Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 78 [Reprint 2020 ed.] 9783112389843, 9783112389836

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Journal für

die

reine und a n g e w a n d t e In

Mathematik.

z w a n g l o s e n

Als

H e f t e n .

Fortsetzung

A.

L.

des

von

C r e 1 1 e

gegründeten Journals herausgegeben

unter

Mitwirkung

der

Herren

Scheiibacii, Kummer. Kronecker, Weierstrass von

C. W .

Borcharilt.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich-Preussischer Behörden.

Achtundsiebzigster Hand.

Berlin,

1874.

Druck uud Verlag von Georg Reimer.

Inhaltsverzeichnis» des achtundsiebzigsten Bandes.

Ausdehnung in Bonn

der Theorie der

Minimalflächen.

Von Herrn

R.

Lipschitz

Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. Von Herrn Mertens in Krakau. Ueber die allgemeine Möglichkeit der conformen Abbildung einer von Geraden begrenzten ebenen Figur in eine Halbebene. Von Herrn Schläfli in Bern Zur Theorie der zusammengesetzten Gruppen. Von Herrn E. Netto. . . . Ueber die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen. Von Herrn G. Frobenius Erweiterung der Polarentheorie algebraischer Flächen. Von Herrn Th. Reye in Strassburg i. E Geometrischer Beweis des Sylvesterschen Satzes: ..Jede quaternäre cubische Form ist darstellbar als Summe von fünf Guben linearer Formen." Von D e m s e l b e n Darstellung quaternärer biquadratischer Formen als Summen von zehn Biquadraten. Von D e m s e l b e n Zur Theorie der inneren Reibung. Von Herrn Oskar Emil Meyer in Breslau. Das Gleichgewicht und die Bewegung einer unendlich dlinuen, beliebig gekrümmten elastischen Schale. Von Herrn H. Aron Zwei Erzeugnisse krumm-geometrischer Gebilde. Von Herrn Milinowski in Tilsit Zur Geometrie der ebenen Curven dritter Ordnung. Von D e m s e l b e n . . Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen. ( F o r t s e t z u n g der Bd. 74, 75 und 7(> d i e s e s Journals e r s c h i e n e n e n A b h a n d l u n g e n . ) Von Herrn L. W. Thome. Reduction der Bewegung eines flüssigen homogenen Ellipsoids auf das Variationsproblem eines einfachen Integrals, und Bestimmung der Bewegung für den Grenzfall eines unendlichen elliptischen Cylinders. Von Herrn R. Lipschitz, in Bonn

Seite

1

—

46

— —

63 81

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93

—

97

—

114

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123 130

—

136

— —

175 177

—

223

—

245

IV

Inhaltsverzeichniss

des achtundsiebzigsten

Bandes.

Ueber die Theorie der Elektrodynamik. Dritte Abhandlung. Die elektrodynamischen Kräfte in bewegten Leitern. Von Herrn H. Heimholte. . . . Seite 273 Extrait d'une lettre de M. Ch. Hermite à M. Bor char dt sur la transformation des formes quadratiques ternaires en elles-mêmes — 325 Beweis eines Satzes der Elasticitätslehre. Von Herrn R. Lipschitz in Bonn a. Rh. — 329 Ueber die Abbildung durch algebraische Functionen. Anhang zur Abhandlung Bd. 77, S. 339 ff dieses Ueber den Werth einiger Ueber die Kugelflächen, Grades umschrieben burg i. E

Journals. Von Herrn L. Fuchs in Göttingen. . . Integrale. Von Herrn Stern in Göttingen. . . . welche den Poltetraëdern einer Fläche zweiten werden können. Von Herrn Th. Reye in Strass-

— —

338 340

—

345

1

Ausdehnung der Theorie der Minimalilächen. (Von H e r r n

Die

Ii. Lipscltilz in

Bonn.)

F l ä c h e n , w e l c h e bei g e g e b e n e r B e g r e n z u n g den kleinsten Inhalt

h a b e n , oder die Minimalilächen, fallen nach einer v o n Meusnier Bemerkung

mit

den Flächen

zusammen,

bei w e l c h e n

herrührenden

in jedem Punkte

das

A g g r e g a t der r e e i p r o k e n W e r t h e der beiden Ilauplkrümniungshalbinesser gleich Null

ist.

