Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch: Band 2 Komplexe Zahlen und Funktionen, Vektoralgebra und Analytische Geometrie, Matrizenrechnung, Vektoranalysis [3 ed.] 978-3-211-76744-3, 978-3-211-76745-0

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Josef Trölß

Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 2 Komplexe Zahlen und Funktionen Vektoralgebra und Analytische Geometrie Matrizenrechnung Vektoranalysis Dritte, aktualisierte Auflage

SpringerWienNewYork

Mag. Josef Trölß Asten/Linz, Österreich

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Mit zahlreichen Abbildungen

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ISBN ISBN

978-3-211-76744-3 SpringerWienNewYork 978-3-211-71176-7 2. Aufl. SpringerWienNewYork

Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler, sowie Anwenderinnen und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad sind die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was wäre wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können.

Gliederung des zweiten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 14 (M011) erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: x

Komplexe Zahlen und Funktionen: Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen, Darstellungsformen komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Anwendungen komplexer Größen: komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen, Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz; Berechnungen im Wechselstromkreis: Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung, Ortskurven, komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis, Amplituden- und Phasengang bei Vierpolen.

x

Vektoralgebra und analytische Geometrie: Vektoren, Grundrechenoperationen von Vektoren, Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem, Vektorräume: Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension; Betrag eines Vektors, Produkte von Vektoren: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt; analytische Geometrie: Teilung einer Strecke, Geradendarstellung, Ebenendarstellung, Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde.

x

Matrizenrechnung: Reelle Matrizen: Transposition, Gleichheit von Matrizen, Multiplikation von Matrizen, Determinanten, reguläre und singuläre Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix, Rang einer Matrix, Spur einer Matrix, verallgemeinerte inverse Matrix, Untermatrizen, verschiedene Matrixzerlegungen, lineare Gleichungssysteme, quadratische lineare Gleichungssysteme; komplexe Matrizen: konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix, hermitesche Matrix, schiefhermitesche Matrix, unitäre Matrizen, komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme; Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix, verallgemeinertes Eigenwertproblem; Matrixnormen und Konditionszahlen. Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik: einfache Anwendungen in der linearen Netzwerktechnik, Anwendungen in der Vierpoltheorie; Anwendungen in der Mechanik, Anwendungen in der Computergrafik, Anwendungen in der linearen Optimierung, Anwendungen in der Ökonomie.

x

Vektoranalysis: Raumkurven: vektorielle Darstellung einer Kurve, Ableitung einer Vektorfunktion, Tangentenund Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve; Flächen im Raum: vektorielle Darstellung einer Fläche, Kurven auf Flächen; ebene und räumliche Koordinatensysteme: zweidimensionale Koordinatensysteme (Kartesisches System und Polarkoordinatensystem), dreidimensionale Koordinatensysteme (Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten); Skalar- und Vektorfelder, klassische Differentialoperatoren: Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes, Rotation eines Vektorfeldes; Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren, Linien- und Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, Integralsätze von Gauß und Stokes.

Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Ein recht umfangreicher Zeichensatz ist die Unicode-Schriftart "Arial". Eine neue Mathematikschriftart (Unicode-Schriftart "Mathcad UniMath") von Mathcad erweitert die verfügbaren mathematischen Symbole (wie z. B. griechische Buchstaben, mathematische Operatoren, Symbole und Pfeile) beträchtlich. Einige Sonderzeichen aus der Unicode-Schriftart "Arial" stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung (QuickSheets-Gesonderte Rechensymbole). Spezielle Zeichen finden sich auch in anderen Zeichensätzen wie z. B. Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT, Castellar und CommercialScript BT. Empfohlen wird aber der Einsatz von reinen Unicode-Schriftarten. Zum Einfügen verschiedener Zeichen aus verschiedenen Zeichensätzen ist das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Es gibt aber auch andere nützliche Zeichentabellen-Programme. Viele Zeichen können aber auch mithilfe des ASCII-Codes (siehe Zeichentabelle) eingefügt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen als Variablen ist in Mathcad nur dann möglich, wenn z. B. die Schriftart "Tvector" installiert wird. Der Vektorpfeil über mathematische Ausdrücke (in der Symbolleiste-Matrix) stellt einen Vektorisierungsoperator dar. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z. B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht.

Danksagung Eine große Hilfe waren beim Erstellen dieses Buches die vielen Beiträge im Internet und einige im Anhang angeführte Bücher, von denen ich viel gelernt habe und deren Ideen und Vorschläge sich in einigen Bereichen dieser Arbeit widerspiegeln. Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2008

Josef Trölß

Inhaltsverzeichnis

1. Komplexe Zahlen und Funktionen

1 ... 102

1.1 Allgemeines

1

1.2 Definition einer komplexen Zahl

1

1.3 Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen

3

1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen

6

1.5 Rechnen mit komplexen Zahlen

13

1.5.1 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen

14

1.5.2 Multiplikation und Division von komplexen Zahlen

16

1.5.3 Potenzieren von komplexen Zahlen

28

1.5.4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen

30

1.5.5 Logarithmieren von komplexen Zahlen

37

1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen

38

1.6.1 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen

38

1.6.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz

44

1.6.3 Berechnungen im Wechselstromkreis

49

1.6.3.1 Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung 1.7 Ortskurven

50 64

1.7.1 Geradlinige Ortskurven

65

1.7.2 Ortskurve durch Inversion komplexer Größen

68

1.7.3 Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis

76

1.7.4 Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen

89

2. Vektoralgebra und analytische Geometrie

103 ... 216

2.1 Vektoren

103

2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren

104

2.2.1 Addition von Vektoren

104

2.2.2 Subtraktion von Vektoren

106

2.2.3 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl

107

2.3 Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

108

2.4 Vektorräume

110

2.4.1 Untervektorräume

114

2.4.2 Lineare Unabhängigkeit

115

2.4.3 Basis und Dimension

118

2.5 Betrag eines Vektors

120

2.6 Produkte von Vektoren

125

2.6.1 Skalarprodukt

125

Inhaltsverzeichnis

2.6.2 Vektorprodukt

132

2.6.3 Spatprodukt

140

2.7 Analytische Geometrie

143

2.7.1 Teilung einer Strecke

143

2.7.2 Geradendarstellung

146

2.7.3 Ebenendarstellung

165

2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde

185

3. Matrizenrechnung 3.1 Reelle Matrizen

217 ... 359

217

3.1.1 Transposition

228

3.1.2 Gleichheit von Matrizen

232

3.1.3 Multiplikation von Matrizen

232

3.1.4 Determinanten

235

3.1.5 Reguläre und singuläre Matrix

242

3.1.6 Inverse Matrix

243

3.1.7 Orthogonale Matrix

247

3.1.8 Rang einer Matrix

249

3.1.9 Spur einer Matrix

255

3.1.10 Verallgemeinerte inverse Matrix

256

3.1.11 Untermatrizen

257

3.1.12 Verschiedene Matrixzerlegungen

263

3.1.13 Lineare Gleichungssysteme

267

3.1.14 Quadratische lineare Gleichungssysteme

273

3.2 Komplexe Matrizen

280

3.2.1 Konjugiert komplexe Matrix

282

3.2.2 Konjugiert transponierte Matrix

283

3.2.3 Hermitesche Matrix

284

3.2.4 Schiefhermitesche Matrix

285

3.2.5 Unitäre Matrix

286

3.2.6 Komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme

287

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix

288

3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix

295

3.3.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix

297

3.3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermitschen Matrix

298

3.3.4 Verallgemeinertes Eigenwertproblem

301

3.4 Matrixnormen und Konditionszahlen

302

Inhaltsverzeichnis

3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung

305

3.5.1 Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik

305

3.5.1.1 Einfache Anwendungen in der Netzwerktechnik

305

3.5.1.2 Anwendungen in der Vierpoltheorie

309

3.5.2 Anwendungen in der Mechanik

326

3.5.3 Anwendungen in der Computergrafik

330

3.5.4 Anwendungen in der linearen Optimierung

348

3.5.5 Anwendungen in der Ökonomie

356

4. Vektoranalysis 4.1 Raumkurven

360 ... 484

360

4.1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve

360

4.1.2 Ableitung einer Vektorfunktion

364

4.1.3 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve

373

4.2 Flächen im Raum

383

4.2.1 Vektorielle Darstellung einer Fläche

383

4.2.2 Kurven auf Flächen

389

4.3 Ebene und räumliche Koordinatensysteme

391

4.3.1 Zweidimensionale Koordinatensysteme

391

4.3.2 Dreidimensionale Koordinatensysteme

395

4.3.2.1 Zylinderkoordinaten

395

4.3.2.2 Kugelkoordinaten

400

4.4 Skalar- und Vektorfelder

405

4.4.1 Skalarfelder

405

4.4.2 Vektorfelder

407

4.5 Klassische Differentialoperatoren

413

4.5.1 Der Gradient eines Skalarfeldes

413

4.5.2 Die Divergenz eines Vektorfeldes

425

4.5.3 Die Rotation eines Vektorfeldes

431

4.6 Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren

439

4.7 Linien- und Kurvenintegrale

447

4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern

460

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes

473

Inhaltsverzeichnis

Anhang

485 ... 545

Übungsbeispiele

485 ... 538

Literaturverzeichnis

539 ... 540

Sachwortverzeichnis

541 ... 545

Komplexe Zahlen und Funktionen

1. Komplexe Zahlen 1.1 Allgemeines Im Bereich der reellen Zahlen sind die Rechenoperationen erster und zweiter Stufe (+, - , . , : ) unbeschränkt ausführbar (außer der Division durch 0!). Dies gilt nicht für die Rechenoperationen 3. Stufe wie Potenzieren! Dieses Problem führt unweigerlich zum Begriff der komplexen Zahlen. Eine breite Anwendung finden komplexe Zahlen z. B. in der Elektro-, Regelungs- und Nachrichtentechnik. Beispiel 1.1.1: Lösung der quadratischen Gleichung: 2

gegebene Gleichung

2

umgeformte Gleichung

x 1=0 x = 1

Im Reellen sind Zahlen wie

1 nicht erklärt! Denn es gibt keine reelle Zahl x mit der Eigenschaft

x2

= -1 ! Die Quadrate von positiven und negativen Zahlen sind immer positiv! Es ist daher notwendig, neue Zahlen zu konstruieren (vor Einführung der negativen Zahlen gab es ja auch die Zahl -1 nicht).

1.2 Definition einer komplexen Zahl Der formale Wurzelausdruck gekennzeichnet: j=

1 heißt imaginäre Einheit und wird durch das Symbol j

1 .

(1-1)

Das Quadrat der imaginären Einheit j ergibt dann die reelle Zahl -1: 2

j = 1

(1-2)

Bemerkung: In der Mathematik wird statt j meist der Buchstabe i verwendet. In den physikalischen und technischen Anwendungen ist, um Verwechslungen mit der Stromstärke i zu vermeiden, der Buchstabe j gebräuchlich. Für die imaginäre Einheit wird nachfolgend j häufig verwendet. Mit j = 1 darf nicht mit den für nichtnegative Radikanden gültigen Wurzelgesetzen gerechnet werden, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: 1 = j ˜ j =

1 ˜

1 =

( 1) ˜ ( 1) =

1 = 1 !!!

Mit dieser Definition ist die oben angeführte Gleichung lösbar: 2

x 1=0

x1 = j

Probe:

j = 1

2

x2 = j

Lösungen der Gleichung

2

( j ) = 1

Seite 1

Komplexe Zahlen und Funktionen

Potenzen der imaginären Einheit: Positive Potenzen: 0

1

j =1

2

3

j = 1

j =j

2

4

j = j ˜ j = j

2

2

5

j =j ˜j =1

4

6

j =j ˜j =j

4

2

j = j ˜ j = 1

Negative Potenzen: 0

j =1

j

1

=

1 j

=

j j˜j

= j

j

2

=

1 j

2

= 1

j

3

=

1 j

3

=

1 j

=j

j

4

=

1 j

4

=1

Allgemein gilt: j

4˜n

=1 , j

4˜n 1

=j

,

j

4˜n 2

= 1 , j

4˜n 3

= j

(1-3)

mit n  . Definitionen: Unter einer imaginären Zahl j ˜ y oder y ˜ j

(1-4)

verstehen wir das formale Produkt aus der reellen Zahl y und der imaginären Einheit j. Unter einer komplexen Zahl z verstehen wir die formale Summe aus einer reellen Zahl x und einer imaginären Zahl j.y: z = x  y˜ j = x  j ˜ y

( x,y )

(1-5)

Wir schreiben z auch in Zahlenpaarform: z = ( x ; y) . Die komplexe Zahl  z* = z = x  j ˜ y

(1-6)

heißt die zu z = x  j ˜ y konjugiert komplexe Zahl. Bemerkung: "Imaginär" bedeutet "nur in der Vorstellung existierend" im Vergleich zu reell (wirklich). "Komplex" heißt "zusammengesetzt", nämlich aus einer "reellen Zahl und einer imaginären Zahl". x und y . j heißen Komponenten von z. Daher heißt diese Darstellung der komplexen Zahl Komponentendarstellung. Sie wird auch algebraische Form, kartesische Form oder Normalform genannt. x heißt Realteil und y heißt Imaginärteil von z. Wir schreiben: Re(z) = x und Im(z) = y. Eine komplexe Zahl kann damit auch in folgender Form geschrieben werden: z = Re(z) + j . Im(z). Die Menge = { z| z = x + j . y šx,y } heißt Menge der komplexen Zahlen. In der Mathematik wird eine komplexe Zahl häufig nur mit z bezeichnet. In den Anwendungen werden komplexe Größen durch Unterstreichen gekennzeichnet (z. B. U, Z , I usw.). Wir verwenden hier generell die Schreibweise mit Unterstreichen.

Seite 2

Komplexe Zahlen und Funktionen

1.3 Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen Betrachten wir den Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl als kartesische Koordinaten eines Punktes P der x-y-Ebene, so kann jeder komplexen Zahl z genau ein Bildpunkt P(z) = (x ; y) zugeordnet werden. Es gilt auch die Umkehrung. z = x + j . y œ P(z) = (x ; y)

(1-7)

Die Bildebene heißt komplexe Ebene oder Gauß'sche Zahlenebene. Die beiden Koordinatenachsen werden als reelle und imaginäre Achsen bezeichnet. In Mathcad muss die imaginäre Einheit i bzw. j in der Form 1i bzw. 1j (ohne Malpunkt!) eingegeben werden. Falls wir die Eins vergessen, interpretiert Mathcad i bzw. j als normale Variable! Wir verwenden hier in Mathcad zur Darstellung einer komplexen Zahl ein eigenes Format (Fett mit Unterstreichen).

Beispiel 1.3.1: x 3

y 2

z x j˜y

Real- und Imaginärteil gegebene komplexe Zahl Gauß'sche Zahlenebene

imaginäre Achse

3

Re( z)

Im( z)

2

z

Im( z) 1

0

1

2

3

4

Re( z) reelle Achse

Abb. 1.3.1 Bildliche Darstellung einer komplexen Zahl durch einen Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene. Die Bildpunkte der reellen Zahlen liegen dabei auf der reellen Achse und die Bildpunkte der imaginären Zahlen auf der imaginären Achse.

In den Anwendungen werden komplexe Zahlen (Größen) oft durch komplexe Zeiger dargestellt. Es handelt sich hier um eine bildliche Darstellung der komplexen Zahl z in Form eines Pfeils, der vom Koordinatenursprung aus zum Bildpunkt P(z) = (x ; y) gerichtet ist. Diese geometrische Darstellungsform der komplexen Zahl darf nicht mit einem Vektor verwechselt werden! Zeiger und Vektoren unterliegen unterschiedlichen Rechengesetzen.

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Komplexe Zahlen und Funktionen

Beispiel 1.3.2: ORIGIN  1 zeiger ( z ) 

x1 m 0 y1 m 0 x2 m Re ( z ) y2 m Im ( z ) x3 m Re ( z ) y3 m Im ( z )

§ π  winkel x y ·  3 3 ¸ ©3 ¹ §π · y4 m y3  cos ¨  winkel  x3 y3 ¸ 3 © ¹ x4 m x3  sin ¨

x5 m Re ( z )

Dieses Unterprogramm liefert die Endpunkte der Teilstrecken, aus denen ein Zeiger zusammengesetzt ist.

y5 m Im ( z )

§  © § y6 m y3  sin ¨ winkel  x3 y3  ©

x6 m x3  cos ¨ winkel x3 y3 

π·

¸

6¹ π·

¸

6¹

X m erweitern ( x y) z1  4  j ˜ 4

gegebene komplexe Zahl ¢ ²

 1

xz1  zeiger z 1

¢2²

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken



yz1  zeiger z 1 z2  4  j ˜ 4

gegebene komplexe Zahl (konjugiert komplexe Zahl von z 1 ) ¢ ²

 1

xz2  zeiger z 2

¢2²



yz2  zeiger z 2

x- und y-Werte der Endpunkte der Zeigerteilstrecken

Seite 4

Komplexe Zahlen und Funktionen

Bildpunkte und Zeiger 10

imaginäre Achse

8



Im z1

4

y z1

2



Im z2

z1

6

 10

8

6

4

2

y z2

2

0

2

4

4

6

8

10

 z2 = z1

6

Wegen der Zeigerdarstellung ist hier auf eine gleichmäßige Einteilung der Achsen zu achten!

8  10



geometrische Punkt- und Zeigerdarstellung einer komplexen Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene



Re z1 x z1 Re z2 x z2 reelle Achse

Abb. 1.3.2 Bemerkung: z 2 ist die zu z 1 konjugiert komplexe Zahl (Vorzeichenwechsel im Imaginärteil). Die zugehörigen Bildpunkte bzw. Zeiger liegen dabei spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Unter dem absoluten Betrag z =

2

2

x  y ( |z| t 0 )

(1-8)

der komplexen Zahl z = x  j ˜ y verstehen wir die Länge des zugehörigen Zeigers. Der absolute Betrag hat folgende Eigenschaften:

z = z

*

;

z =

z˜z

*

;

z1 ˜ z2 = z1 ˜ z2

;

z1 z2

=

z1 z2

.

 Wir schreiben nach (1-6) in Mathcad anstatt z * für die konjugiert komplexe Zahl z 1 . 1 Der Querstrich kann nach Eingabe der Variablen z 1 mithilfe der Anführungszeichentaste 0 sind λ ˜ a und a gleich orientiert (Abb. 2.2.7); o o für O < 0 sind λ ˜ a und a entgegengesetzt orientiert; o o für O = 0 ist λ ˜ a = 0 .

(2-6) (2-7) (2-8)

o o Ist a ein von 0 verschiedener Vektor, so heißt (Abb. 2.2.7) o  1 o 1 o ea = o ˜ a = ˜ a a a

(2-9)

o der Einheitsvektor in Richtung des Vektors a . Für ihn gilt o o o  o o   ea = 1 und damit a = a ˜ ea = a ˜ ea .

(2-10)

Abb. 2.2.7

Bezüglich der Multiplikation gelten folgende Gesetze (O, P): o o a) 1 ˜ a = a o o o b) λ ˜ μ ˜ a = ( λ ˜ μ) ˜ a = λ ˜ μ ˜ a o o o o c) λ ˜ a  b = λ ˜ a  λ ˜ b o o o ( λ  μ) ˜ a = λ ˜ a  μ ˜ a

 

Existenz des Einselements

(2-11)

Assoziativgesetz

(2-12)

Distributivgesetze

(2-13)

Seite 107

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.2.4: o o o o  M ist der Halbierungspunkt der Strecke AB. Es soll m = OM durch a und b ausgedrückt werden. o  o o  o 1  o OM = OA  AM = OA  ˜ AB 2 Abb. 2.2.8

 o o o AB = b  a





o o 1 o o m=a ˜ b a 2

2.3 Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Wir werden unseren weiteren Überlegungen ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde legen. Die Basis bilden dabei sogenannte paarweise orthogonale Einheitsvektoren (siehe Abschnitt 2.4.3). Im ebenen kartesischen Koordinatensystem sind es die Basisvektoren o o o  o  ex = e1 und ey = e2 .

(2-14)

Im dreidimensionalen Raum werden die Basisvektoren o o  o o  o  o  ex = e1 , ey = e2 und ez = e3

(2-15)

so angeordnet, dass ein Rechtssystem entsteht. Die Basisvektoren werden auch kartesische Basis genannt. Siehe dazu Abb. 2.3.1. Rechtssystem: Drehen wir die x-Achse auf kürzestem Weg in Richtung y-Achse, so bewegt sich eine mitgedrehte Rechtsschraube in Richtung der z-Achse. Oder nehmen wir die Finger der rechten Hand und bilden damit die Koordinatenachsen, so ist in einem Rechtssystem der Daumen die x-Achse, der Zeigefinger die y-Achse und der Mittelfinger die z-Achse. o  o Der Pfeil der vom Ursprung O zum Punkt A geht a = OA wird als Ortsvektor bezeichnet. Der Ursprung selbst hat im ebenen kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten O(0|0) und im räumlichen kartesischen Koordinantensystem die Koordinanten O(0|0|0). Bemerkungen: In praktischen Anwendungen können wir häufig die Lage des Koordinatensystems (Ursprung und Achsenrichtungen) frei wählen. Wir werden dann die Auswahl so treffen, dass sich Vereinfachungen beim Rechnen ergeben. Öfters kann aber auch auf das Einzeichnen eines Koordinatensystems verzichtet werden. Die Basisvektoren werden auch mit i, j und k bezeichnet.

Seite 108

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.3.1

Die x-Achse wird Abszisse und die y-Achse Ordinate genannt. Die zwei Achsen zerlegen die Ebene in vier Quadranten.

Die drei durch je zwei Achsen bestimmten Ebenen heißen Koordinatenebenen bzw. xy-Ebene, xz-Ebene und yz-Ebene. Durch die Koordinatenebenen wird der Raum in acht Oktanden zerlegt.

Vektoren in Koordinatendarstellung: o Wir nennen ax , ay, az   (oder ai  ) die Koordinaten des Vektors a = a . o § ax · ¨ ¸ a=a= ¨ ay ¸ © ¹

zweidimensionaler Ortsvektor

o §1 · ex = ex = ¨ ¸ ©0 ¹

Basisvektor in x-Richtung

o §0 · ey = ey = ¨ ¸ ©1 ¹

o §0 · 0=0=¨ ¸ ©0 ¹

Basisvektor in y-Richtung

Nullvektor in der Ebene

a ¨§ x ·¸ o a = a = ¨ ay ¸

¨ ¸ ¨© az ¸¹

dreidimensionaler Ortsvektor

§1 · o ¨ ¸ ex = ex = ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Basisvektor in x-Richtung

§0 · o ¨ ¸ ey = ey = ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Basisvektor in y-Richtung

§0 · o ¨ ¸  ez = ez = ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Basisvektor in z-Richtung

§0 · o ¨ ¸ 0 = 0 = ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Nullvektor im Raum

o  o Für den Ortsvektor a = OA des Punkte A stimmen die Koordinaten des Endpunktes A mit den Koordinaten des Ortsvektors überein.

Seite 109

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Komponentendarstellung eines Vektors: Mit den Basisvektoren kann durch Linearkombination ein Ortsvektor auch in Komponentenform geschrieben werden: o o o o o a = ax  ay = ax ˜ ex  ay ˜ ey

o o o o o o o   a = ax  ay  az = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

a = ax  ay = ax ˜ ex  ay ˜ ey

a = ax  ay  az = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez

§1 · §0 · a = ax ˜ ¨ ¸  ay ˜ ¨ ¸ ©0 ¹ ©1 ¹

1 0 §¨ 0 ¸· ¨§ ¸· ¨§ ¸· a = ax ˜ ¨ 0 ¸  ay ˜ ¨ 1 ¸  az ˜ ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

2.4 Vektorräume Für die Verschiebungsvektoren konnten bisher eine Reihe von Gesetzmäßigkeiten erkannt werden, etwa die Gruppeneigenschaft bezüglich der Addition oder die Gesetze zur Multiplikation mit Skalaren aus . Wir wollen nun eine Menge mit Verknüpfungen als Vektorraum definieren, die diesen Gesetzen folgen. Anstatt  könnten wir auch einen anderen Körper wie 4 oder  für die Skalare verwenden. Es sei (,+, ·) ein Körper und V eine Menge mit einer inneren Verknüpfung ”+“ zwischen o Elementen aus V und einer äußeren Verknüpfung ”·“, die für jedes O   und jedes a V ein Element o λ ˜ a V definiert. o Ein Element a V heißt ein Vektor, ein Element O   heißt ein Skalar und V heißt ein Vektorraum über dem Körper  bzw. ein -Vektorraum (reeller Vektorraum), wenn die folgenden Eigenschaften gelten: oooo o a) (V,+) ist eine kommutative Gruppe mit a b c 0 a V ((2-2) bis (2-5)). oo b) Es gelten die Gesetze für die Multiplikation von Skalaren O, P   mit Vektoren a b V ((2-11) bis (2-13)). Bemerkung: Jede Menge mit Verknüpfungen, die diese Eigenschaften erfüllen, ist ein Vektorraum! Es muss keinen geometrischen oder physikalischen Bezug für Vektorräume geben. Beispiele für Vektorräume sind z. B. Polynome vom Grad n d 3 oder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten (kurz m x n Matrizen). Auf Matrizen werden wir in einem der nächsten Kapitel eingehen. Zu den einfachsten und grundlegendsten Vektorräumen gehören die Räume der n-Tupel. Für n ² ist die Menge aller reellen n-Tupel das n-fache kartesische Produkt n := ××...x. o Unter der Vereinbarung der Spaltenschreibweise für a n

§¨ a1 ¸· ¨a ¸ 2 o ¨ ¸ a = ¨ ... ¸ mit a1 a2 .... an   ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨© an ¸¹

(2-16)

Seite 110

Vektoralgebra und analytische Geometrie

ist bezüglich der Addition

§ a1 · § b1 · § a1  b1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨ b2 ¸ ¨ a2  b2 ¸ ¨ ¸¨ ¸=¨ ¸ für alle a1 a2 ... an b1 b2 ... bn   ... ... ... ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨a ¸ ¨b ¸ ¨a  b ¸ © n¹ © n¹ © n n¹

(2-17)

und der Vervielfachung

§ a1 · § λ ˜ a1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ a2 ¸ ¨ λ ˜ a2 ¸ 똨 ¸ = ¨ ¸ für alle λ a1 a2 ... an   ¨ ... ¸ ¨ ... ¸ ¨a ¸ ¨λ ˜ a ¸ n¹ © n¹ ©

(2-18)

n ein reeller Vektorraum. Der Nullvektor im n ist dann gegeben durch:

§0· ¨ ¸ o ¨0¸ 0= ¨ ... ¸ ¨ ¸ ©0¹

(2-19)

Durch Verwendung des Transponierungszeichens "T" können wir die Spalten auch platzsparend als Zeile schreiben (Näheres siehe dazu im Kapitel Matrizen):

§ a1 · ¨ ¸ ¨ a2 ¸  a1 a2 ... an T = ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨a ¸ © n¹

(2-20)

Ist n = 1, so entspricht 1 dem Körper  selbst. Daher ist  selbst der einfachste reelle Vektorraum.

Beispiel 2.4.1: a

Gegeben:

§3 · ¨ ¸ ©1 ¹

b

§ 2 · ¨ ¸ ©1 ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendartellung. c=ab=

c a  b

§ 3 · § 2 · § 3  ¨ ¸¨ ¸=¨ ©1 ¹ © 1 ¹ ©1  c

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

2·

§1 · ¸=¨ ¸ 1 ¹ ©2 ¹

d=a b=

§ 3 · § 2 · § 3  ¨ ¸¨ ¸=¨ ©1 ¹ © 1 ¹ ©1 

d a b

Seite 111

d

§5 · ¨ ¸ ©0 ¹

2·

§5 · ¸=¨ ¸ 1 ¹ ©0 ¹

Berechnung händisch Berechnung mit Mathcad

Vektoralgebra und analytische Geometrie

c = a  b = 3 ˜ ex  1 ˜ ey  2 ˜ ex  1 ˜ ey = ( 3  2) ˜ ex  ( 1  1) ˜ ey = 1 ˜ ex  2 ˜ ey





d = a  b = 3 ˜ ex  1 ˜ ey  2 ˜ ex  1 ˜ ey = ( 3  2) ˜ ex  ( 1  1) ˜ ey = 5 ˜ ex Beispiel 2.4.2: Gegeben:

§¨ 2 ¸· b ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· a  ¨3 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendarstellung.

§¨ 1 ¸· §¨ 2 ¸· §¨ 3 ¸· c = a  b = ¨3 ¸  ¨ 4 ¸ = ¨ 7 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

c a  b

§¨ 1 ¸· §¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ d = a  b = ¨ 3 ¸  ¨ 4 ¸ = ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

§¨ 3 ¸· c ¨7 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

d a b

d

§¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Berechnung händisch

Berechnung mit Mathcad

c = a  b = 1 ˜ ex  3 ˜ ey  2 ˜ ez  2 ˜ ex  4 ˜ ey  3 ˜ ez = 3 ˜ ex  7 ˜ ey  1 ˜ ez





d = a  b = 1 ˜ ex  3 ˜ ey  2 ˜ ez  2 ˜ ex  4 ˜ ey  3 ˜ ez = 1 ˜ ex  1 ˜ ey  5 ˜ ez Beispiel 2.4.3: Gegeben: P(3 | -2 | 3), Q(3 | 2 | 2) o  o Gesucht: a = PQ o  o  o o o  o o o a = PQ = PO  OQ = OQ  OP = q  p 3 ¨§ ·¸ p  ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 3 ¸· q  ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

a q  p

§¨ 0 ¸· a ¨4 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

o Den Vektor a erhalten wir aus dem Differenzvektor der beiden Ortsvektoren ("Zielpunkt minus Angriffspunkt")! Ortsvektoren zu den Punkten P und Q

o  o gesuchter Vektor a = PQ

Beispiel 2.4.4

§¨ 2 ¸· Gegeben: a = ¨ 4 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 5 ¸· b = ¨ 2 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹

Gesucht: d = 2 ˜ a  3 ˜ b 

1 2

c = 6 ˜ e1  2 ˜ e2  8 ˜ e3

˜c

Seite 112

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2 § 6 · § 4 · § 15 ·¸ §¨ 3 ·¸ ¨§ 22 ·¸ §¨ 5 ¸· ¨§ ·¸ 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ d = 2 ˜ ¨ 4 ¸  3 ˜ ¨ 2 ¸  ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ 8 ¸  ¨ 6 ¸  ¨ 1 ¸ = ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 10 ¸ 2 ¨ 8 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 30 ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 32 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

Berechnung händisch

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 4 ¸ ¨1 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

§¨ 5 ¸· b  ¨ 2 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹

d 2˜ a  3˜ b 

1 2

6 ¨§ ·¸ c ¨ 2 ¸ ¨ 8 ¸ © ¹

˜c

d

§¨ 22 ·¸ ¨ 1 ¸ ¨ 32 ¸ © ¹

Berechnung mit Mathcad

Beispiel 2.4.5: Eine Flussfähre bewegt sich mit der Eigengeschwindigkeit v = 5 m/s relativ zum Fluss vom Uferpunkt A aus auf kürzestem Weg zum gegenüberliegenden Flussufer. Unter welchem Winkel D muss die Fähre gegen die Strömung gesteuert werden, wenn die Strömungsgeschwindigkeit 1.5 m/s beträgt? Wie groß ist dann die resultierende Geschwindigkeit vr der Fähre? Die Vektoren in Koordinatendarstellung lauten: v=

§ v ˜ sin ( α) · ¨ ¸ © v ˜ cos ( α) ¹

§0 · vr = ¨ ¸ © vr ¹

Abb. 2.4.1

Nach Abb. 2.4.1 gilt folgende Vektorgleichung: vr = v  vs

§ 0 · § v ˜ sin ( α) · § vs · ¸¨ ¸ ¨v ¸ = ¨ © r ¹ © v ˜ cos ( α) ¹ © 0 ¹ v 5˜

m

vereinfacht auf

m vs  1.5 ˜ s

s

§ 0 · § vs  v ˜ sin ( α) · ¨v ¸ = ¨ ¸ © r ¹ © v ˜ cos ( α) ¹

gegebene Geschwindigkeiten

Aus der 1. Koordinate lässt sich der Winkel berechnen: sin ( α) =

vs v

§ vs · ¸ ©v¹

α  asin ¨

α

17.458 ˜ Grad

Aus der zweiten Koordinate ergibt sich die resultierende Geschwindigkeit der Fähre: vr  v ˜ cos ( α)

vr

4.77

m s

Seite 113

vs =

§ vs · ¨ ¸ ©0¹

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.4.1 Untervektorräume Untervektorräume: Sei V ein -Vektorraum. Eine Teilmenge U Ž V heißt Untervektorraum von V, wenn U z^` und oo o o o wenn für alle a b U und alle O   gilt: a  b U, λ ˜ a U. Ein Untervektorraum U von V ist zusammen mit der durch V gegebenen Addition und Skalarmultiplikation selbst ein -Vektorraum. o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Sind a1 a2 .... an  V und λ1 λ2 .... λn , so nennen wir n

¦ k

o

o

o

o

  § λ ˜ a · = λ ˜  a1  λ2 ˜ a2  ....  λn ˜ an 1 k k © ¹

(2-21)

1

o  o o   eine Linearkombination der Vektoren a1 a2 .... an und λ1 λ2 .... λn heißen die Koeffizienten der Linearkombination. o  o o   Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren a1 a2 .... an n o  o o   o o span{ a1 a2 .... an } = { a V| a =

¦

i

§λ ˜o · © i ai¹ mit λi } Ž V

(2-22)

1

o  o o o  o o     heißt lineare Hülle von a1 a2 .... an. Die lineare Hülle ist der von a1 a2 .... an aufgespannte Untervektorraum von V und damit selbst ein -Vektorraum.

Beispiel 2.4.6: In einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem ist jeder Ortsvektor eine Linearkombination der Basisvektoren: o o o o  a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez o o  o 3 Es gilt: span{ ex , ey , ez} =  .

o o Die Punkte der xy-Ebene sind Linearkombinationen von ex und ey. Somit entspricht die xy-Ebene o o span{ ex , ey } und kann somit als Untervektorraum aufgefasst werden. Beispiel 2.4.7: 1˜ λ· §¨ 1 ¸· 3 3 ¨§ ¸ Ist V =  , so ist span { ¨ 2 ¸ } = { ¨ 2 ˜ λ ¸   | O  } ein Unterraum von  . ¨0 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ 3

Es handelt sich (geometrisch interpretiert) dabei um eine Gerade im dreidimensionalen Raum durch den Nullpunkt.

Seite 114

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.4.2 Lineare Unabhängigkeit Lineare Unabhängigkeit: Betrachten wir Verschiebungsvektoren, deren Repräsentanten parallel zueinander sind, wie in Abbildung 2.4.2, so bezeichnen wir sie als kollineare Vektoren (zu einer Geraden gehörend). o o Zwei zueinander kollineare Vektoren a und b können somit durch Multiplikation mit einem Skalar ineinander übergeführt werden, also o o b = μ ˜ a mit ȝ   oder allgemeiner formuliert o o o λ1 ˜ a  λ2 ˜ b = 0 mit O , O  \ {0}. 1

2

Abb. 2.4.2

o Finden wir aber keine Linearkombination dieser Art, d. h., wenn O1 = O2 = 0 sein muss, damit 0 o o erzeugt werden kann, dann sind a und b nicht kollinear und werden linear unabhängig genannt. oo o Betrachten wir Verschiebungsvektoren a, b und c, deren Repräsentanten nach geeigneter Streckung wie in Abbildung 2.4.3 ein Dreieck als geschlossene Vektorkette bilden, so bezeichnen wir sie als komplanare Vektoren (zu einer Ebene gehörend). Es gilt also dann o o o o λ1 ˜ a  λ2 ˜ b  λ3 ˜ c = 0 mit O , O , O  und nicht alle O sind null. 1 2 3 i o Finden wir aber keine Linearkombination dieser Art, d. h., wenn O1 = O2 = O3 = 0 sein muss, damit 0 o o o erzeugt werden kann, dann sind a , b und c nicht komplanar und werden linear unabhängig genannt.

Abb. 2.4.3

Seite 115

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Dieser Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich für beliebige Vektorräume formulieren: o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Endlich viele Vektoren a1 a2 .... an V heißen linear unabhängig, o  o o   wenn eine Linearkombination von a1 a2 .... an nur dann null sein kann, wenn alle Koeffizienten der Linearkombination null sind (triviale Linearkombination), d. h., wenn aus o o o o    λ1 ˜ a1  λ2 ˜ a2  ....  λn ˜ an = 0 stets folgt, dass O1 = O2 = . . . = O2 = 0. o  o o   Andernfalls heißen die Vektoren a1 a2 .... an linear abhängig, d. h., es gibt dann E , E , . . . ,E  , die 1 2 n nicht alle null sind, mit o o o o    β1 ˜ a1  β2 ˜ a2  ....  βn ˜ an = 0.

Beispiel 2.4.8:

§1 · §0 · § 1 · o ¨ ¸ o ¨ ¸ oo o ¨ ¸ Sind die Vektoren a = ¨ 0 ¸ , b = ¨ 2 ¸ bzw. a, b und c = ¨ 4 ¸ linear unabhängig? ¨0 ¸ © ¹

o o o 0 = λ1 ˜ a  λ2 ˜ b =

¨3 ¸ © ¹

§ λ1 · § 0 · §¨ λ1 ¸· ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 ¸  ¨ 2 ˜ λ2 ¸ = ¨¨ 2 ˜ λ2 ¸¸ ¨ ¸ ¨3 ˜ λ ¸ ¨ ©0 ¹ © 2 ¹ © 3 ˜ λ2 ¸¹

¨6 ¸ © ¹

Sind linear unabhängig, weil hier O1 = O2 = 0 gelten muss.

o o o o o o o Die Vektoren a , b und c sind nicht linear unabhängig, denn es gilt: a  2 ˜ b  c = 0.

Beispiel 2.4.9: o Bei einem Dreibein, dessen Stäbe gelenkig gelagert sind, greift im Gelenk S (z-Achse) eine Gewichtskraft G o o   vom Betrag G = 20 kN (in Richtung x-y-Ebene) an. Welche Reaktionskräfte (Druckkräfte) FA, FB und FC treten in den drei Stäben SA, SB und SC auf? Die Koordinaten der Endpunkte der Stäbe lauten: S = (0;0;2) m A = (2; 1; 0) m, B = (-1; 1; 0) m und C = (1; -2; 0) m. Das Eigengewicht der Stäbe wird nicht berücksichtigt. 2 ¨§ ·¸ SA  ¨ 1 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· SB  ¨ 1 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· SC  ¨ 2 ¸ ˜ m ¨ 2 ¸ © ¹

Vektoren der drei Stäbe

Die Stabkräfte FA, FB und FC sind zu ihrem jeweiligen Stabvektor parallel (kollineare Vektoren). Es gilt daher: FA = λ1 ˜ SA

FB = λ2 ˜ SB

FC = λ3 ˜ SC

Seite 116

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Im statischen Gleichgewicht muss die folgende Vektorgleichung erfüllt sein: FA  FB  FC  G = 0 3

kN  10 ˜ N

Einheitendefinition

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 1 ¸· λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ˜ m  λ2 ˜ ¨ 1 ¸ ˜ m  λ3 ˜ ¨ 2 ¸ ˜ m  ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

§¨ 0 ·¸ §¨ 0 ¸· ¨ 0 ¸ ˜ kN = ¨ 0 ¸ ˜ kN ¨ 20 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

vereinfacht auf m ˜  2 ˜ λ1  λ2  λ3 º» § 0 · «ª ¨ ¸ « » = ¨0 ¸ m ˜  λ1  λ2  2 ˜ λ3 « » ¨ ¸ «¬20 ˜ kN  2 ˜ m ˜ λ1  2 ˜ m ˜ λ2  2 ˜ m ˜ λ3 »¼ © 0 ¹ λ1  10 ˜

kN m

λ2  10 ˜

kN m

λ3  10 ˜

kN

Startwerte

m

Vorgabe









m ˜ 2 ˜ λ1  λ2  λ3 = 0 ˜ kN inhomogenes lineares Gleichungssystem

m ˜ λ1  λ2  2 ˜ λ3 = 0 ˜ kN 20 ˜ kN  2 ˜ m ˜ λ1  2 ˜ m ˜ λ2  2 ˜ m ˜ λ3 = 0 ˜ kN λ ¨§ 1 ·¸ ¨ λ ¸  Suchen λ λ λ  1 2 3 ¨ 2¸ ¨© λ3 ¸¹ λ ¨§ 1 ·¸ ¨λ ¸ ¨ 2¸ ¨© λ3 ¸¹

1.111 · ¨§ ¸ 1 ¨ 5.556 ¸ ˜ kN Lösungsvektor ¨ 3.333 ¸ m © ¹

Die gesuchten Druckkräfte lauten daher: FA  λ1 ˜ SA

FB  λ2 ˜ SB

FC  λ3 ˜ SC

2.222 · ¨§ ¸ FA ¨ 1.111 ¸ ˜ kN ¨ 2.222 ¸ © ¹

5.556 · ¨§ ¸ FB ¨ 5.556 ¸ ˜ kN ¨ 11.111 ¸ © ¹

§¨ 3.333 ¸· FC ¨ 6.667 ¸ ˜ kN ¨ 6.667 ¸ © ¹

Seite 117

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.4.3 Basis und Dimension Basis:

o  o o   Sei V ein -Vektorraum. Ein n-Tupel ( b1 b2 .... bn ) von Vektoren aus V heißt Basis von V, wenn gilt: o  o o   a) b1 b2 .... bn sind linear unabhängig;

o  o o   b) V wird von den Basisvektoren aufgespannt, d. h. V = span{ b1 b2 .... bn }.

Beispiel 2.4.10:

§¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· §¨ 0 ¸· 3 Für den Vektorraum  gilt: span{ ¨ 0 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 0 ¸ } =  . ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 3

Außerdem sind die drei Einheitsvektoren linear unabhängig, weil nur für O1 = O2 = O3 = 0 gilt:

§ λ1 · 0 0 0 1 ¨§ ·¸ ¨§ ¸· ¨§ ¸· ¨ ¸ §¨ ¸· ¨ ¸ λ1 ˜ ¨ 0 ¸  λ2 ˜ ¨ 1 ¸  λ3 ˜ ¨ 0 ¸ = λ2 = ¨ 0 ¸ . ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Damit bilden sie eine Basis des 3 . Wir nennen diese Basis kanonische Basis, die wir bereits im Abschnitt 2.3 als kartesische Basis bei kartesischen Koordinatensystemen kennengelernt haben. Eindeutigkeit der Basisdarstellung: o  o o   o Sei V ein -Vektorraum mit der Basis ( b1 b2 .... bn ). Dann ist jedes a V in eindeutiger Weise als o Linearkombination der Basisvektoren darstellbar, d. h., zu jedem a V gibt es genau ein

 λ1

λ2 ... λn

T n , für das gilt:

o o o o    a = λ1 ˜ b1  λ2 ˜ b2  ....  λn ˜ bn

(2-23)

Beispiel 2.4.11:

o  Im  ist mit b1 = 2

1 §2· o § · ¨ 1 ¸ und  ¨ b2 = 2 ¸ eine Basis gegeben. ¨ ¸ ¨ ¸ ©2¹ ©3¹

Mit (2-23) ist jeder Vektor 2 eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar. o §9 · Betrachtet wir den Vektor a = ¨ ¸, so lässt sich die Komponentenzerlegung geometrisch eindeutig ©8 ¹ mit einem Vektorparallelogramm durchführen (siehe Abbildung 2.4.4).

Seite 118

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Im vorliegenden Beispiel gilt:

§2· §1· o o o  o §9 · o   §8 · §1 ·  ¨ ¸ 4 ˜ b1  2 ˜ b2 = 4 ˜ 1  2 ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ ¸  ¨ ¸ = a1  a2 = ¨ ¸ = a ¨ ¸ ¨ ¸ ©2 ¹ ©6 ¹ ©8 ¹ ©2¹ ©3¹ o o   o a1 und a2 nennen wir auch die Vektorkomponenten von a bezüglich der betrachteten Basis.

Abb. 2.4.4

In einem n-dimensionalen Vektorraum bildet jede Menge von n unabhängigen Vektoren eine Basis, d. h., jeder beliebige Vektor dieses Raumes lässt sich als Linearkombination dieser n Vektoren beschreiben. Besonders bedeutsam als Basisvektoren sind Einheitsvektoren (unter Einheitsvektoren verstehen wir Vektoren mit dem Betrag 1), die paarweise orthogonal zueinander sind. Wir sprechen in diesem Fall von einem Orthogonalsystem (i = 1, 2, ..., n). Damit gilt für das sogenannte Skalarprodukt (siehe Abschnitt 5.6) o o ei ˜ ej = δij

(2-24)

mit der Kronecker-Deltafunktion 0 if i z j

δij =

(2-25)

1 otherwise In Mathcad ist die Kronecker-Deltafunktion durch G(i,j) definiert. Ein Orthogonalsystem, das gleichzeitig Basis des Vektorraumes V ist, bezeichnen wir als vollständig. o Für einen beliebigen Vektor a V gilt dann o a=

n

¦ j

§a ˜o · © j ej¹.

(2-26)

1

o  o o o   Die a sind die Komponenten des Vektors a bezüglich der Basis e1 e2 .... en. Wie bereits erwähnt i o o  o o  o  o  bilden die kartesischen Basisvektoren ex = e1 ey = e2 und ez = e3 ein vollständiges Orthogonalsystem. Für den dreidimensionalen (euklidischen) Raum können wir somit (siehe auch Abschnitt 2.3) explizit schreiben: o o o o o o o     a = ax ˜ ex  ay ˜ ey  az ˜ ez = a1 ˜ e1  a2 ˜ e2  a3 ˜ e3 =

3

¦ j

Seite 119

1

§a ˜o · © j ej¹.

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Dimension: x

o  o o   Besitzt ein -Vektorraum V eine Basis ( b1 b2 .... bn ), so heißt V ein endlichdimensionaler Vektorraum und n die Dimension von V. Wir schreiben dimV = n.

x

o  o o   Besitzt ein -Vektorraum V z{0} für kein n (n dn < f) eine Basis ( b1 b2 .... bn ), so heißt V ein unendlichdimensionaler Vektorraum. Wir schreiben dimV = f.

x

Für den -Vektorraum {0} setzen wir dim {0} = 0.

x

Für den -Vektorraum n gilt dim n = n.

Der Raum der Ortsvektoren aus der Anschauungsebene ist daher ein zweidimensionaler Vektorraum und der ”gewöhnliche“ Raum der Ortsvektoren ein dreidimensionaler Vektorraum. Die Behandlung höherdimensionaler Vektorräume ist mit den entwickelten Werkzeugen kein Problem. In der Physik betrachtet wir z. B. den 6-dimensionalen Phasenraum (6 ) der oo Hamilton'schen Mechanik, aus Orts- und Impulsvektoren gebildet ( r , p ), den wir nicht unbedingt geometrisch interpretieren müssen.

2.5 Betrag eines Vektors Die Abbildung || . || : n o  o o a _o a

n

=

¦ i

ai =

2

2

2

a1  a2  ....  an 

(2-27)

1

heißt euklidische Norm oder Betrag (Länge oder Abstand) auf dem n. Neben der euklidischen Norm ist auch manchmal z. B. die Summennorm oder Maximumnorm von Bedeutung. Wir schreiben in weiterer Folge, wie bereits in Abschnitt 2.1 formuliert, den Betrag mit einfachen Betragsstrichen! Im ebenen bzw. räumlichen Koordinatensystem gilt auch nach Pythagoras (Abb.2.3.1) für den Betrag o eines Vektors a o a

o = a =

o a= a

o = a =

a=

§ ax · ¨ ¸ = ¨ ay ¸ © ¹

ax  ay

§¨ ax ¸· ¨a ¸ = ¨ y¸ ¨© az ¸¹

ax  ay  az .

2

2

2

2

(2-28)

bzw. 2

Seite 120

(2-29)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.5.1: o  o Zeigen Sie, dass der Einheitsvektor ea in Richtung eines Vektors a den Betrag gleich 1 besitzt. o  1 o Nach (2-9) gilt: ea = o ˜ a. Bilden wir davon den Betrag, so erhalten wir: a o o  1 o a a ea = o ˜ a = o = = 1 a a a Beispiel 2.5.2: In der Physik wird häufig einer skalar formulierten Gleichung durch den Einheitsvektor eine Richtung m˜M zugeordnet. Die Gravitationskraft besitzt den Betrag F = 㠘 . 2 r Sie wirkt entlang der Verbindungslinie der beiden Massen M und m. Wie lautet die Gravitationskraft in Vektorform, die von der Masse M auf die Masse m ausgeübt wird? Der Einheitsvektor, der von der großen Masse zur kleinen Masse zeigt, ist gegeben durch: o o r er = o r Die Richtung der Gravitationskraft ist gegeben durch: o o r er = o r o o M˜m r F = 㠘 ˜o 2 r r

Abb. 2.5.1 Die Gravitationskraft lautet somit:

Siehe dazu auch Kapitel 4.

Beispiel 2.5.3: Zwei Punktladungen Q1 = 1 nC und Q2 = -3 Q1 befinden sich an den Orten X1 = (1; -2; 4) cm und X2 = (-5; 8; -4) cm. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke am Ort X = (1; 2; 4) cm. Die elektrische Feldstärke einer Ladung Q im kartesischen Koordinatensystem zerlegt in seine Komponenten lautet (siehe dazu auch Kapitel 4): Q

E=

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

˜ ex =

Q 2

˜

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

r r

=

Q 3

˜r=

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

Q 3

2

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ x  y  z ORIGIN  1 nC  10

9

Q1  1 ˜ nC

˜C

ORIGIN festlegen Einheit definieren Punktladung 1

Seite 121

2

2

§¨ x ¸· ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Q2  3 ˜ Q1 ε 0  8.854 ˜

Punktladung 2 pF

elektrische Feldkonstante

m

1 ¨§ ·¸ x1  ¨ 2 ¸ ˜ cm ¨4 ¸ © ¹

5 ¨§ ¸· x2  ¨ 8 ¸ ˜ cm ¨ 4 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· x  ¨ 2 ¸ ˜ cm ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektoren zu den Punktladungen

Q1

E1 

3

4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ «ª§ x1  x1 ·  § x2  x1 ·  § x3  x1 · 2 3 1 2

©

¹

2

©

¹

©

2º

» ¹¼

2

Q2

E2 

3

4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ «ª§ x1  x2 ·  § x2  x2 ·  § x3  x2 · 1 2 3 2

©

E  E1  E2

¹

E

2

©

¹

©

2º

» ¹¼

1.02 · ¨§ ¸ kV ¨ 6.637 ¸ ˜ ¨ 1.36 ¸ m © ¹

2

x  ¨§ 1 ¨ ˜ ¨ x2  ¨ ¨ x3  ©

x1 · 1¸

x  ¨§ 1 ¨ ˜ ¨ x2  ¨ ¨ x3  ©

x2 · 1¸

¸

x1 2¸

¸

x1 ¸ 3

Feldstärke zwischen Ort X1 und X

¹

¸

x2 2¸

¸

Feldstärke zwischen Ort X2 und X

x2 ¸ 3

¹

gesuchter Feldstärkevektor

Beispiel 2.5.4: o  o  o o  o   Berechnen Sie die Stabkräfte s 1, s 2, s 3 und Auflagerreaktionen FA, FB des skizzierten Systems o (Abb.2.5.2), wenn die Abstände a, b und die Kraft F gegeben sind.

o F=

Abb. 2.5.2

Seite 122

§¨ F1 ·¸ ¨ F ¸ © 2¹

gegebene Kraft

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Knoten I: Stabkräfte als Zugkräfte angesetzt!

Abb. 2.5.3

o o  Wir stellen zunächst Richtungsvektoren rI,III und rI,II beliebiger Länge auf. Wenn wir diese Vektoren jeweils durch ihren Betrag teilen, erhalten wir die Einheitsvektoren in Richtung der Kraft. o rI,III o es1 = o rI,III

Einheitsvektor in Richtung der Stabkraft o  s1

o  rI,II o es2 =  o rI,II

Einheitsvektor in Richtung der Stabkraft o  s2

Für die Stabkräfte gilt dann: o rI,III s1 o  o o o s 1 = s 1 ˜ es1 = s 1 ˜ o = o ˜ rI,III = S1 ˜ rI,III rI,III rI,III o  rI,II s2 o o o  o   s 2 = s 2 ˜ es2 = s 2 ˜  = o  o ˜ rI,II = S2 ˜ rI,II rI,II rI,II Um sich die Rechenarbeit beim Lösen des Gleichungssystems zu erleichtern, können die Stabkräfte nun in folgender Form geschrieben werden: o  § a · s 1 = S1 ˜ ¨ ¸ ©0 ¹

o  § a · s 2 = S2 ˜ ¨ ¸ ©b ¹

Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten I: o  o o o  F  s1  s2 = 0

bzw.

§ a · § a · § F1 ·¸ ¸  S2 ˜ ¨ ¸ = ¨¨ ©0 ¹ © b ¹ © F2 ¸¹

S1 ˜ ¨

o  o   o s 1  s 2 = F vereinfacht auf

a ˜ S  S2 º § F1 · «ª  1 »=¨ ¸ « S2 ˜ b » ¨ F2 ¸ ¬ ¼ © ¹

a ˜ S  S2 = F1 º §S «ª  1 » auflösen ¨ 1 ·¸ o §¨  F2 ˜ a  F1 ˜ b F2 ¸· « » ¨ S2 ¸ b ¹ a˜ b S 2 ˜ b = F2 © ¬ ¼ © ¹

Seite 123

Lösungen des Gleichungssystems

Vektoralgebra und analytische Geometrie

F2 ˜ a  F1 ˜ b § a · o  s1 =  ˜¨ ¸ a˜ b ©0 ¹

o F2 § a ·  s2 = ˜¨ ¸ b ©b ¹

vereinfacht auf

vereinfacht auf

o  s1 =

· §¨ F2 ˜ a  F1 ¸ ¨ b ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

§ F2 ˜ a · ¸ b ¸ ¨ F ¸ © 2 ¹

o ¨  s2 = ¨

Knoten II:

o § FB ·  FB = ¨ ¸ © 0 ¹

Abb. 2.5.4

angreifende Kraft im Punkt B

o  Für die Stabkraft s 3 gilt analog wie oben: o  rII,III s3 o o o  o   s 3 = s 3 ˜ es3 = s 3 ˜  = ˜ r = S ˜ r o o  II,III 3 II,III rII,III rII,III o  §0 · s 3 = S3 ˜ ¨ ¸ © b ¹ Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten II: o  o  o o  FB  s 2  s 3 = 0

bzw.

o  o  o  s 2  s 3 = FB

§ F2 ˜ a · ¨ ¸ § 0 · § FB · ¨ b ¸  S3 ˜ ¨ ¸ = ¨ ¸ © b ¹ © 0 ¹ ¨ F ¸ © 2 ¹

vereinfacht auf

§ F2 ˜ a · ¨  ¸ § FB · b ¨ ¸=¨ ¸ ¨F  S ˜ b ¸ © 0 ¹ 3 © 2 ¹

Daraus folgt: FB = 

a b

˜ F2

a o § ˜ F ·  2¸ ¨ b FB = ¨ ¸ © 0 ¹

S3 = 

F2 b

o F2 § 0 · § 0 ·  s3 = ˜¨ ¸ =¨ ¸ b © b ¹ © F2 ¹

Seite 124

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Knoten III:

o § FAx ·  ¨ ¸ FA = ¨F ¸ © Ay ¹

Abb. 2.5.5

angreifende Kraft im Punkt A

Mit der Gleichgewichtsbedingung erhalten wir die folgende Vektorgleichung im Knoten III: o  o  o o  s 3  FA  s 1 = 0

bzw.

o  o  o  s 3  s 1 = FA

§F ˜a · § 0 · ¨ 2  F1 ¸ ¨§ FAx ¸· ¸=¨ ¨F ¸  ¨ b 2 © ¹ ¨ ¸ © FAy ¸¹ 0 © ¹

vereinfacht auf

§ F2 ˜ a · ¨  F1 ¸ §¨ FAx ¸· ¨ b ¸=¨ ¸ ¨ ¸ © FAy ¹ F2 © ¹

Damit gilt: o § FAx ·  ¨ ¸= FA = ¨F ¸ © Ay ¹

§ a ˜ F2  F1 ˜ b · ¨ ¸ b ¨ ¸ ¨ ¸ F2 © ¹

2.6 Produkte von Vektoren 2.6.1 Skalarprodukt oo Für zwei Vektoren a, b  n nennen wir die Zahl n oo a ˜ b = a1 ˜ b1  a2 ˜ b2  ....  an ˜ bn =

¦ ai ˜ bi

o o das Skalarprodukt von a und b.

i

(2-30)

1

o o Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe und wird auch als inneres Produkt der Vektoren a und b bezeichnet. Für den zwei- und dreidimensionalen Vektorraum gilt demnach: o o § ax · § bx · ¨ ¸˜¨ ¸ =a ˜b  a ˜b a˜ b = x x y y ¨a ¸ ¨b ¸ © y¹ © y¹

a b ¨§ x ·¸ ¨§ x ·¸ oo a ˜ b = ¨ ay ¸ ˜ ¨ by ¸ = ax ˜ bx  ay ˜ by  az ˜ bz ¨ ¸ ¨ ¸

¨© az ¸¹ ¨© bz ¸¹

Ist in einem Vektorraum ein Skalarprodukt erklärt, so ist mit der Einführung einer Metrik (euklidische Metrik d(x,y) - euklidischer Abstand) - also einer Abstandsdefinition zweier Punkte dieser Vektorraum euklidisch.

Seite 125

Vektoralgebra und analytische Geometrie o o o o Führen wir die vorhergehende Rechnung für die Projektionen von a auf b bzw. b auf a durch (Abb. 2.6.1), so erhalten wir das Skalarprodukt aus o o  o o o oo o  a ˜ b = b ˜ ab = a ˜ ba = a ˜ b ˜ cos ( φ)

(2-31)

oo o o o o a ˜ b = a ˜ b ˜ cos ( α  β) = a ˜ b ˜ cos ( φ).

(2-32)

bzw.

M ist der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel. Siehe dazu auch (2-44).

Abb. 2.6.1

Beispiel 2.6.1

Es soll die Beziehung (2-32) rechnerisch nachgewiesen werden. o a=

§o · ¨ a ˜ cos ( α) ¸ ¨o ¸ © a ˜ sin ( α) ¹

o b=

§o · ¨ b ˜ cos ( β) ¸ ¨o ¸ © b ˜ sin ( β) ¹

Koordinatendarstellung beider Vektoren

o o § ax · § bx · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ = a ˜ b  a ˜ b = oa ˜ ob ˜ ( cos ( α) ˜ cos ( β)  sin ( α) ˜ sin ( β) ) = oa ˜ ob ˜ cos ( α  β) a˜ b = x x y y ¨a ¸ ¨b ¸ © y¹ © y¹ Es gelten folgende Gesetze für das Skalarprodukt: oo oo a) a ˜ b = b ˜ a o o o oo oo b) a ˜ b  c = a ˜ b  a ˜ c oo o o o o c) λ ˜ a ˜ b = λ ˜ a ˜ b = a ˜ λ ˜ b

  



Kommutativgesetz

(2-33)

Distributivgesetz

(2-34)

O 

(2-35)

Eigenschaften des Skalarproduktes: a) Sonderfälle: oo o a˜ 0 = 0

(2-36)

 

oo o2 o 2 2 =a a˜ a = a = a

(2-37)

Seite 126

Vektoralgebra und analytische Geometrie

b) Der Betrag eines Vektors kann mithilfe des Skalarproduktes bestimmt werden: Wegen (2-37) gilt:



o oo a = a = a˜ a =

o2 a =

oa 2

(2-38)

Es gilt aber auch wegen (2-24) und (2-26): 3

o oo a = a = a˜ a =

¦ i,j

o ªa ˜ a ˜ §o ej ˜ ej·º = i j ¬ © ¹¼

1

3

¦  i,j



ai ˜ aj ˜ δij =

1

3

¦ i

2

ai =

2

2

2

a1  a2  a3 .

1

oo o o c) a ˜ b besitzt für M = 0 seinen größten Wert ( cos(0) = 1, a ist parallel zu b ): oo o o a˜ b = a ˜ b

(2-39)

o o Für M = S nimmt das Skalarprodukt seinen kleinsten Wert an ( cos(S) = -1, a ist antiparallel zu b ), nämlich oo o o a˜ b =  a ˜ b

(2-40)

oo o o o o Für M = S/2 wird a ˜ b = 0, auch wenn a und b ungleich null sind ( cos(S/2) = 0, a senkrecht auf b ); also oo o o a ˜ b = 0, wenn a A b

(2-41)

o o d) Der von zwei Vektoren a und b eingeschlossene Winkel M lässt sich aus (2-31) berechnen: oo a˜ b cos ( φ) = o o a ˜ b

§ oa ˜ob Ÿ φ = arccos ¨ o o ¨ © a ˜ b

· ¸ ¸ ¹

(2-42)

o o e) Die Projektion eines Vektors b auf einen (Abb. 2.6.1) zweiten Vektor a erhalten wir aus (2-31): o oo o o o  a ˜ b = a ˜ b ˜ cos ( φ) = a ˜ ba (2-43) o  Durch Division durch a erhalten wir oo o  a˜ b ba = o (2-44) a o  o Der Vektor ba besitzt die gleiche Richtung wie der Vektor a. Daher gilt mit dem Einheitsvektor in o Richtung a und unter Berücksichtigung von (2-44):  o o oo oo ba o o o  o o    a a˜ b o ª a˜ b º o « »˜a ba = ba ˜ ea = ba ˜ o = o ˜ a = o o ˜ a = o 2» « a ˜ a a a ¬ a ¼



Seite 127

(2-45)

Vektoralgebra und analytische Geometrie o f) Ein Vektor a bildet mit den Koordinatenachsen der Reihe nach die Winkel D und E bzw. D, E und J, die als Richtungswinkel bezeichnet werden (Abb. 2.6.2). o o o o o Setzen wir in die Beziehung (2-42) für b der Reihe nach die Basisvektoren ex und ey bzw. ex, ey und o  ez ein, so erhalten wir:

§¨ ax ¸· § 1 · ˜ ¨ a ¸ ¨© 0 ¸¹ y¹ © o = o

o o a ˜ ex

a ¨§ x ·¸ §¨ 1 ¸· ¨a ¸ ˜ ¨0 ¸ ¨ y¸ ¨ ¸ o o ¨© az ¸¹ © 0 ¹ ax ax a ˜ ex ax ax = o = = = = bzw. cos ( α) = o . o o o a a a a a

cos ( α) = o a ˜ ex a ˜1 ˜ ex a ˜1 Analoge Gleichungen können auch für die anderen Richtungswinkel hergeleitet werden. ax ay 2 2 cos ( α) = o , cos ( β) = o , cos ( α)  cos ( β) = 1 , α = 90°  β a a ax ay az 2 2 2 cos ( α) = o , cos ( β) = o , cos ( γ) = o , cos ( α)  cos ( β)  cos ( γ) = 1 a a a

(2-46)

(2-47)

Die Richtungswinkel sind damit voneinander abhängige Größen!

Abb. 2.6.2

Beispiel 2.6.2: Bilden Sie das Skalarprodukt der nachfolgend gegebenen Vektoren. 5 ¨§ ¸· a  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

a ˜ b = 5 ˜ ( 2)  2 ˜ 1  1 ˜ 4 = 4

gegebene Vektoren

a˜ b

4

Skalarprodukt händisch und mit Mathcad berechnet

Seite 128

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.3: o o o  Zeigen Sie, dass die Einheitsvektoren ex, ey und ez die Bedingung der Orthonormalität erfüllen. 1 ¨§ ·¸ ex  ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

0 ¨§ ¸· ey  ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

0 ¨§ ¸· ez  ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

ex ˜ ey

0

ex ˜ ez

0

ey ˜ ez

0

die Einheitsvektoren stehen aufeinander senkrecht

ex ˜ ex

1

ey ˜ ey

1

ez ˜ ez

1

das Quadrat des Betrages

Beispiel 2.6.4: Sind die nachfolgend gegebenen Vektoren orthogonal, d. h., stehen sie senkrecht aufeinander? a1 

§3 · ¨ ¸ ©2 ¹

a1 ˜ n1

n1 

§ 2 · ¨ ¸ ©3 ¹

gegebene Vektoren

 o  o die Vektoren sind orthogonal (der Vektor n1 heißt auch Normalvektor zu a1)

0

Beispiel 2.6.5: o o o Welche Winkel bildet der Vektor a = 3 ˜ ex  1 ˜ ey mit den beiden Koordinatenachsen (siehe auch Abb. 2.6.2)?

§1 · ¨ ¸ ©0 ¹ §3 · a ¨ ¸ ©1 ¹ ex 

ey 

§0 · ¨ ¸ ©1 ¹

Basisvektoren

Vektor in Koordinatendarstellung

Nach (2-24) gilt: a ˜ ex = a ˜ ex ˜ cos ( α) a ˜ ey = a ˜ ey ˜ cos ( β) Daraus folgt:

§ a ˜ ex ¨© a ˜ ex

·¸ ¸¹

α

18.435 ˜ Grad

§ a ˜ ey ¨© a ˜ ey

·¸ ¸¹

β

71.565 ˜ Grad

α  acos ¨

β  acos ¨

Für Dund E gilt natürlich:

2

cos ( α)  cos ( β)

Beispiel 2.6.6: Zeigen Sie, dass für Vektoren





 

o o o o o2 o2 2 2 2 2 a  b ˜ a  b = a  b = ax  ay  § bx  by · gilt. © ¹

Seite 129

2

1

und

α β

90 ˜ Grad

Vektoralgebra und analytische Geometrie

annehmen ax = reell ay = reell

ª«§¨ ax ·¸ ¨§ bx ¸·º» ª«§¨ ax ¸· ¨§ bx ¸·º»  ˜  «¨ a ¸ ¨ b ¸» «¨ a ¸ ¨ b ¸» y y y ¬© ¹ © ¹¼ ¬© ¹ © y ¹¼

2

2

2

2

annehmen bx = reell by = reello ax  ay  bx  by erweitern

Beispiel 2.6.7: o  o o Bestimmen Sie den Vektor ba, wenn die Vektoren a und b gegeben sind. 2 ¨§ ¸· a  ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 5 ¸· b  ¨ 2 ¸ ¨8 ¸ © ¹

ª a˜ b º ˜ a ba  « 2» ¬ a ¼

§¨ 7.2 ¸· ba ¨ 0 ¸ ¨ 3.6 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

o o Projektion des Vektors b auf den Vektor a

Beispiel 2.6.8: o Wie lauten die Richtungswinkel D, E, und J des Vektors a? 2 ¨§ ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹

gegebener Vektor

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ © § β  acos ¨ © § γ  acos ¨ © α  acos ¨

a1 a a2 a a3 a

· ¸ ¹ · ¸ ¹ · ¸ ¹

α

111.417 ˜ Grad

β

79.48 ˜ Grad

γ

155.905 ˜ Grad

Beispiel 2.6.9: o o Ein Vektor v vom Betrage v = 6 bilde mit der x- und y-Achse jeweils einen Winkel von 60° und mit der z-Achse einen spitzen Winkel (0° < J < 90°). Wie lauten die Koordinaten des Vektors? Aus cos 2 (D) + cos2 (E) + cos2 (J) = 1 folgt: 2

1  cos ( α)  cos ( β)

cos ( γ) =

α  60 ˜ Grad

2

Es kommt hier nur die positive Wurzel in Frage, weil J spitz sein soll!

β  60 ˜ Grad

§

2

γ  acos © 1  cos ( α)  cos ( β)

2·

¹

gegebene Winkel

γ

45 ˜ Grad

Die Koordinaten lauten somit: vx  6 ˜ cos ( α)

vx

3

vy  6 ˜ cos ( β)

Seite 130

vy

3

vz  6 ˜ cos ( γ)

vz

4.243

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.10: o  o o Bestimmen Sie die Projektion Fs des Kraftvektors F in Richtung des Wegvektors s bei gegebenen o o Vektoren F und s. 50 ¨§ ·¸ F  ¨ 30 ¸ ˜ N ¨ 40 ¸ © ¹ F˜s

§¨ 10 ·¸ s  ¨ 10 ¸ ˜ m ¨ 30 ¸ © ¹ 3

1.4 u 10 J

ergibt offensichtlich die Größe einer verrichteten Arbeit

§¨ 12.727 ¸· Fs ¨ 12.727 ¸ N ¨ 38.182 ¸ © ¹

ª F˜s º ˜s Fs  « 2» ¬ s ¼ Fs ˜ s

gegebene Vektoren

3

1.4 u 10 J

ergibt ebenfalls die Größe einer verrichteten Arbeit

Beispiel 2.6.11: o Eine konstante Kraft F verschiebe einen Massenpunkt (siehe Abb. 2.6.3) vom Punkte P1 (2 m| 4 m| 1 m) aus geradlinig in den Punkt P 2 (5 m| 2 m| 3 m). Welche Verschiebungsarbeit wird dabei verrichtet? Wie groß ist der Winkel M zwischen Kraft- und Verschiebungsvektor? Welche Länge hat der Verschiebungsvektor?

Abb. 2.6.3

200 · ¨§ ¸ F  ¨ 30 ¸ ˜ N ¨ 50 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· r1  ¨ 4 ¸ ˜ m ¨1 ¸ © ¹ §¨ 3 ¸· s ¨ 2 ¸ m ¨2 ¸ © ¹

s  r2  r1

W F˜ s

§ F˜s · ¸ © F ˜ s ¹

φ  acos ¨

o

dist ( a b) 

¦ (a  b)

2

§¨ 5 ¸· r2  ¨ 2 ¸ ˜ m ¨3 ¸ © ¹

gegebene Kraft und Ortsvektoren

Verschiebungsvektor

W

640 J

Verschiebungsarbeit

φ

41.833 ˜ Grad

Winkel zwischen Kraft und Verschiebungsvektor





dist r2 r1

4.123 m

oder

Seite 131

s

4.123 m

Länge des Verschiebungsvektors

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.12: o o Berechnen Sie die Arbeit W von der Kraft F entlang des Weges s, wenn D 60° und E = 30° beträgt (Abb.2.6.4).

Abb. 2.6.4

s=

§ s ˜ cos ( α) · ¨ ¸ © s ˜ sin ( α) ¹

§ ¨ § s ˜ cos ( 60 ˜ Grad) · s=¨ ¸ =s˜¨ ¨ s ˜ sin ( 60 ˜ Grad ) © ¹ ¨ ©

§ ¨ § F ˜ cos ( β) · § F ˜ cos ( 30 ˜ Grad) · F=¨ F=¨ ¸ ¸ = F˜¨ ¨ F ˜ sin ( β ) F ˜ sin ( 30 ˜ Grad ) © ¹ © ¹ ¨ © §1 3 3 3 1· W= F˜s= F˜s˜¨ ˜  ˜ ¸ = F˜s˜ 2 2 2¹ ©2 2

· ¸ 2 ¸ 3¸ ¸ 2 ¹

Verschiebungsvektor

· ¸ 2 ¸ 1 ¸ ¸ 2 ¹

Kraftvektor

1

3

Verschiebungsarbeit

W = Fs ˜ s = F ˜ s ˜ cos ( 30 ˜ Grad)

2.6.2 Vektorprodukt o o oo o o Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) a u b ( a , b  3 ) der Vektoren a und b o o o o (gesprochen a kreuz b) von zwei Vektoren ist ein Vektor, der auf a und b senkrecht steht und o o dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist (Abb. 2.6.5). Da es zwei solcher Vektoren gibt, einen "nach oben" und einen "nach unten", legen wir seine o o o o o Richtung so fest, dass a , b und a u b ein Rechtssystem bilden, d. h., zeigt a in Richtung des o o o Daumens, b in Richtung des Zeigefingers der ausgestreckten Hand, dann zeigt a u b in Richtung des abgewinkelten Mittelfingers ("Rechte-Hand-Regel"). o o Ist M wieder der von a und b eingeschlossene Winkel, dann ist der Flächeninhalt des Parallelogramms A = a ˜ b ˜ sin ( φ). Für den Betrag ds Vektorproduktes gilt daher: o o a u b = a ˜ b ˜ sin ( φ) (0 < M < 180°)

Seite 132

(2-48)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.6.5

o o o Da der Vektor c (Abb. 2.6.5) auf a und b senkrecht steht, ergeben sich mit den Eigenschaften des Skalarproduktes aus dem Gleichungssystem oo o oo o a ˜ c = 0 , b ˜ c = 0 (mit einem beliebigen gewählten Wert z. B. c z = ax ˜ by  ay ˜ bx ) o o die Koordinaten von a u b zu

§ ax ·¸ ¨ o o o c = a u b = ¨ ay ¸ u ¨ ¸ ¨© az ¸¹

§¨ bx ¸· ª« ay ˜ bz  az ˜ by »º §¨ ay ˜ bz  ¨ b ¸ = « a ˜ b  b ˜ a » = ¨ a ˜ b  ¨ y¸ « x z x z » ¨ y z ¨© bz ¸¹ «¬ ax ˜ by  ay ˜ bx »¼ ¨© ax ˜ by 

az ˜ by · ¸

az ˜ by ¸

(2-49)

¸ ay ˜ bx ¸ ¹

oder o o o o o o  c = a u b = ay ˜ bz  az ˜ by ˜ ex  ay ˜ bz  az ˜ by ˜ ey  ax ˜ by  ay ˜ bx ˜ e3 .













(2-50)

Es gelten folgende Gesetze für das Vektorprodukt: o o o o a) a u b = b u a o o o o o o o b) a u b  c = a u b  a u c o o o o o o c) λ ˜ a u b = a u λ ˜ b = λ ˜ a u b













Antikommutativität

(2-51)

Distributivgesetz

(2-52)

O 

(2-53)

Eigenschaften des Skalarproduktes: o o o o o o o a) a u b = 0 œ a ist parallel zu b(d. h. aund b sind kollinear).

