Beiträge zur Numerischen Mathematik: Band 2 [Reprint 2019 ed.] 9783486992755, 9783486344110

Citation preview

Beiträge zur Numerischen Mathematik 2

Beiträge zur Numerischen Mathematik 2

Herausgegeben von Frieder Kuhnert und Jochen W. Schmidt

R. Oldenbourg Verlag München Wien 1974

© 1974 V E B Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Lizenzausgabe für den R. Oldenbourg Verlag, München—Wien Printed in the German Democratic Republic Lizenz-Nr. 206 • 435/138/74 Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 74 Altenburg ISBN: 3 - 4 8 6 - 3 4 4 1 1 - 0

Inhalt

H.-J.

ALBRAND,

Rostock

Über ein modifiziertes Gesamtschrittverfahren K.-H.

BACHMANN,

7

Berlin

Automatische Lösung algebraischer Gleichungen

13

M. F R Ö H N E R , Karl-Marx-Stadt Stabilitätsuntersuchung eines verallgemeinerten Iterationsprozesses zur Lösung linearer Gleichungssysteme

19

U . HANS, Dresden

Ein ableitungsfreies Verfahren zur Extremwertbestimmung W.

HOYER,

Dresden

Das Majorantenprinzip bei Mehrschritt-Iterationsverfahren J . JÄHNIG,

39

Karl-Marx-Stadt

Über die Grenzen der Anwendbarkeit des Bazley-Fox-Verfahrens J.

25

KOMUSIEWICZ,

61

Jena

Zur Konvergenz des Differenzenverfahrens und zu Fragen der Fehlerabschätzung für elliptische Differentialgleichungen vierter Ordnung mit quadratisch integrierbarer Inhomogenität

69

W . LANG, K a r l - M a r x - S t a d t

Anwendung der Pseudostöriteration auf Differentialgleichungen R.

LEHMANN,

89

Karl-Marx-Stadt

Einige Abschätzungen von Eigenwerten und Eigenvektoren eines gestörten Operatorbüschels 103 W . MACH, K a r l - M a r x - S t a d t

Ein parameterabhängiges Projektionsverfahren zur Lösung von Wiener-Hopf-Gleichungen

115

6

Inhalt

W . MÖNCH,

Dresden

Inversionsfreie Verfahren zur Einschließung von Nullstellen nichtlinearer Operatoren S.

OBERLÄNDER,

125

Berlin

Fehlerabschätzung für Anfangswertprobleme

137

G. P O R A T H , Güstrow Lineare Volterrasche Integralgleichungen zweiter Art mit Kernen vom allgemeinen Typ . . . 147 K. E. S C H N E I D E R , Berlin Zur Konvergenz im Mittel von Näherungsverfahren zur Bestimmung periodischer Lösungen von periodischen Vektordifferentialgleichungen 163 J.

SCHULZ,

Karl-Marx-Stadt

Ein Näherungsverfahren zur Lösung eindimensionaler singulärer Integralgleichungen nicht normalen Typs 177 P.

SEIFERT,

Dresden

Fehlerabschätzungen für Differenzenverfahren bei einer hyperbolischenDifferentialgleichung 193 und S . SCHOLZ, Dresden Runge-Kutta-Nyström-Verfahren mit variablen Parametern zur numerischen Behandlung von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung 211

W . WEISS

G . WINDISCH,

Karl-Marx-Stadt

Die numerische Lösung einer nichtlinearen Integralgleichung mit Quadraturformelmethoden 229

Beiträge zur Numerischen Mathematik 2 (1974), 7 - 1 1

Ü b e r ein modifiziertes Gesamtschrittverfahren HANS-JÜRGEN ALBRAHD

Es sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem. Ist A eine symmetrische und positiv definite Matrix, dann konvergiert das Einzelschrittverfahren. F ü r das Gesamtschrittverfahren (Jacobisches Verfahren) gibt es in diesem Fall keine analoge und ebenso allgemein gehaltene Aussage zur Konvergenz. Bekanntlich konvergiert das Gesamtschrittverfahren nicht für jedes Gleichungssystem mit symmetrischer und positiv definiter Koeffizientenmatrix (man vgl. mit [1, 2]). I n dieser Arbeit wird ein modifiziertes Gesamtschrittverfahren vorgestellt, das für jedes Gleichungssystem mit symmetrischer und positiv definiter Koeffizientenmatrix konvergent ist. Das Zeilen- und Spaltensummenkriterium gilt wie beim Jacobi-Verfahren. Der im Vergleich zum Jacobi-Verfahren zusätzliche Rechenaufwand ist nur unerheblich größer. Es seien H ein Hilbertraum und TJX, ..., Ur Unterräume von Ln = L{xu ..., x„) cz H mit (1)

L(xu ...,x„) bezeichnet die Menge aller Linearkombinationen von xl} ...,xn. setzen f ü r festes k min \\xik) - y\\ yiV.

=

xt^1) : = xik)

\\x||

(5

= 1 , . . . , r)

Wir

(2)

T

JT ys = xü ein Element aus H. S a t z 1. x0 — x&l konvergiert gegen die beste Approximation der verwendeten Hilbertraumnorm.

von x0 in Ln bezüglich

B e w e i s . Es ist II««**1»!! ^ [|«

und wegen (6) l i m c M = 0 (i = l , . . . , r ) . fc-*oo Es sei x^l, ..., x'fy eine orthonormierte Basis von Us (s = 1, ...,r).

(7) Dann gilt

I|z(fc> - 2/3||2 = ||z(fc)||2 (s = 1, ..r).

