Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 4 [Reprint 2019 ed.] 9783486992793, 9783486201314

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 4

Beiträge zur Numerischen Mathematik 4 Herrn Prof. Dr.-Ing. hábil. Dr. techn. h. c. Helmut Heinrich zum 70. Geburtstag gewidmet

Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1975

© 1975 V E B Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Lizenzausgabe f ü r den R. Oldenbourg Verlag München Wien Printed in the German Democratic Republic Lizenz-Nr. 206 · 435/111/75 Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg LSV 1035 ISBN: 3-486-20131-χ

Helmut Heinrich 70 Jahre alt

H E L M U T H E I N R I C H wurde am 5. September 1904 in Gottesberg (heute Boguszów) geboren. Im Jahre 1923 legte er am Gymnasium in Schweidnitz (heute Öwidnica) die Reifeprüfung ab und studierte von 1924 bis 1928 an der Technischen Hochschule Breslau (heute Wroclaw) Mathematik. Seine Absicht, nach Ablegung der Diplomhauptprüfung als Mathematiker in der Praxis, und zwar in der Flugzeugindustrie zu arbeiten, konnte er wegen der schlechten wirtschaftlichen Verhältnisse nicht verwirklichen. Er erhielt die Möglichkeit, zunächst vertretungsweise in Glogau (heute Glogów) Mathematik und Physik zu unterrichten, und wurde nach Ablegung der ersten (1929) und zweiten (1931) Staatsprüfung für das Lehramt an höheren Schulen als Studienreferendar bzw. Studienassessor in den Schuldienst aufgenommen. Aber auch diese Tätigkeit sollte keine dauernde Lösung bleiben. Eine Notverordnung zwang H E I N B I C H , seine Stellung aufzugeben. Er fand jedoch einen Ausweg in dieser schwierigen Lage, indem er unentgeltlich als Lehrer weiterarbeitete und seinen Lebensunterhalt durch eine pädagogische Nebentätigkeit verdiente.

Seine ursprünglich gehegte Absicht, wissenschaftlich zu arbeiten, mag durch diese Umstände wieder verstärkt hervorgetreten sein. Er nahm die Verbindung mit seiner Ausbildungsstätte, dem von Prof. Dr. W E B N E B S C H M E I D L E B geleiteten Lehrstuhl für höhere Mathematik der T H Breslau wieder auf, arbeitete dort in den Ferien als Hilfsassistent und promovierte im Jahre 1933 zum Dr.-Ing. mit der Arbeit „Über die Bedeutung der Pfeilstellung eines Tragflügels", einem zu dieser Zeit sehr aktuellen Thema. Von 1933 bis 1936 betreute er als Professor für Mathematik an der Staatlichen Chinesischen Tung-Chi-Universität Woosung die mathematische Ausbildung der Ingenieur-Studenten. Nach seiner Rückkehr erhielt er Lehraufträge an der T H Breslau. Im Jahre 1937 habilitierte er sich mit der Arbeit „Ein abbildungsgeometrisches Verfahren zur Darstellung von Richtungsfeldern . . . " und wurde im Jahre 1938 zum Dozenten für reine und angewandte Mathematik ernannt. In den folgenden Jahren entfaltete H E I N R I C H eine umfangreiche Lehrtätigkeit, die sich auf beinahe alle Teilgebiete der reellen und komplexen Analysis sowie auf die praktische Mathematik erstreckte. Gleichermaßen bedeutsam war aber für ihn, daß er nun günstigere Möglichkeiten für eine wissenschaftliche Tätigkeit vorfand, als sie sich ihm bisher geboten hatten. Eine Durchmusterung der von 1932 bis 1941 entstandenen Arbeiten verrät den wissenschaftlichen Arbeitsstil H E I N B I C H S . Auf den ersten Blick fällt zunächst eine große Vielseitigkeit auf. Für H E I N B I C H gibt es nicht

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„das große Problem seines Lebens", neben dem nichts anderes mathematisch Interessantes existiert. Ihn reizt jedes Problem, das er mit seinen mathematischen Fähigkeiten der Lösung ein Stück näher bringen kann, und es ist überall das Bestreben zu spüren, ein in der Praxis auch wirklich anwendbares Ergebnis zu finden und die Lösung so zu formulieren, daß der Sachverhalt einem mögliehst breiten Leserkreis verständlich ist. Auf verschiedenen Gebieten hat H E I N R I C H damit Pionierarbeit geleistet. Zum Beispiel dürfte die erste, im Jahre 1932 erschienene kleine Arbeit über die Frage „Ist Schrägüberschreiten der Fahrbahn gefährlich?" zu den ersten quantitativen Untersuchungen zur Verkehrssicherheit zählen. In weiteren Arbeiten wird mit großem Erfolg eine Verbindung zwischen mathematischen Gebieten ausgenutzt, deren Zusammenhang zunächst nicht ohne weiteres erkennbar war, nämlich der graphischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen und der Nomographie und ihrer theoretischen Grundlage, der Abbildungsgeometrie. In der heutigen Zeit, in der immer mehr audiovisuelle Lehrmittel mit großem Erfolg eingesetzt werden, erscheint bemerkenswert, daß H E I N E I C H bereits in den Jahren 1937/38 drei Filme für den mathematischen Hochschulunterricht schuf, in denen mit Hilfe eines einfachen Trickverfahrens die durch konforme Abbildung vermittelten Zusammenhänge für einige spezielle Funktionen veranschaulicht wurden. Bei der Beschäftigung mit numerischen Verfahren erkannte H E I N B I C H klar, daß solche Verfahren künftig nicht nur vom Mathematiker benutzt werden und daß eindeutige Rechenvorschriften bereitgestellt werden müssen. Mit den damals zur Verfügung stehenden Rechenhilfsmitteln war dieses Ziel am besten durch die Angabe eines Rechenschemas zu erreichen; derartige Schemata wurden von ihm zum Rechnen mit Polynomen und zur Lösung von Polynomgleichungen vierten Grades angegeben. Hier handelt es sich offenbar um eine Vorstufe der heute so aktuellen algorithmischen Betrachtungsweise. Im Zusammenhang mit der militärischen und politischen Entwicklung zum Ende des zweiten Weltkrieges ergaben sich auch für H E I N E I C H einschneidende Veränderungen. An der Technischen Hochschule Dresden fand er — zunächst vorübergehend — einen neuen Arbeitsplatz. Dann nahm er eine Stellung in der Industrie an und war anschließend von Oktober 1946 bis Juni 1954 als Spezialist in der Sowjetunion tätig. Über die zwischen 1941 und 1954 erzielten Ergebnisse liegen aus verständlichen Gründen nur wenig Veröffentlichungen vor. Nach seiner Rückkehr entschied sich H E I N E I C H für ein Wirken in der Deutschen Demokratischen Republik. Mit der Ernennung zum Professor für Sondergebiete dei' angewandten Mathematik an der Technischen Hochschule Dresden eröffneten sich ihm ausgezeichnete Arbeitsmöglichkeiten. Er fand in F E I E D E I C H A D O L F W I L L E E S einen verständnisvollen älteren Kollegen und darüber hinaus eine Anzahl jüngerer Mitarbeiter, mit denen ihn der gleiche Forschungsgegenstand und die gleiche Grundeinstellung zu Fragen der angewandten Mathematik verbanden. Bereits damals rechtfertigte er in seinen Vorlesungen den Ruf großen didaktischen Geschicks, der ihm vorausging. Er verstand es, auch schwierige Stoffgebiete so flüssig und klar gegliedert darzustellen, daß die Hörer gefesselt wurden und daß auch komplizierte Zusammenhänge verständlicher wurden. Sehr bald arbeitete H E I N E I C H tatkräftig an der Neugestaltung des Hochschul-

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wesens in der DDR mit. Die Ernennung zum Mitglied des wissenschaftlichen Beirats für Leichtbau beim Staatssekretariat für Hochschulwesen im Jahre 1955 war der Auftakt für eine ganze Reihe von ehrenvollen Berufungen in beratende Gremien des Hochschulwesens, der Volksbildung und des Verlagswesens. Das Ausmaß des fördernden Einflusses, den H E I N R I C H in diesem Zusammenhang ausübte, kann nicht hoch genug eingeschätzt werden. Das liegt daran, daß er, wie auch sonst, sich voll für seine Arbeit engagierte und es nicht mit der Teilnahme an Sitzungen bewenden ließ; die dort behandelten Probleme bewegten ihn auch weiterhin und veranlaßten ihn zu den verschiedensten Aktivitäten, wie Umfragen, Materialsammlungen u. a. Er ließ sich auch nicht entmutigen, wenn er nicht sofort Gehör fand, sondern vertrat weiterhin den von ihm als richtig erkannten Standpunkt. Durch diese klare Haltung erwarb er sich die Achtung und das Vertrauen von verantwortlichen Mitarbeitern des Staatsapparates. Die Auszeichnung mit dem Vaterländischen Verdienstorden im Jahre 1961 war ein Dank des Staates auch für diese Seite seiner Tätigkeit. Bereits im Jahre 1 9 5 6 wurde H E I N R I C H als Nachfolger von W I L L E R S mit der Leitung des Instituts für Angewandte Mathematik betraut. Vor ihm stand die Aufgabe, das Institut weiter auszubauen und es in die Lage zu versetzen, den steigenden Anforderungen in Forschung und Lehre gerecht zu werden. In der Forschung sowie in der Ausbildung der Mathematiker galt es vor allem, die bisher eingeschlagene Richtung weiterzuverfolgen und dabei die rasche Entwicklung der elektronischen Rechentechnik zu berücksichtigen. Um die hohe Verantwortung, die mit der Lösung dieser Aufgabe verbunden war, richtig einschätzen zu können, muß man wissen, daß in den ersten Jahren die ΤΗ Dresden die Entwicklung der numerischen Mathematik in der D D R weitgehend allein zu tragen hatte. Das Niveau der Mathematik-Ausbildung der Naturwissenschaftler, Ingenieure und Ökonomen galt es gleichfalls zu heben. Hierfür hat sich H E I N R I C H mit besonderer Energie eingesetzt, war es doch schon von jeher sein Anliegen, die Anwendbarkeit der Mathematik zu demonstrieren; in diesem Zusammenhang dürfte interessieren, daß er vor der Aufnahme seines Mathematik-Studiums in einer Maschinenfabrik arbeitete und auch ein Semester Maschinenbau studierte. Er setzte sich dafür ein, daß den Studenten die Mathematik in Form und Umfang derart dargeboten wird, daß sie für ihr weiteres Studium und die Arbeit in der Praxis von größtmöglichem Nutzen ist, andererseits forderte er von den Vertretern der anderen Fachrichtungen, daß diese in ihren Lehrveranstaltungen, so oft es nur geht, Gebrauch von der Mathematik machen. Die Frage, welchen Platz die Anwendungsgebiete in der MathematikAusbildung einnehmen sollen, spielte für ihn die zentrale Rolle, und er stellte als Ziel heraus, daß zwischen Mathematik und Praxis keine Stoßstelle auftreten darf, sondern ein nahtloser Übergang möglich sein sollte. Man wird auch seiner Überzeugung nach der Bedeutung der Mathematik nicht mehr gerecht, wenn man ihr die Rolle einer Hilfswissenschaft zuschreibt ; vielmehr werden in steigendem Maße effektive mathematische Methoden bereitgestellt, von denen entscheidende Impulse für die Mathematik als Produktivkraft ausgehen. Die wissenschaftliche Arbeit hat bei H E I N R I C H nie geruht. In einer Veröffentlichung, die noch während seines Aufenthaltes in der Sowjetunion erschien, werden die Untersuchungen zur graphischen Integration mit einem Genauigkeitsvergleich für Halbschrittverfahren wieder aufgenommen, und sehr bald nach seiner Rückkehr in

