Darstellende Geometrie, Band 2 [2. Aufl. Reprint 2019] 9783111563626, 9783111192406

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Sammlung Schubert LXVI

Darstellende Geometrie Von

Theodor Schmid o. o. Professor an der Technischen Hochschule in Wien

II. Band Mit

163

Figuren

Zweite Auflage

B e r l i n und L e i p z i g

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO. vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung — J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp.

1923

Alle Rechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Drack von G.G.Bäder G.m.b.H., Leipzig. 818623.

Vorwort. Das Erscheinen des II. Bandes war durch die während des Krieges eingetretenen Schwierigkeiten verhindert worden. Erst jetzt, wo sich diese Schwierigkeiten wenigstens teilweise gemildert haben, wurde die Drucklegung dank dem Entgegenkommen der Verlagsfirma ermöglicht. Der II. Band enthält zunächst die Abschnitte über „schiefe Projektion", beziehungsweise „Zentralprojektion", wieder unter Beschränkung auf die elementaren Flächen: Kugel, Zylinder, Kegel. I m übrigen werden die häufiger vorkommenden Flächenarten behandelt, nämlich die Dreh-, Rohr-, Schrauben-, Hegel- und Geländeflächen. Beachtenswert sind vielleicht die Stellen: § 2, -i, Übungsaufg. 2, § 17 bis 22, § 33, § 36, § 38, § 47, 3, § 49, 2, 3, § 56. Wie bisher wurde auf den Zusammenhang mit anderen Teilen der Geometrie hingewiesen. Auch Übungsaufgaben sind wieder eingefügt. D i e geschichtlichen und literarischen Bemerkungen folgen den einzelnen Abschnitten. Beim Ubertragen der Figuren auf Karton waren mir meine früheren Konstrukteure Dr. A. L a c k n e r und E. M e n z l behilflich. Nach dem beklagenswerten Hingange Lackners besorgte sein Nachfolger Herr I n g . F. K o p a t s c h e k diese Arbeit mit gleicher Sorgfalt. Beim Lesen der Korrekturen wirkte mein Assistent VV. D o m a s c h k o mit. Ich danke ihnen allen hiermit wärmstens. W i e n , im August 1920.

Th. Schmid.

1*

Vorwort zur zweiten Auflage. Anläßlich der zweiten Auflage des II. Bandes wurden außer mehreren kleinen Änderungen noch Ergänzungen bei § 38,3, § 45, § 60,3, Bern.1 zu V vorgenommen. Im V. Abschnitte wurde ein § über „graphische Tafeln (Nomographie)" hinzugefügt, weil jene Tafeln, welche den Vorzug der Anschaulichkeit haben, eine einfache Anwendung der „kotierten Projektion" bilden. Der kurze Abriß soll nur eine Einführung in ein Gebiet sein, welches in letzter Zeit ziemliche Verbreitung'erlangt hat. Seit de la G o u r n e r i e ist es zum erstenmal, daß diese Sache wieder in einem Buche über „darstellende Geometrie" Berücksichtigung findet. Rückverweisungen auf den I. Band beziehen sich auf die dritte Auflage. Den Herren I n g . F. K o p a t s c h e k und W. Domaschko danke ich wieder für die Mithilfe beim Ubertragen der Figuren auf Karton und beim Korrekturlesen. W i e n , im März 1923.

Th. Schmid.

Inhaltsverzeichnis. I. A b s c h n i t t . Schiefe Projektion.

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8.

A. S t i r n l a g e d e s A c h s e n s y s t e m e s . [Kavalierperspektive.] Die Raumelemente und ihre Inzidenz Zwei Punkte, ihre Verbindungsgerade und die Strecke Zwei Gerade, welche durch einen Punkt gehen. Abbildung und Umlegung der Ebene Drei Punkte, ihre Verbindungsebene und das Dreieck. Ebene Figur *. Punkt und Gerade, welche n i c h t auf einer gegebenen Ebene liegen Abbildung eckiger Körper Kreis und Kugel Zylinder und Kegel

Seite

9 14 19 21 26 30 35 41

B. G e ä n d e r t e L a g e d e s A c h s e n s y s t e m e s . § S. Drehung des Achsensystemes §10. Allgemeine Lage des Achsensystemes; der P o h l k e - S a t z Geschichtliche und literarische Bemerkungen

46 51 59

II. A b s c h n i t t . Zentralprojektion. A. D a s c h a r a k t e r i s t i s c h e Z w e i s p u r e n s y s t e m . [Freie Perspektive.] Die Raumelemente und ihre Inzidenz Die Strecke; Teilverhältais und Doppelverhältnis . . . Der Winkel; Normalität Die ebene Figur; Umlegung der Ebene Der Kreis Plankurven und Raumkurven

61 67 73 76 81 88

§ § § § § §

11. 12. 13. 14. 15. 16.

§ 17. § 18. § 19. § 20. § 21. § 22.

B. B e z i e h u n g auf e i n A c h s e n s y s t e m ; d a s Z w e i bildersystem. [Angewandte Perspektive.] Das Verfahren der perspektiven Maßstäbe oder die zentrale Axonometrie . Das Verfahren der zugeordneten Bilder Körper mit Kugel, Zylinder und Drehfläche. Ungewöhnliche Annahme des Sehpunktes und der Bildfläche . . Relief- und Bühnenperspektive Instrumente zur Herstellung eines Perspektivbildes . . Auffassung des Bildes, Räumlichsehen und Wiederherstellung des Gegenstandes . . Geschichtliche und l i t e r a r i s c h e B e m e r k u n g e n

94 101 107 111 114 119 124

6

Inhaltsverzeichnis.

§ 23. § 24. § 25. § 26. § 27. § 28.

III. A b s c h n i t t Dreh- und Rohrflächen. A. D r e h f l ä c h e n z w e i t e n Grades. Seite Umriß, Flächenpunkt, Berührungsebene, Flächennormale; Parallelschnitte zum Hauptmeridian 127 Parallelschnitte, Normalschnitte und schiefe Schnitte für einen Flächenpunkt 134 Zwei ebene Schnitte. Schnittpunkte und Berührungsebenen für eine Gerade 138 Lichtgrenze und Schlagschatten ins Innere 143 Schnittlinie zweier Drehflächen 146 Umriß der Drehfläche zweiten Grades für orthogonale Axonometrie und schiefe Projektion 151

B. D r e h - und R o h r f l ä c h e n , i n s b e s o n d e r e d i e R i n g fläche. Schnittaufgaben. § 29. Parallelschnitte zum Hauptmeridian für die Ringfläche als Drehfläche 159 § 30. Parallelschnitte zum Hauptmeridian für die Ringfläche als Rohrfläche 164 §31. Schiefer Schnitt einerRingfläche alsDreh- oder Rohrfläche 169 § 32. Drehfläche und Gerade. Schnittlinie zweier Drehflächen 178

§ § § § § § §

C. D r e h - u n d R o h r f l ä c h e n , i n s b e s o n d e r e die R i n g fläche. Berührungsaufgaben. 33. Berührungskegel aus einem Punkte an eine Drehfläche; B,erührungslinie 182 34. Berührungszylinder und Parallelbeleuchtung einer Drehfläche 186 35. Das Kugelverfahren; Isophoten einer Drehfläche . . . 192 36. Parallelbeleuchtung der Ringfläche als Rohrfläche . . .196 37. Umriß der Ringfläche bei orthogonal-axonometrischer Abbildung 204 38. Andere Beispiele von Rohrflächen 210 39. Umriß einer Drehfläche bei schiefer oder zentraler Projektion 216 G e s c h i c h t l i c h e und l i t e r a r i s c h e B e m e r k u n g e n 223

IV. A b s c h n i t t . Schranbenflächen und windschiefe Regelflächen. § 40. Grundriß und Fluchtfeld bei der Schraubenbewegung . 225 A. F l a c h g ä n g i g e S c h r a u b e n f l ä c h e oder W e n d e l f l ä c h e . § 41. Flächenpunkt, Beruhrun esebene und Flächennormale . 227 § 42. Schnittlinie der Wendelfläche mit einer Ebene . . . . 232 § 43. Schnittlinie mit einem Drehkegel gleicher Achse . . . 236 § 44. Die Wendelfläche in Parallelbeleuchtung 241 § 45. Axonometrische Abbildung der Wendelfläche 245

Inhaltsverzeichnis. § 46. § 47. § 48. § 49. § 50. § 51.

7

B. D i e s c h a r f g ä n g i g e S c h r a u b e n f l ä c h e . Seite Flächenpunkt, Berührungsebene und Flächennormale . 247 Normalschnitt und Schnittlinie mit einem Drehkegel . 251 Umriß für den Aufriß 255 Scharfgängige Schraubenfläche in Parallelbeleuchtung . 258 Axonometrische Abbildung 267 Abbildung von Schrauben 269

C. R e g e l - und K r e i s - S c h r a u b e n f l ä c h e n . § 52. Die Regelschraubenfläche § 53. Kreisschraubenflächen (Schiebfläche) D. A l g e b r a i s c h e w i n d s c h i e f e R e g e l f l ä c h e n . § 54. Das Orthyparaboloid. Spiralbohrer § 55. Das Plücker-Konoid. Hyperboloidräder § 56. Windschiefe Regelfläche vierten Grades (räumliches Rückwärtseinschneiden) G e s c h i c h t l i c h e und l i t e r a r i s c h e B e m e r k u n g e n

277 282 289 297 307 309

V. A b s c h n i t t . Geländedarstellung und Eartenprojektion; Nomograptaie. •§ 57. Kotierte Projektion von Punkt, Gerade, Ebene . . . . 312 § 58. Die Geländefläche. Böschungslinie und Böschungsfläche. Fallinien (Schraffen) 315 § 59. Berührungsaufgaben und photogrammetrische Geländeaufnahme 322 324 § 60. Kartenprojektion § 61. Graphische Tafeln (Nomographie) 329 G e s c h i c h t l i c h e u n d l i t e r a r i s c h e B e m e r k u n g e n 339

I. Abschnitt.

Schiefe Projektion. Um ein a n s c h a u l i c h e s B i l d zu erhalten, wählt man Sehstrahlen, welche zu keiner der drei Hauptrichtungen des abzubildenden Körpers parallel sind (I.Bd.,S.229). Im vorigen Abschnitte wurde dann eine Bildebene angenommen, welche zu diesen Sehstrahlen normal war. Nimmt man jetzt eine B i l d e b e n e an, welche nicht mehr s e n k r e c h t zu den S e h s t r a h l e n ist, fallen also die Sehstrahlen schief auf die Bildebene, so erhält man eine s c h i e f e P r o j e k t i o n (einen S c h r ä g r i ß ) des Körpers.

A Stirnlage des Achsensystemes (Kavalierperspektive). § 1. Die Raumelemente und ihre Inzidenz. 1. Am einfachsten ist es, wenn man zunächst die A u f rißebene selbst als B i l d e b e n e benützt, wenn man also die y- und z-Achse des p o s i t i v e n r e c h t w i n k l i g e n A c h s e n s y s t e m e s unmittelbar auf der Bildebene liegend und die a>Achse senkrecht zur Bildebene annimmt (Stirnlage des Achsensystemes). Ein Punkt K der x-Achse, welcher vom Ursprung 0 um eine gewählte Einheitstrecke OK = k entfernt ist und welcher (Fig. 1) den Grundriß K' und Aufriß K" — 0 hat, erscheint bei schiefer Lage der Sehstrahlen in einem Punkte K,. Das Auge ist also unendlich weit in der Richtung des Sehstrahles KK, = s zu denken. Die Verbindungsgerade OKs ist dann einerseits die s c h i e f e P r o j e k t i o n xs der a - A c h s e und anderseits der A u f r i ß s" des S e h s t r a h l e s s. Das rechtwinklige Dreieck OKK, enthält den Einfallswinkel e des Sehstrahles gegen die Bildebene. Diese Annahme wird auch als K a v a l i e r p e r s p e k t i v e 1 bezeichnet.

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I. Schiefe Projektion.

