Mathematik für Ingenieure mit Maple: Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen [2. Aufl.] 978-3-540-67450-4, 978-3-662-08559-2

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Springer-Lehrbuch

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Thomas Westermann

Mathematik für Ingenieure mit Maple Band 1: Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, Komplexe Zahlen, Funktionenreihen 2. Auflage

Mit 300 Abbildungen, 262 Aufgaben und Lösungen

Springer

Professor Dr. Thomas Westermann Fachbereich Naturwissenschaften Fachhochschule Karlsruhe Hochschule für Technik Postfach 24 40 76012 Karlsruhe E-mail: [email protected]

Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com ISBN 978-3-540-67450-4 ISBN 978-3-662-08559-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-08559-2

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Mathematik flir Ingenieure mit MaplelThomas Westermann. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer (Springer-Lehrbuch) Bd. I. Differential- und Integralrechnung flir Funktionen einer Variablen, Vektor- und Matrizenrechnung, komplexe Zahlen, Funktionenreihen. - 2. Aufl. - 2000

Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nurauszugsweiserVerwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des UrheberreChtsgesetzes.

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 200 I Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jederrnann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Einband: design & production, Heidelberg GedrucktaufsäurefreiemPapier

SPIN: 10767167 62/3020ra -5432 I 0

Vorwort zur 2. Auflage Die positiven und ennutigenden Zuschriften haben uns bewogen, das Konzept, die Darstellung sowie die Inhalte für diese Neuauflage nahezu unverändert zu belassen. Allerdings wurden zahlreiche MAPLE-Ausarbeitungen ergänzt, Visualisierungen neu erstellt und sämtliche MAPLE-Beschreibungen an MAPLE6 angepaßt. Textverbesserungen wurden vorgenommen, weitere Anwendungsbeispiele eingefügt und Druckfehler beseitigt. Der Grundidee folgend, mathematische Begriffe zu visualisieren, um sie greifbarer zu machen, und den interaktiven Gebrauch des Buches zu fördern, wurde die CD-ROM völlig neu und benutzerfreundlicher gestaltet. Um zukünftig mit neuen MAPLE-Versionen Schritt halten zu können, werden Updates der elektronischen Arbeitsblätter (Worksheets) unter http://www·fh-karlsruhe.derwethOOO2lbuecherlbandl/start.htm unter der Angabe des Paßwortes (ISBN-Nummer dieses Buches) abrufbar sein. Mein Dank gilt M. Hainz, der die Worksheets neu gestaltet hat, sowie Scientific Computers, die mir MAPLE6 zur Verfügung gestellt haben. Karlsruhe, im Juni 2000

Thomas Westermann

Vorwort zur 1. Auflage Dieses zweibändige Lehrbuch entstand aus Vorlesungen und übungen zur Mathematik und Physikalischen Simulation für Ingenieure des Studienganges Sensorsystemtechnik an der Fachhochschule Karlsruhe. Es wendet sich aber an alle Studenten der Natur- und Ingenieurwissenschaften, da auch Themengebiete einbezogen sind, die nicht bzw. nicht in der vorliegenden Tiefe in der Vorlesung behandelt wurden. Die Themengebiete sind so aufbereitet, daß Studenten sie auch im Selbststudium leicht bearbeiten können. Im ersten Band sind mehr als 450 Beispiele ausführlich durchgerechnet und zusätzlich 260 Aufgaben mit Lösungen angegeben. Wichtige Fonneln und Lehrsätze werden deutlich hervorgehoben, um die Lesbarkeit des Buches zu erhöhen. Mehr als 300 Abbildungen und Skizzen tragen dem Lehrbuchcharakter Rechnung. Die stürmische Entwicklung von Computersoftware im Bereich der Mathematik erfordert eine Erweiterung der Ingenieur-Ausbildung, indem nicht nur praxisorientiertes mathematisches Wissen, sondern auch das Rüstzeug vermittelt wird, mit diesen Systemen erfolgreich arbeiten zu können. Die Computeralgebra-Systeme haben den mathematischen Alltag eines Ingenieurs grundlegend erweitert und be-

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reichert. Sie werden zum numerischen Rechnen genauso verwendet wie zum Rechnen mit Formeln sowie der graphischen Darstellung komplizierter Sachverhalte. Die Rechentechnik tritt in den Hintergrund; die interessante Modellierung und das systematische Vorgehen gewinnt an Bedeutung. In diesem Lehrbuch wird dieser neue spannende Aspekt aufgegriffen und das Computeralgebra-System MAPLE in die Mathematikausbildung mit einbezogen. Mathematische Begriffe werden anschaulich motiviert, systematisch anhand praxisbezogener Beispiele verdeutlicht und mit MAPLE umgesetzt, was sich in vielen Animationen niederschlägt. Auf mathematische Beweise wird fast gänzlich verzichtet und einer anschaulich prägnanten Sprechweise den Vorzug gegenüber einer mathematisch exakten Formulierung gegeben. Um den ständig wachsenden Gebrauch von Rechnern und numerischen Problemlösungen zu berücksichtigen, wurden zwei Kapitel zur rechnerischen Lösung von Standard-Problemen in dieses Mathematikbuch aufgenommen. Die numerischen Algorithmen sind als Pascal-Quellprogramme auf der beigelegten CD-ROM enthalten, können aber von etwas geübten Programmierern leicht in jede andere höhere Sprache umgesetzt werden. Obwohl die unterschiedlichen Stadien der Manuskripte oftmals Korrektur gelesen wurden, lassen sich Fehler bei der Abfassung eines umfangreichen Textes nicht vermeiden. Ober Hinweise auf noch vorhandene Fehler ist der Autor dankbar. Aber auch Verbesserungsvorschläge, nützliche Hinweise und erfrischende Anregungen besonders von studentischen Kreisen sind sehr erwUnscht und können dem Autor z.B. über [email protected] oder per Post zugesendet werden. Das vorliegende Buch wurde vollständig in J51'JY( unter dem Textverarbeitungsprogramm Scientific WorkPlace erstellt. Ohne die engagierte Mithilfe und Mitarbeit vieler bereitwilliger Helfer wäre das Buch in seiner vorliegenden Form nicht möglich gewesen. Besonders bedanken möchte ich mich bei Herrn F. Wohlfarth und Frau Raviol fUr die präzise und fehlerfreie Erstellung des J51'JY(-Quelltextes mit all den vielen Formeln, den Herren M. Baus und F. Loeffler fUr die exzellente Erstellung der meisten Skizzen und Bilder unter CoreIDraw, so wie der Autor sie sich vorgestellt hat, und dem teilweise mühevollen Einbinden auch der MAPLEBilder in das J51'JY(-System sowie Herrn A. Käpplein für die Bereitstellung des J51'JY(-Styles. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme und reibungslose Zusammenarbeit, speziell Herrn Dr. Merkle. Zuletzt möchte ich mich bei meiner Familie (Ulrike, Veronika, Juliane) bedanken, die mit viel Verständnis meine Arbeit an diesem Buch mitgetragen und tatkräftig unterstützt hat. Karlsruhe, im Juni 1996

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Hinweise zum Gebrauch dieses Buches Das gesamte Werk ist in zwei Bände und jeder Band in einzelne Kapitel aufgeteilt. Die Kapitel fassen mehrere Aspekte einer Thematik zusammen. Nicht immer ließ es sich vermeiden, Teilergebnisse aus späteren Kapiteln vorwegzunehmen und zu verwenden. Dem didaktischen Anliegen, Themenbereiche geschlossen in einem Block zu bearbeiten, wurde dabei stärkere Priorität als der mathematischen Strenge beigemessen. Die Reihenfolge innerhalb eines Vorlesungszyklus muß sich nicht an die im Buch gewählte Reihenfolge halten, einzelne Kapitel können auch aufgesplittet werden. Neu eingeführte Begriffe werden kursiv im Text markiert und zumeist in einer Definition fett spezifiziert. Lehrsätze, wichtige Formeln und Zusammenfassungen sind durch Umrahmungen besonders gekennzeichnet. Dieses Buch ist ein Lehrbuch über Mathematik und kann ohne Rechner zum Erlernen von mathematischem Grundwissen oder zur Prüfungsvorbereitung herangezogen werden. Um den vollen Umfang und die ganze Schönheit der Mathematik und der Anwendungen zu erleben, sind die Animationen und Ausarbeitungen mit dem Computeralgebra-System MAPLE unverzichtbar. Nur wenn eine Animation als Animation erlebt wird, kommt die volle Erkenntnis zum Tragen. Dieses Buch kann auch als eine themengebundene Einführung in die Anwendung von MAPLE in der Mathematik gesehen werden, da sämtliche Themengebiete des Buches mit MAPLE bearbeitet werden. Alle MAPLE-Befehle sind im Text fett hervorgehoben; die MAPLE-Syntax erkennt man an der Eingabeaufforderung ">" zu Beginn einer Zeile. Diese MAPLE-Zeilen sind im Textstil sans serif angegeben und können direkt in MAPLE eingegeben werden. Die MAPLE-Ausgabe erscheint im Formelmodus. Somit wurde versucht das MAPLE-Konzept auch optisch in das Lehrbuch zu integrieren, ihm aber dennoch ein MAPLE-spezifisches Aussehen zu geben, wie es unter der Windows-Oberfläche erscheint. Alle übungsaufgaben sind soweit nicht speziell gekennzeichnet mit den Hilfsmitteln der einzelnen Paragraphen zu bearbeiten, sie sind aber auch gleichzeitig Aufgaben, die mit MAPLE gelöst werden können. Alle MAPLE-Ausarbeitungen sind auf der CD-ROM als elektronische Arbeitsblätter (Worksheets) enthalten, so daß der interessierte Leser die im Text entwickelten Methoden umsetzen bzw. an abgeänderten Beispielen erproben kann. Es wird besonders auf die vielen Animationen und Prozeduren hingewiesen, welche die elementaren Begriffe visualisieren und die mathematischen Zusammenhänge aufzeigen.

Inhaltsverzeichnis 1 Kapitel I: Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme §1. Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 §2. Natürliche Zahlen .......................................... 4 2.1 Peanosche Axiome ................................... 4 2.2 Vollständige Induktion ................................ 5 2.3 Geometrische Summenformel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Permutationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 Der binomische Lehrsatz .............................. 9 §3. Mathematische Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 §4. Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 4.1 Zahlenmengen und Operationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 4.2 Die Rechengesetze für reelle Zahlen .................... 14 4.3 Potenzrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 4.4 Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 4.5 Anordnung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18 §5. Gleichungen und Ungleichungen mit MAPLE .................. 20 5.1 Gleichungen ........................................ 20 5.2 Ungleichungen ...................................... 23 §6. Lineare Gleichungssysteme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6.1 Ein Einführungsbeispiel .............................. 24 6.2 Begriffsbildung und Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . 27 §7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE ............ 33 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ....................... 36 Aufgaben zu Kapitel I ..................................... 38 Kapitel 11: Vektorrechnung §1. Vektoren im R 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . 1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ............ 1.2 Addition zweier Vektoren ............................. 1.3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors ................... 1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren ..................... 1.5 Geometrische Anwendung ............................ §2. Vektoren im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Rechenregeln für Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Projektion eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren. . . . . . . . 2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren ..................... §3. Vektorrechnung mit MAPLE ................................ §4. Geraden und Ebenen im R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden .................... 4.2 Lage zweier Geraden zueinander .......................

41 42 42 43 43 45 47 50 50 53 54 58 60 63 63 64

x

Inhaltsverzeichnis

§5.

§6.

4.3 Abstandsberechnung zu Geraden ....................... 66 4.4 Vektorielle Darstellung von Ebenen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5 Lage zweier Ebenen zueinander ........................ 71 4.6 Abstandsberechnung zu Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.7 Berechnung des Schnittes einer Geraden mit einer Ebene ... 75 Punkte, Geraden und Ebenen mit MAPLE ..................... 77 5.1 Definition der geometrischen Objekte ................... 77 5.2 Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander ...... 79 5.3 Die MAPLE-Prozedur geomet ......................... 83 Vektorräume .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1 Vektorrechnung im ]Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3 Linearkombination und Erzeugnis ., .................... 90 6.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ............... 92 6.5 Basis und Dimension ................................ 95 Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ....................... 99 Aufgaben zu Kapitel 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100

Kapitel In: Matrizen und Determinanten

106

§ 1.

106 106 108 111 115 118 119 122 122 123 125 129 131 131 136 140 142

§2.

§3.

Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.1 Einführung, spezielle Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2 Rechenoperationen für Matrizen ....................... 1.3 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE ..................... 1.5 Lineare Abbildungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Determinanten ........................................... 2.1 Einführung ........................................ 2.2 Rechenregeln für zweireihige Determinanten ............ 2.3 n-reihige Determinanten ............................. 2.4 Anwendungen von Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1 Lineare Gleichungssysteme, Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2 Anwendungen ..................................... Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel III ...................................

Kapitel IV: Elementare Funktionen

145

§1.

145 145 149 155 163 164

§2.

Grundbegriffe und allgemeine Funktionseigenschaften .......... 1.1 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2 Elementare Funktionen in MAPLE ..................... 1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften .................... Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.1 Festlegung von Polynomen durch Wertepaare . . . . . . . . . . ..

Inhaltsverzeichnis

xi

2.2 Koeffizientenvergleich .............................. 2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor .............. . . . .. 2.4 Nullstellenproblem ................................. 2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus. . . .. 2.6 Polynome mit MAPLE .............................. Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1 Rationale Funktionen ............................... 3.2 Anwendung: übertragungsfunktion bei LC-Kreisen....... 3.3 Rationale Funktionen mit MAPLE ..................... Potenz- und Wurzelfunktionen .............................. Exponential- und Logarithmusfunktion ....................... 5.1 Exponentialfunktion ................................ 5.2 Logarithmusfunktion ................................ Trigonometrische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.1 Grundbegriffe ..................................... 6.2 Sinus- und Kosinusfunktion .......................... 6.3 Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6.4 Arkusfunktionen ................................... Zusammenstellung der VereinfachungsbefehJe von MAPLE ...... Aufgaben zu Kapitel IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 166 167 170 173 177 177 181 182 185 187 187 189 192 192 192 197 199 205 206

Kapitel V: Die komplexen Zahlen §1. Darstellung komplexer Zahlen .............................. 1.1 Algebraische Normalform ............................ 1.2 Trigonometrische Normalform ........................ 1.3 Exponentielle Normalform ........................... 1.4 Umformungen der Normalformen ..................... 1.5 Komplexe Zahlen mit MAPLE ........................ §2. Komplexe Rechenoperationen .............................. 2.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Subtraktion ........................................ 2.3 Multiplikation ..................................... 2.4 Division .......................................... 2.5 Potenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Wurzeln .......................................... 2.7 Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §3. Komplexe Rechnung mit MAPLE ........................... §4. Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §5. übertragungsfunktion für RCL-Filterschaltungen ............... 5.1 übertragungsfunktion für lineare Ketten ................ 5.2 Beispiele ......................................... 5.3 Dimensionierung von Hoch- und Tiefpässen ............. Aufgaben zu Kapitel V ...................................

209 210 210 212 212 213 215 217 218 218 219 221 223 224 226 227 229 242 246 250 254 259

§3.

§4. §5.

§6.

xii

Inhaltsverzeichnis

Kapitel VI: Differential- und Integralrechnung §1. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Reelle Zahlenfolgen ................................ 1.2 Funktionsgrenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Stetigkeit einer Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2. Differentialrechnung ...................................... 2.1 Einführung ........................................ 2.2 Rechenregeln bei der Differentiation ................... 2.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik ........... 2.4 Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Anwendung der Differentialrechnung in der Mathematik . . . 2.6 Extremwertaufgaben (Optimierungsprobleme) ............ 2.7 Sätze der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers . . . . . . . . . . §3. Integralrechnung ......................................... 3.1 Das Riemann-Integral ............................... 3.2 Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung ... 3.3 Grundregeln der Integralrechnung ..................... 3.4 Integrationsmethoden ............................... 3.5 Uneigentliche Integrale .............................. 3.6 Anwendungen der Integralrechnung .................... Zusarnrnenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 262 262 268 273 276 276 282 295 298 303 310 315 320 323 323 329 338 340 357 360 379 380

Kapitel VII: Funktionenreihen §1. Zahlenreihen ............................................ 1.1 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Konvergenzkriterien ................................ §2. Potenzreihen ............................................ §3. Taylorreihen ............................................ §4. Taylorreihen mit MAPLE .................................. §5. Anwendungen ........................................... 5.1 Nllherungspolynome einer Funktion .................... 5.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung .............. §6. Komplexwertige Funktionen ............................... 6.1 Komplexe Potenzreihen ............................. 6.2 Die Eulersche Formel ............................... 6.3 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion ........ 6.4 Komplexe Hyperbelfunktionen ........................ 6.5 Differentiation und Integration ........................ Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel VII ..................................

386 388 390 395 401 410 420 423 423 429 431 431 433 434 436 437 440 441

Inhaltsverzeichnis

xiii

Kapitel VIn: Numerisches Lösen von Gleichungen §1. Intervallhalbierungs-Methode ............................... §2. Pegasus-Verfahren ........................................ §3. Banachsches Iterationsverfahren ............................ §4. Newton-Verfahren ........................................ §5. Regula falsi ............................................. §6. Bestimmung von Polynom-Nullstellen ....................... Aufgaben zu Kapitel VIII .................................

446 452 455 468 473 474 477

444

Kapitel IX: Numerische Differentiation und Integration §1. Numerische Differentiation ................................ 1.1 Differenzenformeln fUr die erste Ableitung .............. 1.2 Differenzenformeln fUr die zweite Ableitung ............ 1.3 Differenzenformeln fUr die note Ableitung .............. §2. Numerische Integration ................................... 2.1 Die Rechteckregel .................................. 2.2 Die Trapezregel .................................... 2.3 Die Simpson-Regel ................................. Zusammenstellung der MAPLE-Befehle ...................... Aufgaben zu Kapitel IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

478 478 478 485 486 487 488 490 491 493 494

Anhang A: Lösungen zu den Übungsaufgaben

495

Anhang B: Einführung in MAPLE

507

Anhang C: Die CD-ROM

517

Literaturverzeichnis

521

Index

523

Verzeichnis der MAPLE-Befehle

533

Inhalt von Band 2

Kapitel X:

Funktionen von mehreren Variablen Partielle Differentiation, Satz von Taylor, Gradient, Richtungsableitung, Lokale Extrema, Ausgleichsrechnung, Integration, Linien- und Kurvenintegrale.

Kapitel XI:

Gewöhnliche Differentialgleichungen DG 1. Ordnung, Lineare DG-Systeme, Eigenweruheorie, Lineare DG n.-ter Ordnung, Numerisches Lösen von DG.

Kapitel XII:

l.aplace-Transformation Laplace-Transformation, Sätze der LT, Lösen von DG mit der LT.

Kapitel XIII:

Fourierreihen 271"- und p-periodische Funktionen, Komplexe Fourierreihen.

Kapitel XIV:

Fouriertransformation Fouriertransformation, Sätze der FT, Deltafunktion, LZK-Systeme, DFT, Anwendung der DFT in der Systemtheorie.

Kapitel XV:

Partielle Differentialgleichungen Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung, Laplacegleichung, Wellenleiter, Biegeschwingungsgleichung.

Kapitel XVI:

Vektoranalysis und Integralsätze Divergenz, Gaußscher Satz, Rotation, Stokescher Satz, Differentialoperatoren.

Kapitel I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme Zahlen und Mengen gehören zu den wichtigsten Grundbegriffen der Mathematik, auf denen alle weiteren Gebilde und Konstruktionen aufbauen. In diesem Kapitel werden die Grundlagen sowohl über Mengen als auch über die natürlichen und reellen Zahlen gelegt sowie die elementaren Rechengesetze angegeben. Die Grundgesetze zu den Potenzen und Logarithmen werden wiederholt. Zu den elementaren Aufgaben der Mathematik gehört das Lösen von Gleichungen. In diesem Kapitel werden auch einfache Gleichungen sowie die für die Anwendungen wichtigen linearen Gleichungssysteme .behandelt und der Gauß-Algorithmus eingeführt. Da nur wenige 1Ypen von Gleichungen explizit lösbar sind, werden wir nicht systematisch auf das Lösen von Gleichungen eingehen, sondern exemplarisch zeigen, wie sie mit MAPLE bearbeitbar sind.

§l Mengen "Unter einer Menge M verstehen wir jede Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen"; diese Festlegung (=Definition) des Mengenbegriffs stammt von G. Cantor (1895). Diese Definition des Mengenbegriffs reicht für unsere Zwecke vollständig aus. Mengen bezeichnen wir im folgenden immer mit Großbuchstaben. Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A und werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. a E A heißt: a ist Element der Menge A. a A n B = A {::> AU B = B

{::>

A\B

=0

Das kartesische Produkt von zwei Mengen MI und M 2 ist die Menge, die aus allen Paaren (x, y) besteht, wobei x E MI und y E M 2 : MI X M2 := {(x,y) : x E MI und y E M 2 }.

2. Beispiel: 1R x 1R besteht aus Paaren von reellen Zahlen. Dies ist nichts anderes als die Zahlenebene; (x, y) ist jeweils ein Punkt in dieser Ebene. Statt 1R x 1R schreibt man kurz 1R2 . Mengen mit MAPLE. Mengen werden in MAPLE durch die explizite Angabe der Elemente in geschweiften Klammem oder durch den set-Befehl definiert. Zur Vereinigung, zum Schnitt und für das Komplement stehen die Befehle union, intersect und minus zur Verfügung. > M := {1,2,3,a,b,c}: > member (a,M); true

> {a,b,c} union {c,d,e}; {a, b, c, d, e}

> {a,b,c} intersect {c,d,e}; {c}

> {a,b,c} minus {c,d,e}; {a,b}

Im Programmpaket combinat, welches mit >with(combinat): aktiviert wird, findet man die Möglichkeit das kartesische Produkt von zwei Mengen MI und M 2 zu bilden: > with(combinat) > M1 *M2 := cartprod ( convert (M1, list), convert (M2, list»:

4

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

§2. Natürliche Zahlen Zu den einfachsten Gegenständen der Arithmetik gehören die natürlichen Zahlen. Sie bilden das Fundament unseres Zahlengebäudes. Die Gesamtheit aller natürlichen Zahlen nennen wir die "natürliche Zahlenmenge" N. Der Ausdruck "natürliche" Zahlen fUr N = {I, 2, 3, ... } ist sicherlich gut gewählt, denn Kinder beginnen so zu zählen und in allen Kulturen beginnt das mathematische Denken mit diesen Zahlen. Die Null wurde erst sehr spät, nämlich etwa 870 n. ehr. von den Indern eifunden und wird heute zu den natürlichen Zahlen hinzugenommen: No. Erst durch die Entdeckung der Zahl Null war die indische Mathematik erstmals in der Lage, ein heutzutage in der ganzen Welt übernommenes Stellenwertsystem zu schaffen, das nur mit zehn Ziffern (einschließlich der Null) auskommt. Das Stellenwertsystem ist schon bei A. Ries (1492-1559) in seinem ersten Rechenbuch 1422 beschrieben. Darin befindet sich auch die Würdigung der Zahl Null! Das Fundamentalprinzip der natürlichen Zahlen geht auf den Mathematiker Peano (1858-1939, 1889) zurück.

2.1 Peanosche Axiome (1 ) 1 ist eine natürliche Zahl. (2) Zu jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein Nachfolger n', der ebenfalls der natürlichen Zahlenmenge angehört. (3) Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist. (4) Die Nachfolger zweier verschiederner natürlicher Zahlen sind voneinander verschieden. (5) Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält alle natürlichen Zahlen, wenn 1 zur Menge gehört und mit einer natürlichen Zahl n stets auch der Nachfolger n' zur Menge gehört.

Mit den Peanoschen Axiomen ist man in der Lage, die natürliche Zahlenmenge aufzubauen, denn man erhält sofort die folgenden Konsequenzen aus den Axiomen: Folgerungen:

(1) Die natürliche Zahlenmenge hat unendlich viele verschiedene Elemente: Wegen (Al) gibt es mindestens eine natürliche Zahl: 1. Wegen (A2) gibt es zu 1 einen Nachfolger, der nach (A3) i= 1: 2. Wegen (A2) gibt es zu 2 einen Nachfolger, der i= 1 (A3) und i= 2 (A4): 3. usw.

5

2.2 VolIstlindige Induktion

(2) Die Elemente der natürlichen Zahlenmenge lassen sich in einer bestimmten Reihenfolge anordnen, wobei schrittweise alle natürlichen Zahlen erfaßt werden: 1; 2; 3; 4; 5; ... , n; n + 1; ... Hierbei bedeutet n + 1 der Nachfolger von n. Durch diese Reihenfolge wird auf natürliche Weise die Addition von natürlichen Zahlen festgelegt. (3) Jede Teilmenge M der natürlichen Zahlen M c N, welche die 1 und mit n E M auch stets den Nachfolger n + 1 enthält, ist gleich der Menge aller natürlichen Zahlen. Aus der Folgerung (3) erhalten wir ein Beweisprinzip, welches zu den wichtigsten Beweismethoden der Analysis gehört, nämlich die vollstlJndige Induktion.

2.2 Vollständige Induktion Um eine Aussage (3) zu zeigen:

für alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genügt es nach

(I) Induktionsanfang: Für n

= 1 ist die Aussage richtig.

(11) Induktionsschluß von no auf no + 1: Falls die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl no erfüllt ist, dann muß sie auch für den Nachfolger no + 1 richtig sein. Können beide Schritte durchgeführt werden, dann gilt die Aussage für alle n E N. Denn nach (I) ist die Aussage für 1 richtig. Nach (11) ist dann die Aussage auch für den Nachfolger, also 2, richtig. Nach (11) ist dann die Aussage auch für den Nachfolger, also 3, richtig. usw.

3. Beispiel:

11 + 2 + ... + n = ｾ＠

Beweis mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang n = 1: Für n = 1 ist die linke Seite der Gleichung 1 und die rechte Seite = 1. Induktionsschluß von no auf no + 1: Sei no E N beliebi und die Formel sei richtig für dieses no, d.h. es gilt 1 + 2 + ... + no = no n;+1 . Dann ist zu zeigen, daß die Formel auch für no + 1 gilt:

1;/

1 + 2 + ... + no + (no = no(no + 1) + (no

+ 1) (1 + 2 + ... + no) + (no + 1) = + 1) = no(no + 1) + 2(no + 1) (no + 1)(no + 2)

2 Dies ist die zu beweisende Formel für no

2

+ 1.

2

o

Bemerkung: Man sagt, daß diese Summenformel aufF. Gauß (1777-1855) zurückgeht, der einer Anekdote zufolge die Summe der ersten 100 Zahlen dadurch berech-

6

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

nete, daß er die Summe der ersten mit der letzten, der zweiten mit der zweitletzten, der dritten mit der drittletzten usw. bildete: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + .... Somit erhält man von den 100 Summanden nur noch ＱｾＰＬ＠ jeder mit dem Wert 101, also 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 100;101. Tatsächlich war sowohl die Formel als auch der Rechenweg schon Adam Ries (1492-1559; 1422) bekannt. 0

Als Abkürzung für Summen und Produkte führt man folgende Notationen ein: Definition: (1) Summenzeichen. Für die Summe der Zahlen man

1, ... ,

E 1R schreibt

... ,

E 1R schreibt

n

L

al

+ ...

·

(2) Produktzeichen. Für das Produkt der Zahlen man

rr n

ak := al .

.....

(3) Fakultlitzeichen. Zu jedem n E N definiert man

n!:= 1· 2· ... · n

(Fakultät von

und

O!:= 1.

Übrigens wächst n! sehr schnell. Z.B. 13! ｾ＠ 6· 109 ; um diese Zahl zu zählen, benötigte man 100 Jahre, wenn man in einer Minute bis 100 zählen könnte! 4. Beispiele: 10

(1)

L

i 2 = 52

+ 62 + 72 + 82 + 92 + 102.

i=5

(2)

5 ",1_11111

LJ 2i i=l

n + 2·2 + 2·3 + 2-4 + 2·5'

6

(3)

TI

(2i _1)2

= 52 .72 .92 .11 2.

i=3

(4) 5! = 1 ·2·3·4·5.

Bemerkung: Summe, Produkt und Fakultät sind in MAPLE einfach durchführbar:

> Sum «2, i=5 .. 10) = sum (r2, i=5 .. 10); 10

L i 2 = 355 i=5

7

2.2 Vollständige Induktion

>

Product ((2*i-1 r2, i=3 .. 6) = product ((2*i-1 r2, i=3.. 6); 6

II (2i -

= 12006225

1)2

i=3

> 5!; 120 Man erkennt, daß bei Großschreibung die Befehle nur symbolisch dargestellt werden (inerte oder trtlge Form der Befehle); bei Kleinschreibung die Befehle ausgefUhrt werden. Diese Gesetzmäßigkeit werden wir bei vielen anderen MAPLEBefehlen wiederfinden. 0

5. Beöspiel: 11 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)

t

ｾ＠

(2k - 1)

k=l

ｾ＠

n'

Beweis mit vollständiger Induktion. Induktionsanfang n = 1: 1 = 12. Induktionsschluß von n auf n+ 1: Sei n beliebig und die Formel richtig fUr dieses n, dann ist zu zeigen, daß die Formel auch fUr n + 1 gilt: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2n -

1)

+ (2n + 1) =

Dies ist die Formel fUr n

[1 + 2 + ... + (2n - 1)] + (2n + 1) n 2 +2n+1=(n+1)2.

+ 1.

o

Bemerkung zur vollständigen Induktion: Zum Beweisprinzip der vollständigen Induktion gehören sowohl der Induktionsanfang als auch der Induktionsschluß. Fehlt einer dieser beiden Beweisteile, ist der Beweis nicht vollständig und die Aussage nicht bewiesen, wie die beiden folgenden Beispiele zeigen: 6. Beispiel: Nach L. Euler (1707-1783) liefert der Ausdruck

1p = n 2 - n + 411 fUr n = 1,2,3, ... ,40 Primzahlen, nämlich p = 41,43,47, ... ,1601 wie man durch Einsetzen explizit nachrechnet. Dies reicht aber nicht fUr einen allgemeinen Beweis aus. FUr n = 41 folgt p = 41 2 - 41 + 41 = 41 2. Dies ist keine Primzahl. Die Primzahlberechnung ist zwar fUr viele einzelne n richtig; sie gilt aber nicht allgemein! 7. Beispiel: Wir betrachten die falsche Formel 1+2+3+

... + n = n(n + 1) + 1 2

(vgl. Beispiel 3) und zeigen, daß dennoch der Induktionsschluß durchfuhrbar ist: Wir nehmen also an, die Formel sei fUr ein n richtig und zeigen, daß sie dann

8

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

auch für n

+ 1 gültig ist.

1 + 2 + 3 + .. , + n + (n + 1)

n(nt 1 )

=

+ 1 + (n + 1)

+ 1 = (n+l)t+ 2) + 1. ｮＨＫｬＩｾＲ＠

Dies ist die Formel für n + 1. Obwohl der Induktionsschluß durchführbar ist, gibt es keine natürliche Zahl n, für welche die Formel richtig ist. Der Induktionsschluß verliert also seinen Sinn, wenn der Nachweis fUr n = 1 oder fUr einen anderen festen Zahlenwert nicht erbracht werden kann. 0

Mit MAPLE können Summenausdrücke nicht nur berechnet werden, sondern man findet fUr viele Summenwerte auch allgemeine Formeln: > Sum ((3, i=1 .. n) = sum ((3, i=1 .. n): > simplify(%); nIl 1 i 3 =_n4 + _n 3 + _n 2 i=l 4 2 4

> Sum ((4, i=1 .. n) = sum ((4, i=1 .. n): > simplify(%); n

1 5 1 4 1 3 '/',4 = -n + -n + -n - -1n 5

i=l

2

3

30

2.3 Geometrische Summenformel FUr viele Anwendungen wichtig ist die geometrische Summenformel: Satz (Geometrische Summenformel) n 1- qn+l FUr jede reelle Zahl q 1 gilt: Lqi= 1-q

E No)

i=O

Beweis durch vollständige Induktion. Induktionsanfang n = 0:

o L..J q'

,",'

0

=q =1=

1 -q 1 1_ q .

i=O

Induktionsschluß von n auf n + 1: Sei n beliebig und die Formel richtig fUr n, dann gilt für n + 1: n+l n 1 _ qn+l 2: qi = 2: qi + qn+1 = + qn+1 i=O i=O 1- q 1 _ qn+2 1 - qn+l + (1 - q)qn+l

1-q

1-q

o

2.5 Der binomische Lehrsatz

9

2.4 Permutationen Als Permutation einer Menge versteht man alle möglichen Anordnungen der Elemente der Menge. Ist A = {ab a2, a3, ... , an}, SO kommt auf jede Position in der Menge genau ein Element. Eine andere Anordnung der Menge ist z.B.

Satz: Die Anzahl aller möglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge

= 1 . 2 . 3 ..... n. Induktionsanfang n = 1:

{ab' .. , an} ist gleich n!

Beweis durch vollständige Induktion. Die Anzahl aller Anordnungen der l-elementigen Menge {ad ist 1. Induktionsschluß von n auf n + 1: Gesucht ist die Anzahl aller Anordnungen einer (n + 1)-elementigen Menge {ab a2, a3, ... , a n+!}. Dazu betrachten wir das Element a1 und dessen Plätze (Positionen) in dieser Menge. a1 kann an 1. Stelle stehen; dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung fUr die restlichen n Elemente n! Anordnungen. a1 kann auch an 2. Stelle stehen; dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung für die restlichen n Elemente n! Anordnungen. a1 kann auch an 3. Stelle stehen; wieder gibt es dann fUr die restlichen n Elemente n! Anordnungen. usw. a1 kann also an n+ 1 verschiedenen Positionen stehen, und die verbleibenden n Elemente haben dann noch n! unterschiedliche mögliche Anordnungen. Insgesamt gibt es also n! . (n + 1) = (n + I)! Möglichkeiten. 0 Folgerung: Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge { ab ... , an} ist gleich n! k!(n - k)! Begründung: Alle k-elementigen Teilmengen der Menge M = {a1, ... , an} findet man, indem aus allen n! Anordnungen nur die ersten k Elemente genommen werden. Dabei tritt jede k-elementige Teilmenge k!-mal auf und die verbleibenden (n - k)!-mal. Damit sind die k-elementigen Teilmengen gleich ｫＡＨＺｾＩＧ＠ 0 Anwendung: Die Chance, beim Lotto-Spiel "6 aus 49" die richtige Kombination zu erraten, ist etwa 1: 14 Millionen. Denn die Anzahl der 6-elementigen Teilmengen einer 49-elementigen Menge ist gleich 49! = 44-45·46·47·48·49 = 13.983.816. 6! 43!

1·2·3·4·5·6

2.5 Der binomische Lehrsatz FUr zwei naturliehe Zahlen n und k mit 0 ::; k ::; n bezeichnet man die Zahl n! ( n ) .- k!(n - k)! k

(man spricht n Uber k) als Binominalkoeffizient.

10

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Die Binominalkoeffizienten lassen sich entweder durch die obige Formel oder durch das nach Pascal benannte Schema bestimmen, dem sog. Pascalschen-Dreieck: Beginnend mit 1 wird die unten angegebene Pyramide in jeder Stufe um eine 1 rechts und links erweitert. Die Zwischenzahlen ergeben sich aus der Summe der beiden darOberstehenden Zahlen.

(2) :

(D: ＨｾＩ＠

1 1

:

(%) :

ＨｾＩ＠

ＨｾＩ＠

:

ＨｾＩ＠

:

:

1

2 3

4

1 1

5

6

3

15

4

6 10

1 1

10 20

5 15

6

Die Binominalkoeffizienten werden in MAPLE berechnet durch > binomial (49,6); 13983816

Bemerkung: Mit den Binominalkoeffizienten können wir die letzte Folgerung kurz formulieren: Es gibt (

ｾ＠

) Möglichkeiten aus n Objekten genau k aus-

zuwählen. Aus dieser Aussage erhalten wir die binomische Formel: Satz: (Binomischer Lehrsatz). Für beliebige Zahlen a, bE 1R und jede natürliche Zahl n 2': 0 gilt:

Beweis: Multipliziert man die rechte Seite aus, so kommt der Term bk so oft vor, wie man k Faktoren aus n Faktoren wählen kann, also (

ｾ＠

Bemerkung). Die restlichen (n - k) Faktoren tragen zu an -

) -mal (siehe obige k

bei.

0

§3. Mathematische Beweismethoden

11

8. Beispiele: (1) (x+y)O = 1 (x+y)l=x+y (x + y)2 = x 2 + 2xy + y2 (x + y)3 = x 3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x 3y + 6x 2y 2 + 4xy3 + y4 (2) Wir berechnen den Wert der Potenz (104)3 mit dem Binomischen Lehrsatz:

(104)3

= (100 + 4)3 = 1003 + 3· 1002 ·4+ 3 . 100.42 + 43 = 1000000 + 120000 + 4800 + 64 = 1.124.864.

