Matematisk og teoretisk fysikk 1: Fysikkens matematiske grunnlag [1]

Citation preview

MATEMATISK OG TEORETISK

AV

EGIL HYLLERAAS

I. DEL FYSIKKENS MATEMATISKE

GRUNNLAG

OSLO 1950 GRØNDAHL & SONS FORLAG

Rana DePotbibhoteke

PRINTED IN NORWAY GRØNDAHL & SØNS BOKTRYKKERI

OSLO

INNHOLD Side

FORORD........................................................................................

I.

XI

Del.

Fysikkens matematiske grunnlag.

Innledning...............................................................................

3

Kapitel 1.

VEKTORER OG TENSORER.

1. Definisjoner og betegnelser...................................................... Skalarer.

Vektorer.

Tensorer.

5

Betegnelser.

2. Addisjon og subtraksjon av vektorer. Komponentfremstilling ved hjelp av enhetsvektorer........... .......................................

8

Addisjon Subtraksjon. Multiplikasjon av en vektor med en skalar. Komponentfremstilling. Ortogonale enhetsvektorer.

3. Det indre eller skalære produkt................ Skalær multiplikasjon av to vektorer. ved vektorenes komponenter.

11

Skalært produkt uttrykt

4. Det ytre produkt eller vektorproduktet ................................

13

Vektoriell multiplikasjon av vektorer. Positiv omløpsretning og positiv normalretning for et flatestykke. Distributiv lov for vektorprodukter. Analytisk uttrykk for vektorproduktet.

5. Det tredobbelte skalære produkt ...........................................

16

Volum av et parallellepiped. Volumet uttrykt ved vektorenes komponenter. Polare og aksiale vektorer. Skalarer og psevdoskalarer.

6. Det vektorielle trippelprodukt og høyere produkter............... Vektorproduktet Ax(BxC).

18

Produkter av 4 vektorer.

7. Vektorer i skjevvinklede koordinater. Resiproke vektorsystemer.

20

Skjevvinklede grunnvektorer. Resiproke vektorsystemer. Løsning av lineære ligninger med 3 ukjente.

8. Lineære vektorfunksjoner. Tensorer........... ............................ Vektortransformasjoner. av tensorer.

Ombytning av faktorer.

Transponering

23

VI Side

9. Symmetriske og antisymmetriske tensorer...........................

27

Addisjon og subtraksjon av tensorer. Spaltning i en symmetrisk og en antisymmetrisk tensor. Strekkfelter og glidefelter. Antisymmetrisk tensor og vektorprodukt.

10. Strekning og dreining av koordinatsystemer .........................

31

Symmetrisk tensor. Strekning i tre hovedakseretninger. Den sym­ metriske tensors invarianten. Kapitel 2.

VEKTORFELTER.

11. Vektorer som avhengig variable .............................................

33

Differensiering av en vektor etter en parameter. Differensiering av sammensatte størrelser. Anvendelse i differensialgeometrien. En romkurves krumning og torsjon.

12. Romlige differensialoperasjoner................................................

37

Skalære og vektorielle felter. Gradienten av en skalar. Diver­ gensen av en vektor. Hvirvelen eller curl av en vektor. Differensialoperatoren V-

13. Integralteoremer. Satser av Gauss, Green og Stokes.............

44

Elementære kurve- og flateintegraler. Gauss’ sats. Greens sats. Stokes’ sats. Ekvivalens av Gauss’ og Stokes’ sats i planet.

14. Hvirvelfrie (lamellære) og divergensfrie (solenoidale) vektorer og deres fremstilling................................................................ 49 Potensial og gradient. Vektorpotensial og curl. et divergensfritt felt ved vektorlinjer.

Fremstilling av

15. Beregning av vektorfelter når divergens og curl er gitt.......

52

Oppløsning i hvirvelfritt og divergensfritt felt. Løsning av Poissons ligning. Løsningenes éntydighet. Laplaceske felter. Bereg­ ning av et hvirvelfritt felt for et endelig område. Grenseflatebetingelser.

16. Diskontinuerlige felter..............................................................

57

Et felts kilder. Punkt-, linje- og flatedivergens. Dobbeltkilder og dobbeltlag. Diskontinuiteter i et divergensfritt felt. Linjehvirvel og dobbeltskikt. Fremstilling av hvirvelfeltet ved et potensial.

17. Tensorfelter.............................................................................. Divergens av en tensor. og deformasjon.

Gradienten av en vektor.

Forrykning

18. Krumlinjede (generelle) koordinater......................................... Generelle koordinater i det 3-dimensjonale rom. curl i krumlinjede koordinater.

63

Divergens og

66

VII Side

Kapitel 3. LINEÆRE TRANSFORMASJONER.

EKSTREMUMPROBLEMER.

VARIASJ ONSREGNING.

n-dimensjonale rom. Dreining av koordinatsystemer.... Vektorer i det n-dimensjonale rom. Komponentfremstilling. Orto-

19. Det

gonale lineære transformasjoner.

20. Determinanter og lineære ligningssystemer..............................

70

74

Parallellepipedisk volum i det n-dimensjonale rom. Numerisk beregning av determinanter. Utvikling av determinanter. Underdeterminanter. Resiproke vektorer i det n-dimensjonale rom. Løsning av inhomogene lineære ligninger. Homogene lineære ligninger. Inhomogene ligninger med forsvinnende determinant.

21. Lineære transformasjoner og matriser.....................................

81

Lineære transformasjoner. Matriser. Sammensatte transforma­ sjoner. Multiplikasjon av matriser. Multiplikasjon av determi­ nanter. Inverse transformasjoner og resiproke matriser.

22. Kvadratiske former. Maksimum- og minimumproblemer........

85

Kvadratiske former med symmetriske koeffisienter. Den kvadra­ tiske forms egenverdier. Transformasjon av kvadratiske former på hovedaksene. Simultan transformasjon av kvadratiske former. Den kvadratiske forms invarianter. Løsning av inhomogene

egenverdiligninger.

23. Vektorer i et rom med uendelig mange dimensjoner.............

91

Svingning av et kontinuum som grensetilfelle for svingende massepunkter. Ortogonale polynomer. Utvikling av vilkårlige funksjoner etter normerte ortogonalfunksjoner.

24. Grunntrekk av variasjonsregningen......................................... 100 Problemstilling. Funksjonsfunksjoner. Fermats prinsipp. Brakystokronen. Maupertuis’ prinsipp om den minste virkning. Sam­ menfatning.

25. Variasjonsintegraler og deres Eulerske differensialligninger. 105 Randbetingelser................................................................. . Variasjon av argumentfunksjoner. Den Eulerske differensiallig­ ning. Variasjonsproblemer med flere avhengig variable. Simultane Eulerske differensialligninger. Variasjonsproblemer med flere uavhengig variable. Partielle differensialligninger. Randbetin­ gelser. Faste grenseverdier. Naturlige randbetingelser. Homogene ligninger og homogene randbetingelser. Periodisitet som rand­ betingelse.

26. Variasjonsproblemer med bibetingelser. Egenverdiproblemer... 111 Variasjonsproblemer som fører til lineære differensialligninger. Normering som bibetingelse. Egenverdiproblemer. Sammenfallende egenverdier. Utartning. Direkte løsningsmetoder. Ritz’ metode.

VIII Fordeling av de tilnærmede egenverdier etter Ritz’ metode. Egen­ verdienes minimum-egenskaper.

27. Egenverdienes antall og størrelsesorden................................... 120 Sammenligning med ligninger av enklere form. Egenverdienes ubegrensede antall. Asymptotisk beregning av egenverdiene. Fullstendighetsbevis for egenfunksjonene.

Kapitel 4. FUNKSJONSTEORI.

28. Komplekse tall............................................................

126

Komplekse tall som vektorer. Operasjoner med komplekse tall. Komplekse tall i polarkoordinater. Tallkulen, enhetssirkelen og det uendelig fjerne punkt.

29. Analytiske funksjoner .............................................................. 132 Definisjon av en analytisk funksjon. Dannelse av analytiske funksjoner ved løsning av Laplaces og Cauchy-Riemanns ligninger. Komplekse integraler. Cauchys sats. Deformasjon av integra­ sjonsveien. Cauchys integralteorem.