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die DDR folgten Arbeiten zu den oben erwähnten Komplexen Rechenschemata und Polynomgleichungen. Danach wandte er sich den Fragen der Lokalisierung und Berechnung von Matrizeneigenwerten zu. Dieses Problem war deshalb von besonderer Aktualität, weil die vorhandenen Kenntnisse nicht ausreichten, um einen zweckmäßigen Einsatz der modernen Rechentechnik zu gewährleisten. H E I N B I C H gibt dem Verfahren von V O E T T E B , einem Verfahren zur Berechnung des charakteristischen Polynoms einer Matrix, eine Form, die für das Verständnis der Wirkungsweise und für die automatische Rechnung besonders zweckmäßig ist, und weist auf die Beziehung zu dem bekannten Verfahren von H E S S E N B E R G hin. I n einer Reihe von Arbeiten geht es um die Eingrenzung der Eigenwerte. Die Betragsabschätzung durch eine Norm wird mit der Spektralverschiebung gekoppelt, so daß man eine unendliche Mannigfaltigkeit von Kreisen in der komplexen Ebene erhält. Es erhebt sich die Frage nach dem Kreis mit kleinstem Radius und nach dem Durchschnitt aller Kreise, in dem ja gleichfalls alle Eigenwerte liegen. Bei Verwendung der euklidischen Norm gelingt es H E I N B I C H , diese Frage vollständig zu beantworten; 10 Jahre später löst er das gleiche Problem unter Verwendung der Zeilensummennorm. Die weitere Untersuchung ging in zwei Richtungen. Zur Verschärfung der Abschätzung wird eine weitere einfach zu berechnende Kenngröße herangezogen ; man erhält dabei elliptisch geformte Einschließungsgebiete. Außerdem läßt sich durch Âhnlichkeitstransformationen die euklidische Norm verkleinern, ohne daß sich die Eigenwerte ändern ; für den Fall, daß zur Transformation eine reelle Diagonalmatrix benutzt wird, gibt H E I N B I C H ein Verfahren zur schrittweisen Minimierung der Norm an. Diese Arbeiten zeigen, welche Bedeutung die zur Abschätzung tatsächlich genutzte Information besitzt. Ähnliche Gedanken spielen bei der Diskussion über ein Konditionsmaß für Matrizen eine Rolle. Auch mit dem sogenannten inversen Eigenwertproblem, das sowohl in der Molekülspektroskopie wie im Flugzeugbau aufgetreten ist, hat sich H E I N R I C H beschäftigt. Er bereicherte die numerische Mathematik noch um viele weitere Anregungen, die er in zahlreichen Vorträgen weitergab oder die unmittelbar Eingang in seine Vorlesungen fanden. Seine wissenschaftlichen Leistungen wurden im Jahre 1964 durch die Berufung zum ordentlichen Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher (Leopoldina) zu Halle gewürdigt. Noch in einer zweiten Hinsicht trat H E I N B I C H die Nachfolge von W I L L E B S an, nämlich im Jahre 1959 als Herausgeber der „Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik" (ZAMM), also jener Zeitschrift, die sich seit ihrer Gründung im Jahre 1921 weltweite Anerkennung erworben hatte und seit 1947 vom Akademie-Verlag Berlin herausgegeben wird. Die Zeitschrift erlebte unter seiner Leitung einen weiteren Aufschwung; Auflagenhöhe und Umfang mußten mehrmals erhöht werden, und ein international hochgeachtetes Herausgebergremium wurde gewonnen. H E I N E I C H gewann rasch Autorität auch als Herausgeber und hatte sehr bald Kontakte mit hervorragenden Wissenschaftlern aus aller Welt. Viele von ihnen besuchten Dresden und bereicherten durch Fachvorträge das mathematische Leben an der Technischen Hochschule Dresden. Durch den Zeitschriftenaustausch der ZAMM wurde die Palette der sofort zugänglichen Fachzeitschriften entscheidend erweitert. Die „Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik", über deren Jahrestagungen die ZAMM regelmäßig in einem Sonderheft berichtete, wählte H E I N B I C H zunächst in ihren wissenschaftlichen Ausschuß und dann als zweiten Vorsitzenden in den Vorstands-

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rat. Zwar ergab sich hieraus für seine Tätigkeit manche Anregung, aber der in dieser Zeit auch auf dem Gebiet der Wissenschaftspolitik betriebene Alleinvertretungsanspruch der B R D gegenüber der DDR führte zum Abbruch dieser Verbindungen. Da sich der Mangel an einem Lehrbuch, das den aktuellen Stand der Grundlagen der numerischen Mathematik wiedergab, immer störender bemerkbar machte, faßte H E I N B I C H den Plan, ein auf drei Bände veranschlagtes Buch „Einführung in die praktische Analysis" zu schreiben. Hier sollten seine in Lehre und Forschung gesammelten Erfahrungen ihren Niederschlag finden. Das Übermaß an Arbeit, das auf ihm ruhte, hatte jedoch zur Folge, daß davon nur der erste Band erschien. Ein weiteres bedeutsames publizistisches Vorhaben konnte H E I N R I C H dadurch realisieren, daß er eine Reihe von älteren Mitarbeitern als Mitautoren gewann. In kurzer Folge wurden für eine Anzahl von Taschenbüchern für Ingenieure die Mathematik-Teile verfaßt. Er konnte dabei das Ergebnis seiner pädagogischen Erfahrungen einem großen Leserkreis vorstellen und vor allem dafür sorgen, daß den Ingenieuren die Elemente der numerischen Mathematik nahegebracht wurden. Es sei noch ergänzend erwähnt, daß H E I N R I C H viele Jahre für die Zeitschrift „Mathematik in der Schule" als Redaktionsmitglied tätig war und als einer der beiden Herausgeber der Reihe „Mathematik für Naturwissenschaft und Technik" des VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin wirkte und bis auf den heutigen Tag wirkt. Nicht lange konnte sich H E I N E I C H seinen unmittelbaren Aufgaben mit ungeteilten Kräften widmen. Die akademischen Ämter, die er zwischen 1958 und 1968 bekleidete, können hier nur summarisch aufgezählt werden : Fachrichtungsleiter für Mathematik, Abteilungsvorstand, Wahlsenator, Dekan und Prodekan. Er machte sich rasch mit seinem jeweils neuen Pflichtenkreis vertraut und führte die Amtsgeschäfte mit nie erlahmendem Elan. Der von ihm maßgeblich ausgearbeitete, speziell auf die Verhältnisse an der T H Dresden zugeschnittene Mathematik-Studienplan hat sich sehr gut bewährt; viele der hier gesammelten Erfahrungen sind nicht ohne Einfluß auf die späteren Ausbildungspläne geblieben. Es ist ferner wesentlich seiner Initiative zu danken, daß an der TU Dresden das Lehrerstudium in den mathematisch-naturwissenschaftlichen Disziplinen eingeführt wurde, speziell für den zum Abitur führenden Zweig der berufsbildenden Schulen. Bei den in diesem Zusammenhang geführten Diskussionen über das Verhältnis von Fachausbildung und methodischer Ausbildung von Lehrern ging es ihm vor allem um die Erkenntnis, daß eine Erörterung methodischer Fragen völlige Klarheit über die fachlichen Grundlagen voraussetzt. — H E I N R I C H war es auch, der darauf drängte, daß die neuentwickelten mathematischen Grundlagen der Operationsforschung, besonders der Optimierung, in die Ausbildung der Ingenieurökonomen aufgenommen wurden, und der es erreichte, daß der Lehrkörper dieser Fakultät an einer entsprechenden Weiterbildung teilnahm. Nur am Rande sei noch angemerkt, daß er auch an vielen weiteren Stellen wirksam wurde; er hielt z . B . allgemeinbildende Sonntagsvorträge, trug an anderen Stellen seine Vorstellungen über die mathematische Modellbildung vor und wurde von verschiedenen Organen der Volksbildung zu beratender Tätigkeit herangezogen. Der Beginn der 3. Hochschulreform brachte noch einmal, ein Jahr vor seinem 65. Geburtstag, eine einschneidende Veränderung in H E I N R I C H S Tätigkeit. Er folgte, getragen von einem eindeutigen Vertrauensbeweis seiner Kollegen, dem Ruf als erster Direktor der neugegründeten Sektion Mathematik. Auf der Grundlage eines