E (xit)> *i i s ) ) 2 t=i Wegen (6) und (7) folgt aus (8)

lim (&, y) = 0 k—xx> für alle y aus U8 (s = 1,

(8)

(9) r). Mit (1) ergibt sich aus (9)

lim (x< >, y) = 0 k-yco fc

für alle y aus Ln. Ist eu ..., en eine orthonormierte Basis von Ln und x(k> = x0 — y(k) mit = a1^k'>e1 -f- ••• + «„^'e^, dann folgt lim a,oo und damit lim */ = E («o- e{) eh fr-K» i=1 w.z.b.w. — B e m e r k u n g . In (3) kann man anstelle des Faktors — auch den Faktor r r + a mit reellem a > 0 schreiben. Der Satz 1 gilt unverändert. Im folgenden betrachten wir den Spezialfall Ui = L(x{) (i = 1 , 2 , . . . , n). In » = x0 — d^X! — ••• — dn^xn haben die Koeffizienten d ^ l die Darstellung n =

s=0

(Xi, x{)

t _ 1 _ L _ J 1 ^ dr{s)(^t± n (Xi, x{) n (x^ x-,) s=i r=i («,-,

(10)

Uber ein modifiziertes Gesamtschrittverfahren

(i

=

1,2,...,

n).

d(») T

Mit

=

(d,, ...,dnm)

(s =

...,n)

1,2,

und 2j T

=

{ { x i , »1),

•••»

«*))

e r g i b t s i c h a u s (10)

^ i L iCj)

L _ (a;i, a;,)

¿-¿wt

Z i

s=i

d =

(Xn,

Xn)

—

(xn,

¿ W z ,

Xn)

3=1

d. h. j =

+

( xo,

— n

\ (x„,

xn)

oder ¿(i+i) =

i - ( _ Z , — i?) d +

cZ(fc> - f — D - 1 6 .

I n (11) bedeuten

0

L

(«2,

XL)

(x2,

x2)

(xn,

Xj)

0

0

0

0

0

0

=

( xn> xn) {xi,

R

(xn,

x2)

{ xni

xn)

X2)

=

( xn> xn-l)

Q

( xn> fe.

xn)

(xlt

Xj)

(xn-i, ( xn-l>

xn) xn-\)

0 .;.. D-

1

o

(x0, b

=

• • • ( xn> xn)

1

=

v

( x0>

xx)

10

HANS-JÜHGEN ALBRAND

Die Iterationsvorschrift (11) stimmt also fast mit der Jacobischen Vorschrift d = (-L

— E) dl") + D-*b

(12)

f ü r das Gleichungssystem (x{, xj ¿i + ••• + {xh x„) d„ = (x0, x{)

(i == 1, 2, ..., n)

(13)

überein. Nun können wir jedes Gleichungssystem Ad = b mit symmetrischer und positiv definiter Koeffizientenmatrix A = (a i; ) in der Form (13) darstellen, denn xTAy

(14)

y)

ist ein Skalarprodukt. Setzen wir x{ = ei (i = 1, n), wobei e,- in der ¿-ten Komponente eine 1 h a t und in den übrigen Komponenten 0 ist, so wird (ei> e,) = u n d mit x0 = b geht (13) bei Verwendung des Skalarproduktes (14) über in Ad = b. Aus dem Satz 1 folgt also der S a t z 2. Das modifizierte Gesamtschrittverfahren (11) konvergiert für jede symmetrische und positiv definite Koeffizientenmatrix gegen die Lösung des Gleichungssystems. E s sei nun Ad = b ein beliebiges Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix A = (aij) vom Format n x n. Dann gilt der S a t z 3. Für die Konvergenz der Iterationsvorschrift (11) ist hinreichend a) bzw. b)

au !=H E (4=i

«II

< 1 für i =1,2,...,


0 then begin taui := (cjci)f(ljj); if taui < gt then gt : = taui end end; r : = if k = 1 then tau eise taui faktor; bed : = r faktor * gt end end; Dabei bezeichnet n den Grad des Polynoms, gm den Vektor der Mt, km den Vektor der m,i (i = 0, ..., n), k die zu prüfende Vielfachheit. Zur P r ü f u n g der Ungleichung in Satz 3 wird faktor mit 1 belegt, zur Prüfung der Ungleichung in Satz 4 mit 0.5. I n bed wird die Erfüllung der Ungleichung festgehalten, in r wird gegebenenfalls die berechnete Schranke vermittelt. Als Hilfsmittel f ü r die Berechnung der Entwicklungskoeffizienten und von Fehlerschranken f ü r die Entwicklungskoeffizienten dient ein modifiziertes Hornersches Schema. Die im Hornerschen Schema verwendete Rekursionsformel lautet ak' = ak + a'k+1 • x. Nimmt man an, daß ak und ak+1 mit Fehlern dk und d'k+1 behaftet sind, so entsteht unter Berücksichtigung von Rundungsfehlern em f ü r die Multiplikation und ea f ü r die Addition das Resultat «t' + dk = ak + dk + (a'k+1 + dk+1) x + em + eaEs gilt also dk = dk + d'k+1 • x -} em + ea. Dabei wird angenommen, daß das Hornersche Schema f ü r ein genau bekanntes Argument x auszuführen ist. Kennt man obere Schranken für die Absolutbeträge der Fehler, und zwar K+il ^ so erhält man \dk | g Dk' =Dk

141 Si Dt,

\em\ ^ Em,

\ea\ ^

Ea,

+ D'k+1 .X + Em + Ea.

Der übliche Ablauf der Rechnung ist nun so, daß zunächst das in der Rekursionsformel enthaltene Produkt gebildet und dessen Rundungsfehler abgeschätzt wird, der im allgemeinen eine halbe Einheit der letzten Stelle des berechneten Produktes nicht übersteigt. Darauf folgt die in der Rekursionsformel enthaltene Addition, bei der ebenfalls ein Rundungsfehler auftreten kann. Dazu wird angenommen, daß die Summanden Gleitkommazahlen gleicher Mantissenlänge sind. Von beiden Summanden wird eine Einheit der letzten Stelle gebildet. Die größere dieser beiden Einheiten

16

KARL-HEINZ BACHMANN

legt fest, welcher Fehler beim Angleichen der Exponenten höchstens gemacht werden kann, und zwar eine halbe Einheit dieser Stelle, falls korrekt gerundet wird. Sind beide Einheiten gleich, so brauchen die Exponenten nicht angeglichen zu werden, es tritt dann auch kein Fehler auf. Bei der Addition kann eine um eine Stelle längere Mantisse entstehen, durch Verkürzen dieser Mantisse um eine Stelle tritt dann ein zusätzlicher Rundungsfehler in Größe einer halben Einheit der letzten Resultatstelle auf. Die Verhältnisse seien an einem Beispiel in vierstelliger dezimaler Gleitkommarechnung erläutert. Zu addieren seien ax = 0,9900 • 102 und a2 = 0,6045 • 101. Die Einheiten der letzten Stellen sind ex = 10~2 und e2 = 10~3. Die Addition erfolgt in der Form ä 3 = 0,9900 • 102 + 0,060 5 • 102 = 1,050 5 • 102. Dieses Resultat wird mit vierstelliger Mantisse als a3 = 0,1051 • 103 dargestellt. Die Einheit der letzten Resultatstelle ist e3 = 10 _1 . Der Fehler gegenüber dem korrekten Resultat 105,045 ist 0,055 = Y (e3 + max (e1; e2)). Bei Rechnung im Dualsystem oder in einem anderen Zahlensystem sind die Verhältnisse entsprechend. Bei dezimaler Rechnung mit achtstelliger Mantisse kann durch die ALGOL-60-Prozedur real proccdure deltax{x); value x; real x\ deltax : = if x = 0 then 0 eise 10t(entier(.43429448 ln(abs(x)) +

