Darstellende Geometrie. Band 1 Die wichtigsten Darstellungsmethoden: Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper [4., durchges. u. erw. Aufl. Reprint 2019] 9783111378749, 9783111020372

Citation preview

S A M M L U N G

G Ö S C H E N

B A N D

142

DARSTELLENDE GEOMETRIE i

DIE WICHTIGSTEN

DARSTELLUNGSMETHODEN

GRUND- U N D AUFRISS EBENFLÄCHIGER

KÖRPER

VOll

DR.WOLFGANG

HAACK

o. P r o f e s s o r an d e r T e c h n i s c h e n U n i v e r s i t ä t B e r l i n

Vierte, durchgesehene und ergänzte Auflage M i t 120 A b b i l d u n g e n

WALTER

DE

G R U Y T E R & CO.

v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g • Georg R e i m e r • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & C o m p .

BERLIN

1963

Die Darstellung umfaßt folgende Bände: Band I: Die wichtigsten Darstellungsmethoden. Grund- und Aufriß ebenflächiger Körper. (Sammlung Göschen 142) Band II: Körper mit krummen Begrenzungsflächen. Kotierte Projektionen. (Sammlung Göschen 143) Band III: Axonometrie und Perspektive. (Sammlung Göschen 144)

© Copyright 1963 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit & Comp., Berlin 30, Uentliiner Str. 13. Alle Hechte, einschl. der Hechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Archiv-Nr. 7712634. Satz u n d Druck Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany.

Inhaltsverzeichnis Seite

Einleitung I. Die w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n

5 . . . .

10

1. 2. 3. 4. 5.

Zentralprojektion Parallelprojektion Senkrechte Parallelprojektion Grund- und Aufriß einfacher Körper Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden. Kavalierperspektive 6. Kavalierperspektive eines Rohrstückes 7. Axonometrische Darstellungen

11 14 17 20 23 27 28

II. P u n k t e , G e r a d e n , E b e n e n

30

8. 9. 10. 11. 12. 13.

Die vier Quadranten, Medianebenen Gerade Linien, Strecken Mongesche Drehkonstruktion Umlegung des Stützdreiecks Spurendarstellung der Ebene Geraden und Punkte einer Ebene, die durch die Spuren gegeben ist 14. Ebene, gegeben durch drei Punkte 16. Wahre Gestalt einer ebenen Figur

30 33 37 41 44 46 62 67

III. S c h n i t t k o n s t r u k t i o n e n v o n E b e n e n u n d G e r a d e n

61

16. 17. 18. 19. 20.

Schnittpunkt von Ebene und Gerade Schnittgerade zweier Ebenen Lot auf eine Ebene Winkel zweier Ebenen Winkel von Gerade und Ebene; kürzester Abstand zweier Geraden 21. Einführung einer neuen Projektionsebene

61 66 68 70 72 74 1*

4

Inhaltsverzeichnis

IV. E b e n f l ä c h i g e K ö r p e r 22. Schnitte durch einen Balken 23. Ebener Schnitt durch Pyramide; Abwicklung . . . 24. Durchdringung zweier Balken 25. Durchdringung von Pyramide und Prisma V. A f f i n i t ä t 26. Affinität; invariantes Rechtwinkelpaar 27. Ellipse als affines Bild des Kreises 28. Ellipsenkonstruktionen

Seite

78 78 82 86 88 96 96 101 106

Aus dem Inhalt der weiteren Bände: Band II ( S a m m l . G ö s c h e n 143). K ö r p e r m i t k r u m m e n Begrenzungsflächen, Kotierte Projektionen. I. Zylinder, Kegel, Kugel II. Durchdringungen von Zylindern, Kegeln, Kugeln III. Drehflächen und Schraubenflächen IV. Kotierte Projektionen B a n d III ( S a m m l . G ö s c h e n 144). A x o n o m e t r i e u n d P e r spektive. I. Axonometrie II. Grundzüge der ebenen Perspektive III. Elemente der angewandten Perspektive IV. Perspektive von Kreisen V. Schattenkonstruktion der Perspektive

Einleitung Die Versuche des Menschen, Gegenstände seiner Umgebung, also räumliche Objekte, durch ebene oder flächenhafte Darstellungen wiederzugeben, sind so alt wie überhaupt die Kultur. Oft sind Steinzeichnungen die einzigen Zeugen kultureller Betätigung früherer Volksstämme. Sind diese primitiven Zeichnungen zunächst noch wenig entwickelte Ausdrücke eines ästhetisch-künstlerischen Schaffensdranges, aus dem im Laufe der Jahrtausende die Malerei entstanden ist, so findet sich auch schon bald die Zeichnung als praktisches oder technisches Hilfsmittel. Mit der fortschreitenden Entwicklung der Baukunst entstand das Bedürfnis und allmählich die Notwendigkeit, die Einzelteile des Bauwerkes, z. B. die einzelnen Bausteine, im voraus durch Zeichnungen wiederzugeben. So wird vom Tempelbau zu Jerusalem, den König Salomo etwa 1000 Jahre v. Chr. durch die Tyrier ausführen ließ, im Buch der Könige des alten Testaments (Kap. 6, V. 7) berichtet: „Und da das Haus gesetzet ward, waren die Steine zuvor ganz zugerichtet, daß man keinen Hammer noch Beil noch irgendein Eisenzeug im Bauen hörete." Wir können daraus schließen, daß die Steine schon am Steinbruch formgerecht geschnitten wurden, was nur bei Vorhandensein irgendeiner Art technischer Zeichnung möglich ist. Die zeichnerische Darstellung räumlicher Objekte entsteht im wesentlichen aus zwei verschiedenen Beweggründen, einmal als Selbstzweck k ü n s t l e r i s c h e n S c h a f f e n s , zum anderen als H i l f s m i t t e l d e s B a u m e i s t e r s . Der Maler

6

Einleitung

wird den räumlichen Gegenstand so darzustellen versuchen, daß der Betrachter des Bildes unmittelbar einen Eindruck gewinnt, der die a n s c h a u l i c h plastische Vorstellung des Gegenstandes hervorruft. Das Bild des Gegenstandes soll möglichst den optischen Eindruck des räumlichen Objektes erwecken. Jedoch wird der wahre Künstler einen Gegenstand seiner Umgebung nicht einfach „abmalen", sondern in dem Kunstwerk sein subjektives Vorstellungsbild des Gegenstandes wiedergeben und dem Betrachter des Bildwerkes übermitteln. Dagegen verfolgt die t e c h n i s c h e Z e i c h n u n g andere Ziele. Durch sie will der Baumeister oder Konstrukteur dem Handwerker die verschiedenen Maße des Bauteiles mitteilen, nach denen das Teilstück hergestellt werden kann. Es kommt daher bei der technischen Zeichnung nicht darauf an, daß sie bei dem Betrachter u n m i t t e l b a r einen anschaulichen Eindruck des Gegenstandes erweckt, sondern daß sie in einfacher Weise ein A b l e s e n der v e r s c h i e d e n e n Maße des O b j e k t e s gestattet. Der Fachmann, der die technische Zeichnung lesen kann, wird auch eine räumliche Vorstellung des Objektes gewinnen; aber diese Vorstellung entsteht nicht unmittelbar aus dem optischen Eindruck der Zeichnung, sondern aus einer gewissen Gedankenarbeit, die mit dem Studium der Zeichnung verbunden ist. Für den Baumeister ist die technische Zeichnung schon von alters her zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden. Er verwendet aber auch die a n s c h a u l i c h e Z e i c h n u n g . Das Bauwerk existiert zunächst nur in der Vorstellung des Meisters; um anderen eine Vorstellung des geplanten Bauwerkes zu übermitteln, braucht er eine Zeichnung, die möglichst denselben Eindruck bei dem Betrachter hervorruft, den das Bauwerk nach seiner Fertigstellung ausüben wird. Wir können sagen, beim Betrachten der Zeichnung soll das Bauwerk in der Phantasie des Beobachters entstehen. Wann in der Geschichte des Bauwesens zuerst Konstruktionszeichnungen oder anschauliche Zeichnungen auftreten, läßt sich nicht genau feststellen. Die Überlieferungen sind

Einleitung

7

recht dürftig. Über die M a l e r e i des g r i e c h i s c h - r ö m i s c h e n A l t e r t u m s geben einige Fresken Auskunft, die bei den Ausgrabungen in Pompeji und Herculaneum gefunden wurden. Sonst ist uns an Zeichnungen, die das Räumliche des Objektes wiederzugeben versuchen, so gut wie nichts überliefert. Dagegen sind Berichte über Malerei sowie vereinzelt auch über technische Zeichnungen erhalten geblieben. Einige Richtlinien über das, was wir heute Perspektive nennen, hat E u k l i d (300 v. Chr.) in seiner Optik zusammengefaßt. Später berichtet Marcus V i t r u v i u s Pollio, Baumeister Julius Cäsars, in dem uns überlieferten Werk über Bauwesen, daß zur Ausführung eines Bauwerkes folgende Baurisse (species) erforderlich sind: „der Grundriß (ichnographia), der Aufriß (ortiwgraphia) und die Aussicht (scenographia). Der Grundriß ist eine vermittels Zirkel und Lineal nach verjüngtem Maßstabe (modice) verfertigte Zeichnung, welche die Einrichtung der Grundfläche eines Gebäudes zeigt. Der Aufriß aber ist die Abbildung der errichteten Front nach verjüngtem Maßstabe und nach allen Verhältnissen des auszuführenden Gebäudes. Die Aussicht endlich ist der Front und der abgehenden Seiten schattierte Zeichnung (adumbratio) so, daß alle Linien in einem Augenpunkte (centrum) zusammentreffen." Dieses Zitat aus der R o d eschen Übersetzung von V i t r u v i u s ' Baukunst unterrichtet uns lediglich von der Tatsache, daß solche Zeichnungen zur Ausführung eines Baues hergestellt, ohne jedoch anzudeuten, nach welchen Regeln und Prinzipien die Zeichnungen angefertigt wurden. Der Grundriß des Klosters St. Gallen aus dem 9. Jahrhundert ist der bekannteste uns erhaltene Plan. Es liegt keineswegs in unserer Absicht, hier einen vollständigen Ü b e r b l i c k ü b e r die h i s t o r i s c h e E n t w i c k l u n g des anschaulichen bzw. technischen Zeichnungswesens zu geben. Wir wollen darauf hinweisen, daß die Zeichnung Hilfsmittel des Ingenieurs ist, seitdem das Bauwesen die primitivsten Anfänge verlassen hat. Noch viele Jahrhunderte sollten jedoch vergehen, bis aus den handwerklichen technischen Zeichnungen die D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e entstand. Wir müssen annehmen, daß begabte Meister gewisse

8

Einleitung

Verfahren und Regeln zur Anfertigung der Zeichnung erfanden und sie als Berufsgeheimnis bewahrten oder ihren Schülern überlieferten. Später waren sie in den Zünften und Innungen verbreitet, aber auch gehütet. Es handelte sich dabei keineswegs um systematische Methoden, die geometrisch, also mathematisch begründet waren, sondern vielmehr um Regeln, die sich aus Praxis und Erfahrung ergeben hatten. Nach der Erfindung des Buchdrucks erschienen seit dem 16. Jahrhundert Veröffentlichungen, die über die Konstruktionen insbesondere des Steinschnitts berichten, ohne allerdings den Versuch zu machen, die Richtigkeit der Konstruktion zu begründen. Auch das Werk A l b r e c h t D ü r e r s (1471—1528), Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit in Linien, Ebenen und ganzen Körpern 1525 1 ), ist von exakter Methode und strenger Begründung noch weit entfernt. Aber es zeugt von tiefem geometrischem Verständnis und einer hochentwickelten Vorstellungsgabe. Der zweite Teil des Dürerschen Buches, dessen Lektüre auch heute noch reizvoll und fesselnd ist, behandelt im Zweitafelverfahren die Kegelschnitte und gibt eine Einführung in die Perspektive. Wichtige Fortschritte in Richtung geometrischer Begründung verdankt man G i r a r d D e s a r g u e s (1593—1662), dessen Schüler B o s s e ein Buch über Steinschnitt veröffentlichte. Es entstand ein langer Streit zwischen D e s a r g u e s , als geistigem Vater des B o s s e s c h e n Werkes, und den Praktikern, welche „die geometrische Auffassung zugunsten der handwerklichen, wenn auch nachweislich nicht selten irrigen Übung bekämpften". Als V a t e r d e r D a r s t e l l e n d e n G e o m e t r i e pflegt man G a s p a r d M o n g e (1746—1818) zu bezeichnen. An der 1795 unter wesentlicher Mitwirkung von M o n g e gegründeten É c o l e p o l y t e c h n i q u e in Paris las M o n g e seit 1795 seine „Leçons de géométrie descriptive11. Sie wurden als Nachschriften in Bd. I—IV des Journal des écoles normales veröffentlicht. Die in Jahrhunderten entwickelten handwerkl ) Herausgegeben von A. P e l t z e r München 1908.