Ein Punkt im

Räume

sei durch

die

drei

beliebigen

Coordinaten

a:,, x>, x3 bestimmt, das Quadrat des von dem Punkte ( x , , x . , x,} a u s g e h e n den L i n e a r e l e m e n l s w e r d e gleich der F o r m 2f\[dx)

a,, dx\ + «» > dx\ + aXidx] + 2ai;}dx,dx}

oder

+ 2aiA dx3dx, +

2al:ldxtdxi

dx>. d.c3, die Gleichung der Fläche lieisse //, -= const.

d e r drei Differentiale

D a n n hat s o w o h l die Gleichung' iür die Ilauptkriunniungshalbniesser, d e r A u s d r u c k f ü r den Inhalt einer

beliebigen

dxdx-,,

dxz

der

eines Stückes

Transformation

der

erwähnten

mittelst E i n f ü h r u n g n e u e r

G l e i c h u n g y l — const.

durch

der F l ä c h e

eine

Form

Variabelen

wie auch

die E i g e n s c h a f t ,

bei

der drei Differentiale

und

bei der

beliebige äquivalente

Ersetzung

Gleichung

sich

m i l z u ä n d e r n ; und diejenige Invariante dieser Combination, welche das A g g r e g a t d e r r e e i p r o k e n W e r t h e der beiden Ilauptkriinnnungshalbmesser

in dem P u n k t e

( x , , x , , Xj) darstellt, muss v e r s c h w i n d e n , sobald der Inhalt eines Stückes der F l ä c h e bei g e g e b e n e r B e g r e n z u n g ein ¡Minimum w e r d e n

soll.

Zu d e r Combination einer beliebigen wesentlich positiven quadratischen F o r m f\dx)

—

minante |a a l ) | = A

aihdxadx„

der n Diflerentiale ) = O liefert

die

ausgezeichneten

den

zu

Anfang

Fläche

n— 1 Werthe

eingeführten

d e r Grösse

Bezeichnungen

Für

der

onst. in d e m j e n i g e n N o r m a l s c h n i l t ,

ligen Coordinaten I n c r e m e n t e dx^ den g r ö s s t e n

xt, dx0,

.r ; e i n e s P u n k t e s dxs

die Substitution », — 3

W e r t h dos

des A g g r e g a l s

p

Fläche

zu p r ü f e n ,

der

rechtwinkdie

0 determinirt

ob d e r im

reeiproken W e r l h e

d e r v o r h i n a l l g e m e i n dofinirten F u n c t i o n l[d.r)

Eingänge

der

ein Integral g e g e n ü b e r

w e l c h e s dem A u s d r u c k e f ü r den Inhalt e i n e s I ' h i c h e n s t ü c k s

W e n n m a n die F o r m f [ d x ) durch

der

beziehungsweise

Haupl-

k r ü m m u n g s h a l b m e s s e r mil dein W e s e n d e r Minimalflächen e r h a l l e n b l e i b e , wird,

nach

Krümmungshalbmessers.

Ks s c h i e n m i r liltn w ü n i c l i e n s w c r l h , erwähnte Zusammenhang

oV

Krümmungshalbmesser

e r h a l l e n , und die Gleichung ß ( — =

und d e n k l e i n s t e n

tu = — —

wird

bei w e l c h e m die

der

Die

die E i n f ü h r u n g eines

wenn gestellt

entspricht.

neuen Systems

von

u n a b h ä n g i g e n V a r i a b e l e n I r a n s f o r m i r l , von denen die / g e g e b e n e n F u n c t i o n e n y e i n e n T h e i l , n—l

b e l i e b i g e a n d e r e F u n c t i o n e n ?/, , ,

T h e i l b i l d e n , so entsteht e i n e F o r m g(dtj) welche

sich

durch

D i f f e r e n t i a l e dy„ verwandelt.