(3)

(4) Das Auswerten der binomischen Formeln erfolgt in MAPLE mit den expandBefehl

> (a+bf4 = expand «a+bf4);

§3. Mathematische Beweismethoden Man kann die gesamte Mathematik als eine Menge von Aussagen betrachten, die aus Grundaussagen rein logisch abgeleitet (=bewiesen) werden. Diese Aussagen sind dann unter den getroffenen Voraussetzungen allgemein gültig und nicht widerlegbar. Dies ist das Prinzip der Mathematik, das auf Euklid (ca. 300 v. ehr.) zurück geht. Euklid hat erstmals in seinen "Elementen" nicht beobachtete Naturgesetze aufgelistet, sondern mathematische Gesetze (=Satze) bewiesen. Diese Art der Vorgehensweise stellt seither einen prinzipiellen Unterschied zwischen der Mathematik und den Naturwissenschaften dar. Dort gilt ein Naturgesetz dann als gesichert, wenn mehrere, unabhängige Experimente immer wieder die gleiche Aussage bestätigen. Ein Naturgesetz hat solange Gültigkeit bis es durch ein anderes Experiment widerlegt wird. Obwohl wir in diesem Lehrbuch mehr auf die Anwendbarkeit der Mathematik als auf strenge mathematische Beweise unser Augenmerk legen, sollen die wichtigsten Beweismethoden doch klar aufgezeigt werden. 3.1 Vollständige Induktion. Die vollständige Induktion gehört zu den wichtigsten elementaren Beweismethoden in der Mathematik. Eine Aussage gilt für alle natürlichen Zahlen als bewiesen, wenn sie für n = 1 explizit nachgeprüft wird und im Induktionsschluß die Aussage + 1) unter der Voraussetzung gezeigt wird. Diese Methode wurde ausführlich in §2.2 diskutiert.

12

I Zahlen, Gleichungen und Gieichungssysteme

3.2 Direkter Beweis. Unter einem direkten Beweis versteht man die Methode, aufgrund von Voraussetzungen oder gültigen Formeln eine Aussage direkt herzuleiten. Als Beispiel hierfür dienen der Beweis des binomischen Lehrsatzes (§2.5) oder der folgende Beweis zur geometrischen Summenformel: Satz (Geometrische Summenf0r:rm=e::;:IL.-_ _ _ _-, n . 1- qn+1 Für jede reelle Zahl q =J 1 gilt: q' = --=-i=O l-q

L

E

No)

Beweis: Wir definieren n

Sn :=

L qi = qO + ql + ... + qn

(1)

i=O

und multiplizieren diese Gleichung mit q q . Sn = ql

+ q2 + ... + qn+1.

(2)

Durch Subtraktion der GI. (2) von GI. (1) ist

Somit gilt

(1 - q) . Sn

= 1-

n+l

q

=*' Sn =

n ｾ＠

i

q

=

i=O

1

qn+1 1_ q

-

Damit ist die geometrische Summenformel direkt bewiesen. 3.3 Beweis durch Widerspruch. Eine ebenfalls häufig ist der Beweis durch Widerspruch. Um eine Aussage das Gegenteil an und führt dies zum Widerspruch. Der weis für den Satz, daß es unendlich viele Primzahlen illustrieren.

o

benutzte Beweismethode zu beweisen nimmt man folgende euklidische Begibt, soll diese Methode

Definition: Eine natUrliehe Zahl P > 1 heißt Primzahl, wenn sie nur 1 und sich selbst teilbar ist. Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen, nämlich PI, P2, ... ,Pn > 1. Wir betrachten dann die natürliche Zahl m := PI . P2 ..... Pn

+ 1.

Diese Zahl m ist größer 1, da die Primzahl 2 als Faktor vorkommt. Die Zahl m kann keine weitere Primzahl sein, da wir angenommen haben, daß PI, P2, ... ,Pn

4.1 Zahlenmengen und Operationen

13

alle Primzahlen darstellen. Daher ist m durch mindestens ein Pi E {Pl, P2, ... , Pn } teilbar. Pi teilt somit sowohl Pl . P2 ..... Pn als auch 1. Dies ist aber ein Widerspruch, da 1 keine Teiler größer als 1 besitzt. Wir haben also die Annahme (es gibt nur endlich viele Primzahlen) zum Widerspruch geführt. Wenn es nicht endlich viele Primzahlen gibt, dann müssen es unendlich viele sein. 0 3.4 Beweis durch Gegenbeispiel. Ein Gegenbeispiel zu einer Behauptung anzugeben ist ebenfalls eine mögliche Beweisform. • Alle Primzahlen sind ungerade. (Gegenbeispiel ist die Zahl 2.) • Durch die Formel n 2 - n +41 erhält man Primzahlen. (Gegenbeispiel n = 41; siehe Beispiel 6.)

§4. Reelle Zahlen Wir stellen uns auf den Standpunkt, daß uns die reellen Zahlen zur Verfügung stehen und gehen nicht auf den axiomatischen Aufbau ein. FUr physikalische Messungen würden die rationalen Zahlen ausreichen, für die höhere Analysis weisen die rationalen Zahlen "zu viele Löcher" auf. Erst ihre Erweiterung zu den reellen Zahlen macht die Differential- und Integralrechnung möglich.

4.1 Zahlenmengen und Operationen Auf den natürlichen Zahlen N gibt es als Grundrechenarten + und·. Die Gleichung x + 1 = 0 ist innerhalb N formulierbar, aber nicht lösbar. Man erweitert daher den Zahlenbereich um all die Lösungen der Gleichungen

x+n

= 0,

wenn n E No. Die Lösungen sind 0, -1, -2, -3,··· und der erweiterte Zahlenbereich nennt man 7L, die ganzen Zahlen. In 7L läßt sich fUr jedes n E 7L die Gleichung x + n = 0 lösen. Nicht lösbar ist die Gleichung 2x = 1. Man erweitert nun 7L um all die Lösungen von Gleichungen der Form

q·x=p mit P, q E 7L und q O. Somit erhält man die Zahlenmenge der rationalen Zahlen ｾＮ＠ In diesem Zahlenbereich sind alle Gleichungen obiger Form lösbar. Aber die Gleichung besitzt in ｾ＠ keine Lösung. Also erweitert man die rationalen Zahlen um all die Lösungen von Gleichungen obiger Bauart und kommt so zu den reellen Zahlen R.. In den reellen Zahlen sind noch die sog. transzendenten Zahlen, wie e und

14

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

7r enthalten, die wir im Kapitel über Folgen noch genauer untersuchen. In Tabelle 1 sind die Zahlenbereiche mit den zugehörigen Rechenoperationen nochmals aufgelistet.

Mengen No natürliche Zahlen :z ganze Zahlen IQ rationale Zahlen R reelle Zahlen

Grundoperationen

+ + + +

nicht lösbar

x+I=O 2·x= I

-

x'J. =2

\ \

x'J.+I=O

Tabelle 1: Zahlenmengen und Grundrechenoperationen sowie Gleichungen, die im entsprechenden Zahlenbereich nicht lösbar sind.

Darstellung reeller Zahlen. Zur Veranschaulichung der reellen Zahlen dient die bekannte von - nach + gerichtete Zahlengerade. Jeder Punkt auf der Zahlengeraden entspricht genau einer reellen Zahl. -.1. 2

,

,

-2

-1

*

,

o

,

t

ｾ＠

1

ｾ＠

IR

.1. 3

Reelle Zahlengerade

4.2 Die Rechengesetze für reelle Zahlen In R sind zwei Verknüpfungen gegeben, nllmlich + und·. Addition und Multiplikation zweier reeller Zahlen liefern wieder reelle Zahlen. Formal hat man hiermit zwei Abbildungen + und . definiert:

+: R

x R ---+ R

.: R x R

---+

R

mit

(x,y)

mit

(x,y)

I----t X

I----t

+y

X·

y.

Es gelten die Rechengesetze der Addition

x + (y + z) = (x + y) + z x+y=y+x x+O=x

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz der Null

Zu jedem x gibt es ein (-x) E R mit

x+(-x)=O

Inverses Element

15

4.2 Die Rechengesetze fUr reelle Zahlen

Es gelten die Rechengesetze der Multiplikation

(MI) (M2)

(M3) (M4)

x· (y. z) = (x· y) . z x·y=Y·X Es gibt eine reelle Zahl 1 E R mit 1 f. 0, so daß l·x = x Zu jedem x E R\{O} gibt es ein x-I E R mit X· x-I = 1

Assoziativgesetz Kommutativgesetz Existenz der Eins Inverses Element

Es gilt das Distributivgesetz

(D)

X·

+ z) = x· y + x· z

(y

Alle weiteren Rechengesetze der reellen Zahlen lassen sich auf diese elementaren Gesetze zurückführen.

Bemerkung: Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+:KxK--+K

mit

(x,y)t---tx+y

.: KxK--+K

mit

(x, y)

-

die den Axiomen Körper.

t---t

x· y,

(MI) - (M4) und (D) genügen, nennt man

9. Beispiele: (1) (R, +,.) ist ein Körper. (2) (CQ, +, .) ist ein Körper. (3) (Z,+,·) ist kein Körper, da (M4) verletzt ist: z.B. 2 E Z besitzt bezüglich der Multiplikation kein Inverses, so daß 2 . x = 1. verletzt ist. (4) (N, +, .) ist kein Körper, da z.B. (5) (F2 , +,.) mit F2 = {O, I} und den Verknüpfungen

0

0 0

1 1

1

1

0

+

ｾ＠

tftttjj

ist ein Körper. Man rechnet die Rechengesetze direkt nach. F2 ist der kleinstmögliche Körper; denn jeder Körper muß mindestens zwei Elemente enthalten: o und 1. (6) ({ a + bV2 mit a, bE CQ}, +,.) ist ein Körper.

16

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysterne

4.3 Potenzrechnen Wir definieren zu jeder reellen Zahl a E R die Potenz von a durch

ｬ｡ｏＬｾ＠

1, a'

Ｌｾ｡＠

an

Ｇｾ＠

(n E n-mal

N)'I

Definition: Die n-te Wurzel einer Zahl a 2: 0 (n E N)

ist definiert als diejenige positive reelle Zahl b mit der Eigenschaft bn

= a.

Es gelten die Potenzrechenregeln

an

(2) bn

an

(3) -

am

= an-m = amin

(5)

fUr (a

b = (a)n

fUr (b

# 0)

# 0)

fUr (a 2: 0)

E N)

10. Beispiele:

Potenzrechnen mit MAPLE. Die Potenzrechenregeln sind MAPLE bekannt, zur Vereinfachung der AusdrUcke muß explizit mit dem simplify-Befehl gearbeitet werden.

> ｡ｾｏＬ＠ ｡ｾｮ［＠

17

4.4 Logarithmen

4.4 Logarithmen Definition: Gegeben ist die Gleichung a = bX (a, b benem a und b der Exponent x. Wir nennen

> 0). Gesucht ist bei gege-

Ix = logb a I zur Basis b.

den Logarithmus von

Für feste Basis b gelten die Logarithmenrechenregeln (1) log(u· v) = log(u) (2) ｬｯｧＨｾＩ＠

+ log(v)

= log(u) -log(v)

(3) log(u n )

(v

= n ·log(u)

Spezielle Logarithmen sind der Logarithmus zur Basis 10

loga:= loglOa (lOer Logarithmus), der Logarithmus zur Basis 2 (Logarithmus dualis)

ld a := log2 a (2er Logarithmus) und der Logarithmus zu Basis e

lna := logea (natürlicher Logarithmus).

Zwischen unterschiedlichen Logarithmen besteht der Zusammenhang

logbY

logeY

l b =oge

(b, c, Y

> 0).

Dadurch ist es ausreichend einen Logarithmus (La. den natürlichen Logarithmus) berechnen zu können. Die Logarithmen zu anderen Basen ergeben sich dann durch obige Formel. Beweis der Logarithmenformel: Aus bX = Y folgt per Definition des Logarithmus zur Basis daß x = logb y. Andererseits gilt für den Logarithmus zur Basis c nach der Logarithmusregel (3):

l ogeY = l ogc bx

= X· l ogc b :::} X

Hieraus folgt die behauptete Formel.

loge Y = -l--b' ogc

o

18

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1L Beispiele:

= k =} x = log2 k = -log2 8 = -3. = 0.0001 =} x = log1OlO-4 = -4 log1OlO = -4. 3 = ｾ＠ lna = lnfo +lnb- 2 -lne! (4) logJ Va 2b{!ac2 = log((a 2b a t c!)t)t = ｬｯｧ｡ｨｾＺ｣ｦＲ＠ = i4 log + i log b + Ｑｾ＠ log c.

(1) 2x

(2) lOx (3) In ＠ｾ

2lnb -llnc+3Ind.

Logarithmen in MAPLE. In MAPLE wird der Logarithmus zur Basis b durch log [b] festgelegt. log als auch ln stehen für den natürlichen Logarithmus und log 10 bezeichnet den lOer Logarithmus. Man kann auch direkt auf die Definition des Logarithmus zurückgreifen und die Gleichung bX = y mit dem solve-Befehl nach x auflösen. > solve (bAx = y,x); ln ln (b)

4.5 Anordnung der reellen Zahlen Unter den reellen Zahlen herrscht eine bestimmt Anordnung: Zwei reelle Zahlen a, b ERstehen stets in genau einer der drei folgenden Beziehungen zueinander: ｾ＠

ab

(a liegt rechts von b).

I

a=b

Unter dem Betrag einer reellen Zahl verstanden. Er wird durch das Symbol

lal:= { 12. Beispiel: 131

= 3;

I-51

= 5;

ｉＭｾ＠

wird der Abstand von

für für für

= ｾ［＠

a a a

>0

=0 0, Y > 0,* x + y > O. > 0, Y > 0 '* x . y > O. Sind x > 0 , Y > 0, dann gibt es

(1) x (2) x

(3)

Inx >y

I

immer eine natürliche Zahl n E N, so daß

(Archimedes Axiom).

Folgerung: (Bernoullische Ungleichung)

(x ｾ＠ -1 und n E N)

ｬＨＫｸＩｮｾ＠

I

Beweis durch vollständige Induktion. FUr n = 1 gilt sogar die Gleichheit. Induktionsschluß von n auf n + 1: Wegen 1 + x > 0 folgt durch Multiplikation der Induktionsvoraussetzung (1 + x)n ｾ＠ 1 + n x mit (1 + x): (1 + x)n+l ｾ＠ (1 + nx)(l + x) = 1 + (n + l)x + nx 2 ｾ＠ 1 + (n + l)x. 0

Intervalle: Zur Beschreibung von Teilmengen von 1R fuhren wir folgende Notationen ein: (1) Endliche Intervalle (a < b)

[a,b] [a, b) (a, b] (a, b) (2)

.-

.-

..-

{x:aS:xS:b} {x:aS:xa .1R::;a .- (-00, a] 1RO.

•

Multiplikation (bzw. Division) beider Seiten mit einer negativen Zahl K zu solve (abs (2*x+2)

(1)

> 3,

RealRange ( Open( ｾＩＬ＠

x);

00), RealRange( -00, Open( ｾＵＩ＠

)

Dabei bedeutet RealRange die Angabe eines Intervalls und Open(!), daß nicht zur Menge gehört, d.h. es sich um ein linksseitig offenes Inter-

!

24

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

vall handelt. Die Lösungsmenge besteht damit aus zwei Teilintervallen, dem vereinigt mit dem offenen Intervall ＨｾＬ＠ 00): offenen Intervall (-00, ＭｾＩ＠ L = (-00, ＭｾＩ＠ u ＨｾＬ＠ 00).

>

(2)

salve ((x-1f2

< = abs (x), x); RealRange

Ｈｾ＠

2

-

ｾｖＵ＠ 2

ｾ＠ + ｾｖＵＩ＠ 2

'2

Die Lösungsmenge besteht aus dem beidseitig abgeschlossenen Intervall

§6. Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme (LGS) spielen in Theorie und Anwendungen eine sehr wichtige Rolle. In diesem Abschnitt fuhren wir eine Methode ein, mit der beliebige LGS gelöst werden können: den Gauß-Algorithmus. Da das Lösen von LGS fUr große Systeme sehr rechenaufwendig wird, geben wir zwei Pascal-Programme an, mit denen LGS numerisch durch den Gauß-Algorithmus gelöst werden. Auf allgemeine Zusammenhänge und Aussagen uber LGS sei auf das Kap. III, Matrizen und Determinanten, verwiesen.

6.1 Ein Einführungsbeispiel Gegeben sei das nebenstehende elektrische Netzwerk mit den gegebenen Widerständen Rl = H1, R2 = 50, R3 = 30. Diesem Netzwerk werden zwei Gleichströme lA = lA und JB = 2A zugeführt. Gesucht sind die Einzelströme ft,I2, h.

1.:=?

K

Ia

Zum Aufstellen der Modellgleichungen verwenden wir die KirchhotTschen Gesetze: Der Knotensatz besagt, daß die Summe der in einem Knoten zu- und abfließenden Ströme gleich Null ist. Der Maschensatz besagt, daß in einer Masche die Summe aller Spannungen Null ergibt. Bei unserem Beispiel gilt fUr die Knoten K A und K B (KA) : J3 = JA + ft (K B ): JB = ft +J2 und für die Masche mit angegebenen Strornrichtungen (M) : R1ft + R 3J3 - R 2 J2 = O.

25

6.1 Ein Einfuhrungsbeispiel

Dies ergibt ein System von 3 Gleichungen:

GI G2 G3

111

+

h

o

+ 313

512

1 -1 1

1

113

Ih + 112

2

12 -5 0

1

13 3 1 0

r.S. 0 1 2

Dieses System wird gelöst, indem die Variable h aus Gleichungen G2 und G3 eliminiert wird. Dazu bildet man die Summe aus Gleichung GI und G2 bzw. die Differenz aus Gleichung GI und G3 : ｇｾ＠

512 + 512 + 612 +

= GI

G2 = GI +G2 ｇｾ＠

= GI - G3

h

o

313 4h 313

1

o o

1 -2

-5 -5 -6

3 4 3

r.S. 0 1 -2

Anschließend verarbeiten wir Gleichung und ｇｾ＠ und eliminieren die Variable 12 aus ｇｾＮ＠ Dazu addieren wir das 6-fache von Gleichung G; zum (-5)-fachen von Gleichung ｇｾ＠ :

-3012 3012

+

24h 1513 9h

=

6 10 16

Damit erhalten wir schließlich

ｾ＠ｇ =G1 G"2 -- G'2 ｇｾ＠ = 6G; - Ｕｇｾ＠ Aus Gleichung ｇｾ＠

512 512

111

+ +

313 4h 913

0 1 16

folgt

9h = 16 => 13 = Eingesetzt in Gleichung ｇｾ＠

16

9'

folgt 11 16 -512 + 4 . -9 = 1 => 12 = -9 .

Beide Ergebnisse in Gleichung ｇｾ＠

11

-

5·

11

eingesetzt liefert 16

7

9 + 3· 9 = 0 => h = 9'

Damit sind die Teilströme 11 ,12 '[3 berechnet.

h

12

1 0 0

-5 -5 0

13 3 4 9

r.S. 0 1 16

26

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

In der letzten Spalte wurde jeweils auf die Angabe der Variablen verzichtet und nur der Koeffizient der Variablen bzw. die Konstanten auf der rechten Seite der Gleichung aufgelistet. Hierbei steht an erster Stelle immer der Koeffizient von ft, an zweiter Stelle der Koeffizient von I 2 und an dritter Stelle der Koeffizient von h. Im Prinzip reicht diese Kurzversion des Gleichungssystems aus, um es zu lösen (---t Matrixbegriff). Die Vorgehensweise, die wir zur Lösung dieses speziellen Gleichungssystems gewählt haben, ist verallgemeinerbar (---tGauß-Algorithmus), wenn die gesuchten Größen nur linear (---tLGS) vorkommen.

6.2 Begriffsbildung und Notation Ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y liegt dann vor, wenn x proportional zu (x rv ist, d.h. + = const. Allgemeiner bezeichnet man eine Gleichung der Form

+ bX2 + CX3

= d

als lineare Gleichung in da jede der Variablen und X3 nur in linearer Form, also zur Potenz 1 auftritt. Jedes 3-Tupel von reellen Zahlen E lR.J = 1R x 1R x 1R, das die Gleichung erfüllt, heißt Lösung.

16. Beispiele:

Xl - X2 + X3 = 0 ist eine lineare Gleichung und hat z.B. (0,1,1), (1,1,0), (1,2,1) als Lösungen.

(1)

(2) Die Gleichung x 2 + 2x - y x quadratisch vorkommt.

= 0 ist keine lineare Gleichung, da die Variable

Definition: Ein System von m linearen Gleichungen in den nUnbekannten

x x

+ +

x2

+ +

+ +

+

m 2X 2

+

+

X2

bl X

b2

bm

nennt man ein lineares Gleichungssystem (LGS). Die reellen Zahlen heißen die Koeffizienten und bi die Konstanten der rechten Seite des LGS. AbkUrzend fUr das LGS schreiben wir die Koeffizienten und die rechte Seite in das folgende Schema

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

27

Man nennt dieses Schema die erweiterte Koeffizientenmatrix bzw. kurz Matrix. Die durchgezogene linie soll daran erinnern, daß die Koeffizienten links und die Konstanten rechts vom Gleichheitszeichen stehen. Ein LGS, bei dem alle Konstanten bi der rechten Seite gleich Null sind, heißt homogenes LGS. Ist mindestens eine Konstante bi ungleich Null, so heißt es ein inhomogenes LGS. Jede Zeile der Matrix steht für eine Gleichung; jede Spalte ist der entsprechenden Unbekannten zugeordnet. Die Lösung besteht aus allen n-Tupeln (XbX2, ... ,xn ), die sämtliche m Gleichungen erfüllen. Wie wir beim einleitenden Beispiel gesehen haben, werden beim sukzessiven Lösen des LGS nur jeweils die Koeffizienten und die Konstanten verändert, nicht aber die Variablen. Daher verzichtet man beim Lösen von LGS ganz auf die Variablen und führt alle Rechenschritte in der Matrizenschreibweise durch.

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Umformungen, welche die Lösungsmenge eines Systems nicht ändern, nennt man

Äquivalenzumformungen. Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen eines linearen Gleichungssystems: (1) Die Reihenfolge der Gleichungen kann vertauscht werden. (2)

Eine Gleichung kann mit einer reellen Zahl .A "f; 0 multipliziert werden.

(3) Zu einer Gleichung kann eine andere Gleichung des Systems addiert werden.

Wendet man diese 3 Regeln systematisch - wie im folgenden beschrieben wird - an, ist die Lösungsmenge jedes LGS bestimmbar. Wie im Einleitungsbeispiel gezeigt, wird in jedem Rechenschritt eine Variable aus dem System eliminiert und dadurch um eine Gleichung reduziert, bis zum Schluß nur noch eine Gleichung für eine Variable übrig bleibt. Das auf Gauß (1777-1855) zurückgehende Verfahren heißt das Gaußsehe Eliminationsverfahren oder der Gauß-Algorithmus. Wir beschränken uns bei der Beschreibung der Einfachheit halber auf quadratische Systeme mit n Gleichungen für n Unbekannte. Der Gauß-Algorithmus ist aber auf beliebige (n x m)-Systeme übertragbar.

28

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Gauß-Algorithmus (1) Man wählt sich eine Gleichung mit einem Koeffizienten von

Xl

ungleich

Null als erste Gleichung. (2) Man eliminiert die Variable Xl aus den restlichen (n - 1) Gleichungen. Dazu wird die 1. Zeile mit _!!ll multipliziert und zur zweiten Gleichung a11 addiert. Ebenso verfährt man mit den übrigen Zeilen: Man addiert das Ｍｾ｡＠ '-fache der 1. Zeile zur j-ten Zeile. Man erhält so (n - 1) Gleichungen 11 mit den (n - 1) Unbekannten X2, X3, ... ,X n . (3) Schritt (2) wird auf das reduzierte System angewendet, indem die Unbekannte X2 aus Zeilen 3 bis n eliminiert wird. Nach insgesamt (n - 1) Schritten bleibt nur noch eine einzige Gleichung mit der Unbekannten X n übrig. (4) Die eliminierten Gleichungen bilden ein gestaffeltes System von Zeilen, aus denen sich die Unbekannten in der Reihenfolge X n , Xn-l. ... ,X2, Xl berechnen lassen.

Im obigen Algorithmus wird angenommen, daß keiner der Koeffizienten aii gleich Null ist; ansonsten müssen die Zeilen vertauscht werden. Sind alle verbleibenden Koeffizienten von der zu eliminierenden Variablen Xi gleich Null, so kann dieser Schritt übergangen werden, da das LGS schon die gewünschte Form hat. Bei der numerischen Ausführung des Algorithmus entstehen Rechenungenauigkeiten jedoch bereits dann, wenn diese Koeffizienten sehr klein sind. Um solche Fehler möglichst klein zu halten, ist es günstig, die Zeilen in jedem Schritt so zu vertauschen, daß die Zeile mit dem betragsgrößten Koeffizienten a:i als oberste Gleichung gewählt wird. Man nennt dies Pivotisierung.

In den Programmen gaussl.pas und gauss2 .pas ist das Eliminationsverfahren in Pascal programmiert. Die Einschränkung für beide Programme ist, daß das LGS eindeutig lösbar sein muß. gauss2 .pas enthält eine Pivotisierung der Matrix. Die Rechengenauigkeit kann mit dem Programm genau. pas bestimmt werden.

17. Beispiele: (1) Ein System mit genau einer Lösung: Gesucht ist die Lösungsmenge des LGS

=

3 1 2

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

29

In Matrizenschreibweise lautet dieses LGS

(;! =!

ｧｾ＠ ｾ＠

G3

4 -3

.

321 )

2

Zur Lösung wenden wir den Gauß-Algorithmus an. Dazu schreiben wir die erste Zeile ab; multiplizieren GI mit (-3) und addieren das Ergebnis zur 2-fachen zweiten Zeile hinzu. Außerdem multiplizieren wir die erste Zeile mit (-2) und addieren das Ergebnis zur dritten Zeile:

ｧｾ＠ ;: ｇｾ＠

Ｈｾ＠

0 -5

=!4 ＭｾＩ＠-4

ｾ＠ -3G

I)

(G3 - 2Gd

Jetzt lassen wir die beiden ersten Gleichungen unverändert und formen die letzte Gleichung so um, daß der Koeffizient von X2 gleich Null wird.

G"· I . G"· 2 • G3" ..

ＨｇｾＩ＠

2 1 -1

(

o

7 -5 003

-73 )

ＨｇｾＩ＠ ＨＷｇｾ＠

-63

+ ＵｇｾＩ＠

Aus dem äquivalenten System (") lassen sich nun die Lösungen leicht berechnen. Die letzte Gleichung liefert 3X3

= -63:::}

X3

= -21.

Eingesetzt in G;: 7X2 - 5· (-21) = -7:::} X2 = -16. Beides eingesetzt in ｇｾＺ＠ 2XI + (-16) - (-21) = 3:::} Xl =-1. Somit hat das System genau eine Lösung (-1; -16; -21) und die Lösungsmenge lautet

Man nennt das System (") ein System mit oberer Dreiecksmatrix, da die Eintraguna;2' a;3) gleich Null sind. Hat das Sygen unterhalb der Hauptdiagonalen Ｈ｡ｾｬＧ＠ stem obere Dreiecksform ist das Eliminationsverfahren beendet. Durch RUckwt1rtsauflasen lassen sich dann die Unbekannten XI. X3 bestimmen. (2) Die Lösung enthält eine Variable: Um das System

Xl -2XI 2XI

3X2

+ -

X2

16x2

+ + +

2X3 3X3

18x3

= 4

= =

2 28

zu lösen, formen wir die Koeffizientenmatrix in zwei Schritten so um, daß sie

Dreiecks/orm erhält

30

GI G2 G3

ｇｾ＠ ｇｾ＠

ｇｾ＠

ｇｾ＠ G; ｇｾ＠

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

(Ｍｾ＠ ( (

-3

1

0 0 1 0

0

2 1 3 -16 18 -3 2 -5 7 -15 21 -3 2 -5 7

0

0

Ｑｾ＠

20

in

I

Aus der letzten Zeile folgt 0 . X3 setzen wir X3

(G 2 + 2G I ) (G3 + G2)

)

30

= A (beliebig). In ｇｾ＠

Ｈｇｾ＠

- ＳｇｾＩ＠

= 0 I, welches für beliebiges X3 erfüllt ist. Daher eingesetzt, folgt

7 - 5X2 + 7A = 1O::::} X2 = -2 + SA. Beides in ｇｾ＠

eingesetzt, liefert Xl

7 = 4 + 3( -2 + -A) 5

2A

11 = -2 + -A. 5

Um eine einfachere Schreibweise zu erhalten, setzen wir A = 5k, so daß insgesamt die Lösungsmenge lautet

(3) Das System hat keine Lösung: Wir betrachten das System aus (2), indem wir die letzte Gleichung abändern: Die Konstante 28 wird durch 27 ersetzt. Durch elementare Umformungen erhält man

(

1 -3 2 -5 7

o

000

I

Ｑｾ＠

) .

-1

-11.

Aus der letzten Zeile folgt 0 . X3 = Diese Gleichung ist nicht erfüll bar, weil die linke Seite immer Null ergibt. Daher ist L = {} . (4) Homogenes LGS: Nach Beispiel (2) können wir sofort die Lösungsmenge des homogenen LGS

3X2 X2 16x2

+ + +

2X3 3X3

=

0

18x3

=

0 0

6.3 Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

31

angeben, denn die elementaren Zeilenumformungen liefern

1 -3 2 -5 7 000

o

(

Durch Rückwärlsauflösen erhalten wir aus Zeile 3:

Daher ist

X3

beliebig. Wir setzen

-5X2

X3

=5

In Zeile 2 eingesetzt, folgt

+ 7 . 5k = 0 ｾ＠

X2

= 7k

und beides in Zeile 1 eingesetzt: Xl

= +3· 7k -

2 . 5k

= llk.

Daher ist

Das Lösungsverhalten von LGS werden wir systematisch im Kap. III, Matrizen und Determinanten, untersuchen. Beispiel (1) - (4) legen aber folgende allgemeingültige Schlußfolgerung nahe:

Lösungsverhalten von linearen Gleichungssystemen (1)

Ein inhomogenes LGS besitzt entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen oder überhaupt keine Lösung.

(2) Ein homogenes LGS besitzt entweder genau eine Lösung, nämlich die

trivIale Null-Lösung x

(3)

ｾ＠ ｾ＠ (

), ode< unendHch vIele Lösungen.

Falls das inhomogene LGS lösbar ist, setzt sich die Lösung zusammen aus allen homogenen Lösungen plus einer Lösung des inhomogenen Systems:

= LiJsungsmenge des inhomogenen LGS, Lh = LiJsungsmenge des zugehlJrigen homogenen LGS und X s eine spezielle LiJsung des inhomogenen Systems ist. wenn Li

32

I Zahlen. Gleichungen und Gleichungssysteme

18. Anwendungsbeispiel: Chemische Reaktion. Aus Quarz (Si O2 ) und Natronlauge (NaOH) entsteht Natriumsilikat (Na2 Si03) und Wasser (H20):

Gesucht sind die Anteile der Stoffe Xl. X2, X3, X4, fUr welche die Reaktion abläuft. Da nur ganzzahlige Vielfache in Frage kommen, sind naturliche Zahlen Xl, X2, X3, X4 zu bestimmen, so daß jedes der chemischen Elemente Si, 0, Na, H auf beiden Seiten der Reaktionsgleichung gleich oft auftritt. Dies fUhrt zu dem folgenden homogenen linearen Gleichungssystem:

= X3 = 2X3

Si: Na:

Xl

o:

2XI

H:

X2

X2

+ X2 = 3X3 + X4

= 2X4'

In Matrizenform lautet das LGS 1 0 -1 ( o 1 -2 2 1 -3

o

1

0 0 -1

0-1

ｾ＠

)

o '---' o

Ｈｾ＠

0 0 0 0

］ｾ＠

o o 1-1 0 0

Daher ist X4 beliebig. Wir wählen X4 = k. In Zeile 3 eingesetzt, folgt X3 Beide Ergebnisse in Zeile 2 bzw. Zeile 1 eingesetzt liefert X2 = 2k und Xl Die Lösung mit den kleinsten Anteilen der Substanzen lautet daher

= k. = k.

19. Anwendungsbeispiel: Mischen von Legierungen. Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel. Beispielsweise besteht V2A-Stahl aus 74% Eisen, 18% Chrom und 8% Nickel. In untenstehender Tabelle sind vorhandene Legierungen (I - IV) angegeben, mit denen 1000 kg V2A-Stahl gemischt werden soll. Eisen Chrom Nickel

I 70% 22% 8%

11 72% 20% 8%

III 80% 10% 10%

IV 85% 12% 3%

Sind Xl, X2, X3, X4 die Anteile der Legierungen I - IV in Einheiten kg, so gilt fUr die Summe aller Mischungsanteile in kg

§7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit

33

MAPLE

FUr die Einzelelbestandteile Eisen, Chrom und Nickel gelten die Erhaltungsgleichungen

0.7 Xl + 0.72 X2 + 0.8 X3 + 0.85 X4 0.22 Xl + 0.2 X2 + 0.1 X3 + 0.12 X4 0.08 Xl + 0.08 X2 + 0.1 X3 + 0.03 X4

=

=

740 180 80

Man beachte, daß bei 1000 kg Legierung mit 74% Eisen das Eisengewicht 740 kg beträgt, entsprechendes gilt fUr Chrom und Nickel. Diese vier Gleichungen liefern ein inhomogenes lineares Gleichungssystem

1 1 1 1 70 72 80 85 ( 22 20 10 12 8 8 10 3

1000) 74000 18000 8000

eq1:= 11 - 5*12 + 3*13 = 0; > eq2:= - 11 + 13 = 1; > eq3:= 11 + 12 = 2; eql:= 11 - 5 12 + 3 13 = 0 eq2 := - 11 + 13 = 1 eq3:= 11 + 12 = 2 Die Lösung berechnet sich durch

> solve( {eq1,eq2,eq3}, {11,12,13} ); { 11

= ｾＬ＠9

13 = 16, 12 = 11} 9 9

34

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Die Variablen 11, 12, I3 bleiben aber nach wie vor undefiniert, d.h. der solve-Befehl weist die Lösungswerte den Variablen nicht explizit zu.

> 11,12,13; Il, 12, 13 Damit die Variablen 11, 12, I3 die Lösungswerte annehmen, müssen diese Werte mit dem assign-Befehl den Variablen zugewiesen werden. Erst nach der Ausführung des assign-Befehls besitzen die Variablen den Wert der rechten Seite.

> Sol:=solve( {eq1 ,eq2,eq3}, {11,12,13} ); > assign(Sol); > 11,12,13; Sol:= { Il

7 = 9'

13 =

7 11

16 9'

12 =

11} 9

16

9' 9' 9 Stellen wir das gleiche LGS nun jedoch mit einer Floating-Point-Zahl als Koeffizienten (z.B. bei Gleichung eq1 an = 1.) auf, so erhalten wir als Ergebnis nicht mehr die exakte Lösung für 11, 12, 13, sondern eine reelle Näherung. Da die Variablen von der vorherigen Zuweisung aber nun schon einen Wert besitzen, müssen sie zuerst durch

> 11 :='11': 12:='12': 13:='13': zurückgesetzt werden. solve liefert für die Gleichung > eq1f:= 1.*11 - 5*12 + 3*13 = 0: zusammen mit eq2 und eq3 die Lösung

> solve( {eq1f,eq2,eq3}, {11,12,13} ); { 13

= 1.777777778,

12

= 1.222222222,

Il

= .777777778}

Solange die Koeffizienten des LGS rationale Zahlen sind, stellt MAPLE die exakte Lösung innerhalb der rationalen Zahlen dar. Dies spiegelt die Tatsache wider, daß die rationalen Zahlen einen Körper bilden und MAPLE die arithmetischen Operationen innerhalb dieses Körpers ausführt. Ist einer der Koeffizienten eine reelle Zahl, wird die Rechnung innerhalb der reellen Zahlen durchgeführt und die Lösung standardmäßig bis auf 10 Dezimalstellen näherungsweise bestimmt. Die Genauigkeit kann mit Digits=n auf n Stellen gesetzt werden. Durch den Begriff der Matrix können LGS auch so formuliert werden, daß nur die Zeilen des LGS als Matrix A angegeben werden und die rechte Seite als Vektor b definiert wird. Dem solve-Befehl für Gleichungssysteme (auch nichtlinearen) entspricht der Iinsolve-Befehl bei der Formulierung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen. Das Ergebnis wird durch einen Lösungsvektor angegeben. Dieser Lösungsvektor enthält Parameter, wenn das LGS nicht eindeutig lösbar ist.