10—7)—7);

eine Einheit der letzten Stelle bestimmt werden. Es empfiehlt sich allerdings, hierf ü r eine Prozedur im Maschinencode zu verwenden. Der Rundungsfehler / bei Addition läßt sich in der beschriebenen Form durch die folgende ALGOL-60-Prozedur berechnen: procedure rund (el, e2, e3, /); value el, e2, e3; real ei, e2, e3, /; begin real e,ee; e : = if ei > e2 then el eise e2; ee : = if el = e2 then 0 eise e; / : = 0.5 * (if e3 > e then ee + e3 eise ee) end; Mit Hilfe dieser Prozeduren läßt sich ein vollständiges Hornersches Schema zur Berechnung der Entwicklungskoeffizienten mit zugehörigen Fehlerschranken aufbauen, für komplexe Rechnungen lassen sich diese Betrachtungen leicht erweitern. Auf die Darstellung von Einzelheiten sei hier verzichtet. Ein mit diesen Hilfsmitteln arbeitendes Verfahren zur Nullstellenbestimmung sei im folgenden skizziert: Zunächst wird die erwähnte Schranke von F U J I W A E A f ü r die Nullstellenbeträge berechnet. Ausgehend von einem Anfangswert, der beliebig gewählt werden kann und hier entweder zu 0 oder auf eine vorher bekannte Nullstellennäherung festgelegt wird, wird ein Abstiegsverfahren durchgeführt. Dieses führt entweder zu einer Nullstelle oder zu einem Sattelpunkt der Betragsfläche. Eine Nullstellennäherung wird als erreicht angesehen, wenn entweder der Funktionswert exakt 0 ist oder der Korrekturbetrag bei einem Newtonschritt kleiner als eine relativ zum Betrag des Näherungswertes gewählte Schranke ist. Ist es nicht möglich, den Funktionsbetrag bei einem Abstiegsschritt auf weniger als das 0,8fache zu verkleinern, so wird angenommen, daß die Näherung sich entweder in der Nähe eines Sattelpunktes der Betragsfläche oder in der Umgebung einer Nullstelle be-

Automatische Lösung algebraischer Gleichungen

17

findet. Dann werden Entwicklungskoeffizienten mit Fehlerschranken berechnet, und an H a n d der Fehlerschranke f ü r den Funktionswert wird entschieden, ob der betreffende P u n k t als Nullstellennäherung angesehen wird. Ist nämlich der Funktionsbetrag kleiner als das Doppelte der berechneten Fehlerschranke, so kann die übliche Newtonkorrektur mit einer solchen Unsicherheit behaftet sein, daß eine Weiterführung der Rechnung ohne Genauigkeitserhöhung nicht mehr sinnvoll ist. Andernfalls wird versucht, den Funktionsbetrag unter Verwendung der zweiten Ableitung wie in [1] beschrieben zu verkleinern, wobei gegebenenfalls die Richtung des stärksten Abstiegs verlassen wird. Dabei zeigt es sich, daß die Umgebung eines Sattelpunktes relativ schnell verlassen werden kann, wenn auf einem vom Sattelp u n k t in Richtung auf kleinere Funktionsbeträge wegführenden Strahl die Korrekturbeträge sukzessive verdoppelt werden. Sollte sich ein nach dem erwähnten Verfahren theoretisch auffindbarer P u n k t mit kleinerem Funktionsbetrag als im Sattelpunkt durch den Einfluß von Rundungsfehlern nicht finden lassen, so ist die Genauigkeit zu erhöhen. Ist das nicht mehr möglich, so ist die Umgebung des Sattelpunktes systematisch nach einem solchen P u n k t (z. B. auf einer Spirale) zu durchsuchen. Ist auf diese Weise ein als Nullstellennäherung anzusehender P u n k t gefunden, so wird wie oben beschrieben eine Fehlerabschätzung unter Einschluß der Vielfachheitsbestimmung ausgeführt, und nach Abspaltung des entsprechenden Linearfaktors wird das Verfahren wiederholt. Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten und komplexen Näherungen wird m a n auch versuchen, den konjugiert komplexen Linearfaktor abzuspalten. Dabei darf jedoch der Rest der Division nicht zu groß werden. Als Kriterium dafür kann wieder die für den Funktionswert bestimmte Fehlerschranke benutzt werden. Gegebenenfalls muß zur komplexen Rechnung übergegangen werden. Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten können auch kleine Imaginärteile von Nullstellennäherungen vorgetäuscht werden, daher ist in einem solchen Fall erst zu prüfen, ob eine reelle Näherung in Frage kommt. Eine versuchte Abspaltung des konjugiert komplexen Linearfaktors führt dann im allgemeinen zu einer starken Nullabweichung des Divisionsrestes. Durch Wiederholung dieses Verfahrens werden f ü r ein Polynom w-ten Grades insgesamt n Näherungen — entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt — f ü r Nullstellen bestimmt und ihre Fehler abgeschätzt. Sind die durch die Fehlerabschätzung festgelegten Fehlerkreise mit den Nullstellennäherungen als Mittelpunkten disjunkt, so h a t man mit Sicherheit Kreise gefunden, in denen genau die durch die berechnete Vielfachheit angegebene Zahl von Nullstellen des Ausgangspolynoms liegt. Ist das nicht der Fall, so war die Rechengenauigkeit noch nicht ausreichend.

Literatur

[1] BACHMANK", K.-H., Lösung algebraischer Gleichungen nach der Methode des stärksten Abstieges, ZAMM40 (1960), 132-135.

[2] BACHMANN, K.-H., Fehlerabschätzung für Nullstellen von Polynomen, Vorträge zur Numerischen Verfahrenstechnik, TU Dresden, Heft 1/71 (1973), 82-88.

[3] BROOKER, R. A., The solution of algebraic equations on the EDSAC, Proc. Cambr. philos. Soc. 48 (1952), 255-270.