mit Vorwort von Hans

Thoma,

Einleitung

9

liehen Verfahren des technischen Zeichnens erscheinen hier in systematischer Methodik und einwandfreier Begründung als Zweig der Geometrie. Seitdem behandelt die Darstellende Geometrie die verschiedenen Methoden, die eine Darstellung räumlicher Gebilde durch ebene Abbildungen ermöglichen. Sie entwickelt Projektionsverfahren, die als Grundlage technischer Zeichnungen ein müheloses Ablesen der Längenmaße der Gegenstände gestatten, aber auch solche, die unmittelbar ein anschauliches Bild des Gegenstandes vermitteln. Es ist nicht Aufgabe der Darstellenden Geometrie, eine Einführung in das T e c h n i s c h e Z e i c h n e n zu geben, sondern sie ist die geometrische Grundlage für das Technische Zeichnen. Die Darstellende Geometrie lehrt Abbildungsverfahren, die räumliche Objekte durch ebene Zeichnungen wiedergeben, und zwar in einer Art, die dem jeweiligen Zweck angemessen ist; sie lehrt ferner die Lösung räumlich geometrischer Aufgaben durch ebene Konstruktionen. Die technische Zeichnung dagegen ist eine Anwendung der Darstellenden Geometrie auf die Bedürfnisse des Ingenieurs. Hier sind neben den rein geometrischen Aufgaben zahlreiche technische Dinge von Bedeutung, wie zum Beispiel eine einheitliche Bezeichnungsweise oder schematische, abgekürzte Wiedergabe allgemein üblicher Einzelteile (etwa Schrauben) und schließlich Angaben über das Material des Gegenstandes und anderes mehr. Wenn sich die Darstellende Geometrie selbst nicht mit technischen Dingen befaßt, so empfiehlt sich doch eingedenk des historischen Werdeganges, beim Aufbau der Darstellenden Geometrie stets ihre A n w e n d u n g in d e r t e c h n i s c h e n Z e i c h n u n g im Auge zu behalten und vornehmlich diejenigen geometrischen Zusammenhänge zu behandeln, die der Ingenieur braucht oder gebrauchen kann. Der einleitende historische Überblick zeigt uns, daß Darstellende Geometrie unter v e r s c h i e d e n e n Gesichtsp u n k t e n behandelt werden kann, von denen wir drei hervorheben. Als Z w e i g w i s s e n s c h a f t l i c h e r E r k e n n t -

10

I. Die wichtigsten Daistellungsmethoden

nis beschäftigt sich die Darstellende Geometrie mit den mathematisch-geometrischen Gesetzen und Relationen der Abbildungen mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf die Ebene unter Verwendung zeichnerischer Hilfsmittel ohne Rücksicht auf irgendwelche Anwendungszwecke. Als Zweig der a n g e w a n d t e n M a t h e m a t i k kann sie entweder die A n s c h a u l i c h k e i t oder die M a ß ü b e r m i t t l u n g des dargestellten Körpers in den Vordergrund stellen. Dadurch ergibt sich eine natürliche Gliederung des Stoffes. Band I und I I werden vornehmlich die Darstellungsmethoden behandeln, die die Maße der dargestellten Körper wiedergeben, während im dritten Band die unmittelbare Anschaulichkeit der Zeichnung hervorgehoben wird. In der Ableitung und Begründung der verschiedenen Konstruktionsmethoden liegt der Zusammenhang mit den rein-mathematischen Ergebnissen.

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden Die Grundelemente des Raumes sind Punkte, Geraden und Ebenen. Ihre gegenseitigen Beziehungen werden durch die Axiome der Geometrie festgelegt, auf die sich das Gebäude der Geometrie aufbaut. Unter einer A b b i l d u n g des R a u m e s auf eine E b e n e m versteht man meist eine Vorschrift, die jedem Punkt P des Raumes (bis auf gewisse Ausnahmen) einen bestimmten Punkt P der Ebene n zuordnet. Der Punkt P heißt das Bild des Punktes P und die Ebene n die Bildebene. In der Mathematik gibt es noch allgemeinere Abbildungen, bei denen etwa jedem Punkt des Raumes eine Gerade oder auch ein Kreis der Ebene zugeordnet wird; doch wollen wir uns auf die Punktzuordnungen beschränken. Selbst diese sind nach der obigen Definition noch so allgemeiner Natur, daß ihr. Studium weit über den Rahmen einer Darstellenden Geometrie hinausgeht. Durch die praktischen Anwendungen ist die zusätzliche Forderung bedingt, d a ß bei d e r A b b i l d u n g j e d e r G e r a d e n d e s R a u m e s , bis auf unvermeidliche Ausnahmen, s t e t s eine G e r a d e

1. Zentralprojektion

11

in der B i l d e b e n e z u g e o r d n e t wird. Diese Forderung schränkt die Mannigfaltigkeit der Abbildungen derart ein, daß sie sich, wie man in der Mathematik zeigt, auf die Zentral- und Parallelprojektionen zurückfuhren lassen. In diesem Kapitel wollen wir zunächst das Prinzip und einige Grundsätze dieser Abbildungsverfahren beschreiben. 1. Zentralprojektion Im Raum sei fest gegeben die Bildebene n, die wir uns hier zunächst waagerecht vorstellen wollen, und ein fester Punkt 0, den wir das Projektionszentrum oder auch das Auge (oculus) nennen (Bild 1). Das Lot von 0 auf die Bildebene n trifft diese im Hauptpunkt H. Ist P ein beliebiger, von 0 0 Bild 1. Zentralprojektion des P u n k t e s P vom Zentrum 0 auf die Ebene n

verschiedener Punkt des Raumes, so soll ihm als Bildpunkt der Schnittpunkt P der Geraden P 0 mit der Bildebene n zugeordnet wer en. Man sagt: Der Punkt P ist die P r o j e k t i o n des P u n k t e s P vom Z e n t r u m 0 auf die Bildebene n. Die Gerade 0 P ist der Projektionsstrahl des Punktes P. Die Abbildung heißt die Zentralprojektion des Raumes auf die Ebene n mit dem Zentrum 0. Sie steht in enger Beziehung zum S e h v o r g a n g , bei dem die Punkte des (sichtbaren) Raumes auf die Netzhaut des Auges abgebildet werden. Der optische Mittelpunkt der Augenlinse ist Projektionszentrum. Umgekehrt geht die Bezeichnung des Zentrums als „Auge" oder 0 = oculus auf diesen Zusammenhang zurück. Schon daraus kann man schließen, daß unter gewissen Voraussetzungen die Zentralprojektion als Grundlage für die Herstellung anschaulicher Bilder dienen kann. Sie wird eingehend erst im Band III behandelt. Hier erwähnen wir nur einige grundsätzliche Fragen.

12

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

B e s i t z t j e d e r P u n k t des R a u m e s bei der Z e n t r a l p r o j e k t i o n einen eindeutig b e s t i m m t e n B i l d p u n k t ? Das ist sicher nicht der Fall. Denn der Punkt 0 ist ebenfalls ein Punkt des Raumes; für ihn versagt unser Projektionsverfahren. Aber es gibt noch andere Punkte, für die wir kein Bild angeben können. Ist nämlich Q ein Raumpunkt, dessen Verbindungsgerade 0 Q parallel zur Bildebene n ist, so gibt es keinen Bildpunkt Q; denn die Gerade 0 Q schneidet n in keinem, im Endlichen gelegenen Punkt. Hier liegen die Dinge aber anders als beim Punkt 0. Der Projektionsstrahl 0 Q ist eindeutig bestimmt, während der Punkt 0 a Pj Bild 2. Nicht jeder Punkt des Baumes besitzt einen eigentlichen Bildpunkt, z. B. Punkt Q

keinen bestimmten Projektionsstrahl besitzt. Zur Erläuterung betrachten wir eine Anzahl Punkte Plt P2, P3 •••Q, die auf einer vertikalen Geraden durch Q liegen und sich allmählich dem Punkte Q nähern (Bild 2). Die Bilder P 1 ; P 2 . . . der Punkte Plt P2 • • • wandern in der Bildebene auf einer Geraden immer weiter nach rechts. Je mehr sich P dem Punkt Q nähert, desto weiter ab liegt der Bildpunkt P. Strebt P auf der betrachteten Geraden gegen Q, so bewegt sich sein Bildpunkt P auf der Bildgeraden ins Unendliche. Die Bildgerade ist parallel zum Projektionsstrahl 0 Q. Man kann dem Punkt Q die zum Strahl 0 Q parallele Richtung der Bildebene zuordnen. Es ist in vielen Fällen nützlich, für den Ausdruck „zwei Geraden sind parallel" die Worte „zwei Geraden schneiden sich im Unendlichen oder in einem uneigentlichen Punkt" einzuführen. Anstatt zu sagen „dem

1. Zentralprojektion

13

Punkt Q ordnen wir die zu Q 0 parallele Richtung der Bildebene zu", können wir uns einfacher ausdrücken durch: „Das Bild von Q ist der uneigentliche Punkt Q der Bildebene in Richtung 0 Q u . Mit diesem Ausdruck verbinden wir anschaulich die Vorstellung einer Richtung der Bildebene. Indem wir aber die uneigentlichen Punkte zu den eigentlichen Punkten des Raumes hinzufügen, können wir formal die Ausnahmestellung der Punkte in der Ebene, die durch 0 parallel zur Bildebene geht, beseitigen. Dadurch läßt sich die Zentralprojektion für alle Punkte des Raumes mit Ausnahme des Zentrums 0 eindeutig machen.

Bild 3. Zentralprojektion einer Geraden

Jedoch ist gerade diese Schwierigkeit beim Erreichen der E i n d e u t i g k e i t d e r Z e n t r a l p r o j e k t i o n der Anlaß dazu, die Zentralprojektion an letzter Stelle zu behandeln. Wir erwähnen sie hier als die allgemeinste Abbildung, von der die folgenden nur Sonderfälle darstellen. Wegen der Allgemeinheit der Zentralprojektion mag sie zur Erklärung einiger, allen Projektionen gemeinsamen Begriffe dienen. Jeder Punkt der Bildebene ist zugleich das B i l d v o n u n e n d l i c h v i e l e n P u n k t e n d e s R a u m e s . Gehen wir zum Beispiel vom Punkt P des Bildes 1 aus. Jeder Punkt des Raumes, der auf der Geraden PO liegt, besitzt P als Bildpunkt; man sagt dafür auch: Alle Punkte des Raumes die auf dem gleichen P r o j e k t i o n s s t r a h l liegen, haben denselben Bildpunkt. Ist g eine G e r a d e d e s R a u m e s , die die Bildebenen im Punkt S schneiden möge, so ist ihr Bild im allgemeinen eine Gerade g, die durch S geht. Die Projektionsstrahlen, die 0

14

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

mit den Punkten von g verbinden, erzeugen eine Ebene. Sie heißt die p r o j i z i e r e n d e E b e n e der Geraden g. Diese projizierende Ebene schneidet n in einer Geraden, der Bildgeraden g von g. Im Bild 3 sind einige Projektionsstrahlen der projizierenden Ebene gezeichnet. Eine besondere Erwähnung verdient der Punkt S, indem g die Bildebene schneidet. S ist Schnittpunkt von g und g und fällt mit seinem Bildpunkt zusammen. Man nennt S den Spurpunkt der Geraden g. Aber nicht alle Geraden des Raumes erscheinen im Bild wieder als Geraden. Eine A u s n a h m e bilden die durch 0 gehenden Geraden, die wir oben Projektionsstrahlen nannten. Da alle Punkte eines Projektionsstrahles den gleichen Bildpunkt haben, entartet das Bild dieser Geraden in einen Punkt. 2. Parallelprojektion In vieler Hinsicht einfacher als die Zentralprojektion ist die Parallelprojektion. Hier ist die Bildebene, die wir wieder 7i nennen, und eine feste Projektionsrichtung r vorgegeben, die nicht zu n parallel sein darf. Das Bild P eines PunktesP des Raumes entsteht als Schnittpunkt des durch Pgehenden,

Bild 4. Parallelprojektlon eines Punktes P In der Projektionsrichtung r auf die Bildebene

zur Richtung r parallelen Projektionsstrahles mit der Bildebene. In Bild 4 ist die Projektionsrichtung r durch einen Pfeil angedeutet. Man kann sich leicht vorstellen, wie die P a r a l l e l p r o j e k t i o n als G r e n z f a l l aus der Z e n t r a l p r o j e k t i o n hervorgeht. Läßt man nämlich das Zentrum 0 der Zentralprojektion in der durch r gegebenen Richtung immer weiter von der Bildebene abrücken, so ergibt sich als Grenzfall, in dem 0 über alle Grenzen entfernt ist („unendlich weit"

2. Parallelprojektion

15

entfernt ist), die Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung r. Daraus folgt aber, daß die im vorigen Abschnitt erläuterten Eigenschaften der Zentralprojektion, soweit sie nicht durch die endliche Lage des Projektionszentrums bedingt sind, auch bei der Parallelprojektion auftreten. Jeder Punkt des Raumes hat einen eindeutig bestimmten Bildpunkt. Der Sonderfall eines uneigentlichen Bildpunktes kann bei der Parallelprojektion nicht auftreten. Alle Punkte eines Projektionsstrahles besitzen den gleichen Bildpunkt. Jede Gerade des Raumes, die nicht zur Projektionsrichtung parallel ist, besitzt als Bild eine Gerade.

Bild 5. Erhaltung der Parallelität bei Parallelprojektionen

Betrachten wir zwei zueinander p a r a l l e l e G e r a d e n des Raumes, g1 und g2, und projizieren sie mit der durch r gegebenen Projektionsrichtung auf die Ebene n (Bild 5). Die Projektionsstrahlen durch g1 und g2 bilden zwei zueinander parallele Ebenen, die die Bildebene n in den beiden zueinander parallelen Bildgeraden g^ und g2 schneiden. Es gilt daher der wichtige Satz: Parallele Geraden des Raumes gehen lei Parallelprojektion in parallele Geraden der Bildebene über. Dieser Satz gilt n i c h t für Zentralprojektion, denn bei diesen gehen alle projizierenden Ebenen durch das Zentrum 0, so daß die Projektionsebenen paralleler Geraden nicht zueinander parallel sind, wenn sie nicht zusammenfallen. Aus dem Satz über die Erhaltung der Parallelität können wir schließen, daß bei den Parallelprojektionen nicht nur die Elemente Punkt und Gerade in gleichartige Elemente der Ebene übergeführt werden, sondern daß darüber hinaus noch gewisse Eigenschaften der räumlichen Gebilde erhalten bleiben. Diese werden wir später genauer zu untersuchen haben. Wir wollen hier außer der Parallelität noch eine andere

16

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

Eigenschaft anführen. Auf einer Geraden g, die nicht zur Projektionsrichtung parallel ist, seien drei Punkte P, Q, R gegeben. Durch Parallelprojektion mögen sie in die Punkte P, Q, R der Bildgeraden g in JI übergeführt werden (Bild 6).

