Differentialgleichungen der Physik [4., Auflage. Reprint 2019] 9783111362427, 9783111005201

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Differentialgleichungen der Physik von

Dr. Fritz Sauter Prof. an der Universität Köln

Mit 16 Figuren

Vierte, durchgesehene und ergänzte Auflage

Sammlung Göschen Band 1070

Walter de Gruyter & Co.. Berlin 1966 vormals G. J. Göschen'sehe Verlagshandlung • J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • Karl J. Trübner • Veit & Comp.

© Copyright 1966 by Walter de Gruyter dt Co., vormals G. ]. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J. Trübner—Veit & Comp., Berlin 30. —Alle Rechte, einschließlich der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 77 40 66 5 — Drude: Hildebrand OHG Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis § 1. Einleitung I. Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik . . . . § 2. Allgemeine Übersicht § 3. Die freie elastische Schwingung § 4. Gekoppelte Schwingungen . . § 5. Erzwungene Schwingungen § 6. Die allgemeine lineare Differentialgleichung mit einer unabhängigen Veränderlichen § 7. Der unharmonische Oszillator § 8. Weitere Beispiele zur Integration der Bewegungsgleichungen a) Bewegung eines Körpers im homogenen Schwerefeld b) Bewegung eines geladenen Teilchens im homogenen Magnetfeld c) Bewegung im Coulombfeld II. Partielle Differentialgleichungen der Wellenphysik. . . . § 9. Problemstellungen A. Eindimensionale Probleme § 10. Die Differentialgleichung der homogenen Saite und ihr allgemeines Integral § 11. Die Eigenschwingungen einer homogenen Saite . § 12. Die schwingende Saite bei vorgegebenem Anfangszustand § 13. Die unendlich lange Saite § 14. Wärmeleitungsprobleme § 15. Der lineare harmonische Oszillator in der Wellenmechanik § 16. Die Hermiteschen Polynome und Orthogonalfunktionen B. Mehrdimensionale Probleme 1 ö2s § 17. Die Gleichung As = ^ ^ in cartesischen Koordinaten a) Ein Wärmeleitungsproblem b) Die rechteckige Membran § 18. Umformung von As auf krummlinige Koordinaten d2s in Zylinderkoordinaten § 19. Die Gleichung As = -1j —

Seite

5 7 7 8 13 ]7

22 25 30 30 32 34 36 36 38 38 43 45 50 55 60 65 70

70 72 73 75 78

4

Inhaltsverzeichnis §20. Die Gleichung As =

1 82s

Seite

in räumlichen Polar-

koordinaten Die gewöhnlichen Kugelfunktionen Die zugeordneten Kugelfunktionen Die Besselfunktionen Beispiele zu den Zylinderfunktionen a) Die Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran b) Die Streuung von Schallwellen an harten Kugeln c) Zylinderwellen §26. Die Laguerreschen Polynome C. Inhomogene Differentialgleichungen § 26. Die Potentialgleichung A& = — 4jre §21. § 22. §23. §24.

§27. Die Potentialgleichung

—

= —

83 89 97 103 111 111 112 115 119 .122 122

. 127

D. Näherungsverfahren § 28. Störungsrechnung bei kontinuierlichem Eigenwertspektrum § 29. Störungsrechnung bei diskreten einfachen Eigenwerten §30. Störungsrechnung bei entarteten Eigenwertproblemen Literaturverzeichnis Register

