Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 7 [Reprint 2019 ed.] 9783486992892, 9783486224115

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 7

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1979

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Beiträge zur Numerischen Mathematik / hrsg. von Frieder Kuhnert u. Jochen W. Schmidt. — München, Wien: Oldenbourg. N E : Kuhnert, Frieder [Hrsg.] 7. - 1. Aufl. - 1979. ISBN 3-486-22411-5

© VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1979 Printed in the German Democratic Republic Lizenz-Nr. 206 • 435/116/78 Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg I S B N : 3-486-22411-5

Inhalt

J . A B A F F Y a n d A . GALÄNTAI, B u d a p e s t

Error estimations for conjugate direction methods

7

H . BIALY, D r e s d e n

Eine elementare Realisierung des lexikographischen Simplexverfahrens

13

R . F R A N K und J . B E R T L I N G , Wien Die Anwendung der Iterierten Defektkorrektur auf das Dirichletproblem

19

V . F R I E D E I C H und A . U H L I G , Karl-Marx-Stadt Zur stochastischen Regularisierung linearer Gleichungen in Hilberträumen

33

B . HEINKICH, K a r l - M a r x - S t a d t

Monotone Differenzenapproximationen f ü r lineare elliptische Differentialgleichungen mit gemischten Randbedingungen

49

J . HERZBERGER, O l d e n b u r g

Global konvergente Interpolationsmethoden zur Nullstelleneinschließung

Co

B . HOFMANN, K a r l - M a r x - S t a d t

Über Quelldarstellungen bei einigen linearen Regularisierungsverfahren

75

G . PORATH, G ü s t r o w , u n d E . TABBERT, S c h w e r i n

Das Tschebyscheffsche Iterationsverfahren f ü r lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter A r t

83

K . STREHMEL, H a l l e

Eine Klasse ^.-stabiler Mehrschrittverfahren f ü r Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen

97

A . UHLIG, K a r l - M a r x - S t a d t

Numerische Vergleiche zwischen stochastischer Regularisierung und Projektionsverfahren a m Beispiel der Rekonstruktion vertikaler Temperaturprofile der Erdatmosphäre auf der Grundlage von Satellitenmeßdaten 113 K . VETTERS, D r e s d e n

Asymptotisch symmetrische Verfahren für Nullstellen- und Extremwertaufgaben einer Veränderlichen 121

6

Inhalt

W . WEINELT u n d G . HELMERT,

Karl-Marx-Stadt

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzenschemata

139

G . WIXDISCH, K a r l - M a r x - S t a d t

Ein Beispiel zur physikalischen Interpretation der Potenzmethode für spezielle dreidiagonale Matrizen 159 G . WINDISCH, K a r l - M a r x - S t a d t

Zur numerischen Lösung eindimensionaler Wärmeleitprobleme mit nichtlinearen Randbedingungen durch Differenzenmethoden 163 G . ZIELKE, H a l l e

Motivation und Darstellung von verallgemeinerten Matrixinversen

177

Beitr&ge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 7 - 1 2

E r r o r estimations for conjugate direction methods József A b a t f y and Attrél

Galântai

This paper gives an error estimation for the class of conjugate direction methods when the objective function is quadratical.

1.

Introduction

I t is an important problem of the unconstrained function minimization to minimize quadratical functions of the form fix)

=

xTAx

+

bTx

+

c

ib, x € Rn, c € R1)

(1.1)

where A is an « X « positive definite and symmetrical matrix. The most important methods are based on the computation of conjugate directions ([1 —5]V As it is known, the conjugate directions corresponding to the matrix A are defined as a linearly independent system of vectors i

0}

Entartungszahl der Zeile i £ Z \ |0}. Die Entartungszahl gibt diejenige Stelle einer Zeile an, in der das erste von Null verschiedene Element steht. D e f i n i t i o n 3. Das lexikographische Simplexverfahren (LSV)

Die Zahl v heißt Entartungsstufe des Basiswechsels.

Eine elementare Realisierung des lexikographischen Simplexverfahrens

15

S a t z 1. Das LSV ist stets ausführbar. Nach jedem Basiswechsel entsteht wieder eine l-positive Tabelle, und es gilt a*v < a0v, wobei v die Entartungsstufe des Basiswechsels ist. Beweis. Die Ausführbarkeit der Simplexschritte S R I bis SR3 ist klar, da Z2 und Z3 keine leeren Mengen sind, wenn ZI nicht die leere Menge ist. Wegen Z?> cz ZI gilt p := aft < 0. Wegen asv > 0 ist sicher v < t. Die Spalten mit den Nummern k = 0, 1, . . v — 1 (das sind die ersten v Spalten!) ändern sich nicht. Es gilt a*v = asv/(—p) > 0. Außerdem ist a*v = c > 0. Für eine beliebige Zeile i £ Z \ (0, s) mit der Entartungszahl w : = ent(i) sind folgende Fälle denkbar: Fl:

w < v. Es folgt a*w = a,w > 0.

F 2.1: w = v A ait ^ 0. Es gilt afw = a,fv = aiv + aita*v ^ aiv > 0. F 2.2: io = FA ait < 0. Wegen i £ Z2 gilt "tu, = atv = ai» + «¡((c) ^ a>» + «> ! ) A ait > 0. Dann ist a*v = 0 + c • ait > 0 das erste von Null verschiedene Element in der neuen Zeile i. F 3.2: w > v A aH = 0. Im Fall t < w verändert sich die Zeile i nicht. Der Fall t = w ist nicht möglich. Im Fall t > w erfolgt lediglich die Umstellung einer Null aus Spalte t nach Spalte v + 1. In der neuen Tabelle gilt dann ent(r') = w -f 1. F 3.3: w > v A ai( < 0. Dieser Fall ist wegen i E Z1 und der Definition von v nicht möglich. Die im Simplexschritt SR3 vorzunehmende Spaltenvertauschung ist ausschließlich wegen der in F 2.2 nicht vermeidbaren Beziehung afw = 0 erforderlich. Aus der Fallunterscheidung folgt die 1-Positivität der neuen Tabelle. Die Ungleichung a*v = a0v + c • aot < «0„ ist wegen aot < 0 trivial. S a t z 2. Eine Wiederkehr der gleichen Basis ist im LSV unmöglich. Daher ist das LSV endlich, d. h., nach endlich vielen Ausführungen der Simplexregeln SRI bis SR3 bricht das Verfahren ab. Beweis. Wir nehmen an, daß nach r aufeinanderfolgenden Basiswechseln wieder die gleiche Basis auftritt. v1,v2,...,vr seien die zu den Basiswechseln gehörigen Entartungsstufen und v : = min (vly v2, ..., vr). Dann sind die ersten v 1 Spalten während der Basis Wechsel sicher nicht umgeordnet worden. Es sei xu die zur Spalte v gehörende Nichtbasisvariable. Dann ist der z-Koeffizient von xu nach Satz 1 kleiner geworden. Die Darstellung der Zielfunktion durch die Nichtbasisvariablen einer Basis ist aber eindeutig, unsere Annahme somit falsch. Im Verlauf des LSV ist also die Wiederkehr der gleichen Basis nicht möglich. Da jede Aufgabe nur endlich viele verschiedene Basen besitzt, muß das LSV nach endlich vielen Basiswechseln abbrechen.

I 6

3.

HORST B I A I Y

Das Aufsuchen einer l-positiven Tabelle

Das L S V verlangt eine 1-positive Ausgangstabelle, die stets auch ein Simplextableau ist. Aber die Umkehrung gilt nicht. Wir schlagen folgenden einfachen Weg zur Aufstellung einer l-positiven Tabelle vor. 1. Bestimme ein Simplextableau (2). Hierfür sind zahlreiche Methoden bekannt, die an dieser Stelle nicht erörtert werden müssen. 2. Ist dieses Simplextableau nicht 1-positiv, so gehe man zur gestörten Tabelle l

e

z

do

M

dT

Xß

b

e

B

mit e = I

! e Rm

(4)

über, die sich durch eine zusätzliche positive Spalte mit der Nichtbasisvariablen s auszeichnet. Dabei ist M > 0 eine hinreichend große Zahl, die garantiert, daß die Zusatzspalte niemals Pivotspalte gemäß der Simplexregel S R 1 im L S V wird. Da e im Verlauf des L S V niemals Basisvariable wird, besitzen Originalproblem und gestörtes Problem die gleichen Lösungseigenschaften. Speziell ist die im LSV erzeugte Optimallösung des gestörten Problems wegen e = 0 gleichzeitig Optimallösung des ungestörten Problems. Bei der numerischen Rechnung muß man M weder eintragen noch nach (3) umrechnen. Die Tabellen (2) und (4) sind äquivalent.

4.

Ein Zahlenbeispiel

Das folgende Beispiel dient lediglich zur Demonstration der Regeln des L S V , beansprucht also kein Interesse als Optimierungsproblem. Die Tabellen sind links oben numeriert und die Pivots durch | | gekennzeichnet. Die erste Tabelle T 1 ist bereits 1-positiv. Die im L S V benötigten Daten sind ebenfalls angegeben. T1

1

Zl

x2

Xß

z

2 0 3 0 0 0 0

1 0 2 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

4 2 1 3 4 0 0

x8

X

10

x

12

x

13

x

4

X

5

X

6

—2 - 2 0 1 -3 1 0

1 1 0 1 -1 -1 2 -i -1 _2 0 1 0 -2 3 0 1 —1

B

£ 1 = {4, 5). Wir wählen t = 5. Z1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } , v = 3, £ 2 = ( 1 , 3 , 4 ) , c = 2, Z?> = (1, 4). Wir wählen s — 1. Nach dem Austausch von xB gegen a% ist die Spalte mit xs unmittelbar nach der Spalte mit x3 anzuordnen. Andernfalls wäre die Zeile mit x n i n T 2 nicht mehr 1-positiv (Beweisfall F 2.2 zu Satz 1). In den Zeilen mit x12 und x13 liegt der Fall 3.2 des Beweises zu Satz 1 vor.

Eine elementare Realisierung des lexikographischen Simplexverfahrens

T 2

1

x

z «5

2 0 3 0 0 0

1 0 2 0 0 0 0

X

10 11 X 12 X 13 X

0

i 0 0 1 0 0 0 0

#3

xs

0 2 -1 1 0 0 0

2 -1 1 1 2 0 0

17

z, 0 -1 1 2 -1 1 0

1 -1 0 1 -1 -2 -1 1 1 -2 -2 3 1

ED

= (7}. Also wird t = 7. ZI = {2, 4, 6}, v = 6, Z2 = ZZ = {6). Also wird s = 6. D a die P i v o t s p a l t e u n m i t t e l b a r auf die S p a l t e m i t der N u m m e r v = 6 folgt, unterbleibt ein Spaltenaustausch beim Ü b e r g a n g von T 2 n a c h T 3 . T 3

1

z

2 0 3 0 0 0 0

X9 X 10 X ll X 12 X 1

x

0 0 1 0 0 0 0

0 2 2 -1 -1 1 1 1 0 2 0 0 0 0

2

1 0 2 0 0 0 0

x8

X

3

xi

XQ

X

0 -1 1 2 -1 1 0

0 1 -3 0 -1 1 1

1 -1 2 -1 2 -3 -1

1S

Wegen Sl = 0 ist d a s LSV m i t T 3 beendet. Mit A u s n a h m e von x9 = 3 sind sämtliche K o m p o n e n t e n der Optimallösung Null. E s gilt z miIl = 2.

Literatur [1] ChARNES, A., Optimality and degeneracy in linear programming, Econometrica 20 (1952), 160-170.

[2] DANTZIG, G. B., A. OKDEN and P. WOLFE, The generalized simplex method for minimizing a linear form under linear inequality restraints, Pacific J. Math. 5 (1955), 183 — 195. [3] JEEKE, W., Duale Schnittverfahren der ganzzahligen linearen Optimierung unter besonderer Berücksichtigung der Entartung, Dissertation, TU Dresden 1974. [4J J E E K E , W . , W . SCHIEBEL, J . TEKNO u n d G . UNGEE, E i n B e i t r a g z u r B e h a n d l u n g d e r E n t -

artung beim Simplexverfahren, Beitr. Numer. Math. 4 (1975), 105 — 114. [5] BIALY, H., Eine elementare Methode zur Behandlung des Entartungsfalles in der linearen Optimierung, Unternehmensforschung 10 (1966), 118—123.

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird eine numerische Realisierung des lexikographischen Simplexverfahrens angegeben, die gegenüber dem gewöhnlichen Simplexverfahren nur wenig Zusatzrechnung erfordert. Summary This paper presents a numerical realization of the lexicographic simplex method, which requires only a few supplement calculationwork compared to the usual simplex method. 2

Sum. Mathematik 7

18

HOBST BIALY

Résumé Dans l'article présent on donne une procédure numérique pour l'algorithme du simplexe lexicographique, quelle en comparaison de l'algorithme du simplex usuel demande peu de calcul supplémentaire. PeaioMe B aaHHoiî paooTe ynaaMBaiOT 'iHCJieHuyio peajïn3aqnK> neKCHKorpa^HHecKoro CHMnjieKCMeToaa, Tpeôyiomaa no cpaBHeHHio c OÔMHHHM CHMITJIGKC-MGTO/ÎOM oTHOCHTeatHo M a.10 SOCaBOHHblX BLI'IHCJleHHÎt.

Manuskripteingang: 15. 10. 1976 VERFASSER: Dr. H O R S T B I A L Y , Sektion Mathematik, Naturwissenschaften und Rechentechnik der Hochschule für Verkehrswesen „Friedrich List" Dresden

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 1 9 - 3 1

D i e A n w e n d u n g der Iterierten D e f e k t k o r r e k t u r auf das D i r i c h l e t p r o b l e m R E I N H A R D F R A N K u n d JÖRG H E R T L I N G

1. Darstellung der Methode In [1] und [3] wurde die Methode der Iterierten Defektkorrektur entwickelt und deren Anwendung auf Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen und in [2] die Anwendung auf Zweipunkt-Randwertprobleme diskutiert. Die dort angegebenen Algorithmen, die sich in numerischen Experimenten als außerordentlich effektiv erwiesen haben [6], sollen nun auf partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ erweitert werden. Während für Zweipunkt-Randwertprobleme in [2] die asymptotische Theorie (h -> 0) entwickelt wurde, beschränken wir uns in dieser Arbeit darauf, den Algorithmus der Iterierten Defektkorrektur f ü r gewisse elliptische Randwertaufgaben (RWA) und numerische Experimente anzugeben. Wir betrachten L[u] =

y) ^ + a™(x, y)—^" cx cy~

H*. !/) ~ + «(*, V) cx cy (1.1)

= f(x,y,u) auf dem Einheitsquadrat

R = [0, 1] X [0, 1] mit den

m(0, y) = r^y), u(x, 0) = r ^ z ) ,

m(1, y) = r2(y), u(x, 1) = f2(x),

Randbedingungen

O^y^l, 0 sS x sS 1.

^

Natürlich setzen wir die Stetigkeit der Randfunktion in den Eckpunkten voraus, d. h., MO) = F^O), n ( l ) = r 2 (0), r 2 (0) = r , ( l ) : r a (l) = r 2 (l). Die exakte Lösung dieses Problems sei z{x, y). In unserer Notation hat die Bedingung der gleichmäßigen Elliptizität die folgende Gestalt: a,2) ,

* > 0.

(1.3)

Zunächst möchten wir die Idee unserer Methode skizzieren. Dazu nehmen wir an, daß unser Problem mittels eines klassischen Differenzenschemas (Fünfpunkt-Sterne) gelöst wird. Dadurch erhält man auf dem Punktgitter Gft :=

2*

{{*„

y?)',

x, =

vh,

=

¡ih,

h =

-J-,

v, fi =

0(1)Z)

(1.4)

20

REINHARD F R A N K u n d JÖRG HERTLINO

die Näherungswerte if^ für die exakte Lösung z(xt, y^). Nun interpolieren wir die Näherungswerte r/J01 auf [0, 1] X [0, 1] mit der Interpolationsfunktion P¡}aHx, y): PhW{x„

y„) = r f f . .

v, ¡x =

0(l)w.

D e r I n d e x h deutet an, daß die von den ^ ' - W e r t e n abhängige Interpolationsfunktion damit auch von der Schrittweite h abhängt. Nun konstruieren wir ein neues Randwertproblem L[u\ = f(x, y, u) + L[Ph^]

-

f(x, y, P¿«\x,

«(0,y) = PAM(0,y),

u(\,y) =

u{x, 0) = Phw{x,

u(x, 1) = PAW(a;,

0),

y)),

(1.5)

P¿*\l,y), 1),

wobei in L dieselben Koeffizientenfunktionen a^xl\x,y), . . . auftreten wie in (1.1). Offensichtlich hat dieses Randwertproblem Phioi(x, y) als exakte Lösung. Die Differentialgleichung (1.5) weicht von der ursprünglichen Gleichung (1.1) um die Störung dhW{x, y) := ab.

Gilt

P¿»\x,

L [ / y « l ] - f{x. y. Pp\x, y) *

y))

(1.7)

z(x, y).

