Fysikk for bygg 8251903610

Citation preview

E. H. HAUGE

FYSIKK FOR BYGG

Depotbiblioteket

1980

‘-fi

r 1 { ■> J

ISBN 82-519-0361-0

INNHOLD

HVORFOR DETTE KURSET?............................................................

4

I KLASSISK TERMODYNAMIKK 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Innledning................................................................................ Temperatur............................................................................... Ideelle gasser. Tilstandslikning.............................................. Mikroskopisk modell for ideelle gasser ................................. Arbeid ...................................................................................... Foreløpig diskusjon om reversible kontra irreversible prosesser............................................................... Tilstandsfunksjoner etc........................................................... Varmelærens 1. hovedsetning................................................ Varmekapasitet ....................................................................... Relasjoner mellom partiellderiverte og Cp - Cy.................... Reversibel adiabatisk prosess................................................. Kretsprosesser. Camot-prosessen.......................................... Varmelærens 2. hovedsetning................................................ Entropi..................................................................................... Mikroskopisk tolkning av entropien...................................... Konsekvenser av 2. hovedsetning.......................................... Faseoverganger........................................................................ Termodynamiske potensialer................................................. Clausius-Clapeyrons likning................................................... Det maksimale arbeidet .......................................................... Joule-Thomson effekten......................................................... Varmepumper .........................................................................

9 9 11 13 18

20 22 24 26 27 29 31 34 38 43 47 50 54 56 61 64 67

II VARMETRANSPORT 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

Endimensjonal varmeledning ................................................. Varmeledning i 3 dimensjoner............................................... Eksempler på varmeledningsproblemer................................. Konveksjon.............................................................................. Stråling .................................................................................... Svart stråling............................................................................ Stefan-Boltzmanns lov............................................................ Plancks fordelingslov.............................................................. Wiens forskyvningslov og soloppvarming av hus................. Energiregnskap for dobbeltvinduer.......................................

71 74 78 83 87 88 91 93 95 99

III SVINGNINGER OG BØLGER

Udempet harmonisk oscillator............................................... Dempete svingninger .............................................................. Tvungne svingninger............................................................... Bølger....................................................................................... Superposisjon av bølger.......................................................... Polarisasjon.............................................................................. Alt vi ikke fikk med................................................................

105 112 115 121 124 129 131

Appendiks A. Relasjoner mellom partiellderiverte .......................... Appendiks B. Operasjoner med V, og varmeledningslikningen....... Appendiks C. Kule-og sylinderkoordinater..................................... Appendiks D. Komplekse tall.............................................................

133 135 139 140

33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.

HVORFOR DETTE KURSET?

Grunnkurset i fysikk for bygningsingeniøravdelingen ved NTH er nå samlet om to hovedemner: Termodynamikk-varmetransport og svingninger-bølger, med størst vekt (i antall forelesninger) på det første. Tanken bak å samle stoffet på denne måten har vært at en innen de utvalgte feltene skal ha tilstrekkelig tid til å bygge opp et faglig funda­ ment som en i senere fag, og ute i praksis, skal kunne falle tilbake på. Det er ikke meningen at kurset skal gi raske, oppskriftsmessige løsninger på konkrete problemer. Slike løsninger har gjerne kort levetid. Derimot er håpet at dere skal settes bedre i stand til å møte nye problemstillinger, og å forstå muligheter og begrensninger knyttet til nye løsninger som måtte dukke opp. Dette er en ærgjerring målsetting som er lettere å formulere enn å følge opp i praksis. Det kan også synes paradoksalt at vi bruker såpass mye tid på en del av fysikken, klassisk termodynamikk, som i det vesentlige var ferdig formulert alt i midten av forrige århundre. Men det er gjeme de gamle, fundamentale sammenhenger som er de mest livskraftige og som i stadig nye forkledninger blir avgjørende for skiftende faser av utviklingen. Det var studiet av museale dampmaskiner som ga grunnlaget for formuler­ ingen av varmelærens 2. hovedsetning. Den samme hovedsetningen spiller en sentral rolle i slike nymotens sammenhenger som energisparing og var­ mepumper. Hvorfor er så stoffet samlet om akkurat disse emnene? Svaret er delvis gitt allerede. Energiproblematikken er kommet i fokus og alt tyder på at der blir den værende. Bygningsingeniører er koplet til denne problemkretsen på forskjellig vis. På konstruksjonssiden, og på sparesiden. Det er særlig med henblikk på energisparing at det er viktig å ha et skikke­ lig grunnlag i klassisk termodynamikk, en forståelse for de dominerende varmetransportmekanismer og hvordan de spiller sammen under forskjel­ lige forhold. Varmelæren kommer også inn med full tyngde på andre felt, frostproblemer ved vegbygging er et sentralt eksempel. At svingninger og bølger er fysikkemner som er viktige for en bygningsingeniør, er også åpenbart. Svingninger i broer, lydisolasjon av bygninger, bølgepåkjenning på marine konstruksjoner skulle være tilstrek­ kelige stikkord. Som i varmelæren er målsettingen i dette kurset å klargjøre noen av de fundamentale sammenhengene. Spesialistene vil trenge flere og større kurs senere!