§7. Lösen von linearen Gleichungssystemen mit MAPLE

35

Die Formulierung von LGS über Matrizen ist allgemeiner, da mehr Operationen für Matrizen zur Verfügung stehen und damit mehr Manipulationen mit Matrizen durchgeführt werden können. Um die MAPLE-Befehle zur Linearen Algebra zur Verfügung zu haben, muß das Prograrnmpaket Iinalg aktiviert werden. > with(linalg): Warning: new definition for norm Warning: new definition for trace

Die Definition der Matrizen erfolgt mit dem matrix-Befehl, indem man die Zeilen der Matrix spezifiziert: > A1:=matrix([ [2,1,-1] , [3,5,-4] , [4,-3,2])); 2 A1:= [ 3 4

1 -1

5-4 -3 2

1

Die Definition der rechten Seite des LGS erfolgt durch den vector-Befehl: > b1 :=vector([3,1,2)); b1:= [3,1,2] und mit Iinsolve(A,b) wird das LGS gelöst: > linsolve(A1,b1);

[-1, -16, -21]

Analog verfährt man mit Beispiel (2) > A2:=matrix([ [1,-3,2] , [-2,1,3] , [2,-16,18] )): > b2:=vector([4,2,28)): > Iinsolve(A2,b2);

Besitzt die Lösung des LGS wie in diesem Falle einen frei wählbaren Parameter, kennzeichnet MAPLE diesen mit dem Symbol _. Der Unterstrich zu Beginn des Variablennamens weist also darauf hin, daß das System diese Größe eingeführt hat. Ist das LGS wie im Falle (3) nicht lösbar, so liefert Maple keine Antwort > b3:=vector([4,2,27)): > linsolve(A2,b3); LGS können auch explizit mit dem Gauß-Algorithmus gelöst werden. Dazu verwendet man den gaussjord-Befehl: Zunächst geht man von der Matrix A zur der um den Vektor b erweiterten Matrix über, augment(A, b), und führt anschließend

36

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

den Gauß-Algorithmus mit gaussjord aus. Um die Lösung des LGS zu erhalten, wählt man den Befehl backsub zum Rückwärtsauflösen. > B := augment(A1.b1); > gaussjord(%); > backsub(%);

1 -1 3] [ oo -1] [ｾ＠

B'.-

2 5 -4 1 3 2 2 4 -3 0 1 -16 0 1 -21

[-1, -16, -21] Ist das LGS nicht lösbar, erhält man durch den backsub-Befehl die Fehlermeldung Error, (in backsub) inconsistent system

Die elementaren Zeilenumformungen beim Gauß-Verfahren können durch die folgenden Befehle auch im einzelnen nachvollzogen werden (siehe Worksheet zu den LGS): addrow(A,n,m,c): addiert zur m-ten Zeile der Matrix das c-fache der n-ten Zeile swaprow(A,n,m): vertauscht die n-te mit der m-ten Zeile mulrow(A,n,c): multipliziert die n-te Zeile mit c

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Grundlegende Befehle zum Arbeiten mit Zahlen

+ -

* /

! binomial In, log log[b] expand simplify assurne A

Zuweisung Grundrechenoperationen Potenz, Fakultät Binominalkoeffizient Natürlicher Logarithmus Logarithmus zur Basis b Ausmultiplizieren von KlammerausdrUcken Vereinfachen von AusdrUcken Einschränkung von Variablen

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

37

Grundlegende Befehle für Mengen A:={ ... } A union B A intersect B A minus B cartprod( •. , .. ) member( element, menge)

Definition einer Menge A Vereinigung der Mengen A und B Durchschnitt der Mengen A und B Differenzmenge von A und B Kartesisches Produkt von zwei Mengen Element einer Menge?

Grundlegende Befehle von Summen und Produkten Sum (i*(i+l), i=l .. n) sum (i*(i+l), i=Ln) Product(I*(l+l), I=Ln) product(I*(l+l),I=Ln)

Inerte (träge) Form des Summen-Befehls Auswertung einer Summe Inerte (träge) Form des Produkt-Befehls Auswertung eines Produkts

Befehle zum Lösen von Gleichungen solve( eq, var)

Auflösen der Gleichung eq nach der Unbekannten

var solve( {eq( Ln)}, {var( Ln)})

Auflösen der Gleichungen eq.l, ... , eq.n nach den Variablen var.J, ... , var.n

Grundlegende Befehle zum Lösen von linearen Gleichungssystemen with(linalg) matrix([[zeilel},[zeile2}, .. , [zeile.n} ]) vector([spalte}) linsolve(A, b) augment(A, v) gaussjord( backsub

Linear-Algebra-Paket Definition einer Matrix (zeilenweise) Definition eines Vektors (spaltenweise) Lösen des linearen Gleichungssystems Ax = b Hinzufügen des Vektors v zur Matrix A Führt Gauß-Algorithmus an der erweiterten Koeffizientenmatrix Ab durch Rückwärtsauflösen eines linearen Gleichungssystems

38

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

Aufgaben zu Kapitel I 1.1

Stellen Sie die folgenden Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente dar: a) {x : x ist Primzahl und x < 20} b) {x : x ist reell und x 2 + 1 = O}

= {x E 1R : 0 < x 3}. Bestimmen Sie graphisch sowie rechnerisch

1.2 Gegeben sind die Mengen (i)

1.3

(ii)

x

(iii)

= {x ER: 1 ｾ＠

< 2} und B

x ｾ＠

(iv)

Bilden Sie die Vereinigung, Durchschnitt und beide Differenzmengen aus den folgenden Mengen a) MI b) MI

= {2,4,6, .. '}' = {x

2 = {3,6,9, ... } : x 2 + x - 2 = O}, M2 = {x : x 2 - 3x + 2 = O}

1.4 Zeigen Sie mit Hilfe von Venn-Diagrammen, daß fUr drei Mengen MI, M 2 und M 3 gilt a) MI n (M2 U M3) = (MI n M2) U (MI n M3) b) MI U (M2 n M3) = (MI U M2) n (MI U M3)

1.5 Man zeige durch vollständige Induktion, daß fUr alle n E N gilt a) 1 2

+ 22 + 32 + ... +

= ｾ］ｉ＠

2

k 2 = n ＨｮｈｾＲＩ＠

b) 20 + 21 + 22 + ... + 2n = ｾ］ｯ＠ )

111+

+ 2.3 + 3.4

C T.2

...

2 = 2nH - 1

1

+ n(n+I}

n

= nH

1.6 Man zeige durch vollständige Induktion a) 2n ｾ＠ n! fUr jedes n ｾ＠ 4 b) 2 n + 1 ｾ＠ 2n fUr jedes n ｾ＠ 3 c)

2

ｾ＠

2n rur jedes

#- 3

nl :). (ｾ＠ ). (ｾ＠ ). (ｾ＠ ). (ｾ＠ ). (:). (ｾ＠ ). (:)

1.7

ｾｬ＠

b) 1024

1.8 Man zeige durch Nachrechnen:

ｾＺ］ｉ＠ 1.9

Man zeige (

ｾＺ＠

=

ｾ＠

j

)

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠

ｾＺ＠

ｾＺ］ｉ＠

fUr jedes n E N. (Nachrechnen!)

1.10

Man entwickle die folgenden Binome a)(x+4)5 b)(1-5y)4 c>(a 2 - 2b

1.11

Bestimmen Sie mit

MAPLE

=

t

den Summenwert von ｾＷＱ＠

2

+ 1).

39

Aufgaben zu Kapitel I

1.12 Bestimmen Sie mit

MAPLE eine Formel für die Summenwerte von

+ 23 + 33 + ... + n 3 14 + 24 + 34 + ... + n 4

a) 13

b)

) ｾｮ＠ 1 C L...i=l i(i+l);

1.13

1.14

Vereinfachen 18x a +4 a) - - - : 2 y5a+ 7

ｾｮ＠

ｾｮ＠

1

L...i=l i(i+l)(i+2);

L...i=O

.

x'.

Sie die folgenden Ausdrucke soweit möglich 4x 7 - 3a - - - b) (a n+1b x- 1 + anb x + a n - 1 bx+1) : (a n - 2bx 9 y8+5a

1)

Vereinfachen Sie formal die Wurzel terme soweit möglich a) x(2r 2 - 4x 2) _ 8xvr2 _ x 2 b) 2J(x _ k)2 + x2 _ --r.:::::(i;=2x===:;:-::;=k=?===;;:;;: vr 2 - x 2 V2x 2 - 2kx + k 2 c) V6x2 _ 6J3X - 3

2x+2

1.15 Berechnen Sie a)

e)

J {fa b

6 12

{/a5ifti2 a . ｾ＠

\l'a

2 {t'a4

b) {/a

2ifti2

c) VVa 6 b8

d)

ｖ｡ＳｊＲＸｾ＠

{!a 7 ,,/ä

1.16 Berechnen Sie a) ld 24 , log v'W, In e 3 c) log

n+{/an y!b=T

1.17 Zeigen Sie, daß die beiden Mengen zusammen mit den Rechenoperationen + und . die Körperaxiome erfullen. a) ({ a + by'2 mit a, b E ｾｽＬ＠ +, .) bzg. den Rechenoperationen der reellen Zahlen. b) (F2, +, .) bzg. den in Beispiel 9(5) angegebenen VerknUpfungstabellen.

1.18 Geben Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen an: a)4x 2 +8x-60=0 b)x 2 -4x+13=0 c)-1=-9(x-2)2 d) 5x 2 + 20x + 20 = 0 e) (x - 1)(x + 3) =-4 1.19 Man bestimme den Parameter

C

so, daß die Gleichung 2 x 2

+4x

reelle Lösung besitzt.

1.20 WeIche reellen Lösungen besitzen die Gleichungen? a) - 2 x 3 + 8 x 2 = 8 x b) t 4 - 13 t 2 + 36 = 0 c)! (3x 2 -6) (x 2 -25) (x+3)=0 1.21

Lösen Sie mit MAPLE die folgenden Wurzelgleichungen: a) V-3 + 2 x = 2 b) vx 2 + 4 = x - 2 c) v'X"=l = d) V2 x 2 - 1 + x = 0

v'XTI

1.22 WeIche reellen Lösungen besitzen die Betragsgleichungen? a)lx2-xl=24 b)12x+41=-(x 2 -x-6)

= c genau eine

40

I Zahlen, Gleichungen und Gleichungssysteme

1.23

Bestimmen Sie mit MAPLE die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen: a) 2 x - 8 > lxi b) x 2 + X + 1 :2: 0 c) lxi::; x - 2 d) Ix - 41 > x 2

1.24

Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme: + 2 X2 + 4 X3 = 10 a) 4 Xl Xl + X2 + X3 = 3 2 Xl

b)

2 XI 2XI

+ + +

3 X2 X2 2X2

3XI

c)

2XI 2XI

+ +

X2 X2

3XI

1.25

b)

Xl Xl 2XI

c)

Xl Xl 2XI

8

7

X3

=

X3

10 5

X3

7

= = =

X3 X3 X3

0 5

+ + + + + + +

X2 X2 2X2 X2 X2 2X2 X2

+ + + + + + +

X3 X3

5

6 7 11

=

X3 2X3

=

7 7 11

X3 X3 2X3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der linearen Gleichungssysteme: a) 2XI + 3 X 2 + 4 X 3 = 4 b)

X2

Xl -3XI

+

c)

X2

Xl -3 X I 5 XI

+

+

3X2 5X2

5XI

1.27 1.28

3 X3

Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme: a) Xl 3 X2 + X3 = -3 -3XI

1.26

+ + + + + + +

+ +

3 X2 5 X2

=

X3 5 X3

-3 5

5X3

3 X3

+

1

X3 3X3

=

1 -1 5

Welche Aussagen gelten fUr die entsprechenden homogenen Systeme? Die Variablen xl, .•. in den folgenden chemischen Reaktionen sollen fUr möglichst kleine natUrliche Zahlen stehen:

+ X2 02 --+ X3 Fe203 + X2 02 --+ X3 Fe3 03 + X4 S04 Xl CSHl20S + X2 02 --+ X3 C02 + X4 H20 Xl C3Hs N309 --+ X2 C02 + X3 H20 + X4 N 2 + Xs 02 Xl N H3 + X2 CU02 --+ X3 N2 + X4 CU + Xs H 2 0 Xl Al + X2 H2S04 --+ X3 AI2(S04)3 + X4 H2 Xl Ca3(P04) + X2 HCI --+ X3 Cacb + X4 H 3 (P04)

a)

Xl Fe

b) c) d)

Xl FeS2

e) f) g)

Kapitel 11 Vektorrechnung Vektoren sind ein unentbehrliches Hilfsmittel in der Physik und Technik, wo viele Größen sich nicht nur durch die Angabe einer Zahl, zusammen mit einer Einheit versehen, beschreiben lassen. Wahrend die Temperatur eines Körpers, die Dichte eines homogenen Mediums, der Ohmsche Widerstand eines elektrischen Elementes durch eine reelle Zahl (zusammen mit einer Einheit) charakterisiert werden, ist dies z.B. bei den folgenden physikalischen Größen nicht möglich: Die Geschwindigkeit eines Massepunktes im Raum ist festgelegt durch die Größe der Geschwindigkeit und deren Richtung. Die Kraft, die an einem Massepunkt angreift, wird beschrieben durch die Länge der Kraft und der Richtung, unter welcher die Kraft angreift. Elektrische Feldstärke, Drehmoment usw. sind andere physikalische Größen, die durch Maßzahl (Länge) und Richtung festgelegt werden. Wir definieren verallgemeinernd:

a:

Definition: Ein Vektor ist eine Klasse von gerichteten Strecken (Pfeilen), die in Richtung und Lange abereinstimmen.

Zwei gerichtete Strecken (Anfangspunkt Endpunkt ----+ und CD (Anfangspunkt Endpunkt D) stellen genau dann denselben Vektor dar, wenn sie gleichgerichtet und gleichlang sind. Man spricht daher oftmals von Richtungsvektoren. Durch Parallelverschiebung entstehende Vektoren sind also gleich. Ein Vektor ist eindeutig durch seinen Anfangspunkt und Endpunkt festgelegt. Historisch gesehen ist die Vektorrechnung eine recht junge Disziplin verglichen z.B. mit der Differentialrechnung. Die Begründung der modernen Vektorrechnung geht auf Hermann Großmann (1809 - 1877; 1844) zurück. Der Formalismus der Vektoren und der Vektorrechnung entstand also wesentlich später als die komplexen Zahlen. Im folgenden werden wir zur Beschreibung der Vektoren und der Rechenoperationen mit Vektoren von einem rechtwinkligen (kartesischen) Koordinatensystem ausgehen.

42

11 Vektorrechnung

§L Vektoren im 1R2 Der zweidimensionale Raum ]R2 wird durch zwei senkrecht aufeinanderstehenden Koordinatenachsen (kartesisches Koordinatensystem) festgelegt. In einem solchen Koordinatensystem ist ein Vektor a: vom Punkt PI = (Xl> Yd zum Punkt P2 = (X2, Y2) durch seine Komponenten festgelegt, den Projektionen auf die Koordinatenachsen:

y

x,

x

X.

o

x Ortsvektor

Richtungsvektoren

a:t

repräsenDabei kommt es nicht auf die spezielle Lage im ]R2 an. a: und tieren den gleichen Vektor. Wir sprechen von einem Richtungsvektor, wenn der Angriffspunkt keine Rolle spielt. Im Gegensatz zu Richtungsvektoren spricht man von Ortsvektoren, wenn der Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P führt:

LI Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Das Produkt eines Skalars ). E ]R mit einem Vektor a: ist wieder ein Vektor. Die Multiplikation geschieht komponentenweise. Geometrisch entspricht dies der Streckung des Vektors um den Faktor ).. Für). = -1 hat die gleiche Länge aber umgekehrte Richtung wie a:. Manchmal ist es bequemer den Zahlenfaktor rechts vom Vektor zu schreiben. Wir setzen daher := ).

a:

a:

a:).

a:.

43

1.3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors

L2 Addition zweier Vektoren

Die Summe zweier Vektoren ist ein Vektor. Die Addition erfolgt komponentenweise. Entsprechend ist die Subtraktion erklärt. Geometrisch entspricht die Addition zweier Vektoren der Krafte-Addition über das Krafte-Parallelogramm.

Abb. 2: Addition und Subtraktion Uber das Kräfte-Parallelogramm

L3 Die Länge (der Betrag) eines Vektors Die Llinge (= Betrag) eines Vektors Satz von Pythagoras:

a: ergibt sich nach dem

FUr den Betrag eines Vektors schreibt man auch kurz

L Beispiele:

i ),ｾ＠ ］ｾ＠ ). = (-5) -3 + (12) 3 + (-6) -4 = ( -41) .

(1) Gegeben sind die Vektoren

Dann ist --+

d

= - --+ a + 3--+ b + 2--+ c

a:

=

( ｾ＠ ) , b

= (

(2) An einem Massepunkt wirken die Kräfte --+

F1

=

(2N) IN ' F= (-IN) 5N' F = (-4N) 2N' --+

2

--+

3

= (

44

11 Vektorrechnung

Gesucht ist der Betrag der resultierenden Kraft FR : ---t

FR

---t ---t = F---t1 + F2 + F3 = (2N) IN + (-IN) 5N + (-4N) 2N = (-3N) 8N

(3) Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Spezielle Einheitsvektoren sind die Koordinaten-Einheitsvektoren

y

ei := ...... e,

x

1

Abb. 3: Einheitsvektoren

(linearkombination von

Wegen

ｾ＠

) und

e2 :=

(

ｾ＠

) .

Diese Vektoren haben die Richtung der entsprechenden Koordinatenachsen und die Länge 1. Mit den Einheitsvektoren läßt sich jeder Vektor 0: schreiben als

ei und e2).

(4) Gegeben ist ein Vektor Richtung

(

a:

= (

ｾＺ＠

). Gesucht ist der Einheitsvektor in

0:.

10:1 = ｊ｡ｾ＠

+ ｡ｾ＠

ist

der gesuchte Einheitsvektor, denn stimmen uberein. (5) Der Nullvektor

-0 = ( ｾ＠ )

le;;I

= I und die Richtung von "t a und

hat die Länge 0 und keine Richtung.

0:

45

1.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

L4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren Unter dem Skalarprodukt

(Punktprodukt) zweier

0: = ( :: ) und

Vektoren

b = ( ｾＺ＠ )

versteht

man die reelle Zahl

10:· b

1001·lbl· cosa, I

:=

....>.

(1)

Winkel zw.

ｾ＠

a

ｾ＠

und b

wenn a der zwischen 00 und 360 0 gelegene Winkel zwischen den Vektoren 0: und bist. ｾ＠

Obliche Bezeichnungen far das Skalarprodukt sind auch (

b)

oder

Für das Skalarprodukt gelten die Rechenregeln ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠

. b

b .

ｾ＠

A·(a·b) ｾ＠ a·(b+c)

ｾ＠

ｾ＠ ｾ＠

=

ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠

a)· b

ｾ＠ ｾ＠

=

ｾ＠

a .

ｾ＠

Symmetriegesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz

b)

(a·b)+(a·c)

(SI) und (S2) sind offensichtlich, (S3) ist nicht ganz evident. Auf Beweise sei jedoch verzichtet. Wir verwenden stattdessen die Regeln, um eine sehr einfache Darstellung des Skalarproduktes zu erhalten: Aufgrund der Definition des Skalarproduktes ist ｾ＠ ｬｾ＠ ｏｾ＠ l' e l ' e I = , e l ' e2= , e2' e2= .

Daher gilt für zwei Vektoren

ｾ＠ a =

(aa y

x )

= ax ｾ＠ e 1 + ayｾ＠ e 2 und ｾ｢＠ = (

bbx

y

(a x ｾ＠ 1 + ayｾ＠ 2) . (b x ｾ＠ 1 + byｾ＠ 2)

0: . b =

ax

｢ x ｾ＠

e

l'

ｾ＠

e

1

+ ax ｾ＠ e｢ｾ＠

l'

ye

2

+ ay ｾ＠ ｢ｾ＠ e 2'

'* I0: . b = ax bx + ay by.1

x

e

1

+ ay ｢ｾ＠ y e 2' ｾ＠ e 2 (2)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren läßt sich also einfach angeben ohne den Winkel a zwischen den Vektoren 0: und b berechnen zu müssen, indem die Summe der Produkte der ersten Komponenten und der zweiten Komponenten gebildet wird. ｾ＠

46

11 Vektorrechnung

Kraft in Richtung

Geometrisch entspricht das Skalarprodukt der Projektion von b auf die Richtung et. Dies ist von physikalischem Interesse, wenn z.B. ein Massepunkt sich nur entlang der Richtung et bewegen kann und --+ zu gegebener Kraft F die Komponente in Richtung et gesucht wird. Die geleistete Arbeit ist dann

et

W =

Ipal·letl

=

Ipl· cosa ·Ietl

=

--+

--+

F· a.

Anwendung: Berechnung des von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkels. Aus Gleichung (1) und (2) folgt

Aus dem Kosinus erhält man den von den Vektoren eingeschlossenen Winkel a zwischen 0 und 1800 • --+

Spezialfall: Stehen et und b senkrecht aufeinander, so ist a = 90 0 und cos a = O. Daher gilt

Ia! .b

=

0

{o}

a! ｾ＠

b.1

Man beachte also: Im Gegensatz zum Produkt von zwei reellen Zahlen ist das Skalarprodukt nicht nur dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren der Nullvektor ist, sondern auch dann, wenn die beiden Vektoren aufeinander senkrecht stehen. ｾ＠

a

2. Beispiele: (1) Man bestimme das Skalarprodukt von

--+ a· --+ b

(2) Die Vektoren

=

et = ( ｾ＠ )

und

b = ( -; ).

(4) 2 · (-1) 3 =4·(-1)+2·3=2.

et ( ｾ＠ ) und b

= ( -

i)

sind orthogonal, d.h. sie stehen

senkrecht aufeinander: --+ a

. --+ b =

(1) 2 · (-2) 1 = 1· (-2) + 2 . 1 = O.

(3) Der Betrag eines Vektors kann aus dem Skalarprodukt berechnet werden:

47

1.5 Geometrische Anwendung

FUr

0:

= ( :: )

gilt

0: . 0:

= ( :: ) . ( :: ) = a; + ｡ｾ＠ = 10:1 2

'* ＱＰ］｡ｾﾷ＠ (4) Gegeben ist der Vektor

i ).

0: = (

Gesucht sind die Winkel a und

ß,

die 0: mit den Koordinatenachsen einschließt. Die Winkel erhalten wir aus dem Skalarprodukt von 0: mit 7 1 bzw. mit 7 2 : y

---t

a .

cosa

---t

ax

el

2

= 10:1.17 1 1= 10:1 = 75 '* a = 26,6

0

.

x (5) Man bestimme zum Vektor Vektor ---t

=

0: = ( :: ) einen senkrecht dazu stehenden

mit Länge 1: (-

a ) steht senkrecht auf a, da a . ---t

Y

---t

---t

x

=

(a

x

y

Der zugehörige Normalen-Einheitsvektor ist

L5 Geometrische Anwendung Durch den Orts vektor entspricht jeder Punkt P Vektor

P2

7 (P) = (

= (X2, Y2)

=

(x, y) im JR2 genau einem

ｾ＠ ). Eine Gerade 9 durch zwei Punkte

= (Xl, Yl)

und

läßt sich demnach darstellen als Menge aller Punkte P, fUr die gilt

7(p) = 7(P1 )

+ A (7(P2 ) -

7(P1 )) = 7(pr)

Y

x Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden

+ A· 0:.

48

II Vektorrechnung

Dies ist die Punkt-Richtungs-Darstellung einer Geraden, definiert durch den Ortsvektor r+(PI ) und dem Richtungsvektor := r+(P2 ) - r+(PI ).

a:

Eine andere Darstellung der Geradengleichung folgt, wenn wir die Punkt-RichtungsDarstellung mit dem zu 9 senkrecht stehenden Normalen-Einheitsvektor r;; (siehe Beispiel 2(5» skalarmultiplizieren. (

Xy )

• --+n __ ((

Xyll ) + >.. --+) --+ a . --+ n = (Xl) YI n + ｾ＠

--+--+

=0

Dies ist die Hesse-Normalform einer Geraden im 1R.2.

ist der kUrzeste Abstand der Geraden vom Nullpunkt. 3. Beispiel: Gegeben sind zwei Punkte PI = (1,1) und P2 = (4,2). Gesucht ist die Punkt-Richtungs-Darstellung sowie die Hesse-Norma1form der Geraden 9 durch die Punkte PI und P2 • Wie groß ist der kleinste Abstand vom Ursprung? (i) Punkt-Richtungs-Darstellung:

g:

r: ( ｾ＠ ) = r+ (PI) + >. (r+(P

2) -

r+(Pd)

= ( ｾ＠ ) + >. ( ｾ＠ ) .

(ii) Hesse-Normalform:

Der Vektor

N

= ( -

VI + 9 = v'IO ist ｾ＠

ｾ＠

:=

a: = ( ｾ＠ ).

) steht senkrecht zu

Wegen

INI =

iJ N = 7rn ( - ｾ＠ ) der Normalen-Einheitsvektor zu

g. ist die Hesse-Normalform. (iii) Der Minimalabstand der Geraden zum Ursprung erhält man, indem man den Punkt PI = (1,1) in die Hesse-Normalform einsetzt:

d== (

ｾ＠

)

ｾ＠

(

Ｍｾ＠

) =

ｾ＠

= ｾｖＱｏＮ＠

(iv) Berechnen wir noch das Skalarprodukt auf der linken Seite der Hesse-Normalform

1

2

v'IO

v'IO

-(-X + 3y) = -

1.5 Geometrische Anwendung

49

und lösen nach y auf, erhalten wir die übliche Darstellung der Geradengleichung in der Ebene

Hinweis: Auf der CD-ROM befinden sich MAPLE-Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im 1R2 ermöglichen als auch die Visualisierung der in 1.1 bis 1.4 beschriebenen Vektoroperationen. Der zweidimensionale Vektor a: wird mit Hilfe der Prozedur Linkom2d durch die Linearkombination der zwei Einheitsvektoren a: = a x """t 1 + a y """t 2 dargestellt, während Darst2d zwei Ortsvektoren im 1R2 zeichnet. Die Prozedur Add2d addiert zwei Vektoren geometrisch und die Darstellung der Subtraktion erfolgt durch Sub2d. Die Prozedur Projek2d zeigt die Projektion des Vektors b auf den Vektor a:. ｾ＠

50

II Vektorrechnung

m.3

§2. Vektoren im

Analog zum Vorgehen im zweidimensionalen Raum ]R2 fUhrt man Vektoren im ]R3 ein, indem ein Vektor (/ in einem rechtwinkligen Koordinatensystem vom Punkt PI = (Xl, YI, zd zum Punkt P2 = (X2' Y2, Z2) festgelegt ist:

z

y x

(/:= (

X2 - Xl ) Y2 - YI

.

Z2 - Zl

Abb. 4: Richtungsvektor im ]R3

(/ heißt dann wieder Richtungsvektor. Ein Ortsvektor -;;:t (P) stellt einen Vektor vom Ursprung 0 zum Punkt P = y, z) dar:

2.1 Rechenregeln für Vektoren Die Multiplikation eines Vektors (/ mit einem Skalar ). und die Addition zweier Vektoren erfolgen komponentenweise: (Skalare Multiplikation)

(Addition)

Die Lltnge (bzw. der Betrag) eines Vektors (/ ist gegeben durch (Betrag)

I

und entspricht der Diagonalen eines Quaders mit Kantenlängen a

ay, a z

Jeder Vektor et mit Iet I= 1 heißt Einheitsvektor. Die Koordinaten-Einheitsvektoren lauten nun

7,

ｾ＠ ( g) ,7, ｾ＠

(

!),

7

3

ｾ＠ ｾ＠ (

)

.

2.1 Rechenregeln fUr Vektoren

Jeder Vektor

51

a: läßt sich schreiben als linearkombination der Einheitsvektoren Z p

x 4. Beispiele: (1) Der Ortsvektor zum Punkt P = (5,1, -3) lautet

und hat die Länge

1r+(P)1 =

J5

2

+ 12 + (-3)2 = y'35.

(2) Der Richtungsvektor von PI = (3,4,7) nach P2 = (7,3,1) ist

(3) Gesucht sind die Koordinaten des Punktes welcher die Strecke von PI = (3,4, 7) zum Punkt

P2 = (7,3,1) im Verhältnis 1:2 schneidet.

Das Skalarprodukt ist im

m.3 definiert durch

Ia:· b 1a:1·lbl· :=

a:

cosa,

wenn a der von den Vektoren und b eingeschlossene Winkel ist. FUr die Darstellung des Skalarproduktes berechnet man mit den gleichen Regeln wie im

52

II Vektorrechnung

1-0: . b

= a x bx + ay by + a z bz·1

Folglich gilt wieder für den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel a: (3)

Zwei Vektoren verschwindet:

-0: und

--t

b stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt

5. Beispiele:

-e\, et 2 , et 3

bilden ein Onhonormalsystem von R 3 , d.h. sie stehen paarweise aufeinander senkrecht und haben die Länge 1: (1) Orthonormalsystem:

(2) Die Vektoren

1

i),

ｾ＠ 7a ( t ) , ｾ＠ 7a ( 2

3

ｾ＠ ? ( =ｾ＠ )

bilden ebenfalls ein Orthonormalsystem. (3) Richtungskosinus: Durch das Skalarprodukt lassen sich auf einfache Weise

die Winkel berechnen, die ein Vektor einschließt.

--t --t a ·eI

ｾ＠

( :: ) mit den Koordinatenachsen

ax =a x ; l--t el 1= 1 :::}cosa=a

--t a . --t e 2 = ay; l--t e 2 1= 1 :::} cos ß = --t . --t e3=

z;

a l--te 3 1= 1 :::} cos')' = -. az

Die Winkel a, ß, ')' heißen Richtungskosinus von

-0:. Es gilt (4)

und

ax

= 1-0:1 cosa, ay = 1-0:1 cosß, az = 1-0:1 cos')'.

53

2.2 Projektion eines Vektors

a:

die 3 Winkel zu den KoordinatenachDurch Gleichung (4) sind fUr ein Vektor sen nicht beliebig wählbar. Nur 2 Winkel sind frei; der dritte bestimmt sich aus (4). (4) Zahlenbeispiel: Gegeben sind die Vektoren

Gesucht ist der Winkel a zwischen

a: =

a: und b:

= -4 + 6 - 6 = -4 }

-4

2.2 Projektion eines Vektors Wir betrachten die folgende physikalische Problemstellung: Ein Massepunkt ist in eine Schiene eingespannt und kann nur entlang der Richtung 7 bewst werden. Auf diesen Massepunkt wirkt eine Kraft F. Gesucht ist die Kraft F 8 in Richtung 7 : Der Betrag von F 8 ist mit Gleichung (3) gegeben durch ｾ＠

und die Richtung durch ｾ＠ ｾ＠

Man nennt F

F

8

=

ｉｾ＠

e: F

8

= ｾＮ＠

Ie

Also ist ｾ＠

ｾ＠

8

•

8

ｾ＠

F . s

ｾ＠ ｾ＠

s

F . s ｾ＠

= 171 . 171 = 171 2

ｾ＠

8

ｾ＠

die Projektion von F in Richtung

Daher gilt verallgemeinernd fUr zwei Vektoren

7.

a: und ｾ＠

b:

s.

54

IJ Vektorrechnung

---+

--+ --+

Man beachte, daß 0:. b das Skalarprodukt bedeutet und daher aｾｬ＠ eine reelle Zahl darstellt. Das zweite Produktzeichen ist die Multiplikation des Vektors 0: mit dieser reellen Zahl. Beide "·"-Zeichen durfen nicht vertauscht werden!

6. Beispid, Gegeben ist die [(,aft

F = ( _ｾ＠ ), die auf eine M...sc ｷｩｲｫｾ＠

sich nur entlang der Richtung -;

=(

=: )

die

bewegen kann. Gesucht sind die

Beschleunigungskraft und deren Betrag:

F-;= =>

CD (=D (=D (=D =3,

F. = i

1-;1'=3

IF·I = vra

und

Die verrichtete Arbeit Wergibt sich direkt durch 1W :=

F . S" = 3.1

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren Im lR3 definiert man für zwei Vektoren das sog. Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt), dessen Ergebnis wieder ein Vektor ist: Definition: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) 7 = 0: x b ---+ zweier Vektoren 0: und b versteht man den Vektor 7 mit den folgenden Eigenschaften:

(1 )

---+

---+

---+

c ist sowohl zu a als auch zu b senkrecht: ---+---+ c . = 0, c . b = O.

---+---+

(2) Der Betrag von 7 ist gleich dem Produkt aus den Betragen der Vektoren ---+ 0: und b und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels n:

171 = 1001·\b\. sinn, wenn n der Winkel,

den die Vektoren 0: und

miteinander einschließen. (3) Die Vektoren

---+

b ,7 bilden ein Rechtssystem.

b

55

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Bemerkungen: (1) Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Vektolrodukt eine vektorielle Größe. (2) Statt a x b wird auch oftmals das Symbol a, b verwendet. (3) Das Vektorprodukt ist nur in ]R3 definiert!

--t --t

--t --t]

Geometrische Deutung: Da (! 1- 0: und (! 1b steht, kommt als Richtung des Vektors c nur die in nebenstehendem Bild gestrichelte Linie in Frage. Da b , (! in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, bleibt nur der nach oben weisende Teil. Der Flächeninhalt des von 0: und b aufgespannten Parallelogramms ist Grundseite * Höhe, also

--t

--t

--t

--t

Ｚ［ｳｱＬＢｾ｢ｌＮ｡ｉＧ＠

I

.....>.

I

ｌＮｾ＠

______

a

ｾＧ＠

7

--t l--t 1 l--t --tl Der Betrag des Vektorproduktes entspricht also dem Flächeninhalt des von den --t --t Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. A =

--t

I

1a I· h

=

1a I· b . sinn = a x b .

7. Beispiele: (1) Die Vektorprodukte der Einheitsvektoren lassen sich aufgrund der Definition sofort berechnen: e; x e; = 0, e; x e; = 0, e3 x e3 = 0;

e; x e; = e3, e; x e3 = e;, e3 x e; = e;. (2) Kriterium für kollineare Vektoren: Verschwindet das Kreuzprodukt von 0: --+

a

Ti

--+ -+

-I 0 und b -I 0, -+

-----t

b ( a parallel zu b ) oder a

so ist entweder

--+ ---+

Tl b ( a antiparallel zu --+ b ).

8. Beispiele für das Auftreten des Kreuzproduktes in der Physik: (1) Drehmoment: Ein Körper sei um einen festen Punkt drehbar und im Punkte P dieses Körpers greift eine Kraft F an. Dann ist die Größe M das Drehmoment von F bezüglich 0

o

--t --t

= ｉｾＧｆ＠

sincp

(Kraft mal Hebelarm). Der Drehmomentvektor steht senkrecht zu der durch ｾ＠ und F gebildeten Ebene und kann als Richtung der Drehachse aufgefaßt werden:

--t

= ｾｸｆﾷＱ＠

56

II Vektorrechnung

(2) Drehimpuls: Sei 0 ein fester Bezugspunkt. Eine Masse m befinde sich in einem bestimmten Augenblick in P und besitze die Geschwindigkeit if. Dann -? lautet der momentane Drehimpuls L des Massenpunktes bzgl. 0

Ir =m7xif,1 -?

wenn r

--t

=0

=

-?

r

der Ortsvektor zum Punkt

(3) l.orentz-Kraft: Bewegt sich ein geladenes Teilchen (Ladung q) mit der Ge-? schwindigkeit if durch ein Magnetfeld, so erfährt es eine zu Bund if senkrechte Inrentz-KraJt:

Wir geben für das Vektorprodukt die wesentlichen Rechenregeln an:

(b + C+) = + b) x c+

x

(VI)

Distributivgesetze AntiSymmetriegesetz Multiplikation mit Skalar'x

-?

(V 2 )

O:xb

(V 3 )

'x·(axb)

-?

-?

(Xet) x b x (,X b)

= =

Man beachte: Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ! Mit Hilfe der Rechengesetze erhalten wir eine fUr die Praxis brauchbare Darstellung des Vektorproduktes Uber die Komponenten der Vektoren, denn es gilt

x

b

(a", et l + ayet 2 + az et 3 ) x (b", et l + byet 2 + bz et 3 ) ax bx (et 1 x et d +a", by (et 1 x et2) +a", bz (et 1 x et 3) ｾ＠

e+ 3

=0

aybx Ｈ･ｴＲｸｾ､Ｋ｡ｹ｢＠ ｾ＠

azb", ＨｾＳ＠ ｾ＠

ｾ＠

-e+ 3 x ｾ､＠

Somit ist

(a y bz - a z ｢ｹＩｾ＠

ＨｾＲｸＩＫ｡ｹ｢ｺ＠ ｾ＠

=0

+azby ＨｾＳ＠

x ｾＲＩ＠

ｾ＠

ｾＲ＠

=

ｾ＠

+azb z ＨｾＳ＠ ｾ＠

ＭｾＱ＠

1

+ (a z bx - ax ｢ｺＩｾ＠

+

-e+ 2

ＨｾＲｘＳＩＫ＠

e+ 1

x ｾＳＩ＠ =0

2

+ (a x by - ay ｢ｸＩｾ＠

3·

57

2.3 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren

Fonnal läßt sich das Vektorprodukt in der Fonn einer dreireihigen Determinante (-t Kap. 1lI, §2) darstellen, wenn man nach der ersten Spalte entwickelt:

«xb = Der Wert einer zweireihigen Determinante ist definiert durch die Differenz von Haupt- und Nebendiagonal-Produkten.