Mit Rücksicht darauf, daß gewöhnlich Parallelbeleuchtung von l i n k s vorausgesetzt wird (I. Bd., §41,1 und 44,2), ist es passend, Sehstrahlen zu wählen, welche entweder von rechts oben kommen, wodurch man eine Ubersicht erhält, oder solche, welche von rechts unten kommen, wodurch man eine U n t e r s i c h t erhält. Im ersteren Falle (Fig. 1) ist K, in jenem der vier von der y- und z-Achse gebildeten Quadranten zu wählen, welcher links unten liegt, dagegen im letzteren Falle (Fig. 2) in jenem Quadranten, welcher links oben liegt. In den

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1

X' F i g .\

1.

F i g . 2.

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Figuren ist der positive Oktant abgebildet. Aus dieser Abbildung ist zu erkennen, daß das Bild schon bei dieser einfachsten Annahme a n s c h a u l i c h ist. Es macht aber nur dann den richtigen Eindruck, wenn es in der Richtung der schiefen Sehstrahlen angeschaut wird, während man gewöhnlich ein Bild in der Richtung der Normalen zur Bildebene anzusehen pflegt. Damit diese Abweichung nicht bedeutend sei, darf der Einfallswinkel e nicht groß sein. 2. Ist nun ein P u n k t P durch seine Koordinaten oder eine Ebene e durch ihre Achsenabschnitte gegeben, z. B. ( a; = 1,5 ( O X = 1,5 Punkt P | y = 1,8 , Ebene e { OY = 1,8 , (2 = 2 ( OZ = 2

§ 1. Die Raumelemente und ihre Inzidenz.

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so können die auf die y- und z-Achse bezüglichen Strecken unmittelbar aufgetragen werden (Fig. 3). Die auf der x-Achse angenommene Einheitstrecke OK = k erscheint in der Zeichnung als Strecke OK, = l. Im gleichen Verhältnisse verändert sich auch jede ¡»-Koordinate. Es ergibt sich also ein Yerzerrungsverhältnis x l Xx = — = -r = tg s, während Xy = — 1 ist. X /c Denkt man sich die Grundebene in der f ü r Ubersicht oder Untersicht passenden Weise umgelegt, so beschreibt der

Punkt K einen Kreisbogen. Zu diesem Bogen gehört eine unter tt/4 nach abwärts, beziehungsweise aufwärts gehende Drehsehne d, für welche K' die Bildspur ist. Verbindet man daher Ks mit K', so erhält man die s c h i e f e P r o j e k t i o n ds d e r D r e h s e h n e des Punktes K. Zu allen andern Punkten der Grundebene gehören parallele Sehnen. Ihre Projektionen sind zu ds parallel; denn a u c h die schiefen P r o j e k t i o n e n paralleler Geraden sind p a r a l l e l . Macht man dah er OX'=x und zieht man durch X' eine Parallele zu de, so erhält man die schiefe Projektion Xa des Punktes X. F ü r das Parallelepiped, welches 0 als einen und P als gegenüberliegenden Eckpunkt besitzt, kann jetzt nach dem eben erwähnten Satze

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I. Schiefe Projektion.

(durch Parallelenziehen) die schiefe Projektion gezeichnet werden. Man erhält dabei außer dem Aufrisse P" den s c h i e f e n G r u n d r i ß P'„ den schiefen Kreuzriß P'" und .die s c h i e f e P r o j e k t i o n P, des Punktes P. Umgekehrt: Nimmt man die schiefe Projektion P, und den schiefen Grundriß P's so an, daß sie auf einem zu z parallelen Ordner liegen, dann kann man daraus das ganze Bild des Parallelepipedes, also auch den Punkt P im Räume wieder finden. Ein P u n k t P ist also durch die schiefe P r o j e k t i o n P, u n d d e n s c h i e f e n G r u n d r i ß P't. w e l c h e auf e i n e m O r d n e r l i e g e n m ü s s e n , b e s t i m m t . F ü r d i e A b b i l d u n g d e r E b e n e s erhält man (Fig.4) außer der B i l d s p u r e2 noch die s c h i e f e G r u n d s p u r e^ und d i e s c h i e f e K r e u z r i ß s p u r eg»; es sind aber zwei S p u r e n etwa und elt z u r B e s t i m m u n g ausreichend. F ü r Ebenen, welche zu den Sehstrahlen parallel sind, fällt e l S mit e2 in dieselbe Gerade. Diese Gerade ist zu z parallel, wenn die Ebene auch zu den Sehstrahlen für den Grundriß (also zu z) parallel ist. Übung|sauf>gabe[n: wie I. Bd., § 1,3.

3. E i n e G e r a d e g i s t a u c h d u r c h i h r s c h i e f e s B i l d ga u n d d e n s c h i e f e n G r u n d r i ß g', b e s t i m m t (Fig. 5). S o l l nun auf d i e G e r a d e g ( g ,, grj) ein P u n k t P g e l e g t w e r d e n , so hat man nur wieder einen Ordner parallel zu z zu ziehen und erhält in den Schnittpunkten des Ordners mit g, und gl die Projektionen P, und P's des Punktes P. Der Schnittpunkt von g„ und g's ist die Abbildung jenes Punktes der Geraden, welcher auf der Grundebene liegt, also die schiefe Grundspur Gia der Geraden g. Der Schnittpunkt von g's mit y ist der schiefe Grundriß des Punktes der Geraden, welcher auf der Bildebene liegt; der zugehörige Ordner liefert also auf g, d i e B i l d s p u r G„. Der Schnittpunkt von g's mit xe ist der schiefe Grundriß jenes Punktes der Geraden, welcher auf der Kreuzrißebene liegt; der zugehörige Ordner ergibt d i e s c h i e f e Kreuzrißspur Ot,. S o l l d u r c h d i e G e r a d e g eine E b e n e E g e l e g t w e r d e n , so müssen die schiefen Spuren der Ebene durch die gleichartigen schiefen Spuren der Geraden gehen. S o l l

§ 1. Die Raumelemente und ihre Inzidenz.

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die E b e n e i n s b e s o n d e r e zur B i l d e b e n e n o r m a l s e i n , so geht die schiefe Grundspur durch Gia parallel zu x, und die schiefe Kreuzrißspur durch Ga, parallel zu x,. Die Schnittpunkte dieser Spuren mit der y-Achse, beziehungsweise z-Achse ergeben miteinander verbunden die Bildspur, welche auch durch 6 t gehen muß. Diese Bildspur ist dann nichts anderes als der Aufriß g" der Geraden g. S o l l die E b e n e zur K r e u z r i ß e b e n e n o r m a l sein, so geht die schiefe Grundspur durch 0lt parallel y

punkte dieser Spuren mit xa, beziehungsweise z ergeben miteinander verbunden die Kreuzrißspur, welche auch durch Ga$ gehen muß. Diese Kreuzrißspur der Ebene ist der s c h i e f e K r e u z r i ß g's" der Geraden g. . Soll auf eine Ebene e (e^, ein Punkt T gelegt werden, so legt man zuerst auf die Ebene eine Gerade g und dann auf die Gerade den Punkt (Fig. 5). Dabei kann man eine besondere Gerade benützen. F ü r eine H o r i z o n t a l e h ist die s c h i e f e P r o j e k tion ht sowie der schiefe G r u n d r i ß h's zu elt p a r a l l e l . F ü r eine F r o n t a l e / i s t die s c h i e f e P r o j e k t i o n /» zu e2 und der s c h i e f e G r u n d r i ß f's zu y p a r a l l e l . Für den Punkt T kann eine Projektion, z. B. T, gewählt werden, dann kann man T's finden. Man legt durch

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I. Schiefe Projektion.

T t die Gerade h , parallel e ^ , , erhält auf e? die Bildspnr H 2 , zieht durch H t den Ordner und durch seinen Schnittpunkt mit y die Gerade h w i e d e r parallel zu e 1 $ . Der Ordner des Punktes T , ergibt auf h , den schiefen Grundriß T ' a . Oder man legt durch T , die Gerade f , parallel zu erhält auf e l 8 die schiefe Grundspur F l t und zieht durch diese die Gerade f , parallel zu y . Auf f's ergibt sich T's durch den Ordner. W i e man sieht, s i n d d i e I n z i d e n z a u f g a b e n v o n der A n n a h m e der S e h s t r a h l r i c h t u n g u n a b h ä n g i g . Wenn man sich auf das Zweibildersystem [ P e , P ' s ; g » , g',] beschränkt, so sind die Inzidenzaufgaben a u c h v o n d e r A n n a h m e der y - A c h s e unabhängig. E i n e V e r s c h i e b u n g d e r y - A c h s e bedeutet hier für das Zweibildersystem eine Verschiebung der Bildebene um eine Strecke x , welche auf x s nach dem Verhältnisse Xx zu ermitteln ist.

§ 2.

Zwei Punkte, ihre Verbindungsgerade und die Strecke.

1. Sind zwei Punkte P und Q durch ihre Abbildungen P a , P's und Q s , Q's gegeben, so ist P S Q > d i e s c h i e f e P r o j e k t i o n g , und P'SQ'S der s c h i e f e G r u n d r i ß der V e r b i n d u n g s g e r a d e n g d e r b e i d e n P u n k t e . Die P r o jektionen der Verbindungsgeraden g und der zugehörigen Strecke können also auch o h n e A n g a b e d e r S e h s t r a h l r i c h t u n g gezeichnet werden; die Operationen mit Strecken, welche auf derselben Geraden liegen, können ebenfalls ausgeführt werden. D i e w a h r e G r ö ß e d e r S t r e c k e P Q kann wieder durch Zurückführung auf zwei besondere Fälle gefunden werden (I. Bd., § 4, 3 und 37, i, 2). = \Ln\ erhält man wie früher die wahre Größe des Einfallswinkels. Soll d e r N e i g u n g s w i n k e l z w e i e r E b e n e n e, cp gefunden werden (Fig. 18), so kann man etwa (p parallel verschieben, bis sie durch denselben Punkt X geht wie e. Die Schnittgerade n hat dann eine Bildspur N2. Legt man nun in X die Normalebene v zu n, so ist ihre Bildspur n 2 die Antipolare von in bezug auf den Kreis [0, OX'\. Die Normalebene v schneidet die gegebenen Ebenen e,

N„,0S erscheinen auf d0 in L",M"S>N03,01. Die Xormalschnittebene kann in zweierlei Sinn gedreht werden und hat dann eine Spur r0, auf welcher die Punkte Mk, Nk in Ml, Nl erscheinen. Der Punkt N°k muß auf dem Kreise liegen, welcher L° als Mittelpunkt und den Abstand des Punktes N* von r als Radius besitzt, anderseits muß er auf dem Kreise liegen, welcher LaN°s als Durchmesser besitzt, weil r0 zur Projektion der Sehstrahlen senkrecht sein muß. Die zwei Schnittpunkte der beiden Kreise sind die möglichen Lagen von N°k, wodurch auch die zwei möglichen Spuren r0 und Sehstrahlrichtungen in der neuen P r o j e k t i o n g e f u n d e n sind. Verkleinert man die in Fig. 35 c angenommene Strecke OL im g e f u n d e n e n A h n l i c h k e i t s v e r h ä l t n i s s e L? M? :LkMk, so erhält man (Fig. 35d) die dem schiefen Bilde e n t s p r e c h e n d e S t r e c k e OL, nämlich FK = k. Sucht man die wahren Größen der Abstände OOr, MMr, N N r , verändert man sie auch im Verhältnisse L? M? : Lk Mk und trägt sie von jedem r0 aus auf den betreffenden Sehstrahlen passend auf (z. B. für 0 ist 0"0y die wahre Größe des Abstandes und FG die verkleinerte Strecke, welche auf den durch Ol gehenden Sehstrahlen 5° von r0 aus aufzutragen ist), so erhält man die Punkte 0°,M°,N°, beziehungsweise 0°,M°,N0 und damit die neuen P r o j e k t i o n e n der b e i d e n möglichen Lagen des positiven Achsensystemes zur Bildebene. Durch Auftragen nach der entgegengesetzten Seite erhält man noch die zwei möglichen L a g e n eines n e g a t i v e n A c h s e n systemes, wobei 0°„, beziehungsweise ÖJ, die neuen Projektionen des Ursprunges sind. Die negativen Achsensysteme sind einerseits mit je einem der positiven Achsensysteme in bezug auf eine der Ebenen Q symmetrisch und anderseits mit den beiden positiven Systemen in bezug auf die Bildebene ö symmetrisch. Die Geraden 0°M°, 0°N° ergeben auf d0 die Punkte B°,C°, woraus man das S p u r e n d r e i e c k ABC findet, und die Geraden Ö°M°, 0°N° führen ebenso zu einem zweiten S p u r e n d r e i ecke A B C . Die Normalschnittebene Q schneidet die «/-Achse in einem Punkte Yr und die z-Achse in einem

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I. Schiefe Projektion.