Bild 6. Erhaltung des Teilverhältnlgses in einer Geraden bei Parailelprojektionen

Die Geraden g und g schneiden sich im Spurpunkt S. Aus Bild 6 erkennt man sofort, daß die Dreiecke S R R, SQQ und S P P einander ähnlich sind. Daher verhalten sich die Seitenlängen eines Dreiecks wie diejenigen des anderen. Es gilt also die Proportion oder:

SR:SQ:S PQ-.QR

P = =

SR-.SQ-.SP PQ:QR.

Diesen Sachverhalt können wir auch so aussprechen: Der Punkt Q teilt die Strecke P R in demselben Verhältnis wie der Bildpunkt Q die Bildstrecke P R. Daraus folgt der Satz: Die durch eine Anzahl Punkte einer Geraden, die kein Pro-

Biid 7. Figuren, die zur Bildebene parallel sind, haben kongruente Bilder

jekiionsstrahl ist, gebildeten Streekenverhältnisse bleiben bei Parallelprojektionen erhalten. Diese beiden Sätze sind von grundlegender Bedeutung für die weitere Untersuchung sowie für die Anwendungen der Parallelprojektionen. Die Erhaltung des Streckenverhältnisses bei Parallelprojektionen gibt uns keine Auskunft

3. Senkrechte Parallelprojektion

17

darüber, wie sich die Länge einer einzelnen Strecke bei der Projektion verhält. Einen ersten Alihaltspunkt gibt der folgende Satz: Jede zur Bildebene parallele Strecke erscheint in der Parallelprojektion in gleicher Länge und in gleicher Richtung (Bild 7). Den Beweis dürfen wir wohl als selbstverständlich übergehen. Als Verallgemeinerung folgt der Satz: Die Parallelprojektion einer ebenen Figur, deren Ebene parallel zur Bildebene n ist, ist eine kongruente Figur der Bildebene. Die V e r z e r r u n g , das ist das Verhältnis der Länge einer Strecke zur Länge ihrer Parallelprojektion, hängt von der Richtung der Strecke und von der Projektionsrichtung ab. 3. Senkrechte Parallelprojektion Die L ä n g e n v e r z e r r u n g wird besonders einfach bei der senkrechten Parallelprojektion. Darunter versteht man diejenige Parallelprojektion, deren Projektionsrichtung senkrecht zur Bildebene n ist. Für sie gelten selbstverständlich die im vorigen Abschnitt aufgestellten Sätze. Bild 8 veranschaulicht die senkrechte Projektion einer Strecke A B. a

Bild 8. Senkrechte Projektion einer Strecke

Wir haben die Strecke verlängert bis zu ihrem Schnittpunkt 8 mit der Bildebene, dem S p u r p u n k t d e r G e r a d e n A B. Dann ist B S B ein rechtwinkliges Dreieck, in dem SB = SB • cosa ist, wenn « den Neigungswinkel der Geraden gegen die Bildebene bedeutet. Ebenso ist AB = AB • cos x . Um das einzusehen, zieht man durch A eine Parallele zu A B, die den Projektionsstrahl B B in Bx trifft. Dann ist A Bx = 1 B und A B* = A B • cos a . 2 H a a c k , Darstellende Geometrie 1

18

I. Die wichtigsten Daxstellungsmethoden

Aus der obigen Gleichung erkennen wir, daß die senkrechte Projektion einer Strecke niemals länger sein kann als die Strecke selbst. Ferner hängt die Längenverzerrung nur von der Neigung der Strecke gegen die Bildebene ab. Diese einfachen Beziehungen, die zwischen einer Strecke im Raum und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene bestehen, führen dazu, die senkrechte Projektion immer dann anzuwenden, wenn man aus der Zeichnung die natürlichen Maße des gezeichneten Gegenstandes entnehmen will. Alle t e c h n i s c h e n Zeichnungenwerden in senkrechter Parallelprojektion ausgeführt. Die technische Zeichnung führt zu einer n e u e n P r o b l e m s t e l l u n g . Hatten wir bisher festgestellt, daß jeder Punkt und jeder Körper des Raumes genau ein Bild besitzt, so wenden wir uns jetzt zur u m g e k e h r t e n F r a g e , nämlich a u s g e h e n d v o n der Z e i c h n u n g , also der Projektion, den r ä u m l i c h e n G e g e n s t a n d zu b e s t i m m e n . Man erkennt sofort, daß das nicht möglich ist. Wenn im Bild 8 lediglich die Strecke Ä B der Ebene n gegeben ist, so ist es unmöglich, allein daraus Länge und Richtung der Strecke A B im Räume zu bestimmen. Die Projektion einer Figur reicht nicht aus, um die Figur selbst zu rekonstruieren. Um umkehrbare Eindeutigkeit zu erreichen, muß man die Zeichnung in geeigneter Weise ergänzen. Hierfür sind zwei V e r f a h r e n gebräuchlich. Das eine besteht darin, daß man zwei s e n k r e c h t e P r o j e k t i o n e n des räumlichen Objektes herstellt. Das andere erreicht die Eindeutigkeit dadurch, daß man an die Bildpunkte Zahlen, sogenannte K o t e n , anschreibt, die angeben, wie weit der zugehörige Raumpunkt von der Bildebene entfernt ist. Welches Verfahren vorzuziehen ist, richtet sich nach dem darzustellenden Objekt und dem Zweck der Zeichnung. Wenden wir uns zum ersten Verfahren, das den Namen Zweitafelverfahren oder Grund- und Aufrißverfahren führt. Die waagerechte Ebene nlt die Grundrißebene, möge als erste Projektionsebene dienen. Die senkrechte Projektion eines räumlichen Objekts auf ^ heißt der Grundriß. Die Projektion des Punktes A auf ist der Grundriß von A und wird mit A'

3. Senkrechte Parallelprojektion

19

bezeichnet (Bild 9). Gleichzeitig führen wir eine zweite Projektion auf die vertikale Projektionsebene n2, die Aufrißebene, aus und erhalten den Aufriß des Objektes. Die senkrechte Projektion von A auf n2 ist der Aufriß von A und wird mit A" bezeichnet. Die Schnittgerade a der Ebenen 7ij und?r 2 nennt man die Projektionsachse. Nun ist es aber nicht ratsam, in zwei zueinander senkrechten Ebenen zu zeichnen. Deshalb denkt man die Ebene Ttj um die Achse a gedreht, bis sie mit zusammenfällt. Bei dieser Drehung kommt der

Grundriß A' senkrecht unter A" zu liegen (Bild 9). Das Ergebnis des Vorganges zeigt Bild 10. Natürlich kann man auch die Aufrißebene in die Grundrißebene umlegen und die Grundrißebene als Zeichenebene deuten. In der Ebene der Zeichnung erscheinen zwei Bildpunkte des Punktes A, deren Verbindungslinie, die sogenannte Ordnungslinie, senkrecht zur Projektionsachse steht. Aus dieser Zeichnung läßt sich die Lage des Punktes A im Räume ablesen. A liegt senkrecht über A' in einer Höhe, die durch die Entfernung des Punktes A" von der Achse a angegeben ist. Im Zweitafelverfahren werden die Punkte des Raumes dargestellt durch geordnete Punktepaare der Zeichenebene.

20

I. Die wichtigsten Daratellungamethoden

Das Zweitafelverfahren ist die Grundlage der technischen Zeichnung. Seine Behandlung wird den größten Teil des vorliegenden Büchleins einnehmen. Bei dieser ersten Übersicht beschränken wir uns auf die Erklärung des Prinzips und ergänzen sie durch einige Beispiele, die die Darstellung einfacher Körper zeigen. Unsere Aufgabe wird später eine zweifache sein, nämlich zunächst eine rein d a r s t e l l e n d e , bei der es sich lediglich darum handelt, das Bild, also die Grund- und Aufriß-Darstellung, eines gegebenen Körpers zu bestimmen, und zum anderen eine k o n s t r u k t i v e , die uns lehrt, wie räumliche Konstruktionsaufgaben in der Zeichnungsebene ausgeführt werden können. 4. Grund- und Aufriß einfacher Körper Als einfachstes Beispiel wollen wir die P r o j e k t i o n e n eines W ü r f e l s bestimmen, der so auf der Grundrißebene steht, daß zwei Wände zur Aufrißebene parallel sind. Bild 11 s-f

Bild 11. Veranschaulichung des Grund- und Aufrisses eines Würfels

uzt-s•

w w

i-s•

'3-r

Bild 12. Grund- und Aufriß des Würfels

zeigt eine Skizze der Anordnung. Dabei wollen wir schon hier verabreden, daß alle Kanten eines Körpers, die durch andere Körperteile verdeckt sind, punktiert oder gestrichelt gezeichnet werden sollen. Man erkennt sofort, daß der Grundriß des Würfels durch das Quadrat 12 34 und der Aufriß durch das Quadrat 148 5 begrenzt wird. Der Grundriß T des Punktes 7 fällt mit dem Punkt 3 zusammen.

4 . Grund- u n d A u f r i ß e i n f a c h e r K ö r p e r

21

Der Grundriß des Punktes 3 ist der Punkt 3 selbst, da er von vornherein in der Grundrißebene liegt. Wir lassen daher bei diesem Punkt den Akzent, der die Projektion andeutet, fort. Entsprechendes gilt für die anderen Ecken des Würfels. Im Aufriß fällt 7" zusammen mit 8. Nach Umlegung der Grundrißebene um die Projektionsachse in die Aufrißebene erhalten wir die Z w e i t a f e l p r o j e k t i o n des W ü r f e l s (Bild 12). Es besteht kein Zweifel, daß der unmittelbare optische Eindruck dem Betrachter des Bildes 12 keineswegs die Vorstellung eines Würfels vermittelt. Das Zweitafelverfahren erhebt keinen Anspruch auf Anschaulichkeit. Dagegen ist es für jeden, der die Voraussetzungen kennt, ein Leichtes, aus dem Bild 12 den Würfel maßgetreu zu rekonstruieren.

Bild 13. Veranschaulichung der Zweitafelprojektion einer Pyramide

Bild 14. Grund- und Aufriß der Pyramide

Als z w e i t e s B e i s p i e l wählen wir eine v i e r s e i t i g e P y r a m i d e , die in der Grundrißebene steht. Bild 13 zeigt die Anordnung. Der Grundriß der Pyramide ist das Quadrat 12 34 mit den beiden Diagonalen, die die Grundrisse der Pyramidenkanten darstellen. Ihr Schnittpunkt ist der Grundriß T der Pyramidenspitze T. Der Aufriß wird begrenzt von dem Dreieck 1"=2", T", 3 " = 4". Durch Ümlegung der Grundrißebene in die Ebene tt2 entsteht das

22

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

Bild 14, welches uns die Zweitafelprojektion der Pyramide zeigt. Die Ordnungslinien, die Grund- und Aufriß eines Punktes verbinden und zur Projektionsachse senkrecht sind, deutet man oft durch dünne gestrichelte (punktierte) Linien an. Betrachtet man Bild 14, so gewinnt man leichter den Eindruck, daß durch die Zeichnung eine Pyramide dargestellt wird, als dies im Bild 12 für den Würfel der Fall war. Aber auch jetzt kann von Anschaulichkeit der Darstellung keine

4"

Bild 15. VeranschauIIchung der Zweitafelprojektion eines Zylinders

Rede sein. Aus Bild 14 kann man die Länge der Pyramidenkanten nicht unmittelbar entnehmen. Die Kanten sind gegen beide Projektionsebenen geneigt, so daß die Grundriß- und Aufrißprojektion verkürzt wird. Aber es ist auch hier nicht schwer, auf Grund der Zeichnung 14 den Körper zu rekonstruieren, denn man kennt die Grundfläche und Höhe der Pyramide. Als d r i t t e s u n d l e t z t e s B e i s p i e l betrachten wir einen auf der Grundrißebene stehenden D r e h z y l i n d e r . Den Mantel eines Drehzylinders kann man erzeugen, indem man etwa die Gerade 1 2 (Bild 15) um die Achse des Zylinders rotieren läßt. Die Strecke P Q in Bild 15 zeigt eine Stellung

5. Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden 23 bei dieser Rotation. Der Zylindermantel enthält eine unendliche Schar von Geraden, E r z e u g e n d e oder M a n t e l l i n i e n , die von P Q bei der Rotation durchlaufen werden. Jede Erzeugende ist senkrecht zur Grundrißebene; ihr Grundriß ist somit ein Punkt. Z. B.: der Grundriß der Mantellinie P Q ist der Punkt P. Daher fallen die Grundrisse aller Punkte des Zylindermantels in den Grundkreis des Zylinders. Der Grundriß des Zylinders ist ein Kreis. Der Aufriß jeder Mantellinie ist eine vertikale Gerade der Aufrißebene. Würde man alle Mantellinien in die Aufrißebene projizieren, so würden die Projektionen das Innere des Rechtecks 1" 2" 3" 4" doppelt dicht überdecken. In der Zeichnung gibt man jedoch nur die Projektion der beiden äußersten Mantellinien 12 und 3 4 an, die zusammen mit der Projektion der Deck- und Bodenfläche den Bild 16. Umriß des Körpers in der AufGrund- und Aufriß des Zylinders rißprojektion bilden. Die projizierenden Ebenen der U m r i ß m a n t e l l i n i e n berühren den Zylinder. Nach Umlegung der Grundrißebene um die Projektionsachse entsteht die Zweitafelprojektion des Zylinders, wie sie Bild 16 zeigt.

5. Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden Kavalierperspektive Die im letzten Abschnitt behandelten Beispiele zur Zweitafelprojektion einiger Körper haben gezeigt, daß das Zweitafelverfahren besonders geeignet ist, wenn es gilt, aus der Zeichnung den dargestellten Körper zu rekonstruieren oder auf Grund der Zeichnung den Körper zu fertigen. Gerade das

24

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

st aber die Aufgabe der technischen Zeichnung, die sich deshalb fast ausschließlich des Zweitafelverfahrens bedient. Andererseits f ü h r t e n die Beispiele zu wenig anschaulichen Bildern. Die H e r s t e l l u n g a n s c h a u l i c h e r B i l d e r ist das Anwendungsgebiet der Zentralprojektion, aber mit gewissen Einschränkungen auch der schiefen oder senkrechten Parallelprojektion. Die Möglichkeit, mit Hilfe der ZentralProjektion anschauliche Bilder räumlicher Objekte zu gewinnen, ist jedem aus der P h o t o g r a p h i e bekannt. Ein photographischer Apparat mit gut zeichnendem Objektiv gibt eine Zcntralprojcktion des Objektes, dabei ist der optische Mittelpunkt des Objektivs das Projektionszentrum und die Schichtseite der photographischen Platte die Bildebene (Näheres siehe Bd. I I I ) . F ü r k l e i n e r e O b j e k t e kann auch die Parallelprojektion anschauliche Bilder ergeben. Sie ist wohl das verbreitetste Hilfsmittel zum EntBild 17. Skizzen, Zur Erläuterung der Kava- werfen a n s c h a u l i c h e r üerperspektive ais schiefer Alle unsere Abbildungen, die die räumlichen Anordnungen veranschaulichen, sind als schiefe Parallelprojektionen gezeichnet. Wir wollen deshalb hier kurz erläutern, nach welchen Regeln solche Skizzen zu zeichnen sind. Als Beispiel diene eine s c h i e f e P a r a l l e l p r o j e k t i o n e i n e s Würfels. Bild 17 zeigt eine Skizze, in der die Bildebene 7i und ein an der Ebene befestigter Würfel dargestellt ist. Die Ecken des Würfels haben wir mit Ziffern bezeichnet. Die P r o j e k t i o n s r i c h t u n g f ü r die schiefe Parallelprojektion können wir willkürlich wählen. Angenommen, sie sei durch den Pfeil r gegeben, dann ergibt sich das Bild der Ecke 1, indem

6. Anwendungsgebiete der verschiedenen Darstellungsmethoden 25 wir durch den Punkt 1 die Parallele zu r ziehen und mit der Bildebene zum Schnitt bringen. Das Bild des Punktes 1 bezeichnen wir mit 1. Das Bild der Würfelkante 5 1 ist die Strecke 5 1 in der Ebene n. Man erkennt aus Bild 17, daß die Bildstrecke 5 1 je nach Wahl der Projektionsrichtung sehr verschieden ausfallen kann. Unser Ziel ist, die Projektionsrichtung r so zu wählen, daß schließlich ein a n s c h a u l i c h e s Bild des W ü r f e l s in der Ebene n entsteht, und daß außerdem das Bild möglichst mühelos gezeichnet werden kann. Die Richtung r wird gewöhnlich so angenommen, daß die Strecke 51 mit der Würfelkante 5 6

/ /

6

/

Bild 18. Kavalierperspektive eines Würfels

Bild 19. Unterscheidung sichtbarer und unsichtbarer Kanten

einen Winkel von 45° einschließt, und daß die Länge der Kante 5 1 bei der Projektion auf die Hälfte verkürzt wird, also 5 7 = y2J51). Das Bild 62 der Würfelkante 6 2 kann als Schnitt des Projektionsstrahles durch die Ecke 2 mit^r gefunden werden; man kann es jedoch auch unmittelbar zeichnen auf Grund des Satzes, daß parallele Geraden des Raumes parallele Bilder besitzen. Es ist also 6 2 parallel zu 51 und 1 2 parallel zu 5 6. Nach dieser Vorbereitung können wir das Bild des Würfels in der Ebenen konstruieren (Bild 18). Wir lassen die Ebenem mit unserer Zeichnungsebene zusammenfallen und zeichnen zunächst das Quadrat 5 67 8, das in der Ebene n liegt. Durch jede Ecke ziehen wir eine unter 45° geneigte Gerade und tragen darauf die halbe Kantenlänge ab. Damit ergeben

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

26

sich die Bildpunkte 12 3 4. Das Viereck 12 34 muß ein Quadrat sein, denn wir wissen, daß jede ebene Figur, die zur Bildebene parallel ist, bei Parallelprojektion ein kongruentes Bild besitzt. Um das Bild anschaulicher zu machen, betrachten wir die P r o j e k t i o n s s t r a h l e n als S e h s t r a h l e n und ziehen nur diejenigen Kanten aus, die s i c h t b a r sind, während wir diejenigen, die durch andere Teile des Körpers verdeckt werden, gestrichelt wiedergeben. Dadurch entsteht Bild 19. Das hier durchgeführte ProT

!

Bild 20. Kavalierperspektive der Pyramide

jektionsverfahren trägt den Namen ,,Kavalierperspektive". Es wird meist so schematisch ausgeführt, daß sich der Zeichner gar nicht mehr der Tatsache einer Projektion bewußt ist. Dabei gilt die Regel: Die zur Bildebene parallelen Strecken des Objektes zeichnet man in wahrer Größe und Richtung, die zur Bildebene senkrechten Strecken unter 45° geneigt und auf die Hälfte verkürzt. Oft ist es erforderlich, von einem Gegenstand, der durch eine Grund-und Aufrißzeichnung gegeben ist, eine K a v a l i e r p e r s p e k t i v e zu entwerfen. Wir wollen das Verfahren an der Pyramide erläutern, die durch Bild 14 gegeben ist. Die Bildebene der Kavalierperspektive möge mit der Aufrißebene von Bild 14 zusammenfallen. Wir zeichnen zuerst die Strecke 1 4 in wahrer Länge (Bild 20). Durch die Endpunkte zeichnen wir unter 45° die Kanten 1 2 und 3 4 in halber Länge. Die Gerade 2 3 und die Diagonalen 1 3 und 2 4 vervollständigen die Kavalierperspektive des Grundrisses. Es ist stets empfehlenswert, zuerst das Perspektive Bild des Grundrisses des Körpers zu konstruieren und darauf das weitere Bild aufzubauen. In unserem Beispiel

6. Kavalierperspektive eines Rohrstückes

27

ist dies besonders einfach. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt T'. Durch T' ziehen wir die Vertikale und tragen die wahre Länge der Pyramidenhöhe darauf ab, die wir aus dem Aufriß von Bild 14 entnehmen. Markieren wir schließlich noch die S i c h t b a r k e i t der einzelnen Kanten, dann ist die Kavalierperspektive der Pyramide vollendet. Wenn hier die Kavalierperspektive zur Veranschaulichung räumlicher Anordnungen herangezogen wird, so geschieht es nicht etwa, weil sie die beste und unser Empfinden befriedigendste Methode ist, sondern weil sie sich am leichtesten erklären und ausführen läßt. Der Name stammt wohl aus dem. mittelalterlichen Festungsbau. 6. Kavalierperspektive eines Rohrstückes Das Konstruktionsverfahren der Kavalierperspektive soll noch an einem dritten Beispiel vorgeführt werden. Es sei der Grund- und Aufriß eines zylindrischen Rohrstücks gegeben (Bild 21), das so auf der Grundrißebene liegt, daß die Zylinderachse senkrecht zur Aufrißebene steht. Die Ausführung des Grund- und Aufrisses geschieht in derselben

Bild 22. Kavalierperspektive des Rohrutückes

Bild 21. Grund- und Aufriß eines RohiBtückes

28

I. Die wichtigsten Darstellungsmethoden

Weise, wie es in 4 an Hand von Bild 16 erklärt wurde. Der äußere Mantel des Rohrstückes ist ein Drehzylinder, der im Grundriß als Rechteck und im Aufriß als Kreis erscheint. Es ist hier umgekehrt wie im Bild 16. Dort stand der Zylinder auf der Grundrißebene, hier liegt er in dieser Ebene. Das gleiche gilt für den inneren Mantel des Rohres. Jedoch ist dessen Umriß durch den äußeren Mantel verdeckt, daher unsichtbar und gestrichelt zu zeichnen. Die Zweitafelprojektion des Rohrstückes vermittelt uns k e i n e a n s c h a u l i c h e V o r s t e l l u n g d e s K ö r p e r s . Wir wollen sehen, wie der Körper in K a v a l i e r p e r s p e k t i v e aussieht. Die Ebene der Kavalierperspektive soll wieder mit der Aufrißebene zusammenfallen. Wir wählen in der Zeichnungsebene willkürlich den Mittelpunkt M1 der beiden Aufrißkreise und zeichnen um ihn den äußeren Kreis voll, den inneren punktiert ausgezogen (Bild 22). Beide Kreise und M j liegen in der Projektionsebene und fallen mit ihrer Projektion zusammen. Durch M1 legen wir unter 45° gegen die Waagerechte geneigt die Zylinderachse, die im allgemeinen strichpunktiert gezeichnet wird. Auf ihr wird die halbe Rohrlänge abgetragen. Der E n d p u n k t ist das Bild M a von M2. Die beiden vorderen Randkreise des Rohrstückes liegen in einer zur Bildebene parallelen Ebene. Sie erscheinen daher im Bilde in wahrer Gestalt. Die beiden vorderen Kreise sind sichtbar und werden voll ausgezogen. Die gemeinsamen äußeren Tangenten der Kreise begrenzen den Umriß der Projektion des Körpers. Da man von vorn in das Rohr hineinschauen kann, ist ein kleines Stück des inneren Bodenkreises sichtbar. Der äußere Bodenkreis ist zur Hälfte unsichtbar. Durch geeignete Schraffur kann das Bildchen noch anschaulicher wirken.

7. Axonometrische Darstellungen Ein wichtiges Hilfsmittel zur Herstellung anschaulicher Skizzen von kleinen Körpern ist die Axonometrie; darunter versteht man eine besondere Durchführungsart der Parallelprojektion. Bekanntlich lassen sich die Punkte des Raumes

7. Axonometrische Darstellungen

29

festlegen, indem man ihre Abstände von drei zueinander senkrechten Ebenen angibt. Die drei Ebenen nennt man Koordinatenebenen, ihre Schnittgeraden Koordinatenachsen. Die Abstände des Punktes von den Koordinatenebenen heißen die Koordinaten des Punktes. Das Prinzip der Axonometrie besteht darin, daß man zunächst eine Parallelprojektion der Koordinatenachsen entwirft. Bild 23 zeigt die Kavalierperspektive der Achsen. Sie werden gewöhnlich mit x, y, z bezeichnet. Auf den drei Achsen nimmt man einen gemeinsamen Maßstab an. Dieser erscheint in unserer Projektion auf der y- und z-Achse in wahrer Länge, in der ¡r-Achse auf die Hälfte verkürzt. Den Punkt 0 nennt man Koordinatenanfangspunkt. Sind die Koordinaten eines Punktes P bekannt, so läßt sich seine Parallelprojektion P leicht zeichnen. Da bei jeder Parallelprojektionparallele Bild 23. Axonometrische Darstellung Geraden des Raumes par- eines Punktes (Kavalierperspektive) allel erscheinen, zieht man durch die Koordinatenwerte der x- und «/-Achse die entsprechenden Parallelen. Sie schneiden sich in P'. Dieser Punkt heißt der axonometrische Grundriß von P. Durch P' legt man die Vertikale und macht ihre Länge gleich der z-Koordinate von P. Dann ist der Endpunkt P das Bild von P. Das Verfahren der Axonometrie haben wir hier an dem sehr speziellen Beispiel der Kavalierperspektive erklärt. Bei beliebiger Parallelprojektion der Koordinatenachsen auf irgendeine Bildebene kann das Bild ein ganz anderes Aussehen annehmen. Stets werden aber die drei A c h s e n als d r e i d u r c h e i n e n P u n k t 0 g e h e n d e G e r a d e n ers c h e i n e n , wenn die Projektionsrichtung nicht zu einer Achse parallel ist. Die Maßstäbe bilden auf jeder Achse

30

II. Punkte, Geraden, Ebenen

gleichmäßige Teilungen, die bei der Projektion in verschiedener Weise verkürzt werden. Die Abschnitte 1 bis 7 gaben eine e r s t e E i n f ü h r u n g und einen Ü b e r b l i c k ü b e r die f ü r die A n w e n d u n g e n wichtigsten Darstellungsmethoden der Darstellenden Geometrie. Unsere Aufgabe wird sein, die verschiedenen Verfahren im folgenden soweit auszubauen, daß alle in der Praxis auftretenden Konstruktionsaufgaben gelöst werden können. II. Punkte, Geraden, Ebenen 8. Die 4 Quadranten, Medianebenen In 3 haben wir schon das Verfahren der Zweitafelprojektion erklärt. Es ist die Kombination zweier senkrechter Parallelprojektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen. Durch

Bild 24. Die vier Quadranten des Raumes, die durch die Projektionsebenen entstehen

Umlegung einer der Projektionsebenen, etwa um die Projektionsachse in die andere Projektionsebene, die wir dann Zeichenebene nennen, erhalten wir als Darstellung eines Punktes P des Raumes ein geordnetes Punktepaar P', P" in der Zeichenebene. Um Unklarheiten und lästige Wieder-

8. Die 4 Quadranten, Medianebenen

31

holungen zu vermeiden, wollen wir über die Bezeichnung folgende V e r e i n b a r u n g treffen: Punkte werden durch große lateinische Buchstaben, Geraden und vereinzelt auch Kurven durch kleine lateinische Buchstaben und schließlich Ebenen durch große Frakturbuchstaben bezeichnet. Die Projektionen der Punkte und Geraden erhalten im Grundriß einen, im Aufriß zwei Akzente, unter Beibehaltung des Buchstaben. So schreiben wir z. B. P (F, F'), um auszudrücken, daß von dem Punkt P die Grundrißprojektion F und die Aufrißprojektion P" bekannt ist.