Conslantsetzen

in e i n e

Die

der

F o r m g{dy)

Determinante

der

...

d e r Differentiale dy,, Variabelen

der Form

yu

und

Differentiale dy,..,, '¿gUhj)

Iieisse

K,

y„ d e n dy7,

anderen ...

dy„,

Nullsetzen

der

dy, dann

, ...

dy„

hat

das

( » — / } f a c h e Inftegral

A = JVEdyr¡ldy, die E i g e n s c h a i f t , von

der

Wahl

der

:...dy,

Variabelen

y,n.

...

?/„ u n a b h ä n g i g

zu

Lipschitz,

Ausdehnung

der

u n d , bei der für n = 3, / — I

sein,

«/,—-const.,

den

Inhalt

D i e s e s Integral kann

Theorie

a n g e f ü h r t e n Bedeutung

eines Stückes

auch

durch

der Minimal flachen.

der

von f{dx)

F l ä c h e yv = const.

und

auszudrücken.

n — l beliebige Variabele x,A,,

unter den n Variabelen x,, dargestellt w e r d e n , Gestalt

5

rr,, 3 , . . .

x„

und nimmt dann die f o l g e n d e

an:

w o D{l nach der oben

eingeführten B e z e i c h n u n g

in der Determinante D(a>) bedeutet.

den Coeflicienten

von

Das Element dieses Integrales fällt bei

d e r Voraussetzung, dass die F o r m f { d x ) = \ J £ d x l und die Zahl / = ! a dem E l e m e n t des Integrales z u s a m m e n , w e l c h e s Hr. Kronecker A b h a n d l u n g über Systeme

von Functionen

mehrer

Yariabelen,

ist, mit

in der ersten

Monatsbericht der

Berliner A c a d e m i e vom März 1 8 6 9 , p. 1 6 9 , definirl, und das Element

der durch

Gleichung

genannt hat.

yt = const. repräsentirten

Ich Grössen erste

w e r f e jetzt

x,,

Frage

auf.

Variation

des integrales

verlangt,

welches

dass der

A gleich

xH,,

x,

Null werde.

diese Frage

Coefßcient

von

Mannigfaltigkeit

in welche

.r_>, . . . x, von den Grössen

Differentialgleichungen, man

die

(»•— 1) fachen

Abhängigkeit

müssen

, . . . x„ treten, Das System

beantwortet,

wird

die die

damit

von l

partiellen

erhalten,

CÜ"~'~' in der Gleichung

die

indem

D (w) = 0,

I) welcher

eine

von diesen

homogene

I ariationen

lineare

Function

verschwinde.

der

} ariationen

öija ist,

tinabhängig

Die Relation zwischen dem A g g r e g a l e der

reeiproken H a u p t k r ü m m u n g s h a l b m e s s e r und der Haupteigenschaft der Minimalfiächeri findet also Integrales A ihre

in

der g e g e b e n e n

Theorie

der Function

%{dx)

und

des

Verallgemeinerung.

Nachdem dieses Resultat g e f u n d e n ist, betrachte ich die Voraussetzung, dass die F o r m f(dx) des I n t e g r a l e s A,

— \ 2 d x ) , und zugleich die Zahl n — oder die Ordnung d gleich Zwei sei, In diesem F a l l e kann die allgemeine I n -

tegration des S y s t e m s von partiellen Differentialgleichungen

vollständig absolvirt, und folgemlermassen dargestellt werden. Es sei i die näre Einheit

pj-iq

eine complexe

Variabele,

imagi-

es seien ,(p+iq), (p+iq), •••

ß

Lipschits,

, . . .

einem

= 0

wahrend

Werthe

r, zu bestimmende

auf die Grössen die

annehmen.

zugeordneten Diese

Functionen bedeuten,

einer setzenden

vollständige

)

und D { w )

n u r durch einen F a c t o r

u n t e r s c h e i d e n , und e s kommt darauf an, denselben zu ermitteln. Nach d e r in d e r E i n l e i t u n g g e g e b e n e n Definition ist die Function D{a>) die n a c h

dem

gegenwärtig

üblichen A l g o r i t h m u s

dem F a c t o r (—1)' multiplicirte D e t e r m i n a n t e des — ¿U-f-lUflj,,

•

dy. dx.