I: ｾ＠ 1

:= a . d - b . c.

9. Beispiel fUr die Berechnung einer dreireihigen Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte:

430

i

Ｍｾ＠

］ＴＧＱＭｾ＠

_;

= 4 (( -1)( -5) -

｟［ＱＭＲＧｾ＠

｟ｾｉＫｬＧ＠

ｾｉ＠

2.2) - 2(3· (-5) - 2·0)

Beachtet man die Vorzeichenregel

Ｈｾ＠

+ (3·2 -

ｾ＠ ｾＩ＠

(-1) ·0)

= 40.

, kann die Determinante nach

+ - +

jeder beliebigen Spalte bzw. auch zeile entwickelt werden (siehe Kap. 1lI, §2).

ﾫｾＨ＠

10. Beispiel, Gegeben sind die Vektoren

__

(i) a X b =

ｾ＾＠ｾＺ＠

-i

1 2 ｾ＠

=

ＭｾＩ＠

und

I,'

ｾ＠

(

ｾ＠

) .

1-41 02 1_e 111 22 1_e 1-41 02 1-e 1-

2+

-8 )

o .

-

8

(ii) Der Flächeninhalt des von «und b aufgespannten Parallelogramms ist

A

ｾ＠ I« x 1,'1 ｾ＠ ＨＭｾＩ＠

ｾ＠

v'64+64

ｾ＠

v'128

ｾ＠

8V2

3

58

II Vektorrechnung

2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren In der Mechanik kommt das Produkt (ct x b). ｾ＠ vor. Der Klammerausdruck ist

ein Vektor, der skalarmultipliziert mit ｾ＠ Zahl. Definition: Unter dem Spatprodukt die reelle Zahl

---+] a , ---+ b ,c [---+

wird. Das Ergebnis ist also eine reelle

[ct, b, ｾ｝＠ :=

(---+ a

von drei Vektoren versteht man

x ---+) b . ---+ c .

...l...l

axb

--lo.

L _____

-=__

___

.. ＭＢＧｃｉｾＯ＠

"," ..

a

Spatprodukt der Vektoren ---+ a, ---+ bund ---+ c. FUr das Spatprodukt gelten die Rechenregeln (1)

a, ---+ ---+] c [).. ---+

(2)

---+ ---+ ---+] [---+ a+b,b,c

(3)

[---+ e 1. ---+ e 2, ---+ e 31

)..

a, ---+ ---+] c [---+ a, ---+ ---+] c [---+

usw. usw.

1

---+

Bilden die Vektoren ct, b , ｾ＠ produkt positiv (negativ).

ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist das Spat-

---+

Geometrische Interpretation: Das Volumen des von den Vektoren ct, b und ｾ＠ aufgespannten Spates (Parallelotops) ist gegeben durch Grundfläche G mal Höhe h. Die Grundfläche ist nach Definition des Kreuzproduktes G = ct x b und cos r.p. die Höhe h = ｉｾ＠

I

:::} V

= la x bl ·1 ---+ cl· cos r.p = I(a---+ x ---+ b). ---+ c I.

I

59

2.4 Das Spatprodukt von drei Vektoren

Das Volumen des Spates ist gleich dem Betrag des Spatproduktes. Der Wert des Spatproduktes erhält man durch Ausrechnen

Die Rechnung kann man aber auch als das Ergebnis der Entwicklung der Determinante a x bx Cx ｛ｾ＠ a, b, ｾ｝＠ c = ay by cy a z bz Cz auffassen. ｾ＠

ｾ＠

Aus der Interpretation des Spatproduktes als das Volumen des von a, bund c aufgespannten Spates ergibt sich folgende wichtige Folgerung Folgerung: Das Spatprodukt ist Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen:

[0:, b, c!]

= 0 {:} 0:, b, c! liegen in einer Ebene.

Es gilt bei der Berechnung des Spatproduktes die folgende Regel

(0: x

b) . c! = (b

x c!) . 0: = (c! x 0:) . b.

Das Vorzeichen des Spatproduktes ändert sich, wenn man von der zyklischen Reihenfolge abc, b c a oder ca b abweicht.

Hinweis: Auf der CD-ROM befinden sich MAPLE-Prozeduren, welche sowohl die Darstellung von Vektoren im R 3 ennöglichen als auch die Visualisierung der in 2.1 bis 2.4 beschriebenen Vektoroperationen. Der dreidimensionale Vektor 0: wird mit Hilfe der Prozedur Linkom3d durch die Linearkombination der drei Einheitsvektoren 0: = a x e+ 1 + ay e+ 2 + a z e+ 3 dargestellt, während Darst3d zwei Orts vektoren im R 3 zeichnet. Die Prozedur Add3d addiert zwei Vektoren geometrisch und die Darstellung der Subtraktion erfolgt durch Sub3d. Die Prozedur ｾ＠ Projek3d zeigt die Projektion des Vektors b auf den Vektor 0:. Die Darstellung ｾ＠ ｾ＠ des Vektorproduktes a x b erfolgt durch Vecprod.

60

II Vektorrechnung

§3. Vektorrechnung mit

MAPLE

Die Befehle zur Vektorrechnung befinden sich im Iinalg-Paket, weIches durch with (linalg) aktiviert wird. Dieses Paket zur Linearen Algebra ist weit umfangreicher als es in diesem Abschnitt benötigt wird. Alle Befehle aus dem Paket erhält man durch >with(linalg); aufgelistet. Ab MAPLE6 gibt es neben dem Iinalg-Paket, mit dem sich die symbolische Vektorrechnung einfach durchfUhren Hißt, zusätzlich das UnearAlgebra-Paket, auf das wir im Anhang B gesondert eingehen werden. Vektoren werden in MAPLE durch vector(n,[xl, ... ,xnD definiert, wobei n die Länge des Vektors angibt und Xb'''' X n die einzelnen Komponenten. Per Definition ist also ein Vektor im MAPLE-System in der Komponentendarstellung erklärt und sämtliche Vektoroperationen erfolgen in dieser Darstellung. Die Angabe von n ist optional, d.h. es genügt nur die Komponenten zu definieren. Werden nur die Komponenten X n in eckigen Klammern angegeben, so wird eine dem Vektor verwandte Struktur, nämlich eine Liste erzeugt. Auch mit den Listen können die folgenden Operationen durchgeführt werden. > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> a:=vector(3,[a..x,a_y,a..z]); > > > > >

b:=vector([b..x,b_y,b..z]): c:=vector(3); v1 :=vector(3,[-2,3,4]); #Vektor v2:=[-2,213,6]: #Liste whattype(v2), type(v1,vector);

c := array( 1..3, [ ] )

vI := [-2, 3, 4] list, true Die einzelnen Komponenten der Vektoren können durch Angabe des Index in eckigen Klammern, z.B. alil, angesprochen werden: > a[2], c[3], v2[2];

Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors ist durch den norm-Befehl berechenbar: > norm(a,2), norm(v1,2);

VI a-x1 2 + I a_Y12 + I a_zI 2 , J29

61

§3. Vektorrechnung mit MAPLE

Die Ausführung der Addition zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar erfolgt durch den evalm-Befehl: > evalm(a+b), evalm(lambda*a); > evalm(2*v1-3*v2);

[2, 4, -10] Das Skalarprodukt wird durch den dotprod-Befehl (Punktprodukt) realisiert. > sk:=dotprod(a,b);

----t

Man beachte, daß der Querstrich bei den Komponenten des Vektors b darauf hinweist, daß das Skalarprodukt auch für komplexe Vektoren definiert ist. Für den ----t

ｾ＠

Fall von reellen Vektoren gilt b = b (siehe auch Kap. V, Komplexe Zahlen). Diese Bemerkung gilt auch für die weiteren Konstruktionen mit dem Skalarprodukt. Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, kann die Formel > psi:= arccos( dotprod(a,b) / (norm(a,2)*norm(b,2» );

'I/J

( := arccos

VI

ｾ＠

a-x 2 a-x1 + I a_Y12

+ a_y b:y + a_z ｾ＠ ) 2 2 2 + I a_zl VI b-x1 + I b_Y12 + I b_zl

verwendet werden oder man benutzt den angle-Befehl: > angle(a,b);

wobei der Winkel dann mit evalf als float-Zahl im Bogenmaß berechnet wird. 1l Beispiel: Berechnung des Winkels zwischen den beiden Vektoren al=(3,-1,2) und a2={1,2,4): > a1 :=[3,-1 ,2]: a2:=[1,2,4]: > psi:= arccos( dotprod(a1 ,a2) / (norm(a1 ,2)*norm(a2,2» ); > evalf(psi*180/Pi);

62

II Vektorrechnung

58.33911721 oder > angle(a1,a2): %=evalf( convert(%,degrees) );

arccos ( 938

v'i4 v'21) = 58.33911718

degrees

Die Projektion des Vektors b auf den Vektor a wird bestimmt durch > b-Ci:= evalm( dotprod(a,b) / norm(a,2f2 * a );

. _ [( a..x 'li:i + a_y T0ii + a_z 1U ) a..x b_a.2 2 2 ' la..xl + la_yl + la_zl ( a..x"'LC + a_y T0ii + a_z iJ:Z) a_y

la..x1 2 + la_yl2 + la_zl2 ( a..x 'li:i + a_y T0ii + a_z"'b.:Z) a-z ] la_xl 2 + la_Yl2 + la_zl 2 Für das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) steht der crossprod-Befehl zur Verfügung: > cp:=crossprod(a,b); > cp[2];

cp := [ a_y b_z - a-z b_y, a-z b..x - a..x b_z, a..x b_y - a_y b..x J a-z b..x - a..x b_z 12. Beispiel: Berechnung des Flächeninhaltes des von den Vektoren al=(l, -5, 2) und a2=(2, 0, 3) aufgespannten Parallelogramms: > a1 :=[1, -5, 2]: a2:=[2, 0, 3]: > cp:=crossprod(a1,a2); > flaeche:=evalf( norm(cp,2) );

cp:=[-15, 1, lOJ flaeche := 18.05547009 Nachdem Skalarprodukt und Kreuzprodukt bekannt sind, läßt sich das Spatprodukt als Kombination von den elementaren Produkten darstellen und das Volumen eines Spates berechnen: > a:=vector(3): b:=vector(3): c:=vector(3): > V := abs( dotprod(a, crossprod(b,c» );

V := lal b2 C3

-

b3 C2 + a2 b3 Cl

-

bl

C3

+ a3 bl C2 ｾ＠

Cl

I

63

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden

§4. Geraden und Ebenen im 1R3 In diesem Abschnitt werden einige Anwendungen der Vektoroperationen und der Vektordarstellung gegeben: Die Beschreibung von Geraden und Ebenen im 1R3 .

4.1 Vektorielle Darstellung von Geraden Eine Gerade 9 ist eindeutig durch die Angabe zweier verschiedener Punkte PI = --t ｾ＠ YI, zd und P2 = Z2) festgelegt. Denn durch a := PI P2 ist der Richtungsvektor der Geraden festgelegt und jeder Punkt P = Y, z) der Geraden läßt sich darstellen als

=

g:

+ Alt,

E 1R,

(Punkt-Richtungsform einer Geraden)

Darstellung ｾｩｮ･ｲ＠

Geraden

E 1R,

(Zweipunkteform einer Geraden.) Ein Punkt Q liegt auf einer Geraden 9 , falls die entsprechende Vektorgleichung

+ Alt

-:;:+( Q) = eine Lösung

besitzt.

13. Beispiel: Gegeben sind die Punkte PI = (2,0,4) und P2 = (2,2,2). Liegt der Punkt Q = (2, -2,6) auf der Geraden 9 durch die Punkte PI und P2? Die Geradengleichung für 9 lautet mit dem Richtungsvektor

ＨｾＩ＠ 9 , 7(p) =

7

point( P2, [2,2,2)); > line(g1, [P1,P2)); #Zweipunkteform > Equation(g1, lambda);

P2 gl [2, 2,X, 4 - 2'x] Mit Equation erhält man die Punkt-Richtungs darstellung. Der zweite Parameter legt den Namen des freien Parameters in der Geradengleichung fest. D.h. die

Punkt-Richtungs_tellung lautet X'

= ( ｾ＠ ) + ｾ＠ (

j ).

> pOlnt(P3, [3,2,1]): v:=vector([1 ,2,-1]): > line(g2, [P3,v)): #Punkt-Richtungsform > Equation(g2, lambda); [3 + ,x, 2 + 2,X, I - ,x)

Ebenen. Eine Ebene wird durch den plane-Befehl realisiert. plane(El, [Pl,P2,P3]) legt die Ebene EI durch die drei Punkte Pb P2 , P3 in der Dreipunkteform fest. wenn 91 und 92 zwei plane(E2, [P,gl,g2]) bestimmt die Ebene durch den Punkt Geraden der Ebene sind. Schließlich definiert plane(E3, [p,n]) die Ebene E 3 durch den Punkt P mit dem Normalenvektor rt in der Hesseschen Normalform. Mit dem Equation-Befehl erhält man die Ebenengleichung, wenn der zweite Parameter die Koordinatenachsen bezeichnet. > point(P1, [5,2,1)): point(P2, [4,0,-4)): point(P3, [1,1,1)):

79

5.2 Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander

> plane(E1, [P1,P2,P3]); > Equation(E1, [x,y,z)); > detail(E1);

#Dreipunkteform

EI

-8 - 5x + 20y -7z

=0

name of the object: EI form of the object: plane3d equation of the plane: - 8 - 5 * x + 20 * y - 7 * z

=0

> point(P, [1,0,0)): v1 :=[-1,2,0]: v2:=[-1,O,1]: > line(g1, [P,v1)): line(g2, [P,v2]): > plane(E2, [P, g1,g2]); #Punkt-Richtungsform > Equation(E2, [x,y,z]); E2 -2 + 2x + y + 2z = 0

> point(P, [2,-5,3]): N:=[4,2,5]: > plane(E3, [P, N]); #Hessesche Normalform > Equation(E3, [x,y,z]); E3 -13 + 4x + 2y + 5z

=0

5.2 Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander Zur Bestimmung der Lage von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum stehen u.a. die Befehle AreParallel, distance, intersection, FindAngle zur Verfügung. Sie bestimmen, ob zwei Objekte parallel sind und gegebenenfalls den Abstand dieser Objekte bzw. andernfalls die Schnittmenge und den Schnittwinkel. Um zu prüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden oder Ebene liegt, genUgt es den Abstand des Punktes von der Geraden bzw. der Ebene zu bestimmen. Falls er Null beträgt, liegt der Punkt auf dem Objekt.

> point(Q, [2,-2,6)): > distance(Q, g1); > distance(P3, E1);

#Definition des Punktes Q #Abstand von Q zur Geraden g1 #Abstand von P3 zur Ebene E1

ｾｹＧＶｶＵ＠

o

Der Punkt Q liegt nicht auf der Geraden glr da der Abstand ungleich Null ist; Pa liegt in der Ebene E l .

80

11 Vektorrechnung

Ebenfalls mit dem distance-Befehl kann der Abstand paralleler oder windschiefer Geraden und der Abstand zwischen parallelen Ebenen berechnet werden. Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, überprüft man zunächst, ob sie parallel sind; falls nicht liefert der distance-Befehl den Abstand. > AreParallel(g1,g2); false

> distance(g1,g2);

o Der draw-Befehl zeichnet geometrische Objekte dreidimensional. Die einfachste Form des draw-Befehls ist draw( {menge von objekten}). Die unten angegebenen zusätzlichen Optionen bewirken, daß die Koordinatenachsen das Schaubild umrahmen (axes=boxed) und die Graphen eine dickere Linienstärke erhalten (thickness=2) > draw({g1,g2}, axes=boxed, thickness=2);

8 4 2

o -12 -10

-8

-8

-4

-2 8

Die Geraden 91 und 92 sind nicht parallel und haben den Abstand Null, daher schneiden sie sich, wie man auch dem Schaubild entnehmen kann. Mit intersection bestimmt man den Schnittpunkt S, dessen Koordinaten mit coordinates ausgegeben werden. > intersection(S, g1,g2): > coordinates(S): > print("Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten ",%);

"Die Koordinaten des Schnittpunktes lauten", [2, -5,3] Den Schnittwinkel findet man mit FindAngel > FindAngle(g1,g2): > printf("Der Schnittwinkel beträgt %5.2g0\n",evalf(%*180/Pi));

Der Schnittwinkel betragt 71.57°

5.2 Beziehungen von geometrischen Objekten zueinander

81

Windschiefe Geraden sind nicht parallel und haben einen von Null verschiedenen Abstand: > point(P4, [3,2,1]): v:=[1,2,-1]: line(g4, [P4,v]): > point(P5, [4,0,-1]): v:=[-6,-1,0]: line(g5, [P5,v]): > AreParallel(g4,g5); false

Zur Darstellung der windschiefen Geraden verwenden wir wieder den drawBefehl. scaling=unconstrained bewirkt, daß keine maßstabsgetreue Skalierung der Achsen erfolgt und mit orientation wird der Blickwinkel eingestellt. > draw({g4,g5}, axes=boxed, thickness=2, scaling=unconstrained, orientation=[-169,76]);

-8

o

Ii

o

> distance(g4,g5): > printf("Der Abstand der beiden Geraden ist %5.2g\n",evalf(%»; Der Abstand der beiden Geraden ist 2.78

Um die Lage zweier Ebenen zu bestimmen, prüft man ebenfalls die Parallelität. Sind sie parallel, erhält man mit distance den Abstand: > point(P5,[3,6,1]): N1 :=NormaIVector(E1); > plane(E3, [P5,N1] ): > AreParallel(E1,E3);

vI:= [-5,20,-71 true Aus dem folgenden Schaubild ist die Parallelität der Ebenen gut zu erkennen: > draw({E1,E3}, axes=boxed, style=patchnogrid, shading=zgreyscale, scaling=unconstrained, orientation=[-163,72]);

82

11 Vektorrechnung

10 l[

> distance{E1,E3); 15 V474

79

Sind die Ebenen nicht parallel, dann schneiden sie sich in einer Geraden (Beispiel 18): > point(P1, [1,0,0]): line{g1, [P, [-1,2,0]]): line{g2, [P, [-1,0,1]]): > plane{E1, [P1, g1,g2]): > point{P2, [0,1,0]): line{g3, [P, [1,2,1]]): line{g4, [P, [0,4,0]]): > plane{E2, [P2, g3,g4]): > AreParallel{E1,E2); false

> draw{{E1 ,E2}, style=patchnogrid, axes=boxed, shading=zgreyscale, orientation=[-66,51], scaling=unconstrained);

10

Die Schnittgerade erhält man mit interseetion und die Geradengleichung mit Equation > intersection{g, E1,E2); > Equation{g, t); g [4t,2 - 16t,4t]

Die Darstellung der Schnittgeraden lautet also (

ｾ＠

) +t ( -1:).

83

5.3 Die MAPLE-Prozedur geomet

5.3 Die MAPLE-Prozedur geomet Hinweis: Auf der CD-ROM befindet sich die Prozedur geomet. Sie bestimmt die Lage zweier Objekte zueinander, wenn als Objekte Punkte, Geraden und Ebenen aus dem geom3d-Paket erlaubt sind. Dabei werden obige überlegungen in einer eigenständigen Prozedur zusammengefaßt. Beim erstmaligen Bearbeiten der Lektüre soUten die Details dieser Routine übergangen werden, da sie erst in späteren Kapiteln ausführlicher erklärt werden. Für den Gebrauch der Prozedur muß man nur den Aufruf wissen, der durch die anschließenden Beispiele verdeutlicht wird. Der Aufruf erfolgt durch> geomet(objl, obj2), wenn objl und obj2 Punkte, Geraden oder Ebenen darstellen. 2L Beispiele: (1) Welche Lage besitzen die Geradenpaare gI, g2 zueinander, wenn

ｾ＠

(1, 2, 0) mit Richtungsvektor

b ｾ＠ (

mit Richtungsvektor

ＭｾＩ＠

＼Ｑｾ＠

(

ｾ＠

) und

!12 durch

ｾ＠

durch (6,0, 13)

festgelegt wird?

> with(geomet): > point(P1, [1,2, 0]): a:= [2,0,5]: line(g1 ,[P1 ,a]): > point(P2, [6,0,13]): b:= [1,-2,3]: line(g2,[P2,b]): > > geomet(g1,g2); gl und g2 schneiden sich im Punkt

[5,2,10] unter dem Schnittwinkel 32.47°

(2) Gesucht ist die Lage der Geraden g zur Ebene mit Richtungsvektor

tor

＼Ｑｾ＠

(

ｾ＠

) und

durch 1b

ｾ＠

wenn g durch

1, 2)

(2, 1,8) mit Normalenvek-

n: ｾ＠ ( - ｾ＠ ) gegeben ist.

> pOint(p\, [5,1,2]): a:= [3,1,2]: line(g1 ,[P1 ,a]): > plane(E, [ point(PO,[2,1 ,8]), [-1,3,1]]): > > geomet(g1, E); g 1 und E schneiden sich im Punkt [ 37 l! 2' 2 '

= (5,

11]

unter dem Schnittwinkel 9.27°

84

II Vektorrechnung

(3) Gesucht sind die Schnittgerade und der Schnittwinkel der beiden Ebenen

E, ,

E"

ｾ＠ ( ＠ｾ >t, (7 - >7(P,)) ｾ＠ ( ｾ＠ >t , (7 - >7 (P,))

) .( ) .(

> point(P1, [2,5,6]): v1 :=[3,1,2]: > point(P2,[1 ,5,-1]): v2:=[2,O,3]: > > geomet(E1,E2);

!=ｾ＠ ) ｾ＠

ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ) ＠ｾ

0

o.

plane(E1, [ P1, v1]): plane(E2, [P2,v2]):

Die beiden Ebenen schneiden sich unter dem Winkel von 27.19° Die Schnittgerade lautet ｛Ｍｾ＠ + 3 A, ｾ＠ - 5 A, -2 Al

85

6.1 Vektorrechnung im !Rn

§6. Vektorräume 6.1 Vektorrechnung im

mn

Zur sachgerechten Behandlung z.B. von linearen Gleichungssystemen oder der linearen Differentialgleichungen und -systemen benötigt man den Begriff des ndimensionalen Vektorraums. Dazu übertragen wir den Begriff des Vektors von ]R3 in den ]Rn:

t)

Definition: Die Menge aller n-Tupel reeller Zahlen heißt ]Rn:

R'

Ｌｾ＠

{(

'x, E R, X2 E R"

x, ER} .

Analog dem Koordinatensystem in der Ebene bzw. im Raum wird das Koordinatensystem im ]Rn durch n aufeinander senkrecht stehenden Einheitsvektoren

gebildet. Jeder Vektor beschreiben:

E ]Rn läßt sich durch die Angabe seiner Komponenten

Es übertragen sich dann die Begriffe des Betrags, der Gleichheit von Vektoren, der Multiplikation mit einem Skalar, die Addition, das Skalarprodukt, der Orthogonalität usw. auf den ]Rn.

86

11 Vektorrechnung

Addition und S-Multiplikation

Für zwei Vektoren 0:

>. ERsetzt man --+

a

+ --+ b :=

(Addition)

(S-Multiplikation)

Sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation werden komponentenweise ausgeführt. Durch die Addition und S-Multiplikation hat man zwei Operationen

+ : Rn

X

.: R

Rn

X

Rn -+

-+

Rn

Rn

mit

--+) ( --+ a,b

mit

(>., 0:)

1-+

--+ --+ I-+a+b

>. . 0:

festgelegt. Formal unterscheiden sich die Vektoraddition + und die S-Multiplikation . dadurch, daß zum einen zwei Vektoren und zum anderen eine skalare Zahl mit einem Vektor verknüpft werden. Man bezeichnet daher "+" als innere Verknupjung und "." als außere Verknupjung. Da sowohl die Addition als auch die S-Multiplikation komponenten weise erklärt sind, übertragen sich die folgenden Rechengesetze von den reellen Zahlen auf diese Vektoren. Es gelten die Rechengesetze der Addition

0: +

(17 + 7\ = (0: + 17) + 7 "'-4 --+ a+b=b+a

--+

-'-t

Assoziativgesetz Kommutativgesetz

Der Nullvektor hat die Eigenschaft --+ --+ --+ a + 0 = a Zu jedem Vektor 0: gibt es einen Vektor (-0:) mit 0: + (- 0: ) = ()

Existenz des Nullvektors Negativer Vektor

Es gelten die Rechengesetze der S-Multiplikation:

(8d (82) (83 ) (84 )

k· (l .0:) = (k .l):d

k·

--+) ( --+ a+b

--+

Assoziativgesetz --+

=ka+kb (k + l):d = kO: + lO:

1·0:=0:

Distributivgesetz 1 Distributivgesetz 2 Gesetz der Eins

87

6.2 Vektorräume

6.2 Vektorräume Die Gesetzmäßigkeiten bezüglich der Addition und S-Multiplikation gelten nicht nur für n- Tupel, sondern auch fUr andere Objekte, die keine Veranschaulichung durch Pfeile zulassen (z.B. Funktionen). Um auch solche Objekte zu erfassen, fuhrt man den Begriff des Vektorraums formal für alle Objekte ein, die zwei Verknupfungen + und . mit den angegebenen Rechengesetzen besitzen. Definition: Eine Menge V bildet einen Vektorraum uber R, wenn folgende Axiome gelten: (1)

In V ist eine innere Verknupfung "+" erklllrt,

+ :V x V

---+

V

mit

- --

b ( a, -)

a + b

ｾ＠

(Addition) ,

so daß (V, +) die Gesetze der Addition (Al) - (A 4 ) eifUllt. (2) In V ist eine llußere VerknUpfung "." erklllrt,

. :R x V

---+

V

mit (.x,

ct)

.x. ct ｾ＠

(S-Multiplikation) ,

so daß (V,·) die Gesetze der S-Multiplikation (81 )

-

(84 ) eifUllt.

Die Elemente eines Vektorraums bezeichnet man als Vektoren, auch wenn der Vektorraum nicht dem Anschauungsraum R3 entspricht. Hat man als Zahlenmenge nicht R, sondern einen anderen Körper K, so spricht man von einem Vektorraum uber K. 22. Beispiele: (1) R 3 ist ein Vektorraum bestehend aus allen 3-dimensionalen Pfeilen (den 3Tupeln von reellen Zahlen).

(2) IRn

ｾ＠

{

(

;: )

'Xi

ER

(i

ｾ＠

} ist ein Vektorramn, dessen Ele-

1, ...

mente die n-Tupel sind. Man nennt Rn auch den arithmetischen Vektorraum. (3) Die Menge der auf dem Intervall

F

b] definierten, reellwertigen Funktionen

b] := {J :

b]

---+

R}

bildet einen Vektorraum, wenn wir für die Addition und S-Multiplikation definieren:

88

II Vektorrechnung

+: F[a,b)

X

F[a,b]-+ F[a,b] mit (I,g)

+ g) (x) := f

(I . : 1R x F [a, b]

-+

F [a, b] mit

(>., f)

(>. f) (x)

:=

(x) ｾ＠

f + 9 und ｾ＠

+ 9 (x) .

>. . fund

>.. f (x).

Die Rechengesetze übertragen sich aus dem Reellen. Die konstante Nullfunktion bildet den Nullvektor.

o mit 0 (x) = 0 für alle x E [a, b]

(4) Die Menge aller Polynomfunktionen vom Grad kleiner gleich n n

f (x)

P [nI := {J: 1R -+ 1R mit

= Laixi ,ai E 1R} i=O

bildet einen Vektorraum, wenn

"+" und "." wie unter (3) erklärt sind.

(5) Die Lösungsmenge eines homogenen, linearen Gleichungssystems bildet einen Vektorraum, wenn "+" und "." wie unter (2) definiert sind. Als Zahlenbeispiel betrachten wir das LGS -3Xl - 5X2

+ 2X3

0

4Xl - X2

+ 3X3

0

Die Lösung erhalten wir mit der Matrizenschreibweise und dem Gauß-Algorithmus

(

-3 -5 2 4 -1 3 000 '--t X3

oo ) o

'--t

(-3 -5 2 0 0

-23 17 0 0

= 23>' , X2 = 17>', Xl = -13>' A E R beliebig} .

Wir zeigen nur die Abgeschlossenheit bezüglich "+" und ".", d.h. daß die Addition zweier Vektoren von L wieder einen Vektor aus L ergibt und r . :i! E L, wenn :i! E L ist. Die Gesetze der Addition (Al) - (A4) sowie die der S-Multiplikation (81 ) - (84) übertragen sich dann von 1R3 auf L.

:i!l +:i!2 = >'1 ( r·

-13 )

ｾ＠

+ >'2

( -13 )

ｾ＠

= (>'1 + >'2)

( -13 )

ｾ＠

E L

-13 ) ) ( -13 ) ( -13 ) :i! 1 = r . ( >'1 ( ｾ＠ = (r . >'1) ｾ＠ = >. ｾ＠ E L.

89

6.2 Vektorräume

Wir haben damit nachgerechnet, daß mit zwei Lösungen 3! 1 und 3! 2 des LGS auch die Summe 3! 1 + :t 2 eine Lösung ist und jedes Vielfache einer Lösung ebenfalls das Gleichungssystem erfüllt. Physikalisch bedeutet diese Eigenschaft, daß das Superpositionsgesetz gültig ist. Da die Teilmenge L C 1R3 selbst wieder einen Vektorraum darstellt, nennt man Leinen Untervektorraum von 1R3 . 0 Allgemein definiert man

Definition: Sei (V, +, .) ein Vektorraum. Eine Teilmenge U C V heißt Untervektorraum, wenn U bezUglieh den linearen Operationen "+" und "." einen Vektorraum bildet. 23. Beispiele: (I) V = 1Rn , U = {Lösungen eines homogenen, linearen Gleichungssystems }. (2) V = { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ::; n}, U = { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade::; n und 1(1) = O}. Für eine Teilmenge U ::f. 0 eines Vektorraumes V muß man nicht mehr die Rechengesetze nachprüfen, um zu zeigen, daß U selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Die Rechengesetze übertragen sich von V auf U, wenn U bezüglich "+" und ..... abgeschlossen ist:

Satz: (Untervektorraum-Kriterium) Eine nichtIeere Teilmenge U C V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn U bezüglich den linearen Operationen "+" und ..... abgeschlossen ist. Mit anderen Worten:

UV1 :

(} E ｾ＠

U C V ist Vektorraum {:}

｡Ｌ｢ｅｕｾ＠

ｾ＠ ｾ＠

a: E U, A E 1R ｾ＠

a+bEU. A. EU.

a:

24. Beispiele: Die Menge {O} ist ein Untervektorraumjedes Vektorraumes. Es ist der kleinstmögliche Vektorraum.

(1)

(2)

= { Menge der reellwertigen Funktionen 1 : 1R - t 1R mit 1(1) = O}, V = { Menge der reellwertigen Funktionen 1 : 1R - t 1R}. U c V ist ein Untervektorraum, denn

U

UVI

Die Nullabbildung 0 : 1R

0(1) = O. Also ist {O} E

-t

1R mit

= 0 hat die Eigenschaft

90

11 Vektorrechnung

12 E U ist ft(l) = 12(1) = 0 und damit auch Idl) + 12 (1) = O::::} ft + 12 EU.

UV2 Mit ft, UV3

Mit lEU ist 1(1) O::::} AI E U.

(ft

= 0 und damit auch (AI) (1) = A· I

+ 12) (1) =

(1)

= A·O =

6.3 Linearkombination und Erzeugnis Im folgenden gehen wir davon aus, daß (V, +,.) ein Vektorraum ist und 2, ... , n Vektoren aus diesem Vektorraum sind.

1>

--t

Definition: Ein Vektor b der Form --t

b

--t --t = Al --t a 1 + A2 a 2 + ... + An a n

heißt Linearkombination der Vektoren

1,

2,· .. ,

n.

--t

Wie wir aus den 1R3 wissen, läßt sich jeder Vektor b E 1R3 als Linearkombination von r! 1, r! 2, r! 3 darstellen. Man definiert verallgemeinernd Definition: 1,

2, ... ,

M

Die n

Menge M aller heißt Erzeugnis von

linearkombinationen der Vektoren 1, ... , n. Man schreibt hierfUr

{ Menge aller linearkombinationen von 1, •.. , n} 2,.·., --t an 1 --t --t --t --t --t {b: b =A1a1+A2a2+···+Anan (AiE1R)}. [ --t a 1, --t a

91

6.3 Linearkombination und Erzeugnis

-

26. Beispiel: Ist b

=

In der Komponentendarstellung entspricht dies dem inhomogenen, linearen Gleichungssystem

o. Al + 1 . A2 + 1 . A3

1 0

1 . Al + 2 . A2 + 4 . A3 1 . Al + 3 . A2 + 5 . A3

=

l.

Zur Lösung des LGS verwenden wir den Gauß-Algorithmus in Matrizenschreibweise

ｾＩ＼ＮｴＨ＠1

01 1 ( 124 135 =}

A3 = t (beliebig)

i ｾ＠

0 0 0

A2 = 1 - t

=}

Al = -2 - 2t.

=}

Setzt man z.B. t = 1, so folgt A3 = 1, A2 = 0, Al = -4 und

- - - -

-

b

= -4·

D.h. b ist im Erzeugnis von

Es gilt allgemein

-

--

al

+ O·

+ 1·

lt 2, lt 3]'

Satz: Die Vektorgleichung b = Al lt I ] lösbar, wenn b E [a 1, a 2, ... , an. Da

2

3.

o

+ A2 lt 2 + ... + An lt n ist genau dann

= [lt I, lt 2, ... , lt

die Menge aller Linearkombinationen ist, stellt selbst wieder einen Vektorraum dar, was man mit dem UntervektorraumKriterium sofort nachprüfen kann. Satz:

= [lt I, lt 2, ... , lt

ist ein Vektorraum.

92

11 Vektorrechnung

Im Fall, daß M schon den ganzen Vektorraum V aufspannt, nennt man Mein Erzeugendensystem:

Definition: Eine Teilmenge von Vektoren pt b 2 , ... zeugendensystem von V, wenn das Erzeugnis von zusammenfallt: I, nl = V. 2 , ... ,

n} b

C

2 , . ..

V heißt Ern mit V

27. Beispiele: (1) et 2, et 3} ist ein Erzeugendensystem von 1R3 , denn jeder Vektor sich als Linearkombination von et I, et 2, et 3 darstellen:

X'

{e't,

(2)

Ｌｾ＠

e' 2, e' 3,

--t

X

et I + X2 et 2 + X3 et 3·

=

Xl

(

t )}

ist ebenfalls ein Erreugendensystem von

X' läßt sich als Linearkombination dieser

JR3, denn jeder Vektor darstellen:

X' läßt

4 Vektoren

--t --t O--t = Xl --t e I + X2 e 2 + X3 e 3 + . d

oder

X' =

(Xl

-1) et l

+ (X2 -1) et 2 + (X3 -1) et 3 + 1· d.

bilden ein ErzeugendenSowohl {et I, et 2, et 3} als auch {et b et 2, et 3, system von JR3. Gesucht ist ein Kriterium, um ein kleinstmögliches Erzeugendensystem zu charakterisieren. Dazu benötigt man den Begriff der linearen Unabhangigkeit.

6.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -'

ｾ＠

_ __ __ __ __ _

28. Beispiel, Gegeben sind die Vektoren

b:(J).e':( a

--t

-n --t

e': (

-0.

Dann ist --t

c=2·a+l·b.

7! läßt sich also als Linearkombination der Vektoren --t --t --t --t a und b darstellen. Man nennt c daher linear abhangig von a und

--t

93

6.4 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Definition: Die Vektoren 0: 1 , 0: 2 , .•. , 0: n E V heißen linear abhängig, wenn in der Gleichung

k 1 --+ a 1 + k 2 -at 2 mindestens ein k i

+ ... + k n --+ a n = -0t

*)

"# 0 ist.

Denn dann läßt sich die Gleichung (*) nach

und

(

0: i auflösen:

0: i ist durch die restlichen Vektoren darstellbar.

Läßt sich die Gleichung (*) niemals nach einem Vektor 0: i (i E {I, ... , n }) auflösen, dann nennt man die Vektoren linear unabhangig. Dies ist genau dann der Fall, wenn sich Gleichung (*) nur durch k 1 = k2 = ... = k n = 0 erfüllen läßt.

