Journal für die reine und angewandte Mathematik: Band 3 [Reprint 2020 ed.] 9783112406588, 9783112406571

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Journal für

reine und In

die

angewandte z w a n g l o s e n

Mathematik. H e f t e n .

Herausgegeben

von

A.

L.

G r e i l

e.

Mit ihatiger Beförderung hoher Königlich - Preußischer Behörden.

Dritter Band, In

4

H e f t e n .

Mit 4 Kupferlal'eln.

Berlin, bei

G.

Reimer.

1 8 2 8.

. „

Inhaltsverzeicfinifs des dritten Bandes, nach den Gegenstanden. I.

Nr d

Reine

Mathematik.

Abliaiidhmg 1. A 11 a I y S i S. 1. -Deweis eines algebraischen Lehrsatzes. V o n Herrn Hofrath und P r o fessor Dr. G aufs zu Gö Hingen 3. Recherches sur les diviseurs premiers d'une classe de formules du quatrième degré. Par M. G. Lejeune- Dirichlet, prof. d. math, à Breslau. 4. Ueher lieilieii, durch -welche höhere Potenzen des Bogens durch den Sinus ausgedrückt werden. V o n Herrn. Dr. E. J. Scholtz in Breslau. 5. Noie sur le mémoire de Mr. L . O l i v i e r No. 4. du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence." Par Mr. N. H. Abel Remarque de Mr. L. Olivier sur le même objet 8. Addition au Mémoire de 31. A b e l sur les Tondions elliptiques, iuseré daus le vol. I I . de ce journ., call. 2. p. 101. Par Mr. C. G. J. Jacobi à Königsberg. 1 9. Die Function — , 1 . durch die Anzahl der a ausgedrückt. a-\ , 1 a H , a ~r (In Folge der Aufgabe 40. S . 193. im zweiten Baude dieses Journals.) Von Herrn Th. Clausen zu Alloua 10. TJeber die Fälle, wenn die Reihe von der Form , « ß 1 ß . ß + t a . . x t~K— • 1 —-—r~r + etcyJ — 1 +r - r • — « H i r i-2 r-r + 1 ein Ouadrat von der Form

Z-IJL."'

11. 13. 14. 15. 16. 26. 27. 28. 30. 33. 34. 36. 37.

F

,

/2'-M

,

Heft Seite I.

i

I.

35

I.

70

I. 1.

79 82

I.

86

I.

87

etc' * ~ 1 + T V 7 X + 1.2 > ' . / + i v . t ' + i * + hat. Von Herrn Th. Clausen zu Altona. . . . . . . . . . . I. 89 Beitrag zur Theorie der Reihen. Von Herrn Th. Clausen zu Altona. I. 92 Ueber die Integration logarilhiniscli-rationaler DiiFerentiale. Von Herrn Prof. Dr. C. J. Hill zu Lund I I . 101 Recherches sur les fonctions elliptiques. Par. Mr. N. H.Abel. (Suite du mémoire Nr. 12. Tom. II. call. 2. de ce journal.) II. 100 Note sur la décomposition d'un nombre donné en quatre quarrés. Par Mr. C. G. J. Jacobi, prof, en phil. à Königsberg I I . 191 Note sur les fonctions elliptiques. Par Mr. C. G. J. Jacobi, prof, en phil. K Königsberg. (Extrait d'une lettre de l'auteur au rédacteur de ce journal sous le date de 2. Avril 1S28.) I I . 192 Beantwortung der Aufgabe S. 2 1 2 . dieses B indes: „ K a n n a f ~ x — 1, wenn fi eine Primzahl und a eine ganze Zahl und kleiner als fi und gröfser als 1 ist, durch [i(i tbeilbar s e i n ? " Von Hrn. Prof. C. G. J. Jacobi. I I I . 3Ul Suite des notices sur les fonctions elliptiques (Voy. p. 192 ). Par Mr. C. G. J. Jucobi, prof, en phil. à Königsberg. ( E x t r a i t d'une lettre de l'auteur au redacteur de ce journal, du 21. Juillet 1828 III. 303 Demonstratio duaruin celeb. G a u s s i i proposilionum. (Disqu. arithm. p. 1 7 . ) Auct. Theod. Clausen III. 311 Remarques sur quelques propriétés générales d'une certaine sorte de fonctions transcendantes. Par Mr. N. IL Abel de Christiania IV. 313 Auflösungen der Aufgabe No. 19. S. 99. im 1. Hefte des II. Bandes d. Journ. I V . 3 4 7 Mémoire sur l'impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Par Mr. Lejeune - Dirichlet, prof, de mathématiques. . I V . " r)4 Démonstrations nouvelles de quelques Ihéorèmes relatifs aux nombres. Par Mr. Lejeune- Dirichlet, prof, de mathém IVS u r le nombre des transformations dilléreutes, qu'on peut faire subir a une fonction elliptique par la substitution d'une fonction donnée e premier degré. Par Mr. N. II. Abel IV. 394

Inhalls

IV

verzeichnifs

des

Abhandlnng

38.