2

Numerische Mathematik 2

18

K A R L - H E I N Z BACHMANN

Über die obere Schranke des absoluten Betrags der Wurzeln einer algebraischen Gleichung, Tohoku math. J . , Ser. 10 (1916), 167—170. [5] NASITTA, K., Ein immer konvergentes Nullstellenverfahren für analytische Funktionen, ZAMM 44 (1964), 5 7 - 6 3 . [6] NICKEL, K . Über die Notwendigkeit einer Fehlerschrankenarithmetik für Rechenautomaten, Numer. Math. 9 (1966), 6 9 - 7 9 . [7] N I C K E L K., Die numerische Berechnung der Wurzeln eines Polynoms, Numer. Math. 9 (1966), 8 0 - 9 8 . [ 8 ] W E B E R , H . , Lehrbuch der Algebra, Bd. 1, Braunschweig 1 8 9 8 , S . 1 4 3 — 1 4 7 . [ 4 ] FUJIWARA, M.,

Manuskripteingang: 25. 7. 1972 VERFASSER: Dr. rer. nat. habil. K A R L - H E I N Z BACHMANN, Zentralinstitut für Mathematik und Mechanik der Akademie der Wissenschaften der DDR

Beiträge zur Numerischen Mathematik 2 (1974), 1 9 - 2 3

Stabilitätsuntersuchung eines verallgemeinerten Iterationsprozesses zur Lösung linearer Gleichungssysteme Michael

1.

Fröhnek

Einleitung

Löst man das lineare Gleichungssystem Lx = g nach Umformung auf die Form x = Bx + b mit Hilfe eines dreigliedrigen Iterationsprozesses der Gestalt xk = fk(B, b, xk_Jt xk-i)> s o ist eine Rückführung dieser Vorschrift auf das Kontraktionsprinzip im allgemeinen nicht mehr möglich. Es besteht deshalb das Problem, die Fortpflanzung eingeschleppter Fehler, d. h. die Stabilität des Lösungsverfahrens der als Differenzengleichung aufzufassenden Iteration, zu untersuchen. Es wird gezeigt, daß das Iterationsverfahren unter den Bedingungen, unter denen es konvergiert, auch stabil ist, und weiterhin wird eine Fehlerschranke angegeben. Von der Matrix L sei bekannt, daß alle Eigenwerte im Intervall (m, M), m > 0, M > 0, liegen. Erzeugt man die iterierfähige Gestalt durch die Umformungen B = E — 2 • Lj(M + m), 6 = 2 - gl(M + m), so liegen die Eigenwerte von B symmetrisch zum Nullpunkt im Intervall {— — —: 4- — —V d. h., für den J \ M + m M + m) Spektralradius gilt q(B) < 1. Wir betrachten die Iterationsvorschrift xk = + (2/(« +

n) (e> + e"))

+ D*f{x - ht2{j, n) (ei + e»))) {0 + e»), und die t{ sind geeignete Zahlen mit 0

t^j, n), t2(j, n) 5S 1.

Ist f(x) = a + bTx + — xTCx ein quadratisches Funktional mit der symmetri2 sehen Matrix C = (c i; ), so gilt A~{h, j, n) = 0 und A+(x, h, j, n) = 2(e> + e") T C(e> +e") und folglich öf(x, h)a = Df{x), Ö2f(x, y, h)1 = ( c „ , c 2 2 , . . . ,

CNN)T,

ö2f(x, y, h)n = (c sl , c n2 , . . . , c„,„_i, 0, . . . , 0) T f ü r n = 2, . . . , N. Es sei noch bemerkt, daß obere Indizes im allgemeinen Iterationsindizes sind. Jeder Iterationsschritt unterteilt sich in N Stufen, d. h., ausgehend von der Näherung x' = i/1-1 werden die Zwischeniterierten y'-2, ..., yi,N bestimmt und xi+1 = yi-N+1 als neue Näherung betrachtet.

3.

D e r Algorithmus

Gegeben seien der Startvektor x1, eine Zahl x > 0, ein Index j e { 1 , . . . , jV) und eine Folge positiver Zahlen ¥ mit lim b> = 0. Iterationsvorschrift (i = 1, 2, ... ): y1'1 := x\

(9)

1

28

URSULA HANS

mit é*

:=

d 2f(y i- k,x i,

ri.u

: =

Hi,k-iai,k!

pi.k

.=

HÌ-K-W,

¥)",

(14) (15)

ri,kTai.k

yi,U

:

{iir

1

=

(13)

1

_

(H i- 1)kkr 0 sein. Wie in Behauptung 1 folgt daraus unter Verwendung von êkT (Ô"'1)-1 âk = 0 und é iT (6' i ~ 1 )- 1 êk =

—

ckk

det ( I + (Ô"-1)-1 âkêkT + (Ô"-1)-1 âkêkT) = 1 - (# 1 ) u a i T #*- 1 a i t > 0, womit die Behauptung bewiesen ist. Wir betrachten nun die folgende allgemeine Verfahrensvorschrift : 20

und lim ¥ = 0.

(29)

¿-X»

Dann konvergieren die durch (24) bis (26) beschriebenen Folgen {x1} und {z1} für jeden Startvektor x1 gegen das Minimum x* von f . (Die Existenz von 0, so daß TO|]W||2 ^ urHu ^ M\\u\\*,

u € R",

(30)

ist. Da die Funktionsweise eine monoton fallende Folge bilden, sind sämtliche xl (i = 0, 1, ...) in der kompakten Menge W := {x : f(x) f(x0)} enthalten. Wir wählen nun aus einer beliebigen Teilfolge eine konvergente (Teil-)Teilfolge, die wir mit {«'} bezeichnen, aus und zeigen, daß sie den Grenzwert x* hat. Dann gilt bekanntlich lim xl = x*. Die zu {x'} gehörigen Größen gl, Hl, ex,1 und ¥ werden ebenfalls durch einen Querstrich gekennzeichnet. Wegen der Stetigkeit von Df(x) folgt lim Df{x*) = Df(x),

(31)

wobei x der Grenzwert von {x1} ist. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, es sei \\Df(x)\\ =2(7 + 0. Aus (27), (29), (30) und (31) folgt, daß es einen Index n gibt, so daß für alle i im

\\H

11

2

11

"

4 2m ~

9AM 2

2

1

2

3 AM

C

2m

1

~ 9AM*

m

_

9 AM 2

m

ß

(3g)

9AM 2

Durch Taylorentwicklung ergibt sich /(& - BHY)

= /(**) - BDflx^HY

+ •^—giTHiD2f(...)