— k Ph^\x, y) ^ ^-z{x, y) und ^ P¿«\x,y) CX OXK Clf 1, 2), was dadurch erreicht werden kann, daß erstens in (1.4) mit

za — z(x, y) (k = dyk hinreichend kleinem h gearbeitet wird, so daß die Größen hinreichend gute Approximationen von z(xy, a/J sind, und daß zweitens P A [ 0 l (x, y) aus einer geeigneten Klasse von Interpolationsfunktionen gewählt wird, dann ist die Störung dhw(x, y) „ k l e i n " . Das bedeutet, daß das Problem (1.5), (1.6) „ n a h e " unserem ursprünglichen Problem (1.1), (1-2) ist; daher nennen wir a b nun (1.5), (1.6) „Nachbarproblem" (NP). Entsprechend bezeichnen wir nun (1.1), (1.2) als „Originalproblem" (OP). Obwohl wir die exakte Lösung des N P s kennen, lösen wir es mit demselben Differenzenschema auf demselben Gitter. Das liefert die Näherungswerte JT^®1 für Ph[0](x,,, y^). Natürlich kennen wir jetzt den globalen Diskretisierungsfehler .T^1 %,) von (1.5). (1.6). Da das N P nahe dem Originalproblem (1.1), (1.2) ist, können wir erwarten, daß — P ¿ ° \ x v , y ß ) eine gute Schätzung für den unbekannten Diskretisierungsfehler r]1^ — z(pc„ yvon (1.1), (1.2) ist. Der eben beschriebene Gedanke geht auf Z A D U N A I S K Y zurück, der ihn für die Anwendung von RungeK u t ta-Methoden auf Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen eingeführt hat und ihn durch die obigen heuristischen Argumente motiviert hat [7]. D a wir eine echte Schätzung (mit richtigem Vorzeichen) und keine Abschätzung gewonnen haben, können wir diese Schätzung dazu benutzen, um unsere erste numerische Approximation auf die folgende Art zu verbessern: Wenn wir in der Identität z(x„ y„) = r ¡ -

-

z{x„ yM))

den Ausdruck r^'J — z(x„ yß) durch seine Schätzung erhalten wir voraussichtlich bessere Approximationen :

für z(x„, y„).

=

-

-

W * »

%.))

— Ph[aHx„, y^) ersetzen, (i-8)

Anwendung der Iterierten Defektkorrektur auf das Dirichletproblem

21

E s ist offensichtlich, daß diese Prozedur iteriert werden kann. Natürlich benutzt m a n im zweiten Schritt dieser Iteration eine neue Interpolationsfunktion P f t t l ! (x, y), die die neuen Werte r^J interpoliert, und erhält

Weitere Iterationsschritte liefern :

= 4 - •••

i1-10)

U m die Iteration (1.9) auf heuristische Art zu motivieren, beachten wir: a) Die Werte if^ sind (voraussichtlich) bessere Approximationen f ü r z(x,,, y„) als 'V[t b) Daher ist die Funktion P A [1 '(x, y) (bzw. ihre Ableitungen), die die „besseren" Werte rfJ-J interpoliert, der exakten Lösung (bzw. ihren Ableitungen) näher. c) Daher läßt das neue N P (das P ^ 1 1 ^ , y) als exakte Lösung hat) eine noch kleinere Störung dp\x,

y) := L[PhM]

-

f(x, y, Pp\x,

y))

erwarten. (Das neue N P ist an das O P „nähergerückt".) d) Das bedingt voraussichtlich, d a ß die neue Fehlerschätzung ^ besser ist als die erste Fehlerschätzung rc^J — P h ^ ( x y . !/„).

— PA[11(.r,., yu)

I n verschiedenen Arbeiten über gewöhnliche Differentialgleichungen (Anfangsund Randwertprobleme) ist diese Methode ,.Iteriert e Defektkorrektur" genannt und ihr asymptotisches Verhalten f ü r Ii -> 0 analysiert worden. Es stellte sich heraus, d a ß f ü r eine Basismethode der Konsistenzordnung p und fiir Interpolationsfunktionen aus einer geeigneten Funktionenklasse der y'-te Schritt der Iteration die Ordnung (/ 4- 1) -p hatte. Bei eindimensionalen Problemen beruhte der Beweis dieser Tatsache auf der Existenz einer asymptotischen Entwicklung des globalen Diskretisierungsfehlers (nach /¡.-Potenzen). Dieser Beweis läßt sich nicht unmittelbar auf Probleme vom T y p (1.1), (1.2) übertragen, da bei physikalisch relevanten Problemen im allgemeinen die Existenz „hinreichend langer" asymptotischer Entwicklungen nicht gesichert ist. Auch bei glatten Daten nn)(x.y). a^-(x.y), dr>(x,y), a'2(x. y), f(x, y, u), r^y), r2(y), r^x), r2(x) können nämlich in den Eckpunkten Singularitäten der höheren Ableitungen von z(x, y) auftreten. Die numerischen Experimente, die wir durchgeführt haben, zeigen jedoch, daß die erzielten Resultate ähnlich gut sind wie bei eindimensionalen Problemen. Die Konstruktion der Interpolationsfunktion und die Berechnung der Störungen d ^ ( x v , yß) erscheint aufwendig. In Abschnitt 2 werden wir jedoch sehen, daß diese Berechnung in sehr einfacher Weise möglich ist, falls mit stückweise polynomialer Interpolation gearbeitet wird. Ein wesentlicher Vorteil unserer Methode ist der folgende: Um das Originalproblem zu lösen (Berechnung der Werte u n d um das /-te N P zu lösen (Berechnung der Werte -T^), muß m a n nichtlineare Gleichungssysteme lösen. Wenn die Werte rf^ näher a n z(x„ y^) rücken und wenn gleichzeitig die Fehlerschätzungen — Phl'](xv, )/„) besser mit dem tatsächlichen Diskretisierungsfehler r^1 — z(xr,yu) übereinstimmen, d a n n rücken die Werte jr1'1 näher an unsere erste numerische ' vu

22

R E I N H A R D F R A N K u n d JÖRG HERTLING

Approximation (Abb.l). Für die numerische Lösung des/-tenNPs, d.h. für die Lösung des entsprechenden nichtlinearen Gleichungssystems, erhalten wir auf Grund unserer letzten Bemerkung die guten Start werte rf^. Dies bedeutet, daß wir bei allen Schritten der Iterierten Defektkorrektur mit demselben Startvektor arbeiten. Da die Störungen dhl']{x, y) nicht von u abhängen, verschwinden sie bei der Konstruktion der Jacobimatrix, die dem j'-ten N P entspricht (Differentiation von f(x, y, u) dh[)i(x, y) nach u). Falls nun mit einem Pseudonewtonverfahren gearbeitet wird (Auswertung der Jacobimatrix nur an der Startstelle), so bedeutet dies, daß während der iterierten Defektkorrektur stets mit derselben Jacobimatrix gearbeitet wird. (Das heißt, Dreieckszerlegungen treten nur bei der Lösung des OPs auf, jedoch nicht bei der Lösung der NPs!) z


/) = d/PXx, y) (vgl. (2.11)). Offensichtlich ist unser ursprüngliches Randwertproblem (1.1), (1.2) der ..entartete" Fall unseres allgemeineren Typs, bei dem für die Sprungfunktionen «4(y) = 0 sk(x) = 0

auf auf

[0,1], [0, 1],

i=l(l)»-l, k = I(l)?i - 1

gilt. Natürlich muß die Diskretisierung von Problemen des Typs (2.14), (2.15), (2.16) die Sprungbedingungen (2.15) berücksichtigen. Im Inneren jedes Rik benutzen wir die gewöhnlichen Fünfpunkt-Differenzensterne der Ordnung 2. Die Sprungbedingungen (2.15) werden durch Gleichungen, wie z. B. 777 [ ( — + 2h mit yß = yk,

— »7,,„+2) — (3?7v — 4);VjU_i + rj,,^)] = sik(x„) (2.18)

26

R E I N H A R D F R A N K u n d JÖRG HERTLI.VG

diskretisiert. Analog zur klassischen Situation beim Rechteck, wo die Näherungswerte in den Eckpunkten nicht in der Diskretisierung auftreten, unterdrücken wir hier die Näherungswerte in den Punkten von GH. Dadurch stimmt die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen überein. Entsprechend der Idee unserer Methode müssen wir auch das glatte OP mit derselben Diskretisierungsmethode behandeln, die f ü r die Diskretisierung des /-ten NPs verwendet wird. Das bedeutet, daß wir längs der Geraden x = xi, y = yk nicht die gewöhnlichen Differenzensterne benutzen, sondern z. B. die Diskretisierung •¿r [ ( — 3 ^ + 4 ? ^ + ! — rjv.^i) ~

—

+ r},,„-2)] = 0

(2.19)

Dieser Algorithmus zum Lösen der „stückweise definierten Probleme" würde bei einer Implementierung gewisse Schwierigkeiten mit sich bringen: Löst man das im allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystem für die rfQ-Werte bzw. für die n 1 ^-Werte mit dem Newtonverfahren, so besitzt ¡die Funktionalmatrix bei der üblichen Diskretisierung bekanntlich folgende Struktur:

(2.20)

Diese Struktur würde durch die Diskretisierung der Ableitungssprünge (vgl. (2.18)) gestört werden. Durch eine kleine Modifikation des obigen Algorithmus läßt sich erreichen, daß die übliche Struktur der Matrix erhalten bleibt. Dazu denken wir uns jede der Differentialgleichungen (2.16) und deren Lösungen uik{x, y) auf ein das Quadrat R'J: enthaltendes Gebiet fortgesetzt. Betrachtet man nun den P u n k t (xv, yß) etwa auf der „Sprunglinie" x = xl (d. h., x, = x{), dann bezeichnen wir mit rj,+it/1 die Approximation von uik(xv+1, yund mit rjv-die Approximation von •ui+1,k(x„-l, ?/„). (wie bisher approximieren die Werte »jv_ljJU bzw. r/v+liti die Größen ^(x,,^, yu) bzw. ui+1'k(xv+li, yu).) Der Stelle (x„, yu) entsprechen dann die Gleichungen:

+ \ - h\f(x„ y„

V,-!.,,) + \2 «ifilh,^ 1 - V'.ß-l) ""

•>?,.) +

d«(x„ y„)) = 0,

(2.21)

y„)) = 0

(2.22)

- h*{f(xr, y„, Vvt) + d^{x„

Anwendung der Iterierten Defektkorrektur auf das Dirichletproblem

27

und die Sprungbedingung — Vv-i.ß) - ITT ( W i « - V y„) + d^{xv,

y„) +

\x„ y „ ) ) J = 0.

Auch hier treffen wieder die obigen Bemerkungen a) und b) zu.

(2.25)

28

3.

REINHARD FRANK u n d JÖRG HERTLING

Numerische Ergebnisse

Die folgenden Experimente sind einer Diplomarbeit von R A P F wurden Tests durchgeführt, um folgende Fragen zu klären:

[4]

entnommen. Dort

a) Zusammenhang zwischen dem Polynomgrad der Interpolationspolynome und der Anzahl der Iterationsschritte, die deutliche Verbesserungen bringen. b) I s t es problematisch, den Grundbereich R in „viele" Interpolationsrechtecke R ik zu teilen? c) Erprobung an einem nichtlinearen Beispiel. d) Erprobung an einem Beispiel, bei dem mit Singularitäten der höheren Ableitungen der exakten Lösung in den Eckpunkten zu rechnen ist. ad a) Falls dieselben asymptotischen Resultate gelten wie bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (siehe [2]), k a n n m a n erwarten, daß bei einem Polynomgrad 2s + 3 und hinreichend kleiner Schrittweite s Schritte der Iteration Verbesserungen bringen. B e i s p i e l a 1) Au = - 5 sin (x + 2 y)

auf R = [0, 0.3] X [0, 0.3],

m(0, y) = sin ( 2 y) ,

w(0.3, y) = sin (0.3 + 2 y ) ,

u(x, 0) = sin x,

u{x, 0.3) = sin (x + 0.6),

0 ^ y g 0.3, 0^.r^0.3.

E x a k t e Lösung: z(x, y) = sin (x + 2 y). Schrittweite: h = 0.03. Interpolation mit 4 Polynomen vom Grad 5. Fehler des Fünfpunkt-Differenzenverfahrens au 0.3 X 10~5. Fehler nach dem 1. Defektkorrekturschritt «a 0.3 X 10~7. Fehler nach dem 2. Defektkorrekturschritt au 0.8 X 10 -8 . Fehler nach dem 3. Defektkorrekturschritt 0.8 X 10"8. Diese Werte wurden durch Mittelbildung über sämtliche absoluten Fehler an den Gitterpunkten erhalten. Eine deutliche Verbesserung ergibt tatsächlich nur der erste Schritt, wie es bei Polynomen vom Grad 5 (s = 1) zu erwarten wäre. B e i s p i e l a 2) Wie Beispiel a 1), aber auf R =

0,

X

0,11 21

Schrittweite: h = — « s 0.037. 21-14 Interpolation mit 4 Polynomen vom Grad 7. Fehler des Fünfpunkt-Differenzenverfahrens 0.25 X 10 1 . Fehler nach dem 1. Defektkorrekturschritt au 0.8 X 10 -7 . Fehler nach dem 2. Defektkorrekturschritt 0.2 x 10~9. Fehler nach dem 3. Defektkorrekturschritt ^ 0.6 X 10" 10 . Fehler nach dem 4. Defektkorrekturschritt 0.6 X 10~10. Die deutlichste Verbesserung ergeben die ersten beiden Schritte. 11 11 B e i s p i e l a 3) Wie Beispiel a 1), aber auf R = 0. X 0, 7 T Schrittweite: h = as 0.112. 7-11

29

Anwendung der Iterierten Defektkorrektur auf das Dirichletproblem

Interpolation wieder mit 4 Polynomen vom Grad 7. Fehler des Fünfpunkt-Differenzenverfahrens ^ 0.2 x Fehler nach dem 1. Defektkorrekturschritt au 0.3 X Fehler nach dem 2. Defektkorrekturschritt sa 0.3 X Entsprechend der ungenaueren Anfangsnäherung korrekturschritt eine gute Verbesserung.

10 -2 . 10~5. 10"5. bringt nur der erste Defekt-

ad b) B e i s p i e l b 1) Wie Beispiel a 1), aber auf R = [0, 0.6] X [0, 1]. Schrittweite: h = — = 0.04. 25 Interpolation mit 15 Polynomen vom Grad 5. Fehler des Fünfpunkt-Differenzenverfahrens an 0.7 X 10 4 . Fehler nach dem 1. Defektkorrekturschritt «a 0.4 x 10 -6 . Trotz vieler Interpolationsquadrate etwa gleich gute Verbesserung beim 1. Defektkorrekturschritt wie bei Beispiel a 1). ad c) B e i s p i e l c 1) Au—0.2—-fcx m(0, y) =

e

0.1 — = « 3 — e -3(r T 2»+3) _i_ 5 c - i i riiT3i auf iü = 8y

-(2»-i-3) ;

yj =

u{x, 0) = g-('+3) ;

ii ^

e-'2» "15/4) .

J l j = e-~> -j-gelöst und anschließend Richardson-Extrapolation durchgeführt. An den Punkten (5,5), (3,3) und (1,1)

30

R E I N H A R D F R A N K u n d JÖRG HERTLING

vergleichen wir die so erhaltenen Werte m i t den W e r t e n der iterierten Defektkorrektur. d u r c h g e f ü h r t m i t 4 P o l y n o m e n vom Grad 5 u n d der Schrittweite h = 1. P u n k t (5,5): h = 1

0.128071 X 10" 1 0.126679 X 10- 1

h = — 2

0.127027 X 10- 1

0.1266762 X 10" 1 0.126676 X 10" 1

h=—

4

0.126764 X 10" 1

D e r 1. D e f e k t k o r r e k t u r s c h r i t t liefert d e n W e r t 0.126666 X 1(H. P u n k t (3,3): k = 1

0.124970 X 10" 1 0.123859 X 10" 1

h = — 2

0.124137 X 10" 1

0.123857 X 10" 1 0.123857 X 10" 1

h =

1

4

0.123927 x 10" 1

D e r 1. D e f e k t k o r r e k t u r s c h r i t t liefert den W e r t 0.123822 X 10" 1 . P u n k t (1,1): h = 1

0.804639 X 10"2 0.797510 X 10- 2

h = i. 2

0.799292 X 10- 2

0.797256 X 10" 2 0.797272 X 10- 2

h = — 4

0.797777 X 10- 2

D e r 1. D e f e k t k o r r e k t u r s c h r i t t liefert d e n W e r t 0.799696 X 10" 2 . Offensichtlich s t i m m e n die auf diesen beiden W e g e n erhaltenen W e r t e im Inneren des R e c h t e c k s besser überein als nahe d e n E c k p u n k t e n — wie es zu erwarten war.

Literatur [1] FRANK, R., Schätzungen des globalen Diskretisierungsfehlers bei Runge-Kutta-Methoden, ISNM -27 (1975), 4 5 - 7 0 . [2] FRANK, R., The method of iterated defect-correction and its application to two-point boundary value problems. Part 1 and 2 (erscheint in Numer. Math.). [3] FRANK, R., and C. W. UEBERHUBER, Iterated defect correction for Runge-Kutta methods. Report No. 14/75, Inst. f. Numer. Math., Technical University of Vienna. [4] RAPF, A., Diplomarbeit, Technische Universität Wien 1976.

Anwendung der Iterierten Defektkorrektur auf das Dirichletproblem

31

Economical global error estimation. I n : R . A . W I L L O U G H B Y (Ed.), Stiff Differential Systems, Plenum Press, New York—London 1974, pp. 245—258. [6] S Ü N D E R M A N N , R . , Numerische Lösung von Zweipunkt-Randwertaufgaben mit der Methode der Iterierten Defekt-Korrektur. Diplomarbeit, Technische Universität Wien 1975. [7] ZADUNAISKY, P. E., On the estimation of errors propagated in the numerical solution of ordinary differential equations. Proc. IAU Symp. No. 25, Thessaloniki, Greece, 1966. [ 5 ] STBTTER, H . J . ,

Manuskripteingang: 11. 5. 1976 VERFASSER:

Dr. R E I N H A R D F R A N K und Doz. Dr. der Technischen Universität Wien

JÖRG H E R T L I N G ,

Institut für Numerische Mathematik

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 3 3 - 4 8

Z u r stochastischen Regularisierung linearer Gleichungen in H i l b e r t r ä u m e n VOLKMAR FRIEDRICH u n d ANDREAS

UHLIG

Die Bestimmung unbekannter Größen aus indirekten Messungen führte zur Entwicklung von Näherungsverfahren für nichtkorrekte Gleichungen. Die Tichonowsche Regularisierung als bekanntestes dieser Näherungsverfahren benutzt qualitative Zusatzinformationen über die unbekannte Größe zur Formulierung benachbarter korrekter Näherungsgleichungen. Ihre Anwendung auf (schlecht konditionierte) lineare Gleichungssysteme steht in einer gewissen Beziehung zu deren stochastischer Regularisierung auf der Grundlage einer stochastischen Modellierung dieser Meßvorgänge. Nachfolgend werden die stochastische Regularisierung für lineare Gleichungen in Hilberträumen begründet und ihre Analogien zur Tichonowschen Regularisierung diskutiert. Die stochastische Regularisierung erweist sich dabei im gleichen Sinne wie für lineare Gleichungssysteme als optimales Näherungsverfahren.