d y, dx„

ÈVL ¿)xt

öx„

W e n n man d i e s e s S c h e m a mit dem

bination

dy, dxt

dyi dxt

ö yt dx„

óx„

mit

0

öyt

0

•

0

0

1

0 • • •

0

0

0

0

1 . •

0

0

0

0

0 • •

1

0

0

S'x,

ö'x„

8'x,

§'x„

den W e r t h

hierauf

Schema

8>yt

dessen D e t e r m i n a n t e

gebildete und Schemas

l(y>OI

einer H o r i z o n t a l r e i h e des einen

-w[l,

1]

•

hat, so v e r b i n d e t , dass in j e d e r C o m und

des

anderen die gleichstelligen

Glieder multiplicirt, und die P r o d u c t e addirt w e r d e n , so resullirt v e r m ö g e d e r

22

Li pschi

!z-, Ausdehnung

der

Theorie,

der

Minimalflächen.

ä'xb

a n g e g e b e n e n E i g e n s c h a f t e n der

A u s d r ü c k e -j,— das Schema lly

i

-

^ • c

8'xt

o (/, d'r

/. , ! + O)flf„

v, r

i

v;

i^L

i^i.:

!J>

(57.) dx,

i. er,,

Qj//

j

$y

1

0

0

1

dessen D e t e r m i n a n t e nach bekannten S a l z e n mit der in R e d e s t e h e n d e n D e t e r minante des w t e " G r a d e s ® ( r « ) zusammenfällt. X) (o>)

sind

daher

durch

D(u>)

und

nach den f a l l e n d e n Potenzen von tu e n t w i c k e l t ,

mit

die

Gleichung

(58.)

Die

Determinanten

verbunden

®(o>)

0J'Ü((0)

=

ICr, Ol

Zugleich hat man nach (47.) f ü r £>(t«) die Darstellung (58".)

®(tw)

Da die Function T ) ( w ) ,

dem A u e d r u c k A t o " b e g i n n t , Gleichung ( 2 0 . )

=

D0u>"-\-D,u>«-l-\

1-

\(.r,

so ist in d e r

Ol

vorstehenden

Relation

auch

die

enthalten. 5.

Die Formation eines S y s t e m s

von

solchen G r ö s s e n ,

wie sie in

(50.)

delinirt s i n d , bietet auch eine H a n d h a b e zu einer neuen D a r s t e l l u n g d e r nach d e n drei S y s t e m e n rfa-„, d'x^

dya l i n e a r e n Function i(dx,d'x).

Diese Function

ist dieses J o u r n a l Band 7 1 , pag. 2 8 9 durch die Gleichungen defmirt 2l{dx.

(59.)

d'x)

iiy{dx,d'x)

— — =

- £

y]SyartJdx, A ^

U d x , d'x)

d'x), + £

dxa

d'x,,

' b,» v dxt. F e r n e r findet sich f ü r die Function fa(dx,d'x) die

dieses J o u r n a l Bd. 7 2 , pag. 1 6

Gleichung

(59".)

2(J£at,

c

dd'x,

+

fcdx,

d'x))

d'x„ =

-

¿ f c h . d'x) + d f { d x , d'x)+d'f{dx,

dx).

Lipschitz,

Ausdehnung dar Theorie der Minimaljl/icheii.

3 f a n Ii an 11 nun dem A u s d r u c k e ijy(dx,d'x) //..idx,

d'x)

==

23

aus (59.) die Gestalt g e b e n

( f x - y d d ' x J i ^+

dd'y..,

oder ''

K

7

'

a,b

v

c

'

W e n n man jetzt mit dem System nuf'lreten, nach

dem T y p u s

I

» U •

J

von / Grössen dyu,

der G l e i c h u n g e n (50.)

zi

c:Xb

/

die in / . ( d x , d'x) linear ein

System

von Grössen

fV.;\, bildet. (50".)

Ar. =

^ A i

so folgt aus dein V o r s i e h e n d e n die Gleichung (60.)

21 (dx, d'x)

JS(2a^ gleich dem A u s d r u c k e für das

aeqnilibrii.