130 130 134 138 144 146

§ 1. Einleitung Die folgenden Ausführungen sollen weder eine allgemeine Theorie der gewöhnlicheil oder partiellen Differentialgleichungen noch eine Ableitung der in der theoretischen Physik vorkommenden Differentialgleichungen oder eine Diskussion ihrer Lösungen geben. Ersteres ist Aufgabe einer rein mathematischen Darstellung, letzteres ist in jedem Lehrbuch der theoretischen Physik zu finden. Hier soll vielmehr nur die Brücke geschlagen werden von der reinen Theorie der Differentialgleichungen zu ihrer praktischen Anwendung in der Physik. Daher werden alle prinzipiellen Erörterungen über Existenz von Lösungen, über Lage und Häufigkeit von Eigenwerten und dgl. weggelassen und nur solche Fragen behandelt, die für die praktische Integration von Differentialgleichungen von Bedeutung sind. Dabei wird trotz der erstrebten Kürze der Darstellung auf möglichst große Strenge in der mathematischen Beweisführung Wert gelegt, wenn auch der Raummangel an manchen Stellen die ausführliche Wiedergabe eines Beweises verbietet. Die Darstellung geht fast durchweg von konkreten physikalischen Problemen aus, und an Hand dieser Beispiele werden dann die verschiedenen Lösungsmethoden entwickelt. Aus der Vielzahl der in der theoretischen Physik vorkommenden Differentialgleichungen muß naturgemäß eine Auswahl getroffen werden. Zur Behandlung kommen daher nur die wichtigsten und typischen Differentialgleichungen, wie die Schwingungsgleichung der Mechanik, die Wellengleichungen der Akustik, Optik und Wellenmechanik, die Potentialgleichung und die Wärmeleitungsgleichung. Es handelt sich hierbei durchweg um lineare Differentialgleichungen. Nichtlineare Gleichungen, wie sie etwa in der Hydrodynamik vorkommen, bleiben außer Betracht, zumal Lösungen für sie bisher nur in einer verschwindenden Zahl von Fällen bekannt sind. Ferner sollen die Vektorgleichungen der Elektrodynamik unbesprochen

6

Einleitung

bleiben, da sie durch geeignete Umformung meist den Übergang zu skalaren Potentialgleiehungen erlauben. Wer die Vektoranalysis soweit beherrscht, um mit den Maxwellgleichungen rechnen zu können, wird leicht diesen Weg gehen können. Auch sonst wird an mathematischen Kenntnissen so wenig als möglich vorausgesetzt. Außer der Beherrschung der Differential- und Integralrechnung sowie der einfachsten Reihen wird so gut wie nichts verlangt. Im besonderen wird auf jede Verwendung der Funktionentheorie verzichtet, obwohl sie oft die Durchrechnung erleichtern und die Darstellung vereinfachen würde. Da man aber hier fast durchweg auch ohne Funktionentheorie auskommt, soll die Darstellung der an sich schon nicht ganz leichten Materie nicht noch durch Verwendung einer im allgemeinen nicht sehr geläufigen Methode belastet werden. Das Z i e l der folgenden Darstellung besteht nicht nur darin, dem Leser die verschiedenen I n t e g r a t i o n s m e t h o d e n im. Prinzip verständlich zu machen, sondern ihm darüber hinaus an der Vielzahl von Beispielen auch ein bestimmtes Maß von R e c h e n t e c h n i k zu vermitteln. Stößt doch der mathematische Physiker jeden Moment auf Schwierigkeiten rechentechnischer Art, die nur durch ein gediegenes, fast handwerkmäßiges Können auf diesem Gebiet überwindbar sind. Und dieses Können kann nur durch andauernde eigene Beschäftigung mit Problemen dieser Art und durch fortgesetztes eigenes Üben an selbstgewählten Beispielen errungen werden, keinesfalls aber nur durch die Lektüre eines noch so guten Lehrbuches über diesen Gegenstand. Den Leser zum eigenen Erarbeiten des Könnens auf diesem Gebiet anzuregen und ihm bei den ersten Schritten auf diesem Wege Hilfestellung zu geben, ist mit der Zweck der folgenden Ausführungen.