Blld 25. Grund- und Aufriß der Funkte verschiedener Quadranten

Bild 26. Die zweite Medianebene

Je nach der Lage eines Punktes P im Räume ist die g e g e n s e i t i g e L a g e der P r o j e k t i o n e n F, P" verschieden. Die Projektionsebenen, die wir uns unbegrenzt vorstellen wollen, zerlegen den Raum in vier Teile. Man nennt sie die vier Quadranten des Raumes in bezug auf die beiden Projektionsebenen und bezeichnet sie in der aus Bild 24 ersichtlichen Reihenfolge. Wir wollen untersuchen, welche Lagen die Projektionen eines Punktes zur Projektionsachse einnehmen, wenn der Punkt nacheinander die vier Quadranten durchläuft. Ist P ein Punkt des ersten Quadranten, so liegt der Grundriß F unter und der Aufriß P" über der Achse (Bild 25). Auch für jeden Punkt Q des zweiten Quadranten liegt der Aufriß Q" über der Achse, aber jetzt kommt auch der Grundriß Q' oberhalb der Pro-

32

II. Punkte, Geraden, Ebenen

jektionsachse zu liegen. Dreht man nämlich n x in Bild 24 nach TI2, SO wandert der Punkt Q' nach oben. Die Höhe von Q' über der Achse gibt an, wie weit Q hinter der Aufrißebene liegt. Für einen Punkt R des dritten Quadranten liegt R' über und R" unter der Achse, also genau umgekehrt wie für die Punkte des ersten Quadranten. Schließlich zeigt S (,S', S") die Projektionen eines Punktes des vierten Quadranten. Nachdem wir erkannt haben, daß die beiden Projektionen eines Punktes auf der gleichen Seite der Projektionsachse liegen können, leuchtet auch leicht die M ö g l i c h k e i t ein, d a ß die P r o j e k t i o n e n z u s a m m e n f a l l e n . Welches ist der geometrische Ort aller Punkte P , deren Projektionen, P' = P", in einem Punkt zusammenfallen ? Wenn in Bild 26 nach der Zusammenlegung der Projektionsebenen die Punkte fP

MX. Dagegen werden alle Strecken, deren Richtungen mit M D im gleichen Felde liegen, bei der affinen Abbildung verkürzt. Da bei einer orthogonalen Affinität die längentreu abbildenden Richtungen zusammenfallen, werden entweder alle nicht achsenparallelen Strecken gestreckt oder sämtlich verkürzt.

27. Ellipse als affines Bild des Kreises

101

27. Ellipse als affines Bild des Kreises Um die Eigenschaften der Parallelprojektion eines Kreises zu untersuchen, bedienen wir uns der Affinität, die zwischen einer ebenen Figur und ihrer Parallelprojektion besteht. Wir bestimmen also zunächst das affine Bild eines Kreises, es ist eine Ellipse, und leiten aus den Gesetzen der Affinität Sätze über die Ellipse ab.

Bild 113. Ellipse als affines Bild des Kreises. (Die Achsen der Ellipse bilden ein invariantes Bechtwinkelpaar der Affinität)

Es sei M, M' ein zugeordnetes Punktepaar und d die Achse der Affinität (Bild 113). Ferner sei ein Kreis um M gegeben, der die Achse d berührt. Um den Kreis beschreiben wir ein T a n g e n t e n q u a d r a t , dessen eine Seite in die Achse d fällt. Welches ist das a f f i n e Bild dieser K o n f i g u r a t i o n ? Nach den Sätzen I und II können wir zu jedem Punkt den affin zugeordneten konstruieren. Der Geraden 4 M entspricht die Gerade 4 M'; auf 4 M' liegt der Punkt 3' so, daß M' die Strecke 4 3' halbiert. Denn M ist Mittelpunkt

102

V. Affinität

von 4 3, daher ist M' nach Satz IV Mittelpunkt von 4 3'. Der zur Achse d parallelen Geraden 3 P wird affin die achsenparallele Gerade durch 3' zugeordnet. P' ist der Schnitt der Ordnungslinie, die parallel zu M M' durch P geht, mit der Achsenparallelen durch 3'. Die Parallelen durch die auf d gelegenen Quadratecken zu 4 3' vervollständigen das affine Bild des Quadrates. Den Mittelpunkten der Quadratseiten entsprechen die Mittelpunkte 1' ;2';3' \4 der Parallelogrammseiten. Die Ellipse als affines Bild des Kreises berührt die Seiten des Parallelogramms in diesen Punkten. Die Diagonalen des Parallelogramms sind den Diagonalen des Quadrats zugeordnet. Die Ordnungslinien, die durch die Schnittpunkte des Kreises mit den Diagonalen des Quadrates gehen, schneiden die Diagonalen des Parallelogramms in Punkten der Ellipse. Auch die Tangenten in diesen Punkten können wir zeichnen. Dazu bringen wir die Kreistangente zum Schnitt mit der Achse und verbinden den Schnittpunkt mit dem entsprechenden Ellipsenpunkt. Durch die affine Zuordnung können wir somit mühelos acht Punkte der Ellipse mit ihren Tangenten konstruieren. Daraus läßt sich die Ellipse schon recht gut mit einem Kurvenlineal zeichnen. Aus den Sätzen der Affinität folgen einige wichtige Eigenschaften der Ellipse: Ein D u r c h m e s s e r d e s K r e i s e s läßt sich dadurch kennzeichnen, daß die Kreistangenten in seinen beiden Endpunkten zueinander parallel sind. Diese Kennzeichnung bleibt bei der affinen Abbildung bestehen. Wir nennen jede S e h n e d e r E l l i p s e , i n d e r e n E n d p u n k t e n d i e T a n g e n t e n z u e i n a n d e r p a r a l l e l s i n d , einen Durchmesser. Dann entspricht jedem Durchmesser des Kreises ein Durchmesser der Ellipse. Die Durchmesser der Ellipse gehen sämtlich durch den Mittelpunkt M' der Ellipse und werden durch M' halbiert (Satz J T , 26). Betrachten wir jetzt e i n P a a r z u e i n a n d e r s e n k r e c h t e D u r c h m e s s e r des K r e i s e s , etwa 12 und 34. Die entsprechenden Ellipsendurchmesser 1' 2' und 3' 4 schneiden sich nicht senkrecht, da bis auf das invariante Rechtwinkelpaar alle rechten Winkel bei der affinen Abbildung verzerrt werden. Wir können aber ein rechtwinkliges Paar von

27. Ellipse als affines Bild des Kreises

103

Durchmessern auch dadurch kennzeichnen, daß die Tangenten an den Kreis im Endpunkt des einen Durchmessers parallel zum anderen sind. So sind zum Beispiel die Tangenten in den Punkten 1,2 parallel zum Durchmesser 3 4. Die Parallelität bleibt bei der affinen Abbildung erhalten. Sind für zwei Durchmesser einer Ellipse die Tangenten im Endpunkt des einen parallel zum anderen, oder in anderen Worten, bilden die Tangenten an die Ellipse in den Endpunkten der beiden Durchmesser ein Parallelogramm, das von der Ellipse in den Seitenmitten berührt wird, so heißen die leiden Durchmesser zueinander konjugiert; sie bilden ein Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse. Die Durchmesser der Ellipse lassen sich daher paarweise zusammenfassen; zu jedem Durchmesser gibt es genau einen konjugierten. Bei der affinen Zuordnung entspricht jedem Paar senkrechter Durchmesser des Kreises ein Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse. U n t e r den P a a r e n k o n j u g i e r t e r D u r c h m e s s e r d e r E l l i p s e g i b t es e i n e s , d a s r e c h t w i n k l i g i s t . Es wird gebildet von denjenigen Durchmessern, die in Richtung des invarianten Rechtwinkelpaares fallen. Man nennt sie die Achsen oder Hauptdurchmesser der Ellipse. In Bild 113 ist die Konstruktion des invarianten Rechtwinkelpaares in M, M' eingezeichnet. Die Mittelsenkrechte auf M M' trifft die Achse der Affinität in S. Der Kreis um S durch M und M' schneidet die Achse d in den Punkten A, B. Dann sind A M' und B M' die Richtungen der Achsen der Ellipse, die den senkrechten Kreisdurchmessern A M und B M affin zugeordnet sind. Die Endpunkte der Achsen gewinnt man als Schnittpunkte der Geraden A M' und B M' mit den entsprechenden Ordnungslinien. Die Tangenten der Ellipse in den Achsenendpunkten stehen senkrecht zu den entsprechenden Achsen. Die Achsen sind Symmetrielinien der Ellipse; denn alle zu A M senkrechten Sehnen des Kreises (parallel zu B M) erscheinen als Sehnen der Ellipse, die zu A M' senkrecht sind; sie werden von A M' halbiert. Dann ist aber die Ellipse zur Geraden A M' symmetrisch. Entsprechendes gilt für die Gerade B M'. Beim Zeichnen einer Ellipse ist es wichtig,

104

V. Affinität

diese Symmetrien zu beachten. Zeichenungenauigkeiten, die gegen die Symmetrie verstoßen, fallen stets unangenehm auf. Im Bild 114 sei die Achse d und ein Punktepaar MM' einer Affinität gegeben. Das Bild des Kreises um M mit dem Radius r ist die Ellipse mit den Halbachsen a, b und dem Mittelpunkt M'. Wir konstruieren das invariante Rechtwinkelpaar, in M, M' und fällen von einem beliebigen Punkt X des Kreises die Lote auf die Schenkel M A und M B des rechten Winkels. Die Längen der Lote seien x, y. Dann gilt für jeden Punkt des Kreises die Beziehung (1)

a;2 + i/2 = r 2 .

Das Rechteck MPXQ wird durch die Affinität in das R e c h t e c k M'P'X'Q' übergeführt. Dabei ist X' ein Punkt der Bildellipse, dessen Abstände von den Schenkeln des rechten Winkels bei M' Bild 114. Aus + y2 = t2 wird durch die mit x', y' bezeichnet sind. Affinität Alle zu M A parallelen Strekken werden bei der Affinität o» T b' im gleichen Verhältnis verzerrt, und zwar im Verhältnis r : a. Denn der Radius des Kreises auf M A geht über in den Halbmesser der Ellipse auf M'A. Entsprechendes gilt für die zu MB parallelen Strecken. Demnach ist x: x' = r: a und y:y'

= r\b

oder in aufgelöster Form rx

ry

27. Ellipse als affines Bild des Kreises

105

Durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung (1) des Kreises folgt nach Kürzen von r 2

Aus dieser Gleichung lassen sich die Punkte der Ellipse berechnen. Gibt man die Werte x' vor, so ergeben sich die zugehörigen Werte von y'. Die K u r v e ist also v o l l s t ä n dig b e s t i m m t , wenn die beiden H a l b a c h s e n a und b gegeben sind. Zwei Ellipsen mit entsprechend gleichen

a

Bild 115. Verallgemeinerung für konjugierte Durchmesser

Halbachsen sind zueinander kongruent. Ist a = 6, so ist die Kurve ein Kreis. Die obige Überlegung ist keineswegs an das invariante Rechtwinkelpaar in M und M' gebunden. Geht man von einem beliebigen, orthogonalen Durchmesserpaar des Kreises aus und bestimmt die konjugierten Durchmesser 2a, 2b der Ellipse, die das affine Bild der Kreisdurchmesser sind, so gelten analoge Beziehungen. Das Rechteck durch M und den Punkt X des Kreises wird übergeführt in das P a r a l l e l o g r a m m durchM'und den Ellipsenpunkt X' (Bild 115). Sind x, y die Seiten des Rechtecks und x', y' die entsprechenden Seiten des Parallélogrammes, so gelten wieder die Glei-

106

V. Affinität

chungen (1) und (2). Eine Ellipse ist daher bestimmt, wenn ein Paar konjugierte Durchmesser gegeben ist. Aber jetzt folgt aus a = b nicht mehr, daß die Kurve ein Kreis ist, da die konjugierten Durchmesser im allgemeinen nicht aufeinander senkrecht stehen. 28. Ellipsenkonstruktionen In den Anwendungen der Darstellenden Geometrie kommen hauptsächlich die folgenden Fälle vor: Die Ellipse ist zu konstruieren, wenn g e g e b e n s i n d : I . Die b e i d e n A c h s e n , II. zwei k o n j u g i e r t e D u r c h m e s s e r , III. eine Achse u n d ein P u n k t der E l l i p s e . Die Fälle II und III lassen sich auf Fall I zurückführen, wie wir zeigen werden. Wir wenden uns zunächst zum I . Fall, um weitere Eigenschaften der Ellipse kennenzulernen. I. Mit den g e g e b e n e n H a l b a c h s e n R und r der Ellipse beschreiben wir zwei Kreise um den Mittelpunkt M (Bildll6). Die Ellipse läßt sich ansehen als a f f i n e s B i l d des K r e i s e s vom Radius R. Dem Punkt P1 des Kreises wird dabei der Punkt P' der Ellipse zugeordnet. Die Achse der Affinität fällt mit der großen Achse a der Ellipse zusammen. Die Ordnungslinien (Plt P') sind zur Achse a senkrecht. Wenn aber ein Punktepaar (Plt P') und die Achse der Affinität gegeben sind, so ist die Affinität bestimmt und das affine Bild des Kreises vom Radius R kann konstruiert werden. Die gleiche Ellipse ergibt sich aber auch als a f f i n e s Bild des K r e i s e s k vom Radius r. Natürlich ist dabei die Affinität eine andere. Dem Punkt P 2 von k entspricht der Punkt P' der Ellipse. Die Achse dieser zweiten Affinität fällt mit der kleinen Ellipsenachse b zusammen. Auch hier ist ein Punktepaar (P 2 , P') und die Affinitätsachse bestimmt und die Ellipse als affines Bild des Kreises k konstruierbar. D u r c h K o m b i n a t i o n der b e i d e n A f f i n i t ä t e n ergibt sich ein recht einfaches Konstruktionsverfahren. Wir gehen aus von einer Geraden durch M, die die große Achse unter dem beliebigen Winkel