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tiefen persönlichen Verständnisses für die notwendigen gesellschaftlichen und politischen Veränderungen und für das Anliegen der 3. Hochschulreform setzte er sich mit ganzer Kraft für die Neuorganisation und inhaltliche Umgestaltung sowohl des Ausbildungs- und Erziehungsprozesses als auch des Forschungsprozesses ein. Damals entstand der Gedanke zur Bildung von Lehr- und Forschungskollektiven, und es wurde neben drei Wissenschaftsbereichen an der Sektion Mathematik ein Bereich Allgemeine Mathematik gegründet, der der Konzentration derjenigen Kräfte diente, die vorwiegend in der mathematischen Grundausbildung der Ingenieure, Naturwissenschaftler und Ökonomen eingesetzt sind. Unter der Leitung von H E I N R I C H wurden die wesentlichen Grundlagen für die zukünftige erfolgreiche Entwicklung der Sektion Mathematik gelegt. Besonders bemerkenswert ist der neue Leitungsstil, den H E I N B I C H ZU dieser Zeit entwickelt. Er erweist sich als unermüdlicher Kämpfer für den Fortschritt, für Überwindung verschiedener Hemmnisse und die Beseitigung mancher längst überholter Traditionen und Vorurteile und bewältigt so die nicht in jeder Phase problemlose Konsolidierung der Sektion. Seine Handlungsweise ist von einer überzeugenden positiven Haltung zur sozialistischen Gesellschaft und zum sozialistischen Staat, der Deutschen Demokratischen Republik, geprägt. H E I N R I C H ist immer bereit, seine reichen Erfahrungen weiter zu vermitteln, und er hat stets ein offenes Ohr für die Probleme und Sorgen seiner Mitarbeiter und Studenten. Bei ihm prägen sich im Zuge der Entwicklung bemerkenswerte Züge und Eigenschaften eines sozialistischen Leiters und Hochschullehrers aus. So wird H E I N R I C H in dieser Zeit erneut Vorbild für viele seiner Kollegen und vor allem für die jüngere Generation. Auch nach seiner Emeritierung zum 31. 8. 1971 ist er der Sektion verbunden geblieben, er widmet sich jetzt wieder hauptsächlich der Ausbildung im Fachstudium Numerische Mathematik. Am 31. 5. 1972 wurde ihm von der Technischen Hochschule Wien die Würde eines Doktors der technischen Wissenschaften ehrenhalber verliehen. Die hohe Wertschätzung, die H E I N R I C H von seinen Kollegen, seinen Mitarbeitern aus dem wissenschaftlichen wie dem nichtwissenschaftlichen Bereich und seinen Studenten stets entgegengebracht wird, beruht nicht allein auf den hier geschilderten umfassenden Verdiensten, sondern gleichermaßen auf der Ausstrahlungskraft, die im persönlichen Umgang mit ihm spürbar ist. Er ist vielseitig gebildet und informiert, so daß es kaum ein Gebiet gibt, über das man sich mit ihm nicht mit Gewinn unterhalten könnte. Viele verdanken ihm Hinweise, die für den Fortgang einer Arbeit manchmal aber auch für die ganze Arbeitsrichtung entscheidend gewesen sind. Interessiert verfolgte er die Entwicklung der ihm anvertrauten jungen Wissenschaftler und bemühte sich, jeden so zu fördern, daß er seinen Fähigkeiten und Interessen entsprechend bestmöglich arbeiten konnte. Durch seine Herausgebertätigkeit einem hohen wissenschaftlichen Niveau verpflichtet, achtet er in seiner Umgebung auf die gleichen anspruchsvollen Maßstäbe. In der Bewältigung eines umfangreichen Arbeitspensums ist er allen — auch den wesentlich Jüngeren — stets ein vielbewundertes Vorbild. Die Erklärung ist wohl darin zu suchen, daß H E I N R I C H von jeher ein begeisterter Hochschullehrer war, dem die Heranbildung eines akademischen Nachwuchses, der den Aufgaben des Berufes in jeder Hinsicht gewachsen ist, immer als erstes am Herzen liegt. Man spürt dies auch besonders, wenn er mit Studenten zu

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tun hat; der Altersunterschied bedeutet keine Schranke für eine gute gegenseitige Verständigung, und der größere Schwung und der stärkere Optimismus ist oft auf der Seite des Älteren. Daß dabei auch der Humor nicht zu kurz kommt, ist jedem vertraut, der ihn persönlich kennt. Mit seiner Emeritierung ist eine Persönlichkeit aus dem Amt geschieden, die das Wissenschaftsgebiet Mathematik an der TU Dresden in den vergangenen zwei Jahrzehnten entscheidend mitgeformt und sich für dessen Förderung mit dem ganzen Gewicht seiner Autorität eingesetzt hat. Es wird wohl allen, die ihn in seiner beschwingten, frischen Lebensart kennen, schwerfallen, den Begriff eines Jubilars mit dem Namen H E I N R I C H in Verbindung zu bringen. Doch der Eintritt ins achte Lebensjahrzehnt ist in jedem Fall ein wichtiger Lebensabschnitt, und Fachkollegen, Schüler und Mitarbeiter können ihm von ganzem Herzen nichts Besseres wünschen, als daß Gesundheit und Schaffenskraft ihm auch weiter erhalten bleiben und daß er im häuslischen Kreis und bei der wissenschaftlichen Arbeit viel Freude erleben möge.

G . OPITZ, W . W I N K L E E

Sektion Mathematik der Technischen Universität Dresden

Inhalt

R . A N S O B G E und H. K R E T H , Hamburg Kombination zweier Monotoniesätze von Redheffer und J . Schröder zur numerischen Konstruktion von Schrankenfunktionen

15

K.-H. B A C H M A N N , Berlin Einschließung der Nullstellen von Intervallpolynomen

23

L . B O U B E L Í K O V Á , I . M A R E K and J . N E U M A N , Praha A reduction method for a class of elliptic eigenvalue problems

33

G . B R A U N S S , Gießen Zur Herleitung von Summenformeln mittels einer Verallgemeinerung eines Satzes von Kleinecke

43

S. D I E T Z E , Dresden Bndliche Algorithmen zur Bestimmung der Schrittweite bei Abstiegsverfahren

47

W.

DTTCK,

Berlin

Näherangsweise Lösung von Eigenwertproblemen mittels des Kamkeschen Variationsprinzips

57

L. E L S N E R , Erlangen-Nürnberg, und G . M E R Z , Kassel Lineare Punktfunktionale und Hermite—Birkhoff-Interpolation

69

S. F I L I P P I , Gießen Ein verallgemeinertes Bairstow-Verfahren zur gleichzeitigen Ermittlung aller Nullstellen eines Polynoms

83

G.

H A M ME R L I N

und W.

R . RICHERT,

München

Zur Fehlerabschätzung von Näherungslösungen für spezielle nichtlineare Eigenwertaufgaben

95

und G . U N G E R , Dresden Ein Beitrag zur Behandlung der Entartung beim Simplexverfahren

105

H. K L E I N M I C H E L , Dresden Zur Konvergenz der Verfahren der zulässigen Richtungen

115

W . J E R K E , W . SCHIEBEL, J . TERNO

14

W.

Inhalt

KRABS,

Darmstadt

Zur Berechnung des Extremalwertes bei einem parabolischen Rand-Kontrollproblem . . . 129 F . K U H N E R T , Karl-Marx-Stadt Über die Realisierung von iterativen Verfahren zur Eigenwertbestimmung

141

E . LANCKAU, Karl-Marx-Stadt Über die Differentialgleichungen der Torsion von Rotationskörpern

147

und G . R I C H T E R , Dresden Zur asymptotischen Verteilung des Lösungsvektors bei zufälligen linearen algebraischen Gleichungssystemen 157 P . H . MÜLLER

W. C . R H E I N B O L D T and C H . Κ . M E S Z T E N Y I , College Park, Md., USA A combinatorial search process for Jf-functions

171

T . KIEDRICH, D r e s d e n

Über die Stabilität positiver Halbeigenwerte kompakter Abbildungen

179

Α . Α . CAMAPCKHÜ Η Η . Β . Φ Ρ Η 3 Η Η Ο Β , M o c K B a ΜΘΤΟΗ c y M M a p H o ñ a n n p o K C H M a i j H H

191

J . W . SCHMIDT, Dresden Bemerkungen zu einem Verfahren von H. J . Stetter

205

H . SCHWETLICK, Dresden Ein neues Prinzip zur Konstruktion implementierbarer, global konvergenter Einbettungsalgorithmen 215 J.

STOER,

Würzburg

Weitere Abschätzungen f ü r die nichttrivialen Eigenwerte stochastischer Matrizen A. H.

. . . .

229

THXOHOB,MocKBa

T e o p e M a e j p m c T B e i i H o c T H HJIH Ο^ΗΟΓΟ y p a B H e m i H c l a c T H t i M H ΠΡΟΗ3ΒΟΑΗΚΙΜΗ n p o 6 H o r o

nopH3,Ka

237

Darmstadt Monoton konvergente Iterationsverfahren zur Lösung nichtlinearer Differenzen-Randwertprobleme 245 W . TÖRNIG,

S. ULM, Tallinn Dekompositionsmethoden f ü r die Lösung von Optimierungsaufgaben

259

Beiträge zur Numerischen Mathematik 4 (1975), 1 5 - 2 2

K o m b i n a t i o n zweier M o n o t o n i e s ä t z e von Redheffer und J. Schröder zur numerischen K o n s t r u k t i o n v o n Schrankenfunktionen R A I N E R ANSORGE u n d H O R S T K E E T H

Herrn Prof. Dr. Dr. h. c.

zum

H . HEINRICH

70.

Geburtstag gewidmet

Es sei Β ein offenes zusammenhängendes beschränktes Gebiet des IR™ mit Rand Γ. Es seien u, υ zwei Funktionen aus C2(B). Bei dem Operator T[z\ :=

—Σ

ajk(x,

z¡) zjk +

a(x,

z, z¡)

sei a) a(x, υ, v¡) in ν monoton nicht fallend, d. h., für die gewählte Funktion υ gelte a(x, υ + k, Vi) — a{x, v, v¡) ^ 0

für alle

k ^ 0;

b) die Matrix (ajk{x,

Vi)) ^

0

sei positiv semidefinit ; c) zu jeder in sich kompakten Teilmenge S α Β existiere eine Funktion c(x) ζ C2(S) und eine Konstante C mit Σ

aikix'

νι)

c

Σ

α χ

v

c

Α>

¡)

fk >

ik

1,

für

χ ζ S·,

—c

d) es existiere eine in einem Intervall 0 < ρ Funktion g(p) mit

/

p0 erklärte positive und isotone

j

/

o

9(P)

= οο

(Osgoodsche Forderung an gip))

und den Eigenschaften

Dann gilt folgender Satz von 1)

REDHEFFER

[1] (vgl. auch [2], S. 306 1 )):

E i n dort die Voraussetzung a) entstellender Druckfehler ist hier korrigiert.

16

E aînée Assorge und Hoest Kreth

Besitzen die beiden Funktionen so folgt

T[u] < 0,

T[v] ^ 0

u ^ υ

Β.

in

u, ν überdies die in Β und

Eigenschaften

u^v

auf Γ,

Dieser Monotoniesatz kann numerisch in folgender Weise ausgenutzt werden: Gesucht sei eine Lösung der Randwertaufgabe T[z] = 0

in

B,

Λ[ζ] = 0

auf Γ ,

d. h. eine Lösung der Aufgabe M[¿[-.=

[T[z\,R[z\) = 0,

(1)

wobei mit Τ auch M im Sinne des obigen Satzes inversmonoton sei (was ζ. B . im Fall der ersten Randwertaufgabe erfüllt ist). Das Problem (1) besitze eine Lösung z. Die Voraussetzungen a) bis d) seien für alle « 6 U bzw. für alle ν € V erfüllt. Kann man sich dann Näherungen û 6 U und/oder ϋ ζ V für die gesuchte Lösimg z (mit û 5j z iS ϋ auf Γ) verschaffen, so gilt z^i),

sofern

zÇ. U ,

bzw. û ^ z,

sofern

zeV,

·

(2)

und daher die Einschließung û^z^'p

für

z 6 C7n V.

