Matematisk og teoretisk fysikk 2 : Mekanikk og statistikk [2]

Citation preview

MATEMATISK OG TEORETISK

FYSIKK AV

EGIL HYLLERAAS

II. DEL

MEKANIKK OG STATISTIKK

OSLO 195 1 GRØNDAHL & SONS FORLAG

PRINTED IN NORWAY

GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI

OSLO

INNHOLD II Del.

Mekanikk og statistikk. Kapitel 1. ELEMENTÆRE MEKANISKE PROBLEMER. Side

1. Innledning.................................................................................................. 2. Mekanikkens grunnlover. De Newtonske aksiomer...................

1 4

Treghetsloven. Mekanikkens grunnligning. Newtons tredje lov. Kraft og arbeide. Parallellogramsatsen. Koordinatsystemer. Det «absolutte» rom.

3. Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser......................

11

Generelle betingelser for integrasjon av bevegelsesligningen ved éndimensjonal bevegelse. Elementære eksempler.

4. Frie og tvungne elastiske svingninger............................................

16

Egensvingninger og egenfrekvens. Tvungne svingninger. Resonans. Elektrisk svingekrets med selvinduksjon og kapasitet.

5. Dempede svingninger..............................................................................

20

Forandring av frekvens og amplitude. Periodiske og aperiodiske svingninger. Tvungne dempede svingninger. Forandring av am­ plitude og forskyvning av fase ved tvungne dempede svingninger. Tvungne dempede elektriske svingninger. Den ytre krafts ar­ beide og oscillatorens energi ved dempede svingninger.

6. Andre svingningsproblemer.................................................................

26

Det matematiske pendel. Sykloidpendelet. Anharmoniske oscilla­ torer. Molekylsvingninger og planetbevegelse.

7. Flerdimensjonale problemer.................................................................

34

Kinetisk og potensiell energi ved konservative krefter. Innledende bemerkninger om integrasjon av bevegelsesligningene for flerdimensjonale systemer. Den frie partikkels bevegelse.

8. Impulslov og momentsats for partikkelsystemer eller faste legemer...................................................................................................... Definisjon av tyngdepunkt, impulsmoment og treghetsmoment. Tyngdepunktsloven. Flatesatsen. Arbeide og kinetisk energi

41

VI referert til tyngdepunktet. Anvendelse av flatesatsen til bestem­ melse av planet baner.

9. Relativ bevegelse...........................................................

Side 47

Aksesystemer med ujevn bevegelse. Relativ akselerasjon. Bevegelsesligninger i relative koordinater. Fritt fall i forhold til den roterende jord. Foucaults pendel. Kapitel 2. LAGRANGES OG HAMILTONS MEKANIKK.

10. Prinsippet om det virtuelle arbeide og d’Alemberts prinsipp.

55

Antall frihetsgrader for et system av massepunkter. Virtuelle for­ skyvninger og virtuelt arbeide. Generelle koordinater. d’Alemberts prinsipp.

11. Lagranges ligninger i generelle koordinater ..............................

63

Treghetskrefter uttrykt ved den kinetiske energi.

12. Fermats, Maupertuis’ og Hamiltons prinsipp..............................

65

Fermats prinsipp om den korteste lystid eller korteste «optiske» lys vei. Maupertuis’ prinsipp om den minste virkning. Hamiltons prinsipp.

13. Andre utlodninger og anvendelser av de Lagrangeske ligninger

72

Utledning av de Lagrangeske ligninger ved hjelp av Hamiltons prinsipp. Direkte utledning fra bevegelsesligningene. De La­ grangeske ligningers form ved ikke-konservative krefter. De relativistiske ligninger i den Lagrangeske form.

14. Delvis integrasjon av de Lagrangeske ligninger.........................

78

Generaliserte impulser. De Lagrangeske ligninger og energifunksjonen. Den kinetiske energi i den relativistiske mekanikk. Den kinetiske energi ved elektromagnetiske krefter.

15. Hamiltons ligninger...........................................................................

82

Energien som funksjon av koordinater og impulser. Utledning av Hamiltons ligninger fra de Lagrangeske. De kanoniske lig­ ningers sammenheng med Hamiltons prinsipp.

16. Generelle metoder for løsning av de kanoniske ligninger ....

87

Sykliske variable og bevegelseskonstanter. Hamilton-Jacobis differensialligning og virkningsfunksjonen. Integrasjon av beve­ gelsesligningene.

17. Kanoniske transformasjoner............................................................... Koordinat-impulsrom.

Den kanoniske transformasjonsfunksjon.

18. Løsning av bevegelsesproblemet ved separasjon av de variable Bane og banebevegelse.

92

95

VII Side

Kapitel 3. KONTINUERLIGE LEGEMERS DYNAMIKK.

19. Faste legemers bevegelse.....................................................................

98

Et legemes treghetsmoment og treghetsprodukter. Bevegelsesligninger for stive legemer. De Eulerske vinkler for rotasjonsbe-

vegelsen.

20. Bevegelse av et legeme om et fast punkt eller tyngdepunktet 104 Gyroskopet.

Precesjon av jevndøgnspunktene.

Gyroskopkom-

passet.

21. Indre bevegelse i faste legemer........................................................

114

Forrykning og deformasjon. Deformasjonstensoren. Eksempler på deformasjon. En-, to- og tredimensjonale kontinua.

22. Hamiltons prinsipp for kontinuerlige elastiske medier.............

120

Bevegelsesligninger og potensiell energi for den svingende streng. Potensiell energi og spenning for den svingende membran. Hamil­ tons prinsipp for tredimensjonale elastiske legemer.

23. Spenninger og elastisitetskoeffisienter............................................

12/

Flatekrefter eller spenninger. Antall elastisitetskoeffisienter for et fast legeme. Reduksjon av antall uavhengige elastisitetskoeffi­ sienter ved høyere gittersymmetri.

24. Bølger i isotrope elastiske medier.................................................... Utledning av den elastiske volumkraft. Transverselle og longitudinelle bølger. Longitudinelle bølger i ikke formfaste medier. Kapitel 4.

HYDRODYNAMIKK.

25. Væskers kinematikk............................................................................. Momentane koordinater og identifiseringskoordinater. Hastighets­ felt. Akselerasjon og totalt deriverte i hydrodynamikken. Kontinuitetsligningen for kompressible og inkompressible væsker. Hastig­ hetspotensial og Laplaces ligning for inkompressible væsker. Kinematiske grensebetingelser.

26. De hydrodynamiske bevegelsesligninger ........................................ Bevegelsesligninger for friksjonsfrie væsker. Bevegelsesligninger for væsker med indre friksjon.

27. Ideale væskers hydrodynamikk........................................................ Definisjon av ideale væsker. Stasjonær strømning i ideale væsker. Torricellis lov. Vena contracta.

28. Strømhvirvler i ideale væsker .......................................................... Kelvins sirkulasjonsteorem. Hvirvler og hvirvelrør. Helmholtz sats om hvirvelens bevarelse. Beregning av et hastighetsfelt når hvirvlingen er kjent. Den rettlinjede homogene hvirvel.