14

NATURWISSENSCHAFTEN

Land- und Forstwirtschaft

Landwirtschaftliche Tieraucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 Seiten, 11 Abbildungen. 1952. (2a8) Kultur technische Bodenverbesseraiigen von 0. Fauser. 2 Bände. 5., verbesserte und vermehrte Auflage. I: A l l g e m e i n e s , E n t w ä s s e r u n g . 127 Seiten, 49 Abbildungen. 1959. (691) I I : B e w ä s s e r u n g , Ö d l a n d k u l t u r , F l u r b e r e i n i g u n g . 159 Seiten, 71 Abbildungen. 1961. (692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bände. I: P f l a n z e n e r n ä h r u n g . 143 Seiten. 1953. (329) I I : F u t t e r m i t t e l k u n d e . 192 Seiten. 1956. (330/330a)

Geologie, Mineralogie, Kristallographie Geologie von F. Lotze. 2., verbesserte Auflage. 178 Seiten, 80 Abbildungen. 1961. (13) Erakunde von H. von Philipsborn. In Vorbereitung. (1207) Mineral« und EralageratäUenkunde von H. Huttenlocher f . 2 Bände. I : 2. Auflage. 128 Seiten, 34 Abbildungen. In Vorbereitung. (1014) I I : 156 Seiten, 48 Abbildungen. 1954. (1015/1015a) Allgemeine Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie*'von R. Brauns f , bearbeitet von K. F. Chudoba. 120 Seiten, 120 Figuren, 1 Tafel, 3 Tabellen. 1962. Im Druck. (29/29 a) Spezielle Mineralogie. 10., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns f , bearbeitet von K. F. Chudoba. 170 Seiten, 125 Figuren, 4 Tabellen. 1959. (31/31 a) Pelrographie (Gesteinskunde) von W. Bruhns f . Neubearbeitet von P. Ramdohr. 5., erweiterte Auflage. 141 Seiten, 10 Figuren. 1960. (173) Kristallographie von W. Bruhns f . 5. Auflage, neubearbeitet von P. Ramdohr. 109 Seiten, 164 Abbildungen. 1958. (210) Einftihrumig in die Krislalloptik von E. £ucAica{rf.4.,verbesserte Auflage. 138 Seiten. 121 Figuren. 1952. (619) Lötrohrprobierkunde. Mineraldiagnose mit Lötrohr- und Tüpfelreaktion von M. Henglein. 4., durchgesehene und erweiterte Auflage. 108 Seiten, 12 Figuren. 1962.(483)

Technik Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von M. Pirani. 3., erweiterte Auflage bearbeitet von J. Fischer unter Benutzung der von I. Runge besorgten 2. Auflage. 216 Seiten, 104 Abbildungen. 1957. (728/728 a) Technische Tabellen und Formeln von W. Müller. 5., verbesserte und erweiterte Auflage von E.Schulze. 165 Seiten. 114 Abbildungen, 99 Tafeln. 1962.(579) Grundlagen der Straßenverkehrstechnik. Theorie der Leistungsfähigkeit von E. Engel. 101 Seiten. 55 Abbildungen. 1962. (1198)

Elektrotechnik

Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 2., durchgesehene Auflage. 260 Seiten, 136 Bilder, 14 Tafeln. 1961. (196/196a) Die Gleichstronutuischine von K. Humburg. 2 Bände. 2., durchgesehene Auflage. I: 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1956. (257) I I : 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. (881)

15

TECHNIK Oie Synchronmaschine von W. Putz. 92 Seiten, 64 Bilder. 1962. (1146) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte Auflage. 142 Seiten, 49 Abbildungen. 1954. (1140) Die komplexe Berechnung von Weebselstromachaltiingen von H. II. Meinke. 2. Auflage. 180 Seiten, 120 Abbildungen. 1957. (U56/1156a) Theoretische Grundlagen sur Berechnung der Sc haltgerate von F. Kesielring. 3. Auflage. 144 Seiten, 92 Abbildungen. 1950. (711) Einführung in die Technik selbsttätiger Regelungen von W. zur Megede. 2., durchgesehene Auflage. 180 Seiten, 86 Abbildungen. 1961. (714/714a) Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) von A. Schwaiger. 3., neubearbeitete Auflage. 96 Seiten, 34 Abbildungen. 1952. (827) Überspannungen und ÜberspannungMchula von G. Frühauf. Durchgesehener Neudruck. 122 Seiten, 98 Abbildungen. 1950. (1132) Transformatoren von W. Schäfer. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. 136 Seiten, 73 Abbildungen. 1962. (952)

Maschinenbau Metallkunde von H. Bordiere. 3 Bände. 1: A u f b a u d e r M e t a l l e u n d L e g i e r u n g e n . 5. Auflage. 120 Seiten, 90 Abbildungen, 2 Tabellen. 1962. (432) 11: E i g e n s c h a f t e n , G r u n d z ü g e d e r F o r m - u n d Z u s t a n d s g e b u n g . 3. und 4. Auflage. 179 Seiten, 107 Abbildungen, 10 Tabellen. 1959. (433/433 a) I I I : D i e m e t a l l k u n d l i c h e n U n t e r s u c h u n g s m e t h o d e n von E. Hanke In Vorbereitung. (434) Die Werkstoffe dea Maschinenbaues von A. Thum f und C. M. v. Meysenbug. 2 Bände. I : E i n f ü h r u n g i n d i e W e r k s t o f f p r ü f u n g . 2., neubearbeitete Auflage. 100 Seiten, 7 Tabellen, 56 Abbildungen. 1956. (476) I I : D i e K o n s t r u k t i o n s w e r k e t o f f e . 132 Seiten, 40 Abbildungen. 1959. (936) Dynamik von W. Müiler. 2 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : D y n a m i k d e s E i n z e l k ö r p e r s . 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) I I : S y s t e m e v o n s t a r r e n K ö r p e r n . 102 Seiten, 41 Figuren. 1952. (903) Technische Schwingungslehre von L. Zipperer. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : A l l g e m e i n e S c h w i n g u n g s g l e i c h u n g e n , e i n f a c h e S c h w i n g e r . 120 Seiten, 101 Abbildungen. 1953. (953) I I : T o r s i o n s s c h w i n g u n g e n in M a s c h i n e n a n l a g e n . 102 Seiten, 59 Abbildungen. 1955. (961/961 a) Werkzeugmaschinen für Metallbearbeitung von K. F. Matthe». 2 Bände. I : 100 Seiten, 27 Abbildungen, 11 Zahlentafeln, 1 Tafelanhang. 1954. (561) II: F e r t i g u n g s t e c h n i s c h e G r u n d l a g e n der neuzeitlichen Metallb e a r b e i t u n g . 101 Seiten, 30 Abbildungen, 5 Tafeln. 1955. (562) Das Mawhincnscichnrn mit Finfiihmng in das Konstruieren von W. Tochtermann. 2 Bände. 4. Auflage. I : D a s M a s c h i n e n z e i c h n e n . 156 Seiten, 75 Tafeln. 1950. (589) I I : A u s g e f ü h r t e K o n s t r u k t i o n s b e i s p i e l e . 130 Seiten, 58 Tafeln. 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende. 4., überarbeitete Auflage. Etwa 166 Seiten 175 Figuren, 9 Tafeln. In Vorbereitung. (3/3 a)

16

TECHNIK Die Maschinen der Eisenhüttenwerke von L. Engel. 156 Seiten« 95 Abbildungen. 1957. (583/583 a) Walawerke von ff. Sedlaczek f unter Mitarbeit von F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 Abbildungen. 1958. (580/580 a) Getriebe lehre von P. Grodzinskif. 2 Bände. 3.» neubearbeitete Auflage von G. Lechner. I : C e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n . 164 Seiten, 131 Figuren. 1960. (1061) I I : A n g e w a n d t e G e t r i e b e l e h r e . In Vorbereitung. (1062) K i n e m a t i k von ff. R. Müller. 1962. I n Vorbereitung. (1206/1206 a) Gießereitechnik von ff. Jungbluth. 2 Bände. I : E i s e n g i e ß e r e i . 126 Seiten, 44 Abbildungen. 1951. (1159) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungsweise, Berechnung und Konstruktion von C. Zietemonn. 3 Bände. 3., verbesserte Auflage. I : T h e o r i e d e r D a m p f t u r b i n e n . 139 Seiten, 48 Abbildungen. 1955. (274) II: Die B e r e c h n u n g der D a m p f t u r b i n e n und die K o n s t r u k t i o n der E i n z e l t e i l e . 132 Seiten, 111 Abbildungen. 1956. (715) I I I : Die R e g e l u n g der D a m p f t u r b i n e n , die B a u a r t e n , T u r b i n e n f ü r S o n d e r z w e c k e , K o n d e n s a t i o n s a n l a g e n . 126 Seiten, 90 Abbildungen. 1956. (716) Verbrennungamotoren von W. Endres. 3 Bände. I : Ü b e r b l i c k . M o t o r - B r e n n s t o f f e . V e r b r e n n u n g im Motor allgem e i n , im O t t o - u n d D i e s e l - M o t o r . 153 Seiten, 57 Abbildungen. 1958. (1076/1076 a) I I : D i e h e u t i g e n T y p e n d e r V e r b r e n n u n g s k r a f t m a s c h i n e . In Vorbereitung. (1184) I I I : D i e E i n z e l t e i l e de« V e r b r e n n u n g s m o t o r s . I n Vorbereitung. (1185) AoUgeae* Schweiften und Schneid im von ff. Niese. 5. Auflage, neubearbeitet von A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) EHe elektrischen Sehweiftrerfahren von ff. Niese. 2. Auflage, neubearbeitet von ff. Dienet. 136 Seiten, S8 Abbildungen. 1955. (1020) Die Hekeseuge. Entwurf von Winden und Kranen von G. Tafel. Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414 a)

2., verbesserte

Wasserbau Waaeerkraftanlagen von A. Ludin unter Mitarbeit von W. Borkenstein. 2 Bände. I : P l a n u n g , G r u n d l a g e n u n d G r u n d z ü g e . 124 Seiten, 60 Abbildungen. 1955. (665) I I : A n o r d n u n g u n d A u s b i l d u n g d e r H a u p t b a u w e r k e . 184 Seiten,91 Ab* bUdungen. 1958. (666/666a) VerkehrawaMerbau von ff, Dehnert. 3 Bände. I : E n t w u r f s g r u n d l a g e n , F l u Q r e g e l u n g e n . 103 Seiten, 52 Abbildungen. 1950.(585) I I : F l u ß k a n a l i s i e r u n g u n d S c h i f f a h r t s k a n ä l e . 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1 9 5 0 . ( 5 9 7 ) I I I : S c h l e u s e n u n d H e b e w e r k e . 98 Seiten, 70 Abbildungen. 1950. (1152) Wahr- und Stauanlagen von ff. Dehnert. 134 Seiten, 9 0 Abbildungen. 1952. (965) T a l ^ r o r n von F . Tölke. 122 Seiten, 7 0 Abbildungen. 1953. (1044)

17

TECHNIK

Hoch- und Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des Hoch* und Tiefbaus von 0. Graf f . 4., verbesserte Auflage. 131 Seiten, 63 Abbildungen. 1953. (984) Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Kleinlogel. 2., neu* bearbeitete und erweiterte Auflage. 126 Seiten, 35 Abbildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre. 2 Bände. I: E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t und F e s t i g k e i t der B a u s t o f f e und Bau« t e i l e von W. Gehler f und W. Herberg. Durchgesehener und erweiterter Neudruck. 159 Seiten, 118 Abbildungen. 1952. (1144) I I : F o r m ä n d e r u n g , P l a t t e n , S t a b i l i t ä t u n d B r u c h h y p o t h e s e n von W. Herberg und N. Dimitrov. 187 Seiten, 94 Abbildungen. 1955. (1145/1145a) Grundlagen des Stahlbetonbaas von A. Troche. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 208 Seiten, 75 Abbildungen, 17 Bemessungstafeln, 20 Rechenbeispiele. 1953.(1078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 3 Bände. I : G r u n d l a g e n . 101 Seiten, 51 Abbildungen, 8 Formeltafeln. 1956. (119) I I : S t a t i s c h b e s t i m m t e S t a b w e r k e . 107 Seiten, 52 Abbildungen, 7 Tafeln. 1957.(120) I I I : S t a t i s c h u n b e s t i m m t e S y s t e m e . 112Seiten,34 Abbildungen,7 Formeltafeln. 1958. (122) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer guten Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung und handwerksgerechten Konstruktion von W. JPickop f . 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. 155 Seiten, 95 Abbildungen. 1955. (1092) H e i n i n g und Lüftung von W. Körting. 2 B ä n d e . 9., neubearbeitete Auflage. I: D a s Wesen und die B e r e c h n u n g der H e i z u n g s - und L ü f t u n g s a n l a g e n . 172 Seiten, 29 Abbildungen, 36 Zahlentafeln. 1962. (342/342a) I I : D i e A u s f ü h r u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 1962. In Vorbereitung. (343) Industrielle K r a f t - und Wirmewirtschaft von F. A. F. Schmidt und A. 167 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (318/318 a)

Beckers.

