Mathematik für Ingenieure mit Maple: Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 978-3-540-61249-0, 978-3-662-08560-8

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Springer-Lehrbuch

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Thomas Westermann

Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen Mit 300 Abbildungen, 262 Aufgaben und und Lösungen

,

Springer

Professor Dr. Thomas Westermann Fachhochschule Karlsruhe Hochschule für Technik Fb.Naturwissenschaften Postfach 2440 76012 Karlsruhe E-mail: [email protected]

Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Westermann, Thomas Mathematik für Ingenieure mit Maple 1 Thomas Westermann. - Berlin ; Heidelberg ; New York ; Barcelona ; Budapest ; Hongkong; London ; Mailand ; Par is ; Santa Clara ; Tokyo : Springer. (Springer-Lehrbuch) Bd. 1.Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Punktionenreihen.cççë ISBN 978-3-540-61249-0 ISBN 978-3-662-08560-8 (eBook) DOl 10.1007/978-3-662-08560-8 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Verv ie1fáltigung aufanderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfáltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September t965 in der jeweils geItenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996

Ursprüngl ich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Vork 1996. Die Wiedergabevon Gebrauchsnamen, Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daû solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI. VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein. so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fürdie eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Riehtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Herstellung: PRODUserv, Springer-Produktions-Gesellschaft, Berlin Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Umschlaggestaltung: MetaDesign plus GmbH, Berlin SPIN: 10538607 62/3020 - 543 210 - Gedruckt auf säurefreiem Papier

Vorwort Dieses zweibandige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und Obungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation fur Ingenieure des Studienganges Sensorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an aile Stud ent en der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen s ind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behand elt wurden . Die Themengebiete sind so aufbereitet, daB Studenten sie auch im Selbststudium leicht bearbeiten konnen . 1m ersten Band sind mehr als 450 Beispiele ausfuhrlich durchgerechnet und zusatzlich 260 Aufgaben mit Losungen angegeben . Wichtige Formeln und Lehrsatze werden deutlich hervorgehoben, um die Lesbarkeit des Buches zu erhohen , Mehr als 300 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehrbuchcharakter Rechnung. Die stiirmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorient iertes mathematisches Wissen , sondem auch das Riistzeug vermitt elt wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu konnen. Die Computeralgebra-Systeme haben den mathematischen Alltag eines Ingenieurs grundlegend erw eitert und bereichert. Sie werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum Rechnen mit Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System M APLE in die Mathematikausbildung mit einbezogen. Math emati sche Begriffe werden ansc haulich moti viert , sys tematisch anhand praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit MAPL E umge setzt , was sich in vie len Animationen niederschlagt. Auf mathematische Beweise wird fast ganz lich verzichtet und einer anschaulich pragnanten Sprechweise den Vorzug gege niiber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben. Um den standig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlosungen zu beriicksichtigen, wurden zwei Kapitel zur rechnerischen Losung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen . Die numerischen Algorithmen sind als Pascal-Quellprogramme auf der beigelegten C D-ROM enthalten , konnen aber von etwas geubten Programmierern leicht in jede and ere hohere Sprache umgesetzt werden. Obwohl die unterschiedlichen Stadien der Manuskripte oftmals Korrektur gele sen wurden, lassen sich Fehler bei der Abfassung eines umfangreichen Textes nicht vermeiden . Ober Hinweise aufnoch vorhandene Fehler ist der Autor dankbar. Aber

VI

auch Verbesserungsvorschlage, nutzliche Hinweise und erfrischende Anregungen besonders von studentischen Kreisen sind sehr erwunscht und konnen dem Autor z.B. uber [email protected] oder per Post zugesendet werden . Das vorliegende Buch wurde vollstandig in Jb.TEX unter dem Textverarbeitungsprogramm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die engagierte Mithilfe und Mitarbeit vieler bereitwilliger Helfer ware das Buch in seiner vorliegenden Form nicht moglich gewesen. Besonders bedanken rnochte ich mich bei Herrn F. Wohlfahrt und Frau Raviol fur die prazise und fehlerfreie Erstellung des Jb.TEX-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler fur die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter Corel Draw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat, und dem teilweise muhevollen Einbinden auch der MAPLEBilder in das Jb.TEX-System sowie Herrn A. Kapplein fur die Bereitstellung des Jb.TEX-Styles. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag fur die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle. Zuletzt mochte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verstandnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkraftig unterstiitzt hat.

Karlsruhe, im Juni 1996

Thomas Westermann

Hinweise zurn Gebrauch dieses Buches Das gesamte Werk ist in zwei Bande und jeder Band in einzelne Kapitel aufgeteilt. Die Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen . Nicht immer lieB es sich vermeiden, Teilergebnisse aus spateren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Oem didakt ischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei starkere Prioritat als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muB sich nicht an die im Buch gewahlte Reihenfolge halten , einzelne Kapitel konnen auch aufgesplittet werden . Neu eingefiihrte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer Definit ion fett spezifiziert. Lehrsatze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Dieses Buch ist ein Lehrbuch tiber Mathematik und kann ohne Rechner zum Erlemen von mathematischem Grundwissen oder zur Prufungsvorbereitung herangezogen werden. Urn den vollen Umfang und die ganze Schonheit der Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System MAPLE unverzichtbar. Nur wenn eine Animation als Animation erlebt wird , kommt die volle Erkenntnis zum Tragen . Dieses Buch kann auch als eine themengebundene Einfiihrung in die Anwendung von MAPLE in der Mathematik gesehen werden, da samtl iche Themengebiete des Buches mit M APLE bearbeitet werden. Aile M APLE-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die MAP LE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese M APLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und konnen direkt in MAPLE eingegeben werden. Die MAPLE-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Somit wurd e versucht das MAPLE-Konzept auch optisch in das Lehrbuch zu integrieren, ihm aber dennoch ein M APLE-spezifisches Aussehen zu geben , wie es unter der Windows-Oberflache erscheint. Aile Obungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen bearbeitbar, sie sind aber auch gleichzeitig Aufgaben, die mit MAPLE gelost werden konnen. Die umfangreicheren M APLE-Worksheets sind auf der CD-ROM enthalten, so daB der interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeanderten Beispielen erproben kann . Es wird besonders auf die vielen Animationen hingewiesen, die allerdings nicht mit der mitgelieferten Demoversion aktiviert werden konnen.

Inhaltsverzeichnis Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme §1. Mengen 1 §2. Natiirliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1 Peanosche Axiome 3 2.2 Vollstandige Induktion 4 2.3 Geometrische Summenfonnel 7 2.4 Pennutationen 8 2.5 Der binomische Lehrsatz 8 §3. Reelle Zahlen 10 3.1 Zahlenmengen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Die Rechengesetze fur reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 Potenzrechnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 3.5 Anordnung der reellen Zahlen 15 §4. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE 17 4.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 4.2 Ungleichungen 19 §5. Lineare Gleichungssysteme 20 5.1 Ein Einfiihrungsbeispiel 20 5.2 Begriffsbildung und Notation 22 5.3 Das Losen von linearen Gleichungssystemen 23 §6. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE 28 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 32 Aufgaben zu Kapitel I 33 Kapitel II: Vektorrechnung §1. Vektoren im 1R2 . . • . .

§2.

§3. §4.

. . ••. . . ••. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 1.2 Add ition zweier Vektoren 1.3 Die Lange (der Betrag) eines Vektors 1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren 1.5 Geometrische Anwendung Vektoren im 1R3 2.1 Rechenregeln fur Vektoren 2.2 Projektion eines Vektors 2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren 2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren Vektoralgebra mit MAPLE Geraden und Ebenen im 1R3 4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden 4.2 Lage zweier Geraden zueinander 4.3 Abstandsberechnung zu Geraden

36 36 37 37 38 39 42 44 44 47 48 52 53 57 57 58 60

x

Inhaltsverzeichnis

4.4 4.5 4 .6 4.7 §5.

Vektorielle Darstellung von Ebenen Lage zwe ier Ebenen zueinander Abstandsberechnung zu Ebenen Berechnung von Schn ittpunkten und Schn ittwinkel

62 65 67 68 Vektorraume 71 5.1 Vektorrechnung im IRn 71 5.2 Vektorraume 73 5.3 Linearkombination und Erzeugnis 76 5.4 Lineare Abhangigke it und Unabhangigkeit von Vektoren 78 5.5 Basis und Dimension 81 Aufgaben zu Kapitel II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Kapitel III: Matrizen und Determinanten 90 Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.1 Einfuhrung, spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.2 Rechenoperationen fur Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1.3 Inverse Matrix 95 1.4 Das Matr izenrechnen mit M APLE 99 1.5 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103 §2. Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106 2.2 Rechenregeln fur zweireihige Determinanten 107 2.3 n -reihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.4 Anwendun gen von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §3. Losb arke it von linea ren Gleichungssystemen 115 3.1 Lineare G leichungssysteme, Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.2 Anwendungen 120 Zusammenstellung der M APLE-Befehle 124 Aufgaben zu Kapitel Il1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§I.

Kapitel IV: Elementare Funktionen 129 Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften 129 1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1.2 Elementare Funktionen in MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften 137 §2. Polynome 146 2.1 Festiegung von Polynomen durch Wertepaare 147 2 .2 Koeffizientenvergleich 147 2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor 149 2.4 Nullstellenproblem 150 2.5 Newton-Algorithmus zur Bestimmung von Interpolationspolynomen 153 2.6 Polynome m it MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156

§I.

Inhaltsverzeichnis

§3.

§4. §5.

§6.

Rationale Funktionen 3.1 Rationale Funktionen 3.2 Anwendung: Obertragungsfunktion bei LC-Kreisen 3.3 Rationale Funtionen mit MAPLE Potenz- und Wurzelfunktionen Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Exponentialfunktion 5.2 Logarithmusfunktion Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1 Grundbegriffe 6.2 Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Tangens- und Kotangensfunktion 6.4 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenstellung der Vereinfachungs-Befehle von MAPLE . .. .. Aufgaben zu Kapitel IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Xl

160 160 163 165 168 170 170 172 174 174 175 179 181 187 188

Kapitel V: Die komplexen Zahlen 191 §I. Darstellung komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.1 Algebraische Norma1form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.2 Trigonometrische Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 1.3 Exponentielle Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 194 1.4 Umformungen der Normalformen . . . . . . . . . .. 194 1.5 Komplexe Zahlen mit MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197 §2. Komplexe Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.2 Subtraktion 200 2.3 Multiplikation 20 I 2.4 Division 202 2.5 Potenz 204 2.6 Wurzeln 205 2.7 Fundamentalsatz der Algebra 207 §3. Komplexe Rechnung mit MAPLE 208 §4. Anwendungen 210 4.1 Oberlagerung harmonischer Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . 210 4.2 Der RCL-Wechselstromkreis 216 4.3 Ubertragungsverhaltnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 223 §5. Ubertragungsfunktion fur RCL-Filterschaltungen 5.1 Berechnung der komplexen Obertragungsfunktion fur lineare Ketten 227 5.2 Beispiele 231 5.3 Dimensionierung von Hoch- und Tiefpassen 235 Aufgaben zu Kapitel V 240

xii

Inhaltsverzeichnis

Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung 244 §1. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 244 1.1 Reelle Zahlenfolgen 244 1.2 Grenzwert einer Funktionsfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 1.3 Stetigkeit einer Funktion 255 §2. Differentialrechnung 258 2.1 Einfiihrung 258 2.2 Rechenregeln bei der Differentiation 264 2.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 276 2.4 Differential einer Funktion 279 2.5 Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik 284 2.6 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) 290 2.7 Satze der Differentialrechnung 295 2.8 Energiemaximum im Spektrum eines strahlenden schwarzen Korpers 301 §3. Integralrechnung 303 3.1 Das Riemann-Integral 303 3.2 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung 308 3.3 Grundregeln der Integralrechnung 317 3.4 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 3.5 Uneigentliche Integrale 336 3.6 Anwendungen 338 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle 357 Aufgaben zu Kapitel VI 358 Kapitel VII: Funktionenreihen §1. Zahlenreihen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Beispiele 1.2 Konvergenzkriterien §2. Potenzreihen §3. Taylorreihen §4. Anwendungen 4.1 Naherungspolynome einer Funktion 4.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung §5. Komplexwertige Funktionen 5.1 Komplexe Potenzreihen 5.2 Die Eulersche Formel 5.3 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion 5.4 Komplexe Hyperbelfunktionen 5.5 Differentiation und Integration komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Aufgaben zu Kapitel VII .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

364 364 367 371 377 385 397 397 400 402 402 404 405 407 408 411 411

Inhaltsverzeichnis

xiii

Kapitel VIII: Numerisches Losen von Gleichungen §1. Intervallhalbierungs-Methode §2. Pegasus-Verfahren §3. Banachsches Iterationsverfahren §4. Newton-Verfahren §5. Regula falsi §6. Bestimmung von Polynom -Nullstellen Aufgaben zu Kapitel VIII

417 423 426 439 443 445 447

415

Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration §1. Numerische Differentiation 1.1 Differenzenformeln fur die erste Ableitung 1.2 Differenzenformeln fur die zweite Ableitung 1.3 Differenzenformeln fur die n-te Ableitung §2. Numerische Integration 2.1 Die Rechteckregel 2.2 Die Trapezregel 2.3 Die Simpson-Regel Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Aufgaben zu Kapitel IX

448 448 454 455 456 457 459 460 462 463

Anhang A: Losungen zu den Ubungsaufgaben

465

Anhang B: EinfOhrung in MAPLE V

477

Anhang C: Die CD-ROM

482

Literaturverzeichnis

486

Index

488

448

Inhalt von Band 2

Kapitel X:

Funktionen von mehreren Varia bIen Partielie Differentiation, Satz von Taylor, Gradient, Divergenz, Rotation, Lokale Extrema , Ausgleichsrechnung, Integration, Integrationssatze.

Kapitel XI:

Gewohnliche Differentialgleichungen DG I. Ordnung, Lineare DG-Systeme, Eigenwerttheorie, Lineare DG n.-ter Ordnung, Numerisches Losen von DG.

Kapitel XII:

Laplace-Transformation Laplace-Transformation, Satze der LT Losen von DG mit der LT

Kapitel XIII:

Fourier-Analysis Fourier-Reihen, Fourier-Transformation, Deitafunktion, Systemtheorie, FFT.

Kapitel XIV:

Partielle Differentialgleichungen Wellengleichung, Warmeieitungsgleichung, Laplacegleichung, Wellenleiter, Biegeschwingungsgleichung.

Kapitel I Zahlen, Gleichnngen und Gleichnngssysteme

§l. Mengen "Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen"; diese Festlegung (=Definition) des Mengenbegriffs stammt von G. Cantor (1895). Diese Definition des Mengenbegriffs reicht fur unsere Zwecke vollstandig aus. Mengen bezeichnen wir im folgenden immer mit Grol3buchstaben. Die Objekte einer Menge A heil3en Elemente von A und werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. a E A heil3t: a ist Element der Menge A . a rf:- A heil3t: a ist nicht Element der Menge A. Die gebrauchlichsten Weisen Mengen anzugeben sind: • das Auflisten der Elemente in einer Mengenklammer {a l ,a2 ,a3,a4 , . . . } , • die Angabe in einer Aussageform {a E A : x hat die Eigenschaft E} . Die leere Menge !/J bzw. {} enthalt keine Elemente. B heil3t Teilmenge von A (B c A ), wenn jedes Element von Bauch Element von A ist. I. Beispiele von Mengen:

IN lN o lL

Q IR

Menge Menge Menge Menge Menge

der der der der der

natiirlichen Zahlen natiirlichen Zahlen mit Null ganzen Zahlen rationalen Zahlen reellen Zahlen

= {1, 2, 3,4 , ...}. = {O, 1, 2, 3, 4, ...}.

= {O,±1, ± 2, ± 3, ...}. = {E : p E z , q E N }. q

Es gilt: IN C lL C Q c IR. Bemerkungen: ( I) Die Reihenfolge der Elemente spielt bei Mengen keine Rolle. Es ist

{a, b, c,d} = {d, c,a,b} .

2

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

(2) Jedes Element einer Menge wird nur einmal autgezahlt, d.h.

{a,a ,a ,b,d ,d} = {a,b,d} . Mengenoperationen FOr zwei Mengen A und B sind der Durchschniu A und das Komplement A \ B definiert durch

A nB A uB .A\B , -

, -

{x : x

E A

n B , die

Vereinigung

Au B

und ,1: E B} ,

{x : x E A oder x E B} , {x : x E A und x rf- B} .

Hierbei bedeutet ":=", daB das Symbol auf der linken Seite durch die rechte Seite der Gleichung festgelegt (= definiert) wird. Ahnlich ist das Zeichen ":¢=}" zu lesen, als logische Aquivalenz nach Definition dessen, was auf Seiten des Doppelpunktes steht.

ｾ

An B

Au B

A \ B

Abb. 1: Venn-Dia gramme

Das kartesische Produkt von zwei Mengen M, und lvI2 ist die Menge, die aus allen Paaren (x , y) besteht, wobei z E M 1 und y E M 2 :

2. Beispiel: IR x IR besteht aus Paaren von reellen Zahlen. Dies ist nichts anderes als die Zahlenebene; (x , y) ist jeweils ein Punkt in dieser Ebene. Statt IR x IR schreibt man kurz IR 2 . MAPLE kennt den Datentyp " Menge". Durchschnitt, Vereinigung und Komplementbildung lauten > M := {1,2,3,a,b,c} : > member (a,M); true

> {a ,b,c} union {c.d.e}; {a,b,c,d ,c}

3

2.1 Pcanosche Ax iomc

> {a.b,c} intersect { c,d,e} ;

{c} > { a.b,c} minus {c.d,e} ; {a,b} 1m Programmpaket combinat findet man die Moglichkeit das kartesische Produkt von zwei Mengen zu bilden : > M1* M2 := cartprod ( convert (M1, list), convert (M2, list)):

§2. Natiirliche Zahlen Zu den einfachsten Gegenstanden der Arithmetik gehoren die naturlichen Zahlen. Sie bilden das Fundament unseres Zahlengebaudes. Die Gesamtheit aller naturli chen Zahlen nennen wir die "naturliche Zahlenrnenge" N. Das Fundamentalprinzip der naturlichen Zahlen geht auf den Mathematiker Peano (1858-1939, 1889) zuruck .

2.1 Peanosche Axiome (I)

1 ist eine naturli che Zahl.

(2)

Zu jeder naturlichen Zahl ti existiert genau ein Nachfolger der naturlichen Zahlenmenge angehort.

(3)

Es gibt keine naturliche Zahl , deren Nachfolger 1 ist.

(4)

Die Nachfolger zweier vers chiedemer natiirlicher Zahlen sind vone inander verschieden.

(5)

Eine Teilmenge der naturlichen Zahlen enthalt aile natlirlichen Zahl en , wenn I zur Menge gehort und mit einer naturlichen Zahl n stets auch der Nachfolger n ' zur Menge gehort.

n', der

eben falls

Mit den Peanoschen Axiomen ist man in der Lage , die naturliche Zahlenmenge aufzubauen, denn man erhalt sofort die folgenden Konsequenzen aus den Axiomen: Foigerungen: (I ) Die naturliche Zahlenmenge hat unendlich viele verschiedene Elemente: Wegen I) gibt es mindestens eine naturliche Zahl : I. Wegen ( 2) gibt es zu 1 einen Nachfolger, der nach =1= 1: 2. Wegen ( 2) gibt es zu 2 einen Nachfoiger, der =1= 1 3) und =1= 2 ( 4) 3. usw.

4

I Zahlcn, Gleichungen und Glcichungssysterne

(2) Die Elemente der natiirlichen Zahlenmenge lassen sich in einer bestimrnten Reihenfolge anordnen, wobei schrittweise aile natiirlichen Zahlen erfa/3t werden: 1; 2; 3; 4; 5; ..., n; n

+ 1; ...

Hierbei bedeutet n + 1 der Nachfolger von n . Durch diese Reihenfolge wird auf naturliche Weise festgelegt die Addition von natiirlichen Zahlen festgelegt. (3) Jede Teilmenge M der natilrlichen Zahlen M C IN, welche die 1 und mit n E Mauch stets den Nachfolger + 1 enthalt, ist gleich der Menge aller natilrlichen Zahlen. Aus der Folgerung (3) erhalten wir ein Beweisprinzip, welches zu den wichtigsten Beweismethoden der Analysis gehort, namlich die vollstandige fnduktion.

2.2 Vollstandige Induktion Urn eine Aussage (3) zu zeigen: (I)

(11)

n) fur aile natiirlichen Zahlen zu beweisen, genugt es nach

Induktionsanfang: Fur n

=

1 ist die Aussage richtig.

Induktionsschlu13 von no auf no + 1: Falls die Aussage fiir eine beliebige naturliche Zahl no erfullt ist, dann mu/3 sie auch fur den Nachfolger no + 1 richtig sein.

Konnen beide Schritte durchgefuhrt werden, dann gilt die Aussage fur aile n E IN . Denn nach (I) ist die Aussage fur I richtig. Nach (11) ist dann die Aussage auch fur den Nachfolger, also 2, richtig. Nach (II) ist dann die Aussage auch fur den Nachfolger, also 3, richtig. usw. 3. Beispiel:

11 + 2 + ... + n = ｾ

Beweis mit vollstandiger Induktion. Induktionsanfang = 1: Fur n = 1 ist die linke Seite der Gleichung 1 und die rechte Seite I;} = 1. Induktionsschlu/3 von no auf no + 1: Sei no E IN beliebi und die Formel sei richtig fur dieses no, d.h. es gilt 1 + 2 + ... + no = ｮ ＨＩ Ｈｮ ｾＩ Ｋ ｬ . Dann ist zu zeigen, da/3 die Formel auch fur no + 1 gilt:

f

1 + 2 + ... + no + (no + 1)

= no(no + 1) + (no + 1) =

(1 + 2 + ... + no) + (no + 1) = no(no + 1) + 2(no + 1) (no + 1)(no

2

Dies ist die zu beweisende Formel fur no + 1.

2

+ 2)

2

o

5

2.2 Vollstandige Induktion

Bemerkung: Diese Summenfonnel geht auf F. Gauf (1777-1855) zuruck, der eincr Anekdote zufolge die Summe der ersten 100 Zahlen dadurch berechnete, daB cr die Summe der ersten mit der letzten, der zweiten mit der zweitletzten, der dritten mit der drittletzten usw. bildete: 1 + 2 + 3 + . . . + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + .. . . Somit erhalt man von den 100 Summanden nur noch 101,also1 +2+3 + · · ·+100 = 1002101 .