133

VIII Side

29. Strømninger i en inkompressibel ideal væske .......................... Todimensjonal strømning og konform avbildning. kring en kule.

159

Strømning om­

30. Bølger i ideale væsker.......................................................................

165

Gravitasjonsbølger. Bølger som skyldes molekylære krefter. Trykk­ bølger og lydbølger. Energi og energitransport i en trykkbølge.

31. Væsker med indre friksjon................................................................ 172 Alminnelige betraktninger. En væske mellom to roterende sylindre Strømning av en væske gjennom et rør. Poisseuilles lov. En kules bevegelse gjennom en seig væske.

Kapitel 5.

TERMODYNAMIKK.

32. Temperatur og temperaturskalaer................................................... Måling og definisjon av temperaturer. og absolutt temperatur.

181

Det absolutte nullpunkt

33. Tilstandsligningen...............................................................................

184

Tilstandsformer. Tilstandsvariable. Sammenheng mellom trykk, temperatur og volum. Tilstandsdiagrammer.

34. Varmelærens 1. hovedsetning...........................................................

188

Varme og energi. Loven om energiens bevarelse. Indre energi i en gas. Ideale gaser. Entropi for en ideal gas.

35. Varmelærens 2. hovedsetning...........................................................

193

Reversible og irreversible prosesser. Perpetuum mobile av 2. art. En varmekraftmaskins virkningsgrad. Virkningsgrad ved rever­ sible prosesser. Sammenligning av virkningsgraden for to varmekraftmaskiner. Entropien som tilstandsstørrelse. 2. hovedsetning og entropien. Entropilovens anvendelse på fordampning og smeltning.

36. Termodynamiske potensialer ...........................................................

203

Entropi og fri energi. Gibbs’ potensial og enthalpi. Maxwells termodynamiske relasjoner. Joule—Kelvins eksperiment. Bestem­ melse av den absolutte temperatur ved hjelp av ikke ideale gaser.

37. Tilstandsligninger for ikke ideale gaser....................................... van der Waals’ tilstandsligning. Waals-gas.

208

Kritiske data for en van der

Kapitel 6. KINETISK GASTEORI.

Innledende bemerkninger................................................................... 38. Sammenheng mellom kinetisk energi og trykk i en gas........ Bevegelsesmengde og trykk ved molekylstøt. Tilstandsligningen for en molekylær gas. Partialtrykk i gasblandinger.

212 214

IX Side

39. Hastighetsfordeling ved uordnet varmebevegelse....................... Støt mellom molekyler. Ekvipartisj onsteoremet.

Energiut veksling

mellom

molekyler.

40. Maxwells hastighetsfordelingslov ......................................................... Energiutveksling og hastighetsfordeling. Maxwells lov.

216

224

Strengere utledning av

41. Middelverdier av støtprosesser .........................................................

231

Middelverdier av hastighet og hastighetskvadrat. Middelverdier av relative hastigheter. Støttall og midlere fri veilengde for mole­ kyler i en gas.

42. Masse-, energi- og impulstransport i en gas................................

235

Utjevning av egenskaper i en inhomogen gas. Diffusjon. Diffusjonsligningen. Uordnet vandring av molekyler. Varmeledning.

43. Intermolekylære krefter og tilstandsligningen................................

243

Clausius’ virialteorem. Gastrykk og virial. Omformning av virialet ved sentralkrefter. Tilstandsligningen for molekyler av endelig størrelse. Tilstandsligningen ved kollisjonskrefter.

Kapitel 7. STATISTISK MEKANIKK.

44. Faseronimet og faseceller.....................................................................

249

Easerommet. Voluminvarians ved kanoniske transformasjoner. Liouvilles sats.

45. Termodynamisk sannsynlighet og entropi ....................................

254

Statistisk beskrivelse av sammensatte systemer. Fasecellenes a priori sannsynlighet. Termodynamisk sannsynlighet og termo­ dynamisk likevekt. Entropi.

46.

Boltzmanns fordelingslov. Sammenheng med termodynamikken 258 Stirlings formel. Betingelse for maksimal entropi. Boltzmanns lov. Temperatur, trykk og fri energi. Utledning av Stirlings formel.

47. Gaskinetiske anvendelser av den statistiske mekanikk...........

263

Midlere kinetisk energi og ekvipartisjonsteoremet. Tilstandslig­ ningen for en ideal gas. Midlere fri energi for en oscillator.

48. Gibbs’ form for den statistiske mekanikk.................................... Makrosystemer og mikrosystemer. Statistiske ensembler og kano­ niske ensembler. Termodynamiske størrelser i Gibbs’ statistikk. Tilstandsligningen for en ikke ideal gas.

267

Sidn

49. Kvantestatistikk ................................................................................... 273 Elementærpartikler og individualitet. Boltzmanns statistikk i ny form. Fermi-Diracs statistikk. Bose-Einsteins statistikk. Entropien og Nernsts teorem.

50. Anvendelser av den nye statistikk i gaskinetikken................. Fotongas og strålingsloven. Virialteoremet i kvantestatistikken. Tilstandssummer i kvantestatistikken. Ideale gaser ved svak degenerasjon. Sterk degenerasjon av en Bose-Einstein-gas. Nullpunktsenergi for en Fermi-gas. Fermi-gas ved sterk degene­ rasjon.

282

FORORD Dette 2. bind av «Matematisk og Teoretisk Fysikk», som kommer som nr. 3 i rekkefølgen, følger stort sett de samme linjer som B. 1 og B. 3. Det som er sagt generelt i forordet til disse gjelder derfor også her. Forfatteren har tillatt seg å følge sine egne linjer, og en eventuell kritikk må ikke bygge på den forutsetning at boken er skrevet ene og alene som lærebok for studenter på et visst utviklingstrinn og med sikte på å dekke et veldefinert pensum krav. Forfatteren har ikke villet vike tilside for en inngående mate­ matisk behandling, selv om denne på sine steder skulle ligge for høyt for gjennomsnittsstudentens nivå. Ved første gangs lesning bør leseren derfor omgå de vanskeligste partier. Dette kan så meget tryggere gjøres, som disse tenderer mot spesialiteter, mens de lettere avsnitt gjerne holder seg til det som vi kan betrakte som fysikernes felleseie. Dessverre har skrivningen av denne bok budt på så vidt mange store og små problemer at det fra begyn­ nelsen av ble besluttet å la være å aksentuere typografisk forskjellen mellom lett og vanskelig stoff. Dette må nu overlates til leseren, noe som kanskje slett ikke er bare til skade for studentene, da jo ikke bare evnene, men også interessene kan være høyst forskjellige. En utvikling av boken i retning av større volum fra bind til bind har vært uundgåelig. I foreliggende bind er dette resultat ganske naturlig i betraktning av at to store hovedavsnitt av fysikken er tatt opp til behandling, mekanikken og den statistiske varmelære. Denne utvikling vil fortsette også i 4. bind. Om første avdeling, mekanikken, kan det sies at den har fått en ganske utførlig generell behandling. De mere spesielle deler som stive legemers bevegelse, elastisitslære og hydrodynamikk er

også tatt med, til tross for at de tynger boken sterkt Om elastisitetslæren kan det sies at den har fått en selvstendig ny behandling ved at elastisitetskoeffisienter knyttes mer til kvadratiske former for den potensielle energi enn til den vanlige tensormessige frem­ stilling av flatekrefter. Det vanskeligste kapitel har uten sammenligning vært siste del, termodynamikken, den kinetiske gasteori og den statistiske mekanikk. Temaene har imidlertid vært grundig analysert, og jeg mener at det har lykkes, innenfor et rimelig volum, å få med de fleste grunnleggende trekk ved disse viktige grener av fysikken, som i tidens løp er blitt så omfangsrike. For verdifull assistanse er jeg fremdeles takk skyldig til flere av dem som er nevnt under forordet i B. 1.