7

I. Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik § 2. Allgemeine Übersicht Die Mechanik der Massenpunkte und der starren Körper wird beherrscht von den sog. B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n , welche die Beschleunigung der Punkte oder Körper mit den auf sie wirkenden Kräften verknüpfen. Diese Bewegungsgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen II. Ordnung in den Koordinaten des betrachteten Systems mit der Zeit als unabhängiger Veränderlichen. Denn die Beschleunigungen, gleichgültig ob lineare oder Winkelbeschleunigungen, sind stets die zweiten Ableitungen der jeweiligen Koordinaten nach der Zeit, während die Kräfte nur von den Koordinaten und der Zeit und evtl. (bei Reibungskräften oder magnetischen Kräften) noch von den Geschwindigkeiten, also den ersten Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit, abhängen. Bei einem mechanischen System von f Freiheitsgraden handelt es sich demnach um ein System von f simultanen gewöhnlichen Differentialgleichungen II. Ordnung. Die Hauptaufgabe der Mechanik besteht in der Berechnung der Bewegung des betrachteten Systems bei Kenntnis der an ihm angreifenden Kräfte, d. h., mathematisch gesprochen, in der Integration der Bewegungsgleichungen. Daß diese Aufgabe zu einer eindeutigen Lösung führt, wenn man die Anf a n g s l a g e des Systems und seine A n f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t , also die Werte aller f Koordinaten und Geschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt vorgibt, ist für den Physiker selbstverständlich, kann aber auch rein rechnerisch gezeigt werden. Denn zur Bestimmung der Zeitabhängigkeit einer Koordinate benötigt man bei Anwendung der Taylorreihe neben dem Wert dieser Koordinate für einen bestimmten Zeitpunkt 0 vor, so ist trotz Vorgabe von 6 Größen die Bewegung teils unter-, teils überbestimmt; denn einerseits bleibt bei dieser Problemstellung der Seitenwinkel der Wurfbahn völlig unbestimmt, andrerseits kann die Kugel bei zu kleiner Anfangsgeschwindigkeit das vorgeschriebene Ziel überhaupt nicht erreichen. Für die Integration der Bewegungsgleichungen lassen sich, wie auch bei der Ausführung gewöhnlicher Integrale, keine allgemein anwendbaren Regeln angeben. In bestimmten Spezialfällen ist es möglich, ohne genaue Kenntnis der Kräfte einige der 2f Integrationen der Bewegungsgleichungen auszuführen. Wir wollen jedoch hier nicht die in allen Lehrbüchern der theoretischen Mechanik gegebenen Ableitungen für die Erhaltungssätze des Impulses, des Drehimpulses und der Energie wiederholen, sondern uns sofort der Behandlung einiger typischer Bewegungsvorgänge zuwenden.

§ 3. Die freie elastische Schwingung Als wichtigsten Bewegungstyp der Mechanik betrachten wir zunächst die S c h w i n g u n g e n von mechanischen Systemen. Im einfachsten Fall der freien eindimensionalen elastischen Schwingung eines Körpers erhält man als Bewegungsgleichung eine homogene lineare Differentialgleichung vom Typ

Die freie elastische Schwingung

9

Bei einer geradlinigen Oszillation bedeutet s die Entfernung des Körpers aus der Ruhelage, a seine Masse, — es die rückds

treibende elastische Kraft 1 ) und — b ^ eine der Geschwindigkeit proportionale Reibungskraft. Bei Drehbewegungen entspricht s dem Drehwinkel, und die Begriffe Masse und Kraft sind durch die Begriffe Trägheitsmoment und Drehmoment zu ersetzen. Auf eine Gleichung vom Typ (3,1) wird man übrigens auch bei elektrischen Schwingungskreisen geführt. Dann tritt an die Stelle von s die elektrische Stromstärke J,a bedeutet die Selbstinduktion L, b den Ohmschen Widerstand R und c die reziproke Kapazität 1/C. Die Gleichung (3,1) läßt sich durch den Ansatz (3, 2)

s = ae*'

(3, 3)

ak* + ik + c- = 0

lösen. Denn die Funktion eu multipliziert sich bei jeder Zeitdifferentiation mit dem konstanten Faktor Tc, so daß (3,1) durch (3, 2) befriedigt wird, wenn k der Gleichung genügt. Als quadratische Gleichung besitzt (3, 3) zwei Lösungen und fc2, so daß man mit (3,2) auch zwei verschiedene Integrale von (3,1) erhält. Da bei einer linearen homogenen Differentialgleichung die Summe zweier Lösungen selbst wieder eine Lösung ist, so lautet das allgemeine Integral von (3,1) (3, 4)

s = a.1ekit + a . / V .

Es enthält, wie es bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung II. Ordnung sein muß, zwei Integrationskonstanten oiiund «j, die gerade ausreichen, um es den beiden Anfangsbedingungen oder zwei anderen vorgegebenen Bestimmungsstücken anzupassen. Sei z. B. für t = 0 als Anfangsbedingung s = s 0 und ') Näherungsweise tritt dieses Kraftgesetz auch dann auf, wenn der Körper durch nichtelastische Kräfte, wie z. B. beim Pendel, an seine Buhelage « = 0 gebunden ist; denn da in dieser Lage keine Kraft wirkt (if(O) = 0), beginnt die Taylorreihe für den allgemeinen Kraftausdruck

im allgemeinen mit dem in 8 linearen Glied, neben dem bei nicht zu großen Elongationen das quadratische und die höheren Olieder veruachl&ssigt werden können.