1.

Aufgabenstellung der indirekten Messung

Es sei x ein interessierender Zustand, der nicht unmittelbar unserer Beobachtung zugänglich ist, dessen Wirkungen aber gemessen werden können. Die Abbildung A beschreibe den Zusammenhang zwischen x und der von ihr direkt abhängenden, meßtechnisch erfaßbaren Größe. In der Regel sind die Meßergebnisse noch durch einen Meßfehler y verfälscht, der hier als additiv angenommen wird. Das tatsächlich registrierte Meßergebnis z erfüllt somit die Beziehung Ax + y = z.

(1)

Im weiteren werden x als Element eines normierten Raumes X und Ax, y sowie z als Elemente eines (im allgemeinen von X verschiedenen) normierten Raumes Y aufgefaßt; A sei ein stetiger linearer Operator von X in Y. Die Bestimmung von x aus (1) bereitet insofern Schwierigkeiten, daß für den Meßfehler im allgemeinen nur eine gewisse obere Schranke Ö für ||j/|| angegeben werden kann und im Fall eines unendlichdimensionalen Raumes X für eine vollstetige Abbildung A eine Ersetzung von (1) durch Ax = z als Näherungsgleichung nicht sinnvoll ist, da selbst dann, wenn A eine eineindeutige Abbildung von X in Y ist, diese Gleichung Ax = z weder eine Lösung besitzen muß noch diese Lösung, falls sie existiert, dem gesuchten x benachbart zu sein braucht [1], 3

S u m . Mathematik 7

34

2.

VOLKMAR F R I E D R I C H u n d A N D R E A S U H L I G

Regularisierung nach T i c h o n o w

Wird dagegen als Näherung x„ für x die Lösung des Minimumproblems für das Funktional T,(x) = ||Ax - z||2 + «Q{x) (2) genommen, so ergeben sich Konvergenzaussagen unter recht allgemeinen Voraussetzungen an das stabilisierende Funktional ß(x) und an den Regularisierungsparameter « als Funktion von Ö für (5 —> 0 (vgl. [1], Kap. II). Sind X und Y Hilberträume, so läßt sich für bestimmte Q(x) das Minimalelement xa des Funktionais (2) als Lösung einer „Eulergleichung" berechnen. So entspricht dem stabilisierenden Funktional Q(x) = ||a;||2 die Eulergleichung {A*A

+ 0.

für üh (vgl. [13, S. 63]).

Die Eigenschaft E(Ak, Üh) ist hinreichend dafür, daß Ah von monotoner Art ist, d. h., es gilt: Aus Ahwh Sä 0 in Qh folgt wh > 0 in

üh.

(13)

Monotone Differenzenapproximationen für Differentialgleichungen

51

Aus diesem Grund haben Differenzenschemata mit E(Ah, Qh) auch weitere vorteilh a f t e Eigenschaften. So z. B. existiert gewiß Ah~x, andererseits werden Korrektheitsund Konvergenzuntersuchungen sowie Fehlerabschätzungen in der C-Norm möglich. Außerdem ist E(Ah, Qh) bei Konvergenzuntersuchungen von Iterationsverfahren zur Auflösung von Ahuh = Fh von Bedeutung. Auf dem Gebiet der numerischen Analysis des Differenzenverfahrens sind daher unter anderem folgende Aufgaben zu lösen: a) Differenzenoperatoren Ah mit E(Ah, üh) f ü r die Aufgabe (1), (2) zu konstruieren, b) Fehlerabschätzungen f ü r die Näherungslösung uh im Vergleich zur exakten Lösung u über Approximations-, Korrektheits- u n d Konvergenzuntersuchungen zu gewinnen. Die Eigenschaft E(Ah, Qh) k a n n in einfachen Sonderfällen von (1), (2) leicht realisiert werden, etwa f ü r Lu = —Au, lu = u. Jedoch entstehen bei der Konstruktion von Differenzenschemata Ahuh = Fh mit der gewünschten Eigenschaft K(Ab. Qh) f ü r allgemeinere Probleme (1), (2) Schwierigkeiten, die durch folgende Umstände bzw. Forderungen entstehen: Auftreten der Terme 2a12uXiXt in Lu und ßuß in lu mit beliebiger Richtung /t, Berücksichtigung des krummlinigen Randes F und irregulärer Gitterpunkte, Erzielen möglichst kleiner Approximationsfehler sowie rascher Konvergenz uh -> u f ü r h — 0 . Fiir die relativ umfassende Aufgabenklasse (1), (2) liegen bezüglich der gestellten Aufgaben und entstehenden Schwierigkeiten nur f ü r gewisse Spezialfälle Ergebnisse vor. Dabei überwiegen die Untersuchungen zum Dirichlet-Problem (ß = 0 bei (2)), meist verbunden mit starken quantitativen Beschränkungen des Koeffizienten >tr, gegenüber « n von (1), etwa |A12] ^ f ü r i = 1 , 2 (vgl. etwa [13, 14]). F ü r ß = 0 bei (2) wird von BRAMBLE/HTJBBARD [4] konstruktiv der allgemeine Fall f ü r einen gleichmäßig elliptischen Operator L von (1) behandelt, d. h., in [4] wird ein Differenzenschema mit E{Ah, Qh) angegeben. Andererseits liegen f ü r lineare gemischte Randbedingungen (2) mit ß ^ 0 meist nur Ergebnisse bei Anwesenheit des Operators L m i t A12 =

0 u n d an

=

A 22 v o r , e t w a v o n ALEKSIDZE [1], BATSCHELET [3], BRAJIBLE/

HUBBARD [5, 6], VAN L I N D E [ 1 1 ] , THURAISAMY [ 1 7 ] , VOLKOV [ 2 0 , 2 1 ] ,

An dieser Stelle sollen f ü r die Randwertaufgabe (1), (2) bzw. (3) Differenzenschemata Ahuh = Fh mit E(Ah, üh) unter Wegfall der vorerwähnten Restriktionen konstruiert und Korrektheits- sowie Konvergenzuntersuchungen durchgeführt werden. Insbesondere werden die Ergebnisse von [3, 5, 20] auf allgemeinere Klassen von Randwertaufgaben übertragen, wobei die weiter oben genannten Schwierigkeiten zum größten Teil behandelt werden.

2.

Das Gitter

I m abgeschlossenen Gebiet ü sei für jedes h (0 < Ii iS h0) eine Punktmenge üh = üh + r h , das „abgeschlossene Gitter" gegeben. E s bestehe aus der Menge der Schnittpunkte Qh = Ghl n Gh2 n Q, die zwei Familien Ghl, Gh2 achsenparalleler Geraden gleichen Abstandes h > 0 innerhalb Q haben, sowie aus Fh, dem ,.Gitter4*

52

B E R N D HEINRICH

rand". Jedem Gitterpunkt P 0 = (xi, x2) £ Qh werden vier Nachbarpunkte

P\ = (xi + h, x2), x

P3 = ( i — h, x2),

P2 = (xu x2 + h),

zugeordnet, wie in [4] für a12{P0) P 5 = (x1 + mji, x2 + m2h), x

P5 = ( i + mji',

— mji),

(14)

P 4 = (xlt x2 — h) =(= 0 außerdem noch die Punkte

P 6 = (x1 — m-Ji, x2 — m2h)

für

« 1 2 (P 0 ) > 0,

(15)

x

P6 = ( i — fn^h, x2 + m2h) für a12(P0) < 0.

Dabei sind die (i = 1, 2) geeignete positive ganze Zahlen, die später noch charak00k , Q h *, Q h ** von Qh erklärt. terisiert werden. Weiterhin werden Teilmengen QOhi Q o , Ein Punkt P0 £ üh gehört zu üh, falls die Gitterarme PiP0 für i — 1, 2, 3, 4 alle in Q OO

•

liegen, P0 gehört zu üh, falls das zusätzlich auch für P;P 0 mit i = 5, 6 zutrifft. Ein Punkt P 0 6 Qh gehört zu Qh*. falls einer der Gitterarme P,P(t für i = 1, 2, 3, 4 nicht Teilmenge von ü ist; P 0 gehört zu Q h **, falls er nicht zu Q h * gehört und einer der Gitterarme P j P 0 für i = 5, G nicht Teilmenge von Q ist. Der Gitterrand Fh besteht aus den Schnittpunkten der Maschengeraden mit P und den Schnittpunkten der Strecken P;P 0 für i = 5, 6 mit P (falls P;P 0 den Rand mehrmals schneidet, wird der dem Punkt P 0 nächstgelegene Schnittpunkt ausgewählt). Dabei wird F h nochmals je nach Art der in P 0 £ PA definierten Randbedingung in F h l , PA2, Ph3 unterteilt. Die Koordinaten der Nachbarpunkte Pt, i € {1, 2, ..., 6}, von P 0 6 -h werden im Falle eines irregulären Differenzensternes beschrieben durcvh

P\ = ixi +

x

i),

P2 = (*i> x2 +

Pe =

— hmji, x2 =f ?.6m2h), (16)

wobei 0 < Xi ^ 1 (i = 1, 2, ..., 6) gilt.

3.

Approximation von L

Bei der Approximation des Operators L durch einen Differenzenoperator Lh über einem neunpunktigen Differenzenstern von Abb. 1 mit 0 = jr/4 (m1 = m2 = 1) wird die Eigenschaft (11) für h iS h0 nur bei starken betragsmäßigen Beschränkungen von a12 erreicht, wie bereits oben erwähnt. Die Autoren B R A M B L E / H U B B A B D haben in [4] für L von (1) eine Möglichkeit zur expliziten Konstruktion von Lh mit den Eigen*2:

p;\

Pl

h

8

\

rTifh PL

P6

SIP0) = {P0,R,...,P6}

x P>

Monotone Differenzenapproximationen für Differentialgleichungen

53

Schäften (11), (12) im Zusammenhang mit der Behandlung des Dirichlet-Problems f ü r gleichmäßig elliptische Operatoren angegeben. Der Grundgedanke zur Konstruktion von Lh besteht darin, s t a t t m, = m 2 = 1 bei (15), (16) in Abhängigkeit von a0, a 1 ; an, al2, a22 (vgl. (4)) f ü r i = 1 , 2 Zahlen m-% ^ 1 zu wählen. Über Q k a n n nach [4] eine im allgemeinen unstetige Funktion d — t a n 0 (& von Abb. 1) angegeben werden, so d a ß gilt: a

n{d + d'1) S: 0,

\ d \ =

—

mit

mx

au — a12 ä0 > 0 ,

1 ^ m -

< K

t

{i =

« 22 — a12d > ä0 > 0 in

Q, ( 1 7 )

1,2),

u n d K ist eine von P £ Q unabhängige Konstante, die ml sind positive ganze, teilerfremde Zahlen. I n P0 6 Q k a n n bei Verwendung der Richtung x3 (vgl. Abb. 1) die gemischte Ableitung u x a eliminiert werden; es gilt 2 Lu

=

—

£

{(an

mit den Abkürzungen d1 P0 € Oh definiert durch Lhu

—

d{)

uXiXi

+

diUXiXi

=

a

dr',

d2

=

l i , - - ZE {(aiä {(a« i=l [

=

l 2

2 7 s ó u d {{ ) ^ — oXi2

-

wobei die Differenzenquotienten S2u0

_

hU2Uj

—

2

dxi

(hj

_

2

k6u5

—

(k5

2

öx3

+

hi+2)

+

k

6

+

ÒU0

W; —

ui+2

öa;;

hi

hi+2

+

dt

l

+

w0

+ ) u0

+

(18)

cu

Der Differenzenoperator

d.

62u — dx32

7

+ +

i 2

biUXt)

t

++ h6 ,

ÓMÌ

-fU —

[ d x j

bei (19) erklärt sind

h i h i h i

y-Up

a

+

hjUi+2

+

Lh

wird in

(19)

cu,

durch

{ ü r

%=

\

2

hi+2) +

k5u6

K ) ,

für

i = 1, 2

mit Uj = u(Pj) f ü r P u n k t e Pj aus dem Differenzenstern S(P0) sowie mit hj — ?.jh, kj = Xjk, k = h j/'m!2 + ra22. F ü r reguläre Gitterpunkte P0 £ Qh gilt Xj = 1 f ü r 7 = 1,2, ..., 6, d . h . , hj = h, kj = k. Der Approximationsfehler ist im Fall von u € C

4

( ß ) M •'

h

u - L u \ \

C ( X ) l l £ W

=

\ ° ^ \0(h)

f Ü r

für

=

XA =

(21)

ßA*+ßA**,

wobei hier, wie auch f ü r folgende Ausdrücke, ||f||C(jr,) = max

\v(P)\

vereinbart wird.

PiXh

Das diskrete Analogon von Lu — f ist Lkuk — f h , wobei Lh durch (19) und fh durch fh — f in P 0 £ Qh definiert ist. F ü r die Koeffizienten A(P, P0) der kanonischen Form Lhu = £ A ( P , P 0 ) u ( P ) gelten f ü r h g h0 = 2ä0/b0, b0 von (4), die Eigenschaften i>6S(P„) (11), (12) v o n

E ( A

h

, Ü

h

) .

54

4.

BEEND HEINRICH

Approximation von /

Die Schwierigkeiten bei der Konstruktion eines approximierenden Differenzenoperators 4 für l liegen in der Approximation der Richtungsableitung up auf dem òli krummlinigen Rand r . Ziel ist es, u^ durch — möglichst gut so zu approximieren, daß lh die Eigenschaften (11), (12) besitzt. Mit der Approximation der Richtungsableitung beschäftigten sich unter anderem A L E K S I D Z E [ 1 ] , A N D R E E V [ 2 ] , BATSCHELET [ 3 ] , B R A M B L E / H U B B A R D [5, 6], K A N T O R O WITSCH/KRYLOW

[9],

SAMARSKIJ/ANDREEV

LEBEDEV

[10],

VAN

LINDE

[11],

[16], THURAISAMY [17], U H L M A N N

MICHLIN/SMOLIZKI

[13],

[18], VISWANATHAN

[19],

VOLKOV [20, 21], wobei BATSCHELET einen grundlegenden Beitrag zur Methodik des Konvergenzbeweises bei Aufgaben mit gemischten Randbedingungen lieferte (Majorantenmethode). Die verwendeten Approximationen sind auch für ,« — n vielfach nur von erster Ordnung bezüglich h (vgl. etwa [3, 13, 16]) oder aber von höherer Ordnung bezüglich h bei Ausbleiben der Eigenschaft (11) und des Konvergenzbeweises (vgl. etwa [18]). Fortschritte auf diesem Gebiet für die Poisson-Gleichung brachten vor allem die Arbeiten von VOLKOV [20, 21] und BRAMBLE/HUBBARD [5], die Differenzenoperatoren lh mit einer Approximationsordnung größer als 1 bezügu vorstellten. In [5] lich k und auch entsprechende Konvergenzbeweise für uh wird die Aufgabe

—Au

= / in ß ,

u

=

(p1

auf

r1)

cn

— + «

=

)

(27)

Lu in (9 zu nehmen ; (. )s

56

BERND HEIXRICH

3° Lage der Punkte P;. Es wird in [22] gezeigt, daß die Punkte P ; € derart gewählt werden können, daß (26) lösbar wird mit c,

( i = 1,2,3),

¿

C i

+ 0 ,

Ci

(i = 1, 2, 3)

= 0(h^),

(28)

f%

falls nur K auf P 2 ,

\- K auf P 3 beschränkt ist. Dazu werden für & £ J 1 gewisse ß Teilmengen T t (i = 1, 2, 3) betrachtet: 1\ = j(£i, x 2 ) 4e > ]/«22®i > ] « n + T2 =

;z2): 4e > — J/a22«x > Vö n ;r 2 + £ > 2 t } ,

= {(^l. £2): 6« ^ mit den bei Gar

e > 2ej,

> V^Ü

(29)

+ 5£}'

genommenen Werten von än, ö22 und

3 e = — \aih, 2

2a 2 e < —_ 0 _ 17K j/«! 3

(a0, al von (4)).

(30)

Die Punkte P ; werden nach der Vorschrift Pt d Tt (i = 1, 2, 3) gewählt. Im lokalen ii-%-System können Tlt T2, T3 wie in Abb. 3 dargestellt werden. Die Abb. 3 zeigt einen Fall für 0 d T, bei dem eine positive Krümmung K auftritt. Gleichzeitig

sind, bei & £ T tangierend, die Krümmungskreisscheiben Qe, Q^ mit den Radien q= 1 /K, g= ljK eingezeichnet (K = m a x K + , K*\ positive Krümmung). Die Nichtnegativität der r-, bei (28) wird durch Analyse des Gleichungssystems (26) erhalten (vgl. [22]). Für h mit h

< El «1

rain

|(23Ä0 + 38S,)" 1 , (45S 0 + 1 7 ^ ) ^ } . * < ^ ? l / 9 o0 |/ a1

(»1)

Monotone Differenzenapproximationen für Differentialgleichungen

und den Abkürzungen S0 = max r2'r3 gewiß (28) erreicht.

ß

+

K , Si = — { k — «o) «o {

57

+ ~ 6 0 1 wird 2 J

4° Existenz der Punkte P f . Es wird in [22] durch vorwiegend geometrische Überlegungen gezeigt, daß die Bedingungen bei (30) für h sS h0 folgendes gewährleisten: a) Die Gebiete T^O) (i = 1, 2, 3) mit & £ rh2 + rh3 in ü .