Det er vel heller ikke urimelig å spørre om utvalget av fysikkemner som her er foretatt, virkelig dekker bygningsingeniørens behov for basiskunnskaper i fysikk. Burde ikke bygningsingeniører også ha en viss fortrolighet med et emne som vekselstrøm f.eks.? Som fysiker har jo for­ fatteren klare oppfatninger på dette punkt. Men studieplanarbeid er noto­ risk vanskelig, og en får her ta de gitte tidsbegrensninger til etterretning, som det heter. (Skulle forfatteren driste seg til å tilføye: Inntil videre?) I begynnelsen av NTH-studiet vil matematikkunnskapene gjeme sette grenser for presentasjonsformen i andre fag. Dette kurset kommer stadig til å balansere på kanten av de kunnskapene dere parallelt får tilført ved matematikkundervisningen. Slik maksimalutnyttelse kan til tider føles brutal. Men håpet er at det første sjokket skal følges av et fruktbart vekselspill mellom fysikk- og matematikkemner. Matematikken blir ikke brukt i fysikken for å gjøre ting vanskeligere. Tvertimot, når vi bruker matematikk her, er det for å gjøre problemene presisere, klarere, og derved i siste instans lettere å løse. Av praktiske grunner er det matematiske verktøyet samlet i 4 appendiks bakerst i boka, og enkle utledninger av de viktigste resultatene er gitt der. Kurset er ikke fullstendig i den formen det foreligger her. Antall gjennomregnete eksempler er, som en ser, meget beskjedent. For å få tak på stoffet er det derfor en forutsetning at øvingene tas alvorlig: Oppgaveregning er en helt nødvendig del av læreprosessen! Da gjenstår det bare å ønske lykke til med arbeidet. Og skulle du kjøre deg fast, så spør!

-9-

I.

KLASSISK TERMODYNAMIKK

1.

Innledning I dette kapitlet skal vi ta for oss de grunnleggende lovene

innen det emnet som vanligvis kalles termodynamikk.

Strengt tatt

er det systemer i likevekt som skal studeres, og et mer dekkende

navn ville derfor være termostatikk.

Men siden mange prosesser i

praksis forløper tilstrekkelig langsomt til at vi i rimelig til­

nærmelse kan betrakte dem som en kjede av likevektstilstander, har

likevektslæren et større anvendelsesområde enn en ved første øyekast skulle tro.

Dessuten gir likevektslæren ofte verdifull informasjon

om øvre grenser for utbyttet av virkelige prosesser.

Termodynamikken

gir derfor et nyttig utgangspunkt for studiet av alle slags varmekraftmaskiner, varmepumpa inkludert. Andre problemfelt som er av interesse for bygningsingeniører er teleforhold ved vegbygging, varme- og ventilasjonssystemer, varme­

transport gjennom vegger, strålingsgevinster og tap gjennom dobbeltNoen av disse vil bli tatt opp i kapitlet om varme­

vinduer etc.

transport.

Men også for prosesser som faller utenfor likevektslæren

er det viktig å ha en forståelse av grunnbegrepene i klassisk termo­ dynamikk .

En del emner fra varmelæren inngår i den videregående skoles pensum. Det vil derfor tas for gitt at dere har vært borte i noe av dette før.

Det viktigste vil bli rekapitulert raskt innled­

ningsvis før vi går videre.

2.

Temperatur

Vi skal ikke gå inn i en spissfindig diskusjon om hva termisk

likevekt er, men ta det som et intuitivt begrep.

Et system overlatt

til seg selv, varmeisolert fra omgivelsene, vil etter en tid være i

termisk likevekt.

To systemer er i termisk likevekt med hverandre

dersom ingen varme flyter fra det ene til det andre når de bringes

i kontakt.

En klasse alminnelige erfaringer i forbindelse med slike

situasjoner kan formuleres presist som varmelærens O’te hovedsetning:

To systemer i termisk likevekt med et tredje, likevekt med hverandre.

er i termisk

- 10-

Skj ematisk:

Dette er grunnlaget for det universelle temperaturbegrepet som karakteristikk

av

Når en åpner

termiske likevektstilstander.

kjøleskapet om morgenen er osten, melka og lufta i kjøleskapet i

termisk likevekt, de har samme temperatur.

Materialegenskapene er

helt forskjellige, men temperaturen er den samme. Temperaturen er jo et velkjent begrep, og alle vet hvordan

den måles:

En myser mot termometret og vagger med hodet til den blå

væskesøylen plutselig er der:

Blått femtall, fem kuldegrader.

Fullt så enkelt er det ikke når standarden for temperatur skal fastlegges.

Temperaturbegrepet er pr. definisjon uavhengig av

spesielle materialegenskaper.

utnyttes for å få målt den!

Men en eller annen slik egenskap må

Vi kan bruke at sprit utvider seg

raskere enn glass når temperaturen stiger, eller, med et vanlig metall-

spiraltermometer, basere oss på metallets utvidelse alene. punktet kan vi konvensjonelt definere som med temperaturene imellom?

0°C

og

100°C .

Is og dampMen hva

Dersom termometrene viser forskjellig,

hvilket er eventuelt korrekt? Som standard er tradisjonelt gasstermometret valgt, siden

erfaringer (og kinetisk gassteori) viser at ved lave trykk vil alle

nøytrale gasser oppføre seg likt.

Gasstrykket,

som er direkte mål­

bart, settes proporsjonalt med den absolutte temperatur, og tempera­ turen ved vannets trippelpunkt (se §17 ) defineres som 273,16K • Derved har en tilnærmet

T = t + 273 K

der

T

er absolutt temperatur (målt i Kelvin) og

t

er Celsius-

temperaturen. Når referansetermometret er definert, kan vi lage termometre basert på hvilken som helst temperaturavhengig materialegenskap. Hvilken type termometer som er mest praktisk avhenger av bruksområde

-11 -

Vi skal ikke lage noen lang liste her,

og temperaturintervall.

bare nevne ett, nemlig termoelementet:

Loddepunkt ved

T2

Kobber

Loddepunkt ved

Elektrisk spenning^f(Ti,T2)

Ti

Ti= 0°C (vann + is) -» T2 - f (spenning

3.