100

2 '

jeder mit dem Wert 0

Ais Abkurzung fur Summen und Produkte fuhrt man folgende Notationen ein : Definition: (1) Summenzeichen. FUr eine Summe der Zahlen man

ai a l + 1 , . . . an E

IR schreibt

n

2..= a k := a

+

al +1

+ .. . +

an '

k=l

(2) Produktzeichen. FUr ein Produkt der Zahlen ai , a l +1 man

. . . an

E IR schreibt

n

II

a k := ai . al + 1 . .. . . a n '

k =l

(3) Fakultatzeichen. Zu jedem n E N definiert man n! := 1 ·2 · . .. · n

(Fakultat von n )

und

O! := 1.

Ubrigens wachst n! sehr schnell. Z.B . 13! ｾ 6 . 109 ; urn diese Zahl zu zahlen , benotigte man 100 Jahre , wenn man in einer Minute bis 100 zahlen konntel 4. Beispiele: 10

(I)

L

i= 5 5

(2)

L

i= l 6

i2 = 52 +62 +72 +82 +92 +102 .

ｾ

12

1

1

= 2\ + 2 + 2 3 + 2 4 + 2\ '

(3) [1 (2i -l)2 =5 2 .7 2 ·9 2 · u 2. i=3

(4) 5! = 1 ·2 ·3 ·4 ·5. Bemerkung: Summe, Produkt und Fakultat sind in MAPLE einfach durchfuhrbar: > Sum 0'2 , i=5..10) = sum (i'2, i=5..10); 10

2..= i 2 = i= 5

355

6

I Zahlen, Glcichungcn und Glcichungssysterne

> Product ((2*i-1 )' 2, i=3..6) = product ((2* i-1)' 2, i=3..6); 6

II (2i -

1)2

=

11025

;=3

> 5 !; 120 Man erken nt, da/3 bei Gro/3schre ibung die Befehle nur symbolisch dargestel lt werden (inerte ode r trage Form der Befehl e); bei Kleinsch reibun g die Befehl e ausgefuhrt we rde n. Diese Gesetzma lligkei t werden wir bei vie len andere n MAPLEBefehl en w iede rfinden. 5. Beispiel: 11 + 3 + 5 + ...+ (2n - 1)

=

f

(2k - 1) = n 2

(n E N ) I

k= ]

Beweis mit vo llstandiger Indukti on . Induktionsan fang n = 1: 1 = 12 . Induktionsschlu/3 von n auf n + 1: Se i n bel ieb ig und die Form el richt ig fur dieses n, dann ist zu zeigen , da/3 d ie Forme l auch fur n + 1 gi lt:

1 + 3 + 5 + ...+ (2n - 1) + (2n

+ 1)

[1 + 2 + ...+ (2n - 1)] + (2n

= Dies ist die Forme l fiir n

+ 1)

n 2 +2n + l = (n + l )2.

+ 1.

o

Bem erkung zur vo llstandigen Induktion: Zum Bewe isprinz ip de r vo llstli nd igen Induktion gehoren sowohl der Indukt ionsanfang als auch der Indukt ionsschlu/3 . Fehlt einer d ieser beiden Beweisteile, ist der Bewe is nicht vo llstan dig und die Aussage nich t bewiesen, wie d ie be ide n fo lgenden Be isp iele zeigen: 6. Beispiel: Nac h L. Euler ( 1707- 1783) liefert der Ausdr uck

Ip = n 2 -

n

+ 41

1

fur n = 1,2 ,3 , . . . , 40 Primzahlen, narnli ch p = 41,43 , 47 , . . . , 1601 wie man du rch Einsetze n expli zit nachrechn et. Dies reicht aber nicht fur e inen a llgemei nen Bew eis aus. Fur n = 41 folgt p = 412 - 41 + 41 = 412 . Dies ist ke ine Primzahl. Die Prim zahlberechnung ist zwar fur viele einze lne n richti g; sie gi lt aber nicht allge mei n ! 7. Beispiel: Wir betr acht en die fa /sche For me l

1 + 2 + 3 + ... + n = n (n +l ) + 1 2 (vg l. Be ispiel I) und ze igen, da/3 dennoch der Indu ktionssch lu/3 durchfu hrbar ist: Wir nehmen also an, die Forme l sei fur ein n richt ig und zeigen , da/3 sie dann auc h fur n + 1 richtig ist.

7

2.4 Permutationen

1 + 2 + 3 + .. .+ n + (n + 1) = ｮＨｾＫ ｬＩ + 1 + (n = n(n+l)t 2(n+l) + 1 = (n+11t +2) + 1.

+ 1)

Dies ist die Fonnel fur n + 1. Obwohl der Induktionsschlul3 durchfiihrbar ist, gibt es keine naturliche Zahl n, fur welche die Fonnel richtig ist. Der Induktionsschlul3 verliert also seinen Sinn, wenn der Nachweis fiir n = 1 oder fur einen anderen festen Zahlenwert nicht erbracht werden kann. 0 Mit MAPLE konnen Summenausdrucke nicht nur berechnet werden , sondem man findet fiir viele Summenwerte auch allgemeine Fonneln: > Sum W3. i=1..n) = sum W3 , i=1..n): > simplify(") ;

> Sum W4 . i=1..n) = sum W4. i=1..n): > simplify(");

2.3 Geometrische Summenformel Fur viele Anwendungen wichtig ist die geometrische Summenfonnel : Satz (Geometrische Summenformel) n 1- qn+l Fur jede reelle Zahl q =I- 1 gilt: Lqi= l-q

( E No)

i= O

Beweis durch vollstandige Induktion. Induktionsanfang n = 0:

o

·

q' =q i=O

0

1

l-q 1-q

= 1 = --.

InduktionsschluJ3 von n auf n + 1: Sei n beliebig und die Fonnel richtig fur n, dann gilt fur n + 1: n+l n 1- qn+l L qi = L qi + qn+1 = + qn+1 i= O i= O 1- q 1 - qn+l + (1 _ q)qn+l 1 _ qn+2 l-q

1-q

o

8

I Zahlen , Gleichungen und Gleichungss ysteme

2.4 Permutationen Als Permutation einer Menge versteht man alle moglichen Anordnungen der Elemente der Menge. Ist A = {aI , a2, a3, . .. , an}, so kommt aufjede Position in der Menge genau ein Element. Eine andere Anordnung der Menge ist z.B.

Satz: Die Anzahl aller rnoglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge

{aI , . . . , an } ist gleich n ! = 1 . 2 . 3 . . .. . n . Beweis durch vollstandige Induktion. Induktionsanfang n = 1: Die Anzahl aller Anordnungen der l-elementigen Menge {al } ist I . InduktionsschluB von n auf n + 1: Gesucht ist die Anzahl aller Anordnungen einer (n + l)-elementigen Menge {aI, a2, a3, " " an+d . Dazu betrachten wir das Element al und dessen Platze (Positionen) in dieser Menge . al kann an I . Stelle stehen ; dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung fur die restlichen n Elemente n! Anordnungen. al kann auch an 2. Stelle stehen; dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung fur die restlichen n Elemente n! Anordnungen. usw. al kann also an n + 1 verschiedenen Positionen stehen , und die verbleibenden n Elemente haben dann noch n! unterschiedliche mogliche Anordnungen. Insgesamt gibt es also n! . (n + 1) = (n + I )! Moglichkeiten. 0 FoIgerung: Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge {a I , . . . , an } ist gleich n! k !(n - k) !

BegrUndung: Alle k-elementigen Teilmengen der Menge M = {al , ' .. , an } findet man, indem aus allen n ! Anordnungen nur die ersten k Elemente genommen werden. Dabei tritt jede k-elementige Teilmenge k!-mal auf und die verbleibenden (n - k) !-mal. Damit sind die k-elementigen Teilmengen gleich ｫＡＨ Ｚ ｾｫ ＩＡ Ｇ 0 Anwendung: Die Chance, beim Lotto-Spiel "6 aus 49" die richtige Kombination zu erraten, ist etwa I :14 Millionen. Denn die Anzahl der 6-elementigen Teilmen·47 ·48·49 = 13.983 .816 . gen einer 49-elementigen Menge ist gleich ｾ 6! 43! = 44 ·45·46 1·2 ·3 -4-5·6

2.5 Der binomische Lehrsatz Fur zwei naturliche Zahlen n und k mit 0 :S k :S n bezeichnet man die Zahl

(

nk ) ._

n! k!(n - k)!

(man spricht n uber k) als BinominalkoeJfizient.

9

2.5 Der binomische Lehrsatz

Die Binominalkoeffizienten lassen sich entweder durch die obige Formel oder durch das nach Pascal benannte Schema bestimmen, dem sog. Pascalschen-Dreieck: Beginnend mit I wird die unten angegebene Pyramide in jeder Stufe urn eine 1 rechts und links erweitert. Die Zwischenzahlen ergeben sich aus der Summe der beiden daruberstehenden Zahlen.

Ｈｾ Ｉ

:

G) : Ｈ ｾＩ

2

:

m: Ｈ ｾＩ

:

Ｈ ｾＩ

:

Ｈｾ Ｉ

:

3 4

5 6

3

10 15

4

6

10 20

5 15

6

Die Binominalkoeffizienten werden in MAPLE durch > binominal (49,6); 13983816

berechnet. Mit den Binominalkoeffizienten konnen wir die letzte Folgerung formulieren als : Bemerkung: Es gibt (

ｾ

) Moglichkeiten aus n Objekten genau k auszuwahlen,

Aus dieser Aussage erhalten wir die binomische Formel : Satz: (Binomischer Lehrsatz). Fur belieb ige Zahlen a , b E IR und jede natiirliche Zahl n ｾ 0 gilt:

Beweis: Multipliziert man die rechte Seite aus, so kommt der Term bk so oft vor, wie man k Faktoren aus n Faktoren wahlen kann , also (

ｾ

) -mal (siehe obige

10

I Zahlen , Gleichungen und Gleichungssysteme

Bemerkung) . Die restlichen (n - k) Faktoren tragen zu a n -

k

bei.

o

8. Beispiele: (1) (x+y)O = 1

(x+y)l =x+y (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x 3 + 3x 2y + 3x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x 3y + 6x 2y2 + 4x y3 + y4 (2) Wir berechnen den Wert der Potenz (104) 3 mit dem Binomischen Lehrsatz : (104)3 = (100 + 4)3 = 1003 + 3 . 1002 · 4 + 3 · 100 .42 + 43 = 1000000 + 120000 + 4800 + 64 = 1.124.864.

(4) Das Auswerten der binomischen Formeln erfolgt in MAPLE mit den expandBefehl > (a+br4 = expand «a+br4); (a + b)4 = a4 + 4a 3b + 6a 2b2 + 4ab 3 + b4

§3. Reelle Zahlen Wir stellen uns auf den Standpunkt, daB uns die reellen Zahlen zur Verfugung stehen und gehen nicht auf den axiomatischen Aufbau ein. FUrphysikalische Messungen wiirden die rationalen Zahlen ausreichen, fiir die hohere Analysis weisen die rationalen Zahlen "zu viele Locher" auf. Erst ihre Erweiterung zu den reellen Zahlen macht die Differential- und Integralrechnung moglich.

3.1 Zahlenmengen und Operationen Auf den natiirlichen Zahlen N gibt es als Grundrechenarten + und .. Die Gleichung x + 1 = 0 ist innerhalb N formulierbar, aber nicht losbar. Man erweitert daher den Zahlenbereich urn all die Losungen der Gleichungen

x+n = 0, wenn n E No. Die Losungen sind 0, -1, -2, -3, · · · und der erweiterte Zahlenbereich nennt man 7l, die ganzen Zahlen. In 7l lliBt sich fur jedes nEll die Gleichung x + n = 0 losen. Nicht losbar ist die Gleichung 2x = 1. Man erweitert nun 7l urn all die Losungen von Gleichungen der Form

q ·x =p

11

3.2 Die Rechengesetze fur reelle Zahlen

mit p , q E 7L und q =I- O. Somit erhalt man die Zahlenmenge der rationalen Zahlen lQ. In diesem Zahlenbereich sind aile Gleichungen obiger Form losbar. Aber die Gleichung x2 = 2 besitzt in lQ keine Losung. Also erweitert man die rationalen Zahlen urn all die Losungen von Gleichungen obiger Bauart und kommt so zu den reellen Zahlen IR. In den reellen Zahlen sind noch die sog. transzendenten Zahlen, wie e und 7l" enthalten, die wir im Kapitel iiber Foigen noch genauer untersuchen . In TabelIe 1 sind die Zahlenbereiche mit den zugehorigen Rechenoperationen nochmals aufgelistet. Mengen N natiirliche Zahlen 7L ganze Zahlen lQ rationale Zahlen IR reelle Zahlen

Grundoperationen

+ + + +

nicht losbar

x+l=O 2·x = 1 x"" = 2

-

\ \

-

-

Tabelle 1: Zahlenmengen und Grundrechenoperationen sowie Gleichungen, die im entsprechenden Zahlenbereich nicht IOsbar sind.

Darstellung reeller Zahlen Zur Veranschaulichung der reellen Zahlen dient die bekannte von - nach + gerichtete Zahlengerade. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau einer reellen Zahl.

I

,

,

,

·2

-1

o

2

Reelle Zahlengerade

3.2 Die Rechengesetze fur reelle Zahlen In IR sind zwei Verkniipfungen gegeben, namlich + und '. Addition und Multiplikation zweier reeller Zahlen liefem wieder reelle Zahlen. Formal hat man hiermit zwei Abbildungen + und . definiert: Ｋ

Ｚｉｒｸ ｾ ﾷ Ｚ

mit ｉｒ

ｸ

ｉｒ

ｾ

ｉｒ

(x ,y)

mit (x, y)

f--->

f--->

X

+Y

x · y.

12

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Es gelten die Rechengesetze der Addition

(AI)

(A2) (A3) (A4)

x

+ + z) = (X + + z

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz der Null

x+y=y+ x X + o =X Zu jedem X gibt es ein (- x) E IR mit x + (-x ) = o

Inverses Element

Es gelten die Rechengesetze der Multiplikation

(MI) (M2) (M3)

x · (y · z ) = (x · y ) · z x ' y = y 'x Es gibt eine reelle Zahl I E IR mit I I ·x = X

(M4)

Zu jedem

X

Assoziativgesetz Kommutativgesetz

#

0, so daB

Existenz der Eins

E IR gibt es ein x - 1 E IR mit x · x- 1 = I

Inverses Element

Es gilt das Distributivgesetz

(D )

x , (y + z ) = x, y +x ' z

AIle weiteren Rechengesetze der reellen Zahlen lassen sich auf diese elementaren Gesetze zuruckfuhren, Bemerkung: Eine Menge K zusammen mit zwei Verkniipfungen + :K

mit

(x ,y)

I------->

(x+y)

. :

mit

(x ,y)

I------->

x · y,

die den Axiomen (AI) - (A4) (MI) - (M4) und (D) geniigen, nennt man Kerper, 9. Beispiele: (1) (IR , + ,.) ist ein Kerper. (2) (Q, + ,.) ist ein Kerper. (3) ＨＺｾＬ + ,.) ist kein Korper, da (M4) verletzt ist: z.B. 2 E ｾ der Multiplikation kein Inverses, so daB 2 . x = 1. (4) (N , + , .) ist kein Korper, da z.B. (A4) verletzt ist. (5) (F2 , + , .) mit F2 = {a, I} und den Verkniipfungen

+

°1

°0

1 1

1

0

° lliim o 1

0

1

0

0

1

besitzt beziiglich

13

3.3 Potenzrechnen

ist ein Korper, Man rechnet die Rechengesetze direkt nach oF 2 ist der kleinstmogliche Kerper; denn jeder Korper muB mindestens zwei Elemente enthalten: o und 1. (6) ({a + bV2 mit a, bE Q}, + , .) ist ein Korper,

3.3 Potenzrechnen Wir definieren zu jeder reellen Zahl a E 1R die Potenz von a durch

ｬ｡ｏＬｾ

1, a'

Ｌｾ｡

an

Ｇｾ ｾ

(nEN) '1 n-mal ｾ

Definition: Die n-te Wurzel einer Zahl a

0

b:=va :=a t

E

N)

ist definiert als diejenige positive Zahl b mit der Eigenschaft b" = a. Es gelten die Potenzrechenregeln (2)

an (3) = a n - m (a am (5) ｾ

ｾＺ

=

ＨｾＩｮ

(biO)

i 0)

= a m 1n

10. Beispiele:

1 a 5X- 2y. a 4x y _ a5x-2y-4x-y _ a x-3y ( ) b6m-1 . bm-2 b6m-l-m+2 - b5m+ 1 . (a 2b)2 4 2 1 1 1 1 1 5 :< (2) - - = a b - a- a-'i b-'i = - a'i b'i . 2ay7;b 2 2 Potenzrechnen mit MAPLE Die Potenzrechenregeln sind MAPLE bekannt, zur Vereinfachung der Ausdriicke muB explizit mit dem sirnplify-Befehl gearbeitet werden.

> aO, an;

> an/arn

=simplify (a'n/a'rn):

14

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

> arr'a'rn = simplifiy (an * a'rn) ;

3.4 Logarithmen Definition: Gegeben ist die Gleichung a = b" (a, b > 0) . Gesucht ist bei gegebenem a und b der Exponent x . Wir nennen

den Logarithmus von a zur Basis b. FUr feste Basis b gelten die Logarithmenrechenregeln (I) log(u · v ) = log(u)

(2)

ｬｯｧＨｾｄ

+ log( v)

= log(u) -log(v)

(v 7'= 0)

(3) log(u n ) = n · log(u ) Spezielle Logarithmen sind der Logarithmus zur Basis 10

loga := loglOa (lOer Logarithmus) , der Logarithmus zur Basis 2

19a := log2 a (2er Logarithmus) und der Logarithmus zu Basis e

lna := loq;«

(naturl icher Logarithmus) .

Zwischen unterschiedlichen Logarithmen besteht der Zusammenhang

logbY

logeY

=l b oge

(a , b, Y > 0).

Dadurch ist es ausreichend einen Logarithmus (i.a. den nattirlichen Logarithmus) berechnen zu konnen. Die Logarithmen zu anderen Basen ergeben sich dann durch obige Forme!.

15

3.5 Anordnung der reellen Zahlen

Beweis der Logarithmenformel : Aus b" = y folgt per Definition des Logarithmus zur Basis b, daB x = logb y Andererseits gilt fur den Logarithmus zur Basis c nach der Logarithmusregel (3) :

l oq; y

y = l oq; bx = x · l oq; b :::} X = -Iloge --b ·

age

o

Hieraus folgt die behauptete Formel . 11. Beispiele: (l) 2 x = ｾ :::} x = log2 ｾ = - log2 8 = -3. (2) x = 0.0001 :::} x = loglO1O- 4 = - 4 log1010 = - 4. (3) In ｾ = In + In b- 2 -In d - In d- 3 = In a - 2ln b -

va

(4) log /

!

yta2bva c2 = log((a2 ba:r C2 )3 )2 i4log a + log b + ;; log c. 4{?

1

1

1

1

1

I

1

kIn c + 31n d.

\

= loga 3b a'IT c 12

Logarithmen in MAPLE In M APLE wird der Logar ithmus zur Basis b durch log [b] festgelegt. log als auch stehen fur den natiirlichen Logarithmus und log10 bezeichnet den 10er Logarithmus. Zur Berechnung der Logarithmen verwendet man den expand-Befehl. > In (u-v) = expand (In(uw)) ;

+

(v)

> In (un) = expand (In (u'nl); (u" )

=

Man kann auch direkt auf die Definition des Logarithmus zuriickgreifen und die Gleichung bX = y mit dem solve-Befehl nach x auflosen. > solve (b'x = y,x) ; (y) (b)

3.5 Anordnung der reellen Zahlen Unter den reellen Zahlen herrscht eine best immt Anordnung: Zwei reelle Zahlen a , b E IR stehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zueinander: , b (a liegt links von b), ab

(a liegt rechts von b).

, . =b

, b

.R .R .R

16

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Unter dem Betrag einer reellen Zahl a wird der Abstand des Punktes vom Nullpunkt verstanden . Er wird durch das Symbol lal gekennzeichnet: a

lal 12. Beispiel: 131

:=

{ -a

= 3 ; I-51 = 5 ; ｉＭｾ

a>0 a= 0 a 0 , y > 0 ::::} x + > O. (2) x > 0 , Y > 0 ::::} x . Y > O. (3) Sind x > 0 , > 0, dann gibt es immer eine naturliche Zahl n E N , so daB (Archimedes A xiom) .

Folgerung: (Bernoullische Ungleichung)

ＱＨ Ｋ

ｸＩｮ

ｾＱＫｮｸ

(x

ｾ

-1 und n E N)

I

Beweis durch vollstandige Induktion. FOr n = 1 gilt sogar die Gleichheit. Induktionsschluf von n auf n + 1: Wegen 1 + x > 0 folgt durch Muliplikation der Induktionsvoraussetzung (1 + x )n ｾ 1 + n x mit (1 + x) : (1 + x )n+l ｾ (1 + n x)(1 + x ) = 1 + (n + 1)x + n x 2 ｾ 1 + (n + 1)x . 0 Intervalle: Zur Beschreibung von Teilmengen von IR fuhren wir folgende Notationen ein:

(1) Endliche Intervalle (a < b)

[a b]

(2)

.-

{ : a ::;

[a, b) .{x :a::; (a , b] .{x : a < (a ,b) .{x:a < Unendliche Intervalle := IR.:2:a .[a 00) := IR.>a .(a 00) ｉｒＮ ｾ｡ .- ( -00, a] :=

IR solve (eq2,x) ;

- 2, 1 (2) Eine doppelte reelle Losung > eq3 := x'2+4*x+4=O: > solve (eq3,x);

2 (3) Keine reelle (aber zwei komplexe) Losungen > eq4 := x'2-4*x+13=O : > solve (eq4,x); 2 + 31 , 2 - 31 Hierbei bedeutet I die imaginate Einheit (siehe Kap. V, Komplexe Zahlen).