39. 2.

6. 7. X'i. 18. 19. 20. 22.

23. 24. 25. 31. 35.

40. 32. 12. 21. 29. 41.

42.

dritten

Bandes.

,

Heft

Theoreme général sur la transformation des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce. Par Mr. N. H. Abel IV. Suite des notices sur les fonctions elliptiques. Far M. C. G. J. Jacobi. prol". en phil. à Königberg IV. 2. G e o m e t r i e . Leber die Gleichungen, mittelst welcher aus den Seiten eines in einen K r e i s zu beschreibenden Vielecks der Halbmesser des Kreises und die Fläche des Vielecks gefunden werden. V o n Herrn A. F. Möbius, Professor 'zu Leipzig. . I. Annäherungs - Construction des K r e i s - U m f a n g s und F l ä c h e n - I n h a l t s . V o m H^rrn Cand. phil. Specht zu Berlin I. Beweis zweier Lehrsätze im zweiten Bande dieses Journals, H f t . I . S. 97. Ko. 7. und Hfl. I I I . S . 2 9 2 . Ko. 64. Von Herrn Remy, Stud. phil. zu Berlin. I . Geometrische Sätze. Von Herrn Th. Clausen zu Altona II. Bemerkung über ein Polyeder. Von einem Ungenannten II. Bemerkungen zu der zweiten Aufgabe in der Abhandlung No. 17. in diesem Hefle. Von Herrn J . Steiner zu Berlin II. Anmerkungen zu dem Aufsatze No. 18. Von Hrn. J. Steiner zu Berlin. I I . Memoire sur les centres de moyennes harmoniques; pour faire suite au traité des propriétés projectives des figures, et servir d'introduction à la Théorie generale des propriétés projectives des courbes et surfaces géométriques. (Présenté à l'Académie royale des Sciences de l'institut de France le 8 . Mars 1824, et approuvé le 22. Janvier 1826, par une commission composée de M. M. L e g e n d r e , A m p è r e et C a u c h y rapporteur.) Par Mr. J. V. Poncelet, Capitaine au corps Royal du Genie. IH. Kamj. von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere u m - u . eingeschrieben zugleich heifsen? VomHrji. Prof. Möbius zu Leipz. I I I . Beweise des Lehrsatzes No. 16. im 2 . Heft des 3. Bandes dieses Journals. I I I . Auflösung (1er Aufgaben und Beweis der Lehrsätze 5. 6. 7. 8. 9. im lsten Helte S. 9 6 , und 2 9 . 30. 3 t . 3 2 . 33. im 2ten Hefle S . 191 des 2len Bandes dieses Journals. V o n Herrn Stud. math. Heinen zu Bonn. I I I . Ueber die Krümmung einer beliebigen Fläche in einem gegebenen Puncte. V o n Herrn Dr. Pliicker zu Bonn IV. Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Eleinentargeometrie: „ D i e Relation zwischen der Distanz der Mittelpuncte und den Radien zweier Kreise zu finden, von denen der eine einem unregelmäfsigen Polygon eingeschrieben, der andere demselben umgeschrieben ist." Von Hrn. Prof. Dr. C. G. J. Jacobi zu Königsberg in Pr. I V . Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges. Von Hrn. C. G. Specht zu Berlin IV.

II.

Angewandte

Mathematik.

Analytische Auflösung dreier Aufgaben der Calendarographie. Von Hm, W. Matzka, Ober-Feuerwerker im I L K , Bombardier-Corps zu W i e n . I V . Aufgaben und Lehrsätze. Lehrsätze über den Zusammenhang von Coinbinationen mit Variationen und jener unter einander, von Herrn Prof. Scherk zu Halle. . . I. Aufgaben von Anderen I. Aufgaben und Lehrsätze. Von Herrn J- Steiner zu Berlin. . . . II. Aufgabe von Herrn N. H. Abel zu Christiania in Norwegen. . . . II. Lehrsatz. Von Herrn Dr. Hellerung zu Wismar III. Aufgaben. Question d'analyse indéterminée. Par Mr. Lfjeune-Dirichlet, prof, en mathématiques. . IV. Von Anderen IV. Einige Nachrichten von Büchern.