30. Potensrekker for analytiske funksjoner................................... 139 Utvikling om et ikke singulært punkt. funksjoner og deres potensrekker.

Eksempler på analytiske

31. Analytisk fortsettelse av potensrekker. Flertydige funksjoner. Kompleks integrasjon.............................................................. i Analytisk fortsettelse av en funksjon. Flertydige funksjoner. Beregning av bestemte integraler ved kompleks integrasjon. Residuumsats.

32. Uendelige rekker og deres konvergens .................................... 155 Generelle konvergenskriterier. Betinget og ubetinget konvergens. Omstilling av ledd i en betinget konvergent rekke. Sammenligningsrekker. Uniform konvergens.

Kapitel 5. DIFFEREN SIALLIGNINGER.

33. Løsning av differensialligninger ved potensrekkeutvikling .... 160 Klassifisering av differensialligninger. Lineære differensialligninger. Potensrekkeut viki ing av løsningene om et regulært punkt. Løsning ved rekkeutvikling om et singulært punkt. Logaritmiske løsninger. Irregulære singulære punkter. Asymptotiske løsninger.

34. Ordning av lineære differensialligninger etter singulære punkter 168 Differensialligninger med inntil 2 singulære punkter. Konfluens av singulære punkter. Differensialligninger med 3 regulære singu­ lære punkter. Den konfluent hypergeometriske ligning.

35. Løsning av spesielle hypergeometriske differensialligninger. ... 174

IX Side

Legendres differensialligning. Legendreske kulefunksjoner av 1. art. Kulefunksjoner av 2. art. Definisjon av alminnelige kulefunk­ sjoner ved en genererende funksjon.

36. Spesielle konfluent hypergeometriske differensialligninger....... 183 Laguerres differensialligning og Laguerre-funksjoner. Hermiteske polynomer og ortogonalfunksj oner. Bessels differensialligning. Gammafunksjonen. Besselske funksjoner. Asymptotiske formler. Løsning av bølgeligninger ved hjelp av Besselske funksjoner.

37. Fourierske rekker og integraler ............................................... 195 Fourierske rekker. Fourierske integraler. Direkte bevis for det Fourierske integralteorem. ^-funksjoner. Fullstendighetsrelasjon for ortogonale funksjonssystemer. Eksempler på Fourierske rekker. Fremstilling av diskontinuerlige funksjoner. Gibbs fenomen. Ut­ jevning av konvergensen ved en diskontinuitet. Løsning av den inhomogene bølgeligning ved hjelp av et Fourierintegral.

38. Fourierske rekker for funksjoner av flere variable. (Flerdobbelte Fourierske rekker)................................................................... 207 Funksjoner av to variable.

Funksjoner av tre variable.

Navneregister........................................................................... 211 Sakregister................................................................................ 212

L

FORORD Det er i våre dager ingen mangel på lærebøker i teoretisk fysikk, og det kan derfor synes vågsomt i et lite land som vårt å utgi et større verk over et emne som har relativt få dyrkere. Men det finnes også grunner som taler for å gå til dette skritt. Den teoretiske fysikk har i vårt århundre, og ganske særlig i de siste 25 år, utviklet seg med stormskritt som kanskje ingen annen naturvitenskapsgren. Dette medfører at en rekke lærebøker og verker, hvor fremragende de enn kan ha vært for sin tid, er blitt mer eller mindre foreldet når de skal bedømmes ut fra de aktuelle behov idag. Dermed innskrenkes det brukbare utvalg for undervisning i moderne teoretisk fysikk meget sterkt. En supple­ ring gjennom spesialverker over moderne emner har også sine svake sider, idet disse gjerne blir for tunge for studenter med beskjedne og varierende forkunnskaper. I det utvalg som blir igjen av helt moderne lærebøker i teo­ retisk fysikk vil man ut fra forskjellige krav og forskjellige behov nesten alltid kunne reise innvendinger mot en bestemt fremstilling. Enhver lærebok har sin rot, på den ene side i et bestemt miljø og på den annen side i forfatterens personlige vitenskapelige inn­ sats og innstilling. Den har med andre ord sine tradisjonsbundne og sine originale sider. Vis-å-vis et miljø med et vesentlig annet opplæringsgrunnlag og kanskje med helt andre naturlige forsknings­ oppgaver vil visse modifikasjoner kunne være heldige. Også hva omfang og grundighet i fremstillingen angår, trenges der forskjellige graderinger. Ut fra disse synspunkter har jeg ment at et nytt verk kan bli til nytte, i ethvert fall for noen. Fremstillingen har jeg søkt å bygge på de erfaringer jeg har høstet, på den ene side i mitt aktive vitenskapelige arbeide og på den annen side i undervis­ ningen av studenter fra alle kanter av vårt land.

XII Det er tanken at boken skal kunne brukes som lærebok for disse, når de under veiledning får anvisning på hva som uten skade kan forbigåes i et første kursus og hva boken eventuelt bør suppleres med av spesialiteter. Men den er også ment som en for­ beredelse til selvstendig vitenskapelig arbeidsytelse, og derfor har jeg tatt adskillig med som jeg selv har hatt nytte av og fattet særlig interesse for. Det er ikke gitt at enhver leser vil finne at han har det samme utbytte. Dette gjelder kanskje særlig den første, rent matematiske del av boken, som kan synes svært omfattende. Av disse forskjellige grunner har jeg ikke villet kalle boken en lærebok i teoretisk fysikk, men har valgt titelen: Matematisk og Teoretisk Fysikk for dermed å markere en viss frihet. Forøvrig har jeg søkt å skrive boken slik at den skal kunne gi en noen­ lunde utførlig veiledning såvel i den klassiske som den moderne tooretiske fysikk. Jeg vil gjerne få lov å takke trykkeriet og forlaget Grøndahl dr Søn for det store arbeide som er nedlagt på å bringe det typo­ grafiske utstyr i den mest ønskelige form. Fremfor alt vil jeg imidlertid si min beste takk til en rekke yngre medarbeidere som med iver og interesse har deltatt i den faglige og formelle gjen­ nomgåelse og tilrettelegning av stoffet. Jeg nevner i første rekke Werner Romberg, Aadne Ore, Marius Kolsrud, Tor B. Staver, Vidar Risberg, Gustav Marthinsen og Helene-Marie Voldner, som alle har hjulpet med forskjellige deler av hele verket.

Blindern, Oslo juni 1950.

Egil Hylleraas.

FØRSTE DEL FYSIKKENS MATEMATISKE GRUNNLAG

INNLEDNING Tidens krav har ført med seg at den praktiske fysikk, eksperimentalfysikken, og den teoretiske fysikk er blitt to forskjellige, adskilte disipliner. Dette skille har aldri vært ønskelig, men det er blitt nødvendig. Ingen fysiker er en virkelig fysiker om han ikke er dypt interessert så vel i den direkte iakttagelse av fysiske naturfenomener og i fysikalske målinger gjennom eksperimenter, som i den teoretiske klarlegning og tydning av slike fenomener gjennom matematiske utredninger og beregninger. Det er bare den overveldende mengde av stoff og av arbeids­ oppgaver innenfor fysikken som har fremtvunget den nuværende arbeidsdeling og medført at den enkelte fysiker må treffe sitt valg med hensyn til arbeidsfelt i den ene eller den annen retning — i praktisk-eksperimentell eller teoretisk-matematisk retning — om han skal ha håp om å utrette noe. Tidens løsen er spesialisering, og denne er, som overalt i nutidens vitenskap, uhyre vidtgående selv innenfor den eksperimentelle fysikk og den teoretiske fysikk hver for seg. Å gi en noenlunde samlet fremstilling av de viktigste trekk ved den teoretiske fysikk idag er derfor allerede en stor oppgave, og den kan bare løses på en oversiktlig måte ved at man utnytter så langt som mulig de trekk som er felles i den matematiske frem­ stilling av de forskjellige områder av fysikken. Et enkelt eksempel som kan tjene til å belyse dette, er det forhold at en stor del av fysikkens lover kan uttrykkes ved hjelp av differensialligninger av 2. orden. Av denne grunn har generelle matematiske utredninger fått en bred plass i denne fremstilling. Dette skal da også tjene til å spare fremstillingen av selve den teoretiske fysikk for altfor tunge og svære matematiske utredninger. Et fullstendig skille, slik at den første matematiske del bare skulle tjene som en oppslagsbok for den følgende fremstilling, er dog på ingen måte tilsiktet. Det vil også i den alminnelige del bli nødvendig å gi forskjellige mate­ matiske utredninger, men med støtte i den foregående matematiske