(vgl. (29)) liegen für h < h0

b) In jedem dieser Ti befindet sich mindestens ein Gitterpunkt P, d Qh. Die Punkte P, £ Ti liegen stets innerhalb eines Kreises um (9 mit dem Radius r = 10 l'ajÖQ-1/;. Falls Knickpunkte auf P auftreten, wird außer (30) eine weitere Voraussetzung V(rh, K) an die „Weite" des Gebietes in einer Umgebung von C C P erhoben (für V{Ph, K) siehe [22]), so daß die obigen Aussagen ebenfalls gültig bleiben. 5° Zusammenfassung. Die Betrachtungen zur Konstruktion des Differenzenoperators — werden zusammengefaßt in dn S a t z 1. Vorgelegt sei die Randwertaufgabe von Nr. 1, es sei fi = n, u € C3(ü) Lösung von (1), (2), S0 < oo, P stetig gekrümmt. Dann existiert für den Randoperator l von (2) in jedem Punkt P0 6 Ph2 -f- Ph3 für h /(0, h0 geeignet gewählt, ein Differenzenoperator lh •

T

*

,

mit lhu — xu -f- ß — und dn

£ =

{(> + ^ . ( f ) , - 4 1 (f)# + 4

- »(P,)}.

(32)

Es ist (Cj, c 2 , c3) Lösung von (26) für die Punkte P, = (xu, x2l) ( Ti n Qh (i = 1, 2, 3), die übrigen Parameter sind wie bei (27) erklärt. a) Es gilt in P0 € rh2 + rh3 für u von (1), (2): \lhu - l*(Lu, tu, h)\ ^ Mh2 für h ^ h0, l*(Lu, lu, h) = lu + ß 2J Ci Ì ®2i + i=i [ 2a22 \

(33) i , ) ( „ ) f> ®22/ \ ß ¡4

wobei M nicht von h (h si h0) und P0 abhängt. b) Die Koeffizienten A{P, P0) von lh erfüllen (11), (12); der Differenzenstern S(P0) hat die Gestalt S{P0) = (P 0 ! + N{P0)mitP0 € Ph c= PundN(P0) E {Pu P2, P 3 | c= üh. Der Beweis von Satz 1 findet sich in [22], B e m e r k u n g 1. Für einen Rand mit Knickpunkten bleibt der Satz 1 gültig, falls die bei 4° erwähnte Voraussetzung V{rh, K) hinzugenommen wird. B e m e r k u n g 2. Der Satz 1 beinhaltet eine konstruktive Existenzaussage für einen Differenzenoperator l h , der eine 0(7i2)-Approximation erlaubt und zusammen mit dem Operator Lh von Nr. 3 einen Differenzenoperator Ah = (Lh, lh) von monotoner

BERND HEINRICH

58

Art ergibt. Für h wurden relativ kleine Schranken h0 angegeben, während M von (33) relativ groß ausfällt. Das wirkt jedoch auf die numerische Realisierung dieser 0(A 2 )-Approximation nicht einschränkend, denn die Wahl P , € T { n Q h ist nur eine Möglichkeit unter im allgemeinen mehreren zur Erfüllung von (28). Bei der praktischen Realisierung werden die Punkte P, aus Q h in kleinstmöglichem Abstand von 0 6 r h auf spezielle Art ausgewählt (oft in der Menge der randnahen irregulären Gitterpunkte), und es wird a posteriori geprüft, ob die C; die Bedingung c ; ^ 0 3

(i = 1, 2, 3), £ Ci 4= 0 erfüllen. i=1 Weitere Bemerkungen zu Satz 1, insbesondere zur Wahl der Punkte Ph eine Schrittfolge (steps) zur numerischen Realisierung von lhuh =

2a t K7 = a02

Der Beweis der Abschätzungen a) bis e) ist in [22] gegeben. Dabei werden sehr wesentlich die in Satz 3, 4 erhaltenen Apriori-Abschätzungen benötigt. Aus (39) wird wegen der Linearität von A h und der exakten Approximation der rechten Seiten sowie der Randbedingungen 1. Art leicht die Ungleichung 8

II«* - u\\C{Sh) ^ E Nhi \\Ähiu Aw}c^hi) i—2 erhalten, woraus (46) bis (50) durch Abschätzen der Approximationsfehler und der Nhi (i = 2, 3, . . . , 8) erhalten wird.

Monotone Differenzenapproximationen für Differentialgleichungen

63

B e m e r k u n g 1. Die Ungleichung (46) besagt, daß unter den genannten setzungen für die allgemeine Randwertaufgabe Au = F von Nr. 1 mit einem gen gleichmäßig elliptischen Operator L von (1) und einem Randoperator l mit der Richtung fi im Fall von u £ C3(Ü) ein Differenzenschema Ahuh = \,Uh — u\\C(än) = 0(h) konstruiert werden kann.

Vorausbeliebivon (2) Fh mit

B e m e r k u n g 2. Offenbar stinmem die bei (48), (49) erhaltenen Ergebnisse bezüglich der Konvergenz \\uh — u\\ = 0(h2) mit denen überein, die für den Spezialfall der Poisson-Gleichung mit gemischten Randbedingungen bekannt sind (vgl. [5]), so daß (48), (49) als entsprechende Verallgemeinerungen gewertet werden können. Die Aussage e) geht auf [4] zurück. B e m e r k u n g 3. Wesentlich für die Gültigkeit der Sätze 3, 4, 5 war die Voraussetzung (36). F ü r c = 0 in Q und gleichzeitig tx = 0 auf r ist (36) jedoch nicht erfüllbar. W i e in [6, 11, 21] für (22) mit u gegenüber Aufgabe (22) mit tx ^ 0 oder 7 ^ 4 = 0 ab. Und zwar gilt für die Aufgabe (22) mit Ah = {—Ah, lh) in der Maximumnorm, wie in [6] bewiesen, folgendes: jju h — u\j = 0(h2 jlog h\) für tx = 0 und 7^ = 0 ; andererseits wird für tx ^ 0 oder ri =J= 0 erhalten: j\uh — u\\ = 0(h2). F ü r die hier konstruierten allgemeineren Operatoren Ah = (Lh, lh) sind im F a l l c = 0 und \ = 0 keine besseren R e s u l t a t e als 0(h2 ¡log h\) zu erwarten, da die Abschätzung mit 0(/i 2 |log /ij) bezüglich h scharf ist (vgl. [6]).

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64

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Manuskripteingang: 14.2. 1977 VERFASSER: Dr. rer. nat. BERND HEINRICH, Sektion Mathematik der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 6 5 - 7 4

Global konvergente Interpolationsmethoden zur Nullstelleneinschließung1) JÜRGEN HEEZBEEGEE

E s werden Klassen v o n Iterationsverfahren angegeben, welche eine reelle Nullstelle 0 gelte. Zur Beschreibung des allgemeinen Schrittes — hier des (k + l)-ten Schrittes — setzen wir voraus, daß in X < 0 ) bereits n + I Näherungen für « z(k)t X(k-1))

^

x(k-n)

vorhanden sind und daß das zuletzt berechnete Einschließungsintervall X( k ) die Gestalt a g X = [ z f ) — eC), zC> + £ 0

hat. Durch Hintereinanderschaltung der folgenden Teilschritte (S 1) bis (S 5) wird daraus eine neue Näherung und ein verbessertes Einschließungsintervall X ( k + 1 > bestimmt. Diese Schritte sind im einzelnen: (S 1) Bestimmung des (eindeutigen) Hermite-Interpolationspolynoms Pk{x) = ÍWm,

mnÁX'

Xik)>

•••'

^"-V),

welches den Interpolationsbedingungen p^'^x^)

= / « ' ) ( 0

0 ^ j

— 1,

genügt. (Dabei setzen wir / = /, und im F a l l ni¡ = 0 sei an der Stelle x die entsprechende Bedingung leer.) Wir bestimmen ein Intervall Z(k~> cz Xtk~> gemäß der Vorschrift ^ x-,

Í [x{t) — e } [x( k \ x) = 0 erfolgt der Abbruch des Algorithmus mit xlk> = a. (S 2) Bestimmung einer reellen Nullstelle %ßk) des Polynoms Pi¡(x) im Intervall [xV> — 2e'k\ x'k> + 2e]. Existiert eine solche nicht, so wird mit X(k*r> = Z direkt zu (S 5) übergegangen. 5*

68

JÜRGEN HERZBERQER

(S 3) Berechnung eines Einschließungsintervalles f{y{i)) mit Hilfe des Ausdruckes K

" JJ (y(k) _ rl j=o

F(k) _

F f ü r den

Funktionswert

x(k-j)jmK

(S 4) Berechnung des verbesserten Einschließungsintervalles gemäß

(S 5) Ermittlung der neuen Näherung x(k+1) =

(^(Jr+u

a-,(k+i))/2

und des neuen Wertes 1) = (^(t+l) _

•

Bevor wir die Eigenschaften der beschriebenen Iterationsvorschriften untersuchen, geben wir noch einige B e m e r k u n g e n . Die Berechnung der Einschließungsintervalle {X^'j macht keinen Gebrauch von einem Vorzeichenwechsel bei den berechneten Funktionswerten. So können etwa mehrere unmittelbar hintereinander berechnete Funktionswerte gleiches Vorzeichen besitzen, trotzdem wird das Einschließungsintervall jeweils an beiden Schranken neu berechnet. Es wird gezeigt, daß das Überspringen der Schritte (S 3) und (S 4) anfangs höchstens endlich oft eintreten kann. Es sei bemerkt, daß das Einschließungsintervall außer der Näherung x^' keine der vorangegangenen Näherungen, die in den nächsten Schritt eingehen, enthalten muß. Wir fassen nun die Eigenschaften der oben definierten Algorithmen in dem folgenden Satz zusammen. S a t z . Vorgelegt seien n -j- 1 Näherungen x(-~n'>, a^-"^), ..., x(°) für die Nullstelle alle auf einer Seite der Nullstelle « liegen, so wird gefordert /(£ 0

r

/'(£) /< >(a;) < 0

f ü r r gerade, f ü r r ungerade,

k ^ 0.

D a n n konvergiert die Folge der Nullstellen y (k) m o n o t o n gegen Bei unseren Verf a h r e n wird indes weder f ü r die Lage der Anfangsnäherungen bezüglich =

Intervall

K " — /7(2/ 0)

(11)

und den Regularisator Rc = (K + sE)'1, der die F o r m (2) mit g(e, fi{) = — — — aufweist [2]. + 6 Besitzt f ü r eine reelle Zahl r mit 0 < r ^ 1 die Lösung x eine Quelldarstellung x = K'y

(yeH),

(12)

so gilt (wie in [3] e r w ä h n t wird) \\RJ-x\\^e*-\\y\\,

(13)

denn wegen /*,'(v 1 -

B C o(e, fr)) = • ' (,U; + e) r {fli +

fi)1"'

fS e '

(0 < r N ist die Ungleichung (9) erfüllt. Es gilt somit der Satz 2 mit V = Zn und C(e) = e", womit die Behauptung bewiesen ist. Der spezielle Vorteil einer hohen Konvergenzordnung bei diesem Verfahren besteht darin, daß bereits mit wenig Gliedern der Fourierreihe, d. h. geringem numerischen Aufwand, eine hinreichend gute Näherung erreicht wird.

6.

Die Methode der Quasiinversion

Wir betrachten die Evolutionsgleichung ^

dt

+ Au(t) = 0

(0 < t < T)

(18)

mit dem linearen positiv definiten symmetrischen Differentialoperator A, dessen Inverse vollstetig ist. Durch die Zahlenfolge 0 < sS ¿ 2 ^ • • • = ^ ••• = ooj wird das Spektrum von A beschrieben, wobei {Wj} dazu ein in H vollständiges Orthonormalsystem von Eigenelementen bildet. Unter geeigneten Voraussetzungen über die quadratische Summierbarkeit bezüglich des Zeitintervalls an die Lösung u(t) 6 D(A) = {h 6 H \ Ah £ H\ und deren zeitliche Ableitung erweist sich die direkte Aufgabe der Ermittlung von u(T) == / 6 H bei gegebenem Anfangswert w(0) = x £ H als eindeutig lösbar. Der mittels / = Kx definierte Operator K der direkten Aufgabe besitzt die Eigenschaften des Operators in Gleichung (1), wobei die Beziehungen ¡xt = e~XiT und Kut = e~'' r W; gelten [6]. Die inverse Aufgabe, d. h., die Rekonstruktion von w(0) aus u(T) ist nichtkorrekt. Ein stabiler Algorithmus zur Lösung dieses Problems ist die Methode der Quasiinversion nach L A T T E S und L I O N S [ 5 ] . Die Näherungslösung xe = M£(0) findet man dabei über das korrekte Ersatzproblem + Auc(t) - e • A2uc(t) = 0 u,(T) = f .

(0 < t < T),

(19.1) (19.2)

80

B E R N D HOFMANN

Der Operator der Quasiinversion ist ein vollstetiger Regularisator [6] mit 00

RJ = »,(0) = £ i= 1

«,) u,

und

e(e. Pt) = /ir'^1"1

=

.

Für diese Methode gilt dementsprechend Satz 1. Eine für alle x 6 H einheitliche Abschätzung der Art (6) existiert nicht. Auch für den Defekt läßt sich aus der Beziehung ||lLße — E\\ = 1 analog zum Beweis von Satz 1 zeigen, daß eine Ungleichung \\KRji — fs|| 5S C(e) ||/ä]| mit lim C(E) = 0 nicht gleichmäßig für beliebige rechte Seiten fs F H gelten kann. In der Originalarbeit von L A T T E S und L I O N S [ 5 ] wird zwar eine solche gleichmäßige Abschätzung mit C(s) = 1 — e~cil"T angegeben, diese beruht jedoch auf einem Relationszeichenfehler und ist daher nicht gültig. Auch bei der Quasiinversion führt die Anwendung von Satz 2 zum Erfolg. S a t z 4. Genügt die Lösung x = u{0) des inversen Problems zur Differentialgleichung (18) der Beziehung (20)

y = A2Tx £ H f ür eine reelle Zahl r mit 0 < r sS 1, so gilt die Fehlerabschätzung \\Rj — x\\ ^ M, •

TT

•

(21)

B e w e i s . Die Behauptung folgt aus Satz 2 mit F = A~2R und C{e) = er • TT mit Hilfe der Ungleichung (0 < r ^ 1, a > 0).

1 — e~a < aT Es gilt nämlich -

cn,k(n)'

=

• • •)

der Funktion fn(x) läßt sich das Koeffizientensystem ®(/»+1)

=

(Cn+1,0> cn+l,l> • • •> cn+l,i(B+l)> 0> • • •)

der Funktion fn+1{x) nach bestimmten numerischen Algorithmen berechnen. Die Folge (/„(z)) konvergiert gleichmäßig gegen die Lösung f(x) von (2). Das Iterationsverfahren wird unter Verwendung eines Abbruchkriteriums beendet, und die Funktion fn(x) ist dann eine Näherungslösung für die Lösung y(x). Die rechentechnische Realisierung des T-Iterationsverfahrens verwendet die Algorithmen für die Koeffizientensysteme. Die Funktionswerte der T-Polynome lassen sich unmittelbar nach einem Rekursionsverfahren von C L E N S H A W berechnen. Für Näherungskerne g(x, u) der Form m m g{x, u) = E E

b^x'u"

v=o e = 0

läßt sich ebenfalls ein T-Iterations verfahren aufstellen. Eine lineare Volterrasche Integralgleichung zweiter Art für Funktionen auf dem Intervall [ö, 5] kann durch eine lineare Substitution in den Typ (1) übergeführt werden. Eine T-Iterationsmethode für lineare Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art hat SAG [11] entwickelt. Die T-Reihenmethoden für lineare Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art und verwandte Gleichungen von E L L I O T T [2] und E L - G E N D I [ 1 ] führen auf lineare Gleichungssysteme. In der Arbeit werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: C Banach-Raum der stetigen reellen Funktionen auf dem Intervall [—1, + 1 ] mit der Norm |]/|| = max \f(x)\, xil-l.

(C CD

Cq

+ l]

C) Banach-Raum der beschränkten linearen Operatoren in C, Raum der stetigen reellen Funktionen von zwei Veränderlichen mit dem Definitionsbereich D = j (x,u): —1 x 1, —1 u sS x\ Raum der stetigen reellen Funktionen von zwei Veränderlichen mit dem Definitionsbereich Q = {{x,u)\ —1

x s i 1, —1

u

1)

Für Integralgleichungen, Iterationsverfahren usw. wird die Operatorenschreibweise (vgl. [6] bzw. [8]) benutzt. 2.