Blindern, Oslo juni 1951.

Egil Hylleraas.

ANNEN DEL MEKANIKK OG STATISTIKK

KAPITEL 1

ELEMENTÆRE MEKANISKE PROBLEMER

1.

INNLEDNING

Mekanikken er et av hovedfundamentene for den teoretiske fysikk. Blant dem som har gitt grunnleggende bidrag til meka­ nikken finner vi, i oldtiden Archimedes fra Syrakus (287—212 f. Kr.), i den nyere tid Galileo Galilei (1564—1642) og Christian Huygens (1629—1695), dessuten indirekte Johannes Kepler (1571 —1630) ved sin oppdagelse av lovene for planetenes bevegelse. Mekanikkens grunnlegger frem for noen annen er imidlertid Isaac Newton (1642 —1727). Det grunnlag han la i sin bok Principia (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), som utkom i 1687, har stått uanfektet helt til Albert Einstein i 1905 fremsatte en noe modifisert form for mekanikken i sin spesielle relativitetsteori. Men mekanikken har ikke bare vært et hovedfundament. Den var gjennom et par hundre år det eneste fundament for den teo­ retiske fysikk. Gjennom D’Alemberts (1717—1783), Leonhard Eulers (1707—1783) og ikke minst Joseph Louis Lagranges (1730—1813) arbeider var den Newtonske mekanikk allerede be­ gynt å nå toppen av sin ydeevne i rent formell henseende. Spesielt Lagranges «analytiske mekanikk», bygd på innførelsen av helt generelle koordinater og med frigjøring fra mer omstendelige an­ skuelige geometriske betraktninger, var et mektig fremskritt. Be­ rømt er forordet i hans bok: Mécanique Analytique (1788): «Dans cette recherche on ne trouve pas de figures». Nevnes bør også visse integralprinsipper i mekanikken, som f. eks. «prinsippet om den minste virkning» (Maupertuis 1698— 1759) og det beslektede Hamiltons prinsipp (Hamilton 1805—1865). En videre fullkommengjørelse av mekanikken har vi i Hamiltons kanoniske ligninger og Hamilton—Jacobis metode for løsningen av disse (Jacobi 1804—1851). I den følgende tid gikk mekanikken sin seiersgang i astrono­ mien, hvor særlig Simon Pierre Laplace (1749—1827) gjorde en

9

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

stor innsats gjennom sin 5-binds Mécanique Céleste (1799__ 1825). Gjennom sine seire i astronomien, ved beregning av kjente og endog ukjente planeters (Neptun) baner, ble mekanikkens prestisje ytterligere sterkt øket. Etter løsningen av disse grunnleggende problemer i universet kunne mekanikken nu også vende seg mot nye problemer i mikro­ kosmos. I begynnelsen av 1800-tallet fremsatte John Dalton (1766—1844) sin atomhypotese, som i det følgende århundre skulle revolusjonere de fysiske vitenskaper. Samtidig hadde grev Rumford (1753—1814) og Humphrey Davy (1778 — 1829) gitt viktige bidrag til forståelse av varmens natur. Denne nye innsikt skulle i sin tid føre til den fulle forståelse ikke alene av varmens natur, men også til loven om energiens bevarelse, som ble fremsatt av Robert Mayer (1814—1878) og nøyere begrunnet av James Prescott Joule (1818—1889) og Hermann Helmholtz (1821 — 1894). Gjennom den kinetiske gasteori, grunnlagt av Rudolf Clausius (1822—1888) og James Clerk Maxwell (1831—1879) og ført videre fremover av Ludwig Boltzmann (1844—1906) og Josiah Willard Gibbs (1839—1903), rykket mekanikken inn også i atomlæren og termodynamikken. Hertil kommer at et annet stort område, optikken, etter Thomas Youngs (1773—1829) og Augustin Fresnels (1788—1827) opp­ dagelse av lysets interferensegenskaper, også var brakt inn under mekanikkens domene, riktignok via det hypotetiske mekaniske medium «lyseteren». Hele denne epoke med eneherredømme for mekanikken varte i prinsippet til år 1864 da Maxwell fremsatte sin revolusjonerende elektromagnetiske teori for lyset. I praksis varte tilstanden ennu i noen årtier, ifølge en art naturlig treghetslov som gjelder også i vitenskapen. Men fra år 1888, med Heinrich Hertz’ (1857—1894) oppdagelse av de elektromagnetiske bølger, var eneherredømmet definitivt slutt. De nye forestillinger, som den geniale forsker Micael Faraday (1791—1867) allerede tidligere hadde unnfanget, og som Maxwell hadde presisert i matematisk form i sine elektromagnetiske ligninger, vant fra nu av raskt frem. Maxwells og Hertz’ etterfølger Hendrik Antoon Lorentz (1853—1928) skapte videre på dette grunnlag en elektronteori for materien. Denne skulle vise seg å ha nettopp det rette tilsnitt for å passe inn i de mange nye opp­

1.

Innledning.

3

dagelser som veltet inn over fysikerne ved overgangen fra det 19. til det 20. århundre. De Maxwellske ligninger og Lorentz’ elektrodynamikk bærer også i sitt skjød de eiendommeligheter som i første rekke karakteriserer Einsteins relativitetsteori. Det er fra elektrodynamikken betegnelsen Lorentztransformasjoner stammer, og disse er ekvivalente med de relativistiske transformasjoner. Den videre utvikling av fysikken i det 20. århundre er ennu ikke gått over i historien som noe endelig avsluttet. I denne tid har en ny lærebygning reist seg, som på et ganske særlig sett har omformet og modifisert mekanikken, nemlig den såkalte kvanteteori, som er fundamentet for vår tids atomlære. Tross all denne brytning i de siste 50 eller 100 år står allikevel den Newtonske mekanikk fremdeles som en grunnpillar i den teoretiske fysikk. Gjennom relativitetsteorien og kvantemekanikken er den blitt modifisert, av den første ved hastigheter av legemer av størrelsesorden nær lyshastigheten, av den siste ved avstander og dimensjoner eller partikkelmasser av atomistisk størrelsesorden. Men den forsvarer allikevel sin plass, ikke bare fordi den frem­ deles har full praktisk gyldighet for det store flertall av prosesser i naturen, men enda mer på grunn av de store og bærende prin­ sipper den har brakt frem i dagen og som griper inn på alle om­ råder, og hvorav prinsippet om energiens bevarelse er et av de mest fremtredende.