4

Innledning.

del vil man lettere kunne holde omfanget av disse innenfor rime­ lige grenser. Hva ordningen og rekkefølgen av det matematiske stoff angår, har jeg etter en del overlegninger valgt å begynne med vektorregningen og vektoranalysen, som jo fremfor noen annen mate­ matisk disiplin er preget av fysikalsk intuitiv tenkemåte. Herti] knytter seg på naturlig måte innføringen av tensorer. Den videre generalisering av begrepene vektor og tensor fører oss naturlig over i en geometri for et rom med et vilkårlig antall dimensjoner n, som endog kan utvides til å gjelde for rom med uendelig mange dimensjoner. Dette belyses gjennom behandlingen av lineære lig­ ningssystemer, lineære transformasjoner og kvadratiske former i et vilkårlig antall variable, og fremstillingen av variasjonsregningen og dens anvendelse på egenverdiproblemer, utviklingen av vilkår lige funksjoner etter fullstendige sett av egenfunksjoner, gir oss til slutt den viktige analogi mellom vektorer på den ene side og funksjoner av en eller flere variable på den annen. Den samme analogi gjelder mellom tensorer og mere generelle operatorer som anvendes på kontinuerlige romfunksjoner. Ved svingende systemer og utbredelse av bølger i et medium finner dette naturlig sitt uttrykk i Fourier-oppløsningen av vilkårlige funksjoner. Disse Fourier-rekker og Fourier-integraler har på grunn av sin store praktiske anvendelighet fått en selvstendig behandling. For den matematiske beherskelse av fysikalske problemer har jeg ansett visse deler av funksjonsteorien og teorien for lineære differensialligninger som særlig viktige. Etter en rekapitulering av de viktigste trekk ved begrepet komplekse tall følger en frem­ stilling av teorien for analytiske funksjoner sammen med en ut­ redning av det viktige hjelpemiddel: kompleks integrasjon. Der gis også en kort oversikt over de viktigste konvergenskriterier for rekker av reelle og komplekse tall. I teorien for lineære differensialligninger av 2. orden stilles potensrekkeutviklingen i forgrunnen som den generelle metode. Klassifiseringen av differensialligninger etter de singulære punkters antall og art er ment å skulle gi et klart overblikk over forelagte problemers større eller mindre vanskeligheter, og endelig er studiet av noen typiske, spesielle differensialligninger og deres løsninger ment som en nyttig oversikt over forskjellige funksjoner som ofte benyttes i den matematiske og teoretiske fysikk.

KAPITEL 1

VEKTORER OG TENSORER

1.

DEFINISJONER OG BETEGNELSER

Blant de størrelser vi benytter i den matematiske fremstil* ling av fysikalske tilstander og prosesser eller av geo­ metriske forhold, er de såkalte skalarer eller skalære størrelser de enkleste. Betydningen av disse fremgår allerede av navnet' Hvis vi på éntydig måte kan tilordne enhver verdi en slik størrelse kan anta, et reelt tall, med andre ord: Hvis vi kan angi en éntydig skala for disse verdier, sier vi at størrelsen er en skalar. Det første vi trenger for å angi en slik skala er en måleenhet, og vi må her skjelne mellom grunnenheter og avledede måleenheter. I geometrien er grunnenheten lengde, etter fritt valg, cm, m, km osv., men er denne først valgt, er enheten for flateinnhold og volum også gitt. I fysikken må vi regne med minst tre grunn­ enheter, f. eks. lengde, tidsenhet og enhet for masse eller stoff­ mengde. Med grunnenhetene cm, g, sek, får vi for alle avledede størrelser det såkalte CGS-system. Enkelte skalarer kan ifølge sin natur bare ha positive verdier, det gjelder f. eks. masse, volum, massetetthet. Andre derimot kan anta både positive og negative verdier, som f. eks. elektrisitetsmengde, ladningstetthet osv. Skalarer har som alle fysikalske størrelser en bestemt verdi og en bestemt «dimensjon» som er gitt ved den benyttede måleenhet. Bare forholdstallene mellom to størrelser av samme dimensjon er «dimensjonsløse» eller har dimen­ sjonen null. De tall vi regner med er derfor i virkeligheten de dimensjonsløse måletall som fåes ved sammenligning av en størrelse med måleenheten. V For skalarer gjelder de velkjente regneregler for alminnelige reelle tall, men vi må være oppmerksomme på at to størrelser som skal adderes, må ha samme dimensjon og være målt med samme måleenhet. Derimot kan vi multiplisere hvilke som helst 1 —2

,

Skalarer

6

Kap. 1. Vektorer og tensorer.

to skalarer, men den fremkomne størrelse må da måles i en ny måleenhet, som er gitt ved produktet av måleenhetene for de to størrelser.

^,nnes en rekke geometriske og fysikalske størrelser som ikke kan klassifiseres som skalarer. En meget vik­ tig gruppe av disse kan vi klassifisere som vektorer. Vi sier at en geometrisk eller fysikalsk størrelse er en vektor hvis de forskjellige verdier den kan anta, på éntydig måte kan tilordnes en forskyv­ ning eller forrykning av et punkt i rommet fra en fast utgangsstilling til forskjellige sluttstillinger. Dessuten må to slike stør­ relser av samme art kunne adderes ved å addere de to tilhørende forrykninger. Enhver vektor har, likesom skalarer, en bestemt dimensjon, og to vektorer er først like når ikke bare de tilhørende forryknin­ ger er like, men også deres dimensjoner er de samme. Enhver vektor kan tilordnes en skalar, nemlig den tilhørende vektors lengde, eller, som vi sier, vektorens absolutte verdi. Vi skal senere se at dette er en størrelse som ikke forandrer seg ved de endringer av koordinatsystemene som vi kommer til å benytte. Den er et første eksempel på en såkalt invariant, eller nøyaktigere uttrykt, en invariant overfor dreining av koordinatsystemet. Denne invarians kan ved egnede definisjoner, bestå også ved lineære eller endog generelle transformasjoner. Vektorer

Vi har også fysikalske størrelser som ikke kan fremstilles hverken ved skalarer eller vektorer. La oss tenke oss et legeme som holdes i en likevektsstilling på grunn av det omgivende medium eller ved hjelp av en kunstig opphengning. Fører vi lege­ met ut fra denne stilling, drives det tilbake ved en motkraft. Både forrykningen og motkraften kan oppfattes som vektorer. Forbindelsen mellom de to vektorer er gitt ved det omgivende mediums egenskaper eller ved arten av den kunstige opphengning. Disse egenskaper kan vi ikke angi hverken ved en enkelt skalar eller en enkelt vektor. Derimot vil det i alminnelighet være mulig å karakterisere dem ved 3 vektorer, som vi på en bestemt måte kan sammenfatte til en størrelse som vi kaller en tensor. I det hele vil fysikalske størrelser bare kunne representeres ved et mere omfattende begrep som vi generelt kunne kalle tensor. Den nettopp T

1. Definisjoner og betegnelser.

7

omtalte ordinære tensor blir da en tensor av 2. rang, en vektor blir en tensor av 1. rang og en skalar en tensor av 0. rang. Ved siden herav kan vi ha tensorer av en enda høyere rang. Hva der menes med disse uttrykk vil vi komme tilbake til senere.

