenn ihr Differenzenquotient Af-.Ax für xx ^ x einen Grenzwert besitzt; dieser Grenzwert heißt der (erste) D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t oder die (erste) A b l e i t u n g von f(x) an der Stelle x und wird m i t f'(x) o d e r o d e r ~ oder y' b e z e i c h n e t . Es ist also definitions(tX (IX gemäßn

Bei einer an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbaren Funktion ist also die A b l e i t u n g s e l b s t eine e i n d e u t i g e (reelle) F u n k t i o n v o n x. A n m e r k u n g . Ist f(x) an der Stelle x = a differenzierbar, so ist f(x) auch s t e t i g an der Stelle x — a. (Denn aus f'(a) — Li^i 0 < | x—a\

«l) - /(«, *>l) + /(«. «l) - /(«, *>) ./(%'"1) ' / ( « > « —

u

+

/(". "1) — / K

Dabei ist — u =)= 0, v1—v =)= 0 angenommen (vgl. aber Fußnote Seite 14). Läßt man x1 gegen x und damit ult vv yx gegen u, v, y gehen, dann wird u-i — u x1 — x

du ,. v, — v dv y, — y hm — = -r-, hm^ 1 ^ ax x± — x ax xt — x

hm—

1im

du dx

f(u, "1) — f(u, v) _ 8f(u, v) . —v 8v '

dagegen ist der Grenzwert des ersten Quotienten auf der rechten Seite der letzten Gleichung nicht unmittelbar ersichtlich. Aber in

19

allen für uns später in Betracht kommenden Fällen gilt (wie hier nicht bewiesen wird): 1im

/(%• «i) - /(«• «i) u1 — u

=

]

i

m

/ ( v M M % —«

=

8f(u, v) du '

Daher erhalten wir ... * '

«¿i/ dx

t>)

df{u, «) du du dx

dx

df(u, v) dv dv dx

dydu du dx

dy dv dvdx'

Diesen Ausdruck nennen wir den t o t a l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n v o n y n a c h x. Wir sehen: S i n d u und v F u n k t i o n e n v o n x, und i s t y eine F u n k t i o n v o n u und v, so d i f f e r e n z i e r t m a n d i e s e t o t a l n a c h der v o r s t e h e n d e n F o r m e l durch V e r w e n d u n g der p a r t i e l l e n D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t e n der F u n k t i o n n a c h u und v. 1. B e i s p i e l : Sind u und v zu einer Summe oder Differenz verbunden, so ist y = f(u, v) = u ± v,

ptl

= 1,

o

l

= ^ 1 und

7.)

2. B e i s p i e l :

Ist y = f (u, v) = u • v, +

3. B e i s p i e l : df dv

u dy v2 ' dx

fit

so wird ~

= vy

(Vgl. Formel 8.) Ist

1 du v dx

y = f { u , v ) = , so wird ^ = ™, u dv v2 dx

vu' — uv' i>2

.y j pormej ®

g \

4. B e i s p i e l : Wenn y eine Funktion nur von u ist, indem die andere Variable v ganz fehlt, dann fällt in (10) der Pli

zweite Teil der rechten Seite fort; ferner ist ^ gleichbedeutend mit ^ oder ^ .

Für y = / (u), u — cp (x) finden wir dann:

i-i-iVh-«)

Es erübrigt uns jetzt noch zu zeigen, auf welche Weise (10) erweitert werden kann. Aus den drei Funktionen von x, nämlich u = (x), w = q (x) setzen wir die Funktion y — f (u, v, w) zusammen, legen der unabhängigen Variablen x die Werte x und xx bei, bilden die entsprechenden Funktionswerte: u

—(x),

v

=ij>(x), a;

«i =

y

=f(u,v,w) Vi

=f(u1,v1,w1)

20 und daraus den Differenzenquotienten: Vi — y __ /(Ml, t>x, Wj) — / (U, P, w) den wir, um ihn für den Grenzübergang geeignet zu machen, folgendermaßen umgestalten, wobei % — w =|= 0, — « = # 0 , w1 — w 4 = 0 vorausgesetzt wird. (Vgl. aber Fußnote 1 ) Seite 14.) Vi — y _ / K , vlt m»i) - f(u, vlt Wt) « Xt — £ ttj — fi X± — X f(u,v1,w1)--f(u,v,w1)v1 —v fiu.v,™^ — f(u,v,w)w1 — w H + . V1 — V X1 — X w1 — W Xt — X

Geht jetzt x1 in x über, so verschwinden zugleich die Differenzen (yx — y), (% — u), (v1 — v), (wx — w) und die drei aus Differenzen der Funktionswerte bestehenden Zähler, und die Betrachtungen, welche oben zur Formel (10) führten, ergeben hier dOa) '

dx

du dx

+

8v dx

+

^L. ^ dw dx

Algebraische und t r a n s z e n d e n t e Funktionen. Eine Funktion f(x) heißt a l g e b r a i s c h , wenn es eine natürliche Zahl 1 und Polynome a0(x), . . ., an(x) gibt, wobei an(x) nicht konstant gleich Null ist, derart, daß a0(x)

+

(»)/(«)

+ a2(x) (f(x)Y

+ • • • + an(x) (/(»))«

=0

für alle x des Definitionsbereiches. Funktionen, welche nicht algebraisch sind, heißen transzendente Funktionen. Insbesondere gehören hierher die Exponentialfunktionen e x und a x nebst ihren Umkehrungen lg x und "log x oder Lg x; ferner die trigonometrischen Funktionen sin x, cos x, . . . und als deren Umkehrungen die zyklometrischen Funktionen arc sin x, arc cos x, . . .. (Auf Beweise für diese Behauptungen muß hier verzichtet werden.) § 3. Aufgaben zur Differentiation algebraischer Funktionen

