Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 10 [Reprint 2019 ed.] 9783486992953, 9783486255713

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 10

Beiträge zur Numerischen Mathematik 10 Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

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R. Oldenbourg Verlag München Wien 1981

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Beiträge zur Numerischen Mathematik / hrsg. von Frieder Kuhnert u. Jochen W. Schmidt. — München ; Wien : Oldenbourg. N E : Kuhnert, Frieder Hrsg. 10 (1981). ISBN 3-486-25571-1

© VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: VEB Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg ISBN 3-488-25571-1

Inhalt

LOTHAR B E R G ,

Rostock

Ein Gradientenverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme KLAUS BEYER,

Rostock

Zur Approximation einer Variationsungleichung zur Greenschen F u n k t i o n H E R B E R T CORNELIUS,

S T E F F E N DOMSCHKE

und

WILFRIED WEINELT,

WOLFGANG HOYER,

47

Dresden

Zur E f f e k t i v i t ä t mehrstufiger Brown-Brent-Verfahren

57

Berlin

Ein parametrisches Zweischrittverfahren MARIAN MALEC,

37

Karl-Marx-Stadt

Über die Quadraturformelmethode zur Lösung singulärer Integralgleichungen

ROSWITHA MÄRZ,

23

Karl-Marx-Stadt

Optimale Konvergenzaussagen f ü r ein Differenzen verfahren zur Lösung einer Klasse von Variationsungleichungen ROLF HAFTMANN,

15

Berlin (West)

Inverse Interpolation zur global konvergenten Nullstellenberechnung

Kraköw, u n d

WOLFGANG VOIGT,

71 Freiberg

Solution of linear algebraic systems with matrices of special structure, arising from finitedifference methods W O L F - G E R T MATTHÄUS,

91

Leuna-Merseburg

Eine C l _ 1 -Kollokationsmethode f ü r Probleme der optimalen Steuerung mit nichtlinearen Randbedingungen ARND MEYER,

7

97

Karl-Marx-Stadt

Varianten der simultanen Iteration zur Berechnung einiger Eigenwerte u n d Eigenvektoren des allgemeinen großdimensionierten Eigenwertproblems 107 MAGDALENE MEYER,

Karl-Marx-Stadt

Die Berechnung von Eigenwerten u n d Eigenvektoren linearer u n d beschränkter Operatoren im Hilbertraum mittels Pseudostöriteration 117

6

Inhalt

WOLFGANG MOLDENHAUER

und

HELMUT THIELCKE,

Rostock

Ein modifiziertes Gauß-Seidel-Einzelschrittverfahren unter Verwendung des SassenfeldKriteriums 127 ECKEHARD PFEIFER,

Dresden

Zur Konvergenz des Kollokationsverfahrens mittels kubischer Spline-Funktionen bei Systemen gewöhnlicher R a n d w e r t a u f g a b e n zweiter Ordnung 131 W A L T E R P U R K E R T , L e i p z i g , u n d J Ü R G E N VOM S C H E I D T , Z w i c k a u

Eigenwerte u n d Eigenvektoren zufällig gestörter Matrizen mit mehrfachen Eigenwerten der gemittelten Matrix 139 KARL STREHMEL, H a l l e

Numerische Lösung von steifen Differentialgleichungssystemen 1. Ordnung mittels Störansatz 153 UWE STREIT, K a r l - M a r x - S t a d t

Zur numerischen Lösung eines Zwei-Phasen-Problems vom Stefan-Typ mit Differenzenmethoden 169 U L R I C H TATJTENHAHN,

Karl-Marx-Stadt

Zur Auswahl glatter Lösungen über der Lösungsmannigfaltigkeit schlechtkonditionierter Systeme MARIAN VAJTERSIC,

unterbestimmter 181

Bratislava

Coupled finite difference equation solvers based on the cyclic odd-even reduction approaches 191

Beiträge zur Numerischen Mathematik 10 (1981), 7 - 1 3

Ein Gradientenverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme LOTHAB BERG

Zur Lösung eines reellen, linearen Gleichungssystems Ax = b

(1)

mit einer zunächst beliebigen m X /-Matrix A betrachten wir folgendes Iterationsverfahren, das als Verallgemeinerung des in [4] beschriebenen Verfahrens der Projektion auf Schnitträume von Hyperebenen angesehen werden kann: Zu jedem Iterationsvektor xn mit dem Restvektor rn = b - Axn

(2)

wählen wir in einer noch festzulegenden Weise eine k X m-Matrix H mit k < m aus und bestimmen xn+1 als orthogonale Projektion von x„ auf die Lösungsmenge des Gleichungssystems H(b — Ax) = 0.

(3)

Wegen grad H{b — Ax) = —HA bedeutet dies I = S» +

ATHrz,

wobei z nach Einsetzen in (3) aus HAATHTz Abkürzung

= Hrn zu bestimmen ist. Mit Hilfe der

G = HA

(4)

erhalten wir hieraus, falls det GGT =|= 0 ist, die explizite Iterationsvorschrift xn+1 = xn + GT(GGT)~iHrn.

(5)

Anschließend soll untersucht werden, unter welchen Bedingungen die hierdurch definierten Vektoren xn gegen eine Lösung von (1) konvergieren, doch könnte man auch, falls (1) unlösbar ist, wie in [7] nach der Konvergenz gegen eine verallgemeinerte Lösung fragen. Bei Verwendung der euklidischen Norm gilt ll*„+i - x»\\* = rjHT(GGr)~i

Hrn.

(6)

Um die rechte Seite von (6) abzuschätzen, führen wir die Bezeichnungen F = GGT

8

Lothab Berg

und /77.\

/F.

A (7)

ein, wobei H0 die Teilmatrix der ersten k — 1 Zeilen von H bedeutet und hT den zugehörigen letzten Zeilenvektor. Dementsprechend gilt wegen (4) F0 = H0AATHJ

,

/ = H0AATH,