Definition: Die Vektoren

0: 1, 0: 2 , .•. , 0: n

E V heißen linear unabhängig,

wenn gilt:

k1 --+ 1 + k 2 - t 2 + ... + k n --+--+ n = 0

29. Beispiele: (1) Die Vektoren --+ -t k 3 e 3 = 0 folgt

::::}

-e\, et 2, et 3

1 0 0 ( 0 1 0 o 0 1

::::}

k1

00 ) 0

::::}

k3

-0

«, ｾ＠ ( --+

unabhängig: Aus k 1 a

1

k2

= 0,

... , k n

sind linear unabhängig: Aus k 1 et 1

D.h. aus k1 et 1 + k 2 et 2 + k 3 et 3 = folgt k 1 Vektoren et 1, et 2, et 3 linear unabhängig.

(2) Die Vekroren

= 0,

= 0,

k2

= 0,

= k 2 = k 3 = O.

-0' U), ｾ＠ ->-t

0 folgt

+ k2 et 2 +

= O. Damit sind die

«3 ( ｾ＠ )

«F

+ k 2 -at 2 + k 3 --+ a3=

k1

= O.

sind

ｬｩｮ･ｾ＠

94

11 Vektorrechnung

In Matrizenschreibweise erhalten wir

2 0 3 ( -1 1 0 3 0 1 =}

7 . k3 = 0

=}

1k3 = 0 I;

2· k2 = 0

=}

1k2 = 0 I;

a: + k2a: + k3a: = Ö folgt k a: 1, a: 2, a: 3 linear unabhängig.

D.h. aus k 1 Vektoren

1

(3) Die Vehoren

2

303

3

"1 ｾ＠ ( ＭｾＩＬ＠

abhängig: Denn aus k 1 weise

2 0 2 ( -1 1 0

(-1 10

o0 ) o

a:

1

k3

0 0 7

-1· k 1

= 0 =} 1k1 = 0 I·

= k 2 = k3 = O.

1

Damit sind die

'" ｾ＠ ( ｾ＠ ),"3 ｾ＠ ( ｾ＠ )

sind HneM

+ k 2 a: 2 + k 3 a: 3 = Ö, folgt in der Matrizenschreib-

o0 ) o =}

023

(-1 10 ｾ＠ 022

o

0 3 3

ＨＭｾ＠

)

= A (beliebig); k2 = -A;

k1

0

ｾ＠ ｾ＠

0

0

= -A.

Z.B. für A = 1 ist

Das Gleichungssystem ist also nicht nur durch k 1 = k 2 = k 3 = 0 lösbar, und damit die Vektorgleichung nach dem Vektor 1 auflösbar. =} C; 1, 2, 3 sind linear abhängig.

a:

a: a:

sind linear unabhängig im (4) Die Vektoren h (x) = xi (i = 0,1,2,···, Vektorraum P := { Menge aller Polynomfunktionen vom Grade ｾ＠ Denn

kofo + kdl + ... + knfn bedeutet ko fo(x)

=

--t

0

+ k1 h (x) + ... + kn fn (x) = 0 (x) = 0 für

alle x E 1R, d.h.

für alle x E 1R. Durch Einsetzen von x = 0 folgt o = O. Anschließend kann auf der linken Seite ein x ausgeklammert werden. Wieder durch Einsetzen von x = 0 folgt dann k 1 = O. Insgesamt erhält man so k o = k 1 = ... = k n = O. 0 In den Beispielen (1) - (3) zeigt sich, daß die Vektorgleichung --t

k1 a

1

+

--t

2

a 2 + ... +

--t--t

n

an

=

0

95

6.5 Basis und Dimension

entweder eindeutig lösbar ist; dann ist k 1 = k 2 = ... = k n = 0 diese Lösung und die Vektoren 1 2 ... , n sind linear unabhängig. Oder die Vektorgleichung ist nicht eindeutig lösbar, dann sind die Vektoren linear abhängig. Es gilt folgende Charakterisierung von linear unabhängigen Vektoren: Satz: FUr die Vektoren (I)

1,

2 ... ,

n

2 ... ,

n

E V sind äquivalent:

sind linear unabhängig.

----t

läßt sich eindeutig aus den Vektoren Jeder Vektor b E 1 ... , 1, ... , n linear kombinieren.

(2)

6.5 Basis und Dimension Einer der fUr die Beschreibung von Vektorräumen wichtigsten Begriffe ist der der Basis. Definition: Eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den gesamten Vektorraum erzeugen, nennt man eine Basis des Vektorraums. Also:

,O:n EV

1)

1, ... ,

n

sind linear unabhängig.

= V.

ist Basis von V

Eine Basis ist die kleinste Menge von Vektoren, welche den Vektorraum erzeugt, und sie ist gleichzeitig die größte Menge von linear unabhängigen Vektoren aus V; denn fUr Basen sind die folgenden Aussagen gleichbedeutend: Charakterisierung von Basen: FUr die Teilmenge := 2 ... , n} C V ist gleichbedeutend: (1 ) ist eine Basis von V. (2) ist eine unverlängerbare, linear unabhängige Teilmenge von V. (3) ist ein unverkUrzbares Erzeugendensystem von V.

30. Beispiele: (I) Ce\, et 2, et 3) ist eine Basis von R 3 : Denn et 1. et 2, et 3 sind linear unabhängig und jedes """i! E R 3 läßt sich als Linearkombination von et 1. et 2, et 3 darstellen:

"""i! = (2)

(et 1, et 2,"', et

et 1 + X2 et 2 + X3 et 3·

ist eine Basis von Rn.

96

II Vektorrechnung

(3) (1, X, x 2 , x 3 , x 4 , . .• ,xn ) ist eine Basis des Vektorraums der Polynomfunktionen vom Grad :::; n.

(4)

«t = ( : ) , «2 = ( ｾ＠ \ , «, = (

Wir prüfen

ｾｩ･＠

i)

ist eine Basis von ]R3:

Bedingungen (BJ und (B2) nach.

0 1 1 ( 1 2 1

0) o

o

130

ｾ＠

o

(1 0 31 -10 0 1 1

-1

-2

o und

Dieses LGS hat als eindeutige Lösung k 1 = k2 0: 1, 0: 2 , 0: 3 linear unabhängig.

(B,), Ist

b =(

ｾ＠

)

so daß

E R' beliebig, dann mOssen --t

--t

--t

ｾＬ＠

T

damit sind

gefunden werden,

--t

Aal+/La2+ra3= b.

In Matrizenschreibweise ist das LGS fUr die Unbekannten A, /L und r:

CI ) 0 1 1 2 1 1 3 0

b1 b2 b3

ｾｏ＠

)

3 0 1 -1 1 1

b3 b3 - b2 b1

3 0 1 1 0 -2

b3 b1 b3 - b2 - b1

ｾ＠

)

Hieraus erhält man durch RUckwärtsauflösen die gesuchten Größen

--t

Damit gibt es zu jedem Vektor b E ]R3 Parameter A, /L, r E ]R, so daß --t

--t

--t

--t

Aal+/La2+ra3= b

=>

--t

--t

--t

[aba2,a3]=V.

Insgesamt folgt damit aus (Bd und (B2), daß (0:1. 0: 2,0:3) eine Basis von ]R3 ist.

(5) Die Vektoren ]R3 ,

e\, e'" e'"

«, mit «, =

da sie linear abhängig sind : 0: 4 =

e> 1 + ｾ＠

( : ) 2

bilden kein. Basis von

+ e> 3.

97

6.5 Basis und Dimension

(6) Die Vektoren

0',

ｾ＠

(

ｾ＠

) , 0',

ｾ＠

(

ｾ＠

) bilden keine Basis von R3,

a\, ct 2 sind zwar linear unabhängig, aber nicht jeder Vektor b

Ｚｾｮ［＠

f::' d(.rsrr 1

E R 3 läßt sich

Dß

v(or)"

)aus

12

b3

b3

o -4 1 Aus der letzten Zeile des Gleichungssystems folgt 1 . I-l = b2 aus der zweitletzten Zeile I-l = (bI - 2b3 ). Damit das LGS lösbar ist, muß für den Vektor b gelten:

:l

b2 =

1

4 (bI -

2b3 )

.

Dies ist aber nicht für alle Vektoren b E R 3 erfUllt und damit ist (ct 1, ct 2) kein Erzeugendensystem von R 3 . (B2) ist also nicht erfüllt. 0

In einem Vektorraum kann es beliebig viele Basen geben. Hat man jedoch eine endliche Basis ct 1, ... , ct n gefunden, so besteht jede andere Basis ebenfalls aus genau n Vektoren. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist charakteristisch für einen Vektorraum:

Definition: Sei V ein Vektorraum. Besteht eine Basis aus n Vektoren. so heißt die Zahl n die Dimension des Vektorraums V. Bezeichnung: dirn V

= n.

Man beachte, daß zwar jeder Vektorraum eine Basis besitzt; diese muß jedoch nicht notgedrungen aus endlich vielen Vektoren bestehen. In der Regel betrachten wir hier nur endlich-dimensionale Vektorräume. Für diese endlich-dimensionalen Vektorräume gilt Satz: Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt für n Vektoren ct 1,'" , ct nE V die Aussage: ｾ＠

ｾ＠

a 1,"', an sind linear unabhängig.

{=?

(ct 1 , " " ct n) ist eine Basis von V.

98

II Vektorrechnung

31 Beispiele: (1)

ｾ＠ )

ct l = (

und

i)

ct 2 = (

bilden eine Basis von R 2 , denn

ct l , ct 2

sind linear unabhängig:

(2)

ｾ＠ ｾ＠ f),ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ 1

(

2

Basis von R4, denn

(

)

,

1 0

o 1

ｾ＠

(

(

)

,

4

(

)

bilden eine

ct I, ct 2, ct 3, ct 4 sind linear unabhängig: k l ct 1 + k2 ct 2

ＧＭｴＨｾ＠

3

1

o o

1 0 0 1 1 1 0

H-: : =>

kl

+ k3 ct 3 + k4 ct4 = -0 110 1 0 1 110 o 1 1 1 1

o

1 0

1 1

-1

1

002

= k2 = k 3 = k4 = O. f(x) = ao + alx + ... + a5x5}

(3) := {J : R --t R : ist ein 6dimensionaler Vektorraum: (xO, xl, x 2 , ... , x 5) sind linear unabhängige Funktionen und jedes f E P [5] läßt sich als Linearkombination dieser Funktionen darstellen => (xO, xl, ... , x 5) ist eine Basis von P [5] => dim P [5] = 6.

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle

99

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle Grundlegende Befehle zur Vektorrechnung with(linalg) vector (n, [xl, x2, .. , xn]) v[i] [xl, x2, •.. , xn] convert(winkel, degrees) convert(liste, v) evalm angle (vI, v2) crossprod (vI, v2) dotprod (vI, v2) norm (v, 2)

Linear-Algebra-Paket. Definition eines Vektors. i-te Komponente des Vektors v. Definition einer Liste. Rechnet Winkel ins Gradmaß um. Wandelt Liste in Vektor v um. Auswertung von VektorausdrOcken mit den Operationen +, -, A * . Berechnet Winkel zwischen den Vektoren V1. und V2 Berechnet das Kreuzprodukt (Vi x V2). von 3-elementigen Vektoren V1 und V2 Berechnet das Skalarprodukt der Vektoren. V1 und V2 Berechnet den Betrag des Vektors v.

Grundlegende Befehle zu Geraden und Ebenen with(geom3d) pointe [xl ,x2,x3J) line(g, [PI,P2J) line(g, [PI,v]) plane(E, [PI,P2,P3])

3D Geometrie-Paket. Definition des Punkte P über seine X3. Koordinaten Definition der Geraden 9 über zwei Punkte P 1 und P2. Definition der Geraden 9 über einen Punkt Pi und Richtungsvektor 11. Definition der Ebene E über 3 Punkte

Pt. P2 , P3 . plane(E, [PI, gI,g2]) plane(E, [PI, n]) draw( {objI,obj2, .. }) detail(obj)

Equation(E, Equation(g, t) AreParallel(objI,obj2) intersection(S, obj1,obj2) FindAngle(obj 1,obj2)

Definition der Ebene E über den Punkt Pi und zwei Geraden g1 und g2. Definition der Ebene E über den Punkt Pi und Normalenvektor Graphische Darstellung von geometrischen Objekten. Spezifikation des Objektes obj. Ebenengleichung. Geradengleichung. PrOft die Parallelität von objI und obj2. Berechnet den Schnitt von objI mit obj2. Berechnet den Schnittwinkel von objI und obj2.

100

11 Vektorrechnung

Bemerkung: Der draw-Befehl zum Darstellen der geometrischen Objekte hat die gleichen Optionen wie der Standard-plot3d-Befehl. Sie können unter > ?plot3d[options] aufgelistet werden. Häufig benutzte Optionen lauten: Optionen des draw-Befehls

Dimension des Berechnungsgitters: n x m. Titel des Schaubildes. Spezifiziert die Achsenbeschriftung. Anzahl der Markierungen auf den Achsen.

grid={n,m] title=t labels={x,y,z] tickmarks= {I, m, n] scaling=

view=zmin .. zmax axes=boxed thickness= orientation={phi, theta] style=patchnogrid shading=zgreyscale

Maßstabsgetreue Skalierung der Achsen. Der darzustellende z-Bereich des Objektes. Schaubild mit Achsen. Steuerung der Liniendicke. Blickrichtung der 3d Graphik. Das Gitter wird unterdrückt. Die Farbunterlegung der Objekte ist grau.

Aufgaben zu Kapitel 11 2.1

Gegeben sind die Vektoren

ｾ＠

= (

j ) ,b

ＭｾＩ＠

= (

ｾ＠

,

Ｍｾ＠

(

) .

Man berechne die folgenden Vektoren und ihre Betrage a)

s>1 ］ＳｾＭＴ｢＠

Ｋｾ＠

ＨｾＭＲ｢ＩＫＵ＠

c)S>3=3 2.2

b)

S>2= -3 (5b ＫｾＩ＠

d)S>4=3

ＨｾＮ｢ＩＭＵ＠

Ｈ｢ＮｾＩ＠

---+

(

ｾＩ［＠

F2 =

-50

ｾ＠

( ); -40

F3 =

ＺｾＩ［＠

(

b

ｾＳＬＮＭＵＫＲＢ＠

1,

120

2.3 Normieren Sie die folgenden Vektoren:

.. ｾ＠ (D,

----+

---+

Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkrafte F samtkraft auf? (Krafteinheit

F1 =

+5 ＨＭｾＫＳ｢Ｉ＠

Ｂｾｃｄ＠

F

---+

2,

F

--t

3,

F

F4 = -

4

(

in ihrer Ge-

ｾ＠

40

).

101

Aufgaben zu Kapitel 11

2.4

Wie lautet der Einheitsvektor

e>, der die zum Vektor a: = - (

i)

entgegenge-

setzte Richtung hat? 2.5

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkte P Richtung des Vektors

2.6

a:

Ｍ］Ｒｾ＠

=(

)

= (1,

-2,3) in

10 Langeneinheiten entfernt ist. --t

Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von Pi P2 mit Pi = (2, 4, 3) und

P2=(-I,3,2).

(011)

a: =

2.7 Bilden Sie mit den Vektoren

(!)

; C'

; ---> b =

Skalarprodukte:

a)a:.b

b)(a:-3b)4C'

2.8 Welchen Winkel schließen die Vektoren a)

die

=

ｾ＠

a: = (

) ,b = (

!)

a: und bein? b)

a: = (

ＭｾＩ＠

, ---> b =

ＨＭｾｏｉＩ＠ -10

e> 1, e> 2, e> 3 ein orthonormales System bilden; d.h. die Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und besitzen die Länge 1:

2.9 Zeigen Sie, daß die folgenden Vektoren

･＾ｩ］ｾＨ＠

(j)

ｾＩＬ＠

e>3 =

(-!)

2.10 Zeigen Sie: Die drei Vektoren

ｾ＠

｟ｾ＠

= (

) ,b = (

Ｍｾ＠

, ---> c

)

bilden ein rechtwinkliges

Dreieck.

2.11

Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel, die der Vektor achsen einschließt: a)

a: =

(

ｉｾ＠

)

a: = (

b)

a: mit den Koordinaten-

ＭｾＩ＠

2.12 Durch die drei Punkte A = (-1, 2,4) , B = (5, 0, 0) und C = (3, 4, -2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Lange der drei Seiten, die Winkel im Dreieck, sowie den Flächeninhalt. 2.13

--->

Berechnen Sie die Komponente des Vektors b in Richtung des Vektors

(

ＭｾＩ＠

In. .)

b

ｾ＠

(

ｾ＠

)

--->

b) b

=

CD

a:

102

11 Vektorrechnung

a:

a:

2.14 Ein Vektor ist durch den Betrag I I = 10 und CI! = 30°, ß = 60°, 90° 180° festgelegt. Wie lauten die Vektorkoordinaten von 2.15 Man bestimme die Richtungswinkel a)

a: = (

2.16 M.n

｢･ｲＬｾ＠

-t )

'"' B = 1, ... , 1 Dann sind die Spalten des Produktes C = A . B gegeben durch

b

bk

(b

bk ) .

(j = 1, ... , k) und

Rechenregeln für Matrizenprodukte Für Produkte von Matrizen A, B, C gelten die folgenden Regeln (die jeweiligen Produkte seien definiert):

(A . B) .

Assoziativgesetz

= A· B+A· C

Distributivgesetz

+ B) . C = A . C + B . C

Distributivgesetz

A· (B+C) (A

= A . (B .

13 Inverse Matrix Aus der Algebra wissen wir, daß die Gleichung

a·x für

=1

::I 0 genau eine Lösung besitzt, namlich das zu x

= a- 1 = -1 E

IR:

a· a- 1

inverse Element

= a- 1 . a = 1.

112

III Matrizen und Determinanten

Diese Konstruktion wird fUr quadratische Matrizen verallgemeinert: Definition: Gibt es zu einer quadratischen (n x n)-Matrix A eine (n x n)-Matrix X mit

C :),

ａﾷｘｾ､ｮ＠

so heißt X die zu A inverse Matrix. Sie wird durch das Symbol A-1 gekennzeichnet. Bemerkungen: Besitzt A eine inverse Matrix A-1, so heißt A invertierbar bzw. regular. A- 1 heißt Umkehrmatrix oder Inverse. (2) Eine quadratische Matrix besitzt -wenn Uberhaupt- genau eine Inverse. (3) Aufgrund der Definition gilt (1)

A·A- 1 =A- 1 ·A=In , d.h. A und A-1 sind kommutativ. (4)

Nicht jede quadratische Matrix ist umkehrbar: z.B.

Ｈｾ＠

ｾＩ＠

ist nicht um-

kehrbar!

Im folgenden werden wir ein Schema vorstellen, mit dem man entscheiden kann, ob eine x n)-Matrix A invertierbar ist und wie die Inverse A-1 sich berechnet. Dazu gehen wir zunächst davon aus, daß die zu A inverse Matrix A -1 existiert. A-1 sei gegeben durch Spaltenvektoren ｾ＠ 1, . . . , ｾ＠ n =}

A- 1 = Ｈｾ＠

ｾ＠ ) SI, S 2, ... , S n ·

Aufgrund der Eigenschaft der inversen Matrix

A A- 1

ｾ＠ ｾ＠ In

C :)

ist die k-te Spalte des Produktes der Einheitsvektor et Nach Bemerkung (3) aus 1.2.4 erhält man die k-te Spalte des Produktes, indem man die Matrix A auf den k-ten Spaltenvektor von A -1 anwendet:

ａｾｫ］･ｴ＠

o Ö

1 o

ö

k = 1,2, ... ,no

113

1.3 Inverse Matrix

Folglich sind die Spalten der inversen Matrix die Lösung der linearen Gleichungssysteme A 7 k = Diese n LGS löst man mit dem Gauß-Algorithmus. Da die LGS immer dieselbe Matrix A besitzen, können sie simultan gelöst werden (Gauß-jordan-Algorithmus ):

e:

Berechnung der inversen Matrix nach dem Gauß-Jordan-Verfahren (1) Man erstellt das aus A und allen rechten Seiten kombinierte Matrizenschema:

au In) =

a1n

1

0

...

ｾＩ＠

0

(

｡ｾＱ＠

a nn

0

0

(2) Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen wird die linke Seite des Schemas so umgeformt, daß die Einheitsmatrix In den Platz von A einnimmt. Die inverse Matrix A -1 steht dann auf dem Platz von In:

0

0

...

0 1

u

0

...

bu

b,. ) ｾ＠

bn1

= (In I A- 1 )

bnn

(3) Enthält zum Schluß die linke Seite eine Nullzeile, dann ist die Matrix A nicht invertierbar. 5. Beispiele: (1) Gesucht ist die inverse Matrix zu

A

=

( 1o 0 -2)

1 2 . 4 -1 Wir führen den Gauß-Jordan-Algorithmus durch und schreiben die jeweiligen Operationen an die rechte Seite der Matrix:

0 -2

h)

=

'* '*

( -1

1

2

4 -1 0 -2

0 0

1

-1

1 0 0 1 0 0 1 0

0

1 1

4 -1 0 -2

0 0

1

0

0 -1

1 1

n n n

+Z1

0

- 4Z2 -2Z3

1

-4 -4

(-1)

114

III Matrizen und Determinanten

1 0 0 ( 010 001

ｾ＠

Die zu A inverse Matrix lautet A- 1

(2) Gesucht ist die Inverse von A

(j

ｾ＠

(

1 1

4 4 -1

! ｾ＠

1

1

1

1

-3

-2

2

1 6 1 2 -1 -6

o

-1

2

ｾ＠ ｾ＠

1 -2 -2 0 1 2 -1 -6

o o

ＭｾＩＮ＠

4

(

)

Ｍｾ＠

9 8

0

ｾＩ＠

001

Ｍｾ＠

Ｍｾ＠

ｾ＠ ｾＩ＠1

:n

3 0

Die linke Seite enthält eine Nullzeile. Damit sind die linearen Gleichungssysteme nicht lösbar. A ist nicht invertierbar. 0

Rechenregeln bei der Inversion von Matrizen

(1)

Seien A und B invertierbare (n x n)-Matrizen. Dann gilt Die Inverse einer invertierbaren Matrix ist invertierbar mit

(2)

Das Produkt zweier invertierbarer Matrizen ist invertierbar:

(3) Die Transponierte einer invertierbaren Matrix ist invertierbar:

Die Bedeutung von invertierbaren Matrizen werden wir noch ausführlicher im §3) diskutieren. Kapitel über die Lösbarkeit von LOS Ｈｾ＠

1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE

115

L4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE Zur Darstellung und Ausführung der Rechenoperationen mit Matrizen wird das Paket Iinalg benötigt. Alternativ kann ab MAPLE6 das LinearAlgebra-Paket verwendet werden, auf das wir im Anhang B gesondert eingehen. Im folgenden gehen wir immer davon aus, daß das Iinalg-Package mit dem Befehl > with(linalg}: geladen ist. Durch > A:=matrix(3,2,[1,2,3,4,5,6]);

[Hl ｫｾ＠

wird eine (3x2)-Matrix definiert. Wenn man den Matrix-Kurzbefehl

> matrix([ [1,2], [3,4], [5,6] ]): verwendet, ist die Angabe der Dimension nicht notwendig, da die Zeilen der Matrix einzeln spezifiziert werden. Addition und Subtraktion von Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalaren werden mit +, -, * gekennzeichnet; die Matrizenmultiplikation wird durch den Operator &* dargestellt, da "*" für kommutative Multiplikationen reserviert ist. Durch evalm werden die Rechenoperationen ausgeführt.

> B:=matrix([ [3,5,2], [-1,-1,0] ]): > C:=evalm(A&*B};

> F:=matrix([ [1,0,-2], [-1,1,2], [1,2,-1]]); > 4*C - 3*F = evalm(4*C-3*F}; F:= [

Ｍｾ＠

4C-3F= [

ｾ＠

-;

1 2 -1

1

2; !i Ａｾ＠ 1

33 70 43

(Die Matrix darf nicht mit dem Buchstaben D abgekürzt werden, da D vordefiniert ist und den Differentialoperator darstellt; ebenso darf I nicht als Name verwendet werden, da I für die imaginäre Einheit steht!)

116

III Matrizen und Determinanten

Potenzen von Matrizen können mit

> ･ｶ｡ｬｭＨｆｾＴＩ［＠

[ -! -4

Ｍｾ＠

ｾ｝＠

8

9

gebildet werden. Die Berechnung der transponierten Matrix erfolgt durch > transpose(%);

[ 1-4 -4] -16 -8

25 16

8 9

und die Inverse einer Matrix erhält man mit dem inverse-Befehl > G:=matrix([ [1,0,-2], [-1,1,2], [1,2,-1]]): > Ginv:=inverse(G);

Ginv:= [

Ｍｾ＠

-3

Ｍｾ＠

-2

ｾＱ｝＠

Dann prüft man noch nach, daß > eval(Ginv)*op(G)=evalm(Ginv &* G),evalm(Ginv &* G);

[

Ｍｾ＠ Ｍｾ＠

-3

-2

ｾ｝＠

[ 1

Ｍｾ＠

ｾ＠ Ｍｾ｝＠

=[

1 2 -1

ｾ＠ ｾ＠

ｾ｝Ｌ＠

0 0 1

1 0

[ o

o

1

0

Einige spezielle Matrizen werden definiert durch

> > > > > >

array(1 .. 3,1 .. 3,identity), diag(1,2,35,6),

#Einheitsmatrix 13 #Diagonalmatrix mit Diagonalelementen # 1,2,35,6 #(5x3)-Matrix mit zufällig zwischen # -99 .. 99 gewählten Elementen #Bandmatrix mit Haupt- und Nebendiagonalen

randmatrix(5,3), band([1 ,2,-1], 4);

[ｾ＠

[

o1 o

[ｾ＠

0] 0 , 1

2 -1 0 1 2 -1 1 2 0 1 0 0

Ｍｾ＠

0 2 o 0 0 35 0 0 o 6

1

01 '

-85 -35 79 63 45

-55 -37 97 50 56 49 57 -59 -8 -93

1.4 Das Matrizenrechnen mit MAPLE

117

Zur Auswertung von Matrizen (allgemeiner des Datentyps array) mit MAPLE ist zu bemerken, daß sie anders als die sog. volle Auswertung sonstiger Rechenoperationen nur einstufig ausgeführt wird. Schon um eine Matrix > A:= matrix( [[cos(alpha), -sin(alpha)], [sin(alpha),cos(alpha))));

A.= [ cos( a) . sin( a)

-sin( a) ] cos( a)

darzustellen, genügt nach der Definition von A nicht die Eingabe

>A;

A denn dann wird nur der Name A zurUckgegeben. Um die Matrix A zu erhalten, muß entweder mit eval(A) oder op(A) gearbeitet werden > eval(A); cos( a ) -sin( a) ] [ sin( a ) cos( a ) Setzt man alpha=l, so werden die Matrixelemente von A nicht direkt ausgewertet, > alpha:=1: > eval(A); cos( a ) -sin( a) ] [ sin( a ) cos( a ) Erst mit dem Abbildungsoperator map, der eine FunktionlBefehl auf jeden Operanden des Ausdrucks abbildet, zwingt man MAPLE zur Auswertung von A: > map(eval,A): %=evalf(%); [

cos( 1 ) sin( 1 )

-sin( 1) ] _ [ .5403023059 cos( 1 ) .8414709848

-.8414709848 ] .5403023059

Zusammenstellung der Matrix-Befehle with (linalg) matrix (2, 3, [1,2,3,4, 5,6]) &* evalm transpose inverse eval,op map array(l .. n,l .. n,identity) diag(all, a22, ... , ann), randmatrix(m,n) band([l,2,-1],4)

Linear-Algebra-Paket Definition einer 2 x 3-Matrix Multiplikationsoperator bei Matrizen AusfUhrung der Matrizenoperationen Transponieren einer Matrix Inverse einer Matrix Darstellung einer Matrix Anwenden eines Operators auf die Elemente Einheitsmatrix In Diagonalmatrix mit den Elementen an,.·., ｾｲ＠ (mxn)-Matrix mit ZufalJselementen Bandmatrix

118

III Matrizen und Determinanten

L5 Lineare Abbildungen

::Ｚｾ｟＠ ＺｭｾＨ＠

rr::: Ｚｾ｡ｮｩ･＠ Ｚｾ＠

ein Vektor 11 E 1Rm . A legt also eine Abbildung cp: 1Rn --t 1Rm fest, die jedem Vektor J! E 1Rn genau einen Vektor 11 E 1Rm zuordnet. Es gilt folgender Satz: Satz: Die Gesamtheit aller (m x n)-Matrizen entspricht in umkehrbar eindeutiger Weise der Gesamtheit der linearen Abbildungen cp : 1Rn --t 1Rm . Begründung: Die Matrix A = (aij) mn definiert eine lineare Abbildung von 1Rn nach 1Rm , denn man rechnet sofort nach, daß

(1 )

(2)

Ist cp: 1Rn --t 1Rm eine lineare Abbildung. Dann wird diese lineare Abbildung eindeutig festgelegt durch die Bilder der Einheitsvektoren ｾ＠ j:

j=l, ... ,n.

Mit diesen Vektoren bilden wir die Matrix

a:

Man rechnet unmittelbar nach, daß A ｾ＠ j = j. Die Spalten von A sind genau die Bildvektoren der Einheitsvektoren.

6. Beispiel: Die Abbildung

f : (

Ｚｾ＠

) X3

t-+ (

Xl X2

++ X2

X3 -

X3 ) Xl

ist eine lineare

119

1.6 Anwendungsbeispiele

Abbildung von R 3 nach R 2 • Die Bilder der Basisvektoren sind

Damit wird die lineare Abbildung dargestellt durch die Matrix

A

=

( -11 11 -1) 1 '

denn die Spalte der Matrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren.

L6 Anwendungsbeispiele 7. Rohstotlkette: In einem Betrieb werden aus 4 Rohstoffen mit Einheiten rl, r2, r3, r 4 3 Zwischenprodukte mit Einheiten Zl, Z2, Z3 hergestellt. Aus den Zwischenprodukten entstehen 3 Endprodukte mit den Einheiten PI,P2,P3. Der Materialverbrauch sei gegeben durch die linearen Gleichungen rl

Zl

r2

2z1

+

Z2

r3 r4

Z2

=

zi

+

Z2

+ + + +

Z3

Zl

Z3

bzw.

Z3 2z3

Z2

=

Z3

PI 2PI 4PI

+ + +

2P2 3P2 2P2

+ + +

P3 P3 2P3

In Matrizenschreibweise gilt

r> = Azt

wenn

ａｾ＠

U 1) 0 1 1 1

und

ｂｾ＠

zt=Bp

0D 2

3 2

Gesucht ist der Rohstoffbedarf, wenn 100 Einheiten von PI, 80 Einheiten von und 60 Einheiten von P3 hergestellt werden sollen. Es ist

r> = Azt = A(Bp) = (A· B) p. Zur Berechnung der Menge der Rohstoffe führt man ｺｷ･｣ｫｭ￤￟ｩｧｲｳＨ､ｾＩ｡ﾭ trizenprodukt A . B aus und wendet das Produkt auf den Vektor

p= ｾ＠

P2

120

III Matrizen und Determinanten

an:

rt=

(100) (1000) 5 1820 ( 865 5943) 3 80 = 1180 . 11

9 6

60

2180

Es werden also 1000 Einheiten des ersten, 1820 Einheiten des zweiten, 1180 Einheiten des dritten und 2180 Einheiten des vierten Rohstoffes benötigt. 8. Beschreibung eines Vierpols: Für einen linearen, elektrischen Vierpol (siehe Schaltung) gilt die folgende Beziehung zwischen den Eingangsgrößen io, Uo und den Ausgangsgrößen i 1 , Ul :

mit der Verknüpfungsmatrix

ｍｾＨ＠

Erl& ｒｉﾱｾ｡＠

R 1 R2

)

R3

R2

.&.±.& R1

Verknüpfungsmatrix

Elektrischer Vierpol

9. Kettenschaltung von Vierpolen: Schaltet man einen zweiten Vierpol mit gleichen Widerständen hinzu, gilt

(

ｾＺ＠

) =

(

ｾＺ＠

) und (

ｾＺ＠

)

=

(

ｾＺ＠

) ,

d.h. zwischen den Eingangsgrößen uo, i o und den Ausgangsgrößen die Beziehung

i 2 besteht

Für eine lineare Kette von n identischen Vierpolen (siehe Abb. 11) gilt folglich

10. Zahlenbeispiele: Der in Beispiel 8 diskutierte Vierpol habe die Widerstände R 1 = R2 = R3 = Das Obertragungsverhalten des Vierpols ist dann

100n,

500n.

gegeben durch die Obertragungsmatrix

121

1.6 Anwendungsbeispiele

Abb. 11: Lineare Kette von Vierpolen

> M := matrix ([ [6.,500] , [0.07,6] )); M :=

(i) Wie groß sind Wegen (

ｾ＠

)

Ul

｛ＰｾＷ＠

ＵｾＰ｝＠

und i lo wenn Uo = 2V und io = O.lA?

=M

(

ｾＺ＠

) folgt (

ｾＺ＠

)

= M- 1 (

ｾ＠

)

:

> Minv:= inverse(M); [

6 -500 ] -0.07 6

> evalm (Minv &* [2,0.1]); [-38,0.46] D.h.

Ul

beträgt -38 V und i 1

= 0.46A.

(ii) Für die Reihenschaltung von 3 Vierpolen erhalten wir die Transfennatrix

T=M3.

> T := evalm(M ｾＳＩ［＠

T.= [846.00 71500] 10.01 846.00 .

122

IJI Matrizen und Determinanten

§2. Determinanten 2.1 Einführung In diesem Kapitel diskutieren wir, unter welchen Bedingungen ein lineares, quadratisches Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Bei der expliziten Lösung eines Gleichungssystems mit dem Gauß-Algorithmus kann zum Schluß der Rechnung festgestellt werden, ob das Gleichungssystem lösbar ist oder nicht. Im Falle einer numerischen Lösung des LGS muß aber im Voraus bekannt sein, ob das LGS eindeutig lösbar ist. Im folgenden wird ein Formalismus entwickelt (DeterminantenBerechnung), mit dem entschieden werden kann, ob quadratische LGS eindeutig lösbar sind. Alle in diesem Paragraphen auftretenden Matrizen sind quadratisch. (1) Wir betrachten zunächst das Problem: Unter welchen Voraussetzungen ist die Gleichung

au Xl

= Cl

(I)

mit einer Unbekannten Xl fUr beliebige Cl eindeutig lösbar. Die Antwort lautet: Xl = .a.. System (I) ist genau dann eindeutig lösbar, falls au =I- 0 : all (2) Nun betrachten wir das LGS Xl Xl

+

X2

+

X2

= =

Cl

(11)

c2

mit zwei Unbekannten Xl und X2. Welche Bedingungen mUssen die Koeffizienten erfUllen, damit das System (11) für beliebige Cl, C2 eindeutig lösbar ist? Die Lösung des Systems erhalten wir, indem wir GI. 11.1 mit =I- 0 =I- 0 multiplizieren und beide Gleichungen addieren: und GI. 11.2 mit Xl

+

X2

Xl

-

X2

=>

-

Xl

= =

Cl

}

-C2

= Cl

- C2

Indem wir GI. 11.1 mit =I- 0 und GI. 1I.2 mit =I- 0 multiplizieren und beide resultierenden Gleichungen addieren, erhalten wir analog

Folglich ist das LGS (11) eindeutig fUr beliebige 1

-

Cl

und

C2

lösbar, falls

=I- 0·1

Diese Bedingung beinhaltet auch die hier nicht aufgeführten Sonderfälle au 0, = 0, = 0 oder = O.

2.2 Rechenregeln fUr zweireihige Determinanten

123

(all

a 12 ) berechnete a22

Definition: Die aus der KoeJfizientenmatrix A

=

a2l

GrOße

heißt zweireihige Determinante oder kurz Determinante. FUr Determinanten sind die Symbole D,det(A), lAI, det(aij) gebrttuchlieh. 1L Beispiele: CI) det

(2) det

ｾ＠

5 2) = 3

-2 1

1

5.1- 3.2

= -1.

-2 1) = -2·1 - 1 . (-2) = Q.

Eine zweireihige Detenninante wird also berechnet, indem die Differenz des Produktes der Hauptdiagonalelemente an a22 mit dem Produkt der Nebendiagonalelemente a12 a2l gebildet wird. Die Detenninante einer Matrix ist damit eine reelle Zahl! Für zweireihige Detenninanten rechnet man unmittelbar die folgenden Regeln nach:

2.2 Rechenregeln für zweireihige Determinanten Regel 1: Der Wert einer Detenninante ändert sich nicht, wenn man Zeilen und Spalten vertauscht: detA = detA t .

Beispiel: det ( _

i ｾＩ＠

-!).

= 8 + 3 = 11 = det ( ;

Regel 2: Der Wert der Detenninante wechselt das Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (oder zwei Spalten) miteinander vertauscht.

Beispiel: det

Ｈｾ＠

｟ｾＩ＠

= -21-32 = -53; det

Ｈｾ＠

ＭｾＩ＠

= 32+21 = 53.

Regel 3: Werden die Elemente einer (!) Zeile (oder Spalte) mit einem Skalar A multipliziert, so wird der Determinantenwert mit A multipliziert.