18

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Mit dem solve-Befehl konnen auch Wurzelgleichungen gelost werden. Z.B. die Gleichung

V2 x - 3 + 5 - 3x =

a

wird durch > eq5 := sqrt(2*x-3)+5-3*x=O: > solve (eq5,x); 2

gelost. Ab ReI. 3.0 pruft MAPLE explizit nach, ob die moglichen Losungen auch die urspriingliche Gleichung erfiillen. Dies ist notwendig, da Wurzelgleichungen durch geschicktes Umformen und Quadrieren gelost werden und das Quadrieren der Gleichungen keine Aquivalenzumformung darstellt. (Bei einer Aquivalenzumformung bleibt die Losungsmenge einer Gleichung oder Ungleichung unverandert.) Betragsgleichungen werden ebenfalls mit dem solve-Befehl gelost. 14. Beispiel: Gesucht sind die Losungen der Gleichung > eq6 := abs(4*x-1) = -2*x+4;

eq6 := 14x -

11

=

-2x + 4

Urn sich einen Uberblick tiber die beiden Funktionen zu verschaffen, zeichnet man die linke und die rechte Seite der Gleichung mit dem plot-Befehl : plot({yl,y2,. ..,yn}, x=xl..x2). Dabei sind in den Mengenklammem die zu zeichnenden Ausdriicke angegeben, und der x-Achsen-Bereich wird durch x=xI..x2 angegeben . Die linke Seite der Gleichung wird mit dem Ihs- (left hand side) und die rechte Seite der Gleichung mit dem rhs- (right hand side) Befehl spezifiziert . > plot ({ Ihs (eq6) , rhs (eq6)} , X = -5..5); 20 15

Die Losungen erhalt man wieder durch > solve (eq6, x):

5 -3

6'

2

19

4.2 Ungleichungen

4.2 Ungleichungen Auuivalente Umformungen einer Ungleichung sind : •

Addition (bzw. Subtraktion) eines beliebigen Termes auf beiden Seiten der Ungleichung.

•

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer positiven Zahl K>O.

•

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer negativen Zahl K zu solve (abs (2*x+2) > 3, x); Bis ReI. 3.0 ist die Ausgabe noch in der Form einer Ungleichung fur x :

Ab ReI. 4.0 wird das Ergebnis in der Intervallschreibweise angegeben:

1

-5

R ealRan ge(Op en("2)' oo), R eal Range( -00 , Open( 2)) Die Losungsmenge ist also 1L

(2) > solve ((x-1)"2




X3

= - 2l.

Eingesetzt in ｇ ｾＺ 7 X 2 - 5 · (- 21) = - 7 => X2 = -16. Beides eingesetzt in 2XI + (- 16) - (- 21) = 3 => Xl = -l. Somit hat das System genau eine Li:isung (- 1; -16; - 21) und die Losungsmenge ist

c;

Man nennt System (") ein System mit oberer Dreie cksmatrix, da die Eintragungen unterhalb der Hauptdiagonalen (ail' ｡ｾ Ｒ Ｇ ｡ ｾ ＳＩ gleich Null sind. Hat das System obere Dreiecksform ist das Eliminationsverfahren beendet. Durch Ruckwartsauflosen lassen sich dann die Unbekannten x l, X2 X3 bestimmen. (2) Die Losung enthalt eine Variable: Urn das System

Xl - 2XI 2XI

3 X2

+

X2

16x2

+ + +

2 X3 3 X3

18x 3

=

4 2

= 28

zu losen , formen wir die Koefffizientenmatrix in zwei Schritten so urn, daf sie Dreiecksf orm erhalt

26

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

GI G2 G3

ｇｾ

ｇ ｾ G; G;

ｇ ｾ

G

3

1 -3 -2 1 2 -16 1 -3 0 -5 0 - 15 1 -3 0 -5

( ( (

0

0

2

3 18 2 7 21 2 7

0

Ｑｾ

2n

30

(G 2 (G 3

)

In

+ 2G I ) + G2 )

(G - ＳｇｾＩ

Aus der letzten Zeile folgt I0 . X3 = 0 I, welches fur beliebiges setzen wir X3 = A (beliebig). In ｇｾ eingesetzt, folgt X2

+ 7A =

10 ::::}

X2

= -2

X3

erfilllt ist. Daher

7

+ SA.

Beides in G; eingesetzt, liefert Xl

=

7 11 4 + 3(-2 + -A) - 2A = -2 + -A. 5 5

Urn eine einfachere Schreibweise zu erhalten, setzen wir A = 5k so daJ3 insgesamt die Losungsmenge

(3) Das System hat keine Losung: Wir betrachten das System aus (2), indem wir die letzte Oleichung abandem: Die Konstante 28 wird durch 27 ersetzt. Durch elementare Umfonnungen erhalt man

ｉｾ

1 -3 2 -5 7

o

( 000

) .

-1

-11.

I

Aus der letzten Zei!e folgt 0 . X3 = Diese Oleichung ist nicht erfullbar, wei! die linke Seite immer Null ergiht. Daher ist 1L = {} . (4) Homogenes LGS: Nach Beispiel (2) konnen wir sofort die Losungsmenge des homogenen LOS 3X2

Xl

-2XI 2 XI

+

X2

I6 x2

+

+ +

0

2 X3 3X3

I8x3

=

0

0

§6. Losen von Iinearen Gleichungssystemen mit M APL E

27

angeben , denn die elementaren Zeilenumformungen liefem

-3 2 -5

7

o

0

Durch Ruckwartsauflosen erhalten wir aus Zeile 3: 1

Daher ist

X3

beliebig. Wir setzen -5 X2

0 . X3 =

X3

=5

+7·

0·1

. In Zeile 2 eingesetzt, folgt

= 0 =} X2 =

und beides in Zeile 1 eingesetzt: Xl

= +3 .

- 2.

=

.

Daher ist

Das Losungsverhalten von LGS werden wir systematisch im Kap. III, Matrizen und Determinanten, untersuchen. Beispiel ( I) - (4) legen aber folgende allgemeingiiltige Schlul3folgerung nahe : Losungsverhalten von Iinearen Gleichungssystemen (1) Ein inhomogenes LGS besitzt entweder genau eine Losung oder unendlich viele Losungen oder iiberhaupt keine Losung. (2) Ein homogenes LGS besitzt entweder genau eme Losung, namlich die triviale Null-Losung

X

= (

ｾｏ

)

, oder

unendlich viele Losungen.

(3) Falls das inhomogene LGS losbar ist, setzt sich die Losung zusammen aus allen homogenen Losungen plus einer Losung des inhomogenen Systems :

wenn lLi = Losungsmenge des inhomogenen LGS. lL" = Losungsmenge des zugehorigen homogenen LGS und X s eine spezielle Losung des inhomogenen Systems.

28

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

§6. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE Urn lineare Gleichungssysteme mit MAPLE zu losen, kann der solve-Befehl in der Form solve( menge von gleichungen , menge von unbekannten ) verwendet werden. Das Ergebnis von solve ist die Menge der Losungen des LOS. Wahlen wir das Eingangsbeispiel des elektrischen Netzwerkes, so lauten die 3 Gleichungen fur die drei Unbekannten 11, 12, 13 > eq1:= 11 - 5*12 + 3*13 = 0;

> eq2:= - 11 + 13 = 1; > eq3:= 11 + 12 = 2; eq1 := Il - 5 /2 + 3 /3

=0

eq2 := - Il + /3 = 1 eq3 := Il + /2 = 2 Die Losung berechnet sich durch

> solve( {eq1,eq2,eq3}, {11 ,12,13} ); { Il

= ｾ9 ' /3 = 16 /2 9 '

=

11} 9

Die Variablen II, 12, 13 bleiben aber nach wie vor undefiniert, d.h. der solve- Befehl weist die Losungswerte den Variablen nicht explizit zu.

> 11 ,12,13; Il, 12, /3 Damit die Variablen 11, 12, 13 die Losungswerte annehmen, mussen diese Werte mit dem assign-Befehl den Variablen zugewiesen werden . Erst nach der Ausfuhrung des assign-Befehls besitzen die Variablen den Wert der rechten Seite.

> Sol:=solve( {eq1,eq2,eq3}, {11,12,13}); > assign(Sol); > 11,12,13; Sol '= { Il = .

-7

9'

7

/3 = -16 12 = -11} 9' 9

11 16

9' 9 ' 9 Stellen wir das gleiche LOS nun jedoch mit einer floating-point-Zahl als Koeffizienten (z.B. bei Gleichung eq1 all = 1.) auf, so erhalten wir als Ergebnis nicht mehr die exakte Losung fur 11,12,13, sondem eine reelle Naherung. Da die VariabIen von der vorherigen Zuweisung aber nun schon einen Wert besitzen, muss en sie zuerst durch

§6. Losen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE

29

> 11:='11': 12:='12': 13:='13': zuruckgesetzt werden . solve liefert fur die Gleichung > eq1f:= 1.*11 - 5*12 + 3*13 = 0: zusammen mit eq2 und eq3 die Losung > solve( {eq1f,eq2,eq3}, { 11,12,13} ); { /3

=

1.777777778 , /2

= 1.222222222 ,

I1

=

.777777778 }

Solange die Koeffizienten des LGS rationale Zahlen sind, stellt MAPLE die exakte Losung innerhalb der rational en Zahlen dar. Dies spiegelt die Tatsache wider, dal3 die rationalen Zahlen einen Korper bilden und MAPLE die arithmetischen Operationen innerhalb dieses Korpers ausfllhrt, 1st einer der Koeffizienten eine reelle Zahl, wird die Rechnung innerhalb der reellen Zahlen durchgefuhrt und die Losung standardmallig bis auf 10 Dezimalstellen naherungsweise bestimmt. Die Genauigkeit kann mit Digits=n auf n Stellen gesetz werden. Durch den Begriff der Matrix konnen LGS auch so formuliert werden, dal3 nur die Zeilen des LGS als Matrix A angegeben werden und die rechte Seite als Vektor b definiert wird. Oem solve-Befehl fur Gleichungssysteme (auch nichtlinearen) entspricht der linsolve-Befehl bei der Formulierung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen. Das Ergebnis wird durch einen Losungsvektor angegeben. Dieser Losungsvektor enthalt Parameter, wenn das LGS nicht eindeutig losbar ist. Die Formulierung von LGS tiber Matrizen ist allgemeiner, da mehr Operationen fur Matrizen zur Verfiigung stehen und damit mehr Manipulationen mit Matrizen durchgefuhrt werden konnen. Urn die MAPLE-Befehle zur Linearen Algebra zur Verfugung zu haben, mul3 das Programmpaket linalg aktiviert werden .

> with(linalg): Warning: new definition for norm Warning: new definition for trace

Definition der Matizen erfolgt mit dem matrix-Befehl, indem man die Zeilen der Matrix spezifiziert: > A1:=matrix([ [2,1,-1], [3,5,-4], [4,-3,2]]);

ｾ ］ｾ｝

Al := [ ; 4 -3

2

Die Definition der rechten Seite des LGS erfolgt durch den vector-Befehl: > b1:=vector([3,1,2]); bl := [3 1 2 ] und mit linsolve(A,b) wird das LGS gelost :

30

I Zahlen , Gleichungen und Gleichungssysteme

> linsolve(A 1,b1); [-1 -16 - 21] Analog verfahrt man mit Beispiel (2) > A2:=matrix([ [1,-3,2], [-2,1,3] , [2,-16,18]]): > b2:=vector([4 ,2,28]): > Iinsolve(A2,b2);

Besitzt die Losung des LGS wie in diesem FaIle einen frei wahlbaren Parameter, kennzeichnet MAPLE diesen mit dem Symbol _. Der Unterstrich zu Beginn des Variablennamens weist also daraufhin, daB das System diese GroBe eingefiihrt hat. 1st das LGS wie im FaIle (3) nicht losbar, so liefert Maple keine Antwort > b3:=vector([4,2,27]): > linsolve(A2 ,b3); LGS konnen auch explizit mit dem GauB-Algorithmus gelost werden . Dazu verwendet man den gaussjord-Befehl: Zunachst geht man von der Matrix A zur der urn den Vektor b erweiterten Matrix iiber, augment(A,b), und fiihrt anschlieBend den GauB-Algorithmus mit gaussjord aus. Urn die Losung des LGS zu erhalten , wahlt man den Befehl backsub zum Ruckwartsauflosen, > B := augment(A1 ,b1); > gaussjord(") ; > backsub(") ;

B '-

[;

ｾ ］ｾ 2 2ｾ｝

4

[ oｾ ｾ

ｾ

-3

Ｍｾ｝

0 1 -21

[-1 -16 - 21] 1st das LGS nicht losbar, erhalt man durch den backsub-Befehl die Fehlermeldung Error, (in backsub) inconsistent system Die elementaren Zeilenumformungen beim GauB-Verfahren konnen auch im einzelnen nachvoIlzogen werden: addrow(A,n,m,c): addiert zur m-ten Zeile der Matrix das c-fache der n-ten Zeile swaprow(A,n,m): vertauscht die n-te mit der m-ten Zeile mulrow(A,n,c): Multiplikation der n-ten Zeile mit c

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

> evaI (8);

[

2 3

1 5

4

-3

!]

-1 -4 2

> addrow(8,1,2,-3/2); > addrow(",1,3,-4/2) ;

[

2

1

0

7

2"

""2

4

-3

2

ｾ

1

-1

-5

:7 ]

2"

""2

ｾＷ

-5

4

-4

7

[o >

-1

-5

]

addrow(",2,3 ,5*2/7); -1

ｾＷ

-5

""2 3

]

-9

'7

> mulrow(",3,7/3): mulrow(",2,2/7): mulrow(" ,1,1/2); 1

>

-1

2"

""2

2"

1

-5

31 ]

o

:

ｾＲＱ

addrow(",3,2,5/7): addrow( ",3,1,1/2): addrow(",2,1 ,-1/2) ;

[

001

ｾo ｾ 1 ｝ｾ-21 Ｍ

31

32

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Grundlegende Befehle zum Arbeiten mit Zahlen

+ , !

* /

binominal In, log log[b) expand simplify assume

Zuweisung Grundrechenoperationen Potenz, Fakultat Binom inalkoeffizient Natiirlicher Logarithmus Logarithmus zur Basis b Ausmultiplizieren von Klammerausdriicken Vereinfachen von Ausdriicken Einschrankung von Variablen

Grundlegende Befehle fur Mengen A:={ ... } A union B A intersect B A minus B cartprod( .., .. ) member(element,menge)

Definition einer Menge Vereinigung der Mengen A und B Durchschnitt der Mengen A und B Differenzmenge von A und B Produkt von zwei Mengen Element einer Menge?

Grundlegende Befehle von Summen und Produkten Sum sum Product product

Inerte (trage) Form des Summen-Befehls Auswertung einer Summe Inerte (trage) Form des Produkt-Befehls Auswertung eines Produkts

Befehle zum Losen von Gleichungen solve( eq. var)

Auflosen der Gleichung eq nach der Unbekannten

var solve({eq(J..n)}, {var(J ..n)})

Auflosen der Gleichungen eq.l...., eq.n nach den Variablen var.I, ..., var.n

33

Aufgaben zu Kapitel I

Grundlegende Befehle zum Losen von Iinearen Gleichungssystemen with(linalg) matrix([[zeileIJ,[zeile2J, .. , (zeile.nJ J) vector({spalteJ) Iinsolve(A, b) augment(A, v) gaussjord(Ab) backsub

Linear-Algebra-Paket Definition einer Matrix (zeilenweise) Definition eines Vektors (spaltenweise) Losen des linearen Gleichungssystems A x = b Hinzufiigen des Vektors v zur Matrix A Fiihrt Gaul3-Algorithmus an der erweiterten Koeffizientenmatrix Ab durch Ruckwartsauflosen eines linearen Gleichungssystems

Aufgaben zu Kapitel I 1.1

Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzahl en ihrer Elemente dar : a) {x : x ist Primzahl und x < 20} b) { x : x ist reel I und x 2 + 1 = O}

1.2

Gegeben sind die Mengen A = {x E IR : 0 < x 3} . Bestimmen Sie graphisch sowie rechnerisch (i) (ii) (iii) x (iv)

1.3

Bilden Sie die Vereinigung , Durchschnitt und beide Differenzmengen aus den folgenden Mengen a) M 1 = {2,4,6 , . . .}, M2 = {3,6,9 , ...} b) M 1 = { x : x 2 + x - 2 = O}, M 2 = { x : x 2 - 3x + 2 = O}

1.4

Zeigen Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen, daf fur drei Mengen M l, M 2 und M3 gilt a)

< 2}

und B

=

M 1 n (M2 U M3) = (M1 n M2) U (M 1 n M3) n M3) = (M 1 U M2) n (M 1 U M3)

b) M 1 U (M2

1.5

Man zeige durch vollstandige Induktion, daB fur aile n E N gilt a) 12 + 22 + 32 + + n 2 = 2:;=1 k 2 = n (n+11(2n+1 )

b) 20 + 21 + 22 +

+ 2n = 2:;=0 2 = 2n +1 - 1 1 + 2.3 1 + 3.4 1 + ... + n (n+1) - n+1 C) 1.2 1.6

Man zeige durch vollstandige Induktion a) 2n :S n! fur j edes n ｾ 4 n b) 2 n + 1 :S 2 fur jedes n ｾ 3 n 2 c) n :S 2 fur jedes n i= 3

{x E IR : 1 :S x :S

34

1.8

1.9

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Man zeige durch Nachrechnen: ",n ",n-1 ",n-1 L.Jk= l ak-1 = L.Jk=O ak ; L.Jk=O ak+l

ｾ

Man zeige (

)

n

1k

ｾ tr fur jedes n E

",n

= L.Jk=l ak

.

N . (Nachrechnen !)

1.10

Man cntwickle die folgenden Binome a) (X+4)5 b)(1-5y)4 c)(a 2-2 b

1.11

Bestimmen Sie mit MAPLE den Summenwert von ＲＺｾ

1.12

Bestimmen Sie mit MAPLE eine Formel fur die Summenwerte von 3 3 3 a) 1 + 2 + 3 + + n3 4 4 4 b) 1 + 2 + 3 + + n4

t

c)

2:7=1 ＩｬｾｩＨ

［

Ｚ［ＷＱ

(k 2

+ 1)

2:7=1 i(i+1)(i+2) ; 2:7=1 Xi ;

1.13

Vereinfachen 18 a+4 a) _x__ : 2 y5a+7

Sie die folgenden Ausdrticke soweit moglich 4 7-3 a _x__ b) ( a n+l bx - 1 + anbx + a n- 1bx+ 1) : (a n-2bx - 1) 9 y8+5a

1.14

Vereinfachen Sie die Wurzelterme soweit moglich 2 2) _ 8xvr 2 _ x 2 b) 2J(x _ k)2 + x2 _ (2x - k) 2 a) x(2r - 4x vr 2 - x 2 V2x 2 - 2kx + k 2 c) V6x 2 _ 6J3X - 3

. 1.15

ｻＡ｡ Ｒｾ

a) J{/a 6b 12

b)

VaＵｾ

Ja 3

e)

1.16

2x+2

Berechnen Sie c) Vva 6b8

d)

3

｡ＳｊＲｖＧＸｾ

W a . -'-==2 a7 Va W ' .,ja

V

Berechnen Sie a) Ig24, logV1O , Ine 3

c) log

n+{/an

b) !n(vIe? , In

J--h'

In Ve 3 (ln e 2 + 1n e 6 )

yIb=l

1.17

Zeigen Sie, daB die beiden Mengen zusammen mit den Rechenoperationen + und . die Korperaxiome erfullen. a) ({a + bv'2 mit a, b E Q}, +, .) bzg. den Rechenoperationen der reellen Zahlen. b) (F2, +, .) bzg. den in Beispiel 9(5) angegebenen Verkniipfungstabellen.

1.18

Geben Sie die reellen Losungen der folgenden quadratischen Gleichungen an: a)4x 2 + 8 x - 6 0 = 0 b) x 2-4x+13=0 c)-1=-9(x-2)2 d) 5 x 2 + 20 x + 20 = 0 e) (x - l)(x + 3) = -4

35

Aufga ben zu Kapitel I

+4x =

1.19

Man bestimme den Paramete r c so, daB die Gleichung 2 x 2 reelle Losung besitzt.

1.20

Welche reellen Losungen besitzen die Gleich ungen? a) -2 x 3+8x2=8x b)t 4 -13t 2+36 =O ｣Ｉ ｾ (3x 2-6) (x 2-25) (x+3)=O

1.21

Losen Sie die folgenden Wurzelgleic hungen: a).j-3+2x=2 b).jx 2+4 = x-2 c).JX=l=VX+l d) .j2 x 2 - 1 + x = 0

1.22

c gena u eine

Welche reellen Losungen besitzen die Betragsgleichungen? b) 12 x + 41=- (x 2- x - 6)

a) lx 2 - x l=24 1.23

Bestimme n Sie die reellen Losungsmengen der folgenden Ungleichunge n: ｢ Ｉ ｸ Ｒ Ｋ ｸＫ ｬ ｾＰ c) lxl:Sx-2 d)lx -41 >x 2

a)2x-8>lxl

1.24 Losen Sie die folgenden Gleich ungssys teme: a)

4XI Xl 2 Xl

b)

2 Xl 2XI

+ + + + +

2 X2 X2 3 X2 X2 2X 2

3 Xl

c)

2 XI 2 Xl

+ +

X2 X2

3 XI

+ + + + + + + + +

10

4X3 X3 3X 3

3

8

7 10

X3 X3 X3

5 7

X3 X3 X3

0 5

1.25 Man bestimme die Losungsrnenge der folgenden Systeme: a) b)

Xl Xl 2XI

c)

Xl Xl 2 Xl

1.26

3 X2

Xl - 3 XI

+ + + + + + +

X2

X2 2X2 X2 X2 2X 2 X2

+ + + + + + + +

X3 X3

- 3

5 6 7

X3 X3 2X3

11

X3 X3 2X 3

7 7 11

Bestimmen Sie die Losungsmenge der linearen Gleic hungssys teme: a) 2 Xl + 3 X2 + 4 X3 4 b)

+

X2 3 X2 5X 2

+

X2 3 X2 5 X2

Xl -3XI

5Xl c)

Xl -3XI

5 Xl

+ + + +

X3 3X3 5X3 X3 3X3 5X3

1 -3

5

1 -1 5

1.27 Welche Aussage n gelten fllr die entsprechenden homogenen Systeme ?

Kapitel II Vektorrechnung Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel in der Physik und Technik, wo viele Grolien sich nicht nur durch die Angabe einer Zahl, zusammen mit einer Einheit versehen, beschreiben lassen. Wahrend die Temperatur eines Korpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elemen tes durch eine reelle Zahl (zusammen mit einer Einhcit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden physikalischen Groben nicht moglich: Die Geschwindigkeit eines Massepunktes im Raum ist festgelegt durch die GroBe der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massepunkt angreift, wird beschrieben durch die Lange der Kraft und der Richtung, unter welcher die Kraft angreift . Elektrische Feldstarke, Drchmoment usw. sind andere physikalische Grollen, die durch MaBzahl (Lange) und Richtung festgelegt werden. Wir definieren verallgemeinemd: Definition: Ein Vektor a: ist eine Klasse von gerichteten Strecken (Pfeilen), die in Richtung und Lange iibereinstimmen. ----4

Zwei gerichtete Strecken B (Anfangspunkt , Endpunkt ----> B) und CD (Anfangspunkt C, Endpunkt D) stellen genau dann denselben Vektor dar, wcnn sie gleichgerichtet und gleichlang sind. Man spricht daher oftmals von Richtungsvektoren. Durch Parallelverschicbung entstehende Vektoren sind also gleich. Ein Vektor ist eindeutig durch seinen Anfangspunkt und Endpunkt festgclegt. 1m folgenden werden wir zur Beschreibung der Vektoren und der Rechenoperationen mit Vektoren von einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem ausgehen.