•>»-•

ä-®

r» 2) y — ax

dy J L = a

3) y = ax + b

21 4) y = ax2

Ë

5) y = 2a; 3

=

I H

6) y = éax5 _ a

8) y = a + 2bx

dx + ex2

® i 9) y = — = ax"1 '

3

... 10)

^ =

X a *

^=2b dy

14) M = ' " Yx ^

10)»=«»)/«

g

x3 a;2 Y x

19 ) y = x ] J x ] / x

+

2cx

—a s—

^ = _ — dx 2 dx

18) y =

=

-15s8 a

ä b i - v ^

s Y*3

17) 2/ =

* *

dx X2 dy —4a Tx =

1 3 ) » = Y Ü

;

6

^=20axi

_ _ ' y

2 a x

dx

• J|/x3 V*7

20

=

| . j /

X

5

2

y.

6

Y * 17

22 Die nächstfolgenden Beispiele werden durch Einführung einer Zwischenvariablen z nach der unter (6) angeführten Formel differenziert: 21

g - i - i

2 2 ) y =(a

+ bx)2 = z2

^=26(a

+ 6a;)

2Z)y=(a—bx)3

d£

24) y = (a + bx2)2

^ = 4öa;(a + 6a;2)

25) y = (a — 6a;3)5

^ = — 156a;2(a — ¿>z3)4

26) y = (a + a;2)3

28)

dy _ 3(ax — l)2

( — i )

da;

= (a + 6a; + ca;2)"

29) „ = '

= 6a; (a + a;2)2

1 \3

27 > » =

3

SO) « = y '

1

a + bx

30) v ' *

_z-i

a^ = w(a + 6a; + ca;2)"-1 • (6 + 2ca;)

^ =

~6

dx

(o +

^ _

1

(a — b x2)3

31) y -

=—Zb(a—bx)2

66a:

dx

(a-bx2)*

{b - xP)n

dy_ dx

(b -

|

dy-_

4

1

2

a;2 ,

3

(1 — a;)3

33) y = ya + bx =z* 34) y =

]/2pä;

35) y =

)//(*)

0 Nach diesen Vorbereitungen setzen wir: y = sin x, l/i — y

yx — sin x1,

sin x1 — sin x

= cos | (xx + x)

2 cos J (x1 + x) sin \ (xy — x)

sin j (x1 — x)

i (»i -

Für x1->-x wird der letzte Bruch nach dem soeben Dargelegten gleich 1. Man bekommt deshalb: (11)

dy dx

d sin x dx

cos x.

Der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t von sina; ist cosx. Auf die nämliche Weise wird auch der Differentialquotient des Kosinus hergeleitet.

26 y = cos x,

cos x1 — cos x

yt — y —

Vi = cos x1,

X

— 2 sin J (xr

X^ — X

x) sin \ (x1 — x)

X^ ~~~ X

dy d cos x -r- = —3 = — sm x . dx dx D e r D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t v o n cos x i s t — s i n x . Übrigens kann diese Formel auch aus der vorhergehenden abgeleitet werden, da y = cos x = sin

—

xj = sin z ist, wenn

z = y — x gesetzt wird. Da nun^| = cos z, ^ = — 1 ist, so wird dy -/•= — cos z = — sm x. dx Die Differentialquotienten von tg x und cotg x ergeben sich aus den vorhergehenden auf die einfachste Weise: ,,„. (13)

. y = tgx

(14)

y=

™tgx

sin x dy cos2 x 4- ain2 x 1 • "^ cos x ' dx cos2 x cos2 x ' cos x dy — sin2 x — cos2 x = Binx, dz -

Aufgaben 68) y — sin (ax) = sin z

^ = a cos (ax)

69) y = cos (ax) x 70) ya = sin — ' a x 71) y —a c o s — d

= — « s i n (ax) dy 1 x = — - cos — dx a a dy . x = — sm — dx (i

72) y = sin (xn) = sin z 73) y = cos ]/ax _..

.

a

=

dy

nx"~1

fc")

a sin J'ax 2 yoä

dx~~ dy

cos

a2

a

dì/ dx

75) y = a cos — 76) y = sin 77) y = tg

dz dt/ dx dy = da:

(ax)

80) y = sin (a + 6a;) = sin z 81) y = cos (a —

= 6 cos (a +

= na s i n " - 2 ( a x ) sin (2 dy = dx

8 5 ) y = cos™ —

dy dx

z-1

dy dx

87) ay = f - M " ' \coSX/ 1 X 88) y = y sin x + sin y

90) y =tgx

®x — T

cos

— cotg x

x

na 3?

cos"

n sin a; cos n+1 x

dy = cos dx dy dx dy dx sin2

3x x — cos ~r 4 4 cos 2 a; sin x (2x)

^ = 3 cos 3x dx

92) y —

dy dx

4 ain^

•1 a a — sin — x x

cotg a; sin x

91) y = 3 sin x — 4 sin 3 x 2 gin¡¡a.

bx)

- sin (2 a;) dx dy = — a sin ( 2 a x ) dx

84) y = 2 sin" ( a s )

cos

1 „ a cos2 — x

2bx sin ( a — 6a; 2 )

83) y = cos 2 (ax)

89) y = j 2

COS

a cos2 (ax) 1 „x a2 x2

bx2)

82) y = sin 2 a; = z 2

86) ya = -7— = ' Sili X

.

2

dy dx

2/=«tg^

1 a;

.

- 1

=

j/i

78) y = a t g -

79)

a X2

cos3 a: sin5 x

28 93) y = J "

COB x

+ tg x

pdx

94) y = sin x cos a; 95) y = (1 — cos 2a;)2

2

=

.