(2-54)

o o  o o  o  o  b) Für die Basisvektoren ex = e1, ey = e2 und ez = e3 folgt aus (2-49): o  o  o o  o  o o  o  o    e1 u e2 = e3 ; e3 u e3 = e1 ; e3 u e1 = e2

(2-55)

Seite 133

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Vertauschung der Reihenfolge ändert aber das Vorzeichen o  o o   o o o e2 u e1 = e3 usw. und es gilt ei u ei = 0.

o c) Multiplizieren wir den resultierenden Vektor in (2-55) wieder skalar mit ei, so folgt o o o  ε i,j,k = ei ˜ § ej u ek· = 1 if "falls (i,j,k) zyklisch aus (1,2,3)" © ¹ 1 if "falls (i,j,k) antizyklisch aus (1,2,3)"

(2-56)

0 otherwise ε i,j,k ist das Levi-Civita-Symbol oder der sogenannte total antisymmetrische Tensor dritter Stufe (H-Tensor). Dieser Tensor ist in Mathcad durch die Funktion ε ( i j k ) definiert! d) Mit dem H-Tensor lassen sich Vektorprodukte der Basisvektoren zusammenfassend formulieren: 3

o o ei u ej =

o

§ ε ˜ e · . © i,j,k k¹

¦ k

(2-57)

1

e) Für allgemeine Vektorprodukte gilt entsprechend

o o o c = au b =

3

¦ i,j

3

o ªa ˜ b ˜ §o ei u ej·º = i j ¬ © ¹¼

1

o

§ε ˜ a ˜ b ˜  · © i,j,k i j ek¹ =

¦ i,j,k

1

3

¦ k

o

§ c ˜ e · © k k¹

(2-58)

1

und mit der abgekürzten Schreibweise 3

ck =

¦ εi,j,k ˜ ai ˜ bj i,j

( c 1 = a2 ˜ b3  a3 ˜ b2 ; c 2 = a3 ˜ b1  a1 ˜ b3 ; c 3 = a1 ˜ b2  a2 ˜ b1) (2-59)

1

f) Spezielle Produkte:











o o o oo o oo o au bu c = a˜ c ˜ b  a˜ b ˜ c









o o o oo o oo o au b ˜ c = a˜ c ˜ b  b˜ c ˜ a

(Graßmann'sche Entwicklungssatz)

(2-60)

(Graßmann'sche Entwicklungssatz)

(2-61)

   

o o o o oo oo oo oo au b ˜ cu d = a˜ c ˜ b˜ d  a˜ d ˜ b˜ c

(2-62)

Die Skalarprodukte in den Klammern auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens sind zuerst zu bilden!

Seite 134

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.13: o o Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. o o Wie groß ist der Winkel M zwischen a und b?

§¨ 2 ¸· b  ¨0 ¸ ˜ m ¨3 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 5 ¸ ˜ m ¨2 ¸ © ¹ §¨ 1 ·¸ a u b = ¨ 5 ¸ ˜ m u ¨2 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

2 15  0 · 15 · ¨§ ¸· ¨§ ¸ 2 §¨ ¸ 2 ¨0 ¸ ˜ m = ¨ 4  3 ¸ ˜ m = ¨ 1 ¸ ˜ m ¨3 ¸ ¨ 0  10 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

§¨ 15 ¸· 2 c ¨ 1 ¸m ¨ 10 ¸ © ¹

c au b

mit Mathcad ausgewertet

e2 e3 · § e ¨ 1 ¸ 2 2 2 ¨ 1 ˜ m 5 ˜ m 2 ˜ m ¸ o e2 ˜ m  15 ˜ e1 ˜ m  10 ˜ e3 ˜ m ¨ ¸ ©2 ˜ m 0 ˜ m 3 ˜ m ¹ A

au b

§ au b · ¸ © a ˜ b ¹

φ  asin ¨

2

A

18.055 m

φ

66.103 ˜ Grad

Vektorprodukt händisch ausgewertet

Determinantenauswertung mit Mathcad (Komponentendarstellung)

Fläche des Parallelogramms o o Winkel zwischen a und b

Beispiel 2.6.14: o C tritt mit einer Geschwindigkeit v in ein räumlich und o  o o zeitlich konstantes Magnetfeld ein. Es erfährt dort eine Lorentz-Kraft von FL = e ˜ v u B . Wie groß ist die o o Kraftwirkung auf das Elektron, wenn v und die Flussdichte B des Magnetfeldes gegeben sind? Ein Elektron mit der Elementarladung e = 1.6 10

-19



2000 · ¨§ ¸ m v  ¨ 2000 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ s © ¹

gegebene Geschwindigkeit

§¨ 0 ·¸ V˜s B  ¨ 0.2 ¸ ˜ ¨ 0.1 ¸ m2 © ¹

gegebene Flussdichte (V s / m2 = 1 T)

e  1.6 ˜ 10

 19

˜C

Elementarladung

Seite 135



Vektoralgebra und analytische Geometrie

FL  e ˜ ( v u B)

FL

§ 3.2 u 10  17 · ¨ ¸ ¨  17 ¸ N ¨ 3.2 u 10 ¸ ¨  17 ¸ © 6.4 u 10 ¹

Lorentz-Kraft Nullschwelle auf 20 gesetzt! (Menü-Format-Ergebnisformat-Toleranz)

Beispiel 2.6.15: o Ein Elektron wird mit der Geschwindigkeit v in ein räumlich und zeitlich konstantes elektromagnetisches Feld o o mit der elektrischen Feldstärke E und der magnetischen Flussdichte B eingeschossen. Das Elektron erfährt o o o o in diesem elektromagnetischen Feld eine Kraft F = e ˜ E  e ˜ v u B . a) Welche Voraussetzungen sind notwendig, damit das Elektron kräftefrei bleibt? Welche Eigenschaften o muss E in diesem Sonderfall besitzen? o b) Wie groß ist der Betrag von E, und wie lauten die drei Richtungswinkel D, E und Jdes elektrischen Feldstärkevektors?



ORIGIN  1



ORIGIN festlegen

300 · ¨§ ¸ m v  ¨ 300 ¸ ˜ ¨ 300 ¸ s © ¹ §¨ 1 ·¸ V˜s B  ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 2 ¸ m2 © ¹

gegebener Geschwindigkeitsvektor

gegebene Flussdichte

o o a) Im kräftefreien Fall gilt F = 0:





o o o o e ˜ E  e ˜ v u B = 0

Ÿ





o o o o E  vu B = 0

Ÿ





o o o o o E =  vu B = B u v

Abb. 2.6.6

Dies bedeutet nach Abb. 2.6.6: o o o a) E steht senkrecht zu B und v. o o o o o o b) Der Betrag von E, also E = B u v , ist gleich dem Flächeninhalt des von B und v aufgespannten Parallelogramms. oo o c) Die Vektoren B, v und E bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Seite 136

Vektoralgebra und analytische Geometrie

b) Feldstärkeberechnung und Richtungswinkel:

E Bu v

E

§¨ 900 ¸· V ¨ 300 ¸ ˜ ¨ 600 ¸ m © ¹

E

E

1.122 u 10 ˜

§ E1 · ¸ ©E¹

α

143.301 ˜ Grad

§ E2 · ¸ ©E¹

β

74.499 ˜ Grad

§ E3 · ¸ ©E¹

γ

57.688 ˜ Grad

E

α  acos ¨

β  acos ¨

γ  acos ¨

3

Feldstärkevektor

V

Betrag des Feldstärkevektors

m

Richtungswinkel

Beispiel 2.6.16: o An einem starren Körper (Abb. 2.6.7) greift eine Kraft F an, die in der Drehebene liegend angenommen wird. o o o o o o Sie erzeugt ein Drehmoment M = r u F, das in Richtung der Drehachse zeigt. r , F und M bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Berechnen Sie den Drehmomentvektor und dessen Betrag.

§¨ 0.2 ·¸ r ¨ 0 ¸ ˜m ¨ 0.1 ¸ © ¹ §¨ 1000 ¸· F  ¨ 200 ¸ ˜ N ¨ 1000 ¸ © ¹

gegebener Ortsvektor

gegebener Kraftvektor

Betrag des Drehmomentvektors: d = r ˜ sin ( φ) Normalabstand von der Wirkungslinie der Kraft r ist der Abstand des Angriffspunktes P der Kraft vom Drehpunkt M = d ˜ F = r ˜ sin ( φ) ˜ F = r ˜ F ˜ sin ( φ) o o o o M = r u F = r ˜ F ˜ sin ( φ)

Abb. 2.6.7

M ru F

M

§¨ 20 ¸· ¨ 100 ¸ ˜ N ˜ m ¨ 40 ¸ © ¹

M

M

109.545 ˜ N ˜ m

M

Drehmomentvektor

Betrag von M

Seite 137

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.17: Gegeben ist ein Fachwerk, das aus unbeweglichen Kräften zusammengesetzt ist (Abb. 2.6.8). Bestimmen Sie die o o   Auflagekräfte FA und FB. Die z-Achse ist normal zur x-y-Ebene und auf den Beobachter gerichtet zu denken.

Abb. 2.6.8 Die Gleichgewichtsbedingungen lauten:

¦

o o Fi = 0

und

i

¦

o o  Mi = 0

i

Die Summe der Kräfte muss verschwinden, also o o  o o  FA  F  FB = 0 Die Kraftkomponenten werden aus der Grafik bestimmt: Fx  10 ˜ kN ˜ cos ( 40 ˜ Grad)

Fx

7.66 ˜ kN

Fy  10 ˜ kN ˜ sin ( 40 ˜ Grad)

Fy

6.428 ˜ kN

Damit gilt:

§ FAx · § Fx · § 0 ˜ kN · § 0 ˜ kN · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ FAy ¸  ¨ Fy ¸  ¨ FBy ¸ = ¨ 0 ˜ kN ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹ © 0 ˜ kN ¹

vereinfacht auf

§ Fx  FAx · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ Fy  FAy  FBy ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ 0 © ¹ © ¹

o Wir wählen aus praktischen Gründen als Bezugspunkt den Punkt A, weil dann die Momente der Stützkräfte FAx o und FAy gleich 0 sind. Die Summe aller Momente muss verschwinden, also





o o o  o o r u F  § rB u FB· = 0 © ¹

Seite 138

Vektoralgebra und analytische Geometrie

ª 4˜ m· «§¨ ¸ «¨ 3 ˜ m ¸ u «¨ 0 ˜ m ¸ ¹ ¬©

§ Fx ·º ª§ 8 ˜ m · ¨ ¸» «¨ ¸ ¨ Fy ¸»  «¨ 0 ˜ m ¸ u ¨ ¸» «¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹¼ ¬© 0 ˜ m ¹

§ 0 ˜ kN ·º § 0 ˜ kN ˜ m · ¸ ¨ ¸» ¨ ¨ FBy ¸» = ¨ 0 ˜ kN ˜ m ¸ ¸ ¨ ¸» ¨ © 0 ˜ kN ¹¼ © 0 ˜ kN ˜ m ¹

Das erste Vektorprodukt liefert: 4˜ m· ¨§ ¸ ¨3 ˜ m ¸ u ¨0 ˜ m ¸ © ¹

§ Fx · ¨ ¸ ¨ Fy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

0 · ¨§ ¸ ¨ 0 ¸ ˜ kN ˜ m ¨ 2.73 ¸ © ¹

Damit ergibt sich die nichtverschwindende Komponente in z-Richtung: 0 ˜ kN ˜ m § · § 0 ˜ kN ˜ m · ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ˜ kN ˜ m ¨ ¸ = ¨ 0 ˜ kN ˜ m ¸ ¨ 2.73 ˜ kN ˜ m  8 ˜ m ˜ F ¸ ¨© 0 ˜ kN ˜ m ¸¹ By ¹ © Daraus ergibt sich nun ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der Koordinaten der Auflagekräfte: FAx  1 ˜ kN

FAy  1 ˜ kN

FBy  1 ˜ kN

Startwerte

Vorgabe Fx  FAx = 0 ˜ kN Fy  FAy  FBy = 0 ˜ kN 2.73 ˜ kN  8 ˜ FBy = 0 ˜ kN

§¨ FAx ·¸ ¨ F ¸  Suchen F F F  Ax Ay By ¨ Ay ¸ ¨© FBy ¸¹ §¨ FAx ·¸ ¨F ¸ ¨ Ay ¸ ¨© FBy ¸¹

7.66 · ¨§ ¸ ¨ 6.087 ¸ ˜ kN ¨ 0.341 ¸ © ¹

gesuchte Auflagekraftkomponenten

§ FAx · ¨ ¸ FA  ¨ FAy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

§¨ 7.66 ¸· FA ¨ 6.087 ¸ ˜ kN ¨ 0 ¸ © ¹

FA

§ 0 ˜ kN · ¨ ¸ FB  ¨ FBy ¸ ¨ ¸ © 0 ˜ kN ¹

§¨ 0 ¸· FB ¨ 0.341 ¸ ˜ kN ¨ 0 ¸ © ¹

FB

Seite 139

9.784 ˜ kN Auflagekräfte

0.341 ˜ kN

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.6.3 Spatprodukt o o o Das Skalarprodukt eines Vektors a mit dem Vektorprodukt zweier Vektoren b und c heißt Spatprodukt (gemischtes Produkt):



o o o a˜ bu c



oo o ( a , b , c  3 )

(2-63)

Sein Ergebnis ist ein Skalar.

o o Dabei ist M bei geometrischer Deutung der von b und c eingeschlossene Winkel (Abb. 2.6.9), also o o A = b ˜ c ˜ sin ( φ) die Fläche des von b und c aufgespannten Parallelogramms. \ ist der Winkel, den o o o a mit b u c einschließt. Daraus ergibt sich, dass das Spatprodukt bis auf das Vorzeichen das o o Volumen des Spats (allgemeines Prisma oder Parallelepiped) angibt, der von den Vektoren a , b o und c aufgespannt wird ( h = a ˜ cos ( ψ)).



o o o V = a˜ bu c



(2-64)

o o V = A ˜ h = b u c ˜ a ˜ cos ( ψ) = b ˜ c ˜ sin ( φ) ˜ a ˜ cos ( ψ) = a ˜ b ˜ c ˜ sin ( φ) ˜ cos ( ψ)

(2-65)

Das Spatprodukt lässt sich auch aus folgender dreireihigen Determinante (siehe dazu Abschnitt 3.1.4) berechnen: §¨ ax ay az ·¸ o o o a ˜ b u c = ¨ bx by bz ¸ (2-66)





¨ ¸ ¨© cx cy cz ¸¹

Abb. 2.6.9

Eigenschaften des Spatproduktes:

o o o a) Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren a , b und c sind genau dann komplanar (sie liegen in einer Ebene), wenn das aus ihr gebildete Spatprodukt verschwindet:





o o o a˜ bu c = 0

(2-67)

b) Das Spatprodukt ändert seinen Wert nicht, wenn wir die Vektoren "zyklisch" vertauschen:













o o o o o o o o o a˜ bu c = c˜ au b = b˜ cu a

("Durchschieberegel")

Seite 140

(2-68)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.18: Liegen die Punkte A(2 | -1 | -2), B(1 | 2 | 1), C(2 | 3 | 0) und D(5 | 0 | -6) in einer Ebene? Wir wählen den Punkt D als Ecke aus und bilden dazu das Spatprodukt (2-60): 2 ¨§ ·¸ a  ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ¸· b  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

2 ¨§ ¸· c  ¨3 ¸ ¨0 ¸ © ¹

AD  d  a

BD  d  b

CD  d  c

AD ˜ ( BD u CD)

§¨ 5 ¸· d  ¨ 0 ¸ gegebene Ortsvektoren ¨ 6 ¸ © ¹ Verschiebungsvektoren

0 Das Spatprodukt ist null, daher liegen die vier Punkte in einer Ebene!

Beispiel 2.6.19: Sind die nachfolgend gegebenen Kräfte komplanar, d. h., liegen sie in einer Ebene? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 2 ·¸ F1  ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 11 ¸· F2  ¨ 4 ¸ ¨ 11 ¸ © ¹

§¨ 5 ·¸ F3  ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

gegebene Kräfte in N

o  o  o  Zu zeigen ist, dass das Spatprodukt F1 ˜ § F2 u F3· = 0 ˜ N ist. © ¹ Wir verwenden zur Auswertung die Determinantenmethode (Abschnitt 3.1.4):

§¨ F1 F1 F1 ·¸ 1 2 3 ¨ ¸  14 N ¨ F21 F22 F23 ¸ ˜ N 1.066 u 10 ¨ ¸ ¨ F31 F32 F33 ¸ © ¹

Die drei Einzelkräfte liegen in einer Ebene.

Beispiel 2.6.20: Bestimmen Sie das Volumen eines Parallelepipeds, das durch die nachfolgend angegebenen Vektoren aufgespannt wird. dm  10

1

m

Einheitendefinition

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 1 ¸ ˜ dm ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b  ¨ 3 ¸ ˜ dm ¨ 2 ¸ © ¹

V1 

( a u b) ˜ c

V1

8 ˜ dm

V1 

a ˜ ( b u c)

V1

8 ˜ dm

1 ¨§ ¸· c  ¨ 2 ¸ ˜ dm ¨ 3 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

3

Volumen des Perallelepipeds (Spat)

3

Seite 141

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.6.21: Eine dreieckige Leiterschleife mit den Eckpunkten P 1 (0.2 m| 0 m| 0 m), P2 (0 m| 0.3 m| 0 m) und P3 (0 m| 0 m| 0.1 m) wird von einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte o T B = ( 10 0 0 ) ˜ T durchflutet. Wie groß ist der Spannungsstoß, der durch die Induktion in der Leiterschleife beim Einschalten des Magnetfeldes zur Zeit t = 0 s entsteht?

Abb. 2.6.10

Der magnetische Fluss ) ist durch das o o Skalarprodukt Φ = B ˜ A gegeben, wobei o der Flächenvektor A senkrecht zur Dreiecksfläche orientiert ist. Aus dem Induktionsgesetz folgt zunächst d) = u dt. Integrieren wir auf beiden Seiten, so ergibt sich der Spannungsstoß aus: ´ µ µ ¶

u dt = Φ

o Der zuerst gesuchte Flächenvektor A ergibt sich aus folgender Überlegung: Nach (2-41) ist der Betrag des o o Vektorproduktes a u b gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms. Das Dreieck P 1 P2 P3 besitzt nur den o o halben Flächeninhalt des Parallelogramms. Der Vektor, der sich aus dem Vektorprodukt a u b ergibt, steht definitionsgemäß senkrecht zur Parallelogrammfläche und somit auch senkrecht zur Fläche des Dreiecks. o 1 o o Es muss daher für den Flächenvektor gelten: A = ˜ a u b . 2



Der Spannungsstoß ergibt sich dann aus

§¨ 0.2 ·¸ p1  ¨ 0 ¸ ˜ m ¨ 0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ p2  ¨ 0.3 ¸ ˜ m ¨ 0 ¸ © ¹

a  p2  p1

b  p3  p1

´ µ µ ¶





§¨ 0 ·¸ p3  ¨ 0 ¸ ˜ m ¨ 0.1 ¸ © ¹

1 2

˜ B ˜ ( a u b)

Ortsvektoren zu den Eckpunkten des Dreiecks

Seitenvektoren des Dreiecks

§¨ 10 ¸· V˜s B ¨ 0 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ m2 © ¹ Φ



o o 1 o o o u dt = Φ = B ˜ A = ˜ B ˜ a u b . 2

magnetische Flussdichte

Φ

0.15 ˜ V ˜ s

Spannungsstoß

Bemerkung: Berechnen wir das Spatprodukt mithilfe der Determinante (Abschnitt 3.1.4), so ist darauf zu achten, dass keine gemischten Einheiten in der Matrix vorkommen, wenn man diese mit Mathcad auswertet!

Seite 142

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.7 Analytische Geometrie Analytische Geometrie nennt sich derjenige Teil der Mathematik, in dem Punkte, Geraden, Ebenen und andere geometrische Gebilde durch Zahlen und die zwischen diesen Gebilden bestehenden Beziehungen durch Gleichungen dargestellt werden. Die Aufgaben der Geometrie werden also auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt. Eine bedeutende Vereinfachung der Rechenverfahren wird in der analytischen Geometrie durch die Vektorrechnung bewirkt, die daher im Folgenden die Grundlage für alle nachfolgenden Überlegungen sein soll. Den Ausführungen in diesem Abschnitt legen wir stets ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde, obwohl alle Ausführungen und Formeln in jedem beliebigen (affinen) Koordinatensystem gelten. Der Vorteil der vektoriellen Behandlung der analytischen Geometrie besteht vor allem darin, dass die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes gleichzeitig behandelt werden können. Wenn nichts anderes gesagt wird, gehen wir stets von einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem aus. Die Formeln in Vektorschreibweise gelten in der Ebene und im Raum.

2.7.1 Teilung einer Strecke Mittelpunkt einer Strecke:

 Für den Mittelpunkt M der Strecke AB ergibt sich aus Abb. 2.7.1:





o 1 o o m= ˜ ab 2

(2-69)

Abb. 2.7.1

Beispiel 2.7.1: o  Stellen Sie den Vektor s a der Schwerlinie s des Dreiecks ABC mit A(2 | -1), B(6 | 3) und C(4 | 7) als a Linearkombination der Ortsvektoren der Eckpunkte dar. a

Abb. 2.7.2

§2 · ¨ ¸ © 1 ¹

b

§6 · ¨ ¸ ©3 ¹

c



§4 · ¨ ¸ ©7 ¹

Ortsvektoren zu den Eckpunkten





sa

§ 3 · ¨ ¸ © 6 ¹

o  o o 1 o o  o  o o o 1 s a = OA  OH a = a  ˜ b  c = ˜ 2 ˜ a  b  c 2 2 sa 

Seite 143

1 2

˜ ( 2 ˜ a  b  c)



Vektoralgebra und analytische Geometrie

Teilungspunkt einer Strecke: Ist T ein von B verschiedener Punkt der Geraden g(A,B), so gibt es genau eine reelle Zahl O, sodass gilt:  o  o AT = λ ˜ BT

(2-70)

 o  o Ist O < 0, so sind AT und BT entgegengesetzt orientiert (Abb. 2.7.3). T heißt innerer Teilungspunkt der  gerichteten Stecke AB.  o  o Ist O > 0, so sind AT und BT gleich orientiert (Abb. 2.7.4). T heißt dann äußerer Teilungspunkt der  gerichteten Strecke AB.  Die reelle Zahl O heißt Teilverhältnis des Punktes T in Bezug auf die gerichtete Strecke AB.  Für den Mittelpunkt der Strecke AB gilt O = -1. Aus den Abb. 2.7.3 und 2.7.4 folgt:





o o o o t  a= λ˜ t  b

(2-71)

Daraus folgt durch Umformung: o o o a λ˜b t = (Oz0) 1λ

(2-72)

Abb. 2.7.3

Abb. 2.7.4

Beispiel 2.7.2:  Teilen Sie die Strecke AB (A(-2|10), B(8|-5)) innen im Verhältnis 2:3 und berechnen Sie die Koordinaten des Teilungspunktes.

a

§ 2 · ¨ ¸ © 10 ¹

b

§8 · ¨ ¸ © 5 ¹

gegebene Vektoren

Seite 144

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Es gilt:  AT 2 = 3 BT λ=

2

T ist innerer Teilungspunkt

3

 2  AT =  ˜ BT 3



nach (2-70)



o o 2 o o t a= ˜ t b 3

nach (2-71)

Daraus folgt:



t

1 5

˜ ( 3 ˜ a  2 ˜ b)

t



o 1 o o t = ˜ 3˜ a  2˜ b 5

Abb. 2.7.5

§2 · ¨ ¸ ©4 ¹

Damit hat der Teilungspunkt die Koordinaten T(2|4).

Schwerpunkt eines Dreiecks: o 1 o Wegen MS = ˜ MC folgt aus Abb. 2.7.6: 3











o o 1 o o o o 1 1 o o o s = m  ˜ c  m = ˜ 2˜ m  c = ˜ a  b  c 3 3 3



(2-73)

Abb. 2.7.6

Beispiel 2.7.3: Von einem Dreieck ABC kennen wir den Schwerpunkt S(4|1) und zwei Eckpunkte A(0|2), B(6|-2). Wie lauten die Koordinaten des dritten Eckpunktes?

Seite 145

Vektoralgebra und analytische Geometrie

a

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹

b

§6 · ¨ ¸ © 2 ¹

s

§4 · ¨ ¸ gegebene Ortsvektoren ©1 ¹

Aus (2-73) folgt: c 3˜ s  a  b

c

§6 · ¨ ¸ ©3 ¹

Der dritte Eckpunkt hat die Koordinaten C(6|3).

2.7.2 Geradendarstellung Vektorielle Punkt-Richtungsform einer Geraden: Geraden gehören wie auch Punkte zu den Grundbegriffen der Geometrie und werden in der Geometrie nicht definiert, sondern nur in Form von Beziehungen zu anderen Grundbegriffen in Axiomen festgelegt. Wir beschreiten hier nicht diesen axiomatischen Weg, sondern betrachten ein festes kartesisches Koordinatensystem und den 2 bzw. 3 in seiner Doppelfunktion als Punktemenge und als Vektorraum. Geraden definieren wir analytisch als Teilmengen von 3 (bzw. 2 ) über Geradengleichungen. o o o o 3 Sind x1 und a  mit a z 0 , so wird durch o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a , O }

(2-74)

eine Gerade g im 3 festgelegt (Abb. 2.7.7). o o Dabei ist x1 ein Ortsvektor eines Punktes P der Geraden und a ist die Richtung der Geraden. 1 Enthält die Gerade den Ursprung O, so kann für P1 der Punkt O(0|0|0) gewählt werden, und (2-74)) geht über in o o o g = { x 3 | x = λ ˜ a , O } . (2-75) Die Darstellung in Vektorform heißt Punkt-Richtungsform bzw. eine Parameterdarstellung der Geraden g.

Abb. 2.7.7

Seite 146

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Geraden: Ist die Gerade g durch zwei verschiedene Punkte P1 und P2 festgelegt (Abb. 2.7.8), so ist der Differenzvektor der Ortsvektoren von P1 und P2 ein Richtungsvektor der Geraden g. o o o o 3 Sind x1 und x2  mit x1 z x2 die Ortsvektoren zweier Punkte einer Geraden g, so ist durch o o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ § x2  x1· , O } © ¹

(2-76)

die Zwei-Punkteform der Geraden g gegeben.

Abb. 2.7.8

Beispiel 2.7.4: Wie lautet die Geradengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Gerade g durch P 1 (-2 | 3) mit dem o o T T Richtungsvektor a = ( 7 0 ) bzw. durch P1 (2 | -3 | 0) mit dem Richtungsvektor a = ( 5 9 1 ) geht. o § 2 · §7 · g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©3 ¹ ©0 ¹

§2 · §¨ 5 ¸· o ¨ ¸ g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 9 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Setzen wir z. B. P = 2 O, so könnte auch mit P eine andere Parameterdarstellung angegeben werden!

Beispiel 2.7.5: Gegeben sind zwei Punkte A(2 | 1 | 1) und B(-1 | 0 | 3) einer Geraden. Wie lautet die Geradengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O jeweils einen Punkt der Geraden. Wie lautet die Geradengleichung, wenn der Einheitsvektor von A nach B als Richtungsvektor genommen wird? Wie lautet der Punkt, der 5 Einheiten vom Punkt A entfernt liegt? 2 ¨§ ·¸ OA  ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹ AB  OB  OA

§¨ 1 ¸· OB  ¨ 0 ¸ ¨3 ¸ © ¹ §¨ 3 ¸· AB ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

OX ( λ)  OA  λ ˜ AB

gegebene Ortsvektoren

Richtungsvektor von A nach B

Geradengleichung in Parameterdarstellung

Seite 147

Vektoralgebra und analytische Geometrie

OX ( 0)

§¨ 2 ·¸ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

OX ( 1)

OX ( 2)

§¨ 4 ¸· ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

AB

OX ( λ)  OA  λ ˜

OX ( 5)

§¨ 1 ¸· ¨0 ¸ ¨3 ¸ © ¹

Jeder Wert O ergibt einen Punkt der Geraden!

Geradengleichung mit dem Einheitsvektor als Richtungsvektor.

AB

2.009 · ¨§ ¸ ¨ 0.336 ¸ ¨ 3.673 ¸ © ¹

Ein Punkt, der 5 Einheiten von A entfernt liegt!

Koordinatenform der Geradengleichung in Parameterdarstellung: o o T T Mit P (x | y ), a = ax ay und X(x | y) bzw. P (x | y | z ), a = ax ay az und X(x | y | z ) gilt: 1 1 1 1 1 1 1







§ ax · § x1  λ ˜ ax ¸· § x · § x1 · bzw. ¨ ¸ = ¨¨ ¸¸  λ ˜ ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸ © y ¹ © y1 ¹ © ay ¹ © y1  λ ˜ ay ¹



x §¨ ax ¸· §¨ x1  λ ˜ ax ¸· §¨ x ¸· §¨ 1 ¸· ¨ y ¸ = ¨ y1 ¸  λ ˜ ¨ ay ¸ = ¨ y1  λ ˜ ay ¸ . ¨ ¸ ¨ ¸ ¨z ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨© z 1 ¸¹ ¨© az ¸¹ ¨© z 1  λ ˜ az ¸¹

Damit kann die Geradengleichung in Parameterform in Koordinatenform geschrieben werden (O ): x = x1  λ ˜ ax y = y1  λ ˜ ay

(2-77)

x = x1  λ ˜ ax y = y1  λ ˜ ay z = z 1  λ ˜ az

(2-78)

bzw.

Parameterfreie Form der Geradengleichung in der Ebene: Durch Elimination des Parameters O aus den Gleichungen einer Geraden g der Ebene erhalten wir durch geeignete Multiplikation und anschließender Addition der Gleichungen: x = x1  λ ˜ ax |.( - ay) y = y1  λ ˜ ay | . ax ---------------------------------ay ˜ x  ax ˜ y = x1 ˜ ay  y1 ˜ ax Setzen wir a = - ay, b = ax und c = x1 ay - y1 ax , so gilt: In der Ebene ist eine Gerade g mit (a,b) z (0,0) durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen festgelegt: g: a ˜ x  b ˜ y  c = 0

(Normalform oder implizite Form)

Seite 148

(2-79)

Vektoralgebra und analytische Geometrie Die Normalform oder implizite Form einer Geraden in der Ebene ist gleichwertig zur Parameterdarstellung einer Geraden, d. h., beide Formen sind ineinander umrechenbar. Aus der Normalform können noch weitere Formen abgeleitet werden (mit diesen Darstellungsformen können aber keine senkrechten Geraden dargestellt werden): Für a, b  \ {0} ist die Achsenabschnittsform einer Geraden im 2 gegeben durch g:

x a



y b

=1

(2-80)

Diese Gerade schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten (a|0) und (0|b). Für d, k ist die explizite Form (Funktionsform) einer Geraden im 2 gegeben durch g: y = k ˜ x  d

(2-81)

Diese Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (d|0) und besitzt die Steigung k. Für k z 0 schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt (-d/k | 0). Bemerkung:

o Der oben benannte Richtungsvektor a einer Geraden g (Abb. 2.7.7) kann auch mithilfe der Steigung k der Geraden oder mithilfe eines anderen Steigungsdreiecks mit den Seiten q und p in folgender Form dargestellt werden: o §1 · o o a = ex  k ˜ ey = ¨ ¸ ©k ¹

o §q · o o oder a = q ˜ ex  p ˜ ey = ¨ ¸ ©p ¹

(2-82)

Damit lautet die Gerade g in Koordinatenform: x = x1  λ y = y1  λ ˜ k

(2-83)

Geraden, die parallel zur y-Achse liegen, können damit nicht festgelegt werden, weil solchen Geraden keine Steigung zugeordnet werden kann! Normalvektorform und Hesse'sche Normalform der Geradengleichung: In der Ebene kann eine Gerade auch durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren festgelegt werden. Im Raum ist aber eine Gerade durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren nicht eindeutig bestimmt! o o o Es sei n z 0 ein Normalvektor der Geraden g (Abb. 2.7.7), x1 der Ortsvektor des gegebenen Punktes o o o P (x |y ) und X(x|y) ein beliebiger Punkt der Geraden g in der Ebene. Weil die Vektoren x  x1 und n 1 1 1 aufeinander normal stehen, folgt: o o o oo o o n ˜ § x  x1· = 0 bzw. n ˜ x = n ˜ x1 . © ¹

(2-84)

Wir nennen jede der beiden Gleichungen die Normalvektorform der Geradengleichung in 2 .

Seite 149

Vektoralgebra und analytische Geometrie o  o  Wählen wir insbesondere in (2-84) einen Normalvektor en = n0, der auch Einheitsvektor ist, so nennen wir die Gleichung Hesse'sche Normalform (HNF) der Geradengleichung im 2 : o o o oo  o o   n0 ˜ § x  x1· = 0 bzw. n0 ˜ x = n0 ˜ x1. © ¹

(2-85)

Nach Ausführung der Skalarmultiplikation in (2-84) erhalten wir die Normalform oder implizite Form der Geradengleichung: nx ˜ x  ny ˜ y = nx ˜ x1  ny ˜ y1 (= konstant). (2-86) Setzen wir nx ˜ x1  ny ˜ y1 = c, nx = a und ny = b, so erhalten wir wieder die gleiche Form der impliziten Geradengleichung wie in (2-72): a ˜ x  b ˜ y  c = 0. Hieraus ist ersichtlich, dass die Koeffizienten a und b die Koordinaten eines Normalvektors einer Geraden g sind: o §a · n=¨ ¸. ©b ¹

(2-87)

o  Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 =

1 2

2

a b

§a · ¸ ergibt sich die Hesse'sche Normalform in ©b ¹

˜¨

Koordinatenschreibweise zu a˜ x b˜ y c 2

= 0.

(2-88)

2

a b

o § ax · ¨ ¸ können zwei Normalvektoren mit der gleichen Länge wieoa angegeben Zu jedem Vektor a = ¨a ¸ © y¹ werden (Abb. 2.7.9): o § ay · o § ay · ¨ ¸ ¨ ¸. n= bzw. n = (2-89) ¨ ax ¸ ¨ a ¸ © ¹ © x¹ Bemerkung: § a ¨ y ¸· ist zuon kollinear und daher ebenfalls ein Normalvektor zuoa! Jeder Vektor λ ˜ ¨ ax ¸ © ¹

Abb. 2.7.9

Seite 150

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.6: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung bei gegebener Vektorform in impliziter Form, expliziter Form und Achsenabschnittsform? o §2 · §2 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©1 ¹ ©3 ¹

gegebene Vektorform der Geradengleichung

x=2 λ˜2

|.3

y=1 λ˜3

| . (-2)

|+

3˜ x 2˜ y 4 = 0

g:

implizite Form der Geradengleichung

Durch Division durch 4 der impliziten Form erhalten wir: 3 4

˜x

2 4

˜y=

4 4

Daraus folgt die Achsenabschnittsform: x 4



y 2

=1

3

Durch Umformung der impliziten Form auf y = f(x) erhalten wir die explizite Form: y=

3 2

˜x 2

Beispiel 2.7.7: Aus einer gegebenen impliziten Form einer Geradengleichung g soll eine Parameterdarstellung angegeben werden. g:

2˜ x 3˜ y= 6

gegebene Geradengleichung

Wir wählen x = O1 (es könnte auch y = O1 gewählt werden) und setzen in die Gleichung ein. Daraus kann dann y errechnet werden: 2 ˜ λ1  3 ˜ y = 6

Ÿ

y = 2 

2 3

˜ λ1

Wird nun O1 durch 3 O ersetzt, so ergibt sich die Geradengleichung in Koordinatenform zu: g:

x= 3˜ λ y = 2  2 ˜ λ

Die Parameterdarstellung lautet somit: o x=

§0 · §3 · ¨ ¸  똨 ¸ © 2 ¹ ©2 ¹

Seite 151

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.8: Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt P(3 | 2) mit der Steigung k = 4/7 in Vektorform und Koordinatenform. In Vektorform:

§1 o §3 · x=¨ ¸  똨4 ¨ ©2 ¹ ©7

· ¸ ¸ ¹

oder (2-82)

o §3 · §7 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©2 ¹ ©4 ¹

In Koordinatenform: x=3 λ y=2

4 7

x= 3  7˜ λ oder ˜λ

y= 2  4˜ λ

Beispiel 2.7.9: Liegen die Punkte P1 (2|3) oder P2 (3|5) auf der nachfolgend gegebenen Geraden? o §3 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©4 ¹ ©1 ¹

gegebene Gerade

§2 · §3 · §1 · ¨ ¸ = ¨ ¸  똨 ¸ ©3 ¹ ©4 ¹ ©1 ¹

vereinfacht auf

§2 · §λ  3 · ¨ ¸=¨ ¸ ©3 ¹ ©λ  4 ¹

Die Vektorgleichung ist für O = -1 erfüllt. P1 liegt auf der Geraden g.

§3 · §3 · §1 · ¨ ¸ = ¨ ¸  똨 ¸ ©5 ¹ ©4 ¹ ©1 ¹

vereinfacht auf

§3 · §λ  3 · ¨ ¸=¨ ¸ ©5 ¹ ©λ  4 ¹

Es gibt kein gemeinsames O. P2 liegt nicht auf der Geraden g.

Beispiel 2.7.10: Liegt der Punkt P(1|7|5) auf der nachfolgend gegebenen Geraden.

§3 · §¨ 1 ¸· o ¨ ¸ x = ¨5 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸

¨3 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 1 ·¸ ¨§ 3 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨7 ¸ = ¨5 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨5 ¸ ¨3 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

vereinfacht auf

§¨ 1 ¸· ¨§ 3  λ ¸· ¨7 ¸ = ¨λ  5 ¸ ¨5 ¸ ¨λ  3 ¸ © ¹ © ¹

Die Vektorgleichung ist für O = 2 erfüllt. P liegt daher auf der Geraden g.

Beispiel 2.7.11: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein? o §2 · §2 · g1 : x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

o §0 · §2 · g2 : x = ¨ ¸  μ ˜ ¨ ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

§2 · §2 · §0 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ = ¨ ¸  온 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹ ©4 ¹ © 1 ¹

vereinfacht auf

gegebene Geradengleichungen

§2 ˜ λ  2 · § 2 ˜ μ · ¨ ¸=¨ ¸ © 2 ˜ λ ¹ ©4  μ ¹

Seite 152

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Vorgabe 2˜ λ  2 = 2˜ μ Bei symbolischer Auswertung sind keine Startwerte erforderlich!

2˜ λ = 4  μ m  Suchen ( λ μ) o

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

ORIGIN  1 x1 

1

μ

§0 · §2 · ¨ ¸  온 ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

x2

λ

2

gesuchte Parameter

§4 · ¨ ¸ ©2 ¹

Ortsvektor des Schnittpunktes

ORIGIN festlegen

§2 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

§4 · ¨ ¸ ©2 ¹

x1

x2 

Der Schnittpunkt ist daher: S(4|2). Sx  x1 1

Sy  x1 2

Koordinaten des Schnittpunktes

Der Schnittwinkel ergibt sich mithilfe der beiden Richtungsvektoren:

ª « φ  acos « « « ¬

§2 · § 2 · ¨ ¸˜¨ ¸ © 2 ¹ © 1 ¹ §2 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ © 2 ¹ © 1 ¹

º » » » » ¼

φ

71.565 ˜ Grad

λ  2 2  0.01  3 Bereichsvariable für die Parameter μ  1 1  0.01  4

§2 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©2 ¹

x1 ( λ) 

x2 ( μ) 

i  1  2 6 5 4 3 2 1

x2( μ) 2 2

Geradengleichungen

Bereichsvariable

x1( λ) 2

Sy

§0 · §2 · ¨ ¸  온 ¸ ©4 ¹ © 1 ¹

1

Sx

Sy

Abb. 2.7.10 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

x1( λ) 1 x2( μ) 1 Sx

Seite 153

7

8

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.12: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein ?

g1 :

§1 · §¨ 2 ¸· o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨1 ¸

¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 1 ·¸ §¨ 2 ¸· §¨ 2 ¸· §¨ 1 ¸· ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ λ λ

μ μ

g2 :

§2 · §¨ 1 ¸· o ¨ ¸ x = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸

vereinfacht auf

¨2 ¸ © ¹

2˜ λ  1· ¨§ ¸ ¨ λ1 ¸ ¨ λ ¸ © ¹

¨2 ¸ © ¹ §¨ μ  2 ·¸ = ¨ μ ¸ ¨2 ˜ μ  2 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichungen

Schnitt der Geraden

Redefinitionen

§¨ 2 ˜ λ  1 = μ  2 ¸· ( λ μ )  ¨ λ  1 = μ ¸ auflösen λ μ o ( 0 1 ) ¨ λ = 2˜ μ  2 ¸ © ¹

λ

0

μ

1

gesuchte Parameter

oder: Vorgabe 2˜ λ  1 = μ  2 λ  1 = μ λ = 2˜ μ  2 m  Suchen ( λ μ) o

§0 · ¨ ¸ © 1 ¹

§¨ 1 ·¸ §¨ 2 ¸· x1 ( λ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

λ

x1 ( λ)

§¨ 1 ¸· ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

x2 ( μ)

§¨ 1 ¸· ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

0

μ

1

gesuchte Parameter

Ortsvektor des Schnittpunktes. Der Schnittpunkt lautet also: S(1|1|0).

oder:

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ·¸ x2 ( μ)  ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ ª « « « φ  acos « « « « ¬

§¨ 2 ¸· §¨ 1 ¸· ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹ §¨ 2 ¸· §¨ 1 ¸· ¨ 1 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ © ¹

ORIGIN  1

§ x1 ( 5) 1 · ¨ ¸ X1  ¨ x1 ( λ) 1 ¸ Y1  ¨ x1 ( 10 ) ¸ 1¹ ©

º » » » » » » » ¼

φ

60 ˜ Grad

Winkel zwischen g1 und g2

ORIGIN festlegen

§ x1 ( 5) 2 · ¨ ¸ ¨ x1 ( λ) 2 ¸ Z1  ¨ x1 ( 10 ) ¸ 2¹ ©

§ x1 ( 5) 3 · ¨ ¸ Vektoren mit den x-, y- und z-Werten von 3 Punkten ¨ x1 ( λ) 3 ¸ der Geraden g 1 ¨ x1 ( 10 ) ¸ 3¹ © Seite 154

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ x2 ( 3) 1 · ¨ ¸ X2  ¨ x2 ( μ) 1 ¸ Y2  ¨ x2 ( 6) ¸ 1 ¹ ©

§ x2 ( 3) 2 · ¨ ¸ ¨ x2 ( μ) 2 ¸ Z2  ¨ x2 ( 6) ¸ 2 ¹ ©

§ x2 ( 3) 3 · ¨ ¸ ¨ x2 ( μ) 3 ¸ ¨ x2 ( 6) ¸ 3 ¹ ©

Vektoren mit den x-, y- und z-Werten von 3 Punkten der Geraden g2

Diagrammformat: Allgemein: Streuungsdiagramm, 3D-Rahmen Darstellung: Punktoption-Punkte zeichnen, Linienoption-Linien

( X1 Y1 Z1) ( X2 Y2 Z2) Abb. 2.7.11 Eine weitere Möglichkeit zur Darstellung von Geraden im Raum:

S1 ( u)  x1 ( λ)

Schnittpunkt als Funktion von u

S1 ( λ)

1 ¨§ ¸· ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Diagrammformat: Allgemein: Streuungsdiagramm, 3D-Rahmen Darstellung: Linienoption-Linien QuickPlot-Daten: Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 20

x1 x2 S1 Abb. 2.7.12

Seite 155

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.13: Berechnen Sie eine implizite Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(-1 | 6), B(5 | 2) geht. Die Koordinaten des Normalvektors sind nach (2-80) die Koeffizienten der Variablen: o  o ª5  ( 1) º § 6 · §3 · a = AB = « » = ¨ ¸ = 2˜ ¨ ¸ ¬ 2  6 ¼ © 4 ¹ © 2 ¹ o §2 · n=¨ ¸ ©3 ¹

Richtungsvektor der Geraden g Normalvektor (2-82)

Punkt A g: 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ ( 1)  3 ˜ 6 = 16 Punkt B g: 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ 5  3 ˜ 2 = 16 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 2 ˜ x  3 ˜ y = 16 Beispiel 2.7.14: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(-1 | 3) geht und parallel zur Geraden g 1 : 2 x + 3 y + 5 = 0 ist. o §2 · Die Geraden g und g haben denselben Normalvektor n = ¨ ¸. 1 ©3 ¹ 2 ˜ x  3 ˜ y = 2 ˜ ( 1)  3 ˜ 3 = 7 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 2˜ x 3˜ y= 7 Beispiel 2.7.15: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(2 | 3) geht und die Steigung k = 4/5 hat. o §1 · Für den Richtungsvektor gilt nach (2-75): a = ¨ ¸. ©k ¹ Ein Normalvektor ist dann nach (2-82):

o n=

§4 · o §4 ·  §k · ¨ ¸ 1 §4 · ¨ ¸ = 5 = ˜ ¨ ¸. Damit ist aber n1 = ¨ ¸ auch ein © 1 ¹ ¨ ¸ 5 © 5 ¹ © 5 ¹ © 1 ¹

Normalvektor. 4 ˜ x  5 ˜ y = 4 ˜ 2  5 ˜ 3 = 7 Die implizite Gleichung der Geraden g lautet damit: 4˜ x 5˜ y 7 = 0

Seite 156

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.16: Gegeben ist die explizite Darstellung einer Geraden g: y = 3 x + 5. Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden?

§ 5 · ¨ x2 = 3 ¸ ¨ ¸ © 0 ¹

§0 · x1 = ¨ ¸ ©5 ¹

Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen

o §1 · §1 · a=¨ ¸ =¨ ¸ ©k ¹ ©3 ¹

Verschiebungsvektor zwischen P 1 und P2

Die Geradengleichung in Parameterform lautet damit: o §0 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©5 ¹ ©3 ¹ Parameterfreie Form der Geradengleichung im Raum: Durch Elimination des Parameters O aus je zwei Gleichungen in (2-78) erhalten wir für eine Gerade g des Raumes: x = x1  λ ˜ ax | . (-ay) y = y1  λ ˜ ay | . ax

| . (-az)

z = z 1  λ ˜ az

| . ay

g: ay ˜ x  ax ˜ y = x1 ˜ ay  y1 ˜ ax

(2-90)

az ˜ y  ay ˜ z = y1 ˜ az  z 1 ˜ ay Im Raum ist eine Gerade g durch zwei lineare Gleichungen mit drei Variablen festgelegt!

Beispiel 2.7.17: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung?

§2 · §¨ 2 ¸· o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

g:

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

¨ 3 ¸ © ¹

x= 2  2˜ λ

|.1

y=1 λ

|.2

|+

z = 3  3˜ λ g:

|.3

|+

|.1

x 2˜ y 4 = 0 3˜ y z  6 = 0

Seite 157

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Normalabstand eines Punktes von einer Geraden: Zu den Grundaufgaben der analytischen Geometrie gehört auch die Berechnung von Abständen zwischen Punkten und Geraden bzw. zwischen Geraden. o Wir betrachten dazu eine Gerade g durch den Punkt P1 mit Richtung a. Um den Abstand eines Punktes P von dieser Geraden zu berechnen, fällen wir das Lot auf die Gerade mit dem Lotpunkt Q  g (Abb. 2.42).  o Zur Berechnung des Abstandes d = PQ lassen sich u. a. verschiedene Beziehungen herleiten: o o o o 3 Durch x1 und a  mit a z 0 sei eine Gerade o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a, O }

(2-91)

o 3 im  gegeben, wobei x1 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 1 a) Dem rechtwinkeligen Dreieck in Abb. 2.7.13 entnehmen wir:  o  d = P1P ˜ sin ( φ) = P1P ˜ sin ( φ)

(2-92)

 oo  o o o b) Aus PQ ˜ a = 0 und PQ = PP1  λ ˜ a folgt (Abb. 2.7.13): o o  o o PP1 ˜ a o PQ = PP1  ˜a o 2 a

(2-93)



 o Für den Abstand d = PQ ergibt sich durch Herleitung: o o PP1 u a  o d = PQ = o a

(2-94)

Der Fußpunkt Q des Lotes auf die Gerade ist gegeben durch den Ortsvektor: o o o o o PP1 ˜ a o o q = OQ = x1  ˜ a = x1  o 2 a



o

o o § OP  x1· ˜ a o © ¹ ˜a



o 2 a

(2-95)

c) Den Normalabstand d des Punktes P von der Geraden g erhalten wir in der Ebene, wenn wir im Term o der linken Seite der Hesse'schen Normalform der Geradengleichung (2-85) den Ortsvektor x durch o  o den Ortsvektor p = OP ersetzen. o o o  a˜ x b˜ y c d = n0 ˜ § p  x1· bzw. in Koordinatenform d = © ¹ 2 2 a b

Seite 158

(2-96)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.13

Beispiel 2.7.18: o §0 · §3 · Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(5|4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g?

§0 · ¨ ¸ ©2 ¹ §3 · a ¨ ¸ © 2 ¹ §5 · p ¨ ¸ ©4 ¹ x1 

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

Richtungsvektor

Ortsvektor zum Punkt P  o Vektor P1P

P1P  p  x1 P1P

Abstand von P1 nach P

5.385

§ P1P ˜ a · ¸ © P1P ˜ a ¹

φ  acos ¨

φ

55.491 ˜ Grad

d

d

4.438

P1P ˜ sin ( φ)

Normalabstand von P nach Q (2-92)

oder: o Vektor PP1

PP1  x1  p

PQ  PP1  d

PQ

PP1 ˜ a



a

2

˜a

PQ

d

§ 2.462 · ¨ ¸ © 3.692 ¹ 4.438

 o Vektor PQ (2-85)

Normalabstand von P nach Q

o Q ist der Schnittpunkt von g mit der Normalen h auf g durch P. Ein Richtungsvektor n von h ist Normalvektor o §2 · von g: n = ¨ ¸. ©3 ¹

Seite 159

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Eine Parameterdarstellung von h lautet somit: h:

o §5 · §2 · x= ¨ ¸  온 ¸ ©4 ¹ ©3 ¹

Für den Schnittpunkt gilt:

§0 · § 3 · §5 · §2 · ¨ ¸  똨 ¸ = ¨ ¸  온 ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ © 4 ¹ ©3 ¹

vereinfacht auf

§ 3 ˜ λ · §5  2 ˜ μ · ¨ ¸=¨ ¸ ©2  2 ˜ λ ¹ ©4  3 ˜ μ ¹

Vorgabe 3˜ λ = 5  2˜ μ

lineares Gleichungssystem für O und P

2  2˜ λ = 4  3˜ μ

§¨ 11 ¨ 13 m  Suchen ( λ μ) o ¨ 16 ¨ © 13 OQ 

§0 · §3 · ¨ ¸  똨 ¸ ©2 ¹ © 2 ¹

¸· ¸ ¸ ¸ ¹

§λ · ¨ ¸ m ©μ ¹

λo

11 13

OQ

§ 2.538 · ¨ ¸ © 0.308 ¹

Ortsvektor zum Punkt Q

OQ

§ 2.538 · ¨ ¸ © 0.308 ¹

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

μo

16 13

Oder:

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

2

˜a

Beispiel 2.7.19:

§¨ 1 § 1 · o ¨ ¸ Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¨ 1 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-2 | 3 | 4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g? 1 ¨§ ·¸ x1  ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

1 ¨§ ·¸ a ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Richtungsvektor

2 ¨§ ·¸ p ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P

Seite 160

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Vektor PP1

PP1  x1  p

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

2

§¨  4 ·¸ ¨ 3¸ ¨ 5¸ OQ o ¨  ¸ ¨ 3¸ ¨ 1¸ ¨©  3 ¸¹

˜a

§¨ 1.333 ·¸ OQ ¨ 1.667 ¸ ¨ 0.333 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

Ortsvektor zum Punkt Q

¸· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸¹

PQ  p  OQ

§¨  2 ¨ 3 ¨ 14 PQ o ¨ ¨ 3 ¨ 13 ¨© 3

d

d

6.403

Normalabstand von P nach Q

d

6.403

Normalabstand von P nach Q

PQ

Oder:

d

PP1 u a a

Beispiel 2.7.20: Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(10 | 3 | -4) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g? Eine Gerade sei gegeben durch g: §2 · §¨ 0 ¸· o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸

¨4 ¸ © ¹

¨ 1 ¸ © ¹

2 ¨§ ·¸ x1  ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden

0 ¨§ ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Richtungsvektor

10 ¨§ ·¸ p ¨ 3 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P

Seite 161

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Vektor PP1

PP1  x1  p PP1 u a

d

d

a

OQ  x1 

PP1 ˜ a



a

˜a

2

9.798

§¨ 2 ¸· OQ ¨ 7 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Normalabstand von P nach Q

Ortsvektor zum Punkt Q (2-95)

Beispiel 2.7.21: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(-5 | 4) von der Geraden g: 3 x - 4 y - 4 = 0. 1

n0 

2

3  ( 4) p

2

§3 · ¸ © 4 ¹

˜¨

§ 5 · ¨ ¸ ©4 ¹

genormter Normalvektor

Ortsvektor zum Punkt P

x1 

§0 · ¨ ¸ © 1 ¹

d

n0 ˜ p  x1

Punkt auf der Geraden





d

7

Normalabstand des Punktes P von der Geraden g

d

7

Normalabstand des Punktes P von der Geraden g

oder:

d

3 ˜ ( 5)  4 ˜ 4  4 2

3  ( 4)

2

Abstand zweier Geraden:

o Wir betrachten nun eine Gerade g durch den Punkt P1 mit Richtung a und eine zweite Gerade h o durch den Punkt P2 mit Richtung b. o o o Im Weiteren sei a u b z 0, d. h., die beiden Geraden sind nicht parallel. Wir betrachten nun, um den Abstand der Geraden zu berechnen, das Lot von der einen Geraden auf die andere Gerade (siehe Abb. 2.7.14). o o  o o PP1 ˜ a o  oo ˜ a mit PQ ˜ a = 0. Nach (2-95) gilt für einen beliebigen Punkt P der Geraden h: PQ = PP1  o 2 a



 oo o o  o Nun muss zusätzlich auch noch PQ ˜ b = 0 und nach Abb. 2.7.14 PP1 = μ ˜ b  P1P2 gelten. Daraus lässt  o sich der Abstand d = PQ herleiten.

Seite 162

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o o o o 3 a) Durch x1 und a  mit a z 0 sei eine Gerade o o o o 3 g = { x  | x = x1  λ ˜ a, O } o 3 im  gegeben, wobei x1 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 1 o o o o 3 Weiters sei durch x2 und b  mit b z 0 eine Gerade o o o o 3 h = { x  | x = x2  μ ˜ b, P} o 3 im  gegeben, wobei x2 der Ortsvektor des Geradenpunktes P ist. 2 Der Abstand d der beiden Geraden ist dann gegeben durch:





o o  o a u b ˜ P1P2 d= o o au b

o o o für a u b z 0.

(2-97)

o o Sind a und b kollinear, also die Gerade g parallel zur Geraden h, dann ist der Abstand gegeben durch: o  o a u P1P2 d= o a

o o o für a u b = 0.

(2-98)

Abb. 2.7.14

Beispiel 2.7.22: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§1 · §¨ 1 ¸· o ¨ ¸ g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

§4 · §¨ 3 ¸· o ¨ ¸ h: x = ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨3 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

Seite 163

Vektoralgebra und analytische Geometrie

1 ¨§ ¸· a  ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

au b

§¨ 3 ¸· b  ¨3 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die beiden Geraden g und h sind also parallel!

4 1 ¨§ ·¸ §¨ ¸· P1P2  ¨ 0 ¸  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ ¨4 ¸ © ¹ © ¹ d

Richtungsvektoren

a u P1P2

Vektor vom Punkt P1 zum Punkt P2

d

a

3.266

Abstand der Geraden g zur Geraden h (2-98)

Beispiel 2.7.23: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§2 · §¨ 0 o ¨ ¸ g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¨4 ¸ © ¹

0 ¨§ ·¸ a ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

¸· ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b  ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· b u a ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ 2 ¨§ ·¸ x1  ¨ 3 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 1 ¸· x2  ¨ 0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

( a u b) ˜ P1P2 au b

1 §¨ 2 ·¸ ¨§ ·¸ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

Richtungsvektoren

Die beiden Geraden g und h sind nicht parallel! g und h werden auch windschiefe Geraden genannt.

P1P2  x2  x1 d

o h: x =

Ortsvektoren zu den Punkten P 1 und P2

Vektor vom Punkt P1 zum Punkt P2

d

4.333

Abstand der Geraden g zur Geraden h (2-97)

Seite 164

Vektoralgebra und analytische Geometrie

2.7.3 Ebenendarstellung Vektorielle Punkt-Richtungsform einer Ebene: Wir betrachten auch hier ein festes kartesisches Koordinatensystem und 3 in seiner Doppelfunktion als Punktemenge und als Vektorraum. Ebenen definieren wir analytisch als Teilmengen von 3 über Ebenengleichungen. oo o oo 3 Sind x1, a , b  mit linear unabhängigen Richtungsvektoren a, b der Ebene, so wird durch o o o o o 3 E = { x  | x = x1  λ ˜ a  μ ˜ b, OP }

(2-99)

eine Ebene E im 3 festgelegt (Abb. 2.7.15). Die Darstellung in Vektorform heißt Punkt-Richtungsform bzw. eine Parameterdarstellung der Ebene E.

Abb. 2.7.15

Vektorielle Drei-Punkteform einer Ebene: o o o 3 3 Sind x1, x2, x3  drei nicht kollineare Punkte einer Ebene E im  , so ist durch o o o o o o o 3 E = { x  | x = x1  λ ˜ § x2  x1·  μ ˜ § x3  x1·, O, P } © ¹ © ¹ die Drei-Punkteform der Ebene E gegeben (Abb. 2.7.16).

Seite 165

(2-100)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.16

Beispiel 2.7.24: Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Ebene E durch P1 (3 | 5 | 1) verläuft und o o T T ihre Richtungsvektoren a = ( 2 5 1 ) und b = ( 5 1 3 ) sind?

E:

§3 · §¨ 2 ¸· §¨ 5 ¸· o ¨ ¸ x = ¨5 ¸  λ ˜ ¨5 ¸  μ ˜ ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

vereinfacht auf

o x=

5˜ μ  2˜ λ  3· ¨§ ¸ ¨ μ  5˜ λ  5 ¸ ¨ 3˜ μ  λ  1 ¸ © ¹

Beispiel 2.7.25: Gegeben sind die Punkte A(-1 | 1 | 3), B(-1 | 3 | 2) und C(5 | 2 | 6) einer Ebene. Wie lautet die Ebenengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O und P jeweils einen Punkt der Ebene. 1 ¨§ ·¸ OA  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

AB  OB  OA

AC  OC  OA

§¨ 1 ¸· OB  ¨ 3 ¸ ¨2 ¸ © ¹

§¨ 5 ¸· OC  ¨ 2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

gegebene Ortsvektoren

AB

§¨ 0 ¸· ¨2 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Vektor von A nach B (Richtungsvektor)

AC

§¨ 6 ¸· ¨1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

Vektor von A nach C (Richtungsvektor)

OX ( λ μ)  OA  λ ˜ AB  μ ˜ AC

OX ( 0 1)

§¨ 5 ¸· ¨2 ¸ ¨6 ¸ © ¹

OX ( 1 2)

§¨ 11 ¸· ¨5 ¸ ¨8 ¸ © ¹

Geradengleichung in Parameterdarstellung

OX ( 2 2)

§¨ 11 ¸· ¨7 ¸ ¨7 ¸ © ¹

Seite 166

Jeder Wert für O und P ergibt einen Punkt der Ebene.

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Koordinatenform der Ebenengleichung in Parameterdarstellung: o To T Mit P (x | y | z ), a = ax ay az , b = bx by bz und X(x | y | z ) gilt: 1 1 1 1









x a b x  λ ˜ ax  μ ˜ bx · §¨ x ¸· ¨§ 1 ·¸ ¨§ x ·¸ ¨§ x ·¸ §¨ 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ y ¸ = y1  λ ˜ ay  μ ˜ by = y1  λ ˜ ay  μ ˜ by ¸. ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨z ¸ ¨ ¸ © ¹ ¨© z1 ¸¹ ¨© az ¸¹ ¨© bz ¸¹ ¨© z1  λ ˜ az  μ ˜ bz ¸¹ Damit kann die Ebenengleichung in Parameterform in Koordinatenform geschrieben werden (O, P ): x = x1  λ ˜ ax  μ ˜ bx y = y1  λ ˜ ay  μ ˜ by z = z 1  λ ˜ az  μ ˜ bz

(2-101)

Parameterfreie Form der Ebenengleichung: Durch Elimination der Parameters O und P aus den Gleichungen in Koordinatenform erhalten wir durch geeignete Multiplikation und anschließender Addition der Gleichungen eine lineare Gleichung mit drei Variablen ( (a | b | c) z (0 | 0 | 0) ): E: a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0

(Normalform oder implizite Form)

(2-102)

Die Normalform oder implizite Form einer Geraden in der Ebene ist gleichwertig zur Parameterdarstellung einer Geraden, d. h., beide Formen sind ineinander umrechenbar.

Beispiel 2.7.26: Wie lautet die parameterfreie Form der Ebenengleichung?

§2 · §¨ 2 o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¨1 ¸ © ¹

§¨ 3 ¸· ¸· ¸  μ ˜ ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Ebenengleichung in Parameterdarstellung

Koordinatenform: x= 2  2˜ λ  3˜ μ

|.5 Ÿ

|+ y= 3  2˜ λ  5˜ μ

| . (-3)

E:

15 ˜ x  5 ˜ y  20 ˜ z = 35

|.3

|.1

|+ |+

z = 1  1˜ λ  1˜ μ

5˜ x 3˜ y= 1  4˜ λ

Ÿ

y 5˜ z = 8  3˜ λ

Ÿ

|.4

|.5 implizite Ebenengleichung

Beispiel 2.7.27: Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, wenn die implizite Form der Ebenengleichung gegeben ist. E:

x 2˜ y z = 3

gegebene implizite Ebenengleichung

Seite 167

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Wir verwenden zwei Variable als Parameter (z. B. y = O und z = P) und setzen diese in die Gleichung ein: x 2˜ λ  μ = 3

Ÿ

x= 3  2˜ λ  μ

Damit erhalten wir die Koordinatenform: x=3-2O+P y= O z= P Und daraus folgt eine Parameterform: 1 §3 · §¨ 2 ¸· ¨§ ¸· o ¨ ¸ x = ¨0 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨0 ¸

¨0 ¸ © ¹

¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Normalvektorform und Hess'esche Normalform der Ebenengleichung: Im Raum kann eine Ebene durch einen Punkt und einen ihrer Normalvektoren eindeutig bestimmt werden. o o o Es sei n z 0 ein Normalvektor der Geraden g (Abb. 2.7.17), x1 der Ortsvektor des gegebenen Punktes o o o P (x | y | z ) und X(x | y | z) ein beliebiger Punkt der Ebene. Weil die Vektoren x  x1 und n 1 1 1 1 aufeinander normal stehen, folgt: o o o oo o o n ˜ § x  x1· = 0 bzw. n ˜ x = n ˜ x1 © ¹

(2-103)

Wir nennen jede der beiden Gleichungen die Normalvektorform der Ebenengleichung in 3 . o  o  Wählen wir insbesondere in (2-103) einen Normalvektor en = n0, der auch Einheitsvektor ist, so nennen wir die Gleichung Hesse'sche Normalform (HNF) der Ebenengleichung im 3 : o o o oo  o o   n0 ˜ § x  x1· = 0 bzw. n0 ˜ x = n0 ˜ x1 © ¹

(2-104)

Nach Ausführung der Skalarmultiplikation in (2-104) erhalten wir die Normalform oder implizite Form der Ebenengleichung: nx ˜ x  ny ˜ y ˜ nz ˜ z = nx ˜ x1  ny ˜ y1  nz ˜ z 1 (= konstant)

(2-105)

Setzen wir nx ˜ x1  ny ˜ y1  nz ˜ z 1 = d, nx = a, ny = b und nz = c, so erhalten wir wieder die gleiche Form der impliziten Ebenengleichung wie in (2-102): a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0. Hieraus ist ersichtlich, dass die Koeffizienten a, b und c die Koordinaten eines Normalvektors einer Ebene E sind:

§a · o ¨ ¸ n = ¨b ¸

(2-106)

¨c ¸ © ¹

Seite 168

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o  Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 =

§¨ a ¸· ˜ ¨ b ¸ ergibt sich die Hesse'sche 2 2 2 ¨ ¸ a  b  c ©c ¹ 1

Normalform in Koordinatenschreibweise zu a˜ x b˜ y c˜ z  d 2

2

a b c

= 0.

(2-107)

2

Abb. 2.7.17

Beispiel 2.7.28: Liegt der Punkt P(11| - 3 | 1) in der nachfolgend gegebenen Ebene?

§3 · §¨ 0 ¸· §¨ 4 ¸· o ¨ ¸ x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

¨5 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

§¨ 11 ·¸ ¨§ 3 ·¸ §¨ 0 ¸· §¨ 4 ¸· ¨ 3 ¸ = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨5 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ μ μ

λ λ

gegebene Ebene

vereinfacht auf

§¨ 11 ¸· §¨ 4 ˜ μ  3 ¸· ¨ 3 ¸ = ¨ 2 ˜ μ  6 ˜ λ  1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ μ  5˜ λ  2 ¸ © ¹ © ¹

Redefinitionen

4 ˜ μ  3 = 11 ¨§ ¸· §μ · ( μ λ )  ¨ 2 ˜ μ  6 ˜ λ  1 = 3 ¸ auflösen ¨ ¸ o ( 2 1 ) ©λ ¹ ¨ μ  5 ˜ λ  2 = 1 ¸ © ¹

§¨ 3 ¸· §¨ 0 ¸· §¨ 4 ¸· xE ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ ¨5 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

Die Vektorgleichung ist erfüllt, wenn P = 2 und O = -1 ist. Der Punkt P liegt also in der gegebenen Ebene.

Ebene als Funktion von O und P

Seite 169

Vektoralgebra und analytische Geometrie

xE1 ( λ μ)  xE ( λ μ)

Punkt der Ebene

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Datenpunkte 3D-Rahmen Darstellung: keine Linien, Punkte zeichnen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 0, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 0, Schrittweite 1 xE xE1 Abb. 2.7.18 Beispiel 2.7.29: o Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (2 | - 5 | 3) enthält und auf der der Normalvektor n steht.

§¨ 4 ¸· n = ¨2 ¸ ¨5 ¸ © ¹ §¨ 4 ·¸ «ª§¨ x ¸· §¨ 2 ¸·º» ¨ 2 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 5 ¸» = 0 ¨ 5 ¸ «¨ z ¸ ¨ 3 ¸» © ¹ ¬© ¹ © ¹¼ 4 ˜ x  2 ˜ y  5 ˜ z  13 = 0

gegebener Normalvektor

annehmen ALLE(S) = reell o 4 ˜ x  2 ˜ y  5 ˜ z  13 = 0 erweitern

Ebenengleichung in impliziter Form

Beispiel 2.7.30: o Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (2 | - 3 | -1) enthält und auf der der Normalvektor n steht. Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebenengleichung? n = ex  2 ˜ ey  4 ˜ ez

gegebener Normalvektor in Komponentendarstellung

§¨ 1 ·¸ §¨ x ¸· §¨ 1 ¸· §¨ 2 ¸· ¨ 2 ¸ ˜ ¨ y ¸ = ¨ 2 ¸ ˜ ¨ 3 ¸ annehmen x = reell y = reell z = reell o x  2 ˜ y  4 ˜ z = 4 ¨ 4 ¸ ¨ z ¸ ¨ 4 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ Seite 170

Vektoralgebra und analytische Geometrie

x 2˜ y 4˜ z = 4 1 ¨§ ·¸ n  ¨ 2 ¸ ¨4 ¸ © ¹

n0 

1 n

Ebenengleichung in impliziter Form

n o

T

˜n

n0 o

x 2 «ª§¨ ¸· §¨ ¸·º» n0 ˜ «¨ y ¸  ¨ 3 ¸» = 0 «¨ z ¸ ¨ 1 ¸» ¬© ¹ © ¹¼

x 2˜ y 4˜ z  4 1

21

21

Normalvektor in Koordinatendarstellung

§ 21 2 ˜ 21 4 ˜ 21 · ¨  ¸ 21 21 © 21 ¹

annehmen x = reell annehmen y = reell o annehmen z = reell

=0

21 ˜ ( x  2) 21

Normalvektor als Einheitsvektor



2˜

21 ˜ ( y  3) 21



4˜

21 ˜ ( z  1) 21

Hesse'sche Normalform in Koordinatenform

2

Beispiel 2.7.31:

§3 · §¨ 0 ¸· §¨ 4 ¸· o ¨ ¸ Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebene x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 6 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸? ¨2 ¸ © ¹

3 ¨§ ·¸ x1  ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Punkt P1 der Ebene

0 ¨§ ¸· a  ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

§¨ 4 ¸· b  ¨2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

n au b

n o 4˜

¨5 ¸ © ¹

n

Richtungsvektoren der Ebene

§¨ 4 ·¸ ¨ 20 ¸ ¨ 24 ¸ © ¹

ein Normalvektor der Ebene

Betrag des Normalvektors

62

4 ˜ x  20 ˜ y  24 ˜ z = n ˜ x1 o 20 ˜ y  4 ˜ x  24 ˜ z = 80 1 ˜ x  5 ˜ y  6 ˜ z  20

=0

implizite Form der Ebene

Hesse'sche Normalform der Ebene

62

Seite 171

=0

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Normalabstand eines Punktes von einer Ebene: o o o o Gegeben sei eine Ebene E: n ˜ § x  x1· = 0 und ein Punkt P mit dem Ortsvektor p (Abb. 2.7.19). © ¹  o o o Der Vektor von P nach P ergibt sich aus P1P = p  x1. Seine Projektion in die Richtung des 1

o  o o  o o Normalvektors n ergibt den Vektor P1D = d, der mit dem Vektor P2P der Länge d = d übereinstimmt.  o o Für die Projektion von P1P auf n gilt nach Gleichung (2-38): o o  o ªo §o ·º o ª n ˜ P1Pº o « n ˜ © p  x1¹ » o »˜n=« d=« »˜n o 2 « o 2» « » n ¬ n ¼ ¬ ¼



(2-108)



Für den Betrag gilt dann: o d= d =

o o o o o o o ª«on ˜ §op  x · »º o §p  x · o n n ˜ § p  x1· ˜ 1¹ 1¹ © © © ¹ ˜ n = ˜ n = « » o 2 2 o « on » n n ¬ ¼





(2-109)

o  Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 behält auch die in (2-96) formulierte Abstandsformel ihre Gültigkeit: o o o  a˜ x b˜ y c  z  d d = n0 ˜ § p  x1· bzw. in Koordinatenform d = © ¹ 2 2 2 a b c

Abb. 2.7.19

Seite 172

(2-110)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.32: o T Gegeben ist ein Punkt P1 (1 | 0 | 9) und ein Normalvektor n = ( 1 3 5 ) einer Ebene. Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-2 | 1 | 3) zur Ebene. 1 ¨§ ·¸ n  ¨3 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene

§¨ 2 ¸· p ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

1 ¨§ ·¸ x1  ¨ 0 ¸ ¨9 ¸ © ¹

d n0  d



Ortsvektor zum Punkt P1 und zum Punkt P



n ˜ p  x1

d

n 1 n

˜n

5.071

Abstand des Punktes P zur Ebene (2-109)

Normalvektor als Einheitsvektor





n0 ˜ p  x1

d

5.071

Abstand des Punktes P zur Ebene (2-110)

Beispiel 2.7.33: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(5 | 4 | -3) von der Ebene E: - 3 x - 4 y + 4 z - 5 = 0.

n0 

3 ¨§ ·¸ ˜ ¨ 4 ¸ 2 2 2 ¨ ( 3)  ( 4)  4 © 4 ¸¹ 1

§¨ 5 ¸· p ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

1 ¨§ ·¸ x1  ¨ 0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

d

genormter Normalvektor



Ortsvektor zum Punkt P1 und zum Punkt P der Ebene



n0 ˜ p  x1

d

7.496

Normalabstand des Punktes P von der Ebene (2-110)

d

7.496

Normalabstand des Punktes P von der Ebene

oder:

d

3 ˜ 5  4 ˜ 4  4 ˜ ( 3)  5 2

2

2

( 3)  ( 4)  4

Seite 173

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Lagebeziehungen von Gerade und Ebene: Eine Gerade g und eine Ebene E können folgende Lagen zueinander haben: 1. g liegt in der Ebene 2. g und E sind zueinander parallel 3. g und E schneiden einander in einem Punkt Abstand einer Geraden von einer Ebene: o o o o o o Wir setzen voraus, dass g: x = x1  λ ˜ a parallel zu E: n ˜ § x  x0· = 0 verläuft. Dies ist nur dann der Fall, © ¹ o o oo wenn der Richtungsvektor a der Geraden senkrecht auf dem Normalvektor n steht, d. h. n ˜ a = 0 ist (Abb. 2.7.20). Mit den Überlegungen von vorher ((2-109) und (2-110)) gilt hier für den Abstand einer Geraden g von einer Ebene E: o o o n ˜ § x1  x0· © ¹ d= . o n

(2-111)

o  Mit dem Normalvektor als Einheitsvektor n0 ergibt sich dann: o o o  d = n0 ˜ § x1  x0· © ¹

(2-112)

Abb. 2.7.20

Beispiel 2.7.34: Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E? o x=

§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ·¸ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 4 ¸ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade g

Seite 174

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 2 ·¸ «ª§¨ x ¸· §¨ 1 ¸·º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y ¸  ¨ 5 ¸» = 0 ¨ 3 ¸ «¨ z ¸ ¨ 2 ¸» © ¹ ¬© ¹ © ¹¼ x1 

a

n

x0 

0 ¨§ ·¸ ¨1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ §¨ 1 ·¸ ¨ 4 ¸ ¨2 ¸ © ¹ 2 ¨§ ·¸ ¨1 ¸ ¨3 ¸ © ¹ 1 ¨§ ·¸ ¨5 ¸ ¨2 ¸ © ¹

n˜a d

vereinfacht auf

2 ˜ x  13  y  3 ˜ z = 0

gegebene Ebene E

Punkt der Geraden g

Richtungsvektor der Geraden g

Normalvektor der Ebene

Punkt in der Ebene

Gerade und Ebene verlaufen parallel!