For skalarer vil vi benytte alminnelige bokstaver uten særlig kjennemerke. I fysikken har det imidlertid inn­ arbeidet seg tradisjonelle betegnelsesmåter for forskjellige fysikalske størrelser som vi mest mulig bør holde oss til: m, M eller u for masse, for tetthet, e for elektrisk ladning osv. Et uforanderlig konvensjonelt betegnelsessystem er neppe mulig å gjennomføre, men det er nyttig og fortjenstfullt å forsøke å anvende anerkjente karakteristiske betegnelser så langt som mulig. I vår første generelle matematiske fremstilling står vi selvsagt helt fritt i valg av bokstaver for skalarer og vektorer. For vektorer har betegnelsesmåten vært usedvanlig varierende fra land til land og fra person til person, noe som lenge var til hinder for at vektorregningen kunne få den fulle utbredelse den fortjente. Vi skal i denne fremstilling angi vektorer med fete „

j

q

typer A, B, a, b osv. I håndskrift vil betegnelsene A, B, a, b osv. være vel tjenlige. For tensorer (av 2. rang) vil vi atter benytte alminnelige bokstaver for ikke å la betegnelsesmåten bli for stiv og komplisert.

8

Kap. 1. Vektorer og tensorer.

2. ADDISJON OG SUBTRAKSJON AV VEKTORER. KOMPONENTFREMSTILLING VED HJELP AV ENHETSVEKTORER

Vi nevnte at vektorer var størrelser som kunne adderes ensbenevnte vektorers sum ble å representere ved summen av de tilhørende forrykninger. Fremstiller vi vektorene ved vektorpiler i et tredimensjonalt rom, får vi vektorsummen rent geo­ metrisk ved først, å tegne opp den ene vektor og dernest den andre med begynnelsespunktet i den førstes endepunkt. Summen er da gitt ved en vektor fra den første vektors begynnelsespunkt til den sistes endepunkt som vist i fig. 1. Det fremgår av denne, etter hva vi vet om parallellogrammer, at rekkefølgen av vektorene ved addisjonen er uten betydning. For addisjon gjelder den kommutative lov, A + B = B + A. (2.1) Addisjon.

Av samme rent geometriske grunner følger uten videre også den assosiative lov

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C,

(2)

som vist i fig. 2. Vi kan derfor danne en vektorsum av et vil­ kårlig antall vektorer ved å føye vektorene sammen til en vektor polygon, hvor endepunktet av én vektor danner utgangspunktet for

Fig. 1. Addisjon av vektorer.

Fig. 2. Addisjon av flere vektorer.

neste. Summen er gitt ved vektoren fra den første vektors ut­ gangspunkt til den siste vektors endepunkt.

2.

9

Addisjon og subtraksjon av vektorer.

Subtraksjon av vektorer kan oppfattes som addisjon. Vi subtraherer en vektor B fra en vektor A, som vist i fig. 3, ved til vektor A å addere vektoren (— B), som har samme størrelse som B, men er motsatt rettet. Vi har altså Subtraksjon.

A - B = A + (- B),

(2.3)

og vi finner herav etter den assosiative lov, siden

Fig. 3.

Subtraksjon.

(- B) + B = 0,

at

A - B + B = A + (- B) + B = A + [(- B) + B] = A,

(4)

i overensstemmelse med at addisjon og subtraksjon her som over­ alt ellers skal være motsatte operasjoner. Vi skriver A + A = 2A, A + A+ A = 3A osv. og ser herav at det er nyttig å inn­ føre begrepet multiplikasjon av en vektor med hele tall. Denne multiplikasjon utvider vi til å gjelde multi­ plikasjon også med hele negative tall, som vi lar svare til multipli­ kasjon av vektoren (—A) med hele tall. Dernest kan vi gå over til å multiplisere vektoren med vilkårlige reelle tall a, idet vi be­ holder eller skifter fortegnet for vektoren ettersom a er positiv eller negativ, og for lengden av den nye vektor tar lengden av A

Multiplikasjon av en vektor med en skalar.

Fig. 4. Multiplikasjon av en vektor med en skalar.

ganger den absolutte verdi |u | av a. Dette gjelder for multiplikasjon med rene tall. Vi kan imidlertid på helt tilsvarende måte multi­ plisere en vektor med en skalar ved å multiplisere vektoren som

10

Kap. 1. Vektorer og tensorer

ovenfor angitt med den skalære størrelses måletall. Vi må bare da huske på at den fremkomne vektor i alminnelighet vil ha en annen dimensjon enn den vektor vi gikk ut fra. Etter vår definisjon kan en vektor settes sammen på vilkårlig måte av en rekke andre vektorer. Setter vi den sammen av tre vek­ torer med gitte retninger, er størrelsen av disse vektorer éntydig bestemt, og vi kaller dem vektorens kom­ ponenter. Som oftest tar vi tre innbyrdes ortogonale vektorer, som vi da kaller vektorens rettvinklede komponenter. Et slikt rett­ vinklet koordinatsystem angis bekvemmest og enklest ved hjelp av tre vektorer av lengde 1, som danner et sett ortogonale enhets­ vektorer. I en bestemt rekkefølge, svarer de til x-, y- og z-aksen i et rettvinklet koordinatsystem, og det er bekvemt å innføre standardbetegnelser for disse. Vi vil bruke betegnelsene i, j og k. Vi kan nu skrive enhver vektor på den dekomponerte form Komponentfremstilling. Ortogonale enhets­ vektorer.

A = Axi + Ayj + Az k,

(2.5)

hvor Ax, Ay, Az er skalære tall. De tre størrelser Axi, Ayj, Azk er de egentlige vektorkomponenter, men som oftest kaller vi også Ax, Ay, Az for vektorens rettvinklede komponenter. Lar vi enhets­ vektorene i, j, k være dimensjonsløse, får Ax, Ay, Az samme dimensjon som vektoren A selv. Den absolutte størrelse eller lengden av en vektor beteg­ ner vi med A eller J|. Ut­ trykt ved de rettvinklede kom­ Fig. 5. Ortogonale enhetsvektorer. ponenter blir den etter den Dekomposisjon av en vektor. pytagoreiske læresetning A — | A | =y/Axz +

+ ^422.

(2.6)

3. Det indre eller skalære produkt.

11

3. DET INDRE ELLER SKALÆRE PRODUKT

Det indre eller skalære produkt av to vektorer _ . .. , . , , . A og B definerer vi som produktet av de to . , . , . ,. vektorers lengde ganger cosinus til vinkelen mellom vektorene, altså som AB cos

34

Kap. 2. Vektorfelter.

Ved differensiering° av størrelser som er sammensatt av flere vektorer eller skalarer . . nar vi, som ellers i differensialligningen, å derivere partielt de enkelte faktorer. Når kvadratiske ledd i dt settes ut av betraktning, vil vi alltid få ligninger av formen d (bA) = (db)A + b (d A) osv. Ved derivasjon av forskjellige slike sammensatte størrelser får vi derfor d (bA) _ db dA ~di di A +b~dt’ . .

Ihnerensiermg av sam, mensatte størrelser.

d (AB) dA n t . dB = d B+Ad7’ dt dt dt dlAxB) dA _ , . dB —t — = -dtxB + Axli’

dt

(1L3)

=d d B x C) +A ldBc\+A[Bx dt \dt f \ dt f

I den analytiske geometri angir vi ofte

Anvendelser i differensial­ romkurver ved en parameterfremstilling, geometrien. En romkurves x = x (t), y = y (t), z = z(t). Vektorielt krumning og torsjon.

uttrykker vi dette ved hjelp av en stedvektor r = x i + yj + zk fra et vilkårlig valgt punkt (origo) til et punkt på kurven. Vi kan da skrive' ligningen for kurven på den kortfattede form r = r (t). (4)

Betyr t tiden, gir denne kurve oss et punkts bane i rommet og dets bevegelse på denne bane som funksjon av tiden. Ved derivasjon får vi punktets hastighet r = v (t) og akselerasjon r = v = a (t), når vi betegner tidsderivasjon (etter Newton) ved et punkt. Når det gjelder en kurves rent geometriske egenskaper, er det ofte fordelaktigst å benytte buelengden 5 som uavhengig variabel. Vi har (dr)2 = ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = (x2 + y2 + z2) dt2. (5) ds Herav finnes — som funksjon av t, dernest ved integrasjon dt s = s (t) og endelig den opprinnelige parameter t = t (s) som funk­ sjon av buelengden. Ved innsetning i (4) får vi da r = r (s), (6)

11.