§l. Vektoren im IR2 Der zweidimensionale Raum 1R2 wird durch zwei senkrecht aufeinanderstehenden Koordinatenachsen (kartesisches Koordinatensystem) festgelegt. In einem sol-

37

1.3 Die Lange (der Betrag) eines Vektors

chen Koordinatensystem ist ein Vektor 0: vom Punkt P = (Xl , yr) zum Punkt P2 = (X2 ' Y2) durch seine Komponenten festgelegt: den Projektionen auf die Koordinatenachsen

y

x,

x,

x

x

Ortsvektor

Richtungsvektoren

at

reprasenDabei kommt es nicht auf die spezielle Lage im IR2 an. 0: und tieren den gleichen Vektor. Wir sprechen yon einem Richtungsvektor, wenn der Angriffspunkt keine Rolle spielt. Irn Gegensatz zu Richtungsvektoren spricht man yon Ortsvektoren, wenn der Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P fiihrt:

1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Das Produkt eines Skalars E IR mit einem Vektor 0: ist wieder ein Vektor, und die Multiplikation geschieht komponentenweise. Geometrisch entspricht dies der Streckung des Vektors 0: urn den Faktor A. Fur A = - 1 hat - 0: die gleiche Lange aber umgekehrte Richtung wie 0:. Manchmal ist es bequemer den Zahlenfaktor rechts vom Vektor zu schreiben . Wir setzen daher 0: A := A0: .

1.2 Addition zweier Vektoren

0: + b = ( :: ) + (

ｾＺ

) := (

Ｚ Ｚｾ

Ｚ

).

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor. Die Addition erfolgt komponentenweise. Entsprechend ist die Subtraktion erklart, Geometrisch entspricht die Addition zwe ier Vektoren der Kraft e-Addition uber das Krafte-Parallelogr amm .

38

II Vektorrechnung

Abb. 2: Addition und Subtraktion tiber das Krafte-Parallelogramm

1.3 Die Lange (der Betrag) eines Vektors 1 1

"

Die Lange (= Betrag) eines Vektors Satz von Pythagoras:

I., 1 1 1

a,

110:1 =

0: ergibt sich nach dem

Jai + ｡ｾ

ﾷＱ

Fur den Betrag eines Vektors schreibt man auch kurz

).

1. Beispiele:

(1) Gegeben sind die Vektoren

a> = (

ｾ

) ,b = (

ｾ

) , C' = (

］ｾ

Dann ist ---+

d

=-

(-5) + (12) + (-6) = ( 1)

+ 3---+b + 2 ---+ c =

---+

a

-3

3

-4

-4

.

(2) An einem Massepunkt wirken die Krafte ---+

FI

=

(2N) IN ' F2 = (-IN) 5N ' F3 = (-4N) 2N' ---+

---+

Gesucht ist der Betrag der resultierenden Kraft F R

:

FR = F1 + F2 + F3 = 2N) IN + (-IN) 5N + (-4N) 2N

---+

---+

---+

---+

(

FR= IF

=

=

(-3N) 8N

V9N2 + 64N2 = v73N.

(3) Ein Vektor der Lange 1 heiJ3t Einheitsvektor. Spezielle Einheitsvektoren sind die Koordinaten-Einheitsvektoren

e+ 1 :=

(

ｾ

)

und

e+ 2 :=

(

ｾ

) .

39

1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Oiese Vektoren haben die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen und die Lange I. Mit diesen Einheitsvektoren laBt sich jeder Vektor 0: schreiben als

= ax --+ e 1 + ay--+ e21

1--+ a

(Linearkombination von ｾ

y

1 und ｾ 2).

0: = ( :: ) . Gesucht ist der Einheitsvektor in Richtung 0: .

(4) Gegeben ist ein Vektor

-"

e,

Wegen

x

-"

e,

10:1=

Ja;, + ｡ｾ

ist

Abb. 3: Einheitsvektoren

der gesuchte Einheitsvektor, denn stimmen uberein, (5) Oer Nullvektor

-0 =

ｾ

(

Ie: I =

1 und die Richtung von ｾ

a

und

0:

) hat die Lange 0 und keine Richtung .

1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren Unter dem Skalarprodukt (Punktprodukt) zweier

x) versteht Vektoren --+ a = (aa x) und --+ b = (bby y man die reelle Zahl -"

(I)

a

Winkel zw. wenn a der Winkel zwischen den Vektoren --+ b ist.

0: und

t:

0: und

Ubliche Bezeichnungen fur das Skalarprodukt sind auch (a, b) oder (a, b).

FUr das Skalarprodukt gelten die Rechenregeln

o: .t: --+

t:.o: --+

--+

A · (a · b ) --+ --+ --+ a ·( b +c )

--+

(A · a)· b =

ｾ

--;

= --;

--+

--+

a . (A· b) ｾ

(a· b)+(a · c )

Kommutativgeset Assoziativgesetz Distributivgesetz

40

II Vektorrechnung

(8 1) und (82 ) sind offensichtIich, (83 ) ist nicht ganz evident. Auf Beweise sei jedoch verz ichtet. Wir verwenden stattdessen die Regeln , urn eine sehr einfache Darstellung des Skalarproduktes zu erhalten: Aufgrund der Definition des Skalarproduktes ist ｾ

1 .

ｾ

1

= 1, ｾ

1 .

ｾ

2

= 0, ｾ

2 .

ｾ

2

= 1.

Daher gilt fur zwei Vektoren

(ax ｾ 1 + ay ｾ 2) . (bx ｾ 1 + by ｾ 2) ax bx -e 1 -e 1 + ax e b l ye 2 + ay -e 2' bx -e

::::} I a> . b = ax bx + ay by. I

-

1

+ ay b y e2 'e 2

(2)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liillt sich also einfach angeben ohne den Winkel a zwischen den Vektoren a> und b berechnen zu mussen, indem die Summe der Produkte der ersten Komponenten und der zweiten Komponenten gebildet wird .

､ｊｾ

-

1F:1=rF1cosa -t Kraft in Richtung a> W =

Geometrisch entspricht das Skalarprodukt der Proj ektion von b auf die Richtung a>. Dies ist von physikalischem Interesse, wenn z.B. ein Massepunkt sich nur entlang der Richtung a> bewegen kann und zu gegebener Kraft F die Komponente in Richtung a> gesucht wird . Die geleistete Arbeit ist dann

IFa! 'Ia+ /

IFI·

-

--

cos a

· 1a+1

F · a.

Anwendung: Berechnung des von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels. Aus Gleichung (1) und (2) folgt

Aus dem Kosinus erhalt man den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel a zwischen 0 und 180 0 •

41

1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

Spezialfall: Stehen 0; und b senkrecht aufeinander, so ist 0: = 90 0 und cos 0: = O. Daher gilt --+ 1

--+ a ·b=O

--+

--+ 1 a..Lb .

{:::?

Man beachte also : 1m Gegensatz zum Produkt von zwei reellen Zahlen ist das Skalarprodukt nicht nur dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren der Nullvektor ist, sondem auch dann, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen .

• ｾ

a

2. Beispiele: (I) Man bestimme das Skalarprodukt von 0; = (

und

b

= (

Ｍｾ

ｾ

)

).

0; . b

(2) Die Vektoren --+ a

--+

=( (

. --+ b

ｾ ) . ( - ｾ ) = 4 . (-1) + 2 . 3 = 2.

1) (-2) = (1) 2 ' (-2) 1 = 1 . (-2) + 2 . 1 = O. 2

und --+ b =

1

sind orthogonal :

(3) Der Betrag eines Vektors kann aus dem Skalarprodukt berechnet werden: FUr 0;

= (

ｾＺ

)

gilt 0; . 0;

= (

ｾＺ

(4) Gegeben ist der Vektor 0; = (

) .(

ｾ

ｾＺ

) = a; + ｡ｾ

= 10;1

). Gesucht sind die Winkel

2

0:

und

13,

die 0; mit den Koordinatenachsen einschliel3t. Die Winkel erhalten wir aus dem Skalarprodukt von 0; mit ｾ 1 bzw. mit ｾ 2: y

--+

cos o: = ＱＰ［

--+

a . e

ＧＱｾ

1

ax

2

= 10;1 = v'5 ｾ

0

0:

= 26,6

. -'"

e,

x

42

1I Vektorrechnung

(5) Man bestimme zum Vektor

at = ( :: ) einen senkrecht dazu stehenden

Vektor

rt mit Lange 1:

N=

(

- : : ) steht senkrecht auf

at, da at · N = . (

:: ) . ( - :: ) =

O.

Der zugehorige Normalen-Einheitsvektor ist

1.5 Geometrische Anwendung Durch den Ortsvektor entspricht jeder Punkt P Vektor r'(P) = (

ｾ

). Eine Gerade

im 1R2 genau einem

= (

9 durch zwei Punkte PI = (XI,Yl) und

P2 = (X2 ' Y2) HiBt sich demnach darstellen als Menge aller Punkte P, fur die gilt g:

r'(P) = r'(P1 )

+ A(r'(P2 )

-

r'(P1 ) )

y

x Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden Dies ist die Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden, definiert durch den Ortsvektor r'(Pd und dem Richtungsvektor at := r'(P2 ) - r'(Pd . Eine andere Darstellung der Geradengleichung folgt, wenn wir die Punkt-RichtungsDarstellung mit dem zu 9 senkrecht stehenden Normalen-Einheitsvektor rt (siehe Beispiel 2(5)) skalarmultiplizieren.

(

ｾ

) . rt = ((

ｾＺ

) + A . at) . rt = (

ｾＺ

Dies ist die Hesse-Normalform einer Geraden im 1R2 .

) rt + ｾ

=0

43

1.5 Geometrische Anwendung

ist der kurzeste Abstand der Geraden vom Nullpunkt. 3. Beispiel: Gegeben sind zwei Punkte PI = (1,1) und P2 = (4,2) . Gesucht ist die Punkt-Richtungs-Darstellung sowie die Hesse-Normalform der Geraden 9 durch die Punkte PI und P2 . Wie groB ist der kleinste Abstand vom Ursprung? (i) Punkt-Richtungs-Darstellung:

(ii) Hesse-Normalform : Der Vektor

!II

=

(

v"f+9 = vT5 ist rt 9

ｾ

(, : )

::::} v'iO (

-

ｾ

:=

)

steht senkrecht zu

-k!ll

=

a:

(

ｾ

) . Wegen

I!II I =

Jo ( Ｍｾ ) der Normalen-Einheitsvektor zu

;a(ｾｰ 3) =- ｾ

ｾ

-n(: )

v'iO - d

) (

=

(Hesse-Normalform)

(iii) Der Minimalabstand der Geraden zum Ursprung ist 2

d

1

= vT5 = 5vT5·

(iv) Berechnen wir noch das Skalarprodukt auf der linken Seite der Hesse-Normalform

1 2 - ( - x+3y)=-

JIO

und losen nach in der Ebene

JIO

auf, erhalten wir die iibliche Darstellung der Geradengleichung

44

II Vektorrechnung

§2. Vektoren im IR3 z

Analog zum Vorgehen im zweidimensionalen Raum IR2 fuhrt man Vektoren im IR3 ein , indem ein Vektor --a: in einem rechtwinkligen Koordinatensystem vom Punkt PI = (XI,YI,ZI) zum Punkt P2 = (X2 ,Y2,Z2) festgelegt ist:

y x Abb. 4: Richtuingsvektor

im IR3

--a:

heiBt dann wieder Richtungsvektor. Ein Ortsvektor stellt einen Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P = (x Y, z) dar:

--:t (P)

2.1 Rechenregeln fUr Vektoren Multiplikation eines Vektors --a: mit einem Skalar A und die Addition zweier Vektoren erfolgt komponentenweise:

(Skalare Multiplikation)

(Addition)

Die Lange (bzw. der Betrag) eines Vektors

Ia :=

/--a:1

=

--a:

va; + ｡ｾ + a;

ist gegeben durch (Betrag)

I

und entspricht der Diagonalen eines Quaders mit Kantenlangen Jeder Vektor lauten nun

ax,ay , az .

e: mit Ie: I== 1 heiBt Einheitsvektor. Die Koordinaten-Einheitsvektoren

45

2.1 Rechenregeln fur Vektoren

Jeder Vektor

ｉ ｾ a = ax ｾ e

a:

I

laBt sich schreiben als Linearkombination der Einheitsvektoren Z p

+ a y ｾ e 2 + a z ｾ e 3.

I x

4. Beispiele: (1) Der Ortsvektor zum Punkt P = (5,1, -3) lautet

ＬｯＨｐＩ und hat die Lange ｉｾＨｐＩ

= J5 2 + 12 + (-3)2 = V35.

(2) Der Richtungsvektor von PI

.

--+

s .

7. --+

It und b:

in Richtung It ist gegeben durch

ｌｾ

-"

b.

a

48

II Vektorrechnung

---4

->->

Man beachte, daB 0: . b das Skalarprodukt bedeutet und daher a;l eine reelle Zahl darstellt. Das zweite Produktzeichen ist die Multiplikation des Vektors 0: mit dieser reellen Zahl. Beide " ·"-Zeichen durfen nicht vertauscht werden!

F ｾ ( _ｾ ), die auf eine Masse wirkt, die

6. Beispiel, Gegeben is! eine Kraft

sich nur entlang der Richtung s'

ｾ

=: )

(

cn (=D

bewcgen kann. Gesucht sind die

Beschleunigungskraft und deren Betrag :

ｆｳＧｾ F

=>

ｾ ｾ

ＬＳｾ

(D U)

ＳｾＲＱＧｳ und IF,I ｾ I

Die verrichtete Arbeit W ergibt sich direkt durch W :=

V3

F . s' = 3.1

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Im )R3 definiert man fur zwei Vektoren ein Produkt, das sog. Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt). Das Ergebnis ist wieder ein Vektor:

I:

0: x Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ? ---4 zwe ier Vektoren 0: und b versteht man den Vektor ? mit den folgenden Eigenschaften : (1) ? ist sowohl zu 0: als auch zu --+ ｾ ｾＭ Ｍｴ C • = 0, c . b = O.

I: senkrecht:

(2) Der Betrag von ? ist gleich dem Produkt aus den Betragen der Vektoren ---4 0: und b und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels a :

I?I

=

10:1·11:1· sin o , wenn a

der Winkel, den die Vektoren

miteinander einschliej3en. (3) Die Vektoren

---4

0:, b , ? bi/den ein Rechtssystem.

0: und

I:

49

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Bemerkungen: (1) 1m Gegensatz zum Skalarprodukt ist das vektoTrodukt eine vektorielle GroBe. ｾ ｾ ｾＭＴＰ｝ (2) Statt a x b wird auch oftmals das Symbol a, b verwendet.

(3) Das Vektorprodukt ist nur in 1R3 definiert! Geometrische Deutung: Da

---+ b steht,

C! 1- a: und C! 1-

kommt als Richtung des Vektors ---+ c nur die in nebenstehendem Bild gestrichelte Linie in ---+ Frage . Da b , C! in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, bleibt nur der nach oben und weisende Teil. Der Flacheninhalt des von ---+ b aufgespannten Parallelogramms ist Grundseite * Hohe, also

I

a:,

:;saIh

a:

A

a = I---+ a I. h = I---+ a I· 1---+1 b . sin a = 1---+

-'

-'

a

I I I

x ---+ b I.

Der Betrag des Vektorproduktes entspricht also dem Flacheninhalt des von den Vektoren ---+ a und ---+ b aufgespannten Parallelogramms. 7. Beispiele: (1) Die Vektorprodukte der Einheitsvektoren lassen sich aufgrund der Definition sofort berechnen: e{ x e{ = 0, ｾ x ｾ = 0 , e; x e; = 0;

e{ x ｾ

=

e;, ｾ

x

e; = e{ , e; x

(2) Kriterium fur kollineare Vektoren: Verschwindet das Kreuzprodukt von

a: i= °und b

ｾ

a

ＭＴ

---+

ｾ

TT b ( a parallel zu b )

ｾ

oder a

ｾ

e{

= ｾ

Ｎ

i= 0, so ist entweder

Ｍｴ

T1 b ( a antipara/le/ zu

ｾ

b ).

8. Beispiele fur das Auftreten des Kreuzproduktes in der Physik: (1) Drehmoment: Ein Korper sei urn einen festen Punkt

o drehbar und im Punkte P dieses Korpers greift eine ---+

Kraft F an. Dann ist die GroBe M das Drehmoment ---+ von F bezuglich 0

M

=

1r'1·!-PI ·sin e

(Kraft mal Hebelarm). Der Drehmomentvektor steht senkrecht zu der durch r' und ---+ F gebildeten Ebene und kann als Richtung der Drehachse aufgefaBt werden:

50

II Vektorrechnung

(2) Drehimpuls: Sei 0 ein fester Bezugspunkt. Eine Masse m befinde sich in einem bestimmten Augenblick in P und besitze die Geschwindigkeit if. Dann -----7 lautet der momentane Drehimpuls L des Massenpunktes bzgl. 0 -----71 -----7 L=mrxv,

1-----7

-----7

ｾＭＷ

wenn r = 0 P = r (P) der Ortsvektor zum Punkt (3) Lorentzkraft: Bewegt sich ein geladenes Teilchen (Ladung q) mit der Geschwindigkeit if durch ein Magnetfeld, so erfahrt es eine zu und if senkrechte

B

Kraft

die sog. Lorentz-Kraft. Wir geben fur das Vektorprodukt die wesentlichen Rechenregeln an: (VI)

-----7

-----7

(V2 ) (V3 )

-----7

-----7

ax(b+c) -----7 -----7 -----7 (a+b)xc

,X .

-----7

atxb+. at) x b -----7 at x (,X b )

-----7

Distributivgesetze AntiKommutativgesetz Multiplikation mit Ska/ar ,X

Man beachte : Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Mit Hilfe der Rechengesetze erhalten wir eine fur die Praxis brauchbare Darstellung des Vektorproduktes uber die Komponenten der Vektoren, denn es gilt at x b = (ax ｾ 1 + ay ｾ 2 + a z ｾ 3) x (b x ｾ 1 + by ｾ 2 + bz ｾ 3) axb x ＨｾＱ

x ｾｲＩ

ｾ

+axby ＨｾＱ

x ｾＲＩ

ｾ

-->

=0

a y bx ＨｾＲ

e

X ｾｲＩ

ｾ

ｾ

X ｾｲＩ -->

e

2

'-----v----' - --> e 2

3

+ayby ＨｾＲｸＩＫ｡ｹ｢ｺ ｾ

- --> e 3

a z bx ＨｾＳ

+axb z ＨｾｉｘＳＩＫ

ＨｾＲ ｾ

x ｾＳＩ -->

ｾ

=0

+a z by ＨｾＳ

X ｾＲＩ - -> e 1

e

+a z ｾ

ＨｾＳ

1

X ｾＳＩ =0

+

51

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Somit ist

Forma l la13t sich das Vektorprodukt in der Form einer dreireihigen Determinante (--+ Kap. III, §2) darstellen, wenn man nach der ersten Spalte entwickelt: ｾ

ctxb = ｾ

ｾ

e e e

2

ax ay

3

az

1

:=

1

y a az

Y

b

z

Ie\ -I

ax az

bb

x z

Ie2+1

bb

ax ay

x y

Ie'3 .

Der Wert einer zweireihigen Determinante ist definiert durch die Differenz von Haupt- und Nebendiagonal-Produkten. I

ｾ ｾ

1

:= a . d

- b . c.

9. Beispiel fur die Berechnun g einer dreireihigen Detenninante durch Entwicklung nach der ersten Spalte :

4

ｾ

Ｍｾ 3 ｟ 0ｾ

= 4·

= 4 (( -1 )(- 5) -

1- 1 2

2 1 13 - 5 - 2· 2

0 1 -5 + 1 ·

2 ·2) - 2(3 · (-5) - 2 ·0)

Beachtet man die Vorzeichenreg el

0 2

I

+ (3 ·2 - (- 1) · 0) = 40.

Ｈ ｾ ｾ ｾＩ + -

I - 31

Ｌ kann die Detenninante nach

+

jeder beliebigen Spalte bzw. auch Zeile entwickelt werden (siehe Kap. III, §2).

10. Beispiel: Gegeben sind die Vektoren

ｏＩｯＺ ｸ ｢ｾ

!: ｾＭ

0: = (

ＭｾＩ

und

b

ｾ

(

ｾ

).

ｾ ｉｾ Ｍ ［ ｾ 1-\-1: ; Ｑ ･Ｇ Ｒ ＫＱ｟ ｾ ｾ 1e'3

= - 8e'1 - 0e'2 + 8e'3

(

ＭＸｾ

) .

52

II Vektorrechnung

b

(ii) Der Flacheninhalt des von 0: und

aufgespannten Parallelogramms ist =

v64 + 64 = V128 = 8V2.

2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren In der Mechanik kommt das Produkt (0: x b) f! vor. Der Klammerausdruck ist ein Vektor, der skalarmultipliziert mit f! wird. Das Ergebnis ist also eine reelle Zahl.

[a:,b, f!] von drei Vektoren versteht man

Definition: Unter dem Spatprodukt die reelle Zahl

a , ---4 b , ---4] c [---4

ｾｾ

axb

:=

(---4 a

x ---4) b . ---4 c.

.,,-----', ,

1

'

1 ' .,.---(

h ｾ

-=

1 1

1 1 1

1 1

1 1

ｾＭＮＯ

1 1

'" '"

'"

ＢＧＯｾ

'"

a

---4 ---4

---4

Spatprodukt der Vektoren a , b und c . FUr das Spatprodukt gelten die Rechenregeln

---4 ---4] >. [---4 a ,b,c

usw.

b , ---4] c [---4 , ---4

usw.

1

a:,---4

Bilden die Vektoren b , f! ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spatprodukt positiv (negativ) .

53

§3. Vektoralgebra mit MAPLE

a:, Ia: ｾ

Geometrische Interpretation: Das Volumen des von den Vektoren b und e' aufgespannten Spates (Parallelotops) ist gegeben durch Grundflache G mal Hohe x b und h. Die Grundflache ist nach Definition des Kreuzproduktes G = die Hohe h = le'I

::::} V

I

= la x bl·1 ｾ c I· coscp = ｉｾ (a x ｾ b) · ｾｉ c .

Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag des Spatproduktes. Der Wert des Spatproduktes erhalt man durch Ausrechnen

Die Rechnung kann man aber auch als das Ergebnis der Entwicklung der Determinante ax bx Cx ｛ｾ a , b , ｾ｝ c = a y by c y a z bz Cz auffassen . ｾ

ｾ

Aus der Interpretation des Spatproduktes als das Volumen des von a , b und c aufgespannten Spates ergibt sich folgende wichtige Folgerung Folgerung: Das Spatprodukt ist Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen:

[a:, b

1

e']

= 0

¢:}

a: b, e' liegen in einer Ebene. 1

Es gilt bei der Berechnung des Spatproduktes die folgende Regel

Ｈ

ｾ axb ｾＩ

ｾＩ · ｾ c = Ｈｾ bxc

· ｾ a = {ｾ c ｾx aｾ )· b .

Das Vorzeichen des Spatproduktes andert sich, wenn man von der zyklischen Reihenfolge abc, bca oder cab abweicht.

§3. Vektoralgebra mit

MAPLE

Die Befehle zur Vektoralgebra befinden sich im linalg-Paket, welches durch with (linalg) aktiviert wird. Vektoren werden in MAPLE durch vector(n,[xl,...,xn]) definiert, wobei n die Lange des Vektors angibt und x I, ..., xn die einzelnen Komponenten . Per Definition ist also ein Vektor im MAPLE-System in der Komponentendarstellung erklart und samtliche Vektoroperationen erfolgen in dieser Darstellung . Die Angabe von n ist optional, d.h es genugt nur die Komponenten zu definieren. Werden nur die Komponenten xl,..., xn in eckigen Klammem angegeben, so wird

54

II Vektorrechnung

eine dem Vektor verwandte Struktur, namlich eine Liste erzeugt. Auch mit den Listen konnen die folgenden Operationen durchgefiihrt werden.

> with(linalg): Warning : new def inition for norm Warning: new definition for trace

> a:=vector(3,[a..x,a_y,a...z]); > b:=vector([b..x,b_y,...z]):

> c:=vector(3); > v1 :=vector(3,[-2,3,4]); > v2:=[-2,2/3,6]: > whattype(v2), type(v1,vector); a := [ a_x a_y a_z] c := array( 1..3, [ ] )

vI

:=

[-2 3 4]

list , true Die einzelnen Komponenten der Vektoren konnen durch Angabe des Index in eckigen Klammem, z.B. a[j], angesprochen werden : > a[2] , c[3] , v2[2]; 2 a.s) , C3,

:3

Die Lange bzw. der Betrag eines Vektors ist durch den norm-Befehl berechenbar: > norm(a,2), norm(v1 ,2);

Die Ausfiihrung der Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar erfolgt durch den evalm-Befehl: > evalm(a+b), evalm(lambda*a); > evalm(2*v1-3*v2);

[ a_x

+

b:x a_y + b_y a_z + b_z] , [ A a_x A a_y A a_z]

[24 - 10]

Das Skalarprodukt wird durch den dotprod-Befehl (Punktprodukt) realisiert. > sk:=dotprod(a,b);

§3. Vektoralgebra mit MAPLE

55

Urn den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, kann die Formel > psi:= arccos( dotprod(a,b) / (normta.zr'norrrub.z) ); 'ljJ

( := arccos

JI

a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z ) 2 2 2 2 a-x1 + I a_y l2 + I a_zl JI b-x1 + I b_Y12 + I b_zl

verwendet werden oder man benutzt den angle-Befehl: > angle(a,b);

wobei der Winkel dann mit evalf als float-Zahl im BogenmaB berechnet wird.

11. Beispiel: Berechnung des Winkels zwischen den beiden Vektoren al=(3,-1,2) und a2=(l,2,4): > a1:=[3,-1,2]: a2:=[1,2,4]: > psi:= arccos( dotprod(a1,a2) / (normtat.zyncrmtaz.z) ); > evalf(psi*180/Pi);

38 'ljJ := arccos ( 9

Ji4

v'2i)

58.33911721

oder > angle(a1,a2): "=evalf( convert(",degrees) );

arccos ( :8

Ji4

v'2i) =

58.33911718 degrees

Die Projektion des Vektors b auf den Vektor a wird bestimmt durch > b.a :> evalm( dotprod(a,b) / norm(a,2r2 * a );

b ._ [( a-x b_x + a_y b_y + a_z b_z) a-x _a.2 2 2 la-xi + la_yl + la_zl ( a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) a_y la-x1 2 + la_Yl2 + la_zl 2 ( a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) a_z ] 2 2 la_xl + la_Yl2 + la_zl Fur das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) steht der crossprod-Befehl zur Verfiigung: > cp:=crossprod(a,b);

56

II Vektorrechnung

> cp[2];

12. Beispiel: Berechnung des Flacheninhaltes des von den Vektoren al=(I , -5, 2) und a2=(2, 0, 3) aufgespannten Parallelogramms: > a1:=[1, -5, 2]: a2:=[2 , 0, 3]: > cp:=crossprod(a1,a2); > f1aeche:=evalf( norm(cp,2) ); cp := [-15 1 101

flaeche := 18.05547009

Nachdem Skalarprodukt und Kreuzprodukt bekannt sind, liillt sich das Spatprodukt als Kombination von den elementaren Produkten darstellen und das Volumen eines Spates berechnen: > a:=vector(3): b:=vector(3): c:=vector(3) : > V := abs( dotprod(a, crossprod(b,c)) );

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle zur Vektoralgebra with (linalg) vector (3, [xl, x2, .., xn)) v[i) [xl, x2, ..., xn) convert(winkel, degree) convert(liste, v) evalm angle (vl, v2) crossprod (vI, v2) dotprod (vI, v2) norm (v, 2)

Linear-Algebra-Paket Definition eines Vektors i-te Komponente des Vektors v Definition einer Liste Rechnet Winkel ins GradmaJ3 urn Wandelt Liste in Vektor v urn Auswertung von Vektorausdriicken mit den Operationen +, -, .h Berechnet Winkel zwischen den Vektoren VI und V2 Berechnet das Kreuzprodukt (VI x V2) von 3-elementigen Vektoren VI und V2 Berechnet das Skalarprodukt der Vektoren vi und v2 Berechnet den Betrag des Vektors v

57

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden

§4. Geradeo und Ebeoeo im ]R3 In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen der Vektoroperationen und der Vektordarstellung gegeben : Die Beschreibung von Geraden und Ebenen im IRa.

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden Eine Gerade gist eindeutig durch die Angabe zweier Punkte PI = (Xl, YI , Zl) und P2 = (X2' Y2, Z2) festgelegt. Denn durch 0; := ist der Richtungsvektor der Geraden festgelegt und jeder Punkt P = (x Y, z) der Geraden laBt sich darstellen als

%

9

g : rt(P) = rt(Pt}

+ Ao;,

A E IR,

(Punkt-Richtungsform einer Geraden)

Darstellung O. emer Gera den

A E IR, (Zweipunkteform einer Geraden.) Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden 9 , falls die entsprechende Vektorgleichung

eine Losung A besitzt. 13. Beispiel: Gegeben sind die Punkte PI = (2,0,4) und P2 = (2,2,2). Liegt der Punkt Q = (2, - 2,6) auf der Geraden 9 durch die Punkte PI und P2 ? Die Geradengleichung fur 9 lautet mit dem Richtungsvektor

(n-(n en

＼ｴｾａ ｲＧＨｐＲＩＭ ｊｬ g.

ｾ

+ >.. (

J).

58

II Vektorrechnung

wenn ｾ

Der Punkt Q liegt auf der Geraden

Ｍｾ Ｉ ｾ

besitzt, d.h . die Gleichung (

ｾ

x(

Punkt

ｾ

J) ｾ (ＭｾＩ Ｎ

Fur

>.

(

ｾ

ｾ

(Q) = ｾ

\

+x(

)

+ Aa'

J)

eine Losung

losbar ist

-1 ist diese Gleicbung erfiillt und der

liegt daher auf

4.2 Lage zweier Geraden zueinander Zwei Geraden 91 :

?i! = ｾＨｐｬＩ

+ Aa'und

92:

?i! = ｾＨｐＲＩ

+ b

konnen im 1R3 4 verschiedene Lagen zueinander besitzen: (1) 91 und 92 schneiden sieh in genau einem Punkt S (Abb. 5a). (2) 91 und 92 fallen zusammen. Dies ist dann der Fall, wenn a' ｾ

P (3)

--+

2

--+

b und

11

91 und g2 sind parallel, fallen aber nieht zusammen (Abb . 5b). Dies ist --+ --+

-t--+

dann der Fall, wenn a II b und 2 )1 a . (4) 91 und 92 sind windsehief: sie verlaufen weder parallel noch schneiden sie sich in einem Punkt (Abb . 5c).

g,

(c)

(b)

(a)

Abb. 5: Lage zweier Geraden 91 und 92 Geraden rechnerisch zu bestimmen, geniigt es die VektorgleiUm die Lage ｲｾｷｺ chung X g 1 = X g2 : ｾ

--+

r (Pt}

--+ --+ + A--+ a = r (P2 ) + b ,

zu losen . Dies ist ein LGS fur die Unbekannten

ｾ ｾ (ｾ

) ,b

ｾ ( ｾＺ

) ,

ｾ ( Ｚｾ

und u, denn fur

)

ＬＷＨｾＩ

ｾ (ｾ

)

59

4.2 Lage zweier Geraden zueinander

lautet das LGS komponentenweise

>. ay >. a z -

J1. by J1. bz

= Y2 = Z2 -

Yl ZI

bzw. in Matrizenschreibweise

Es gilt dann (I) Besitzt das lineare Gleichungssystem fur >. und J.L genau eine Losung, dann schneiden sich 91 und 92 genau in einem Punkt. (2) Besitzt das lineare Gleichungssystem fur >. und J1. unendlich viele Losungen, dann fallen 91 und 92 zusammen. (3) Besitzt das lineare Gleichungssystem fur >. und J1. keine Losung, dann sind 91 und 92 windschief oder sie sind parallel aber nicht zusammenfallend. 14. Beispiel: Gegeben ist die Gerade 91 definiert durch den Richtungsvektor

( _

ｾ

) und den Punkt

ｾ

(3, 2, 1) sowie die Gerade g, durch die Punkte

a: =

ｾ

(4,0, -1), P3 = (-2, -1, -1) . Man bestimme die Lage der Geraden zueinander. Es ist

Da die Richtungsvektoren von 91 und 92 nicht parallel sind, konnen beide Geraden sich entweder nur schneiden oder sie sind windschief. Wir setzen die Vektorglei----+ ----+ chung X g 1 = X g 2 an:

In Matritzenschreibweise lautet dieses Gleichungssystem

1

o o

6 -11 6

1

-4 -1

)

60

" Vektorrechnung

'*

-!,

Aus der letzten Zeile folgt 6f.L = -1 f.L = und aus der vorletzten Zeile f.L = 141 . Dies ist ein Widerspruch! Also laBt sich die folgt -1lf.L = - 4 Vektorgleichung nicht losen und es gibt keinen Schnittpunkt von 91 mit 92· 91 und 92 sind windschief.

'*

'*

4.3 Abstandsberechnung zu Geraden Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden 9:

"? =

ｾ

+ Aet

ist gegeben durch die Hohe d des Parallelogramms, welches durch die Vektoren et und aufgespannt wird. Die Parallelogrammflache A ist nach Definition des Kreuzproduktes A = let x = letl · d. Nach d aufgelost folgt:

F;QI

Q -------, /

/ / /

9

Abb. 6: Abstand des Punktes Q zur Geraden 9

Der Abstand eines Punktes Q von einer Geraden 9 : gegeben durch

FUr d =

a liegt der Punkt Q auf der Geraden

"? =

ｾ

+ Aet

ist

!

Der Abstand zweier paralleler Geraden 91 :

"? = ｾＨｐｬＩ

+ Aet

und 92 : "?

= ｾＨｐＲＩ

+ f.L b

ergibt sich direkt aus obiger Formel, indem man einen beliebigen Punkt auf der Geraden 92 wahlt, z.B. den Punkt P2 und den Abstand dieses Punktes zur Geraden 91 bestimmt:

61

4.3 Abstandsberechnung zu Geraden

FOr d = 0 sind die Geraden zusammenfallend ! Um den Abstand zweier windschiefer Geraden

+ Aa; und 92 : x> = ｾＨｐＲＩ

x> = ｾＨｐＱＩ

91 :

--+

--+

+ b

--+

zu berechnen, bestimmen wir den Vektor L = a x b . --+ --+ --+--+ L steht senkrecht auf und auf b. FUr L = 0 --+

--+

ｲＭｾ

sind a; und b parallel, fur L =1= 0 gehen wir zum Einheitsvektor

uber, Der Abstand von 91 und 92 ist gegeben durch --+ die Projektion von

ｾ

auf

---+

a; x b d=

1--+

2

--+1 '

also d =

Windschiefe Geraden

Abstand zweier windschiefer Geraden 91 : x> = ｾＨｐｉＩ + Aa;und

---+

a x b

ｾ

--+

--+

92 : x = r (P2 ) +

--+

b.

Ist der Abstand d = 0, so schneiden sich die Geraden und der Schnittwinkel ergibt sich durch den Winkel, den die beiden Richtungsvektoren a; und miteinander einschlieBen:

b

--+

b a . --+

COS'P

=

,a;llbl

Schnittwinkel zweier sich schneidender Geraden.

15. Beispiele: (1) Gesucht ist der Abstand der beiden parallellen Geraden

91 "'

Wegen (

ｾ

. - 4J.L .

Somit ist die Losung der Gleichung (*) die Punkt-Richtungsform der Ebene

ｘ［ｾＨｮ

ｕＩＫａＨＭｮｾ｣

Bilden wir den Nonnalenvektor

(ｾ )

N

und nonnieren diesen "

=

a: x b ｾ

.:

ｾ rffi N = 12:'" ｾＨ

x (

Ｍｾ

)

ｾ

, ist eine andere

65

4.5 Lage zweier Ebenen zueinander

Hesse-Normalform gegeben durch X _

1

-12V5

(

13 4

y- O z - 0

4.5 lage zweier Ebenen zueinander Urn die Lage zweier Ebenen

-->

-->

zu bestimmen, genugt es die Vektorgleichung X e, = X -->

+ A--> a1+

r

-->

b

1

=

-->

r

2)

E2

+ T -->a 2 +

zu losen: --> (J

b 2·

(1) 1st das Gleichungssystem nicht losbar, dann sind die Ebenen 1 und 2 parallel und fallen nieht zusammen ( 1 2 , 1 2 ) (siehe Abb. 8a). (2) 1st das Gleichungssystem mit einem Parametem losbar, dann sehneiden sich die Ebenen 1 und 2 in einer Geraden ( 1 /f1 2 , 1 n 2 = g) (siehe Abb. 8b). (3) 1st das Gleichungssystem mit zwei Parameter losbar, dann fallen sie zusammen 1 = 2) , - - - - - - - - - , E2

/

/ (E,IIE2

•

(E1nE2=g)

E,:t:E 2 )

(a)

(b)

Abb . 8: Lage zweier Ebenen E 1 und E2 zueinander

18. Beispiel: Man bestimme die Lage der Ebenen E 1 und E 2 zueinander, wenn

E,

ｾ

ｾ ｾ

0) ｾ Ｈ ｮＫｔ

+A(

-n

+p (

Ｈ ｄ Ｋ ｡Ｈ ｮ

Ｍｾ

) ;

66

II Vektorrechnung

-7

Mit X

-7

X

E1 =

ＩｾＨ

+> (

E2

folgt

ＭｾＩ

+p

ＨＭｾＩ

ｾ ＨｾＩ

+7

ＨｾＩ

+a

ＨｾＩ

In der Matrixdarstellung lautet das lineare Gleichungssystern fur A

(

-1 -1 -1 2 0 -2 0 1 -1

0

-4 0

-n

( (

-1

-1 -2 1 -1 -1 0 -2

'---+

'---+

-1 -4 -1 -1 -4 0 -6

0 0

0

0

-4 0 0

-4 -4

i-

7,

(J'

-1 )

-1

0

-1 )

-1 -1

.

Es ist dernnach (J' = t (beliebig) und -67 - 4t = -1 ::::} 7 = ｾｴ Ｎ Die Losung des LGS besitzt einen freien Parameter t; also schneiden sich die Ebenen £1 und £2 in einer Geraden Die Darstellung der Geradengleichung erhalten wir, indern wir (J' = t und 7 = ｾｴ in die Definitionsgleichung fur £2 einsetzen:

i-

9

n+ 0 +t(n ｾ (n+0)+t -i 0)+(n) (D+tcn

ｾ ｾ

(i - it)

(

i

ｾｧ

Urn die Lage einer Ebene

und einer Geraden -7

zu bestirnrnen, losen wir die Vektorgleichung X

r+

+ Aa: + b

=

Dies ist ein LGS fur die Unbekannten A u;

-7

E

= X g:

r+ (P2 ) + 7 ｾ Ｎ 7.

Es gilt

67

4.6 Abstandsb erechnung zu Ebenen

1st das Gleichungssystem nicht losbar, dann ist 9 parallel zu E aber nicht in E enthalten ( E ,g A-E) (siehe Abb. 9a). (2) 1st das Gleichungssystem eindeutig losbar, dann schneiden sich die Ebene E und die Gerade gin einem Punkt S (g n E = {S}) (siehe Abb. 9b). (3) 1st das Gleichungssystem mit einem Parameter losbar, dann liegt die Gerade g in der Ebene E (g c E ) (siehe Abb. 9c).

(1)

9

ＯＭｾ

/ glIE , 9

rf, E

geE (e)

(a)

Abb. 9: Lage Gerade 9 zu Ebene E

4.6 Abstandsberechnung zu Ebenen Der Abstand eines Punktes Q von einer Ebene E : X' = T* (P + >. a+ + I-L b ----+ ist gegeben durch die Projektion des Vektors P Q auf die Normale N der Ebene: ｾ

"1 = N:i Q . N Also ist der Abstand d = 1"11= N%0 .INI= 1!1?1 : Abstand des Punktes Q von der Ebene -» ---+ -4--+ E : x = r (PI) + >. a + J..L b ｾ ｾ ｾ mit Normalenvektor N = a x b.

1st d E.

= 0, so liegt der Punkt Q in der Ebene

Der Abstand einer zu E parallelen Geraden 9 : X' = T*(P2 ) + r c! ergibt sich direkt aus obiger Formel, indem man sich einen beliebigen Punkt auf der Geraden wahlt (z.B. P2 ) und den Abstand dieses Punktes von der Ebene bestimmt:

Q

o Abstand Punkt Q zu Ebene E

68

II Vektorrechnung

Abstand der Geraden 9 : ?i! = r'(P2 ) + Tc' --+ --+ --+--+ von der Ebene E x = +jLb --+ --+ --+ mit Nonnalenvektor N = a x b.

°

FUr d =

liegt die Gerade in der Ebene

x = --+ r 2 ) + T -C- + +-(T- + Der Abstand einer zu E parallelen Ebene E 2 : --+ d ergibt sich ebenfalls direkt aus obiger Fonnel, indem man einen Punkt der Ebene E 2 wahlt (z.B. P2 ) und einsetzt: --+

Abstand der Ebene E 2 : x --+ --+ von der Ebene E : x = r mit Nonnalenvektor N =

d=

=

--+

r

--+--+ T C 2) --+--+

+

+

+ A a + jL

a: x b

b

Ist d = 0, so fallen beide Ebenen zusammen. 19. Beispiel: Gesucht ist der Abstand des Punktes Q = (3,1,5) von der Ebene

E

7

ｾ

(

ｾ

0) ｾ (-D =>d=

ｾ

) +A ( ist

) +p (

ｾ

)

Wegen

INI ｾ ｾｍ､ｮＲｉｊ

IN 'MI INI

=_1 ( _ ; ) . V12 2

-D

Ｈ｟ｾＩ

(

5

］ｾＲｶＳＮ

ｾ

x

b

ｾ

(

ｾ

)

x

V12

4.7 Berechnung des Schnittpunktes und des Schnittwinkels einer Geraden mit einer Ebene Urn den Schnittpunkt einer Geraden

mit einer Ebene E zu bestimmen, gehen wir davon aus, daB die Ebene E in der Hesse-Nonnalfonn --+ --+ --+ E : N( x - r (PI)) =

°

--+

gegeben ist, d.h. PI ein Punkt auf der Ebene und N ein Nonnalenvektor ist.

4.7 Berechnung des Schnittpunktes und des Schnittwinkels einer Geraden mit einer Ebene

69

E

9 (a)

(b) Abb. 10: Schnittpunkt und -winkel einer Geraden mit einer Ebene -->

Der Schnittpunkt S hat die Eigenschaft, daf X die Ebenengle ichung ein: --> -->

-->

-->

--> -->

N(r( P2)+ Aa - r( Pd)= N(r (P2 )

----->

Mit PI P2 =

-->

r (P2 )

-

-->

9

= X

d.h. wir setzen X g in

-->

-->

-->

r( PI)) +AN · a =0.

-->

r (Pd folgt

in die Geradengl eichung ein, folgt fur den Schnittpunkt S

Setzt man dieses

-,-of -->

ｾ

----->

Ia'i

· 71

Ortsvektor zurn Schnittpunkt S.

FUr den Winkel

= r( P2 )

+A --> -->

-->

und der Ebene E: N( x - r (PI))

= O.

70

II Vektorrechnung

0)

n

D

20. Beispiel: Gesucht ist der Schnittpunkt S und der Schnittwinkel g

ｾ

T: ( _

( _

ｾ

ｾ

+A (

ｾ

mit dec Ebene E

ｾ

T:

) . Aus den Richtungsvektoren der Ebene

) erhalt man den Normalenvektor

Nｾ

( -

v ｾ 2

(

n

der Geraden

+A (

v. = ( ｾ x

0:

+

) und

b2 ｾ

ｾｾ

Dam;'

) .

ist = -1

Der Schnittpunkt S berechnet sich aus _ ()

r S

_ (

=

)

P2

r

Der Schnittwinkel .

-N . ------+_ -1_11------+1 N P 2 a

0:

sm o:=

;}) . (O 2,8

=

folgt aus

-N

a

=

=}

INI'11t1 Vi7J8

0:=-59 ,03°.

Bemerkung: Der Schnittwinkel zweier sich schneidenden Ebenen

ist der gleiche Schnittwinkel wie der Schnittwinkel ihrer Norrnalenvektoren. Daher ist

Schnittwinkel zweier sich schneidend en Ebenen.

