Handbuch der Kugelfunctionen: Band 2 Anwendungen der Kugelfunctionen und der verwandten Functionen [2., umgearb. und verm. Aufl. Reprint 2019] 9783111451299, 9783111083971

Citation preview

Handbuch der

Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen, von

Dr. E. Heine, ordentlichem Professor der Mathematik an der vereinigten Friedrichs-LIniversitiit Halle-Wittenberg.

Zweiter Band. Zweite umgearbeitete und vermehrte A u f l a g e .

B

e

r

l

i

n

.

Druck und Verlag von G. R e i m e r . 1881.

Anwendungen der

Kugel functionen und

der verwandten Functionen,

VOIl

E. lleine.

Zweite umgearbeitete und vermehrte A u f l a g e .

B e r l i n .

Druck und Verlag von G. R e i m e r ,

1881.

I n

k

a 1 t.

I. Theil. Mechanische Quadratur. § 1.

Historisches.

Man soll j " i;(i) wird vermittelst der Ordinaten, die für willkürliche Abscissen « gegeben sind, angenähert durch eine ganze Function rf (x), ferner J * if (x) dx genau durch die Summe (4), also j"

tp (x) dx ange-

—l —l nähert durch die Summe (4) dargestellt § 3. Beziehungen zwischen den in (4) vorkommenden Hülfsgrössen A . . §4. C o t e s wählt solche Abscissen e , die in einer arithmetischen lleihe wachsen. Tafel für die numerischen Werthe der A nach C o t e s § 5. Berechnung des Fehlers Di//(x), den man, bei der angenäherten Berechnung von J * r]>(x)dx durch (4), begeht —1 § 6. Berechnung einer Corrcction für die Cotesische Methode § 7. G a u s s wählt die n Abscissen « so, dass der Fehler Null wird, wenn i/i(x) eine ganze Function 2n—l t e n Grades ist § 8 . Er nimmt dazu für die tt die «Wurzeln der Gleichung = 0. Correction bei dieser Methode § 9. Kurze Ableitung der hauptsächlichen im § 8 gewonnenen Resultate . § 10. Tafeln von G a u s s zur Berechnung der Integrale durch Annäherung § 11. Die Function i p ( x ) lässt sich mit beliebiger Näherung z w i s c h e n x = —1 u n d x = 1 durch die Interpolationsformel darstellen, wenn xp(x) sich in eine Potenzreihe nach x entwickeln lässt, welche für x = 1 convergirt. Beweis § 12. Uebertragung der Methode von G a u s s auf die Berechnung durch

3 5 C C 7 9 10 13 14

16

>'

/

9

\l>{x)f(x)dx für beliebige Functionen ip, wenn f

eine vorgegebene Function bezeichnet H e i n e , Anwendungen der Kugclfunctioncn.

19 2. Aufl.

VI

I n h a l t . Seite

§ 13. Beispiel f ü r den Fall, dass / ( x ) von der Form — x f ist. Der Fall a = b = —ii § 14. Ein anderer specieller Fall. Wie wählt man für eine Quadratur aus m + n Abscissen möglichst vorteilhaft n Abscissen, wenn m Abseissen vorgeschrieben sind? § 15. Die ganze Function +>'i(.x)+Q-i~''i(x)~\ § 02.

224

Die Differentialgleichung für 1 ; daraus die der Kugelfunctionen f .

Sie ist dieselbe, welcher P " und Q n für n — — ¿ + 1"' genügen.

Gleichungen

aus § Gl werden bewiesen

226

§ G3.

Das Additionstheorem des § Gl wird bewiesen

§ C4.

Ausdruck der Kegelfunctionen erster und zweiter A r t durch dieselbe

hypergeometiische Reihe. Entwickclung § 65.

von

230

Zweite Form des Additionstheorems.

{''(cosif) n a c h

Cosinus

Darstellung von T durch Kegelfunctionen.

über das Potential des Kegels.

Anwendung:

der Vielfachen

G r e e n ' s e h e Function.

von