Punkte Z r ; die Bilder dieser Punkte erhält man leicht aus der neuen Projektion. Die Spuren BC = d2, BC=d2 und Y r Z r = riS schneiden sich in einem Punkte E von r. Die Höhenschnittpunkte der Spurendreiecke sind die orthogonal axonometrischen Bilder 0„,Öa der möglichen Lagen des Ursprungs 0 und müssen mit Os auf einer zu LsS parallelen Geraden liegen, welche die Orthogonalprojektion s0 der schiefen Sehstrahlen s und zugleich die schiefe Projektion os der orthogonalen Sehstrahlen für die Punkte O bedeutet. Man kann die Punkte R und S in ihrer Bedeutung vertauschen, d. h. die Gerade Ls8 als B i l d s p u r der N o r m a l s c h n i t t e b e n e und LSR als O r t h o g o n a l p r o j e k t i o n der S e h s t r a h l r i c h t u n g e n betrachten. Das Dreieck LMSNS wird da mit S als Drehzentrum um den Winkel LSLs gedreht und im Verhältnisse LS: LsS v e r größert. Dabei erhält der nunmehrige Punkt N* einen größeren Abstand von LsS als der Punkt Ns; daher ist der Radius des ersteren Kreises jetzt größer als der Durchmesser des zweiten, so daß die Schnittpunkte konjugiert imaginär werden. Man erhält- also zwei konj u g i e r t i m a g i n ä r e S e h s t r a h l r i c htungen, welche die r e e l l e zu LSR p a r a l l e l e Gerade als Orthog o n a l p r o j e k t i o n haben. Also nur jene Wahl für r, bei welcher LSE k l e i n e r als LR ist, liefert zwei r e e l l e Sehstrahlrichtungen. 4. Man hat somit folgendes Ergebnis: „Wird ein Körper auf Grund eines beliebig gew ä h l t e n A c h s e n b i l d e s [xs, ys, zs; l, m, n\ abgebildet, so erhält man eine r i c h t i g e s c h i e f e P r o j e k t i o n eines ähnlichen Körpers, wobei man jedoch das Ahnl i c h k e i t s v e r h ä l t n i s (die Einheit lc), die S e h s t r a h l r i c h t u n g (s) und die L a g e des A c h s e n s y s t e m e s gegen die B i l d e b e n e zunächst nicht kennt. Es gibt aber dann stets (mit Ausnahme- der erwähnten Grenzfälle) ein bestimmtes Ahnlichkeitsverhältnis, zwei reelle Sehstrahlrichtungen und zu jeder der beiden Richtungen eine Lage des positiven (und eine Lage des negativen) Achsensystemes." Der P o h l k e - S a t z hätte wegen der vollen Freiheit, die er bei der Wahl des Achsenbildes gestattet, einen

§ 10. Allgemeine Lage des Achsensystemes; der Pohlke-Satz.

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besonderen Wert f ü r d i e t e c h n i s c h e P r a x i s . Dabei ist aber zu bedenken: Solange man die drei erwähnten Umstände nicht kennt, wird dem Z w e c k e d e r A b b i l d u n g , sich von der Lage, Form und Größe des abgebildeten Körpers e i n e r i c h t i g e V o r s t e l l u n g zu machen, eigentlich nicht entsprochen; die Rekonstruktion ist aber umständlich und häufig auch ungenau*). Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Betrachtet-man die Strecken OL, OM, ON, als Kanten eines W ü r f e l s und zieht man seine Seiten- und Hauptdiagonalen, so können für das Dreieck LSMSNS aus der Projektionsfigur mehrere Sätze der Dreiecksgeometrie abgelesen werden, insbesondere wenn 0S Ls = Os M3 = Os Ns oder wenn Os der Mittelpunkt des dem Dreiecke Ls Ms -Vs eingeschriebenen Kreises ist. 2. Eine Ellipse [Os, Ls, Ms] und ein beliebiger P u n k t Ss können stets als schiefe Projektion des Basiskreises und der Spitze eines D r e h k e g e l s von bestimmtem Winkel ß (oder von bestimmtem Verhältnis des Radius des Basiskreises zur Höhe) betrachtet werden. Es soll die zugehörige Sehstrahlrichtung sowie die Lage und Größe des Kegels gefunden werden. [Aus dem Verhältnisse r : h kann man zunächst die Spitze jenes Kegels finden, bei welchem J = 71U ist.] 3. Betrachtet man die Strecken OL, OM, ON als drei zueinander senkrechte Halbmesser e i n e r K u g e l , so s o l l d e r s c h e i n b a r e U m r i ß der K u g e l g e f u n d e n werden. [Man nimmt die Gerade Ls Ms als Affinitätsachse und die Strecke Ls Ms als Hypotenuse eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks, dessen Spitze 0 • dem Punkte Os entsprechen soll; dann entspricht der Ellipse [Os, L„, Ms ] der Kreis [O x , Oy Ls ] und dem Punkte Ns der P u n k t Nx. J e t z t ,ist X>- ein Brennpunkt und der zu Ox Nx senkrechte Kreisdurchmesser die kleine Achse einer Ellipse, welcher in der Affinität die Umrißellipse der Kugel entspricht (§ 7, 2). Sucht man füf diese Umrißellipse die Achsen und Brennpunkte, so erhält man daraus die Einheitstrecke k und die Sehstrahlrichtung; die Lage des Achsensystemes ergibt sich wieder aus einer neuen Projektion auf eine zur großen Achse parallele

Ebene.]

*) Über den praktischen Wert der „schiefen Projektion" überhaupt waren stets verschiedene Ansichten verbreitet. Da sie von einer Voraussetzung (schiefe parallele Sehstrahlen) ausgeht, welche der Wirklichkeit am wenigsten entspricht, ist sie kaum empfehlenswert; sie hat aber wegen vermeintlicher Einfachheit doch immer Anwendung gefunden. Verwerflich sind jene unrichtigen Darstellungen, welche sich besonders in der mathematischen Geographie eingenistet haben und bei welchen man die Vorteile der schiefen Projektion mit solchen des Normalrisses vermengt zur Anwendung bringen will.

58

I. Schiefe Projektion.

4. Aus der früher (§ 2,2) gefundenen Gleichung f ü r die LängenVerzerrung /. in der Richtung einer Geraden g soll gezeigt werden, daß hier also ¡2 _L m i -L1 „2 = '

fc2

I '

L-2 COS f2

i s t *)

Aus der früher (I. Bd., §42,1) gefundenen Gleichung für die Flächenverzerrungen

(/, fu). Die Bildspur / geht durch G; die Fluchtgerade /« geht durch Gu und ist zu / parallel. Die beiden Ebenen ergeben eine Schnittgerade t (T, Tu). Der Schnittpunkt von gc und tc ist die Zentralprojektion Sc des Schnittpunktes S. Ist ein P u n k t P a u f dem T r ä g e r t {T, T„) und e i n e G e r a d e g(G,Gu) gegeben, so kann die V e r b i n d u n g s e b e n e s gefunden werden (Fig. 39), indem man zuerst durch den Punkt P die Parallele r zur Geraden g zieht Diese hat Gu = -ß« als Fluchtpunkt; ihre Zentralprojektion Tc ist also die Verbindungsgerade von Pc mit Ru. Da die

Geraden r und t durch den Punkt P gehen, liegen sie auch auf einer Ebene g>, welche die Verbindungsgerade von Hu und Ta als Fluchtgerade /„ begitzt. Die Bildspur / geht durch T und ist zu /„ parallel; sie schneidet rc in der Bildspur R der Parallelen r. Verbindet man R mit G, so erhält man die B i l d s p u r e der V e r b i n d u n g s e b e n e ; die F l u c h t g e r a d e eu g e h t durch Gu p a r a l l e l zu e. Statt der Parallelen r könnte man auch die Verbindungsgerade des Punktes P mit der Bildspur G benützen. Sie bestimmt mit l eine Ebene, welche G T als Bildspur besitzt, woraus man den Fluchtpunkt der Verbindungsgeraden findet, der mit Gu verbunden die F l u c h t g e r a d e eu der V e r b i n d u n g s e b e n e liefert. Will man aber die Verbindungsgerade von P mit einem anderen Punkte Q von g, so muß man zuerst wie vorhin die Verbindungs-

§ 12. Die Strecke; Teilverhältnis und Doppelverhältnis.

67

ebene e (e, e„) suchen, und dann schneidet die Gerade PcQc auf e und e« die verlangte Bildspur und den F l u c h t punkt ab. Ü b u n g s a u f g a b e n : 1. Durch einen Punkt P, der auf dem Träger t (T, T„) liegt, soll zu einer Ebene s (e, eu) eine Parallelebene e gelegt werden. 2. Durch einen Punkt P, der auf dem Träger t (T, Tu) liegt, soll die Gerade gelegt werden, welche die Geraden a (A, Äu) und b (B, Bu) schneidet. 3. Es ist die Gerade zu suchen, welche die Geraden a (A, Au) und b (B, Bu) schneidet und zur Geraden c (C, C«) parallel ist. 4. Es ist das Parallelepiped zu suchen, welches seine Kanten auf drei gegebenen windschiefen Geraden a, b, c besitzt. 5. Drei Gerade a (A, Att), b (B, Bu), c (C, Cu) sind gegeben. Wo muß der H a u p t p u n k t Du liegen, wenn die drei Geraden gleiche Einfallswinkel gegen die Bildebene haben, und wie groß ist die D i s t a n z d, wenn der Einfallswinkel s = n / , ist? 6. Drei Ebenen e (e, eu),

eM] ersetzt werden. Alle Normalen der Ebene s sind zueinander parallel; daher gehen ihre Bilder durch denselben Fluchtpunkt Nu, der sich aus dem Sehstrahle ergibt, welcher zur Ebene [Z>eM] normal ist. Ist wieder M u der Fluchtpunkt aller Spurnormalen der Ebene s, so ist MU'DNU ein bei D rechtwinkliges Dreieck, dessen Umlegung man leicht zeichnen kann. Man zieht DUMU senkrecht zu eu, DUD° senkrecht

zu Du Mu und D°NU senkrecht zu D°MU, so daß Du Mu X Du Nu = — d 2.

Aus dieser Konstruktion folgt (I. Bd., § 10,i): Der F l u c h t p u n k t der Die I N u c h t g e r a d e der B i l d e r a l l e r N o r m a l e n N o r m a l e b e n e n zu e i n e r zu e i n e r E b e n e ist d e r G e r a d e n ist die A n t i p o A n t i p o l d e r F l u c h t g e - l a r e des F l u c h t p u n k t e s r a d e n d e r E b e n e in b e z u g der G e r a d e n in b e z u g auf auf den D i s t a n z k r e i s . den D i s t a n z k r e i s . 5

§ 13. Der Winkel; Normalität.