124

III Matrizen und Determinanten

Regel 4: Die Detenninante hat den Wert 0, wenn eine Spalte (oder Zeile) der Nullvektor ist. Allgemeiner, wenn die Spalten (oder Zeilen) linear abhängig sind.

..

BeISpiele: det

(5 0) =

0; det

3 0

(5 -10) = 3

0, det

-6

( >.

an an

Regel 5: Der Wert einer Detenninante ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) elementweise addiert. Beweis: det ( an + >. a21 a21

Regel 6: (MuItiplikationstheorem für Determinanten) Für zwei Matrizen A, B gilt stets:

det (A . B)

Beispiel: det (

Ｈｾ＠

det(

_

ｾ＠ ｟ｾＩ＠

ｾ＠

)

Ｈｾ＠

= det (A) . det (B) .

; ) ) = det 'det(

ｾ＠

ＨＱｾ＠

ｾＩ＠

= 48 - 72 = - 24,

; ) =(-12)·2=-24.

Regel 7: Die Detenninante einer Dreiecksmatrix besitzt den Wert des Produktes der Hauptdiagonalelemente.

Beispiel: det

Ｈｾ＠

;)

= 4.2 = 8;

det

Ｈｾ＠

_ ｾ＠ ) = 3(-1) = -3.

Bemerkung: Die aufgelisteten Regeln sind so formuliert, daß sie auch 'für allgemeine, n-reihige Detenninanten gültig sind.

125

2.3 n-reihige Detenninanten

2.3 n-reihige Determinanten Definition: Ｈｅｮｴｗｩ｣ｾｧｳ｡ｺ＠

Sei A

:;:h)LaPlace)

=(aij) =:

:

eine (n x n)-Matrix. Dann ist die Deter-

anl ann minante der Matrix A definiert durch n

det A

=L

(_1)i+j aij det ａｾｪ＠

fur ein festes i E {l, ... , n}.

j=1

Dabei ist ａｾｪ＠ die (n - 1) x (n - 1)-Untermatrix, die aus A entsteht, indem die i-te Zeile und j-te Spalte gestrichen wird: an ａｾｪ＠

al n \

Ij

+-

"J

"

anl

i - teZeile

a nn

nj

Man bezeichnet dieses Vorgehen als Entwicklung der Determinante nach der

i-ten Zeile. eine (n - 1) x (n - 1)-Matrix ist, bezeichnet man det ＨａｾｪＩ＠ als UnDa ａｾｪ＠ terdeterminante. Durch wiederholtes Anwenden der Entwicklungsformel laßt sich eine n-reihige Determinante auf 2-reihige Determinanten zuruckjuhren und damit berechnen. Bemerkungen: (1) Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. (2) Das Vorzeichen (-1)i+j kann man sich als Vorzeichen des folgenden Schachbrettmusters vorstellen. Z. B. ist das Vorzeichen von a43 : (_1)4+3 = -1.

+ + +

+ + +

+ +

B +

+ + +

+ + +

+ + +

(3) Die Zeile i E {1, ... , n}, nach der die Determinante entwickelt wird, ist beliebig; der Determinantenwert hängt nicht von der Wahl von i ab. (4) Die Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile kann man sich so vorstellen, daß die i-te Zeile gestrichen wird und nacheinander ein Fadenkreuz

126

III Matrizen und Determinanten

jeweils eine Spalte streicht: '+1 I-te Spalte: (-1)' ai1 det ａｾＱ＠ '+2 2-te Spalte: (-1)' ai2 det ａｾＲ＠ n-te Spalte: (-1) i+n ain det ａｾｮＧ＠ Aufsummieren aller Unterdeterminanten mit dem zugehörigen Faktor aij und dem Vorzeichen entsprechend dem Schachbrettmuster liefert den Determinantenwert. (5) Die Determinante läßt sich auch nach der k-ten Spalte entwickeln: n

det A

=L

(_I)i+ k aik

､･ｴａｾｫ＠

fUr festes k E {I, 2, ... , n}.

i=1

(6) Für n-reihige Determinanten gelten die gleichen Rechenregeln, wie die in §2.2 angegebenen Rechenregeln fUr 2-reihige Determinanten.

Spezialfälle: n = 1: det(an) =

n

=2: det

n

an.

Entwicklung nach der ersten Spalte a 12 ) a22

(an a21

= an - det(a22) - a21 det(a12) = an a22 - a21 a12.

=(3 :all ｅｮＡＷ［ｃｫｾｕＱＺｧＩ｡ｨ＠

det

der ersten Spalte

a21

a22

a23

a31

a32

a33

= (+1)

an

21

a22

a23

1

a32

a33

n 21

+(+I)a31

_I

- an

a22 a32

=

a23 a33

= an (a22 a33 -

-

a21

+ (-1)

31

a12

a13

a22

a23

I

a12 a32

a21

a13 a33

I+ I a31

a12 a22

a32 a23) - a21 (a12 a33 - a32 a13)

a32

a13 a23

a33

I

+ a31 (a12 a23 -

a22 a13).

12. Beispiele: (1) Wir berechnen die Determinante durch Entwicklung nach der zweiten Zeile:

det

-2 0 +4 125 1 0 1 +(-1)·(-1) 12 1 -231 ( ｾ＠ 2 ｟ｾ＠ 3 Ｍｾ＠ 5) = (-1)·0 1351 =4· (-5) + 1· (-7) = -27.

127

2.3 n-reihige Determinanten

(2) Wir entwickeln die nachfolgende Determinante nach der ersten Spalte, da sie zwei Nullen als Elemente aufweist (man hätte aber auch eine andere Zeile oder Spalte mit zwei Nullen wählen können):

det

(H ｾ＠ ｾＩ＠ o

ｾ＠ ｾ＠

= 1.

1 1 0

2

1 1

(3) Die Einheitsmatrix In

o

01)

(0

=

0

1

1

=

(4) Eine Dreiecksmatrix D

2

4

1 +3 0 1 2

( AOI

hat als Determinantenwert 1:

:n)

'.

=3+3·(-8)=-21.

1 0

A

hat als Determinantenwert

Berechnung einer 3-reihigen Determinante nach Sarrus (Sarrussche Regel) Für den Spezialfall n = 3 (und nur für diesen Spezialfall !) kann man den Determinantenwert durch die auf Sarrus zurückgehende Regel berechnen:

Die erste und zweite Spalte der Matrix A wird nochmals neben die Determinante gesetzt. Den Wert der Determinante erhält man dann, indem man die drei Hauptdiagonalprodukte addiert und die Antidiagonalprodukte davon subtrahiert:

+

det A =

+ -

-

13. Beispiel: Wir berechnen die Determinante von A

2 -1 1 1 0 1 -1 -2 1

1 2 1 0 -1 -2

=

1 2 -1 1 1 ) nach Samts: 0 -1 -2 1

(

128

det A

III Matrizen und Determinanten

= 1·0· 1 + 2· 1 . (-1) + (-1) . 1(-2) -(-I)· o· (-1) -1·1· (-2) -

2 ·1·1 = -2 + 2 + 2 - 2 = O.

Determinante der inversen Matrix: Sei A eine invertierbare Matrix. Dann gibt es zu dieser Matrix eine Inverse A-1 mit der Eigenschaft

A·A- 1 =In wenn In die Einheitsmatrix ist. Nach dem Multiplikationssatz für Determinanten (Regel 6) gilt dann det(A· A- 1 } = det(A). det(A- 1 ) = detIn = 1. Damit folgt für den Determinantenwert der Inversen: Satz: (Determinante der Inversen) Ist A eine invertierbare Matrix, dann ist detA

#0

und die Determinante der Inversen A-1 ist gegeben durch detA

-1

1

= -A. det

Praktische Berechnung n-reihiger Determinanten Bei der praktischen Berechnung n-reihiger Determinanten wächst der Rechenaufwand mit zunehmender Ordnung rasch an. Denn aus einer n-reihigen Determinante entstehen durch Entwicklung ｉＱｾ＠ =3 k = 3 . 4 ..... n zweireihige Unterdetermik = 4·5· .... n 3-reihige Unterdeterminanten. Daher führt nanten bzw. ｉＱｾ］Ｔ＠ man gemäß der aufgelisteten Rechenregeln die Matrix auf eine einfachere Form über und berechnet dann erst den Determinantenwert. Da sich der Wert der Determinante nicht ändert, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (oder Spalte) hinzuaddiert, ist es zur Berechnung von det A (für n > 3) zweckmäßig, zuerst mit elementaren Umformungen möglichst viele Nullen in einer Spalte oder Zeile zu erzeugen. Nach dieser Spalte oder Zeile wird dann entwickelt. Die 3-reihigen Determinanten können dann nach der Sarrusschen Regel berechnet werden. 14. Beispiel: Wir addieren vor der Berechnung der Determinante die erste Zeile zur dritten und das zweifache der ersten Zeile zur vierten und entwickeln danach die 5-reihige Determinante nach der ersten Spalte. Bei der 4-reihige Determinante

129

2.4 Anwendungen von Determinanten

subtrahieren wir von der ersten Spalte die dritte und entwickeln anschließend nach der letzten Zeile:

(-I I0-2 CI I CI o

det

2 1 1 2 4 210 040

1 3 0 4

3 4 1 3 0 -4

= (-1) det

404

= (-I)(-4)det

2 4 7 0

0 4 2 1 0 4 2 1 0 4 2 1

I CI

(-1 0

-2 0 1 4 021 1 2 = det 0 3 4 0 3 0 -4 1 040 4 0 1 4 2 4 1 2 = (-1) det 7 0 -4 1 o 0 4 0

= 4 (-96) = -384.

Die Berechnung von Determinanten erfolgt bei MAPLE mit dem det-Befehl > with (linalg): > A:= matrix([ [-1,1,0,-2,0], [0,2,1,1,4], [1,2,4,3,2], [2,1,0,0,1], [0,4,0,4,0]]): > Det( A ) = det( A ); Det(A) = -384

2.4 Anwendungen von Determinanten 2.4.1 Lösen von linearen Gleichungssystemen: Cramersche Regel. Cramersche Regel: Sei A = (aij) eine (n x n)-Matrix mit den Spaltenvektoren (a 1, a2 , .•. , an) . Dann ist die Lösung des linearen Gleichungssystems

ａﾷｾ］＠ mit

ｾ＠ ｾ＠ ｾＺ＠ (

) ,

b

ｾ＠ ( Ｚ＠ｾ

b

)

gegeben du det (M) = 0; y2 + x 2 - 25 x - 15 y = A

17

7

01

Die Punkte liegen auf dem Kreis, dessen Scheitelgleichung gegeben ist durch X _

(

Der Kreis besitzt den Radius

25)2 14 =

+

( _ 15)2 Y 14

Viii

(xo, Yo)

= 425

98 .

und hat den Kreismittelpunkt

= (4, -5).

3.2.3 Eigenfrequenzen eines gekoppelten Systems. Gegeben sind zwei Fadenpendel (Länge l) an deren Enden zwei Massen (mI =

m2 = m) angebracht sind. Die Massen werden durch eine Feder (Federkonstante gekoppelt (vgl. nebenstehendes Bild).

mt

0

I

Gekoppelte Pendel

m2

Ist 'PI (t) die Winkelauslenkung des linken und 'P2 (t) die Winkelauslenkung des rechten Pendels, so lauten die Newtonschen Bewegungsgleichungen für die Massen ml und m2 unter Vernachlässigung von Reibung und

für kleine Auslenkungen:

mil ({;I (t) = -mlg'PI(t) + Dl ('P2(t) - 'PI(t)) m2 l ({;2 (t) = -m2 9 'P2 (t) + D l ('PI (t) - 'P2 (t)).

139

3.2 Anwendungen

Da ml = m2 = m, unterdrücken wir im folgenden den Index und erhalten mit den Abkürzungen w5 := und 1::::. 2 := ｾ＠

7

ｾｬ＠

(t) . 2

o

0

2->'

!)

nach.

143

Aufgaben zu Kapitel III

3.10 Man berechne die Detenninanten von

1034) A = ( -2 1 0 3 1

o 3.11

4 2

1 2

und

5 0

5 2

1 0 1 2

ｂｾ＠

o

(

-4 -2

1 0 1

3 1

3 4 2

-1

o

0

Man bestimme mit der Cramerschen Regel die Lösung des LGS Xl + 2X2 3 Xl + 7X2 + 4X3 18

+

3XI

+

13x2

4X3

30

3.12 Sind die Matrizen

=

A

Ｈｾ＠

ｾ＠ ＭｾＩＬ＠

B

=

Ｈｾ＠

: ;), c = (

ｾ＠

310 010 2 reguläre Matrizen? Bestimmen Sie gegebenenfalls die Inverse. 3.13

1 2 -5

ｾ＠

-1

)

Man bestimmen den Rang der folgenden Matrizen

ａ］Ｈｾ＠

: ;), B=(;

010

C

ｾ＠ Ｈ］ｾ＠ ,; I ［ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠ ｾ＠ ｾＩＬ＠

2041

D'

D

ｾ＠ (l

1 2

-5

ｾ＠

-1

).

3.14 Man zeige, daß das LGS

+ + +

Xl Xl

X2

2 X2

+ + +

0

X3

4 X3

=

=

5

12 eindeutig lösbar ist und bestimme diese Lösung. Xl

3.15

3X2

9X3

Gegeben ist die Matrix

ｾ＠

-; ; ) sowie der Vektor b = ( -; ). -2 6 0 1 --> --> Welches der Gleichungssysteme Ax> = b, ATx> = b besitzt eine Lösung? Ist diese eindeutig? A

= (

3.16 a) Sind die Vektoren

0>

ｾ＠

CD ' ｾ＠ D ｾ＠ -D ｊ［Ｎ･ｍｏ｢ｨ｡ｮｾｧＧ＠ ｾ＠ D' ｾ＠ D' ｾ＠ b

(

,ce (

b) Zeigen Sie, d,s die Veklo' display([p1 ,t1, p2,t2]);

Optional können beim plot-Befehl Optionen gesetzt werden. Sie können alle mit ?plot[options] erfragt werden. Einige wichtige sind: style= : Angabe, wie die Punkte eines Graphen verbunden werden. color= < ... black blue ... green gray grey ... red ... white yellow> Darstellung von parametrisierten Kurven in Polarkoordinaten. coords= polar Der erste Parameter ist der Radius, der zweite der Winkel. : Maßstabsgetreue Darstellung scaling = oder keine. Spezifiziert die minimale Anzahl der zu zeichnenden Punkten. numpoints=n (Standard n=49.) Angabe von Zwischenwerten auf der x-Achse. xtickmarks=n Angabe von Zwischenwerten auf der y-Achse. ytickmarks=n Überschrift; die An- und AbfUhrungszeichen mUssen von links title='t' oben nach rechts unten gehen! Linienstllrke; n=O, 1, 2, 3. (Standard n=O.) thickness=n view=[xmin .. xmax, Minimaler und maximaler Koordinatenbereich. ymin .. ymax]

1.2 Elementare Funktionen in MAPLE

153

Logarithmische SkaIierung. Häufig werden in Physik und Technik logarithmische oder doppel-logarithmische Auftragungen der Meßergebnisse benutzt, um exponentielle, potentielle oder logarithmische Gesetzmäßigkeiten aufzuzeigen. (1.) Liegt ein exponentielles Gesetz vor

y

=c a

X

'---+

log(y)

= log(c) + x ·log(a),

dann liefert eine logarithmische Skalierung der y-Achse als Graphen eine Gerade mit Steigung log(a) und dem Achsenabschnitt log(c). (2.) Liegt eine allgemeine Potenzfunktion vor

y

= a xb

'---+

log(y)

= log(a) + b .log(x),

dann liefert eine doppel-logarithmische Auftragung als Graphen eine Gerade mit Steigung b und dem Achsenabschnitt log(a). (3.) Liegt ein logarithmisches Gesetz der Form

y=alog(x)+b vor, dann liefert die logarithmische Auftragung der x-Achse eine Gerade mit Steigung und Achsenabschnitt b. Die logarithmischen Darstellungen von Funktionen erfolgen durch die Befehle logplot, loglogplot und semilogplot. Diese Befehle müssen vor dem Aufruf durch with(plots) geladen werden!

> with(plots): > logplot(10*4

A

(-x), x=-2 .. 10, scaling=constrained, axes=normal);

Durch die logarithmische Skalierung der y-Achse bei logplot wird eine allgemeine Exponentialfunktion y = 10 . 4 -x als Gerade gezeichnet. Dabei dürfen die Funktionswerte nur positive Werte enthalten, da der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist. Eine doppel-logarithmische Auftragung der Potenzfunktion y = 10 xi durch > loglogplot( 10*x (1 /3), x=1..100, scaling=constrained, axes=framed); A

würde ebenfalls eine Gerade liefern. Sowohl der x-Bereich als auch die zugehörigen Funktionswerte dürfen nur positive Werte enthalten, da der Logarithmus nur

154

IV Elementare Funktionen

für positive reelle Zahlen definiert ist. Daher wurde in unserem Beispiel der xBereich ab 1 gewählt. Analog darf bei der Verwendung von semilogplot der xBereich nur positive Werte umfassen. Die vielen anderen plot-Befehle sind im plots-Package enthalten und können durch with(plots); aufgelistet werden. Einlesen von Meßdaten und deren graphische Darstellung. Die Ein- und Ausgabe von Daten ist für die ingenieursmäßigen Anwendungen der Mathematik wichtig. Häufig müssen Meßwerte, die in einer ASCII-Datei abgespeichert sind, weiterverarbeitet werden. MAPLE besitzt mehrere Befehle zum Einlesen und Ausgeben von Daten auf eine Textdatei; die wichtigsten sind readdata und writedata: Mit readdata(dateiname, option, n) wird eine strukturierte Datei im ASCII-Format mit n Spalten eingelesen. Die in der Datei enthaltenen Zahlen müssen durch Leerzeichen oder Zeilenumbrüche voneinander getrennt sein. Komma und Strichpunkte sind nicht erlaubt. Als Optionen sind float (für Dezimalzahlen) und integer (für ganze Zahlen) erlaubt. Fehlt die Angabe von n wird nur die erste Spalte eingelesen. Mit writedata(dateiname, A) wird die Matrix A zeilenweise herausgeschrieben. (1) Wir erzeugen mit writedata im Verzeichnis temp eine Textdatei daten.txt und

schreiben für die Funktion

f{x}

= 2eO. 5x

die Wertepaare in der Form (x, f{x)) zeilenweise in diese Datei. > f:= x-> 2*exp(O.5*x): > A:= [seq( [i/5, f(i/5»), i=1 .. 30»): > writedata( 'e:\ \temp\ \daten.txt " A): > close( 'e:\ \temp\ \daten.txt I): Der dose-Befehl muß benutzt werden, wenn in der gleichen MAPLE-Sitzung die Daten herausgeschrieben und an anderer Stelle wieder eingelesen werden sollen! Ansonsten wird die Datei erst beim Schließen des Worksheets beschrieben. (2) Mit readdata lesen wir die Funktionspaare aus der Datei daten.txt ein und stellen sie graphisch mit dem plot-Befehl dar. > restart: > liste := writedata( 'e:\ \temp\ \daten.txt ',2): > plot(liste); Durch die Anwendung des logplot-Befehls werden die Daten bei logarithmischer Skalierung der y-Achse dargestellt. Da der Graph durch die Punkte eine Gerade liefert, kann man rückwirkend auf ein exponentielles Bildungsgesetz schließen. > with(plots,logplot): logplot(liste);

1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften

155

L3 Allgemeine Funktionseigenschaften L3.1 Nullstellen Definition: Eine Funktion

f

besitzt in Xo eine Nullstelle, wenn

1f

(xo) = 0·1

15. Beispiele: (1) Die Funktion

(2) Die Funktion

f (x) = x f = sin

2 schneidet die x-Achse an der Stelle Xo = 2. hat unendlich viele Nullstellen : 0, ±7T, ±27T, ...

Nullstellen von Funktionen L3.2 Symmetrieverhalten Definition: Eine Funktion wenn fUr alle x E ID

f

mit symmetrischem Definitionsbereich heißt gerade, 1 f(-x) =

f(x)·1

Bemerkung: Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse. 16. Beispiele: = 2 ist gerade. (1) Die Funktion f (2) Die Funktion f(x) = cosx ist gerade. = n mit geradem (3) Jede Potenzfunktion f

ist gerade.

y-Achse

f( -x)

1------------ -----------\ f(x)

-x

x

Gerade Funktionen x 2 und cos(x): Spiegel symmetrisch zur y-Achse

156

IV Elementare Funktionen

Definition: Eine Funktion ! mit symmetrischem Definitionsbereich heißt ungerade, wenn jur alle xE))

If(-x) = -!(x)·1

Bemerkung: Die Funktionskurve einer ungeraden Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 17. Beispiele: (1) Die Funktion ! (x) = x 3 ist ungerade. (2) Die Funktion ! (x) = sin x ist ungerade. (3) Jede Potenzfunktion ! (x) = x n mit ungeradem n ist ungerade.

Ungerade Funktionen x 3 und sin(x): Spiegelsymmetrisch zum Ursprung

L3.3 Monotonie Definition: Eine Funktion

! : )) ｾ＠

JR heißt

monoton wachsend, falls streng monoton wachsend, falls monoton fallend, falls streng monoton fallend, falls fUr alle

Xl, X2 E ))

mit

Xl


! (X2)

. . . .

gilt.

Bemerkung: Eine streng monoton wachsende Funktion ! (Abb. l3a) hat also die Eigenschaft, daß zum kleineren x-Wert der kleinere Funktionswert gehört. Bei einer streng monoton fallenden Funktion (Abb. 13b) ist es genau umgekehrt: Zum kleineren x-Wert gehört der größere Funktionswert.

1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften

y

y

fex,.)

fex,)

fex,)

fex,)

157

ＭｲｾｘＬｸＮｉ＠ ＭｲｾｸＬＮ＠

Abb. 13: Streng monoton wachsende (a) und streng monoton fallende (b) Funktionen

18. Beispiele: (1) Streng monoton wachsende Funktionen:

(i) Jede Gerade mit positiver Steigung. = 3. (ii) Die Funktion f - t 1R mit f(t) (iii) Die Funktion f: ＱｒｾＰ＠

= Yo (1- e- t / to ).

(2) Der Ladevorgang eines Kondensators entspricht einer streng monoton wachsenden Funktion: Beim Laden eines Kondensators C über eine Batterie mit Spannung Uo ist der Zeitverlauf der Spannung am Kondensator gegeben durch

U (t) = Uo

(1- e- t /

(3) Streng monoton fallende Funktionen: (i) Jede Gerade mit negativer Steigung. (ii) Die Funktion f : 1R - t 1R mit f (t)

RC ).

= Yo e- t/to.

(4) Der radioaktive Zerfall entspricht einer streng monoton fallenden Funktion: Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Anzahl der Atomkerne n (t) nach dem Exponentialgesetz n (t) = no e- t/to mit der Zeit ab. (5) Der Entladevorgang eines Kondensators entspricht einer streng monoton fallenden Funktion: Entlädt man einen Kondensator C über einen Ohmschen Widerstand so klingt die Spannung am Kondensator exponentiell ab:

= 2 ist weder monoton (6) Die quadratische Funktion f : 1R - t 1R mit ｾ＠ f fallend noch monoton wachsend. Schränkt man sie jedoch auf ein Teilintervall 1R> 0 oder 1R< 0 ein, so ist sie dort monoton: f+ : 1R>0- - t 1R mit ｾ＠ = 2 ist streng monoton wachsend. f - : Ｑｒｾ＠ 0 - t 1R mit ｾ＠ f _ = 2 ist streng monoton fallend.

158

IV Elementare Funktionen

Yo

Yo

--------------

t

t a) monoton fallende, b) monoton wachsende Exponentialfunktionen

L3.4 Periodizität Definition: Eine Funktion wenn

f

f : ID -+

1R heißt periodisch mit Periode p

+ p) = f

> O.

fUr alle x E ID.

19. Beispiele: (1) Die Sinusfunktion sin: 1R -+ 1R mit t-t sin ist periodisch mit der Periode 271". Die Kosinusfunktion cos: 1R -+ 1R mit x t-t cos(x) ist periodisch mit Periode 271" (siehe §6). (2) Die Tangens- und Kotangensfunktion, die wir in §6 noch näher besprechen werden, sind periodisch mit Periode 71".

1.3.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Eine Funktion f ordnet jeder Zahl Xo ihres Definitionsbereiches ID eindeutig einen Wert Yo = f (xo) zu. Diese Zuordnung ist in Abb. 14 durch den Pfeil von Xo nach Yo gekennzeichnet.

Y

Y

f

f

ｙＲＫＭｾ＠

Yo+--'-..,r

x

x

Abb. 14: Zuordnung und Umkehrzuordnung

Häufig stellt sich das umgekehrte Problem. Zu gegebenem Funktionswert (y-Wert) ist der zugehörige x-Wert zu bestimmen. In Abb. 14 ist diese Umkehrung der Problematik durch die Umkehrung der Pfeile gekennzeichnet. Gegeben sind Yl und

159

1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften

Y2, gesucht sind die zugehörigen

und X2. ZU gegebenem y-Wert aus dem Wertebereich von f kann genau ein x-Wert angegeben werden, wenn die Funktion die Eigenschaft hat, daß aus Xl X2 stets folgt f (Xl) f (X2)' Xl

Definition:

f : ID f - t W f heißt umkehrbar, wenn aus Xl X2 stets folgt f (Xl) f (X2) . (2) Ist die Funktion f umkehrbar, so gibt es zu jedem y E W f genau ein X E ID Diese eindeutige Zuordnung y 1-+ X liefert eine Funktion, die Umkehrfunktion (inverse Funktion) (1) Eine Funktion

Bemerkung: Nicht jede Funktion ist umkehrbar.

20. Beispiele: (1) Die Funktion Xo 0 f (xo) = ｸｾ＠

: 1R - t 1R mit = f (-xo) aber Xo

=

2

ist nicht umkehrbar, da fUr

-Xo (Abb. I5a).

(2) Die Funktion h : 1R> 0 - t 1R mit h = 2 ist nicht umkehrbar. Obwohl man den Definitionsbereich so eingeschränkt hat, daß h eine streng monoton wachsende Funktion ist, so gibt es doch fUr die negativen Werte keine zugehörigen x-Werte. (3) Die Funktion h : Ｑｒｾｯ＠ - t Ｑｒｾｯ＠ mit h = 2 ist umkehrbar. h ist auf dem Definitionsbereich eine streng monoton wachsende Funktion und der Zielbereich fällt mit dem Wertebereich der Funktion zusammen. Jedem Wert y aus dem Zielbereich kann nun eindeutig ein X zugeordnet werden (Abb. 15b).

y

(a)

?

(b)

x

Abb. 15: Umkehrung der Funktion y = x 2

Bemerkung: Anhand des Beispiels erkennt man, daß eine Funktion nicht nur durch eine Funktionsvorschrift charakterisiert wird, sondern Definitionsbereich und Zielbereich dazugehören.

160

IV Elementare Funktionen

In vielen (aber nicht allen) Fällen kann man fUr umkehrbare Funktionen eine explizite Zuordnungsvorschrift für die Umkehrfunktion wie folgt angeben:

Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion (1) Man löst die Funktionsgleichung y = I erhält die aufgelöste Form x = g (y)

nach der Variablen

auf und

(2) Durch formales Vertauschen der beiden Variablen x und y gewinnt man die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion

1-1

= Y=

2L Beispiele: (1) I : 1R -+ 1R mit I (x) = 2x + 1. Durch Auflösen von y = 2x + 1 nach x folgt x = ｾｹ＠ - ｾ＠ und durch formales Vertauschen von x und y erhält man die Umkehrfunktion 1-1 : 1R -+ 1R mit 1-1 (x) = ｾｸ＠ - ｾＮ＠

I : [0, (0) -+ [1, (0) mit I = 1+ 2. ist auf dem Definitionsbereich [0,(0) streng monoton wachsend und der Zielbereich fällt mit dem Wertebereich zusammen. Auflösen der Funktionsgleichung y = 1 + x 2 nach x liefert (2)

I

ｸ］ﾱｾＮ＠ (Da nur positive x-Werte durch den Definitionsbereich zugelassen sind, entfällt das Minuszeichen!) Vertauschen von x und y liefert die Umkehrfunktion: = 1-1 [1,(0) -+ [0,(0) mit 1-1

vx=-r.

3

3

./

./ ./ ./

./

2

./ ./

Y

-2

o

-2

Funktion y = ｾｸ＠

+1

Ｏｾ＠

./

x 2 Funktion y = 1 + x 2 1

3

161

1.3 Allgemeine Funktionseigenschaften

Zusammenfassung über die Umkehrung einer Funktion (1) Jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion umkehrbar.

f : 1Df

--+

W

(2) Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitions- und Wertebereich miteinander vertauscht. (3) Zeichnerisch erhält man das Schaubild der Umkehrfunktion durch Spiegelung von f an der Winkelhalbierenden y = x.

Zur Charakterisierung der umkehrbaren Funktionen fuhren wir noch die folgenden Begriffe ein:

Definition: Sei f : 1D f (1)

--+

W f eine Funktion. f heißt

injektiv,jalls gilt:

(2) surjektiv, falls gilt:

Zu jedem y E W f gibt es ein x E 1Df mit y =

f (x).

f ist injektiv und surjektiv.

(3) bijektiv, falls gilt:

Man nennt die Injektivität einer Funktion auch die Eineindeutigkeit einer Funktion. Sie bedeutet, daß eine Parallele zur x-Achse den Graphen der Funktion höchstens einmal schneidet. Eine Funktion f ist surjektiv, wenn zu jedem Wert y aus dem Zielbereich mindestens ein x aus dem Definitionsbereich gefunden wird, welches auf y abgebildet wird.

22. Beispiele: (1) Die Funktion

f : IR --+

IR mit

f

=

2

ist weder injektiv, noch surjektiv.

0 --+ IR mit f = 2 ist injektiv, aber nicht surjek(2) Die Funktion f : ｉｒｾ＠ tiv, da z.B. zu y = (-1) kein x aus dem Definitionsbereich gefunden wird mit x 2 =-1.

(3) Die Funktion

f : ｉｒｾ＠

0 --+ ｉｒｾ＠

0

ist bijektiv.

Die bijektiven Funktionen sind genau die umkehrbaren Funktionen: Satz: Zu einer Funktion bijektiv ist.

f

existiert die Umkehrfunktion genau dann, wenn

f

162

IV Elementare Funktionen

Berechnung der Umkehrfunktion mit MAPLE Gegeben sei die Funktion f : 1R20 ---+ 1R2 1 mit > f := X ---+ )('2+1: Gesucht ist die Umkehrfunktion. Dazu lösen wir die Gleichung > eq := y = f(x); eq := y = x 2 + 1 mit dem solve-Befehl nach x auf > sol := solve (eq, x); sol := -

JY=l, JY=l

Von den beiden Funktionsausdrücken ist nur der zweite möglich, da wir die Funktion auf den Definitionsbereich 1R20 beschränkt haben. Wir nehmen daher sol[2J und vertauschen die Variablen > subs (x = y, sol[2]): y := %;

y=Vx=1 und erhalten die Umkehrfunktion zu > finv : = unapply (y, x);

f

finv := x

---+

Vx=1

Verknüpfen wir Funktion fund Umkehrfunktion finv mit dem Verknüpfungsoperator @, so ist > (f @ finv)(x);

x

>

(finv @ f)(x): simplify(%, symbolic);

x D.h. die Umkehrfunktion nach der Funktion ausgeführt liefert auf dem zugehörigen Definitionsbereich die identische Abbildung. Die graphische Darstellung der Umkehrfunktion ist mit MAPLE sehr einfach zu realisieren, indem man von den Paaren (x, f(x)) zu (J(x), x) übergeht. > plot({[x,f(x),x=O .. 3], [f(x),x,x=O .. 3]});

163

§2. Polynome

§2. Polynome Polynome (oder Polynomfunktionen) spielen in der Angewandten Mathematik eine wichtige Rolle. Sie sind nicht nur besonders einfach in ihrer Darstellung, sondern sie lassen sich auch auf einfache Weise auswerten, da nur Additionen und Multiplikationen ausgeführt werden müssen. Gerade deshalb sind sie für die Anwendung in der Numerik ideale Funktionen. Im Kapitel über Taylorreihen Ｈｾ＠ Kap. vrr, §3) werden wir zeigen, daß man komplizierte Funktionen auf eine Darstellung über Polynome zUfÜckspielt. In diesem Kapitel lernen wir für die Anwendung wichtige Eigenschaft kennen, wie z.B. die Festlegung von Polynomen durch vorgegebene Punkte: das sog. Interpolationspolynom. Definition: Eine Funktion

f (x)

=

x

f : JR ｾ＠

+

R der Form

x - 1 + ... +

X

+ ao

mit

=1=

0

heißt Polynom (Polynomfunktion, ganzrationale Funktion) vom Grad n. Die reellen Zahlen ... , heißen Koeftlzienten des Polynoms. 23. Beispiele: (1) Pl (x) = 4 P2 (x) = 2x - 3 P3 (x) = 2x2 - 3x + 5 P4 (x) = x 3 - x Ps (x) = 4x 8 - x S - 10

Polynom Polynom Polynom Polynom Polynom

vom vom vom vom vom

Grad Grad Grad Grad Grad

O. 1. 2. 3. 8.

(konstante Funktion) (lineare Funktion) (quadratische Funktion) (kubische Funktion)

(2) Die Höhe H einer Quecksilbersäule hängt von der Temperatur T ab:

H(T} = Ho (1 + a (T - T o)}. Dabei ist Ho die Höhe bei der Temperatur To und ader Wärmeausdehnungskoeffizient. (3) Ein strömendes Medium (Luft, Wasser), das mit einer mittleren Geschwindigkeit v auf einen Körper trifft, übt die Kraft

Fw =

Cw

1

A'2 pv

2

auf ihn aus. Dabei ist Cw der Widerstandsbeiwert, A die Querschnittsfläche des Körpers und p die Dichte des strömenden Mediums. (4) Die Biegelinie eines einseitig eingespannten Trägers wird beschrieben durch

F y(x)=6E.[ (3lx 2 -x3 ) E . [ ist die Biegefestigkeit, F die Kraft am Balkenende und 1 die Balkenlänge.

164

IV Elementare Funktionen

(5) Darstellung von Polynomen mit MAPLE. Mit dem plot-Befehl lassen sich Polynome in MAPLE einfach graphisch darstellen. Z.B. werden durch > plot([8*x 3+20, x 2+4*x], x=-1 0.. 10, color=[blue,red]); die beiden Polynome 8 x 2 + 20 und x 3 + 4 x in den Farben blau und rot in ein Schaubild gezeichnet. A

A

2.1 Festlegung von Polynomen durch gegebene Wertepaare Eine der wichtigsten Eigenschaften von Polynomen ist die Festlegung durch gegebene Wertepaare. Im Falle des Thermometers braucht man 2 Werte, um eine lineare Skala festzulegen. Schwach durchhängende Seile haben in guter Näherung eine Parabelform. Zur Festlegung dieses funktionalen Zusammenhanges müssen 3 Wertepaare angegeben werden. Denn durch 3 Punkte wird genau ein Polynom 2-ten Grades festgelegt. Allgemein gilt der folgende Satz: Satz: Zu n + 1 verschiedenen Wertepaaren (Xl> Yd , (X2, Y2) , ... , (xn+l> Yn+d gibt es genau eine Polynomfunktion f mit f (Xi) = Yi, deren Grad nicht größer als n ist. Eine Möglichkeit das gesuchte Polynom anzugeben, ist gegeben durch die Ligrange Interpolationsformel:

f(x)

=

YnH . (XnH - Xl) (Xn+l - X2) ..... (Xn+l - Xn ) . Bei der Funktionsauswertung an der Stelle Xi verschwinden alle Terme k =1= i, da - Xi) als Faktor enthalten ist; nur der Term k = i bleibt erhalten, da bei diesem Summand der Faktor - Xi) nicht auftritt:

Außerdem erhält man höchstens ein Polynom vom Grade n, da alle Terme nur n 0 Faktoren - Xi) enthalten.

165

2.2 Koeffizientenvergleich

2.2 Koeffizientenvergleich Oftmals fuhrt man bei Polynomen einen Koeffizientenvergleich durch. Diese Methode beruht auf der Tatsache, daß Satz: (Koeffizientenvergleich) Zwei Polynome fund 9 mit

und 9

= bm

sind genau dann gleich, wenn

m

+ am-l x m - 1 + ... + b

= mund

= b fUr alle i.