.„

= •—4 cos (a + 2a;) sin a dy

.

98) y — 3 sin x cos2a; + sin3a; 99) y = (4sina;-8sin3a;)cosa;

^^

cos

% ^dx == 16 sin3 a; cos a;

96) y = 2cos2(a; + a)-cos2a; ,

-

oosrx

/sin 2x 4- 2a;

= 3 cos x cos 2a; J|=4cos4a;

100) y — (a + b sin x) cos x

^

101) y = sin x sin (a —x)

^ = sin (a — 2a;)

102) y — 103) y 104) y

a — b cosa;

= b cos 2a; — a sin x

dy

2a6sina;

a + 6 cosx

— — dx (a + b cos x)2

sin x + cos x sin x — cos x

dy dx

—1 cos2 (45° + x)

sin x + cos x

dy

ain'x — cossx

sin x cos x

dx

105) y = sin x — x cos x

sin2 x cos2 x

= x sin x.

Die z y k l o m e t r i s c h e n F u n k t i o n e n sind die Umkehrungen der trigonometrischen; deshalb lassen sich auch ihre Differentialquotienten aus denjenigen der trigonometrischen Funktionen durch Umkehrung ableiten. A n m e r k u n g . Da sin x und cos x nur stückweise monoton sind, muß man die verschiedenen „Zweige" ihrer Umkehrung arc sin y bzw. arc cos y unterscheiden. Für —jr/2 ^ x f^L + 7i¡2 heiße die Umkehrfunktion von y = sin x der Hauptwert des Arcussinus; gilt also

—7T¡2

^ arc sin y ^ +

Zeichen: x = arc sin y; es

TZ/2

für — 1

y iS 1.

Die

29 Umkehrung von y = sin x für nj2 ^ x ^ 3tt/2 ist arc sin y = — arc sin y. Alle übrigen (monotonen) Zweige der Umkehrung von y = sin x sind darstellbar in der Gestalt 2 kn + arc sin y oder 2 kn + arc sin y, wobei k = 0, i 1, i 2 Offensichtlich ist (arc sin y)' = — (arc sin y)'. Das Vorzeichen der Ableitung von arc sin y wechselt also mit der Wahl des Zweiges. Dies zeigt auch die nachstehende Formel für die Ableitung des arc sin y durch das Auftreten einer Quadratwurzel an. Im folgenden ist mit arc sin y stets ein bestimmter Zweig gemeint, durch dessen Wahl das Vorzeichen der Wurzel festgelegt ist. Entsprechendes gilt für arc cos y, während die verschiedenen Zweige von arc tg und arc cotg sich paarweise nur um Vielfache von n unterscheiden. Hierbei kann als H a u p t w e r t von arc tg y bzw. von arc cotg y und arc cos y derjenige Zweig erklärt werden, der für y = 0 den Wert 0 bzw. n¡2 besitzt. In den Aufgaben wird, wenn nichts anderes bemerkt ist, der H a u p t wert betrachtet. 1. y = arc sin x

ist die Umkehrung von x — sin y. Nun ist:

und daraus entsteht: dy _

(15)

1 ]/1 - x* '

dx

2. y — arc cos x gehört zu x — cos y. Da nun:

ist, so folgt: (16)

dy = dx

1 j/l-z2'

Kürzer ist die folgende Ableitung: 71 y = arc cos x = —

dy ' dx

arc sm x;

1 ]/l - x 2 '

30 3. y = arc tg x dx

1

Es ist x — te8 v, -T- = —5— = 1 + &ts2 y = 1 + x2, und daraus dy cos2 y " ' durch Umkehrung dy = da;

(17)

1 1 + x2

4. y = arc cotg a;. Aus y =

arc tg a; erhält man leicht: r q ^

(18)

Die Ableitung wäre auch so möglich: y — arc cotg x = arc t g = arc tg z, wenn z = N u n

ist

i

=

% _

t t t *

¿

;

i _ - j _ dx ~~ 1 + z2 ' x2 —

u n d

i 1 + z2 "

Aufgaben dy

106) y = arc sin (ax) 107) y = arc cos (a — x) a/.22 —t»2a;2 o2 + a;2 , „.. . 1 109) w = arc sin—

108) y = arc sin

*

l l(l) y — arc sin j / l — x2 ....

b + a oos x

111) y = arc co3 a 112) y = arc cos

+ ft

^

j

113) v = - i = a r c sin a; 1/— ]fb V o

Yl - a2x2 l «i» ]/l - (o - z)2 ¿2/ — 2o dx a2 + x2 ¿v 1 = , x ]/x2 - 1

dx

¿2/ _

- 1 _

d* ~ a + & cos z dt/

a x fäax — a'

^ = ——1 ^a - 6 a;2

.

31

114)

y

115)

y

116) y

: arc tga

117)

1 : arc tg ^ _

y

118) y

dx

1 + x2

dy

a 2 (1 + ax) J f a x

dx

—x 2

dy dx ~~

(a — x)2

+ x2

dy dx

- 1 1 + (x -

2)2

dy

; arc tg j/pq

120) y

= arc cotg

¿x

121) y

= arc cotg ]/l

122) y

= arc (cos = sin

123)

y

= arc (tg = m tg a;)

124)

y

125)

y

126)

y — a •

]/l - x2 + x2 -

1

x)

dy dx dy dx

1 x2 1

2(3 - x) j/2 - x - 1

=

2 (1 + x2) = —1

dy -£ dx

m2 + (1 — m 0 und b e l i e b i g e s reelles r folgt aus (19) noch der D i f f e r e n t i a l q u o t i e n t der Potenz 3

Dölp-Netto

34 (19a) A n m e r k u n g .

e

e =

= xr- r --i- =

^

* =

S

2,718

(

281

1

Es

+

ist

T

828

(vgl. A u f g a b e 423,

rx'-1.