Ideelle gasser.

Tilstandslikning.

Som nevnt vil alle gasser, 02, H2, C02

etc., og også bland­

inger som f.eks. luft, ved tilstrekkelig lave trykk oppføre seg som

ideelle gasser.

trykket

p

En ideell gass har følgende sammenheng mellom

og volumet

og den absolutte temperatur

V

pV = NkT Her er

.

k=Boltzmanns konstant , en universell naturkonstant med

verdien

k = 1.3807-10"23 J/K

og

N

er antall molekyler i gassen.

,

I makrofysikk er det ikke

naturlig å telle molekyler, og vi går over til den ekvivalente formen

pV - nRT

der

R = NAk = 8 . J14J/(K-mol) - den molare gasskonstanten

Na = £ - 6.022• 102 3 /mol - Avogadros tall N n = Tj— - antall mol . A

Konsekvenser av ideelle gassers tilstandslikning:

- 12-

Isotermer:

T = konstant , p = p(V) = konst./V

(”Boyle-Mariotte’s lov”)

Ti>T2

> V

konst.T

(”Gay-Lussac’s lov”)

.

Pl 0

La

heten før støtet.

være x-komponenten av hastig­ Bevegelsesmengdens x-kompo-

. Etter støtet er den -mv , og totalt X x endrer støtet partikkelens bevegelsesmengde med -2mvx • nent før støtet er da

mv

La oss nå gjøre den urealistiske antakelse at alle molekylene har samme verdi

v

for hastighetens x-komponent.

> 0

begrensning er innført på

v

y fra denne restriksjonen og la

(Merk at ingen

og

v

v^.

ha vilkårlige verdier.

’. )

Vi skal senere frigjøre oss

Antall molekyler som treffer arealet

veggen i løpet av tidsintervallet

A

på

(t,t+dt)

vil da være

N

der

N

Av dt x V

er antall molekyler i totalvolumet

og vi stilltiende har forutsatt som rett og

V .,

- 15-

rimelig er, at molekyltettheten er den samme overalt i

V .

Endringen i bevegelsesmengde pr. tidsenhet til molekylene som

treffer arealet

på veggen er

A

-2mv • NAv /V XX

kraft fra veggen på gassmolekylene.

Trykket er kraft pr. flateenhet på veggen, og er derved gitt som

p

+vx

= 2mv Nv /V = 2 mv2 xx V x

Ved å merke trykket med nedre indeks

+vx , har vi understreket at

er beregnet ut fra den urealistiske forutsetningen at alle mole vX kylenes hastighetskomponent i x-retningen er +v

p

Feilene vi har innført ved denne restriksjonen kan vi nå rette opp ved å påpeke at A.

Bare halvparten av molekylene har

vx>0 , og bare denne halv­

parten støter mot veggen og bidrar til trykket. B.

Hastigheten til molekylene antar alle mulige verdier, og det er kolossalt mange av dem.

Derfor er det middelverdien av det funne

uttrykket som representerer det makroskopiske trykket

p

.

Alt så

p = v m

.

ti

I likevekt er en gass isotrop, dvs. den har samme egenskaper i alle

retninger.

Altså:

= = X

y

.

z

På den annen side er

v2 = v2+v2+v2 x y z Altså kan vi skrive p = i | mOO = | «

der

Ekin=^mv2

er den kinetiske energien knyttet til et molekyls

translasjonsbevegelse (eventuell rotasjon og vibrasjon er ikke tatt

med her).

- 16-

Re symé _og_t illeggskomment ar er:

Makroskopisk kan en hvilken som helst gass av tilstrekkelig liten tetthet med god tilnærmelse beskrives som en ideell gass med

tilstandslikning / pV = nRT = NkT

Mikroskopisk kan en hvilken som helst gass av tilstrekkelig liten tetthet med god tilnærmelse beskrives som et stort antall mole­ kyler som mesteparten av tida

beveger seg i rettlinjete baner og

bare en (relativt) sjelden gang kolliderer med hverandre.

innebærer at når gassens trykk mot veggene skal

Dette

beregnes , kan den

potensielle energi knyttet til vekselvirkningen mellom molekylene

neglisjeres relativt den kinetiske energi knyttet til molekylenes tyngdepunktbevegelse .

Resultatet er pV = N -j- 3 kin

.

Jamføring mellom makro- og mikrobeskrivelsen av en lavtetthets gass gir en mekanisk interpretasjon av temperaturbegrepet , ved rela­ sjonen

J m Q2 > = = f kT 2 kin z Denne interpretasjonen viser seg å være atskillig mer almengyldig enn vår utledning her kunne tyde på.

Energibidrag knyttet til rotasjon

og vibrasjon av de enkelte molekylene, eller til vekselvirkningen^

molekylene mellom, forkludrer ikke det faktum at midlere kinetisk

energi knyttet til ett molekyls translasjon er

kT .

Av denne

makroskopiske tolkning av temperaturbegrepet er det åpenbart at temperaturen er positiv og har et absolutt nullpunkt (vår klassisk

mekanisk beskrivelse må riktignok erstattes med en kvantemekanisk

beskrivelse nær

T=0 , men det er en annen historie.)

En umiddelbar generalisering av gassen er en blanding av gassene

pV=NkT

1,2,3,....

er tilfellet der

med liten totaltetthet.

Da vil en åpenbart ha

Ni V

N2 V

N_3 V

....

Dette er ingenting annet enn ”Dalton’s lov": av partialtrykkene.

^kT

.

Totaltrykket er summen

- 17-

Midlere hastighet (root-mean-square,

"effektivfarten") ved

værelsestemperatur er av størrelsesorden noen hundre meter pr. sekund.