.

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.

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IV.

Seit»

402 403

5 83 84 196 199 201 205

213 273 279 285 324

376 405 337 96 97 207 212 312 407 408 410

1.

Beweis eines algebraischen Lehrsatzes. (Von Hrn. Hofrath u. Professor, Dr. Gau/s zu Güttingen.)

D e r Gegenstand dieses Aufsatzes ist der C a r t e s i s c h e , gewöhnlich nach H a r r i o t benannte, Lehrsatz über den Zusammenhang der Anzahl der positiven und negativen "Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit der Anzahl der Abwechslungen und Folgen in den Zeichen der Coefficienten. Man vermifst an den von verschiedenen Schriftstellern versuchten Beweisen dies.es Theorems die Klarheit, Kürze und umfassende Allgemeinheit, die m a n bei einem so ekmentarischen Gegenstande mit Recht verlangen kann, und eine neue Behandlung desselben scheint daher nicht überflüssig zu sein. Es sei X eine algebraische ganze Function von x von der Ordnung; m, nach absteigenden Potenzen von x geordnet. W i r nehmen an (ohne Nachtheil f ü r die Allgemeinheit), dafs das höchste Glied xm sei, und das niedrigste von x freie Glied nicht fehle; b'.ofs die wirklich vorhandenen Glieder sollen aufgestellt, also nicht die etwa fehlenden mit dem Coefficienten 0 angesetzt sein. W e n n nicht alle Coefficienten positiv sind, so werden sie einen oder mehrere Zeichenwechsel darbieten. Es sei — N x n das erste negative Glied, das erste hierauf folgende positive -f" P xV > das erste hierauf folgende negative — Q x i u. s. w. Es sind mithin m , n, p, q u. s. w. abnehmende ganze Zahlen; TV, P, Q u. s. w. positiv, und X erscheint so dargestellt: X =

+ + . . . . — 7VV

....

+ Px? + - f

— Qx'i — u. s. w.

Es werde X mit dem einfachen Factor x — « multiplicirt, wo a positiv vorausgesetzt wird. Man sieht leicht, dafs in dem Producte, Crelle's Journal. III. B d . I. Hfl.

1

2

1.

Gau/s,

Beweis des Harriotschen Lehrsatzes.

einen negativen, xp+l einen positiven, einen negativen Coefficienten u. s. w., also das Product diese Form erhalten w i r d : — «) =

tf"*1

— 7V'.rn+I

+ P/aP+1

— Q' x'+1

so dafs N', P Q ' u. s. w . positiv werden. Die Zeichen zwischen den aufgestellten Gliedern bleiben z w a r unentschieden: allein es ist klar, dafs vom höchsten Gliede bis zur Potenz ;r n+l wenigstens ein Zeichenwechsel, bis wenigstens zwei, bis wenigstens drei u. s. w . statt finden. Ist der letzte Zeichenwechsel in X bei dem Gliede + Uxu, und bezeichnet man den Coefficienten von x"+1 in X(x—a) durch + U s o u l wird V positiv sein, und bis zum Gliede + U'x + haben dann wenigstens eben so viele Zeichenwechsel, w i e in X sind, statt gefunden. Das letzte Glied in X(x— «) wird aber das Zeichen haben; es mufs also bis dahin wenigstens noch ein Zeichenwechsel hinzugekommen sein. W i r schliefsen also, dafs X(x—«) wenigstens einen Zeichenwechsel mehr hat als X. Es sei nun X das Product aller einfachen Factoren, die den negativen und imaginären W u r z e l n einer Gleichung y = o entsprechen, also, wenn a, ß, y u. s. w . die positiven W u r z e l n derselben Gleichung sind, y — X(x—a)(x—ß)(x—y)

. . . .

