Handbuch der Kugelfunctionen: Band 1 Theorie der Kugelfunctionen und der verwandten Functionen [2., umgearb. und verm. Aufl. Reprint 2019] 9783111451305, 9783111083988

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Handbuch der

Kugelfunctionen, Theorie und Anwendungen, von

Dr. E. Heine, o r d e n t l i c h e m P r o f e s s o r der M a t h e m a t i k an der v e r e i n i g t e n Friedrichs - Universität Halle - Wittenberg.

Erster Band. Zweite umgearbeitete und vermehrte A u f l a g e .

B

e

r

l

i

n

.

Druck und Verlag von G. R e i m e r . 1878.

Theorie der

ugelfunctione und

der verwandten Functionen,

von

E. Heine.

Z w e i t e u m g e a r b e i t e t e und v e r m e h r t e

Auflage.

B e r l i n .

D r u c k und V e r l a g von G.

1878.

Reimer.

Vorwort zur zweiten Auflage.

N e u e s Material

und neue seit dem Erscheinen

der

ersten A u f l a g e gewonnene Gesichtspunkte gestatteten für die wiederholte Herausgabe

nicht den einfachen Wieder-

abdruck, sondern machten eine Umarbeitung

nothwendig,

bei welcher neben den Kugelfunctionen die mit ihnen verwandten zu berücksichtigen waren.

Auch wurden g r ö s s e r e

Zusätze, wie über trigonometrische und über h y p e r g e o m e trische Reihen und über Kettenbrüche hinzugefügt, welche die darin behandelten Gegenstände weiter f ü h r e n , als es die nächste V e r a n l a s s u n g , ihre Beziehung zu den Kugelfunctionen, unumgänglich verlangte.

Dadurch ist die Ar-

beit so angewachsen, dass eine Vertheilung auf zwei Bände zweckmässig schien.

VI

V o r w o r t zur zweiten

Auflage

D e r erste hier vorliegende Band giebt als selbstständiges Ganzes d i e T h e o r i e der Kugelfunctionen und der mit ihnen verwandten, während der zweite, welcher sich auf diesen ersten stützt, d i e A n w e n d u n g e n

der Theorie

in etwas ausgedehnterem Maasse als die erste Auflage behandeln wird.

I n h a l

t

Einleitung. D i e Einführung der Kugelfunctionen. Seite

§ 1. IJic Kugelfunctionen entstehen bei der Entwickelung der reciproken Entfernuni; zweier Tunkte von einander nach Potenzen ihrer Entfernungen von einem festen Punkte § 2. Differentialgleichung der Entwickelungscout'ficienten . . . . . § 3. Allgemeines über Inhalt und Anordnung

I.

T h e

1 4 5

i 1.

D i e Kugelfunctionen einer Veränderlichen. Erstes Kapitel.

Verschiedene Formen der Kugelfunction. § 4.

Die

ugelfunction

als

E n t w i c k e 1 u n g s c o e f f i c i e n t.

Sie ist als endliche hypcrgeomctrische Reihe eine g a n z e F u n c t i o n von .r, § 5. G i e b t , wenn £ = cosO gesetzt wird, nach Cosinus der Vielfachen von 0, oder nach Potenzen der Quadrate von sin 40 oder von cos^Ö oder t a n g ' 6 oder t a n g ß entwickelt, endliche hypergeometrische Reihen, nach Sinus

10

der Vielfachen von 0 eine unendliche § 0. Sie ist ein n-facher D i f f e r e n t i al q u o t i e n t

16 19

§ 7. Die W u r z e l n der Gleichung P(.t) - 0 sind reell und kleiner als 1 § 8. Ihr Ausdruck durch d a s I n t e g r a l v o n L a p l a c e : Ilülfsformel. Verallgemeinerung derselben

21 23

I n h a l t .

Vili

§ 9. Fortsetzung: Das Integral wird gefunden, ferner e i n i h m g l e i c h e s von ä h n l i c h e r G e s t a l t . Entwickelung von P nach Potenzen von tang^e § 10. Fortsetzung und Schluss: Die entstandene Gleichung zwischen den beiden Integralen wird durch eine Substitution bewiesen. Verallgemeinerung § 11. D i r i c h l e t ' s I n t e g r a l § 12. Die Kugelfunction als Losung einer D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g . Transformation der letzteren Z u s a t z A. E i s e n s t e i n ' s Satz Z u s a t z B. T r i g o n om e t ri s c h e R ei he 11 Allgemeines über den Gegenstand S. 53. — Der zu beweisende 1. und 2. Satz wird aufgestellt S. 5S. — Beide werden bewiesen durch den 3. Satz S. 60, und den 4. Satz S. 62.

35

37 42 47 50 53

Zweites Kapitel. Entwickelung nach Kugelfunctionen. § 13. § 14. § 15. möglich § IG. reihen nach § 17.

Ueber die M ö g l i c h k e i t einer Entwickelung. Convergen/, . . . Bestimmung der C o e f f i c i e n t c n . Hiilfsfonneln Fortsetzung und Schluss: Die Entwickelung ist nur auf e i n e A r t

(!4 t!7 70

Entwickelung von x* a l s B a s i s der Entwickelung von l'otenzKugelfunctionen Beispiel: Entwickelung von (y — .T)- 1 .

function zweiter Art

71

Einführung der K u g e l -

Q ^ ( . r ) als eines Entwickelungscoefficienten.