10

Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik

ds — = 0 vorgegeben, sei also das schwingungsfähige System aus der Gleichgewichtslage herausgebracht und dann losgelassen, so folgt aus ( 3 . 4 ) So = = cos .

Zu den gleichen Formeln führt der Grenzübergang i und q>2. Diese vier Integrationskonstanten reichen gerade aus, um die Lösung ( 4 , 1 0 ) an vorgegebene Anfangsbedingungen anzupassen. Schwingt zur Zeit < = 0 nur der eine Kreis und nimmt

Jl

dann gerade seinen Maximalwert J 0 an ^also ^

= 0 j,

während im zweiten Kreis J , und ^ für t = 0 verschwinden, at so ergibt sich aus ( 4 , 1 0 ) J, = (4,11)

— — — F— y, cos DJ 4- y, cos ß . i l , Yi — y 2

• Vi — Yi Die zweite dieser beiden Gleichungen (und im Resonanzfall wegen y2 — —y1 auch die erste) nimmt eine bemerkenswerte Form an, wenn man die beiden Cosinus zusammenzieht. Dann wird (4,12) J2 —

^ ^ s i n ^ L ^ i s i n ^ t - ^ ' Y i — Y-i 2 2

Ist Ü 1 — ß 2 2 c o 0 ) . ungekoppelten sprechend der einen der beiden Eigenschwingungen, bei welcher die beiden Pendel mit gleicher Amplitude und Phase schwingen und daher die Kopplungsfeder gar nicht beanspruchen. Die andere Eigenschwingung, nämlich die gegenphasige Schwingung, erfolgt mit einer verstimmten Eigenfrequenz ß 2 > co0, da die Kopplungsfeder die Bindung an die Normallage verstärkt (vgl. Fig. 2). Zum Schluß dieses Abschnittes sei darauf hingewiesen, daß man auf ähnliche Systeme gekoppelter linearer Differentialgleichungen, jedoch I. Ordnung, bei der Untersuchung von radioaktiven, optischen oder chemischen Umwandlungsreihen geführt wird. Geht z. B. das j>-te Element einer solchen Reihe durch radioaktiven Zerfall mit der Wahrscheinlichkeit Xv in

Erzwungene Schwingungen'

17

der Sekunde in das nächstfolgende Element über, so gilt für die Zahlen Np der Teilchen des v-ten Elements das Gleichungssystem Auch hier kann man das System durch einen Ansatz ähnlich (4, 2) lösen, doch ist es einfacher, beim ersten Glied dieser Zerfallsreihe —1

-dt

-

~

-

X N

mit der Integration unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen zu beginnen und schrittweise die folgenden Gleichungen zu lösen, wobei die Integration der dann inhomogen werdenden Gleichungen mit den Methoden der beiden folgenden Abschnitte durchführbar ist. § 5. Erzwungene Schwingungen Tritt in einem schwingungsfähigen System zu der rücktreibenden und der Reibungskraft noch eine äußere Kraft K(t) hinzu, die als beliebige Zeitfunktion vorgegeben sein soll, so erhält man als Bewegungsgleichung eine lineare, aber inhomogene Gleichung II. Ordnung von der in Analogie zu (3,11) geschriebenen Form

Hier bedeutet f(t) die durch die Masse geteilte äußere Kraft K(t). Zur Lösung dieser Gleichung gib+ es verschiedene Methoden, von denen im folgenden zwei durchgeführt werden. Wir betrachten zunächst die sog. Methode der V a r i a t i o n der K o n s t a n t e n . Bei ihr setzt man die Lösung der inhomogenen Gleichung als Produkt einer Lösung der homogenen Gleichung mit einem noch zu bestimmenden zeitabhängigen Faktor an. Oder anders ausgedrückt, man betrachtet die Integrationskonstante in der Lösung der homogenen Gleichung als variabel: S a u t e r , DiHcrcntialslcichuiigcn det Phybik.