5.1 Vektorrechnung im IRn

71

§5. Vektorraume 5.1 Vektorrechnung im IRn Zur sachgerechten Behandlung z.B. von linearen Gleichungssystemen oder der linearen Differentialgleichungen und -systemen benotigt man den Begriff des ndimensionalen Vektorraums. Dazu ubertragen wir den Begriff des Vektors von 1R3 in den IRn :

+

Definition: Die Menge aller n-Tupel reefier Zahlen heifJt IRn :

ｒｮｾ

{ (

ｾｾ

)

x, E

R , X2 E R "

X

n

E

Analog dem Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum wird das Koordinatensystem im IRn durch n aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren

gebildet. Jeder Vektor beschreiben:

a: E IR

n

Uil3t sich durch die Angabe seiner Komponenten

Es ubertragen sich dann die Begriffe des Betrags , der Gleichheit von Vektoren , der Multiplikation mit einem Skalar, die Addition, das Skalarprodukt, der Orthogonalitat usw. auf den IRn .

72

II Vektorrechnung

Addition und S-Multiplikation

b1

a1

( ("db' )

a Fur zwei Vektoren ---+

()

) ,b

bn

an

A E IR setzt man

---+ a

+ ---+ b :=

a2 + bz

an

A ' 0;:=

+

und einem Skalar

c

a Aa2 , )

Aan

(Addition)

(S-Multiplikation)

Sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation werden komponentenweise ausgefiihrt. Durch die Addition und S-Multiplikation hat man zwei Operationen

+:

IRn x IRn

. : IR x IRn

----+

----+

IRn

IRn

mit mit

(0;, b) I--> 0; + (A, 0;) I--> A ' 0;

b

festgeiegt. Formal unterscheiden sich die Vektoraddition + und die S-Multiplikation . dadurch, daB zum einen zwei Vektoren und zum anderen eine skalare Zahl mit einem Vektor verknupft werden. Man bezeichnet daher "+" als innere Verknupfung und ».» als auj3ere Verknupfung. Da sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation komponentenweise erklart sind, ubertragen sich die folgenden Rechengesetze von den reellen Zahlen auf diese Vektoren . Es gelten die Rechengesetze der Addition

---+ ---+) = (---+ ---+) +c ---+ a+ (---+ b+c a+b ---+ ｾ ---+ ---+ a+b=b+a Der Nullvektor hat die Eigenschaft ---+ a + ---+ 0 = ---+ a Zu jedem Vektor 0; gibt es einen Vektor . ---+ ( - ---+) a mit a + (---+ - a ) = ---+ 0

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz des Nullvektors lnverser Vektor

Es gelten die Rechengesetze der S-Multiplikation:

(8 1 ) (82) (83 ) (84 )

k

u:

0;) = (k . l):a ---+ ---+) =ka+kb ---+ ---+ k · ( a+b (k + l):a = ko; + 1·0;=0;

rs

Assoziativgesetz Distributivgesetz 1 Distributivgesetz 2 Gesetz der Eins

73

5.2 Vektorraume

5.2 Vektorraume Die Gesetzmafiigkeiten bezuglich der Addition und S-Multiplikation gelten nieht nur fur n Tupel, sondem aueh fur andere Objekte, die keine Veransehauliehung dureh Pfeile zulassen (z.B. Funktionen) . Urn aueh solche Objekte zu erfassen, fuhrt man den Begriff des Vektorraums formal fur aile Objekte ein, die zwei Verknupfungen + und . mit den angegebenen Reehengesetzen besitzen . Definition: Eine Menge V bi/det einen Vektorraum uber JR, wennfolgende Axiome gelten : (1)

In V ist eine innere Verknupfung "+" erklart,

+ :V

x V

-4

V

mit

b (---ta, ---t)

f---4

---ta + ---tb

so dajJ (V, +) die Gesetze der Addition (2)

-

(Addition) , 4)

erfullt .

In V ist eine aujJere Verknupfung ". " erklart,

. : JR x V

-4

V

mit

f---4

'

(S-Multiplikation ),

so dajJ (V, .) die Gesetze der S-Multiplikation (5d - (54) erfiillt.

Die Elemente eines Vektorraums bezeiehnet man als Vektoren , aueh wenn der Vektorraum nieht dem Ansehauungsraum JR3 entsprieht . Hat man als Zahlenmenge nieht JR., sondem einen anderen Korper K so sprieht man von einem Vektorraum uber K . 21. Beispiele: (1) JR3 ist ein Vektorraum bestehend aus allen 3-dimensionalen Pfeilen (den 3Tupeln von reellen Zahlen).

(2) R n

ｾ

mente die

{

(

:: )

'x, E R

ｾ

1, .. .

} ist ein Vektorraum, dessen Ele-

Tupel sind. Man nennt JR n auch den arithmetischen Vektorraum.

(3) Die Menge der auf dem Intervall

F [ b] :=

la,b] definierten, U : la, b]

-4

JR}

reellwertigen Funktionen

74

II Vektorrechnung

bildet einen Vektorraum, wenn wir fur die Addition und S-Multiplikation definieren: + : F [ b] x F b) -4 F b] mit (I , g) 1--+ f + 9 und

(I + g) (x) . : IR x F [ b)

-4

f (x) + 9 (x ) .

:=

F [ b) mit (>.., J)

1--+

(>" J)

>.. . fund

:=

x

f(

Die Rechengesetze iibertragen sich aus dem Reellen. Die konstante Nullfunktion Omit 0 ( = 0 fur aile E b] bildet den Nullvektor. (4) Die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich n n

P [n] :=

U : IR

-4

bildet einen Vektorraum, wenn

IR mit

f (x)

"+" und » . »

=

Laixi , ai

E IR}

wie unter (3) erklart sind.

(5) Die Losungsmenge eines homogenen, linearen Gleichungssystems bildet einen Vektorraum, wenn "+" und » .» wie unter (2) definiert sind. Zahlenbeispiel: Gegeben sei das LGS

4

-

+ 3 X3

X2

= 0

Die Losung erhaIten wir mit der Matrizenschreibweise und dem Gaul3-Algorithmus

-3 -5 2 4 -1 3 ( 000 '-4 X3

=> L

ｾ {ｾ

ED A/ E U

5.3 Linearkombination und Erzeugnis 1m folgenden gehen wir davon aus, daf (V, +,.) ein Vektorraum ist und --0: 2, .. , , --0: n Vektoren aus diesem Vektorraum sind.

a\ ,

--+

Definition: Ein Vektor b der Form --+

--+

b = Al a

1

--+ + A2--+ a 2 + ...+ An a n

hei]3t Linearkombination der Vektoren

--0: 1 , --0: 2 , . . , , --0:

'

24. Beispiele: (1) (

ｾ ｾ )

ｾ

5 (

) +3 ( [ ) +4 ( : )

ｾ

n 0) (n

Linearkombination der Vektoren

(2) (

ｾＩＮ

De< Vektor (

ｾＹ

d.h. der Vektor (

ｾ

+50

(

+9

ｾ

) ist also eine

) . ( : ) .

ＬＡ･Ｙｾ

+5e!2 + 9e!3 ;

) ist eine Linearkornbination der Vektoren - . e! 2 . e! 3.

bE

Wie wir aus den 1R3 wissen, IliBt sich jeder Vektor 1R3 als Linearkombination von e' 2 , e' 3 darstellen. Man definiert verallgemeinemd

v. .

Definition: Die Menge Maller Linearkombinationen der Vektoren --+ . von --+ A" sc hrei'bt hilerJur ,r,oo a 1 , --+ a 2 , . . " --+ an h etifJt E rzeugms al, . . " --+ a n - man

77

5.3 Linearkombination und Erzeugnis

--+

=

25. Beispiel: 1st b

--+

---4

Gesuch t sind AI , A2, A3 E lR, so daB b = Al a .

--+

.

Ｚｳ Ｚｾ･ｭ ･

LnFb:Tn"+a;: nｆｮｾ .

.

.

--+

--+

--+

1

r" a

--+ + A2--+ a 2 + A3 a 3,

-=->

(f

--+

--+

a"

denn dann

--+

31 ·

In der Komponentendarstellung entspricht dies dem inhomogenen, linearen Gleichungssystem o. Al + 1 . A2 + 1 . A3 = 1

+ 2 . A2 + 4 . A3 = 0 1 . Al + 3 . A2 + 5 . A3 = 1. 1 . Al

Zur Losung des LGS verwenden wir den GauB-Algorithmus in Matrizenschreibweise

(

::::} A3

=t

Setzt man z.B. t

0) (1 2 4

2 4

110 321 541

1 1

(beliebig)

= 1, so

::::}

A2 = 1 - t

folgt A3 = 1, A2 = 0, Al --+

--+

--+

b = -4 'a 1 + O· a

--+

D.h. b ist im Erzeugn is von

'---+

1 1

1 1

2

011 0 0 0

::::}

Al

= -4

und

=

-2 - 2t.

+ 1· --+ a 3.

[a't , a' 2 , a'3]'

o

Es gilt allgemein

b

Satz: Die Vektorgleichung = Al a' 1 + A2a' 2 + --+ --+ --+ --+ dann, wenn b E [ a I , a 2 , . . . , a n].

.. . + Ana' n ist losbar, genau

Da M = [a'I , a' 2 , . .. , a'n] die Menge aller Linearkombinationen ist, stellt Me V selbst wieder einen Vektorraum dar, was man mit dem UntervektorraumKriterium sofort nachprufen kann . Satz: M = [a' I' a' 2 , . .. , a'n] ist ein Vektorraum .

78

II Vektorrechnung

1m Fall, daB M schon den ganzen Vektorraum V aufspannt, nennt man M ein Erzeugendensystem:

Definition: Eine Teilmenge von Vektoren {a\ , it 2, .. . , it n} C V heifJt Erzeugendensystem von V, wenn das Erzeugnis von it l, it 2 , . . . , it n mit V zusammerfallt: [it l, it 2, . . . , it nl = V. 26. Beispiele: (1) {e+ l, e+ 2 , e+ 3 } ist ein Erzeugendensystem von IR3 , denn jeder Vektor 3! laBt sich als Linearkombination von e+ l, e+ 2 , e+ 3 darstellen:

(2) { " " "2, "3,

d

Ｌｾ

IR3 , denn jeder Vektor darstellen : ---+

x =

( :)}

is' ebenfalls ein Erzeugendensystern von

3! liiBt sich als Linearkombination dieser 4 Vektoren Xl

---+

e

1

+ X2 ---+ e 2 + X3 ---+ e 3 + O---+d .

oder

d}

bilden ein ErzeugendenSowohl {e- l , e- 2 , e- 3 } als auch {e+ l , e+ 2 , e+ 3, 3 system von IR . Gesucht ist ein Kriterium, urn ein kleinstmogliches Erzeugendensystem zu charakterisieren. Dazu benotigt man den Begriff der linearen Unabhangigkeit.

5.4 Lineare Abhangigkeit und Unabhangjgkeit von Vektoren

ｾ

ｾ

__ __ __ _ __ __

27. Beispiel' Gegeben sind die Vektoren

b=CH"=(

a'= ( ｾＩＮ

-Hoannist

a ---+

---+

---+

c=2 ·a+l ·b .

---+

c!

laBt sich also als Linearkombination der Vektoren ---+

it und b darstellen . Man nennt c! daher linear abhangig von it und b.

79

5.4 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren

a: a:

Definition: Die Vektoren

1,

a:

2, . . . ,

E V heifien linear abhlingig, wenn

n

in der Gleichung -4-

k1 a mindestens ein k

1

-+ + k 2 a 2 + ... + k n -a+ n = 0 ｾ

i= 0 ist.

Denn dann laBt sich die Gleichung (*) nach

und

a:

i

( *)

a:

i

auflosen :

ist durch die restlichen Vektoren darstellbar.

a:

LaBt sich die Gleichung (*) niemals nach einem Vektor i (i E {I, . .. auflosen, dann nennt man die Vektoren linear unabhangig. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich Gleichung (*) nur durch k 1 = k 2 = . . . = k n = 0 erfiillen laBt.

Definition: Die Vektoren

a: a: 1,

2, .. . ,

a:

E V heijien linear unabhlingig,

n

wenn gilt : ---+

k1 a

1

+ k 2 ---+ a 2 + ...+ k n ---+---+ an = 0

k1

=}

= 0,

k2

= 0, . .. , k n = O.

28. Beispiele: (1) Die Vektoren e+ 1> e+ 2 , e+ 3 sind linear unabhangig: ---+ ---+ ---+ --+ Aus k 1 e 1 + k 2 e 2 + k 3 e 3 = 0 folgt

=}

Ｈｾ

o

ｾ ｾＩ

0

1

=}

k3

D.h. aus k 1 e+ 1 + k 2 e+ 2 + k 3 e+ 3 = -0 folgt k 1 Vektoren e+ 1, e+ 2 , e+ 3 linear unabhangig.

(2) Die Vektoren 0:1 unabhangig: Aus k 1

a:

ｾ

( 1

= 0, k 2 = 0,

= O.

k1

0

-!),

0:2

ｾ

(

+ k 2 a: 2 + k 3 a: 3 = -0

ｾ

=

k2

=

k3

) , 0:3 folgt

ｾ

=

(

O. Damit sind die

ｾ

) sind linear

80

II Vektorrechnung

In Matrizenschreibweise erhalten wir

( -i ｾ ｾ Ｉｾ 301

:::} 7 . k 3

ＨＭｾ

'-4 0

ｾ ｾ 0ｾＩ

ｾ ｾ ｯｾＩ

007

= 0 :::} Ik 3 = 0 I; 2 · k2 = 0 :::} I k2 = 0 I; -1 · k} = 0 :::} Ik} = 0 I·

a:} + k 2 a: 2 + k 3 a: 3 = -0 folgt a:}, a: 2, a: 3 linear unabhangig.

D.h. aus k} Vektoren

(3) Die Vektoren abhangig: Denn aus k}

(

ＨＭｾ

'-4

031

0',

ｾ

(

ＭｾＩＬ

0',

ｾ

k}

= k2 = k 3 = O. Damit

!),

(

0',

ｾ

(

sind die

ｾ )SiOd linear

a:} + k2 a: 2 + k 3 a: 3 = -0, folgt in der Matrizenschreibweise

2 0 2 1 0 303

(-1 10 ｾ

o)

0'-4022 o 0 3 3

-1

:::} k 3

o

= A (beliebig); k 2 = -

ＨＭｾ

) '-4 A; k}

ｾ ｾ

0 0 0

= - A.

Z.B. fur A = 1 ist

Das Gleichungssystem ist also nicht nur durch k} = k 2 = k 3 damit die Vektorgleichung nach dem Vektor auflosbar, :::} linear abhangig.

=

0 losbar, und

a}, a: 2, a: 3 sind

a:}

Xi (i = 0, 1,2"", n) sind linear unabhangig im (4) Die Vektoren Ii (x) Vektorraum P [n] := { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade S n} . Denn

kolo + ktf} bedeutet k o lo(x)

+ ... + knln =

--+

0

+ k} I} (x) + ... + k n In (x) = 0 (x) = 0 fur aile

x E IR, d.h.

fur aile x E IR. Durch Einsetzen von n + 1 verschiedenen Werten folgt ko = k}

... = kn = O.

= 0

In den Beispielen (I) - (3) zeigt sich, daB die Vektorgleichung --+

--+

k} a } + k 2 a

2

+ ...+ k n --+--+ an= 0

entweder eindeutig losbar ist; dann ist k} = k2 = . . . = kn = 0 diese Losung und 2, . .. , n sind linear unabhangig, Oder die Vektorgleichung die Vektoren

a:}, a:

a:

81

5.5 Basis und Dimension

ist nicht eindeutig losbar, dann sind die Vektoren linear abhangig, Es gilt folgende Charakterisierung von linear unabhangigen Vektoren: Satz: Fur die Vektoren 0: 1

2 ' . . , 0: n E V sind aquivalent :

0: 1 , 0: 2 . . . , 0: n sind linear unabhangig .

(I)

b E [0: 1 , .. . , 0: n] liiBt sich eindeutig aus den Vektoren 0: 1 , . . . , 0: n linear kombinieren .

(2) Jeder Vektor

5.5 Basis und Dimension Einer der fur die Beschreibung von Vektorraumen wichtigsten Begriffe ist der der Basis. Definition: Eine Menge linear unabhangiger Vektoren, die den gesamten Vektorraum erzeugen, nennt man eine Basis des Vektorraums. Also:

0: 1

" '

ist Basis von V

n

E V

(B 1) 0: 1, . . . , 0: n sind linear unabhangig. (B 2 ) [O:l , · .. , O:nl = V.

Eine Basis ist die kleinste Menge von Vektoren, welche den Vektorraum erzeugt, und sie ist gleichzeitig die grollte Menge von linear unabhangigen Vektoren aus V ; denn fur Basen sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend: Charakterisierung von Basen: Fur die Teilmenge B ; = {O: 1 , 0: (1) (2) (3)

. . . , 0: n} C V ist gleichbedeutend:

B ist eine Basis von V. B ist eine unverlangerbare , linear unabhangige Teilmenge von V . B ist ein unverkurzbares Erzeugendensystem von V .

29. Beispiele: (1) C-e\, et 2 , et 3) ist eine Basis von IR3 : Denn et 1 , et 2 , et 3 sind linear unabhangig und jedes :t E IR3 liiBt sich als Linearkombination von et 1 , 2, et 3 darstellen :

e

(3) (1 , x, x 2 , x 3 , x 4 , . . . ,xn ) ist eine Basis des Vektorraums der Polynomfunktionen vom Grad ::; n.

82

(4)

II Vektorrechnung

-> a) a x b (-

fJ

T)

-> (

a -

= 60° , 90° :S 'Y :S

'Y der Vektoren

j)

) ,T = ( b)

a: + 2c') x

Q ,

a:?

a:

-»

b

d) (2 -> a ) x

ｾ

) , c' = (

Ｍｾ

)

die Vektorpro-

->

x (3 c ) (-- > b

-

-» c

An einem Verteilermast greifen 4 Krafte an, die in einer Ebene Iiegen. Erm itteln Sie --+ ｾ --+ --+ rechnerisch den Betrag und die Richtung der Result ierenden F R = 1'" I + F 2+ F 3 +

F 4 , wenn IFII = 380N, IF21 = 400N, IF 41 = 440N, und wenn der Winkel .:.J --+ --+ --+ zwischen F lund F 2 = 80°, der Winkel zwischen F 2 und F 3 fJ = 120° , der -> -> Winkel zwischen F und F 4 'Y = 70° betragt. Q

3

2.18

Gegeben sei ein Korper, der sich nur entlang der Richtung

kann . Auf diesen Korper wirkt eine Kraft

ｾ

F=(

)

a: =

( _ｾ )

bewegen

N.

F?

a) Wie grof3 ist der Betrag der Kraft b) Welche Winkel schlief3en der Kraft vektor und der Richtungsvektor ein? c) Welche Kraft wirkt auf den Korper in Richtung

a:?

d) Man zeige, daf3 der Kraftvektor

2.19

F 2 = ( -ｾ

)

senkrecht zu

a: steht.

Ein starrer Kerper in Form einer Kreisscheibe ist um seine Symmetrieachse drehbar -> -> gelagert. Eine im Punkt P angreifende Kraft erzeugt ein Drehmoment M = --r' x F . Seien

F=(

-i)

N und

=(

r)

m.

a) Welchen Winkel schlief3en --r' (P ) und Fein? -> b) Man berechne das Drehmoment M und seinen Betrag. c) Welche Kraft r wirkt in Richtung --r' (P)?

F

Aufgaben zu Kapitel II

87

2 .20

Gegeben sind die Punkte A = (1 , -1 ,2) , B = (2 , 1,3), C = (4,0, 1) . Unter der --+ Einwirkung der konstanten Kraft F = (1, 1, 1) bewegt sich ein Massepunkt m von Langeneinheit A nach Wie grof ist die dabei verrichtete Arbeit (Krafteinheit 1 1 falls bewegt? a) m sich auf kiirzestem Weg von A nach b) m sich von A nach B langs der Strecken AC und C B bewegt?

2.21

Uberprufen Sie die Ergebnisse von den Aufgaben 2.1 - 2.20 mit MAPLE.

2.22

Wie lautet die Vektorgleichung der Geraden 9 durch den Punkt P parallel zum Vektror Welche Punkte gehoren zu den Parameterwerten >. = 1, >. = 2, >. = -5?

a:?

P = (4, 0, 3) ;

a: = (

-_0Il ) .

2.23

Man bestimme die Gleichung der Geraden 9 durch die Punkte H P2 = (6, 5, 8) .

2 .24

Liegen die drei Punkte P1 einer Geraden?

2.25

Man berechne den Abstand des Punktes Q

=

stimmt ist durch den Punkt P 1

(3 ,0,4), P2

=

= (1 , 1, 1) =

und P3

= (1 , 3, -2)

und

= (-1 ,2, -2)

auf

!).

(4, 1, 1) von der Geraden 9, die be-

(4 , 2, 3) und den Richtungsvektor

a: =

(

a:

2.26

Eine Gerade 9 verlaufe durch den Punkt P = (5, 3, 1) parallel zu dem Vektor mit den Richtungswinkeln a = 30°, j3 = 90° und '"Y mit cOS'"Y < 0. Wie lautet die Gleichung dieser Geraden?

2.27

Welche Lage besitzen die folgenden Geradenpaare 91 , 92 zueinander? Man bestimme gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel. a) 91 durch P 1 = (3, 4, 6) und P2 = (-1 ,-2, 4) 92 durch P3 = (3 , 7, -2) und P4 = (5, 15, -6) b) 91 durch

X' = v. + x a: = (

92 durch

X' = r+ 2 + x b = (

!) -! )

ｾ

+x (

］ｾ

) +x (

c) 91 durch P1 = (1, 2, 0) mit Richtungsvektor

a:=

92 durch P2 = (6 , 0, 13) mit Richtungsvektor

2 .28

) (

b= (

Ｒｾ

)

ＭｾＩ

Zeigen Sie, daf die beiden Geraden 91 und 92 windschief sind und berechnen Sie ihren Abstand :

88

II Vektorrechnung

ｾ

=

ｾ

= ｾＲ

91 :

92 :

2.29

ｾ

1

+ Act =

ＭｾＩ

(

+ Ab = (

ｾ

ｾ

) +A (

)

)

Wie lautet die Vektorgleichung der Ebene und parallel zu den Richtungsvektoren Man bestimme den Normalenvektor Parameterwertepaar A = 1, J.L = 3?

2.30

ｾ

+A (

die den Punkt

ct = (

rt

ｾ

)

und

= (3 , 5,

1) enthalt

ｾ

verlauft?

b= (

)

der Ebene. Welcher Punkt gehort zu dem

Man bestimme die Gleichung der Ebene

= (3 , 1, 0) ;

durch die Punkte

= (5, 9, 3). vier Punkte PI = (1, 1, 1) ;

2

(-4,1,1) ;

= (3 , 2, 0) ;

2.31

Liegen die (12 , -4 , 12) in einer Ebene?