75

Soll d e r A b s t a n d e i n e s P u n k t e s P, der auf einem Träger t (T, Tu) liegt, v o n e i n e r E b e n e e (e, e«) gesueht werden (Fig. 45b), so sucht man zunächst den Fluchtpunkt Nu aller Normalen der Ebene. Die Verbindungsgerade von Pc mit Nu ist das Bild ne der Normalen; die Parallele durch T zu Tu Nu gibt die Bildsp'ur N der Normalen. Legt man durch n eine Hilfsebene z. B. jene, welche Nu D° als Fluchtgerade besitzt, so ergibt sie mit s eine Schnittgerade, welche den Fußpunkt Q der Normalen liefert. Dabei ist JD° auch schon der Teilungspunkt zur Auffindung der wahren Größe von Strecken, welche auf

Fifr. 45.

der Geraden n liegen. "Verbindet man daher Pc und Qc mit D°, so erhält man auf der Spur der Hilfsebene die •Strecke PaQs, welche d i e w a h r e G r ö ß e d e s g e s u c h t e n A b s t a n - d e s angibt. Übungsaufgaben: 1. Es soll d e r A b s t a n d eines P u n k t e s P, der auf einem Träger t (T, Tu) liegt, v o n e i n e r G e r a d e n g (fr, Gu) gesucht werden, indem man von dem Punkte die Normalebene zur Geraden fallt. 2. Es soll d e r E i n f a l l s w i n k e l e i n e r G e r a d e n g (0, GV g e g e n e i n e E b e n e f (e, e„) gefunden werden. 3. Es soll d e r N e i g u n g s w i n k e l z w e i e r E b e n e n e (e, eu) und

und a zu suchen, welche den Neigungswinkel zweier Ebenen halbieren. 5. Für zwei w i n d s c h i e f e G e r a d e a (A, Au), b{B, Bu) soll der Abstand PQ und der Winkel p gefunden werden. Der Antipol der Geraden AUBU ist schon der Fluchtpunkt Nu des Bildes der gemeinsamen Normalen n; zieht man durch A die Parallele zu AuNu und durch B die Parallele zu BuJSru, so ist der Schnittpunkt der beiden Parallelen die Bildspur N von n. Daraus folgt n c ,

Po, Qc . .

6. Drei windschiefe Gerade a (A, -4«), i (£, Bu), c (C, Cu) sind gegeben. Wo muß der H a u p t p u n k t Du liegen und wie groß ist d i e D i s t a n z d, wenn die drei windschiefen Geraden zueinander n o r m a l sein sollen?

§ 14. Ebene Figur; Umlegang der Ebene. 1. E i n e ebene F i g u r ist mit i h r e r Z e n t r a l p r o j e k t i o n p e r s p e k t i v kollin.ear. Der Sehpunkt D ist das Kollineationszentrum und die Bildspur e ist die Kollineationsachse; eu ist die Fluchtgerade und e„ ist die Verschwindungsgerade (I. Bd., § 20, s). Nebst dem Sehpunkte sei nun eine Ebene e (e, e u ) und auf dieser ein D r e i e c k PQB gegeben (Fig. 46). Es soll die Ebene e u m g e l e g t werden, d. h. sie soll um die Bildspur e so lange gedreht werden, bis sie mit der Bildebene zusammenfällt. Um zunächst die Umlegung eines Punktes P der Ebene zu finden, legt man durch P die S p u r n o r m a l e m. Die Verbindungsgerade von Pc mit dem Fluchtpunkte Mu aller Spurnormalen der Ebene ist die Zentralprojektion me. Diese schneidet e in der Bildspur M. Zieht man in M die Normale zu e, so erhält man die Umlegung m* der Spurnormalen. Anderseits beschreibt P wie jeder Punkt der Ebene bei der Umlegung einen Kreisbogen, zu welchem eine S e h n e t gehört. Alle diese Drehsehnen sind zueinander parallel; ihre Bilder gehen daher durch denselben Fluchtpunkt T L e g t man den Sehpunkt D mit der Parallelebene um die Fluchtgerade e u um, so beschreibt er einen Kreisbogen, dessen Sehne DD* der zu den vorhin erwähnten Drehsehnen t parallele Sehstrahl ist. Der Punkt Z>x ist also der verlangte F l u c h t p u n k t T u f ü r die B i l d e r a l l e r Drehsehnen. Er ist zugleich ein Teilungspunkt für alle Spurnormalen. Die Yerbindungsgerade von Pe mit dem Fluchtpunkte Tu ist

§ 14. Ebene Figur; Umlegung der Ebene.

77

die Zentralprojektion tc der zu P gehörigen Drehsehne. Sie schneidet mx in der U m l e g u n g Px des P u n k t e s P. Für eine durch P gehende Gerade g der Ebene muß die Umlegung durch den Punkt Px gehen und anderseits bleibt die Bildspur G der Geraden bei der Umlegung ungeändert. Verbindet man also Px mit G, so erhält man die U m l e g u n g gx der G e r a d e n g. Für den zweiten auf g liegenden Eckpunkt Q des Dreieckes muß die Umlegung Qx auf gx liegen. Man erhält also Qx als Schnittpunkt von gx mit dem Bilde Qc Tu der zu Q gehörigen Drehsehne. Werden die beiden anderen Seiten des Dreieckes umgelegt, so ergibt sich Rx. Dabei muß Rx auf dem Bilde Rc Tu der zu R gehörigen Drehsehne liegen. Es ist also folgende V e r w a n d t s c h a f t vorhanden: 1. Entsprechende Punkte Pc, Px liegen auf Strahlen, welche durch den Fluchtpunkt Tu der Bilder aller Drehsehnen gehen. 2. Entsprechende Gerade gc, gx schneiden sich in Punkten der Bildspur e der Ebene. 3. Bei Inzidenz von Pc und gc sind auch Px und gx inzident. „ Z e n t r a l p r o j e k t i o n und U m l e g u n g einer ebenen F i g u r sind perspektir kollinear. Der F l u c h t p u n k t Tu der B i l d e r a l l e r D r e h s e h n e n ist das K o l l i n e a t i o n s Z e n t r u m ; die B i l d s p u r e der Ebene ist die K o l l i neationsachse."1 Die durch D senkrecht zu e stehende Ebene schneidet e in einer Geraden w. Legt man diese Normalebene um, so geht w in eine Gerade w° über, welche zu D°MU parallel ist. Ihr Bild we und ihre Umlegung wx fallen in die Gerade Du Mu. Die' Fluchtgerade e« ist die Zentralprojektion der uneigentlichen Geraden der Ebene also einer Geraden, deren Umlegung ins Unendliche rückt. Die Verschwindungsgerade e„, deren Bild unendlich weit ist, hat eine Umlegung welche im Abstände zu e parallel ist. Man nennt daher eu auch die F l u c h t g e r a d e und e* die V e r s c h w i n d u n g s g e r a d e der V e r w a n d t s c h a f t zwischen B i l d und U m l e g u n g der e b e n e n F i g u r . Dies kann bei der Konstruktion benützt werden. Dem Fluchtpunkte Gu von gc entspricht der uneigentliche Punkt

78

. II. Zentralprojektion.

von 5) zusammen, welche n i c h t p e r s p e k t i v ist, aber durch eine Verschiebung in eine solche übergeführt werden kann. Statt des Bündels 0 sind nämlich

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zwei kongruente Bündel K, Kr vorhanden, deren Scheitel K n o t e n p u n k t e heißen, und statt der Koinzidenzebene sind zwei kongruente Ebenen •/., v.r da, welche H a u p t ebenen heißen, wobei die Strecke KKr dem Abstände xxr gleich ist. Es sind noch zwei Bündel N, NR vorhanden, deren Strahlen mit der Achse entgegengesetzt gleiche Winkel bilden, und zwei Felder v, vr, welche bei Vereinigung das Ahnlichkeitsverhältnis — 1 besitzen. Es bestehen auch hier die oben gezeigten Gleichungen. Ist nun ein Gegenstand (Stuhl) vor der Verschwindungsebene aufgestellt, so kann das Bild konstruiert werden. Es ist nur zu beachten, daß dem Strahle PK der parallele Strahl KT PT , einem Punkte T von /. der gleich liegende Punkt TR von y.r, dem Strahle PN der symmetrisch liegende Strahl NTPr und dem Punkte S von v der ungleich liegende Punkt Sr von vt entspricht.

§22. Auffassung des Bildes, Räumlichsehen usw.

119

Das entstehende Kaumbild kann durch V e r s c h i e b u n g u m d i e S t r e c k e NrN u n d D r e h u n g v o n n um d i e o p t i s c h e A c h s e in s o l c h e p e r s p e k t i v e L a g e g e b r a c h t w e r d e n , d a ß es s i c h w i e e i n R e l i e f zum Gegenstande verhält. I n der Zeichnung ist diese L a g e ( P J ) angedeutet. D a s räumliche B i l d läßt sich nicht festhalten. Wird a b e r die empfindliche P l a t t e in die L a g e er g e b r a c h t , so e n t s t e h t auf ihr ein wohl nicht in allen T e i l e n scharfes e b e n e s B i l d des G e g e n s t a n d e s . D u r c h die erwähnte V e r s c h i e b u n g nach e"T und D r e h u n g von n erscheint es als aufrechtes Bild. D a b e i ist a b e r hell und dunkel v e r tauscht, weshalb es „Negativ" heißt. D u r c h K o p i e r e n wird es in ein „ P o s i t i v " umgewandelt, wodurch e i n g u t e s P e r s p e k t i v b i l d d e s G e g e n s t a n d e s gewonnen ist. Wird die E b e n e e s c h i e f aufgestellt, so entspricht i h r eine E b e n e e r , wobei y. und v.r von den beiden E b e n e n in gleich liegenden Geraden geschnitten werden. D i e beiden E b e n e n sind kollinear verwandt, so daß man etwa den G r u n d r i ß in den perspektiven Grundriß umsetzen kann. Darauf beruht d e r P e r s p e k t o g r a p h v o n T h . S c h e i m p f l u g * ) . D a s m e n s c h l i c h e A u g e ist auch eine photographische D u n k e l k a m m e r . A l s empfindliche P l a t t e wirkt d i e N e t z h a u t ; als O b j e k t i v wirkt e i n L i n s e n s y s t e m , für welches die H a u p t e b e n e /. durchschnittlich 1,75 mm hinter dem Hornhautscheitel liegt, / = 15,5 mm, / r = 2 0 , 7 mm und K K r = •/. y.r = 0 , 3 5 mm ist.

§ 22.

Auffassung des Bildes, Räumlichsehen und Wiederherstellung des Gegenstandes.

1 . D i e A u f f a s s u n g d e s B i l d e s , nämlich das E r l a n g e n einer V o r s t e l l u n g v o n d e m a b g e b i l d e t e n Gegens t a n d e wird bei größeren K ö r p e r n durch e i n P e r s p e k t i v W a n d b i l d oder bei kleineren K ö r p e r n ( B a u - und M a schinenbestandteilen) durch e i n n o r m a l a x o n o m e t r i s c h e s B i l d in befriedigender W e i s e bewirkt (weniger durch eine schiefe P r o j e k t i o n ) . D a b e i ist es nicht notwendig, *) Abgebildet im „Archiv fürPhotogrammetrie", 3. Bd.(1911—13), S. 204.