Wenn

65.,

y, — c o n s t . , den Gauss 1. c. art. 7 g e g e b e n hat.

Hauptkrümmimgshalbmesser in statu

6t

tlem A u s d r u c k e

Hauptkrümmungshalbmesser,

de

27

hervorgeht, ,,n„ , (70 . t

ist

der Theorie der Minimalfliichcn.

tl

d°

dmxiX =

0

w, und v>, zugehörigen in ( 6 6 . )

v o r k o m m e n d e n Differentiale r/i'j die e n t s p r e c h e n d e Notation g e b r a u c h t ,

so g i e b t

die A n w e n d u n g d e r G l e i c h u n g ( 6 6 . ) für w ~ w, und für u) — v), und die h i e r auf f o l g e n d e S u b t r a c t i o n , w e i l v>l — w., v o n Null v e r s c h i e d e n ist, die G l e i c h u n g (71.) F ü r ii = 3 d x

und d x

denen

d0)c«

ti

=

0.

und bei der e r w ä h n t e n g e o m e t r i s c h e n Deutung

die b e i d e n W u r z e l n 0) a

2

m a

der quadratischen

Gleichung

D(w)

w e r d e n w, und a>2

= 0.

D i e Differentiale

e n t s p r e c h e n den D i r e c t i o n e n auf der F l ä c h e yx =

consl.,

bei

die N o r m a l s c h n i t t e den grössten und den kleinsten K r ü m m u n g s h a l b m e s s e r

zeigen,

oder,

P u n k t e (x.,x?,x3) vermöge

w a s dasselbe i s t , den A n f a n g s e l e i n e n t e n a u s g e h e n d e n Krümmungslimen,

der G l e i c h u n g 2 , f/ a;„ rf ara — 0 a (1)

(J)

der

beiden v o n

dem

und diese D i r e c t i o n e n stehen

auf e i n a n d e r senkrecht.

Wrenn

nun

'"•') Dieser Satz ist ausgesprochen in dem exlrail de six nirmuires etc., IV., Bulletin mathc>/iati,£ 3 ) auf der Kugelfläche von dem Radius Eins abgebildet werden, so lehrt die Gleichung (71.) für n = 3, dass die betreffenden beiden auf der Kugelfläche bestimmten Linearelemente ebenfalls auf einander senkrecht stehen. Zugleich repräsentirt diese Gleichung bei einem beliebigen Werthe der Zahl n die Ausdehnung des in Rede stehenden Satzes auf einen Raum von n Dimensionen, bei dem das Quadrat des Linearelements durch die Form £ d x ] ausgedrückt wird.

Diese Ausdehnung des betreffenden Satzes hat Herr

in einer sehr anziehenden orthogonaux

algébriques,

Mittheilung:

sur

une nouvelle

série

de

Darboux systèmes

comptes rendus de Tac. des. se. de Paris, année 1 8 6 9 ,

9. août, t. 69, pag. 3 9 2 angedeutet.

7. Es wird jetzt nachgewiesen werden, dass die linke Seile der Gleichung (42.) mit dem Ausdrucke quadratischen Functionen

Form

u

f{dx)

ya covariant

zusammenfällt, welcher zn der Combination

mit

ist.

dem

System

der

Der Ausdruck

(58 a .) dargestellt werden, indem man

in

der

0

l constant

zu

setzenden

kann zufolge der Gleichung

Determinante des

n t e n Grades ® (cu)

den Coefficienten der Polenz co""-1 durch den Coefficienten der Potenz nämlich die Determinante A ,

dividirt.

der

wn,

Nach dem Bildungsgesetz der Deter-

minante ©(cu) entsteht der Coefficient der Potenz io"~l dadurch, dass in dem von co freien Bestandteile

des Ausdruckes (45'.)