2.32

Eine Ebene verlauft senkrecht zum Vektor

rt

= (4 , -1,5)

und

4=

und enthalt den Punkt ( 4i )

= (5, 8 , 10) . Man bestimme die Vektorgleichung dieser Ebene .

2.33

Welche Lage haben die Gerade 9 und Ebene zueinander? Man bestimme gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel. = (5, 1,2) mit Richtungsvektor

a) 9 durch

E durch Po = (2, 1, 8) mit Normalenvektor

b) 9 :

ｾ

9

E : rt

ＨｾｐＩ

c) 9 durch durch

2.34

ｾＨｐｉＩ

+A -

ｾ

(

(Po)

ｾ

)

= (

= (2, 0, 3) und = (1, -2, -2) ,

= (

ｾ

rt =

) +A

(

(

Ｍｾ

ｾ

)

)

-i ) ( ｾ = - ｾ )-1

z

= (5 , 6, 18) = (0 , -1, -1)

1

0

-

= (-1,0, -1)

und P s

Man zeige die Parallelitat der beiden Ebenen und berechne ihren Abstand 1

2.35

=

!)

ct= (

rt 1 = (

durch

= (3,

5, 6) mit Normalenvektor

durch

= (1,

5, -2) mit Normalenvektor

rt 2 = (

｟ｾ ］ｾ

)

).

Man bestimme Schnittgerade und Schnittwinkel der beiden Ebenen

89

Aufgaben zu Kapitel 11

El : 1t 1 E2 : 1t 2 2.36

2.37

(!) .Ｈｾ］Ｉ ＨｾｅＭｲＧｐ､Ｉ］ ＨｾｅＭｲＧｐＲﾻ］

ＨｾＩ

Ｎ Ｈｾ］Ｉ

=0.

｟ｾ

Spannen die Vektoren lt 1= ( : ). lt 2= (

､ｩ･ＨｦｏｬｧｾｮＩ

Sind

ｶ･ｫｴｯｲｮＨ､ｾｓｒＩＴ -1

->

2.38 Im ->

a

ｒＴＨｓｩｾ､

0

ｾ

, a 2=

)die vekto(ren ->

ｾ

1=

linear

->

ｾ

a1=

,

a

2=

gegeben. Man stelle

o) 1

;

->

1

ｵｮＨ｡｢ｾ￤Ｉｧｩ＿

a

,

0

->

Ｚｾｲｔ

2.40

Ist der Vektor a)

lt 1

=(

b)

lt 1

=(

ｾ

b

-2 ;

->

ｾ

,a4=

(1 ) -1

(0 ) -2

->

ｾＧ

3=

3 denR auf?

(5 )

,a3=

->

!)

). lt 3= (

a 4=

->

ｾＧ

b=

'

( 0 ) 5

ｾ

Linearkombination von lt 1, lt 2 , lt 3, lt 4 dar.

riTｾＺｬｦｻｫＬ

2.39

2.41

=0

(IjＩｉ｛ＢｾＺ .

im Erzeugnis der Vektoren lt 1 , lt 2, lt 3?

) , lt 2 = (

i).

lt 2

=(

!).

r).

lt 3

=(

lt 3

=(

ｾ

ｾ

). v = (

｟ｾ

). b = (

)

ｾ

)

Zeigen Sie, daB die Vektoren lt 1 , lt 2 , lt 3 eine Basis des R" bilden und stellen Sie d als Linearkombination von lt 1 , lt 2 , lt 3 dar:

0:,

ｾ

(

n

0:,

ｾ

(

-!).

0:,

ｾ

Cｾｮ

d

ｾ

(

Ｍｾｄ

KapiteI III Matrizen und Determinanten

§1. Matrizen 1.1 Einfiihrung, spezielle Matrizen Dureh die Konstruktion der Koeffizientenmatrix (kurz: Matrix, vgl. Kap. I, §5) kann man lineare Gleiehungssysteme (LGS) sehr kompakt sehreiben. In diesem Kapitel werden wir den Begriff der Matrix und der den Matrizen zugeordneten Determinanten nieht nur als abkiirzende Bezeichnungen kennenlemen, sondem mit ihnen Reehenoperationen durehfiihren, die wir dann bei spateren Anwendungen benotigen. Definition: Unter einer (m x n )-Matrix A versteht man ein rechteckiges Zahlenschema

A=

all

al2

alj

al n

a il

a i2

aij

a in

amI

a m2

amj

amn

ｾ

i-te Zeile

=

(aij) m

T j-te Spalte mit aij E JR. Man nennt den Spaltenindex.

a ij

die Matrixelemente, i den Zeilenindex und j

Eine Matrix setzt sieh zusammen aus ihren Spaltenvektoren (kurz : Spalten) bzw. aus ihren Zeilenvektoren (kurz: Zeilen). Die (m x n )-Matrix A hat n Spalten und m Zeilen. Der Index i gibt die Nummer der Zeile und der Index j die Nummer der Spalte an.

91

I. I Einfuhrung, spezielle Matrizen

1. Beispiele:

ep)

Ｈ ｾ ｾ

(1)

=

(2)

ｾ Ｈｾ

ist eine (2 x 3)-Matri x. Das Element

$)

ist eine (3 x 2)-Matdx. Das Element 1>"

13

ｾ

=

1.

2.

Spezielle Matrizen Die Matrix A heiBt quadratisch , wenn n = m . Falls n = m ist, nennt man die Matr ixelemente all , a22, . . . , ann die Hauptdiagonale (kurz: Diagonale) der Matri x

A=

Diagonale Spezielle quadratische Matrizen Eine Matrix D heiBt Diagonalmatrix, wenn aile Nichtdiagonal-Elemente Null sind. Die Einheitsmatrix In ist eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen 1.

D =

Ｈ ｾｮ Ｌ o

0

1,

:

0

ann

Eine Matr ix 0 heiBt obere Dreiecksmatrix, wenn aile Elemente unterhalb der Diagonalen Null sind ; eine Matrix heiBt untere Dreiecksmatrix, wenn aile Elemente oberhalb der Diagonalen Null sind.

Eine quadratische Matrix heiBt symmetrisch , wenn fur aile i , j

= 1 . . . n.

92

III Matrizen und Determinanten

Eine symmetrische Matrix S besteht aus Elementen, die spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet sind. Die Nullmatrix N hat als Elemente nur Nullen.

S=

123) ( 346 , N = 2 5 4

1.2 Rechenoperationen fur Matrizen 1.2.1 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Definition: 1st a E JR, A

=

(ai j)mn eine (m x n)-Matrix, dann ist

Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit der Zahl multipliziert wird. 1.2.2 Addition zweier (m x n)-Matrizen Definition : Sind A = (aij)mn und B = (bij)m n zwei (m x n)-Matrizen, dann ist die Sum me (bzw. Differenz) der Matrizen A±B=(a· ·) mn ±(b· ·) mn := (a· ± b· )mn .

Zwei (m x n )-Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert, indem die jeweiligen Matrixelemente addiert bzw. subtrahiert werden. 2. Beispiel: A 2A+4B

= (

= (

Ｑｾ

o 1) ;B= ｾ 37 0 2) 6 14

+

( 21 -4 2

ｾ

)

;

(8 -16 12 ) = (18 -16 14) 4 8 12 8 14 26

o 4) (42 -84 66 ) = (166 88 -2) 8 12 28 22 .

4A - 2B _ ( 20

-

Man beachte, dal3 sowohl fur die Additon, als auch Subtraktion beide Matrizen (m x n)-Matrizen sein mussen.

93

1.2 Rechenoperationen fur Matrizen

1.2.3 Transponieren einer Matrix Definition: Vertauscht man Zeilen und Spa/ten einer (m x n)-Matrix A (aij)nm ' so entsteht die zu A transponierte Matrix At

3. Beispiel: A

ｾ

(;

ｾ ｾＩ

=> A'

ｾ Ｈｾ

ｾＩＮ

Bemerkungen: (1) 1st A eine (m x n)-Matrix, dann ist A t eine (n x m)-Matrix. (2) Die transponierte Matrix erhalt man, indem man die Matrixelemente an der Hauptdiagonalen spiegelt. (3) (At) t = A. (4) Eine quadratische Matrix ist symmetrisch, falls At = A. 1.2.4 Multiplikatlon von Matrizen Das inhomogene LGS

ｾ ｾ ｾ -

2 X3

: =

:} (; ｾＭ ｾＭ 1

4

-2

-2

wird mit der Matrizenschreibweise abgekiirzt. Schreiben wir es in der Form

ist A X' =

b

eine Vektorgleichung mit der Matrix

Die Ausgangsgleichungen erhalt man aus der Matrizenschreibweise zuruck, indem der Spaltenvektor X' jeweils uber eine Zeile von A gelegt wird und das Skalarprodukt des Zeilenvektors mit dem Spaltenvektor X' gebildet wird . Somit haben wir die Multiplikation einer Matrix A mit einem Spaltenvektor X' erklart. Auf analoge Weise wird das Produkt zweier Matrizen definiert:

94

III Matrizen und Determinanten

Definition: (Matrizenprodukt) Sei A = (aij )mn eine (m x n)-Matrix (m Zeilen und n Spa/ten) und B = (bjk)nl eine (n x l)-Matrix (n Zeilen und l Spa/ten). Dann ist das Produkt C = A · B = (Cik)ml eine (m x l)-Matrix definiert durch

= I. .. m k = I. . . l

i

Urn das Produkt von zwei Matrizen bilden zu konnen, muB die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B tibereinstimmen. Das Element Cik von C ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B. 4. Beispiel:

IT:JJ ) ([II]

i = 1

i=2

([] [JJ []) j=l

= (2.3+1.0

2 ·(-2)+1 ·4

0 ·3+4 ·0

0 ·(-2)+4·4

j=2

j=3

2 .0+1 .2)=(6

o. 0 + 4 . 2

0

02) 16 8 .

Die Multiplikation wird so ausgefiihrt, daB die Spalten von B tiber die Zeilen von A gelegt werden und anschlieBend das Skalarprodukt berechnet wird. Bemerkungen: (1) Aus der Definition des Produktes ist ersichtIich, daB fur das Produkt zweier Matrizen A . B die Zeilenlange von A mit der Spaltenlange von B ubereinstimmen muB. 1st also A . B definiert, so muB nicht notwendigerweise B . A definiert sein. Falls beide Produkte definiert sind (z.B. bei quadratischen Matrizen), ist i.a. A . B =I- B . A .

(2) Zur Berechnung des Matrizenproduktes tragt man zweckmaBigerweise die Matrizen in ein Schema (dem sog. Falk-Schema) ein:

A=

I2 I0 I2 I 4

3

1

0 I 3 6 6

I

2 4 lJQJ 14

=B =A·B=C

95

1.3 Inverse Matrix

2 4 0

I

4 10 22

[III]

B=

3

4

ｾ3

2 I

=A

I 4 10

IT] 12

=B· A=D

Das Element CI2 der Produktmatrix C = A . B ergibt sich durch einfache Rechnung CI 2 = 2 ·1 + 0 . 2 + 2 . 4 = 10; das Element d22 des Produktes D = B . A durch d22 = 1 . 0 + 2 . 3 = 6. Anhand dieser beiden Beispiele erkennt man , daf A . B i= B . A! (3)

Das Produkt einer (m x n) -Matrix A mit einer ( x k )-Matrix B kann man auch folgendermafsen interpretieren: B besteht aus k Spaltenvektoren bl =} B = (bl bk) . Dann sind die Spalten des Produktes C = A . B gegeben durch

.t;

= l

k)

und

C

----» ---+ ---+ ( -----+ -----+ = (---+ C I , C 2 , . .. , C k) = A bl , A bz, . . . , A bk

.

Rechenregeln fUr Produkte von Matrizen FUr Produkte von Matrizen C gelten die folgenden Regeln (die jeweiligen Produkte seien definiert):

· )

.C

.(

. C)

Assoziativgesetz

= A .B + A .C

A . (B + C) (A

=

+B)·C =

Distributivgesetz

A· C + B · C

Distributivgesetz

1.3 Inverse Matrix Aus der Algebra wissen wir, daf die Gleichung

a· filr a

X =

1

0 genau eine Losung besitzt, namlich das zu a inverse Element

= -1 a

E IR :

·

=

=

l.

96

III Matrizen und Determinanten

Diese Konstruktion wird fur quadratisehe Matrizen verallgemeinert:

Definition: Gibt es zu einer quadratischen (n x n)-Matrix A eine (n x n)-Matrix X mit

A X

ｾ

= In

A

X

ｾ

C :)

so heij3t X die zu A inverse Matrix. Sie wird durch das Symbol A-I gekennzeichnet.

Bemerkungen: Besitzt A eine inverse Matrix A-I, so hei/3t A invertierbar bzw. regular. A-I hei/3t Umkehrmatrix oder Inverse. (2) Eine quadratisehe Matrix besitzt -wenn iiberhaupt- genau eine Inverse. (1)

(3)

Aufgrund der Definition gilt

A · A-I

= A-I . A = In ,

d.h. A und A-I sind kommutativ. (4) Nieht jede quadratisehe Matrix ist umkehrbar: z.B.

Ｈｾ

ｾＩ

ist nieht um-

kehrbar! 1m folgenden werden wir ein Schema vorstellen, mit dem man entseheiden kann, ob eine (n x n )-Matrix A invertierbar ist und wie die Inverse A-I sieh bereehnet. Dazu gehen wir zunachst davon aus, da/3 die zu A inverse Matrix A-I existiert. sei gegeben dureh Spaltenvektoren s'1 , ' . . , s' n =? A-

I

--+ --+ ) = (--+ S 1> S 2, . .. , S n

.

Aufgrund der Eigensehaft der inversen Matrix

ist die k-te Spalte des Produktes der Einheitsvektor ｾ k. Naeh Bemerkung (3) erhalt man die k-te Spalte des Produktes, indem man die Matrix A auf den k-ten Spaltenvektor von A-I anwendet:

ａｳＧｫ］ｾ

o

o

1 o

t-k

k = 1,2, . . . , n o

97

1.3 Inverse Matrix

Folglieh sind die Spalten der inversen Matrix die Losung der linearen Gleichungssysteme As' k = e" k Diese n LGS lost man mit dem GauB-Algorithmus. Da die LGS immer dieselbe Matrix besitzen, konnen sie simultan gelost werden (GaufJ-Jordan-Algorithmus): Berechnung der inversen Matrix nach dem Gau8-Jordan-Verfahren

(1) Man erstellt das aus

und allen reehten Seiten kombinierte Matrizensehema: a ll

1

al n

0

.. .

ｾ1

0

In) =

｡ ｾｉ

(

0

0

ann

(2) Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird die linke Seite des Sehemas so umgeformt , daB die Einheitsmatrix In den Platz von A einnimmt. Die inverse Matrix steht dann auf dem Platz von In :

o

o o

»;;

o

1

= (In I

bn n

1

(3) Enthalt zum SehluB die linke Seite eine Nullzeile, dann ist die Matrix nieht invertierbar. 5. Beispiele: (1) Gesucht ist die inverse Matrix zu

(

10-2)

1 2 . 4 -1 Wir fuhren den GauB-Jordan-Algorithmus durch und sehreiben die jeweiligen Operationen an die reehte Seite der Matrix:

(Ｍｾ

h)

::::}

::::}

0 1 4 0 1 4 0 1 0

0

0

=

-2 2 -1

-2 0 -1

-2 0 -1

1 0 0 1 1

-1

o

o

0 1 0 0 1 0

n n)

1 o 0 1 1 0 -4 -4 1

+ ZI

- 4 Z2 -2Z3 (-1)

98

III Matrizen und Determinanten

a a

1

a 1 a a a 1

(

Die zu A inverse Matrix lautet A-I

(2) Gesucht ist die Inverse von A

(

1

ｾ

=

(

1 2

1 1

-3

-2

ｾ ｾ ｾＩ

2 -2

2

1 1

-3

-2

a a a

0 0

1 -1 1

2

-6 6

1 -1

-6

a

2

a

1

1 a 0) a

-2

Ｍｾ

3

1 0 1

ｾ ｾＩ

111

Die linke Seite enthalt eine Nullzeile. Damit sind die linearen Gleichungssysteme nicht losbar, A ist nicht invertierbar.

Rechenregeln bei der Inversion von Matrizen Seien A und B invertierbare x n)-Matrizen. Dann gilt (1) Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist invertierbar mit

(2)

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist invertierbar:

(3)

Die Transponierte einer invertierbaren Matrix ist invertierbar:

Die Bedeutung von invertierbaren Matrizen werden wir noch ausfiihrlicher im Kapitel tiber die Losbarkeit von LGS (---+ §3) diskutieren.

1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE

1.4 Das Matrizenrechnen mit

99

MAPLE

Zur Darstellung und Ausfuhrung der Rechenoperationen mit Matrizen wird das Paket Iinalg benotigt, 1m folgenden gehen wir immer davon aus, daB das IinalgPackage mit dem Befehl

> with(linalg) : geladen ist. Durch

> A=matrix(3,2,[1,2,3,4,5,6));

ａ ｾ

H]

[

wird eine (3x2)-Matrix definiert. Wenn man den Matrix-Kurzbefehl

> matrix([ [1,2], [3,4], [5,6] )): verwendet, ist die Angabe der Dimension nicht notwendig, da die Zeilen der Matrix einzeln spezifiziert werden. Addition und Subtraktion von Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalaren werden mit +, -, * gekennzeichnet; die Matr izenmultiplikation wird durch den Operator &* dargestellt, da "*" fur kommutative Multiplikationen reser viert ist. Durch evalm werden die Rechenoperationen ausgefuhrt.

> B:=matrix([ [3,5,2], [-1,-1,0] )): > C:=evalm(A&*B);

ｃｾ

｛

1

3

5

11

9

19

Ｑｾ

]

> F:=matrix([ [1,0,-2], [-1,1,2], [1,2,-1] )); > 4*C - 3*F = evalm(4*C-3*F); F

[

Ｍｾ

4C - 3F = [

1

ｾ

2

-;] -1

Ｒｾ ｾｩ

ｾ｝

33 70 43 (Die Matri x darf nicht mit dem Buchstaben D abgekiirzt werden , da D vordefiniert ist und den Differentialoperator darstellt; ebenso darf E nicht als Name verwendet werden , da E bis ReI. 3.0 fur die Eulersche Zahl steht!)

100

III Matrizen und Determinanten

Potenzen von Matrizen konnen mit > evalm(F"4);

[ Ｍｾ

Ｍｾ

-4

ｾ｝

8

9

gebildet werden. Die Berechnung der transponierten Matrix erfolgt durch > transpose(");

-4] 1-4 [ -16 -8

25 16

8 9

und die Inverse einer Matrix erhalt man mit dem inverse-Befehl > G:=matrix([ [1,0,-2], [-1,1,2], [1,2,-1]]): > Ginv :=inverse(G);

Ginv:= [

Ｍｾ

-i

-3

-2

｝ｾ

1

Dann pruft man noch nach, daB > eval(Ginv)*op(G)=evalm(Ginv &* G),evalm(Ginv &* G);

[ Ｍｾ -i -3

-2

｝ｾ

[ Ｍｾ

1

ｾ

-;]

= [

1 2 -1

ｾ ｾ ｾ｝Ｌ

0 0 1

1 0

[

o

o

1

0

Einige spezielle Matrizen werden definiert durch

> > > > > >

array(1 ..3,1..3,identity), diag(1,2,35,6), randmatrix(5 ,3), band([1 ,2,-1], 4);

[ｾ l

o1 o

0] 0 1

,

0 2 -1 1 2 -1 1 2 0 1 0 0

lｾ

Ｍｾ ]

#Einheitsmatrix 13 #Diagonalmatrix mit Diagonalelementen # 1,2,35,6 #(5x3)-Matrix mit zufallig zwischen # -99..99 gewahlten Elementen #Bandmatrix mit Haupt- und Nebendiagonafen

0]

0 2 o 0 0 35 0 0 o 6

'

-85 -55 -37 -35 97 50 79 49 56 63 57 -59 45 -8 -93

101

1.5 Lineare Abbildungen

Zur Auswertung von Matrizen (allgemeiner des Datentyps array) mit MAPLE ist zu bemerken, daf sie anders als die sog. volle Auswertung sonstiger Rechenoperationen nur einstufig ausgefiihrt wird. Schon urn eine Matrix > A:= matr ix( [[cos(alpha), -sin(alpha)], [sin(alpha),cos(a lpha)]J);

A.= [ cos( Q) . sin( Q)

- sin ( Q) ] cos( Q)

darzustellen , geniigt nach der Definition von A nicht die Eingabe

> A; A denn dann wird nur der Name A zuruckgegeben . Urn die Matrix A zu erhaiten , rnuf entweder mit eval(A) oder op(A) gearbeitet werden > eval(A); cos( Q) - sin( Q) ] [ sin( Q ) cos( Q ) Setzt man alpha= I, so werden die Matrixelemente von A nicht direkt ausgewertet , > alpha :=1: > eval(A) ; cos( Q) -sin( Q) ] [ sin( Q ) cos( Q ) Erst mit dem Abbildungsoperator map, der eine FunktioniBefehl auf jeden Operanden des Ausdrucks abbildet, zwingt man MAPLE zur Auswertung von A: > map(eval,A): "=evalf(") ; cos( 1 ) [ sin( 1 )

-sin( 1 ) ] cos( 1 )

= [

.5403023059 .8414709848

- .8414709848 ] .5403023059

Zusammenstellung der Matrix-Befehle with (Iinalg) matrix (2, 3, [1, 2, 3, 4, 5, 6]) &* evalm transpose inverse eval,op map array(l ..n,1..n,identity) diag(a11 , 312,..., ann), randmatrix(n,m) band([ 1,2,-1], 4)

Linear-Algebra- Paket Definition einer 2 x 3-Matrix Multiplikationsoperator bei Matrizen Ausfiihrung der Matrixoperationen Transponieren einer Matrix Inverse einer Matrix Darstellung einer Matrix Anwenden eines Operators auf die Elemente Einheitsmatrix In Diagonalmatri x mit den Elementen all ,..., am (m x n)-Matrix mit Zufallselementen Bandmatrix

102

III Matrizen und Determinanten

1.5 Lineare Abbildungen Wir werden nun eine geometriSCh(e ｧｮｵＩｴ ｾ eine (m x n)-Matrix und

von Matrizen angeben. Sei A =

?t =

E IRn ein Vektor. Dann ist das Produkt Xn

ａｾ

2:

Xj

Xl

j=l

X

2:

Xj

)( )

an

( m

CJ

j=l

y

ein Vektor E IRm . A legt also eine Abbildung cp : IRn ---+ IRm fest, die jedem Vektor ?t E IRn genau einen Vektor E IRm zuordnet. Es gilt folgender Satz:

y

Satz: Die Gesamtheit alIer (m x n)-Matrizen entspricht in umkehrbar eindeutiger Weise der Gesamtheit der linearen Abbildungen cp : IRn ---+ IR"' . BegrUndung:

(1) Die Matrix A = definiert eine lineare Abbildung von IRn nach IRm , mn ｾ -4 -4 --+ denn man rechnet sofort nach, daB A (a Xl + X 2) = a A Xl + A x 2 · (2) 1st cp : IRn ---+ IRm eine lineare Abbildung. Dann wird diese lineare Abbildung eindeutig festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren j :

e:

j = 1, . . . ,no

Mit diesen Vektoren bilden wir die Matrix

e:

Man rechnet unrnittelbar nach, daf A j = cti - Die Spalten von A sind genau die Bildvektoren der Einheitsvektoren.