0





n ˜ x1  x0

d

n

4.009

Abstand der Geraden von der Ebene (2-111)

oder.: n0  d

1 n

˜n



Normalvektor als Einheitsvektor



n0 ˜ x1  x0

d

4.009

Abstand der Geraden von der Ebene (2-112)

Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene: o o o o o o Wir setzen voraus, dass sich die Gerade g: x = x1  λ ˜ a und die Ebene E: n ˜ § x  x0· = 0 in einem © ¹ o Punkt S schneiden. Dies ist nur dann der Fall, wenn der Richtungsvektor a der Geraden nicht senkrecht o oo auf dem Normalvektor n steht, d. h. n ˜ a z 0 ist (Abb. 2.7.21). o Der Ortsvektor xs des Schnittpunktes S erfüllt dann sowohl die Geradengleichung als auch die Gleichung der Ebene: o o o o o o xs = x1  λs ˜ a und n ˜ § xs  x0· = 0 © ¹

(2-113)

Seite 175

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Durch Einsetzen der Geradengleichung in die Gleichung der Ebene erhalten wir den zu bestimmenden Parameter Os :



o o o o o o o o o o o o o o oo n ˜ § xs  x0· = n ˜ § x1  λs ˜ a  x0· = n ˜ § x1  x0  λs ˜ a· = n ˜ § x1  x0·  λs ˜ n ˜ a = 0. Daraus folgt: © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ o o o n ˜ § x0  x1· © ¹ λs = oo n˜ a

(2-114)

o Setzen wir diesen Wert in die Geradengleichung ein, so erhalten wir den Ortsvektor xs des Schnittpunktes S: o o ªo § ·º o o « n ˜ © x0  x1¹ » o oo xs = x1  ˜a ( n˜ a z 0) (2-115) o o « » n˜ a ¬ ¼ Für α = 90°  φ bzw. α = 90°  φ (ist abhängig von der Richtung des Normalvektors) lässt sich der o o Winkel aus dem Skalarprodukt der Vektoren n und a berechnen: oo n˜ a cos ( α) = o o (2-116) n ˜ a Mit dem Summensatz cos ( α) = cos ( 90°  / - φ) = cos ( 90°) ˜ cos ( φ)  / - sin ( 90°) ˜ sin ( φ) = +/- sin ( φ) erhalten wir unter Berücksichtigung, dass M im Intervall 0° dM d90° liegt und daher sin(M) positiv ist, aus (2-116): oo n˜ a sin ( φ) = o o (2-117) n ˜ a Daraus ergibt sich der Winkel M durch:

§ on ˜oa φ = arcsin ¨ o o ¨ © n ˜ a

· ¸ ¸ ¹

(2-118)

Abb. 2.7.21

Seite 176

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.35: Eine Ebene und eine Gerade sind gegeben durch: a  11

b 5

c  4

d  10

E ( x y z ) = a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d = 0 5 ¨§ ·¸ x1  ¨ 5 ¸ ¨0 ¸ © ¹

2 ¨§ ¸· a  ¨1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Ebenengleichung

Ortsvektor zum Punkt P1 und Richtungsvektor der Geraden

Gesucht wird der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene und der Winkel zwischen Gerade und Ebene. E ( x y z )  ( a ˜ x  b ˜ y  c ˜ z  d) z1 ( x y)  E ( x y z ) = 0 auflösen z o z1 ( 0 0)

11 ˜ x 4



5˜ y 4



5

2.5

0 · ¨§ ¸ x0  ¨ 0 ¸ ¨ 2.5 ¸ © ¹

ein Punkt der Ebene

a ¨§ ·¸ n  ¨b ¸ ¨c ¸ © ¹ n˜a

Ebenengleichung nach z aufgelöst

2

Normalenvektor der Ebene

es gibt einen Schnittpunkt

19

ª n ˜  x0  x1 º »˜a xs  x1  « ¬ n˜a ¼ § a˜ n · ¸ © a ˜ n ¹

φ  asin ¨

4.474 · ¨§ ¸ xs ¨ 0.263 ¸ ¨ 9.474 ¸ © ¹

φ

29.8 ˜ Grad

Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene Geradengleichung

g ( λ)  x1  λ ˜ a

Seite 177

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 10, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 20, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -10, Ende 5, Schrittweite 20

g z1 Abb. 2.7.22 Beispiel 2.7.36: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene. 2 §¨ 1 ¸· ¨§ ¸· OX  λ1  ¨ 5 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ¨4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

§¨ 2 ¸· §¨ 3 ·¸ §¨ 3 ·¸ OE ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebene

§¨ 2 ·¸ §¨ 1 ¸· ¨§ 2 ¸· §¨ 3 ·¸ §¨ 3 ¸· ¨ 5 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨4 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

beide Terme gleichsetzen

Gleichungssystem umformen: 3 2 2 §¨ 1 ·¸ §¨ 3 ¸· ¨§ ¸· ¨§ ¸· §¨ ¸· λ1 ˜ ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ = ¨ 1 ¸  ¨ 5 ¸ ¨ 3 ¸ ¨2 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

vereinfacht auf

3 ˜ λ  3 ˜ μ  λ1 · ¨§ ¸ §¨ 4 ·¸ ¨ 2˜ μ  λ  λ ¸ = ¨ 4 ¸ 1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨© 5 ˜ μ  2 ˜ λ  3 ˜ λ1 ¸¹ © 3 ¹

Koeffizientenmatrix A und Konstantenvektor c aufstellen: 1 3 3 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 1 2 ¸ ¨ 3 2 5 ¸ © ¹ A

9

Koeffizientenmatrix

Reguläre Matrix, weil die Determinante ungleich 0 ist.

Seite 178

Vektoralgebra und analytische Geometrie

4 ¨§ ·¸ c  ¨ 4 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Konstantenvektor

§ λ1 · ¨ ¸ 1 ¨λ ¸ A ˜c ¨ ¸ ©μ ¹

§ λ1 · ¨ ¸ ¨λ ¸ ¨ ¸ ©μ ¹

5 ¨§ ¸· ¨ 1 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

Lösungsvektor

O1 in die Geradengleichung oder O und P in die Ebenengleichung einsetzen:



OX λ1

OE ( λ μ)

7 ¨§ ¸· ¨ 10 ¸ ¨ 19 ¸ © ¹

Koordinaten des Schnittpunktes S(-7 | 10 | 19)

§¨ 7 ¸· ¨ 10 ¸ ¨ 19 ¸ © ¹ Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn -10, Ende 10, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 10, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 2, Schrittweite 20

OX OE Abb. 2.7.23 Beispiel 2.7.37: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 6 ¸· §¨ 4 ¸· OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

2˜ x y 3˜ z = 2

gegebene Ebene

Seite 179

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 6 ¸· §¨ 4 ¸· OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸ ¨3 ¸ ¨ 5 ¸ © ¹ © ¹

vereinfacht auf

§¨ 4 ˜ λ  6 ·¸ OX ( λ) = ¨ 2  2 ˜ λ ¸ ¨3  5 ˜ λ ¸ © ¹

Koordinaten der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen: 2 ˜ ( 4 ˜ λ  6)  ( 2  2 ˜ λ)  3 ˜ ( 3  5 ˜ λ) = 2 19  5 ˜ λ = 2

hat als Lösung(en)

vereinfacht auf

19  5 ˜ λ = 2

17 5

oder: f ( λ)  2 ˜ ( 4 ˜ λ  6)  ( 2  2 ˜ λ)  3 ˜ ( 3  5 ˜ λ)  2 mit dem Term der Geradengleichung eine Funktion festlegen Startwert λ1  1



λ  wurzel f λ1 λ1

λ

3.4

1  4 ˜ λ · ¨§ ¸ OX ( λ)  ¨ 2  2 ˜ λ ¸ ¨ 3  5˜ λ ¸ © ¹

OX ( λ)

gesuchter Parameter

vereinfachte Geradengleichung

§¨ 12.6 ¸· ¨ 4.8 ¸ ¨ 14 ¸ © ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene

Lagebeziehungen von zwei Ebenen: Zwei Ebenen E1 und E2 können folgende Lagen zueinander haben: 1. E1 und E2 fallen zusammen 2. E1 und E2 sind zueinander parallel 3. E1 und E2 schneiden sich längs einer Geraden Abstand zweier paralleler Ebenen

o o o o o o   Wir setzen voraus, dass die Ebenen E : n1 ˜ § x  x1· und E : n2 ˜ § x  x2· = 0 zueinander parallel sind. © ¹ © ¹ 1 2 o o   Dies ist nur dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalvektoren n1 und n2 kollinear sind, d. h. o  o o  n1 u n2 = 0 ist (Abb. 2.7.24). Wir erhalten den Abstand zweier paralleler Geraden nach der Abstandsformel (2-111):  o o o n1 ˜ § x2  x1· © ¹ d= o  n2

.

(2-119)

Seite 180

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.24

Beispiel 2.7.38: Gegeben sind zwei Ebenen. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen, wenn sie parallel liegen? E1 :

1 ˜ x  4 ˜ y  2 ˜ z  10 = 0

E2 :

2 ˜ x  8 ˜ y  4 ˜ z  2 = 0

gegebene Ebenen

E1 ( x y z )  1 ˜ x  4 ˜ y  2 ˜ z  10

Terme der Ebenen als Funktion definiert

E2 ( x y z )  2 ˜ x  8 ˜ y  4 ˜ z  2 x z E1 ( x y)  E1 ( x y z ) = 0 auflösen z o  2 ˜ y  5 2 x

nach z aufgelöste Gleichungen der Ebenen

1

z E2 ( x y)  E2 ( x y z ) = 0 auflösen z o  2 ˜ y  2 2 Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 1

z E1 z E2 Abb. 2.7.25

Seite 181

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§¨ 1 ·¸ n1  ¨ 4 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E 1

§¨ 2 ·¸ n2  ¨ 8 ¸ ¨4 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E 2

E1 ( 0 2 1)

0

0 ¨§ ·¸ x1  ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Punkt der Ebene E 1

E2 ( 1 1 2)

0

1 ¨§ ·¸ x2  ¨ 1 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Punkt der Ebene E 2

§¨ 0 ¸· n1 u n2 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Die Ebenen liegen parallel!

d





n1 ˜ x2  x1 n1

d

1.964 Abstand der beiden Ebenen

oder: d





n2 ˜ x2  x1 n2

d

1.964

Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen o o o o o o   Wir setzen voraus, dass sich die Ebenen E : n1 ˜ § x  x1· und E : n2 ˜ § x  x2· = 0 längs einer Geraden © ¹ © ¹ 2 1 o o   g schneiden. Dies ist nur dann der Fall, wenn die zugehörigen Normalvektoren n1 und n2 nicht kollinear o  o o  sind, d. h. n1 u n2 z 0 ist (Abb. 2.7.26). Für die Schnittgerade g wählen wir die Darstellung: o o o x = x0  λ ˜ a . (2-120) o o Der Ortsvektor x0 des auf der Geraden liegenden Punktes P und der Richtungsvektor a müssen noch 0 bestimmt werden.

Seite 182

Vektoralgebra und analytische Geometrie

o Der Richtungsvektor a kann aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebenen bestimmt werden, weil diese jeweils senkrecht auf der Schnittgeraden stehen: o o  a = n1 u n2 .

(2-121) o Der Punkt P liegt in beiden Ebenen, sodass der Ortsvektor x0 die Gleichungen der beiden Ebenen 0 erfüllen muss: o o  n1 ˜ § x0  © o n2 ˜ § x0  ©

o x1· = 0 , ¹ o x2· = 0 . ¹

(2-122)

Nach dem Ausmultiplizieren der beiden Gleichungen (2-122) erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei unbekannten Koordinaten x0 , y0 und z 0 des Punktes P0 :

 



 



 



n1x ˜ x0  x1  n1y ˜ y0  y1  n1z ˜ z 0  z 1 = 0, n2x ˜ x0  x1  n2y ˜ y0  y1  n2z ˜ z 0  z 1 = 0.

(2-123)

Eine der drei Koordinaten ist frei wählbar, z. B. kann man x0 = 0 setzen. Der Schnittwinkel M zweier Ebenen E1 und E2 ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normalvektoren o o   n1 und n2. Der Winkel kann nach Gleichung (2-35) berechnet werden:

§¨ φ = arccos ¨ ¨©

o  o  n1 ˜ n2 o o   n1 ˜ n2

¸· ¸ ¸¹

(2-124)

Abb. 2.7.26

Seite 183

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.39: Bestimmen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der nachfolgend gegebenen Ebenen.

§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 1 ¸· E1 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenen

§¨ 1 ¸· §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· E2 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ §¨ 1 ¸· n1  ¨ 0 ¸ u ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· ¨1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· n1 ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E1

§¨ 1 ¸· n2  ¨ 0 ¸ u ¨0 ¸ © ¹

§¨ 0 ·¸ ¨1 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· n2 ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

Normalvektor der Ebene E1

§¨ 2 ¸· n1 u n2 ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

die Ebenen schneiden einander

a  n1 u n2

Richtungsvektor der Geraden g

x §¨ 0 ·¸ «ª§¨ 0 ·¸ §¨ 1 ¸·º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y0 ¸  ¨ 0 ¸» = 0 ¨ 1 ¸ «¨ ¸ ¨ 1 ¸» © ¹ «¬¨© z 0 ¸¹ © ¹»¼

vereinfacht auf

y0  z 0  1 = 0

x §¨ 0 ·¸ «ª¨§ 0 ·¸ §¨ 1 ¸·º» ¨ 1 ¸ ˜ «¨ y0 ¸  ¨ 0 ¸» = 0 ¨ 1 ¸ «¨ ¸ ¨ 1 ¸» © ¹ «¬¨© z0 ¸¹ © ¹»¼

vereinfacht auf

y0  z 0  1 = 0

Vorgabe y0  z 0  1 = 0 y0  z 0  1 = 0





m  Suchen y0 z 0 o

x0

0

y0

1

§0 · ¨ ¸ ©1 ¹

x ¨§ 0 ¸·  m ¨y ¸ © 0¹ Damit ist x 0 = 0, y0 = 0 und z 0 = 1.

Seite 184

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Somit ist die Schnittgerade gegeben durch:

§¨ 0 ¸· §¨ 2 ·¸ x1 ( λ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸ ¨1 ¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹ § n1 ˜ n2 ¨© n1 ˜ n2

φ  acos ¨

¸· ¸¹

φ

90 ˜ Grad

Schnittwinkel

Diagrammformat: Diagramm 1 und 2 Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 10 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 10 Diagramm3: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

E1 E2 x1 Abb. 2.7.27

2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde In der parameterfreien Darstellung wird eine Ebene im 3 durch eine lineare Gleichung (2-94) dargestellt. Analog wird eine Gerade im 2 durch eine lineare Gleichung (2-72) dargestellt und eine Gerade im 3 kann als Schnitt zweier Ebenen durch zwei lineare Gleichungen dargestellt werden, wie im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde. Auch andere geometrische Gebilde lassen sich in analoger Weise durch nichtlineare Gleichungen oder Ungleichungen beschreiben. Bereits bei der Verwendung quadratischer Gleichungen ergibt sich eine Vielzahl von geometrischen Gebilden: • Die durch Schnitt eines dreidimensionalen geraden Doppelkreiskegels mit einer Ebene entstehenden ebenen Kurven zweiter Ordnung im 2 werden als Kegelschnitte bezeichnet. Zu ihnen gehören Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. • Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) im 3 : Kugel (Sphäre), Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid, einschaliges Hyperboloid, elliptischer Doppelkegel, elliptisches Paraboloid, hyperbolisches Paraboloid, elliptischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder, parabolischer Zylinder etc.

Seite 185

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Kegelschnitte: Aus analytischer Sicht handelt es sich bei den verschiedenen Schnittfiguren um die Punktmengen, deren Koordinaten (x | y) einer algebraischen quadratischen Gleichung 2. Grades folgender Form genügen: 2

2

2

A˜ x  B˜ y  C˜ x  D˜ y  E = 0

2

( A  B z 0)

(2-125)

Die konstanten Koeffizienten dieser Gleichung entscheiden über die Art eines Kegelschnittes: A=B A˜ B ! 0, A z B A˜B 0 A = 0 , B z 0 oder B = 0 , A z 0

Kreis Ellipse Hyperbel Parabel

Kreis und Kreisscheibe: o Sei m 2 \ {0} und r > 0. Es heißt





o o o2 o 2 2 2 2 2 2 k = { x  | x  m = r } = { x  | x  x0  y  y0 = r }







(2-126)

ein Kreis im 2 (Abb. 2.7.28). Der Kreis ist also der geometrische Ort aller Punkte X, die vom Kreismittelpunkt M den gleichen Abstand r besitzen:  MX = r = konstant .

(2-127)

Es heißt





o o o2 2 o 2 2 2 2 2 K = { x  | x  m d r } = { x  | x  x0  y  y0 d r }







(2-128)

eine abgeschlossenen Kreisscheibe im 2 (Abb. 2.7.28). Die Gleichung

x  x0 2  y  y0 2 = r2

M(x | y ) 0

0

(2-129)

heißt Hauptform (Koordinatenform) der Gleichung des Kreises. Die Gleichung 2

2

2

x y =r

M(0 | 0)

(2-130)

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung des Kreises.

Seite 186

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-120) und (2-121) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-130) kann explizit aufgelöst werden: 2

2

r x

y=

2

oberer Halbkreis 2

y= r  x

(2-131)

unterer Halbkreis

Von den möglichen Lagen einer Geraden zum Kreis (Passante, Tangente, Sekante) ist nur für die Tangente t (Abb. 2.7.28) eine allgemeine Gleichung interessant:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2

M(x | y ) und P (x | y ) 0

0

1

1

1

(2-132)

Es lässt sich jedoch für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten, die Auskunft über die Lage einer Geraden g zu einem Kreis gibt:

x0 ˜ k  y0  d 2 = r2 ˜ k2  1

M(x | y ) 0

0

(2-133)

Abb. 2.7.28

Beispiel 2.7.40: Repräsentiert die nachfolgende algebraische Gleichung einen Kreis? Bestimmen Sie allenfalls den Mittelpunkt und den Radius. 2

2

x  y  4 ˜ x  6 ˜ y  23 = 0

gegebene algebraische Gleichung

Die gegebene Gleichung repräsentiert wegen A = B einen Kreis. Durch quadratische Ergänzung lässt sich die Kreisgleichung auf die folgende Hauptform bringen: 2

2

x  4 ˜ x  y  6 ˜ y = 23

ordnen der Glieder

x2  4 ˜ x  4  y2  6 ˜ y  9 = 23  4  9

quadratische Ergänzung

2

2

( x  2)  ( y  3) = 36

Hauptform der Kreisgleichung

Der Mittelpunkt ist daher M(2 | -3) und der Radius r = 6.

Seite 187

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.41: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

gegebene Kreisgleichung

x y=6

gegebene Geradengleichung

Vorgabe 2

2

Lösung des Gleichungssystems

§ 4 2 · ¨ ¸ ©2 8 ¹

§¨ x1 x2 ¸·  X ¨y y ¸ 1 2 © ¹

( x  3)  ( y  1) = 50 x y=6 X  Suchen ( x y) o

x1 x2

4

y1 y2

2

2 Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis

8

Beispiel 2.7.42: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

gegebene Kreisgleichung

x y=8

gegebene Geradengleichung

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y = x  8 k  1

d 8

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

x0  3

y0  1

Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises

r

Radius des Kreises

50





ª x ˜ k  y  d 2 = r2 ˜ k2  1 º 0 ¬ 0 ¼

1

Die Berührbedingung (2-133) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)

Vorgabe 2

2

( x  3)  ( y  1) = 50

Lösung des Gleichungssystems

x y=8 x ¨§ 1 ·¸  Suchen ( x y) o §¨ 2 ¸· ¨y ¸ ©6 ¹ © 1¹

x1

2

Seite 188

y1

6

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit dem Kreis

Vektoralgebra und analytische Geometrie

x1 

§x ¨ 1 ·¸ ¨ y1 ¸ © ¹

x1

§2 · ¨ ¸ ©6 ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

m

§x ¨ 0 ·¸ ¨ y0 ¸ © ¹

m

§ 3 · ¨ ¸ ©1 ¹

Ortsvektor zum Mittelpunkt des Kreises

Die Tangente t im Punkte P 1 hat den Normalvektor: MP 1  x1  m

§5 · ¨ ¸ ©5 ¹

MP 1

Es ist daher auch n

§ 1 · ¨ ¸ © 1 ¹

ein Normalvektor. n ˜ x1 o 8 Die Geradengleichung lautet daher implizit bzw. explizit: x  y = 8 yo ( x)  1  yu ( x)  1 

y = x  8

bzw. 50  ( x  3)

2

50  ( x  3)

2

Vergleiche die gegebene Geradengleichung

oberer und unterer Halbkreis

y ( x)  x  8

Tangentengleichung

x0

yo( x)

20

10

yu( x) y1

Abb. 2.7.29 y0

y( x)  10

5

0

5

10

 10 x x x1 x

Seite 189

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.43: Errichten Sie von einem Punkt P(8 | 6) aus die Tangenten an den folgenden Kreis: 2

2

( x  3)  ( y  1) = 5 x0  3 r

y0  1

Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises Radius des Kreises

5

Nach (2-124) gilt:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2

Tangente am Kreis



hat als Lösung(en)







xp  3 ˜ ( x  3)  yp  1 ˜ ( y  1) = 5

xp  8

yp  6







yp  ( x  3) ˜ xp  3  4 yp  1

Koordinaten des Punktes P (auch Pol genannt)



yp  ( x  3) ˜ xp  3  4 yp  1

o5 x

Term der sogenannten Polaren

Vorgabe 2

2

( x  3)  ( y  1) = 5

Schnitt des Kreises mit der sogenannten Polaren

y=5 x

§5 2 · X  Suchen ( x y) o ¨ ¸ ©0 3 ¹ x1

4

y1

2

x2

2

y2

8

y y

§¨ x1 x2 ¸·  X ¨y y ¸ 1 2 © ¹ Koordinaten der Berührungspunkte der Tangenten (sie liegen auf der Polaren) Redefinition

Die Tangenten haben die Darstellung:

x1  x0 ˜ x  x0  y1  y0 ˜ y  y0 = r2 auflösen y

o9 x

x2  x0 ˜ x  x0  y2  y0 ˜ y  y0 = r2 auflösen y

o

ypol ( x)  x  5

5˜ x 7



3 7

Polare

y1t ( x)  2 ˜ x  10 y2t ( x) 

1 2

Tangentengleichungen ˜x 2

Seite 190

Vektoralgebra und analytische Geometrie

yo ( x)  1 

5  ( x  3)

2

5  ( x  3)

2

oberer und unterer Halbkreis

yu ( x)  1 

x0 yo( x) 5

yu( x) yp y1t( x) y2t( x)

y0

Abb. 2.7.30

y1

0

5

10

y2 ypol( x)

5 x x xp x x x1 x2 x

Ellipse: Für a, b > 0 beschreibt die Punktmenge



2  y  y0 2 = 1

x  x0 o 2 Ell = { x  | 2 a

2

}

(2-134)

b

die Hauptform einer Ellipse im 2 mit der Hauptachse a und Nebenachse b (Abb. 2.7.31). a und b werden auch Halbachsen genannt. Der Mittelpunkt ist gegeben durch M(x0 | y0 ). F1 und F2 heißen Brennpunkte. Die Brennweite e ist gegeben durch e 2 = a2 - b2 . Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte P, für die die Summe der Entfernungen von den Brennpunkten konstant ist:  P1F1  P2F2 = 2 ˜ a = konstant . Die Gleichung 2

x

2

a

2



y

2

2

2

2

(2-135)

2

2

2

= 1 oder b ˜ x  a ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0)

b

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung der Ellipse.

Seite 191

(2-136)

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-126) und (2-128) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-136) kann explizit aufgelöst werden: y=

b

˜

a b y= ˜ a

2

2

a x 2

(-a d x d a) 2

a x

oberer Teil der Ellipse

(2-137)

unterer Teil der Ellipse

Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.31) ist gegeben durch: 2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0) und P (x | y ) 1

1

(2-138)

1

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: 2

2

2

2

a ˜k b =d

M(0 | 0)

(2-139)

Abb. 2.7.31

Beispiel 2.7.44: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Ellipse beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Ellipsengleichung. 2

2

16 ˜ x  4 ˜ y  10 ˜ x  20 ˜ y  15 = 0 Hier ist A = 16 und B = 4 und A B = 64 > 0. Es liegt eine Ellipse vor. 2

2

16 ˜ x  10 ˜ x  4 ˜ y  20 ˜ y = 15

ª

16 ˜ «x  2 ˜ 2

¬

§ ©

16 ˜ ¨ x 

10 2 ˜ 16 2

˜x

2 § 5 · º»  4 ˜ ª«y2  2 ˜ 20 ˜ y  ¨ ¸ 2˜ 4 © 16 ¹ ¼ ¬

·  4 ˜ §y ¸ ¨  16 ¹ © 5

Glieder ordnen

5·

2

185

¸ = 2¹ 16

2 § 5 · º» = 15  25  25 ¨ ¸ 16 © 2¹ ¼

vereinfachte Gleichung

Seite 192

quadratische Ergänzung

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ ©

16 ˜ ¨ x 

· ¸ 16 ¹ 5

2

185

§ ©

4 ˜ ¨y  

2

¸

2¹

185

16

5 · § ¨x  ¸ 16 ¹ ©

5·

=1

umgeformte Gleichung

16 2

§y  5 · ¨ ¸ 2¹ © 

185

2

185

256

=1

Hauptform der Ellipse

64

Beispiel 2.7.45: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. 2

2

4 ˜ x  25 ˜ y = 100

gegebene Ellipsengleichung

2 ˜ x  3 ˜ y = 50

gegebene Gerade

Vorgabe 2

2

4 ˜ x  25 ˜ y = 100

Lösung des Gleichungssystems

2˜ x 3˜ y= 2

§ 15 ˜ 33 25 25 15 ˜ 33 · ¨   ¸ 34 34 34 34 ¨ ¸ X  Suchen ( x y) o ¨ 3 5 ˜ 33 5 ˜ 33 3 ¸ ¨   ¸ 17 17 17 ¹ © 17 x1

3.27

y1

1.513

x2

1.799

y2

1.866

§¨ x1 x2 ¸·  X ¨y y ¸ © 1 2¹

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Ellipse

Beispiel 2.7.46: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

4 ˜ x  2 ˜ y = 10

gegebene Geradengleichung

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y = 2 ˜ x  5 k  2

d 5

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

Seite 193

Vektoralgebra und analytische Geometrie

a 2

b 3

Halbachsen der Ellipse

a2 ˜ k2  b2 = d2

Die Berührbedingung (2-139) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

Lösung des Gleichungssystems

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36 4 ˜ x  2 ˜ y = 10

§¨ 8 ¸· ¨5¸ x  Suchen ( x y) o ¨9¸ ¨ ¸ ©5¹ x ¨§ 1 ·¸ ¨ y1 ¸ © ¹

x1 

x1

2

2

x ¨§ 1 ¸·  x ¨y ¸ © 1¹

§ 1.6 · ¨ ¸ © 1.8 ¹ 2

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b auflösen y o 5  2 ˜ x

2

2

3˜

yu ( x)  

( x  2) ˜ ( x  2) 2

3˜

vergleiche die gegebene Geradengleichung

ª 3 ˜ ( x  2) ˜ ( x  2) º « » Ellipsengleichung explizit aufgelöst 2 « » hat als Lösung(en) « 3 ˜ ( x  2) ˜ ( x  2) » « » 2 ¬ ¼

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

yo ( x) 

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der Ellipse

oberer und unterer Teil der Ellipse

( x  2) ˜ ( x  2)

y ( x)  2 ˜ x  5

2 Tangentengleichung

Seite 194

Vektoralgebra und analytische Geometrie

4

a

a

3

b

2 yo( x) 1 yu( x) y1

3

2

1

0

1

2

3

Abb. 2.7.32

1

y( x)

2 3

b

4 x x x1 x

Hyperbel: Für a, b > 0 beschreibt die Punktmenge



2  y  y0 2 = 1

x  x0 o 2 Hyp = { x  | 2 a

2

}

(2-140)

b

die Hauptform einer Hyperbel im 2 mit der Hauptachse a und Nebenachse b (Abb. 2.7.33). a und b werden auch Halbachsen genannt. Der Mittelpunkt ist gegeben durch M(x0 | y0 ). F1 und F2 heißen Brennpunkte. S1 und S2 heißen Scheitelpunkte der Hyperbel. Die Brennweite e ist gegeben durch e2 = a2 + b2 . Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte P1 , für die die Differenz der Entfernungen von den Brennpunkten konstant ist:  P1F1  P2F2 = 2 ˜ a = konstant .

(2-141)

Die Gleichung 2

x

2

a

2



y

2

2

2

2

2

2

2

= 1 oder b ˜ x  a ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0)

(2-142)

b

heißt Mittelpunktsgleichung oder Normalform (Koordinatenform) der Gleichung der Hyperbel.

Seite 195

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Die Gleichungen (2-140) und (2-142) sind implizite Formen. Die Gleichung (2-142) kann explizit aufgelöst werden: b

2

2

˜ x a a b 2 2 y= ˜ x  a a y=

(| x | ta)

oberer Teil der Hyperbel

(2-143)

unterer Teil der Hyperbel

Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.33) ist gegeben durch: 2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b

M(0 | 0) und P (x | y ) 1

1

1

(2-144)

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: 2

2

2

2

a ˜k b =d

M(0 | 0)

(2-145)

Die Hyperbel besitzt zwei Asymptoten, die durch M gehen:









b y = y0  ˜ x  x0 a

M(x | y ) 0

(2-146)

0

b y = y0  ˜ x  x0 a

Abb. 2.7.33

Beispiel 2.7.47: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Hyperbel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Hyperbelgleichung. 2

2

4 ˜ x  9 ˜ y  16 ˜ x  72 ˜ y  164 = 0 Hier ist A = 4 und B = -9 und A B = -36 < 0. Es liegt eine Hyperbel vor. 2

2

4 ˜ x  16 ˜ x  9 ˜ y  72 ˜ y = 164

Glieder ordnen

Seite 196

Vektoralgebra und analytische Geometrie

§ ©

72 § 2 2· 2 2 ˜ y  4 ¸ = 164  4 ˜ 2  9 ˜ 4 ¸  9 ˜ ¨y  2 ˜ 2˜ 9 ¹ © ¹

2·

16

2

4 ˜ ¨x  2 ˜

2˜ 4

˜x 2

2

2

4 ˜ ( x  2)  9 ˜ ( y  4) = 36 4 ˜ ( x  2)

2

36 ( x  2)

2

9





9 ˜ ( y  4) 36

( y  4)

quadratische Ergänzung

vereinfachte Gleichung

2

=1

umgeformte Gleichung

2

4

=1

Hauptform der Ellipse

Der Mittelpunkt ist M(-2 | 4), die Halbachsen a = 3, b = 2. Beispiel 2.7.48: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. 2

2

x  2˜ y = 7

gegebene Hyperbelgleichung

x  y = 2

gegebene Gerade

Vorgabe 2

2

x  2˜ y = 7 x  y = 2

X  Suchen ( x y) o

§ 3 5 · ¨ ¸ © 1 3 ¹

x1

3

y1

1

x2

5

y2

3

§¨ x1 x2 ¸·  X ¨y y ¸ © 1 2¹

Lösung des Gleichungssystems

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Hyperbel

Beispiel 2.7.49: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

x y =9 5 4

˜x y=

gegebene Hyperbelgleichung 9

gegebene Geradengleichung

4

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: y=

5 4

˜x

9 4

Seite 197

Vektoralgebra und analytische Geometrie

k

5

9

d

4

a 3

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

4

b 3

Halbachsen der Hyperbel

a2 ˜ k2  b2 = d2

Die Berührbedingung (2-145) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

2

x y =9 5 4

˜x y=

9 4

x ¨§ 1 ·¸  Suchen ( x y) o §¨ 5 ¸· ¨y ¸ ©4 ¹ © 1¹

x1 

x ¨§ 1 ·¸ ¨y ¸ © 1¹

x1

§5 · ¨ ¸ ©4 ¹

Lösung des Gleichungssystems

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

y y

Redefinition

2

2

2

2

b ˜ x1 ˜ x  a ˜ y1 ˜ y = a ˜ b auflösen y o

2

2

x y =9

hat als Lösung(en)

5˜ x 4



9

vergleiche die gegebene Geradengleichung

4

§  x2  9 · ¨ ¸ ¨ 2 ¸ © x 9 ¹

Hyperbelgleichung explizit aufgelöst

2

yo ( x) 

x 9 oberer und unterer Teil der Hyperbel 2

yu ( x)   x  9

y ( x) 

5 4

˜x

y1t ( x)  x

9

Tangentengleichung

4

Asymptoten

y2t ( x)  x

Seite 198

Vektoralgebra und analytische Geometrie

20 yo( x) 10

yu( x) y1 y( x)

 10

5

0

5

10

Abb. 2.7.34

y1t( x)  10

y2t( x)

 20 x x x1 x x x

Parabel: Für p > 0 beschreibt die Punktmenge o 2 2 Par = { x  | y  y0 = 2 ˜ p ˜ x  x0 } (2-147) die Hauptform einer Parabel im 2 (Abb. 2.7.35). F heißt Brennpunkt und S(x0 | y0 ) Scheitelpunkt.  p Die Strecke SF = e = wird Brennweite genannt. 2 Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte P, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden (Leitlinie) gleich weit entfernt sind:









  PF = PQ . Die Gleichung

(2-148)

2

y = 2˜ p˜ x

S(0 | 0)

(2-149)

heißt Scheitelgleichung der Parabel in 1. Hauptlage. Für p > 0 und xt0 (bzw. xtx0 ) ist die Parabel nach rechts geöffnet. Für p < 0 und x d 0 (bzw. x d x0 ) ist die Parabel nach links geöffnet. 2

x = 2˜ p˜ y

S(0 | 0)

(2-150)

heißt Scheitelgleichung der Parabel in 2. Hauptlage. Für p > 0 und yt0 (bzw. yty0 ) ist die Parabel nach oben geöffnet. Für p < 0 und y d 0 (bzw. y d y0 ) ist die Parabel nach unten geöffnet. Die Tangente t im Punkt P1 (Abb. 2.7.35) ist gegeben durch:





y1 ˜ y = p ˜ x1  x

S(0 | 0) und P1 (x1 | y1 )

(2-151)

Es lässt sich auch hier für eine Gerade g: y = k ˜ x  d eine Berührbedingung herleiten: p = 2˜ k˜ d

M(0 | 0)

(2-152)

Seite 199

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.35

Beispiel 2.7.50: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Parabel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Parabelgleichung. 2

y  2 ˜ x  4 ˜ y  10 = 0 Hier ist A = 0 und B = 1 (z0). Es liegt eine Parabel vor. 2

y  4 ˜ y = 2 ˜ x  10 2

Glieder ordnen

2

2

y  4 ˜ y  2 = 2 ˜ x  10  2

quadratische Ergänzung

2

vereinfachte Gleichung

2

Hauptform der Parabel

( y  2) = 2 ˜ x  14 ( y  2) = 2 ˜ ( x  7)

Der Scheitelpunkt ist S(2 | -7) und der Parameter p = 1. Beispiel 2.7.51: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. 2

y = 4˜ x

gegebene Parabelgleichung

2 ˜ x  5 ˜ y = 12

gegebene Gerade

Vorgabe 2

y = 4˜ x 2 ˜ x  5 ˜ y = 12 X  Suchen ( x y) o

x1

4

y1

4

§¨ x1 x2 ¸·  X ¨y y ¸ © 1 2¹

§4 9 · ¨ ¸ ©4 6 ¹ x2

9

y2

6

Lösung des Gleichungssystems

Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel

Seite 200

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.52: Bestimmen Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

y = 6˜ x

gegebene Parabelgleichung 3

x  y =

gegebene Geradengleichung

2

Die Geradengleichung kann explizit aufgelöst werden: 3

y= 1˜ x

2

k 1

3

d

Steigung und Achsenabschnitt der Geraden

2

p 3

Parameter p

( p = 2 ˜ k ˜ d)

Die Berührbedingung (2-152) ist erfüllt (1 ... wahre Aussage)!

1

Vorgabe 2

y = 6˜ x 3

x  y =

2

§3· x ¨§ 1 ·¸  Suchen ( x y) o ¨ 2 ¸ ¨y ¸ ¨ ¸ © 1¹ ©3¹ x1 

§x ¨ 1 ·¸ ¨ y1 ¸ © ¹

x1

Lösung des Gleichungssystems

§ 1.5 · ¨ ¸ © 3 ¹

Ortsvektor zum Schnittpunkt P1

y y

Redefinition





3 y1 ˜ y = p ˜ x1  x auflösen y o x  2 2

y = 6˜ x

yo ( x) 

hat als Lösung(en)

6˜

§ 6 ˜ x· ¨ ¸ © 6˜ x ¹

Parabelgleichung explizit aufgelöst

x oberer und unterer Teil der Parabel

yu ( x)   6 ˜

y ( x)  x 

vergleiche die gegebene Geradengleichung

3

x

Tangentengleichung

2

Seite 201

Vektoralgebra und analytische Geometrie

15

p

10 yo( x) 5

yu( x) y1 y( x)

 10

Abb. 2.7.36

5

0

5

10

5

 10 x x x1 x

Flächen 2. Ordnung: Quadratische Gleichungen im dreidimensionalen Raum beschreiben gekrümmte Flächen. Diese Flächen besitzen eine Gleichung der Form: 2

2

2

A˜ x  B˜ y  C˜ z  D = 0

(2-153)

Die Form der Fläche bestimmen die Koeffizienten A, B, C und die Konstante D. Allgemein können die Raumflächen in verschiedenen Formen dargestellt werden: z = f ( x y)

explizite Darstellung

(2-154)

F ( x y z ) = 0

implizite Darstellung

(2-155)

x = x ( λ μ) , y = y ( λ μ) , z = z ( λ μ)

Parameterdarstellung

(2-156)

Nachfolgend werden Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, Kegel, Paraboloid und Zylinder kurz dargestellt. Kugel: Mittelpunktsgleichung oder Normalform: 2

2

2

2

x y z =r

(2-157)

Parameterdarstellung (Abb. 2.7.37) mit den Parametern -  [0, S] (Polwinkel) und M [0, 2 S[ (Azimutwinkel): x = r ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y = r ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) z = r ˜ cos ( ϑ)

(2-158)

Seite 202

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Abb. 2.7.37

Beispiel 2.7.53: Stellen Sie grafisch eine Kugel und eine schneidende Ebene in einem Koordinatensystem dar (Quickplot). z E ( x y) 

1 3

˜x

1 3

˜ y  0.5

gegebene Ebene

x ( φ ϑ)  2 ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y ( φ ϑ)  2 ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ)

gegebener Kreis in Parameterdarstellung

z ( φ ϑ)  2 ˜ cos ( ϑ)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn -2, Ende 2, Schrittweite 12 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn 0, Ende 3.14, Schrittweite 50 z E ( x y z ) Abb. 2.7.38

Seite 203

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.54: Eine Kurve f(x) soll auf einer Kugeloberfläche so dargestellt werden, dass sich die Kurve auf der Kugeloberfläche dreht. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

m  40

n  40

i  0  m

j  0  n

φi  i ˜

2π

ϑj  j ˜

m



Bereichsvariablen für die Kugel

π

Parameterwerte Mj (Azimutwinkel) und -i (Polwinkel)

n



Xki j  sin ϑj cos φi

 

Yki j  sin ϑj sin φi

Parameterdarstellung einer Kugel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)



Zki j  cos ϑj

f ( x)  0.5 ˜ sin ( x)

2

n  300

k  0  n

a  10 ˜ π

x1 k  k ˜

gegebene Kurve Bereichsvariable für die Kurve a

Vektor der x-Werte

n



˜ cos §¨ 2π ˜

k  FRAME ·



˜ sin §¨ 2π ˜

k  FRAME ·





xpk  cos f x1 k

ypk  cos f x1 k

©

©

n

n

¸ ¹

¸ ¹

Parameterdarstellung der gegebenen Kurve

zp k  sin f x1 k

Animation: z. B. FRAME von 0 bis 50

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Umrisslinien

( xp yp zp ) ( Xk Yk Zk) Abb. 2.7.39

Seite 204

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Ellipsoid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Ellipsoids (Abb. 2.7.40) mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

a

2



y

2



b

z c

2 2

=1

(2-159)

Parameterdarstellung mit den Parametern M und -: x = a ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) y = b ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) z = c ˜ cos ( ϑ)

(2-160)

Abb. 2.7.40

Beispiel 2.7.55: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid für folgende gegebene Halbachsen dar: a 3

b 2

§¨ a ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ¸· Ell ( φ ϑ)  ¨ b ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ c ˜ cos ( ϑ) © ¹

c 1

gegebene Halbachsen

Parameterdarstellung der Ellipse

Seite 205

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn 0, Ende 3.14, Schrittweite 50 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1 Ell Abb. 2.7.41 Beispiel 2.7.56: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid mit Parametergleichungen in Matrixform dar. a 3

b 2

m  40

n  40

i  0  m

j  0  n

φi  i ˜

2π m

c 1

ϑj  j ˜

π





gegebene Halbachsen

Bereichsvariablen

Parameterwerte Mi und -j

n

Xei j  a ˜ sin ϑj cos φi

 

Parameterdarstellung eines Ellipsoids in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

Yei j  b ˜ sin ϑj sin φi



Zei j  c ˜ cos ϑj

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

( Xe Ye Ze) Abb. 2.7.42

Seite 206

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Hyperboloid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Hyperboloids mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

2



a

2

a

2



b

2

x

y

c

2



y

2

z



b

z c

2 2

=1

(einschalig - Abb. 2.7.43)

(2-161)

= 1

(zweischalig - Abb. 2.7.44)

(2-162)

2 2

Parameterdarstellung (Abb. 2.7.43) mit dem Parameter M: x=

2

2

2

2

a  z ˜ cos ( φ)

(2-163)

y = b  z ˜ sin ( φ) z=c˜z

Abb. 2.7.43

Abb. 2.7.44

Beispiel 2.7.57: Stellen Sie grafisch ein einschaliges Hyperboloid dar. a 2

b 2

c 1

gegebene Halbachsen

§ 2 2 · ¨ a  z ˜ cos ( φ) ¸ ¨ ¸ Hyperboloid ( φ z )  ¨ b2  z 2 ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ c˜z © ¹ Seite 207

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

Hyperboloid Abb. 2.7.45

Beispiel 2.7.58: Stellen Sie ein zweischaliges Hyperboloid grafisch dar.

2

x

2

2



a

a 1

y

2

b



z c

§ c ˜ a2 ˜ b2  a2 ˜ y2  b2 ˜ x2 ¨ ¨ a˜ b ¨ ¨ c ˜ a2 ˜ b2  a2 ˜ y2  b2 ˜ x2 ¨ a˜ b ©

2 2

= 1

hat als Lösung(en)

b 1

Hyperboloid_pos ( x y) 

c 2

c˜

2

2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

gegebene Halbachsen

2

2

2

2

a ˜b  a ˜y  b ˜x a˜ b

Hyperboloid_neg ( x y)  Hyperboloid_pos ( x y)

Hyperboloid im positiven Bereich

Hyperboloid im negativen Bereich

Seite 208

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

Hyperboloid_pos Hyperboloid_neg Abb. 2.7.46 Kegel:

Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Kegels (Abb. 2.7.47) mit den Halbachsen a > 0, b > 0 und c > 0: 2

x

2

a

2



y

2

b



z c

2 2

=0

(2-164)

Abb. 2.7.47

Seite 209

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.59: Es soll ein Kegel und eine Ebene, die den Kegel schneidet, dargestellt werden. i  0  40

j  0  40

Xki j 

§ j  20 · ˜ cos § 2 ˜ π ˜ i · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 40 ¹

Yki j 

§ j  20 · ˜ sin § 2 ˜ π ˜ i · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 40 ¹

Zki j 

10

Xei j  0.5 

Zei j 

Parameterdarstellung für einen Kegel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20

φ  30 ˜ Grad

Yei j 

Bereichsvariablen

Ebenenneigung

§ j  20 · ˜ sin ( φ) ¨ ¸ © 8 ¹

i  20

Parameterdarstellung für eine Ebene in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

8 j  30

§¨ Xk ·¸ K  ¨ Yk ¸ ¨ Zk ¸ © ¹

8

˜ cos ( φ)  1.1

§¨ Xe ·¸ E  ¨ Ye ¸ ¨ Ze ¸ © ¹

Matrizen in einem Vektor zusammengefasst

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Schema 1

K E Abb. 2.7.48

Seite 210

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Paraboloid: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Paraboloids mit a > 0, b > 0 und dem Parameter p > 0: 2

x

2

2



a

2

2

= 2˜ p˜ z

(elliptisches Paraboloid- Abb. 2.7.49)

(2-165)

= 2˜ p˜ z

(hyperbolisches Paraboloid - Abb. 2.7.50)

(2-166)

b

2

x

y

2



a

y

2

b

Abb. 2.7.49

Abb. 2.7.50

Beispiel 2.7.60: Stellen Sie ein elliptisches Paraboloid grafisch dar. a 2

b 3

c 2

gegebene Daten

§ x2 y2 · ¨ ¸ EllParaboloid ( x y)  c ˜  ¨ a2 b2 ¸ © ¹

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

EllParaboloid Abb. 2.7.51

Seite 211

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.61: Stellen Sie ein hyperbolisches Paraboloid grafisch dar. a 2

b 2

c 2

§ x2 y2 · ¸ HypParaboloid ( x y)  c ˜ ¨  ¨ 2 b2 ¸ ©a ¹

HypParaboloid HypParaboloid Abb. 2.7.52

gegebene Daten

Funktionsdefinition

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Umrissdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 20

Beispiel 2.7.62: Es soll ein elliptischer Paraboloidspiegel dargestellt werden. Im Fokus dieses Spiegels soll eine Lichtquelle in Form einer kleinen Kugel leuchten. N  60 i  0  N φi 

2π

i

N

Xki j 

1

Yki j 

1

Zki j 

1

rj 

2

2

2

10 ˜ j

j  0  N

Bereichsvariable für die Kugel

N· ¨j  ¸ N© 2¹

Parameterwerte Mj (Azimutwinkel) und -i (Polwinkel)

ϑj 

π§





˜ sin ϑj cos φi

 

˜ sin ϑj sin φi

Parameterdarstellung einer Kugel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)



˜ cos ϑj

Radien in einem Vektor gespeichert

N

Seite 212

Vektoralgebra und analytische Geometrie



Pxi j  rj cos φi



Pyi j  rj sin φi

Pzi j 

Parameterdarstellung für einen elliptischen Paraboloidspiegel in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

rj 2 16

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktivieren Licht 1 bis 4 ein

( Px Py Pz) ( Xk Yk Zk  1) Abb. 2.7.53

Zylinder: Mittelpunktsgleichung (kanonische Form oder Normalform) eines Zylinders mit den Halbachsen a > 0 und b > 0: 2

x

2

2



a

y

2

=1

(elliptischer Zylinder)

(2-167)

b

Für a = b = r ergibt sich ein gerader Zylinder. 2

x

2

a

2



y

2

=1

(hyperbolischer Zylinder)

(2-168)

b

Parameterdarstellung für den elliptischen Zylinder mit dem Parameter M: x = a ˜ cos ( φ) y = b ˜ sin ( φ) z=z

(2-169)

Seite 213

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Beispiel 2.7.63: Stellen Sie einen elliptischen Zylinder grafisch dar. a 5

b 1

gegebene Halbachsen

a ˜ cos ( φ) · ¨§ ¸ EllZylinder ( φ z )  ¨ b ˜ sin ( φ) ¸ ¨ ¸ z © ¹

Parameterdarstellung eines elliptischen Zylinders

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 6.28, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50

EllZylinder Abb. 2.7.54 Beispiel 2.7.64: Stellen Sie einen hyperbolischen Zylinder grafisch dar.

2

x

2

2



a

a 2

y

2

=1

b

b 7

hat als Lösung(en)

§ b ˜ x2  a2 ¨ ¨ a ¨ ¨ b ˜ x2  a2 ¨ a ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

hyperbolischer Zylinder

gegebene Daten

HypZylinder_pos ( x y) 

b˜

2

2

x a a

hyperbolischer Zylinder als Funktion definiert

HypZylinder_neg ( x y)  HypZylinder_pos ( x y)

Seite 214

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 2, Ende 3, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 2, Ende 3, Schrittweite 50 Bereich 2 Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 50 HypZylinder_pos HypZylinder_neg Abb. 2.7.55 Beispiel 2.7.65: Auf einem geraden Zylindermantel soll sich eine Kurve f(x) durch Animation drehen. i  0  40

j  0  40

Bereichsvariablen

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Xzi j  cos ¨

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Yzi j  sin ¨

Parameterdarstellung eines geraden Zylinders in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20

Zz i j 

10

n  500

k  0  n

f ( x)  sin ( x) ˜ cos ( 2 ˜ x)

ª ¬

§ k  5 ˜ FRAME ·º ¸» n © ¹¼

ª ¬

§ k  5 ˜ FRAME ·º ¸» n © ¹¼

Bereichsvariable gegebene Funktion

x1 k  cos «2π ˜ ¨ y1k  sin «2π ˜ ¨

Parameterdarstellung der gegebenen Funktion (Die Punkte x1k, y1k liegen auf einem Kreis mit Radius 1, die Punkte z1k liegen darüber in der Höhe f(xk))

§ k ˜ 10 ˜ π · ¸ n © ¹

z1k  f ¨

Seite 215

Vektoralgebra und analytische Geometrie

Animation z. B. mit FRAME von 0 bis 50. Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Linien Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell ( x1 y1 z1) ( Xz Yz Zz ) Abb. 2.7.56 Beispiel 2.7.66: Ein ebener Zylinder soll durch eine Ebene geschnitten werden. i  0  40

j  0  40

Bereichsvariablen

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Xzi j  2 ˜ cos ¨

§ 2 ˜ π ˜ i· ¸ © 40 ¹

Yzi j  2 ˜ sin ¨ Zz i j 

j  20 10

φ  60 ˜ Grad Xei j 

Parameterdarstellung eines geraden Zylinders in Matrixform (siehe dazu nächstes Kapitel)

j  20 8

Neigungswinkel der Ebene

˜ sin ( φ)

Yei j 

i  20 8

Zei j 

j  30 8

˜ cos ( φ)  0.6

Parameterdarstellung einer Ebene in Matrixform

Die Ellipse als ebener Zylinderschnitt.

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche Füllen, keine Linien, Punkte zeichnen Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Kein Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell ( Xz Yz Zz ) ( Xe Ye Ze) Abb. 2.7.57

Seite 216

Matrizenrechnung

3. Matrizenrechnung Die Matrizenrechnung hat für die schnelle Erfassung und die quantitative Auswertung ökonomischer und technologischer Prozesse immer größere Bedeutung gewonnen. Immer wenn wir uns mit großen Mengen von Daten beschäftigen müssen, organisieren wir die Daten in Datenreihen (Vektoren) oder Tabellen (Matrizen), um die Berechnungen übersichtlicher zu machen. Vektoren (siehe Kapitel 2) und Matrizen sind grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung. Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen vereinfachen die Beschreibung komplizierter Berechnungen, z. B. die Lösung von linearen Gleichungssystemen. Matrizen kommen aber auch in der Statistik zur Anwendung (Datenmatrix, Korrelationsmatrix). Wie bereits im Abschnitt 2.4 ausgeführt wurde, gehören die Räume der n-Tupel zu den einfachsten und grundlegendsten Vektorräumen. Das Musterbeispiel dafür ist der n, auf dem eine Addition und eine skalare Multiplikation elementweise definiert ist. Ein Trippel (V, +, .), bestehend aus einer Menge V, einer Abbildung (genannt Addition) + : V x V oV , (x,y) |ox + y

(3-1)

und einer Abbildung (genannt skalare Multiplikation), . : x V oV , (O, x) |oO x

(3-2)

heißt ein reeller Vektorraum, wenn für die Abbildungen "+" und "." die Gesetze (2-2) bis (2-5) und (2-11) bis (2-13) erfüllt sind. Weitere Beispiele für Vektorräume sind Polynome vom Grad n d 3 oder Matrizen mit m Zeilen und n Spalten (kurz (m x n)-Matrizen).

3.1 Reelle Matrizen Unter einer reellen (m x n)-Matrix oder Matrix vom Typ (m, n) verstehen wir ein rechteckiges Schema reeller Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Die reellen Zahlen in der Matrix heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix. Die Elemente einer Matrix A werden durch a i k = a i, k bezeichnet, wobei i = 1, 2, ..., m Zeilenindex und k = 1, 2, ..., n Spaltenindex genannt wird.

§ a1 1 .... a1 n · ¨ ¸ .... ... ¸ =  ai k A = ¨ ... ¨a ¸ © m 1 .... am n ¹

(3-3)

Matrizen werden in der Regel mit Großbuchstaben A, B, C, ... abgekürzt. Eine Matrix A kann auch in der Form (a ik) = (a i, k ) geschrieben werden. Nachfolgend werden allgemein Matrizen und die Elemente der Matrizen in Fettschreibweise dargestellt. Um zu zeigen, dass die (m x n)-Matrizen einen Vektorraum mxn bilden, müssen wir auf diese eine Addition und eine skalare Multiplikation (wie auf Vektoren, Abschnitt 2.4) definieren (O ):

ai k  bi k = ai k  bi k

(3-4)

bzw.

§ a1 1 .... a1 n · § b1 1 .... b1 n · § a1 1  b1 1 .... a1 n  b1 n · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ... .... ... ¨ ... .... ... ¸  ¨ ... .... ... ¸ = ¨ ¸ ¨a ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © bm 1 .... bm n ¹ © am 1  bm 1 .... am n  bm n ¹

Seite 217

Matrizenrechnung

Die Subtraktion von Matrizen kann auf die Addition zurückgeführt werden:

ai k  bi k = ª¬ai k  bi k º¼

(3-5)

Zwei Matrizen A und B vom gleichen Typ (m,n) werden addiert bzw. subtrahiert, indem wir die entsprechenden Matrixelemente addieren bzw. subtrahieren!





λ ai k = λ ai k bzw.



(3-6)

§ a1 1 .... a1 n · § λ a1 1 .... λ a1 n · ¨ ¸ ¨ ¸ ... ¸ = ¨ ... ... ¸ .... .... λ¨ ... ¨a ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © λ am 1 .... λ am n ¹ Jetzt müssten noch die Gesetze (2-2) bis (2-5) und (2-11) bis (2-13) nachgerechnet werden, was jedoch dem Leser überlassen wird. Matrizen vom gleichen Format (m,n) bilden den Vektorraum mxn . Spezielle Matrizen: a) Nullmatrix: Eine (m x n)-Matrix, deren Elemente aus lauter Nullen besteht, heißt Nullmatrix. 0 .... 0 · ¨§ ¸ O = ¨ .... .... .... ¸ ¨ 0 .... 0 ¸ © ¹

(3-7)

b) Einheitsmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung), deren Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind (ai,i = 1 mit i = 1, 2, ..., n), heißt n-reihige Einheitsmatrix E.

§1 ¨ ¨0 E= ¨ .... ¨ ©0

· ¸ 1 .... 0 ¸ .... .... .... ¸ ¸ 0 ...0... 1 ¹ 0

....

0

(3-8)

c) Diagonalmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung), deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonale gleich 0 sind (ai,k = 0 für i z k), heißt Diagonalmatrix.

§ a1 1 0 ¨ ¨ 0 a2 2 ¨ ¨ .... .... ¨ 0 0 ©

·¸ 0 ¸ .... ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹ ....

0

(3-9)

Seite 218

Matrizenrechnung

d) Dreiecksmatrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) wird als obere bzw. untere Dreiecksmatrix bezeichnet, wenn alle Elemente ober- bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden (ai,k = 0 für i < k bzw. ai,k = 0 für i > k).

§ a1 1 0 ¨ ¨ a2 1 a2 2 ¨ ¨ .... .... ¨ an 1 an 2 ©

§ a1 1 a1 2 · ¸ ¨ ¸ ¨ 0 a2 2 .... 0 ¸ bzw. ¨ .... .... ¸ ¨ .... .... ¸ ¨ 0 0 ..... an n ¹ © ....

0

.... a1 n ·

¸ .... a2 n ¸ ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹

(3-10)

e) Symmetrische Matrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) A = (ai,k ) heißt symmetrisch, wenn für alle i und k (i,k = 1, 2, ..., n) gilt:

ai k = ak i .

(3-11)

Die Elemente einer symmetrischen Matrix sind also spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet. f) Schiefsymmetrische Matrix: Eine (n x n)-Matrix (n-reihige quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung) A = (ai,k ) heißt schiefsymmetrisch, wenn für alle i und k (i,k = 1, 2, ..., n) gilt:

ai k = ak i .

(3-12)

Die Hauptdiagonalelemente einer schiefsymmetrischen Matrix sind alle 0. Für i = k gilt nach (3-12) nämlich: ai, i = - ai,i und damit 2 ai, i = 0. g) Spaltenmatrix: Eine (m , 1)-Matrix mit nur einer Spalte wird Spaltenmatrix oder m-dimensionaler Spaltenvektor genannt (siehe dazu Abschnitt 2.4).

§ a1 · ¨ ¸ ¨ a2 ¸ Am 1 = ¨ ¸ ¨ ... ¸ ¨ am ¸ © ¹

(3-13)

h) Zeilenmatrix: Eine (1 , n)-Matrix mit nur einer Zeile wird Zeilenmatrix oder n-dimensionaler Zeilenvektor genannt.



A1 n = a1 a2 .... an



(3-14)

Eine (m x n)- Matrix enthält demnach genau m Zeilenvektoren A m,1 m und n Spaltenvektoren A1, n n. Eine (1x1)-Matrix ist eine Zahl!

Seite 219

Matrizenrechnung

Bemerkung: In Mathcad kann für den Index i und k der Beginn (Ursprung) über die Systemvariable ORIGIN festgelegt werden. Ist z. B. der ORIGIN := 0, so ist der Zeilenindex durch i = 0, 1, 2, ..., m-1 und der Spaltenindex durch k = 0, 1, 2, ..., n-1 festgelegt. Zur Auswahl der Zeilen- und Spaltenvektoren ist der Operator M< > (Matrixspalte) aus der Symbolleiste Matrix vorgesehen. Beispiel 3.1.1: In Mathcad können Matrizen auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden (siehe dazu auch Band 1, Einführung in Mathcad): Erzeugen einer Matrix oder eines Vektors mithilfe der Symbolleiste Matrix:

§¨ ¨ ¨ ©

·¸ ¸ ¸ ¹

Mit der Tabulatortaste kann von einem Platzhalter zum anderen gesprungen werden. Dies ermöglicht eine schnelle Eingabe der Matrixelemente. Es können hiermit maximal (10x10)-Matrizen erzeugt werden.

Große Matrizen lassen sich, z. B. wie folgt, erzeugen: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

m  20

Anzahl der Zeilen und Spalten

n  20

i  1  m Bereichsvariablen (Matrizen-Indizes) k  1  n Mi k  i k

Erzeugen einer Matrix 1

M

1 2 3 4 5 6 7 8

2 1 2 3 4 5 6 7 8

3 2 4 6 8 10 12 14 16

4 3 6 9 12 15 18 21 24

5 4 8 12 16 20 24 28 32

6 5 10 15 20 25 30 35 40

7 6 12 18 24 30 36 42 48

7 14 21 28 35 42 49 ...

Die nicht sichtbaren Matrixelemente können mithilfe von Laufleisten eingesehen werden.

Weitere Möglichkeiten: Einlesen von reinen ASCII-Dateien als Matrizen, in denen die Zahlenwerte spaltenförmig angeordnet sind. Einlesen von Bereichen eines EXCEL-Files als Matrizen. Es können auch Texte (Strings) in den Zellen enthalten sein. Diese werden in der Matrix unter Anführungszeichen dargestellt. Eingefügte Tabellen können ebenfalls als Matrizen behandelt werden.

Seite 220

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.2: Bestimmung des größten oder kleinsten Wertes und Sortieren von Matrixelementen:

§¨ 8 1 2 ·¸ A  ¨ 6.9 3 6 ¸ ¨ 2 4 10 ¸ © ¹

gegebene Matrix

max ( A)

min ( A)

10

3 ·º «ª ¨§ ¸» max «17 A 46 ¨ 5 ¸» « ¨ 18 ¸» ¬ © ¹¼

Größter und kleinster Wert der Matrix A.

3 ·º ª« ¨§ ¸» min «17 A 46 ¨ 5 ¸» « ¨ 18 ¸» ¬ © ¹¼

46

2 4 10 · ¨§ ¸ ¨ 6.9 3 6 ¸ ¨ 8 1 2 ¸ © ¹

spsort ( A 1)

3

18

Größter und kleinster Wert von Zahlen, einer Matrix und eines Vektors.

spsort(A, n) gibt eine Matrix zurück, deren Zeilen so umgeordnet werden, bis die Werte in der Spalte n in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind.

Beispiel 3.1.3: Der Vektorisierungsoperator aus der Symbolleiste Matrix: o π ·· ¨§ §¨ π ¸¸ 2 ¸¸ ¨ ¨ sin ¨¨ π π ¸¸

¨¨ 3 ©©

4

¸¸ ¹¹

1 · § 0 ¨ ¸ © 0.866 0.707 ¹

 o § § 0.2 10.0 6.5 · · log ¨ ¨ ¸¸ © © 1 8.7 1000.0 ¹ ¹

oder

§¨ sin ( π) sin § π · ¸· ¨ ¸ © 2¹ ¸ ¨ ¨ § π· § π· ¸ ¨ sin ¨ 3 ¸ sin ¨ 4 ¸ ¸ © © ¹ © ¹¹

§ 0.699 1 0.813 · ¨ ¸ 0.94 3 ¹ © 0

oder

§ log ( 0.2) log ( 10.0) log ( 6.5) · ¨ ¸ © log ( 1) log ( 8.7) log ( 1000.0) ¹

§ 0.699 1 0.813 · ¨ ¸ 0.94 3 ¹ © 0

o  1 4 · ¨§ ¸ ¨ 2 6 ¸ ¨3 2 ¸ © ¹

2

o 

§¨ 1 1 ·¸ ¨ 2 6 ¸ ! 0 ¨ 5 9 ¸ © ¹

§¨ 1 16 ¸· ¨ 4 36 ¸ ¨9 4 ¸ © ¹ §¨ 0 1 ¸· ¨1 0 ¸ ¨1 0 ¸ © ¹

 o 4 25 § ·

¨ ¸ © 16 9 ¹

§2 5 · ¨ ¸ ©4 3 ¹

logischer Vergleich

Seite 221

1 · § 0 ¨ ¸ © 0.866 0.707 ¹

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.4: Auffinden von Matrixelementen mithilfe eines Unterprogramms: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 5 10 ·¸ M ¨ 5 3 0 ¸ ¨ 4 2 7 ¸ © ¹

gegebene Matrix

c ( x)  x = max ( M) c1 ( x)  x = min ( M)

logische Bedingungen zur Elementauswahl

c2 ( x)  ( x ! 3) ( x  6)

UND-Verknüpfung

Finden ( M c ) 

im1 Am0 for m  1  zeilen ( M) for n  1  spalten ( M)





if c Mm n = 1 ¢i² §m · A m¨ ¸ ©n¹

Funktion zum Auffinden von Matrixelementen (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

imi1 A A  Finden ( M c )

A

§1 · ¨ ¸ ©3 ¹

Maximum beim Element A1,3

A  Finden ( M c1)

A

§3 · ¨ ¸ ©1 ¹

Minimum beim Element A3,1

A  Finden ( M c2)

A

§1 2 · ¨ ¸ ©2 1 ¹

Elemente x > 3 und x < 7, also hier die Zahl 5, beim Element A1,2 und A2,1

Beispiel 3.1.5: Erzeugen einer Matrix Z von Funktionswerten: ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

f ( x y)  sin ( x  y)

gegebene Funktion

xu  2π

xo  2π

Endwerte des x-Bereichs

yu  π

yo  π

Endwerte des y-Bereichs

xn  40

yn  20

Anzahl der Punkte

Seite 222

Matrizenrechnung

i  0  xn  1

k  0  yn  1

Bereichsvariable

xo  xu xi  xu  i xn  1

Vektor der x-Werte

yo  yu yk  yu  k yn  1

Vektor der y-Werte





Zi k  f xi yk

Matrix der z-Werte

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Rundum Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Fläche füllen, Farbschema Drahtmodell, Volltonfarbe

Z Abb. 3.1.1 2

2

f ( x y)  x  y

gegebene Funktion

m  20

Anzahl der Zeilen der Matrix

n  20

Anzahl der Spalten der Matrix

Z  matrix ( m n f)

Matrix der z-Werte

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Ecke Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Fläche füllen, Farbschema Drahtmodell, Farbschema Hintergrundebene füllen

Z Abb. 3.1.2

Seite 223

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.6: Elektrisches Potential von 3 Punktladungen: i  0  80 xi  yk 

6 80

k  0  80

Bereichsvariablen Vektor der x-Werte

i

6 80

Vektor der y-Werte

k

K  9 u 10

9

Konstante

ε  0.002

Konstante

x1  1.0

y1  2.5

z1  0

x2  4.0

y2  2.5

z2  0

x3  2.5

y3  3.

z3  0

q1  10 u 10

6

q2  10 u 10 q3  10 u 10

Koordinaten der Punktladungen

6

Ladungen

6

z  0.3

z-Wert über der x-y-Ebene

V1 ( x y) 

V2 ( x y) 

V3 ( x y) 

K q1

x  x1 2  y  y1 2  z  z1 2  ε K q2

x  x2 2  y  y2 2  z  z2 2  ε K q3

x  x3 2  y  y3 2  z  z3 2  ε

V ( x y)  V1 ( x y)  V2 ( x y)  V3 ( x y)



Potentialanteile

Vi k  V xi yk



Gesamtpotential der Punktladungen

Potentialmatrix

Seite 224

Matrizenrechnung

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert Darstellung: keine Füllung, Umrisslinien, Volltonfarbe

V Abb. 3.1.3

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat: Rundum Achsen: Automatische Gitterwerte, nummeriert, Beschriftung Darstellung: Umrisse füllen, Drahtmodell, Volltonfarbe

V Abb. 3.1.4 Beispiel 3.1.7: Der in Abb. 3.1.5 dargestellte mechanische Gelenksmechanismus soll in einer Animation gezeigt werden.

Gegebene Parameter: a 2 R  0.7 φ  45Grad

Abb. 3.1.5

Seite 225

 Abstand AB der fix verankerten Gelenke in A und B  Abstand BC des verschiebbaren Gelenks in C

Winkel

Matrizenrechnung

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

i  0  36

Bereichsvariable

φi  45Grad  10Grad i

verschiedene Winkel M in einem Vektor zusammengefasst

Aus der Geometrie folgt:

§ R sin  φi · ¸ © a  R cos  φi ¹

α i  atan ¨

si 

verschiedene Winkel D in einem Vektor zusammengefasst

R sin φi 2  R cos φi  a 2

verschiedene Abstände AC in einem Vektor zusammengefasst

Die Anfangs- und Endpunkte (Punkte mit den x-, y- und z-Koordinaten) des Mechanismus werden zeilenweise in einer Matrix zusammengefasst: 0 0 «ª a1 0 « « a1  b1 cos ( c1) M ( a1 b1 c1 d1 )  b1 sin ( c1) « «( a1  2b1 )cos ( d1 ) ( a1  2b1 )sin ( d1 ) « 0 0 ¬

 o M a R φ0 α 0





0 0 0· ¨§ ¸ 0 0¸ ¨ 2 ¨ 2.495 0.495 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 3.335 0.662 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 0¹ ©

0º

»

0»

» » 0» » 0¼ 0

Die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte der gegenwärtigen Position

¢i² ¢0² X1  M a R φi α i





¢i² ¢1² Y1  M a R φi α i





Koordinaten aller möglichen Punkte (Matrixspalten)

¢i² ¢2² Z1  M a R φi α i





Für die Animation wird die Variable i für den i-ten Spaltenvektor durch den Parameter FRAME ersetzt: ¢FRAME² X  X1

¢FRAME² Y  Y1

§¨ 0 ·¸ ¨ 2 ¸ ¨ 2.495 ¸ ¨ ¸ ¨ 3.335 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· ¨ 0 ¸ ¨ 0.495 ¸ ¨ ¸ ¨ 0.662 ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

X

Y

¢FRAME² Z  Z1

Z

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Seite 226

Matrizenrechnung

FRAME von 0 bis 36 für eine Umdrehung

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat: Kein Achsen: Automatische Gitterwerte, Achsenbegrenzungen: X-Achse: Mindestwert -3, Höchstwert 6 Y-Achse: Mindestwert -3, Höchstwert 3 Z-Achse: Mindestwert -1, Höchstwert 1 Darstellung: Linien, Volltonfarbe Punkte zeichnen, Symbol Felder, Farbschema ( X Y Z) Abb. 3.1.6 Beispiel 3.1.8: Geben Sie für die unter a) bis f) angegebenen speziellen Matrizen jeweils ein Beispiel an. O=

§0 0 0 · ¨ ¸ ©0 0 0 ¹

§1 ¨ ¨0 E= ¨0 ¨ ©0

eine (2x3)-Nullmatrix

0 0 0·

¸

1 0 0¸

eine (4x4)-Einheitsmatrix

0 1 0¸

¸

0 0 1¹

1 0 0 · ¨§ ¸ D = ¨ 0 4 0¸ ¨ 0 0 5¸ © ¹ a

eine (3x3)-Diagonalmatrix

§2 · ¨ ¸ ©5 ¹

diag ( a)

§¨ 1 0 0 ·¸ UD = ¨ 2 2 0 ¸ ¨ 8 0 7¸ © ¹ §3 ¨ ¨0 OD = ¨0 ¨ ©0

§2 0 · ¨ ¸ ©0 5 ¹

Die Funktion diag erzeugt aus einem Vektor eine Diagonalmatrix.

eine (3x3)-Untere Dreiecksmatrix (oder untere Dreiecksmatrix 3. Ordnung)

4 0 1 · 7

¸

6 0¸

0

0 9¸

0

0 1¹

eine (4x4)-Obere Dreiecksmatrix (oder obere Dreiecksmatrix 4. Ordnung)

¸ Seite 227

Matrizenrechnung

§¨ 2 5 3 ·¸ S=¨5 6 4 ¸ ¨ 3 4 8 ¸ © ¹

eine symmetrische Matrix (3x3)

2

f ( i k )  i ( k  1)  5

gegebene Funktion for i  ORIGIN  n  ORIGIN  1

Matrix_Symmetrisch ( n f ) 

Unterprogramm zur Erzeugung einer symmetrischen Matrix (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

for k  ORIGIN  i

 Mi k m f ( i k)

Mk i m Mi k



M

S1  Matrix_Symmetrisch ( 4 f )

Matrix_Schiefsymmetrisch ( n f ) 

S1

§ 5 ¨ ¨ 4 ¨ 1 ¨ ©4

· ¸ 3 3 13 ¸ 3 7 22 ¸ ¸ 13 22 31 ¹ 4 1

4

symmetrische (4x4)-Matrix

for i  ORIGIN  n  ORIGIN  1 for k  ORIGIN  i

 Mi k m f ( i k)

Mk i m Mi k



Unterprogramm zur Erzeugung einer schiefsymmetrischen Matrix (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung)

M

SS  Matrix_Schiefsymmetrisch ( 4 f )

3.1.1 Transposition

§5 ¨ ¨ 4 SS ¨ 1 ¨ ©4

· ¸ 3 3 13 ¸ 3 7 22 ¸ ¸ 13 22 31 ¹ 4

1

4

schiefsymmetrische (4x4)-Matrix

Ist A = (a i, k ) mxn , so heißt die durch (a i, k T) = (a k, i)

(3-15)

definierte Matrix AT = (ai, k T) nxm die transponierte Matrix von A. Die Transposition bedeutet also das Vertauschen von Zeilen und Spalten. Für die Transposition gelten folgende Rechengesetze:

AT

T

=A

(3-16)

T

T

T

( A  B) = A  B T

(3-17)

T

( λA) = λ A

(3-18)

Die Transposition ist wegen (3-17) und (3-18) eine sogenannte lineare Abbildung! Eine Abbildung L: V o W von Vektorräumen heißt linear, wenn sie Addition und Multiplikation mit Skalaren enthält, also L(v1 +v2 ) = L(v1 ) +L(v2 ), L(O v) = O L(v).

