Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 56 [Reprint 2020 ed.] 9783112368688, 9783112368671

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Journal für die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Als

Fortsetzung

A.

L.

Heften.

des

von

C r e 1 1 e

gegründeten Journals herausgegeben unter M i t w i r k u n g der Herren

Steiner, Schellbad), Kammer, Kronecker, Weierstrass von

C. W. B o r c h a r d t . Mit thfitiger Beförderung hober Königlich - Prenfsischer Behörden.

Sechs and fünfzigster Band. In v i e r

Heften.

B e r l i n , 1859. Druck und Verlag ron Georg Reimer.

Inhalts-Verzeichniss des sechs und fünfzigsten Bandes.

U e b e r die Integration der hydrodynamischen Gleichungen. Von Herrn A. Clebach zu Carlsruhe Ueber die Darstellung gewisser Functionen durch die Eulersche Summenformel. Von Herrn Rudolf Lipschitz zu Bonn Ueber die Raumcurven dritter Klasse und dritter Ordnung. Von Herrn H. Schröter zu Breslau Bemerkung zu vorstehender Abhandlung. Von Herrn Joachimsthal. . . . . De problemate quodam mechanico, quod ad primam integralium ultraellipticorum classem revocatur. Auetore C. Neumann, Hallae Auflösung einer Aufgabe in der Composition der quadratischen Formen. Von Herrn F. Arndt Ueber die Anzahl der Genera der quadratischen Formen. Von Herrn F. Arndt. Auszug eines Schreibens über die Lomeschen Functionen an den Herausgeber. Von Herrn E. Heine zu Halle. Einige Eigenschaften der Lamésehen Functionen. Von Demselben Bemerkung zu den Formeln von Dirichletj durch welche die Klassenzahl bei positiver Determinante ausgedrückt wird. Von Herrn F. Arndt Von den Coefficienlen der Reihen von Kugelfunctionen einer Variablen. Von Herrn G. Bauer zu München Ueber die zweite Variation vielfacher Integrale. Von Herrn A. Clebsch zu Carlsruhe • Untersuchungen über die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe. Aus den hinterlassenen Papieren von C. G. J. Jacobi. . . . . . . . Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Curven. Von Herrn Joh. Nik. Bischoff zu München Einfacher Beweis für die Irreductibilität einer Gleichung in der Kreistheilung. Von Herrn F. Arndt Note sur les normales d'une conique. Par M. A. Cayley à Londres. . . . Addition à la note sur la composition du nombre 47 par rapport aux vingttroisièmes racines de l'unité, insérée dans le tome précédent page 192. Par M. A. Cayley à Londres Ueber cubische Gleichungen mit rationalen Coefficienten. Von Herrn L. Kronecker.

Seite 1 —

11

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27 44

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46

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64 72

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79 87

— 100 — 101 — 122 — 149 — 166 — 178 — 182

— 186 — 188

IV

Inhaltsverzeichnifs

des sechs

Ueber ein Integral der Differentialgleichung

und fünfzigsten

Bandes. Von Herrn

R. Lipsehitz zu Bonn Seite 189 Ueber einige Gattungen elliptischer Integrale. Von Herrn 0. Röthig. . . . — 197 Ausdehnung eines Satzes vom ebenen Vierseit auf räumliche Figuren. Von Herrn 0. Hermes — 204 Ueber homologe Tetraeder. Von Demselben — 218 Das Fünfflach und Fünfeck im Baume entsprechend dem Vierseit und Viereck in der Ebene. Von Demselben. — 247 Zur Theorie der ganzen homogenen Functionen. Von Herrn Otto Hesse zu Heidelberg — 263 Ueber die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Beciprocitätsgesetzen. Von Herrn E. E. Kummer — 270 Ueber ein elementares Theorem der analytischen Geometrie. Von Herrn F. Joachimsthal zu Breslau — 280 Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes. Von Herrn G. Kirchhoff zu Heidelberg — 285 Ueber rationale Verbindungen der elliptischen Transcendenten. Von Herrn C. O. Meyer zu Königsberg in Pr — 314 Ueber eine Sí ein ersehe combinatorische Aufgabe, welche im 45 aten Bande dieses Journals, Seite 181, gestellt worden ist. Von Herrn Reifs in Frankfurt a. M. — 326 Ueber die Focalpunkte der Flächen zweiten Grades. Von Herrn Heilermann zu Coblenz — 345 Beitrag zu den Sätzen über die einen Kegelschnitt doppelt berührenden Kreise. Von Demselben — 365

Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen. (Von A. Clebsch zu Carlsruhe.)