Dieser Satz besagt, daß Polynome nur dann gleich sind, wenn sie denselben Grad besitzen und die Koeffizienten identisch sind. Begründung: Wir nehmen an, daß m 2: fUrx=O ｦｾ］ｧ＠ ｾ＠

ｾ＠

Da

= 9

fUr alle

ｾ］＠

x (an x n - 1 + ... + al) = X (b m x m -

1

E R, gilt

+ " . + b1 )

Damit ist

fUr alle x E R, also insbesondere fUr

Wieder kann man x ausklammern und die Vorgehensweise wiederholen:

bis man schließlich

erhält. Durch Einsetzen von x = 0 folgt an = bn , so daß fUr alle x ER:

Ein Polynom kann aber nur dann das Nullpolynom sein, wenn alle Koeffizienten verschwinden, d.h. bm = bm - 1 = ... = bn +1 = O. Folglich ist der Grad von gleich dem Grad von 9 und die Koeffizienten von identisch mit den Koeffizienten bi von 0

166

IV Elementare Funktionen

2.3 Teilbarkeit durch einen Linearfaktor Eine der elementaren Aufgaben von Polynomen besteht in der Auswertung eines Polynoms an einer Stelle Xo. Ein sehr einfaches Schema erhält man durch den folgenden Ansatz: Satz: FUr jedes Polynom möglich:

f

(x)

f

und jeden Wert Xo ist die folgende Umformung

an x n + an-l x n - 1 + ... + al x + ao (x - xo) (b n x n - 1 + ... + ｾ＠ x + b1 ) +

f

(xo) .

Um diese Gleichheit zu Uberprufen, multiplizieren wir das Produkt aus und fuhren einen Koeffizientenvergleich durch. (x-xo) (bnxn-l+ ... +b2x+bl)+r= = bn x n + bn - 1 x n - 1 + bn - 2 x n - 2 + ... + b1 X -Xo bn x n - 1 - Xo bn - 1 x n - 2 - ... - Xo b2 X - Xo b1 ! = an x n + an-l x n-l + an-2 x n-2 + ... + al x + ao.

+r

Der Koeffizientenvergleich nach absteigenden Potenzen von x liefert

n

n-l n-2 1 0

bn - 1 - Xo bn bn- 2 - Xo bn- 1

b1 - Xo b2 -xOb l + r

an-l an-2

=> =>

bn bn- 1 bn-2

al ao

=> =>

b1 r

=

al ao

Mit diesem Vorgehen ist man in der Lage, systematisch bn , bn bestimmen. Außerdem ist f (xo) =

I

an an-l an-2

+ xobn + Xo bn- 1

+ Xo b2 + Xo b1

1 , ...

,bI und r zu

r·l

o Dieses Verfahren ist die Grundlage fUr die effektive Auswertung von Polynomen. Schon seit Anfang des vorigen Jahrhunderts (1819) ist bekannt, daß die Funktionswerte eines Polynoms an einer beliebigen Zwischenstelle Xo so durch das Horner-Schema berechnet werden können: a2

al

ao

ｾﾷｨ＠

ｾＮ＠

ｾＮ＠

167

2.4 NullstelIenproblem

Der Vorteil des Horner-Schemas besteht darin, daß fUr Polynome nicht jeweils die Potenzen xö, xö- l , ... berechnet, sondern Zwischenwerte mit Xo multipliziert und geeignet aufsummiert werden. 24. Beispiel: Man berechne den Funktionswert von an der Stelle Xo = 4 :

-6

o

-35

2·4

2·4 8

8·4

2

+ 2

2

-3

f

(x) = 2x4 - 6x3 - 35x + 10 10 -3·4

1-2=f(4) 1

Dieses Schema der Auswertung ist besonders effektiv, da es das Potenzieren vermeidet. Es zeigt sich auch, daß das Horner-Schema fUr Rundungsfehler unanfällig ist und sich dadurch fUr den numerischen Einsatz eignet. Algorithmus: Deklariert man die Koeffizienten des Polynoms als Array [1], ... , , so lautet der Algorithmus wert := a[n] FOR i := n-l DOWNTO 0 DO wert := a[i] + wert . xO;

wert ist dann der Funktionswert an der Stelle Xo.

2.4 Nullstellenproblem Für den Spezialfall, daß Xl eine Nullstelle des Polynoms f ist, liefert das Horner-Schema sofort die sog. Produktdarstellung des Polynoms in der Form - Xl)· Restpolynom: Satz: Wenn

Xl

eine Nullstelle des Polynoms n-ten Grades

f (x)

= (x - xd (bn x n -

l

dann gilt

+ bn - l x n - 2 + ... + bl x) .

Begründung: Denn wenn Xl eine Nullstelle, ist das Restglied r und wir erhalten die obige Behauptung. 25. Beispiel:

Xl

=f

(Xl)

=0 0

= 1 ist eine Nullstelle des Polynoms f (x) = x 3 +2x2 -13x+ 10 : 1

2 1·1

1

3

+

-13 3·1 -10

10 -10·1 1O=f(1) 1

Das Horner-Schema liefert dann nicht nur den Funktionswert f (1) = 0, sondern auch gleich die Koeffizienten bi des Restpolynoms und somit die Zerlegung des

168

IV Elementare Funktionen

Polynoms

f

in

x3 + 2x2

-

13 x + 10 = (x - 1) (1 x 2 + 3 x - 10) .

Das gleiche Ergebnis folgt, wenn eine Polynomdivision durchgeführt wird:

(x 3 -(x 3

+2x 2 -x 2 ) 3x 2 -(3x 2

-13x -13x -3x) -lOx -(-lOx

(x - 1)

+10)

1 x 2 + 3x - 10

+10 +10) 0

Ist also f ein Polynom n-ten Grades und Xl eine Nullstelle von so läßt sich f (x) durch (x - Xl) ohne Rest dividieren und das Resultat ist ein Polynom vom Grade n - 1. Das Abspalten eines Linearfaktors von einem Polynom vom Grade n kann man jedoch höchstens n-mal durchfUhren, solange bis das Restpolynom nur noch den Grad Null hat: Satz: Jedes Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

Eine schwierige Aufgabe ist die konkrete Bestimmung der Nullstellen von Polynomen. Für n = 2 hat man noch die quadratische Formel: 26. Beispiel: An eine Stromquelle mit Spannung U = 220V werden zwei Widerstände R I und R2 einmal in Reihe und einmal in Parallelschaltung angeschlossen. Im ersten Falle ist die Stromstärke h = 0.9A im zweiten Falle 12 = 6A. Wie groß sind R I und R2 ?

Für die Reihenschaltung gilt der Maschensatz: = h R I + h R2 und für die + ｾＮ＠ Löst man Parallelschaltung der Knotensatz fUr den Knoten K : h = die erste Gleichung nach R2 auf und setzt dies in die zweite ein, folgt nach Umformungen

X

Gesucht sind also die Nullstellen des Polynoms Mit

IX I / 2 = Ｍｾ＠

±

ｊＨｾＩＲ＠

f (x)

= x2

-ql

-

ｾＲｧ＠

X

'

+ ｾＲＹＧ＠

,

169

2.4 Nullstellenproblem

erhält man als NullstelIen Xl = 44.9 und X2 = 199.5. Wälllt man R I = 44.90, so ist R2 = 199.50. Aus Symmetriegründen können R I und R2 auch vertauscht werden. 0 Für n = 3 und 4 sind die Lösungsformeln wesentlich komplizierter und für n 2: 5 gibt es keine geschlossenen Lösungsformeln mehr. Daher ist man bei der Suche nach NullstelIen bei Polynomen höheren Grades La. auf numerische Verfahren angewiesen (siehe Kap. VIII). Wenn man allerdings eine Nullstelle erraten kann, so liefert das Horner-Schema ein nützliches Verfahren zur Reduktion des Problems, da man durch Abspalten des Linearfaktors (x - xo) ein Polynom vom Grad n - 1 erhält. 27. Beispiel: Gesucht sind die NullstelIen des Polynoms

1 (x)

= 3x3

+ 3x2 -

Durch Erraten findet man eine Nullstelle bei

3

+ 3

3 -3

o

-3

o

-3

Xl

3x - 3.

= -1 : -3 3 0=1(-1)

Hiernach gilt also

Durch Anwenden der quadratischen Formel berechnen sich die beiden weiteren NullstelIen X2 = 1 und X3 = -1. Damit folgt die lineaifaktorenzerlegung des Polynoms: 3x 3 + 3x 2 - 3x - 3 = 3 (x + 1) (x + 1) (x - 1) .

Wir fassen das Ergebnis in folgendem allgemein gültigen Satz zusammen: Satz: Besitzt ein Polynom n-ten Grades n Nullstellen Xl, X2, .•. , x n , so läßt es sich in der Form eines Produktes aus n Linearfaktoren darstellen:

1 (x)

an x n + an-l x n - l + ... + al X + ao an (x - xd (x - X2) ..•.. (x - x n ) .

Bemerkungen: (1) Man darf den Koeffizient an in der Produktdarstellung nicht vergessen! (2) Bei doppelten Nullstellen tritt der zugehörige Linearfaktor doppelt, bei dreifachen NullstelIen dreifach usw. auf!

170

IV Elementare Funktionen

2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus In naturwissenschaftlichen Anwendungen stellt sich oftmals das Problem: Von einem unbekannten funktionalen Zusammenhang sind (n + 1) Meßpunkte durch Yn+l). Geeine Messung bestimmt: PI (Xl, Yd; P2 (X2, Y2); ... ; Pn+l (xn sucht sind die Funktionsgrößen an Zwischenwerten. Wie bereits nach dem ersten Satz bekannt ist, gibt es genau ein Polynom vom Grad n, welches durch diese (n + 1) Meßwerte geht. Diese Näherungspolynome werden auch als Interpolationspolynome bezeichnet, da sich mit ihnen näherungsweise beliebige Zwischenwerte der unbekannten Funktion im Bereich [Xl, Xn+l] berechnen (=interpolieren) lassen.

y

x, Je, Je,

x.

x.

x,

x".,

x

Abb. 16: Interpolationspolynom

Durch das Lagrange Interpolationspolynom erhält man das eindeutig bestimmte Polynom vom Grade höchstens n, welches diese Eigenschaft hat. Allerdings ist der Rechenaufwand zur Berechnung der Koeffizienten erheblich. Ein einfacheres Rechenschema zur Bestimmung des Interpolationspolynoms geht auf einen Ansatz von Newton zurück:

! (x)

= ao

+ al (x -

Xl)

+ a2 (x -

Xl) (x - X2) + ... +a n (x - Xl) (x - X2) ..... (x - x n ) .

Die Koeffizienten ao, al, ... , an können durch diesen Ansatz iterativ bestimmt werden:

YI=!(XI)=ao'--t

laO-YI.1

Y2

= ! (X2) = ao + al (X2 -

Xl)

Y3

=!

= ao + al (X3 -

Xl)

(X3)

'--t

laI

+ a2 (X3 -

Y3 - ao - al (X3 - Xl) (X3 - Xl) (X3 - X2)

= ｾＧｉ＠ xt) (X3 - X2)

171

2.5 Interpolationspolynome mit dem Newton-Algorithmus

Setzt man D 2

Yl

Y2 = X2 -

Xl

Y3 , D 3 = X3 -

Y2

'-+

X2

Mit vollständiger Induktion zeigt man, daß mit den Abkürzungen D

4,3,2 -

D4,3 - D3,2. D _ D3,2 - D2,1 , 3,2,1X4 - X2 X3 - Xl

I

ak-l

:= Dk, ... ,l für k

ｾ＠

usw. gilt

1.1

Die Ausdrucke Dk, ... ,l heißen dividierte Differenzen und die Berechnung erfolgt mittels des folgenden Schemas: Berechnung der KoefTlZienten Xk

Yk

1

Xl

[E]

2

X2

Y2

......

'\. ......

D 3,2 -.lla.=..ll2.. - x3- x 2

......

D 4,3 -- 1lC.lla. 3:4- X 3

""

'\.

3

X3

Y3

4

X4

Y4

""......

n+l

Xn+l

Yn+l

......

'\.

ｾＭＱ｡］ｬ＠

2,1

-

X2- X 1

'\.

D

-

n+l,n -

Yn±l-Yn "'n

zn

......

......

ｾ＠

_

3,2,1

D

-

-

4,3,2 -

D3,2- D 2,1 X3

Xl

D4,3- D 3,2

%4

...

""......

...

......

...

Die Zahlen Yl = aa, D 2,1 = al, D 3,2,1 = a2, D 4,3,2,1 = a3,"" Dn+1, ... ,1 = an sind dann die gesuchten Koeffizienten des Newtonschen Interpolationspolynoms.

o Vorteile des Verfahrens (1) Bei der Hinzunahme noch weiterer Meßpunkte müssen nur weitere Zeilen in die Tabelle aufgenommen werden, Die bereits berechneten Koeffizienten bleiben gültig. (2) Das Newton-Verfahren ist einfach zu programmieren (--7 newipol.pas).

172

IV Elementare Funktionen

28. Beispiel: (i) Das Ergebnis einer Meßreihe liefert die Tabelle

k

123 0 2 5 -12 16 28

Xk

Yk

Gesucht ist das Interpolationspolynom durch diese 3 Meßpunkte. Ansatz: f (x)

= ao + al (x -

Xl)

+ a2 (x -

xt) (x - X2).

Koeffizientenbestimmung: k

Xk

Yk

1

0

1-121

2

2

16

3

5

28

= [ill ＱｾＲ＠

l!!=.!§ 5-2

-

ｾＭ｀｝＠ 5-0

4

-

Damit erhält man das quadratische Polynom

f(x)

=

-12+14x-2x (x-2) -2x2 + 18x -12.

(ii) Durch die Hinzunahme eines weiteren Meßpunktes P4 (7, -54) kann man das bestehende Schema erweitern k

Xk

Yk

1

0

1-121

2

2

16

[ill

3

5

28

4

4

7

-54

ＭｾＴＲＸ＠

8J = -41 ｾ］Ｍ

-41-4

9

-[J}

-9+2 7 0 -

und man findet als Interpolationspolynom vom Grade 3

f (x)

=

ao + at{x - Xl)

+ a2 (x -

xt) (x - X2) +a3 (x - Xl) (x - X2) (x - X3) -12 + 14 (x - 0) - 2 (x) (x - 2) - 1 (x) (x - 2) (x - 5) -x3 + 5 x 2 + 8 x - 12.

173

2.6 Polynome mit MAPLE

2.6 Polynome mit MAPLE MAPLE bietet eine ganze Reihe von Befehlen zur Manipulation von Polynomen. Zunächst ist ein Polynom definiert durch einen Ausdruck der Form > p1:= -3*x + 7*x"2 - 3*x"3 + 7*x"4;

pl:= -3x + 7x 2

-

3x 3 + 7x 4

bzw. in einer ungeordneten Form durch > p2:= S*x"S + 3*x + x"2 + 3*x"2 -2*x -1;

p2:= 5x 5 + x + 4x 2 -1 wobei die Terme nicht automatisch nach Potenzen sortiert werden. Die Addition von zwei Polynomen wird sofort ausgeführt > p1 + p2;

-2 x

+ 11 x 2 -

3 x3 + 7x4 + 5 x5

-

1

nicht aber die Multiplikation. > p1 * p2;

Mit dem expand-Befehl erzwingt man das Ausmultiplizieren > expand(%);

13x6 -lOx2

-

2x3

+ 3x + 35x7 + 18x4 -15x8 -

5x 5 + 35x9

Das Ergebnis ist dann wiederum i.a. nicht nach Potenzen geordnet. Dies kann aber mit dem sort-Befehl veranlaßt werden > sort(%);

35x 9 -15x8

+ 35x 7 + 13x6 -

5x 5 + 18x4

-

2x 3 -lOx 2 + 3x

Alternativ zum sort-Befehl steht collect zur Verfügung. > collect(p2, x);

5 x 5 + X + 4 x2

-

1

> p3:=z*x + x"2 + 3*x"2 + 3*z"3 +1: > sort(%, z);

Mit den Befehlen degree und coeff werden der Grad des Polynoms und die Koeffizienten bestimmt. Beide Befehle werden nur ausgeführt, wenn das Polynom in geordneter Form vorliegt. Gegebenenfalls muß also zuvor mit dem sort-Befehl das Polynom nach Potenzen geordnet werden.

174

IV Elementare Funktionen

> degree(p2, X); 5

> coeff(p2, ｸｾＲＩ［＠

4

Eines der elementaren Aufgaben bei Polynomen ist die Zerlegung von Polynomen in Linearfaktoren (Faktorisierung). Sofern die Koeffizienten des Polynoms gebrochenrationale Zahlen sind, liefert der Befehl factor eine solche Zerlegung. > p4:=p1 ·p2: > factor(p4);

Analog dem solve-Befehl (vgl. Kap. I, §5.) gibt es den fsolve-Befehl, der Gleichungen numerisch löst. Ist die Gleichung ein Polynom-Ausdruck, so gibt fsolve alle reellen Nullstellen eines Polynoms näherungsweise an. Mit der Zusatz-Option complex, findet fsolve alle reellen und komplexen Nullstellen eines Polynoms. > fsolve(p4,x); 0, .3806094577, .4285714286

> fsolve(p4,x,complex); 0, -1. I, 1. I, .4285714286, -.6903047288 - .2212518888 I, -.6903047288 + .2212518888 I, .3806094577, .5000000000 - .8660254038 I, .5000000000 + .8660254038 I

Polynome werden durch das Horner-Schema effizient ausgewertet. MAPLE bietet nicht nur die Möglichkeit ein gegebenes Polynom fUr das Horner-Schema anzuordnen; wir können auch gleich einen Effizienzvergleich zwischen dem normalen Auswerten eines Polynoms und dem mit dem Horner-Schema durchfuhren. cost aus dem Paket codegen zählt die Anzahl der Additionen und Multiplikationen bei der Auswertung eines Ausdrucks > codegen[cost](p1);

3 additions + 10 multiplications

> convert(p1,

'horner'};

( -3 + ( 7 + ( 7 x - 3 ) x ) x ) x

> codegen[cost](%); 3 additions + 4 multiplications

2.6 Polynome mit MAPLE

175

Im folgenden werden wir das Horner-Schema mit MAPLE programmieren und das Polynom p6 an der Stelle xo=5 auswerten. Zum Vergleich berechnen wir zuerst den Wert des Polynoms ohne auf das Horner-Schema zurückzugreifen. Da p6 ein Ausdruck und keine Funktion ist, liefert p6(5) nicht das gewünschte Ergebnis. Stattdessen ersetzen wir x im Ausdruck von p6 durch 5 mit dem subs-Befehl. > p6:=4 + 3*x + 6*x"2 +7*x"3 +8*x"4 + x"S: > subs(x=S,p6);

9169 Die Prozedur poly liefert für ein beliebiges Polynom den Grad n und die Koeffizienten a[iJ, i = O.. n. Im Anschluß daran wird die Prozedur horn aufgerufen, die das Hornerschema zum Auswerten des Polynoms p6 an der Stelle Xo wählt.

> poly :=proc(p) > local i: global a,n: > sort(p): n:=degree(p): > i n by -1 to 0 > do a[i] :=coeff(p,x,i): od: > print('Grad des Polynoms =', > end: > poly(p6); a[2];

n):

Grad des Polynoms

=, 5

6

> horn := proc(xO) > wert1 :=a[n]: > i n-1 by -1 to 0 > do wert1:= a[i] + wert1 * xO; od: > print('Wert des Polynoms bei xO > end: > xO:=S: horn(xO);

ist ',wert1);

Wert des Polynoms bei xO ist, 9169 Setzen wir Xo zurück auf eine undefinierte Variable, so liefert die Prozedur horn genau die Darstellung des Horner-Polynoms > xO:='xO': horn(xO);

4 + ( 3 + ( 6 + ( 7 + ( 8 + xO) xO) xO) xO) xO

Die MAPLE-Prozedur interp(t, s, x) mit den Parametern - t: Liste der x-Werte - s: Liste der y-Werte - x: Variable des Interpolationspolynoms

176

IV Elementare Funktionen

liefert einen Ausdruck für das Interpolationspolynom durch die Punkte (t[i], s[i]) mit der Variablen x.

> t := [0,2,5,7]: s:= [-12, 16,28, -54]: > p(x) := interp( t, s, x); p(x) := _x 3 + 5x 2 + 8x -12 Die folgende graphische Darstellung zeigt die Wertepaare (als Kreise) zusammen mit dem Interpolationspolynom. Um allerdings die Wertepaare mit dem plotBefehl zeichnen zu können, müssen sie als Liste der Form [[t[I],s[1]], ... , [t[n],s[n]]] vorliegen. Dazu verwendet man entweder den zip- oder den seq-Befehl.

> liste := [ seq( [t[i],s[i]], i=1 .. nops(t) ) ]: > p1 := plot(p(x), x=-1 .. 8): > p2 := plot(liste, style=point, symbol=circle): > with(plots): display( {p1,p2})

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle für Polynome: expand(p) sort(p) collect(p, x) degree(p, x) coeff(p, x, k) factor(p) fsolve(p, x) convert(p, homer) interp(t, s, x) subs

Ausmultiplizieren von Produktdarstellung Sortieren nach Potenzen Grad des Polynoms Koeffizient des Summanden xk Zerlegt in Linearfaktoren Bestimmung der Nullstellen Auswertung von p mit Horner-Schema Interpolationspolynom durch Wertepaare (t[i], s[i]) Ersetzen eines Wertes in Polynomausdruck

(p: Polynom, x: Variable)

177

3.1 Rationale Funktionen

§3. Rationale Funktionen 3.1 Rationale FUnktionen In Physik und Technik werden viele Vorgänge von Funktionen beschrieben, die sich als Quotient zweier Polynome darstellen. So ergibt sich z.B. bei einer Samwenn x die Gegenmellinse mit Brennweite J die Bildweite b als b (x) = standsweite ist.

Li,

Definition: Unter einer rationalen Funktion (gebrochenrationalen Funktion) versteht man eine Funktion J, die sich als Quotient zweier Polynomfunktionen 9 (x) und h (x) darstellen laßt

J:

1R \ {x E 1R: h (x) = O}

----t

1R

mit

Dabei unterscheidet man analog zu Brüchen zwischen ganzrationalen Funktionen (n = 0) (= Polynome), echt gebrochenrationalen Funktionen (m < n) und unecht gebrochenrationalen Funktionen (m 2: n).

29. Beispiele:

!t : 1R \ {O} ----t 1R mit X (2) f2: 1R \ {-2, 2} ----t 1Rmit

(1)

1

f->

x

-.

X

X

f->

x x -4

-2--'

4

4

-5

-10 Graph von h(x)

= ｾ＠

·10 Graph von f2(x)

= xi"-4

178

IV Elementare Funktionen

(3.) Darstellung von rationalen funktionen mit MAPLE. Mit dem plot-Befehl können gebrochenrationale Funktionen graphisch dargestellt werden. Es ist in der Regel allerdings zu beachten, daß bei diesem Funktionstyp neben dem x-Bereich auch der y-Bereich spezifiziert werden muß, damit man das Charakteristische an dem Funktionsgraphen erkennt. Bei automatischer Skalierung dominieren die Polstellen das Schaubild. Durch die beiden folgenden MAPLE-Zeilen können die Funktionsgraphen zu den rationalen Funktionen !t und h erzeugt werden: > plot( 1/x, x=-4..4, -10 .. 10); > plot( x/(x"2-4), x=-5 ..5, -10 .. 10);

Definitionslücken, Nullstellen, Pole eine gebrochenrationale Funktion. Xo ist Nullstelle von wenn Sei f (x) = ｾ＠ O. In den Nullstellen des Nenners ist die Funktion f 9 (xo) = 0 und h (xo) nicht definiert. Man spricht daher von einer Definitionslücke, wenn h (xo) = O. Aber nicht in allen Definitionslücken strebt die Funktion gegen Unendlich. Man unterscheidet zwischen hebbaren Definitionslucken und Polen: Xo ist eine Polstelle (Pol), wenn in der unmittelbaren Umgebung von Xo die Funktionswerte betragsmäßig über alle Grenzen anwachsen. Der Funktionsgraph schmiegt sich dabei asymptotisch an die in der Polstelle errichtete Parallele zur y-Achse an. Falls Zahler und Nennerpolynom eine gemeinsame Nullstelle Xo besitzen, so enthalten beide Polynome (x- xo) als Linearfaktor. Gemeinsamen Faktoren werden gekürzt. Definitionslücken können so gegebenenfalls durch Kürzen behoben und der Definitionsbereich erweitert werden. Bestimmung der Null- und Polstellen (1)

Man zerlege Zähler und Nennerpolynom soweit möglich in Linearfaktoren und kürze gemeinsame Faktoren.

(2)

Die im Zahler verbleibenden Linearfaktoren liefern die Nullstellen der Funktion, die im Nenner verbleibenden Linearfaktoren liefern die Polstellen.

30. Beispiel: Gesucht sind die Definitionslücken, Nullstellen und Polstellen der . 2x 3 + 2x 2 - 32x + 40 . FunktIon f (x) = 3 2 2 13 10 . Zur BestImmung dieser Stellen zerlegen x+ x + x wir sowohl das Nenner- als auch das Zählerpolynom in Linearfaktoren:

+ 2x2 x 3 + 2x 2 -

2x 3

t.......+

f

(x)

= 2x 3 + 2x2 x 3 + 2x 2 -

32x + 40

2 (x - 2)2 (x + 5)

13x + 10

(x - 1) (x - 2)(x + 5) .

32x + 40 13x + 10

=

2 (x - 2)2 (x + 5) (x - 1) (x - 2) (x + 5)

2 (x - 2) x- 1

179

3.1 Rationale Funktionen

12 Definitionslücken Nullstellen Polstellen Hebbare Definitionslücken

1,2, -5

(2) 1

2, -5

-4

x

-2

4

Graph von f(x)

Gerade für die Diskussion der Anwendungsbeispiele ist die Bestimmung des Verhaltens der Funktionen für x ---t ±oo von Interesse. Wir müssen dabei 3 verschiedene Fälle betrachten, wie die folgenden Beispiele aufzeigen: (1.)

!t (x) = 13

=

5x 4 + x 3 + 4 2x 5 +x+2 5x 4 + x 3 + 4 2 3 2 x +x+

h

(x)

= 5x4 + x 3 + 4 2x 4 +x+2

In allen 3 Fällen ist ｸｾ＠ : . Die folgende Diskussion zeigt aber, daß man jeweils unterschiedliche Ergebnisse erhält. Dazu erweitert man den entsprechenden Funktionsausdruck mit ｾ＠ , wenn k der höchste auftretende Exponent:

5x 4 + x 3+4 :!t '"'f-= l'1m x-+oo x-+oo 2x 5 + X + 2 '7 x-+oo 3 · l' 5x4 + x + 4:l:r lim f:2 () . + = 1m x = 11m x-+oo x-+oo 2x 4 + X + 2 -::r x-+oo 11m

1 () x = l'1m

()' 5x 4 + x 3 + 4:::l.r 13 x = 11m 2 3 .+ x-+oo x-+oo X + X + 2 -::r . hm

5+1+4

;; X2 '7 =-= 0 0. 2 + ｾ＠ x + ｾ＠ x 2

5 + ｾ＠ + ｾ＠ 5 = -. 2 + ::\ + ＠ ｾ 2 x x

5 + ＠ｾ + ｾ＠ 5 1 2 = Ö = 00. + ;;:r + ;;:r

.

= hm 1 x-+oo;;

Diese Vorgehensweise läßt sich für jede rationale Funktion

Verhalten von rationalen funktionen f (x) grad g

< grad h

=>

f (x)

(2) grad g

=grad h

=>

f(x)

(3)

> grad h

=>

f (x)

(1)

grad g

---t

---t

---t

0 fUr x

t

---t

für x

±oo.

---t

±oo fUr x

= ＪｾＺｬ＠

±oo.

---t

±oo.

= ｾＺｬ＠

0

durchführen.

im Unendlichen

180

IV Elementare Funktionen

Im letzten Fall zerlegt man die unecht gebrochenrationale Funktion durch Polynomdivision in eine Polynomfunktion p und eine echt gebrochenrationale Funktion r (x) : (x) = p (x) + r (x) mit r (x) ---70 für x ---7 00. Die Funktion (x) nähert sich für x ---7 00 an die Funktion p (x) an, da der Rest r (x) gegen 0 geht! Man nennt p(x) Asymptote von

Ix 3 _i!x + 1

= 2x 2 + 32x+ 2'

31 Beispiel:

Wir zerlegen Zähler- und Nennerpolynom in Linearfaktoren: Die Nullstellen des Zählers sind 1 (doppelt) und -2. Die Nullstellen des Nenners sind -1 und -2.

-

=}

l(x-1)2(x+2) l(x-1)2 2 - .,:..2-"------''(x + 1) (x + 2) x +1

Im gekürzten Ausdruck lassen sich nun die Nullstellen und Polstellen der Funktion identifizieren:

x x

Nullstelle Polstelle

=1 = -1

(doppelt) (einfach).

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, zerlegen wir durch Polynomdivision die Funktion in eine Polynomfunktion p und eine echt gebrochenrationale Funktion r (x): _i! + _2_ ＨｾｸＲ＠ -1 x ＫｾＩ＠ + 1) = Ix 2 2 x+l

_(lx 2 2

+Ix) ｾ＠

2 Damit ist

r (x )

=

(x)

-2x+l

= p (x) + r (x) X-->OO

-----7

0

mit der Asymptote p(x)

= ｾｸ＠

•

o

ｾ＠

y

10

Graph der Funktion 1/2x23 -3/2x+1 x +3x+2

- ｾ＠ und dem Rest

181

3.2 Anwendung: Obertragungsfunktion bei LC-Kreisen.

3.2 Anwendung: Obertragungsfunktion bei LC-Kreisen. Die nebenstehende LC-Schaltung hat wie jede L C RCL-Schaltung die folgende Eigenschaft: Ist die ｾ＠ｴ Eingangsspannung UE (t) eine Wechselspannung mit Frequenz w, so ist auch die Ausgangsspan- Ue(l) nung eine Wechselspannung mit Frequenz w, aber phasenverschoben und mit anderer Amplitude. Diese Amplitude hängt von der Frequenz der Eingangsspannung ab. Das Amplitudenverhältnis H (w) ist gegeben durch (vgl. Kap. V, §4):

t

uA (t) I

UE

=

(w)1

.

IUlt H

(w)

_w 2 LC

= w4L2C2 _ 3w2LC + l'

H (w) ist eine echt gebrochenrationale Funktion in Nullstellen Polstellen

Es gilt:

w=o w4L2C 2 - 3w 2LC + 1 = 0:

Z=w 2 Z2 (LC)2 - 3 Z LC + 1 = 1 1)2 Z 1/2 -- 2"3 LC V/94 ( LC

±

= 2,62 ｌｾ＠ Z2 = 0,76 L1C

° (1)2 _ LC -

(32 ﾱｾＩ＠

2

1 LC

= ﾱＱＬＶｾ＠ => w3/4 = ±o, 87..Jl;. =>

w1/2

H (w) ist achsensymmetrisch zur y-Achse: - ( _w)2 LC _w 2LC H( ) w. w - (_w)4 L2C2 _ 3 ( _w)2 LC + 1 = w4L2C2 - 3w 2LC + 1 =

H (_ ) _ H (w) H (w)

-+ -+

°

fUr w -+ 00. 0 fUr w -+ 0.

Graphische Darstellung von

(w)1 fUr positive Frequenzen

4

3 Y 2

o

1

übertragungsfunktion IH (w) I

4

= C = 1):

182

IV Elementare Funktionen

Diskussion: Für tiefe Frequenzen (w klein) ist das Amplitudenverhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung klein: Tiefe Frequenzen werden nicht gut übertragen. Für hohe Frequenzen (w groß) ist IH (w)1 ebenfalls klein: Hohe Frequenzen werden ebenfalls stark gedämpft. Frequenzen zwischen Wl und W2 werden etwa mit dem Faktor 1 übertragen. Dies ist das typische Verhalten eines Bandpasses, der tiefe und hohe Frequenzen dämpft und Frequenzen in einem Band zwischen Wl und W2 überträgt. Bemerkung: Die Modellierung von H (w) erfolgte unter der Voraussetzung, daß der Ohmsche Widerstand R = 0 ist. Dadurch kommt es zu nichtphysikalischen Polstellen bei w = Wl und W = W3 bzw. zum Effekt, daß nahe den Polstellen die Amplitude des Ausgangssignals größer als die des Eingangssignals ist. Eine vollständige Diskussion (mit Ohmschen Widerstand) zeigt, daß IH (w)1 ::; 1 und die Polstellen entfallen (siehe Kap. V, §5).

3.3 Rationale Funktionen mit Sind 9 und h Polynornfunktionen, > g:= 2*x 3 + 2*x 2 -32*x + 40: A

A

MAPLE

h:=x 3 + 2*x 2 - 13*x + 10: A

A

so wird durch f(x) := g(x)/h(x) eine rationale Funktion definiert. > f:=g/h; f.- 2x 3 +2x2 -32x+40 .- x 3 + 2x 2 -13x + 10 Der Zähler (numerator) und Nenner (denominator) von können mit dem Befehl numer und denom bestimmt werden. > numer(f), denom(f);

2x 3

+ 2x2 -

32x + 40,x 3

+ 2x2 -13x + 10

MAPLE ist nur dann in der Lage, gemeinsame Faktoren zu kürzen, wenn Zähler und Nenner bereits als Produkte vorliegen. Wenn dies wie in unserem Beispiel nicht der Fall ist, steht der normal-Befehl zur Verfügung, der zunächst Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegt und dann gemeinsame Faktoren kürzt. > normal(f); x-2

2 --

Mit der Prozedur gcd (greatest common divisor) wird der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner ermittelt. > ggt:=gcd(numer(f) , denom(f»: ggt = factor(ggt);

x2

+3x -

10 = (x + 5)( x - 2)

Bei Polynomfunktionen wird der expand-Befehl eingesetzt, um die Multiplikation von Polynomen auszuführen. Dieser Befehl wirkt nur auf Polynome. Wenn wir

183

3.3 Rationale Funktionen mit MAPLE

ihn auf rationale Funktionen anwenden wollen, muß er getrennt für Zähler und Nenner eingesetzt werden. Andernfalls bewirkt er, daß der Term in eine Summe aufgespaltet wird. > g3:=(x + 1)"3/ (x - 1)"2: > expand(g3); ｾＭ］ＫＳ＠

x3 ( x-I )2

x2 ( x-I )2

x

1

+3 ( x-I )2 + (x -

1)2

> expand(numer(g3)) / expand(denom(g3)); x3 + 3x2 + 3x + 1 x 2 - 2x + 1 Den gleichen Effekt hätte man erzielt, wenn man den normal-Befehl mit der Option expanded kombiniert hätte. > g3:=normal(g3, 'expanded'); g3 :=

x3

+ 3x 2 + 3x + 1 x2

-

2x + 1

Um eine Diskussion für die Funktion g3 für große x durchzuführen, untersuchen wir mit dem asympt-Befehl das Verhalten im Unendlichen. Die Zahl laIs Option besagt, daß die Entwicklung bis zur Ordnung 1, d.h. bis zu Termen I/x, vorgenommen wird. > as:=asympt(g3,x,1); as := x

+5+0 (

ｾＩ＠

Um aus dieser Darstellung ein Polynom zu erhalten, ersetzen wir O(I/x} durch Null > as:=subs(O(1/x)=0,as); as:= x + 5 und zeichnen sowohl die Funktion als auch die Asymptote > plot( {g3,as },x=-20 .. 30, y=-50 .. 50);

40

10 x 20 -20

-40 Funktion und Asymptote

30

184

IV Elementare Funktionen

Diskussion der Funktion > g4 := (x"S-2*x"3-8*x-x 4+2*x"2+8) / (x"2-S*x+4); > den := denom(g4): num := numer(g4): A

x5 ｧＴＺ］Ｍｾ

2 x3 - 8 x - x4

-

x2 -

+ 2 x2 + 8

5x +4

Nullstellen des Nenners: > factor(den);

(x-1)(x-4) Nullstellen der Zählers: > factor(num); (x - 1) (x - 2) (x

+ 2 ) ( x2 + 2 )

KUrzen gemeinsamer Faktoren > g4:=normal(g4);

2x 2 - 8 x-4 Damit sind die Polstellen x = 4 und die Nullstellen x x4

g4:=

-

= 2, x = -2.

Im Anschluß daran bestimmen wir mit asympt das asymptotische Verhalten für x gegen Unendlich: > gs:=asympt(g4,x,1); g8 :=

x3 + 4 x2

+ 14 x + 56 + 0

( .;)

und konvertieren den obigen Ausdruck zu einem Polynom > as:=subs(O(1/x)=0,gs); a8 :=

x3

+ 4 x 2 + 14 x + 56

Mit dem plot-Befehl werden wieder Funktion und Asymptote graphisch dargestellt. > plot( {g4,as },x=-20 .. 20,y=-1 000.. 1000);

Zusammenstellung der MAPLE-Befehle für rationale Funktionen numer(f) denom(f) gcd(g,h) expand(f) normal(f) asympt(f, x, 1)

Zähler Nenner größter gemeinsamer Teiler Aufspaltung in Summen Zerlegung von Zähler und Nenner in Linearfaktoren und KUrzen Asymptote von f (j=g/h rationale Funktion) (x Variable)

§4. Potenz- und Wurzel funktionen

185

§4. Potenz- und Wurzelfunktionen Definition: Polynomfunktionen der Form p : R --> R

mit

x

t---?