Vektorer som avhengig variable.

35

og av (5) følger at vi ved derivasjon av denne stedvektor etter buelengden får en enhetsvektor dr ds

(11.7)

i tangentens jositive retning. Ved derivasjon av denne enhets­ vektor får vi en ny vektor som står loddrett på tangenten, og som peker mot kurvens krumningssentrum Kaller vi nemlig vinkelen

Fig. 19 a. Derivasjon av r (s) etter buelengden [f|= lim 1^1-1. z/s->0

Fig. 19 b. Derivasjon av en enhetsvektor t (konstant lengde) gir en vektor I t.

mellom de to tangentretninger i s og s + z/ s for d minantene (12) blir produkter av 3 diagonalledd.

Fig. 39. Variable grunnvektorer ar, a2, a3 og deres resiproke vektorer bl, b2, b3 ved krurnlinjede koordinater.

68

Kap. 2. Vektorfelter.

Divergens og curl i krum® °. liniede koordinater.

J

3

Ved beregning av divergensen av en ± . vektor ma vi være oppmerksomme pa , . ., . , • , , , ,, at vi ikke uten videre kan benytte c)

+ b2-r-+ b3^-—. Dette følger lett av definia^i 8t3 sjonen av divergens som utstrømningen pr. volumenhet. Anvender vi dette på volumelementet D = a1(a2Xfl3), (idet vi utelater diffe­ rensialene d^,'d‘i2, d£3), gir vektoren F en innstrømning gjennom sideflaten a2 x a3 lik F (a2xa3) = DbrF, siden a2 x a3 = Db1. (18.13)

operatoren V = b1

Differensen mellom utstrømning og innstrømning fåes ved deri­ vasjon av dette uttrykk med hensyn på og det fremkomne må til slutt divideres med volumet D. Tar vi hensyn til alle sideflater, finner vi følgelig divergen soper at oren

(14)

div = 2.V ®

For den Laplaceske deriverte av en funksjon finner vi ved hjelp av (6) og (14)

V2w = div grad y> = 7- 2 Jr [

d

m ^zm \

v gmn n

(15) °'=n]

Ved ortogonale krumlinjede koordinater, hvor gmn = g1 ’n ~ 9, når Ml =k

Qmm

5 9

1 ~ 2’

(1 9)

forenkles dette til div F =------ IvTT- (a2a3F: )+ 7-7 (Ui«2 -^\)p (l?) axa2a3 o~2 ’■* ^3 J når vi benytter de metriske komponenter av F i stedet for de kovariante eller kontravariante komponenter. For den Laplaceske deriverte finner vi 2 1 J 8 la2a38y\ 8 \a3a1 8ip\ 8 /flj a2 8y; }• (18) a1a2a3 IdA ’ ax dfj 8^2 \ a2 8t2] 8^3 \ a3 ^3'

Hvirvelen av en vektor i krumlinjede koordinater er lett å finne når vi benytter en fremstilling ved de resiproke vektorer b “ og de kovariante komponenter Gm = br"G. Vi har G = GJ)1 + G2b2 + G,b3. (19)

18. Kramlinjede (generelle) koordinater.

Siden vektorene bm er gradienter får vi

curl G = y (grad Gm) x bm = y jV bn

x bni,

(18.20)

I

m \ n

m

og siden 61 x b2 = ~ osv., får vi

«i a a

«2

curl G =

«3

a

(21)

En overgang til ortogonale krumlinjede koordinater medfører her ikke særlige forenklinger. Innfører vi enhetsvektorer , e2, e3 og metriske komponenter A. , A , A - , får vi a3A — -TT-a2J. ; + ....,

__ a^2 3 -

af3 2

(22)

v 7

en ligning som vi cgså lett utleder ut fra vår definisjon av curlens komponenter ved kurveintegraler dividert med den omkretsede flate.

1 — 6

Kapitel 3

LINEÆRE TRANSFORMASJONER EKSTREMUMPROBLEMER VARIASJONSREGNING

19. DET rt-DIMENS JONALE ROM. DREINING AV KOORDINATSYSTEMER

På lignende måte som vi samVektorer i det n-dimensjonale rom. menføtter tre størrelser z

til en stedvektor i det tredimensjonale rom, kan vi også formelt sammenfatte n størrelser xx. x2, x,t( til en stedvektor x i et n-dimensjonalt rom. Den samme vektor kan også være en sam­ menfatning av n andre størrelser x\, x'.2, ....,x'n når disse er for­ bundet med x1} x2, ....,xn ved visse transformasjonsligninger, som vi senere kommer til. å i oppfatter de to sett av størrelser oven­ for som komponenter av samme vektor i to forskjellige koordinat­ systemer. Det skalære produkt av to vektorer x og y definerer vi ved ligningen n Xy = (19 1) i=l

og en vektors absolutte størrelse x' ved ligningen | x 2 = x x = x2 = N Xi2.

(2)

i

Kvadratsummen på høyre side er alltid positiv, følgelig \ il vi alltid ha (x — ’/-y)2 = x2 — 2zxy + /2y2 V; 0 (3)

for enhver verdi av z. Setter vi z = xy/y2, som gir uttrykket dets minste verdi, får vi relasjonen x2 _ y* som kalles Schwarz' ulikhet.

> o, eller (xy)2(a15 a2,....), (8)

og ved anvendelse av samme lov i formen

q D \T ai

"

= D (pay ,a2, ....) = pD (ar,a2....),

(9)

finner vi etter divisjon med q at den også gjelder for alle rasjo­ nale positive tall 2.=p/q. Siden forandring av fortegn for en grunnvektor forandrer fortegn for hele determinanten, gjelder den også for negative rasjonale tall og dermed for alle reelle tall, da jo ethvert irrasjonalt tall kan approksimeres med vilkårlig nøyaktig­ het ved hjelp av rasjonale tall. Vi gjenfinner i disse korte utredninger de fleste viktige kjente satser om determinanter, når disse refererer seg til elementer i determinantens linjer, dvs. til komponentene av grunnvektorene . Vi benytter nu additivitetsloven og lign. (7) til å verifisere at vår definisjon ved hjelp av punktene 1., 2., 3. er ekvivalent med den definisjon man gjerne går ut fra i determinantteorien, og videre at de til grunnvektorene transponerte vektorer har samme parallellepipediske volum eller samme determinant. Herav vil da følge at alle satser om determinanter som refererer seg til deter­ minantens rekker, vil gjelde i uforandret form for kolonner. Vi merker oss først at

D (ekl, .... ekn) = (-l)p,

(10) når alle enhetsvektorer er forskjellige, men lik null når to eller flere er like. P angir det antall enkle omstillinger av enhetsvek­ torene e19 . ... en som kreves for å nå frem til den ovenfor angitte

76

Kap. 3. Lineære transformasjoner.

rekkefølge. P er et like eller ulike tall, og høyre side er lik 4- 1 eller — 1 ettersom permutasjoneii er like eller ulike. Vi finner . an)

D \ax,

=i

D (ekl,.... ekn) alkl .... ctnkn =

ki—kH

=S

, lg i •

D (eZ1>.... ein) atll .... ainn = D (ax, .... aj.

(20.11)

De to determinanter i 2. og 3. uttrykk er nemlig like, idet, som det fremgår av disse to uttrykk, tallrekken ilt .... in frem­ kommer av 1, ....n ved det samme antall omstillinger som vi benytter til å få frem tallrekken 1, .... n av kl} .... kn. Vi kan jo f. eks. bare ta følgende enkle produkter med henholdsvis 2 og 3 (eller 1) omstillinger ®13 ®21 ®32 — ^21 ®32 ®13 ’

®13

a22 ®31 =

» ^2 > ^3 —

®31 ®22 ®13 > ^1> ^2> ^3=

3, 1, 2 J iy , i2 , i'3 — 2, 3, 1, 2, 1 J ij , i2, f 3 = 3, 2, 1,

så ser vi at der alltid kreves et like antall omstillinger for å bringe tallrekken ir, .... in over i klf..... kn.\

Fig. 40. Illustrasjon av additivitetsloven i det 3-dimensjonale rom.