Eksempel,

1UN2

•1.66•10“27kg

: _

/ikT

/3»l.,38«10"2 3J/K-5OOK

_

'

28 • 1..66 • 10“2 7kg

« /26 -1011 - « 5 00/ s s (Huskeregel:

.

I gasser er middelhastigheten noe større, men av

samme størrelsesorden som lydhastigheten i gassen).

er

I en blanding

like stor for alle molekylslag, mens

~

/ < v2 >

avhenger av molekylmassen. Dette betyr ikke at et gitt molekyl beveger seg rettlinjet 500m i ett sekund.

At molekylene "relativt” sjelden kolliderer,

betyr at mesteparten av

tida

beveger de seg i rettlinjete baner.

Diameteren til et molekyl er av størrelsesorden

JA = J 10 *

“10m ,

mens midlere fri veglengde for en gass ved 1 atm. og værelsestemperatur

er av størrelsesorden

1000A = 10“7m .

En slik fri veglengde mellom

to påfølgende støt gir 500 ------10-7m

10 * 5

9

kollisjoner pr.

sekund.

At kollisjonene er sjeldne må forståes på korrekt skala!

De er

sjeldne i den forstand at molekylene vil tilbringe ca.

3A

1000A '

av

tida

i kollisjon, og 997% 0

,0/

3/°°

av tida

i tilnærmet rettlinjete

baner. Dette forklarer at selv om vekselvirkningsenergien kan neglisjeres ved beregning av tilstandslikningen til en ideell gass, foregår likevel så hyppige kollisjoner at den indre "kommunikasjon"

i gassen er førsteklasses.

Dette har igjen som konsekvens at ikke-

likevektstilstander vil utvikle seg mot likevekt.

- 18-

Enatornige gasser som edelgassene

He,Ne,Ar,Kr,.... har ikke

energi knyttet til rotasjon og vibrasjon av partiklene.

enatomige gasser er all indre energi

U

For

derved kinetisk energi i

tyngdepunktbevegelsen og vi har for slike gasser at Uen = N = |NkT = |nRT

.

To- og fler-atomige gasser har også energi knyttet til rotasjon og vibrasjon av molekylene, ved værelsestemperatur er det spesielt rotasjonen som teller og tilnærmet har en

Uto

U

f ler

« f-NkT = -j-nRT

« 3NkT = 3nRT

.

;

Disse forskjellene har ikke noe med tilstandslikningen å gjøre!

U=U(T)

Ideelle gasser kan ha forskjellige indre energi funksjoner

alt avhengig av molekylenes struktur, men tilstandslikningen er den samme for ideelle gasser uavhengig av molekylstrukturen.

ideelle gasser gjelder at

5.

U=U(T)

For alle

er uavhengig av volumet!

Arbeid

Tilbake til makrofysikken.

Hva er arbeidet, W , en gass

utfører mot et stempel når gassen utvider seg? løpig for upresist.

Spørsmålet er fore­

For å klargjøre dette, la oss tenke oss 3

forskjellige måter prosessen kan forløpe på:

A.

Jsoterm_reversibel jorosess:

Prosessen foregår tilstrekkelig langsomt til at kraften på stemplet

til enhver tid balanserer trykket fra gassen

[F(t)=p(t)«Al

.

- 19-

Dessuten er gassen i termisk kontakt med et varmereservoar slik at

temperaturen holdes konstant.

I dette tilfellet er arbeidet

V2 V2 WT = | p(V)dV =

V1

Vi

V2 ^dV = RT |

ÉV

Vi

= RT £n V I

der vi har spesialisert til det tilfellet at sylinderen inneholder

ett mol ideell gass.

B.

Isobar.reversibel prosess

Sylinderen er termisk koplet til omgivelsene hvis temperatur regu­ leres slik at trykket i sylinderen til enhver >tid er det samme, mens

gassen langsomt ekspanderer. er nå

Arbeidet som utføres mot omgivelsene

V2

W

= P

J

pdV = p(V2-Vx) = RTjQp- -1 ) \v i /

-20-

C•

I^Feversibel_adiabatisk_grosess

Gassen er opprinnelig i likevekt med stemplet fastlåst slik at gass-

volumet er

Vi

.

På den andre siden av stemplet er det vakuum.

Når

så stemplet slippes løs braker det mot høyre vegg, og etter en tid

faller systemet til ro i en ny likevektstilstand med gassvolum

V2

.

Gassen er hele tiden termisk isolert, prosessen går uten varmeveksling med omgivelsene, dvs. den er adiabatisk.

Arbeidet utført

av gassen er lik null i dette ekstremt irreversible tilfellet:

W. irr

0

Sluttilstanden kan lett finnes for en ideell gass, siden indre energi

må være den samme før og etter U(Ti ) = U(T2 ) => T2 = Ti og derved

PiVi=p2V2

.

Med samme begynnelsestilstand får en faktisk

samme sluttilstand som ved den isoterme prosessen i dette tilfellet.

6.

Foreløpig diskusjon om reversible kontra irreversible prosesser

Vi kommer mer presist tilbake til dette punktet når vi skal behandle varmelærens 2.hovedsetning og skal diskutere entropibegrepet . Men allerede nå kan det være nyttig foreløpig å understreke følgende viktige distinksjon: En reversibel prosess er en prosess som styres slik at systemet

langsomt gjennomløper en serie likevektstilstander.

En slik prosess

kan representeres ved en kurve i et tilstandsdiagram , feks. et diagram.

p-V

Enhver kurve i et tilstandsdiagram representerer en revers­

ibel prosess (den kan også kjøres baklengs!) som i prinsipp kan realiseres ved passende ytre manipulasjoner med varmereservoarer med

-21 -

variabel temperatur, langsomt varierende krefter osv.