H'gK

(40)

2 Wir schätzen nun die einzelnen Summanden nach unten ab: Dfix^Htg*

= Df{xi)rHiDj(xi) + TD » - - M 2 2

\\g% ^ \\Dt(x*)\\

Dfix^HW 1 TYi TYi - — \\Dt(#W = -7- WDf&W, 6 M 4

\\Df&)\\ + 4

4

(41)

g -f |1 Df(x%

(42)

Nun kann man (40) wie folgt abschätzen: - BHY)

- tm

^ ~

^

IIDm\\\

(43)

Wegen Voraussetzung (2) gilt /(*') - fix*) ss 4

- X*\\* g 4

^T

HW)H'-

Damit ergibt sich aus (43)

/(«< -

—

- /(»*) ^ m

B 2m2 7m

- /(**) --j-

= «(/(«O - /(«*))

—

mit 0 : = 1

ut?) - /(**)) 1

7m4

< 1.

Somit erhält man /(«'+1) - f(x*) ^ /(z^1) - /(x*) g /(£0° = x*, womit der Satz bewiesen ist. 3

Numerische Mathematik 2

34

URSULA HANS

Mit Hilfe dieses Satzes kann nun leicht der folgende Konvergenzsatz bewiesen werden: S a t z 3. D a n n

D i e

ist

F u n k t i o n

d a s

k o n v e r g e n t ,

d .

d u r c h

h . ,

lim

x

l i m

f [ x

es

e r f ü l l e bis

d i e

( 1 7 )

V o r a u s s e t z u n g e n

beschriebene

(1)

(2).

und

V e r j ä h r e n

f ü r

b e l i e b i g e n

S t a r t w e r t

x

1

g i l t

= lim t—>00

i

i—M»

f

( 9 )

y

=

i , k

x*

und )

l

=

l i m

f ( y

{

-

k

)

=

f ( x * )

( k

=

1,

N ) .

t->00 Beweis. Wir betrachten die Folge {y'•»} für festes j. Da wir jeden Iterationsschritt mit einer Diagonalmatrix beginnen, für die [Ii?®-1!! i—>00

iS — und IKii4,1)-1!! sS — (unabhängig von i) gilt, kann man leicht zeigen, daß es a

A

von i unabhängige Konstanten m, M > 0 gibt mit g

\\H^\\

und [[(//'•')~1|[ ^ —. m

M

(44)

Die Matrizen H'-i (i = 1,2, ...) sind also auch Elemente eines kompakten Raumes. Wie im Beweis von Satz 2 wählen wir aus {?/•'} eine konvergente (Teil-)Teilfolge {y*•>} aus. Aus den zu dieser Folge gehörigen Matrizen H'-i wird eine konvergente Teilfolge ausgewählt. Die dazu gehörige Teilfolge hat natürlich denselben Grenzwert wie { y u n d man kann auf sie Satz 2 anwenden (die Richtigkeit von (28) und (29) folgt aus (6) und (10), und wegen (44) ist der Grenzwert von {//*•'} positiv definit). Mit (2) folgt dann die Konvergenz der gesamten Folge. { H

6.

1

- ' ]

{y'-')

Numerische Beispiele

Das Verfahren wurde an etwa 15 Beispielen niedriger Dimension getestet und mit bekannten Verfahren verglichen. Einige der Vergleiche sollen hier beschrieben werden. Dazu werden die Varianten VI: 2),

x0, x¡ € D0' vorgegeben. Dabei sei dF: D0'2 —L(X, Y) eine Abbildung, die in einer noch zu präzisierenden Weise die Fréchetableitung F': D0' L{X, Y) annähert. S a t z 4.1.1. Zu x0, x¡ e D0' existiere II®! -

*0|| ^ ö ,

0
un< ^ e s gelte IIöF(xu

x0)-i i ^ U

^

r,

sowie ll^fo, x ^

V) ~ J'(a)]|| á

mit a, ß 0, a ß > 0. und K(X2 \ r) cz D0' mit r = erfüllt, h

= 0,

0'2 L(X, R1), Ö2f, ö2f* : L>0'3 -> L(X, R1)) folgendermaßen erklärt: 6f{u, v) («-»)=

/(«) - /(»),

d2f(u, v, w) (u — v)=

öf(u, u) =

/'(«)

6f(u, w) - 6f(v, w),

(22)

d2f*(u, v, w) {v — w) = 6f(u, v) — df(u, w)

(u, v, w e -D0').

Zur näherungsweisen Lösung der Aufgabe f'(x) = 0 wurde von Schmidt/Tkinkatts [13] das ableitungsfreie Verfahren n = xn-\ — -A(xn_j, x^Y1

x

mit

F{xn_l, a;„_2)

(n

2)

(23)

A(y, z) = Pf(ry + (1 - t) z, y, z) + ö*f*(ry + (1 - t) z, y, z)

und

F(y, z) = öf(y, z) + öf(ry + (1 - t)z, y) - N Ini-^B! • • • i xK-n)- l•= [ ' fn-j+1 •••fn fn-N+1' —\ fn-jfalls ) > j = j{ri) < N, \ I I I I / 1

1

/I I\ • = I\fn-N+1 fn-N+1 •••/»). •••/»)> falls \ I I / mit / . = ^

~

~

(m^l)

?(») = JV,

gesetzt.

Es bezeichne e¡ den ?-ten Einheitsvektor, und der Index j(m) sei durch j(m) = (m — 1) mod (2V) + 1,

1 ^ j(m) ^

N,

bestimmt. Die Schrittweiten hm werden im allgemeinen in Abhängigkeit von xm, xm_, gewählt. Dafür gibt es verschiedene geeignete Möglichkeiten. Hier sei vorausgesetzt, daß für m Sg 1 die Beziehung 0 < \hm\ = \hm{xm, x ^ l ^m

=

s

g n (fm,;'(m)

fm-l,?'(m)) IIxm

^m-lll

wählen, wobei die j-te Komponente des Vektors xm sei. Man erkennt, daß bei diesem Verfahren pro Iterationsschritt nur zwei F-Werte zu berechnen sind und sich genau eine Spalte der Matrix A ändert. Dies ist bei der Inversion von entscheidendem Vorteil. Der folgende Satz über das Verfahren (29) ist gültig, wenn der RN beispielsweise durch die Oktaeder-, die Euklidische oder die Maximumnorm und L(RN) durch die jeweils zugeordnete Matrizennorm normiert wird. S a t z 4.3.1. a) Zu Startvektoren xü, ...,xN existiere A„(xN, ..., XQ)-1, und es gelte IIXi

~

«¿-ill

^

0 so gewählt, daß x0, ..., xN e K(A\ R) cz DQ' gilt, und für beliebige y, z e \ R) und ¿ ^ 1 folge y — h¡(y, z) eí(i) £ D0'.