120

II. Zentralprojektion.

daß das Bild in aufrechter Stellung und das Auge in der richtigen Lage zur Bildebene sich befindet, ja es kann ein Bild auch unter ganz abweichenden Umständen einen mächtigen Eindruck auf den Besehauer machen, wenn es eben von einem Künstler herrührt; Die gute Auffassung eines Bildes ist aber zum großen Teile d a s E r g e b n i s v o n E r z i e h u n g u n d Ü b u n g . Wird ein Deckengemälde, welches nur architektonischen Schmuck aufweist, an die Wand gehängt, so wird es von den meisten Beschauern wegen der Seltenheit des Vorkommens nicht aufgefaßt, und es ist bekannt, daß bei Laien schon für einen Grundriß kein Verständnis vorhanden ist. Es verhält sich da ähnlich wie beim Lesen eines Schriftstückes. Das Geschriebene kann das VorsteJlungsvermögen des Lesers mächtig anregen, wenn es eben von einem bedeutenden Schriftsteller herrührt; ohne S c h u l u n g ist aber ein Lesen ausgeschlossen. Wird jedoch ein Perspektivbild nur mit e i n e m Auge ruhig.angesehen, wobei das Bild in der richtigen Stellung und das Auge in der passenden Lage zum Bilde sich befindet, so erhält man nicht bloß eine Vorstellung von dem abgebildeten Gegenstande, sondern es tritt bei einigem Bemühen das „ I i ä u m l i c h s e h e n " ein. Dabei kommen freilich Täuschungen über „hohl und erhaben" vor. Solche Täuschungen haften aber nicht bloß den Bildern an, sondern kommen auch bei den Körpern selbst vor. Wird z. B. ein aus Papier hergestellter Oktant nur mit e i n e m Auge betrachtet, so wird man es leicht dazu bringen, daß er, obwohl er dem Auge die erhabene Seite zukehrt, plötzlich hohl erscheint. 19 Ist das Bild mit zu kleiner Distanz hergestellt, so kann das Käumlichsehen erst herbeigeführt werden, indem man eine passende Konvexlinse vors Auge hält (Verant). 2. Bei einem Gemälde und auch bei einem photographischen Bild ist die L a g e des S e h p u n k t e s nicht unmittelbar angegeben; sie kann aber unter Umständen aus der Abbildung durch Konstruktion gefunden werden. Ist unter anderem ein eckiger Körper in Stirnstellung abgebildet, so ist der Schnittpunkt der Bilder von zwei zur Bildebene senkrechten Kanten d e r H a u p t p u n k t H u . Ist ein eckiger Körper in Drehstellung abgebildet (Fig. 66), so erhält man die Fluchtpunkte Xu, Yu als Schnittpunkte von

§ 22. Auffassung des Bildes, Räumlichsehen usw.

121

Kantenbildern der x- und t/-Richtung. Die Verbindungsgerade XUYU ist d e r H o r i z o n t hu und der Kreis, welcher Xa Yu als Durchmesser besitzt, muß den unteren und oberen Distanzpunkt D° enthalten. Kann dann etwa noch der Gehrungsfluchtpunkt Gu der Abbildung entnommen werden, so schneidet der Kreis, welcher durch Xu, Gu geht und den Peripheriewinkel enthält, den früheren Kreis in D°, woraus sich d e r H a u p t p u n k t Hu und die D i s t a n z d ergibt. Einfacher ist es, wenn man bei Xu und Yu eine Senkrechte zu hu zieht, durch Gu die zwei Geraden unter jr/4 legt bis zu den Schnittpunkten S, T und von Gu auf die Verbindungsgerade wieder ein Lot fällt, der Fußpunkt ist D°. Erscheinen in der Abbildung aufrecht stehende Personen oder kennt man die wahre Größe t einer anderen vom

Boden aufragenden Strecke, so kann man daraus d i e A u g e n h ö h e a finden. Setzt man dabei eine Verkleinerung, des Gegenstandes in einem gegebenen Verhältnisse dje voraus, so hat t in dieser Verkleinerung die Größe s = dje • t, welche im Bilde als -sc erscheint. Liegt nun ein Teil rc von Sc unter hu, so ist rcj sc • s = a die Augenhöhe f ü r die Abbildung, also die Tiefe, in welcher die G r u n d l i n i e h unter h u liegt. Ist statt der aufrechten Strecke die wahre Größe einer Längskante OE bekannt, so trägt man die in einem gewählten Verhältnisse dje verkleinerte Länge l auf D° Yu von D° aus auf, zieht durch den Endpunkt eine Parallele zu D°Oc bis zum Schnittpunkte E' mit D°Ee und durch jW eine Parallele zu D°YU. Diese Parallele enthält auf D°Oc den Punkt 0' und auf OcEc den Punkt B der. G r u n d l i n i e h. i u m kann man den orthogonalen Grundriß und dann auch die beiden anderen Risse finden. Es ist

122

II. Zentralprojektion.

also e i n e W i e d e r h e r s t e l l u n g d e s G e g e n s t a n d e s (soweit er im Bilde sichtbar ist) in d e r g e w ä h l t e n V e r k l e i n e r u n g rf/e m ö g l i c h . 2 0 3. F ü r m e s s e n d e Z w e c k e wurde die Dunkelkammer zum P h o t o t h e o d o l i t ausgestaltet. Macht man d a m i t v o n z w e i S t a n d p u n k t e n a u s A u f n a h m e n und ermittelt dabei aus den Abmessungen des Apparates nach möglichst scharfer Einstellung die L a g e des Sehpunktes zur Bildebene — d i e i n n e r e O r i e n t i e r u n g — sowie die gegenseitige Lage der Apparate und der Aufstellungsorte — d i e ä u ß e r e O r i e n t i e r u n g —, so kann man a u s d e n b e i d e n e r h a l t e n e n P e r s p e k t i v b i l d e r n im Sinne des „Vorwärtseinschneidens" die Normalrisse finden, also eine W i e d e r h e r s t e l l u n g des G e g e n s t a n d e s durchf ü h r e n , ohne K e n n t n i s s e über seine Beschaffenheit. Dieses Anwendungsgebiet wird als P h o t o g r a m m e t r i e (§ 59,2) bezeichnet. 21 D a s S c h a u e n m i t d e n b e i d e n A u g e n bewirkt d a s R ä u m l i c h s e h e n d e r K ö r p e r ohne jede Anstrengung, indem die beiden den Sehpunkten R und L entsprechenden Netzhautbilder ebenfalls im Sinne des Vorwärtseinschneidens zu einer r ä u m l i c h e n W i e d e r h e r s t e l l u n g d e s G e g e n s t a n d e s führen. D a s S t e r e o s k o p ist ein Instrument, welches diesen Vorgang nachahmt, wobei die Netzhautbilder durch ein in das Instrument eingefügtes Doppelbild hervorgerufen werden. Zur H e r s t e l l u n g s t e r e o s k o p i s c h e r B i l d e r bedient man sich einer Dunkelkammer, welche durch eine lichtdichte Scheidewand in zwei Hälften geteilt ist. J e d e Hälfte ist mit einem Objektiv versehen, so daß die optischen Achsen parallel sind in einem Abstände, welcher dem mittleren Augenabstande b = 65 mm gleich ist. Man erhält zwei Bilder, von welchen das eine dem rechten Auge R und das andere dem linken A u g e L entspricht. Hat man die beiden Bilder auf gemeinsamer Glasplatte entstehen lassen, so muß man nach dem Kopieren die Bilder auseinanderschneiden und vertauschen (§ 21, 3). Die F i g u r 67 zeigt auf verkleinert die stereoskopische Abbildung eines Würfels, bei welchem die eine Diagonale des Grundquadrates in der Symmetrieebene des Beobachters liegt. Durch das Stereoskop entsteht aus diesem Doppelbilde e i n s u b j e k t i v e s R a u m b i l d .

§ 22. Auffassung des Bildes, Räu^nlichsehen usw.

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Die Bilder PC 1 und PC2 eines Punktes P (der einen "Würfelfläche) liegen immer auf einem horizontalen Ordner. D i e Fluchtpunkte Gu 1 und Gui einer Geraden g liegen also auch auf einem solchen Ordner und zwar immer im Augenabstande 6 = HUiH„2. Der Fluchtpunkt P,,., des Sehstrahles LP liegt daher auch in der Entfernung 6 von PC1; PC2 liegt dann dem Punkte PC 1 näher als P « j um eine Strecke p, welche P a r a l l a x e heißt. Aus den b e i d e n S t e r e o s k o p b i l d e r n kann man w i e d e r die N o r m a l r i s s e f i n d e n , a l s o eine W i e d e r h e r s t e l l u n g des G e g e n -

s t a n d e s d u r c l i f i i h r e n . Die Aufrisse der Sehstrahlen LP und RP sind L" PC 1 und R" PC2; sie schneiden sich im Aufrisse P" des Raumpunktes PT. Auch den Grundriß könnte man leicht herstellen. Dieser Vorgang wurde z u r S t e r e o p h o t o g r a m m e t r i e ausgebildet. Die W i e d e r h e r s t e l l u n g wird aber gewöhnlich nicht durch Konstruktion, sondern durch Rechnung auf Grund einer mikroskopischen A u s m e s s u n g der beiden B i l d e r vorgenommen. Bezieht man die Bilder auf die Hauptpunkte H„ 1 und HU>, so hat PC 1 die Koordinaten yi, z und P C 2 die Koordinaten y.,, z, welche mikrometrisch ermittelt werden. Bezieht man dann den Gegenstand auf L als Ursprung, so erhält man aus y1, z und p = Vi — Vi wegen

124

Geschichtliche u. literarische Bemerkung, zum II. Abschnitt.

der Ähnlichkeit der vorkommenden Dreiecke (P" R" L" R"PczPui) die Koordinaten des Punktes Pr:

Xr=d.

,

b p

,

b

yr=yi-—,

b

wobei d der Abstand des Punktes N von e° in Figur 65 ist.'2-

Qeschichtliche und literarische Bemerkungen. 1 Die Regeln, welche E u k l i d in seiner Optik gibt (290 v. Chr.), beziehen sich eigentlich nicht auf die Abbildung, sondern auf die scheinbare Große der Gegenstände und sind offenbar nur Beobachtungsergebnisse. Der römische Architekt V i t r u v i u s P o l l i o erwähnt in seinem zehnbändigen Werke (etwa 10 v.Chr.) an einer Stelle kurz die „Scenographie", womit wahrscheinlich ein Perspektivbild gemeint ist. Es ist daher anzunehmen, daß man es bei den Gemälden der griechischen und römischen Kulturperiode, von welchen uns keines erhalten blieb und welche wir nur aus Beschreibungen oder Nachbildungen (Wandmalereien, Bodenmosaik, Vasenbilder) kennen, mit vielleicht vorzüglichen Leistungen auf Grund der unmittelbaren An sch au u n g , aber o h n e g e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e zu tun liabe. Erst in der .Renaissancezeit begann sich der Begriff „Fluchtpunkt" und „Fluchtgerade" zu entwickeln, zunächst aber nur als „Hauptpunkt" und „Horizont". Die allgemeine Auffassung dieses Begriffes dürfte von G. U b a l d o d e l M o n t e (1600) herrühren. S. S t e v i n (1608), G. D e s a r g u e s (1636), v a n ' s G r a v e s a n d e (1711), B r o o k T a y l o r (1719) und J . H. L a m b e r t (Freye Perspective, 1759) trugen zur weiteren Entwicklung des Konstruierens mit Flucht- und Yerschwindungselementen sowie zur Einführung der perspektiven Kollineation bei. Der Gegenstand fand dann eine rein geometriscl.e Weiterentwicklung als p r o j e k t i v e G e o m e t r i e durch L. C a r n o t (1801 , J. V. P o n c e l e t (1822), A. M ö b i u s (1827), J . S t e i n e r (1832), M. C h a s l e s (1837, 1852), v. S t a u d t (1847, 1856). W. F i e d l e r (Darst. Geom., 1871) führte eine Wiedervereinigung der Zentralprojektion mit der projektiven Geometrie durch und behandelte die anderen Projektionsmethoden nur als besondere Fälle. [A. § 11 —15] 2 Zur Zeit der Renaissance bemühte man sich zunächst eine Bodentäfelung in den Bildern herzustellen und Höhen aufzutragen. Hervorzuheben sind L. B. A l b e r t i (1436) und besonders P i e r o de' F r a n c e s c h i , dessen handschriftliches Werk (etwa 1480) überraschenden Inhaltes erst 1899 von C. Winterberg herausgegeben wurde. Er beschränkt sich wohl auf die Stirnstellung des Achsensystemes, gibt aber den Körpern selbst verschiedene Stellungen. A. D ü r e r blieb in seinem Buche (Underweysung 1525, neu herausgegeben von A. Peltzer 1908; und in seinen Bildern auch bei der Stirnstellung. [B. § 17,2. 18]