En irreversibel prosess er en prosess som i større eller mindre grad slippes løs.

Når et makrosystem (mangepartikkelsystem)

slippes løs i en ikkelikevektstilstand vil det gjennomløpe en serie

ikkelikevektstilstander på vei mot den endelige likevektstilstand. Ikkelikevektstilstander kan ikke inntegnes i et tilstandsdiagram for likevektstilstander .

Derfor kan irreversible prosesser heller ikke

representeres ved en kurve i slike diagram.

Det er klart at alle prosesser i realiteten strengt tatt er

irreversible.

Selv om vi manipulerer med krefter og varmereservoarer

etter aller beste evne, vil alltid et ørlite element av irreversibi-

litet (friksjon, tap, dissipasjon) lure seg med.

Reversible pro­

sesser er derfor idealiserte prosesser som er under ekstrem kontroll og går uendelig langsomt, de er kvasistatiske.

Dette kan jo virke

virkelighetsfjernt , hvorfor kaste bort tid og intellektuell energi på

noe så urealistisk? Poeng nr.l ligger i ordet langsomt, og spørsmålet er: Langsomt i forhold til hva?

En hastighet som er karakteristisk for mediet,

men forøvrig uavhengig av detaljene i problemet, er lydhastigheten. Prosessen må i alle fall gå langsomt i forhold til den.

Men dette

er jo et svært beskjedent krav, siden lydhastigheten er av størrelses­ orden 300m/s . Vanligvis kreves at prosessen også må gå langsomt i

forhold til de naturlige utjamningsprosessene som driver systemet mot intern likevekt.

Disse prosessene er: Varmeledning, viskøse prosesser

ved strømninger, stråling, diffusjon.

Å regne ut karakteristiske

tidskonstanter for hver av disse prosessene &r komplisert og avhenger

av allslags detaljer som f.eks. problemets geometri.

Vi skal ikke

gå inn på dette her, men begrense oss til å påstå at mange virkelige

prosesser i rimelig første tilnærmelse kan betraktes som reversible.

La oss dessuten understreke at likevektskriteriet her går på den interne likevekt, som ofte opprettes langt raskere enn termisk

likevekt med omgivelsene.

Den reversible adiabatiske prosess kan

derved oppfattes som en tilnærmet beskrivelse av prosesser som går langsomt på tidsskalaen for opprettelse av intern likevekt, men raskt

på tidsskalaen for opprettelse av termisk likevekt med omgivelsene.

Poeng nr.2 er at selv om den reversible prosess er en urimelig grov forenkling av virkeligheten i mange tilfelle, gir likevel denne

-22-

idealiseringen viktig informasjon om øvre skranker for mulighetene

visse prosesser innbærer.

Varmepumpa er et eksempel her: Som vi skal

se, gir idealiseringen i dette tilfellet en øvre skranke for virk­

ningsgraden med viktig informasjon om hvordan den avhenger av tempera­ turene . Poeng nr.3 har vi vært inne på før: Studiet av reversible prosesser er et nødvendig første skritt pa vegen mot forståelsen av prosesser der irreversible prosesser spiller en vesentlig rolle.

7.

Tilstandsfunksjoner, etc. Før vi går videre, må vi klargjøre noen sentrale begreper.

Tilstandsfunksjon er et slikt begrep.

En tilstandsfunksjon er en

funksjon som er entydig gitt når systemets termodynamiske tilstand er spesifisert, dvs. når to fri variable

er fastlagt.

(p,T), (V,T)

...

Hvilke prosesser som ledet opp til denne tilstanden,

er irrelevant.

energi, U .

(p,V),

Et eksempel på en tilstandsfunksjon er den indre

For ideelle gaser er den gitt ved

U = U(T) = N + N

* bvl - 0 os '

VaTJ

'T

P

' T

Altså C -C„ = nR P V For ett mol (n=l) o def nar y = C /C„ P V

ideell gass ved værelsestemperatur har en da,

Enatomig

:

cv

Toatomig

:

cv

Fleratomig:

cv

_

3 3T

(lRT) =

3 3T

(lRT)

;

c

- yR ;

c

3 (3RT) = 3R ; 3T

c

p

- -j-R ;

Y = | = 1.67

p

- yR >

Y = 1 = 1.4

= 4r ;

y -- T = 1-33

p

Eksperimentelle resultater for de vanligste gassene er i bra overens­ stemmelse med dette

11.

Gass

Cv/R

C /R P

He

1.52

2.51

' 1.65

Ar •

1.52

2.52

1.66

N2

2.49

3 •49

1•40

o2

2.51

1.40

co2

3.38

3.51 4.41

Y

Værelsestemperatur r

,

s

Lavt trykk (~ 1 atm.)

1.30

Reversibel adiabatisk prosess

En viktig type prosess i praksis er den adiabatiske

(Q=0)

som i tilstrekkelig god tilnærmelse kan regnes som reversibel.

Slike

prosesser har en enten når varmeisolasjonen mot omgivelsene er svært god, eller når prosessen forløper tilstrekkelig raskt til at varme­ utvekslingen med omgivelsene (som ofte er en relativt langsom prosess)

-30-

Om en rask adiabatisk prosess kan regnes som

er neglisjerbar .

reversibel avhenger av detaljene, problemets geometri osv.