Das Majorantenprinzip bei Mehrschritt-Iterationsverfahren

57

Sind dann mit N fi = m a x (du . . . , dN, -q), ö = £di, i=1 die Beziehungen 0 (5 + 2 £ \\Zi — &\\ ¿=1

l)yp

: •-

< 1

1

2

y(Nfi + 2 NR + c)

und R) erfüllt, soo ist das Verjähren Verjähren (29) unbeschränkt durchführbar, es existiert lim xn = x* €K A | X STA.YZJ 1I

~_

ist ( (t.

(33)

D a die Annahme ||ict- — 11 sS ¡i (i = 1, ..., n) im Fall n = N 1 richtig ist, folgt durch einen einfachen Induktionsschluß, daß die Abschätzung (32) f ü r beliebige n N -f- 1 gültig ist, sofern xN+1, ...,x„ e K(£; R) gilt. Die (32) zugeordnete Vergleichsiteration ist durch (30) gegeben. Wegen h < 1 folgt aus Satz 3.3.1. und der anschließenden Bemerkung die Konvergenz der Folge (i„) gegen einen Grenzwert

Das Majorantenprinzip bei Mehrschritt-Iterationsverfahren

59

t* sS d + W(1 ~ Ä). Damit sind die Voraussetzungen (V) erfüllt, und wegen K(xjv+1;

t* — tN+1)

c= X

~

j ^ Z>0

folgen Durchführbarkeit, Konvergenz und Fehlerabschätzung aus Satz 3.2.3. Aus der in (32) enthaltenen Abschätzung für m ^ r 1 ^ ^ , , ) ! ! folgt unter Beachtung der Stetigkeit F(x*) = 0. Wir bemerken, daß das Verfahren (29) von der gegenüber (1) allgemeineren Form xn = G„ (acjjli) (n ig k) ist. Alle Ergebnisse des Abschnittes 3 lassen sich unmittelbar auf diese Verfahrensklasse übertragen. Die Behandlung dieses Beispiels ist somit gerechtfertigt. Z u s a t z 4.3.2. Unter den Voraussetzungen von Satz 4.3.1. hat die durch (30) definierte Majorantenfolge (tn) die Konvergenzgeschwindigkeit x*, die sich als positive Lösung der Gleichung xN+1 — xN — 1 =0 ergibt. B e w e i s . Durch Induktion erhält man analog zu (32), (33) t„ — i„_j Si ¡J, (n und damit n n-2 n —1 1 + 2 E — Yr h-,) E ih-h-,) (tn ~ E (h -h-1) 2 i=n—N i=n-N l =¿+1 1 -

1)

— y(N/j, + 2 NB + c)

=• r)2 beliebig. Mit A' = I erhält man für den ersten Teil des Spektrums von A die Eigenwerte 2 und (—

— | für n = 2 , . . . , n 0 und in [1 +

1 + t]2] kontinuierlichesSpek-

\2 n + 1/ trum ohne Eigenwerte. pu ..., p„o seien die Eigenelemente zu den ersten n0 Eigenwerten von A0. {i>i}il„ 0+ i ergänze diese n0 Elemente p{ zu einer orthonormalen Basis in H. pn aufgespannten Unterraum. P„ sei der orthogonale Projektor auf den durch pu Für alle A„ = A0 + Pn gehört das Intervall rj2] zum kontinuierlichen Spektrum, da Pn vollstetig ist. Das Intervall [r^, r/2] gehört aber nicht zum Spektrum von A. Damit erhält man wieder, daß das Spektrum von A„ das Spektrum von A nicht approximiert. Mit diesen Beispielen haben wir gesehen, daß für alle möglichen Formen des anfangsdiskreten Spektrums von A im allgemeinen keine Konvergenz der Näherungseigenwerte gegen die von A vorliegt. Zu bemerken ist noch, daß diese Beispiele konstruiert wurden gerade mit den für die Praxis wichtigen und von den Autoren vorgeschlagenen Basiselementen pi = uk° und auch A'pi = uk° wegen A' = I. Auch für Zwischenprobleme zweiter Art ist im allgemeinen keine Konvergenz der Eigenwerte von Anm gegen die von A vorhanden, denn für die Zwischenoperatoren Anm gilt ja für beliebiges, aber festes n die Beziehung A„m rgj A„ für alle « u n d damit •n£

(-^nmx, x)

s+o

{x, x)

XiD(Anm) 5

Numerische Mathematik 2

(A„ x, x) ~ a.+0 XiDUn)

(x, x)

66

JÜRGEN JÄHNIG

Für unsere betrachteten Beispiele erhalten wir inf a(Anm) ^ inf a(A„) ^ — < inf a(A) 2 (o(B) bezeichne das Spektrum von B). Somit sind also die Grenzen der Anwendbarkeit des Bazley-Fox-Verfahrens aufgezeigt. Trotzdem bleibt auch im anfangsdiskreten Fall das Verfahren zumindest bedingt anwendbar, denn auch hier erhalten wir untere Schranken für die gesuchten Eigenwerte, die dann allerdings im allgemeinen nicht mehr beliebig verbessert werden können. Daß diese Schranken in speziellen Fällen recht gute Näherungen sind, sieht man an dem in [4] angegebenen Beispiel, in welchem gewisse Eigenfrequenzen für das Heliumatom berechnet werden. Welche Probleme ergeben sich, wenn man Verfahren solcher Art sucht, die untere Schranken für die Eigenwerte liefern und bei dem Konvergenz vorliegt? Im Konvergenzbeweis von B A Z L E Y und F o x für reindiskrete Operatoren ist von wesentlicher Bedeutung eine Verallgemeinerung des Satzes von D I N I , wodurch die gleichmäßige Konvergenz von An_1 gegen A~* gesichert wird: S a t z . Konvergiert im Hilbert-Raum eine monotone Folge vollstetiger, selbstadjungierter Operatoren {Bn\ stark gegen den vollstetigen, selbstadjungierten Operator B, so erfolgt die Konvergenz auch gleichmäßig. B e w e i s . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei {Bn} eine monoton fallende, gegen den Nulloperator konvergierende Folge vollstetiger, selbstadjungierter Operatoren. Die Norm von B„ ist gleich dem maximalen Eigenwert von Bn. Wir haben zu zeigen: ||.ßB|[ = \\Bnun\\ 0 mit u„ als normiertem Eigenelement zum größten Eigenwert von Bn. Aus den {u„} mit ||wj| = 1 wählen wir eine schwach konvergierende Teilfolge {unj} aus: unj u*. Wegen der Vollstetigkeit von Bm gilt Bmu„ -> Bmu* für j oo und jedes m. Da Bm —> 0 für m - > oo gilt, existiert für beliebig vorgege£