Vermessungswesen Vermessungskunde von P. Werkmeister. 3 B ä n d e . I : S t ü c k v e r m e s s u n g u n d N i v e l l i e r e n . 11., verbesserte A u f l a g e von W. Grossmann. 144 Seiten, 117 Figuren. 1962. (468) I I : H o r i z o n t a l a u f n a h m e n u n d e b e n e R e c h n u n g e n . 8., völlig neubearbeitete Auflage von W. Grossmann. 133 Seiten, 97 Figuren. 1959. (469) III: Trigonometrische und barometrische Höhenmessung. Tachym e t r i e u n d A b s t e c k u n g e n . 7., völlig neubearbeitete Auflage von W. Groitmoiui. 136 Seiten, 97 Figuren. 1960. (862) Kartographie von V. Heiasler. E t w a 215 S e i t e n , 125 Abbildungen, 8 K a r t e n a n l a g e n . 1962. (30/30 a) Photognunmetrie von G. Lehmann. 189 Seiten, 132 Abbildungen. 1959. (1188/1188a)

18

S a m m l u n g Göschen / B a n d n u m m e r n f o l g e 1 Langosch, Der Nibelunge Nöt 3/3 a v . E n d e , M a s c h i n e n e l e m e n t e 10 J i r i c z e k - W i s n i e w s k i , K u d r u a - u n d Dietrich-Epen 13 L o t z e , Geologie 18 M a u r e r , H a r t m a n n v o n A u e . D e r arme Heinrich 19 A l t h e i m , R ö m i s c h e Geschichte I 20 H o f s t a e t t e r , D t . S p r a c h l e h r e 22 M a u r e r , G o t t f r i e d v o n S t r a s s b u r g 29/29 a B r a u n s - C h u d o b a , Allg. M i n e ralog. 30/30a H e i s s l e r , K a r t o g r a p h i e 31/31 a B r a u n s - C h u d o b a , Spez. Mineralogie 35 T r e u e , D t . Geschichte v o n 1648 bis 1740 37/37 a K l e m m , A n o r g a n i s c h e Chemie 38/38 a S c h l e n k , O r g a n i s c h e C h e m i e 39 T r e u e , D t . Geschichte v o n 1713 bis 1806 42 B e h n - H o e r n e s , Vorgesch. E u r o p a s 4 4 / 4 4 a K r e s z e , P h y s i k a l i s c h e Method e n d e r o r g a n i s c h e n Chemie 47 F i s c h e r - R o h r b a c h , A r i t h m e t i k 51/51 a R i n g l e b , M a t h e m . Formelsig. 52 Bieler, R ö m . L i t e r a t u r g e s c h . I 59 K r ä h e , I n d o g . S p r a c h w i s s . I 60 Biehle, S t i m m k u n d e 61 Biehle, R e d e t e c h n i k 64 K r ä h e , I n d o g . S p r a c h w i s s . I I 65/65a Grotemeyer, Analyt. Geomet. 66 B c r n e k e r - V a s m e r , R u s s i s c h e Grammatik 70 Nestle-Liebich, Gesch. d. griech. Literatur I 71 Schulze, Allgemeine u n d p h y s i kalische Chemie I 76 D ö r i n g , E i n f . i. d. t h . P h y s i k I 77 D ö r i n g , E i n f . i. d. t h . P h y s i k I I 78 D ö r i n g , E i n f . i. d. t h . P h y s i k I I I 79/79a H e m p e l , G o t . E l e m e n t a r b u c h 80 W e i g e r t , S t i l k u n d e I 81 S c h u b e r t - H a u s s n e r - E r l e b a c h , Vierstell. L o g a r i t h m e n t a f e l n 86/86a B a r n e r , D i f f e r e n t i a l « u . In« tegralrechnung I 9 6 H a r t m a n n , E i n f . in die a l l g e m . Biologie 99 H e s s e n b e r g « K n e s e r , E b e n e u n d sphär. Trigonometrie

101 v . W i e s e , Soziologie 103 D a h r e n d o r f , I n d u s t r i e - u n d B e triebssoziologie 1 0 4 / 1 0 4 a H o f s t ä t t e r , Sozialpsycholog. 111 H o f f m a n n - D e b r u n n e r , Gesch. d e r griechischen S p r a c h e I 114 D e b r u n n e r , Gesch. d e r griechisch. Sprache II 117 B r a n d e n s t e i n , Griechische S p r a c h wissenschaft I 1 1 8 / 1 1 8 a B r a n d e n s t e i n , Griechische Sprachwissenschaft I I 119 T e i c h m a n n , S t a t i k d e r B a u k o n struktionen I 120 T e i c h m a n n , S t a t i k d e r B a u k o n struktionen II 122 T e i c h m a n n , S t a t i k der B a u k o n struktionen III 125 V o s s l e r - N o y e r - W e i d n e r , I t a l . Literaturgeschichte 128/128a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I 136 M a h l e r , P h y s i k a l . F o r m e l s i g . 141 G e i t l e r , Morphologie d e r P f l a n z e n 142 H a a c k , D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e I 143 H a a c k , D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e I I 144 H a a c k , D a r s t e l l e n d e G e o m e t r i e I I I 145 W e i m e r , Gesch. d e r P ä d a g o g i k 148 K o l m s , F i n a n z w i s s e n s c h a f t I 156/156a L a n d m a n n , Philosophische Anthropologie 170 O e h l m a n n , Musik des 19. J h s . 171/171 a O e h l m a n n , M u s i k des 20. J h s . 173 B r u h n s « R a m d o h r , P é t r o g r a p h i e 174 S c h l i n g l o f f , R e l i g i o n d e s B u d dhismus I 180 B ö h m , V e r s i c h e r u n g s m a t h e m . I 184 B l ü m c k e , T e x t i l i n d u s t r i e I 196/196a M o h r , G r u n d l a g e n der E l e k trotechnik 200/200 a G o t t s c h a l d , D t . R e c h t schreibungswörterbuch 210 B r u h n s - R a m d o h r , K r i s t a l l o g r . 220/220 a Moser, Allg. M u s i k l e h r e 221/221 a J a n d e r « J a h r , M a ß a n a l y s e 222 H a s s a k - B e u t e l - K u t z e l n i g g , Warenkunde I 223 H a s s a k - B e u t e l - K u t z e l n i g g , Warenkunde II 226/226 a H o f m a n n , Gesch. d . Mathematik I 228 Vogel, L a n d w . T i e r z u c h t

19

231/231 a Ehrlich, Geschichte Israels 238 Krähe, German. Sprachwiss. 1 243 Mahler, Physikal. Aufgabenslg. 247/247 a Hofmann-Jander, Qualitative Analyse 250 Lausberg, Romanische Sprach« Wissenschaft II 253 Dassler, Elektrochemie II 257 Humburg, Gleichstrommaschine I 264 Lockemann, Gesch. d. Chemie I 265/265 a Lockemann, Geschichte der Chemie II 270 Kirn, Einführung in die Geschichtswissenschaft 274 Zietemann, Dampfturbinen I 279 Jacob-Hohenleutner, Quellenkde. der deutschen Geschichte I 280 Jacob-Hohenleutner, Quellenkde. der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, Einführung in die Philosophie 282 Haltenorth, Säugetiere 284 Jacob-Weden, Quellenkunde der deutschen Geschichte III 318/318a Schmidt-Beckers, Industrielle Kraft- u. Wärmewirtschaft 319 Krug, Australien und Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 330/330 a Scharrer, AgrikulturcÉem. II 335 Klug, Fette und öle 336 Braun-Klug, Seifenfabrikation 342/342 a Körting, Heizung und Lüftung I 343 Körting, Heizung und Lüftung II 344 Moser, Musikästhetik 354/354 a Valentiner-König, Vektoren und Matrizen 355 Neger-Münch-Huher, Nadelhölzer 356 Lüdemann, Fische 374 Döring, Einfuhrung in die theoret. Physik IV 375 Preller, Geschichte Englands I 389/389 a Diels-Mattick, Pflanzengeographie 391 Kolms, Finanzwissenschaft II 394/394 a Schilling, Von der Renaissance bis Kant 414/414 a Tafel, Hebezeuge 422 Gottschald, Dt. Personennamen 423 Adler-Erlebach, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 433/433 a Borchers, Metallkunde II 434 Borchers-Hanke, Metallkunde III

20

435 Burau,Algebr.Kurven u. Flächen I 436 Burau, Algebr. Kurven und Flächen II 439 Jaeckel, Würmer 440 Jaeckel, Weichtiere 441 Jaeckel, Stachelhäuter 442 Hannemann, Schwämme uad Hohltiere 443 Gruner-Deckert, Krebse 444 Reichenow, Einzeller 445 Asmus, Physikal.-ehem. Rechenaufgaben 447/447 a Herter, Kriechtiere 448 Haltenorth, Manteltiere 452 Bahrdt-Scheer, Stöchiometrische Aufgabensammlung 468 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde I 469 Werkmeister-Grossmann, Vermessungskunde II 476 Thum-Meysenbug, Die Werkstoffe des Maschinenbaues I 483 Henglein, Lötrohrprobierkunde 492 Stolz-Debrunner, Geschichte der latein. Sprache 499 Niese-Küchler, Autogenes Schweißen 500 Simmel, Hauptprobleme der Philosophie 536 Lehmann, Kant 538 Rumpf, Archäologie I 539 Rumpf, Archäologie II 557 Nestle-Liebich, Gesch. d. griech. Literatur II 561 Matthes, Werkzeugmaschinen I 562 Matthes, Werkzeugmaschinen II 564 Behn-Hoernes, Kultur der Urzeit I 565 Behn-Hoernes, Kultur d. Urzeit II 566 Behn-Hoernes,Kultur d. Urzeit III 571 Lehmann, Philosophie d. 19. J h . I 576/576 a Moser, Gesangskunst 579 Müller-Schulze, Techn. Tabellen 580/580 a Sedlaczek-Fischer-Buch, Walzwerke 583/583 a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 585 Dehnert, Verkehrswasserbau I 587 Kalitsunalds-Stcinxnetz, Neugriech.-dt. Gesprächsbuch 589 Tochtermann, Maschinenzeichnen I 590 Tochtermann, Masch.-Zeichnen II 594 v. Lengerken, Insekten 597 Dehnert, Verkehrswasserbau II

601 M u t s c h m a n n , Engl. Phonetik 619 B u c h w a l d , K r i s t a l l o p t i k 665 L u d i n - B o r k e n s t e i n , W a s s e r k r a f t anlagen I 666/666 a L u d i n - B o r k e n s t e i n , Wasserkraftanlagen II 668 K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e I 67? A l t h e i m , R o m . Geschichte I I 679 A l t h e i m , R ö m . Geschichte I I I 684 A l t h e i m , R o m . Geschichte I V 691 F a u s e r , K u l t u r t e c h n . B o d e n verbesserungen I 692 F a u s e r , K u l t u r t e c h n . B o d e n verbesserungen I I 698/698 a Schulze, Allgemeine u n d p h y s i k a l i s c h e Chemie I I 703 K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e I I 709 L e h m a n n , P h i l o s o p h i e d. 19. J h . I I 711 Kesselring, B e r e c h n u n g d e r Schaltgeräte 714/714 a z u r Megede, T e c h n i k selbsttätiger Regelungen 715 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n I I 716 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n I I I 718 N e g e r - M ü n c h - H u b e r , L a u b h ö l z e r 728/728a P i r a n i - F i s c h e r - R u n g e , G r a p h . Daretellg. in Wissensch. u.Technik 735 E k w a l l , H i s t o r i s c h e n e u e n g l . Laut- und Formenlehre 746/746 a P f a n z a g l , AUg. M e t h o d e n lehre d e r S t a t i s t i k I 7 4 7 / 7 4 7 a P f a n z a g l , Allg. M e t h o d e n lehre d e r S t a t i s t i k I I 756/756 a K a l i t s u n a k i s , G r a m m a t i k der Neugriechischen Volkssprache 763/763 a B e e r - M e y e r , H e b r ä i s c h e Grammatik I 764/764 a B e e r - M e y e r , H e b r ä i s c h e Grammatik II 768/768 a B i e b e r b a c h , E i n f ü h r u n g in die k o n f o r m e A b b i l d u n g 769/769 a B e e r - M e y e r , H e b r . T e x t b u c h 776 K o l m s , F i n a n z w i s s e n s c h a f t I I I 780 K r ä h e , G e r m a n . S p r a c h w i s s . I I 781 W e i g e r t , S t i l k u n d e I I 782 K o l m s , F i n a n z w i s s e n s c h a f t I V 786 Schulze, M o l e k ü l b a u 807 K r o p p , E r k e n n t n i s t h e o r i e 809 Moser, H a r m o n i e l e h r e I 8 2 6 K o c h , P h i l o s o p h i e des M i t t e l a l t e r s 827 S c h w a i g e r , E l e k t r o m o t o r i s c h e Antriebe 831 E r i s m a n n , Allg. P s y c h o l o g i e I

832/832 a E r i s m a n n , Allg. P s y c h o logie I I 8 3 3 / 8 3 3 a E r i s m a n n , Allg. Psychologie III 837 B a u m g a r t n e r , G r u p p e n t h e o r i e 845 L e h m a n n , P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l des 20. J a h r h u n d e r t s I 847 H e r t e r , L u r c h e 850 L e h m a n n , P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l des 20. J a h r h u n d e r t s I I 851/851 a Moede, P s y c h o l o g i e des Berufs- und Wirtschaftslebens 857 Capelle, G r i e c h . Philosophie I 858 Capelle, Griech. P h i l o s o p h i e I I 859 Capelle, Griech. P h i l o s o p h i e I I I 862 W e r k m e i s t e r - G r o s s m a n n , Vermessungskunde I I I 863 Capelle, G r i e c h . Philosophie I V 866 Bieler, R ö m . L i t e r a t u r g e s c h . I I 869 F r e y e , Vögel 875 H o f m a n n , G e s c h i c h t e der M a t h e matik II 877 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie I 878 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur Funktionentheorie II 881 H u m b u r g , G l e i c h s t r o m m a s c h . I I 882 H o f m a n n , Gesch. d. M a t h e matik III 883 Stuloff, M a t h e m a t i k der n e u e s t e n Zeit 893 T r e u e , D t . Geschichte v o n 1806 bis 1890 894 T r e u e , D t . Geschichte v o n 1890 bis zur G e g e n w a r t 902 Müller, D y n a m i k I 903 Müller, D y n a m i k I I 910 J a e g e r , A f r i k a I 911 J a e g e r , A f r i k a I I 915 S p e r b e r - F l e i s c h h a u e r , Geschichte der Deutschen Sprache 917/917a B ö h m , Versicherungsmathematik II 920 H o h e i s e l , Gewöhnliche D i f f e r e n tialgleichungen 921 J a n t z e n - K o l b , W . v . E s c h e n b a c h . Parzival 929 S c h i r m e r - M i t z k a , D t . W o r t k u n d e 930 K r u l l , E l e m e n t a r e u n d klassische Algebra I 931 H a s s e , H ö h e r e A l g e b r a 1 932 H a s s e , H ö h e r e A l g e b r a I I 933 K r u l l , E l e m e n t a r e u n d klassische Algebra I I