Es finden sich also nach vorstehendem Satze, in X (x — «) wenigstens ein Zeichen Wechsel, in X(x— et) (x — ß) wenigstens z w e i , in X(x—et) (,x—ß) (x—y) wenigstens drei u. s. w . mehr als in X; folglich werden, auch Wenn in X gar kein Zeichenwechsel vorkommt, in y wenigstens so viele Zeichenwechsel sein, wie positive Wurzeln. Man sieht von selbst, dafs wenn die Gleichung weder negative, noch imaginäre W u r z e l n hat, man X = 1 zu setzen hat, und dieser Schlufs seine Gültigkeit behalt. Es gehe y, wenn den Coefficienten der Potenzen xm~x, xm~3, xm~'J u. s. w . die entgegengesetzten Zeichen beigelegt werden, in y' über} sämmtliche W u r z e l n der Gleichung y' — 0 werden dann den Wurzeln der Gleichung y = 0 entgegengesetzt sein. Es wird daher in y' wenigstens eben so viele Zeichenwechsel geben, als die Gleichung y — 0 negative Wurzeln hat. W i r haben daher folgenden Lehrsatz:

1.

Gau/s,

Beweis des Barriotschen Lehrsatzes.

3

D i e G l e i c h u n g y =»0 k a n n n i c h t mehr p o s i t i v e W u r zeln

haben,

als

es

Zeichenwechsel

in

y

giebt,

uad

nicht

mehr n e g a t i v e W u r z e l n , als Z e i c h e n Wechsel in y' s i n d . Diese Einkleidung des Theorems scheint die zweckmäfsigste zu sein, da sie die gröfste Einfachheit mit der umfassendsten Allgemeinheit vereinigt, und alle Gestalten des Satzes, die nur unter besondern Bedingungen gelten, von selbst daraus flieisen. W i l l man die Grenze der Anzahl der negativen Wurzeln unmittelbar an den Zeichen der Coefficienten von y erkennen, so wird es nothwendig, die u n m i t t e l b a r e n Zeichen Wechsel und Zeichenfolgen (bei Gliedern, wo die Exponenten von x um eine Einheit verschieden sind), von den durch fehlende Glieder u n t e r b r o c h e n e n -zu unterscheiden. Offenbar wird jeder unmittelbare und jeder durch eine gerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochene Zeichenwechsel in y' zu einer ähnlichen Zeichenfolge in y , während ein durch eine ungerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochener Zeichenwechsel in y* auch in y ein ähnlicher Zeichen Wechsel bleibt. Der zweite Theil des Theorems läfst sich daher auch so ausdrücken: Die Anzahl der negativen Wurzeln der Gleichung y = 0 kann nicht gröfser sein, als die Anzahl der unmittelbaren und der durch eine gerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenfolgen, addirt zu der Anzahl der durch eine ungerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenwechsel in y. Fehlt in y gar kein Glied, so ist die Anzahl der negativen Wurzeln nicht gröfser, als die Anzahl der Zeichenfolgen. Bezeichnet man durch A die Anzahl der unmittelbaren Zeichenwechsel, und durch B die Anzahl der unmittelbaren Zeichenfolgen in y, so wird, wenn kein Glied fehlt, A -\-B — m sein, also der Anzahl aller Wurzeln gleich. Insofern diese Zeichen also blofs lehren, dafs die Anzahl der positiven Wurzeln nicht gröfser als A, und die der negativen nicht gröfser als B sein kann, bleibt es unentschieden, ob oder wie viele imaginäre Wurzeln vorhanden sind. Weifs man aber anders woher, dafs die Gleichung keine imaginäre Wurzeln hat, so mufs nothwendig A der Anzahl der positiven, und B der Anzahl der negativen Wurzeln gleich sein. 1*

4

1. Gau/s,

Beweis des Harriotschen Lehrsatzes.

Anders aber verhält es sich, wenn in y Glieder fehlen. Um mit Klarheit zu übersehen, was sich daraus in Beziehung auf die imaginären Wurzeln schliefsen läfst, bezeichnen wir durch a die Anzahl der durch eine gerade, durch c die Anzahl der durch eine ungerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenwechsel; durch b und d resp. die Anzahl der durch eine gerade und ungerade Anzahl fehlender Glieder unterbrochenen Zeichenfolgen in y. Man sieht leicht, dafs m — A — B — a — b — c — d der Anzahl sämmtlicher fehlender Glieder, die wir durch e bezeichnen wollen, gleich sein werde. Nun ist nach unserm Lehrsätze die Anzahl der positiven Wurzeln höchstens A -f- a -f- c, die Anzahl der negativen höchstens B + b -f- c, also die Anzahl aller reellen Wurzeln höchstens = m c — d — e. Es mufs daher die Anzahl der imaginären Wurzeln wenigstens e — c - \ - d j sein. Zählt man also alle fehlenden Glieder zusammen, jedoch so, dafs man in jeder Lücke zwischen einem Zeichenwechsel eine Einheit Weniger, zwischen einer Zeichenfolge aber eine Einheit mehr rechnet, als Glieder fehlen, so oft deren Anzahl ungerade ist, so erhält man eine Zahl, der die Anzahl der imaginären Wurzeln wenigstens gleich kommen mufs.