(n E N)

xn

nennt man auch Potenzfunktionen, da sie aber eine Potenz x n darstellbar sind. Dabei lassen sich qualitativ zwei Fälle unterscheiden, nämlich n gerade und n ungerade. Für ungerades n ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend und punktsymmetrisch zum Ursprung (siehe linkes Bild). Für gerades n liegt keine Monotonie vor, die Potenzfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse (siehe rechtes Bild). 4 Y 2 -2 -2 nungerade

-4

Schränken wir den Definitionsbereich der Potenzfunktionen auf die positiven, reellen Zahlen einschließlich der Null ein, so ist p :

R;::o

-->

R;::o

x

t---?

xn

für alle x E R;::o eine streng monoton wachsende Funktion mit dem Wertebereich R;::o. Daher ist diese Funktion umkehrbar. Mit Hilfe der Umformung

y

= xn

--> X

= v'Y --> y =

erhalten wir die Umkehrfunktion : R?:o

-->

R?:o

mit

x

t---?

Definition: Die Funktion

w : R?:o

-->

R?:o mit x

heißt note Wurzelfunktion. (n E N)

t---?

186

IV Elementare Funktionen

=

Spezialfall: Potenzfunktionen mit ungeradem Exponent p

2m + 1 ,

m E N,

sind auf ganz R streng monoton wachsend und haben als Wertebereich ebenfalls R. Daher existiert die Umkehrfunktion auf ganz R

w:R

R mit x

--+

1--+

2m+{/X.

Beispiele: 34.

h: ｒｾｯ＠

--+

ｒｾｯ＠

mit x Wl :

35.

h :R

--+

R mit x

ｒｾｯ＠

1--+

1--+

x 2 hat als Umkehrfunktion

ｒｾｯ＠

--+

mit

x 1--+ ｾ＠

= x!.

x 3 hat als Umkehrfunktion

2 2

Y

y

x

-2

2

-2

1 x Graph von x 2 und

Graph von x 3 und x!

36. Anwendung: Fallgeschwindigkeit. Ein Körper der Masse m fällt frei aus der Höhe h mit der Anfangsgeschwindigkeit = O. Zu jedem Zeitpunkt t gilt fUr die Bewegung, daß die Gesamtenergie (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) konstant bleibt. Es gilt: E (t = 0) = m· ho + mv = m· h o } E (t = 0) = E (t > 0). E (t > 0) = m· h + !mv 2

! 5

'* m·

ho = m·

1 2 h + '2mv .

Die Geschwindigkeit vergibt sich dann bei der Höhe hals Wurzel funktion

Iv = J2g (ho - h)·1

187

5.1 Exponentialfunktion

Potenzfunktion mit rationalem Exponenten Definition: Eine Funktion

f: 1R>o

->

1R mit f (x) =

yr;;m = ｸｾ＠

mE 7L, nE N

heißt Potenzfunktion mit rationalem Exponent.

Diesen Begriff der Potenzfunktion werden wir in §5 auf beliebige, reelle Exponenten mit Hilfe der Exponential- und Logarithmusfunktion erweitern. Als Spezialfall sind in der Klasse der Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten die Funktionen x- l , x- 2 usw. enthalten. Potenz- und Wurzelfunktionen mit MAPLE. Für Potenzen und Wurzeln steht alternativ zum expand der simplify-Befehl zur Verfügung, den man z.B. zur Auswertung von .jX2 benötigt. Allerdings erst mit der Option 'symbolic' wird .jX2 auch vereinfacht. > simplify(sqrt(x 2)); ft

> sqrt(x 2): %=simplify(%, 'symbolic'); ft

§5. Exponential- und Logarithmusfunktion In diesem Abschnitt werden in Verallgemeinerung des Begriffs der Potenz an (a: Basis, n: Exponent) die allgemeine Potenzfunktion x n und die allgemeine Exponentialfunktion a X eingeführt.

5.1 Exponentialfunktion Die zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Phänomene wichtigste Funktion ist die Exponentialfunktion: Definition: Die Funktion exp : 1R heißt Exponentialfunktion. e

ｾ＠

->

1R mit

x

I-t

eX

2.718281828 ist die Eulersehe Zahl.

188

IV Elementare Funktionen

Eigenschaften der Exponentialfunktion sind:

5 4

eX Definitionsbereich Wertebereich Monotonie Asymptote

R R>o streng monoton wachsend y = 0 fUr x --t -00 -3

-2

1 x

Graph der Exponentialfunktion Für die Exponentialfunktion gelten die Regeln: (1) e O = 1 (2) (3)

eX Y = eX • eY e- x = (ex)-l,

enx

= (eX)n

37. Beispiele: (1) Die Funktionen fa(x) = eax verhalten sich fUr a > 0 qualitativ wie die Exponentialfunktion e X FUr x --t 00 gehen sie gegen Unendlich und für x --t -00 gegen Null. (2) Die Funktionen fa(x) = e- ax verhalten sich fUr a > 0 qualitativ wie die Exponentialfunktion e- x : FUr x --t 00 gehen sie gegen Null und fUr x --t -00 gegen Unendlich.

e'llZ

3 Graph der Exponentialfunktionen eax und e- X 38. Beispiele für das Auftreten der Exponentialfunktion: (1) Radioaktiver Zerfall: Beim Zerfall radioaktiver Atomkerne wird die Zahl n (t) der zur Zeit t noch nicht zerfallenen Kerne durch das Zerfallsgesetz

\n(t)=noe->.t\

189

5.2 Logarithmusfunktion

beschrieben. Dabei ist no die Anzahl der zu Beginn (t = 0) vorhandenen Atomkerne und .A > 0 die fUr den Zerfall typische Zerfallskonstante. (2) Entladung eines Plattenkondensators: Beim Entladen eines Plattenkonden-

sators ist die Spannung am Kondensator U (t) zum Zeitpunkt t gegeben durch

Dabei ist Uo die Kondensatorspannung zur Zeit = 0 und C die Kapazität, R der Ohmsche Widerstand der Schaltung.

u n(t)

t

t

Spannung am Kondensator U

Anzahl der Atomkerne

S.2 Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion exp : R ---? R>o mit x ｾ＠ eX ist auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. Folglich existiert auf dem Wertebereich R>o die Umkehrfunktion. Definition: Die Umkehtfunktion zur Exponentialfunktion wird natürlicher Logarithmus genannt: In: R>o ---? R mit x ｾ＠ Inx.

Eigenschaften der Logarithmusfunktion sind:

Definitionsbereich Wertebereich Nullstellen

In(x) R>o R Xo = 1

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

x=o

-2

In{x)

-3

Graph der Logarithmusfunktion

190

IV Elementare Funktionen

Rechenregeln fUr die Logarithmusfunktion. Die Rechenregeln ergeben sich direkt aus den Regeln der Exponentialfunktion. (1) ln(l) = 0 (2) ln (x . y) = lnx + Iny (3) In(x n ) = n lnx (4) In(e X ) = x bzw. e 1nx = x Beispiele: 39. Halbwertszeit T einer radioaktiven Substanz: Unter der Halbwertszeit T einer radioaktiven Substanz versteht man die Zeit, nach der die Hälfte der radioNach Beispiel 37 ist n (t) = no e->' t, aktiven Kerne zerfallen ist: n (T) = ｾｮｯＮ＠ also gilt fUr t = T :

1 -no = no e->'T '--t

T

=

Ｍｾ＠

ｉｮｾ＠

=

1 In - = In (e->'T) = ->. T

'--t

2

Ｍｾ＠

2

(Inl-ln2)

'--t

I = *ln2·1 T

40. Abklingzeit eines Kondensators: Unter der Abklingzeit Ta eines Kondensators versteht man die Zeit, nach der die Spannung am Kondensator auf z.B. ｾＭｴ･ｬ＠ der Maximalspannung abgefallen ist: U (Ta) = ｾｕｯＮ＠ Nach Beispiel 38 ist U (t) = Uo e-,mt, also gilt fUr t = Ta:

1 1 -UO=UOe-7mTa e

'--t

I

Ta

'--t

1 -1... 1 In-=ln(e- 7mT")=--Ta e Re

= - Re ln( ｾＩ＠ =

I

t

Halbwertszeit einer radioaktiven Substanz

Abklingzeit am Kondensator

41 Wie lautet die Umkehrfunktion von

: JR ---t JR>o mit

x ｾ＠

(x)

= 3e2x - 1?

Die Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend, also existiert auf dem Wertebereich JR>o die Umkehrfunktion. Wir setzen y = 3e 2x - 1 und lösen nach x auf:

191

5.2 Logarithmusfunktion

Nach Vertauschen der Variablen erhalten wir die Umkehrfunktion

g: 1R>o

ｾ＠

1R mit x

I-t

9 (x) =

ｾ＠

(ln ｾｸ＠

+ 1) .

Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion. Mit der Exponential- und Logarithmusfunktion ist man in der Lage, die allgemeine Potenz- und Exponentialfunktion zu definieren. (Man beachte, daß bei der Programmierung in Pascal auf diese Definition zurückgegriffen werden muß!)

(1)

Definition: Die Funktion

f: 1R>o ｾ＠

1R

mit x

I-t

f (x) = x'" :=

e",lnx

heißt allgemeine Potenzfunktion. (2) Die Funktion f: 1R ｾ＠

1R>o

mit

I-t

f

=

X

:= e x1na

> 0)

heißt allgemeine Exponentialfunktion.

Exponential- und Logarithmusfunktion mit MAPLE. Um Terme der Form exp(x+ y), ln(x * y), ln(x n ) in MAPLE zu entwickeln, steht der expand-Befehl zur Verfügung. Alternativ kann der simplify-Befehl benutzt werden. > exp(x+y): %=expand(%);

> >

In(x*y): %=expand(%); In(xAm):%=expand(%);

ln(xy) In(x m )

= In(x) + ln(y) = m In(x)

Die Zusammenfassung mehrerer Exponential- bzw. LogarithmusausdrUcken erfolgt durch den combine-Befehl mit der Option 'exp' bzw. 'In' > exp(x)*exp(y): %=combine(%, 'exp'); > In(x)+ln(y): %=combine(%, 'In');

ln(x) + ln(y)

> 1/2*ln(X+1)-2*ln(y):

ln(xy)

%=combine{%, 'In');

'12 ln( x + 1)

- 2 ln(y) = In

v'xTI y2

192

IV Elementare Funktionen

§6. Trigonometrische Funktionen 6.1 Grundbegriffe In den Naturwissenschaften und in der Technik spielen periodische Vorgange eine wichtige Rolle. Sie sind dadurch gekennzeichnet, daß sich ein bestimmter Zustand regelmäßig wiederholt, z.B. bei akkustischen und elektromagnetischen Schwingungen; Schwingungen einer Saite oder Feder; Umlaufbahnen von Satelliten. Periodische Funktionen von besonderer Bedeutung sind die trigonometrischen FUnktionen bzw. Winkelfunktionen. Zur Winkelmessung werden verschiedene Einheiten zugrunde gelegt: - Gradmaß 0: (360° fUr den Vollkreis) - Bogenmaß x (2n fUr den Vollkreis) = Länge der Strecke auf dem Einheitskreis, die der Winkel herausschneidet. x

Die im Bogenmaß gemessene Winkelgröße bezeichnen wir mit x. x ist positiv, falls der Winkel im Gegenuhrzeigersinn gemessen, und negativ, wenn der Winkel im Uhrzeigersinn gemessen wird. Die Einheit des Bogenmaßes heißt Radiant (rad). Zwischen Winkelgröße 0: im Gradmaß und x im Bogenmaß besteht der Zusammenhang

ｉｾ］［ﾷ＠ Hinweis: Alle trigonometrischen Funktionen lassen sich mit dem plot-Befehl in MAPLE graphisch darstellen. Bei der Tangens- und der Kotangensfunktion ist zu beachten, daß der y-Bereich eingeschränkt werden muß, ansonsten dominieren die Polstellen den Graphen. Die Graphen zusammen mit den Animationen sind auf der CD-ROM unter dem jeweiligen Abschnitt enthalten.

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion Beschreibt man einen Winkel im Bogenmaß, so können der Größe x Funktionswerte gemäß folgender Festlegung zugeschrieben werden: Definition: Unter dem Sinus bzw. Kosinus eines Winkels x (sinx bzw. cosx) versteht man die Ordinate bzw. Abszisse des Schnittpunktes des freien Schenkels des Winkels x mit dem Einheitskreis.

193

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion

Sinus und Kosinus im Einheitskreis Damit erhalten wir die trigonometrischen Funktionen sin und cos: sin: cos:

1R 1R

---+ ---+

1R 1R

mit mit

x

t---t

x

t---t

sin(x) cos(x).

Sinus- und Kosinusfunktion

Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion: Definitionsbereich Wertebereich Periode Symmetrie Nullstellen relative Maxima relative Minima

f(x) = sinx 1R

f(x)=cosx 1R

[-1,1]

[-1,1]

21r ungerade X n = n·1r = ｾ＠ + k· 21r = 21r + k . 21r

Xn

21r gerade = ｾ＠ + n1r = k· 21r

= 'Fr + k21r

n, k E 7L

194

IV Elementare Funktionen

Die allgemeine Sinusfunktion. In den Anwendungen kommen die Sinus- und Kosinusfunktionen nicht nur mit dem Argument x, sondern in der allgemeineren Form

y(x)=asin(bx+c)+d bzw.

y(x)=acos(bx+c)+d

vor. Im folgenden diskutieren wir die Bedeutung jedes der Parameter einzeln: (1) Bedeutung von a: Der Faktor a in

y (x)

= a· sinx

gibt die maximale Amplitude der Funktion an. Der Wertebereich dieser Funktion ist W = [-a, a] . 42. Beispiel: y(x) = 2· sin(x) ::::} Amplitude 2.

x ＬＭｆｔｾ＠

Amplitude a (2) Bedeutung von b: Der Faktor b in

y (x) = sin (bx) bewirkt eine Veränderung der Periode gegenüber der reinen Sinusfunktion. Die Periode p von sin (bx) erhält man, wenn das Argument des Sinus die dritte Nullstelle liefert, also für

b p = 211'

::::}

Ip

=

2r IPeriode.

Damit verkleinert sich die Periode für b > 1 und vergrößert sich für b < 1. 43. Beispiel: y (x) = sin (2x) ::::} Periode: p = = 11'.

2;

Periode p =

2r

195

6.2 Sinus- und Kosinusfunktion

(3) Bedeutung der Konstanten c: Die Konstante c in

y(x) =sin(x+c) bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der x-Achse. Man bezeichnet c auch als Phase oder Nullphase. Die erste Nullstelle von sin(x + c) findet man, wenn das Argument x + c Null wird: sin (x + c) = 0

=}

xo + c = 0

xo = -co

=}

FUr c > 0 wird die Kurve um Xo nach links verschoben. FUr c < 0 wird die Kurve um Xo nach rechts verschoben. 44. Beispiel: y = sin(x + 7r/2) =} Kurve um 7r/2 nach links verschoben.

27t/ ---",----///

-1

Verschiebung entlang der x-Achse (4) Bedeutung der Konstanten d: Die Konstante d in

y (x) = sin (x) + d bewirkt eine Verschiebung der reinen Sinusfunktion entlang der y-Achse um den Wert 45. Beispiel: y (x) = sin (x) + 2 =} Verschiebung um 2 in y-Richtung:

ｾＢｲＭＷｴ

/_----J,-,-___ _ ,,'

.......

___-__-___-__-__Ｍ｟ＯｾＷｴＮ＠

, ..

Verschiebung entlang der y-Achse

196

IV Elementare Funktionen

(5) Zusammenfassende Diskussion der allgemeinen Sinusfunktion:

I (x) y

Periode: 1. Nullstelle: Wertebereich: (Null-)Phase: Verschiebung:

ｰ］ｾ＠ xo

= asin (bx

+ c) =

asin(b (x + f))

I

=-f

-a :::; y (x) :::; a c

x

c

-;.;

-cIb

y=a sin{b{x+cIb»)

-a

Allgemeine Sinusfunktion

46. Beispiel: u (t) = 2 sin Gt + ｾＷｲＩ＠ . Ausgehend von der reinen Sinusfunktion sin (t) gehen wir zur doppelten Amplitude uber: 2 sin (t) . Anschließend modifizieren wir die Periode zu p = ｾ＠ = 47r 2 und erhalten 2 sin (tt) . Danach berucksichtigen wir die Phasenverschiebung von -7r, da 2sin Gt + "27r) = 2sin ｾ＠ (t + 7r).

28in(1/2 t + 1/21 sin(1), cos(Pi/4), tan(O.5), cot(Pi/4); sin(l),

>

ｾｶＧＲＬ＠

.5463024898, 1

arcsin(O.5), arccos(1/2), arctan(10), arccot(-1);

1 3 3'1r, arctan(lO), 4"'Ir Die graphische Darstellung der Funktionen erfolgt mit dem plot-Befehl.

204

IV Elementare Funktionen

Trigonometrische und Arkusfunktion mit MAPLE. Um mit MAPLE die trigonometrischen Umformungen durchzuführen, benutzt man die Befehle expand, combine und simplify. Die Additionstheoreme werden mit expand realisiert > cos(x+y): %=expand(%);

= cos(x) cos(y) -

cos(x + y)

sin(x) sin(y)

> cos(2*x): %=expand(%);

= 2 cos(x)2-1

cos(2x)

Um Produkte von trigonometrischen Funktionen zu verarbeiten wählt man den combine-Befehl mit der Option 'trig' > cos(x)*sin(y): %=eombine(%, 'trig');

cos(x) sin(y) =

ｾ＠

sin(x + y)

+ ｾ＠

sin( -x + y)

> sin(xf2: %=combine(%, 'trig'); sin(x) 2 =

ｾ＠

-

ｾ＠

cos(2x)

Ausdrücke der Form sin2(x) + cos 2(x) werden durch den simplify-Befehl vereinfacht >sin(xf2+cos(xf2: %=simplify(%); sin(x)2

+ cos(x)2 =

1

> tan(x)/(1 +tan(xf2): %=convert(%,sincos): simplify(%); tan(x)

(1

+ tan(x)2)

. = sm(x) cos(x)

Auch zur Vereinfachung von Ausdrücken der Form arcsin(sin(x)) benötigt man den simplify-Befehl mit der Option 'symbolic' > sin(arcsin(x»; x

> arcsin(sin(x»; arcsin(sin(x))

> %=simplify(%, 'symbolic'); arcsin(sin(x)) = x

Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE

205

Zusammenstellung der Vereinfachungsbefehle von MAPLE

expand

Potenzfunktion

exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

x n+ m --t x m x n (xy)n --t x n yn (xl y)n --t x n Iyn exp(x + y) --t exp(x) exp(y) ln(xy) --t ln(x) +ln(y) ln(xl y) --t ln(x) -ln(y) cos(x + y) --t cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) cos(2x) --t 2 cos(x)2-1 cosh(3x) --t 4cosh(x)3 - 3cosh(x)

combine

Potenzfunktion

x m x n --t x n+m (xm)n --t x mn

v'XTI./X --t v'X2+X exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

exp(x) exp(y) --t exp(x + y) ln(x) + ln(y) --t ln(xy) ｾ＠ ln(x) - 2 In(y) --t ln ｾ＠ cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y) --t cos(x + y) 2 cos(x)2 - 1 --t cos(2x) 4cosh(x)3 - 3cosh(x) --t cosh(3x)

simplify

Potenzfunktion

exp- und ln-Funktion

trig. Funktionen

x m x n --t x n+ m (x Iy)n --t xny-n H--tx exp(x) exp(y) --t exp(x + y) ln(x) + ln(y) --t ln(xy) ln(x n ) --t n In x sin(x):l + cos(x):l --t 1 tan(x) --t sin(x)1 cos(x) arcsin(sin(x)) --t x

206

IV Elementare Funktionen

Aufgaben zu Kapitel IV 4.1

Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich sowie den Wertebereich der folgenden Funktionen = V 2 - 1 a) I b) y = In lxi c) I = ＴｸＲｾＱＶ＠ e) y = e 1xl d) I(x) = Ｚ［ｾ＠ I(x) = x2":.-1

o

4.2 Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten und den maximalen Definitionsbereich a)/(x)=4x -16 b)/(x)=X c)/(x)=sinx.cosx

2

d)

4.3

I (x)

=

\x 2 -

:l

16\

e)

I (x)

Man untersuche auf Monotonie a) y = 4 b) y = für

vx-=-r

c) 4.5

I:

IR

->

X

......

0 I (x) = ｸｾｬ＠

2:: 1

4.4 Wie lautet die Umkehrfunktion von a) I: R>o -> ? ...... y _ 1 -

ｾＺｊ＠

=

c) y

b)

= x 3 + 2x

I : ｉｒｾｯ＠

->

? y=2e x - ,

......

X

(2x)

d)

I:

->

R>-1

......

d) y = e 2x

? Y = v'3X ? x-I Y = ",+1

Bestimmen Sie die Polynomfunktion kleinsten Grades, die durch die folgenden Punkte geht: (-3, 11); (-1, 7); (0, 5); (4,-3).

4.6 Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: a)

c) 4.7

I (x) I (x)

= x3 = x4

+ 2 x2 -

2 x3

-

13 x + 10 25 x 2 + 50 x

b)

I (x)

= x3

-

x2

+2

Man berechne mit dem Horner-Schema den Funktionswert der Funktion I Stelle Xo für a) I (x) = x 3 -2x 2 -3x+ 1; Xo = 2 b) I (x) = 0.1 x 4 +x 3 +2 x 2 -4;

an der Xo

= 3.

4.8

Gibt es Polynome, die keine Nullstellen besitzen?

4.9

Man berechne mit dem Newton-Schema die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion vom Grade::; 3, welche durch die Wertepaare (0, 1); (1, 0); (2, 5); (-1, 2) geht.

4.10 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion a)/(x)=3x 3 +3x2 -3x-3 b)/(x)=x4 -13x 2 +36 4.11

Welches Polynom kleinsten Grades geht durch die Wertepaare (-1,0); (0, 1); (1,2); (2, 6)?

4.12 Faktorisieren Sie mit MAPLE das Polynom 2 x 6 + 3 X S - 63 x 4 - 55 x 3 + 657 x 2 + 216 x - 2160 4.13

Bestimmen Sie mit MAPLE alle Nullstellen von

7x 4 - 59x 3 + 19x2 + 166x -1008 b) x 3 - x 2 - 100x + 310 a)

4.14 Werten Sie mit MAPLE die Polynome aus Aufgabe 4.13 an der Stelle Xo = 4 aus, indem Sie entweder mit unapply den jeweiligen Ausdruck in eine Funktion konvertieren oder indem Sie mit dem subs-Befehl diese Stelle in das Polynom einsetzen.

207

Aufgaben zu Kapitel IV

4.15

Zeichnen Sie mit MAPLE die Funktion x 3 - x 2 -100 x + 310 und lesen Sie aus dem Schaubild die Extremwerte ab.

4.16

Faktorisieren Sie mit MAPLE das Polynom soweit möglich. Erstellen Sie das HornerSchema zu diesem Polynom. Bestimmen Sie den Grad des Polynoms. -17x 6 + llx 4 - 20x 3 + 13x2 - 3x + 56x 7 + 4x 5 - 15x 8 + 35x 9

4.17 Wo besitzen die folgenden Funktionen Nullstellen, wo Pole? a) y

=

b) y =

x 2 ±x_2 x-2

x 3 -5x 2 -2x±24 x 3 ±3x2 ±2x

c) Y

=

x 2 -2x±1 x 2 -1

d)

_

Y-

(x-I) (x_I)2 (x±l)

4.18

Bestimmen Sie fUr die folgenden gebrochenrationalen Funktionen: Nullstellen, Pole, Asymptoten im Unendlichen. Zeichnen Sie mit MAPLE den Funktionsgraphen und die Asymptoten. a) y = Ｚ［Ｋｾ＠ b) y = ｸＳＭＶＺｾＡＲＸ＠ c) y = ＺＳｾＲｸ＠ ___ｾ＠ d) y = ｾＺｬ［＠

4.19

Bestimmen Sie mit MAPLE die Null- und Polstellen der Funktion

h( x)

= x3 -

6x 2 - 12x + 49 , (x - 2)(x -7)

indem Sie Zähler und Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Bestimmen Sie die Asymptoten und zeichnen Sie die Funktion zusammen mit ihren Asymptoten in ein Schaubild. Zeichnen Sie die Funktion in der Nähe der Null- und Polstellen.

4.20 Gegeben ist die rationale Funktion ｸＴｴｾＳＭｘＮ＠

x -x -x

x

Formen Sie diese Funktion mit

MAPLE in die folgenden Ausdrücke um: a) (x±2)(x±l)(x-2) b) x 4 ±x3 _4x 2 _4x x 3 ±x2 x

d)

_ x2 (x-l)(x±l)

x(x

I

4

l)(x±I)2

I

(x-l)(x±l)

4.21 Wird ein Kondensator mit Kapazität C uber einen Ohmsehen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab:

Zu weIchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter 10 % ihres Anfangswertes Qo?

4.22 Stromkreis mit Induktivität L und Ohmsehen Widerstand R. Beim Einschalten einer Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmsehen Gesetz erwarteten Endwert io. Es gilt

Berechnen Sie fUr io = 4 A, R = 5 n, L = 2.5 H den Zeitpunkt, bei dem die Stromstärke 95 % des Endzustandes erreicht hat. Skizzieren Sie die Strom-ZeitFunktion.

4.23 Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion y = a e -b x + 2 so, daß die Punkte A = (0, 10) und B = (5, 3) auf der Kurve liegen. 4.24 Man lOse die folgenden Exponentialgleichungen a) e x2 -

2x

=2

b) e X + 2e- x

=3

208

IV Elementare Funktionen

4.25 Welche Lösung besitzt die logarithmische Gleichung In ..;x + 1.5 ·ln ( x) = In(2x)? x(t) = Ae-'Y t . sin(wt + cp) kann durch Messung der Amplituden zweier aufeinanderfolgenden Schwingungen die Dl1mpfung "( bestimmt werden. Ist T = Ｑｏｾ＠ 8 die Periodendauer der gedl1mpften Schwingung, x (to) = 200 und x (to + T) = 100 die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen, so berechne man "(.

4.26 Bei einer gedämpften Schwingung

4.27 Rechnen Sie vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogen- ins Gradmaß um : Grad 140,360 Bogen

278, 19° -5.6213

1.4171

4.28 Man leite aus dem Additionstheorem der Kosinusfunktion die Formel

1sin2 x + cos2 X

11

=

ab.

4.29 Zeichnen Sie den Funktionsverlauf von f(x) =2·cos(2x-7r). 4.30 Man bestimme fUr die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p, Phasenverschiebung: a)y=2.sin(3x-i) b)y=5·cos(2x+4.2) c) y = 10· sin(7rx - 37r) d) Y = 2.4· cos (4x ＭｾＩ＠ 4.31

Skizzieren Sie den Funktionsverlauf der harmonischen Schwingung: f (t) = 2· sin (2 t - 4)

4.32 Berechnen Sie a) arcsin(l) e) arccos( ｾＩ＠ i) arctan(l)

b) arcsin( ｾ＠ V2) f) arccos( ｾ＠ V3) k) arctan( -V3)

4.33 Welchen Wert hat die Größe a) arcsinx = 7r/4 d) arccotx = 2.9208

c) arcsin( ＭｾｖＳＩ＠ g) arccos( -1) I) arccot(

-?a)

d) arcsin(0.48I) h) arccos(0.8531) m) arccot(*V3)

x?

b) arctanx = 0.7749 e) (arccosx)2 = 0.25

4.34 Man beweise sin(arccos(x))

c) arccos x = 1.021

= VI- x 2 • (Anleitung: Man setze y = arccos(x).)

4.35 Zeigen Sie, daß für positive a innerhalb des Definitionsbereichs gilt a) arcsin(a) = arccos Jf=ä2 c) arccot(a) = ｡ｲ｣ｴｮＨｾＩ＠

4.36 Vereinfachen Sie a) sin(arcsin(x)) d) cos(arcsin(x))

b) arccos(a) = arcsin VI - a 2 d) arcsin(a) = arctan ＠ｾ yl-a 2

b) cos(arccos(x)) e) sin(arctan(x))

c) sin(arccos(x)) f) tan( arccos( x))

4.37 Geben Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen an a) y = x + arccos(x) b) y = ..;x + arcsin(x) c) y = ｾ＠ + arcsin(x - 1) Zeichnen Sie die Funktionen und bestimmen Sie den Wertebereich.

Kapitel V Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen stellen bei der Beschreibung von RCL-Wechselstromschaltungen ein unverzichtbares Hilfsmittel dar. Fast jedes Lehrbuch über die Beschreibung von elektrischen Schaltkreisen hat als einleitendes Kapitel eine Einführung in die komplexen Zahlen. Einer der Gründe liegt darin, daß einfache Regeln von Gleichstrom-Netzwerken sich auf Wechselstrom-Schaltungen übertragen, wenn man komplexe Widerstände einführt. Dies werden wir ausführlich in §4 und §5 besprechen. Zuvor behandeln wir die Grundlagen der komplexen Zahlen innerhalb der Mathematik und beginnen mit einer mathematischen Problemstellung: Wie wir im Kapitel über Polynome (Kap. IV, §2) bereits festgestellt haben, besitzt jedes Polynom vom Grade n in m. höchstens n verschiedene Nullstellen. Aber schon bei = 2 + 1 zeigt sich, daß dieses Polynom in m. keine Nulldem Polynom p stellen besitzt. Denn wendet man auf x 2 + 1 = 0 die quadratische Formel an, so erhält man Xl/2=±H

iR

Es hat sich als außerordentlich erfolgreich erwiesen, den Zahlenbereich der reellen Zahlen zu erweitern, indem die Einheit (imaginäre Einheit)

eingeführt wird. Definition: AusdrUcke der Form

c := a + i b mit a, b E

m.

nennt man komplexe Zahlen und (: := {c = a + i bj a, b E

die Menge der komplexen Zahlen.

m.}

210

V Die komplexen Zahlen

Für b = 0 ist c = a E IR. Die reellen Zahlen sind also in den komplexen enthalten. Die mathematische Bedeutung der komplexen Zahlen liegt darin, daß jedes Polynom vom Grade n genau n Nullstellen besitzt (Fundamentalsatz der Algebra). Diese Tatsache werden wir im Kapitel über Differentialgleichungen (Bd. 2) ausnutzen, um Lösungen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zu berechnen, indem alle Nullstellen des zugehörigen charakteristischen Polynoms bestimmt werden.

§L Darstellung komplexer Zahlen Jede reelle Zahl entspricht einem Punkt auf der Zahlengeraden:

_12

,

,

-2

-1

*

,

,

,

o

1

2

Durch die Definition der komplexen Zahlen als "Paar"

c=a+ib hat eine komplexe Zahl zwei "Komponenten": eine rein reelle Komponente a und eine imaginäre Komponente i b.

LI Algebraische Normalform Die komplexe Zahl c := a + i b mit a, b E IR läßt sich mit Hilfe von zwei Zahlengeraden veranschaulichen (Abb. 17): Wählt man ein Koordinatensystem mit Abszisse a (Vielfaches der Einheit 1) und Ordinate i b (Vielfaches der Einheit so ist jede komplexe Zahl als Punkt einer Ebene, der sog. Gaußsehen Zahlenebene, darstellbar.

Imaginärteil ib

c=a+ib

a

Realteil

Abb. 17: Darstellung der komplexen Zahl c

= a + i b.

211

1.1 Algebraische Nonnalfonn

Man bezeichnet

a = Re (c) den Realteil von c b = Im (c) den Imaginärteil von c. Sowohl der Real- als auch der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind reelle Zahlen. Man beachte daher: Der Imaginärteil einer komplexen Zahl c = a + i bist nicht i sondern nur die reelle Größe Im (c) = b ! Man bezeichnet die Darstellung der komplexen Zahl (Algebraische NormaIform) durch Realteil und Imaginärteil als algebraische Normalform. Als den Betrag einer komplexen Zahl definieren wir den Abstand zum Nullpunkt

Ilcl := Ja

2

+ b2 =

V

Re2 (c)

+ 1m2 (c) I

(Betrag von

cl.

L Beispiele: (1) (3)

cI=4+3i C2 = J2+2i C3 = -23 - 3 z.

(4)

c4=1-3i

(2)

ICII = 5. IC21 = V6. ｾ＠ ｾ＠

ｾ＠

ｾ＠

IC31 = hl =

/iO.

Bemerkungen: (1) Zwei komplexe Zahlen Cl = al + i bl und C2 = a2 + i ｾ＠ sind genau dann gleich, wenn al = a2 und bl = ｾＮ＠ Realteil und Imaginärteil sind also zwei eindeutig bestimmte Kenngrößen einer komplexen Zahl. (2) Eine komplexe Zahl ist also nichts anderes als ein Punkt in der komplexen Zahlenebene. (3) Es ist üblich, den vom Ursprung 0 zum Punkte c weisenden Zeiger (Ortsvektor) ebenfalls mit c zu bezeichnen.

212

V Die komplexen Zahlen

L2 Trigonometrische Normalform Führt man den Winkel c.p zwischen dem komplexen Zeiger e und der positiven R-Achse ein, so gilt a

cos c.p = -

lei

und

. smc.p

= ｾＮ＠

b

Damit ist die komplexe Zahl

e= a + i b = lei cosc.p + i lei sinc.p. (Trigonometrische Normalform). Man nennt diese Darstellung die trigonometrische Normalform, mit • lei dem Betrag der komplexen Zahl eund • c.p dem Winkelargument (Winkel, Argument, Phase) von e. Für e = 0 ist c.p nicht erklärt! Die Phase einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig, denn bei jeder vollen Umdrehung wird die Phase um 271' bzw. um 360° verändert. 2. Beispiele: (1)

e5

= 3 (cos45° + i sin45°) .

(2)

Cf)

= 4 (cos 150° + i sin 150°) .

｣ｾＮ＠

ｾ｣Ｎ＠

L3 Exponentielle Normalform Setzen wir - mit der von Euler (1707-1783) eingeführten Abkürzung -

I

:= cos c.p

+ i sin c.p

I

(Eulersche Formel)

so läßt sich jede komplexe Zahl schreiben als (Exponentialform). Zunächst sehen wir die Eulersche Formel nur als Abkürzung an. In Kap. VII, §6 werden wir den Zusammenhang mit der komplexen e-Funktion erkennen. Per Konvention wird das Argument c.p bei der Exponentialform im Bogenmaß angegeben.

213

1.4 Umformungen der Normalformen

L4 Umformungen der Normalformen Im folgenden geben wir die Rechenschritte zur Umformung von den einzelnen Normalformen an.

Exponentialdarstellung ｾ＠

Trigonometrische Normalform:

Ist eine komplexe Zahl e in der Exponentialform e = lei eicp gegeben, so folgt mit der Eulerschen Formel direkt die trigonometrische Normalform

e= lei (costp+isintp). Ist die komplexe Zahl in der trigonometrischen Normalform e= Icl (cos tp + i sin tp) gegeben, so folgt mit der Eulerschen Formel e = lei e iCP • Gegebenenfalls muß tp vom Grad- ins Bogenmaß umgerechnet werden.

4. Beispiele: (1) e7

= 5 eit7r

t.......+

tp

= ｾＷｲ］ＱＳＵﾰＮ＠

e7

=?

(2) es = v'2 (cos60° + isin600)

t.......+

= 5 (cos 135° + i sin 135°) .

tp = ＶＰ］ｾＮ＠

=?

es =

v'2e i *.

Trigonometrische Normalform r= Algebraische Normalform:

Ist die komplexe Zahl in der trigonometrischen Normalform e = lei (cos tp + i sin tp) gegeben, folgt durch Ausmultiplizieren und Auswerten der trigonometrischen Funktionen die algebraische Normalform:

e = lei costp + i lei sintp mit dem Realteil

lei cos Cf' und dem Imaginärteil lei sin Cf'.

Ist die komplexe Zahl in der algebraischen Normalform e = a + i b gegeben, folgt die trigonometrische Normalform, indem der Betrag lei und der Winkel tp bestimmt werden: Im.gln.rt.U

lei

c-.+lb

tan tp

b

- =? tp. a

1

!

•

Re.lteil

Bei der Berechnung des Winkels tau tp = durch die Umkehrfunktion aretan ist angegeben wird (siehe Kap. IV, 6.4.3). zu beachten, daß tp nur im Bereich ｛ＭｾＬ｝＠ Der Winkel tp muß anhand einer Planskizze im Bereich [0,2 7r] spezifiziert werden.

5. Beispiele: (1)

Cg

= 5 (cos 135° + isin 135°) = 5 ＨＭｾｊＲＩ＠

+ i ＵｾｶＧＲ＠

= ＭｾｶＧＲ＠

+ i ｾｶＧＲＮ＠

214

(2)

V Die komplexen Zahlen

ClO

= 4y2 + i 4y2. '"--t !c1O I = ｶｾＱＶＢＧﾷＲＺＭＫ］＠

& tan