Seite 228

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.9: Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? Wandeln Sie zeilenweise und spaltenweise die Matrix A in einen Vektor um. A

§ 2 5 1 · ¨ ¸ © 3 4 9 ¹

gegebene (2 x 3)-Matrix

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

¢1² a1s  A

a1s

¢2² a2s  A

a2s

¢3² a3s  A

a3s ¢1²T

T a1z  ª¬( A) º¼

§2 · ¨ ¸ ©3 ¹

1. Spaltenvektor

§5 · ¨ ¸ © 4 ¹ § 1 · ¨ ¸ ©9 ¹

2. Spaltenvektor

3. Spaltenvektor

a1z

( 2 5 1 )

1. Zeilenvektor

T a2z  ª¬( A) º¼

a2z

( 3 4 9 )

2. Zeilenvektor

ze  zeilen ( A)

ze

2

Anzahl der Zeilen:

sp  spalten ( A)

sp

3

Anzahl der Spalten:

¢sp² Spalte ( M sp)  M

Spalte ( A 3)

¢2²T

ª T ¢ze²º Zeile ( M ze)  ¬ M ¼



3. Spaltenvektor

T

ORIGIN  0 n  ze ˜ sp

§ 1 · ¨ ¸ ©9 ¹

Zeile ( A 2)

( 3 4 9 )

2. Zeilenvektor

ORIGIN festlegen n

6

Anzahl der Vektorelemente

k  0  n  1

Bereichsvariable

ak  A

zeilenweise Umwandlung der Matrix A in einen Vektor

§ k · mod( k sp) ¸ © sp ¹

floor¨

T

a

( 2 5 1 3 4 9 )

ak  A

§k· ¸ © ze ¹

mod( k ze ) floor¨

T

a

spaltenweise Umwandlung der Matrix A in einen Vektor

( 2 3 5 4 1 9 )

Seite 229

Matrizenrechnung

Mithilfe eines Unterprogramms (erstellt mit der Symbolleiste Programmierung): Matrix_Vektor ( M) 

¢0² amM for i  1  spalten ( M)  1 if spalten ( M) ! 1



¢i² a m stapeln a M



a a  Matrix_Vektor ( A) T

a

( 2 3 5 4 1 9 )

spaltenweise Umwandlung der Matrix A in einem Vektor

Beispiel 3.1.10: Bilden Sie A + B und A - B. Stimmen die Gesetze (3-16) bis (3-18) für die nachfolgend gegebenen Matrizen (z. B. O = 2) ? Zeigen Sie mit der Funktion erweitern(A, B, C, ...), dass Matrizen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammengefügt werden können. Analog fasst die Funktion stapeln(A, B, C, ...) zwei Matrizen gleicher Spaltenzahl übereinander zu einer gemeinsamen Matrix zusammen. Bilden Sie die Submatrix (Untermatrix) mit Zeilen 2 bis 3 und Spalten 1 bis 3 der Matrix A und mit Zeilen 1 bis 2 und Spalten 1 bis 3 der Matrix M. 6 9 4 · ¨§ ¸ A  ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹ M1 

§¨ 5 2 6 ¸· B  ¨ 0 1 2 ¸ ¨ 5 2 7 ¸ © ¹

§ 2.5 3.1 · ¨ ¸ © 1.1 5.7 ¹

§2 · ¨ ¸ © 3 ¹

M2 

ORIGIN  1

C  ( 4 1 5 )

M3 

§ 4.8 1.0 · ¨ ¸ © 2.9 3.8 ¹

gegebene Matrizen

gegebene Matrizen

ORIGIN festlegen

M 1

2

A

4

5

19.11

3.53

2.63

19.03

0.56

2

1.12

2.63

17.29

14.43

0.29

3

14.16

4.35

3.38

6.82

7.35

4

16.05

10.53

15.96

2.9

8.05

11 7 10 · ¨§ ¸ A  B ¨ 3 6 4 ¸ ¨ 5 7 6 ¸ © ¹

T

3

1

§¨ 6 3 0 ·¸ ¨ 9 5 9 ¸ ¨ 4 2 1 ¸ © ¹ T

( A  B)

11 3 5 · ¨§ ¸ ¨ 7 6 7 ¸ ¨ 10 4 6 ¸ © ¹

§¨ 1 11 2 ¸· A  B ¨ 3 4 0 ¸ ¨ 5 11 8 ¸ © ¹ T T

A

T

§¨ 6 9 4 ¸· ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹ T

A B

11 3 5 · ¨§ ¸ ¨ 7 6 7 ¸ ¨ 10 4 6 ¸ © ¹

Seite 230

gegebene eingefügte Tabelle

Addition und Subtraktion

(3-16)

(3-17)

Matrizenrechnung

T

( 2 ˜ A)

§¨ 12 6 0 ¸· ¨ 18 10 18 ¸ ¨ 8 4 2 ¸ © ¹

T

2˜ A

§¨ 12 6 0 ¸· ¨ 18 10 18 ¸ ¨ 8 4 2 ¸ © ¹

§¨ 6 9 4 5 2 6 ·¸ ¨ 3 5 2 0 1 2 ¸ ¨ 0 9 1 5 2 7 ¸ © ¹

M  erweitern ( A B)

M

M4  erweitern ( M1 M2 M3)

M4

M1  stapeln ( C B)

§ 4 ¨ ¨5 M1 ¨0 ¨ ©5

U  submatrix ( A 2 3 1 3)

U

U1  submatrix ( M 1 2 1 3)

U1

§ 2.5 3.1 2 4.8 1 · ¨ ¸ © 1.1 5.7 3 2.9 3.8 ¹ · ¸ 2 6 ¸ 1 2 ¸ ¸ 2 7 ¹ 1

(3-18)

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

5

übereinander zusammengefügte Matrizen

§ 3 5 2 · ¨ ¸ © 0 9 1 ¹

Untermatrix der Matrix A (Zeile 2 bis 3 und Spalte 1 bis 3)

§6 9 4 · ¨ ¸ © 3 5 2 ¹

Untermatrix der Matrix M (Zeile 1 bis 2 und Spalte 1 bis 3)

Beispiel 3.1.11: Für symmetrische Matrizen gilt stets: AT = A. Zeigen Sie diesen Zusammenhang für die gegebene Matrix A. 3 2 4 · ¨§ ¸ A  ¨ 2 5 7 ¸ ¨ 4 7 9 ¸ © ¹

T

A

3 2 4 · ¨§ ¸ ¨ 2 5 7 ¸ ¨ 4 7 9 ¸ © ¹

gegebene symmetrische Matrix

Es gilt: AT = A. Damit ist die Matrix A symmetrisch!

Beispiel 3.1.12: Für schiefsymmetrische Matrizen gilt stets: AT = - A (sämtliche Matrixelemente ändern beim Transponieren ihr Vorzeichen). Zeigen Sie diesen Zusammenhang für die gegebene Matrix A.

§¨ 0 5 8 ·¸ A  ¨ 5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹ T

A

§¨ 0 5 8 ·¸ ¨5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹

gegebene schiefsymmetrische Matrix

0 5 8 · ¨§ ¸ A ¨ 5 0 3 ¸ ¨ 8 3 0 ¸ © ¹

Es gilt: AT = - A. Damit ist die Matrix A schiefsymmetrisch!

Seite 231

Matrizenrechnung

3.1.2 Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A = (a i, k ) mxn und B = (b

i, k )

mxn heißen gleich, A = B, wenn für alle

i = 1, 2, ..., m und k = 1, 2, ..., n gilt: (a i, k ) = (b

i, k ).

(3-19)

Beispiel 3.1.13: Sind die nachfolgend gegebenen Matrizen gleich? A

§1 2 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

§1 2 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

B

§2 1 · ¨ ¸ ©4 7 ¹

C

( A = B)

1

Matrix A und B sind gleich

( A = C)

0

Matrix A und C sind ungleich

gegebene Matrizen

3.1.3 Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor:



Für x = x1 x2 .... xn

ª A˜ x = « « ¬k

n

¦

T n und A = (a i, k) mxn wird

a1 k ˜ xk

1

n

¦ k

a2 k ˜ xk

m

A ˜ x  durch

º am k ˜ xk » » ¼

n

....

1

¦ k

1

T

(3-20)

definiert. Das lässt sich übersichtlicher auch so schreiben:

§ a1 1 .... a1 n · § x1 · § a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  ....  a1 n ˜ xn · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¨ ... .... ... ¸ ˜ ¨ ... ¸ = ¨ ¸ ¨a ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © m 1 .... am n ¹ © xn ¹ © am 1 ˜ x1  am 2 ˜ x2  ....  am n ˜ xn ¹

(3-21)

Eine (mxn)-Matrix definiert also eine Abbildung vom n in den m. Auch hier liegt eine lineare Abbildung vor, denn es gilt für alle x y  n und O  : A ˜ ( x  y) = A ˜ x  A ˜ y A ˜ ( λ ˜ x) = λ ˜ A ˜ x

(3-22) (3-23)

Multiplikation einer Matrix mit einer Matrix: Sei A = (ai,k )  mxn und B = (bi,k )  nxp mit i = 1, 2, ... , m und k = 1, 2, ... , p. Dann ist das Produkt C = (c i,k ) = A * B definiert durch n

ci k = ai 1 ˜ b1 k  ai 2 ˜ b2 k  ....  ai n ˜ bn k =

¦ j

ai j ˜ bj k .

(3-24)

1

Das Matrixelement ci,k des Matrixproduktes A * B ist das skalare Produkt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B.

Seite 232

Matrizenrechnung

Für die Dimension der Matrizen gilt: (mxn) mal (nxp) ergibt (mxp)! Die Produktbildung ist also nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt! Für die Matrizenmultiplikation gelten folgende Rechengesetze bei passenden Matrixformaten: A ˜ ( B ˜ C) = ( A ˜ B) ˜ C

Assoziativgesetz

(3-25)

A ˜ ( B  C) = A ˜ B  A ˜ C

Distributivgesetz

(3-26)

( A  B) ˜ C = A ˜ C  B ˜ C

Distributivgesetz

(3-27)

T

T

T

( A ˜ B) = B ˜ A

(3-28)

A˜ E = E˜ A = A

(3-29)

Beispiel 3.1.14: Verschiedene Matrixprodukte:

§3 1 · §2 · §3 ˜ 2  1 ˜ 3 · §9 · ¨ ¸˜¨ ¸ =¨ ¸=¨ ¸ ©4 0 ¹ ©3 ¹ ©4 ˜ 2  0 ˜ 3 ¹ ©8 ¹

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 1)-Matrix ergibt eine (2 x 1)-Matrix

§2 1 · ¸ = ( 3 ˜ 2  1 ˜ 3 3 ˜ 1  1 ˜ 2 ) = ( 9 5 ) (1 x 2)-Matrix mal (2 x 2)-Matrix ergibt eine (1 x 2)-Matrix ©3 2 ¹

(3 1 ) ˜ ¨

§1 · § 8 4 1 · ¨ ¸ § 8 ˜ 1  4 ˜ 2  1 ˜ 4 · § 12 · ¨ ¸ ˜ ¨2 ¸ = ¨ ¸=¨ ¸ © 1 2 0 ¹ ¨ ¸ © 1 ˜ 1  2 ˜ 2  0 ˜ 4 ¹ © 3 ¹ ©4 ¹

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 1)-Matrix ergibt eine (2 x 1)-Matrix

§ 2 1 5 1 ¸· § 3 4 1 · ¨ ¨ ¸ ˜ ¨ 3 0 4 3¸ © 1 2 0 ¹ ¨ ¸ © 2 2 4 0¹

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 4)-Matrix ergibt eine (2 x 4)-Matrix

§1 ¨ ¨ 1 ¨0 ¨ ©1

0 3·

¸ §1 · 1 3¸ ¨ ¸ ˜ ¨3 ¸ 3 5¸ ¨ ¸ ¸ ©5 ¹ 2 4¹

§ 16 · ¨ ¸ ¨ 17 ¸ ¨ 34 ¸ ¨ ¸ © 27 ¹

§ 0 0 ¸· § 8 4 1 · ¨ ¨ ¸ ˜ ¨0 0 ¸ © 1 2 5 ¹ ¨ ¸ ©0 0 ¹ §1 0 · §0 0 · ¨ ¸˜¨ ¸ ©0 0 ¹ ©0 1 ¹

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§ 4 1 27 15 · ¨ ¸ © 8 1 3 5 ¹

(4 x 3)-Matrix mal (3 x 1)-Matrix ergibt eine (4 x 1)-Matrix

(2 x 3)-Matrix mal (3 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

Seite 233

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.15: Überprüfen Sie das Assoziativgesetz.

A

§ 1 3 · ¨ ¸ © 2 5¹

§ 8 4 1 4 · ¨ ¸ © 1 2 5 0 ¹

B

§2 ¨ ¨ 4 C ¨3 ¨ ©1

· ¸ 9 ¸ 7 ¸ ¸ 2 ¹ 8

gegebene Matrizen

A ˜ ( B ˜ C)

§ 74 10 · ¨ ¸ © 127 295 ¹

(3-25)

( A ˜ B) ˜ C

§ 74 10 · ¨ ¸ © 127 295 ¹

(2 x 2)-Matrix mal (2 x 4)-Matrix mal (4 x 2)-Matrix ergibt eine (2 x 2)-Matrix

Beispiel 3.1.16: Überprüfen Sie die Distributivgesetze.

§¨ 9 10 4 ¸· C ¨ 8 9 4 ¸ ¨ 2 5 6 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

38 39 52 · ¨§ ¸ ¨ 81 126 64 ¸ ¨ 1 49 ¸ 3 ¹ ©

38 39 52 · ¨§ ¸ A ˜ B  A ˜ C ¨ 81 126 64 ¸ ¨ 1 49 ¸ 3 ¹ ©

(3-26)

§¨ 37 5 58 ¸· ( A  B) ˜ C ¨ 19 63 110 ¸ ¨ 9 24 132 ¸ © ¹

37 5 58 · ¨§ ¸ A ˜ C  B ˜ C ¨ 19 63 110 ¸ ¨ 9 24 132 ¸ © ¹

(3-27)

2 5 8· ¨§ ¸ A  ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

A ˜ ( B  C)

§¨ 3 5 9 ¸· B ¨ 2 4 6¸ ¨ 1 2 5 ¸ © ¹

Beispiel 3.1.17: Überprüfen Sie die Gesetze (3-28) und (3-29). 2 5 8· ¨§ ¸ A  ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

T

( A ˜ B)

A˜ E

3 5 9 · ¨§ ¸ B ¨ 2 4 6¸ ¨ 1 2 5 ¸ © ¹

§¨ 4 24 45 ·¸ ¨ 14 37 20 ¸ ¨ 88 18 101 ¸ © ¹

§¨ 2 5 8 ·¸ ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

E  einheit ( 3)

T

T

B ˜A

E

§¨ 1 0 0 ¸· ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

4 24 45 · ¨§ ¸ ¨ 14 37 20 ¸ ¨ 88 18 101 ¸ © ¹

§¨ 2 5 8 ·¸ E ˜ A ¨ 1 6 9 ¸ ¨ 10 4 7 ¸ © ¹

Seite 234

gegebene Matrizen

(3-28)

(3-29)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.18: Gilt für Matrizen das Kommutativgesetz A B = B A?

A

§0 1 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

A˜ B

B

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§1 1 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

B˜ A

§0 2 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

gegebene Matrizen

Das Kommutativgesetz gilt allgemein nicht für Matrizen!

3.1.4 Determinanten Wir können die Determinante von jeder (nxn)-Matrix bestimmen. Für nichtquadratische Matrizen ist die Determinante nicht definiert. Zuerst wollen wir die Berechnung der Determinanten von (2x2)bzw. (3x3)-Matrizen besprechen. Unter der Determinante einer (2x2)-Matrix (quadratische Matrix) A = (ai,k ) verstehen wir den sich aus

D=

§ a1 1 a1 2 · ¨ ¸ = a1 1 ˜ a2 2  a2 1 ˜ a1 2 © a2 1 a2 2 ¹

(3-30)

ergebenden Zahlenwert (Produkt der Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der Nebendiagonalelemente). D heißt hier auch 2-reihige Determinante oder Determinante 2. Ordnung. Unter der Determinante einer (3x3)-Matrix (quadratische Matrix) A = (ai,k ) verstehen wir den sich aus

§ a1 1 a1 2 a1 3 · ¨ ¸ D = ¨ a2 1 a2 2 a2 3 ¸ ¨a ¸ © 3 1 a3 2 a3 3 ¹

(3-31)

D = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2 - a3,1 a2,2 a1,3 - a3,2 a2,3 a1,1 - a3,3 a2,1 a1,2 ergebenden Zahlenwert. Die Auswertung erfolgt hier nach der Regel von Sarrus. Wir schreiben zuerst die ersten beiden Spalten der Matrix hinten an. Die Determinante ergibt sich dann aus der Summe der Produkte der Hauptdiagonalelemente minus der Summe der Produkte der Nebendiagonalelemente (siehe Abb. 3.1.7). D heißt hier auch 3-reihige Determinante oder Determinante 3. Ordnung. Für Determinanten werden verschiedene symbolische Schreibweisen verwendet: D, det(A), |A|, |ai,k |. In Mathcad steht zur Determinantenbildung |x| aus der Matrix-Symbolleiste zur Verfügung.

Abb. 3.1.7

Seite 235

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.19: Wie lauten die Determinanten der gegebenen Matrizen?

§4 5 · A ¨ ¸ © 3 2 ¹ D = det ( A) = D

A

4 5 3· ¨§ ¸ B  ¨ 3 2 1 ¸ ¨0 3 1 ¸ © ¹

1 0 0· ¨§ ¸ E  ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

O

§0 0 · ¨ ¸ ©0 0 ¹

§¨ a1  λ b1 ¸· gegebene Matrizen ¨ c1 d  λ ¸ 1 © ¹

§4 5 · ¨ ¸ = 4( 2)  3 ˜ 5 = 23 © 3 2 ¹ D

23

Determinante der Matrix A

4 5 3· ¨§ ¸ D = det ( B) = ¨ 3 2 1 ¸ = 4( 2) 1  5 ˜ 1 ˜ 0  3 ˜ 3 ˜ 3  0 ˜ ( 2) ˜ 3  3 ˜ 1 ˜ 4  ( 1) ˜ 3 ˜ 5 = 8 ¨0 3 1 ¸ © ¹ D

B

D

8

Determinante der Matrix B

D

E

D

1

Determinante der Einheitsmatrix E

D

O

D

0

Determinante der Nullmatrix O

b1 · a λ ¨§ 1 ¸ o λ2  a λ  a d  b c  λ d 1 1 1 1 1 1 ¨ c1 d  λ ¸ 1 © ¹

symbolische Auswertung der Determinante

Determinanten vom Typ (n,n) mit n t3 werden berechnet, indem wir eine Rechenregel erklären, mit der sich die Berechnung einer Determinante vom Typ (n,n) zurückführen lässt auf die Berechnung von n Determinanten vom Typ (n-1,n-1). Durch die sukzessive Anwendung dieser Rechenregel zur Reduktion der Elementezahl in der Determinante, erhalten wir nach mehrfachen Schritten ein Reduktionsverfahren zur Berechnung von insgesamt n (n - 1) (n - 2) ... 3 Determinanten vom Typ (2,2). Für dieses Reduktionsverfahren definieren wir zwei neue Begriffe. Unterdeterminante: Zu jedem Element a i,k des Zahlenschemas der Determinante (bzw. der Matrix) vom Typ (n,n) existiert eine Unterdeterminante Di,k vom Typ (n-1,n-1). Die Unterdeterminante wird gebildet, in dem wir die i-te Zeile und k-te Spalte der ursprünglichen Determinante herausstreichen. Algebraisches Komplement: Versehen wir die Unterdeterminante D i,k mit einem Vorzeichen sgn(Di,k ), wobei die Vorzeichenregel sgn(Ui,k ) = (-1)i+k (Schachbrettregel) verwendet wird, so entsteht das algebraische Komplement von a i,k in D: Ai,k = (-1)i+k Di,k .

(3-32)

Seite 236

Matrizenrechnung

Laplacescher Entwicklungssatz: Eine n-reihige Determinante lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte wie folgt entwickeln: n

¦

D=

k

¦ i

Entwicklung nach der i-ten Zeile

(3-33)

ai k ˜ Ai k

Entwicklung nach der k-ten Spalte

(3-34)

1 n

D=

ai k ˜ Ai k

1

Die Berechnung des algebraischen Komplements vom Typ (n-1, n-1) verläuft nach dem gleichen Verfahren; d. h., wir müssen die Zeilen- oder Spaltenentwicklungen so lange wiederholen, bis die verbleibenden algebraischen Komplemente vom Typ (3,3) oder (2,2) sind. Es ist offensichtlich, dass die Berechnung der Determinanten vom Typ (n,n) mit n t 4 eine große Anzahl von Einzelrechnungen erfordert. Aus diesem Grund ist es zweckmäßig zu versuchen, durch geeignete Umformungen der Matrix bzw. ihrer Determinante den Rechenaufwand zu verringern. Diese Umformungen müssen so geschehen, dass sie zwar das Aussehen der Matrix, aber nicht den Wert der Determinanten verändern. Umformungen, die den Wert der Determinante nicht verändern, aber den Rechenaufwand im Regelfall verringern, können wir nun so formulieren: Rechenregeln für n-reihige Determinanten: R1:

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden: det(AT) = det(A)

R2:

(3-35)

Für zwei n-reihige Matrizen A und B gilt stets det(A . B) = det(A) . det(B)

R3:

Die Determinante einer n-reihigen Dreiecksmatrix A besitzt den Wert det(A) = a1,1 a2,2 a3,3 ... an,n

R4:

(3-36)

(Produkt der Hauptdiagonalelemente)

(3-37)

Die Determinante des O-fachen einer (nxn)-Matrix A ist das On-fache der Determinante von A: det(O A) = On det(A)

(3-38)

R5:

Gemeinsame Faktoren einer Zeile bzw. Spalte dürfen vor die Determinante gezogen werden.

R6:

Bei Vertauschen zweier Spalten oder Zeilen ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.

R7:

Eine Determinante besitzt den Wert null, wenn sie mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Alle Elemente einer Zeile oder Spalte sind null. 2. Zwei Zeilen oder Spalten sind gleich. 3. Zwei Zeilen oder Spalten sind zueinander proportional. 4. Eine Zeile oder Spalte ist als Linearkombination der übrigen Zeilen oder Spalten darstellbar.

Seite 237

Matrizenrechnung

R8:

Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn wir zu einer Zeile bzw. Spalte ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile bzw. anderen Spalte addieren.

R9:

Die Determinante des O-fachen einer Zeile einer (nxn)-Matrix A ist das O-fache der Determinante von A: det(Oz 1 , z 2 , ..., z n)) = O det(A)

(3-39)

Beispiel 3.1.20: Zeigen Sie den Zusammenhang det(AT) = det(A) und det(A B) = det(A) det(B) mit gegebenen Matrizen.

§¨ 2 9 1 ·¸ A ¨ 5 8 4 ¸ ¨ 3 5 1 ¸ © ¹ T

4 3 1 · ¨§ ¸ B ¨ 1 6 9¸ ¨ 3 2 1 ¸ © ¹

226

A

A˜ B

A

8.588 u 10

3

gegebene Matrizen

226

A ˜ B

det(AT) = det(A) Regel (3-35)

8.588 u 10

3

det(A B) = det(A) det(B) Regel (3-36)

Beispiel 3.1.21: Berechnen Sie die Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix.

§1 ¨ ¨0 A ¨0 ¨ ©0

3 4 5 ·

¸

7¸

5

1

0

2

8¸

0

0

4¹

gegebene Matrix

¸

Nach Regel 3 (3-37) gilt:

§1 ¨ ¨0 D= ¨0 ¨ ©0 D

3 4 5 ·

¸

7¸

5

1

0

2

8¸

0

0

4¹

A

= 1 ˜ 5 ˜ 2 ˜ 4 = 40

Produkt der Hauptdiagonalelemente

¸ D

40

Beispiel 3.1.22: Zeigen Sie den Zusammenhang det(3 A) = 3n det(A) mit einer gegebenen Matrix.

A

§2 1 · ¨ ¸ ©5 3 ¹

3˜ A

9

gegebene (2x2)-Matrix 2

3 ˜ A

9

det(3 A) = 32 det(A) Regel (3-38)

Seite 238

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.23: Berechnen Sie die 3-reihige Determinante mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.

§¨ 2 4 5 ¸· A  ¨ 3 9 27 ¸ ¨ 2 6 12 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Nach Regel 5 kann aus der zweiten Zeile der Faktor 3 und aus der 3. Zeile der Faktor 2 vor die Determinante geschrieben werden: 2 4 5 · ¨§ ¸ D = ¨ 3 9 27 ¸ = 3 ˜ 2 ˜ ¨ 2 6 12 ¸ © ¹

§¨ 2 4 5 ¸· ¨1 3 9 ¸ ¨1 3 6 ¸ © ¹

Wir entwickeln nach der ersten Spalte: D = 6 a1 1 ˜ A1 1  a2 1 ˜ A2 1  a3 1 ˜ A3 1





D = 6 ˜ ª¬a1 1 ˜ ( 1)

˜ D2 1  a3 1 ˜ ( 1)

ª ¬

D = 6 ˜ «2 ˜

1 1

˜ D1 1  a2 1 ˜ ( 1)

21

3 1

˜ D3 1º¼

§3 9 · §4 5 · §4 5 · º ¨ ¸  1˜ ¨ ¸  1˜ ¨ ¸ » = 6 ˜ [ 2 ˜ ( 18  27 )  1 ˜ ( 24  15 )  1 ˜ ( 36  15 ) ] = 36 ©3 6 ¹ ©3 6 ¹ ©3 9 ¹ ¼

Beispiel 3.1.24: Berechnen Sie die 3-reihige Determinante mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.

§¨ 2 0 1 ¸· A  ¨3 1 2 ¸ ¨2 1 2 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Wir entwickeln sinnvollerweise nach der zweiten Spalte, weil hier eine Null vorkommt: D = a1 2 ˜ A1 2  a2 2 ˜ A2 2  a3 2 ˜ A3 2 D = a1 2 ˜ ( 1) 3

1 2

ª ¬

D = 0 ˜ ( 1) ˜ «

˜ D1 2  a2 2 ˜ ( 1)

22

˜ D2 2  a3 2 ˜ ( 1)

3 2

˜ D3 2

§3 2 · 4 §2 1 · 5 §2 1 · º ¨ ¸  1 ˜ ( 1) ˜ ¨ ¸  1 ˜ ( 1) ˜ ¨ ¸» ©2 2 ¹ ©2 2 ¹ ©3 2 ¹ ¼

D=0 2 1=1

Seite 239

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.25: Zeigen Sie mit einer gegebenen Matrix, dass sich beim Vertauschen zweier Zeilen das Vorzeichen einer Determinante ändert.

§¨ 2 0 1 ¸· A  ¨3 1 2 ¸ ¨2 1 2 ¸ © ¹ §¨ 3 1 2 ¸· B  ¨2 0 1 ¸ ¨2 1 2 ¸ © ¹ A

gegebene Matrix

wie Matrix A, aber 1. und 2. Zeile vertauscht

1

1

B

Beispiel 3.1.26: Warum sind die Determinanten der nachfolgend gegebenen Matrizen null (Regel 7)?

§2 ¨ ¨7 A ¨7 ¨ ©5

8

9

0·

5

1

0¸

¸

1 2 3· ¨§ ¸ B  ¨ 4 3 5 ¸ ¨1 2 3 ¸ © ¹

8 2 0 ¸ 9

1

¸

0¹

§1 1 · C ¨ ¸ ©4 4 ¹

1 1 3· ¨§ ¸ D  ¨4 4 3 ¸ ¨5 5 6 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

A

0

Alle Elemente der vierten Spalte sind 0.

B

0

1. und 3. Zeile sind gleich.

C

0

Die 2. Zeile ist das Vierfache der 1. Zeile.

D

0

Die 3. Zeile lässt sich durch Addition der 1. und 2. Zeile bilden.

Beispiel 3.1.27: Wir dürfen zu einer Zeile beliebige Vielfache anderer Zeilen oder Linearkombinationen anderer Zeilen addieren, ohne den Wert der Determinanten zu verändern. Ideal ist, wenn unter der Hauptdiagonalen möglichst viele Nullen stehen. Für lineare Gleichungssysteme ist dieses Rechenverfahren unter dem Namen Gauß-Algorithmus bekannt. Stehen unter der Hauptdiagonalen nur Nullen, so ergibt sich der Wert der Determinanten als Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen. Die nachfolgenden Unterprogramme ermöglichen elementare Zeilenumformungen (auch für (mxn)-Matrizen): T

vert_z1_mit_z2 ( A z1 z2) 

BmA

¢z1² ¢z2² T m A B

 ¢z2² ¢z1² T  m A B

Vertauschen von Zeile z1 mit Zeile z2 der Matrix A

T

B c_mal_z ( A c z ) 

T

BmA

¢z² ¢z² T B mc A



Multiplikation einer Zeile z der Matrix A mit einer Zahl c

T

B

Seite 240

Matrizenrechnung

z1_und_c_mal_z2 ( A z1 c z2) 

T

BmA

¢z1² ¢z2² ¢z1² T T m A c A B





Ersetzen der Zeile z1 der Matrix A durch z1 + c. z2

T

B ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 3 4 ¸· A  ¨1 4 2 ¸ ¨2 7 9 ¸ © ¹

gegebene Matrix

A1  z1_und_c_mal_z2 ( A 2 1 1)

A2  z1_und_c_mal_z2 ( A1 3 2 1)

A3  z1_und_c_mal_z2 ( A2 3 1 2)

A1

§¨ 1 3 4 ¸· ¨ 0 1 2 ¸ ¨2 7 9 ¸ © ¹

z2 = z2 -1. z1

A2

§¨ 1 3 4 ¸· ¨ 0 1 2 ¸ ¨0 1 1 ¸ © ¹

z3 = z3 -2 . z1

A3

§¨ 1 3 4 ¸· ¨ 0 1 2 ¸ ¨0 0 3 ¸ © ¹

z3 = z3 -1. z2

A = A1 = A2 = A3 = 1 ˜ 1 ˜ 3 = 3

Determinante der Matrix A

A

zum Vergleich mit Mathcad

3

3

D

– i

A3i i

D

3

1

§ 4 12 ¨ ¨ 2 6 B ¨1 7 ¨ © 0 10

Determinante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale

1 2 · 4

¸

0¸

2

1¸

3

9¹

gegebene Matrix

¸

§ 1 · B1  c_mal_z ¨ B  2¸ © 2 ¹

B2  vert_z1_mit_z2 ( B1 1 2)

B1

B2

§4 ¨ ¨1 ¨1 ¨ ©0 §1 ¨ ¨4 ¨1 ¨ ©0

12 1 2 ·

¸

3

2

7

2

1¸

10

3

9¹

3

2

0·

0¸

¸ ¸

12 1 2 ¸ 7

2

1¸

10

3

9¹

Seite 241

z2 = 1/2 z2

¸

z1 mit z2 vertauschen

Matrizenrechnung

B3  z1_und_c_mal_z2 ( B2 2 4 1)

B4  z1_und_c_mal_z2 ( B3 3 1 1)

B5  vert_z1_mit_z2 ( B4 2 4)

B6  z1_und_c_mal_z2 ( B5 3 1 2)

B7  z1_und_c_mal_z2 ( B6 4 3 3)

B = 2 ˜ B7 = 2 ˜ 1 ˜ 10 ˜ ( 3) ˜ 26 = 1560 B

1560

B3

B4

§1 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ©0

3

2

0·

¸

0

9 2 ¸

7

2

1¸

10

3

9¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

2

0·

0

¸ ¸

9 2 ¸

10

0

1¸

10

3

9¹

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

2

0·

10

3

9¸

10

0

3

B6

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

3

B7

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

B5

0

z2 = z2 - 4.z1

z3 = z3 - z1

¸ ¸

1¸

z2 mit z4 vertauschen

¸

9 2 ¹

· ¸ 10 3 9 ¸ 0 3 8 ¸ ¸ 0 9 2 ¹

z3 = z3 - z2

· ¸ 10 3 9 ¸ 0 3 8 ¸ ¸ 0 0 26 ¹

z4 = z4 - 3 z3

2

2

0

0

nach Regel 3 (3-37) und 9 (3-39) zum Vergleich mit Mathcad

3.1.5 Reguläre und singuläre Matrix Eine (nxn)-Matrix A heißt regulär, wenn die Determinante einen von null verschiedenen Wert besitzt. Andernfalls nennen wir sie singulär.

Beispiel 3.1.28: Sind die gegebenen Matrizen regulär?

§2 1 · A ¨ ¸ ©4 2 ¹

§¨ 2 3 8 ¸· B  ¨ 3 5 1 ¸ ¨6 2 7 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

A

0

die Matrix A ist singulär

B

317

die Matrix B ist regulär

Seite 242

Matrizenrechnung

3.1.6 Inverse Matrix Gibt es zu einer (nxn)-Matrix A eine (nxn)-Matrix A-1 mit 1

A˜ A

1

˜A= E,

=A

(3-40)

so heißt A-1 die zu A inverse Matrix, Kehrmatrix oder Umkehrmatrix. Die Multiplikation einer Matrix A mit ihrer inversen A -1 ergibt also die Einheitsmatrix E. A und A-1 sind kommutativ! Eine inverse Matrix A -1 einer Matrix A existiert aber nur dann, wenn die Matrix A regulär ist! Mit Mathcad bestimmen wir die inverse Matrix mit dem Symbol X-1 in der Matrix-Symbolleiste. Falls die Matrizen A und B regulär sind, gelten nachfolgende Gesetze. Mit (3-40) und (3-36) erhalten wir: 1 = det(E) = det(A . A-1 ) = det(A) . det(A-1 ). Es gilt also: det ( A) =

A 1

1 det  A

(3-41)

=A

(3-42)

1

( A ˜ B)

ª¬( A)Tº¼

1

1

1

=B



1

1

= A

1

˜A

(3-43)

T

(3-44)

Zur Berechnung der inversen Matrix werden nachfolgend zwei Verfahren angegeben. a) Verwendung von Unterdeterminanten: Zur Berechnung der inversen Matrix führen wir zuerst die zur regulären Matrix A adjungierte Matrix A adj ein:

§ A1 1 A1 2 ¨ T ¨ A2 1 A2 2 Aadj =  Ai k = ¨ .... ¨ .... ¨ An 1 An 2 ©

T § A1 1 A2 1 ¸ ¨ ¨ A1 2 A2 2 .... A2 n ¸ ¸ =¨ .... .... ¸ .... ¨ .... ¨ A1 n A2 n .... An n ¸¹ ©

.... A1 n ·

.... An 1 ·

¸

.... An 2 ¸

¸ ¸ .... An n ¸¹ ....

(3-45)

....

Dabei ist Ai,k = (-1)i+k Di,k das unter (3-32) angeführte algebraische Komplement. Die inverse Matrix A -1 berechnet sich dann aus: 1

A

=

1 det ( A)

˜ Aadj

(3-46)

Die Berechnung der inversen Matrix mithilfe von Determinanten erfordert, wie wir hier erkennen können, einen hohen Rechenaufwand. Daher sei hier nachfolgend noch die einfachere Berechnungsmöglichkeit nach dem Gauß-Jordan-Algorithmus angeführt.

Seite 243

Matrizenrechnung

b) Berechnung der inversen Matrix mithilfe elementarer Zeilenumformungen: Die inverse Matrix A-1 kann schrittweise wie folgt berechnet werden: Zunächst wird aus der (nxn)-Matrix A und der (nxn)-Matrix E die neue erweiterte Matrix

§ a1 1 a1 2 ¨ ¨ a2 1 a2 2 ( A|E) = ¨ ¨ .... .... ¨ an 1 an 2 ©

· ¸ 0 1 .... 0 ¸ ¸ .... .... .... .... ¸ 0 0 0 1 ¸¹ 1

.... a1 n .... a2 n ....

....

.... an n

0

....

0

(3-47)

vom Typ (nx2n) gebildet. Diese erweiterte Matrix (A|E) wird nun mithilfe elementarer Zeilenumformungen (Vertauschung zweier Zeilen oder Multiplikation einer Zeile mit O z 0 bzw. Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile) so umgeformt, dass die Einheitsmatrix E den ursprünglichen Platz von A einnimmt. Die inverse Matrix B = A-1 finden wir dann auf dem ursprünglichen Platz der Einheitsmatrix E:

§1 ¨ ¨0 ¨ ¨ .... ¨0 ©

0

....

0

b1 1 b1 2 .... b1 n ·

1

....

0

b2 1 b2 2 .... b2 n ¸

.... .... .... 0

0

1

¸

....

....

bn 1 bn 2



1 ¸ = E|A .... .... ¸ .... bn n ¸¹



(3-48)

Beispiel 3.1.29: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie. 2 3 8 · ¨§ ¸ A  ¨ 1.5 2.5 0.5 ¸ ¨ 6 ¸ 2 7 ¹ ©

gegebene Matrix

D

die Matrix A ist regulär

1

A

1

A

A

D

158.5

0.117 0.032 0.136 · ¨§ ¸ ¨ 0.047 0.391 0.082 ¸ ¨ 0.114 0.139 0.003 ¸ © ¹

§¨ 1 0 0 ¸· ˜ A ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

die zu A inverse Matrix

1

A˜ A

1 0 0· ¨§ ¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

Seite 244

nach (3-40)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.30: Zeigen Sie die Richtigkeit der Gesetze (3-41) bis (3-45) mit den gegebenen Matrizen.

§¨ 2 5 3 ·¸ B  ¨ 9 10 7 ¸ ¨ 4 1 2 ¸ © ¹

§¨ 1 2 7 ·¸ A  ¨5 6 1 ¸ ¨ 4 2 9 ¸ © ¹ 100

A

B

1 · § ¨ A = 1 ¸ A © ¹



ª 1 ¬A



( A ˜ B)

1

1

º

= A¼ 1

=B



die Matrizen sind regulär

(3-41) ist erfüllt

1

(3-42) ist erfüllt

1 1

˜A



191

gegebene Matrizen

T ªª Tº  1 1 º ¬¬( A) ¼ = A ¼

1

1

(3-43) ist erfüllt

(3-44) ist erfüllt

Beispiel 3.1.31: Berechnen Sie, falls vorhanden, unter Verwendung von Unterdeterminanten die inverse Matrix von A. A

A

§2 0 · ¨ ¸ ©1 1 ¹ 2

gegebene Matrix

die Matrix A ist regulär

Die inverse Matrix erhalten wir aus: 1 · ¨§ 0¸  a a § · 1 2 2 2 1 1 1 § 1 0· ¨ 2 1 ¸ A = ˜ Aadj = ˜¨ ¸ = ˜¨ ¸= ¸ det ( A) det ( A) © a2 1 a1 1 ¹ 2 © 1 2 ¹ ¨ 1 ¨ 2 1¸ © ¹ 1 · ¨§ 0¸ 2 0 2 § · ¨ ¸ §¨ 1 0 ¸· Es gilt: A A-1 = E ¨ ¸˜¨ ¸ © 1 1 ¹ 1 1 ©0 1 ¹ ¨ 2 ¸ © ¹ Beispiel 3.1.32: Berechnen Sie, falls vorhanden, unter Verwendung von Unterdeterminanten die inverse Matrix von A.

§¨ 3 8 4 ¸· A  ¨1 0 1 ¸ ¨7 2 1 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Seite 245

Matrizenrechnung

A

T

A

die Matrix A ist regulär

50

§¨ 3 1 7 ¸· ¨8 0 2 ¸ ¨4 1 1 ¸ © ¹

§ A1 1 A2 1 ¨ 1 1 = ˜ ¨ A1 2 A2 2 A det ( A) ¨A © 1 3 A2 3

transponierte Matrix von A

ª §0 « ¨ « ©1 A3 1 · ¸ 1 « §1 A3 2 ¸ = ˜ « ¨ 50 « © 1 ¸ A3 3 ¹ « §1 « ¨ ¬ ©0

2 0 8 · §3 8 4 · ¨§ ¸ ¨ ¸ ˜ ¨ 6 25 1 ¸ ˜ ¨ 1 0 1 ¸ 50 ¨ ¸ ¨ ¸ © 2 50 8 ¹ © 7 2 1 ¹ 1

§¨ 1 0 0 ¸· ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

§8 2 · ¨ ¸ ©4 1 ¹ §3 7 · ¨ ¸ ©4 1 ¹ §3 7 ·  ¨ ¸ ©8 2 ¹

2·

¸ 1¹ 7· ¸ 1¹ 7· ¸ 2¹

§8 ¨ ©4 §3  ¨ ©4 §3 ¨ ©8



0·

¸ 1¹ 1· ¸ 1¹ 1· ¸ 0¹

º » » 2 0 8 · » 1 §¨ ¸ ˜ ¨ 6 25 1 ¸ »= » 50 ¨ 2 50 8 ¸ © ¹ » » ¼

Es gilt: A-1 A = E

Beispiel 3.1.33: Bestimmen Sie die inverse Matrix von B, falls vorhanden, unter Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus.

§¨ 1 1 3 ¸· B  ¨2 1 4 ¸ ¨4 0 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme:

B|E  erweitern ( B einheit ( 3) )

B1  z1_und_c_mal_z2 ( B|E 2 2 1)

B2  z1_und_c_mal_z2 ( B1 3 4 1)

B3  c_mal_z ( B2 1 2)

B|E

B1

B2

B3

§¨ 1 1 3 1 0 0 ¸· ¨2 1 4 0 1 0 ¸ ¨4 0 3 0 0 1 ¸ © ¹ §¨ 1 ¨0 ¨4 © §¨ 1 ¨0 ¨0 ©

1

3

1

erweiterte Matrix

0 0·

¸

1 2 2 1 0 ¸

¸

0

3

0

0 1¹

1

3

1

0 0·

¸

1 2 2 1 0 ¸

¸ 4 9 4 0 1 ¹

§¨ 1 1 3 1 0 0 ¸· ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 4 9 4 0 1 ¸ © ¹

Seite 246

z2 = z2 - 2.z1

z3 = z3 - 4.z1

z2 = -1.z2

Matrizenrechnung

B4  z1_und_c_mal_z2 ( B3 3 4 2)

B5  c_mal_z ( B4 1 3)

B6  z1_und_c_mal_z2 ( B5 1 3 3)

B7  z1_und_c_mal_z2 ( B6 2 2 3)

B8  z1_und_c_mal_z2 ( B7 1 1 2)

B4

§¨ 1 1 3 1 0 0 ¸· ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z3 = z3 + 4.z2

B5

§¨ 1 1 3 1 0 0 ¸· ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z3 = -1.z3

B6

§¨ 1 1 0 13 12 3 ¸· ¨ 0 1 2 2 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z1 = z1 -3.z3

B7

§¨ 1 1 0 13 12 3 ¸· ¨ 0 1 0 10 9 2 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z2 = z2 -2.z3

B8

§¨ 1 0 0 3 3 1 ¸· ¨ 0 1 0 10 9 2 ¸ ¨ 0 0 1 4 4 1 ¸ © ¹

z1 = z1 -1.z2

Die gesuchte inverse Matrix zu B ergibt sich dann aus: 1

B

= submatrix ( B8 1 3 4 6)

§¨ 1 0 0 ¸· Binv ˜ B ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

Binv  submatrix ( B8 1 3 4 6)

Binv

3 3 1 · ¨§ ¸ ¨ 10 9 2 ¸ ¨ 4 4 1 ¸ © ¹

Es gilt: B-1 B = E

3.1.7 Orthogonale Matrix Eine (nxn)-Matrix A heißt orthogonal, wenn Folgendes gilt: T

T

A˜ A = A ˜ A = E

(3-49)

Eine orthogonale Matrix geht beim Transponieren in die inverse Matrix über: T

1

A =A

(3-50)

Diesen Zusammenhang erhalten wir, wenn wir (3-49) von links mit der inversen Matrix A -1 multiplizieren: A-1 (A AT) = A-1 E ŸA-1 A AT = A-1 E ŸE A T A-1 E

Seite 247

Matrizenrechnung

Mit den Rechenregeln für n-reihige Determinanten (3-36) und (3-35) folgt aus (3-49):



T

det A ˜ A

= det (A) ˜ det AT = det (A) ˜ det (A) = (det (A))2 = det (E) = 1

(3-51)

Die Determinante einer orthogonalen Matrix A besitzt also den Wert +1 oder -1: det ( A) = 1 oder det ( A) = 1

(3-52)

Eine orthogonale Matrix ist wegen (3-52) stets regulär. Sind A und B orthogonal, so ist auch das Produkt A B orthogonal. Die Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System. Sie stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar. Es gilt nämlich: Bei der Matrixmultiplikation A AT wird der i-te Zeilenvektor von A skalar mit dem k-tem Spaltenvektor von AT multipliziert: n

¦ j

§ a ˜ a T· = © i j j k ¹

1

n

¦ j

ai j ˜ ak j = 1 für i = k und 0 für i z k (i,k = 1,2, ..., n).

(3-53)

1

Diese Beziehung bedeutet aber, dass die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix normiert sind, also Einheitsvektoren darstellen und zueinander orthogonal sind. Die gleiche Aussage gilt auch für Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix.

Beispiel 3.1.34: Ist die gegebene Matrix regulär bzw. orthogonal? A

§1 1 · ¨ ¸ ©2 1 ¹ 1

A T

A˜ A

§2 3 · ¨ ¸ ©3 5 ¹

gegebene Matrix die Matrix ist wegen det(A) z 0 regulär die Matrix ist wegen A AT z E nicht orthogonal (3-49)

Beispiel 3.1.35: Wie lauten die Transformationsgleichungen bei der Drehung des kartesischen ebenen Koordinatensystems um den Winkel M für einen beliebigen Punkt der Ebene? Wie lautet die zugehörige Transformationsmatrix? Ist die Transformationsmatrix orthogonal?

Abb. 3.1.8

Seite 248

Matrizenrechnung

Aus der Geometrie in Abb. 3.1.8 folgen die Transformationsgleichungen: u = x cos ( φ)  y sin ( φ) v = x sin ( φ)  y cos ( φ) Diese können in Form einer Matrixgleichung geschrieben werden:

§ u · § cos ( φ) sin ( φ) · § x · ¨ ¸=¨ ¸¨ ¸ © v ¹ © sin ( φ) cos ( φ) ¹ © y ¹ Die Transformationsmatrix lautet somit: Dr ( φ) 

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

Die Transformationsmatrix ist orthogonal, denn es gilt (3-49): φ φ

Redefinition T

Dr ( φ) ˜ Dr ( φ) vereinfachen o

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

Es gilt auch (3-50): T

Dr ( φ) o

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

Dr ( φ)

1

vereinfachen o

§ cos ( φ) sin ( φ) · ¨ ¸ © sin ( φ) cos ( φ) ¹

3.1.8 Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix kann auf verschiedene Art und Weise bestimmt werden. a) Bestimmung des Ranges r einer Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten: Unter dem Rang einer (mxn)-Matrix A verstehen wir die höchste Ordnung r aller von null verschiedenen Unterdeterminanten von A. Wir schreiben dafür: rg ( A) = r

(3-54)

Der Rang r ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m und n: rg ( A) d {m,n}

(3-55)

Das heißt: rg(A) dm für m dn bzw. rg(A) d n für n < m. Rangbestimmung (für m d n): 1. Zuerst bestimmen wir die m-reihigen Unterdeterminanten von A (Abschnitt 3.1.4). Der Rang r = m, wenn es unter ihnen wenigstens eine von null verschiedene gibt. 2. Sind alle m-reihigen Unterdeterminanten von A gleich null, so ist r höchstens gleich m-1. Es ist daher zu prüfen, ob es nicht eine von null verschiedene (m-1)-reihige Unterdeterminante von A gibt. Ist dies der Fall, so ist r = m-1, andernfalls ist r höchstens gleich m-2. Dieses Verfahren wird dann so lange fortgesetzt, bis sich eine von null verschiedene Unterdeterminante von A ergibt. Für den Fall, dass m > n ist, muss in diesem Verfahren die Zahl m durch n ersetzt werden.

Seite 249

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.36: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix:

§¨ 1 1 1 0 ·¸ A  ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 2 1 0 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Der Rang dieser (3x4)-Matrix kann höchstens gleich 3 sein (rg(A) d3). Zuerst werden alle (m = 3) Unterdeterminanten bestimmt: ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 1 1 1 ·¸ A1  ¨ 1 2 1 ¸ ¨ 2 1 0 ¸ © ¹

§¨ 1 1 0 ·¸ A2  ¨ 1 2 3 ¸ ¨ 2 1 3 ¸ © ¹

A1

0

A2

0

§¨ 1 1 0 ·¸ A3  ¨ 1 1 3 ¸ ¨ 2 0 3 ¸ © ¹ A3

0

§¨ 1 1 0 ¸· A4  ¨ 2 1 3 ¸ ¨1 0 3 ¸ © ¹ A4

0

Alle 3-reihigen Unterdeterminanten sind null. Daher kann der Rang von A höchstens 2 sein(Rg(A) d 2). Wir prüfen, ob es nicht eine 2-reihige Unterdeterminante gibt, die ungleich null ist. zum Beispiel durch Streichen der 3. Zeile und der 2. und 3. Spalte erhalten wir eine Unterdeterminante die ungleich null ist: A5 

§ 1 1· ¨ ¸ © 1 2 ¹

A5

3

Die Matrix A hat also den Rang r = 2 (rg(A) = 2). b) Rangbestimmung durch elementare Umformungen der Matrix A: Eine Matrix A ändert nicht ihren Rang, wenn sie den folgenden elementaren Umformungen unterworfen wird: 1. Vertauschen von 2 Zeilen (oder Spalten). 2. Die Elemente einer Zeile (oder Spalte) werden mit O z 0 multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert. 3. Zu einer Zeile (oder Spalte) wird ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert. Der Rang einer (mxn)-Matrix A kann wie folgt bestimmt werden: Zuerst wird die Matrix A mithilfe elementarer Umformungen auf eine sogenannte Trapezform (Abb. 3.1.9) gebracht (bi z 0 für i = 1, 2, ... , r). Der Rang der Matrix A ist dann gleich der Anzahl r der nichtverschwindenden Zeilen: Rg(A) = r.

Abb. 3.1.9

Seite 250

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.37: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix:

§¨ 1 1 1 0 ·¸ A  ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 2 1 0 3 ¸ © ¹ Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme:

B1  z1_und_c_mal_z2 ( A 3 1 2)

B2  z1_und_c_mal_z2 ( B1 2 1 3)

B3  z1_und_c_mal_z2 ( B2 3 1 1)

B1

§¨ 1 1 1 0 ¸· ¨ 1 2 1 3 ¸ ¨ 1 1 1 0 ¸ © ¹

z3 = z3 - z2

B2

§¨ 1 1 1 0 ¸· ¨ 0 3 2 3¸ ¨ 1 1 1 0 ¸ © ¹

z2 = z2 - z3

B3

§¨ 1 1 1 0 ¸· ¨0 3 2 3 ¸ ¨0 0 0 0 ¸ © ¹

z3 = z3 + z1

Die Matrix B3 hat die gewünschte Trapezform. Der Rang der Matrix A beträgt somit: rg(A) = 2. c) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ((mxn)-Matrix) Der Rang r einer (mxn)-Matrix A ist definiert als die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren (Spaltenrang rgs(A)) bzw. Zeilenvektoren (Zeilenrang rgz(A)). rg ( A) = rgs ( A) = rgz ( A) d min{m,n}

(3-56)

Zur Erinnerung aus Abschnitt 2.4.2: Eine Menge von n Vektoren a 1 , a2 , ..., an m heißen linear unabhängig, wenn für jede Linearkombination mit (O i ) n

¦ λi ai = 0 stets i

λ1 = λ2 = .... = λn gilt.

(3-57)

1

Andernfalls heißen die a1 , a2 , ..., an linear abhängig. Die linearen Abhängigkeit ist nur dann gegeben, wenn eine der folgenden drei Eigenschaften gilt: 1. Die Menge von n Vektoren a1 , a2 , ..., an m enthält den Nullvektor. 2. Die Menge von n Vektoren a1 , a2 , ..., an m enthält zwei gleiche oder zwei kollineare Vektoren. 3. Mindestens einer der n Vektoren kann als Linearkombination der übrigen dargestellt werden. Die n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an einer (mxn)-Matrix A stellen z. B. eine solche Menge von n Vektoren dar (A = (a1 , a2 , ..., an)).

Seite 251

Matrizenrechnung

Wir können demnach die lineare Vektorgleichung λ1 a1  λ2 a2  ....  λn an = 0

(3-58)

auch als Matrizengleichung schreiben:

§ a1 1 a1 2 ¨ ¨ a2 1 a2 2 ¨ .... ¨ .... ¨ am 1 am 2 ©

· § λ1 · § 0 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... a2 n ¸ ¨ λ2 ¸ ¨ 0 ¸ ¸˜¨ ¸ = .... .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ ¸ .... am n ¸¹ ¨ λn ¸ © 0 ¹ © ¹ .... a1 n

oder A λ = 0

(3-59)

Dabei handelt es sich um ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n unbekannten Koeffizienten O1 , O2 , ..., On. Es ist bekannt, dass ein solches System immer lösbar ist. Nachfolgend wollen wir aber noch zwei Fälle unterscheiden: 1.Fall: Der Rang r der aus den n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an gebildeten Koeffizientenmatrix A ist gleich der Anzahl n der vorgegebenen Vektoren: rg ( A) = n

(3-60)

In diesem Fall gibt es genau eine Lösung von (3-59) die triviale Lösung λ = 0. Die n Spaltenvektoren sind also linear unabhängig. 2.Fall: Der Rang r der aus den n Spaltenvektoren a1 , a2 , ..., an gebildeten Koeffizientenmatrix A ist kleiner als die Anzahl n der vorgegebenen Vektoren: rg ( A)  n

(3-61)

In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen von (3-59) für die unbekannten Koeffizienten (nicht alle O i sind null). Die n Spaltenvektoren sind also linear abhängig.

Beispiel 3.1.38: Welchen Rang r besitzt die nachfolgend gegebene Matrix A?

§¨ 2 1 2 ·¸ A = ¨6 4 4 ¸ ¨5 4 3 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Zum Nachweis, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, lösen wir das Gleichungssystem: λ §¨ 2 1 2 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· ¨ 6 4 4 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨5 4 3 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹

Seite 252

Matrizenrechnung

Durch elementares Umformen (siehe oben b)) erhalten wir das äquivalente System: λ §¨ 2 1 2 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· ¨ 0 1 10 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ 0 0 7 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Offenbar kann das Gleichungssystem mit O1 = O2 = O3 = 0 gelöst werden. Die Spaltenvektoren sind daher linear unabhängig. Der Rang der Matrix A ist daher: rg(A) = 3. Beispiel 3.1.39: Welchen Rang r besitzt die nachfolgend gegebene Matrix A? 2 4 16 · ¨§ ¸ A = ¨ 1 3 7 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Zum Nachweis, ob die Spaltenvektoren linear unabhängig sind, lösen wir das Gleichungssystem: λ §¨ 2 4 16 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· ¨ 1 3 7 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Durch elementares Umformen (siehe oben b)) erhalten wir das äquivalente System λ §¨ 2 4 16 ·¸ §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· ¨ 0 5 15 ¸ ˜ ¨ λ2 ¸ = ¨ 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨© λ3 ¸¹ © ¹ Offensichtlich gibt es neben O1 = O2 = O3 weitere Lösungen. Wir können O3 beliebig wählen, weil Gleichung drei immer stimmt. Mit O3 = 1 erhalten wir O2 = -3 und O1 = -2. Die Spaltenvektoren von A sind also linear abhängig. Der Rang der Matrix A ist daher: rg(A) < 3. d) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren ((nxn)-Matrix) Sei A eine (nxn)-Matrix mit n Spaltenvektoren des n-dimensionalen Raumes n. Für eine (nxn)-Matrix A gilt stets: rg(A) d n. Für reguläre bzw. singuläre Matrizen gilt insbesondere: det ( A) z 0 (reguläre Matrix) œrg(A) = n œlinear unabhängige Vektoren

(3-62)

det ( A) = 0 (singuläre Matrix) œrg(A) < n œlinear abhängige Vektoren

(3-63)

Unter den n Spaltenvektoren des n-dimensionalen Raumes n gibt es maximal n linear unabhängige Vektoren. Mehr als n Vektoren sind also stets linear abhängig. e) Rangbestimmung mit Mathcad Mit Mathcad kann der Rang einer (mxn)-Matrix A mit der Funktion rg(A) bestimmt werden!

Seite 253

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.40: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix.

§¨ 1 2 4 ¸· A  ¨0 2 2 ¸ ¨1 3 1 ¸ © ¹ A rg ( A)

gegebene Matrix

Die Matrix A ist regulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) = n = 3. Die Spaltenvektoren der Matrix A sind somit linear unabhängig.

8

Rangbestimmung mit der Mathcadfunktion rg(A)

3

Beispiel 3.1.41: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrix. 2 4 16 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 3 7 ¸ ¨ 2 2 2 ¸ © ¹ A rg ( A)

2.132 u 10 2

 14

gegebene Matrix

Die Matrix A ist singulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) < 3. Die Spaltenvektoren der Matrix A sind somit linear abhängig. Der Rang der Matrix ist gleich 2.

Beispiel 3.1.42: Sind die drei Spaltenvektoren (Basisvektoren) des dreidimensionalen Raumes linear unabhängig?

§¨ 1 0 0 ·¸ E3  ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Die Einheitsmatrix E3 ist regulär. Daher ist der Rang der Matrix: rg(A) = 3. E3

1

Die Spaltenvektoren (Basisvektoren) der Matrix A sind somit linear unabhängig.

Beispiel 3.1.43: Im Beispiel 3.1.38 wurde gezeigt, dass die Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A linear unabhängig sind. Sind die Vektoren noch linear unabhängig, wenn wir einen beliebigen Vektor a4 hinzufügen? 1 ¨§ ·¸ a4  ¨ 3 ¸ ¨7 ¸ © ¹

gegebener Vektor

Durch Hinzufügen eines beliebigen Vektors a4 werden die Vektoren linear abhängig!

Seite 254

Matrizenrechnung

Es gelten folgende Gesetzmäßigkeiten bei passender Ordnung von A und B: rg ( A) = rg ( A)

(3-64)

rg A

 T = rg (A)

(3-65)

rg ( A)  rg ( B) d rg ( A  B) d rg ( A)  rg ( B)

(3-66)

rg ( A ˜ B) d min {rg(A), rg(B)}

(3-67)



rg En = n

(En ... (nxn)-Einheitsmatrix)

(3-68)

Beispiel 3.1.44: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-64) bis (3-68). 1 5 7· ¨§ ¸ A  ¨3 2 6 ¸ ¨8 9 4 ¸ © ¹

§¨ 2 4 5 ¸· B ¨ 1 5 3 ¸ ¨ 10 7 2 ¸ © ¹

rg ( A)

rg ( A)

 T

rg A

3 3

rg ( A)  rg ( B) rg ( A B)



rg E2

gegebene Matrizen

(3-64) (3-65)

3

rg ( A  B)

3

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

3

rg ( A) 0

E2 

3

rg ( A)  rg ( B)

6

(3-66) (3-67)

min{3,3} = 3

(3-68)

2

3.1.9 Spur einer Matrix Sei A = (a i,k ) eine (nxn)-Matrix. Dann heißt die Summe der Diagonalelemente Spur von A. Wir schreiben dafür: n

sp ( A) =

¦ i

ai i

(3-69)

1

Mit Mathcad kann die Spur einer (nxn)-Matrix A mit der Funktion sp(A) bestimmt werden! Für die Spur der (nxn)-Matrizen A und B gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: sp ( k ˜ A  B) = k ˜ sp ( A)  sp ( B) (k 

(3-70)

sp ( A) = sp A

(3-71)

sp ( A ˜ B) = sp ( B ˜ A) (gilt auch, wenn A und B (mxn)-Matrizen sind)

(3-72)

 T



T

x, y n, dann gilt: sp x ˜ y

= sp y ˜ xT = xT ˜ y Seite 255

(3-73)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.45: Berechnen Sie die Spur der folgenden Matrizen:

§6 ¨ ¨ 5 A ¨ 2 ¨ ©2

· ¸ 2 8 5 ¸ 4 7 3 ¸ ¸ 3 5 8 ¹ 4 10

4

B

§4 0 · ¨ ¸ ©2 5 ¹

gegebene Matrizen

sp ( A) = 6  2  7  8 = 23 Spur der Matrix A sp ( B) = 4  5 = 9 sp ( A)

23

sp ( B)

9

Spur der Matrix B

mit Mathcad berechnet

Beispiel 3.1.46: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-70) bis (3-73).

§¨ 1 9 5 ·¸ A  ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹ 15

sp ( 3A)

§¨ 3 4 7 ¸· B  ¨9 1 4 ¸ ¨ 2 1 2 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ x  ¨ 2 ¸ ¨5 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ gegebene Matrizen y  ¨ 5 ¸ und Vektoren ¨2 ¸ © ¹

15

3 sp ( A)

(3-70) sp ( A  B)

sp ( A ˜ B)

T

sp x ˜ y



sp ( A)  sp ( B)

 T

5

sp ( A)



3

5

sp A 105

sp ( B ˜ A)

23

sp y ˜ x



3

T

(3-71) (3-72)

105



23

T

x ˜y

23

(3-73)

3.1.10 Verallgemeinerte inverse Matrix Sei A = (a i,k ) eine (nxm)-Matrix mit m t n. Dann heißt die (nxm)-Matrix Aginv verallgemeinerte Inverse oder g-Inverse (generalized Inverse) von A falls gilt: A ˜ Aginv ˜ A = A

(3-74)

Zu jeder Matrix A existiert eine g-Inverse, die aber im Allgemeinen nicht eindeutig ist. Mit Mathcad kann die verallgemeinerte Inverse einer (nxn)-Matrix (quadratische Matrix) A mit der Funktion Aginv = geninv(A) bestimmt werden, und es gilt, wenn A regulär ist: Aginv A = E.

Seite 256

Matrizenrechnung

Ist Aginv eine g-Inverse der Matrix A, dann gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:









rg ( A) = rg A ˜ Aginv = rg Aginv ˜ A



rg ( A) d rg Aginv

(3-75)



(3-76) 1

A regulär Ÿ Aginv = A

(3-77)

Beispiel 3.1.47: Überprüfen Sie mit Mathcad die Gesetze (3-75) bis (3-77).

§¨ 1 9 5 ·¸ A  ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Aginv  geninv ( A)

Aginv

1 9 5 · ¨§ ¸ A ˜ Aginv ˜ A ¨ 3 2 8 ¸ ¨ 1 5 8 ¸ © ¹

(3-74)



rg ( A)

3

rg A ˜ Aginv

rg ( A)

3

rg Aginv

A

179







3





rg Aginv ˜ A

3

g-Inverse von A

(3-75) (3-76)

3

damit ist A regulär

§¨ 0.134 0.263 0.346 ·¸ ¨ 0.179 0.017 0.128 ¸ ¨ 0.095 0.022 0.162 ¸ © ¹

1

A

§ 0.134 0.263 0.346 ·

¨ ¸ ¨ 0.179 0.017 0.128 ¸ ¨ 0.095 0.022 0.162 ¸ © ¹

(3-77)

3.1.11 Untermatrizen Matrizen können in Untermatrizen aufgespaltet werden. Die Elemente einer solchen aufgespaltenen "Hypermatrix" sind dann ihrerseits Untermatrizen. So ergibt z. B. das dyadische Produkt von zwei Hypervektoren

A=

§ A1 · ¨ ¸ und B =  B1 B2 © A2 ¹

(3-78)

die Produktmatrix

C=

§ A1 ˜ B1 A1 ˜ B2 · ¨ ¸, © A2 ˜ B1 A2 ˜ B2 ¹

(3-79)

deren Elemente Matrizen sind.

Seite 257

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.48: Aus den Hypervektoren A und B soll die Hypermatrix (Produktmatrix) C = A . B gebildet werden. Wie lautet dazu die transponierte Matrix von C? ORIGIN  1 A1 

A

ORIGIN festlegen

§1 3 · ¨ ¸ © 5 1 ¹ A ¨§ 1 ·¸ ¨ A2 ¸ © ¹

ª§ 1 3 · º «¨ ¸» © 5 1 ¹ » « A «§ 3 2 · » «¨ ¸» ¬© 7 9 ¹ ¼

§ 3 2 · ¨ ¸ © 7 9¹

A2 

A

§ {2,2} · ¨ ¸ © {2,2} ¹

B

ª§ 4 6 · § 5 2 · º «¨ ¸ ¨ ¸» ¬© 9 1 ¹ © 8 3 ¹ ¼

A ˜B A ˜B ¨§ 1 1 1 2 ·¸ C ¨A ˜ B A ˜ B ¸ © 2 1 2 2¹

T

C

ª§ 31 «¨ «© 11 « § 29 «¨ ¬ © 17

· § 6 ¸ ¨ 29 ¹ © 109 11 · § 1 ¸ ¨ 7 ¹ © 107 9

C

§ 4 6 · ¨ ¸ © 9 1 ¹

B1 

B

 B1

§ {2,2} {2,2} · ¨ ¸ © {2,2} {2,2} ¹

16 · º

¸» ¹» 0 · » ¸ » 41 ¹ ¼ 51

B2

§5 2 · ¨ ¸ ©8 3 ¹

B2 



B

gegebene Matrizen

Hypervektoren

( {2,2} {2,2} )

Anzeige der Untermatrizen (Ergebnisformat-Anzeige Option-Geschachtelte Felder erweitern)

ª § 31 « ¨ « © 11 C «§ 6 «¨ ¬© 109

§ 29 ¨ © 17 16 · § 1 ¸ ¨ 51 ¹ © 107

· ¸ 29 ¹ 9

11 ·

º ¸» 7 ¹ » 0 ·» ¸» 41 ¹ ¼

gesuchte Matrix

transponierte Matrix von C

Beispiel 3.1.49: Aus den folgenden Vektoren und Matrizen sollen verschiedene Matrizen mit Untermatrizen hergestellt werden. ORIGIN  0 a

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

ORIGIN festlegen

§a · ¨ ¸ ©b ¹

b  (2 4 )

B

K0  1

K1  einheit ( 2)

K2 

§ {2,1} · B ¨ ¸ © {1,2} ¹

ª« § 1 · »º ¨ ¸ B « ©2 ¹ » «( 2 4 ) » ¬ ¼

Hypermatrix B

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

B1

(2 4 )

Matrixkomponenten

( {2,1} {1,2} )

B

ª§ 1 · º «¨ ¸ ( 2 4 ) » ¬© 2 ¹ ¼

transponierte Matrix

B0

T

B

T

 K0

Seite 258

2 a



gegebene Vektoren und Matrizen

Matrizenrechnung

C  erweitern ( B B)

1 § 1 · »º «ª ¨§ ¸· ¨ ¸ C « ©2 ¹ ©2 ¹ » «( 2 4 ) ( 2 4 ) » ¬ ¼

erweiterte Matrix

1 · ¨§ ¸ K ¨ {2,2} ¸ ¨ {1,3} ¸ © ¹

1 ª« »º « §1 0 · » « ¨0 1 ¸ » K ¹ » « © «ª §1 ·º» ««1 2 ¨ 2 ¸ » » ¬¬ © ¹¼¼

Hypermatrix K

K0

K1

1

K2 0 0

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

K2 0 1

1

K2

ª §1 ·º «1 2 ¨ ¸ » ¬ ©2 ¹¼

K2 0 2

2

§1 · ¨ ¸ ©2 ¹

Matrixkomponenten

Elemente von Untermatrizen

Beispiel 3.1.50: Es soll mit Mathcad eine Hypermatrix (multidimensionales Array) Mi,j,k = xi . yj . z k erzeugt werden. Dies ist in Mathcad jedoch nur für zwei Dimensionen möglich. Die k-te Dimension muss individuell erstellt werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

i  0  3

j  0  3

k  0  3

Bereichsvariablen

xi  i  1

yj  j  1

zk  k  1

gegebene Vektoren

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ x ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ y ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹

z

§1 · ¨ ¸ ¨2 ¸ ¨3 ¸ ¨ ¸ ©4 ¹ 2

M0i j  xi ˜ yj ˜ z 0

§1 ¨ ¨2 M0 ¨3 ¨ ©4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 0

M1i j  xi ˜ yj ˜ z 1

§2 ¨ ¨4 M1 ¨6 ¨ ©8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 1

M2i j  xi ˜ yj ˜ z 2

§3 ¨ ¨6 M2 ¨9 ¨ © 12

3

4

4

6

6

8

9

12 ·

¸

12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 2

Seite 259

Matrizenrechnung

§4 ¨ ¨8 M3 ¨ 12 ¨ © 16

M3i j  xi ˜ yj ˜ z 3

§ M0 · ¨ ¸ ¨ M1 ¸ M ¨ M2 ¸ ¨ ¸ © M3 ¹

T

M

ª§ 1 «¨ «¨ 2 «¨ 3 «¨ ¬© 4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹ 3

4

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

12 16 ·

¸

16 24 32 ¸

erzeugte Untermatrix mit konstantem k = 3

24 36 48 ¸

¸

32 48 64 ¹

§ {4,4} · ¨ ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ ¸ © {4,4} ¹

M

2

8

Matrix mit den 4 Untermatrizen

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹ 4

6

8

6

12 ·

9

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

12 16 · º

8

¸»

16 24 32 ¸ » 24 36 48 ¸ »

¸»

32 48 64 ¹ ¼

Untermatrizen:

M0

§1 ¨ ¨2 ¨3 ¨ ©4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹ 2

3

4

M1

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹ 4

6

8

M2

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

6

9

12 ·

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

M3

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

8

12 16 ·

¸

16 24 32 ¸ 24 36 48 ¸

¸

32 48 64 ¹

Elemente in den Untermatrizen:

M0 0 0

M1 1 1

1

z = 0, x = 0, y = 0

M2 1 3

8

z = 1, x = 1, y = 1

M3 3 3

24

z = 2, x = 1, y = 3

64

z = 3, x = 3, y = 3

Die Matrix M mit Untermatrizen kann mit einem Unterprogramm schneller erzeugt werden: M

for k  0  zeilen ( z )  1 for i  0  zeilen ( x)  1 for j  0  zeilen ( y)  1 ZMi j m xi yj z k ZM1k m ZM ZM1

M

§ {4,4} · ¨ ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ {4,4} ¸ ¨ ¸ © {4,4} ¹

T

M

ª§ 1 «¨ «¨ 2 «¨ 3 «¨ ¬© 4

· ¸ 4 6 8 ¸ 6 9 12 ¸ ¸ 8 12 16 ¹ 2

3

4

§2 ¨ ¨4 ¨6 ¨ ©8

· ¸ 8 12 16 ¸ 12 18 24 ¸ ¸ 16 24 32 ¹ 4

6

8

Seite 260

§3 ¨ ¨6 ¨9 ¨ © 12

6

9

12 ·

¸ 12 18 24 ¸ 18 27 36 ¸ ¸ 24 36 48 ¹

§4 ¨ ¨8 ¨ 12 ¨ © 16

8

12 16 · º

¸»

16 24 32 ¸ » 24 36 48 ¸ »

¸»

32 48 64 ¹ ¼

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.51: Mithilfe von Hypermatrizen sollen Pfeilspitzen für Vektoren erzeugt und dargestellt werden. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Koordinaten von zwei Vektoren: x1 1  0

y11  0

Koordinaten des Anfangspunktes

x1 2  8

y12  9

Koordinaten des Endpunktes

x2 1  5

y21  5

Koordinaten des Anfangspunktes

x2 2  3

y22  6

Koordinaten des Endpunktes

x1

§0 · ¨ ¸ ©8 ¹

y1

§0 · ¨ ¸ © 9 ¹

x2

§ 5 · ¨ ¸ ©3 ¹

y2

§5 · ¨ ¸ ©6 ¹

x- und y-Koordinaten zu einem Vektor zusammengefasst

x- und y-Koordinaten zu einem Vektor zusammengefasst

Unterprogramm zur Berechnung der Pfeilspitzen eines Vektors: x2 ·¸ §¨ X1 m ¨ ·¸ §π ¨ x2  sin ¨ 3  winkel  x2  x1 y2  y1 ¸ ¸ © © ¹¹ x2 §¨ ¸· X2 m ¨ π· ¸ § ¨ x2  cos ¨ winkel  x2  x1 y2  y1  6 ¸ ¸ © © ¹¹ y2 §¨ ¸· Y1 m ¨ ·¸ §π ¨ y2  cos ¨ 3  winkel  x2  x1 y2  y1 ¸ ¸ © © ¹¹

vektorpfeil ( x y) 

y2 ·¸ §¨ Y2 m ¨ π· ¸ § ¨ y2  sin ¨ winkel  x2  x1 y2  y1  6 ¸ ¸ © © ¹¹ §X · ¨ ¸ ©Y ¹ Ein Vektorpfeil besteht aus zwei Geradenstücken mit jeweils einem Anfangs- und Endpunkt:

T

vektorpfeil ( x1 y1)

ªª§ 8 · º ««¨ ¸» ««© 7.051 ¹ » ««§ 8 · » ««¨ ¸» ¬¬© 7.798 ¹ ¼

ª§ 9 · º º «¨ ¸»» «© 8.685 ¹ » » «§ 9 · » » «¨ ¸»» ¬© 8.021 ¹ ¼ ¼

T

vektorpfeil ( x2 y2)

Seite 261

ªª§ 3 · º ««¨ ¸» ««© 2.203 ¹ » ««§ 3 · » ««¨ ¸» ¬¬© 2.079 ¹ ¼

ª§ 6 · º º «¨ ¸»» «© 5.396 ¹ » » «§ 6 · » » «¨ ¸»» ¬© 6.389 ¹ ¼ ¼

Matrizenrechnung

X1  vektorpfeil ( x1 y1) 1 Y1  vektorpfeil ( x1 y1) 2

X1

ª§ 8 · º «¨ ¸» «© 7.051 ¹ » «§ 8 · » «¨ ¸» ¬© 7.798 ¹ ¼

Y1

ª§ 9 · º «¨ ¸» «© 8.685 ¹ » «§ 9 · » «¨ ¸» ¬© 8.021 ¹ ¼

Anfangs- und Endpunkte der Geradenstücke eines Vektors

X2  vektorpfeil ( x2 y2) 1 Y2  vektorpfeil ( x2 y2) 2

X2

ª§ 3 · º «¨ ¸» «© 2.203 ¹ » «§ 3 · » «¨ ¸» ¬© 2.079 ¹ ¼

Y2

ª§ 6 · º «¨ ¸» «© 5.396 ¹ » «§ 6 · » «¨ ¸» ¬© 6.389 ¹ ¼

Anfangs- und Endpunkte der Geradenstücke eines Vektors

10

y1 5 y2 Y11 Y12

 10

5

0

Y21 Y22

5

 10 x1 x2 X11 X1 2 X21 X2 2

Abb. 3.1.10

Seite 262

5

10

Matrizenrechnung

3.1.12 Verschiedene Matrixzerlegungen Mathcad stellt zahlreiche Funktionen für die Matrizenzerlegung zur Verfügung. Cholesky-Zerlegung: Eine symmetrische Matrix A, die positiv definit ist (xT A x > 0 für alle x z), kann mit der Funktion cholesky in eine untere Dreiecksmatrix L (Lower) zerlegt werden. Es gilt dann für diese Matrix A mit L = cholesky(A): T

A= L˜L

(3-80)

Beispiel 3.1.52: Zerlegen Sie die gegebene symmetrische Matrix A in eine untere Dreiecksmatrix.