Geschichtliche u n d literarische B e m e r k u n g e n . 3

125

Von s p ä t e r e n B ü c h e r n und Schriften seien g e n a n n t : G. S c h r e i b e r (Maler. Persp., 1854), J . d e l a G o u r n e r i e (Traité de persp. lin., 1859), G. P e s c h k a u n d E. K o u t n y (Freie P e r s p . 1868), G. N i e m a n n (Hb. d. Lin. persp., 1888 u. 1902), J . J . P i l l e t (Tr. de persp. lin., 3. Aufl., 1901), K. D o e h l e m a n n (Zft. f. Math, u. P h y s . , 52. Bd., 1905), G. H a u c k (Maler. P e r s p . , 1910), K . D o e h l e m a n n (Grundzüge d. Persp., 1916). G. W o l f f (Math, u. Mal., 1916) und die Abschnitte in den u m f a s s e n d e n W e r k e n . Z u r G e s c h i c h t e der P e r s p e k t i v e : M. P o u d r a (Hist. d. 1. persp., 1864), C h . W i e n e r (1. Bd. Nr. 5—18 u. 29—37), M. C a n t o r (Gesch. d. Math., 4. Bd. [G. L o r i a , 1908]), E. P a p p e r i t z (Enzykl. d m a t h . Wiss., 3. Bd., 1,6, 1910), R. M ü l l e r (Jahresber. d. Math. Ver., 23. Bd., 1914), H. S c h u r i t z (Die P e r s p e k t i v e in der K u n s t D ü r e r s , Diss., D a r m s t a d t 1919;, H. W i e l e i t r i e r (Repert. f. K u n s t w i s s e n schaft, 42. Bd., 1920). 4 G. H a u c k (Maler. Persp., S. 53) schlug diese B e z e i c h n u n g vor. [§ 12,2] 5 Seit 1901 b e h a n d e l t der Verfasser auf A n r e g u n g L. v. T e t ma.jers die P o l a r i t ä t und Antipolarität (I. Bd., § 10 u. 14) in seinen Vorlesungen u n d verwendet die letztere bei den A u f g a b e n ü b e r Normalität, w a s f r ü h e r in keinem Buche über d a r s t e l l e n d e Geom e t r i e der Fall w a r . [§ 13,21 6 P o n c e l e t [Traité (1822) No. 109—122], F i e d l e r (D. G., з. A u f l , 1. Bd., § 3 3 , Aufg. 20), R o h n - P a p p e r i t z (L. d. d G., 1. Bd., 18.13 S. 183), S c h l ö m i l c h , B e y e l (Zft. f. Math. u. Phys., 40. Bd.. 1895), S c h ü s s l e r ( Z f t . f. Math. u. Phys., 42. Bd., 1-97), S o b o t k a (Monatsh. f. Math. u. Phys.. 10. J g . , 1899), M. B a u r (Math.-nat Mitt. S t u t t g a r t , 5. Bd., 1903), T h . S c h m i d (Sitzgsber. Akad. W i e n , 127. Bd., 1918). [§ 15,:s] 7 P o n c e l e t [Traité ,1822) No. 3111, P o u d r a [Nouv. ann. (1855; и. compléments (1868)], O. S c h l ö m i l c h (Zft. f. M a t h . u. Phys., 1. Bd., 1856), S c h l ö m i l c h , P e l z , S c h u r (Zft. f. Math. u. P h y s , 39. Bd., 1894), J . S o b o t k a (Sitzgsber. Akad. Wien, 109. Bd.. 1900). [§ 15,4] 8 A. B e c k (Math. Ann., 14. Bd., 1879, u. Z ü r i c h e r Vierteljahrschr., 33. J g . , 1888;. [§ 16,1 ] s G. K o l i n (Enzvkl. I I I , C. 5). G. L o r i a (Spez. ebene K u r v e n . 1902, 2. A u f l a g e 1910/11). [§ 16,2] 10 E. C z u b e r (Monatsh. f. Math. u. Phys., 3. Jg., 1892). [§ 16,2] 11 L. G e i s e n h e i m e r (Zft. f. Math. u. Phys., 25. J g . , 1880), W i e n e r (D. G., 1. Bd., 1884, S. 217), R o h n - P a p p e r i t z (Ü. G.. 1. Bd., 1893. S. 304), C. H e u m a n n (Archiv d. Math. u. P h y s . . 6. Bd., 1904). A. K a n d a (Monatsh. f. Math. u. Phys.. 24 J g . , 1913). [§ 16,3] 12 R . S t a u d i g l (Sitzgber. Akad. Wien, 64. Bd., 1871). [§ 17,i] 13 P . N i c h o l s o n h a t schon vor 1814 ein solches I n s t r u m e n t g e f u n d e n : G. S c h r e i b e r (Maler. Persp.. 1S54, S. 173), J . J . P i l l e t (Traité d. persp.. 3. Ausg., 1901), R. M e h m k e (Zft, f. Math. u. Phys., 42. Bd , 1897), K. R o h r b a c h rZft. f. Math. u. Phys., 46. Bd., 1901), F . S c h i l l i n g (Zft. f. Math. u. Phys., 56. Bd., 1908), E. M ü l l e r (D. G , 2. Bd.. 1916, S. 292). [§ 17,a]

126

Geschichtliche u. literarische Bemerkung, zum II. Abschnitt.

11 P i e r o d e ' F r a n c e s c h i , Prospectiva pingendi (etwa 1480 geschrieben, erst 1899 herausgegeben von Winterberg), A l b r e c h t D ü r e r (Underweysung der Messung, 1525). [§ 18,l] 15 G H a u c k (Neue Konstruktionen der Perspektive u. Photogr., Journal f. Math., 95. Bd., 1883), T h . S c h m i d (Monatsh. f. Math, u. Phys., 4. Jg., 1893). [§ 18,2] 16 J . M ö r s t a d t (Zft. f.Math.u.Phys., 12. Jg., 1867), R. S t a u d i g l (Grundz. d. Rel. persp., 1868), L. B u r m e s t e r (Grundz. d. Rel. persp., 1883). [§ 20,'i] 17 J . de l a G o u r n e r i e (Tr. d. persp. lin., 1859), L. B u r m e s t e r (Allg. österr. Bauzeitung, 49. Jg., 1884). [§ 20,2] 18 Aus einem von K. W e i e r s t r a ß 1856 auf der Naturforscherversammlung zu Wien gehaltenen Vortrage (Werke, 3. Bd. S. 175). [§ 21,2] 19 L. B u r m e s t e r [Zft. f. Psychologie. 41. Bd. (1906) u. 50. Bd. (1908)]. Andere optische Täuschungen beziehen sich auf den Parallelismus oder die Schätzung der Größe von Strecken, Winkeln und Flächen; F. S c h i l l i n g (Anw. d. darst. Geom., 1904). [§22,i] 20 J . H. L a m b e r t [Freye Perspective (1759), 8. Abschnitt] löst schon solche Umkehrungsaufgaben. [§22,2] 21 G. H a u c k (Journ. f. Math., 95. Bd., 1883), S. F i n s t e r w a l d e r ijahresber. d. d. Math. Ver., 6. Bd., 1897, u. Enzykl. d. math. Wiss., 6. Bd., 1906, S. 98), F. S c h i l l i n g (Anw. d. d. G., 1904, S. 98), J . T o r r o j a (Archiv f. Photogrammetrie, 2. Bd.). [§ 22,3] 22 F. S c h i l l i n g (Geom. Theorie d. Stereophotogrammetrie, Zft. f. Vermessungswesen, 40. Bd., 1911Í. [§ 22, s]

III. Abschnitt.

Dreh- und Rohrflächen. A. Drehflächen zweiten Grades. § 23. Umriß, Flächenpunkt, Berührungsebene, Flächennormale; Parallelschnitte zum Hauptmeridian. 1. B e i Drehung einer Ebene um eine ihrer Geraden beschreibt jeder Punkt einen Kreis und jede Linie der Ebene e i n e D r e h f l ä c h e . Die von den Punkten der Linie beschriebenen Kreise heißen P a r a l l e l k r e i s e d e r F l ä c h e und die einzelnen Lagen der Linie selbst heißen M e r i d i a n e der F l ä c h e . Aus dieser Entstehung der Fläche

Fig. 68.

ist zunächst zu ersehen: Die Drehfläche wird l ä n g s e i n e s P a r a l l e l k r e i s e s v o n e i n e m D r e h k e g e l oder D r e h z y l i n d e r berührt, l ä n g s e i n e s M e r i d i a n e s v o n e i n e m Z y l i n d e r , welcher den Meridian als Normalschnitt hat. Außer den schon behandelten Drehflächen: Kugel, Drehzylinder, Drehkegel sollen zunächst folgende fünf D r e h f l ä c h e n z w e i t e n G r a d e s (Fig. 68) untersucht werden. Eine E l l i p s e , Eine P a r a b e l , welche sich um ihre welche sich k l e i n e I g r o ß e um ihre Achse Achse dreht, bedreht, schreibt ein beschreibt ein abge- | eip l a t t e t e s [förmiges DrehDrehellipsoid. paraboloid.

Eine H y p e r b e l , welche sich um ihre reelle [imaginäre dreht, beAchse schreibt ein zweii einschaliges jschaliges Drehhyperboloid.

128

III. Dreh- und Rohrflächen.

Der kleinste Parallelkreis des einschaligen Hyperboloides heißt K e h l k r e i s . Das Paraboloid und die Hyperboloide erstrecken sich ins Unendliche. Man denkt sich daher diese Flächen durch R a n d k r e i s e begrenzt. Durch Drehung der Asymptoten entsteht ein Drehkegel, welcher das Hyperboloid längs des unendlich fernen Parallelkreises berührt. Er heißt Asymp t o t e n k e g e l der Fläche. Bei der einfachsten Stellung, in welcher die Drehachse zur z-Achse parallel ist, heißt der zur Aufrißebene parallele Meridian der H a u p t meridian. Er bildet f ü r den A u f r i ß den wahren U m r i ß ; der s c h e i n b a r e U m r i ß ist eine kongruente Linie. Ist zunächst ein Ellipsoid abzubilden (Fig. 69), so ist der größte Parallelkreis der w a h r e U m r i ß f ü r den G r u n d riß. 2. Ist nun ei n FI äch enp u n k t T abzubilden, so kann man eine Projektion, z. B. T", wählen. Durch den zu T" gehörigen Sehstrahl v kann man eine zur Drehachse normale Ebene legen. Sie schneidet die F l ä c h e in einem Parallelkreise, welcher im Aufrisse als Gerade, im Grundrisse als gleicher Kreis erscheint. Dieser Kreis wird von dem Grundrisse des Sehstrahles (vom Ordner) in zwei Punkten T' geschnitten. Zu jedem Punkt T" gehören also hier zwei Punkte T'. Nimmt man T' als gegeben an, so kann man zunächst den Grundriß des Parallelkreises zeichnen, wozu dann der Ordner des Punktes T0, der auf dem Hauptmeridiaue liegt, zwei Par-

§ 23. Umriß, Flächenpunkt, Berührungsebene usw.

129

allelkreise im Aufrisse ergibt. Man erhält also auch zu T' zwei Punkte T". Es soll nun die zum Flächenpunkte T gehörige T a n g e n t i a l e b e n e % und F l ä c h e n n o r m a l e ngefunden werden. Die Tangentialebene für den Punkt T ist bestimmt durch die Tangente h des Parallelkreises und durch die Tangente in des durch T gehenden Meridianes. Die Projektionen h', h" und m' ergeben sich unmittelbar. Um m" zu finden, dreht man den Punkt T zuerst in den Hauptmeridian nach T0 und zieht da die Tangente ra0, welche die Drehachse in einem Punkte S schneidet. Beim Zurückdrehen bleibt dieser Punkt S ungeändert, so daß S" T" =m" ist. Die durch S gehende frontale Gerade / der Tangentialebene ergibt sich im Aufrisse durch den Schnittpunkt R von h. Der Grundriß n' der Flächennormalen fällt mit m' zusammen; der Aufriß n" ist senkrecht zu /". Man kann aber auch zuerst für T0 die Flächennormale n0 zeichnen. Ihr Schnittpunkt N mit der Drehachse bleibt ungeändert; dalier ist N" T" der Aufriß der Flächennormalen. 3. Die Gleichung des Hauptmeridianes der Ellipsoide, beziehungsweise Hyperboloide ist: ^2 ++ 2 ä b

'

+ — X — = 1 *) ~a2 + b2

Ersetzt man y2 durch (x2 -f- y2), so erhält man die G l e i c h u n g der Drehellipsoide + y2 , 22 = 1 r, so teilen die Berührungskreise der Kegelschnittberührungsebenen die Fläche in zwei Teile, die man W u l s t und K e h l e nennt (Fig. 92).