6. Beispiel: Die Abbildung

:

Xl X2

+ X2 + X3

-

X3

-

Xl

)

ist eine lineare

103

1.6 Anwendungsbeispiele

Abbildung von IR3 nach IR2 . Die Bilder der Basisvektoren sind

Damit wird die lineare Abbildung dargestellt durch die Matrix

A= (

1

- 1

1 1

-1 ) 1 '

denn die Spalte der Matrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren.

1.6 Anwendungsbeispiele 7. Rohstoftkette: In einem Betrieb werden aus 4 Rohstoffen mit Einheiten r2 r3 r 4 3 Zwischenprodukte mit Einheiten Zl , Z2 Z3 hergestellt. Aus den Zwischenprodukten entstehen 3 Endprodukte mit den Einheiten P l P2 3 Der Materialverbrauch sei gegeben durch die Iinearen Gleichungen rl

ZI

r2

2z 1

+

r3 r4

Z2 Z2

Zl

+

Z2

+ + + +

Z3 Z3 Z3 2 z3

ZI

bzw.

Z2

PI 2pI

z3

4PI

+ + +

2P2 3P2 2 P2

+ + +

P3 P3 2 P3

In Matrizenschreibweise gilt

J7 = A7

7 = Bp

21)

3 1 2 2

.

Gesucht ist der Rohstoftbedarf, wenn 100 Einheiten von PI 80 Einheiten von und 60 Einheiten von P3 hergestellt werden sollen. Es ist

J7 = A7 = A (B p) = (A · B ) p . Zur Berechnung der Menge der Rohstoffe fiihrt man ｺｷ･ｃｫｭ｡ｬＳ

ｩｧ･ｲｷｳＨ､ｾＩ｡Ｍ

trizenprodukt A . B aus und wendet das Produkt auf den Vektor

p

=

ｾ ｾ

P2

104

III Matrizen und Determinanten

an: ｾ

85 94 3) 5 1820 ( 100 ) (1000) 6 5 3 80 = 1180 . ( 11 9 6 60 2180

r

Es werden also 1000 Einheiten des ersten, 1820 Einheiten des zweiten, 1180 Einheiten des dritten und 2180 Einheiten des vierten Rohstoffes benotigt .

8. Beschreibung eines Vierpols: FUr einen linearen, elektrischen Vierpol (siehe Schaltung) gilt die folgende Bezie: hung zwischen den Eingangsgrofsen i o, Uo und den Ausgangsgrolien i I,

mit der Verkntipfungsmatrix M.

io

,... - - - - - - - - -

I

R3

R1

R !±R2±R3 R! R 2

i

-I 1

I I

R2

: I

I

Verknupfungsmatrix

Elektrischer Vierpol

9. Kettenschaltung von Vierpolen : Schaltet man einen zweiten Vierpol mit gleichen Widerstanden hinzu, gilt

(

ｾＺ

) =M

ｾＺ

(

ｾＺ

) und (

)

=M

(

ｾＺ

) ,

d.h. zwischen den Eingangsgrollen uo, i o und den Ausgangsgrollen die Beziehung

U2, i 2

besteht

FUr eine lineare Kette von n identischen Vierpolen gilt folglich (

ｾ

) =

ｾＺ

u» (

).

10. Zahlenbeispiele: Der in Beispiel 8 diskutierte Vierpol habe die Widerstande = R2 = lOOn, R 3 = 500n . Das Obertragungsverhalten des Vierpols ist dann durch die Obertragungsmatrix

R1

> M := matrix ([ [6.,500] , [0.07,6] ]); M :=

ＨＰｾＶＷ

ＵｾＰＩ

105

1.6 Anwcndungsbeispiele

0...

2

t...

'i ' u ｾ

'i

V,

0

'i

V2

U,

U

ｾ ｾ

Abb. 11: Lineare Kette von Vierpolen

gegeben . (i) Wie groB sind

ｾ

Wegen (

)

UI

und iI, wenn

=

ｾＺ

(

Uo

= 2V und io = O.lA?

) folgt (

ｾＺ

)

=

I

(

ｾ

)

:

> Minv := inverse(M); 6 ( -0.07

-500 ) 6

> evalm (Minv &* [2,0.1]); [-38,0.46] D.h.

UI

betragt -38 V und i l = 0.46A.

(ii) Fur die Reihenschaltung von 3 Vierpolen erhalten wir dann die Transfennatrix 3

.

> T := evalm = (M ｾＳＩ ［

T .= (846 .00 71500) . 10.01 846.00

106

III Matrizen und Determinanten

§2. Determinanten 2.1 Einfilhrung In diesem Kapitel diskutieren wir, unter welchen Bedingungen ein lineares, quadratisches Gleichungssystem eindeutig losbar ist. Bei der expliziten Losung eines Gleichungssystems mit dem GauB-Algorithmus kann zum SchluB der Rechnung festgestellt werden, ob das Gleichungssystem losbar ist oder nicht. 1m Faile einer numerischen Losung des LGS muB aber im Voraus bekannt sein, ob das LGS eindeutig losbar ist. 1m folgenden wird ein Formalismus entwickelt (DeterminantenBerechnung), mit dem entschieden werden kann, ob quadratische LGS eindeutig losbar sind . Aile in diesem Kapitel auftretenden Matrizen sollen quadratisch sein .

(I) Wir betrachten zunachst das Problem : Unter welchen Voraussetzungen ist die Gleichung Xl = CI (I) mit einer Unbekannten Xl fur beliebige CI eindeutig losbar. Die Antwort lautet : System (I) ist genau dann eindeutig losbar, falls 0: Xl = ..£L. a"

(2) Nun betrachten wir das LGS Xl a21 Xl

+ +

X2

=

X2

= C2

CI

(II)

Welche Bedingungen miissen die Koeffizienten mit zwei Unbekannten Xl und erfullen, dam it das System (II) fur beliebige Cl, C2 eindeutig losbar ist? Die Losung des Systems erhalten wir, indem wir Gl. ILl mit 0 und Gl. II.2 mit 0 muItiplizieren und beide Gleichungen addieren: Xl

+

X2

Xl

-

X2

:::}

-

Xl

= =

}

CI -C2

= CI

-

C2

·

Indem wir Gl. II.1 mit 0 und Gl. IL2 mit 0 multiplizieren und beide resultierenden Gleichungen addieren, erhalten wir analog

Folglich ist das LGS (II) eindeutig fur beliebige

I

-

CI

und

C2

losbar, falls

0·1

Diese Bedingung beinhaItet auch die hier nicht aufgefUhrten Sonderfalle 0 = 0, = 0 oder = 0.

all

107

2.2 Rechcnregeln fur zweireihige Determinanten

Definition: Die aus der Koeffizientenmatrix A

= (

all a21

a12 ) a22

berechnete

Grofse

I

D :=

all a21

a12 a22

I=

all a22 - a12 a21

heiftt zweireihige Determinante oder kurz Determinante. Fur Determinanten sind die Symbole D ,det(A) , IAI , det(aij) gebrauchlich.

11. Beispiele: (1) det

ｾ ｾ ｾＩ

(2)det

1

= 5.1-

-2 -2) 1

3.2

= 2.

=-2·1-1 ·(-2)=0.

Eine zweireihige Detenninante wird also berechnet, indem die Differenz des Produktes der Hauptdiagonalelemente all a22 mit dem Produkt der Nebendiagonalelemente a12 a21 gebildet wird . Die Detenninante einer Matrix ist damit eine reelle Zahl! Fiir zweireihige Detenninanten rechnet man unmittelbar die folgenden Regeln nach :

2.2 Rechenregeln fur zweireihige Determinanten Regel 1: Der Wert einer Detenninante andert sich nieht, wenn man Zeilen und

Spalten vertauscht:

detA = det A",

Beispiel: det ( _

ｾ ｾＩ

= 8 + 3 = 11 = det

Ｈｾ

-

ｾ

).

Regel 2: Der Wert der Detenninante weehselt das Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) miteinander vertauscht.

Beispiel: det

Ｈｾ

｟ｾＩ

= -21-32 = -53; det

(i

ＭｾＩ

= 32+21 = 53.

Regel 3: Werden die Elemente einer (!) Zeile (oder Spalte) mit einem Skalar >. multipliziert, so wird der Determinantenwert mit>. multipliziert.

108

III Matrizen und Determinanten

Regel 4: Die Detenninante hat den Wert 0, wenn eine Spalte (oder Zeile) der Nullvektor ist. Allgemeiner, wenn die Spalten (oder Zeilen) linear abhangig sind.

..

Beispiele: det

(5 00) = 0; (5 -10) -6 = 0, ( >. 3

det

3

det

all all

Regel 5: Der Wert einer Detenninante andert sich nieht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) elementweise addiert. Beweis: det ( all

+ >. a 21 a21

all a 22 -

a21 a1 2+

,>. a 21 a 22

v

>. a 21 a22"

=0

Regel 6: (Multiplikationstheorem ftlr Determinanten) Fur zwei Matrizen A , B gilt stets: det (A · B) = det (A) . det (B) .

Beispiel: det ((

-i) (i ;)) = ＨＱｾ ｾＩ = 48 ｾ -i) i ;) =(-12) ·2=-24.

ｾ

det

det(

72 = -24,

. det (

Regel 7: Die Detenninante einer Dreieeksmatrix besitzt den Wert des Produktes der Hauptdiagonalelemente.

Beispiel: det

(6

Ｉｾ

= 4 .2 = 8;

det

Ｈｾ

_

ｾ

) = 3(-1) = -3.

Bemerkung: Die aufgelisteten Regeln sind so fonnuliert , daf sie auch fur allgemeine, n-reihige Detenninanten gultig sind.

109

2.3 n-reihige Determinanten

2.3 n-reihige Determinanten Definition: Ｈｅｮｴｗｩ｣ｾｧｳ｡ｺ

Sei A

=

j)

:;nCh)LaPlace)

=

:

:

nI

eine (n x n )-Matrix. Dann ist die Deter-

n

minante der Matrix A dejiniert durch n

det A =

L

(-1) H j

det ａ ｾ ｪ

fur ein fest es i E {I , . . . , n }.

j =1

Dabei ist ａｾｪ die (n - 1) x (n - 1)-Untermatrix, die aus A entsteht, indem die i-te Zeile und j -te Spalte gestrichen wird: Ij

·u

.,,,

" J

+-

i - teZeile

nj

Man bezeichnet dieses Vorgehen als Entwicklung der Determinante nach der

i-ten Zeile. Da A:j eine (n - 1) x (n - 1 )-Matrix ist, bezeichnet man det (A:j ) als Unterdeterminante. Durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsformel laft! sich eine n -reihige Determ inante auf2-reihige Determinanten zuruckfu hren und damit berechnen. Bemerkungen : (l) Die Detenninante ist nur fur quadratische Matrizen definiert . j kann man sich als Vorzeichen des folgenden Schach(2) Das Vorzeichen brettmusters vorstellen. Z. B. ist das Vorzeichen von a 43 : (_ 1)4+3 = -1.

+

+ +

+

+ +

+

+ +

G

+

+

+

+ + + +

+

+

(3) Die Zeile i E {I , . . . , n }, nach der die Detenninante entwickelt wird, ist beliebig ; der Detenninantenwert hangt nicht von der Wahl von i abo (4) Die Entwicklung der Detenninante nach der i-ten Zeile kann man sich so

110

III Matrizen und Deterrninanten

vorstellen, daB die i-te Zeile gestrichen wird und nacheinander ein Fadenkreuz jeweils eine Spalte streicht: 1. Spalte : (-1) i+ I ail det ａｾｬ i+2 ' I ai2 det A i 2 2. Spalte : (-1) n. Spalte : (-1) i+n ain det ａ ｾ ｮＧ Aufsummieren aller Unterdeterminanten mit dem zugehorigen Faktor aij und dem Vorzeichen entsprechend dem Schachbrettmuster liefert den Determinantenwert. (5) Die Determinante liiBt sich auch nach der k-ten Spalte entwickeln: n

L (_I)i+ k aik det ａｾｫ

det A =

fur festes k E {I, 2, . .. , n}.

i= l

(6)

Fur n-reihige Determ inanten gelten die gleichen Rechenregeln, wie die in §2.2 angegebenen Rechenregeln fur 2-reihige Determinanten.

Spezialfiille: = 1 : det(all)

= all .

n

n = 2 : Entwicklung nach der ersten Spalte det n =

(3 Ｚ ｡ Ｚ

det

=

a21

a 22

a23

a31

a 32

a33

all

+(+1) 1

= all

- det(a22) - a21

det(aI2)

= all a22 -

a21 a12.

ｾ ｷｴ ｾ ｾ ｾ ｬ ｵｮ ｾ ［ ｡ Ｉ ｃ ｨ der ersten Spalte

(+1)

= all

12 ) a a 22

( a ll a21

21

a 22

a23

31

a 32

a33

a 31 a23

a22 a 32

=

a 33

+ (-1)

11

a12

al 3

21

a22

a23

- a2 1

1

a12 a 32

a13 a 33

11

al2

a1 3

31

a32

a 33

a21

I+ I a31

a12 a 22

a13 a 23

1

12. Beispiele: (1) Wir berechnen die folgende Determinante durch Entwicklung nach der zweiten Zeile :

detO

3 4

-2

-{ ) = (-1) .01

o

3 51+ 4 1

-2 0

2

2

51+(_1) .(_1) 1 0

1

1

111

2.3 n-reihige Determinanten

= 4 · (-5) + 1 . (-7) = - 27. (2) Wir entwickeln die nachfolgende Determinante nach der ersten Spalte, da sie zwei Nullen als Elemente aufweist (man harte aber auch eine andere Zeile oder Spalte mit zwei Nullen wahlen konnen):

o

1 2

2 0 4

= 1 · 3 2 1 +3 0 1 2 = 3+3· (-8) = -21. 1 1 0

1 (0 01)

(3) Die Einheitsmatrix In =

1 1 0 hat als Determinantenwert

Idet In = 1.1 (4) Eine Dreiecksmatrix D

=

* )

0

(

hat als Determinantenwert

An

FUr den Spezialfall n = 3 (und nur fur diesen Spezialfall !) kann man den Determinantenwert durch die auf Sarrus zuruckgehende Regel berechnen: Berechnung einer 3-reihigen Determinante nach Sarrus (Sarrussche Regel)

Die erste und zweite Spalte der Matrix wird nochmals neb en die Determinante gesetzt. Den Wert der Determinante erhalt man dann , indem man die drei Hauptdiagonalprodukte addiert und die Antidiagonalprodukte davon subtrahiert: det

=

22 33 3

+

2 31

2

3 31

-

13. Beispiel: Wir berechnen die Determinante von

+

3

3 32 -

(

=

21

1

2

1

o

-1

-2

-1 ) ｾ

nach Sarrus:

112

III Matrizen und Determinanten

1

2-1

101 -1 -2 1 det A

1 1 -1

2 0 -2

= 1 . 0 . 1 + 2 . 1 . (-1) + (-1) . 1(- 2) -( -1) · 0· (-1) - 1 . 1 . (-2) - 2·1 ·1 = -2 + 2 + 2 - 2 = O.

Determinante der inversen Matrix: Sei A eine invertierbare Matrix . Dann gibt es zu dieser Matrix eine Inverse A-I mit der Eigenschaft

A·A- 1 =In wenn In die Einheitsmatrix ist. Nach dem Multiplikationssatz fur Determinanten (Regel 6) gilt dann det(A . A-I) = det(A) . det(A -1) = det In = 1.

Damit folgt fur den Determinantenwert der Inversen: Satz: (Determinante der Inversen) 1st A eine invertierbare Matrix, dann ist detA

0

und die Determinante der Inversen A-I ist gegeben durch detA

-1

1

= det A .

Praktische Berechnung n-reihiger Determinanten Bei der praktischen Berechnung n-reihiger Determinanten wachst der Rechenaufwand mit zunehmender Ordnung rasch an. Denn aus einer n-reihigen Determinante entstehen durch Entwicklung ｉＱｾ = 3 k = 3 . 4 .. .. . n zweireihige Unterdetermi= 4 k = 4 . 5 . . . . . n 3-reihige Unterdeterminanten. Daher fiihrt nanten bzw. ｉＱｾ man gemaB der aufgelisteten Rechenregeln die Matrix auf eine einfachere Form uber und berechnet dann erst den Determinantenwert. Da sich der Wert der Determinante nicht andert, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzuaddiert, ist es zur Berechung von det (fur n > 3) zweckmaliig, zuerst mit elementaren Umformungen moglichst viele Nullen in einer Spalte oder Zeile zu erzeugen . Nach dieser Spalte oder Zeile wird dann entwickelt. Die 3-reihigen Determinanten konnen dann nach der Sarrusschen Regel berechnet werden.

14. Beispiel: Wir addieren vor der Berechnung der Determinante die erste Zeile zur dritten und das zweifache der ersten Zeile zur vierten und entwickeln danach

113

2.4 Anwendungen von Determinanten

die 5-reihige Detenninante nach der ersten Spalte. Bei der 4-reihige Detenninante subtrahieren wir von der ersten Spalte die dritte und entwickeln anschlie13end nach der letzten Zeile :

(_1o

0 -2 1 1 det 1 2 4 3 2 1 0 0 o 4 0 4 1 1 4 1 +')det ( 0 -4 404

o

1 2

(_'

ｾ

= (-1)(-4)det

0 4 2 1 0 4 2 1 0 4 2 4 2 7 0 1

= det

ｾ

("

0

o o

(-l)det (

0 -2 1 1 4 1 0 -4 4 0 1 1 1 4 0 -4 4 0

1

2 3 3 4

1

= 4 (-96) = -384.

ｾ1

n

Die Berechnung von Determinanten erfolgt bei MAPLE mit dem det-Befehl > with (Iinalg) : > A := matrix([ [-1,1,0,-2,0], [0,2,1,1,4], [1,2,4,3,2], [2,1,0,0,1], [0,4,0,4,0] ]): > Det( A ) det( A );

=

Det(A) = -384

2.4 Anwendungen von Determinanten 2.4.1 Losen von linearen Gleichungssystemen: Cramersche Regel. Cramersche Regel: Sei A = (aij )eine (n x n )-Matrix mit den Spaltenvektoren (a I, a 2 , . . . , an) . Dann ist die Losung des linearen Gleichungssystems

mit

Ｌｾ

c:), ｾ ｃ ｾ ) b

xi

falls det (A)

gegeben durch

d et ( a I , . . . , ai-I , --+b , aHI , ... , a det (A) =

n) ,

=I O. --+

Man ersetzt die i-te Spalte von A durch die rechte Seite b des LGS. Dann ist die i-te Komponente des Losungsvektors X' der Quotient der Detenninante der

114

III Matrizen und Determinanten

so entstandenen Matrix und der Detenninante von A. 15. Beispiel: Gesucht ist die Losung des LGS

+

Xl

1

X2

+

X2

+

n n 3Xl

i 0i ･ｴｏ i ｮｾＭｬ Ｈｾ

Es ist A =

Cramerschen

X

ｾ ｾ

und

b

X3

0) ｾ

mit det A d " 0 Nach der

0ｾ nｾ

egel ergeben sich die Komponenten des Losungsvektors aus

d et

ｘ Ｓｾ､

+

2 X2

1 0

X3

ｾ

ｾ ｾ

-1 ;

det

2

cn

ＩＺｏｾ

=>

Man soUte aUerdings die Cramersche Regel nicht zur Auflosung von linearen Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten verwenden, da der Rechenaufwand erheblich wird. Die Fonnel ist aber niitzlich fur die Berechnung einzelner Unbekannter bzw. wenn das Gleichungssystem einen Parameter enthalt, ---4

---4

---4---4

2.4.2 Vektorprodukt a x b zweier Vektoren a und b: In Kap. II, § 2.3 wurde eine Fonnel fur das Vektorprodukt c* =

ｾ

Vektoren

( :: )

und

b

ｾ

(

ｾ

)

a: x

---4

b zweier

hestimmt. Diese Fonnel wird formal

durch eine 3-reihlge Detenninante dargestellt: ---4 ---4

e

---4

wenn

I

---4

x b

e2 ---4 e3

= ---4 el

e: e: e: I,

2,

I aay z

I

by b - ---4 e2 z

die Einheitsvektoren sind.

3

dn

16. Beispiel: Berechnunt des Drehmomentes

(-D

---4

---4

= r

m und ---4

x F

F

=

I

ｾ It l ---4 e

2

1t 3

1 10 -2 20 5 50

---4

auf einen Kerper mit

r'

115

3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang

-2 20 5 50

1 10 5

1 10

50

-2

20

I ( =

-200 )

Ｔｾ

[Nm].

§3. Losbarkeit von Iinearen Gleichungssystemen 3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang Wir kommen nun auf die Fragestellung zuruck, unter welchen Bedingungen ein lineares Gleichungssystem

AX'=

b

losbar ist. Und wenn es losbar ist, ob es eine eindeutige Losung oder unendlich viele Losungen besitzt. Zur Charakterisierung von LGS bzw. linearen Abbildungen fuhrt man die folgenden Begriffe ein : Definition: Sei

eine (m x n )-Matrix.

(1) Die Menge aller Losungen des homogenen LGS A X' = als Kern oder Nullraum von A.

-0 bezeichnet man

(2) Die Menge der Vektoren A X', X' E IR n, heifit Spaltenraum von A. (3) Die maximale Anzahl linear unabhangiger Spalten von A heifit der Spalten rang von A. (4) Die maximale Anzahllinear unabhangiger Zeilen von rang von A.

heifit der Zeilen-

Bemerkung: Da jede (m x n)-Matrix einer linearen Abbildung