§¨ 1 2 1 ·¸ A  ¨ 2 7 2 ¸ ¨ 1 2 40 ¸ © ¹ A

gegebene symmetrische Matrix

positive Determinante

101

L  cholesky ( A)

T

L˜L

L

§¨ 1 2 1 ¸· ¨ 2 7 2 ¸ ¨ 1 2 40 ¸ © ¹

1 0 0 · ¨§ ¸ 0 ¸ ¨ 2 1.732 ¨ 1 2.309 5.802 ¸ © ¹

untere Dreiecksmatrix

L LT ergibt die Matrix A

PLU-Zerlegung: Sei A eine (nxn)-Matrix (quadratische Matrix). Die Funktion lu(A) gibt eine Matrix mit drei quadratischen Matrizen P, L und U vom Typ (nxn) zurück (lu(A) = (P L U)). L ist dabei eine untere (Lower) und U eine obere (Upper) Dreiecksmatrix. Die Matrix P steht für Permutationen der Zeilen. Für diese drei Matrizen gilt: P˜A= L˜U 1 1

Wegen A folgt

1

A

P

(3-81)

= ( P A)

1 1

=U

L

1

= ( L U)

1

1 1

=U

L

P.

Beispiel 3.1.53: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-81).

§¨ 1 3 8 ·¸ A  ¨4 5 6 ¸ ¨ 1 5 10 ¸ © ¹

gegebene Matrix

Seite 263

Matrizenrechnung

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

M  lu ( A)

M

0 0 4 5 6 · §¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 0.25 1 0 0 6.25 8.5 ¸ ¨ 1 0 0 0.25 0.28 1 0 0 7.12 ¸ © ¹

P  submatrix ( M 1 3 1 3)

L  submatrix ( M 1 3 4 6)

§¨ 0 1 P ¨0 0 ¨1 0 © §¨ 1 L ¨ 0.25 ¨ 0.25 ©

(3x9)-Matrix mit den Matrizen P, L und U

0·

¸

1¸

Matrix P

¸

0¹ 0

0·

1

0¸

¸ untere Dreiecksmatrix L

¸ 0.28 1 ¹

U  submatrix ( M 1 3 7 9)

6 · §¨ 4 5 ¸ U ¨ 0 6.25 8.5 ¸ ¨ 0 0 7.12 ¸ © ¹

obere Dreiecksmatrix U

§¨ 4 5 6 ·¸ P ˜ A ¨ 1 5 10 ¸ ¨ 1 3 8 ¸ © ¹

4 5 6 · ¨§ ¸ L ˜ U ¨ 1 5 10 ¸ ¨ 1 3 8 ¸ © ¹

P A und L U stimmen offensichtlich überein

§¨ 0 0 0 ¸· P ˜ A  L ˜ U ¨0 0 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

1

A

§¨ 0.449 0.056 0.326 ·¸ ¨ 0.191 0.101 0.213 ¸ ¨ 0.14 0.045 0.039 ¸ © ¹

1 1

U

L

P

§¨ 0.449 0.056 0.326 ·¸ ¨ 0.191 0.101 0.213 ¸ ¨ 0.14 0.045 0.039 ¸ © ¹

OU-Zerlegung: Sei A ein Vektor oder eine Matrix (muss nicht quadratisch sein). Die Funktion qr(A) gibt eine Matrix zurück, deren erste n Spalten eine quadratische orthogonale Matrix O und deren restliche Spalten eine obere Dreiecksmatrix U bilden (qr(A) = (O U)). Für diese drei Matrizen gilt: A= O˜U

(3-82)

Beispiel 3.1.54: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-82).

§ 1 ¨ ¨ 3.1 A ¨ 2 ¨ © 0

2

1 ·

4

4

¸ ¸ 5.1 1 ¸ ¸ 0.9 5 ¹

ORIGIN  1

gegebene Matrix

ORIGIN festlegen

Seite 264

Matrizenrechnung

M  qr ( A)

M

§ 0.262 ¨ ¨ 0.811 ¨ 0.523 ¨ © 0

0.254 0.464 0.807 3.822 1.099 2.459 · 0.111

0.344

0

0.84

0.06

0.129

0

0

0.133

0.877

0.462

0

0

§ 0.262 ¨ ¨ 0.811 O ¨ 0.523 ¨ © 0

O  submatrix ( M 1 4 1 4)

§ 0.262 ¨ ¨ 0.254 ¨ 0.464 ¨ © 0.807

1

O

T

O˜ O

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 0.46 0.84 0.133 ¸ 0.111 0.06 0.877 ¸ ¸ 0.344 0.129 0.462 ¹ 0.811 0.523

0

T

O

5.232 ¸ 0

¸ ¹

(4x7)-Matrix mit den Matrizen O und L

0.254 0.464 0.807 ·

¸ ¸ 0.84 0.06 0.129 ¸ ¸ 0.133 0.877 0.462 ¹

§ 0.262 ¨ ¨ 0.254 ¨ 0.464 ¨ © 0.807

0.46

0.111

0.344

· ¸ 0.46 0.84 0.133 ¸ 0.111 0.06 0.877 ¸ ¸ 0.344 0.129 0.462 ¹ 0.811 0.523

orthogonale Matrix

0

O ist eine orthogonale Matrix

0 0 0·

¸

1 0 0¸ 0 1 0¸

¸

0 0 1¹

U  submatrix ( M 1 4 5 7)

§ 1 ¨ ¨ 3.1 OU ¨ 2 ¨ © 0

¸

6.754 3.094 ¸

0.46

2

1 ·

4

4

¸ ¸ 5.1 1 ¸ ¸ 0.9 5 ¹

§ 3.822 1.099 2.459 · ¨ ¸ 0 6.754 3.094 ¸ ¨ U ¨ 0 0 5.232 ¸ ¨ ¸ 0 0 ¹ © 0

obere Dreiecksmatrix

demnach gilt O U = A

UDV-Zerlegung: Die Singulärwertzerlegung einer (mxn)-Matrix A (m t n) hat die Form T

A = U˜ D˜ V .

(3-83)

Die Funktion svd(A) liefert die Matrix U und V. U ist eine (mxn)-Matrix, V eine (nxn)-Orthogonalmatrix. D = diag(d) ist eine (nxn)-Diagonalmatrix mit den Singulärwerten di ! 0 als Elemente. Die Singulärwerte lassen sich mit der Funktion d = svds(A) berechnen. Die einzelnen Matrizen U, D und VT liefern als eingebettete Matrizen auch die neue Funktion svd2(A).

Seite 265

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.55: Zeigen Sie den Zusammenhang nach Gleichung (3-83). ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

1 3· ¨§ ¸ A  ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

gegebene Matrix

§¨ 0.278 ¨ 0.474 ¨ 0.835 ¨ ¨ 0.329 ¨ 0.944 ©

¸· 0.881 ¸ ¸ 0.449 ¸ 0.944 ¸ ¸ 0.329 ¹ 0.15

M  svd ( A)

M

U  submatrix ( M 1 zeilen ( A) 1 spalten ( A) )

§¨ 0.278 0.15 ¸· U ¨ 0.474 0.881 ¸ ¨ 0.835 0.449 ¸ © ¹

V  submatrix ( M zeilen ( A)  1 zeilen ( M) 1 spalten ( A) ) V

§1 0 · ¨ ¸ ©0 1 ¹

T

V˜V

d

§ 11.354 · ¨ ¸ © 0.279 ¹

D  diag ( d)

D

0 · § 11.354 ¨ ¸ 0.279 ¹ © 0

U˜ D˜ V

§ 0.329 0.944 · ¨ ¸ © 0.944 0.329 ¹

V ist orthogonal

d  svds ( A)

T

(5x2)-Matrix mit den Matrizen U und V

Vektor der Singulärwerte

aus Singulärwerten d i > 0 eine Diagonalmatrix bilden

§¨ 1 3 ¸· ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

U D VT ergibt wie erwartet A

Oder:

§ d1 · ¨ ¸ ¨ U1 ¸  svd2 ( A) ¨ V1 ¸ © T¹ D1  diag ( d1)

§ 11.354 · d1 ¨ ¸ © 0.279 ¹

U1

§¨ 0.278 0.15 ¸· ¨ 0.474 0.881 ¸ ¨ 0.835 0.449 ¸ © ¹

V1T

§ 0.329 0.944 · ¨ ¸ © 0.944 0.329 ¹

aus Singulärwerten d1 i > 0 eine Diagonalmatrix bilden

U1 ˜ D1 ˜ V1T

§¨ 1 3 ¸· ¨2 5 ¸ ¨3 9 ¸ © ¹

U D1 V1T ergibt wie erwartet A

Seite 266

Matrizenrechnung

3.1.13 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem ((mxn)-System) mit Unbekannten x1 , x2 , ..., xn verstehen wir ein System von Gleichungen der Form a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  a1 3 ˜ x3  ....  a1 n ˜ xn = c1 a2 1 ˜ x1  a2 2 ˜ x2  a2 3 ˜ x3  ....  a2 n ˜ xn = c2 a3 1 ˜ x1  a3 2 ˜ x2  a3 3 ˜ x3  ....  a3 n ˜ xn = c3 .................................................................................. am 1 ˜ x1  am 2 ˜ x2  am 3 ˜ x3  ....  am n ˜ xn = cm

(3-84)

wobei die Skalare ai k bekannte Koeffizienten und ci bekannte Konstanten sind. Fassen wir die Skalare ai k zur (mxn)-Matrix und xi und ci zu den (nx1)- bzw. (mx1)Spaltenvektoren zusammen, so lässt sich ein lineares Gleichungssystem als Matrixgleichung

§ a1 1 ¨ ¨ a2 1 ¨a A x = c bzw. ¨ 3 1 ¨ .... ¨ © am 1

· § x1 · § c1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ c2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a3 n ˜ x3 = c3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ am n ¹ © xn ¹ © cm ¹

a1 2

a1 3

.... a1 n

a2 2

a2 3

....

a3 2

a3 3

....

....

....

....

am 2 am 3 ....

(3-85)

schreiben. Für c = 0 (Nullvektor) heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen. Ein lösbares System heißt konsistent, andernfalls inkonsistent. Offensichtich ist ein homogenes Gleichungssystem stets konsistent (dies gilt wegen der trivialen Lösung x1 = x2 = ... = xn = 0). Das inhomogene Gleichungssystem A x = c besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung. Das homogene Gleichungssystem A x = 0 besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0 (Nullvektor), oder unendlich viele Lösungen. Das Lösungsverfahren, mit dem jedes System von linearen Gleichungen behandelt werden kann, heißt Gauß'sches Eliminationsverfahren oder Gauß-Algorithmus. Es beruht auf folgenden elementaren Zeilenumformungen (siehe dazu auch Abschnitt 3.1.8 b)): 1. Zwei Gleichungen dürfen miteinander vertauscht werden. 2. Jede Gleichung darf mit einer Zahl O z 0 multipliziert werden. 3. Zu jeder Gleichung darf ein Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. Mit diesem Lösungsverfahren kann nun jedes Gleichungssystem auf ein äquivalentes System b1 1 ˜ x1  b1 2 ˜ x2  ....  b1 r ˜ xr  b1 r 1 ˜ xr1  ....  b1 n ˜ xn = d1 b2 2 ˜ x2  ....  a2 r ˜ xr  b2 r1 ˜ xr 1  ....  b2 n ˜ xn = d2 ............................................................................. ar r ˜ xr  br r1 ˜ xr 1  ....  br n ˜ xn = dr 0 = d r 1 0 = d r 2 ............ 0 = dm übergeführt werden (bi z 0 für i = 1, 2, ... ,r).

Seite 267

(3-86)

Matrizenrechnung

Das lineare (mxn)-Gleichungssystem ist aber offensichtlich nur dann lösbar, wenn alle Elemente dr+1 , dr+2 , ..., dr verschwinden d. h. null sind! Wir können dann das äquivalente Gleichungssystem in Matrixform schreiben:

§ b1 1 b1 2 ¨ ¨ 0 b2 2 ¨ 0 ¨ 0 ¨ 0 0 B ˜ x = d bzw. ¨ 0 ¨ 0 ¨ 0 0 ¨ ¨ .... ..... ¨ 0 0 ©

§ x1 · § d1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ x ¸ ¨ b2 n 2 ¸ ¨ d2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ br n ¸ ¨ xr ¸ ¨ dr ¸ ¸˜¨ ¸=¨ ¸ 0 ¸ ¨ xr 1 ¸ ¨ 0 ¸ ¸ ¨ .... ¸ ¨ 0 ¸ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¹ © xn ¹ © 0 ¹

.... b1 r b1 r1 .... b1 n · .... a2 r b2 r1 .... ....

....

....

....

0

ar r

br r1

....

0

0

0

0

0

0

0

0

....

....

....

....

0

0

0

0

(3-87)

Die äquivalente Matrix B und die erweiterte Matrix (B|d) sind dann von trapezförmiger Gestalt und enthalten jeweils in den letzten (n - r)-Zeilen nur Nullen. Sie stimmen daher in ihrem Rang überein (Abschnitt 3.1.8 b)): rg ( B) = rg ( B|d)

(3-88)

Nachdem aber das Gleichungssystem B x = d durch elementare Zeilenumformungen aus dem Gleichungssystem A x = c hervorgeht, sind sowohl A und B als auch (A|c) und (B|d) ranggleich. Das lineare (mxn)-Gleichungssystem A x = c ist dann und nur dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Matrix (A|c) übereinstimmt: (r dm, r dn

rg ( A) = rg ( A|c)

(3-89)

Im Falle der Lösbarkeit besitzt das lineare Gleichungssystem folgende Lösungsmenge: 1. Für r = n genau eine Lösung; 2. Für r  n unendlich viele Lösungen, wobei n - r der insgesamt n Unbekannten frei wählbare Parameter sind. Für den Fall, dass rg ( A) z rg ( A|c) gilt, ist das lineare Gleichungssystem unlösbar. Bei einem homogenen linearen Gleichungssystem A x = 0 ist rg ( A) = rg ( A|c) immer erfüllt. Das System ist daher immer lösbar und besitzt wenigstens die triviale Lösung x1 = x2 = ... = xn = 0. Sie ist die einzige Lösung, wenn r = n ist. Von null verschiedene Lösungen existieren nur für r < n. Mit der in Abschnitt 3.1.10 definierten verallgemeinerten inversen Matrix gilt: 1. Das lineare (mxn)-Gleichungssystem A x = c ist genau dann lösbar, wenn A ˜ Aginv ˜ c = c . 2. Im Falle der Lösbarkeit erhalten wir den Lösungsvektor





x = Aginv ˜ c  E  Aginv ˜ A ˜ w

(3-90)

mit beliebigen w n.

Seite 268

Matrizenrechnung

Beispiel 3.1.56: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung (m > n)? 4 x1 -

x2 -

+ 2 x3 = 0

x1 -x1 +

x3 = 6

2 x2 + 2 x3 = 2

3 x1 -

x2

§4 ¨ ¨1 A ¨ 1 ¨ ©3

=3

1 1 ·

¸ ¸ 2 2 ¸ ¸ 1 0 ¹ 0

2

Koeffizientenmatrix

§6 · ¨ ¸ ¨0 ¸ c ¨2 ¸ ¨ ¸ ©3 ¹

Konstantenvektor

§4 ¨ ¨1 A|c ¨ 1 ¨ ©3

A|c  erweitern ( A c)

rg ( A)

3

rg ( A|c)

( rg ( A) = rg ( A|c) )

3

1

1 1 6 ·

¸

0¸

0

2

2

2

2¸

1

0

3¹

erweiterte Matrix

¸

Das Gleichungssystem ist lösbar und hat wegen r = n = 3 genau eine Lösung! richtige Aussage

Aufsuchen der Lösung mithilfe des Gauß-Algorithmus. Wir verwenden hier die im Beispiel 3.1.27 angegebenen Unterprogramme: ORIGIN  1

B1|d1  vert_z1_mit_z2 ( A|c 1 2)

ORIGIN festlegen

B1|d1

B2|d2  z1_und_c_mal_z2 ( B1|d1 3 3 1) B2|d2

B3|d3  z1_und_c_mal_z2 ( B2|d2 2 4 1) B3|d3

§1 ¨ ¨4 ¨ 1 ¨ ©3 §1 ¨ ¨4 ¨ 4 ¨ ©3 §1 ¨ ¨0 ¨ 4 ¨ ©3

Seite 269

0

2

0·

¸

1 1 6 ¸ 2

2

2¸

1

0

3¹

0

2

0·

z1 mit z2 vertauschen

¸ ¸

1 1 6 ¸ 2

4 2 ¸

1

0

3¹

0

2

0·

z3 = z3 - 3.z1

¸ ¸

1 9 6 ¸ 2

4 2 ¸

1

0

¸

3¹

z2 = z2 - 4.z1

Matrizenrechnung

B4|d4  z1_und_c_mal_z2 ( B3|d3 3 4 1)

B5|d5  z1_und_c_mal_z2 ( B4|d4 4 3 1)

B6|d6  z1_und_c_mal_z2 ( B5|d5 3 2 4)

B4|d4

B5|d5

B6|d6

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©3 §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0 §1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

0

2

0·

¸

1 9 6 ¸ 2

4

2¸

1

0

3¹

0

2

0·

¸ ¸

1 9 6 ¸ 2

4

z3 = z2 + 4.z1

2¸

z4 = z2 - 3.z1

¸

1 6 3 ¹ 0

2

0·

¸

1 9 6 ¸ 8 8 ¸

0

z3 = z3 + 2.z1

¸

1 6 3 ¹

B7|d7

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 8 8 ¸ ¸ 0 3 3 ¹

z4 = z4 - z2

B8|d8

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 24 24 ¸ ¸ 0 3 3 ¹

z3 = 3.z3

B9|d9  c_mal_z ( B8|d8 8 4)

B9|d9

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 24 24 ¸ ¸ 0 24 24 ¹

z4 = 8.z4

B|d  z1_und_c_mal_z2 ( B9|d9 4 1 3)

§1 ¨ ¨0 B|d ¨0 ¨ ©0

B7|d7  z1_und_c_mal_z2 ( B6|d6 4 1 2)

B8|d8  c_mal_z ( B7|d7 3 3)

0

2

0

0

2

0

0

2

0

· ¸ 1 9 6 ¸ 0 24 24 ¸ ¸ 0 0 0 ¹ 0

2

0

z4 = z4 + z3

Damit ergibt sich das äquivalente gestaffelte lineare Gleichungssystem: x1 +

2 x3 = 0 - x2 - 9 x3 = 6 -24 x3 = 24

Durch rückwertiges Auflösen des Gleichungssystems erhalten wir dann die Lösungen: x3 = -1, x2 = 3, x1 = 2

Seite 270

Matrizenrechnung

Aufsuchen der Lösungen mithilfe von Mathcad: Setzen wir das Gauß'sche Eliminationsverfahren in B|d weiter fort, sodass links von der Spalte d eine Diagonalmatrix mit lauter Einsen entsteht, so können wir die Lösungen direkt ablesen. Dafür steht in Mathcad die Funktion zref(A|c) (Zeilenreduktion) zur Verfügung:

zref ( A|c)

§1 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ©0

· ¸ 1 0 3 ¸ 0 1 1 ¸ ¸ 0 0 0 ¹ 0 0

2

x1 = 2 x2 = 3 x3 = 1

Symbolische Lösung mithilfe des Operators auflösen: x1  x1

x2  x2

x3  x3

Redefinitionen

§ 4 ˜ x1  x2  x3 = 6 · ¨ ¸ x1  2 ˜ x3 = 0 ¨ ¸ x x x  ¨  1 2 3 x  2 ˜ x  2 ˜ x = 2 ¸ auflösen x1 x2 x3 o ( 2 3 1 ) 2 3 ¨ 1 ¸ ¨ ¸ 3 ˜ x1  x2 = 3 © ¹ x1

2

x2

3

x3

1

Lösungen

Symbolische Lösung mit dem Lösungsblock: Vorgabe 4 ˜ x1  x2  x3 = 6 x1  2 ˜ x3 = 0 x1  2 ˜ x2  2 ˜ x3 = 2 3 ˜ x1  x2 = 3 x ¨§ 1 ·¸ ¨ x ¸  Suchen x x x  1 2 3 ¨ 2¸ ¨© x3 ¸¹

x ¨§ 1 ¸· §¨ 2 ·¸ ¨x ¸ o ¨ 3 ¸ ¨ 2¸ ¨ ¸ ¨© x3 ¸¹ © 1 ¹

Lösungen

Lösungen mithilfe der g-Inversen Matrix (x = Aginv c): ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§¨ 0.239 0.041 0.16 0.082 ·¸ ¨ 0.365 0.431 0.613 0.138 ¸ ¨ 0.208 0.443 0.047 0.113 ¸ © ¹

Aginv  geninv ( A)

Aginv

x  Aginv ˜ c

§¨ 2 ¸· x ¨3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

x1

Seite 271

2

x2

3

x3

1

g-Inverse Matrix

Lösungen

Matrizenrechnung

Die Lösungen können für m > n aus der Gauß'schen Normalgleichung N x = AT c mit N = AT A berechnet werden. Ist N regulär (|A| z0 bzw. Rg(A) = n)

§¨ 27 9 4 ¸· N  A ˜ A ¨ 9 6 5 ¸ ¨ 4 5 9 ¸ © ¹ T

1

N

318

rg ( A)

§¨ 2 ¸· x ¨3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

T

x N

Ÿ x = N-1 AT c.

˜A ˜c

3

N = AT A ist eine reguläre Matrix

Lösungsvektor

Beispiel 3.1.57: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? 3 x1 - 3 x2 = 1 - x1 + 5 x2 = 4 5 x1 + 2 x2 = 10

§¨ 3 3 ·¸ A  ¨ 1 5 ¸ ¨ 5 2¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

1 ¨§ ¸· c ¨ 4 ¸ ¨ 10 ¸ © ¹

Konstantenvektor

rg ( A)

rg ( erweitern ( A c) )

2

( rg ( A) = rg ( erweitern ( A c) ) )

0

3 Das Gleichungssystem ist also nicht lösbar (inkonsistentes Gleichungssystem)!

falsche Aussage

oder: erweitern ( A c)

§ 1 5 · ¨ ¸ © 5 2¹

189

Die erweiterte Matrix ist regulär, also rg(A|c) = 3

Es gibt eine von null verschiedene Unterdeterminante der Matrix A. Damit gilt: rg(A) = 2 (3-54).

27

Beispiel 3.1.58: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? x1 + 2 x2 - 2 x3 = 7 2 x1 + 3 x2 2 x1 +

(3-62).

=0

x2 + 8 x3 = -28

1 2 2 · ¨§ ¸ A  ¨2 3 0 ¸ ¨2 1 8 ¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

7 · ¨§ ¸ c ¨ 0 ¸ ¨ 28 ¸ © ¹

Konstantenvektor

Seite 272

Matrizenrechnung

rg ( A)

rg ( erweitern ( A c) )

2

2

das Gleichungssystem ist lösbar

Wegen rg(A) < 3 gibt es unendlich viele Lösungen:

zref ( erweitern ( A c) )

§¨ 1 0 6 21 ¸· ¨ 0 1 4 14 ¸ ¨0 0 0 0 ¸ © ¹

x1 = 6 O - 21 x2 = - 4 O + 14 x3 = 0 (n - r = 3 - 2 = 1)

3.1.14 Quadratische lineare Gleichungssysteme Unter einem quadratischen linearen Gleichungssystem ((nxn)-System) mit Unbekannten x1 , x2 , ..., xn verstehen wir ein System von Gleichungen der Form a1 1 ˜ x1  a1 2 ˜ x2  a1 3 ˜ x3  ....  a1 n ˜ xn = c1 a2 1 ˜ x1  a2 2 ˜ x2  a2 3 ˜ x3  ....  a2 n ˜ xn = c2 a3 1 ˜ x1  a3 2 ˜ x2  a3 3 ˜ x3  ....  a3 n ˜ xn = c3 .................................................................................. an 1 ˜ x1  an 2 ˜ x2  an 3 ˜ x3  ....  an n ˜ xn = cn

(3-91)

wobei die Skalare ai k bekannte Koeffizienten und ci bekannte Konstanten sind. Fassen wir die Skalare ai k zur (nxn)-Matrix und xi und ci zu den (nx1)- bzw. (nx1)Spaltenvektoren zusammen, so lässt sich dieses lineare Gleichungssystem als Matrixgleichung

§ a1 1 ¨ ¨ a2 1 ¨a A ˜ x = c bzw. ¨ 3 1 ¨ .... ¨ © an 1

§ x1 · § c1 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ c2 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ a3 n ˜ x3 = c3 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ .... ¸ ¨ .... ¸ ¨ .... ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ an n ¹ © xn ¹ © cn ¹

a1 2 a1 3 .... a1 n · a2 2 a2 3 .... a3 2 a3 3 .... ....

....

....

an 2 an 3 ....

(3-92)

schreiben. Für c = 0 (Nullvektor) heißt das Gleichungssystem homogen, andernfalls inhomogen. Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem gelten im Wesentlichen alle weiteren der im letzten Abschnitt 3.1.13 angeführten Bezeichnungen und Gesetzmäßigkeiten. Für quadratische inhomogene lineare (nxn)-Gleichungssysteme A x = c gelten folgende äquivalente Aussagen zu det(A) z 0: 1. Das System besitzt genau eine Lösung, wenn gilt: rg ( A) = rg ( A|c) = r = n

(3-93)

Damit sind alle Zeilenvektoren der Matrix A linear unabhängig (siehe (3-62)). 2. Die Determinante der Matrix A ist ungleich null: det ( A) z 0

(3-94)

Damit ist die Matrix A regulär und es existiert die inverse Matrix von A.

Seite 273

Matrizenrechnung

Das Gleichungssystem kann dann in einfacher Weise gelöst werden: a) Mithilfe der inversen Matrix: Wir multiplizieren zuerst die Matrixgleichung mit der inversen Matrix von links: 1

A

˜ A˜ x = A

1

1

c Ÿ E ˜ x = A

˜ c(E ... Einheitsmatrix)

(3-95)

Damit erhalten wir den Lösungsvektor x aus: 1

x=A

˜c

(3-96)

b) Mithilfe der Cramer-Regel: Mit (3-96) und (3-46) erhalten wir mit D = det(A):

§D · §¨ c1 ˜ A1 1  c2 ˜ A2 1  ....  cn ˜ An 1 ·¸ ¨ 1¸ 1 ¨ c1 ˜ A1 2  c2 ˜ A2 2  ....  cn ˜ An 2 ¸ 1 ¨ D2 ¸ 1 x=A ˜c= ˜¨ ¸ = ˜¨ ¸ D ......... ¨ ¸ D ¨ .... ¸ ¨ c1 ˜ A1 n  c2 ˜ A2 n  ....  cn ˜ An n ¸ ¨D ¸ © ¹ © n¹

(3-97)

Wenn wir in der Koeffizientenmatrix A nacheinander die erste Spalte, die zweite Spalte usw. durch den Konstantenvektor c ersetzen, so erhalten wir mit diesen Matrizen die Hilfsdeterminanten D 1 , D2 , ..., Dn. Beispielsweise ergibt sich dann D 1 aus:

§¨ c1 a1 2 a1 3 ¨ c2 a2 2 a2 3 D1 = ¨ ¨ .... .... .... ¨ cn an 2 an 3 ©

.... a1 n ·

¸ .... a2 n ¸ ¸ .... .... ¸ .... an n ¸¹

(3-98)

Entwickeln wir D 1 nach den Elementen der 1. Spalte, dann erhalten wir wie in (3-97) angeführt: D1 = c1 ˜ A1 1  c2 ˜ A2 1  ....  cn ˜ An 1

(3-99)

Mit diesen Hilfsdeterminanten Di und der Determinante D erhalten wir dann nach Cramer alle Lösungen des Gleichungssystems aus:

xi =

Di D

( D z0 und i = 1, 2, ..., n)

(3-100)

Bemerkung: Das homogene System A x = 0 hat unter den oben angeführten Bedingungen genau eine Lösung, nämlich die triviale Lösung x = 0 (Nullvektor). Es gelten auch die unter (3-90) angeführten Beziehungen über die verallgemeinerte inverse Matrix.

Seite 274

Matrizenrechnung

Für quadratische inhomogene lineare (nxn)-Gleichungssysteme A x = c gelten folgende äquivalente Aussagen zu det(A) = 0: 1. Die Determinante der Matrix A ist gleich null: det ( A) = 0

(3-101)

Damit ist die Matrix A singulär (siehe (3-63)) 2. Das System besitzt unendlich viele Lösungen mit (n - r) Parametern, wenn gilt: rg ( A) = rg ( A|c) = r  n

(3-102)

Dies gilt auch für das homogene System A x = 0. 3. Das System besitzt keine Lösung, wenn gilt: rg ( A) z rg ( A|c)

(3-103)

Hier liefert Mathcad mit der verallgemeinerten inversen Matrix eine Näherungslösung mit minimaler Abweichung: xnäh = geninv ( A) c mit A xnäh  c = Minimum Die Genauigkeit der Berechnung von geninv(A) hängt in Mathcad vom Toleranzparameter TOL ab! Bemerkung: In Mathcad stehen unter anderem zur Lösung eines linearen quadratischen Gleichungssystem die Funktion llösen(A,c) zur Verfügung.

Beispiel 3.1.59: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem: 3 x1  2 x2  3 x3 = 4 2 x1  2 x2  6 x3 = 6 5 x1  4 x2  3 x3 = 5

§¨ 3 2 3 ¸· A  ¨2 2 6 ¸ ¨5 4 3 ¸ © ¹ 12

A

( A z 0) rg ( A)

Koeffizientenmatrix

Konstantenvektor

Die Matrix ist regulär, d. h., es gibt genau eine Lösung des Gleichungssystems 1

3

4 ¨§ ¸· c  ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

1... Die Aussage ist wahr 0... Die Aussage ist falsch rg ( erweitern ( A c) )

Rangvergleich

3

Lösung mithilfe der inversen Matrix: 1

x A

˜c

§¨ 0.5 ¸· x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

T

x o

§1 0 5· ¨ ¸ 6¹ ©2 Seite 275

Lösungsvektor

Matrizenrechnung

§¨ 4 ¸· A ˜ x ¨6 ¸ ¨5 ¸ © ¹

oder

( A ˜ x = c)

Probe

1

Lösung mithilfe der Funktion llösen:

x  llösen ( A c)

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Lösungsvektor

Lösung mithilfe der UO-Zerlegung (3-81): Aus L U = P A folgt: L U x = P c. Multiplizieren wir die letzte Gleichung von Links mit (L U)-1 , so erhalten wir: (L U)-1 L U x = (L U)-1 P c. Damit gilt mit (3-43) für den Lösungsvektor: x = U -1 L-1 P c. ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

M  lu ( A)

M

P  submatrix ( M 1 3 1 3)

L  submatrix ( M 1 3 4 6)

U  submatrix ( M 1 3 7 9)

§¨ 5 4 3 ·¸ P ˜ A ¨3 2 3 ¸ ¨2 2 6 ¸ © ¹ 1

x U

˜L

1

˜P˜c

0 0 1 1 0 0 5 4 3 · ¨§ ¸ ¨ 1 0 0 0.6 1 0 0 0.4 1.2 ¸ ¨ 0 1 0 0.4 1 1 0 0 ¸ 6 ¹ ©

§¨ 0 0 1 ¸· P ¨1 0 0 ¸ ¨0 1 0 ¸ © ¹ 0 0· 1 ¨§ ¸ L ¨ 0.6 1 0 ¸ ¨ 0.4 1 1 ¸ © ¹ 5 4 ¨§ U ¨ 0 0.4 ¨0 0 © 5 4 ¨§ L ˜ U ¨3 2 ¨2 2 ©

¸· 1.2 ¸ ¸ 6 ¹ 3· ¸ 3¸ ¸ 6¹

(3x9)-Matrix mit den Matrizen P, L und U

Matrix P

untere Dreiecksmatrix L

3

§¨ 0.5 ¸· x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

obere Dreiecksmatrix U

P A und L U stimmen offensichtlich überein

Lösungsvektor

Seite 276

Matrizenrechnung

Lösung mithilfe der Zeilenreduktion (Gauß-Algorithmus):

§1 0 0 1 · ¨ ¸ 2 ¨ ¸ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 1 0 0 ¸ ¨ ¸ 5 ¨0 0 1 ¸ 6¹ ©

x1 = 1/2 ¢4² x  zref ( erweitern ( A c) )

x2 = 0 x3 = 5/6

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Lösung mithilfe der Cramer-Regel: Cramer ( A c) 

Fehler ( "Die Matrix ist nicht regulär !" ) if

A =0

n m spalten ( A) Dm A for i  1  n Cramer-Regel mit einem Unterprogramm realisiert

A1 m A ¢i² A1 m c D1i m A1 xm

1 D

D1

x

§¨ 0.5 ¸· x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

x  Cramer ( A c)

Lösungsvektor

Lösung mithilfe des Operators auflösen: x1  x1

x2  x2

x3  x3

Redefinitionen

3x  2x2  3x3 = 4 · ¨§ 1 ¸ 5· 1 ¨ 2x1  2x2  6x3 = 6 ¸ auflösen x x x o §¨ x 0 ¸ 1 2 3 ¨ ¸ 6¹ ©2 ¨ 5x1  4x2  3x3 = 5 ¸ © ¹ x1 1

0.5

x1 2

0

x1 3

0.833

Lösungen

Lösung mithilfe eines Lösungsblocks: T

x  (1 1 1 )

Startwerte

Vorgabe A˜ x = c x  Suchen ( x)

§¨ 0.5 ¸· x ¨ 0 ¸ ¨ 0.833 ¸ © ¹

Lösungsvektor

Seite 277

§1· ¨2¸ ¨ ¸ T x o¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Matrizenrechnung

Lösungen mithilfe der g-Inversen Matrix (x = Aginv c): Aginv  geninv ( A)

generalisierte inverse Matrix

x  Aginv ˜ c

§1· ¨2¸ ¨ ¸ xo¨0¸ ¨5¸ ¨ ¸ ©6¹

Lösungsvektor

Beispiel 3.1.60: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem:

§¨ 1 1 1 ·¸ §¨ x ¸· §¨ 1 ¸· ¨ 1 2 1 ¸ ˜ ¨ y ¸ = ¨ 2 ¸ ¨ 1 1 5 ¸ ¨ z ¸ ¨ 0 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 1 1 1· ¨§ ¸ A  ¨ 1 2 1 ¸ ¨ 1 1 5 ¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

1 ¨§ ¸· c  ¨2 ¸ ¨0 ¸ © ¹

Konstantenvektor

A

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung.

0

rg ( A)

rg ( erweitern ( A c) )

2

3

Das Gleichungssystem ist unlösbar!

§¨ 1 0 3 0 ·¸ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 1 2 0 ¸ ¨0 0 0 1 ¸ © ¹ Beispiel 3.1.61: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem:

§1 ¨ ¨0 ¨ 1 ¨ ©2

§x · · ¨ 1 ¸ §0 · ¸ ¨ ¸ 2 0 2 ¸ ¨ x2 ¸ ¨ 5 ¸ ˜¨ ¸ = 1 2 2 ¸ ¨ x3 ¸ ¨ 4 ¸ ¸ ¨ ¸ 4 2 8 ¹ ¨x ¸ ©8 ¹ © 4¹ 1

1

3

Seite 278

Matrizenrechnung

§1 ¨ ¨0 A ¨ 1 ¨ ©2

· ¸ 2 0 2 ¸ 1 2 2 ¸ ¸ 4 2 8 ¹ 1

1

3

§0 · ¨ ¸ ¨5 ¸ c ¨4 ¸ ¨ ¸ ©5 ¹ A

Konstantenvektor

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung!

0

rg ( A)

Koeffizientenmatrix

3

rg ( erweitern ( A c) )

§¨ 1 ¨ ¨ zref ( erweitern ( A c) ) o ¨ 0 ¨ ¨0 ¨0 ©

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen!

3

¸· 2 ¸ 5 ¸ 1 0 1 ¸ 2 ¸ 0 1 1 4 ¸ ¸ 0 0 0 0 ¹ 0 0

3

3

x1 = 3 O + 3/2 x2 = O + 5/2 x3 = - O x4 = 0 (n - r = 4 - 3 = 1)

Beispiel 3.1.62: Lösen Sie, wenn möglich, folgendes quadratische Gleichungssystem: Ax = c

§¨ 2 3 1 ·¸ A  ¨ 3 1 18 ¸ ¨ 3 10 15 ¸ © ¹

Koeffizientenmatrix

§¨ 14 ·¸ c  ¨ 10 ¸ ¨ 30 ¸ © ¹

Konstantenvektor

A rg ( A)

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele oder keine Lösung!

0 2

rg ( erweitern ( A c) )

3

Das Gleichungssystem ist unlösbar!

Näherungslösung: xnäh  geninv ( A) c

§¨ 1.922 ¸· xnäh ¨ 3.065 ¸ ¨ 0.416 ¸ © ¹

§¨ 13.455 ¸· A xnäh ¨ 10.182 ¸ ¨ 30.182 ¸ © ¹ Seite 279

A xnäh  c

0.603

Matrizenrechnung

3.2 Komplexe Matrizen In diesem Abschnitt soll eine kurze Einführung in die komplexe Matrizenrechnung gegeben werden. Dazu setzen wir die grundlegenden Kenntnisse über komplexe Zahlen voraus, wie sie im Kapitel 1 in diesem Buch beschrieben wurden. Wie reelle Matrizen finden auch komplexe Matrizen eine weit verbreitete Anwendung, wie z. B. bei der Behandlung von Netzwerken und Vierpolen. Besondere Bedeutung haben dabei spezielle quadratische Matrizen wie hermitesche, schiefhermitesche und unitäre Matrizen. Unter einer komplexen (m x n)-Matrix oder Matrix vom Typ (m, n) verstehen wir ein rechteckiges Schema komplexer Zahlen mit m Zeilen und n Spalten. Die komplexen Zahlen in der Matrix heißen Elemente oder Koeffizienten der Matrix. Die Elemente einer Matrix A werden durch a i k = a i, k bezeichnet, wobei i = 1, 2, ..., m Zeilenindex und k = 1, 2, ..., n Spaltenindex genannt wird.

§ a1 1 .... a1 n · ¨ ¸ .... A = ¨ ... ... ¸ =  ai k =  bi k  j ˜ ci k ¨a ¸ © m 1 .... am n ¹













A = bi k  j ˜ ci k = Re ai k  j ˜ Im ai k = B  j ˜ C

(3-104)

(3-105)

Matrizen werden in der Regel mit Großbuchstaben A, B, C, ... abgekürzt. Nachfolgend werden allgemein komplexe Matrizen und die Elemente der Matrizen in Fettschreibweise mit Unterstreichen dargestellt. Die in Abschnitt 3.1 definierten Rechenoperationen, Rechenregeln und Aussagen für reelle Matrizen lassen sich sinngemäß auch auf komplexe Matrizen übertragen. Sie werden daher in diesem Abschnitt nicht mehr explizit angeführt.

Beispiel 3.2.1: Zeigen Sie: A = Re(A) + j Im(A). Bilden Sie A + B und A - B. Stimmen die Gesetze (3-16) bis (3-18), (3-28) und (3-29) auch für die nachfolgend gegebenen Matrizen (z. B. O = 2)? Zeigen Sie mit der Funktion erweitern(A, B, C, ...), dass Matrizen gleicher Zeilenzahl zu einer Matrix zusammengefügt werden können. Analog fasst die Funktion stapeln(A, B, C, ...) zwei Matrizen gleicher Spaltenzahl übereinander zu einer gemeinsamen Matrix zusammen. Bilden Sie die Submatrix (Untermatrix) mit Zeilen 2 bis 3 und Spalten 1 bis 3 der Matrix A. Gegebene Matrizen: 1 j 4 j 4 ·¸ ¨§ A  ¨ 3  2 ˜ j 5  4 ˜ j 2  5 ˜ j ¸ ¨ 0 ¸ j 4 ˜ j ¹ ©

6  3˜ j 2  7˜ j 9 j · ¨§ ¸ B ¨ 0 j 2  3 ˜ j ¸ ¨5  2 ˜ j 2  4 ˜ j ¸ 7 © ¹

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

Re ( A)

§¨ 1 4 4 ¸· ¨ 3 5 2 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

Re ( A)  j ˜ Im ( A)

Im ( A)

1 1 0 · ¨§ ¸ ¨ 2 4 5 ¸ ¨ 0 1 4 ¸ © ¹

1j 4j 4 ·¸ ¨§ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

C  ( 4  j 1  8 ˜ j 5 )

Matrix der Real- und Imaginärteile

komplexe Matrix A

Seite 280

Matrizenrechnung

7  4j 6  6j 13  j · ¨§ ¸ A  B ¨ 3  2j 5  3j 4  8j ¸ ¨ 5  2j 2  3j 7  4j ¸ © ¹ 1  j 3  2j 0 · ¨§ ¸ ¨ 4  j 5  4j j ¸ ¨ 4 2  5j 4j ¸ © ¹

T

A

( A  B)

T

( 2A)

T T

A

7  4j 3  2j 5  2j · ¨§ ¸ ¨ 6  6j 5  3j 2  3j ¸ ¨ 13  j 4  8j 7  4j ¸ © ¹

T

2  2j 6  4j 0 · ¨§ ¸ ¨ 8  2j 10  8j 2j ¸ ¨ 8 4  10j 8j ¸ © ¹

M  erweitern ( A B)

M

5  2j 2  8j 5  j · ¨§ ¸ A  B ¨ 3  2j 5  5j 2j ¸ ¨ 5  2j 2  5j 7  4j ¸ © ¹

T

4 4j 1j ¨§ ¸· ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

T

A B

T

2A

Addition und Subtraktion

(3-16)

7  4j 3  2j 5  2j · ¨§ ¸ ¨ 6  6j 5  3j 2  3j ¸ (3-17) ¨ 13  j 4  8j 7  4j ¸ © ¹

2  2j 6  4j 0 · ¨§ ¸ ¨ 8  2j 10  8j 2j ¸ ¨ 8 4  10j 8j ¸ © ¹

1j 4j 4 6  3j 2  7j 9  j · ¨§ ¸ j 2  3j ¸ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j 0 ¨ 0 ¸ j 7 ¹ 4j 5  2j 2  4j ©

(3-18)

nebeneinander zusammengefügte Matrizen

M1  stapeln ( C B)

5 § 4  j 1  8j · ¨ ¸ 6  3j 2  7j 9  j ¸ ¨ M1 ¨ 0 j 2  3j ¸ ¨ ¸ © 5  2j 2  4j 7 ¹

übereinander zusammengefügte Matrizen

U  submatrix ( A 2 3 1 3)

§ 3  2j 5  4j 2  5j · U ¨ ¸ 4j ¹ j © 0

Untermatrix der Matrix A (Zeile 2 bis 3 und Spalte 1 bis 3)

23  17j 2  21j 29  2j · ¨§ ¸ A B ¨ 12  50j 28  48j 13  3j ¸ ¨ 8  20j 17  8j 3  26j ¸ © ¹

T

( A B)

23  17j 12  50j 8  20j · ¨§ ¸ ¨ 2  21j 28  48j 17  8j ¸ ¨ 29  2j 13  3j 3  26j ¸ © ¹

A einheit ( 3)

1j 4j 4 ·¸ ¨§ ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

Multiplikation zweier Matrizen

T T

B A

23  17j 12  50j 8  20j · ¨§ ¸ ¨ 2  21j 28  48j 17  8j ¸ ¨ 29  2j 13  3j 3  26j ¸ © ¹

1j 4j 4 ¨§ ¸· einheit ( 3) A ¨ 3  2j 5  4j 2  5j ¸ ¨ 0 ¸ j 4j ¹ ©

Seite 281

(3-28)

(3-29)

Matrizenrechnung

Beispiel 3.2.2: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie. 2  j 3  4˜ j 8  2˜ j · ¨§ ¸ A  ¨ 1.5  3 ˜ j 2.5  4 ˜ j 0.5 ¸ ¨ 6  9˜ j ¸ 7 2˜ j © ¹ D

1

A

A

D

gegebene Matrix

265.5  338j

die Matrix A ist regulär

0.028  0.074i 0.014  0.063i 0.052  0.081i · ¨§ ¸ ¨ 0.019  0.037i 0.103  0.211i 0.04  0.052i ¸ ¨ 0.129  0.022i 0.129  0.042i 0.02  0.009i ¸ © ¹

§¨ 1 0 0 ¸· 1 A ˜ A ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

die zu A inverse Matrix

1 0 0· ¨§ ¸ ¨0 1 0 ¸ ¨0 0 1 ¸ © ¹

1

A˜ A

nach (3-40)

3.2.1 Konjugiert komplexe Matrix







Ersetzen wir in einer komplexen Matrix A = ai k = bi k  j ˜ ci k jedes Matrixelement ai k durch  das zugehörige konjugiert komplexe Element ai k , so erhalten wir die konjugiert komplexe Matrix   A = ai k = bi k  j ˜ ci k (3-106)

 

A=B j˜C





 Ÿ A = B  j ˜ C

(3-107)

Den Querstrich erhalten wir in Mathcad mit der Anführungszeichentaste 0 konzentrische Kreise um den Nullpunkt der x-y-Ebene mit r 2 = 2 C: 2

2

2

x  y = 2˜ C = r

Seite 409

Vektoranalysis

Abb. 4.4.7

Beispiel 4.4.4:

o Wie lautet die Darstellung des nachfolgend gegebenen Geschwindigkeitsfeldes v ( x y) in Polarkoordinaten? o o o o o 1 2 2 mit v( x y) = vx ( x y) ˜ ex  vy ( x y) ˜ ey = ˜ § y ˜ ex  x ˜ ey· x y z0 ¹ 2 2 © x y In Zylinderkoordinaten hat das Feld die Darstellung: o o o  v( r φ) = vr ( r φ) ˜ er  vφ ( r φ) ˜ eφ Die gesuchten Vektorkoordinaten lassen sich unter Verwendung von (4-60) und (4-69) wie folgt berechnen: 1 vr ( r φ) = vx ( x y) ˜ cos ( φ)  vy ( x y) ˜ sin ( φ) = ˜ ( y ˜ cos ( φ)  x ˜ sin ( φ) ) 2 2 x y 1 vr ( r φ) = ( r ˜ sin ( φ) ˜ cos ( φ)  r ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ) ) = 0 2 r 1 vφ ( r φ) = vx ( x y) ˜ sin ( φ)  vy ( x y) ˜ cos ( φ) = ˜ ( y ˜ sin ( φ)  x ˜ cos ( φ) ) 2 2 x y 1 1 vφ ( r φ) = ˜ ( r ˜ sin ( φ) ˜ sin ( φ)  r ˜ cos ( φ) ˜ cos ( φ) ) = 2 r r

wegen sin 2 (M) + cos2 (M) = 1

Damit lautet das Geschwindigkeitsfeld in Polarkoordinaten: o o 1  v( r φ) = ˜ eφ r b) Homogenes Vektorfeld:



oo Ein homogenes Vektorfeld liegt dann vor, wenn der Feldvektor F r in jedem Punkt des Feldes die gleiche Richtung und den gleichen Betrag hat:



oo  o F r = const

(4-100)

Seite 410

Vektoranalysis

Beispiel 4.4.5: Zwischen den Platten eines geladenen Plattenkondensators herrscht ein homogenes konstantes elektrisches Feld E0 in y-Richtung, das durch den nachfolgend gegebenen Feldstärkevektor beschrieben wird. Die Platten des Plattenkondensators liegen parallel zur x-z-Ebene.

§0 · o ¨ o o oo  ¸ E r = 0 ˜ ex  E0 ˜ ey  0 ˜ ez = ¨ E0 ¸



konstantes elektrisches Vektorfeld

¨ ¸ ©0 ¹

c) Axialsymmetrisches (Zylindersymmetrisches) Vektorfeld:



oo Betrachten wir einen festen Kreiszylinder um die z-Achse mit dem Radius U, dann hat F r in jedem Oberflächenpunkt die gleiche Länge und ist parallel oder antiparallel zur Flächennormalen. Im axialsymmetrischen Feld sind alle Geraden, die die z-Achse rechtwinkelig schneiden, Feldlinien (Abb. 4.4.8). o o oo  r F r = f ( ρ) ˜ o = f ( ρ) ˜ eρ r



mit ρ =

o o o o  2 2 x  y und r = x ˜ ex  y ˜ ey  0 ˜ ez

(4-101)

o  eρ ist ein axial nach außen gerichteter Einheitsvektor. Der Betrag des Feldvektors ergibt sich zu:



oo Fr

= F ( ρ) = f ( ρ)

(4-102)

Beispiel 4.4.6: In der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders besitzt das elektrische Feld Zylindersymmetrie. Bei gegebener positiver Ladungsdichte UL , Zylinderradius R und elektrischer Feldkonstante H0 gilt für den elektrischen Feldstärkevektor: 2

o ρL ˜ R o o  1  E( ρ) = f ( ρ) ˜ eρ = ˜ ˜ eρ 2 ˜ ε0 ρ

mit

ρtR

Abb. 4.4.8

Seite 411

Vektoranalysis

d) Zentralsymmetrisches (Kugelsymmetrisches oder Radiales) Vektorfeld:



oo Betrachten wir eine feste Kugel um den Koordinatenursprung mit dem Radius r, dann besitzt F r in jedem Oberflächenpunkt die gleiche Länge und ist parallel oder antiparallel zur Flächennormalen. Im zentralsymmetrischen Feld sind alle Geraden durch den Koordinatenursprung Feldlinien. o oo o r F r = f ( r) ˜ o = f ( r) ˜ er mit r = r



2

2

x y z

2

o o o o  und r = x ˜ ex  y ˜ ey  z ˜ ez

(4-103)

o er ist ein axial nach außen gerichteter Einheitsvektor. Der Betrag des Feldvektors ergibt sich zu:



oo Fr

= F ( r) = f ( r)

Beispiel 4.4.7:

(4-104)





oo oo Das elektrische Feld E r einer positiven Punktladung Q und das Gravitationsfeld F r der Erde sind klassische Beispiele für zentralsymmetrische Felder. Grafisch lassen sich solche Vektorfelder durch oo zwei-dimensionale ebene Schnitte darstellen, in denen die Flächen konstanter Feldstärke E r = const oo bzw. F r = const als Äquipotentiallinien erscheinen, an denen wir das Feld lokal durch einen Vektorpfeil charakterisieren. Das elektrische Feld in der Umgebung einer positiven Punktladung Q ist gegeben durch (H0 bedeutet die elektrische Feldkonstante):







o o E˜ r =

o o o Q r Q ˜ er = ˜ = ˜r 2 2 r 3 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r Q



o o E˜ r

=

Q 4 ˜ π ˜ ε0

˜

1 2

r

=

const 2

r

Das Gravitationsfeld der Erde ist immer zentral zum Erdmittelpunkt gerichtet. Nach dem Gravitationsgesetz von Newton wird eine Masse m im Abstand r vom Erdmittelpunkt von der Erdmasse M mit folgender Kraft angezogen (J bedeutet die Gravitationskonstante): o o o oo m˜M o m˜M r m˜M o 1 const F ˜ r = 㠘 ˜ er = 㠘 ˜ = 㠘 ˜r F r = γ˜m˜M˜ = 2 2 3 2 2 r r r r r r





Abb. 4.4.9

Abb. 4.4.10

Seite 412

Vektoranalysis

4.5 Klassische Differentialoperatoren Weitere Eigenschaften der Felder werden durch die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation charakterisiert.

4.5.1 Der Gradient eines Skalarfeldes Existieren für eine skalare Funktion f alle partiellen Ableitungen und sind diese stetig, so ist f (total) differenzierbar. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung einer differenzierbaren skalaren Funktion f ermöglichen Aussagen über die Änderung des Funktionswertes f(x,y,z), wenn wir von einem Punkt P aus in Richtung der betreffenden Koordinaten fortschreiten (siehe dazu auch Band 3, Abschnitt 3.8.2). Beim Fortschreiten um dx ändert sich f(x,y,z) um

w wx

f ( x y z ) ˜ dx. Das Entsprechende gilt auch für

die y- und die z-Richtung. Betrachten wir nun den Funktionswert von f in der Entfernung o o o o  dr = dx ˜ ex  dy ˜ ey  dz ˜ ez

(4-105)

dann ist die gesamte Änderung df(x,y,z) von f die Summe der Änderungen in den einzelnen Richtungen, also: df ( x y z ) =

w wx

f ( x y z ) ˜ dx 

w wy

f ( x y z ) ˜ dy 

w wz

f ( x y z ) ˜ dz

(4-106)

o Diesen Ausdruck nennen wir das totale Differential der Funktion f( r ) = f(x,y,z). Die diversen partiellen Ableitungen geben an, "wie empfindlich" f auf Änderungen der entsprechenden Variablen reagiert, und das totale Differential kombiniert diese Information für den Fall, dass sich alle Variablen ändern. o Der Ausdruck df(x,y,z) in Gleichung (4-106) hängt linear von dr ab. Wir können ihn daher als Skalarprodukt auffassen: w wx

f ˜ dx 

w wy

f ˜ dy 

w wz

f ˜ dz =

o o o  o· §w o w o w  ¨ f ˜ ex  f ˜ ey  f ˜ ez¸ ˜ §© dx ˜ ex  dy ˜ ey  dz ˜ ez·¹ wy wz © wx ¹

Den Ausdruck in der ersten Klammer bezeichnen wir dabei als den Gradienten des Skalarfeldes f in kartesischen Koordinaten:

· §w ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨ ¸ o o o  w w w w grad ( f) = f ( x y z ) ˜ ex  f ( x y z ) ˜ ey  f ( x y z ) ˜ ez = ¨ f ( x y z ) ¸ wx wy wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

(4-107)

Unter dem Gradienten eines differenzierbaren Skalarfeldes f verstehen wir also den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von f gebildeten Vektor. Bei einem ebenen Skalarfeld f(x,y) reduziert sich der Gradient des Feldes f auf zwei Komponenten. Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator.

Seite 413

Vektoranalysis

Das totale Differential df(x,y,z) von (4-106) kann dann in folgender Form geschrieben werden: o df ( x y z ) = grad ( f) ˜ dr

(4-108)

o Das ist also die Änderung von f in Richtung dr, und wir nennen die rechte Seite deshalb auch die o o Richtungsableitung von f an der Stelle r in Richtung dr. Betrachten wir zunächst nur ein ebenes Skalarfeld f(x,y), so steht der Gradient eines solchen Feldes in jedem Punkt P senkrecht auf der durch P verlaufenden Niveaulinie von f(x,y) (Abb. 4.5.1). Auf einer Niveaulinie ist wegen f(x,y) = const. stets df(x,y) = 0. Somit ist das Skalarprodukt o grad ( f) ˜ dr = 0 .

(4-109)

Dies ist aber nur möglich, wenn die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Gradient zeigt also immer in die Richtung des größten Zuwachses von f(x,y). Der Betrag des Gradienten ist daher ein Maß für die Änderung des Skalarfeldes senkrecht zu den Niveaulinien. Entsprechende Aussagen gelten auch für ein räumliches Skalarfeld f(x,y,z). Die Gleichung (4-109) besagt, dass der Vektor grad ( f) auf allen beliebigen Änderungen, die in der Fläche f(x,y,z) = const. liegen, gemäß Abb. 4.5.2 senkrecht steht, d. h., dass er die Richtung der Flächennormalen (Niveauflächen) o  haben muss. Es gilt also, dass der Vektor grad ( f) parallel zum Normaleneinheitsvektor n0 steht und ferner gilt o o  df = grad ( f) ˜ dr = grad ( f) ˜ dr ˜ n0 , (4-110) woraus die Änderung der Funktion f für diejenige Richtung ihren größten Wert haben wird, für die o dr parallel zu grad ( f) verläuft. Der Vektor grad ( f) weist somit normal zur Fläche in Richtung des stärksten Anstieges der Funktion f(x,y,z).

Abb. 4.5.1

Abb. 4.5.2

Seite 414

Vektoranalysis

Um eine einheitliche Schreibweise der Differentialoperatoren Gradient, Divergenz und Rotation zu erhalten, führen wir noch den Nabla-Operator, benannt nach der Dreiecksform eines althebräisches Harfeninstruments, ein (siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator):

§w ¨ ¨ wx o ¨w ∇=¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ ¸ §w · o §w · o §w ·  o ¸ = ¨ ¸ ˜ ex  ¨ ¸ ˜ ey  ¨ ¸ ˜ ez ©wy ¹ ©wz ¹ ¸ ©wx ¹ ¸ ¸ ¹

(4-111)

Damit können wir den Gradienten in kartesischer Form schreiben:

· §w ¨ f ( x y z) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ o ∇ f ( x y z ) = ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z ) ¸ © wz ¹

(4-112)

In Zylinderkoordinaten gilt: o    o 1 w o w o w f ( ρ φ z ) ˜ eϕ  f ( ρ φ z ) ˜ ez ∇ f ( ρ φ z ) = f ( ρ φ z ) ˜ eρ  ˜ ρ wφ wρ wz In Kugelkoordinanten gilt:

(4-113)

o o o o 1 w   1 w w ˜ ∇ f ( r ϑ φ) = f ( r ϑ φ) ˜ er  ˜ f ( r ϑ φ) ˜ eϑ  f ( r ϑ φ) ˜ eϕ (4-114) r wϑ r ˜ sin ( ϑ) wφ wr Der Gradient ist eine Form der Ableitung, daher gelten für die Gradientenbildung die üblichen o Ableitungsregeln, sofern sie sinnvoll übertragbar sind. Insbesonders gilt für konstante Vektoren a :

 o oo ªo o 2º grad ¬ a ˜ r ¼ = 2 ˜ a ˜  a ˜ r n n2 o grad  r = n ˜ r ˜r oo o grad a ˜ r = a

(4-115) (4-116)

(4-117) o r § 1· grad ¨ ¸ =  (4-118) 3 ©r¹ r Sind f1 und f 2 skalare Felder und c eine Konstante, dann gelten noch folgende Ableitungsregeln:

  



  

grad c ˜ f1 = c ˜ grad f1 grad f1  f2 = grad f1  grad f2 grad f1 ˜ f2 = f1 ˜ grad f2  f2 ˜ grad f1







(4-119) (4-120)



Seite 415

(4-121)

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.1: oo oo Es sei f ( x y z ) = n ˜ r . Aus der analytischen Geometrie wissen wir, dass n ˜ r = nx ˜ x  ny ˜ y  nz ˜ z = d die Gleichung einer Ebene ist. Die Niveauflächen des skalaren Feldes f sind also parallele Ebenen mit dem o Normalenvektor n. Wie lautet der Gradient des Feldes f? Nach (4-115) gilt:



oo o grad n ˜ r = n

Der Gradient dieses Feldes ist also der Normalenvektor der Ebenen.

Beispiel 4.5.2:



o2 2 2 2 Es sei f ( x y z ) = r = x  y  z . Für jeden festen Wert f ( x y z ) = c ergibt sich eine Kugel als Niveaufläche mit dem Radius

c. Wie lautet der Gradient dieses Feldes?

Nach (4-117) gilt:



o o o o  ªo 2º grad ¬ r ¼ = 2 ˜ r = 2 ˜ x ˜ ex  2 ˜ y ˜ ey  2 ˜ z ˜ ez Beispiel 4.5.3:





o o2 o Ein skalares Feld sei gegeben durch f ( x y z ) = a u r mit einem konstanten Vektor a. Die Niveauflächen o o o o o f ( x y z ) = const sind hier Zylinder mit einer gemeinsamen Achse a, denn a u r ist ein Vektor, der auf a und r







o o2 o o 2 2 2 2 senkrecht steht. Nun ist aber a u r = au r = ( a ˜ r ˜ sin ( φ) ) = a ˜ ( r ˜ sin ( φ) ) . r ˜ sin ( φ) = ρ ist aber, wie wir in Abb. 4.5.3 sehen, der Abstand von der Achse. Wie lautet der Gradient des skalaren Feldes?

Der Gradient berechnet sich wie folgt ((4-116), (4-119)):

Abb. 4.5.3

 o o o grad ( f) = 2 ˜ a u  a u r



o o ª 2 2 o o 2º 2 o grad ( f) = grad ¬a ˜ r  a ˜ r ¼ = 2 ˜ a ˜ r  2 ˜ a ˜ a ˜ r

Beispiel 4.5.4: Ein scheibenförmiger Körper mit dem Radius R, dem Trägheitsmoment Tund dem Torsionsmodul G hängt an einem zylindrischen Draht der Länge L und schwingt (Abb. 4.5.4) um dessen Achse. Bestimmen Sie aus der nachfolgend gegebenen Schwingungsdauer T den Gradienten der skalaren Funktion T.

T ( θ G L R) =

2˜ π˜

L˜ θ 2

R ˜

Schwingungsdauer

G

Seite 416

Vektoranalysis

Abb. 4.5.4

grad ( T ( θ G L R) ) =

§ · L ¨ ¸ ¨ 2 ˜ R2 ˜ θ ˜ G ¸ ¨ ¸ § θ 1 · L˜ θ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 2 1 ¸ 2˜ R ˜ G˜ G ¸ G ¨ ¨ ¸ 2˜ π˜ = T ( θ G L R) ˜ ¨ ¸ ¨ 1 ¸ θ ¨ ¸ ¨ L ¸ ¨ ¨ 2 ˜ R2 ˜ L ˜ G ¸ 1¸ © 4 ˜ R ¹ ¨ ¸ ¨ 2 ˜ L ˜ θ ¸ ¨ ¸ 3 R ˜ G © ¹

Beispiel 4.5.5: Gegeben ist das skalare Feld f(x,y) = x2 + y2 . Stellen Sie dieses skalare Feld und für f(x,y) = const = c die zugehörigen Niveaulinien (Höhenlinien) grafisch dar. 2

2

f ( x y)  x  y

skalares Feld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, nummeriert, Automatische Skalierung QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Diagramm 2: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Spezial: Füllen, Linien zeichnen

f f Abb. 4.5.5

Seite 417

Vektoranalysis

Umrisslinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: keine Füllung, Umrisslinien QuickPlot-Daten: Beginn -5, Ende 5, Schrittweite 25 Spezial: Linien zeichnen, Automatische Umrisse, nummeriert

Abb. 4.5.6

f Beispiel 4.5.6:

Für das nachfolgend gegebene skalare Feld sollen die zugehörigen Niveaulinien dargestellt werden 3

f ( x y) 

2

2

y ˜ x y

2

f1 ( x y)  wenn ( f ( x y)  1 f ( x y) 0) I  99

K  99

i  1  I  1

k  1  K  1

K · 2 § ·º ª2 § I Ni k  f1 « ˜ ¨ i   1¸  ˜ ¨ k   1¸» 2 ¬I © 2 ¹ K © ¹¼

skalares Feld Mit der Konstante (hier 1) kann der darzustellende Bereich geändert werden.

Bereichsvariable

Matrix zur Darstellung des Umrissdiagramms

Niveaulinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe Spezial: Füllen, Linien zeichnen, Automatische Umrisse, nummeriert

Abb. 4.5.7 N

Seite 418

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.7: Gegeben ist das nachfolgend angeführte skalare Feld (radialsymmetrische Schwingung). Zu diesem Feld soll das zugehörige Gradientenfeld (Vektorfeld) berechnet werden. Das skalare Feld, die zugehörigen Niveaulinien und das Gradientenfeld sollen grafisch veranschaulicht werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x x

Redefinitionen

y y

§

2·

2

f ( x y)  cos © x  y

¹

skalares Feld (radialsymmetrische Schwingung)

§ x sin § x2 2· y ¹ ¨ ˜ © ¨ 2 2 x y ¨ ∇2 ( f x y) o ¨ § 2 2· ¨  y ˜ sin © x  y ¹ ¨ 2 2 x y ©

· §w ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ ∇2 ( f x y)  ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld, das in die Richtung der größten Änderung von f zeigt.

Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, Nabla-Operator.

nx  31

ny  31

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  nx  1

k  0  ny  1

xmin  2 ˜ π

xmax  2 ˜ π

ymin  2 ˜ π

ymax  2 ˜ π



minimale und maximale x- und y-Werte

i xi  xmin  ˜ xmax  xmin nx  1



k

Bereichsvariablen



yk  ymin  ˜ ymax  ymin ny  1



Koordinatenvektoren





Fi k  f xi yk

Wertematrix des skalaren Feldes





N  ErstellenGitter f xmin xmax ymin ymax nx ny





GRADi k  ∇2 f xi yk fx  i k

GRADi k 0

fy  i k

Wertematrix für die Niveaulinien des skalaren Feldes (erstellt mithilfe der Funktion "ErstellenGitter")

Wertematrix des Gradientenfeldes

GRADi k 1

Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Seite 419

Vektoranalysis

Skalares Feld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, nummeriert, Automatische Skalierung

Abb. 4.5.8 F

Niveaulinien Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Umrissdiagramm Darstellung: Umrisse füllen, Umrisslinien, Volltonfarbe Spezial: Füllen, Linien zeichnen

Abb. 4.5.9 N

Vektorfeld-Diagramm Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe Die Pfeile veranschaulichen den Verlauf der Feldlinien.

fx fy

Abb. 4.5.10

Seite 420

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.8: Gegeben ist das nachfolgend angeführte skalare Feld (Schwingung). Zu diesem Feld soll das zugehörige Gradientenfeld (Vektorfeld) berechnet werden. Das skalare Feld und das Gradientenfeld sollen grafisch veranschaulicht werden. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x x

Redefinitionen

y y

f ( x y)  sin ( x) ˜ cos ( y)

skalares Feld (Schwingung)

· §w ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ ∇2 ( f x y)  ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

Der Gradient wird hier mit dem NablaOperator definiert.

∇2 ( f x y) o

§ cos ( x) ˜ cos ( y) · ¨ ¸ © sin ( x) ˜ sin ( y) ¹

∇x y f ( x y) o

n  41

§ cos ( x) ˜ cos ( y) · ¨ ¸ © sin ( x) ˜ sin ( y) ¹

Der Gradient eines skalaren Feldes ist ein Vektorfeld, das in die Richtung der größten Änderung von f zeigt. Siehe dazu Band 1, Einführung in Mathcad, NablaOperator.

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

k  0  n  1

xmin  2 ˜ π

xmax  2 ˜ π

ymin  2 ˜ π

ymax  2 ˜ π

Bereichsvariablen

minimale und maximale x- und y-Werte



i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1 k





yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1



Koordinatenvektoren





Fi k  f xi yk

Wertematrix des skalaren Feldes





GRADi k  ∇2 f xi yk fx  i k

GRADi k 0

fy  i k

Wertematrix des Gradientenfeldes

GRADi k 1

Die Komponenten fx und fy des Gradientenfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Seite 421

Vektoranalysis

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Nummeriert, Automatische Skalierung Diagramm 2: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe



Abb. 4.5.11



F  fx fy

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Pfeile füllen, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Abb. 4.5.12

fx fy Beispiel 4.5.9: Die Anziehungskraft einer Masse M, die sich im Ursprung O(0|0|0) befindet, auf eine Masse m im Punkt P(x|y|z) o lässt sich durch ein Vektorfeld F, das Gravitationsfeld (newtonsches Gravitationsgesetz), beschreiben. Leiten Sie aus dem nachfolgend gegebenen Gravitationspotential V(r) das Gravitationsfeld aus der Beziehung o F = grad ( V ( r) ) her. J bedeutet die Gravitationskonstante.

V ( r) = 㠘

m˜M

Gravitationspotential

r

Seite 422

Vektoranalysis

1 §¨ w ¨ wx x2  y2  z2 ¨ ¨w 1 o F r = γ˜m˜M˜¨ 2 2 2 wy x y z ¨ ¨ 1 ¨w ¨ wz x2  y2  z 2 ©



¸· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

x ª « « « 2 2 2 « x y z « y « = 㠘 m ˜ M ˜ « « 2 2 2 « x y z « z « « « 2 2 2 ¬ x y z

  

o o m˜M o m˜M r m˜M o F r = 㠘 ˜ r = 㠘 ˜ = 㠘 ˜ er 3 2 2 r r r r



3

2 3



2

º » » » » » » m˜M » = 㠘 » » 2 2 2 x y z » » » » ¼



3

2

3

2

§¨ x ¸· ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

Gravitationsgesetz von Newton (Zentralfeld)

Dieses Gravitationsfeld ist ein Gradientenfeld (Potentialfeld)! Die Herleitung stimmt mit der Ableitungsregel (4-118) überein! o Wie schon ausgeführt wurde, kann eine Fläche im Raum in vektorieller Form r ( u v) oder aber auch in expliziter Form z = f(x,y) dargestellt werden. Eine Fläche im Raum kann aber auch durch eine implizite Gleichung der Form F(x,y,z) = 0 beschrieben werden. Eine solche Fläche kann aber dann als eine spezielle Niveaufläche eines skalaren Feldes f der Form f ( x y z ) = F ( x y z ) = const = c

(4-122)

betrachtet werden. Weil aber der Gradient des skalaren Feldes f(x,y,z) = F(x,y,z) stets senkrecht auf den Niveauflächen steht, verläuft er auch senkrecht zu der Fläche F(x,y,z) = 0 und ist somit ein Normalvektor dieser Fläche. o  Die im Flächenpunkt P(x |y |z ) mit dem Ortsvektor r0 errichtete Tangentialebene lässt sich dann in 0 0 0 der Form o o grad F x0 y0 z 0 ˜ § r  r0· = 0 © ¹





(4-123)

o darstellen, wobei r der Ortsvektor eines beliebigen Punktes Q(x|y|z) der Tangentialebene ist (siehe dazu auch Abb. 4.2.1). Hier sind nach der Gradientenbildung die Koordinaten des Punktes P einzusetzen.

Beispiel 4.5.10: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P(1|1|15) auf der Fläche mit der Gleichung (x - 1)2 + (y - 1)2 + z = 15 (F(x,y,z) = c). Die Gleichung der Fläche ist eine spezielle Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + z. 2

2

f ( x y z )  ( x  1)  ( y  1)  z

Seite 423

Vektoranalysis

x x

y y

z z

Redefinitionen

x0  1

y0  1

z 0  15

Koordinaten des Punktes P

d

fx ( x y z ) 

f ( x y z )

fx ( x y z ) o 2 ˜ x  2

f ( x y z )

fy ( x y z ) o 2 ˜ y  2

f ( x y z )

fz ( x y z ) o 1

0

fy x0 y0 z 0

dx d

fy ( x y z ) 

dy d

fz ( x y z ) 

dz









fx x0 y0 z 0











Komponenten des Gradienten









fz x0 y0 z 0

0





fx x0 y0 z 0 ˜ x  x0  fy x0 y0 z 0 ˜ y  y0  fz x0 y0 z 0 ˜ z  z 0 = 0

1

Tangentialebene im Punkt P

Damit lautet die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt P: z = z 0 = 15 2

f ( x y)  15  ( x  1)  ( y  1)

2

Funktion für die räumliche Fläche





x0  1

y0  1

m  25

n  25

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  m  1

k  0  n  1

Bereichsvariablen

§ ©

xi  wenn ¨ x0 = 0 

2˜ i m1

z 0  f x0 y0

 1 

2˜ i m1

x-y-z-Koordinaten für den Punkt P der Fläche

· ¹

˜ x0¸ Koordinatenvektoren für die Fläche

2˜ k 2˜ k · § yk  wenn ¨ y0 = 0   1  ˜ y0¸ n  1 n  1 © ¹ 5 1 i 1 i · § xt  wenn ¨ x0 = 0    ˜ x0  ˜ ˜ x0¸ i 3 3 m  1 3 m  1 © ¹ 5 1 k 1 k · § yt  wenn ¨ y0 = 0    ˜ y0  ˜ ˜ y0¸ k 3 n1 3 n1 3 © ¹

T ( x y) 

§w · ¨ f  x0 y0 ¸ ˜  x  x0  ©wx0 ¹

§w · ¨ f  x0 y0 ¸ ˜  y  y0  z0 © wy0 ¹

Seite 424

Koordinatenvektoren für die Tangentialfläche

Gleichung der Tangentialebene

Vektoranalysis

X1i k  xi

Y1i k  yk

 xt i k i

 yt i k k

Xt

Yt



F1i k  f xi yk



Matrizen zur Flächendarstellung

 T § xt yt · i k i k

Zt

©

¹

Matrizen zur Darstellung der Tangentialebene im Punkt P

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Farbschema, Drahtmodell, Volltonfarbe Achsen: automatische Gitterwerte, Beschriftung nummeriert, Automatische Skalierung Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Fläche füllen, Volltonfarbe, Linienoptionen: Drahtmodell, Volltonfarbe



Abb. 4.5.13



( X1 Y1 F1)  Xt Yt Zt

4.5.2 Die Divergenz eines Vektorfeldes Wir betrachten in einer strömenden Flüssigkeit, die durch ein Geschwindigkeitsfeld o T v = vx vy vz beschrieben wird, ein abgegrenztes Volumenelement dV = dx dy dz.





Durch die in Abb. 4.5.14 hintere differentielle Fläche dz dy tritt näherungsweise die eintretende Flüssigkeitsmenge vx ˜ dz ˜ dy (4-124) und durch die dazu im Abstand dx parallele Fläche dz dy tritt diese Flüssigkeitsmenge

· § w ¨ vx  vx ˜ dx¸ ˜ dz ˜ dy wx © ¹

(4-125)

wieder aus. Als Differenz zwischen abgeflossener und zugeflossener Menge ergibt sich somit

· § w w ¨ vx  vx ˜ dx¸ ˜ dz ˜ dy  vx ˜ dz ˜ dy = vx ˜ dx ˜ dy ˜ dz wx wx © ¹

(4-126)

und analog für die übrigen Flächenpaare

· § w w ¨ vy  vy ˜ dy¸ ˜ dx ˜ dz  vy ˜ dx ˜ dz = vy ˜ dx ˜ dy ˜ dz wy wy © ¹ § · w w ¨ vz  vz ˜ dz¸ ˜ dx ˜ dy  vz ˜ dx ˜ dy = vz ˜ dx ˜ dy ˜ dz wz wz © ¹

Seite 425

(4-127) (4-128)

Vektoranalysis

Durch Addition der einzelnen Beiträge in x-, y- und z-Richtung ergibt sich somit aus dem Grenzwert der "Volumengewinn" an Flüssigkeit pro Volumen dV = dx dy dz und Zeiteinheit: lim Vo0

1 ª · º §w w w ˜ ¨ vx  vy  vz ¸ ˜ dx ˜ dy ˜ dz» « wy wz ¹ ¬ dx ˜ dy ˜ dz © wx ¼

(4-129)

Der Grenzwert ist hier aber unabhängig von der Gestalt des Volumens. Er existiert, wenn die partiellen Ableitungen existieren. Wir erhalten als Ergebnis eine skalare Größe, die Divergenz ("Quellstärke" oder o "Quellstärke pro Volumenelement") des Geschwindigkeitsfeldes v ( x y z ) genannt wird.



o o w w w div v = div ª¬v ( x y z )º¼ = vx ( x y z )  vy ( x y z )  vz ( x y z ) wx wy wz

(4-130)

Bei einem ebenen Vektorfeld reduziert sich die Divergenz auf zwei Summanden! Im Volumenelement dV wird somit in der Zeiteinheit das Flüssigkeitsvolumen



o · §w w w div v ˜ dV = ¨ vx  vy  vz ¸ ˜ dV wy wz ¹ ©wx

(4-131)

"erzeugt" oder "vernichtet". o Die skalare Größe div v lässt sich daher wie folgt anschaulich deuten (Abb. 4.5.15): o div v ! 0: Im Volumenelement befindet sich eine "Quelle". o div v  0: Im Volumenelement befindet sich eine "Senke". o div v = 0: Im Volumenelement befindet sich weder eine "Quelle" noch eine "Senke", d. h., das Vektorfeld ist an dieser Stelle "quellenfrei" (bei FlüssigkeitenvVolumentreu, inkompressibel).