Fourierkoeffizienten bezüglich des Systems der T-Polynome

Die Grundeigenschaften der Tschebyscheffschen Polynome T0(x), T^x), . . . werden in der Theorie der orthogonalen Polynome [7, 12] und in der numerischen Analysis [3, 4] behandelt. Die Definitionsgleichung Tn(x)

= cos

nrp,

x = cos 3

2) b2

o,o = bo

Ki ( r - j - 2)

i.o =

+ ( r - j -

3) 6S>1

6

( r - j - 3) b2il b

(r - / - 3 ) 6 l t l

i

b

Eine Klasse A -stabiler Mehrschrittverfahren

Die erste Zeile des Rechenschemas enthält die Koeffizienten b„

101

P 4 Y/

m = q, q — 1, ..., 0. Der Höchstkoeffizient wird dann unverändert in die 3. Zeile übertragen und mit bq g bezeichnet. Er wird mit r — j — 1 multipliziert, und das Produkt wird nach rechts oben in die 2. Zeile geschrieben. Durch Addition in der 2. Spalte erhält man b ^ ^ . Das Ergebnis wird jetzt mit r — j — 2 multipliziert, nach rechts verschoben und wieder in die 2. Zeile geschrieben. Die Addition der 3. Spalte liefert -2,7-2- Dies wird nun so lange durchgeführt, bis man b0 0 = b0 erhält. Analog werden dann die weiteren Koeffizienten bm 0 = bm, m = 1, 2, ..., q, ermittelt (vgl. Rechenschema). Mit (2.12) bekommt man aus (2.11) für rjh{xp: r) die Darstellung Vp+r —

e x

P (hjAp+r-j)

f Vp+r-j + h J e x p (—hAp+r^i)

" 27

bmtmdt

(2.13)

m = 0

Für det (Ap+r_j) =(= 0 definiert man nun rekursiv e0{hjAp+r_i)

= exp

ei(hjAp+r_j)

= — e0{hjAp+M)

(hjAp+r_j),

1

/

j e0{—hApH.^t)

— ^ . IßofyjAp+f-j)

em+iWAp+r-j)

1 = —

e0(hjAp+r.j)

dt

/ ] Ap l„r_j , i J e0(—hAp+r^ji)

= TT [mem(hjAp+r_j) — 7] A]X,-j> h]

tmdt;

m = 1, 2,

(2.14)

wobei I die n-reihige Einheitsmatrix bezeichnet. Falls det (Ap+r_j) = 0 ist, hegt für em(lijAp+r^j), vi = 1, 2, ..., q 1, eine hebbare Singularität vor. In diesem Fall und zweckmäßigerweise auch bei Werten mit hj

.

iipCp+r-jy Vp+r-j)

1,2, . . . , « ,

wird zunächst die Matrix e9+1(hjAp+r.}) konvergenten Potenzreihe

mittels der aus (2.14) folgenden beständig

w

,• A p + r-j *=o (q + 1 + nY-

ViWVi) =

Z

definiert. Die Matrizen em(h,jAp+r_j) für m = q, q — 1, ..., 1 bestimmt man dann aus der nach (2.14) folgenden Rekursionsformel em(h)Ap+r_j)

= — [hjAp+r_jem+1{hjAp+r_i)

m

+ /].

102

KABL

STREHMEL

Mit den Funktionen em(hjAp+r_j), m = 0, 1, ..., q + 1, erhält man nach (2.13) eine Näherungslösung des Anfangswertproblems (1.1), (1.2) an der Stelle xp+T in der Form i

Vp+r =

e0(hjAp^)

ijp+r-j

bmjm+1.

em+i{hjAp+r_j)

(2.15)

m= 0

Dabei sind nach (2.10) und (2.12) die Koeffizienten bm abhängig von den Funktionswerten «j, i = p, p + 1, ...,

+ +

(e^hAp)

-

h[e2(hAp) e2{JiAp))

(f(xp+l,

7 ]

(f(xp,

) -

V p

P + L

)

— Apr,p)\,

Ap7]p+l) (3.5)

das f ü r Ap = 0 in die Trapezregel übergeht. 5. Ein Vergleich mit (1.3) zeigt, daß k = 1 f ü r q = 0 u n d k = q f ü r q 2; 1 gilt.

104

KABL Strehmel

I I I . j = 2, q = r — 1. D a m i t liefert (3.1) die Beziehung Vp+r

=

r

^[ c o rl,s jj+r-l "I" cl~lsp+r-2 "t" """

!p+r- 2

c

r—>

die einen Prediktor darstellt, bei dem k = 2 für q = 0

und

A; = q -f- 1 f ü r q 2g 1

gilt. Einige W e r t e f ü r c m r _ 1 von (3.6) sind in Tabelle 3 notiert. Tabelle 3

m, Cm'-1 4r 0

0

1

2

4e2

2(e, - 2e2)

r

2

2(e2 + 2e3)

2(e, - 4c3)

r

3

(4e2 + 12e3 o + 8e4)

j (6 ei + 6e2 - 24e3

Cm1

3

-2(e 2 - 2e3)

-24e t )

( — 12e2 + 12e3

J (2e2 - Se4)

+ 24e4)

B e m e r k u n g e n . 1. I m Fall Ap+r_2 = 0 bekommt m a n die klassischen NyströmVerfahren (Extrapolationsverfahren mit zentralen Differenzen). Vgl: dazu J . S t o e r , R . B u x i r s c h [9], 2. Der Spezialfall q = 0 liefert das explizite Zweischrittverfahren Vp+i = e0(2hAp_1) ?}p+

2he1(2kAp-1)

[f(xp, t]p) — Ap_x7]p],

(3.7)

d a s als Prediktor f ü r das implizite Einschrittverfahren (3.5) verwendet werden k a n n . F ü r Ap_1 = 0 geht (3.7) in die sogenannte „midpoint-rule" (vgl. P . H e n r i c i [5]) über. Schließlich betrachten wir n o c h : IV. j = 2, q = r. Damit ist nach (3.1) Vp+r = e0(2hAp^r.2)

rtP,r-i + h[corsp+r + < i V m + ••• + c/sp].

(3.8)

Diese Verfahren sind wieder Korrektorverfahren. Analog zu (3.3) löst m a n auch (3.8) iterativ. Einige Zahlenwerte f ü r die Koeffizienten cmT liefert die Tabelle 4. Tabelle 4

m

- »

c

tn r 0 r

1

r

2

r

3

0

1

2

3

i 2et - 2 ( e i - 2c2)

2(2e1 - 2e.,)

-2(e a - 2e3)

2(4e2 - 4e3)

j (—2e2 + 8e4) j (12e2 + 12e3 — 24e4)

2(e1 - 3eä + 2e,) j (6«i ~ 6e2 - 24e3 + 24e4)

-^-(-4e 2 + 12e3 -8e 4 )

Eine Klasse 4-stabiler Mehrschrittverfahren

105

B e m e r k u ngen. 1. Ist •— so bekommt man die klassischen Milne-SimpsonVerfahren (Interpolationsverfahren mit zentralen Differenzen). Vgl. dazu J. S t o e e ,

R. Bulirsch [9]. 2. Ein Vergleich mit (1.3) zeigt, daß für die Schrittzahl k des Verfahrens k = 2 für q = 0, 1 und k = q für q ^ 2 gilt.

4. Konsistenz und Stabilität Der lokale Diskretisierungsfehler r(xp, yp; h) an der Stelle xp, yp eines Mehrschrittverfahrens der Gestalt (2.15) ist durch z{xp,yp\h)

=

_ yP+r — e0(h)Ap+M)

h

q _ yp+r-j — h JJ em+1(hjAp+r_j) TO —0

(4.1)

bmjm+1

gegeben. Dabei bezeichnet Ap+r_j die Diagonalmatrix Ä

p

=

^ j

i

=

1 ( 1 ) n >

und die Koeffizienten bm können analog dem angegebenen Rechenschema für bm ermittelt werden, wenn man t V s(xp+q, yp+q) °m,m+1 •— . ml setzt. Die Verfahren (2.15) besitzen die Konsistenzordnung s, falls eine positive Konstante M existiert, so daß für h 0 die Beziehungen m a x ||]h(x3) werden die W e r t e der exakten Lösung zugrunde gelegt. Die erforderlichen Rechnungen wurden an einer E D V A R 300 ausgeführt. Sie sind in der beim R 300 üblichen Form angegeben, d. h. mit einer Mantissenlänge von acht Dezimalstellen. Die Ergebnisse werden jeweils denen, die sich nach dem zugeordneten klassischen linearen Mehrschrittverfahren (A = 0) ergeben, gegenübergestellt. B e i s p i e l 1 (vgl. R . D. Vi =

101

99 1h = — Vi .VI(0) =

3,

GRIGORIEFF

[3]):

99

2/i + — V2, 101 — 2/2(0) =

. 1.

Dies ist ein typisches „stiff"-Differentialgleichungssystem mit den Eigenwerten der Jacobi-Matrix = — 1, /., = —100. Die exakte Lösung lautet yj(.r) = 2 exp (—x) -f exp (—100a;), y2(x) = 2 exp (—x) — exp (—100a;). Mittels der im Abschnitt 3 angegebenen Mehrschrittverfahren mit Exponentialanpassung (MVEA) ergeben sich bei einer Schrittweite h = 0,02 an der Stelle x = 0,2 die Werte in Tabelle 5. Als Prediktorwerte f ü r das Korrektorverfahren 2 bzw. 4 ( j = 1, r' — 3 bzw. j = 2, r — 3) sind die Ergebnisse des Verfahrens 1 bzw. 3 ( j — 1, r = 4 bzw. j = 2, r = 4) genommen worden. Während das Prediktorverfahren 3 bei der zugrunde gelegten Schrittweite h = 0,02 keine brauchbaren Näherungen liefert, ergibt das zugehörige Korrektorverfahren Näherungswerte, die in sieben Ziffern mit den exakten Lösungswerten übereinstimmen. Das zugehörige klassische Korrektorverfahren liefert dagegen nur eine Übereinstimmung in zwei Ziffern. Bei einer Schrittweite h = 0,005 erhält man z. B. nach dem ersten Verfahren (Prediktor) sowie dem zugehörigen klassischen Verfahren an der Stelle x = 0,5 die Ergebnisse der Tabelle 6.

Eine Klasse A-stabiler Mehrschrittverfahren

109

Tabelle 5 h =

0,02

7 =

1,

7 =

1,

r = r =

4 3

7 =

2,

r =

4

j =

2,

r = 3

Vih Vih Vi h Vih Vih Vih Vih Vih

MVEA

klassisches Verfahren

exakte Lösung

+ .16374615+01 + .16374615+01 + .16374615+01 + .16374615+01 + .20359938+03 -.20032446+03 + .16374616+01 + .16374616+01

+ + + + + + + +

+ .16374615+01 + .16374615+01

MVEA

klassisches Verfahren

exakte Lösung

+ .12130613+01 + .12130612+01

+ .17838717 + 13 -.17838717+13

+ .12130613+01 + .12130613+01

.16374619+01 .16374619+01 .16374619+01 .16374619+01 .18251561+14 .18251561+14 .16139397+01 .16609835+01

Tabelle 6 h = 0,005

7 =

1,

r =

4

Vih Vih

Das neue Prediktorverfahren stimmt in sieben Ziffern mit der exakten Lösung überein. Das zugehörige klassische Verfahren dagegen ergibt überhaupt keine brauchbare Näherung. B e i s p i e l 2 ( v g l . G . MEISTEE [ 6 ] ) :

Vi = — IO2/1 +

Vi,

Vi = 2/i — 2/2, 2/i(0) = 1,

2/2(0) = 1 .

Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix

sind = —10,109773, X2 = —0,89022775. Das Besondere dieses „stiff'-Differentialgleichungssystems ist, daß die Eigenwerte von A im wesentlichen durch die Diagonalelemente bestimmt sind. Die exakte Lösung ist y¿x) = 0,12 exp (—0,89022775») +- 0,88 exp (—10,109773a;), y2{x) = 1,09 exp ( - 0 , 8 9 0 2 2 7 75z) — 0,09 exp (—10,109773»). Mit dem Prediktorverfahren 1 ( / = 1, r = 4) erhält man bei einer Schrittweite h = 0,1 an der Stelle xE = 10 die Werte in Tabelle 7. Das neue Prediktorverfahren liefert schon bei h = 0,1 zwei gültige Ziffern, während für das klassische AdamsVerfahren eine Näherungslösung wegen „Bereichsüberschreitung" (in der Tabelle durch U gekennzeichnet) nicht ermittelt werden konnte. Mit dem Adams-Verfahren erhält man zwei gültige Ziffern erst bei h = 0,03. Für die Schrittweite h = 0,001 liefern beide Verfahren annähernd gleiche Werte (sechs gültige Ziffern).

110

Kahl Strehmel

Tabelle 7 mirn

Vi

ft

Vìh

B e i s p i e l 3: Vi

=

Vi

MVEA

klassisches Verfahren

exakte Lösung

+ .16202189-04 + .14760271-03

Ü Ü

+ .16329231-04 + .14832566-03

.

y2' = —2t/! — 2:m/ 2 , 2/i(0) = 0 ,

2/2(0) = 1 -

Die e x a k t e Lösung lautet X

Vi( ) — x

ex

P {— ~) J x

e x

P (¿2) dt,

0 x y2(x)

=

1 —

2x

e x p ( — x 2 ) J exp (t-) o

dt.

D a s Prediktorverfahren 1 (j = 1, r — 4) liefert a n der Stelle xE — 10 mit der Schrittweite h = 0 , 1 und h = 0 , 0 5 die Ergebnisse der Tabelle 8. D i e Ergebnisse nach dem klassischen Verfahren sind bei beiden Schrittweiten „ k a t a s t r o p h a l " schlecht, während das neue Verfahren bei h = 0 , 0 5 bereits drei gültige Ziffern liefert. Tabelle 8 h

0,1

Vih Vih

0,05

Vi h Vih

MVEA

klassisches Verfahren

exakte Lösung

+ .50336684-01 + .50853070-02

-.63514345+26 + .12503101+28

+ .50253847-01 -.5076942 - 0 2

+ .50259074-01 + .50774718-02

+ .19421447+22 -.38421699+23

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Manuskripteingang: 18. 2. 1977 VERFASSER: D o z . D r . KARL STREHMEL, S e k t i o n M a t h e m a t i k d e r M a r t i n - L u t h e r - U n i v e r s i t ä t

Halle—Wittenberg

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 1 1 3 - 1 1 9

N u m e r i s c h e Vergleiche zwischen stochastischer Regularisierung und Projektionsverfahren a m Beispiel der R e k o n s t r u k t i o n vertikaler T e m p e r a t u r p r o f i l e der E r d a t m o s p h ä r e auf der G r u n d l a g e v o n Satellitenmeßdaten ANDREAS

UHLIG

Die Aufgabe der thermischen Sondierung der Atmosphäre wird durch Linearisierung und Diskretisierung auf ein unterbestimmtes Gleichungssystem reduziert. Beim Vergleich der stochastischen Regularisierung und eines speziellen Projektionsverfahrens anhand ihrer mittleren quadratischen Schätzfehler für lineare Funktionale erweist sich die stochastische Regularisierung bezüglich der Genauigkeit deutlich überlegen.

1.

Problemstellung

Mit künstlichen Erdsatelliten gemessene Intensitäten von Wärmestrahlung verschiedener Frequenz lassen sich ausnutzen zur Bestimmung vertikaler Temperaturprofile der Atmosphäre. Unter bestimmten idealisierten Voraussetzungen (vgl. [1, 2]) wird der physikalische Zusammenhang zwischen der Temperatur T als Funktion des Druckes p und der Intensität I(v) der den Satelliten erreichenden Strahlung der Frequenz v beschrieben durch die Gleichung

(1)

Dabei bezeichnen pE den Luftdruck am Erdboden und ps denjenigen in Höhe der Satellitenbahn, T(V, p) die sogenannte Transmissionsfunktion, welche die Durchlässigkeit der Atmosphäre beim Druck p für Strahlung der Frequenz v charakterisiert, und B„[T(p)] die Plancksche Funktion der Strahlung des schwarzen Körpers: txv3 BXT{P)]

=

ß> eTM

—1

* und ß sind dabei bekannte Konstanten. Der Term Bv[T(pE)] r(v, pE) charakterisiert den die Satellitenbahn erreichenden Anteil der vom Erdboden ausgehenden Strahlung, der entweder auf Grund von Messungen am Erdboden als bekannt vorausgesetzt oder bei Berücksichtigung von „Fensterfrequenzen" (d. h. T{V, pE) 0) zur Bestimmung der Erdoberflächentemperatur herangezogen werden kann. Die Be8

Num. Mathematik 7

114

Andreas Uhlig

ziehung (1) stellt eine Fredholmsehe Integralgleichung erster Art dar, die neben der Nichtkorrektheit (vgl. [3]) die zusätzliche Schwierigkeit der Nichtlinearität in sich birgt. Die spektrometrischen Messungen mit Hilfe eines Mehrkanalradiometers erlauben lediglich für eine geringe Anzahl fest gewählter Frequenzen v(i = 1, ..., m), Intensitätswerte I ( v j ) zu messen. (Das beschränkte spektrale Auflösungsvermögen sei hierbei vernachlässigt.) Betrachtet man den Temperaturverlauf in der Atmosphäre als zufällige Funktion mit dem bekannten Mittel T(p), so läßt sich die Plancksche Funktion gemäß B,[T{p)]

~ Bv[T(p)]

+ ^

Bv[T(p)]

(T(p)

-

T(p))

bezüglich der Temperatur linearisieren. Einsetzen der linearisierten Ausdrücke für BVi[T(p)] in die Gleichungen /(*,) =

PjB,t[T(p)]

dp + B,t[T(pE)]

Avu pE),

i=\,...,m,

(2)

und Approximation der Integrale mit Hilfe von Quadraturformeln bezüglich einer Zerlegung des Integrationsintervalls [pE, ps] durch gewisse Quadraturstützstellen pu • pn führen zu einem linearen Gleichungssystem der Form Ax = f ,

(3)

wobei A eine m • «-Matrix, x = {T(pj) — T(pj)\"_1 den Vektor der Temperaturabweichungen von einem bekannten Mittelwert für die ausgewählten Druckniveaus und / = {I{vi) — -/(i',;)|"Li die Differenz der den Temperaturverläufen T(p) und T(p) entsprechenden Intensitätswerte bezeichnet. Im allgemeinen übertrifft dabei die Anzahl der Quadraturstützstellen die Zahl der Intensitätswerte, so daß (3) ein unterbestimmtes Gleichungssystem darstellt.

2.

Berücksichtigung der Meßfehler und der Kenntnisse über den Temperaturverlauf

Da die gemessenen Intensitäten im allgemeinen mit einem zufälligen Meßfehler J/(rj) behaftet sind, liegt der praktischen Berechnung aber nicht /, sondern der Vektor z — f + y mit y ~ {ZlJ(j'i)}f =1 zugrunde. Der gesuchte Temperaturvektor .r genügt also der Beziehung Ax + y = z.

(4)

I m Falle des Mehrkanalradiometers kann vorausgesetzt werden, daß die Meßfehler J/(t>;) für verschiedene Frequenzen voneinander unabhängig sind und keine Korrelation zwischen Temperaturprofilen und Meßfehlern besteht. Für den nachfolgenden Vergleich arbeite die Meßvorrichtung in allen Meßkanälen ohne systematischen Fehler und mit gleicher Fehlervarianz a2. Dann besitzt der Meßfehlervektor den Mittelwert y = 0 und die Kovarianzmatrix C = a 2 I.