+

+

A

459 . ..

=

i r r ^ ) '

lim

(l

+

-j- +

• •

1-2-

V

S. 88).

a l s o

A u f g a b e n ax

129) y = e

dy -f = dx

= e*

130) y = e-°*

aeax

X

131) y

X

=ae*

132) y = exx 1 3 3 ) y = e *

r

'

^

y

=

ecoa

135)

y

=

e8in'x

136)

y

137)

y

=

z2e*

138)

y

=

ex(a; —

139)

y = exxn

140)

y

=e

=

1

a r c t

8

(z2 —

lü a

1)

2x

I

=

cos a;esi"1

a

—

=

s i n

dy ¿x

—

^

=

+ _

2 ) e* * \2

')

j

em tg * 1 + x>.2 se*(2

6

+

s)

*

=

(a; +

^

=

a;2e*

d«

ä

2a;esiu'x

^

ctx

^

sin x etos

=

I f e ^

141) y = a \ea + e y

2xexx

^ =

134)

142)

ae~ax

= —

w) e^a;"-1

/ 2*

2*\

di=2[e*-e~ ^

=

(cos2 ^ _

«)

s i n

3.) e s m *

g = e 2 l (2 sin2 a; + sin 2x)

143) y = e2x sin2 x

dy ex(x — n) dx a;B+1 dy _ 2 e* dx ~ {ex + l)2 dy _ e*|V+ Qg - m)8] dx~~ x n+1

144) y

146) * 147) y = yëfi* 148) y = l/x(ex 149) y = J * *

áx 2 dy _ ex(x + 1) + 1

+ 1)

d*

dy _ xqV^+ïlga dx ~ yx* + 1 3a: oa y

¿x 198)

y

dy __ dx 199)

6a; _

0

f =y*(x

o)4

{x -

| = 6 ,

'

— a)—(x

3(x + q)a - y* __3_ l / x + a — a) 2 f i - i

f=ax~y—xv=

0;

6

8y

6

'

dx

/i = sin a; — cos « = n0, dy -f- =

201)

/ =e*+» — ax = 0 ;

'

dx

202)

*

'

dx

=0:

1 l / / x + a\s 2 n»-®/ yx*-1,

= a*-»lga —

^

OAn\ 200) '

+ a)*

x\g (ax) COB :

x

sin y

= — .1.

= e I + » — ax lg a,

1+lg-.

/ = eax+6y

— c = 0 ; %-= tte

aeax+"v,

oy

= 6eai+i»,

= — y . Aus der einfacheren Form: a x +

= lg c folgt

das gleiche Resultat. 203)

/ = (e- — 1) (e» — 1) — 1 = 0 ,

g = e « ( e » _ 1),

42 n*\A i 204) \f—ay

]/b—x 8f=— e' ,

— ey Vb—x = 0 :A

0/ =a,

—y

_ 2 205)

8f =x oy 206)

207)

^ = — s i n x — cosy,

f =C08X—a;cosi/=0; . Jy, sin

dy 4- cos -y . -f = sin xx sin Tdx y

/ = y{x + sin x) = 0 ; man erkennt leicht, daß die so gestellte Aufgabe uns lediglich auf x = 0 oder y = 0 führen kann. Denn das / verschwindet nur, wenn entweder y = 0 oder x + sin x = 0 ist. rtf / = x sin (x—y)—(x +y) = 0 ; = sin (x - y) +x cos (x-y)-l, 8f , , . dy sin (x — y) + x cos (x — y) — 1 -L = — a;cos(a; — y) — 1, / = —5 , J" . x oy dx x cos (x — y) + 1

In den folgenden Aufgaben sollen die partiellen Differentialquotienten nicht getrennt entwickelt, sondern es soll unmittelbar nach der Formel differenziert werden: S 208) f =y2

+

—2px

209),-1/|

+

S

y , = = 0

'

wenn f(x,y)

= 0.

2yy' — 2p = 0 , y'

= 0; j / f - . - O ;

210) / = a r e s i n — — l g x =0; V

¿

^

1

+

- x2

¿

^

. -

0

,

y' — — = 0, x y Vy* - x2

x 2 2 «' y — v — y #Vy —z

211) / =y2

+ x2 — (ax + bf = 0 ; yy' +x—a(ax

212) f = (x—u)*

+ (y —ß?

+ 2lxy

= 0;

( « — »-£)• y

2cos2-|-

¿2 U

= arc cos a;

268) y = xe9'11*

270)

t g Y

¿a;2

sin x

2x)

x

4x

> = 0

280)

=

^

"

'

^ = cos y—cos(a;—«/) = — sin y — sin (a; — y)

32/ . , — = sin (x -

, y).

53 F u n k t i o n e n v o n d e r F o r m : x = x0. Wegen f(x0) = lim ( f ( x ) — f ( x 0 ) ) : (x —z0) ist daher f'(x0) 0 und f'(x0) 0, mithin f'(x0) = 0. Wenn f{x) keine positiven Werte annimmt, so nimmt g(x) = —f(x) positive Werte an. Aus g' (x0) = 0 folgt aber /' (a;0) = — g' (x0) = 0. — Ist jetzt /(«)=)=/ (b) und setzt man F(x) = f(x)—(f(b)(x—a) + f(a) (b —x)): (b — a ) , so ist F(x) differenzierbar und zwar ist F' (x) = /' (x) — (/ (b) —/ («)): (b —a) (für jedes x); außerdem ist F(a) = F(b). Zufolge dem oben Bewiesenen existiert also ein x0 mit a < a;0 < b und F' (x0) = 0; mithin /' (¡r0) = (/ (b) —/ (a)): (b —a). Es gilt mithin der M i t t e l w e r t s a t z . I s t f(x) d i f f e r e n z i e r b a r (und stetig) in a iS x ^ b, so e x i s t i e r t ein x0 mit a < x0 < b, für welches (26a)

