Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 42 [Reprint 2020 ed.] 9783112336588, 9783112336571

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J o u r n a l für

reine

die

und a n g e w a n d t e In

z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

He ra u s g e g e b e n von

A.

L.

C r e l l e .

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich - Preufsischer Behörden.

Zwei und vierzigster Band. In Mit

zwei

vier

F i g u r e n t a f e 1 11

Berlin, B e i

Heften.

G.

1851. R e i m e r .

Et se trouTe à P A R I S chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de M m e V * C o u r c i e r ) , Libraire ponr les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

Inhal ts ver zei eh n i f s des zwei und vierzigsten Bandes, nach den Gegenständen. Mathematik. I. Reine Nr. der . „ , Abliandlung. 1. A 11« 1 y S 1 S. 1. Auszug eines Schreibens des Herrn Director P. A. Hansen an Herrn Professor C. G. J. Jacobi. 2. Auszug zweier Schreiben des Professor Jacobi an Herrn Director Hansen. 3. Auszug eines Schreibens des Herrn Prof. Riehelot an Herrn Prof. Jacobi. 4. Auszug eines Schreibens des Prof. C. G. J. Jacobi an Herrn Prof. Heine in Bonn. 5. Über die Zusammensetzung der Zahlen aus ganzen positiven Guben; nebst einer Tabelle für die kleinste Cubenanzahl, aus welcher jede Zahl bis 12000 zusammengesetzt werden kann. Von Herrn C. G. J. Jacobi, f weiland Professor zu Berlin J

7. Note sur l'expression ( und diese Gleichungen bilden in Verbindung mit den Gleichungen (18.) ein vollständiges System von Gleichungen der gestörten Bewegung eines Planeten, indem die Örter desselben im Räume durch die vier Gröfsen X, Y, p und q vollständig bestimmt sind. Um dieses zu zeigen, will ich die obigen Gleichungen für die Coordinaten weiter entwickeln. Aus der Gleichung (12.) geht hervor, dafs der Winkel (oder Kreisbogen) »i stets in der Ebene der X, Y liegt und sich von der positiven Achse der X bis zum Radius-Vector r erstreckt. Nennen wir daher die wahre Anomalie des Planeten f , und den Winkel zwischen der positiven Achse der X und dem Perihel x> dann ist, weil die osculirende Ellipse stets in der Ebene der X, Y liegt, fi = f+XBetrachten wir mm die Verbindung der beweglichen Ebene der XY mit der festen der xy, welche letztere sowohl, wie die in derselben liegende feste Achse der x , wir im Räume irgendwie gelegen annehmen. Sei i die Neigung der Ebene der XY gegen die der xy; & in der Ebene der xy der Winkel zwischen der Achse der positiven x und dem Theile der Durchschtiittslinie der Ebenen der XY und der xy, durch welchen sich der Planet bewegt, wenn die z vom Negativen ins Positive übergehen; co in der Ebene der XY der Winkel zwischen dem eben bezeichneten Theile derselben Durchschnittslinie und dem Perihel des Planeten.

1. Auszug eines Schreibens des Hrn. Director Hansen an Hrn. Prof. Jacobi.

9

Da nun X — rcosüj,

Y — rsini^,

so ergiebt sich, wenn a =

x

— u)

den Winkel zwischen der Achse der positiven X und jenem Theil der Durchschnitlslinie bedeutet, = a cosffcos & -f- sin a sin & cos i a' cosffsin & — sinffcos # cos i a" = — sin i sin o sinffcos#— cosffsin & cos i ß = sin ff sin#-j- cosffcos «9-cos i ß' = sini cos ff ß" = sin« s i n # r = — / - sin «cos# cos i. y" = Wenn man diese Ausdrücke in die Gleichungen (7.) substituirt, und und 03 eliminirt, so gehen daraus n durch die Gleichungen ih — f-\-%, a = X — die bekannten allgemeinsten Ausdrücke der Coordinaten x, y, z hervor. Durch die Gleichungen (14.) hatten wir p — —a", q — ß"; es ist daher auch p = sin« sin a, q = sin i cos o, oder p der Sinus des Winkels, den die Achse der X, und q der Sinus des Winkels, den die Achse der Y mit der Ebene der xy macht; p und ^ liegen beide im ersten Quadranten, wenn die Achse der Y sich aber und die Achse der X sich unter der Ebene der xy befindet. Differentiiren wir die obigen Ausdrücke von a, a' und a", indem wir o, & und i veränderlich setzen, dann ergiebt sich leicht, da — — ß 8o — «' d& — y sin a 8i da' = —ß' dff-f a 8& — y' sinadi 8 a" = — ß" da — y" sin o8i. Substituiren wir diese Formeln in die erste Gleichung ( 9 . ) , nemlich in 0 =

ß8a + ß'8a' +

ß"8a"i

so bekommen wir wegen ß* + / r 3 + /3"2 = l , /5y + / ? y + / 5 y = 0 , 8 a = cosid& Crelle's Journal f. d. M. Bd. XLII. Heft 1.

aß' — a'ß = 2

r"

= cos»:

10

1- -Auszug eines Schreibens des Hrn. Director Hansen an Hm. Prof. Jacobi.

Diese Gleichung, die ich früher auf geometrischem W e g e abgeleitet h a b e , ist also nothwendige Folge der hier eingeführten Gleichungen ( 9 . ) . willkürlichen

Constanten a und S- müssen

Die beiden

w e g e n dieser Gleichung als von

einander abhängige betrachtet w e r d e n ; allein es bleiben demungeachtet in den obigen Ausdrücken sechs, übrig.

von einander

unabhängige willkürliche Constanten

E s enthalten nemlich r und f drei,

und z w a r die grofse A c h s e , die

Excentricität und die mittlere Anomalie in der Zeitepoche; dazu kommen noch die drei X, p,

unabhängigen

willkürlichen

Constanten

o,

i,

w o f ü r man

auch

q wählen kann. Ich e r w ä h n e n o c h , dafs die vorstehenden Betrachtungen auch auf die

Theorie der Rotationsbewegung angewandt w e r d e n k ö n n e n , und dafs die D i f ferentiale

J p

J p mit den in dieser Theorie vorkommenden drei instan-

tanen Drehungsgeschwindigkeiten in engster Beziehung stehen. in der allgemeinen Theorie

der

Curven von

angewandte Coordinatensystem X ,

Auch möchte

doppelter Krümmung das hier

Y von wesentlichem Nutzen sein.

Die oben angeführten Ausdrücke f ü r a , a!, etc. geben leicht: cos 2 a-(-sin 2