  



Quellenfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse, Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters usw.

Abb. 4.5.14

Abb. 4.5.15

Seite 426

Vektoranalysis

o o o Die Divergenz eines Vektorfeldes ( v , F , E usw.) lässt sich formal als skalares Produkt aus NablOperator (4-111) und Feldvektor darstellen:

§w ¨ ¨ wx o o ¨w ∇˜v = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ § vx( x y z) · ¸ ¸ ¨ w w w ¨ ¸ ˜ vy( x y z) ¸ = vx( x y z)  vy( x y z)  vz ( x y z) ¨ ¸ wx wy wz ¸ ¨ ¸ v ( x  y  z ) ¸ © z ¹ ¸ ¹

(4-132)

In Zylinderkoordinaten gilt: o o 1 w 1 w w ρ ˜ vρ  ˜ vϕ  vz ∇ ˜ v ( ρ φ z ) = ˜ ρ wρ ρ wφ wz





(4-133)

In Kugelkoordinanten gilt: oo 1 w§2 1 1 w w r ˜ vr·  vϑ ˜ sin ( ϑ)  v ∇ ˜ v ( r ϑ φ) = ˜ ˜ ˜ ¹ r ˜ sin ( ϑ) wϑ 2 wr © r ˜ sin ( ϑ) wφ φ r





(4-134)

o o o Für die Divergenzbildung gelten folgende Rechenregeln, wenn r , A und B differenzierbare o Vektorfelder, f ein differenzierbares Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine reelle Konstante sind:



o div r = 3

(4-135)





(4-136)





(4-137)

o div a = 0

(4-138)

n o n 2 o o n n div r ˜ r = n ˜ r ˜ r ˜ r  3 ˜ r = ( n  3) ˜ r

o o div a u r = 0







o o div c ˜ A = c ˜ div A













(4-139)

o o o div A  a = div A

(4-140)



o o o o div A  B = div A  div B



(4-141)



o o o div f ˜ A = grad ( f) ˜ A  f ˜ div A

(4-142)

Seite 427

Vektoranalysis

Ein zylindersymmetrisches oder axialsymmetrisches Vektorfeld ist vom Typ o o o  ρ F = f ( ρ) ˜ eρ = f ( ρ) ˜ ρ

(4-143)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fρ = f ( ρ) Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-144)

Für die Divergenz des Vektorfeldes gilt nach (4-133) folgender Ausdruck:



o 1 w 1 w div F = ˜ ρ ˜ Fρ = ˜ ( ρ ˜ f ( ρ) ) ρ wρ ρ wρ





(4-145)

Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) ist vom Typ o o o r F = f ( r) ˜ er = f ( r) ˜ r

(4-146)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fr = f ( r), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-147)

Für die Divergenz des Vektorfeldes gilt nach (4-134) folgender Ausdruck:





o 1 w§2 1 w 2 ˜ ˜ div F = r ˜ Fr· = r ˜ f ( r) ¹ 2 wr © 2 r r wr



(4-148)

Beispiel 4.5.11: Wie lautet die Divergenz des nachfolgend gegebenen Vektorfeldes im Punkt P(1|2|3)? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ x˜ y · ¨ ¸ v ( x y z )  ¨ x ˜ z ¸ ¨ 2 2¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

∇3 ( D x y z ) 

w wx

D ( x y z ) 1 

2

w wy

D ( x y z ) 2 

w wz

D ( x y z ) 3

Definition der Divergenz mithilfe des Nabla-Operators.

∇3 ( v x y z ) o 2 ˜ y ˜ z ˜ x  y

Die Divergenz des Vektorfeldes ist ein skalares Feld!

∇3 ( v 1 2 3)

Divergenz im Punkt P

14

Seite 428

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.12: o Bei einer Kugel mit konstanter Ladung Q herrscht im Inneren der Kugel die nachfolgend gegebene Feldstärke E (Kugelradius R und elektrische Feldkonstante H0 ). Bestimmen Sie die Divergenz dieses kugelsymmetrischen Vektorfeldes.

§¨ x ¸· E ( x y z ) = ˜r= ˜ ¨y ¸ 3 3 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R ¨ z ¸ © ¹ Q

Q

Q

div ( E ( x y z ) ) =

3

elektrische Feldstärke im Inneren der Kugel ( r d R )

˜ div ( r)

gilt nach (4-139)

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R div ( r) =

w wx

x

w wy

y

w wz

z =11 1=3

Divergenz eines Ortsvektors im Raum

Wenn ein Ortsvektor nur eine Radialkomponente besitzt, erhalten wir nach (4-148) das gleiche Ergebnis:





div ( r) = div r ˜ er =

1

˜

w

2 wr

r2 ˜ r =

r

div ( E ( x y z ) ) =

3˜ Q 3

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ R

=

2

w 3 3˜ r =3 r = 2 2 wr r r 1

˜

Q 4

= 3

˜ π ˜ R ˜ ε0 3

ρel ε0

Divergenz des elektrischen Feldes (Uel bedeutet die Ladungsdichte)

Es gilt: div ( E ( x y z ) ) ! 0. Dies bedeutet, dass jeder Punkt im Inneren der geladenen Kugel eine Quelle des elektrischen Feldes ist. Beispiel 4.5.13: Zwei Kugelelektroden sind im Abstand d voneinander auf der x-Achse angeordnet (Abb. 4.5.16). Stellen Sie das elektrische Feld zwischen den beiden Kugelelektroden dar.

Abb. 4.5.16

Seite 429

Vektoranalysis

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

ε 0  8.854 ˜ 10 Q1  10

2

Q2  10

 12

˜

F

elektrische Feldkonstante

m

˜C

2

gewählte Ladung

˜C

gewählte Ladung

d  0.2 ˜ m

Abstand der Ladungen auf der x-Achse

Das gesamte elektrische Feld ergibt sich aus der Überlagerung der beiden Einzelfelder am Ort P(x|y):

ª« Q1 ˜ x « « « x2  y2 1 E ( x y)  ˜« 4 ˜ π ˜ ε 0 « Q1 ˜ y « « « x2  y2 ¬



3

2





3

Q2 ˜ ( x  d)



3

ª¬( x  d) 2  y2º¼ Q2 ˜ y



2

2

3

ª¬( x  d) 2  y2º¼

n  20

2

º» » » » » » » » » ¼ Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

k  0  n  1

Bereichsvariablen

xmin  1 ˜ d

xmax  2 ˜ d

ymin  0.5 ˜ d

ymax  0.5 ˜ d

minimale und maximale x- und y-Werte



i x1 i  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k



y1k  ymin  ˜ ymax  ymin n 1 Ex

i k





 E x1 i y1k 0

Ey

i k

Koordinatenvektoren





 E x1 i y1k 1

Die Komponenten Ex und Ey des elektrischen Feldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Ex Enorm_x

i k



i k

2 2 § Ex ·  § Ey · i  k i  k © ¹ © ¹

Ey Enorm_y

Seite 430

i k



i k

2 2 § Ex ·  § Ey · i  k i  k © ¹ © ¹

normalisiertes elektrisches Feld

Vektoranalysis

Normalisiertes Feld in der x-y-Ebene

+

-

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Positive Ladungen (+) wirken als Quelle, negative Ladungen (-) als Senken für das elektrische Feld. Die Feldlinien zeigen vom positiven Pol weg und hin zum negativen Pol.

Enorm_x Enorm_y

Abb. 4.5.17

4.5.3 Die Rotation eines Vektorfeldes Wir betrachten eine strömende Flüssigkeit, die sich durch ein Rohr mit dem Radius r bewegt. Ordnen wir jedem Punkt der Flüssigkeit den zugehörigen Geschwindigkeitsvektor zu, dann erhalten wir, wie auch schon im letzten Abschnitt angegeben, das vektorielle Geschwindigkeitsfeld o T v = vx vy vz der Flüssigkeit.





Die Strömungsgeschwindigkeit ist in der Mitte des Rohres am größten, nimmt jedoch, durch Reibungskräfte bedingt, zur Rohrwand hin ab (Abb. 4.5.18). Kleine in die Strömung gebrachte Kugeln rotieren in Wandnähe infolge des Geschwindigkeitsgefälles um ihre Achsen und erlauben somit einen anschaulichen Einblick in die Bewegung der dortigen Wasserteilchen. Diese Rotation lässt sich nun durch einen Vektor mit der Bezeichnung "Rotation des Geschwindigkeitsfeldes" beschreiben.

Abb. 4.5.18

Seite 431

Vektoranalysis

Allgemein definieren wir die Rotation eines Vektorfeldes wie folgt: Unter der Rotation eines Vektorfeldes

§¨ vx ( x y z ) o v ( x y z ) = ¨ vy ( x y z )

¸· ¸ ¨ ¸ ¨© vz ( x y z) ¸¹

(4-149)

verstehen wir das Vektorfeld



o o §w · o §w · o §w w w w ·  rot v = ¨ vz  vy¸ ˜ ex  ¨ vx  vz ¸ ˜ ey  ¨ vy  vx¸ ˜ ez wz ¹ wx ¹ wy ¹ ©wy © wz ©wx

(4-150)

§w · w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy ¨w ¸ o w rot v = ¨ vx  vz ¸ wx ¸ ¨ wz ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

(4-151)



Bei einem ebenen Vektorfeld

§¨ vx( x y) ¸· o v ( x y) = ¨ vy( x y) ¸ © ¹

(4-152)

verschwindet sowohl die x-Komponente als auch die y-Komponente. Es gilt dann



o o §w w ·  rot v = ¨ vy  vx¸ ˜ ez wy ¹ ©wx

(4-153)

Die Rotation an einem Punkt ist definiert, wenn das Vektorfeld dort endlich, eindeutig und differenzierbar ist. oo o Die Rotation eines Vektorfeldes ( v , F, E usw.) lässt sich formal als Vektorprodukt aus Nabla-Operator (4-111) und Feldvektor darstellen:

§w ¨ ¨ wx o o ¨w ∇u v = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

· ¸ ¸ ¸ ¸u ¸ ¸ ¸ ¹

§¨ vx( x y z) ¸· ¨ v ( x y z) ¸ ¨ y ¸ ¨© vz ( x y z ) ¸¹

§w · w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy ¨w ¸ w = ¨ vx  vz ¸ wx ¸ ¨ wz ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

Seite 432

(4-154)

Vektoranalysis

Mithilfe der Determinantenauswertung nach (3-31) besteht eine weitere Berechnungsmöglichkeit der Rotation: o



o o §e e e y z ¨ x ¨ o w w rot v = ¨ w ¨ wx wy wz ¨v © x vy vz



· ¸ ¸ §w o · o §w · o §w w w w ·  ¸ = ¨ vz  vy¸ ˜ ex  ¨ vx  vz ¸ ˜ ey  ¨ vy  vx¸ ˜ ez wz ¹ wx ¹ wy ¹ © wz ©wx ¸ ©wy ¸ ¹ (4-155)

In Zylinderkoordinaten gilt: o §1 w ·  w ¨ ˜ vz  vϕ ¸ ˜ eρ  wz ¹ © ρ wφ o §w ·  w  ¨ vρ  vz ¸ ˜ eφ  wρ ¹ © wz o 1 ªw º  w vρ» ˜ ez  ˜ «  ρ ˜ vφ  ρ ¬wρ wφ ¼

o rot ª¬v ( ρ φ z )º¼ =

(4-156)

In Kugelkoordinaten gilt o rot ª¬v ( r ϑ φ)º¼ =

ª 1 ºº o ªw w ˜ «  sin ( ϑ) ˜ vϕ  vϑ»» ˜ er  « wφ ¼¼ ¬ r ˜ sin ( ϑ) ¬wϑ o 1 w º  ª 1 w vr  ˜  r ˜ vφ » ˜ eϑ  « ˜ r wr ¬ r ˜ sin ( ϑ) wφ ¼ o 1 1 ª w w º   « ˜  r ˜ vϑ  ˜ vr» ˜ eφ r wϑ ¼ ¬ r wr

(4-157)

o o o Für die Rotationsbildung gelten folgende Rechenregeln, wenn r , A und B differenzierbare Vektorfelder, o f ein differenzierbares Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine reelle Konstante sind:



o o rot r = 0

(4-158)





(4-159)





(4-160)

o o rot a = 0

(4-161)

n o o rot r ˜ r = 0

o o o rot a u r = 2 ˜ a







o o rot c ˜ A = c ˜ rot A





(4-162)



o o o rot A  a = rot A

(4-163)

Seite 433

Vektoranalysis









o o o o rot A  B = rot A  rot B



(4-164)



o o o rot f ˜ A = grad ( f) ˜ A  f ˜ rot A

(4-165)

o Die Rotation erzeugt ein vektorielles Feld, das als Wirbelfeld des Vektorfeldes v bezeichnet wird. o o o Ein Vektorfeld v heißt in einem Bereich rotations- oder wirbelfrei, wenn dort überall rot v = 0 gilt.



Wirbelfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: Homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), zylinder- oder axialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld in der Umgebung eines geladenen Zylinders), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse) usw. Ein zylindersymmetrisches oder axialsymmetrisches Vektorfeld ist vom Typ o o o  ρ F = f ( ρ) ˜ eρ = f ( ρ) ˜ ρ

(U > 0)

(4-166)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fρ = f ( ρ), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-167)

Für die Rotation des Vektorfeldes gilt nach (4-154) folgender Ausdruck:



o o o  rot F = rot § f ( ρ) ˜ eρ· = 0 (alle partiellen Ableitungen verschwinden)

©

¹

(4-168)

Ein kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) ist vom Typ o o o r F = f ( r) ˜ er = f ( r) ˜ r

(r > 0)

(4-169)

Dieses Feld besitzt nur eine skalare Vektorkomponente in radialer Richtung: Fr = f ( r), Fϑ = 0, Fφ = 0

(4-170)

Für die Rotation des Vektorfeldes gilt nach (4-155) folgender Ausdruck:



o o o rot F = rot § f ( r) ˜ er· = 0 (alle partiellen Ableitungen verschwinden)

©

¹

Seite 434

(4-171)

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.14: Das Geschwindigkeitsfeld der laminaren Rohrströmung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit konstanter Dichte in einem zylindrischen Rohr vom Radius r ist durch das nachfolgend angegebene Vektorfeld gegeben. Wie lautet die Rotation dieses Feldes? Wie lautet die Rotation im Punkt P 1 (1| 0 | 0) und P2 (-1| 0 | 0). Stellen Sie das Geschwindigkeitsfeld grafisch dar. 0 § · ¨ ¸ v ( x y z ) = c ˜ ¨ r2  x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

2

2

2

x y dr

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

· §w w ¨ vz  vy ¸ wz ¸ ¨ wy 0 · ¨w ¸ §¨ ¸ w rot ( v ( x y z ) ) = ¨ vx  vz ¸ = ¨ 0 ¸ wx ¸ ¨ ¨ wz ¸ © 2 ˜ x ¹ ¨w ¸ w ¨ vy  vx ¸ wy ¹ © wx

Der Rotationsvektor steht zur x-y-Ebene senkrecht

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

c 1

r

8

gewählte Konstante und gewählter Radius

0 § · ¨ ¸ v ( x y z )  c ˜ ¨ r2  x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

Geschwindigkeitsfeld

· §w w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w rot3 ( R x y z )  ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

§¨ 0 ·¸ rot3 ( v x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨ 2 ˜ x ¸ © ¹

Auswertung mit Mathcad. Das Geschwindigkeitsfeld ist ein Wirbelfeld!

rot3 ( v 1 0 0)

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

rot3 ( v 1 0 0)

§¨ 0 ¸· ¨0 ¸ ¨2 ¸ © ¹

Ein Schaufelrädchen würde sich in diesem Punkt P1 im Uhrzeigersinn drehen! Siehe dazu auch Abb. 4.5.18.

Ein Schaufelrädchen würde sich in diesem Punkt P2 gegen den Uhrzeigersinn drehen! Siehe dazu auch Abb. 4.5.18.

Seite 435

Vektoranalysis

n  20

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

k  0  n  1

xmin  2

Bereichsvariablen

xmax  2 minimale und maximale x- und y-Werte

ymin  2

ymax  2



i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k



yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1





vx  v xi yi 0 0 i k

vnorm_x  i k

Koordinatenvektoren



vx i k 2 2 § vx ·  § vy · © i k¹ © i k¹

Normalisiertes Feld in der x-y-Ebene

vnorm_x vnorm_y



vy  v xi yi 0 1 i k

Die Komponenten vx und vy des Geschwindigkeitsfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

vnorm_y  i k

vy i k 2 2 § vx ·  § vy · © i k¹ © i k¹

normalisiertes Geschwindigkeitsfeld

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

Abb. 4.5.19

Seite 436

Vektoranalysis

Beispiel 4.5.15: In der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters mit dem senkrechten Abstand r vom Leiter und einer Stromstärke I in z-Richtung lässt sich das Magnetfeld durch das nachfolgend gegebene Vektorfeld beschreiben. Geben Sie das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten an und bestimmen Sie daraus die Rotation und die Divergenz. Stellen Sie das Magnetfeld auch grafisch dar. ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

y ¨§ ¸· H ( x y z ) = ˜¨x ¸ 2 2˜ π˜ r ¨ 0 ¸ © ¹ I

gegebenes Magnetfeld

Überführung in Zylinderkoordinaten:

§ y ¨ 2 2 ¨x y §¨ y ¸· I I ¨ x H ( x y z ) = ˜¨x ¸ = ˜ ¨ 2 2 ˜ π 2˜ π˜ r ¨ 0 ¸ ¨ x2  y2 © ¹ ¨ © 0 H ( ρ φ z ) =

H ( ρ φ z ) =

ª y

I 2˜ π

˜«

2 2 ¬x  y

I 2˜ π˜ ρ

· ¸ ¸ ¸= I ¸ 2˜ π ¸ ¸ ¹

o y  o· x §x ˜  eρ  ˜ eϕ¸  2 ρ ρ © ¹ x  y2

˜¨

o  ˜ eϕ

§

y

˜¨

2 2 ©x  y

o ˜ ex 

x 2

2

x y

o· o  ˜ ey  0 ˜ ez¸

¹

o x  o· oº  §y ˜  eρ  ˜ eϕ¸  0 ˜ ez» ρ ©ρ ¹ ¼

˜¨

magnetisches Feld in Zylinderkoordinaten (z-Komponente ist 0)

Mit den Feldkomponenten HU = 0 und H z = 0 erhalten wir nach (4-154): o 1 w o   w rot [ H( ρ φ z ) ] =  Hϕ ˜ eρ  ˜ ρ ˜ Hϕ ˜ ez ρ wρ wz





HM ist von z unabhängig: rot [ H( ρ φ z ) ] =

o 1 w § o o  1 w I ·  ˜ ρ ˜ Hϕ ˜ ez = ˜ ¨ ρ ˜ ¸ ˜ ez = 0 ρ wρ ρ wρ © 2 ˜ π ˜ ρ¹





Dieses Feld ist wirbelfrei (4-168)!

Für die Divergenz gilt nach (4-143):

div ( H) =

1 w 1 w § I · ˜ ( ρ ˜ f ( ρ) ) = ˜ ¨ ρ ˜ ¸ =0 ρ wρ ρ wρ © 2 ˜ π ˜ ρ¹

Dieses Feld ist quellenfrei!

Seite 437

Vektoranalysis

I 1˜ A

gewählte Stromstärke durch den Leiter

§ y · ¨ 2 2¸ ¨ x y ¸ I ¨ ¸ ˜ H ( x y z )  x ¸ 2˜ π ¨ ¨ x2  y2 ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

magnetisches Feld in kartesischen Koordinaten

n  21

Anzahl der x- und y-Werte

i  0  n  1

k  0  n  1

xmin  2 ˜ m

xmax  2 ˜ m

ymin  2 ˜ m

ymax  2 ˜ m

Bereichsvariablen

minimale und maximale x- und y-Werte



i xi  xmin  ˜ xmax  xmin n 1



k



yk  ymin  ˜ ymax  ymin n1



Koordinatenvektoren





Hi k  H xi yk 0 hx

i k



Hi k 0

Wertematrix des Vektorfeldes hy

i k



Hi k 1

Die Komponenten hx und hy des Vektorfeldes müssen in Form von Wertematrizen vorliegen!

Magnetfeld Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Vektorfeld-Diagramm Bilder-Rahmen anzeigen Darstellung: Keine Füllung, Drahtpfeile, Volltonfarbe

hx hy

Abb. 4.5.20

Seite 438

Vektoranalysis

4.6 Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Laplace-Operator: Wir gehen wieder von einer differenzierbaren skalaren Funktion f(x,y,z) aus, wie sie im Abschnitt 4.5.1 beschrieben wurde. Das Hintereinanderausführen der Differentialoperatoren "div" und "grad" bzw. das skalare Produkt o des Nabla-Operators ∇ führt zum sogenannten Laplace-Operator Δ (Differentialoperator 2. Ordnung):

 





o o o o o2 div ( grad ( f) ) = ∇ ˜ ∇ ˜ f = ∇ ˜ ∇ ˜ f = ∇ ˜ f = Δf

2

d

Δf ( x y z ) =

2

2

d

f ( x y z ) 

2

f ( x y z ) 

dz

dy

dx

2

d

2

f ( x y z )

(4-172)

(4-173)

Bei einem ebenen Problem reduziert sich der Laplace-Operator auf

Δf ( x y) =

2

d

2

f ( x y z ) 

2

d

2

f ( x y z )

(4-174)

dy

dx

In Polarkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu

Δf ( r φ) =

2

d

2

f ( r φ) 

dr

2 1 w 1 d f ( r φ) ˜ ˜ f ( r φ)  2 dφ2 r wr r

(4-175)

Der Laplace-Operator in Polarkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung. In Zylinderkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu

Δf ( ρ φ z ) =

2 2 ªw § w ·º 1 d d f ( ρ φ z )  ˜ f ( ρ φ z ) ˜ « ¨ ρ ˜ f ( ρ φ z ) ¸»  2 ρ ¬wρ © wρ ¹¼ ρ2 dφ22 2 dz

1

(4-176)

Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung. In Kugelkoordinaten ergibt sich der Laplace-Operator zu (4-177)

Δf ( r ϑ φ) =

1 2

r

˜

ª º 2 1 d «w § r2 ˜ w f ( r ϑ φ) ·  1 ˜ ªw § sin ( ϑ) ˜ w f ( r ϑ φ) ·º  » f ( r ϑ φ) ˜ ¨ ¸ « ¨ ¸ » 2 «wr © wr » wϑ ¹ sin ( ϑ) ¬wϑ © ¹¼ sin ( ϑ) 2 dφ ¬ ¼

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten enthält auch die 1. Ableitung im Gegensatz zur kartesischen Darstellung.

Seite 439

Vektoranalysis

Die homogene Differentialgleichung 2. Ordnung Δf = 0

(4-178)

heißt Laplace-Gleichung. Die Lösungen dieser Differentialgleichung heißen harmonische Funktionen. Die inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit der Störfunktion g Δf = g

(4-179)

heißt Poisson- oder Potentialgleichung. Die Lösungen dieser Differentialgleichung heißen Potentialfunktionen.

Beispiel 4.6.1: Es soll gezeigt werden, dass die Funktion f(r) = ln(1/r) (r > 0) im Zweidimensionalen eine harmonische Funktion ist, d. h. eine spezielle Lösung der Laplace-Gleichung Δf = 0 darstellt.



§ 1· = 1 = 1 ˜ ln ( r) ¸ ln r r © ¹

f ( r) = ln ¨

ª« « 2 2 f ( x y)  ln ¬ x  y



2

d

Δ2 ( f x y) 

2

Umformung mithilfe der Logarithmusgesetze

1º



2

» » ¼

Darstellung in kartesischer Form

2

d

f ( x y) 

2

f ( x y)

dy

dx

Δ2 ( f x y) vereinfachen o 0

Die Funktion f(r) = ln(1/r) ist also eine Lösung der Laplace-Gleichung!

Beispiel 4.6.2: Es soll gezeigt werden, dass das räumliche skalare Feld f(r) = ln(r) (r > 0) eine spezielle Lösung der 1 Poisson-Gleichung Δf = darstellt. 2 r

ª« « 2 2 2 f ( x y z )  ln ¬ x  y  z



Δ3 ( f x y z )  r r

2

d

2

1º



2

» » ¼

Darstellung in kartesischer Form

2

d

f ( x y z ) 

2

f ( x y z ) 

dz

dy

dx

2

d

2

f ( x y z )

Redefinition Das Ergebnis ist also vereinfachen

Δ3 ( f x y z )

2

2

2

o

2

ersetzen x  y  z = r

1 2

r

1 2

.

r Die Funktion f(r) = ln(r) ist also eine Lösung der Poisson-Gleichung!

Seite 440

Vektoranalysis

Beispiel 4.6.3: Gesucht sind diejenigen Lösungen f(r) der Laplace-Gleichung Δf = 0, die Rotationssymmetrie besitzen, d. h. nur von der Abstandskoordinaten r abhängen. Nach (4-175) gilt: 2

d

Δf ( r) =

f ( r φ) 

2

dr

1 w ˜ f ( r φ) = 0 r wr

bzw.

f '' ( r) 

1 r

˜ f ' ( r) = 0

Laplace-Gleichung

Diese Differentialgleichung 2. Ordnung kann durch Substitution auf eine Differentialgleichung 1. Ordnung gebracht werden (siehe dazu Band 4): u = f ' ( r)

Substitution

u' = f '' ( r)

Damit lautet die Differentialgleichung 1. Ordnung: u' 

1 r

˜u=0

bzw.

d

u

dr

u

=0

r

Durch Trennung der Variablen kann dann auf beiden Seiten integriert werden: du dr ´ µ µ µ ¶

=

u

du

Ÿ

r

´ µ du = µ u µ ¶

1

1

r

u

dr

=

dr r

Ÿ

ln ( u) = ln ( r)  C

Setzen wir die Konstante C = ln(C1) und wenden die Logarithmusregeln an, dann erhalten wir:



ln ( u ˜ r) = ln C1

Mit der Umkehrfunktion folgt schließlich: u ˜ r = C1

bzw.

u=

C1 r

Durch Rücksubstitution und anschließende Integration erhalten wir dann: ´ µ f ( r) = C1 ˜ µ µ ¶

1 r

dr = C1 ˜ ln ( r)  C2

Damit lauten die rotationssymmetrischen Lösungen mit den noch zu bestimmenden Konstanten C1, C2 : f ( r) = C1 ˜ ln ( r)  C2

Seite 441

Vektoranalysis

Quellenfreies Vektorfeld:

o o Wir gehen von zwei Vektorfeldern F und E aus.



o o o o Ein Wirbelfeld F = rot E = ∇ u E ist stets quellenfrei, d. h. es genügt der Bedingung



  = o∇ ˜ o∇ u oE = 0

o o div F = div rot E

§w ¨ ¨ wx ¨w o div rot E = ¨ ¨ wy ¨w ¨ © wz

 

=

w w wxwy

(4-180)

· §w · w ¸ ¨ Ez  Ey ¸ wz ¸ ¨ wy ¸ ¸ ¨w ¸ w ¸ ˜ ¨ Ex  Ez ¸ wx ¸ ¨ wz ¸ ¸ ¨w ¸ w ¸ ¨ Ey  Ex ¸ wy ¹ © wx ¹ Ez 

w w wxwz

Ey 

w w wywz

Ex 

w w wywx

Ez 

w w wz wx

Ey 

w w wz wy

Ex = 0

(4-181)

o Wenn wir voraussetzen, dass die Vektorkoordinaten von E stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung besitzen, so heben sich nach dem Satz von Schwarz (Band 3, Abschnitt 10.3) in (4-181) die gemischten partiellen Ableitungen auf. o Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass ein quellenfreies Vektorfeld F stets als Rotation eines o Vektorfeldes E dargestellt werden kann:





o oo o o o o div F = ∇ ˜ F = 0 Ÿ F = rot E = ∇ u E

(4-182)

o Das Vektorfeld E heißt Vektorpotential und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion f eindeutig bestimmt. Quellenfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse, Magnetfeld in der Umgebung eines stromdurchflossenen geraden Leiters usw.

Beispiel 4.6.4: Ist das nachfolgend gegebene Vektorfeld quellenfrei? ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

§ x2 ˜ y · ¨ ¸ v ( x y z )  ¨ z ¸ ¨ ¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 442

Vektoranalysis

∇3 ( D x y z ) 

w wx

D ( x y z ) 1 

∇3 ( v x y z ) o 3 ˜ x ˜ y

w wy

D ( x y z ) 2 

w wz

D ( x y z ) 3

Das Vektorfeld v ist nicht Rotation eines anderen Vektorfeldes, also nicht quellenfrei!

Beispiel 4.6.5: o o  Ein homogener in z-Richtung gerichteter Elektronenstrahl mit der Stromdichte i = I0 ˜ ez erzeugt ein ringförmiges Magnetfeld um die z-Achse. Dieses Magnetfeld besitzt die nachfolgend gegebene o o Feldstärke H. Ist das durch rot H entstehende Vektorfeld quellenfrei?



H ( ρ) =

1 2

˜ I0 ˜ ρ ˜ eϕ

magnetische Feldstärke des Elektronenstrahls

Mit den Feldkomponenten HU = 0 und H z = 0 erhalten wir nach (4-156): o 1 w o   w rot [ H( ρ φ z ) ] =  Hϕ ˜ eρ  ˜ ρ ˜ Hϕ ˜ ez ρ wρ wz





HM ist von z unabhängig: rot [ H( ρ φ z ) ] =

I0 ˜ ρ ·  o 1 w § o I0 1 o o o    1 w ¸ ˜ ez = ˜ ˜ w ρ2 ˜ ez = I0 ˜ ez = i ˜ ρ ˜ Hϕ ˜ ez = ˜ ¨ ρ ˜ 2 ρ wρ ρ wρ ρ wρ © 2 ¹





Für die Divergenz gilt nach (4-138):

§§ 0 ·· ¨¨ ¸¸ div ( H) = div ¨ ¨ 0 ¸ ¸ = 0 ¨¨ I ¸¸ ©© 0 ¹¹

Dieses Feld ist quellenfrei!

Wirbelfreies Vektorfeld:

o Wir gehen von einem Vektorfeld F und einem skalaren Feld f aus. o o o Ein wirbelfreies Vektorfeld hat die Eigenschaft rot F = 0 . Ein Gradientenfeld F = grad ( f) ist stets wirbelfrei, d.h. es genügt der Bedingung







o o o o rot F = rot ( grad ( f) ) = ∇ u ∇ ˜ f = 0

(4-183)

§w w w w · f ¸ f  ¨ w w w z w y y z ¨ ¸ §0 · ¨w w w w ¸ ¨ ¸ f  f ¸ = ¨0 ¸ rot ( grad ( f) ) = ¨ z x w w w z w z ¨ ¸ ¨0 ¸ © ¹ ¨w w w w ¸ f  f ¸ ¨ © wxwy wywx ¹

(4-184)

Seite 443

Vektoranalysis

Wenn wir voraussetzen, dass die Vektorkoordinaten von rot ( grad ( f) ) stetige partielle Ableitungen 2. Ordnung besitzen, so heben sich nach dem Satz von Schwarz (Band 3, Abschnitt 10.3) in (4-184) die gemischten partiellen Ableitungen auf und jede Komponente des Vektors ist dann gleich null. o Umgekehrt lässt sich auch zeigen, dass ein wirbelfreies Vektorfeld F stets als Gradient eines skalaren Feldes f dargestellt werden kann:



o o o o o rot F = ∇ u F = 0 Ÿ F = grad ( f)

(4-185)

Wirbelfreie Vektorfelder, die in den Anwendungen eine Rolle spielen, sind z. B.: homogene Vektorfelder (elektrische Felder in einem Plattenkondensator), zylinder- oder axialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld in der Umgebung eines geladenen Zylinders), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld einer Masse) usw.

Beispiel 4.6.6: Ist das nachfolgend gegebene Vektorfeld ein Gradientenfeld? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

§¨ y ¸· v ( x y z )  ¨ x ¸ ¨0¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

rot3 ( R x y z )

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

§¨ 0 ·¸ rot3 ( v x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

Das gegebene Vektorfeld ist nicht wirbelfrei, daher auch kein Gradientenfeld!

Beispiel 4.6.7: Ist das gegebene Gradientenfeld wirbelfrei? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

k 1

Konstante

Seite 444

Vektoranalysis

k

F1 ( x y z ) 

3

x2  y2  z2 2

rot3 ( R x y z )

§¨ x ¸· ˜ ¨y ¸ ¨z ¸ © ¹

gegebenes Gradientenfeld

· §w w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

§¨ 0 ¸· rot3 ( F1 x y z ) o ¨ 0 ¸ ¨0 ¸ © ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

Das gegebene Gradientenfeld ist wirbelfrei. Wie bereits erwähnt, sind kugelsymmetrische Vektorfelder immer wirbelfrei.

Quellen- und wirbelfreie Vektorfelder: o Ein quellen- und zugleich wirbelfreies Vektorfeld F muss die folgenden Gleichungen erfüllen:



o div F = 0 und



o o rot F = 0

(4-186)

Ein solches Vektorfeld ist dann wegen der Wirbelfreiheit als Gradient eines skalaren Feldes f (Potentialfunktion) darstellbar: o F = grad ( f)

(4-187)

Damit erhalten wir durch Einsetzen von (4-185) in die erste Gleichung von (4-184) und der Beziehung von (4-170)



o div F = div ( grad ( f) ) = Δf = 0

(4-188)

Also ist die zugehörige Potentialfunktion eine Lösung der Laplace-Gleichung (ansonsten eine Lösung der Poisson-Gleichung). Ein solches Feld wird auch ein Laplace-Feld genannt.

Beispiel 4.6.8: Das Potential M im Außenraum einer positiv geladenen Kugel mit dem Radius R ist durch die nachfolgende Gleichung gegeben. Prüfen Sie, ob diese Funktion unter Berücksichtigung der Kugelsymmetrie die LaplaceGleichung erfüllt. Bestimmen Sie weiters die elektrische Feldstärke aus dem negativen Gradienten des o Potentials ( E = grad ( φ)). φ ( r) =

Q 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

rtR

elektrisches Potential außerhalb einer geladenen Kugel (H0 bedeutet die Feldkonstante)

Seite 445

Vektoranalysis

Die Laplace-Gleichung lautet unter Berücksichtigung der Kugelsymmetrie nach (4-177): d

· §2 d ˜ ¨ r ˜ φ ( r) ¸ = 0 2 dr ¹ r dr © 1

d

φ ( r) =

dr

Q 2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

Q ªd § 2 ·º» 1 § d Q · ˜ « ¨r ˜ ¸ = ˜¨ ¸=0 2 » 2 2 «dr 4 ˜ π ˜ ε0 r d ¨ ¸ 4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r r r © ¹ 1

¬ ©

¹¼

Die Potentialfunktion erfüllt also die Laplace-Gleichung

o o o w d E = grad ( φ) =  φ ( r) ˜ er =  φ ( r) ˜ er wr dr

elektrisches Feld ergibt sich aus dem negativen Gradienten

o o o· o Q Q d d§ E =  φ ( r) ˜ er =  ¨ ˜ er¸ = ˜ er dr dr © 4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ r ¹ 4 ˜ π ˜ ε 0 ˜ r2

elektrisches Feld außerhalb der geladenen Kugel ( r t R )

Das elektrische Feld ist außerhalb der geladenen Kugel quellen- und wirbelfrei! o E ( r) = E =

Q

Betrag des elektrischen Feldes. Die Feldstärke nimmt mit zunehmender Entfernung r vom Kugelmittelpunkt ab.

2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r Beispiel 4.6.9:

Ein elektrisches Feld wird von einer Raumladung mit der ortsabhängigen Ladungsdichte ρel ( x y z ) erzeugt. ρel o o Die Feldstärke E und die Ladungsdichte ρel ( x y z ) sind über die Maxwell-Gleichung div E = verknüpft ε0 (H0 bedeutet die Feldkonstante). Zeigen Sie, dass das Potential M der Poisson-Gleichung genügt.



Das elektrische Feld ist der negative Gradient des Potentials: o E = grad ( φ) Daraus berechnen wir die Divergenz (die Quellen des elektrischen Feldes sind die Ladungen):



ρel o div E = div ( grad ( φ) ) = div ( grad ( φ) ) = Δφ = ε0 Δφ =

ρel ε0

bzw.

Δφ = 

ρel ε0

Die gesuchte Poisson-Gleichung (Potentialgleichung). Bei einem ladungsfreien Feld geht diese Gleichung in die Laplace-Gleichung über.

Seite 446

Vektoranalysis

4.7 Linien- oder Kurvenintegrale Grundsätzlich unterscheiden wir zwischen zwei Arten von Kurvenintegralen oder Linienintegralen.  o T 3 Sei C: [ t , t ] o G( ), r ( t) = ( x ( t) y ( t) z ( t) ) eine stückweise stetig differenzierbare Raumkurve, 1

2

o  o  o d die die Punkte P und P ( r t1 und r t2 ) verbindet, und r ( t) der zugehörige Tangentenvektor der 1 2 dt





Kurve. Kurvenintegral 1. Art:



o Für stetige Skalarfelder f : G(3 ) o, f r = f ( x y z ) ist das Kurvenintegral 1. Art definiert durch

(4-189)

Eine Anwendung findet dieses Integral z. B. bei der Berechnung der Bogenlänge (siehe dazu (4-22))   o o mit z. B. der Massendichte ρ r ( t) = f r ( t) = 1, statischer Momente, Trägheitsmomente usw.

 

Kurvenintegrale 2. Art: o o T 3 Für stetige Vektorfelder F : D( ) o , F = Fx ( x y z ) Fy ( x y z ) Fz ( x y z ) ist das Kurvenintegral 2. Art definiert durch



=



(4-190)

t

=

´2 § · µ ¨ F ( x ( t) y ( t) z ( t) ) ˜ d x ( t)  F ( x ( t) y ( t) z ( t) ) ˜ d y ( t)  F ( x ( t) y ( t) z ( t) ) ˜ d z ( t) ¸ dt x y z µ © dt dt dt ¹ ¶t 1

Eine Anwendung findet dieses Integral z. B. bei der Berechnung der Arbeit und der Zirkulation (Strömungslehre), bei der Untersuchung von Potentialfeldern usw. o Ist F ein Kraftfeld, das z .B. einen Massenpunkt von einem Punkt P1 aus längs der Kurve C in einem Punkt P2 verschiebt, so bedeutet

(4-191)

die physikalische Arbeit, die das Kraftfeld an einem Massenpunkt verrichtet. Sie kann positiv (Verschiebung in Richtung des Kraftfeldes) oder negativ (gegen die Richtung des Kraftfeldes) sein. Eine besondere Rolle spielen in den Anwendungen Potentialfelder (konservative Felder). Zu ihnen gehören z. B. die bereits erwähnten homogenen und kugelsymmetrischen Kraftfelder.

Seite 447

Vektoranalysis

Bemerkungen:

o o Das Wegelement d r wird häufig bei verschiedenen Anwendungen auch durch das Symbol d s (infinitesimaler Verschiebungsvektor) gekennzeichnet. Der Wert eines Kurvenintegrals (Linienintegrals) 2. Art hängt im Allgemeinen nicht nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 des Integrationsweges ab, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg. In der Praxis kommen oft Kurven vor, die nur stückweise eine stetige Ableitung haben, die also durch Aneinanderhängen von endlich vielen Kurven mit stetiger Ableitung entstehen. Ein Beispiel ist die Integration über den Rand eines Dreiecks. Dafür addieren wir einfach die entsprechenden Kurvenintegrale. Für ein Kurvenintegral längs eines geschlossenen Integrationsweges C mit dem Anfangs- und Endpunkt P1 , auch Umlaufintegral genannt, wird meist ein Kreissymbol über das Integralzeichen geschrieben. In Mathcad ist diese Schreibweise nicht möglich. Die Kurvenintegrale gelten auch für ebene Probleme.

Beispiel 4.7.1: Berechnen Sie die Masse m1 des Bogens der Kurve y = ln(x) zwischen x 1 = 1 und x 2 = 4, wenn die lineare Dichte U der Kurve in jedem Punkt gleich dem Quadrat seiner Abszisse ist. x x ´ 2 2 ´ 2 µ µ x ds m1 = ρ ds = µ µ ¶x ¶x 1

1

ds =

Kurvenintegral 1. Art zur Berechnung der Masse

1 y'

2

2

§ 1· 1  ¨ ¸ ˜ dx = ©x¹

˜ dx =

2

1x x

˜ dx

Bogenelement 3

x2

´ µ m1 = µ µ ¶x

2

x ˜

2

1x x

x2 1 ´ µ dx = ˜ 2 µ ¶ x1

1

´ µ m1  µ µ ¶

x2 1 ´ µ 1  x ˜ 2 ˜ x dx = ˜ 2 µ ¶ 2

2



2

1 x d 1 x

x1

=

1 2

˜

1  x2 2

x1 | x2

3 2

4 2

x ˜

2

1 x x

dx

m1

22.421

Maßzahl der Masse

1

Beispiel 4.7.2:

Berechnen Sie das Kurvenintegral 1. Art I =

´ µ µ ¶

x ˜ y ˜ z ds wenn C der Bogen der Kurve x = t , y =

, z=

1 2

2

˜ t zwischen t = 0 und t = 1 ist.

Seite 448

1 3

˜

8˜ t

3

Vektoranalysis

I=

´ µ 2 µ ˜ x ˜ y ˜ z ds = 3 µ ¶

´ µ µ ¶

1

1

9

t

2

˜

0

´ 9 µ 2 2 2 2 µ 2 §d §d §d · · · ˜ µ t ˜ ( 1  t ) dt ¨ x ( t ) ¸  ¨ y ( t ) ¸  ¨ z ( t ) ¸ dt = 3 ¶0 © dx ¹ © dy ¹ © dz ¹

1

´ 9 µ 16 ˜ 2 2 µ 2 ˜ µ t ˜ ( 1  t ) dt vereinfachen o I = I= 143 3 ¶0 Beispiel 4.7.3: T  o § o t · Berechnen Sie das Kurvenintegral längs der Kurve r ( t) = ¨ cos ( t ) sin ( t )  ¸ (0 dt d2 S) für das Vektorfeld F 2 ˜ π¹ © .

§¨ y ¸· o F( x y z ) = ¨ x ¸

gegebenes Vektorfeld

¨1¸ © ¹

´ µ t2 µ ´  o  o µ f r ( t ) ˜ d r ( t ) dt = µ µ µ dt µ ¶t 1 µ ¶

2˜π



§ sin ( t) · 2˜π §¨ sin ( t) ·¸ ¨ ¸ ´ cos ( t ) ¸ dt = µ ¨§ sin ( t) 2  cos ( t) 2  1 ·¸ dt ¨ cos ( t) ¸ ˜ ¨ µ 2 ˜ π¹ © ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¶ 0 © ¹ ¨ ¸ © 2˜ π ¹

Kurvenintegral 2. Art

0

´ µ µ ¶

2˜π

0

´ 1 · § 2 2 ¨ sin ( t)  cos ( t)  ¸ dt = µ µ 2 ˜ π¹ © ¶

2˜π

Wert des Kurven§  1 · d 2 ˜ π § 1  1 · ˜¨ ¨ 1 ¸ t= ¸ = 1  2 ˜ π integrals 2. Art 2 ˜ π¹ 2 ˜ π¹ © ©

0

Beispiel 4.7.4: Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals längs der Kurven C 1 und C 2 (0 dt d1) für das ebene o Vektorfeld F( x y)? r1 ( t) 

§t · ¨ ¸ ©t ¹

Kurve C1

r2 ( t) 

§ t· ¨ ¸ © t ¹

Kurve C2

F ( x y) 

2 ¨§ x ˜ y ·¸ ¨© x  y ¸¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 449

Vektoranalysis

ORIGIN  1

ORIGIN festlegen

t  0 0.001  1

Bereichsvariable Kurve C1 und C2

1

0.8

r1( t) 2 0.6

Abb. 4.7.1

r2( t) 2 0.4

0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r1( t) 1 r2( t) 1

t ´ ´ oo o ´ 2 o  o o  µ µ µ F r ( t ) ˜ d r ( t ) dt = µ d = F r r µ µ dt ¶ µ ¶ ¶t





1

§¨ t3 ¸· § 1 · ˜ ¨ ¸ dt ¨© 2 ˜ t ¸¹ © 1 ¹

0

1

´ µ µ µ ¶

1

§¨ t3 ¸· § 1 · 5 ˜ ¨ ¸ dt vereinfachen o ¨© 2 ˜ t ¸¹ © 1 ¹ 4

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C1

0 1

´ µ o oo o  d F r dr = µ F r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ µ dt µ ¶t ¶ 1 0



´ µ µ ¶

´ µ µ µ µ ¶

1

t o ´ 2o 



1 · §¨ t2 ¸· ¨§ ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt ¨  ¸ ¨ ¸ t¹ ©t © 1 ¹

1 · §¨ t2 ·¸ ¨§ ¸ 41 ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt vereinfachen o ¨  ¸ ¨ 30 ¸ t¹ ©t © 1 ¹

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C2

0

Der Wert eines Kurvenintegrals hängt also nicht nur von den beiden Endpunkten P 1 (0|0) und P2 (1|1) der betrachteten Kurven ab, sondern auch von dem Weg, der dabei zurückgelegt wurde.

Seite 450

Vektoranalysis

Beispiel 4.7.5: Wir betrachten zwei Kurven im Raum C1 : t o(t, t, t)T (0 dt d1) und C 2 : t o(t, t2 , t3 )T (0 dt d1), die beide den Punkt P1 (0|0|0) mit den Punkt P2 (1|1|1) verbinden. Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals für o das gegebene Vektorfeld K? ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

x1 ( t )  t y1 ( t )  t

Parametergleichungen der Kurve C 1

z1 ( t )  t x1 ( t ) · ¨§ ¸ r1 ( t)  ¨ y1 ( t ) ¸ ¨ z1 ( t) ¸ © ¹

Ortsvektor für die Raumkurve C1

x2 ( t )  t y2 ( t )  t

2

z2 ( t )  t

3

Parametergleichungen der Kurve C 2

x2 ( t ) · ¨§ ¸ r2 ( t)  ¨ y2 ( t ) ¸ ¨ z2 ( t) ¸ © ¹

Ortsvektor für die Raumkurve C2

Raumkurven

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 20 Diagramm 2: Allgemein: Streuungsdiagramm Achsenformat Ecke Darstellung: Linien und Punkte zeichnen Achsen: Teilstriche, automatische Gitterwerte, Achsenformat nummeriert, Beschriftung QuickPlot-Daten: Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 20

r1 r2 Abb. 4.7.2

§ y2 · ¨ ¸ K ( x y z )  ¨ x ˜ z ¸ ¨ ¸ © 1 ¹

gegebenes Vektorfeld

Seite 451

Vektoranalysis

´ µ t2 o oo o ´ o  o d µ K r dr = µ K r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t µ 1 ¶



´ µ µ ¶

1



§ t2 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ t 2 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ dt ¨ ¸ ¨1 ¸ ©1¹ © ¹

0

´ µ µ µ µ µ ¶

1

§ t2 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ 5 ¨ t2 ¸ ˜ ¨ 1 ¸ dt vereinfachen o 3 ¨ ¸ ¨1 ¸ © ¹ ©1¹

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C1

0

´ µ t2 o oo o ´ o  o d µ K r dr = µ K r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt µ ¶t µ 1 ¶



´ µ µ ¶

1



§ t4 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ t 4 ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt ¨ ¸ ¨ 2¸ © 1 ¹ ©3 ˜ t ¹

0

´ µ µ µ µ µ ¶

1

§ t4 · § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ 23 ¨ t4 ¸ ˜ ¨ 2 ˜ t ¸ dt vereinfachen o 15 ¨ ¸ ¨ 2¸ 3 ˜ t ¹ ©1¹ ©

Wert des Kurvenintegrals entlang des Weges C2

0

Der Wert des Kurvenintegrals hängt also auch hier nicht nur von den beiden Endpunkten P 1 (0|0|0) und P2 (1|1|1) der betrachteten Kurven ab, sondern auch von dem Weg, der dabei zurückgelegt wurde. Beispiel 4.7.6 o Wie groß ist die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F an einem Massenpunkt bei einer gradlinigen Verschiebung von P1 (0|0) nach P2 (2|2) verrichtet?

§2 ˜ t · ¨ ¸ ©2 ˜ t ¹

r ( t) 

F ( x y) 

2 ¨§ x ˜ y ·¸ ¨© x ˜ y ¸¹

Kurve C (0 dt d1) von P1 nach P2

gegebenes ebenes Kraftfeld

´ t ´ oo o ´ 2 o  o o  µ µ d W = µ F r dr = µ F r ( t ) ˜ r ( t ) dt = µ µ dt ¶ µ ¶t ¶ 1





1

§ t3 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ dt ¨ 2 ¸ ©2 ¹ ©t ¹

0

´ µ W=µ µ ¶

1

§ t3 · § 2 · ¨ ¸ ˜ ¨ ¸ dt vereinfachen o W = 7 ¨ 2 ¸ ©2 ¹ 6 ©t ¹

Zahlenwert, für die vom Kraftfeld entlang des Weges C geleistete Arbeit

0

Seite 452

Vektoranalysis

Konservative Vektorfelder oder Potentialfelder: Der Wert des Linien- oder Kurvenintegrals eines Vektorfeldes entlang einer Kurve C, die zwei Punkte P1 und P2 verbindet, ist in der Regel, wie vorher aus einigen Beispielen zu entnehmen ist, abhängig von der Verbindungskurve. Es gibt allerdings eine wichtige Kategorie von Vektorfeldern, für die das Linien- oder Kurvenintegral nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 , nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg der beiden Punkte abhängt, also wegunabhängig ist. o Ein Vektorfeld F heißt konservativ oder ein Potentialfeld, wenn das Linien- oder Kurvenintegral



´ oo o µ µ F r dr ¶

nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen

Verbindungsweg C der beiden Punkte P1 und P2 abhängt. Ein Linienintegral



´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶

Fx ( x y z ) ˜ dx  Fy ( x y z ) ˜ dy  Fz ( x y z ) dz

(4-192)

ist wegunabhängig, wenn die lineare Differentialform



oo o F r ˜ d r = Fx ( x y z ) ˜ dx  Fy ( x y z ) ˜ dy  Fz ( x y z ) ˜ dz

(4-193)

vollständig ist. Dies bedeutet aber, dass diese Differentialform das totale oder vollständige Differential df einer ortsabhängigen Funktion (Potentialfunktion) f(x,y,z) darstellt: df = Fx ˜ dx  Fy ˜ dy  Fz ˜ dz =

w wx

f ˜ dx 

w wy

f ˜ dy 

w wz

f ˜ dz

(4-194)

Es gilt dann nämlich:



´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶

=

´ µ w w w f ˜ dx  f ˜ dy  f dz Fx ˜ dx  Fy ˜ dy  Fz dz = µ wy wz µ wx ¶

=

(4-195)

P ´ 2 µ 1 df = f P2  f P1 = f x2 y2 z 2  f x1 y1 z 1 µ ¶ P1

  





Das Linienintegral hängt also in diesem Fall nur vom Anfangspunkt P1 und dem Endpunkt P2 des Integrationsweges ab. Das Vektorfeld mit dieser Eigenschaft ist also ein konservatives Feld oder Potentialfeld und die Funktion f(x,y,z) heißt dann Potentialfunktion oder auch kurz Potential des Vektorfeldes. Es erhebt sich nun die Frage nach dem Kriterium dafür, dass der Ausdruck (4-194) ein totales Differential ist. Wir setzen in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G voraus, dass es den Integrationsweg C enthält, in ihm die drei Funktionen Fx , Fy und Fz definiert und die Ableitungen stetig sind.

Seite 453

Vektoranalysis

Ist nun (4-192) das totale Differential einer Potentialfunktion f(x,y,z), gelten also die Gleichungen Fx =

w wx

f , Fy =

w wy

w

f , Fz =

wz

f

(4-196)

bzw.

§w · ¨ f¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ o F( x y z ) = grad ( f ( x y z ) ) = ¨ f ¸ , ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f¸ © wz ¹

(4-197)

so ist w wy w wx

Fx = Fz =

w w wywx

f ,

w w wxwz

f ,

w wz

w w

Fx =

w wy

wz wx

Fz =

w

f ,

w w wywz

wz

Fy =

w w wz wx

f ,

w wx

Fy =

w w wxwy

f ,

(4-198)

f .

Alle diese Ableitungen sind nach Voraussetzung stetig. Es gelten aber dann nach dem Satz von Schwarz die Beziehungen (Integrabilitätsbedingung) w wz w wz w wy

Fy = Fx = Fx =

w wy w wx w wx

Fz bzw. Fz bzw.

Fy bzw.

w wy w wz w wx

Fz  Fx 

Fy 

w wz w wx w wy

Fy = 0

(4-199)

Fz = 0

Fx = 0

Somit müssen in jedem Gebiet G die Gleichungen (4-199) erfüllt sein, damit der Ausdruck (4-194) ein totales Differential einer Potentialfunktion f ist und somit das Kurvenintegral wegunabhängig ist. Die Bedingungen (4-199) lassen sich auch durch die Gleichung



o o rot F = 0

(4-200)

beschreiben.

Bemerkungen: Die zuvor angestellten Betrachtungen gelten auch in der Ebene. Ein einfach zusammenhängendes Gebiet ist ein Gebiet, in dem sich jede in ihm liegende geschlossene Kurve auf einen Punkt "zusammenziehen" lässt, ohne das Gebiet zu verlassen. In der Ebene könnte es z. B. ein rechteckiges Gebiet oder ein kreisförmiges Gebiet sein. Die x-y-Ebene ohne den Nullpunkt stellt ein zweifach zusammenhängendes Gebiet dar (Gebiet mit einem sogenannten "Loch").

Seite 454

Vektoranalysis

Sind C1 und C 2 zwei verschiedene Verbindungswege der Punkte P1 und P2 , so gilt wegen der Wegunabhängigkeit ´ o o ´ o o µ µ µ F dr = µ F dr ¶ ¶

(4-201)

Dies bedeutet, dass im Falle der Wegunabhängigkeit das Linienintegral längs einer geschlossenen Kurve verschwindet.

Eigenschaften eines konservativen Vektorfeldes oder Potentialfeldes: o Ein konservatives Vektorfeld F besitzt in einem einfach zusammenhängenden Gebiet die folgenden gleichwertigen Eigenschaften:



´ oo o µ 1. Das Linien- oder Kurvenintegral µ F r dr ¶

längs einer Kurve C, die zwei beliebige Punkte P1

und P2 verbindet, ist unabhängig vom eingeschlagenen Verbindungsweg, solange dieser vollständig im Gebiet liegt. 2. Das Linien- oder Kurvenintegral einer im Gebiet liegenden geschlossenen Kurve C hat stets den Wert null:



´ oo o µ µ F r dr = 0 ¶

(4-202)

o 3. Das Vektorfeld F ist überall im Gebiet als Gradient einer Potentialfunktion f darstellbar (d. h., konservative Felder sind Gradientenfelder): o F = grad ( f)

(4-203)

o 4. Das Vektorfeld F ist im Gebiet wirbelfrei:



o o rot F = 0

(4-204)

o o 5. Das Skalarprodukt F ˜ d r ist das totale oder vollständige Differential einer Potentialfunktion f: o o df = F ˜ d r

(4-205)

Seite 455

Vektoranalysis

Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder): Wie bereits in (4-169) ausgeführt wurde, verschwindet die Rotation eines kugelsymmetrischen o o Vektorfeldes oder Zentralfeldes F = f ( r) ˜ er in jedem Bereich, der den Nullpunkt r = 0 nicht enthält:



o rot F = 0

(r > 0)

(4-206)

Es ist daher jedes Zentralfeld in jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, das den Nullpunkt nicht enthält, konservativ. Der Raum ohne Nullpunkt (der Nullpunkt ist die einzig singuläre Stelle im Raum) stellt für ein Zentralfeld ein einfach zusammenhängendes Gebiet dar, weil sich jede geschlossene Kurve C ober- oder unterhalb des Nullpunktes auf einen Punkt zusammenziehen lässt.



´ oo o µ Das Linien- oder Kurvenintegral µ F r dr ¶

ist daher nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig,

nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg C der beiden Punkte. Für jede geschlossene Kurve C, die nicht durch den Nullpunkt verläuft, gilt:



´ oo o µ µ F r dr = 0 ¶

(4-207)

Beispiel 4.7.7: Zeigen Sie, dass das nachfolgend gegebene ebene Vektorfeld konservativ oder ein Potentialfeld und daher wegunbhängig ist. o o o o o 4 3 F( x y) = Fx ( x y) ˜ ex  Fy ( x y) ˜ ey = 4 ˜ x ˜ y ˜ ex  x ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Das gegebene Vektorfeld ist konservativ, weil die Integrabilitätsbedingung (4-199) erfüllt ist: w wy

Fx ( x y) =

w wy

4 ˜ x3 ˜ y = 4 ˜ x3

w wx

Fy ( x y) =

3 w 4 x = 4˜ x wx

Wegen (4-201) ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld: o F( x y) = grad ( f ( x y) )

o § Fx · § 4 ˜ x ˜ y · ¨ ¸=¨ ¸ F= ¨F ¸ ¨ 4 ¸ © y¹ © x ¹ 3

· §w ¨ f ( x y) ¸ ¨ wx ¸ = ¨w ¸ ¨ f ( x y) ¸ © wy ¹

3 w f ( x y) = 4 ˜ x ˜ y nach x und berücksichtigen, dass die Integrationskonstante C wx noch von der Variablen y abhängig ist:

Wir integrieren zuerst

Seite 456

Vektoranalysis

´ µ w f ( x y) = µ f ( x y) dx = µ wx ¶

´ µ µ ¶

´ µ 3 4 ˜ x ˜ y dx = 4 ˜ y ˜ µ ¶

3

4

x dx = x ˜ y  C ( y)

Die so erhaltene Funktion wird nun nach y differenziert: w wy

f ( x y) =

w wy

x4 ˜ y  C(y) = x4  C' (y)

Diese Ableitung muss natürlich mit der zweiten Komponente des Gradienten übereinstimmen, also: 4

4

x  C ' ( y) = x

Damit muss C' (y) = 0 sein. Durch Integration ergibt sich dann die Konstante zu: C(y) = const. = C0

Damit lautet die Potentialfunktion f schließlich: 4

f ( x y) = x ˜ y  C0 df ist dann das totale Differential (4-205): o o 3 4 df ( x y) = 4 ˜ x ˜ y ˜ dx  x ˜ dy = F ˜ d r Das Linienintegral ist wegunabhängig, und für einen beliebigen, von Punkt P1 (x1 |y1 ) nach P2 (x2 |y2 ) führenden Integrationsweg C gilt somit:



´ oo o ´ µ µ µ F r dr = µ ¶ ¶ C

P2

(x2 ,y2 ) P2 4 4 4 1 df ( x y) = f ( x y) | = x ˜ y  C0 | = x2 ˜ y2  x1 ˜ y1 P1 (x1 ,y1 ) 1

´ 3 4 4 ˜ x ˜ y ˜ dx  x dy = µ ¶P

C

Beispiel 4.7.8: Wir wenden uns in diesem Beispiel der Frage zu, welche Wärmemenge U wir durch Änderung des Zustandes einer gegebenen Menge eines idealen Gases erhalten. Wird die Zustandsänderung durch eine Kurve C in der p-V-Ebene charakterisiert, so lässt sich diese Wärmemenge U durch das nachfolgende Kurvenintegral ausdrücken. Ist dieses Kurvenintegral wegunabhängig? ´ µ U=µ µ ¶

cp R

˜ p ˜ dV 

cv R

˜ V dp

C Betrachten wir die Wärmekapazitäten c p und c v des Gases bei konstantem Volumen und konstantem Druck als unveränderlich, so ist wegen c p z c v die Integrabilitätsbedingung hier offenbar verletzt:

§ cp · cp ¨ ˜ p¸ = ¹ R wp © R w

§ cv · cv ¨ ˜ V¸ = ¹ R wV © R w

Daraus folgt, dass die Wärmemenge U nicht etwa eine Funktion des Gaszustandes ist, sondern von dem Prozess abhängt, der zu diesem Zustand führte. Selbst bei einem zyklischen Prozess, der das Gas in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzt, kann Wärme gewonnen oder verloren werden.

Seite 457

Vektoranalysis

Multiplizieren wir die differentielle Größe dU der Wärmemenge mit 1/T, wobei die absolute Temperatur des Gases T = p V/R ist, so erhalten wir: dU =

dU T

=

cp R

cv

˜ p ˜ dV 

cp T˜R

R

˜ p ˜ dV 

˜V˜d cv T˜R

˜ V ˜ dp =

cp p˜ V

˜ p ˜ dV 

cv

dV dp ˜ V ˜ dp = c p ˜  cv ˜ V p

p˜ V

dU/T ist dann ein totales Differential. Das Kurvenintegral ist somit wegunabhängig: ( V p )

´ 1 µ dU = µ T ¶ V p 1 1





( V p)

´ 1 1 µ ˜ dV  c v ˜ dp cp ˜ µ p V ¶ V p 1 1





Durch dieses Integral wird eine physikalische Größe, die sogenannte Entropie S, definiert. Sie ist eine Funktion des Gaszustandes. Stammfunktionen sind dann mit C0 als Konstante: S = c p ˜ ln ( V)  c v ˜ ln ( p)  C0 Beispiel 4.7.9: Eine Rakete mit mR = 50 000 kg soll von der Erde aus in h = 600 km Höhe steigen. Wie groß ist die zu verrichtende Hubarbeit?

o Eine Masse m erfährt im Gravitationsfeld der Erdmasse mE die Kraft F:

o o 㠘 m ˜ mE r 㠘 m ˜ mE o o r F = 㠘 m ˜ mE ˜ = ˜ = ˜ er 2 2 3 r r r r Dieses Zentralfeld ist konservativ und daher ist das Arbeitsintegral (Wegintegral) wegunabhängig: r h

´ oo o ´ E µ µ W = µ F r dr = µ ¶ µ ¶r E C



㠘 mR ˜ mE 2

r

mR  50000 ˜ kg mE  6 ˜ 10

24

§1  1 © rE rE 

dr = 㠘 m R ˜ m E ˜ ¨

Raketenmasse

˜ kg

Erdmasse

6

rE  6.37 ˜ 10 ˜ m

Erdradius

h  600000 ˜ m

Höhe über der Erde

γ  6.673 ˜ 10

 11

· ¸ h ¹

˜

m

3

kg ˜ s

§1  1 © rE rE 

W  㠘 mR ˜ mE ˜ ¨

Gravitationskonstante

2

· ¸ h ¹

W

2.705 u 10

11

J

Seite 458

Hubarbeit

Vektoranalysis

Beispiel 4.7.10: o Auf einen Elektronenstrahl, der mit konstanter Geschwindigkeit v senkrecht in ein homogenes Magnetfeld mit o o  der Flussdichte B eingeschossen wird, wirkt die Lorentz-Kraft FL. Die Lorentz-Kraft wirkt dabei als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn K um die Feldrichtung als Achse (Abb. 4.7.3). Verrichtet das Magnetfeld eine Arbeit an den Elektronen?



o  o o FL = e ˜ v u B



Lorentz-Kraft

Abb. 4.4.7.3

o o  dW = FL ˜ dr = 0

Die Vektoren stehen senkrecht!

Oder:





o o  o o  o o o dW = FL ˜ dr = FL ˜ v ˜ dt = e ˜ v u B ˜ v ˜ dt = 0

Das Spatprodukt verschwindet, weil es zwei gleiche Vektoren enthält!

Damit ist das geschlossene Linienintegral, das die vom Magnetfeld verrichtete Arbeit pro Umlauf beschreibt, gleich null:

W=

´ µ µ ¶

o o  FL dr = 0

K

Seite 459

Vektoranalysis

4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Noch wichtiger als die Integration skalarer Funktionen über Flächen (siehe dazu Band 3) ist z. B. in der Elektrotechnik oder der Dynamik von Gasen oder Flüssigkeiten die Integration von Vektorfeldern. o Zur näheren Erläuterung gehen wir von einem Geschwindigkeitsfeld stationärer Strömungen v aus und betrachten den Flüssigkeitsfluss durch das Flächenelement dA einer Fläche A im Raum (Abb. 4.8.1). Der Fluss durch das Flächenelemenet dA beträgt pro Zeiteinheit: dV dt

o o  o o  = v ˜ dA = § v ˜ n0· ˜ dA

©

(4-208)

¹

o  o  dA ist das orientierte vektorielle Flächenelement der Fläche A in Richtung der Flächennormale n0 (Normaleneinheitsvektor). Die Orientierung der Fläche im Raum ist damit durch die Flächennormale eindeutig festgelegt. Um den Gesamtfluss durch die Fläche A zu erhalten, also die in der Zeiteinheit durch die Fläche A strömende Flüssigkeitsmenge, brauchen wir nur alle Beiträge aufsummieren, d. h. integrieren. Der Gesamtfluss ist durch das folgende Oberflächenintegral oder Flussintegral gegeben: ´ o o ´ µ µ µ v dA = µ ¶ ¶ (A)

o

 §o v ˜ n0· dA © ¹

(4-209)

(A)

Die Integration erfolgt dabei über eine Fläche (A) im Raum (Oberfläche). Dieses Oberflächenintegral wird auch Flussintegral des Vektorfeldes oder Fluss des Feldvektors durch die Fläche A oder auch Flächenintegral des Feldvektors über die orientierte Fläche A genannt. Das Oberflächenintegral wird oft mit zwei Integralzeichen dargestellt. Wird über eine geschlossene Fläche A integriert, so wird auch wie beim geschlossenen Kurvenintegral öfters ein Kreis über das Integralzeichen gezeichnet. Diese Darstellung kann in Mathcad nicht geschrieben werden. Solche Integrale werden auch Hüllenintegrale oder Fluss des Feldvektors durch eine geschlossene Fläche genannt.

Abb. 4.8.1

Seite 460

Vektoranalysis

o Oberflächenintegrale können für alle Arten von Vektorfeldern F bestimmt werden, sie sind natürlich nicht, wie in diesem Beispiel angeführt, auf Geschwindigkeitsfelder beschränkt. Die Berechnung eines Oberflächenintegrals ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

o

 §o F ˜ n0· dA © ¹

(4-210)

(A)

unter Verwendung symmetriegerechter Koordinaten kann stets auf ein Doppelintegral zurückgeführt werden und erfolgt in vier Schritten: 1. Zuerst werden geeignete Koordinaten ausgewählt, die sich der Symmetrie des Problems in optimaler Weise anpassen. Zur Auswahl stehen kartesische Koordinaten oder die bereits öfters erwähnten Zylinder- und Kugelkoordinaten. o   o 2. Anschließend wird die Flächennormale n0 und daraus das Flächenelement dA in den gewählten o  o Koordinaten bestimmt sowie das Skalarprodukt F ˜ dA berechnet. 3. Jetzt werden die Integrationsgrenzen im gewählten Koordinatensystem bestimmt. 4. Anschließend wird das Integral berechnet. o Ist die vom Vektorfeld F( x y z ) durchflutete Fläche A durch einen von den Parametern u und v abhängigen Ortsvektor (4-40)

§¨ x ( u v) o r ( u v) = ¨ y ( u v)

¸· ¸ ¨ z ( u v) ¸ © ¹

(4-211)

gegeben, dann besitzt das Oberflächenintegral die folgende Gestalt: ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´

´

¶

¶

o  o o o µ µ §o F ˜ § tu u tv· du dv F ˜ n0· dA = µ µ © ¹ © ¹

(A)

(4-212)

(A)

Die Integralberechnung erfolgt dann wieder in vier Schritten: 1. Das Vektorfeld wird zunächst durch die Flächenparameter u und v ausgedrückt: o o F( x y z ) o F( u v)

(4-213)

2. Nachdem wir die Tangentenvektoren (4-42) und (4-43) o w o o w o tu = ª¬r ( u v)º¼ und tv = ª¬r ( u v)º¼ wu wv

(4-214)

an die Parameterlinien u und v der Fläche gebildet haben, kann anschließend das Spatprodukt o o o o oo F ˜ § tu u tv· = det § F tu tv· ausgeführt werden.

©

¹

©

¹

3. Bestimmung der Integrationsgrenzen im erhaltenen Doppelintegral. 4. Berechnung des Doppelintegrals.

Seite 461

Vektoranalysis

Bemerkung: Ist auf der räumlichen Fläche A ein Vektorfeld gegeben, das jedem Flächenpunkt die dortige o o  o  Flächennormale n0 zuordnet, also F = n0 , so erhalten wir das folgende Doppelintegral zur Berechnung des Flächeninhaltes A der räumlichen Fläche: ´ µ A= µ ¶ (A)

´ µ 1 dA = µ ¶

´ µ µ ¶

o o t u u t v du dv

(4-215)

(A)

o o Das Flächenelement dA = t u u tv ˜ du ˜ dv wurde bereits in (4-46) festgelegt.

Beispiel 4.8.1: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die im 1. Oktant gelegene Fläche der Ebene x + 2 y + 2 z = 2 (Abb. 4.8.2)?

§ 5 ˜ z ·¸ o ¨ F = ¨ 2 ˜ y ¸

gegebenes Vektorfeld

¨ 2 ¸ © ¹

E1 ( x y z )  x  2 ˜ y  2 ˜ z  2

Ebene als Funktion definiert

x z E1 ( x y)  E1 ( x y z ) = 0 auflösen z o 1  y  2

nach z aufgelöste Gleichung der Ebene

z E2 ( x y)  0

Ebene mit z = 0

z E1 z E2

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 1 Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell QuickPlot-Daten: Bereich 1 Beginn 0, Ende 2, Schrittweite 1 Bereich 2 Beginn 0, Ende 1, Schrittweite 1 Abb. 4.8.2

Seite 462

Vektoranalysis

Die Projektionsfläche A' der gegebenen Fläche A auf die x-y-Ebene im 1. Oktant wird begrenzt durch die Gerade (z = 0): x + 2 y = 2 bzw. y = -1/2 x + 1. Die Ebene der Gleichung x + 2 y + 2 z = 2 kann als eine Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x + 2 y + 2 z aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf dieser Ebene. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§¨ 9 ˜ z ¸· F ( x y z )  ¨ 6 ˜ y ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Vektorfeld

f ( x y z )  x  2 ˜ y  2 ˜ z

skalares Feld

· §w ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

n0 ( x y z ) 

1 ¨§ ¸· ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹ §¨ 1 ¸· ∇x y z f ( x y z ) o ¨ 2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

∇3 ( f x y z )

T

n0 ( x y z ) o

∇3 ( f x y z )

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) o 3 ˜ z  4 ˜ y  2 x  2 ˜ y  2 ˜ z = 2 auflösen z o 1  y  F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) ersetzen z =

1 2

§1 2 2· ¨ ¸ ©3 3 3¹

Gradient des skalaren Feldes

mit Mathcad eigenen Operator ausgewertet

Normaleneinheitsvektor

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen x

gegebene Ebene nach z auflösen

2

˜ x y 1 o 5  7˜ y

3˜ x

z im Skalarprodukt ersetzen

2

Die Projektion des differentiellen Flächenelements dA in die x-y-Ebene ergibt das infinitesimale Rechteck mit  o dem Flächeninhalt dA' = dy dx. Andererseits ist aber diese Projektion auch das skalare Produkt dA mit dem o  Einheitsvektor ez . Es gilt daher:

§¨ 1 ¸· ¨ 3 ¸ §0 · o o  o  o   ¨2¸ ¨ ¸ 2 dA' = dA ˜ ez = dA ˜ § n0 ˜ ez· = dA ˜ ¨ ¸ ˜ ¨ 0 ¸ = dA ˜ = dy ˜ dx © ¹ 3 ¨ 3 ¸ ¨© 1 ¸¹ ¨2¸ ¨© 3 ¸¹ dA =

3 2

˜ dy ˜ dx

das gesuchte Flächenelement dA

Wir integrieren nun über den Bereich A', der sich durch die Projektion der gegebenen Fläche A auf die x-y-Ebene im 1. Oktant ergibt. Die Integration verläuft von x = 0 bis x = 2 und von y = 0 bis y = -1/2 x + 1.