II — 2

4

Kap. 1. Elementære mekaniske problemer.

2.

MEKANIKKENS GRUNNLOVER. DE NEWTONS KE AKSIOMER.

Karakteristisk for Newtons formulering av mekanikkens grunn­ lover er at de innføres i aksiomatisk form. De fremsettes i form av tre lover med tilhørende definisjoner og hjelpesetninger. Treghetsloven. Den såkalte treghetslov, som allerede er funnet av Galilei, er formulert i Newtons 1. lov: Ethvert legeme forblir i sin tilstand av ro eller jevn, rettlinjet bevegelse dersom det ikke av krefter utenfra blir tvunget til å forandre sin tilstand. Den innsikt i naturprosessene denne lov uttrykker, er historisk sett overordentlig betydningsfull. Den stiller, i motsetning til tid­ ligere tiders oppfatning, hviletilstanden for et legeme og den jevnt rettlinjede bevegelse på like fot. Der trenges ingen ytre kraft for å vedlikeholde en bevegelse. Den fortsetter uforandret som følge av en iboende egenskap hos alle legemer, som vi kaller tregheten.

Newton presiserer loven skarpere ved å innføre definisjoner av bevegelsesmengde og masse. Bevegelsesmengden er lik produktet av legemets hastighet og den mengde materie det inneholder. I stedet for materiemengde innfører Newton senere det synonyme begrep masse, som da i virkeligheten er et mål for legemets treghet. På denne måte kan han skrive p = mv

(2.1)

hvor v er legemets hastighet, m dets masse og p bevegelsesmengden, som likesom hastigheten blir en vektor. Matematisk kan da treg­ hetsloven uttrykkes ved ligningen

p = konst.

under forutsetning av at legemet. At treghetsloven i sin bl. a. derav at Immanuel gis «to slags bevegelser», en

(2)

det ikke er noen ytre påvirkning på tid langt fra var selvinnlysende ser vi Kant så sent som i 1747 hevder at det sort som opphører etter noen tid, og en

2. Mekanikkens grunnlover.

5

De Xewtonske aksiomer.

annen som er varig. Etter treghet slo ven er de første bevegelser slike som er utsatt for friksjon, altså ytre krefter. Betegnelsen bevegelsesmengde for p vil vi i det følgende ofte erstatte med ordet impuls, som også brukes om størrelsen kraft ganger tid, idet impuls samtidig gir bedre uttrykk for vektorkarakteren av denne størrelse. Treghetsloven er derfor likeverdig med loven om impulsens bevarelse for systemer av legemer og identisk med denne lov for et enkelt legeme (materielt punkt).

Mekanikkens grunnligning.

Den egentlige lov for et legemes bevegelse finner vi i Newtons 2. lov: Forandringen i bevegelsen (bevegelsesmengden) er proporsjonal med påvirkningen fra den bevegende kraft og skjer i retning av den linje hvori denne kraft virker.

Med forandring i bevegelsen menes her utvilsomt den tidsderiverte av bevegelsesmengden. Loven kan følgelig matematisk uttrykkes slik p = F.

p = mv,

(2.3)

hvor F er den virkende kraft, eller direkte d ,

x

(4)

- (m®) = F.

Denne lov uttaler seg altså om den lovmessige forandring av et legemes impuls under påvirkningen av en kraft og kan derfor best betegnes som impulsloven eller impulssatsen. En vanligere be­ tegnelse er imidlertid akselerasjonsloven. Dette kommer av at Newtons 2. lov som oftest skrives på formen ma = F eller mv = F,

(5)

idet man stilltiende forutsetter at et legemes masse er konstant.

En må virkelig undre seg over den forutseenhet Newton her bevisst eller ubevisst har lagt for dagen. I relativitetsteorien møter vi jo nettopp det forhold at akselerasjonen ikke uten videre er proporsjonal med den virkende kraft, på grunn av at alle legemer har en masse som avhenger av hastigheten,

6

Kap. 1. Elementære mekaniske problemer.

m = mj

1 — t?2/c2,

(2.6)

hvor c er lyshastigheten. I relativitetsteorien må derfor Newtons 2. lov brukes i den form Newton opprinnelig ga den, som i lign. (3 og 4).

Newtons tredje lov.

Newtons tredje lov inneholder det kjente prinsipp om actio og reactio og lyder: Virkningen er alltid lik motvirkningen, eller, den gjensidige virk­ ning av to legemer på hverandre er alltid like stor og motsatt rettet. Dette betyr at kreftene i naturen alltid opptrer parvis. Prim sippet om actio og reactio gjelder like meget for avstandskrefter som for berøringskrefter. Trykk er alltid lik mottrykk. Ved et legeme i jordens tyngdefelt synes ved første øyekast bare én kraft å være gitt, idet vi vanskelig kan forestille oss legemets reaksjonsvirkning på selve feltet. Ser vi imidlertid på det legeme som frembringer feltet, altså jorden, blir saken klar. Legemet i tyngde­ feltet tiltrekker jorden med en kraft av nøyaktig samme størrelse som tyngden av legemet.

Prinsippet om actio og reactio griper ikke inn i vår behandling av et enkelt legemes bevegelse under påvirkning av gitte krefter, Det får først betydning under behandlingen av sammensatte systemer. Og det kunne endog unnværes eller utledes på annen måte om vi ville godta andre nærliggende postulater, som f. eks. at et sammensatt legeme eller et system av legemer ikke kan sette seg selv i bevegelse ved hjelp av indre krefter alene. Med beve­ gelse må vi da i dette tilfelle forstå bevegelse av tyngdepunktet (massemiddelpunktet).

Før vi gar videre bør vi stanse opp et øyeblikk , , & J 7 . ved begrepet krajt, som har vært meget om­ diskutert gjennom tidene. Skal begrepet ha en klar fysikalsk mening, må vi angi hvordan krefter måles. Ofte måles krefter nettopp ved den akselerasjon de frembringer på legemer med kjent masse, idet man støtter seg på Newtons 2. lov. Definerer vi kraft

,

Kraft og arbeide.

2.

Mekanikkens grunnlover.

