Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 41 [Reprint 2020 ed.] 9783112347485, 9783112347478

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Journal für die

reine und angewandte Mathematik. In

z w a n g l o s e n

Heften.

Herausgegeben von

A.

L.

C r e 1 1 e.

Mit thätiger Beförderung hoher Königlich -Preufsischer Behörden.

Ein und vierzigster Band. In vier Mit

7. w e i

Heften.

Figurentafeln.

Berlin, 1851. Bei 6. Reimer. Et se trouve à P A R I S chez Mr. B a c h e l i e r (successeur de Mme Ve C o u r c i e r ) , Libraire pour les Mathématiques etc. Quai des Augustins No. 55.

Inhaltsverzeichnis des ein und vierzigsten Bandes, nach den Gegenständen.

I.

Reine

Nr. dir

AiihamiiiuiK.

i,

Mathematik.

A n a l v s i s .

TT

1.

H«ft

Seit*.

(J ber die Bedeutung der divergenten unendlichen Reihen, die Bestimmung ihrer Werthe, und über die Zuläfslichkeit ihrer Anwendung bei analytischen Rechnungen. Von Herrn Amtmann Prehn zu Ratzeburg im Lauenburgischen.

I.

1

22. Berichtigung zu dieser Abhandlung, vom jetzt verstorbenen Verfasser derselben, nebst einigen Nachrichten über dessen Lebenslauf. IV. 864 2. Summirung der Reihen 1+-^—(

z', so bleiben, der Voraussetzung nach, die

auf der rechten Seite stehenden Reihen convergent; f^x)

und F(z)

für diese behalten also

die Bedeutung der Summe dieser Reihen.

der linken Seite werden divergent: f { x ) und F(z) nicht mehr die Bedeutung einer Summe haben. aber die Functionen f ( x ) und F(z)

Die Reihen

auf

können daher für diese

Nach dem Satze IV. §. 3. sind

für das Intervall der Divergenz die W e r t h e

der als arithmetisches Mittel aufgefafsten R e i h e n , tionen f ( x ) und

für das Intervall

Reihen darstellen.

Die convergenten Reihen

wenn die nemlichen

der Convergenz

Func-

die Summen

der

/.

Prehn,

über die divergenten Reihen.

17

hüben demnach Summen, welche den Werlhen der divergenten Reihen + a-j- bjr — rar-j- • • ±u4 bz cz2 -- • • • gleich sind. §• 7. Bestimmung d e s Werths d i v e r g e n t e i Reihen. Es wird zweckmäfsig sein, mehrere Beispiele der Werthbestiminung divergenter Reihen aus den verschiedenen Gebieten der Analysis zu geben. Es sind iiatörlich nur solche Beispiele gewählt, bei denen die Richtigkeit des Resultats auf andre Weise geprüft werden kann. 1. Die Reihe Verschiedene B e i s p i e l e d e r

j - x — Y• x7-j- Y• x 3 —

(allgem. Glied

welche log(1-j-2.r) darstellt, ist für den Werth x = 1 divergent. Tronsfor ,

/( a ,,, l ^ e m e ., n e s Gr i! ., e d, ±, 1.3... —5)(2w —3) „s 1.2.3(2m..-(Tr-T)—

ist die Entwicklung von y ( l - f - 2 y ) nach der Binomialformel, und ist divergent, wenn y — 1. Ich bringe sie auf die Form H-r-f

i / i r - t ) - / ! ,

wo die divergente Reihe r =

i x - l r ' + H r

zu transformiren isl. Es ist hier a — 0, b=%.

Crelle's Journal l. il. M. Bd. XLI. Heft !.

3

c — \ . . . . . mithin

3

18

/.

Preh«>

wftcr die divergenten Reihen.

Man erhält demnach die transformirte convergente

Um eine mehr convergirende Reihe Verfahren.

Reihe

zu erhalten,

wiederhole

man das

Es ist «Isdann

und man erhält

Y Setzt

man

für

—

*( den

y

y

;

v

y

Werth =

1

und

summirt

deren Coefficienten hier angegeben sind, F

=

0,26784.

2 — Y =

Es stimmt mithin

1,73216,

5 r

1

^

Vi

die

8 Glieder

so erhält man

der Nähertingswerth

mit dem wahren W e r t h e

... der R e i h e ,

den Näherungs'werth der gegebenen

von j/3 =

1,73205...

Reihe bis auf

die 4te Decirnalstelle überein. 3.