Die Abbildung eines F l ä c h e n p u n k t e s T, der zugehörigen T a n g e n t i a l e b e n e % und der F l ä c h e n n o r m a l e n n geschieht wie bei den Drehflächen zweiten Grades (§ 23,2), nur gehören hier zu jedem T" v i e r Punkte T' (Fig. 91). Diese sind reell, wenn man T" zwischen den beiden inneren Hälften der Meridiankreise wählt; beim Uberschreiten der letzteren werden zwei Punkte T' konjugiert imaginär. Zu jedem T', welches zwischen den beiden Umrißkreisen gewählt wird, ergeben sich zwei reelle und zwei konjugiert imaginäre Punkte T"; beim Uberschreiten des inneren Umrißkreises werden noch

§ 29. Parallelschnitte z. Hauptmeridian f. d. RingfL als Drehfl.

zwei Punkte T" oder m > r ist.

reell oder imaginär, je nachdem

161

m) durch die Kreise mit den Halbmessern a, b, (a + ö). Der S c h l a g s c h a t t e n der R i n g f l ä c h e [0, m, r\ auf eine zur Drehachse normale Ebene ist die im A b s t ä n d e m gezeichnete A q u i d i s t a n t e oder P a r a l l e l kurve der Ellipse, welche sich als S c h l a g s c h a t t e n der Kugel 10, r| auf jene Ebene ergibt. 1 9 Die Normalen der Ellipse sind zugleich die Normalen der Parallelkurve; daher sind auch die Krümmungsmittelpunkte der Ellipse zugleich die Kriiinmungsmittelpunkte der Parallelkurve. Die Evolute einer Linie ist auch die Evolute einer jeden P a r a l l e l k u r v e dieser Linie.

200

Iii. Dreh- und Rohrflächen.

Dies kann beim Zeichnen der Schlagschattenlinie benützt werden. Insbesondere sind die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel der Ellipse auch die Krümmungsmittelpunkte f ü r die Scheitel Hlt Hui, beziehungsweise Ux und man kann ziemlich große Bogen dieser Scheitelkreise beim Ausziehen der Schattenlinie verwenden. Die Schlagschattenlinie besteht aus zwei g e t r e n n t e n A s t e n . Der äußere Ast ist der S c h a t t e n d e r W u l s t u n d hat eine ellipsenartige Form; der innere Ast ist der S c h a t t e n d e r K e h l e d e r K i n g f l ä c h e und kann verschiedene Formen aufweisen. Im vorliegenden Beispiele gibt es zwei Lichtstrahlen, welche die Ringfläche (Kehle) in zwei Punkten D berühren und daher zu zwei Doppelpunkten Dx der Schlagschattenlinie führen. Läßt man einen solchen Lichtstrahl um die z-Achse rotieren, so entsteht ein einschaliges Drehhyperboloid, welches die Ringfläche längs zweier Parallelkreise berührt. Benützt man die Ebene [Iz] als neue Projektionsebene, so ergibt das Hyperboloid eine Meridianhyperbel, welche 1° als eine Asymptote und den Meridiankreis d° als einen doppelt berührenden Kreis besitzt. Ein Blick auf die Figur 92 des I. Bd. zeigt, daß die zugehörige Berührimgsehne durch den Fußpunkt B der aus dem Mittelpunkte des Kreises d° auf l" gefällten Normalen geht. Die so gefundenen Berührungspunkte C° von d 0 liefern die neue Projektion der beiden Parallelkreise, nach welchen das Hyperboloid die Ringfläche berührt. Die neue Projektion des Parallelkreises schneidet dann Z° (die Projektion der zur neuen Projektionsebene parallelen Erzeugenden des Hyperboloides) in D°, woraus man die Grundrisse D' der verlangten Berührungspunkte finden kann. Ihre Schlagschatten Di sind zwei D o p p e l p u n k t e d e r S c h l a g s c h a t t e n l i n i e . Im vorliegenden Beispiele gibt es auch vier Lichtstrahlen, welche H a u p t t a n g e n t e n der Kehlfläche, also Tangenten f ü r vier Punkte R der Lichtgrenze sind und zu vier Rückkehrpunkten der Schlagschattenlinie führen (I. Bd., 27,4). Betrachtet man die Figur 98 und nennt man a den Winkel, welchen die Haupttangente s=TJ mit der Hyperbelachse TB bildet, ferner g> den Winkel, welchen der Radius MT mit der Grundebene (oder der Sehstrahl mit der Tangente des Meridiankreises) bildet, so ist

§ 36. Parallelbeleuchtung der Ringfläche als Rohrfläche.

]/rr,

cos a —

+ r0

cos o"

201

r0 +

r

r

cos m

Ist e der Einfallswinkel der Haupttangente gegen die Grundebene, so folgt aus dem rechtwinkligen Dreikante: COS E =

C O S

, bei welchem e einen bestimmten Wert hat, die Beziehung: cos 5 p ) 3 = (r cos e)2 • m . Setzt man rcosg) = p> r e o s e = a, m=b p!S = ar • b. so wird (r

Die Bestimmung der Haupttangenten, welche einen gegebenen Einfallswinkel s gegen die Parallelkreisebenen haben, führt aläo auf die D e l i s c h e A u f g a b e (§ 32,2). Hat man hiernach p = r cos cp und gj selbst konstruiert, so hat man damit die Parallelkreise gefunden, auf welchen die Punkte R liegen. D i e P u n k t e Bx m ü s s e n a u f d e r E v o l u t e d e r E l l i p s e l i e g e n (I. Bd., § 26,3) und zwar dort, wo der Krümmungsradius gleich m ist. Der Bogen RD des oberen Teiles der Lichtgrenze ergibt auch e i n e n S c h l a g s c h a t t e n a u f die F l ä c h e s e l b s t , welcher von R bis zum unteren Punkte D reicht und so wie in einem früheren Beispiele (§ 34, y) konstruiert wird. 3. Bei einer gegebenen Lichtstrahlrichtung (Einfallswinkel e) ist für die Schlagschattenellipse (I. Bd., § 22,2): a

kA

=

rcos,e,

=

k n ~

r

cos e r

cos £

b —

r\

III. Dreh- und Rohrflächen.

202

Der iiinere Ast der Schlagschattenlinie der Ringfläche nimmt verschiedene Formen an, wenn m einen der Werte 0,

rcose,

r,

r

r

|/cose

cos £

,

r

— , cose'-

annimmt oder zwischen zwei benachbarten dieser Größen liegt. Ist die .Ringfläche [O, ra, r] gegeben, so treten die verschiedenen Formen der Schlagschattenlinie auf, wenn der Einfallswinkel s der Lichtstrahlen so gewählt wird, daß cos s einen der Werte 0, bzw.

0,

T~ m-

•>

T

—j m

'171 r

"1 / T \

/— j m

,

1

bei m > r ,

1

bei

m < r

annimmt oder zwischen zwei benachbarten dieser Werte liegt. Sind die Lichtstrahlen zur Aufrißebene parallel, so ergeben sich im ersteren Falle (Fig. 105) die Ubergangslagen des Lichtstrahles durch eine einfache Konstruktion, dann durch die innere gemeinsame Tangente der beiden Meridiankreise und durch die Asymptote der Meridianhyperbel des längs des Kehlkreises oskulierenden einschaligen Drehhyperboloides. Ist nun cos e < r/m, so zeigt der innere Ast der Schlagschattenlinie (Fig. 105a) zwei D o p p e l t a n g e n t o n d1. Sie sind die Grundspuren jener zwei Tangentialebenen des Kegels der doppelt berührenden Ebenen, welche durch den Lichtstrahl des Punktes O gehen*). Die Berührungspunkte ergeben sich aus dem Parallelkreise des Punktes B , f ü r welchen c o s g > — r / m ist. Sie liegen auf der Evolute, wenn cos e = r' /m ist (I. Bd., § 17,3), sind also in diesem Falle die Iiückkehrpunkte, und die D o p p e l ta n g e n ten sind z u g l e i c h R ü c k k e h r t a n g e n t e n . 2

2

Ist cose = r/m, so ergibt sieh (Fig. 105b) ein S e l b s t b e r i i h r u n g s p u n k t B1, welcher durch Vereinigung der *) Die Schlagschattenlinie ist eine K u r v e v i e r t e r K l a s s e mit z w e i D o p p e l t a n g e n t e n : sie ist achter Ordnung, hat acht Doppelpunkte (von denen zwei reell sein können) und zwölf Rückkehrpunkte (von denen vier reell sein können). Sie wird auch T o r o i d e genannt.19

§ 36. Parallelbeleuchtung der Ringfläche als Rohrfläche.

Fig. HIS.

Fig. lüfi.

208

204

III. Dreh- und Bohrflächen.

beiden Doppelpunkte Dx und der beiden Doppeltangenten d1 entsteht (I. Bd., § 26,2). Ist r / m < cos« = r/m, so ergibt sich, daß für cosy = r-/m2 die D o p p e l t a n g e n t e n z u g l e i c h R ü c k k e h r t a n g e n t e n sind. Für cos y = r/m liegt der Punkt 1° auf der Horizontalen des Punktes 0 0 und es ergibt sich ein S e l b s t b e r ü h r u n g s punkt. Ist r/m < cos yAchse eines positiven Aehsensystenies, so ist für jeden Punkt T der Wendelfläche: x = r • cos q,

y = r ' sin

Q,

Z

— p • Q.

Dies kann man als die G l e i c h u n g e n d e r F l ä c h e betrachten, wobei jedem Werte von r e i n e S c h r a u b e n l i n i e und jedem Werte von Q e i n e E r z e u g e n d e d e r

230

IV. Schraubenfläohen und windschiefe Regelflächen.

F l ä c h e entspricht. Durch Elimination von r und q erhält man als G l e i c h u n g der F l ä c h e * ) :

Die flachgängige Schraubenfläche ist also eine t r a n szendente Fläche. 2. Um die B e r ü h r u n g s e b e n e r für einen Flächenpunkt T zu finden, legt man durch T die Erzeugende g und die Bahnschraubenlinie. Die Tangente t der Schraubenlinie [i', Tu, o', o", t" parallel o"] bestimmt dann mit der Erzeugenden g die Berührungsebene r. Die Erzeugende g ist die Hauptnormale des Punktes T der Schraubenlinie, daher ist die Berührungsebene r nichts anderes als die Schniiegungsebene der Bahnschraubenlinie für den Punkt T. Die Tangeute des Kreises \0', r] im Punkte Tu ist daher die F l u c h t g e r a d e tu d e r B e r ü h r u n g s e b e n e %. Ist umgekehrt die Fluchtgerade tu einer Berührungsebene % gegeben, so ergibt sich d e r G r u n d r i ß T' des B e r ü h r u n g s p u n k t e s * * ) als Fußpunkt der Normalen aus 0 ' auf die um 7:/., im Sinne der Schraubung gedrehte Fluchtgerade t*. D i e B e z i e h u n g z w i s c h e n ¿J u n d T' ist also die F u ß p u n k t v e r w a n d t s c h a f t. Legt man auf die Ebene |i?/„] die durch R gehende Frontale /, so ist f ü r die F l ä c h e n n o r m a l e n d e s P u n k t e s T der Grundriß n' senkrecht g' und der Aufriß n" senkrecht / " . F ü r t und n ist die Sichtbarkeit in der Abbildung angegeben. 3. Durcheilt der Punkt T eine Bahnschraubenlinie, so bilden die Berührungsebenen r d i e z u g e h ö r i g e S c h r a u b e n t o r s e . Durcheilt der Punkt T eine Erzeugende g, so dreht sich die Berührungsebene % um g und bildet also ein Ebenenbüschel. Die zur Schraubenachse senkrechte Ebene von g berührt die Fläche im uneigentlichen Punkte *) Wählt man als x-Aclise eine um c tiefer liegende Gerade, so ist + v p • arc tg — .