De Newtonske aksiomer.

i

på denne måte, får vi bare en ordforklaring, og kraftbegrepet mister sin selvstendige betydning. Dette syn på kraftbegrepet er det Gustav Kirchhoff (1824—1887) og senere Heinrich Hertz har gjort seg til talsmenn for. Imidlertid kan krefter også måles direkte på annen måte. Vi står her overfor en lignende situasjon som ved måling av tempera­ turer. En spiralfjær til måling av en kraft kan sammenlignes med f. eks. et kvikksølvtermometer. Jo større stigning av kvikksølvsøylen, desto høyere temperatur. Jo større strekning av spiralfjæren, desto større kraft. Vi kan imidlertid ikke uten videre sette kraften proporsjonal med forlengelsen av spiralfjæren. Det ville gi et rent individuelt kraftmål på lignende måte som et enkelt termometer vil gi en individuell temperaturskala. Derimot kan vi ved hjelp av en spiralfjær konstatere at to krefter, f. eks. tyngden av to forskjellige lodder, er like. Ved å addere kreftene fra en hel rekke slike lodder eller enheter, kan vi da skaffe oss kjente krefter av forskjellig størrelse og på denne måte kalibrere enhver spiralfjær eller annen kraftmåler på helt ensartet kvantitativ måte. Vi kommer altså her over til en rasjonell kraftskala meget lettere enn vi i termo­ dynamikken kommer over til en rasjonell temperaturskala. Anvendelsen av slike spiralfjærer eller andre kraftmålere er ikke bundet til statiske krefter alene. Vi kan også tenke oss dem festet mellom legemer i bevegelse og at vi dermed kan måle de krefter som da virker mellom legemene. På denne måte kan vi, i det minste i prinsippet, gi en mening til begrepet virkende krefter både for legemer i ro og legemer i bevegelse. En annen sak er at kraftenheten, representert ved et legemes vekt i et gitt tyngdefelt, ikke er så lett reproduserbar, da vekten av legemet ikke er en egenskap som avhenger av legemet alene, men også av tyngdefeltets styrke. En uforanderlig egenskap er derimot massen. Derfor foretrekkes masseenheten fremfor kraft­ enheten i det vitenskapelige målsystem, og dette passer godt inn i den faktisk foreliggende situasjon at krefter vel som oftest måles og angis ved hjelp av den akselerasjon de frembringer på legemer med kjent masse. Da massen regnes i enheter lik massen av gramloddets eller kilogramloddets masse, fører dette som kjent til et særskilt målsystem, det såkalte vitenskapelige eller «absolutte» målsystem, i motsetning til det tekniske målsystem. Når masse-,

8

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

lengde- og tidsenhetene er gram, centimeter og sekund, kalles systemet spesielt Ctz/S-systemet’ I dette system kalles kraft­ enheten dyn, og den er i størrelse omtrent 1/981 av gramloddets vekt. Når kraftenheten er definert, kan vi også definere begrepet arbeide, som er kraft x vei, eller matematisk uttrykt for et legeme eller massepunkt som flyttes et stykke dr dA—Fdr.

(2.7)

I Principia tilføyer Newton også en fjerde . ° J lov eller rettere hjelpesetning, som imidlertid var kjent og diskutert allerede tidligere. Denne lov går ut på at krefter adderes vektorielt, slik at flere krefter Fx, F2, har samme virkning som en enkeltkraft F, som er gitt ved r»

„

rarallellogramsatsen.

F = F± + F2 +

(8)

Dette er nøyaktig parallellogramsatsen, at to krefter som angriper i samme punkt får en resultant svarende til diagonalen i det parallellogram som de to krefter definerer, når kreftene illustreres geometrisk ved sin retning og størrelse.

Koordinatsystemer. Det «absolutte» rom.

I sin innledning til Principia sier Newton at det absolutte rom ifølge sin natur og uten hensyn til ytre ting forblir uforandret

og ubevegelig. Denne oppfatning er den eneste som er virkelig umoderne i Newtons lærebygning. Det er derfor ikke så forbausende at New­ ton selv aldri har gjort bruk av forutsetningen. All bevegelse må regnes i forhold til et eller annet stivt legeme eller geometrisk uforanderlig materielt system, et koordinat­ system. Det som følger av Newtons lover, spesielt hans annen lov i formen ma = F, (9) er at vår formulering av lovene forutsetter at bevegelsen refereres til en bestemt klasse av koordinatsystemer. Definisjonen av slike

2.

Mekanikkens grunnlover.

De Newtonske aksiomer.

9

koordinatsystemer kunne vi til en viss grad trekke direkte ut av Newtons 1. lov, treghetsloven, idet ethvert legeme som overlates til seg selv og beveger seg bare som følge av sin egen treghet vil kunne brukes som koordinatsystem. Et slikt legeme vil nemlig ikke ha noen akselerasjon i forhold til andre legemer som beveger seg fritt, og et legeme som påvirkes av krefter vil ha samme akselerasjon i forhold til alle slike legemer. Da Galilei er oppdageren av treghetsloven, kalles slike koordi­ natsystemer Galileiske. Ville vi holde fast på Newtons forestilling om det absolutte rom, måtte vi tenke oss at alle Galileiske systemer beveget seg med jevn hastighet i forhold til dette. Det følger imidlertid av selve bevegelseslovene at vi ikke har noe middel til å påvise hvilket eller hvilke av disse systemer eventuelt skulle representere det absolutte rom. Transformasjoner av koordinater og bevegelsesligninger fra ett Galileisk system til et annet kaller vi Galileiske transformasjoner. De forandrer ikke bevegelsesligningenes form. Derav følger at også de virkende krefter heller ikke avhenger av koordinatsystemet så lenge vi holder oss til de Galileiske systemer.

Annerledes stiller det seg om vi henfører bevegelsen til et koordinatsystem som selv har en akselerasjon. Da vil kreftene forandres. La oss si at vi henfører en kraft til en elevator som plutselig får lov å falle fritt. En spiralfjær som tidligere er ut­ spent ved en vekt vil like plutselig trekke seg sammen. Tyngde­ kraften er «opphørt». Det samme forhold opplever vi på jorden, som «faller» fritt i solens tyngdefelt. Vi kan ikke merke solens tiltrekning på oss selv eller på et annet legeme så lenge vi refe­ rerer all bevegelse til jorden selv. Alt dette vil komme tydeligere frem under vår senere drøftelse av relativ bevegelse. Vi skal her bare nøye oss med å bemerke at Newtons opprinnelige formulering av mekanikkens grunnligning

nødvendiggjør andre transformasjoner enn de Galileiske om man forutsetter massen variabel med hastigheten som i relativitets­ teorien. Slike transformasjoner har man i de allerede nevnte Lorentztransformas joner.

10

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

La oss betrakte to koordinatsystemer som har en gjensidig hastighet v i forhold til hverandre i x-aksens retning, og la oss kalle det ene sett koordinater x, y, z, og det andre x', y’, z', samtidig som vi betegner tiden med t og t'. De Galileiske trans­ formasjoner lyder da x=x — vt,

y' = y,

z’=z,

t'= t,

(2.11)

mens Lorentztransformasjonene tar formen x — vt =, Vl— V2/c2

, y = y,

z =z,

t — xvfc1 t =— ------ L—. ^/]_—V2/c2

(12)

Disse transformasjoner er særlig inngående behandlet i slutten av B. 3, «Elektrisitet og Magnetisme».

3.

11

Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser.