For en reversibel adiabatisk prosess har en

0 = dQ = dU + pdV eller, med

og

T

9U 8T Kjenner en

som variable

V

+p dV

dT + V

(tilstandslikningen) og

p=p(T,V)

U=U(T,V)

gir dette

en 1.ordens differensiallikning (altså, med én integrasjonskonstant)

til bestemmelse av adiabaten gjennom et vilkårlig punkt i T,V planet. Siden fé-f) = C og C -C = kan likningen \a±/y

F

_ X°

v

/ rp

CVdT + 'Cp-Cv’(lv) IV = o

x

Zp

.

p

For en ideell gass er og for ett mol er

J\

.

alternativt skrives

og

C

konstanter med

C^/C^y

slik at

pV=RT

8T\ 9V/

P

p _ T R V

Derved spesialiseres differensiallikningen for adiabatene til dT

z ,v dV n + (Vi) — = 0

Integrasjon gir

£nT + (y-l)fcnV = konst. eller

TVy 1 = konst.

De adiabatiske kurvene i eliminere

p,V

T = pV/R : pVy = konst.

diagrammet finnes ved å

-31 -

Til sammenlikning:

Isoterm:

P’V = konst.

C /C - y > 1 , er adiabaten pv en brattere kurve enn isotermen. Siden

Konstanten i adiabatlikningen bestemmer hvilken adiabat en har for seg, på samme måte som kon-

stanten, RT

i isotermlikningen spesifiserer temperaturen, dvs.

hvilken isoterm det dreier seg om. punktet

po,Vo

Spør en etter adiabaten gjennom

er konstanten gitt som pVY = konst = PqVq

12.

Kretsprosesser.

Carnot-prosessen

Kretsprosesser, dvs. prosesser som løper tilbake til utgangs­ punktet, er viktige i termodynamikken.

De er viktige i praksis:

De aller fleste varmekraftmaskiner, dampmaskiner, forbrenningsmotorer

etc., og også kjølemaskiner, er bygd over kretsprosesser. sentrale teoretisk:

De er også

De klassiske formuleringene av varmelærens

2.hovedsetning tar utgangspunkt i slike prosesser.

I

p-V

diagrammet vil en reversibel (kvasistatisk) krets-

prosess representeres av en lukket kurve, og vi har allerede sett

at 1.hovedsetning tilsier at

p4

omløp

W

omløp

= Q

omløp

Vi skal nå gå videre og studere en

bestemt kretsprosess først diskutert av Sadi Carnot i 1824.

Carnot-

prosessen er pr. definisjon en reversibel kretsprosess som består av

I regningene våre antas substansen å være 1 mol ideell gass, men defini­

sjonen er uavhengig av arbeidssub-

stansen.

-32-

a->-b

Isoterm ekspansjon, U = konst.

b

b pdv = rtJ

a

a

a b->c

V,

RTx£n

Adiabatisk ekspansjon, Q = 0

C

U -U

DC

pdV

= U(T ) - U(T. ) 1

/

b c->-d

Isoterm kompresjon

d Q2

-

Vc

pdV = ~RT2£n

-|Q2 |

vd

c

d+a

Adiabatisk kompresjon

a Ua"Ud = U(T1) " U(T2) =

pdV

d

Siden den indre energi til en ideell gass er uavhengig av volumet, blir arbeidet gassen utfører på omgivelsene like stort, men med motsatt fortegn, ved de to adiabatiske prosessene.

Totalarbeidet

utført ved kretsprosessen blir derfor

W = W

. + W . = Q-|Qj a->b *d c1- 1 2 Vc

Vb

= RTj£n

va

- RT2£n

vd

For adiabatiske prosesser har vi tidligere vist at pVY = konst ;

TVY-1 = konst ,

\

-33-

Derfor har en = T VY-1 dd

T VY-1 a a

Men siden

T =T =T a b i

og

T VY-1 b b

T =T =T , c d 2

T1 /W'1 ZlcV-1 T2 ’ kvj - kvj

= T VY-1 c c

gir dette

Vb vc va - VZ

, dVS-

’

og derved

V, W = R(Ti-T2)£n ~ ' va Skjematisk kan vi framstille energistrømmene i kretsprosessen som i figuren.

Tallverditegnet pa

Q2

er en følge

av fortegnskonvensjonen: Varme tilført

systemet (her kretsprosessen) regnes positiv.

Det er naturlig å definere

virkningsgraden

n

av prosessen som

W _ Q 1 - j Q 2 | _ Q1 + Q 2 Q1 Q1 Q1 Vh R(Ti-T2)£n

_ _

a

_

Vb ■ RTi £n ya

_ Ti-T2 Ti

Virkningsgraden sier hvor stor del av energimengden tappet fra varme-

reservoaret med den høyeste temperaturen som utnyttes som arbeid.

Det er klart at

nII

og

Vi

II=>I .

II=>I

Anta at påstand I er usann. Da kunne vi tappe varme fra et reservoar, omsette det helt ut i arbeid, og deretter bruke dette arbeidet helt ut til å kjøre en Carnotprosess baklengs og derved overføre en varmemangde fra et kaldere til et varmere reservoar uten

andre endringer.

Denne konklusjonen er i strid med II, og derfor må

Dvs., I må være sann som følge av at II antas

premisset være usant.

sann. MI

Anta at påstand II er usann.

resultatet at varmemengden , ]Q] varmere reservoar.

Ved en kretsprosess er netto­

overføres fra et kaldere til et

Men kopler en dessuten en Carnotprosess mellom

de to reservoarene innrettet slik at

det utføres et arbeid

W

og

vil nettoresultatet være at

arbeidet

]Q]

]Q’|

trekkes fra det varmere,

tilføres det kaldere reservoaret,

]Q’|-]Q]

i sin helhet omvandles til

W .

Dette strider mot formulering I, og II kan derfor ikke være usann.