Numerische Vergleiche von stochastischer Regularisierung und Projektionsverfahren

115

Wird auch der Temperaturverlauf T ( p j ) als zufällig mit bekannten Mittelwerten T(pj) und bekannter Temperaturkovarianzmatrix B = {E[T(pk) — T(pk)] [T(pt) — T{pi ) ] ) J i ( = 1 aufgefaßt, so können lineare Näherungsverfahren für die Gleichung (4) nach ihrem mittleren quadratischen Fehler miteinander verglichen werden. Schätzt man den Vektor x aus (4) durch x = Gz mit einer n • m-Matrix G, so ergibt sich bei der Näherung des Wertes fTx eines linearen Funktionais / über x durch den W e r t fTx für den mittleren quadratischen Schätzfehler die Beziehung E(fTx -

fTxf

= fT(B

-

2GAB + G{ABAT

+ a9-I) GT) /

(5)

(vgl. [4]), wobei E die Erwartungswertbildung sowohl bezüglich des zufälligen Temperaturprofils als auch bezüglich des zufälligen Meßfehlers bezeichnet.

3.

Beschreibung der verglichenen Näherungsverfahren

B e s t e lineare Näherungsmethode (im Sinne des kleinsten mittleren quadratischen Schätzfehlers) für beliebige lineare Funktionale / ist die stochastische Regularisierung a-st = RZ

mit

R = BAT{ABAT

+

ff2/)-1

(6)

(vgl. [5, 6]), für die sich aus (5) E ( f T x - frxst)2

= fr(B

- BAT{ABAT

(7)

+ aUYKAB) f

ergibt. Der stochastischen Regularisierung wird das folgende Projektionsverfahren gegenübergestellt. Gesucht wird eine Näherung x P r für x als Linearkombination von p linear unabhängigen Vektoren vlt ..., vp € Rn, wobei p 1; ..., vpj sei die n • p-Matrix, die die gegebenen Ansatzvektoren i\, . . . , vp als Spalten enthält. Vernachlässigt man den Meßfehler y in (4), so stellt Zp r =

GPTZ

mit

GVT =

V(VTATARR1

(8)

VTAT

die Näherungslösung nach der Methode der kleinsten Quadrate dar, d. h., xFr realisiert das Minimum des Defektes ||Ax — z\\ über der Menge der Linearkombinationen der Vektoren . . v p . Der mittlere quadratische Fehler von fTxPr als Schätzung T für f x beträgt dann entsprechend (5) E{fTx -

fTxPr)2

= fT{I

-

GPRA)

B(I

-

ATG1,RT)

/ + CJ 2 / T V(VTATAV)~1

VTf.

(9)

Der mittlere quadratische Fehler der Funktionalschätzung ist somit eine lineare Funktion der Meßfehlervarianz. Der erste Summand in (9) ist vom Fehlerverhalten des Meßinstruments völlig unabhängig und stellt praktisch den mittleren quadratischen Fehler der Funktionalschätzung für den Idealfall fehlerfreier Messungen dar. 8*

116

Andkeas UHLIG

Unter Verwendung der orthonormierten Eigenvektoren M; und Eigenwerte ?.j der Temperaturkovarianzmatrix B läßt sich die zufällige Temperaturdifferenz x zum bekannten Mittelwert in der Form (vgl. [7]) *

=

£ St

¡=i

schreiben, wobei die paarweise nichtkorrelierte zufälhge Variablen mit E £ ; = 0 und Ei; j 2 = 1 bedeuten. Bei der Sehätzung der Temperaturdifferenz aus (4) sind folglich die Anteile in Richtung der Eigenvektoren u t zu großen Eigenwerten Xt am interessantesten. I m Projektionsansatz verwenden wir deshalb solche Eigenvektoren und fassen sie in V zusammen.

4.

Numerische Ergebnisse

Zum Vergleich der stochastischen Regularisierung mit dem angegebenen Projektionsverfahren am Beispiel der thermischen Sondierung der Atmosphäre wurden die Beziehungen (7) und (9) auf der Grundlage meteorologischer Daten zahlenmäßig ausgewertet. Alle Untersuchungen betreffen Messungen der Strahlungsintensitäten im 15-jx-Band, einem für Absorptions- und Emissionsvorgänge beim Kohlendioxid charakteristischen Spektralintervall im Infrarotbereich, und zwar für die 8 Frequenzen 669.3, 677.8, 692.3, 699.3, 706.3, 714.3, 750.2 und 899.3 c n r 1 . 1 ) Die den Berechnungen zugrunde liegenden Temperaturmittelwerte und -kovarianzen beruhen auf statistischer Auswertung von Ballonsondenmessungen aus den J a h r e n 1967 bis 1971 und beziehen sich auf Berlin für den Zeitraum J a n u a r bis April (vgl. [8]). Die empirischen Mittelwerte und KoVarianzmatrizen wurden vereinfachend als tatsächliche Verteilungsparameter betrachtet. Das Integrationsintervall von 1 0 0 0 mbar bis 0 mbar wurde durch die Stützstellen ply...,pn für n = 13, 20 und 28 Höhenniveaus verschieden stark unterteilt. Mit Hilfe der Temperaturmittelwerte T ( p j ) und einer Tabelle der Transmissionsfunktionswerte t(j>it Pj) wurde bei Verwendung der Trapezregel für jedes Teilintervall und einer zentralen Approximation der partiellen Ableitung der Transmissionsfunktion bezüglich der Intervalle Pi>

Pi + Vi ^

Vi-i + Vi Pi + P 2

'

2

und

Pn-l + Pn

für

jeden dieser drei Fälle die Systemmatrix A des linearisierten Systems (3) bestimmt. Als Funktionale des Temperaturvektors x interessierten sowohl die Temperaturen in bestimmten Höhen — ihnen entsprechen Einheitsvektoren als Funktionale / — als auch Temperaturmittel über gewisse Höhenschichten, durch Vektoren mit nichtnegativen Komponenten, deren Summe E i n s ergibt, charakterisiert. Die Varianz ader Meßfehler liegt bei realen Intensitätsmessungen gegenwärtig etwa im Bereich von 0.8 bis 1.0 (in [erg • s - 1 • c m - 2 • sr _ 1 • cm] 2 ). Jedoch erfolgte eine Bestimmung des mittleren quadratischen Rekonstruktionsfehlers vergleichsweise auch für andere W e r t e von a 2 einschließlich des Grenzfalles er2 = 0 für fehlerfreie Messungen mit dem !) Die letztgenannte Frequenz stellt eine „Fensterfrequenz" dar; sie erlaubt, auch die Temperatur an der Erdoberfläche zu bestimmen.

Numerische Vergleiche von stochastischer Regularisierung und Projektionsverfahren

117

Ziel, Auskunft darüber zu erhalten, inwieweit eine Erhöhung der Meßgenauigkeit auch zu einer höheren Genauigkeit bei der Rekonstruktion der Temperaturprofile führen kann. In den Tabellen 1 und 2 ist eine Reihe von Ergebnissen für die Methode der stochastischen Regularisierung zusammengestellt. Die Tabellenwerte geben die Standardabweichung des Fehlers der Temperaturbestimmung in verschiedenen Höhen bzw. der Temperaturmittelbestimmung für bestimmte Höhenbereiche mittels der stochastischen Regularisierung in Abhängigkeit von der Varianz a 2 des Meßfehlers bei der St rahlungsintensitätsmessung an. Tabelle 1 Standardabweichung des Fehlers der Temperaturbestimmung in verschiedenen Höhen mittels stochastischer Regularisierung in Abhängigkeit von der Varianz er2 des Meßfehlers bei der Strahlungsintensitätsmessung; n = 20 Höhe (Druck) /mbar

(i 2 ->

0.0

0.01

0.1

0.2

0.5

0.8

1.0

2.0

6 12 20 30 100 150 200 500 600 700 800 900 1000

2.75 1.67 1.43 1.10 0.95 0.73 1.41 0.52 0.51 0.54 1.01 0.71 0.90

3.71 1.87 1.65 1.35 1.03 1.01 1.86 0.91 0.82 1.01 1.19 1.13 1.04

5.21 2.41 1.78 1.58 1.18 1.26 2.48 1.23 1.12 1.22 1.43 1.58 1.15

5.71 2.67 1.87 1.66 1.27 1.40 2.70 1.37 1.25 1.33 1.55 1.72 1.20

6.36 3.09 2.08 1.78 1.44 1.66 3.07 1.64 1.50 1.54 1.73 1.89 1.30

6.72 3.35 2.24 1.86 1.56 1.84 3.30 1.82 1.68 1.70 1.84 1.97 1.38

6.90 3.49 2.32 1.90 1.62 1.93 3.42 1.93 1.78 1.78 1.90 2.01 1.42

7.48 3.93 2.64 2.08 1.85 2.25 3.82 2.30 2.16 2.10 2.11 2.13 1.60

10-30 100-• -200 500--700 700-•• 850 850- -1000

0.79 0.34 0.23 0.49 0.17

0.97 0.75 0.63 0.75 0.48

1.14 1.12 0.95 1.04 0.75

1.28 1.29 1.08 1.18 0.84

1.56 1.60 1.35 1.41 0.96

1.76 1.80 1.54 1.54 1.03

1.87 1.91 1.65 1.62 1.06

2.23 2.26 2.03 1.88 1.20

Tabelle 2 Standardabweichung des Fehlers der Temperaturmittelbestimmung für verschiedene Höhenbereiche mittels stochastischer Regularisierung in Abhängigkeit von der Varianz a- des Meßfehlers bei der Strahlungsintensitätsmessung; n — 28 Höhen(Druck-) bereich /mbar 10--30 100- -200 500-•-700 700-•-850 850•••1000

CT2

0.0

0.01

0.1

0.2

0.5

0.8

1.0

2.0

0.67 0.40 0.24 0.49 0.18

0.82 0.77 0.63 0.76 0.48

1.04 1.15 0.95 1.04 0.75

1.19 1.33 1.09 1.19 0.84

1.51 1.64 1.36 1.41 0.96

1.72 1.85 1.55 1.54 1.03

1.83 1.95 1.66 1.62 1.06

2.22 2.31 2.04 1.88 1.20

118

ANDREAS U H L I G

Für das Projektionsverfahren (8) wurde die Formel (9) in den Fällen n = 13 und n — 20 für zahlreiche Kombinationen von 1 bis 5 Eigenvektoren der Temperaturkovarianzmatrix B als Ansatzvektoren ausgewertet. Ein kleiner Teil der erhaltenen Werte ist in Tabelle 3 wiedergegeben. Dabei wurde den Berechnungen eine reale Meßfehlervarianz er2 = 1 zugrunde gelegt. Im Tabellenkopf sind jeweils die Anzahl und die Indizes der verwendeten Eigenvektoren vermerkt, wobei von einer absteigenden Anordnung der zugehörigen Eigenwerte /lj 2; ?.2 • • • /„ ausgegangen wurde. In der letzten Spalte ist zum Vergleich die Genauigkeit der stochastischen Regularisierung bei gleicher Größe des Meßfehlers gegenübergestellt. Tabelle 3 Standardabweichung des Fehlers der Temperaturmittelbestimmung für verschiedene Höhenbereiche mittels Projektionsverfahren. Meßfehlervarianz der Strahlungsintensitätsmessung:CT2= 1.0; n = 20 Eigenwerte der Temperaturkovarianzmatrix: = 203.08, A2 = 176.85, ).3 = 104.16, A, = 31.10, = 12.52, . . . , /,„ = 0.19 Ansatzfunktionen Anzahl

1

1

1

2

3

3

5

Indizes

1

4

5

1, 2

1, 2, 3

2, 3, 4

1, . . . , 5

Stoeh. Reg.

4.47 3.86 4.62 4.01 2.90

9.76 9.16 5.81 2.66 1.80

5.99 4.84 6.69 5.46 1.88

3.11 3.33 3.30 2.56 1.13

2.45 2.50 1.89 1.96 1.11

2.89 3.16 3.31 3.31 1.60

2.60 3.41 2.61 1.84 1.85

1.87 1.91 1.65 1.62 1.06

p/mbar 10--30 100- -200 500-•-700 700-•• 850 850---1000

5.

Auswertung der numerischen Ergebnisse

Die mit n = 13, 20 und 28 berechneten Standardabweichungen der Schätzfehler gewisser Temperaturen bzw. Teniperaturmittelwerte zeigen qualitativ das gleiche Verhalten und weichen, vor allem für reale Werte der Meßfehlervarianz a 2 , nur wenig voneinander ab (vgl. Tabellen 1 und 2). Der Fehler der Approximation der Integralbeziehungen (1) bzw. (2) durch das linearisierte und diskretisierte System (3) kann daher (zumindest im Mittel) gegenüber den praktisch auftretenden Meßfehlern vernachlässigt werden. Die Einbeziehung einer noch größeren Zahl von Druckniveaus in die Berechnungen wäre wegen des steigenden numerischen Aufwandes nicht mehr sinnvoll. Insbesondere lassen sich folgende Aussagen formulieren: 1. Die Standardabweichung des Schätzfehlers stellt für jedes Funktional eine monoton wachsende Funktion der Meßfehlervarianz dar. Die angegebenen Werte für die stochastische Regularisierung als bester Auswertungsvorschrift bezüglich des Kriteriums (5) 1 ) belegen jedoch, daß eine praktisch vorstellbare Erhöhung der MeßWerden Meßfehler und Temperaturverlauf als stochastisch unabhängige normalverteilte Vektoren angenommen, so stellt die stochastische Regularisierung die bezüglich (5) beste Auswertungsvorschrift überhaupt dar ([9], Satz 4).

Numerische Vergleiche von stochastischer Regularisierung und Projektionsverfahren

119

genauigkeit nicht zu einer entsprechenden Verbesserung der mittleren Genauigkeit der errechneten Temperaturwerte führen wird (vgl. Tabellen 1 und 2). Ursache hierfür ist die Nichtkorrektheit der Ausgangsaufgabe. 2. Verschiedene Funktionale lassen sich nicht mit gleicher Güte schätzen. Die besten Resultate erhält man (bei Einbeziehung von Fensterfrequenzen) in Erdbodennähe, die schlechtesten in Höhen um 200 mbar und an der oberen Grenze der Atmosphäre. Temperaturniittelwerte über ausgedehntere Höhenbereiche lassen sich in der Regel bezüglich (5) besser schätzen als die Temperaturwerte für einzelne Höhen innerhalb dieser Bereiche (vgl. Tabelle 1). 3. Für das unregularisierte Projektionsverfahren (8) ist die Auswahl der Ansatzfunktionen entscheidend (vgl. Tabelle 3). Ohne Kenntnis der stochastischen Charakteristika kann jedoch keine Aussage über die Eignung eines Projektionssystems getroffen werden. Insbesondere kann auf Grund der Nichtkorrektheit der Ausgangsaufgabe die Erhöhung der Zahl der Ansatzfunktionen zu einer wesentlichen Verschlechterung des Schätzfehlers führen. Außerdem ist die Eignung verschiedener Ansatzfunktionen für unterschiedliche Funktionale verschieden im Gegensatz zur stochastischen Regularisierung, die für alle Funktionale die besten Schätzungen ergibt. Selbst bei günstiger Wahl der Ansatzfunktionen liegt der Schätzfehler der unregularisierten Projektionsverfahren deutlich über dem der stochastischen Regularisierung, was durch die numerischen Vorzüge von (8) — geringere Dimension der approximierenden Aufgaben und Verzicht auf umfangreiches statistisches Datenmaterial in der Bearbeitung — nicht aufgewogen wird. Literatur [1] r.IACKO, B . E . , TT 10. M. TIIMO$EEB, Iicn0flb30BaHiie neToaa p e r y n a p r a a i i m i ^IH pemcHHH sanaiH TepMiinecKoro soHmipoBaimn aTMOC^epbi, ®H3HKa aTMOCiJiepM n OKT-ana, T. 1 (1968), CV 3. [2]

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B . FL. A P C E H I I I I , M C T O ^ H p e m e n H H H e K o p p e K T H b i x 3AAAM,

Hayna,

MocKBa 1 9 7 4 . UHLIG, A., Untersuchungen zur stochastischen Regularisierung für lineare Gleichungen in Hilberträumen, Dissertation, T H Karl-Marx-Stadt 1976. IIETPOB, A . II., OqeiiitH jiiiiiefniLix (JTYHKIJHOHA.iOB AJIH pemeHua neKOioptix oßpaTiiMX :ia;ia i i, «fc und analog dk < bk. Es gilt also (19) für k 2; .

128

KLAUS VETTERS

F ü r k ^ K : = m a x {&!, k2, sind also die Ungleichungen (17), (18), (19) stets gültig, was im Verfahren ak+1 = ck, bk+1 = dk und damit .. x* — ak lim = 1 k^co bk — x* zur Folge hat, q.e.d.

4.

Verfahren für Nullstellenaufgaben

Aus dem im vorangegangenen Abschnitt vorgestellten Verfahren A S ergeben sich durch spezielle Realisierung der nur der Bedingung (15) unterworfenen Vorschrift R für ck unterschiedliche Verfahren. Zur kürzeren Schreibweise der erforderlichen Fehleranalysen vereinbaren wir die Bezeichnung oik = x* — ak,

ßk = bk — x*

für x* € L. Die Bezeichnung der Konvergenzexponenten erfolgt nach [3], W ä h l t man für ck den Regula-falsi-Punkt über (ak, bk), so entsteht V e r f a h r e n 1. Verfahren AS mit der Vorschrift ck

1 i | t \ = ~ («* + h ) 2

R:

mf(ak, bk) — —, 6f(ak, bk)

(23)

wobei mf(a, b) = — {J(p) — /(ö)) bedeutet. 2 A u s s a g e 1. Bs seien die Voraussetzungen des Konvergenzsatzes erfüllt, wobei für VR die Voraussetzung der zweimaligen stetigen DifferenzierbarJceit von f auf (a0, b0) gesetzt sei. Dann gilt für die durch Verfahren 1 erzeugte Folge {{ak, bk)\ zusätzlich zur Aussage des Konvergenzsatzes: Die Folge der Intervallängen \bk — uk\ strebt mindestens mit dem R-Konvergenzexponenten 2 gegen Null.1) B e w e i s . Zunächst ist zu zeigen, daß die W a h l von ck gemäß (23) den Bedingungen (15) genügt. D a bei einfachen Nullstellen x* € (ak, bk) für den lokalen Fehler der Regula-falsi bekanntlich x• =

« /"(£*) 1 — — x* — ak

2

f'(x*)

=

Der zweite Grenzwert von (15) folgt analog, womit der Konvergenzsatz anwendbar *) Die Konvergenz von {ak} und {bk} gegen x* erfolgt dann ebenfalls mindestens mit dem RKonvergenzexponenten 2.