/'(x 0 ) =

Z'aa)

Hb)b

o d e r

a l s o

/(&) = /(«)

+(6""a)/'(*)•

Speziell für f(a) = f(b) ist f (x0) = 0 (Rollescher Satz). Zusatz. Wenn a 0 oder < 0 . (la) Von (1) gilt auch eine Umkehrung: N i m m t f(x) zu bzw. ab in D, so i s t f'(x) ^ 0 bzw. f'(x) ^ 0 in D. Es nehme f(x) zu und gleichzeitig sei /'(a^) < 0 für ein xt aus D. Für alle von x1 hinreichend wenig verschiedene x unterscheidet sich (j(x)—/(Xj)) : (x — xt) behebig wenig von f'(xj), ist also negativ. Ist also z.B. xx < x, so ist f(x) < /(x x ), im Widerspruch zur Annahme, daß f(x) zunimmt. (2) E s i s t f'{x) = 0 für alle x genau dann, wenn f(x) — k o n s t . Denn aus f'(x) = 0 folgt /' (x0) = 0, also (nach den Formeln im Beweise von Folgerung (1)) f(x") = f(x') = f(a). Umgekehrt folgt aus / (x) = konst. auch /' (x) = 0 für alle x, wie schon früher (§ 3, Beispiel 1), S. 20) bewiesen wurde. Die eben entwickelten Sätze lassen sich sehr einfach geometrisch veranschaulichen, wenn man x und y als die rechtwinkligen Koordinaten der Kurve y — f( x) deutet. Dann ist = f(x) die trigonometrische Tangente des Winkels, den die im Punkte (x, y) angelegte Berührungslinie1) der Kurve mit der Richtung der wachsenden x einschließt (§ 2, S. 11), und zwar soll die Berührungslinie immer in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x-\-dx, y-\-dy) genommen werden. Dabei ist gesetzt dx = x' — x > 0 , dy = (x —x) f (x), und es soll dx hinreichend klein sein. Wenn eine Kurve zwischen A und B stetig verläuft und das Steigungsmaß ihrer Tangente zwischen A und B stetig sich ändert, dann gibt es zwischen A und B mindestens eine Tangente A1B1, welche Fig. 4 der Sehne A B parallel läuft. Ist ferner die x

) Das heißt die Tangente (vgl. Seite 11).

63

64 Funktion y = f(x) für wachsende x im Zunehmen begriffen1), so s t e i g t die Kurve 2 ), wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Es sind dx und dy beide positiv. (Fig. 5 a an der StelleM„ Fig. 6a an der Stelle M„, Fig. 7a an den Stellen M, und M„.) Die Berührungslinie schließt mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus und Sinus beide positiv sind, nämlich der dcc dv Kosinus = — und der Sinus = —— — 3 ). E ist dies 2 J/SiM_ dy ¡/dx2 + dy2 der positive spitze Winkel«, in Fig. 5 a, der positive spitze Winkel « „ in Fig. 6a, und in Fig. 7 a sind es resp. die positiven spitzen Winkel tx, und tx,,.) Ist dagegen die Funktion y = f(x) für wachsende x im Abnehmen begriffen, so f ä l l t die Kurve, wenn man sie im Sinne der wachsenden x durchläuft. Hier ist dx positiv und dy negativ. (Fig. 5 a an der Stelle M„, Fig. 6 a an der Stelle M,, Fig. 8 a an den Stellen M, und M,,.) Die Berührungslinie in der oben angegebenen Richtung schließt mit der Richtung der wachsenden x einen Winkel ein, dessen Kosinus positiv, dessen Sinus negativ ist. (Es ist dies der negative spitze Nebenwinkel von ot„ in Fig. 5 a, von tx, in Fig. 6 a, von tx, und von tx,, in Fig. 8 a.) Diese Winkel liegen unterhalb der Abszissenachse und werden hergestellt, indem man die Berührungslinie über ihren Schnittpunkt mit der Abszissenachse hinaus verlängert. Hiernach kann man die oben entwickelten Sätze auch so aussprechen: Wenn die Kurve s t e i g t , so schließt ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x,y) nach dem Punkte (x -f- dx, y -f- dy) mit der Richtung der wachsenden x einen positiven spitzen Winkel ein, und umgekehrt. Wenn die Kurve f ä l l t , so schließt ihre Berührungslinie in der Richtung vom Punkte (x, y) nach dem Punkte (x + dx, V + dy) mit der Richtung der wachsenden x einen n e g a t i v e n spitzen Winkel ein, und umgekehrt. Nach dieser Vorbereitimg betrachten wir eine Funktion y = f(x), die nebst ihrem ersten Differentialquotienten stetig ist für alle x mit a—d x^, a +

^

= 0.

abzuleiten. Aus (A) und (B) entsteht:

dH_dL 8f_.8l.dy dx2 dx 8x 8y dx 8

0 bzw. £ < 0. Hingegen nimmt sinh x mit wachsendem x zu für jedes x. Es besitzt cosh x bzw. sinh x in x —0 ein Minimum bzw. einen Wendepunkt. 4. Wegen Aufgabe 3. ist die U m k e h r f u n k t i o n arsinh y von y = s i n h a ; , sprich Area des hyperbolischen Sinus, eindeutig bestimmt. Und zwar ist arsinh y = l g ( y + | / l + y2), wobei y jede reelle Zahl sein kann und stets der positive Wert der Quadratwurzel zu nehmen ist. (Bew. Setzt man u=ex, so ist 2 sinh x = 2y = u — Auflösung nach u gibt u = y -f- |/l + y2)Dagegen ist die Umkehrfunktion arcosh y, Area vom hyperbolischen Kosinus, zweideutig. In der Tat ergibt eine analoge Rechnung wie beim sinh x arcosh y = lg (y ± ]/y2 — 1), wobei y ^ 1 sein muß und die beiden Zweige den zwei verschiedenen Vorzeichen der Quadratwurzel entsprechen. g

d arsinh y dy d arcosh y dy

1 ^j=j=pmit positiver Quadratwurzel

±

,1

, mit y > 1 .