überall durch die Verbindung ACii ersetzt wird.

die Verbindung

dx^l'x^

Also entstellt der Ausdruck

dadurch, dass in dem genannten Complex ( — 2/.(dx, •'72) K '

d'x) — i £n%,,_i.»ja^n

^\

'

¿¿r a

Lipschilz,

42

Ausdehnung

Die Ausdrücke,

der Theorie der

mit w e l c h e n

hier

Minimalflächen.

die G r ö s s e n

— — und

dy„-i

plicirt e r s c h e i n e n , treten auf, sobald die binäre quadratische

2 g(dtj) = in z w e i F a c t o r e n

en_l!n_ldyl_-i + 2eJI_lindyn_xdyn

des ersten G r a d e s z e r l e g t wird.

multi-

dy„

Form

+ e„indyl

Gauss

angewendet bei der allgemeinen Auflösung der Aufgabe:

hat diese

Zerlegung

die Theile einer

ge-

gebenen Fläche auf einer andern gegebenen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird. Abhandlungen, Werke,

herausgegeben

Bd. I V . )

von

Schumacher,

Altona

y,

gewählten Bezeichnungen

dxi dji„_i '

z,

die V a r i a b e l e n

yn

1825. x2,

dx2 dyn-11

dergestalt über,

x3

mit den

lässt, so g e h e n die obigen B e z e i c h n u n g e n

t, u zusammenfallen

die von Gauss

drittes H e f t ,

W e n n man die Zahl ra = 3 nimmt, die V a r i a b e l e n j „

mit den r e c h t w i n k l i g e n Coordinaten x, Variabelen

(Astronomische

in

dass

8x3 dx, dx-i ÖX3 6yn-i ' dy„ ' dyn' dyn

in

a,

b,

c,

a,

b',

c,

ferner in

tt' + ^+c',

aa'+bb' + cc',

an +

bn+c'\

und die Form 2g{dy) in u>} das Quadrat des Linearelements der ersten

Fläche,

verwandelt

Grades

wird.

D i e v o n Garns

angegebenen

Factoren

des

ersten

d e r quadratischen F o r m 2g (dy) sind in den obigen B e z e i c h n u n g e n der A u s d r u c k

(28.)

+ (e„_,,B4- i Vi5)

dyn,

und der mit demselben c o n j u g i r t e A u s d r u c k , bei w e l c h e m i mit — i v e r t a u s c h t ist.

L ä s s t man den Coefficienten eK>n die R o l l e ü b e r n e h m e n , w e l c h e h i e r

Coefficient e „ _ , s _ i s p i e l t , F a c t o r e n , nämlich den (29.)

so erhält man

eine andere Darstellung

=

und den mit diesem c o n j u g i r t e n A u s d r u c k . Grades

der rechten Seite

zwei

beiden

Ausdruck

(en_hn~i]/^}dyn_^enJyn

dass auf

der

der

Mal torkommt,

der Relation

(„_,,„ . . d j ^ . - f

(en^n+iVE)dyn),

J e t z t lehrt a b e r die G l e i c h u n g ( 2 9 . ) ,

(27.) derselbe Factor

und daher kann diese R e l a t i o n in

des die

ersten

folgende

Lipschilz,

Ausdehnung

der Theorie

der

Minimalflächen.

43

Gestalt gebracht werden

( (30.)

dxa + i dxa


H-l)

i f '

i

i

"¡rpr)

n?

C» +

1

1

n?

1 f

)

.

(«+1>

1 1

(M+iy+i/Cn-fl)

'

2n(n+iy+?l{n-{-i)

ist, so ergiebt sich

wo R =

, Ä n | J Mne/n

L_ ). (b+1)?/(> + 1)I

Für ist es leicht eine obere Grenze anzugeben, wenn man sich erinnert, dass nach (5.) der Zahlenwerth von Dn nie die Zahl 2 übersteigen kann. Es ist nämlich bis q — 0 hin

Merlens,

/ ( G + l ) —fG (G+ly>J(G+l)

über die

Vertheüung

1 (G + l ) ' + ? / ( G + l )

der Primzahlen.

Do (G-M>'/(G-fl) 2

51

r

G+i (G + l ) e / ( G + l )

1

^< /(G + 1 ) +^ G'/(G +1) ' J

1

1 ' (n+l)/(«+l) I

< ; 1 y j_i ^ info

2n(« + l) 1

1 2(G + 1 ) / ( G + 1 ) ' S n M "•«?(«

( i i + l ) ? / ( « + l) )

y i— ¿fiUn

-