3. FALLBEVEGELSE OG ANDRE ÉNDIMENSJONALE BEVEGELSER

Vi vil foreløbig holde oss til den såkalte punkt mekanikk, hvor et legeme representeres ved et enkelt materielt punkt hvis beve­ gelse er definert ved dets tre koordinater. På denne måte reduserer vi antallet av legemets frihetsgrader fra 6 til 3, idet vi ser bort fra rotasjonen. Dette svarer til bestemte virkelige forhold, nemlig at legemets tyngdepunkt beveger seg som et materielt punkt med masse lik legemets samlede masse når dette utsettes for en resultantkraft lik summen av alle krefter på legemets enkelte deler. I punktmekanikken vil et system av V legemer ha 3M frihets­ grader. Ved å betrakte bare ett enkelt legeme reduserer vi i første omgang antallet av frihetsgrader til 3, svarende til materiepunktets (eller tyngdepunktets) tre romkoordinater. Vi skal imidlertid til å begynne med gå videre i vår forenk­ ling og først betrakte éndimensjonale bevegelser, f. eks. bevegelse i én koordinatretning. Denne forenkling passer godt f. eks. ved fallbevegelse, hvor det ikke virker noen krefter i horisontal ret­ ning, slik at vi kan oppnå at bevegelsen virkelig er éndimensjonal. Et legeme kan også ved tvang føres slik at dets bevegelser kan beskrives ved hjelp av en eneste koordinat. Et slikt eksempel har vi i et alminnelig pendel som svinger i et plan og om en fast akse. Dets stilling er bestemt ved ut slags vinkelen alene.

k *• i r • » Generelle betingelser for intei ! v • grasjon av bevegelsesligningen ved éndimensjonal bevegelse.

Vi betrakter bevegelsesligningen for . ® & ® et materielt 1punkt med én frihetsgrad & mv = F

(3-1)

og undersøker de generelle muligheter for integrasjon av ligningen. Vi tenker oss at kraften varierer på forskjellig måte. Den kan avhenge av tiden, den kan avhenge av bevegelsestilstanden, f. eks. av det sted partikkelen befinner seg på, eller av hastigheten. Vi skal nu vise at ligningen i alle disse tre tilfeller kan integreres elementært, forutsatt at F avhenger av bare én enkelt av disse nevnte størrelser. Med elementær integrasjon forstår vi da opera­ sjoner som inneholder bare alminnelige kvadraturer.

12

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

Tidsavhengighet alene. F = F (t). Ligningen løses ved alminnelig kvadratur.

Vi får v — G (t) og

setter vi v — x, får vi ved ny integrasjon x = H (t). Den første ligning inneholder én integrasjonskonstant, den siste to. Disse integrasjonskonstanter kan tilpasses en gitt utgangshastighet og utgangsstilling. 2. Hastighetsavhengighet alene. F = F (v).

I dette tilfelle kan vi sette 1/v — dt/dv.

Vi får da

og herav igjen

v = G (0,

(3)

og vi er i samme situasjon som under punkt 1. Stedsavhengighet alene. F = F (x). Vi multipliserer (1) med v = x og får ved integrasjon

^»2 = Æ-F(z), 2 V = — f F (x) dx,

1 (4)

j

hvor E er en integrasjonskonstant. Lign. (4) vil vi senere lære å kjenne i mere kompliserte former som energiligningen. Ved omformning finner vi

og dermed x = g (t). Ved kombinert avhengighet av tid, sted og hastighet for kraften F = F (x, v, t) vil bevegelsesligningen i alminnelighet ikke kunne integreres elementært. Et nøyere studium viser at dette lykkes bare når kraften avhenger lineært av stedskoordinaten x

og hastigheten v = x, f. eks. F = — ax — bx + f (t).

(6)

Dette henger sammen med at lineære differensialligninger er så meget lettere å løse enn ikke lineære. Og da koordinat og hastig-

3.

Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser.

13

het jo er avhengig variable, må kraftens avhengighet av disse være lineær for at ligningene skal bli lineære. Ligningen mx + b x + ax = f {t), (3.7) som svarer til en kraft av formen (6), løses som kjent ved at man først finner en spesiell løsning, og dernest løser generelt den til­ svarende homogene ligning

mx + bx + ax = 0.

(8)

Løsningene av den inhomogene ligning fåes da ved å føye løsnin­ ger av den homogene ligning til den ene spesielle løsning av den inhomogene ligning. Når a og b er konstanter, er løsningene av den homogene lig­ ning (8) meget enkle. Vi får enten periodiske sinus- og cosinusfunksjoner eller eksponentialfunksjoner med reelt argument. Når b 4= 0, får vi produkter av slike funksjoner, b = 0 svarer som regel til enkle udempede svingninger, mens b =b 0 {b > 0) svarer til forskjellige typer av dempede svingninger. Når f {t) 4= 0, får vi ved siden av disse frie svingninger også tvungne svingninger.

Elementære eksemp er.

1. Fritt fall. }egeme faller, er det legemets tyngde

som er den drivende kraft, og denne er lik mg, når legemets masse er m og tyngdens akselerasjon g. I Newtons bevegelses­ ligning kan vi forkorte med massen m og får da z = g eller v = g, (v = z),

(9)

om vi betegner den vertikale koordinat, regnet ovenfra og ned­ over, med z. Dette er den enklest tenkelige bevegelsesligning, idet kraften {mg) er uavhengig av både tid, sted og hastighet og ganske enkelt er en konstant. Integrasjonen foregår i to etapper og gir v = v0 + gt,

|

z = z0 + vot + %gt12. Vq og z0 er to integrasjonskonstanter som vi kan tilpasse de eventuelt kjente størrelser, hastigheten og stedskoordinaten ved tiden t = 0.

14

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

2. Fall ved luftmotstand. Vi kan her skjelne mellom to tilfeller

F=mg—mkv,

(3.11a)

F = mg — mav2.

(11 fo)

I begge tilfeller har vi en friksjonsmotstand. Det første svarer til forholdene ved langsom bevegelse, ved fall av meget små cg lette legemer, det siste til store hastigheter som oppnåes av tunge massive legemer. I alminnelighet vil friksjonen ved luftmotstand vel svare til en kombinasjon av et lineært og et kvadratisk ledd. Skjønt integrasjonen også da ikke byr på noen prinsipielle vanskelig­ heter, skal vi forenkle løsningene ved å betrakte de to tilfeller (Ila) og (Hb) hver for seg. Av (Ila) får vi ligningen

v = g — kv.

(12)

Her har vi i vx = g/k en spesiell løsning av den inhomogene lig­

ning, og da den homogene ligning v = — kv har løsningen v.2 = ce~lt, kan en løsning med gitt begynnelseshastighet v — skrives = (v0 - .?/£) e ~kt + g/k.

(13)

vi — g/k er den grensehastighet som oppnåes etter lengre tids fall Av lign. (11b) får vi v = g — av2.

(14)

\ i kan her støtte oss på den generelle metode vi har angitt i lign. (2), men vi kan også gå frem på følgende måte: Vi finner som spesiell løsning grensehastigheten v1 = \/g/a. Setter vi v = v1 + v2, får vi en enklere, men ikke lineær ligning i v2. Eti lineær ligning oppnår vi imidlertid ved å erstatte v2 med konst./w, altså ved f. eks. å sette

v = y/g/a (1 - 2/w).

(15)

For u får vi da ligningen

u = 2 -\/ga (u — 1),

(16)

u — 1 = Ce2^«at,

(17)

a Itså

3. Fallbevegelse og andre éndimensjonale bevegelser.

15

eller

v = y/gja

- l)/(Ce‘-W +1).