Funktionen von z w e i unabhängigen Variablen § 12. Entwicklung der Differentialquotienten Sind in der gegebenen Funktion z = f(x,y) die beiden Variablen x und y unabhängig voneinander, so können die Werte, welche z nacheinander annimmt, wenn man den Variablen x und y immer andere und andere Werte beilegt, auf folgende Weise graphisch veranschaulicht werden: In der euklidischen Ebene benutzt man in bekannter Weise rechtwinklige Koordinaten x und y zur Festlegung eines Punktes D (Fig. 10), errichtet in D ein Perpendikel zur Koordinatenebene und trägt darauf den Wert von z ab, welcher den gewählten Werten für x und y entspricht. So erhält man den Punkt M im Kaume. Bei mehrwertigen Funktionen findet man mehr als e i n e n Punkt auf der nämlichen Senkrechten. Der Inbegriff aller Lagen, welche der Punkt M vermöge der Gleichung z = f(x, y) annehmen kann, möge — wenigstens bei eindeutigem f(x, y) — eine Oberfläche heißen. Eine Änderung des Funktionswertes z = f(x, y) kann nun auf dreierlei Weise veranlaßt werden, und zwar: 1. dadurch, daß bei festem y nur x übergeht in xlt 2. dadurch, daß bei festem x nur y übergeht in ylt 3. dadurch, daß gleichzeitig x und y übergehen in xt und yv Demgemäß müssen auch 3 verschiedene Arten von Differenzen der Funktionswerte unterschieden werden, nämlich: 1) /(*!> y) — / ( « , »)l 2) f(x,

Vl)

— / ( * , y); 3) f(xv

Vl)

— f(x, y).

Daß man die Werte: Bx

• V) -/( x, y)

8 / sy

l i m

/(*.•&) - /(*> y) Vi-y

95 die partiellen Differentialquotienten der Funktion nennt, wurde S. 18 erörtert. Wir haben uns deshalb hier nur noch mit derjenigen Veränderung zu befassen, welche der Funktionswert z dadurch erfahrt, daß sich die beiden Variablen x und y gleichzeitig ändern. Wenn den Zahlen x, y und xv y1 mit x 4= y, =j= Vi die Funktionswerte z und z1; zugehören, so ist zx — z = f(xv yx) —f(x, y), oder: Zi

-/(*«,)

= x

Setzt man

1

—

( x i

_

x )

-/

dz

so unterscheidet sich, falls dx = x1 —x, dy = y1 — y ist, dz von z t — z nur um r j d x + t,dy, wo lim r\ = 0, lim f = 0 wenn r-vO r-+0 rlf Pii r = | d x | + \dy\", dabei sind und ~ als stetig vorausgesetzt. (Auf einen Beweis muß hier verzichtet werden.) Die rechte Seite in (35) bezeichnet man auch als totales Differential von f(x, y). Qi

Wird (35) auf

und

Qi

angewendet und dabei berücksichtigt, daß

dx und dy konstant sind, so entsteht, wenn d(dz) = d2z gesetzt wird: d

2

z

ay

=

V

[ 8 *

d

fy

ox

d > z =

d

^ d x >

+

y

)

d

y

dy

2

ß

y

d

x

d

y

^

+

d

y

K

Aufgaben 4 3 3 )

z

=

434) z = '

3 z

x

2

+

+

y

x y

2

+

y*

z

=

437) z =

=

( 6 x +

y

) d x +

i

( 2 x y + 4 . y

3

) d y

dz=x2dty+y2Jx {x

+

y)

s

dz = i ^ y J y .

435) z = 4 3 6 )

d z

(2 x — 5 y * f

y

sin x + cos

(x—y)

d z

=

3 { 2 x

d z

=

[y

—

5

y

2

)

2

( 2 d x — 1 0

cos x — sin ( x

+ [sin x + sin ( x

—

—

y d y )

y)~\ y)~\

d x d y

96 438) z = (sin 3 a; + cos y) dz = 2 (sin 3x + cos y) (3 cos 3 x d x — sin ydy) 439) z = x2 — axy + y2

d2z = 2 (dx 2 — adxcfr/ + ¿y2)

440) a = y2ex

d2z = ex{y2dx2 + iydxdy

+

2dy2).