Solche Näherungen û, ί> kann man ζ. B . auf folgendem Wege (vgl. [3], S. 18) zu gewinnen suchen. Man wähle zwei Funktionenscharen Ua = [u{x,

oim)},

Vß = {v{x, ßl,...,

ß„)}

mit U. cz C2(B)

für alle

« = ( « i , . . . , « m ) € Am " C-n.k^' l"-1'1 + Cn.kWe"-1·'·

4-b0

=x1f(w1),

+·

c„,k¡-,Wi"+1-'· W»

+ •·· + hWj + ·- + 6 , +·

··

+

b^w, + b0 = ocsf(ws),

(57)

+· -

+ ···

+ K\bk>

Dabei ist cik = i(i — 1) ···(« + 1 — k) abkürzend benutzt. Die Matrix dieses Gleichungssystems hat bei entsprechender Anordnung die Form

wobei F eine n-reihige verallgemeinerte Vandermondesche Matrix ist, W eine Matrix aus s Zeilen und η Spalten, in der in der j'-ten Zeile k¡ Nullen vorkommen. F0 ist eine Matrix mit η Zeilen und s Spalten, in der in der j-ten Spalte die Werte ~fir'(wj) für r = 0, . . . , kj — 1 vorkommen, sonst nur Nullen. F1 ist eine Diagonalmatrix mit s Zeilen und s Spalten, die in der Diagonale die —f^'^Wj) enthält. Sind die w,¡ jeweils fc,-fache Nullstellen von f(x), so besteht F0 nur aus Nullen, dann gilt det (Ζ) = det (F) · det ( ί \ ) ,

wenn

F0 = 0.

(59)

Da weder det (F) als verallgemeinerte Vandermondesche Determinante noch det (Fi) als Produkt der nicht verschwindenden —fO")(w¡) Null sind, ist auch det (Z) in diesem Fall von Null verschieden. Aus Stetigkeitsgründen gilt das auch in einem gewissen Bereich für die w,·, der diesen ausgezeichneten Punkt enthält. Daher ist dort (57) eindeutig lösbar, es gibt dann genau ein p(x), das (50) erfüllt, und somit hat die Transformation Τ bis auf Umordnungen der Reihenfolge genau den gewünschten Nullstellenvektor als Fixpunkt.

32

K A B L - H E I N Z BACHMANN

Literatur [1]

L., Funktionalanalysis und numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin— Göttingen-Heidelberg 1964, S. 353. [2] F U J I W A B A , M., Über die obere Schranke des absoluten Betrags der Wurzeln einer algebraischen Gleichung, Tohôku math. J . 10 (1916), 167—170. [ 3 ] SCHMIDT, J . W . , und H . D R E S S E L , Fehlerabschätzungen bei Polynomgleichungen mit dem Fixpunktsatz von Brouwer, Numer. Math. 10 (1967), 42—50. CoLLATZ,

Manuskripteingang: 29. 5. 1974 VERFASSER: Dr. K A B L - H E I N Z BACHMANN, Zentralinstitut für Mathematik u n d Mechanik der Akademie der Wissenschaften der D D R

Beiträge zur Numerischen Mathematik 4 (1975), 3 3 - 4 1

A reduction method for a class of elliptic eigenvalue problems LUDMXLA BOUBELÍKOVÁ, IVO M A R E K

and J i ñ í

NEUMAN

Dedicated to Prof. Dr. Dr. h. c. H. Heinrich on his seventieth birthday

1. Since the discovery of the finite element method (F. E. M.) (see [22, 23] and the references given there) this method has been broadened and brought to a real perfectness so that it has become in some sense universal (see [2, 3, 9]). A detailed literature concerning the F. E. M. is devoted mostly to elliptic boundary value problems determined, as a rule, by a single differential equation (see [1, 4, 5, 6, 7, 10, 24, 25] etc.). In this article we are concerned with some problems which arize when the original boundary value problem considered is determined by a large system of equations or by a system in which the number of independent variables is larger than two. We use a variational approach so typical for the F. E . M. to transfer the initial problem to another one containing a smaller number of either dependent or independent variables (reduction). The explanation is illustrated on an abstract problem which can be considered as a model for the so called basic problem of reactor physics (see [15], p. 328).

2. Let Hj and Kj, j = 1, 2, be real Hilbert spaces with the inner products (U, V)Hj and (U, V)Kj and with the corresponding norms \\U\]H¡ and ||?7||χ(. It is assumed throughout the paper that the immersion Hj cz Kj is compact, i. e. the bounded sets in Hj have compact closures in Kj. The following problem is studied. To find the principal eigenvalue λ0 and the corresponding eigenvector U0 € H¡ of the equation LU

=

λΜϋ,

(2.1)

i. e. to find λ0 which has the property that μ0|


0 and y2 > 0 and γ3 > 0 independent of U € Hi and V 6 H2 such that \B{U,V)\ where 9 ω{Ε1,Η1)

= ίχά{\\υΛ-Ψ\\1Ιι·,

||iyffi>

(3.3)

WzE{\.

(3.4)

(Ρ 5) There exist λ0 and U0 6 Et such that the relation B(Ü,

(3.5)

Ύ) = λC(Ü, V)

holds with λ = 10 and V = 00 for all V € E,¿. Furthermore the relation l*ol < W

(3.6)

holds for every eigenvalue λ of (3.5), λ =(= λ0 and moreover, dim

= 1

(3.7)

where f t 0 is the eigenspace of (3.5) corresponding to Λ0. On the basis of the assumptions (Ρ 1)—(P 5) the following assertion can be concluded (see [3], p. 323) : There exists a constant the estimates

|A0 - I0| ^ are

ye which does not depend on ω(Ε1, Hx) and being such that

HJ,

\\U0 - &„lk ^ γΜ^,

Η,)

(3.8

valid.

One usually assumes that the subspaces E1 and E2 are finite dimensional and moreover that Fx and F2 are one-dimensional. In this way one obtains familiar approximation schemes (see [3], and also the references shown above). Our approach differs essentially from that mentioned ; we do not restrict ourselves to finite dimensional approximations and, in particular, we do not assume that F1 and F2 are the spaces of scalars. We are then able to exploit the variational approach either to reduce the number of the equations in large systems or to reduce the dimension of the problem considered. Some well known approximation methods are then particular cases of our methods; in particular the coarse mesh method [11] and some variants of reactor physics computation schemes [12]. Some of the results described in this paper were presented in [20]. For deriving our approximation scheme the following assumption is essentially used ; it is obviously satisfied if F ι and F2 are the spaces of scalars. 3*

36

Lxtdmila BotjbelíkovX, Ivo Mabek and Ji6f Neuman

(Ρ 6) Let U = z (χ) u, z 6 Fu that

u € Gl and V

= w 0 ν, we F 2 , ν ζ G2. Then we have

B(z (χ) u, w (χ) v) = ß(z, w) b(u, v), Ì

(3.9)

C(z (χ) w, w (χ) ν) = γ(ζ, w) c(u, ν), I

where β, γ and b, c are bilinear forms on Fl χ F¡ and Gx χ G2 respectively. Hence, the approximation z0 (x) w0 = U0 € El to the required solution U0 ζ H¡ satisfies ß(z, w) b(u, ν) = λγ(ζ, w) c(u, v) (3.10) with ζ = z0, u = ú0 and λ = λ0 for every pair {w, v), w € F2 and ν € G2. Depending on whether further information concerning some characteristics of the elements U 6 Ex and V € E2 is available one can obtain relations from which the required approximation can be determined. E. g. the Bubnow-Galerkin scheme is obtained if we choose F1 = F2= R1 — the euclidean real axis and SN= G1 — G2, where Sy is a suitable finite dimensional subspace. We choose a basis u l , . . . , u N in SN and Ν

w — 1. It follows that U0 = Σ

2

k= 1

A > hence (3.10) has the form

Ν

Ν

Σ zkß(w, w) b{uk, Uj) = λ Σ zky(w, w) c(uk, «,·), 4=1 k=1

j = 1 , . . . , Ν,

(3.11)

and this is the famous "Galerkin system" for determining the coefficients in the expansion of N

Σ Zk®Uk= k=1

Λ'

Σ

i=1

kUk-

z

The procedure just mentioned essentially uses the finite dimensionality of the spaces SN considered. For purposes which we are following as well — e. g. the reducing the dimension of the original problem — it is suitable not to restrict ourselves to finite dimensional approximate subspaces. Then those procedures in which the elements u and ν are chosen and the elements ζ 6 F1 and the corresponding eigenvalue λ are determined so that they fulfil as possible most precisely the relation (3.10) are more advantageous in comparison with the traditional approach. To make our scheme complete we then choose ζ and w fixed and determine the corresponding eigenelements in G1. In this way we obtain a nonlinear system for determining the approximate solution. The appearence of a nonlinearity is a price, which we have to pay for the result that the transferred problem is in some sense "smaller" than the initial one. In the next paragraph we describe a simple iterative method for solving the resulting nonlinear system and prove its convergence. Let us choose û e Gx and ν € G,¿ fixed. Then a ζ e Ft is to be found such that b(û, ϋ) β(ζ, w) = Xc{û, ί>) γ(ζ, w)

(3.12)

holds for all w 6 F2. Similarly, for fixed ϊ ζ Fl and w ζ F2 a u 6 Gj is to be found such that ß(t, w) b(u, v) = ky(è, w) c(u, ν) (3.13)

A reduction method for a class of elliptic eigenvalue problems

37

holds for all » 6 G2. B y solving (3.12) and (3.13) we obtain two approximations to the eigenelements λ0 and U0. It is clear that both these approximations will be the closer to the exact solution the smaller is the distance between the chosen elements and the corresponding elements constructed.

4. Let if j cz F j , cz Gj be normal generating and closed cones in F ¿(Κ,) and G j ( K ¡ ) , j = 1 , 2 , respectively [14]. Let if - and .T j be the corresponding dual cones [14]. (ν, 6 ,Tj) is quasiinterior (with respect to K¿), if for We say that an element z;· € each linear form 0 Φ χ/ € Sfj (0 Φ y/ ζ .i/"/) we have that the value ( z v x/) > 0 «« 1.

46

GÜNTER BRAUNSS

Daraus erhält man die Summenformeln = nto\n)[2\ f (2n\ [ - ( i - - 2) )]

— 1-z

- J - = f s -

1

„=o

M

[ - Ì 1 - - Ì

\ η I [2z \

2z/

Μ < ι.