Seite 463

Vektoranalysis

Das Oberflächenintegral (Flussintegral) ergibt sich dann zu: ´ µ § 5  3 ˜ x  7 ˜ y· ˜ 3 ˜ dy dx = 3 ˜ µ ¨ ¸ 2 2 µ © ¹ 2 ¶

´ ´ o  o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ µ ¶ ¶ (A)

2

0

´ µ µ µ ¶



1 2

˜x 1

5

3 2

˜ x  7 ˜ y dy dx

0

(A' )

´ 3 µ ˜µ 2 µ ¶

2

0

´ µ µ µ ¶



1 2

˜ x 1

§ 5  3 ˜ x  7 ˜ y· dy dx o 5 ¨ ¸ 2 2 © ¹

0

Beispiel 4.8.2: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch einen Zylindermantel A, wobei der Radius des Zylinders R = 5 und die Höhe h = 10 ist? o F=

§y· ¨ ¸ ¨x¸ ¨ 2¸ ©z ¹

gegebenes Vektorfeld

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

h  10

Höhe des Zylinders

ρ 5

Radius des Zylinders

i  0  80 φi  i ˜

2π 80

j  0  80 zj 



Xzi j  ρ ˜ cos φi

j 80

Bereichsvariablen ˜h

Vektoren der Winkel M und z-Werte



Yzi j  ρ ˜ sin φi

Zz i j  z j

Matrizen der x-, y- und z-Werte (Zylinderkoordinaten)

Zylinder Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktiv

Abb. 4.8.3 ( Xz Yz Zz )

Seite 464

Vektoranalysis

Der Zylindermantel mit der Gleichung x2 + y2 = 25 und 0 d z d 10 kann als Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x2 + y2 aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf diesen Zylindermantel. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§y· ¨ ¸ F ( x y z )  ¨ x ¸ ¨ 2¸ ©z ¹ 2

Vektorfeld

2

f ( x y z )  x  y

skalares Feld

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

2˜ x· ¨§ ¸ ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

∇3 ( f x y z )

n0 ( x y z ) 

T

§¨ 2 ˜ x ¸· ∇x y z f ( x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

Gradient des skalaren Feldes

mit Mathcad eigenen Operator ausgewertet

∇3 ( f x y z )

n0 ( x y z ) o

x «ª «¬  x 2   y 2

y



x

Für die Punkte auf dem Zylindermantel gilt Flächennormale zu:

2  

2

y

2

º »¼

0»

Normaleneinheitsvektor

2

x  y = 5. Damit ergibt sich die benötigte

§¨ x ¸· n0 ( x y z )  ˜ ¨y ¸ 5 ¨ ¸ ©0 ¹ 1

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o

2˜ x˜ y 5

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen

Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Zylinderfläche natürlich Zylinderkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z )

ersetzen x = 5 ˜ cos ( φ) o 10 ˜ cos ( φ) ˜ sin ( φ) ersetzen y = 5 ˜ sin ( φ)

Dieses Ergebnis kann mit 2 sin(M) cos(M) = sin(2 M) vereinfacht werden. Das Flächenelement dA ergibt sich nach (4-82) zu: dA = ρ ˜ dz ˜ dφ = 5 ˜ dz ˜ dφ

Seite 465

Vektoranalysis

Die Integration verläuft von z = 0 bis z = 10 und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch den Zylindermantel lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Zylinderkoordinaten berechnen: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)

´ 5 ˜ sin ( 2 ˜ φ) ˜ 5 ˜ dz dφ = 25 ˜ µ ¶

2π

0

´ µ ¶

10

sin ( 2 ˜ φ) dz dφ

0

(A)

´ 25 ˜ µ ¶

2π

0

´ µ ¶

10

sin ( 2 ˜ φ) dz dφ o 0

0

Der Gesamtfluss des Vektorfeldes ist durch den gesamten Zylindermantel null! Beispiel 4.8.3: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die geschlossene Halbkugelschale x 2 + y2 + z 2 = 1, z t 0? o F=

§ y · ¨ ¸ ¨x ¸ ¨ 2¸ ©x ¹

gegebenes Vektorfeld

ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

n  80 i  0  n ϑi 

π 2˜ n

j  0  n ˜i



φj 



Xi j  sin ϑj cos φi

Bereichsvariablen

2˜ π n

j

Vektoren der Winkel - und M

 

Zi j  cos ϑj

Yi j  sin ϑj sin φi



Matrizen der x-, y- und z-Werte (Kugelkoordinaten)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm 3D-Rahmen Darstellung: Fläche füllen, Gouraud-Schatten, keine Linien Beleuchtung: Beleuchtung aktiv, Licht Richtung Licht1:1,0,4 und Licht2:1,1,1

Abb. 4.8.4 ( X Y Z)

Seite 466

Vektoranalysis

Die durch die Gleichung x 2 + y2 + z 2 = 1, z t 0 beschriebene Oberfläche einer Halbkugel kann als Niveaufläche des skalaren Feldes f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 aufgefasst werden. Der Gradient dieser Funktion steht überall senkrecht auf dieser Fläche. Es lässt sich daher daraus mit (4-112) der Normaleneinheitsvektor (Flächennormale) berechnen:

§ y · ¨ ¸ F ( x y z )  ¨ x ¸ ¨ 2¸ ©x ¹ 2

Vektorfeld

2

f ( x y z )  x  y  z

2

skalares Feld

§w · ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹ n0 ( x y z ) 

T

n0 ( x y z ) o

∇3 ( f x y z ) ∇3 ( f x y z )

2˜ x· ¨§ ¸ ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨2 ˜ z ¸ © ¹

Gradient des skalaren Feldes

Normaleneinheitsvektor

x ª« «¬  x 2   y 2   z 2

y



Für die Punkte auf der Halbkugeloberfläche gilt Flächennormale zu:

x

2   2

y

º»  x 2   y 2   z 2 »¼ z

2  

2

z

2

2

x  y  z = 1. Damit ergibt sich die benötigte

§¨ x ¸· n0 ( x y z )  ¨ y ¸ ¨z ¸ © ¹ 2

F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o x ˜ z

Skalarprodukt des Vektorfeldes mit der Flächennormalen

Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Kugeloberfläche natürlich Kugelkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 F ( x y z ) ˜ n0 ( x y z )

2

§ cos ( 2 ˜ ϑ)  1 · ¸ 2¹ 2 ©

ersetzen x = sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)o cos ( φ) ˜ cos ( ϑ) ˜ ¨ ersetzen z = cos ( ϑ)

§ cos ( 2 ˜ ϑ)  1 · = sin ( ϑ) 2 ¸ 2 2¹ ©

¨

Das Flächenelement dA ergibt sich nach (4-95) zu: 2

dA = r ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ = 1 ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ

Seite 467

Vektoranalysis

Die Integration verläuft von - = 0 bis - = S/2 und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch die Halbkugelschale lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Kugelkoordinaten berechnen: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A) ´ µ µ ¶

(A)

2π

0

´ µ 2 2 sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ = µ ¶

3

2

sin ( ϑ) ˜ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) ˜ dϑ dφ

(A)

π

´2 µ π 3 2 µ sin ( ϑ) ˜ cos ( ϑ) ˜ cos ( φ) dϑ dφ o ¶ 4 0

Wie würde dann wohl der Gesamtfluss durch die gesamte Oberfläche der Kugel lauten? Beispiel 4.8.4: o Wie groß ist der Fluss des homogenen Feldes E durch den Grafen der Funktion f(x,y) = x y + y2 über der Kreisscheibe K: x2 + y2 d 9? o E=

§0 · ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨E ¸ © 3¹

gegebenes homogenes Vektorfeld

§ u · ¨ ¸ v r ( u v)  ¨ ¸ ¨ 2¸ ©u ˜ v  v ¹

die gegebene Funktion durch einen Ortsvektor beschrieben (Parametrisierung der Funktion)

§¨ 1 ¸· tu ( u v) = r ( u v) = ¨ 0 ¸ wu ¨v ¸ © ¹

0 ·¸ ¨§ 1 tv ( u v) = r ( u v) = ¨ ¸ wv ¨u  2 ˜ v¸ © ¹

§¨ 1 ¸· tu ( u v)  ¨ 0 ¸ ¨v ¸ © ¹

0 ·¸ ¨§ tv ( u v)  ¨ 1 ¸ ¨u  2 ˜ v¸ © ¹

v ¨§ ¸· tu ( u v) u tv ( u v) o ¨ u  2 ˜ v ¸ ¨ ¸ 1 © ¹

Vektorprodukt der Tangentenvektoren

w

§0 · ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ˜  tu ( u v) u tv ( u v) o E3 ¨E ¸ © 3¹

w

oder

0 §0 1 · ¨ ¸ 1 ¨0 0 ¸ o E3 ¨E v u  2 ˜ v¸ © 3 ¹

Seite 468

Tangentenvektoren

Ergebnis des Spatproduktes

Vektoranalysis

´ ´ o o ´ o  o µ µ µ = = d d F A F A ˜ n 0 µ µ µ ¶ ¶ ¶ (A)

(K)

´ o o o µ F ˜ § tu u tv· du dv = µ © ¹ ¶

(K)

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

E 3 du dv = 9 ˜ π ˜ E 3

Die Kreisfläche hat den Flächeninhalt von 9 S.

(K)

Der Fluss hängt gar nicht von der Funktion f ab, er ist für alle Grafen über der Kreisscheibe (K) gleich. Beispiel 4.8.5: Durch die Gleichung z 2 = x2 + y2 und 0 d z d 5 wird ein Kegelmantel (Abb. 4.8.5) beschrieben. Wie groß ist die Mantelfläche M dieses Kegels? i  0  30 φi  i ˜

2˜ π 30

j  0  30 r1j  j ˜

Bereichsvariablen 5 30

r2j  j ˜

5



Y1i j  r1j sin φi



Y2i j  r2j sin φi

X1i j  r1j cos φi X2i j  r2j cos φi

Vektoren der Winkelwerte und Radien

30

 

Z1i j  r1j Z2i j  0

Matrizen der x-, y- und z-Werte des Kegels (Parameterdarstellung) Matrizen der x-, y- und z-Werte für konzentrische Kreise in der x-y-Ebene (Parameterdarstellung)

Diagrammformat: Diagramm 1: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell Diagramm 2: Allgemein: Flächendiagramm Ecke, Rahmen anzeigen Darstellung: Fläche füllen, Drahtmodell

Abb. 4.8.5 ( X1 Y1 Z1) ( X2 Y2 Z2)

x § · ¨ ¸ y r ( x y)  ¨ ¸ ¨ 2 2¸ © x y ¹

Kegelmantel durch einen Ortsvektor dargestellt (Parametrisierung der Funktion)

Seite 469

Vektoranalysis

1 ·¸ §¨ 0 ¨ ¸ w tx ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ x wx ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

0 ·¸ §¨ 1 ¨ ¸ w ty ( x y) = r ( x y) = ¨ ¸ y wy ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

1 §¨ ¸· 0 ¨ ¸ tx ( x y)  ¨ ¸ x ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

0 §¨ ¸· 1 ¨ ¸ ty ( x y)  ¨ ¸ y ¨ ¸ ¨© x2  y2 ¸¹

x · § ¨ ¸ 2 2 ¨ x y ¸ ¨ ¸ y tx ( x y) u ty ( x y) o ¨ ¸ ¨ x2  y2 ¸ ¨ ¸ 1 © ¹

Vektorprodukt der Tangentenvektoren

2

2

x  y = ρ, so erhalten wir für den Betrag des Vektorproduktes:

Setzen wir als Abkürzung 2

tx ( x y) u ty ( x y) =

Tangentenvektoren

x

2

ρ

2



y

2

2

1=

2

ρ ρ

=

2

2

ρ

ρ

Die Mantelfläche berechnet sich nach (4-215). Der Integrationsbereich entspricht dabei der Projektion des Kegelmantels in die x-y-Ebene (Abb. 4.8.5), also einem Kreis mit Radius r = 5.

M=

´ µ µ ¶

1 dA =

(A)

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

(A)

o o t x u t y dx dy =

2˜

´ µ µ ¶

´ µ µ ¶

1 dx dy =

2 ˜ 25 ˜ π

(A)

Das Doppelintegral bedeutet den Flächeninhalt A = r2 S = 52 S des Kreises der Projektionsfläche. Im Folgenden seien noch einige Spezialfälle aufgelistet: o  o 1. Der Fluss eines homogenen Vektorfeldes F = const durch eine beliebige geschlossene Fläche A im Raum (Oberfläche) verschwindet: ´ o o µ µ F dA = 0 ¶

(4-216)

(A)

Seite 470

Vektoranalysis

2. Der Fluss eines zylindrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Zylinders: Der Fluss eines zylindrischen Vektorfeldes o o  F = f ( ρ) ˜ eρ

(4-217)

durch die geschlossene Oberfläche A eines (koaxialen) Zylinders mit Radius U = r und Höhe h um die z-Achse beträgt ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´ o  ´ o o µ µ § §oF ˜  · F ˜ eρ· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 2 ˜ π ˜ r ˜ h n0 dA = µ µ © © ¹ ¹ ¶

(4-218)

¶

(A)

(A)

(M)

Das letzte Doppelintegral repräsentiert die Mantelfläche M = 2 S r h des Zylinders. 3. Der Fluss eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel: Der Fluss eines kugelsymmetrischen Vektorfeldes o o F = f ( r) ˜ er

(4-219)

durch die geschlossene Oberfläche A einer Kugel mit Radius r beträgt ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

´ o o ´ o 2 µ § µ §oF ˜  F ˜ er· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r n0· dA = µ © µ © ¹ ¹ ¶

(4-220)

¶

(A)

(A)

(A)

Das letzte Doppelintegral repräsentiert die Kugeloberfläche A = 4 S r2 . Bemerkung: Für Zentralfelder, vom Typ f ( r) =

c 2

, gilt unabhängig vom Kugelradius

r

´ o o c µ 2 2 µ F dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r = 2 ˜ 4 ˜ π ˜ r = 4 ˜ π ˜ c = const ¶ r (A)

(4-221)

Der Vektorfluss durch konzentrische Kugelschalen bleibt also konstant.

Beispiel 4.8.6: Ein positiv geladener linearer Leiter mit der Ladungsdichte O (Ladung pro Längeneinheit) und der elektrischen o Feldkonstante H0 besitzt in der Umgebung ein zylindrisches oder axialsymmetrisches elektrisches Feld E( ρ). Wie groß ist der Fluss des Feldstärkevektors durch die geschlossenen Oberfläche (A) eines koaxialen Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h?

Seite 471

Vektoranalysis

o E( ρ) =

λ 2 ˜ π ˜ ε0 ˜ ρ

o o   ˜ eρ = f ( ρ) ˜ eρ

gegebener Feldstärkevektor (U > 0)

Für U = r und (4-216) gilt: ´ µ µ ¶

´ o  ´ o o  λ λ˜h µ µ § §o E ˜ eρ· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 2 ˜ π ˜ r ˜ h = E ˜ n0· dA = ˜ 2˜ π˜ r˜ h = µ µ © © ¹ ¹ 2 ˜ π ˜ ε0 ˜ r ε0 ¶ ¶

(A)

(A)

(A)

Der Fluss durch die Zylinderoberfläche ist unabhängig vom Radius r des Zylinders und proportional zu h. Beispiel 4.8.7: Eine positiv geladene Punktladung Q (Beispiel 4.4.19) besitzt ein kugel- oder radialsymmetrisches o elektrisches Feld E( r). Wie groß ist der Fluss dieses Vektorfeldes durch die Oberfläche (A) einer konzentrischen Kugel mit dem Radius r? o E( r) =

Q 2

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

o o ˜ er = f ( r) ˜ er

gegebener Feldstärkevektor (r > 0)

Mit (4-218) gilt: ´ µ µ ¶

o

´

´

 o o 2 µ µ § §o E ˜ er· dA = f ( r) ˜ 1 dA = f ( r) ˜ 4 ˜ π ˜ r = E ˜ n0· dA = µ µ © © ¹ ¹ ¶ ¶

(A)

(A)

Q

2

2

˜ 4˜ π˜ r =

4 ˜ π ˜ ε0 ˜ r

Q ε0

(A)

Der Fluss durch die Kugeloberfläche ist unabhängig vom Radius r. Beispiel 4.8.8: o Wie groß ist der Fluss der stationären Strömung v durch eine Kugeloberfläche (KO) vom Radius r um den Ursprung? o v =

o x



o 3 x

gegebenes Geschwindigkeitsfeld der stationären Strömung

Zur Berechnung des Flusses verwenden wir natürlich Kugelkoordinaten. Die Integration verläuft dann von - = 0 bis - = S und von M = 0 bis M = 2 S. Der Fluss durch die Kugeloberfläche lässt sich dann durch folgendes Doppelintegral in Kugelkoordinaten berechnen:  o o dA = r ˜ x ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ

das vektorielle Flächenelement in Kugelkoordinaten

Seite 472

Vektoranalysis

´ ´ o ´ o o µ o µ x µ µ µ µ v dA = µ 3 dA = µ ¶ µ µ r ¶ ¶ (KO) 3

(KO) 2˜π

´ ˜µ 3 ¶ 0 r r

´ µ ¶

´ o µ o µ x ˜ r ˜ x ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ = µ 3 µ r ¶

3

2˜π

´ ˜µ 3 ¶ 0 r r

´ µ ¶

π

sin ( ϑ) dϑ dφ

0

(KO)

π

sin ( ϑ) dϑ dφ o 4 ˜ π

0

Der Fluss ist insbesondere unabhängig vom Radius r der Kugel (4-221). Das kann auch erwartet werden, weil die Stärke der Strömung quadratisch mit dem Radius abnimmt, während die Fläche der Sphäre quadratisch mit dem Radius wächst.

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes Mit diesen Integralsätzen wird die Beziehung zwischen Kurvenintegralen, Oberflächenintegralen und mehrdimensionalen Integralen hergestellt. Sie verknüpfen die lokalen Größen Divergenz und Rotation mit globalen Größen. Der Integralsatz von Gauß: Wir haben bereits früher die Divergenz eines Vektorfeldes als seine Quelldichte eingeführt. Betrachten wir die Fluss-Bilanz über die Oberfläche eines dreidimensionalen Bereichs V, so ist aus physikalischen Gründen einleuchtend, dass der Überschuss des austretenden Flusses über den eintretenden gerade die gesamte Quelle im Inneren des Bereichs wiedergibt. Das heißt, dass der Fluss durch die Oberfläche eines Volumens gleich der Summe seiner Quellen ist oder was im Volumen an Feld entsteht (beschrieben durch die Divergenz oder Quellstärke), strömt durch die Oberfläche hinaus. Sei V ein kompakter Bereich (Volumen), dessen Rand A (Hüllfläche, die das Volumen umschließt) eine Fläche im Sinne des letzten Abschnittes. Die Parametrisierung dieser Fläche sei wieder so gewählt, dass die Normale überall aus dem Bereich V heraus weist. o Sei F ( x y z ) ein Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von V mit stetigen partiellen Ableitungen. Dann gilt: ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)

(A)



´ o  o µ §o F ˜ n0· dA = µ div F dV © ¹ ¶

(4-222)

(V)

Im Stömungsmodell hat das Vektorfeld die Bedeutung des Geschwindigkeitsfeldes einer strömenden Flüssigkeit. Der Integralsatz von Gauß besagt dann (von links nach rechts gelesen), dass die Flüssigkeitsmenge, die in der Zeiteinheit durch die geschlossene Hülle A fließt, gleich ist, der im Gesamtvolumen V in der Zeiteinheit "erzeugte" bzw. "vernichtete" Flüssigkeitsmenge. Mathematisch heißt dies, dass ein Oberflächenintegral eines Vektorfeldes über eine geschlossene Oberfläche eines Volumens in ein Volumenintegral über die Divergenz des Vektorfeldes umgewandelt werden kann und umgekehrt.



o Bei einem quellenfreien Vektorfeld ( div F = 0 ) ist der Gesamtfluss durch die geschlossene Oberfläche A gleich null!

Seite 473

Vektoranalysis

Eine Anwendung des Integralsatzes von Gauß findet sich z. B. in der Darstellung der 1. MaxwellGleichung: o o Die Quellstärke des elektrischen Feldes E ist durch die Ladungsdichte ρ r = ρ ( x y z ) bestimmt:





o o o ρ r div E = ∇ ˜ E = ε0



differentielle Form der 1. Maxwell-Gleichung

(4-223)

Die Integration der differentiellen Form über ein Volumen V liefert: ´ µ µ ¶

´ µ o div E dV = µ µ µ ¶

(V)

(V)



 dV

o ρ r

(4-224)

ε0

Die Anwendung des Integralsatzes von Gauß auf die linke Seite liefert schließlich: ´ ´ o o µ µ µ µ E dA = µ ¶ µ ¶ (A)

 dV

o ρ r ε0

Integraldarstellung der 1. Maxwell-Gleichung

(4-225)

(V)

Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche) im dreidimensionalen Raum ist gleich der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladung.

Beispiel 4.9.1: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes F durch die Oberfläche eines Zylinders, wie in Abb. 4.8.3 dargestellt, mit dem Radius r = 3 und h = 10?

§ o ¨x F=¨ y

· ¸ ¸ ¨ ¸ © z ¹ 3

gegebenes Vektorfeld

Es gilt nach (4-222): ´ ´ o  o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)



o div F dV

(V)

Wir versuchen das Volumenintegral zu berechnen:



o 2 2 w 3 w w div F = x  y  z = 3 ˜ x  1  1 = 3 ˜ x wx wy wz

Divergenz des Vektorfeldes

Seite 474

Vektoranalysis



´ µ µ ¶

´ o µ div F dV = 3 ˜ µ ¶

(V)

2

zu berechnendes Volumenintegral

x dV

(V)

Mithilfe der Zylinderkoordinaten erhalten wir: ´ µ 2 x dV = 3 ˜ µ ¶

´ µ 3˜ µ ¶ (V)

2

( ρ ˜ cos ( φ) ) ˜ ρ ˜ dz ˜ dρ dφ

(V)

Die Integrationsgrenzen dieses Dreifachintegrals lauten: z = 0 bis z = 10, U = 0 bis U = 3, M = 0 bis M = 2 S: ´ µ 3˜ µ ¶

´ x dV = µ ¶

2˜π

2

0

´ µ ¶

3

0

´ µ ¶

10 3

2

ρ ˜ cos ( φ) dz dρ dφ

vereinfacht auf

0

´ µ 3˜ µ ¶

2

x dV =

405 ˜ π 2

Der Fluss des Vektorfeldes durch die geschlossenen Zylinderfläche A beträgt demnach: ´ o  ´ o µ µ F ˜ n0 dA = µ µ ¶ ¶ (A)



o 405 div F dV = ˜π 2

(V)

Beispiel 4.9.2: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes v durch die Oberfläche einer Vollkugel V um den Ursprung O(0|0|0) mit dem Radius r? o v =

o r



o 3 r

=

o r

§ x2  y2  z2· © ¹

3

gegebenes Vektorfeld

o Auf dieses Vektorfeld kann der Integralsatz von Gauß nicht angewendet werden, denn v ist auf V nicht o differenzierbar. Im Ursprung O(0|0|0) ist es nicht einmal stetig! Überall sonst in 3 ist allerdings div v = 0.. Wir betrachten nun als Bereich V eine Hohlkugel um den Ursprung mit dem inneren Radius r1 und äußeren Radius r 2 . Wir bezeichnen mit A1 die innere Kugelfläche und mit A 2 die äußere Kugelfläche (Abb. 4.9.1).



Auf A2 zählt der Fluss weg vom Nullpunkt positiv, auf A1 aber negativ, Abb. 4.9.1

weil das aus V herausragende vektorielle Oberflächenelement in die kleine Kugel hineinzeigt!

Seite 475

Vektoranalysis

Nach dem Integralsatz von Gauß ist wegen des Verschwindens der Divergenz und wegen der Orientierung der beiden Randkomponenten A1 und A2 der Fluss gleich null: ´ µ µ ¶

o µ div  v dV = µ

V

A1

´ o v dA 1  ¶

´ o µ µ v dA 2 = 0 ¶

A2

Beispiel 4.9.3: Wir betrachten einen positiv geladenen, sehr langen Zylinder mit Radius R und Länge L mit der konstanten o Ladungsdichte Uel mit der z-Achse als Zylinderachse wie in Abb 4.8.3. Wie groß ist die Feldstärke E des elektrischen Feldes im Innen- und Außenraum des Zylinders (Abb. 4.9.2)?

Abb. 4.9.2

o Für den Fluss des Feldstärkevektors E durch die Zylinderoberfläche A gilt nach dem Integralsatz von Gauß (4-222):



´ o o ´ µ µ µ E dA = µ ¶ ¶ (A)

´ o  o µ §o E ˜ n0· dA = µ div E dV © ¹ ¶

(A)

(V)

Wegen der Zylindersymmetrie gilt für das elektrische Feld und für den Normaleneinheitsvektor: o o  E = E ( ρ) ˜ eρ

o  o  n0 = eρ

und

o o  o o   E ˜ n0 = E ( ρ) ˜ eρ ˜ eρ = E ( ρ) Wegen der fehlenden Feldstärkekomponenten in Richtung der z-Achse kann die Integration im Oberflächenintegral auf den Zylindermantel AM beschränkt werden. Der Integralsatz von Gauß lautet damit: ´ µ µ ¶ (A)

E ( ρ) dA =

´ µ µ ¶

(AM)

´ µ E ( ρ) dA = µ ¶



o div E dV

(V)

Seite 476

Vektoranalysis

E(U) ist auf dem Mantel des Zylinders mit Radius U konstant und das Doppelintegral bedeutet dann die Mantelfläche des Zylinders: ´ µ µ ¶

E ( ρ) dA = E ( ρ) ˜

(AM)

´ µ µ ¶

1 dA = E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L

(AM)

Der Integralsatz von Gauß reduziert sich dann auf:



´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

o div E dV

(V) Das Volumenintegral (Dreifachintegral) muss für zwei verschiedene Fälle berechnet werden. Zuerst betrachten wir den Innenraum (U d R) des geladenen Zylinders mit der konstanten Ladungsdichte Uel. Hier gilt nach der



o o ρel 1. Maxwell-Gleichung (4-221): div E = ∇ ˜ E = . ε0 Demnach ergibt sich mithilfe des Integralsatzes von Gauß die elektrische Feldstärke im inneren des Zylinders: ´ ρel o µ ρel dV = div E dV = µ ε0 µ ε0 ¶ (V) (V)



´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

E ( ρ) =

ρel 2 ˜ ε0

´ µ ˜ µ ¶

1 dV =

ρel ε0

2

˜ρ ˜π˜L

(V)

Das letzte Dreifachintegral repräsentiert das Volumen des koaxialen Zylinders mit dem Radius U und der Länge L.

elektrische Feldstärke im Inneren des geladenen Zylinders (U d R)

˜ρ



o Im Außenraum (U > R) des geladenen Zylinders ist das elektrische Feld quellenfrei, denn es gilt: div E = 0. Demnach liefert für U > R das Volumenintergal keinen Beitrag. Damit kann die Integration auf das Volumen VR des Zylinders beschränkt werden: ´ ρel o µ ρel dV = div E dV = µ ε0 µ ε0 ¶ (VR) (VR)



´ µ E ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ ˜ L = µ ¶

´ µ ˜ µ ¶

1 dV =

ρel ε0

2

˜R ˜π˜L

Das letzte Dreifachintegral repräsentiert das Volumen des Zylinders mit dem Radius R und der Länge L.

(VR)

2

E ( ρ) =

ρel ˜ R

2 ˜ ε0

ε 0  8.854 ˜ 10 R  5 ˜ cm

˜

1

elektrische Feldstärke im Außenraum des geladenen Zylinders (U t R)

ρ

 12

˜

F

elektrische Feldkonstante

m gewählter Zylinderradius

Seite 477

Vektoranalysis

C

5

ρel  10 ˜

m

gewählte Ladungsdichte

2

ρ  0 ˜ cm 0.01 ˜ cm  30 ˜ cm ρel

E ( ρ) 

2 ˜ ε0

Bereichsvariable

˜ ρ if ρ d R elektrische Feldstärke des homogenen und positiv geladenen Zylinders

2

ρel ˜ R

2 ˜ ε0

˜

1 ρ

if ρ ! R

Elektrische Feldstärke

14

3u 10

R

E( R )

14

2u 10 E( ρ)

Abb. 4.9.3

14

1u 10

0

0

0.1

0.2

0.3

ρ elektrische Feldstärke bei einem homogenen Zylinder

Der Integralsatz von Stokes: Sei A eine (parametrisierte) Fläche im Raum 3 mit stückweiser glatter, orientierter und geschlossener Randkurve C. Die Orientierung der Randkurve wird wie folgt festgelegt: Ein Beobachter, der in die o  o  Richtung dA = n0 ˜ dA blickt, durchläuft die Randkurve C dabei so, dass die Fläche links liegen bleibt. Dies gilt auch für Flächen, die von mehreren (einfach) geschlossenen Kurven begrenzt werden (Abb. 4.9.4). o Sei F ( x y z ) ein Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von A mit stetigen partiellen Ableitungen. Dann gilt: ´ o o ´ µ µ µ F dr = µ ¶ ¶ C

(A)



o o ´ µ rot F dA = µ ¶



o o  rot F ˜ n0 dA

(4.226)

(A)



o Das rechts stehende Flächenintergral beschreibt den Fluss des Vektors rot F durch die Fläche A und wird auch als Wirbelfluss bezeichnet.

Seite 478

Vektoranalysis

Der Integralsatz von Stokes bedeutet dann (von rechts nach links gelesen), dass der Wirbelfluss eines o o Vektors F durch eine Fläche A gleich der Zirkulation von F längs der Randkurve C dieser Fläche ist. Oder anders ausgedrückt: Alles, was an Wirbeln innerhalb der Fläche A entsteht (beschrieben durch die Rotation oder Wirbelstärke), addiert sich zu einer Gesamtzirkulation entlang der Umrandung C. Mathematisch heißt dies, dass ein Kurven- oder Linienintegral eines Vektorfeldes über eine geschlossene Kurve C in ein Flächenintegral über die Rotation des Vektorfeldes umgewandelt werden kann und umgekehrt.

Abb. 4.9.4

Der Wirbelfluss durch eine geschlossene Fläche A (Oberfläche eines räumlichen Bereichs wie z.B. die Kugel- oder Würfeloberfläche) ist gleich null: ´ o o ´ µ µ µ F dr = µ ¶ ¶



o o ´ µ rot F dA = µ ¶



o o  rot F ˜ n0 dA = 0

(4-227)

C (A) (A) o Ist F = grad ( f) ein Vektorfeld, welches ein Potential f besitzt und A eine geschlossene Fläche (Oberfläche eines räumlichen Bereichs), dann gilt nach (4-227): ´ o o ´ µ µ =  d F r µ µ ¶ ¶ C

o rot ( grad ( f) ) dA und rot ( grad ( f) ) = 0

(4-228)

(A)



o o o Sei F = rot w ein Vektorfeld, welches ein Vektorpotential w besitzt. Dann gilt für jede geschlossene Fläche A (Oberfläche eines räumlichen Bereichs) nach dem Satz von Stokes ´ o o ´ µ µ µ F dA = µ ¶ ¶ (A)



o o rot w dA = 0

(4-229)

(A)

Das ist eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Vektorpotentials, so wie (4-226) eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines gewöhnlichen Potentials ist. o Für den Fall eines ebenen Vektrofeldes F vereinfacht sich der Satz von Stokes zu: ´ o o ´ µ µ = d F r µ µ ¶ µ ¶ C

´ µ µ µ ¶

§w · w ¨ Fy  Fx¸ dx dy (Green'sche Formel) wy ¹ © wx

(A)

Seite 479

(4-230)

Vektoranalysis

Eine Anwendung des Integralsatzes von Gauß findet sich z. B. in der Darstellung der 3. und 4. MaxwellGleichung, die das magnetische und das elektrische Feld miteinander verbinden. Dieses Gesetz wird Ampere'sches Gesetz genannt. o Das Ampere'sche Gesetz besagt, dass wir durch einen Strom i oder die Änderung eines elektrischen o Flusses ) ein Magnetfeld B erhalten. Dieses Feld umschließt den Strom bzw. den sich ändernden elektrischen Fluss. Im einfachsten Fall eines stromdurchflossenen Drahtes erhalten wir ein kreisförmiges Magnetfeld um den Draht, bei mehreren stromdurchflossenen Drähten ergibt sich ein aus geschlossenen Magnetfeldlinien bestehendes Feld um diese Drähte. Diese geschlossenen Feldlinien sind typisch für ein Wirbelfeld. Differentielle Form des Ampere'schen Gesetzes:



o o o wo rot B = ∇ u B = μ0 ˜ ε 0 ˜ E  μ0 ˜ i wt

(4-231)

Die Integration der differentiellen Form über die Fläche A und die Anwendung des Satzes von Stokes liefert die Integralform: ´ ´ o o ´ o o µ wo o µ µ E dA =  ˜ d μ ˜ d A μ ˜ ε B r i 0 µ 0 0 µ µ ¶ ¶ µ wt ¶ C

(4-232)

(A)

Beispiel 4.9.4: o Mit einem gegebenen Vektorfeld F soll der Integralsatz von Stokes demonstriert werden. Die Fläche sei dabei die obere Halbsphäre (Mantelfläche der oberen Halbkugel z t 0) vom Radius R. Die Randkurve der oberen Halbsphäre ist der Kreis vom Radius R.

§ y3 · ¨ ¸ F1 ( x y z )  ¨ 2 ¸ x ¨ ¸ ©z ¹

gegebenes Vektorfeld

Wir berechnen zuerst das Randintegral:  o r ( t) =

Randkurve (Kreis) in der x-y-Ebene mit positiven Umlaufsinn (0 d t d 2 S)

´ µ 2˜π o o ´ o o §d  o· µ F r ( t ) ˜ ¨ r ( t ) ¸ dt = µ F dr = µ µ µ © dt ¹ ¶ 0 µ ¶

2˜π



´ µ µ ¶ C ´ µ ¶

§¨ R ˜ cos ( t) ·¸ ¨ R ˜ sin ( t) ¸ ¨ ¸ 0 © ¹

§ R3 ˜ sin ( t) 3 · § R ˜ sin ( t) · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ R2 ˜ cos ( t) 2 ¸ ˜ ¨ R ˜ cos ( t) ¸ dt ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¹ 0 © ¹ ©

0

2˜π

R4 ˜ sin (t)4  R3 ˜ cos (t)3 dt

4

vereinfacht auf



0

Seite 480

3˜ π˜ R 4

Vektoranalysis

Berechnung des Flächenintegrals (Wirbelfluss): ORIGIN  0

ORIGIN festlegen

§w · w ¨ R ( x y z) 2  R ( x y z ) 1 ¸ wz ¨ wy ¸ ¨w ¸ w rot3 ( R x y z )  ¨ R ( x y z ) 0  R ( x y z ) 2 ¸ wx ¨ wz ¸ ¨w ¸ w ¨ R ( x y z) 1  R ( x y z) 0 ¸ wy © wx ¹

mögliche Definition der Rotation mit Mathcad

0 · § ¨ ¸ 0 rot3 ( F1 x y z ) o ¨ ¸ ¨ 2¸ ©2 ˜ x  3 ˜ y ¹

Rotation des Vektorfeldes

 o o Mithilfe von Kugelkoordinaten und dem vektoriellen Oberflächenelement dA = R ˜ sin ( ϑ) ˜ r erhalten wir: ´ µ ´ o o µ µ µ rot F dA = µ ¶ µ µ (A) ¶

0 § · ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ¨ 2¸ ©2 ˜ x  3 ˜ y ¹



´ µ o µ dA = µ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 µ µ µ µ ¶

0 · § ¨ ¸ 0 ¨ ¸ dϑ dφ ¨ 2 2 2¸ © 2 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¹

0

(A)

´ µ µ µ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 µ µ µ µ ¶

0 § · §¨ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ¸· ¨ ¸ 0 ¨ ¸ ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ ¨ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¸ dϑ dφ ¨ ¸ ¨ 2 2 2¸ R ˜ cos ( ϑ) © ¹ © 2 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ) ¹

0

vereinfacht auf

3 4

4

˜π˜R

Der Satz von Stokes ist damit erfüllt. Wir versuchen das Flächenintegral noch mithilfe des Flächennormaleneinheitsvektors zu berechnen. Die Oberfläche der Halbkugel kann als eine Niveaufläche der skalaren Funktion f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 aufgefasst werden. Der Gradient steht dann senkrecht auf dieser Fläche: 2

2

f ( x y z )  x  y  z

2

skalare Funktion

Seite 481

Vektoranalysis

· §w ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wx ¸ ¨w ¸ ∇3 ( f x y z )  ¨ f ( x y z ) ¸ ¨ wy ¸ ¨w ¸ ¨ f ( x y z) ¸ © wz ¹

n0 ( x y z ) 

∇3 ( f x y z ) ∇3 ( f x y z )

2˜ x· ¨§ ¸ ∇3 ( f x y z ) o ¨ 2 ˜ y ¸ ¨2 ˜ z ¸ © ¹

Gradient von f

ª « 2 «  x  « n0 ( x y z ) o « «  x 2  « « « 2 ¬  x 

º »  y 2   z 2 » » y » 2 2  y  z » » z » »  y 2   z 2 ¼ x

Normaleneinheitsvektor

Unter Berücksichtigung von x 2 + y2 + z 2 = R2 (Gleichung der Halbkugel) gilt: R R

Redefinition

§¨ x ¸· n0 ( x y z R)  ˜ ¨y ¸ R ¨ ¸ ©z ¹ 1

Normaleneinheitsvektor

NR ( x y z )  rot3 ( F1 x y z ) ˜ n0 ( x y z R) NR ( x y z ) annehmen ALLE(S) ! 0 o



2

z˜ 2˜ x 3˜ y



R



o Normalkomponente von rot F

Zur weiteren Berechnung wählen wir wegen der Kugeloberfläche natürlich Kugelkoordinaten: annehmen ALLE(S) ! 0 NR ( x y z )

ersetzen x = R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ) ersetzen y = R ˜ sin ( ϑ) ˜ sin ( φ)



ersetzen z = R ˜ cos ( ϑ) vereinfachen Das Flächenelement dA auf der Kugeloberfläche lautet in Kugelkoordinaten: dA = R ˜ sin ( ϑ) ˜ dϑ ˜ dφ Das Flächenintegral (Wirbelfluss) berechnet sich dann aus: ´ µ µ ¶



o o ´ µ rot F dA = µ ¶



o R ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) ˜ ª¬2 ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  1 º¼



o o  rot F ˜ n0 dA

Seite 482

2

Vektoranalysis

´ µ µ ¶

2˜π

0

π

´2 3 µ 3˜ π˜ R 2 ª º µ R ˜ cos ( ϑ) ˜ sin ( ϑ) ˜ ¬2 ˜ cos ( φ)  3 ˜ R ˜ sin ( ϑ) ˜ cos ( φ)  1 ¼ ˜ R ˜ sin ( ϑ) dϑ dφ o  ¶ 4





0

Wir erhalten, wie zu erwarten war, das gleiche Ergebnis wie oben. Beispiel 4.9.5: Ein sehr langer gerader Leiter mit der Querschnittsfläche AL wird von einem konstanten Strom I in Richtung o o  z-Achse mit der Stromdichte i = i0 ˜ ez durchflossen (Abb. 4.9.5). Dieser Strom erzeugt in der Umgebung o o o des Leiters ein ringförmiges Magnetfeld B = μ0 ˜ H. Wegen der Zylindersymmetrie kann der Betrag von B o o  nur vom Abstand U abhängen. Bei Verwendung von Zylinderkoordinaten gilt daher: B = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ eφ .

Abb. 4.9.5

Nach (4-231) und (4-232) gilt: ´ o o ´ µ µ µ B dr = µ ¶ ¶ C

(A)



´ o o o o  µ rot B ˜ n0 dA = μ0 ˜ µ i dA ¶ (AL)

o Wir berechnen zunächst das links stehende Kurvenintegral. Weil der Feldvektor B zum o Tangenteneinheitsvektor t0 parallel ist, gilt: o o  o o o o o o   B ˜ dr = § B ˜ t0· ˜ ds = § B ˜ eφ· ˜ ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ eφ ˜ eφ ˜ ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ ds © ¹ © ¹ ´ o o ´ µ µ µ B dr = µ ¶ ¶ C

C

´ µ μ0 ˜ H ( ρ) ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ µ ¶

o  o  (wegen eφ ˜ eφ = 1)

1 ds = μ0 ˜ H ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ

C

Das letzte Kurvenintegral beschreibt den Umfang der kreisförmigen Feldlinie in Abb. 4.9.5.

Seite 483

Vektoranalysis



o o  Beim Fluss des Vektors rot B durch die Kreisfläche A (Abb. 4.9.5) ist die Flächennormale n0 , o  die in z-Richtung zeigt, identisch mit dem Einheitsvektor ez . o o o  o o  o o  o    Es gilt daher: rot B ˜ n0 = μ0 ˜ i ˜ ez = μ0 ˜ i0 ˜ ez ˜ ez = μ0 ˜ i0 (wegen ez ˜ ez = 1). Die Integration ist nur über den Leiterquerschnitt A L zu erstrecken, weil außerhalb des Leiters die Stromdichte null ist. Das rechts stehende Doppelintegral stellt den Wirbelfluss des Magnetfeldes dar und liefert die konstante Stromstäke I = i0 AL :





´ µ µ ¶

´ o o  rot B ˜ n0 dA = μ0 ˜ µ µ ¶

(A)

´ µ i0 dA = μ0 ˜ i0 ˜ µ ¶

(AL)

1 dA = μ0 ˜ i0 ˜ AL = μ0 ˜ I

(AL)

Der Integralsatz von Stokes liefert dann insgesamt: μ0 ˜ H ( ρ) ˜ 2 ˜ π ˜ ρ = μ0 ˜ I H ( ρ) =

I 2˜ π

˜

1

Die magnetische Feldstärke H(U) ist vom Abstand U indirekt proportional abhängig!

ρ

I  10 ˜ A

gewählte Stromstärke

ρ  0.5 ˜ cm 0.5 ˜ cm  0.001 ˜ cm  10 ˜ cm I

H ( ρ) 

2˜ π

˜

1

Bereichsvariable

magnetische Feldstärke

ρ

4

3 H ( ρ) A

2

cm

Abb. 4.9.6 1

0

0

2

4

6

8

ρ cm

Seite 484

10

Übungsbeispiele

1. Komplexe Zahlen 1.5.1 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1  4  j ˜ 4

z2  5  j

Stellen Sie z 1 und z 2 in Polar- und Exponentialform dar. Führen Sie dann folgende Berechnungen durch: z = z1  z2 z=





 ˜ z1  z1 2 1

 z = z1  z1

z = z1  z2 z=



 z = z1  z1



 ˜ z1  z1 2˜ j 1

Stellen Sie z 1 und z 2 , sowie alle berechneten komplexen Zahlen, jeweils als Bildpunkt und als Zeiger in der Gauß'schen Zahlenebene dar. Beispiel 2: Die folgenden komplexen Zahlen sind in Polar- und Exponentialform anzugeben. Wie lauten dazu die konjugiert komplexen Zahlen? z1 = 2  j ˜ π

z 2 = 4.5  2.4 ˜ j

z 3 = 3  j ˜ 5

z 4 = 6

Beispiel 3: Stellen Sie die in Polar- und Exponentialform gegebenen komplexen Zahlen in kartesischer Form dar.

§ 3 ˜ π· § 3 ˜ π ·· ¸  j ˜ sin ¨ ¸¸ © 4 ¹ © 4 ¹¹

§ ©

z 1 = 4 ˜ ¨ cos ¨

z 2 = 2 ˜ ( cos ( 210Grad)  j ˜ sin ( 210 ˜ Grad) )  j˜

j˜35˜Grad

z3 = 5 ˜ e

3˜π

z4 = 2 ˜ e

2

Zeigen Sie, dass für die gegebenen komplexen Zahlen nachfolgende Zusammenhänge und die Dreiecksungleichheiten gelten: *

z1 = z1

; z3 =

*

z3 ˜ z3 ; z1 ˜ z2 = z1 ˜ z2 ;

z1 z2

z 1  z 2 d z 1  z 2 bzw. z 1  z 2 d z 1  z 2

Seite 485

=

z1 z2

.

Übungsbeispiele

1.5.2 Multiplikation und Division von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 8  j

z 2 = 4  j ˜ 5

Gesucht sind:

 z = z1 ˜ z1

z = z1 ˜ z2

 z = z2 ˜ z2

Beispiel 2: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen:

§ ©

Gesucht sind:

 z = z1 ˜ z1

z = z1 ˜ z2

§ π ·  j ˜ sin § π · · ¸ ¨ ¸¸ © 2 ¹ © 2 ¹¹

z 2 = 2 ˜ ¨ cos ¨

z 1 = 5 ˜ ( cos ( 120 ˜ Grad)  j ˜ sin ( 120 ˜ Grad) )  z = z2 ˜ z2

Beispiel 3:

j˜

Gegeben ist folgende komplexe Zahl:

z = 10 ˜ e

π 6

1 Gesucht ist z 1 = ˜ z und ihre geometrische Deutung (grafische Darstellung von z und z ). 1 2 Beispiel 4: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen:

§ z1  7 ˜ e ©

 ¨j ˜

π·

¸

4¹

j˜

z2  4 ˜ e

2˜π 3

Gesucht ist z = z 1 ˜ z 2 und ihre geometrische Deutung (grafische Darstellung von z und z 1 und z 2 ). z  z1 ˜ z2

z

7.247  27.046i

Beispiel 5: Gegeben ist folgende komplexe Zahl: z  6  j ˜ 2 Gesucht ist der Zeiger z 1, der aus der Drehung von z um 120° entsteht. Stellen Sie z und z 1 grafisch dar.

Seite 486

Übungsbeispiele

Beispiel 6: Gegeben ist folgende komplexe Zahl z = (10 ; - 60°). Gesucht ist der Zeiger z 2, der aus der Streckung von z um das k = 1/2-fache (z 1 = k z) und der Drehung um den Winkel von 90° hervorgeht. Stellen Sie z und z 1 und z 2 grafisch dar. Beispiel 7: Zerlegen Sie in ein Produkt von zwei Binomen: 2

2

2

c d

2

a 5

2

16 ˜ a  25 ˜ b

Beispiel 8: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 9  2 ˜ j

z2 = 3  j

Gesucht sind: z=

z1

z1 z=  z1

z2

z2 z=  z2

Beispiel 9: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: j˜

z1 = 9 ˜ e

3˜π 4

z2 =

9 10

j˜

˜e

2˜π 3

z1

1 bzw. z r = und ihre geometrische Deutung. z2 z2

Gesucht sind z =

Beispiel 10: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 6  j ˜ 3

z2 =

1 j

Gesucht ist z =

z1 z2

4

und ihre geometrische Deutung.

Seite 487

2

2

x y

Übungsbeispiele

1.5.3 Potenzieren von komplexen Zahlen Beispiel 1: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen: z1 = 1  j

z2 = 3  j ˜

3

Berechnen Sie mit den binomischen Formeln und mit Moivre: 2

z = z1

3

z = z2

Stellen Sie z1 , z 2 , z 1 2 und z 2 3 als Zeiger dar und interpretieren Sie z 1 2 und z 2 3 . Beispiel 2: Berechnen Sie:

z = ( 2  j ˜ 3)

z = ( 4  j ˜ 3)

§3 j· ¨ ¸ ©2 j¹

z=



5

 j˜30°

z = 3˜ e

§ π ·  j ˜ sin § π · ·º ¸ ¨ ¸ ¸» © 3¹ © 3 ¹ ¹¼

ª § ¬ ©

3

5 10

z = «2 ˜ ¨ cos ¨

3

1.5.4 Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Beispiel 1: Berechnen Sie:

3

1

5

3 j˜4

7 j˜4

Stellen Sie die Lösungen grafisch dar und interpretieren Sie die Lösungen. Beispiel 2: Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen und stellen Sie die Lösungen grafisch dar: 6

z  1=0

8

z  1=0

Beispiel 3: Berechnen Sie alle reellen und komplexen Lösungen und stellen Sie die Lösungen grafisch dar: 2

x  x 1=0

4

2

x  6 ˜ x  25 = 0

1 x 4



Beispiel 4: Zerlegen Sie in Linearfaktoren: 3

2

x  x  4˜ x 4

4

2

x  2˜ x  3

Seite 488

1 x 3



1 x 2

=0

Übungsbeispiele

1.5.5 Logarithmieren von komplexen Zahlen Beispiel 1: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus folgender komplexen Zahl: z = 1  j ˜ 4 Geben Sie den Hauptwert und die ersten 10 Nebenwerte an. Beispiel 2: Berechnen Sie den natürlichen Logarithmus folgender komplexen Zahl (Hauptwert):

ln ( 1)

ln ( 2  j )

π § j˜ · ¨ 3¸ ln © 2 ˜ e ¹

ln ( j )

1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen 1.6.1 Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen Beispiel 1: Wandeln Sie die Momentanwertgleichung u(t) = 45.5 V sin(Z t - 20.2°) in alle Formen der komplexen Spannungsgleichungen um. Beispiel 2: Die gegebene komplexe Spannungsgleichung U = 30 V + j 11 V soll in die Exponentialform umgeformt werden. Beispiel 3: Ermitteln Sie die Zeigerlänge und die Phase folgender Spannung: U = 110 V + j 60 V. Beispiel 4: In welchem Quadranten liegen folgende komplexe Größen: Z = 20 : + j 30 :; Y = 0.1 S - j 0.3 S; S = - 10 kW + j 5 kVar. Beispiel 5: Wandeln Sie die gegebenen komplexen Größen in die trigonometrische Schreibweise um: S = 100 W + j 80 Var; Z = 8 : - j 10 :; Y = - 0.2 S - j 0.3 S; I = 8 A - j 10 A. Beispiel 6: Geben Sie die Komponentenform für folgende elektrische Größen an: U = 220 V (-cos(150°) - j sin(150°)) ; I = 3 A (-cos(30°) + j sin(30°)). Beispiel 7: Stellen Sie für folgende Typenschildangabe die Komponentenform und Exponentialform her: a) S = 10 kVA , cos(M) = 0.8 b) S = 60 kVA , cos(M) = 0.7

Seite 489

Übungsbeispiele

Beispiel 8: Am Eingang eines Verstärkers liegt das Signal Ue = 10 e- j 22° mV an. Der Verstärker hat den Faktor v = 10 und eine Phasenverschiebung von 33°. Stellen Sie die Ausgangsspannung Ua in Exponentialform dar.

1.6.2 Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Beispiel 1: Zwei harmonische mechanische Schwingungen y 1 und y2 sollen subtraktiv (y = y1 - y2 = ÂD sin(Z t + MD)) überlagert werden. Die Berechnung soll zuerst reell und dann komplex durchgeführt werden. Die geometrische Subtraktion der komplexen Schwingungsamplituden soll grafisch dargestellt werden. Stellen Sie anschließend die zeitabhängigen Größen y, y1 und y2 in einem kartesischen Koordinatensystem dar.



y1 ( t)  6 ˜ cm ˜ cos 3 ˜ s

§ ©

y2 ( t)  3 ˜ cm ˜ sin ¨ 4 ˜ s

1

1

˜t



˜t

π·

¸

3¹

Beispiel 2: Die nachfolgenden drei Wechselströme werden zur Überlagerung gebracht. Wie lautet die Gleichung der resultierenden Wechselströme i(t) = i1 (t) + i2 (t) - i3 (t)? f  50 ˜ Hz

Frequenz der Wechselströme

ω 2˜ π˜ f

Kreisfrequenz

Î1  18 ˜ mA

Î2  21 ˜ mA

φi2 

2˜ π

φi3  0

3

5 ˜ π·









3

i2 ( t) = Î2 ˜ sin ω ˜ t  φi2

Scheitelwerte der Wechselströme Nullphasenwinkel

§ ©

i1 ( t) = Î1 ˜ cos ¨ ω ˜ t 

Î3  22 ˜ mA

¸ ¹

Wechselspannungen

i3 ( t) = Î3 ˜ sin ω ˜ t  φi3

1.6.3 Berechnungen in Wechselstromkreisen Beispiel 1: Stellen Sie folgende Größen in Komponentenform und Exponentialform dar: a) I = 3.7 A bei Voreilung gegenüber der Spannung um 37°; b) U = 110 V bei Nacheilung gegenüber dem Strom um 28°. Beispiel 2: Geg.: a) Z = 10 : + j 20 : b) S = 5 kW - 3 kVar; c) U = 3 V + j 5 V Ges.: Betrag der komplexen Größen und Phasenwinkel und die grafische Darstellung. Um welche Art von Verbraucher handelt es sich?

Seite 490

Übungsbeispiele

Beispiel 3: In einem Drehstromverbraucher fließt in einem Strang die Stromstärke I = 3 e-j 42° A. Berechnen Sie die Stromstärke in den beiden anderen Strängen in Exponentialform und stellen Sie die 3 Zeiger in einem Koordinatensystem dar. Beispiel 4: Ein Verbraucher nimmt S = 16 kVA auf. 70 % seiner Scheinleistung sind echte Wirkleistung und 71 % seiner Scheinleistung sind induktive Blindleistung. Bestimmen Sie die Komponenten- und Exponentialform von S. Beispiel 5: Welche Scheinleistung ergibt sich, wenn durch Z = 20 e j40° : ein Strom von I = 8.4 e -j18° A fließt? Beispiel 6: Ein Drehstromverbraucher nimmt S = 15 e j 32° kVA auf die Spannung beträgt U = 380 e j 10° V.  Berechnen Sie den Strom I ( S = 3 ˜ U ˜ I ). Beispiel 7: f  50 ˜ Hz

Frequenz

R  250 ˜ Ω

Widerstand

L  0.5 ˜ H

Induktivität

C  0.3 ˜ μF

Kapazität

U  220 ˜ V

Effektivwert der Spannung

Wie groß ist der Scheinleitwert Y, die Stromstärke I, der Scheinwiderstand Z und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung. Gesucht sind auch die Zeiger- und Operatorendarstellung für die Schaltung. Beispiel 8: f  60 ˜ Hz

Frequenz

R1  50 ˜ Ω

Widerstand

R2  80 ˜ Ω

Widerstand

L  0.16 ˜ H

Induktivität

C  20 ˜ μF

Kapazität

U  500 ˜ V

Effektivwert der Spannung

Wie groß sind die Scheinleitwerte Y1 , Y2 , Y, die Stromstärke I, der Scheinwiderstand Z und die Leistungsanteile S, P, Q der gegebenen Schaltung. Gesucht sind auch die Zeiger- und Operatorendarstellung für die Schaltung.

Seite 491

Übungsbeispiele

Beispiel 9: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) . G2 (s) . G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Stellen Sie G1 (s), G2 (s), G3 (s) und G(s) in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie das Ausgangssignal, wenn am Eingang eine Spannung Ue = 20 e j 110° V angelegt ist (G(s) = Ua /Ue ).

Beispiel 10: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) * G2 (s) * G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Es gilt: s = p = j Z und T1 = T2 = T3 = T.

Beispiel 11: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) * G2 (s) * G3 (s) von 3 Integralgliedern. Es gilt: p = j Z und T1 = T2 = T3 = T.

Beispiel 12: Gegeben ist eine Regelstrecke mit einer Störgröße Uz. Gesucht ist: a) Gesamtfrequenzgang G(s); b) Die Ausgangsspannung Ua , wenn Ue = 20 e-j 20° mV; c) Die Ausgangsspannung Ua , wenn zu b) an der Störstelle Z eine Störspannung Uz = 5 e j 30° V wirkt (Anleitung: Ua = ( G1 (s) G2 (s) Ue + Uz) G3 (s))

Seite 492

Übungsbeispiele

Beispiel 13: Gesucht ist der Gesamtfrequenzgang G(s) = G1 (s) + G2 (s) + G3 (s) einer zusammengesetzten Regelstrecke. Stellen Sie G1 (s), G2 (s), G3 (s) und G(s) in einem Koordinatensystem dar.

1.7 Ortskurven Beispiel 1: Gesucht ist die Ortskurve U(Z) = I (R+ j Z L) für R = 20 :, L = 0.5 H und I = I = 2.6 A für 0 s-1 d Z d 100 s-1 . Beispiel 2: Für die dargestellte Schaltung sind die Ortskurve des komplexen Widerstandes und die zugehörige Leitwert-Ortskurve als Funktion von R gesucht (maßstäblich). f = 50 ˜ Hz L = 25 ˜ mH L1 = 100 ˜ mH R1 = 250 ˜ Ω 0 ˜ Ω d R d 100 ˜ Ω Beispiel 3: Für die gegebene Reihenschaltung ist die Ortskurve der Spannung U in Abhängigkeit von der Kapazität C gesucht (maßstäblich). ω = 5000 ˜ s

1

R = 280 ˜ Ω I = I = 20 ˜ mA

Seite 493

0.5 ˜ μF d C d 3 ˜ μF

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Für eine Reihenschaltung von R und L an Wechselspannung sind die Ortskurven Z(Z), Y(Z) und I(Z) gesucht (maßstäblich). Dabei ist R = 1 k:, L = 5.0 H, U = 2 kV und 0 s-1 d Z d 400 s-1 . Beispiel 5: Für eine Parallelschaltung von R = 100 : und L = 6.37 mH ist die Leitwert-Ortskurve in Abhängigkeit von der Frequenz f zu bestimmen und daraus durch Inversion die Widerstandsortskurve abzuleiten und maßstäblich darzustellen (2 kHz d f d20 kHz). Reihenschaltung von R und L an Wechselspannung sind die Ortskurven Z(Z), Y(Z) und I(Z) gesucht (maßstäblich). Dabei ist R = 1 k:, L = 5.0 H, U = 2 kV und 0 s-1 d Z d 400 s-1 . Beispiel 6: Für die gegebene Parallelschaltung ist die Ortskurve Z(f) gesucht (maßstäblich). RL = 20 ˜ Ω RC = 30 ˜ Ω C = 30 ˜ μF

10 ˜ Hz d f d 1000 ˜ Hz

L = 0.2 ˜ H U = 220 ˜ V

1.7.3 Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis Beispiel 1: Bestimmen Sie die Ortskurve Z(f) und die Frequenzgänge Z(f) und I(f) sowie den Phasengang Mz(f) rechnerisch und grafisch von folgendem Schwingkreis im Bereich 0 Hz df d 200 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz fres, Zmax und Zres des Schwingkreises.

R = 20 ˜ Ω L = 0.1 ˜ H C = 32 ˜ μF U = 110 ˜ V

Seite 494

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Bestimmen Sie die Ortskurve Z(f) und die Frequenzgänge Z(f) und X(f) sowie den Phasengang Mz(f) rechnerisch und grafisch von folgendem Schwingkreis im Bereich 0 Hz df d 300 Hz. Bestimmen Sie auch die Resonanzfrequenz fres, Zmax und Zres des Schwingkreises.

R = 55 ˜ Ω L = 2˜ H C1 = 4 ˜ μF C2 = 2 ˜ μF

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Frequenzgänge X(f) und B(f) rechnerisch und grafisch (in einem Koordinatensystem) von folgendem Reaktanz-Zweipol im Bereich 0 Hz df d 150 Hz. Bestimmen Sie auch die Nullstelle von X(f) (Resonanzfrequenz fres ) und B(f) (Kennfrequenz fp) des Schwingkreises.

L = 0.2 ˜ H C1 = 50 ˜ μF C2 = 1 ˜ μF

1.7.4 Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen Beispiel 1: Stellen Sie für den Tiefpassfilter und dem Hochpassfilter den Amplituden- und Phasengang der komplexen Übertragungsfunktion G(Z) in einem Bodediagramm dar. Vergleichen Sie das Bodediagramm mit der Ortskurve der Übertragungsfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis. Bei welcher Kreisfrequenz Z0 bzw. Frequenz f0 wird das Spannungsverhältnis Ua /Ue reell, d. h. keine Phasenverschiebung zwischen U a und U e ? Bei welcher Frequenz ist die Phasenverschiebung genau 45°?

R = 5 ˜ kΩ C = 1 ˜ μF

Seite 495

Übungsbeispiele

Beispiel 2: An einem RLC-Filter (Bandsperre) soll die Übertragungsfunktion, der Amplitudengang, der Phasengang, obere und untere Grenzfrequenz und die Grafen des Amplituden und Phasenganges ermittelt und interpretiert werden.

R = 500 ˜ Ω L = 0.1 ˜ H C = 1 ˜ μF

Leiten Sie die Übertragungsfunktion G(Z) her und bestimmen Sie den Amplituden- und Phasengang rechnerisch und grafisch. Berechnen Sie die Bandmittenfrequenz Z0 und die obere und untere Grenzkreisfrequenz Z gu

und Z go

( A ( ω) =

1

).

2

Stellen Sie den Amplitudengang auch in dB dar. Beispiel 3: Leiten Sie die Übertragungsfunktion für einen PID-Regler G(Z) her und bestimmen Sie den Amplituden- und Phasengang rechnerisch und grafisch. Stellen Sie den Amplitudengang in dB dar. R2 Ua = 1  j ˜ ω ˜ R2 ˜ C R2 Ue = R1  1  j ˜ ω ˜ R2 ˜ C R1 = 100 ˜ Ω C = 1 ˜ μF

Seite 496

R2 = 500 ˜ Ω

Übungsbeispiele

2. Vektoralgebra und analytische Geometrie 2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren Beispiel 1: Gegeben:

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 1 ¸ b  ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· ¨ 4 ¸ c ¨ 2 ¸ © ¹

1 ¨§ ¸· ¨5 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

Gesucht: c = a + b, d = a - b in Koordinaten- und Komponentendarstellung. Beispiel 2: Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C des Parallelogramms ABCD mit den Eckpunkten A(0|2), B(6|4) und D(1|6). Beispiel 3:

§¨ 1 ¸· Gegeben: a = ¨ 5 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹ Gesucht: d = 5 ˜ a 

b = 3 ˜ e1  4 ˜ e2  7 ˜ e3

1 2

˜b

1 3

c = 6 ˜ e1  3 ˜ e2  3 ˜ e3

˜c

Beispiel 4: Ein Passagierflugzeug, dessen Geschwindigkeit gegenüber Luft konstant 950 km/h beträgt, fliegt in östlicher Richtung eine Strecke 2000 km. Es weht ein Wind mit 40 km/h aus Nordost. Wie groß ist die Fluggeschwindigkeit v über dem Boden und wie lange ist die Flugdauer?

2.4 Vektorräume Beispiel 1: Sind alle Geraden und Ebenen des n , die nicht durch 0 gehen, Untervektorräume? Beispiel 2:

§1 · §0 · §1 · o ¨ ¸ o ¨ ¸ o o o ¨ ¸ Sind die Vektoren a = ¨ 2 ¸ , b = ¨ 2 ¸ bzw. a , b und c = ¨ 2 ¸ linear unabhängig? ¨0 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

¨6 ¸ © ¹

Seite 497

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Ein Ausleger besteht aus zwei Stäben. Im Gelenk S greift unter einem Winkel D = 25° gegen die Vertikale o eine Kraft F vom Betrag F = 5 kN an. Bestimmen Sie unter Vernachlässigung des Eigengewichtes der o o   Stäbe die in den Stäben auftretenden Reaktionskräfte (Zug- und Druckkraft) FA und FB . Die Abstände sind durch a = 3 m und b = 2 m gegeben.

Beispiel 4:

o  Im  ist mit b1 = 2

1 §3· o § · ¨ ¸ und  ¨ b2 = 4 ¸ eine Basis gegeben. ¨1¸ ¨ ¸ ©3¹ ©4¹

o § 13 · Ist der Vektor a = ¨ ¸ als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellbar? © 17 ¹ Beispiel 5: o §8 · o §4 · o §1 · Ein Vektor c = ¨ ¸ soll in der Richtung der Vektoren a = ¨ ¸ und b = ¨ ¸ zerlegt werden. ©9 ¹ ©2 ¹ ©3 ¹ Wie lautet die Zerlegung?

2.5 Betrag eines Vektors Beispiel 1: Bestimmen Sie den Betrag des nachfolgend gegebenen Feldstärkevektors und den zugehörigen Richtungsvektor der Länge 1. 2.21 · ¨§ ¸ V E = ¨ 4.75 ¸ ˜ ¨ 0.17 ¸ m © ¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 2: Eine DC 10 „fliegt“ in nordwestlicher Richtung mit vm = 930 km/h relativ zur Erde. Es bläst eine steife Brise aus Westen mit w = 120 km/h relativ zur Erde. Mit welcher Geschwindigkeit v0 und in welche Richtung würde das Flugzeug ohne Windablenkung fliegen?

2.6 Produkte von Vektoren 2.6.1 Skalarprodukt Beispiel 1: Bilden Sie das Skalarprodukt der nachfolgend gegebenen Vektoren.

§¨ 2 ·¸ a = ¨8 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 1 ·¸ b = ¨ 3 ¸ ¨ 6 ¸ © ¹

Beispiel 2: Sind die nachfolgend gegebenen Vektoren orthogonal? 3 ¨§ ·¸ a=¨ 4 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b = ¨1 ¸ ¨5 ¸ © ¹

Beispiel 3: o o oo o o Beweisen Sie den Satz des Pythagoras. Anleitung: c = a  b; a ˜ b = 0.

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Übungsbeispiele

Beispiel 4: Beweisen Sie den Satz von Thales. Er besagt, dass jedes Dreieck, dessen Grundseite der Durchmesser oo o o o eines Kreises ist und dessen Spitze auf dem Kreis liegt, rechtwinkelig ist. Anleitung: u ˜ v = 0 ; a = b .

Beispiel 5: o o Wie groß ist der Winkel M, den die beiden Vektoren a und b miteinander einschließen?

§¨ 1 ·¸ a = ¨2 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 3 ·¸ b=¨5 ¸ ¨8 ¸ © ¹

Beispiel 6: Wie groß sind die Richtungswinkel D, E und J des folgenden Vektors: 3 ¨§ ·¸ a = ¨ 2 ¸ ¨ 4 ¸ © ¹ Beispiel 7: o o   Von zwei Kräften F1 und F2 sind Betrag und Richtung bekannt. Bestimmen Sie den Betrag und die o  o  Richtung der Resultierenden F1  F2 , wenn F = 100 N, D = 80°, E = 120°, J d90° und F = 130°, 1 2 1 1 1 D2 = 60°, E2 = 40°, J2 t 90° sind. Beispiel 8: o o Wie lautet die Projektion eines Vektors b auf einen Vektor a?

§¨ 3 ·¸ a = ¨0 ¸ ¨4 ¸ © ¹

§¨ 4 ·¸ b = ¨ 1 ¸ ¨7 ¸ © ¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 9: o Eine Kraft F vom Betrag F = 60 N, die einen Körper von P1 (2 m| - 2 m| 1 m) nach P2 (3 m| 4 m| 5 m) o bewegt, besitzt die Richtung des Vektors r . Welche Arbeit W wird von der Kraft verrichtet? 1 ¨§ ·¸ r=¨ 3 ¸˜m ¨2 ¸ © ¹ Beispiel 10: o o o o  Welche Arbeit verrichtet die Kraft F = § 310 ˜ ex  240 ˜ ey  350 ˜ ez· ˜ N, die einen Körper längs des © ¹ o o o o  § · Weges s = 4 ˜ ex  15 ˜ ey  3 ˜ ez ˜ m verschiebt? © ¹ Beispiel 11: o Eine Punktladung Q = 10 -8 C soll in einem konstanten elektrischen Feld mit der Feldstärke E vom Punkt o P1 (-2 m| 3 m| 4 m) aus geradlinig längs des Richtungsvektors a in positiver Richtung um 4 m verschoben werden. Welche Arbeit wird an der Punktladung verrichtet? Welchen Winkel M bildet der an der o o Punktladung angreifende Kraftvektor F mit dem Verschiebungsvektor s?

2.6.2 Vektorprodukt Beispiel 1: o o Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren a und b aufgespannten o o Parallelogramms. Wie groß ist der Winkel M zwischen a und b?

§¨ 2 ·¸ a  ¨ 4 ¸ ˜ m ¨1 ¸ © ¹

§¨ 1 ¸· b  ¨6 ¸ ˜ m ¨5 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

Beispiel 2: o o Berechnen Sie das Vektorprodukt der gegebenen Vektoren a und b mithilfe der Determinante.

Seite 501

Übungsbeispiele

3 ¨§ ·¸ a ¨ 5 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b  ¨ 3 ¸ ¨6 ¸ © ¹

Beispiel 3: Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten A(2 m| 1 m| 0 m), B(4 m| 0 m| -2 m) und C(1 m| 1 m| 1 m)? Beispiel 4: o Ein Elektron mit der Elementarladung e = 1.6 10-19 C tritt mit einer Geschwindigkeit v in ein räumlich o  o o und zeitlich konstantes Magnetfeld ein. Es erfährt dort eine Lorentz-Kraft von FL = e ˜ v u B . o o Wie groß ist die Kraftwirkung auf das Elektron, wenn v und die Flussdichte B des Magnetfeldes gegeben sind?



§¨ 0 ¸· m v  ¨ 2000 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ s © ¹ 0.1 ¨§ ·¸ V ˜ s B ¨ 0 ¸ ˜ ¨ 0 ¸ m2 © ¹

gegebene Geschwindigkeit

gegebene Flussdichte (V s / m2 = 1 T)

Beispiel 5: o o   Wie groß sind die Stützkräfte FA und FB und deren Beträge des gegebenen Fachwerkes?

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Übungsbeispiele

Beispiel 6: Bestimmen Sie die Tangentialgeschwindigkeit eines Körper auf einer Kreisbahn, der sich o o o mit der Winkelgeschwindigkeit Z um eine Drehachse dreht ( v = ω u r ).

§¨ 0 ¸· 1 ω=¨ 0 ¸˜ ¨ 10 ¸ s © ¹

0.2 ¨§ ¸· r = ¨ 0.3 ¸ ˜ m ¨ 0.5 ¸ © ¹

gegebene Vektoren

Beispiel 7: In einem geraden Leiter fließt ein Strom von I = 5 A. Der Leiter verlaufe in der x-y-Ebene eines o  Koordinatensystems mit einer Steigung von M= 30° zur x-Achse. Welche Kraft FL, zerlegt nach Betrag und Einheitsvektor, wirkt auf eine Länge von L0 = 8 cm, wenn im Raum eine magnetische o Flussdichte B = ( 1, 2, -3)T herrscht?

ª§ Lx ·

«¨ ¸ FL = I ˜ ( L u B) = I ˜ «¨ Ly ¸ u «¨ ¸ «¬¨© Lz ¸¹

§¨ Bx ¸·º» ¨ B ¸» ¨ y ¸» ¨© Bz ¸¹»¼

§ cos ( φ) B x ¨ ¨ = I ˜ L0 ˜ ¨ sin ( φ) B y ¨ ¨ 0 Bz ©

o  ex ·¸ o¸  ey ¸ ¸ o  ez ¸ ¹

2.6.3 Spatprodukt Beispiel 1: oo o Bestimmen Sie das Volumen des durch die Vektoren a, b und c aufgespannten Parallelepipeds (Spat).

§¨ 1 ·¸ a  ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ © ¹

§¨ 2 ¸· b ¨ 3 ¸ ¨ 2 ¸ © ¹

1 ¨§ ·¸ c ¨ 2 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Beispiel 2: Liegen die Punkte A(6 | 9 | 4), B(0 | 5 | 2), C(0 | 0 | 4) und D(6 | 2 | 8) bzw. A1 (2 | -1 | -2), B1 (1 | 2 | 1), C1 (2 | 3 | 0) und D1 (5 | 0 | -6) in einer Ebene?

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Übungsbeispiele

2.7. Analytische Geometrie 2.7.1 Teilung einer Strecke Beispiel 1:  Gegeben sind zwei Punkte M(1 | 4) und A(-3 | 6). M ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Wie lauten die Koordinaten von B? Beispiel 2:  Die Strecke AB , mit A(-1 | -3) und B(7 | 1), wird in vier gleich lange Teilstrecken zerlegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Teilungspunkte. Beispiel 3:  Gegeben ist die Strecke AB mit A(-5 | 9) und B(9 | 2). Berechnen Sie die Koordinaten des inneren Teilungspunktes für das Verhältnis 5:2. Beispiel 4:  Gegeben ist die Strecke AB mit A(-5 | 9) und B(9 | 2). Berechnen Sie die Koordinaten des äußeren Teilungspunktes für das Verhältnis 11:4. Beispiel 5: Von einem Dreieck ABC kennen wir den Schwerpunkt S(3 | 3 | 3) und zwei Eckpunkte B(-1 | -2 | -3), C(4 | 2 | 0). Wie lauten die Koordinaten des dritten Eckpunktes?

2.7.2 Geradendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Geradengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Gerade g durch P1 (4 | -1) mit dem o o T T Richtungsvektor a = ( 2 1 ) bzw. durch P1 (3 | -5 | 1) mit dem Richtungsvektor a = ( 2 5 4 ) geht. Beispiel 2: Gegeben sind zwei Punkte A(-3 | 2 | 1) und B(-4 | 5 | 1) einer Geraden. Wie lautet die Geradengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene O jeweils einen Punkt der Geraden. Wie lautet die Geradengleichung, wenn der Einheitsvektor von A nach B als Richtungsvektor genommen wird? Wie lautet der Punkt, der drei Einheiten vom Punkt A entfernt liegt? Beispiel 3: Ermitteln Sie die Gleichungen der Trägergeraden der Schwerlinien des Dreiecks ABC mit A(-2 | 1), B(4 | -3) und C(2 | 3). Beispiel 4: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung bei gegebener Vektorform in impliziter Form, expliziter Form und Achsenabschnittsform? o § 1 · § 3 · x= ¨ ¸  똨 ¸ ©3 ¹ © 1 ¹

gegebene Vektorform der Geradengleichung

Seite 504

Übungsbeispiele

Beispiel 5: Aus einer gegebenen impliziten Form einer Geradengleichung g soll eine Parameterdarstellung angegeben werden. g:

4 ˜ x  5 ˜ y = 2

gegebene Geradengleichung

Beispiel 6: Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden g durch den Punkt P(-4 | -1) mit der Steigung k = 1/2 in Vektorform und Koordinatenform. Beispiel 7: Stellen Sie fest, ob die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen: a) A(2 | 3), B(10 | 7), C(-6 | -1) b) A(3 | 4 | -2), B(-1 | -3 | 5), C(-5 | -10 | 11) Beispiel 8: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein?

g1 :

o §1 · §1 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©0 ¹ ©1 ¹

g2 :

o §0 · §3 · x= ¨ ¸  온 ¸ ©5 ¹ © 1 ¹

gegebene Geradengleichungen

Beispiel 9: Wie lautet der Schnittpunkt der folgenden Geraden? Welchen Winkel schließen diese Geraden ein?

g1 :

§2 · §¨ 0 o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¨3 ¸ © ¹

¸· ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

g2 :

§1 · §¨ 1 ¸· o ¨ ¸ x = ¨1 ¸  μ ˜ ¨0 ¸ ¨1 ¸ © ¹

¨2 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichungen

Beispiel 10: Berechnen Sie eine implizite Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(3 | -4), B(-2 | 8) geht. Beispiel 11: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(2 | -5) geht und parallel zur Geraden g1 : -3 x - 2 y - 6 = 0 ist. Beispiel 12: Berechnen Sie die implizite Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P(-4 | -7) geht und die Steigung k = - 2/3 hat. Beispiel 13: Gegeben ist die explizite Darstellung einer Geraden g: y = - 4 x + 8. Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden?