§ 13. Maxima und Minima von Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Wir sagen, es besitze f{x,y) an der Stelle (x0,y0) ein M a x i m u m bzw. M i n i m u m , wenn f(x0,y0)^f(x,y) bzw. f(x0,y0) a0 bzw < a0 für arx > 0 bzw. < 0 und a0 = g (0, 0). Entsprechend liefert die Betrachtung von 0 ist, g(x, y) > a0 bzw. < a 0 je nachdem z. B. x = y =)= 0 bzw. x — — y =)= 0. Ist aber z. B. a n =j= 0, so läßt sich g(x, y) so schreiben (A)

g (;r, y) = a0 + an

Ix + ^

yY+

(ana22 — oJa)

Die eckige Klammer rechterhand ist niemals negativ und Null nur für x — y = 0, wenn ana22 — 2 > 0. In diesem Fall hat aber g(x,y) in (0,0) ein Maximum (bzw. Minimum), wenn a u < 0 (bzw. au > 0). Also: D a m i t g(x, y) in (A) an der S t e l l e (0, 0) ein M a x i m u m bzw. M i n i m u m besitzt, ist notwendig, daß

97 Oj = a2 = 0, und hinreichend, daß a n a 2 2 — a|2 > 0 und an < 0 (bzw. an > 0). (Es ist dann von selbst a22 < 0 bzw. a22 > 0). (B) Es sei jetzt f(x, y) nebst seinen partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung stetig für x 0 — c < x < x 0 + c, y 0 — c < y < y 0 + c. Es gilt die Regel. D a m i t f(x, y) an der S t e l l e (a;0, y0) ein Maximum bzw. ein Minimum besitze, ist notwendig, daß u

8f

Pii

—0

an der S t e l l e (x0, y0); ferner hinreichend, daß

der steiie

EF-w-ßi^r>°an und daß dort

ex2

< 0 bzw. > 0 ist.

Bew. Zufolge der Taylorschen Formel (§ 15) gilt / ( * . y)

=

/ ( * < » y0) +

wobei 6,1 — bl2 —

Ss/

+

2£>!2(x

b

A

x

— x0)

—

xo)

und b~ = 2

\Bx}x=x„V'V.

+

{y — y0)

Mv +

— y0) b22(y

\dylx,x„y=v.'

+

—

b

n

( x —

x f

y0)\

, während b„ — 11

3*«'

,

82f

und 622 = —y genommen an einer Stelle x = x0

oxoy

_

oy

+ d(x — x0), y = y0 + d(y — y0), 0 < 0 < 1. Die gleiche Überlegung wie in (A) ergibt als notwendige Bedingung 6X = b2 = 0. Für = ö2 = 0 läßt sich dann mit bn(x — x0)2 -f • • • die gleiche Umformung ausführen wie in (A) mit a n x 2 + • • •. Ist die hinreichende Bedingung der Regel erfüllt, so ist wegen der Stetigkeit der partiellen Ableitungen von / auch bnb22 — b\2 < 0 und b n < 0 bzw. 6 U > 0, wenn nur | x — x 0 | + | y—y0 \ und damit auch I * — I + I y — Vo I = I 0 I • (I x — x0 I + I y—y0\) hinreichend klein ist. Die eckige Klammer (vgl. (A)) ist dann niemals negativ, welchen Wert auch 0 mit 0 < 0 < 1 besitzt. Daraus folgt die Behauptung wie in (A). Aufgaben 441) z =

x2

442) z =

x2 —

7

Dölp-Netto

+

y2 Qxy

+ xy —6a; — 4 y + 5 Min für« = f , y — § +

y*

+ 3x +

6y

Min für x

=

-f-,

y

= 5

443) z = ±xy + ^ + y

Min für a; = y = ~ 3 j/ 2

444) z = (x + y)2 — (a; + 5y + xy)

Min für x — — 1, «/=3

445) z = xy2 (a — x — y)3

Max für x = ^ , y =

446) 2 = sin z + sin y -f sin (x + y)

Max für x = y = 60°

447) z = sin x sin y sin (a — x — y)

Max für x — y — ^

448) z = 3? — 3 a x y + y3

Max für x = y — a.

449) Das Volumen eines rechtwinkligen Parallelepipedes ist = o a . Wie groß müssen die Kanten sein, wenn die Oberfläche ein Min werden soll? Der Körper ist ein Würfel, dessen Kanten = a sind. 450) Eine Zahl a soll in 3 solche Teile zerlegt werden, daß deren Produkt ein Max wird. z = xy(a — x — y ) wird Max, wenn jeder Teil =

ist.

451) I n einen Kreis soll das an Fläche größte Dreieck gezeichnet werden. Die zu den Seiten gehörenden Zentriwinkel mögen x, y und (2,71—x — y) heißen, so wird F — \r2 [sin x sin y + sin (27t — x — 2/)] ein Max, wenn die 3 Zentriwinkel gleich, mithin auch die Dreieckseiten gleich sind. 452) Die Summe der 3 Seiten eines Dreiecks ist = 2s. Wie muß man die einzelnen Seiten wählen, wenn die Fläche ein Max sein soll ? F = j/s (s — x) (s — y) (x + y — s) wird ein Max, wenn die 3 Seiten gleich sind. 453) Aus einer Kugel soll das an Volumen größte rechtwinklige Parallelepiped herausgeschnitten werden. Kugelhalbmesser = r, die halben Kanten x, y, u; es besteht die Relation: x2 + y2 + « 2 = r2• Das Volumen z = 8xyu wird Max für x — y = u = r\/ \ .

99 § 14. Homogene Funktionen Wir sagen, der Ausdruck ax^y3 sei von der fünften Dimension, weil die Exponentensumme der beiden Variablen 5 beträgt, und aix* 4- v2^2) nennen — —^—- einen Ausdruck dritter Dimension, weil die x+ y Differenz aus der Exponentensumme des Zählers und des Nenners gleich 3 ist. Daß die Dimension eines Ausdrucks auch eine negative oder gebrochene Zahl sein kann, zeigen Beispiele. Eine Funktion f(x, y,z,. . .) heißt h o m o g e n v o n der D i m e n s i o n n, wenn für beliebiges t > 0 gilt: (36)

f(tx,ty,tz,...)

1. B e i s p i e l :

f(x, y) = 5x2 — 2xy +

=

t»f(x,y,z,...). 7y2; + 7 t*y* = t*f(x,

f(tx, ty) = 5t2xi—2txty 2. B e i s p i e l :

f(x,y,z)

y).