Izl >

1.

Die vorstehenden Beispiele mögen genügen. Es sei noch bemerkt, daß sich (3) wie folgt verallgemeinern läßt: Sind die D l t . . . , D r lineare Differentialopera to ren erster Ordnung mit C^-Koeffizienten, ist «/,· = (Djg) {χ) (j = 1, . . . , r) und

Μ =Σ Σ fay) 3=1 »=0

y = (Λ. · · · » »τ),

so gilt oo

Σ

B,N=O

—r~T" 9ÍXY rn\n\

Literatur

[1]

KLEINECKE,

Β. C., On operator commutators, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 535—536.

Manuskripteingang: 31. 5. 1974 VERFASSER: Prof. Dr. G Ü N T E R

BRAUNSS,

Mathematisches Institut der Justus-Liebig-Universität Gießen

Beiträge zur Numerischen Mathematik

4 (1975), 47-56

Endliche A l g o r i t h m e n zur B e s t i m m u n g der Schrittweite bei A b s t i e g s v e r f a h r e n SIEGFRIED DIETZE

Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. H. Heinrich zum 70. Geburtstag gewidmet

In der Arbeit wird ein von CÉA für den Fall eines konvexen Funktionais angegebener Schrittweitenalgorithmus (A 1), der mit Funktionswerten arbeitet, zu einem Algorithmus (A 2) vereinfacht. Anschließend wird eine verallgemeinerte Variante (A 3) von (A 2) konstruiert. Der Nachweis der konvergenzerzeugenden Eigenschaften von (A 3) ist einfacher als der entsprechende Nachweis für den Spezialfall (A 2) von (A 3) nach CÉA. Nebenbei ergibt sich ein Algorithmus (A 4), welcher mit Ableitungen arbeitet. Am Schluß wird auf die optimale Wahl der Anfangsschrittweite in den Algorithmen (A 3) und (A 4) eingegangen. Es sei Β ein Banachraum und J ein auf Β erklärtes Funktional, für welches die Gateaux-Ableitung J' existiert ( = Voraussetzung V 0). Wir betrachten die Extremwertaufgabe min«/(w). ues

(1)

Verfahren zur Lösung dieser Aufgabe findet man ζ. B. in [1] und [2]. In [1] werden unter anderem Abstiegsverfahren «o Startpunkt,

um+l = um — omwm

(m = 0, 1, 2 , . . . )

(2)

konstruiert, wobei für die („Abstiegs"-)Richtung wm und die Schrittweite grn folgende Forderungen erfüllt sind: I K > I I

=

1>

J'(um)wm>

0 ;

lim J'(um) wm = 0 => hm J'(um) vm = 0 Qm > 0,

)

für alle

(3)

vm 6 B, [|üJ| = 1, J

J(um) — J(um+1) > 0;

lim (J(um) — J(« m + 1 )) = 0 => lim J'(um) wm = 0 . Wir erwähnen, daß hier zwischen [1] und [2] gewisse Parallelen bestehen. Wir beziehen uns auf [1], zum Verständnis ist die Kenntnis von [1] jedoch nicht erforderlich. In Anlehnung an [1] sagen wir, daß die Wahl von wm bzw. pm konvergenzerzeugend ist, falls (3) bzw. (4) gilt. Sind wm und om konvergenzerzeugend gewählt, so kann unter geeigneten Voraussetzungen an J „sofort" eine Aussage über die Konvergenz von (2) gemacht werden.

48

SIEGFRIED DIETZE

Wir wollen in der Arbeit annehmen, daß wm konvergenzerzeugend gewählt sei, und uns mit einem wichtigen der in [1] angegebenen Algorithmen zur konvergenzerzeugenden Wahl von pm, einem Algorithmus bei konvexem Funktional J, der nur mit Funktionswerten arbeitet, befassen. Dieser Algorithmus wird im folgenden mit (A 1) bezeichnet. Wir werden diesen Algorithmus vereinfachen, der vereinfachte Algorithmus wird mit (A 2) bezeichnet, und anschließend wird eine verallgemeinerte Variante (A 3) von ( A 2) als Realisierung der Unterrelaxationsvariante des Algorithmus 1 aus [1], einer klassischen Strategie zur Wahl der Schrittweite, konstruiert. Der damit erbrachte Nachweis zur konvergenzerzeugenden Wahl von (A 3) ist einfacher als die Begründung zur konvergenzerzeugenden Wahl des Spezialfalles (A 2) von (A 3) nach [1]. Darüber hinaus ergibt sich nebenbei ein Algorithmus (A 4), welcher mit Ableitungen arbeitet. Wir folgen nun zunächst dem in [1] eingeschlagenen Weg zur Konstruktion von (A 1). Das Funktional J besitze im weiteren wie bisher die Gateaux-Ableitung (Voraussetzung V 0) und erfülle die folgenden Voraussetzungen V 1 bis V 3 (welche dieser Voraussetzungen im einzelnen benötigt werden, wird jeweils angegeben) : (V 1)

J' ist gleichmäßig stetig. Es gibt also zu jedem ε > 0 ein ό(ε) > 0 mit

(V2)

\\u — «II Sa \\J'{u) — J'(v)\\ Sa ®· lim J(v) = + 0 0 .

IMH-+°° (V 3) J ist konvex. I m folgenden verwenden wir die Bezeichnung Wm{e) = J{um ~ QWm) (ρζ-β 1 ).

(5)

F o l g e r u n g 6. Die Funktion ipm ist differenzierbar (falls V 0 erfüllt ist, und zwar gilt ψη'(ρ) — —J'{um — Qwm) wm), Wm' i s t stetig (falls zusätzlich V 1 erfüllt ist). Ferner gilt lim ψΜ(ρ) = + o o (falls V 2 erfüllt ist), und y>m ist konvex (wennV3 gilt). ρ-* + οο Hieraus ergibt sich a) unter den Voraussetzungen V 0, V 1 : Es gibt ein òm > 0 mit ψΜ'{ρ) < 0 für alle Q € [0, óm], bzw. ψ,η ist in [0, òm] streng monoton fallend. b) unter den Voraussetzungen V 0 bis V 2 : Die Niveaumenge {ο Ϊ ϊ òm : y>m(o) = Vm(ßm)} ist kompakt, so daß die Einschränkung von ipm auf [δ,„, +oo) wenigstens eine absolute Minimumstelle besitzt. c) unter den Voraussetzungen V 0 bis V 3 : Die Menge der absoluten Minimumstellen von yjm ist ein Intervall ρ™3Χ] mit o™in > 0. Ferner ist < o für Wm'iQ) • = 0

>0

für

eSin^e^eS«.

für

eSax < Q

und damit [0,ρ» 1η ] Vm

in

0£ρ c C J konstant = min ψη(ρ), [(?max>

streng monoton wachsend.

Endliche Algorithmen zur Bestimmung der Schrittweite bei Abstiegsverfahren

49

Zur Konstruktion von Algorithmen zur konvergenzerzeugenden Wahl der Schrittweite werden in [1] Funktionen y|(0, -)-oo) -> (0, +oo) verwendet, welche die Eigenschaft tm ~> 0 y(im)

0

(für m

oo)

(7)

besitzen. (Der wesentliche Teil von (7) ist die Richtung nach links. In [2] wird mit Funktionen γ gearbeitet, für die in (7) nur der Pfeil nach links zu stehen braucht.) Solche Funktionen wollen wir im Zusammenhang mit Schrittweitenalgorithmen konvergenzerzeugend nennen. In erster Linie wird davon Gebrauch gemacht, daß die Funktion ó in V 1 ohne Beschränkung der Allgemeinheit konvergenzerzeugend gewählt werden kann. (Man betrachte etwa die Menge Μ{ε) = {δ è 0 : II« - v|| ^ ||J'(u) - J'{v)\\ ^ ε} für ε > 0. Mit δ(ε) = sup Μ {ε), wobei 0 < sup Μ {ε) < + οο ist, gilt Μ {ε) = [0, á(e)]. Aus m'(Qm) =

erfüllt ist. Ferner

0,

da dann die

zweite Bedingung

ist dann wiederum wegen Folgerung

weitenwahl Qm ζ [dô„,, ρΜ]

von (10)

6c für

automatisch

6 c und Satz 8 b jede

Schritt-

konvergenzerzeugend.

B e w e i s . Der Beweis aus [1] für den Fall c = 1 läßt sich unmittelbar übertragen. Zunächst erwähnen wir, daß es ein om mit den in der Aussage genannten Eigenschaften gibt. W i r betrachten hierzu die Menge M = [§ m > 0 : ψ„,'{ρ)η) = 0}. W e g e n Folgerung 6b ist M nicht leer. Offenbar erfüllt om — inf M die Bedingungen (10). W i r kommen nun zum eigentlichen Beweis. Es gilt gm > Ô (—cyi,„'(0))

für alle c € (0, 1)

(11)

(Ó sei das Delta aus V I ) . Denn im anderen Fall gilt lv»'(0)| =

Ivm'té») -

Vm'(0)| á

-ey»'(0)

und damit c S; 1, Widerspruch. N u n folgt mit Satz 8c — etwa mit y(t) = dÒ(ct) —, daß die Schrittweitenwahl ρΜ = dò (— cy>m'(0)) konvergenzerzeugend ist (für jedes c 6 (0, 1)). Dann ist aber wegen (11), (10)2 und Satz 8b auch die Schrittweitenwahl ρ„, = dqm konvergenzerzeugend, q.e.d. Für den Fall konvexer Funktionale J werden in [1] Algorithmen konstruiert, die nur mit Funktionswerten arbeiten. Diese Algorithmen beruhen auf Aussage 12, die mit Satz 8 bewiesen wird (die Teile a), b ) des Hilfssatzes werden getrennt mit Satz 8 bewiesen, c) folgt aus b)). I m weiteren wird stets vorausgesetzt, daß die Voraussetzungen V 0 bis V 3 erfüllt sind. A u s s a g e 12 [1]. a) Es sei hm > 0, Vm(Ki) á Vm(2Ani) ^

Vm(0) ^ Wm{hm), Dann ist die Schrittweitenwahl

ψη(0).

om = hm konvergenzerzeugend.

b) Es sei hm > 0 und km eine natürliche Zahl 2s 2. Ferner gelte y>m(0) > fm{hm) Vm(kmhm) ί

> ym{2hm)

ψτη {{Κ

Dann ist die Schrittweitenwahl

+

> ··· >

1pm{kmhm),

1) Κ) •

om = kmhm bzw. om =

(km — 1 )hm

konvergenzerzeugend.