§.1. In

einem

f r ü h e m A u f s a t z e ( d i e s e s J o u r n a l , Bd. 5 4 , p. 2 5 4 ) Labe ich

ein T h e o r e m entwickelt, w e l c h e s die Integration der h y d r o d y n a m i s c h e n G l e i chungen

f ü r die stationäre B e w e g u n g

zurückführt auf ein S y s t e m v o n

zwei

partiellen Differentialgleichungen z w e i l e r O r d n u n g ; oder auf die A u f g a b e , ein g e w i s s e s I n t e g r a l zu einem Minimum

zu m a c h e n , bei w e l c h e m

t e g r i r e n d e F u n c t i o n die l e b e n d i g e K r a f t darstellt.

die zu

in-

Dies w u r d e e r r e i c h t , i n d e m

die G e s c h w i n d i g k e i t e n durch zwei n e u e Functionen ausgedrückt w u r d e n , w e l c h e Constanten gleich g e s e t z t , I n t e g r a l e d e r hinzutretenden gewöhnlichen D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n w a r e n , und die Continuitälsgleichung identisch erffillten. D i e A u s d e h n u n g dieses V e r f a h r e n s auf den Fall d e r nicht stationären B e w e g u n g f a h r t e zu s e h r v e r w i c k e l t e n Gleichungen, w e l c h e k e i n e Z u r ü c k f ü b r u n g auf ein P r o blem d e r V a r i a t i o n s r e c h n u n g

gestatteten.

I n d e f s h a b e ich g e f u n d e n , dafs auch dieser allgemeine Fall i m m e r auf ein solches P r o b l e m

zurückgeführt werden kann,

und z w a r auf das I n t e g r a l

e i n e r F u n c t i o n , w e l c h e sich Yon der lebendigen K r a f t nur um ein h i n z u t r e t e n des Glied unterscheidet.

Die Substitution, w e l c h e zu diesem R e s u l t a t e ffihrt,

ist e i n e w e s e n t l i c h

a n d e r e als die in

Aber

dies g e m e i n ,

der

beide

haben

übrigen Behandlung

welche,

indem

dem

erwähnten

Aufsatz

angewandte.

dafs sie die Bestimmung d e s D r u c k e s v o n

der A u f g a b e s o n d e r n ,

und auf Gleichungen

sie von den ä u f s e r e n K r ä f t e n unabhängig s i n d ,

führen,

Bewegungen

a l l g e m e i n s t e r Natur d a r s t e l l e n , deren eine Flüssigkeit fähig i s t ; e n d l i c h , dafs die

angewandten

neuen

abhängigen

Variabein,

Constanten

gleich

gesetzt,

I n t e g r a l e d e s h i n z u t r e t e n d e n S y s t e m s g e w ö h n l i c h e r Differentialgleichungen b i l den.

W ä h r e n d a b e r j e n e Substitution f ü r die stationäre B e w e g u n g auf z w e i

kommt in dem t ' o r liegenden Falle das Problem zurück auf drei Differentialgleichungen, von denen zwei von der ersten, eine von der zweiten Ordnung. partielle Differentialgleichungen z w e i t e r O r d n u n g f ü h r t e ,

Jonrnal für Mathematik Bd. LVI. Heft 1.

1

2

Clebtch,

über die Integration

der hydrodynamischen

Gleichungen.

Die angewandte Substitution knüpft an die gewöhnliche Metbode an, die hydrodynamischen Gleichungen zu behandeln.

In der That macht

man

gewöhnlich die Annahme, dafs der Ausdruck u dx-j- v dy -j- wdz ein vollständiges Differential sein soll.

A b e r wie auch die u, v, u> beschaffen

sein mögen, stets läfst dieser Ausdruck sich auf ein zweigliedriges Differential zurückfahren, d. h. auf die Form d(p-\-mdxp; woraus sich die Gleichungen e r g e b e n : "

=

v

=

"

=

öqp .

8%u

da

&üt

,

dq> , ÖV öT+w*r>

welches eben die angewandten Substitutionen sind.

Ich b e m e r k e , dafs d i e -

selben in einer gewissen Beziehung zu der Betrachtung

der von

Helmholtz

(dieses Journal, Bd 5 5 , p. 2 5 ) in die Theorie eingeführten Wirbelbewegungen stehen.

Die Geschwindigkeiten

sondern sich hier in einen Theil, der durch

entsprechende Differentialquotienten einer

Function dargestellt w i r d , und in

einen zweiten, der diese Darstellung schlechterdings nicht zuläfsl.

Jene W i r -

belbewegungen nun hängen allein von diesem zweiten Theil a b , d. h. von den Functionen m, yj. Denn wenn man nach den dort ( F o r m . 2 ) gegebenen Gleichungen die Rotationsgeschwindigkeiten eines Flüssigkeitstheilchens bildet, so hat man: „t

dm drp dz dy

dm dtp dy dz '

n

dm dy dx dz

dm dy dz dx *

dm dif> dy dx

dm drp dx dy '

^ n*

w o die Function