— a' ^ — y*x$ + y^z* + z

Htx, ty, tz) =

ttxtttyt

+

+ tz

=

/(a.

2).

E u l e r s L e h r s a t z ü b e r h o m o g e n e F u n k t i o n e n . Wir setzen in (36) tx = u, ty = v, tz — w, und differenzieren die beiden Seiten nach t: 8[ du 5/ dv du dt^dv dt

81 ,dw_ 8w dt~nt

f(X'y'

Z)>

j du dv dw . . oder, w e ü T t = x , T t = y , = z ist,

Setzt man hierin t = 1, so verwandelt sich ^ in , in , cu ox ov oy ~ in ~ , und man erhält: dw dz

vorausgesetzt, daß / und seine partiellen Ableitungen stetig sind. Diese Formel stellt den Satz von Euler dar.

100 1. B e i s p i e l :

/= J

2x 2. B e i s p i e l :

+

, 2y

„ /x 2

a

2

, y

/ = z 3 + 2ax2y — ay3 = 0 ;

(3a;2 + 4axy) x + (2ax 2 — 3 a y 2 ) y = 3 (a? + 2aaj a y — ay»). 3. B e i s p i e l :

/= j/^—^z = 8/ __ -

8x~ 2R' 3z 3 - 2w2z - v 2 z

4. B e i s p i e l :

8x

2 *

Sf _ - y z ' 8z~ 2R'

3 /x 3 - m2z\

3 ,/-=

y1* 3 + **y (x + j/3)2

*y x8 +

f = 9L-L.II

5. B e i s p i e l :

2 j/2

8y ~~ 2R

y

/ = -L

)/x

x

8f

8y +

=

=

'

J2^ ;

+ 2 — • v - * - * = - T \ y i

+

*)•

§ 15. Die Formeln von Taylor und Maclaurin für Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Ersetzen wir in f(x, y) die Variable x durch x + £ und y durch y + r j , so kann die Funktion in eine Reihe nach Potenzen und Produkten von £ und rj entwickelt werden. Um diese Entwicklung auf § 11 zurückzuführen, setzen wir f = r t , r] = st und f(x-\-rt, y + st) = F{t), indem wir uns unter x,y,r,s bestimmt gewählte Werte und unter t eine Variable vorstellen. Nach dem Maclaurinschen Satze ist jetzt: F(t) = F(0) + F' (0) - f + F" (0)

+ F'" (0) ^ ^

+•••.

Bei der Bildung der Funktionen F', F", usw. ist es zweckmäßig, x + rt = u, y + st = v zu setzen, wodurch F(t) in /(«, v) umdu dt? gewandelt wird. Zugleich ist r, ^ = s, und die höheren Differentialquotienten verschwinden. So ist:

101 F(t)

=

/(«,

v)

w'(t\ -J!L iE ( > ~ du' dt ^ 8v' dt 8*f (du\* ,

0

V">f(du\*4-* * +

ey 8v2 V

0a/ du dv dttSv ¿i di *f (duY Mdv\Tt) dt

6

,„

8>f du /dv\i , 03/ /d»\»

Setzt man t — 0, so geht f(u, v) in f(x, y) über und ebenso verwandeln sich die partiellen Differentialquotienten von / nach u und v in die Differentialquotienten nach x und y. So entstehen die Werte ^ ( 0 ) , i " ( 0 ) , F"(0) usw. und es gibt: F(t) = f(x,y)

+

0S3

+ '+3

8y' 1 +

, 2 + 8f82

8x

~

8x8y

rS

Pf 22 I O / 8xt8y r s + 3 0Z0J/2

^

8f

1-2-3

8x

2

08

t2 1-2

Werden nun für F(t), rt, st die Werte wieder gesetzt, die sie vertreten, so ergibt sich: (38)

f(x + S , v + V ) =

H''S)+\^+^V

, o a2/ tv , ay 0X0^] 8y* 1 • 2 Sa:2 1 • 2 0x0^ 1 • 2 f »J*0y2 ,1 • 3 8 2 0/ | 03/ 0»/ i *) , , 8'/ 0a3 1 • 2 •; +3 31 0x*8y 1 - 2 - 3 0x0j/2 1 - 2 - 3 1 0t/3 1*2*3

+

8V

+•

Wird darin a; = 0 und y — 0 gesetzt, so erhält man die Formel für /(|, rj), welche in die Formel für f(x,y) übergeht, wenn f mit x und rj mit y vertauscht wird. Man entnimmt aus dem obigen auch die Restglieder. Auf Konvergenzuntersuchungen wird in den folgenden Aufgaben verzichtet. Aufgaben 454) Wenn f{x,y) = 3? + xy2 ist, so soll /(£ + ! , y + rj) allgemein entwickelt und dann | — 1, rj — 2 gesetzt werden. /(* +1, y + 2) = [«»+ y2x] + [3* 2 + y2 + ixy]+[1x

+ 4y] + 5.

102 455) Gegeben ist f(x, y) = sin x cos y. Es soll f(x -f d, y + (5) in eine Reihe entwickelt werden. f(x + J W + 2du

77)

1 3 )

-

4 a r c t g

H^

( m 2 - 4 m + 2 0 ) - 6 arc tg

5

—ß

„«-g l t +10 < i ! t t =

7 6

^ - S u + 25) - 4 arc tg

g

Öii8 = lT-

2 lg

~ 6 w + 10) + 7 arc tg (« - 3 )

„ , . . 2 u

8

,

l/T

> + 4 u - — * r c t g u

J/y

= /Integration ^ a r c tBruches S M ] / £ ' w e n ndera h Form: > 0 ist "