Endliche Algorithmen zur Bestimmung der Schrittweite bei Abstiegsverfahren

51

c) Es sei hm > 0 und fm(0) à WmiK!2)

:>

y>m(hm),

Wm(hm) < ipm(2hm).

Dann ist die Schrittweitenwahl om = hm konvergenzerzeugend. Wir geben jetzt den wichtigeren der beiden in [1] angeführten Algorithmen an, die auf Aussage 12 beruhen (geometrische Vergrößerung der vorgegebenen Anfangsschrittweite nach Aussage 12c im Unterschied zur additiven Vergrößerung nach 12b). Der Index m wird bei der Beschreibung der Algorithmen weggelassen. A l g o r i t h m u s (A 1) [1].

(Aussage 12c·)

(Aussage 12a)

(Aussage 12a bzw. c)

Der Algorithmus (A 2) beruht gleichfalls auf Aussage 12. Es wird jedoch nur der Fall c) verwendet. Das hat zur Folge, daß (A 2) gegenüber (A 1) von der Struktur her einfacher wird. Im Sonderfall wird der Test „%p(h) < ψ(0)ϊ" nicht mehr benötigt, denn offenbar ist wegen Folgerung 6 c in der Aussage 12 c die Ungleichung fm (0) = Wmfymfi) erfüllt, falls dies für die restlichen Ungleichungen zutrifft. Der Nachteil, daß in (A 2) unter Umständen h häufiger halbiert werden muß als in ( A l ) , wird dadurch ausgeglichen, daß dann in (A 2) ein größerer Abstieg erreicht wird. Die Endlichkeit des Algorithmus (A 2) wie auch von (A 1) und den folgenden Algorithmen (A 3) und (A 4) ist wegen Folgerung 6 c offensichtlich. 4*

52

SIEGFRIED D I E T Z E

A l g o r i t h m u s (A 2).

Es liegt nun die Frage nahe, ob der Fall c) von Aussage 12 unabhängig von den anderen Teilen bewiesen werden kann, da diese nicht mehr benötigt werden. Wir betrachten dazu nicht nur die in (A 2) gewählte Unterteilung ..., hj 4, hJ2,

hm, 2hm, 4 h m , . . .

der ρ-Achse, sondern den allgemeineren Fall ..., ß*hm, ßhm, hm, hjß,

hjß2,

dabei sei β € (0, 1) eine vom Iterationsindex m unabhängige Konstante. A u s s a g e 13. Es sei β ζ (0, 1) eine vom Iterationsindex und hm > 0. Die natürliche Zahl jm sei so gewählt, daß ym(ßim+1K)

> v>m(ß}mK),

ist. Dann ist die Schrittweitenwahl

wm(ßjmK) ρηι = ß' h

m m

m unabhängige

Á Ψ,Λβ^Κ)

Konstante (14)

konvergenzerzeugend.

B e w e i s . (Zunächst erwähnen wir, daß wegen Folgerung 6c genau ein solcher Index jm existiert.) Wegen (14) besitzt ipm mindestens eine Minimumstelle !}m mii der Eigenschaft Hieraus folgt so daß die Schrittweitenwahl nm = ßim+1hm nach Aussage 9 konvergenzerzeugend ist. Wegen der ersten Ungleichung von (14) und Satz 8 b ist damit auch die Schrittweitenwahl ρ„, = ßimhm konvergenzerzeugend, q.e.d. Offenbar liefert der Algorithmus (A 2) gerade die in der letzten Aussage angegebene Schrittweite, wenn dort β = 1/2 gesetzt wird. Ersetzt man in (A 2) die Zahlen 2 durch ljß, so erhält man den verallgemeinerten Algorithmus (A 3), welcher die Schrittweitenwahl nach Aussage 13 für beliebiges β € (0, 1) realisiert.

53

Endliche Algorithmen zur Bestimmung der Schrittweite bei Abstiegsverfahren

Die Aussage 13 kann natürlich auf die Ableitung ipm' übertragen werden. A u s s a g e 15. Es sei β € (0, 1) eine vom Iterationsindex und hm > 0. Die natürliche Zahl jm sei so gewählt, daß Vm'(P*hm) < 0,

m unabhängige

Konstante

^ 0

Vm'^K)

ist. Dann ist die Schrittweitenwahl ρΜ =

ß'mh

m

(16) konvergenzerzeugend.

B e w e i s . Wegen (16) besitzt ψ„, mindestens eine Minimumstelle om mit woraus ßüm á ßimhm < Qm folgt. Mit Aussage 9 erhält man die Behauptung, q.e.d. Der folgende Algorithmus (A 4) liefert die in der letzten Aussage angegebene Schrittweite. A l g o r i t h m u s (A4).

Um einen gewissen Eindruck von der Verteilung der Suchpunkte ß'hm und der Arbeitsweise der Algorithmen (A 3) und (A 4) zu bekommen, betrachten wir das folgende Beispiel: β = 0.75, hm = 0.3 j

|

8

|

7

|

6

|

5

|

4

|

3

|

2

|

1

|

0

ß'hm I 0.030 I 0.040 I 0.053 | 0.071 | 0.095 | 0.127 | 0.169 | 0.225 | 0.3 j

I -1

ß'hm I 0.4

J -2

I -3

I -4

J -5

I -6

J -7

J

-8

I 0.533 I 0.711 | 0.948 | 1.264 | 1.686 | 2.247 | 2.997

Hat etwa die kleinste Minimumstelle o™ln von ipm den Wert 0.1, so arbeitet (A 3) mit 6 bzw. 7 Suchpunkten und (A 4) mit 5 Suchpunkten — (A 3) liefert die Schrittweite 0.127 bzw. 0.095, (A 4) liefert 0.095 als Schrittweite.

54

SIEGFRIED DIETZE

Die Anzahl der von den Algorithmen abzuarbeitenden Suchpunkte kann unter Umständen durch die folgende Wahl der Anfangsschrittweite hm verringert werden. Wir nehmen an (etwa auf Grund der bereits vorliegenden Schrittweiten ρ ΐ5 . . . , o m -\ oder bereits gelöster Aufgaben vom gleichen Typ), daß die kleinste Minimumstelle É?min Ψ m zwischen a und b liegt (0 < α < ρ™ίη < b). Zunächst wird der Algorithmus (A 3) untersucht. Die Anfangsschrittweite hm > 0 sei fest vorgegeben. Durch Betrachtung der (unter der Voraussetzung, daß ρ™1η zwischen a und b liegt!) mögliehen Endzustände von (A3) kann man zeigen, daß für die Höchstzahl I{hm) der erforderlichen Suchpunkte v o n

I(hm) = m a x {i{hm) + 1, j(hm) + 1}

gilt ; dabei ist i(hm) = m i n {» : p-*hm

g a,

i = 0, 1, 2, ...}

= m i n j ¿ : i ^ - l g ^ j l g ß + 2,

j{hm)

=

min | i :

^

b,

j =

0,1,2,..

= m i n j ? - : ^ l g ^ / l g j S + 1,

i = 0, 1, 2, . . . j ,

j

? = 0, l , 2 , . . j .

Der qualitative Verlauf der Funktionen

0)

ist aus Abb. 1 ersichtlich. Offensichtlich wird I{h,:l) für die Abszisse K = hm =

ißab

des Schnittpunkts von φ und ψ minimal (die Menge der Minimumstellen von I ist das Intervall {hm : 0. Es gilt I(hm) = max {i{hm) + 1, ](hm) + 1}; dabei ist i(hm)

= min {i : ß'hm ^ a,

¿=

0,1,2,...}

= min|í:^ - lg^lg/3, i(hm)

= min {j:ß~'hm^b,

j =

= min I j : j ^ Ig^-jlgß,

i = 0 , 1, 2, . . . J ,

0,1,2,...} j = 0, 1, 2, . . . J .

Den qualitativen Verlauf der Funktionen Ψ(Κ) = - l g

y(A») = l

g

^jl

g

ß

(hm > 0)

erhält man, wenn man in der Abb. 1 die Funktionen φ, ψ so nach unten verschiebt, daß sie die Ära-Achse an der Stelle a bzw. b schneiden. Offenbar wird I{hm) für die Abszisse K = K =

l/ab

des Schnittpunktes von ψ und ψ minimal (die Menge der Minimumstellen von I ist das Intervall {hm : {hm) fg i(hm)}). Interessanterweise ist hm unabhängig vom Parameter ß. Für die hm entsprechende Höchstzahl der Suchpunkte gilt I(hm)

= 1 + *(Ä«) = 1 + min j i : i ^ l g - ^ ( 2 lg/?),

i = 0, 1, 2, . . . J .

Die erhaltenen Ergebnisse fassen wir in der folgenden Aussage zusammen : A u s s a g e 17. Die kleinste Minimumstelle o™in von tpm liege zwischen a und b (0 < α < ρ™1η < b). Es sei I{hm) die vom Algorithmus (A 3) zur Bestimmung der Schrittweite verwendete Höchstzahl von Suchpunkten, falls die Anfangsschrittweite hm > 0 verwendet wird. Entsprechend bezeichne I(hm) die vom Algorithmus (A 4) verwendete Höchstzahl von Suchpunkten. Dann gilt I(hm)^l(fßäb),

l{hm)>ï{iâb)

für alle Jim > 0. (Bei (A 4) ist die optimale Parameter ß\)

Anfangsschrittweite

1lab unabhängig

vom

56

SIEGFRIED DIETZE

Noch ein Wort zur Wahl des Parameters ß. Die Algorithmen (A 3) und (A 4) sind natürlich nur für nicht zu große β ( < 1) sinnvoll. Für große β ist die Anzahl der zur Bestimmung der Schrittweite abzuarbeitenden Suchpunkte, also der Aufwand des Verfahrens (2) pro Iterationsschritt und damit der Gesamtaufwand zum Erreichen einer bestimmten Genauigkeit groß. Der Parameter β sollte auch nicht zu klein ( > 0) gewählt werden, da f ü r kleine β in (2) die Anzahl der zum Erreichen einer bestimmten Genauigkeit erforderlichen Iterationsschritte groß ist. Bei vom Verfasser gerechneten Beispielen im Rn (wm — J'(um); einige Beispiele findet man in [4]) haben sich β-Werte zwischen 0.5 und 0.75 als günstig herausgestellt. Genauere Aussagen zur Wahl des Parameters β können nicht gemacht werden.