21

936 T h u m - M e y a e n b u g , W e r k s t o f f e des M a s c h i n e n b a u e s I I 952 S c h ä f e r , T r a n s f o r m a t o r e n 953 Zipperer, Techn. Schwingungsl. I 961/961 a Z i p p e r e r , T e c h n . Schwingungslehre I I 965 D e h n e r t , W e h r - u n d S t a u a n l a g e n 970 B a l d u s - L ö b e l l , N i c h t e u k l i d i s c h e Geometrie 978 Kleinlogel, B a u s t o f f v e r a r b e i t u n g u n d B a u s t e l l e n p r ü f u n g d. B e t o n s 984 G r a f , B a u s t o f f e des H o c h - u n d Tiefbaues 999/999 a K a m k e , M e n g e n l e h r e 1000 J a s p e r s , Geistige S i t u a t . d e r Zeit 1003 H o h e i s e l , P a r t i e l l e D i f f e r e n t i a l g l . 1008/1008 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I 1009 B e c h e r t - G e r t h s e n - F l a m m e r s f e l d , ' Atomphysik I 1014 H u t t e n l o c h e r , Mineral- u n d E r z lagerstättenkunde I 1015/1015a H u t t e n l o c h e r , Mineral- u . Erzlagerstättenkunde II 1017 D ö r i n g , E i n f ü h r u n g i n die t h e o ret. Physik V 1020 Niese-Dienst, E l e k t r i s c h e Schweißverfahren 1031/1031a A p e l - L u d z , P h i l o s o p h i sches W ö r t e r b u c h 1033 B e c h e r t - G e r t h s e n , A t o m p h y s . I I 1034 K r a n e f e l d t - J u n g , T h e r a p e u tische Psychologie 1035 A l t h e i m , R o m . Religionsgeschichte I 1039 D o v i f a t , Zeitungslehre I 1040 D o v i f a t , Z e i t u n g s l e h r e I I 1044 T ö l k e , T a l s p e r r e n 1045 S c h u b e r t , T e c h n i k des KJavierspiels 1051/10Sla Stolberg-Wernigerode, Gesch. d. Verein. S t a a t e n 1052 A l t h c i m , R o m . Religionsgesch. I I 1057 R o t h , T h e r m o c h e m i e 1059 H o h e i s e l , A u f g a b e n s l g . z. d. gew. u . p a r t . D i f f e r e n t i a l g l . 1061 G r o d z i n s k i - L e c h n e r , Getriebe!. I 1062 G r o d z i n s k i - L e c h n e r , Getriebel. I I 1065 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , V o n d e n K a r o l i n g e r n zu d e n S t a u f e r n 1070 S a u t e r , D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n der Physik 1074 K o s c h m i e d e r , Variationsrechnung I

22

1076/1076a E n d r e s , V e r b r e n n u n g s motoren I 1077 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , V o n d e n S t a u f e r n zu d e n H a b s b u r g e r s 1078 T r o c h e , S t a h l b e t o n b a u 1082 H a s s e - K l o b e , A u f g a b e n s a m m lung zur höheren Algebra 1085 L i e t z m a n n - A l a n d , Z e i t r e c h n u n g 1086 Müller, D t . D i c h t e n u. D e n k e n 1088 P r e l l e r , Gesch. E n g l a n d s I I 1092 W i c k o p , F e n s t e r , T ü r e n , T o r e 1094 H e r n r i e d , S y s t e m . M o d u l a t i o n 1096 V i e t o r , D t . D i c h t e n u n d D e n k e n 1099 Hoheisel, I n t e g r a l g l e i c h u n g e n 1105 H ä r t u n g , D t . Geschichte i m Zeita l t e r der R e f o r m a t i o n 1108 de B o o r - W i s n i e w s k i , M i t t e l h o c h deutsche Grammatik 1109 K n o p p , E l e m e n t e d e r F u n k tionentheorie 1111 B e t z , A l t h o c h d t . E l e m e n t a r b u c h 1113/1113 a S t r u b e c k e r , Differentialgeometrie I 1114 S c h u b e l , E n g l . L i t e r a t u r g e s c h . I 1115 R a n k e , A l t n o r d . E l e m e n t a r b . 1116 S c h u b e l , E n g l . L i t e r a t u r g e s c h . i l 1117 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , E i n t r i t t der G e r m a n e n in die Geschichte 1121 N a u m a n n , D t . D i c h t e n u . D e n k e n 1122 F e i s t , S p r e c h e n u. Sprachpflege 1123/1123a B e c h e r t - G e r t h s e n , A t o m physik I I I 1124 S c h u b e l , E n g l . L i t e r a t u r g e s c h . I I I 1125 L e h n e r t , A l t e n g l . E l e m e n t a r b u c h 1127 H a r t m a n n , Geschlecht u n d Ges c h l e c h t s b e s t i m m u n g i m Tierund Pflanzenreich 1128 B u c h n e r , S y m b i o s e d e r Tiere 1130 D i b e l i u s - K ü m m e l , J e s u s 1131 Scholz-Schöneberg, E i n f ü h r u n g in die Z a h l e n t h e o r i e 1132 F r ü h a u f , Ü b e r s p a n n u n g e n 1134 K u c k u c k , P f l a n z e n z ü c h t u n g I 1135 L e h n e r t , Beowulf 1137 Heil, E n t w i c k l u n g s g e s c h i c h t e des P f l a n z e n r e i c h e s 1138 H ä m m e r l i n g , F o r t p f l a n z u n g i m Tier- u n d P f l a n z e n r e i c h 1140 U n g e r , I n d u k t i o n s m a s c h i n e n 1141 K o l l e r , H o r m o n e 1142 M e i s s n e r - L e h n e r t , S h a k e s p e a r e 1144 G e h l e r - H e r b e r g , F e s t i g k e i t s l e h r e I 1145/1145a H e r b e r g - D i m i t r o v , Festigkeitslehre I I

1X46 Putz, Synchronmaschine 1147 v. Waltershausen, Kunst des Dirigierens 1148 Pepping, Der polyphone Satz I 1152 Dehnert, Verkehrswasserbau III 1153/1153 a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre II 1154/1154« Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre I I I 1155 Schwartz, Mikrobiologie I 1156/1156 a Meinke, Komplexe Berechn. v. Wechselstromschalt. 1157 Schwartz, Mikrobiologie II 1158 MayThofer, Sanskrit-Grammatik 1159 Jungbluth, Gießereitechnik I 1160 Dibelius-Kümmel, Paulus 1161 Kaestner, Spinnentiere 1162 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I 1163 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I I 1164/1164a Pepping, Der polyphone Satz II 1165/1165 a Bechert-Gerthsen, Atomphysik IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 Paulsen, I I 1171 Paulsen, I I I 1172 Paulsen, IV 1173 Hamann-Funke-Hermann, Chemie der Kunststoffe 1176/1176a Lorenzen, Formale Logik 1178/1178 a Kuckuck, Pflanzenzüchtung I I 1179/1179a Strubecker, Differentialgeometrie II

Autorenregister Adler 10 Aland 5 Altheim 4, 6 Apel 3 Asmus 13 Bahrdt 13 Baldus 11 Barn er 11 Baumgartner 11 Bechert 12 Beckers 18 Beer 8

Behn 5 Berneker 8 Betz 7 Beutel 13 Bieberbach 11 Biehle 6 Bieler 8 Blümcke 13 Böhm 12 de Boor 7 Borchers 16 Borkenstein 17 Bräuer 8 Brandenstein 8

1180/1180a Strubecker, Differentialgeometrie I I I 1181 Franz, Topologie I 1183/1183a Nicolas, Finanzmathem. 1184 Endres, Verbrennungsmot. I I 1185 Endres, Verbrennungsmot. III 1186/1186a Mellerowicz, Allgemeine Betriebswirtschaftslehre IV 1187 Lau, Luther 1188/1188 a Lehmann, Photogramm. 1189/1189a Päsler, Mechanik 1190 Stupperich, Melanchthon 1191/1191a Brauer, Slav. Sprachwissen • schaft 1 1193 Fürstenberg, Wirtschaftssoziologie 1194 Wendt, Gesch. d. Volkswirtschaftslehre 1195 Ohm, Allgem. Volkswirtschaftspolitik I 1196 Ohm, II 1197/1197aOnasch, Einf. in dieKonfessionskunde der orthod. Kirchen 1198 Engel, Straßenverkehrstechnik 1199/1199a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I I I 1200 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft IV 1201/1201 a Dehn, Versuche zur allgem. u. phys. Chemie 1202/1202 a Nagel, Gesch. des christl. Gottesdienstes 1204 Scheurig, Zeitgeschichte 1205/1205 a Hofmann, Ideengesch. d. soz. Bewegung 1206/1206 a Müller, Kinematik 1207 Philipsborn, Erzkunde

Braun 13 Brauns 15 Bruhns 15 Buch 17 Buchner 13 Buchwald 15 Burau 10 Capelle 3 Chudoba 15 Dahrendorf 4, 9 Dannenbauer 5 D assler 13 Debrunner 8 Deckert 14

Dehn 13 Dehnert 17 Dibelius 4 Diels 14 Dienst 17 Dimitrov 18 Döring 12 Dovifat 10 Ehrlich 4 Ekwall 7 Ende, vom 16 Endres 17 Engel, E. 15 Engel, L . 17

23

Erismann 4 Erlebach 10 Fauser 15 Feist 6 Fischer, F 17 Fischer, J . 15 Fischer, P. B. 10 Flammersfeld 12 Fleischhauer 6 Franz 10 Freye 14 Frühauf 16 Fürstenberg 9 Funke 13 Gehler 18 Geitler 14 Gerthsen 12 Gottschald 6, 7 Graf 18 Grodzinski 17 Grossmann 18 Grotemeyer 11 Gruner 14 Haack 11 Hämmerling 13 Haller 5 Haltenorth 14 Hamann 13 Hanke 16 Hannemann 14 Hartmann 13 Härtung 5 Hassak 13 Hasse 10 Haussner 10 Heil 14 Hei ssler 9, 18 Hempel 7 Henglein 15 Herberg 18 Hermann 13 Hernried 4 Herter 14 Hessenberg 11 Hoernes 5 Hoff mann 8 Hofmann, H. 13 Hofmann, J . E. 10 Hofmann, W. 4 Hofstätter 4 Hofstaetier 6 Hoheisel 11 Hohenleutner 6 Huber 14

24

Humburg 15 Huttenlocher 15 Jacob 6 Jaeckel 14 Jaeger 9 J a h r 13 Jander 13 Jantzen 7 Jaspers 3 Jiriczek 7 Jung 3 Jungbluth 17 Kaestner 14 Kalitsunakis 8 Kamke 11 Kesselring 16 Kirn 5 Kleinlogel 18 Klemm 12 Klobe 10 Klug 13 Kneser 11 Knopp 10, 11 Koch 3 König 12 Körting 18 Kolb 7 Koller 13 Kolms 9 Koschmieder 11 Krähe 7 Kranefeldt 3 Kresze 12 Kropp 3 Krug 9 Krull 10 Kuckuck 14 Küchler 17 Kümmel 4 Kutzelnigg 13 Landmann 3 Langosch 7 Lau 4 Lausberg 8 Lechner 17 Lehmann, G. 3 Lehmann, G. 18 Lehnert 7, 8 Leisegang 3 Lengerken, von 14 Liebich 8 Lietzmann 5 Lockemann 12

Löbell 11 Lorenzen 3, 10 Lotze 15 Ludin 17 Ludz 3 Lüdemann 14 Mahler 12 Matthes 16 Mattick 14 Maurer 7 Mayrhofer 8 Megede, zur 16 Meinke 16 Meissner 8 Mellerowicz 9 Meyer 8 Meysenbug 16 Mitzka 6 Moede 4, 9 Mohr 15 Moser 4, 5 Müller, G. 6 Müller, H. R . 17 Müller, W. 15, 16 Münch 14 Mutschmann 7 Nagel 4 Naumann 6 Neger 14 Nestle 8 Nicolas 9, 12 Niese 17 Noyer-Weidner 8 Oehlmann 4 Ohm 9 Onasch 4 Päsler 12 Paulsen 9 Pepping 4 Pfanzagl 9 Philipsborn 15 Pirani 15 Preller 6 Putz 16 Ramdohr 15 Ranke 7 Reichenow 14 Ringleb 10 Rohrbach 10 Roth 13 Rumpf 5 Runge 15 Sauter 12

Schäfer 16 Scharrer 15 Scheer 13 Scheurig 5 Schilling 3 Schirmer 6 Schlenk 12 Schlingloff 4 Schmidt 18 Schoeneberg 10 Scholz 10 Schubel 7 Schubert, H. 10 Schubert, K . 5 Schulze, E , 15 Schulze, W 12,13 Schwaiger 16 Schwartz 13 Sedlaczek 17 Seidel 14 Simmel 3 Sperber 6 Steinmetz 8 Stolberg-Wernigerode, zu 6 Stolz 8 Strubecker 11 Stuloff 10 Stupperich 4 Tafel 17 Teichmann 18 Thum 16 Tochtermann 16 Tölke 17 Treue 5, 6 Troche 18 Unger 16 Valentiner 12 Vasmer 8 Vietor 7 Vogel 15 Vossler 8 Waltershausen ,v. 5 Weden 6 Weigert 5 Weimer 3 Wendt 9 Werkmeister 18 Wickop 18 Wiese, von 4 Wisniewski 7 Witting 11 Zielemann 17 Zipperer 16 100. X . /62