2.

Möbius,

über P'ieleclce im

Kreise.

5

2. Ueber die Gleichungen, mittelst welcher aus den Seiten eines in einen Kreis zu beschreibenden Vielecks der Halbmesser des Kreises und die Fläche des Vielecks gefunden werden (Von Herrn A. F. Möbius, Professor zu Leipzig.)

D ie Gleichungen, mit Hülfe deren man aus den Seiten eines in einen Kreis beschriebenen Dreiecks oder Vierecks den Halbmesser des Kreises und die Fläche des Drei- oder Vierecks findet, sind allgemein bekannt. Von der Entwicklung derselben Gleichungen für Vielecke mit mehreren Seiten, mag bis jetzt theils ihr seltenes Bedürfnifs, theils aber und vorzüglich der Umstand abgehalten haben, dafs diese Gleichungen bei wachsender Seitenzahl in hohem Grade immer zusammengesetzter werden. Denn die Analysis ist hier, auf ähnliche A r t , wie bei der Dreitheilung des Winkels und in vielen anderen Fällen, genöthigt, auch diejenigen Vielecke! mit anzugeben, bei welchen der Perimeter, bevor er in sich zurückkehrt, sich selbst ein oder mehrere Male schneidet, und welche man, da sie i m Praktischen keinen besonderen Nutzen haben, nur als Abarten von Vielecken zu betrachten pflegt. Die Mannigfaltigkeit solcher Vielecke wird aber bei zunehmender Seitenzahl immer gröfser, und eben so mufs auch die Anzahl der Kreise zunehmen, in denen sich die nemlichen Seiten zu Vielecken zusammensetzen lassen. Uebrigens leuchtet ein, dafs blofs die verschiedene Aufeinanderfolge der Seiten zur Vermehrung der Kreise nichts beitragen kann. Der Zweck des vorliegenden Aufsatzes ist eine nähere Untersuchung der Beschaffenheit der gedachten Gleichungen. Ich habe darin, wenn auch nicht sie selbst entwickelt, doch einen einfachen W e g zu ihrer Entwicklung nachgewiesen, und hoffe, dafs dieser W e g , so w i e die Bestimmung des Grades der, Gleichungen, die Betrachtung der Natur jener *) Diese A b h a n d l u n g ist, wie der H e r r Verfasser dem Herausgeber meldet, durch die Aufgabe N o , 21. Heft 1. B a n d 2. dieses J o u r n a l s veranlagst worden.

6

2.

Möbius,

über Vielecke im Kreise.

ßternartigen Vielecke, und noch einiges Andere für den Geometer nicht ganz ohne Interesse und für die Wissenschaft von einigem Nutzen sein werde. Sei A ein Punct in der Peripherie eines Kreises, B ein zweiter Punct in derselben, den man sich anfangs mit A zusammenfallend denke. B trenne sich hierauf von A , und bewege sich immerfort nach derselben Richtung, etwa von der Linken nach der Rechten, wenn man sich selbst innerhalb des Kreises befindet. Während auf diese Weise der Bogen AB ohne Ende wächst, und der Punct B jedesmal, wenn der Bogen einem Vielfachen der Peripherie gleich geworden ist, mit dem Puñete A von Neuem zusammenfällt, wird die Sehne AB, deren anfänglicher Werth = 0 ist, so lange zunehmen, bis der Bogen AB = 180° geworden, wo sie die Gröfse des Durchmessers erreicht hat. Sie wird hierauf eben so abnehmen, verschwinden, wenn der Bogen bis zu 360° angewachsen ist, und alsdann durch O in das Entgegengesetzte übergehen, so dafs, wenn man die Sehne anfänglich positiv annimmt, sie nunmehr negativ wird, und während der Punct B den zweiten Umkreis beschreibt, die Sehne, eben so, wie beim ersten, nur negativ, zu und abnimmt. Kommt hierauf B von Neuem nach A, wird also der Bogen = 2 . 3 6 0 ° , so geht die Sehne aus dem Negativen in das Positive zurück, und so wieder umgekehrt, aus dem Positiven in das Negative, wenn der Bogen 3 . 3 6 0 ° gew orden, u. s. f.' Bezeichnet daher n irgend eine positive ganze Zahl, und