Literatur ΟπΤΗΜΗ3ΑΐρϊΗ, TeopHH H ajiropHTMBi, M a p , MocKBa 1 9 7 3 (Übersetzung aus dem Französischen). [2] ORTEGA, J. M., and W . C. RHEIÏTBOLDT, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, Inc., New York—London 1970. [ 3 ] DIETZE, S., und H . SCHWETLICK, Über die Schrittweitenwahl bei Abstiegsverfahren zur Minimierung konvexer Punktionen, ZAMM 51 (1971), 451—454. [4] DIETZE, S., Zur Lösung zweier optimaler Steuerprobleme mit dem Maximumprinzip, Dissertation, TU Dresden 1971. [1] CEA,ÎK.,

Manuskripteingang: 18. 6. 1974 VERFASSER: Dr. SIEGFRIED DIETZE, Sektion Mathematik der Technischen Universität Dresden

Beiträge zur Numerischen Mathematik 4 (1975), 5 7 - 6 8

Näherungsweise Lösung von Eigenwertproblemen mittels des Kamkeschen Variationsprinzips W E R N E R DTJCK

Herrn Prof. Dr. Dr. h. c. H. Heinrich zum 70. Geburtstag gewidmet

Die näherungsweise Berechnung von Eigenwerten und Eigenfunktionen linearer, selbstadjungierter, definiter, gewöhnlicher Differentialgleichungsaufgaben nach dem Ritz-Galerkinschen Verfahren beruht auf Variationsprinzipien, die in gewissen Funktionenräumen unter verschiedenen Voraussetzungen betrachtet werden. So ist das vielfach verwendete Rayleighsche Prinzip (vgl. etwa [1, 2]) mit dem Raum der Vergleichsfunktionen verknüpft. Von K A M K E [ 3 ] wurde ein Minimalprinzip bewiesen, das wegen der größeren Freiheit in der Wahl der Ansatzfunktionen gerade für praktische Anwendungen von Interesse ist. Die Verwendung funktionalanalytischer Begriffsbildungen hat zur Angabe weiterer allgemeiner Variationsprinzipien (vgl. etwa [4] bis [6]) geführt. Diese Untersuchungen beziehen die Definitheitsvoraussetzungen auf gewisse skalare Produktbildungen im zugrunde gelegten Funktionenraum. Dagegen hat K A M K E sein Variationsprinzip unter einer Definitheitsvoraussetzung bewiesen, die im folgenden K-Definitheit genannt wird und der aus heutiger Sicht ein funktionalanalytischer Inhalt nicht beigemessen werden kann. Anliegen dieses Beitrages (vgl. auch [7]) ist es insbesondere, die K-Definitheit mit einer geeigneten funktionalanalytischen Definitheitsvoraussetzung zu vergleichen. Dabei wird sich zeigen, daß die K-Definitheit eine schärfere Voraussetzung ist. Grundlage dieses Vergleiches ist eine Reihe von Sätzen, die vielfach dem von K A M K E selbst vorgezeichneten Gedankengang folgen. Der abschließende Beweis des Kamkeschen Minimalprinzips unter der abgeschwächten Voraussetzung wird so geführt, daß er sich in den Kamkeschen Aufbau der Eigenwerttheorie einordnet. Jedoch wird dabei in der Grundidee weitgehend einem Beweisgedanken von L E H M A N N [ 4 ] gefolgt.

1.

Grundlegende Voraussetzungen und Bezeichnungen

Betrachtet werden Eigenwertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen My - XNy = 0.

(1)

My und Ny bezeichnen zwei lineare homogene gewöhnliche Differentialausdrücke m η My = Σ ( - 1 ) { M * ) 2/(i)(z)}(i), Ny = Σ (-1)' M * ) 2/(i)(*)}(¿>· i=0

¡=0

58

WEBNER

DUCK

fi(x) und gi(x) sind gegebene, reelle, »-mal im Grundintervall a gì χ f¿b stetig differenzierbare Funktionen. Ferner wird fm{x)

ςη(χ)φ0,

=4=0,

O e t t e r n ,

vorausgesetzt. Zur Differentialgleichung treten noch 2m voneinander linear unabhängige, lineare homogene Randbedingungen hinzu : 2m-l

Σ

t= 0

{*,·# 0, [u, w] > 0

für

u 6 V,

w φ 0,

bei definiten Aufgaben:

(u, u) > 0, [u, u\

0

für

u ζ V,

u φ 0,

bei semidefiniten Aufgaben: (u, M) SS 0, [M, M] S: 0

für

V

gilt Entsprechend soll ein selbstadjungiertes Eigenwertproblem volldefinit, définit oder semidefinit in Ζ genannt werden, wenn folgendes erfüllt ist : bei volldefiniten Aufgaben : (u,u)1>

für

u Ç_ Ζ,

0

für

u ζ Ζ,

bei semidefiniten Aufgaben: (u, u)l S; 0, (u, u)2 è 0

für

μ € Ζ.

bei definiten Aufgaben:

0, (u, u)2 > 0

(u, u)¡ > 0 , (u, u)2

«φ0, Μ φ 0,

Beispielsweise sind dann bei volldefiniten Aufgaben (u, υ) und [m, v] sowie (u, t,')j und («, v)2 Skalarprodukte in V bzw. Z. Die Nachprüfung der Definitheitsvoraussetzungen in Ζ ist im allgemeinen nicht viel schwieriger als die der Voraussetzungen in F. Schließlich soll ein selbstadjungiertes Eigenwertproblem K-definit heißen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. Im Grundintervall gilt fi(x) ¡g 0

für

i =

0, 1,

...,m.

g¡(x) ¡g 0

für

¿ = 0 , 1 , . . . , η.

2. Die reduzierten Dirichletschen Restteile genügen für jede Wahl des freien Randvektors J(M) den Ungleichungen S'(u) 3Rs(«) Sg 0,

¿(u) 9lï(tt) ^ 0.

3. Die Gleichungen Mu -- 0

und

Nu = 0

besitzen keine gemeinsame Lösung in V, die nicht identisch verschwindet. 4. Es ist l/oMI + |0ο(*)Ι Φ 0 .

4.

E i n i g e Sätze ü b e r d e f i n i t e A u f g a b e n

Für den angestrebten Vergleich mit K-definiten Aufgaben benötigen wir einige Sätze, die wir in diesem Abschnitt zusammenstellen wollen. S a t z 1. Jedes in Ζ volldefinite, definite oder semidefinite auch volldefinit, définit oder semidefinit in V.

Eigenwertproblem

ist

Näherungsweise Lösung von Eigenwertproblemen

61

Der Beweis des Satzes ergibt sich sofort bei Beachtung der Definitheitsdefinitionen und (5). Satz 2. Ist bei einem in Ζ semidefiniten Problem für eine zulässige Funktion u(x) (u, u)1 = 0 ,

(6)

so muß für eine beliebige zulässige Funktion w(x) (w, «), = 0

(7)

sein. Beweis. Wegen der Linearität von Ζ und der Semidefinitheit der Aufgabe ist für beliebige Zahlen ε (u + ew, u + ew)1 S: 0, woraus wegen (6) 2e(w, u)l + e2(w, w)1 ^ 0 folgt. Wäre (w, u)^ =j= 0, so könnte für dem Betrag nach hinreichend kleine e erreicht werden, daß die linke Seite dieser Ungleichung negativ wird. Das ist ein Widerspruch und damit (7) richtig. S a t z 3. Gilt bei einem in Ζ semidefiniten Problem für eine zulässige Funktion u(x) Gleichung (6), so ist u(x) sogar 2m-mal stetig differenzierbar und Lösung der Gleichung Mu -= 0.

(8)

Beweis. Wir bezeichnen mit w(x) eine beliebige (m + l)-mal stetig differenzierbare Funktion, für die W(¿)(a)

=

W(¿)(6)

= 0,

i = 0, 1, ..., m,

(9)

ist. Dann muß in (w, u)1 der reduzierte Dirichletsche Restteil verschwinden, da wegen (9) — 0 ist, und es folgt mit Gleichung (7) von Satz 2 und (3) b

Σ i fi(x) W^(x)

u( (x) dx = 0 .

(10)

Setzen wir zur Abkürzung M¿°\u) = i-iyfiix)

u&{x),

M;M(u) = f JWi(«) dx,

» = 1,2,...,»»,

(11)

so können wir durch partielle Integration erreichen, daß jedes Integral in (10) den Faktor w(:r) trägt. Es ist nämlich wegen (9)

j

b f¡(x) w^{x)

u^{x) dx

b = ( —l)m+1

J Mi(m+1~i)(u) w

/l

Σ 1í!("í+1-í>(m)[

t=o

α

dx = 0

J

schreiben können. Nach einem Satz von Zermelo [8] (vgl. auch [1]) kann daraus m

Σ Mi^-Hu) ¡=0

= Pm(x)

(12)

gefolgert werden, wobei Pm(x) ein Polynom vom höchsten Grade m bezeichnet. In (12) ist Pm(x) und jedes Glied mit i 5Í m — 1 stetig differenzierbar. Also muß auch MmV>{u) stetig differenzierbar sein. Nun folgt mit (11), da fm{x) differenzierbar ist, durch partielle Integration MmV(u)

X X = f JfmW(tt) dx = ( - 1 Γ / fm(x) ««(i)

MmV{u)

=

{-\rtm{x)u^){x)

(—l)m

dx,

j fm'(x) u^Hx)

dx.

I n dieser Gleichung sind M m ^ ( u ) und das Integral auf der rechten Seite stetig differenzierbar, also auch ( —1 )m fm(x) u^^ix)^. Da fm{x) stetig differenzierbar ist, muß auch M μμ=ι φν so folgt aus

f(z) 1 â? f(z) , ω(ζ) 2 dz2 ω, (ζ) z=x Res

nach (5)

m

=

Σ

1

v= 1

R

W

-

^

/

'

W

2 α>*{χ,)/

\ω„3(0

Im äquidistanten Fall mit a;v = ν, ν = 1(1)», gilt

mr(v) = (-1)"-' [(ι> - 1)! (n -v)\f. Ferner ist ω/Μ

Σ ν— μ ω,(ν) u=i μφν

sowie

α>/'(ν) Σν --μ ω,(ν)= μ=ι μφν ¡

Σ

μ=ι

μφν

(ν — μ)2

Beachten wir jetzt noch 1

ω,{ν)=

(-1)

Η—Ν

i

\

so ergibt sich schließlich

•m + μ = χν - μ μφν

(ν) - 2 27

2[{η (3η

-

I)!] 3 /(»«-i>(f), 1)!

ξζ(1

,η).