Altså:

II * I=

.

Vi har derved vist at I følger av II, og II følger av I.

to utsagnene må derfor være ekvivalente. nødvendigvis er korrekte.

usanne.

De

Dette betyr ikke at de

De kan enten begge være sanne, eller begge

Og siden utsagnene gjelder naturen, kan bare eksperimenter

avgjøre sannhetsverdien.

I dette tilfellet er ikke testen helt like­

til, fordi det ikke er lett eksperimentelt å påvise at noe er umulig.

La oss derfor nøye oss med å fastslå at ingen moteksempler mot 2.

hovedsetning er eksperimentelt påvist, trass i at det er over hundre

-36-

Vi skal derfor basere oss på varmelærens

år siden den er formulert.

2.hovedsetning som eksperimentelt verifisert for makroskopiske systemer. På basis av Clausius’ formulering kan vi nå vise

teorem

Ingen syklisk virkende varmekraftmaskin som arbeider mellom

to gitte temperaturer kan ha større virkningsgrad enn Carnotmaskinen . Vi viser dette ved å kople sammen en vilkårlig kretsprosess (revers­

med en Carnotprosess mellom de to samme

ibel eller irreversibel), M

varmereservoarene.

Carnotprosessen

kjøres baklengs, dvs. det utføres arbeid på maskinen og varme over­ føres fra lavtemperaturreservoaret

T2

til høytemperaturreservoaret

Ti

Vi ordner oss slik (og det kan vi

alltid i prinsipp gjøre) at arbeidet utført på Carnotprosessen er like stort som arbeidet utført av den andre prosessen

M .

Nettoresultatet av denne tandem-prosessen er at varmemengden

Qi~)Qj|

trekkes ut av reservoaret ved

avgis til reservoaret ved

T2

Ti

og varmemengden

]Q2Q2

Ifølge 1.hovedsetning har en

.

IQ2I-Q2 = Qi-|q!I. Iflg.

2.hovedsetning (Clausius *

formulering) må

Qi-1Qi ]

> 0 .

Virkningsgraden til de to maskinene er, pr. definisjon

def nC

|W| |Qi|

def W nM " Qi

Men siden vi ordnet det slik at arbeidet

]W|

er ett og det samme

for de to maskinene, og siden 2.hovedsetning gir

nM - nc

qed.

|Qi I

|Qi 1

må

-37-

Ved å gjøre

reversibel maksimeres virkningsgraden, da

M

gjelder altså likhetstegnet, og derved har vi vist at

Alle reversible kretsprosesser som virker mellom to gitte temperaturer har samme virkningsgrad som Carnotmaskinen. Ingen detalj egenskaper til arbeidssubstansen inngikk i denne

argumentasjonen og derved kan vi bruke en ideell gass som arbeidssubstans.

Resultatet for denne, som vi tidligere har beregnet,

gjelder derfor for alle reversible kretsprosesser mellom

Tj

og

T2

:

Alle reversible kretsprosesser som virker mellom de to

gitte temperaturene graden

ng =

Ti

og

T2

har virknings-

(S 3 a

dvs.

Derved har vi vist at

Alle adiabatiske irreversible prosesser foregår i

en slik retning at entropien vokser. eller, sagt på en annen måte

Entropien i et isolert system kan ikke avta. Hvordan regne ut entropi-endringen i en prosess?

Skal

spørsmålet ha et entydig termodynamisk svar, må begynnelses- og

sluttilstandene være likevektstilstander. Nå vet vi at S er en tilstandsfunksjon og S -S = /Bds er da uavhengig av integrasjonsb A a vegen. Vi kan derfor velge den integrasjonsvegen som gir lettest regning.

Hvordan prosessen forløp

i virkeligheten er helt irrelevant.

Den kan ha vært reversibel, men ha fulgt en annen veg i tilstandsplanet. Eller den kan ha vært irreversibel og derfor umulig å inntegne som en kurve gjennom likevektstils'tander.

Eksempel

1.

Isoterm ekspansjon av 1 mol ideell gass.

2

AS - S2-S j

dU T

-41 -

a

Velg integrasjonsvegen langs isotermen, dvs. som den virkelige

prosessen

Ideell gass:

(1 mol)

2

r[

AS

b

=

= IUn

R£n2

V 1

v

J i

Velg integrasjonsvegen langs en adiabat pluss en isochor

AS - S3 —Si + Sa-S3 2

3

T

T

1

Men

1->3

dV=0 .

3

er en adiabat, dvs.

dQ = 0 , og

2-»-3

er en isochor, dvs.

Altså: 2

222

AS = j

=

3

Ideell gass med

dT =

f 3

3

V

_V dT 3

Cv=konst. 2

iS = cv-j 2T . cvin Ti 3

Dette ser jo temmelig forskjellig ut fra det forrige svaret, men vi

må nå regne ut

T3

, når

Ti=T2=T

og

V3=V2.

-42-

Y-l Y-l TiVi = T3V3

Adiabat

-

m

/v \Y-1 rn| V 1 \

AS - Cv£n Tjy- - Cv

- Cv(y-1)£n y—

= cv(c^ "1)An vf = (cp“cv)£n vf = R£n v? = R£n2

.

Det stemte likevel!

i

2.

Irreversibel adiabatisk ekspansjon av ideell gass

hovedsetn. l.

:

V2 = 2Vi

Samme sluttilstand som i forrige

.

eksempel, og samme begynnelsestilstand.