Asymptotisch symmetrische Verfahren

129

ist. Die Größe des Konvergenzexponenten folgt aus der Abschätzung f(ck) bk+1 —

h

ak+1 = min {ck, dk),

dk = Ck

°

^ df(ak, bk)

(24)

bk+1 = max {ck, dk)

(Abbruch für f(ak) = 0 oder f(bk) = 0 oder f(ck) = 0) nachweisen. A u s s a g e 2. Die Funktion f sei dreimal stetig differenzierbar. Dann konvergiert das nur aus dem Normalschritt (24) bestehende Verfahren für hinreichend kleine und hinreichend symmetrische, eine einfache Nullstelle x* von f einschließende Startintervalle («„, b0) asymptotisch symmetrisch und mindestens mit dem JR-Konvergenzexponenten 2 gegen x*. B e w e i s . Es sei (a 0 , b0) ein Startintervall, welches den Bedingungen (i)

(« 0 , b0) enthalte eine einfache Nullstelle x* von /,

W

74\f'{r,)\ 7 r 7 7 7 l / " M - 2f"(x*)\ • |«o - ß0\ £4

(iii) (iv) (v)

f'"(r) f'(v) 2 - f'(v) K — ßo\

(«o+ßoY~

Ss -7» 4

2 («o + ßo)

für alle r, f, RJ, CD 6 I : = (2ci0 — B0, 2B0 — a0) genügt. Aus (iv) folgt zunächst f'(x) 4= 0 für x £ I, also auch df(a, b) =|= 0 für (a, b) cz I, womit das Verfahren für jedes Intervall (a k , bk) cz I durchführbar ist. Im Fall ak = bk wäre f{ck.x) = 0 gewesen, was aber 9

Num. Mathematik 7

130

KLAUS VETTEBS

den Abbruch des Verfahrens bewirken soll. Wir nehmen nun an, daß das Verfahren nicht abbricht. Es gilt dann stets an =j= £*> bn =j= x*, d. h. 0,

ßn > 0,

*n + ßn^*0

+ ß0,

Wn-ßn\^Wo-ßo\

(M)

nachgewiesen. Für n — 0 ist (26) wegen (i) richtig. Wir nehmen nun (26) für n = k als richtig an und führen den Schluß auf n = k + 1 durch. Es gilt ßk+i — «*+i = ih+i — **) — (x* — ak+1) = (ck — x*) + (d k — x*) = 2 (et — x* \

thL-\ 0, ßk > 0) die Beziehung öf(ak, bk) = /'(**) - j

(*t - ßk) /"(**)

+ j

(cck + ßkf

Bkf'{rh)

mit _ *

1 V

+ fo3 /'"(r t )

6 (« t + &) 3 /'(%) '

Ferner gilt m

= (c* - * * ) /'(x*) + - 1 (Ck - x*r

nojk)

mit wk € (x*, ck) a (ak, bk) cz I. Durch Einsetzen dieser beiden Formeln in (27) entsteht - fim = ~777~T~ [(«* - ßk) /"(**) + ( c * / (%)

x*)

f"M

~ 2(« t + ßk?

Bkf'(Vk)] (28)

mit r\k, ojk, rk € {ak, bk) cz I. Diese Formel wurde ohne Beachtung der speziellen Gestalt von ck hergeleitet und wird an anderer Stelle noch Verwendung finden.

Asymptotisch symmetrische Verfahren

131

Berücksichtigen wir nun, daß im Verfahren (24) speziell Ca- — x* = — (ßk — txk) gilt, so entsteht «t+i — ßk+l =

+ Bk(h, o>k € /,

und iJj. wie oben. Für die Intervallänge ergibt sich **.-+! + ßk+l = bk+l — ak+1 = l^t — c*l 2/(ct) 0, also an -» x*, bn x* und an sS x* 6n für n = 0, 1 , . . . Zum Nachweis der asymptotischen Symmetrie bilden wir mit (29), (31) ßn+1 lim n—*oo«n+l + ßn+1

1 2

an+l = — lim 2 n—>oo = 0 hat.

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzenschemata

2.

141

Differenzenschemata

Wir führen gleichmäßige Gitter cö ein; diese sind im folgenden B

=

{x

I

X =

x{

=

= 0, 1, ...,

ih; i

N ; Nh

(7)

=

1}

=

0, 1, . . . , N

im eindimensionalen Fall und W =

{x

I X =

(xu,

x2j)\xa

=

as

4 - kshs;

ks

s

; Nshs

=

6„ —

«,; (8)

s = l , 2 \

im Falle des Rechteckes (a s ^ xs ^ bS) s ~ 1, 2) in der Xy, x2- Ebene. Weiterhin benutzen wir die üblichen Bezeichnungen (vgl. [3]) für die Mengen y der Gitterrandpunkte V

= (0,1}

(9)

bezüglich (7) und y =

{x

I X = s

[xu,

=

X2l);

xs^

=

as

1, 2 ; t 4= s, t =

+

; (ks = 0 a ks =

a {kt =

Ns)

1,

Nt

1, 2 }

—

1); (10)

bezüglich des Gitters (8), sowie für die Differenzenquotienten Vx,i =

— 2/0»

2/i.t =

— 2/i-i),

Vi = y{Pi)-

(11)

Die Aufgaben (2), (3) bzw. (4), (5) werden dann approximiert durch folgende entsprechende diskrete Aufgaben (Differenzenschemata). ( i ) Eindimensionaler

Fall

a) Randbedingungen 3. Art ( 0, 0) -(Pyx)x

+

{Xi)

y j

!>•••. N)>

ij-x

To = hör1,

=

Px+i =

=

1, . . N

-

1),

r(y0)

f i x , ) (I =

1, . . . , N

-

1), /„ = 1 /0 + (V»)" 1

(i =

r(Vi)

=

r f a ) (i

=

=

j

=

q0,

£

qN

=

r(y0),

In

=

0;

M f

1

(12)

;

qN;

~

r{yN)

£

=

yN+1

q0

q{xi)

)

( x € w ) ,

1),

=

s

(i =

f(x)

1, . . . , N -

q{Xi)

/ >

=

(13)

=

-i-

£

r(yx);

/* +

(' = 0. Diese Wahl hat den Vorteil, daß die Funktion y° im Fall y°{x) 0 schon die Lösung y* des Problems (16) ist. F o l g e r u n g . Mit der speziellen Wahl von y° gemäß (19) folgt aus oj0~ =f= 0 stets auch a>n~ == 0 für alle n > 0, da aus w„~ = 0 folgen würde: oj^r = 0, d. h., y*{x) > 0 und y* = y° im Widerspruch zu oj0~ =j= 0.

B e w e i s d e s S a t z e s . Es genügen y* dem Schema (18) und y° dem ebenfalls monotonen Schema (23). Dessen kanonische Form lautet M'xf =

a'(x)

y°(x) -

Z b(x, f ) */>(£) = f(x), tiS'ix)

a'(x) = a(x) +

r'(x).

Daraus ergibt sich M'{y*

- if) = (a'(x) -

a*(x)) y*(x) = (r'(x) -

r*(x))

y*(x)

h in a> \ = y*(x) •

—x in tOjT \ 0)',

^ 0,

(24)

0 in den übrigen x woraus wegen des Maximumpri n z i ps (vgl. [3, 4]) die Beziehungen ya(x) s£ y*(x) (x 6 w), m0~ ¡2 co+- folgen.

144

W I L F R I E D W E I N E L T u n d GUNTER H E L M E R T

Nun sei zunächst r n+1 = 1 in (19). Dann genügt yn+1 der Gleichung Anyn+1 d. h. dem monotonen Schema Mnyn+1

^ an(x) y"^(x)

£ b(x, f) yn+1(£) = f es'(z)

-

= /,

f{x),

so daß yn+1{x) ^ y*{x) (x € w), co~+1 3 tu*- (n ^ 0) folgt. Nun sei TB+1 6 (0, 1] beliebig und yn irgendeine untere Schranke für y*. Es werde gemäß (19) zn+1 mit r„+1 = 1 sowie yn+1 mit beliebigem T„+1 £ (0, 1] ermittelt. Dann liefert die aus (19) folgende Beziehung y ^ ( x )

=

W

B + 1

( Z )

+

(1 -

yn(x)

T„+1)

sofort yn+1(x) iS y*{x) (x 6 co) sowie ojn+1 Damit ist der Satz bewiesen.

3

B e m e r k u n g . Daß (19) für r > 1 keine unteren Schranken garantiert, zeigt folgendes Beispiel. Sei yn untere Schranke für y* mit yn(x) ^ y*(x), aber zn+1 = y*. Gemäß Satz 4 (s. u.) ist dieser Fall tatsächlich möglich. Dann ist für beliebiges T > 1 die Differenz yn+1(x0)

— y*(x0)

= (r — 1) (y*(x0)

— yn(x„))

für mindestens ein x0 £ cü

positiv. S a t z 2. Für die nach (19) mit konstanten Parametern beliebiger Anfangsnäherung y° ermittelten Iterierten gilt yn(x) ^ yn+1{x)

T„+1 = 1 und bei gemäß (23)

(26)

n ^ 0),

(x£w,

(27)

CO.

B e w e i s . Beginnend mit y° gemäß (23) ist zunächst y1 definiert durch Moy1 = a0(x) if{x) - Z

b{x, |) /(£)

=

f(x),

SeS'(x)

a0(x) = a(x) +

r(y°(x)).

Da y° dem Schema M' (vgl. den Beweis von Satz 1) genügt, folgt - ¡ W -

y°) =

— (aoix) -

a'(x)) y0(x) =

-(r(y°) -

r'(x)) y°(x)

x in (o0~ \ co', =

—y°(x) • — * in co'\

a>0~,

0 in den übrigen x 1

d. h., y°(x) 5S y (x) (x 6 « ) nebst &>„- 3 coj-.

• ^ 0.

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzensehemata

145

Nun gelte bereits y°(x) sS y1(x) gj • • • yn(x) (x 6 a>) und (u0~ 3 coj- 2 • • • 3 co„-. Da die Iterierten y" bzw. yn+1 den monotonen Schemata Mn.xy» ^ an^{x) y«(x) - £ b(x, {) y»(f) = f(x), SiS'(x) Mnr+1

= an(x) y»^(x) - £ b(x, f )

= /(®)

f€S') und ojn~ Damit ist der Satz bewiesen.

Q

J

n + 1-

S a t z 3. Für die nach (19) mit beliebigen Parametern rn+1 6 (0, 1] und bei gemäß (23) beliebiger Anfangsnäherung y° ermittelten Iterierten yn gelten ebenfalls (26), (27). Bezeichnet vergleichsweise {yn) die nach (19) mit vn+1 = 1 ermittelte Folge, so gilt bei gleicher Anfangsnäherung y°{x) = y°{x) darüber hinaus y"(x) ^ yn(x)

(xew,

n > 1).

(28)

Beweis. Es gilt zunächst nach Satz 2, daß y°{x) iS z1(x) ist. Dabei bezeichnet im weiteren zn die nach (19) mit r„ = 1 aus yn~x bestimmte Iterierte. Aus (25) folgt für n = 0, daß yx{x) = xlz1(x) + (1 — ti) y°(x) gilt, woraus sich sofort y°{x) yJ(a;) (x £ a>) und u>0~ ü cof ergibt. Im nächsten Schritt entsteht y1 aus Al/2 = r2f + (1 - r2) Axtf

(A1==A+

1

r(yi) I).

2

Zum Vergleich mit y betrachten wir zunächst z , das sich aus Axz = / bestimmt. Wir erhalten Al(z2

_ yl)

=

_(1 _

Ti)

(,.(^0) _ r ' { x ) ) y 0 ( x )

+

( r ( j / 0 ) _ ^ l ) ) yl { x )

x in co0~ \ co' - ( 1 - r.) y°(x)

—x in a>' \ a>0~ 0 in den übrigen x

+ ^)-{"incü • • • ZD

= «»,,+1 = «n„ + 2 =•••=

ynt+2,

Ör = {x £ To, y(x) ^ 0}.

Tür alle n 2g w0 - f 1 sind die Näherungen yn—y stationär und genügen [A~\~r(y)I]y = f, d. h., y erfüllt (16), woraus wegen der Eindeutigkeit der Lösung y* von (16) y(x) = y*(x) (x g cö) folgt und somit auch ür = oj^' gilt. Wir betrachten nun den Iterationsprozeß (19) mit beliebigen Parametern r„+1 d [t 0 , 1]. Dabei genügt die Folge {yn\ der Iterierten der Beziehung yn+1 = rn+1zn+1 + (1 - rH+1) yn, wobei z»+1 = [A + r{yn) 7)- 1 / gilt. Nach den Sätzen 1 und 3 ist bekannt: y°{x) < y\x) ^ • • • ^ yn{x) ^ yn^{x) i» c - 3 w f i

••• 3 co„- 3 w~ +1

^ • • • ^ y*(x)

{x € w),

(III)

5 - i w * " '

Ähnlich wie oben begründet man, daß es nur endlich viele natürliche Zahlen nk (Je = 1, ..., k0) mit folgender Eigenschaft geben kann: W0- = cur = • • • = =

10*

mn

k0~l

1 3

< % ,

=) CO" = • • • = CO" =

(

w

=

nk„)•

=>«"=•••

^

148

W I L F R I E D W E I N E L T u n d G U N T E R HELMERT

Aus (III) folgt y"(x) t„ ^ r 0 > 0)

> y{x)

y*{x) (x £ a>). Somit gilt auch (man beachte

zM+1 = — (yn+1 - (1 - t„+1) y") T n+l = ~ T

(y n+1 - 2/") +

r

B+1

I n (A ~ r(yn) I) zn+1 = / ist f ü r n die Funktion r(yn) nicht mehr von n abw+1 hängig, so daß z — y (ri 'O: nk) gilt. n Wegen y n_^^ y y und (IV) ist Gr = w, y(x) ^ 0} = «„- (n 2g nkJ, woraus sich r(y") = r(y) für n 2: nk> ergibt und somit y folgende Gleichung erfüllt: (A + r(y) I) y = /. Das aber ist die Gleichung (16), deren eindeutige Lösbarkeit y(x) = y*(x) (x 6 w) nach sich zieht. Damit ist der Beweis abgeschlossen. B e m e r k u n g . Der Iterationsprozeß (19) mit r B+1 ^ 1 ist im allgemeinen nicht endlich. Dafür findet m a n leicht Beispiele. F o l g e r u n g . Ein mit rn+1 C [T0, T'] (T0 > 0 , r' < 1, n ~2i 0) durchgeführter tionsprozeß (19) ist nicht endlich und nur linear konvergent.

Itera-

B e w e i s . Die Annahme der Endlichkeit des Prozesses führt mit der für den letzten Schritt aufgeschriebenen Beziehung (25) zum Widerspruch. n Nach Satz 4 gilt yn(x) eo) »• y*{x) (x 6 w), und f ü r alle n 2: nka ist r(y ) nicht n mehr von n abhängig, so daß m a n schreiben k a n n : A n = A -f- r(y ) I = JL{n nkJ mit y* = Für n ^ % o lautet (19) mit 0 < r 0 ^ r„ +1 ^ r ' : cÄy^

= r„+1/ + (1 - r,+1) c4y",

sich y*{x) — yn+1(x) n (1 T ' ) ||y* - y \\ \]y* (n ^ nh) ergibt,

so

daß

= (1 — r B+1 ) (y*(x) — yn(xfj (x 6 ä>) und somit = ( 1 - R N + 1 ) \\y* - y»\\ SS ( 1 - T 0 ) \\y* - y||

B e m e r k u n g . Für beliebiges konstantes r > 1 gibt es Beispiele, f ü r die der Prozeß (19) divergiert.

4.

Konstruktion oberer Lösungsschranken für y*

Mit einer (berechneten) unteren Schranke yn(x) f ü r die Lösung y*(x) von (16) ermitteln wir yn(x) aus Ay{x)=f(x)-r{y»{x))y«{x).

(29)

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzenschemata

149

Das entspricht übrigens einem Schritt im Iterationsprozeß 7/W+l

7/M J

A l

+ A„yn

-

-

/ =

0

mit r = 1 und yn+1 = pn. In kanonischer Form lautet (29) M0*(x)

= a(x) r i x ) -

£ b(x, £) tes'

Wir setzen z(x) = i)n(x) — y*( x)> Mz(x)

=

(a*(x)

— r(«/n(x))

yn(x)

iin

— yn{x))

in

-y.yn(x)

0

> 0.

in den übrigen x

Daraus erhält man aus dem Maximumprinzip 2(«) = yn(x) — y*(x) ynix)

^ y*ix)

S a t z 5. Sei yn eine etwa nach (19) bestimmte yv(x)

0 (x £ 55), d. h.,

{x e cö).

Bezeichnet „- = {x 6 55, yn{x) ^ 0}, so folgt noch Damit ist bewiesen: von (18). Mittels

(30)

r{ij»(x)) i f ( x ) .

beachten (18) und bilden

— a(x)) y*(x)

x(y*(x)

= f(x) -

(29) ergibt sich eine eindeutig ^ y*(x)


n .

untere

bestimmte mn

Schranke

für die Lösung

obere Schranke

E I»*- E

y*

y":

ft)„-.