benes e > 0 ein m 0 , so daß für alle rn Sg m0 gilt: \\Bmu*\\ —.Weiterhin existiert 2 wegen Bmunj -> Bmu* für j oo ein j0, so daß für alle j ^ j0 gilt: \\Bmunj — Bmu*\\ g ^ —. Mit q = max {?n07 n^ erhalten wir ||Är|| = (Brur, ur)

(Bmun

ur) < HÄ^H

' Bm ur - Bmu*|| +

,«*|| ^ e

für alle r ¿i q. Damit ist der Satz bewiesen. Mit dieser gleichmäßigen Konvergenz von A„-1 gegen A~x erhält man nach einem Satz der Störungstheorie die Konvergenz der Eigenwerte von A„ gegen die von A([2], S. 354, 355). Die Voraussetzungen dieses Satzes sind jedoch notwendig, wie wir an den folgenden Beispielen sehen werden: B e i s p i e l 1. sei eine Basis in II. Mit //„ = L(pu ..., pn) werde der durch die ersten n Basiselemente pn aufgespannte Unterraum bezeichnet. P„ sei der orthogonale Projektor auf H„ und Qn = / — Pn der orthogonale Projektor auf H^. Der Projektor Q„ ist nicht vollstetig. Die Folge Qn konvergiert monoton für n - > oo

Über die Grenzen der Anwendbarkeit des Bazley-Fox-Verfahrens

67

gegen den Nulloperator. Jedoch ist \\Qn — 0\\ = ||$„|| = 1, und damit liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. B e i s p i e l 2. Mit den Bezeichnungen des Beispiels 1 betrachten wir den Operator B n = Q n -i — Qn- Er konvergiert gegen den Nulloperator und ist vollstetig, jedoch nicht monoton. Es liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor, da ||2?n — 0\\ = \\Bn\\ = 1 ist. Will m a n n u n andere beschränkte Zwischenoperatoren Änm konstruieren, so erhält man für Änm An keine Konvergenz und für An rg Änm einen Widerspruch zwischen der Forderung Änm beschränkt und A„ unbeschränkt. Daraus kann man schlußfolgern, daß es notwendig ist, andere Zwischenoperatoren A„ zu konstruieren, wobei aber der in den Arbeiten von B A Z L E Y und F o x grundlegende Satz von D I N I im allgemeinen nicht bei einem entsprechenden Konvergenzbeweis verwendet werden kann.

Literatur [1] BAZLEY, N. W., and D. W. Fox, Truncations in the methods of intermediate problems for lower bounds to eigenvalues, J. Res. Nat. Bur. St. B 65 (1961), 105—111. [2] RIESZ, F., und B. SZ.-NAGY, Vorlesungen über Funktionalanalysis, 3. Aufl., VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973 (Ubersetzung aus dem Französischen). [3] RELLICH, F., Halbbeschränkte, gewöhnliche Differentialoperatoren zweiter Ordnung, Math. A n n . 1 2 2 (1950), 3 4 3 - 3 6 8 .

[4] BAZLEY, N. W., Lower bounds for eigenvalues, J. Math. Mech. 10 (1961), 289—307.

Manuskripteingang: 13. 7.1972 VERFASSER: Dipl.-Math. JÜRGEN JÄHOTG, Sektion Mathematik der Technischen Hochschule Karl-MarxStadt

5*

Beiträge zur Numerischen Mathematik 2 (1974), 6 9 - 8 8

Z u r Konvergenz des Differenzenverfahrens und zu Fragen der Fehlerabschätzung für elliptische Differentialgleichungen vierter O r d n u n g m i t quadratisch integrierbarer Inhomogenität JOHANN KOMUSIEWICZ

Die Arbeit beweist mit Hilfe des Differenzenverfahrens die Existenz verallgemeinerter Lösungen u e M/22(»S') für elliptische Differentialgleichungen vierter Ordnung mit quadratisch integrierbarer rechter Seite / und Null-Randbedingungen. Sie gibt ferner eine a-priori-Abschätzung max |w — U\ sS Ch ||/||£2(S), s» wobei u der stetige Repräsentant der verallgemeinerten Lösung, U die durch das Differenzenverfahren erhaltene Näherungslösung, das zugrunde liegende Gebiet S ci B2 das Quadrat 0 rÄ x1: x2 ^ 1 und S* ein gewisses Innengebiet von S sind. Der erste Teil knüpft an eine Arbeit [ 2 ] von L A D Y Ä E N S K A Y A an, der zweite Teil an eine Arbeit [ 3 ] von N I T S C H E , die beide die entsprechende Problematik für Differentialgleichungen zweiter Ordnung zum Inhalt haben. Mein besonderer Dank gilt den Herren Professoren H. T K I E B E L und W . W A L L I S C H , die durch zahlreiche Anregungen und Hinweise zur Fertigstellung dieser Arbeit beitrugen.

1.