(3.18)

Løsningen kan tilpasses en bestemt utgangshastighet v0 ved at vi setter C = (^g/a + v^Ky/g/a — v0). (19)

3. Elektrisk slrømkrets med fast motstand.

I den teoretiske fysikk kan den matematiske behandling av problemer fra vidt forskjellige områder ofte være meget nær eller nøyaktig den samme. Dette kommer av at problemene gjerne fremtrer i form av differensialligninger, som ofte blir like eller likeartede, særlig når ligningene er av den lineære type. En elektrisk strømkrets med fast motstand f. eks. vil svare til det første tilfelle vi har behandlet for fall med luftmotstand (Ila). Betegner vi den elektromotoriske kraft i strømkretsen med E, vil denne svare til legemets vekt mg, strømstyrken I til hastig­ heten v, og den elektrisitetsmengde t

q = J I dt (20) o som har passert et tverrsnitt av strømkretsen, til den tilbakelagte veilengde eller fallhøyde z for legemet. Videre vil den ohmske motstand R i strømkretsen svare til luftmotstanden mk, og endelig selvinduksjonen L til legemets treghet eller masse m. Vi får derfor følgende ligning for strømkretsen

dl L~f-= E — RI, dt

(21)

med løsningen

I = (/0 - EIR)

' + E/R.

(22)

Metningsstrømmen E/R svarer til grensehastigheten g/k ved lege­ mets fall i luft.

16

Kap. 1.

4.

Elementære mekaniske problemer.

FRIE OG TVUNGNE ELASTISKE SVINGNINGER

Vi har hittil behandlet tids’ °g stedsuavhengige kre£ter' Da tidsavhengige krefter stort sett er de som bringer de største vanskeligheter i meka­ nikken, er det naturlig å studere de stedsavhengige krefter først. Av disse har vi igjen en særskilt sort, som fører til harmoniske, monokromatiske svingninger (svingetiden uavhengig av svingningenes størrelse), nemlig de elastiske (eller kvasielastiske) krefter. Disse svingninger kan vi med letthet studere også når de opptrer i form av tvungne svingninger under innflytelse av ytre tidsavhengige krefter. Grunnen til at forholdene i dette tilfelle er så vidt enkle, er at de kvasielastiske krefter fører til lineære be­ vegelsesligningen Vi fortsetter med å betrakte éndimensjonale bevegelser og betegner utslaget av et svingende system med x, hva enten dette er en koordinat for en enkelt partikkel eller f. eks. ut slagsvinkelen for et pendel. En kvasielastisk kraft defineres som en kraft som vokser proporsjonalt med utslagets størrelse og driver partikkelen (oscillatoren) tilbake i retning mot utgangsstillingen. For den éndimensjonale oscillator kan den skrives Egensvingninger o» egenfrekvens.

F = — ax.

(4,1)

Kaller vi partikkelens masse (eller oscillatorens treghet) m, får vi ligningen

mx + ax = 0.

(2)

Denne lineære differensialligning med konstante koeffisienter løses som kjent ved å sette x = C'e'’h

(3)

hvilket gir en annengradsligning for o med to verdier Q = ± i (oo,

m0 = \Za/m.

(4)

De to lineært uavhengige løsninger er altså eksponentialfunksjoner med positivt og negativt argument, som også kan uttrykkes ved sinus- og cosinusfunksjoner,

x = Ci sin co01 + c2 cos

= A sin (co01 + r),

A = v^i2 + c22, r; = arctg (c^c^.

4. Frie og tvungne elastiske svingninger.

17

Trekker vi dem sammen til én funksjon som ovenfor, kalles A amplituden og rt fasen for disse frie egensvingninger. co0 = 2vrr0 kalles sirkelfrekvensen, mens r0 = 1/77, hvor T = l/r0 = 2 7i{a>0 er tiden for en full svingning, kalles frekvensen. Da v0 er frekvensen for de frie svingninger, kaller vi den videre egenfrekvensen, men dette uttrykk brukes undertiden for korthets skyld også om co0. Navnet frie svingninger eller egensvingninger brukes for å betegne at svingningene fortsetter med uforandret utslag og energi når de først er satt i gang. Hvis vi ønsker å tilpasse de to integrasjonskonstanter i løs­ ningen til en oppgitt utgangsstilling x = x0 og utgangshastighet x = v =v0, kan dette gjøres ved å sette x = x0 cos co0 t + (v0/co0) sin co0b

(4.6)

Når en ytre tidsavhengig kraft virker på oscillatoren, vil denne måtte utføre tvungne svingninger, samtidig som også dens egensvingning settes i gang. En tidsavhengig kraft kan for en begrenset tid oppløses i en Fourierrekke, og for et uendelig tidsrom i et Fourierintegral. Når vi har med lineære ligninger å gjøre, kan vi derfor alltid betrakte hver for seg de enkelte monokromatiske komponenter av den ytre kraft. Hvis en slik kraft har svingefrekvensen cj og amplituden Fo, Tvungne svingninger.

F = Fo sin (att + /;),

(7)

blir svingeligningen for en oscillator med egenfrekvens w0 og masse m

x +

co02æ

= (F0/m) sin (æt + /,).

(8)

En løsning av denne inhomogene ligning har vi i xi = [F0/m (co02 — co2)] sin (co i +

(9)

Den generelle løsning får vi ved til denne å addere frie sinus- og cosinussvingninger med vilkårlig amplitude. Ønsker vi spesielt at

utslag og hastighet, x og x ved t = 0 skal ha bestemte verdier x0 og v0, kan dette oppnåes ved å velge passende amplituder. Vi finner x = x0 cos a>0 t + (ro/wo) sin + [F0/m (co02 — co2)] • • [sin (mI + /J — sin

cos co01 — (co/co0) cos r] sin cooZ].

(10)

18

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

Vi Ser at vi her får to arter av svingninger, en med samme frekvens og fase som den ytre kraft og med amplitude som angitt for xt i lign. (9). Hertil kommer de to uavhengige frie svingninger, som fortsetter med uforandret ampli­ tude når de først er satt i gang. Med gitt utgangstilstand x = x0,

Resonans.

% ~ ? blir imidlertid amplitudene for cos ledes ved en ytre kraft enn uten denne.

og sinco0t anner­

Den nøyaktige formel (10) er til nytte når vi nu skal diskutere det fysikalsk viktige fenomen som kalles resonans. Av ligningene (9) og (10) ser vi nemlig at amplituden for den tvungne svingning blir uendelig stor når frekvensen for den ytre kraft nærmer seg egenfrekvensen co0, dvs. systemet sprenges etter kort tid.

For å kunne studere svingningene i detalj for en begrenset tid må vi derfor angi hvilken utgangstilstand x0, v0, oscillatoren er i ved et gitt tidspunkt, f. eks. t = 0. La oss anta x0 = 0, v0 = 0, slik at de to første ledd i uttrykket (10) forsvinner. Lar vi nu oj -> m0 eller a>0 -> u), får vi et null-nulltedelsuttrykk, hvis riktige verdi finnes ved f. eks. å derivere teller og nevner med hensyn på m eller co0 og sette w og w0 like. Vi får da æ = (F0/2m o)2) [cos

sin a>t — ot cos (cot + ?y)j.