Seite 505

Übungsbeispiele

Beispiel 14: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung? o §2 · §2 · x=¨ ¸  똨 ¸ ©1 ¹ ©3 ¹

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

Beispiel 15: Wie lautet die parameterfreie Form der Geradengleichung?

§ 1 · §¨ 4 ·¸ o ¨ ¸ x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 5 ¸ ¨2 ¸ © ¹

¨8 ¸ © ¹

gegebene Geradengleichung in Parameterdarstellung

Beispiel 16: o § 3 · §4 · Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ ¸  λ ˜ ¨ ¸ ©1 ¹ ©7 ¹ Bestimmen Sie den Normalabstand des Punkte P(3 | 2) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g? Beispiel 17:

§2 · §¨ 5 o ¨ ¸ Eine Gerade sei gegeben durch g: x = ¨ 3 ¸  λ ˜ ¨ 1

¸· ¸ ¨ 4 ¸ © ¹

¨4 ¸ © ¹

Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(4 | -5 | 2) von der Geraden. Wie lautet der Fußpunkt Q des Lotes von P auf g ? Beispiel 18: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(6 | -2) von der Geraden g: -4 x + 3 y + 7 = 0. Beispiel 19: Wie groß ist der Abstand der Geraden g zur Geraden h?

§1 · §¨ 0 o ¨ ¸ g: x = ¨ 9 ¸  λ ˜ ¨ 3 ¨5 ¸ © ¹

·¸ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§8 · §¨ 4 o ¨ ¸ h: x = ¨ 8 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¨4 ¸ © ¹

¸· ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

Beispiel 20: Welche Lage besitzen die folgenden Geraden g1 und g2 zueinander? Bestimmen Sie gegebenenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel.

§5 · §¨ 2 ¸· o ¨ ¸ g: x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨0 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

§1 · §¨ 6 ¸· o ¨ ¸ h: x = ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨5 ¸ © ¹

¨ 9 ¸ © ¹

Seite 506

Übungsbeispiele

2.7.3 Ebenendarstellung Beispiel 1: Wie lautet die Ebenengleichung in Parameterdarstellung, wenn die Ebene E durch P1 (-2 | 6 | -1) verläuft o o T T und ihre Richtungsvektoren a = ( 3 2 8 ) und b = ( 2 3 5 ) sind? Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte A(2 | -2 | 5), B(1 | 2 | -4) und C(3 | -5 | 7) einer Ebene. Wie lautet die Ebenengleichung? Bestimmen Sie für verschiedene Ound P jeweils einen Punkt der Ebene. Beispiel 3: Wie lautet die parameterfreie Form der Ebenengleichung? o x=

§¨ 1 ·¸ §¨ 3 ·¸ §¨ 7 ·¸ ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 4 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 5 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenengleichung in Parameterdarstellung

Beispiel 4: Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, wenn die implizite Form der Ebenengleichung gegeben ist. E: 2 ˜ x  5 ˜ y  z = 4

gegebene implizite Ebenengleichung

Beispiel 5: Liegt der Punkt P(3| 1 | -3) in der nachfolgend gegebenen Ebene?

§1 · §¨ 1 ¸· §¨ 0 ¸· o ¨ ¸ x = ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 0 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

¨2 ¸ © ¹

gegebene Ebene

Beispiel 6: Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (-1 | 2 | 5) enthält und auf der der Normalvektor o n steht.

§¨ 2 ·¸ n=¨1 ¸ ¨ 3 ¸ © ¹

gegebener Normalvektor

Beispiel 7: Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene, die den Punkt P1 (-2 | 5 | 2) enthält und auf der ein Normalvektor o n steht. Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebenengleichung? n = 3 ˜ ex  5 ˜ ey  3 ˜ ez

gegebener Normalvektor in Komponentendarstellung

Seite 507

Übungsbeispiele

Beispiel 8:

§1 · §¨ 1 ¸· §¨ 4 ·¸ o ¨ ¸ Wie lautet die Hesse'sche Normalform der Ebene x = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 2 ¸  μ ˜ ¨ 5 ¸ ? ¨ 5 ¸ © ¹

¨3 ¸ © ¹

¨ 7 ¸ © ¹

Beispiel 9: o T Gegeben ist ein Punkt P1 (-3 | 1 | 10) und ein Normalvektor n = ( 2 2 3 ) einer Ebene. Bestimmen Sie den Normalabstand des Punktes P(-10 | 5 | 15) zur Ebene. Beispiel 10: Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes P(10 | -5 | 5) von der Ebene E: - 10 x + 5 y + 3 z + 6 = 0. Beispiel 11: Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden g und der Ebene E?

§5 · §¨ 2 ¸· o ¨ ¸ x = ¨3 ¸  λ ˜ ¨5 ¸ ¨6 ¸ © ¹

¨1 ¸ © ¹

3˜ x y z  1 = 0

gegebene Gerade g

gegebene Ebene E

Beispiel 12: Eine Ebene und eine Gerade sind gegeben durch: o T E: P0 (3 | 4 | 1) und n = ( 2 1 1 ) o T g: P1 (2 | 1 | 5) und a = ( 3 4 0 ) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene und den Winkel zwischen Gerader und Ebene. Beispiel 13: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 2 ¸· §¨ 1 ·¸ OX  λ1  ¨ 2 ¸  λ1 ˜ ¨ 1 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ © ¹ © ¹

gegebene Gerade

1 4 §¨ 2 ¸· ¨§ ¸· ¨§ ¸· OE ( λ μ)  ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 3 ¸  μ ˜ ¨ 3 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ¨ 7 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebene

Seite 508

Übungsbeispiele

Beispiel 14: Bestimmen Sie den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene.

§¨ 1 ¸· §¨ 1 ¸· OX ( λ) = ¨ 2 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸ ¨3 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ 3 ˜ x  5 ˜ y  4 ˜ z = 25

gegebene Gerade

gegebene Ebene

Beispiel 15: Gegeben sind zwei Ebenen. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen, wenn sie parallel liegen? o  T E : P (3 | 5 | 6) und n1 = ( 1 3 2 ) 1 1 o  T E : P (1 | 5 | -2) und n2 = ( 3 9 6 ) 2 2 Beispiel 16: Bestimmen Sie die Schnittgerade g und den Schnittwinkel der nachfolgend gegebenen Ebenen.

§¨ 1 ¸· §¨ 1 ¸· §¨ 2 ¸· E1 ( λ μ)  ¨ 0 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 1 ¸ ¨1 ¸ ¨3 ¸ ¨5 ¸ © ¹ © ¹ © ¹

gegebene Ebenen

§¨ 1 ¸· §¨ 1 ·¸ §¨ 1 ·¸ E2 ( λ μ)  ¨ 1 ¸  λ ˜ ¨ 1 ¸  μ ˜ ¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨1 ¸ ¨2 ¸ © ¹ © ¹ © ¹ 2.7.4 Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde Beispiel 1: Repräsentiert die nachfolgende algebraische Gleichung einen Kreis? Bestimmen Sie allenfalls den Mittelpunkt und den Radius. 2

2

x  y  2 ˜ x  4 ˜ y  10 = 0

gegebene algebraische Gleichung

Beispiel 2: Stellen Sie die Gleichung des folgenden Kreises auf: M(7 | 1), r = 5. Beispiel 3: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. 2

2

x  2 ˜ x  y  14 ˜ y  1 = 0

gegebene Kreisgleichung

x  2 ˜ y = 1

gegebene Geradengleichung

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Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einem Kreis. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

( x  12 )  ( y  8) = 36

gegebene Kreisgleichung

5 ˜ x  12 ˜ y = 71

gegebene Geradengleichung

Beispiel 5: Errichten Sie von einem Punkt P(2 | 5) aus die Tangenten an den folgenden Kreis: 2

2

( x  2)  ( y  5) = 9 Beispiel 6: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Ellipse beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Ellipsengleichung. 2

2

2 ˜ x  5 ˜ y  3 ˜ x  2 ˜ y  20 = 0 Beispiel 7: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. 2

2

9 ˜ x  4 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

4 ˜ x  5 ˜ y = 20

gegebene Gerade

Beispiel 8: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Ellipse. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

2

5 ˜ x  2 ˜ y = 36

gegebene Ellipsengleichung

3 ˜ x  2 ˜ y = 1

gegebene Geradengleichung

Beispiel 9: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Hyperbel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Hyperbelgleichung. 2

2

5 ˜ x  2 ˜ y  4 ˜ x  6 ˜ y  58 = 0 Beispiel 10: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. 2

2

x  y = 15

gegebene Hyperbelgleichung

3 ˜ x  y = 10

gegebene Gerade

Seite 510

Übungsbeispiele

Beispiel 11: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 1 2

2

2

˜x  y =1

gegebene Hyperbelgleichung

y=x 1

gegebene Geradengleichung

Beispiel 12: Wird durch die gegebene Kegelschnittgleichung eine Parabel beschrieben? Wenn ja, bestimmen Sie die Parabelgleichung. 2

2˜ y  5˜ x 2˜ y 4 = 0 Beispiel 13: Ermitteln Sie die Schnittpunkte, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Parabel. 2

4˜ y = x

gegebene Parabelgleichung

x 2˜ y= 6

gegebene Gerade

Beispiel 14: Ermitteln Sie den Schnittpunkt, falls vorhanden, einer Geraden g mit einer Hyperbel. Stellen Sie, wenn möglich, die Tangentengleichung im Berührungspunkt auf. 2

y = 4˜ x y=

1 2

gegebene Parabelgleichung

˜x 2

gegebene Geradengleichung

Beispiel 15: Stellen Sie grafisch eine Kugel und eine schneidende Ebene in einem Koordinatensystem dar (Quickplot). z=

1 2

˜x

1 2

˜y 1

gegebene Ebene

x ( φ θ) = 3 ˜ sin ( θ) ˜ cos ( φ) y ( φ θ) = 3 ˜ sin ( θ) ˜ sin ( φ)

gegebener Kreis in Parameterdarstellung

z ( φ θ) = 3 cos ( θ) Beispiel 16: Stellen Sie grafisch ein Ellipsoid für folgende gegebene Halbachsen dar: x = 5 ˜ sin ( θ) ˜ cos ( φ) y = 3 ˜ sin ( θ) ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung der Ellipse

z = 2 ˜ cos ( θ)

Seite 511

Übungsbeispiele

Beispiel 17: Stellen Sie grafisch ein einschaliges Hyperboloid dar. 2

2

2

2

x=

3  z ˜ cos ( φ)

y=

3  z ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung des Hyperboloids

z=z Beispiel 17: Stellen Sie grafisch einen Kegel dar. i  0  30 φi  i ˜

j  0  30

2˜ π

rj  j ˜

30

10 30



x1 i j  rj cos φi



y1i j  rj sin φi

Parametergleichungen für einen Kegel und seine Spiegelung

z1i j  1.5 rj z2  z1 Beispiel 18: Stellen Sie ein elliptisches Paraboloid grafisch dar. a 3

b 2

§ x2

z=c˜¨

¨ 2 ©a



c 1

gegebene Daten

2·

y

¸

2¸

b

¹

Beispiel 19: Stellen Sie einen elliptischen Zylinder grafisch dar. a 5

b 1

gegebene Halbachsen

x = 4 ˜ cos ( φ) y = 2 ˜ sin ( φ)

Parameterdarstellung eines elliptischen Zylinders

z=z

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Übungsbeispiele

3. Matrizenrechnung 3.1 Reelle Matrizen Beispiel 1: Bilden Sie A + B, A - B, A B, 2 C + D, - 4 C - 6 D und C D auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. A

§ 2 5 · ¨ ¸ © 1 4 ¹

B

§ 3 1· ¨ ¸ © 5 2 ¹ gegebene Matrizen

6 9 4 · ¨§ ¸ C  ¨ 3 5 2 ¸ ¨ 0 9 1 ¸ © ¹

§¨ 5 2 6 ¸· D  ¨ 0 1 2 ¸ ¨ 5 2 7 ¸ © ¹

Beispiel 2: Berechnen Sie: A A = A2 und B B B = B3 .

§¨ 3 2 6 ¸· A  ¨ 7 2 1 ¸ ¨ 8 0 5 ¸ © ¹

1 3 8 · ¨§ ¸ B  ¨ 2 5 1 ¸ ¨9 2 4 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 3: Bilden Sie AT und BT auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? Wandeln Sie zeilenweise und spaltenweise die Matrix A in einem Vektor um.

§ 1 7 4· A ¨ ¸ © 3 9 2 ¹

§¨ 4 5 ·¸ B ¨ 1 4¸ ¨ 2 8 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 3: Gilt für die gegebene Matrix A: AT = A und für BT = -B? Wenn ja, warum? 1 1 2 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 3 3 ¸ ¨ 2 3 4 ¸ © ¹

2 2 5 · ¨§ ¸ B  ¨ 2 0 1 ¸ ¨5 1 3 ¸ © ¹

gegebene Matrizen

Beispiel 4: Wie lauten die Determinanten der gegebenen Matrizen? Berechnen Sie die Determinanten zum Vergleich auch mit Mathcad auf verschiedene Art und Weise.

§ 1 2 · A ¨ ¸ © 5 2 ¹

4 5 3· ¨§ ¸ B  ¨ 3 2 1 ¸ ¨0 3 1 ¸ © ¹

§3  λ 2 · ¨ ¸ © 1 4  λ ¹

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gegebene Matrizen

Übungsbeispiele

Beispiel 5: Berechnen Sie mit der Regel von Sarrus die Determinanten folgender Matrizen:

§¨ 1 5 8 ·¸ A ¨ 3 5 9 ¸ ¨ 2 7 10 ¸ © ¹

§¨ 5 0 1 ¸· B  ¨ 3 8 9 ¸ ¨ 1 1 2¸ © ¹

Beispiel 6: Wie lautet der Wert folgender Determinanten? (Berechnung mithilfe des Entwicklungssatzes von Laplace und mithilfe von Mathcad.)

§1 ¨ ¨ 3 ¨1 ¨ ©0

4 1 5·

¸ 1 0 3¸ 2 1 6¸ ¸ 3 3 0¹

§1 ¨ ¨1 ¨0 ¨ ©3

· ¸ 2 2 2 ¸ 1 4 1 ¸ ¸ 0 2 4 ¹ 0 8

2

Beispiel 7: Warum verschwinden die nachfolgend gegebenen Determinanten?

§¨ 1 0 4 ·¸ det ( A) = ¨ 7 0 8 ¸ ¨0 0 2 ¸ © ¹

§ 1 2 3 · ¨ ¸ 4 8 0 ¸ ¨ det ( A) = ¨1 ¸ 1 3 ¸ ¨ ©2 ¹

Beispiel 8: Berechnen Sie durch elementare Umformungen den Wert der folgenden Determinante: 4 6 8· ¨§ ¸ A = ¨ 3 1 4¸ ¨ 2 4 0 ¸ © ¹ Beispiel 9: Wie lautet das Drehmoment M = r x F für r = ( 1 - 2 6 )T m und F = (10 12 20)T N? o o o 

· § ¨ ex ey ez ¸ o o o ¸ M = ru F = ¨ r r ¨ x y rz ¸ ¨F F F ¸ © x y z¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 10: Sind folgende Vektoren komplanar (d. h., liegen sie in einer Ebene)? 1 ¨§ ¸· a  ¨2 ¸ ¨2 ¸ © ¹

§¨ 0 ¸· b  ¨ 4 ¸ ¨3 ¸ © ¹

3 ¨§ ¸· c  ¨ 6 ¸ ¨ 15 ¸ © ¹

Zeigen Sie, dass das folgende Spatprodukt verschwindet: a a a ¨§ x y z ¸· a ˜ ( b u c) = ¨ bx by bz ¸ ¨ ¸ ¨© c x c y c z ¸¹ Beispiel 11: Sind die gegebenen Matrizen regulär oder singulär?

§¨ 1 2 5 ¸· A  ¨ 2 4 3 ¸ ¨ 3 0 2 ¸ © ¹

§¨ 4 1 3 ¸· B ¨ 0 1 1 ¸ ¨ 8 1 9 ¸ © ¹

Beispiel 12: Gibt es für die Matrizen A, B und C eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lauten sie? 1 3 2 · ¨§ ¸ A  ¨ 4 1.5 5 ¸ ¨ 2.3 1 3 ¸ © ¹

§ ¨ ¨ B= ¨ ¨ ©

1 2 1 2

· ¸ 2¸ 1 ¸ ¸ 2¹ 1

3 1 4 · ¨§ ¸ C  ¨ 0 1 2 ¸ ¨1 2 0 ¸ © ¹

Beispiel 13: Bestimmen Sie die inverse Matrix von A, falls vorhanden, unter Anwendung des Gauß-JordanAlgorithmus. 3 4 9· ¨§ ¸ A  ¨ 4 1 5 ¸ ¨ 2 6 5 ¸ © ¹ Beispiel 14: Sind die nachfolgend gegebenen Transformationsmatrizen S und D orthogonal?

§¨ 1 0 0 ·¸ S  ¨0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ © ¹ §¨ cos ( α) sin ( α) 0 ·¸ D = ¨ sin ( α) cos ( α) 0 ¸ ¨ 0 ¸ 0 1¹ ©

Spiegelung eines Raumpunktes um die x-y-Ebene

Drehung des räumlichen Koordinatensystems um die z-Achse

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Übungsbeispiele

Beispiel 15: Bestimmen Sie den Rang der gegebenen Matrizen auf verschiedene Art und Weise:

§1 ¨ ¨2 C ¨6 ¨ ©7

§¨ 1 2 2 9 ·¸ B  ¨ 3 1 1 5 ¸ ¨ 8 1 2 6 ¸ © ¹

§¨ 2 3 0 ·¸ A ¨ 0 5 7¸ ¨ 2 1 8 ¸ © ¹

0

3 ·

3

4

¸ ¸ 10 5 ¸ ¸ 2 1 ¹

Beispiel 16: Berechnen Sie die Spur der folgenden Matrizen:

§1 ¨ ¨2 A ¨ 5 ¨ ©4

· ¸ 4 5 1 ¸ 1 8 9 ¸ ¸ 7 8 10 ¹ 3 0

1

§6 1 · ¨ ¸ ©0 9 ¹

B

Beispiel 17: Bestimmen Sie die verallgemeinerte inverse Matrix zu A.

§¨ 2 10 3 ·¸ A ¨ 1 3 5 ¸ ¨ 2 2 7 ¸ © ¹ Beispiel 18: Aus den Hypervektoren A und B soll die Hypermatrix (Produktmatrix) C = A B gebildet werden. Wie lautet dazu die transponierte Matrix von C?

A1 

A

§ 3 1· ¨ ¸ © 3 5 ¹

§ 1 1 · ¨ ¸ © 4 5¹

A2 

A ¨§ 1 ·¸ ¨A ¸ © 2¹

B

 B1

B2



B1 

§ 5 9 · ¨ ¸ © 1 2 ¹

B2 

§7 1 · ¨ ¸ ©2 2 ¹

gegebene Matrizen

Hypervektoren

Beispiel 19: Stellen Sie die gegebenen Ortsvektoren als Vektorpfeile in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

a

§ 3 · ¨ ¸ ©3 ¹

b

§5 · ¨ ¸ © 4 ¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 20: Geben Sie eine Cholesky-Zerlegung der Matrix A an. 3 4 2 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 5 6 ¸ ¨ 5 1 20 ¸ © ¹ Beispiel 21: Geben Sie eine PLU-Zerlegung der Matrix A an. 3 4 2 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 5 6 ¸ ¨ 5 1 20 ¸ © ¹ Beispiel 22: Geben Sie eine UO-Zerlegung der Matrix A an.

§ 3 ¨ ¨5 A ¨ 5 ¨ ©0

· ¸ 2.5 1.3 ¸ 5 1.6 ¸ ¸ 3.3 4 ¹ 4

2

Beispiel 23: Geben Sie eine UDV-Zerlegung der Matrix A an. 2 9 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 3 ¸ ¨2 5 ¸ © ¹ Beispiel 24: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung (m > n)? Wenn ja, dann lösen Sie das Gleichungssystem mit allen zur Verfügung stehenden Methoden. 2 x1 -

x2 -

x3

+ 5 x3

x1

- 3 x1 + x2 - 2 x3 4 x1 -

x2

= -3 =8 =0 =1

Beispiel 25: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? 2 x1 - 2 x2 = 6 - x1 + 3 x2 = 2 4 x1 + 3 x2 = 1

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Übungsbeispiele

Beispiel 26: Besitzt das folgende Gleichungssystem eine Lösung? x1 + 5 x2 - 5 x3 = 9 4 x1 -

x2

=0

3 x1 +

x2 + 2 x3 = - 10

Beispiel 27: Lösen Sie, wenn möglich, mit allen zur Verfügung stehenden Methoden, folgendes quadratische Gleichungssystem: 2 ˜ x1  4 ˜ x2  5 ˜ x3 = 1 3 ˜ x1  7 ˜ x2  5 ˜ x3 = 8 2 ˜ x1  3 ˜ x2  9 ˜ x3 = 10 Beispiel 28: Lösen Sie, wenn möglich, mit allen zur Verfügung stehenden Methoden, folgendes quadratische Gleichungssystem: 10 ˜ x1  4 ˜ x2  5 ˜ x3 = 13 2 ˜ x1  8 ˜ x2  7 ˜ x3 = 35 7 ˜ x1  x2  9 ˜ x3 = 20

3.2 Komplexe Matrizen Beispiel 1: Bilden Sie A + B, A - B, 3 A - 8 B, und A B. 2  3j j 4  3˜ j · ¨§ ¸ A  ¨ 1  j 2  2 ˜ j 5  9 ˜ j ¸ ¨ 0 ¸ j 2 ˜ j ¹ ©

2  2˜ j 7  9˜ j 10  j · ¨§ ¸ B ¨ 2 j 3  4 ˜ j ¸ ¨7  9 ˜ j 1  4 ˜ j ¸ 20 ¹ ©

Beispiel 2: Berechnen Sie: A A = A2 und B B B = B3 . A

2j · § j ¨ ¸ © 4 ˜ j 4  3 ˜ j ¹

B

§ 3  j 6  j · ¨ ¸ © 2  4 ˜ j 2 ¹

Beispiel 3: Bilden Sie AT und BT auf konventionelle Art und mithilfe von Mathcad numerisch und symbolisch. Wie lauten die Zeilen- und Spaltenvektoren der gegebenen Matrix A? j 2j 5 · § A ¨ ¸ © 2  4 ˜ j 3  2 ˜ j 2 ˜ j ¹

§¨ 2 ˜ j 7  3 ˜ j ¸· 4  7˜ j ¸ B ¨ 4 ¨ 10 6  1 ˜ j ¸ © ¹ Seite 518

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Gibt es für die Matrix A eine inverse Matrix? Wenn ja, wie lautet sie? 5  2 ˜ j 3  5 ˜ j · 1  j ¨§ ¸ 10 ¸ A  ¨ 5.5  6 ˜ j 10  3 ˜ j ¨ 8 j ¸ j 4 ˜ j © ¹ Beispiel 5: Bilden Sie die zugehörige komplexe Matrix und die konjugiert transponierte Matrix.

§¨ 2  j 3  5 ˜ j 1  7 ˜ j ·¸ A ¨ 6˜ j 2.4 ¸ 1  3˜ j ¨ 4.2  j 2 ˜ j ¸ j © ¹ Beispiel 6: Welche der nachfolgend angegebenen Matrizen sind hermitesch, und welche sind schiefhermitesch?

§¨ 1 j 0 ¸· A  ¨ j 0 1 ¸ ¨ 0 1 1¸ © ¹

2j 1  2˜ j · §¨ 1 ¸ B ¨ 2  j 1 5  4˜ j ¸ ¨1  2 ˜ j 5  4 ˜ j ¸ 0 © ¹

C

§ 2 ˜ j 1  j · ¨ ¸ © 1  j 3 ˜ j ¹

Beispiel 7: Sind die nachfolgend angegebenen Matrizen unitär?

A

§ 2 1  3 ˜ j 1  3 ˜ j · ¨ ¸ ˜ ¨ 2 ˜ j 3 j 3j ¸ 12 ¨ ¸ 2 2 © 2 ¹

1

B

§j 0· ¨ ¸ ©0 j ¹

Beispiel 8: Wie lautet die Lösung des folgenden komplexen Gleichungssystems? j §2  j · § 2j · ¨ ¸˜x=¨ ¸ ©5  j 8  3 ˜ j ¹ ©2  3 ˜ j ¹

3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Beispiel 1: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix? A

§ 3 4· ¨ ¸ © 1 5 ¹ Seite 519

Übungsbeispiele

Beispiel 2: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix? A

§ 1 1· ¨ ¸ © 1 1 ¹

Beispiel 3: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren, Spur und Determinante der nachfolgend gegebenen Matrix? 2 1 1 · ¨§ ¸ A ¨ 2 3 4 ¸ ¨ 1 1 2 ¸ © ¹ Beispiel 4: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der nachfolgend gegebenen Matrix?

§¨ 2 ˜ j 1  j 1 ·¸ A  ¨3 ˜ j 5 2 ˜ j ¸ ¨ 3 4  j 10 ¸ © ¹ Beispiel 5: Zeigen Sie, dass die aus den Eigenvektoren der Matrix A gebildete Matrix orthogonal ist.

§¨ 7 2 0 ¸· A  ¨2 6 2 ¸ ¨0 2 5 ¸ © ¹ Beispiel 6: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden symmetrischen Matrizen?

A

§1 2 · ¨ ¸ © 2 3 ¹

B

§ 2 5 · ¨ ¸ © 5 6 ¹

Beispiel 7: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden schiefsymmetrischen Matrix? 0 3 3 · ¨§ ¸ A  ¨ 3 0 1 ¸ ¨3 1 0 ¸ © ¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 8: Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden hermiteschen Matrix? A

§ 5 2˜ j · ¨ ¸ © 2 ˜ j 1 ¹

Beispiel 9: Wie lauten die Eigenwerte, Eigenvektoren des nachfolgend gegebenen verallgemeinerten Eigenwertproblems A x = OB x?

A

§1 3 · ¨ ¸ ©2 9 ¹

B

§ 3 4 · ¨ ¸ © 5 1 ¹

Beispiel 10: Die nachfolgende Matrix soll mit den angeführten Normen normiert werden. Falls es möglich ist, berechnen Sie auch die Konditionszahlen. 2.8 5 5.3 · ¨§ ¸ A  ¨ 1 6 4 ¸ ¨ 2 1 4.7 ¸ © ¹

3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung 3.5.1 Anwendung der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Beispiel 1: Berechnen Sie die Zweigströme der gegebenen Schaltung.

R1 = 6 ˜ Ω R2 = 12 ˜ Ω

gegebene Daten

R3 = 10 ˜ Ω Uq1 = 10 ˜ V

Beispiel 2: Berechnen Sie die Zweigströme der gegebenen Schaltung. R1 = 8 ˜ Ω R2 = 10 ˜ Ω R3 = 16 ˜ Ω Uq1 = 24 ˜ V

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gegebene Daten

Übungsbeispiele

Beispiel 3: Bestimmen Sie die Kettenmatrix A des T-Gliedes. Die Ausgangsgrößen besitzen die Werte U2 = 12 V und I2 = 0.2 A. Welche Werte besitzen die zugehörigen Eingangsgrößen?

Beispiel 4: Bestimmen Sie für die dargestellte symmetrische S-Schaltung die Eingangsspannung U 1 und den Eingangsstrom I1 , wenn die Ausgangsspannung U 2 = 24 V und der Ausgangsstrom I2 = 1.5 A gegeben sind.

Beispiel 5: Aus der nachfolgend gegebenen Schaltung soll die Spannungsübertragungsfunktion G(Z) und die Bodediagramme im Frequenzbereich fmin = 10 Hz und f max = 200 kHz mit R = 20 k:R1 = 5 : und C = 20 nF bestimmt werden.

Seite 522

Übungsbeispiele

3.5.2 Anwendungen in der Mechanik Beispiel 1: Gegeben sei ein räumliches Fachwerk (Bockgerüst - belastetes Dreibein) mit den Knotenpunkten A(2 | -5 | 1), B(3 | -2 | 0), C(-5 | 2 | 1) und D(0 | 0 | 10). Im Punkt D greift eine Kraft F an. Gesucht sind die Stabkräfte FA, FB und FC. 3

kN  10 ˜ N

Einheitendefinition

§¨ 2 ¸· F = ¨ 0.7 ¸ ˜ kN ¨ 5.2 ¸ © ¹

gegebene Kraft

Beispiel 2: Auf einem zweifach abgestützten Träger wirken die Kräfte F1 und F2 . Wie groß sind die Kräfte FA und FB? F1  350 ˜ N F2  500 ˜ N α  45Grad gegebene Daten l1  0.6 ˜ m l2  1.4 ˜ m l3  0.25 ˜ m Beispiel 3: Zwei identische Massen m sind durch zwei elastische Federn mit der Federkonstante c1 und einer weiteren Feder zwischen den Massen mit der Federkonstante c2 miteinander verbunden (Kopplung zweier schwingungsfähiger Systeme). Dieses System schwingt mit Normalschwingungen in Richtung der Systemachse. Bestimmen Sie die unbekannten Kreisfrequenzen Z1 und Z2 aus den Eigenwerten O i der gegebenen Systemmatrix A. c 2 · § c1  c2 ¨ ¸ m m ¨ ¸ = §¨ α β ¸· A= ¨ c 2 c 1  c 2 ¸ © β α ¹ ¨ ¸ m © m ¹

ω1 = ω0 =

λ1

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ω2 =

λ2

Übungsbeispiele

Beispiel 4: Ein homogener Träger der Länge L = 2 m ist auf zwei Stützen an den Enden gelagert und wird durch drei Kräfte F1 = 2 kN, F2 = 5 kN und F3 = 4 kN, die gleichmäßig verteilt sind, belastet. Wie groß sind die Durchbiegungen y1 , y2 und y3 , wenn die Koeffizientenmatrix A der Einflusszahlen gegeben ist und die Matrixgleichung y = A F gilt? Die Biegesteifigkeit beträgt E I = 5*10 10 N mm 2 . 8 12 7 · ¨§ ¸ A = λ ˜ ¨ 12 15 12 ¸ ¨ 7 12 8 ¸ © ¹

3

Matrix der Einflusszahlen mit

λ=

L

768 ˜ E ˜ I

3.5.3 Anwendungen in der Computergrafik Beispiel 1: Ein Dreieck, das durch die drei Eckpunkte A(0|0), B(2|0) und C(1|3) gegeben ist, soll um die x-Achse bzw. y-Achse gespiegelt werden. Beispiel 2: Eine gegebene Fläche im Raum soll um die xy-Ebene gespiegelt werden.



2

2

f ( x y)  cos 4 ˜ x  4 ˜ y



gegebene Flächenfunktion

Beispiel 3: Ein Viereck, das durch die vier Eckpunkte A(0|0), B(2|-1), C(3|1) und D(0|1) gegeben ist, soll entlang der x-Achse um den Faktor 2 gestreckt bzw. um den Faktor 1/2 gestaucht werden. Beispiel 4: Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(-3|0), B(1|0) und D(0|2) soll in y-Richtung durch Scherung verändert werden. Beispiel 5: Ein Viereck soll um einen Winkel M = S/2 gedreht und anschließend mithilfe des Translationsvektors d verschoben werden.

a1 

d

§ 4 · ¨ ¸ © 2 ¹

a2 

§5 · ¨ ¸ ©2 ¹

§0 · ¨ ¸ © 3 ¹

a3 

§2 · ¨ ¸ ©4 ¹

a4 

§ 2 · ¨ ¸ ©3 ¹

Vektoren zu den Eckpunkten des Vierecks

Verschiebungsvektor

Beispiel 6: Eine gegebene Fläche im Raum soll um einen Winkel D = 30° um die y-Achse gedreht werden. f ( x y)  x  y  2

gegebene Flächenfunktion

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Übungsbeispiele

Beispiel 7: Eine gegebene Ellipse soll um 100 Grad im Uhrzeigersinn gedreht werden: 2

x

9

2



y

implizite Ellipsengleichung

=1

4

Beispiel 8: Eine Ellipse in Mittelpunktslage wurde um den Ursprung des Koordinatensystems gedreht. Bestimmen Sie die Drehmatrix und die Ellipse in Hauptachsenlage. 2

2

3 ˜ x  10 ˜ x ˜ y  4 ˜ y = 25

Ellipsengleichung (Kegelschnittgleichung) der gedrehten Ellipse

Beispiel 9: Ein räumliches Objekt definiert durch die Eckpunkte 4 4 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0· ¨§ ¸ O  ¨ 0 2 3 15 16 18 18 0 0 18 18 16 15 3 2 0 ¸ ¨0 0 6 6 0 0 9 9 9 9 0 0 6 6 0 0 ¸ © ¹ wird zuerst um 30° gedreht, dann an der xy-Ebene gespiegelt, in y-Richtung um den Faktor 2 gestreckt und zum Schluss noch um 60° um die x-Achse gedreht. Die so entstehende Figur soll dann noch durch die Projektionsmatrix Pxy in die xy-Ebene projiziert werden (Aufriss). 1 0 0· ¨§ ¸ Pxy = ¨ 0 1 0 ¸ ¨0 0 0 ¸ © ¹

Projektionsmatrix

3.5.4 Anwendungen in der linearen Optimierung Beispiel 1: Lösen Sie die folgende lineare Optimierungsaufgabe grafisch:





f x1 x2 = 2 ˜ x1  3 ˜ x2

Die Zielfunktion soll ein Maximum werden.

2 ˜ x1  4 ˜ x2 d 16 2 ˜ x1  1 ˜ x2 d 10

Nebenbedingungen

4 ˜ x2 d 12 x1 t 0

Nichtnegativitätsbedingungen

x2 t 0

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Übungsbeispiele

Beispiel 2: In einem Betrieb werden zur Erzeugung der Produkte P1 und P2 die Maschinen A, B und C eingesetzt. Die für die Fertigstellung nötigen Maschinenzeiten sowie die wöchentliche Ausnützung sind aus der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen: Maschine Zeit in Stunden für 1 kg von größtmögliche Nutzung in Stunden P2 P1 A B C

4 10 8

8 4 0

80 100 64

Das Produkt P1 liefert als Gewinn € 380 und das Produkt P2 € 200 pro kg. Welche Menge jedes Produktes soll erzeugt werden, damit ein größtmöglicher Gewinn erzielt wird? Beispiel 3: Aus zwei Gasen soll ein möglichst billiges Mischgas hergestellt werden, wobei die Verbrennungsenergie nicht unter 1200 kJ gehen darf und der Schwefelgehalt höchstens 4 g/m3 zu betragen hat. Der Heizwert von G1 beträgt 1200 kJ/m 3 und von G2 1000 kJ/m 3 , der Schwefelgehalt von G1 liegt bei 2 g/m3 , von G2 bei 6 g/m 3 . 1 m 3 des 1. Gases kostet € 6, und 1 m 3 des 2. Gases € 10.

3.5.5 Anwendungen in der Ökonomie Beispiel 1: Drei verschiedene Fertigprodukte F1 , F2 und F3 setzen sich aus den drei Baugruppen B1 , B2 und B 3 zusammen. Die Baugruppen wiederum setzen sich aus den vier Einzelteilen E1 , E2 , E3 und E4 zusammen. Die jeweils benötigten Stückzahlen kann aus den nachfolgenden Tabellen entnommen werden (z. B. die Baugruppe B 2 benötigt von E1 3 Stück, von E2 4 Stück, von E3 1 Stück und von E4 2 Stück). Entsprechend benötigt das Fertigprodukt F2 von B 1 1 Stück, von B2 4 Stück und von B 3 3 Stück. Einzelteil E1 E2 E3 E4

Baugruppe B1 B2 4 3 5 4 3 1 0 2

Baugruppe B3 1 0 5 1

B1 B2 B3

Fertigprodukte F1 F2 F3 2 1 3 1 4 2 2 3 0

Die Materialkosten je Stück Einzelteil betragen pT = (2 3 1 4) €. Bezeichnungen: ... Stückzahlen der Baugruppen B 1 , B2 und B 3 b 1 , b2 , b3 f1 , f2 , f3

...

Stückzahlen der Fertigteile F1 , F2 und F3

e1 , e2 , e3 , e4

...

Stückzahlen der Einzelteile E1 , E2 , E3 und E4

a) Geben Sie die Materialflüsse in den beiden Zusammensetzungen in Form einer Matrixgleichung an. b) Wie lautet die zahlenmäßige Verflechtung zwischen den Eingangsgrößen (Stückzahlen der Einzelteile) und den Ausgangsgrößen (Stückzahlen der Fertigprodukte)? c) Wie viele Einzelteile sind notwendig, um 500 Stück von F1 , 300 Stück von F2 und 400 Stück von F3 zu produzieren? Wie hoch sind dabei die Materialkosten?

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Übungsbeispiele

4. Vektoranalysis 4.1 Raumkurven Beispiel 1: Eine bestimmte Bahnkurve ist durch die nachfolgend gegebene Vektorfunktion beschrieben. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

ª 1 2 « ˜ t ˜ ( t  12 ) ˜ ( t  8) ˜ ( t  4) 2 º» « 65 » r ( t) = « 3 » « 20 ˜ t ˜ ( t  4) ˜ ( t  8) ˜ ( t  4) » ¬ ¼

gegebene Vektorfunktion ( t t 0 )

Beispiel 2: Eine bestimmte Bahnkurve ist durch die nachfolgend gegebene Vektorfunktion beschrieben. Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

§ sin ( t) · ¨ ¸ t r ( t) = ¨ ¸ e ¨ ¸ © cos ( 2 ˜ t) ¹

gegebene Vektorfunktion ( t t 0 )

Beispiel 3: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für die nachfolgend gegebenen Ortsvektoren? Stellen Sie dazu die zugehörigen Diagramme dar (bei selbst gewähltem R und Z und t t 0 ) und berechne die Bogenlänge der Bahnkurve zwischen t 1 = 0 s und t 2 = 5 s? a) r ( t) =

b)

§ R ˜ cos ( ω ˜ t) · ¨ ¸ © R ˜ sin ( ω ˜ t) ¹

r ( t) =

ª R ˜ ( t  sin ( t) º « » ¬R ˜ ( 1  cos ( t) ) ¼

Beispiel 4: Wie lauten der Geschwindigkeitsvektor und der Beschleunigungsvektor für die nachfolgend gegebene Bahnkurve? Stellen Sie die Bahnkurve grafisch dar.

§ e t ˜ sin ( t) · ¨ ¸ r ( t) = ¨  t e ˜ cos ( t ) ¸ ¨ ¸ t © ¹

gegebener Ortsvektor der Bahnkurve ( t t 0 )

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Übungsbeispiele

Beispiel 5: Für die nachfolgend gegebenen parameterabhängigen Vektoren soll die erste Ableitung des Skalarund Vektorproduktes bestimmt werden.

§t · ¨ 2¸ r1 ( t) = ¨ t ¸ ¨ 3¸ ©t ¹ a)

r1 ( t) ˜ r2 ( t)

§ e t · ¨ ¸ r2 ( t) = ¨  t ¸ e ¨ ¸ © t ¹ b)

gegebene Vektoren

r1 ( t) u r2 ( t)

Beispiel 6: Für die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor einer Raumkurve ist der Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor sowie die Krümmung der Kurve für den Parameterwert t = S/4 zu bestimmen. o o o  gegebener Ortsvektor für die Raumkurve r ( t) = cos ( 2 ˜ t ) ˜ ex  4 ˜ sin ( 2 ˜ t ) ˜ ey  5 ˜ t ˜ ez Beispiel 7: Bestimmen Sie für die Raumkurve r(t) die Bogenlänge im Intervall 0 s dt d 1 s sowie die Krümmung und den Krümmungsradius für den Parameterwert t = 0.5 s

§t · ¨ 2¸ r ( t) = ¨ t ¸ ¨ 2¸ ©t ¹

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

Beispiel 8: Eine Bahnkurve ist durch den Ortsvektor r(t) gegeben. a) Wie lautet die Bahnkurve in expliziter Form? b) Wie groß ist die Bogenlänge s im Intervall 0 s dt d 2 s? c) Wie groß ist die Krümmung der Kurve für t = 1.5 s? d) Wie lautet der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor? Wie lauten die Tangentialund Normalkomponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor? e) Stellen Sie das Problem grafisch dar. o o 2 r ( t) = t ˜ ex  t ˜ ey

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

Beispiel 9: Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer Bahn in der Ebene, die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben wird. Wie lauten die Tangential- und Normalkomponenten von Geschwindigkeit und Beschleunigungsvektor?  2˜t

r ( t) = e

o o  2˜t ˜ sin ( t ) ˜ ey ˜ cos ( t ) ˜ ex  e

gegebener Ortsvektor für die Raumkurve

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Übungsbeispiele

4.2 Flächen im Raum Beispiel 1: Durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor wird eine Fläche im Raum beschrieben. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten u = 2 und v = 2? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

§ 3 ˜ cos ( 3 ˜ u) · ¨ ¸ r ( u v)  ¨ 3 ˜ sin ( 3 ˜ u) ¸ ¨ ¸ 2 v © ¹

gegebener Ortsvektor

Beispiel 2: Durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor wird eine Fläche im Raum beschrieben. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene im Flächenpunkt P mit den Parameterwerten u = 1 und v = 1? Stellen Sie das Problem grafisch dar.

§¨ u  r ( u v)  ¨ u  ¨ v ©

v·

¸

v¸

¸ ¹

gegebener Ortsvektor

Beispiel 3: Ein Massenpunkt bewegt sich auf der Mantelfläche einer Kugel mit Radius R = 4 m, die durch den nachfolgend gegebenen Ortsvektor beschrieben wird. Die Flächenparameter u und v sind dabei wie folgt o o 2 von der Zeit abhängig: u(t) = t; v(t) = t . Wie lauten die Tangentenvektoren tu und tv ? Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor? Wie groß ist der Betrag der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = S s? Wie lautet o  die Flächennormale n0 für die Parameterwerte u = v = S/2? Stellen Sie die Kugelfläche und die Flächenkurve grafisch dar.

§¨ R ˜ sin ( u) ˜ cos ( v) ·¸ r ( u v) = ¨ R ˜ sin ( u) ˜ sin ( v) ¸ ¨ R ˜ cos ( u) ¸ © ¹

Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche (0 d u d π ; 0 d v  2 ˜ π )

4.3 Ebene und räumliche Koordinatensysteme Beispiel 1: Wie lautet das nachfolgende Vektorfeld in Polarkoordinaten? o o o 2 F = x ˜ y ˜ ex  y ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: Wie lautet das nachfolgende Vektorfeld in Zylinderkoordinaten? o o o o  F = y ˜ ex  2 ˜ ey  x ˜ ez

gegebenes Vektorfeld

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Übungsbeispiele

Beispiel 2: Für die Bahnkurve eines Masseteilchens gelten die nachfolgend gegebenen Parametergleichungen. Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten und der Betrag dieses Vektors zum Zeitpunkt t = 1 s? t

x=e

t

˜ sin ( t )

y=e

˜ cos ( t )

z = 2˜ t

Parametergleichungen der Bahnkurve

Beispiel 3: Das nachfolgend gegebene Geschwindigkeitsfeld soll in Kugelkoordinaten dargestellt werden. o v( x y z ) =

§¨ y ¸· ˜¨ x ¸ 2 2 ¨ ¸ x y ©0 ¹ z

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

4.4 Skalar- und Vektorfelder Beispiel 1: Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. 2

2

f ( x y) = x  y

gegebenes Skalarfeld

Beispiel 2: Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. 4

4

f ( x y) = x  4 ˜ x ˜ y  y  0.9

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 2

ymax = 2

Beispiel 3: Stellen Sie das gegebene Skalarfeld und die zugehörigen Niveaulinien grafisch dar. f ( x y)  cos ( x  sin ( y) )

xmin = 0

xmax = 2 ˜ π

ymin = 0

ymax = 2 ˜ π

Beispiel 4: Das Skalarfeld für eine zweidimensionale Temperaturverteilung ist nachfolgend gegeben. Stellen Sie die Isothermen (Niveaulinien) der zweidimensionalen Temperaturverteilung grafisch dar. 50

ϑ ( x y) =

2

 20

2

zweidimensionale Temperaturverteilung

15 ˜ x  30 ˜ y  5 Beispiel 5: Stellen Sie von den nachfolgend gegebenen Vektorfeldern jeweils das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. a)

o § x · F=¨ ¸ ©y ¹

b)

o § x ˜ e y · ¨ ¸ v= ¨ x¸ ©y ˜ e ¹

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Übungsbeispiele

Beispiel 6: Stellen Sie von dem nachfolgend gegebenen Vektorfeld das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. o v( x y) =

y «ª «¬ 1  x2 ˜ y 





º» x»¼

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 4

ymax = 4

Beispiel 7: Stellen Sie von dem nachfolgend gegebenen Vektorfeld das zugehörige Vektorfelddiagramm dar. Fx ( x y) = y Fy ( x y) = x

Vektorfeldkomponenten

xmin = 2

xmax = 2

ymin = 2

ymax = 2

4.5 Klassische Differentialoperatoren Beispiel 1: Bestimmen Sie das Gradientenfeld der Funktion f(x,y) = sin(x) cos(x) und stellen Sie es grafisch dar (xmin = -2, xmax = 2, ymin = -4 und ymax = 4). Beispiel 2: Wie lautet der Gradient der Funktion f(x,y,z) = x y + x2 y z + y z3 ? Beispiel 3: o Wie lautet das zum Potential M(r) = 1/ r gehörige Kraftfeld F = grad ( φ ( r) )? Beispiel 4: Das Dach eines Gebäudes (siehe Abbildung - Schnitt durch die x-z-Ebene) ist gegeben als Graf der Funktion f(x,y) = sin(2 x) cos(y) (-4 dx d 1; -1 dy d 0). An den Kanten x0 = 1, -1 dy0 d 0 stößt es gegen eine vertikale Mauer. Wie lautet das Gradientenfeld und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle (x0 |y0 |z 0 = f(x0 ,y0 ))? Stellen Sie das Skalarfeld f und das zugehörige Gradientenfeld (Geschwindigkeitsfeld des abfließenden Regenwassers) grafisch dar.

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Übungsbeispiele

Beispiel 5: Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene, die im Punkt P(2|1|5) an die Zylindermantelfläche F(x,y,z) = x2 + y2 - 5 = 0 angelegt werden kann? Beispiel 6: Wie lautet der Gradient des folgenden in Zylinderkoordinaten gegebenen Skalarfeldes? φ

f ( ρ φ z ) = ρ ˜ e  z

gegebenes Skalarfeld

Beispiel 7: Bestimmen Sie die Divergenz des Gradientenfeldes des skalaren Feldes f(x,y,z) = (x - 2)2 + (y - 4)2 + z 2 . Beispiel 8: Wie lautet die Divergenz des gegebenen Vektorfeldes im Punkt P(2|1|1)?

§ x ˜ y  x2 ˜ z 2 · ¸ o ¨ v = ¨ 2˜ y˜ z ¸ ¨ 2 ¸ © x ˜ y  y˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 9: Verschwindet die Divergenz des Gradienten des räumlichen radialsymmetrischen Skalarfeldes f? f ( r) = a 

c

räumliches radialsymmetrisches Skalarfeld (Konstanten a, b > 0; r > 0)

r

Beispiel 10: Ist das gegebene Geschwindigkeitsfeld wirbelfrei? o v=

1 2

2

x y

o o ˜ § x ˜ ex  y ˜ ey·

©

¹

gegebenes Geschwindigkeitsfeld

Beispiel 11: Wie lautet die Rotation des folgenden Vektorfeldes im Punkt P(1|1|1)? o F=

1 2

2

x y z

2

o o o  ˜ § x ˜ ex  y ˜ ey  z ˜ ez·

©

¹

Beispiel 12: Wie sind die Konstanten a und b zu wählen, damit das gegebene Vektorfeld wirbelfrei ist?

§ 2 ˜ x ˜ z 2  y3 ˜ z · ¨ ¸ o ¨ ¸ 2 F= a˜ x˜ y ˜ z ¨ ¸ ¨ 2 3¸ ©2 ˜ x ˜ z  b ˜ x ˜ y ¹ Seite 532

Übungsbeispiele

Beispiel 13: o Wie lautet die Rotation des Vektorfeldes v ?

§ x ·¸ o ¨ v = ¨x ˜ y¸ ¨ 1 ¸ © ¹

Beispiel 14: Wie lautet die Divergenz und Rotation des in Zylinderkoordinaten gegebenen Vektorfeldes? o o 1  F( ρ φ z ) = ˜ eρ 2 ρ

gegebenes Vektorfeld

4.6 Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Beispiel 1: o Zeigen Sie, dass das Vektorfeld F wirbelfrei ist und damit als Gradient eines skalaren Feldes f(x,y,z) darstellbar ist. Wie lautet dieses skalare Feld f (Potentialfeld)?

o G=

§ 2 ˜ x ˜ z  y2 · ¨ ¸ ¨ 2˜ x˜ y ¸ ¨ ¸ 2 x © ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: Die Funktion f(r) = 1/r ist eine Lösung der Laplace-Gleichung 'f = 0 im Raum. Ist diese Funktion auch eine Lösung in der Ebene? Beispiel 3: Welche Funktion ergibt sich, wenn der Laplace-Operator auf das Skalarfeld f(x,y,z) = (x2 + x2 + z 2 )2 angewendet wird? Beispiel 4: Wie lauten die Lösungen der Laplace-Gleichung 'f(M) = 0 in der Ebene, wenn f nur vom Polarwinkel M abhängt? Beispiel 5: o Ist das gegebene Vektorfeld v Rotation eines anderen Vektorfeldes? o v =

§ 2 · ¨ x ˜y ¸ ¨ z ¸ ¨ ¸ ©x ˜ y ˜ z ¹

Beispiel 6: o Ist F ein Gradientenfeld?

§ x · o ¨ ¸ F = ¨ y ¸ ¨0¸ © ¹

Seite 533

Übungsbeispiele

4.7 Linien- oder Kurvenintegrale Beispiel 1: Berechnen Sie die Masse des Bogens der Kurve y = ex zwischen x1 = 0 und x2 = 5, wenn die lineare Dichte U der Kurve in jedem Punkt gleich dem Quadrat seiner Abszisse ist. Beispiel 2: T  o § t · Berechnen Sie das Kurvenintegral längs der Kurve r ( t) = ¨ cos ( t ) sin ( t )  ¸ (0 dt d2 S) für das 2 ˜ π¹ © o Vektorfeld F.

§¨ y ¸· o F( x y z ) = ¨ x ¸ ¨1¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 3: Wie lautet jeweils der Wert des Kurvenintegrals längs der Kurven C 1 und C2 (0 dt d4) für das o ebene Vektorfeld F( x y)? Stellen Sie die Kurven C 1 und C 2 grafisch dar.

§¨ t ¸· ¨2¸ r1 ( t)  ¨t ¸ ¨ ¸ ©2¹ §¨ t ·¸ r2 ( t)  ¨ t ¸ ¨2 ¸ © ¹ § x3 ˜ y2 · ¨ ¸ F ( x y)  ¨ 2 ¸ ©x  y ¹

Kurve C 1

Kurve C 2

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: Wir betrachten zwei Kurven im Raum C1 : t o(t2 , t2 , t2 )T (0 dt d1) und C2 : t o(t3 , t, t)T (0 dt d1), die beide den Punkt P1 (0|0|0) mit dem Punkt P2 (1|1|1) verbinden. Wie lautet jeweils der Wert des o Kurvenintegrals für das gegebene Vektorfeld E ? Stellen Sie die Kurven C 1 und C 2 grafisch dar. x1 ( t )  t

2

y1 ( t )  t

2

z1 ( t )  t

2

Parametergleichungen der Kurve C1

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Übungsbeispiele

x2 ( t )  t y2 ( t )  t

2

z2 ( t )  t

3

Parametergleichungen der Kurve C2

§ y · ¨ ¸ E ( x y z )  ¨ x ˜ z 2 ¸ ¨ ¸ © 1 ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 5: o Wie groß ist die Arbeit, die das ebene Kraftfeld F an einem Massenpunkt bei einer gradlinigen Verschiebung von P1 (0|0) nach P2 (4|4) verrichtet? F ( x y) 

§¨ x2 ˜ y ¸· ¨© x ˜ y ¸¹

gegebenes ebenes Kraftfeld

Beispiel 6: Zeigen Sie, dass das nachfolgend gegebene ebene Vektorfeld konservativ oder ein Potentialfeld ist und daher wegunabhängig ist. Außerdem berechnen Sie das Arbeitsintegral. ´ o o µ µ F dr für einen beliebig gewähltem Weg vom Punkt P1(1|0) nach P2(3|5). ¶ C o o o F( x y) = x ˜ ex  y ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 7: Zeigen Sie, dass das folgende Linienintegral wegunabhängig ist. Außerdem bestimmen Sie die zugehörige Potentialfunktion. ´ µ µ ¶

x

y

e ˜ dx  x ˜ e dy

C Beispiel 8: Zeigen Sie, dass die Linienintegrale von A(0|0) nach B(1|1) entlang der Kurven y = x, y = x2 und y = sin(S x/2) gleich 1 sind. o §y· F=¨ ¸ ©x¹

gegebenes Vektorfeld

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Übungsbeispiele

Beispiel 9: o Für das nachfolgend gegebene Feld F soll zuerst die Integrabilitätsbedingung überprüft werden und  o T anschließend das Umlaufintegral entlang vom Einheitskreis r ( t) = ( cos ( t ) sin ( t ) ) (0 dt d2S) berechnet werden. Ist das Feld konservativ? o F=

y 2

2

x y

o ˜ ex 

x 2

2

x y

o ˜ ey

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 10: Ist dS ( T V) =

Cv

˜ dT 

R

˜ dV ein vollständiges Differential der Entropiefunktion S(T,V) des T V idealen Gases? Wenn ja, bestimmen Sie diese Funktion. T ist die absolute Temperatur, V das Volumen, Cv die Molwärme bei konstantem Volumen und R die allgemeine Gaskonstante. Beispiel 11: o 2 o Ist das räumliche Kraftfeld F = r ˜ r konservativ? Wenn ja, bestimmen Sie das Potential f(x,y,z) des Feldes. Beispiel 12:





T o 2 2 Gegeben ist das Kraftfeld F = 2 ˜ x  3 ˜ y 9 ˜ x ˜ y  2 ˜ y . Gibt es eine Funktion f(x,y), so dass o F = grad ( f ( x y) ) gilt? Wenn ja, bestimmen Sie diese Funktion.

4.8 Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Beispiel 1: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die im 1. Oktant gelegene Fläche der Ebene x + y + z = 1? Stellen Sie die Fläche grafisch dar.

o F=

§4 ˜ y· ¨ ¸ ¨ x2 ¸ ¨ ¸ ©x ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch einen Zylindermantel A, wobei der Radius des Zylinders R = 2 und die Höhe h = 5 ist? Stellen Sie den Zylinder grafisch dar.

o F=

§¨ x ˜ y ¸· ¨ x ¸ ¨ sin ( z ) ¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: o Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F durch die geschlossene Halbkugelschale x2 + y2 + z 2 = 4, z t 0 ? Stellen Sie die Halbkugelschale grafisch dar. o F=

§¨ x ˜ y ·¸ ¨ z ¸ ¨ y ¸ © ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: Durch die Rotation der Normalparabel z = x2 um die z-Achse entsteht ein Rotationsparaboloid. Der Mantel dieses Paraboloids wird durch die Gleichung z = x2 + y2 beschrieben. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Mantels mit der Höhe h = 5? Stellen Sie das Rotationsparaboloid grafisch dar. Beispiel 5: o o c  Wie groß ist der Fluss des in Zylinderkoordinaten dargestellten Vektorfeldes F = ˜ eρ (U > 0, ρ c = konst.) durch die Oberfläche eines koaxialen Zylinders mit dem Radius R und der Höhe h (die Zylinderachse sei die z-Achse)?

4.9 Integralsätze von Gauß und Stokes Beispiel 1: o Wie lautet der Fluss des Vektorfeldes F durch die (geschlossene) Oberfläche eines Zylinders mit der Zylinderachse z, mit dem Radius r = 2 und h = 5 (0 dz d5)?

§x · o ¨ ¸ F = ¨ x ¸ 2

¨ 2¸ ©z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 2: o Der Integralsatz von Gauß soll für das ebene Vektorfeld F und für die Kreisfläche mit Radius R = 2 und o der Randkurve C um den Ursprung verifiziert werden. Die Kreisfläche hat den Radius r und den o  1 o Normaleneinheitsvektor n0 = o ˜ r . r

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Übungsbeispiele

Beispiel 3: Gegeben sei die Mantelfläche der Halbkugel x2 + y2 + z 2 = 4 (z t0) und C die kreisförmige Randkurve in o der x-y-Ebene. Wie groß ist der Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch diese Fläche auf zwei verschiedene Arten? (Die Flächennormale ist nach außen gerichtet und die Randkurve C wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen.)

§ y3 · ¨ ¸ o ¨ F = y ˜ z2 ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ©y ˜ z ¹

gegebenes Vektorfeld

Beispiel 4: o o  2 Ein Vektorfeld ist in Kugelkoordinaten gegeben: F( r ϑ φ) = r ˜ cos ( φ) ˜ eϑ. Bestätigen Sie die Aussage, dass der Vektorfluss durch eine Kugelschale mit dem Radius R verschwindet.

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Literaturverzeichnis

Literaturverzeichnis Dieses Literaturverzeichnis enthält einige Werke über Mathematik, Elektrotechnik, Elektronik, Regelungstechnik, Maschinenbau, Signalverarbeitung, Mechanik und Physik. Es soll dem Leser zu den Ausführungen dieses Buches bei der Suche nach vertiefender Literatur eine Orientierungshilfe sein. ANTON, H. (1995). Lineare Algebra. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. BUCHMAYR, B. (2002). Werkstoff- und Fertigungstechnik mit Mathcad. Heidelberg: Springer. DAVIS, A. (1999). Lineare Schaltungsanalyse. Bonn: mitp-Verlag. FICHTENHOLZ, G.M. (1986). Differential- und Integralrechnung 3. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. FISCHER, G. (1997). Lineare Algebra. Wiesbaden: Vieweg. FORSTER, O. (1999). Analysis 3. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg. GEORG, O. (1999). Elektromagnetische Felder. Berlin: Springer. GÖTZ, H. (1990). Einführung in die digitale Signalverarbeitung. Stuttgart:Teubner. GREINER, W. (1993). Mechanik 1 und 2. Thun: Harri Deutsch. GREUEL, O. (1985). Mathematische Ergänzungen und Aufgaben für Elektrotechniker. Leipzig: VEB. JÄNICH, K. (2004). Lineare Algebra. Berlin, Heidelberg, New York: Springer. KUYPERS, F. (1993). Klassische Mechanik. Weinheim: VHC. LEUPOLD, W. (1982). Mathematik Band III. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. MAEYER, M. (1998). Signalverarbeitung. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg. MARTI, K., GRÖGER, D. (2000). Einführung in die lineare und nichtlineare Optimierung. Heidelberg: Physika. NEUMANN, K., MORLOCK, K. (1993). Operations Research. München: Carl Hanser. OSE, G. (1981). Mathematik Band IV. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, L. (2001). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 2. Wiesbaden: Vieweg. PAPULA, L. (1997). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3. Wiesbaden: Vieweg. SCHLÜTER, G. (2000). Digitale Regelungstechnik. Leipzig: Fachverlag. SCHMUTZER, E. (1991). Grundlagen der theoretischen Physik. Teil 1. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften. SPERLICH, V. (2002). Übungsaufgaben zur Thermodynamik mit Mathcad. Leipzig: Fachbuchverlag. STEPHAN, W. (2001). Leistungselektronik. Leipzig: Carl Hanser.

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Literaturverzeichnis

TRÖLSS, J. (2002). Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad. Linz: Trauner. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 1: Einführung in Mathcad. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 3: Differential- und Integralrechnung. Wien: Springer. TRÖLSS, J. (2008). Angewandte Mathematik mit Mathcad (Lehr- und Arbeitsbuch). Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen. Wien: Springer. WAGNER, A. ( 2001). Elektrische Netzwerkanalyse. Norderstedt: BoD. WEHRMANN, C. (1995). Elektronische Antriebstechnik. Wiesbaden: Vieweg.

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Sachwortverzeichnis

Sachwortverzeichnis

A Ableitung einer Vektorfunktion 364 Ableitungsregeln 366 absoluter Betrag 5 Abstand zweier Geraden 162 Abstand zweier paralleler Ebenen 180 Achsenabschnittsform 149 Addition 13, 14 Addition von Vektoren 104 Admittanz 311 Äquipotentialflächen 405 algebraische Gleichung n-ten Grades 35 algebraisches Komplement 236, 237 Ampere'sches Gesetz 480 Amplitude 41 Amplitudengang 89, 323 analytische Geometrie 103, 143 Angriffspunkt 103 Antikommutativität 133 antisymmetrischer Tensor 134 Anwendungen der Matrizenrechnung 305 Anwendungen von komplexen Zahlen 38 arg(z) 8 arccos(z), arctan(z) 7 Assoziativgesetz 13, 105, 107 atan2(x,y) 8 Auflagerreaktion 122 Augenblickswert 39 axialsymmetrisches Vektorfeld 411 Azimutwinkel 202

Computergrafik 330 cond 302 cond1 302 cond2 302 condi 302

B

E

Bahnkurve 360 Bandfilter 64 Basis 118 Basisvektoren 108 Beschleunigungsvektor 368 Betrag eines Vektors 104, 120 Blindleistung 59 Blindkomponenten 49 Bode-Diagramm 89, 101 Bogendifferential 368 Bogenelement 376, 399, 404 Bogenlänge 367, 368

Ebenendarstellung 165 Ebenengleichung 167 Ebene 395 ebene Vektorfelder 408 Eigenwerte 288, 291, 295, 297, 298 eigenvek 291 Eigenvektoren 288, 291, 295, 297, 298 Eigenwertproblem 301 Einheitsmatrix 218 Einheitsvektor 104 107 Einheitswurzeln 36 elektrisches Feld 472 elektrische Feldkonstante 122 elektrische Feldstärke 121, 136, 429, 477 elektrisches Netzwerk 49 Elektrotechnik 305 Ellipse 186, 191, 192, 381

C Cholesky-Zerlegung 263 Cramer-Regel 274, 277

D Darstellungsform komplexer Zahlen 6 Determinanten 235 Determinantenmethode 141 Diagonalmatrix 218, 295 Differentialoperatoren 413, 439 Dimension 118, 120, 233 Distributivgesetz 13, 107, 126, 133 Divergenz 425 Division 16, 26, 27 Drehfaktor 39 Drehsinn 20 Drehstauchung 20, 26, 28 Drehstreckung 20, 26, 28 Drehung 20, 24, 26, 27 dreidimensionale Koordinatensysteme 395 Dreiecksmatrix 219, 295 Dreiecksungleichheit 15 Drei-Punkte-Form 165 Doppelintegral 461, 462 Drehmoment 137 dyadisches Produkt 257

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Sachwortverzeichnis

Ellipsoid 205 erweitern 231 H-Tensor 134 euklidische Norm 120, 302 Euler'sche Beziehungen 12 Exponentialform 6, 10, 17

homogenes Vektorfeld 410 Hybridform 258 Hyperbel 186, 195, 196 Hyperbelfunktionen 12 Hypermatrix 258 Hyperboloid 207 Hypervektoren 257

F I Fachwerk 138 Feldlinien 407 Feldstärkevektor 137 Flächenelement 387, 399, 404 Flächen im Raum 383 Flächennormale 384 Flächen zweiter Ordnung 185, 202 Filter 89 FRAME 40, 42, 204, 361, 362, 363, 378 Frequenz 38 Frequenzgang 79 Flussdichte 136, 142 Flussintegral 460

imaginäre Einheit 1, 23 imaginäre Achse 5 imaginäre Zahl 2 Imaginärteil 2 Impedanz 311 implizite Form 148 Integrabilitätsbedingung 454 Integralsätze von Gauß und Stokes 473 inverses Element 105 Inversionskreis 68 Inversion komplexer Größen 68 inverse Matrix 243, 244

G

K

Gauß-Algorithmus 267 Gauß'sches Eliminationsverfahren 267 Gauß'sche Zahlenebene 3 Gegenvektor 104 geninv 256 Geradendarstellung 146 geradlinige Ortskurven 65 Geschwindigkeitsfeld 436 Geschwindigkeitsvektor 368 gestreckt 19 gestaucht 19 Gitter 333 Gitterlinien 383 Gleichheit von Matrizen 232 Graddefinition 9 Gradient 413 Gradientenfeld 423 Graßmann'scher Entwicklungssatz 134 Gravitationsfeld 423 Gravitationskraft 121 Gravitationspotential 422 Green'sche Formel 479 Grundrechenarten 13

kartesische Koordinaten 391 Kegel 209 Kegelschnitte 185, 186 Kehrwert 26 Kettenform 311 Kirchhoff'sche Regeln 49 kommutative Gruppe 110 Kommutativgesetz 13, 105, 126 komplexe Amplitude 39, 44, 47 komplexer Bereich 38 komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen 38 komplexe Ebene 3 komplexer Effektivwert 39, 49 komplexe Matrizen 280 komplexe quadratische Gleichungssysteme 287 komplexer Scheitelwert 47, 49 komplexe Toleranzschwelle 16 komplexe Zahl 1 komplexer Zeiger 3 komplexwertige Funktion 64 Komponentenform 6 Kondensatoren 49 Konduktanz 52 konjugiert komplexe Matrix 282 konjugiert komplexe Zahl 5, 7, 36 konjugiert transponierte Matrix 283 Konditionszahlen 302 konservative Vektorfelder 453 Koordinatensysteme 391 Körper 13, 110 Kreis 186

H harmonische Schwingung 40, 44 Hauptwert 31, 37 Hauptnormaleneinheitsvektor 373 hermitesche Matrix 284, 298 Hesse'sche Normalform 149, 150, 168

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Sachwortverzeichnis

Kreisfrequenz 363 Kreisscheibe 186 Kreisteilungsgleichung 36 Kreis- und Hyperbelfunktionen 12 cos(z), sin(z), tan(z), cosh(z), sinh(z), tanh(z) Kronecker-Deltafunktion 119 Kreuzprodukt 132 Krümmung 373, 376 Krümmungsradius 376 Kugel 202 Kugelkoordinaten 400 kugelsymmetrisches Vektorfeld 412, 456 Kurven auf Flächen 389 Kurvenintegrale 447 Kurvenkrümmung 376 Kurzschluss 313 L Lagebeziehungen 180 Laplace'scher Entwicklungssatz 237 Laplace-Operator 439 Laplace-Transformation 89 Länge des Zeigers 57 Leitwertebene 50, 71 Leitwertform 310 Leitwertfunktion 64 Leitwertoperatoren 50, 52, 53, 54 Leitwertortskurven 64 Levi-Civita-Symbol 134 Linearfaktoren 35 Linearkombination 114, 116, 251 lineare Gleichungssysteme 267 lineare Hülle 114 lineare Optimierung 348 lineare Unabhängigkeit 115, 251 Linienelement 399, 404 Linienintegrale 447 llösen 275 Logarithmieren 37 logarithmische Frequenzachse 95 Logarithmus 37 Lorentz-Kraft 136

Minimum 222 Moivre 28 Momentanwert 41 Multiplikation 13, 16, 24 Multiplikation eines Vektors 107 Multiplikation von Matrizen 232 N Nebenbedingungen 349 Nebenwerte 31, 37 Netzwerktechnik 305 Neutrales Element 105 nichtlineare geometrische Gebilde 185 Nichtnegativitätsbedingungen 349 Niveauflächen 405 Niveaulinien 414 Normalabstand 158, 172 Normalform 148 Normalvektor 150, 174 Normalvektorform 149 n-reihige Determinante 237 n-Tupel 118 Nullmatrix 218 Nullphasenwinkel 41 Nullvektor 104, 111 Nyquist-Diagramm 89 Nyquist-Ortskurve 94 O Oberflächenintegrale 460 Ohm'sches Gesetz 51 Ökonomie 356 Optimierungsproblem 348 orthogonale Einheitsvektoren 108 orthogonale Matrix 247, 248, 286 Orthogonalsystem 119 ORIGIN 220 Ortskurve 64 Ortsvektor 360 OU-Zerlegung 264 P

M Magnetfeld 142, 437 Maßstab 69 Matrizenrechnung 217 Matrixnormen 302 Matrixzerlegungen 263 Maximum 98, 222 Maxwell-Gleichung 474 Mechanik 326 mechanische Schwingung 38, 42 Menge der komplexen Zahlen 2

Parabel 186, 199 Paraboloid 211 Parallelepiped 141 parameterfreie Form 148, 157 Parallelschaltung 56, 314 Passante 187 Periodendauer 38 Pfeil 103 Phasenfrequenzgang 64 Phasengang 64, 89, 323 Phasenlage 41

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Sachwortverzeichnis

Phasenwinkel 41 PLU-Zerlegung 263 Produkte von Vektoren 125 Produktregel 367 Projektion eines Vektors 127 Poisson-Gleichung 440 Polarform 6, 10, 17 Polarkoordinaten 6, 391 Polynomnullstellen 35 Potentialfelder 453 Potentialgleichung 440 Potenzieren von komplexen Zahlen 28 Punkt-Richtungsform 146, 165 Q quadratische lineare Gleichungssysteme 273 quellenfreie Vektorfelder 426, 437, 442 quellen- und wirbelfreie Vektorfelder 445 R radialsymmetrisches Vektorfeld 412, 456 Radizieren 30 Rangbestimmung 25 Rang einer Matrix 249 Raumkurven 360, 367 Realteil 2 Rechnen mit komplexen Zahlen 13 Rechtssystem 108 reelle Achse 5 reelle Lösung 38 reelle Matrizen 217 reeller Bereich 38 regelmäßiges Sechseck 36 reguläre Matrix 242 Reihenschaltung 56 Resistanz 52 Restriktionen 349 Resonanz 47 Resonanzfrequenz 77 Richtungswinkel 128 Rotation 431 rotierende Zeiger 40 Rücktransformation 42, 47 S Satz von Stokes 473, 480 Satz von Moivre 28 Scheinleitwert 50, 75 Scheinleistung 59 Scheinwiderstand 75 Scheitelwert 38, 41 Schieberegler 335, 336,337, 338, 339, 340, 342 schiefhermitesche Matrix 285

Schnittgerade 182 Schnittpunkt 175 Schnittwinkel 175, 182 Schwerpunkt 145 Schwingkreis 76 Schwingungsproblem 38 Schwingungsamplitude 38, 41 Sekante 187 Serienschaltung 314 Signalübertragung 89 singuläre Matrix 242 Skalarfelder 405 Skalarprodukt 119, 125 Slider 335, 336,337, 338, 339, 340, 342 Spalte 229 Spaltenmatrix 219 Spannungsfunktion 64 Spannungsresonanz 79 Spannungsstoß 142 Spatprodukt 140 Spektralnorm 302 spezielle Matrizen 218 Spiegelung am Einheitskreis 68 Spulen 49 Spur 255 Stabkräfte 123 stapeln 231 Stauchung 20, 26 Streckung 20, 26 Stromfunktion 64 Stromlinien 407 Submatrix 231 Subtraktion 14 Subtraktion von Vektoren 106 Summenregel 366 Summensätze 18 Superpositionsprinzip 44 Symmetrieeigenschaften 12 symmetrische Matrix 219, 297 T Tangenteneinheitsvektor 373, 392 Tangente 187 Tangentenvektor 365 Tangentialebene 384, 386 Teilung einer Strecke 143 Teilungspunkt 144 Trajektorie 360 Transistor 324 Transformationsgleichungen 10 Translation 104, 106 transponierte Matrix 228 Transponierungszeichen 111 Transposition 228 trigonometrische Form 6

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Sachwortverzeichnis

totales Differential 414 Toleranz 16 U Überlagerung von Schwingungen 44 Übertragungsfunktion 89 Übungsbeispiele 485 unitäre Matrizen 286 Unterdeterminante 236, 243 Untermatrizen 257 Unterprogramm-Zeiger 4 Untervektorräume 114 UDV-Zerlegung 265 V Vektoralgebra 103 Vektoranalysis 360 Vektoren 103 Vektorfelder 405, 407 vektorielle Darstellung einer Kurve 360 Vektorpfeile 104 Vektorprodukt 132 Vektorräume 110, 217 verallgemeinerte inverse Matrix 256 Verschiebungsarbeit 131 Verschiebungsvektor 104, 106, 131 Vierpole 89, 309 Vierpolparameter 312 Vierpoltheorie 309 vollständige Induktion 28 Volumselement 399, 404 W Wechselspannung 38 Wechselstrom 38 Wechselstromgröße 38, 49 Wechselstromleistung 50, 59 w-Ebene 68

Widerstände 49 Widerstandsebene 50, 71 Widerstandsform 310 Widerstandsoperatoren 50, 52, 53, 54 Widerstandsortskurven 64 Winkel(x,y) 7, 8 Winkelbestimmung 7 Winkelfaktor 39 Wirbelfluss 479 wirbelfreies Vektorfeld 443 Wirkkomponenten 49 Wirkleistung 59 Wirkleitwert 50 Wirkungslinie 103 Wurzeln 35 Wurzelziehen 30 Z Zahlenpaarform 2, 6, 17 z-Ebene 68 Zeiger 4, 41, 42 Zeiger1 61 Zeigerdiagramm 44 Zeile 229 Zeilenmatrix 219 Zeilenumformungen 244 Zentralfelder 471 zentralsymmetrisches Vektorfeld 412 Zielfunktion 349 zref 279 Zugkräfte 123 Zylinder 213 Zylinderkoordinaten 395 zylindersymmetrisches Vektorfeld 411 zweidimensionale Koordinatensysteme 391 Zwei-Punkte-Form 147

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