_T

., ,

.

Numerisk beregning av determinanter skier

IMumensk beregning . . .. , . best ved suksessiv ortogonahsermg av grunn­ av determinanter. . . ° ° °

vektorene a8, f. eks.

D(ar, k21^1 “b0-2, • • • • knyCln +kn2a2+.... +an) =D (ax,... .an>,

(12)

idet vi kan bestemme koeffisientene kik slik at de suksessive vek­ torer i determinanten ovenfor blir ortogonale. Determinanten blir da lik produktet av disse vektorers absoluttverdier med fortegn + eller —. En annen og mere praktisk fremgangsmåte er «å rette

20. Determinanter og lineære ligningssystemer.

paraHellepipedet opp». ai med vektorer

77

Dette kan gjøres ved å erstatte vektorene (20.13)

a( ’ ci bi = °’

= ai ~

som er loddrette på ex. Dernest kan ax erstattes med en til parallell vektor a11e1. En lignende prosess kan nu anvendes for de nye vektorer som kan erstattes med n — 2 vektorer ct orto­ gonale til Ci og e2, samt vektoren b22 e2 osv. Vi får på denne måte

D («i,.... an} = D (aj, b2,.... bn) = D (ex, b2,.... &re) = = ®ii&22 (^1 ^3.............. ^n) = • • ■ ■ = ®n b22 C33 .... /Unn • (14) I det tredimensjonale rom kan vi anskueliggjøre denne reduksjonsmåte geometrisk. I det n-dimensjonale rom vil den skrittvise iv determinanten fremgå av ligningen | Vik | =

®n ai2 • • • • (Lm 0 b22 .... b2n 0

=

an 0 .... 0 0 b22 • • • • b2n

bn2 .... bnn 0 r _ _ ail aik ('ik ("ik „

bn2 .... bnn

Hvis grunnvektorene a, og deres transponerte vektorer er like, så vil dette gjelde også for vektorene bi. Dette svarer til at en symmetrisk determinant holder seg symmetrisk under reduksjonsprosessen. Av aik = aki følger bik= bki osv., som vi ser av (15). „ .. , . Ltvikling av determinanter. TT , , . Underdetermmanter.

En determinant er etter additivitets. .. „ . loven lign. (3) en lineær funksion av , , V- , grunnvektorenes komponenter. Vi kan

derfor sette D (ai,

. an)

i czik |

■ Ujj. Aik

Ai,

(16)

k

hvor Aik kalles underdeterminintene til de tilsvarende elementer aik. Vi ser at determinanten kan settes lik et skalært produkt av en grunn vektor og en annen vektor A i med underdeterminantene til elementene i i-te linje som komponenter. Vektoren Ai danner den naturlige generalisering av et vektorprodukt i det 3-dimen­ sjonale rom. Vi finner akAi = D(.... ak .... ak ....) = 0, i * k, (17)

78

Kap. 3. Lineære transformasjoner.

siden vi i den resulterende determinant får grunnvektoren er­ stattet med ak. Uttrykt som determinant av (n — l)-te orden kan en underdeterminant skrives på følgende symbolske form

hvor vi har strøket Ute rekke og k-te kolonne. Identiteten av de to determinanter, hvor vi i den siste har erstattet aik med 1, alle andre ledd i Ute rekke og k-te kolonne med null, fremgår ved ombytning av rekker og kolonner. Det er nu lett å finne det resiproke vektorsystem til et sett grunnvektorer at. Disse vektorer betegner vi med a' mot Setter vi At (19) a = J>

Resiproke vektorer i det rø-dimensjonale rom. tidligere med 6'.

finner vi etter (16) og (17)

Zfc, idet de to tilhørende løsninger xtog xk da hele tiden holder seg innbyrdes ortogonale og følgelig fremstiller to innbyrdes uavhengige løsninger. Vi ser herav at det alltid er mulig å benytte innbyrdes ortogonale løsninger av egenverdiproblemet for en kvadratisk form, slik at vi generelt kan anta at egenvektoren tilfredsstiller ortogonalitets- og normeringsbetingelsene Xi Xk ^ik (lb) også når lign. (9) har dobbelte eller multiple røtter.

Transformasjon av kvadratiske former på hovedaksene. CtO/j

La oss betegne de foran nevnte ortogonale og normerte egenløsnin­ ger med Si, slik at

A.k oo. Det første spørsmål vil vi belyse ved å betrakte svingninger av elastisk koblede massepunkter. Vi tenker oss en rekke slike utspent på en rett linje som en streng ved hjelp av mellomlig­ gende vektløse fjærer med spenning p. Avstanden mellom punk­ tene kan være d og massen av hvert punkt m — od, slik at den midlere massetetthet blir o. Er nu det k-te massepunkts utslag til siden uk, så vil der på dette, når uk er liten så spenningen ikke øker, virke en kraft p til begge sider med komponentene (Wfc-i — uk) p/d og (uk+1 — uk) p/d på tvers av lengderetningen. Bevegelsesligningen for k-te massepunkt blir derfor Svingning av et kontinuum som grense& ® ° tilfelle for svingende massepunkter.

(23.1)

d

Fig. 41.

d

Svingende streng som grensetilfelle for svingende massepunkter.

Vi vil nu bestemme egensvingningene av disse koblede masse­ punkter, dvs. synkrone svingninger med en felles harmonisk tids^2^

faktor sin (cot — a), slik at

y = — co2uk. Da går lign. (1) over i

— d2co2uk + (ufc+1 — 2 uk+ uk-j) = 0. P Denne ligning kan vi løse ved å sette

(2)

92

Kap. 3.

Lineære transformasjoner.

2-2 cos a = 4 sin2 — = d2co2. (23.3) 2 p 7 Vi tenker oss nu at vi har n massepunkter k = 1, 2, .... n, og at strengen, som har lengden nd, er festet i punkter som svarer til k = | og k = n + I, at altså første massepunkt er anbragt i | d og siste i (n — |) d. Den løsning som passer til den første grense­ betingelse blir uk = (7sin a (k — |), som fåes av (3) ved passende valg av A og B. Den siste grensebetingelse forlanger sin an = 0 eller an = jn, hvor j er et helt tall, som angir antallet av nullpunkter eller «knuter» for strengen utenom det første i k = Vi nummererer egensvingningene og tilhørende egenfrekvenser etter tallet j og får uk = Ae^-^A

o

V . ■ n ni ^4S’" Tn' J =

W

Antallet av egensvingninger blir altså begrenset til n, idet j = n + 1, n + 2,...., gir samme egenfrekvenser og egensvingninger som j = n — 1, n — 2,..... For utslaget av k-te massepunkt ved egensvingningen j får vi nu ujk = C sin n — (k — |),

(5)

hvor faktoren C kan inneholde den harmoniske tidsfaktor sin (cot — a). Vi sammenfatter nu utslagene av de forskjellige massepunkter til n-dimensjonale vektorer ujf og disse vektorer er, som vi vil vise, innbyrdes ortogonale. Sløyfer vi i (5) faktoren C, får vi, når i=jpj , .7

•

Ui Uj= >7 sin — (k— I) sin i^i n n ' ti

= 2 2 cos n ~*=1L n

ti

—

(k — 1) =

~ I) ~ COS n —(k — I)

n

(6)

Vi foretar nu grenseovergangen til den svingende homogene streng, d -> 0, n -> oo, idet vi bibeholder strengens spenning p og midlere tetthet

q.

Da går 2. ordens differenskvotient(uk+1 a

— 2uk + uk_A over i 2. ordens differensialkvotient —hvor x er 8x2

23. Vektorer i rom med uendelig mange dimensjoner.

93

strengens lengdekoordinat og u (x, t) dens utslag til siden (elongasjon). Av (1) får vi da differensialligningen for den homogene streng, c2u ~ 8t2

c2u V 8x2’

(23.7)

og differensialligningen for amplituden ved synkrone svingninger, d2 u p v + Q oj 8x2

U

= 0.