AU = 0 => U(TX ) = U(T2),=>

M.a.o.:

Samme entropi-

differanse. f

AS = R£n2

Til slutt en påminnelse:

Vi har regnet på et eksempel som

understøtter den generelle påstand at ehtropien øker i en adiabatisk

irreversibel prosess. En irreversibel prosess i et åpent system (dvs.

et system i energiutveksling, evt. også partikkelutveksling med omgivelsene) trenger ikke å gi entropiøkning.

på et åpent system er jorda.

Et sentralt eksempel

Den mottar høytemperaturstråling fra

sola og avgir lavtemperaturstråling til verdensrommet. bli diskutert i neste kapittel. bindelse er:

Stråling vil

Det som er poenget i denne for­

Det er uklart om jordas totalentropi er på veg oppover

for tida, og 2.hovedsetning kan ikke gi oss noen direkte hjelp her.

-43-

'

I

15.

Mikroskopisk tolkning av entropien For å få en dypere forståelse av hva entropien fysisk

representerer, må vi se på makrosystemene med mikrobriller.

Vi tar

det konkrete eksemplet vi nettopp har regnet på

Ideell gass ved gitt temperatur og to for­ skjellige volum. T,V2=2Vx

T,V!

Når skilleveggen er fjernet tilsier "sunn fornuft” at partiklene ikke vil samle seg i venstre halvdel av volumet, selv om energien i

begge tilfelle ville bli den samme. at alle de

Det er uhyre lite sannsynlig

partiklene tilfeldigvis skulle befinne seg i vensti

1023

halvdel samtidig.

At derfor gassen -spontant fyller hele beholderen

sett med sannsynlighet å

når skilleveggen fjernes, har mikroskopisk *

gjøre.

Makroskopisk er ekspansjonen forbundet med en entropiøkning,

og den motsatte prosess med en entropiminskning.

Men 2.hovedsetning

sier at i et adiabatisk lukket system kan entropien ikke avta. Sannsynlighet og entropi vil altså hver på sitt nivå avgjøre prosess­ Det er derfor rimelig å anta at de to begrepene har no
V

gass

væske

> S„ fast

-57-

og da vil alle tre faselikevektskurvene ha

peke oppover mot høyre.

dp/dT > 0 , dvs. de vil

Men der er interessante unntak fra disse

ulikhetene mellom væske og fast stoff.

For

: mens entropiulikheten går den vanlige vegen.

negativ for smeltekurven til

47!)

H2O ,

V < V vann is Dermed blir dp/dT

H2O

er

(se tilbake på figurene på side

Denne anomalien har en rekke viktige konsekvenser som livet i

et land som Norge er sterkt avhengig av.

La oss bare nevne én:

Isen

blir faktisk liggende på vannene om vinteren, den synker ikke til

bunns som den konvensjonelle ulikheten skulle tilsi.

Dette har sin

betydning, både for skisporten, drikkevannsforskyningen og NVE! Som en digresjon kan det nevnes at for fysikere er også et annet unntak interessant.

Entropien til

3He

høyere i fast fase enn i væskefasen (mens AV

for

Tot som igjen er av formen (1). er altså kombinasjonene

(De to fritt valgbare konstantene'her

br+cr

c.-b.

og

.)

Den hendigste formen

på løsningen er faktisk (4), med realdel '

Rex (t) =

Ekvivalensen med (2) er åpenbar:

]a|cos(w0t+6) |a|=A

er amplituden, dvs. det

maksimale utsvinget ( siden cosinus svinger mellom

Størrelsen

6

bestemmer fasen.

-1 og +1).

Dersom vi definerer den komplekse

amplituden ” (som altså både inneholder amplituden og fasen) som

a =

|a|e15

får (4). formen

x(t) = aeiwot (5)

- 108-

Med kompleks

representerer altsa (5) fremdeles den fullstendige

a

løsning av problemet. vektor med lengde

I det komplekse plan representerer (5) en

|a|

ÅImx

som roterer med konstant vinkelhastighet

wo>

Vi skal senere arbeide mest med løs-

ninger av formen (5)s men før vi går

|a|

videre skal vi se litt på fysikken i

i

3 4

’

/

\

*

J

løsningen, dvs. vi skal diskutere real' delen av (5) på formen (2). La oss

R Å =

s (x

er lik null, vil bevege seg mot høyre med fasehastigheten

c=co/k .

Denne fasehastigheten til bølgen må ikke forveksles med utsvingets hastighet

3s(x0,t)/3t

ved et gitt punkt

x0

.

Som i forbindelse med svingninger er det ofte hensiktsmessig å framstille bølger på kompleks form, nemlig

s(x,t) = ae

i (kx-oot)

der den komplekse amplituden er

a=]a]e

,

, x

•

£>

.

Som ved svingninger

ligger det ikke noe dypsindig i dette, det er et knep som i mango forbindelser letter regningene, hverken mer eller mindre.

Det fysisk

svaret finnes ved å ta realdolen av resultatet kompleksregningen gir.

37.

Superposisjon av bølger

Siden bølgelikningen for små amplituder er lineær i utslaget,

er summen av to løsninger av likningen også en løsning.

superposisjonsprinsippet, og er en av forklaringene bølger spiller en så sentral rolle i bølgelæren.

på

Dette kalles at harmoniske

Ved å studere egen­

skapene til harmoniske bølger og kombinere dem, kan vi skaffe oss

- 125-

full oversikt over mer kompliserte bølgefenomener .

En rekke viktige bølgefenomener er allerede inneholdt i summen av to harmoniske bølger

s(x,t) - Ai cos (ki x-æj t) + A2cos(k2x-w2t+6) der nullpunktet langs x-aksen er valgt slik at den første bølgen

ikke har noe konstant fase-ledd, og bølgene.

blir fasedifferansen mellom

6

På kompleksform skrives dette som s(x,t) - Aiei(kix-