(4.11)

Det er det siste ledd som for t -> oo vokser mot uendelig, men amplituden vokser bare suksessivt og proporsjonalt med tiden, og i gjennomsnitt etter loven

•^rnax ~ (Fo/2 m co) t.

Fig. 1.

Tvungne udempede svingninger ved resonans.

(12)

4.

Frie og tvungne elastiske svingninger.

19

Ved elektriske svingekretser er det kaPaslteten G av ™ kondensator, innskutt i kretsen, som svarer til den kvasielektriske motkraft for en oscillator. Årsaken er klar. Når kondensatoren lades opp, oppstår det en motspending i kretsen, som svarer til spenningen på kondensatoren eller spenningsfor­ skjellen mellom platene ved en platekondensator. Denne er V=q/C, om q er ladningen. Jo større kapasiteten er, desto mindre er motspenningen eller, om vi vil, den kvasielastiske kraft. Svingeligningen for kretsen blir

Elektrisk svingekrets med selvinduksjon og kapasitet.

Lq + (1/C) q = 0.

(4.13)

Egenfrekvensen og svingetiden for kretsen blir derfor w0=l/\/LC,

T = 2n\/LC.

(14)

Forøvrig blir forholdene med tvungne svingninger og resonans nøyaktig de samme som ved en mekanisk oscillator.

II — 3

20

Kap. 1.

5.

,

Elementære mekaniske problemer.

DEMPEDE SVINGNINGER

Forandnng av frekvens °» amP ltu e>

Om en oscillator utsettes for en friksjons. , , . . kraft kan svingelignmgen fremdeles løses elementært, forutsatt at friksjonskraften er ,

lineær i hastigheten x = v som ved det tilfelle vi først behandlet ved fall med luftmot stand. Vi får imidlertid i dette tilfelle sving­ ninger med avtagende amplitude eller dempede svingninger. La oss for enkelhets skyld sette dempningskraften lik — 2mkx slik at vi som ved det kvasielastiske ledd ax = mco02 x kan forkorte med m. Vi får da følgende ligning for de frie svingninger:

x + 2kx + æ02 x = 0.

(5.1)

Denne ligning kan løses etter samme metode som i (4.3), men de mulige verdier av g blir nu o = — k ± i y/co02 — k2.

(2)

De to lineært uavhengige løsninger vil derfor inneholde en felles faktor e~kt, som fremstiller dempningen av svingningene. Forøvrig vil løsningene inneholde eksponentialfunksjoner eller sinus- og cosinusledd med en modifisert egenfrekvens

co0 = 'X/w02 — k2.

(3)

Den generelle løsning av lign. (1) med to integrasjonskonstanter kan skrives x = e~kt (cx sin a>Qt + c2 cos co0f), (4)

eller, om vi tilpasser den til en gitt utgangstilstand, x = e~kt [x0 cos Q.

u • t i svinirninffer

-1-1

renodiske og aperiodiske

(5.6)

har hittil stilltiende forutsatt k o • .

HviS k =

elleT k >

’ vil dpn foran

angitte egenfrekvens co0 bli null eller imaginær. Dette betyr at svingningene ikke lenger er periodiske, og vi taler derfor i dette tilfelle om aperiodiske svingninger. Vi vil undersøke hvilken karakter disse har for k > t].

(7)

Av siste uttrykk ser vi at x for positive x0 og r0 alltid er positiv. For positiv x og negativ r0 < (k + k') x0 vil det første, og nu negative ledd dominere for store t. Vi får derfor de to mulige svingningsformer som er fremstilt i fig. 3.

Fig. 3.

Aperiodiske svingninger.

22

Kap. 1.

Elementære mekaniske problemer.

De aperiodiske svingninger for grensetilfellet k = ____ 2— (23) 8 mk2 w02 — %k2 og altså større. Derivasjon av uttrykket (22) viser imidlertid at maksimum i virkeligheten ligger ved

co2 = — oj02 + 2 w0 -\/wo2 ~ ^2 og har verdien F-

8mk2

di I 2 \ y/W(2_k2

Forskjellen mellom (23) og (25) er meget liten.

Fig. 4. Amplitude og fase for tvungne, dempede svingninger som funksjon av frekvensen.

(“4)

26

Kap. 1.

6.

Elementære mekaniske problemer.

ANDRE SVINGNINGSPROBLEMER

Vi skal nU se På noen andre enkle sving­ ningsproblemer, som ikke lenger kan be­ skrives ved lineære differensialligninger og følgelig ikke utfører strengt harmoniske svingninger. Disse må derfor behandles på en helt annen måte enn de svingningsproblemer vi allerede har drøftet, nemlig etter den generelle fremgangsmåte som er angitt i (3.4—5)’ Til disse anharmoniske oscillatorer hører allerede det enkle mate­ matiske (og fysiske) pendel. Et slikt pendel kan bestå av en liten kule med masse m opphengt i en tråd av gitt lengde l. Ser vi bort fra luftmotstanden og trådens vekt og tenker oss kulen så liten at den kan betraktes som et materielt punkt, har vi realisert en modell av det matematiske pendel. Det matematiske pendel.

Kulen kunne også være opphengt i en vektløs stang som dieier seg om en fast akse. Da vil pendelet kunne svinge bare i et bestemt plan, og bevegelsen blir éndimensjonal, mens trådpendelet kan slå ut i flere horisontale retninger. Er stangen ikke vektløs, og har kulen eller loddet på enden av stangen en viss utstrekning, får vi et fysisk pendel. Skjønt pendelkulens bevegelse i virkeligheten har en todimen­ sjonal bevegelse, som ved en bestemt føring gjøres éndimensjonal, slik at vi egentlig burde utlede den nye éndimensjonale bevegelsesligning, vil vi til­ late oss å sette den opp uten videre. Vi ser jo at kraftkomponenten i bevegelses­ retningen er — mg sin p, hvor p er utslagsvinkelen. Utslaget betegner vi med s = lp, og bevegelsesligningen ms — — mg sin p

går da over i p + (gjl) sin p = 0.

(6.1)

For meget små utslag p kan sin p er­ stattes med p, og vi får da den tidligere Fig. 5. Det matematiske kjente ligning for harmoniske svingninger. pendel. Den har løsningen

6.

27

Andre svingningsproblemer.

cf = a sin (co0t + ij,

«0=vW>

(6-2)

og egenfrekvens og svingetid er (3) Ligninger og løsninger av samme art finner vi også for det fysiske pendel, men for dette måtte vi først bestemme pendelets tyngdepunkt og treghetsmoment.

Ved større utslag må vi gå frem på annen måte. Vi multipli­ serer (1) med cp, integrerer og får + y/gjl (cos cpm - cos 99) = 0.

(4)

Her er cpm en integrasjonskonstant, som tydeligvis betyr det maksimale utslag, svarende til vendepunktet cp = 0. Ved omvending av ligningen og integrasjon får vi t som funksjon av utslaget cp. Setter vi til videre forenkling cos cp = 1 — 2 sin2 ~, cos 9?0 = 1 — 2 sin2

,

(5)

får vi

i=

J 1 / A • 2 To o 1/ 4 sin2

------------ , A ■ 2 T 4sm2y

(«)

altså for små