(8)

Setter vi strengens lengde lik l, altså nd = l, får vi av (4) og (5) for n o© og med x = {k — |) d = VpTq

Uj (x) = C sin

b

jx.

(9)

Endelig går det skalære produkt eller produktsummen (6) over i et produkt integral z i n I'Ui (x) Uj (x) dx = I sin i — x ■ sin j—xdx = 0 (10) o o 1 1 for Særlig enkle blir formlene om vi setter p = o og l = n, idet vi da får = j og Uj(x) = C sinjx.

Fig. 42. Egensvingninger av 4 massepunkter sammenlignet med do 4 første egensvingninger av en homogen kontinuerlig streng.

Vi ser altså at når egensvingningene av et punktsystem opp­ fattes som vektorer i et mange-dimensjonalt rom, blir det helt naturlig å oppfatte funksjoner av en kontinuerlig variabel — som fremstiller egensvingningene av et kontinuum — som vektorer i et rom med uendelig mange dimensjoner n->oo. I siste tilfelle er produktintegralet (10) helt analogt med det skalære produkt av to vektorer.

94 ~

Kap. 3. Lineære transformasjoner.

,

Urtogonale polynomer.

Vi kan ofte utvikle en funksjon i en x-potensrekke j

y (x) = c0 + cx x + c2 x2 + ....

(23.11)

De enkelte potenser kan her, om vi vil, oppfattes som vek­ torer i et rom med uendelig mange dimensjoner eller, som vi her­ etter kortere vil uttrykke det, i funksjonsrommet. Potensene 1, x, x2, .... er dog ikke egnet som grunnvektorer eller koordinatfunksjoner. Det er bedre å danne lineærkombinasjoner av disse, såkalte ortogonale polynomer. La oss velge et bestemt grunnområde for den uavhengig variable x, f. eks. — l J)e har løsninger som tilfredsstiller de gitte randbetingelser bare for bestemte verdier av egenverdiparameteren 1, de såkalte egenverdier. Et egenverdiproblem er derfor et sammensatt problem, idet man samtidig skal bestemme både egenverdier og tilhørende løsninger. Vi vil imidlertid anta at slike løsninger eksisterer og at de har bestemte karakteristiske egenskaper. La oss ordne egenverdiene av (9) i rekkefølge etter størrelsen, z = Z15 z2, .... Ån,...., og la oss betegne de tilhørende løsninger eller egen funksjoner med 3/i, £/2, •••• Vn,....... Da har vi Egenverdiproblemer.

114

Kap. 3.

d I dyn\

Lineære transformasjoner.

, , XnQyn~^i

d I dym\ \ ~dx /

qVm

, ,

~ y™

0'

(26.13)

Multipliserer vi den første med ym, den siste med yn og sub­ traherer, får vi d r / dym (14) (4 Qynym = Tx\* \yn dx y™

Dette gir ved integrasjon, når vi tar hensyn til randbetingeldy „ sene p-~ = 0 eller y = 0, X1

(4

f Q VriUm dx

0.

(15)

a-o

For 4+4 følger da at produktintegralet selv er lik null. For n — m kan vi vedta å normere egenfunksjonene i overensstem­ melse med lign. (8). Ved hjelp av det tidligere benyttede symbol ånm kan vi da skrive de kombinerte ortogonalitets- og normeringsbetingelser på formen «i / QVnymdx finm. (16)

_

r i,

i

Sammeniallende egenTT . verdier. Ltartmng.

For løsningene av egenverdiproblemet (6) kan vi utlede tilsvarende ligninger som (15) T. og (16). Ligningen .

(4 - 4) J'unumdv = 0

(17)

får vi her ved anvendelse av Greens sats 2‘um—um'^2un')dv = = (wwgradwm — wTOgradw„) df. Ved flerdimensjonale egenverdi­ problemer kan det tilfelle opptre som vi kaller utartning, at to eller flere egenverdier faller sammen eller — hva som kommer ut på det samme — at der til en egenverdi hører flere lineært uavhengige løsninger. Hvis f. eks. 4 = 4 i lign. (17), behøver un og um ikke lenger å være ortogonale. Siden lign. (6) er lineær, er imidlertid enhver lineærkombinasjon av un og um en løsning av ligningen. Det er da lett å skaffe seg lineærkombinasjoner som er ortogonale, f. eks. un + um og un — um. Ved enda flere sammenfallende egen-

26.

Variasjonsproblemer med bibetingelser. Egenverdiproblemer.

115

verdier gjelder det samme. Betegner vi atter de nye ortogonaliserte egenfunksjoner med un og um får vi de generelt gyldige ortogonalitets- og normeringsbetingelser f unumdv = dnm.

(26.18)

Ved løsning av variasjonsproblemer kunne det ligge nær å benytte en fremgangsmåte som minner om integralregningens metoder, nemlig å erstatte den eksakte løsning eller kurve y (x) med en polygon, som antydet i fig. 48, og bestemme det endelige antall Direkte løsningsmetoder. Ritz’ metode.

Fig. 48. Approksimasjon av en. kurve ved en polygon.

ordinater yr,y2, .... ved hjelp av den ordinære teori for maksima og minima. En slik fremgangsmåte er imidlertid tungvint. Langt mere effektiv er den metode som ble innført av Ritz i 1908 og som har hatt stor betydning for behandlingen av egenverdiproblemer. Denne metode går ut på å erstatte en eksakt løsning av lign. (8) eller (9) med et endelig uttrykk y = cryx + e2y2 +....+ cnyn,

(19)

hvor vi for enkelhets skyld vil anta at funksjonene yr (#), y2 (z),.., yn (z), er ortogonale med tetthetsfunksjonen g (x) og dessuten normerte. Koeffisientene c£ må da bestemmes slik at variasjonsintegralet blir stasjonært overfor variasjoner av disse. Vi får n

n

= Ekstr., N =

/ = S hvor

i,fc=l

i=l

c? = 1,

(20)

«i

= f [py/yk + q ytVk\ dx.

(21)

a-»

Vi kommer da tilbake til de tidligere behandlede ekstremproblemer for kvadratiske former. Det ekvivalente system av lineære ligninger

Kap. 3.

116

Lineære transformasjoner.

72-

llaikck-Le, = O, i= 1,2,

(26.22)

fc-1

kan også direkte fåes av differensialligningen (9). uttrykket (19) i denne får vi n

S

Å-=l

r

{(m')' -

+ Apt/J = o.

Setter vi inn

(23)

Ved multiplikasjon med og integrasjon får vi lign. (22), idet vi for første ledds vedkommende foretar en partiell integrasjon og benytter definisjonen (21) av koeffisientene aik. De tilnærmede egenverdier bestemmes som i (22.9) av determinantligningen \aik = 0 for ligningssystemet (22). Lar vi an­ tallet av funksjoner i uttrykket (19) gå mot uendelig, og danner disse et fullstendig funksjonssystem (23.33), vil de suksessivt be­ regnede, tilnærmede egenverdier konvergere mot de eksakte egen­ verdier. Ved Ritz’ metode er det bekvemt at hjelpefunksjonene (x) er ortogonale, men det er ikke nødvendig. Benytter vi funksjoner scm ikke er ortogonale, vil vi til bestemmelse av egenverdiene få å løse determinantligninger av typen (22.28).

Fordeling av de tilnærmede egenverdier etter Ritz’ metode.