/η μ = ιν

ο

\2

η

ο

^ 2 —/IμΙ μ + μ =ν1{ν—μ) +

Lineare Punktfunktionale und Hermite—Birkhoff-Interpolation

73

Die naheliegende Vermutung, daß der Ansatz (5) stets zu Η-Funktionalen führt, ist nicht richtig, wie das folgende Beispiel zeigt. B e i s p i e l 2. Für / € Π 2 ist o = J - ( ß 2πί Ini ψ y

Μ ζ(ζ • — I) 2' (ζ -

ώ

2) '

11

/(ζ)

1 (ζ -

2 ζ

I) 2

1 1 dz Η ~' 2 ζ - 2

= - j m - f ' ( i ) + j/(2). Dem damit konstruierten Funktional L(f) = /(0) + 2/'(l) - f(2)

(8)

ist die Inzidenzmatrix E=[

/I

0

1\

\0

1

0,

zugeordnet, und hieraus folgt wegen e12 = 1 und e02 = 0, daß (8) kein H-Funktional ist. Man kann jetzt die Frage stellen, ob es möglich ist, ein Kriterium dafür anzugeben, daß ein Koeffizient alx in einem nach (5) konstruierten Funktional L(f) £ %m der Form (6) gleich Null ist. Dies ist in der Tat der Fall. S a t z 1. Der Koeffizient aix in dem nach (5) konstruierten Funktional L(f) € £m der Form (6) verschwindet genau dann, wenn das Hermite—Birkhoff-Interpolationsproblem pmM(x,) =hßv,

μ = 0(1)/, - 1,

nicht regulär ist. m B e w e i s . Es sei f(x) = Σ V * *=o

.=(•·),

und

F - i f · '

\ *»/

(μ, ν) φ (ί, κ)

(9)

y

W-'HXn)/

Dann lassen sich die Gleichungen άχμ \„=0

ν = 0(1)»,

/*=*,

μ = 0(1)Z„ — 1,

ν =1(1)»,

mit einer (m + 2, m + 1)-Matrix Β = B(x¡, . . . , xn) zusammenfassen zu Btx = F.

(10)

Definieren wir jetzt einen (to -f- 2)-Vektor l durch i'F =

m),

74

L U D W I G E L S N E R u n d G E R H A B D MERZ

so erhalten wir wegen l'F = VB» = (B'l)'», daß B'l = 0 (11) ist. Es sei jetzt in (6) aix : = Ιλ = 0. Dann hat bereits das System B'l = 0 eine nichttriviale Lösung, wobei È ' aus B' durch Streichen der Α-ten Spalte und l aus l durch Weglassen von lx entsteht. Damit folgt det Ê = 0. É ist aber gerade die Koeffizientendeterminante der Hermite—Birkhoff-Aufgabe (9), d. h., dieses Problem ist nicht regulär. Ist umgekehrt das Problem (9) nicht regulär, so besitzt B'l = 0 eine nichttriviale Lösung. Der (m + 2)-VektorZ, der aus dem (m -f- l)-Vektor t durch Einfügen einer Null für die ¿-te Komponente entsteht, löst offenbar B'l = 0. Da Rg Β = m + 1 ist, folgt 1 = 1 bis auf einen Faktor, d. h. lx = 0. B e m e r k u n g . Ist Β zusammengesetzt aus den Zeilenvektoren όμ, μ = l(l)m + 2, so ist bis auf einen von Null verschiedenen Faktor

\ = ( - 1 ) * det V i , μ = 1(1)»» + 2. •V+1

Für den Fall, daß in (6) s SÌ 2 Koeffizienten α„,,, etwa a „ , σ = 1(1) s, verschwinden, "

σο

ergibt Satz 1 die Nichtregularität von s verschiedenen Hermite—Birkhoff-Problemen (9). Wir wollen jetzt zeigen, daß dann auch ein Zusammenhang mit der Hermite— Birkhoff-Interpolationsaufgabe i3m-s+ l(Xv) = ύμη μ = 0(1)1,-1,

v = 0(l )n,

(μ,ν) + (ια,χα),

σ = l(l)s,

besteht. S a t z 2. Verschwinden in dem, 'nach (5) konstruierten Funktional L(f) € ¥m der Form (6) die Koeffizienten at x , a = l(l).s, so ist das Hermite—Birkhoff-Problem (12) nicht regulär. B e w e i s . Es sei in (6) at x = 0 für a = l(l)s. Dann sind wegen l'F = L(f) genau s Komponenten des Vektors V gleich Null, etwa l? , σ = l(l)s (wir verwenden die gleichen Bezeichnungen wie im Beweis von Satz 1). Streicht man jetzt in Β die Z^-te, . . . , Ιχ-te Zeile sowie die (m + 3 — s)-te,..., (m + l)-te Spalte, so folgt wie im Beweis von Satz 1, daß das so entstehende homogene System B'l = 0 mit der (m + 2 — s, m + 2 — s )-Matrix Ê nichttrivial lösbar ist. Da Β die Koeffizientenmatrix der Interpolationsaufgabe (12) ist, sind wir fertig.

Lineare Punktfunktionale und Hermite—Birkhoff-Interpolation

75

B e m e r k u n g . Satz 2 ist nicht umkehrbar; wählen wir etwa iCj — 1, %2 —2 und

so ist das zugehörige Hermite—Birkhoff-Problem nicht regulär; trotzdem enthält das Funktional

den Term

ni it einem Koeffizienten Φ 0.

f"(x2)

B e i s p i e l 3. Bei dem aus der Partialbruchzerlegung von 1 z3(z

l)8

-

(z

— 2)3

konstruierten Funktional L(f) 6 gilt a 0 2 = a22 = «42 = «62 = d. h., nach Satz 2 ist das zu den Knoten x1 — 0, x2 = 1, x3 — 2 und der Inzidenzmatrix 1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0

1' 1 1 0 0 0 0 1 0

gehörige Hermite—Birkhoff-Problem nicht regulär, was übereinstimmt mit einem Ergebnis von C H A L M E R S U. a. [ 1 ] . b) K o n s t r u k t i o n v o n H B - F u n k t i o n a l e n In den Anwendungen ist man oft an der Konstruktion von solchen linearen Funktionalen L ( f ) ζ ïm der Form (1) interessiert, bei denen von vornherein nur gewisse der Koeffizienten αμ, von Null verschieden sind. Dieser Forderung wird unser zweites Konstruktionsverfahren gerecht, das durch einfache Modifikation aus der unter a) beschriebenen Methode entsteht. Zur Veranschaulichung dient B e i s p i e l 4 (vgl. K L O O S T E R M A N [5], Theorem 1). Gesucht sei ein lineares Funktional £,(/) € ^m der Form (1), in dem neben der an den Knoten x„ ν = 1(1 )n, η ¿1 2, genommenen dividierten Differenz [x¡ x2 . . . xn] von f ( x ) nur die Ableitungen f(Q)(xi), ρ = η — 1(1 )m, m Sì η — 1, vorkommen. Wegen (7) können wir von der Partialbruchzerlegung Λ1(ζ)

1

= {z — xx)

(ζ -

x2)

m-n + 1 ••• {z —

xn)

-

Σ

„t ο

J^ —

(ζ -

(13)

76

LUDWIG ELSNER u n d GERHARD MERZ

ausgehen. Bringt man /l,(z) auf Hauptnenner, so entsteht eine gebrochen rationale Funktion ^llîl

m

i t dem formalen Zählergrad m und dem Nennergrad m + w,

d. h., Λλ(ζ) erzeugt genau dann ein Funktional L^f) £ Λ(ζ) 1

-

m

der genannten Art, wenn

»-2Z"~2 + « " - S ^ 3 Η 1" "O (3 — *l)m+1 (2 — «2) (z — «3) ·•· (z — Xn) X

?l( ) 2

gilt, d. h. 2>i(z) nur den Grad m — (m — η -M/) = ¿ 7 φ Μ

(14)

2) — η — 2 besitzt. Dann ist nämlich

Λι(ζ) dz = 0

für alle / ζ 77m, und in Lj(/) kommen nur die angegebene dividierte Differenz und die verlangten Ableitungen vor. (13) und (14) sind gleichbedeutend mit n —2 Σ v=0 (ζ - xj"1*1 (ζ - X2) — (ζ - Xn) (z - 3,)« -

-n+ l , 2J ρ „= 0 (z-a;,)^'

m

d. h., für ζ = xv, ν = 2(l)w, muß »-2

Σ OC,Z' = (z — ^ Γ »=0

(15)

sein. Dieses lineare Gleichungssystem für die ccv ist eindeutig lösbar, da seine Koeffizientendeterminante Vandermondesch ist. Mit den aus (15) gewonnenen oí, gilt (z — x1)m

71-2

—Σ w v= 0

(z — X2) {z — X3) ••• (z — Xnl =

(Z - X1 )«-"+! + m —ra+1 27 x= 0

-n +1

ß,(z — „=1

— «ι)™-"-1-1-*;

also ist Aq — 1 sowie = βκ für κ = l(l)m — η -f- 1. Wählen wir z. B. w = 3 und a^ = 0, x2 = 1, = 2, so ergibt sich aus (15) «0 +

v=0

(21)

79

Lineare Punktfunktionale und Hermite—Birkhoff-Interpo ! ation

und nach der Newtonschen Interpolationsformel ist schließlich für ν = 0(1 )n — r Ar = [xr+p...

X„]n

und insbesondere A0 = 1 ( [ . . b e z e i c h n e t dabei die auf Hn~r(z) angewandte dividierte Differenz). Analog wie in Beispiel 4 zeigt man, daß L2(f) = const · /(£) ist. B e i s p i e l 6 (Obbeschkoff [10]). Es sei η = 2 und m = r + s. Gesucht ist ein Funktional L3(f) e $m als Linearkombination von m

-

m

>

/(1),

σ = 1(1)5.

Dies führt auf die Forderung Ζ — 1

Z

e=

i Z^1

σ=1 (Ζ — 1)°+1

ζτ+1{ζ — 1 ) 8 + 1

d. h., f ü r geeignetes α 0 muß das Residuum von 1

«o r

z +*(z — l) s + 1

z{z — 1)

bei ζ = 0 und ζ = 1 verschwinden. Dies ergibt «ο = ( - 1 ) 8

rl s!

(r + «)l

Die Existenz von L3(f) mit La(f) = const · /

/ = 0

für

a >

r.

Wegen (22) ist die Existenz von L¿j) damit bewiesen.

Lineare Punktfunktionale und Hermite—Birkhoff-Interpolation

81

B e i s p i e l 8 (vgl. Meib—Sharma [7]). Hier gehen wir aus von η + 1 Punkten Das Funktional L&(f) £ Jpn+(+(J_1 soll eine Linearkombination aus der dividierten Differenz [a;0 x1 ... xn] sowie den Ableitungen

/W(a;0), ...,/( η +- 1 >(ζ 0 ),

sein. Dabei sei η i¡¡ s

Λ5(Ζ)-

η +1 ν. Für die Partialbruchzerlegung Β„

{ζ — χ0)

{ζ

•••

e =!

χη:

—

(2 - Χ0)Β+8

«-χ (Ζ - Χη)*+*

muß Λ(«0 =