Ihre

Darstellung durch eine l'otenzreihe, durch ein [n -)-I) faches Integral. Sie ist eine L ö s u n g d e r D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g im § 12 § 18. Entwickelung einiger anderen Functionen nach Kugelfunctionen erster Art. Cylinderfunction § 19. Entwickelung der t r i g o n o m e t r i s c h e n R e i h e n nach Kugelfunctionen erster Art § 20. Hiilfsmittcl für solche Entwickelungen. R e c u r s i o n s f o r m e I . Entwickelung von Integralen linearer Differentialgleichungen § 21. Aehnliche Resultate ergeben sich für die K u g e l f u n c t i o n z w e i t e r A r t . Sie enthält keine höhere Transcendente als einen Logarithmus Zusatz. Die h y p e r g e o m e t r i s c h e n Reihen Einführung S. 97. — Differential- und Differenzen-Gleichungen S. 100. — Die verwandten Reihen S. 101. — Umformung der verallgemeinerten Reihen S. 106. — Summation der hypergeometrischen Reihen für besondere Wcrthe des letzten Elements S. 107. Functionen 0 und i l S. 109. — Integration einer Differenzengleichung S. 115. — Anwendungen auf die Theorie der elliptischen Functionen S. 120.

77 82 85 91 94 97

IX

I n h a l t .

Drittes Kapitel. Die Kugelfunction zweiter Art.

Cylinderfunction. Seite

§ 22.

Bei d e r E i n f ü h r u n g w a r Q ^ ( x ) n u r definirt, so l a n g e j f C . r > 1.

D i e s e F u n c t i o n k a n n e i n d e u t i g so fortgesetzt werden, dass sie sich, m i t A u s n a h m e des U e b e r g a n g s

in e i n e n Q u e r s c h n i t t ,

D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g (8) g e n ü g t ,

während

b e i d e n S e i t e n des S c h n i t t e s in § 23. ihren

Die

Ausdruck

nete Reihe § 24.

ändert, ihrer

und

der

Werthe

auf

I h r V e r h a l t e n im Q u e r s c h n i t t

wird

d u r c h eine n a c h P o t e n z e n

nachgewiesen,

von

f = x —

indem

x*—1

dieselbe F u n c t i o n

Q"(.r)

wird

durch

ein

geord.

131

Erzeugende

Function

der

Q.

D i e Q g e n ü g e n der D i f f e r e n -

t i a l g l . (8) b i s a n den Q u e r s c h n i t t u n d in demselben, n i c h t b i s i n d e n s e l b e n § 26.

Die Function

(8) e r f ü l l t ,

giebt

eine

Q, c o n t i n u i r l i c h

mehnverthige

rithmus

Ausdruck

F u n c t i o n 0

jö4

m i t

§ 34.

Digression: J a e o b i ' s Formel für sin»0

155

§ 35.

U e b e r t r a g u n g d e r U n t e r s u c h u n g e n auf die h y p e r g c o m c t r i s c h e R e i h e

157

§ 36.

Man

ähnlicher

findet

für

Gestalt.

ein dem Allgemeiner

ersten

Fall.

gleiches

Ausdrücke

für

Integral specielle

W e r t h e v o n x,

158

§ 37.

U n d f ü r den speciellen W e r t h 0 von n

§ 38.

Imaginäre

Substitution

161

in den f ü r P und Q g e f u n d e n e n I n -

tegralen § 39.

164 Specielle F ä l l e .

R e d u c t i o n eines a l l g e m e i n e r e n I n t e g r a l e s

.

.

.

168

§ 40. Die Werthe der P w (.r) und Q^ unendlich

grosse

(x) bei b e l i e b i g e m x w e r d e n f ü r

n bis a n die O r d n u n g 4 m i t H ü l f e d e r R e i h e n ,

.

.

171

X

I n h a l t . Seite

§ 41. funden §42.

Bis an die Ordnung J mit Hülfe der I n t e g r a 1 a u s d r ü c k e ge175 p("^cos(0n — ") v e r s c h w i n d e t f ü r n—OC, w e n n 0 ^

a < ^ ist.

P ^ ( c o s — ) und Q^"-* ( c o s — ) verwandeln sich für n = o c in neue Func\ n' > n• tionen, die C y 1 i n d e r f u n c t i o n e n erster und zweiter Art J(b) und K(b] § 43. Eigenschaften derselben § 44. Imaginäre Substitution in den Integralen für die Cylinderfunctionen § 45.

182 188 192

Nachweis d a s s d i e E n t w i c k e l u n g v o n (y—,r) — 1 n a c h K u g e l -

f u n c t i on e n im § 17 gii 1 t i g i st s o l a n g e o1t{x—V/x'—

\)>

xtp'-3-|-*.-iPt~4 + —

„

p\

^ p + jc,-1

„

pt_l,

X,

„

P'

„

theilbare Zahlen, daher ist der Nenner 1 . 2 . 3 . . . 7 2 genau durch eine Potenz von p theilbar, welche die Summe obiger Zahlen zum Exponenten hat, d. h. den Exponenten p ' - l besitzt.

p ' - i - l

++•••+*•

Dieser Exponent ist gleich

P —1

,

+*«

16

I. T h e i l .

Erstes Kapitel.

w— Oo+x, +

••• +

»•)

p—i einer Zahl, welche sich als p— Quersumme im Zahlensystem mit kleiner als n hleihl; die I'olenz coefficienlen nach Multiplication

§ 5 , 2.

'

1 ,