Weiterhin gilt der folgende S a t z 6. Seien yn die mittels n+1

p

(x)

(29) aus

yn+1 n

y {x)

zwei etwa nach bziu.

yn+1(x)

(19) ermittelte

(eindeutig)

untere Schranken

bestimmten

Näherungen

für y*.

Für

yn(x)

bzw•

(x € 55) gilt: yn(x)

< yn+1(x)

g y*(x)

§n+1{x)

S yn(x)

{x £ 55),

ft)„~ =! C O. Î1+1

(31) (32)

n+1 x

n x

x

B e w e i s . Zu zeigen ist nur 4/ ( ) = i) ( ) i z 55), denn dann ist zusammen mit Satz 5 alles bewiesen. Wir setzen z(x) = yn+1(x) ~ y"(x) (x 6 55) und beachten die Gleichungen (30) für bzw. y n j l . Dann entsteht Mz(x)

= r(yn(x)) x(yn(x)

yn(x)

— r(yn^(x))

— yn+1(x)) n

xy {x)

0

yn+1(x)

in in

rt+i tu

< 0,

in den übrigen x

so daß wiederum nach dem Maximumprinzip z(x) — $M+1(:») — yn{x) schlußfolgert werden kann.

0 (x € w) ge-

150

W I L F R I E D W E I N E L T u n d GUNTER HELMERT

B e m e r k u n g . Die Verwendung einer konvergenten Folge unterer Schranken [yn\, etwa gemäß (19), liefert durch (29) eine konvergente Folge oberer Schranken {$*} für y*, wie man aus einem Vergleich von (29) mit (16) erkennt.

5.

A u s s a g e n zur Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen

L e m m a 1 [2]. Die linearen Anteile L0u = Lu — r(u) u der Differentialausdrücke in (1) (d. h. von (2) bzw. (4)) erzeugen mittels der (3) bzw. (5) entsprechenden homogenen Randbedingungen in den reellen Hilberträumen L2{ü) symmetrische, positiv definite Operatoren. L e m m a 2 [3], Die linearen Anteile Ay — 0

—y.y

für y SÍ 0, y' > 0

—y.y'

für y > 0, y' íS 0

y'

17 — y'\ fr'1- V =

y' ^ 0

y'i = k \ß\ was die Behauptung beweist. S a t z 7. Die Aufgaben (1) in der konkreten Gestalt (2), (3) bzw. (4), (5) besitzen jeweils eine eindeutig bestimmte Lösung in Räumen X = W21{0) (für beliebige rechte Seiten f aus dem dualen Raum Ar*), falls die Randwerte

0, q(xi 0, «5; (i = 1,2), (33) und (34) liefert das Differenzenschema (12), (13) bzw. (12'), (13') Näherungslösungen y(x), deren Werte mit h 0 auf dem Gitter gegen die Werte u(x) der exakten Lösung konvergieren. Die Konvergenzordnung ist 2 : y(x) = u(x) +

0(h2).

B e w e i s . 1. Nach Satz 7 besitzt das Problem (2), (3) eine eindeutig bestimmte Lösung u € W21, die demzufolge auch stetig ist. Wenn der Bereich Q~ = |.r ü, u(x) ^ 0} a) leer ist oder nur aus einem Punkt besteht oder b) mit dem gesamten Intervall [0, l\ übereinstimmt, dann genügt u einem linearen Problem (2), (3) mit r = const (und zwar r = 0 im Fall a) und r = z im Fall b)). Somit haben wir in diesen Fällen unter den Voraussetzungen des Satzes eine klassische Lösung u C 4 [0, Z]. Nun sei Q~ weder ganz [0, l] noch bestehe es aus höchstens einem Punkt. Dann gibt es gemäß der Bemerkung nach (34) genau zwei Punkte a, b 6 [0, l\ mit folgenden Eigenschaften: a 0,

u(a) = 0,

u(x) >0(xd

u(b) = 0 ,

[0, l] \ [a, b]).

(36)

I n den Teilintervallen [0, a], [a, 6], [b, l\ (möglicherweise ist eines der beiden Intervalle (0, a), (b, l) die leere Menge) verhält sich die Lösung wie oben beschrieben (da dort r = const): u e Cl[0, a] n C 4 [ a , 6 ] n C*[b, l\.

(37)

x ) Im zweidimensionalen Fall ist die Situation hauptsächlich dadurch erschwert, daß Bedingungen für die gewünschte Glattheit der exakten Lösung nicht bekannt sind.

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzenschemata

153

D i e L ö s u n g u 6 W2l (im Falle v o n R a n d b e d i n g u n g e n 1. Art sei dies ohne Bezeichnungswechsel bereits der Anteil, der auf h o m o g e n e R a n d b e d i n g u n g e n transformiert ist) läßt sich n u n auch so charakterisieren, d a ß g = Lu — / das Nullfunktional des dualen R a u m e s ist. D a aber der Anteil g1 = q(x) u(x) -j- r(u) u(x) — f(x) einer stetigen F u n k t i o n äquivalent ist, gilt dies folglich auch für g — Q\ = (p{%) u'(x)y. Somit ist v € C*[0, l]. Zur U n t e r s u c h u n g der dritten Ableitung, e t w a a n der Stelle a 6 (0, l), schreiben wir die Differentialgleichung (in den Teilintervallen) auf: u"(x) = —l—p'{x) P(x)

u'(x) + q(x) u(x) + r(u) u{x) —

f(x)).

Dort liefert nochmalige Differentiation u n d nachfolgender Grenzübergang zu x = a: u"'(a — 0) = u"'(a + 0)

— p(a)

u'{a).

Daher gilt für die L ö s u n g u 6 C 2 [0, l] n C 4 [0, a] n C*[a, b] n C\b,

l],

(38)

u n d die dritte Ableitung existiert bis auf höchstens zwei Stellen u n d ist beschränkt. 2. E i n Vergleich der Differenzenschemata mit d e m Gleichungssystem, d a s entsteht, w e n n m a n (2) a n den Gitterpunkten aufschreibt u n d die beiden Gleichungen (3) hinzufügt, liefert nach längeren U m f o r m u n g e n eine Beziehung (wir v e r w e n d e n die B e z e i c h n u n g (16) für den Differenzenoperator) Ay — Au = W{x)

[xiw).

(39)

Hierbei bedeutet u die „diskretisierte L ö s u n g " mit W e r t e n u(x) (x f 7»)] der Ausdruck Au entsteht i m wesentlichen durch die A n w e n d u n g der Taylor-Formel unter Verwendung der E i g e n s c h a f t e n (38) u n d (33). D e r s o g e n a n n t e Approximationsfehler 'Fix) enthält die jeweiligen Restglieder. Zur Technik der Aufstellung solcher Bezieh u n g e n (39) sehe m a n z. B . [3]. I n unserem Fall ergibt sich folgendes. Bezeichnet » s c w die Menge der (höchstens vier) Gitterpunkte, die v o n den Stellen a bzw. b g e m ä ß (36) einen A b s t a n d kleiner als h besitzen, so gilt für a) R a n d b e d i n g u n g e n 1. Art: oo m W{x) = 0(h'),

¡x =

2 1

y,

inw\ois, in cu? \

(40)

y,

b) R a n d b e d i n g u n g e n 3. Art: (41)

154

WILFRIED WEINELT u n d GUNTER HELMERT

Mit dem Skalarprodukt und den Normen (y, z ) = Z hy(x) z(x),

\\y\?A, = {A'y, y)

[a = ± 1),

\\y\\c = max \ij{x)\ Xiw

folgt aus (39) mit (16), Lemma 3 und Einbettungssätzen [3]

Wh-* IIV - «IL. ^ (V, y - «) = {Jy - y - «) ^ I!V — «11/ ^ eonst • |\y — u\\Ä • ||y -

u\\c.

Abschätzungen für die „negativen Normen" H^Hx-i liefern für (40) bzw. (41) (teilweise, und zwar für Randbedingungen 1. Art, findet man diese in [3]):

Daraus ergibt sich die Behauptung (35).

7.

Numerische Ergebnisse

Als erstes Beispiel betrachten wir die eindimensionale Randwertaufgabe im Intervall [0, 1] + r(u) u(x) = - 2

-u"(x)

w(0) = 0,

(xe (0, 1)),

w(l) = 0.5.

Die Funktion r(u) gemäß (6) wird hier durch den Wert v. — 105 bestimmt. Die entsprechend (12'), (13') diskretisierte Aufgabe -y-xx.i

+ r(Vi) Vi =

2/o = 0,

- 2

yN = 0 . 5

(i= l,...,N -

(Nh=

l),

1)

wurde mittels des Iterationsprozesses (19) mit r = 1 gelöst. Für N = 10, 20, 40 gibt die Tabelle 1 die Anzahl der benötigten Iterationen bis zur Gewinnung der Lösung y* des Differenzenschemas sowie die Werte y*{xj) für ausgewählte Gitterpunkte Xi an. 1 ) Das zweite Beispiel bezieht sich auf das zweidimensionale Randwertproblem (4t, (5) im Quadrat ü u T = [0, 1] X [0, 1], -Au

+ r(u) u = f(x)

u = 0 eine Genauigkeit \'y n+1 — y n+l\\c < £ für die ermittelte Iterierte y n + 1 erreicht wird. Als untere Schranken wurden jeweils y n+1(x) — e verwendet; entsprechend sind die oberen Schranken gemäß (29) ermittelt worden. Als Abbruchkriterium diente das Erkennen der Stationarität der Gebiete w„~ (n ^ n 0 ) .

B e m e r k u n g . Die Ermittlung oberer Schranken gemäß (29) zwecks Eingrenzung der Lösung y* ist stets dann nützlich, wenn der Iterationsprozeß (19) abgebrochen wird, bevor y* erreicht ist. Für das betrachtete Beispiel ergaben sich bei einer Vorgabe von s = 1 0 - 6 nach der oben erwähnten Festlegung 16 „innere Iterationsschritte". Mit der Anfangsnäherung y° = A- Xf waren 4 Iterationsschritte gemäß (19) erforderlich. I n Abb. 1 werden die Folgen der Gitterpunktmengen j«„~| bzw. {mn~} (n S:; 0) veranschaulicht. Daran anschließend sind in Tabelle 2 die Iteriertenfolgen ¡y"(.i')| und {#n(x')) für die auf einer Diagonalen des Quadrats Q liegenden Gitterpunkte zusammengestellt.

156

W I L F R I E D W E I N E L T u n d GUNTER HELMERT

n=0

n=1

oooooo ooooooo oooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo ooooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooooooooooo oooooooooooooooo ooooooo ooooooo oooo oooooo

ooooo

OOOOOOO"

ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo oooooo ooooo ooo

n =3

n=Z o oo oo ooo ooo ooo ooo ooo o o o ooo ooo ooo oo ooo oo ooo oo ooo oo ooo oo ooo oo ooo o oo

oooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo oooooo oooo

oooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo ooooo oooo 00

oo

• •••

• •••o o«***o o«*««o • •••o • •••o ottoo OOIOO

oooo oooo ooo o

o**«

• •••• •••••• •••••• O0000» o*«««» o**««« o«**«« o****o o«*««o o««*o oo»» oooo o

In den dargestellten Einheitsquadraten mit der Unterteilung h = 0,05 bezeichnen O Gitterpunkte der Mengen a>- \ w~ , •

Gitterpunkte der Mengen A

_

wn . Abb. 1

Iterative Lösung spezieller nichtlinearer Differenzensehemata

il o

00 00 00

T-H

rH

«o

il ei ©

©

00 o o C O IO rH C~ c- (M o rH oo gegen das arithmetische Mittel der Komponenten des Ausgangsvektors y°. Der Eigenzustand y°° =

^ (pN charakterisiert für t = oo

das ausgeglichene Temperaturniveau im Stab.

Manuskripteingang: 23. 7. 1976 VERFASSER: Dr. GÜNTHER WINDISCH, Sektion Mathematik der Technischen Hochschule Karl-Marx-Stadt

Beiträge zur Numerischen Mathematik 7 (1979), 1 6 3 - 1 7 6

Z u r numerischen Lösung eindimensionaler Wärmeleitprobleme m i t nichtlinearen Randbedingungen durch Differenzenmethoden i

GÜNTHER WINDISCH

Mit größer werdenden Temperaturdifferenzen zwischen Festkörpern und sie umgebenden gasförmigen Medien nimmt der Einfluß der Wärmestrahlung zu und kann dann bei der Modellierung von Wärmeleitvorgängen nicht mehr unberücksichtigt bleiben. Die Wärmestrahlung wird durch nichtlineare Randbedingungen vom Strahlungstyp beschrieben, die sich aus dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz ergeben. Der vorliegende Beitrag ist der numerischen Lösung eindimensionaler parabolischer AnfangsRandwert-Aufgaben mit nichtlinearen Randbedingungen allgemeiner Art durch Differenzenmethoden gewidmet. Im speziellen werden die nichtlinearen Randbedingungen vom Strahlungstyp betrachtet. Als Modell für das Wärmeleitproblem kann eine unendlich ausgedehnte Platte der Dicke d — 1 dienen, wobei die Temperaturen nur von der Normalenrichtung der Platte abhängen sollen. Negative Temperaturen werden als unzulässig ausgeschlossen, was zum Beispiel durch die Verwendung entsprechender Temperaturskalen realisierbar ist.

1. 1.1.

N i c h t l i n e a r e R a n d b e d i n g u n g e n in nur einem R a n d p u n k t Aufgabenstellung

Es sei u(x, t) die Temperatur im Punkt x zur Zeit t. Betrachtet wird die folgende Aufgabe: —

Ct

=

a

+ / ( * »

GX*

u(x, 0) = (p(x) ^

0 < z < 1, O ^ x ^ l ,

0,

ex u{x,

0 ^ 0 ,

Dabei bedeutet a2 =

x = 1

0

(1.1) (1.2)

x = 0

lu = fi{t) , du + x(u, t) = 0 ,

0 < t

< t ^ T ,

(1.3) (1.4) (1.5)

= const > 0 die Temperaturleitzahl (p Dichte, c WärmeQ-C kapazität, X Wärmeleitzahl). Die Funktionen /,

0, 0 ^ t ^ T stetig mit folgenden Eigenschaften: (i) (ii)

Aus Mj

U2 folgt /(«!, t) 5i %{u2, t), | 0 ^ t ^ T. es gelte ^(0, t) g 0

(1.6)

R a n d b e d i n g u n g e n vom S t r a h l u n g s t yp. Speziell wird bei x = 1 die Randbedingung vom Strahlungstyp für 0 < t 5S T betrachtet : X

du

\-oc(u-

- 6*(t)) = 0 .

6{t)) +

(1.4*)

Für die Wärmeübergangszahl «, die Strahlungskonstante y und die stetig veränderliche Umgebungstemperatur 6(t) gelte « 0, y > 0, 0(t) 0. Zum D i f f e r e n z e n v e r f a h r e n (analog [1]). Bei gegebenen natürlichen Zahlen N 1 T und M werden mit den Schrittweiten h == — und r = — die Intervalle TO, 11 und 1 1 N M [0, T] durch die gleichmäßigen Gitter und 53r diskretisiert. Es wird das gleichmäßige Rechteckgitter 7oh, -- wh X cö, gebildet und in der Zeitschicht tn — n • T (0 iS n M) die Netzfunktion tr =

(yon,yin,—>y%-i,y«n)

betrachtet, wobei y¡n im diskreten Modell als Näherungswert für u(ih, n • r) zu bestimmen ist. Das diskrete Modell wird gebildet, indem alle partiellen Ableitungen der Aufgabe (1.1)—(1-5) durch approximierende Differenzenquotienten ersetzt werden. Im weiteren wird zur Approximation im Gitterpunkt (ih, n • r) gesetzt: Su _ yni+1 - yi" _ . !jx, i y dx h du

yf

dx

Es sei r =

vh

h

8*u dx2

-

~

2Vi- + h2

yf+l) Vix

a2r

h2 In der Zeitschicht t = 0 ergibt sich aus der Anfangsbedingung (1.2) mit y? = ist wenigstens für a = 1 wegen der Voraussetzung an die Funktion fi nichtnegativ. (b) R a n d b e d i n g u n g e n z w e i t e r A r t 8u(0, t)

« 4 = o = —A — s — = MOox

Mit der Differenzenapproximation = - A y S S = P(tn..)

W

ergibt sich 1 — o ,

y0" = ?/i" +

(T

(2/i

,

- Z/o

,,

) +

hu(tn ,) ¿FF

und somit x = 1, 1

-

,„. .. «-IN , M ' . , . ) (i/i"-1 - 2/o"_1) + Äff

Bei ff = 1 folgt v 2; 0 für /n(t) 0. Gewisse negative Funktionswerte /i(i) sind unter Umständen zulässig. (c) R a n d b e d i n g u n g e n d r i t t e r A r t (« Wärmeübergangszahl bei x = 0) Zm|j.=0 = —A

8x

^ + 5w(0, 0,

(ofixm + (1 - o) /V" 1 ) + J K « + 0».,) ^ 0.

9 =

Das Polynom (1.28) hat genau eine negative Nullstelle die ignoriert wird, und genau eine nichtnegative Nullstelle £+. Es wird = sg 0 gesetzt. Der gesuchte Wert yyn läßt sich damit eindeutig ermitteln. Eine Vervielfachung der Anzahl der Lösungen des Systems der Differenzengleichungen wird dadurch ausgeschlossen. Zumindest für a = 1 folgt stets yNn Sg 0. B e m e r k u n g . Analog zu der in Abschnitt 1 behandelten Aufgabe können die nichtlinearen Randbedingungen ebenso bei x = 0 betrachtet werden. Die Formulierung der nichtlinearen Randbedingung bei x = 0 wird im folgenden Abschnitt 2 gegeben.

2.

2.1.

Nichtlineare Randbedingungen in beiden Randpunkten

Aufgabenstellung

Gegeben sei die folgende Aufgabe:

8t

a^^+f(x,t), oxi

u(x, 0) = t) = 0. cx u(x,t)^

0,

0