Det er av overordentlig stor betydå vite hvordan tilnærmede egenverdier ligger j forhold til hver-

andre og i forhold til de eksakte egenverdier ved anvendelse av Ritz' metcde. La oss betegne de eksakte egenverdier med og de til­ nærmede verdier fra en determinantligning av n-te orden med 2/ . Vi har da alltid (24) Dette betyr for det første at de tilnærmede egenverdier nærmer seg de eksakte egenverdier ovenfra og dernest at denne tilnærmelse er monoton, dvs. en høyere tilnærmelse er alltid bedre enn en lavere. Endelig ligger en tilnærmet egenverdi alltid mellom den tilsvarende og nest høyere egenverdi i den følgende tilnærmelse (eller mellom den tilsvarende og nest lavere i foregående tilnærmelse, bortsett fra den laveste egenverdi). Dette skal vi nu påvise. Vi tenker oss den kvadratiske form (20) transformert på sine

26. Variasjonsproblemer med bibetingelser. Egenverdiproblemer.

117

hovedakser ved en ortogonal transformasjon av koeffisientene c4- til nye koeffisienter i = 1, 2, .... n. Vi får da egenverdiproblemet n

/= S i=l

n

^2=Ekstr., É 7i2 = Ii=l

(26.25) ’

Her er da de tilnærmede egenverdier 2/w> gitt. Vi vil nu under­ søke hvilke tilnærmede egenverdier vi får når vi setter f. eks. cn = 0. Da cn er en lineær funksjon i koeffisientene , medfører dette en relasjon eller binding i koeffisientene

«i/i + «2/2 +....+ anyn = 0. (26) Enhver binding i koeffisientene vil forøvrig betinge en slik binding i koeffisientene Vi forutsetter imidlertid at bindingen (26) motsvarer en sløyfning av siste funksjon yn i uttrykket (19) eller det vi her kaller (n — l)-te tilnærmelse. Denne binding vil nu innskrenke variasjonsmulighetene for koeffisientene og ekstremverdiene av (25) vil bli forandret. Vi kunne tenke oss f. eks. yn eliminert, og vi ville da få et egenverdiproblem i n — 1 variable med n — 1 egenverdier Xi(-n~v>) i— 1,2, ...., n — 1. Sekularligningen for egenverdiproblemet (25) vil anta den enkle form (2) = (2/«) - 2) (22(n) - 2) .... (2„(n) _ 2) = 0. (27)

Med bindingen (26) derimot vil vi få en sekularligning av (n — l)-te grad, som nødvendigvis må ha formen (2) = (2/”) - 2) (Å2W - 2) .... (2nW- 2) • J «i2 « 22 , , aM2 l n Ui(w) — 2 + 2a — 2 + ■' ” +2W(M> — 2J °* Vi kan innse dette på følgende måte. Hvis vi i (26) setter = 0, så kan vi variere fritt. Vi kan f. eks. sette 7i = 1, de Øvrige = 0 og får dermed egenverdien 2/B—= 2/«> i overens­ stemmelse med (28). Dernest kan vi undersøke om den spesielle form av tellerne i partialbrøkoppspaltningen er riktig ved å sette alle koeffisienter a lik null unntagen to, og ak. Vi får da for 2tog h egenverdiproblemet _ 2/«>/i2 + 2fc yk2 X,1 t Z -.2 + 7k2---- = Ekstr., nar a, 7i + ak7k = 0, (29) mens de øvrige egenverdier blir som i n-te tilnærmelse. Ved elimina­ sjon av den ene variable faller også den andre bort, og vi får

118

Kap. 3. Lineære transformasjoner.

+ a?

' f

2

2

eller W«>-Z)(Zico \

2 \-1

/

= u lim 1 H---- = u (z), n-^ao \ n I u(n) (z) — u^zy

(14)

Såvel herav som av (13) følger nu for eksponentialfunksjonen følgende rekkeutvikling o° zn z2 z3

M(2) = CZ = „?0^ = 1 + 2 + TT2 + n-2V3+----

co \

u (z) = log z = lim n\ zn — 1),

I

u' (z) = lim —. n—> co

(18)

1-----Z n

Herav finnes videre alle høyere deriverte av funksjonen og rekkeutviklingen av f. eks. log (1 +z). Den fåes også av definiy sjonen (18) ved å erstatte z med (1 + z) og utvikle (1 +z)n etter potensen av z,

30.

Potensrekker for analytiske funksjoner.

/

— — i

log (1 + z) =lim z +

Konvergensradien singulære punkt. Ved log (1 — z) fåes 1 i log 1

22 +

n

n

1-2-3 z2 Z3 = z------■ 2 ~3

143

z3+ ... (30.19)

er her g = 1, da z = - 1 er det nærmeste kombinasjon av rekken for log (1 + z) og + z = z -z

(20)

og herav videre ved å erstatte z med iz, 1 .

1 + iz

,

z3 , z 5

2ilogi=Tz = arctgz=z-T + T“ Begrunnelsen for å kalle denne funksjon arctg z er følgende: Skriver vi x + iy — rei(f, x — iy = re~irP, så er på den ene side

— Cn + m+i. ’ (31.14) hvor m er heltallig. u (z) er en analytisk eller holomorf funksjon i punktet a og dets nærmeste omgivelser, f (z) en meromorf funksjon med en pol av (m + l)-te orden i punktet a. Koeffisienten (7_x = cm kalles residuet av funksjonen f i dette punkt. Etter Cauchys formel (29.21) for høyere deriverte av en analytisk funksjon, har vi, idet vi setter (a) = m! cm, @-m—1

= ^0 ’

=

(15)

Erstatter vi integranden med f (z) og cm med C-x, får vi

J>/(z) dz = 27iiC_r.

(16)

Dette er den såkalte residuumsats for integralet „ , . , i av en meromorf„ funksjon rundt en av dens poler. Integralet er lik funksjonens residuum i denne pol multiplisert med 2 Tri. Hvis funksjonen /(z) har en pol av første eller høyere orden også i z = oo, vil vi for tilstrekkelig store verdier av |z| kunne utvikle f (z) i en rekke etter potenser av z-1 (negative potenser) Residuumsats.

f (z) = cn zn 4- .... + cxz + c0 + c_xz_1 + ....

(17)

Benytter vi nu transformasjonen z = C-1, slik at punktet z = oo kommer i £ = 0, så vil residuet av funksjonen f (z) ~f[^ i dette punkt være koeffisienten cx. Det er imidlertid ikke denne koeffi­ sient som kommer i betraktning ved beregning av konturintegraler. Dette kommer av at vi må ta hensyn til differensialet dz= — £~2d£, slik at /(z)dz = - (crtC~w-2+....+c1C-3+c0r2+ C-iC'1 + ....)#. (18) I — 11

Kap. 4.

150

Funksjonsteori.

Betrakter vi nu en integrasjonsvei med positiv omløpsretning i det komplekse z-plan, vil denne gå over i en integrasjonsvei med negativ omløpsretning i det komplekse £-plan. Spesielt vil en sirkel med stadig voksende radius i z-planet bli en sirkel som snører seg tettere og tettere om punktet £ = 0 i C-planet (integrasjonsveien trekker seg sammen om det uendelig fjerne punkt z = oo). For en integrasjonsvei i positiv omløpsretning på en uendelig stor sirkel i z-planet vil vi derfor få —i •

(31.19)

Vi vedtar derfor å kalle koeffisienten c_x i (17) residuet av integranden i integralet J>f(z)dz i punktet z = oo, idet vi under­ forstår at vi hermed egentlig mener det negative residum av

C = 0.

Dermed får vi den ufravikelige regel at bidraget

til et kompleks integral for poler i z-planet — ved sammentrekning av integrasjonsveien om disse poler — alltid er lik residuet i polen multiplisert med 2iii. Dette gjelder da selvsagt bare ved positiv omkretsning av en pol. Ved omkretsning i negativ retning må vi forandre fortegnet. Den enkle men allikevel brysomme transformasjon z = £-1 kan vi da heretter se bort fra. Vi skal ved kompleks integrasjon ikke gå for meget i detaljer men bare ved noen få eksempler illustrere metoden. La oss først n

ta integralet I = f‘ dtp = og sette (p = arc cos z. Vi får da et inteo gral som vi kan skrive på følgende måte, (20)

Nu vil kvadratroten -y/1 — z ved full omkretsning av punktet z = 1 bli multiplisert med faktoren en-2/li = ei;c = — 1, mens kvadrat­ roten -y/1 + z vil bli multiplisert med samme faktor ved omkretsning av z = — 1. Legger vi et snitt fra z = — 1 til z = + 1, blir kvadrat­ roten éntydig og får motsatt fortegn på oversiden og undersiden av snittet. Regner vi kvadratroten positiv på undersiden og nega-

31.

Analytisk fortsettelse av potensrekker.

151

tiv på oversiden, kan vi derfor ved sammenfatning av de to inte­ graler (20) skrive