2

18

Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik

(5,2) s = «(—oo sicher s = 0 und -¿ß = 0 wird und damit auch ot und

verschwinden, so

erhält man t

« = / e~2i

e-timt

t J f ( a ) cea+ima

da

_

t J j(T)

eQr-imrdr

Aus (5, 2) erhält man damit nach Vereinigung der beiden Integrale unter Berücksichtigung von (3,9) die Schlußformel

Erzwungene Schwingungen

19

(5, 5)

s = - ff (r) e-e( ( -*> sin co (< — r ) dr. tu J —oo Man mache die Probe durch Einsetzen von ( 5 , 5 ) in ( 5 , 1 ) ! Man kann diese rein rechnerisch abgeleitete Formel auch leicht durch physikalische Überlegungen finden. Zu diesem Zweck denkt man sich die äußere Kraft f zunächst nur während eines kleinen Zeitelementes zwischen r und r + dr in der Stärke f(T) wirksam und fragt nach der Wirkung dieser kurzen S t o ß k r a f t auf das vorher in Ruhe befindliche System. Dieses wird mit der Geschwindigkeit v0 = f(r)dr ausschwingen, wie sieh durch Integration von ( 5 , 1 ) über das Zeitelement dr ergibt; denn die Beiträge der Glieder mit q und a>0 sind klein von höherer Ordnung in rix und daher vernachlässigbar. Die weitere Schwingung erfolgt nach der Formel ( 3 , 1 0 b), nur daß jetzt t — r statt t zu setzen ist. Nun kann man die wahre Bewegung als Überlagerung aus solchen Einzelschwingungen auffassen, die von verschiedenen Zeitpunkten r herrühren, und erhält so durch Integration über T für die Bewegung dos Systems genau die Formel ( 5 , 5 ) . Ein zweiter Weg zur Lösung von ( 5 , 1 ) besteht darin, daß man f (l) in ein Fourierintegral bzw. in eine Fourierreihe nach t entwickelt, dann ( 5 , 1 ) für eine einzelne Fourierkomponente integriert und schließlich über alle Beiträge summiert. Hier soll nur der Spezialfall betrachtet werden, daß die äußere Kraft f bereits die Gestalt einer Fourierkomponente besitzt, daß also (5, 6) t — fo cos «I* ist. Dann muß natürlich die erzwungene Schwingung die gleiche Frequenz oj1 haben. Man wird daher für s einen Ausdruck von der Form (5,7) s = acos(co 1 i — einer möglichen Phasenverschiebung zwischen äußerer Kraft und erzwungener Schwingung Rechnung trägt. Seine Richtigkeit erkennt man durch Einsetzen in die Schwingungsgleichung ( 5 , 1 ) , wobei sich auch die Werte von a und ip ergeben.

20

Gewöhnliche Differentialgleichungen der Mechanik

Mail kommt jedoch hier wie in ähnlichen Fällen schneller zum Ziel, wenn man durch Hinzufügen eines imaginären Gliedes if0 sin toj in (5, 6) zu einer komplexen Kraft (5,8) /=/0eio,'< übergeht und (5,1) durch den Ansatz (5, 9) s = ae1'™!1 = aeiW~i>) mit komplexem et, aber reellem a löst. Dann stellt der Realteil von (5, 8) die richtige Kraft und daher der Realteil von (5, 9) in der Form (5, 7) die richtige Lösung dar. Für « ergibt sich aus (5,1) sofort (5,10)

«

to

0)\ + 2i(01Q+ COQ ' Schreibt man diese komplexe Amplitude als ae~iv = a cos q< — ia sin f < > , (5,ii) = ]/{col — mff + 4iü5e2 ß>0 — t"? Die Amplitude wächst also mit der Annäherung der aufgezwungenen Frequenz o)1 an die Eigenfrequenz co0 an und führt zu einer um so schärferen R e s o n a n z , d. h. zu einem um so höheren und schmaleren Maximum, je kleiner die Dämpfung ist. Im Grenzfall verschwindender Dämpfung wächst die Amplitude über alle Grenzen, sofern nicht vorher aus physikalischen Gründen etwas anders passiert, indem z. B. die rücktreibende Feder in den unelastischen Bereich kommt und dadurch die Gleichung (5, 1) ungültig wird. Ferner tritt eine Phasenverschiebung.