A l s B e l e g für die Behauptung, dafs man z w e i unendliche c o n v e r -

gente Reihen nicht unbedingt in gewöhnlicher W e i s e mit einander multipliciren d ü r f e , ist öfter angeführt w o r d e n , dafs die Reihe S

=

-4-x Vi

welche für x =

Vi giebt,

V2

• • •. '

y'3

(allgem. Glied ±

, Vn

1 c o n v e r g i r t , mit sich selbst multiplicirl die Reihe

\V2

V2j

welche für x—\

\ y'3

divergent

ist

/(2.2)

)

und daher

für v e r w e r f l i c h gilt.

w e r d e z e i g e n , dafs diese divergente Reihe eben den W e r t h (Sf Man

findet

convergirende,

leicht

durch

Transformation

der

Reihe

dafs S — 0 , 5 5 4 5 ist; es ist daher (Sf

=

£

Ich

hat. in

eine

0,3075.

mehr

Transfor-

mirt man die obige divergente Reihe in eine convergente, so hat man, « =

0,

A= J*b =

l,

Jb=--

0,6818,

-

0,0308,

Jbb =

J2b =

0,0182,

und für x — 1 erhält man die convergente 1 (fi -

0,6818 ( } ) 2 — 0,1369 -

deren Summe =

0,3075 =

-

ist.

=

^/3A = -

7

-

0,0573,

0,0091

Reihe

0,0573 (|)4 — 0,0308 ( } ) 5 -

0,0091 ( i )

(S)2

—0,1369,

• •

0,0182

t. 4.

Prehn,

über die divergenten

Reihen.

19

Die Reihe — Cx+lK^x1—

log 1 \ 1 - p x ) =

(allgem. Glied

¿Ä'jar'-f J-Ä^r* — ±~K

x

n

n

y

in welcher C die Constante des Integrallogarithmus = 0 , 5 7 7 2 1 5 7 und K„ die Summe der unendliche^ Reihe O + ^ + ^r-f-jr-f"-) bezeichnen, wird abgeleitet aus der Gleichung rfiogrd-fj)

_

_

T

~

dx

, i

r

i .

1 1-f-j-

.l +, T fîJ" . . . .

indem die Glieder -¡-^—, 1 -p J7

•>•

!

* i+ia-

' "

nach Potenzen von x entwickelt wer-

den;

und da nun die dadurch entstehenden Reihen divergent sind, wenn ist, so wird angenommen, dafs die gegebene Reihe nur für die Werthe x < 1 gelte. Ich werde zeigen, dafs die Reihe auch für gröfsere Werthe von x, z. B. für x — 2 , ein richtiges Resultat giebt. Bringt man die Reihe auf die Form - Cx + \Ktx- ^K.x3

x3P,

-f

wo P = f Ä - t f - i Ä ^ - f l Ä e *

3

-

wie sie in Legendre „Exercices"

und nimmt die Werthe von K , ,

aufgeführt stehen, so erhält man zur Berechnung des Werths von a =

0, 2

b =

0,2705808,

Jb =

— 0,0631953,

J b=-f

0,0253669,

J*b =

0,0076917,

J*b =

— 0,0049399, -j- 0 , 0 0 1 7 6 7 6 ,

Jzb =

= -f 0 , 0 0 3 3 6 6 1 ,

d*b =

J b =

—0,0010409,

n

J b = — 0,0008244,

Jab

Jub =

— 0,0005428,

Jl*b =

ferner

—0,0004494,

—0,0130458,

9

—0,0023973. M

P:

J b = + 0,0013406, =

-f 0 , 0 0 0 6 6 4 0 , =

daher P =

0,2705808(£) +0,0631953(3)' + 0 , 0 2 5 3 6 6 9 ( £ ) 3 + • •-,

und wenn die 15 Glieder dieser Reihe, für welche die Coëfficienten hier angegeben sind, summirt werden, erhält man P =

0,2203994. 3»

20

/. Prehn, über die divergenten Reihen. Der Näherungswert» der gegebenen Reihe wird daher durch folgende

Rechnung gefunden: 2;J =

3,2898681, 1,7631950,

,2 3P

4 5,0530631; ~:-t'(2)

=

-1,1544313,

— »ii3(2y =

— 3,2054851, -h-4,3599164;

5.0530631 Der wahre Werth

von l o g i ' . l + a,

mithin ist die Differenz < 5.

4,3599164 =

0,6931467. ist =

log2 =

0.69314718 . . . ,

0,0000005.

