Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 8 [Reprint 2019 ed.] 9783486992915, 9783486229417

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Beiträge zur Numerischen Mathematik 8

Beiträge zur Numerischen Mathematik 8 Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1980

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Beiträge zur Numerischen Mathematik / hrsg. von Frieder Kuhnert u. Jochen W. Schmidt. — München, Wien : Oldenbourg. N E : Kuhnert, Frieder [Hrsg.] 8. - 1980. I S B N 3-486-22941-9

© V E B Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", Altenburg I S B N : 3-486-22941-9

Inhalt

H A N S - J I : R < ! E X A L B R A S D , Rostock Über die Lösungen der Gleichung o(P) GÖTZ ALEFELD,

/'

7

Berlin (West)

Monotone Regula-Falsi-ähnliche Verfahren bei nichtkonvexen Operatorgleichungen LOTHAB BERG,

. .

15

.

31

Rostock

Regularization of instable boundary value problems for linear difference equations

Rostock Eine Bemerkung zum Ritzschen Verfahren für die Stokesschen Gleichungen Dresden Gegenbeispiel zu einer Fixpunktmethode von Rubio zur Lösung des linearen Distanzproblems KLAUS BEYER,

39

SIEGFRIED DIETZE,

Berlin Projektionsmethoden zur Lösung singulare!' Zweipunkt-Randwertaufgaben

43

JOHANNES ELSCHNER,

EBERHARD GRIEPENTROG,

51

Greifswald

Numerische Integration steifer Differentialgleichungssysteme mit Einschrittverfahren . .

59

F R I E D E R K U H N E R T , Karl-Marx-Stadt Über numerische Verfahren für inverse Matrizeneigenwertprobleme

75

Berlin Untersuchung eines parametrischen impliziten Einschrittverfahrens

85

Dresden Ein implementierbarer Algorithmus zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme bei schwach singulärer Einbettung

95

R O S W I T H A MÄRZ,

REINHARD MENZEL,

H O L G E R M E T T K E , Dresden Quadratische Splineinterpolation bei zusammenfallendem Interpolations- und Splinegitter 113

und H E R B E R T S Ü S S E , Leuna-Merseburg Behandlung spezieller Optimierungsprobleme mit intervallanalytischen Methoden

D I E T E R OELSCHLEGEL

. . . 121

6

Inhalt

HEINZ-JOACHIM RACK,

Dortmund

B i n Existenzsatz für kubische Splinefunktionen KLAUS R . SCHNEIDER,

131

Berlin

Asymptotisch optimale Fehlerschranken für eine Klasse von Xewton-like-Verfahren J Ü R G E N SCHULZ,

. . 139

Karl-Marx-Stadt

Über die Konstruktion von im allgemeinen unstetigen inversen Operatoren WOLFGANG SPRÖSSIG,

147

Karl-Marx-Stadt

Quadratur mehrdimensionaler singulärer Parameterintegrale und ihre Anwendung zur Lösung partieller Differentialgleichungen 155 WILFRIED WEINELT,

Karl-Marx-Stadt

Differenzenverfahren für die stationäre Wärmeleitungsgleichung mit nichtlinearem Anteil vom Strahlungstyp — Methode der monotonen Operatoren 167 W I L F R I E D WTEINELT u n d GÜNTHER WINDISCH,

Karl-Marx-Stadt

Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit nichtlinearem Anteil für Rechteckgebiete durch Differenzenmethoden 177 GERHARD ZIELKE,

Halle

Die Auflösung beliebiger linearer algebraischer Gleichungssysteme durch Blockzerlegung

181

Beiträge zur Numerischen Mathematik 8 (1980), 7 - 1 3

Über die Lösungen der Gleichung o, hervorgeht, wobei die km natürliche Zahlen sind, ¿ 0 = 0 gesetzt wird und m, k = 0, 1, 2 , . . . ist. Die Indizierung der Zeilen und Spalten soll erhalten bleiben. Es sei bemerkt, daß die Potenzen der Vorzeichenmatrizen n u r dann gebildet werden, wenn die entsprechende Multiplikation zweier Matrizen in folgender Weise einen Sinn hat: Die Skalarprodukte, die in der üblichen Weise gebildet werden und die die Elemente der Produktmatrix ergeben, lassen sich eindeutig mit —, + oder 0 identifizieren. Bei F 0 (0) im obigen Beispiel wäre dieser Sachverhalt nicht gegeben. Aber z. B. bei

F :=

Hier ergibt sich F

2

2

zu F = ( +

+

| . Mit F 0 (0) : = | 0

C>

ATC) = (3) wird F^fc) = ( '

+

0

-

0 |

und

0

) für k = 1, 2, 3, ... Nach diesen Vorbereitungen

kommen wir zur Formulierung der Streichungsregel. Diese Regel arbeitet bis auf die Bestimmung von N0m, was trivial ist, ausschließlich mit den Vorzeichen der Elemente von P. St r e i c h u n g s r e g e l

(*' : « ' i U A7 n ) , \ j U g = 0, 1, ..., g0 + 1,

II.

wobei

*€ U j •-•-- 0 Ng%

t#>(0) -4= oV / = 0,

N,«» 4= 0 für g ^

g0.

go NW :— U falls i/o > 0: AT(°> = 0, falls AT0 = 0. i=o Falls Ar 4= (1) 2, . . . , n) ist, werden für m = 1, 2, . . . , m0, m0 "S n, Indexmengen NW auf folgende Weise konstruiert: km sei die kleinste natürliche

9

Lösungen der Gleichung q(P) = ¡[P;! Z

Zahl mit »1-1

(

» : ' i U NO), J=o

3 r(i), s(i), h(i) :

v

i!r(i)(^m) vr™),/i(i) (^m) =

v iMi){km) vsTi),hii)(k'm) Wir setzen jV9 : = ^"u N ^ u | u

:=(»:»«

gm

j

$•

» € jVB(»), ^ » ( f c j 4= 0),

g = 0, 1, . . g m + 1, wobei AT(«) : = y

=

j

=

0 und A

Y0) -

0

für

9 ^ 9m >

falls gm ^ 0; iV : = 0 sonst.

B e n i e r k u n g 1. Nach dieser Regel werden nacheinander die i'-ten Zeilen und Spalten von T'0(P) mit i aus AT(°>, iV(x', . . N < - m " ) gestrichen. Das Verfahren bricht bei einem gewissen m 0 ^ n ab, wenn alle Zeilen und Spalten gestrichen sind oder y(m.) __ 0 i. ejn mg ^ B e m e r k u n g 2. Der Fall Nim«) = 0 tritt genau dann ein, wenn N0{mo)(k) = 0 ist fiir k = 1 , 2 , . . . Da es nur endlich viele verschiedene Vorzeichenmatrizen l7,„o(&) :=- 1 f„*(0) gibt, existieren natürliche Zahlen i(m0), t{m0) mit t(m0) < ~t(m0) und v^{t(m 0 )) = v f ^ m o ) ) für i, j aus (1, 2, ..., n)\ die Beziehung N^ik) gilt wegen vc°)+k(0)

=

(3)

mt — l U so daß aus (3) und N0{m'\k) = 0, k = 1, 2, ..., i(m0), i=o = 0 für k > i(m0) folgt, Denn für 0 g k ^