° x

**) Es gibt unendlich viele Berührungsebenen, welche tu als Fluchtgerade besitzen, nämlich in jedem Gange zwei. Die zugehörigen Berührungspunkte (Ti, Tu) haben alle ihren Grundriß in T'.

§ 41. Flächenpunkt, Berührungsebene und Flächennormale.

281

von g und heißt deshalb a s y m p t o t i s c h e E b e n e . Die dazu senkrechte Ebene von g geht durch z und berührt die Fläche im Schnittpunkte Z mit der Schraubenachse; sie heißt Z e n t r a l e b e n e und Z heißt d e r Z e n t r a l p u n k t der Erzeugenden. Betrachtet man zwei benachbarte Lagen g und gx der E r z e u g e n d e n i r g e n d e i n e r w i n d s c h i e f e n F l ä c h e (Fig. 117), so haben sie eine gemeinsame Normale z und auf ihr den A b s t a n d dz, welcher im P u n k t e Z von g beginnt (I. Bd., § 7,4). Zieht man durch Z eine Parallele q zu gx, so ergibt sie mit g den Winkel d q der beiden Erzeugenden. E i n P u n k t T von g hat einen Abstand r von Z und bestimmt mit gx eine Ebene t. Diese bildet mit der von q und gx bestimmten Ebene £ einen W i n k e l « , welcher in dem rechtwinkligen Dreiecke PQT vorkommt. I m Grenzfalle, wo sich gx mit g vereinigt, wird t die Berührungsebene d e s P u n k t e s T, [gq\ die asymptotische Ebene, £ die Zentralebene und Z der Zentralpunkt der Erzeugenden g. Die P u n k t r e i h e g{T) ist mit dem Ebenenbüschel gx(r) p e r spektiv. Daraus folgt f ü r den Fig. 117. Grenzfall: D i e R e i h e d e r B e r ü h r u n g s p u n k t e T auf g ist zu d e m B ü s c h e l d e r z u g e h ö r i g e n B e r ü h r u n g s e b e n e n T projektiv. Der Differentialquotient dz dg

=

Vg

heißt dann d e r P a r a m e t e r d e r E r z e u g e n d e n g. E r ist positiv f ü r ein rechtsgeschraubtes Flächenelement (wie in der Figur), negativ f ü r ein linksgeschraubtes. Aus dem Dreiecke PQT ergibt sich f ü r den Grenzfall: cotg« = -

dz r-dq

oder r • cotg oi — pg.

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IV. Schraubenflächen und windschiefe Regelflächen.

D a s P r o d u k t des A b s t a n d e s r eines P u n k t e s T vom Z e n t r a l p u n k t e Z und der K o t a n g e n t e des W i n k e l s « der zugehörigen T a n g e n t i a l e b e n e z mit der Z e n t r a l e b e n e £ ist k o n s t a n t und dem P a r a m e t e r pg d e r E r z e u g e n d e n g l e i c h . Die beiden Punkte von g, deren Berührungsebenen mit der Zentralebene den Winkel 7r/4 einschließen, haben einen Abstand vom Zentralpunkte, welcher dem Parameter ps der Erzeugenden gleich ist. Die von den Zentralpunkten der aufeinanderfolgenden Erzeugenden einer windschiefen Fläche gebildete Linie heißt S t r i k t i o n s l i n i e . 4 Aus der Entstehung der Wendelilächc folgt unmittelbar dz

TQ=P-,

=

Der P a r a m e t e r aller Erzeugenden einer W e n d e l f l ä c h e ist dem P a r a m e t e r d e r S c h r a u b u n g gleich. D i e S c h r a u b e n a c h s e ist die S t r i k t i o n s l i n i e d e r Wendelfläche.

§ 42. Schnittlinie der Wendelfläche mit einer Ebene. 1. Legt man durch die Erzeugende, welche zur Aufrißebene normal ist, eine Ebene s, welche mit der Schraubenachse einen Winkel tx bildet (Fig. 118), so berührt sie die flachgängige Schraubenfläche in einem Punkte A, welcher von der Achse einen Abstand a = p - t g & hat. Zieht man nämlich durch den Punkt R , welcher um den Parameter p über dem Punkte 0 liegt, eine Parallelebene zu e, so liefert ihre Fallinie den Punkt Au, durch welchen die Flucht e« der Ebene e geht. Eine beliebige Erzeugende g der flachgängigen Schraubenfläche ergibt e i n e n P u n k t T d e r S c h n i t t l i n i e d e r B e r ü h r u n g s e b e n e s, insbesondere gibt die zur Aufrißebene parallele Erzeugende den P u n k t B . Aus dem Aufrisse ergibt sich (Gleichung von e.,) also

y = z-tgQ.

pe-tg

Fig. 118.

Die y-Koordinate ist dem zum Polarwinkel Q gehörigen Bogen des Kreises [0, o] gleich. Die Strecke 0' B' hat die Länge eines Viertclkreises, ist also 6 = a«7r/2. Teilt man die Strecke 0' B' in eine Anzahl gleicher Teile und zieht durch die Teilpunkte die Strahlen parallel zu x, teilt man ferner den Viertelkreis BUB' in ebenso viele Teile

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IV. Schraubenflächen und windschiefe Regelflächen.

und zieht durch die Teilpunkte die Strahlen aus 0', so ergeben die Schnittpunkte der entsprechenden Strahlen den Bogen A' B' der betrachteten Linie, wobei man freilich den P u n k t A' bloß als Grenzlage erhält. Durch Erweiterung der Teilung auf der y - A c h s e und auf dem Kreise ergibt sich die ganze Linie. D e r G r u n d r i ß der S c h n i t t l i n i e e i n e r flachg ä n g i g e n S c h r a u b e n f l ä c h e mit e i n e r B e r ü h r u n g s e b e n e i s t eine Q u a d r a t r i x des D i n o s t r a t u s . 1 Die Tangente der zum Punkte T gehörigen Schraubenlinie hat eine Flucht Tu, welche man durch Zurückdrehen von T' um JT/2 erhält. Die Gerade, welche bei Tu zu 0'TU senkrecht ist, bedeutet die Flucht tu der Tangentialebene der Wendelfläche f ü r den P u n k t T. Der Schnittpunkt von e« und lu ist die Flucht Su der Tangente s der Schnittlinie für den P u n k t T. D e r G r u n d r i ß s d e r T a n g e n t e ist daher zu R'Su parallel. F ü r den S c h e i t e l A ist die Tangente der Schnittlinie zu RAU parallel, also zur E r zeugenden senkrecht. Sie ist d i e z w e i t e H a u p t t a n g e n t e d e s F l ä c h e n p u n k t e s A, während die Erzeugende als Teil der Schnittlinie die erste Haupttangente bildet. F ü r jeden P u n k t der Wendelfläche sind somit die beiden Haupttangenten zueinander normal. Die I n d i k a t r i x für jeden P u n k t der W e n d e l f l ä c h e ist eine g l e i c h s e i t i g e H y p e r b e l . Die um je eine halbe Ganghöhe h über oder unter O liegenden Erzeugenden sind zur Ebene £ parallel und liefern u n e i g e n t l i c h e P u n k t e U der S c h n i t t l i n i e . Die zu diesen uneigentlichexi Punkten gehörigen B e rührungsebenen sind zur Schraubenachse normal und schneiden die Ebene E in den A s y m p t o t e n u d e r S c h n i t t l i n i e . Die in den Abständen 2 6 von 0 ' gezogenen Parallelen zur a;-Achse sind die A s y m p t o t e n u' d e r Quadratrix. Die Linie hat unendlich viele Aste. Die Drehflucht ejf der Ebene e berührt den Grundriß der Schnittlinie bei A' und schneidet ihn noch in unendlich vielen Punkten W'. Die um n/t zurückgedrehte Quadratrix enthält die Gesamtheit der Punkte T u und schneidet eu in solchen Punkten Wu, für welche Su und T„ zusammenfallen, so daß die Tangente bei W' senkrecht zu 0' W' ist.

§ 42. Schnittlinie der Wendelfläche mit einer Ebene.

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Die Tangente der Schnittlinie f ü r die P u n k t e W ist also eine Haupttangente der Wendelfläche und daher e i n e W e n d e t a n g e n t e der Schnittlinie. „Die Wendepunkte der Quadratrix liegen auf der Scheiteltangente; die zugehörigen Wendetangenten berühren die Parabel, welche A' als Scheitel und 0' als Brennpunkt hat." F ü r e i n e E b e n e ö, w e l c h e zu s p a r a l l e l i s t u n d n i c h t m e h r d u r c h e i n e E r z e u g e n d e g e h t , soll die Grundspur d1 um eine Strecke d nach rechts verschoben angenommen werden. Der Grundriß der Schnittlinie ergibt sich in gleicher Weise. E r hat die Gleichung: y —d v = x tg — * a

, oder

ao-\-d r = —~ sin q

und kann als v e r a l l g e m e i n e r t e Q u a d r a t r i x bezeichnet werden. Da die Ebene nicht mehr Berührungsebene ist, so ist für den Gesamtschnitt der frühere Doppelpunkt A' (Schnittpunkt der Quadratrix und des Grundrisses der Erzeugenden) verschwunden; die Linie zeigt in der Nähe von A' hyperbelartigen Verlauf. Sie geht durch 0' und hat dort den Grundriß jener Erzeugenden als Tangente, welche durch den Schnittpunkt der Ebene v = pl2, der halben G a n g h ö h e hv = h/2, dem R a d i u s rv = p/2tge und dem Krümmungswinkel /xv = e. Auf der flachgängigen Schraubenfläche liegen also außer den oo1 Bahnschraubenlinien noch oo2 S c h r a u b e n l i n i e n von h a l b e r Ganghöhe; nämlich die Schnittlinie der Wendelfläche mit einem Drehzylinder, welcher durch die z-Achse geht, besteht aus dieser Achse und einer solchen Schraubenlinie von halber Ganghöhe. Auf dem wie hier begrenzten Teile der Fläche kommt auch nur ein Teil des Selbstschattens zur Geltung. Dabei ist zu beachten, daß rechts von z" im Aufrisse dieselbe Seite der Fläche wie im Grundrisse sichtbar ist, während links von z" im Grund- und Aufrisse nicht dieselbe Seite sichtbar ist. Sucht man die Fluchtgerade hu der Ebfenen, welche zu l senkrecht sind, und dreht man den (auf l' liegenden) Fußpunkt der Normalen aus 0 ' um 7t/2 im Sinne der Schraubung, so erhält man den Grundriß H' des h e l l s t e n P u n k t e s H. Dabei ist O'LXO'H' Der Aufriß E" ergibt sich mit Hilfe der Erzeugenden, auf welcher auch der Punkt L liegt. Um die I s o p h o t e n zu konstruieren, zeichnet man in der Ebene [Za] den Kreis, welcher den Abstand der Spitze B des Richtkegels von- der Fluchtgeraden hu als Radius und B als Mittelpunkt besitzt, teilt diesen Radius in zehn gleiche Teile und zieht durch die Teilpunkte die zum Radius senkrechten Sehnen. Durch die Endpunkte dieser Sehnen gehen die Erzeugenden von Drehkegeln (mit der Achse T), welche die aufeinanderfolgenden Helligkeitsgrade aufweisen. Als Drehflucht dieser Kegel ergibt sich ein B ü s c h e l von K e g e l s c h n i t t e n , deren F u ß p u n k t k u r v e n in bezug auf 0 ' die Grundrisse der I s o p h o t e n sind. Man kann aber auch die Isophotenpunkte für die einzelnen Bahnschraubenlinien mit Hilfe der zugehörigen Richtkegel finden.10 2. Um den S c h l a g s c h a t t e n der W e n d e l f l ä c h e auf die G r u n d e b e n e zu erhalten, sucht man den Schlagschatten der Lichtgrenze und der Randschraubenlinie. Der 16*

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IV- Schraubenflächen und windschiefe Regelfl&chen.

erstere ist immer eine Zykloide mit R ü c k k e h r p u n k t e n (den Schatten der Punkte L). Der letztere ist hier ('tx