1 = oj0 gerade 90° beträgt und für höhere Störfrequenzen bis 180° anwächst. In den Figuren 3 und 4 ist der Verlauf von a und q> bei kleiner Dämpfung ausgezogen und bei großer Dämpfung gestrichelt gezeichnet. Hierzu noch zwei Berne, ¿ungen. Erstens kann man das hier abgeleitete Resultat auch aus (5, 5) erhalten, wenn man dort für f den Ansatz (5, 6) oder (5, 8) einführt. Zweitens fällt auf, daß die Lösung (5, 7) oder (5, 9), im Gegensatz zum ersten Lösungsverfahren, keine Integrationskonstanten ent-

Erzwungene Schwingungen hält, so daß sie scheinbar nicht an vorgegebene Anfangsbedingungen angepaßt werden kann. Hier muß man aber berücksichtigen, daß man zu jeder speziellen Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung noch die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (mit zwei Integrationskonstanten) addieren kann,ohne ihren dadurch Charakter als Lösung der inhomogenen Gleichung zu ändern. Mit den beiden so hereinkommenden Konstanten kann man sie jedem vorgegebenen Anfangszustand anpassen

Da

die

90'

Fig. 3. Amplitude der erzwungenen

dCT Lösung der homo- ^ L i n g u n g 8 3 6 " " " ' 1 " " " ' 1 8 genen Gleichung Kleine Dämpfung (p

(3

11)

mit

21

Schwingung. erzwungenen

= a>0/100). Große Dämpfung (e = „ bewegt und das andere Ende festgehalten, gilt also Sj = o cos w0t, s 2 = 0, so läßt sich das Problem am besten direkt durch den Ansatz s = f(x) cos aj0t lösen. Aus der Saitengleichung und den Randbedingungen erhält man dann (13,12)

s = a cos co 0 i

. w0 sin — c

§ 14. Wärmeleitungsprobleme In den letzten vier Abschnitten wurde gezeigt, wie man ein Wellenproblem lösen kann, dem eine lineare homogene Differentialgleichung mit zwei Veränderlichen zugrunde liegt. Doch könnte eine hierbei auftretende Besonderheit zu Mißverständnissen Anlaß geben, nämlich die Tatsache, daß bei der homogenen Saite alle Wellen mit gleicher Geschwindigkeit laufen, daß also in diesem Falle keine D i s p e r s i o n der Fortpflanzungsgeschwindigkeit besteht. Dies gilt keineswegs allgemein. Wir zeigen dies an dem Beispiel der Wärmeleitung (in einer Dimension).

56

Eindimensionale Probleme

Die Differentialgleichung für die von einem beliebigen Normalwert aus gerechnete Temperatur T(x, t) lautet für ein homogenes Medium mit der „Temperaturleitfähigkeit" X MAIN

8

*T

1 8 T

Sie unterscheidet sich also von der Saitengleichung durch das Auftreten der ersten Ableitung nach der Zeit. Dies hat zur Folge, daß für die Bestimmung des zeitlichen Temperaturausgleiches aus einem Anfangszustand nur eine Funktion, nämlich T (x, 0) vorgegeben werden kann, nicht aber auch ~0f) t _ • Dies ist nicht nur physikalisch einleuchtend, sondern ergibt sich auch aus der Darstellung von T als Taylorreihe nach Potenzen von t. Die partikulären Integrale von (14,1) kann man wie in § 10 durch den Separationsansatz (10, 2) gewinnen und erhält so mit der Separationskonstante k2 (14, 2)

T = [ 0 direkt aus (14,9) als Realteil der zu co = co0 gehörigen Fourierkomponente. Nach kurzer Umformung erhält man

T = ae~*

cos (

i- j/g

.

Die Temperatur läuft also in Form einer gedämpften Welle mit zunehmender Phasenverschiebung in die Erde hinein und wird um so stärker geschwächt, je höher die Frequenz w0 ist. § 16. Der lineare harmonische Oszillator in der Wellenraechanik Die Ausführungen des § 13 zeigten, daß bei der homogenen Saite die Eigenfrequenzen um so näher zusammenrücken, je länger die Saite ist, so daß man im Grenzfall der unendlich langen Saite von einem kontinuierlichen Spektrum der Eigenfrequenzen sprechen kann. Man könnte nun glauben, daß ein unendliches Grundintervall stets ein kontinuierliches Eigenwertspektrum zur Folge hat. Daß dies nicht der Fall ist, soll am Beispiel der Wellengleichung des Oszillators gezeigt werden. Gleichzeitig wird an diesem Beispiel eine Methode zur Auffindung der Eigenwerte in diesem und in ähnlichen Fällen entwickelt. Die Wellengleichung des linearen harmonischen Oszillators mit der Eigenfrequenz co0 (im Sinne der klassischen Mechanik) lautet A2 d2y> t /j.cu|x2 h 8y>