Existenzbeweis

1.1. F ü r die Differentialgleichung Au + Xu = £ I)'(a!KDKu) m=2 W=2

+ 21 a.jDtu + /.u = / uiss

(1)

mit quadratisch integrierbarer rechter Seite / werde in einem beschränkten Gebiet 8 cz R2 eine Lösung u gesucht, die auf dem Rand SS des Gebietes den Bedingungen u\ds = 0,

D^u\ss = D*u\ds = 0

(2)

genügt. Dabei ist I = [i1} ..., is], it = 1, 2, ein Multiindex, und mit |/| = s wollen wir die Länge oder Ordnung von I bezeichnen. Die Koeffizienten aIK für |/| = \K\ = 2

70

J O H A N N KOMTTSIEWICZ

seien zweimal stetig differenzierbare, a 1 für |J| = 3 stetig differenzierbare und alle anderen aI stetige reelle Funktionen in S = 8 u 88. Für \I\ = \K\ = 2 gelte aIK = aKI und die Elliptizitätsbedingung Re

£ a i K i i J i A J ^ ^ c J j : | £ , | 2Y , C |/| = |K| = 2 V=1 /

E

> 0,

(3)

die für alle x e 8 und e C erfüllt sei. X sei eine komplexe Zahl mit R e X größer als ein gewisses X0. D a / nur zu L2(S) gehört, werden Lösungen im klassischen Sinne nicht existieren. Gesucht wird deshalb eine verallgemeinerte Lösung u e 1F22()S'), d. h. eine Funktion u aus dem Sobolew-Raum W^(8), die für alle

k+1{h

-

X (3A -

2^! )

+

1 -

t2

[D2Uik(

2V

+

V ) +

+

Ax3)]

3

3A.« + 2 V ) + D2Ui+Jik(3A^

-

2A,»)]

X (A2 - 22 2 2 + A23) + \ P i ü i M , ( 1 - 3 V + 2A,») + D

ü

2

i w

W

- 2A,»)]

X ( - v + V) m i t Uik =

Uh(ih, kh), 7.x = hr1(xl

(11)

— ih), A2 = h~1(x2

— kh), wobei i = e n t i e r

(x1/h),

k — entier (x2jh), und gehört somit zu W22(Qik). Auf Grund der Definition von U* passen die Funktionen an den Gittergeraden aneinander, d. h., für zwei benachbarte Quadratmaschen Q und R gilt für alle Punkte (£, rj) auf der beiden Quadraten gemeinsamen Grenze Uq*(£,

) =

V

Ur*(£,

V) .

- D ' C W , rj) = DU7R*& 3

wie man unter Berücksichtigung von —

8Xj

1

8

h 8Xj

),

V

j =

1,2,

(12)

leicht nachweist. Das bedeutet

aber, daß die Funktion U* zu T-F22(iS'ft) gehört. Da die Funktionswerte und Werte der

72

JOHANN KOMUSIEWICZ

ersten Differenzenquotienten auf dem Rand dSh wegen (2*) verschwinden, gehört U* sogar zu Indem wir U* und B>U* außerhalb Sh mit 0 fortsetzen, erhalten wir schließlich U* e

W22(S).

1.3. Um die Konvergenz der Folge {i7ft*} für h —> 0 zu zeigen, müssen wir nachweisen, daß sie beschränkt ist. Wir gehen dazu von der bekannten Friedrichsschen Ungleichung GjE

S

S 3= 1

\Djv\2d8,

C>

0,

(13)

aus, die für alle v e

erfüllt ist. Als spezielles Gebiet betrachten wir Sk. Zu

jeder Funktion v e

können wir eine Funktion v* definieren, die gleichfalls

zu WV^A) gehört, deren Werte in den Gitterpunkten mit denen von v übereinstimmen und die ansonsten definiert wird durch v*(xu

x2) = vik(l

— Aj) (1 — A2) +

— A2) H,

(14)

wobei i, k und wie früher definiert sind. Durch elementare Berechnungen erhalten wir dann ein Differenzenanalogon zu (13), das für alle Gitterpunktfunktionen mit verschwindenden Randwerten gilt: h*

E

Ml^WC

Uh,kh)iS7

z

E

\DM2.

(15)

(ih,kh)£S7 ) = 1

Ganz analog zeigt man unter Verwendung der früher definierten Funktion TJ*, daß für alle Funktionen U s WV^A) und somit auch für alle Gitterpunktfunktionen U mit verschwindenden Randwerten von U und D j U h2 E W\2 + h2 E E IDjü] 2 ^ h 2 C E S7

SA f = l

E

ST

lA'^P

(16)

1

gut. Als nächstes wollen wir zeigen, daß, falls das inhomogene Gleichungssystem (1*), (2*) eine Lösung besitzt, die folgenden Ungleichungen erfüllt sind: Sn /£>( U) =

h2E E \DjU\2 ^ s7 i=i

I f : m =

h2E

s7

C,ISh(F),

E \D»U\2 ^ j,i=i

( 1 7 )

C3ISn(F).

Wegen (16) genügt es, die dritte Ungleichung von (17) zu beweisen. Dies tut man, indem man Gleichung (1*), die in allen inneren Punkten (ih, Ich) e Sh' erfüllt ist, mit der konjugiert komplexen U multipliziert und die erhaltene Gleichung, die wegen E7|0s,/=O, also auch U\dSh- — 0, in allen Punkten von Sh' erfüllt ist,

Zur Konvergenz des Differenzenverfahrens

73

partiell über ganz 8aufsummiert, d. h. unter Übertragung gewisser Differenzenquotienten auf U. Diese partielle Summation ist möglich, da die Randsummen wegen (2*) verschwinden. Durch elementare Abschätzungen erhalten wir auf Grund dessen, daß Ah stark elliptisch in Sh ist, d. h., daß R e i ;

E

£, K = —K = [—jfc„ ..., — ks~\ gilt (siehe [4]), und wegen der Eigenschaften der Koeffizienten von A die Aussage, daß für genügend großen Re X > A0 die Ungleichungen (17) erfüllt sind. Aus diesen Ungleichungen folgt nun, daß für F = 0 auch £ 7 = 0 sein muß, d. h., das homogene Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung. Also ist die Lösung des inhomogenen Gleichungssystems (1*), (2*) eindeutig bestimmt. Ferner gilt der folgende Satz.

Das

(1), (2)

Bandwertproblem

besitzt

höchstens

eine

verallgemeinerte

Lösung.

Zum Beweis sei nur vermerkt: Wenn w die Differenz zweier verallgemeinerter Lösungen ist, muß es die Integralidentität (4) für / = 0 erfüllen. Da w und somit w zu W^(S) gehört, können wir w durch eine Folge {rpk}, 0 im Sinne der schwachen Konvergenz des Hilbert-Raumes WVt'S) g e g e n e-ine Funktion u € strebt. Das Grenzelement u erfüllt die Integralidentität (4). Zum Beweis multiplizieren wir (1*) mit