Es wird allgemein angenommen, da Ts die Anwendung der Su»:—

nienformel (/.- — \)J

'

V

A T {a + ß)(a±ß+i) ...(a4-ß±p-i) j

/ •

An

a ( a + l)(o-|-2) . . . ((y)], wollen, nach der Maclaurinschen

die wir zur Abkürzung =

m+2 , . . . interpolirtes, zum Index n gehöriges Glied u. s. f.

I.

Prekn,

über die divergenten Reihen.

31

Aus dem Vorhergehenden ist bebannt, dafs die Summen - Ausdrücke der in Parenthesen eingeschlossenen endlichen Reihen, mögen die Zeichen wechselnd oder bleibend sein, sich auf die Form f(x)±F(x,n) bringen lassen, wo f{x) die Function bedeutet, welche für das Intervall der Convergenz die Summe der bis ins Unendliche fortgesetzten Reihe, und F(x, n) eine Function von x und der Gliederzahl n darstellt, welche für das Intervall der Convergenz bei unendlichem Wachsen von n verschwindet. Von den Summen-Ausdrücken S n i , . . . enthält jeder eine Anzahl m Summen-Ausdrücke von obiger Form, welche blofs insoweit verschieden sind, als zu dem einen mehr Glieder derselben Reiben concurrirt haben, als zu dem andern. Sind die in Summen-Ausdrücke von der Form f(x)±F(x, n), welche in jedem der Ausdrücke . . . enthalten sind, nemlich: fi(«) ±F,(x,

»),

f>{x)±F(x,

n),

. . *. fm(x)±Fm(x,

h),

und setzt man für irgend einen der Summenwerthe S„r: ±a-\-xfl{x)~

x%{x)

±(xFl(x,

2

n) — x F^x,

-f

+ *"/«.(*)

n) -f ...

m

+x Fm(x,

= n)) =

yr(x)4>(x,

n),

so ergiebt sich aus der Betrachtung des Intervalls der Convergenz, dafs tp(x) die Grenze der Summe der unendlichen Reihe • • •) für das Intervall der Convergenz und {x, n) eine Function bedeutet, welche bei unendlichem Wachsen von n für das Intervall der Convergenz verschwindet. Die Summen-Ausdrücke J^ _— r f 1 x ' Md* —/ x1 / \ _ ( 1 — i' / 1 \ _ 2.3 . . . s dx'

V I — x ) ~~

woraus nach dem bekannten S a t z e dr d x '

y

Z

~

r

. d d x

r

z , r dy d r ~ l z T ' d x ' d x ' - 1 ^

r

(

,

1

—

rir — i )

'

1.2

^

(i_jr)r+l

L

- (i-x)^ +»±j±i

/— ( w + r + l ) ( n + r ) . . . 2 . . . r

' A

i. 2 ... r

( M -f r-f 1) x*+ 1 '(1-X)r

H-|-r-fl w-f-r 1 ' 2

=

/-(»|rf1)x'^2.3...r

r

h-\-2

r

_

xr'+i

'{l — x)

w-j-r+l >t-f->x"+r-1 1 " 2 '(1-xr-1 1

i - j J

- ! + (» + ••+ l)(l-*)*>+' (J

_

+

. . . + Ü ± r ± l .ܱr... 5 ± > (j _

Die Formel ( 2 . ) giebt aiso die Summe der Reihe ( 1 . ) .

.

2. Dienger, Summirung einiger Reihen. Hieraus (3.)

1

findet

sioh

+ ,

(r+l)(r+2)...(r+.»)_.

• • • T

wo,

wie

leicht

Für einander

zu

sehen,

x «!•+1 *

sin(r-fl)y>. t *+i

'

weiches bekannte Formeln sind, wenn man r statt r-f-1 setzt. Als specielle Formeln zieht man ans (6. und 7.): 1 - f 2pcos9>-|-3()5cos2"cosi»y

sin9?-j-3^> 2 sin2y-J-4^> 3 sin3^... -f (»-f l)^"sin»y

1.2 + 2.3(>cosv5 + 3 . 4 ^ c o 9 2 y + 4.5p J co83y-f- ••• . . . -f(n-|-l)(n+2)(»"cos»9)

(9.) + ü ± i . ü ± l «y+'cos {(»+

- y}];

2.3(>siny-[-3.4(> 2 sin2y + 4 . 5 p 3 s i n 3 y - f ••• -f ( » - | - 1 ) ( « + 2)Bsinny =

- ^ ^

- £ [e n+3 sin { ( » + 3 ) ^ - 3 ^ } + +

.

{(«.+ 2 ) ^ - 2 ^ }

» J i tY + 1 s i n {(» +1)