Der lineare harmonische Oszillator in der Wellenmechanik

61

& ist dabei die durch 2ti geteilte Plancksche Konstante h und [i die Masse des schwingenden Teilchens. Die Zeitabhängigkeit ist durch den Ansatz iEt (15,2) y(x,t) = %(x) e~ h abzuspalten, in dem E die Energie des schwingenden Systems bedeutet. Für die zeitfreie Wellenfunktion gilt somit die Gleichung (Schrödinger-Gleichung)

S - S ' - T ! ' - 1

Zulösenistsie durch eine im ganzen Bereich—oo di s / = 0. n m

Bei Integration über das Grundgebiet (16,17)

p i v - i r - * » ^

^ £

| 2 wird i, { K — K ) f ry„y>m 1

Nun verschwindet im allgemeinen, wovon man sich allerdings in jedem Einzelfall überzeugen muß, die linke Seite dieser Beziehung, sei es, daß als Randbedingung entweder —^ oder ^

= 0 gegeben ist, oder es verschwindet, wie bei

den Kugelfunktionen (vgl. § 21), die Funktion f an den Gren-

70

Mehrdimensionale Probleme

zen des Grundgebietes. Dann gilt für zwei Eigenfunktionen mit verschiedenen Eigenwerten die Orthogonalitätsrelation i. (16.18)

J ry>„y>m dg = 0

für n =J= m.

ii Die im allgemeinen Fall auftretende Gewichtsfunktion r ist im vorliegenden Beispiel der Hermiteschen Funktionen und auch bei dem Funktionensystem der homogenen Saite gleich 1. Zum Schluß sei ohne Beweis erwähnt, daß das System der Hermitescheri Orthogonalfunktionen vollständig ist, daß man also jede beliebige, für — oo < | < + oo definierte Funktion f (|) nach den durch (16,12) gegebenen Funktionen y>n entwickeln kann: v (16.19)

oo

—— oo

= e 0 n=0 Dann sind die-Koeffizienten wegen (16,14) und (16,15) bestimmt durch +oo

(16, 20)

an = — f iVndÜ. 2n n\\n J —oo

Diese Entwicklung ist insofern der des gewöhnlichen Fouriertheorems überlegen, als wegen des stärken Abklingens der ipn im Unendlichen keine Konvergenzschwierigkeiten auftreten. B . Mehrdimensionale Probleme 1 öas

§ 17. Die Gleichung J s = ^

in cartcsischen

Koordinaten In den vorhergehenden Abschnitten wurden die gebräuchlichsten Methoden zur Lösung von linearen homogenen Differentialgleichungen II. Ordnung entwickelt. Nun wollen wir zu einer mehr systematischen Behandlung der wichtigsten Gleichungstypen übergehen. Zu diesen gehört in erster Linie

1 Sss Die Gleichung As — — — in cartesisclien Koordinaten c* 8 V

71

die bereits in § 9 erwähnte Grundgleichung für die Wellenausbreitung ohne Dispersion (Licht- und Schallwellen) t17'1)

A s =

1 S2s 7 * W

Als wichtiger Spezialfall ist die Gleichung (17.2) As = 0 hervorzuheben, welche als Gleichung des elektrostatischen Potentials in einem ladungsfreien Raum, des Geschwindigkeitspotentials in einer inkompressiblen, reibungsfreien Flüssigkeit oder der Temperaturverteilung in einem stationären Wärmeleitungsproblem auftritt. In cartesischen Koordinaten lassen sich leicht partikuläre Integrale von ( 1 7 , 1 ) angeben. Durch Trennung der Veränderlichen erhält man als ein solches (17.3)

s=

p sicherlich erlaubt ist, Man erhält dann die Näherungslösung

(19.16)

Zp^aC°SG + Ve

ßsine

.

Eine genaue Betrachtung zeigt, daß speziell dieBesselfunktion J p für große q wie (19.17) c o s [ e - ( p + l)n/2]

faß

verläuft. (Hier ist der bei der obigen Definition von J p noch offengebliebene Faktor festgelegt.) Dann gilt nach (19,14) für die Neumannsche Funktion die Näherungsformel sin[g-(p+ j)nß}_ ^72 In Analogie zu den entsprechenden trigonometrischen Beziehungen (3, 8) ist es naheliegend, noch zwei weitere spezielle Zylinderfunktionen zu definieren durch (19.18)

(19.19)

= J P + iNp,

H = J p - i N „ .

1

82S

Die Gleichung As = — — z in räumlichen Polarkoordinaten 83